Быстрая навигация:

y = kx + b, где k,b — действительные числа

График линейной функции — прямая. k — угловой коэффициент k = tg a, b — ордината точки пересечения с осью y

Частные случаи линейной функции:

Взаимное расположение графиков линейных функций:

СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ y = kx + b

• ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ: R

СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ:ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ ПО ДВУМ ТОЧКАМ

Рассмотрим построение графика линейной функции по двум точкам:

Функция y = 3x + 2 строиться по двум точкам (x₁;b) и (x₂;b+k), при x₁=0, а x₂=1.

Теперь проведем через данные точки прямую:


Если k 0, b 0, можно выбрать точки (0;b) и (-b/k;0) на осях координат:
Например: y = 2x + 2
Если x₁ = 0, то y₁ = 2;

Через точки (0,2) и (-1;0) проведем прямую:


Если коэффициент перед х дробный, удобно выбирать х₁ и х₂ так, чтобы у₁ и у₂ были целыми.

y = — 1/3x + 2

Если x₁ = 3, то y₁ = 1;

Если x₁ = -3, то y₂ = 3;

Через точки (3;1) и (-3;3) провести прямую.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ y = kx + b
С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГРАФИКА ФУНКЦИИ y = x

График функции y = kx + b можно получить из графика y = x в три этапа:

1. Построить график функции y = x

2.Произвести растяжение (при |k| > 1) или сжатие (при |k| у (если k

3.Произвести параллельный перенос графика вдоль оси у на |b| (вверх при b>0, вниз при b

Примеры:
1: y = 2x — 1

2: y = —x/3 + 2

(b) График

• Запишите уравнение в такой форме: (x ²
  — 6x +? ₁ ) + (y ² +
  4 года +? ₂ ) = -9 +? ₁ +? ₂ .в
  в первой скобке мы группируем x-члены, а во второй — y-члены. В
  константа перемещается в правую часть. Знак вопроса?
  число, необходимое в каждой скобке для завершения квадрата. Обратите внимание, что
  мы должны добавить это число к обеим сторонам уравнения. Вот почему ты
  видеть ? ₁ и? ₂ , добавлено с обеих сторон.

• Как найти номер для замены вопросительного знака,? ₁ .Брать
  коэффициент при x и разделите его на 2, (-6/2), а затем возведите его в квадрат, (-3) ² = 9.? ₁
  будет заменен цифрой 9.

• Как найти номер для замены вопросительного знака,? ₂ . Брать
  коэффициент при y и разделите его на 2, (4/2), а затем возведите его в квадрат, (2) ² = 4.? ₂
  будет заменен на цифру 4.

Собирая шаги 1-3 вместе, получаем следующее:

(a) Центр: (h = 3, k = -2) = (3, -2)
и радиус r = 2
поскольку r ² = 4 => r
= 4 = 2

(б) График

• Запишите уравнение в такой форме: (x ²
  — 6x +? ₁ ) + (y ² +
  2лет +? ₂ ) = -4 +? ₁ +? ₂ . в
  в первой скобке мы группируем x-члены, а во второй — y-члены. В
  константа перемещается в правую часть. Знак вопроса?
  число, необходимое в каждой скобке для завершения квадрата. Обратите внимание, что
  мы должны добавить это число к обеим сторонам уравнения. Вот почему ты
  видеть ? ₁ и? ₂ , добавлено с обеих сторон.

• Как найти номер для замены вопросительного знака,? ₁ . Брать
  коэффициент при x и разделите его на 2, (-6/2), а затем возведите его в квадрат, (-3) ² =
  9.? ₁ будет заменен на номер
  9.

• Как найти номер для замены вопросительного знака,? ₂ . Брать
  коэффициент при y и разделите его на 2, (2/2), а затем возведите его в квадрат, (1) ² =
  1.? ₂ будет заменен номером
  1.

Собирая шаги 1-3 вместе, получаем следующее:

(a) Центр: (h = 3, k = -1) = (3, -1)
и радиус r
= 6, поскольку r ² = 6 => r
= 6

(б) График

Донна,
ученица 4-го класса изменила свое первоначальное уравнение и получила удивительные графики!

Дон
спросила Донна
к
график x ² + y ² = 25; она нашла (0,5) и (5,0), что
работала, потом обнаружила, что может использовать и негативы. Она
быстро понял, что график представляет собой круг с радиусом 5.

Дон спросил
Донна
до
измените уравнение как-нибудь, а затем изобразите
новое уравнение.Она выбрала
х ² + у ³
= 25, что действительно не удивило Дона, и было отличным выбором. Почему? Потому что Дон
не был уверен, как будет выглядеть график! Для этого потребовалось найти кубический корень из
номер на калькуляторе, который Донна
смог сделать .
Она поняла, что график симметричен относительно оси y.

Они построили график D onna уравнение
х ² + у ³
= 25 дюймов
Вывести, ниже:

Дон спросил
Донна
до
снова измените уравнение, затем
изобразите это новое уравнение. Она выбрала
х ³
+ у ² = 25. Стало интереснее!

