Нескучные интегралы / Хабр

Некоторые из вас, вероятно, видали на просторах сети эту задачку: какое число продолжает следующий ряд?

Предлагался такой очевидный правильный ответ:

Для тех, кому неочевидно, как он получен, предлагалось объяснение. Пусть (ну и 1 при x = 0, хотя неважно). Тогда каждый член ряда — это значение следующего интеграла в цепочке:

Пока всё идёт хорошо, но тут внезапно:

В принципе, этого достаточно, чтобы повеселить друзей-математиков, но мне захотелось узнать, как вообще считаются такие интегралы и почему получается такой смешной результат. Если кому-то ещё охота тряхнуть стариной и вспомнить матан с функаном, прошу читать дальше.

Начинает сказка сказываться

Для начала отдельно посмотрим на первый интеграл:

Некоторое время назад я подумал: «Эй, я ещё не совсем забыл матан! Дайте-ка я возьму этот интеграл как неопределённый, а потом подставлю пределы. Наверняка пару раз по частям, и дело в шляпе. Вот сейчас на бумажке всё решу без посторонней помощи». Хочу предостеречь вас: не повторяйте моей ошибки. Вас ждёт бессонная ночь, а потом вы заглянете в справочник и узнаете, что неопределённый интеграл не берётся в элементарных функциях. Для него даже специальную функцию ввели.

Однако с данными конкретными пределами взять интеграл можно разными способами. Мы пойдём путём, который требует минимум базовых знаний (самое суровое — то же интегрирование по частям). Для начала сделаем внезапную замену:

Вы спросите: откуда вообще это взялось и зачем нам ещё один интеграл, мало что ли? Спокойно, так надо (знакомые со свойствами преобразования Лапласа весело ухмыляются). Подставим замену в исходную формулу и поменяем порядок интегрирования:

Внутри получился почти классический интеграл по dx, которым всех пугали у нас в физматшколе. Его можно взять и как неопределённый, дважды использовав формулу интегрирования по частям. Тогда справа получится какая-то муть и ещё раз тот же самый интеграл, домноженный на что-то, и в результате можно будет решить уравнение относительно этого интеграла и получить ответ, а потом подставить пределы. Кому интересно, проделайте это сами, а я лениво запишу готовый результат:

Ну а теперь совсем всё просто: это табличный интеграл из средней школы, который равен арктангенсу. В бесконечности пи-пополам, в нуле — ноль, вот мы и получили ответ.

Интеграл, кстати, настолько хорош, что у него есть своё имя — интеграл Дирихле. По ссылке вы можете найти другие способы взять его.

Скоро сказка сказывается, а не скоро дело делается

Для следующего путешествия нам понадобятся четыре вещи: прямоугольная функция, косинусное преобразование Фурье, свёртка и теорема Парсеваля. Сперва скажу пару слов об этих замечательных штуках.

Прямоугольная функция — это у нас будет такая ступенька вокруг нуля:

Значение 1/2 в точках разрыва нужно в основном для соблюдения свойств преобразования Фурье, в целом для нашей задачи оно непринципиально.

Косинусное преобразование Фурье. Для простоты мы немного отступим от математической точности и сформулируем грубовато. Для достаточно хорошей чётной функции f(x) выполняются такие соотношения:

Функция и называется косинусным преобразованием Фурье (FCT) от f(x) (её ещё называют образом f). То есть, косинусное преобразование от косинусного преобразования даёт снова исходную функцию f(x)!

Людям, знакомым с обработкой сигналов, хорошо известно, что FCT от прямоугольной функции — это . Это легко доказать, пользуясь вышеприведёнными формулами и школьными знаниями. Так как прямоугольная функция за пределами промежутка [-a, a] равна нулю, то можно просто интегрировать cos(xt) dt по этому промежутку, тут простая замена переменной и табличный интеграл. Приведённое выше свойство говорит, что FCT от — это прямоугольная функция.

Свёртка — это ещё одна прекрасная штука, без которой не обходится обработка сигналов. Для двух функций f₁(x) и f₂(x) можно определить функцию-свёртку (обозначается звёздочкой) вот так:

У свёртки есть прекрасное свойство, за которое её любят: преобразование Фурье превращает её в умножение, а умножение — в свёртку. Если точнее, косинусное преобразование произведения двух хороших чётных функций есть свёртка их образов, делённая на корень из двух пи: .

Теорема Парсеваля — это очень крутое утверждение о равенстве энергии сигнала и его спектра, которое записывают по-разному в разных целях. Нам потребуется такая версия: для чётных и достаточно хороших функций .

Доселева Макар огороды копал, а нынече Макар в воеводы попал

Возьмём второй интеграл из нашей чудесной последовательности. Как многие уже догадались, мы воспользуемся теоремой Парсеваля и заменим множители на их FCT-образы:

Первая прямоугольная функция под интегралом равна единице для аргументов меньше единицы и нулю для аргументов больше единицы. Поэтому ничто нам не мешает убрать её из интеграла, откорректировав пределы интегрирования:

Под интегралом осталась ступенька высотой 3 и шириной 1/3. Такой интеграл возьмёт даже третьеклассник: надо всего лишь умножить 3 и 1/3. От интеграла остаётся единица, и мы имеем искомое пи-пополам! Таким образом мы почти честно взяли второй интеграл из ряда. Кто желает сделать это совсем честно, тому придётся разобраться, что же такое хорошесть функции, и доказать, что наши функции хорошие.

Чтобы дальше было проще, обозначим эту ступеньку под интегралом как F₁(x) и нарисуем её график:

Пойдём веселиться дальше и посмотрим на интеграл с тремя множителями. Чтобы применить теорему Парсеваля, мы теперь все множители со второго будем считать одним множителем: . С образом первого множителя всё уже понятно, а образ второго множителя, выражается через свёртку:

На первый взгляд жутковато. Но можно кое-чего повыносить, кое-чего посокращать и подставить нашу F₁(x). Тогда получим:

Внутренний интеграл — это просто прямоугольный фильтр, эдакий «блюр» для функции F₁(x): мы просто для каждой точки усредняем все значения в окрестности плюс-минус одна пятая. Можно опять же избавиться от прямоугольной функции, подшаманив пределы интегрирования. И со внешним интегралом сделаем такую же процедуру. Вот что получится в итоге:

Слева график функции F₂(x), которая на самом деле — сглаженная F₁(x). Нетрудно доказать, что после сглаживания функции по нормированному ядру её интеграл не меняется. Ну, вообще-то речь об интеграле от -∞ до +∞, но для чётной функции это верно и для интеграла от нуля. В данном случае ядром была ступенька от -1/5 до +1/5, умноженная на 5/2. Площадь под ступенькой единица, значит, ядро нормировано. Тут тоже можно сравнить с блюром в фотошопе: после применения блюра картинка в целом не становится светлее или темнее. А раз так, то интеграл F₂(x) в точности равен интегралу F₁(x), то есть единице, поэтому и третий интеграл равен пи-пополам!

Дальше процедура во многом похожая. Четвёртый интеграл сгруппируем так: . Сначала теорему Парсеваля, для скобок свёртку, причём мы уже умеем выразить образ внутренней скобки через F₂(x). Дальше всё то же самое, что в прошлый раз, и в результате получим:

Теперь мы уже имеем F₃(x), которая на самом деле — сглаженная F₂(x) с ядром шириной 2/7. Ядро нормировано, значит, интеграл F₃(x) равен интегралу F₂(x), то есть единице, и мы снова имеем пи-пополам!

Отлично, мы теперь щёлкаем эти интегралы как орехи. Но по идее, если так и дальше пойдёт, они все до бесконечности будут равны пи-пополам? Давайте смотреть дальше. Пятый интеграл:

Вроде всё то же самое. Ладно, шестой интеграл:

И здесь никаких проблем. Хорошо, берём седьмой:

Ничего нового! Ладно, а восьмой?

