Содержание
Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям
Я начинаю цикл статей, посвященных решению тригонометрических уравнений. Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств мы уже рассматривали, и теперь пора заняться более сложными вещами. Чтобы научиться решать более сложные тригонометрические уравнения, нужно хорошо знать типы тригонометрических уравнений и способы их решения.
Начнем с тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.
Отличительные признаки тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным:
1. В уравнении присутствуют тригонометрические функции от одного аргумента, или они легко сводятся к одному аргументу.
2. В уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция, или все функции можно свести к одной.
Заметим, что легко сводится к или по формуле косинуса двойного аргумента :
.
легко сводится к с помощью основного тригонометрического тождества.
Пример 1. Решим уравнение:
1. Воспользуемся формулой приведения:
Получим уравнение:
2. Теперь нам удобно выразить через , поскольку в уравнении присутствует :
, где
Ответ: , где
Пример 2. Решим уравнение.
Упростим выражение — разложим его на множители по формуле разности квадратов :
Получим:
Введем замену переменной: ,
Получим квадратное уравнение:
По теореме Виета находим корни: , . Оба корня нас устраивают.
Теперь можем вернуться к исходной переменной, получим:
или
, или , где
Ответ: , , где
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Купить видеокурс «ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и С1»
Решение тригонометрических уравнений. Как решить тригонометрическое уравнение.
Решение тригонометрических уравнений требует знания основных формул тригонометрии — сумму квадратов синуса и косинуса, выражение тангенса через синус и косинус и другие. Для тех, кто их забыл или не знает рекомендуем прочитать статью «Основные тригонометрические формулы».
Итак, основные тригонометрические формулы мы знаем, пришло время использовать их на практике. Решение тригонометрических уравнений при правильном подходе – довольно увлекательное занятие, как, например, собрать кубик Рубика.
Исходя из самого названия видно, что тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестное находится под знаком тригонометрической функции.
Существуют так называемые простейшие тригонометрические уравнения. Вот как они выглядят: sinх = а, cos x = a, tg x = a. Рассмотрим, как решить такие тригонометрические уравнения, для наглядности будем использовать уже знакомый тригонометрический круг.
sinх = а
cos x = a
tg x = a
cot x = a
Любое тригонометрическое уравнение решается в два этапа: приводим уравнение к простейшему виду и далее решаем его, как простейшее тригонометрическое уравнение.
Существует 7 основных методов, с помощью которых решаются тригонометрические уравнения.
Метод замены переменной и подстановки
- cos(x + /6) = 1
x + /6 = 2 k
x1 = — /6 + 2 k
- cos(x + /6) = ?
x + /6 = ±arccos 1/2 + 2 k
x2 = ± /3 — /6+ 2 k
Решение тригонометрических уравнений через разложение на множители
- 2sin(x/2) = 0
Это простейшее тригонометрическое уравнение, решение которого
х/2 = k
x1 = 2 k
- cos(x/2) — sin(x/2) = 0
Это уравнение является однородным и решается третьим методом, который мы рассмотрим ниже.
Делим уравнение на cos(x/2) и получаем опять же простейшее тригонометрическое уравнение:
1 — tg(x/2) = 0
tg(x/2) = 1
x/2 = arctg 1 + k
x/2 = /4+ k
x2 = /2+ 2 k
Приведение к однородному уравнению
Решение уравнений, через переход к половинному углу
Введение вспомогательного угла
Преобразование произведения в сумму
Универсальная подстановка
- x (2k + 1) ,
тогда, воспользовавшись тригонометрическими формулами, получим:3[(2tg(x/2))/(1 + tg2 (x/2)] — 4[(1 – tg2 (x/2))/(1 + tg2 (x/2)] = 3
6tg(x/2) – 4 + 4tg2 (x/2) = 3 + 3tg2 (x/2)
tg2 (x/2) + 6tg(x/2) – 7 = 0
Делаем замену tg(x/2) на y и получаем квадратное уравнение:
y2 + 6y -7 = 0
корни которого y1 = -7, y2 = 1
Идем обратно и получаем два простейших уравнения:
1) tg(x/2) = -7
х1 = -2arctg 7 + 2 k
2) tg(x/2) = 1
x2 = /2 + 2k
- x = (2k + 1) ,
тогда 3sin[(2k +1) ] – 4cos[(2k + 1) ] = 4 3
Получаем – решение имеет только первое условие.
