Задание №13. Уравнения — профильный ЕГЭ по математике

Задание 13 Профильного ЕГЭ по математике – это решение уравнений. Чаще всего, конечно, это тригонометрические уравнения. Но встречаются и другие типы – показательные, логарифмические, комбинированные.

Сейчас задание 13 Профильного ЕГЭ на решение уравнения состоят из двух пунктов: собственно решения и отбора корней на определенном отрезке.

Что нужно знать, чтобы справиться с этой задачей на ЕГЭ? Вот необходимые темы для повторения.

^New Задачи из сборников Ященко, 2021 год

Квадратные уравнения

Показательные уравнения

Логарифмические уравнения

Модуль числа

Уравнения с модулем

Тригонометрический круг

Формулы тригонометрии

Формулы приведения

Простейшие тригонометрические уравнения 1

Простейшие тригонометрические уравнения 2

Тригонометрические уравнения

Что необходимо помнить при решении уравнений?

1) Помним про область допустимых значений уравнения! Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы или арксинусы с арккосинусами — сразу записываем ОДЗ. А найдя корни, проверяем, входят они в эту область или нет. Есть в уравнении есть — помним, что он существует, только если

2) Стараемся записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

3) Если есть возможность сделать замену переменной — делаем замену переменной! Уравнение сразу станет проще.

4) Если еще не выучили формулы тригонометрии — пора это сделать! Много формул не нужно. Самое главное — тригонометрический круг, формулы синусов и косинусов двойных углов, синусов и косинусов суммы (разности), понижения степени. Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо знать, как они получаются.

5) Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка . От нее и будем отсчитывать. Получим:

6) Получив ответ, проверьте его правильность. Просто подставьте найденные решения в исходное уравнение!

Давайте потренируемся.

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Упростим левую часть по формуле приведения.

Вынесем за скобки. Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Видим, что указанному отрезку принадлежат решения

Ответ:

Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка От нее и отсчитываем.

Получим:

2. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Это уравнение — комбинированное. Кроме тригонометрии, применяем свойства степеней.

а)

Степени равны, их основания равны. Значит, равны и показатели.

Это ответ в пункте (а).

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку

Отметим на тригонометрическом круге отрезок и найденные серии решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки и из серии

Точки серии не входят в указанный отрезок.

А из серии в указанный отрезок входит точка

Ответ в пункте (б):

3. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а)

Применим формулу косинуса двойного угла:

Перенесем всё в левую часть уравнения и разложим по формуле разности квадратов.

Обратите внимание: мы отметили серии решений на тригонометрическом круге. Это помогло нам увидеть, как их записать одной формулой.

б) Для разнообразия отберем корни на отрезке с помощью двойного неравенства.

Сначала серия

Теперь серия

Ответ: .

Какой способ отбора корней лучше — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства? У каждого из них есть «плюсы» и «минусы».

Пользуясь тригонометрическим кругом, вы не ошибетесь. Вы видите и интервал, и сами серии решений. Это наглядный способ.

Зато, если интервал больше, чем один круг, удобнее отбирать корни с помощью двойного неравенства. Например, надо найти корни из серии на отрезке Это больше 10 кругов! Конечно, в таком случае лучше решить двойное неравенство.

4. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Самое сложное здесь — область допустимых значений (ОДЗ). Условие заметно сразу. А условие появляется, поскольку в уравнении есть

ОДЗ:

Уравнение равносильно системе:

Отберем решения с помощью тригонометрического круга. Нам нужны те серии решений, для которых , то есть те, что соответствуют точкам справа от оси .

Ответ в пункте а)

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Как обычно, ориентируемся на начало круга. Видим, что указанному промежутку принадлежат точки

и

5. а) Решите уравнение

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Это значит, что уравнение равносильно системе:

Решим эту систему с помощью тригонометрического круга. Отметим на нем углы, для которых или . Заметим, что среди них находятся и углы, для которых

Числа серии не могут быть корнями исходного уравнения, т. к. для этих чисел не выполнено условие . Остальные серии решений нас устраивают.

Тогда в ответ в пункте (а) войдут серии решений:

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку любым способом — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства.

На отрезке нам подходит корень .

На отрезке нам подходят корни .

На отрезке — корни

Ответ в пункте б):

Как решить уравнение по математике (с помощью искусственного интеллекта). В помощь учащимся: иксы, косинусы и пр.

Доброго времени!

Да… ребята! Мы сейчас входим в такую эру, когда типовые задачки, уже ранее решенные другими людьми — будут щелкаться искусственным интеллектом на раз-два… 👌

Например, возникли у вас трудности с решением мат. уравнения (с иксами, косинусами, логарифмами и прочими производными) — достаточно установить спец. приложение и сфотографировать данное уравнение.

Далее искусственный интеллект его проанализирует и выдаст вам правильное решение (да еще и построит график, если нужно)! Это просто мечта любого учащегося (и 10-20 лет назад это себе и представить нельзя было. ..).

Собственно, в этой заметке покажу вам как это все можно реализовать… ✌

*

Содержание статьи

Решение уравнений по математике, постройка графиков

ШАГ 1: приготовления или установка спец. приложения

Для работы в первую очередь нам понадобиться относительно современный смартфон и приложение Math Solver (от Microsoft!). Не перепутайте, схожих по названию приложений достаточно много!

👉 Math Solver (Ссылка на Google Play)

Это приложение от Microsoft, призванное помочь в решении математических уравнений. Важно сразу отметить: что оно рассчитано на новичков (и людей ничего не понимающих в математике).

Всё, что от вас потребуется — это сфотографировать на телефон непонятную для вас формулу. Дальше приложение рассчитает ее автоматически.

Впрочем, есть возможность ручного ввода уравнения…

Внешний вид окна Math Solver

Обратите внимание, что Math Solver может решать как самые простейшие арифметические действия, так и довольно сложные системы уравнений (с синусами, косинусами, логарифмами, производными, интегралами и т. д.). 👇

Какие уравнения может решать Math Solver

Примечание: для фотографирования формул у вас на смартфоне должна быть достаточно качественная камера (не менее 10 Мегапикселей!). Иначе, есть риск, что приложение просто не сможет разобрать, что у вас там на снимке…

*

ШАГ 2: вводим данные и получаем решение

Способ 1: с помощью фотографирования

И так, для первого теста я взял самое простое уравнение, написанное на клочке бумаге. После запуска программы — появился небольшой «прямоугольник», в который нужно сфотографировать наш пример.

Фотографируем бумажку с уравнением

Далее приложение автоматически распознает с фотографии написанное и сразу же предлагает решение (см. пример ниже 👇).

Ответ найден

Кстати, что еще более подкупает — можно посмотреть не только ответ, а подробное пошаговое решение! 👇

Подробное решение

Добавлю, что такие простые задачки — Math Solver щелкает как орешки. Как правило, никаких проблем не возникает!

Способ 2: вручную рисуем (пишем) формулу

Решил я для теста несколько усложнить задачу и «нарисовал» на экране отличную от вышеприведенной формулу… (это Match Solver также допускает — т.е. приложение хорошо распознает даже рукописный текст!).

Нарисовал формулу пальцем! Math Solver

После, Math Solver представил вариант решения (действий уже несколько больше, но всё-таки…).

Комплексное решение найдено!

Подробное пошаговое решение уравнения

Кстати, график уравнения также представлен (строится автоматически).

Построен автоматически график функции

*

Полевые условия: учебник математики

После всего вышеприведенного, решил я пробежаться по старым учебникам математики. Как приложение справится с ними…?

На удивление, больше 90% уравнение легко решаются практически в лёт! Достаточно выделить в прямоугольник нужную формулу и сфотографировать ее.

Пример из учебника

После в авто-режиме и решение и график.

Ответ программы

Если сравнить с ответом в учебнике — как правило всё совпадает! 👌

Ответ из учебника (для сравнения)

*

Единственное: иногда приложение неправильно читает дроби, знаки плюса, минуса, равно (прим.: когда бумага поистирается, некоторые символы становятся трудно-читаемыми). В этом случае уравнение нужно аккуратно переписать вручную на листок бумаги и уже с него фотографировать… 👌

*

Дополнение (20.04.2021): в браузер Edge была встроена функция Math Solver

Относительно недавно в браузер Edge (он встроен в Windows 10) была добавлена функция Math Solver! Теперь можно, не выходя из браузера, решать любые* уравнения, которые вам попадаются (в том числе и на картинках).

Покажу на примере, как ее включить, и как пользоваться…👇

*

1) Итак, сначала запускаем браузер Edge. У кого его нет — можно скачать отсюда (ссылка на офиц. сайт).

Windows 10 — Edge

2) Далее в адресной строке набираем edge://flags/ — с помощью поиска нужно найти функцию «Math Solver in…», перевести ее в режим «Enabled» (т.е. включена) и перезагрузить браузер.

Включаем функцию для решения уравнений

3) После необходимо набрать в адресной строке edge://settings/appearance — и разрешить отображение кнопки для решения уравнений. 👇

Отображать кнопку решения математических задач

4) Всё! Теперь находим уравнение, которое нужно решить, и:

• нажимаем по кнопке «Решение…» на панели задач браузера;
• выделяем нужное уравнение;
• нажимаем на кнопку «Решить»;
• Ждем… (5-10 сек. в среднем).

Выбираем задачку

5) На выходе получаем и ответ, и пошаговые действия (для его нахождения), и графики и пр. штуки. Удобно?! 😉

Решение (пример)

*

Дополнения по теме приветствуются. ..

Удачи!

👋

Первая публикация: 15.02.2020

Корректировка: 20.04.2021

Полезный софт:

• Видео-Монтаж

Отличное ПО для создания своих первых видеороликов (все действия идут по шагам!).
Видео сделает даже новичок!

• Ускоритель компьютера

Программа для очистки Windows от «мусора» (удаляет временные файлы, ускоряет систему, оптимизирует реестр).

Другие записи:

Решение уравнений

— Добрый день, мои дорогие друзья! Сегодня мы с вами будем
учиться решать уравнения.

А
что же такое уравнение?

Помните,
в первом классе вы решали примеры, в которых были пропущены числа?

Для
того, чтобы вставить число в таких примерах, надо было вспомнить состав чисел в
пределах 10.

А
теперь вместо окошечек вы будете записывать буквы латинского алфавита:

Эти
буквы сейчас используют в английском, немецком, французском и многих других
языках. Вот посмотрите, как будут выглядеть наши примеры, в которых вместо
окошек появились латинские буквы:

И
называются они теперь — уравнения. Вы спросите, почему их так назвали?
Да потому, что вместо буквы надо подставить такое число, чтобы уравнять левую и
правую части выражения.

Уравнение
— это математическое равенство, которое содержит неизвестное число. Но каждая
ли запись, в которое есть неизвестное число является уравнением?

Давайте
среди приведённых записей найдём уравнение:

Первая
запись — это равенство, но в нём нет букв латинского алфавита. Значит
это не уравнение.

Вторая
запись. Конечно, и эта запись не будет являться уравнением, ведь это неравенство.

Следующая
запись. Это равенство и оно содержит латинскую букву. Значит, эту запись мы
назовём уравнением.

И
ещё одна запись. Конечно это не уравнение, ведь эта запись не является
равенством.

Итак,
среди приведённых записей уравнением является третья запись. Давайте попробуем
его решить.

А
что значит «решить уравнение»?

Решить
уравнение — значит, найти такое числовое значение
неизвестного, при котором равенство будет верным.

В
математике говорят так: «решить уравнение — значит найти корень
уравнения». Корень уравнения — это то число, которое можно подставить
вместо буквы.

Те
уравнения с окошечками, которые были в первом классе, решать было легко. Выучил
состав чисел в пределах 10, и подставляй нужное число. А вот если уравнение с
двузначными числами, или с трёхзначными? Тут знание состава однозначных чисел
нам не поможет.

