Урок 20. иррациональные уравнения и неравенства — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №20. Иррациональные уравнения и неравенства

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие иррационального уравнения;

2) понятие иррационального неравенства;

3) виды и методы решения простейших иррациональных уравнений;

4) методы решения иррациональных неравенств.

Глоссарий по теме

Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.

Свойство: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М. И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.

Свойство: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.

Рассмотрим виды иррациональных уравнений

В этом случае мы можем воспользоваться определением квадратного корня.

Из него следует, что  а≥0, тогда

Для нашего случая получим

или

Мы знаем, что сумма положительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю.
Т.е.

По определению квадратного корня f(x) > 0. Таким образом, чтобы найти такие значения неизвестной, при которых выполняются следующие условия:

Примеры:

Ответ: х=4

следовательно, решений нет

Ответ: решений нет

Определение.  Неравенство, содержащие переменную под знаком корня, называется иррациональным.

Иррациональное неравенство, как правило, сводится к равносильной системе (или совокупности систем) неравенств.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Решим уравнение:

Возведем в квадрат обе части уравнения, получим:

, которое не будет равносильно исходному уравнению, потому что у этого уравнения два корня , а у первоначального уравнения только один корень х=4.

№1.

Подчеркните корни данного уравнения

1. 0; 1
2. -1;0;1
3. -1;0

Решим данное уравнение.

Получаем три корня из последнего уравнения: -1;0;1

Верный ответ: 2

1. 0; 1
2. -1;0;1
3. -1;0

Пример 2.

Решите уравнение:

1 способ:

Рассмотрим область определения функций:

х-5=2х-3

х=-2, но -2 не входит в область определения функций, следовательно, решений нет.

Ответ: решений нет.

2 способ:

х-5=2х-3

х=-2

Проверка:

Значит, х=-2- посторонний корень

Ответ: решений нет

Иррациональные уравнения. Примеры решения

Примеры решения задач

Пример 1.   Решить уравнение  

                                       .                                    (1)

Решение.  Областью допустимых значений переменной в уравнении (1) являются  .

Приведем три метода решения иррационального уравнения (1).

Метод 1. Уравнение (1) равносильно уравнению

                                              .                                      (2)

Отсюда следует, что    или  . Возведем в квадрат обе части уравнения (2) и получим . Так как здесь  , то    и после возведения в квадрат обеих частей уравнения   имеем равносильное квадратное уравнение

,

подходящим корнем которого является  .

Метод 2.  Обозначим  . Тогда    и уравнение (1) принимает вид или . Отсюда следует, что  . Если возвести в квадрат обе части уравнения , то получим уравнение    и  .

Так как  , то    или  .

Метод 3.  Пусть  . Нетрудно убедиться в том, что функция    является непрерывной и возрастающей на всей своей области определения. В этой связи уравнение (1) может иметь не более одного корня. Этот возможный единственный корень  легко находится подбором.

Ответ:  .

Пример 2.  Решить уравнение

                                                   .                                         (3)

Решение.  Так как и , то областью допустимых значений переменной в уравнения (3) является объединение двух интервалов:   и  .

Обозначим   и получим систему уравнений  

                                                                                                                            (4)

где  .   Если из первого уравнения системы (4) вычесть второе, то

  или  .

Рассмотрим два случая.

1. Если  , то    и . Отсюда следует, что  и  .

2. Если  , то    и  . В этом случае получаем квадратное уравнение  . Данное уравнение имеет единственный подходящий корень  .

Ответ:  ,  .

Пример 3.   Решить уравнение

                                          .                                        (5)

Решение. Приведем два метода решения уравнения (5).

Метод 1. Обозначим , и представим уравнение (5) посредством системы уравнений

где  . Если выражение   подставить во второе уравнение системы, то получим  . Подбором находим первый корень кубического уравнения  .

Так как   , то необходимо рассмотреть уравнение  . Отсюда получаем    и  .

Поскольку  , то рассмотрим два уравнения    и . Из первого уравнения следует, что  , а из второго уравнения получаем  .

Следует отметить, если    и  , то    и  . В этой связи значения    и    являются корнями уравнения (5).

Метод 2. Пусть  , тогда . В таком случае уравнение (5) можно представить как    или

                                             .                                           (6)

Возведем в квадрат обе части уравнения (6) и получим

.

Преобразуем кубическое уравнение следующим образом:

,

 или   .

Отсюда получаем и . Из уравнения (6) следует, что . Очевидно, что здесь значения   и  .

Так как  ,  и  , то    и  .

Ответ:  , .

Пример 4.  Решить уравнение

                                           .                                          (7)

Решение. Обозначим , тогда и уравнение (7) принимает вид    или  , где  .

Далее получаем равносильные уравнения

,  ,  или

                                             .                                          (8)

Так как  , то  .  В этой связи из уравнения (8) вытекает  ,  или  .

Ответ: .

Пример 5.  Решить уравнение

                                              .                                       (9)

Решение. Предварительно определим область допустимых значений переменной в уравнении (9). Непосредственно из уравнения следует, что . Однако  и , поэтому          или      .    Отсюда с учетом

получаем, что искомая область представляет собой объединение двух интервалов:    и .

Приведем два метода решения уравнения (9).

Метод 1. Если обе части уравнения   возвести в квадрат, то   или  . Решая уравнение , получаем    и  . Если принять во внимание область допустимых значений, то нетрудно установить, что уравнение (9) будет иметь только два корня:

 и  .

Метод 2. Так как в уравнении (9) имеем , то можно выполнить тригонометрическую замену  ,  где  .

В таком случае уравнение   принимает вид уравнения . Однако здесь  , поэтому   и  тогда    или  .

Из уравнения    получаем и , где целое число. Поскольку  , то  и  .

Следовательно, уравнение (9) имеет два корня:

   и   .

Ответ:  ,  .

Пример 6.  Решить уравнение

                        .                  (10)

Решение.  Если преобразовать левую часть уравнения (10) путем выделения полных квадратов под знаком обоих радикалов, то получим уравнение  .  

Так как    и  , то  

.

Поскольку , то равенство в уравнении (10) имеет место только в том случае, когда обе его части одновременно равны , а это возможно только в том случае, когда  .

Ответ:  .

Пример 7.  Решить уравнение

                                             .                                 (11)      

Решение. Областью определения переменной в уравнении (11) являются  .

Первоначально левую часть уравнения (11) умножим и разделим на выражение , учитывая при этом, что .

После этого получим равносильное уравнение  

                                             .                                (12)

Так как функция    убывает при условии, что  , а функция   является  возрастающей на всей числовой оси  , то уравнение (12) имеет один корень или не имеет их вообще. Подбором можно установить, что – корень уравнения (12).

Ответ: .

Пример 8.  Решить уравнение

                               .                                (13)                      

Решение. Областью допустимых значений переменной в уравнении (13) является отрезок  .

Умножим обе части уравнения на выражение . Отметим, что . После этого получаем уравнение

                            .                         (14)

Отсюда следует, что  и    является корнем уравнения (14). Пусть теперь . Тогда обе части уравнения (14) разделим на и получим уравнение    или  

                                          .                                      (15)   

Поскольку на области допустимых значений левая часть уравнения (15) убывает, а правая часть – возрастает, то уравнение (15) не может иметь более одного корня. Подбором нетрудно установить, что единственным корнем уравнения (15) является  .                   

Ответ:  .

Пример 9.  Решить уравнение

                                             .                                         (16)

Решение. Перепишем уравнение (16) в виде функционального уравнения . Так как функция возрастает на всей числовой оси , то уравнение будет равносильно уравнению    или  .

Из уравнения    получаем равносильные уравнения  

,  , .

Отсюда следует, что уравнение (16) имеет корни

,  и   .

Ответ:  , , .

Примечание. Методы решения функциональных уравнений типа

приведены в учебном пособии автора «Математика для старшеклассников. Нестандартные методы решения задач» (М.: Книжный дом «Либроком», 2009 – 2017 г.г.).                                        

Пример 10.  Решить уравнение

                           .                            (17)

Решение. Из уравнения (17) следует  . Если обе части уравнения умножить на выражение , то получим

                       .                  (18)

Отсюда следует, что  . Однако подстановкой в уравнение (17) убеждаемся в том, что значение    не является его корнем.

Разделим обе части уравнения (18) на выражение и получим или .   Корнями квадратного уравнения являются    и . Однако  , поэтому уравнение (17) имеет только один корень .   

Отметим, что если , то .

Ответ:  .

Пример 11.  Решить систему уравнений

                                                                       (19)

Решение. Если сложить уравнения системы (19), то получим

  или   .

Если из первого уравнения системы (19) вычесть второе уравнение, то    или  .

Так как    и  , то    и  . Отсюда следует, что    и  .

Ответ:  , .

Пример 12.  Решить систему уравнений

                                                                        (20)

Решение. Так как из второго уравнения системы (20) получаем , то . Однако , поэтому имеет место неравенство .  Отсюда и из первого уравнения системы (20) следует, что  ,    или  , .

Подставляя найденные значения и во второе уравнение системы (20), убеждаемся в том, что они являются корнями этой системы уравнений.

Ответ: , .

Для более глубокого и подробного изучения существующих методов решения иррациональных уравнений можно обратиться к учебным пособиям из списка рекомендуемой литературы.  

Рекомендуемая литература

1.  Кушнир А.И. Шедевры школьной математики (задачи и решения в двух книгах). – Киев: Астарта, книга 1, 1995. – 576 с.

2. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование, 2013. – 608 с.

3. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: задачи повышенной сложности. – М.: КД «Либроком» / URSS, 2017. – 200 с.

4. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач. – М.: КД «Либроком» / URSS, 2017. – 296 с.

Остались вопросы? 

Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.

Что такое иррациональные уравнения? Определения из учебников.

Прежде чем говорить про решение иррациональных уравнений, следует хорошо разобраться с вопросом, что такое иррациональные уравнения. Сейчас мы этим и займемся: познакомимся с определением иррационального уравнения и рассмотрим примеры уравнений этого вида.

Следует заметить, что определения немного отличаются от одной математической книги к другой. Поэтому давайте найдем и выпишем определения из учебников, рекомендованных Министерством образования и науки Российской Федерации, а также из других источников, чтобы проанализировать их, и выбрать для себя лучшее.

Подробный разговор про иррациональные уравнения и их решение ведется на уроках алгебры и начал анализа в старших классах школы. Однако некоторые авторы вводят в рассмотрение уравнения этого вида раньше. Например, те, кто занимаются по учебникам Мордковича А. Г., узнают про иррациональные уравнения уже в 8 классе: в учебнике [1, с. 174] утверждается, что

Там же приводятся примеры иррациональных уравнений , , , и т.п. Очевидно, в каждом из приведенных уравнений под знаком квадратного корня содержится переменная x, значит, по приведенному выше определению эти уравнения – иррациональные. Здесь же сразу разбирается один из основных методов их решения – метод возведения в квадрат обеих частей уравнения. Но о методах решения разговор пойдет чуть ниже, пока же приведем определения иррациональных уравнений из других учебников.

