Х в степени 2: 1)  Решить уравнения: х(во 2 степени) =64 х(во 2 степени)-144=0 х(во второй

Содержание

Функция СТЕПЕНЬ — Служба поддержки Office

Предположим, что вам нужно вычислить очень маленький допуск для детали механизма или огромное расстояние между двумя галактиками. Для возведения числа в степень используйте функцию СТЕПЕНЬ.

Описание

Возвращает результат возведения числа в степень.

Синтаксис

СТЕПЕНЬ(число;степень)

Аргументы функции СТЕПЕНЬ описаны ниже.


  • Число    — обязательный аргумент. 2.

    Пример

    Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.





    Формула


    Описание


    Результат

    =СТЕПЕНЬ(5;2)

    Число 5 в квадрате.

    25

    =СТЕПЕНЬ(98,6;3,2)

    Число 98,6, возведенное в степень 3,2.

    2401077,222

    =СТЕПЕНЬ(4;5/4)

    Число 4, возведенное в степень 5/4.

    5,656854249

    Таблица производных простых функций

    Пояснение:
    При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.

    3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
    сx´ = с

    Пример:

    (3x)´ = 3

    (2x)´ = 2
    Пояснение:

    В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с.


    Откуда следует, что
    (cx + b)’ = c
    то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).

    4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю
    |x|’ = x / |x| при условии, что х ≠ 0
    Пояснение:

    Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает  выражение x / |x| . Когда x 0 — единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных — наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.

    5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
    ( xc )’= cxc-1, при условии, что xc и сxc-1,определены а с ≠ 0

    Пример:

    (x2 )’ = 2x

    (x3)’  = 3x2
    Для запоминания формулы:

    Снесите степень переменной «вниз» как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x2  — двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x3 — тройку «спускаем вниз», уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x2 . Немного «не научно», но очень просто запомнить.

    6. Производная дроби 1/х
    (1/х)’ = — 1 / x2

    Пример:

    Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень

    (1/x)’ = (x-1 )’ , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных

    (x-1 )’ = -1x-2 = — 1 / х2

    7.  Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе
    ( 1 / xc )’ = — c / xc+1

    Пример:

    ( 1 / x2 )’ = — 2 / x3

    8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)  
    ( √x )’ = 1 / ( 2√x )   или 1/2 х-1/2

    Пример:

    ( √x )’ = ( х1/2 )’   значит можно применить формулу из правила 5

    ( х1/2 )’ = 1/2 х-1/2 = 1 / (2√х)

    9. Производная переменной под корнем произвольной степени
    ( n√x )’ = 1 / ( n n√xn-1 )

    .


    Приведенная здесь таблица производных простых функций содержит только основные преобразования, которые (по большому счету) следует запомнить наизусть. Нахождение более сложных производных приведены в соответствующих таблицах других уроков:

    Показательные уравнения (ЕГЭ №15 и ЕГЭ№ 13)

    \( {{3}^{3x+1}}-4\cdot {{9}^{x}}=17\cdot {{3}^{x}}-6\)

    Решение:

    Ясно, что скорее всего заменять придется \( {{3}^{x}}\) (это наименьшая из степеней, входящая в наше уравнение). {2}}-17t+6=0\)

    имеет три корня:

    \( {{t}_{1}}=3,~{{t}_{2}}=\frac{1}{3},~{{t}_{3}}=-2\).

    Последний корень мы, конечно, отбросим, поскольку он меньше нуля. А первые два после обратной замены дадут нам два корня:

    \( {{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=-1\).

    Ответ: \( {{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=-1\).

    Этим примером я отнюдь не хотел напугать тебя!

    Скорее наоборот, я ставил своей целью показать, что хоть у нас была довольно простая замена, тем не менее она привела к довольно сложному уравнению, решение которого потребовало от нас некоторых особых навыков.

    Ну что же, от этого никто не застрахован. Зато замена в данном случае была довольно очевидной.

    1.2. Ко­рень n-й сте­пе­ни

    1.2. Ко­рень n-й сте­пе­ни

    В 8-м клас­се изу­ча­лись квад­рат­ные кор­ни из дей­стви­тель­ных чи­сел (их на­зы­ва­ют так­же
    кор­ня­ми 2-й сте­пе­ни).

    Пе­рей­дем к изу­че­нию кор­ней сте­пе­ни n для
    про­из­воль­но­го на­ту­раль­но­го чис­ла n≥2.

    Опре­де­ле­ние. Пусть n≥2 и n∈N.

    Кор­нем

    n-й сте­пе­ни

    из чис­ла a
    на­зы­ва­ет­ся та­кое чис­ло t, n-я сте­пень
    ко­то­ро­го рав­на a

    .

    Та­ким об­ра­зом, утвер­жде­ние «t —
    ко­рень n-й сте­пе­ни из a» озна­ча­ет, что
    tn=a.

    Ко­рень 3-й сте­пе­ни на­зы­ва­ет­ся так­же ку­би­че­ским.

    На­при­мер, ку­би­че­ский ко­рень из чис­ла 125 — это чис­ло 5, так как 53=125. Ку­би­че­ский ко­рень из чис­ла −125 — это чис­ло −5, так как (−5)3=−125.

    Ко­рень 7-й сте­пе­ни из чис­ла 128 — это чис­ло 2, так как 27=128. Ко­рень 7-й сте­пе­ни из чис­ла −128 — это чис­ло −2, так как (−2)7=−128. Ко­рень 7-й сте­пе­ни из чис­ла 0 — это 0, так как 07=0.

    Во мно­же­стве дей­стви­тель­ных чи­сел су­ще­ству­ет един­ствен­ный
    ко­рень не­чет­ной сте­пе­ни n из лю­бо­го чис­ла a. Этот ко­рень
    обо­зна­ча­ет­ся

    На­при­мер, 1253=5,−1287=−2,07=0.

    Стр. 11

    Утвер­жде­ние о су­ще­ство­ва­нии кор­ня не­чет­ной сте­пе­ни из лю­бо­го чис­ла мы
    при­ни­ма­ем без до­ка­за­тель­ства.

    Со­глас­но опре­де­ле­нию, ко­гда n не­чет­ное, то при лю­бом
    зна­че­нии а вер­но ра­вен­ство

    На­при­мер, ⎛⎝927⎞⎠7=92,⎛⎝1237⎞⎠7=123,⎛⎝−1237⎞⎠7=−123.

    За­ме­тим, что 0 — это един­ствен­ное чис­ло, n-я сте­пень
    ко­то­ро­го рав­на 0. По­это­му

    при лю­бом на­ту­раль­ном n≥2 су­ще­ству­ет един­ствен­ный ко­рень n-й сте­пе­ни
    из 0 — это чис­ло 0, т. е. 0n=0.

    При­ме­ра­ми кор­ней чет­ной сте­пе­ни мо­гут слу­жить квад­рат­ные кор­ни: −7 и 7 —
    квад­рат­ные кор­ни из 49, а −15 и 15 — из 225. Рас­смот­рим еще не­сколь­ко при­ме­ров.
    Кор­ни 4-й сте­пе­ни из чис­ла 81 — это чис­ла 3 и −3, так как 34=81 и (−3)4=81. Кор­ни 6-й сте­пе­ни из чис­ла 64 — это чис­ла 2 и −2, так как 26=64 и (−2)6=64.

    Во мно­же­стве дей­стви­тель­ных чи­сел су­ще­ству­ет ров­но два
    кор­ня чет­ной сте­пе­ни n из лю­бо­го по­ло­жи­тель­но­го чис­ла а, их мо­ду­ли рав­ны, а
    зна­ки про­ти­во­по­лож­ны. По­ло­жи­тель­ный ко­рень обо­зна­ча­ет­ся

    На­при­мер, 814=3,646=2.

    Утвер­жде­ние о су­ще­ство­ва­нии кор­ня чет­ной сте­пе­ни из лю­бо­го по­ло­жи­тель­но­го
    чис­ла мы при­ни­ма­ем без до­ка­за­тель­ства. Со­глас­но опре­де­ле­нию, ко­гда n чет­ное, то при лю­бом по­ло­жи­тель­ном зна­че­нии а вер­но
    ра­вен­ство

    На­при­мер, ⎛⎝514⎞⎠4=51,⎛⎝874⎞⎠4=87.

    Не су­ще­ству­ет та­ко­го чис­ла, 4-я сте­пень ко­то­ро­го рав­на −81. По­это­му кор­ня 4-й
    сте­пе­ни из чис­ла −81 не су­ще­ству­ет. И во­об­ще, по­сколь­ку не су­ще­ству­ет та­ко­го чис­ла,
    чет­ная сте­пень ко­то­ро­го бы­ла бы от­ри­ца­тель­ной, то

    Стр. 12

    не су­ще­ству­ет кор­ня чет­ной сте­пе­ни из от­ри­ца­тель­но­го
    чис­ла.

    Опре­де­ле­ние.

    Не­отри­ца­тель­ный ко­рень n-й сте­пе­ни из чис­ла
    a
    на­зы­ва­ет­ся

    ариф­ме­ти­че­ским кор­нем n-й сте­пе­ни из a
    .

    При чет­ном n сим­во­лом an обо­зна­ча­ет­ся толь­ко ариф­ме­ти­че­ский ко­рень n-й сте­пе­ни из чис­ла a (при чте­нии
    за­пи­си an сло­во «ариф­ме­ти­че­ский» обыч­но про­пус­ка­ют).

    Вы­ра­же­ние, сто­я­щее под зна­ком кор­ня, на­зы­ва­ет­ся под­ко­рен­ным вы­ра­же­ни­ем.

