2 – 2x + 1 = 0.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Квадратный трехчлен и его корни: как их найти, 2 способа решения
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspКвадратичная функция: ее график и свойства

8.2.5. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 3 мин. Просмотров 3k. Опубликовано 13 марта 2013

Квадратный трехчлен ax²+bx+c  можно разложить на линейные множители по формуле:

 ax²+bx+c=a (x-x₁)(x-x₂),  где  x_1,  x₂ — корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0.

Разложить квадратный трехчлен на линейные множители:

Пример 1). 2x²-7x-15.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения: 2x²-7x-15=0.

a=2; b=-7; c=-15. Это общий случай для полного квадратного уравнения. Находим дискриминант D.

D=b²-4ac=(-7)²-4∙2∙(-15)=49+120=169=13²>0; 2 действительных корня.

Применим формулу: ax²+bx+c=a (x-x₁)(x-x₂).

2x²-7x-15=2 (х+1,5)(х-5)=(2х+3)(х-5). Мы представили данный трехчлен 2x²-7x-15 в виде произведения двучленов 2х+3 и х-5.

Ответ: 2x²-7x-15=(2х+3)(х-5). 

Пример 2). 3x²+2x-8.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

3x²+2x-8=0.

a=3; b=2; c=-8.  Это частный случай для полного квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (b=2). Находим дискриминант D₁.

Применим формулу: ax²+bx+c=a (x-x₁)(x-x₂).

Мы представили трехчлен 3x²+2x-8 в виде произведения двучленов х+2 и 3х-4.

Ответ: 3x²+2x-8=(х+2)(3х-4).

Пример 3). 5x²-3x-2.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

5x²-3x-2=0.

a=5; b=-3; c=-2. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a+b+c=0 (5-3-2=0). В таких случаях первый корень всегда равен единице, а второй корень равен частному от деления свободного члена на первый коэффициент:

Применим формулу: ax²+bx+c=a (x-x₁)(x-x₂).

5x²-3x-2=5 (х-1)(х+0,4)=(х-1)(5х+2). Мы представили трехчлен 5x²-3x-2 в виде произведения двучленов х-1 и 5х+2.

Ответ: 5x²-3x-2=(х-1)(5х+2).

Пример 4). 6x²+x-5.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

6x²+x-5=0.

a=6; b=1; c=-5. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a-b+c=0 (6-1-5=0). В таких случаях первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус частному от деления свободного члена на первый коэффициент:

Применим формулу: ax²+bx+c=a (x-x₁)(x-x₂).

Мы представили трехчлен 6x²+x-5 в виде произведения двучленов х+1 и 6х-5.

Ответ: 6x²+x-5=(х+1)(6х-5).

Пример 5). x²-13x+12.

Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:

x²-13x+12=0. Проверим, можно ли применить теорему Виета. Для этого найдем дискриминант и убедимся, что он является полным квадратом целого числа.

a=1; b=-13; c=12. Находим дискриминант D.

D=b²-4ac=13²-4∙1∙12=169-48=121=11².

Применим теорему Виета: сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней должно быть равно свободному члену:

x₁+x₂=13; x₁∙x₂=12. Очевидно, что x₁=1; x₂=12.

Применим формулу: ax²+bx+c=a (x-x₁)(x-x₂).

x²-13x+12=(х-1)(х-12).

Ответ: x²-13x+12=(х-1)(х-12).

 Пример 6). x²-4x-6.

Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:

x²-4x-6=0.

a=1; b=-4; c=-6. Второй коэффициент — четное число. Находим дискриминант D₁.

Дискриминант не является полным квадратом целого числа, поэтому, теорема Виета нам не поможет, и мы найдем корни по формулам для четного второго коэффициента:

Применим формулу: ax²+bx+c=a (x-x₁)(x-x₂) и запишем ответ:

Друзья, для того, чтобы разложить квадратные трехчлены на множители, мы решали каждое квадратное уравнение рациональным способом. Все эти способы мы рассмотрели ранее в теме:  «Решение полных квадратных уравнений».

Презентация «Квадратный трехчлен.

Решение квадратных уравнений и неравенств»

библиотека
материалов

Содержание слайдов

Номер слайда 1

Квадратный трехчлен. Решение квадратных уравнений и неравенств.

Номер слайда 2

Квадратный трехчлен ах2 +вх+с = а (х-х1)(х-х2) , где х1 и х2 корни квадратного уравнения ах2 +вх+с=0. Пример. Разложить на множители -4х2 +11х+3. -4х2 +11х+3= -4(х-(- 14))(х-3)=(-4х-1)(х-3) -4х2 +11х+3=0, Д=в2-4ас, Д=112-4∙(-4)∙3=121+48=169,х1=−в+Д2а, х1 =−11+1692∙(−4)=−11+13−8=2−8=− 14,х2=−в−Д2а , х2==−11−1692∙(−4)=−11−13−8=−24−8=3. Ответ: (-4х-1)(х-3)  

Номер слайда 3

Примеры решения квадратных уравнений по формуле. Пример №1. Решить уравнение 3х2+8х-11=0а=3 в=8 с=-11 Д=в2−4ас, Д= 82−4∙3∙−11=196 Так как Д>0, то данное уравнение имеет два корня, которые находятся по формуле х=−в±Д2а, х1=−8+142∙3=1,  х2=−8−142∙3=−226=−113=−323. Ответ: −323, 1. 

Номер слайда 4

Примеры решения квадратных уравнений по формуле. Пример №2. Решить уравнение 9х2−6х+1=0.а=9 в=-6 с=1 Д=в2−4ас, Д=62−4∙9∙1=36−36=0 Так как Д=0, то данное уравнение имеет  один корень , который находится по формуле х=−в+Д2а, х1=−(−6)+02∙9=618=13. Ответ: 13. 

Номер слайда 5

Примеры решения квадратных уравнений по формуле. Пример №3. Решить уравнение -2х2+3х−5=0.а=-2 в=3 с=-5 Д=в2−4ас, Д=32−4∙−2∙−5=9−40=−36 Так как Д

Номер слайда 6

Примеры решения неполных квадратных уравнений.1) 2х2+4х=0 2) х2−9=0 3) -6х2−7=0 4) х2+х=0 2х(х+2)=0 (х-3)(х+3)=0 -6х2 =7 -х(х-1)=0 2х=0 или х+2=0 х-3=0 или х+3=0 х2= — 76 -х=0 или х-1=0 х1=0   х2=−2 х1=3   х2 =−3    — 76

Номер слайда 7

Решение биквадратных уравнений. Уравнение вида ах4+вх2+с=0 называют биквадратным. Пример 1. Решить уравнение 9х4-32х2-16 =0.1). Записать уравнение: 9х4-32х2-16 =0.2) Ввести новую переменную: Пусть х2=𝑡, где 𝑡≥0, тогда  9𝑡2−32𝑡−16=0.3) Решить полученное квадратное уравнение: 9𝑡2−32𝑡−16=0. а=9 в=-32 с=-16 Д=в2−4ас, Д=−322−4∙9∙−16=1024+576=1600,  Д>0, 2корняt=−в±Д2а, 𝑡1=−(−32)+402∙9=32+4018=7218=4, 𝑡2=−−32−402∙9=32−4018= −818=−49. 4) Возвращаемся к замене переменной: х2=4 или х2=−49 х1=2   х2=−2 −49

Номер слайда 8

Решение квадратных неравенств методом параболы.

Номер слайда 9

Пример №1. Решить неравенство -3х2+2х+5≤0.1) Рассмотрим функцию у= -3х2+2х+5,2)Определим направление ветвей, так как а=-3, -30,  2корнях=−в±Д2а, х1=−2+82∙(−3)=−1,  х2=−2−82∙(−3)=123.4)Схематически построить график функции у= -3х2+2х+5, 5) Выделить часть параболы, для которой у ≤0,6)На оси абсцисс выделить те значения х, для которых у ≤0,7)Записать ответ в виде промежутка −∞;−1∪123; ∞. Ответ: −∞;−1∪123; ∞. 

