Х 5 15 решить уравнение: Решите уравнение X * 5 =15

Содержание

Mathway | Популярные задачи




1 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 50
2 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 45
3 Вычислить 5+5
4 Вычислить 7*7
5 Разложить на простые множители 24
6 Преобразовать в смешанную дробь 52/6
7 Преобразовать в смешанную дробь 93/8
8 Преобразовать в смешанную дробь 34/5
9 График y=x+1
10 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 128
11 Найти площадь поверхности сфера (3)
12 Вычислить 54-6÷2+6
13 График y=-2x
14 Вычислить 8*8
15 Преобразовать в десятичную форму 5/9
16 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 180
17 График y=2
18 Преобразовать в смешанную дробь 7/8
19 Вычислить 9*9
20 Risolvere per C C=5/9*(F-32)
21 Упростить 1/3+1 1/12
22 График y=x+4
23 График y=-3
24 График x+y=3
25 График x=5
26 Вычислить 6*6
27 Вычислить 2*2
28 Вычислить 4*4
29 Вычислить 1/2+(2/3)÷(3/4)-(4/5*5/6)
30 Вычислить 1/3+13/12
31 Вычислить 5*5
32 Risolvere per d 2d=5v(o)-vr
33 Преобразовать в смешанную дробь 3/7
34 График y=-2
35 Определить наклон y=6
36 Перевести в процентное соотношение 9
37 График y=2x+2
38 График y=2x-4
39 График x=-3
40 Решить, используя свойство квадратного корня x^2+5x+6=0
41 Преобразовать в смешанную дробь 1/6
42 Преобразовать в десятичную форму 9%
43 Risolvere per n 12n-24=14n+28
44 Вычислить 16*4
45 Упростить кубический корень 125
46 Преобразовать в упрощенную дробь 43%
47 График x=1
48 График y=6
49 График y=-7
50 График y=4x+2
51 Определить наклон y=7
52 График y=3x+4
53 График y=x+5
54 График 3x+2y=6
55 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-5x+6=0
56 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-6x+5=0
57 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-9=0
58 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 192
59 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 25/36
60 Разложить на простые множители 14
61 Преобразовать в смешанную дробь 7/10
62 Risolvere per a (-5a)/2=75
63 Упростить x
64 Вычислить 6*4
65 Вычислить 6+6
66 Вычислить -3-5
67 Вычислить -2-2
68 Упростить квадратный корень 1
69 Упростить квадратный корень 4
70 Найти обратную величину 1/3
71 Преобразовать в смешанную дробь 11/20
72 Преобразовать в смешанную дробь 7/9
73 Найти НОК 11 , 13 , 5 , 15 , 14 , , , ,
74 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-3x-10=0
75 Решить, используя свойство квадратного корня x^2+2x-8=0
76 График 3x+4y=12
77 График 3x-2y=6
78 График y=-x-2
79 График y=3x+7
80 Определить, является ли полиномом 2x+2
81 График y=2x-6
82 График y=2x-7
83 График y=2x-2
84 График y=-2x+1
85 График y=-3x+4
86 График y=-3x+2
87 График y=x-4
88 Вычислить (4/3)÷(7/2)
89 График 2x-3y=6
90 График x+2y=4
91 График x=7
92 График x-y=5
93 Решить, используя свойство квадратного корня x^2+3x-10=0
94 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-2x-3=0
95 Найти площадь поверхности конус (12)(9)
96 Преобразовать в смешанную дробь 3/10
97 Преобразовать в смешанную дробь 7/20
98 Преобразовать в смешанную дробь 2/8
99 Risolvere per w V=lwh
100 Упростить 6/(5m)+3/(7m^2)

© ГБПОУ КК ПАТИС

ГБПОУ КК ПАТИС

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края

Приморско-Ахтарский техникум индустрии и сервиса


Адрес: 353860 г. Приморско-Ахтарск, ул. Тамаровского, 85

тел: 8 (861-43) 2-35-94, 8 (861-43) 2-18-98

Адрес сайта: http://патис.рф

Социальные сети: VK и OK

Электронная почта: [email protected]

Режим работы:

ПН — СБ: с 8.00 до 16.00

Выходные дни: ВС

Учредители

Наименование:
Министерство образования, науки и молодежной политики Краснодарского края


Адрес: 350063 г. Краснодар, ул. Рашпилевская, 23

тел: 8 (861) 298-25-73

Адрес сайта: minobr.krasnodar.ru

Электронная почта: [email protected]

Режим работы:

ПН.ВТ.СР.ЧТ. – с 09.00 до 18.00

ПТ. – с 09.00 до 17.00

Перерыв на обед: с 13. 00 до 13.50

Выходные дни: СБ.ВС.


Наименование:
Департамент имущественных отношений Краснодарского края


Адрес: 350000 г. Краснодар, ул. Гимназическая, 36

Канцелярия: 8 (861) 268-24-08

Факс: 8 (861) 267-11-75

Специалист по работе с обращениями граждан — консультации, запись на прием — телефон 267-11-78

Телефон горячей линии по вопросам земельных отношений: 8 (861) 992-33-35

Адрес сайта: diok.krasnodar.ru

Электронная почта: [email protected]

Режим работы:

ПН.ВТ.СР.ЧТ. – с 09.00 до 18.00

ПТ. – с 09.00 до 17.00

Перерыв на обед ПН.ВТ.СР.ЧТ.: с 13.00 до 13.50

Перерыв на обед ПТ.: с 13.00 до 13.40

Выходные дни: СБ. ВС.

12. Уравнения, содержащие модуль. Рациональные уравнения

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Уравнения, содержащие модуль

Если в уравнении некоторые выражения, содержащие неизвестное, стоят по знаком модуля, то решение исходного уравнения ищется отдельно на каждом из промежутков знакопостоянства этих выражений.

Пример 1
Решить уравнение |3x-6|=x+2.
Решение:
Рассмотрим первый случай: 3х-6≥0, тогда 3х-6=х+2, 2х=8, х=4.
Рассмотрим второй случай: 3х-6<0, тогда 3х-6=-(х+2), 4х=4, х=1.
Ответ: 1; 4.


Пример 2
Решить уравнение |x-2| — 3|x-1| + 4|x-3| = 5.

Отметим на координатной прямой точки:

х-2=0     х-1=0    х-3=0
х=2        х=1      х=3


Рассмотрим решения уравнения на промежутках (-∞; 1];   (1; 2];  (2; 3] и (3; +∞).

При х≤1: -(х-2) + 3(х-1) -4(х-3)=5, -х+2+3х-3-4х+12=5, -2х=-6, х=3. Ответ не принадлежит промежутку, следовательно нет решений.
При 1<х≤2: -(х-2) — 3(х-1) -4(х-3)=5, -х+2-3х+3-4х+12=5, -8х=-12, х=1,5. Ответ принадлежит промежутку.
При 2<х≤3: х-2 — 3(х-1) -4(х-3)=5, х-2-3х+3-4х+12=5, -6х=-8, х=4/3. Ответ не принадлежит промежутку, следовательно нет решений.
При х>3: х-2 — 3(х-1) +4(х-3)=5, х-2-3х+3+4х-12=5, 2х=16, х=8. Ответ принадлежит промежутку.
Ответ: 1,5; 8.



Рациональные уравнения

  Рациональным уравнением называется уравнение вида 

где P(x), Q(x)  — многочлены.

Решение уравнения сводится к решению системы:

Пример 

Решить уравнение

Решение:

x2-4=0,                х-2≠0,

x2=4,                   х≠ 2.

х=-2 или х=2.

Число 2 не может быть корнем.

Ответ: -2.


УПРАЖНЕНИЯ

1. Из данных уравнений выберите те, которые не имеют корней:

а) |x|+4=1;    |x-5|=2;   |x+3|=-6.    б) |1+x|=3;   |1-x|=-4;   8+|x|=2.

Решение:
а)  |x|+4=1 не имеет корней, т.к.  |x|=-3 и модуль не может быть отрицательным числом; |x-5|=2 имеет корни; |x+3|=-6 не имеет корней, т.к.   модуль не может быть отрицательным числом.
Ответ: |x|+4=1; |x+3|=-6.





2. Решите уравнение:

а) |5x|=15;    б) |2x|=16.

Решение:
а) |5x|=15;
    |5||x|=15;
     5|x|=15;
     |x|=3;
     x=3 или x=-3.





3. Решите уравнение:

а) |5x+1|=5;    б) |2x-1|=10.

Решение:
а) |5x+1|=5;

Ответ: -1,2; 0,8.





4. Решите уравнение:

а) |5x2+3x-1|=-x2-36;    б) |3x2-5x-4|=-4x2-23.

Решение:
а) |5x2+3x-1|=-x2-36. Рассмотрим выражение  -x2-36, оно принимает отрицательные значения при любых значениях х, следовательно уравнение |5x2+3x-1|=-x2-36 не имеет корней.
Ответ: нет корней





5. Решите уравнение:

Решение:

Ответ: -1/3.



6. Решите уравнение:

Решение:

14х2-5x-1=0,



7. Решите уравнение:

Решение:





8. Решите уравнение:

Решение:

х ≠3.
Ответ: -4; 1.



9. Найдите, при каком значении переменной значение выражения 

 равно:  а) -6;    б) 6.
Решение:



10. Решите уравнение:




Решение:
а) Разложим знаменатели на множители:
х2-36=(x-6)(x+6).
108-24x+х2=(x-6)(x-18).
2x-36=2(x-18).



11. Решите уравнение:

а) х2-6|x|=0;    б) х2+4|x|=0.   

Решение:
а) х2-6|x|=0; 
х≥0: х2-6x=0;   х(х-6)=0, x1=0, x2=6.

x<0:  х2+6x=0;   х(х+6)=0, x1=0, x2=-6.

Ответ: -6; 0; 6.


12.Решите уравнение:

а) х2-3|x|+2=0;    б) х2-2|x|+1=0.   

Решение:
а) х2-3|x|+2=0.
х≥0: х2-3x+2=0;   D=9-8=1, x1=2, x2=1.
x<0:  х2+3x+2=0;   D=9-8=1, x1=-2, x2=-1.
Ответ: -2; -1; 1; 2.


13. Решите уравнение:

а) |x-2|+|x-4|=5;     б) |x-1|-|x-4|=6.

Решение:
а) |x-2|+|x-4|=5.
x≤2: -(x-2)-(x-4)=5, -x+2-x+4=5, x=0,5.
2<x≤4: x+2-(x-4)=5, x-2-x+4=5, 2=5 — нет решений.
x>4: x-2+x-4=5, 2x=11, x=5,5.

Ответ: 0,5; 5,5.


14.Решите уравнение:

а) |3- |4- |x|||=5;   б) 8-|2 -|x|||=3. 

Решение:
а) |3- |4- |x|||=5;
3- |4- |x||=5               или          3- |4- |x||=-5;
|4-|x||=-2 — нет решений            |4-|x||=8
                                                    4-|x|=8 или 4-|x|=-8
                                                    |x|=-4 — нет решений   |x|=12
                                                                                         х=12 или х=-12.
Ответ: -12; 12.