Стоп-стоп-стоп! Здесь нам не обойтись без команды CSI!

Функция протекла через единицу! Интеграл F₇(x) всё ещё равен единице, но это если интегрировать от 0 до ∞. А мы-то интегрируем до единицы! До сих пор все функции были нулевыми при x больше единицы, но рано или поздно это должно было кончиться.

А как понять, когда наступает конец? Это очень просто. F₁(x) была ненулевой при x<1/3. F₂(x) сглаживала её по ±1/5, значит, была ненулевой при x<1/3+1/5. Аналогичным образом можно найти границу ненулевых значений для всех этих функций, и для F₇(x) эта граница впервые превышает единицу:

Несложно даже посчитать, сколько конкретно утекло, и тем самым вычислить точное значение восьмого интеграла. Заметим, что слева от границы F₁(x) — это константа 3. F₂(x) — минус интеграл этой константы с коэффициентом 5/2, то есть прямая с коэффициентом 3×5/2. F₃(x) в достаточной близости к границе 1/3+1/5+1/7 — это интеграл той прямой с коэффициентом 7/2, то есть что-то вроде . Продолжая аналогичные рассуждения, получим формулу для F₇(x) в окрестности границы:

Собственно, обычная парабола шестой степени, сдвинутая и домноженная. Если проинтегрировать её от единицы и до границы 1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/13+1/15, то мы узнаем, сколько функции утекло за пределы единицы. Можно решить эту задачу целиком в обыкновенных дробях. Получится вот сколько:

Если эту цифру вычесть из единицы и домножить на пи-пополам, мы получим окончательное значение восьмого интеграла:

Такие интегралы называются борвейновскими интегралами в честь Давида и Джонатана Борвейнов, которые их описали. Если вы хотите строгие математические доказательства (без всяких «хороших функций») и другие свойства этих замечательных интегралов, почитайте статью авторов.

Заключение: троллинг восьмидесятого уровня

Открыв эти интегралы, Джонатан Борвейн ввёл их в программный пакет Maple и, убедившись, что Maple корректно берёт все восемь интегралов, сообщил разработчикам о «баге»: мол, восьмой интеграл тоже должен быть пи-пополам, а у вас получается чёрт-те-что. Три дня и три ночи убил Жак Каретт, один из разработчиков Maple, в поисках ошибки, пока не понял, что над ним жестоко пошутили. А ещё говорят, что математики — скучные люди!

высшая математика для чайников интегралы

Вы искали высшая математика для чайников интегралы? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и высшая математика интегралы, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «высшая математика для чайников интегралы».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как высшая математика для чайников интегралы,высшая математика интегралы,высшая математика интегралы для чайников,вычислить интеграл примеры решений,вычислить неопределенный интеграл примеры решений,задания интегралы,интеграл как брать,интеграл как находить,интеграл как решать,интеграл как решать примеры,интеграл матпрофи,интеграл пример,интеграл примеры,интеграл примеры решения,интегралы высшая математика,интегралы высшая математика для чайников,интегралы для чайников,интегралы для чайников как решать,интегралы для чайников примеры решения,интегралы задания,интегралы задачи,интегралы как находить,интегралы как решать,интегралы как решать примеры,интегралы неопределенные,интегралы неопределенные примеры решений,интегралы определенные примеры,интегралы примеры,интегралы примеры решения,интегралы примеры решения для чайников,интегралы примеры с решением,интегралы простые,интегралы с нуля,интегралы с нуля простым языком,интегрирование примеры,интегрирование сложной функции,интегрирование сложных функций,интегрирования примеры,как брать интеграл,как вычислить интеграл для чайников,как интегрировать,как найти неопределенный интеграл примеры,как находить интеграл,как находить интегралы,как решать интеграл примеры,как решать интегралы для чайников,как решать интегралы неопределенные,как решать интегралы определенные,как решать интегралы примеры,как решать интегралы примеры решения,как решать неопределенные интегралы,как решать неопределенные интегралы для чайников,как решать неопределенный интеграл,как решать определенные интегралы,как решать определенные интегралы примеры решения,как решать определенный интеграл,как решать первообразные,как решить интеграл определенный,как решить определенный интеграл,матпрофи интегралы,методы решения интегралов,неопределенные интегралы,неопределенные интегралы как решать,неопределенные интегралы примеры,неопределенные интегралы примеры с решением,неопределенные интегралы сложные,неопределенный интеграл для чайников,неопределенный интеграл как решать,неопределенный интеграл примеры,неопределенный интеграл примеры решений,неопределенный интеграл примеры решения,неопределенный интеграл примеры с решениями,неопределенный интеграл решения примеры,неопределенный интеграл формулы,определенные интегралы для чайников,определенные интегралы как решать,определенные интегралы примеры с решением,определенный интеграл для чайников,определенный интеграл как решать,определенных интегралов примеры с решением,первообразная примеры,первообразная примеры решения,первообразная примеры с решением,первообразные как решать,правила интегрирования неопределенного интеграла,пример интеграл,примеры интегралов,примеры интегралов неопределенных,примеры интегралов с решением,примеры интегралов с решением для студентов,примеры интегралы с решением,примеры интегрирования,примеры неопределенные интегралы,примеры неопределенных интегралов,примеры неопределенных интегралов с решением,примеры первообразных с решением,примеры решений интегралов,примеры решений неопределенный интеграл,примеры решений неопределенных интегралов,примеры решения интегралов,примеры решения интегралов неопределенных,примеры решения интегралов с ответами,примеры решения неопределенных интегралов,примеры с решением интегралов,примеры с решением неопределенных интегралов,примеры с решением определенных интегралов,примеры с решением первообразных,примеры с решениями определенный интеграл,простейшие интегралы,решение интегралов для чайников,решение интегралов определенных примеры,решение интегралов примеры,решение определенных интегралов примеры с решением,сложные неопределенные интегралы,способы решения интегралов,формулы неопределенный интеграл. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и высшая математика для чайников интегралы. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, высшая математика интегралы для чайников).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же высшая математика для чайников интегралы Онлайн?

Решить задачу высшая математика для чайников интегралы вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Что такое Интеграл простыми словами. Для чего нужен

Интегралы начинают изучать еще в школе. Но никто из учителей не говорит, зачем это нужно, как использовать эти знания в жизни. Мало кто вообще способен объяснить простыми словами, что такое интеграл, даже в университете. А мы попробуем.

Простыми словами…

Если коротко — интеграл, это сумма маленьких частей. Да, точно так же как и сложение 2+2, только части бесконечно маленькие, естественно и количество их — бесконечно.

Знак интеграла ∫ — это вытянутая буква s (длинная «эс» существовала до начала 19-ого века писалась так — ſ). Первая буква слова summa.

Интегрирование — это сложение бесконечного количества частей бесконечно маленького значения.

Почему обычного «плюсования» не достаточно? Просто в алгебре нет никаких бесконечно малых или больших.

Бесконечно малая величина, это не какое-то конкретное число. Это абстракция, в реальном мире аналогов просто нет. Мы придумали так для удобства.  Что-то настолько маленькое, что измерять его бессмысленно, но в расчетах использовать можно.

Слово «интеграл» происходит от латинского integer, что означает «целый». Даже в названии есть намек некое действие, что-то вроде восстановления чего-то целого.

Лучше всего показать «на пальцах», точнее на примере. Предположим, мы хотим узнать площадь фигуры как на картинке (она называется криволинейная трапеция, потому, что одна из сторон создана кривой линией). Зачем нам это нужно? Например, это часть крыла самолета и нужно знать его площадь.

Можно, конечно, разбить фигуру на две, прямоугольник и треугольник.

