Х 4 2 уравнение: |х-4|=2 решить уравнение — Школьные Знания.com

2 + t-2 = 0

Теперь нам нужно найти корни, вы можете найти их, просто применяя эти формулы, как в примерах ниже:

корни

t = — 2, 1 t = — 2, 1 t = -2,1

так

(t + 2) (t-1) = 0 (t + 2) (t-1) = 0 (t + 2) (t-1) = 0

когда мы заменяем обратно:

(1 x — 4 + 2) (1 x — 4 — 1) = 0 (1 x — 4 + 2) (1 x — 4 — 1) = 0 \ left (\ dfrac1 {x-4} +2 \ right) ) \ left (\ dfrac1 {x-4} -1 \ right) = 0

(Я)

для 1 x — 4 + 2 = 0 1 x — 4 + 2 = 0 \ dfrac1 {x-4} + 2 = 0

1 x — 4 = — 2 1 x — 4 = — 2 \ dfrac1 {x-4} = — 2

умножить обе стороны на (х — 4) (х — 4) (х-4)

1 = — 2 (x — 4) 1 = — 2 (x — 4) 1 = -2 (x-4)

1 = — 2 x + 8 1 = — 2 x + 8 1 = -2x + 8

1 — 8 = — 2 x 1 — 8 = — 2 x 1–8 = -2x

— 7 = — 2 x — 7 = — 2 x -7 = -2x

x = 7 2 x = 7 2 x = \ dfrac {7} {2}

(II),

для 1 x — 4 — 1 = 0 1 x — 4 — 1 = 0 \ dfrac1 {x-4} -1 = 0

1 x — 4 = 1 1 x — 4 = 1 \ dfrac1 {x-4} = 1

умножьте обе стороны на (x — 4) (x — 4) (x-4), снова:

1 = х — 4 1 = х — 4 1 = х-4

1 + 4 = x 1 + 4 = x 1 + 4 = x

5 = х 5 = х 5 = х

Теперь примените найденные значения x x x:

(А)

для x = 7 2 x = 7 2 x = \ dfrac {7} {2}

1 7 2 — 4 = — 2 1 7 2 — 4 = — 2 \ dfrac1 {\ frac {7} {2} -4} = — 2

так

( − 2 ) 2 + ( − 2 ) − 2 = 0 ( − 2 ) 2 + ( − 2 ) − 2 = 0 (-2)^2+(-2)-2=0

4 − 2 − 2 = 0 4 − 2 − 2 = 0 4-2-2=0

0 = 0 0 = 0 0=0

ПРАВДА

(Б)

для х = 5 х = 5 х = 5

1 5 — 4 = 1 1 5 — 4 = 1 \ dfrac1 {5-4} = 1

1 2 − 1 − 2 = 0 1 2 − 1 − 2 = 0 1^2-1-2=0

1 + 1 − 2 = 0 1 + 1 − 2 = 0 1+1-2=0

2 − 2 = 0 2 − 2 = 0 2-2=0

0 = 0 0 = 0 0=0

ПРАВДА

так и есть

x = 7 2, 5 x = 7 2, 5 \ boxed {x = \ dfrac {7} {2}, 5}

Содержание

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Схема метода Феррари

      Целью данного раздела является изложение метода Феррари, с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени

a0x4 + a1x3 + a2x2 +
+ a3x + a4 = 0,
(1)

где a0, a1, a2, a3, a4 – произвольные вещественные числа, причем

      Метод Феррари состоит из двух этапов.

      На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

      На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4-ой степени

      Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид

x4 + ax3 + bx2 +
+ cx + d = 0,
(2)

где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.

      Сделаем в уравнении (2) замену

(3)

где y – новая переменная.

      Тогда, поскольку

то уравнение (2) принимает вид

В результате уравнение (2) принимает вид

      Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

y4 + py2 + qy + r = 0, (5)

где p, q, r – вещественные числа.

      Первый этап метода Феррари завершён.

Разложение на множители. Кубическая резольвента

      Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение

2sy2 + s2,

где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

      Следовательно, уравнение (5) принимает вид

      Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

(7)

то уравнение (6) примет вид

      Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде

или, раскрыв скобки, — в виде

(9)

      Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

      Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

      Действительно,

      Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

(10)

а также квадратное уравнение

(11)

      Вывод метода Феррари завершен.

Пример решения уравнения 4-ой степени

      Пример. Решить уравнение

x4 + 4x3 – 4x2
– 20x – 5 = 0.
(12)

      Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

      Поскольку

x4 + 4x3 – 4x2 – 20x – 5 =
= (y – 1)4 + 4(y – 1)3
– 4(y – 1)2 – 20(y – 1)– 5 =
= y4 – 4y3 + 6y2 – 4y + 1 +
+ 4y3 – 12y2 + 12y – 4 –
– 4y2 + 8y – 4 –
– 20y + 20 – 5 =
= y4 – 10y2 – 4y + 8,

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

y4 – 10y2 – 4y + 8 = 0. (14)

      В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

p = – 10,      q = – 4,       r = 8. (15)

      В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

2s3 + 10s2 – 16s – 84 = 0,

которое при сокращении на 2 принимает вид:

s3 + 5s2 – 8s – 42 = 0. (16)

      Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

y2 – 2y – 4 = 0,

корни которого имеют вид:

(18)

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

y2 + 2y – 2 = 0,

корни которого имеют вид:

(19)

      В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

Ответ.

      Замечание. При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:

y4 – 10y2 – 4y + 8 =
= (y2 – 2y – 4) (y2 +
+ 2y – 2).
(20)

      Предоставляем посетителю нашего сайта возможность убедиться в справедливости равенства (19) в качестве несложного упражнения.

 

Решение уравнений четвертой степени

Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.

Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.

Решение двучленного уравнения четвертой степени

Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид Ax4+B=0.

Определение 1

Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:

Ax4+B=0x4+BA=0x4+2BAx2+BA-2BAx2=0x2+BA2-2BAx2=0x2-2BA4x+BAx2+2BA4x+BA=0

Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.

Пример 1

Решить уравнение четвертой степени 4×4+1=0.

Решение

Для начала проведем разложение многочлена 4×4+1 на множители:

4×4+1=4×4+4×2+1=(2×2+1)2-4×2=2×2-2x+1(2×2+2x+1)

Теперь найдем корни квадратных трехчленов.

Первого:

2×2-2x+1=0D=(-2)2-4·2·1=-4×1=2+D2·2=12+ix2=2-D2·2=12-i

Второго:

2×2+2x+1=0D=22-4·2·1=-4×3=-2+D2·2=-12+ix4=-2-D2·2=-12-i

Мы получили четыре комплексных корня.

Ответ: x=12±i и x=-12±i.

Решение возвратного уравнения четвертой степени

Определение 2

Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0

х=0 не является корнем этого уравнения: A·04+B·03+C·02+B·0+A=A≠0. Поэтому на x2 можно смело разделить обе части этого уравнения:

Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0Ax2+Bx+C+Bx+Ax2=0Ax2+Ax2+Bx+Bx+C=0Ax2+1×2+Bx+1x+C=0

Проведем замену переменных x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2:

Ax2+1×2+Bx+1x+C=0A(y2-2)+By+C=0Ay2+By+C-2A=0

Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.

Пример 2

Найти все комплексные корни уравнения 2×4+23+2×3+4+6×2+23+2x+2=0.

Решение

Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x2:

2×2+23+2x+4+6+23+2x+2×2=0

Проведем группировку:

2×2+2×2+23+2x+23+2x+4+6+=02×2+1×2+23+2x+1x+4+6=0

Проведем замену переменной x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2

2×2+1×2+23+2x+1x+4+6=02y2-2+23+2y+4+6=02y2+23+2y+6=0

Решим полученное квадратное уравнение:

D=23+22-4·2·6=12+46+2-86==12-46+2=23-22y1=-23-2+D2·2=-23-2+23-24=-22y2=-23-2-D2·2=-23-2-23+24=-3

Вернемся к замене: x+1x=-22, x+1x=-3.

Решим первое уравнение:

x+1x=-22⇒2×2+2x+2=0D=22-4·2·2=-14×1=-2-D2·2=-24+i·144×2=-2-D2·2=-24-i·144

Решим второе уравнение:

x+1x=-3⇒x2+3x+1=0D=32-4·1·1=-1×3=-3+D2=-32+i·12×4=-3-D2=-32-i·12

Ответ: x=-24±i·144 и x=-32±i·12.

Решение биквадратного уравнения

Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид Ax4+Bx2+C=0. Мы можем свести такое уравнение к квадратному Ay2+By+C=0 путем замены y=x2. Это стандартный прием.

Пример 3

Решить биквадратное уравнение 2×4+5×2-3=0.