15. Решите уравнение:

Решение:
а) 
3x-7≥0: х2-3x+10=0;   D=9-40=-31<0 — нет корней.

3x-7<0: х2-3x-10=0;   D=9+40=49, x1=5, x2=-2.
3x-7≠0, x≠7/3.
Ответ: -2; 5.


ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Какие из чисел -4; -1;  2;  1,5; 2,5 являются корнями уравнения:

а) |3x-1|=5;    б) |4-2x|=1?

2. Решите уравнение:

а) |3x|=21;    б) |2x|=-12.

3.  Решите уравнение:

а) |2x-5|=1;    б) |3x+6|=18.

4.  Решите уравнение:

5.  Решите уравнение:

6.  Решите уравнение:

7.  Решите уравнение:

8.  Решите уравнение:

9. Решите уравнение:

а) 3(x-1) = |2x-1|;   б) |5-2x|=|x+4|.

10. Решите уравнение:

а) |х2+x|=12;    б) |х2-3x|=10.


Проверь себя


ГДЗ. Математика 5 класс Тарасенкова. Уравнения.

Категория: —>> Математика 5 класс Тарасенкова.

Задание:  —>>      553 — 569  570 — 586 



наверх

  • Задание 553
  • Задание 554
  • Задание 555
  • Задание 556
  • Задание 557
  • Задание 558
  • Задание 559
  • Задание 560
  • Задание 561
  • Задание 562
  • Задание 563
  • Задание 564
  • Задание 565
  • Задание 566
  • Задание 567
  • Задание 568
  • Задание 569

Задание 553.

Какое из чисел 4. 5, 8 и 10 является корнем уравнения:

Решение:
1) 5; 2) 10; 3) 4.

Задание 554.

Решите уравнение устно:

Решение:
1) 15 + x: = 55,  x = 40; 3) 60 — y = 45,  y = 15; 5) 88 : x = 8,  x = 11;
2) х — 22 = 42,  x = 64; 4) у * 12 = 12,  y = 1; 6) у : 10 = 40,  y = 400.

Задание 555.

Можно ли решить уравнение:

1) 8x = 0; 2) 0 : y = 25; 3) 5х = 5 4) 12 : y = 0?

Решение:

1) x = 0;
2) Не имеет решений;
3) x = 1;
4) Не имеет решений;




Задание 556.

Решите уравнение:

Решение:
1)28 + (45 + х) = 100;

  • 45 + x = 100 — 28;
  • 45 + x = 72;
  • x = 72 — 45;
  • x = 27;

2) (у — 25) + 18 = 40;

  • y — 25 = 40 — 18;
  • y — 25 = 22;
  • y = 22 + 25;
  • y = 47;

3) (70 — х) — 35 = 12;

  • 70 — x = 35 + 12;
  • 70 — x = 47;
  • x = 70 — 47;
  • x = 23;

4) 60 -(y + 34) = 5;

  • y + 34 = 60 — 5;
  • y + 34 = 55;
  • y = 55 — 34;
  • y = 21;

5) 52 — (19 + х) = 17;

  • 19 + x = 52 — 17;
  • 19 + x = 35;
  • x = 35 — 19;
  • x = 16;

6) 9y — 18 = 72;

  • 9y = 72 + 18;
  • 9y = 90;
  • y = 90 : 9;
  • y = 10;

7) 20 + 5х = 100;

  • 5x = 100 — 20;
  • 5x = 80;
  • x = 80 : 5;
  • x = 16;

8) 90 — y * 12 = 78;

  • y * 12 = 90 — 78;
  • y * 12 = 12;
  • y = 12 : 12;
  • y = 1;

9) 10х — 44 = 56;

  • 10x = 56 + 44;
  • 10x = 100;
  • x = 100 : 10;
  • x = 10;

10) 84 — 7у = 28;

  • 7y = 84 — 28;
  • 7y = 56;
  • y = 56 : 7;
  • y = 8;
11) 121 : (х — 45) = 11;

  • x — 45 = 121 : 11;
  • x — 45 = 11;
  • x = 45 + 11;
  • x = 56;

12) 77 : (у + 10) = 7;

  • y + 10 = 77 : 7;
  • y + 10 = 11;
  • y = 11 — 10;
  • y = 1;

13) (х — 12) : 10 = 4;

  • x — 12 = 10 * 4;
  • x — 12 = 40;
  • x = 40 + 12;
  • x = 52;

14) 55 — y * 10 = 15;

  • y * 10 = 55 — 15;
  • y * 10 = 40;
  • y = 40 : 10;
  • y = 4;

15) х : 12 + 48 = 91;

  • x : 12 = 91 — 48;
  • x : 12 = 43;
  • x = 43 * 12;
  • x = 516;

16) 5y + 4y = 99;

  • 9y = 99;
  • y = 99 : 9;
  • y = 11;

17) 54х — 27х = 81;

  • 27x = 81;
  • x = 81 : 27;
  • x = 3;

18) 36y — 16y + 5y = 0;

  • 25y = 0;
  • y = 0 : 25;
  • y = 0;

19) 14х + х — 9х + 2 = 56;

  • 6x + 2 = 56;
  • 6x = 56 — 2;
  • 6x = 54;
  • x = 54 : 6;
  • x = 9;

20) 20y — 14у + 7у — 13 = 13.

  • 13y — 13 = 13;
  • 13y = 13 + 13;
  • 13y = 26;
  • y = 26 : 13;
  • y = 2;

Задание 557.

Решите уравнение:

Решение:
1) 65 + (х + 23) = 105;

  • x + 23 = 105 — 65;
  • x + 23 = 40;
  • x = 40 — 23;
  • x = 17;

2) (у — 34) — 10 = 32;

  • y — 34 = 32 + 10;
  • y — 34 = 42;
  • y = 42 + 34;
  • y = 76;

3) (48 — х) + 35 = 82;

  • 48 — x = 82 — 35;
  • 48 — x = 47;
  • x = 48 — 47;
  • x = 1;

4) 77 — (28 + y) = 27;

  • 28 + y = 77 — 27;
  • 28 — y = 50;
  • y = 50 — 28;
  • y = 22;

5) 90 + y * 8 = 154;

6) 9х + 50 = 86;

  • 9x = 86 — 50;
  • 9x = 36;
  • x = 36 : 9;
  • x = 4;

7) 120 : (х — 19) = 6;

  • x — 19 = 120 : 6;
  • x — 19 = 20;
  • x = 19 + 20;
  • x = 39;

8)(y + 50) : 14 = 4;

  • y + 50 = 14 * 4;
  • y + 50 = 56;
  • y = 56 — 50;
  • y = 6;

9) 48 + у : 6 = 95;

  • y : 6 = 95 — 48;
  • y : 6 = 47;
  • y = 6 * 47;
  • y = 282;

10) 8х + 7х — х = 42.

  • 14x = 42;
  • x = 42 : 14;
  • x = 3;

Задание 558.

Составьте уравнение, корнем которого является число:

а) 8; б) 14.

Решение:
а) 2y = 16; б) x + 7 = 21.

Задание 559.

Составьте уравнение, корнем которого является число.

а) 5; б) 9.

Решение:
а) 25 : x = 5; б) 5x = 45.

Задание 560.

Некоторое число увеличили на 67 и получили число 109. Найдите это число.

Решение:
  • Некоторое число — x.
  • x + 67 = 109;
  • x = 109 — 67;
  • x = 42.
  • Ответ: число 42.

Задание 561.

К некоторому числу прибавили 38 и получили число 245. Найдите это число.

Решение:
  • x + 38 = 245;
  • x = 245 — 38;
  • x = 207.
  • Ответ: 207.

Задание 562.

Некоторое число увеличили в 24 раза и получили число 1968. Найдите это число.

Решение:
  • 24x = 1968;
  • x = 1968 : 24;
  • x = 82.
  • Ответ: 82.

Задание 563.

Некоторое число уменьшили в 18 раз и получили число 378. Найдите это число.

Решение:
  • x : 18 = 378;
  • x = 378 * 18;
  • x = 6804.
  • Ответ: 6408.

Задание 564.

Некоторое число уменьшили на 22 и получили число 105. Найдите это число.

Решение:
  • x — 22 = 105;
  • x = 105 + 22;
  • x = 127.
  • Ответ: 127.

Задание 565.

Из числа 128 вычли некоторое число и получили 79. Найдите это число.

Решение:
  • 128 — x = 79;
  • x = 128 — 79;
  • x = 49.
  • Ответ: 49.

Задание 566.

Составьте и решите уравнение:

  • 1) сумма удвоенного числа х и числа 39 равна 81;
  • 2) разность чисел 32 и y в 2 раза меньше числа 64;
  • 3) частное суммы чисел х и 12 и числа 2 равно 40;
  • 4) сумма чисел х и 12 в 3 раза больше числа 15;
  • 5) частное разности чисел у и 12 и числа 6 равно 18;
  • 6) утроенная разность чисел у и 17 равна 63.

Решение:
  • 1) 2x + 39 = 81
    • 2x = 81 — 39;
    • 2x = 42;
    • x = 42 : 2;
    • x = 21;
  • 2) (32 — y) * 2 = 64
    • 32 — y = 64 : 2;
    • 32 — y = 32;
    • y = 32 — 32;
    • y = 0;
  • 3) (x + 12) : 2 = 40
    • x + 12 = 40 * 2;
    • x + 12 = 80;
    • x = 80 — 12;
    • x = 68;
  • 4) (x + 12) : 3 = 15
    • x + 12 = 15 * 3;
    • x + 12 = 45;
    • x = 45 — 12;
    • x = 33;
  • 5) (y — 12) : 6 = 18
    • y — 12 = 18 * 6;
    • y — 12 = 108;
    • y = 108 + 12;
    • y = 120;
  • 6) (y — 17) * 3 = 63
    • y — 17 = 63 : 3;
    • y — 17 = 21;
    • y = 21 + 17;
    • y = 38;

Задание 567.

Составьте и решите уравнение:

  • 1) разность утроенного числа у и числа 41 равна 64;
  • 2) сумма чисел 9 и х в 5 раз меньше числа 80;
  • 3) частное суммы чисел у и 10 и числа 4 равно 16;
  • 4) разность утроенного числа х и числа 17 равна 10.

Решение:
  • 1) 3y — 41 = 64
    • 3y = 64 + 41;
    • 3y = 105;
    • y = 105 : 3;
    • y = 15;
  • 2) (9 + x) * 5 = 80
    • 9 + x = 80 : 5;
    • 9 + x = 16;
    • x = 16 — 9;
    • x = 7;
  • 3) (y + 10) : 4 = 16
    • y + 10 = 16 * 4;
    • y + 10 = 64;
    • y = 64 — 10;
    • y = 54;
  • 4) 3x — 17 = 10
    • 3x = 10 + 17;
    • 3x = 27;
    • x = 27 : 3;
    • x = 9;

Задание 568.

Некоторое число увеличили на 5 и полученное число удвоили. В результате получили число 22. Найдите неизвестное число.

Решение:
  • (x + 5) * 2 = 22;
  • x + 5 = 22 : 2;
  • x + 5 = 11;
  • x = 11 — 5;
  • x = 6;

Задание 569.

