Уравнения с дробями | Математика

Линейные уравнения с дробями в 6 классе можно решать по обычной схеме: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знак. Другой путь — предварительно упростить уравнение, превратив его из линейного уравнения с дробями в линейное уравнение с целыми числами. 

Сначала на примере одного линейного уравнения с дробями рассмотрим оба способа решения.

1 способ: Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

Приводим к общему знаменателю дроби в каждой части уравнения:

Это — простейшее линейное уравнение. Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

При делении чисел с разными знаками получаем отрицательное число. По правилу деления дробей:

После сокращения имеем:

(В данном случае ответ можно записать и в виде десятичной дроби: х=-0,8).

2 способ:

Обе части уравнения умножим почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей, в данном случае он равен 24:

При умножении на знаменатель дроби сокращаются, в знаменателе остается единица, которую не пишем. От  линейного уравнения с дробями перешли к линейному уравнению с целыми числами:

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Ответ: -4/5.

Как видите, второй способ существенно упрощает решение линейного уравнения с дробями.

Обе части уравнения умножаем почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей. Здесь он равен 60:

Вместо линейного уравнения с дробями получили линейное уравнение с целыми числами. Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Сокращаем дробь на 3:

Ответ: 5/11.

Обе части уравнения умножаем почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей:

В результате линейное уравнение с дробями заменили на линейное уравнение с целыми числами:

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Ответ: 2,9.

В следующий раз рассмотрим линейные уравнения с смешанными дробями.

5 класс уравнения с дробями

Вы искали 5 класс уравнения с дробями? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 6 класс уравнения с дробями примеры, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «5 класс уравнения с дробями».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 5 класс уравнения с дробями,6 класс уравнения с дробями примеры,7 класс как решать уравнения с дробями,дроби с х как решать,дробное уравнение,дробное уравнение как решать,дробные уравнения,дробные уравнения как решать,дробные уравнения как решить,как в уравнении избавиться от дроби,как в уравнении избавиться от знаменателя дроби,как избавиться от дроби в уравнении,как избавиться от знаменателя в уравнении,как найти корень дробного уравнения,как найти корень уравнения с дробями,как находить корень уравнения с дробями,как решать дроби с х,как решать дробное уравнение,как решать дробные уравнения,как решать уравнение дробное,как решать уравнение с дробью,как решать уравнение с дробями,как решать уравнения 7 класс по алгебре с дробями,как решать уравнения с дробью,как решать уравнения с дробями 5 класс,как решать уравнения с дробями 9 класс,как решать уравнения с дробями десятичными,как решаются дробные уравнения,как решаются уравнения с дробями,как решить дробное уравнение,как решить уравнение 7 класс по алгебре с дробями,как решить уравнение с дробями десятичными,найти корень уравнения с дробями,примеры уравнение с дробями 5 класс,решение дробного уравнения,решение дробных уравнений,решение уравнений с дробями алгебра 7 класс,решения дробных уравнений,решить дробное уравнение,решить уравнение с дробями 7 класс по алгебре,уравнение как решать с дробью,уравнение с дробью как решать,уравнение с дробями 5 класс примеры,уравнение с дробями десятичными,уравнения 5 класс с дробями,уравнения с дробью как решать,уравнения с дробями 5 класс,уравнения с дробями примеры 6 класс. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и 5 класс уравнения с дробями. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, 7 класс как решать уравнения с дробями).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 5 класс уравнения с дробями Онлайн?

Решить задачу 5 класс уравнения с дробями вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Действия с дробями

Дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой. В принципе, всё что можно делать с обычными числами, можно делать и с дробями.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение дробей бывает двух видов:

1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями;
2. Сложение дробей с разными знаменателями.

Сначала изýчим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения.

Например, слóжим дроби    и  . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к   пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Сложить дроби и .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

В ответе получилась неправильная дробь .   Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два будет один:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

Пример 3. Сложить дроби    и  .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

Пример 4. Найти значение выражения 

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к  пиццы прибавить  пиццы и ещё прибавить  пиццы, то получится 1 целая и ещё  пиццы.

Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями нет ничего сложного. Достаточно понимать следующие правила:

1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;
2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

Сложение дробей с разными знаменателями

Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, дроби   и  сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

А вот дроби    и    сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Сложим дроби  и 

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

НОК (2 и 3) = 6

Теперь возвращаемся к дробям  и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Таким образом, пример завершается.  К  прибавить  получается .

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к  пиццы прибавить  пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби  и  к общему знаменателю, мы получили дроби  и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

Первый рисунок изображает дробь  (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь  (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем  (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили  (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби?«.

Поэтому на первых этапах советуем записывать каждую мелочь. Хвастаться можно лишь в будущем, когда будут усвоены азы.

Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

1. Найти НОК знаменателей дробей;
2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
4. Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

Пример 2. Найти значение выражения .

Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.

Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей

Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4

Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть

У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

Получили ответ

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей бывает двух видов:

1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
2. Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения.

Например, найдём значение выражения  . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от  пиццы отрезать   пиццы, то получится  пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от  пиццы отрезать   пиццы, то получится  пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

1. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в  ней целую часть.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Теперь научимся вычитать дроби у которых разные знаменатели. Когда вычитают дроби их знаменатели должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, от дроби  можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей  одинаковые знаменатели. А вот от дроби  нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Найти значение выражения:

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

НОК (3 и 4) = 12

Теперь возвращаемся к дробям  и

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Получили ответ

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от  пиццы отрезать  пиццы, то получится  пиццы

Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

Приведение дробей  и  к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби  и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

Первый рисунок изображает дробь  (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь  (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь  и описывает эти пять кусочков.

Пример 2. Найти значение выражения

У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Найдём НОК знаменателей этих дробей.

Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли  к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.

Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

Итак, находим НОД чисел 20 и 30:

Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби  на найденный НОД, то есть на 10

Получили ответ

Умножение дроби на число

Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.

Пример 1. Умножить дробь  на число 1.

Умножим числитель дроби на число 1

Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится  пиццы

Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется  пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

Умножим числитель дроби на 4

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Выражение  можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если  пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

Число, которое умножается на дробь, и знаменатель дроби разрешается сокращать, если они имеют общий делитель, бóльший единицы.

Например, выражение можно вычислить двумя способами.

Первый способ. Умножить число 4 на числитель дроби, а знаменатель дроби оставить без изменений:

Второй способ. Умножаемую четвёрку и четвёрку, находящуюся в знаменателе дроби , можно сократить. Сократить эти четвёрки можно на 4, поскольку наибольший общий делитель для двух четвёрок есть сама четвёрка:

Получился тот же результат 3. После сокращения четвёрок, на их месте образуются новые числа: две единицы. Но перемножение единицы с тройкой, и далее деление на единицу ничего не меняет. Поэтому решение можно записать покороче:

Сокращение может быть выполнено даже тогда, когда мы решили воспользоваться первым способом, но на этапе перемножения числа 4 и числителя 3 решили воспользоваться сокращением:

А вот к примеру выражение можно вычислить только первым способом — умножить число 7 на числитель дроби , а знаменатель оставить без изменений:

Связано это с тем, что число 7 и знаменатель дроби не имеют общего делителя, бóльшего единицы, и соответственно не сокращаются.

Некоторые ученики по ошибке сокращают умножаемое число и числитель дроби. Делать этого нельзя. Например, следующая запись не является правильной:

Сокращение дроби подразумевает, что и числитель и знаменатель будет разделён на одно и тоже число. В ситуации с выражением деление выполнено только в числителе, поскольку записать  это всё равно, что записать . Видим, что деление выполнено только в числителе, а в знаменателе никакого деления не происходит.

Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

Пример 1. Найти значение выражения .

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

Выражение  можно понимать, как взятие  пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:

Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

И взять от этих трех кусочков два:

У нас получится  пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения  равно 

Пример 2. Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Пример 3. Найти значение выражения 

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.

Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15

Представление целого числа в виде дроби

Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как  . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение    означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

Обратные числа

Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:

Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

Примеры:

• обратным числа 2 является дробь

• обратным  числа 3 является дробь

• обратным числа 4 является дробь

Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

Примеры:

Деление дроби на число

Допустим, у нас имеется половина пиццы:

Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?

Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет  пиццы. Значит каждому достанется по  пиццы.

Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.

Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.

Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.