Решение

Выполним замену переменной y=x2, что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:

2y2+5y-3=0D=52-4·2·(-3)=49y1=-5+D2·2=-5+74=12y2=-5-D2·2=-5-74=-3

Следовательно, x2=12 или x2=-3.

Первое равенство позволяет нам получить корень x=±12. Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x=±i·3.

Ответ: x=±12 и x=±i·3.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 4

Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16×4+145×2+9=0.

Решение

Используем метод замены y=x2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:

16y2+145y+9=0D=1452-4·16·9=20449y1=-145+D2·16=-145+14332=-116y2=-145-D2·16=-145-14332=-9

Поэтому, в силу замены переменной, x2=-116 или x2=-9.

Ответ: x1, 2=±14·i, x3, 4=±3·i.

Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями

Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».

Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари

Уравнения четвертой степени вида x4+Ax3+Bx2+Cx+D=0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y0. Это любой из корней кубического уравнения y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0. После этого необходимо решить два квадратных уравнения x2+A2x+y02+A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0, у которых подкоренное выражение является полным квадратом.

Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.

Пример 5

Найти корни уравнения x4+3×3+3×2-x-6=0.

Решение

Имеем А=3, В=3, С=-1, D=-6. Применим метод Феррари для решения данного уравнения.

Составим и решим кубическое уравнение:
y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0y3-3y2+21y-19=0

Одним из корней кубического уравнения будет y0=1, так как 13-3·12+21·1-19=0.

Запишем два квадратных уравнения:
x2+A2x+y02±A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0x2+32x+12±14×2+52x+254=0x2+32x+12±12x+522=0

x2+32x+12+12x+52=0 или x2+32x+12-12x-52=0

x2+2x+3=0 или x2+x-2=0

Корнями первого уравнения будут x=-1±i·2, корнями второго х=1 и х=-2.

Ответ: x1,2=-1±i2, x3=1, x4=-2.

Автор:
Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Решите уравнение:а) (х + 4)2 = 3х + 40;     б) (2х

Решите уравнение:

а) (х + 4)2 = 3х + 40;     б) (2х — 3)2 = 11х — 19;
в) 3(х + 4)2 = 10x + 82; г) 15х2 + 17 = 15(х + 1)2;
д) (х + 1)2 = 7918 — 2х;  е) (х + 2)2 = 3131 — 2х;
ж) (x + 1)2 = (2х — 1)2;  з) (х — 2)2 + 48 = (2 — 3х)2.

Решение:

а) (х + 4)2 = 3х + 40; х2 + 8х + 16 — 3х-40 = 0; х2 + 5х — 24 = 0;
D = 25 + 4 • 24 = 25 + 96 = 121; х = (-5±11)/2; x1 = -8; х2 = 3;
б) (2х — 3)2 = 11х — 19; 4х2 — 12х + 9 — 11х + 19 = 0; 4х2 — 23х + 28 = 0;
D = 232 — 4 • 4 • 28 = 529 — 448 = 81; х = (23±9)/8; x1 = 1,75; х2 = 4;
в) 3(х + 4)2 = 10x + 82; 3х2 + 24х + 48 = 10х + 32; 3х2 + 14х + 16 = 0;
D = 72 — 3 • 16 = 49 — 48 = 1; х = (-7±1)/3; x1 = — 2 2/3; х2 = — 2;
г) 15х2 + 17 = 15(х + 1)2; 15х2+ 17 = 15х2 + 30х + 15; 30x = 2; x = 1/15;
д) (х + 1)2 = 7918 — 2х; х2 + 2х + 1 — 7918 + 2х = 0; х2 + 4х — 7917 = 0;
D1 = 22 + 7917 = 7921; х = -2 ± 89; x1 = -91; х2 = 87;
е) (х + 2)2 = 3131 — 2х; х2 + 4х + 4 — 3131 + 2х = 0; х2 + 6х — 3127 = 0;
D1 = 32 + 3127 = 3136; х = -3 ± 56; x1 = -59; х2 = 53;
ж) (x + 1)2 = (2х — 1)2; (2х — 1)2 — (х + 1)2 = 0; (2х — 1 — х — 1) (2х — 1 + x + 1) = 0; (х — 2) • х = 0; х2 — 2х = 0; х(х — 2) = 0; x1 = 0; х2 = 2;
з) (х — 2)2 + 48 = (2 — 3х)2; х2 — 4х + 4 + 48 = 4 — 12х + 9х2; 8х2 — 8х — 48 = 0; х2 — х — б = 0;
D = 1 + 24 = 25; х = (1±5)/2; x1 = -2; х2 = 3.

Похожие задачи:

Метод Крамера решения систем линейных уравнений

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений,
сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю,
то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может.
Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений,
имеющих единственное решение.

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Формулы Крамера для нахождения неизвестных:

.

Найти значения  и возможно только при условии, если

.

Этот вывод следует из следующей теоремы.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.


Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

.                         (2)

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.


Как явствует из теоремы Крамера, при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Условия:

*

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

Условия:

* ,

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Условия:

*

** .

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера


………….
,

где

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:


Пример 2.  Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют
какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3.  Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите
ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак,
определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных
не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна
и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть
не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих
переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное.
На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов.
То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества
экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко
ходить не надо.

Пример 7. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Здесь a — некоторое вещественное число. Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

,

.

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений,
переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8.  Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

,

,

.

И, наконец, система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными.

Пример 9. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Внимание! Методы вычисления определителей четвёртого порядка здесь объясняться не будут.
За этим — на соответствующий раздел сайта. Но небольшие комментарии будут. Решение. Находим определитель системы:

Небольшой комментарий. В первоначальном определителе из элементов второй строки были вычтены
элементы четвёртой строки, из элементов третьей строки — элементы четвёртой строки, умноженной на 2,
из элементов четвёртой строки — элементы первой строки, умноженной на 2. Преобразования первоначальных
определителей при трёх первых неизвестных произведены по такой же схеме. Находим определители
при неизвестных

Для преобразований определителя при четвёртом неизвестном из элементов первой строки
были вычтены элементы четвёртой строки.

По формулам Крамера находим:

,

,

,

.

Итак, решение системы — (1; 1; -1; -1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Самые внимательные, наверное, заметили, что в статье не было примеров решения неопределённых
систем линейных уравнений. А всё потому, что методом Крамера решить такие системы невозможно, можно лишь констатировать, что
система неопределённа. Решения таких систем даёт метод Гаусса.

Другое по теме «Системы уравнений и неравенств»

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

Логарифмические уравнения

   Логарифмические уравнения. Продолжаем рассматривать задачи из части В ЕГЭ по математике. Мы с вами уже рассмотрели решения некоторых уравнений в статьях «Тригонометрические уравнения», «Решение рациональных уравнений». В этой статье рассмотрим логарифмические уравнения. Сразу скажу, что никаких сложных преобразований при решении таких уравнений на ЕГЭ не будет. Они просты.

Достаточно знать и понимать основное логарифмическое тождество, знать свойства логарифма. Обратите внимание на то, то после решения ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно сделать проверку — подставить полученное значение  в исходное уравнение и вычислить, в итоге должно получиться верное равенство.

Определение

Логарифмом числа a  по основанию b называется показатель степени, в который нужно возвести b, чтобы получить a.

Основное логарифмическое тождество:

Например:

 log39 = 2, так как  32 = 9

Свойства логарифмов:

Частные случаи логарифмов:

Решим задачи. В первом примере мы сделаем проверку. В последующих проверку сделайте самостоятельно.

Найдите корень уравнения:  log3(4–x) = 4

Используем основное логарифмическое тождество.

Так как  logba = x   bx = a,  то

34 = 4 – x

x = 4 – 81

x =  – 77

Проверка:

log3(4–(–77)) = 4

log381 = 4

34 = 81  Верно.

Ответ: – 77

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения:  log(4 – x) = 7

Посмотреть решение 

Найдите корень уравнения log5 (4 + x) = 2

Используем основное логарифмическое тождество.

Так как   logab = x       bx = a,   то

52 = 4 + x

x =52 – 4

x = 21

Проверка:

log5(4 + 21) = 2

log525 = 2

52 = 25 Верно.

Ответ: 21

Найдите корень уравнения  log3(14 – x) = log35.

Имеет место следующее свойство, смысл его таков: если в левой и правой частях уравнения имеем логарифмы с одинаковым основанием, то можем приравнять выражения, стоящие под знаками логарифмов.

 Если    logca = logcb,   то  a = b

14 – x = 5

x = 9

Сделайте проверку.

Ответ: 9

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения  log5(5 – x) = log53.

Посмотреть решение 

Найдите корень уравнения: log4(x + 3) = log4(4x – 15).