Но останется «пробел», площадь которого будет неизвестна. Чтобы увеличить точность, можно разделять на большее количество фигур, но все равно будет оставаться какая-то, пусть и небольшая, но «не закрашенная» область. Фигуры будут становиться все меньше и меньше… Очевидно, что процесс измельчения будет бесконечным, по крайней мере в воображении.

Но, в реальности, бесконечный процесс попросту не нужен. На самом деле вычислить такие вещи как площадь круга, длину диагонали квадрата или объем пирамиды невозможно, значение будет бесконечным, естественно, практического смысла бесконечные числа не имеют и мы их «округляем» до нужного предела точности — приблизительно.

Такой метод в Древней Греции назывался «исчерпание». Аналогия с водой тут очень уместна, если представить, что черпаешь из ведра при помощи кружки, то сначала кружки будут полные, но чем ближе ко дну, тем меньший объем будет попадать в кружку. Первой известной личностью «взявшей интеграл» был Архимед, он фактически решил задачу по нахождению площади круга и площади параболы ничего не зная ни про пределы, но даже про число «пи».

Чем больше будет фигур, тем больше будет и точность расчета и тем меньше будут сами фигурки. Если площадь маленьких фигурок будет бесконечно малой, то есть стремится к нулю (но не равняться ему), сумма всех этих площадей будет равна сумме большой фигуры с бесконечно большой точностью.

То же самое происходит при интегрировании:

Фигура на картинке разбивается на столбцы бесконечно маленькой ширины. Ширина у нас Х. Бесконечно малое число обозначается d. То есть dx — это бесконечно малый «икс».

Сложение бесконечного числа частей бесконечно маленького размера это и есть интегрирование.

Чтобы узнать площадь фигуры нужна еще высота, а это y. Высота везде не одинаковая, она постоянно меняется. И мы знаем как именно! Ведь кривая может быть (а может и не быть, но в нашем случае так и есть) функцией y=f(x), то есть значение у меняется по закону (буква f об этом говорит) зависимому от х. Поэтому «эф от икс». Значит высота это f(x). Функция, кстати, тоже бесконечная.

Высота конкретного прямоугольничка, это значение функции в этой конкретной точке (почему точке, потому, что ширина полоски у нас бесконечно маленькая, мы так договорились в самом начале).

Площадь, это высота умноженная на ширину. За высоту можем брать и y и f(x), они равны. За ширину у нас играет dx. Итак, момент истины:

f(x)*dx или f(x)dx

f(x)dx — площадь нашего маленького столбика. В если собрать из все вместе, будет сумма бесконечно маленьких столбиков.

∫ f(x)dx

Осталось только указать, что интересуемся мы конкретным значением. Наша кривая, это часть параболы f(x)=x².

∫ x²dx

А площадь нужна не бесконечной фигуры, а той что начинается от 1 и закачивается на 5. Если написать эти цифры над и под значком интеграла, получится определенный интеграл.

Собственно и все, интеграл — это сумма бесконечно малых приращений (то есть значений) какой-то функции. Не сложно и не страшно, если не усложнять.

Что мы делаем? Разрезаем фигуру на «ленточки» изменяем площадь этих ленточек и собираем все обратно (суммируем).

Интересно, везде идет речь о сумме, а площадь считается умножением. Парадокс? Нет, умножение это ведь то же самое, что и сложение: 2+2+2+2=2*4. То же самое происходит и с площадью. Чтобы выяснить какова площадь прямоугольника со сторонами 5 и 4, перемножаем 5 на 4, или разделяем прямоугольник на 5 полосок шириной в «единицу» и складываем 4+4+4+4+4=5*4=20.

Никакого противоречия здесь нет. Вот только умножение работает в случае одинаковых величин, простых фигур или прямолинейного движения без ускорения. В остальных случаях — интегрирование.

Зачем нужен интеграл

Из примера выше уже понято, что одна из полезных задач интегрирования — это расчет площади криволинейных фигур. В любой сложной ситуации, если сложность эта заключается криволинейности или неравномерности мы используем интеграл.

Но лучший способ объяснить, что такое интеграл простыми словами — показать еще пару примеров. Как когда-то в детстве объяснили сложение на яблоках. Для чего интеграл может понадобиться?

Предположим, нужно построить храм кому-то из древнегреческих богов, такой чтобы место в нем хватило всем, крыша была прямоугольной, а колоны круглыми, ведь так красивее (а еще прочнее).

Давление колонны на фундамент легко посчитать, если она квадратного сечения, делим силу на площадь и вуаля. А если колонна круглого сечения? Какова площадь круга?

Можно конечно, не напрягаться, и заменить круг эквивалентным квадратом (квадратура круга), но каким? На всякий случай побольше, чтобы наверняка ничего не развалилось. Но это не наш метод, особенно, если ни бесконечного числа рабочих, ни бесконечного числа мрамора в действительности нет и взять негде, а казнить за неэффективное использование бюджета никто не запрещает.

Прием с эквивалентом площади на самом деле простой, использовался древними людьми. Очень-очень древние греки ничего не знали об интегрировании, а Архимед еще не родился, тем не менее, чтобы рассчитать площадь круга, в него выкладывались камешки. Когда круг заполнялся, камешки собирались и раскладывались в виде квадрата. Чем меньше камешки тем… Ничего не напоминает?

Еще примеры из жизни

Конечно, в физике интеграл «берут» постоянно. Вместо Х, может быть время, и тогда мы будем иметь дело с функцией времени, такой, например, как скорость. Ускорение — это скорость изменения скорости. Скорость, это скорость изменения координат. Пробежавшись от ускорения к скорости мы уже дважды использовали интеграл.

В обратную сторону: первая производная пути, это скорость, вторая производная — ускорение. Если ускорение равно нулю, значит скорость не менялась.

Интегрирование и дифференцирование, такие же «парочка» как и умножение и деление, суммирование и вычитание, только не с цифрами, а с функциями. Это взаимно-обратные операции. В случае производной, мы не «складываем», а «отнимаем».

Если проинтегрировав функцию изменения скорости (ускорение) получим константу (число, например, 60, а не формулу y=2x), значит, скорость не изменялась со временем, ускорения не было. Если, взяв приводную (дифференциал) функции скорости по времени, получим ноль — скорость не менялась, ускорение равно нулю.

То есть, имея в своем распоряжении какую-то функцию (зависимость чего-то от чего-то), мы можем ее дифференцировать или интегрировать. Точно также как если бы умножали и или, вычитали и складывали обычные числа.

Например, у нас есть функция изменения координат от времени. В реальном мире мы вышли на пробежку. Бежал наш виртуальный спортсмен 30 минут, первые 10 минут очень быстро, вторые 10 минут уже с одышкой, ну а последние 10 прошел пешком.

Очевидно, что координаты бегуна в начале и в конце разные (он же не стоял на месте). Если координаты менялись — скорость не равнялась нулю.

Скорость не была одинаковой, а менялась в зависимости от времени (больше времени, больше усталость, меньше скорость).

Итак, у нас есть функция изменения  координат. Первая производная даст нам новую функцию — изменения координат, вторая производная — функцию ускорения. И первая и вторая функции зависят от одной и той же переменной — времени.

Еще один пример, вычисление массы. Масса, это произведение плотности на объем. Если плотность и объем одинаковы (это стакан воды) никаких проблем нет. А если плотность меняется (тот же стакан, только с коктейлем в несколько слоев)? В таком случае нужно знать закон (зависимость с которой изменяться плотность жидкости в стакане).

Пусть это будет 2x². Применяем магию интегрирования — (2x³)/3. Теперь осталось подставить вместо Х нужные значения глубины (от ноля на поверхности до значения на дне стакана) и получим массу неоднородной(!) жидкости, без взвешивания.

