Как построить касательную к графику функции: Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной

Содержание

Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной

Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.

Определения и понятия

Определение 1

Угол наклона прямой y=kx+b называется  угол α, который отсчитывается от положительного направления оси ох к прямой y=kx+b в положительном направлении.

На рисунке направление ох обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.

Определение 2

Угловой коэффициент прямой y=kx+b называют числовым коэффициентом k.

Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k=tg α.

  • Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности ох и  угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0. Значит, вид уравнения будет y=b.
  • Если угол наклона прямой y=kx+b острый, тогда выполняются условия 0<α<π2 или 0°<α<90°. Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию tg α>0, причем имеется возрастание графика.
  • Если α=π2, тогда расположение прямой перпендикулярно ох. Равенство задается при помощи равенства x=c со значением с, являющимся действительным числом.
  • Если угол наклона прямой y=kx+b тупой, то соответствует условиям π2<α<π или 90°<α<180°, значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Определение 3

Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f(x). Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.

По рисунку видно, что АВ является секущей, а f(x) – черная кривая, α — красная дуга, означающая угол наклона секущей.

Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника АВС можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.

Определение 4

Получаем формулу для нахождения секущей вида:

k=tg α=BCAC=f(xB)-fxAxB-xA, где абсциссами точек А и В являются значения xA, xB, а f(xA), f(xB) — это значения функции в этих точках.

Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k=f(xB)-f(xA)xB-xA или k=f(xA)-f(xB)xA-xB, причем уравнение необходимо записать как y=f(xB)-f(xA)xB-xA·x-xA+f(xA) или
y=f(xA)-f(xB)xA-xB·x-xB+f(xB).

Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А, от А до В, справа от В. На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.

По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.

Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у=0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.

Определение 5

Касательная к графику функции f(x) в точке x0; f(x0) называется прямая, проходящая через заданную точку x0; f(x0),  с наличием отрезка, который имеет множество значений х, близких к x0.

Пример 1

Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y=x+1, считается касательной к y=2x в точке  с координатами (1; 2). Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к (1; 2) значениями. Функция y=2x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения.

Очевидно, что y=2x сливается с прямой у=х+1.

Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной АВ при бесконечном приближении точки В к точке А. Для наглядности приведем рисунок.

Секущая АВ, обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной αx.

Определение 6

Касательной к графику функции y=f(x) в точке А считается предельное положение секущей АВ при В стремящейся к А, то есть B→A.

Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.

Геометрический смысл производной функции в точке

Перейдем к рассмотрению секущей АВ для функции f(x), где А и В с координатами x0, f(x0) и x0+∆x, f(x0+∆x), а ∆x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆y=∆f(x)=f(x0+∆x)-f(∆x). Для наглядности приведем в пример рисунок.

Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник АВС. Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆y∆x=tg α. Из определения касательной следует, что lim∆x→0∆y∆x=tg αx. По правилу производной в точке имеем, что производную f(x) в точке x0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆x→0, тогда обозначим как f(x0)=lim∆x→0∆y∆x.

Отсюда следует, что f'(x0)=lim∆x→0∆y∆x=tg αx=kx, где kx обозначают в качестве углового коэффициента касательной.

То есть получаем, что f’(x) может существовать  в точке x0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x0, f0(x0), где значение углового коэффициента касательной  в точке равняется производной  в точке x0. Тогда получаем, что kx=f'(x0).

Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.

Уравнение касательной прямой

Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x0 при пересечении.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0, f0(x0) принимает вид y=f'(x0)·x-x0+f(x0).

Имеется в виду, что конечным значением производной f'(x0) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии limx→x0+0f'(x)=∞ и limx→x0-0f'(x)=∞ или отсутствие вовсе при условии limx→x0+0f'(x)≠limx→x0-0f'(x).

Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента kx=f'(x0). При параллельности к оси ох получаем, что kk=0, при параллельности к оу — kx=∞, причем вид уравнения касательной x=x0 возрастает при kx>0, убывает при kx<0.

Пример 2

Произвести составление уравнения касательной к графику функции y=ex+1+x33-6-33x-17-33 в точке  с координатами (1; 3) с определением угла наклона.

Решение

По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, (1; 3) является точкой касания, тогда x0=-1, f(x0)=-3.

Необходимо найти производную в точке со значением -1. Получаем, что

y’=ex+1+x33-6-33x-17-33’==ex+1’+x33′-6-33x’-17-33’=ex+1+x2-6-33y'(x0)=y'(-1)=e-1+1+-12-6-33=33

Значение f’(x) в точке касания является  угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.

Тогда kx=tg αx=y'(x0)=33

Отсюда следует, что αx=arctg33=π6

Ответ: уравнение касательной приобретает вид

y=f'(x0)·x-x0+f(x0)y=33(x+1)-3y=33x-9-33

Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.

Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает  в увеличенном виде.

Пример 3

Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции
y=3·x-15+1 в точке с координатами (1;1). Составить уравнение и определить угол наклона.

Решение

По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.

Перейдем к нахождению производной

y’=3·x-15+1’=3·15·(x-1)15-1=35·1(x-1)45

Если x0=1, тогда f’(x) не определена, но пределы записываются как  limx→1+035·1(x-1)45=35·1(+0)45=35·1+0=+∞ и limx→1-035·1(x-1)45=35·1(-0)45=35·1+0=+∞, что означает существование вертикальной касательной в точке (1;1).

Ответ: уравнение примет вид х=1, где угол наклона будет равен π2.

Для наглядности изобразим графически.

Пример 4

Найти точки графика функции y=115x+23-45×2-165x-265+3x+2, где

  1. Касательная не существует;
  2. Касательная располагается параллельно ох;
  3. Касательная параллельна прямой y=85x+4.

Решение

Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x∈-∞; 2 и [-2; +∞). Получаем, что

y=-115×3+18×2+105x+176, x∈-∞; -2115×3-6×2+9x+12, x∈[-2; +∞)

Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что

y’=-115×3+18×2+105x+176′, x∈-∞; -2115×3-6×2+9x+12′, x∈[-2; +∞)⇔y’=-15(x2+12x+35), x∈-∞; -215×2-4x+3, x∈[-2; +∞)

Когда х=-2, тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:

limx→-2-0y'(x)=limx→-2-0-15(x2+12x+35=-15(-2)2+12(-2)+35=-3limx→-2+0y'(x)=limx→-2+015(x2-4x+3)=15-22-4-2+3=3

Вычисляем значение функции в точке х=-2, где получаем, что

  1. y(-2)=115-2+23-45(-2)2-165(-2)-265+3-2+2=-2, то есть касательная в точке (-2;-2) не будет существовать.
  2. Касательная параллельна ох, когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда kx=tg αx=f'(x0). То есть необходимо найти значения таких х, когда производная функции  обращает ее в ноль. То есть значения f’(x) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной ох.

Когда x∈-∞; -2, тогда -15(x2+12x+35)=0, а при x∈(-2; +∞) получаем 15(x2-4x+3)=0.

Решим:

-15(x2+12x+35)=0D=122-4·35=144-140=4×1=-12+42=-5∈-∞; -2×2=-12-42=-7∈-∞; -2   15(x2-4x+3)=0D=42-4·3=4×3=4-42=1∈-2; +∞x4=4+42=3∈-2; +∞

Вычисляем соответствующие значения функции

y1=y-5=115-5+23-45-52-165-5-265+3-5+2=85y2=y(-7)=115-7+23-45(-7)2-165-7-265+3-7+2=43y3=y(1)=1151+23-45·12-165·1-265+31+2=85y4=y(3)=1153+23-45·32-165·3-265+33+2=43

Отсюда -5; 85, -4; 43, 1; 85, 3; 43 считаются искомыми точками графика функции.

Рассмотрим графическое изображение решения.

Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.

  1. Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 85 . Для этого нужно решить уравнение вида y'(x)=85. Тогда, если x∈-∞; -2, получаем, что -15(x2+12x+35)=85, а если x∈(-2; +∞), тогда 15(x2-4x+3)=85.

Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что

-15×2+12x+35=85×2+12x+43=0D=122-4·43=-28<0

Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда

15(x2-4x+3)=85×2-4x-5=0D=42-4·(-5)=36×1=4-362=-1∈-2; +∞x2=4+362=5∈-2; +∞

Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что

y1=y(-1)=115-1+23-45(-1)2-165(-1)-265+3-1+2=415y2=y(5)=1155+23-45·52-165·5-265+35+2=83

Точки со значениями -1; 415, 5; 83 являются точками, в которых касательные параллельны прямой y=85x+4.

Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y=85x+4, синяя линия – касательные  в точках -1; 415, 5; 83.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.

Пример 5

Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y=3cos32x-π4-13, которые располагаются перпендикулярно прямой y=-2x+12.

Решение

Для составления уравнения касательной необходимо найти коэффициент и координаты точки касания, исходя из условия перпендикулярности прямых. Определение звучит так: произведение угловых коэффициентов, которые перпендикулярны прямым, равняется -1, то есть записывается как kx·k⊥=-1. Из условия имеем, что угловой коэффициент располагается перпендикулярно прямой  и равняется k⊥=-2, тогда kx=-1k⊥=-1-2=12.

Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х, после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной  в точке
x0 получаем, что kx=y'(x0).  Из данного равенства найдем значения х для точек касания.

Получаем, что

y'(x0)=3cos32x0-π4-13’=3·-sin32x0-π4·32×0-π4’==-3·sin32x0-π4·32=-92·sin32x0-π4⇒kx=y'(x0)⇔-92·sin32x0-π4=12⇒sin32x0-π4=-19

Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.

32×0-π4=arcsin-19+2πk или 32×0-π4=π-arcsin-19+2πk

32×0-π4=-arcsin19+2πk или 32×0-π4=π+arcsin19+2πk

x0=23π4-arcsin19+2πk или x0=235π4+arcsin19+2πk, k∈Z

Z- множество целых чисел.

Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у:

y0=3cos32x0-π4-13

y0=3·1-sin232x0-π4-13 или y0=3·-1-sin232x0-π4-13

y0=3·1—192-13 или y0=3·-1—192-13

y0=45-13 или y0=-45+13

Отсюда получаем, что 23π4-arcsin19+2πk; 45-13, 235π4+arcsin19+2πk; -45+13 являются точками касания.

Ответ: необходимы уравнения запишутся как

y=12x-23π4-arcsin19+2πk+45-13,y=12x-235π4+arcsin19+2πk-45+13, k∈Z

Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.

Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [-10;10], где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y=-2x+12. Красные точки – это точки касания.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.

Касательная к окружности

Для задания окружности  с центром  в точке xcenter; ycenter и радиусом R применяется формула x-xcenter2+y-ycenter2=R2.

Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:

y=R2-x-xcenter2+ycentery=-R2-x-xcenter2+ycenter

Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.

Для составления уравнения окружности  в точке x0; y0, которая располагается  в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y=R2-x-xcenter2+ycenter или y=-R2-x-xcenter2+ycenter в указанной точке.

Когда в точках xcenter; ycenter+R и xcenter; ycenter-R касательные могут быть заданы уравнениями y=ycenter+R и y=ycenter-R, а  в точках xcenter+R; ycenter и
xcenter-R; ycenter будут являться параллельными оу, тогда получим уравнения вида x=xcenter+R и x=xcenter-R.

Касательная к эллипсу

Когда эллипс имеет центр  в точке xcenter; ycenter с полуосями a и b, тогда он может быть задан при помощи уравнения x-xcenter2a2+y-ycenter2b2=1.

Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что

y=ba·a2-(x-xcenter)2+ycentery=-ba·a2-(x-xcenter)2+ycenter

Если  касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны ох или оу. Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.

Пример 6

Написать уравнение касательной к эллипсу x-324+y-5225=1 в точках со значениями x равного х=2.

Решение

Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х=2. Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что

x-324x=2+y-5225=114+y-5225=1⇒y-52=34·25⇒y=±532+5

Тогда 2; 532+5 и 2; -532+5 являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу.

Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y. Получим, что

x-324+y-5225=1y-5225=1-x-324(y-5)2=25·1-x-324y-5=±5·1-x-324y=5±524-x-32

Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y=5+524-x-32, а нижний y=5-524-x-32.

Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2; 532+5 будет иметь вид

y’=5+524-x-32’=52·124-(x-3)2·4-(x-3)2’==-52·x-34-(x-3)2⇒y'(x0)=y'(2)=-52·2-34-(2-3)2=523⇒y=y'(x0)·x-x0+y0⇔y=523(x-2)+532+5

Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке
2; -532+5 принимает вид

y’=5-524-(x-3)2’=-52·124-(x-3)2·4-(x-3)2’==52·x-34-(x-3)2⇒y'(x0)=y'(2)=52·2-34-(2-3)2=-523⇒y=y'(x0)·x-x0+y0⇔y=-523(x-2)-532+5

Графически касательные обозначаются  так:

Касательная к гиперболе

Когда гипербола имеет центр в точке xcenter; ycenter и вершины xcenter+α; ycenter и xcenter-α; ycenter, имеет место задание неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=1, если с вершинами xcenter; ycenter+b и xcenter; ycenter-b, тогда задается при помощи неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=-1.

Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида

y=ba·(x-xcenter)2-a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2-a2+ycenter или y=ba·(x-xcenter)2+a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2+a2+ycenter

В первом случае имеем, что касательные параллельны оу, а во втором параллельны ох.

Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.

Пример 7

Составить уравнение касательной к гиперболе x-324-y+329=1 в точке 7; -33-3.

Решение

Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что

x-324-y+329=1⇒y+329=x-324-1⇒y+32=9·x-324-1⇒y+3=32·x-32-4 или y+3=-32·x-32-4⇒y=32·x-32-4-3y=-32·x-32-4-3

Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами 7; -33-3.

Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y(7)=32·(7-3)2-4-3=33-3≠-33-3, тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется.

Для второй функции имеем, что y(7)=-32·(7-3)2-4-3=-33-3≠-33-3, значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент.

Получаем, что

y’=-32·(x-3)2-4-3’=-32·x-3(x-3)2-4⇒kx=y'(x0)=-32·x0-3×0-32-4×0=7=-32·7-37-32-4=-3

Ответ: уравнение касательной можно представить как

y=-3·x-7-33-3=-3·x+43-3

Наглядно изображается так:

Касательная к параболе

Чтобы составить уравнение касательной к параболе y=ax2+bx+c в точке x0, y(x0), необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y=y'(x0)·x-x0+y(x0). Такая касательная в вершине параллельна ох.

Следует задать параболу x=ay2+by+c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у. Получаем, что

x=ay2+by+c⇔ay2+by+c-x=0D=b2-4a(c-x)y=-b+b2-4a(c-x)2ay=-b-b2-4a(c-x)2a

Графически изобразим как:

Для выяснения принадлежности точки x0, y(x0) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна оу относительно параболы.

Пример 8

Написать уравнение касательной к графику x-2y2-5y+3, когда имеем угол наклона касательной 150°.

Решение

Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что

-2y2-5y+3-x=0D=(-5)2-4·(-2)·(3-x)=49-8xy=5+49-8x-4y=5-49-8x-4

Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.

Получаем:

kx=y'(x0)=tg αx=tg 150°=-13

Отсюда определим значение х для точек касания.

Первая функция запишется как

y’=5+49-8x-4’=149-8x⇒y'(x0)=149-8×0=-13⇔49-8×0=-3

Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150° для такой функции не существует.

Вторая функция запишется как

y’=5-49-8x-4’=-149-8x⇒y'(x0)=-149-8×0=-13⇔49-8×0=-3×0=234⇒y(x0)=5-49-8·234-4=-5+34

Имеем, что точки касания — 234; -5+34.

Ответ: уравнение касательной принимает вид

y=-13·x-234+-5+34

Графически изобразим это таким образом:

Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной

Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.

Определения и понятия

Определение 1

Угол наклона прямой y=kx+b называется  угол α, который отсчитывается от положительного направления оси ох к прямой y=kx+b в положительном направлении.

На рисунке направление ох обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.

Определение 2

Угловой коэффициент прямой y=kx+b называют числовым коэффициентом k.

Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k=tg α.

  • Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности ох и  угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0. Значит, вид уравнения будет y=b.
  • Если угол наклона прямой y=kx+b острый, тогда выполняются условия 0<α<π2 или 0°<α<90°. Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию tg α>0, причем имеется возрастание графика.
  • Если α=π2, тогда расположение прямой перпендикулярно ох. Равенство задается при помощи равенства x=c со значением с, являющимся действительным числом.
  • Если угол наклона прямой y=kx+b тупой, то соответствует условиям π2<α<π или 90°<α<180°, значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Определение 3

Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f(x). Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.

По рисунку видно, что АВ является секущей, а f(x) – черная кривая, α — красная дуга, означающая угол наклона секущей.

Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника АВС можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.

Определение 4

Получаем формулу для нахождения секущей вида:

k=tg α=BCAC=f(xB)-fxAxB-xA, где абсциссами точек А и В являются значения xA, xB, а f(xA), f(xB) — это значения функции в этих точках.

Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k=f(xB)-f(xA)xB-xA или k=f(xA)-f(xB)xA-xB, причем уравнение необходимо записать как y=f(xB)-f(xA)xB-xA·x-xA+f(xA) или
y=f(xA)-f(xB)xA-xB·x-xB+f(xB).

Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А, от А до В, справа от В. На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.

По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.

Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у=0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.

Определение 5

Касательная к графику функции f(x) в точке x0; f(x0) называется прямая, проходящая через заданную точку x0; f(x0),  с наличием отрезка, который имеет множество значений х, близких к x0.

Пример 1

Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y=x+1, считается касательной к y=2x в точке  с координатами (1; 2). Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к (1; 2) значениями. Функция y=2x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения.

Очевидно, что y=2x сливается с прямой у=х+1.

Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной АВ при бесконечном приближении точки В к точке А. Для наглядности приведем рисунок.

Секущая АВ, обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной αx.

Определение 6

Касательной к графику функции y=f(x) в точке А считается предельное положение секущей АВ при В стремящейся к А, то есть B→A.

Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.

Геометрический смысл производной функции в точке

Перейдем к рассмотрению секущей АВ для функции f(x), где А и В с координатами x0, f(x0) и x0+∆x, f(x0+∆x), а ∆x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆y=∆f(x)=f(x0+∆x)-f(∆x). Для наглядности приведем в пример рисунок.

Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник АВС. Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆y∆x=tg α. Из определения касательной следует, что lim∆x→0∆y∆x=tg αx. По правилу производной в точке имеем, что производную f(x) в точке x0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆x→0, тогда обозначим как f(x0)=lim∆x→0∆y∆x.

Отсюда следует, что f'(x0)=lim∆x→0∆y∆x=tg αx=kx, где kx обозначают в качестве углового коэффициента касательной.

То есть получаем, что f’(x) может существовать  в точке x0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x0, f0(x0), где значение углового коэффициента касательной  в точке равняется производной  в точке x0. Тогда получаем, что kx=f'(x0).

Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.

Уравнение касательной прямой

Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x0 при пересечении.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0, f0(x0) принимает вид y=f'(x0)·x-x0+f(x0).

Имеется в виду, что конечным значением производной f'(x0) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии limx→x0+0f'(x)=∞ и limx→x0-0f'(x)=∞ или отсутствие вовсе при условии limx→x0+0f'(x)≠limx→x0-0f'(x).

Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента kx=f'(x0). При параллельности к оси ох получаем, что kk=0, при параллельности к оу — kx=∞, причем вид уравнения касательной x=x0 возрастает при kx>0, убывает при kx<0.

Пример 2

Произвести составление уравнения касательной к графику функции y=ex+1+x33-6-33x-17-33 в точке  с координатами (1; 3) с определением угла наклона.

Решение

По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, (1; 3) является точкой касания, тогда x0=-1, f(x0)=-3.

Необходимо найти производную в точке со значением -1. Получаем, что

y’=ex+1+x33-6-33x-17-33’==ex+1’+x33′-6-33x’-17-33’=ex+1+x2-6-33y'(x0)=y'(-1)=e-1+1+-12-6-33=33

Значение f’(x) в точке касания является  угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.

Тогда kx=tg αx=y'(x0)=33

Отсюда следует, что αx=arctg33=π6

Ответ: уравнение касательной приобретает вид

y=f'(x0)·x-x0+f(x0)y=33(x+1)-3y=33x-9-33

Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.

Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает  в увеличенном виде.

Пример 3

Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции
y=3·x-15+1 в точке с координатами (1;1). Составить уравнение и определить угол наклона.

Решение

По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.

Перейдем к нахождению производной

y’=3·x-15+1’=3·15·(x-1)15-1=35·1(x-1)45

Если x0=1, тогда f’(x) не определена, но пределы записываются как  limx→1+035·1(x-1)45=35·1(+0)45=35·1+0=+∞ и limx→1-035·1(x-1)45=35·1(-0)45=35·1+0=+∞, что означает существование вертикальной касательной в точке (1;1).

Ответ: уравнение примет вид х=1, где угол наклона будет равен π2.

Для наглядности изобразим графически.

Пример 4

Найти точки графика функции y=115x+23-45×2-165x-265+3x+2, где

  1. Касательная не существует;
  2. Касательная располагается параллельно ох;
  3. Касательная параллельна прямой y=85x+4.

Решение

Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x∈-∞; 2 и [-2; +∞). Получаем, что

y=-115×3+18×2+105x+176, x∈-∞; -2115×3-6×2+9x+12, x∈[-2; +∞)

Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что

y’=-115×3+18×2+105x+176′, x∈-∞; -2115×3-6×2+9x+12′, x∈[-2; +∞)⇔y’=-15(x2+12x+35), x∈-∞; -215×2-4x+3, x∈[-2; +∞)

Когда х=-2, тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:

limx→-2-0y'(x)=limx→-2-0-15(x2+12x+35=-15(-2)2+12(-2)+35=-3limx→-2+0y'(x)=limx→-2+015(x2-4x+3)=15-22-4-2+3=3

Вычисляем значение функции в точке х=-2, где получаем, что

  1. y(-2)=115-2+23-45(-2)2-165(-2)-265+3-2+2=-2, то есть касательная в точке (-2;-2) не будет существовать.
  2. Касательная параллельна ох, когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда kx=tg αx=f'(x0). То есть необходимо найти значения таких х, когда производная функции  обращает ее в ноль. То есть значения f’(x) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной ох.

Когда x∈-∞; -2, тогда -15(x2+12x+35)=0, а при x∈(-2; +∞) получаем 15(x2-4x+3)=0.

Решим:

-15(x2+12x+35)=0D=122-4·35=144-140=4×1=-12+42=-5∈-∞; -2×2=-12-42=-7∈-∞; -2   15(x2-4x+3)=0D=42-4·3=4×3=4-42=1∈-2; +∞x4=4+42=3∈-2; +∞

Вычисляем соответствующие значения функции

y1=y-5=115-5+23-45-52-165-5-265+3-5+2=85y2=y(-7)=115-7+23-45(-7)2-165-7-265+3-7+2=43y3=y(1)=1151+23-45·12-165·1-265+31+2=85y4=y(3)=1153+23-45·32-165·3-265+33+2=43

Отсюда -5; 85, -4; 43, 1; 85, 3; 43 считаются искомыми точками графика функции.

Рассмотрим графическое изображение решения.

Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.

  1. Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 85 . Для этого нужно решить уравнение вида y'(x)=85. Тогда, если x∈-∞; -2, получаем, что -15(x2+12x+35)=85, а если x∈(-2; +∞), тогда 15(x2-4x+3)=85.

Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что

-15×2+12x+35=85×2+12x+43=0D=122-4·43=-28<0

Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда

15(x2-4x+3)=85×2-4x-5=0D=42-4·(-5)=36×1=4-362=-1∈-2; +∞x2=4+362=5∈-2; +∞

Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что

y1=y(-1)=115-1+23-45(-1)2-165(-1)-265+3-1+2=415y2=y(5)=1155+23-45·52-165·5-265+35+2=83

Точки со значениями -1; 415, 5; 83 являются точками, в которых касательные параллельны прямой y=85x+4.

Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y=85x+4, синяя линия – касательные  в точках -1; 415, 5; 83.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.

Пример 5

Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y=3cos32x-π4-13, которые располагаются перпендикулярно прямой y=-2x+12.

Решение

Для составления уравнения касательной необходимо найти коэффициент и координаты точки касания, исходя из условия перпендикулярности прямых. Определение звучит так: произведение угловых коэффициентов, которые перпендикулярны прямым, равняется -1, то есть записывается как kx·k⊥=-1. Из условия имеем, что угловой коэффициент располагается перпендикулярно прямой  и равняется k⊥=-2, тогда kx=-1k⊥=-1-2=12.

Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х, после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной  в точке
x0 получаем, что kx=y'(x0).  Из данного равенства найдем значения х для точек касания.

Получаем, что

y'(x0)=3cos32x0-π4-13’=3·-sin32x0-π4·32×0-π4’==-3·sin32x0-π4·32=-92·sin32x0-π4⇒kx=y'(x0)⇔-92·sin32x0-π4=12⇒sin32x0-π4=-19

Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.

32×0-π4=arcsin-19+2πk или 32×0-π4=π-arcsin-19+2πk

32×0-π4=-arcsin19+2πk или 32×0-π4=π+arcsin19+2πk

x0=23π4-arcsin19+2πk или x0=235π4+arcsin19+2πk, k∈Z

Z- множество целых чисел.

Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у:

y0=3cos32x0-π4-13

y0=3·1-sin232x0-π4-13 или y0=3·-1-sin232x0-π4-13

y0=3·1—192-13 или y0=3·-1—192-13

y0=45-13 или y0=-45+13

Отсюда получаем, что 23π4-arcsin19+2πk; 45-13, 235π4+arcsin19+2πk; -45+13 являются точками касания.

Ответ: необходимы уравнения запишутся как

y=12x-23π4-arcsin19+2πk+45-13,y=12x-235π4+arcsin19+2πk-45+13, k∈Z

Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.

Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [-10;10], где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y=-2x+12. Красные точки – это точки касания.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.

Касательная к окружности

Для задания окружности  с центром  в точке xcenter; ycenter и радиусом R применяется формула x-xcenter2+y-ycenter2=R2.

Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:

y=R2-x-xcenter2+ycentery=-R2-x-xcenter2+ycenter

Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.

Для составления уравнения окружности  в точке x0; y0, которая располагается  в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y=R2-x-xcenter2+ycenter или y=-R2-x-xcenter2+ycenter в указанной точке.

Когда в точках xcenter; ycenter+R и xcenter; ycenter-R касательные могут быть заданы уравнениями y=ycenter+R и y=ycenter-R, а  в точках xcenter+R; ycenter и
xcenter-R; ycenter будут являться параллельными оу, тогда получим уравнения вида x=xcenter+R и x=xcenter-R.

Касательная к эллипсу

Когда эллипс имеет центр  в точке xcenter; ycenter с полуосями a и b, тогда он может быть задан при помощи уравнения x-xcenter2a2+y-ycenter2b2=1.

Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что

y=ba·a2-(x-xcenter)2+ycentery=-ba·a2-(x-xcenter)2+ycenter

Если  касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны ох или оу. Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.

Пример 6

Написать уравнение касательной к эллипсу x-324+y-5225=1 в точках со значениями x равного х=2.

Решение

Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х=2. Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что

x-324x=2+y-5225=114+y-5225=1⇒y-52=34·25⇒y=±532+5

Тогда 2; 532+5 и 2; -532+5 являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу.

Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y. Получим, что

x-324+y-5225=1y-5225=1-x-324(y-5)2=25·1-x-324y-5=±5·1-x-324y=5±524-x-32

Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y=5+524-x-32, а нижний y=5-524-x-32.

Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2; 532+5 будет иметь вид

y’=5+524-x-32’=52·124-(x-3)2·4-(x-3)2’==-52·x-34-(x-3)2⇒y'(x0)=y'(2)=-52·2-34-(2-3)2=523⇒y=y'(x0)·x-x0+y0⇔y=523(x-2)+532+5

Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке
2; -532+5 принимает вид

y’=5-524-(x-3)2’=-52·124-(x-3)2·4-(x-3)2’==52·x-34-(x-3)2⇒y'(x0)=y'(2)=52·2-34-(2-3)2=-523⇒y=y'(x0)·x-x0+y0⇔y=-523(x-2)-532+5

Графически касательные обозначаются  так:

Касательная к гиперболе

Когда гипербола имеет центр в точке xcenter; ycenter и вершины xcenter+α; ycenter и xcenter-α; ycenter, имеет место задание неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=1, если с вершинами xcenter; ycenter+b и xcenter; ycenter-b, тогда задается при помощи неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=-1.

Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида

y=ba·(x-xcenter)2-a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2-a2+ycenter или y=ba·(x-xcenter)2+a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2+a2+ycenter

В первом случае имеем, что касательные параллельны оу, а во втором параллельны ох.

Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.

Пример 7

Составить уравнение касательной к гиперболе x-324-y+329=1 в точке 7; -33-3.

Решение

Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что

x-324-y+329=1⇒y+329=x-324-1⇒y+32=9·x-324-1⇒y+3=32·x-32-4 или y+3=-32·x-32-4⇒y=32·x-32-4-3y=-32·x-32-4-3

Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами 7; -33-3.

Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y(7)=32·(7-3)2-4-3=33-3≠-33-3, тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется.

Для второй функции имеем, что y(7)=-32·(7-3)2-4-3=-33-3≠-33-3, значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент.

Получаем, что

y’=-32·(x-3)2-4-3’=-32·x-3(x-3)2-4⇒kx=y'(x0)=-32·x0-3×0-32-4×0=7=-32·7-37-32-4=-3

Ответ: уравнение касательной можно представить как

y=-3·x-7-33-3=-3·x+43-3

Наглядно изображается так:

Касательная к параболе

Чтобы составить уравнение касательной к параболе y=ax2+bx+c в точке x0, y(x0), необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y=y'(x0)·x-x0+y(x0). Такая касательная в вершине параллельна ох.

Следует задать параболу x=ay2+by+c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у. Получаем, что

x=ay2+by+c⇔ay2+by+c-x=0D=b2-4a(c-x)y=-b+b2-4a(c-x)2ay=-b-b2-4a(c-x)2a

Графически изобразим как:

Для выяснения принадлежности точки x0, y(x0) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна оу относительно параболы.

Пример 8

Написать уравнение касательной к графику x-2y2-5y+3, когда имеем угол наклона касательной 150°.

Решение

Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что

-2y2-5y+3-x=0D=(-5)2-4·(-2)·(3-x)=49-8xy=5+49-8x-4y=5-49-8x-4

Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.

Получаем:

kx=y'(x0)=tg αx=tg 150°=-13

Отсюда определим значение х для точек касания.

Первая функция запишется как

y’=5+49-8x-4’=149-8x⇒y'(x0)=149-8×0=-13⇔49-8×0=-3

Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150° для такой функции не существует.

Вторая функция запишется как

y’=5-49-8x-4’=-149-8x⇒y'(x0)=-149-8×0=-13⇔49-8×0=-3×0=234⇒y(x0)=5-49-8·234-4=-5+34

Имеем, что точки касания — 234; -5+34.

Ответ: уравнение касательной принимает вид

y=-13·x-234+-5+34

Графически изобразим это таким образом:

Внеклассный урок — Касательная к графику функции

Касательная к графику функции

 

Касательная – это прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка (рис.1).

Другое определение: это предельное положение секущей при Δx→0.

Пояснение: Возьмем прямую, пересекающую кривую в двух точках: А и b (см.рисунок). Это секущая. Будем поворачивать ее по часовой стрелке до тех пор, пока она не обретет только одну общую точку с кривой. Так мы получим касательную.

  

Строгое определение касательной:

Касательная к графику функции f, дифференцируемой в точке xо, — это прямая, проходящая через точку (xо; f(xо)) и имеющая угловой коэффициент f ′(xо).  

Угловой коэффициент имеет прямая вида y = kx + b.  Коэффициент k и является угловым коэффициентом этой прямой.

Угловой коэффициент равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс:

 
Здесь угол α – это угол между прямой y = kx + b и положительным (то есть против часовой стрелки) направлением оси абсцисс. Он называется углом наклона прямой (рис.1 и 2).
  Если угол наклона прямой y = kx + b острый, то угловой коэффициент является положительным числом. График возрастает (рис.1).

Если угол наклона прямой y = kx + b тупой, то угловой коэффициент является отрицательным числом. График убывает (рис.2).

Если прямая параллельна оси абсцисс, то угол наклона прямой равен нулю. В этом случае угловой коэффициент прямой тоже равен нулю (так как тангенс нуля есть ноль). Уравнение прямой будет иметь вид y = b (рис. 3).

Если угол наклона прямой равен 90º (π/2), то есть она перпендикулярна оси абсцисс, то прямая задается равенством x = c, где c – некоторое действительное число (рис.4).

 

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке xо:


 y = f(xо) + f ′(xо) (x – xо)

 

Алгоритм решения уравнения касательной к графику функции y = f(x):

1. Вычислить f(xо).

2. Вычислить  производные f ′(x) и f ′(xо).

3. Внести найденные числа xо,  f(xо),  f ′(xо) в уравнение касательной и решить его.

 
Пример: Найдем уравнение касательной к графику функции f(x) = x3 – 2x2 + 1 в точке с абсциссой 2.

Решение.

Следуем алгоритму.

1) Точка касания xо равна 2. Вычислим f(xо):

 f(xо) = f(2) = 23 – 2 ∙ 22 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Находим f ′(x). Для этого применяем формулы дифференцирования, изложенные в предыдущем разделе. Согласно этим формулам, х2 = 2х, а х3 = 3х2. Значит:

f ′(x) = 3х2 – 2 ∙ 2х = 3х2 – 4х.

Теперь, используя полученное значение f ′(x), вычислим f ′(xо):

f ′(xо) = f ′(2) = 3 ∙ 22 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Итак, у нас есть все необходимые данные: xо = 2, f(xо) = 1, f ′(xо) = 4. Подставляем эти числа в уравнение касательной и находим окончательное решение:

у = f(xо) + f ′(xо) (x – xо) = 1 + 4 ∙ (х – 2) = 1 + 4х – 8 = –7 + 4х = 4х – 7.

Ответ: у = 4х – 7.

 

Уравнение касательной к графику функции

Анализ графиков y = sec x и y = cscx и их вариаций

Секущая была определена обратной идентичностью [латекс] \ sec x = \ frac {1} {\ cos x} [/ latex]. Обратите внимание, что функция не определена, когда косинус равен 0, что приводит к вертикальным асимптотам в [latex] \ frac {\ pi} {2} \ text {,} \ frac {3 \ pi} {2} \ text {и т. Д.} [/латекс]. Поскольку косинус никогда не превышает 1 по абсолютной величине, секанс, будучи обратной величиной, никогда не будет меньше 1 по абсолютной величине.

Мы можем построить график [latex] y = \ sec x [/ latex], наблюдая за графиком функции косинуса, потому что эти две функции являются обратными друг другу. См. Рисунок 9. График косинуса показан оранжевой пунктирной волной, поэтому мы можем видеть взаимосвязь. Там, где график функции косинуса уменьшается, график функции секущей увеличивается. Когда график функции косинуса увеличивается, график функции секущей уменьшается. Когда функция косинуса равна нулю, секанс не определен.

Секущий график имеет вертикальные асимптоты при каждом значении x , где косинусный график пересекает ось x ; мы показываем их на приведенном ниже графике пунктирными вертикальными линиями, но не будем показывать явно все асимптоты на всех последующих графиках, включающих секанс и косеканс.

Обратите внимание, что, поскольку косинус является четной функцией, секанс также является четной функцией. То есть [латекс] \ сек (-x) = \ сек x [/ латекс].