Пример.
Решить уравнение 2cos2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
Используя формулы приведения получим:
2cos2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Заменим cos(x + /6) на y для упрощения и получаем обычное квадратное уравнение:
2y2 – 3y + 1 + 0
Корни которого y1 = 1, y2 = 1/2
Теперь идем в обратном порядке
cos(x + /6) = y
Подставляем найденные значения y и получаем два варианта ответа:
Пример.
Как решить уравнение sin x + cos x = 1 ?
Перенесем все влево, чтобы справа остался 0:
sin x + cos x – 1 = 0
Воспользуемся вышерассмотренными тождествами для упрощения уравнения:
sin x — 2 sin2 (x/2) = 0
Делаем разложение на множители:
2sin(x/2) * cos(x/2) — 2 sin2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * [cos(x/2) — sin(x/2)] = 0
Получаем два уравнения
Уравнение является однородным относительно синуса и косинуса, если все его члены относительно синуса и косинуса одной и той же степени одного и того же угла. Для решения однородного уравнения, поступают следующим образом:
а) переносят все его члены в левую часть;
б) выносят все общие множители за скобки;
в) приравнивают все множители и скобки к 0;
г) в скобках получено однородное уравнение меньшей степени, его в свою очередь делят на синус или косинус в старшей степени;
д) решают полученное уравнение относительно tg.
Пример.
Решить уравнение 3sin2x + 4 sin x • cos x + 5 cos2x = 2
Воспользуемся формулой sin2 x + cos2 x = 1 и избавимся от открытой двойки справа:
3sin2x + 4 sin x • cos x + 5 cos x = 2sin2x + 2cos2x
sin2x + 4 sin x • cos x + 3 cos2x = 0
Делим на cos x:
tg2x + 4 tg x + 3 = 0
Заменяем tg x на y и получаем квадратное уравнение:
y2 + 4y +3 = 0, корни которого y1=1, y2 = 3
Отсюда находим два решения исходного уравнения:
1) tg x = –1
x1 = /4+ k
2) tg x = –3
x2 = arctg 3 + k
Пример.
Решить уравнение 3sin x – 5cos x = 7
Переходим к x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos2 (x/2) + 5sin2 (x/2) = 7sin2 (x/2) + 7cos2 (x/2)
Пререносим все влево:
2sin2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos2 (x/2) = 0
Делим на cos(x/2):
tg2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
Ну а дальше уже по отработанной схеме …
Для рассмотрения возьмем уравнение вида: a sin x + b cos x = c ,
где a, b, c – некоторые произвольные коэффициенты, а x – неизвестное.
Обе части уравнения разделим на :
Теперь коэффициенты уравнения согласно тригонометрическим формулам обладают свойствами sin и cos, а именно: их модуль не более 1 и сумма квадратов = 1. Обозначим их соответственно как cos и sin , где – это и есть так называемый вспомогательный угол. Тогда уравнение примет вид:
cos * sin x + sin * cos x = С
или sin(x + ) = C
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения будет
х = (-1) k * arcsin С — + k, где
Следует отметить, что обозначения cos и sin взаимозаменяемые.
Пример.
Решить уравнение sin 3x – cos 3x = 1
В этом уравнении коэффициенты:
а = , b = -1, поэтому делим обе части на = 2
(/2) * sin 3x – (1/2)cos 3x = 1/2
cos( /6) * sin 3x – sin( /6) * cos 3x =1/2
sin(3x – /6) = 1/2
Получаем ответ
x = (-1) k * /18 + /18 + k/3
Здесь мы будем просто использовать тригонометрические формулы
Пример.
Решить уравнение 2 sin x * sin 3x = cos 4x
Левую часть преобразуем в сумму:
cos 4x – cos 8x = cos 4x
Получаем простейшее уравнение:
cos 8x = 0
8x = /2 + k
x = /16 + k/8
Пример.
