Х в степени 2: 1) Решить уравнения: х(во 2 степени) =64 х(во 2 степени)-144=0 х(во второй — ошкольное образовательное учреждение № 4 «Алёнушка»

Содержание

Функция СТЕПЕНЬ — Служба поддержки Office

Предположим, что вам нужно вычислить очень маленький допуск для детали механизма или огромное расстояние между двумя галактиками. Для возведения числа в степень используйте функцию СТЕПЕНЬ.

Описание

Возвращает результат возведения числа в степень.

Синтаксис

СТЕПЕНЬ(число;степень)

Аргументы функции СТЕПЕНЬ описаны ниже.

Число — обязательный аргумент. 2.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Формула	Описание	Результат
=СТЕПЕНЬ(5;2)	Число 5 в квадрате.	25
=СТЕПЕНЬ(98,6;3,2)	Число 98,6, возведенное в степень 3,2.	2401077,222
=СТЕПЕНЬ(4;5/4)	Число 4, возведенное в степень 5/4.	5,656854249

Формула

Описание

Результат

=СТЕПЕНЬ(5;2)

Число 5 в квадрате.

=СТЕПЕНЬ(98,6;3,2)

Число 98,6, возведенное в степень 3,2.

2401077,222

=СТЕПЕНЬ(4;5/4)

Число 4, возведенное в степень 5/4.

5,656854249

Таблица производных простых функций

Пояснение:
При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.

3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
сx´ = с

Пример:

(3x)´ = 3

(2x)´ = 2
Пояснение:

В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с.

Откуда следует, что
(cx + b)’ = c
то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).

4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю
|x|’ = x / |x| при условии, что х ≠ 0
Пояснение:

Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает выражение x / |x| . Когда x 0 — единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных — наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.

5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
( x^c )’= cx^c-1, при условии, что x^c и сx^c-1,определены а с ≠ 0

Пример:

(x² )’ = 2x

(x³)’ = 3x²
Для запоминания формулы:

Снесите степень переменной «вниз» как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x² — двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x³ — тройку «спускаем вниз», уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x² . Немного «не научно», но очень просто запомнить.

6. Производная дроби 1/х
(1/х)’ = — 1 / x²

Пример:

Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень

(1/x)’ = (x^-1 )’ , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных

(x^-1 )’ = -1x^-2 = — 1 / х²

7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе
( 1 / x^c )’ = — c / x^c+1

Пример:

( 1 / x² )’ = — 2 / x³

8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)
( √x )’ = 1 / ( 2√x ) или 1/2 х^-1/2

Пример:

( √x )’ = ( х^1/2 )’ значит можно применить формулу из правила 5

( х^1/2 )’ = 1/2 х^-1/2 = 1 / (2√х)

9. Производная переменной под корнем произвольной степени
( ⁿ√x )’ = 1 / ( n ⁿ√x^n-1 )

.

Приведенная здесь таблица производных простых функций содержит только основные преобразования, которые (по большому счету) следует запомнить наизусть. Нахождение более сложных производных приведены в соответствующих таблицах других уроков:

Показательные уравнения (ЕГЭ №15 и ЕГЭ№ 13)

\( {{3}^{3x+1}}-4\cdot {{9}^{x}}=17\cdot {{3}^{x}}-6\)

Решение:

Ясно, что скорее всего заменять придется \( {{3}^{x}}\) (это наименьшая из степеней, входящая в наше уравнение). {2}}-17t+6=0\)

имеет три корня:

\( {{t}_{1}}=3,~{{t}_{2}}=\frac{1}{3},~{{t}_{3}}=-2\).

Последний корень мы, конечно, отбросим, поскольку он меньше нуля. А первые два после обратной замены дадут нам два корня:

\( {{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=-1\).

Ответ: \( {{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=-1\).

Этим примером я отнюдь не хотел напугать тебя!

Скорее наоборот, я ставил своей целью показать, что хоть у нас была довольно простая замена, тем не менее она привела к довольно сложному уравнению, решение которого потребовало от нас некоторых особых навыков.

Ну что же, от этого никто не застрахован. Зато замена в данном случае была довольно очевидной.

1.2. Корень n-й степени

В 8-м классе изучались квадратные корни из действительных чисел (их называют также
корнями 2-й степени).

Перейдем к изучению корней степени n для
произвольного натурального числа n≥2.

Определение. Пусть n≥2 и n∈N.

Корнем

n-й степени

из числа a
называется такое число t, n-я степень
которого равна a

Таким образом, утверждение «t —
корень n-й степени из a» означает, что
tn=a.

Корень 3-й степени называется также кубическим.

Например, кубический корень из числа 125 — это число 5, так как 53=125. Кубический корень из числа −125 — это число −5, так как (−5)3=−125.

Корень 7-й степени из числа 128 — это число 2, так как 27=128. Корень 7-й степени из числа −128 — это число −2, так как (−2)7=−128. Корень 7-й степени из числа 0 — это 0, так как 07=0.

Во множестве действительных чисел существует единственный
корень нечетной степени n из любого числа a. Этот корень
обозначается

Например, 1253=5,−1287=−2,07=0.

Стр. 11

Утверждение о существовании корня нечетной степени из любого числа мы
принимаем без доказательства.

Согласно определению, когда n нечетное, то при любом
значении а верно равенство

Например, ⎛⎝927⎞⎠7=92,⎛⎝1237⎞⎠7=123,⎛⎝−1237⎞⎠7=−123.

Заметим, что 0 — это единственное число, n-я степень
которого равна 0. Поэтому

при любом натуральном n≥2 существует единственный корень n-й степени
из 0 — это число 0, т. е. 0n=0.

Примерами корней четной степени могут служить квадратные корни: −7 и 7 —
квадратные корни из 49, а −15 и 15 — из 225. Рассмотрим еще несколько примеров.
Корни 4-й степени из числа 81 — это числа 3 и −3, так как 34=81 и (−3)4=81. Корни 6-й степени из числа 64 — это числа 2 и −2, так как 26=64 и (−2)6=64.

Во множестве действительных чисел существует ровно два
корня четной степени n из любого положительного числа а, их модули равны, а
знаки противоположны. Положительный корень обозначается

Например, 814=3,646=2.

Утверждение о существовании корня четной степени из любого положительного
числа мы принимаем без доказательства. Согласно определению, когда n четное, то при любом положительном значении а верно
равенство

Например, ⎛⎝514⎞⎠4=51,⎛⎝874⎞⎠4=87.

Не существует такого числа, 4-я степень которого равна −81. Поэтому корня 4-й
степени из числа −81 не существует. И вообще, поскольку не существует такого числа,
четная степень которого была бы отрицательной, то

Стр. 12

не существует корня четной степени из отрицательного
числа.

Определение.

Неотрицательный корень n-й степени из числа
a
называется

арифметическим корнем n-й степени из a
.

При четном n символом an обозначается только арифметический корень n-й степени из числа a (при чтении
записи an слово «арифметический» обычно пропускают).

Выражение, стоящее под знаком корня, называется подкоренным выражением.

Извлечь корень n-й степени
из числа a — это значит найти значение выражения an.

Так как корня четной степени из отрицательного числа не существует, то выражение
an при четном n и отрицательном а не имеет смысла.

Например, не имеют смысла выражения −814 и −646.

Как мы установили, при любом значении а, при котором
выражение an имеет смысл, верно равенство

Поэтому равенство
(1)
является тождеством.

В конце XV в. бакалавр Парижского университета Н. Шюке внес усовершенствования
в алгебраическую символику. В частности, знаком корня служил символ Rx (от латинского слова radix — корень). Так,
выражение 24+374 в символике Шюке имело вид R¯x424p¯R¯x237.

Знак корня в современном виде был предложен в 1525 г. чешским математиком К.
Рудольфом. Его учебник алгебры переиздавался до 1615 г., и по нему учился
знаменитый математик Л. Эйлер.

Знак еще называют радикалом.

Стр. 13

Пример 1. Верно
ли, что:

а) (−2)44=−2;

б) (−2)77=−2?

Решение. а) По определению арифметический корень
n-й степени из неотрицательного числа a (n — четное число) является
неотрицательным числом, n-я степень которого равна
подкоренному выражению a.

Поскольку −2<0, то равенство (−2)44=−2 неверное. Верно равенство (−2)44=2.

б) По определению корень n-й степени из числа
а (n — нечетное
число) является числом, n-я степень которого равна
подкоренному выражению а.

Поскольку (−2)7=−27 — верное равенство, то равенство (−2)77=−2 − верное.

Пример 2. Решить
уравнение:

а) x3=7;

б) x4=5.

Решение. а) Решением этого уравнения является такое
значение х, 3-я степень которого равна 7, т. е. по
определению кубического корня имеем:

б) Решением этого уравнения является такое значение х, 4-я степень которого равна 5, т. е. (по определению) х — это корень 4-й степени из числа 5. Но из положительного
числа 5 существуют два корня четвертой степени, которые равны по модулю и имеют
противоположные знаки. Поскольку положительный корень обозначают 54, то второй корень равен −54, т. е. x=±54.