Рис. 9. График функции секущей, [латекс] f (x) = \ sec x = \ frac {1} {\ cos x} [/ latex]

Как и для касательной функции, мы снова обратимся к константе | A | как фактор растяжения, а не амплитуда.

A Общее примечание: особенности графика

y = A сек ( Bx )

  • Коэффициент растяжения | A |.
  • Точка [латекс] \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
  • Домен [latex] x \ ne \ frac {\ pi} {2 | B |} k [/ latex], где k — нечетное целое число.
  • Диапазон: (−∞, — | A |] ∪ [| A |, ∞).
  • Вертикальные асимптоты встречаются при [latex] x = \ frac {\ pi} {2 | B |} k [/ latex], где k — нечетное целое число.
  • Нет амплитуды.
  • [latex] y = A \ sec (Bx) [/ latex] — четная функция, потому что косинус — четная функция.

Подобно секансу, косеканс определяется обратной идентичностью [латекс] \ csc x = 1 \ sin x [/ latex]. Обратите внимание, что функция не определена, когда синус равен 0, что приводит к вертикальной асимптоте на графике в точках 0, π и т. Д. Поскольку синус никогда не превышает 1 по абсолютной величине, косеканс, будучи обратной величиной, никогда не будет меньше чем 1 по абсолютной величине.

Мы можем построить график [latex] y = \ csc x [/ latex], наблюдая за графиком синусоидальной функции, потому что эти две функции являются обратными друг другу. См. Рисунок 10. График синуса показан оранжевой пунктирной волной, поэтому мы можем видеть взаимосвязь. Когда график синусоидальной функции уменьшается, график функции косеканса увеличивается. Когда график синусоидальной функции увеличивается, график косекансной функции уменьшается.

График косеканса имеет вертикальные асимптоты при каждом значении x , где синусоидальный график пересекает ось x ; мы показываем их на графике ниже вертикальными пунктирными линиями.

Обратите внимание, что, поскольку синус является нечетной функцией, функция косеканса также является нечетной функцией. То есть [латекс] \ csc (−x) = — \ csc x [/ latex].

График косеканса, показанный на рисунке 10, аналогичен графику секанса.

Рис. 10. График функции косеканса, [латекс] f (x) = \ csc x = 1 \ sin x [/ latex]

Общее примечание: особенности графика [латекса] y = A \ csc (Bx)

  • Коэффициент растяжения | A |.
  • Точка [латекс] \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
  • Домен [latex] x \ ne \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], где k — целое число.
  • Диапазон равен (−∞, — | A |] ∪ [| A |, ∞).
  • Асимптоты встречаются в [latex] x = \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], где k — целое число.
  • [latex] y = A \ csc (Bx) [/ latex] — нечетная функция, потому что синус — нечетная функция.

Графические вариации

y = sec x и y = csc x

Для смещенных, сжатых и / или растянутых версий секущих и косекансных функций мы можем использовать методы, аналогичные тем, которые мы использовали для тангенса и котангенса.То есть мы располагаем вертикальные асимптоты, а также оцениваем функции для нескольких точек (в частности, локальных экстремумов). Если мы хотим построить график только для одного периода, мы можем выбрать интервал для периода более чем одним способом. Процедура для секанса очень похожа, потому что идентичность кофункции означает, что граф секанс такой же, как граф косеканса, сдвинутый на полпериода влево. Вертикальный и фазовый сдвиги могут применяться к функции секущей таким же образом, как для секущей и других функций.Уравнения становятся следующими.

[латекс] y = A \ sec (Bx-C) + D [/ латекс]

[латекс] y = A \ csc (Bx-C) + D [/ латекс]

Общее примечание: особенности графика [латекса] y = A \ sec (Bx-C) + D [/ latex]

  • Коэффициент растяжения | A |.
  • Точка [латекс] \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
  • Домен [латекс] x \ ne \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {2 | B |} k [/ latex], где k — нечетное целое число.
  • Диапазон: (−∞, — | A |] ∪ [| A |, ∞).
  • Вертикальные асимптоты встречаются в [latex] x = \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {2 | B |} k [/ latex], где k — нечетное целое число.
  • Нет амплитуды.
  • [latex] y = A \ sec (Bx) [/ latex] — четная функция, потому что косинус — четная функция.

Общее примечание: особенности графика [латекса] y = A \ csc (Bx-C) + D [/ latex]

  • Коэффициент растяжения | A |.
  • Точка [латекс] \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
  • Домен [латекс] x \ ne \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {2 | B |} k [/ latex], где k — целое число.
  • Диапазон: (−∞, — | A |] ∪ [| A |, ∞).
  • Вертикальные асимптоты встречаются в [latex] x = \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], где k — целое число.
  • Нет амплитуды.
  • [latex] y = A \ csc (Bx) [/ latex] — нечетная функция, потому что синус — нечетная функция.

Как: для функции вида [latex] y = A \ sec (Bx) [/ latex], построить график с одним периодом.

  1. Выразите заданную функцию в виде [латекс] y = A \ sec (Bx) [/ latex].
  2. Укажите коэффициент растяжения / сжатия | A |.
  3. Идентифицируйте B и определите период, [латекс] P = \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
  4. Нарисуйте график [латекс] y = A \ cos (Bx) [/ latex].
  5. Используйте обратную связь между [latex] y = \ cos x [/ latex] и [latex] y = \ sec x [/ latex], чтобы нарисовать график [latex] y = A \ sec (Bx) [/ latex ].
  6. Изобразите асимптоты.
  7. Постройте любые две контрольные точки и проведите через эти точки график.

Пример 6: График изменения секущей функции

Изобразите один период [латекса] f (x) = 2,5 \ сек (0,4x) [/ latex].

Решение

Шаг 1. Данная функция уже записана в общем виде [latex] y = A \ sec (Bx) [/ latex].
Шаг 2. [латекс] A = 2,5 [/ латекс], поэтому коэффициент растяжения равен 2,5.
Шаг 3. [латекс] B = 0,4 [/ латекс], поэтому [латекс] P = \ frac {2 \ pi} {0,4} = 5 \ pi [/ латекс]. Период равен 5π единиц.
Шаг 4. Нарисуйте график функции [латекс] g (x) = 2,5 \ cos (0,4x) [/ latex].
Шаг 5. Используйте обратную связь функций косинуса и секанса, чтобы построить функцию косеканса.
Шаги 6–7. Нарисуйте две асимптоты в [latex] x = 1,25 \ pi [/ latex] и [latex] x = 3,75 \ pi [/ latex]. Мы можем использовать две реперные точки: локальный минимум в (0, 2,5) и локальный максимум в (2,5π, −2,5). На рисунке 11 показан график.

Рисунок 11

Попробовать 4

Изобразите один период [латекса] f (x) = — 2.5 \ сек (0.4x) [/ латекс].

Решение

Вопросы и ответы

Влияют ли вертикальное смещение и растяжение / сжатие на диапазон секущей?

Да. Диапазон f (x) = A сек ( Bx C ) + D равен (−∞, — | A | + D] ∪ [| A | + D, ∞) .

Как сделать: для функции вида [латекс] f (x) = A \ sec (Bx − C) + D [/ latex], построить график с одним периодом.

  1. Выразите заданную функцию в виде [латекс] y = A \ sec (Bx-C) + D [/ latex].
  2. Определите коэффициент растяжения / сжатия, | A |.
  3. Идентифицируйте B и определите период, [latex] \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
  4. Идентифицируйте C и определите фазовый сдвиг, [латекс] \ frac {C} {B} [/ latex].
  5. Нарисуйте график [латекс] y = A \ sec (Bx) [/ latex]. но сместите его вправо на [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] и вверх на D .
  6. Нарисуйте вертикальные асимптоты, которые встречаются в [latex] x = \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {2 | B |} k [/ latex], где k — нечетное целое число.

Пример 7: График изменения секущей функции

Изобразите один период [latex] y = 4 \ sec \ left (\ frac {\ pi} {3} x− \ frac {\ pi} {2} \ right) +1 [/ latex].

Решение

Шаг 1. Выразите заданную функцию в виде [latex] y = 4 \ sec \ left (\ frac {\ pi} {3} x− \ frac {\ pi} {2} \ right) +1 [ /латекс].

Шаг 2. Коэффициент растяжения / сжатия | A | = 4,

Шаг 3. Период

[латекс] \ begin {array} \ frac {2 \ pi} {| B |} = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {3}} \ hfill & \\ = \ frac {2 \ pi} {1} \ times \ frac {3} {\ pi} \ hfill & \\ = 6 \ end {array} [/ latex]

Шаг 4. Фазовый сдвиг

[латекс] \ begin {array} \ frac {C} {B} = \ frac {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {\ pi} {3}} \ hfill & \\ = \ frac { \ pi} {2} \ times \ frac {3} {\ pi} \ hfill & \\ = 1.5 \ end {array} [/ latex]

Шаг 5. Нарисуйте график [latex] y = A \ sec (Bx) [/ latex], но сдвиньте его вправо на [latex] \ frac {C} {B} = 1,5 [/ latex] и выше на D = 6.

