(k-1) + … + p1(х)•у’ + p0(х)•у = f(х) с коэффициентами-функциями pi(х). Примеры: у’’’ + 2•х²•у’’ – 15•arсsin х•у’ + 9•х•у = 0 и у’’’ + 2•х²•у’’ – 15•arcsin х•у’ + 9•х•у = 2•х³ – ln х.

Вид конкретного дифференциального уравнения не всегда бывает очевидным. Тогда следует внимательно рассмотреть его на предмет приведения к одному из канонических типов, чтобы применить соответствующий способ решения. Сделать это можно разными методами, наиболее распространенными из них являются замена и разложение производной на составляющие у’ = dу/dх.

Дифференциальные уравнения: виды, методы решения

Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.

В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.

Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.

Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.

Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».

Начнем ознакомление с темой мы с видов обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Эти уравнения могут быть разрешены относительно производной. Затем перейдем в ОДУ 2-го и высших порядков. Также мы уделим внимание системам дифференциальных уравнений.

Напомним, что y’=dxdy, если y является функцией аргумента x.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y’=f(x)

Начнем с примеров таких уравнений.

Пример 1

y’=0, y’=x+ex-1, y’=2xx2-73

Оптимальным для решения дифференциальных уравнений f(x)·y’=g(x) является метод деления обеих частей на f(x). Решение относительно производной позволяет нам прийти к уравнению вида y’=g(x)f(x). Оно является эквивалентом исходного уравнения при f(x) ≠ 0.

Пример 2

Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:

ex·y’=2x+1, (x+2)·y’=1

Мы можем получить ряд дополнительных решений в тех случаях, когда существуют значения аргумента х, при которых функции f(x) и g(x)одновременно обращаются в 0. В качестве дополнительного решения в уравнениях f(x)·y’=g(x) при заданных значениях аргумента может выступать любая функция, определенная для заданного значения х.

Пример 3

Наличие дополнительных решений возможно для дифференциальных уравнений x·y’=sin x, (x2-x)·y’=ln(2×2-1)

Ознакомиться с теоретической частью и примерами решения задач таких уравнений вы можете в разделе «Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка».

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx или f1(y)·g1(x)·y’=f2(y)·g2(x)

Поговорим теперь об уравнениях с разделенными переменными, которые имеют вид f(y)dy=g(x)dx. Как следует из названия, к данному виду дифференциальных уравнений относятся выражения, которые содержат переменные х и у, разделенные знаком равенства. Переменные находятся в разных частях уравнения, по обе стороны от знака равенства.

Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: ∫f(y)dy=∫f(x)dx

Пример 4

К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:

y23dy=sin xdx, eydy=(x+sin 2x)dx

Для того, чтобы прийти от ДУ с разделяющимися переменными к ДУ с разделенными переменными, необходимо разделить обе части уравнения на произведение f2(y) ⋅ g1(x). Так мы придем к уравнению f1(y)f2(y)dy=g2(x)g1(x)dx. Преобразование можно будет считать эквивалентным в том случае, если одновременно f2(y) ≠ 0 и g1(x) ≠ 0. Если хоть одно из условий не будет соблюдаться, мы можем потерять часть решений.

Пример 5

В качестве примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно привести следующие из них: dydx=y·(x2+ex), (y2+arccos y)·sin x·y’=cos xy.

К уравнениям с разделяющимися переменными мы можем прийти от ряда дифференциальных уравнений других видов путем замены переменных. Например, мы можем подставить в исходное уравнение z = ax+by. Это позволит нам перейти к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными от дифференциального уравнения вида y’=f(ax+by), a,b∈R.

Пример 6

Подставив z = 2x+3y в уравнение y’=1e2x+3y получаем dzdx=3+2ezez.

Заменив z=xy или z=yx в выражениях y’=fxy или y’=fyx, мы переходим к уравнениям с разделяющимися переменными.

Пример 7

Если произвести замену z=yx в исходном уравнении y’=yx·lnyx+1, получаем x·dzdx=z·ln z.

В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.

Пример 8

Предположим, что в условии задачи нам дано уравнение y’=y2-x22xy. Нам необходимо привести его к виду y’=fxy или y’=fyx. Для этого нам нужно разделить числитель и знаменатель правой части исходного выражения на x2 или y2.

Пример 9

Нам дано уравнение y’=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2, a1, b1, c1, a2, b2, c2 ∈R.

Для того, чтобы привести исходное уравнение к виду y’=fxy или y’=fyx, нам необходимо ввести новые переменные u=x-x1v=y-y1, где (x1;y1) является решением системы уравнений a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0

Введение новых переменных u=x-1v=y-2 в исходное уравнение y’=5x-y-33x+2y-7 позволяет нам получить уравнение вида dvdu=5u-v3u+2v.

Теперь выполним деление числителя и знаменателя правой части уравнения на u. Также примем, что z=uv. Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными u·dzdu=5-4z-2z23+2z.

Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y’+P(x)·y=Q(x)

Приведем примеры таких уравнений.

Пример 10

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка относятся:

y’-2xy1+x2=1+x2;y’-xy=-(1+x)e-x

Для решения уравнений этого вида применяется метод вариации произвольной постоянной. Также мы можем представить искомую функцию у в виде произведения y(x) = u(x)v(x). Алгоритмы применения обоих методов мы привели в разделе «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка».

Дифференциальное уравнение Бернулли y’+P(x)y=Q(x)ya

Приведем примеры подобных уравнений.

Пример 11

К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:

y’+xy=(1+x)e-xy23;y’+yx2+1=arctgxx2+1·y2

Для решения уравнений этого вида можно применить метод подстановки z=y1-a, которая выполняется для того, чтобы свести исходное уравнение к линейному дифференциальному уравнению 1-го порядка. Также применим метод представления функции у в качестве y(x) = u(x)v(x).

Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Уравнения в полных дифференциалах P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

Если для любых значений x и y выполняется ∂P(x,y)∂y=∂Q(x,y)∂x, то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P(x, y)dx+Q(x, y)dy представляло собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y)=0, то есть, dU(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy. Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U(x, y)=0 по ее полному дифференциалу.

Пример 12

Выражение, расположенное в левой части записи уравнения (x2-y2)dx-2xydy=0 представляет собой полный дифференциал функции x33-xy2+C=0

Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».

Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  y»+py’+qy=0, p,q∈R

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k2+pk+q=0. Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q:

• действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k1≠k2, k1, k2∈R;
• действительные и совпадающие k1=k2=k, k∈R;
• комплексно сопряженные k1=α+i·β, k2=α-i·β.

Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:

• y=C1ek1x+C2ek2x;
• y=C1ekx+C2xekx;
• y=ea·x·(C1cos βx+C2sin βx).

Пример 13

Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами y»+3y’=0. Найдем корни характеристического уравнения k2+3k=0. Это действительные и различные k1 =-3 и k2=0. Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

y=C1ek1x+C2ek2x⇔y=C1e-3x+C2e0x⇔y=C1e-3x+C2

Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y»+py’+qy=f(x), p,q∈R

Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения y0, которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению y»+py’+qy=0, и частного решения y~ исходного уравнения. Получаем: y=y0+y~.

Способ нахождения y0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y~ мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x), которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.

Пример 14

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами относятся:

y»-2y’=(x2+1)ex;y»+36y=24sin(6x)-12cos(6x)+36e6x

Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y»+p(x)·y’+q(x)·y=0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y»+p(x)·y’+q(x)·y=f(x)

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.

На некотором отрезке [a; b] общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y»+p(x)·y’+q(x)·y=0 представлено линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y1 и y2 этого уравнения, то есть, y=C1y1+C2y2.

Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:

1) 1, x, x2, . .., xn2) ek1x, ek2x, …, eknx3) ek1x, x·ek1x, …, xn1·ek1x,ek2x, x·ek2x, …, xn2·ek2x,…ekpx, x·ekpx, …, xnp·ekpx4) 1, chx, shx

Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.

Пример 15

Возьмем для примера линейное однородное дифференциальное уравнение xy»-xy’+y=0.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y»+p(x)·y’+q(x)·y=f(x) мы можем найти в виде суммы y=y0+y~, где y0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y~ частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y0 можно описанным выше способом. Определить y~ нам поможет метод вариации произвольных постоянных.

Пример 16

Возьмем для примера линейное неоднородное дифференциальное уравнение xy»-xy’+y=x2+1.

Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Мы можем провести замену y(k)=p(x) для того, чтобы понизить порядок исходного дифференциального уравнения F(x, y(k), y(k+1), . .., y(n))=0, которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка.

В этом случае y(k+1)=p'(x), y(k+2)=p»(x), …, y(n)=p(n-k)(x), и исходное дифференциальное уравнение сведется к F1(x, p, p’, …, p(n-k))=0. После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене y(k)=p(x) и определить неизвестную функцию y.

Пример 17

Дифференциальное уравнение y»’xln(x)=y» после замены y»=p(x) станет уравнением с разделяющимися переменными y»=p(x), и его порядок с третьего понизится до первого.

В уравнении, которое не содержит аргумента х и имеет вид F(y, y’, y», …, y(n))=0, порядок может быть заменен на единицу следующим образом: необходимо провести замену dydx=p(y), где p(y(x)) будет сложной функцией. Применив правило дифференцирования, получаем:

d2ydx2=dpdydydx=dpdyp(y)d3ydx3=ddpdyp(y)dx=d2pdy2dydxp(y)+dpdydpdydydx==d2pdy2p2(y)+dpdy2p(y)

Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.

Пример 18

Рассмотрим решение уравнения 4y3y»=y4-1. Путем замены dydx=p(y) приведем исходное выражение к уравнению с разделяющимися переменными 4y3pdpdy=y4-1.

Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y(n)+fn-1·y(n-1)+…+f1·y’+f0·y=0 и y(n)+fn-1·y(n-1)+…+f1·y’+f0·y=f(x)

Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:

• находим корни характеристического уравнения kn+fn-1·kn-1+…+f1·k+f0=0;
• записываем общее решение ЛОДУ y0 в стандартной форме, а общее решение ЛНДУ представляем суммой y=y0+y~, где y~ — частное решение неоднородного дифференциального уравнения. 

Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y~ целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.

Пример 19

Линейному неоднородному ДУ с постоянными коэффициентами y(4)+y(3)-5y»+y’-6y=xcosx+sinx соответствует линейное однородное ДУ y(4)+y(3)-5y»+y’-6y=0.

Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=0 и y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=f(x)

Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y=y0+y~, где y0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y~ — частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

y0 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций y1, y2, …, yn, каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=0 в тождество. Частные решения y1, y2, …, yn обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.

После того, как мы найдем общее решение ЛОДУ, найти частное решение соответствующего ЛНДУ можно благодаря методу вариации произвольных постоянных. Итак, y=y0+y~=∑Cj·yj+y~j=1n

Получить более подробную информацию по теме можно в разделе «Дифференциальные уравнения высших порядков».

Системы дифференциальных уравнений вида dxdt=a1x+b1y+c1dydt=a2x+b2y+c2

Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.

Методическая разработка практического занятия для студента «Дифференциальные уравнения» | Учебно-методический материал на тему:

Краевое государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Минусинский медицинский техникум

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

практического занятия по № 4

 для студента

Дисциплина: Математика

Специальность: 060101 Лечебное дело

Год обучения: 1 курс, 1 семестр

Тема: Дифференциальные уравнения

Разработчик: преподаватель дисциплины «Математика» Н. В. Новолодская

Минусинск, 2013

Тема:  Дифференциальные уравнения.

Уважаемые студенты!

Исследование многих физических и технических задач сводится к решению таких уравнений. С помощью дифференциальных уравнений описывают волновые процессы и колебания, поэтому практическое применение дифференциальных уравнений очень разнообразно.

В медицинских приложениях дифференциальные уравнения используются, например:

• для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца (эхокардиография), определения вязкости крови и других параметров гемодинамики;
• для описания медико-биологических приложений ультразвука: эхоэнцефалограмма, УЗИ, ультразвуковая физиотерапия, ультразвуковая локация и кардиография;
• для описания процессов физиологической акустики, которая изучает устройство и работу звуковоспринимающих и звуковоспроизводящих органов человека и животных
• для определения функции изменения численности популяции микроорганизмов в зависимости от времени.