Если   logca = logcb,   то  a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x = 6

Сделайте проверку.

Ответ: 6

Найдите корень уравнения   log1/8(13 – x) = – 2.

(1/8)–2 = 13 – x

82 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Сделайте проверку.

Небольшое дополнение – здесь используется свойство

степени (отрицательная степень дроби).

Ответ: – 51

Решите самостоятельно: 

Найдите корень уравнения:  log1/7(7 – x) = – 2

Посмотреть решение 

Найдите корень уравнения  log(4 – x) = 2 log5.

Преобразуем правую часть. воспользуемся свойством:

logabm = m∙logab

log2(4 – x) = log252

Если    logca = logcb,   то  a = b

4 – x = 52

4 – x = 25

x = – 21

Сделайте проверку.

Ответ: – 21

Решите самостоятельно: 

Найдите корень уравнения:  log5(5 – x) = 2 log3

Посмотреть решение 

Решите уравнение   log5(x2 + 4x) = log5(x2 + 11)

Если    logca = logcb,   то  a = b

x2 + 4x = x2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Сделайте проверку.

Ответ: 2,75

Решите самостоятельно: 

Найдите корень уравнения  log5(x2 + x) = log5(x2 + 10).

Посмотреть решение 

Решите уравнение   log2(2 – x) = log2(2 – 3x) +1.

Необходимо с правой стороны уравнения получить выражение вида:

log2 (……)

Представляем 1 как логарифм с основанием 2:

1 = log2

Далее применяем свойство:

logс(ab) = logсa + logсb

log2(2 – x) = log2(2 – 3x) + log22

Получаем:

log2(2 – x) = log2 2 (2 – 3x)

Если    logca = logcb,   то  a = b, значит

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Сделайте проверку.

Ответ: 0,4

Решите самостоятельно: 

Найдите корень уравнения  log5(7 – x) = log5(3 – x) +1

Посмотреть решение 

Решите уравнение logх–125 = 2.  Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

(x – 1)2= 25

Далее необходимо решить квадратное уравнение. Кстати, квадратное уравнение, как вы поняли, это очень важная «буковка» в математической азбуке. К нему сводятся очень многие решения совершенно различных задач. Помнить формулы дискриминанта и корней нужно обязательно, и уметь решать такое уравнение вы должны очень быстро, периодически практикуйтесь.

Конечно же, опытный глаз сразу увидит, что в нашем примере выражение, стоящее под знаком квадрата равно 5 или – 5, так как только эти два числа  при возведении в квадрат дают 25, устно можно посчитать:

корни равны 6  и  – 4.

Корень  «–4» не является решением, так как основание логарифма должно быть больше нуля, а при  «– 4» оно равно «–5». Решением является корень 6. Сделайте проверку.

Ответ: 6.

Решите самостоятельно: 

Решите уравнение logx–5 49 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Посмотреть решение

 

Как вы убедились, никаких сложных преобразований с логарифмическими уравнениями нет. Достаточно знать  свойства логарифма и уметь применять их. В задачах ЕГЭ, связанных с преобразованием логарифмических выражений, выполняются более серьёзные преобразования и требуются более глубокие навыки в решении. Такие примеры мы рассмотрим, не пропустите! Успехов вам!!!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

8 класс. Алгебра. Квадратные уравнения. — Теорема Виета.

Комментарии преподавателя

Познакомимся с теоремой Виета, с соотношениями между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами, научимся раскладывать квадратный трёхчлен на множители.

Квадратным уравнением называют уравнение вида ax2 +bx + c = 0, где a, b, c-коэффициенты, х – переменная, причём a ≠ 0. Левая часть квадратного уравнения

ax2 + bx +c – это многочлен второй степени, его называютквадратным трехчленом. Если в квадратном уравнении коэффициент при х2 или, можно сказать, старший коэффициент a равен 1, то такое квадратное уравнение называют приведенным.

Впервые зависимость в виде соотношений между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами обнаружил французский математик Франсуа Виет.

Теорема Виета справедлива и для квадратных уравнений, имеющих один корень. В этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня.

Теорему Виета удобно применять для приведенного квадратного уравнения:

Приведенное квадратное уравнение можно записать в виде:

Тогда сумма корней х1 +х2 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, то есть – р, а произведение корней х1∙ х2 равно свободному члену q.

х1 +х2 = – р

х1∙ х2 = q

По теореме Виета можно подбором найти корни уравнения. 

Например, решим квадратное уравнение х2 – х – 12 = 0. 

Уравнение является приведенным, так как коэффициент a равен 1. Тогда сумма корней х1 + х2 = 1, а произведение х1 ∙ х2= –12. Если х1 и х2 целые числа, то они являются делителями числа –12. Нетрудно догадаться, что х1 = –3; х2 = 4.

По теореме обратной теореме Виета можно выполнить проверку правильности нахождения корней квадратного уравнения. 

Обратное утверждение теоремы Виета:

Если х1 и х2 – корни квадратного уравнениятакие, чтох1 + х2 = –р, х1 ∙ х2 = q, то эти числа0 – корни уравнения х2 + рх + q = 0.

Решим уравнение 3х2 – 4х – 4 = 0.

Дискриминант D = (-4)2 -4 ∙ 3 ∙ (-4) = 64, D > 0.

Найдем корни:

Значит, квадратный трехчленможно разложить на множители ax2 + bx + c = a(х– х1) (х –х2),где х1и х2 – корни квадратного трехчлена, которые можно найти, решая квадратное уравнение ax2 + bx +c = 0.

Если х1 = х2 , т.е. дискриминант квадратного трехчлена равен нулю (D = 0), то доказанная формула будет иметь вид ax2 + bx + c = a(х– х1)2.

Разложим на множители квадратный трехчлен 3х2 – 10х + 3. 

Для этого решим квадратное уравнение 3х2 – 10х + 3 = 0.

Дискриминант D =  = (-10)2 – 4 ∙ 3 ∙ 3 = 64, D > 0.

 

Тогда сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком х1 +х2 = –р, а произведение корней равно свободному члену х1∙ х2 = q. Эти соотношения впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет.

По теореме Виета можно подбором найти корни уравнения.

Если свободный член q – отрицательное число, то корни имеют разные знаки. По теореме, обратной теореме Виета, можно проверить правильность нахождения корней.

С помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трёхчлена на множители a x2 + bx +c= a(х — х1) (х -х2), где х1; х2 – корни квадратного трехчлена.

 

Источник конспекта: http://znaika.ru/catalog/8-klass/algebra/Teorema-Vieta.-Razlozhenie-kvadratnogo-tryokhchlena-na-mnozhiteli

 

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=bO7s5qOo7zk

Файлы

Нет дополнительных материалов для этого занятия.

2- (36) = 0

Пошаговое решение:

Шаг 1:

 1.1 Вычислить: (x-4)  2  = x  2  -8x + 16 
Попытка разложить на множители, разделив середину член

1.2 Факторинг x 2 -8x-20

Первый член, x 2 , его коэффициент равен 1.
Средний член равен -8x, его коэффициент равен -8.
Последний член, «константа», равен -20

Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1. • -20 = -20

Шаг-2: Найдите два множителя -20, сумма которых равен коэффициенту среднего члена, который равен -8.

-20 + 1 = -19
-10 + 2 = -8 Вот и все

Шаг 3: Перепишите полином, разделяющий средний член, используя два множителя, найденных на шаге 2 выше, -10 и 2
x 2 — 10x + 2x — 20

Шаг 4: сложите первые 2 члена, извлекая одинаковые множители:
x • (x-10)
Сложите последние 2 члена, вытащив общие множители:
2 • (x-10)
Шаг 5: сложите четыре члена шага 4:
(x + 2) • (x-10)
Требуемая факторизация

Уравнение в конце шага 1:
 (x + 2) • (x - 10) = 0
 

Шаг 2:

Теория — Корни продукта:

2.1 Произведение нескольких членов равно нулю.

Если произведение двух или более членов равно нулю, то хотя бы одно из членов должно быть равно нулю.

Теперь мы решим каждый член = 0 отдельно

Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов есть в продукте

Любое решение для члена = 0 также решает продукт = 0.

 
Решение уравнения с одной переменной:

2.2 Решите: x + 2 = 0

Вычтем 2 из обеих частей уравнения:
x = -2

 
Решение уравнения с одной переменной:

2.3 Решите: x-10 = 0

Добавьте 10 к обеим сторонам уравнения:
x = 10

 

Дополнение: Решение квадратного уравнения напрямую

 Решение x  2  -8x-20 = 0 напрямую 

Ранее мы разложили этот многочлен на множители, разделив средний член. давайте теперь решим уравнение, заполнив квадрат и используя квадратичную формулу

Парабола, найдя вершину:

3.1 Найдите вершину y = x 2 -8x-20

Параболы имеют наибольшее значение или самая низкая точка называется Вершиной.Наша парабола открывается и, соответственно, имеет самую низкую точку (также известную как абсолютный минимум). Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент первого члена, 1, положительный (больше нуля).

Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения.

Параболы могут моделировать множество реальных жизненных ситуаций, например высоту над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.

Для любой параболы Ax 2 + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A). В нашем случае координата x равна 4.0000

Подставляя в формулу параболы 4,0000 для x, мы можем вычислить координату y:
y = 1,0 * 4,00 * 4,00 — 8,0 * 4,00 — 20,0
или y = -36,000

Парабола, графическая вершина и пересечения по оси X:

Корневой график для: y = x 2 -8x-20
Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {4.00}
Вершина в точке {x, y} = {4.00, -36.00}
x -Переходы ( Корни):
Корень 1 при {x, y} = {-2.00, 0.00}
Корень 2 при {x, y} = {10.00, 0.00}

Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат

3.2 Решение x 2 -8x-20 = 0, завершив Квадрат.

Добавьте 20 к обеим сторонам уравнения:
x 2 -8x = 20

Теперь умный бит: возьмите коэффициент при x, равный 8, разделите его на два, получив 4, и возведите его в квадрат, получив 16

Добавьте 16 к обеим частям уравнения:
В правой части мы имеем:
20 + 16 или, (20/1) + (16/1)
Общий знаменатель двух дробей равен 1 Сложение (20 / 1) + (16/1) дает 36/1
Таким образом, прибавляя к обеим сторонам, мы, наконец, получаем:
x 2 -8x + 16 = 36

Добавление 16 завершило левую часть в идеальный квадрат:
x 2 -8x + 16 =
(x-4) • (x-4) =
(x-4) 2
Вещи, равные одному и тому же, также равны друг другу.Поскольку
x 2 -8x + 16 = 36 и
x 2 -8x + 16 = (x-4) 2
, то согласно закону транзитивности
(x-4) 2 = 36

Мы будем называть это уравнение уравнением. # 3.2.1

Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.

Обратите внимание, что квадратный корень из
(x-4) 2 равен
(x-4) 2/2 =
(x-4) 1 =
x-4

Теперь, применяя Принцип квадратного корня для уравнения.# 3.2.1 получаем:
x-4 = √ 36

Добавьте 4 к обеим сторонам, чтобы получить:
x = 4 + √ 36

Так как квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное
x 2 — 8x — 20 = 0
имеет два решения:
x = 4 + √ 36
или
x = 4 — √ 36

Решите квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы

3.3 Решение x 2 -8x-20 = 0 по квадратичной формуле.

Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax 2 + Bx + C = 0, где A, B и C — числа, часто называемые коэффициентами, определяется по формуле:

— B ± √ B 2 -4AC
x = ————————
2A

В нашем случае A = 1
B = -8
C = -20

Соответственно B 2 — 4AC =
64 — (-80) =
144

Применение квадратичной формулы:

8 ± √ 144
x = —————
2

Можно ли упростить √ 144?

Да! Разложение 144 на простые множители составляет
2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3
Чтобы удалить что-либо из-под корня, должно быть 2 экземпляра этого (потому что мы берем квадрат i.е. второй корень).

√ 144 = √ 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3 = 2 • 2 • 3 • √ 1 =
± 12 • √ 1 =
± 12

Итак, теперь мы смотрим на:
x = ( 8 ± 12) / 2

Два реальных решения:

x = (8 + √144) / 2 = 4 + 6 = 10.000

или:

x = (8-√144) / 2 = 4-6 = -2,000

Было найдено два решения:

  1. x = 10
  2. x = -2

Как найти уравнение параллельной прямой

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Алгебраическое решение уравнений

Алгебраическое решение уравнений


Содержание: Эта страница соответствует § 2.4
(п.200)
текста.

Предлагаемые задачи из текста:

с. 212 # 7, 8, 11, 15, 17, 18, 23, 26, 35, 38, 41, 43, 46, 47, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 71, 72, 75, 76, 81, 87,
88, 95, 97

Квадратные уравнения

Уравнения с участием радикалов

Полиномиальные уравнения высшей степени

Уравнения, содержащие дробные выражения или абсолютные значения


Квадратные уравнения

Квадратное уравнение имеет вид ax 2 + bx + c = 0, где a, b и c — числа, а a —
не равно 0.

Факторинг

Этот подход к решению уравнений основан на том факте, что если произведение двух величин равно нулю, то
хотя бы одна из величин должна быть равна нулю. Другими словами, если a * b = 0, то либо a = 0, либо b = 0, либо и то, и другое.
Для получения дополнительной информации о факторизации многочленов см. Обзорный раздел P.3 (p.26) текста.

Пример 1.

2x 2 — 5x — 12 = 0.

(2x + 3) (x — 4) = 0.

2x + 3 = 0 или x — 4 = 0.

x = -3/2, или x = 4.

Принцип квадратного корня

Если x 2 = k, то x = ± sqrt (k).

Пример 2.

x 2 — 9 = 0.

x 2 = 9.

x = 3 или x = -3.


Пример 3.


Пример 4.

x 2 + 7 = 0.

х 2 = -7.

х = ±.

Обратите внимание, что = =,
так что решения

x = ±, два комплексных числа.

Завершение площади

Идея завершения квадрата состоит в том, чтобы переписать уравнение в форме, которая позволяет нам применять квадрат
корневой принцип.

Пример 5.

x 2 + 6x — 1 = 0.

x 2 + 6x = 1.

x 2 + 6x + 9 = 1 + 9.

9, добавленная к обеим сторонам, получена из возведения в квадрат половины коэффициента при x, (6/2) 2 = 9. Причина
выбор этого значения заключается в том, что теперь левая часть уравнения представляет собой квадрат бинома (полином с двумя членами).
Поэтому эта процедура называется , завершение квадрата .[Заинтересованный читатель может видеть, что это
истина, учитывая (x + a) 2 = x 2 + 2ax + a 2 . Чтобы получить «а» нужно всего лишь
разделите коэффициент x на 2. Таким образом, чтобы построить квадрат для x 2 + 2ax, нужно добавить 2 .]

(x + 3) 2 = 10.

Теперь мы можем применить принцип квадратного корня и затем решить относительно x.

x = -3 ± sqrt (10).


Пример 6.

2x 2 + 6x — 5 = 0.

2x 2 + 6x = 5.

Метод завершения квадрата, продемонстрированный в предыдущем примере, работает, только если старший коэффициент
(коэффициент x 2 ) равен 1. В этом примере старший коэффициент равен 2, но мы можем изменить это, разделив
обе части уравнения на 2.

x 2 + 3x = 5/2.

Теперь, когда старший коэффициент равен 1, мы берем коэффициент при x, который теперь равен 3, делим его на 2 и возводим в квадрат,
(3/2) 2 = 9/4. Это постоянная, которую мы добавляем к обеим сторонам, чтобы завершить квадрат.

x 2 + 3x + 9/4 = 5/2 + 9/4.

Левая часть — квадрат (x + 3/2). [Проверьте это!]

(х + 3/2) 2 = 19/4.

Теперь мы используем принцип квадратного корня и решаем относительно x.

x + 3/2 = ± sqrt (19/4) = ± sqrt (19) / 2.

x = -3/2 ± sqrt (19) / 2 = (-3 ± sqrt (19)) / 2

До сих пор мы обсуждали три метода решения квадратных уравнений. Что лучше? Это зависит от
проблема и ваши личные предпочтения. Уравнение в правильной форме для применения принципа квадратного корня
могут быть перегруппированы и решены путем факторинга, как мы видим в следующем примере.

Пример 7.

x 2 = 16.

x 2 — 16 = 0.

(x + 4) (x — 4) = 0.

x = -4 или x = 4.

В некоторых случаях уравнение может быть решено путем факторизации, но факторизация не очевидна.

Метод завершения квадрата всегда будет работать, даже если решения являются комплексными числами, и в этом случае
мы извлечем квадратный корень из отрицательного числа.Кроме того, шаги, необходимые для завершения квадрата, следующие:
всегда одинаковы, поэтому их можно применить к общему квадратному уравнению

топор 2 + bx + c = 0.

Результатом квадрата этого общего уравнения является формула для решений уравнения
называется квадратной формулой.

Квадратичная формула

Решения уравнения ax 2 + bx + c = 0 равны

Мы говорим, что завершение квадрата всегда работает, и мы завершили квадрат в общем случае,
где у нас есть a, b и c вместо чисел.Итак, чтобы найти решения для любого квадратного уравнения, запишем его
в стандартной форме, чтобы найти значения a, b и c, затем подставьте эти значения в квадратную формулу.