В учебниках Колмогорова А. Н. [3, с. 214] и Колягина Ю. М. [4, с. 193]

Определение

иррациональными называют уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная.

Обратим внимание на принципиальное отличие данного определения от предыдущего: здесь говорится просто корень, а не квадратный корень, то есть, не уточняется степень корня, под которым находится переменная. Значит, корень может быть не только квадратным, но и третьей, четвертой и т.д. степени. Таким образом, последнее определение задает более обширную группу уравнений.

Возникает закономерный вопрос, почему в старших классах мы начинаем использовать это более широкое определение иррациональных уравнений? Все объяснимо и просто: когда в 8 классе происходит знакомство с иррациональными уравнениями, нам хорошо известен лишь квадратный корень, ни о каких кубических корнях, корнях четвертой и более высоких степеней мы еще не знаем. А в старших классах обобщается понятие корня, мы узнаем про корень степени n, и при разговоре об иррациональных уравнениях уже не ограничиваемся квадратным корнем, а имеем в виду корень произвольной степени.

Для наглядности продемонстрируем несколько примеров иррациональных уравнений. — здесь под знаком кубического корня расположена переменная x, поэтому это уравнение иррациональное. Другой пример: — здесь переменная x находится как под знаком квадратного корня, так и корня четвертой степени, то есть, это тоже иррациональное уравнение. Вот еще пара примеров иррациональных уравнений более сложного вида: и .

Приведенные определения позволяют для себя отметить, что в записи всякого иррационального уравнения имеются знаки корней. Также понятно, что если знаков корней нет, то уравнение не является иррациональным. Однако не все уравнения, содержащие знаки корней, являются иррациональными. Действительно, в иррациональном уравнении под знаком корня должна быть переменная, если переменной под знаком корня нет, то уравнение не является иррациональным. В качестве иллюстрации приведем примеры уравнений, которые содержат корни, но не являются иррациональными. Уравнения и не являются иррациональными, так как не содержат переменных под знаком корня – под корнями стоят числа, а переменных под знаками корней нет, поэтому эти уравнения не иррациональные.

Некоторые сборники задач для подготовки к ЕГЭ в разделе «иррациональные уравнения» содержат задания, в которых переменная находится не только под знаком корня, но еще и под знаком какой-либо другой функции, например, модуля, логарифма и т.п. Вот пример , взятый из книги [5], а вот — из сборника [6]. В первом примере переменная x находится под знаком логарифма, а логарифм еще под знаком корня, то есть, мы имеем, если так можно выразиться, иррациональное логарифмическое (или логарифмическое иррациональное) уравнение. Во втором примере переменная находится под знаком модуля, а модуль еще и под знаком корня, с Вашего позволения назовем его иррациональным уравнением с модулем.

Считать ли уравнения подобного вида иррациональными? Вопрос хороший. Вроде переменная под знаком корня есть, но смущает что она не в «чистом виде», а под знаком еще одной или большего числа функции. Другими словами, вроде нет противоречия тому, как мы определили выше иррациональные уравнения, но присутствует некоторая степень неуверенности из-за наличия других функций. С нашей точки зрения, не стоит фанатично подходить к «называнию вещей своими именами». На практике достаточно сказать просто «уравнение» без уточнения, какого именно оно вида. А все эти добавки «иррациональное», «логарифмическое» и т.п. служат по большей части для удобства изложения и группировки материала.

В свете информации последнего абзаца интерес представляет определение иррациональных уравнений, данное в учебнике под авторством Мордковича А. Г. за 11 класс [2, с. 237]

Определение

Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.

Здесь, помимо уравнений с переменной под знаком корня, иррациональными считаются и уравнения с переменными под знаком возведения в дробную степень. Например, согласно этому определению уравнение считается иррациональным. С чего вдруг? Мы же уже привыкли к корням в иррациональных уравнениях, а здесь не корень, а степень, и это уравнение больше хочется назвать, к примеру, степенным, а не иррациональным? Все просто: степень с дробным показателем определяется через корни, и на ОДЗ переменной x для данного уравнения (при условии x²+2·x≥0) его можно переписать с использованием корня как , а последнее равенство представляет собой привычное нам иррациональное уравнение с переменной под знаком корня. Да и методы решения уравнений с переменными в основании дробных степеней абсолютно такие же, как и методы решения иррациональных уравнений. Так что удобно их назвать иррациональными и рассматривать в этом свете. Но будем честными с собой: изначально перед нами уравнение , а не , и язык не очень охотно поворачивается называть исходное уравнение иррациональным из-за отсутствия корня в записи. Уйти от подобных спорных моментов относительно терминологии позволяет все тот же прием: назвать уравнение просто уравнением безо всяких видовых уточнений.

Избежать подобных спорных моментов можно и через более строгое определение. Пример такого определения можно найти в справочнике советских времен [7, с. 64]:

Определение

Иррациональным называется уравнение, в котором некоторое рациональное или алгебраическое выражение от неизвестного находится под знаком радикала.

Согласно этому определению в иррациональном уравнении под знаком радикала может находиться только выражение, в котором над переменной не совершается иных действий, кроме сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень (натуральную) и извлечения корня. Это определение исключает нахождения переменной в иррациональном уравнении под знаками логарифмов, тригонометрических функций, в показателе степени и др.

Какое из приведенных выше определений предпочесть? Наверное, стоит называть иррациональными только такие уравнения, которые не противоречат ни одному из записанных определений, а остальные называть просто уравнениями без уточнения, что это за уравнение.

Пара слов о количестве переменных в записи иррациональных уравнений. Все приведенные выше иррациональные уравнения содержат единственную переменную x, то есть, являются уравнениями с одной переменной. Однако ничто не мешает рассматривать и иррациональные уравнения с двумя, тремя и т.д. переменными. Приведем пример иррационального уравнения с двумя переменными и с тремя переменными .

Но при этом обязательно нужно заметить, что в школе обычно рассматривается решение иррациональных уравнений только с одной переменной. Иррациональные уравнения с несколькими переменными встречаются не для решения, а в составе систем уравнений или при алгебраическом описании геометрических объектов. Например, можно встретить задание «решите систему уравнений », или увидеть описание полуокружности с центром в начале координат, радиусом 3 единицы, лежащей в верхней полуплоскости, при помощи уравнения .

В школе также рассматриваются иррациональные уравнения с параметром. Приведем пример: , здесь x – переменная, a — параметр. Как понять, что это уравнение с параметром, а не уравнение с двумя переменными? Как правило, это указывается в задании.

В заключение скажем, что встречается термин «простейшие иррациональные уравнения». Так что рекомендуем ознакомиться, что понимают под простейшими иррациональными уравнениями.

Иррациональные уравнения: алгоритм решения и примеры

Уравнения, в которых под знаком корня будет содержаться переменная, называются в математике иррациональными. Примером иррационального уравнения может служить следующее уравнение:

3√x — 5 = 0.

Для наглядности изложения рассмотрим следующий пример: решить уравнение √(x^2 — 5) = 2.2 — 5*x — 4 = 0. Решаем это уравнение любым из известных способов, получаем два корня x = 1 и x = 4. Подставим эти корни в наше исходное уравнение, тем самым выполним проверку.

√4 = 4 — 2. 

Получилось верное равенство следовательно х = 4 является корнем этого уравнения. Подставляем 1:

√1 = -1. В левой части получили отрицательное число -1, а в правой единицу. Равенство не выполняется. Следовательно, х = 1 не является корнем этого уравнения.

Ответ: х = 4.

Таким образом, мы убедились, что при решении иррациональных уравнений могут получиться побочные корни. И все решения полученные решения необходимо проверять.

Также уравнение может не иметь решений. Например, следующее уравнение √(x — 6) = √(4 — x) при решении дает один корень: х = 5. Но если его подставить, то не получится верного равенства. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Бывают случаи, когда удобнее не подставлять полученные корни, а сразу решать уравнение, используя равносильные переходы.2  -17*x + 66 = 0. Решив его, получим корни х = 11 и x = 6. Условие, записанное во втором неравенстве системы, будет выполнено только для корня х = 11. Следовательно, это и будет ответом уравнения.

Ответ: х = 11.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Электронный учебник по английскому языку: все темы школьной программы
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspСтепень с рациональным показателем: их основные свойства

Иррациональные уравнения. Алгебра 10 — презентация онлайн

1. Иррациональные уравнения Алгебра 10

ГОУ СОШ № 413 Петродворцового района
Санкт-Петербурга
Учитель: Оленникова Т.Н.

2. План урока

1.
2.
3.
4.
Историческая справка
Определение иррационального уравнения
Уравнения, содержащие корень нечетной степени.
Уравнения вида
f ( x) g ( x)
5.
6.
7.
8.
Уравнения вида
f ( x) g ( x)
Замена переменных
Задания для самостоятельной работы
Домножение на сопряженное выражение

3. Историческая справка

Название «радикал» происходит от латинских
слов radix – «корень», radicalis — «коренной».
Начиная с ХІІІ в. европейские математики
обозначали корень этим словом, или, сокращенно, r.
В 1525г в книге К.
Рудольфа «Быстрый и
красивый счет при помощи искусных
правил алгебры, обычно называемых
Косс» появилось обозначение V для знака
квадратного корня, корень кубический обозначался
там, как ▼▼▼.

4. Историческая справка (продолжение)

В 1626г голландский
математик А.Жирар
2
3
ввел обозначение V , V и т.д., которое стало
быстро вытеснять знак r ; при этом над
подкоренным выражением ставилась
горизонтальная черта.
Тогда писали V x y вместо x y
современного.
Современное обозначение корня впервые
появилось в книге Р. Декарта «Геометрия»,
изданной в 1637г.

5. Иррациональные уравнения

Иррациональным называется
уравнение, в котором переменная
входит под знаком корня (радикала).
Например:

6. Уравнения, содержащие корень нечетной степени.