Как
же найти для решения нашего уравнения такое число, при котором получится верное
равенство, т. е. найти корень уравнения?

Конечно,
для того, чтобы найти верный способ решения уравнений, необходимо помнить
правила:

·                  
Чтобы
найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

·                  
Чтобы
найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

·                  
Чтобы
найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Сейчас
попробуем решить наше уравнение 45 + x
= 68.

В
этом уравнении неизвестным является слагаемое. Чтобы найти неизвестное
слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Поэтому
получаем:

Давайте
выполним проверку, уточним, верно ли мы нашли неизвестное число.

Вновь
записываем наше уравнение, но вместо буквы икс пишем число 23:

Слева
и в справа получили одно и тоже число значит, уравнение решено верно.

Как
я уже говорила, для того:

·                  
Чтобы
найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

·                  
Чтобы
найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

·                  
Чтобы
найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

То
есть, надо знать три правила. Но я вам предлагаю ещё один способ выбора
действия при решении уравнений.

Представьте
себе яблоко. Сейчас оно целое. А если мы его разрежем и отодвинем одну часть, у
нас останется вторая часть. Отодвигая, мы выполняли действие вычитание. Значит,
чтобы найти часть, надо выполнить действие вычитание. А теперь давайте вернём
назад нашу часть. У нас опять получилось целое яблоко. Чтобы получить целое
яблоко, мы сложили части. А теперь представим себе это схематически:

Теперь
все наши уравнения мы будем соотносить с полученными схемами.

Вот,
например, такое уравнение:

К
какой схеме оно подходит? Т.к. в нём стоит знак плюс оно подходит к первой
схеме. Теперь мы видим, что в данном уравнении нам надо найти часть. Значит, мы
из целого, суммы,  вычитаем известную часть — слагаемое. Получаем:

Давайте
проверим. Записываем наше уравнение, только вместо буквы запишем полученное
число, получаем:

Ответ:
а = 25.

В
нашем уравнении было неизвестно слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое,
надо из суммы вычесть известное слагаемое. Это мы и сделали.

Решим
ещё одно уравнение:

Посмотрим,
к какой схеме оно подходит. В нём стоит знак минус. Значит ко второй. Теперь мы
видим, что в данном уравнении нам надо найти целое. Вспомним, что целое
находится сложением — складываем части. Получим:

Выполним
проверку:

Уравнение
решено верно, то есть найден корень уравнения. Он равен 46.

В
этом уравнении нам были известны вычитаемое и разность. Неизвестно уменьшаемое.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое. Что
мы и сделали.

Ну
и давайте решим ещё одно уравнение:

В
этом уравнении, как и в предыдущем также выполняется вычитание. Но здесь
известно уменьшаемое и разность, а неизвестно вычитаемое. Опять подставляем уравнение
к схеме. Нам надо найти вычитаемое, т.е. часть. А как его найти? Часть всегда
находится вычитанием. Надо из целого, т.е. уменьшаемого вычесть часть, т.е.
разность.

Проверяем:

Получили
верное равенство. Значит, уравнение решено верно, и число 50 является корнем
уравнения. Нам надо было найти неизвестное вычитаемое, и мы из уменьшаемого вычитали
разность.

Уравнения
мы решили, а теперь давайте повторим то, что вы сегодня узнали на уроке.

При
решении уравнений необходимо знать правила:

·                  
Чтобы
найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

·                  
Чтобы
найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

·                  
Чтобы
найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Для
того чтобы безошибочно решать уравнения запомните наши схемы. Они всегда
подскажут вам, какой способ решения уравнений нужно выбрать. Если надо найти целое,
мы выполняем действие сложение. А если часть, то вычитание. А
теперь обратите внимание на алгоритм решения уравнений:

1)
Определить неизвестный компонент (что нужно найти — слагаемое, уменьшаемое или
вычитаемое).

2)
Применить правило нахождения неизвестного:

·                  
Чтобы
найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

·                  
Чтобы
найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

·                  
Чтобы
найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Выполнить
действие и получить корень уравнения.

3)
Выполнить проверку.

Постарайтесь
запомнить все эти правила и тогда вы без труда сможете решать уравнения, т.е.
находить их корни.

А
я прощаюсь с вами и желаю вам в этом успехов при решении уравнений.

Как решить 13 задание ЕГЭ по математике, профильная математика Ростов-на-Дону

Учащиеся,
приступающие к решению заданий повышенной сложности ЕГЭ по
математике, чаще всего берутся за решение первого задания второй
части, задания 13, из-за того, что оно проще остальных как по идейным
соображениям, так и по техническому исполнению. Однако не всем
удаётся избежать ошибок, а это влечёт снижение балла.

На
реальных экзаменах последних лет в задании 13 требуется решить
тригонометрическое уравнение и осуществить отбор корней, попадающих в
заданный промежуток.

Эксперт,
проверяющий выполнение учащимся задание, выставляет баллы в строгом
соответствии с критериями, приведёнными в таблице:

Обращаем
внимание на то, что в критериях нет ни слова о способах решения
задания. Это означает, что выбор способа решения и формы записи
остаётся за учащимся, и не оценивается, оценивается математическая
грамотность, обоснованность и полнота приведённого решения и ответа,
а также отсутствие или наличие вычислительных ошибок.

Полнота
и правильность приведённого решения и ответа определяются:

1.
Выбором метода решения уравнения.

2.
Соответствием выбранному методу верной последовательности всех
необходимых шагов решения.

3.
Обоснованием основных моментов решения уравнения и отбора корней.

4.
Правильным применением формул, выполнением преобразований и
вычислений.

5.
Верным ответом и его соответствием условию задачи.

Что
нужно знать для успешного решения задания 13.

Пример
1. (Задание 13 ЕГЭ 2020 основная волна)

а)
Решите уравнение

б)
Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а)
Так как

то
преобразуем первое слагаемое следующим образом:


(конечно, можно сразу применить формулу понижения степени). Исходное
уравнение примет вид

,

,
откуда

Если


,
то

Если


,
то

=

или

=

то есть

=

или

=

б)
Произведём отбор корней уравнения, принадлежащих отрезку


с помощью неравенств (можно осуществить отбор корней с помощью
единичной окружности).

1.

откуда
k=3,
k
=4.

.

2.


.


,


.
Нет целых n,
удовлетворяющих этому неравенству.

3.

,


,
m=1,

Корни
уравнения
,



принадлежат отрезку

.

Ответ.
а)
;
б)

,


.

Обращаем
внимание на то, что в критериях нет ни слова о способах решения
задания. Это означает, что выбор способа решения и формы записи
остаётся за учащимся, и не оценивается, оценивается математическая
грамотность, обоснованность и полнота приведённого решения и ответа,
а также отсутствие или наличие вычислительных ошибок.

Приведём
пример решения задания 13 учащимся и комментарии эксперта.

Комментарий
эксперта.

В
пункте б) на тригонометрической окружности не установлено
соответствие между обозначенными точками и найденными решениями (на
окружности не отмечена точка

В
соответствии с критериями оценивается в 1 балл.

Пример
2.

а)
Решите уравнение

б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение.
а) Обозначим


Уравнение примет вид t+

или


.

Вернёмся
к исходной переменной.

x=

б)
С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку


.

В
указанном промежутке содержатся три корня

Ответ.
а) x=

РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ТОВАРЫ

Урок математики 2 класс «Закрепление. Решение уравнений» | План-конспект урока по математике (2 класс):

Урок математики во 2 классе

«Закрепление. Решение уравнений»

Варварина О.Н.

Цели урока

 1.Отработка умения применять полученные знания при решении уравнений, задач.

 2. Продолжить работу по решению, составлению, классификации уравнений на основе знаний существенных признаков понятия «уравнение».

 3. Развивать мышление, внимание, грамотную речь учащихся; автоматизировать и корректировать произносительные навыки.                                                                                                                          4. Воспитывать взаимовыручку, умение слушать ответы своих одноклассников.

Планируемые результаты

Предметные:

— знать, что такое «уравнение».

— уметь решать уравнения с помощью подстановки.

— знать названия выражений.

— уметь сравнивать и классифицировать разные выражения.

— уметь вычислять выражения.

— уметь составлять и решать задачи.

 Личностные:

— Способность к самоконтролю и самооценке результатов своей учебной деятельности. Осознание личной ответственности за проделанную работу.                                                                            

— Проявление личностной заинтересованности в приобретении и расширении знаний и способов действий.                                               

— Способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

Метапредметные:

 Познавательные:

— Уметь ориентироваться в своей системе знаний: устанавливать математические отношения между объектами и группами объектов (практически и мысленно).                               

-фиксировать это в устной форме, используя особенности математической речи (точность и краткость).                                                                                                                   — применять полученные знания в измененных условиях.

— Умение использовать различные способы моделирования текстовой задачи.

— Выполнять под руководством учителя действия анализа, синтеза при разборе задачи.

Регулятивные умения:

— Уметь определять тему и формулировать цель на уроке;

— уметь работать по коллективно составленному плану;

— выполнять проверку и корректировку учебного задания;                                                                                                                       — учиться оценивать свою деятельность на уроке                                                                                                  

— учиться оценивать деятельность других учащихся.                                                                

— планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей.                                     

— вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок.                                    

— составлять план выполнения учебных заданий, проговаривая последовательность выполнения действий.                                                                                                       

— оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки.     

— Умение выявлять причины затруднений в собственной деятельности

Коммуникативные умения:

— уметь оформлять свои мысли в устной форме;                                                                                             

— слушать и понимать речь других;                                                                         

— учиться работать в паре,

группе;                                                                                                                        — формулировать собственное мнение и позицию;                                                 

— уметь высказываться, используя математическую терминологию;                                                      

— устанавливать эмоциональный контакт с коллективом.

Ход урока

1.Организационный момент

Громко прозвенел звонок, 
Начинается урок.
Слушаем и повторяем,
Ни минуты не теряем

 Математику, друзья,

 Не любить никак нельзя. 

Очень строгая наука,

 Очень точная наука,

Интересная наука —

Это математика!

2.Актуализация знаний.

Учитель. Сейчас мы узнаем, кто из вас лучший математик.

• Игра «Блиц – опрос»

1.В каком числе 5д. и 3 ед.?  (53)

2.Какое число при счёте стоит между 12 и 14?  (13)

3.Предыдущее числу 40? (39)

4.Последующее  числу 23?  (24)

5.На сколько 15 больше 9?  (на 6)

6.Сколько в 1м- см?  (100см)

                       1дм – см?  (10)

                       1см – мм?  (10)

7.Сколько в 1ч – мин?  (60)

                       1мин – с?  (60)

8.Как называется запись 5+6=11?  (числовое равенство)

9.Как называется запись а-12?  (буквенное выражение)

10.Как называется запись 3+5  (числовое неравенство)

                                          8-х=2?  (уравнение)

11.Длина ломаной равна……(сумме всех её звеньев)

12.Как называются числа при сложении?  (1слагаемое, 2слагаемое, сумма)

13.Как найти 1слагаемое?

14.Как найти 2 слагаемое?

15.Как называется самое большое число при вычитании?  (уменьшаемое)

16.Число, которое вычитают?  (вычитаемое)

17.Результат, ответ при вычитании?  (разность)

18. Как найти уменьшаемое?

19.Как найти вычитаемое?

Учитель. Молодцы. Поднимите руки, кто справился со всеми заданиями.

Оцените себя в листе самооценки.

• Логическая разминка

Задачи. (Слайд 4-8). Последнюю задачу решите с помощью таблицы, поработав в группах. Молодцы. Оцените себя в листе самооценки.

Учитель. Продолжите ряд чисел:

11,15,20,24,29,33,…,…,…,…,…,60. (слайд9)

3. Постановка учебной проблемы

Учитель. Найдите значения выражений. (слайд 10)

32 + 2  =         13 + 20 =        40 – 7  =      53 – 20 =          х + 3 = 33

 Какое выражение лишнее? Как оно называется? (Уравнение).  