Цели занятия

Студент должен уметь:

• находить общие и частные решения ДУ с разделяющимися переменными;
• находить общие и частные решения ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами;
• составлять ДУ для решения задач прикладного характера.

Студент  должен знать:

• понятие дифференциального уравнения (ДУ), порядок ДУ, общего и ча-стного решения;
• понятие ДУ с разделяющимися переменными, алгоритм их решения
• понятие ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, алгоритм их решения;
• практическое применение ДУ в медицине.

Оснащение: таблица неопределенных интегралов, дидактический материал.

Материал для повторения: лекция 6,7,8

Этапы самостоятельной работы:

Рекомендуемая литература:

Основные источники:

1. Гилярова М.Г. Математика для медицинских колледжей. – Ростов н/Д: Феникс, 2011.
2. Омельченко В.П. Математика: компьютерные технологии в медицине: учебник / В.П. Омельченко, А.А. Демидова. – Ростов н/Д: Феникс, 2010.

Дополнительные источники:

3. Филимонова Е.В. Математика: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. / Е.В. Филимонова. –  Ростов н/Д.: Феникс, 2008.
4. Михеев В.С., Стяжкина О.В., Шведова О.М. Математика: Учебное пособие для среднего профессионального образования. /  В.С.Михеев. – Ростов н/Д.: Феникс, 2009.
5. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних учебных заведений. /  Н.В. Богомолов. – 7-е изд. М.: Высшая школа, 2004.
6. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. – Форум, 2011. – 240 с.

Интернет-ресурсы:

www.slovari.yandex.ru

www.wikiboks.org

revolution.allbest.ru

ИНФОРМАЦИЯ:

А сейчас немного теории: (записать) (5 мин)

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную  х, искомую функцию у(х) и ее производную , т.е. уравнение вида

(1)         или  ,

где f – функция двух переменных, а F – функционал от трех переменных.

Общим решением дифференциального уравнения называется такая функция, , которая обращает уравнение (1) в тождество, т. е.

 или

Чтобы решить дифференциальное уравнение его необходимо проинтегрировать, но прежде его необходимо идентифицировать  (определить его вид) и преобразовать.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка, определенные выше, удобно записывать в следующей форме:

                                         (2)

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Пусть , а , тогда  уравнение (2) называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными и примет вид:

Путем деления  на произведение  оно приводится к следующему виду:

.

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

Внимание: Задания, помеченные звездочкой (*),  обязательны для выполнения!

1. Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:

Цель: Научиться находить общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, используя в своей работе методы дифференциального и интегрального исчисления.

Решение: приведем уравнение к виду (1) (учитывая, что ) :

В данном уравнении

Разделяя переменные, получим:

.

Интегрируя, найдем общий интеграл:

2. *
3. *
4. *

2. Найти  частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, и его интегральную кривую.

Цель: Научиться находить частное решение  дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, используя в своей работе методы дифференциального и интегрального исчисления и строить интегральную кривую этого решения.

.

1. ;

Решение: Приведем уравнение к виду (1) и разделим переменные:

Интегрируя, найдем общий интеграл:

Т.к. , то  подставляя это начальное условие в общее решение диф. уравнения, найдем значение С:

Значит частное решение данного  диф. уравнения  имеет вид:

.

Чтобы найти интегральную кривую данного диф. уравнения нужно построить график его частного решения, в нашем случае это  (график – парабола).

Найдем координаты вершины параболы:

График  имеет следующий вид:

2. *
3. *

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение

                                                          , где p(x), f(x) – известные функции.

Линейное дифференциальное уравнение называется однородным, если , в противном случае оно неоднородное.

3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка:

Цель: Научиться находить общее решение линейных дифференциальных уравнений, используя в своей работе методы дифференциального и интегрального исчисления.

Решение:   Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации постоянной.

• Рассмотрим однородное уравнение

, соответствующее данному неоднородному уравнению. Это уравнение с разделяющимися переменными:

Т.к.  , то подставляя его в (*) общее решение неоднородного уравнения будет   , где С – постоянная интегрирования.

2. *
4. *

4. Определить вид дифференциального уравнения, найти его общее решение, а где указано частное решение.

Цель: Научиться определять вид дифференциального  уравнения, находить его общее и частное решение.

1. *
2. *
3. *
7. *, построить интегральную кривую;
8. *
10. *
11. *
12. *

Дифференциальные уравнения  в медицине и биологии.

1. Дифференциальные уравнения, выражают соотношения между изменениями основных переменных. Примером описания течения процессов в сердечно – сосудистой системе может служить  независимая модель эластичного резервуара – линейное  дифференциальное уравнение типа:

                    ,

где переменная Р – мгновенное значение АД, коэффициент R – общее сопротивление кровеносного русла току крови,  коэффициент k – коэффициент упругости аорты, W(t) – объемная мгновенная скорость выброса крови из сердца.

2) Дифференциальным уравнением описывается разложение бактерий, радиоактивный распад.

Домашнее  задание:

Определить вид дифференциального уравнения, найти его общее решение, а где указано частное решение:

2. *
3. *
4. *
5. *, построить интегральную кривую.
7. *
9. *

Проверочная работа

Тема:  Дифференциальные уравнения.

1 вариант.

Определить вид дифференциального уравнения, найти его общее решение, а где указано частное решение:

5. , построить интегральную кривую.

2 вариант.

Определить вид дифференциального уравнения, найти его общее решение, а где указано частное решение:

5. , построить интегральную кривую.

Дополнительное задание

Определить вид дифференциального уравнения, найти его общее решение:

Задания для самостоятельного решения.

Найти  общее решение дифференциальных уравнений, а где указано частное решение:

Контрольные вопросы:

1. Что называется дифференциальным уравнением первого порядка?
2. Что нужно сделать, чтобы решить дифференциальное уравнение.
3. Какой вид имеет дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
4. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением 1-го порядка?
5. Что такое общее и частное решение дифференциального уравнения.

Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения в ограниченных и неограниченных областях

Рассматривается первая смешанная задача для системы уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре. Эта задача описывает кинетику заряженных частиц двукомпонентной высокотемпературной плазмы под действием внешнего магнитного поля. Показано, что характеристики уравнений Власова с фиксированным потенциалом самосогласованного электрического поля и под действием достаточно большого внешнего магнитного поля не достигают границы рассматриваемой области. Доказана разрешимость первой смешанной задачи для системы уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре. Получены новые достаточные условия существования и единственности классического решения такой задачи, с носителями плотностей распределения ионов и электронов, лежащими строго во внутреннем цилиндре.

Была установлена связь между вариационной задачей для нелокального функционала, описывающей многомерную систему управления с запаздываниями, и соответствующей краевой задачей для системы дифференциально-разностных уравнений. Были доказаны существование и единственность обобщенного решения краевой задачи.

Исследуется краевая задача для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения в цилиндрической области. Доказаны теоремы об однозначной разрешимости такой задачи и о гладкости ее обобщенных решений. Эти результаты применяются для доказательства однозначной разрешимости нелокальной смешанной задачи для уравнения Пуассона. Доказана теорема о гладкости обобщенных решений такой задачи. В свою очередь, эти результаты применяются к исследованию гладкости обобщенных решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений, которые не обязательно являются сильно эллиптическими.

Доказана справедливость гипотезы Т. Като для эллиптических дифференциально-разностных операторов с вырождением.

Получена оценка снизу на норму многочлена от операторов и их сопряженных, обеспечивающая «независимость» пары нормальных коммутирующих операторов в гильбертовом пространстве. Рассмотрены следующие примеры «независимых» операторов: операторы сжатия независимых переменных с мультипликативно несоизмеримыми коэффициентами сжатия, оператор сжатия и операторы умножения на однородные функции нулевой степени, а также оператор сжатия и оператор поворота. В каждом из этих случаев указан явный вид пространства максимальных идеалов соответствующей B*-алгебры. На основе этих результатов получены необходимые и достаточные алгебраические условия сильной эллиптичности функционально-дифференциальных уравнений второго порядка, содержащих в старшие производные преобразования сжатия аргументов с несколькими параметрами сжатия, логарифмы которых несоизмеримы. Доказано, что задача Дирихле для сильно эллиптического уравнения имеет единственное решение, зависящее непрерывно от параметров сжатия, а отвечающий задаче неограниченный оператор является генератором аналитической полугруппы. Анализ полученных условий показывает, что, являясь сильно эллиптическим при фиксированных несоизмеримых значениях параметров сжатия, функционально-дифференциальное уравнение будет таковым и в окрестности этих значений. Это в корне отличается от случая, когда в уравнении присутствуют лишь соизмеримые сжатия – здесь свойство сильной эллиптичности не является устойчивым относительно малых независимых возмущений параметров сжатия. 2). В эти условия включены как коэффициенты уравнения, так и параметры s и β пространства. Введена новая шкала весовых пространств, в которых весовая функция естественным образом связана с преобразованием ортотропного сжатия, являясь степенью отношения x_1/x_2 координат. Изучены свойства этих пространств, связанные, прежде всего, с действием преобразования Фурье.

Получены необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности (выполнение неравенства Гординга) для дифференциально–разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами аргументов для ограниченных областей, допускающих конечное разбиение, ассоциированное с семейством сдвигов разностного оператора. В этом случае орбита границы под действием сдвигов конечна.

Для случая конечной орбиты доказано сохранение гладкости обобщенных решений эллиптических краевых задач в подобластях разбиений области. Предложен метод сведения таких задач к краевым задачам с нелокальными краевыми условиями.

Для дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами в случае бесконечной орбиты границы получены близкие к необходимым достаточные условия сильной эллиптичности.

Получены необходимые и достаточные условия равномерной сильной эллиптичности возмущенных дифференциально-разностных уравнений.

Для эллиптического дифференциально-разностного уравнения общего вида, т. е. для уравнения, в котором по переменной, параллельной граничной оси, действует произвольное количество суперпозиций второй производной и операторов сдвига, не связанных между собой никакими условиями соизмеримости, построено интегральное представление решения задачи Дирихле в полуплоскости в смысле обобщенных функций (по Гельфанду–Шилову), доказана его гладкость вне граничной прямой, а также доказана теорема об асимптотической близости построенного решения и решения задачи Дирихле в той же полуплоскости для эллиптического дифференциального уравнения, полученной из исходной (нелокальной) задачи следующим образом – значения всех сдвигов полагаются равными нулю. В качестве следствия из этой теоремы об асимптотической близости выведен критерий (поточечной) стабилизации решения исходной (нелокальной) задачи – доказано, что он совпадает с классическим критерием Репникова–Эйдельмана. Для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений с нелокальными потенциалами доказано существование классического решения задачи Дирихле в полуплоскости, а также построено его интегральное представление формулой пуассоновского типа. Для эллиптических квазилинейных функционально-дифференциальных неравенств, содержащих сверточные члены и регулярные (сингулярные) нелинейные члены KPZ-типа, найдены достаточные условия отсутствия глобальных решений (соответственно – глобальных положительных решений). Для параболических квазилинейных функционально-дифференциальных неравенств, содержащих сверточные члены и регулярные (сингулярные) нелинейные члены KPZ-типа, найдены достаточные условия отсутствия решений (соответственно – положительных решений) задачи Коши во всем полупространстве. Как следствие, получены достаточные условия отсутствия решений (положительных решений) квазилинейных эллиптических и параболических функционально-дифференциальных уравнений со сверточными членами и регулярными (сингулярными) нелинейными членами.

Дифференциальные уравнения — Введение

Дифференциальное уравнение — это уравнение с функцией и одной или несколькими производными:

Пример: уравнение с функцией y и ее

производная

dy
dx

Решение

Мы решаем , когда обнаруживаем функцию y (или набор функций y).

Есть много «уловок» для решения дифференциальных уравнений (, если их можно решить!).

Но сначала: почему?

Почему полезны дифференциальные уравнения?

В нашем мире вещи меняются, и , описывающее, как они меняются, часто заканчивается дифференциальным уравнением:

Пример: кролики!

Чем больше у нас кроликов, тем больше у нас кроликов.