Шаг 6. Нарисуйте вертикальные асимптоты, которые возникают при x = 0, x = 3 и x = 6.Существует локальный минимум в (1.5, 5) и локальный максимум в (4.5, −3). На рисунке 12 показан график.

Рисунок 12

Попробовать 5

Изобразите один период [латекса] f (x) = — 6 \ сек (4x + 2) −8 [/ latex].

Решение

Вопросы и ответы

Домен csc

x был задан как все x , так что [latex] x \ ne k \ pi [/ latex] для любого целого числа k . Будет ли домен [latex] y = A \ csc (Bx − C) + D [/ latex] быть [latex] x \ ne \ frac {C + k \ pi} {B} [/ latex]?

Да.Исключенные точки области следуют вертикальным асимптотам. Их расположение показывает горизонтальный сдвиг и сжатие или расширение, подразумеваемые преобразованием входных данных исходной функции.

Как: для функции вида [latex] y = A \ csc (Bx) [/ latex], построить график с одним периодом.

  1. Выразите заданную функцию в виде [латекс] y = A \ csc (Bx) [/ latex].
  2. | A |.
  3. Идентифицируйте B и определите период, [латекс] P = \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
  4. Нарисуйте график [латекс] y = A \ sin (Bx) [/ latex].
  5. Используйте обратную связь между [latex] y = \ sin x [/ latex] и [latex] y = \ csc x [/ latex], чтобы нарисовать график [latex] y = A \ csc (Bx) [/ latex ].
  6. Изобразите асимптоты.
  7. Постройте любые две контрольные точки и проведите через эти точки график.

Пример 8: График изменения функции косеканса

Изобразите один период [латекса] f (x) = — 3 \ csc (4x) [/ latex].

Решение

Шаг 1. Данная функция уже записана в общем виде [latex] y = A \ csc (Bx) [/ latex].

Шаг 2. [латекс] | A | = | −3 | = 3 [/ латекс], поэтому коэффициент растяжения равен 3.

Шаг 3. [латекс] B = 4 \ text {, поэтому} P = \ frac {2 \ pi} {4} = \ frac {\ pi} {2} [/ latex]. Точка [латекс ] \ frac {\ pi} {2} [/ latex] единиц.

Шаг 4. Нарисуйте график функции [latex] g (x) = — 3 \ sin (4x) [/ latex].

Шаг 5. Используйте взаимное отношение функций синуса и косеканса, чтобы построить функцию косеканса.

Шаги 6–7. Нарисуйте три асимптоты в [latex] x = 0 \ text {,} x = \ frac {\ pi} {4} \ text {и} x = \ frac {\ pi} {2} [/ latex]. Мы можно использовать две опорные точки: локальный максимум в [latex] \ left (\ frac {\ pi} {8} \ text {,} −3 \ right) [/ latex] и локальный минимум в [latex] \ left ( \ frac {3 \ pi} {8} \ text {,} 3 \ right) [/ latex]. На рисунке 13 показан график.

Рисунок 13

Попробуй 6

Изобразите один период [латекса] f (x) = 0,5 \ csc (2x) [/ latex].

Решение

Как сделать: для функции вида [латекс] f (x) = A \ csc (Bx − C) + D [/ latex], построить график с одним периодом.

  1. Выразите заданную функцию в виде [латекс] y = A \ csc (Bx-C) + D [/ latex].
  2. Определите коэффициент растяжения / сжатия, | A |.
  3. Идентифицируйте B и определите период, [latex] \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
  4. Идентифицируйте C и определите фазовый сдвиг, [латекс] \ frac {C} {B} [/ latex].
  5. Нарисуйте график [latex] y = A \ csc (Bx) [/ latex], но сдвиньте его вправо на D вверх и вниз.
  6. Нарисуйте вертикальные асимптоты, которые встречаются в [latex] x = \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], где k — целое число.

Пример 9: Графическое изображение косеканса, растянутого по вертикали, сжатого по горизонтали и смещенного по вертикали

Нарисуйте график [латекс] y = 2 \ csc \ left (\ frac {\ pi} {2} x \ right) +1 [/ latex]. Каковы область и диапазон этой функции?

Решение

Шаг 1. Выразите заданную функцию в виде [латекс] y = 2 \ csc \ left (\ frac {\ pi} {2} x \ right) +1 [/ latex].

Шаг 2. Определите коэффициент растяжения / сжатия, [латекс] | A | = 2 [/ латекс].

Шаг 3. Период [latex] \ frac {2 \ pi} {| B |} = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} = \ frac {2 \ pi } {1} \ times \ frac {2} {\ pi} = 4 [/ латекс].

Шаг 4. Фазовый сдвиг [latex] \ frac {0} {\ frac {\ pi} {2}} = 0 [/ latex].

Шаг 5. Нарисуйте график [латекс] y = A \ csc (Bx) [/ latex], но сдвиньте его вверх [latex] D = 1 [/ latex].

Шаг 6. Нарисуйте вертикальные асимптоты, которые возникают при x = 0, x = 2, x = 4.

График этой функции показан на рисунке 14.

Рисунок 14

Анализ решения

Вертикальные асимптоты, показанные на графике, отмечают один период функции, а локальные экстремумы в этом интервале показаны точками. Обратите внимание, как график преобразованного косеканса соотносится с графиком [latex] f (x) = 2 \ sin \ left (\ frac {\ pi} {2} x \ right) +1 [/ latex], показанным как оранжевая пунктирная волна.

Попробуйте 7

Учитывая график [латекса] f (x) = 2 \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} x \ right) +1 [/ latex], показанный на рисунке 15, нарисуйте график [латекса] g (x) = 2 \ sec \ left (\ frac {\ pi} {2} x \ right) +1 [/ latex] на тех же осях.

Рисунок 15

Решение

Анализ графика y = cot x и его вариаций

Последняя тригонометрическая функция, которую нам нужно изучить, — это котангенс . Котангенс определяется обратной идентичностью [латекс] \ cot x = \ frac {1} {\ tan x} [/ latex]. Обратите внимание, что функция не определена, когда функция тангенса равна 0, что приводит к вертикальной асимптоте на графике в точках 0, π и т. Д. Поскольку выходные данные функции касательной являются действительными числами, выходные данные функции котангенса также являются все реальные числа.

Мы можем построить график [latex] y = \ cot x [/ latex], наблюдая за графиком касательной функции, потому что эти две функции являются обратными друг другу. См. Рисунок 16. Если график функции тангенса уменьшается, график функции котангенса увеличивается. Если график функции тангенса увеличивается, график функции котангенса уменьшается.

Граф котангенса имеет вертикальные асимптоты при каждом значении x , где [latex] \ tan x = 0 [/ latex]; мы показываем их на графике ниже пунктирными линиями.Поскольку котангенс является обратной величиной касательной, [latex] \ cot x [/ latex] имеет вертикальные асимптоты при всех значениях x , где [latex] \ tan x = 0 [/ latex] и [latex] \ cot x = 0 [/ latex] при всех значениях x, где tan x имеет свои вертикальные асимптоты.

Рисунок 16. Функция котангенса

A Общее примечание: особенности графика

y = A кроватка ( Bx )

  • Коэффициент растяжения | A |.
  • Точка [латекс] P = \ frac {\ pi} {| B |} [/ latex].
  • Домен [latex] x \ ne \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], где k — целое число.
  • Диапазон составляет (−∞, ∞).
  • Асимптоты встречаются в [latex] x = \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], где k — целое число.
  • [latex] y = A \ cot (Bx) [/ latex] — нечетная функция.

Графические вариации

y = детская кроватка x

Мы можем преобразовать график котангенса почти так же, как мы это сделали для тангенса. Уравнение становится следующим.

[латекс] y = A \ cot (Bx − C) + D [/ латекс]

A Общее примечание: Свойства графика

y = A кроватка ( Bx −C) + D

  • Коэффициент растяжения | A |.
  • Точка [латекс] \ frac {\ pi} {| B |} [/ latex].
  • Домен [латекс] x \ ne \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], где k — целое число.
  • Диапазон: (−∞, — | A |] ∪ [| A |, ∞).
  • Вертикальные асимптоты встречаются в [latex] x = \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], где k — целое число.
  • Нет амплитуды.
  • [latex] y = A \ cot (Bx) [/ latex] — нечетная функция, потому что это частное четных и нечетных функций (косинус и синус, соответственно)

Как сделать: для данной модифицированной функции котангенса вида [латекс] f (x) = A \ cot (Bx) [/ latex], построить график с одним периодом.

  1. Выразите функцию в виде [латекс] f (x) = A \ cot (Bx) [/ latex].
  2. Определите коэффициент растяжения, | A |.
  3. Укажите период, [латекс] P = \ frac {\ pi} {| B |} [/ latex].
  4. Нарисуйте график [латекс] y = A \ tan (Bx) [/ latex].
  5. Постройте любые две опорные точки.
  6. Используйте взаимное отношение между тангенсом и котангенсом, чтобы нарисовать график [латекс] y = A \ cot (Bx) [/ latex].
  7. Изобразите асимптоты.

Пример 10: Графики вариаций функции котангенса

Определите коэффициент растяжения, период и фазовый сдвиг [latex] y = 3 \ cot (4x) [/ latex], а затем нарисуйте график.