Модель
интересная штука донна
, сам того не зная, должен был создать математическую
инверсия графика
х ² + у ³
= 25, дюймов
х ³
+ y ² = 25. Другими словами, она поменяла местами x и y, и эти
графики являются зеркальным отображением друг друга в строке y = x! Рэйчел и Дон нарисовали график
3 графика Донны и y = x в Derive все на том же графике ниже:

Отличная работа D onna
!!!

На том же графике
бумага, график 7 графиков x ² + k * y ² = 25 для значений k = 4,
1, 1/4, 0, ^— 1/4, ^— 1, ^— 4 / глава 6

Например, если k = 4 ,
уравнение для графика: x ²
+ 4 * y ²
= 25. 2 — 4x + 6y — 3 = 0.?

Определить коническое сечение:

Если данное уравнение имеет вид Ax ² + Bxy + Cy ² + Dx + Ey + F = 0, где B = 0, представленное как A и C.

Если гипербола горизонтальная:.

• Где « a » — число в знаменателе положительного члена. Если член x положительный, тогда гипербола горизонтальна
• a = полупоперечная ось, b = полусопряженная ось
• Центр: ( h , k )
• Вершины: ( h + a , k ), ( h — a , k )
• Фокусы: ( h + c , k ), ( h — c , k )

Если гипербола вертикальная: (y — k) ² / a ² — (x — h) ² / b ² = 1.

• Где « b » — это число в знаменателе положительного члена. Если член x отрицательный, тогда гипербола вертикальная.
• a = полупоперечная ось, b = полусопряженная ось.
• Центр: ( h , k )
• Вершины: ( h , k + a ) и ( h , k — a).
• Фокусы: ( h , k + c) и ( h , k — c).

Уравнение: x ² — y ² — 4x + 6y — 3 = 0.

Сравните приведенное выше уравнение с Ax ² + Bxy + Cy ² + Dx + Ey + F = 0.

A = 1 и C = — 1.

Поскольку, A и C имеют противоположные знаки. Данное уравнение представляет собой кривую гиперболу.

Напишите уравнение: x ² — y ² — 4x + 6y — 3 = 0 в стандартной форме гиперболы:.

x ² — y ² — 4x + 6y — 3 = 0

x ² — 4x — 3 = y ² — 6y.

Чтобы преобразовать выражение в полный квадрат , добавьте (половина коэффициента x ) ² и (половина y — коэффициент) ² к каждой стороне выражения.

Здесь коэффициент x = — 4, поэтому (половина коэффициента x ) ² = (- 4/2) ² = 4.

Здесь y коэффициент = — 6, поэтому (половина коэффициента x ) ² = (- 6/2) ² = 9.

Добавьте 4 и 9 к каждой стороне уравнения.

x ² — 4x + 4 + 9 — 3 = y ² — 6y + 9 + 4

(x — 2) ² + 6 = (y — 3) ² + 4

(x — 2) ² — (y — 3) ² = 4-6 = — 2

— (x — 2) ² /2 + (y — 3) ² / 2 = 1

(y — 3) ² / 2 — (x — 2) ² /2 = 1

(y — 3) ² / (√2) ² — (x — 2) ² / (√2) ² = 1.

Графики и кривые уровня

Графики и кривые уровня

Среда, 25 февраля

Графики и кривые уровня

График функции f (x, y) — это набор всех точек
(x, y, z) в пространстве такое, что (x, y) находится в области определения f и z = f (x, y).
Вот несколько примеров.

Пример 1. f (x, y) = x ² + y ² .

Пример 2. f (x, y) = x ² -y ² .

Пример 2. f (x, y) = e ^{-x 2 -y 2} .

Пример 3. В примере в понедельник мы рассмотрели функцию стоимости
С (х, у) = 1200 / х + 1200 / у + 3xy.

Его график показан ниже.

При виде сбоку кажется, что минимальное значение этой функции составляет около 500.

Пример 4. f (x, y) = 2e ^{— (x + 1) 2 -y 2}
+ 3e ^{— (x-2) 2 — (y-1) 2} -2e ^{— (x-1) 2 — (y + 2) 2}

A уровень кривая функции f (x, y) — это набор точек (x, y)
в плоскости такая, что f (x, y) = c для фиксированного значения c.

Пример 5. Кривые уровня f (x, y) = x ² + y ² являются кривыми
form x ² + y ² = c для различных вариантов c.
Это круги радиуса квадратного корня из c. Некоторые из них показаны ниже.

Можно представить кривую уровня f (x, y) = c как
горизонтальное сечение графика на высоте z = c. Когда каждая кривая уровня f (x, y) = c является
построенный на высоте c единиц над плоскостью xy, мы получаем рисунок ниже.

Пример 6. Кривые уровня f (x, y) = x ² -y ²
являются гиперболами.

Здесь они показаны на соответствующей высоте.