Решая уравнения, содержащие корень
нечетной степени, чтобы «избавиться от
радикала», надо возвести обе части
уравнения в соответствующую степень.
Примеры. Решить уравнение.
Возведём обе части в куб, получим
Ответ:

7. Уравнения, содержащие корень нечетной степени (продолжение)

Решить уравнение:
Возведём обе части в куб, получим:
х = 1, х = 2, х = 0
Ответ: 0, 1, 2

8. І. Уравнения вида

f ( x) g ( x)
В ОДЗ левая часть уравнения всегда
неотрицательна – поэтому решение может
существовать только тогда, когда g ( x ) 0 .
В этом случае обе части уравнения
неотрицательны, возведение в квадрат даёт
равносильное в ОДЗ уравнение. Мы получаем,
что
2
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
g ( x) 0
(*)

9. ПРИМЕРЫ 1) Решить уравнение

x 2x 9x 5 3
2
Воспользуемся условием равносильности (*):
x 2x 9x 5 3
2
2x 9x 5 x 3
2
2 x 9 x 5 x 6 x 9
x 3x 4 0
x 3 0
x 3
x 4
2
2
Ответ : x 4
2

10. ПРИМЕРЫ 2) Решить уравнение

ПРИМЕРЫ
4 x3 8 x 2 5 x 2 x 1
2) Решить уравнение
Воспользуемся условием равносильности (*):
4 x 8x 5x 2 x 1
4 x 8x 5x 2 x 1
2 x 1 0
3
3
2
2
2
x
0,5
x 1 4 x 1 0
4 x3 4 x 2 x 1 0
x 1
2 x 1
x 0,5
x 0,5
2
x 0,5 Ответ: x 0,5

11. ІІ. Уравнения вида

f ( x) g ( x)
В ОДЗ обе части неотрицательны и при
возведении в квадрат дает равносильное
уравнение
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) 0
g ( x) 0
При таком способе решения достаточно
проверить неотрицательность одной из
функций – можно выбрать более простую.
(1)

12. ПРИМЕРЫ 1) Решить уравнение

x 2 x 1 2 x3 4 x 2 x 1
Воспользуемся условием равносильности (1):
2
x
x 1 0
2
3
2
x x 1 2x 4x x 1 2
3
2
x x 1 2 x 4 x x 1
2
x
x 1 0
2
x x 1 0
3
x 2,5
x 2,5
2
2 x 5 x 0
x 0
Ответ: х = 2,5

13. 2) Найдите произведение корней уравнения

x x 3x 2 8 2 x x
3
2
2
Воспользуемся условием равносильности (1):
2
8
2
x
x
0
3
2
2
x x 3x 2 8 2 x x 3 2
2
x x 3x 2 8 2 x x
x 2 2 x 8 0
x 2 x 4 0
x 2 x 4 0
3
2
2
x 2 x 5 x 6 0
x 1 x 3 x 2 0
x 1 x x 6 0
x 1
x 2
Ответ: Произведение корней равно — 2

14. ІІІ. Замена переменных. Решить уравнение 1.

Пусть
получим уравнение
Значит
решений нет.
Ответ: х = 3.

15. Замена переменных Решить уравнение 2.

Замена:
, тогда
, т.е.
Обе части неотрицательны, возведём в квадрат
и получим равносильное уравнение
и учитывая (*):
Ответ:

16. Решить самостоятельно уравнения

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Ответы: — 1, 0, 2
2
— 6, 10
-2
5
1
4

17. Решить самостоятельно уравнения

8.
Замена :
тогда
Ответ :
9.
Замена :
тогда
Ответ:

18. Домножение на сопряженное выражение

Решить уравнение
ОДЗ:
а)
x = 0 — не является корнем иск. ур-я (1)

19. Домножение на сопряженное выражение (продолжение)

б)
Домножим числитель и знаменатель
дроби на
, получим
Обе части неотрицательны, возведём в
квадрат и получим равносильное уравнение
Ответ:

Презентация » Иррациональные уравнения» к уроку алгебры 10 класс. | Презентация к уроку по алгебре (10 класс) на тему:

Слайд 1

Урок по алгебре « Иррациональные уравнения» в 10 классе .

Слайд 2

Повторение Среди пар уравнений найдите пары равносильных:

Слайд 3

Повторение Определите, какое из двух уравнений является следствие другого:

Слайд 4

Повторение Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число b , квадрат которого равен а , где b ≥ 0 , если a=b 2

Слайд 5

Что общего в этих уравнениях? у + =2 = х-1 =2 +

Слайд 6

Иррациональные уравнения

Слайд 7

Определение Иррациональными называются уравнения , в которых переменная содержится под знаком корня (радикала). Примеры:

Слайд 8

План изучения темы

Слайд 9

Какие из уравнений не являются иррациональными ?

Слайд 10

Идея решения Главный способ избавиться от корня и получить рациональное уравнение – возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, которую имеет корень, содержащий неизвестное. Основная идея решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием.

Слайд 11

Простейшие иррациональные уравнения

Слайд 12

Запомни! При возведении обеих частей уравнения • в четную степень (показатель корня – четное число) – возможно появление постороннего корня (проверка необходима) • в нечетную степень (показатель корня – нечетное число) – получается уравнение, равносильное исходному (проверка не нужна)

Слайд 13

Запомни! Решая иррациональные уравнения с помощью равносильных преобразований (проверка не нужна)

Слайд 14

Решение уравнения 1) а 0 , то Пример:

Слайд 15

Решение уравнения 1 способ 2 способ

Слайд 16

Вывод Уравнение вида решается: Возведением в квадрат обеих частей равенства с последующей проверкой; Осуществляется переход к системе равносильной данному уравнению, т.е.

Слайд 17

Решение уравнения 1 способ 2 способ

Слайд 18

Вывод Уравнение вида решается: Возведением в квадрат обеих частей равенства с последующей проверкой; Осуществляется переход к системе равносильной данному уравнению, т.е.

Слайд 19

Самостоятельная работа I III II IV

Слайд 20

Домашнее задание Домашнее задание: §9, № 152(2), №153(2), №154

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (стр. 15 из 21)

Литература для учителя:

Литература для ученика:

Заключение

В данной работе сделана попытка разработать методику обучения решению иррациональных уравнений и неравенств в школе.

При проведении исследования были решены следующие задачи:

1) Проанализированы действующие учебники алгебры и начала математического анализа для выявления представленной в них методики решения иррациональных уравнений и неравенств. Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

·в средней школе недостаточное внимание уделяется методам решения различных иррациональных уравнений, в основном программой предусмотрено формирование у учащихся решать простейшие иррациональные уравнения и неравенства;

·в учебнике [1] материала, посвященного методам решения иррациональных уравнений нет. В остальных учебниках рассмотрены два основных способа решения: возведение обеих частей уравнения в степень, с последующей подстановкой полученных корней в исходное уравнение, а также решение уравнений с помощью равносильных преобразований;

·очень мало материала по методам решения иррациональных неравенств;

·среди предлагаемых заданий в учебниках много однотипных;

2) Изучена учебно-методическая литература по данной теме;

3) Рассмотрены основные методы и приемы решения различных иррациональных уравнений и неравенств;

4) Рассмотрены ситуации, связанные с потерей или приобретением посторонних корней в процессе решения, показано, как распознавать и предотвращать их;

5) Подобраны примеры решения иррациональных уравнений и неравенств для демонстрации излагаемого теоретического материала;

6) Разработана

Список библиографии

1. Алимов Ш. А. Алгебра и начала анализа [Текст]: учебник для 10-11 класса средней школы / Ш. А. Алимов – М.: Просвещение, 1993. – 254 с.

2. Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа [Текст]: учебник для 10-11 класса средней школы / М. И. Башмаков – М.: Просвещение, 1992. – 351 с.

3. Болтянский В. Г. Математика: лекции, задачи, решения [Текст] / В. Г. Болтянский – Литва: Альфа, 1996. – 637 с.

4. Виленкин Н. Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса [Текст]: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин – М.: Просвещение, 1998. – 288 с.

5. Галицкий М. Л. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов [Текст]: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики М. Л. Галицкий – М.: Просвещение, 1999. – 271с.

6. Григорьев А. М. Иррациональные уравнения [Текст] / А. М. Григорьев // Квант. – 1972. – №1. – С. 46-49.

7. Денищева Л. О. Готовимся к единому государственному экзамену. Математика. [Текст] / Л. О. Денищева – М.: Дрофа, 2004. – 120 с.

8. Егоров А. Иррациональные неравенства [Текст] / А Егоров // Математика. Первое сентября. – 2002. – №15. – С. 13-14.

9. Егоров А. Иррациональные уравнения [Текст] / А Егоров // Математика. Первое сентября – 2002. – №5. – С. 9-13.

10. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс [Текст]: В двух частях. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович – М.: Мнемозина, 2004. – 315 с.

11. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс [Текст]: В двух частях. Ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович – М.: Мнемозина, 2004. – 315 с.

12. Мордкович А. Г. Кто-то теряет, кто-то находит [Текст] / А. Г. Мордкович // Квант – 1970. – №5. – С. 48-51.

13. Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа [Текст]: учебник для 10-11 класса средней школы / А. Н. Колмогоров – М.: Просвещение, 1991. – 320 с.

14. Кузнецова Г. М. Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 классы [Текст] / Г. М. Кузнецова – М.: Дрофа, 2004 – 320 с.

15. Потапов М. Как решать уравнения без ОДЗ [Текст] / М. Потапов // Математика. Первое сентября – 2003. – №21. – С. 42-43.

16. Соболь Б. В. Пособие для подготовки к единому государственному экзамену и централизованному тестированию по математике [Текст] / Б. В. Соболь – Ростов на Дону: Феникс, 2003. – 352 с.

17. Черкасов О. Ю. Математика [Текст]: справочник для старшеклассников и поступающих в вузы / О. Ю. Черкасов – М.: АСТ-ПРЕСС, 2001. – 576 с.

18. Шабунин М. Лекции для абитуриентов. Лекция 1. [Текст] / М. Шабунин // Математика. Первое сентября – 1996. – №24. – С. 24.

19. Шувалова Э. З. Повторим математику [Текст]: учебное пособие для поступающих в вузы / Э. З. Шувалова – М.: Высшая школа, 1974. – 519 с.

20. Моденов В. П. Решение иррациональных уравнений [Текст] / В. П. Моденов // Математика в школе – 1970. – №6. – С. 32-35.

21. Горнштейн П. И. Экзамен по математике и его подводные рифы [Текст] / П. И. Горнштейн – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1998, – 236 с.

22. http://www.courier.com.ru

23. http://www.5ballov.ru.

24. Шарова Л. И. Уравнения и неравенства [Текст]: пособие для подготовительных отделений / Л. И. Шарова – Киев: Вища школа, 1981. – 280 с.

25. Олейних…

26. Егоров А. Иррациональные неравенства [Текст] / А Егоров // Математика. Первое сентября. – 2002. – №17. – С. 13-14.

27. Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс [Текст]: В двух частях. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович – М.: Мнемозина, 2004. – 315 с.

28. Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс [Текст]: В двух частях. Ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович – М.: Мнемозина, 2003. – 239 с.

Приложение А

Решение иррациональных уравнений смешанного типа

Для каждого вида уравнений и неравенств, в том числе и иррациональных, можно составить уравнение или неравенство «с модулем» и «с параметром».

Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля

Простейшие уравнения с модулем имеют вид:

и ; будем их решать на основании определения модуля сведением к совокупности систем. Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

,

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Будем решать каждую из систем по отдельности.

Решение первой системы:

Последняя система не имеет корней, так как дискриминант уравнения

меньше нуля.

Решение второй системы:

Ответ:

. Пример 2. Решить уравнение

Решение.

,

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Будем решать каждую из систем по отдельности.

Решение первой системы:

Если внимательно посмотреть на неравенства последней системы, можно заметить, что пересечение множеств

и пусто. Следовательно, первая система совокупности корней не имеет.

Решение второй системы:

Рациональные и иррациональные числа | Алгебраические выражения

1.3 Рациональные и иррациональные числа (EMA4)

Рациональное число

Рациональное число (\ (\ mathbb {Q} \)) — это любое число, которое можно записать как:

\ [\ frac {a} {b} \]

, где \ (a \) и \ (b \) — целые числа, а \ (b \ ne 0 \).