Решить тригонометрическое уравнение 3sin x – 4cos x = 3
Здесь возможны 2 случая:
Основные методы решения тригонометрических уравнений, мы рассмотрели. Если у вас остались какие либо вопросы о том, как решать тригонометрические уравнения, задавайте их в комментариях ниже.
Будем рады любым ваших вопросам.
Заметка: собираетесь выступать http://prezentacii.com портал готовых презентаций.
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
Методы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс
Тема: «Методы решения тригонометрических уравнений».
Цели урока:
образовательные:
— сформировать навыки различать виды тригонометрических уравнений;
— углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
воспитательные:
— воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
— формирование умения анализировать поставленную задачу;
развивающие:
— формировать навык проводить анализ ситуации с последующим выбором наиболее рационального выхода из нее.
Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.
Начнем урок с повторения основного приема решения любого уравнения: сведение его к стандартному виду. Путем преобразований линейные уравнения сводят к виду ах = в, квадратные – к виду ax 2 + bx + c =0. В случае тригонометрических уравнений необходимо свести их к простейшим, вида: sinx = a , cosx = a , tgx = a , которые легко можно решить.
В первую очередь, конечно, для этого необходимо использовать основные тригонометрические формулы, которые представлены на плакате: формулы сложения, формулы двойного угла, понижения кратности уравнения. Мы уже умеем решать такие уравнения. Повторим некоторые из них:
Вместе с тем существуют уравнения, решение которых требует знаний некоторых специальных приемов.
Темой нашего урока является рассмотрение этих приемов и систематизация методов решения тригонометрических уравнений.
Методы решения тригонометрических уравнений.
1. Преобразование к квадратному уравнению относительно какой-либо тригонометрической функции с последующей заменой переменной.
2. Решение уравнений методом разложения на множители.
3. Решение однородных уравнений.
4. Введение вспомогательного аргумента.
Рассмотрим каждый из перечисленных методов на примерах, но более подробно остановимся на двух последних, так как два первых мы уже использовали при решении уравнений.
1. Преобразование к квадратному уравнению относительно какой-либо тригонометрической функции.
2. Решение уравнений методом разложения на множители.
3. Решение однородных уравнений.
Однородными уравнениями первой и второй степени называются уравнения вида:
соответственно (а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0 ).
При решении однородных уравнений почленно делят обе части уравнения на cosx для (1) уравнения и на cos 2 x для (2). Такое деление возможно, так как sinx и cosx не равны нулю одновременно – они обращаются в нуль в разных точках. Рассмотрим примеры решения однородных уравнений первой и второй степени.
Запомним это уравнение: при рассмотрении следующего метода – введение вспомогательного аргумента, решим его другим способом.
4. Введение вспомогательного аргумента.
Рассмотрим уже решенное предыдущим методом уравнение:
Как видим, получается тот же результат.
Рассмотрим еще один пример:
В рассмотренных примерах было, в общем, понятно, на что требуется разделить исходное уравнение, чтобы ввести вспомогательный аргумент. Но может случиться, что не очевидно, какой делитель выбрать. Для этого существует специальная методика, которую мы сейчас и рассмотрим в общем виде. Пусть дано уравнение:
Разделим уравнение на квадратный корень из выражения (3), получим:
asinx + bcosx = c ,
тогда a 2 + b 2 = 1 и, следовательно, a = sinx и b = cosx . Используя формулу косинуса разности, получим простейшее тригонометрическое уравнение:
которое легко решается.
Решим еще одно уравнение:
Сведем уравнение к одному аргументу – 2 x с помощью формул двойного угла и понижения степени:
Аналогично предыдущим уравнениям, используя формулу синуса суммы, получаем:
что тоже легко решается.
Решите самостоятельно, определив предварительно метод решения:
Итогом урока является проверка решения и оценка учащихся.
Домашнее задание: п. 11, конспект, № 164(б, г), 167(б, г), 169(а, б), 174(а, в).
«Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным». 11-й класс
Цели и задачи урока.