• Формулирование темы и целей урока

Значит, что мы будем делать на уроке?

(Решать уравнения).

Тема урока «Закрепление. Решение уравнений».

Чему будем учиться на уроке? (слайд 11,12)

Цели: 

• повторить и закрепить умение решать уравнения, продолжить работу над задачами изученных видов, находить значения выражений удобным способом;
• развивать умение рассуждать, делать выводы.

-Большую часть работы мы посвятим уравнениям, а ещё будем решать задачи.

• Мотивация учебной деятельности

Учитель. Что такое уравнение? (Слайд 13)

«Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестное число».

Что значит  решить уравнение?

«Решить уравнение – значит найти неизвестное число, чтобы равенство было верным». (Слайд 14)

Вспомним, как записывать и решать уравнение. Алгоритм (слайд 15), образец записи в тетради (слайд 16).

4.Работа по теме урока.

• Игра «Составь уравнения» (слайд 17)

Работать будете в парах, у каждого ряда своё задание.

1 ряд (5, 15, х), 2 ряд (7,17,х), 3 ряд (2,12,х)

Составьте и запишите уравнения на листочках

Проверьте вашу работу.

1ряд                        2ряд                          3ряд

15-х=5                    17-х=7                      12-х=2  

х-15=5                     х-7=17                     х-2=12

х-5=15                    х-17=7                      х-12=2

5+х=15                    х+7=17                    х+2=12

х+5=15                    7+х=17                    2+х=12

Учитель. Молодцы. Оцените себя в листе самооценки. А теперь решим любые 3 уравнения. Работать будем у доски.

5.Физкультминутка

А теперь, ребята, встали!

Дружно руки вверх подняли,

В стороны, вперёд, назад,

Повернулись вправо, влево,

Тихо сели, вновь за дело.

6.Самостоятельное применение знаний

Учитель. Поработайте сейчас самостоятельно. Из следующих записей на карточке, выберите уравнения, выпишите и решите их:

40 + х = 42             94 – 4 = 90           20 + х = 30
35 – х                      24 + 3 х – 2

Проверьте свою работу по эталону на доске. (слайд 18, 19) Оцените себя в листе самооценки.

7.Закрепление пройденного.

• Работа по учебнику

Учитель. А сейчас  решим задачу. Откройте учебник с.82 №3 (1), (работа у доски).

1 способ: 15-(5+4)=6(м)

2 способ: 15-4-5=6 (м)

3 способ: 15-5-4=6 (м)

Ответ: 6м ткани осталось у портнихи.

— С.82 №4 самостоятельно.

7+6=13 (л)

Ответ: 13л бензина осталось в двух канистрах.

Учитель. Каким образом можно быстро вычислить значения выражений?

36+18+12=          47+35+3=         24+37+16=         17+38+2=

(Учащиеся решают у доски)

8.Этап рефлексии.

Учитель. Наш урок подходит к концу. Давайте вернёмся к уравнениям и выполним задание в р/т с.56 №91 самостоятельно.

Оцените свою работу на уроке? (Слайд 20)

9.Итог урока:

-Какая тема урока была?

-Какую цель ставили?

-Всё ли получалось?

9. Домашнее задание: с.82 №.7, р/т с.56 №93, правила.

Урок 6. Решение уравнений на нахождение неизвестного вычитаемого

№1

Условие:

8 — 6 = 2
8 — 2 = 6

Закончи вывод. Если из уменьшаемого вычесть разность, получится ….. . Зная это, можно решать уравнения, в которых неизвестным является вычитаемое.

Решение:

Закончи вывод. Если из уменьшаемого вычесть разность, получится вычитаемое.

Советы:

Вставить пропущенное слово

№2

Условие:

Объясни решение уравнения и проверку.

74 — х = 8         Проверка:
х = 74 — 8         74 — 66 = 8
х = 66              8 = 8

Решение:

Для решения уравнения — нахождения неизвестного вычитаемого — надо из уменьшаемого вычесть разность. Получаем х = 66. Для проверки решения подставим найденный «Х» в уравнение вместо неизвестного вычитаемого. Получаем тождество: левая и правая части выражения равны, значит уравнение решено верно.

Советы:

Учимся решать уравнения, в которых неизвестным является вычитаемое.

№3

Условие:

Реши уравнения с объяснением.

36 — х = 20             82 — d = 5              х — 64 = 9  

Решение:

36 — х = 20          Проверка:
х = 36 — 20          36 — 16 = 20
х = 16                 20 = 20

82 — d = 5            Проверка
d = 82 — 5            82 — 77 = 5
d = 77                 5 = 5

х — 64 = 9            Проверка
х = 9 + 64           73 — 64 = 9
х = 73                 9 = 9

Советы:

Для проверки решения подставим найденное значение «Х» в уравнение вместо неизвестного вычитаемого. Получаем тождество: левая и правая части выражения равны, значит уравнение решено верно.

№4

Условие:

Найди значения суммы и разности чисел k и 19 при k = 20, k = 19, k = 40, k = 80.

Решение:

k               20   19    40   80
k + 19        39   38   59   99
k — 19          1    0     21   61

Советы:

Подставь значения k по очереди и сосчитай сумму и разность чисел.

№5

Условие:

2 дм 3 см … 3 дм 2 см                             18 см … 2 дм
1 дм 4 см … 14 см                                   10 дм … 12 см

Решение:

2 дм 3 см < 3 дм 2 см                              18 см < 2 дм
1 дм 4 см = 14 см                                    10 дм > 12 см

Советы:

Расставь правильно знаки: =, < , >

№6

Условие:

Юра нашёл 16 грибов, а Витя — на 6 грибов меньше. Сколько всего грибов нашли мальчики?

Решение:

1) 16 — 6 = 10 (г.) — нашёл Витя
2) 16 + 10 = 26 (г.) — всего нашли мальчики
Ответ: мальчики нашли всего 26 грибов.

Советы:

Сосчитай сколько нашёл грибов Витя. Затем, сколько всего грибов нашли мальчики.

№7

Условие:

В библиотеке на одной полке стояло 32 книги, а на другой — 40 книг. Из них детям выдали 20 книг. Сколько книг осталось на этих полках? Реши задачу разными способами.

Решение:

1-й способ
1) 32 + 40 = 72 (к.) — всего стояло на двух полках
2) 72 — 20 = 52 (к.) — осталось на двух полках
Ответ: на двух полках осталось 52 книги.

2-й способ
1) 32 — 20 — 12 (к.) — осталось на первой полке
2) 40 + 12 = 52 (к.) — осталось на двух полках
Ответ: на двух полках осталось 52 книги.

3-й способ
1) 40 — 20 = 20 (к.) — осталось на второй полке
2) 32 + 20 = 52 (к.) — осталось на двух полках
Ответ: на двух полках осталось 52 книги.

Советы:

Подумай, как можно раздать книги детям с разных полок! Попробуй взять с одной полки, затем с другой и с обеих.

Задание под чертой

Условие:

Реши уравнение.
72 — х = 10

Решение:

72 — х = 10                Проверка: 

х = 72 — 10                72 — 62 = 10
х = 62                        10=10

Советы:

Учимся решать уравнения, в которых неизвестным является вычитаемое. При проверке, решения левой и правой части должны быть равны.

ЗАДАНИЯ НА ПОЛЯХ

Условие:

Занимательные рамки

Решение:

Советы:

Вставить пропущенные числа

Решение уравнений по фотографии — приложения для математиков

Даже если задания легкие, но их слишком много, хочется, чтобы их сделал кто-то другой. Решение существует — решение уравнений по фотографии.

Принцип их работы прост: фотографируете пример, загружаете фото в программу (чаще всего в подобных приложениях уже есть встроенная камера), и она выдает пошаговое решение. Читайте до конца и узнавайте об этих программах, которые не только найдут правильное решение для всех примеров, но и научат вас делать то же самое!

Решение уравнений по фотографии: Photomath

Пожалуй, самым популярным и распространенным математическим приложением является Photomath. Приведем небольшую инструкцию по работе с этой программой:

• Photomath уже имеет встроенную камеру. Вы наводите ее на пример, и приложение начинает его анализ;
• если схемы решения данного задания уже заложены в «мозг» приложения, то оно выдает решение;
• решение разделено на несколько этапов, есть промежуточные результаты. Каждый шаг можно отдельно изучить;
• немаловажный плюс — с построением графиков программа также справляется.

MalMath

Данное приложение, как и Photomath, способно выполнять построения графиков разной сложности. В MalMath заложены новейшие схемы решения уравнений, неравенств и прочих математических заданий.

Хотите потренироваться? Приложение выдаст случайные примеры любой сложности. При этом все решения можно сохранить в программе и продолжить работу позже.

Решение уравнений по фотографии: Automath

Данное приложение, как и предыдущие, использует встроенную камеру и фокусируется на изображении примера. После непродолжительного анализа программа выдает поэтапно выстроенное решение. Удобный и качественный сервис помогает быстро сориентироваться на первоначальном этапе и вникнуть в принцип работы Automath.

Разработчик:
S2dio

Подобных приложений, которые решают математические примеры по фотографиям, существует довольно много. Но сервис и качество работы большинства из них крайне неудобны и малоэффективны.

Мы предлагаем вам воспользоваться тремя самыми способными программами, представленными выше. Пользуйтесь, решайте на отлично и учитесь на своих ошибках!

Если вы нашли опечатку — выделите ее и нажмите Ctrl + Enter! Для связи с нами вы можете использовать [email protected].

2.6: Решение уравнений — математика LibreTexts

Напомним (см. Раздел 1.6), что переменная — это символ (обычно буква), обозначающий изменяющееся значение. Если переменная в уравнении заменяется числом и получается истинное утверждение, то это число называется решением уравнения.

Пример 1

Является ли −6 решением уравнения 2x + 5 = −7?

Решение

Замените −6 на x в уравнении.

\ [\ begin {align} 2x + 5 = 7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 2 (-6) +5 = -7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Substitute} -6 \ text {for} x.} \\ -12 + 5 = -7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Слева сначала умножьте.}} \\ -7 = -7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Слева добавить.}} \ end {align} \ nonumber \]

Поскольку последнее утверждение является истинным, −6 является решением уравнения.

Упражнение

Является ли −4 решением 8-2 x = 5?

Ответ

№

Сложение или вычитание одной и той же суммы

Два уравнения с одинаковым набором решений равны эквиваленту .Например, 2 x +5 = −7 и x = −6 имеют одинаковые решения. Следовательно, они эквивалентны уравнениям. Некоторые алгебраические операции приводят к эквивалентным уравнениям.

Получение эквивалентных уравнений

Добавление одного и того же количества к обеим сторонам уравнения. Если мы начнем с уравнения

\ [a = b, \ nonumber \]

, а затем прибавление c к обеим сторонам уравнения дает эквивалентное уравнение

\ [а + с = Ь + с.\ nonumber \]

Вычитание одинаковой величины с обеих сторон уравнения . Если мы начнем с уравнения

\ [a = b, \ nonumber \]

, затем вычитание c из обеих частей уравнения дает эквивалентное уравнение

\ [a — c = b — c. \ Nonumber \]

То есть добавление или вычитание одной и той же суммы из обеих частей уравнения не изменит решения уравнения.

Пример 2

Решите относительно x : x + 3 = −7.

Решение

Чтобы отменить эффект добавления 3, вычтите 3 из обеих частей уравнения.

\ [\ begin {align} x + 3 = -7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ x + 3 — 3 = -7-3 ~ & \ textcolor {red} { \ text {Вычтите 3 с обеих сторон.}} \\ x = -7 + (-3) ~ & \ begin {array} {l} \ textcolor {red} {\ text {Упростите левую часть. Справа:}} \\ \ textcolor {red} {\ text {выражает вычитание как добавление противоположного.}} \ End {array} \\ x = -10 \ end {выравнивается} \ nonumber \]

Чтобы проверить решение, замените -10 на x в исходном уравнении и упростите.