Одним из следствий этого является то, что вам никогда не придется заполнять квадрат, чтобы найти решения квадратного уравнения.
Однако процесс завершения квадрата важен по другим причинам, поэтому вам все равно нужно знать, как
сделай это!

Примеры использования квадратичной формулы:

Пример 8.

2x 2 + 6x — 5 = 0.

В данном случае a = 2, b = 6, c = -5. Подставляя эти значения в квадратичную формулу, получаем

Обратите внимание, что мы решили это уравнение ранее, заполнив квадрат.

Примечание : Есть два реальных решения. Что касается графиков, есть два пересечения для графика
функции f (x) = 2x 2 + 6x — 5.


Пример 9.

4x 2 + 4x + 1 = 0

В этом примере a = 4, b = 4 и c = 1.

В этом примере следует отметить два момента.

  • Есть только одно решение. С точки зрения графиков это означает, что существует только один пересечение по оси x.

  • Решение упрощено, поэтому квадратный корень не используется. Это означает, что уравнение могло быть
    решается факторингом. (Все квадратные уравнения могут быть решены путем разложения на множители ! Я имею в виду, что это могло быть
    решено легко факторингом.)

4x 2 + 4x + 1 = 0.

(2x + 1) 2 = 0.

х = -1/2.


Пример 10.

х 2 + х + 1 = 0

а = 1, б = 1, с = 1

Примечание: Реальных решений нет. Что касается графиков, то для графика нет перехватов.
функции f (x) = x 2 + x + 1. Таким образом, решения сложны, поскольку график y = x 2
+ x + 1 не имеет пересечений по x.

Выражение под радикалом в квадратичной формуле, b 2 — 4ac, называется дискриминантом
уравнение.Последние три примера иллюстрируют три возможности для квадратных уравнений.

1. Дискриминант> 0. Два реальных решения.

2. Дискриминант = 0. Одно реальное решение.

3. Дискриминант <0. Два сложных решения.

Примечания к проверке решений

Ни один из методов, представленных до сих пор в этом разделе, не может вводить посторонние решения.(См. Пример
3 из раздела Линейные уравнения и моделирование.) Тем не менее, рекомендуется проверить свои решения,
потому что при решении уравнений очень легко сделать невнимательные ошибки.

Алгебраический метод, который состоит из обратной подстановки числа в уравнение и проверки того, что
полученное утверждение верно, хорошо работает, когда решение «простое», но не очень практично, когда
решение предполагает радикальное.

Например, в нашем предпоследнем примере 4x 2 + 4x + 1 = 0 мы нашли одно решение x = -1/2.

Алгебраическая проверка выглядит как

4 (-1/2) 2 +4 (-1/2) + 1 = 0.

4 (1/4) — 2 + 1 = 0.

1-2 + 1 = 0.

0 = 0. Решение проверяет.

В предыдущем примере, 2x 2 + 6x — 5 = 0, мы нашли два реальных решения, x = (-3 ± sqrt (19)) / 2.
Конечно, можно проверить это алгебраически, но это не очень просто. В этом случае либо графический
проверить или использовать калькулятор для алгебраической проверки быстрее.

Сначала найдите десятичные приближения для двух предложенных решений.

(-3 + sqrt (19)) / 2 = 0,679449.

(-3 — sqrt (19)) / 2 = -3,679449.

Теперь используйте графическую утилиту для построения графика y = 2x 2 + 6x — 5 и проследите график, чтобы приблизительно определить, где
х-точки пересечения. Если они близки к указанным выше значениям, вы можете быть уверены, что у вас есть правильные решения.
Вы также можете вставить приближенное решение в уравнение, чтобы увидеть, дают ли обе части уравнения примерно
те же значения.Однако вам все равно нужно быть осторожным в заявлении о том, что ваше решение является правильным, поскольку оно
не точное решение.

Обратите внимание, что если вы начали с уравнения 2x 2 + 6x — 5 = 0 и перешли непосредственно к графику
утилиту для ее решения, то вы не получите точных решений, потому что они иррациональны. Однако, найдя
(алгебраически) два числа, которые, по вашему мнению, являются решениями, если графическая утилита показывает, что перехваты очень
близко к найденным вами числам, значит, вы, наверное, правы!

Упражнение 1:

Решите следующие квадратные уравнения.

(а) 3x 2 -5x — 2 = 0. Ответ

(б) (x + 1) 2 = 3. Ответ

(в) x 2 = 3x + 2. Ответ

Вернуться к содержанию

Уравнения с участием радикалов

Уравнения с радикалами часто можно упростить, возведя в соответствующую степень и возведя в квадрат, если радикал
является квадратным корнем, кубическим корнем и т. д. Эта операция может вводить посторонние корни, поэтому все решения
необходимо проверить.

Если в уравнении только один радикал, то перед возведением в степень вам следует договориться, чтобы
радикальный член сам по себе на одной стороне уравнения.

Пример 11.

Теперь, когда мы изолировали радикальный член в правой части, возводим обе части в квадрат и решаем полученное уравнение
для x.

Чек:

х = 0

Когда мы подставляем x = 0 в исходное уравнение, мы получаем утверждение 0 = 2, что неверно!

Итак, x = 0 не является решением .

х = 3

Когда мы подставляем x = 3 в исходное уравнение, мы получаем утверждение 3 = 3. Это верно, поэтому x = 3 равно
раствор
.

Решение : x = 3.

Примечание: Решением является x-координата точки пересечения графиков y = x и
у = sqrt (х + 1) +1.

Посмотрите, что произошло бы, если бы мы возводили обе части уравнения в квадрат перед , выделив радикал
срок.

Это хуже того, с чего мы начали!

Если в уравнении более одного радикального члена, то, как правило, мы не можем исключить все радикалы с помощью
возведение в степень один раз. Однако мы можем на уменьшить количество радикальных членов на , возведя их в степень.

Если уравнение включает более одного радикального члена, мы все равно хотим изолировать один радикал с одной стороны и
возвести в степень. Затем мы повторяем этот процесс.

Пример 12.

Теперь возведите обе части уравнения в квадрат.

В этом уравнении есть только один радикальный член, поэтому мы добились прогресса! Теперь выделите радикальный член, а затем возведите в квадрат
снова обе стороны.

Чек:

Подставляя x = 5/4 в исходное уравнение, получаем

sqrt (9/4) + sqrt (1/4) = 2.

3/2 + 1/2 = 2.

Это утверждение верно, поэтому x = 5/4 является решением.

Примечание по проверке решений:

В этом случае выполнить алгебраическую проверку было несложно. Однако графическая проверка имеет то преимущество, что показывает, что
нет решений, которые мы не нашли бы, по крайней мере, в рамках прямоугольника просмотра. Решение
— координата x точки пересечения графиков y = 2 и y = sqrt (x + 1) + sqrt (x-1).

Упражнение 2:

Решите уравнение sqrt (x + 2) + 2 = 2x. Ответ

Вернуться к содержанию

Полиномиальные уравнения высшей степени

Мы видели, что любое полиномиальное уравнение второй степени (квадратное уравнение) от одной переменной может быть решено с помощью
Квадратичная формула. Полиномиальные уравнения степени больше двух сложнее.Когда мы встречаемся
такая проблема, то либо многочлен имеет особую форму, которая позволяет нам разложить его на множители, либо мы должны аппроксимировать
решения с графической утилитой.

Нулевая постоянная

Один частый частный случай — отсутствие постоянного члена. В этом случае мы можем исключить одну или несколько полномочий
x, чтобы начать задачу.

Пример 13.

2x 3 + 3x 2 -5x = 0.

x (2x 2 + 3x -5) = 0.

Теперь у нас есть произведение x и квадратного многочлена, равного 0, так что у нас есть два более простых уравнения.

x = 0 или 2x 2 + 3x -5 = 0.

Первое уравнение решить несложно. x = 0 — единственное решение. Второе уравнение может быть решено факторингом.
Примечание: Если бы мы не смогли разложить квадратичный коэффициент во втором уравнении, мы могли бы прибегнуть к
к использованию квадратичной формулы.[Убедитесь, что вы получили те же результаты, что и ниже.]

x = 0 или (2x + 5) (x — 1) = 0.

Итак, есть три решения: x = 0, x = -5/2, x = 1.

Примечание: Решение находится при пересечении графиков f (x) = 2x 3
+ 3x 2 -5x.

Коэффициент

по группировке

Пример 14.

x 3 -2x 2 -9x +18 = 0.

Коэффициент при x 2 в 2 раза больше, чем при x 3 , и такое же соотношение существует между
коэффициенты при третьем и четвертом членах. Группа слагает один и два, а также три и четыре.

x 2 (x — 2) — 9 (x — 2) = 0.