Тогда эти кролики вырастут и тоже родят детей! Население будет расти все быстрее и быстрее.

Важными частями этого являются:

• Население N в любое время т
• темп роста р
• Скорость изменения численности населения дн дн

Подумайте о dN dt как о «насколько изменяется население с изменением времени в любой момент времени».

Представим, что темп роста r составляет 0,01 новых кроликов в неделю на каждого текущего кролика.

Когда популяция составляет 1000 , скорость изменения dN dt составляет 1000 × 0,01 = 10 новых кроликов в неделю.

Но это верно только в конкретное время и не включает тот факт, что население постоянно увеличивается. Чем больше популяция, тем больше у нас кроликов!

Когда население составляет 2000 , мы получаем 2000 × 0. 01 = 20 новых кроликов в неделю и т. Д.

Так что лучше сказать, что скорость изменения (в любой момент) — это скорость роста, умноженная на численность населения в этот момент:

dN dt = rN

И это дифференциальное уравнение , потому что оно имеет функцию N (t) и ее производную.

А какая мощная математика! Это короткое уравнение гласит, что «скорость изменения населения с течением времени равна скорости роста, умноженной на численность населения».

Дифференциальные уравнения могут описывать, как меняется население, как движется тепло, как вибрируют пружины, как распадается радиоактивный материал и многое другое. Это очень естественный способ описания многих вещей во Вселенной.

Что с ними делать?

Само по себе дифференциальное уравнение — прекрасный способ выразить что-либо, но его сложно использовать.

Итак, мы пытаемся решить их, превратив дифференциальное уравнение в более простое уравнение без дифференциальных битов, чтобы мы могли выполнять вычисления, строить графики, предсказывать будущее и так далее.

Пример: Сложные проценты

Деньги приносят проценты. Проценты могут рассчитываться в фиксированное время, например, ежегодно, ежемесячно и т. Д., И добавляться к первоначальной сумме.

Это называется сложным процентом.

Но когда он постоянно увеличивается на , тогда в любое время проценты добавляются пропорционально текущей стоимости ссуды (или инвестиций).

И по мере роста ссуды проценты по ней увеличиваются.

Используя t для времени, r для процентной ставки и V для текущей стоимости кредита:

dV dt = rV

И вот что интересно: это то же самое уравнение, которое мы получили с кроликами! Просто у него разные буквы.Итак, математика показывает нам, что эти две вещи ведут себя одинаково.

Решение

Дифференциальное уравнение говорит об этом хорошо, но его трудно использовать.

Но не волнуйтесь, это можно решить (с помощью специального метода, называемого разделением переменных), и в результате получится:

V = Pe ^rt

Где P — принципал (первоначальный заем), а e — число Эйлера.

Таким образом, непрерывно начисляемый заем в размере 1000 долларов США на 2 года с процентной ставкой 10% становится:

V = 1000 × e ^{(2 × 0.1)}

В = 1000 × 1,2 2140 …

V = 1221,40 $ (с точностью до цента)

Итак, дифференциальные уравнения хороши для описания вещей, но их нужно решать, чтобы они были полезными.

Дополнительные примеры дифференциальных уравнений

Уравнение Ферхюльста

Пример: снова кролики!

Помните наше дифференциальное уравнение роста:

dN dt = rN

Что ж, этот рост не может продолжаться вечно, так как у них скоро закончится доступная еда.

Итак, давайте улучшим его, включив:

• максимальное население, которое может содержать еда тыс.

Парень по имени Ферхюльст во всем разобрался и получил это дифференциальное уравнение:

dN dt = rN (1 − N / k)

Уравнение Ферхюльста

Простое гармоническое движение

В физике простое гармоническое движение — это тип периодического движения, в котором восстанавливающая сила прямо пропорциональна смещению. Примером этого является груз на пружине.

Пример: пружина и вес

К пружине прикреплен груз:

• вес опускается под действием силы тяжести,
• при растяжении пружины ее натяжение увеличивается,
• вес сбавляет
• , затем натяжение пружины возвращает ее вверх,
• , затем он снова и снова падает вниз, вверх и вниз.

Опишите это математикой!

Гиря тянется вниз под действием силы тяжести, и мы знаем из Второго закона Ньютона, что сила равна массе, умноженной на ускорение:

F = m a

А ускорение — это вторая производная положения по времени, поэтому:

F = m d ² x dt ²

Пружина подтягивает ее вверх в зависимости от того, насколько она растянута ( k — жесткость пружины, а x — степень ее растяжения): F = -kx

Две силы всегда равны:

м d ² x dt ² = −kx

У нас есть дифференциальное уравнение!

Имеет функцию x (t) и ее вторую производную
г ² x
дт ²

Примечание: мы не включили «демпфирование» (замедление отскоков из-за трения), которое немного сложнее, но вы можете поиграть с ним здесь (нажмите play ):

Создание дифференциального уравнения является первым важным шагом. Но нам также нужно решить , чтобы узнать, как, например, пружина со временем подпрыгивает вверх и вниз.

Классифицируйте, прежде чем пытаться решить

Так как же решить ?

Это не всегда просто!

За годы мудрые люди разработали специальных методов для решения некоторых типов дифференциальных уравнений.

Итак, нам нужно знать , что это за тип дифференциального уравнения.

Это как путешествие: разные виды транспорта решили, как добраться до определенных мест. Это рядом, так что мы можем просто гулять? Есть дорога, по которой мы можем взять машину? Или это в другой галактике, и мы просто еще не можем туда добраться?

Итак, давайте сначала классифицируем дифференциальное уравнение .

Обычное или частичное

Первая основная группа:

• «Обычные дифференциальные уравнения» (ODE) содержат единственную независимую переменную (например, y )
• «Уравнения с частными производными» (PDE) имеют две или более независимых переменных.

Здесь мы изучаем обыкновенных дифференциальных уравнений !

Порядок и степень

Далее прорабатываем Порядок и Степень:

Заказать

Порядок — это старшая производная (первая производная? Вторая производная и т. Д.):

Пример:

dy dx + y ² = 5x

Имеет только первую производную

dy
dx
, как и «Первый Орден»

Пример:

d ² y dx ² + xy = sin (x)

Имеет вторую производную

д ² д
dx ²
, как и «Заказ 2»

Пример:

d ³ y dx ³ + x dy dx + y = e ^x

Имеет третью производную

д ³ д
dx ³
который превосходит

dy
dx
, как и «Заказ 3»

градусов

Степень — это показатель высшей производной.

Пример:

( dy dx ) ² + y = 5x ²

Старшая производная — это просто dy / dx, а ее показатель степени равен 2, так что это «Вторая степень»

На самом деле это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка первого порядка

Пример:

d ³ y dx ³ + ( dy dx ) ² + y = 5x ²

Старшая производная — это d ³ y / dx ³ , но у нее нет показателя степени (ну, на самом деле показатель степени 1, который не показан), поэтому это «Первая степень».

(Показатель степени 2 на dy / dx не учитывается, так как это не самая высокая производная).

Итак, это обыкновенное дифференциальное уравнение первой степени третьего порядка

Будьте осторожны, не путайте порядок со степенью. Некоторые люди используют порядок слов, когда имеют в виду степень!

Линейный

Это Линейное , когда переменная (и ее производные) не имеют показателя степени или другой функции.

Итак, нет y ² , y ³ , √y, sin (y), ln (y) и т. Д. просто y (или любая другая переменная).

Более формально линейное дифференциальное уравнение имеет форму:

dy dx + P (x) y = Q (x)

Решение

Хорошо, мы классифицировали наше дифференциальное уравнение, следующий шаг — решение.

И у нас есть Руководство по решению дифференциальных уравнений, которое поможет вам.

4.1 Основы дифференциальных уравнений — Исчисление Том 2

Цели обучения

• 4.1.1. Определите порядок дифференциального уравнения.
• 4.1.2 Объясните, что подразумевается под решением дифференциального уравнения.
• 4.1.3. Различают общее решение и частное решение дифференциального уравнения.
• 4.1.4 Определите проблему начального значения.
• 4.1.5. Определите, является ли данная функция решением дифференциального уравнения или задачей с начальным значением.

Исчисление — это математика изменений, а скорость изменения выражается производными.Таким образом, один из наиболее распространенных способов использования исчисления — это составить уравнение, содержащее неизвестную функцию y = f (x) y = f (x) и ее производную, известное как дифференциальное уравнение . Решение таких уравнений часто дает информацию о том, как меняются количества, и часто дает представление о том, как и почему происходят изменения.

Методы решения дифференциальных уравнений могут принимать различные формы, включая прямое решение, использование графиков или компьютерные вычисления. Мы представляем основные идеи в этой главе и более подробно опишем их позже в курсе.В этом разделе мы изучаем, что такое дифференциальные уравнения, как проверять их решения, некоторые методы, которые используются для их решения, а также некоторые примеры общих и полезных уравнений.

Общие дифференциальные уравнения

Рассмотрим уравнение y ′ = 3×2, y ′ = 3×2, которое является примером дифференциального уравнения, поскольку оно включает производную. Между переменными xx и y существует связь: yy: y — неизвестная функция от x.x. Кроме того, левая часть уравнения — это производная от y.у. Следовательно, мы можем интерпретировать это уравнение следующим образом: начните с некоторой функции y = f (x) y = f (x) и возьмите ее производную. Ответ должен быть равен 3×2,3×2. У какой функции есть производная, равная 3×2? 3×2? Одна из таких функций — y = x3, y = x3, поэтому эта функция считается решением дифференциального уравнения.

Определение

Дифференциальное уравнение — это уравнение, включающее неизвестную функцию y = f (x) y = f (x) и одну или несколько ее производных. Решение дифференциального уравнения — это функция y = f (x) y = f (x), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению, когда ff и его производные подставляются в уравнение.

Некоторые примеры дифференциальных уравнений и их решений приведены в таблице 4.1.

Таблица 4. 1 Примеры дифференциальных уравнений и их решений

Обратите внимание, что решение дифференциального уравнения не обязательно является уникальным, в первую очередь потому, что производная константы равна нулю.Например, y = x2 + 4y = x2 + 4 также является решением первого дифференциального уравнения в таблице 4.1. Мы вернемся к этой идее чуть позже в этом разделе. А пока давайте сосредоточимся на том, что означает, что функция является решением дифференциального уравнения.

Пример 4.1

Проверка решений дифференциальных уравнений

Убедитесь, что функция y = e − 3x + 2x + 3y = e − 3x + 2x + 3 является решением дифференциального уравнения y ′ + 3y = 6x + 11.y ′ + 3y = 6x + 11.

Решение

Чтобы проверить решение, мы сначала вычисляем y′y ′, используя цепное правило для производных.Это дает y ′ = — 3e − 3x + 2.y ′ = — 3e − 3x + 2. Затем подставляем yy и y′y ′ в левую часть дифференциального уравнения:

(−3e − 2x + 2) +3 (e − 2x + 2x + 3). (- 3e − 2x + 2) +3 (e − 2x + 2x + 3).

Получившееся выражение можно упростить, предварительно распространив его, исключив круглые скобки, что даст

−3e − 2x + 2 + 3e − 2x + 6x + 9. − 3e − 2x + 2 + 3e − 2x + 6x + 9.

Объединение одинаковых членов приводит к выражению 6x + 11,6x + 11, которое равно правой части дифференциального уравнения. Этот результат подтверждает, что y = e − 3x + 2x + 3y = e − 3x + 2x + 3 является решением дифференциального уравнения.

КПП 4.1

Убедитесь, что y = 2e3x − 2x − 2y = 2e3x − 2x − 2 является решением дифференциального уравнения y′ − 3y = 6x + 4.y′ − 3y = 6x + 4.

Удобно определять характеристики дифференциальных уравнений, которые упрощают их обсуждение и категоризацию. Самая основная характеристика дифференциального уравнения — это его порядок.

Определение

Порядок дифференциального уравнения — это наивысший порядок любой производной неизвестной функции, которая появляется в уравнении.

Пример 4.2

Определение порядка дифференциального уравнения

Каков порядок каждого из следующих дифференциальных уравнений?