Итак, требуется разделить дробь  на число 2. Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.

Чтобы разделить дробь  на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить  на 

Получили ответ . Значит при делении половины на две части получается четверть.

Попробуем понять механизм этого правила. Для этого рассмотрим следующий простейший пример. Пусть у нас имеется одна целая пицца:

Умножим её на 2. То есть повторим её два раза (или возьмём два раза). В результате будем иметь две пиццы:

Теперь угостим этими пиццами двоих друзей. То есть разделим две пиццы на 2. Тогда каждому достанется по одной пицце:

Разделить две пиццы на 2 это всё равно, что взять половину от этих пицц, то есть умножить число 2 на дробь 

В обоих случаях получился один и тот же результат.

Тоже самое происходило, когда мы делили половину пиццы на две части. Чтобы разделить  на 2, мы умножили эту дробь на число, обратное делителю 2. А обратное делителю 2 это дробь 

Пример 2. Найти значение выражения 

Умножим первую дробь на число, обратное делителю:

Допустим, имеется четверть пиццы и нужно разделить её на двоих:

Если разделить эту четверть на две части, то каждая получившаяся часть будет одной восьмой частью целой пиццы:

Заменять деление умножением можно не только при работе с дробями, но и с обычными числами. Например, все мы знаем, что 10 разделить на 2 будет 5

10 : 2 = 5

Заменим в этом примере деление умножением. Чтобы разделить число 10 на число 2, можно умножить число 10 на число, обратное числу 2. А обратное числу 2 это дробь 

Как видно результат не изменился. Мы снова получили ответ 5.

Можно сделать вывод, что деление можно заменять умножением при условии, что вместо делителя будет подставлено обратное ему число.

Пример 3. Найти значение выражения

Умножим первую дробь на число, обратное делителю. Обратное делителю число это дробь 

Допустим, имелось пиццы:

Как разделить такую пиццу на шестерых? Если каждый из трех кусков разделить пополам, то можно получить 6 равных кусков

Эти шесть кусков являются шестью кусками из двенадцати. А один из этих кусков составляет . Поэтому при делении  на 6 получается 

Деление числа на дробь

Правило деления числа на дробь такое же, как и правило деления дроби на число.

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю.

Например, разделим число 1 на .

Чтобы разделить число 1 на , нужно это число 1 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дроби  это дробь 

Выражение  можно понимать, как определение количества половин в одной целой пицце. Допустим, имеется одна целая пицца:

Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в этой пицце», то ответом будет 2. Действительно, половина содержится в одной целой пицце два раза

Пример 2. Найти значение выражение 

Умножим число 2 на дробь, обратную делителю. А обратная делителю дробь это дробь 

Допустим, у нас имеются две целые пиццы:

Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в двух пиццах», то ответом будет 4. Действительно, половина содержится в двух пиццах четыре раза:

Деление дробей

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Например, разделим  на 

Чтобы разделить  на , нужно  умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дроби  это дробь 

Допустим, имеется половина пиццы:

Если зададим вопрос «сколько раз четверть пиццы содержится в этой половине», то ответом будет 2. Действительно, четверть пиццы содержится в половине пиццы два раза:

Пример 1. Найти значение выражения 

Умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Грубо говоря, умножаем первую дробь на перевёрнутую вторую:

Пример 2. Найти значение выражения

Умножаем первую дробь на дробь обратную второй:

Здесь советуем остановиться и потренироваться. Решите несколько примеров, приведенных ниже. Можете использовать материалы сайта, как справочник. Это позволит вам научиться работать с литературой.

Каждая следующая тема будет более сложной, поэтому нужно тренироваться.

Задания для самостоятельного решения:

Задание 1. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 2. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 3. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 4. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 5. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 6. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 7. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 8. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 9. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 10. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 11. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 12. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 13. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 14. Найдите значение выражения:

Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Линейные уравнения (ЕГЭ — 2021)

Начнем сразу же с примера

\( \displaystyle 4x=16\)

Смотрим и соображаем: что нам не нравится в этом примере? Неизвестное все в одной части, известные – в другой, но что-то нам мешает… И это что-то – четверка, так как если бы ее не было, все было бы идеально – икс равен числу – именно так, как нам и нужно!

Как можно от неё избавиться? Перенести вправо мы не можем, так как тогда нам нужно переносить весь множитель (мы же не можем ее взять и оторвать от \( \displaystyle x\)), а переносить весь множитель тоже не имеет смысла…

Пришло время вспомнить про деление, в связи с чем разделим все как раз на \( \displaystyle 4\)! Все – это означает и левую, и правую часть. {2}}-12x+6x+36+9=0\\-6x=-45\end{array}\)

Как ты видишь, иксы в квадрате исчезли, и здесь совершенно обычное линейное уравнение. Осталось только найти \( \displaystyle x\)!

\( \displaystyle x=\frac{-45}{-6}=7,5\)

И напоследок скажу еще одну очень важную вещь про тождественные преобразования.

Отрицательные дроби. Действия с отрицательными дробями

Отрицательные дроби — это дроби, числитель или знаменатель которых является отрицательным числом.

Отрицательные дроби могут быть записаны по-разному. Например, рассмотрим два частных:

-2 : 7    и    2 : (-7),

каждое из них равно отрицательному числу

Каждое из данных частных можно записать в виде дроби, в которой дробная черта заменит знак деления:

-2 : 7	=	-2	и	2 : (-7)	=	2	.
		7				-7

Следовательно, при записи отрицательных дробей знак минус можно ставить перед дробью, перед числителем или перед знаменателем:

Сложение и вычитание

Чтобы сложить две отрицательные дроби, надо сначала привести их к общему знаменателю, а затем сложить числители по правилам сложения рациональных чисел.

Пример.

Приведём дроби к общему знаменателю:

Теперь сложим числители дробей по правилам сложения рациональных чисел:

-8	+	-5	=	-8 + (-5)	=	-13	=	—	13	.
20		20		20		20			20

Таким образом:

Для вычисления разности двух отрицательных дробей можно вычитание заменить сложением, взяв уменьшаемое со свои знаком, а вычитаемое с противоположным.

Пример.

=	—	5	+	11	=	-5 + 11	=	6	.
		12		12		12		12

Сложение и вычитание отрицательных дробей производится по правилам сложения обыкновенных дробей, то есть сначала идёт приведение к общему знаменателю, если это нужно, а затем производятся вычисления.

Умножение и деление

Чтобы найти произведение двух отрицательных дробей, надо знаки минус перенести или в числители, или в знаменатели, а затем перемножить дроби по правилу умножения дробей.

Пример.

Так как при умножении двух отрицательных чисел результат будет положительным, то данный пример можно решить сразу, отбросив оба минуса:

—	2	· (-	4	)  =	2	·	4	=	2 · 4	=	8	.
	3		5		3		5		3 · 5		15

При умножении отрицательной дроби на положительную результат будет отрицательным.

Пример.

К отрицательным дробям можно применять любые законы умножения. Поэтому предыдущий пример можно переписать так:

То есть при умножении положительной дроби на отрицательную результат будет отрицательным.

Чтобы найти частное двух отрицательных дробей, надо знаки минус перенести или в числители, или в знаменатели, а затем произвести вычисления.

Пример.

Знак результата умножения или деления отрицательных дробей можно узнать по правилам знаков целых чисел.

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений.

Напомним, что рациональные уравнения – это уравнения, у которых левая и правая части являются рациональными выражениями. Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называют дробным.

Очень часто решение задач сводится к решению дробных рациональных уравнений. Решим несколько задач, которые сводятся к решению таких уравнений.

Задача 1. Числитель дроби на 3 меньше её знаменателя. Сумма дроби и обратной ей дроби в 7,25 раза больше исходной дроби. Найти исходную дробь.

Решение: обозначим за хзнаменатель дроби. Тогда (х-3) – числитель этой дроби. Значит, исходная дробь имеет вид х-3х. Так как по условию задачи сумма дробих-3хи обратной ей дробихх-3 в 7,25 раза больше исходной дроби, то можем составить уравнение:

x-3x+xx-3=7,25x-3x

Представим 7,25 в виде неправильной дроби:

x-3x+xx-3=29(x-3)4x

Умножим обе части уравнения на 4x(x-3) при x≠0, x≠3, чтобы избавиться от знаменателей:

4x-3x-3+4×2=29(x-3)(x-3)

4×2-24x+36+4×2=29×2-174x+261

21×2-150x+225=0

D=(-150)2-4∙21∙225=3600

D=60

x1=—150-602∙21=9042=157 не соответствует условию задачи.

x2=—150+602∙21=21042=5

Значит, 5 – знаменатель, 5-3 = 2 – числитель.