Некоторое число увеличили в 7 раз и полученное число уменьшили на 54. В результате получили число 100. Найдите неизвестное число.

Решение:
  • 7x — 54 = 100;
  • 7x = 100 + 54;
  • 7x = 154;
  • x = 154 : 7;
  • x = 22;



Задание:  —>>      553 — 569  570 — 586 

Нахождение неизвестного числа в равенствах вида: х + 5 = 7, х 5 = 15

1. Урок математики в 4 классе по теме: «Нахождение неизвестного числа в равенствах вида: х + 5 = 7, х 5 = 15»

УРОК МАТЕМАТИКИ
В 4 КЛАССЕ ПО ТЕМЕ:
«НАХОЖДЕНИЕ
НЕИЗВЕСТНОГО ЧИСЛА
В РАВЕНСТВАХ ВИДА:
Х + 5 = 7, Х 5 = 15»

2. Разделите математические записи на две группы.

в + 20
х + 12 = 48
а — 20 > 60
с + 24 = 60
а + 35 = 55

3. равенства неравенства

х + 12 =48
в + 20
с + 24 = 60
а – 20 > 60
а + 35 = 55

4. Уравнение — это равенство, в котором есть неизвестный компонент. Решить уравнение — найти неизвестное число, которое можно

записать вместо буквы, чтобы
получить верное равенство.

5. Какое действие надо выполнить, чтобы найти неизвестное первое слагаемое в каждом равенстве?

х + 7050 = 7153
а + 316 = 2004
х = 7153 – 7050
а = 2004 – 316
х = 103
а = 1688
_7153
_2004
7050
316
103
1688
Чтобы найти неизвестное первое слагаемое,
надо из суммы вычесть второе слагаемое.

6. Какое действие надо выполнить, чтобы найти неизвестный первый множитель в каждом равенстве?

Х х 15 = 45
а х 60 = 240
Х = 45 : 15
а = 240 : 60
Х=3
а=4
Ответ: 3
Ответ: 4
Чтобы найти неизвестный первый
множитель, надо произведение разделить
на второй множитель.

7. Карточка — помощница.

План решения:
1. Обозначаю неизвестное число
буквой х.
2. Составляю равенство.
3. Вычисляю неизвестное число по
правилу.

8. Задача.

В аквариуме было несколько рыбок.
Когда в аквариум пустили еще 8 рыбок,
там стало 15 рыбок. Сколько рыбок было
в аквариуме?
х + 8 = 15
х = 15 – 8
х=7
Ответ: 7 рыбок было в аквариуме.

9. Домашнее задание:

◦В учебнике стр. 103 — 104 прочитать.
◦В рабочей тетради стр. 63 — 64
номера 180 — 184.

Решение пропорций | Математика

Рассмотрим решение пропорций на конкретных примерах. 

Решить уравнения с пропорцией:

 1)  25 : x = 10 : 18

Здесь x — неизвестный средний член пропорции. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов разделим на известный средний член:

   

25 и 10 сокращаем на 5. Затем 18 и 2 сокращаем на 2.

   

Ответ: 45.

   

Здесь y — неизвестный крайний член пропорции. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов делим на известный крайний член:

   

   

   

Ответ: 13,5.

При решении пропорций с десятичными дробями удобно для упрощения вычислений использовать основное свойство дроби.

   

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов делим на известный средний член пропорции:

   

В числителе после запятой в общей сложности два знака, в знаменателе — один. Поэтому, умножив и числитель, и знаменатель на 100,  мы получим дробь, равную данной. В числителе умножение на 100 распределим так: каждый из множителей умножим на 10. В знаменателе 0,6 умножим на 10 и результат умножим на 10: 

   

Сокращаем 24 и 6 на 6, 10 и 45 — на 5:

   

Еще раз сокращаем 4 и 2 на 2:

   

   

Ответ: 18.

Решение пропорций с обыкновенными дробями и смешанными числами удобнее записывать в строчку.

   

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов разделим на известный крайний член:

   

Смешанные числа переводим в неправильные дроби:

   

   

   

Ответ: 28.

При решении более сложных пропорций удобно использовать непосредственно основное свойство пропорции.

   

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов:

   

Здесь удобно упростить уравнение, разделив обе части на 5:

   

   

   

   

   

   

Ответ: 10,5.

   

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов:

   

Для упрощения вычислений удобно умножить каждую часть уравнения на 10:

   

   

   

Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

   

   

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

   

Ответ: 1,12.

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

В задании №5 варианта ЕГЭ вам встретятся всевозможные уравнения: квадратные и сводящиеся к квадратным, дробно-рациональные, иррациональные, степенные, показательные и логарифмические и даже тригонометрические. Видите, как много нужно знать, чтобы справиться с заданием! И еще ловушки и «подводные камни», которые ждут вас в самом неожиданном месте.

Вот список тем, которые стоит повторить:

Квадратные уравнения

Арифметический квадратный корень

Корни и степени

Показательная функция

Показательные уравнения

Логарифмическая функция

Логарифмические уравнения

Тригонометрический круг

Формулы приведения

Формулы тригонометрии

Простейшие тригонометрические уравнения 1

Уравнения, сводящиеся к квадратным

1. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Кажется, что уравнение очень простое. Но иногда здесь ошибаются даже отличники. А вот шестиклассник бы не ошибся.

С левой частью уравнения все понятно. Дробь умножается на А в правой части — смешанное число Его целая часть равна 19, а дробная часть равна Запишем это число в виде неправильной дроби:

Получим:

или

Выбираем меньший корень.

Ответ: — 6,5.

2. Решите уравнение

Возведем в квадрат левую часть уравнения. Получим:

Ответ: — 6

Дробно-рациональные уравнения

3. Найдите корень уравнения

Перенесем единицу в левую часть уравнения. Представим 1 как и приведем дроби к общему знаменателю:

Это довольно простой тип уравнений. Главное — внимательность.

Иррациональные уравнения

Так называются уравнения, содержащие знак корня — квадратного, кубического или n-ной степени.

4. Решите уравнение:

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю.

Значит, .

Возведём обе части уравнения в квадрат:

Решим пропорцию:

Условие  при этом выполняется.

Ответ: 87.

5. Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

А в этом уравнении есть ловушка. Решите его самостоятельно и после этого читайте дальше.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень — величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

Решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов:

Мы получили, что . Это единственный корень уравнения.

Типичная ошибка в решении этого уравнения такая. Учащиеся честно пишут ОДЗ, помня, что выражение под корнем должно быть неотрицательно:

Возводят обе части уравнения в квадрат. Получают квадратное уравнение: Находят его корни: или Пишут в ответ: -9 (как меньший из корней). В итоге ноль баллов.

Теперь вы знаете, в чем дело. Конечно же, число -9 корнем этого уравнения быть не может.

6. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Ответ: 9.

Показательные уравнения

При решении показательных уравнений мы пользуемся свойством монотонности показательной функции.

7. Решите уравнение

Вспомним, что Уравнение приобретает вид: Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

откуда

8. Решите уравнение

Представим как

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

Ответ: 7,5.

9. Решите уравнение

Представим в виде степени с основанием 3 и воспользуемся тем, что

Логарифмические уравнения

Решая логарифмические уравнения, мы также пользуемся монотонностью логарифмической функции: каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, значит, равны и сами числа.

И конечно, помним про область допустимых значений логарифма:

Логарифмы определены только для положительных чисел;

Основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

10. Решите уравнение:

Область допустимых значений: . Значит, 

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом 

Ответ: 21.

11. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

Ответ: -4.

12. Решите уравнение:

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Записываем решение как цепочку равносильных переходов.

Ответ: 19.

13. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

В этом уравнении тоже есть ловушка. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

Получим систему:

Первое уравнение мы получили просто из определения логарифма.

Квадратное уравнение имеет два корня: и

Очевидно, корень является посторонним, поскольку основание логарифма должно быть положительным. Значит, единственный корень уравнения:

Тригонометрические уравнения (Часть 1 ЕГЭ по математике)

Тригонометрические уравнения? В первой части вариантов ЕГЭ? — Да. Причем это задание не проще, чем задача 13 из второй части варианта Профильного ЕГЭ.

14. Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Типичная ошибка — решать это уравнение в уме. Мы не будем так делать! Несмотря на то, что это задание включено в первую части варианта ЕГЭ, оно является полноценным тригонометрическим уравнением, причем с отбором решений.

Сделаем замену Получим:

Получаем решения: Вернемся к переменной x.

Поделим обе части уравнения на и умножим на 4.

Первой серии принадлежат решения

Вторая серия включает решения

Наибольший отрицательный корень — тот из отрицательных, который ближе всех к нулю. Это

Ответ: -2.

15. Решите уравнение В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решение:

Сделаем замену Получим: Решения этого уравнения:

Вернемся к переменной х:

Умножим обе части уравнения на 4 и разделим на

Выпишем несколько решений уравнения и выберем наименьший положительный корень:

Наименьший положительный корень

Ответ: 2

Мы разобрали основные типы уравнений, встречающихся в задании №5 Профильного ЕГЭ по математике. Конечно, это не все, и видов уравнений в этой задаче существует намного больше. Успеха вам в подготовке к ЕГЭ!

Решите линейные уравнения с одним неизвестным x / 5 = 15 Tiger Algebra Solver

Переставьте:

Переставьте уравнение, вычтя то, что находится справа от знака равенства с обеих сторон уравнения:

x / 5- (15 ) = 0

Пошаговое решение:

Шаг 1:

 x
 Упростить -
            5
 
Уравнение в конце шага 1:
 x
  - - 15 = 0
  5
 

Шаг 2:

Переписывание целого как эквивалентной дроби:

2. 1 Вычитание целого из дроби

Перепишем целое как дробь, используя в знаменателе 5:

 15 15 • 5
    15 = —— = ——————
          1 5
 

Эквивалентная дробь: Полученная таким образом дробь выглядит иначе, но имеет то же значение, что и целое

Общий знаменатель: Эквивалентная дробь и другая дробь, участвующие в вычислении, имеют один и тот же знаменатель

 
Сложение дробей, имеющих общий знаменатель:
 

2.2 Сложение двух эквивалентных дробей
Сложите две эквивалентные дроби, которые теперь имеют общий знаменатель

Объедините числители вместе, сложите сумму или разность над общим знаменателем, затем уменьшите до наименьшего числа, если возможно:

 x - (15 • 5) х - 75
 знак равно
      5 5
 
Уравнение в конце шага 2:
 x - 75
  —————— = 0
    5
 

Шаг 3:

 
Когда дробь равна нулю:
 3.1 Когда дробь равна нулю ... 

Если дробь равна нулю, ее числитель, часть, которая находится над чертой дроби, должен быть равен нулю.

Теперь, чтобы избавиться от знаменателя, Тигр умножает обе части уравнения на знаменатель.

Вот как:

 x-75
  ———— • 5 = 0 • 5
   5
 

Теперь, в левой части 5 отменяет знаменатель, в то время как в правой части ноль, умноженный на что-либо, по-прежнему равно нулю.