Пример 7.
Кривые уровня f (x, y) = 2e ^{— (x + 1) 2 -y 2}
+ 3e ^{— (x-2) 2 — (y-1) 2} -2e ^{— (x-1) 2 — (y + 2) 2}
показаны ниже. Сравнивая с графиком в примере 4, мы видим, что точки (x, y), в которых f
имеет максимумы и минимумы в центрах круговых кривых уровня.2 = 1 ближайший к (0,2)

Если вы рассмотрите график x ² — y ² = 1, это гипербола, и если вы наложите точку (0, 2), вы получите что-то вроде этого:

Очевидно, единственная часть графика нам нужно беспокоиться о верхней части (над осью x). Эту часть графика можно записать, решив график для y и взяв только положительную часть.

x ² — y ² = 1

x ² — 1 = y ²

y = ± √ (x ² — 1), но, взяв только положительную часть, мы получаем y = √ (x ² — 1)

Формула расстояния d = √ [(x ₂ — x ₁ ) ² + (y ₂ — y ₁ ) ² ] и пусть (x ₂ , y ₂ ) будет точкой (0, 2), поэтому формула расстояния станет d = √ [(0 _{— x 1 ) ² + (2 — y 1 ) ² ]}

Теперь давайте просто отбросим суффикс «1» от x и y, чтобы упростить и упростить получение: d = √ [x ² + 4 — 4y + y ² ] где (x, y) находится на графике x ² — y ² = 1

Теперь мы знаем, что y = √ (x ² — 1), поэтому мы можем подставить «√ (x ² — 1) «в уравнение везде, где мы видим» y «, составляющую уравнение расстояния: d = √ [x ² + 4 — 4√ (x 9001 5 2 — 1) + (√ (x ² — 1)) ² ]

Если мы упростим, а затем запишем как функцию от x, мы получим:

d (x) = √ (2x ² — 4√ (x ² — 1) + 3) или d (x) = [2x ² — 4 (x ² — 1) ^1/2 + 3] ^1/2

Для минимизации возьмите производную и установите ее равной нулю

d ‘(x) = 1/2 (2x ² — 4√ (x ² -1) + 3) ^-1/2 • (4x — 2 (x ² — 1) ^-1/2 • 2x)

Единственный способ, которым это может быть равно нулю, — это если числитель равен нулю, поэтому:

4x — 4x / (x ² -1) ^1/2 = 0

4x (1 — 1 / (x ² -1) ^1/2 ) = 0, поэтому x = 0 или 1 — 1 / (x ² -1) ^1/2 ) = 0

1 = 1 / (x ² -1) ^1/2

(x ² -1) ^1/2 = 1

x ² — 1 = 1

x ² = 2

x = ± √ 2

Если x = √2, тогда y = √ ((√2) ² -1) = √ (2-1) = √1 = 1, поэтому точка равна (√2, 1). Соответствующая точка на другой стороне (-√2, 1)

колледж-алгебра — ближайшая точка

Биоматематика: преобразование графиков

Что такое вертикальное растяжение и усадка?

При перемещении точек пересечения x и y базового графа, растягивание и сжатие эффективно вытягивают базовый граф наружу или сжимают базовый граф внутрь, изменяя общие размеры базового графа без изменения его формы.Когда график растягивается или сжимается по вертикали, точки пересечения x действуют как якоря и не изменяются при преобразовании.

Помните, что перехватчики x не перемещаются при вертикальном растяжении и сжатии. Другими словами, если f ( x ) = 0 для некоторого значения x , то k f ( x ) = 0 для того же значения x. Кроме того, вертикальное растяжение / сжатие с коэффициентом k означает, что точка ( x, y ) на графике f ( x ) преобразуется в точку ( x , ky ) на графике г ( x ).

Примеры вертикального растяжения и усадки

Рассмотрим следующие базовые функции,

(1) f ( x ) = x ² — 2,

(2) г ( x ) = sin ( x ).

Графическое представление функции (1), f ( x ), представляет собой параболу. Что вы думаете о графике

y ₁ ( x ) = 1/2 f ( x )

как выглядит? Используя определение f ( x ), мы можем записать y ₁ ( x ) как,

y ₁ ( x ) = 1/2 f ( x ) = 1/2 ( x ² -2) = 1/2 x ² — 1 .

Исходя из определения вертикальной усадки, график y ₁ ( x ) должен выглядеть как график f ( x ), уменьшенный по вертикали в 1/2 раза. Взгляните на графики f ( x ) и y ₁ ( x ).

Обратите внимание, что точки перехвата x не переместились.

Функция

(2), g ( x ), является синусоидальной функцией. Что бы на графике

y ₂ ( x ) = 6 g ( x )

похож? Используя наши знания о вертикальных растяжках, график y ₂ ( x ) должен выглядеть как базовый график g ( x ), растянутый по вертикали в 6 раз. Чтобы проверить это, мы можем написать y ₂ ( x ) as,

y ₂ ( x ) = 6 g ( x ) = 6 sin ( x ),

построить таблицу значений и построить график новой функции.Как видите, график y ₂ ( x ) на самом деле является базовым графиком g ( x ), растянутым по вертикали с коэффициентом 6.

*****

В следующем разделе мы рассмотрим горизонтальное растяжение и сжатие.