График х 2 y 2 1: Mathway | Популярные задачи

Mathway | Популярные задачи




1 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 50
2 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 45
3 Вычислить 5+5
4 Вычислить 7*7
5 Разложить на простые множители 24
6 Преобразовать в смешанную дробь 52/6
7 Преобразовать в смешанную дробь 93/8
8 Преобразовать в смешанную дробь 34/5
9 График y=x+1
10 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 128
11 Найти площадь поверхности сфера (3)
12 Вычислить 54-6÷2+6
13 График y=-2x
14 Вычислить 8*8
15 Преобразовать в десятичную форму 5/9
16 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 180
17 График y=2
18 Преобразовать в смешанную дробь 7/8
19 Вычислить 9*9
20 Risolvere per C C=5/9*(F-32)
21 Упростить 1/3+1 1/12
22 График y=x+4
23 График y=-3
24 График x+y=3
25 График x=5
26 Вычислить 6*6
27 Вычислить 2*2
28 Вычислить 4*4
29 Вычислить 1/2+(2/3)÷(3/4)-(4/5*5/6)
30 Вычислить 1/3+13/12
31 Вычислить 5*5
32 Risolvere per d 2d=5v(o)-vr
33 Преобразовать в смешанную дробь 3/7
34 График y=-2
35 Определить наклон y=6
36 Перевести в процентное соотношение 9
37 График y=2x+2
38 График y=2x-4
39 График x=-3
40 Решить, используя свойство квадратного корня x^2+5x+6=0
41 Преобразовать в смешанную дробь 1/6
42 Преобразовать в десятичную форму 9%
43 Risolvere per n 12n-24=14n+28
44 Вычислить 16*4
45 Упростить кубический корень 125
46 Преобразовать в упрощенную дробь 43%
47 График x=1
48 График y=6
49 График y=-7
50 График y=4x+2
51 Определить наклон y=7
52 График y=3x+4
53 График y=x+5
54 График 3x+2y=6
55 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-5x+6=0
56 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-6x+5=0
57 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-9=0
58 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 192
59 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 25/36
60 Разложить на простые множители 14
61 Преобразовать в смешанную дробь 7/10
62 Risolvere per a (-5a)/2=75
63 Упростить x
64 Вычислить 6*4
65 Вычислить 6+6
66 Вычислить -3-5
67 Вычислить -2-2
68 Упростить квадратный корень 1
69 Упростить квадратный корень 4
70 Найти обратную величину 1/3
71 Преобразовать в смешанную дробь 11/20
72 Преобразовать в смешанную дробь 7/9
73 Найти НОК 11 , 13 , 5 , 15 , 14 , , , ,
74 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-3x-10=0
75 Решить, используя свойство квадратного корня x^2+2x-8=0
76 График 3x+4y=12
77 График 3x-2y=6
78 График y=-x-2
79 График y=3x+7
80 Определить, является ли полиномом 2x+2
81 График y=2x-6
82 График y=2x-7
83 График y=2x-2
84 График y=-2x+1
85 График y=-3x+4
86 График y=-3x+2
87 График y=x-4
88 Вычислить (4/3)÷(7/2)
89 График 2x-3y=6
90 График x+2y=4
91 График x=7
92 График x-y=5
93 Решить, используя свойство квадратного корня x^2+3x-10=0
94 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-2x-3=0
95 Найти площадь поверхности конус (12)(9)
96 Преобразовать в смешанную дробь 3/10
97 Преобразовать в смешанную дробь 7/20
98 Преобразовать в смешанную дробь 2/8
99 Risolvere per w V=lwh
100 Упростить 6/(5m)+3/(7m^2)

Аналитическая геометрия в пространстве

Аналитическая геометрия в пространстве

Лабораторная работа №10

Аналитическая геометрия в пространстве

Цель:

  • Построение поверхностей второго порядка с помощью системы Mathematica.

Для построения трехмерных поверхностей используется функция:

Plot3D [ f, { x ,xmin, xmax} , {y , ymin, ymax} ]

Чтобы построить график поверхности второго порядка, нужно сначала выразить переменную z из канонического уравнения, например, с помощью функции Solve, которая используется для решения уравнений, указав в качестве переменной только переменную z.