\ [\ begin {align} x + 3 = -7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ -10 + 3 = -7 ~ & \ textcolor {red} {\ text { Заменить} -10 \ text {for} x.} \\ = 7 = -7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить обе стороны.}} \ End {align} \ nonumber \]

Поскольку последняя строка проверки является истинным утверждением, это подтверждает, что -10 является решением.

Упражнение

Решите относительно x : x + 9 = -11.

Ответ

х = -20

Пример 3

Решите относительно x : x — 8 = −11.

Решение

Чтобы отменить эффект вычитания 8, добавьте 8 к обеим частям уравнения.

\ [\ begin {align} x — 8 = -11 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ x — 8 + 8 = -11+ 8 ~ & \ textcolor {red} { \ text {Добавьте 8 с обеих сторон.}} \\ x = -3 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите оба уравнения.}} \ end {align} \ nonumber \]

Чтобы проверить решение, замените −3 на x в исходном уравнении и упростите.

\ [\ begin {align} x — 8 = -11 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ -3 — 8 = -11 ~ & \ textcolor {red} {\ text { Заменить} -3 \ text {вместо} x.} \\ -11 = -11 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить обе стороны.}} \ End {align} \ nonumber \]

Поскольку последняя строка проверки является истинным утверждением, это подтверждает, что −3 является решением.

Упражнение

Решите относительно x : x — 2 = −7

Ответ

х = −5

Иногда перед тем, как начать процесс решения, необходимо сделать небольшое упрощение.

Пример 4

Решите относительно y : −8 + 2 = y -11 (−4).

Решение

Во-первых, упростим обе части уравнения.

\ [\ begin {align} -8 + 2 = y -11 (-4) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ -6 = y — (- 44) ~ & \ begin {array} {l} \ textcolor {red} {\ text {Упростить. Слева} -8 + 2 = -6.} \\ \ textcolor {red} {\ text {Справа} 11 (-4) = -44.} \ End {array} \\ -6 = y + 44 — 44 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычтите 44 из обеих частей уравнения.}} \\ -6 + (-44) = y ~ & \ textcolor {red} {\ text {Выражение вычитания как сложения. Упростите справа.}} \\ -50 = y \ end {align} \ nonumber \]

Чтобы проверить решение, замените -50 на y в исходном уравнении и упростите.

\ [\ begin {align} -8 + 2 = y -11 (-4) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ -8 + 2 = -50 -11 (-4 ) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Substitute} -50 \ text {for} y.} \\ -6 = -50 — (- 44) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Быстрое вычитание при право как дополнение.}} \\ -6 = -6 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Справа добавьте:} -50 + 44 = -6.} \ End {align} \ nonumber \]

Поскольку последняя строка проверки является истинным утверждением, это подтверждает, что -50 является решением.

Упражнение

Решить относительно y : y + 2 (−4) = −8 + 6

Ответ

y = 6

Умножение или деление на одинаковую сумму

Сложение и вычитание — не единственный способ составить эквивалентное уравнение.

Получение эквивалентных уравнений

Умножение обеих сторон уравнения на одинаковую величину. Если мы начнем с уравнения

\ [a = b, \ nonumber \]

, затем умножение обеих частей уравнения на c дает эквивалентное уравнение

\ [a \ cdot c = b \ cdot c, \ text {или эквивалентно} ac = bc, \ nonumber \]

при условии c 0.

Разделение обеих сторон уравнения на одинаковое количество. Если мы начнем с уравнения

\ [a = b, \ nonumber \]

, затем разделив обе части уравнения на c, получим эквивалентное уравнение

\ [\ frac {a} {c} = \ frac {b} {c}, \ nonumber \]

при условии c 0.

То есть, умножение или деление обеих частей уравнения на одинаковую величину не изменит решения уравнения.

Пример 5

Решите относительно x : −3 x = 30.

Решение

Чтобы отменить эффект умножения на −3, разделите обе части уравнения на −3.

\ [\ begin {align} -3x = 30 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ \ frac {-3x} {- 3} = \ frac {30} {- 3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на} -3.} \\ x = -10 ~ & \ begin {array} {l} \ textcolor {red} {\ text {Слева,} -3 \ text {times} x, \ text {разделить на} -3 \ text {is} x.} \\ \ textcolor {red} {\ text {Справа} 30 / (- 3) = — 10 .} \ конец {массив} \ конец {выровненный} \ nonumber \]

Чтобы проверить решение, подставьте −10 вместо x в исходном уравнении и упростите.

\ [\ begin {align} -3x = 30 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ -3 (-10) = 30 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Заменить } -10 \ text {for} x.} \\ 30 — 30 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Simplify.}} \ End {align} \ nonumber \]

Поскольку последняя строка проверки является истинным утверждением, это подтверждает, что -10 является решением.

Упражнение

Решите относительно z : −4z = −28

Ответ

z = 7

Пример 6

Решите относительно x : \ (\ frac {x} {- 2} = -20 \).

Решение

Чтобы отменить эффект деления на −2, умножьте обе части уравнения на −2.

\ [\ begin {align} \ frac {x} {- 2} = -20 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ -2 \ left (\ frac {x} {- 2} \ right) — -2 (-20) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на} -2.} \\ x = 40 ~ & \ begin {array} {l} \ textcolor { red} {\ text {Слева} x \ text {делится на} -2, \ text {умножается на} -2,} \\ \ textcolor {red} {\ text {результат} x.\ text {Справа} -2 (-20) = 40.} \ end {array} \ end {align} \ nonumber \]

Чтобы проверить решение, замените 40 на x в исходном уравнении и упростите.

\ [\ begin {align} \ frac {x} {- 2} = -20 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ \ frac {40} {- 2} = -20 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Заменить 40 вместо} x.} \\ -20 = -20 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить обе стороны.}} \ end {align} \ nonumber \ ]

Поскольку последняя строка проверки является истинным утверждением, это подтверждает, что 40 является решением.

Объединение операций

Вспомните обсуждение «Заворачивать» и «Распаковывать» из Раздела 1.6. Чтобы обернуть подарок, мы: (1) надеваем подарочную бумагу, (2) наклеиваем ленту и (3) надеваем декоративный бант. Чтобы развернуть подарок, мы должны «отменить» каждый из этих шагов в обратном порядке. Следовательно, чтобы развернуть подарок, мы: (1) снимаем декоративный бант, (2) снимаем ленту и (3) снимаем подарочную бумагу.

Теперь представьте машину, которая принимает входные данные, а затем: (1) умножает входные данные на 2 и (2) прибавляет 3 к результату.Эта машина изображена слева на Рисунке 2.16.

Рисунок 2.16: Вторая машина «разворачивает» первую.

Чтобы «развернуть» эффект машины слева, нам понадобится машина, которая «отменяет» каждый из шагов первой машины, но в обратном порядке. Машина для «разворачивания» изображена справа на рис. 2.16. Сначала он вычитает три из своих входных данных, а затем делит результат на 2. Обратите внимание, что каждая из этих операций «отменяет» соответствующую операцию первой машины, но в обратном порядке.

Например, поместите целое число 7 в первую машину слева на рис. 2.16. Сначала мы удваиваем 7, затем прибавляем к результату 3. Результат: 2 (7) + 3 = 17.

Теперь, чтобы «развернуть» этот результат, мы помещаем 17 во вторую машину. Сначала вычитаем 3, затем делим на 2. Результатом будет (17 — 3) / 2 = 7, исходное целое число, введенное в первую машину.

Теперь рассмотрим уравнение

\ [2x + 3 = 7. \ Nonumber \]

Слева порядок операций требует, чтобы мы сначала умножили x на 2, а затем прибавили 3.Чтобы решить это уравнение относительно x, мы должны «отменить» каждую из этих операций в обратном порядке. Таким образом, мы (1) вычтем три из обеих частей уравнения, затем (2) разделим обе части полученного уравнения на 2.

\ [\ begin {align} 2x + 3 — 3 = 7 — 3 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычтите 3 с обеих сторон.}} \\ 2x = 4 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \\ \ frac {2x} {2} = \ frac {4} {2} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на 2.}} \\ x = 2 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Читатели должны проверить это решение в исходном уравнении.

Пример 7

Решите относительно x : \ (\ frac {x} {4} — 3 = -7 \).

Решение

Слева порядок операций требует, чтобы мы сначала разделили x на 4, а затем вычли 3. Чтобы решить это уравнение для x , мы должны «отменить» каждую из этих операций в обратном порядке. Таким образом, мы (1) прибавим 3 к обеим сторонам уравнения, затем (2) умножим обе части полученного уравнения на 4.

\ [\ begin {align} \ frac {x} {4} — 3 = -7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ \ frac {x} {4} — 3 + 3 = -7 + 3 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Добавить 3 с обеих сторон.}} \\ \ frac {x} {4} = -4 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить обе стороны.}} \\ 4 \ left (\ frac {x} {4} \ right) = 4 (-4) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножаем обе стороны на 4.}} \\ x = -16 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить обе стороны.}} \ End {align} \ nonumber \]

Чек

Замените −16 вместо x в исходном уравнении.

\ [\ begin {align} \ frac {x} {4} — 3 = 7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ \ frac {-16} {4} — 3 = -7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Substitute} -16 \ text {for} x.} \\ -4 -3 = -7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Сначала разделить:} — 16/4 = -4.} \\ -7 = — 7 ~ & \ textcolor {красный} {\ text {Subtract:} -4 -3 = -7.} \ End {align} \ nonumber \]

Поскольку последняя строка проверки является истинным утверждением, −16 является решением исходного уравнения.

Упражнение

Решить для x :

\ [\ frac {x} {2} + 6 = 4 \ nonumber \]

Ответ

х = -4

Пример 8

Решить относительно t : 0 = 8-2 t .

Решение

Справа порядок операций требует, чтобы мы сначала умножили t на −2, а затем прибавили 8. Чтобы решить это уравнение относительно t, мы должны «отменить» каждую из этих операций в обратном порядке. Таким образом, мы (1) вычтем 8 из обеих частей уравнения, затем (2) разделим обе части полученного уравнения на −2.

\ [\ begin {align} 0 = 8 -2t ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 0-8 = 8 — 2t — 8 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычтите 8 с обеих сторон.}} \\ -8 = -2t ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \\ \ frac {-8} {- 2} = \ frac {-2t} {- 2} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на 2.}} \\ 4 = t ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ end {align} \ nonumber \]

Чек

Замените 4 вместо t в исходном уравнении.

\ [\ begin {align} 0 = 8 — 2t ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 0 = 8 — 2 (4) ~ & \ textcolor {red} {\ text { Заменить 4 на} t.} \\ 0 = 8-8 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Сначала умножить: 2 (4) = 8.}} \\ 0 = 0 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычесть:} 8-8 = 0.} \ End {выровнено} \ nonumber \]

Поскольку последняя строка в проверке является истинным утверждением, 4 является решением исходного уравнения.

Упражнение

Решить относительно r : 0 = 9 + 3 r

Ответ

r = -3

Пример 9

Решите относительно p : \ (- 12 + 3 = -8 + 4 + \ frac {p} {- 3}.\)

Решение

Всегда упрощайте, когда это возможно.

\ [\ begin {align} -12 + 3 = -8 + 4 + \ frac {p} {- 3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ -9 = -4 + \ frac {p} {- 3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить обе стороны.}} \ end {align} \ nonumber \]

Справа порядок операций требует, чтобы мы сначала разделили p на −3, а затем прибавили −4. Чтобы решить это уравнение для p , мы должны «отменить» каждую из этих операций в обратном порядке.Таким образом, мы (1) добавим положительное число 4 к обеим сторонам уравнения, затем (2) умножим обе части полученного уравнения на −3.