Ответ: 25 – исходная дробь.

Задача 2. Велосипедисту надо проехать 30 км. Он выехал на полчаса позже намеченного срока и, чтобы приехать вовремя, увеличил скорость на 2 км/ч. С какой скоростью ехал велосипедист?

Пусть х (км/ч) – скорость велосипедиста. Тогда расстояние в 30 км велосипедист проедет за 30х часов. Если бы велосипедист выехал вовремя, то его скорость была бы равна (х-2) км/ч. И тогда расстояние в 30 км он проехал бы за 30х-2 часов. По условию задачи, велосипедист выехал на 30 минут позже намеченного срока, или, что тоже самое, на 3060=12 часа позже. Составим уравнение:

30x-2-30x=12

Умножим обе части уравнения на 2x(x-2) при x≠0, x≠2, чтобы избавиться от знаменателей:

30∙2x-30∙2x-2=x(x-2)

60x-60x+120=x2-2x

x2-2x-120=0

D=(-2)2-4∙1∙-120=4+480=484

D=484=22

x1=—2-222=-10 не соответствует условию задачи.

x2=—2+222=12

Ответ: 12 км/ч.

Задача 3. Лодка прошла вниз по реке 42 км, а затем 27 км против течения, затратив на весь путь 15 часов. Найти скорость течения реки, если скорость моторной лодки в стоячей воде равна 5 км/ч.

Пусть х (км/ч) – скорость течения реки. Тогда (5+х) км/ч скорость моторной лодки по течению реки и (5-х) км/ч скорость моторной лодки против течения. Известно, что моторная лодка прошла по течению реки 42 км, а значит, затратила на это расстояние 425+х часов. Затем против течения лодка прошла 27 км, затратив на это расстояние 275-х часов. По условию известно, что на весь путь моторная лодка затратила 15 часов. Составим уравнение:

425+x+275-x=15

Умножим обе части уравнения на (5+x)(5-x) при x≠-5, x≠5, чтобы избавиться от знаменателей:

425-x+275+x=15(5+x)(5-x)

210-42x+135+27x=375-15×2

5×2-5x-10=0

x2-x-2=0

По теореме Виета

x1+x2=1×1∙x2=-2

Следовательно, x1=-1; x2=2.

Ответ: 2 км/ч

Калькулятор дробей ОНЛАЙН с решением уравнений в столбик

Онлайн калькулятор дробей позволяет производить простейшие арифметические операции с дробями: сложение дробей, вычитание дробей, умножение дробей, деление дробей. Чтобы произвести вычисления, заполните поля соответствующие числителям и знаменателям двух дробей.

Дробью в математике называется число, представляющее часть единицы или несколько её частей.

Обыкновенная дробь записывается в виде двух чисел, разделенных обычно горизонтальной чертой, обозначающей знак деления. Число, располагающееся над чертой, называется числителем. Число, располагающееся под чертой, называется знаменателем. Знаменатель дроби показывает количество равных частей, на которое разделено целое, а числитель дроби – количество взятых этих частей целого.

Дроби бывают правильными и неправильными.

• Правильной называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя.
• Неправильная дробь – если у дроби числитель больше знаменателя.

Смешанной называется дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, и понимается как сумма этого числа и дробной части. Соответственно, дробь, не имеющая целую часть, называется простой дробью. Любая смешанная дробь может быть преобразована в неправильную простую дробь.

Как перевести смешанную дробь в обыкновенную

Для того, чтобы перевести смешанную дробь в обыкновенную, необходимо к числителю дроби прибавить произведение целой части и знаменателя: 

Как перевести обыкновенную дробь в смешанную

Для того, чтобы перевести обыкновенную дробь в смешанную, необходимо:

1. Поделить числитель дроби на её знаменатель
2. Результат от деления будет являться целой частью
3. Остаток отделения будет являться числителем

Как перевести обыкновенную дробь в десятичную

Для того, чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно разделить её числитель на знаменатель.

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

Для того, чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, необходимо:

1. Записать дробь в виде десятичная 
2. Умножать числитель и знаменатель на 10 до тех пор, пока числитель не станет целым числом.
3. Найти наибольший общий делитель и сократить дробь.

Как перевести дробь в проценты

Для того, чтобы перевести обыкновенную или смешанную дробь в проценты, необходимо перевести её в десятичную дробь и умножить на 100.

Как перевести проценты в дробь

Для того, чтобы перевести проценты в дробь, необходимо получить из процентов десятичную дробь (разделив на 100), затем полученную десятичную дробь перевести в обыкновенную.

Сложение дробей

Алгоритм действий при сложении двух дробей такой:

1. Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
2. Привести дроби к общему знаменателю. Для этого нужно числитель и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель и знаменатель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби.
3. Выполнить сложение дробей путем сложения их числителей.
4. Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
5. Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.

Вычитание дробей

Алгоритм действий при вычитании двух дробей:

1. Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
2. Привести дроби к общему знаменателю. Для этого нужно числитель и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель и знаменатель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби.
3. Вычесть одну дробь из другой, путем вычитания числителя второй дроби из числителя первой.
4. Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
5. Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.

Умножение дробей

Алгоритм действий при умножении двух дробей:

1. Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
2. Умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби и знаменатель первой дроби на знаменатель второй.
3. Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
4. Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.

Деление дробей

Алгоритм действий при делении двух дробей:

1. Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
2. Чтобы произвести деление дробей, нужно преобразовать вторую дробь, поменяв местами её числитель и знаменатель, а затем произвести умножение дробей.
3. Умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби и знаменатель первой дроби на знаменатель второй.
4. Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
5. Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.

Калькулятор дробей предоставлен сайтом calcus. ru

Загрузка…

Понравилось? Поделись с друзьями!

Как избавиться от экспонентов в алгебраическом уравнении

Обновлено 30 ноября 2020 г.

Лиза Мэлони

Мало что вселяет страх в начинающего студента алгебры, например, видение показателей — такие выражения, как y ² , x ³ или даже ужасающий y ^x — всплывают в уравнениях. Чтобы решить уравнение, вам нужно как-то убрать эти показатели. Но по правде говоря, этот процесс не так уж и сложен, если вы изучите ряд простых стратегий, большинство из которых основаны на основных арифметических операциях, которые вы использовали в течение многих лет.2 + 4

Вычтем 2 x ² из обеих частей уравнения. Поскольку вы выполнили одну и ту же операцию с обеими сторонами уравнения, вы не изменили его значение. Но вы фактически удалили показатель степени, в результате чего осталось:

y — 5 = 4

При желании вы можете завершить решение уравнения для y , добавив 5 к обеим сторонам уравнения, что даст вам:

y = 9

Часто проблемы не так просты, но это возможность, на которую стоит обратить внимание.

