Интегралы с нуля простым языком: Нескучные интегралы / Хабр

Содержание

Нескучные интегралы / Хабр

Некоторые из вас, вероятно, видали на просторах сети эту задачку: какое число продолжает следующий ряд?

Предлагался такой очевидный правильный ответ:

Для тех, кому неочевидно, как он получен, предлагалось объяснение. Пусть (ну и 1 при x = 0, хотя неважно). Тогда каждый член ряда — это значение следующего интеграла в цепочке:

Пока всё идёт хорошо, но тут внезапно:

В принципе, этого достаточно, чтобы повеселить друзей-математиков, но мне захотелось узнать, как вообще считаются такие интегралы и почему получается такой смешной результат. Если кому-то ещё охота тряхнуть стариной и вспомнить матан с функаном, прошу читать дальше.

Начинает сказка сказываться

Для начала отдельно посмотрим на первый интеграл:

Некоторое время назад я подумал: «Эй, я ещё не совсем забыл матан! Дайте-ка я возьму этот интеграл как неопределённый, а потом подставлю пределы. Наверняка пару раз по частям, и дело в шляпе. Вот сейчас на бумажке всё решу без посторонней помощи». Хочу предостеречь вас: не повторяйте моей ошибки. Вас ждёт бессонная ночь, а потом вы заглянете в справочник и узнаете, что неопределённый интеграл не берётся в элементарных функциях. Для него даже специальную функцию ввели.

Однако с данными конкретными пределами взять интеграл можно разными способами. Мы пойдём путём, который требует минимум базовых знаний (самое суровое — то же интегрирование по частям). Для начала сделаем внезапную замену:


Вы спросите: откуда вообще это взялось и зачем нам ещё один интеграл, мало что ли? Спокойно, так надо (знакомые со свойствами преобразования Лапласа весело ухмыляются). Подставим замену в исходную формулу и поменяем порядок интегрирования:


Внутри получился почти классический интеграл по dx, которым всех пугали у нас в физматшколе. Его можно взять и как неопределённый, дважды использовав формулу интегрирования по частям. Тогда справа получится какая-то муть и ещё раз тот же самый интеграл, домноженный на что-то, и в результате можно будет решить уравнение относительно этого интеграла и получить ответ, а потом подставить пределы. Кому интересно, проделайте это сами, а я лениво запишу готовый результат:


Ну а теперь совсем всё просто: это табличный интеграл из средней школы, который равен арктангенсу. В бесконечности пи-пополам, в нуле — ноль, вот мы и получили ответ.

Интеграл, кстати, настолько хорош, что у него есть своё имя — интеграл Дирихле. По ссылке вы можете найти другие способы взять его.

Скоро сказка сказывается, а не скоро дело делается

Для следующего путешествия нам понадобятся четыре вещи: прямоугольная функция, косинусное преобразование Фурье, свёртка и теорема Парсеваля. Сперва скажу пару слов об этих замечательных штуках.

Прямоугольная функция — это у нас будет такая ступенька вокруг нуля:


Значение 1/2 в точках разрыва нужно в основном для соблюдения свойств преобразования Фурье, в целом для нашей задачи оно непринципиально.

Косинусное преобразование Фурье. Для простоты мы немного отступим от математической точности и сформулируем грубовато. Для достаточно хорошей чётной функции f(x) выполняются такие соотношения:


Функция и называется косинусным преобразованием Фурье (FCT) от f(x) (её ещё называют образом f). То есть, косинусное преобразование от косинусного преобразования даёт снова исходную функцию f(x)!

Людям, знакомым с обработкой сигналов, хорошо известно, что FCT от прямоугольной функции — это . Это легко доказать, пользуясь вышеприведёнными формулами и школьными знаниями. Так как прямоугольная функция за пределами промежутка [-a, a] равна нулю, то можно просто интегрировать cos(xt) dt по этому промежутку, тут простая замена переменной и табличный интеграл. Приведённое выше свойство говорит, что FCT от — это прямоугольная функция.

Свёртка — это ещё одна прекрасная штука, без которой не обходится обработка сигналов. Для двух функций f1(x) и f2(x) можно определить функцию-свёртку (обозначается звёздочкой) вот так:

У свёртки есть прекрасное свойство, за которое её любят: преобразование Фурье превращает её в умножение, а умножение — в свёртку. Если точнее, косинусное преобразование произведения двух хороших чётных функций есть свёртка их образов, делённая на корень из двух пи: .

Теорема Парсеваля — это очень крутое утверждение о равенстве энергии сигнала и его спектра, которое записывают по-разному в разных целях. Нам потребуется такая версия: для чётных и достаточно хороших функций .

Доселева Макар огороды копал, а нынече Макар в воеводы попал

Возьмём второй интеграл из нашей чудесной последовательности. Как многие уже догадались, мы воспользуемся теоремой Парсеваля и заменим множители на их FCT-образы:

Первая прямоугольная функция под интегралом равна единице для аргументов меньше единицы и нулю для аргументов больше единицы. Поэтому ничто нам не мешает убрать её из интеграла, откорректировав пределы интегрирования:

Под интегралом осталась ступенька высотой 3 и шириной 1/3. Такой интеграл возьмёт даже третьеклассник: надо всего лишь умножить 3 и 1/3. От интеграла остаётся единица, и мы имеем искомое пи-пополам! Таким образом мы почти честно взяли второй интеграл из ряда. Кто желает сделать это совсем честно, тому придётся разобраться, что же такое хорошесть функции, и доказать, что наши функции хорошие.

Чтобы дальше было проще, обозначим эту ступеньку под интегралом как F1(x) и нарисуем её график:

Пойдём веселиться дальше и посмотрим на интеграл с тремя множителями. Чтобы применить теорему Парсеваля, мы теперь все множители со второго будем считать одним множителем: . С образом первого множителя всё уже понятно, а образ второго множителя, выражается через свёртку:


На первый взгляд жутковато. Но можно кое-чего повыносить, кое-чего посокращать и подставить нашу F1(x). Тогда получим:


Внутренний интеграл — это просто прямоугольный фильтр, эдакий «блюр» для функции F1(x): мы просто для каждой точки усредняем все значения в окрестности плюс-минус одна пятая. Можно опять же избавиться от прямоугольной функции, подшаманив пределы интегрирования. И со внешним интегралом сделаем такую же процедуру. Вот что получится в итоге:


Слева график функции F2(x), которая на самом деле — сглаженная F1(x). Нетрудно доказать, что после сглаживания функции по нормированному ядру её интеграл не меняется. Ну, вообще-то речь об интеграле от -∞ до +∞, но для чётной функции это верно и для интеграла от нуля. В данном случае ядром была ступенька от -1/5 до +1/5, умноженная на 5/2. Площадь под ступенькой единица, значит, ядро нормировано. Тут тоже можно сравнить с блюром в фотошопе: после применения блюра картинка в целом не становится светлее или темнее. А раз так, то интеграл F2(x) в точности равен интегралу F1(x), то есть единице, поэтому и третий интеграл равен пи-пополам!

Дальше процедура во многом похожая. Четвёртый интеграл сгруппируем так: . Сначала теорему Парсеваля, для скобок свёртку, причём мы уже умеем выразить образ внутренней скобки через F2(x). Дальше всё то же самое, что в прошлый раз, и в результате получим:

Теперь мы уже имеем F3(x), которая на самом деле — сглаженная F2(x) с ядром шириной 2/7. Ядро нормировано, значит, интеграл F3(x) равен интегралу F2(x), то есть единице, и мы снова имеем пи-пополам!

Отлично, мы теперь щёлкаем эти интегралы как орехи. Но по идее, если так и дальше пойдёт, они все до бесконечности будут равны пи-пополам? Давайте смотреть дальше. Пятый интеграл:

Вроде всё то же самое. Ладно, шестой интеграл:

И здесь никаких проблем. Хорошо, берём седьмой:

Ничего нового! Ладно, а восьмой?

Стоп-стоп-стоп! Здесь нам не обойтись без команды CSI!

Функция протекла через единицу! Интеграл F7(x) всё ещё равен единице, но это если интегрировать от 0 до ∞. А мы-то интегрируем до единицы! До сих пор все функции были нулевыми при x больше единицы, но рано или поздно это должно было кончиться.

А как понять, когда наступает конец? Это очень просто. F1(x) была ненулевой при x<1/3. F2(x) сглаживала её по ±1/5, значит, была ненулевой при x<1/3+1/5. Аналогичным образом можно найти границу ненулевых значений для всех этих функций, и для F7(x) эта граница впервые превышает единицу:

Несложно даже посчитать, сколько конкретно утекло, и тем самым вычислить точное значение восьмого интеграла. Заметим, что слева от границы F1(x) — это константа 3. F2(x) — минус интеграл этой константы с коэффициентом 5/2, то есть прямая с коэффициентом 3×5/2. F3(x) в достаточной близости к границе 1/3+1/5+1/7 — это интеграл той прямой с коэффициентом 7/2, то есть что-то вроде . Продолжая аналогичные рассуждения, получим формулу для F7(x) в окрестности границы:


Собственно, обычная парабола шестой степени, сдвинутая и домноженная. Если проинтегрировать её от единицы и до границы 1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/13+1/15, то мы узнаем, сколько функции утекло за пределы единицы. Можно решить эту задачу целиком в обыкновенных дробях. Получится вот сколько:

Если эту цифру вычесть из единицы и домножить на пи-пополам, мы получим окончательное значение восьмого интеграла:

Такие интегралы называются борвейновскими интегралами в честь Давида и Джонатана Борвейнов, которые их описали. Если вы хотите строгие математические доказательства (без всяких «хороших функций») и другие свойства этих замечательных интегралов, почитайте статью авторов.

Заключение: троллинг восьмидесятого уровня

Открыв эти интегралы, Джонатан Борвейн ввёл их в программный пакет Maple и, убедившись, что Maple корректно берёт все восемь интегралов, сообщил разработчикам о «баге»: мол, восьмой интеграл тоже должен быть пи-пополам, а у вас получается чёрт-те-что. Три дня и три ночи убил Жак Каретт, один из разработчиков Maple, в поисках ошибки, пока не понял, что над ним жестоко пошутили. А ещё говорят, что математики — скучные люди!

высшая математика для чайников интегралы

Вы искали высшая математика для чайников интегралы? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и высшая математика интегралы, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «высшая математика для чайников интегралы».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как высшая математика для чайников интегралы,высшая математика интегралы,высшая математика интегралы для чайников,вычислить интеграл примеры решений,вычислить неопределенный интеграл примеры решений,задания интегралы,интеграл как брать,интеграл как находить,интеграл как решать,интеграл как решать примеры,интеграл матпрофи,интеграл пример,интеграл примеры,интеграл примеры решения,интегралы высшая математика,интегралы высшая математика для чайников,интегралы для чайников,интегралы для чайников как решать,интегралы для чайников примеры решения,интегралы задания,интегралы задачи,интегралы как находить,интегралы как решать,интегралы как решать примеры,интегралы неопределенные,интегралы неопределенные примеры решений,интегралы определенные примеры,интегралы примеры,интегралы примеры решения,интегралы примеры решения для чайников,интегралы примеры с решением,интегралы простые,интегралы с нуля,интегралы с нуля простым языком,интегрирование примеры,интегрирование сложной функции,интегрирование сложных функций,интегрирования примеры,как брать интеграл,как вычислить интеграл для чайников,как интегрировать,как найти неопределенный интеграл примеры,как находить интеграл,как находить интегралы,как решать интеграл примеры,как решать интегралы для чайников,как решать интегралы неопределенные,как решать интегралы определенные,как решать интегралы примеры,как решать интегралы примеры решения,как решать неопределенные интегралы,как решать неопределенные интегралы для чайников,как решать неопределенный интеграл,как решать определенные интегралы,как решать определенные интегралы примеры решения,как решать определенный интеграл,как решать первообразные,как решить интеграл определенный,как решить определенный интеграл,матпрофи интегралы,методы решения интегралов,неопределенные интегралы,неопределенные интегралы как решать,неопределенные интегралы примеры,неопределенные интегралы примеры с решением,неопределенные интегралы сложные,неопределенный интеграл для чайников,неопределенный интеграл как решать,неопределенный интеграл примеры,неопределенный интеграл примеры решений,неопределенный интеграл примеры решения,неопределенный интеграл примеры с решениями,неопределенный интеграл решения примеры,неопределенный интеграл формулы,определенные интегралы для чайников,определенные интегралы как решать,определенные интегралы примеры с решением,определенный интеграл для чайников,определенный интеграл как решать,определенных интегралов примеры с решением,первообразная примеры,первообразная примеры решения,первообразная примеры с решением,первообразные как решать,правила интегрирования неопределенного интеграла,пример интеграл,примеры интегралов,примеры интегралов неопределенных,примеры интегралов с решением,примеры интегралов с решением для студентов,примеры интегралы с решением,примеры интегрирования,примеры неопределенные интегралы,примеры неопределенных интегралов,примеры неопределенных интегралов с решением,примеры первообразных с решением,примеры решений интегралов,примеры решений неопределенный интеграл,примеры решений неопределенных интегралов,примеры решения интегралов,примеры решения интегралов неопределенных,примеры решения интегралов с ответами,примеры решения неопределенных интегралов,примеры с решением интегралов,примеры с решением неопределенных интегралов,примеры с решением определенных интегралов,примеры с решением первообразных,примеры с решениями определенный интеграл,простейшие интегралы,решение интегралов для чайников,решение интегралов определенных примеры,решение интегралов примеры,решение определенных интегралов примеры с решением,сложные неопределенные интегралы,способы решения интегралов,формулы неопределенный интеграл. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и высшая математика для чайников интегралы. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, высшая математика интегралы для чайников).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же высшая математика для чайников интегралы Онлайн?