    Из­влечь ко­рень n-й сте­пе­ни
    из чис­ла a — это зна­чит най­ти зна­че­ние вы­ра­же­ния an.

    Так как кор­ня чет­ной сте­пе­ни из от­ри­ца­тель­но­го чис­ла не су­ще­ству­ет, то вы­ра­же­ние
    an при чет­ном n и от­ри­ца­тель­ном а не име­ет смыс­ла.

    На­при­мер, не име­ют смыс­ла вы­ра­же­ния −814 и −646.

    Как мы уста­но­ви­ли, при лю­бом зна­че­нии а, при ко­то­ром
    вы­ра­же­ние an име­ет смысл, вер­но ра­вен­ство

    По­это­му ра­вен­ство
    (1)
    яв­ля­ет­ся тож­де­ством.

    В кон­це XV в. ба­ка­лавр Па­риж­ско­го уни­вер­си­те­та Н. Шю­ке внес усо­вер­шен­ство­ва­ния
    в ал­ге­бра­и­че­скую сим­во­ли­ку. В част­но­сти, зна­ком кор­ня слу­жил сим­вол Rx (от ла­тин­ско­го сло­ва radix — ко­рень). Так,
    вы­ра­же­ние 24+374 в сим­во­ли­ке Шю­ке име­ло вид R¯x424p¯R¯x237.

    Знак кор­ня     в со­вре­мен­ном ви­де был пред­ло­жен в 1525 г. чеш­ским ма­те­ма­ти­ком К.
    Ру­доль­фом. Его учеб­ник ал­ге­бры пе­ре­из­да­вал­ся до 1615 г., и по не­му учил­ся
    зна­ме­ни­тый ма­те­ма­тик Л. Эй­лер.

    Знак     еще на­зы­ва­ют ра­ди­ка­лом.

    Стр. 13

    При­мер 1. Вер­но
    ли, что:

    а) (−2)44=−2;

    б) (−2)77=−2?

    Ре­ше­ние. а) По опре­де­ле­нию ариф­ме­ти­че­ский ко­рень
    n-й сте­пе­ни из не­отри­ца­тель­но­го чис­ла a (n — чет­ное чис­ло) яв­ля­ет­ся
    не­отри­ца­тель­ным чис­лом, n-я сте­пень ко­то­ро­го рав­на
    под­ко­рен­но­му вы­ра­же­нию a.

    По­сколь­ку −2<0, то ра­вен­ство (−2)44=−2 не­вер­ное. Вер­но ра­вен­ство (−2)44=2.

    б) По опре­де­ле­нию ко­рень n-й сте­пе­ни из чис­ла
    а (n — не­чет­ное
    чис­ло) яв­ля­ет­ся чис­лом, n-я сте­пень ко­то­ро­го рав­на
    под­ко­рен­но­му вы­ра­же­нию а.

    По­сколь­ку (−2)7=−27 — вер­ное ра­вен­ство, то ра­вен­ство (−2)77=−2 − вер­ное.

    При­мер 2. Ре­шить
    урав­не­ние:

    а) x3=7;

    б) x4=5.

    Ре­ше­ние. а) Ре­ше­ни­ем это­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся та­кое
    зна­че­ние х, 3-я сте­пень ко­то­ро­го рав­на 7, т. е. по
    опре­де­ле­нию ку­би­че­ско­го кор­ня име­ем:

    б) Ре­ше­ни­ем это­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся та­кое зна­че­ние х, 4-я сте­пень ко­то­ро­го рав­на 5, т. е. (по опре­де­ле­нию) х — это ко­рень 4-й сте­пе­ни из чис­ла 5. Но из по­ло­жи­тель­но­го
    чис­ла 5 су­ще­ству­ют два кор­ня чет­вер­той сте­пе­ни, ко­то­рые рав­ны по мо­ду­лю и име­ют
    про­ти­во­по­лож­ные зна­ки. По­сколь­ку по­ло­жи­тель­ный ко­рень обо­зна­ча­ют 54, то вто­рой ко­рень ра­вен −54, т. е. x=±54.

    От­вет: а) 73; б) ±54.

    В тет­ра­ди ре­ше­ние урав­не­ния б) (ана­ло­гич­но и а)) мож­но за­пи­сать так:

    Ре­ше­ние: x4=5 ⇔ x=±54.

    От­вет: ±54.

    При­мер 3. Ре­шить
    урав­не­ние:

    а) (x8)8=x;

    б) (x13)13=x.

    Стр. 14

    Ре­ше­ние. а) Чис­ло 8 — чет­ное, зна­чит, дан­ное
    ра­вен­ство яв­ля­ет­ся тож­де­ством при x≥0, по­это­му каж­дое не­отри­ца­тель­ное зна­че­ние х
    яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем (кор­нем) урав­не­ния (x8)8=x.

    б) Чис­ло 13 — не­чет­ное, зна­чит, дан­ное ра­вен­ство яв­ля­ет­ся тож­де­ством при лю­бом
    зна­че­нии х, по­это­му ре­ше­ни­ем урав­не­ния (x13)13=x яв­ля­ет­ся лю­бое дей­стви­тель­ное чис­ло, а R —
    мно­же­ство всех его кор­ней.

    От­вет: а) [0;+∞); б) R.

    При­мер 4. Ре­шить
    урав­не­ние

    Ре­ше­ние. Обо­зна­чим x6=t, то­гда по­лу­чим урав­не­ние

    Кор­ни это­го урав­не­ния

    Та­ким об­ра­зом, име­ем

    от­ку­да x=±2 (по­яс­ни­те, по­че­му урав­не­ние x6=−1 не име­ет кор­ней).

    От­вет: ±2.

    1

    1Ка­кое чис­ло на­зы­ва­ет­ся кор­нем n-й сте­пе­ни из
    чис­ла а?

    1

    2

    2Сколь­ко су­ще­ству­ет кор­ней чет­ной сте­пе­ни n
    из по­ло­жи­тель­но­го чис­ла а?

    2

    3

    3Ко­рень ка­кой сте­пе­ни су­ще­ству­ет из лю­бо­го чис­ла а?

    3

    4

    4Ка­кой ко­рень n-й сте­пе­ни из чис­ла а на­зы­ва­ет­ся ариф­ме­ти­че­ским?

    4

    5

    5При ка­ких зна­че­ни­ях а вер­но ра­вен­ство (an)n=a, если:

    а) n — не­чет­ное чис­ло;

    б) n — чет­ное чис­ло?

    5

    Упраж­не­ния

    1.24°

    1.24°Ис­поль­зуя опре­де­ле­ние ариф­ме­ти­че­ско­го кор­ня n-й
    сте­пе­ни, до­ка­жи­те, что:

    1) 2564=4;

    2) 102410=2;

    3) 7296=3;

    4) 65618=3;

    5) 409612=2;

    6) 14 6414=11.

    1.24°

    Стр. 15

    1.25°

    1.25°Вер­но ли, что:

    1) чис­ло −4 яв­ля­ет­ся кор­нем чет­вер­той сте­пе­ни из чис­ла 256;

    2) чис­ло −0,3 яв­ля­ет­ся кор­нем чет­вер­той сте­пе­ни из чис­ла −0,0081?

    1.25°

    1.26°

    1.26°Вер­но ли, что:

    1) −17283=−12;

    2) −33753=15;

    3) −16 8075=7;

    4) −77765=−6?

    1.26°

    1.27°

    1.27°Най­ди­те ариф­ме­ти­че­ский квад­рат­ный ко­рень из чис­ла:

    1) 16;

    2) 49;

    3) 0;

    4) 1;

    5) 0,81;

    6) 0,25;

    7) 2,25;

    8) 1,21;

    9) 36169;

    10) 144289;

    11) 169100;

    12) 81256.

    1.27°

    1. 28°

    1.28°Най­ди­те ку­би­че­ский ко­рень из чис­ла:

    1) 1;

    2) 0;

    3) 343;

    4) 8;

    5) 127;

    6) 0,027;

    7) 0,001;

    8) 64125.

    1.28°

    1.29°

    1.29°Най­ди­те ариф­ме­ти­че­ский ко­рень чет­вер­той сте­пе­ни из чис­ла:

    1) 0;

    2) 1;

    3) 16;

    4) 0,0016;

    5) 1681;

    6) 256625;

    7) 0,0001;

    8) 0,1296.

    1.29°

    Вы­чис­ли­те (1.30—1.42).

    1.30°

    1.30°1) 9,16,25,49,81,100;

    2) 0,16,0,09,0,01,0,04,0,0025,0,0001;

    3) 273,643,−1253,0,0083,0,0002163,−1 000 0003;

    4) 164,6254,10 0004,0,00814,0,000000164,24014;

    5) 325,10245,2435,0,031255,100 0005,0,000015;

    6) 646,7296,15 6256,40966,0,0466566,1 000 0006.

    1.30°

    1.31°

    1.31°1) −10003;

    2) −115;

    3) −643;

    4) −10245;

    5) −1273;

    6) −3433;

    7) −272163;

    8) −31255;

    9) −0,000325.

    1.31°

    Стр. 16

    1.32

    1.321) ⎛⎝−33⎞⎠3;

    2) ⎛⎝−145⎞⎠5;

    3) ⎛⎝−307⎞⎠7;

    4) ⎛⎝−1511⎞⎠11;

    5) ⎛⎝−69⎞⎠9;

    6) ⎛⎝−9915⎞⎠15.