- Образовательные:
- повторить: определение и способы решения
простейших тригонометрических уравнений;
определение квадратного уравнения, формулы
дискриминанта и корней квадратного уравнения - сформировать знания об отличительных признаках
и способах решения тригонометрических
уравнений, сводящихся к квадратным. - уметь: выделять среди тригонометрических
уравнений тригонометрические уравнения,
сводящиеся к квадратным и решать их.
- повторить: определение и способы решения
- Развивающие:
- развивать логическое мышление учащихся, память,
внимание, речь; умения рассуждать и выделять
главное; умение самостоятельно приобретать
знания и применять их на практике, развивать
навыки самоконтроля и взаимоконтроля.
- развивать логическое мышление учащихся, память,
- Воспитательные:
- воспитывать уважительное отношение к
одноклассникам, самостоятельность,
ответственность, эстетический вкус,
аккуратность, интерес к математике.
- воспитывать уважительное отношение к
Оборудование: мультимедийный
проектор, экран, лист самооценки.
Организационные формы общения:
фронтальная, групповая, индивидуальная.
Тип урока: усвоения новых знаний.
Образовательные технологии: ИКТ,
проектная.
План урока.
- Организационный момент, формирование мотивации
работы учащихся. - Формулирование темы, цели урока.
- Актуализация знаний и подготовка учащихся к
активному и сознательному усвоению нового
материала. - Этап усвоения новых знаний и способов действий.
- Этап активной релаксации и активизации.
- Этап первичной проверки понимания изученного.
- Этап рефлексии и оценивания. Подведение итогов
урока. - Этап информирования учащихся о домашнем
задании, инструктаж по его выполнению.
Подготовительная работа
Учащихся класса необходимо заранее поделить на
группы. Принцип деления учащихся на группы
учитель вправе выбрать самостоятельно.
Один из вариантов – группы, в которые вошли бы
учащиеся с разным уровнем математической
подготовки: от «базового» до «продвинутого».
Каждая группа предварительно получает задание
изучить алгоритм решения одного из типов
тригонометрических уравнений (используются
предложенные учителем источники информации и
самостоятельно найденные). Результаты своей
работы члены каждой группы представляют на одном
из уроков по теме «Тригонометрические
уравнения». В зависимости от объёма
предлагаемого материала и его сложности одном
уроке могут успеть выступить 1-2 группы,
представив результаты своей работы.
Предлагаем вашему вниманию урок, на котором
рассматривается решение тригонометрических
уравнений, сводящихся к квадратным.
Из дома реальности легко забрести в лес
математики, но лишь немногие способны вернуться
обратно.
Х. Штейнхаус
Чем больше человек будет становиться
человеком, тем меньше он согласится на
что-либо иное, кроме бесконечного и
неистребимого движения к новому.
Пьер Шарден
ХОД УРОКА
1. Организационный момент, формирование
мотивации работы учащихся (3 мин.)
Приветствие. Фиксация отсутствующих, проверка
готовности учащихся к уроку. Далее каждому
ученику выдаётся оценочный лист. Учитель
кратко комментирует правила заполнения
оценочного листа и предлагает заполнить 1-3
строки. Приложение 1.
Организация внимания учащихся: учитель цитирует
учащимся Пьера Шардена, предлагает пояснить, как
они поняли смысл слов (можно выслушать 2-3
человека), предлагает сделать слова девизом
урока и интересуется, знают ли они, кто является
их автором. Краткая историческая справка
(Слайд 3).
*Инструкция по использованию Презентации
– Приложение 2.
2. Формулирование темы, цели урока (2-3
мин.).
Учитель просит сформулировать тему
предыдущего урока (Решение простейших
тригонометрических уравнений). Интересуется у
учащихся, как они думают, существуют ли другие
типы тригонометрических уравнений? (Да. Если есть
«простейшие», то значит, есть более сложные,
иначе нет необходимости вводить термин
«простейшие», если это единственный тип
тригонометрических уравнений). Исходя из выше
сказанного, предлагает сформулировать тему
сегодняшнего урока (Решение
сложных/других/различных типов
тригонометрических уравнений).
После корректировки темы, предлагает учащимся
записать в их тетрадях: дату проведения урока,
фразу «Классная работа» и тему урока «Решение
различных типов тригонометрических уравнений:
уравнения, сводящиеся к квадратным».
На столе у каждого из учащихся находятся шаблоны
яблок и фломастеры. Предлагается написать на
«яблоках» свои ожидания от предстоящего урока,
тему которого уже сформулировали. После этого
все шаблоны яблок прикрепляются, например, с
помощью скотча на заранее приготовленный плакат
с изображением дерева. Получается «Дерево
ожиданий».
По мере достижения того или иного ожидания
соответствующее яблоко можно считать созревшим
и собирать в корзину. Использование этого
активного метода обучения – наглядный способ
отслеживания продвижения учащихся на уроке. [1]
Возможен другой вариант: учитель
ставит песочные часы перед учениками класса и
предлагает ответить на вопрос о том, чему они
хотят научиться на уроке, тема которого уже
сформулирована (достаточно 1-2 варианта).
3. Актуализация знаний и подготовка
учащихся к активному и сознательному усвоению
нового материала (10 мин.).
Учитель. Герберт Спенсер говорил, что
если знания человека в беспорядочном состоянии,
то чем больше их у него, тем сильнее
расстраивается его мышление. Последуем совету
этого известного британского философа
(информация для общего развития личности –
краткая историческая справка. (Слайд 5) Прежде чем
перейти к изучению нового материала, давайте
вспомним, что мы знаем из раздела
«Тригонометрия».
Фронтальная работа (устно)
– Дайте определение тригонометрического
уравнения.
– Сколько корней может иметь тригонометрическое
уравнение?
– Что такое простейшие тригонометрические
уравнения?
– Что значит решить простейшее
тригонометрическое уравнение?
– Какие способы решения тригонометрических
уравнений вы знаете? (2 варианта: формулы;
единичная окружность).
а) Заполните таблицу:
б) Поставьте в соответствие уравнениям их
решения, представленные на единичных
окружностях (с комментарием)
Самостоятельная работа (Приложение
3)
С последующей взаимопроверкой/самопроверкой
(правильность ответов проверяется с помощью
презентации) на умение решать простейшие
тригонометрические уравнения. Демонстрируется
(Слайд 12). При необходимости решения некоторых
уравнений коротко комментируются.
Заполняется пункт №4 Приложения
1.
4. Этап усвоения новых знаний и способов
действий (15 мин.).
Учащиеся класса предварительно были поделены
на группы, каждая из которых самостоятельно
рассмотрела, используя материал рекомендуемый
учителем и найденный самостоятельно, один из
типов тригонометрических уравнений.
Результаты работы оформляются в виде некой
рекомендации/алгоритма/схемы решения в формате
презентации Power Point. Учитель в случае
необходимости консультирует учащихся групп и
предварительно проверяет итоговый продукт их
работы.
Для презентации результатов того или иного
способа решения на уроке выбирается один из
представителей группы, остальные на уроке
помогают отвечать на возникающие вопросы по
решению данного типа тригонометрического
уравнения. Учащиеся заранее знакомятся с
критериями оценивания своей работы в группе.
Мне приходится делить время
между политикой и уравнениями.
Однако уравнения, по-моему, гораздо важней.
Политика существует только для данного момента,
а уравнения будут существовать вечно.
Альберт
Эйнштейн
Возможные варианты выполнения задания группой.
(Слайды 14-18)
1 группа. Решение тригонометрических
уравнений, сводящихся к квадратным.
Отличительные признаки уравнений,
сводящихся к квадратным:
1. В уравнении присутствуют тригонометрические
функции от одного аргумента или они легко
сводятся к одному аргументу.
2. В уравнении присутствует только одна
тригонометрическая функция или все функции
можно свести к одной.
Алгоритм решения:
– Используются ниже приведённые тождества; с
их помощью необходимо выразить одну
тригонометрическую функцию через другую:
– Выполняется подстановка.
– Выполняется преобразование выражения.
– Вводится обозначение (например, sinx = y).
– Решается квадратное уравнение.
– Подставляется значение обозначенной величины,
и решается тригонометрическое уравнение.
Пример 1
6cos2 x + 5 sin x – 7 = 0.
Решение.
Пример 2
Пример 3
Заполняется пункт №5 Приложения
1.
5. Этап активной релаксации и активизации
(2 мин.).
Авторы метода: С. Казаков, Ю. Долинова. Приложение 4 (текст),
слайды 20-25.
6. Этап первичной проверки понимания
изученного (8 мин.)
Самостоятельная работа (Приложение 5)
Работа дифференцированная, каждый уровень
сложности заданий представлен в двух вариантах.
I уровень – «3», II уровень – «4», III уровень – «5» в
случае полного правильного решения. Работа будет
проверена учителем к следующему уроку, отметки
будут выставлены за урок.
7. Этап рефлексии и оценивания. Подведение
итогов урока (2 мин.).
Заполнить пункт №6,7 листа самооценки – Приложение 1.
8. Этап информирования учащихся о домашнем
задании, инструктаж по его выполнению (2
мин.).
Дифференцированное (раздаётся каждому ученику
на отдельных листах) – Приложение
6
Список литературы:
- Корнилов С.В., Корнилова Л.Э. Методический
ларец. – Петрозаводск: ПетроПресс, 2002. – 12 с.
Решение тригонометрических уравнений | Математика, которая мне нравится
Простейшие тригонометрические уравнения
Уравнение при решений не имеет,
при имеет решения ,
при имеет решения ,
при имеет решения ,
при всех остальных имеет решения .
Уравнение при решений не имеет,
при имеет решения ,
при имеет решения >,
при имеет решения ,
при всех остальных имеет решения .
Уравнение имеет решения .
Уравнение имеет решения .
Приемы решения тригонометрических уравнений
1. Сведение к одной функции
1. заменяем на , — на .
Пример 1.
Пример 2.
2. заменяем на , — на , — на .
Пример 1.
1) 2) ,
В первом случае решений нет, во втором .
Пример 2.
Пример 3.
3. Однородные уравнения относительно .
Если , то деля обе части уравнения на или на , получаем равносильные уравнения. Действительно, пусть — корень уравнения и . Подставляя в уравнение, получаем, что и , а это невозможно.
Пример.
4. Уравнения, приводящиеся к однородным
а) Домножение на
Пример.
б) Переход к половинному аргументу
Пример.
5. Использование формулы
Пример.
6. Замена .
Пример.
Разложение на множители
1. Формулы преобразования суммы в произведение
2. Формулы
Пример 1.
Ответ. .
Пример 2.
, решений нет,
Ответ. , .
Понижение степени
Использование формул
Сравнение левой и правой части
Пример 1.
что невозможно.
Ответ. .
Пример 2.
Ответ. .
Пример 3.
Пусть
Подставляем во второе уравнение:
Ответ. .
Пример 4.
или
Если , то . Если , то .
Ответ. .
Урок 45. тригонометрические уравнения — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №45. Тригонометрические уравнения
Вопросы по теме:
- Формирование системы представлений о способе решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным, дробно-рациональным, алгебраическим степени выше второй методом замены переменной;
- Формирование умений решать методом замены переменной тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным, дробно-рациональным, алгебраическим степени выше второй;
- метод замены переменной в тригонометрических уравнениях.
Глоссарий по теме:
Теорема. Уравнение равносильно на ОДЗ совокупности уравнений
.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. 2014, 712 с.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
На предыдущих уроках мы научились решать простейшие тригонометрические уравнения, а именно, уравнения вида . Решение таких уравнений необходимо для того чтобы успешно решать более сложные уравнения. Кроме того, мы уже узнали, как решаются и некоторые более сложные тригонометрические уравнения. На этом уроке мы продолжим изучение тригонометрических уравнений. Мы будем решать уравнения, которые могут быть решены методом замены переменной.
1. В основе метода замены переменной лежит следующая теорема.
Теорема
Уравнение равносильно на ОДЗ совокупности уравнений
Для того чтобы можно было применить эту теорему, уравнение вида нужно преобразовать к виду . Однако, это не всегда возможно.
Вообще, если тригонометрическое уравнение включает в себя синус и косинус одного и того же аргумента, и одна из них содержится в уравнении в четной степени, а другая в нечетной, то в качестве новой переменной целесообразно рассматривать ту переменную, которая в уравнение входит в нечетной степени.
Например, в уравнении входит в первой и в третьей степени, а — во второй. Поэтому в качестве новой переменной будем рассматривать
Тогда и уравнение примет вид:
или
.
Оно после замены сводится к алгебраическому третьей степени
Оно имеет единственный корень t=1.
Поэтому
2. Теперь рассмотрим более сложные уравнения, которые решаются с помощью замены переменной.
Пример 5.
Решите уравнение:
Решение:
1 способ.
Так как и , то можем записать исходное уравнение таким образом: . Теперь мы получили уравнение, которое включает в себя только одну тригонометрическую функцию Но получающееся после замены уравнение оказывается достаточно сложным, иррациональным. Поэтому рассмотрим другой, более простой способ решения этого уравнения.
2 способ
Возведем обе части равенства в квадрат. Для соблюдения равносильности будем рассматривать только те значения переменной х, при которой (*).
. Раскроем скобки в правой части уравнения и получим:
Так как , то получаем:
или
.
Решая это уравнение, мы можем ввести новую переменную :
t(3t+4)=0
, .
С учетом (*) получаем: .
Ответ: .
Пример 6
Решение:
Пусть , ,
тогда вспомогательное уравнение: , или .
, или
, , .
Ответ: .
Решение тригонометрического уравнения методом замены переменной.
Задание 6.
Решите уравнение:
Решение:
Введем новую переменную .
Вспомогательное уравнение: .
Один из корней получившегося уравнения t=1.
Получаем: , . Так как , то остается только два значения: , то есть .
Получаем ответ:
.
Ответ:
Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:
Пример 1.
Рассмотрим уравнение . Приведем это уравнение к виду . Для этого введем в качестве функции g(x) рассмотрим функцию . Тогда исходное уравнение примет вид:
.
После того как мы представили уравнение в таком виде, можно ввести новую переменную: .
Тогда вспомогательное уравнение будет выглядеть так:
Пример 2.
Решим уравнение
Решение:
Заметим, что левая часть уравнения представляет собой выражение, которое зависит от , поэтому в качестве новой переменной мы можем выбрать .{n}}\cdot 1+\pi n,~n\in Z\)
Так как \( \displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2} \right)=1\)
Но ты же внимательно читал мои пространные рассуждения, не так ли? И ты ведь не напишешь такую чушь? И ты понял, в чем здесь подвох?
А подвох вот в чем:
\( \displaystyle \frac{\pi }{2}\approx \frac{3,14}{2}>1\)
А мы помним, что если правая часть тригонометрического уравнения больше \( \displaystyle 1\) (или меньше \( \displaystyle -1\)), то такое уравнение решений не имеет в принципе!!
Второе рассуждение тем более ересь: \( \displaystyle \arcsin \left( \frac{\pi }{2} \right)\) надо понимать как угол, синус которого равен \( \displaystyle \frac{\pi }{2}\).
А ну-ка попытайся в таблице найти такой угол, синус которого равен \( \displaystyle \frac{\pi }{2}\)?!
Не нашёл? То-то же!
В общем, из того, что \( \displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2} \right)=1\) никак не следует, что и \( \displaystyle \arcsin \left( \frac{\pi }{2} \right)=1\)!!
Из этого только следует, что \( \displaystyle \arcsin 1=\frac{\pi }{2}\)!
4.{n+1}}\arcsin \left( 0,1 \right)+\pi n,~n\in Z\)
5. \( \displaystyle cos\left( x \right)=1\)
И снова по определению (теперь для уравнения другого вида)
\( \displaystyle x=\pm arccos1+2\pi n,~n\in Z\)
Чему равен угол, косинус которого равен \( \displaystyle 1\)?
Этот угол равен\( \displaystyle 0\)!
\( \displaystyle x=\pm 0+2\pi n,~n\in Z\)
Тогда нет смысла прибавлять или вычитать ноль, всё равно это ноль.
\( \displaystyle x=2\pi n,~n\in Z\)
Получили формулу, которая есть в таблице решений тригонометрических уравнений!