Ответ: а) 73; б) ±54.

В тетради решение уравнения б) (аналогично и а)) можно записать так:

Решение: x4=5 ⇔ x=±54.

Ответ: ±54.

Пример 3. Решить
уравнение:

а) (x8)8=x;

б) (x13)13=x.

Стр. 14

Решение. а) Число 8 — четное, значит, данное
равенство является тождеством при x≥0, поэтому каждое неотрицательное значение х
является решением (корнем) уравнения (x8)8=x.

б) Число 13 — нечетное, значит, данное равенство является тождеством при любом
значении х, поэтому решением уравнения (x13)13=x является любое действительное число, а R —
множество всех его корней.

Ответ: а) [0;+∞); б) R.

Пример 4. Решить
уравнение

Решение. Обозначим x6=t, тогда получим уравнение

Корни этого уравнения

Таким образом, имеем

откуда x=±2 (поясните, почему уравнение x6=−1 не имеет корней).

Ответ: ±2.

1Какое число называется корнем n-й степени из
числа а?

2Сколько существует корней четной степени n
из положительного числа а?

3Корень какой степени существует из любого числа а?

4Какой корень n-й степени из числа а называется арифметическим?

5При каких значениях а верно равенство (an)n=a, если:

а) n — нечетное число;

б) n — четное число?

Упражнения

1.24°

1.24°Используя определение арифметического корня n-й
степени, докажите, что:

1) 2564=4;

2) 102410=2;

3) 7296=3;

4) 65618=3;

5) 409612=2;

6) 14 6414=11.

1.24°

Стр. 15

1.25°

1.25°Верно ли, что:

1) число −4 является корнем четвертой степени из числа 256;

2) число −0,3 является корнем четвертой степени из числа −0,0081?

1.25°

1.26°

1.26°Верно ли, что:

1) −17283=−12;

2) −33753=15;

3) −16 8075=7;

4) −77765=−6?

1.26°

1.27°

1.27°Найдите арифметический квадратный корень из числа:

1) 16;

2) 49;

3) 0;

4) 1;

5) 0,81;

6) 0,25;

7) 2,25;

8) 1,21;

9) 36169;

10) 144289;

11) 169100;

12) 81256.

1.27°

1. 28°

1.28°Найдите кубический корень из числа:

1) 1;

2) 0;

3) 343;

4) 8;

5) 127;

6) 0,027;

7) 0,001;

8) 64125.

1.28°

1.29°

1.29°Найдите арифметический корень четвертой степени из числа:

1) 0;

2) 1;

3) 16;

4) 0,0016;

5) 1681;

6) 256625;

7) 0,0001;

8) 0,1296.

1.29°

Вычислите (1.30—1.42).

1.30°

1.30°1) 9,16,25,49,81,100;

2) 0,16,0,09,0,01,0,04,0,0025,0,0001;

3) 273,643,−1253,0,0083,0,0002163,−1 000 0003;

4) 164,6254,10 0004,0,00814,0,000000164,24014;

5) 325,10245,2435,0,031255,100 0005,0,000015;

6) 646,7296,15 6256,40966,0,0466566,1 000 0006.

1.30°

1.31°

1.31°1) −10003;

2) −115;

3) −643;

4) −10245;

5) −1273;

6) −3433;

7) −272163;

8) −31255;

9) −0,000325.

1.31°

Стр. 16

1.32

1.321) ⎛⎝−33⎞⎠3;

2) ⎛⎝−145⎞⎠5;

3) ⎛⎝−307⎞⎠7;

4) ⎛⎝−1511⎞⎠11;

5) ⎛⎝−69⎞⎠9;

6) ⎛⎝−9915⎞⎠15.

1.32

1.33

1.331) ⎛⎝−22113⎞⎠3·⎛⎝−6195⎞⎠5·⎛⎝−9513⎞⎠13·⎛⎝−1134017⎞⎠17;

2) ⎛⎝−34159⎞⎠9·⎛⎝−1587⎞⎠7·⎛⎝−11145⎞⎠5·⎛⎝−125393⎞⎠3.

1.33

1.34

1.341) ⎛⎝53⎞⎠6;

2) ⎛⎝0,14⎞⎠12;

3) ⎛⎝1125⎞⎠10;

4) ⎛⎝2136⎞⎠18;

5) ⎛⎝567⎞⎠21;

6) ⎛⎝239⎞⎠36.

1.34

1.35

1.351) ⎛⎝35⎞⎠10;

2) ⎛⎝534⎞⎠48;

3) ⎛⎝7610⎞⎠120;

4) ⎛⎝643⎞⎠12;

5) ⎛⎝108⎞⎠16;

6) ⎛⎝1294⎞⎠36.

1.35

1.36°

1.36°1) ⎛⎝10⎞⎠2;

2) ⎛⎝53⎞⎠3;

3) ⎛⎝−124⎞⎠4;

4) −1244;

5) ⎛⎝−35⎞⎠5;

6) ⎛⎝323⎞⎠3;

7) ⎛⎝−444⎞⎠4;

8) ⎛⎝−157⎞⎠7;

9) −5555;

10) ⎛⎝−36⎞⎠6;

11) ⎛⎝−229⎞⎠9;

12) −488.

1.36°

1.37°

1.37°1) 325+−83;

2) 6254−−1253;

3) 12−60,1253;

4) 1+100,00814;

5) 3164−4273;

6) −3383+2,25;

7) 83−643;

8) 164−643.

1. 37°

1.38°

1.38°1) 9+4;

2) 36−164;

3) 0,81+0,0013;

4) 0,0273−0,04;

5) 5−2564;

6) 7+83;

7) −325+164;

8) −273+814.

1.38°

1.39°

1.39°1) (1−2)⎛⎝1+2⎞⎠;

2) ⎛⎝3−2⎞⎠⎛⎝3+2⎞⎠;

3) ⎛⎝23+4⎞⎠⎛⎝23−4⎞⎠;

4) ⎛⎝35−2⎞⎠⎛⎝35+2⎞⎠;

5) ⎛⎝10−6⎞⎠⎛⎝6+10⎞⎠;

6) ⎛⎝7+3⎞⎠⎛⎝3−7⎞⎠.

1.39°

Стр. 17

1.40

1.401) 1225244⋅15−1382−2323;

2) 58+442−26235;

3) 90+31⎛⎝572−262⎞⎠83;

4) 2364+⎛⎝482−3225⎞⎠−13.

1.40

1.41

1.411) ⎛⎝⎜⎛⎝⎛⎝23⎞⎠33⎞⎠−3−⎛⎝⎛⎝43⎞⎠−55⎞⎠5⎞⎠⎟−1·⎛⎝−277⎞⎠7;

2) ⎛⎝⎜⎛⎝175⎞⎠−10+⎛⎝−409⎞⎠9·⎛⎝537⎞⎠0⎞⎠⎟−1:⎛⎝95⎞⎠−10;

3) ⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝34⎞⎠23⎞⎠⎟6+⎛⎝−4−27⎞⎠7⎞⎠⎟:⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝56⎞⎠05⎞⎠⎟10−⎛⎝−⎛⎝32⎞⎠−19⎞⎠9⎞⎠⎟;

4) ((((−45)3)3)0−(−0,111)−22):(((38)−15)5·((32)37)7+(−129)−9).

1.41

1.42

1.421) ⎛⎝a77⎞⎠7⎛⎝a55⎞⎠5;

2) ⎛⎝a33⎞⎠3⎛⎝a99⎞⎠9;

3) ⎛⎝⎜213⎛⎝a33⎞⎠3·⎛⎝b77⎞⎠7⎞⎠⎟2·⎛⎝⎜−127⎛⎝a55⎞⎠5·⎛⎝b1111⎞⎠11⎞⎠⎟;

4) 337⎛⎝a55⎞⎠5·⎛⎝b99⎞⎠9·⎛⎝⎜−213⎛⎝a77⎞⎠7·⎛⎝b1313⎞⎠13⎞⎠⎟2.

1.42

Найдите естественную область определения выражения (1.43—1.44).

1.43

1.431) x+4;

2) −9+2×4;

3) 5×2−6×10;

4) 8x−4×212;

5) x+33;

6) x−75;

7) x2−47;

8) 2×2−329.

1.43

1.44

1.441) 34x−112;

2) −48x−314;

3) 2−59−5×8;

4) 3−1016−7×6;

5) 2+x4−2(8−6x)3;

6) 12−6×2−7x+(3x−1)·25;

7) −x22(x−2)−5⎛⎝1−3x)−24;

8) 3(x+4)−6(2−x)+9×428.

1.44

Стр. 18

1.45

1.45Найдите длину ребра куба, если его объем равен:

1) 27 см³;

2) 64 мм³;

3) 0,125 дм³;

4) 0,216 м³.

1.45

Решите уравнение (1.46—1.54).

1.46°

1.46°1) x2=0,49;

2) x2=121;

3) x3=0,008;

4) x3=1000;

5) x3=−64 000;

6) x3=216;

7) x4=0,0625;

8) x4=−16.