Эти группы имеют общий множитель (x — 2), поэтому мы можем разложить левую часть уравнения на множители.

(x — 2) (x 2 — 9) = 0.

Всякий раз, когда мы находим продукт, равный нулю, мы получаем два более простых уравнения.

x — 2 = 0 или x 2 — 9 = 0.

x = 2 или (x + 3) (x — 3) = 0.

Итак, есть три решения: x = 2, x = -3, x = 3.

Примечание: Эти решения находятся на пересечении графика f (x) = x 3
-2x 2 -9x +18.

Квадратичная форма

Пример 15.

x 4 — x 2 — 12 = 0.

Этот многочлен неквадратичный, у него четвертая степень. Однако его можно рассматривать как квадратичный по x 2 .

(x 2 ) 2 — (x 2 ) — 12 = 0.

Это может помочь вам фактически заменить z на x 2 .

z 2 — z — 12 = 0 Это квадратное уравнение относительно z.

(z — 4) (z + 3) = 0.

z = 4 или z = -3.

Мы еще не закончили, потому что нам нужно найти значения x, которые делают исходное уравнение истинным.Теперь заменим z на
x 2 и решите полученные уравнения.

x 2 = 4.

х = 2, х = -2.

х 2 = -3.

x = i , или x = — i.

Итак, есть четыре решения, два реальных и два комплексных.

Примечание: Эти решения находятся на пересечении графика f (x) = x 4
— х 2 — 12.

График f (x) = x 4 — x 2 -12 и увеличение, показывающее его локальное
экстремумы.

Упражнение 3:

Решите уравнение x 4 — 5x 2 + 4 = 0. Ответ

Вернуться к содержанию

Уравнения, содержащие дробные выражения или абсолютные значения

Пример 16.

Наименьший общий знаменатель равен x (x + 2), поэтому мы умножаем обе части на это произведение.

Это уравнение квадратичное. Квадратичная формула дает решения

Проверка необходима, потому что мы умножили обе части на переменное выражение. Используя графическую утилиту, мы
убедитесь, что оба этих решения проверяют. Решением является координата x точки пересечения графиков.
из y = 1 и y = 2 / x-1 / (x + 2).

Пример 17.

5 | х — 1 | = х + 11.

Ключ к решению уравнения с абсолютными значениями — помнить, что количество внутри абсолютного значения
столбцы могут быть положительными или отрицательными. У нас будет два отдельных уравнения, представляющих разные возможности,
и все решения должны быть проверены.

Корпус 1 . Предположим, что x — 1> = 0.Тогда | х — 1 | = x — 1, поэтому мы имеем уравнение

5 (х — 1) = х + 11.

5x — 5 = x + 11.

4x = 16.

x = 4, и это решение проверяет, потому что 5 * 3 = 4 + 11.

Случай 2. Предположим, что x — 1 <0. Тогда x - 1 отрицательно, поэтому | х - 1 | = - (х - 1). Этот точка часто сбивает студентов с толку, потому что кажется, что мы говорим, что абсолютное значение выражения отрицательно, но это не так.Выражение (x - 1) уже отрицательное, поэтому - (x - 1) положительное.

Теперь наше уравнение принимает вид

.

-5 (x — 1) = x + 11.

-5x + 5 = x + 11.

-6x = 6.

x = -1, и это решение проверяет, потому что 5 * 2 = -1 + 11.

Если вы используете Java Grapher для графической проверки, обратите внимание, что abs () является абсолютным значением, поэтому вы должны построить график

5 * abs (x — 1) — x — 11 и посмотрите на пересечения по x, или вы можете найти решение как x-координаты
точки пересечения графиков y = x + 11 и y = 5 * abs (x-1).

Упражнение 4:

(а) Решите уравнение. Ответ

.

(b) Решите уравнение | х — 2 | = 2 — x / 3 Ответ

Вернуться к содержанию


Напишите уравнение для линейной функции из графика линии

Напомним, что в разделе «Линейные функции» мы написали уравнение для линейной функции из графика.Теперь мы можем расширить наши знания о построении графиков линейных функций для более тщательного анализа графиков. Начнем с просмотра рисунка 8. Сразу видно, что график пересекает ось y в точке (0, 4), так что это пересечение y .

Рисунок 8

Затем мы можем рассчитать наклон, найдя подъем и пробег. Мы можем выбрать любые две точки, но давайте посмотрим на точку (–2, 0). Чтобы добраться из этой точки до точки пересечения y- , мы должны переместиться на 4 единицы вверх (подъем) и на 2 единицы вправо (бег).Значит, уклон должен быть

[латекс] m = \ frac {\ text {rise}} {\ text {run}} = \ frac {4} {2} = 2 [/ latex]

Подстановка угла наклона и точки пересечения y- в форму линии пересечения наклона дает

[латекс] y = 2x + 4 [/ латекс]

Практическое руководство. Имея график линейной функции, найдите уравнение для описания функции.

  1. Найдите точку пересечения y- в уравнении.
  2. Выберите две точки для определения наклона.
  3. Замените точку пересечения y- и уклон в форму линии пересечения с уклоном.

Пример 4: Сопоставление линейных функций с их графиками

Сопоставьте каждое уравнение линейных функций с одной из линий на рисунке 9.

  1. [латекс] f \ влево (x \ вправо) = 2x + 3 [/ латекс]
  2. [латекс] g \ left (x \ right) = 2x — 3 [/ латекс]
  3. [латекс] h \ left (x \ right) = — 2x + 3 [/ латекс]
  4. [латекс] j \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x + 3 [/ latex]

Рисунок 9

Решение

Проанализируйте информацию по каждой функции.

  1. Эта функция имеет наклон 2 и точку пересечения y — 3. Она должна проходить через точку (0, 3) и наклоняться вверх слева направо. Мы можем использовать две точки, чтобы найти наклон, или мы можем сравнить его с другими перечисленными функциями. Функция g имеет тот же наклон, но другую точку пересечения y- . Линии I и III имеют одинаковый уклон, потому что они имеют одинаковый уклон. Линия III не проходит через (0, 3), поэтому f должен быть представлен линией I.
  2. Эта функция также имеет наклон 2, но интервал y составляет –3. Он должен проходить через точку (0, –3) и наклоняться вверх слева направо. Он должен быть представлен линией III.
  3. Эта функция имеет наклон –2 и точку пересечения y- , равную 3. Это единственная функция в списке с отрицательным наклоном, поэтому она должна быть представлена ​​линией IV, поскольку она наклонена вниз слева направо.
  4. Эта функция имеет наклон [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] и точку пересечения y- равную 3.Он должен проходить через точку (0, 3) и наклоняться вверх слева направо. Линии I и II проходят через (0, 3), но наклон j меньше, чем наклон f , поэтому линия j должна быть более пологой. Эта функция представлена ​​линией II.

Теперь мы можем перемаркировать линии, как показано на рисунке 10.

Фиг.10

Нахождение перехвата x линии

До сих пор мы находили точки пересечения y- функции: точку, в которой график функции пересекает ось y .Функция также может иметь точку пересечения x , — координату x точки, в которой график функции пересекает ось x . Другими словами, это входное значение, когда выходное значение равно нулю.

Чтобы найти точку пересечения x , установите функцию f ( x ) равной нулю и найдите значение x . Например, рассмотрим показанную функцию.

[латекс] f \ left (x \ right) = 3x — 6 [/ латекс]

Установите функцию равной 0 и решите относительно x .

[латекс] \ begin {case} 0 = 3x — 6 \ hfill \\ 6 = 3x \ hfill \\ 2 = x \ hfill \\ x = 2 \ hfill \ end {case} [/ latex]

График функции пересекает ось x в точке (2, 0).

Вопросы и ответы

Все ли линейные функции имеют точки пересечения x ?

Нет. Однако линейные функции вида y = c , где c — ненулевое действительное число, являются единственными примерами линейных функций без интервала x .Например, y = 5 — это горизонтальная линия на 5 единиц выше оси x . Эта функция не имеет x — перехватывает .

Рисунок 11

A Общее примечание:

x — интервал

Перехват x функции равен x , когда f ( x ) = 0. Его можно решить с помощью уравнения 0 = mx + b .

Пример 5: Поиск точки перехвата

x

Найдите точку пересечения x [латекса] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x — 3 [/ latex].

Решение

Установите функцию равной нулю, чтобы найти x .

[латекс] \ begin {case} 0 = \ frac {1} {2} x — 3 \\ 3 = \ frac {1} {2} x \\ 6 = x \ x = 6 \ end {case} [/ латекс]

График пересекает ось x в точке (6, 0).

Рисунок 12. График линейной функции [латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x — 3 [/ latex].