Ответ: \( \displaystyle x=2\pi n,~n\in Z\)
6. \( \displaystyle cos\left( x \right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
По определению:
\( \displaystyle x=\pm \arccos \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)+2\pi n,~n\in Z\)
Прежде всего вынесем «минус» по правилам для арккосинуса:
\( \displaystyle x=\pm \left( \pi -\arccos \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right)+2\pi n,~n\in Z\)
Вот так и никак иначе выносится минус, запомни это!
Теперь арккосинус.
Не во всех таблицах есть значение \( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\), но во всех есть \( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)!!!
А теперь, внимание, ловкость рук и никакого мошенничества!
\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Единица деленная на корень из двух равно корень из двух деленное на два!
Я не зря выделил это замечание жирным шрифтом, запомни это тождество хорошенько! Оно спасёт тебя в очень многих случаях!!
Итак, чему же равен угол, косинус которого равен \( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)(или одно и то же \( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\))?
Верно, это угол \( \displaystyle \frac{\pi }{4}\).
Тогда:
\( \displaystyle x=\pm \left( \pi -\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{\pi }{4} \right)+2\pi n,~n\)
\( \displaystyle x=\pm \left( \frac{4\pi }{4}-\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{\pi }{4} \right)+2\pi n,~n\in Z\)
\( \displaystyle x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n,~n\in Z\)
Ответ: \( \displaystyle x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n,~n\in Z\)
7. \( \displaystyle cos\left( x \right)=\frac{\pi }{4}\)
\( \displaystyle cos\left( x \right)=\frac{\pi }{4}\)
Ещё один пример-обманка! Хотя данное уравнение решения имеет, ибо:
\( \displaystyle \frac{\pi }{4}=\frac{3,14}{4}<1\)
Тогда по определению:
\( \displaystyle x=\pm \arccos \left( \frac{\pi }{4} \right)+2\pi n,~n\in Z\)
Но из этого никак не следует, что \( \displaystyle \arccos \left( \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\)!!!!!!
Запомни, арккосинус – это угол, его аргумент (начинка) – это число, а выход – угол!!!
Ты когда-нибудь встречал в своей практике такой странный угол как \( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)?!
Вот и я нет. Поэтому оставим как есть!
Ответ: \( \displaystyle x=\pm \arccos \left( \frac{\pi }{4} \right)+2\pi n,~n\in Z\)
8. \( \displaystyle cos\left( x \right)=-\sqrt{2}\)
Всё просто: \( \displaystyle -\sqrt{2}<-1\)
… и решений данное уравнение не имеет.
9. \( \displaystyle tg\left( x \right)=\sqrt{2}\)
Запишем по определению:
\( \displaystyle x=arctg\sqrt{2}+\pi n,~n\in Z\)
\( \displaystyle arctg\sqrt{2}\) – не табличное значение, поэтому ответ сохраняем неизменным.
Обрати внимание, что в отличие от уравнений с синусом и косинусом, здесь мне не уже важно, какое у меня число стоит в правой части уравнения.
10. \( \displaystyle ctg\left( x \right)=-\sqrt{3}\)
Снова по определению:
\( \displaystyle x=arсctg\left( -\sqrt{3} \right)+\pi n,~n\in Z\)
Без проблем выносим минус из арккотангенса:
\( \displaystyle x=\pi-arcctg\left( \sqrt{3} \right)+\pi n,~n\in Z\)
Вычисляем: котангенс какого угла равен \( \displaystyle \sqrt{3}\)?
Это угол \( \displaystyle \frac{\pi }{6}\).
Ответ: \( \displaystyle x=\pi-\frac{\pi }{6}+\pi n = \frac{5\pi}{6}+\pi n,~n\in Z\).
11. \( \displaystyle ctg\left( x \right)=1\)
По формуле: \( \displaystyle x=arcctg1+\pi n,~n\in Z\).
Котангенс какого угла равен \( \displaystyle 1\)?
Это угол \( \displaystyle \frac{\pi }{4}\).
Ответ: \( \displaystyle x=\frac{\pi }{4}+\pi n,~n\in Z\).
Ну как, материал не кажется тебе слишком сложным? Я надеюсь, что нет. Теперь давай порешаем для закрепления чуть более сложные задачки.
|