Ищите возможности для разложения на множители

Со временем, практикой и большим количеством математических классов вы соберете формулы для разложения на множители определенных типов многочленов. Это очень похоже на сбор инструментов, которые вы храните в ящике для инструментов, пока они вам не понадобятся. Хитрость заключается в том, чтобы научиться определять, какие многочлены можно легко разложить на множители. Вот некоторые из наиболее распространенных формул, которые вы можете использовать, с примерами их применения:

Если ваше уравнение содержит два числа в квадрате со знаком минус между ними — например, x ² — 4 ² — их можно разложить на множители по формуле a ² — b ² = (a + b) (a — b) .Если применить формулу к примеру, полином x ² — 4 ² множит ( x + 4) ( x — 4). 3 — 25 = 2

. Выделите показатель степени, прибавив 25 к обеим частям уравнения.3} = \ sqrt [3] {27}

Что, в свою очередь, упрощается до:

z = 3

Решение рациональных уравнений

Решение рациональных уравнений
Вот шаги, необходимые для решения рациональных уравнений:

Шаг 1 :	Удалите все дроби. При решении рациональных уравнений у вас есть выбор из двух способов исключить дроби. Опция 1; умножьте всю проблему на наименьший общий знаменатель или ЖКД. Вариант 2; вы можете крестить умножение.Вариант 1 подойдет для любой задачи, но вы можете выполнить перекрестное умножение только в том случае, если у вас есть одна дробь, равная одной дроби, то есть если дроби пропорциональны. Щелкните ссылку, чтобы просмотреть шаги по поиску ЖК-дисплея. Обратите внимание, что при решении рациональных уравнений все дроби должны исчезнуть после первого шага.
Шаг 2 :	Упростите полученное уравнение. Чтобы упростить уравнение, вам может потребоваться распределить и объединить похожие термины.
Шаг 3 :	Решите упрощенное уравнение. Если упрощенное уравнение имеет более высокие степени, такие как x 2 или x 3 , вы можете решить уравнение, приравняв его к нулю и разложив на множители. Если упрощенная задача не содержит более высоких степеней, тогда решите для x, получив x с одной стороны и числа с другой.
Шаг 4 :	Проверьте каждое решение.Подставьте каждое решение в знаменатель исходного вопроса и отклоните любые решения, которые приводят к тому, что знаменатель равен нулю, потому что это делает проблему неопределенной. Этот шаг не гарантирует правильного ответа; это только гарантирует, что ответ приемлем.

Пример 1 — Решить:

Шаг 1 : Удалите все дроби. В этом случае нам нужно умножить на ЖК-дисплей, чтобы исключить дроби.
Шаг 2 : Упростите полученное уравнение. Чтобы упростить уравнение, вам может потребоваться распределить и объединить похожие термины.
Шаг 3 : Решите упрощенное уравнение. В этом случае нам нужно получить x на одной стороне и числа на другой стороне.
Шаг 4 : Проверьте каждое решение. В этом случае единственное число, которое делает проблему неопределенной, — 0.Поскольку наш ответ не равен 0, ответ принят.

Пример 2 — Решить:

Шаг 1 : Удалите все дроби. В этом случае нам нужно умножить на ЖК-дисплей, чтобы исключить дроби.
Шаг 2 : Упростите полученное уравнение. Чтобы упростить уравнение, вам может потребоваться распределить и объединить похожие термины.
Шаг 3 : Решите упрощенное уравнение.В этом случае нам нужно получить x на одной стороне и числа на другой стороне.
Шаг 4 : Проверьте каждое решение. В этом случае единственными числами, которые могут сделать проблему неопределенной, являются 3 или –3. Поскольку наш ответ не равен 3 или –3, ответ принят.

Щелкните здесь для практических задач

Пример 3 —

Шаг 1 : Удалите все дроби. В этом случае мы можем либо умножить на ЖК-дисплей, либо крест-накрест, чтобы исключить дроби.
Шаг 2 : Упростите полученное уравнение. Чтобы упростить уравнение, вам может потребоваться распределить и объединить похожие термины.
Шаг 3 : Решите упрощенное уравнение. В этом случае нам нужно получить x на одной стороне и числа на другой стороне, потому что члены x 2 будут сокращаться.
Шаг 4 : Проверьте каждое решение. В этом случае единственные числа, которые делают проблему неопределенной, — это 2 или 5. Поскольку наш ответ — не 2 или 5, ответ принимается.

Щелкните здесь для практических задач

Пример 4 —

Шаг 1 : Удалите все дроби. В этом случае нам нужно умножить на ЖК-дисплей, чтобы исключить дроби.
Шаг 2 : Упростите полученное уравнение. Чтобы упростить уравнение, вам может потребоваться распределить и объединить похожие термины.
Шаг 3 : Решите упрощенное уравнение. В этом случае нам нужно получить x на одной стороне и числа на другой стороне.
Шаг 4 : Проверьте каждое решение. В этом случае единственные числа, которые делают проблему неопределенной, — это 1 или 4.Поскольку наш ответ равен 4, ответ не принимается, что означает:

Щелкните здесь для практических задач

Пример 5 —

Шаг 1 : Удалите все дроби. В этом случае мы можем либо умножить на ЖК-дисплей, либо крест-накрест, чтобы исключить дроби.
Шаг 2 : Упростите полученное уравнение. Чтобы упростить уравнение, вам может потребоваться распределить и объединить похожие термины.
Шаг 3 : Решите упрощенное уравнение. В этом случае нам нужно получить уравнение, равное нулю, и решить его путем факторизации.
Шаг 4 : Проверьте каждое решение. В этом случае единственные числа, которые делают проблему неопределенной, — это 0 или –12/5. Поскольку наши ответы не равны 0 или –12/5, ответы принимаются.

Щелкните здесь для практических задач

Пример 6 —

Шаг 1 : Удалите все дроби.В этом случае нам нужно умножить на ЖК-дисплей, чтобы исключить дроби.
Шаг 2 : Упростите полученное уравнение. Чтобы упростить уравнение, вам может потребоваться распределить и объединить похожие термины.
Шаг 3 : Решите упрощенное уравнение. В этом случае нам нужно получить уравнение, равное нулю, и решить его путем факторизации.
Шаг 4 : Проверьте каждое решение.В этом случае единственными числами, которые могут сделать проблему неопределенной, являются 1, –1 или –2. Поскольку наши ответы не равны 1, –1 или –2, ответы принимаются.

Щелкните здесь для практических задач

Рационализировать знаменатель

«Рационализация знаменателя» — это когда мы перемещаем корень (например, квадратный корень или кубический корень) из нижней части дроби в верхнюю.

О нет! Иррациональный знаменатель!

Нижняя часть дроби называется знаменателем .
Такие числа, как 2 и 3, являются рациональными.
Но многие корни, такие как √2 и √3, иррациональны.

Пример: имеет иррациональный знаменатель

Чтобы быть в «простейшей форме», знаменатель должен быть , а не иррациональным!

Исправление (делая знаменатель рациональным)
называется « Рационализация знаменателя »

Примечание: нет ничего неправильного с иррациональным знаменателем, все равно работает.Но это не самая простая форма, поэтому может стоить марок.

И их удаление может помочь вам решить уравнение, поэтому вам следует узнать, как это сделать.

Итак … как мы это делаем?

1. Умножьте верх и низ на корень

Иногда можно просто умножить верх и низ на корень:

Пример: имеет иррациональный знаменатель. Давай исправим.

Умножьте верхнюю и нижнюю часть на квадратный корень из 2, потому что: √2 × √2 = 2:

Теперь в знаменателе есть рациональное число (= 2).Сделанный!

Примечание. Допускается наличие иррационального числа в верхней части (числителе) дроби.

2. Умножьте верх и низ на конъюгат

Есть еще один особый способ переместить квадратный корень из нижней части дроби в верхнюю часть … мы умножаем верхний и нижний на , сопряженное знаменателю .

Сопряжение — это где мы меняем знак в середине двух членов:

Пример выражения		Его конъюгат
x 2 -3		х 2 + 3

Другой пример		Его конъюгат
а + б 3		а — б 3

Это работает, потому что, когда мы умножаем что-то на его сопряжение, мы получаем квадратов как это:

(a + b) (a − b) = a ² — b ²

Вот как это сделать:

Пример: вот дробь с «иррациональным знаменателем»:

1
3 − √2

Как мы можем переместить квадратный корень из 2 вверх?

Мы можем умножить верхнюю и нижнюю части на 3 + √2 (сопряжение 3 − √2) , что не изменит значения дроби:

1
3 − √2
×
3 + √2
3 + √2
знак равно
3 + √2
3 ² — (√2) ²
знак равно
3 + √2
7

(Вы видели, что мы использовали (a + b) (a − b) = a ² — b ² в знаменателе?)

Используйте свой калькулятор, чтобы вычислить значение до и после… это то же самое?

Есть еще один пример на странице Оценка пределов (расширенная тема), где я перемещаю квадратный корень сверху вниз.

Полезный

Так что постарайтесь запомнить эти маленькие уловки, они могут однажды помочь вам решить уравнение!

2.3: Удаление дробей и десятичных знаков

В этом разделе мы познакомим вас с методами удаления дробей и десятичных знаков из уравнений, что значительно упрощает решение результирующего уравнения.При удалении дробей из уравнения вам нужно будет упростить продукты, подобные тем, которые представлены в следующих примерах.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Упростить: \ (12 \ left (\ dfrac {2} {3} x \ right) \).