Если вам такие примеры не близки, то представьте себе, что взяли кредит под сложный процент. Тогда ваш долг будет расти не линейно. И вы будете интегрировать…

Если нужно узнать какую работу нужно затратить на перемещение предмета не по прямой, а если, нужно рассчитать лучшую цену, зная зависимость спроса от предложения, а если нужно посчитать за какое время рабочие выкопают яму, если это не роботы, а живые люди, которые устают со временем, а если…

Если посмотреть вокруг, не найдется в реальном мире ни идеальных фигур, ни ровных графиков, ни равномерного движения без ускорения, ни линейных зависимостей в поведении человека «разумного».

Все эти простые штуки из науки, просто частные случаи. А значит, в реальном мире интеграл более полезен, чем кажется. Конечно, кривые сложнее прямых и именно поэтому всю свою историю люди упрощали себе жизнь: делили поле прямыми, на квадраты и прямоугольники при помощи натянутой веревки. Считали среднюю скорость, а не мгновенную в каждой точке маршрута, полагали, что тело прошенное под углом к горизонту летит по параболе, а не баллистической кривой… Но, просто — не значит точно.

Говоря простым языком, интегрирование — это такой же инструмент, как и суммирование, в нем нет никаких особых тайн и сложностей. Кроме одной — представить себе бесконечность сложнее, чем натуральные числа, у которых есть наглядные представления в природе. Но справляемся же мы как-то с представлениями таких абстракций как «ноль» или «отрицательное число». С матанализом просто нужно чуть больше воображения.

Ну а если уж совсем просто, для гуманитариев, то производная винограда — это вино. Интеграл вина — это виноград.

Белоусова_Высшая математика ч2.indd

%PDF-1.3 %
1 0 obj >]/Pages 3 0 R/Type/Catalog/ViewerPreferences>>> endobj 2 0 obj >stream
2017-02-28T11:19:17+05:002017-02-28T15:13:36+05:002017-02-28T15:13:36+05:00Adobe InDesign CS6 (Windows)uuid:fd2c4e31-6d5b-4003-9682-5507fe4f8efcxmp.did:BF81B306D74DE411B24FB20E6B9967A1xmp.id:88BBD9257CFDE61199FFA68A2399871Dproof:pdf1xmp.iid:85BBD9257CFDE61199FFA68A2399871Dxmp.did:E44AAB1347E8E611AB2FDBEF7C44376Axmp.did:BF81B306D74DE411B24FB20E6B9967A1default

application/pdf

Adobe PDF Library 10.0.1FalsePDF/X-1:2001PDF/X-1:2001PDF/X-1a:2001

endstream endobj 3 0 obj > endobj 6 0 obj > endobj 7 0 obj > endobj 13 0 obj > endobj 14 0 obj > endobj 15 0 obj > endobj 16 0 obj > endobj 17 0 obj > endobj 18 0 obj > endobj 1049 0 obj > endobj 49 0 obj > endobj 50 0 obj > endobj 51 0 obj > endobj 52 0 obj > endobj 1050 0 obj > endobj 98 0 obj >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 99 0 obj >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 100 0 obj >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 101 0 obj >/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 102 0 obj >/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 1051 0 obj >/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 1052 0 obj >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]/Properties>/Shading>>>/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 1053 0 obj >stream
HlW$Y_O/Pg_@EAh_a%iV~y»oח݇o>>?nґJ;goO?Q;=ۙg-y.Ǜ￤ۗǧۧ[>9|Y||iҤ»?}s}Nޗ#UON=}϶6_o?&S=[)oe)@ƻFzeYvqg=lm%7WHeN-h3uK::>AP8&?JH#/>v:66|||o/?d1יVϴ’>`0n[q҃dHQ={,xϒ*_

как вычислить интеграл с заменой переменной, его свойства и методы вычисления с подробным решением

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие «интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x). Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции.

Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры.

Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

Константу можно выносить из-под знака интеграла:

Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

• При любых точках a, b и с:

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в х.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Источник: https://Zaochnik-com.ru/blog/integraly-dlya-chajnikov-kak-reshat-pravila-vychisleniya-obyasnenie/

Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства

Для начала, дадим определение понятиям, которые будут использоваться в данном разделе. В первую очередь это первообразная функции. Для этого введем константу C.

Первообразная функции f(x) на промежутке (a; b) это такая функция F(x), при которое формула F'(x)=f(x) превращается в равенство для любого x из заданного промежутка.

Следует учитывать тот факт, что производная от константы C будет равна нулю, что позволяет нам считать верным следующее равенство F(x)+C’=f(x).

Получается, что функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы C. Эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла

Все множество первообразных функции f(x) можно назвать неопределенным интегралом этой функции. С учетом этого формула будет иметь вид ∫f(x)dx=F(x)+C. При этом, выражение f(x)dx является подынтегральным выражением, а f(x) – это подынтегральная функция. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Имея заданный дифференциал функции, мы можем найти неизвестную функцию.

Результатом неопределенного интегрирования будет не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

Зная свойства производной, мы можем сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

∫f(x)dx’=F(x)+C’=f(x)

Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

∫d(F(x))=∫F'(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C

Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

∫k·f(x)dx=k·∫f(x)dx, где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

∫f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла мы привели в качестве пояснения.

Для того, чтобы доказать третье и четвертое свойства, необходимо найти производные от правых частей равенств:

k·∫f(x)dx’=k·∫d(x)dx’=k·f(x)∫f(x)dx±∫g(x)dx’=∫f(x)dx’±∫g(x)dx’=f(x)±g(x)

Производные правых частей равенств равны подынтегральным функциям, что является доказательством первого свойства. Его же мы используем в последних переходах.

Как видите, задача интегрирования представляет собой обратный процесс по отношению к задаче дифференцирования. Обе эти задачи тесно связаны между собой.

Первое свойство может быть использовано для проведения проверки интегрирования. Для проверки нам достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная функция будет равна подынтегральной функции, то интегрирование проведено верно.

Благодаря второму свойству по известному дифференциалу функции мы можем найти ее первообразную и использовать ее для вычисления неопределенного интеграла.

Рассмотрим пример.

Пример 1

Найдем первообразную функции f(x)=1x, значение которой равно единице при х=1.

Решение

Используя таблицу производных основных элементарных функций получаем:

• d(ln x)=(ln x)’dx=dxx=f(x)dx∫f(x)dx=∫dxx=∫d(ln(x))

Используя второе свойство ∫d(ln(x))=ln(x)+C, мы получаем множество первообразных ln(x)+C. При х=1 получим значение ln(1)+C=0+C=C. Согласно условию задачи, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1. Искомая первообразная примет вид  ln(x)+1.

Ответ: f(x)=1x=ln(x)+1

Пример 2

Необходимо найти неопределенный интеграл ∫2sinx2cosx2dx и проверить результат вычисления дифференцированием.

Решение

Используем для проведения вычислений формулу синуса двойного угла из курса тригонометрии 2sinx2cosx2=sin x, получим ∫2sinx2cosx2dx=∫sin xdx.

Используем таблицу производных для тригонометрических функций, получим:

• d(cos x)=cos x’dx=-sin xdx⇒sin xdx=-d(cos x)
• То есть, ∫sin xdx=∫(-d(cos x))
• Используя третье свойство неопределенного интеграла, мы можем записать ∫-d(cos x)=-∫d(cos x).
• По второму свойству получаем -∫d(cos x)=-(cos x+C)
• Следовательно, ∫2sin x2cosx2dx=-cos x-C.
• Проверим полученный результат дифференцированием.
• Продифференцируем полученное выражение:
  -cos x-C’=-(cos x)’-(C)’=-(-sin x)=sin x=2sinx2cosx2

В результате проверки мы получили подынтегральную функцию. Это значит, что интегрирование было проведено нами верно. Для осуществления последнего перехода мы использовали формулу синуса двойного угла.