Решить задачу высшая математика для чайников интегралы вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Что такое Интеграл простыми словами. Для чего нужен

Интегралы начинают изучать еще в школе. Но никто из учителей не говорит, зачем это нужно, как использовать эти знания в жизни. Мало кто вообще способен объяснить простыми словами, что такое интеграл, даже в университете. А мы попробуем.

Простыми словами…

Если коротко — интеграл, это сумма маленьких частей. Да, точно так же как и сложение 2+2, только части бесконечно маленькие, естественно и количество их — бесконечно.

Знак интеграла — это вытянутая буква s (длинная «эс» существовала до начала 19-ого века писалась так — ſ). Первая буква слова summa.

Интегрирование — это сложение бесконечного количества частей бесконечно маленького значения.

Почему обычного «плюсования» не достаточно? Просто в алгебре нет никаких бесконечно малых или больших.

Бесконечно малая величина, это не какое-то конкретное число. Это абстракция, в реальном мире аналогов просто нет. Мы придумали так для удобства.  Что-то настолько маленькое, что измерять его бессмысленно, но в расчетах использовать можно.

Слово «интеграл» происходит от латинского integer, что означает «целый». Даже в названии есть намек некое действие, что-то вроде восстановления чего-то целого.

Лучше всего показать «на пальцах», точнее на примере. Предположим, мы хотим узнать площадь фигуры как на картинке (она называется криволинейная трапеция, потому, что одна из сторон создана кривой линией). Зачем нам это нужно? Например, это часть крыла самолета и нужно знать его площадь.

Можно, конечно, разбить фигуру на две, прямоугольник и треугольник.

Но останется «пробел», площадь которого будет неизвестна. Чтобы увеличить точность, можно разделять на большее количество фигур, но все равно будет оставаться какая-то, пусть и небольшая, но «не закрашенная» область. Фигуры будут становиться все меньше и меньше… Очевидно, что процесс измельчения будет бесконечным, по крайней мере в воображении.

Но, в реальности, бесконечный процесс попросту не нужен. На самом деле вычислить такие вещи как площадь круга, длину диагонали квадрата или объем пирамиды невозможно, значение будет бесконечным, естественно, практического смысла бесконечные числа не имеют и мы их «округляем» до нужного предела точности — приблизительно.

Такой метод в Древней Греции назывался «исчерпание». Аналогия с водой тут очень уместна, если представить, что черпаешь из ведра при помощи кружки, то сначала кружки будут полные, но чем ближе ко дну, тем меньший объем будет попадать в кружку. Первой известной личностью «взявшей интеграл» был Архимед, он фактически решил задачу по нахождению площади круга и площади параболы ничего не зная ни про пределы, но даже про число «пи».

Чем больше будет фигур, тем больше будет и точность расчета и тем меньше будут сами фигурки. Если площадь маленьких фигурок будет бесконечно малой, то есть стремится к нулю (но не равняться ему), сумма всех этих площадей будет равна сумме большой фигуры с бесконечно большой точностью.

То же самое происходит при интегрировании:

Фигура на картинке разбивается на столбцы бесконечно маленькой ширины. Ширина у нас Х. Бесконечно малое число обозначается d. То есть dx — это бесконечно малый «икс».

Сложение бесконечного числа частей бесконечно маленького размера это и есть интегрирование.

Чтобы узнать площадь фигуры нужна еще высота, а это y. Высота везде не одинаковая, она постоянно меняется. И мы знаем как именно! Ведь кривая может быть (а может и не быть, но в нашем случае так и есть) функцией y=f(x), то есть значение у меняется по закону (буква f об этом говорит) зависимому от х. Поэтому «эф от икс». Значит высота это f(x). Функция, кстати, тоже бесконечная.

Высота конкретного прямоугольничка, это значение функции в этой конкретной точке (почему точке, потому, что ширина полоски у нас бесконечно маленькая, мы так договорились в самом начале).

Площадь, это высота умноженная на ширину. За высоту можем брать и y и f(x), они равны. За ширину у нас играет dx. Итак, момент истины:

f(x)*dx или f(x)dx

f(x)dx — площадь нашего маленького столбика. В если собрать из все вместе, будет сумма бесконечно маленьких столбиков.

∫ f(x)dx

Осталось только указать, что интересуемся мы конкретным значением. Наша кривая, это часть параболы f(x)=x2.

∫ x2dx

А площадь нужна не бесконечной фигуры, а той что начинается от 1 и закачивается на 5. Если написать эти цифры над и под значком интеграла, получится определенный интеграл.

Собственно и все, интеграл — это сумма бесконечно малых приращений (то есть значений) какой-то функции. Не сложно и не страшно, если не усложнять.

Что мы делаем? Разрезаем фигуру на «ленточки» изменяем площадь этих ленточек и собираем все обратно (суммируем).

Интересно, везде идет речь о сумме, а площадь считается умножением. Парадокс? Нет, умножение это ведь то же самое, что и сложение: 2+2+2+2=2*4. То же самое происходит и с площадью. Чтобы выяснить какова площадь прямоугольника со сторонами 5 и 4, перемножаем 5 на 4, или разделяем прямоугольник на 5 полосок шириной в «единицу» и складываем 4+4+4+4+4=5*4=20.

Никакого противоречия здесь нет. Вот только умножение работает в случае одинаковых величин, простых фигур или прямолинейного движения без ускорения. В остальных случаях — интегрирование.

Зачем нужен интеграл

Из примера выше уже понято, что одна из полезных задач интегрирования — это расчет площади криволинейных фигур. В любой сложной ситуации, если сложность эта заключается криволинейности или неравномерности мы используем интеграл.

Но лучший способ объяснить, что такое интеграл простыми словами — показать еще пару примеров. Как когда-то в детстве объяснили сложение на яблоках. Для чего интеграл может понадобиться?

Предположим, нужно построить храм кому-то из древнегреческих богов, такой чтобы место в нем хватило всем, крыша была прямоугольной, а колоны круглыми, ведь так красивее (а еще прочнее).

Давление колонны на фундамент легко посчитать, если она квадратного сечения, делим силу на площадь и вуаля. А если колонна круглого сечения? Какова площадь круга?

Можно конечно, не напрягаться, и заменить круг эквивалентным квадратом (квадратура круга), но каким? На всякий случай побольше, чтобы наверняка ничего не развалилось. Но это не наш метод, особенно, если ни бесконечного числа рабочих, ни бесконечного числа мрамора в действительности нет и взять негде, а казнить за неэффективное использование бюджета никто не запрещает.

Прием с эквивалентом площади на самом деле простой, использовался древними людьми. Очень-очень древние греки ничего не знали об интегрировании, а Архимед еще не родился, тем не менее, чтобы рассчитать площадь круга, в него выкладывались камешки. Когда круг заполнялся, камешки собирались и раскладывались в виде квадрата. Чем меньше камешки тем… Ничего не напоминает?

Еще примеры из жизни

Конечно, в физике интеграл «берут» постоянно. Вместо Х, может быть время, и тогда мы будем иметь дело с функцией времени, такой, например, как скорость. Ускорение — это скорость изменения скорости. Скорость, это скорость изменения координат. Пробежавшись от ускорения к скорости мы уже дважды использовали интеграл.

В обратную сторону: первая производная пути, это скорость, вторая производная — ускорение. Если ускорение равно нулю, значит скорость не менялась.

Интегрирование и дифференцирование, такие же «парочка» как и умножение и деление, суммирование и вычитание, только не с цифрами, а с функциями. Это взаимно-обратные операции. В случае производной, мы не «складываем», а «отнимаем».

Если проинтегрировав функцию изменения скорости (ускорение) получим константу (число, например, 60, а не формулу y=2x), значит, скорость не изменялась со временем, ускорения не было. Если, взяв приводную (дифференциал) функции скорости по времени, получим ноль — скорость не менялась, ускорение равно нулю.

То есть, имея в своем распоряжении какую-то функцию (зависимость чего-то от чего-то), мы можем ее дифференцировать или интегрировать. Точно также как если бы умножали и или, вычитали и складывали обычные числа.

Например, у нас есть функция изменения координат от времени. В реальном мире мы вышли на пробежку. Бежал наш виртуальный спортсмен 30 минут, первые 10 минут очень быстро, вторые 10 минут уже с одышкой, ну а последние 10 прошел пешком.

Очевидно, что координаты бегуна в начале и в конце разные (он же не стоял на месте). Если координаты менялись — скорость не равнялась нулю.

Скорость не была одинаковой, а менялась в зависимости от времени (больше времени, больше усталость, меньше скорость).

Итак, у нас есть функция изменения  координат. Первая производная даст нам новую функцию — изменения координат, вторая производная — функцию ускорения. И первая и вторая функции зависят от одной и той же переменной — времени.

Еще один пример, вычисление массы. Масса, это произведение плотности на объем. Если плотность и объем одинаковы (это стакан воды) никаких проблем нет. А если плотность меняется (тот же стакан, только с коктейлем в несколько слоев)? В таком случае нужно знать закон (зависимость с которой изменяться плотность жидкости в стакане).

Пусть это будет 2x2. Применяем магию интегрирования — (2x3)/3. Теперь осталось подставить вместо Х нужные значения глубины (от ноля на поверхности до значения на дне стакана) и получим массу неоднородной(!) жидкости, без взвешивания.

Если вам такие примеры не близки, то представьте себе, что взяли кредит под сложный процент. Тогда ваш долг будет расти не линейно. И вы будете интегрировать…

Если нужно узнать какую работу нужно затратить на перемещение предмета не по прямой, а если, нужно рассчитать лучшую цену, зная зависимость спроса от предложения, а если нужно посчитать за какое время рабочие выкопают яму, если это не роботы, а живые люди, которые устают со временем, а если…

Если посмотреть вокруг, не найдется в реальном мире ни идеальных фигур, ни ровных графиков, ни равномерного движения без ускорения, ни линейных зависимостей в поведении человека «разумного».

Все эти простые штуки из науки, просто частные случаи. А значит, в реальном мире интеграл более полезен, чем кажется. Конечно, кривые сложнее прямых и именно поэтому всю свою историю люди упрощали себе жизнь: делили поле прямыми, на квадраты и прямоугольники при помощи натянутой веревки. Считали среднюю скорость, а не мгновенную в каждой точке маршрута, полагали, что тело прошенное под углом к горизонту летит по параболе, а не баллистической кривой… Но, просто — не значит точно.

Говоря простым языком, интегрирование — это такой же инструмент, как и суммирование, в нем нет никаких особых тайн и сложностей. Кроме одной — представить себе бесконечность сложнее, чем натуральные числа, у которых есть наглядные представления в природе. Но справляемся же мы как-то с представлениями таких абстракций как «ноль» или «отрицательное число». С матанализом просто нужно чуть больше воображения.

Ну а если уж совсем просто, для гуманитариев, то производная винограда — это вино. Интеграл вина — это виноград.

Белоусова_Высшая математика ч2.indd

%PDF-1.3 %
1 0 obj >]/Pages 3 0 R/Type/Catalog/ViewerPreferences>>> endobj 2 0 obj >stream
2017-02-28T11:19:17+05:002017-02-28T15:13:36+05:002017-02-28T15:13:36+05:00Adobe InDesign CS6 (Windows)uuid:fd2c4e31-6d5b-4003-9682-5507fe4f8efcxmp.did:BF81B306D74DE411B24FB20E6B9967A1xmp.id:88BBD9257CFDE61199FFA68A2399871Dproof:pdf1xmp.iid:85BBD9257CFDE61199FFA68A2399871Dxmp.did:E44AAB1347E8E611AB2FDBEF7C44376Axmp.did:BF81B306D74DE411B24FB20E6B9967A1default

  • convertedfrom application/x-indesign to application/pdfAdobe InDesign CS6 (Windows)/2017-02-28T11:19:17+05:00
  • application/pdf

  • Белоусова_Высшая математика ч2.indd
  • Adobe PDF Library 10.0.1FalsePDF/X-1:2001PDF/X-1:2001PDF/X-1a:2001


    endstream endobj 3 0 obj > endobj 6 0 obj > endobj 7 0 obj > endobj 13 0 obj > endobj 14 0 obj > endobj 15 0 obj > endobj 16 0 obj > endobj 17 0 obj > endobj 18 0 obj > endobj 1049 0 obj > endobj 49 0 obj > endobj 50 0 obj > endobj 51 0 obj > endobj 52 0 obj > endobj 1050 0 obj > endobj 98 0 obj >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 99 0 obj >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 100 0 obj >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 101 0 obj >/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 102 0 obj >/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 1051 0 obj >/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 1052 0 obj >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]/Properties>/Shading>>>/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 1053 0 obj >stream
    HlW$Y_O/[email protected]_a%iV~y»oח݇o>>?nґJ;goO?Q;=ۙg-y.Ǜ¦ۗǧۧ[>9|Y||iҤ»?}s}Nޗ#UON=}϶6_o?&S=[)oe)@ƻFzeYvqg=lm%7WHeN-h3uK::>AP8&?JH#/>v:66|||o/?d1יVϴ’>`0n[q҃dHQ={,xϒ*_

    как вычислить интеграл с заменой переменной, его свойства и методы вычисления с подробным решением

    Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

    Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

    Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение

    Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

    Изучаем понятие «интеграл»

    Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

    Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

    Неопределенный интеграл

    Пусть у нас есть какая-то функция f(x). Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

    Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная.

    Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

    Простой пример:

    Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

    Полная таблица интегралов для студентов

    Определенный интеграл

    Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

    В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

    Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции.

    Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры.

    Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

    Правила вычисления интегралов для чайников

    Свойства неопределенного интеграла

    Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

    Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

    Константу можно выносить из-под знака интеграла:

    Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

    Свойства определенного интеграла

    Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

    • При любых точках a, b и с:

    Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

    Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

    Примеры решения интегралов

    Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в х.

    Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

    Источник: https://Zaochnik-com.ru/blog/integraly-dlya-chajnikov-kak-reshat-pravila-vychisleniya-obyasnenie/

    Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства

    Для начала, дадим определение понятиям, которые будут использоваться в данном разделе. В первую очередь это первообразная функции. Для этого введем константу C.

    Первообразная функции f(x) на промежутке (a; b) это такая функция F(x), при которое формула F'(x)=f(x) превращается в равенство для любого x из заданного промежутка.

    Следует учитывать тот факт, что производная от константы C будет равна нулю, что позволяет нам считать верным следующее равенство F(x)+C’=f(x).

    Получается, что функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы C. Эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

    Определение неопределенного интеграла

    Все множество первообразных функции f(x) можно назвать неопределенным интегралом этой функции. С учетом этого формула будет иметь вид ∫f(x)dx=F(x)+C. При этом, выражение f(x)dx является подынтегральным выражением, а f(x) – это подынтегральная функция. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

    Имея заданный дифференциал функции, мы можем найти неизвестную функцию.

    Результатом неопределенного интегрирования будет не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

    Зная свойства производной, мы можем сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

    ∫f(x)dx’=F(x)+C’=f(x)

    Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

    ∫d(F(x))=∫F'(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C

    Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

    ∫k·f(x)dx=k·∫f(x)dx, где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

    Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

    ∫f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

    Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла мы привели в качестве пояснения.

    Для того, чтобы доказать третье и четвертое свойства, необходимо найти производные от правых частей равенств:

    k·∫f(x)dx’=k·∫d(x)dx’=k·f(x)∫f(x)dx±∫g(x)dx’=∫f(x)dx’±∫g(x)dx’=f(x)±g(x)

    Производные правых частей равенств равны подынтегральным функциям, что является доказательством первого свойства. Его же мы используем в последних переходах.

    Как видите, задача интегрирования представляет собой обратный процесс по отношению к задаче дифференцирования. Обе эти задачи тесно связаны между собой.

    Первое свойство может быть использовано для проведения проверки интегрирования. Для проверки нам достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная функция будет равна подынтегральной функции, то интегрирование проведено верно.

    Благодаря второму свойству по известному дифференциалу функции мы можем найти ее первообразную и использовать ее для вычисления неопределенного интеграла.

    Рассмотрим пример.

    Пример 1

    Найдем первообразную функции f(x)=1x, значение которой равно единице при х=1.

    Решение

    Используя таблицу производных основных элементарных функций получаем:

    • d(ln x)=(ln x)’dx=dxx=f(x)dx∫f(x)dx=∫dxx=∫d(ln(x))

    Используя второе свойство ∫d(ln(x))=ln(x)+C, мы получаем множество первообразных ln(x)+C. При х=1 получим значение ln(1)+C=0+C=C. Согласно условию задачи, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1. Искомая первообразная примет вид  ln(x)+1.

    Ответ: f(x)=1x=ln(x)+1

    Пример 2

    Необходимо найти неопределенный интеграл ∫2sinx2cosx2dx и проверить результат вычисления дифференцированием.

    Решение

    Используем для проведения вычислений формулу синуса двойного угла из курса тригонометрии 2sinx2cosx2=sin x, получим ∫2sinx2cosx2dx=∫sin xdx.

    Используем таблицу производных для тригонометрических функций, получим:

    • d(cos x)=cos x’dx=-sin xdx⇒sin xdx=-d(cos x)
    • То есть, ∫sin xdx=∫(-d(cos x))
    • Используя третье свойство неопределенного интеграла, мы можем записать ∫-d(cos x)=-∫d(cos x).
    • По второму свойству получаем -∫d(cos x)=-(cos x+C)
    • Следовательно, ∫2sin x2cosx2dx=-cos x-C.
    • Проверим полученный результат дифференцированием.
    • Продифференцируем полученное выражение:
      -cos x-C’=-(cos x)’-(C)’=-(-sin x)=sin x=2sinx2cosx2

    В результате проверки мы получили подынтегральную функцию. Это значит, что интегрирование было проведено нами верно. Для осуществления последнего перехода мы использовали формулу синуса двойного угла.

    Ответ: ∫2sin x2cosx2dx=-cos x-C

    Если таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных.

    Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/integraly-integrirovanie/pervoobraznaja-i-neopredelennyj-integral-ih-svojst/

    ТФКП. Вычисление определённых интегралов с помощью контурного интегрирования

    Теоретический минимум

    Часто встречаются случаи, когда вычисление определённых интегралов методами комплексного анализа предпочтительнее, чем методами
    вещественного анализа. Причины могут быть самыми разными. Методы ТФКП могут позволять в отдельных случаях сильно сократить вычисления.
    Иногда формулу Ньютона-Лейбница нельзя использовать, так как неопределённый интеграл не выражается в элементарных функциях.
    Методы дифференцирования и интегрирования по параметру требуют очень аккуратного обоснования своей применимости, да и параметр иногда
    приходится вводить искусственно.

    Обычно методами комплексного анализа вычисляются несобственные интегралы — по бесконечному промежутку или от неограниченных на отрезке
    интегрирования функций. Общая идея заключается в следующем. Составляется контурный интеграл. Интеграл по некоторым участкам контура должен
    совпадать с искомым определённым интегралом — по крайней мере, с точностью до постоянного множителя. Интегралы по остальным участкам контура
    должны вычисляться. Затем применяется основная теорема о вычетах, согласно которой
    ,
    где — это особые точки функции , находящиеся внутри контура интегрирования . Таким образом, контурный интеграл с одной
    стороны оказывается выраженным через искомый определённый интеграл, а с другой стороны вычисляется с помощью вычетов (что обычно
    серьёзных сложностей не представляет).

    Основная сложность — выбор контура интегрирования. Его подсказывает, в принципе говоря, подынтегральная функция. Однако без достаточной
    практики овладеть данным методом сложно, а потому примеров будет приведено довольно много. Наиболее часто используются контуры, составленные из
    элементов, по которым удобно проводить интегрирование (прямые, дуги окружностей).

    Примеры вычисления определённых интегралов с помощью контурного
    интегрирования в комплексной плоскости

    Пример 1. Интегралы Френеля.
    Вычислим интегралы , .
    Несложно догадаться, что первым шагом является переход к экспоненциальной форме, предполагающий рассмотрение интеграла .
    Нужно только подобрать контур интегрирования. Понятно, что в контур должна войти полуось . Вещественная и
    мнимая части интеграла по этой части контура представляют собой интегралы Френеля. Далее, вычисляемый контурный интеграл по структуре
    подынтегрального выражения напоминает интеграл Эйлера-Пуассона, значение которого известно. Но чтобы получить этот интеграл, нужно положить
    , тогда . А такое представление переменной — это интегрирование по прямой, проходящей через точку
    под углом к вещественной оси.
    Итак, два элемента контура есть. Чтобы контур замкнулся, будем считать, что выбранные два участка контура имеют конечную длину , и замкнём
    контур дугой окружности радиуса . Позже мы устремим этот радиус к бесконечности. В результате получается изображённый на рис. 1 контур.

    (1)
    Внутри контура интегрирования подынтегральная функция особых точек не имеет, поэтому интеграл по всему контуру равен нулю.
    На участке можно записать , тогда
    .
    В пределе этот интеграл равен нулю.
    На участке можно записать , тогда
    .
    Подставляем полученные результаты в (1) и переходим к пределу :

    Отделяя вещественную и мнимую части, находим, учитывая значение интеграла Эйлера-Пуассона
    ,
    .

    Пример 2. Выбор контура интегрирования, содержащего внутри особую точку подынтегральной функции.
    Вычислим интеграл, похожий на рассмотренный в первом примере: , где .
    Вычислять будем интеграл . Контур выберем аналогичный тому, который использовался в первом примере. Только теперь нет цели
    свести вычисление к интегралу Эйлера-Пуассона. Здесь заметим, что при замене подынтегральная функция не изменится.
    Это соображение подсказывает выбрать наклонную прямую контура интегрирования так, чтобы она составляла с вещественной осью угол .

    При записи контурного интеграла
    (2)
    интеграл по дуге окружности в пределе стремится к нулю. На участке можно записать :
    .
    Таким образом, из (2) при переходе к пределу находим
    .
    Здесь учтено, что внутри контура интегрирования подынтегральная функция имеет простой полюс .

    Отсюда находим искомый интеграл:
    .

    Пример 3. Через верхнюю или нижнюю полуплоскость замкнуть контур интегрирования?
    На следующем достаточно простом интеграле продемонстрируем характерную деталь выбора контура интегрирования. Вычислим
    интеграл .
    Фактически искомый интеграл функции вычисляется вдоль вещественной оси, на которой подынтегральная функция не имеет
    особенностей. Остаётся только замкнуть контур интегрирования. Так как у функции под интегралом всего две конечные особые точки, то
    замкнуть контур можно полуокружностью, радиус которой следует устремить к бесконечности. И здесь возникает вопрос о том, как должна
    быть выбрана полуокружность: в верхней или нижней полуплоскости (см. рис. 3 а, б). Чтобы понять это, запишем интеграл по полуокружности
    в обоих случаях:

    а)
    б)
    Как видно, поведение интеграла в пределе определяется множителем .
    В случае «а» , а потому предел будет конечен при условии .
    В случае «б» — напротив — , а потому предел будет конечен при условии .
    Это наводит на мысль, что способ замыкания контура определяется знаком параметра . Если он положителен, то
    контур замыкается через верхнюю полуплоскость, в противном случае — через нижнюю. Рассмотрим эти случаи отдельно.
    а)
    Интеграл по полуокружности в пределе , как мы видели, обратится в нуль. Внутри контура (см. рис. 3а) находится
    особая точка , поэтому

    б)
    Аналогично находим с помощью интегрирования по контуру, изображённому на рис. 3б,

    Замечание. Может показаться странным, что интеграл от комплексной функции получился вещественным. Однако это легко понять, если в исходном
    интеграле выделить вещественную и мнимую часть. В мнимой части под интегралом окажется нечётная функция, а интеграл вычисляется в симметричных
    пределах. Т.е. мнимая часть обратится в нуль, что и получилось в нашем расчёте.

    Пример 4. Обход особых точек подынтегральной функции при построении контура интегрирования.
    В рассмотренных примерах подынтегральная функция либо не имела особых точек, либо они были внутри контура интегрирования. Однако
    бывает удобно выбрать контур так, что на него попадают особые точки функции. Такие точки приходится обходить. Обход осуществляется
    по окружности малого радиуса, который в дальнейшем просто устремляется к нулю. В качестве примера вычислим интеграл .
    Может показаться, что подынтегральная функция не имеет конечных особых точек, так как точка является устранимой особенностью.
    Но для вычисления интеграла приходится составлять контурный интеграл от другой функции (чтобы обеспечить обращение интеграла в нуль на
    замыкающей полуокружности в пределе бесконечного радиуса): . Здесь подынтегральная функция имеет полюсную особенность
    в точке .

    Таким образом, требуется другой контур интегрирования (см. рис. 4). Он отличается от рис. 3а только тем, что особая точка обходится по полуокружности,
    радиус которой предполагается в дальнейшем устремить к нулю.
    . (3)
    Сразу заметим, что интеграл по большой полуокружности в пределе её бесконечно большого радиуса стремится к нулю, а внутри контура
    особых точек нет, так что весь интеграл по контуру равен нулю. Далее рассмотрим первое и третье слагаемые в (3):

    .
    Теперь запишем интеграл по малой полуокружности, учитывая, что на ней . Также сразу будем учитывать малость радиуса полуокружности:

    Не выписаны слагаемые, стремящиеся к нулю в пределе .
    Собираем слагаемые в (3) — кроме относящегося к большой полуокружности слагаемого.