1. y′ − 4y = x2−3x + 4y′ − 4y = x2−3x + 4
2. x2y ‴ −3xy ″ + xy′ − 3y = sinxx2y ‴ −3xy ″ + xy′ − 3y = sinx
3. 4xy (4) −6x2y ″ + 12x4y = x3−3×2 + 4x − 124xy (4) −6x2y ″ + 12x4y = x3−3×2 + 4x − 12

Решение

1. Старшая производная в уравнении — y ′, y ′, поэтому порядок равен 1,1.
2. Старшая производная в уравнении y ‴, y ‴, поэтому порядок равен 3.3.
3. Старшая производная в уравнении — y (4), y (4), поэтому порядок равен 4,4.

Контрольно-пропускной пункт 4.2

Каков порядок следующего дифференциального уравнения?

(x4−3x) y (5) — (3×2 + 1) y ′ + 3y = sinxcosx (x4−3x) y (5) — (3×2 + 1) y ′ + 3y = sinxcosx

Общие и частные решения

Мы уже отмечали, что дифференциальное уравнение y ′ = 2xy ′ = 2x имеет по крайней мере два решения: y = x2y = x2 и y = x2 + 4. y = x2 + 4. Единственная разница между этими двумя решениями — это последний член, который является константой.Что, если последний член — другая константа? Будет ли это выражение по-прежнему решением дифференциального уравнения? Фактически, любая функция вида y = x2 + C, y = x2 + C, где CC представляет любую константу, также является решением. Причина в том, что производная x2 + Cx2 + C равна 2x, 2x, независимо от значения C.C. Можно показать, что любое решение этого дифференциального уравнения должно иметь вид y = x2 + C.y = x2 + C. Это пример общего решения дифференциального уравнения. График некоторых из этих решений представлен на рисунке 4.2. ( Примечание : на этом графике мы использовали четные целые значения для CC в диапазоне от -4-4 до 4,4. Фактически, нет никаких ограничений на значение C; C; оно может быть целым или нет.)

Рис. 4.2. Семейство решений дифференциального уравнения y ′ = 2x.y ′ = 2x.

В этом примере мы можем выбрать любое решение, какое захотим; например, y = x2−3y = x2−3 является членом семейства решений этого дифференциального уравнения. Это называется частным решением дифференциального уравнения. Конкретное решение часто можно однозначно идентифицировать, если нам предоставить дополнительную информацию о проблеме.

Пример 4.3

Поиск конкретного решения

Найти частное решение дифференциального уравнения y ′ = 2xy ′ = 2x, проходящее через точку (2,7). (2,7).

Решение

Любая функция вида y = x2 + Cy = x2 + C является решением этого дифференциального уравнения. Чтобы определить значение C, C, мы подставляем значения x = 2x = 2 и y = 7y = 7 в это уравнение и решаем относительно C: C:

y = x2 + C7 = 22 + C = 4 + CC = 3. y = x2 + C7 = 22 + C = 4 + CC = 3.

Следовательно, частное решение, проходящее через точку (2,7) (2,7), имеет вид y = x2 + 3.у = х2 + 3.

КПП 4.3

Найдите частное решение дифференциального уравнения

, проходящее через точку (1,7), (1,7), при условии, что y = 2×2 + 3x + Cy = 2×2 + 3x + C, является общим решением дифференциального уравнения.

Проблемы с начальным значением

Обычно данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное количество решений, поэтому естественно спросить, какое из них мы хотим использовать. Чтобы выбрать одно решение, необходима дополнительная информация. Некоторая конкретная информация, которая может быть полезна, — это начальное значение, которое представляет собой упорядоченную пару, которая используется для поиска конкретного решения.

Дифференциальное уравнение вместе с одним или несколькими начальными значениями называется задачей начальных значений. Общее правило состоит в том, что количество начальных значений, необходимых для задачи с начальными значениями, равно порядку дифференциального уравнения. Например, если у нас есть дифференциальное уравнение y ′ = 2x, y ′ = 2x, тогда y (3) = 7y (3) = 7 является начальным значением, и вместе эти уравнения образуют задачу с начальным значением. Дифференциальное уравнение y ″ −3y ′ + 2y = 4exy ″ −3y ′ + 2y = 4ex второго порядка, поэтому нам нужны два начальных значения. В задачах с начальным значением порядка больше единицы одно и то же значение следует использовать для независимой переменной. Примером начальных значений для этого уравнения второго порядка может быть y (0) = 2y (0) = 2 и y ′ (0) = — 1.y ′ (0) = — 1. Эти два начальных значения вместе с дифференциальным уравнением образуют начальную задачу. Эти проблемы названы так потому, что часто независимой переменной в неизвестной функции является t, t, которая представляет время. Таким образом, значение t = 0t = 0 представляет начало проблемы.

Пример 4.4

Проверка решения проблемы начального значения

Проверить, что функция y = 2e − 2t + ety = 2e − 2t + et является решением задачи начального значения

y ′ + 2y = 3et, y (0) = 3. y ′ + 2y = 3et, y (0) = 3.

Решение

Чтобы функция удовлетворяла задаче с начальным значением, она должна удовлетворять как дифференциальному уравнению, так и начальному условию. Чтобы показать, что yy удовлетворяет дифференциальному уравнению, мы начнем с вычисления y′.y ′. Это дает y ′ = — 4e − 2t + et.y ′ = — 4e − 2t + et. Затем мы подставляем yy и y′y ′ в левую часть дифференциального уравнения и упрощаем:

y ′ + 2y = (- 4e − 2t + et) +2 (2e − 2t + et) = — 4e − 2t + et + 4e − 2t + 2et = 3et.y ′ + 2y = (- 4e − 2t + et ) +2 (2e − 2t + et) = — 4e − 2t + et + 4e − 2t + 2et = 3et.

Это равно правой части дифференциального уравнения, поэтому y = 2e − 2t + ety = 2e − 2t + et решает дифференциальное уравнение. Затем мы вычисляем y (0): y (0):

y (0) = 2e − 2 (0) + e0 = 2 + 1 = 3. y (0) = 2e − 2 (0) + e0 = 2 + 1 = 3.

Этот результат подтверждает исходное значение. Следовательно, данная функция удовлетворяет начальной задаче.

КПП 4.4

Убедитесь, что y = 3e2t + 4sinty = 3e2t + 4sint является решением задачи начального значения

y′ − 2y = 4cost − 8sint, y (0) = 3. y′ − 2y = 4cost − 8sint, y (0) = 3.

В примере 4.4 задача начального значения состояла из двух частей. Первой частью было дифференциальное уравнение y ′ + 2y = 3ex, y ′ + 2y = 3ex, а второй частью было начальное значение y (0) = 3.y (0) = 3. Эти два уравнения вместе образуют начальную задачу.

То же и в целом. Задача начальной стоимости будет состоять из двух частей: дифференциального уравнения и начального условия.Дифференциальное уравнение имеет семейство решений, а начальное условие определяет значение C.C. Семейство решений дифференциального уравнения из примера 4.4 имеет вид y = 2e − 2t + Cet.y = 2e − 2t + Cet. Это семейство решений показано на рис. 4.3, с помеченным частным решением y = 2e − 2t + ety = 2e − 2t + et.

Рис. 4.3. Семейство решений дифференциального уравнения y ′ + 2y = 3et.y ′ + 2y = 3et. Отмечено частное решение y = 2e − 2t + ety = 2e − 2t + et.

Пример 4.5

Решение задачи с начальным значением

Решите следующую задачу с начальным значением:

y ′ = 3ex + x2−4, y (0) = 5.y ′ = 3ex + x2−4, y (0) = 5.

Решение

Первым шагом в решении этой начальной задачи является поиск общего семейства решений. Для этого находим первообразную обеих частей дифференциального уравнения

∫y′dx = ∫ (3ex + x2−4) dx, ∫y′dx = ∫ (3ex + x2−4) dx,

а именно

y + C1 = 3ex + 13×3−4x + C2.y + C1 = 3ex + 13×3−4x + C2.

(4,1)

Мы можем интегрировать обе стороны, потому что термин y появляется сам по себе. Обратите внимание на две константы интегрирования: C1C1 и C2.C2. Решение уравнения 4.1 для yy дает

y = 3ex + 13×3−4x + C2 − C1.y = 3ex + 13×3−4x + C2 − C1.

Поскольку C1C1 и C2C2 являются константами, C2-C1C2-C1 также является константой. Следовательно, мы можем определить C = C2 − C1, C = C2 − C1, что приводит к уравнению

y = 3ex + 13×3−4x + C.y = 3ex + 13×3−4x + C.

Далее мы определяем значение C.C. Для этого мы подставляем x = 0x = 0 и y = 5y = 5 в уравнение 4.1 и решаем относительно C: C:

5 = 3e0 + 1303−4 (0) + C5 = 3 + CC = 2,5 = 3e0 + 1303−4 (0) + C5 = 3 + CC = 2.

Теперь мы подставляем значение C = 2C = 2 в уравнение 4. 1. Решение начальной задачи: y = 3ex + 13×3−4x + 2.y = 3ex + 13×3−4x + 2.

Анализ

Разница между общим решением и частным решением состоит в том, что общее решение включает в себя семейство функций, определенных явно или неявно, от независимой переменной. Начальное значение или значения определяют, какое конкретное решение в семействе решений удовлетворяет желаемым условиям.

КПП 4.5

Решите задачу начального значения

y ′ = x2−4x + 3−6ex, y (0) = 8.y ′ = x2−4x + 3−6ex, y (0) = 8.

В физических и инженерных приложениях мы часто рассматриваем силы, действующие на объект, и используем эту информацию, чтобы понять результирующее движение, которое может произойти. Например, если мы начнем с объекта на поверхности Земли, основной силой, действующей на этот объект, будет гравитация. Физики и инженеры могут использовать эту информацию вместе со вторым законом движения Ньютона (в форме уравнения F = ma, F = ma, где FF представляет силу, mm представляет массу, а aa представляет ускорение), чтобы вывести уравнение, которое может быть решено. .

Рис. 4.4. При падении бейсбольного мяча в воздухе единственной силой, действующей на него, является сила тяжести (без учета сопротивления воздуха).

На рисунке 4.4 мы предполагаем, что единственная сила, действующая на бейсбольный мяч, — это сила тяжести. Это предположение игнорирует сопротивление воздуха. (Сила, создаваемая сопротивлением воздуха, рассматривается в более позднем обсуждении.) Ускорение свободного падения на поверхности Земли, g, g, составляет примерно 9,8 м / с и 2,9,8 м / с2. Мы вводим систему отсчета, в которой поверхность Земли находится на высоте 0 метров.Пусть v (t) v (t) представляет скорость объекта в метрах в секунду. Если v (t)> 0, v (t)> 0, мяч поднимается, а если v (t) <0, v (t) <0, мяч падает (рисунок 4.5).

Рис. 4.5. Возможные скорости восходящего / падающего бейсбольного мяча.

Наша цель — найти скорость v (t) v (t) в любой момент времени t.t. Для этого мы создаем задачу с начальным значением. Предположим, масса мяча равна m, m, где мм измеряется в килограммах. Мы используем второй закон Ньютона, который гласит, что сила, действующая на объект, равна его массе, умноженной на его ускорение (F = ma).(F = ma). Ускорение — это производная скорости, поэтому a (t) = v ′ (t) .a (t) = v ′ (t). Следовательно, сила, действующая на бейсбольный мяч, определяется выражением F = mv ′ (t) .F = mv ′ (t). Однако эта сила должна быть равна силе тяжести, действующей на объект, которая (опять же с использованием второго закона Ньютона) задается формулами Fg = −mg, Fg = −mg, поскольку эта сила действует в направлении вниз. Следовательно, мы получаем уравнение F = Fg, F = Fg, которое превращается в mv ′ (t) = — mg.mv ′ (t) = — mg. Разделив обе части уравнения на мм, получим уравнение

v ′ (t) = — g.v ′ (t) = — g.

Обратите внимание, что это дифференциальное уравнение остается неизменным независимо от массы объекта.

Теперь нам нужно начальное значение. Поскольку мы решаем для скорости, в контексте задачи имеет смысл предположить, что мы знаем начальную скорость или скорость в момент времени t = 0. t = 0. Это обозначается v (0) = v0.v (0) = v0.