\ [\ begin {align} -9 + -4 = -4+ \ frac {p} {- 3} + 4 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Добавьте 4 с обеих сторон.}} \\ — 5 = \ frac {p} {- 3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \\ -3 (-5) = -3 \ left (\ frac {p} {- 3 } \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на} -3.} \\ 15 = p ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ end {выровнено } \ nonumber \]

Чек

Замените 15 на p в исходном уравнении.

\ [\ begin {align} -12 + 3 = = 8 + 4 + \ frac {p} {- 3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ -12 + 3 = -8 + 4 + \ frac {15} {- 3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Заменить 15 на} p.} \\ -9 = -8 + 4 + (-5) ~ & \ begin {выравнивается} \ textcolor {red} {\ text {Слева добавьте:} -12 + 3 = -9. \ text {На полосе}} \\ \ textcolor {красный} {\ text {right, DivX:} 15 / (- 3) = -5.} \ end {align} \\ -9 = -4 + (-5 ) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Справа} -8 + 4 = -4.} \\ -9 = -9 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Справа добавьте: } -4 + (-5) = -9.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Поскольку последняя строка в проверке является истинным утверждением, 15 является решением исходного уравнения.

Упражнение

Решить относительно q :

\ [\ frac {q} {- 2} -9 = -8 + 3 \ nonumber \]

Ответ

q = −8

Приложения

Давайте посмотрим на некоторые приложения уравнений с целыми числами. Во-первых, мы напоминаем читателям, что решение проблемы со словом должно включать в себя каждый из следующих шагов.

Требования к решению проблем Word

1. Настройте словарь переменных. Вы должны сообщить своим читателям, что представляет каждая переменная в вашей проблеме. Это можно сделать несколькими способами:
   1. Такие утверждения, как «Пусть P представляет периметр прямоугольника».
   2. Обозначение неизвестных значений переменными в таблице.
   3. Обозначение неизвестных величин на эскизе или диаграмме.
2. Задайте уравнение. Каждое решение проблемы со словом должно включать тщательно составленное уравнение, которое точно описывает ограничения в постановке задачи.
3. Решите уравнение. Вы всегда должны решать уравнение, заданное на предыдущем шаге.
4. Ответьте на вопрос. Этот шаг легко упустить из виду. Например, в задаче может задаваться вопрос о возрасте Джейн, но решение вашего уравнения дает возраст сестры Джейн, Лиз. Убедитесь, что вы ответили на исходный вопрос, заданный в задаче.Ваше решение должно быть записано в предложении с соответствующими единицами.
5. Оглянитесь назад. Важно отметить, что этот шаг не означает, что вы должны просто проверить решение в своем уравнении. В конце концов, возможно, что ваше уравнение неверно моделирует ситуацию проблемы, поэтому у вас может быть действительное решение неправильного уравнения. Важный вопрос: «Имеет ли ваш ответ смысл на основе слов в исходной постановке проблемы».

Пример 10

Банковский счет студента превышен.Сделав свой счет, Аллен обнаруживает, что у него перерасход на 15 долларов. Каков был баланс его счета до его вывода? депозит в размере 120 долларов США, он обнаруживает, что его счет все еще превышает 75 долларов США. Каков был его баланс до внесения депозита?

Решение

В нашем решении мы обращаемся к каждому этапу Требования к решению проблем Word .

1. Настройка словаря переменных . В этом случае неизвестным является исходный баланс на счете студента.Пусть B представляет этот исходный баланс.

2. Задайте уравнение. Положительное целое число представляет собой здоровый баланс, а отрицательное число представляет собой избыток средств на счете. После внесения студентом депозита на счету по-прежнему остается более 75 долларов США. Скажем, этот баланс — 75 долларов. Таким образом,

\ [\ begin {array} {ccccc} \ colorbox {cyan} {Original Balance} & \ text {plus} & \ colorbox {cyan} {Student Deposit} & \ text {equals} & \ colorbox {cyan} {Текущий Баланс} \\ B & + & $ 120 & = & — $ 75 \ end {array} \ nonumber \]

3. Решите уравнение. Чтобы «отменить» сложение, вычтите 120 из обеих частей уравнения.

\ [\ begin {align} B + 120 = -75 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ B + 120 — 120 = -75 — 120 ~ & \ textcolor {red} { \ text {Вычтите 120 с обеих сторон.}} \\ B = -195 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ end {align} \ nonumber \]

4. Ответьте на вопрос. Первоначальный баланс был переоценен до 195 долларов.

5. Оглянись назад. Если исходный баланс был превышен на 195 долларов, то мы позволяем — 195 долларов представлять этот баланс. Студент вносит залог в размере 120 долларов. Добавьте это к исходному балансу, чтобы получить — 195 + 120 долларов = — 75 долларов, правильный текущий баланс.

Упражнение

После снятия 125 долларов со своего счета, Аллен обнаруживает, что у него перерасход на 15 долларов. Каков был баланс его счета до его вывода?

Ответ

$ 110

Пример 11

Три раза больше, чем определенное число равно −11.Найдите неизвестный номер.

Решение

В нашем решении мы обращаемся к каждому этапу Требования к решению проблем Word .

1. Создать словарь переменных. Пусть x представляет неизвестное число. 2. Установите уравнение. «Три более чем в два раза больше определенного числа» становится:

\ [\ begin {array} {ccccc} \ colorbox {cyan} {Three} & \ text {more than} & \ colorbox {cyan} {Дважды определенное число} & \ text {is} & \ colorbox {cyan} {-11} \\ 3 & + & 2x & = & 11 \ end {array} \ nonumber \]

3. Решите уравнение. Слева порядок операций требует, чтобы мы сначала умножили x на 2, а затем прибавили 3. Чтобы решить это уравнение относительно x, мы должны «отменить» каждую из этих операций в обратном порядке. Таким образом, мы (1) вычтем 3 из обеих частей уравнения, затем (2) разделим обе части полученного уравнения на 2.

\ [\ begin {align} 3 + 2x = -11 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 3 + 2x — 3 = -11 — 3 ~ & \ textcolor {red} { \ text {Вычтите 3 с обеих сторон.}} \\ 2x = -14 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} ~ \\ \ frac {2x} {2} = \ frac {-14} {2} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на 2.}} \\ x = -7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ end {align} \ nonumber \]

4. Ответьте на вопрос. Неизвестное число -7.

5. Оглянитесь назад. Удовлетворяет ли ответ ограничениям задачи? Три больше, чем дважды −7 — это три больше, чем −14 или −11. Значит, решение правильное.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Пять меньше, чем удвоенное определенное число равно −7. Найдите неизвестный номер.

Ответ

-1

Упражнения

1. Является ли −11 решением 2x + 3 = −19?

2. Является ли −8 решением 2x + 7 = −9?

3. Является ли 6 решением 3x + 1 = 19?

4. Является ли −6 решением 2x + 7 = −5?

5. Является ли 12 решением уравнения 4x + 5 = −8?

6.Является ли −8 решением −3x + 8 = 18?

7. Является ли 15 решением 2x + 6 = −9?

8. Является ли 3 решением −4x + 1 = −20?

9. Является ли −15 решением −3x + 6 = −17?

10. Является ли −18 решением −3x + 9 = −9?

11. Является ли −6 решением −2x + 3 = 15?

12. Является ли 7 решением −3x + 5 = −16?

В упражнениях 13-28 решите заданное уравнение относительно x.

13. х — 13 = 11

14. х — 6 = 12

15. х — 3 = 6

16.х — 3 = −19

17. х + 10 = 17

18. x + 3 = 9

19. х — 6 = 1

20. х — 10 = 12

21. х — 15 = −12

22. х — 2 = 13

23. х + 11 = −19

24. х + 3 = 17

25. х + 2 = 1

26. х + 2 = −20

27. х + 5 = −5

28. х + 14 = −15

В упражнениях 29–44 решите заданное уравнение относительно x.

29. −x = −20

30. 5x = −35

31.\ (\ frac {x} {- 7} \) = 10

32. \ (\ frac {x} {- 6} \) = −20

33. \ (\ frac {x} {- 10} \) = 12

34. \ (\ frac {x} {2} \) = 11

35. \ (\ frac {x} {9} \) = −16

36. \ (\ frac {x} {- 3} \) = −7

37. −10x = 20

38. −17x = −85

39. 14x = 84

40. −10x = −40

41. −2x = 28

42. −14x = 42

43. \ (\ frac {x} {- 10} \) = 15

44. \ (\ frac {x} {- 8} \) = −1

В упражнениях 45-68 решите заданное уравнение относительно x.

45. −4x — 4 = 16

46. −6x — 14 = 4

47. 4x — 4 = 76

48. −5x — 15 = 45

49. 5x — 14 = −79

50,15x — 2 = 43

51. −10x — 16 = 24

52. 2x — 7 = −11

53. 9x + 5 = −85

54. 8x + 8 = −16

55. 7x + 15 = −55

56. 2x + 2 = −38

57. −x + 8 = 13

58. −5x + 20 = −50

59. 12x — 15 = −3

60. −19x — 17 = −36

61.4х — 12 = −56

62. 7x — 16 = 40

63. 19x + 18 = 113

64. −6x + 20 = −64

65. −14x + 12 = −2

66. −9x + 5 = 104

67. 14x + 16 = 44

68. −14x + 10 = −60

69. Двукратное меньшее восьмикратного неизвестного числа равно −74. Найдите неизвестный номер.

70. Шесть меньше, чем три раза неизвестное число равно 21. Найдите неизвестное число.

71. Неизвестное число в восемь раз больше, чем два, равно 0.Найдите неизвестный номер.

72. Неизвестное число в пять раз больше, чем восемь раз, равно −35. Найдите неизвестный номер.

73. Число −6 на 2 больше, чем неизвестное число. Найдите неизвестный номер.

74. Число −4 на 7 больше, чем неизвестное число. Найдите неизвестный номер.

75. Неизвестное число в три раза больше, чем восемь, равное −29. Найдите неизвестный номер.

76. Неизвестное число в четыре раза больше, чем девять раз — 85. Найдите неизвестное число.

77.На первых трех экзаменах Алан набрал 79, 61 и 54 балла. Какой результат Алан должен набрать на следующем экзамене, чтобы он составил 71 балл на всех четырех экзаменах?

78. Бенни набрал 54, 68 и 54 баллов на своих первых трех экзаменах. Какой результат Бенни должен набрать на следующем экзамене, чтобы он составил 61 балл за все четыре экзамена?

79. Частное двух целых чисел равно 5. Одно из целых чисел равно −2. Найдите другое целое число.

80. Частное двух целых чисел равно 3. Одно из целых чисел равно −7. Найдите другое целое число.

81.Частное двух целых чисел равно 9. Одно из целых чисел равно −8. Найдите другое целое число.

82. Частное двух целых чисел равно 9. Одно из целых чисел равно −2. Найдите другое целое число.

83. Число −5 на 8 больше, чем неизвестное число. Найдите неизвестный номер.

84. Число −6 на 8 больше, чем неизвестное число. Найдите неизвестный номер.

85. Банковский счет студента превышен. После внесения депозита в размере 260 долларов он обнаруживает, что на его счету по-прежнему превышена сумма в 70 долларов.Каков был его баланс до внесения депозита?

86. Банковский счет студента превышен. После внесения депозита в размере 300 долларов он обнаруживает, что на его счету по-прежнему превышена сумма в 70 долларов. Каков был его баланс до внесения депозита?

87. Банковский счет студента превышен. После внесения депозита в размере 360 долларов он обнаруживает, что на его счету по-прежнему превышена сумма в 90 долларов. Каков был его баланс до внесения депозита?

88. Банковский счет студента превышен.После внесения депозита в размере 260 долларов он обнаруживает, что на его счету по-прежнему превышена сумма в 50 долларов. Каков был его баланс до внесения депозита?