    1.32

    1.33

    1.331) ⎛⎝−22113⎞⎠3·⎛⎝−6195⎞⎠5·⎛⎝−9513⎞⎠13·⎛⎝−1134017⎞⎠17;

    2) ⎛⎝−34159⎞⎠9·⎛⎝−1587⎞⎠7·⎛⎝−11145⎞⎠5·⎛⎝−125393⎞⎠3.

    1.33

    1.34

    1.341) ⎛⎝53⎞⎠6;

    2) ⎛⎝0,14⎞⎠12;

    3) ⎛⎝1125⎞⎠10;

    4) ⎛⎝2136⎞⎠18;

    5) ⎛⎝567⎞⎠21;

    6) ⎛⎝239⎞⎠36.

    1.34

    1.35

    1.351) ⎛⎝35⎞⎠10;

    2) ⎛⎝534⎞⎠48;

    3) ⎛⎝7610⎞⎠120;

    4) ⎛⎝643⎞⎠12;

    5) ⎛⎝108⎞⎠16;

    6) ⎛⎝1294⎞⎠36.

    1.35

    1.36°

    1.36°1) ⎛⎝10⎞⎠2;

    2) ⎛⎝53⎞⎠3;

    3) ⎛⎝−124⎞⎠4;

    4) −1244;

    5) ⎛⎝−35⎞⎠5;

    6) ⎛⎝323⎞⎠3;

    7) ⎛⎝−444⎞⎠4;

    8) ⎛⎝−157⎞⎠7;

    9) −5555;

    10) ⎛⎝−36⎞⎠6;

    11) ⎛⎝−229⎞⎠9;

    12) −488.

    1.36°

    1.37°

    1.37°1) 325+−83;

    2) 6254−−1253;

    3) 12−60,1253;

    4) 1+100,00814;

    5) 3164−4273;

    6) −3383+2,25;

    7) 83−643;

    8) 164−643.

    1. 37°

    1.38°

    1.38°1) 9+4;

    2) 36−164;

    3) 0,81+0,0013;

    4) 0,0273−0,04;

    5) 5−2564;

    6) 7+83;

    7) −325+164;

    8) −273+814.

    1.38°

    1.39°

    1.39°1) (1−2)⎛⎝1+2⎞⎠;

    2) ⎛⎝3−2⎞⎠⎛⎝3+2⎞⎠;

    3) ⎛⎝23+4⎞⎠⎛⎝23−4⎞⎠;

    4) ⎛⎝35−2⎞⎠⎛⎝35+2⎞⎠;

    5) ⎛⎝10−6⎞⎠⎛⎝6+10⎞⎠;

    6) ⎛⎝7+3⎞⎠⎛⎝3−7⎞⎠.

    1.39°

    Стр. 17

    1.40

    1.401) 1225244⋅15−1382−2323;

    2) 58+442−26235;

    3) 90+31⎛⎝572−262⎞⎠83;

    4) 2364+⎛⎝482−3225⎞⎠−13.

    1.40

    1.41

    1.411) ⎛⎝⎜⎛⎝⎛⎝23⎞⎠33⎞⎠−3−⎛⎝⎛⎝43⎞⎠−55⎞⎠5⎞⎠⎟−1·⎛⎝−277⎞⎠7;

    2) ⎛⎝⎜⎛⎝175⎞⎠−10+⎛⎝−409⎞⎠9·⎛⎝537⎞⎠0⎞⎠⎟−1:⎛⎝95⎞⎠−10;

    3) ⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝34⎞⎠23⎞⎠⎟6+⎛⎝−4−27⎞⎠7⎞⎠⎟:⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝56⎞⎠05⎞⎠⎟10−⎛⎝−⎛⎝32⎞⎠−19⎞⎠9⎞⎠⎟;

    4) ((((−45)3)3)0−(−0,111)−22):(((38)−15)5·((32)37)7+(−129)−9).

    1.41

    1.42

    1.421) ⎛⎝a77⎞⎠7⎛⎝a55⎞⎠5;

    2) ⎛⎝a33⎞⎠3⎛⎝a99⎞⎠9;

    3) ⎛⎝⎜213⎛⎝a33⎞⎠3·⎛⎝b77⎞⎠7⎞⎠⎟2·⎛⎝⎜−127⎛⎝a55⎞⎠5·⎛⎝b1111⎞⎠11⎞⎠⎟;

    4) 337⎛⎝a55⎞⎠5·⎛⎝b99⎞⎠9·⎛⎝⎜−213⎛⎝a77⎞⎠7·⎛⎝b1313⎞⎠13⎞⎠⎟2.

    1.42

    Най­ди­те есте­ствен­ную об­ласть опре­де­ле­ния вы­ра­же­ния (1.43—1.44).

    1.43

    1.431) x+4;

    2) −9+2×4;

    3) 5×2−6×10;

    4) 8x−4×212;

    5) x+33;

    6) x−75;

    7) x2−47;

    8) 2×2−329.

    1.43

    1.44

    1.441) 34x−112;

    2) −48x−314;

    3) 2−59−5×8;

    4) 3−1016−7×6;

    5) 2+x4−2(8−6x)3;

    6) 12−6×2−7x+(3x−1)·25;

    7) −x22(x−2)−5⎛⎝1−3x)−24;

    8) 3(x+4)−6(2−x)+9×428.

    1.44

    Стр. 18

    1.45

    1.45Най­ди­те дли­ну ре­бра ку­ба, если его объ­ем ра­вен:

    1) 27 см3;

    2) 64 мм3;

    3) 0,125 дм3;

    4) 0,216 м3.

    1.45

    Ре­ши­те урав­не­ние (1.46—1.54).

    1.46°

    1.46°1) x2=0,49;

    2) x2=121;

    3) x3=0,008;

    4) x3=1000;

    5) x3=−64 000;

    6) x3=216;

    7) x4=0,0625;

    8) x4=−16.

    1.46°

    1.47

    1.471) x3=−27;

    2) x5=−132;

    3) x7=−1;

    4) x9=−512;

    5) x3=−0,027;

    6) x11=0.

    1.47

    1.48°

    1.48°1) x2=11;

    2) x4=19;

    3) x8=27;

    4) x3=25;

    5) x7=38;

    6) x9=−2;

    7) x15=−6;

    8) x17=4;

    9) x13=−13.

    1.48°

    1.49

    1.491) x2=25 600;

    2) x2=0,0196;

    3) x2+1=1,0016;

    4) 5×2−20=0;

    5) x2+25=0;

    6) x2+179=0;

    7) x2·4=0;

    8) −6×2=0;

    9) 113×2−12=0;

    10) 13×2−1=0.

    1.49

    1.50

    1.501) 4×3+4125=0;

    2) 8×3+27=0;

    3) −0,1×4=−0,00001;

    4) 16×4−81=0;

    5) 12×5+16=0;

    6) 132×6−2=0.

    1.50

    1.51

    1.511) x4+2=7;

    2) x5−3=30;

    3) x6−7=19;

    4) x3+5=5.

    1.51

    1.52

    1.521) (x+1)4=16;

    2) (x−2)6=64;

    3) (2x+1)3=27;

    4) (3x−1)5=32.

    1.52

    1. 53

    1.531) x10−31×5−32=0;

    2) x8−15×4−16=0;

    3) x4−12×2+27=0;

    4) x6−7×3−8=0;

    5) x8−82×4+81=0;

    6) x4+2×2−15=0.

    1.53

    Стр. 19

    1.54

    1.541)° (x6)6=x;

    2)° (x10)10=x;

    3)° (x3)3=x;

    4)° (x5)5=x;

    5) ⎛⎝x−14⎞⎠4=x−1;

    6) ⎛⎝x+212⎞⎠12=x+2;

    7) ⎛⎝1×7⎞⎠7=1x;

    8) ⎛⎝1x−211⎞⎠11=1x−2.

    1.54

    Производная e в степени x и показательной функции

    Основные формулы

    Производная экспоненты равна самой экспоненте (производная e в степени x равна e в степени x):
    (1)   ( e x )′ = e x.

    Производная показательной функции с основанием степени a равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм от a:
    (2)   .

    Экспонента – это показательная функция, у которой основание степени равно числу e, которое является следующим пределом:
    .
    Здесь может быть как натуральным, так и действительным числом. Далее мы выводим формулу (1) производной экспоненты.

    Вывод формулы производной экспоненты

    Рассмотрим экспоненту, e в степени x:
    y = e x.
    Эта функция определена для всех . Найдем ее производную по переменной x. По определению, производная является следующим пределом:
    (3)   .

    Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам понадобятся следующие факты:
    А) Свойство экспоненты:
    (4)   ;
    Б) Свойство логарифма:
    (5)   ;
    В) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
    (6)   .
    Здесь – некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
    Г) Значение второго замечательного предела:
    (7)   .

    Применяем эти факты к нашему пределу (3). Используем свойство (4):
    ;
    .

    Сделаем подстановку   . Тогда   ; .
    В силу непрерывности экспоненты,
    .
    Поэтому при , . В результате получаем:
    .

    Сделаем подстановку . Тогда . При , . И мы имеем:
    .

    Применим свойство логарифма (5):
    . Тогда
    .

    Применим свойство (6). Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то:
    .
    Здесь мы также воспользовались вторым замечательным пределом (7). Тогда
    .

    Тем самым мы получили формулу (1) производной экспоненты.

    Вывод формулы производной показательной функции

    Теперь выведем формулу (2) производной показательной функции с основанием степени a. Мы считаем, что и . Тогда показательная функция
    (8)  
    Определена для всех .

    Преобразуем формулу (8). Для этого воспользуемся свойствами показательной функции и логарифма.
    ;
    .
    Итак, мы преобразовали формулу (8) к следующему виду:
    .

    Находим производную. Выносим постоянную за знак производной:
    .
    Применяем формулу производной сложной функции:
    .
    Здесь .

    Тем самым, мы нашли производную показательной функции с произвольным основанием степени:
    .

    Другие способы вывода производной экспоненты

    Пусть нам известна формула производной натурального логарифма:
    (9)   .
    Тогда мы можем вывести формулу производной экспоненты, учитывая, что экспонента является обратной функцией к натуральному логарифму.

    Перепишем формулу (9) в следующем виде:
    ,
    где .
    Переменные можно обозначать любыми буквами. Поменяем местами x и y:
    (10)   ,
    где .

    Теперь рассмотрим экспоненту (e в степени x):
    (11)   .
    Применим формулу производной обратной функции:
    (12)   .
    Обратной функцией к экспоненте является натуральный логарифм. Подставим значение производной натурального логарифма (10):
    .
    И, наконец, выразим y через x по формуле (11):
    .
    Формула доказана.

    Теперь докажем формулу производной экспоненты, применяя формулу производной сложной функции. Поскольку функции и являются обратными друг к другу, то
    .
    Дифференцируем это уравнение по переменной x:
    (13)   .
    Производная от икса равна единице:
    .
    Применим формулу производной сложной функции:
    .
    Здесь . Подставим в (13):
    .
    Отсюда
    .

    Пример

    Найти производные от e в степени 2x, e в степени 3x и e в степени nx. То есть найти производные функций
    y = e 2x,   y = e 3x   и   y = e nx.

    Решение

    Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции   y = e nx. Затем подставим n = 2 и n = 3. И из общей формулы найдем выражения для производных от e 2x, e 3x и e nx.

    Итак, имеем исходную функцию
    .
    Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
    1)   Функции , зависящей от переменной : ;
    2)   Функции , зависящей от переменной : .
    Тогда исходная функция составлена из функций и :
    .

    Найдем производную от функции по переменной x:
    .
    Найдем производную от функции по переменной :
    .
    Применяем формулу производной сложной функции.
    .
    Здесь мы подставили .

    Итак, мы нашли:
    .
    Подставляем n = 2 и n = 3.

    Ответ

    ;   ;   .

    См. также
    Все примеры вычисления производных с решениями > > >

    Производные высших порядков от e в степени x

    Теперь найдем производные высших порядков. Сначала рассмотрим экспоненту:
    (14)   .
    Мы нашли ее производную первого порядка:
    (1)   .

    Мы видим, что производная от функции (14) равна самой функции (14). Дифференцируя (1), получаем производные второго и третьего порядка:
    ;
    .

    Отсюда видно, что производная n-го порядка также равна исходной функции:
    .

    Производные высших порядков показательной функции

    Теперь рассмотрим показательную функцию с основанием степени a:
    .
    Мы нашли ее производную первого порядка:
    (15)   .

    Дифференцируя (15), получаем производные второго и третьего порядка:
    ;
    .

    Мы видим, что каждое дифференцирование приводит к умножению исходной функции на . Поэтому производная n-го порядка имеет следующий вид:
    .

    Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

    Перевод корней в степени и обратно: объяснение, примеры

    Часто преобразование и упрощение математических выражений требует перехода от корней к степеням  и наоборот. Данная статья рассказывает о том, как осуществлять перевод корня в степень и обратно. Рассматривается теория, практические примеры и наиболее распространенные ошибки.

    Переход от степеней с дробными показателями к корням

    Допустим, мы имеем число с показателем степени в виде обыкновенной дроби — amn. Как записать такое выражение в виде корня?

    Ответ вытекает из самого определения степени! 

    Определение

    Положительное число a в степени mn — это корень степени n из числа am.

    amn=amn.

    При этом, обязательно должно выполнятся условие:

    a>0; m∈ℤ; n∈ℕ.

    Дробная степень числа нуль определяется аналогично, однако в этом случае число m принимается не целым, а натуральным, чтобы не возникло деления на 0:

    0mn=0mn=0.

    В соответствии с определением, степень amn можно представить в виде корня amn.

    Например: 325=325, 123-34=123-34.

    Однако, как уже было сказано, не следует забывать про условия: a > 0 ;   m ∈ ℤ ;   n ∈ ℕ .

    Так, выражение -813 нельзя представить в виде -813, так как запись -813 попросту не имеет смысла — степень отрицательных чисел на определена.При этом, сам корень -813 имеет смысл.

    Переход от  степеней с выражениями в основании и дробными показателями осуществляется аналогично на всей области допустимых значений (далее — ОДЗ) исходных выражений в основании степени. 

    Например, выражение x2+2x+1-412 можно представить в виде квадратного корня x2+2x+1-4.Выражение в степени x2+x·y·z-z3-73 переходит в выражение x2+x·y·z-z3-73 для всех x, y, z из ОДЗ данного выражения.

    Как представить корень в виде степени?

    Обратная замена корней степенями, когда вместо выражения с корнем записывается выражения со степенью, также возможна. Просто перевернем равенство из предыдущего пункта и получим:

    amn=amn

    Опять же, переход очевиден для положительных чисел a. Например, 764=764, или27-53=27-53.

    Для отрицательных a корни имеют смысл. Например -426, -23. Однако, представить эти корни в виде степеней  -426 и -213 нельзя.  

    Можно ли вообще преобразовать такие выражения со степенями? Да, если произвести некоторые предварительные преобразования. Рассмотрим, какие.

    Используя свойства степеней, можно выполнить преобразования  выражения -426.

    -426=-12·426=426.

    Так как 4>0, можно записать: 

    426=426.

    В случае с корнем нечетной степени из отрицательного числа, можно записать:

    -a2m+1=-a2m+1.

    Тогда выражение -23 примет вид:

    -23=-23=-213.

    Разберемся теперь, как корни, под которыми содержатся выражения, заменяются на степени, содержащие эти выражения в основании.  

    Обозначим буквой A некоторое выражение. Однако не будем спешить с представлением Amn в виде Amn. Поясним, что здесь имеется в виду. Например, выражение х-323, основываясь на равенстве из первого пункта, хочется представить в виде x-323. Такая замена возможна только при x-3≥0, а для остальных икс из ОДЗ она не подходит, так как для отрицательных a формула amn=amn не имеет смысла.

    Таким образом, в рассмотренном примере преобразование вида Amn=Amn является преобразованием, сужающим ОДЗ, а из-за неаккуратного применения формулы Amn=Amn нередко возникают ошибки. 

    Чтобы правильно перейти от корня Amn к степени Amn, необходимо соблюдать несколько пунктов:

    • В случае, если число m — целое и нечетное, а n — натуральное и четное, то формула  Amn=Amn справедлива на всей ОДЗ переменных.
    • Если m — целое и нечетное, а n — натуральное и нечетное,то выражение Amn можно заменить:

       — на Amn для всех значений переменных, при которых A≥0;

       — на —Amn для  для всех значений переменных, при которых A<0;
    • Если  m — целое и четное, а n — любое натуральное число, то Amn можно заменить на Amn.

    Сведем все эти правила в таблицу и приведем несколько примеров их использования.

    Вернемся к выражению х-323. Здесь m=2 — целое и четное число, а n=3 — натуральное число. Значит, выражение х-323 правильно будет записать в виде:

    х-323=x-323.

    Нужна помощь преподавателя?

    Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

    Описать задание

    Приведем еще один пример с корнями и степенями.

    Пример. Перевод корня в степень

    x+5-35=x+5-35, x>-5—x-5-35, x<-5

    Обоснуем результаты, приведенные в таблице. Если число m — целое и нечетное, а n — натуральное и четное, для всех переменных из ОДЗ в выражении Amn значение A положительно или неотрицательно (при m>0). Именно поэтому  Amn=Amn.

    Во втором варианте, когда  m — целое, положительное и нечетное, а n — натуральное и нечетное, значения Amn разделяются. Для переменных из ОДЗ, при которых A неотрицательно, Amn=Amn=Amn. Для переменных, при которых A отрицательно, получаем Amn=-Amn=-1m·Amn=-Amn=-Amn=-Amn.

    Аналогично рассмотрим и следующий случай, когда m — целое и четное, а n — любое натуральное число. Если значение Aположительно или неотрицательно, то для таких значений переменных из ОДЗ Amn=Amn=Amn. Для отрицательных A получаем Amn=-Amn=-1m·Amn=Amn=Amn.

    Таким образом, в третьем случае для всех переменных из ОДЗ можно записать Amn=Amn.

    Сложение и вычитание степеней ⬅️

    Что такое степень числа

    В учебниках по математике можно встретить такое определение: 

    «Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд»

    где

    a — основание степени

    n — показатель степени

    Соответственно, an= a·a·a·a…·a

    Читается такое выражение, как a в степени n.

    Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить данное число (основание степени) на само себя. А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например число 2, то решается она довольно просто:

    2 — основание степени

    3 — показатель степени

    Действия, конечно, можно выполнять и в онлайн калькуляторе — вот несколько подходящих:

    Таблица степеней

    Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).

    Число

    Вторая степень

    Третья степень

    1

    1

    1

    2

    4

    8

    3

    9

    27

    4

    16

    64

    5

    25

    125

    6

    36

    216

    7

    49

    343

    8

    64

    512

    9

    81

    729

    10

    100

    1000

    Свойства степеней: когда складывать, а когда вычитать

    Степень в математике с натуральным показателем имеет несколько важных свойств, которые позволяют упрощать вычисления. Всего их пять штук — давайте их рассмотрим.

     

    Свойство 1: произведение степеней

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:

    a — основание степени

    m, n — показатели степени, любые натуральные числа.

    Свойство 2: частное степеней

    Когда мы делим степени с одинаковыми основаниями, то основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

    a — любое число, не равное нулю

    m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

    Свойство 3: возведение степени в квадрат

    Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.

    a — основание степени (не равное нулю)

    m, n — показатели степени, натуральное число

    Свойство 4: степень возведения

    При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

    a, b — основание степени (не равное нулю)

    n — показатели степени, натуральное число

    Записывайся на онлайн курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

    Свойство 5: степень частного

    Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

    a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0, 

    n — показатель степени, натуральное число

    Сложение и вычитание степеней

    Как складывать числа со степенями и как вычитать степени — очень просто. Основной принцип такой: выполняется сначала возведение в степень, а уже потом действия сложения и вычитания. Примеры:

    • 23+ 34= 8 + 81= 89
    • 63— 33= 216 — 27 = 189

    И еще несколько правил:

    • при наличии скобок — начинать вычисления нужно внутри них
    • только потом возведение производим в степень
    • затем выполняем остальные действия: сначала умножение и деление
    • после — сложение и вычитание

    Сложение степеней с разными показателями

    В таком случае действуем согласно общему правилу: сначала выполняем возведение в степень каждого числа, затем — производим сложение.

    Сложение степеней с разными основаниями

    В целом, это ничем не отличается от предыдущего пункта. Могут быть разные основания, но одинаковые степени. А могут быть и разные основания, и разные показатели. Поэтому сначала выполняем возведение в степень каждого числа, затем — производим сложение.

    • 34+ 54=81 + 625 = 706
    • 14+ 72= 1+ 49 = 50

    Как складывать числа с одинаковыми степенями

    Точно также, как и в предыдущем примере. Если степени одинаковые, а основания разные, то нельзя сложить основания и затем эту сумму возводить в степень.
    Сначала возводим каждое число в степень и затем выполняем сложение.

    В уравнениях это будет происходить немного иначе. Если показатель и основание степени одинаковые (тогда это называется переменная, a2, например) — их коэффициенты можно складывать. Коэффициент — это число перед переменной a2.

    2, 3, 5 — коэффициенты

    a2  — переменная

    Если перед переменной в уравнении нет коэффициента, это значит, что он равен 1.

    Вычитание степеней с одинаковым основанием

    Здесь принцип тот же, что и со сложением: возводим в степень числа и только потом вычитаем их.

    Вычитание степеней с разными основаниями

    Могут быть разные основания, но одинаковые степени. А могут быть и разные основания, и разные показатели. Поэтому сначала выполняем возведение в степень каждого числа, затем — производим вычитание.

    • 54— 44= 625 — 256 = 369
    • 74— 32= 2401 — 9 = 2392

    Вычитание чисел с одинаковыми степенями

    Все точно также, как и со сложением. Если степени одинаковые, а основания разные, то нельзя вычесть основания и затем эту разницу возводить в степень. Сначала возводим каждое число в степень и затем выполняем вычитание.

    И та же история с коэффициентами: если показатель степени и основание степени одинаковые (тогда это называется переменная, a2) — их коэффициенты можно вычитать. Коэффициент — это число перед переменной a2.

    6, 3, 2 — коэффициенты

    a2  — переменная

    Если перед переменной в уравнении нет коэффициента, это значит, что он равен 1.

    экспонентов: основные правила | Purplemath

    Purplemath

    Экспоненты — это сокращение для многократного умножения одного и того же самого на себя. Например, сокращение для умножения трех копий числа 5 показано справа от знака «равно» в (5) (5) (5) = 5 3 . «Показатель», равный 3 в этом примере, означает, сколько раз умножается значение.То, что умножается (в этом примере 5), называется «базой».

    Этот процесс использования экспонент называется «возведением в степень», где показатель — это «степень». Выражение «5 3 » произносится как «пять в третьей степени» или «пять в третьей степени».

    MathHelp.

    com

    Есть две специально названные степени: «до второй степени» обычно произносится как «в квадрате», а «до третьей степени» обычно произносится как «в кубе». Итак, «5 3 » обычно произносится как «пять кубов».

    Когда мы имеем дело с числами, мы обычно просто упрощаем; мы предпочли бы иметь дело с «27», чем с «3 3 ».Но для переменных нам нужны показатели степени, потому что мы предпочли бы иметь дело с « x 6 », чем с « x‍x‍x‍x‍x‍x ».

    У экспонентов

    есть несколько правил, которые мы можем использовать для упрощения выражений.

    Чтобы упростить это, я могу думать в терминах того, что означают эти показатели. «До третьей» означает «умножение трех копий», а «до четвертой» означает «умножение четырех копий». Используя этот факт, я могу «расширить» два фактора, а затем вернуться к упрощенной форме.Сначала я расширяюсь:

    ( x 3 ) ( x 4 ) = ( x‍x‍x ) ( x‍x‍x‍x )

    Теперь я могу убрать скобки и сложить все множители:

    ( x‍x‍x ) ( x‍x‍x‍x ) = x‍x‍x‍x‍x‍x‍x

    Это семь копий переменной.«Умножение семи копий» означает «в седьмой степени», поэтому это можно переформулировать как:

    x‍x‍x‍x‍x‍x‍x = x 7

    Собираем все вместе, шаги следующие:

    ( x 3 ) ( x 4 ) = ( x‍x‍x ) ( x‍x‍x‍x )

    = x‍x‍x‍x‍x‍x‍x

    = x 7

    Тогда упрощенная форма ( x 3 ) ( x 4 ) будет:

    Обратите внимание, что x 7 также равно x (3 + 4) . Это демонстрирует первое основное правило экспоненты:

    Всякий раз, когда вы умножаете два члена с одинаковым основанием, вы можете складывать экспоненты:

    ( x м ) ( x n ) = x (m + n)

    Однако мы НЕ можем упростить ( x 4 ) ( y 3 ), потому что основания разные: ( x 4 ) ( y 3 ) = x‍x‍x‍xyyy = ( x 4 ) ( y 3 ).Ничего не сочетается.


    Теперь, когда я знаю правило (а именно, что я могу добавлять силы к одной и той же базе), я могу начать с перемещения баз, чтобы расположить все одинаковые базы рядом друг с другом:

    ( a 5 b 3 ) ( a b 7 ) = ( a 5 ) ( a ) ( b 3 ) ( б 7 )

    Теперь я хочу добавить мощности на a и b . Однако у второго и , похоже, нет мощности. Что мне добавить для этого срока?

    Все, что не имеет силы, в техническом смысле «возведено в степень 1». Все, что находится в степени 1, является самим собой, поскольку оно «умножает одну копию» самого себя. Таким образом, приведенное выше выражение можно переписать как:

    ( a 5 ) ( a ) ( b 3 ) ( b 7 ) = ( a 5 ) ( a 1 ) ( b 3 ) ( b 7 )

    Теперь могу комбинировать:

    ( a 5 ) ( a 1 ) ( b 3 ) ( b 7 ) = a 5 + 1 b 3 + 7 = a 6 b 10

    Если сложить все вместе, моя ручная работа будет выглядеть так:

    ( a 5 b 3 ) ( a b 7 ) = ( a 5 a 1 ) ( b 3 b 7 ) =


    В следующем примере есть две силы, одна из которых в некотором смысле «внутри» другой.

    Чтобы сделать упрощение, я могу начать с размышлений о том, что означают показатели степени. «До четвертого» снаружи означает, что я умножаю четыре копии любого основания, заключенного в круглые скобки. В этом случае база четвертой степени равна x 2 . Умножение четырех копий этой базы дает мне:

    Каждый фактор в приведенном выше расширении — это «умножение двух копий» переменной.Это расширяется как:

    ( x 2 ) ( x 2 ) ( x 2 ) ( x 2 ) = ( x‍x ) ( x‍x ) ( x‍x ) ( x‍x )

    Убрав круглые скобки, получим:

    ( x‍x ) ( x‍x ) ( x‍x ) ( x‍x ) = x‍x‍x‍x‍x‍x‍x‍x

    Это строка из восьми копий переменной. «Умножение восьми копий» означает «в восьмой степени», поэтому это означает:

    x‍x‍x‍x‍x‍x‍x‍x = x 8

    Собираем все вместе:

    ( x 2 ) 4 = ( x 2 ) ( x 2 ) ( x 2 ) ( x 2 )

    = ( x‍x ) ( x‍x ) ( x‍x ) ( x‍x )

    = x‍x‍x‍x‍x‍x‍x‍x

    = x 8

    Обратите внимание, что ( x 2 ) 4 = x 8 , и что 2 × 4 = 8.Это демонстрирует правило второй степени:

    Всякий раз, когда у вас есть выражение в степени, которое возведено в степень, вы можете упростить, умножив внешнюю степень на внутреннюю степень:

    Если у вас есть продукт в круглых скобках и сила в скобках, то сила идет на каждый элемент внутри. Например:

    ( xy 2 ) 3 = ( xy 2 ) ( xy 2 ) ( xy 2 )

    = ( x‍x‍x ) ( y 2 y 2 y 2 )

    = ( x‍x‍x ) ( yyyyyy )

    = x 3 y 6

    = ( x ) 3 ( y 2 ) 3

    Другой пример:


    Предупреждение. Это правило НЕ работает, если в скобках указана сумма или разница.Экспоненты, в отличие от умножения, НЕ «распределяются» по сложению.

    Например, учитывая (3 + 4) 2 , НЕ поддавайтесь искушению сказать: « Эй, это равно 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 », потому что это неправильный. На самом деле (3 + 4) 2 = (7) 2 = 49, а не 25.