Пример 4.6

Скорость движущегося бейсбольного мяча

Бейсбольный мяч подбрасывается вверх с высоты 33 метра над поверхностью Земли с начальной скоростью 10 м / с, 10 м / с, и единственная сила, действующая на него, — это сила тяжести.Мяч имеет массу 0,15 кг 0,15 кг на поверхности Земли.

1. Найдите скорость v (t) v (t) бейсбольного мяча в момент времени t.t.
2. Какова его скорость через 22 секунды?

Решение

1. Из предыдущего обсуждения, дифференциальное уравнение, которое применяется в этой ситуации, —
   v ′ (t) = — g, v ′ (t) = — g,
   где g = 9,8 м / с2. g = 9,8 м / с2. Начальное условие: v (0) = v0, v (0) = v0, где v0 = 10 м / с. V0 = 10 м / с. Следовательно, начальная задача v ′ (t) = — 9.8 м / с2, v (0) = 10 м / с. V ′ (t) = — 9,8 м / с2, v (0) = 10 м / с.
   Первым шагом в решении этой начальной задачи является взятие первообразной обеих частей дифференциального уравнения. Это дает
   ∫v ′ (t) dt = ∫ − 9.8dtv (t) = — 9.8t + C.∫v ′ (t) dt = ∫ − 9.8dtv (t) = — 9.8t + C.
   Следующий шаг — найти C.C. Для этого подставляем t = 0t = 0 и v (0) = 10: v (0) = 10:
   .
   v (t) = — 9,8t + Cv (0) = — 9,8 (0) + C10 = C. v (t) = — 9,8t + Cv (0) = — 9,8 (0) + C10 = C.
   Следовательно, C = 10C = 10 и функция скорости определяется как v (t) = — 9,8t + 10.v (t) = — 9.8т + 10.
2. Чтобы найти скорость через 22 секунды, подставьте t = 2t = 2 в v (t) .v (t).
   v (t) = — 9,8t + 10v (2) = — 9,8 (2) + 10v (2) = — 9,6.v (t) = — 9,8t + 10v (2) = — 9,8 (2) + 10v ( 2) = — 9,6.
   Единицы измерения скорости — метры в секунду. Поскольку ответ отрицательный, объект падает со скоростью 9,6 м / с. 9,6 м / с.

КПП 4.6

Предположим, что скала падает с высоты 100-100 метров, и единственная сила, действующая на нее, — это сила тяжести. Найдите уравнение для скорости v (t) v (t) как функции времени, измеряемой в метрах в секунду.

Естественный вопрос, который следует задать после решения проблемы такого типа, — насколько высоко объект будет находиться над поверхностью Земли в данный момент времени. Пусть s (t) s (t) обозначает высоту объекта над поверхностью Земли, измеряемую в метрах. Поскольку скорость является производной от положения (в данном случае от высоты), это предположение дает уравнение s ′ (t) = v (t) .s ′ (t) = v (t). Необходимо начальное значение; в этом случае подходит начальная высота объекта. Пусть начальная высота задается уравнением s (0) = s0.s (0) = s0. Вместе эти предположения дают задачу начальной стоимости

s ′ (t) = v (t), s (0) = s0.s ′ (t) = v (t), s (0) = s0.

Если функция скорости известна, то можно также найти функцию положения.

Пример 4.7

Высота движущегося бейсбольного мяча

Бейсбольный мяч подбрасывается вверх с высоты 33 метра над поверхностью Земли с начальной скоростью 10 м / с, 10 м / с, и единственная сила, действующая на него, — это сила тяжести. У поверхности Земли шар имеет массу 0,150,15 кг.

1. Найдите положение s (t) s (t) бейсбольного мяча в момент времени t. t.
2. Какова его высота через 22 секунды?

Решение

1. Мы уже знаем, что функция скорости для этой задачи равна v (t) = — 9,8t + 10.v (t) = — 9,8t + 10. Начальная высота бейсбольного мяча составляет 33 метра, поэтому s0 = 3.s0 = 3. Следовательно, задача с начальным значением для этого примера —
   .
   Чтобы решить задачу с начальным значением, мы сначала находим первообразные:
   ∫s ′ (t) dt = ∫ − 9.8t + 10dts (t) = — 4.9t2 + 10t + C.∫s ′ (t) dt = ∫ − 9.8t + 10dts (t) = — 4.9t2 + 10t + C.
   Затем мы подставляем t = 0t = 0 и решаем относительно C: C:
   s (t) = — 4.9t2 + 10t + Cs (0) = — 4.9 (0) 2 + 10 (0) + C3 = Cs (t) = — 4.9t2 + 10t + Cs (0) = — 4.9 (0 ) 2 + 10 (0) + С3 = С.
   Следовательно, функция положения равна s (t) = — 4.9t2 + 10t + 3.s (t) = — 4.9t2 + 10t + 3.
2. Высота бейсбольного мяча после 2s2s определяется выражением s (2): s (2):
   s (2) = — 4,9 (2) 2 + 10 (2) + 3 = −4,9 (4) + 23 = 3,4. s (2) = — 4,9 (2) 2 + 10 (2) + 3 = −4,9 (4) + 23 = 3,4.
   Следовательно, через 22 секунды бейсбольный мяч оказывается на высоте 3,43,4 метра над поверхностью Земли.Стоит отметить, что масса мяча полностью уменьшилась в процессе решения задачи.

Раздел 4.1 Упражнения

Определите порядок следующих дифференциальных уравнений.

2.

(y ′) 2 = y ′ + 2y (y ′) 2 = y ′ + 2y

3.

y ‴ + y ″ y ′ = 3x2y ‴ + y ″ y ′ = 3×2

4.

y ′ = y ″ + 3t2y ′ = y ″ + 3t2

6.

dydx + d2ydx2 = 3x4dydx + d2ydx2 = 3×4

7.

(dydt) 2 + 8dydt + 3y = 4t (dydt) 2 + 8dydt + 3y = 4t

Убедитесь, что следующие функции являются решениями данного дифференциального уравнения.

8.

y = x33y = x33 решает y ′ = x2y ′ = x2

9.

y = 2e − x + x − 1y = 2e − x + x − 1 решает y ′ = x − yy ′ = x − y

10.

y = e3x − ex2y = e3x − ex2 решает y ′ = 3y + exy ′ = 3y + ex

11.

y = 11 − xy = 11 − x решает y ′ = y2y ′ = y2

12.

y = ex2 / 2y = ex2 / 2 решает y ′ = xyy ′ = xy

13.

y = 4 + lnxy = 4 + lnx решает xy ′ = 1xy ′ = 1

14.

y = 3 − x + xlnxy = 3 − x + xlnx решает y ′ = lnxy ′ = lnx

15.

y = 2ex − x − 1y = 2ex − x − 1 решает y ′ = y + xy ′ = y + x

16.

y = ex + sinx2 − cosx2y = ex + sinx2 − cosx2 решает y ′ = cosx + yy ′ = cosx + y

17.

y = πe − cosxy = πe − cosx решает y ′ = ysinxy ′ = ysinx

Проверьте следующие общие решения и найдите частное решение.

18.

Найдите частное решение дифференциального уравнения y ′ = 4x2y ′ = 4×2, которое проходит через (−3, −30), (- 3, −30), учитывая, что y = C + 4x33y = C + 4×33 является общим решением .

19.

Найдите частное решение дифференциального уравнения y ′ = 3x3y ′ = 3×3, которое проходит через (1,4.75), (1,4.75), учитывая, что y = C + 3x44y = C + 3×44 является общим решением.

20.

Найдите частное решение дифференциального уравнения y ′ = 3x2yy ′ = 3x2y, которое проходит через (0,12), (0,12), учитывая, что y = Cex3y = Cex3 является общим решением.

21.

Найдите частное решение дифференциального уравнения y ′ = 2xyy ′ = 2xy, которое проходит через (0,12), (0,12), учитывая, что y = Cex2y = Cex2 является общим решением.

22.

Найдите частное решение дифференциального уравнения y ′ = (2xy) 2y ′ = (2xy) 2, которое проходит через (1, −12), (1, −12), учитывая, что y = −3C + 4x3y = −3C + 4×3 — общее решение.

23.

Найдите частное решение дифференциального уравнения y′x2 = yy′x2 = y, которое проходит через (1,2e), (1,2e), учитывая, что y = Ce − 1 / xy = Ce − 1 / x является общее решение.

24.

Найдите частное решение дифференциального уравнения 8dxdt = −2cos (2t) −cos (4t) 8dxdt = −2cos (2t) −cos (4t), которое проходит через (π, π), (π, π), при условии, что x = C − 18sin (2t) −132sin (4t) x = C − 18sin (2t) −132sin (4t) — общее решение.

25.

Найдите частное решение дифференциального уравнения dudt = tanududt = tanu, которое проходит через (1, π2), (1, π2), учитывая, что u = sin − 1 (eC + t) u = sin − 1 (eC + t ) — общее решение.

26.

Найдите частное решение дифференциального уравнения dydt = e (t + y) dydt = e (t + y), которое проходит через (1,0), (1,0), учитывая, что y = −ln (C − et ) y = −ln (C − et) — общее решение.

27.

Найдите частное решение дифференциального уравнения y ′ (1 − x2) = 1 + yy ′ (1 − x2) = 1 + y, которое проходит через (0, −2), (0, −2), учитывая, что y = Cx + 11 − x − 1y = Cx + 11 − x − 1 — общее решение.

Найдите общее решение дифференциального уравнения для следующих задач.

29.

y ′ = lnx + tanxy ′ = lnx + tanx

30.

y ′ = sinxecosxy ′ = sinxecosx

32.

y ′ = sin − 1 (2x) y ′ = sin − 1 (2x)

34.

x ′ = cotht + lnt + 3t2x ′ = cotht + lnt + 3t2

Решите следующие задачи с начальным значением, начиная с y (0) = 1y (0) = 1 и y (0) = — 1.y (0) = — 1. Нарисуйте оба решения на одном графике.

Решите следующие задачи с начальным значением, начиная с y0 = 10.y0 = 10. В какое время yy увеличится до 100100 или упадет до 1? 1?

Напомним, что семейство решений включает решения дифференциального уравнения, которые отличаются на константу. Для следующих задач используйте свой калькулятор, чтобы построить график семейства решений данного дифференциального уравнения. Используйте начальные условия от y (t = 0) = — 10y (t = 0) = — 10 до y (t = 0) = 10y (t = 0) = 10 с увеличением на 2,2. Есть ли критическая точка, в которой поведение решения начинает меняться?

51.

[T] y ′ = x + yy ′ = x + y ( Подсказка: y = Cex − x − 1y = Cex − x − 1 — общее решение)

52.

[T] y ′ = xlnx + sinxy ′ = xlnx + sinx

53.

Найдите общее решение для описания скорости шара массой 1 фунт1 фунт, который подбрасывается вверх со скоростью aa ft / sec.

54.

В предыдущей задаче, если начальная скорость мяча, брошенного в воздух, равна a = 25a = 25 фут / с, запишите частное решение для скорости мяча. Решите, чтобы найти время, когда мяч упадет на землю.

55.

Вы подбрасываете два объекта разной массы m1m1 и m2m2 вверх в воздух с одинаковой начальной скоростью aa ft / s. Какая разница в их скорости через 11 секунд?

56.

[T] Вы бросаете шар массой 11 кг вверх со скоростью a = 25a = 25 м / с на Марс, где сила тяжести g = −3.711g = −3,711 м / с ² . Используйте свой калькулятор, чтобы приблизительно определить, насколько дольше мяч находится в воздухе на Марсе, чем на Земле, где g = -9,8 м / с2g = -9,8 м / с2.

57.

[T] Для предыдущей задачи воспользуйтесь калькулятором, чтобы приблизительно определить, насколько выше поднялся шар на Марсе, где g = -9,8 м / с2g = -9,8 м / с2.

58.

[T] Автомобиль на автостраде ускоряется в соответствии с a = 15cos (πt), a = 15cos (πt), где tt измеряется в часах. Задайте и решите дифференциальное уравнение, чтобы определить скорость автомобиля, если его начальная скорость составляет 5151 миль в час.Какова скорость водителя после 4040 минут езды?