    Как видно, обращающиеся в бесконечность при слагаемые взаимно уничтожились. Устремляя и , имеем
    .
    Замечание. Совершенно аналогично вычисляется, например, интеграл Дирихле (напомним, он отличается от только что рассмотренного отсутствием
    квадратов в числителе и знаменателе).

    Примеры вычисления определённых интегралов с помощью контурного
    интегрирования в комплексной плоскости (продолжение)

    Пример 5. Подынтегральная функция имеет бесчисленное множество особых точек.
    Во многих случаях выбор контура осложнён тем, что у подынтегральной функции бесчисленное множество особых точек. В этом случае может
    оказаться так, что сумма вычетов в действительности будет рядом, сходимость которого ещё придётся доказывать, если суммировать его
    не получается (а суммирование рядов — вообще отдельная довольно сложная задача). В качестве примера вычислим интеграл .
    Понятно, что часть контура — вещественная ось. На ней у функции особенностей нет. Обсудим, как замкнуть контур. Выбирать полуокружность не следует.
    Дело в том, что гиперболический косинус имеет семейство простых нулей . Поэтому внутрь контура, замкнутого полуокружностью
    в пределе бесконечно большого радиуса, попадёт бесконечно много особых точек. Как ещё можно замкнуть контур? Заметим, что .
    Отсюда следует, что можно попробовать включить в контур интегрирования отрезок, параллельный вещественной оси. Контур замкнётся двумя
    вертикальными отрезками, в пределе находящимися бесконечно далеко от мнимой оси (см. рис. 5).

    На вертикальных участках контура . Гиперболический косинус с ростом аргумента (по модулю) растёт экспоненциально, поэтому
    в пределе интегралы по вертикальным участкам стремятся к нулю.

    Итак, в пределе
    .
    С другой стороны, внутри контура интегрирования находятся две особые точки подынтегральной функции. Вычеты в них
    ,
    .
    Следовательно,
    .

    Пример 6. Подынтегральная функция определённого и контурного интегралов различны.
    Существует очень важный случай вычисления определённых интегралов методом контурного интегрирования. До сих пор подынтегральная
    функция контурного интеграла либо просто совпадала с подынтегральной функцией определённого интеграла, либо переходила в неё отделением
    вещественной или мнимой части. Но не всегда всё оказывается так просто. Вычислим интеграл .
    В смысле выбора контура особой проблемы нет. Хотя у функции под интегралом бесконечно много простых полюсов , мы уже знаем
    по опыту предыдущего примера, что нужен прямоугольный контур, так как . Единственное отличие от примера 5 заключается в том,
    что на прямую попадает полюс подынтегральной функции , который нужно обойти. Поэтому выбираем изображённый
    на рис. 6 контур.

    Рассмотрим контурный интеграл . Мы не станем расписывать его на каждом участке контура, ограничившись горизонтальными
    участками. Интеграл по вещественной оси в пределе стремится к искомому. Запишем интегралы по остальным участкам:
    .
    В пределе и первые два интеграла дадут , потом они войдут в контурный интеграл в сумме
    с искомым, который отличается знаком. В результате из контурного интеграла искомый определённый интеграл выпадет. Это означает, что
    подынтегральная функция была выбрана неверно. Рассмотрим другой интеграл: . Контур оставляем прежним.

    Для начала снова рассмотрим интегралы по горизонтальным участкам. Интеграл вдоль вещественной оси перейдёт в .
    Этот интеграл равен нулю как интеграл нечётной функции в симметричных пределах.

    В пределе и первые две скобки обратятся в нуль, снова образовав интегралы от нечётных функций
    в симметричных пределах. А вот последняя скобка с точностью до множителя даст искомый интеграл. Имеет смысл продолжать вычисление.
    Аналогично примеру 5 к нулю стремятся интегралы по вертикальным участкам контура при . Остаётся найти интеграл
    по полуокружности, где . Как в примере 4, вычисляем интеграл, учитывая малость :
    .
    Итак, у нас есть всё, чтобы записать в пределе и контурный интеграл:

    А с другой стороны, внутри контура интегрирования оказался полюс подынтегральной функции , причём
    .
    Таким образом,
    .

    Пример 7. Интеграл от функции с логарифмической особенностью.
    Обратимся к многозначным функциям и начнём с логарифма под интегралом. Вычислим интеграл .
    У логарифма имеется точка ветвления, которую нужно обязательно обойти. В контур обязательно войдёт полуось . Как замкнуть контур?
    Заметим, что на половине вещественной оси знаменатель имеет тот же вид, что и на полуоси .
    Поэтому контур выберем так, как показано на рис. 7.

    Начнём с интегралов по прямолинейным участкам контура:

    Следует обратить внимание, что на участке от до переменная интегрирования записана как .
    Нужно понимать, что записать было бы ошибкой. При обходе контура по большой полуокружности аргумент именно увеличивается
    на величину .
    На участке контура подынтегральная функция ведёт себя как при . Следовательно,
    интеграл по большой полуокружности в пределе её бесконечного радиуса стремится к нулю.
    Аналогично на малой полуокружности подынтегральная функция ведёт себя как при . Итак, в пределе и

    С другой стороны, внутри контура интегрирования находится особая точка , причём
    .
    Итак,
    .
    Отделяем вещественную часть:
    .
    Замечание. Отделяя мнимую часть, мы получили бы значение ещё одного интеграла.

    Пример 8. Интеграл от функции с логарифмической особенностью: снова изменение подынтегральной функции.
    Ещё один пример, когда подынтегральные функции определённого и контурного интегралов различны. Вычислим интеграл .
    Контур можно использовать всё тот же, что и в примере 7: структура интеграла это допускает. Однако на этот раз логарифм умножается на нечётную
    функцию. В результате при вычислении интеграла вклады горизонтальных участков контура компенсируют друг друга.
    Искомый интеграл сокращается — так же, как это произошло в примере 6.
    Мы не будем убеждаться в сокращении искомого интеграла в рассмотренной схеме вычислений, а сразу предложим ведущий к ответу путь.
    Вычислять следует контурный интеграл по тому же контуру (см. рис. 8).

    Аналогично примеру 7 легко показать, что интегралы по полуокружностям в пределе и стремятся к нулю.
    Рассмотрим интегралы по горизонтальным участкам:

    Как видно, ненужный интеграл в контурный интеграл не войдёт. В пределе и
    .
    С другой стороны, внутри контура находится особая точка , причём
    .
    Следовательно,
    .
    Отделяя мнимую часть, находим:
    .

    Вычисление определенного интеграла

    Здравствуйте. Меня зовут Андрей Зварыч. Я онлайн-репетитор сайта Tutoronline по высшей математике. Очень часто ко мне обращаются студенты с просьбой помочь разобраться с вычислением определенных интегралов. Сегодня я покажу несколько примеров решения. Надеюсь, моя статья будет полезной.

    Итак, если F(x) – одна из первообразных непрерывной функции f(x) на [a,b], то справедлива формула Ньютона-Лейбница

    Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а функция x = φ(t) непрерывно дифференцирована на отрезке [t1,t2], причем a = φ(t1), b = φ(t2), то имеет место формула

    Если функции u(x), v(x) и их производные u'(x), v'(x) непрерывны на отрезке [a,b], то справедлива формула интегрирования по частям

    Пример 1. Вычислить интеграл

    Решение.

    На основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

    Пример 2. Вычислить интеграл

    Решение.

    На основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

    Пример 3. Вычислить интеграл

    Решение.

    На основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

    Пример 4 Вычислить интеграл

    Решение.

    На основании формулы произведения синусов, таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

     

    Пример 5. Вычислить интеграл

    Решение.

    Разложим подынтегральную функцию на сумму простых дробей,

     

    Решив систему

    Получим 

    Тогда на основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем

    Пример 6. Вычислить интеграл

    Решение.

    На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

    Сделаем замену ex + 4 = t2, тогда ex= t24, edx = 2dt,  

    Если x= ln5, то t = 3; если x= ln12, то t = 4. Тогда

    Пример 7. Вычислить интеграл

    Решение.

    На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

    Пример 8. Вычислить интеграл

    Решение.

    На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

    Сделаем подстановку t = cosx

    Если x = 0, то t = cos 0 = 1, если

    Следовательно

    Пример 9. Вычислить интеграл

    Решение.

    На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

    Найдем пределы по t:

    Находим

    Следовательно,

    Пример 10. Вычислить интеграл

    Решение.

    Хороший метод решения интегралов, это метод занесения под дифференциал, его плюс состоит в том, что не требуется менять пределы интегрирования

    Пример 11. Вычислить интеграл

    Решение. На основании таблицы основных интегралов и формулы (3) имеем (интегрируем по частям)

    Если у Вас остались вопросы или Вам нужна помощь в решении «ваших интегралов», записывайтесь на мои занятия. Буду рад Вам помочь!

    © blog.tutoronline.ru,
    при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

    б е (х) \, dx
    = \ точки,
    $$
    где каждый следующий шаг добавляет еще одну точку деления интеграла. Используя индукцию, вы можете доказать, что (1) работает с конечным числом членов, но нормальная индукция не позволяет вам перейти к «бесконечному шагу», поэтому вы не получите ничего похожего на предложенное вами уравнение.

    Теперь, если вы хотите углубиться в этот вопрос, вы можете узнать о трансфинитной индукции и задаться вопросом, почему вы не можете провести индукцию по порядковому номеру $ \ omega $, чтобы перейти к «бесконечному шагу».Фактически, вы можете попробовать, но это включает в себя совершенно иную операцию, чем просто «добавление еще одной точки», потому что $ \ omega $ является предельным порядковым номером, а не преемником, и не имеет непосредственного предшественника, который является «еще одним». . Следовательно, шаг индукции согласования также потребует некоторой операции ограничения, и один недостаток интегралов Римана состоит в том, что они не всегда очень хорошо взаимодействуют с пределами.

    Вот аналог (1) для выполнения счетного деления:

    Предложение: Пусть $ c_1, c_2, \ dots \ in [a, b] $ — возрастающая последовательность из счетно бесконечного числа точек, и предположим, что $ f (x) $ интегрируема на $ [a, b] $. .b f (x) \, dx. $$

    Обратите внимание, что я должен ввести супремум $ \ sum c_n $ в уравнение просто для того, чтобы иметь возможность записать формулу, потому что последовательность $ c_n $ не имеет максимального члена, но мне нужно начать последний интеграл » сразу после «конца остальных».

    Чтобы доказать это, вы можете использовать следующий прием, распространенный в реальном анализе: пусть
    $$ \ chi _ {[s, t]} (x) = \ begin {cases} 1 & x \ in [s, t] \\ 0 & x \ notin [s, t] \ end {cases} $$
    — «индикаторная функция» (или характеристическая функция, отсюда и буква) интервала $ [s, t] $.м, $$
    так что вопрос действительно в том, «как поменять предел на интеграл?». В интеграции Римана часто нет выхода; с интегралом Лебега, более сложной версией, есть теоремы, такие как Теорема о доминирующей сходимости (которая применяется здесь), которая допускает это.

    Однако ваше уравнение еще хуже: в нем несчетное количество частей. Даже теорема о доминирующей сходимости вам здесь не поможет, поскольку она применима только к счетному числу членов.И, как вы заметили, если бы уравнение работало, интегрирование не сработало бы, так что это действительно нечто иное, чем счетное разбиение. В общем, сделать скачок от конечных сумм к бесконечным суммам не так просто, как просто заменить индекс на знаке суммы.

    Когда интегральный ноль? «Математик без извинений

    Когда есть интегральный ноль?

    Мы получили несколько интересных результатов о том, когда интегралы оказываются равными нулю.

    Первое: если это п.в. неотрицательная интегрируемая функция, то тогда и только тогда, когда почти всюду. В одном направлении, если п.в. тогда мы можем выбрать все как последовательность простых функций, сходящихся по мере к; ясно, что предел их интегралов равен нулю. С другой стороны, если средняя последовательность Коши интегрируемых простых функций сходится по мере к, то так же происходит, поскольку п.в. неотрицательный. Если тогда у нас должно быть

    , то есть сходится в среднем к, что, как мы знаем, означает, что он также сходится в меру.Но мы выбрали эту последовательность так, чтобы она сходилась в меру, и так почти везде.

    В качестве быстрого следствия, if является интегрируемым и является множеством меры нуль, то, поскольку это действительно интеграл от, который является п.в. нуль.

    Что-то вроде обратного: if интегрируемо и положительно п.в. на измеримом множестве, а если, то. Определяем и

    для всех натуральных чисел; наше предположение говорит нам, что у него есть мера ноль, поэтому, если мы сможем показать, что это тоже так, то мы это увидим.Но у нас

    , где последнее неравенство выполнено, поскольку п.в. на . Это показывает это для всех. Но есть союз всех, и так

    , как мы и хотели показать.