    Если сомневаетесь, запишите выражение в соответствии с определением мощности. Например, учитывая ( x — 2) 2 , не пытайтесь делать это в уме.Вместо этого запишите это; «в квадрате» означает «умножение двух копий», поэтому:

    ( x — 2) 2 = ( x — 2) ( x — 2)

    = x ( x — 2) — 2 ( x — 2)

    = xx — 2 x — 2 x + 4

    = x 2 — 4 x + 4.

    Ошибка в виде ошибочной попытки «распределить» экспоненту чаще всего совершается, когда ученик пытается сделать все в своей голове, вместо того, чтобы показать свою работу.Делайте все аккуратно, и вы вряд ли совершите эту ошибку.


    Теперь, когда я знаю правило о полномочиях на полномочия, я могу провести 4 по каждому из факторов внутри. (Мне нужно помнить, что у c внутри скобок это «в степени 1».)

    ( a 2 ) 4 ( b 3 ) 4 ( c 1 ) 4

    = ( a 2 × 4 ) ( b 3 × 4 ) ( c 1 × 4 )

    = a 8 b 12 c 4


    Партнер


    Есть еще одно правило, которое может или не может быть рассмотрено в вашем классе на данном этапе:

    Все, что находится в нулевой степени, равно «1» (пока «что-нибудь» не является нулем само по себе).

    Это правило объясняется на следующей странице. Однако на практике это правило означает, что некоторые упражнения могут быть намного проще, чем может показаться на первый взгляд:

    • Упростить [(3

      x 4 y 7 z 12 ) 5 (–5 x 9 y 3 z 4 ) 2 ] 0

    Кого волнует эта фигня в квадратных скобках? Я точно не знаю, потому что нулевая мощность снаружи означает, что значение всего этого равно 1.Ха!

    [(3 x 4 y 7 z 12 ) 5 (–5 x 9 y 3 z 4 ) 2 ] 0 = 1

    Между прочим, как только ваш класс охватит «до нуля», вам следует ожидать упражнения, подобного приведенному выше, на следующем тесте. Это распространенный вопрос с подвохом, призванный заставить вас тратить кучу вашего ограниченного времени, но он работает только в том случае, если вы не обращаете внимания.


    Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в упрощении выражений с помощью экспонент. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок, или просмотрите здесь множество рабочих примеров.)

    Щелкните здесь, чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway, если вы хотите ознакомиться с их программным обеспечением или получить дополнительную информацию.



    URL: https://www.purplemath.com/modules/exponent.htm

    Калькулятор экспоненты

    Калькулятор экспоненты вычислит значение любого основания, возведенного в любую степень. На этой странице будут рассмотрены все связанные темы, включая отрицательный показатель степени. Начнем с основ.

    Что такое показатель степени?

    Показатель степени — это способ представить, сколько раз число, известное как основание, умножается само на себя. Он представлен в виде небольшого числа в правом верхнем углу основания. Например: означает, что вы умножаете x на себя два раза, что составляет x * x . Аналогично, 4² = 4 * 4 и т. Д. Если показатель степени равен 3, в примере , то результат будет 5 * 5 * 5 .

    Это легко с маленькими числами, но для оснований, которые являются большими числами, десятичными знаками или когда они возведены в очень большую или отрицательную степень, используйте наш инструмент.Если вы хотите произвести возведение в степень вручную, сделайте следующее:

    1. Определите базу и мощность, до которой она повышается, например 3⁵ .
    2. Запишите основание столько же раз, сколько экспонента. 3 3 3 3 3
    3. Поместите символ умножения между каждым основанием. 3 * 3 * 3 * 3 * 3 .
    4. Умножить! 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 243 .

    Калькулятор отрицательной экспоненты

    Идея довольно проста, когда экспонента положительна, но что происходит, когда экспонента отрицательна? По определению, если оно равно -2, мы умножим само основание на на отрицательные два раза.На самом деле, что здесь происходит, мы берем величину, обратную основанию, и меняем отрицательный показатель степени на положительный и действуем как обычно. Если вы хотите решить это вручную, сделайте следующее:

    1. Определите основание и показатель степени.
    2. Запишите величину, обратную основанию, и измените знак экспоненты на положительный
    3. Запишите обратную величину основания столько же раз, сколько экспоненту.
    4. Поместите между ними символ умножения.
    5. Умножьте и получите результат.

    Вот быстрый пример: 5⁻⁴ = (1/5) ⁴ = (1/5) * (1/5) * (1/5) * (1/5) = 1/625 = 0,0016

    Возведение числа в квадрат (возведение числа в степень 2) и извлечение квадратного корня — схожие концепции, многие люди считают одно противоположным или отменяют другое. Если вы хотите возвести число 6 в квадрат, возьмите 6 * 6 = 36 . Теперь, если вы хотите найти, какие два одинаковых числа умножаются, чтобы получить 36, вы извлекаете квадратный корень из 36. Этот квадратный корень дает значение 6.Также можно отметить, что возведение квадратного корня в квадрат удаляет корень.

    Если вам нужно вычислить кубический корень, вы можете использовать наш калькулятор кубического корня, который является отличным инструментом для вычисления кубического корня любого числа.

    Кроме того, вы можете проверить наш калькулятор логарифмов, который является обратной функцией экспоненты.

    Любое число, возведенное в степень 0, равно 1. Калькулятор отрицательной экспоненты полезен при работе с экспоненциальным убыванием, формула которого имеет отрицательный показатель степени.

    Законы экспонент

    Экспоненты также называются Степень или Индексы

    Показатель числа означает , сколько раз использовать при умножении на .

    В этом примере: 8 2 = 8 × 8 = 64

    Словами: 8 2 можно было бы назвать «8 во второй степени», «8 в степени 2» или
    просто «8 в квадрате»

    Попробуйте сами:

    Таким образом, экспонента избавляет нас от необходимости выписывать множество умножений!

    Пример:

    7

    a 7 = a × a × a × a × a × a × a = aaaaaaa

    Обратите внимание, как мы написали буквы вместе, чтобы обозначить умножение? Мы будем делать это здесь много раз.

    Пример: x

    6 = xxxxxx

    Ключ к законам

    Написание всех букв — ключ к пониманию Законов

    Пример: x

    2 x 3 = (xx) (xxx) = xxxxx = x 5

    Что показывает, что x 2 x 3 = x 5 , но об этом позже!

    Итак, если сомневаетесь, просто не забудьте записать все буквы (столько, сколько указывает показатель степени) и посмотреть, сможете ли вы разобраться в этом.

    Все, что вам нужно знать …

    «Законы экспонент» (также называемые «Правила экспонент») взяты из трех идей :

    Показатель степени показывает , сколько раз использовать при умножении .
    Отрицательная экспонента означает, что делит , потому что противоположность умножению — деление

    Если вы это понимаете, значит, вы понимаете экспоненты!

    И все приведенные ниже законы основаны на этих идеях.

    Законы экспонент

    Вот законы
    (пояснения следуют):

    Закон Пример
    x 1 = x 6 1 = 6
    x 0 = 1 7 0 = 1
    x -1 = 1 / x 4 -1 = 1/4
    x м x n = x m + n x 2 x 3 = x 2 + 3 = x 5
    x м / x n = x m-n x 6 / x 2 = x 6-2 = x 4
    (x м ) n = x mn (x 2 ) 3 = x 2 × 3 = x 6
    (xy) n = x n y n (xy) 3 = x 3 y 3
    (x / y) n = x n / y n (x / y) 2 = x 2 / y 2
    x -n = 1 / x n x -3 = 1 / x 3
    И закон о дробных показателях:

    Разъяснение законов

    Первые три закона выше (x 1 = x, x 0 = 1 и x -1 = 1 / x) являются лишь частью естественной последовательности показателей. Взгляните на это:

    Пример: Полномочия 5
    .. и т.д ..
    5 2 1 × 5 × 5 25
    5 1 1 × 5 5
    5 0 1 1
    5 -1 1 ÷ 5 0.2
    5 -2 1 ÷ 5 ÷ 5 0,04
    .. и т.д ..

    Посмотрите на эту таблицу некоторое время … обратите внимание, что положительный, нулевой или отрицательный показатель степени на самом деле является частью одного и того же паттерна, то есть в 5 раз больше (или в 5 раз меньше) в зависимости от того, станет ли показатель больше (или меньше).

    Закон, согласно которому x

    m x n = x m + n

    При x m x n , сколько раз мы умножаем «x»? Ответ: сначала «m» раз, затем еще «n» раз, всего «m + n» раз.

    Пример: x

    2 x 3 = (xx) (xxx) = xxxxx = x 5

    Итак, x 2 x 3 = x (2 + 3) = x 5

    Закон, что x

    m / x n = x m-n

    Как и в предыдущем примере, сколько раз мы умножаем «x»? Ответ: «m» раз, затем уменьшите это на «n» раз (потому что мы делим), всего «m-n» раз.

    Пример: x

    4 / x 2 = (xxxx) / (xx) = xx = x 2

    Итак, x 4 / x 2 = x (4-2) = x 2

    (Помните, что x / x = 1, поэтому каждый раз, когда вы видите x «над линией» и один «под линией», вы можете отменить их. )

    Этот закон также может показать вам, почему x 0 = 1 :

    Пример: x

    2 / x 2 = x 2-2 = x 0 = 1

    Закон, что (x

    m ) n = x mn

    Сначала вы умножаете «m» раз. Затем у вас есть , чтобы проделать это «n» раз по , всего m × n раз.