Попробуй 4

Найдите точку пересечения x [латекса] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {4} x — 4 [/ latex].

Решение

Описание горизонтальных и вертикальных линий

Есть два особых случая линий на графике — горизонтальные и вертикальные линии. Горизонтальная линия указывает на постоянный выход или значение y . На рисунке 13 мы видим, что выход имеет значение 2 для каждого входного значения. Таким образом, изменение выходных сигналов между любыми двумя точками равно 0. В формуле наклона числитель равен 0, поэтому наклон равен 0. Если мы используем м = 0 в уравнении [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex], уравнение упрощается до [latex] f \ left (x \ right) = b [/ latex].Другими словами, значение функции постоянно. Этот график представляет функцию [латекс] f \ left (x \ right) = 2 [/ latex].

Рисунок 13. Горизонтальная линия, представляющая функцию [латекс] f \ left (x \ right) = 2 [/ latex].

Рисунок 14

Вертикальная линия обозначает постоянный ввод или значение x . Мы видим, что входное значение для каждой точки на линии равно 2, но выходное значение варьируется. Поскольку это входное значение отображается более чем на одно выходное значение, вертикальная линия не представляет функцию.Обратите внимание, что между любыми двумя точками изменение входных значений равно нулю. В формуле наклона знаменатель будет равен нулю, поэтому наклон вертикальной линии не определен.

Обратите внимание, что вертикальная линия, такая как на рис. 15 , , имеет точку пересечения x , но не имеет точки пересечения y- , если только это не линия x = 0. Этот график представляет линию x = 2.

Рисунок 15. Вертикальная линия x = 2, которая не представляет функцию.

A Общее примечание: горизонтальные и вертикальные линии

Линии могут быть горизонтальными или вертикальными.

Горизонтальная линия — это линия, определяемая уравнением в форме [латекс] f \ left (x \ right) = b [/ latex].

Вертикальная линия — это линия, определяемая уравнением в форме [латекс] x = a [/ latex].

Пример 6: Написание уравнения горизонтальной линии

Напишите уравнение линии, показанной на рисунке 16.

Рисунок 16

Решение

Для любого значения x значение y равно –4, поэтому уравнение: y = –4.

Пример 7: Написание уравнения вертикальной линии

Напишите уравнение линии, показанной на рисунке 17.

Рисунок 17

Решение

Константа x — значение 7, поэтому уравнение составляет x = 7.

Завершение квадрата: решение квадратных уравнений

Purplemath

Некоторые квадратичные уравнения довольно просто решить, потому что они имеют форму «что-то с x в квадрате равно некоторому числу», а затем вы извлекаете квадратный корень из обеих сторон.

Пример:

MathHelp.com

К сожалению, большинство квадратиков не имеют такого точного квадрата.Для вашего среднего повседневного квадратичного вы сначала должны использовать технику «завершения квадрата», чтобы преобразовать квадратичный в аккуратный формат «(квадратная часть) равно (число)», показанный выше. Например:

  • Найдите

    x -перехватывания y = 4 x 2 — 2 x — 5.

Прежде всего, помните, что нахождение пересечений по оси x означает установку y равным нулю и решение для значений x , поэтому этот вопрос действительно просит вас: «Решить 4 x 2 — 2 x — 5 = 0 «.

А теперь приступим к построению квадрата. Для начала у нас есть исходное уравнение (или, если нам нужно было сначала решить для «= 0», форму уравнения «равно нулю»). В этом случае нас попросили указать x -перехваты квадратичной функции, что означало, что мы установили функцию равной нулю. Итак, мы в порядке. Наша отправная точка — это уравнение:

Теперь, вопреки всему, что мы узнали раньше, мы собираемся переместить константу (то есть число, которое равно , а не с переменной) на другую сторону от знака «равно»:

При решении путем завершения квадрата мы хотим, чтобы x 2 было само по себе, поэтому нам нужно разделить на все, что умножается на этот член.В этом случае у нас есть 4, умноженное на x 2 , поэтому нам нужно разделить на 4, чтобы избавиться от этого. Наш результат:

Теперь поработаем на стороне. Глядя на квадрат выше, у нас есть член x 2 и член x в левой части. Мы будем работать с коэффициентом при члене x . В нашем случае это значение вместе со знаком составляет:

.

Числовой коэффициент

:

–1/2.

Чтобы создать завершенный квадрат, нам нужно разделить этот числовой коэффициент на 2 (или, что то же самое, умножить его на половину). В нашем случае получаем:

производное значение:

(1/2) (- 1/2) = –1/4

Теперь возведем в квадрат полученное значение. (Конечно, в результате мы получим положительное число.)

квадрат производного значения:

(-1/4) 2 = 1/16

Хорошо; теперь мы вернемся к последнему шагу перед нашим отвлечением:

…и добавляем «

+1/16″ к любой стороне уравнения:

x 2 — (1/2) x + 1/16 = 5/4 + 1/16

Мы можем упростить строго числовой материал в правой части:

x 2 — (1/2) x + 1/16 = 21/16

На этом этапе мы готовы преобразовать в форму завершенного квадрата, потому что, добавив

+1/16 к любой стороне, мы преобразовали левую часть в квадратичную форму, которая представляет собой идеальный квадрат.Другими словами, мы можем преобразовать эту левую часть в аккуратный квадрат бинома. Но как?

Самый простой способ — вернуться к значению, которое мы получили после деления на два (или, что то же самое, умножения на половину), и использовать это, вместе со знаком , чтобы сформировать квадрат бинома. Другими словами, в этом случае получаем:

Ура! Готовая квадратная форма! Теперь мы можем извлекать квадратный корень из любой стороны (не забывая о «плюс-минус» на строго числовой стороне):

sqrt [( x — (1/4)) 2 ] = ± sqrt [21/16]

x — (1/4) = ± sqrt [21/16]

Теперь мы можем найти значения переменной:

«плюс-минус» означает, что у нас есть два решения :

Решения также можно записать с округлением до

или с округлением до некоторого разумного числа десятичных знаков (например, до двух).


Вам, вероятно, понадобятся округленные формы для «реальных» ответов на текстовые задачи и для построения графиков. Например, для вышеупомянутого упражнения намного проще построить график точки пересечения при x = -0,9, чем пытаться построить график числа в форме квадратного корня с «минусом» в середине. Но (предупреждение!) В большинстве других случаев вы должны предположить, что ответ должен быть в «точной» форме, со всеми квадратными корнями.

Когда вы заполняете квадрат, внимательно следите за знаком числового коэффициента члена x , когда вы умножаете этот коэффициент на половину.Если вы потеряете знак этого термина, вы можете получить неправильный ответ, потому что забудете, какой знак стоит в круглых скобках в форме заполненного квадрата.

Также не будьте небрежны и не ждите, пока поставите знак плюс / минус до самого конца. На ваших тестах у вас не будет ответов, чтобы «напомнить» вам, что вы «имели в виду» использовать плюс-минус, и вы, вероятно, забудете поставить плюс-минус в ответ. Кроме того, нет причин ставить галочку против вашего инструктора, делая что-то не так, если сделать все правильно так просто.

В том же примечании убедитесь, что вы вводите знак квадратного корня, если это необходимо, когда извлекаете квадратный корень из обеих сторон. Не ждите, пока ответ на обороте книги «напомнит» вам, что вы «имели в виду» поместить туда символ квадратного корня.

Если вы привыкнете быть небрежным, вы только навредите себе!


  • Решите

    x 2 + 6 x — 7 = 0, завершив квадрат.

Я проделаю ту же процедуру, что и в первом упражнении, в точно таком же порядке. (Совет для изучения: всегда решайте эти задачи одним и тем же способом, это поможет вам запомнить шаги при прохождении тестов.)

Сначала я записываю уравнение, которое мне дали.

Я перемещаю постоянный член (свободное число) на другую сторону от «равно».

Главный член уже умножен только на 1, поэтому мне не нужно ни на что делить. Итак, этот шаг сделан.