59.

[T] Для автомобиля в предыдущей задаче найдите выражение для расстояния, которое автомобиль проехал за время t, t, предполагая, что начальное расстояние равно 0,0. Сколько времени нужно автомобилю, чтобы проехать 100100 миль? Округлите ответ до часов и минут.

60.

[T] Для предыдущей задачи найдите общее расстояние, пройденное за первый час.

61.

Подставьте y = Be3ty = Be3t в y′ − y = 8e3ty′ − y = 8e3t, чтобы найти конкретное решение.

62.

Подставьте y = acos (2t) + bsin (2t) y = acos (2t) + bsin (2t) в y ′ + y = 4sin (2t) y ′ + y = 4sin (2t), чтобы найти конкретное решение.

63.

Замените y = a + bt + ct2y = a + bt + ct2 на y ′ + y = 1 + t2y ′ + y = 1 + t2, чтобы найти конкретное решение.

64.

Замените y = aetcost + betsinty = aetcost + betsint на y ′ = 2etcosty ′ = 2etcost, чтобы найти конкретное решение.

65.

Решите y ′ = ekty ′ = ekt с начальным условием y (0) = 0y (0) = 0 и решите y ′ = 1y ′ = 1 с тем же начальным условием. Что вы замечаете, когда kk приближается к 0,0?

страница не найдена — Williams College

’62 Центр театра и танца, 62 Центр
Касса	597-2425
Магазин костюмов	597-3373
Менеджер мероприятий / Помощник менеджера	597-4808	597-4815 факс
Производство		597-4474 факс
Магазин сцен	597-2439
’68 Центр карьерного роста, Мирс	597-2311	597-4078 факс
Academic Resources, Парески	597-4672	597-4959 факс
Служба поддержки инвалидов, Парески	597-4672
Прием, Вестон-холл	597-2211	597-4052 факс
Affirmative Action, Hopkins Hall	597-4376
Africana Studies, Hollander	597-2242	597-4222 факс
Американские исследования, Шапиро	597-2074	597-4620 факс
Антропология и социология, Холландер	597-2076	597-4305 факс
Архивы и специальные коллекции, Sawyer	597-4200	597-2929 факс
Читальный зал	597-4200
Искусство (История, Студия), Spencer Studio Art / Lawrence	597-3578	597-3693 факс
Архитектурная студия, Spencer Studio Art	597-3134
Фотостудия, Spencer Studio Art	597-2030
Printmaking Studio, Spencer Studio Art	597-2496
Скульптурная студия, Spencer Studio Art	597-3101
Senior Studio, Spencer Studio Art	597-3224
Видео / фотостудия, Spencer Studio Art	597-3193
Asian Studies, Hollander	597-2391	597-3028 факс
Астрономия / Астрофизика, Thompson Physics	597-2482	597-3200 факс
Департамент легкой атлетики, Физическое воспитание, отдых, Ласелл	597-2366	597-4272 факс
Спортивный директор	597-3511
Boat House, Озеро Онота	443-9851
Автобусы	597-2366
Фитнес-центр	597-3182
Hockey Rink Ice Line, Lansing Chapman	597-2433
Intramurals, Атлетический центр Чандлера	597-3321
Физическая культура	597-2141
Pool Wet Line, Атлетический центр Чандлера	597-2419
Sports Information, Hopkins Hall	597-4982	597-4158 факс
Спортивная медицина	597-2493	597-3052 факс
Площадки для игры в сквош	597-2485
Поле для гольфа Taconic	458-3997
Биохимия и молекулярная биология, Thompson Biology	597-2126
Биоинформатика, геномика и протеомика, Бронфман	597-2124
Биология, Thompson Biology	597-2126	597-3495 факс
Охрана и безопасность кампуса, Хопкинс-холл	597-4444	597-3512 факс
Карты доступа / системы сигнализации	597-4970 / 4033
Escort Service, Hopkins Hall	597-4400
Офицеры и диспетчеры	597-4444
Секретарь, удостоверения личности	597-4343
Коммутатор	597-3131
Центр развития творческого сообщества, 66 Stetson Court	884-0093
Центр экономики развития, 1065 Main St	597-2148	597-4076 факс
Компьютерный зал	597-2522
Вестибюль	597-4383
Центр экологических исследований, класс 1966 г. Экологический центр	597-2346	597-3489 факс
Лаборатория наук об окружающей среде, Морли	597-2380
Экологические исследования	597-2346
Лаборатория ГИС	597-3183
Центр иностранных языков, литератур и культур, Холландер	597-2391	597-3028 факс
Арабские исследования, Холландер	597-2391	597-3028 факс
Сравнительная литература, Холландер	597-2391
Критические языки, Hollander	597-2391	597-3028 факс
лингафонный кабинет	597-3260
Русский, Hollander	597-2391
Центр обучения в действии, Brooks House	597-4588	597-3090 факс
Библиотека редких книг Чапина, Сойер	597-2462	597-2929 факс
Читальный зал	597-4200
Офис капелланов, Парески	597-2483	597-3955 факс
Еврейский религиозный центр, 24 Stetson Court	597-2483
Мусульманская молельная комната, часовня Томпсона (нижний уровень)	597-2483
Католическая часовня Ньюмана, часовня Томпсона (нижний уровень)	597-2483
Химия, Thompson Chemistry	597-2323	597-4150 факс
Классика (греческий и латинский), Hollander	597-2242	597-4222 факс
Когнитивная наука, Бронфман	597-4594
Маршал колледжа, Thompson Physics	597-2008
Отношения с колледжем	597-4057
Программа 25-го воссоединения, Фогт	597-4208	597-4039 факс
Программа 50-го воссоединения, Фогт	597-4284	597-4039 факс
Advancement Operations, Мирс-Вест	597-4154	597-4333 факс
Мероприятия для выпускников, Vogt	597-4146	597-4548 факс
Фонд выпускников	597-4153	597-4036 факс
Связи с выпускниками, Мирс-Уэст	597-4151	597-4178 факс
Почтовые службы для выпускников / разработчиков, Мирс-Уэст	597-4369
Девелопмент, Vogt	597-4256
Отношения с донорами, Vogt	597-3234	597-4039 факс
Офис по планированию подарков, Vogt	597-3538	597-4039 факс
Grants Office, Mears West	597-4025	597-4333 факс
Программа крупных подарков, Vogt	597-4256	597-4548 факс
Parents Fund, Vogt	597-4357	597-4036 факс
Prospect Management & Research, Мирс	597-4119	597-4178 факс
Начало занятий и академические мероприятия, Jesup	597-2347	597-4435 факс
Communications, Hopkins Hall	597-4277	597-4158 факс
Sports Information, Hopkins Hall	597-4982	597-4158 факс
Web Team, Southworth Schoolhouse
Williams Magazines (ранее Alumni Review), Hopkins Hall	597-4278
Компьютерные науки, Thompson Chemistry	597-3218	597-4250 факс
Conferences & Events, Парески	597-2591	597-4748 факс
Запросы Elm Tree House, Mt. Хоуп Фарм	597-2591
Офис контролера, Хопкинс-холл	597-4412	597-4404 факс
Счета к оплате и ввод данных, Хопкинс-холл	597-4453
Bursar & Cash Receipts, Hopkins Hall	597-4396
Financial Information Systems, Hopkins Hall	597-4023
Purchasing Cards, Hopkins Hall	597-4413
Студенческие ссуды, Хопкинс Холл	597-4683
Dance, 62 Центр	597-2410
Центр Дэвиса (ранее Мультикультурный центр), Дженнесс	597-3340	597-3456 факс
Харди Хаус	597-2129
Jenness House	597-3344
Райс Хаус	597-2453
Декан колледжа, Хопкинс-холл	597-4171	597-3507 факс
Декан факультета Хопкинс Холл	597-4351	597-3553 факс
Столовая, капельницы	597-2121	597-4618 факс
’82 Гриль, Парески	597-4585
Кондитерская, Парески	597-4511
Общественное питание, факультет	597-2452
Driscoll Dining Hall, Дрисколл	597-2238
Eco Café, Научный центр	597-2383
Grab ‘n Go, Парески	597-4398
Lee Snack Bar, Парески	597-3487
Обеденный зал Mission Park, Mission Park	597-2281
Whitmans ‘, Paresky	597-2889
Economics, Schapiro	597-2476	597-4045 факс
английский, Hollander	597-2114	597-4032 факс
Сооружения, здание служебного помещения	597-2301
College Car Request	597-2302
Скорая помощь вечером / в выходные дни	597-4444
Запросы на работу производственных помещений		597-4141 факс
Особые мероприятия	597-4020
Кладовая	597-2143	597-4013 факс
Факультетский клуб, Факультетский дом / Центр выпускников	597-2451	597-4722 факс
Бронирование	597-3089
Fellowships Office, Hopkins Hall	597-3044	597-3507 факс
Financial Aid, Weston Hall	597-4181	597-2999 факс
Geosciences, Clark Hall	597-2221	597-4116 факс
Немецко-русский, Hollander	597-2391	597-3028 факс
Глобальные исследования, Холландер	597-2247
Программа магистратуры по истории искусств, Кларк		458-2317 факс
Службы здравоохранения и хорошего самочувствия, Thompson Ctr Health	597-2206	597-2982 факс
Медицинское просвещение	597-3013
Услуги интегративного благополучия (консультирование)	597-2353
Чрезвычайные ситуации с угрозой жизни	Позвоните 911
Медицинские услуги	597-2206
История, Холландер	597-2394	597-3673 факс
История науки, Бронфман		597-4116 факс
Хопкинс Форест	597-4353
Розенбург-центр	458-3080
Отдел кадров, B&L Building	597-2681	597-3516 факс
Услуги няни, корпус B&L	597-4587
Льготы	597-4355
Программа помощи сотрудникам	800-828-6025
Занятость	597-2681
Заработная плата	597-4162
Ресурсы для супруга / партнера	597-4587
Занятость студентов	597-4568
Погодная линия (ICEY)	597-4239
Humanities, Schapiro	597-2076
Информационные технологии, Jesup	597-2094	597-4103 факс
Пакеты для чтения курсов, ящик для сообщений офисных услуг	597-4090
Центр ссуды на оборудование, приложение Додда	597-4091
Служба поддержки преподавателей / сотрудников, [электронная почта защищена]	597-4090
Медиауслуги и справочная информация в классе	597-2112
Служба поддержки студентов, [электронная почта]	597-3088
Телекоммуникации / Телефоны	597-4090
Междисциплинарные исследования, Холландер	597-2552
Международное образование и учеба, Хопкинс-холл	597-4262	597-3507 факс
Инвестиционный офис, Хопкинс Холл	597-4447
Бостонский офис	617-502-2400	617-426-5784 факс
Еврейские исследования, Мазер	597-3539
Справедливость и закон, Холландер	597-2102
Latina / o Studies, Hollander	597-2242	597-4222 факс
Исследования лидерства, Шапиро	597-2074	597-4620 факс
Морские исследования, Бронфман	597-2297
Математика и статистика, Bascom	597-2438	597-4061 факс
Музыка, Бернхард	597-2127	597-3100 факс
Concertline (записанная информация)	597-3146
Неврология, Thompson Biology	597-4107	597-2085 факс
Окли Центр, Окли	597-2177	597-4126 факс
Управление институционального разнообразия и справедливости, Хопкинс-холл	597-4376	597-4015 факс
Управление счетов студентов, Хопкинс-холл	597-4396	597-4404 факс
Performance Studies, ’62 Center	597-4366
Философия, Шапиро	597-2074	597-4620 факс
Физика, Thompson Physics	597-2482	597-4116 факс
Планетарий / Обсерватория Хопкинса	597-3030
Театр Old Hopkins Observatory	597-4828
Бронирование	597-2188
Политическая экономия, Шапиро	597-2327
Политология, Шапиро	597-2168	597-4194 факс
Офис президента, Хопкинс-холл	597-4233	597-4015 факс
Дом Президента	597-2388	597-4848 факс
Услуги печати / почты для преподавателей / сотрудников, ’37 House	597-2022
Программа обучения, Бронфман	597-4522	597-2085 факс
Офис Провоста, Хопкинс Холл	597-4352	597-3553 факс
Психология, психологические кабинеты и лаборатории	597-2441	597-2085 факс
Недвижимость, B&L Building	597-2195 / 4238	597-5031 факс
Ипотека для преподавателей / сотрудников	597-4238
Арендное жилье для преподавателей / сотрудников	597-2195
Офис регистратора, Хопкинс Холл	597-4286	597-4010 факс
Религия, Холландер	597-2076	597-4222 факс
Romance Languages, Hollander	597-2391	597-3028 факс
Планировщик помещений	597-2555
Соответствие требованиям безопасности и охраны окружающей среды, класс ’37 Дом	597-3003
Библиотека Сойера, Сойер	597-2501	597-4106 факс
Службы доступа	597-2501
Приобретения / Серийные номера	597-2506
Каталогизация / Службы метаданных	597-2507
Межбиблиотечный абонемент	597-2005	597-2478 факс
Исследовательские и справочные службы	597-2515
Стеллаж	597-4955	597-4948 факс
Системы	597-2084
Научная библиотека Шоу, Научный центр	597-4500	597-4600 факс
Исследования в области науки и технологий, Бронфман	597-2239
Научный центр, Бронфман		597-4116 факс
Магазин электроники	597-2205
Машинно-модельный цех	597-2230
Безопасность	597-4444
Специальные академические программы, Харди	597-3747	597-4530 факс
Sports Information, Hopkins Hall	597-4982	597-4158 факс
Студенческая жизнь, Парески	597-4747
Планировщик помещений	597-2555
Управление студенческими центрами	597-4191
Организация студенческих мероприятий	597-2546
Студенческий дом, Парески	597-2555
Участие студентов	597-4749
Программы проживания для старших классов	597-4625
Студенческая почта, Паресский почтовый кабинет	597-2150
Устойчивое развитие / Центр Зилха, Харпер	597-4462
Коммутатор, Хопкинс Холл	597-3131
Книжный магазин Уильямса	458-8071	458-0249 факс
Театр, 62 Центр	597-2342	597-4170 факс
Trust & Estate Administration, Sears House	597-4259
Учебники	597-2580
VP for Campus Life, Hopkins Hall	597-2044	597-3996 факс
Вице-президент по связям с колледжем, Мирс	597-4057	597-4178 факс
Вице-президент по финансам и администрированию, Hopkins Hall	597-4421	597-4192 факс
Центр визуальных ресурсов, Лоуренс	597-2015	597-3498 факс
Детский центр Williams College, Детский центр Williams	597-4008	597-4889 факс
Музей искусств колледжа Уильямс (WCMA), Лоуренс	597-2429	597-5000 факс
Подготовка музея	597-2426
Служба безопасности музея	597-2376
Музейный магазин	597-3233
Уильямс Интернэшнл	597-2161
Williams Outing Club, Парески	597-2317
Оборудование / стол для студентов	597-4784
Проект Уильямса по экономике высшего образования, Мирс-Вест	597-2192
Williams Record, Парески	597-2400	597-2450 факс
Программа Уильямса-Эксетера в Оксфорде, Оксфордский университет	011-44-1865-512345
Программа Williams-Mystic, Mystic Seaport Museum	860-572-5359	860-572-5329 факс
Исследования женщин, гендера и сексуальности, Schapiro	597-3143	597-4620 факс
Написание программ, Hopkins Hall	597-4615
Центр экологических инициатив «Зилха», Харпер	597-4462