Например, выразим из уравнения эллипсоида x2+y2+z2=1 переменную z:

Solve [ x2 + y2 + z2 = 1, z ]

Получим: { z -> -√(-1-x2-y2), z -> √(-1-x2-y2) }

Это значит, что построение эллипсоида сводится к построению двух поверхностей в одной системе координат:

z = -√(-1-x2-y2) и z = √(-1-x2-y2).

Так как графики нужно построить в одной системе координат, то воспользуемся функцией Show [ z1, z2 ]. При построении графиков с целью улучшения качества графиков используем опцию PlotPoints -> n, которая указывает, сколько точек должно участвовать в построении ( n — натуральное число ). Опция Mesh -> False удаляет линии каркаса поверхности, что способствует большей наглядности в её отображении.

1. Эллипсоид

Каноническое уравнение: x2 / a2 + y2 / b2 + z2 / c2 = 1.

На рисунке 1 показано построение эллипсоида, заданного уравнением x2 + y2 + z2 = 1.
Задание: Измениет параметры a, b, c и установите, как их увеличение или уменьшение влияет на изображение поверхности.



pис. 1

2. Однополостный гиперболоид

Каноническое уравнение: x2 / a2 + y2 / b2 — z2 / c2 = 1.

На рисунке 2 показано построение однополостного гиперболоида, заданного уравнением x2 / 4 + y2 / 1 — z2 / 4 = 1.



pис. 2

3. Двуполостный гиперболоид

Каноническое уравнение: x2 / a2 — y2 / b2 — z2 / c2 = 1.

На рисунке 3 показано построение двуполостного гиперболоида, заданного уравнением x2 / 4 — y2 / 9 — z2 / 1 = 1.



pис. 3

4. Гиперболический параболоид

Каноническое уравнение: z = x2 / a2 — y2 / b2.

На рисунке 4 показано построение гиперболического параболоида, заданного уравнением z = x2 — y2.



pис. 4

Задание: Постройте эллиптический параболоид. Каноническое уравнение z = x2 / a2 + y2 / b2.

Быстрая навигация:



Лабораторные работы по Mathematica
Построение графиков ф-й ч. I
Построение графиков ф-й ч.II
Решение уравнений
Суммы и произведения
Пределы
Производные
Определенные интегралы
Трехмерные поверхности
Кратные интегралы
Разложение функции в ряд
Матрицы и операции с ними
Дифференциальные уравнения
Правильные многогранники
Полуправильные многогранники
Звездчатые многогранники

Функции и Графики — сайт по математике и не только!!! ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Всё о Математических функциях и их графиках…



ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ


y = kx + b, где k,b — действительные числа

График линейной функции — прямая. k — угловой коэффициент k = tg a, b — ордината точки пересечения с осью y



Частные случаи линейной функции:

Прямая пропорциональность: Постоянная функция:


Взаимное расположение графиков линейных функций:

Если k1k2, графики функций

y = k1 + b1 и y = k2x + b2
пересекаються в одной точке:
Если k1 = k2,b1b2 графики

функций y = k1 + b1 и
y = k2x + b2
являются параллельными прямыми:


СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ y = kx + b

  • ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ: R
  • ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ:

    при k 0 R

    при k = 0 {b}
  • ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ:

    если k 0, b 0, то функция ни четная и ни нечетная

    если k 0, b = 0, то функция нечетная

    если k = 0, b = 0, то функция четная

    если k = 0, b = 0, то функция равна нулю

  • НУЛИ:

    если k 0, то y = 0 при x = -b/k

    если k = 0, b 0, то нулей нет

    если k = 0, b = 0, то y = 0 при x R

  • ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА:


    если k = 0, b > 0, то y > 0 при x R


    если k = 0, b y x R


    если k = 0, b = 0, то y = 0 при x R

  • ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ:

    если k = 0, b > 0, то функция возрастает при x R

    если k = 0, b x R

    если k = 0, b = 0, то функция постоянна при x R

  • ЭКСТРЕМУМОВ НЕТ



  • СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ:ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ ПО ДВУМ ТОЧКАМ


    Рассмотрим построение графика линейной функции по двум точкам:

    Функция y = 3x + 2 строиться по двум точкам (x1;b) и (x2;b+k), при x1=0, а x2=1.