Теперь я возьму бумагу для заметок и сделаю вычисления. Во-первых, коэффициент «линейного» члена (то есть члена только с x , а не с членом x 2 ), со знаком , равен:

числовой коэффициент: +6

Умножу это на

1/2:

производное значение:

(+6) (1/2) = +3

Мой следующий шаг — возвести это производное значение в квадрат:

квадрат производного значения: (+3) 2 = 9

Теперь я возвращаюсь к своему уравнению и добавляю это значение в квадрате в обе стороны:

Я упрощу числовой материал в правой части:

А теперь я конвертирую левую часть в форму завершенного квадрата, используя производное значение (которое я обвел в моем эскизе, чтобы я не потерял его из виду) вместе со знаком:

Теперь, когда левая часть находится в форме завершенного квадрата, я могу извлекать квадратный корень из каждой стороны, не забывая ставить «плюс-минус» на строго числовой стороне:

sqrt [( x + 3) 2 ] = ± sqrt [16]

х + 3 = ± 4

…и затем я найду два своих решения:

x = –3 ± 4

= –3 — 4, –3 + 4

= –7, 1

Тогда мой ответ:


Пожалуйста, найдите время, чтобы проработать два вышеуказанных упражнения для себя, убедившись, что вы четко понимаете каждый шаг, как эти шаги работают вместе и как я пришел к перечисленным ответам.А затем найдите время, чтобы попрактиковаться в дополнительных упражнениях из своей книги. По мере практики этот процесс может стать довольно простым, особенно если вы будете осторожны, выполняя одни и те же шаги в одном и том же порядке. Да, «в реальной жизни» вы бы использовали квадратичную формулу или свой калькулятор, но вы должны ожидать хотя бы один вопрос на следующем тесте (и, возможно, в последнем), где вы должны показать шаги для завершения квадрата.


Филиал


Примечание. Поскольку решения для второго упражнения, приведенного выше, были целыми числами, это говорит о том, что мы могли бы решить это факторингом.

x 2 + 6 x — 7 = 0

( x — 1) ( x + 7) = 0

x — 1 = 0, x + 7 = 0

x = 1, x = — 7


Предупреждение. Если вы не всегда учитываете плюс / минус, когда извлекаете квадратный корень из обеих сторон, то это пример того типа упражнений, при котором у вас могут возникнуть проблемы.Вы напишете свой ответ для второго упражнения выше как « x = –3 + 4 = 1» и не будете знать, как они получили « x = –7», потому что у вас не будет квадратного корня. символ, «напоминающий» вам, что вы «имели в виду» поставить плюс / минус. Другими словами, если вы небрежны, эти простые задачи вас смутят!

На следующей странице мы рассмотрим другой пример, а затем покажем, как квадратная формула может быть получена из процедуры завершения квадрата…


URL: https://www.purplemath.com/modules/sqrquad.htm

УРАВНЕНИЕ ОКРУГА

УРАВНЕНИЕ ОКРУГА

УРАВНЕНИЕ КРУГА.

Уравнение круга бывает двух видов:

1) Стандартная форма: (x — h) 2 + (y-k) 2
= Г 2
2) Общий вид: x 2 + y 2 +
Dx + Ey + F = 0,
где D, E, F — постоянные.
Если уравнение круга имеет стандартную форму, мы можем легко идентифицировать
центр круга (h, k) и радиус r. Примечание: радиус,
r, всегда положительный.
Пример 1: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 4.
(а) Найдите центр и радиус
круг.(б) Изобразите круг.
Примечание. Распространенной ошибкой является принятие h = -2 и K = -3. В уравнении
если
знаки перед h и k, (h, k) отрицательны, тогда h и k положительны. То есть h = 2
и k = 3.
(a) Центр: (h = 2, k = 3) = (2, 3) и радиус
r = 2, поскольку r 2 = 4 =>
г = 4 = 2

(б) График

Пример 2: (x + 1) 2 + (y-2) 2 = 9.
(а) Найдите центр и радиус
круг. (б) Изобразите круг.
Примечание: чтобы правильно определить центр круга, мы должны разместить
уравнение в стандартной форме:
Стандартная форма:
— h) 2 + (y-k) 2 = r 2

— (-1)) 2 + (y-2) 2 = (3) 2 .Теперь вы можете определить
правильно центрировать.
(a) Центр: (h = -1, k = 2) = (-1, 2) и радиус r = 3, так как r 2 = 9> r = 9 = 3

(б) График

Пример 3: 2x 2 +
2 года 2 = 8.(а) Найдите центр и радиус
круга. (б) Изобразите круг.

Примечание: чтобы правильно определить центр круга, мы должны разместить
уравнение в стандартной форме.
Сначала разделите уравнение на 2. Новое
уравнение:
x 2
+ y 2
= 4.
Стандартная форма:

(х — в) 2 + (у — к) 2
= Г 2

(х — 0) 2 + (у — 0) 2
= (2) 2 .Теперь вы можете определить
правильно центрировать.

(a) Центр: (h = 0, k = 0) = (0, 0) и радиус
r = 2, поскольку r 2 = 4 => r
= 4 = 2

(б) График

Если уравнение в общем виде, мы должны заполнить квадрат и
привести уравнение к стандартному виду.Тогда мы можем идентифицировать центр
и радиус правильно. Узнали, как завершить квадрат при работе
с квадратными уравнениями (E III). Мы рассмотрим это на примере.
Пример 4: x 2 + y 2 — 6x
+ 4y + 9 = 0. (a) Найдите центр и радиус
круг. (б) Изобразите круг.

Завершение квадрата:

  • Запишите уравнение в такой форме: (x 2
    — 6x +? 1 ) + (y 2 +
    4лет +? 2 ) = -9 +? 1 +? 2
    в первой скобке мы группируем x-члены, а во второй — y-члены. В
    константа перемещается в правую часть. Знак вопроса?
    число, необходимое в каждой скобке для завершения квадрата. Обратите внимание, что
    мы должны добавить это число к обеим сторонам уравнения. Вот почему ты
    видеть ? 1 и? 2 , добавлено с обеих сторон.

  • Как найти номер для замены вопросительного знака,? 1 .Брать
    коэффициент при x и разделите его на 2, (-6/2), а затем возведите его в квадрат, (-3) 2 = 9.? 1
    будет заменен цифрой 9.

  • Как найти номер для замены вопросительного знака,? 2 . Брать
    коэффициент при y и разделите его на 2, (4/2), а затем возведите его в квадрат, (2) 2 = 4.? 2
    будет заменен на цифру 4.

Собирая шаги 1-3 вместе, получаем следующее:

(x 2 — 6x +? 1 )
+ (Y 2 + 4y +? 2 )
= -9 +? 1 +? 2

(x 2 — 6x + 9)
+ (Y 2 + 4y + 4)
= -9 + 9
+ 4

(х — 3) 2 + (y +
2) 2 = 4

(х — 3) 2 + (у — (-2)) 2
= 4 Это уравнение имеет стандартную форму.

(a) Центр: (h = 3, k = -2) = (3, -2)
и радиус r = 2
так как r 2 = 4 => r
= 4 = 2

(б) График

Пример 5: x 2 + y 2
6х + 2у + 4 = 0.
(а) Найдите центр и радиус
круг. (б) Изобразите круг.
Завершение квадрата:

  • Запишите уравнение в такой форме: (x 2
    — 6x +? 1 ) + (y 2 +
    2лет +? 2 ) = -4 +? 1 +? 2 . в
    в первой скобке мы группируем x-члены, а во второй — y-члены.В
    константа перемещается в правую часть. Знак вопроса?
    число, необходимое в каждой скобке для завершения квадрата. Обратите внимание, что
    мы должны добавить это число к обеим сторонам уравнения. Вот почему ты
    видеть ? 1 и? 2 , добавлено с обеих сторон.

  • Как найти номер для замены вопросительного знака,? 1 . Брать
    коэффициент при x и разделите его на 2, (-6/2), а затем возведите его в квадрат, (-3) 2 =
    9.? 1 будет заменено номером
    9.

  • Как найти номер для замены вопросительного знака,? 2 . Брать
    коэффициент при y и разделите его на 2, (2/2), а затем возведите его в квадрат, (1) 2 =
    1.? 2 заменяется номером
    1.

Собирая шаги 1-3 вместе, получаем следующее:

(x 2 — 6x +? 1 )
+ (Y 2 + 2y +? 2 ) =
-4 +? 1 +? 2

(x 2 — 6x + 9)
+ (Y 2 + 2y + 1) =
-4 + 9 + 1
(х — 3) 2 + (y +
1) 2 = 6
(х — 3 ) 2 + (у —
(-1)) 2 = 6 Это уравнение имеет стандартную форму.

(a) Центр: (h = 3, k = -1) = (3, -1)
и радиус r
= 6, поскольку r 2 = 6 => r
= 6

(b) График

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ — Для каждой задачи (а) найдите центр и радиус
круга и (b) Постройте график круга.
1. (x-2) 2 +
(y + 1) 2 = 4.
2. (х-3) 2 +
(у-2) 2 = 9
3. x 2 + y 2
— 6x — 10y + 30 = 0.
4. x 2 + y 2
— 6x + 4y + 9 = 0.
5.2 — 2 \ sqrt {3} x — 4) = 0, \] мы также получаем те же решения \ [\ pm \ sqrt {7} \ pm \ sqrt {3}.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2022 © Все права защищены.