Примечания и учебное пособие по дифференциальным уравнениям | Джонатан Ган

В этом семестре я изучаю дифференциальные уравнения, и это учебное пособие / шпаргалка, которую я пишу, чтобы помочь мне лучше понять свои заметки и помочь всем, кто, возможно, находится в аналогичной лодке.

Учебник:

Первый курс ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ с приложениями для моделирования (11-е издание)

Школа:

Политехнический университет Флориды

Примечание: Я постараюсь не использовать язык учебника везде, где это возможно, но я буду включать определение книги в какой-то форме, чтобы я мог уточнить, что означает определение книги.

Предварительные требования:

Навыки Calc 2, такие как

• Логарифмы и их свойства
• Завершить квадрат
• Разложение на частичную дробь

i.Введение

ii. Экзамен 1

iii. Итоги экзамена 1

iv. Экзамен 2

v. Итоги экзамена 2

vi. Экзамен 3

vii. Итоги экзамена 3

viii. Заключительный экзамен

ix. Заключение

Вот краткое видео / Введение в тему

Определение книги:

«Уравнение, содержащее производные одной или нескольких неизвестных функций (или зависимых переменных) по одной или нескольким независимым переменным, называется быть дифференциальным уравнением (ДУ).

Видео выше подробно описывает, что означает это определение, но в основном:

Дифференциальные уравнения — это уравнения, написанные для выражения реальных жизненных проблем, в которых все меняется, а «решения» этих уравнений сами по себе являются уравнениями. Мы используем математику для представления сценариев реальной жизни, обычно имея в виду скорость изменения.

т.е. ударов в минуту (уд ​​/ мин), метров в секунду (м / с) или что-то еще, что не является точным конечным значением, а скорее изменяющимся значением.

Теперь цель этого класса — найти исходную функцию, которая имеет производную от той, которая содержится в приведенном вам уравнении.

Это может показаться сложным, но этот класс обычно берется после исчисления 2, и это означает, что я предполагаю, что вы имеете простое понимание производных и интегралов.

т.е.

Вам дано:

d / dx (x²) = 2x

, и ваша задача — найти:

интеграл (2x)

, что составляет x² + c

Если ваш ответ по-прежнему является функцией, но это очень простое вычисление, я вернусь и напишу статью по исчислению 2 и 3 позже, но пока это все, что вам нужно знать.

Теперь уравнения, которые вы задаете в задачах дифференциальных уравнений, будут включать 1 или более производных многих неизвестных функций, как определено ниже как ODE , но в конечном итоге вы будете выполнять дифференциальные уравнения с частными производными ( PDE) из Calc 3 ( Подробнее об этом позже)

1. Если дифференциальное уравнение содержит только обыкновенные производные одной или нескольких неизвестных функций по одной независимой переменной, оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ODE)

2. 𝑥 -1

в качестве нашего решения, а не семейство функций в качестве решения ( Общее решение)

Мы не знали этого, не зная начального условия, но именно так мы будем решать для значения C при начальном условии, но в противном случае мы просто ищем общее решение.

И это только при наличии одной производной, что означает, что уравнение имеет первый порядок.

Количество имеющихся у вас производных относится к Порядку уравнения (уравнения со вторыми производными считаются второго порядка, уравнения с третьей производной — третьего порядка и т. Д.)

для каждого дополнительная производная в вашей задаче, вы получите дополнительное значение C, которое можно обозначить

C₁ + C₂… Cₓ

x — порядок производной, взятой для этого значения

Эти значения необходимы для точности, но в конечном итоге могут быть объединены позже так что просто убедитесь, что вы никогда не забудете свой + C

. Мы рассмотрим подробные примеры, но пока это основная теория, лежащая в основе уравнений, которая может помочь, поскольку сначала она может быть немного сложной или неясной, но мы доберемся до нее.

Разделы с 1.1 по 4.2

Наш профессор тестирует нас по главам с 1 по 3, раздел 1 (3.1)

Вот заметки, которые мы рассмотрели по пройденным главам (не пропущены)

Этот первый экзамен будет на ODE любого типа с использованием различных описанных методов, поэтому я рассмотрю каждый из методов и когда они будут использоваться для решения ODE

Дифференциальных уравнений второго порядка

Во многих ситуациях моделирования реальной жизни дифференциальное уравнение для интересующая переменная зависит не только от первой производной, но и от более высоких производных.Естественно, что тогда дифференциальные уравнения более высокого порядка возникают на экзаменах STEP и других экзаменах по продвинутой математике. Для чего-либо, кроме второй производной, вопрос почти наверняка проведет вас через некоторые конкретные
уловка очень специфична для рассматриваемой проблемы. {\ lambda t} \).{rt} (A \ cos st + B \ sin st). \)

Итак, эти три формулы, которые мы получили, — это все, что нам действительно нужно запомнить! Для любого однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами мы просто переходим к вспомогательному уравнению, находим наше (\ lambda \), записываем подразумеваемое решение для \ (y \), а затем используем начальные условия, чтобы помочь нам найти константы, если обязательный.

Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Одно расширение к вышесказанному, которое мы должны решить, — это случай, когда RHS в нашем DE не равен нулю, т.е.2} + b \ frac {dy_p} {dt} + cy_p = f (t). \)

Может показаться, что мы сделали вещи бесконечно сложнее, но на самом деле это не так. Теперь должно быть ясно, что \ (y_c \) находится из однородного случая, который мы рассмотрели выше; так что все, что нам нужно, чтобы найти это наше вспомогательное уравнение. Для \ (y_p \) мы снова используем угадывание решения, но наше точное предположение зависит от f. {n-1} +… + Z \) \ (\ cos \ alpha t \) или \ (\ sin \ alpha t \) \ (P \ cos \ alpha t + Q \ sin \ alpha t \)

Чтобы найти константы, представленные в \ (y_p \) выше, нам просто нужно дважды дифференцировать и подставить в его дифференциальное уравнение. Наконец, вооружившись \ (y_c \) и \ (y_p \), у нас есть общее решение для \ (y \), и мы можем использовать начальные условия, чтобы найти константы в \ (y_c \), если нам потребуется.

Пример

Чтобы поместить все это в контекст, давайте сами рассмотрим особенно сложный случай.2- \ frac {4} {5} t + \ frac {58} {25}. \)

Сводка

Теперь вы увидели почти все, что вам может понадобиться, чтобы подготовиться к тому, чтобы самому приступить к выполнению нескольких вопросов по дифференциальному уравнению для экзаменов по STEP и другим экзаменам по продвинутой математике.

Дифференциальные уравнения — Основы. Обзор заказов и стандартные обозначения | Хесус Нахера

В красивой ветви дифференциальных уравнений (DFQ) существует множество, множество известных типов дифференциальных уравнений.Фактически, один из лучших способов углубить понимание DFQ — это сначала заняться базовой системой классификации. Почему? Потому что вы, скорее всего, никогда не столкнетесь с совершенно чужим DFQ. Большинство DFQ уже решены, поэтому весьма вероятно, что применимое обобщенное решение уже существует.

Помимо описания свойств самого уравнения, реальная добавленная стоимость при классификации и идентификации дифференциалов происходит от предоставления карты точек перехода. Уловка для решения дифференциальных уравнений — это , а не для создания оригинальных методов, а для классификации и применения проверенных решений; иногда могут потребоваться шаги для преобразования уравнения одного типа в эквивалентное уравнение другого типа, чтобы прийти к реализуемому обобщенному решению.

Несмотря на то, что существуют сотни дополнительных категорий и подкатегорий, для описания DFQ используются следующие четыре свойств:

• Обычные и частичные
• Линейные и нелинейные
• Однородные и неоднородные
• Дифференциальный порядок

Хотя этот список ни в коем случае не является исчерпывающим, это отличная отправная точка, которая обычно рассматривается в первые несколько недель семестрового курса DFQ; быстро просмотрев каждую из этих классификационных категорий, мы будем хорошо вооружены базовым стартовым набором для решения распространенных вопросов DFQ.

Первая, наиболее распространенная классификация DFQ, обнаруженных в дикой природе, происходит от типа производного , обнаруженного в рассматриваемом вопросе; просто, содержит ли уравнение какие-либо частные производные ?

Если нет, то это обыкновенное дифференциальное уравнение ( ODE ). Если да, то это уравнение в частных производных ( PDE )

ODE включают одну независимую переменную с дифференциалами, основанными на этой единственной переменной .Обыкновенное дифференциальное уравнение (или ОДУ) имеет дискретный (конечный) набор переменных; они часто моделируют одномерные динамические системы, такие как колебания маятника во времени.