89. Число −10 в −5 раз больше неизвестного числа. Найдите неизвестный номер.

90. Число −3 в −3 раза больше неизвестного числа. Найдите неизвестный номер. 91. Число −15 в −5 раз больше неизвестного числа. Найдите неизвестный номер.

92. Число −16 в 4 раза больше неизвестного.Найдите неизвестный номер.

93. Неизвестное число в два раза меньше девяти и равно 7. Найдите неизвестное число.

94. Неизвестное число в четыре раза меньше, чем в два раза больше, чем 8. Найдите неизвестное число.

95. Марк набрал 79, 84 и 71 балл на своих первых трех экзаменах. Какой должен Марк набрать на следующем экзамене, чтобы он набрал в среднем 74 балла за все четыре экзамена?

96. Алан набрал 85, 90 и 61 баллов на своих первых трех экзаменах. Какой результат Алан должен набрать на следующем экзамене, чтобы он получил 77 баллов на всех четырех экзаменах?

Ответы

1.Да

3. Есть

5. №

7. №

9. №

11. Есть

13. 24

15. 9

17. 7

19. 7

21. 3

23. −30

25 -1

27. −10

29. 20

31. −70

33. -120

35. −144

37. −2

39. 6

41. −14

43. -150

45. −5

47.20

49. −13

51. −4

53. −10

55. −10

57. −5

59. 1

61. −11

63,5

65. 1

67. 2

69. −9

71. −4

73. −8

75,4

77. 90

79. −10

81. −72

83. −13

85. — 330 долл. США

87. — 450 долларов США

89. 2

91,3

93.1

95. 62

Как решать уравнения с порядком операций «Math :: WonderHowTo

В математике порядок операций определяет приоритет, в котором решаются сложные уравнения. Наивысший приоритет — скобки, затем показатели, затем умножение и деление и, наконец, сложение и вычитание (PEMDAS). В этом видеоуроке демонстрируется порядок работы с различными примерами и объясняется соответствующая методология.От Рамануджана до соавтора математических вычислений Готфрида Лейбница многие из лучших и ярких математических умов мира принадлежали к самодидактам. А благодаря Интернету стало проще, чем когда-либо, пойти по их стопам (или просто закончить домашнее задание или подготовиться к следующему серьезному испытанию).

(1) Часть 1 из 2 — Как решать уравнения с порядком операций, (2) Часть 2 из 2 — Как решать уравнения с порядком операций

Хотите освоить Microsoft Excel и взять свою работу из- перспективы домашней работы на новый уровень? Начните свою карьеру с нашего пакета обучения Microsoft Excel Premium A-to-Z из нового магазина гаджетов и получите пожизненный доступ к более чем 40 часам инструкций от базового до продвинутого по функциям, формулам, инструментам и многому другому.

Купить сейчас (97% скидка)>

Другие выгодные предложения, которые стоит проверить:

Настройка уравнений | Блестящая вики по математике и науке

История проблем может содержать много информации, включая детали, которые не являются необходимыми для решения проблемы. Кроме того, проблема может предполагать общие знания со стороны читателя, а не объяснять всю информацию в явной форме. Запись этой информации в упрощенной форме — эффективный способ решения проблем.

В начале января Джонни и Мэри решают, что они хотят вместе купить новую машину. Автомобиль стоит 8000 долларов, и его хотят купить в июле. Каждый из них заплатит половину общей суммы. У Мэри есть сбережения в размере 2000 долларов, а ее доход составляет 1200 долларов в месяц. У Джонни нет сбережений, и его доход составляет 2500 долларов в месяц. Сколько денег Джонни должен откладывать в месяц, чтобы достичь этой цели?

Читая этот вопрос, человек, решающий его, может начать упорядочивать информацию в своей голове. С января по июль шесть месяцев. Им нужно в общей сложности 8000 долларов и 2000 долларов, поэтому им нужно еще 6000 долларов или 1000 долларов в месяц. Хотя этот ответ верен, он неверен, потому что решатель решил неправильный вопрос. Задача спрашивает, сколько денег Johnny нужно экономить в месяц.

Другой читатель может быть ошеломлен количеством деталей в задаче и вообще не начать с уравнения в голове. Читатель может попытаться угадать, сколько денег понадобится Джонни в месяц. Давайте посмотрим, если Джонни откладывает 1000 долларов в месяц в течение шести месяцев, у него будет 6000 долларов к тому времени, когда они пойдут покупать машину. Этого более чем достаточно. Хотя это решение может работать в реальной жизни, оно также может оставить Джонни без достаточного количества денег, чтобы заплатить за квартиру.

Ни один из этих студентов не получит баллов на экзамене и не даст Джонни ответ, который он действительно ищет.

Хотя ни одна деталь в этой задаче не является сложной, количество фактов, которые ученик просят запомнить, может помешать ей найти ответ быстро и эффективно, не выписывая уравнения.Кроме того, отвлекают подробности о Мэри.

Перевод слов в символы — отличный способ приступить к решению словесных задач. В приведенном выше примере нам предлагается найти деньги, которые Джонни должен сэкономить. Проблема гласит, что к июлю у него должна быть половина из 8000 долларов. Эти два предложения можно переписать следующим образом:

Джонни = J = (8000 долларов / 2) = 4000 долларов ⟹ J = 4000 долларов. Johnny = J = (\ $ 8,000 / 2) = \ $ 4,000 \ подразумевает, что J = \ $ 4,000. Джонни = J = (8000 долларов / 2) = 4000 долларов⟹J = 4000 долларов.

Джонни нужно 4000 долларов к июлю. У него есть шесть месяцев, которые нужно откладывать, и ему нужно откладывать неизвестное количество долларов в месяц. Присвоение неизвестной суммы символу xxx позволяет добавить эту информацию в уравнение. В результате получается одно уравнение с одной переменной, которое можно решить с помощью деления.

4000 долларов = 6x 4000 долларов / 6 = 6x / 6⇒ 667 долларов = x. \ Begin {выровнено}
\ $ 4000 & = 6x \\
\ $ 4,000 / 6 & = 6x / 6 \\
\ Rightarrow \ $ 667 & = x.
\ end {выровненный} 4 000 долл. США 4 000 долл. США / 6 ⇒ 667 долл. США = 6x = 6x / 6 = x.Взаимодействие с другими людьми

По мере усложнения проблемы может потребоваться несколько шагов или несколько переменных. Проблема также может потребовать написания и решения нескольких уравнений, используя информацию, полученную на одном этапе, для решения следующего.

Справка по математике: понимание математических уравнений

Математика часто представляется как непростая тема — как учениками, так и взрослыми! Тем не менее, этот маленький любимый предмет составляет фундаментальную часть вашего образования , и если вы сумеете его освоить, значит, вы на пути к успеху в учебе!

Пока вы изучаете квалификацию (пересмотр математики GCSE, уровни A, степени …), вам не избежать необходимости решать математические задачи: начиная с основ арифметики, а затем переходя к решению уравнений, алгебре и т. Д. геометрия и задачи о дробях!

Позже в учебе ваши математические навыки позволят вам выработать подход к решению проблем и улучшить свои умственные способности, помогая добиться успеха в выполнении задачи, которую вы выполняете, независимо от того, имеет ли она прямое отношение к математике!

Имея все это в виду, пора вернуться к одной из ключевых областей математики, с которыми вы будете сталкиваться снова и снова: решение уравнений !

Имея под рукой калькулятор и небольшое определение , вы дойдете до конца этой статьи о том, как решить уравнение.К тому времени, когда мы закончим, среди прочего, вы сможете с легкостью решить вашу следующую математическую задачу, будь то полиномы, линейные уравнения, разложение на множители или что-то среднее между ними!

Что такое уравнение?

Как и в других областях, когда мы имеем дело с решением систем уравнений и построением их графиков, важно понимать используемую терминологию.

Ваш учитель математики обязательно скажет вам, что знание определений математических терминов необходимо, если вы хотите добиться прогресса в математике — и они не ошибаются!

Итак — что такое уравнение? Согласно словарю Ларусса, это:

Равенство, которое не было решено для определенных переменных или неизвестных

Сразу же из определения словаря, термины « переменных » и « неизвестных » появились — и они не исчезнут, пока мы не закончим решение нашего уравнения! Переменная — это просто причудливое слово для , заменяющее одно значение на другое: если вы когда-либо занимались алгеброй, вы, вероятно, знакомы с использованием «x» — это ваша переменная.Неизвестное — это обычно переменная, значение которой мы не знаем. Это то, что мы пытаемся выяснить!

Если вам это покажется немного техническим, вот определение, которое вы, скорее всего, услышите в классе:

Уравнение — это равенство, состоящее из переменной (часто называемой «x»). Эта переменная должна быть найдена, чтобы знать, как решить проблему

Итак, теперь у вас есть практические знания обо всех концепциях, которые вам понадобятся, чтобы начать решать уравнения:

• Равенство между двумя алгебраическими выражениями
• Одно или несколько неизвестных найти
• Переменная с именем ‘x’
• Используется для решения задач

Если вы смотрите на линейное уравнение, квадратное уравнение или систему уравнений, вы должны выполнить те же шаги , чтобы разложить на множители, удалить коэффициенты , и решите их.

Навыки, необходимые для решения математических уравнений

Чтобы добиться успеха в решении уравнения, существуют определенные навыки, относящиеся к вашему изучению математики, а также знаменитый « подход к решению проблем », который мы приобретаем на протяжении всей нашей академической карьеры и который помогает нам стать компетентными математиками.

Отношение к решению проблем

Определенные опасения по поводу математики являются причиной того, почему большое количество студентов и взрослых не видят применения математике в своей повседневной жизни и считают ее исключительно академическим предметом.

На самом деле математика составляет неотъемлемую часть нашей повседневной жизни, даже если вы сами редко на нее рассчитываете. От еды до покупки дома, открытия банковского счета и учебы: математика присутствует в нашей жизни повсюду; складываем ли мы, умножаем, вычитаем или даже решаем уравнения, не осознавая этого!

Ваш учитель математики в школе (или ваш частный репетитор по математике) даст вам навыки, которые будут служить вам каждый день до конца вашей жизни.

Вот некоторые аспекты, которые являются ключевыми для принятия такого отношения к решению проблем:

Тщательный подход

Вы должны быть внимательны и выполнять все ключевые шаги при решении математической задачи, особенно той, которая включает уравнения.Когда вы сталкиваетесь с математическими проблемами или экзаменом, вы должны быть точными и действовать методично и логично.

Имейте хорошую память

Развивайте свои навыки с помощью заданий по математике! Практика ведет к совершенству! (Источник: Pixabay)

Математикам нужно работать со своей памятью! Если вы будете практиковаться регулярно, вы сможете установить связь между темами, которые вы изучали в классе, и их применением в решении поставленной вам задачи. Решение разнообразных проблем означает, что с большей вероятностью возникнет что-то вроде проблемы, с которой вы сталкивались ранее, и с вашим предыдущим опытом будет намного легче решить .

Будьте организованы!

Чтобы решить уравнение, необходимо выполнить ряд этапов. Организованность в вашей рабочей среде и ваш подход к задачам позволят вам без паники преодолевать каждую математическую задачу, стоящую перед вами.

Когда мы узнаем о математических уравнениях?

В начальной школе мы учимся считать и знакомимся с математикой в ​​уме. Мы начинаем складывать числа, вычитать их и умножать: основы арифметики.Мы можем даже изучить основы построения графиков — эти учения дают нам основы математики и навыки, которые нам понадобятся, чтобы начать решать уравнения позже.

Некоторые экспоненциальные и квадратные уравнения можно решить с помощью построения графиков (Источник: Pexels).