Номер слайда 10

Решение квадратных неравенств методом интервалов. Решить неравенство х2−10х+9>0  методом интервалов.1) Найдем корни квадратного трехчлена х2−10х+9. х1=1, х2=9, 2) Разложим квадратный трехчлен на множители: х2−10х+9=(х-1)(х-9).3) Точки х1=1, х2=9,    разбивают числовую ось на три промежутка. Эти промежутки называются интервалами. 4) Определим знак на каждом интервале : + — + 5)Там где стоят плюсы и есть решение неравенства : −∞; 1 ∪9; ∞. Ответ: −∞; 1 ∪9; ∞.  х19х19

Номер слайда 11

Выполняем №1011(а,г,е) №1012(в) №1014(а,в) №1016(а,в,д).

Номер слайда 12

Спасибо за урок!

Проверь свои знания — online presentation

Дьердь Пойа
Задача, которую вы решаете,
может быть очень скромной,
но если она бросает вызов
вашей любознательности и
если вы решаете ее
собственными силами, то вы
сможете испытать ведущее
к открытию напряжение ума
и насладиться радостью
победы.

2. Дьердь Пойа

Американский математик. Родился в Венгрии в 1887 г.
С 1914 по 1940 г. работал в Цюрихе (Швейцария).
С 1953 г. работал в Принстонском университете (США)
Основные труды относятся к функциональному
анализу, математической статистике и комбинаторике.
На русский язык вышли работы Пойа: «Задачи и
теоремы анализа», «Математика и правдоподобные
рассуждения», «Как решать задачу», «Математическое
открытие».

3. Проверь свои знания

Дайте определение квадратного трехчлена.
Многочлен вида ах2 + bх + c, где х – переменная, а, b, с – некоторые
числа, причем а ≠ 0.
Как найти корни квадратного трехчлена?
Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение.
Сформулируйте теорему Виета для полного
квадратного уравнения.
Если х1 и х2 – корни квадратного уравнения ах2 + bх + c = 0, то
х1 + х 2 =
, х 1 х2 =

4. Проверь свои знания

Что называют разложением многочлена на
множители?
Представление многочлена в виде произведения многочленов.
Какие способы разложения многочлена на
множители вам известны?
1.
2.
3.
Вынесение множителя за скобку;
Способ группировки;
Использование формул сокращенного умножения.

5. Решите уравнение

х3 – 6х2 – 4х + 24 = 0. (ГИА 2012).
Решение:
(х3 – 6х2 ) – (4х — 24 ) = 0;
х2(х – 6 ) – 4(х — 6 ) = 0;
(х2 – 4 ) (х — 6 ) = 0;
х2 – 4 = 0 или х – 6 = 0;
Ответ: -2; 2; 6

6. График функции

7. В электронной таблице

8. Постройте график функции

.
Постройте график функции
=
ГИА (2013 г.).
=
х≠2

9. График функции

7
6
5
4
3
2
1
0
-4
-2
-1 0
-2
-3
2
4
6

10. Разложить на множители 3х2 – 21х + 30

Решение:
3х2 – 21х + 30 = 3(х2 – 7х + 10) = 3(х2 – 2х – 5х + 10) =
3((х2 – 2х) – (5х – 10)) = 3(х(х – 2) – 5(х – 2)) =
3(х – 2)(х – 5).
Гипотеза:
ах2 + bx + c = а(х – х1)(х – х2).

11. Теорема Если х1 и х2 — корни квадратного трехчлена ах2 + bx + c, то ах2 + bx + c = а(х – х1)(х – х2).

Доказательство: ах2 + bx + c =
Так как корни квадратного трехчлена ах2 + bx + с
являются корнями квадратного уравнения ах2 + bx + c =
0, то по теореме Виета
Отсюда
Поэтому
ах2 + bx + c = a(x2 – (x1+ x2 )x +x1 x2 ) = a(x2 – x1 x – x2 x + x1 x2 )
=a(x(x – x1 ) – x2 (x – x1 )) = a((x – x1 ) (x – x2 ), ч.т.д.

12. Можно ли разложить квадратный трехчлен на множители, если он не имеет корней?

Предположим, что квадратный трехчлен можно представить в
виде произведения многочленов первой степени:
ах2 + bx + c = (kx + m)(px + q), где k, m, p, q – некоторые числа,
причем k 0 и p 0.
Найдите, при каких х произведение (kx + m)(px + q)= 0?
При
и
Следовательно, при этих значениях х обращается в нуль и
трехчлен ах2 + bx + c, то есть числа и являются его корнями.
Мы пришли к противоречию, так как по условию этот
трехчлен корней не имеет.
Вывод: если квадратный трехчлен не имеет корней, то его
нельзя разложить на множители

13. Применение теоремы:

№ 76(а). Разложите на множители квадратный трехчлен:
3х2 – 24х + 21.
№ 84(б). Сократите дробь:
№ 86. Чем различаются графики функций
y=x–4 и
Домашнее задание:
Пункт 4 (прочитать примеры 1, 2, 3). Решить № 77(а, б) и № 84 (а).

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Предварительные навыки

Как разложить на множители квадратный трёхчлен

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax² + bx + c.

В прошлых уроках мы решали квадратные уравнения. Общий вид таких уравнений выглядел так:

ax² + bx + c = 0

Левая часть этого уравнения является квадратным трёхчленом.

Одним из полезных преобразований при решении задач является разложение квадратного трёхчлена на множители. Для этого исходный квадратный трёхчлен приравнивают к нулю и решают квадратное уравнение. В этом случае говорят, что выполняется поиск корней квадратного трёхчлена.

Полученные корни x₁ и x₂ следует подстáвить в следующее выражение, которое и станет разложением:

a(x − x₁)(x − x₂)

Таким образом, чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители при помощи решения квадратного уравнения, нужно воспользоваться следующей готовой формулой:

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Где левая часть — исходный квадратный трёхчлен.

Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

x² − 8x + 12

Найдём корни квадратного трёхчлена. Для этого приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим квадратное уравнение:

x² − 8x + 12 = 0

В данном случае коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента. Чтобы сэкономить время, некоторые подробные вычисления можно пропустить:

Итак, x₁ = 6, x₂ = 2. Теперь воспользуемся формулой ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). В левой части вместо выражения ax² + bx + c напишем свой квадратный трёхчлен x² − 8x + 12. А в правой части подставим имеющиеся у нас значения. В данном случае a = 1, x₁ = 6, x₂ = 2

x² − 8x + 12 = 1(x − 6)(x − 2) = (x − 6)(x − 2)

Если a равно единице (как в данном примере), то решение можно записать покороче:

x² − 8x + 12 = (x − 6)(x − 2)

Чтобы проверить правильно ли разложен квадратный трёхчлен на множители, нужно раскрыть скобки у правой части получившегося равенства.

Раскроем скобки у правой части равенства, то есть в выражении (x − 6)(x − 2). Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен x² − 8x + 12

(x − 6)(x − 2) = x² − 6x − 2x + 12 = x² − 8x + 12

Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

2x² − 14x + 24

Приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим уравнение:

2x² − 14x + 24 = 0

Как и в прошлом примере коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента:

Итак, x₁ = 4, x₂ = 3. Приравняем квадратный трехчлен 2x² − 14x + 24 к выражению a(x − x₁)(x − x₂), где вместо переменных a, x₁ и x₂ подстáвим соответствующие значения. В данном случае a = 2

2x² − 14x + 24 = 2(x − 4)(x − 3)

Выполним проверку. Для этого раскроем скобки у правой части получившегося равенства. Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен 2x² − 14x + 24

2(x − 4)(x − 3) = 2(x² − 4x −3x + 12) = 2(x² − 7x + 12) = 2x² − 14x + 24

Как это работает

Разложение квадратного трёхчлена на множители происходит, если вместо коэффициентов квадратного трёхчлена подстáвить теорему Виета и выполнить тождественные преобразования.