1.46°

1.47

1.471) x3=−27;

2) x5=−132;

3) x7=−1;

4) x9=−512;

5) x3=−0,027;

6) x11=0.

1.47

1.48°

1.48°1) x2=11;

2) x4=19;

3) x8=27;

4) x3=25;

5) x7=38;

6) x9=−2;

7) x15=−6;

8) x17=4;

9) x13=−13.

1.48°

1.49

1.491) x2=25 600;

2) x2=0,0196;

3) x2+1=1,0016;

4) 5×2−20=0;

5) x2+25=0;

6) x2+179=0;

7) x2·4=0;

8) −6×2=0;

9) 113×2−12=0;

10) 13×2−1=0.

1.49

1.50

1.501) 4×3+4125=0;

2) 8×3+27=0;

3) −0,1×4=−0,00001;

4) 16×4−81=0;

5) 12×5+16=0;

6) 132×6−2=0.

1.50

1.51

1.511) x4+2=7;

2) x5−3=30;

3) x6−7=19;

4) x3+5=5.

1.51

1.52

1.521) (x+1)4=16;

2) (x−2)6=64;

3) (2x+1)3=27;

4) (3x−1)5=32.

1.52

1. 53

1.531) x10−31×5−32=0;

2) x8−15×4−16=0;

3) x4−12×2+27=0;

4) x6−7×3−8=0;

5) x8−82×4+81=0;

6) x4+2×2−15=0.

1.53

Стр. 19

1.54

1.541)° (x6)6=x;

2)° (x10)10=x;

3)° (x3)3=x;

4)° (x5)5=x;

5) ⎛⎝x−14⎞⎠4=x−1;

6) ⎛⎝x+212⎞⎠12=x+2;

7) ⎛⎝1×7⎞⎠7=1x;

8) ⎛⎝1x−211⎞⎠11=1x−2.

1.54

Производная e в степени x и показательной функции

Основные формулы

Производная экспоненты равна самой экспоненте (производная e в степени x равна e в степени x):
(1) ( e^x )′ = e^x.

Производная показательной функции с основанием степени a равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм от a:
(2) .

Экспонента – это показательная функция, у которой основание степени равно числу e, которое является следующим пределом:
.
Здесь может быть как натуральным, так и действительным числом. Далее мы выводим формулу (1) производной экспоненты.

Вывод формулы производной экспоненты

Рассмотрим экспоненту, e в степени x:
y = e^x.
Эта функция определена для всех . Найдем ее производную по переменной x. По определению, производная является следующим пределом:
(3) .

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам понадобятся следующие факты:
А) Свойство экспоненты:
(4) ;
Б) Свойство логарифма:
(5) ;
В) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(6) .
Здесь – некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
Г) Значение второго замечательного предела:
(7) .

Применяем эти факты к нашему пределу (3). Используем свойство (4):
;
.

Сделаем подстановку . Тогда ; .
В силу непрерывности экспоненты,
.
Поэтому при , . В результате получаем:
.

Сделаем подстановку . Тогда . При , . И мы имеем:
.

Применим свойство логарифма (5):
. Тогда
.

Применим свойство (6). Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то:
.
Здесь мы также воспользовались вторым замечательным пределом (7). Тогда
.

Тем самым мы получили формулу (1) производной экспоненты.

Вывод формулы производной показательной функции

Теперь выведем формулу (2) производной показательной функции с основанием степени a. Мы считаем, что и . Тогда показательная функция
(8)
Определена для всех .

Преобразуем формулу (8). Для этого воспользуемся свойствами показательной функции и логарифма.
;
.
Итак, мы преобразовали формулу (8) к следующему виду:
.

Находим производную. Выносим постоянную за знак производной:
.
Применяем формулу производной сложной функции:
.
Здесь .

Тем самым, мы нашли производную показательной функции с произвольным основанием степени:
.

Другие способы вывода производной экспоненты

Пусть нам известна формула производной натурального логарифма:
(9) .
Тогда мы можем вывести формулу производной экспоненты, учитывая, что экспонента является обратной функцией к натуральному логарифму.

Перепишем формулу (9) в следующем виде:
,
где .
Переменные можно обозначать любыми буквами. Поменяем местами x и y:
(10) ,
где .

Теперь рассмотрим экспоненту (e в степени x):
(11) .
Применим формулу производной обратной функции:
(12) .
Обратной функцией к экспоненте является натуральный логарифм. Подставим значение производной натурального логарифма (10):
.
И, наконец, выразим y через x по формуле (11):
.
Формула доказана.

Теперь докажем формулу производной экспоненты, применяя формулу производной сложной функции. Поскольку функции и являются обратными друг к другу, то
.
Дифференцируем это уравнение по переменной x:
(13) .
Производная от икса равна единице:
.
Применим формулу производной сложной функции:
.
Здесь . Подставим в (13):
.
Отсюда
.

Пример

Найти производные от e в степени 2x, e в степени 3x и e в степени nx. То есть найти производные функций
y = e^2x, y = e^3x и y = e^nx.

Решение

Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = e^nx. Затем подставим n = 2 и n = 3. И из общей формулы найдем выражения для производных от e^2x, e^3x и e^nx.

Итак, имеем исходную функцию
.
Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1) Функции , зависящей от переменной : ;
2) Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция составлена из функций и :
.

Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь мы подставили .

Итак, мы нашли:
.
Подставляем n = 2 и n = 3.

Ответ

; ; .

См. также
Все примеры вычисления производных с решениями > > >

Производные высших порядков от e в степени x

Теперь найдем производные высших порядков. Сначала рассмотрим экспоненту:
(14) .
Мы нашли ее производную первого порядка:
(1) .

Мы видим, что производная от функции (14) равна самой функции (14). Дифференцируя (1), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.

Отсюда видно, что производная n-го порядка также равна исходной функции:
.

Производные высших порядков показательной функции

Теперь рассмотрим показательную функцию с основанием степени a:
.
Мы нашли ее производную первого порядка:
(15) .

Дифференцируя (15), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.

Мы видим, что каждое дифференцирование приводит к умножению исходной функции на . Поэтому производная n-го порядка имеет следующий вид:
.

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 27-03-2017

Перевод корней в степени и обратно: объяснение, примеры

Часто преобразование и упрощение математических выражений требует перехода от корней к степеням и наоборот. Данная статья рассказывает о том, как осуществлять перевод корня в степень и обратно. Рассматривается теория, практические примеры и наиболее распространенные ошибки.

Переход от степеней с дробными показателями к корням

Допустим, мы имеем число с показателем степени в виде обыкновенной дроби — amn. Как записать такое выражение в виде корня?

Ответ вытекает из самого определения степени!

Определение

Положительное число a в степени mn — это корень степени n из числа am.

amn=amn.

При этом, обязательно должно выполнятся условие:

a>0; m∈ℤ; n∈ℕ.

Дробная степень числа нуль определяется аналогично, однако в этом случае число m принимается не целым, а натуральным, чтобы не возникло деления на 0:

0mn=0mn=0.

В соответствии с определением, степень amn можно представить в виде корня amn.

Например: 325=325, 123-34=123-34.

Однако, как уже было сказано, не следует забывать про условия: a > 0 ; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ .

Так, выражение -813 нельзя представить в виде -813, так как запись -813 попросту не имеет смысла — степень отрицательных чисел на определена.При этом, сам корень -813 имеет смысл.

Переход от степеней с выражениями в основании и дробными показателями осуществляется аналогично на всей области допустимых значений (далее — ОДЗ) исходных выражений в основании степени.

Например, выражение x2+2x+1-412 можно представить в виде квадратного корня x2+2x+1-4.Выражение в степени x2+x·y·z-z3-73 переходит в выражение x2+x·y·z-z3-73 для всех x, y, z из ОДЗ данного выражения.

Как представить корень в виде степени?

Обратная замена корней степенями, когда вместо выражения с корнем записывается выражения со степенью, также возможна. Просто перевернем равенство из предыдущего пункта и получим:

amn=amn

Опять же, переход очевиден для положительных чисел a. Например, 764=764, или27-53=27-53.

Для отрицательных a корни имеют смысл. Например -426, -23. Однако, представить эти корни в виде степеней -426 и -213 нельзя.

Можно ли вообще преобразовать такие выражения со степенями? Да, если произвести некоторые предварительные преобразования. Рассмотрим, какие.

Используя свойства степеней, можно выполнить преобразования выражения -426.

-426=-12·426=426.

Так как 4>0, можно записать:

426=426.

В случае с корнем нечетной степени из отрицательного числа, можно записать:

-a2m+1=-a2m+1.

Тогда выражение -23 примет вид:

-23=-23=-213.

Разберемся теперь, как корни, под которыми содержатся выражения, заменяются на степени, содержащие эти выражения в основании.

Обозначим буквой A некоторое выражение. Однако не будем спешить с представлением Amn в виде Amn. Поясним, что здесь имеется в виду. Например, выражение х-323, основываясь на равенстве из первого пункта, хочется представить в виде x-323. Такая замена возможна только при x-3≥0, а для остальных икс из ОДЗ она не подходит, так как для отрицательных a формула amn=amn не имеет смысла.