    Пример: (x

    3 ) 4 = (xxx) 4 = (xxx) (xxx) (xxx) (xxx) = xxxxxxxxxxxx = x 12

    Итак (x 3 ) 4 = x 3 × 4 = x 12

    Закон, что (xy)

    n = x n y n

    Чтобы показать, как это работает, просто подумайте о перестановке всех «x» и «y», как в этом примере:

    Пример: (xy)

    3 = (xy) (xy) (xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx) (yyy) = x 3 y 3

    Закон, что (x / y)

    n = x n / y n

    Как и в предыдущем примере, просто переставьте «x» и «y»

    Пример: (x / y)

    3 = (x / y) (x / y) (x / y) = (xxx) / (yyy) = x 3 / y 3

    Закон о том, что

    Хорошо, это немного сложнее!

    Я предлагаю вам сначала прочитать дробные экспоненты, иначе это может не иметь смысла.

    В любом случае, важная идея заключается в том, что:

    x 1/ n = n- -й корень x

    Итак, дробная экспонента, такая как 4 3/2 , на самом деле говорит о том, что нужно получить кубик (3) и квадратный корень (1/2) в любом порядке.

    Просто помните из дробей, что m / n = m × (1 / n) :

    Пример:

    Порядок не имеет значения, поэтому он также работает для м / п = (1 / п) × м :

    Пример:

    Показатели экспоненты…

    А как насчет этого примера?

    4 3 2

    Мы делаем экспоненту на вершине сначала , поэтому вычисляем ее следующим образом:

    Начать с: 4 3 2
    3 2 = 3 × 3: 4 9
    4 9 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4: 262144

    И все!

    Если вам сложно запомнить все эти правила, запомните:

    вы сможете решить их, если поймете три идеи
    в верхней части этой страницы

    О, еще одна вещь.

    .. Что если x = 0?

    Положительная экспонента (n> 0) 0 n = 0
    Отрицательная экспонента (n <0) 0 -n равно undefined (поскольку деление на 0 не определено)
    Показатель степени = 0 0 0 мммм … см. Ниже!

    Странный случай 0

    0

    Существуют разные аргументы в пользу правильного значения 0 0

    0 0 может быть 1 или, возможно, 0, поэтому некоторые люди говорят, что это действительно «неопределенно»:

    x 0 = 1, поэтому… 0 0 = 1
    0 n = 0, поэтому … 0 0 = 0
    Если есть сомнения … 0 0 = «неопределенный»

    Жесткий:

    экспонентов

    Показатель числа означает , сколько раз использовать при умножении.

    В 8 2 «2» означает использование 8 дважды при умножении,
    , поэтому 8 2 = 8 × 8 = 64

    Словами: 8 2 можно было бы назвать «8 в степени 2» или «8 во второй степени», или
    просто «8 в квадрате»

    Экспоненты также называют степенями или индексами.

    Еще несколько примеров:

    Пример:

    5 3 = 5 × 5 × 5 = 125

    • Прописью: 5 3 можно было бы назвать «5 в третьей степени», «5 в степени 3» или просто
      «5 кубов»

    Пример:

    2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

    • Словами: 2 4 можно было бы назвать «2 в четвертой степени» или «2 в степени 4» или просто
      «2–4»

    Показатели упрощают запись и использование множества умножений

    Пример: 9 6 легче писать и читать, чем 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9

    Вы можете умножить любое число на само по себе столько раз, сколько хотите, используя экспоненты. 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Отрицательные экспоненты

Отрицательно? Что может быть противоположностью умножения? Разделение!

Итак, мы каждый раз делим на число, что аналогично умножению на 1 число

Пример: 8 -1 = 1 8 = 0,125

Мы можем продолжить так:

Пример: 5 -3 = 1 5 × 1 5 × 1 5 = 0.008

Но зачастую проще сделать так:

5 -3 также можно рассчитать как:

1 5 × 5 × 5 = 1 5 3 = 1 125 = 0,008

Отрицательно? Переверните позитив!

Последний пример показал более простой способ справиться с отрицательными показателями:

  • Вычислить положительный показатель степени (a n )
  • Затем возьмите ответный (т. е. 1 / а н )

Другие примеры:

Отрицательная экспонента Взаимное значение
положительной экспоненты
Ответ
4 -2 = 1/4 2 = 1/16 = 0,0625
10 -3 = 1/10 3 = 1/1000 = 0.001
(-2) -3 = 1 / (-2) 3 = 1 / (- 8) = -0,125

Что, если показатель степени равен 1 или 0?

1 Если показатель степени равен 1, то у вас есть только само число (например, 9 1 = 9 )
0 Если показатель равен 0, то вы получите 1 (например, 9 0 = 1 )
А как насчет 0 0 ? Это может быть либо 1, либо 0, поэтому люди говорят, что это «неопределенный» .

Все имеет смысл

Если вы посмотрите на эту таблицу, вы увидите положительный результат, ноль или
отрицательные показатели на самом деле являются частью одного и того же (довольно простого) паттерна:

Пример: Полномочия 5
.. и т.д ..
5 2 5 × 5 25
5 1 5 5
5 0 1 1
5 -1 1 5 0.2
5 -2 1 5 × 1 5 0,04
. . и т.д ..

Будьте осторожны при группировании

Чтобы избежать путаницы, используйте круглые скобки () в таких случаях:

С (): (-2) 2 = (-2) × (-2) = 4
Без (): -2 2 = — (2 2 ) = — (2 × 2) = -4

С (): (ab) 2 = ab × ab
Без (): ab 2 = a × (b) 2 = a × b × b

Калькулятор экспоненты (степени)

— Калькулятор капитана

Калькулятор экспонент

Обратите внимание: для работы этого калькулятора требуется JavaScript.

Определение — Что такое показатель степени?

Показатель степени — это количество раз, когда число умножается само на себя.

Запишите показатель степени в виде увеличенного числа. В числе 2 4 (2 в степени 4 или 2 в степени 4) «4» является показателем степени. «2» — это число, которое нужно умножить на себя в 4 раза. В этом случае 2 x 2 x 2 x 2 = 16.

Формула

— как найти экспоненту

Найдите показатель степени числа, умножив это число на само число раз.

число 2 = число x число

число 3 = число x число x число

число 4 = число x число x число x число

Пример

3 2 = 3 x 3 = 9

9 5 = 9 x 9 x 9 x 9 x 9 = 59 049

5 10 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 9,765,625

Правила экспонент (законы экспонент)

Продукт с той же базой

Чтобы умножить одинаковые основания, оставьте основание одинаковым и сложите экспоненты.

x a • x b = x (a + b)

Пример: 7 3 • 7 5 = 7 (3 + 5) = 7 8 = 5,764,801

Показатель экспоненты (или степени в степени)

Чтобы вычислить показатель степени, умножьте показатели вместе.

(x a ) b = x (a • b) = x ab

Пример: (4 3 ) 2 = 4 (3 • 2) = 4 6 = 4 096

Деление чисел на экспоненты (частные с одинаковым основанием)

Чтобы разделить два основания с одинаковым показателем, вычтите показатель знаменателя из показателя числителя.

x a ÷ x b = x (a — b)

Пример: 5 7 ÷ 5 3 = 5 (7-3) = 5 4 = 625

Умножение чисел на экспоненту

Оба числа, умноженные в степень, могут быть возведены в эту степень.

(xy) z = x z • y z

Пример: (9x) 5 = 9 5 x 5 = 59,049x 5

Деление на показатель

Чтобы разделить дробь, возведенную в степень, укажите степень как в числителе, так и в знаменателе.

(x ÷ y) z = x z ÷ y z

Пример: (7 ÷ 5) 4 = 7 4 ÷ 5 4 = 2,401 ÷ 625 = 3,8416

Показатель 0

Любое число в степени 0 равно 1.

х 0 = 1

Пример: 450 0 = 1

Отрицательные экспоненты

Отрицательные экспоненты могут быть преобразованы в 1, деленную на основание экспоненты

x -a = 1 ÷ 1 a

Пример: 6 -4 = 1 ÷ 6 4 = 1 ÷ 1,296 = 0.0007716

Деление на отрицательную экспоненту

Числа с отрицательной степенью в качестве знаменателя можно заменить на числитель, а показатель степени сделать положительным.

1 ÷ x -a = x a

Пример: 1 ÷ 3 -4 = 3 4 = 81

Как набирать экспоненты

  • В Microsoft Word и других продуктах Office щелкните правой кнопкой мыши и выберите «Шрифт», чтобы открыть меню шрифтов. Выберите «Надстрочный индекс».
  • В Документах Google и других продуктах выделите текст, который вы хотите использовать в качестве показателя степени.символ перед показателем степени. Если в экспоненте более одного символа, заключите их в (скобки).

Таблица экспонент

Обратите внимание: для работы этой таблицы требуется JavaScript.

Часто задаваемые вопросы

Что такое показатель степени (в математике)?

Показатель — это количество раз, когда число умножается само на себя. Например, от 3 до 4 (написано 3) означает 3 x 3 x 3 x 3 = 81. Это не то же самое, что 3 x 4 (12).

В чем разница между «Power Of» и «Exponent»?

Это одно и то же.Большинство людей используют термины «в степени» и «в степени» как синонимы.
Мы находим, что при описании вещи «показатель степени» является более естественным термином. («Какой показатель у числа в этом уравнении?» Звучит лучше, чем «Какова степень у числа в этом уравнении?»).
При описании действия более естественным термином является «степень из» («вычислить пять в степени трех» звучит лучше, чем «вычислить пять в степени три»).