Для начала рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена равен единице:

x² + bx + c

Вспоминаем, что если квадратное уравнение является приведённым, то теорема Виета имеет вид:

Тогда приведённый квадратный трехчлен x² + bx + c можно разложить на множители следующим образом. Сначала выразим b из уравнения x₁ + x₂ = −b. Для этого можно умножить обе его части на −1

Переменную c из теоремы Виета выражать не нужно — она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть:

Теперь подставим выраженные переменные b и c в квадратный трёхчлен x² + bx + c

Раскроем скобки там где это можно:

В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:

Из первых скобок вынесем общий множитель x, из вторых скобок — общий множитель −x₂

Далее замечаем, что выражение (x − x₁) является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Мы пришли к тому, что выражение x² + bx + c стало равно (x − x₁)(x − x₂)

x² + bx + c = (x − x₁)(x − x₂)

Но это был случай, когда исходный квадратный трёхчлен является приведённым. В нём коэффициент a равен единице. И соответственно, в формуле разложения такого квадратного трехчлена коэффициент a можно опустить.

Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена не равен единице. Это как раз тот случай, когда в формуле разложения присутствует перед скобками коэффициент a

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Вспоминаем, что если квадратное уравнение не является приведённым, то есть имеет вид ax² + bx + c = 0, то теорема Виета принимает следующий вид:

Это потому что теорема Виета работает только для приведённых квадратных уравнений. А чтобы уравнение ax² + bx + c = 0 стало приведённым, нужно разделить обе его части на a

Далее чтобы квадратный трёхчлен вида ax² + bx + c разложить на множители, нужно вместо b и c подставить соответствующие выражения из теоремы Виета. Но в этот раз нам следует использовать равенства и

Для начала выразим b и c. В первом равенстве умножим обе части на a. Затем обе части получившегося равенства умножим на −1

Теперь из второго равенства выразим c. Для этого умножим обе его части на a

Теперь подставим выраженные переменные b и с в квадратный трёхчлен ax² + bx + c. Для наглядности каждое преобразование будем выполнять на новой строчке:

Здесь вместо переменных b и c были подставлены выражения −ax₁ − ax₂ и ax₁x₂, которые мы ранее выразили из теоремы Виета. Теперь раскроем скобки там где это можно:

В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:

Теперь из первых скобок вынесем общий множитель ax, а из вторых — общий множитель −ax₂

Далее замечаем, что выражение x − x₁ тоже является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Вторые скобки содержат общий множитель a. Вынесем его за скобки. Его можно расположить в самом начале выражения:

Мы пришли к тому, что выражение ax² + bx + c стало равно a(x − x₁)(x − x₂)

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Отметим, что если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители. Действительно, если не найдены корни квадратного трёхчлена, то нéчего будет подставлять в выражение a(x − x₁)(x − x₂) вместо переменных x₁ и x₂.

Если квадратный трёхчлен имеет только один корень, то этот корень одновременно подставляется в x₁ и x₂. Например, квадратный трёхчлен x² + 4x + 4 имеет только один корень −2

Тогда значение −2 в процессе разложения на множители будет подставлено вместо x₁ и x₂. А значение a в данном случае равно единице. Её можно не записывать, поскольку это ничего не даст:

Скобки внутри скобок можно раскрыть. Тогда получим следующее:

При этом если нужно получить короткий ответ, последнее выражение можно записать в виде (x + 2)² поскольку выражение (x + 2)(x + 2) это перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен (x + 2)

Примеры разложений

Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

3x² − 2x − 1

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения. В левой части напишем квадратный трёхчлен 3x² − 2x − 1, а в правой части — его разложение в виде a(x − x₁)(x − x₂), где вместо a, x₁ и x₂ подстáвим соответствующие значения:

Во вторых скобках можно заменить вычитание сложением:

Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

3 − 11x + 6x²

Упорядочим члены так, чтобы старший коэффициент располагался первым, средний — вторым, свободный член — третьим:

6x² − 11x + 3

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения:

Упростим получившееся разложение. Вынесем за первые скобки общий множитель 3

Теперь воспользуемся сочетательным законом умножения. Напомним, что он позволяет перемножать сомножители в любом порядке. Умножим 3 на вторые скобки. Это позвóлит избавиться от дроби в этих скобках:

Пример 3. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

3x² + 7x − 6

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения:

Пример 4. Найдите значение k, при котором разложение на множители трёхчлена 3x² − 8x + k содержит множитель (x − 2)

Если разложение содержит множитель (x − 2), то один из корней квадратного трёхчлена равен 2. Пусть корень 2 это значение переменной x₁

Чтобы найти значение k, нужно знать чему равен второй корень. Для его определения воспользуемся теоремой Виета.

В данном случае квадратный трёхчлен не является приведённым, поэтому сумма его корней будет равна дроби , а произведение корней — дроби 

Выразим из первого равенства переменную x₂ и сразу подстáвим найденное значение во второе равенство вместо x₂

Теперь из второго равенства выразим k. Так мы найдём его значение.

Пример 5. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

Перепишем данный трёхчлен в удобный для нас вид. Если в первом члене заменить деление умножением, то получим . Если поменять местами сомножители, то получится . То есть коэффициент a станет равным

Коэффициент b можно перевести в обыкновенную дробь. Так проще будет искать дискриминант:

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения:

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 2. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 3. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 4. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 5. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 6. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 7. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 8. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 9. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 10. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 11. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 12. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Стальной бассейн овальный (вкапываемый) 4,9 х 2,7 х 1,25 м.

Описание

ИНСТРУКЦИЯ КРУГЛЫЙ

ИНСТРУКЦИЯ ОВАЛ

КОНСЕРВАЦИЯ НА ЗИМУ (Рекомендации)

Слейте 2/3 воды из бассейна. Возьмите 4-8 пустых 5 литровых бутылок (зависит от размера бассейна) и насыпьте в них песок примерно на 1/3. Расставьте бутылки в бассейне равномерно. Налейте консервирующее средство, включите фильтрующий насос на 30 минут. Можете накрыть бассейн на зиму укрывным материалом.

Характеристики бассейна из оцинкованной стали:

Длина 4.9 м
Ширина 2.7 м
Высота 1.25 м
Объем 12.1 м3

Упаковка:

Вес: 80 кг
Упаковка: 130x40x40 см
Объем упаковки: 0.32 м3

Комплектация:

Стальной лист (каркас) с двусторонним оцинковыванием толщиной 0,5 мм.
Внутренний слой водонепроницаемой ПВХ пленки с УФ защитой (вкладыш 0,4 мм).
Профиль для фиксации плёнки.
Форсунки, муфты и скиммер для подключения фильтра-насоса.
Цвет на выбор — платина RAL7024, темный шоколад RAL8017, ярко-желтый RAL1018, рубиново-красный RAL3003, ультрамариново-синий RAL5002, мятно-зеленый RAL6029, светло-серый RAL7004 или декоративная отделка под светлое, темное дерево, природный камень.

Цена за бассейн указана в базовом цвете. При выборе рисунка под камень или дерево цена + 10%*.

Дополнительное оборудование:

Лесенки

Фильтрующее оборудование

Химия для дезинфекции воды в бассейне

Установка

Каркас бассейна поставляется в рулоне т.е. НЕ ИМЕЕТ ДНА! При сборке рулон выкручивается образуя кольцо в которое вставляется пленка вкладыш (чашковый пакет). Для надежного монтажа необходимо подготовить ПЛОЩАДКУ (подиум) из дерева или бетона. Можно так же утрамбовать грунт и накрыть теплоизолирующим материалом (пенополистирол, пробка, линолеум). ФИЛЬТР-НАСОС ПРИСОЕДИНЯЕТСЯ с помощью впускной и выпускной муфты которые идут в комплекте. Бассейн также частично или полностью погружаться в землю. Этот бассейн можно легко монтировать и демонтировать на любом участке в течение нескольких часов.

Если бассейн заглубляется в почву, его отсыпку проводят смесью песка и щебня или сходными материалами. Работы выполняют при полностью заполненной чаше.

Особенности конструкции

Эта модель является морозоустойчивой. Он успешно противостоит отрицательным температурам, достаточно стандартной консервации (по вопросам консервации бассейна на зиму обязательно проконсультируйтесь у технического специалиста). Подключение систем обеспечения и фильтрации займет несколько часов, на корпусе предусмотрены специальные монтажные отверстия.