Все следующие числа являются рациональными числами:

\ [\ frac {10} {1} \; ; \; \ frac {21} {7} \; ; \; \ frac {-1} {- 3} \; ; \; \ frac {10} {20} \; ; \; \ frac {-3} {6} \]

Мы видим, что все числители и все знаменатели целые.

Это означает, что все целые числа являются рациональными числами, потому что они могут быть записаны со знаменателем \ (\ text {1} \).

Иррациональные числа

Иррациональные числа (\ (\ mathbb {Q} ‘\)) — это числа, которые нельзя записать в виде дроби с числителем и знаменателем в виде целых чисел.

Примеры иррациональных чисел:

\ [\ sqrt {2} \; ; \; \ sqrt {3} \; ; \; \ sqrt [3] {4} \; ; \; \Пи \; ; \; \ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} \]

Это не рациональные числа, потому что числитель или знаменатель не является целым числом.

Десятичные числа (EMA5)

Все целые числа и дроби с целыми числителями и ненулевым целым знаменателем являются рациональными числами. Помните, что когда знаменатель дроби равен нулю, дробь не определена.

Вы можете записать любое рациональное число в виде десятичного числа, но не все десятичные числа являются рациональными числами. Эти типы десятичных чисел являются рациональными числами:

• Десятичные числа, которые заканчиваются (или заканчиваются).Например, дробь \ (\ frac {4} {10} \) может быть записана как \ (\ text {0,4} \).

• Десятичные числа, состоящие из одной повторяющейся цифры. Например, дробь \ (\ frac {1} {3} \) может быть записана как \ (\ text {0,} \ dot {3} \) или \ (\ text {0,} \ overline {3} \). Обозначения точки и полосы эквивалентны и оба представляют собой повторяющиеся символы \ (\ text {3} \), то есть \ (\ text {0,} \ dot {3} = \ text {0,} \ overline {3} = \ text {0,333 …} \).

• Десятичные числа, повторяющиеся из нескольких цифр.Например, дробь \ (\ frac {2} {11} \) также может быть записана как \ (\ text {0,} \ overline {18} \). Полоса представляет собой повторяющийся узор из \ (\ text {1} \) и \ (\ text {8} \), то есть \ (\ text {0,} \ overline {18} = \ text {0 , 181818 …} \).

Вы можете увидеть точку вместо запятой, используемой для обозначения десятичного числа. Таким образом, число \ (\ text {0,4} \) также можно записать как 0,4

Обозначение: Вы можете использовать точку или черту над повторяющимися цифрами, чтобы указать, что десятичная дробь является повторяющейся десятичной.Если полоса охватывает более одной цифры, то все числа под полосой повторяются.

Если вас просят определить, является ли число рациональным или иррациональным, сначала запишите число в десятичной форме. Если число заканчивается, то это рационально. Если так будет продолжаться вечно, ищите повторяющийся набор цифр. Если нет повторяющегося рисунка, то цифра иррациональна.

Когда вы записываете иррациональные числа в десятичной форме, вы можете продолжать записывать их для многих-многих десятичных знаков.Однако это неудобно и часто необходимо округлять.

Округление иррационального числа делает его рациональным числом, которое приближается к иррациональному числу.

Рабочий пример 1: Рациональные и иррациональные числа

Какие из следующих чисел не являются рациональными?

1. \ (\ pi = \ text {3,14159265358979323846264338327950288419716939937510 …} \)

2. \ (\ text {1,4} \)

3. \ (\ text {1,618033989…} \)

4. \ (\ text {100} \)

5. \ (\ text {1,7373737373 …} \)

6. \ (\ text {0,} \ overline {02} \)

1. Иррациональная, десятичная дробь не прерывается и не повторяется.

2. Рациональное, десятичное завершение.

3. Иррациональная, десятичная дробь не прерывается и не повторяется.

4. Рационально, все числа рациональны.

5. Рациональная десятичная дробь имеет повторяющийся образец.

6. Рациональная десятичная дробь имеет повторяющийся образец.

Преобразование конечных десятичных знаков в рациональные числа (EMA6)

Десятичное число состоит из целой и дробной части. Например, \ (\ text {10,589} \) имеет целую часть \ (\ text {10} \) и дробную часть \ (\ text {0,589} \), потому что \ (10 ​​+ \ text {0,589} = \ текст {10,589} \).

Каждая цифра после десятичной точки представляет собой дробь со знаменателем в возрастающей степени \ (\ text {10} \).

Например:

• \ (\ text {0,1} \) равно \ (\ frac {1} {\ text {10}} \)

• \ (\ text {0,01} \) равно \ (\ frac {1} {\ text {100}} \)

• \ (\ text {0,001} \) равно \ (\ frac {1} {\ text {1 000}} \)

Это означает, что

\ begin {align *}
\ text {10,589} & = 10 + \ frac {5} {10} + \ frac {8} {100} + \ frac {9} {\ text {1 000}} \\
& = \ frac {\ text {10 000}} {\ text {1 000}} + \ frac {\ text {500}} {\ text {1 000}} + \ frac {80} {\ text {1 000 }} + \ frac {9} {\ text {1 000}} \\
& = \ frac {\ text {10 589}} {\ text {1 000}}
\ end {выровнять *}

В следующих двух видеороликах объясняется, как преобразовать десятичные дроби в рациональные числа.

Часть 1

Видео: 2DBJ

Часть 2

Видео: 2DBK

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в рациональные числа (EMA7)

Когда десятичная дробь является повторяющейся десятичной дробью, требуется немного больше работы, чтобы записать дробную часть десятичного числа в виде дроби.

Рабочий пример 2: Преобразование десятичных чисел в дроби

Запишите \ (\ text {0,} \ dot {3} \) в форме \ (\ frac {a} {b} \) (где \ (a \) и \ (b \) — целые числа).

Определите уравнение

\ [\ text {Let} x = \ text {0,33333 …} \]

Умножить на \ (\ text {10} \) с обеих сторон

\ [10x = \ текст {3,33333 …} \]

Вычтите первое уравнение из второго уравнения

\ [9x = 3 \]

Упростить

\ [x = \ frac {3} {9} = \ frac {1} {3} \]

Рабочий пример 3: Преобразование десятичных чисел в дроби

Запишите \ (\ text {5,} \ dot {4} \ dot {3} \ dot {2} \) в виде рациональной дроби.

Определите уравнение

\ [x = \ текст {5,432432432 …} \]

Умножить на \ (\ text {1 000} \) с обеих сторон

\ [\ text {1 000} x = \ text {5 432,432432432 …} \]

Вычтите первое уравнение из второго уравнения

\ [\ text {999} x = \ text {5 427} \]

Упростить

\ [x = \ frac {\ text {5 427}} {\ text {999}} = \ frac {\ text {201}} {\ text {37}} = \ text {5} \ frac {\ text { 16}} {\ text {37}} \]

В первом примере десятичное число умножалось на \ (\ text {10} \), а во втором примере десятичное число умножалось на \ (\ text {1 000} \).Это связано с тем, что в первом примере повторялась только одна цифра (т. Е. \ (\ Text {3} \)), а во втором — три повторяющиеся цифры (т. Е. \ (\ Text {432} \)).

В общем, если у вас повторяется одна цифра, умножьте ее на \ (\ text {10} \). Если у вас повторяются две цифры, умножьте их на \ (\ text {100} \). Если у вас повторяются три цифры, умножьте их на \ (\ text {1 000} \) и так далее.

Не все десятичные числа можно записать как рациональные числа. Почему? Иррациональные десятичные числа, например \ (\ sqrt {2} = \ text {1,4142135…} \) нельзя записать с целым числителем и знаменателем, потому что они не имеют шаблона повторяющихся цифр и не завершаются.

Siyavula Practice дает вам доступ к неограниченному количеству вопросов с ответами, которые помогут вам в обучении. Тренируйтесь где угодно, когда угодно и на любом устройстве!

Зарегистрируйтесь, чтобы попрактиковаться

Упражнение 1.1

Какое место на диаграмме занимает число \ (- \ frac {12} {3} \)?

Сначала упростите дробь: \ (- \ frac {12} {3} = -4 \)

\ (- \ text {4} \) является целым числом, поэтому оно попадает в набор \ (\ mathbb {Z} \).

В следующем списке два ложных утверждения и одно истинное утверждение. Какое из утверждений соответствует действительности ?

1. Каждое целое число — натуральное число.
2. Каждое натуральное число — это целое число.
3. В целых числах нет десятичных знаков.

Тщательно обдумайте каждый вариант:

1. Есть целые числа, которые не попадают в натуральные числа (все отрицательные числа), поэтому это неверно.
2. Натуральные числа: \ (\ left \ {1; 2; 3; \ ldots \ right \} \), а целые числа — \ (\ left \ {0; 1; 2; 3; \ ldots \ right \} \ ) (круг \ (\ mathbb {N} \) находится внутри \ (\ mathbb {N} _ {0} \)), поэтому, если число является натуральным числом, оно должно быть целым числом. Это верно.
3. Целые числа \ (\ left \ {0; 1; 2; 3; \ ldots \ right \} \) увеличиваются только с шагом 1, поэтому в целых числах не может быть никаких десятичных чисел, что делает это ложным.

Итак, верно только (ii).

Какое место на диаграмме занимает число \ (- \ frac {1} {2} \)?

\ (- \ frac {1} {2} \) находится в своей простейшей форме, поэтому его нет в \ (\ mathbb {N} \), \ (\ mathbb {N} _0 \) или \ (\ mathbb {Z} \).Он находится в пространстве между прямоугольником и \ (\ mathbb {Z} \).

В следующем списке два ложных утверждения и одно истинное утверждение. Какое из утверждений соответствует действительности ?

1. Каждое целое число — натуральное число.
2. Каждое целое число является целым числом.
3. В целых числах нет десятичных знаков.

Тщательно обдумайте каждый вариант:

1. Есть целые числа, которые не попадают в натуральные числа (все отрицательные числа), поэтому это неверно.
2. Целые числа \ (\ left \ {\ ldots; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; \ ldots \ right \} \), а целые числа — \ (\ left \ {0 ; 1; 2; 3; \ ldots \ right \} \) (круг \ (\ mathbb {Z} \) находится внутри \ (\ mathbb {N} _ {0} \)), поэтому, если число является целым это должно быть целое число. Это верно.
3. Целые числа \ (\ left \ {0; 1; 2; 3; 4; \ ldots \ right \} \) увеличиваются только с шагом 1, поэтому в целых числах не может быть никаких десятичных чисел, что делает это ложным .

Итак, верно только (ii).

\ (- \ sqrt {3} \)

\ (- \ sqrt {3} \) не имеет знака минус под квадратным корнем (минус находится за пределами корня) и не делится на ноль, поэтому он действительный.

\ (\ dfrac {0} {\ sqrt {2}} \)

\ (\ dfrac {0} {\ sqrt {2}} \) не имеет знака минус под квадратным корнем (минус находится вне корня) и не делится на ноль, поэтому он действительный.