УЧП, с другой стороны, довольно сложны, поскольку они обычно включают более одной независимой переменной с несколькими частными дифференциалами, которые могут быть основаны или не основаны на одной из известных независимых переменных. PDE чрезвычайно популярны в STEM, потому что они, как известно, используются для описания широкого спектра явлений в природе, таких как тепло, поток жидкости или электродинамика.Эти, казалось бы, различные физические явления формализованы как PDE; они находят свое обобщение в стохастических уравнениях в частных производных.

Ниже приведены несколько примеров, которые помогут определить тип производной, которую содержит уравнение DFQ:

Первоначально опубликовано на https://www.setzeus.com/

Это второе общее свойство, линейность , является двоичным и простым: переменные и производные в уравнении, умноженные на константы и только константы?

Если да, то это линейный DFQ.В противном случае это считается нелинейным. Переменные и их производные должны всегда отображаться как простая первая степень. Учитывая их врожденную простоту, теория решения линейных уравнений хорошо разработана; вероятно, вы уже сталкивались с ними в Physics 101.

Тем не менее, для ясности стоит рассмотреть несколько примеров — ниже приведена таблица определения линейности в DFQ:

Первоначально опубликовано на https://www.setzeus.com /

Третий способ классификации дифференциальных уравнений, DFQ считается однородным , если и только если все члены , разделенные оператором сложения или вычитания, включают зависимую переменную ; в противном случае он неоднороден.Простой способ проверить это свойство — переместить все термины, которые включают зависимую переменную, в левую часть знака равенства. Если правая часть не равна нулю, она неоднородна.

Далее следует более формальное определение. См. Определение дифференциального уравнения, представленного следующей диаграммой слева:

DFQ считается однородным, если правая часть диаграммы, g (x), равна нулю. Вот несколько примеров:

Первоначально опубликовано на https: // www.setzeus.com/

В реальных сценариях g (x) обычно соответствует условию форсирования в динамической физической модели. Например, в моторизованном маятнике это будет двигатель, который приводит в движение маятник и, следовательно, приведет к g (x)! = 0.

Последняя из основных классификаций, это, безусловно, свойство, которое вы определили в Необходимые разделы математики: порядок дифференциального уравнения. В отличие от описания порядка наивысшей n-й степени, как это делается в многочленах, для дифференциалов порядок функции равен наивысшей производной в уравнении.Самый простой:

Первоначально опубликовано на https://www.setzeus.com/

И вот мы! Четыре наиболее распространенных свойства, используемых для идентификации и классификации дифференциальных уравнений. Как вы, вероятно, уже заметили, путь вниз по переулку DFQ похож на путь ботаники; Когда вы впервые изучаете дифференциальные уравнения, полезно научиться определять и классифицировать DFQ в их соответствующую группу. После обнаружения высока вероятность того, что вы находитесь далеко от поиска в Google и не сможете найти общие применимые решения.

По общему признанию, мы подготовили почву для глубокого исследования ведущей отрасли, стоящей за каждой областью STEM; для полного перехода к решениям начните с исследования более простых установок, таких как однородное ODE первого порядка!

Первоначально опубликовано

https://www.setzeus.com/

Источники

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения — краткий курс

Что нужно знать для изучения расчетов

Дифференциальные уравнения первого порядка — это уравнения, содержащие неизвестную функцию и ее первую производную.Основная цель этой обзорной статьи Calculus III — обсудить свойства решений дифференциальных уравнений первого порядка и описать некоторые эффективные методы поиска решений.

Стандартная форма

Стандартная форма дифференциального уравнения первого порядка для неизвестной функции y (t): dfrac {dy} {dt} = f (t, y)

Здесь f — некоторая функция двух переменных. Многие, но не все, дифференциальные уравнения первого порядка могут быть записаны в стандартной форме, алгебраически решая для dfrac {dy} {dt} и затем устанавливая f (t, y) равным правой части полученного уравнения.

Любая дифференцируемая функция y = y (t), удовлетворяющая этому уравнению для всех t в некотором интервале, называется решением. Некоторые дифференциальные уравнения не имеют решений, тогда как другие дифференциальные уравнения имеют бесконечно много решений. Также возможно, что дифференциальное уравнение имеет ровно одно решение. Общее решение дифференциального уравнения — это совокупность всех решений. Дифференциальное уравнение вместе с дополнительным условием y (t_0) = y_0, заданным при некотором значении независимой переменной t = t_0, составляет проблему начального значения.Решением задачи начального значения является функция y (t), которая одновременно решает дифференциальное уравнение и удовлетворяет заданному дополнительному условию y (t_0) = y_0.

Уравнения с разделяемыми переменными

Не существует универсальной процедуры для решения дифференциальных уравнений первого порядка в стандартной форме с произвольным f (t, y). Здесь мы рассматриваем подмножество уравнений первого порядка, которые можно напрямую интегрировать.

Это возможно, если функция

ф (т, у)

можно представить в виде

f (t, y) = g (t) h (y)

Здесь g является функцией только t, а h является функцией только y.Дифференциальное уравнение

dfrac {dy} {dt} = g (t) h (y)

называется отделимым. Мы можем записать его в дифференциальной форме

dfrac {dy} {h (y)} — g (t) dt = 0

Общее решение этого уравнения дается следующим интегралом:

int dfrac {dy} {h (y)} — int g (t) dt = C

Здесь C представляет произвольную постоянную интегрирования. Интегралы, полученные в этом выражении, могут оказаться невозможными. В таком случае можно использовать численные методы для получения приближенного решения.2 = грех t + 1

Однородные уравнения

Дифференциальное уравнение в стандартной форме

dfrac {dy} {dt} = f (t, y)

является однородным, если

f (альфа t, альфа y) = f (t, y)

для любого действительного числа альфа.

Такое уравнение всегда можно преобразовать в разделимое уравнение заменой независимой переменной

у = т, г

вместе с соответствующей производной:

dfrac {dy} {dt} = t, dfrac {dz} {dt} + z

Полученное уравнение с переменными z и t

может быть решено как разделимое дифференциальное уравнение, поскольку функция f

после такой замены оказывается функцией с единственной переменной z.

Проиллюстрируем этот метод на примерах.

Пример 1

Рассмотрим уравнение:

dfrac {dy} {dt} = dfrac {y + t} {t}

Сначала проверяем условие однородности:

f (альфа t, альфа y) = dfrac {alpha y + alpha t} {alpha t} = dfrac {y + t} {t} = f (t, y)

Во-вторых, мы вводим новую зависимую переменную

.

z, так что z = y / t:

dfrac {dy} {dt} = t, dfrac {dz} {dt} + z = z + 1

Уравнение

т, dfrac {dz} {dt} = 1

— дифференциальное уравнение первого порядка с разделяемыми переменными, которое можно напрямую интегрировать:

z = ln | Kt |

Здесь мы установили постоянную интегрирования

C = -, ln | K | ,

и отметили, что

ln | t | + ln | K | = ln | Kt | .2

Линейные уравнения с переменными коэффициентами

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка в стандартной форме:

dfrac {dy} {dt} = f (t, y).

Дифференциальное уравнение линейно, если f (t, y)

можно записать как функцию t умножить на y,

плюс еще одна функция

т: f (t, y) = -, p (t) y + q (t).

Следовательно, линейное дифференциальное уравнение всегда можно выразить как:

dfrac {dy} {dt} + p (t) y = q (t)

Здесь p и q

заданы функции независимой переменной t.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка не могут быть решены прямыми методами интегрирования, потому что переменные не разделимы. В результате нам необходимо использовать другой метод решения. Первый шаг — умножить линейное дифференциальное уравнение на неопределенную функцию mu (t):

.

mu (t), dfrac {dy} {dt} + mu (t) p (t) y = mu (t) q (t)

Теперь вопрос состоит в том, можем ли мы выбрать mu (t) так, чтобы левая часть этого уравнения была узнаваемой как производная некоторого конкретного выражения.Отметим следующие равенства:

dfrac {d} {dt} [mu (t) y] = mu (t) dfrac {dy} {dt} + dfrac {dmu (t)} {dt}, y = mu (t), dfrac {dy} {dt} + mu (t) p (t) y

Здесь второе равенство верно при условии, что mu (t) удовлетворяет уравнению:

dfrac {dmu (t)} {dt} = p (t) mu (t)

Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяемыми переменными, которые можно напрямую интегрировать:

int dfrac {dmu} {mu} — int p (t) dt = 0

Если временно предположить, что mu (t) положительно, то получим:

lnmu (t) = int p (t) dt + К

Выбирая произвольную константу K равной нулю, мы получаем простейшую возможную функцию для mu. А именно:

mu (t) = expleft (int p (t) dtright)

Обратите внимание, что интегрирующий коэффициент mu (t)

положительно для всех t,

, как мы и предполагали. Возвращаясь к линейному дифференциальному уравнению, имеем:

dfrac {d} {dt} [mu (t) y] = mu (t) q (t)

Следовательно, общее решение:

y = dfrac {int mu (s) q (s) ds + C} {mu (t)}

Обратите внимание, что для нахождения решения линейного дифференциального уравнения требуются два интегрирования: одно для получения интегрирующего множителя mu (t), а другое — для получения y.5}}

Точные уравнения и интегрирующие множители

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение первого порядка:

м (t, y) + n (t, y), dfrac {dy} {dt} = 0

Мы предполагаем, что он не является ни линейным, ни разделимым, поэтому методы, подходящие для этих типов уравнений, здесь не применимы. Но предположим, что мы можем идентифицировать функцию Psi (t, y) такую, что:

dfrac {частичный Psi} {частичный t} = m (t, y) ,, qquad dfrac {частичный Psi} {частичный y} = n (t, y)

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид:

m (t, y) + n (t, y), dfrac {dy} {dt} = dfrac {частичный Psi} {частичный t} + dfrac {частичный Psi} {частичный y}, dfrac {dy} {dt} = dfrac {d} {dt}, Psi [t, y (t)] = 0

Такое дифференциальное уравнение называется точным уравнением.Решение точного уравнения дается неявно

фунтов на квадратный дюйм (t, y) = C,

где, как обычно, C

представляет собой произвольную константу.

Систематический способ определения точности данного дифференциального уравнения обеспечивается с помощью следующего теста. Если m (t, y) и n (t, y) — непрерывные функции, то дифференциальное уравнение первого порядка вида:

м (t, y) + n (t, y), dfrac {dy} {dt} = 0

является точным тогда и только тогда, когда:

dfrac {partial m (t, y)} {partial y} = dfrac {partial n (t, y)} {partial t}

В некоторых случаях неточное дифференциальное уравнение можно преобразовать в точное уравнение.Такое преобразование возможно, если мы умножим уравнение на подходящий интегрирующий коэффициент. Чтобы исследовать возможность реализации этой идеи в более общем плане, давайте умножим уравнение на функцию mu, а затем попробуем выбрать mu так, чтобы полученное уравнение:

mu (t, y) m (t, y) + mu (t, y) n (t, y), dfrac {dy} {dt} = 0

проходит проверку на точность:

dfrac {частичный} {частичный y} [мкм] = dfrac {частичный} {частичный t} [mu n]

Хотя в принципе интегрирующие множители являются мощным инструментом для решения дифференциальных уравнений, на практике их можно найти только в особых случаях.Наиболее важная ситуация, в которой можно найти интегрирующие факторы, возникает, когда mu является функцией только одной из переменных t или y, а не обеих. Предполагая, что mu является функцией только t, мы имеем:

dfrac {dmu} {dt} = g mu ,, qquad g = dfrac {1} {n} left (dfrac {partial m} {partial y} — dfrac {partial n} {partial t} right)

Если g является функцией только t, то интегрирующий коэффициент mu можно определить как:

mu (t) = expleft (int g (t) dtright)

Аналогичную процедуру можно использовать для определения условия, при котором дифференциальное уравнение имеет интегрирующий коэффициент, зависящий только от y.2 = С

Завершение всего

В этой обзорной статье исчисления III мы исследовали различные типы дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть приняты. Теперь вы сможете определить тип дифференциального уравнения, а затем применить правильный метод его решения. Мы надеемся, что этот пост придаст вам больше уверенности в своих знаниях дифференциальных уравнений первого порядка и облегчит ваше изучение Calculus III.