Таким образом, в рассмотренном примере преобразование вида Amn=Amn является преобразованием, сужающим ОДЗ, а из-за неаккуратного применения формулы Amn=Amn нередко возникают ошибки.

Чтобы правильно перейти от корня Amn к степени Amn, необходимо соблюдать несколько пунктов:

В случае, если число m — целое и нечетное, а n — натуральное и четное, то формула Amn=Amn справедлива на всей ОДЗ переменных.
Если m — целое и нечетное, а n — натуральное и нечетное,то выражение Amn можно заменить:

— на Amn для всех значений переменных, при которых A≥0;

— на —Amn для для всех значений переменных, при которых A<0;
Если m — целое и четное, а n — любое натуральное число, то Amn можно заменить на Amn.

Сведем все эти правила в таблицу и приведем несколько примеров их использования.

Вернемся к выражению х-323. Здесь m=2 — целое и четное число, а n=3 — натуральное число. Значит, выражение х-323 правильно будет записать в виде:

х-323=x-323.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Приведем еще один пример с корнями и степенями.

Пример. Перевод корня в степень

x+5-35=x+5-35, x>-5—x-5-35, x<-5

Обоснуем результаты, приведенные в таблице. Если число m — целое и нечетное, а n — натуральное и четное, для всех переменных из ОДЗ в выражении Amn значение A положительно или неотрицательно (при m>0). Именно поэтому Amn=Amn.

Во втором варианте, когда m — целое, положительное и нечетное, а n — натуральное и нечетное, значения Amn разделяются. Для переменных из ОДЗ, при которых A неотрицательно, Amn=Amn=Amn. Для переменных, при которых A отрицательно, получаем Amn=-Amn=-1m·Amn=-Amn=-Amn=-Amn.

Аналогично рассмотрим и следующий случай, когда m — целое и четное, а n — любое натуральное число. Если значение Aположительно или неотрицательно, то для таких значений переменных из ОДЗ Amn=Amn=Amn. Для отрицательных A получаем Amn=-Amn=-1m·Amn=Amn=Amn.

Таким образом, в третьем случае для всех переменных из ОДЗ можно записать Amn=Amn.

Сложение и вычитание степеней ⬅️

Что такое степень числа

В учебниках по математике можно встретить такое определение:

«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд»

где

a — основание степени

n — показатель степени

Соответственно, aⁿ= a·a·a·a…·a

Читается такое выражение, как a в степени n.

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить данное число (основание степени) на само себя. А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например число 2, то решается она довольно просто:

2 — основание степени

3 — показатель степени

Действия, конечно, можно выполнять и в онлайн калькуляторе — вот несколько подходящих:

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).

Число	Вторая степень	Третья степень
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	729
10	100	1000

Свойства степеней: когда складывать, а когда вычитать

Степень в математике с натуральным показателем имеет несколько важных свойств, которые позволяют упрощать вычисления. Всего их пять штук — давайте их рассмотрим.

Свойство 1: произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа.

Свойство 2: частное степеней

Когда мы делим степени с одинаковыми основаниями, то основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Свойство 3: возведение степени в квадрат

Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.

a — основание степени (не равное нулю)

m, n — показатели степени, натуральное число

Свойство 4: степень возведения

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

a, b — основание степени (не равное нулю)

n — показатели степени, натуральное число

Записывайся на онлайн курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Свойство 5: степень частного

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0,

n — показатель степени, натуральное число

Сложение и вычитание степеней

Как складывать числа со степенями и как вычитать степени — очень просто. Основной принцип такой: выполняется сначала возведение в степень, а уже потом действия сложения и вычитания. Примеры:

2³+ 3⁴= 8 + 81= 89
6³— 3³= 216 — 27 = 189

И еще несколько правил:

при наличии скобок — начинать вычисления нужно внутри них
только потом возведение производим в степень
затем выполняем остальные действия: сначала умножение и деление
после — сложение и вычитание

Сложение степеней с разными показателями

В таком случае действуем согласно общему правилу: сначала выполняем возведение в степень каждого числа, затем — производим сложение.

Сложение степеней с разными основаниями

В целом, это ничем не отличается от предыдущего пункта. Могут быть разные основания, но одинаковые степени. А могут быть и разные основания, и разные показатели. Поэтому сначала выполняем возведение в степень каждого числа, затем — производим сложение.

3⁴+ 5⁴=81 + 625 = 706
1⁴+ 7²= 1+ 49 = 50

Как складывать числа с одинаковыми степенями

Точно также, как и в предыдущем примере. Если степени одинаковые, а основания разные, то нельзя сложить основания и затем эту сумму возводить в степень.
Сначала возводим каждое число в степень и затем выполняем сложение.

В уравнениях это будет происходить немного иначе. Если показатель и основание степени одинаковые (тогда это называется переменная, a², например) — их коэффициенты можно складывать. Коэффициент — это число перед переменной a².

2, 3, 5 — коэффициенты

a² — переменная

Если перед переменной в уравнении нет коэффициента, это значит, что он равен 1.

Вычитание степеней с одинаковым основанием

Здесь принцип тот же, что и со сложением: возводим в степень числа и только потом вычитаем их.

Вычитание степеней с разными основаниями

Могут быть разные основания, но одинаковые степени. А могут быть и разные основания, и разные показатели. Поэтому сначала выполняем возведение в степень каждого числа, затем — производим вычитание.

5⁴— 4⁴= 625 — 256 = 369
7⁴— 3²= 2401 — 9 = 2392

Вычитание чисел с одинаковыми степенями

Все точно также, как и со сложением. Если степени одинаковые, а основания разные, то нельзя вычесть основания и затем эту разницу возводить в степень. Сначала возводим каждое число в степень и затем выполняем вычитание.

И та же история с коэффициентами: если показатель степени и основание степени одинаковые (тогда это называется переменная, a²) — их коэффициенты можно вычитать. Коэффициент — это число перед переменной a².

6, 3, 2 — коэффициенты

a² — переменная

Если перед переменной в уравнении нет коэффициента, это значит, что он равен 1.

экспонентов: основные правила | Purplemath

Purplemath

Экспоненты — это сокращение для многократного умножения одного и того же самого на себя. Например, сокращение для умножения трех копий числа 5 показано справа от знака «равно» в (5) (5) (5) = 5 ³. «Показатель», равный 3 в этом примере, означает, сколько раз умножается значение.То, что умножается (в этом примере 5), называется «базой».

Этот процесс использования экспонент называется «возведением в степень», где показатель — это «степень». Выражение «5 ³» произносится как «пять в третьей степени» или «пять в третьей степени».

MathHelp.

com

Есть две специально названные степени: «до второй степени» обычно произносится как «в квадрате», а «до третьей степени» обычно произносится как «в кубе». Итак, «5 ³» обычно произносится как «пять кубов».

Когда мы имеем дело с числами, мы обычно просто упрощаем; мы предпочли бы иметь дело с «27», чем с «3 ³».Но для переменных нам нужны показатели степени, потому что мы предпочли бы иметь дело с « x ⁶», чем с « x‍x‍x‍x‍x‍x ».

У экспонентов

есть несколько правил, которые мы можем использовать для упрощения выражений.

Чтобы упростить это, я могу думать в терминах того, что означают эти показатели. «До третьей» означает «умножение трех копий», а «до четвертой» означает «умножение четырех копий». Используя этот факт, я могу «расширить» два фактора, а затем вернуться к упрощенной форме.Сначала я расширяюсь:

( x ³) ( x ⁴) = ( x‍x‍x ) ( x‍x‍x‍x )

Теперь я могу убрать скобки и сложить все множители:

( x‍x‍x ) ( x‍x‍x‍x ) = x‍x‍x‍x‍x‍x‍x

Это семь копий переменной.«Умножение семи копий» означает «в седьмой степени», поэтому это можно переформулировать как:

x‍x‍x‍x‍x‍x‍x = x ⁷

Собираем все вместе, шаги следующие:

( x ³) ( x ⁴) = ( x‍x‍x ) ( x‍x‍x‍x )

= x‍x‍x‍x‍x‍x‍x

= x ⁷

Тогда упрощенная форма ( x ³) ( x ⁴) будет:

Обратите внимание, что x ⁷ также равно x ^{(3 + 4)}. Это демонстрирует первое основное правило экспоненты:

Всякий раз, когда вы умножаете два члена с одинаковым основанием, вы можете складывать экспоненты:

( x ^м) ( x ⁿ) = x ^{(m + n)}

Однако мы НЕ можем упростить ( x ⁴) ( y ³), потому что основания разные: ( x ⁴) ( y ³) = x‍x‍x‍xyyy = ( x ⁴) ( y ³).Ничего не сочетается.