\ (\ sqrt {-9} \)

\ (\ sqrt {-9} \) имеет знак минус под квадратным корнем, поэтому он не является действительным.

\ (\ dfrac {- \ sqrt {7}} {0} \)

\ (\ dfrac {- \ sqrt {7}} {0} \) имеет деление на ноль, поэтому не определено.

\ (- \ sqrt {-16} \)

\ (- \ sqrt {-16} \) имеет отрицательное число под квадратным корнем, поэтому оно не является действительным.

\ (\ sqrt {2} \)

\ (\ sqrt {2} \) не имеет минуса под квадратным корнем (минус находится вне корня), не делится на ноль, поэтому он действительный.

\ (- \ frac {1} {3} \) рационально. Дробь целых чисел — это рациональное число.

\ (\ text {0,651268962154862.7 \) является рациональным, целым, целым и натуральным числом. Его можно записать как целое число.

\ (\ пи + 3 \)

\ (\ pi \) иррационально. \ (\ text {3} \) рационально (это целое число). Любое рациональное число, добавленное к любому иррациональному числу, иррационально.

Следовательно, \ (\ pi + 3 \) иррационально.

\ (\ пи + \ текст {0,858408346} \)

\ (\ pi \) иррационально.\ (\ text {0,858408346} \) является рациональным (это конечная десятичная дробь). Любое рациональное число, добавленное к любому иррациональному числу, иррационально.

Следовательно, \ (\ pi + \ text {0,858408346} \) иррационально.

\ (\ frac {5} {6} \) рационально.

Поскольку \ (a \) — целое число, \ (\ frac {a} {3} \) рационально.

Поскольку \ (b \) — целое число, \ (\ frac {-2} {b} \) рационально.

Обратите внимание, что \ (b \) не может быть \ (\ text {0} \), так как это делает дробь неопределенной.

Поскольку \ (c \) иррационально, \ (\ frac {1} {c} \) иррационально.

\ (\ frac {a} {14} = \ frac {1} {14} \) рационально.

\ (\ frac {a} {14} = \ frac {-10} {14} \) рационально.

\ (\ frac {a} {14} = \ frac {\ sqrt {2}} {14} \) иррационально.

\ (\ frac {a} {14} = \ frac {\ text {2,1}} {14} \) рационально.

Проверить, какое из чисел входит в набор \ (\ left \ {1; 2; 3; 4; \ ldots \ right \} \). Следовательно, \ (\ text {7} \) и \ (\ text {11} \) — натуральные числа.

Помните, что рациональные числа можно записать как \ (\ frac {a} {b} \), где \ (a \) и \ (b \) — целые числа. Также помните, что рациональные числа включают завершающие десятичные числа. Следовательно, \ (- \ sqrt {8} \;; \; \ text {3,3231089 …} \; \; 3+ \ sqrt {2} \;; \; \ pi \) все иррациональны.

Любое число, являющееся квадратным корнем из отрицательного числа, не является действительным.Следовательно, нереально только \ (\ sqrt {-1} \).

Помните, что рациональные числа можно записать как \ (\ frac {a} {b} \), где \ (a \) и \ (b \) — целые числа. Также помните, что рациональные числа включают завершающие десятичные числа. Следовательно, \ (- 3 \;; \; 0 \;; \; -8 \ frac {4} {5} \;; \; \ frac {22} {7} \; \; 7 \;; \; \ text {1,} \ overline {34} \; \; 9 \ frac {7} {10} \;; \; 11 \) — все рациональные числа.

Проверьте, какое из чисел входит в набор \ (\ left \ {\ ldots; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; \ ldots \ right \} \).Следовательно, \ (- 3 \;; \; 7 \;; \; 11 \) — целые числа.

Любая дробь, разделенная на \ (\ text {0} \), не определена. Следовательно, только \ (\ frac {14} {0} \) не определено.

\ (\ текст {2,121314 …} \)

• Номер не заканчивается (это показано \ (\ ldots \)). Также отсутствует указание на повторяющийся узор цифр, поскольку ни над одним из чисел нет точки или полосы. Следующие три цифры могут быть любыми числами.

  Обратите внимание, что, хотя кажется, что в цифрах есть шаблон, мы не знаем, продолжается ли этот шаблон.

• Иррационально, нет повторяющегося рисунка.

\ (\ текст {1,242244246 …} \)

• Номер не заканчивается (это показано \ (\ ldots \)). Также отсутствует указание на повторяющийся узор цифр, поскольку ни над одним из чисел нет точки или полосы. Следующие три цифры могут быть любыми числами.

  Обратите внимание, что, хотя кажется, что в цифрах есть шаблон, мы не знаем, продолжается ли этот шаблон.

• Иррационально, нет повторяющегося рисунка.

\ (\ текст {3,324354 …} \)

• Номер не заканчивается (это показано \ (\ ldots \)). Также отсутствует указание на повторяющийся узор цифр, поскольку ни над одним из чисел нет точки или полосы. Следующие три цифры могут быть любыми числами.

  Обратите внимание, что, хотя кажется, что в цифрах есть шаблон, мы не знаем, продолжается ли этот шаблон.

• Иррационально, нет повторяющегося рисунка.

\ (\ текст {3,3243} \ dot {5} \ dot {4} \)

\ (\ text {0,1} = \ frac {1} {10} \)

\ begin {align *}
\ text {0,12} & = \ frac {1} {10} + \ frac {2} {100} \\
& = \ frac {10} {100} + \ frac {2} {100} \\
& = \ frac {12} {100} \\
& = \ frac {3} {25}
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
\ text {0,58} & = \ frac {5} {10} + \ frac {8} {100} \\
& = \ frac {50} {100} + \ frac {8} {100} \\
& = \ frac {58} {100} \\
& = \ frac {29} {50}
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
\ text {0,2589} & = \ frac {2} {10} + \ frac {5} {100} + \ frac {8} {\ text {1 000}} + \ frac {9} {\ text { 10 000}} \\
& = \ frac {\ text {2 000}} {\ text {10 000}} + \ frac {500} {\ text {10 000}} + \ frac {80} {\ text {10 000}} + \ гидроразрыв {9} {\ text {10 000}} \\
& = \ frac {\ text {2 589}} {\ text {10 000}}
\ end {выровнять *}

Мы видим, что повторяется только цифра \ (\ text {1} \), и поэтому мы можем записать это как: \ (\ text {0,} \ dot {1} \).

\ (\ text {0,1212121212 …} \)

Существует повторяющийся образец \ (\ text {12} \), поэтому мы можем записать это число как: \ (\ text {0,} \ overline {12} \)

\ (\ text {0,123123123123 …} \)

Существует повторяющийся шаблон \ (\ text {123} \), поэтому мы можем записать это число как: \ (\ text {0,} \ overline {123} \)

\ (\ text {0,11414541454145 …} \)

Шаблон 4145 повторяется, поэтому мы можем записать это число как: \ (\ text {0,11} \ overline {4145} \).7 \ текст {00}} & = \ текст {2} \ текст {остаток} \ текст {4}
\\
\ frac {\ text {7}} {\ text {33}} & = \ text {0,} \ text {2 121} \ ldots \\
& = \ текст {0,} \ точка {\ текст {2}} \ точка {\ текст {1}}
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
\ frac {2} {3} & = 2 \ left (\ frac {1} {3} \ right) \\
& = 2 (\ text {0,333333 …}) \\
& = \ текст {0,666666 …} \\
& = \ текст {0,} \ точка {6}
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
1 \ frac {3} {11} & = 1 + 3 \ left (\ frac {1} {11} \ right) \\
& = 1 + 3 (\ text {0,0…}) \\
& = 1 + \ текст {0,27272727 …} \\
& = \ текст {1,} \ overline {27}
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
4 \ frac {5} {6} & = 4 + 5 \ left (\ frac {1} {6} \ right) \\
& = 4+ 5 (\ text {0,1666666 …}) \\
& = 4 + \ текст {0,833333 …} \\
& = \ текст {4,8} \ точка {3}
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
2 \ frac {1} {9} & = 2 + \ text {0,1111111 …} \\
& = \ текст {2,} \ точка {1}
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
х & = \ текст {0,55555…} \ text {и} \\
10x & = \ text {5,55555 …} \\
10x — x & = (\ text {5,55555 …}) — (\ text {0,55555 …}) \\
\ text {9} x & = \ text {5} \\
\ поэтому x & = \ frac {5} {9}
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
10x & = \ text {6,3333 …} \ text {и} \\
100x & = \ текст {63,3333 …} \\
100x — 10x & = (\ text {63,3333 …}) — (\ text {6,3333 …}) \\
\ text {99} x & = \ text {57} \\
\ поэтому x & = \ frac {57} {90}
\ end {выровнять *}

\ (\ текст {0,} \ точка {4} \)

\ begin {align *}
х & = \ текст {0,4444…} \ text {и} \\
\ text {10} x & = \ text {4,4444 …} \\
10x — x & = (\ text {4,4444 …}) — (\ text {0,4444 …}) \\
\ text {9} x & = \ text {4} \\
\ поэтому x & = \ frac {\ text {4}} {\ text {9}}
\ end {выровнять *}

\ (\ text {5,} \ overline {31} \)

\ begin {align *}
х & = \ текст {5,313131 …} \ текст {и} \\
100x & = \ текст {531,313131 …} \\
100x — x & = (\ text {531,313131…}) — (\ text {5,313131 …}) \\
\ text {99} x & = \ text {526} \\
\ поэтому x & = \ frac {526} {99}
\ end {выровнять *}

\ (\ text {4,} \ overline {\ text {93}} \)

\ begin {align *}
х & = \ текст {4,939393 …} \ текст {и} \\
100x & = \ text {493,939393 …} \\
100x — x & = (\ text {493,939393 …}) — (\ text {4,939393 …}) \\
\ text {99} x & = \ text {489} \\
\ поэтому x & = \ frac {\ text {163}} {\ text {33}}
\ end {выровнять *}

\ (\ text {3,} \ overline {\ text {93}} \)

\ begin {align *}
х & = \ текст {3,939393…} \ text {и} \\
100x & = \ text {393,939393 …} \\
100x — x & = (\ text {393,939393 …}) — (\ text {3,939393 …}) \\
\ text {99} x & = \ text {390} \\
\ поэтому x & = \ frac {\ text {130}} {\ text {33}}
\ end {выровнять *}

Реальные числа 10 класса — основы, проблемы и примеры решения

Числа, которые нельзя записать в форме p / q, называются иррациональными числами. Пример √2, √3 и т. Д.

• Здесь возникает вопрос, что √2 можно представить как √2 / 1, даже если это иррационально.Почему?
• У него очень простой ответ, который скрывается в определении рациональных чисел. Было упомянуто, что в p / q, p и q оба должны быть целыми числами, и здесь √2 строго не целое число.

Недвижимость

Рациональное, а также иррациональное число имеют определенные тождества, а также определенные свойства:

Пусть R1 и R2 — два рациональных числа, а S1 и S2 — два иррациональных числа:

1. R1 x R2 или R1 ÷ R2 всегда будет рациональным числом.

Пример 2: Пусть 2/7 и 4 — два рациональных числа. Покажите, что их продукт и подразделение также рациональны.