    Теперь, если интегрируемо и для каждого измеримого, то почти везде. В самом деле, если, то наша гипотеза говорит это, а предыдущий результат показывает это. Применение тех же рассуждений к показывает, что то же самое верно и для набора точек, где отрицательно.

    Наконец, мы можем показать, что если интегрируемо, то множество -конечно.Чтобы убедиться в этом, позвольте быть средней последовательностью Коши интегрируемых простых функций, сходящейся по мере к. Для каждого является измеримым множеством конечной меры. Теперь установите

    Если есть измеримое подмножество, то мы можем увидеть, что

    , так как находится за пределами каждого. Теперь наш предыдущий результат показывает нам, что п.в. на, но так как у нас есть везде! Единственная возможность состоит в том, что он сам имеет нулевую меру. Таким образом,

    записывается как (счетное) объединение набора множеств конечной меры, как требуется.

    Нравится:

    Нравится Загрузка …

    Связанные

    7 июня 2010 г. —

    Отправленный Джоном Армстронгом |
    Анализ, теория меры

    Simple English Wikipedia, бесплатная энциклопедия

    Интеграция посвящена поиску поверхности s , учитывая a , b и y = f (x) . {\,}} в виде высокой буквы «S». [1] [2] [3] Этот символ был впервые использован Готфридом Вильгельмом Лейбницем, который использовал его как стилизованное «» (для summa , латинское слово «сумма») для обозначения суммы площадь, охватываемая уравнением, например y = f (x) .

    Интегралы и производные являются частью раздела математики, называемого исчислением. Связь между этими двумя понятиями очень важна и называется фундаментальной теоремой исчисления. [4] Теорема гласит, что интеграл может быть обращен производной, аналогично тому, как сложение может быть обращено вычитанием.

    Интеграция помогает при попытке превратить несколько единиц в проблему. Например, если проблема со скоростью (distancetime) {\ displaystyle \ left ({\ tfrac {\ text {distance}} {\ text {time}}} \ right)}, требуется ответ только с расстоянием, одно решение интегрировать по времени. Это означает умножение на время, чтобы отменить время в (distancetime) × время {\ displaystyle \ left ({\ tfrac {\ text {distance}} {\ text {time}}} \ right) \ times {\ text {time} }}. Это делается путем сложения вместе небольших кусочков графика скорости.Срезы близки к нулю по ширине, но бесконечное сложение их вместе приводит к получению целого. Это называется суммой Римана.

    При сложении этих срезов получается уравнение, производной от которого является первое уравнение. Интегралы похожи на способ сложить вручную множество мелких вещей. Это похоже на суммирование, которое складывает 1 + 2 + 3 + 4 …. + n {\ displaystyle 1 + 2 + 3 + 4 …. + n}. Разница с интеграцией в том, что мы также должны складывать все десятичные дроби и дроби между ними. [4]

    Еще один случай полезной интеграции — это определение объема твердого тела.Он может складывать двухмерные (без ширины) срезы твердого тела вместе на неопределенное время — до тех пор, пока не будет получена ширина. Это означает, что объект теперь имеет три измерения: два исходных и ширину. Это дает объем описываемого трехмерного объекта.

    Первоначальное [изменение | изменить источник]

    Согласно основной теореме исчисления, интеграл является первообразной. {2}}.{n + 1}} {n + 1}} + C}

    dx {\ displaystyle dx} в конце — это то, что показывает, что мы интегрируем относительно x , то есть при изменении x . Можно увидеть, что это обратное дифференциации. Однако при интегрировании добавляется константа C. Это называется постоянной интегрирования. [1] Это требуется, потому что дифференцирование целого числа приводит к нулю, поэтому интегрирование нуля (которое может быть помещено в конец любого подынтегрального выражения) дает целое число C.{\,} {\ frac {f ‘(x)} {f (x)}} dx = \ ln {| f (x) |} + C}

    Две вертикальные полосы указывают абсолютное значение; знак (положительный или отрицательный) f (x) {\ displaystyle f (x)} игнорируется. Это потому, что натуральный логарифм отрицательных чисел не имеет значения.

    Сумма функций [изменить | изменить источник]

    Интеграл от суммы функций — это сумма интеграла каждой функции. это,

    ∫ab [е (x) + g (x)] dx = ∫abf (x) dx + ∫abg (x) dx {\ displaystyle \ int \ limits _ {a} ^ {b} [f (x) + g (x)] \, dx = \ int \ limits _ {a} ^ {b} f (x) \, dx + \ int \ limits _ {a} ^ {b} g (x) \, dx}.{a} f (x) \, dx}
    Опять же, следуя FTC: F (b) −F (a) = — [F (a) −F (b)] {\ displaystyle F (b) -F (a) = — [F (a) -F (б)]}.

    Сохранено симметрией

    Когда я решаю задачу, апеллируя к симметрии, у студентов отвисает челюсть. Они смотрят на меня так, будто я вытащила кролика из шляпы.

    Раньше я считал эти уловки общеизвестными, но теперь я думаю, что они широко известны в одних кругах (например, в физике) и не так распространены в других. Эти уловки просты, но не так много людей, как я думал, обучены находить возможности их применения.

    Вот пример.

    Популярная викторина 1 : Оцените следующий устрашающий интеграл.

    Решение : ноль в силу симметрии, поскольку подынтегральное выражение нечетное.

    Подынтегральное выражение является нечетной функцией (т.е. f (- x ) = — f ( x )), а подынтегральное выражение нечетной функции на симметричном интервале равно нулю. Это связано с тем, что область ниже оси x симметрична области выше оси x , как показано на следующем графике.

    Приведенный выше пример не является искусственным: подобные вычисления постоянно возникают в приложениях. Например, ряд Фурье нечетной функции содержит только синусоидальные члены, а не косинусные члены. Почему? Все интегралы для вычисления коэффициентов Фурье косинусных членов включают нечетные функции, интегрированные по интервалу, симметричному относительно нуля.

    Еще одно распространенное применение симметрии — вычисление производных. Производная нечетной функции является четной функцией, и , наоборот, .

    Популярная викторина 2 : Какой коэффициент при x 5 в ряду Тейлора для cos (1 + x 2 )?

    Решение : ноль по симметрии, поскольку cos (1 + x 2 ) является четной функцией.

    Нечетные функции x имеют только нечетные степени x в их рядах Тейлора, а четные функции имеют только четные степени x в их рядах Тейлора. Почему? Поскольку коэффициенты происходят от производных, оцениваемых как ноль.

    Если f ( x ) — нечетная функция, все ее четные производные являются нечетными функциями. Эти производные равны нулю при x = 0, поэтому все коэффициенты при четных степенях x равны нулю. Аналогичный аргумент показывает, что четные функции имеют только четные степени x в их рядах Тейлора.

    Уловки симметрии очевидны в ретроспективе. Самое сложное — научиться распознавать, когда они применяются. Симметрии труднее распознать, но они более ценны в сложных ситуациях.Ключ в том, чтобы подумать о проблеме, которую вы пытаетесь решить, прежде чем погрузиться в расчет с головы до ног.

    Похожие сообщения

    Определенные интегралы | Блог по математике ∞

    Нет никаких сомнений в том, что некоторые термины в области математики могут быть немного пугающими. Однако, как только вы перестанете использовать имена, то, как работает фактическая математика, будет довольно просто.

    Понимание интеграции

    Интеграция — это метод добавления фрагментов для поиска целого.Его можно использовать для определения центральных точек, объемов и областей нескольких полезных вещей. Однако проще всего начать с области под кривой функции.

    Пока можно вычислить функцию в нескольких точках и сложить срезы шириной Δx; однако ответ, к которому вы придете, не будет очень точным. Лучший способ — уменьшить Δx и сложить более мелкие срезы, что даст более точный ответ. По мере того, как срезы становятся ближе к нулю по ширине, вы приближаетесь к истинному ответу.

    В этот момент вы можете подумать: «Ого, это много добавлений».

    Не волнуйтесь! Их не нужно складывать, потому что есть ярлык, который вы можете использовать. Нахождение интеграла обратное нахождению производной.

    Например, что такое интеграл от 2x? Вы уже знаете, что производная x 2 равна 2x, поэтому интеграл от 2x равен x 2 .

    Символ, используемый для интеграла, — это «причудливая S», обозначающая сумму для сложения ваших срезов.После символа интеграла вставьте функцию, для которой вы хотите найти интеграл, а затем закончите с dx, что означает, что срезы перемещаются в направлении x. Вот как написать ответ:

    ᶴ 2x dx = x 2 + C

    Что такое C? Это «постоянная интегрирования», которая присутствует в уравнении, поскольку все функции имеют производную 2x.

    Производная уравнения x 2 + 4 равна 2x, а производная x 2 +99 равна 2x, и это продолжается и продолжается, потому что производная любой константы равна нулю.В результате, когда для определения интеграла выполняется обратная операция, вы знаете, что только в 2 раза константа могла иметь любое значение. В результате идея завершается простым написанием + C в. Более простой способ понять — просто согласиться!

    С помощью этого уравнения вы теперь готовы найти определенные интегралы триггерных функций. Все, что вам нужно сделать, это ввести соответствующие значения.

    Производные триггерных функций

    В тригонометрии функции — полезная часть повседневной жизни.Однако вы можете задаться вопросом, как найти производные триггерной функции. Для этого необходимо использовать лимиты. Понимание ограничений может занять время, но если вы действительно хотите определить производные триггерной функции, вам нужно углубиться в этот навык.

    Если у вас кружится голова, не волнуйтесь, вы не одиноки. Хорошая новость в том, что чем больше вы практикуетесь, тем лучше вы будете работать с этими числами и уравнениями. Плохая новость — это математика. Еще хорошие новости — калькуляторы!

    Основные правила интеграции

    Обзор

    Как и в случае с дифференцированием, есть несколько основных правил, которые мы можем применять при интеграции функций.Если вы знакомы с материалом на первых нескольких страницах этого раздела, вы уже должны быть уверены в том, что интеграция и дифференциация противоположны друг другу. Это означает, что когда мы интегрируем функцию, мы всегда можем дифференцировать результат, чтобы получить исходную функцию. К сожалению, обратное неверно. Как только мы дифференцируем функцию, любой постоянный член в этой функции просто обращается в нуль, потому что производная любого постоянного члена равна нулю.Это то, что нам нужно иметь в виду, когда мы думаем о том, как мы будем интегрировать функцию, потому что это означает, что наш ответ всегда будет содержать константу с неизвестным значением. Мы называем эту константу константой интегрирования , C
    .

    Мы уже говорили о правиле мощности для интеграции в другом месте в этом разделе. Это правило, по сути, является обратным правилу степеней, используемому при дифференцировании, и дает нам неопределенный интеграл переменной, возведенной в некоторую степень.Чтобы освежить вашу память, формула правила мощности интегрирования выглядит следующим образом:

    ax n d x = a x n +1 + 10 N 04 0

    Эта формула дает нам неопределенный интеграл от переменной x , возведенный в степень n , умноженный на постоянный коэффициент a (обратите внимание, что n не может быть равно минус один , потому что это приведет к нулю. в знаменателе в правой части формулы).Одного этого правила достаточно, чтобы мы могли интегрировать полиномиальные функции одной переменной. Мы просто интегрируем каждый член отдельно — знак плюс или минус перед каждым термином не меняется. Неопределенные интегралы некоторых общих выражений показаны ниже. Обратите внимание, что в этих примерах a представляет константу, x представляет переменную, а e представляет число Эйлера (приблизительно 2,7183). Также обратите внимание, что первые три примера в таблице получены из применения правила мощности.

    Неопределенные интегралы от некоторых общих функций

    Постоянное значение a :

    Переменная x :

    x d x = x 2 + C
    2

    Квадрат переменной

    14 x 2

    x 2 d x = x 3 + C
    3

    9000 a переменная :

    1 d x = ln ( x ) + C
    x

    Экспоненциальная функция e x

    e x d x = e x + C

    Другие экспоненциальные функции 9000 a x: x:

    a x d x = a x + C
    ln (9000) естественный 9044 9000 м переменной ln ( x ):

    ln ( x ) d x = x ln ( x ) — x + C

    Синус переменной sin ( x ): x

    sin ( x ) d x = -cos ( x ) + C

    Косинус переменной cos ( x ):

    cos ( x ) d x = sin ( x ) + C

    Основные правила интегрирования, которые мы опишем ниже, включают правила степени , постоянного коэффициента (или постоянного множителя ), суммы и разности правил.Мы предоставим несколько простых примеров, чтобы продемонстрировать, как работают эти правила.