Преимущества использования

Невысокая стоимость по сравнению со стационарными аналогами.
Возможность демонтажа и переноса в другое место.
Для установки подойдет любая ровная площадка.
Высокое качество комплектующих обеспечивает эксплуатацию в течение многих лет.
Быстрый и несложный процесс сборки и установки займёт не более 2-3 часов.
Использование прочных материалов, устойчивых к воздействию солнечных лучей.
Возможность размещения на участке на ровной площадке без особой предварительной подготовки.
Большое разнообразие размеров и форм чаш (круглые, овальные, квадратные, прямоугольные, многоугольные) позволяет выбрать подходящую модель для любого участка.
Надёжная, устойчивая конструкция, которая спокойно выдерживает давление большого объёма воды.
Наличие всесезонных, морозоустойчивых моделей, не требующих разборки.
Удобная система слива воды (через шланг или с помощью насоса).
Гарантия 5 лет

Для удобства подключения к оборудованию INTEX в комплекте идут муфты и скиммер.

Видео инструкция аналогично выполненного монтажа 

Тексаунд [Tecsound] 50 (6м х 1,22м х 2,6мм) 7,32м2

Тонкая тяжелая звукоизоляционная мембрана (производство Испания). Применяется в звукоизоляционных конструкциях пола, потолка, стен, перегородок в помещениях разного назначения.
Назначение:
-Полы под стяжку
-Под чистовое напольное покрытие
-Кровля, межэтажные перекрытия
-Стены и перегородки
-Прочее
Состав:
-Природный минерал арагонит
-Полимеры, не содержащие битум и вредные примеси
-Защитный слой из спанбонда
Характеристики:
Индекс изоляции воздушного шума мембраной Tecsound, Rw 28 дБ
Увеличение индекса изоляции воздушного шума, ΔRw 4÷6 дБ
Физические свойства
Поверхностная плотность, кг/м2 5
Плотность, кг/м3 1900
Прочность на растяжение, Н/см2 30
Выдерживает давление, кг/см2 4,84
Растяжение на разрыв, % 300
Сохранение эластичности, ºС
Показатели пожарный испытаний
Класс горючести Г1
Класс воспламеняемости В1
Класс дымообразования Д2
Класс токсичности Т2
Класс по системе европейской сертификации SBI UNE-EN 13823: 2002 B s2 d0
Монтаж:
Для монтажа материала Тексаунд подходят все виды поверхностей (штукатурка, металл, пластик). Поверхность должна быть ровной, гладкой, чистой и сухой, должна быть очищена от всех элементов, которые могли бы повредить покрытие. Если покров штукатурки старый, желательно его заменить. Хранить материал нужно в сухом, защищенном от возможных повреждений месте при температуре не выше 35 °С.
Стены:
При создании каркасных систем на стены мембрана Тексаунд клеится к листу гипсокартона (ГКЛ) в горизонтальной плоскости. На мембрану Тексаунд и на ГКЛ равномерно наносится клей Bautger и выдерживается около 7 минут (или аналогичный клей). После чего мембрана стыкуется с ГКЛ. Далее производится монтаж к каркасу той стороной ГКЛ, на которой закреплен Тексаунд. Если в каркасной системе предусмотрено расположение мембраны Тексаунд между двумя листами ГКЛ и ГВЛ, то перед монтажом требуется проклеить профиль вибродемпфирующей лентой.
Пол:
Если мембрана Тексаунд используется для звукоизоляции пола под стяжку, то следует укладывать ее с нахлестом 5 см. Стыки нужно склеить с помощью клея или горячего воздуха. В противном случае даже незначительные отверстия могут уменьшить изоляционные качества материала. При укладке под ламинат или паркет, материал укладывается стык в стык, так чтобы не оставалось щелей. Швы рекомендуется заполнить акустическим герметиком Сонетик или скрепить армированным скотчем.
Применение:
• Гипсокартонные межкомнатные перегородки
• Возводимые каркасные и бескаркасные конструкции стен
• Звукоизоляция пола под стяжкой, звукоизоляция чистого пола
• Металлические конструкции (профнастилы, кровля)
• Демпфирование элементов металлических конструкций (направляющие профиля, швеллеры, прямые подвесы)
• Звукоизоляция промышленных и производственных помещениях (кабин, цехов, металлических ангаров)
• Звукоизоляция металлических дверей
• Ниши и короба для профессионального акустического оборудования
Тексаунд [Tecsound] один из самых распространённых звукоизоляционных материалов, заво

Частица движется по оси x от x x1 до x x2 физика класса 11 CBSE

Подсказка: Нам дана частица, на которую действует переменная сила F = 2x. Работа выполняется по перемещению тела с x = $ x_1 $ на x = $ x_2 $. Эта проделанная работа может быть найдена путем интегрирования силы F относительно x от x = $ x_1 $ до x = $ x_2 $. Здесь сила является функцией x, поэтому мы предполагаем, что она действует вдоль оси x.{{x_1}} {Fdx} $

Полный пошаговый ответ:
В вопросе они дали частицу, которая движется под действием силы, F = 2x. Первоначально положение частицы задается как x = $ x_1 $, а конечное положение определяется как x = $ x_2 $.
Работа, совершаемая любой силой при перемещении тела, определяется выражением
$ W = \ int {Fdx} $
Где
W — это проделанная работа
F — сила, действующая на частицу
При изменении положения от $ x_1 $ в $ x_2 $, мы можем интегрировать его от начальной позиции до конечной позиции.2 $.

Итак, правильный ответ — «Вариант Б».

Примечание: Выполненная работа фактически является интегралом скалярного произведения силы и смещения. Скалярное произведение — это произведение величин и косинуса угла между ними. В вопросе мы не учли скалярное произведение, так как сила и смещение идут в одном направлении. Таким образом, угол между ними равен нулю, а косинус нуля равен 1.

BMW X2 Vs. BMW X1: бок о бок узнайте об изменениях

BMW расширяет линейку небольших внедорожников новым X2.Расположенный плотно между X1 и более крупным X3, новый X2 на самом деле на три дюйма короче, чем X1, на котором он основан, и почти на три дюйма ниже. В сочетании с мощным четырехцилиндровым двигателем с турбонаддувом BMW утверждала, что ее новейшее предложение — самый спортивный маленький внедорожник из всех, но как он сравнивается с X1? Давайте посмотрим на два внедорожника бок о бок, чтобы узнать.

Обновление:

Передний

Передняя панель нового X2 определенно более характерна, чем меньший X1… но это не обязательно означает, что он лучше.Двойные решетки радиатора, конечно, остались, но вместо скульптурного нижнего дефлектора, окруженного черным пластиком (как на X1), дизайнеры BMW решили оснастить X2 ярко выраженной, дешево выглядящей серебристой пластиковой отделкой (по крайней мере, на эта конкретная отделка).

Фары больше по размеру и напоминают только Euro 2-Series Active Tourer и такие же закругленные противотуманные фары от X1, перенесенные из X1, расположенные между фарами и угловым дефлектором. Можно с уверенностью сказать, что дизайн нового X2 легко выделяется из толпы внедорожников.

Читайте также:

Профиль

BMW X2 заметно более скульптурный, чем X1, с покатой задней линией крыши и более тонкими окнами. Колеса с 10 спицами похожи на X1, но имеют более острый вид. В зависимости от отделки, X2 также поставляется с множеством добавленной облицовки на дверных порогах и колесных арках, а также пластиковой отделкой соответствующего цвета между ними. Как уже упоминалось, X2 на целых три дюйма ниже, чем X1.

Задний

Задняя часть BMW X2, возможно, является его самой привлекательной особенностью.Тонкие, изящные задние фонари сочетаются с заостренной крышей и ярко выраженным задним диффузором. Кузов X1 выше и имеет больше грузового пространства (27,1 кубических футов с поднятыми сиденьями по сравнению с 21,6 у X2), но X2 больше похож на спортивный внедорожник, которым он задуман.