Что такое отрицательная экспонента?

Отрицательная экспонента означает, сколько раз нужно разделить число.3 4 (положительный показатель степени) означает 3-кратное умножение самого себя 4 раза (3 x 3 x 3 x 3 = 81). 3 -4 (отрицательный показатель степени) означает разделить 3 на себя 4 раза (3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 = 0,012346).

Источники и другие ресурсы

Другие калькуляторы экспонент

Объяснение «правила нулевой мощности». Экспоненты кажутся довольно простыми… | Бретт Берри | Math Hacks

Давайте начнем с изучения деления значений с помощью экспонент.

Вызов экспонента представляет собой повторное умножение .Таким образом, мы можем переписать приведенное выше выражение как:

Поскольку 2/2 = 1, отменим три набора 2/2. Остается 2 • 2 или 2 в квадрате.

Конечно, мы можем воспользоваться сокращением и вычесть число 2 внизу из числа 2 вверху. Поскольку эти величины представлены соответствующими показателями степени, все, что нам нужно сделать, это записать общую основу с разницей в значениях показателей в качестве степени.

Если мы обобщим это правило, мы получим следующее, где n представляет ненулевое действительное число, а x и y также являются действительными числами.

Правило деления чисел по общей базе

Отсюда легко вывести объяснение того, почему любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень, равно 1. И снова давайте рассмотрим конкретный пример.

Мы знаем, что любое ненулевое число, деленное само на себя, равно 1 . Итак, я могу написать следующее:

Это то же самое, что и запись:

Теперь я воспользуюсь правилом экспоненты сверху, чтобы переписать левую часть этого уравнения.

Конечно, это эквивалентно:

Мы можем использовать тот же процесс, что и в этом примере, вместе с обобщенным правилом выше, чтобы показать, что любое ненулевое действительное число, возведенное в нулевую степень, должно приводить к 1.

Здесь все становится сложнее. Вышеупомянутый метод не работает, потому что, конечно, деление на ноль недопустимо. Давайте разберемся, почему.

Начнем с рассмотрения общего деления на ноль ОШИБКА .

Как насчет 2 ÷ 0? Давайте посмотрим, почему не может этого сделать.

Деление на самом деле просто форма умножения, так что же произойдет, если я перепишу приведенное выше уравнение как:

Какое значение могло бы удовлетворить это уравнение для x?

Нет значения! Любое число, умноженное на ноль, дает ноль, оно никогда не может равняться 2.Следовательно, мы говорим, что деление на ноль не определено . Нет никакого возможного решения.

Теперь давайте посмотрим на 0 ÷ 0.

Опять перепишем как задачу умножения.

Здесь мы сталкиваемся с совершенно другой ситуацией. Решением для x может быть ЛЮБОЕ действительное число! Нет никакого способа определить, что такое x. Следовательно, 0/0 считается неопределенным *, а не неопределенным.

Если мы попытаемся использовать вышеупомянутый метод с нулем в качестве основы, чтобы определить, какой будет степень от нуля до нуля, мы немедленно остановимся и не сможем продолжить, потому что мы знаем, что 0 ÷ 0 ≠ 1, но неопределенно.

Так чему же равен нулевая степень в нуле?

Это очень обсуждается. Некоторые считают, что его следует определить как 1, в то время как другие думают, что это 0, а некоторые считают, что это не определено. Для каждого есть хорошие математические аргументы, и, возможно, правильнее всего считать неопределенным .

Несмотря на это, математическое сообщество поддерживает , определяя ноль в нулевой степени как 1, по крайней мере, для большинства целей.

Возможно, полезное определение показателей для математика-любителя выглядит следующим образом:

Степень двойки Таблица — — — — —

.
Полномочия
из 2 Таблица

Бит
Строка
#
Power
of 2
Expo-
nent
Двоичный
Бит Вес
в десятичном формате
Наибольшее число
Счетчик

(адрес памяти)
Компьютер
Аппаратное обеспечение
Адресная организация
Десятичное шестигранник двоичный байт слов
1 2 0 1 1 0001 0000 0001 Первый
байт

(8 строк
могут сосчитать от
до 255)
Первое
слово

(16 бит)

(если мало
endian)

2 2 1 2 3 0003 0000 0011
3 2 2 4 7 0007 0000 0111
4 2 3 8 15 000F 0000 1111
5 2 4 16 31 год 001F 0001 1111
6 2 5 32 63 003F 0011 1111
7 2 6 64 127 007F 0111 1111
8 2 7 128 255 00FF 1111 1111

9

2 8 256

511

0000 01FF

Второй
байт

(16 строк
могут сосчитать от
до 65 535)

10

2 9 512

1 023

0000 03FF

11

2 10 1,024

2 047

0000 07FF

12

2 11 2 048

4 095

0000 0FFF

13

2 12 4096

8 191

0000 1FFF

14

2 13 8192

16 383

0000 3FFF

15

2 14 16 384

32 767

0000 7FFF

16

2 15 32 768

65 535

0000 FFFF

17 2 16 65 536 131 071

0001 FFFF

Третий
байт

(24 строки
могут сосчитать от
до 16. 7M)
Второе
слово

(32 бита)

(если мало
endian)

18 2 17 131 072 262 143

0003 FFFF

19 2 18 262 144 524 287

0007 FFFF

20 2 19 524 288 1 048 575

000F FFFF

21 год 2 20 1 048 576 2,097,151

001F FFFF

22 2 21 2,097,152 4 194 303

003F FFFF

23 2 22 4 194 304 8 388 607

007F FFFF

24 2 23 8 388 608 16 777 215

00FF FFFF

25

2 24 16 777 216

33 554 431

01FF FFFF

Четвертый байт

(32 строки
могут считать
до 4. 2B)
(4 гигабайта)

26

2 25 33 554 432

67 108 863

03FF FFFF

27

2 26 67 108 864

134 217 727

07FF FFFF

28

2 27 134 217 728

268 435 455

0FFF FFFF

29

2 28 268 435 456

536 870 911

1FFF FFFF

30

2 29 536 870 912

1 073 741 823

3FFF FFFF

31

2 30 1 073 741 824

2 147 483 647

7FFF FFFF

32

2 31 2 147 483 648

4 294 967 295

FFFF FFFF

Это 32-битная машинная адресация.
ограничение, если не используются двойные слова или дополнительные биты.
Несмотря на то, что это известная «стена Google», в отношении количества
веб-страницы, которые можно проиндексировать, в настоящее время Google сообщает о более 47
Проиндексировано миллиард страниц. Итак, никакой «стены».

50

60

130–680

120

90

90

70

70

.
Степень двойки таблицы
(продолж.)

Бит
Строка
#
Power
of 2
Expo-
nent
Двоичный
Бит Вес
в десятичном формате
Наибольшее число
Счетчик

(адрес памяти)
Компьютер
Аппаратное обеспечение
Адресная организация
Десятичное двоичный байт слов
33 2 32

4 294 967 296

8,589,934,591

Пятый
байт
(40 строк)

Третье
слово

(48 бит)
34 2 33

8,589,934,592

17 179 869 183

35 год 2 34

17 179 869 184

34 359 738 367

36 2 35

34 359 738 368

68 719 476 735

37 2 36

68 719 476 736

137 438 953 471

38 2 37

137 438 953 472

274 877 906 943

39 2 38

274 877 906 944

549,755,813,887

40 2 39

549,755,813,888

1 099 511 627 775

41

2 40

1 099 511 627 776

2,199,023,255,551

Шестой
байт
(48 строк)

42

2 41

2,199,023,255,552

4 398 046 511 103

43

2 42

4 398 046 511 104

8 796 093 022 207

44

2 43

8 796 093 022 208

17 592 186 044 415

45

2 44 18 триллионов

35 184 372 088 831

46

2 45 35 триллионов

70 368 744 177 663

47

2 46 70 триллионов

140 737 488 355 327

48

2 47 140 триллионов

281 474 976 710 655

49 2 48 281 триллион

562 949 953 421 311

Седьмой
Байт
(56 строк)
Четвертое
слово

(64 бита)
50 2 49 563 триллионов

1 125 899 906 842 623

51 2 50 Один квадриллион

2 251 799 813 685 247

52 2 51 2 квадриллиона

4 503 599 627 370 495

53 2 52 4 квадриллиона

9 007 199 254 740 991

54 2 53 9 квадриллионов

18 014 398 509 481 983

55 2 54 18 квадриллионов

36 028 797 018 963 967

56 2 55 36 квадриллионов

72 057 594 037 927 935

57

2 56 72 квадриллиона

144,115,188,075,855,871

Восьмой
байт
(64 строки)

58

2 57 144 квадриллион

288,230,376,151,711,743

59

2 58 288 квадриллионов

576,460,752,303,423,487

60

2 59 576 квадриллионов

1,152,921,504,606,846,975

61

2 60 Один квинтиллион

2 305 843 009 213 693 951

62

2 61 Два квинтиллиона

4 611 686 018 427 387 903

63

2 62

9 223 372 036 854 775 807

(63 строки можно считать до 9. 2
квинтиллион)

64

2 63

18,446,744,073,709,551,615

(64 строки можно считать до 18,4
quintillion)
Ограничение 64-битной машины

Зачем баловаться с этой дурацкой страницей?
Почему бы не зайти в РЕАЛЬНЫЙ ВЛАСТЬ —

Power
из двух — Википедия


Что до 95 степени —
2 95

Большое спасибо ответственному редактору
Роберту Рольфу
за указание на ошибки на этой странице,
, которые все были исправлены
(я думаю и надеюсь).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2021 © Все права защищены.