Обычно в средней школе линейные уравнения постепенно начинают проникать в учебную программу. На 7-м году обучения мы учимся решать простые уравнения, обычно с одним неизвестным. Вот пример уравнения, которое вы могли бы решить примерно в это время:

Здесь вы должны найти неизвестное: «x».

К тому времени, когда вы дойдете до 8 и 9 класса, дроби и отрицательные числа начнут появляться в уравнениях: подготовка к экзаменам GCSE и A уровням. Уравнения теперь могут выглядеть примерно так:

На уровне GCSE и A уровень математических задач возрастает, и вам приходится решать более сложные уравнения, включая системы уравнений, используя различные методы: завершение квадрата, разложение на множители. , подстановка и поиск точки пересечения на графиках — и это лишь некоторые из них! Если вы продолжите изучение математики на уровне A, вы также столкнетесь с такими темами, как комплексные числа.

На этом типы задач не заканчиваются: если вы решите изучать математику или естественные науки в университете, вы столкнетесь с еще более сложными задачами!

Иногда вы сталкиваетесь с одношаговыми уравнениями, и вы можете решить некоторые из приведенных ниже уравнений следующим образом, но вы часто будете сталкиваться с более сложными многошаговыми уравнениями, которые проверят ваши знания в нескольких областях математики: возможно, ваш графический калькулятор знания, ваши знания об уклонах или о том, как решать одновременные уравнения методом исключения или замены!

Решение линейного уравнения

Линейные уравнения, вероятно, являются первым типом уравнений, с которыми вы столкнетесь во время учебы, и, как правило, их проще всего решить.

По сути, решение линейного уравнения требует только четырех видов вычислений, с которыми мы знакомы с начальной школы: сложение, вычитание, умножение и деление.

Если вы хотите решить линейное уравнение с одним неизвестным, ваша цель проста: вы должны найти значение «x». На математическом жаргоне это обычно называется « решение для ‘x’ ».

Для простого уравнения вы можете предпринять следующие шаги:

• Выделить неизвестное (обычно ‘x’) на одной стороне уравнения

• Сгруппировать любые общие члены вместе

• Разделить так, чтобы любые коэффициенты «x» удаляются

• Укажите свое решение

В качестве примера приведем шаги, которые вы должны предпринять для уравнения…

Перемещение «x» на одну сторону уравнения:

«x» изолирован на одной стороне уравнения

Мы сгруппировали общие термины вместе — это называется сбором одинаковых терминов

Мы удалили коэффициент при «x», разделив обе части на 4.

Поздравляем! Теперь у вас есть навыки, необходимые для решения одного из самых известных линейных уравнений в истории математики: эпитафии математика Диофанта Александрийского.

Эпитафия дает уравнение, и решение этого уравнения — возраст Диофанта, когда он умер. Гробница датируется 3 веком!

Умение решать линейные уравнения — краеугольный камень ваших знаний по уравнениям, и вы должны практиковать его снова и снова, пока не разберетесь в теме. Лучше начать!

Решение факторизованного уравнения

Факторизованные уравнения — это форма полиномиальных уравнений.и вы часто будете видеть их как квадратные уравнения (по крайней мере, до уровня AS!).

По сути, уравнение принимает вид:

«x» — это всегда неизвестная переменная, а a, b, c и d — числа, указанные в задаче. Во время уроков математики ваш учитель, вероятно, сказал вам что-то вроде этого:

Произведение факторов равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из факторов равен нулю.

Чтобы проверить это, вы должны решить каждое уравнение с множителем «x»!

Мы не можем повторить этого достаточно: лучший способ научиться решать уравнения — это практиковаться!

Вот пример факторизованного уравнения с его решением:

Два фактора соответствуют двум выражениям в скобках.Для ясности в терминологии, «коэффициенты при x», о которых мы говорили ранее, в этом примере равны 3 и 2. Чтобы решить эту проблему, мы должны рассмотреть оба набора круглых скобок. Мы пойдем слева направо и снова найдем неизвестный x:

(потому что наше уравнение должно быть равно 0, чтобы произведение факторов равнялось 0)

И другой набор круглых скобок …

(потому что наше уравнение должно быть равно 0, чтобы произведение факторов равнялось 0)

И удаление коэффициентов ‘x’…

Поскольку существует два фактора, это означает, что есть два решения для «x» — это иногда называется набором решений . Мы только что нашли их обоих! «X» может быть -4/3 или 5/2.

Умение решать квадратные уравнения очень важно по мере вашего прогресса. Если вы не можете решать квадратные уравнения, вы будете бороться с уравнениями более высокого порядка. Может быть, вам сначала нужно освежить свои знания о том, как решать линейные уравнения?

Математические уравнения с дробями

Боретесь с уравнениями? Возможно, вам помогут некоторые репетиторы по математике! (Источник: Pixabay)

У нас тоже есть правило для уравнений с дробями! Вот правило:

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а ее знаменатель не равен нулю.

Вы можете столкнуться с уравнением в следующей форме:

Чтобы решить подобное уравнение с дробью в, вы должны:

• Исключить запрещенные значения: это означает значения, которые сокращают знаменатель

• Упростить все, чтобы оно находилось в одном знаменателе

• Поместите все в одну часть уравнения, чтобы другая сторона была равна нулю

• Решите уравнение

• Убедитесь, что указанные вами значения не являются запрещенными значениями

Вот пример решения уравнения с дробями в.Мы будем использовать метод, называемый перекрестными произведениями, чтобы полностью удалить дроби. Начнем с этого уравнения:

Давайте начнем с удаления дробей:

Как и в нашем примере линейного уравнения, я умножил обеих сторон на (x + 1). Это означает, что в левой части я умножаю на (x + 1), а затем сразу делю на (x + 1). И, как и в нашем предыдущем примере, это означает, что они компенсируют друг друга, и я могу полностью удалить их из уравнения:

Итак, это уже начинает выглядеть намного лучше: теперь у меня есть один ‘x ‘с одной стороны, удалили одну дробь, и мы на пути к решению этой проблемы.Давайте также избавимся от дроби с правой стороны, используя тот же метод:

Удаление дроби с правой стороны означает, что все это упрощается до чего-то гораздо более приятного:

Теперь нам нужно установить наше уравнение равным нулю. . Мы могли бы разделить на (x-1) (x + 1), но тогда мы снова получим дробь! Вместо этого мы можем расширить содержимое каждого набора круглых скобок. Для этого мы умножаем все, что находится внутри скобок, на все, что находится непосредственно за их пределами.Это легко сделать для левой части, так как нам нужно только умножить на x:

становится …

Поскольку оба этих выражения эквивалентны (как равенства, они равны), нам не нужно изменять правая сторона, поскольку мы только что переписали левую часть: по-прежнему означает то же самое. См. Нашу статью GCSE Maths Revision для получения дополнительной помощи.

Правая часть немного сложнее, но следует тому же принципу. Содержимое каждого набора круглых скобок необходимо умножить на содержимое другого набора круглых скобок.Вот диаграмма:

Красные линии показывают нам умножение «x» из первых скобок, а синие линии показывают нам умножение «-1» из первых скобок.

Это оставляет нам следующие выражения, начиная с ‘x’ в первой скобке:

А теперь умножая ‘-1’ в первой скобке:

Итак, это все члены скобок справа сторону, после того, как они были расширены. Теперь мы можем объединить их в одно выражение, которое представляет правую часть исходного уравнения:

Давайте вернем эти два выражения в исходное уравнение:

Опять же, это точно то же самое, с чего мы начали, мы ‘ мы только что убрали факторизованные скобки.2 в левую часть уравнения:

И соберите одинаковые члены. В приведенном выше уравнении я проделал то же самое с левой частью, что и с правой частью уравнения, поэтому мы все приведем в порядок:

Итак, последний шаг должен быть довольно простым. Нам нужно удалить наш коэффициент «x»:

-1/2 не является запрещенным значением, поэтому решение будет x = -1/2. Обратите внимание, как, несмотря на то, что это уравнение начинается с квадратного уравнения (поскольку у некоторых членов «x» есть показатель степени два), они компенсируют друг друга, так что у нас есть только одно решение.

Уравнение может быть без решения!

Задача дробного уравнения может включать в себя все те же концепции, о которых мы упоминали ранее, в том числе: квадратные уравнения, показатели степени, рациональные и иррациональные числа.

Создание уравнений для решения проблем

Иногда вас могут попросить составить уравнение для данной проблемы. Не волнуйтесь, это не так плохо, как кажется, вы, по сути, сами создаете проблемы со словами!

Метод прост, и вам нужно только тщательно изучить проблему, чтобы получить правильный ответ:

• Прочтите проблему несколько раз, чтобы убедиться, что вы ее понимаете
• Определите неизвестные (или неизвестные), которые соответствуют числу, заданному в вопросе
• Попробуйте переписать задачу в математических терминах, удалив всю лишнюю информацию
• Решите уравнение, которое вы только что нашли

Иногда вам задают такой вопрос в контексте геометрической задачи — не волнуйтесь, шагов — это то же самое, что и , просто не забудьте заранее освежить свои уроки геометрии!

Вот пример вопроса, который вам могут задать, где вы должны составить уравнение из данного сценария:

«Трое двоюродных братьев, Джон, Тим и Салли, имеют общий возраст 60 лет.Каков возраст каждого человека, который знает, что Салли в три раза старше Тима, а Джон на 10 лет моложе Салли? »

В этой задаче необходимо найти неизвестные возрасты трех кузенов, и это можно сделать с помощью некоторых уравнений. Посмотрим, сможешь ли ты решить эту проблему!

Есть несколько вариантов, доступных для вас, если вы хотите улучшить или усовершенствовать свои математические навыки: будь то освежение ваших знаний по уравнениям или изучение чего-то нового о геометрии!

Все примеры, которые мы рассмотрели сегодня, относятся к рациональным числам и не содержат неравенств.Однако неравенства решаются таким же образом, просто заменяя знак равенства знаком равенства по вашему выбору.

Почему важны уравнения и неравенства? Они служат строительными блоками ваших математических знаний и необходимы, когда вы начинаете изучать математические вычисления и, возможно, даже матрицы!

Знание того, что вы можете эффективно решать проблемы, связанные с целыми числами, десятичными, рациональными числами и различными типами уравнений: будь то экспоненциальные уравнения, решения квадратичных или систем линейных уравнений, будет неоценимо по мере вашего продвижения в мир математика!

Частные уроки с домашним репетитором математики рядом со мной позволит тебе прогрессировать.Они могут объяснять сложные темы, такие как уравнения, в удобном для вас темпе, используя методы, адаптированные к вашему стилю обучения.

Регулярное редактирование и выпуск материалов для повторения или отслеживание онлайн-репетитора по математике и на YouTube в тандеме с частным обучением математике поможет вам добиться наилучших результатов в математике!

Узнайте, как построить график функций или откройте список нерешенных математических уравнений.

алгебра | История, определение и факты

Возможно, самым основным понятием в математике является уравнение, формальное утверждение, что две стороны математического выражения равны — как в простом уравнении x + 3 = 5 — и что обе стороны уравнением можно одновременно манипулировать (складывая, разделяя, извлекая корни и т. д. с обеих сторон), чтобы «решить» уравнение.Тем не менее, каким бы простым и естественным ни казалось такое понятие сегодня, его принятие вначале потребовало развития множества математических идей, каждой из которых требовалось время, чтобы созреть. Фактически, только в конце XVI века современная концепция уравнения как единого математического объекта была закреплена.

Три основных нити в процессе, ведущем к этой консолидации, заслуживают особого внимания:

Эти три нити прослеживаются в этом разделе, особенно по мере их развития на древнем Ближнем Востоке и в Греции, в исламскую эпоху и европейское Возрождение.