    Теперь проведем через данные точки прямую:


    Если k 0, b 0, можно выбрать точки (0;b) и (-b/k;0) на осях координат:
    Например: y = 2x + 2
    Если x1 = 0, то y1 = 2;

    Через точки (0,2) и (-1;0) проведем прямую:


    Если коэффициент перед х дробный, удобно выбирать х1 и х2 так, чтобы у1 и у2 были целыми.

    y = — 1/3x + 2

    Если x1 = 3, то y1 = 1;

    Если x1 = -3, то y2 = 3;

    Через точки (3;1) и (-3;3) провести прямую.



    ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ y = kx + b
    С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГРАФИКА ФУНКЦИИ y = x


    График функции y = kx + b можно получить из графика y = x в три этапа:

    1. Построить график функции y = x 2.Произвести растяжение (при |k| > 1) или сжатие (при |k| у (если k 3.Произвести параллельный перенос графика вдоль оси у на |b| (вверх при b>0, вниз при b


    Примеры:
    1: y = 2x — 1

    2: y = —x/3 + 2


    Documentation Home

    О проекте

    Здесь представлена документация MATLAB на русском языке. Это обширный ресурс, который служит ускорению инновационного развития технологий в русскоговорящих странах и освоению новых знаний русскоязычными студентами, преподавателями и инженерами.

    Перевод осуществляется автоматически с использованием системы ПРОМТ. Инженеры ЦИТМ Экспонента провели первоначальную работу по настройке тысяч тонких параметров алгоритма перевода, словарей, препроцессора и памяти перевода, чтобы системно разрешить огромный объем трудностей машинного перевода.

    Этот проект развивается и улучшается с Вашей помощью. Вы можете предлагать лучший вариант перевода, и Ваши исправления станут видны другим пользователям после одобрения модератором. В системе учитывается мнение большого и разнопрофильного профессионального сообщества инженеров и ученых.

    Качественные и принятые модератором исправления будут реализованы в словаре и памяти машинного перевода так, чтобы каждый раз в других местах или в следующем релизе документации системно учитывалось Ваше предложение.

    ∑ Ваш рейтинг в сообществе Экспонента растет с количеством внесенных в память перевода исправлений.

    «Документация» это проект сообщества Экспонента. Каждый релиз содержит:

    • Более 150 000 страниц локализованной технической документации
    • 1.8 Гб текста и 3.5 Гб графических пояснений
    • Более 10 000 примеров кода

    По вопросам поддержки и коммерческого использования обращайтесь в ЦИТМ Экспонента.

    Предыдущие релизы

    Вы можете просмотреть документацию предыдущих (архивных) релизов MATLAB. Обратите внимание, что внесение правок в перевод архивных релизов невозможно.

    MATLAB R2020b

    MATLAB R2020a

    MATLAB R2019b

    MATLAB R2019a

    MATLAB R2018b

    УРАВНЕНИЕ ОКРУГА

    УРАВНЕНИЕ ОКРУГА

    УРАВНЕНИЕ КРУГА.

    Уравнение круга бывает двух видов:

    1) Стандартная форма: (x — h) 2 + (y-k) 2
    = Г 2
    2) Общий вид: x 2 + y 2 +
    Dx + Ey + F = 0,
    где D, E, F — постоянные.
    Если уравнение круга имеет стандартную форму, мы можем легко идентифицировать
    центр круга (h, k) и радиус r. Примечание: радиус,
    r, всегда положительный.
    Пример 1: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 4.
    (а) Найдите центр и радиус
    круг.(б) Изобразите круг.
    Примечание. Распространенной ошибкой является принятие h = -2 и K = -3. В уравнении
    если
    знаки перед h и k, (h, k) отрицательны, тогда h и k положительны. То есть h = 2
    и k = 3. 900 · 10
    (a) Центр: (h = 2, k = 3) = (2, 3) и радиус
    r = 2, поскольку r 2 = 4 =>
    г = 4 = 2 900 10

    (b) График

    Пример 2: (x + 1) 2 + (y-2) 2 = 9.
    (а) Найдите центр и радиус
    круг. (б) Изобразите круг.
    Примечание: чтобы правильно определить центр круга, мы должны разместить
    уравнение в стандартной форме:
    Стандартная форма:
    — h) 2 + (y-k) 2 = r 2

    — (-1)) 2 + (y-2) 2 = (3) 2 .Теперь вы можете определить
    правильно центрировать.
    (a) Центр: (h = -1, k = 2) = (-1, 2) и радиус r = 3, поскольку r 2 = 9> r = 9 = 3

    (б) График

    Пример 3: 2x 2 +
    2 года 2 = 8. (а) Найдите центр и радиус
    круга. (б) Изобразите круг.

    Примечание: чтобы правильно определить центр круга, мы должны разместить
    уравнение в стандартной форме.
    Сначала разделите уравнение на 2. Новое
    уравнение:
    х 2
    + y 2
    = 4.
    Стандартная форма:

    (х — в) 2 + (у — к) 2
    = Г 2

    (х — 0) 2 + (у — 0) 2
    = (2) 2 .Теперь вы можете определить
    правильно центрировать.

    (a) Центр: (h = 0, k = 0) = (0, 0) и радиус
    r = 2, поскольку r 2 = 4 => r
    = 4 = 2

    (б) График

    Если уравнение в общем виде, мы должны заполнить квадрат и
    привести уравнение к стандартному виду. Тогда мы можем идентифицировать центр
    и радиус правильно. Узнали, как завершить квадрат при работе
    с квадратными уравнениями (E III). Мы рассмотрим это на примере.
    Пример 4: x 2 + y 2 — 6x
    + 4y + 9 = 0. (a) Найдите центр и радиус
    круг. (б) Изобразите круг.

    Завершение квадрата:

    • Запишите уравнение в такой форме: (x 2
      — 6x +? 1 ) + (y 2 +
      4 года +? 2 ) = -9 +? 1 +? 2
      в первой скобке мы группируем x-члены, а во второй — y-члены. В
      константа перемещается в правую часть. Знак вопроса?
      число, необходимое в каждой скобке для завершения квадрата. Обратите внимание, что
      мы должны добавить это число к обеим сторонам уравнения. Вот почему ты
      видеть ? 1 и? 2 , добавлено с обеих сторон.

    • Как найти номер для замены вопросительного знака,? 1 .Брать
      коэффициент при x и разделите его на 2, (-6/2), а затем возведите его в квадрат, (-3) 2 = 9.? 1
      будет заменен цифрой 9.

    • Как найти номер для замены вопросительного знака,? 2 . Брать
      коэффициент при y и разделите его на 2, (4/2), а затем возведите его в квадрат, (2) 2 = 4.? 2
      будет заменен на цифру 4.

    Собирая шаги 1-3 вместе, получаем следующее:

    (x 2 — 6x +? 1 )
    + (Y 2 + 4y +? 2 )
    = -9 +? 1 +? 2

    (x 2 — 6x + 9)
    + (Y 2 + 4y + 4)
    = -9 + 9
    + 4

    (х — 3) 2 + (y +
    2) 2 = 4

    (х — 3) 2 + (у — (-2)) 2
    = 4 Это уравнение имеет стандартную форму.

    (a) Центр: (h = 3, k = -2) = (3, -2)
    и радиус r = 2
    поскольку r 2 = 4 => r
    = 4 = 2

    (б) График

    Пример 5: x 2 + y 2
    6х + 2у + 4 = 0.
    (а) Найдите центр и радиус
    круг. (б) Изобразите круг.
    Завершение квадрата:

    • Запишите уравнение в такой форме: (x 2
      — 6x +? 1 ) + (y 2 +
      2лет +? 2 ) = -4 +? 1 +? 2 . в
      в первой скобке мы группируем x-члены, а во второй — y-члены. В
      константа перемещается в правую часть. Знак вопроса?
      число, необходимое в каждой скобке для завершения квадрата. Обратите внимание, что
      мы должны добавить это число к обеим сторонам уравнения. Вот почему ты
      видеть ? 1 и? 2 , добавлено с обеих сторон.

    • Как найти номер для замены вопросительного знака,? 1 . Брать
      коэффициент при x и разделите его на 2, (-6/2), а затем возведите его в квадрат, (-3) 2 =
      9.? 1 будет заменен на номер
      9.

    • Как найти номер для замены вопросительного знака,? 2 . Брать
      коэффициент при y и разделите его на 2, (2/2), а затем возведите его в квадрат, (1) 2 =
      1.? 2 будет заменен номером
      1.

    Собирая шаги 1-3 вместе, получаем следующее:

    (x 2 — 6x +? 1 )
    + (Y 2 + 2y +? 2 ) =
    -4 +? 1 +? 2

    (x 2 — 6x + 9)
    + (Y 2 + 2y + 1) =
    -4 + 9 + 1
    (х — 3) 2 + (y +
    1) 2 = 6
    (х — 3 ) 2 + (у —
    (-1)) 2 = 6 Это уравнение имеет стандартную форму.

    (a) Центр: (h = 3, k = -1) = (3, -1)
    и радиус r
    = 6, поскольку r 2 = 6 => r
    = 6

    (б) График

    ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ — Для каждой задачи (а) найдите центр и радиус
    круга и (b) Постройте график круга.
    1. (x-2) 2 +
    (y + 1) 2 = 4.
    2. (х-3) 2 +
    (г-2) 2 = 9
    3. x 2 + y 2
    — 6x — 10y + 30 = 0.
    4. x 2 + y 2
    — 6x + 4y + 9 = 0.
    5.2 = 25 для разных значений k

    Донна,
    ученица 4-го класса изменила свое первоначальное уравнение и получила удивительные графики!

    Дон
    спросила Донна
    к
    график x 2 + y 2 = 25; она нашла (0,5) и (5,0), что
    работала, потом обнаружила, что может использовать и негативы.
    Она
    быстро понял, что график представляет собой круг с радиусом 5.

    Дон спросил
    Донна
    до
    измените уравнение как-нибудь, а затем изобразите
    новое уравнение.Она выбрала

    х 2 + у 3
    = 25, что действительно не удивило Дона, и было отличным выбором. Почему? Потому что Дон
    не был уверен, как будет выглядеть график! Для этого потребовалось найти кубический корень из
    номер на калькуляторе, который
    Донна
    смог сделать .
    Она поняла, что график симметричен относительно оси y.

    Они построили график D onna уравнение
    х 2 + у 3
    = 25
    дюймов
    Вывести, ниже:

    Дон спросил
    Донна
    до
    снова измените уравнение, затем
    изобразите это новое уравнение. Она выбрала

    х 3
    + у 2 = 25. Стало интереснее!

    Модель
    интересная штука
    донна
    , сам того не зная, должен был создать математическую
    инверсия графика

    х 2 + у 3
    = 25,
    дюймов
    х 3
    + y 2 = 25. Другими словами, она поменяла местами x и y, и эти
    графики являются зеркальным отображением друг друга в строке y = x! Рэйчел и Дон нарисовали график
    3 графика Донны и y = x в Derive все на том же графике ниже:

    Отличная работа D onna
    !!!


    На том же графике
    бумага, график 7 графиков x 2 + k * y 2 = 25 для значений k = 4,
    1, 1/4, 0, 1/4, 1, 4 / глава 6

    Например, если k = 4 ,
    уравнение для графика: x 2
    + 4 * y 2
    = 25. 2 — 4x + 6y — 3 = 0.?

    Определить коническое сечение:

    Если данное уравнение имеет вид Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, где B = 0, представленное как A и C.

    Коническое сечение Взаимосвязь А и С
    Парабола A = 0 или C = 0, но не оба
    Круг А = С
    Эллипс Знаки A и C одинаковые, A ≠ C
    Гипербола

    Знаки A и C противоположны.

    Стандартная форма уравнения

    (x — h) 2 / a 2 — (y — k) 2 / b 2 = 1

    (y — k) 2 / a 2 — (x — h) 2 / b 2 = 1

    Направление поперечной оси горизонтальный вертикальный
    Уравнения асимптот y = k ± [(b / a) (x — h)] y = k ± [(a / b) (x — h)]

    Если гипербола горизонтальная:.

    • Где « a » — число в знаменателе положительного члена. Если член x положительный, тогда гипербола горизонтальна
    • a = полупоперечная ось, b = полусопряженная ось
    • Центр: ( h , k )
    • Вершины: ( h + a , k ), ( h a , k )
    • Фокусы: ( h + c , k ), ( h c , k )

    Если гипербола вертикальная: (y — k) 2 / a 2 — (x — h) 2 / b 2 = 1.

    • Где « b » — это число в знаменателе положительного члена. Если член x отрицательный, тогда гипербола вертикальная.
    • a = полупоперечная ось, b = полусопряженная ось.
    • Центр: ( h , k )
    • Вершины: ( h , k + a ) и ( h , k — a).
    • Фокусы: ( h , k + c) и ( h , k — c).

    Уравнение: x 2 — y 2 — 4x + 6y — 3 = 0.

    Сравните приведенное выше уравнение с Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0.

    A = 1 и C = — 1.

    Поскольку, A и C имеют противоположные знаки. Данное уравнение представляет собой кривую гиперболу.

    Напишите уравнение: x 2 — y 2 — 4x + 6y — 3 = 0 в стандартной форме гиперболы:.

    x 2 — y 2 — 4x + 6y — 3 = 0

    x 2 — 4x — 3 = y 2 — 6y.

    Чтобы преобразовать выражение в полный квадрат , добавьте (половина коэффициента x ) ² и (половина y — коэффициент) ² к каждой стороне выражения.

    Здесь коэффициент x = — 4, поэтому (половина коэффициента x ) ² = (- 4/2) 2 = 4.

    Здесь y коэффициент = — 6, поэтому (половина коэффициента x ) ² = (- 6/2) 2 = 9.

    Добавьте 4 и 9 к каждой стороне уравнения.

    x 2 — 4x + 4 + 9 — 3 = y 2 — 6y + 9 + 4

    (x — 2) 2 + 6 = (y — 3) 2 + 4

    (x — 2) 2 — (y — 3) 2 = 4-6 = — 2

    — (x — 2) 2 /2 + (y — 3) 2 / 2 = 1

    (y — 3) 2 / 2 — (x — 2) 2 /2 = 1

    (y — 3) 2 / (√2) 2 — (x — 2) 2 / (√2) 2 = 1.

    Графики и кривые уровня

    Графики и кривые уровня

    Среда, 25 февраля

    Графики и кривые уровня

    График функции f (x, y) — это набор всех точек
    (x, y, z) в пространстве такое, что (x, y) находится в области определения f и z = f (x, y).
    Вот несколько примеров.

    Пример 1. f (x, y) = x 2 + y 2 .

    Пример 2. f (x, y) = x 2 -y 2 .

    Пример 2. f (x, y) = e -x 2 -y 2 .

    Пример 3. В примере в понедельник мы рассмотрели функцию стоимости
    С (х, у) = 1200 / х + 1200 / у + 3xy.

    Его график показан ниже.

    При виде сбоку кажется, что минимальное значение этой функции составляет около 500.

    Пример 4. f (x, y) = 2e — (x + 1) 2 -y 2
    + 3e — (x-2) 2 — (y-1) 2 -2e — (x-1) 2 — (y + 2) 2

    A уровень кривая функции f (x, y) — это набор точек (x, y)
    в плоскости такая, что f (x, y) = c для фиксированного значения c.

    Пример 5. Кривые уровня f (x, y) = x 2 + y 2 являются кривыми
    form x 2 + y 2 = c для различных вариантов c.
    Это круги радиуса квадратного корня из c. Некоторые из них показаны ниже.

    Можно представить кривую уровня f (x, y) = c как
    горизонтальное сечение графика на высоте z = c. Когда каждая кривая уровня f (x, y) = c является
    построенный на высоте c единиц над плоскостью xy, мы получаем рисунок ниже.

    Пример 6. Кривые уровня f (x, y) = x 2 -y 2
    являются гиперболами.

    Здесь они показаны на соответствующей высоте.

    Пример 7.
    Кривые уровня f (x, y) = 2e — (x + 1) 2 -y 2
    + 3e — (x-2) 2 — (y-1) 2 -2e — (x-1) 2 — (y + 2) 2
    показаны ниже. Сравнивая с графиком в примере 4, мы видим, что точки (x, y), в которых f
    имеет максимумы и минимумы в центрах круговых кривых уровня.2 = 1 ближайший к (0,2)

    Если вы рассмотрите график x 2 — y 2 = 1, это гипербола, и если вы наложите точку (0, 2), вы получите что-то вроде этого:

    Очевидно, единственная часть графика нам нужно беспокоиться о верхней части (над осью x). Эту часть графика можно записать, решив график для y и взяв только положительную часть.

    x 2 — y 2 = 1

    x 2 — 1 = y 2

    y = ± √ (x 2 — 1), но, взяв только положительную часть, мы получаем y = √ (x 2 — 1)

    Формула расстояния d = √ [(x 2 — x 1 ) 2 + (y 2 — y 1 ) 2 ] и пусть (x 2 , y 2 ) будет точкой (0, 2), поэтому формула расстояния станет d = √ [(0 — x 1 ) 2 + (2 — y 1 ) 2 ]

    Теперь давайте просто отбросим суффикс «1» от x и y, чтобы упростить и упростить получение: d = √ [x 2 + 4 — 4y + y 2 ] где (x, y) находится на графике x 2 — y 2 = 1

    Теперь мы знаем, что y = √ (x 2 — 1), поэтому мы можем подставить «√ (x 2 — 1) «в уравнение везде, где мы видим» y «, составляющую уравнение расстояния: d = √ [x 2 + 4 — 4√ (x 9001 5 2 — 1) + (√ (x 2 — 1)) 2 ]

    Если мы упростим, а затем запишем как функцию от x, мы получим:

    d (x) = √ (2x 2 — 4√ (x 2 — 1) + 3) или d (x) = [2x 2 — 4 (x 2 — 1) 1/2 + 3] 1/2

    Для минимизации возьмите производную и установите ее равной нулю

    d ‘(x) = 1/2 (2x 2 — 4√ (x 2 -1) + 3) -1/2 • (4x — 2 (x 2 — 1) -1/2 • 2x)

    Единственный способ, которым это может быть равно нулю, — это если числитель равен нулю, поэтому:

    4x — 4x / (x 2 -1) 1/2 = 0

    4x (1 — 1 / (x 2 -1) 1/2 ) = 0, поэтому x = 0 или 1 — 1 / (x 2 -1) 1/2 ) = 0

    1 = 1 / (x 2 -1) 1/2

    (x 2 -1) 1/2 = 1

    x 2 — 1 = 1

    x 2 = 2

    x = ± √ 2

    Если x = √2, тогда y = √ ((√2) 2 -1) = √ (2-1) = √1 = 1, поэтому точка равна (√2, 1). Соответствующая точка на другой стороне (-√2, 1)

    колледж-алгебра — ближайшая точка

    Общественный колледж Меса


    Концепции алгебры колледжа — MAT 150 онлайн

    Задача: Найдите точку на графике кривой y = x 2 + 1, ближайшую к фиксированной точке (4,1).

    Предпосылки: Эта проблема относится к классу задач, обычно называемых проблемами минимизации, минимальными / максимальными проблемами или проблемами экстремумов. Курсы математического анализа традиционно решают этот тип проблем, задав любой из следующих вопросов:

    • Каковы размеры правильного круглого цилиндра с объемом 1000 см 3 , который минимизирует площадь поверхности?
    • Водопровод должен быть проложен из точки P в точку S и должен проходить через регионы, где затраты на строительство различаются (представлена ​​диаграмма).Найдите путь, по которому должен пройти инженер, чтобы затраты на прокладку трубы были минимальными.
    • Тренажерный зал состоит из прямоугольной области с полукругом на каждом конце. Если по периметру комнаты должна быть беговая дорожка длиной 200 метров, найдите размеры комнаты, которые сделают площадь прямоугольной области как можно большей.

    В каждой задаче мы пытаемся найти наименьшее или наибольшее значение. Хотя исчисление можно использовать для нахождения точных решений этих проблем, мы будем использовать алгебру и наши графические калькуляторы для аппроксимации решения.Часть нашего решения, относящаяся к алгебре, на самом деле такая же, как если бы мы использовали исчисление.

    Переформулировка задачи: Найдите точку (x, y) на графике кривой y = x 2 + 1, ближайшую к фиксированной точке (4,1).

    Сначала давайте нарисуем график, чтобы получить более четкое представление о том, что происходит.

    Мы пытаемся найти точку A (x, y) на графике параболы y = x 2 + 1, которая является ближайшей к
    точке B (4,1).

    Переформулировка задачи: Найдите точку A (x, y) на графике параболы, y = x 2 + 1, что минимизирует расстояние d между кривой и точка B (4,1).

    Задача разбивается на три части:

    1. Поскольку мы хотим минимизировать d, нам нужна функция, которая описывает расстояние между (x, y) и (4,1)

    2.Найдите значение x, которое минимизирует d.

    3. Найдите точку (x, y) на графике параболы y = x 2 + 1, которая минимизировала d.

    Часть 1:

    Постройте функцию, описывающую расстояние между (x, y) и (4,1).

    По «distance forumla» расстояние d между (x, y) и (4,1) равно

    Для любой точки (x, y) на параболе имеем y = x 2 + 1,

    Подставляя y в формулу для d, получаем

    Упрощение,

    Часть 2:

    Используя графический калькулятор, мы зарисовываем график d и ищем точку, в которой встречается минимальное значение d.

    Используя функцию трассировки, мы можем увидеть, что минимальное значение d происходит (приблизительно) в точке

    (x, d ) = (1,12817, 3,4123 )

    То есть d — это минимум , когда x приблизительно равно 1,12817

    Кратчайшее расстояние между B и параболой составляет приблизительно 3.14123

    Часть 3:

    Помните, что мы предполагаем, что найдет точку (x, y) на графике параболы, y = x 2 + 1, что минимизирует d . Пока мы знаем x и знаем d, но мы еще не нашли y.

    Используя уравнение для параболы, y = x 2 + 1 и значение x, которое минимизировало d, (x = 1,12817), получаем y = 2,27277 (приблизительно).

    Итак, чтобы ответить на исходный вопрос, ближайшая точка параболы y = x 2 + 1 к точке (4,1) приблизительно равна (1. 12817, 2.27277).

    © 1999 Джо Стейг


    Биоматематика: преобразование графиков

    Что такое вертикальное растяжение и усадка?

    При перемещении точек пересечения x и y базового графа, растягивание и сжатие эффективно вытягивают базовый граф наружу или сжимают базовый граф внутрь, изменяя общие размеры базового графа без изменения его формы.Когда график растягивается или сжимается по вертикали, точки пересечения x действуют как якоря и не изменяются при преобразовании.

    Определение

    Для базовой функции f ( x ) и константы k > 0 функция

    г ( x ) = k f ( x ),

    можно нарисовать, растянув по вертикали f ( x ) с коэффициентом k , если k > 1

    или

    путем вертикального сжатия f ( x ) с коэффициентом k
    , если 0 < k <1.

    Помните, что перехватчики x не перемещаются при вертикальном растяжении и сжатии. Другими словами, если f ( x ) = 0 для некоторого значения x , то k f ( x ) = 0 для того же значения x. Кроме того, вертикальное растяжение / сжатие с коэффициентом k означает, что точка ( x, y ) на графике f ( x ) преобразуется в точку ( x , ky ) на графике г ( x ).

    Примеры вертикального растяжения и усадки

    Рассмотрим следующие базовые функции,

    (1) f ( x ) = x 2 — 2,

    (2) г ( x ) = sin ( x ).

    Графическое представление функции (1), f ( x ), представляет собой параболу. Что вы думаете о графике

    y 1 ( x ) = 1/2 f ( x )

    как выглядит? Используя определение f ( x ), мы можем записать y 1 ( x ) как,

    y 1 ( x ) = 1/2 f ( x ) = 1/2 ( x 2 -2) = 1/2 x 2 — 1 .

    Исходя из определения вертикальной усадки, график y 1 ( x ) должен выглядеть как график f ( x ), уменьшенный по вертикали в 1/2 раза. Взгляните на графики f ( x ) и y 1 ( x ).

    Обратите внимание, что точки перехвата x не переместились.

    Функция

    (2), g ( x ), является синусоидальной функцией. Что бы на графике

    y 2 ( x ) = 6 g ( x )

    похож? Используя наши знания о вертикальных растяжках, график y 2 ( x ) должен выглядеть как базовый график g ( x ), растянутый по вертикали в 6 раз. Чтобы проверить это, мы можем написать y 2 ( x ) as,

    y 2 ( x ) = 6 g ( x ) = 6 sin ( x ),

    построить таблицу значений и построить график новой функции.Как видите, график y 2 ( x ) на самом деле является базовым графиком g ( x ), растянутым по вертикали с коэффициентом 6.

    *****

    В следующем разделе мы рассмотрим горизонтальное растяжение и сжатие.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    2021 © Все права защищены.