Решение: Продукт = 2/7 x 4/1 = 8/7. (Рациональное число)

Деление = 2/7 ÷ 4/1 = 2/7 x 1/4 = 1/14. (Рациональное число)

1. R1 ± R2 всегда будет рациональным числом.

Пример 3: Пусть 7/2 и 5/2 — два рациональных числа. Покажите, что их сложение и вычитание дают рациональное число.

Решение: Сложение = 7/2 + 5/2 = 12/2 = 6 (рациональное число).

Вычитание = 7/2 — 5/2 = 2/2 = 1 (рациональное число).

1. R ± S всегда будет иррациональным.

Пример 4: Пусть 4 и √4 — рациональные и иррациональные числа. Покажите, что их сложение и вычитание дают иррациональное число.

Решение: Сложение = 4 + √4 (иррациональное число).

Вычитание = 4-√4 (иррациональное число).

1. R x S или R ÷ S всегда будут иррациональными.

Пример 5: Пусть 2 и √2 — рациональное и иррациональное число. Покажите, что их продукт и разделение дают иррациональное число.

Решение: Произведение = 2 x √2 = 2√2 (иррациональное число).

Деление = 2 / √2 и после рационализации получаем √2

(Иррациональное число).

1. S1 ± S2 всегда будет иррациональным.

Пример 6: Пусть √3 и √5 — два иррациональных числа.Покажите, что их сложение и вычитание приводят к иррациональному «нет».

Решение: Сложение = √3 + √5 (иррациональное число).

Вычитание = √3-√5 (иррациональное число).

1. S1 x S2 или S1 ÷ S2 могут быть рациональными или иррациональными.

Пример 7: Пусть √3 и 4√3 — два иррациональных числа. Найдите их продукт и подразделение.

Решение: Произведение = √3 x 4√3 = 4 x 3 = 12. (Рациональное число)

Деление = 4√3 ÷ √3 = 4 (рациональное число)

Пример 8: Пусть √5 и √3 — два иррациональных числа.Найдите их продукт и подразделение.

Решение: Произведение = √5 x √3 = √15 (иррациональное число)

Деление = √5 ÷ √3 = √ (5/3) (Иррациональное число).

Свойства вещественных чисел

Практические вопросы

Q1) в чем разница между рациональными и иррациональными числами.

Q2) Состояние Верно или неверно:

1. Все натуральные числа являются целыми числами.

Иррациональные числа

Слово иррациональное означает нерациональное.Итак, иррациональные числа определяются как действительные числа, которые нельзя записать в форме простых дробей \ [\ frac {p} {q} \], где ‘p’ и ‘q’ — целые числа, а q \ [\ ne \ ] 0.

В то время как любое число, которое может быть записано в форме \ [\ frac {p} {q} \], где ‘p’ и ‘q’ — целые числа, а q \ [\ ne \] 0, известно как рациональное число.

Примеры иррациональных чисел: ‘π’, \ [\ sqrt 2, \ sqrt 3 \] и т. Д.

Как проверить, является ли данное действительное число иррациональным или нет.

Данное действительное число является иррациональным или не может быть проверено его десятичным разложением.

Десятичное расширение иррационального числа не является ни завершением, ни повторением, ни повторением.

Давайте посмотрим на десятичное разложение некоторых действительных чисел, чтобы лучше понять приведенное выше утверждение.

1. 13 = 0,33333…., Десятичное представление \ [\ frac {1} {3} \] повторяется с цифрой «3» после десятичной дроби. Итак, \ [\ frac {1} {3} \] не является иррациональным числом, это рациональное число.

2. \ [\ sqrt 2 \] = 1.414213562…, Десятичное расширение \ [\ sqrt 2 \] продолжает расширяться без повторения цифр после десятичной дроби.Итак, \ [\ sqrt 2 \] — иррациональное число.

3. \ [\ frac {7} {8} \] = 0,875 Десятичное разложение \ [\ frac {7} {8} \] заканчивается после десятичной дроби. Итак, \ [\ frac {7} {8} \] не является иррациональным числом, это рациональное число.

4. \ [\ pi \ left ({pi} \ right) \] = 3,14159265358…, Десятичное расширение ‘π’ продолжает расширяться без повторения цифр после запятой. Итак, «π» — иррациональное число.

5. \ [\ frac {{22}} {7} \] = 3.142857142…, десятичное представление \ [\ frac {{22}} {7} \] повторяется с цифрами «142857» после десятичной дроби. Итак, \ [\ frac {{22}} {7} \] не является иррациональным числом, это рациональное число.

Примечание:

1. Обычно мы видим, что π = \ [\ frac {{22}} {7} \], это не означает, что «π» является рациональным числом. Это потому, что мы аппроксимируем десятичные значения «π» с помощью \ [\ frac {{22}} {7} \], чтобы упростить наши вычисления.

2. Квадратный корень из натуральных чисел, кроме полных квадратов, является иррациональным числом.

3. Если «p» — простое число, то \ [\ sqrt p \] — иррациональное число.

Символическое представление иррациональных чисел

Обычно символ, используемый для представления иррациональных чисел, — «P» или Q. Скорее всего, это связано с тем, что иррациональные числа определены отрицательно как набор действительных чисел, которые не являются рациональными.

Наиболее распространенное обозначение иррациональных чисел — R ∖ Q (или R − Q): разность множества действительных чисел (R) минус множество рациональных чисел (Q).

Блок-схема вещественных чисел

Представление иррационального числа на числовой прямой

Мы знаем, что действительное число может быть рациональным или иррациональным. Итак, мы можем сказать, что каждое действительное число представлено уникальной точкой на числовой прямой. Кроме того, каждая точка на числовой прямой представляет собой уникальное действительное число.

Мы можем найти некоторые из иррациональных чисел в форме \ [\ sqrt n \], где n — положительное целое число в числовой строке, выполнив следующие шаги:

Шаг 1: Запишите данное число (без корня) как сумма квадратов двух натуральных чисел (скажем, «a» и «b», где a> b).

Шаг 2: Возьмите расстояние, равное этим двум натуральным числам на числовой прямой («a» на числовой прямой и «b» по вертикали), начиная с 0 (скажем, OA и AB), таким образом, чтобы одно было перпендикулярно другому. (скажем, AB ⊥ OA).

Шаг 3: Используйте теорему Пифагора, чтобы найти расстояние OB.

Шаг 4: Возьмите O в качестве центра и OB в качестве радиуса, нарисуйте дугу, которая пересекает числовую линию в точке C (скажем).
Таким образом, точка C будет представлять положение \ [\ sqrt n \] на числовой прямой.

Как найти иррациональные числа между двумя действительными числами.

Давайте найдем иррациональное число от 2 до 3.

Мы знаем, что квадратный корень из 4 равен 2; \ [\ sqrt 4 \] = 2
и квадратный корень из 9 равен 3; \ [\ sqrt 9 \] = 3
Следовательно, количество иррациональных чисел от 2 до 3 равно \ [\ sqrt 5, \ sqrt 6, \ sqrt 7 {\ text {and}} \ sqrt 8 \], поскольку эти не являются идеальными квадратами и не подлежат дальнейшему упрощению.

Доказательство иррационального числа

Иррациональные числа, такие как: \ [\ sqrt 2, \ sqrt 3, \ sqrt 5, \ sqrt 7 \] и вообще, если ‘p’ — простое число, тогда \ [\ sqrt p \] — иррациональное число.Приведенное выше утверждение можно доказать с помощью следующей теоремы.

Теорема. Пусть p простое число. Если p делит a2, то p делит a, где a — натуральное число.

Доказательство: Пусть разложение a на простые множители имеет следующий вид:

a = p1 × p2 × p3 …… × pn; (1)

где p1, p2, …… pn — простые числа, не обязательно разные.

Возводя обе части уравнения (1) в квадрат,

Следовательно, a2 = (p1 p2… … pn) (p1 p2…… pn)

⇒ a2 = (p1) 2 (p2) 2… … (pn) 2.

Теперь нам известно, что p делит a2.

Следовательно, из основной теоремы арифметики: (факторизация натурального числа на простые множители единственна, за исключением порядка его множителей), следует, что p является одним из простых делителей числа a2.

Единственными простыми множителями a2 являются p1, p2, p3 …… pn.

Если p — простое число и множитель a2, то p является одним из p1, p2, p3 …… .. pn. Таким образом, p также будет фактором a.Следовательно, если a2 делится на p, то p также делит a.

Свойства иррациональных чисел

Следующие свойства рациональных чисел:

1. Сумма или разность рационального и иррационального числа всегда является иррациональным числом.

Пример: 5 + \ [\ sqrt 2, \ sqrt 7 \] — 2.

2. Произведение ненулевого рационального числа и иррационального числа всегда является иррациональным числом.

Пример: \ [3 \ times \ sqrt 2 = 3 \ sqrt 2 \]

3. Сумма или разность двух иррациональных чисел не всегда является иррациональным числом.

Пример: sum- (5 + \ [\ sqrt 2 \]) + (5 — \ [\ sqrt 2 \]) = 10; получившееся число 10 — рациональное число.

Разница- (5 + \ [\ sqrt 2 \]) — (5 — \ [\ sqrt 2 \]) = 2 \ [\ sqrt 2 \], полученное число 2 \ [\ sqrt 2 \] является иррациональное число.

4. Произведение двух иррациональных чисел не всегда является иррациональным числом.

Пример: (2 + \ [\ sqrt 3 \]) \ [\ times \] (2 — \ [\ sqrt 3 \]) = 4-3 = 1, что является рациональным числом.

5. L.C.M. двух иррациональных чисел могут существовать, а могут и не существовать.

Решенные примеры:

Q.1. Проверьте, какое из следующих чисел является рациональным или иррациональным.

(а) 4,13468968968….

(b) (7 + \ [\ sqrt 3 \]) \ [\ times \] (\ [\ sqrt 3 \])

(c) 0,098009800098….

Отв. (а) 4.13468968968…. — рациональное число. Потому что цифры «689» в раскрытии повторяются после десятичной дроби.

(b) (7 + \ [\ sqrt 3 \]) \ [\ times \] (\ [\ sqrt 3 \]) = 3 +7 \ [\ sqrt 3 \], что является иррациональным числом.

(c) 0,098009800098…. — иррациональное число. Потому что десятичное раскрытие не завершается и не повторяется.

Q.2. Докажите, что \ [\ sqrt 2 \] — иррациональное число.

Отв. Предположим, что \ [\ sqrt 2 \] — рациональное число. Тогда по определению рациональных чисел можно записать, что,

\ [\ sqrt 2 \] = \ [\ frac {p} {q} \] ……. (1)

Где p и q — взаимно простые целые числа, а q \ [\ ne \] 0 (Совпростые числа — это те числа, общий делитель которых равен 1).