    Правило власти

    Как мы видели, силовое правило для интеграции является обратным силовому правилу, используемому для дифференциации. Это дает нам неопределенный интеграл переменной в степени. Вот еще раз правило власти:

    ax n d x = a x n +1 + 10 N 04 0

    Давайте посмотрим на пару примеров того, как используется это правило.Предположим, мы хотим найти неопределенный интеграл x 3 . Применяя правило мощности, получаем:

    37

    x 3 d x = x 4 + C
    4

    Иногда не так очевидно, что мы можем использовать правило мощности для нахождения неопределенного интеграла функции.Предположим, например, что мы хотим найти неопределенный интеграл выражения 3 x . Как мы можем использовать правило мощности для интегрирования функции кубического корня? На самом деле это довольно просто. Все, что нам нужно сделать, это переписать выражение так, чтобы мы получили степень x . Существует стандартная формула, которая позволяет нам выразить корень n -го числа a в форме индекса (то есть как a в степени):

    n a = a 1 / n

    Применяя эту формулу к 3 x , получаем:

    3 x = x 1 / 3

    Теперь мы можем применить правило мощности, чтобы получить:

    4

    x 1 / 3 d x = 3 x 4 / 3

    +

    Правило постоянного коэффициента

    Правило постоянного коэффициента (иногда называемое правилом постоянного множителя ) по существу говорит нам, что неопределенный интеграл от c · ƒ ( x ), где ƒ ( x ) — некоторая функция, а c представляет собой постоянный коэффициент, равный неопределенному интегралу ƒ ( x ), умноженному на c .Формально это можно выразить следующим образом:

    c ƒ ( x ) d x = c ƒ ( x ) d x

    Правило постоянного коэффициента по существу позволяет нам игнорировать постоянный коэффициент в выражении, пока мы интегрируем остальную часть выражения. Например, предположим, что мы хотим найти неопределенный интеграл выражения 5 x 2 .Правило постоянных коэффициентов говорит нам, что неопределенный интеграл этого выражения равен неопределенному интегралу x 2 , умноженному на пять . Другими словами:

    5 x 2 d x = 5 x 2 d x

    Теперь мы просто применяем правило мощности к x 2 :

    Правило сумм

    Правило сумм говорит нам, как мы должны интегрировать функции, которые являются суммой нескольких членов.По сути, это говорит нам, что мы должны интегрировать каждый член в сумме отдельно , а затем просто сложить результаты вместе. Порядок, в котором термины появляются в результате, не имеет значения. Формально это можно сформулировать следующим образом:

    5 x 2 d x = 5 x 3 + C
    3
    3
    (ƒ ( x ) + g ( x )) d x = ƒ ( x ) d x + г ( x ) d x

    Здесь вы можете спросить, почему правило написано именно так.Здесь очень важно понимать, что в функции, которая представляет собой сумму двух (или более) членов, каждый член можно рассматривать как самостоятельную функцию — даже постоянный член. Предположим, мы хотим найти неопределенный интеграл полиномиальной функции ƒ ( x ) = 6 x 2 + 8 x + 10. Применяя правило сумм, получаем:

    (6 x 2 + 8 x + 10) d x = 6 x 2 d x 9025 825 904 904 x d x + 10 d x
    (6 x 2 + 8 x + 9 103) d4 x 3 + 4 x 2 + 10 x + C

    Правило различия

    Правило разницы говорит нам, как мы должны интегрировать функции, которые включают разность двух или более членов.По сути, это то же самое, что и правило сумм, в том, что оно говорит нам, что мы должны интегрировать каждый член в сумме отдельно . Единственное отличие состоит в том, что порядок, в котором появляются термины, имеет решающее значение, и его нельзя изменять. Формально это правило можно сформулировать следующим образом:

    3

    (ƒ ( x ) — г ( x )) d x = ƒ ( x ) d x г ( x ) d x

    Давайте посмотрим на пример.Предположим, мы хотим найти неопределенный интеграл полиномиальной функции ƒ ( x ) = 4 x 3 — 18 x — 7. Применяя правило сумм, получаем:

    (4 x 3 — 18 x — 7) d x = 4 x 3 d x

    904 904 904 x d x
    7 d x
    (6 x 2 + 8 x + 10) d 4 4 — 9 x 2 — 7 x + C

    Правила суммы и разницы — это, по сути, одно и то же правило.Если мы хотим интегрировать функцию, которая содержит как сумму, так и разность ряда членов, следует помнить о том, что мы должны интегрировать каждый член отдельно и соблюдать порядок, в котором они появляются. Знак плюс или минус перед каждым термином не меняется. В качестве альтернативы вы можете думать о функции как о сумме ряда положительных и отрицательных членов и просто применять правило сумм. Тогда порядок не имеет значения — вам просто нужно помнить о знаке каждого термина.

    Исчисление: дифференциалы и интегралы


    Дифференциация: Насколько быстро что-то меняется?

      Скорость — это скорость изменения смещения. Рассмотрим очень простой случай. Странный человек в этой анимации движется по прямой с постоянной скоростью один метр в секунду. Это означает, что за каждую секунду его перемещения его смещение от исходного положения увеличивается на 1 м.

      (Помимо физиков: скорость — это вектор, то есть у него есть направление, а также величина. Итак, здесь мы можем сказать, что его скорость составляет 1 м / с, но его скорость 1 м / с вправо. В этих примерах , мы будем рассматривать только движение по прямой, поэтому мы можем указать направление просто так: положительная скорость означает движение вправо, отрицательная скорость означает движение влево. Между прочим, величина скорости называется скоростью, которая мы могли бы написать как | v |.Скорость — это скаляр, скорость — вектор. Просмотреть векторы для исправления.)

      Когда часы показывают ноль, он находится в точке x = 3 м. Назовем это его начальным смещением и запишем x 0 = 3 м.

      Когда часы показывают t = 2 с, он находится на x = 5 м. Так что же такое v? Водоизмещение увеличилось на 2 м, время увеличилось на 2 с, поэтому v равно

      Это особый случай, потому что в этом примере он движется с постоянной скоростью.Давайте посмотрим, что особенного: что, если бы он полсекунды двигался со скоростью 2 м / с, остановился на одну секунду, а затем проехал со скоростью 2 м / с еще полсекунды? Он все равно преодолел бы два метра за две секунды, поэтому его средняя скорость была бы 1 м / с, даже если бы он никогда не двигался с такой скоростью. Мы обозначаем среднее значение чего-либо, помещая над ним полосу. Его средняя скорость написана, произносится как «v bar».

      Эта дробь выше выглядит длинной и неуклюжей, если ее записать словами.Мы будем писать x для смещения и t для времени. «изменение в» происходит в физике так часто, что мы заменяем его греческой буквой дельта, чьи прописные и строчные буквы — это Δ и δ. (Одним словом, δ звучит похоже на «d» в английском языке, поэтому вы можете думать об этом как о значении «разница».) С этой заменой и не забывая использовать среднюю скорость, мы пишем:

      Не волнуйтесь, но то, что мы только что сделали, называется «дифференциацией» или «взятием производной».Да, вот и все: мы вычитали, чтобы получить разницу, и разделили ее на другую разницу. Этот процесс называется числовым дифференцированием, и большая часть дифференцирования является числовым.

      Обратите внимание на геометрическое значение получения производной: если посмотреть на треугольник, нарисованный на этом графике, высота равна 2 м, а основание — 2 с, поэтому производная — это наклон графика . Часто говорят, что это рост (здесь Δx) по сравнению с пробегом (здесь Δt). Также обратите внимание, что в этом случае не имеет значения, насколько большой или где мы рисуем треугольник.Если бы мы сделали пробег 0,3 с, то подъем был бы 0,3 м и т. Д. Это, однако, только для этого особого случая, когда v является постоянным, а значит, v и одинаковыми. Производная x в этом случае постоянна, как показано на графике v (t) выше.

    Различные производные

      Что, если v не постоянна? Вот простой случай, когда тот же парень ускоряется вперед, поэтому его скорость увеличивается. Давайте рассчитаем его скорость в любой конкретный момент времени t, просто используя график x (t).Мы хотим найти наклон этой кривой при различных значениях t, как показано на анимации. Как мы можем сделать это? Что ж, в большинстве случаев, и особенно в случае экспериментального измерения, мы делаем то же самое, что и в простом случае: мы рисуем треугольник и помещаем изменение смещения Δx по сравнению с изменением во времени Δt. Опять же, это числовое дифференцирование.

      Если нам нужен наклон при t = 0 с, мы можем взять t = 0 с и t + Δt = 2 с.Таким образом, Δt равно двум секундам, используя введенные выше обозначения. Но проблема в том, что это дает нам треугольник, наклон которого (черная линия) несколько больше, чем наклон при t = 0 s (красная линия). Фактически, наклон черной линии дает нам среднюю скорость от 0 до 2 секунд, но это не то, что нам нужно. Мы можем добиться большего, по крайней мере, в этом случае, нарисовав наш треугольник по обе стороны от t = 0 s. Попробуйте, но вы обнаружите, что это тоже дает завышенную оценку.

      Мы можем добиться большего, взяв меньшее значение Δt.Сначала мы ожидаем улучшения оценки по мере того, как мы будем брать все меньше и меньше Δt. Здесь возникает практическая проблема: если мы измеряем значения, неизбежно существует предел точности каждого измерения, и по мере уменьшения Δt и Δx эта ошибка становится пропорционально более важной. Если мы вычисляем x и t численно, мы сталкиваемся с той же проблемой. Таким образом, на практике мы идем на компромисс в отношении размера Δt: достаточно малого, чтобы дать локальную форму кривой, но достаточно большого, чтобы ошибки измерения или расчета были небольшими.Есть и другие приемы, которые мы увидим ниже.

    Аналитические производные

      Но что, если мы «знаем» формулу функции x (t)? Я заключил «знать» в кавычки, потому что в физике все, что мы знаем, — это измерения. Их только конечное количество, так что у нас есть просто набор точек на графике. Что мы можем сделать, так это найти математическую модель, формулу, которая приближается к точкам на графике.Например, если ускорение постоянное, мы можем использовать x = x 0 + v 0 t + ½at 2 , как мы это делаем в главе о постоянном ускорении. Теперь мы можем выбрать любой t, который нам нравится, и вычислить x с любой необходимой точностью, хотя, конечно, окончательная точность будет зависеть от того, насколько хорошо мы знаем x 0 , v 0 и a, поэтому мы все еще ограничены измерениями. .

    Степенные члены и многочлены
      Давайте посмотрим на эти термины по очереди.Если x = x 0 , то все просто: нет изменений x, поэтому производная будет равна нулю. А как насчет x = v 0 t, другими словами, постоянной скорости? Это похоже на первый пример, который мы сделали: производная постоянна и равна v 0 . Итак, производная константы равна нулю, а производная члена, пропорционального t, является просто константой пропорциональности или, говоря стандартными терминами, коэффициентом t.

      Но как насчет такого термина, как x = Ct 2 ? (В нашем примере C = a / 2, но оставим это в общих чертах.) Давайте сделаем «пробег» для нашего расчета наклона от t до (t + Δt). Тогда «подъем» на треугольнике будет от Ct 2 до C (t + Δt) 2 . Итак, наклон

      Теперь давайте сделаем Δt и Δx очень маленькими, и мы обозначим это, записав их как dt и dx.

      Как мы уже говорили, dt очень мало, и его можно сделать меньше всего, что мы можем измерить. Таким образом, мы можем пренебречь этим с правой стороны. Мы не пренебрегаем этим в левой части, потому что там у нас есть соотношение двух мелких вещей, и это соотношение не обязательно должно быть маленьким.Итак, здесь у нас есть один полезный случай для получения производных: производная Ct 2 равна всего 2Ct.

        На этом этапе, если вы делали это в математической школе, вы могли бы начать беспокоиться о бесконечно малых и принимать предел, когда Δt стремится к нулю. У меня могут возникнуть проблемы из-за того, что я укажу на это, но во Вселенной нет бесконечно малых величин, и количества не стремятся к нулю в физике. Бесконечно малые, как и многие другие вещи в математике, являются изобретением человека. Таким образом, для большинства целей в физике принятый предел — это просто размер, необходимый для обеспечения математической точности выше, чем у наших измерений, или больше, чем у наших численных расчетов.(Вам действительно стоит пройти этот курс математики, но я не думаю, что вам понадобятся бесконечно малые числа в физике.)

      Подведем итоги того, что у нас есть на данный момент:

      Давайте изобразим их, установив константы равными единице. Мы также опустим единицы измерения на осях, потому что, хотя вам может быть полезно думать о вертикальной оси как о смещении, а t как о времени, чтобы привести конкретный пример, результаты являются общими. По этой причине с этого момента мы будем использовать y в качестве вертикальной оси.

      На всех графиках на этой странице красная кривая является производной фиолетовой. Это хорошее упражнение для сравнения этих двух и проверки того, что во всех случаях и по всей кривой красная линия представляет наклон фиолетовой. Здесь, например, наклон y = 1 равен нулю. Наклон прямой y = t, очевидно, постоянный. На третьей кривой вы можете видеть, что наклон сначала отрицательный, нулевой при t = 0, а затем становится все более положительным.