Теперь, когда я знаю правило (а именно, что я могу добавлять силы к одной и той же базе), я могу начать с перемещения баз, чтобы расположить все одинаковые базы рядом друг с другом:

( a ⁵ b ³) ( a b ⁷) = ( a ⁵) ( a ) ( b ³) ( б ⁷)

Теперь я хочу добавить мощности на a и b . Однако у второго и , похоже, нет мощности. Что мне добавить для этого срока?

Все, что не имеет силы, в техническом смысле «возведено в степень 1». Все, что находится в степени 1, является самим собой, поскольку оно «умножает одну копию» самого себя. Таким образом, приведенное выше выражение можно переписать как:

( a ⁵) ( a ) ( b ³) ( b ⁷) = ( a ⁵) ( a ¹) ( b ³) ( b ⁷)

Теперь могу комбинировать:

( a ⁵) ( a ¹) ( b ³) ( b ⁷) = a ^{5 + 1} b ^{3 + 7} = a ⁶ b ¹⁰

Если сложить все вместе, моя ручная работа будет выглядеть так:

( a ⁵ b ³) ( a b ⁷) = ( a ⁵ a ¹) ( b ³ b ⁷) =

В следующем примере есть две силы, одна из которых в некотором смысле «внутри» другой.

Чтобы сделать упрощение, я могу начать с размышлений о том, что означают показатели степени. «До четвертого» снаружи означает, что я умножаю четыре копии любого основания, заключенного в круглые скобки. В этом случае база четвертой степени равна x ². Умножение четырех копий этой базы дает мне:

Каждый фактор в приведенном выше расширении — это «умножение двух копий» переменной.Это расширяется как:

( x ²) ( x ²) ( x ²) ( x ²) = ( x‍x ) ( x‍x ) ( x‍x ) ( x‍x )

Убрав круглые скобки, получим:

( x‍x ) ( x‍x ) ( x‍x ) ( x‍x ) = x‍x‍x‍x‍x‍x‍x‍x

Это строка из восьми копий переменной. «Умножение восьми копий» означает «в восьмой степени», поэтому это означает:

x‍x‍x‍x‍x‍x‍x‍x = x ⁸

Собираем все вместе:

( x ²) ⁴ = ( x ²) ( x ²) ( x ²) ( x ²)

= ( x‍x ) ( x‍x ) ( x‍x ) ( x‍x )

= x‍x‍x‍x‍x‍x‍x‍x

= x ⁸

Обратите внимание, что ( x ²) ⁴ = x ⁸, и что 2 × 4 = 8.Это демонстрирует правило второй степени:

Всякий раз, когда у вас есть выражение в степени, которое возведено в степень, вы можете упростить, умножив внешнюю степень на внутреннюю степень:

Если у вас есть продукт в круглых скобках и сила в скобках, то сила идет на каждый элемент внутри. Например:

( xy ²) ³ = ( xy ²) ( xy ²) ( xy ²)

= ( x‍x‍x ) ( y ² y ² y ²)

= ( x‍x‍x ) ( yyyyyy )

= x ³ y ⁶

= ( x ) ³ ( y ²) ³

Другой пример:

Предупреждение. Это правило НЕ работает, если в скобках указана сумма или разница.Экспоненты, в отличие от умножения, НЕ «распределяются» по сложению.

Например, учитывая (3 + 4) ², НЕ поддавайтесь искушению сказать: « Эй, это равно 3 ² + 4 ² = 9 + 16 = 25 », потому что это неправильный. На самом деле (3 + 4) ² = (7) ² = 49, а не 25.

Если сомневаетесь, запишите выражение в соответствии с определением мощности. Например, учитывая ( x — 2) ², не пытайтесь делать это в уме.Вместо этого запишите это; «в квадрате» означает «умножение двух копий», поэтому:

( x — 2) ² = ( x — 2) ( x — 2)

= x ( x — 2) — 2 ( x — 2)

= xx — 2 x — 2 x + 4

= x ² — 4 x + 4.

Ошибка в виде ошибочной попытки «распределить» экспоненту чаще всего совершается, когда ученик пытается сделать все в своей голове, вместо того, чтобы показать свою работу.Делайте все аккуратно, и вы вряд ли совершите эту ошибку.

Теперь, когда я знаю правило о полномочиях на полномочия, я могу провести 4 по каждому из факторов внутри. (Мне нужно помнить, что у c внутри скобок это «в степени 1».)

( a ²) ⁴ ( b ³) ⁴ ( c ¹) ⁴

= ( a ^{2 × 4}) ( b ^{3 × 4}) ( c ^{1 × 4})

= a ⁸ b ¹² c ⁴

Партнер

Есть еще одно правило, которое может или не может быть рассмотрено в вашем классе на данном этапе:

Все, что находится в нулевой степени, равно «1» (пока «что-нибудь» не является нулем само по себе).

Это правило объясняется на следующей странице. Однако на практике это правило означает, что некоторые упражнения могут быть намного проще, чем может показаться на первый взгляд:

Упростить [(3
x ⁴ y ⁷ z ¹²) ⁵ (–5 x ⁹ y ³ z ⁴) ²] ⁰

Кого волнует эта фигня в квадратных скобках? Я точно не знаю, потому что нулевая мощность снаружи означает, что значение всего этого равно 1.Ха!

[(3 x ⁴ y ⁷ z ¹²) ⁵ (–5 x ⁹ y ³ z ⁴) ²] ⁰ = 1

Между прочим, как только ваш класс охватит «до нуля», вам следует ожидать упражнения, подобного приведенному выше, на следующем тесте. Это распространенный вопрос с подвохом, призванный заставить вас тратить кучу вашего ограниченного времени, но он работает только в том случае, если вы не обращаете внимания.

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в упрощении выражений с помощью экспонент. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок, или просмотрите здесь множество рабочих примеров.)

Щелкните здесь, чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway, если вы хотите ознакомиться с их программным обеспечением или получить дополнительную информацию.

URL: https://www.purplemath.com/modules/exponent.htm

Калькулятор экспоненты

Калькулятор экспоненты вычислит значение любого основания, возведенного в любую степень. На этой странице будут рассмотрены все связанные темы, включая отрицательный показатель степени. Начнем с основ.

Что такое показатель степени?

Показатель степени — это способ представить, сколько раз число, известное как основание, умножается само на себя. Он представлен в виде небольшого числа в правом верхнем углу основания. Например: x² означает, что вы умножаете x на себя два раза, что составляет x * x . Аналогично, 4² = 4 * 4 и т. Д. Если показатель степени равен 3, в примере 5³ , то результат будет 5 * 5 * 5 .

Это легко с маленькими числами, но для оснований, которые являются большими числами, десятичными знаками или когда они возведены в очень большую или отрицательную степень, используйте наш инструмент.Если вы хотите произвести возведение в степень вручную, сделайте следующее:

Определите базу и мощность, до которой она повышается, например 3⁵ .
Запишите основание столько же раз, сколько экспонента. 3 3 3 3 3
Поместите символ умножения между каждым основанием. 3 * 3 * 3 * 3 * 3 .
Умножить! 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 243 .

Калькулятор отрицательной экспоненты

Идея довольно проста, когда экспонента положительна, но что происходит, когда экспонента отрицательна? По определению, если оно равно -2, мы умножим само основание на на отрицательные два раза.На самом деле, что здесь происходит, мы берем величину, обратную основанию, и меняем отрицательный показатель степени на положительный и действуем как обычно. Если вы хотите решить это вручную, сделайте следующее:

Определите основание и показатель степени.
Запишите величину, обратную основанию, и измените знак экспоненты на положительный
Запишите обратную величину основания столько же раз, сколько экспоненту.
Поместите между ними символ умножения.
Умножьте и получите результат.

Вот быстрый пример: 5⁻⁴ = (1/5) ⁴ = (1/5) * (1/5) * (1/5) * (1/5) = 1/625 = 0,0016

Возведение числа в квадрат (возведение числа в степень 2) и извлечение квадратного корня — схожие концепции, многие люди считают одно противоположным или отменяют другое. Если вы хотите возвести число 6 в квадрат, возьмите 6 * 6 = 36 . Теперь, если вы хотите найти, какие два одинаковых числа умножаются, чтобы получить 36, вы извлекаете квадратный корень из 36. Этот квадратный корень дает значение 6.Также можно отметить, что возведение квадратного корня в квадрат удаляет корень.

Если вам нужно вычислить кубический корень, вы можете использовать наш калькулятор кубического корня, который является отличным инструментом для вычисления кубического корня любого числа.

Кроме того, вы можете проверить наш калькулятор логарифмов, который является обратной функцией экспоненты.

Любое число, возведенное в степень 0, равно 1. Калькулятор отрицательной экспоненты полезен при работе с экспоненциальным убыванием, формула которого имеет отрицательный показатель степени.

Законы экспонент

Экспоненты также называются Степень или Индексы

Показатель числа означает , сколько раз использовать при умножении на .

В этом примере: 8 ² = 8 × 8 = 64

Словами: 8 ² можно было бы назвать «8 во второй степени», «8 в степени 2» или
просто «8 в квадрате»

Попробуйте сами:

Таким образом, экспонента избавляет нас от необходимости выписывать множество умножений!