Ответ: ∫2sin x2cosx2dx=-cos x-C

Если таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/integraly-integrirovanie/pervoobraznaja-i-neopredelennyj-integral-ih-svojst/

ТФКП. Вычисление определённых интегралов с помощью контурного интегрирования

Теоретический минимум

Часто встречаются случаи, когда вычисление определённых интегралов методами комплексного анализа предпочтительнее, чем методами
вещественного анализа. Причины могут быть самыми разными. Методы ТФКП могут позволять в отдельных случаях сильно сократить вычисления.
Иногда формулу Ньютона-Лейбница нельзя использовать, так как неопределённый интеграл не выражается в элементарных функциях.
Методы дифференцирования и интегрирования по параметру требуют очень аккуратного обоснования своей применимости, да и параметр иногда
приходится вводить искусственно.

Обычно методами комплексного анализа вычисляются несобственные интегралы — по бесконечному промежутку или от неограниченных на отрезке
интегрирования функций. Общая идея заключается в следующем. Составляется контурный интеграл. Интеграл по некоторым участкам контура должен
совпадать с искомым определённым интегралом — по крайней мере, с точностью до постоянного множителя. Интегралы по остальным участкам контура
должны вычисляться. Затем применяется основная теорема о вычетах, согласно которой
,
где — это особые точки функции , находящиеся внутри контура интегрирования . Таким образом, контурный интеграл с одной
стороны оказывается выраженным через искомый определённый интеграл, а с другой стороны вычисляется с помощью вычетов (что обычно
серьёзных сложностей не представляет).

Основная сложность — выбор контура интегрирования. Его подсказывает, в принципе говоря, подынтегральная функция. Однако без достаточной
практики овладеть данным методом сложно, а потому примеров будет приведено довольно много. Наиболее часто используются контуры, составленные из
элементов, по которым удобно проводить интегрирование (прямые, дуги окружностей).

Примеры вычисления определённых интегралов с помощью контурного
интегрирования в комплексной плоскости

Пример 1. Интегралы Френеля.
Вычислим интегралы , .
Несложно догадаться, что первым шагом является переход к экспоненциальной форме, предполагающий рассмотрение интеграла .
Нужно только подобрать контур интегрирования. Понятно, что в контур должна войти полуось . Вещественная и
мнимая части интеграла по этой части контура представляют собой интегралы Френеля. Далее, вычисляемый контурный интеграл по структуре
подынтегрального выражения напоминает интеграл Эйлера-Пуассона, значение которого известно. Но чтобы получить этот интеграл, нужно положить
, тогда . А такое представление переменной — это интегрирование по прямой, проходящей через точку
под углом к вещественной оси.
Итак, два элемента контура есть. Чтобы контур замкнулся, будем считать, что выбранные два участка контура имеют конечную длину , и замкнём
контур дугой окружности радиуса . Позже мы устремим этот радиус к бесконечности. В результате получается изображённый на рис. 1 контур.

(1)
Внутри контура интегрирования подынтегральная функция особых точек не имеет, поэтому интеграл по всему контуру равен нулю.
На участке можно записать , тогда
.
В пределе этот интеграл равен нулю.
На участке можно записать , тогда
.
Подставляем полученные результаты в (1) и переходим к пределу :

Отделяя вещественную и мнимую части, находим, учитывая значение интеграла Эйлера-Пуассона
,
.

Пример 2. Выбор контура интегрирования, содержащего внутри особую точку подынтегральной функции.
Вычислим интеграл, похожий на рассмотренный в первом примере: , где .
Вычислять будем интеграл . Контур выберем аналогичный тому, который использовался в первом примере. Только теперь нет цели
свести вычисление к интегралу Эйлера-Пуассона. Здесь заметим, что при замене подынтегральная функция не изменится.
Это соображение подсказывает выбрать наклонную прямую контура интегрирования так, чтобы она составляла с вещественной осью угол .

При записи контурного интеграла
(2)
интеграл по дуге окружности в пределе стремится к нулю. На участке можно записать :
.
Таким образом, из (2) при переходе к пределу находим
.
Здесь учтено, что внутри контура интегрирования подынтегральная функция имеет простой полюс .

Отсюда находим искомый интеграл:
.

Пример 3. Через верхнюю или нижнюю полуплоскость замкнуть контур интегрирования?
На следующем достаточно простом интеграле продемонстрируем характерную деталь выбора контура интегрирования. Вычислим
интеграл .
Фактически искомый интеграл функции вычисляется вдоль вещественной оси, на которой подынтегральная функция не имеет
особенностей. Остаётся только замкнуть контур интегрирования. Так как у функции под интегралом всего две конечные особые точки, то
замкнуть контур можно полуокружностью, радиус которой следует устремить к бесконечности. И здесь возникает вопрос о том, как должна
быть выбрана полуокружность: в верхней или нижней полуплоскости (см. рис. 3 а, б). Чтобы понять это, запишем интеграл по полуокружности
в обоих случаях:

а)
б)
Как видно, поведение интеграла в пределе определяется множителем .
В случае «а» , а потому предел будет конечен при условии .
В случае «б» — напротив — , а потому предел будет конечен при условии .
Это наводит на мысль, что способ замыкания контура определяется знаком параметра . Если он положителен, то
контур замыкается через верхнюю полуплоскость, в противном случае — через нижнюю. Рассмотрим эти случаи отдельно.
а)
Интеграл по полуокружности в пределе , как мы видели, обратится в нуль. Внутри контура (см. рис. 3а) находится
особая точка , поэтому

б)
Аналогично находим с помощью интегрирования по контуру, изображённому на рис. 3б,

Замечание. Может показаться странным, что интеграл от комплексной функции получился вещественным. Однако это легко понять, если в исходном
интеграле выделить вещественную и мнимую часть. В мнимой части под интегралом окажется нечётная функция, а интеграл вычисляется в симметричных
пределах. Т.е. мнимая часть обратится в нуль, что и получилось в нашем расчёте.

Пример 4. Обход особых точек подынтегральной функции при построении контура интегрирования.
В рассмотренных примерах подынтегральная функция либо не имела особых точек, либо они были внутри контура интегрирования. Однако
бывает удобно выбрать контур так, что на него попадают особые точки функции. Такие точки приходится обходить. Обход осуществляется
по окружности малого радиуса, который в дальнейшем просто устремляется к нулю. В качестве примера вычислим интеграл .
Может показаться, что подынтегральная функция не имеет конечных особых точек, так как точка является устранимой особенностью.
Но для вычисления интеграла приходится составлять контурный интеграл от другой функции (чтобы обеспечить обращение интеграла в нуль на
замыкающей полуокружности в пределе бесконечного радиуса): . Здесь подынтегральная функция имеет полюсную особенность
в точке .

Таким образом, требуется другой контур интегрирования (см. рис. 4). Он отличается от рис. 3а только тем, что особая точка обходится по полуокружности,
радиус которой предполагается в дальнейшем устремить к нулю.
. (3)
Сразу заметим, что интеграл по большой полуокружности в пределе её бесконечно большого радиуса стремится к нулю, а внутри контура
особых точек нет, так что весь интеграл по контуру равен нулю. Далее рассмотрим первое и третье слагаемые в (3):

.
Теперь запишем интеграл по малой полуокружности, учитывая, что на ней . Также сразу будем учитывать малость радиуса полуокружности:

Не выписаны слагаемые, стремящиеся к нулю в пределе .
Собираем слагаемые в (3) — кроме относящегося к большой полуокружности слагаемого.

Как видно, обращающиеся в бесконечность при слагаемые взаимно уничтожились. Устремляя и , имеем
.
Замечание. Совершенно аналогично вычисляется, например, интеграл Дирихле (напомним, он отличается от только что рассмотренного отсутствием
квадратов в числителе и знаменателе).

Примеры вычисления определённых интегралов с помощью контурного
интегрирования в комплексной плоскости (продолжение)

Пример 5. Подынтегральная функция имеет бесчисленное множество особых точек.
Во многих случаях выбор контура осложнён тем, что у подынтегральной функции бесчисленное множество особых точек. В этом случае может
оказаться так, что сумма вычетов в действительности будет рядом, сходимость которого ещё придётся доказывать, если суммировать его
не получается (а суммирование рядов — вообще отдельная довольно сложная задача). В качестве примера вычислим интеграл .
Понятно, что часть контура — вещественная ось. На ней у функции особенностей нет. Обсудим, как замкнуть контур. Выбирать полуокружность не следует.
Дело в том, что гиперболический косинус имеет семейство простых нулей . Поэтому внутрь контура, замкнутого полуокружностью
в пределе бесконечно большого радиуса, попадёт бесконечно много особых точек. Как ещё можно замкнуть контур? Заметим, что .
Отсюда следует, что можно попробовать включить в контур интегрирования отрезок, параллельный вещественной оси. Контур замкнётся двумя
вертикальными отрезками, в пределе находящимися бесконечно далеко от мнимой оси (см. рис. 5).

На вертикальных участках контура . Гиперболический косинус с ростом аргумента (по модулю) растёт экспоненциально, поэтому
в пределе интегралы по вертикальным участкам стремятся к нулю.

Итак, в пределе
.
С другой стороны, внутри контура интегрирования находятся две особые точки подынтегральной функции. Вычеты в них
,
.
Следовательно,
.

Пример 6. Подынтегральная функция определённого и контурного интегралов различны.
Существует очень важный случай вычисления определённых интегралов методом контурного интегрирования. До сих пор подынтегральная
функция контурного интеграла либо просто совпадала с подынтегральной функцией определённого интеграла, либо переходила в неё отделением
вещественной или мнимой части. Но не всегда всё оказывается так просто. Вычислим интеграл .
В смысле выбора контура особой проблемы нет. Хотя у функции под интегралом бесконечно много простых полюсов , мы уже знаем
по опыту предыдущего примера, что нужен прямоугольный контур, так как . Единственное отличие от примера 5 заключается в том,
что на прямую попадает полюс подынтегральной функции , который нужно обойти. Поэтому выбираем изображённый
на рис. 6 контур.

Рассмотрим контурный интеграл . Мы не станем расписывать его на каждом участке контура, ограничившись горизонтальными
участками. Интеграл по вещественной оси в пределе стремится к искомому. Запишем интегралы по остальным участкам:
.
В пределе и первые два интеграла дадут , потом они войдут в контурный интеграл в сумме
с искомым, который отличается знаком. В результате из контурного интеграла искомый определённый интеграл выпадет. Это означает, что
подынтегральная функция была выбрана неверно. Рассмотрим другой интеграл: . Контур оставляем прежним.

Для начала снова рассмотрим интегралы по горизонтальным участкам. Интеграл вдоль вещественной оси перейдёт в .
Этот интеграл равен нулю как интеграл нечётной функции в симметричных пределах.

В пределе и первые две скобки обратятся в нуль, снова образовав интегралы от нечётных функций
в симметричных пределах. А вот последняя скобка с точностью до множителя даст искомый интеграл. Имеет смысл продолжать вычисление.
Аналогично примеру 5 к нулю стремятся интегралы по вертикальным участкам контура при . Остаётся найти интеграл
по полуокружности, где . Как в примере 4, вычисляем интеграл, учитывая малость :
.
Итак, у нас есть всё, чтобы записать в пределе и контурный интеграл:

А с другой стороны, внутри контура интегрирования оказался полюс подынтегральной функции , причём
.
Таким образом,
.

Пример 7. Интеграл от функции с логарифмической особенностью.
Обратимся к многозначным функциям и начнём с логарифма под интегралом. Вычислим интеграл .
У логарифма имеется точка ветвления, которую нужно обязательно обойти. В контур обязательно войдёт полуось . Как замкнуть контур?
Заметим, что на половине вещественной оси знаменатель имеет тот же вид, что и на полуоси .
Поэтому контур выберем так, как показано на рис. 7.

Начнём с интегралов по прямолинейным участкам контура:

Следует обратить внимание, что на участке от до переменная интегрирования записана как .
Нужно понимать, что записать было бы ошибкой. При обходе контура по большой полуокружности аргумент именно увеличивается
на величину .
На участке контура подынтегральная функция ведёт себя как при . Следовательно,
интеграл по большой полуокружности в пределе её бесконечного радиуса стремится к нулю.
Аналогично на малой полуокружности подынтегральная функция ведёт себя как при . Итак, в пределе и

С другой стороны, внутри контура интегрирования находится особая точка , причём
.
Итак,
.
Отделяем вещественную часть:
.
Замечание. Отделяя мнимую часть, мы получили бы значение ещё одного интеграла.

Пример 8. Интеграл от функции с логарифмической особенностью: снова изменение подынтегральной функции.
Ещё один пример, когда подынтегральные функции определённого и контурного интегралов различны. Вычислим интеграл .
Контур можно использовать всё тот же, что и в примере 7: структура интеграла это допускает. Однако на этот раз логарифм умножается на нечётную
функцию. В результате при вычислении интеграла вклады горизонтальных участков контура компенсируют друг друга.
Искомый интеграл сокращается — так же, как это произошло в примере 6.
Мы не будем убеждаться в сокращении искомого интеграла в рассмотренной схеме вычислений, а сразу предложим ведущий к ответу путь.
Вычислять следует контурный интеграл по тому же контуру (см. рис. 8).

Аналогично примеру 7 легко показать, что интегралы по полуокружностям в пределе и стремятся к нулю.
Рассмотрим интегралы по горизонтальным участкам:

Как видно, ненужный интеграл в контурный интеграл не войдёт. В пределе и
.
С другой стороны, внутри контура находится особая точка , причём
.
Следовательно,
.
Отделяя мнимую часть, находим:
.

Вычисление определенного интеграла

Здравствуйте. Меня зовут Андрей Зварыч. Я онлайн-репетитор сайта Tutoronline по высшей математике. Очень часто ко мне обращаются студенты с просьбой помочь разобраться с вычислением определенных интегралов. Сегодня я покажу несколько примеров решения. Надеюсь, моя статья будет полезной.

Итак, если F(x) – одна из первообразных непрерывной функции f(x) на [a,b], то справедлива формула Ньютона-Лейбница

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а функция x = φ(t) непрерывно дифференцирована на отрезке [t₁,t₂], причем a = φ(t₁), b = φ(t₂), то имеет место формула

Если функции u(x), v(x) и их производные u'(x), v'(x) непрерывны на отрезке [a,b], то справедлива формула интегрирования по частям

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Пример 4 Вычислить интеграл

Решение.

На основании формулы произведения синусов, таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Пример 5. Вычислить интеграл

Решение.

Разложим подынтегральную функцию на сумму простых дробей,

Решив систему

Получим 

Тогда на основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем

Пример 6. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Сделаем замену e^x + 4 = t², тогда e^x= t²– 4, e^x dx = 2t dt,  

Если x= ln5, то t = 3; если x= ln12, то t = 4. Тогда

Пример 7. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Пример 8. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Сделаем подстановку t = cosx

Если x = 0, то t = cos 0 = 1, если

Следовательно

Пример 9. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Найдем пределы по t:

Находим

Следовательно,

Пример 10. Вычислить интеграл

Решение.

Хороший метод решения интегралов, это метод занесения под дифференциал, его плюс состоит в том, что не требуется менять пределы интегрирования

Пример 11. Вычислить интеграл

Решение. На основании таблицы основных интегралов и формулы (3) имеем (интегрируем по частям)

Если у Вас остались вопросы или Вам нужна помощь в решении «ваших интегралов», записывайтесь на мои занятия. Буду рад Вам помочь!

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

б е (х) \, dx
= \ точки,
$$
где каждый следующий шаг добавляет еще одну точку деления интеграла. Используя индукцию, вы можете доказать, что (1) работает с конечным числом членов, но нормальная индукция не позволяет вам перейти к «бесконечному шагу», поэтому вы не получите ничего похожего на предложенное вами уравнение.

Теперь, если вы хотите углубиться в этот вопрос, вы можете узнать о трансфинитной индукции и задаться вопросом, почему вы не можете провести индукцию по порядковому номеру $ \ omega $, чтобы перейти к «бесконечному шагу».Фактически, вы можете попробовать, но это включает в себя совершенно иную операцию, чем просто «добавление еще одной точки», потому что $ \ omega $ является предельным порядковым номером, а не преемником, и не имеет непосредственного предшественника, который является «еще одним». . Следовательно, шаг индукции согласования также потребует некоторой операции ограничения, и один недостаток интегралов Римана состоит в том, что они не всегда очень хорошо взаимодействуют с пределами.

Вот аналог (1) для выполнения счетного деления:

Предложение: Пусть $ c_1, c_2, \ dots \ in [a, b] $ — возрастающая последовательность из счетно бесконечного числа точек, и предположим, что $ f (x) $ интегрируема на $ [a, b] $. .b f (x) \, dx. $$

Обратите внимание, что я должен ввести супремум $ \ sum c_n $ в уравнение просто для того, чтобы иметь возможность записать формулу, потому что последовательность $ c_n $ не имеет максимального члена, но мне нужно начать последний интеграл » сразу после «конца остальных».

Чтобы доказать это, вы можете использовать следующий прием, распространенный в реальном анализе: пусть
$$ \ chi _ {[s, t]} (x) = \ begin {cases} 1 & x \ in [s, t] \\ 0 & x \ notin [s, t] \ end {cases} $$
— «индикаторная функция» (или характеристическая функция, отсюда и буква) интервала $ [s, t] $.м, $$
так что вопрос действительно в том, «как поменять предел на интеграл?». В интеграции Римана часто нет выхода; с интегралом Лебега, более сложной версией, есть теоремы, такие как Теорема о доминирующей сходимости (которая применяется здесь), которая допускает это.

Однако ваше уравнение еще хуже: в нем несчетное количество частей. Даже теорема о доминирующей сходимости вам здесь не поможет, поскольку она применима только к счетному числу членов.И, как вы заметили, если бы уравнение работало, интегрирование не сработало бы, так что это действительно нечто иное, чем счетное разбиение. В общем, сделать скачок от конечных сумм к бесконечным суммам не так просто, как просто заменить индекс на знаке суммы.

Когда интегральный ноль? «Математик без извинений

Когда есть интегральный ноль?

Мы получили несколько интересных результатов о том, когда интегралы оказываются равными нулю.

Первое: если это п.в. неотрицательная интегрируемая функция, то тогда и только тогда, когда почти всюду. В одном направлении, если п.в. тогда мы можем выбрать все как последовательность простых функций, сходящихся по мере к; ясно, что предел их интегралов равен нулю. С другой стороны, если средняя последовательность Коши интегрируемых простых функций сходится по мере к, то так же происходит, поскольку п.в. неотрицательный. Если тогда у нас должно быть

, то есть сходится в среднем к, что, как мы знаем, означает, что он также сходится в меру.Но мы выбрали эту последовательность так, чтобы она сходилась в меру, и так почти везде.

В качестве быстрого следствия, if является интегрируемым и является множеством меры нуль, то, поскольку это действительно интеграл от, который является п.в. нуль.

Что-то вроде обратного: if интегрируемо и положительно п.в. на измеримом множестве, а если, то. Определяем и

для всех натуральных чисел; наше предположение говорит нам, что у него есть мера ноль, поэтому, если мы сможем показать, что это тоже так, то мы это увидим.Но у нас

, где последнее неравенство выполнено, поскольку п.в. на . Это показывает это для всех. Но есть союз всех, и так

, как мы и хотели показать.

Теперь, если интегрируемо и для каждого измеримого, то почти везде. В самом деле, если, то наша гипотеза говорит это, а предыдущий результат показывает это. Применение тех же рассуждений к показывает, что то же самое верно и для набора точек, где отрицательно.

Наконец, мы можем показать, что если интегрируемо, то множество -конечно.Чтобы убедиться в этом, позвольте быть средней последовательностью Коши интегрируемых простых функций, сходящейся по мере к. Для каждого является измеримым множеством конечной меры. Теперь установите

Если есть измеримое подмножество, то мы можем увидеть, что

, так как находится за пределами каждого. Теперь наш предыдущий результат показывает нам, что п.в. на, но так как у нас есть везде! Единственная возможность состоит в том, что он сам имеет нулевую меру. Таким образом,

записывается как (счетное) объединение набора множеств конечной меры, как требуется.

Нравится:

Нравится Загрузка …

Связанные

7 июня 2010 г. —

Отправленный Джоном Армстронгом |
Анализ, теория меры

Simple English Wikipedia, бесплатная энциклопедия

Интеграция посвящена поиску поверхности s , учитывая a , b и y = f (x) . {\,}} в виде высокой буквы «S». ^{[1] [2] [3]} Этот символ был впервые использован Готфридом Вильгельмом Лейбницем, который использовал его как стилизованное «» (для summa , латинское слово «сумма») для обозначения суммы площадь, охватываемая уравнением, например y = f (x) .

Интегралы и производные являются частью раздела математики, называемого исчислением. Связь между этими двумя понятиями очень важна и называется фундаментальной теоремой исчисления. ^[4] Теорема гласит, что интеграл может быть обращен производной, аналогично тому, как сложение может быть обращено вычитанием.

Интеграция помогает при попытке превратить несколько единиц в проблему. Например, если проблема со скоростью (distancetime) {\ displaystyle \ left ({\ tfrac {\ text {distance}} {\ text {time}}} \ right)}, требуется ответ только с расстоянием, одно решение интегрировать по времени. Это означает умножение на время, чтобы отменить время в (distancetime) × время {\ displaystyle \ left ({\ tfrac {\ text {distance}} {\ text {time}}} \ right) \ times {\ text {time} }}. Это делается путем сложения вместе небольших кусочков графика скорости.Срезы близки к нулю по ширине, но бесконечное сложение их вместе приводит к получению целого. Это называется суммой Римана.

При сложении этих срезов получается уравнение, производной от которого является первое уравнение. Интегралы похожи на способ сложить вручную множество мелких вещей. Это похоже на суммирование, которое складывает 1 + 2 + 3 + 4 …. + n {\ displaystyle 1 + 2 + 3 + 4 …. + n}. Разница с интеграцией в том, что мы также должны складывать все десятичные дроби и дроби между ними. ^[4]

Еще один случай полезной интеграции — это определение объема твердого тела.Он может складывать двухмерные (без ширины) срезы твердого тела вместе на неопределенное время — до тех пор, пока не будет получена ширина. Это означает, что объект теперь имеет три измерения: два исходных и ширину. Это дает объем описываемого трехмерного объекта.

Первоначальное [изменение | изменить источник]

Согласно основной теореме исчисления, интеграл является первообразной. {2}}.{n + 1}} {n + 1}} + C}

dx {\ displaystyle dx} в конце — это то, что показывает, что мы интегрируем относительно x , то есть при изменении x . Можно увидеть, что это обратное дифференциации. Однако при интегрировании добавляется константа C. Это называется постоянной интегрирования. ^[1] Это требуется, потому что дифференцирование целого числа приводит к нулю, поэтому интегрирование нуля (которое может быть помещено в конец любого подынтегрального выражения) дает целое число C.{\,} {\ frac {f ‘(x)} {f (x)}} dx = \ ln {| f (x) |} + C}

Две вертикальные полосы указывают абсолютное значение; знак (положительный или отрицательный) f (x) {\ displaystyle f (x)} игнорируется. Это потому, что натуральный логарифм отрицательных чисел не имеет значения.