Уравнение теперь принимает форму:
x-75 = 0

Решение уравнения с одной переменной:

3.2 Решите: x-75 = 0

Добавьте 75 к обеим частям уравнения:
x = 75

Было найдено одно решение:

x = 75

Решение рациональных уравнений: Введение | Purplemath

Purplemath

Хотя добавление и вычитание рациональных выражений может быть настоящей головной болью, решение рациональных уравнений, как правило, проще, даже если рациональные выражения добавлены в эти уравнения.(Обратите внимание, что я не говорю, что решение рациональных уравнений «просто»; я просто говорю, что это просто или . ) Это потому, что, как только вы перейдете от рационального выражения (то есть чего-то без «равно») в рациональное уравнение (то есть что-то со знаком «равно» посередине), вы получаете совершенно другой набор инструментов для работы. В частности, если у вас есть знак «равно» в середине, у вас есть две стороны, что означает, что вы можете умножать обе эти части уравнения, и это позволяет вам избавиться от знаменателей.

MathHelp.com

  • Решите следующее уравнение:

Это уравнение настолько простое, что я могу решить его, просто взглянув на него! Как?

У меня две дроби. У этих дробей один и тот же знаменатель. Эти дроби будут равны, если их числители также совпадают, и только тогда. Итак, я могу приравнять числители и получить ответ. Поскольку числители такие простые, я сразу прихожу к своему ответу:


  • Решите следующее уравнение:

( x — 3) / 7 = (4 x + 12) / 7

В этом уравнении дроби по обе стороны от знака «равно».У двух дробей одинаковый знаменатель. Две дроби будут равны, если их числители равны, поэтому я могу «приравнять» числители (то есть я могу сделать их равными) и решить полученное уравнение:

x — 3 = 4 x + 12

–3 — 12 = 4 x x

–15 = 3 x

–5 = x


  • Решите следующее уравнение:

В этом уравнении есть две равные друг другу дроби (которые можно рассматривать как пропорцию). Я могу решить эту проблему тремя способами. Я покажу каждую, и вы сможете выбрать то, что вам больше нравится.

Метод 1: преобразование к общему знаменателю:

Я могу преобразовать в общий знаменатель 15:

Теперь, когда у меня есть «(одна дробь) равна (другая дробь)», я могу приравнять числители:

Метод 2: Умножение на общий знаменатель:

Наименьший общий знаменатель равен 15.Вместо того, чтобы преобразовывать дроби в этот знаменатель (что-то, что было бы , требовало , если бы я складывал или вычитал эти рациональные дроби), я могу вместо этого умножить (то есть умножить обе части уравнения) на 15. Это дает мне:

x — 1 = 2 (3)

x — 1 = 6

х = 7

Метод 3: Перекрестное умножение:

Термин «кросс-умножение» не является техническим, и некоторые инструкторы его абсолютно ненавидят. Но это термин, который вы услышите, и он обозначает метод, который может оказаться полезным.

Так как это уравнение, я могу умножить на все, что захочу. В частности, чтобы избавиться от знаменателей, я могу умножить их на эти знаменатели. В этом случае я бы умножил 15 из знаменателя левой части на 2 в числителе правой части; и я бы умножил 5 из знаменателя правой части на x — 1 в числителе левой части.Другими словами, я бы сделал это:

Этот процесс «пересечения» знака «равно» с каждым знаменателем и умножения каждого на противоположный числитель — это то, что подразумевается под «перекрестным умножением». Это сокращение от «умножения на общие знаменатели, когда есть только две дроби, равные самим себе, а затем упрощение того, что осталось», и может быть хорошим сокращением.

Перекрестное умножение дает мне следующее новое (и линейное) уравнение:

5 ( x — 1) = 15 (2)

5 x — 5 = 30

5 х = 35

х = 7

Итак, по каждому из методов мой ответ:


Примечание. Перекрестное умножение (то есть метод 3 выше) работает только , если уравнение имеет ровно одну дробь с одной стороны от знака «равно», равное ровно одной дроби с другой стороны от знака «равно». .Если в любой из сторон уравнения добавлены (или вычтены) дроби, должны, использовать метод 1 или метод 2.


  • Решите следующее уравнение:

В этом уравнении в левой части были вычтены дроби, поэтому я не могу выполнить перекрестное умножение. Кроме того, в знаменателе появилась новая складка переменных.Это означает, что мне нужно отслеживать значения x , которые вызовут деление на ноль. Эти ценности не могут быть частью моего окончательного ответа. В этом случае знаменатели говорят мне, что мой ответ будет иметь следующее ограничение:

Метод 1. Чтобы решить это уравнение, я могу преобразовать все в общий знаменатель 5 x ( x + 2), а затем сравнить числители:

Здесь знаменатели те же.Так действительно ли они имеют значение? Не совсем — кроме как сказать, какими значениями x быть не может из-за проблем с делением на ноль. На этом этапе две стороны уравнения будут равны, пока числители равны. То есть все, что мне действительно нужно сейчас сделать, это решить числители:

15 x — (5 x + 10) = x + 2

10 x — 10 = x + 2

9 х = 12

x = 12 / 9 = 4 / 3

Поскольку x = 4 / 3 не вызовет каких-либо проблем с делением на ноль в дробях в исходном уравнении, тогда это решение действительно.

Метод 2: Другой метод — найти общий знаменатель, но вместо того, чтобы преобразовывать все в этот знаменатель, я воспользуюсь тем фактом, что здесь у меня есть уравнение. То есть я умножу обе части на общий знаменатель. Это избавит от знаменателей. Я использовал цвета ниже, чтобы выделить части, которые отменяются:

В любом случае мой ответ один и тот же:


Я считаю, что метод 2 быстрее и проще, но это только мои личные предпочтения.По моему опыту в классе, студенты обычно довольно равномерно разделяют свои предпочтения в отношении методов 1 и 2. Вам следует использовать тот метод, который лучше всего подходит для вас.


URL: https://www.purplemath.com/modules/solvrtnl.htm

Решение Y в терминах X с использованием дробей

Первый шаг к решению любого математического уравнения — это понять вопрос. Например, если кто-то говорит вам: «Мой возраст вдвое больше вас», и вы знаете, что вам пятнадцать лет, тогда вам не составит труда определить, что этому человеку 30 лет.

Это же утверждение можно записать как y = 2x, где y — возраст человека, а x — ваш возраст.

Теперь предположим, что ваш брат вдвое моложе вас и этого человека. Эту же задачу теперь можно записать как y = 2x + ½x. В этом уравнении мы пытаемся найти возраст вашего брата в зависимости от вашего возраста.

В этой ситуации мы предполагаем, что ваш возраст — неизвестная переменная x. Именно такие задачи вводят концепции решения одной переменной с точки зрения другой.

В этом разделе мы будем решать для Y в терминах X, используя дроби и различные задействованные методы. Не существует единого способа найти Y в терминах X с использованием дробей. Вы станете лучше, когда будете практиковаться и начнете реализовывать свои собственные техники.

Давайте решим для

иен

Мы начнем с простых примеров, которые решают x через y. Затем, в конце концов, мы перейдем к более сложным.

Еще раз, чтобы решить y через x, нужно найти это значение y, но не обязательно как константу, а в форме x. Решите приведенные ниже уравнения относительно y через x.

Пример 1

2 года — 6x = 12

Решение
  • 2y = 12 + 6x (разделите обе стороны на 2)
  • Y = 6 + 3x

Это означает, что мы нашли значение y, но не только как константу. Найденное нами значение y зависит от значения x.Если x равно 1, тогда y равно 9. Если x равно 2, тогда y будет 12 и т. Д.

Пример 2

х / 5 + 1 / у = 3

Решение
  • x / 5 + 1 / y = 3 (давайте сложим первые две дроби с x и y)
  • (xy + 5) / 5y = 3 (умножаем обе стороны на 5y)
  • Xy + 5 = 15y (вычесть xy с обеих сторон)
  • 5 = 15y –xy (за вычетом y)
  • 5 = y (15 — x) (разделить обе части на (15 — x))
  • 5 / (15 — х) = у
  • Y = 5 / (15 — х)

Пример 3

г / 3 — 4x / 6 = 5

Решение

Y / 3 — 4x / 6 = 5

Первое, чего мы хотим достичь, — это растворить уравнение, чтобы оно больше не принадлежало фракциям. Складываем первые два уравнения

  • y / 3 — 4x / 6 (их наименьшее общее кратное знаменателя равно 6, поэтому уравнение принимает вид)
  • (2y — 4x) / 6 = 5 (кросс-умножение для растворения фракций)
  • 2y — 4x = 30 (переставляем, чтобы получить y)
  • 2y = 4x + 30 (разделите обе стороны на 2)
  • Y = 2x + 15

В этом уравнении значение y через x равно 2x + 15

Пример 4

у + 1 / у = х

Решение

Первое, что нужно сделать, это попытаться растворить фракцию.Этого можно добиться, умножив обе части на y: y2 + 1 = xy.

Это, однако, оставляет нам на руки квадратное уравнение: y2 — xy + 1 = 0

Если вы раньше имели дело с квадратными уравнениями, то вы знакомы с правилом для ay2 + by + c = 0, где a не равно нулю, тогда уравнение также можно записать как:

  • a (y2 + bx / a) = — c (разделить обе части на a)
  • y2 + by / a = -c / a (чтобы возвести в квадрат левую часть, мы прибавляем (b / 2a) 2 к обеим сторонам)
  • y2 + by / a + (b / 2a) 2 = — c / a + (b / 2a) 2
  • (y + b / 2a) 2 = -c / a + b2 / 4a2 (извлечение квадратного корня из обеих частей)
  • y + b / 2a = + Ö (-c / a + b2 / 4a2) или
  • X + b / 2a = -Ö (-c / a + b2 / 4a2) (теперь, упрощая значение y, уравнение становится)
  • у = — b / 2a ± Ö (-c / a + b2 / 4a2)
  • y = (-b + Ö (b2 — 4ac)) / 2a или
  • y = (-b — Ö (b2 — 4ac)) / 2a
  • в уравнении Y2 — xy + 1 = 0
  • а = 1,
  • b = -x
  • с = 1

Это означает, что while имеет два значения. Его одно из следующих:

  • y = (x + Ö (x2 — 4)) / 2 или
  • у = (х — Ö (x2 — 4)) / 2

Сначала это может показаться немного сложным, особенно та часть, где нам нужно было найти корень квадратного уравнения, но это становится проще. В следующем примере мы просто пропустим все шаги, поскольку мы уже знаем, что корень любого квадратного уравнения ay2 + by + c = 0, где «a» не равно нулю, равен y = (-b + Ö (b2 — 4ac )) / 2a или y = (-b — Ö (b2 — 4ac)) / 2a.

Все, что нам нужно сделать, это найти значения a, b и c. Затем мы можем подставить их в уравнение корней, чтобы найти y.

Пример 5

2x = 4 / г + у

Решение
  • 2x = 4 / y + y (чтобы удалить дробь, умножьте обе части на y)
  • 2xy = 4 + y2 (это также можно изменить на)
  • y2 — 2xy + 4 = 0

Теперь, используя квадратное уравнение ay2 + by + c = 0

Давайте подставим эти значения в уравнение корней

  • y = (-b + Ö (b2 — 4ac)) / 2a или
  • y = (-b — Ö (b2 — 4ac)) / 2a
  • y = (- (- 2x) + Ö ((- 2x) 2-4 * 1 * 4)) / 2 * 1
  • y = (2x + Ö (4×2 — 16)) / 2 или
  • y = (2x — Ö (4×2 — 16)) / 2

Завершение

Как вы можете видеть из приведенных выше примеров, не существует единого прямого способа решить для y через x, используя дроби. На основе имеющихся значений вы можете решать линейное алгебраическое уравнение, одновременные уравнения или квадратное уравнение.

Какой бы из них вы ни выбрали, он основан на ценностях, которые вы указали в вопросе. Во-первых, попробуйте упростить дроби. Это позволяет узнать, какое уравнение вы будете решать.

Оставьте первый комментарий ниже.

Решение рациональных уравнений — ChiliMath

Рациональное уравнение — это тип уравнения, в котором используется по крайней мере одно рациональное выражение, причудливое название для дроби .Лучший подход к решению этого типа уравнения — исключить все знаменатели, используя идею ЖК-дисплея (наименьшего общего знаменателя). Таким образом, оставшееся уравнение, с которым приходится иметь дело, обычно либо линейное, либо квадратичное.

В этом уроке я хочу рассмотреть более десяти (10) рабочих примеров с различными уровнями сложности. Я считаю, что большинство из нас изучает математику, глядя на множество примеров. Вот так!


Примеры решения рациональных уравнений

Пример 1: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Было бы неплохо, если бы знаменателей не было? Что ж, мы не можем просто стереть их без какого-либо правильного алгебраического шага. Подход состоит в том, чтобы найти наименьший общий знаменатель (также известный как наименьшее общее кратное) и использовать его для умножения обеих сторон рационального уравнения. Это приводит к удалению знаменателей, оставляя нам регулярные уравнения, которые мы уже знаем, как решать, такие как линейные и квадратичные. В этом суть решения рациональных уравнений.

  • ЖК-дисплей 6x.Я умножу обе части рационального уравнения на 6x, чтобы избавиться от знаменателей. В любом случае, это наша цель — сделать нашу жизнь намного проще.
  • У вас должно получиться примерно такое после раздачи жк.
  • Я решил оставить переменную x справа. Поэтому удалите -5x слева, добавив обе стороны по 5x.
  • Упростить. Теперь очевидно, как решить это одношаговое уравнение. Разделите обе части на коэффициент 5x.
  • Ага! Окончательный ответ — x = 2 после проверки его обратно в исходное рациональное уравнение. Это дает правдивое заявление.

Всегда возвращайте свои «решенные ответы» в исходное уравнение, чтобы исключить посторонние решения. Это важный аспект общего подхода при решении таких проблем, как рациональные уравнения и радикальные уравнения.


Пример 2: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Первым шагом в решении рационального уравнения всегда является поиск «серебряной пули», известной как ЖКД. Итак, для этой проблемы найти ЖК-дисплей просто.

Ну вот.

Попытайтесь выразить каждый знаменатель как уникальных степеней простых чисел, переменных и / или членов.

Умножьте вместе единицы с наивысшими показателями для каждого уникального простого числа , переменной и / или членов, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.

  • ЖК-дисплей 9x.Распределите его по обеим сторонам уравнения, чтобы избавиться от знаменателей.
  • Чтобы переменные оставались слева, вычтите обе части на 63.
  • Полученное уравнение представляет собой одношаговое уравнение. Разделите обе части на коэффициент при x.
  • Вот и все! Верните значение x = — \, 39 обратно в основное рациональное уравнение, и оно должно убедить вас, что оно работает.

Пример 3: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Похоже жк уже выдан. У нас есть единственный и общий член \ left ({x — 3} \ right) для обоих знаменателей. Число 9 имеет тривиальный знаменатель 1, поэтому я не буду его учитывать. Следовательно, ЖК-дисплей должен быть \ влево ({x — 3} \ right).

  • ЖК-дисплей здесь \ left ({x — 3} \ right). Используйте его как множитель к обеим сторонам рационального уравнения.
  • Надеюсь, вы получите это линейное уравнение после некоторых отмен.

Распределите константу 9 в \ left ({x — 3} \ right).

  • Объедините константы в левой части уравнения.
  • Переместите все числа вправо, прибавив 21 к обеим сторонам.
  • Неплохо. Снова возьмите за привычку проверять решенный «ответ» из исходного уравнения.

Это должно сработать, так что да, окончательный ответ — x = 2.


Пример 4: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Я надеюсь, что теперь вы сможете определить, какой ЖК-дисплей для этой проблемы, осмотрев. Если нет, все будет хорошо. Просто продолжайте повторять несколько примеров, и по мере продвижения они будут иметь больше смысла.

Попытайтесь выразить каждый знаменатель как уникальных степеней простых чисел, переменных и / или членов.

Умножьте вместе единицы с наивысшими показателями для каждого уникального простого числа , переменной и / или членов, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.

  • ЖК-дисплей — 4 \ влево ({x + 2} \ вправо).Умножьте на него каждую часть уравнения.
  • После тщательного преобразования ЖК-дисплея в рациональное уравнение, я надеюсь, что у вас тоже есть это линейное уравнение.

Краткое примечание : Если вы когда-либо сталкивались с остатками в знаменателе после умножения, это означает, что у вас неправильный ЖК-дисплей.

Теперь распределите константы в скобках с обеих сторон.

  • Объедините константы в левой части, чтобы упростить его.
  • На этом этапе примите решение, где сохранить переменную.
  • Удерживая x слева, мы вычитаем обе стороны на 4.
  • Вот и все. Проверьте свой ответ, чтобы убедиться в его достоверности.

Пример 5: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Ориентируясь по знаменателям, ЖК-дисплей должен быть 6x. Почему?

Помните, перемножайте вместе «каждую копию» простых чисел или переменных с наибольшей степенью.

  • ЖК-дисплей 6x. Распределите по обе стороны данного рационального уравнения.
  • Так должно выглядеть после осторожной отмены аналогичных условий.

Укажите константу в круглых скобках.

  • Переменную x можно комбинировать в левой части уравнения.
  • Поскольку слева только одна константа, я оставлю переменную x на противоположной стороне.
  • Итак, я вычитаю обе стороны в 5 раз.2} + 4x — 5 = \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x — 1} \ right). Не плохо?

    Поиск ЖК-дисплея как и в предыдущих задачах.

    Попытайтесь выразить каждый знаменатель как уникальных степеней простых чисел, переменных и / или членов. В этом случае у нас есть члены в виде двучленов.

    Умножьте вместе единицы с наивысшими показателями для каждой уникальной копии простого числа, переменной и / или членов, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.

    • Прежде чем я распределю ЖК-дисплей по рациональным уравнениям, полностью вычеркните знаменатели.

    Это помогает в отмене общих условий позже.

    • Умножьте каждую сторону на ЖК-дисплей.
    • Вау! Удивительно, как быстро был убран «беспорядок» исходной проблемы.
    • Избавьтесь от скобок возле свойства распределения.

    У вас должно получиться очень простое уравнение.


    Пример 7: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

    Поскольку знаменатели представляют собой два уникальных бинома, логично, что ЖК-дисплей — это всего лишь их продукт.

    • ЖК-дисплей находится в \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x — 5} \ right). Разложите это на рациональное уравнение.
    • В результате получается произведение двух биномов с обеих сторон уравнения.

    Использование метода FOIL имеет большой смысл. Это звонит в колокол?

    • Я расширил обе части уравнения, используя FOIL.2}.
    • Задача сводится к регулярному линейному уравнению из квадратичного.
    • Чтобы изолировать переменную x с левой стороны, необходимо сложить обе стороны на 6x.
    • Переместите все константы вправо.
    • Наконец, разделите обе стороны на 5, и все готово.

    Пример 8: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

    Это выглядит немного устрашающе.Но если мы будем придерживаться основ, например, правильно найти ЖК-дисплей и тщательно умножить его на уравнение, мы должны понять, что можем довольно легко управлять этим «зверем».

    Выражение каждого знаменателя в виде уникальной степени выражений

    Умножьте каждый уникальный член с наибольшей степенью, чтобы получить ЖК-дисплей

    • Выносим за скобки знаменатели.
    • Умножьте обе стороны на полученный выше ЖК-дисплей.

    Будьте осторожны со своими отменами.

    • У вас должно получиться что-то вроде этого, если все сделано правильно.
    • На следующем шаге поместите константы в круглые скобки.

    С каждым шагом это становится все проще!

    Я бы объединил похожие термины с обеих сторон, чтобы еще больше упростить.

    • Это просто многоступенчатое уравнение с переменными с обеих сторон. Легкий!
    • Чтобы оставить x слева, вычтите обе стороны на 10x.
    • Переместите все чистые числа вправо.
    • Вычтите обе стороны на 15.
    • Простое одношаговое уравнение.
    • Разделите обе части на 5, чтобы получить окончательный ответ. Опять же, не забудьте вернуть значение в исходное уравнение для проверки.

    Пример 9: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

    Давайте найдем ЖК-дисплей для этой задачи и воспользуемся им, чтобы избавиться от всех знаменателей.

    Выразите каждый знаменатель в виде уникальной степени выраженности.

    Умножьте каждый уникальный член на наибольшую степень, чтобы определить ЖК-дисплей.

    • Полностью вынести за скобки знаменатели
    • Распределите найденный выше ЖК-дисплей в данном рациональном уравнении, чтобы исключить все знаменатели.
    • Мы свели задачу к очень простому линейному уравнению. В этом «волшебство» использования ЖК-дисплея.

    Умножьте константы в скобки.

    • Держите переменную слева, вычитая x с обеих сторон.
    • Держите константы справа.
    • Складываем обе стороны на 8, чтобы найти x. Сделанный!

    Пример 10: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

    Начните с определения ЖК-дисплея. Выразите каждый знаменатель в виде степеней уникальных терминов. Затем перемножьте выражения с наивысшими показателями для каждого уникального члена , чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.

    Итак, у нас есть

    • Выносим полностью знаменатели за скобки.
    • Распределите найденный выше ЖК-дисплей по рациональному уравнению, чтобы исключить все знаменатели.
    • Укажите константу в круглых скобках.
    • Критический шаг : Здесь мы имеем дело с квадратным уравнением. Поэтому держите все (как переменные, так и константы) на одной стороне, заставляя противоположную сторону равняться нулю.2} — 5x + 4 = \ left ({x — 1} \ right) \ left ({x — 4} \ right). Вы можете проверить это методом FOIL. 5 = 1 $$

      Очевидно, что $ (1,0) $ и $ (0,1) $ являются решениями $ \ eqref {main-poly} $, потому что если одно из $ x, y $ равно $ 0 $, то другое должно быть равным 1 $.5 \ = \ 1 $.

      Итак, единственные возможные решения $ (*) $: $ (1,0) $, $ (0,1) $, $ (-1,2) $, $ (2, -1) $,

      Решение линейных и квадратных уравнений с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

      Решение уравнений — центральная тема алгебры. В этой главе мы изучим некоторые методы решения уравнений с одной переменной. Для этого мы будем использовать навыки, полученные при манипулировании числами и символами алгебры, а также операции с целыми числами, десятичными знаками и дробями, которые вы изучили в арифметике.

      УСЛОВНЫЕ И ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

      ЗАДАЧИ

      По завершении этого раздела вы сможете:

      1. Классифицируйте уравнение как условное или тождественное.
      2. Решайте простые уравнения мысленно.
      3. Определите, эквивалентны ли определенные уравнения.

      Уравнение — это выражение в символах, что два числовых выражения равны.

      Уравнения можно разделить на два основных типа:

      1.Идентификатор верен для всех значений буквенных и арифметических чисел в нем.

      Пример 1 5 x 4 = 20 — это идентичность.

      Пример 2 2 + 3 = 5 — это идентичность.

      Пример 3 2x + 3x = 5x — это тождество, поскольку любое значение, замененное на x, даст равенство.

      2. Условное уравнение верно только для определенных значений буквальных чисел в нем.

      Пример 4 x + 3 = 9 верно, только если буквальное число x = 6.

      Пример 5 3x — 4 = 11 верно, только если x = 5.

      Буквальные числа в уравнении иногда называют переменными .

      Поиск значений, которые делают условное уравнение истинным, является одной из основных целей этого текста.

      Решение или корень уравнения — это значение переменной или переменных, которые делают уравнение истинным.

      Говорят, что решение или корень для удовлетворяет уравнению .

      Решение уравнения означает нахождение решения или корня.

      Многие уравнения можно решить мысленно. Умение мысленно решить уравнение будет зависеть от умения манипулировать числами в арифметике. Чем лучше вы знаете факты умножения и сложения, тем более искусными вы будете в решении уравнений в уме.

      Пример 6 Решите относительно x: x + 3 = 7

      Решение

      Чтобы получить истинное утверждение, нам нужно значение x, которое при добавлении к 3 даст 7.Наши знания арифметики показывают, что 4 — это необходимое значение. Следовательно, решение уравнения x = 4.

      Какое число, добавленное к 3, равно 7?

      Пример 7 Решите относительно x: x — 5 = 3

      Решение

      Из какого числа вычитаем 5, чтобы получить 3? Опять же наш опыт с арифметикой говорит нам, что 8 — 5 = 3. Следовательно, решение x = 8.

      Пример 8 Решите относительно x: 3x = 15

      Решение

      Какое число нужно умножить на 3, чтобы получить 15? Наш ответ — x = 5.

      Решение

      На какое число разделим 2, чтобы получить 7? Наш ответ — 14.

      Пример 10 Решите относительно x: 2x — 1 = 5

      Решение

      Мы бы вычли 1 из 6, чтобы получить 5. Таким образом, 2x = 6. Тогда
      х = 3.

      Независимо от того, как решается уравнение, решение всегда следует проверять на правильность.

      Пример 11 Студент решил уравнение 5x — 3 = 4x + 2 и нашел ответ x = 6.Было это правильно или неправильно?

      Решение

      Удовлетворяет ли x = 6 уравнению 5x — 3 = 4x + 2? Чтобы проверить, мы подставляем 6 вместо x в уравнение, чтобы увидеть, получим ли мы истинное утверждение.

      Это неверное утверждение, поэтому ответ x = 6 неверен.

      Другой студент решил то же уравнение и нашел x = 5.

      Это верное утверждение, поэтому x = 5 верно.

      Многие студенты думают, что, когда они нашли решение уравнения, проблема решена. Не так! Последним шагом всегда должна быть проверка решения.

      Не все уравнения можно решить мысленно. Теперь мы хотим представить идею, которая является шагом к упорядоченному процессу решения уравнений.

      Является ли x = 3 решением x — 1 = 2?
      Является ли x = 3 решением 2x + I = 7?
      Что можно сказать об уравнениях x — 1 = 2 и 2x + 1 = 7?

      Два уравнения эквивалентны , если они имеют одно и то же решение или решения

      Пример 12 3x = 6 и 2x + 1 = 5 эквивалентны, потому что в обоих случаях x = 2 является решением.

      Методы решения уравнений включают процессы преобразования уравнения в эквивалентное уравнение. Если сложное уравнение, такое как 2x — 4 + 3x = 7x + 2 — 4x, можно заменить на простое уравнение x = 3, а уравнение x = 3 эквивалентно исходному уравнению, то мы решили уравнение.

      Два вопроса теперь становятся очень важными.

      1. Эквивалентны ли два уравнения?
      2. Как мы можем заменить одно уравнение другим уравнением, которое ему эквивалентно?

      Ответ на первый вопрос находится по принципу подстановки.

      Пример 13 Являются ли 5x + 2 = 6x — 1 и x = 3 эквивалентными уравнениями?

      Решение

      Ответ на второй вопрос включает методы решения уравнений, которые будут обсуждаться в следующих нескольких разделах.

      Чтобы правильно использовать принцип подстановки, мы должны подставить цифру 3 вместо x везде, где x встречается в уравнении.

      ПРАВИЛО ПОДРАЗДЕЛЕНИЯ

      ЗАДАЧИ

      По завершении этого раздела вы сможете:

      1. Используйте правило деления для решения уравнений.
      2. Решите некоторые основные прикладные задачи, решение которых связано с использованием правила деления.

      Как упоминалось ранее, мы хотим представить упорядоченную процедуру решения уравнений. Эта процедура включает четыре основных операции, первая из которых представлена ​​в этом разделе.

      Если каждый член уравнения представляет собой деление на одно и то же ненулевое число, результирующее уравнение будет на эквивалентно исходному уравнению.

      Чтобы подготовиться к использованию правила деления для решения уравнений, мы должны обратить внимание на следующий процесс:

      (Мы обычно пишем 1x как x с пониманием коэффициента 1.)

      Пример 1 Решите относительно x: 3x = 10

      Решение

      Наша цель — получить x = некоторое число. Правило деления позволяет нам разделить каждый член 3x = 10 на одно и то же число, и наша цель найти значение x будет означать, что мы делим на 3. Это дало бы нам коэффициент 1 для x.

      Проверить: 3x = 10 и x = эти эквивалентные уравнения?

      Подставляем вместо x в первое уравнение, получая

      Уравнения эквивалентны, поэтому решение правильное.

      Пример 2 Решите относительно x: 5x = 20

      Решение

      Обратите внимание, что правило деления не позволяет нам делить на ноль. Поскольку деление на ноль недопустимо в математике, такие выражения, как
      бессмысленны.

      Пример 3 Решите относительно x: 8x = 4

      Решение

      Ошибки иногда допускаются в очень простых ситуациях.Не обращайте внимания на эту проблему и приходите к x = 2!
      Обратите внимание, что правило деления позволяет нам разделить каждый член уравнения на любое ненулевое число, и полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.
      Следовательно, мы можем разделить каждую часть уравнения на 5 и получить, что эквивалентно исходному уравнению.
      Однако деление на 5 не помогает найти решение. На какое число нужно разделить, чтобы найти решение?

      Пример 4 Решите относительно x: 0.5x = 6

      Решение

      Пример 6 Формула для определения длины окружности (C) окружности: C = 2πr, где π представляет радиус окружности и составляет приблизительно 3,14. Найдите радиус круга, если измеренная длина окружности равна 40,72 см. Дайте правильный ответ с точностью до двух знаков после запятой.

      Решение

      Чтобы решить задачу, связанную с формулой, сначала воспользуемся принципом подстановки.

      Окружность означает «расстояние вокруг».»Это периметр круга.
      Радиус — это расстояние от центра до круга.

      ПРАВИЛО ВЫЧИСЛЕНИЯ

      ЗАДАЧИ

      По завершении этого раздела вы сможете использовать правило вычитания для решения уравнений.

      В этом разделе будет обсуждаться второй шаг к упорядоченной процедуре решения уравнений. Вы будете использовать свои знания одинаковых терминов из главы 1, а также методы из раздела ПРАВИЛО ПОДРАЗДЕЛЕНИЯ .Обратите внимание, как новые идеи в алгебре основываются на предыдущих знаниях.

      Если та же величина равна , вычитая из обеих частей уравнения, полученное уравнение будет равно , эквивалентному исходному уравнению.

      Пример 1 Решите относительно x, если x + 7 = 12.

      Решение

      Хотя это уравнение легко решить в уме, мы хотим проиллюстрировать правило вычитания. Мы должны думать так:

      «Я хочу решить относительно x, поэтому мне нужно, чтобы x был сам по себе в одной части уравнения.Но у меня x + 7. Так что, если я вычту 7 из x + 7, у меня будет только x с левой стороны ». (Помните, что величина, вычтенная из себя, дает ноль.) Но если мы вычтем 7 из одной стороны от числа. уравнение требует, чтобы мы вычли 7 и из другой стороны. Итак, мы действуем следующим образом:

      Обратите внимание, что x + 0 можно записать просто как x, поскольку ноль, добавленный к любому количеству, равен самому количеству.

      Пример 2 Решите относительно x: 5x = 4x + 3

      Решение

      Здесь наше мышление должно развиваться таким же образом.«Я хочу получить все неизвестные величины с одной стороны уравнения и все арифметические числа с другой, поэтому у меня есть уравнение в форме x = некоторое число. Таким образом, мне нужно вычесть Ax с обеих сторон».

      Наша цель — найти x = некоторое число.
      Помните, что проверка вашего решения — важный шаг в решении уравнений.

      Пример 3 Решите относительно x: 3x + 6 = 2x + 11

      Здесь у нас более сложная задача.Сначала вычтите 6 с обеих сторон.

      Теперь мы должны исключить 2x с правой стороны, вычтя 2x с обеих сторон.

      Теперь мы рассмотрим решение, которое требует использования как правила вычитания, так и правила деления.

      Обратите внимание, что вместо первого вычитания 6 мы могли бы сначала вычесть 2x с обеих сторон, получив
      3x — 2x + 6 = 2x — 2x + 11
      x + 6 = 11.
      Затем, вычитая 6 из обеих сторон, мы имеем
      х + 6-6 = 11-6
      х = 5.

      Имейте в виду, что наша цель — x = некоторое число.

      Пример 4 Решите относительно x: 3x + 2 = 17

      Решение

      Сначала мы используем правило вычитания, чтобы вычесть 2 из обеих сторон, получая

      Затем мы используем правило деления, чтобы получить

      Пример 5 Решите относительно x: 7x + 1 = 5x + 9

      Решение

      Сначала воспользуемся правилом вычитания.

      Тогда правило деления дает нам

      Пример 6 Периметр (P) прямоугольника находится по формуле P = 2l + 2w, где l обозначает длину, а w обозначает ширину.Если периметр прямоугольника 54 см, а длина 15 см, какова ширина?

      Решение

      Периметр — это расстояние вокруг. Вы понимаете, почему формула P = 2l + 2w?

      ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ПРАВИЛО

      ЗАДАЧИ

      По завершении этого раздела вы сможете использовать правило сложения для решения уравнений.

      Теперь мы переходим к следующей операции в нашей цели разработки упорядоченной процедуры решения уравнений.Еще раз, мы будем полагаться на предыдущие знания.

      Если та же величина равна и добавляется к обеим сторонам уравнения, полученное уравнение будет равно , эквивалентному к исходному уравнению.

      Пример 1 Решите относительно x, если x — 7 = 2.

      Решение

      Как всегда, решая уравнение, мы хотим прийти к форме «x = некоторое число». Мы замечаем, что 7 было вычтено из x, поэтому, чтобы получить только x в левой части уравнения, мы прибавляем 7 к обеим частям.

      Не забывайте всегда проверять свое решение.

      Пример 2 Решите относительно x: 2x — 3 = 6

      Решение

      Помня о нашей цели получить только x, мы замечаем, что, поскольку 3 было вычтено из 2x, мы добавляем 3 к обеим частям уравнения.

      Теперь мы должны использовать правило деления.

      Почему мы прибавляем 3 к обеим сторонам?
      Обратите внимание, что в примере простое использование правила сложения не решает проблему.

      Пример 3 Решите относительно x: 3x — 4 = 11

      Решение

      Сначала воспользуемся правилом сложения.

      Затем, используя правило деления, получаем

      Здесь снова нам нужно было использовать как правило сложения, так и правило деления для решения уравнения.

      Пример 4 Решите относительно x: 5x = 14 — 2x

      Решение

      Здесь наша цель получить только x с одной стороны предполагает, что мы удалим 2x справа, поэтому мы добавляем 2x к обеим сторонам уравнения.

      Теперь применим правило деления.

      Здесь снова нам нужно было использовать как правило сложения, так и правило деления для решения уравнения.
      Обратите внимание, что мы проверяем, всегда подставляя решение в исходное уравнение.

      Пример 5 Решите относительно x: 3x — 2 = 8 — 2x

      Решение

      Здесь наша задача более сложная. Мы должны подумать об удалении числа 2 из левой части уравнения, а также lx из правой части, чтобы получить только x с одной стороны.Сначала мы можем сделать что-то из этого. Если мы выберем сначала прибавить 2x к обеим сторонам, мы получим

      Теперь прибавляем 2 к обеим сторонам.

      Наконец, правило деления дает

      Можно сначала добавить 2 к обеим сторонам? Попытайся!

      ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ

      ЗАДАЧИ

      По завершении этого раздела вы сможете:

      1. Используйте правило умножения для решения уравнений.
      2. Решите пропорции.
      3. Решите основные прикладные задачи, используя правило умножения.

      Теперь мы подошли к последней из четырех основных операций при разработке нашей процедуры решения уравнений. Мы также введем соотношение и пропорции и воспользуемся правилом умножения для определения пропорций.

      Если каждый член уравнения равен , умноженному на на такое же ненулевое число, полученное уравнение будет равно , эквивалентному исходному уравнению.

      В элементарной арифметике одни из самых сложных операций с дробями. Правило умножения позволяет избежать этих операций при решении уравнения, содержащего дроби, путем нахождения эквивалентного уравнения, содержащего только целые числа.

      Помните, что когда мы умножаем целое число на дробь, мы используем правило

      Теперь мы готовы решить уравнение с дробями.

      Обратите внимание, что в каждом случае только числитель дроби умножается на целое число.

      Пример 4

      Решение

      Имейте в виду, что мы хотим получить только x на одной стороне уравнения. Мы также хотели бы получить уравнение в целых числах, которое эквивалентно данному уравнению. Чтобы исключить дробь в уравнении, нам нужно умножить на число, которое делится на знаменатель 3. Таким образом, мы используем правило умножения и умножаем каждый член уравнения на 3.

      Теперь у нас есть эквивалентное уравнение, которое содержит только целые числа.Используя правило деления, получаем

      Чтобы исключить дробь, нам нужно умножить ее на число, которое делится на знаменатель.
      В этом примере нам нужно умножить на число, которое делится на 3.
      Мы могли бы умножить обе стороны на 6, 9, 12 и так далее, но уравнение проще и легче работать, если использовать наименьшее несколько.

      Пример 5

      Решение

      Посмотрите, получите ли вы такое же решение, умножив каждую часть исходного уравнения на 16.
      Всегда проверяйте исходное уравнение.

      Пример 6

      Решение

      Здесь наша задача такая же, но немного сложнее. Нам нужно исключить две фракции. Мы должны умножить каждый член уравнения на число, которое делится как на 3, так и на 5. Лучше всего использовать наименьшее из таких чисел, которое, как вы помните, — это наименьшее общее кратное . Поэтому мы умножим на 15.

      В арифметике вы могли использовать наименьшее общее кратное как «наименьший общий знаменатель».»

      Пример 7

      Решение

      Наименьшее общее кратное для 8 и 2 равно 8, поэтому мы умножаем каждый член уравнения на 8.

      Теперь воспользуемся правилом вычитания.

      Наконец, правило деления дает нам

      Перед умножением замените любые смешанные числа на неправильные дроби. В этом примере измените.
      Помните, что каждый член нужно умножить на 8.
      Обратите внимание, что в этом примере мы использовали три правила для поиска решения.

      Решение простых уравнений путем умножения обеих частей на одно и то же число часто встречается при изучении соотношения и пропорции.

      Соотношение — это частное двух чисел.

      Отношение числа x к числу y можно записать как x: y или. В общем, дробная форма более значима и полезна. Таким образом, мы запишем отношение 3 к 4 как.

      Соотношение — это утверждение, что два соотношения равны.

      Пример 8

      Решение

      Нам нужно найти такое значение x, чтобы отношение x к 15 было равно отношению 2 к 5.

      Умножая каждую часть уравнения на 15, получаем

      Почему мы умножаем обе части на 15?
      Проверьте это решение в исходном уравнении.

      Пример 9 Какое число x имеет такое же отношение к 3, как 6 к 9?

      Решение

      Чтобы найти x, сначала запишем пропорцию:

      Затем мы умножаем каждую часть уравнения на 9.

      Скажите себе: «2 равно 5, как x равно 10».
      Проверить!

      Пример 11 Отношение количества женщин к количеству мужчин в математическом классе составляет 7: 8. Если в классе 24 мужчины, сколько женщин в классе?

      Решение

      Пример 12 Два сына должны были разделить наследство в соотношении 3 к 5. Если сын, получивший большую часть, получил 20 000 долларов, какова была общая сумма наследства?

      Решение

      Теперь мы добавляем 20 000 долларов США + 12 000 долларов США, чтобы получить общую сумму в 32 000 долларов США.

      Проверить!
      Опять же, будьте осторожны при настройке пропорций. В соотношении 3/5 доля 5 составляет большую часть. Следовательно, поскольку 20 000 долларов — это большая часть, она также должна быть указана в знаменателе.

      Пример 13 Если юридические требования к вместимости комнаты требуют 3 кубических метров воздушного пространства на человека, сколько людей могут законно занимать комнату шириной 6 метров, длиной 8 метров и высотой 3 метра?

      Решение

      Итак, вместимость юридической комнаты составит 48 человек.

      Это означает, что «1 человек составляет 3 кубических метра, а x человек — 144 кубических метра».
      Проверить решение.

      ОБЪЕДИНЕНИЕ ПРАВИЛ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

      ЗАДАЧИ

      По завершении этого раздела вы сможете:

      1. Используйте комбинации различных правил для решения более сложных уравнений.
      2. Применяйте упорядоченные шаги, описанные в этом разделе, для систематического решения уравнений.

      Многие упражнения в предыдущих разделах требовали использования более чем одного правила в процессе решения.На самом деле, вполне возможно, что одна задача может включать в себя все правила

      .

      Не существует обязательного процесса решения уравнений, включающего более одного правила, но опыт показал, что следующий порядок дает более плавную и безошибочную процедуру.

      Первый Удалите дроби, если они есть, умножив каждый член уравнения на наименьшее общее кратное всех знаменателей дробей в уравнении.
      Второй Упростите, комбинируя одинаковые члены с каждой стороны уравнения.
      Третий Сложите или вычтите необходимые количества, чтобы получить неизвестное количество с одной стороны и арифметические числа с другой стороны.
      Четвертый Разделите на коэффициент неизвестной величины.
      Пятый Проверьте свой ответ.

      Помните, коэффициент — это число, умноженное на букву. (То есть в выражении 5x коэффициент равен 5.)
      Еще раз убедитесь, что каждый термин
      умножить на 3.

      Решение

      Умножение каждого члена на 15 дает

      Вы можете оставить свой ответ в виде неправильной дроби вместо смешанного числа. Любая форма верна, но неправильная форма дроби будет более полезной при проверке вашего решения.

      Обратите внимание, что в этом уравнении четыре члена.

      Пример 3 Цена продажи (S) определенного товара составляла 30 долларов.00. Если наценка (M) составляла одну пятую от стоимости (C), найдите стоимость товара. Используйте формулу C + M = S.

      Решение

      Поскольку маржа составляла одну пятую от стоимости, мы можем написать

      РЕЗЮМЕ

      Ключевые слова

      • Уравнение — это выражение в символах, что два числовых выражения равны.
      • Идентификатор верен для всех значений буквальных и арифметических чисел в нем.
      • Условное уравнение верно только для определенных значений буквальных чисел в нем.
      • Решение или корень уравнения — это значение переменной, которая делает уравнение истинным утверждением.
      • Два уравнения эквивалентны , если они имеют один и тот же набор решений.
      • Отношение — это частное двух чисел.
      • Пропорция — это утверждение, что два соотношения равны.

      Процедуры

      • Если каждый член уравнения разделить на одно и то же ненулевое число, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.
      • Если из обеих частей уравнения вычесть одну и ту же величину, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.
      • Если одна и та же величина добавляется к обеим сторонам уравнения, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.
      • Если каждая сторона уравнения умножается на одно и то же ненулевое число, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.
      • Чтобы решить уравнение, выполните следующие действия:
        Шаг 1 Исключите дроби, умножив каждый член на наименьшее общее кратное всех знаменателей в уравнении.
        Шаг 2 Объедините одинаковые члены с каждой стороны уравнения.
        Шаг 3 Сложите или вычтите члены, чтобы получить неизвестную величину с одной стороны и числа арифметических операций с другой.
        Шаг 4 Разделите каждый член на коэффициент неизвестной величины.
        Шаг 5 Проверьте свой ответ.

      Системы линейных уравнений

      Системы линейных уравнений


      Часто бывает необходимо посмотреть на несколько функций одного и того же независимого
      Переменная.Рассмотрим предыдущий пример, где x — количество произведенных товаров.
      и продано, была независимой переменной в трех функциях: функции затрат,
      функция дохода и функция прибыли.

      В целом
      там может быть:

      n уравнений

      v переменные

      Решение систем уравнений

      Есть
      четыре метода решения систем линейных уравнений:

      а.графическое решение

      б. алгебраическое решение

      c. метод исключения

      d. метод замещения

      Графическое решение

      Пример 1

      даны являются
      два следующих линейных уравнения:

      f (x) = y = 1 + 0,5x

      f (x) = y = 11 — 2x

      Постройте первое уравнение , найдя две точки данных.Установив
      сначала x, а затем y равны нулю, можно найти точку пересечения y на
      вертикальная ось и точка пересечения x на горизонтальной оси.

      Если x = 0,
      тогда f (0) = 1 + .5 (0) = 1

      Если y = 0,
      тогда f (x) = 0 = 1 + 0,5x

      -,5x = 1

      х = -2

      Результирующий
      точки данных: (0,1) и (-2,0)

      Постройте график второго уравнения , найдя две точки данных.От
      установив сначала x, а затем y равными нулю, можно найти точку пересечения y
      по вертикальной оси и точка пересечения x по горизонтальной оси.

      Если x = 0,
      тогда f (0) = 11-2 (0) = 11

      Если y = 0,
      тогда f (x) = 0 = 11 — 2x

      2x = 11

      х = 5,5

      Результирующий
      точки данных — (0,11) и (5.5,0)

      В точке пересечения двух уравнений x и y имеют одинаковые значения.
      На графике эти значения можно прочитать как x = 4 и y = 3.

      Пример 2

      даны являются
      два следующих линейных уравнения:

      f (x) = y = 15 — 5x

      f (x) = y = 25 — 5x

      Постройте первое уравнение , найдя две точки данных.Установив
      сначала x, а затем y равны нулю, можно найти точку пересечения y на
      вертикальная ось и точка пересечения x на горизонтальной оси.

      Если x = 0,
      тогда f (0) = 15-5 (0) = 15

      Если y = 0,
      тогда f (x) = 0 = 15 — 5x

      5x = 15

      х = 3

      Результирующий
      точки данных: (0,15) и (3,0)

      Постройте график второго уравнения , найдя две точки данных.От
      установив сначала x, а затем y равными нулю, можно найти точку пересечения y
      по вертикальной оси и точка пересечения x по горизонтальной оси.

      Если x = 0,
      тогда f (0) = 25-5 (0) = 25

      Если y = 0,
      тогда f (x) = 0 = 25 — 5x

      5x = 25

      х = 5

      Результирующий
      точки данных: (0,25) и (5,0)

      Из графика видно, что эти линии не пересекаются.Они
      параллельны. У них одинаковый наклон. Нет однозначного решения.

      Пример 3

      даны являются
      два следующих линейных уравнения:

      21x — 7y = 14

      -15x + 5y = -10

      Переписать
      уравнения, поместив их в форму пересечения наклона.

      Первый
      уравнение становится

      7y = -14 + 21x

      у = -2 + 3х

      Второй
      уравнение становится

      5лет = -10 + 15x

      у = -2 + 3х

      Изобразите любое уравнение, найдя две точки данных.Установив сначала
      x, а затем y равный нулю, можно найти точку пересечения y по вертикали
      ось и точку пересечения x на горизонтальной оси.

      Если x = 0,
      тогда f (0) = -2 +3 (0) = -2

      Если y = 0,
      тогда f (x) = 0 = -2 + 3x

      3x = 2

      х = 2/3

      Результирующий
      точки данных: (0, -2) и (2 / 3,0)

      Из графика видно, что эти уравнения эквивалентны.Там
      — бесконечное количество решений.

      Алгебраическое решение

      Этот метод будет проиллюстрирован с помощью анализа спроса и предложения. Этот
      Тип анализа заимствован из работы великого английского экономиста Альфреда
      Маршалл.

      Q = количество и P = цена

      P (s) = функция предложения и P (d) = функция спроса

      При построении графика цена откладывается на вертикальной оси. Таким образом, цена — это
      зависимая переменная.Было бы логичнее рассматривать количество как
      зависимая переменная, и этот подход использовал великий французский экономист,
      Леон Вальрас. Однако по соглашению экономисты продолжают строить графики, используя
      Анализ Маршалла, который называют крестом Маршалла.

      Цель состоит в том, чтобы найти равновесную цену и количество, т. Е. Решение
      где цена и количество будут иметь одинаковые значения в функции предложения
      и функция цены.

      Q E
      = равновесная величина
      P E = равновесная цена

      Для равновесия
      предложение = спрос
      или P (s) = P (d)

      Учитывая следующие функции

      П (т) =
      3Q + 10 и
      P (d) = -1 / 2Q + 80

      Приравняйте уравнения друг к другу и решите относительно Q.

      P (т)
      = 3Q + 10 = -1 / 2Q + 80 = P (d)

      3.5Q = 70

      Q = 20
      Равновесное количество 20.

      Подставьте это значение вместо Q в любое уравнение и решите для P.

      P (т)
      = 3 (20) + 10

      П (т) =
      70

      П (г)
      = -1/2 (20) + 80

      П (г)
      = 70
      Равновесная цена — 70.

      Метод исключения

      Этот метод включает удаление переменных из уравнений. Переменные
      удаляются последовательно, пока не останется только одна последняя переменная, т.е.
      пока не будет одно уравнение с одним неизвестным. Затем это уравнение решается
      для одного неизвестного. Затем решение используется для нахождения второго
      последняя переменная. Процедура повторяется, добавляя обратно переменные в качестве их решений.
      найдены.

      Пример 1

      2х + 3у = 5

      -5x — 2y = 4

      Порядок действий: удалить y.Коэффициенты при y не совпадают в
      два уравнения, но если бы они были, можно было бы сложить два
      уравнения и члены y будут сокращаться. Однако это возможно через
      умножение каждого уравнения, чтобы заставить члены y иметь
      одинаковые коэффициенты в каждом уравнении.

      Шаг 1:
      Умножьте первое уравнение на 2, а второе уравнение умножьте на 3.
      Это дает

      4х + 6у = 10

      -15x — 6y = 12

      Шаг 2:
      Сложите два уравнения.Это дает

      -11x = 22

      х =
      -2

      Шаг 3:
      Решить относительно y в любом из исходных уравнений

      2 (-2) + 3у = 5

      3 года = 9

      г = 3
      или

      -5 (-2) — 2y = 4

      10 — 2 года = 4

      2y = 6

      г = 3

      Альтернативная процедура: удалить x.Коэффициенты при x не совпадают
      в двух уравнениях, но если бы они были, можно было бы добавить
      два уравнения и члены y будут сокращаться. Однако возможно
      путем умножения каждого уравнения, чтобы заставить члены x равняться
      имеют одинаковые коэффициенты в каждом уравнении.

      Шаг 1:
      Умножьте первое уравнение на 5, а второе уравнение умножьте на 2.
      Это дает

      10x + 15y = 25

      -10x — 4y = 8

      Шаг 2:
      Сложите два уравнения.Это дает

      11лет = 33

      y =
      3

      Шаг 3:
      Решить относительно x в любом из исходных уравнений

      2x + 3 (3) = 5

      2x = -4

      х = -2
      или

      -5x — 2 (3) = 4

      — 5x =
      10

      х = -2

      Пример 2

      2x 1 + 5x 2 + 7x 3 =
      2

      4x 1 — 4x 2 — 3x 3 =
      7

      3x 1 — 3x 2 — 2x 3 =
      5

      В этом примере есть три переменные: x 1 , x 2 и
      х 3 .Одна из возможных процедур — удалить первый x 1 ,
      , чтобы исключить следующие x 2 , а затем найти x 3 .
      Значение, полученное для x 3 , используется для решения x 2 и
      наконец, значения, полученные для x 3 и x 2 , используются для
      решить относительно x 1 .

      Процедура Часть A Сначала удалите x 1 .

      Шаг 1 Умножение
      первое уравнение на 2 и вычтите второе уравнение из первого
      уравнение.Это дает

      4x 1 + 10x 2 + 14x 3 =
      4
      первое уравнение

      4x 1 — 4x 2 — 3x 3
      = 7
      второе уравнение

      14x 2 + 17x 3
      = -3
      второе уравнение вычитается из первого

      Шаг 2 Умножение
      первое уравнение на 3, третье уравнение умножьте на 2 и вычтите
      третье уравнение из первого уравнения.Это дает

      6x 1 + 15x 2 + 21x 3 =
      6
      первое уравнение

      6x 1 — 6x 2 — 4x 3 =
      10
      третье уравнение

      21x 2 + 25x 3
      = -4
      третье уравнение вычитается из первого

      Процедура, часть B Второе удаление x 2 .
      Из Части А осталось два уравнения. Из этих двух уравнений исключить
      х 2 .

      14x 2 + 17x 3 = -3
      первое уравнение

      21x 2 + 25x 3 = -4
      второе уравнение

      Шаг 1 Умножение
      первое уравнение на 21, второе уравнение умножьте на 14. и вычтите
      второе уравнение из первого уравнения.Это дает

      294x 2 + 357x 3 = -63
      первое уравнение

      294x 2 + 350x 3 = -56
      второе уравнение

      7x 3 = -7
      второе уравнение вычитается из первого

      х 3
      = -1

      Часть C
      Решите относительно x 2 , вставив значение, полученное для x 3 в
      любое уравнение из Части B.

      14x 2 + 17 (-1) = -3

      1 4x 2 = 14

      х 2 = 1
      или

      21x 2 + 25 (-1) = -4

      21x 2
      = 21

      х 2
      = 1

      Часть D
      Решите относительно x 1 , вставив полученные значения x 2
      andx 3 в любом из трех исходных уравнений.

      2x 1 + 5x 2
      + 7x 3 = 2
      первое исходное уравнение

      2x 1 + 5 (1) + 7 (-1)
      = 2

      2x 1 = 4

      x 1 = 2 или

      4x 1
      — 4x 2 — 3x 3 = 7 секунд
      исходное уравнение

      4x 1 — 4 (1) — 3 (-1)
      = 7

      4x 1 = 8

      х 1 = 2
      или же

      3x 1
      — 3x 2 — 2x 3 = 5
      третье исходное уравнение

      3x 1 — 3 (1)
      -2 (-1) = 5

      3x 1
      = 6

      х 1 = 2

      Метод замещения

      Это включает выражение одной переменной через другую, пока не будет
      одно уравнение с одним неизвестным.Затем это уравнение решается для этого
      один неизвестный. Затем результат используется для определения переменной, которая была
      выражается через переменную, решение которой было только что найдено.

      Пример

      12x
      — 7лет = 106
      первое уравнение

      8x
      + У = 82
      второе уравнение

      Решите
      второе уравнение для y, а затем подставьте полученное значение y в первое
      уравнение.

      г
      = 82 — 8x
      второе уравнение, решенное относительно y

      12x
      — 7 (82 — 8х) = 106
      первое уравнение переписано в x

      12x
      — 574 + 56x = 106

      68x
      = 680

      х
      = 10

      Подставьте полученное значение x в любое из исходных эквивалентов.

      12x
      — 7лет = 106
      первое уравнение

      12 (10)
      — 7лет = 106

      7лет
      = 14

      г
      = 2

      8 (10)
      + У = 82
      второе уравнение

      г
      = 2

      [индекс]


      .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.