      Возможно, вы видите здесь закономерность? Взяв положительное целое число n и раскрыв (t + Δt) n , вы увидите, что если y = Ct n , производная y равна nCt n − 1 .Часто это пишут так:

      Этот результат является более общим: он действительно справедлив для всех реальных значений n, положительных и отрицательных. n = 0 — особый случай, потому что он дает нулевой множитель в правой части. Это будет важно, когда мы перейдем к рассмотрению интегралов ниже.

    Сумма сроков

      Если x увеличивается со скоростью (dx / dt), а y увеличивается со скоростью (dy / dt), какова скорость увеличения (x + y)? Это несложно: если в течение некоторого времени t + Δt x увеличивается на Δx, а y увеличивается на Δy, то изменение (x + y) равно (Δx + Δy).

      Скорость изменения суммы функций равна сумме их индивидуальных скоростей изменения. (Производная суммы — это сумма производных.) Благодаря этому неудивительному результату мы теперь можем дифференцировать многочлены, например: Если

        y = A + Bt + Ct 2 Dt 3 , затем
        dy / dt = B + 2Ct + 3Dt 2 .
    Тригонометрические функции

      Функции синуса и cos важны, особенно в круговом движении, простом гармоническом движении, компонентах сил и других случаях, связанных с компонентами векторов.К счастью, производные здесь простые. Давайте разберемся с ними, используя эту диаграмму, на которой показан отрезок окружности с радиусом в одну единицу. (Мы говорим круг единичного радиуса.)

      В определении синуса угла используется прямоугольный треугольник. Это отношение стороны, противоположной углу, к гипотенузе треугольника. Определение косинуса — это другая сторона (которая примыкает к углу), разделенная гипотенузой.

      На этой диаграмме сначала посмотрите на треугольник с синими сторонами.Радиус нарисован под углом θ. Вертикальная сторона — это, по определению, sin θ, а горизонтальная сторона — cos θ.

      Теперь давайте изменим θ на величину Δθ: мы получим еще один радиус и еще один треугольник, две стороны которого показаны зеленым. Насколько мы изменили sin θ? Другими словами, что такое Δ (sin θ)?

      По определению Δ (sin θ) — это величина, которая увеличивается в θ, когда θ увеличивается на Δθ). Так должно быть (sin (θ + Δθ) — sin θ). На этой диаграмме Δ (sin θ) показано как подъем маленького треугольника, показанного красным.(Для наглядности этот треугольник повторяется за пределами основной диаграммы.) Длина этого треугольника равна −Δ (cos θ). В этом случае пробег идет влево, поэтому он имеет отрицательный знак. Этот отрицательный знак возникает из-за того, что по мере увеличения θ в этом квадранте cos θ уменьшается.

      Теперь посмотрите на маленький прямоугольный треугольник красного цвета. Мы называем ее гипотенузой h. Применяя определение синуса и cos и помня, что cos θ уменьшается, мы имеем

        Δ (sin θ) = h cos φ и Δ (cos θ) = — h sin φ.

      Теперь давайте представим, что происходит с маленьким красным треугольником, когда Δθ становится очень маленьким. Гипотенуза все больше приближается к длине дуги окружности между двумя радиусами (радиусы — это синяя гипотенуза и зеленая гипотенуза). Из определения * угла (угол в радианах ≡ дуги / радиуса) и того факта, что радиус равен единице, эта дуга имеет длину Δθ. Отсюда следует, что, когда Δθ становится очень малым, h становится приблизительно Δθ. Далее h становится все ближе и ближе к тому, чтобы быть под прямым углом к ​​радиусу.Далее угол φ становится все ближе и ближе к значению θ.

      Опять же, мы используем соглашение, согласно которому dx означает значение Δx, достаточно маленькое, чтобы приближения были лучше наших измерений. Итак, в этом пределе и с использованием результатов предыдущего абзаца (θ = φ и h = dθ для достаточно малых значений Δθ) приведенные выше уравнения становятся

        d (sin θ) = dθ cos θ и d (cos θ) = — dθ sin θ

      Разделив обе части этих двух уравнений на dθ, мы получим два очень полезных результата:

      * Обратите внимание на использование определения: угол в радианах = дуга / радиус.Следовательно, dθ в этих уравнениях должно быть выражено в радианах. Чтобы преобразовать градусы в радианы, умножьте на π и разделите на 180.

    Цепная линейка
      Предположим, у нас есть функция z, которая зависит от t таким образом, что позволяет нам вычислить z, если мы знаем t. И предположим, что x зависит от z аналогичным образом явным образом. Просто исключив фактор, мы можем написать:

      Если все это очень маленькие количества, то мы пишем

      Это цепное правило дифференцирования, которое мы используем при анализе кругового и простого гармонического движения.

    Круговое и простое гармоническое движение
      В обоих этих случаях мы рассматриваем равномерное круговое движение, при котором угол θ линейно увеличивается со временем, поэтому (dθ / dt) является постоянной величиной, называемой угловой скоростью ω. Мы можем записать это как

      где ω — постоянная величина, а φ — начальное значение θ. Поэтому мы пишем для вертикального смещения

        y = A.sin θ = A.sin (ωt + φ),

      Когда мы берем производную от θ по времени, имеем dθ / dt = ω. Итак, цепное правило дает:

        v y = dy / dt = (dy / dθ).(dθ / dt) = (A.cos θ). (ω) = A.ω.cos (ωt + φ).

      Вот и все по математике: откуда физически появился дополнительный множитель ω? Если мы удвоим ω, мы удвоим скорость увеличения угла при круговом движении или увеличения фазы при простом гармоническом движении. Таким образом, время на один полный круг или цикл сокращается вдвое. Если смещение претерпевает то же изменение за половину времени, то скорость удваивается. (Еще одно дифференцирование дает ускорение, которое в обоих случаях включает коэффициент ω
      2
      .Таким образом, если мы удвоим ω, диапазон изменения скорости будет вдвое больше, и мы проходим этот диапазон вдвое чаще, поэтому ускорение имеет дополнительный коэффициент 4).


    Интеграция: как складываются результаты переменной ставки?

      Давайте на время оставим графики времени смещения, потому что мой любимый пример интегратора — это ведро. Ведро объединяет поток воды из крана над ним. В нашем примере кто-то непостоянно открывает или закрывает кран, поэтому объемный расход f (измеренный в литрах в секунду) меняется со временем.Эта функция f (t) показана на рисунке красной кривой.

      Предположим, что в ведре уже есть объем V 0 воды, и что мы ставим ведро под кран (мы начинаем интегрирование) в момент времени t = 0. Кран уже открыт, с расходом f 0 , называемый начальным расходом. Рассмотрим первый короткий интервал Δt. Скорость потока по определению является объемом в секунду, поэтому в первый раз Δt в ведро наливается объем приблизительно f 0 .Δt.f 0 .Δt показано первым красным прямоугольником на верхнем графике. «Приблизительно» присутствует, потому что во время Δt расход не постоянный, а меняется — в нашем примере он увеличивается.

      Точно так же в любое время позже объем, попадающий в ковш в коротком интервале Δt, составляет приблизительно f.Δt. Итак, для каждого Δt мы добавляем шаг f.Δt к высоте фиолетовой кривой, представляющей объем в ведре, как показано на нижней кривой. Обратите внимание, что при высоком потоке область f.Δt велико, когда объем в ковше быстро увеличивается. Обратите внимание, что когда поток падает до нуля (отвод), объем больше не увеличивается. И, конечно же, падение кривой V (t) будет означать, что вода будет вытекать из ведра, что мы должны назвать отрицательным потоком в ведро. (Например, в ведре может быть течь.)

      Какой объем V f в ковше в последний момент времени t f ? (Индекс f здесь означает «окончательный», а не «поток».) Мы можем найти приблизительный объем как

        V f ≈ V 0 + f 0 .Δt + f 1 .Δt + f 2 .Δt + и т. Д.

      пока мы не дойдем до t f .

      «Примерно» появляется потому, что расход меняется во времени Δt. Однако, если мы сделаем Δt достаточно малым, это изменение станет меньше, чем предел нашей точности *. Как и выше, когда Δt достаточно мало, мы называем это dt. Таким образом, приведенное выше уравнение становится:

        V f = V 0 + f 0 .dt + f 1 .dt + f 2 .dt + и т. д., пока мы не дойдем до t f .

      Итак, в правой части указан начальный объем плюс длинная сумма таких терминов, как f. & Dt. Эта сумма называется интегралом от f относительно t . Ранее мы видели, что дифференцирование — это вычитание и деление. Теперь мы увидели, что интеграция просто умножается и складывается. Итак, интеграция противоположна дифференциации. Язык, который мы использовали выше, включает «+ и т. Д., Пока мы не дойдем до t f и где dt достаточно мало для достижения требуемой точности».Мы бы тратили время (и выглядели немного глупо), писая это каждый раз. Вместо этого мы пишем это так:

      Последний член произносится как «Интеграл от t = 0 до t f от f по t». Знак интеграла имеет форму s, что может означать «сумма» и напоминать нам, что это все. Мы говорим, что интегрируем «по t», потому что t меняется в течение нашей суммы. Пределы интеграции (t = 0 и t = t f ) говорят нам, когда мы начинаем и прекращаем интегрирование — когда мы кладем ведро под кран и когда мы отводим его от крана.

      В способе, который я представил в этом примере, V 0 — это константа интеграции . Интеграция не дает вам полного ответа, она только говорит вам, насколько что-то изменилось в процессе. В этом случае, чтобы узнать окончательный объем в ведре, нам нужно знать не только интеграл потока, но также и то, сколько было в баке до того, как он начал интегрировать поток. В большинстве случаев вам нужно будет найти константу интегрирования — очень часто с использованием начальных условий , как мы это делали здесь.

      Возможно, сейчас самое время вернуться к приведенным выше анимациям и проверить, что интегрирование скорости (поиск области под кривой) дает смещение.

    Численное интегрирование

      Если бы у нас был набор числовых значений для f (t) — будь то экспериментальные значения или значения, рассчитанные для данной математической функции — тогда мы могли бы интегрировать так же, как описано выше: умножить f на Δt и сложить. Это то, что делает мой карманный калькулятор, когда я нажимаю клавишу «∫».Вы, наверное, подумали, что было бы разумно расположить пределы Δt по обе стороны от времени, значение которого вы использовали для получения f: это хорошая идея, и вы должны помнить об этом, когда вам нужно выполнить численное интегрирование.

      Очень важный практический момент: когда мы сделали Δt малым при дифференцировании, мы столкнулись с проблемой, заключающейся в том, что отношение Δx / Δt становилось чувствительным к экспериментальной или расчетной ошибке, когда Δt становилось малым. Эта проблема не возникает при умножении. Более того, ошибки вычислений, иногда положительные, а иногда отрицательные, имеют тенденцию устраняться.Таким образом, численное интегрирование намного проще и безопаснее, чем численное дифференцирование. Последнее требует особой осторожности (и именно поэтому на моем калькуляторе нет кнопки «дифференцировать»).

    Аналитическая интеграция

      Этот раздел может быть короче, чем вы ожидаете. Выше мы упоминали, что интеграция противоположна дифференциации :

        Скорость, с которой что-то изменяется, является его производной, но
        Вы можете восстановить это что-то, интегрировав скорость, с которой это изменяется.

        При дифференцировании мы вычитаем V (t) из V (t + dt) и делим на dt
        .
        При интегрировании мы умножаем f (t) на dt и добавляем его к V (t), где f — производная V по t.

      Таким образом, для аналитического интегрирования мы можем использовать в обратном порядке уловки, которые мы установили выше для дифференцирования. Опуская константы интегрирования, пишем

        Производная от t n равна nt n-1 , поэтому
        Интеграл от nt n-1 равен t n

      при условии, что n не равно нулю , потому что в этом случае первое уравнение не дает нам никакой информации.

      Разделив последнее уравнение на n и подставив m = n − 1, получим

      • Интеграл от t m равен t m + 1 / (m + 1)

      .

      когда m не равно -1. Это важное исключение, с которым мы поговорим ниже.

    Показательная функция

      Один очень полезный интеграл и дифференциал — это экспоненциальная функция.

      Выбрана функция e x и значение e определено так, чтобы производная e x была e x .Другими словами, e x — это кривая, наклон которой равен ее значению во всех точках. Так что это тоже его собственный составной элемент.

      На графике кривая (фиолетовая) показывает e x vs x. В этом случае производная не отображается красным цветом, потому что функция и ее производная равны. Прямая линия (зеленая) y = e x. При x = 1 наклон кривой равен e 1 = e . Это также значение y при x = 1.Обратите внимание, что при x = 0 наклон кривой равен единице. При x = −1 наклон равен 1/ e и т. Д.

      Использование цепного правила говорит нам, что

      • Производная от e ax — это a. e ax , где a — постоянная, и
      • Интеграл e ax равен e ax / a.

      Чтобы вернуться к нашему вопросу о числах и физических величинах: будьте осторожны с размерами: аргумент экспоненциальной функции должен быть числом.Следовательно, в физике мы часто будем видеть экспоненциальную функцию в уравнениях, подобных этому, для смещения, экспоненциально убывающей со временем:

      где x 0 — это смещение при t = 0, а τ, которое должно иметь единицы времени, — характерное время, которое появляется из-за параметров в физической системе.