Решение

Шаг 1. Выражение функции в виде [латекс] f (x) = A \ cot (Bx) [/ latex] дает [latex] f (x) = 3 \ cot (4x) [/ latex].

Шаг 2. Коэффициент растяжения [латекс] | A | = 3 [/ латекс].

Шаг 3. Период [латекс] P = \ frac {\ pi} {4} [/ latex].

Шаг 4. Нарисуйте график [латекс] y = 3 \ tan (4x) [/ latex].

Шаг 5. Постройте две контрольные точки. Две такие точки: [latex] \ left (\ frac {\ pi} {16} \ text {,} 3 \ right) [/ latex] и [latex] \ left (\ frac {3 \ pi} {16} \ текст {,} −3 \ right) [/ latex].

Шаг 6. Используйте взаимное отношение, чтобы нарисовать [латекс] y = 3 \ cot (4x) [/ latex].

Шаг 7. Нарисуйте асимптоты, [latex] x = 0 [/ latex], [latex] x = \ frac {\ pi} {4} [/ latex].

Оранжевый график на Рисунке 17 показывает [латекс] y = 3 \ tan (4x) [/ latex], а синий график показывает [латекс] y = 3 \ cot (4x) [/ latex].

Рисунок 17

Как сделать: для данной модифицированной функции котангенса вида [латекс] f (x) = A \ cot (Bx − C) + D [/ latex], построить график с одним периодом.

  1. Выразите функцию в виде [латекс] f (x) = A \ cot (Bx-C) + D [/ latex].
  2. Определите коэффициент растяжения, | A |.
  3. Укажите период, [латекс] P = \ frac {\ pi} {| B |} [/ latex].
  4. Определите фазовый сдвиг, [latex] \ frac {C} {B} [/ latex].
  5. Нарисуйте график [latex] y = A \ tan (Bx) [/ latex], сдвинутый вправо на [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] и вверх на D .
  6. Нарисуйте асимптоты [латекс] x = \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], где k — целое число.
  7. Постройте любые три контрольные точки и проведите через эти точки график.

Пример 11: Построение модифицированного котангенса

Нарисуйте график одного периода функции [latex] f (x) = 4 \ cot (\ frac {\ pi} {8} x− \ frac {\ pi} {2}) — 2 [/ latex].

Решение

Шаг 1. Функция уже записана в общем виде [latex] f (x) = A \ cot (Bx − C) + D [/ latex].

Шаг 2. [латекс] A = 4 [/ латекс], поэтому коэффициент растяжения равен 4.

Шаг 3. [latex] B = \ frac {\ pi} {8} [/ latex], поэтому период равен [latex] P = \ frac {\ pi} {| B |} = \ frac {\ pi} {\ frac {\ pi} {8}} = 8 [/ latex].

Шаг 4. [latex] C = \ frac {\ pi} {2} [/ latex], поэтому сдвиг фазы равен [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {\ frac {\ pi } {2}} {\ frac {\ pi} {8}} = 4 [/ латекс].

Шаг 5. Рисуем [латекс] f (x) = 4 \ tan \ left (\ frac {\ pi} {8} x− \ frac {\ pi} {2} \ right) −2 [/ latex ].

Шаг 6-7. Три точки, которые мы можем использовать для построения графика, — это (6,2), (8, −2) и (10, −6).Мы используем взаимное отношение тангенса и котангенса, чтобы нарисовать [латекс] f (x) = 4 \ cot (\ frac {\ pi} {8} x− \ frac {\ pi} {2}) — 2 [/ latex] .

Шаг 8. Вертикальные асимптоты [латекс] x = 4 [/ латекс] и [латекс] x = 12 [/ латекс].

График показан на рисунке 18.

Рисунок 18. Один период модифицированной функции котангенса.

Ключевые уравнения

Функция касательной со смещением, сжатием и / или растяжением [латекс] y = A \ tan (Bx-C) + D [/ латекс]
Сдвинутая, сжатая и / или растянутая секущая функция [латекс] y = A \ sec (Bx-C) + D [/ латекс]
Сдвинутый, сжатый и / или растянутый косеканс [латекс] y = A \ csc (Bx-C) + D [/ латекс]
Функция котангенса со смещением, сжатием и / или растяжением [латекс] y = A \ cot (Bx − C) + D [/ латекс]

Ключевые понятия

  • Касательная функция имеет период π.
  • [латекс] f (x) = A \ tan (Bx-C) + D [/ latex] — касательная с вертикальным и / или горизонтальным растяжением / сжатием и сдвигом.
  • Секанс и косеканс — периодические функции с периодом 2π. [latex] f (x) = A \ sec (Bx-C) + D [/ latex] дает сдвинутый, сжатый и / или растянутый график функции секущей.
  • [латекс] f (x) = A \ csc (Bx-C) + D [/ latex] дает сдвинутый, сжатый и / или растянутый график функции косеканса.
  • Функция котангенса имеет период π и вертикальные асимптоты в точках 0, ± π, ± 2π,….
  • Диапазон котангенса равен (−∞, ∞), и функция убывает в каждой точке своего диапазона.
  • Котангенс равен нулю в [latex] \ ne \ frac {\ pi} {2} \ text {,} \ ne \ frac {3 \ pi} {2} [/ latex],….
  • [латекс] f (x) = A \ cot (Bx-C) + D [/ latex] — котангенс с вертикальным и / или горизонтальным растяжением / сжатием и сдвигом.
  • Реальные сценарии могут быть решены с использованием графиков тригонометрических функций.

Раздел упражнения

1. Объясните, как можно использовать график синусоидальной функции для построения графика [латекс] y = \ csc x [/ latex].

2. Как можно использовать график [latex] y = \ cos x [/ latex] для построения графика [latex] y = \ sec x [/ latex]?

3. Объясните, почему период [latex] \ tan x [/ latex] равен π.

4. Почему на графике [latex] y = \ csc x [/ latex] нет перехватов?

5. Как период [latex] y = \ csc x [/ latex] сравнивается с периодом [latex] y = \ sin x [/ latex]?

Для следующих упражнений сопоставьте каждую тригонометрическую функцию с одним из следующих графиков.

6. [латекс] f (x) = \ tan x [/ латекс]

7. [латекс] f (x) = \ sec x [/ латекс]

8. [латекс] f (x) = \ csc x [/ латекс]

9. [латекс] f (x) = \ cot x [/ латекс]

Для следующих упражнений найдите период и горизонтальный сдвиг каждой функции.

10. [латекс] f (x) = 2 \ tan (4x − 32) [/ латекс]

11. [латекс] h (x) = 2 \ sec \ left (\ frac {\ pi} {4} (x + 1) \ right) [/ latex]

12. [латекс] m (x) = 6 \ csc \ left (\ frac {\ pi} {3} x + \ pi \ right) [/ latex]

13.Если tan x = −1,5, найдите tan (−x).

14. Если sec x = 2, найдите sec (- x ).

15. Если csc x = −5, найдите csc (- x ).

16. Если [латекс] x \ sin x = 2 [/ latex], найдите [латекс] (- x) \ sin (−x) [/ latex].

Для следующих упражнений перепишите каждое выражение так, чтобы аргумент x был положительным.

17. [латекс] \ cot (−x) \ cos (−x) + \ sin (−x) [/ latex]

18. [латекс] \ cos (−x) + \ tan (−x) \ sin (−x) [/ latex]

Для следующих упражнений нарисуйте два периода графика для каждой из следующих функций.Определите коэффициент растяжения, период и асимптоты.

19. [латекс] f (x) = 2 \ tan (4x − 32) [/ латекс]

20. [латекс] h (x) = 2 \ sec \ left (\ frac {\ pi} {4} \ left (x + 1 \ right) \ right) [/ latex]

21. [латекс] m (x) = 6 \ csc \ left (\ frac {\ pi} {3} x + \ pi \ right) [/ latex]

22. [латекс] j (x) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {2} x \ right) [/ latex]

23. [латекс] p (x) = \ tan \ left (x− \ frac {\ pi} {2} \ right) [/ latex]

24. [латекс] f (x) = 4 \ tan (x) [/ латекс]

25. [латекс] f (x) = \ tan \ left (x + \ frac {\ pi} {4} \ right) [/ latex]

26.[латекс] f (x) = \ pi \ tan \ left (\ pi x− \ pi \ right) — \ pi [/ latex]

27. [латекс] f (x) = 2 \ csc (x) [/ латекс]

28. [латекс] f (x) = — \ frac {1} {4} \ csc (x) [/ latex]

29. [латекс] f (x) = 4 \ сек (3x) [/ латекс]

30. [латекс] f (x) = — 3 \ cot (2x) [/ латекс]

31. [латекс] f (x) = 7 \ сек (5x) [/ латекс]

32. [латекс] f (x) = \ frac {9} {10} \ csc (\ pi x) [/ latex]

33. [латекс] f (x) = 2 \ csc \ left (x + \ frac {\ pi} {4} \ right) −1 [/ latex]

34. [латекс] f (x) = — \ sec \ left (x− \ frac {\ pi} {3} \ right) −2 [/ latex]

35.[латекс] f (x) = \ frac {7} {5} \ csc \ left (x− \ frac {\ pi} {4} \ right) [/ latex]

36. [латекс] f (x) = 5 \ left (\ cot \ left (x + \ frac {\ pi} {2} \ right) −3 \ right) [/ latex]

Для следующих упражнений найдите и изобразите два периода периодической функции с заданным коэффициентом растяжения | A |, период и фазовый сдвиг. {2} (x) [/ latex].{2} х [/ латекс]

54. Функция [latex] f (x) = 20 \ tan \ left (\ frac {\ pi} {10} x \ right) [/ latex] отмечает расстояние при движении светового луча от полицейской машины. поперек стены на время x в секундах и расстояние [латекс] f (x) [/ латекс] в футах.