Возводя обе части уравнения (1) в квадрат, получаем

2 = \ [\ frac {{p2}} {{q2}} \]

⇒ p2 = 2 q 2 ……. (2)

Из сформулированной выше теоремы, если 2 является простым делителем p2, то 2 также является простым делителем p.

Итак, p = 2 × c, где c — любое целое число.

Подставляя это значение p в уравнение (3), мы получаем

(2c) 2 = 2 q2

⇒ q2 = 2c2

Это означает, что 2 также является простым множителем q2. Опять же, исходя из теоремы, можно сказать, что 2 также является простым делителем q.

Так как согласно первоначальному предположению, p и q — простые числа, но полученный выше результат противоречит этому предположению, поскольку p и q имеют 2 в качестве общего простого множителя, кроме 1. Это противоречие возникло из-за неправильного предположения, что \ [\ sqrt 2 \] рационально.

Итак, \ [\ sqrt 2 \] иррационально.

Иррациональные числа

Иррациональное число — это действительное число, которое не может быть записано в виде простой дроби.

Нерациональное средство Нерациональное

Давайте посмотрим, что делает число рациональным или иррациональным…

Рациональные числа

A Rational Число можно записать как Ratio двух целых чисел (то есть простой дроби).

Пример: 1,5 рационально, потому что его можно записать как соотношение 3/2

Пример: 7 рационально, потому что его можно записать как соотношение 7/1

Пример 0,333 … (3 повторения) тоже рациональный, потому что его можно записать как отношение 1/3

Иррациональные числа

Но некоторые числа не могут быть записаны как отношение двух целых чисел…

… их называют Иррациональные числа .

Пример:

π (Пи) — известное иррациональное число.

π = 3,1415926535897932384626433832795 … (и более)

Мы, , не можем записать простую дробь, равную Пи.

Популярное приближение ²² / ₇ = 3,1428571428571 … близко, но неточно .

Еще одна подсказка заключается в том, что десятичная дробь продолжается бесконечно, не повторяясь.

не может быть записано в виде дроби

Это иррационально , потому что это не может быть записано как соотношение (или дробь),
не потому, что это безумие!

Итак, мы можем определить, рационально это или иррационально, попробовав записать число в виде простой дроби.

Пример:

9,5 можно записать в виде простой дроби, например:

9.5 = 19 2

Значит, это рациональное число (а значит, не иррациональное )

Вот еще несколько примеров:

Квадратный корень из 2

Давайте более внимательно посмотрим на квадратный корень из 2.

Ответ — квадратный корень из 2 , что составляет 1.4142135623730950 … (и т. Д.)

Но это не число вроде 3, или пяти третей, или чего-то подобного …

… на самом деле мы не можем записать квадратный корень из 2, используя соотношение двух чисел

… Я объясняю , почему на Is It Irrational? стр.,

… и мы знаем, что это иррациональное число

Знаменитые иррациональные числа

Но √4 = 2 (рациональное) и √9 = 3 (рациональное) …

… значит, не все корни иррациональны.

Замечание об умножении иррациональных чисел

Взгляните на это:

• π × π = π ² иррационально
• Но √2 × √2 = 2 это рационально

Так что будьте осторожны… умножение иррационального числа может привести к результату в рациональное число!

Интересные факты ….

По-видимому, Гиппас (один из учеников Пифагора ) открыл иррациональные числа, пытаясь записать квадратный корень из 2 в виде дроби (предполагается, что с использованием геометрии). Вместо этого он доказал, что квадратный корень из 2 не может быть записан в виде дроби, поэтому иррационально .

Но последователи Пифагора не могли принять существование иррациональных чисел, и говорят, что Гиппас был утоплен в море в наказание от богов!

Иррациональные числа — GeeksforGeeks

Числа, которые мы обычно изучаем и вызывали беспокойство до сих пор, — это положительные целые числа, 1,2,3 и так далее, используемые для подсчета.Эти числа называются натуральными числами, и они были с нами на протяжении многих тысячелетий.

Известный математик Кронекер, по общему мнению, сказал:

«Бог создал натуральные числа; все остальное — дело рук человека ».

Затем основные жизненные потребности привели к созданию дробей, таких как 3/4, 1/5 и так далее. Эти числа были названы рациональными числами.

Примечание: Эти числа не называются рациональными числами, потому что они «разумны», они называются рациональными, потому что они представляют собой отношения целых чисел.

Все эти числа могут быть представлены в определенной позиции числовой строки.

Но около 2500 лет назад греки открыли кое-что еще, изучая геометрию. К своему удивлению они заметили, что есть некоторые числа, которые они не могут выразить как целые числа отношения.

Например:

Они заметили при построении квадрата с единицей длины стороны 1. Длину диагонали нельзя представить никаким соотношением целых чисел.

В современной математике такое число называется иррациональным числом. Геометрически это означает, что не существует общей единицы (какой бы маленькой она ни была), такой, что сторона и диагональ квадрата являются целым числом, кратным ему. Точно так же длина окружности иррационально кратна диаметру. Это кратное число «пи».

Теперь давайте формально определим рациональные числа и иррациональные числа.

Рациональные числа

Число «x» является рациональным числом, если его можно записать в форме «p / q», где p и q — целые числа (q 0).

Пример: 25 — рациональное число. Как? 25 можно записать как где p = 25 и q = 1. Аналогично, 5,5 также является рациональным числом, его можно выразить как и так далее.

Иррациональные числа

Число «x» называется иррациональным, если его нельзя записать в форме «p / q», где p и q — целые числа (q 0). Подобно тому, как существует бесконечно много рациональных чисел, существует бесконечно много иррациональных чисел.

Пример: √2, √3,

√2 = 1.41421356237309504880…

= 3,14159265358979323846264338327950…

Еще один ключ к распознаванию иррационального числа состоит в том, что десятичная дробь не повторяется.

Популярные иррациональные числа:

• Pi , π = 3,14159265358979323846264338327950…. Это действительно известное иррациональное число. Люди вычислили его значение с точностью до квадриллиона десятичной дроби, но до сих пор не нашли никакой закономерности.
• Число Эйлера «е» .Это также очень популярно в математике. В этом случае люди также пытались вычислить его с точностью до большого количества десятичных знаков, но все равно никакой закономерности не было найдено. e = 2,71828182845

  353602874713527 (и более…).

• Золотое сечение . Это иррациональное число, которое встречается во многих областях, таких как информатика, дизайн, искусство, архитектура.

Является ли √2 иррациональным числом?

Доказательство :

Для начала предположим, что это рациональное число

Поскольку оно рационально, его можно представить в наиболее упрощенной форме P / Q, где P / Q — целые числа (Q ≠ 0) и P / Q не может быть дополнительно упрощен,

Это означает, что дробь P / Q несократима.

P / Q = √2

Квадрат обеих сторон:

(P / Q) ² = 2

P ² / Q ² = 2

P ² = 2 Q ²

Здесь ясно, что P ² делится на 2.Следовательно, P ² — четное число.

Поскольку P ² является четным, P также должно быть четным числом.

Следовательно, P можно записать как 2A, поскольку оно делится на 2.

Положив значение P = 2A, мы получим:

(2A) ² = 2Q ²

4A ² = 2Q ²

2A ² = Q ²

Здесь наблюдается, что Q ² также является четным числом, так как делится на 2.

Поскольку Q ² является четным, Q тоже должно быть четным. Следовательно, И P, и Q оказались четными числами , что означает, что их можно упростить дальше.

Противоречие , поскольку оно уже было определено как дробь в простейшей форме.

Следовательно, √2 не может быть рациональным, это иррациональное число.

Свойства иррациональных чисел

Добавление иррационального и рационального числа:

Добавление иррационального числа к рациональному всегда дает иррациональное число.

Например, известно, что √2 = 1,41421356237309504880… Теперь √2 + 1 = 2,41421356237309504880…. Это все еще нерационально.

Умножение иррационального числа на ненулевое рациональное число.

Умножение любого иррационального числа на любое ненулевое рациональное число дает иррациональное число.

Доказательство: Пусть x — иррациональное число, а y — ненулевое рациональное число.

Мы хотим знать, является ли z = xy иррациональным или рациональным?

Докажет противоречие.Предположим, что z — рациональное число.

Если z рациональное число, то x = z / y, где z и y являются рациональными числами. Это делает x рациональным числом. Это противоречие, а это значит, что предыдущее предположение было неверным. Итак, z всегда будет иррациональным числом.

Произведение двух иррациональных чисел:

При умножении рационального числа не обязательно, чтобы полученное число всегда было иррациональным.

• π × π = π ² иррационально.
• Но √2 × √2 = 2 рационально.

Сумма двух иррациональных чисел:

Ответ на это также аналогичен приведенному выше свойству. Сумма двух иррациональных чисел иногда бывает рациональной, иногда иррациональной.

• 3√2 + 4√3 иррационально.
• (3√2 + 6) + (- 3√2) = 6, это рационально.

Интересный факт: По-видимому, Гиппас (один из учеников Пифагора) обнаружил иррациональные числа, когда пытался записать квадратный корень из 2 в виде дроби (предполагается, что с использованием геометрии).Вместо этого он доказал, что квадратный корень из 2 нельзя записать в виде дроби, поэтому это иррационально.

Но последователи Пифагора не могли согласиться с существованием иррациональных чисел, и говорят, что Гиппас был утоплен в море в наказание от богов!

Тайна Пи

Давайте возьмем круг, измерим его длину и разделим на диаметр. При точном измерении он всегда будет постоянным.

Это постоянное соотношение обозначается греческим символом (читается как пи).То есть

Это важная универсальная константа, она встречается во многих местах нашей Вселенной и в повседневной жизни. Это не было создано людьми, это было обнаружено. Мы обнаружили одно из мест, где встречается число «пи», это геометрия.

Итак, каково значение числа Пи?

π = 3,14159265358979323846264338327950…

Это не бесконечное число, это иррациональное число.

Примечание : Мы часто принимаем значение Пи, но это приблизительное значение.

Теперь можно подумать, насколько пи иррационально? Можно измерить окружность, можно измерить диаметр, а затем определить их соотношение. Так что это должно быть рационально.

Собственно, с таким случаем никто не столкнется, если диаметр мерный и это рационально. Тогда окружность должна быть иррациональной, и наоборот. Так что либо диаметр, либо окружность. Один из них всегда будет иррациональным. Обычно измерительные приборы недостаточно точны. Если бы существовала идеальная измерительная шкала, она бы сказала, что по крайней мере одно из чисел в дроби иррационально.

Некоторые примеры задач для иррациональных чисел

Вопрос 1: Подходят ли эти числа к категории иррациональных чисел: 5, 3.45, 4.444444…, √9.

Ответ:

Эти числа, упомянутые выше, не являются иррациональным числом.

• 5 — это целое число и, следовательно, Rational
• 3,45 — это число с завершающим десятичным числом и, следовательно, оно также является Rational.
• 4.444444… это число с повторяющимся десятичным разложением, оно рационально.
• √9 равно 3, т.е. квадратный корень из 9 равен 3, а 3 — целое число. Следовательно, √9 рационально.

Вопрос 2: «Каждое действительное число — это иррациональное число». Правда или ложь?

Ответ :

Ложь, все числа являются действительными числами, а все действительные числа без завершения являются иррациональными числами. Например, 2, 3, 4 и т. Д. Являются примерами действительных чисел, и они не являются иррациональными.

Вопрос 3: Определите, являются ли следующие числа рациональными или иррациональными.

√3, 74, 8.432432432…, 3.14159265358979…, √11, 55/5.

Ответ :

74, 8.432432432… и 55/5 (11) являются рациональными числами, так как либо они являются целыми числами, либо их десятичные разложения завершаются, повторяются.

√3, 3,14159265358979… и √11 — это иррациональные числа, поскольку их десятичные разложения не завершаются и не повторяются.

Вопрос 4 : Почему целые числа не являются иррациональными?

Ответ :

Целые числа (положительные, отрицательные или нулевые) не являются иррациональными, а являются рациональными числами, поскольку они могут быть представлены в простейшей форме дроби P / Q (где Q 0).

Что такое иррациональное число — A Plus Topper

Что такое иррациональное число

1. Число иррационально тогда и только тогда, когда его десятичное представление не завершается и не повторяется. например, √2, √3, π ……………. пр.
2. Рациональное число и иррациональное число вместе образуют множество действительных чисел.
3. Если a и b — два действительных числа, то либо
   (i) a> b, либо (ii) a = b, либо (iii) a
4. Отрицательное число иррационального числа — это иррациональное число.
5. Сумма рационального числа с иррациональным числом всегда иррациональна.
6. Произведение ненулевого рационального числа на иррациональное число всегда является иррациональным числом.
7. Сумма двух иррациональных чисел не всегда является иррациональным числом.
8. Произведение двух иррациональных чисел не всегда является иррациональным числом.
9. При делении для всех рациональных чисел вида \ (\ frac {p} {q} \) (q ≠ 0), p и q являются целыми числами, могут произойти две вещи: либо остаток становится равным нулю, либо никогда не становится равным нулю.

Тип (1) Пример: \ (\ frac {7} {8} \) = 0,875

Это десятичное расширение 0,875 называется , завершающим .
∴ Если остаток равен нулю, десятичное раскрытие заканчивается (завершается) после конечного числа шагов. На этом десятичное разложение таких чисел заканчивается.

Тип (2) Пример: \ (\ frac {1} {3} \) = 0,333 ……… = \ (0. \ Overline {3} \)

или \ (\ frac {1} {7 } \) = 0.142857142857… .. = \ (0. \ Overline {142857} \)

В обоих примерах остаток никогда не становится нулем, поэтому десятичное разложение никогда не заканчивается после нескольких или бесконечных шагов деления.Этот тип десятичных разложений называется без завершения.
В приведенных выше примерах, после шага I ^st и 6 шагов деления (соответственно) мы получаем остаток, равный деленному, поэтому десятичное разложение повторяется (повторяется).
Итак, они называются непрерывными повторяющимися десятичными расширениями .
Оба вышеуказанных типа (1 и 2) являются рациональными числами.

Типы (3) Пример: Десятичное расширение 0.327172398 …… нигде не заканчивается, также нет расположения цифр (не повторяющихся), поэтому они называются без завершения и не повторяются .Эти числа называются иррациональными числами .
Пример:
0.1279312793 рациональное завершение
0.1279312793…. рациональное без завершения
или \ (0. \ overline {12793} \) повторяющееся
0,32777 рациональное завершающее
или \ (0. 32 \ overline {7} \) рациональное без завершения
0,32777 ……. & повторяющийся
0,5361279 рациональное завершение
0.3712854043…. иррациональное безостановочное одноразовое
0.10100100010000 рациональное завершающее
0.10100100010000…. иррациональное непрекращающееся неповторяющееся.

Иррациональное число Примеры проблем с решениями

Пример 1: Вставьте рациональное и иррациональное число между 2 и 3.
Sol. Если a и b — два положительных рациональных числа, такие что ab не является полным квадратом рационального числа, то \ (\ sqrt {ab} \) — иррациональное число, лежащее между a и b.Кроме того, если a, b — рациональные числа, то \ (\ frac {a + b} {2} \) — рациональное число между ними.
∴ Рациональное число от 2 до 3 равно
\ (\ frac {2 + 3} {2} \) = 2,5
Иррациональное число между 2 и 3 равно
= \ (\ sqrt {2 \ times 3} \) = \ (\ Sqrt {6} \)

Пример 2: Найдите два иррациональных числа от 2 до 2,5.
Sol. Если a и b — два различных положительных рациональных числа, такие что ab не является полным квадратом рационального числа, то является иррациональным числом, лежащим между a и b.
∴ Иррациональное число от 2 до 2,5 равно
= \ (\ sqrt {2 \ times 2.5} \) = \ (\ sqrt {5} \)
Точно так же иррациональное число между 2 и \ (\ sqrt {5} \) равно \ (\ sqrt {2 \ times \ sqrt {5}} \)
Итак, требуемые числа: \ (\ sqrt {5} \) и \ (\ sqrt {2 \ times \ sqrt {5}} \)

Пример 3: Найдите два иррациональных числа, лежащих между \ (\ sqrt {2} \) и \ (\ sqrt {3} \).
Sol. Мы знаем, что если a и b — два различных положительных иррациональных числа, то \ (\ sqrt {ab} \) — иррациональное число, лежащее между a и b.{\ frac {1} {4}}} \) = 2 ^1/4 × 6 ^1/8 .
Следовательно, требуемые иррациональные числа 6 ^1/4 и
2 ^1/4 × 6 ^1/8 .
Пример 4: Найдите два иррациональных числа от 0,12 до 0,13.
Sol. Пусть a = 0,12 и b = 0,13. Ясно, что a и b — рациональные числа такие, что a Мы замечаем, что числа a и b имеют 1 в первом десятичном разряде. Но во втором месте десятичной дроби a имеет 2, а b — 3.Итак, рассматриваем числа
c = 0,1201001000100001 ……
и, d = 0,12101001000100001 …….
Ясно, что c и d — иррациональные числа такие, что a

Пример 5: Докажите, что это \ (\ sqrt {2} \) иррациональное число
Sol. Предположим противное, что \ (\ sqrt {2} \) рационально. Итак, мы можем найти целые числа r и s (≠ 0) такие, что \ (\ sqrt {2} = \ frac {r} {s} \). Предположим, что r и s не имеют общего множителя, отличного от 1.Затем мы делим на общий множитель, чтобы получить \ (\ sqrt {2} = \ frac {a} {b} \), где a и b взаимно просты.
Итак, b \ (\ sqrt {2} \) = a.
Возводя в квадрат с обеих сторон и переставляя, получаем 2b ² = a ² . Следовательно, 2 делит ² . Теперь по теореме 2 делит a.
Итак, мы можем написать a = 2c для некоторого целого числа c.
Подставляя вместо a, получаем 2b ² = 4c ² , то есть
b ² = 2c ² .
Это означает, что 2 делит b ² , и поэтому 2 делит b (опять же с использованием теоремы с p = 2).
Следовательно, a и b имеют как минимум 2 в качестве общего множителя.
Но это противоречит тому факту, что a и b не имеют общих множителей, кроме 1.
Это противоречие возникло из-за нашего неверного предположения, что \ (\ sqrt {2} \) рационально.
Итак, мы заключаем, что \ (\ sqrt {2} \) иррационально.

Пример 6: Докажите, что это \ (\ sqrt {3} \) иррациональное число.
Sol. Предположим, напротив, что это рационально. То есть мы можем найти целые числа a и b (≠ 0) такие, что \ (\ sqrt {2} = \ frac {a} {b} \).Предположим, что a и b не имеют общего множителя, отличного от 1, тогда мы можем разделить на общий множитель и предположить, что a и b взаимно просты.
Итак, b \ (\ sqrt {3} \) = a.
Возводя в квадрат с обеих сторон и переставляя, получаем 3b ² = a ² .
Следовательно, a ² делится на 3, и по теореме следует, что a также делится на 3.
Итак, мы можем записать a = 3c для некоторого целого числа c.
Подставляя вместо a, получаем 3b ² = 9c ² , то есть
b ² = 3c ² .
Это означает, что b ² делится на 3, и поэтому b также делится на 3 (используя теорему с p = 3).
Следовательно, a и b имеют как минимум 3 в качестве общего множителя.
Но это противоречит тому факту, что a и b взаимно просты.
Это противоречит тому факту, что a и b взаимно просты.
Это противоречие возникло из-за нашего неверного предположения, что \ (\ sqrt {3} \) рационально.
Итак, мы заключаем, что \ (\ sqrt {3} \) иррационально.

Пример 7: Докажите, что \ (7- \ sqrt {3} \) иррационально
Sol. Метод I:
Пусть \ (7- \ sqrt {3} \) — рациональное число
∴ \ (7- \ sqrt {3} \) = \ (\ frac {p} {q} \) (p , q — целые числа, q ≠ 0)
∴ 7 — \ (\ frac {p} {q} \) = \ (\ sqrt {3} \)
⇒ \ (\ sqrt {3} \) = \ (\ frac {7q-p} {q} \)
Здесь p, q — целые числа
∴ \ (\ frac {7q-p} {q} \) также целое
∴ LHS = \ (\ sqrt {3} \) также является целым числом, но это \ (\ sqrt {3} \) противоречие, которое является иррациональным, поэтому наше предположение неверно, что \ (7- \ sqrt {3} \) рационально
(\ (7- \ sqrt {3} \ ) Иррационально доказано.
Метод II:
Пусть \ (7- \ sqrt {3} \) рационально
мы знаем, что сумма или разность двух рациональных чисел также рациональна
∴ \ (7-7- \ sqrt {3} \)
= \ (\ sqrt {3} \) = рациональное
, но противоречие с тем, что \ (\ sqrt {3} \) иррационально.
∴ \ (7- \ sqrt {3} \) иррационально доказано.

Пример 8: Докажите, что \ (\ frac {\ sqrt {5}} {3} \) иррационально.
Sol. Пусть \ (\ frac {\ sqrt {5}} {3} \) рационально
∴ \ (3 \ left (\ frac {\ sqrt {5}} {3} \ right) \) = \ (\ sqrt {5} \) рационально
(∵ Q произведение двух рациональных чисел также рационально)
, но противоречие с тем, что \ (\ sqrt {5} \) иррационально
∴ \ (\ frac {\ sqrt {5}} { 3} \) доказано иррационально.

Пример 9: Докажите, что \ (2 \ sqrt {7} \) иррационально.
Sol. Пусть рационально
∴ \ (2 \ sqrt {7} \ times \ left (\ frac {1} {2} \ right) \) = \ (\ sqrt {7} \)
(∵ Q деление двух рациональных № тоже рационально)
∴ \ (\ sqrt {7} \) рационально
но это иррациональное противоречие
∴ \ (2 \ sqrt {7} \) иррационально

Пример 10: Найдите 3 иррациональных числа между 3 и 5.
Решение: ∵ 3 и 5 оба рациональны
Иррациональные — 3.1271