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту.
Подпишитесь сейчас

Решение задач в Египте и Вавилоне

Самым ранним из сохранившихся математических текстов из Египта является папирус Ринда (около 1650 г. до н. Э.). Этот и другие тексты свидетельствуют о способности древних египтян решать линейные уравнения с одним неизвестным. Линейное уравнение — это уравнение первой степени или уравнение, в котором все переменные указаны только в первой степени. (В сегодняшних обозначениях такое уравнение с одним неизвестным будет 7 x + 3 x = 10.Свидетельства, полученные примерно за 300 лет до нашей эры, показывают, что египтяне также знали, как решать задачи, связанные с системой двух уравнений с двумя неизвестными величинами, включая квадратные (второй степени или квадраты неизвестных) уравнения. Например, учитывая, что периметр прямоугольного участка земли составляет 100 единиц, а его площадь составляет 600 квадратных единиц, древние египтяне могли решить для длины поля l и ширины w . (В современных обозначениях они могли решить пару одновременных уравнений 2 w + 2 l = 100 и w l = 600.) Однако все это время символы не использовались — задачи ставились и решались устно. Следующая проблема является типичной:

• Метод расчета количества,

• умножить на 1 ¹ / ₂ сложить 4 и получилось 10.

• Какое количество говорит это ?

• Сначала вы вычисляете разницу этих 10 и этих 4. Затем 6 результатов.

• Затем вы разделите 1 на 1 ¹ / ₂ .Затем результаты ² / ₃ .

• Затем вы вычисляете ² / ₃ из этого 6. Затем 4 результата.

• Вот, это 4, количество, которое это сказало.

• То, что вы нашли, верно.

Обратите внимание, что, за исключением ² / ₃ , для которого существовал специальный символ, египтяне выражали все дробные величины, используя только единичные дроби, то есть дроби с числителем 1.Например, ³ / ₄ будет записано как ¹ / ₂ + ¹ / ₄ .

Вавилонская математика датируется 1800 годом до нашей эры, о чем свидетельствуют клинописные тексты, сохранившиеся на глиняных табличках. Вавилонская арифметика была основана на хорошо разработанной позиционной шестидесятеричной системе, то есть на системе с основанием 60, в отличие от современной десятичной системы, которая основана на единицах 10. Однако вавилоняне не использовали последовательно ноль. .Большая часть их математики состояла из таблиц, например, для умножения, обратных чисел, квадратов (но не кубов), а также квадратных и кубических корней.

Помимо таблиц, многие вавилонские таблички содержали задачи, которые требовали решения какого-то неизвестного числа. Такие проблемы объясняли процедуру, которой необходимо следовать для решения конкретной проблемы, а не предлагали общий алгоритм решения аналогичных проблем. Отправной точкой для проблемы могут быть отношения, включающие конкретные числа и неизвестное, или его квадрат, или системы таких отношений.Искомое число может быть квадратным корнем из заданного числа, весом камня или длиной стороны треугольника. Многие вопросы были сформулированы в терминах конкретных ситуаций, таких как разделение поля между тремя парами братьев при определенных ограничениях. Тем не менее, их искусственный характер давал понять, что они были созданы для дидактических целей.

Решение уравнений — Математика — LibGuides в Библиотеке скорости Колледжа Миссисипи-Леланд

Решение уравнений — Математика — Руководства LibGuides в Библиотеке скорости Колледжа Миссисипи-Леланда
Перейти к основному содержанию

Похоже, вы используете Internet Explorer 11 или старше.Этот веб-сайт лучше всего работает с современными браузерами, такими как последние версии Chrome, Firefox, Safari и Edge. Если вы продолжите работу в этом браузере, вы можете увидеть неожиданные результаты.

Условное уравнение

Рассмотрим это условное уравнение:

x + 1 = 5.

Здесь сказано: «Добавление 1 к некоторому числу x равно 5.»

Чтобы преобразовать это в истинное уравнение, вам необходимо определить правильное значение для x.

Ну, если немного подумать, то можно увидеть, что x должен быть равен 4. Или, другими словами, 4 + 1 = 5.

Условное уравнение становится истинным уравнением, когда x = 4.

Мы также говорим, что x = 4 является решением уравнения, x + 1 = 5.

Решение уравнений

Процесс поиска значений переменных, которые образуют истинное уравнение, называется решением уравнения.

Чисто числовые уравнения:

Если в уравнении нет переменных, уравнение либо верно, либо неверно.

Условные уравнения:

Условное уравнение — это уравнение, которое может быть истинным или ложным, в зависимости от значений, присвоенных его переменной (переменным).

Уравнения могут быть истинными, ложными или условными. Вы уже видели, что чисто числовые уравнения могут быть истинными или ложными. Однако включите переменную, и вы получите условное уравнение.

0 = 0 определенно верно

0 = 2 определенно ложно

2x = 8 условно. Это может быть истина или ложь, в зависимости от значения, присвоенного x.

Пример:

Решайте уравнения с переменными и константами с обеих сторон — Элементарная алгебра

Решение линейных уравнений и неравенств

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Решите уравнение с константами с обеих сторон
• Решите уравнение с переменными с обеих сторон
• Решите уравнение с переменными и константами с обеих сторон

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

1. Упростите:
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Решение уравнений с константами с обеих сторон

Во всех уравнениях, которые мы решили до сих пор, все переменные члены находились только на одной стороне уравнения, а константы — на другой. Это происходит не все время, поэтому теперь мы научимся решать уравнения, в которых переменные члены, или постоянные члены, или и то, и другое находятся по обе стороны уравнения.

Наша стратегия будет заключаться в том, чтобы выбрать одну сторону уравнения как «переменную сторону», а другую сторону уравнения как «постоянную сторону».Затем мы будем использовать свойства равенства вычитания и сложения, чтобы собрать все переменные члены вместе на одной стороне уравнения и постоянные члены вместе на другой стороне.

Сделав это, мы преобразуем уравнение, которое начиналось с переменных и констант с обеих сторон, в форму. Мы уже знаем, как решать уравнения этой формы, используя свойства равенства или деления или умножения.

Решить:

Решение

В этом уравнении переменная находится только в левой части.Левую часть имеет смысл называть «переменной» стороной. Следовательно, правая сторона будет «постоянной» стороной. Мы напишем метки над уравнением, чтобы помочь нам запомнить, что куда идет.

Так как левая сторона — это «» или переменная сторона, восьмерка неуместна. Мы должны «отменить» добавление 8, вычтя 8, и чтобы сохранить равенство, мы должны вычесть 8 из обеих частей.

Решить:

Решить:

Решить:

Решение

Обратите внимание, что переменная находится только в левой части уравнения, поэтому мы будем называть эту сторону стороной «переменная», а правая часть — стороной «константы».Так как левая сторона — это «переменная» сторона, 9 здесь неуместна. Он вычитается из числа, поэтому, чтобы «отменить» вычитание, прибавьте 9 к обеим сторонам. Помните: что бы вы ни делали слева, вы должны делать справа.

Решить:

Решить:

Решение уравнений с переменными с обеих сторон

Что, если в обеих частях уравнения есть переменные? Для таких уравнений начните, как мы делали выше — выберите сторону «переменной» и «константу», а затем используйте свойства равенства и вычитания и сложения, чтобы собрать все переменные с одной стороны и все константы с другой стороны.

Решить:

Решение

Здесь переменная находится с обеих сторон, но константы появляются только с правой стороны, поэтому давайте сделаем правую сторону «постоянной». Тогда левая сторона будет «переменной» стороной.

Решить:

Решить:

Решить:

Решение

Единственная константа слева, а с обеих сторон. Оставим константу слева, а переменные справа.

Решить:

Решить:

Решить:

Решение

Единственная константа находится справа, поэтому пусть левая сторона будет стороной «переменной».

Решить:

Решить:

Решение уравнений с переменными и константами с обеих сторон

В следующем примере будут переменные и константы в обеих частях уравнения.Для решения этого уравнения может потребоваться несколько шагов, поэтому нам нужна четкая и организованная стратегия.

Как решать уравнения с переменными и константами с обеих сторон

Решить:

Решить:

Решить:

Мы перечислим шаги ниже, чтобы вы могли легко их выполнить. Но мы назовем это «Начальной стратегией», потому что позже в этой главе мы добавим несколько шагов.

Начальная стратегия решения уравнений с переменными и константами по обе стороны уравнения.

1. Выберите, какая сторона будет «переменной» стороной — другая сторона будет «постоянной» стороной.
2. Соберите переменные члены в «переменную» сторону уравнения, используя свойство равенства сложения или вычитания.
3. Соберите все константы с другой стороны уравнения, используя свойство равенства сложения или вычитания.
4. Сделайте коэффициент переменной равным 1, используя свойство равенства умножения или деления.
5. Проверьте решение, подставив его в исходное уравнение.

На шаге 1 полезный подход состоит в том, чтобы сделать сторону «переменной» стороной, имеющей переменную с большим коэффициентом. Обычно это упрощает арифметику.

Решить:

Решение

На первом этапе выберите сторону переменной, сравнивая коэффициенты переменных на каждой стороне.

Решить:

Решить:

Решить:

Решение

На первом этапе выберите сторону переменной, сравнивая коэффициенты переменных на каждой стороне.

Так как правая часть должна быть «переменной», а левая — «постоянной».

Решить:

Решить:

В последнем примере мы могли бы сделать левую часть «переменной» стороной, но это привело бы к отрицательному коэффициенту на члене переменной. (Попробуйте!) Хотя мы можем работать с негативом, вероятность ошибок при работе с позитивом меньше. Описанная выше стратегия помогает избежать негатива!

Чтобы решить уравнение с дробями, мы просто следуем шагам нашей стратегии, чтобы получить решение!

Решить:

Решение

Так как, сделайте левую часть «переменной» стороной, а правую часть «постоянной» стороной.

Решить:

Решить:

Мы будем использовать ту же стратегию, чтобы найти решение уравнения с десятичными знаками.

Решить:

Решение

Так как, сделайте левую часть «переменной» стороной, а правую часть «постоянной» стороной.

Решить:

Решить:

Ключевые понятия

• Начальная стратегия решения уравнения с переменными и константами на обеих сторонах уравнения
  1. Выберите, какая сторона будет «переменной» стороной — другая сторона будет «постоянной» стороной.
  2. Соберите переменные члены в «переменную» сторону уравнения, используя свойство равенства сложения или вычитания.
  3. Соберите все константы с другой стороны уравнения, используя свойство равенства сложения или вычитания.
  4. Сделайте коэффициент переменной равным 1, используя свойство равенства умножения или деления.
  5. Проверьте решение, подставив его в исходное уравнение.

Практика ведет к совершенству

Решение уравнений с константами с обеих сторон

В следующих упражнениях решите следующие уравнения с константами с обеих сторон.

Решение уравнений с переменными с обеих сторон

В следующих упражнениях решите следующие уравнения с переменными с обеих сторон.

Решение уравнений с переменными и константами с обеих сторон

В следующих упражнениях решите следующие уравнения с переменными и константами с обеих сторон.

Повседневная математика

Билеты на концерт На школьный концерт общая стоимость проданных билетов составила 1506 евро.Студенческие билеты продаются за 6 фунтов стерлингов, взрослые билеты — за 9 фунтов стерлингов. Количество проданных билетов для взрослых было в 5 раз меньше, чем количество студенческих билетов. Найдите количество проданных студенческих билетов, s , решив уравнение.

Изготовление забора У Джовани есть 150 футов ограды, чтобы сделать прямоугольный сад на заднем дворе. Он хочет, чтобы длина была на 15 футов больше ширины. Найдите ширину w , решив уравнение.

Письменные упражнения

Решите уравнение, объясняющее все этапы вашего решения, как в примерах в этом разделе.

Решите уравнение, объясняющее все этапы вашего решения, как в примерах в этом разделе.

Обоснования могут быть разными.

При решении уравнения с переменными с обеих сторон, почему обычно лучше выбрать сторону с большим коэффициентом в качестве «переменной» стороны?

Это решение уравнения? Откуда вы знаете?

Да.