Пример:

⁷

a ⁷ = a × a × a × a × a × a × a = aaaaaaa

Обратите внимание, как мы написали буквы вместе, чтобы обозначить умножение? Мы будем делать это здесь много раз.

Пример: x

⁶ = xxxxxx

Ключ к законам

Написание всех букв — ключ к пониманию Законов

Пример: x

² x ³ = (xx) (xxx) = xxxxx = x ⁵

Что показывает, что x ² x ³ = x ⁵ , но об этом позже!

Итак, если сомневаетесь, просто не забудьте записать все буквы (столько, сколько указывает показатель степени) и посмотреть, сможете ли вы разобраться в этом.

Все, что вам нужно знать …

«Законы экспонент» (также называемые «Правила экспонент») взяты из трех идей :

	Показатель степени показывает , сколько раз использовать при умножении .

	Отрицательная экспонента означает, что делит , потому что противоположность умножению — деление

Если вы это понимаете, значит, вы понимаете экспоненты!

И все приведенные ниже законы основаны на этих идеях.

Законы экспонент

Вот законы
(пояснения следуют):

Закон	Пример
x ¹ = x	6 ¹ = 6
x ⁰ = 1	7 ⁰ = 1
x ^-1 = 1 / x	4 ^-1 = 1/4

x ^м x ⁿ = x ^{m + n}	x ² x ³ = x ^{2 + 3} = x ⁵
x ^м / x ⁿ = x ^m-n	x ⁶ / x ² = x ^6-2 = x ⁴
(x ^м) ⁿ = x ^mn	(x ²) ³ = x ^{2 × 3} = x ⁶
(xy) ⁿ = x ⁿ y ⁿ	(xy) ³ = x ³ y ³
(x / y) ⁿ = x ⁿ / y ⁿ	(x / y) ² = x ² / y ²
x ^-n = 1 / x ⁿ	x ^-3 = 1 / x ³
И закон о дробных показателях:

Разъяснение законов

Первые три закона выше (x ¹ = x, x ⁰ = 1 и x ^-1 = 1 / x) являются лишь частью естественной последовательности показателей. Взгляните на это:

Пример: Полномочия 5
	.. и т.д ..
5 ²	1 × 5 × 5	25
5 ¹	1 × 5	5
5 ⁰	1	1
5 ^-1	1 ÷ 5	0.2
5 ^-2	1 ÷ 5 ÷ 5	0,04
	.. и т.д ..

Посмотрите на эту таблицу некоторое время … обратите внимание, что положительный, нулевой или отрицательный показатель степени на самом деле является частью одного и того же паттерна, то есть в 5 раз больше (или в 5 раз меньше) в зависимости от того, станет ли показатель больше (или меньше).

Закон, согласно которому x

^m x ⁿ = x ^{m + n}

При x ^m x ⁿ, сколько раз мы умножаем «x»? Ответ: сначала «m» раз, затем еще «n» раз, всего «m + n» раз.

Пример: x

² x ³ = (xx) (xxx) = xxxxx = x ⁵

Итак, x ² x ³ = x ^{(2 + 3)} = x ⁵

Закон, что x

^m / x ⁿ = x ^m-n

Как и в предыдущем примере, сколько раз мы умножаем «x»? Ответ: «m» раз, затем уменьшите это на «n» раз (потому что мы делим), всего «m-n» раз.

Пример: x

⁴ / x ² = (xxxx) / (xx) = xx = x ²

Итак, x ⁴ / x ² = x ^(4-2) = x ²

(Помните, что x / x = 1, поэтому каждый раз, когда вы видите x «над линией» и один «под линией», вы можете отменить их. )

Этот закон также может показать вам, почему x ⁰ = 1 :

Пример: x

² / x ² = x ^2-2 = x ⁰ = 1

Закон, что (x

^m) ⁿ = x ^mn

Сначала вы умножаете «m» раз. Затем у вас есть , чтобы проделать это «n» раз по , всего m × n раз.

Пример: (x

³) ⁴ = (xxx) ⁴ = (xxx) (xxx) (xxx) (xxx) = xxxxxxxxxxxx = x ¹²

Итак (x ³) ⁴ = x ^{3 × 4} = x ¹²

Закон, что (xy)

ⁿ = x ⁿ y ⁿ

Чтобы показать, как это работает, просто подумайте о перестановке всех «x» и «y», как в этом примере:

Пример: (xy)

³ = (xy) (xy) (xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx) (yyy) = x ³ y ³

Закон, что (x / y)

ⁿ = x ⁿ / y ⁿ

Как и в предыдущем примере, просто переставьте «x» и «y»

Пример: (x / y)

³ = (x / y) (x / y) (x / y) = (xxx) / (yyy) = x ³ / y ³

Закон о том, что

Хорошо, это немного сложнее!

Я предлагаю вам сначала прочитать дробные экспоненты, иначе это может не иметь смысла.

В любом случае, важная идея заключается в том, что:

x ^{1/ n} = n- -й корень x

Итак, дробная экспонента, такая как 4 ^3/2, на самом деле говорит о том, что нужно получить кубик (3) и квадратный корень (1/2) в любом порядке.

Просто помните из дробей, что m / n = m × (1 / n) :

Пример:

Порядок не имеет значения, поэтому он также работает для м / п = (1 / п) × м :

Пример:

Показатели экспоненты…

А как насчет этого примера?

4 ^{3 ²}

Мы делаем экспоненту на вершине сначала , поэтому вычисляем ее следующим образом:

Начать с:		4 ^{3 ²}
3 ² = 3 × 3:		4 ⁹
4 ⁹ = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4:		262144

И все!

Если вам сложно запомнить все эти правила, запомните:

вы сможете решить их, если поймете три идеи
в верхней части этой страницы

О, еще одна вещь.

.. Что если x = 0?

Положительная экспонента (n> 0)		0 ⁿ = 0
Отрицательная экспонента (n <0)		0 ^-n равно undefined (поскольку деление на 0 не определено)
Показатель степени = 0		0 ⁰ … мммм … см. Ниже!

Странный случай 0

⁰

Существуют разные аргументы в пользу правильного значения 0 ⁰

0 ⁰ может быть 1 или, возможно, 0, поэтому некоторые люди говорят, что это действительно «неопределенно»:

	x ⁰ = 1, поэтому…	0 ⁰ = 1
	0 ⁿ = 0, поэтому …	0 ⁰ = 0
	Если есть сомнения …	0 ⁰ = «неопределенный»

Жесткий:

экспонентов

Показатель числа означает , сколько раз использовать при умножении.

В 8 ² «2» означает использование 8 дважды при умножении,
, поэтому 8 ² = 8 × 8 = 64

Словами: 8 ² можно было бы назвать «8 в степени 2» или «8 во второй степени», или
просто «8 в квадрате»

Экспоненты также называют степенями или индексами.

Еще несколько примеров:

Пример:

5 ³ = 5 × 5 × 5 = 125

Прописью: 5 ³ можно было бы назвать «5 в третьей степени», «5 в степени 3» или просто
«5 кубов»

Пример:

2 ⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Словами: 2 ⁴ можно было бы назвать «2 в четвертой степени» или «2 в степени 4» или просто
«2–4»

Показатели упрощают запись и использование множества умножений

Пример: 9 ⁶ легче писать и читать, чем 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9

Вы можете умножить любое число на само по себе столько раз, сколько хотите, используя экспоненты. 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Отрицательные экспоненты

Отрицательно? Что может быть противоположностью умножения? Разделение!

Итак, мы каждый раз делим на число, что аналогично умножению на 1 число

Пример: 8 ^-1 = 1 8 = 0,125

Мы можем продолжить так:

Пример: 5 ^-3 = 1 5 × 1 5 × 1 5 = 0.008

Но зачастую проще сделать так:

5 ^-3 также можно рассчитать как:

1 5 × 5 × 5 = 1 5 ³ = 1 125 = 0,008

Отрицательно? Переверните позитив!

Последний пример показал более простой способ справиться с отрицательными показателями:

Вычислить положительный показатель степени (a ⁿ)
Затем возьмите ответный (т. е. 1 / а ^н)

Другие примеры:

Отрицательная экспонента		Взаимное значение положительной экспоненты		Ответ
4 ^-2	=	1/4 ²	=	1/16 = 0,0625
10 ^-3	=	1/10 ³	=	1/1000 = 0.001
(-2) ^-3	=	1 / (-2) ³	=	1 / (- 8) = -0,125

Что, если показатель степени равен 1 или 0?

1		Если показатель степени равен 1, то у вас есть только само число (например, 9 ¹ = 9 )

0		Если показатель равен 0, то вы получите 1 (например, 9 ⁰ = 1 )

		А как насчет 0 ⁰ ? Это может быть либо 1, либо 0, поэтому люди говорят, что это «неопределенный» .