Сумма функций [изменить | изменить источник]

Интеграл от суммы функций — это сумма интеграла каждой функции. это,

∫ab [е (x) + g (x)] dx = ∫abf (x) dx + ∫abg (x) dx {\ displaystyle \ int \ limits _ {a} ^ {b} [f (x) + g (x)] \, dx = \ int \ limits _ {a} ^ {b} f (x) \, dx + \ int \ limits _ {a} ^ {b} g (x) \, dx}.{a} f (x) \, dx}

Опять же, следуя FTC: F (b) −F (a) = — [F (a) −F (b)] {\ displaystyle F (b) -F (a) = — [F (a) -F (б)]}.

Сохранено симметрией

Когда я решаю задачу, апеллируя к симметрии, у студентов отвисает челюсть. Они смотрят на меня так, будто я вытащила кролика из шляпы.

Раньше я считал эти уловки общеизвестными, но теперь я думаю, что они широко известны в одних кругах (например, в физике) и не так распространены в других. Эти уловки просты, но не так много людей, как я думал, обучены находить возможности их применения.

Вот пример.

Популярная викторина 1 : Оцените следующий устрашающий интеграл.

Решение : ноль в силу симметрии, поскольку подынтегральное выражение нечетное.

Подынтегральное выражение является нечетной функцией (т.е. f (- x ) = — f ( x )), а подынтегральное выражение нечетной функции на симметричном интервале равно нулю. Это связано с тем, что область ниже оси x симметрична области выше оси x , как показано на следующем графике.

Приведенный выше пример не является искусственным: подобные вычисления постоянно возникают в приложениях. Например, ряд Фурье нечетной функции содержит только синусоидальные члены, а не косинусные члены. Почему? Все интегралы для вычисления коэффициентов Фурье косинусных членов включают нечетные функции, интегрированные по интервалу, симметричному относительно нуля.

Еще одно распространенное применение симметрии — вычисление производных. Производная нечетной функции является четной функцией, и , наоборот, .

Популярная викторина 2 : Какой коэффициент при x ⁵ в ряду Тейлора для cos (1 + x ² )?

Решение : ноль по симметрии, поскольку cos (1 + x ² ) является четной функцией.

Нечетные функции x имеют только нечетные степени x в их рядах Тейлора, а четные функции имеют только четные степени x в их рядах Тейлора. Почему? Поскольку коэффициенты происходят от производных, оцениваемых как ноль.

Если f ( x ) — нечетная функция, все ее четные производные являются нечетными функциями. Эти производные равны нулю при x = 0, поэтому все коэффициенты при четных степенях x равны нулю. Аналогичный аргумент показывает, что четные функции имеют только четные степени x в их рядах Тейлора.

Уловки симметрии очевидны в ретроспективе. Самое сложное — научиться распознавать, когда они применяются. Симметрии труднее распознать, но они более ценны в сложных ситуациях.Ключ в том, чтобы подумать о проблеме, которую вы пытаетесь решить, прежде чем погрузиться в расчет с головы до ног.

Похожие сообщения

Определенные интегралы | Блог по математике ∞

Нет никаких сомнений в том, что некоторые термины в области математики могут быть немного пугающими. Однако, как только вы перестанете использовать имена, то, как работает фактическая математика, будет довольно просто.

Понимание интеграции

Интеграция — это метод добавления фрагментов для поиска целого.Его можно использовать для определения центральных точек, объемов и областей нескольких полезных вещей. Однако проще всего начать с области под кривой функции.

Пока можно вычислить функцию в нескольких точках и сложить срезы шириной Δx; однако ответ, к которому вы придете, не будет очень точным. Лучший способ — уменьшить Δx и сложить более мелкие срезы, что даст более точный ответ. По мере того, как срезы становятся ближе к нулю по ширине, вы приближаетесь к истинному ответу.

В этот момент вы можете подумать: «Ого, это много добавлений».

Не волнуйтесь! Их не нужно складывать, потому что есть ярлык, который вы можете использовать. Нахождение интеграла обратное нахождению производной.

Например, что такое интеграл от 2x? Вы уже знаете, что производная x ² равна 2x, поэтому интеграл от 2x равен x ² .

Символ, используемый для интеграла, — это «причудливая S», обозначающая сумму для сложения ваших срезов.После символа интеграла вставьте функцию, для которой вы хотите найти интеграл, а затем закончите с dx, что означает, что срезы перемещаются в направлении x. Вот как написать ответ:

ᶴ 2x dx = x ² + C

Что такое C? Это «постоянная интегрирования», которая присутствует в уравнении, поскольку все функции имеют производную 2x.

Производная уравнения x ² + 4 равна 2x, а производная x ² +99 равна 2x, и это продолжается и продолжается, потому что производная любой константы равна нулю.В результате, когда для определения интеграла выполняется обратная операция, вы знаете, что только в 2 раза константа могла иметь любое значение. В результате идея завершается простым написанием + C в. Более простой способ понять — просто согласиться!

С помощью этого уравнения вы теперь готовы найти определенные интегралы триггерных функций. Все, что вам нужно сделать, это ввести соответствующие значения.

Производные триггерных функций

В тригонометрии функции — полезная часть повседневной жизни.Однако вы можете задаться вопросом, как найти производные триггерной функции. Для этого необходимо использовать лимиты. Понимание ограничений может занять время, но если вы действительно хотите определить производные триггерной функции, вам нужно углубиться в этот навык.

Если у вас кружится голова, не волнуйтесь, вы не одиноки. Хорошая новость в том, что чем больше вы практикуетесь, тем лучше вы будете работать с этими числами и уравнениями. Плохая новость — это математика. Еще хорошие новости — калькуляторы!

Основные правила интеграции

Обзор

Как и в случае с дифференцированием, есть несколько основных правил, которые мы можем применять при интеграции функций.Если вы знакомы с материалом на первых нескольких страницах этого раздела, вы уже должны быть уверены в том, что интеграция и дифференциация противоположны друг другу. Это означает, что когда мы интегрируем функцию, мы всегда можем дифференцировать результат, чтобы получить исходную функцию. К сожалению, обратное неверно. Как только мы дифференцируем функцию, любой постоянный член в этой функции просто обращается в нуль, потому что производная любого постоянного члена равна нулю.Это то, что нам нужно иметь в виду, когда мы думаем о том, как мы будем интегрировать функцию, потому что это означает, что наш ответ всегда будет содержать константу с неизвестным значением. Мы называем эту константу константой интегрирования , C
.

Мы уже говорили о правиле мощности для интеграции в другом месте в этом разделе. Это правило, по сути, является обратным правилу степеней, используемому при дифференцировании, и дает нам неопределенный интеграл переменной, возведенной в некоторую степень.Чтобы освежить вашу память, формула правила мощности интегрирования выглядит следующим образом:

Эта формула дает нам неопределенный интеграл от переменной x , возведенный в степень n , умноженный на постоянный коэффициент a (обратите внимание, что n не может быть равно минус один , потому что это приведет к нулю. в знаменателе в правой части формулы).Одного этого правила достаточно, чтобы мы могли интегрировать полиномиальные функции одной переменной. Мы просто интегрируем каждый член отдельно — знак плюс или минус перед каждым термином не меняется. Неопределенные интегралы некоторых общих выражений показаны ниже. Обратите внимание, что в этих примерах a представляет константу, x представляет переменную, а e представляет число Эйлера (приблизительно 2,7183). Также обратите внимание, что первые три примера в таблице получены из применения правила мощности.

Неопределенные интегралы от некоторых общих функций

Постоянное значение a :

Переменная x :

Квадрат переменной

14 x 2

9000 a переменная :

Экспоненциальная функция e ^x

Другие экспоненциальные функции 9000 a ^{x: x:}