      Этот пример предлагает интересную проблему: какова связь между силой и скоростью для частицы массы m, скорость которой определяется выражением

      где v 0 — начальная скорость? И как далеко он пролетает до остановки? (Эта ситуация возникает для объекта, движущегося медленно и горизонтально без трения в вязкой среде.Для объекта, движущегося быстро, тормозящая сила приблизительно пропорциональна квадрату скорости. См. Интеграл в автомобильной физике.)

    1 / x и функция журнала

      Выше было исключение, и есть одно здесь. Очевидно, это не может работать для m = −1, потому что это дало бы интеграл, не зависящий от t. Интеграл от 1 / x равен ln (x).Посмотрим почему. (Если вам нужно, см. Что такое логарифм? Краткое введение ниже.) Положим

      Итак, по определению это означает

      Возьмем производные, помня, что экспоненциальная функция — это собственная производная:

        dx / dy = e y = x

      Теперь разделите обе части на x и умножьте на dy, чтобы получить

      Но выше мы определили y = ln x, поэтому

      Запомните этот — вы будете его часто использовать.

      Итак, на графике справа фиолетовая кривая y = ln x. Его наклон (скорость, с которой он увеличивается) показан красной кривой (dy / dx = 1 / x). В качестве альтернативы мы могли бы сказать, что фиолетовая кривая растет со скоростью, заданной красной кривой (интегрирование функции означает последовательное добавление ее значения).

      В этом и последующих разделах вы заметите, что в примерах используются числа x и y, а не смещения как функция времени.Величины с размерами добавляют дополнительные константы, как мы видим ниже, и легче начать без них.

    Интеграл синуса и cos
      Выше мы видели, что производная sin θ равна cos θ, а производная cos θ — sin θ. Итак,

      • Интеграл от cos θ равен sin θ, и
      • интеграл sin θ равен — cos θ.
    Методы интеграции

      Вам нужно собрать небольшую коллекцию интегралов простых функций, в том числе перечисленных непосредственно выше.Существует ряд методов интеграции более сложных выражений. В приблизительном порядке частоты я использую следующие методы:

      • Измените переменные, чтобы они больше походили на интеграл, который я знаю. Вот пара примеров:
        • для интегрирования dx / (1 + x) попробуйте заменить y = 1 + x. Здесь dy равно dx, поэтому получается интеграл, который мы видели выше: dy / y = d ln y.
        • , чтобы интегрировать x.dx (1 — x 2 ) −1/2 , который возникает в разных областях физики, попробуйте заменить x = sin θ.Теперь мы можем записать (1 — x 2 ) = cos θ и dx = cos θ.dθ. Вау, теперь это выглядит намного проще! (Это всего лишь одна из целого семейства тригонометрических замен.)
      • Интегрировать по частям. Этот метод основан на производной произведения двух функций. (Это выходит за рамки того, что нам нужно для материала, поэтому см. Книгу по исчислению для получения более подробной информации.)
      • Посмотрите таблицу интегралов! У них есть страницы и страницы интегралов, которые предположительно собраны «наоборот» — i.е. авторы, вероятно, составляют таблицу производных, а затем индексируют ее с помощью интегралов. Вот один в Википедии.
      • Попробуйте пакет алгебраической математики. (Там, где это полезно, вы часто чувствуете себя укропом из-за того, что не видели этого сами.)
      • Интегрировать численно — для многих проблем это единственный способ.

    Вернуться к Physclips: механика с анимацией и видеоклипами


    * Вы можете спросить, что бы произошло, если бы величина изменялась бесконечно быстро.Однако физических величин нет, так что это еще одна вещь, которую мы оставим математикам.


    Частные производные

      В двух измерениях, когда у нас есть функция y (x), мы можем легко определить dy / dx как наклон кривой y (x). Здесь мы будем использовать два конкретных примера, чтобы проиллюстрировать частные производные: сначала мы рассмотрим кривую y (x), которая также является функцией времени, то есть y (x, t). Затем мы рассмотрим поверхность в трех пространственных измерениях, f (x, y).

      Сначала рассмотрим y (x, t). В качестве конкретного примера, пусть это будет смещение y точки на строке как функция положения на строке x и времени t. Итак, теперь мы можем думать о двух разных производных. Мы пишем их по-разному.

        ∂y / ∂x. Думайте об этом как
        dy / dx в заданное постоянное время t. Представьте, что вы делаете снимок (время постоянно: оно имеет одно и то же значение для всех точек изображения): на фотографическом изображении, сделанном в момент времени t,
        ∂y / ∂x — наклон формы y (x) в момент фотографии.

        ∂y / ∂t. Думайте об этом как
        dy / dt в данной позиции x. Si ∂y / ∂t — это просто наклон y (t), то есть скорость, с которой y изменяется на в определенной точке x на струне. (Кстати, это не скорость волны).

      Волна, бегущая по натянутой струне, является стандартным примером, который мы выводим и решаем в этой ссылке. Простейшим решением является бегущая синусоида с амплитудой A, частотой f = ω / 2π и длиной волны λ = 2π / k, имеет уравнение

        y = A sin (kx — ωt).

      Давайте явно покажем зависимость от x и t, построив график y (x, t) = A sin (kx — ωt), где t — отдельная ось, перпендикулярная x и y.

      На приведенном выше графике фиолетовая кривая вдоль оси x представляет собой «снимок» волны в момент t = 0: это уравнение y t = 0 = A sin kx. Последовательные снимки в более позднее время (y t> 0 = A sin (kx — ωt)) показаны черным цветом.Красный график по оси t показывает простое гармоническое движение при x = 0: это уравнение y x = 0 = — A sin ωt.
      Конечно, аналогичные графики можно было бы нарисовать при любом значении x.
      В качестве примера мы используем функцию y = A sin (kx — ωt), поэтому

        ∂y / ∂x = kA cos (kx — ωt),
        который представляет собой наклон струны в позиции x и времени t, и
        ∂y / ∂t = — ωA cos (kx — ωt),
        которая представляет собой скорость точки на струне в точках x и t.

      В этом случае, если мы возьмем вторые производные по тем же переменным, мы получим

        ∂y 2 / ∂x 2 = — k 2 A sin (kx — ωt),
        что представляет собой скорость изменения наклона струны при изменении x, и 90 · 106
        ∂y 2 / ∂t 2 = — ω 2 A sin (kx — ωt), который представляет собой ускорение точки на струне.

      На рисунке ниже мы снова записываем эти уравнения в стандартных обозначениях и задаем их с производными по времени слева и производными по пространству справа.

      При использовании того же макета анимация ниже показывает эти уравнения как функции от x по графику и как функции от t с помощью анимации.

      Причина использования вторых производных в этом случае — показать решение волнового уравнения для струны. Если струна имеет натяжение T и массу на единицу длины μ, то мы покажем в другом месте, что волновое уравнение имеет вид:

        ∂y 2 / ∂t 2 = ( T / μ) ∂y 2 / ∂x 2

      Мы только что показали, что
      y = A sin (kx — ωt) является решением волнового уравнения при условии, что T / μ =
      ω 2 / к 2 .

      Вы можете увидеть этот вывод и решение подробно в по этой ссылке , из которой мы позаимствовали анимацию выше.

      Теперь рассмотрим поверхность в трех измерениях f = f (x, y). В качестве конкретного примера мы могли бы представить, что f — это высота или высота земли как функция положения в восточном (x) и северном (y) направлениях, поэтому f (x, y) — это форма ландшафта. Вот набросок. Над большим квадратом на плоскости x, y я нарисовал очертания изогнутого участка f (x, y), ограниченного четырьмя изогнутыми линиями.В одном углу в точке (x, y) я нарисовал небольшой участок шириной dx и глубиной dy.

      Насколько крутой этот пейзаж? Если бы я был ограничен плоскостью f (x) (т.е. если бы я мог идти только на восток и запад, поднимаясь или опускаясь вместе с ландшафтом), то мой наклон был бы задан как df / dx, как указано выше. Но в трех измерениях наклон зависит от моего направления. Чтобы оценить это количественно, давайте посмотрим на небольшую область в нижнем углу. Я предполагаю, что функция f является непрерывной и хорошо себя ведет, поэтому, когда я делаю dx и dy достаточно маленькими, этот маленький синий квадрат будет плоским — с любой точностью, которая мне нужна.

      Приближение того, что f (x, y является локально плоским, позволяет записать простое уравнение для изменения высоты df. Предположим, я иду в x (восточном) направлении от (x, y), то есть вдоль фронта лицо в блоке на скетче выше. Наклон моего пути был бы написан dy / dx, если бы у нас было только два измерения. Однако в трех (или более) измерениях возможны разные пути, поэтому у нас есть другой символ, здесь Я пишу частную производную, произносится как «duh f duh x», где новый символ ∂ напоминает мне, что f изменяется по более чем одной переменной.Итак, если я перемещаюсь на расстояние dx в направлении x, моя высота f увеличивается на. Точно так же, если бы я шел в направлении y (север), у меня был бы другой наклон, и мой рост увеличился бы на.

      Давайте теперь представим, что я иду в произвольном направлении, так что мое смещение в плоскости x, y равно dx i + dy j . (При необходимости измените векторы.) (На скетче выше это смещение находится в квадранте NE, но, меняя знак и величину dx и dy, я мог выбрать любое направление.) Если мои dx и dy достаточно малы, чтобы синяя область выше была приблизительно плоской, то я могу написать уравнение для изменения f из-за произвольных (небольших) изменений dx и dy:

        .

    Что такое логарифм? Краткое введение.

      Сначала посмотрим на экспоненты. Если мы пишем 10 2 или 10 3 , мы имеем в виду

        10 2 = 10 * 10 = 100 и 10 3 = 10 * 10 * 10 = 1000.

      Таким образом, показатель степени (2 или 3 в нашем примере) говорит нам, сколько раз нужно умножить с основанием (10 в нашем примере) на себя. Для этой страницы нам нужны только логарифмы с основанием 10, так что это все, что мы обсудим. В этих примерах 2 — это логарифм 100, а 3 — логарифм 1000. Если мы умножим десять на себя только один раз, мы получим 10, то есть 1 — это логарифм 10, или, другими словами,

      У нас также могут быть отрицательные логарифмы.Когда мы пишем 10 −2 , мы имеем в виду 0,01, что составляет 1/100, поэтому

      Давайте сделаем еще один шаг сложнее. Давайте рассчитаем значение (10 2 ) 3 . Это достаточно просто сделать, шаг за шагом:

        (10 2 ) 3 = (100) 3 = 100 * 100 * 100 = 1000000 = 10 6 .

      Записывая это, вы должны убедить себя, что для любых целых чисел n и m

      Но что, если n не целое число? Поскольку правила, которые мы использовали до сих пор, не говорят нам, что это будет значить, мы можем определить это так, чтобы оно означало то, что нам нравится, но мы должны выбрать наше определение так, чтобы оно было согласованным.Определение логарифма числа a (с основанием 10) таково:

      Другими словами, логарифм числа a — это степень, в которую вы должны возвести 10, чтобы получить число a . В качестве примера числа, логарифм которого не является целым числом, давайте рассмотрим квадратный корень из 10, который равен 3,1623 …, другими словами 3,1623 2 = 10. Используя наше определение выше, мы можем записать это как

        3.1623 2 = (10 лог 3,1623 ) 2 = 10 = 10 1 .

      Однако, используя наше правило, что (10 n ) m = 10 нм , мы видим, что в этом случае log 3,1623 * 2 = 1, поэтому логарифм 3,1623 … равен 1/2. Квадратный корень из 10 равен 10 0,5 . Теперь есть пара вопросов: как считать логи? и можем ли мы быть уверены, что все действительные числа больше нуля имеют действительные журналы? Мы оставляем это математикам (которые, кстати, были бы счастливы дать вам более строгую трактовку показателей, чем это поверхностное описание).

      Стоит отметить еще несколько важных примеров. 10 0 будет обладать тем свойством, что, сколько бы раз вы ни умножали его на себя, оно никогда не достигло бы 10. Кроме того, сколько бы раз вы ни делили его на 1, вы никогда не получите меньше, чем 10. 1/10. Используя наше правило (10 n ) m = 10 нм , вы увидите, что 10 0 = 1 удовлетворяет этому правилу, поэтому логарифм единицы равен нулю.

      В физике мы обычно используем натуральных логарифмов .Рассмотрим функцию y = a x , где a> 0. Чем больше величина a, тем круче увеличивается эта величина. Число e = 2,718 … обладает тем свойством, что производная от e x равна просто e x . Эта функция изображена выше. Журналы для базы e обычно записываются как ln , поэтому, например, мы можем написать:

        ln ( e x ) = x и

        лн (2.718) = 1.000.

      Вернуться к началу страницы.

      журнал 10 x ​​ и x.

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

      2021 © Все права защищены.