Все имеет смысл

Если вы посмотрите на эту таблицу, вы увидите положительный результат, ноль или
отрицательные показатели на самом деле являются частью одного и того же (довольно простого) паттерна:

Пример: Полномочия 5
	.. и т.д ..
5 ²	5 × 5	25
5 ¹	5	5
5 ⁰	1	1
5 ^-1	1 5	0.2
5 ^-2	1 5 × 1 5	0,04
	. . и т.д ..

Будьте осторожны при группировании

Чтобы избежать путаницы, используйте круглые скобки () в таких случаях:

С ():	(-2) ² = (-2) × (-2) = 4
Без ():	-2 ² = — (2 ²) = — (2 × 2) = -4

С ():	(ab) ² = ab × ab
Без ():	ab ² = a × (b) ² = a × b × b

Калькулятор экспоненты (степени)

— Калькулятор капитана

Калькулятор экспонент

Обратите внимание: для работы этого калькулятора требуется JavaScript.

Определение — Что такое показатель степени?

Показатель степени — это количество раз, когда число умножается само на себя.

Запишите показатель степени в виде увеличенного числа. В числе 2 ⁴ (2 в степени 4 или 2 в степени 4) «4» является показателем степени. «2» — это число, которое нужно умножить на себя в 4 раза. В этом случае 2 x 2 x 2 x 2 = 16.

Формула

— как найти экспоненту

Найдите показатель степени числа, умножив это число на само число раз.

число ² = число x число

число ³ = число x число x число

число ⁴ = число x число x число x число

Пример

3 ² = 3 x 3 = 9

9 ⁵ = 9 x 9 x 9 x 9 x 9 = 59 049

5 ¹⁰ = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 9,765,625

Правила экспонент (законы экспонент)

Продукт с той же базой

Чтобы умножить одинаковые основания, оставьте основание одинаковым и сложите экспоненты.

x ^a • x ^b = x ^{(a + b)}

Пример: 7 ³ • 7 ⁵ = 7 ^{(3 + 5)} = 7 ⁸ = 5,764,801

Показатель экспоненты (или степени в степени)

Чтобы вычислить показатель степени, умножьте показатели вместе.

(x ^a) ^b = x ^{(a • b)} = x ^ab

Пример: (4 ³) ² = 4 ^{(3 • 2)} = 4 ⁶ = 4 096

Деление чисел на экспоненты (частные с одинаковым основанием)

Чтобы разделить два основания с одинаковым показателем, вычтите показатель знаменателя из показателя числителя.

x ^a ÷ x ^b = x ^{(a — b)}

Пример: 5 ⁷ ÷ 5 ³ = 5 ^(7-3) = 5 ⁴ = 625

Умножение чисел на экспоненту

Оба числа, умноженные в степень, могут быть возведены в эту степень.

(xy) ^z = x ^z • y ^z

Пример: (9x) ⁵ = 9 ⁵ x ⁵ = 59,049x ⁵

Деление на показатель

Чтобы разделить дробь, возведенную в степень, укажите степень как в числителе, так и в знаменателе.

(x ÷ y) ^z = x ^z ÷ y ^z

Пример: (7 ÷ 5) ⁴ = 7 ⁴ ÷ 5 ⁴ = 2,401 ÷ 625 = 3,8416

Показатель 0

Любое число в степени 0 равно 1.

х ⁰ = 1

Пример: 450 ⁰ = 1

Отрицательные экспоненты

Отрицательные экспоненты могут быть преобразованы в 1, деленную на основание ^{экспоненты}

x ^-a = 1 ÷ 1 ^a

Пример: 6 ^-4 = 1 ÷ 6 ⁴ = 1 ÷ 1,296 = 0.0007716

Деление на отрицательную экспоненту

Числа с отрицательной степенью в качестве знаменателя можно заменить на числитель, а показатель степени сделать положительным.

1 ÷ x ^-a = x ^a

Пример: 1 ÷ 3 ^-4 = 3 ⁴ = 81

Как набирать экспоненты

В Microsoft Word и других продуктах Office щелкните правой кнопкой мыши и выберите «Шрифт», чтобы открыть меню шрифтов. Выберите «Надстрочный индекс».
В Документах Google и других продуктах выделите текст, который вы хотите использовать в качестве показателя степени.символ перед показателем степени. Если в экспоненте более одного символа, заключите их в (скобки).

Таблица экспонент

Обратите внимание: для работы этой таблицы требуется JavaScript.

Часто задаваемые вопросы

Что такое показатель степени (в математике)?

Показатель — это количество раз, когда число умножается само на себя. Например, от 3 до 4 (написано 3) означает 3 x 3 x 3 x 3 = 81. Это не то же самое, что 3 x 4 (12).

В чем разница между «Power Of» и «Exponent»?

Это одно и то же.Большинство людей используют термины «в степени» и «в степени» как синонимы.
Мы находим, что при описании вещи «показатель степени» является более естественным термином. («Какой показатель у числа в этом уравнении?» Звучит лучше, чем «Какова степень у числа в этом уравнении?»).
При описании действия более естественным термином является «степень из» («вычислить пять в степени трех» звучит лучше, чем «вычислить пять в степени три»).

Что такое отрицательная экспонента?

Отрицательная экспонента означает, сколько раз нужно разделить число.3 ⁴ (положительный показатель степени) означает 3-кратное умножение самого себя 4 раза (3 x 3 x 3 x 3 = 81). 3 ^-4 (отрицательный показатель степени) означает разделить 3 на себя 4 раза (3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 = 0,012346).

Источники и другие ресурсы

Другие калькуляторы экспонент

Объяснение «правила нулевой мощности». Экспоненты кажутся довольно простыми… | Бретт Берри | Math Hacks

Давайте начнем с изучения деления значений с помощью экспонент.

Вызов экспонента представляет собой повторное умножение .Таким образом, мы можем переписать приведенное выше выражение как:

Поскольку 2/2 = 1, отменим три набора 2/2. Остается 2 • 2 или 2 в квадрате.

Конечно, мы можем воспользоваться сокращением и вычесть число 2 внизу из числа 2 вверху. Поскольку эти величины представлены соответствующими показателями степени, все, что нам нужно сделать, это записать общую основу с разницей в значениях показателей в качестве степени.

Если мы обобщим это правило, мы получим следующее, где n представляет ненулевое действительное число, а x и y также являются действительными числами.

Правило деления чисел по общей базе

Отсюда легко вывести объяснение того, почему любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень, равно 1. И снова давайте рассмотрим конкретный пример.

Мы знаем, что любое ненулевое число, деленное само на себя, равно 1 . Итак, я могу написать следующее:

Это то же самое, что и запись:

Теперь я воспользуюсь правилом экспоненты сверху, чтобы переписать левую часть этого уравнения.

Конечно, это эквивалентно:

Мы можем использовать тот же процесс, что и в этом примере, вместе с обобщенным правилом выше, чтобы показать, что любое ненулевое действительное число, возведенное в нулевую степень, должно приводить к 1.

Здесь все становится сложнее. Вышеупомянутый метод не работает, потому что, конечно, деление на ноль недопустимо. Давайте разберемся, почему.

Начнем с рассмотрения общего деления на ноль ОШИБКА .

Как насчет 2 ÷ 0? Давайте посмотрим, почему не может этого сделать.

Деление на самом деле просто форма умножения, так что же произойдет, если я перепишу приведенное выше уравнение как:

Какое значение могло бы удовлетворить это уравнение для x?

Нет значения! Любое число, умноженное на ноль, дает ноль, оно никогда не может равняться 2.Следовательно, мы говорим, что деление на ноль не определено . Нет никакого возможного решения.

Теперь давайте посмотрим на 0 ÷ 0.

Опять перепишем как задачу умножения.

Здесь мы сталкиваемся с совершенно другой ситуацией. Решением для x может быть ЛЮБОЕ действительное число! Нет никакого способа определить, что такое x. Следовательно, 0/0 считается неопределенным *, а не неопределенным.

Если мы попытаемся использовать вышеупомянутый метод с нулем в качестве основы, чтобы определить, какой будет степень от нуля до нуля, мы немедленно остановимся и не сможем продолжить, потому что мы знаем, что 0 ÷ 0 ≠ 1, но неопределенно.

Так чему же равен нулевая степень в нуле?

Это очень обсуждается. Некоторые считают, что его следует определить как 1, в то время как другие думают, что это 0, а некоторые считают, что это не определено. Для каждого есть хорошие математические аргументы, и, возможно, правильнее всего считать неопределенным .

Несмотря на это, математическое сообщество поддерживает , определяя ноль в нулевой степени как 1, по крайней мере, для большинства целей.

Возможно, полезное определение показателей для математика-любителя выглядит следующим образом:

Степень двойки Таблица — — — — —

. Полномочия из 2 Таблица
Бит Строка #	Power of 2 Expo- nent	Двоичный Бит Вес в десятичном формате	Наибольшее число Счетчик (адрес памяти)			Компьютер Аппаратное обеспечение Адресная организация
Бит Строка #	Power of 2 Expo- nent	Двоичный Бит Вес в десятичном формате	Десятичное	шестигранник	двоичный	байт	слов
1	2 ⁰	1	1	0001	0000 0001	Первый байт (8 строк могут сосчитать от до 255)	Первое слово (16 бит) (если мало endian)
2	2 ¹	2	3	0003	0000 0011
3	2 ²	4	7	0007	0000 0111
4	2 ³	8	15	000F	0000 1111
5	2 ⁴	16	31 год	001F	0001 1111
6	2 ⁵	32	63	003F	0011 1111
7	2 ⁶	64	127	007F	0111 1111
8	2 ⁷	128	255	00FF	1111 1111
9	2 ⁸	256	511	0000 01FF		Второй байт (16 строк могут сосчитать от до 65 535)
10	2 ⁹	512	1 023	0000 03FF
11	2 ¹⁰	1,024	2 047	0000 07FF
12	2 ¹¹	2 048	4 095	0000 0FFF
13	2 ¹²	4096	8 191	0000 1FFF
14	2 ¹³	8192	16 383	0000 3FFF
15	2 ¹⁴	16 384	32 767	0000 7FFF
16	2 ¹⁵	32 768	65 535	0000 FFFF
17	2 ¹⁶	65 536	131 071	0001 FFFF		Третий байт (24 строки могут сосчитать от до 16. 7M)	Второе слово (32 бита) (если мало endian)
18	2 ¹⁷	131 072	262 143	0003 FFFF
19	2 ¹⁸	262 144	524 287	0007 FFFF
20	2 ¹⁹	524 288	1 048 575	000F FFFF
21 год	2 ²⁰	1 048 576	2,097,151	001F FFFF
22	2 ²¹	2,097,152	4 194 303	003F FFFF
23	2 ²²	4 194 304	8 388 607	007F FFFF
24	2 ²³	8 388 608	16 777 215	00FF FFFF
25	2 ²⁴	16 777 216	33 554 431	01FF FFFF		Четвертый байт (32 строки могут считать до 4. 2B) (4 гигабайта)
26	2 ²⁵	33 554 432	67 108 863	03FF FFFF
27	2 ²⁶	67 108 864	134 217 727	07FF FFFF
28	2 ²⁷	134 217 728	268 435 455	0FFF FFFF
29	2 ²⁸	268 435 456	536 870 911	1FFF FFFF
30	2 ²⁹	536 870 912	1 073 741 823	3FFF FFFF
31	2 ³⁰	1 073 741 824	2 147 483 647	7FFF FFFF
32	2 ³¹	2 147 483 648	4 294 967 295	FFFF FFFF
		Это 32-битная машинная адресация. ограничение, если не используются двойные слова или дополнительные биты. Несмотря на то, что это известная «стена Google», в отношении количества веб-страницы, которые можно проиндексировать, в настоящее время Google сообщает о более 47 Проиндексировано миллиард страниц. Итак, никакой «стены».
50	60	130–680	120	90	90	70	70
. Степень двойки таблицы (продолж.)
Бит Строка #	Power of 2 Expo- nent	Двоичный Бит Вес в десятичном формате	Наибольшее число Счетчик (адрес памяти)			Компьютер Аппаратное обеспечение Адресная организация
Бит Строка #	Power of 2 Expo- nent	Двоичный Бит Вес в десятичном формате	Десятичное		двоичный	байт	слов
33	2 ³²	4 294 967 296	8,589,934,591		—	Пятый байт (40 строк)	Третье слово (48 бит)
34	2 ³³	8,589,934,592	17 179 869 183
35 год	2 ³⁴	17 179 869 184	34 359 738 367
36	2 ³⁵	34 359 738 368	68 719 476 735
37	2 ³⁶	68 719 476 736	137 438 953 471
38	2 ³⁷	137 438 953 472	274 877 906 943
39	2 ³⁸	274 877 906 944	549,755,813,887
40	2 ³⁹	549,755,813,888	1 099 511 627 775
41	2 ⁴⁰	1 099 511 627 776	2,199,023,255,551		—	Шестой байт (48 строк)
42	2 ⁴¹	2,199,023,255,552	4 398 046 511 103
43	2 ⁴²	4 398 046 511 104	8 796 093 022 207
44	2 ⁴³	8 796 093 022 208	17 592 186 044 415
45	2 ⁴⁴	18 триллионов	35 184 372 088 831
46	2 ⁴⁵	35 триллионов	70 368 744 177 663
47	2 ⁴⁶	70 триллионов	140 737 488 355 327
48	2 ⁴⁷	140 триллионов	281 474 976 710 655
49	2 ⁴⁸	281 триллион	562 949 953 421 311		—	Седьмой Байт (56 строк)	Четвертое слово (64 бита)
50	2 ⁴⁹	563 триллионов	1 125 899 906 842 623
51	2 ⁵⁰	Один квадриллион	2 251 799 813 685 247
52	2 ⁵¹	2 квадриллиона	4 503 599 627 370 495
53	2 ⁵²	4 квадриллиона	9 007 199 254 740 991
54	2 ⁵³	9 квадриллионов	18 014 398 509 481 983
55	2 ⁵⁴	18 квадриллионов	36 028 797 018 963 967
56	2 ⁵⁵	36 квадриллионов	72 057 594 037 927 935
57	2 ⁵⁶	72 квадриллиона	144,115,188,075,855,871		—	Восьмой байт (64 строки)
58	2 ⁵⁷	144 квадриллион	288,230,376,151,711,743
59	2 ⁵⁸	288 квадриллионов	576,460,752,303,423,487
60	2 ⁵⁹	576 квадриллионов	1,152,921,504,606,846,975
61	2 ⁶⁰	Один квинтиллион	2 305 843 009 213 693 951
62	2 ⁶¹	Два квинтиллиона	4 611 686 018 427 387 903
63	2 ⁶²	9 223 372 036 854 775 807 (63 строки можно считать до 9. 2 квинтиллион)
64	2 ⁶³	18,446,744,073,709,551,615 (64 строки можно считать до 18,4 quintillion) Ограничение 64-битной машины
—		Зачем баловаться с этой дурацкой страницей? Почему бы не зайти в РЕАЛЬНЫЙ ВЛАСТЬ — Power из двух — Википедия Что до 95 ^-й степени — 2 ⁹⁵ Большое спасибо ответственному редактору Роберту Рольфу за указание на ошибки на этой странице, , которые все были исправлены (я думаю и надеюсь). Posted in Разное Навигация по записям Постройте сечение пирамиды плоскостью: Объясните, как решить №50. Постройте сечение пирамиды. ГДЗ Погорелов 11 класс геометрия Площади равнобедренной трапеции: Все формулы площади трапеции — найти онлайн Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт Рубрики Без рубрики Дет Полезн Разное Родител Семья Успокоит Уход 2024 © Все права защищены.

Функция СТЕПЕНЬ — Служба поддержки Office

Описание

Синтаксис

Пример

Таблица производных простых функций

Показательные уравнения (ЕГЭ №15 и ЕГЭ№ 13)

1.2. Ко­рень n-й сте­пе­ни

1.2. Ко­рень n-й сте­пе­ни

Упраж­не­ния

Производная e в степени x и показательной функции

Основные формулы

Вывод формулы производной экспоненты

Вывод формулы производной показательной функции

Другие способы вывода производной экспоненты

Пример

Производные высших порядков от e в степени x

Производные высших порядков показательной функции

Перевод корней в степени и обратно: объяснение, примеры

Переход от степеней с дробными показателями к корням

Как представить корень в виде степени?

Сложение и вычитание степеней ⬅️

Что такое степень числа

Таблица степеней

Свойства степеней: когда складывать, а когда вычитать

Свойство 1: произведение степеней

Свойство 2: частное степеней

Свойство 3: возведение степени в квадрат

Свойство 4: степень возведения

Свойство 5: степень частного

Сложение и вычитание степеней

Сложение степеней с разными показателями

Сложение степеней с разными основаниями

Как складывать числа с одинаковыми степенями

Вычитание степеней с одинаковым основанием

Вычитание степеней с разными основаниями

Вычитание чисел с одинаковыми степенями

экспонентов: основные правила | Purplemath

Purplemath

MathHelp.

Упростить [(3

Калькулятор экспоненты

Что такое показатель степени?

Калькулятор отрицательной экспоненты

Законы экспонент

Пример:

Пример: x

Ключ к законам

Пример: x

Все, что вам нужно знать …

Законы экспонент

Разъяснение законов

Закон, согласно которому x

Пример: x

Закон, что x

Пример: x

Пример: x

Закон, что (x

Пример: (x

Закон, что (xy)

Пример: (xy)

Закон, что (x / y)

Пример: (x / y)

Закон о том, что

Пример:

Пример:

Показатели экспоненты…

И все!

О, еще одна вещь.

Странный случай 0

экспонентов

Пример:

Пример:

Отрицательные экспоненты

Отрицательно? Переверните позитив!

Что, если показатель степени равен 1 или 0?

Все имеет смысл

Будьте осторожны при группировании

— Калькулятор капитана

Калькулятор экспонент

Определение — Что такое показатель степени?

1.2. Корень n-й степени

1.2. Корень n-й степени

Упражнения