а. График на интервале [0,5].
г. Найдите и интерпретируйте коэффициент растяжения, период и асимптоту.
г. Оцените f (1) и f (2.5) и обсудите значения функции на этих входах.

55. Рыбак стоит на берегу озера и видит вдалеке лодку слева от него.Пусть x , измеренный в радианах, будет углом, образованным линией обзора корабля и линией на север от его местоположения. Предположим, что север равен 0, и x измерены отрицательно слева и положительно справа. (См. Рис. 19.) Лодка движется с запада на восток, и, игнорируя кривизну Земли, расстояние [латекс] d (x) [/ латекс] в километрах от рыбака до лодки определяется выражением функция [латекс] d (x) = 1.5 \ sec (x) [/ latex].

а. Каков разумный домен для [latex] d (x) [/ latex]?
г.График d (x) в этой области.
г. Найдите и обсудите значение любых вертикальных асимптот на графике [latex] d (x) [/ latex].
г. Вычислить и интерпретировать [латекс] d (- \ frac {\ pi} {3}) [/ latex]. Округлить до второго десятичного знака.
e. Вычислить и интерпретировать [латекс] d (\ frac {\ pi} {6}) [/ latex]. Округлить до второго десятичного знака.
ф. Какое минимальное расстояние между рыбаком и лодкой? Когда это происходит?

Рисунок 19

56. Лазерный дальномер зафиксирован на приближающейся к Земле комете.Расстояние [latex] g (x) [/ latex] в километрах от кометы через x дней для x в интервале от 0 до 30 дней определяется как [latex] g (x) = 250,000. \ csc (\ frac {\ pi} {30} x) [/ latex].

а. График [latex] g (x) [/ latex] на интервале [0,35].
г. Оцените [latex] g (5) [/ latex] и интерпретируйте информацию.
г. Какое минимальное расстояние между кометой и Землей? Когда это происходит? Какой константе в уравнении это соответствует?
г. Найдите и обсудите значение любых вертикальных асимптот.

57. Видеокамера сфокусирована на ракете на стартовой площадке в 2 милях от камеры. Угол подъема от земли до ракеты через x секунд составляет [latex] \ frac {\ pi} {120} x [/ latex].

а. Напишите функцию, выражающую высоту [латекс] h (x) [/ latex] в милях над землей после x секунд. Игнорируйте кривизну Земли.
г. График [latex] h (x) [/ latex] на интервале (0,60).
г. Оцените и интерпретируйте значения [латекс] h (0) [/ латекс] и [латекс] h (30) [/ латекс].{2} — 4x + 3 = 0 \\
(х-3) (х-1) = 0 \\
х = 3 \ текст {или} х = 1 \\
\ text {Shape: «frown»} (a Найдите уравнения касательных к \ (f \) в точке:

  1. \ (y \) — точка пересечения \ (f \).
  2. поворотный момент \ (f \).
  3. точка, где \ (x = \ text {4,25} \).
  1. \ begin {align *}
    y _ {\ text {int}}: (0; -3) \\
    m _ {\ text {касательная}} = f ‘(x) & = -2x + 4 \\
    f ‘(0) & = — 2 (0) + 4 \\
    \ поэтому m & = 4 \\
    \ text {Касательная} y & = 4x + c \\
    \ text {Through} (0; -3) \ поэтому y & = 4x-3
    \ end {align *}
  2. \ begin {align *}
    \ text {Поворотный момент:} (2; 1) \\
    m _ {\ text {касательная}} = f ‘(2) & = -2 (2) + 4 \\
    & = 0 \\
    \ text {Касательное уравнение} y & = 1
    \ end {align *}
  3. \ begin {align *}
    \ text {If} x & = \ text {4,25} \\
    f (\ text {4,25}) & = — \ text {4,25} ^ {2} +4 (\ text {4,25}) — 3 \\
    & = — \ text {4,0625} \\
    m _ {\ text {tangent}} \ text {at} x & = \ text {4,25} \\
    m & = — 2 (\ text {4,25}) + 4 \\
    & = — \ текст {4,5} \\
    \ text {Касательная} y & = — \ text {4,5} x + c \\
    \ text {Сквозь} (\ text {4,25}; — \ text {4,0625}) \\
    — \ text {4,0625} & = — \ text {4,5} (\ text {4,25}) + c \\
    \ поэтому c & = \ text {15,0625} \\
    y & = — \ text {4,5} x + \ text {15,0625}
    \ end {align *}

Нарисуйте три касательных выше на вашем графике \ (f \).

Запишите все наблюдения о трех касательных к \ (f \).

Касательная в точке \ (y _ {\ text {int}} \) (синяя линия): градиент положительный, функция увеличивается в этой точке.

Касательная в точке поворота (зеленая линия): градиент равен нулю, касательная — горизонтальная линия, параллельная оси \ (x \).

Касательная в точке \ (x = \ text {4,25} \) (фиолетовая линия): градиент отрицательный, функция в этой точке убывает.

График функции касания — Тригонометрия

График функции касания — Тригонометрия — Открытый справочник по математике

Тангенс угла откладывается от этой меры угла.

Попробуй это
Перетащите
вершине треугольника и посмотрите, как функция касательной изменяется с углом.

Чтобы построить график функции касательной, мы отмечаем угол по горизонтальной оси x, и для каждого угла мы помещаем тангенс этого угла на вертикальную ось y. В результате, как видно выше, получается довольно неровная кривая, уходящая в положительную бесконечность в одном направлении и в отрицательную бесконечность в другом.

На схеме выше перетащите точку A по круговой траектории, чтобы изменить угол CAB.При этом точка на графике перемещается в соответствии с углом и его касательной. (Если вы отметите поле «прогрессивный режим», кривая будет нарисована по мере перемещения точки A, а не по существующей кривой.)

Область касательной функции имеет дыры

Когда вы перетаскиваете точку A вокруг, обратите внимание, что после полного поворота вокруг точки B форма графика повторяется. Форма касательной кривой одинакова для каждого полного поворота угла, поэтому функция называется «периодической».Период функции равен 360 ° или 2π радиан.
Вы можете вращать точку сколько угодно раз.

Это означает, что вы можете найти тангенс любого угла, независимо от его размера, за одним исключением.
Если вы посмотрите на график выше, вы увидите, что tan90 ° не определен, потому что он требует деления на ноль.
Следовательно, такие углы не входят в область функций tan и дают неопределенный результат. Пытаться
tan90 ° на вашем калькуляторе, и вы получите ошибку, а скажем 89.99 будет работать.

Таким образом, домен функции tan — это набор всех действительных чисел , кроме 90 °, -90 °, 270 °, -270 ° и т. Д. (Или эквивалент в радианах: плюс / минус пи более 2, 3pi более 2 и т. Д. ).

Диапазон

Диапазон функции — это набор значений результата, которые она может создать. Функция касательной имеет диапазон от положительной бесконечности до отрицательной бесконечности.

Чтобы понять, почему это происходит, нажмите «Сброс», затем перетащите точку A против часовой стрелки.По мере приближения к точке 90 ° с почти вертикальным AB, вы можете видеть, что BC становится очень маленьким. Поскольку тангенс угла равен «противоположному по соседнему» (TOA), в результате деления числа на очень маленькое число получается очень большое. В конце концов, сторона BC приближается к нулю, а результат стремится к бесконечности.

То же самое происходит во втором квадранте, за исключением того, что BC тогда отрицательна, и поэтому функция приближается к отрицательной бесконечности.

Бесконечность не является действительным числом, поэтому tan90 ° фактически не определен.Однако, когда угол приближается к 90 °, функция возвращает очень большие числа. Например, загар (89,999 °) превышает 57000.

Функция арктангенса

Что, если бы нас попросили найти арктангенс числа, скажем 4,0? Другими словами, мы ищем угол, загар которого равен 4,0.

Если мы посмотрим на кривую выше, мы увидим четыре угла, тангенс которых равен 4,0 (красные точки). Фактически, поскольку график продолжается бесконечно в обоих направлениях, существует бесконечное количество углов, тангенс которых имеет заданное значение.

Так что же говорит калькулятор?

Если вы попросите калькулятор указать арктангенс (tan -1 или atan) числа, он не сможет вернуть бесконечно длинный список углов, поэтому по соглашению он находит только первый.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *