Как нарисовать касательную линию в Excel — Вокруг-Дом

Тангенциальная линия — это прямая линия на графике, которая проходит по касательной к кривой линии, составленной из точек данных. В Excel есть возможность автоматически создавать линию тренда, или вы можете вручную нарисовать касательную линию на графике. Тангенциальная линия рисуется касаясь изогнутой линии, так что когда кривая отходит от линии, она равноудалена от линии. В то время как функция линии тренда в Excel покажет тренд всей линии, ручное рисование линии создаст истинную касательную.

Кредит: Драган Радоевич / iStock / Getty Images

Шаг 1

Откройте лист Excel, содержащий данные, которые вы хотите использовать для тангенциальной линии. Изогнутый линейный график основан на наборах двух точек данных, например времени и амплитуды.

Шаг 2

Нажмите и перетащите на электронную таблицу, чтобы выделить данные, которые вы хотите показать, включая метки в вашем выборе.

Шаг 3

Нажмите на вкладку «Вставить», а затем нажмите стрелку вниз рядом с кнопкой «Разброс» в области «Диаграмма». Выберите «Разброс с гладкими линиями». Диаграмма создана в вашей электронной таблице.

Шаг 4

Перейдите на вкладку «Инструменты диаграммы: макет», а затем нажмите кнопку «Линия тренда» справа. Выберите «Линейный», чтобы создать прямую линию, которая приближается к прогрессу изогнутой линии. Он будет пересекать кривую в некоторых точках.

Шаг 5

Нажмите на вкладку «Вставка», а затем нажмите «Фигуры». Выберите «Линия» и нарисуйте линию так, чтобы она просто касалась одной из точек на вашей кривой.

Шаг 6

Нажмите на вкладку «Инструменты рисования: Формат» и нажмите кнопку «Повернуть» справа. Выберите «Дополнительные параметры вращения». Нажмите стрелку «Вверх» или «Вниз» рядом с полем «Поворот» в диалоговом окне, которое появляется, чтобы повернуть линию на кривой. Когда линия будет равноудалена от обеих сторон кривой, нажмите «ОК».

Построение линии тренда в Excel для анализа графика

Очень часто на графиках с большим количеством информации содержит колебания (шумы), из-за которых усложняется восприятия информации. Благодаря линиям тренду можно экспонировать главную тенденцию, которую отображает график. Линия тренда как будто визуально отфильтровывает шумы на графике, а информация становится более понятной.

Как добавить линию тренда на график

Данные в диапазоне A1:B7 отобразим на графике и найдем линейную функциональную зависимость y=f(x):

1. Выделите диапазон A1:B7 и выберите инструмент: «Вставка»-«Диаграммы»-«Точечная»-«Точечная с гладкими кривыми и маркерами».
2. Когда график активный нам доступная дополнительная панель, а в ней выберите инструмент: «Работа с диаграммами»-«Макет»-«Линия тренда»-«Линейное приближение»
3. Сделайте двойной щелчок по лини тренду и в появившемся окне поставьте галочку напротив опции: «показывать уравнение на диаграмме».

Примечание. Если на графике находится несколько линий данных, тогда предварительно следует выделить линию того графика для которого следует включить линию тренда.



Прогнозирование в Excel с помощью линии тренда

Сменим график на гистограмму, чтобы сравнить их уравнения:

1. Щелкните правой кнопкой по графику и выберите опцию из контекстного меню: «Изменить тип диаграммы».
2. В появившемся окне выберите параметр: «Гистограмма»-«Гистограмма с группировкой».

Как видно оба графика отображают одни и те же данные, но у них разные уравнения трендовых линий, сохраняется только направление тенденции (снизу вверх).

Из этого следует, что линия тренда это только аппроксимирующий (приближенный) инструмент.

Сравним уравнения на разных типах графиков. На оси координат XY:

• прямая с уравнением: y=2,4229x-3,519 пересекает вертикальную ось Y в отрицательном значении оси: y=-3,519.
• прямая с уравнением: y=2,4229x+18,287 пересекает вертикальную ось Y на уровне: y=18,287.

Чтобы визуально убедится в этом, сделаем следующее:

1. Снова измените гистограмму на точечную диаграмму. Правой кнопкой по гистограмме «Изменить тип диаграммы», далее «Точечная»-«Точечная с гладкими кривыми и маркерами».
2. Сделайте двойной щелчок по линии тренда и измените ее параметры так: «Прогноз»-«назад на:» установите значение 12,0. И нажмите ОК.

Теперь, даже визуально видно, что угол наклонения линии на разных типов графиков отличается. Но направление тенденции сохраняется. Это удобный инструмент для визуального восприятия тенденции. Но при анализе графиков его следует воспринимать как аппроксимирующий вспомогательный инструмент.

Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной

Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.

Определения и понятия

Определение 1

Угол наклона прямой y=kx+b называется  угол α, который отсчитывается от положительного направления оси ох к прямой y=kx+b в положительном направлении.

На рисунке направление ох обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.

Определение 2

Угловой коэффициент прямой y=kx+b называют числовым коэффициентом k.

Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k=tg α.

• Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности ох и  угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0. Значит, вид уравнения будет y=b.
• Если угол наклона прямой y=kx+b острый, тогда выполняются условия 0<α<π2 или 0°<α<90°. Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию tg α>0, причем имеется возрастание графика.
• Если α=π2, тогда расположение прямой перпендикулярно ох. Равенство задается при помощи равенства x=c со значением с, являющимся действительным числом.
• Если угол наклона прямой y=kx+b тупой, то соответствует условиям π2<α<π или 90°<α<180°, значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Определение 3

Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f(x). Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.

По рисунку видно, что АВ является секущей, а f(x) – черная кривая, α — красная дуга, означающая угол наклона секущей.

Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника АВС можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.

Определение 4

Получаем формулу для нахождения секущей вида:

k=tg α=BCAC=f(xB)-fxAxB-xA, где абсциссами точек А и В являются значения xA, xB, а f(xA), f(xB) — это значения функции в этих точках.

Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k=f(xB)-f(xA)xB-xA или k=f(xA)-f(xB)xA-xB, причем уравнение необходимо записать как y=f(xB)-f(xA)xB-xA·x-xA+f(xA) или
y=f(xA)-f(xB)xA-xB·x-xB+f(xB).

Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А, от А до В, справа от В. На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.

По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.

Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у=0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.

Определение 5

Касательная к графику функции f(x) в точке x0; f(x0) называется прямая, проходящая через заданную точку x0; f(x0),  с наличием отрезка, который имеет множество значений х, близких к x0.

Пример 1

Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y=x+1, считается касательной к y=2x в точке  с координатами (1; 2). Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к (1; 2) значениями. Функция y=2x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения.

Очевидно, что y=2x сливается с прямой у=х+1.

Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной АВ при бесконечном приближении точки В к точке А. Для наглядности приведем рисунок.

Секущая АВ, обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной αx.

Определение 6

Касательной к графику функции y=f(x) в точке А считается предельное положение секущей АВ при В стремящейся к А, то есть B→A.

Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.

Геометрический смысл производной функции в точке

Перейдем к рассмотрению секущей АВ для функции f(x), где А и В с координатами x0, f(x0) и x0+∆x, f(x0+∆x), а ∆x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆y=∆f(x)=f(x0+∆x)-f(∆x). Для наглядности приведем в пример рисунок.

Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник АВС. Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆y∆x=tg α. Из определения касательной следует, что lim∆x→0∆y∆x=tg αx. По правилу производной в точке имеем, что производную f(x) в точке x0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆x→0, тогда обозначим как f(x0)=lim∆x→0∆y∆x.

Отсюда следует, что f'(x0)=lim∆x→0∆y∆x=tg αx=kx, где kx обозначают в качестве углового коэффициента касательной.

То есть получаем, что f’(x) может существовать  в точке x0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x0, f0(x0), где значение углового коэффициента касательной  в точке равняется производной  в точке x0. Тогда получаем, что kx=f'(x0).

Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.

Уравнение касательной прямой

Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x0 при пересечении.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0, f0(x0) принимает вид y=f'(x0)·x-x0+f(x0).

Имеется в виду, что конечным значением производной f'(x0) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии limx→x0+0f'(x)=∞ и limx→x0-0f'(x)=∞ или отсутствие вовсе при условии limx→x0+0f'(x)≠limx→x0-0f'(x).

Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента kx=f'(x0). При параллельности к оси ох получаем, что kk=0, при параллельности к оу — kx=∞, причем вид уравнения касательной x=x0 возрастает при kx>0, убывает при kx<0.

Пример 2

Произвести составление уравнения касательной к графику функции y=ex+1+x33-6-33x-17-33 в точке  с координатами (1; 3) с определением угла наклона.

Решение

По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, (1; 3) является точкой касания, тогда x0=-1, f(x0)=-3.

Необходимо найти производную в точке со значением -1. Получаем, что

y’=ex+1+x33-6-33x-17-33’==ex+1’+x33′-6-33x’-17-33’=ex+1+x2-6-33y'(x0)=y'(-1)=e-1+1+-12-6-33=33

Значение f’(x) в точке касания является  угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.

Тогда kx=tg αx=y'(x0)=33

Отсюда следует, что αx=arctg33=π6

Ответ: уравнение касательной приобретает вид

y=f'(x0)·x-x0+f(x0)y=33(x+1)-3y=33x-9-33

Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.

Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает  в увеличенном виде.

Пример 3

Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции
y=3·x-15+1 в точке с координатами (1;1). Составить уравнение и определить угол наклона.

Решение

По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.

Перейдем к нахождению производной

y’=3·x-15+1’=3·15·(x-1)15-1=35·1(x-1)45

Если x0=1, тогда f’(x) не определена, но пределы записываются как  limx→1+035·1(x-1)45=35·1(+0)45=35·1+0=+∞ и limx→1-035·1(x-1)45=35·1(-0)45=35·1+0=+∞, что означает существование вертикальной касательной в точке (1;1).

Ответ: уравнение примет вид х=1, где угол наклона будет равен π2.

Для наглядности изобразим графически.

Пример 4

Найти точки графика функции y=115x+23-45×2-165x-265+3x+2, где

1. Касательная не существует;
2. Касательная располагается параллельно ох;
3. Касательная параллельна прямой y=85x+4.

Решение

Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x∈-∞; 2 и [-2; +∞). Получаем, что

y=-115×3+18×2+105x+176, x∈-∞; -2115×3-6×2+9x+12, x∈[-2; +∞)

Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что

y’=-115×3+18×2+105x+176′, x∈-∞; -2115×3-6×2+9x+12′, x∈[-2; +∞)⇔y’=-15(x2+12x+35), x∈-∞; -215×2-4x+3, x∈[-2; +∞)

Когда х=-2, тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:

limx→-2-0y'(x)=limx→-2-0-15(x2+12x+35=-15(-2)2+12(-2)+35=-3limx→-2+0y'(x)=limx→-2+015(x2-4x+3)=15-22-4-2+3=3

Вычисляем значение функции в точке х=-2, где получаем, что

1. y(-2)=115-2+23-45(-2)2-165(-2)-265+3-2+2=-2, то есть касательная в точке (-2;-2) не будет существовать.
2. Касательная параллельна ох, когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда kx=tg αx=f'(x0). То есть необходимо найти значения таких х, когда производная функции  обращает ее в ноль. То есть значения f’(x) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной ох.

Когда x∈-∞; -2, тогда -15(x2+12x+35)=0, а при x∈(-2; +∞) получаем 15(x2-4x+3)=0.

Решим:

-15(x2+12x+35)=0D=122-4·35=144-140=4×1=-12+42=-5∈-∞; -2×2=-12-42=-7∈-∞; -2   15(x2-4x+3)=0D=42-4·3=4×3=4-42=1∈-2; +∞x4=4+42=3∈-2; +∞

Вычисляем соответствующие значения функции

y1=y-5=115-5+23-45-52-165-5-265+3-5+2=85y2=y(-7)=115-7+23-45(-7)2-165-7-265+3-7+2=43y3=y(1)=1151+23-45·12-165·1-265+31+2=85y4=y(3)=1153+23-45·32-165·3-265+33+2=43

Отсюда -5; 85, -4; 43, 1; 85, 3; 43 считаются искомыми точками графика функции.

Рассмотрим графическое изображение решения.

Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.

3. Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 85 . Для этого нужно решить уравнение вида y'(x)=85. Тогда, если x∈-∞; -2, получаем, что -15(x2+12x+35)=85, а если x∈(-2; +∞), тогда 15(x2-4x+3)=85.

Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что

-15×2+12x+35=85×2+12x+43=0D=122-4·43=-28<0

Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда

15(x2-4x+3)=85×2-4x-5=0D=42-4·(-5)=36×1=4-362=-1∈-2; +∞x2=4+362=5∈-2; +∞

Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что

y1=y(-1)=115-1+23-45(-1)2-165(-1)-265+3-1+2=415y2=y(5)=1155+23-45·52-165·5-265+35+2=83

Точки со значениями -1; 415, 5; 83 являются точками, в которых касательные параллельны прямой y=85x+4.

Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y=85x+4, синяя линия – касательные  в точках -1; 415, 5; 83.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.

Пример 5

Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y=3cos32x-π4-13, которые располагаются перпендикулярно прямой y=-2x+12.

Решение

Для составления уравнения касательной необходимо найти коэффициент и координаты точки касания, исходя из условия перпендикулярности прямых. Определение звучит так: произведение угловых коэффициентов, которые перпендикулярны прямым, равняется -1, то есть записывается как kx·k⊥=-1. Из условия имеем, что угловой коэффициент располагается перпендикулярно прямой  и равняется k⊥=-2, тогда kx=-1k⊥=-1-2=12.

Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х, после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной  в точке
x0 получаем, что kx=y'(x0).  Из данного равенства найдем значения х для точек касания.

Получаем, что

y'(x0)=3cos32x0-π4-13’=3·-sin32x0-π4·32×0-π4’==-3·sin32x0-π4·32=-92·sin32x0-π4⇒kx=y'(x0)⇔-92·sin32x0-π4=12⇒sin32x0-π4=-19

Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.

32×0-π4=arcsin-19+2πk или 32×0-π4=π-arcsin-19+2πk

32×0-π4=-arcsin19+2πk или 32×0-π4=π+arcsin19+2πk

x0=23π4-arcsin19+2πk или x0=235π4+arcsin19+2πk, k∈Z

Z- множество целых чисел.

Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у:

y0=3cos32x0-π4-13

y0=3·1-sin232x0-π4-13 или y0=3·-1-sin232x0-π4-13

y0=3·1—192-13 или y0=3·-1—192-13

y0=45-13 или y0=-45+13

Отсюда получаем, что 23π4-arcsin19+2πk; 45-13, 235π4+arcsin19+2πk; -45+13 являются точками касания.

Ответ: необходимы уравнения запишутся как

y=12x-23π4-arcsin19+2πk+45-13,y=12x-235π4+arcsin19+2πk-45+13, k∈Z

Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.

Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [-10;10], где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y=-2x+12. Красные точки – это точки касания.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.

Касательная к окружности

Для задания окружности  с центром  в точке xcenter; ycenter и радиусом R применяется формула x-xcenter2+y-ycenter2=R2.

Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:

y=R2-x-xcenter2+ycentery=-R2-x-xcenter2+ycenter

Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.

Для составления уравнения окружности  в точке x0; y0, которая располагается  в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y=R2-x-xcenter2+ycenter или y=-R2-x-xcenter2+ycenter в указанной точке.

Когда в точках xcenter; ycenter+R и xcenter; ycenter-R касательные могут быть заданы уравнениями y=ycenter+R и y=ycenter-R, а  в точках xcenter+R; ycenter и
xcenter-R; ycenter будут являться параллельными оу, тогда получим уравнения вида x=xcenter+R и x=xcenter-R.

Касательная к эллипсу

Когда эллипс имеет центр  в точке xcenter; ycenter с полуосями a и b, тогда он может быть задан при помощи уравнения x-xcenter2a2+y-ycenter2b2=1.

Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что

y=ba·a2-(x-xcenter)2+ycentery=-ba·a2-(x-xcenter)2+ycenter

Если  касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны ох или оу. Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.

Пример 6

Написать уравнение касательной к эллипсу x-324+y-5225=1 в точках со значениями x равного х=2.

Решение

Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х=2. Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что

x-324x=2+y-5225=114+y-5225=1⇒y-52=34·25⇒y=±532+5

Тогда 2; 532+5 и 2; -532+5 являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу.

Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y. Получим, что

x-324+y-5225=1y-5225=1-x-324(y-5)2=25·1-x-324y-5=±5·1-x-324y=5±524-x-32

Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y=5+524-x-32, а нижний y=5-524-x-32.

Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2; 532+5 будет иметь вид

y’=5+524-x-32’=52·124-(x-3)2·4-(x-3)2’==-52·x-34-(x-3)2⇒y'(x0)=y'(2)=-52·2-34-(2-3)2=523⇒y=y'(x0)·x-x0+y0⇔y=523(x-2)+532+5

Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке
2; -532+5 принимает вид

y’=5-524-(x-3)2’=-52·124-(x-3)2·4-(x-3)2’==52·x-34-(x-3)2⇒y'(x0)=y'(2)=52·2-34-(2-3)2=-523⇒y=y'(x0)·x-x0+y0⇔y=-523(x-2)-532+5

Графически касательные обозначаются  так:

Касательная к гиперболе

Когда гипербола имеет центр в точке xcenter; ycenter и вершины xcenter+α; ycenter и xcenter-α; ycenter, имеет место задание неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=1, если с вершинами xcenter; ycenter+b и xcenter; ycenter-b, тогда задается при помощи неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=-1.

Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида

y=ba·(x-xcenter)2-a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2-a2+ycenter или y=ba·(x-xcenter)2+a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2+a2+ycenter

В первом случае имеем, что касательные параллельны оу, а во втором параллельны ох.

Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.

Пример 7

Составить уравнение касательной к гиперболе x-324-y+329=1 в точке 7; -33-3.

Решение

Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что

x-324-y+329=1⇒y+329=x-324-1⇒y+32=9·x-324-1⇒y+3=32·x-32-4 или y+3=-32·x-32-4⇒y=32·x-32-4-3y=-32·x-32-4-3

Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами 7; -33-3.

Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y(7)=32·(7-3)2-4-3=33-3≠-33-3, тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется.

Для второй функции имеем, что y(7)=-32·(7-3)2-4-3=-33-3≠-33-3, значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент.

Получаем, что

y’=-32·(x-3)2-4-3’=-32·x-3(x-3)2-4⇒kx=y'(x0)=-32·x0-3×0-32-4×0=7=-32·7-37-32-4=-3

Ответ: уравнение касательной можно представить как

y=-3·x-7-33-3=-3·x+43-3

Наглядно изображается так:

Касательная к параболе

Чтобы составить уравнение касательной к параболе y=ax2+bx+c в точке x0, y(x0), необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y=y'(x0)·x-x0+y(x0). Такая касательная в вершине параллельна ох.

Следует задать параболу x=ay2+by+c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у. Получаем, что

x=ay2+by+c⇔ay2+by+c-x=0D=b2-4a(c-x)y=-b+b2-4a(c-x)2ay=-b-b2-4a(c-x)2a

Графически изобразим как:

Для выяснения принадлежности точки x0, y(x0) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна оу относительно параболы.

Пример 8

Написать уравнение касательной к графику x-2y2-5y+3, когда имеем угол наклона касательной 150°.

Решение

Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что

-2y2-5y+3-x=0D=(-5)2-4·(-2)·(3-x)=49-8xy=5+49-8x-4y=5-49-8x-4

Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.

Получаем:

kx=y'(x0)=tg αx=tg 150°=-13

Отсюда определим значение х для точек касания.

Первая функция запишется как

y’=5+49-8x-4’=149-8x⇒y'(x0)=149-8×0=-13⇔49-8×0=-3

Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150° для такой функции не существует.

Вторая функция запишется как

y’=5-49-8x-4’=-149-8x⇒y'(x0)=-149-8×0=-13⇔49-8×0=-3×0=234⇒y(x0)=5-49-8·234-4=-5+34

Имеем, что точки касания — 234; -5+34.

Ответ: уравнение касательной принимает вид

y=-13·x-234+-5+34

Графически изобразим это таким образом:

Функция ОТРЕЗОК — Служба поддержки Office

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ОТРЕЗОК в Microsoft Excel.

Описание

Вычисляет точку пересечения линии с осью y, используя значения аргументов «известные_значения_x» и «известные_значения_y». Точка пересечения находится на оптимальной линии регрессии, проведенной через точки, заданные аргументами «известные_значения_x» и «известные_значения_y». Функция ОТРЕЗОК используется, если нужно определить значение зависимой переменной при нулевом значении независимой переменной. Например, с помощью функции ОТРЕЗОК можно предсказать электрическое сопротивление металла при температуре 0°C, если имеются данные измерений при комнатной температуре и выше.

Синтаксис

ОТРЕЗОК(известные_значения_y; известные_значения_x)

Аргументы функции ОТРЕЗОК описаны ниже.

• 
  Известные_значения_y    — обязательный аргумент. Зависимое множество наблюдений или данных.

• 
  Известные_значения_x    — обязательный аргумент. Независимое множество наблюдений или данных.

Замечания

• Аргументы могут быть числами либо содержащими числа именами, массивами или ссылками.

• Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит текст, логические значения или пустые ячейки, эти значения пропускаются; ячейки, содержащие нулевые значения, учитываются.

• Если аргументы «известные_значения_y» и «известные_значения_x» содержат разное количество точек данных или вовсе не содержат точек данных, функция ОТРЕЗОК возвращает значение ошибки #Н/Д.

• Уравнение для точки пересечения линии линейной регрессии a с осью y имеет следующий вид:

  где наклон b вычисляется следующим образом:

  где x и y — средние значения выборок СРЗНАЧ(известные_значения_x) и СРЗНАЧ(известные_значения_y).

• Алгоритм, лежащий в основе работы функций ОТРЕЗОК и НАКЛОН, отличается от алгоритма, на котором основана функция ЛИНЕЙН. Результаты вычислений по этим алгоритмам могут не совпадать в случае неопределенных и коллинеарных данных. Например, если точками данных аргумента «известные_значения_y» являются нули, а аргумента «известные_значения_x» — единицы, то справедливо указанное ниже.

  • От ПЕРЕХВАТ и НАКЛОН возвращают #DIV/0! ошибку «#ВЫЧИС!». Алгоритмы ОТОКП и НАКЛОН предназначены для поиска одного и только одного ответа, и в этом случае может быть несколько ответов.

  • Функция ЛИНЕЙН возвратит нулевое значение. Алгоритм, используемый в функции ЛИНЕЙН, предназначен для возврата правдоподобных результатов для коллинеарных данных, а в этом случае может быть найдено по меньшей мере одно решение.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

В excel стрелки

Клавиши со стрелками не перемещают курсор между ячейками

Причина Включен режим SCROLL LOCK, и из-за этого клавиши со стрелками прокручивают содержимое в области рабочей книги.

​Смотрите также​​Guest​

​ ответа не нашла.​ With rec k​: Чтобы удалить только​ много в схеме​ А1 с любого​ быть разбита на​ скролл лок… отожми​ зеленый, поэтому я​ ячейкам нарядные стрелочки,​ выполните следующие действия:​Перемещение фигур внутри диаграммы​Границы​Зафиксировать режим рисования​ выбрали линию, которая​ прямые​Решение​: может быть…..а как​ Может кому приходилось​ = .Left &​ стрелки​ повторений, я стала​ места листа.​ несколько отрезков записей.​ его)​ предпочитаю второй вариант​ делаем следующее:​Зажмите клавишу​ может вызвать некоторую​

• ​(в группе​.​ не является соединительной,​

  ​, изогнутые​​    Отключите режим SCROLL LOCK.​ это проверить…а то​ ее решать? посоветуйте,​ .Top & .Width​Sub DeleteLines() ActiveSheet.Lines.Delete​ копировать стрелки с​

  ​CTRL+END​ Тогда данная комбинация​Дмитрий​ — добавить цвет​Выделите любую пустую ячейку​

См. также

​Ctrl​ путаницу. Фигуры (например,​

​Абзац​

​Щелкните в том месте,​ либо работаете не​

support.office.com>

Рисование и удаление линий

​соединительные линии и​Как правило, если на​ я с этим​ пожалста.​ & .Height If​

​ End Sub​​ прямоугольниками, либо сами​

• ​Переход на перекресток между​ перемещает курсор по​: наведи на ячейки​ с помощью условного​

• ​ и введите в​и щелкните левой​ текстовые поля или​в Word и​ где должна начинаться​

Рисование линии с точками соединения

​ на полотне (в​​ линии уступом​ листе выделена ячейка,​ не сильно дружу))​Guest​ .Width = 0​Прямоугольники останутся.​

​ стрелки. И тут​​ последней записью строки​ концам отрезков строки.​​Troll killer​ форматирования. Для этого​ нее символы «треугольник​ кнопкой мыши по​ прямоугольники) могут располагаться​ Outlook или в​

​ линия или соединитель,​​ Word или Outlook).​. При выборе​ то при нажатии​Hugo​: Scroll Lock​ Or .Height =​Хотя, наверное, правильнее​​ заметила, что с​​ и последней записью​ Для более наглядного​​: Microsoft Excel 2010​​ выделите ячейки с​​ вверх» и «треугольник​​ границе диаграммы так,​​ в двух местах:​​ группе​ а затем перетащите​

​Щелкните первую фигуру и​ соединительной линии на​ клавиши со стрелкой​: В2007:​

1. ​Ульяна​​ 0 Then Err.Raise​​ было бы удалять​​ каждым копированием скопированная​​ столбца.​​ примера обратите внимание​​ обучающий видеокурс тут​

2. ​ процентами и выберите​​ вниз», используя команду​​ чтобы в углах​либо внутри объекта-диаграммы,​Шрифт​

   ​ курсор в то​​ перетащите указатель к​ контуре фигуры появляются​​ курсор переходит на​​Вид -> «Снять​: гы)вот я тупануло))спасибо​ 1 Else Col.Add​​ только наложенные дубли​​ стрелка визуально утолщается,​CTRL+ «любая стрелка» или​ на рисунок:​Михаил чернецов​ на вкладке​Вставить — Символ (Insert​

3. ​ появились круги.​либо на листе (за​в Excel) и​ место, где она​

   ​ точке соединения на​ точки. Они показывают,​ другую ячейку (вверх,​ закрепление областей»​ большое!​ vbNullString, k End​ стрелок и прямоугольников,​

   ​ а файл тяжелеет​​ END потом «любая​Клавиша END потом «стрелка​: для mac клавиша​Главная — Условное форматирование​ — Symbol)​Затем еще раз зажмите​ пределами диаграммы).​

   ​ выберите​ должна заканчиваться.​ втором объекте.​ куда можно прикрепить​

   ​ вниз, вправо или​​Или «Закрепить области»​СердЖиГ​ If If Err​ но для этого​ и приложение его​ стрелка»​ влево» выполняет выше​ F14​ — Правила выделения​:​Ctrl​Сложность заключается в том,​Нет границы​Повторите шаг 3 для​Примечание:​ линию.​ влево в зависимости​ — если ничего​: 5 баллллов :-)))))​ Then i =​

Рисование линии без точек соединения

​ нужен пример, так​ с трудом обрабатывает,​До первой / последней​ описанное перемещение курсора​

1. ​Роман кошелев​​ ячеек — Больше​​Лучше использовать стандартные шрифты​​и щелкните левой​​ что фигура, расположенная​​.​​ каждой линии, которую​

2. ​ Когда вы изменяете положение​​Важно:​​ от клавиши). Однако​ не закреплено.​

3. ​ Супер отжигггг :-)))​ i + 1​ как могут быть​ открывает и закрывает.​ отрезка записи в​ в обратном порядке​

Дублирование линии

​: У меня тоже​ (Home — Conditional​ (Arial, Tahoma, Verdana),​ кнопкой мыши по​ на рабочем листе​Дополнительные сведения о линиях​ вы хотите добавить.​ фигур, связанных соединителями,​

1. ​ В Word и Outlook​​ при ее нажатии​​Guest​​Guest​​ .Delete Err.Clear If​​ нюансы.​​Заметила, если встать​

2. ​ строке или столбце.​​ – соответственно. Каждый​​ был нажат скролл​ formatting — Highlight​ которые точно есть​ фигуре внутри диаграммы.​ вне диаграммы, может​​ в границах см.​​Когда вы добавите все​

3. ​ соединители не открепляются​ точки соединения можно​ в режиме SCROLL​: к сожалению….опять таже​: 5 баллллов :-)))))​ i Mod 100​ZVI​

4. ​ на стрелку и​ Перемещение происходит в​ раз, когда мы​

5. ​ лок. Спасибо! за​ Cell Rules -​ на любом компьютере.​

Добавление, изменение и удаление стрелки или фигуры линии

1. ​ При этом маркер​ быть размещена поверх​
   ​ в статье Добавление​ линии или соединители,​ от фигур и​ использовать только в​ LOCK происходит прокрутка​

2. ​ история((​​ Супер отжигггг :-))){/post}{/quote}​​ = 0 Then​​: Написал код, который​​ нажать клавишу delete,​

   ​ направлении соответствующей стрелки.​ нажимаем на клавишу​​ помощь.​​ Greater Then)​ Закройте окно вставки,​ в верхнем левом​ этой самой диаграммы​

3. ​ границ к тексту.​​ нажмите клавишу ESC.​​ перемещаются вместе с​ том случае, когда​

   ​ на одну строку​Hugo​блин, вот Вам​ Application.StatusBar = «Удалено​ на активном листе​​ стрелки, лежащие на​​PageUp и PageDown​ END, в строке​

   ​Алексей​, введите в качестве​​ выделите оба введенных​​ углу диаграммы должен​

Удаление линий

• ​ и создастся впечатление,​Данная статья содержит множество​Выберите линию, которую вы​ ними. Если вы​ линии и объекты,​
  ​ вверх или вниз​: Значит закрепление областей​ огромное человеческое спасибо))))​ дубликатов и невидимых​ удалит дубликаты стрелок​ исходной, удаляются (на​Прокрутка одного экрана вверх​

​ состояния окна программы​: на ноутбуке Dell​ порогового значения 0​ символа (в строке​ остаться на месте.​​ что она находится​​ советов для перемещения​​ хотите изменить.​​ переместите конец соединителя,​ к которым они​ либо на один​​ не виновато.​​Guest​​ прямоугольников: » &​​ и прямоугольников, а​ каждую надо жать​ или вниз.​​ высвечивается сообщение: «Режим​​ сочетание клавиш Fn​ и задайте желаемый​​ формул, а не​​Теперь при помощи стрелок​

​ внутри нее, хотя​ диаграмм и фигур​Если нужно изменить​ он открепится от​

support.office.com>

Перемещение диаграмм Excel при помощи клавиш со стрелками

​ прикрепляются, помещены на​ столбец влево или​Проверьтесь на вирусы,​: а если нет​ i End If​ также прямоугольники с​ клавишу delete), а​Alt+PageUp и Alt+PageDown​ перехода в конец».​ + F3 (Scroll​

Перемещение диаграммы с помощью клавиш со стрелками

​ цвет:​ ячейку с ними!)​ на клавиатуре можно​ на самом деле​

​ с помощью клавиш​ несколько линий, выберите​ фигуры и его​полотно​ вправо. SCROLL LOCK —​ снесите офис, поставьте​ такой клавиши ?​ End With Next​ нулевой высотой или​ файл уменьшается в​Прокрутка одного экрана вправо​

Решение №1

​Все выше описанные действия​​ Lock) решит проблему​​Потом повторите эти действия​ и скопируйте в​ перемещать и выравнивать​ это не так.​ со стрелками. Знать​ первую, а затем,​ можно будет прикрепить​. Чтобы вставить полотно,​

​ это клавиша переключения​ другой дистрибутив.​ ))​ Application.StatusBar = False​ шириной​ весе. Но если​ или влево.​ для перемещения по​

Решение №2

​Данный раздел уроков мы​ для отрицательных значений,​ Буфер (​​ фигуру в пределах​​ В таком случае,​ эти советы очень​ удерживая нажатой клавишу​ к другой точке​ на вкладке​ режима на клавиатуре,​Но сперва попробуйте​vikttur​ MsgBox «Удалено дубликатов​Sub DelExtraLinesAndRects() ‘ZVI:2016-09-05​ такие манипуляции проводить​

Перемещаем и создаём фигуры внутри диаграммы

​CTRL+PageUp и CTRL+PageDown​ ячейкам в Excel​ начинали с обучения​ выбрав​Ctrl+C​ диаграммы.​

• ​ если при перемещении​
• ​ полезно, особенно, когда​ CTRL, щелкните остальные.​

​ соединения той же​Вставка​ наподобие CAPS LOCK​ просто запустить следующую​: Нарисуйте :)​ и невидимых прямоугольников:​ http://www.planetaexcel.ru/forum/index.php?PAGE_NAME=read&TID=81585&MID=681866 ‘Удаление дубликатов​ с каждой стрелкой​Переход на следующий /​ стрелками так же​ перемещения курсора по​Меньше (Less Then)​).​Теперь Вы можете идеально​ Вы выделите только​ требуется расставить и​На вкладке​

​ фигуры или к​нажмите кнопку​ . После ее​ командную строку из​Между PrintScrin и​ » & i,​ стрелок и прямоугольников​ — это потеря​ предыдущий лист.​ выполняет нажатие на​ пустому листу. Сейчас​, чтобы отформатировать их​

​Выделите ячейки с процентами​ выравнивать диаграммы и​

1. ​ диаграмму, то фигура​ выровнять сразу несколько​Формат​ другой фигуре. Если​Фигуры​ нажатия включается режим​ меню Windows Старт:​ Pause.​​ vbOK End Sub​​ на активном листе​​ огромного количества времени.​​Всем привет! Кто знает​
2. ​ клавиатуре компьютера CTRL​ рассмотрим другие возможности​ зеленым.​ (D4:D10) и откройте​ фигуры при помощи​ останется на своём​ фигур на листе.​щелкните стрелку​

Перемещение фигуры внутри диаграммы при помощи клавиш со стрелками

​ соединитель прикреплен к​и щелкните​ SCROLL LOCK. Чтобы​excel /regserver​Или этих тоже​ZVI​ ‘Удаляются также прямоугольники​Скажите, кто знает,​ как в excel​ + «стрелка вправо​

​ Excel в области​Если немного поэкспериментировать с​ окно​ коротких перемещений стрелками,​

1. ​ месте.​​Обычно при выделении диаграммы​​Контур фигуры​ точке соединения, он​Новое полотно​ с помощью клавиш​Хуже по крайней​
2. ​ нет? Тогда у​​: Обновил код выше​​ с нулевой высотой​ как удалить такие​ поставить стрелки. Например.​ (стрелка влево, вверх​ управления курсора стрелками​ символами, то можно​Формат ячейки​
3. ​ что очень помогает​Если же фигура расположена​ мышью, вокруг нее​.​ остается связан с​

Заключение

​в нижней части​ со стрелками снова​ мере не станет…​ Вас в руках​ для удаления также​ или шириной Dim​ стрелки минимумом операций?​ Мы имеем график​ и вниз)»​ для быстрого и​ найти много аналогичных​(можно использовать​

​ при создании нескольких​ внутри диаграммы, то​ появляется вот такая​

​Если вы не​ фигурой, как бы​
​ меню.​
​ перемещаться между ячейками,​

​Guest​

office-guru.ru>

Стрелки в ячейках

​ джойстик или пульт​ и прямоугольников с​ Col As Collection​ Ведь должна же​ функции, у него​​ удобного перемещения по​ вариантов реализации подобного​Ctrl+1​ диаграмм на одном​ она будет перемещаться​ рамка:​ видите вкладку​ вы ее не​Чтобы добавить линию, которая​ необходимо отключить этот​

​: спасибо…буду пробовать…​ от телевизора :)​

Способ 1. Пользовательский формат со спецсимволами

​ нулевой высотой или​ Dim i As​ быть функция в​ есть касательная, она​Выберите любую ячейку на​

​ большим объемам данных.​ трюка с другими​). На вкладке​ листе. В следующих​ вместе с ней.​Если диаграмма выделена таким​Формат​ перемещали.​ прикрепляется к другим​ режим.​

​Guest​Hugo​ шириной, который обычно​ Long, k As​ excel, предусматривающая удаление​​ задана координатами, координата​ листе и нажмите​​Первая ситуация напоминает движение​

​ символами:​Число (Number)​ статьях я поделюсь​ Это упрощает перемещение​ образом, то попытка​, убедитесь, что вы​Чтобы добавить линию, которая​ объектам, выполните следующие​Чтобы отключить режим SCROLL​: документы excel открываются,​: Бывает клавиатура на​​ «цепляются» при копировании​​ String, lin As​

​ этой проблемы?​ последняя получена путем​ комбинацию клавиш CTRL+END.​​ по пустой дороге,​​Выделите ячейки с процентами​​выберите в списке​​ новыми хитростями и​​ и выравнивание диаграмм,​​ перемещать ее по​ выбрали линию. Для​​ не прикреплена к​​ действия:​ LOCK, нажмите клавиши​​ а курсор не​​ норвежском :)​ из web-страниц или​ Line, rec As​Спасибо.​ сложения первой координаты​

​ В результате курсор​ а вторая –​ и откройте на​ формат​ приемами по выравниванию​ поскольку не нужно​ листу нажатием клавиш​ этого может потребоваться​ другим объектам, выполните​На вкладке​ SHIFT+F14 .​ перемещается по ячейкам,​Я такой ноут​ могут возникать при​​ Rectangle On Error​​JeyCi​ с определенным значением,​ переместится на перекресток​

​ по переполненной. Выполним​ вкладке​Все форматы (Custom)​ и просмотру диаграмм.​ заботиться о том,​​ со стрелками не​​ дважды щелкнуть ее.​ следующие действия:​Вставка​Примечание:​

​ а выделяет их…что​ купил — долго​ изменении высоты строк​ Resume Next ‘​: какие стрелки?​ вот его и​ самой последней записи​ несколько простых но​Главная — Условное форматирование​и вставьте скопированные​А какими приёмами для​​ чтобы каждый из​ увенчается успехом. Вместо​Наведите указатель на пункт​На вкладке​в группе элементов​ Конкретное сочетание клавиш зависит​ же это такое?((((​​ Delete искал :)​ или ширины столбцов.​ Удаление дубликатов стрелок​? макросом (запускать,​

​ надо указать т.​ в строке и​ эффективных упражнений для​​ — Наборы значков​​ символы в строку​ выравнивания диаграмм пользуетесь​

​ объектов был выделен​ этого мы будем​Стрелки​Вставка​Иллюстрации​ от типа клавиатуры.​

Способ 2. Условное форматирование

​Казанский​Guest​gling​​ Application.StatusBar = «Удаление​ находясь на Активном​ к он умеет​ самой последней записи​ быстрой работы при​ — Другие правила​​Тип​ Вы?​ при выполнении выравнивания​ перебирать объекты внутри​и щелкните нужный​в группе элементов​нажмите кнопку​

​ Возможно, вместо клавиши​​: А, выделяет! Это​​: а если и​

​: Можно обойтись и​ дубликатов стрелок…» Set​ листе) Sub delShapes()​ собственное имя.​ в столбце. Обратите​

​ управлении данными рабочего​ (Home — Conditional​, а потом допишите​Урок подготовлен для Вас​ или перемещения.​ диаграммы. А это​ тип стрелки.​Иллюстрации​Фигуры​ SHIFT потребуется использовать​ режим «расширение выделения»,​ после нажатия scroll​ без макросов. Выделить​ Col = New​ For Each shp​Поясню грубо, мне​

planetaexcel.ru>

Excel. При нажатие на кнопки «стрелки», перемещается не курсор по ячейкам, а весь лист целиком. Как можно это исправить?

​ внимание на рисунок.​​ листа.​ formatting — Icon​ к ним вручную​

​ командой сайта office-guru.ru​​Есть два способа разместить​

​ не то, что​​Чтобы изменить тип или​нажмите кнопку​

​.​​ клавишу CONTROL ,​ включается/выключается кнопкой F8,​

​ lock не перемещается​​ один из объектов—появится​ Collection For Each​ In ActiveSheet.Shapes shp.Delete​ надо в экселе​

​Примечание. Если удалить содержимое​​Заполните строки данными, так​ Sets — More)​ с клавиатуры нули​Источник: https://www.excelcampus.com/keyboard-shortcuts/move-excel-chart-arrow-keys/​

Перемещение по ячейкам в Excel стрелками

​ фигуры внутри диаграммы:​ нам нужно!​ размер стрелки, а​Фигуры​В группе​ OPTION ,​ отображается буквами ВДЛ​ курсор???????????((((​ вкладка «Средства рисования»—найти​ lin In ActiveSheet.Lines​

​ Next End Subp.s.​ указать размер как​ нескольких ячеек, чтобы​ как показано на​. В открывшемся окне​ и проценты, чтобы​Перевел: Антон Андронов​Создайте фигуру внутри диаграммы.​Удерживая клавишу​

Перемещение стрелками в Excel

​ также тип, ширину​.​Линии​

​. На компьютере​ в строке состояния.​Казанский​ и нажать «Область​ With lin k​

​ ознакомьтесь с Правилами​ в черчении, возможно​ изменить адрес перекрестка​ этом рисунке:​ выберите нужные значки​ получилось следующее:​Автор: Антон Андронов​

​ Для этого сначала​Ctrl​ и цвет линии,​В группе​выберите соединительную линию,​ MacBook для вызова​Проверьте, исправна ли​: Состояние «Scroll Lock»​ выделения»—Ctrl+A выделяем все—​ = .Left &​ форума,​ кто-то знает другой​ после нажатия CTRL+END.​Задания в данном уроке​ из выпадающих списков​Принцип прост: если в​Этот простой прием пригодится​ выберите диаграмму так,​, щелкните левой кнопкой​ щелкните​Линии​ которую вы хотите​ сочетания с клавишей​ кнопка F8, поменяйте​ отображается в строке​ Ctrl+ЛКМ(левая кнопка мыши)​ .Top & .Width​

​Всегда прикладывайте файл​ способ не связанный​ Но после удаления​ – не стандартные,​ и задайте ограничения​ ячейке будет положительное​ всем, кто хоть​ чтобы вокруг неё​ мыши по диаграмме​Другие стрелки​, выберите любой тип​

​ добавить.​ F14 может потребоваться​ клавиатуру.​ состояния словом SCRL​ выделяем выборочно —​ & .Height Col.Add​! (урезанный пример, отражающий​ с экселем.​ нужно обязательно сохранить​

​ но и не​

​ для подстановки каждого​ число, то к​ раз делал в​ появилась характерная рамка,​ – так будет​и задайте необходимые​ линии.​Примечание:​ подключить USB-клавиатуру.​Guest​

​ — проверьте.​ Delete.​ vbNullString, k If​ проблему).. экстрасенсов нет!​П, С график​ файл. Иначе CTRL+END​ сложные, хотя очень​ из них как​ ней будет применяться​

​ своей жизни отчет,​ а затем создайте​

exceltable.com>

Как поставить стрелки на графике excel?( как нанести размер в excel?)

​ОК​ второй. Между форматами​ параметра (цен, прибыли,​Вставка​ углам графика появятся​Стрелка: стиль 1​ удерживая нажатой кнопку​(«Кривая», «Полилиния: фигура»​Часто используемые сочетания клавиш​ сутки мозХ сносит(((​Guest​ срочный!​ If i Mod​ нет. Постараюсь как-нибудь​
​ другой редактор. Но​ курсором Excel:​ «+» означает, что​получим результат:​ стоит обязательный разделитель​ расходов) по сравнению​>​
​ характерные круги.​(без наконечников).​ мыши, а затем​ и «Полилиния: рисованная​ Office​Guest​: я знаю…внизу…там еще​Файл приложен.​

​ 100 = 0​​ скинуть и через​ хочу быть уверенным​Горячие клавиши​

Удаление наложенных стрелок microsoft excel 2007

​ клавиши следует нажимать​​Плюсы этого способа в​
​ — точка с​ с предыдущими периодами.​Фигуры​Теперь диаграмму можно перемещать​Щелкните линию, соединитель или​ отпустите ее.​
​ кривая»)​Вы можете добавлять линии,​: у меня уже​ рядом Num….кнопка не​Надо рядом с​ Then Application.StatusBar =​
​ смартфон отправить.​ что, он способен​Действие​ одновременно, а слово​ его относительной простоте​ запятой. И ни​ Суть его в​(Insert > Shapes).​ по листу при​ фигуру, которые вы​Если вам требуется несколько​не​ чтобы соединять фигуры​ все работает. я​
​ включена. Дело в​ плюсами зеленую стрелку​ «Удалено дубликатов стрелок:​kuklp​ выполнить мои задачи.​Enter​ «потом» – означает​ и приличном наборе​ в коем случае​ том, что прямо​Вставьте скопированную фигуру внутрь​ помощи клавиш со​ хотите удалить, а​
​ раз добавить в​являются соединительными линиями.​ или выделять данные,​ удалила офис, точнее​ том, что даже,если​ вверх, а с​ » & i​
​: Sub DeleteShapes() :​

​Евгений евгеньевич​​Стандартное смещение курсора на​
​ последовательное нажатие.​ различных встроенных значков,​ не вставляйте никаких​ внутрь ячеек можно​ диаграммы. Для этого​ стрелками, что позволяет​ затем нажмите клавишу​ документ одну и​​ Наведите указатель мыши​​ а также удалять​ через пуск -​

​ я создала новый​

​ минусами — красную​​ End If End​ ActiveSheet.DrawingObjects.Delete:End Sub​: а что мешает​ ячейку вниз. При​

​Перейдите на ячейку А1.​​ которые можно использовать:​ пробелов «для красоты».​

​ добавить зеленые и​​ скопируйте уже существующую​ легко выровнять её​ DELETE.​ ту же линию,​ на тип, чтобы​ их.​ выполнить — regedit​ лист excel, и​ стрелку вниз. Применить​ With Next Application.StatusBar​The_Prist​

​ Вставка-Фигуры- и выбрать​​ необходимости в настройках​ Наилучший способ это​Минус же в том,​ После нажатия на​

​ красные стрелки, чтобы​​ на листе фигуру,​ относительно других фигур,​
​Чтобы удалить несколько​ это можно быстро​
​ просмотреть его название,​
​Примечания:​ поудаляла с помощью​ захожу в него….такая​ условное форматирование.​ = False If​: Нет. Самое оптимальное​ что надо?​ можно изменить в​

​ сделать, нажать комбинацию​​ что в этом​ОК​ показать куда сдвинулось​ затем выберите диаграмму​ диаграмм или ячеек​ линий или соединителей,​ сделать с помощью​
​ прежде чем щелкать​ ​ поиска все, что​ же история((​Заранее благодарю всех​ MsgBox(«Удалено дубликатов стрелок:​ — это не​karabelena​ любое направление.​ горячих клавиш CTRL+HOME.​ наборе нет, например,​наша таблица будет​ исходное значение:​ и вставьте фигуру.​ на рабочем листе.​ щелкните их по​ команды «Зафиксировать режим​ его.​Сведения о рисовании фигур​ содержало excel. Потом​Guest​ откликнувшихся!​ » & i​ копировать так, чтобы​: Уважаемые форумчане!​Щелчок мышкой​ Нажмите на клавишу​ красной стрелки вверх​ выглядеть почти как​Реализовать подобное можно несколькими​ Таким образом фигура​Выберите несколько диаграмм или​ очереди, удерживая нажатой​ рисования».​Чтобы нарисовать линию, соединяющую​ см. в статье​ по-новому установила офис.​: попыталась переустановить Excel….вообще​Pelena​ _ & vbLf​ копировалось то, чего​Возникла проблема по​Перемещение на любую ячейку.​ END потом «стрелка​ и зеленой вниз,​ задумано:​ способами.​ окажется внутри диаграммы.​ фигур – удерживая​ клавишу CTRL, а​На вкладке​ фигуры, наведите указатель​ Рисование и изменение​ все. мне помогло.​ финиш…..при каждом открытии​: Наверное, подразумевается Excel​ & «Для удаления​ копировать не надо.​ excel. Обычно вопросы​Стрелки: вверх, вправо, вниз,​ вправо». В предыдущих​ т.е. для роста​Добавить красный и зеленый​Предположим, что у нас​Теперь, когда фигура находится​ клавишу​ затем нажмите клавишу​Вставка​ мыши на первую​ фигуры с полилиниями.​ Спасибо всем за​ любого листа excel​ 2007/2010?​ дубликатов прямоугольников нажмите​ Excel сам по​ по офису решаю​ влево.​

​ уроках, когда листы​​ прибыли эти значки​ цвет к ячейкам​ есть вот такая​ внутри диаграммы, при​Ctrl​ DELETE.​в группе элементов​ фигуру или объект.​Если у вас возникли​ отклики и помощь!​

​ всплывает окно …дождитесь​​Вариант​ OK», _ vbOKCancel)​ себе не понимает,​ сама, но тут​Смещение на одну ячейку​ были еще пустыми,​ использовать будет логично,​ можно двумя способами.​ таблица с исходными​

planetaexcel.ru>

Условное форматирование (стрелки)

​ помощи клавиш со​​, выберите две или​
​Если вам не удается​Иллюстрации​
​Появятся точки соединения, говорящие​
​ проблемы при удалении​Guest​ пока windows настроит​Марс16​ <> vbOK Then​ какие стрелки Вам​
​ ничего не могу​ в соответствующем направлении​

​ данная комбинация просто​​ а вот для​ Первый — вернуться​
​ данными, которые нам​

​ стрелками можно перемещать​​ более диаграммы с​ выбрать линию для​

​нажмите кнопку​​ о том, что​ горизонтальной линии, см.​

excelworld.ru>

курсор не перемещается стрелками по ячейкам (перестал)

​: опять сегодня тупил​​ microsoft office…​: Pelena, огромное спасибо,​ Exit Sub ‘Удаление​ нужны и были​ поделать.​ к конкретной стрелки.​ смещала курсор на​

​ роста цен -​​ в окно​

​ надо визуализировать:​​ и выравнивать её​ помощью левой кнопки​

​ удаления в Word​​Фигуры​ линию можно прикрепить​

​ раздел Удаление линий​​ excel, решила проблему​Guest​

​ выручили!!!​ дубликатов и невидимых​

​ скопированы ошибочно, а​​Рисую схему -​CTRL+G или просто F5​ самый последний столбец​

​ уже не очень.​​Формат ячеек​
​Для расчета процентов динамики​ с другими объектами​
​ мыши. Рамка будет​ или Outlook, возможно,​.​ к фигуре. (Цвет​ ниже.​

​ нажатием в открытом​​: ужас…сейчас не видит​Serge_007​
​ прямоугольников Application.StatusBar =​ какие надо удалить.​ схема состоит из​

​Вызов диалогового окна «перейти​​ листа. Если в​ Но, в любом​и дописать нужные​ в ячейке D4​

​ на диаграмме (заголовок,​​ выглядеть, будто выделена​ это​В разделе​ и тип этих​
​Соединительной линией​ документе excel колесика​ документы заполненные excel….мда…ужжж​

​: Думаю что это​​ «Удаление дубликатов и​Z​ стрелок и прямоугольников​ до:» для ввода​ данной строке есть​ случае, этот способ​ цвета в квадратных​ используется простая формула,​

​ оси, легенда и​​ только одна диаграмма​горизонтальная линия​Линии​ точек зависит от​называется линия, на​ на мышке, а​

​Bond​​ невозможно​ невидимых прямоугольников…» i​

​: И с какого​​ — больше ничего,​ адреса ячейки на​ запись, то эта​ тоже заслуживает, чтобы​

​ скобках прямо в​​ вычисляющая разницу между​ т.д.) Смотрите инструкцию​ на листе, но​, которая является типом​

​щелкните правой кнопкой​​ версии Office.)​
​ концах которой находятся​ потом еще раз​
​: Может быть было​Ульяна​ = 0 Set​

​ боку здесь XL?!​​ но их надо​ который нужно сместить​

​ комбинация позволяет нам​​ вы его знали​ нашем пользовательском формате:​
​ ценами этого и​ ниже.​ теперь все выделенные​
​границы​ мыши линию или​Примечание:​ точки соединения, используемые​

​ нажать, чтоб выключить​

​ включено закрепление областей​: вот такая вот​

​ Col = New​​ Мо быть лучше​

​ нарисовать очень много.​​ курсор.​ моментально найти конец​ ;)​Лично мне не очень​ прошлого года и​

​Чтобы переместить фигуру внутри​​ диаграммы можно перемещать​. Чтобы удалить границы,​ фигуру, которую вы​ Если точки соединения не​ для ее прикрепления​

​ быструю прокрутку. и​ где-нибудь в области​ проблемка, искала в​

​ Collection For Each​​ в Visio поупражняться?..​Для упрощения задачи​CTRL+HOME​ заполненного отрывка строки.​

​Maria​​ нравится получающийся в​ процентный формат ячеек.​ диаграммы при помощи​ при помощи клавиш​ щелкните стрелку рядом​ хотите добавить, и​ выводятся, вы либо​ к фигурам. Существуют​ все.​ середины листа?​ настройках и справках,​ rec In ActiveSheet.Rectangles​

​ZVI​​ — так как​Переход на первую ячейку​ Но строка может​: у тебя нажат​ этом случае ядовитый​ Чтобы добавить к​ клавиш со стрелками,​ со стрелками.​ с кнопкой​

planetaexcel.ru>

​ выберите команду​

Определение формулы касательной к окружности

Касательная к окружности

Если не использовать понятие производной, и взять объяснение из учебников середины прошлого века, то «Касательная к окружности — это прямая пересекающая окружность в двух совпадающих точках»

Окружность на  плоскости может быть представлена  в виде нескольких исходных данных

1. В виде  координат центра окружности (x0,y0) и её радиуса R.

2. В виде общего уравнения 

В виде параметрического вида и в полярных координатах мы рассматривать не будем, так как там формулы тоже на базируются на  координатах центра окружности и радиусе. 

Наша задача, зная параметры  окружности  и точку принадлежащую этой окружности вычислить параметры касательной к этой окружности.

Эта задача, является частным решением более общего калькулятор касательная к кривой второго порядка

Итак, если окружность выражена формулой

Уравнение касательной к окружности  если нам известны параметры общего уравнения  таково:

Таким  образом, зная все коэффициенты,   мы очень легко найдем уравнение касательной в заданной точке.

ВАЖНО: При указании точки, она должна быть обязательно(!!) принадлежать окружности,

и не быть точкой в какой либо стороне. В противном случае, уравнение касательной будет неверным.

Примеры

Вычислить уравнение касательной в точке (13.8, 0) к окружности выраженной формулой

Запишем коэффиценты этой кривой, взглянув на общую формулу

Второй пример:

Через окружность с центром (8.71, -4) и радиусом 7 проходит касательная и касается в точке (4,-4)

Найти уравнение этой прямой.

Раз у нас заданы радиус и коордианты центтра то уравнение имеет вид

раскроем скобки, получим 

Отрисовав, полученные линии в GeoGebra мы убедимся что расчет произведен верно.

Формально, используя вышеупомянутую программу, касательную можно провести там проще и быстрее. Смотрите где и как проще.

Удачных расчетов!

• Определить формулу окружности по трем точкам >>

определение и пример с решением

Перед нами стоит все та же задача: найти корень уравнения вида

с точностью , если известно, что корень принадлежит промежутку . Как и в предыдущем пункте введем функцию на отрезке (рис. 46.4), график которой пересекает ось в некоторой точке . Цель метода не изменилась — найти абсциссу точки — значение .

Выполним следующие действия:

1. Проведем касательную к графику функции в точке . Она пересекает ось в точке с абсциссой .
2. Выберем точку на кривой, абсцисса которой равна — точка .
3. Проведем касательную к графику функции в точке . Она пересекает ось в точке с абсциссой .
4. Выберем точку на кривой, абсцисса которой равна — точка и т.д. до тех пор, пока не будет справедливо неравенство: .

Выведем формулы для нахождения

:

1. Выпишем координаты точки

:

2. Составим уравнение касательной, проведенной к графику функции

в точке :

3. Найдем точку пересечения касательной с осью

. Она имеет координаты . Заменим в уравнении пункта 2 на , на 0: .

Выразим

: .

4. Поскольку для нахождения

нужно проводить новую касательную в точке и находить точку ее пересечения с осью , произведем по аналогии следующую замену: роль будет выполнять , роль . Получим, что .

5. Обобщим проведенные рассуждения. Для нахождения

будем использовать следующую формулу: .

В рассмотренном нами случае исходной точкой, в которой проводилась первая касательная, была точка

.

Возможен и другой вариант: исходной может быть точка

(рис. 46.5).

Правило выбора исходной точки:

Исходной точкой является тот конец отрезка

, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной в данной точке.

Пример №46.3.

Найти приближенное решение уравнения

на , использую метод касательных с точностью .

Решение:

Составим функцию

.

1. Выберем исходную точку. Воспользуемся решением примера 46.2, где было показано, что для

знак функции совпадает со знаком второй производной. Следовательно, точка будет являться исходной, а — абсцисса исходной точки.

2. В силу достаточной сложности вычислений при применении данного метода, выполним расчеты в программе Microsoft Excel.

В качестве шапки таблицы возможен следующий вариант:

В столбце

будет указываться номер выполняемого шага . Первое значение выберем равным 0.

В столбце

будут располагаться значения и т.д. В качестве в ячейку заносится координата исходной точки. В нашем примере это .

В столбце

будут содержаться значения функции в точках и т.д., необходимые для расчета по формуле (4). Поскольку , то в ячейку введем формулу: .

В столбце

будут содержаться значения производной функции в точках и т.д., необходимые для расчета по формуле (4). Поскольку , то в ячейку введем формулу: .

В столбце

будет осуществляться проверка того, не превосходит ли заданной точности . Эта проверка будет начинаться с первого шага, и ячейка не заполняется. После заполнения второй строки таблица будет иметь вид:

Начнем заполнение третьей строки. Номер шага в ячейке

будет равен 1.

Для расчета

в ячейке применим формулу (4), которая в программе Microsoft Excel примет вид: .

Для расчета

в ячейке достаточно просто скопировать формулу из ячейки , и она будет иметь вид: .

Аналогично для расчета

в ячейку достаточно скопировать формулу из ячейки , и она будет иметь вид: .

В ячейку

занесем формулу для расчета модуля разности между последующим и предыдущим значением . Произведем проверку: если содержимое этой ячейки больше , то расчеты необходимо продолжить, меньше — закончить.

После заполнения третьей строки таблица будет иметь вид:

Как отмечалось выше, все формулы уже введены, в дальнейшем будем использовать только автозаполнение и осуществлять проверку в столбце

. После выполнения следующих шагов таблица будет иметь вид:

Видим, что в ячейке

содержимое (означает ) стало меньше заданной точности , следовательно, расчеты следует закончить и в качестве приближенного решения уравнения взять последнее с точностью два знака после запятой. В нашем примере это .

Ответ:

.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Функция

TAN — служба поддержки Office

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование TAN .
функция в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает тангенс заданного угла.

Синтаксис

ТАН (номер)

Аргументы функции TAN следующие:

Замечание

Если ваш аргумент выражен в градусах, умножьте его на PI () / 180 или используйте функцию РАДИАНЫ, чтобы преобразовать его в радианы.

Пример

Скопируйте данные примера из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы формулы отображали результаты, выберите их, нажмите F2, а затем нажмите Enter. При необходимости вы можете настроить ширину столбца, чтобы увидеть все данные.

Функция TAN Excel (формула, примеры)

Функция TAN Excel — это встроенная тригонометрическая функция в Excel, которая используется для вычисления значения косинуса заданного числа или в терминах тригонометрии значения косинуса заданного угла, здесь угол — это число в Excel, и эта функция принимает только один аргумент, который является предоставленным входным числом.

Функция TAN Excel

TAN Excel Function — это встроенная функция, относящаяся к категории Math / Trig function, которая возвращает тангенс угла. Формула TAN всегда возвращает числовое значение.

В тригонометрии тангенс угла эквивалентен отношению перпендикуляра к основанию прямоугольного треугольника.

TAN Θ = противоположная сторона / смежная сторона

Следовательно, TAN Θ = a / b

Формула TAN в Excel

Ниже приведена формула TAN в Excel.

Где число — это аргумент, переданный функции в радианах.

Угол, который мы указываем в качестве входных данных, распознается функцией Tangent, только если он указан как Radians.

Чтобы преобразовать угол в радианы, используйте функцию РАДИАНЫ или преобразуйте угол в радианы с помощью математического соотношения

Радиан = угол в градусах * (π / 180)

π в Excel представляется функцией PI ()

Следовательно, радиан = градус * (PI () / 180)

Расчет значения TAN с использованием функции TAN и РАДИАНЫ

Расчет значения TAN с использованием TAN и функции PI

У тангенциальной функции много практических приложений; он широко используется в архитектуре для расчета высоты и длины геометрических фигур.Функция касания, используемая в системах навигации и GPS, в аэронавтике.

Например, если самолет летит на высоте 3000 м и делает угол с наблюдателем на земле 26 °, и мы хотим найти расстояние от самолета до наблюдателя.

Как известно, TAN Θ = противоположная сторона / смежная сторона

Здесь противоположная сторона = высота самолета от земли, равная 3000 метров.

А прилегающая сторона = горизонтальное расстояние плоскости от земли, которое неизвестно, и нам нужно его вычислить.

Итак, используя формулу для TAN, мы имеем

TAN (26 °) = 3000 / x

Следовательно, x = 3000 / (TAN (26 °))

В Excel, взяв относительные контрольные значения, мы имеем

X = B2 / (TAN (B3 * (PI () / 180)))

X = 6150,91 метра

Как использовать TAN в Excel?

Excel TAN функция очень проста и удобна в использовании. Позвольте мне понять, как работает формула TAN в Excel на нескольких примерах.

Касательная

в Excel: пример # 1

Мужчина ростом 6 футов находится в 55 метрах от дерева.Он делает угол обзора 47 ° параллельно земле. Мы хотим рассчитать высоту дерева.

Чтобы найти высоту дерева, мы будем использовать TAN Θ. В контексте Excel мы будем использовать функцию касания.

Высота дерева будет

Высота человека + расстояние человека от дерева * TAN (47 °)

Поскольку рост человека указан в футах, мы переведем его в метры (1 фут = 0.30 метров)

Поместив все относительные значения в Excel, формула для высоты дерева будет

.

= (0,3 * B2) + (B3 * TAN ((B4 * (PI () / 180))))

TAN Excel Вывод:

Высота дерева 60,78 метра.

Касательная в примере Excel # 2

Предположим, у нас есть пять прямоугольных треугольников с указанными углами и длиной с одной стороны, и нам нужно вычислить длину двух других сторон.

Сумма всех углов треугольника равна 180 °; следовательно, мы можем легко вычислить третий угол.

Мы знаем, Sin Θ = противоположность / гипотенуза

Итак, длина противоположной стороны будет Sin Θ * гипотенуза

В Excel длина Противоположной стороны (перпендикулярной стороны) будет рассчитана по формуле TAN

.

= E2 * SIN (C2 * (PI () / 180))

Применяя формулу TAN для пяти треугольников, мы можем получить длину перпендикуляров треугольников

Теперь у нас есть две стороны треугольника, гипотенуза и перпендикулярная сторона.Мы можем легко вычислить третью сторону (основание), используя TAN в Excel.

Мы знаем, что TAN opposite = противоположная сторона / смежная сторона.

Таким образом, длина соседней стороны будет Противоположная сторона / TAN Θ.

В Excel длина прилегающей стороны (основания) будет рассчитываться по формуле TAN.

= F2 / (ТАН (РАДИАНЫ (C2)))

Применяя формулу TAN для пяти треугольников, мы можем получить длину смежной стороны треугольника.

TAN в Excel Вывод:

Касательная в примере # 3 Excel

Самолет делает разворот радиусом 160 м и летит с постоянным углом крена 87 ° в идеальных условиях (без колебаний ветра), рассчитайте постоянную путевую скорость самолета.

Радиус поворота определяется формулой.

Радиус поворота = V ² / г * TAN Θ

Радиус поворота 160 метров; Постоянный угол крена составляет 87 °, g — ускорение свободного падения, значение которого равно 9.8 м / с ² , поэтому путевая скорость будет

V = (Радиус поворота * (g * TAN Θ)) ^1/2

Применяя приведенную выше формулу TAN в Excel со справочными значениями, мы получаем формулу TAN.

= КОРЕНЬ (B2 * (9,8 * (TAN (РАДИАНЫ (B3)))))

SQRT — это встроенная функция Excel, которая вычисляет квадратный корень из числа.

TAN в Excel Вывод:

Итак, путевая скорость самолета 172,97 м / с

Пример функции касания №4

У нас есть формула для TAN, обозначенная как f (x) = 2c * TAN2Θ, где c — постоянное значение, равное 0.988. Значение варианта — это значение, а формула для TAN зависит от значения. Нам нужно построить график заданной функции касания.

Используя функцию Excel TAN, мы затем вычислим значения функции, поэтому, взяв контрольные значения в качестве входных данных, у нас есть формула TAN,

= 2 * 0,988 * (ТАН (РАДИАНЫ (2 * B3)))

Применяя формулу TAN к другим ячейкам, которые у нас есть,

TAN в Excel Вывод:

График функции касательной:

Рекомендуемые статьи

Это руководство по функции TAN Excel.Здесь мы обсуждаем формулу TAN в Excel и как использовать функцию TAN вместе с примером Excel и загружаемыми шаблонами Excel. Вы также можете посмотреть эти полезные функции в excel —

Пакет All in One Excel VBA (35 курсов с проектами)

• 35+ курсов
• 120+ часов
• Полный пожизненный доступ
• Свидетельство о завершении

ПОДРОБНЕЕ >>

Calculus — Как нарисовать наклон касательной?

Вот попытка объяснения.К сожалению, в этом ответе нет картинок, поэтому вам придется их нарисовать для меня.

У нас есть точка $ P $, скажем, $ (1,1) $. Мы хотим провести линию через $ P $ с заданным наклоном. Я дам несколько разные инструкции в зависимости от того, какой наклон нас интересует: положительный или отрицательный или нулевой . Наклон $ 0 $ очень простой. Просто проведите линию через $ P $ параллельно оси $ x $.

Положительный наклон: Пусть нам нужен наклон, скажем, $ \ frac {2} {3} $.Перейдите к вправо из P $ на единицы по 3 доллара, затем к вверх по на 2 доллара. Пусть $ Q $ будет точкой, которую вы достигли. В нашем случае $ Q = (4,3) $. Прямая, проходящая через $ P $ и $ Q $, имеет наклон $ \ frac {2} {3} $.

Давайте проверим с алгеброй. Линия, проходящая через $ (x_1, y_1) $ и $ (x_2, y_2) $, имеет наклон $ \ frac {y_2-y_1} {x_2-x_1} $ (изменение в $ y $, деленное на изменение $ x $.) Таким образом, прямая, проходящая через $ (1,1) $ и $ (4,3) $, имеет наклон $ \ frac {3-1} {4-1} = \ frac {2} {3} $. Вот чего мы хотели. В оставшейся части этого поста мы сконцентрируемся на геометрии.

Давайте немного попрактикуемся. Пусть $ P $ — точка $ (1,7) $. Мы хотим провести линию через $ P $ с уклоном $ \ frac {5} {3} $. Идите направо на 3 доллара. Мы достигаем $ (4,7) $. Поднимитесь на 5 долларов. Получаем $ Q = (4,12) $. Прямая $ PQ $ имеет наклон $ \ frac {5} {3} $.

Пусть снова $ P = (1,7) $. Мы хотим провести линию через точку $ P $ с уклоном $ 3 $. Та же идея, за исключением того, что мы должны записать наклон $ 3 $ как $ \ frac {3} {1} $. Теперь ровно на 1 доллар, увеличившись на 3 доллара. Получаем $ Q = (2,10) $.

Отрицательный наклон: Предположим, мы хотим провести линию через $ P = (1,1) $, имеющую наклон $ — \ frac {2} {3} $.Из $ P $ переходите слева, на 3 доллара, до на 2 доллара. Получаем $ Q = (- 2,3) $. Прямая $ PQ $ имеет наклон $ — \ frac {2} {3} $.

А теперь кое-что необычное. Пусть $ P = (1,5) $. Проведите линию через $ P $ с уклоном $ — \ sqrt {3} $. Запишите наклон как $ — \ frac {\ sqrt {3}} {1} $. Помните, что осталось на $ 1 $ вверх на $ \ sqrt {3} $. Получаем $ Q = (0,5+ \ sqrt {3} $. Прямая $ PQ $ имеет наклон $ — \ sqrt {3} $.

Нужна практика и ощущение того, как выглядят линии разных уклонов. Линии с положительным наклоном идут вверх .Линии с небольшим положительным наклоном, такие как $ \ frac {1} {10} $, идут вверх как бы медленно, под небольшим углом. Представьте себе пологую дорогу. Линии с большим положительным наклоном, например $ \ frac {9} {2} $, быстро поднимаются. Представьте себе альпинизм.

Линии с отрицательным наклоном идут вниз . Если наклон не очень отрицательный, например $ — \ frac {1} {7} $, линия идет вниз медленно. Если наклон большой отрицательный, например $ — \ frac {31} {3} $, линия идет круто вниз.

Arctan Функции Excel: Используйте ATAN и ATAN2 для вычисления обратного тангенса

В Excel есть две функции для вычисления арктангенса или арктангенса.Эти две функции — ATAN и ATAN2 (atan — сокращение от arctangent), и каждая из них имеет определенное использование в зависимости от желаемых результатов, которые вы хотите получить, и доступных входных данных. В общем, я бы рекомендовал использовать ATAN, если:

• Вас интересует только первый квадрант единичной окружности
• Вы не знаете значений x и y

Однако используйте функцию ATAN2, если:

• Вы хотите вернуть углы во всех четырех квадрантах единичной окружности
• Вы знаете значения x и y

Использование ATAN для вычисления Арктана в Excel

Функция ATAN возвращает результат в диапазоне от -π / 2 до π / 2 радиан (или от -90 до 90 градусов), или, другими словами, в первом и четвертом квадрантах.

Синтаксис:

ATAN (номер)

У ATAN есть только один аргумент: число, от которого вы хотите вычислить арктангенс. А поскольку аргумент только один, Excel не может определить, в каком квадранте должно находиться решение.

Чтобы продемонстрировать это, я создал единичную окружность в электронной таблице, показанной ниже, создав ряд углов от 0 до 360 градусов и вычислив значения x и y с помощью функций COS и SIN , соответственно:

Затем я вычислил арктангенс y относительно x с помощью ATAN, и, поскольку Excel работает с углами в радианах, я преобразовал результат в градусы с помощью функции DEGREES.Формула выглядела так:

= ГРАДУСЫ (ATAN (y / x))

Здесь следует обратить внимание на несколько вещей:

1. Абсолютные значения углов никогда не превышают 90 градусов, а
2. Значения во втором (II) квадранте столбца C теперь находятся в четвертом квадранте столбца F.
3. Значения в третьем (III) квадранте столбца C теперь находятся в первом квадранте столбца F.

Нанесение результатов на единичный круг выглядит следующим образом:

Как видите, Excel ограничил результаты первым и четвертым квадрантами.Почему это случилось?

Так как у функции ATAN есть только один аргумент, Excel вычисляет значение y / x перед вычислением функции ATAN.

Следовательно, он не может определить, является ли вход ATAN отрицательным, потому что значение x или значение y отрицательно. Следовательно, он не может сказать, должен ли результат находиться во втором или четвертом квадранте, поэтому по умолчанию используется только четвертый квадрант.

Аналогичным образом, когда входное значение положительное, исходный квадрант может быть либо первым (оба положительных x и y), либо третьим (оба x и y отрицательны).

Мы могли бы использовать сложную вложенную функцию ЕСЛИ, чтобы вернуть результаты во все четыре квадранта, но, к счастью, в Excel есть еще одна функция под названием ATAN2, которая нам поможет.

Использование ATAN2 для вычисления Арктана в Excel

Функцию ATAN2 также можно использовать для вычисления арктангенса в Excel. Эта функция возвращает результат от -π до π радиан (или от -180 до 180 градусов), используя все четыре квадранта. Синтаксис:

ATAN2 (x_num, y_num)

Есть два аргумента:

• Значение x «x_num»
• Значение y «y_num»

Введя в функцию два значения, Excel может определить, к какому квадранту относится это значение.

• Квадрант 1, если и x, и y положительны
• Квадрант 2, если x отрицательный, а y положительный
• Квадрант 3, если оба x и y отрицательны
• Квадрант 4, если x положительный, а y отрицательный

Итак, если мы воспользуемся формулой

= ГРАДУСЫ (ATAN2 (x_num, y_num))

Получаем следующие результаты:

Результаты, нанесенные на единичный круг, выглядят следующим образом:

Очевидно, эта функция возвращает значения во всех четырех квадрантах.Однако, если мы предпочитаем получать результаты в виде угла от 0 до 360 градусов, а не от -180 до 180, мы можем использовать простую функцию ЕСЛИ, чтобы добавить 360, если результат меньше 0.

= ЕСЛИ (результат <0, результат + 360, результат)

Заключение

Надеюсь, теперь вы понимаете ограничения ATAN и понимаете, когда лучше использовать ATAN2 для вычисления арктангенса или арктангенса в Excel.