Решение

Когда мы умножаем три числа, например \ (12 \), \ (2/3 \) и \ (x \), ассоциативное свойство умножения говорит нам, что не имеет значения, какие два числа мы умножаем в первую очередь. Мы используем свойство ассоциативности для перегруппировки, затем умножаем числители и знаменатели и упрощаем результат.

\ [\ begin {align} 12 \ left (\ dfrac {2} {3} x \ right) & = \ left (12 \ cdot \ dfrac {2} {3} \ right) x \ quad \ color {Красный } \ text {Ассоциативное свойство умножения.} \\ & = \ dfrac {24} {3} x \ quad \ color {Red} \ text {Умножение:} 12 \ cdot 2 = 24 \\ & = 8 x \ quad \ color {Red} \ text {Divide:} 24/3 = 8 \ end {align} \ nonumber \]

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Упростить: \ (15 \ left (\ dfrac {3} {5} x \ right) \).

Ответ

\ (9x \)

Пример \ (\ PageIndex {1} \) показывает все шаги, необходимые для получения ответа.Однако цель этого раздела — произвести этот расчет мысленно. Поэтому мы просто «Умножаем \ (12 \) и \ (2 \), чтобы получить \ (24 \), затем делим \ (24 \) на \ (3 \), чтобы получить \ (8 \)». Такой подход позволяет нам записывать ответ, не выполняя никаких действий.

\ [12 \ влево (\ dfrac {2} {3} x \ right) = 8 x \ nonumber \]

Вы должны практиковать этот мысленный расчет, пока не сможете записать ответ, не записывая никаких шагов.

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Упростить: \ (18 \ left (\ dfrac {2} {9} x \ right) \).

Решение

На этот раз производим вычисления мысленно. Умножьте \ (18 \) и \ (2 \), чтобы получить \ (36 \), затем разделите \ (36 \) на \ (9 \), чтобы получить \ (4 \).

\ [18 \ влево (\ dfrac {2} {9} x \ right) = 4 x \ nonumber \]

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Упростить: \ (14 \ left (\ dfrac {3} {7} x \ right) \).

Ответ

\ (6x \)

Когда числа становятся больше, вычисления в уме усложняются.Например, рассмотрим \ [72 \ left (\ dfrac {8} {9} x \ right) \ nonumber \]

В этом случае работа «умножьте \ (72 \) и \ (8 \), чтобы получить \ (576 \), затем разделите \ (576 \) на \ (9 \), чтобы получить \ (64 \)»). немного сложно нести в голове. Однако именно здесь на помощь приходит калькулятор.

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

Используйте калькулятор, чтобы упростить \ (72 \ left (\ dfrac {8} {9} x \ right) \).

Решение

Воспользуйтесь калькулятором, чтобы умножить \ (72 \) и \ (8 \), а затем разделить на \ (9 \).Введите 72 * 8/9 и нажмите клавишу ENTER.

Таким образом, \ (72 \ left (\ dfrac {8} {9} x \ right) = 64 x \).

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Используйте калькулятор, чтобы упростить: \ (81 \ left (\ frac {5} {9} x \ right) \).

Ответ

\ (45x \)

Отмена более эффективна

В примерах \ (\ PageIndex {1} \), \ (\ PageIndex {2} \) и \ (\ PageIndex {3} \) мы умножили числители, а затем разделили на единственный знаменатель.Мы также увидели, что немного сложно нести работу в голове, поскольку цифры растут. В разделе 3 главы 1 мы увидели, что отмена уменьшает размер чисел и упрощает работу.

Пример \ (\ PageIndex {4} \)

Упростить: \ (72 \ left (\ dfrac {8} {9} x \ right) \).

Решение

В примере \ (\ PageIndex {3} \) мы использовали наш калькулятор, чтобы умножить \ (72 \) и \ (8 \), чтобы получить \ (576 \), а затем разделили \ (576 \) на \ (9 \ ), чтобы получить \ (64 \). В этом решении мы разделим \ (9 \) на \ (72 \), чтобы получить \ (8 \), затем умножим \ (8 \) на \ (8 \), чтобы получить \ (64 \).Мы получаем тот же ответ, но поскольку промежуточные числа намного меньше, вычисления намного проще производить мысленно.

\ [\ begin {align} 72 \ left (\ dfrac {8} {9} x \ right) & = \ left (72 \ cdot \ dfrac {8} {9} \ right) x \ quad \ color {Красный } \ text {Ассоциативное свойство умножения} \\ & = (8 \ cdot 8) x \ quad \ color {Red} \ text {Divide:} 72/9 = 8 \\ & = 64 x \ quad \ color {Red } \ text {Умножить:} 8 \ cdot 8 = 64 \ end {align} \ nonumber \]

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

Упростить: \ (64 \ left (\ dfrac {5} {8} x \ right) \).

Ответ

\ (40x \)

Пример \ (\ PageIndex {4} \) показывает все шаги, необходимые для получения ответа. Опять же, цель этого раздела — выполнить это вычисление в уме, поэтому мы просто «Разделим \ (9 \) на \ (72 \), чтобы получить \ (8 \), затем умножим \ (8 \) на \ (8 \ ), чтобы получить \ (644 \) ».

\ [72 \ left (\ frac {8} {9} x \ right) = 64 x \ nonumber \]

Этот подход не только позволяет нам записывать ответ, не выполняя никаких действий, но и при численных вычислениях используются меньшие числа.Вы должны практиковать этот мысленный расчет, пока не сможете записать ответ, не записывая никаких шагов.

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

Упростить: \ (27 \ left (\ dfrac {5} {9} x \ right) \).

Решение

Разделите \ (9 \) на \ (27 \), чтобы получить \ (3 \), затем умножьте \ (3 \) на \ (5 \), чтобы получить \ (15 \). \ [27 \ left (\ dfrac {5} {9} x \ right) = 15 x \ nonumber \]

Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

Упростить: \ (18 \ left (\ dfrac {3} {2} x \ right) \).

Ответ

\ (27x \)

Примечание

Техника, показанная в примерах \ (\ PageIndex {4} \) и \ (\ PageIndex {5} \), — это метод, который мы будем использовать в оставшейся части этого раздела. Сначала деление (отмена) намного эффективнее, меньшие числа позволяют нам производить вычисления мысленно.

Удаление дробей из уравнения

Теперь, когда мы выполнили необходимую работу с дробями, мы можем сконцентрироваться на удалении дробей из уравнения.После удаления дробей из уравнения результирующее эквивалентное уравнение решить намного проще, чем исходное.

Очистка дробей от уравнения

Чтобы очистить уравнение от дробей, умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель.

Пример \ (\ PageIndex {6} \)

Решите относительно \ (x: \ quad x + \ dfrac {2} {3} = \ dfrac {1} {2} \).

Решение

Общий знаменатель для \ (2/3 \) и \ (1/2 \) равен \ (6 \).Начнем с умножения обеих частей уравнения на \ (6 \).

\ [\ begin {align} x + \ dfrac {2} {3} & = \ dfrac {1} {2} \ quad \ color {Red} \ text {Исходное уравнение. } \\ 6 \ left (x + \ dfrac {2} {3} \ right) & = 6 \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) \ quad \ color {Red} \ text {Умножьте обе стороны на 6.} \\ 6x + 6 \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) & = 6 \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) \ quad \ color {Red} \ text {Вкл. слева распределите} 6 \ end {выровнено} \ nonumber \]

Чтобы упростить \ (6 (2/3) \), разделите \ (6 \) на \ (3 \), чтобы получить \ (2 \), затем умножьте \ (2 \) на \ (2 \), чтобы получить \ (4 \).Таким образом, \ (6 (2/3) = 4 \). Аналогично \ (6 (1/2) = 3 \).

\ [6x + 4 = 3 \ quad \ color {Red} \ text {Multiply:} 6 \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) = 4,6 \ left (\ dfrac {1} {2 } \ right) = 3 \ nonumber \]

Обратите внимание, что дроби теперь удалены из уравнения. Чтобы изолировать члены, содержащие \ (x \) на одной стороне уравнения, вычтите \ (4 \) из обеих сторон уравнения.

\ [\ begin {align} 6x + 4-4 & = 3-4 \ quad \ color {Red} \ text {Subtract} 4 \ text {с обеих сторон. } \\ 6x & = -1 \ quad \ color {Red} \ text {Упростите обе стороны.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Чтобы «отменить» умножение на \ (6 \), разделите обе части на \ (6 \).

\ [\ begin {align} \ dfrac {6x} {6} & = \ dfrac {-1} {6} \ quad \ color {Red} \ text {Разделите обе стороны на} 6 \\ x & = — \ dfrac {1} {6} \ quad \ color {Red} \ text {Упростите обе стороны. } \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Проверить: Давайте воспользуемся TI-84, чтобы проверить решение.

1. Сохраните \ (- 1/6 \) в переменной X, используя следующие нажатия клавиш.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \).

2. Введите левую часть исходного уравнения: \ (x +2 / 3 \). Используйте следующие нажатия клавиш.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \).

3. Нажмите клавишу MATH, затем выберите 1: ►Frac и нажмите клавишу ENTER. Результат показан в третьей строке на рисунке \ (\ PageIndex {1} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Проверка того, что \ (- 1/6 \) является решением \ (x + 2/3 = 1/2 \).

Результат идентичен правой части уравнения \ (x +2 / 3 = 1/2 \). Итак, решение проверяет.

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

Решите относительно \ (x: x- \ dfrac {3} {4} = \ dfrac {1} {2} \).

Ответ

\ (х = 5/4 \)

Пример \ (\ PageIndex {7} \)

Решите относительно \ (x: \ quad \ dfrac {4} {5} x = — \ dfrac {4} {3} \).

Решение

Общий знаменатель для \ (4/5 \) и \ (- 4/3 \) равен \ (15 \). Начнем с умножения обеих частей уравнения на \ (15 \).

\ [\ begin {align} \ dfrac {4} {5} x & = — \ dfrac {4} {3} \ quad \ color {Red} \ text {Исходное уравнение.} \\ 15 \ left (\ dfrac {4} {5} x \ right) & = 15 \ left (- \ dfrac {4} {3} \ right) \ quad \ color {Red} \ text {Умножаем обе стороны по} 15 \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Чтобы упростить \ (15 (4/5) \), разделите \ (5 \) на \ (15 \), чтобы получить \ (3 \), затем умножьте \ (3 \) на \ (4 \), чтобы получить \ (12 \). Таким образом, \ (15 (4/5) = 12 \). Аналогично \ (15 (-4/3) = -20 \)

\ [12x = -20 \ quad \ color {Red} \ text {Multiply.} \ Nonumber \]

Чтобы «отменить» умножение на \ (12 \), мы делим обе части на \ (12 \).

\ [\ begin {align} \ dfrac {12x} {12} & = \ dfrac {-20} {12} \ quad \ color {Red} \ text {Разделите обе стороны на} 12 \\ x & = — \ dfrac {5} {3} \ quad \ color {Red} \ text {Сократить до наименьших членов.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Проверка: Для проверки замените \ (x \) на \ (x \) в исходном уравнении \ (- 5/3 \).

\ [\ begin {align} \ dfrac {4} {5} x & = — \ dfrac {4} {3} \ quad \ color {Red} \ text {Исходное уравнение. } \\ \ dfrac {4} {5} \ left (- \ dfrac {5} {3} \ right) & = — \ dfrac {4} {3} \ quad \ color {Red} \ text {Substitute} — 5/3 \ text {for} x \\ — \ dfrac {20} {15} & = — \ dfrac {4} {3} \ quad \ color {Red} \ text {Умножьте числители и знаменатели. } \\ — \ dfrac {4} {3} & = — \ dfrac {4} {3} \ quad \ color {Red} \ text {Уменьшить.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Тот факт, что последняя строка является истинным утверждением, гарантирует, что \ (- 5/3 \) является решением уравнения \ (\ dfrac {4} {5} x = — \ dfrac {4} {3} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

Решите относительно \ (x: — \ dfrac {3} {7} x = \ dfrac {3} {2} \).

Ответ

\ (х = -7 / 2 \)

Пример \ (\ PageIndex {8} \)

Решите относительно \ (x: \ dfrac {2 x} {3} — \ dfrac {3} {4} = \ dfrac {1} {2} — \ dfrac {3 x} {4} \).

Решение

Общий знаменатель для \ (2x / 3 \), \ (- 3/4 \), \ (1/2 \) и \ (- 3x / 4 \) равен \ (12 \). Начнем с умножения обеих частей уравнения на \ (12 \).

\ [\ begin {align} \ dfrac {2 x} {3} — \ dfrac {3} {4} & = \ dfrac {1} {2} — \ dfrac {3 x} {4} \ quad \ color {Red} \ text {Исходное уравнение. } \\ 12 \ left (\ dfrac {2x} {3} — \ dfrac {3} {4} \ right) & = 12 \ left (\ dfrac {1} {2} — \ dfrac {3x} {4} \ right) \ quad \ color {Red} \ text {Умножьте обе стороны на} 12 \\ 12 \ left (\ dfrac {2x} {3} \ right) -12 \ left (\ dfrac {3} {4} \ right) & = 12 \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) -12 \ left (\ dfrac {3x} {4} \ right) \ quad \ color {Red} \ text {Раздать} 12 \ текст {на каждой стороне.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Чтобы упростить \ (12 (2x / 3) \), разделите \ (3 \) на \ (12 \), чтобы получить \ (4 \), затем умножьте \ (4 \) на \ (2x \), чтобы получить \ (8х \). Таким образом, \ (12 (2x / 3) = 8x \). Аналогично, \ (12 (3/4) = 9 \), \ (12 (1/2) = 6 \) и \ (12 (3x / 4) = 9x \).

\ [8x-9 = 6-9x \ quad \ color {Red} \ text {Multiply.} \ Nonumber \]

Обратите внимание, что дроби теперь удалены из уравнения. Теперь нам нужно выделить члены, содержащие \ (x \) на одной стороне уравнения. Чтобы удалить член \ (- 9x \) из правой части, добавьте \ (9x \) к обеим частям уравнения.

\ [\ begin {align} 8x-9 + 9x & = 6-9x + 9x \ quad \ color {Red} \ text {Add} 9x \ text {с обеих сторон. } \\ 17x-9 & = 6 \ quad \ color {Red} \ text {Упростите обе стороны. } \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Чтобы удалить член \ (- 9 \) из левой части, добавьте \ (9 \) к обеим частям уравнения.

\ [\ begin {align} 7x-9 + 9 & = 6 + 9 \ quad \ color {Red} \ text {Add} 9 \ text {с обеих сторон. } \\ 17x & = 15 \ quad \ color {Red} \ text {Упростите обе стороны. } \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Наконец, чтобы «отменить» умножение на \ (17 \), разделите обе части уравнения на \ (17 \).

\ [\ begin {align} \ dfrac {17x} {17} & = \ dfrac {15} {17} \ quad \ color {Red} \ text {Разделите обе стороны на} 17 \\ x & = \ dfrac { 15} {17} \ quad \ color {Red} \ text {Упростите обе стороны. } \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Проверить: Давайте воспользуемся TI-84, чтобы проверить решение.

1. Сохраните число \ (15/17 \) в переменной \ (X \), используя следующие нажатия клавиш.

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \). Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Сохранение \ (15/17 \) в \ (X \).

2. Введите левую часть исходного уравнения: \ (\ dfrac {2 x} {3} — \ dfrac {3} {4} \). Используйте следующие нажатия клавиш.

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \).

3. Введите правую часть исходного уравнения: \ (\ dfrac {1} {2} — \ dfrac {3 x} {4} \). Используйте следующие нажатия клавиш.

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \).

Поскольку обе стороны упрощаются до \ (-. 1617647059 \) при замене \ (15/17 \) на \ (x \), это гарантирует, что \ (15/17 \) является решением уравнения \ (2x / 3-3 / 4 = 1 / 2-3x / 4 \).

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Проверка \ (15/17 \) в \ (2x / 3-3 / 4 = 1 / 2-3x / 4 \).

Упражнение \ (\ PageIndex {8} \)

Решите относительно \ (x: \ dfrac {5 x} {9} — \ dfrac {2} {3} = \ dfrac {5} {9} — \ dfrac {3 x} {2} \).

Ответ

\ (х = 22/37 \)

Удаление десятичных знаков из уравнения

Умножение на соответствующую степень десяти удалит десятичные дроби из уравнения, что значительно упростит решение полученного эквивалентного уравнения.

Прежде чем мы начнем, вспомним следующие факты о умножении на десять.

• \ (10 ​​(1,2345) = 12,345 \). Умножение на \ (10 ​​\) перемещает десятичную запятую на одну позицию вправо.
• \ (100 (1,2345) = 123,45 \). Умножение на \ (100 \) перемещает десятичную запятую на две позиции вправо.
• \ (1000 (1,2345) = 1234,5 \). Умножение на \ (1000 \) перемещает десятичную запятую на три позиции вправо.

Обратите внимание на шаблон: количество нулей в степени десяти определяет количество разрядов для перемещения десятичной точки.Так, например, если мы умножим на \ (1 000 000 \), который имеет шесть нулей, десятичная точка сдвинется на шесть позиций вправо.

Пример \ (\ PageIndex {9} \)

Решите относительно \ (x: \ quad 2,3 x-1,25 = 0,04 x \).

Решение

Первый член \ (2.3x-1,25 = 0,04x \) имеет один десятичный знак, второй член имеет два десятичных знака, а третий и последний член имеет два десятичных знака. Как минимум, нам нужно переместить каждую десятичную запятую на два разряда вправо, чтобы удалить десятичные дроби из уравнения.Следовательно, мы умножаем обе части уравнения на \ (100 \).

\ [\ begin {align} 2.3 x-1.25 & = 0.04 x \ quad \ color {Red} \ text {Исходное уравнение. } \\ 100 (2,3 x-1,25) & = 100 (0,04 x) \ quad \ color {Red} \ text {Умножьте обе стороны на} 100 \\ 100 (2,3 x) -100 (1,25) & = 100 (0,04 x) \ quad \ color {Red} \ text {Распространите} 100 \ text {. } \\ 230 x-125 & = 4 x \ quad \ color {Red} \ text {Умножение на} 100 \ text {перемещает все десятичные точки на два разряда вправо. } \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Обратите внимание, что десятичные дроби теперь удалены из уравнения.Теперь мы должны изолировать все члены, содержащие x, на одной стороне уравнения. Чтобы удалить член \ (4x \) из правой части, вычтите \ (4x \) из обеих частей уравнения.

\ [\ begin {align} 230x-125-4x & = 4x-4x \ quad \ color {Red} \ text {Subtract} 4x \ text {с обеих сторон. } \\ 226x-125 & = 0 \ quad \ color {Red} \ text {Упростить. } \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Чтобы удалить \ (- 125 \) из левой части, добавьте \ (125 \) к обеим частям уравнения.

\ [\ begin {align} 226x-125 + 125 & = 0 + 125 \ quad \ color {Red} \ text {Add} 125 \ text {с обеих сторон.} \\ 226x & = 125 \ quad \ color {Red} \ text {Упростите обе стороны. } \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Наконец, чтобы «отменить» умножение на \ (226 \), разделите обе части на \ (226 \).

\ [\ begin {align} \ dfrac {226x} {226} & = \ dfrac {125} {226} \ quad \ color {Red} \ text {Разделите обе стороны на} 226 \\ x & = \ dfrac { 125} {226} \ quad \ color {Red} \ text {Упростить. } \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Проверить: Давайте проверим ответ с помощью TI-84.

1. Сохраните \ (125/226 \) в переменной \ (X \), используя следующие нажатия клавиш.

Результат показан на первом изображении в \ (\ PageIndex {4} \).

2. Введите левую часть исходного уравнения: \ (2.3x-1.25 \). Используйте следующие нажатия клавиш.

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \).

3. Введите правую часть исходного уравнения: 0,04x. Используйте следующие нажатия клавиш.

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \). Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): проверка \ (125/226 \) в \ (2.3x-1.25 = 0.04x \).

Обратите внимание, что обе стороны дают одинаковое десятичное приближение \ (0.0221238938 \), когда \ (125/226 \) заменяется на \ (x \). Это гарантирует, что \ (125/226 \) является решением \ (2.3x-1.25 = 0.04x \).

Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)

Решите относительно \ (x: 1,34-4,5 x = 2,2 \).

Ответ

\ (х = -43 / 225 \)

Авторы и авторство

Кросс-умножение для решения уравнений с дробями

Дроби не так сложно, как вы думаете.Если вы хотите научиться решать уравнения с дробями путем перекрестного умножения, например, решения «x / 7 = 2/3» и «7/3 = 2 / x» относительно x, вы находитесь в нужном месте.

Решение уравнений: Золотое правило

Цель решения уравнения для x состоит в том, чтобы закончить с утверждением, в котором x равно чему-то, что не включает x.

Золотое правило решения уравнений — применять одну и ту же операцию к обеим сторонам уравнения. Это может включать добавление, вычитание или умножение обеих сторон на одинаковую величину.

Например, если x / 37 = 5, вы можете умножить обе стороны на 37. Поскольку x, разделенное на 37, умноженное на 37, просто равно x, тогда x = 5 * 37, что = 185.

Решение уравнений с выборочными долями

Вот пример уравнения и пошаговый процесс его решения:

Пример уравнения: x / 7 = 2/3

Шаг первый: умножьте обе стороны на 7.

x / 7 * 7 = 2/3 * 7

Умножьте 2 и 7, чтобы получить 14.

x / 7 * 7 = 14/3

Отменить / 7 * 7, чтобы оставить x, и преобразовать в решение относительно x.

х = 14/3 = 4 2/3

Вы умножаете обе части на 7, чтобы исключить знаменатель в левой части уравнения. Семерки сокращаются слева. Затем вы решаете уравнение относительно x. В качестве последнего шага вы конвертируете неправильную дробь 14/3 в смешанную дробь 4 и 2/3.

Обратите внимание, что вы просто перемножили 7 в знаменателе. Если бы вы начали с 23 * x / 7 = 2/3, вы бы крестом умножили обе стороны на 7/23 вместо 7. Это оставило бы только x с левой стороны.

Смешанные фракции: еще один пример

Пример специального перекрестного умножения: Изображение Майка ДеХаана

Во втором примере «7/3 = 2 / x» смешанная дробь уже преобразована из 2 1/3 в 7/3. Намного проще решать уравнения с дробями, содержащие неправильные дроби, чем уравнения со смешанными дробями.

Обратите внимание, что в этом примере в знаменателе стоит x. Вы должны явно указать предположение, что x не равен нулю.

Пример уравнения: 7/3 = 2 / x

Умножьте обе стороны на x, чтобы x был в числителе.

7/3 * x = 2 / x * x

Сократить / x * x.

7 * x / 3 = 2

Умножьте обе стороны на 3/7, чтобы сократить 7/3.

x * (7/3) * (3/7) = 2 * (3/7)

Сократите 7/3 на 3/7 и умножьте, чтобы найти x.

х = 2 * 3/7 = 6/7

Если перемножить все за один шаг, получится:

7/3 = 2 / x
(7/3) * (3 * x / 7) = (2 / x) * (3 * x / 7)
x = 6/7

Перекрестное умножение легче распознать, когда числители и знаменатели проходят через знак равенства для умножения.

Пример специального перекрестного умножения: изображение Майка ДеХаана

Решение общих уравнений с дробями

Затем попробуйте решить дроби в общем случае, когда «a», «b», «c» и «d» — ненулевые целые числа. Опять же, решите относительно X, начиная с числителя или знаменателя.

х / б = в / д

Умножить обе части на b

х / б * б = в / д * б

Вычеркните / b * b в левой части и объедините правую часть уравнения.

X = (b * c) / d

В аналогичном случае перекрестное умножение было бы более очевидным:

а * Х / б = в / д

Умножить обе стороны на b / a

a * X / b * b / a = c / d * b / a

Вычеркните «a / b * b / a» в левой части уравнения и свяжите числитель («c» и «b») и знаменатель («d» и «a») справа.

Х = с * б / д * а

Следующий пример начинается с X в знаменателе и решает самый сложный пример: c / d = a / (b * X).

c / d = a / (b * X)

Умножьте обе стороны на X * (d / c).

(c / d) * X * (d / c) = a / (b * X) * X * (d / c)

Отмените «c / d * d / c» слева и «/ X * X» справа.

Х = (а * г) / (б * в)

Пятишаговая сводка для решения уравнений с дробями

Простейшее перекрестное умножение дробей. Изображение Майка ДеХаана

Из приведенных выше примеров вы видели, как умножать дроби крестом: возьмите знаменатель одной дроби и умножьте обе части уравнения на это значение.

Одна часть уравнения упрощается, поскольку знаменатель сокращается, а другая часть увеличивается в том же соотношении, поэтому уравнение остается сбалансированным.

Пять основных шагов для решения уравнений с дробями:

1. При необходимости замените любые смешанные фракции на неправильные. Например, измените 2 1/3 на 7/3.
2. Определите простейший метод выделения неизвестного x только в одну сторону уравнения.
3. Перекрестное умножение обеих сторон на одинаковые значения.Например, выберите знаменатель с одной стороны, который будет числителем нового множителя с обеих сторон.
4. Если вам нужно упростить уравнение пошагово, сделайте это, повторяя шаг 3 по мере необходимости.
5. При необходимости замените оставшиеся неправильные фракции на смешанные.

Не забудьте использовать пошаговый подход, когда вы узнаете, как решать уравнение; со временем вы сможете быстро решать уравнения дробей.

Дополнительная справка по перекрестному умножению уравнений на дроби

Возможно, вам потребуется дополнительная помощь или попрактиковаться в решении уравнений с дробями или с перекрестным умножением.Если вы изучаете математику в школе, первое предложение — попросить учителя помочь вам научиться решать задачи с дробями. Кроме того, вы можете найти репетитора по математике в Интернете или по объявлениям в местных газетах. Онлайн-репетиторство по математике или онлайн-упражнения с таблицами дробей могут быть рентабельными способами улучшить свои математические навыки.

Номер ссылки

Обучение математике онлайн. Перемножение крестиком . По состоянию на 7 февраля 2013 г.

Майк ДеХаан применяет свою степень бакалавра математики в области компьютерных наук, годы программирования на языке Cobol и контроля качества (включая тестирование расчетов процентов по кредитным картам) для исследования и представления математической теории для непрофессионала.

Здесь, в Decoded Science, Майк занимается математикой. Он изучает основы математической теории, раскрывает парадоксы, применяет вычисления к популярным фильмам и сообщает о математических новостях.
Майк начал профессионально писать в 2010 году как единственный владелец DeHaan Services.

Найди Майка в Google+

Одновременные уравнения с дробями — Math Central

Алика,

Я переписал ваш вопрос сюда:

Первое, что я сделал бы, это преобразовал любые смешанные дроби в неправильные дроби, а затем умножил одно из уравнений на некоторый коэффициент , чтобы один из членов был отрицательным по отношению к соответствующему члену в другом уравнении.В этом случае я бы умножил первое уравнение на -1/4, чтобы оно имело член — x /12, который является отрицательным значением члена x /12 во втором уравнении:

Теперь я могу исключить члены x , сложив вместе соответствующие стороны уравнения. Я складываю две левые и две правые стороны:

Когда я переделываю это, условия x отменяются.

Теперь я могу решить для и .Затем я могу использовать значение y , чтобы найти x , используя любое из исходных уравнений.

Надеюсь, это поможет,
Стивен Ла Рок.

Привет Алика,

Это система, которую вы хотите решить путем исключения:

Может быть сложно работать с уравнениями, в которых используются дроби, так почему бы нам не манипулировать ими, чтобы избавиться от дробей?

Из предыдущего опыта математики вы должны знать, что вы можете выполнять любую операцию с обеими сторонами уравнения, сохраняя при этом равенство.Например, я могу умножить обе части уравнения 5 = 5 на 2, чтобы получить 10 = 10.

Давайте воспользуемся этим свойством, чтобы упростить первое уравнение в вашей системе:

Чтобы исключить дроби, нам нужно умножить обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (3, 6 и 3) — в данном случае на 6.

Распределяя 6 и упрощая, получаем:

Как видите, с этим уравнением справиться намного проще, чем с исходным.

Выполните ту же процедуру для второго уравнения, только начните с преобразования смешанного числа в неправильную дробь:

Умножение на наименьшее общее кратное знаменателей, 12

Теперь система уравнений преобразована во что-то вроде этого:

2x — y = -4

х — 3у = 18

Вы сможете решить это отсюда.Просто примените метод исключения к новой системе, и вы получите свой ответ.

Примечание. Когда вы проверяете свой ответ в этом типе вопросов, используйте исходную систему, чтобы убедиться, что при исключении дробей не было допущено математических ошибок.

Эшли

Как вычитать дроби с помощью переменных — Видео и стенограмма урока

Решение задачи

Для вычитания дробей с переменными мы выполняем следующие шаги:

1. Найдите общий знаменатель, умножив два знаменателя вместе.
2. Измените дроби так, чтобы они имели общий знаменатель.
3. Когда у вас будет общий знаменатель для обеих дробей, вычтите числитель и, наконец, …
4. Упростите полученную дробь на третьем шаге, максимально разложив числитель и знаменатель на множители и исключив все общие множители, которые присутствуют в обоих.

Формула, которую мы используем для шагов 1-3, выглядит следующим образом:

Применение шагов

Хорошо, теперь, когда у нас есть общее представление о том, что нам нужно делать для вычитания дробей с переменными, давайте посмотрим, как применить эти шаги к реальной проблеме.Это действительно поможет укрепить наше понимание!

Предположим, вы работаете над проблемой с двумя неизвестными, и вы подошли к точке в задаче, где вам нужно вычесть (3 x /6 x 2) — (2 y /4 y 3).

Это случай, когда мы вычитаем дроби с переменными. Большой! Мы можем практиковаться, используя наши шаги!

Первый шаг — найти общий знаменатель, умножив два знаменателя вместе. Это дает 6 x 2 * 4 y 3 = 24 x 2 y 3.Это было достаточно просто!

Второй шаг — манипулировать дробями, чтобы получить общий знаменатель для них обоих. Для этого мы можем использовать нашу формулу.

Получаем, что (3 x /6 x 2) — (2 y /4 y 3) = (12 x y 3/24 x 2 y 3) — (12 x 2 y /24 x 2 y 3). Хорошо, все еще не слишком сложно — просто вопрос умножения!

Третий шаг — вычесть числители теперь, когда у нас есть общий знаменатель.

Теперь у нас есть (3 x /6 x 2) — (2 y /4 y 3) = (12 x y 3-12 x 2 y ) / 24 x 2 y 3.

Мы почти закончили! Четвертый и последний шаг — упростить, максимально разложив числитель и знаменатель на множители, а затем исключив любые одинаковые множители, присутствующие в обоих. Во-первых, давайте фактор.

В числителе мы разлагаем на множители 12, x и y из двух членов, чтобы получить (12 x y ( y 2 — x )) / 24 x 2 y 3.При этом мы понимаем, что мы отменяем 12, поскольку 12 * 2 = 24, мы можем отменить x , и мы можем отменить y . Это потому, что это факторы, которые присутствуют как в числителе, так и в знаменателе.

Уф! Все сделано! Получаем, что (3 x /6 x 2) / (2 y /4 y 3) = ( y 2 — x ) / 2 x y 2.

Резюме урока

Хорошо, давайте уделим пару минут, чтобы повторить важную информацию, которую мы узнали в этом уроке.Мы специально узнали, что для того, чтобы найти общий знаменатель , мы просто умножаем два знаменателя вместе. Это часть процесса выяснения того, как вычитать дроби с переменными. Как мы увидели при рассмотрении исходной задачи, очевидно, что просто выполнить вычитание за один шаг — задача невозможная. Вот почему так замечательно иметь шаги для решения проблемы. Мы просто тщательно прорабатываем проблему, шаг за шагом, и доберемся до желаемого пункта назначения.

Это следующие шаги:

1. Найдите общий знаменатель, умножив два знаменателя вместе.
2. Измените дроби так, чтобы они имели общий знаменатель.
3. Когда у вас будет общий знаменатель для обеих дробей, вычтите числители и, наконец, …
4. Упростите полученную дробь на третьем шаге, максимально разложив числитель и знаменатель на множители и исключив все общие множители, которые присутствуют в обоих.

Мы можем взять сложную проблему и разбить ее на несколько более простых задач, чтобы прийти к решению, сделать вычитание дробей с переменными намного проще, чем мы думали!

.