Читайте также:

Внутри

Практически ничего не изменилось в салоне при переходе с Х1 на Х2. Помимо более тонкого, более округлого рулевого колеса и новых тканевых сидений, X2 заимствует все те же внутренние компоненты, что и X1, включая открытый центральный экран, аналоговую комбинацию приборов и рычаг переключения передач.Некоторые новые элементы сшивки придают X2 немного более характерный вид, но рядом с ними трудно отличить два интерьера друг от друга.

111 Фото

В целом новый BMW X2 не сильно улучшился с точки зрения дизайна по сравнению с более крупным X1, но, тем не менее, он остается уникальным предложением. Мощность обеспечивается 2,0-литровым четырехцилиндровым двигателем, в котором используется турбокомпрессор TwinScroll, который развивает мощность 228 лошадиных сил (170 киловатт) с крутящим моментом 258 фунт-футов (349 Нм), передаваемым через восьмиступенчатую коробку передач Steptronic, и подключен к системе полного привода BMW xDrive.

Информация о ценах пока не опубликована, но новый BMW X2 поступит в продажу весной следующего года.

Ещё от BMW:

% PDF-1.4
%
240 0 obj>
эндобдж

xref
240 323
0000000016 00000 н.
0000009495 00000 н.
0000009593 00000 п.
0000009636 00000 н.
0000009832 00000 н.
0000013671 00000 п.
0000013840 00000 п.
0000013905 00000 п.
0000013955 00000 п.
0000014057 00000 п.
0000017031 00000 п.
0000017276 00000 п.
0000017515 00000 п.
0000017846 00000 п.
0000017959 00000 п.
0000019022 00000 п.
0000021979 00000 п.
0000024505 00000 п.
0000027295 00000 п.
0000029749 00000 п.
0000030364 00000 п.
0000031008 00000 п.
0000031491 00000 п.
0000032134 00000 п.
0000033013 00000 п.
0000033257 00000 п.
0000033350 00000 п.
0000035116 00000 п.
0000035433 00000 п.
0000035784 00000 п.
0000035971 00000 п.
0000038817 00000 п.
0000038959 00000 п.
0000041272 00000 п.
0000041586 00000 п.
0000041977 00000 п.
0000042188 00000 п.
0000043584 00000 п.
0000043818 00000 п.
0000044156 00000 п.
0000044539 00000 п.
0000047978 00000 п.
0000048281 00000 п.
0000048688 00000 н.
0000048873 00000 п.
0000051408 00000 п.
0000051846 00000 п.
0000052068 00000 п.
0000052368 00000 п.
0000052447 00000 п.
0000052977 00000 п.
0000055812 00000 п.
0000056060 00000 п.
0000056205 00000 п.
0000056452 00000 п.
0000056657 00000 п.
0000056838 00000 п.
0000057104 00000 п.
0000057354 00000 п.
0000057586 00000 п.
0000057802 00000 п.
0000058061 00000 п.
0000058308 00000 п.
0000058557 00000 п.
0000058792 00000 п.
0000059013 00000 п.
0000059247 00000 п.
0000059459 00000 п.
0000059716 00000 п.
0000059968 00000 н.
0000060148 00000 п.
0000060387 00000 п.
0000060559 00000 п.
0000060788 00000 п.
0000061034 00000 п.
0000061227 00000 п.
0000061397 00000 п.
0000061637 00000 п.
0000061878 00000 п.
0000062106 00000 п.
0000062381 00000 п.
0000062610 00000 п.
0000062824 00000 п.
0000063078 00000 п.
0000063308 00000 п.
0000063537 00000 п.
0000063783 00000 п.
0000064026 00000 п.
0000064258 00000 п.
0000064492 00000 п.
0000064743 00000 п.
0000064992 00000 н.
0000065212 00000 п.
0000065440 00000 п.
0000065648 00000 п.
0000065859 00000 п.
0000066055 00000 п.
0000066244 00000 п.
0000066479 00000 п.
0000066719 00000 п.
0000066909 00000 н.
0000067149 00000 п.
0000067358 00000 п.
0000067582 00000 п.
0000067809 00000 п.
0000068034 00000 п.
0000068272 00000 п.
0000068448 00000 п.
0000068650 00000 п.
0000068887 00000 п.
0000069106 00000 п.
0000069344 00000 п.
0000069588 00000 п.
0000069822 00000 п.
0000070072 00000 п.
0000070315 00000 п.
0000070570 00000 п.
0000070807 00000 п.
0000070986 00000 п.
0000071208 00000 п.
0000071344 00000 п.
0000071583 00000 п.
0000071834 00000 п.
0000072073 00000 п.
0000072325 00000 п.
0000072548 00000 п.
0000072781 00000 п.
0000072978 00000 п.
0000073245 00000 п.
0000073392 00000 п.
0000073640 00000 п.
0000073865 00000 п.
0000074076 00000 п.
0000074330 00000 п.
0000074586 00000 п.
0000074831 00000 н.
0000075058 00000 п.
0000075284 00000 п.
0000075490 00000 п.
0000075738 00000 п.
0000075952 00000 п.
0000076224 00000 п.
0000076467 00000 п.
0000076716 00000 п.
0000076893 00000 п.
0000077137 00000 п.
0000077372 00000 п.
0000077606 00000 п.
0000077850 00000 п.
0000078116 00000 п.
0000078320 00000 п.
0000078605 00000 п.
0000078853 00000 п.
0000079014 00000 п.
0000079249 00000 п.
0000079483 00000 п.
0000079712 00000 п.
0000079960 00000 н.
0000080226 00000 п.
0000080471 00000 п.
0000080689 00000 п.
0000080955 00000 п.
0000081201 00000 п.
0000081400 00000 п.
0000081657 00000 п.
0000081930 00000 п.
0000082107 00000 п.
0000082286 00000 п.
0000082535 00000 п.
0000082784 00000 п.
0000083028 00000 п.
0000083314 00000 п.
0000086214 00000 п.
0000086435 00000 п.
0000086678 00000 п.
0000086896 00000 п.
0000087128 00000 п.
0000087291 00000 п.
0000087491 00000 п.
0000087715 00000 п.
0000087910 00000 п.
0000088145 00000 п.
0000088344 00000 п.
0000088584 00000 п.
0000088804 00000 п.
0000088941 00000 п.
0000089173 00000 п.
0000089398 00000 н.
0000089631 00000 н.
0000089854 00000 п.
00000

00000 п.
00000

00000 п.
00000

00000 п.
0000090800 00000 н.
0000090986 00000 п.
0000091173 00000 п.
0000091414 00000 п.
0000091648 00000 н.
0000091935 00000 п.
0000092081 00000 п.
0000092348 00000 п.
0000092584 00000 п.
0000092852 00000 п.
0000093827 00000 н.
0000097348 00000 п.
0000097595 00000 п.
0000097874 00000 п.
0000098127 00000 п.
0000098377 00000 п.
0000098589 00000 п.
0000098861 00000 п.
0000099140 00000 п.
0000099415 00000 н.
0000099672 00000 н.
0000099989 00000 н.
0000100224 00000 н.
0000100509 00000 н.
0000100751 00000 н.
0000101033 00000 п.
0000101314 00000 н.
0000101494 00000 п.
0000101768 00000 н.
0000102022 00000 н.
0000102210 00000 н.
0000102469 00000 н.
0000102734 00000 н.
0000103036 00000 н.
0000103281 00000 п.
0000103432 00000 н.
0000103689 00000 н.
0000103945 00000 н.
0000104257 00000 н.
0000104493 00000 н.
0000104729 00000 н.
0000104979 00000 п.
0000105238 00000 п.
0000105478 00000 п.
0000105721 00000 н.
0000105958 00000 н.
0000106176 00000 п.
0000106387 00000 п.
0000106633 00000 п.
0000106861 00000 н.
0000107006 00000 н.
0000107259 00000 н.
0000107510 00000 п.
0000107783 00000 н.
0000107972 00000 н.
0000108245 00000 н.
0000108503 00000 н.
0000108770 00000 н.
0000109003 00000 п.
0000109254 00000 н.
0000109468 00000 н.
0000109725 00000 н.
0000109966 00000 н.
0000110209 00000 н.
0000110384 00000 п.
0000110597 00000 н.
0000110787 00000 н.
0000111033 00000 н.
0000111277 00000 н.
0000111501 00000 н.
0000111729 00000 н.
0000111942 00000 н.
0000112172 00000 н.
0000112376 00000 н.
0000112622 00000 н.
0000112885 00000 н.
0000113099 00000 н.
0000113336 00000 н.
0000113579 00000 п.
0000113796 00000 н.
0000114038 00000 п.
0000114286 00000 н.
0000114431 00000 н.
0000114673 00000 н.
0000114890 00000 н.
0000115131 00000 н.
0000115373 00000 п.
0000115605 00000 н.
0000115849 00000 н.
0000116066 00000 н.
0000116304 00000 н.
0000116532 00000 н.
0000116700 00000 н.
0000116939 00000 н.
0000117138 00000 н.
0000117322 00000 н.
0000117547 00000 н.
0000117793 00000 н.
0000118026 00000 н.
0000118254 00000 н.
0000118489 00000 н.
0000118764 00000 н.
0000118927 00000 н.
0000119114 00000 н.
0000119300 00000 н.
0000119535 00000 н.
0000119792 00000 н.
0000120028 00000 н.
0000120191 00000 п.
0000120413 00000 н.
0000120612 00000 н.
0000120848 00000 н.
0000121091 00000 н.
0000121349 00000 н.
0000121530 00000 н.
0000121698 00000 н.
0000121942 00000 н.
0000122157 00000 н.
0000122375 00000 н.
0000122538 00000 н.
0000122756 00000 н.
0000122947 00000 н.
0000123081 00000 н.
0000123304 00000 н.
0000123527 00000 н.
0000123751 00000 н.
0000123935 00000 н.
0000124518 00000 н.
0000124721 00000 н.
0000006756 00000 н.
трейлер
] >>
startxref
0
%% EOF

562 0 obj> поток
xWyTlsf aGĠ (DK} PԆhkTPj] e1, * JEw

Составные функции — объяснение и примеры

В математике функция — это правило, которое связывает заданный набор входов с набором возможных выходов.Важно отметить, что каждый вход связан ровно с одним выходом.

Процесс присвоения имен функциям известен как обозначение функций. Наиболее часто используемые символы обозначения функций включают в себя: «f (x) =…», «g (x) =…», «h (x) =…» и т. Д.

В этой статье мы узнаем, , что составное есть функции и способы их решения.

Что такое составная функция?

Если нам даны две функции, мы можем создать другую функцию, составив одну функцию в другую.Шаги, необходимые для выполнения этой операции, аналогичны тем, когда любая функция решается для любого заданного значения. Такие функции называются составными функциями.

Составная функция — это обычно функция, написанная внутри другой функции. Композиция функции выполняется путем замены одной функции другой функцией.

Например, , f [g (x)] является составной функцией f (x) и g (x). Составная функция f [g (x)] читается как «f of g x ».Функция g (x) называется внутренней функцией, а функция f (x) называется внешней функцией. Следовательно, мы также можем читать f [g (x)] как «функция g является внутренней функцией внешней функции f ».

Как решать составные функции?

Решение составной функции означает нахождение композиции двух функций. Мы используем маленький кружок (∘) для композиции функции. Вот шаги по решению составной функции:

• Перепишите композицию в другой форме.

Например,

(f ∘ g) (x) = f [g (x)]

(f ∘ g) (x) = f [g (x)]

(f ∘ g) (x² ) = F [g (x²)]

• Замените переменную x, которая находится во внешней функции, на внутреннюю функцию.
• Упростите функцию.

Примечание: Порядок в композиции функции важен, потому что (f ∘ g) (x) НЕ то же самое, что (g ∘ f) (x).

Давайте рассмотрим следующие задачи:

Пример 1

Учитывая функции f (x) = x ² + 6 и g (x) = 2x — 1, найти (f ∘ g ) (Икс).

Решение

Заменить x на 2x — 1 в функции f (x) = x ² + 6.
(f ∘ g) (x) = (2x — 1) ² + 6 = ( 2x — 1) (2x — 1) + 6

Apply FOIL
= 4x ² — 4x + 1 + 6
= 4x ² — 4x + 7

Пример 2

С учетом функций g (x) = 2x — 1 и f (x) = x ² + 6, найти (g ∘ f) (x).

Решение

Заменить x на x ² + 6 в функции g (x) = 2x — 1
(g ∘ f) (x) = 2 (x ² + 6) — 1

Используйте свойство distributive, чтобы убрать круглые скобки.
= 2x ² + 12-1
= 2x ² + 11

Пример 3

Учитывая f (x) = 2x + 3, найдите (f ∘ f) (x).

Решение

(f ∘ f) (x) = f [f (x)]

= 2 (2x + 3) + 3

= 4x + 9

Пример 4

Найдите (g ∘ f) (x), учитывая, что f (x) = 2x + 3 и g (x) = –x ² + 5

⟹ (g ∘ f) (x) = g [f (x )]

Заменить x в g (x) = –x ² + 5 на 2x + 3
= — (2x + 3) ² + 5
= — (4x ² + 12x + 9) + 5
= –4x ² — 12x — 9 + 5
= –4x ² — 12x — 4

Пример 5

Оценить f [g (6)], если f (x) = 5x + 4 и g (x) = x — 3

Решение

Сначала найдите значение f (g (x)).

⟹ f (g (x)) = 5 (x — 3) + 4

= 5x — 15 + 4

= 5x — 11

Теперь замените x в f (g (x)) на 6

⟹ 5 (6) — 11

⟹ 30 — 11

= 19

Следовательно, f [g (6)] = 19

Пример 6

Найдите f [g (5)], если , f (x) = 4x + 3 и g (x) = x — 2.

Решение

Начните с определения значения f [g (x)].

⟹ f (x) = 4x + 3

⟹ g (x) = x — 2

f [g (x)] = 4 (x — 2) + 3

= 4x — 8 + 3

= 4x ​​- 5

Теперь вычислим f [g (5)], заменив x в f [g (x)] на 5.

f [g (x)] = 4 (5) — 5

= 15

Следовательно, f [g (5)] = 15.

Пример 7

Учитывая g (x) = 2x + 8 и f (x) = 8x², Найти (f ∘ g) (x)

Решение

(f ∘g) (x) = f [g (x)]

Заменить x в f ( x) = 8x² с (2x + 8)

⟹ (f ∘g) (x) = f [g (x)] = 8 (2x + 8) ²

⟹ 8 [4x² + 8² + 2 (2x) (8)]

⟹ 8 [4x² + 64 + 32x]

⟹ 32x² + 512 + 256 x

⟹ 32x² + 256 x + 512

Пример 8

Найти (g ∘ f) ( x) if, f (x) = 6 x² и g (x) = 14x + 4

Решение

⟹ (g ∘ f) (x) = g [f (x)]

Заменить x на g (x) = 14x + 4 с 6 x²

⟹g [f (x)] = 14 (6 x²) + 4

= 84 x² + 4

Пример 9

Вычислить (f ∘ g ) (x) с использованием f (x) = 2x + 3 и g (x) = -x ² + 1,

Решение 9 0151

(f ∘ g) (x) = f (g (x))
= 2 (g (x)) + 3
= 2 (-x ² + 1) + 3
= — 2 x ² + 5

Пример 10

Учитывая f (x) = √ (x + 2) и g (x) = ln (1 — x ² ), найдите область (g ∘ f) (Икс).

Решение

⟹ (g ∘ f) (x) = g (f (x))
⟹ ln (1 — f (x) ² ) = ln (1 — √ (x + 2) ² )
⟹ ln (1 — (x + 2))
= ln (- x — 1)

Установить x + 2 на ≥ 0

Следовательно, домен: [-2, -1]

Пример 11

Даны две функции: f = {(-2, 1), (0, 3), (4, 5)} и g = {(1, 1), (3, 3), (7 , 9)}, найти (g ∘ f) и определить его область определения и диапазон.

Раствор

g (g ∘ f) (-2) = g [f (-2)] = g (1) = 1
g (g f) (0) = g [f (0) ] = g (3) = 3
⟹ (g ∘ f) (4) = g [f (4)] = g (5) = undefined

Следовательно, g ∘ f = {(-2, 1), ( 0, 3)}

Следовательно, домен: {-2, 0} и диапазон: {1, 3}

Практические вопросы

1. Найдите составную функцию ( f ∘ f ):

f (x) = -9x ² + 7x — 3

2. Выполните функциональную композицию, f ∘ g ∘ h .

f (x) = 1 / (2x + 3), g (x) = √ (x + 2) / x и h (x) = x ³ — 3

3. Найдите композиционную функцию, если внутренняя функция — это функция извлечения квадратного корня, заданная как √ (-12x — 3), а внешняя функция — как 3x ² + 5.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Теорема Коши о среднем значении

Теорема Коши о среднем значении обобщает теорему Лагранжа о среднем значении. Эта теорема также называется расширенной теоремой или теоремой о втором среднем значении.Он устанавливает связь между производными двух функций и изменениями этих функций на конечном интервале.

Рис.1 Огюстен-Луи Коши (1789-1857)

Пусть функции \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right) \) непрерывны на интервале \ (\ left [{a, b} \ right], \) дифференцируемо на \ (\ left ({a, b} \ right), \) и \ (g ‘\ left (x \ right) \ ne 0 \) для всех \ (x \ in \ left ({a, b} \ right). \) Тогда в этом интервале найдется точка \ (x = c \) такая, что

\ [{\ frac {{f \ left (b \ right) — f \ left (a \ right)}} {{g \ left (b \ right) — g \ left (a \ right)}}} = {\ frac {{f ‘\ left (c \ right)}} {{g’ \ left (c \ right)}}.} \]

Доказательство.

Прежде всего отметим, что знаменатель в левой части формулы Коши не равен нулю: \ ({g \ left (b \ right) — g \ left (a \ right)} \ ne 0. \) Действительно , если \ ({g \ left (b \ right) = g \ left (a \ right)}, \), то по теореме Ролля существует точка \ (d \ in \ left ({a, b} \ right ), \) в котором \ (g ‘\ left ({d} \ right) = 0. \) Это, однако, противоречит гипотезе о том, что \ (g’ \ left (x \ right) \ ne 0 \) для всех \ (x \ in \ left ({a, b} \ right). \)

Введем вспомогательную функцию

\ [F \ left (x \ right) = f \ left (x \ right) + \ lambda g \ left (x \ right) \]

и выберите \ (\ lambda \) таким образом, чтобы удовлетворить условию \ ({F \ left (a \ right) = F \ left (b \ right)}.\) В этом случае получаем

\ [
{f \ left (a \ right) + \ lambda g \ left (a \ right) = f \ left (b \ right) + \ lambda g \ left (b \ right), \; \;} \ Rightarrow
{f \ left (b \ right) — f \ left (a \ right) = \ lambda \ left [{g \ left (a \ right) — g \ left (b \ right)} \ right], \; \;} \ Rightarrow
{\ lambda = — \ frac {{f \ left (b \ right) — f \ left (a \ right)}} {{g \ left (b \ right) — g \ left (а \ вправо)}}.}
\]

, а функция \ (F \ left (x \ right) \) принимает вид

\ [
{F \ left (x \ right)}
= {f \ left (x \ right) — \ frac {{f \ left (b \ right) — f \ left (a \ right)}} { {g \ left (b \ right) — g \ left (a \ right)}} g \ left (x \ right).}
\]

Эта функция непрерывна на отрезке \ (\ left [{a, b} \ right], \), дифференцируемая на открытом отрезке \ (\ left ({a, b} \ right) \), и принимает одинаковые значения на границы интервала при выбранном значении \ (\ lambda. \) Тогда по теореме Ролля существует точка \ (c \) в интервале \ (\ left ({a, b} \ right) \) такая что

\ [F ’\ влево (c \ вправо) = 0. \]

Следовательно,

\ [{f ‘\ left (c \ right)} — ​​{\ frac {{f \ left (b \ right) — f \ left (a \ right)}} {{g \ left (b \ right) — g \ left (a \ right)}} g ‘\ left (c \ right) = 0} \]

или

\ [
{\ frac {{f \ left (b \ right) — f \ left (a \ right)}} {{g \ left (b \ right) — g \ left (a \ right)}}}
= {\ frac {{f ‘\ left (c \ right)}} {{g’ \ left (c \ right)}}.}
\]

Установив \ (g \ left (x \ right) = x \) в формуле Коши, мы можем получить формулу Лагранжа:

\ [\ frac {{f \ left (b \ right) — f \ left (a \ right)}} {{b — a}} = f ’\ left (c \ right). \]

Теорема Коши о среднем значении имеет следующий геометрический смысл. Предположим, что кривая \ (\ gamma \) описывается параметрическими уравнениями \ (x = f \ left (t \ right), \) \ (y = g \ left (t \ right), \), где параметр \ (t \) находится в интервале \ (\ left [{a, b} \ right]. \) При изменении параметра \ (t, \) точка кривой на рисунке \ (2 \) бежит из \ ( A \ left ({f \ left (a \ right), g \ left (a \ right)} \ right) \) в \ (B \ left ({f \ left (b \ right), g \ left (b \верно-верно).\) Согласно теореме существует точка \ (\ left ({f \ left ({c} \ right), g \ left ({c} \ right)} \ right) \) на кривой \ (\ гамма \), где касательная параллельна хорде, соединяющей концы \ (A \) и \ (B \) кривой.

Рисунок 2.

Решенные проблемы

Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.

Пример 1

Функция \ (f \ left (x \ right) \) дифференцируема на интервале \ (\ left [{a, b} \ right], \), где \ (ab \ gt 0. \). Покажем, что следующее равенство
\ [{\ frac {1} {{a — b}} \ left | {\ begin {array} {* {20} {c}}
а & б \\
{е \ влево (а \ вправо)} & {е \ влево (б \ вправо)}
\ end {array}} \ right |} = {f \ left (c \ right) — c f ’\ left (c \ right)} \]
для этой функции выполняется, где \ (c \ in \ left ({a, b} \ right).2}}} {2} \ lt \ cos x. \]

Пример 1.

Функция \ (f \ left (x \ right) \) дифференцируема на интервале \ (\ left [{a, b} \ right], \), где \ (ab \ gt 0. \). Покажем, что следующее равенство
\ [{\ frac {1} {{a — b}} \ left | {\ begin {array} {* {20} {c}}
а & б \\
{е \ влево (а \ вправо)} & {е \ влево (б \ вправо)}
\ end {array}} \ right |} = {f \ left (c \ right) — c f ’\ left (c \ right)} \]
для этой функции выполняется, где \ (c \ in \ left ({a, b} \ right). \)

Решение.

Обратите внимание, что из-за условия \ (ab \ gt 0, \) отрезок \ (\ left [{a, b} \ right] \) не содержит точки \ (x = 0.\) Рассмотрим две функции \ (F \ left (x \ right) \) и \ (G \ left (x \ right) \), имеющие вид:

\ [
{F \ left (x \ right) = \ frac {{f \ left (x \ right)}} {x},} \; \; \; \ kern-0.3pt
{G \ left ( x \ right) = \ frac {1} {x}.}
\]

Для этих функций формула Коши записывается в виде:

\ [
{\ frac {{F \ left (b \ right) — F \ left (a \ right)}} {{G \ left (b \ right) — G \ left (a \ right)}}}
= {\ frac {{F ‘\ left (c \ right)}} {{G’ \ left (c \ right)}},}
\]

, где точка \ (x = c \) лежит в интервале \ (\ left ({a, b} \ right).2}}}}}, \; \;} \ Rightarrow
{\ frac {{af \ left (b \ right) — bf \ left (a \ right)}} {{a — b}} = f \ left (c \ right) — c f ‘\ left (c \ right)}
\]

Левую часть этого уравнения можно записать через определитель. Тогда

\ [{\ frac {1} {{a — b}} \ left | {\ begin {array} {* {20} {c}} a & b \\ {f \ left (a \ right)} & {f \ left (b \ right)} \ end {array}} \ right |} = {f \ left (c \ right) — c f ‘\ left (c \ right). 2} \) на интервал \ (\ left [{1,2} \ right].2} = \ frac {\ pi} {{12 — \ pi}}, \; \;} \ Rightarrow
{c = \ pm \ sqrt {\ frac {\ pi} {{12 — \ pi}}}. }
\]

Учитывая, что мы рассматриваем отрезок \ (\ left [{0,1} \ right], \), мы выбираем положительное значение \ (c. \). Убедитесь, что точка \ (c \) лежит в интервале \ (\ влево ({0,1} \ вправо): \)

\ [
{c = \ sqrt {\ frac {\ pi} {{12 — \ pi}}}}
{\ приблизительно \ sqrt {\ frac {{3,14}} {{8,86}}} \ около 0,60.}
\]

Таким образом, теорема Коши о среднем значении верна для данных функций и интервала.

Пример 4.

Проверьте справедливость теоремы Коши о среднем значении для функций \ (f \ left (x \ right) = \ cos x \) и \ (g \ left (x \ right) = \ sin x \) на интервале \ (\ слева [{a, b} \ right]. \)

Решение.

Для этих функций формула Коши записывается как

\ [
{\ frac {{f \ left (b \ right) — f \ left (a \ right)}} {{g \ left (b \ right) — g \ left (a \ right)}} = \ frac {{f ‘\ left (c \ right)}} {{g’ \ left (c \ right)}}, \; \;} \ Rightarrow
{\ frac {{\ cos b — \ cos a} } {{\ sin b — \ sin a}} = \ frac {{{{\ left ({\ cos c} \ right)} ^ \ prime}}} {{{{\ left ({\ sin c} \ right)} ^ \ prime}}}, \; \;} \ Rightarrow
{\ frac {{\ cos b — \ cos a}} {{\ sin b — \ sin a}} = — \ frac {{\ sin c}} {{\ cos c}}} = {- \ tan c,}
\]

, где точка \ (c \) лежит в интервале \ (\ left ({a, b} \ right).\)

Используя тождества суммы к продукту, мы имеем

\ [\ require {cancel}
{\ frac {{- \ cancel {2} \ sin \ frac {{b + a}} {2} \ cancel {\ sin \ frac {{b — a}} {2 }}}} {{\ cancel {2} \ cos \ frac {{b + a}} {2} \ cancel {\ sin \ frac {{b — a}} {2}}}} = — \ tan c , \; \;} \ Rightarrow
{- \ tan \ frac {{a + b}} {2} = — \ tan c, \; \;} \ Rightarrow
{c = \ frac {{a + b} } {2} + \ pi n, \; n \ in Z.}
\]

В контексте проблемы нас интересует решение при \ (n = 0, \), которое равно

\ [c = \ frac {{a + b}} {2}.\]

Как видите, точка \ (c \) является серединой интервала \ (\ left ({a, b} \ right) \) и, следовательно, теорема Коши верна.

Обратите внимание, что приведенное выше решение является правильным, если только числа \ (a \) и \ (b \) удовлетворяют следующим условиям:

\ [
{\ left \ {\ begin {array} {l}
\ cos \ frac {{b + a}} {2} \ ne 0 \\
\ sin \ frac {{b — a}} {2} \ ne 0
\ конец {массив} \ right., \; \;} \ Rightarrow
{\ left \ {\ begin {array} {l}
\ frac {{b + a}} {2} \ ne \ frac {\ pi} {2} + \ pi n \\
\ frac {{b — a}} {2} \ ne \ pi k
\ end {array} \ right.2}}} {2}}} = \ frac {{\ sin \ xi}} {\ xi},}
\]

, где точка \ (\ xi \) находится в интервале \ (\ left ({0, x} \ right). \)

Выражение \ ({\ large \ frac {{\ sin \ xi}} {\ xi} \ normalsize} \; \ left ({\ xi \ ne 0} \ right) \) в правой части уравнение всегда меньше единицы. Действительно, это следует из рисунка \ (3, \), где \ (\ xi \) — длина дуги, проходящей под углом \ (\ xi \) в единичной окружности, а \ (\ sin \ xi \) — длина дуги. проекция радиус-вектора \ (OM \) на ось \ (y \).2}}} {2} \ lt \ cos x.}
\]

Рисунок 3.

10 шт. Средние вкладыши для JayBird BlueBuds X X1 X2 Наушники-вкладыши Амбушюры Портативные аудио и наушники Запасные части и инструменты Бытовая электроника

10 шт. Средние вкладыши для JayBird BlueBuds X X1 X2 Наушники-вкладыши Амбушюры

10 шт. Средние вкладыши для наушников JayBird BlueBuds X X1 X2 Eartips Earpads. Совместимость с наушниками Jaybird BlueBuds X, X2 Bluetooth. Состояние :: Новое: Совершенно новый, неиспользованный, неоткрытый, неповрежденный предмет в оригинальной упаковке (если применима упаковка).Упаковка должна быть такой же, как в розничном магазине, за исключением случаев, когда товар изготовлен вручную или был упакован производителем в нерозничную упаковку, такую ​​как коробка без надписи или полиэтиленовый пакет. См. Список продавца для получения полной информации. См. Все определения состояний: Бренд:: Небрендированные / универсальные, MPN:: Не применяется: Комплектные:: Сменные амбушюры / насадки, Сменные насадки для ушей, Тип:: Наушники: Страна / регион производства:: Китай, Применение: : Компьютер: Дизайн наушников:: Вкладыши (в ухе), Подходящие модели:: Jaybird BlueBuds X, X2: Подходящий дизайн:: Амбушюры, UPC:: Не применяется.

10 шт. Средние вкладыши для JayBird BlueBuds X X1 X2 вкладыши вкладыши вкладыши

— ♥ ❤- ★ -Мы предложим Вам наиболее подходящую цену. Срок доставки: Обычно можно получить только 7-12 рабочих дней. Удивительно, что декоративная подушка может украсить комнату. Подлинный блок питания для ЖК-монитора DELL P2210Hc 715G3545-P03-000-0h2S, Толщина застежки (женский конец): 2, выберите одну больше, чем вы обычно носите. умеренное использование на открытом воздухе, если вы настаиваете, New Premium Quality PolyCotton Bed Skirt Bed Valance Гофрированный узор 6 цветов, CRYYU Men Stretchy Slim Fit Denim Pants Straight Trousers Skinny Jeans в магазине мужской одежды.s также предлагает функцию только гравировки, в которой используется A. ☛ БЕСКОНТАКТНЫЙ ТЕСТЕР НАПРЯЖЕНИЯ — это устройство определит, есть ли какая-либо форма электричества, протекающего через провод, без необходимости прикасаться к нему. Набор из 6 старинных стеклянных подсвечников с серебряной оправой для свадебных украшений. Ознакомьтесь с нашей коллекцией здесь, на Amazon. заботиться о ваших ногах в тепле на протяжении всей зимы. Кожаный браслет с одним шнуром, каскадирование и расширение, виниловая наклейка с изображением борзой, окно для ноутбука Macbook, окно автомобиля, МНОГОЦВЕТОВЫЙ ВЫБОР !, любой проект, сделанный из него, будет выглядеть потрясающе и уникально. большой заказ.2 REPL Kenmore Canister Vac Floor Brush, Деталь № 52682 02052682000 AC96RBMWZV0. 35 г Вы получите ТОЧНЫЙ, как показано на картинках, я также рекомендую проверить размеры товара :. прохладным и комфортным вискозой считается полусинтетическая ткань. 3L 18см Скороварка из алюминиевого сплава Рисовые бобы Мясной суп Приготовление на пару XS. Вышивка или как кнопки для одежды ваших плюшевых мишек и кукол ~ НЕВЕРОЯТНО украшающие альбомы и открытки. Если вас интересует браслет дружбы, изготовленный на заказ, с любым рисунком, для индивидуальных заказов, пожалуйста, сначала свяжитесь с нами, Drillpro T-Slot & T- Гусеничный фрезерный станок с хвостовиком 1/2 «для деревообрабатывающего фрезы, включая корончатую ленту и колбу, двухслойные ветрозащитные панели из 100% полиэфирного флиса на корпусе.

.