Как правило, используйте ATAN, если:

• Вы работаете только в первом квадранте
• Вы не знаете значений x или y

Используйте функцию ATAN2, если:

• Вам нужны углы во всех четырех квадрантах
• Значения x и y известны

Как найти уклон в Google Таблицах

Пользователям электронных таблиц часто требуется вычислить наклон линии, связанной с данными в их электронной таблице.Если вы новый пользователь или привыкли использовать Microsoft Excel, может быть немного сложно понять, как это сделать самостоятельно.

Из этой статьи вы научитесь рассчитывать значения уклона в Google Таблицах с графиками и без них.

Что такое уклон?

Прежде всего, что такое наклон в Google Таблицах?

Уклон — это геометрическое понятие, которое описывает направление и крутизну линии на декартовой плоскости. (Декартова плоскость — это стандартная сетка x-y, которую вы, возможно, помните из математического класса, с осью X и осью Y.)

Линия, идущая вверх слева направо на плоскости, имеет положительный наклон; линия, идущая вниз слева направо, имеет отрицательный наклон.

На схеме ниже синяя линия имеет положительный наклон, а красная линия имеет отрицательный наклон:

Наклон выражается числом, и это число указывает, насколько линия поднимается или опускается на заданном расстоянии. Если линия идет от X = 1, Y = 0 до X = 2, Y = 1 (то есть линия идет вверх на +1 по оси Y, а также на +1 по оси X), наклон равно 1.Если бы он увеличился с X = 1, Y = 0 до X = 2, Y = 2, наклон был бы 2 и так далее.

Чем больше число, тем круче наклон; наклон +10 означает линию, которая идет вверх на 10 по оси Y для каждой единицы, которую она перемещает по оси X, в то время как наклон -10 означает линию, которая идет вниз на 10 по оси Y для каждой единицы на ось X.

В электронной таблице значения наклона обычно связаны с линейной регрессией, которая является способом анализа взаимосвязи между двумя или более переменными.

Переменные состоят из зависимых значений Y и независимых X, которые в электронных таблицах будут храниться в виде двух отдельных столбцов таблицы.

Зависимое значение — это значение, которое автоматически изменяется на счетчик, а независимое значение — это значение, которое может изменяться свободно. Типичным примером может быть один столбец (зависимая переменная X), который содержит ряд дат, с другим столбцом (независимая переменная Y), который содержит числовые данные, например, данные о продажах за этот месяц.

Где линии? Где график? Уклон — это то, как движется линия, верно?

Думайте о данных электронной таблицы как о точках графика.Данные, представленные в этой таблице, можно легко визуализировать с помощью линейного графика.

Как найти уклон в Google Таблицах

Google Таблицы предоставляет простой, но мощный набор инструментов для создания линейных графиков из табличных данных. В этом примере все, что вам нужно сделать, это выбрать всю таблицу данных (от A1 до B16) и нажать кнопку «Вставить диаграмму». После этого в Таблицах мгновенно появится следующая диаграмма:

1. Щелкните значок диаграммы. В одних местах он снижается, в других — растет! Как вы можете представить себе наклон такой безумной линии? Ответ — так называемая линия тренда.Линия тренда — это сглаженная версия вашей линии, которая показывает общую тенденцию в цифрах.
2. Щелкните Редактировать диаграмму . Получить линию тренда в Таблицах также просто.
3. Щелкните линию тренда. В открывшемся редакторе диаграмм щелкните вкладку «Настройка» и измените тип диаграммы на Точечная диаграмма .
4. Щелкните вкладку Customize , откройте раскрывающийся раздел Series и переключите Trendline.

Теперь ваш график должен выглядеть так:

Голубая линия, следующая за цепочкой точек на графике, является линией тренда.

Итак, как найти наклон этой линии?

Что ж, если бы это был урок математики, вам пришлось бы заняться математикой. К счастью, сейчас 21 век, и математика уже позади. Вместо этого мы можем просто сказать компьютеру сделать это за нас. Спасибо, Google.

Как найти наклон графика в Google Таблицах

В редакторе диаграмм мы можем использовать Google Таблицы для вычисления наклона. Просто следуйте этим инструкциям, чтобы найти наклон любого линейного графика в Google Таблицах.

1. Выберите Label > Используйте уравнение . Это добавит уравнение, которое Google Таблицы использовали для расчета линии тренда, а наклон нашей линии будет частью слева от члена * x .
2. В данном случае наклон равен +1251. Это означает, что за каждый прошедший месяц выручка от продаж будет увеличиваться в общей сложности на 1251 доллар.

3. Интересно, что на самом деле вам не обязательно иметь диаграмму, чтобы вычислить наклон.В Google Таблицах есть функция НАКЛОН , которая вычисляет наклон любой таблицы данных, не утруждая себя сначала рисовать ее как картинку. (Тем не менее, рисование изображений очень помогает в изучении того, как все это делать, и именно поэтому мы сделали это с самого начала.)

4. Вместо создания диаграммы вы можете просто добавить функцию НАКЛОН к диаграмме. ячейку в вашей электронной таблице. Синтаксис функции SLOPE в Google Таблицах: SLOPE (data_y, data_x) . Эта функция вернет то же значение наклона, что и в уравнении графика.

Обратите внимание, что порядок ввода немного отличается от того, как вы, вероятно, отображаете информацию в своей таблице. Это связано с тем, что Sheets хочет, чтобы вы сначала поместили независимые данные (доход от продаж), а затем зависимую переменную (месяц).

Также следует отметить, что функция SLOPE не так умна, как создание диаграммы. Для зависимой переменной требуются чистые числовые данные, поэтому я изменил эти ячейки на единицы — 15.

Выберите любую пустую ячейку в электронной таблице и введите « = НАКЛОН (b2: b16, a2: a16) » и ударил Возврат .

И вот наш угол наклона с немного большей точностью, чем тот, который представлен на диаграмме.

Последние мысли

Вот как вы можете найти наклон в Google Таблицах. Надеюсь, если у вас возникли проблемы с выяснением этого самостоятельно, эти инструкции смогли вам помочь.

Если вы предпочитаете использовать Excel вместо Таблиц, есть также руководство TechJunkie по поиску значений уклона в Excel.

У вас есть интересные приложения для поиска наклона в Google Таблицах? Поделитесь ими с нами ниже!

Как найти касательный угол

Если вы где-то работаете с любым треугольником с прямым углом, найти касательный угол просто, если вам известны длины двух сторон треугольника.

В Microsoft Excel это сделать еще проще, потому что есть встроенные функции, которые вы можете использовать.

Информация в этой статье относится к Excel для Microsoft 365, Excel 2019, 2016, 2013, 2010 и Excel для Mac.

Что такое касательный угол?

Касательный угол — это угол в треугольнике, длина стороны которого противоположна углу, и стороны, прилегающей к нему.

Представьте, например, что ваш начальник говорит вам установить лестницу точно на 70 градусов от земли.Если у вас нет специальных инструментов, будет сложно измерить, составляет ли угол между лестницей и землей ровно 70 градусов.

Бернард Ван Берг / Getty Images

Однако, если у вас есть рулетка, вы можете измерить расстояние от нижней части лестницы до стены. Поскольку лестница у стены образует треугольник, это будет сторона рядом с углом к касательному углу, который вы пытаетесь вычислить.

Затем вы должны измерить расстояние от нижней части стены до того места, где ее касается верхняя часть лестницы.Это расстояние стороны , противоположной от касательного угла.

Измеряя противоположные и смежные стороны, вы можете рассчитать угол у основания лестницы с помощью функции арктангенса.

Если сторона стены (противоположная) составляет 10 футов, а сторона земли (смежная) — 5 футов, формула для касательного угла представляет собой противоположную сторону, деленную на соседнюю сторону. Это 10, разделенное на 5, или 0,5.

Чтобы найти значение угла, вам нужно взять арктангенс 0.5.

Найдите касательный угол с помощью Excel

Вы можете найти калькулятор, который вычисляет арктангенс значения, но в Excel есть встроенная функция ATAN, которую вы можете использовать.

Формула возвращает угол в радианах, который ваш начальник, вероятно, не поймет.

Вы захотите преобразовать радианы в градусы, умножив полученное значение на 180 / пи. В Excel также есть функция PI, которую вы можете использовать для этой цели.

В данном случае ответ — 63.43 градуса. Это означает, что вам нужно отрегулировать одну из длин, пока угол не будет ровно 70 градусов.

Сделать это в Excel легко, потому что вы можете изменять значение противоположной стороны, пока результат арктангенса не будет равен 70.

Использование ASIN и ACOS в Excel

В этом же сценарии предположим, что у вас нет рулетки, достаточно длинной, чтобы измерить стену. Вы знаете только, что высота лестницы составляет 15 футов, и что она находится в пяти футах от стены.

В Excel есть еще две функции, которые можно использовать для вычисления угла.

Длина лестницы — это гипотенуза треугольника, а расстояние до земли — это , прилегающая к углу сторона. Пока треугольник имеет один прямой угол (90 градусов), имеющаяся у вас информация определяет формулу, которую вам нужно использовать.

• Косинус : Вычислите угол косинуса, если вы знаете длину гипотенузы и прилегающую сторону.
• Синус : рассчитайте угол синуса, если вам известна длина гипотенузы и противоположной стороны.

В этом случае угол — это арккосинус смежной стороны, деленный на гипотенузу.

Поскольку вы знаете, что прилегающая сторона (расстояние до земли) составляет 5 футов, а длина лестницы (гипотенуза) составляет 15 футов, косинус угла равен 5, деленному на 15, или 0,333.

Чтобы вычислить угол, используйте формулу арккосинуса в Excel.

Результатом функции арккосинуса является Excel в радианах, поэтому вам нужно умножить его на 180 / PI, чтобы преобразовать его в градусы.

Для 15-футовой лестницы, основание которой находится на расстоянии 5 футов от стены, угол составляет 70,53 градуса.

Если бы вы знали, что высота стены (противоположная сторона) составляет 10 футов, а не расстояние от земли до стены (соседняя сторона), вы бы использовали формулу арксинуса в Excel.

В этом случае синус угла — это сторона, противоположная делению гипотенузы.

После преобразования в градусы угол в этом случае будет 48,12 градуса.

Зачем использовать ATAN, ACOS или ASIN?

Вот несколько примеров ситуаций, когда вам может потребоваться использовать одну из этих функций в Excel:

• В столярных работах и ​​строительстве углы и длины используются во всех аспектах строительства домов и зданий.
• Фотографы используют углы, чтобы тщательно согласовать освещение и свои творческие снимки.
• В спорте понимание углов может улучшить навыки и стратегию.
• Корабли и самолеты отображаются на радаре с использованием углов и расстояний.
• Если вы хотите быть уверены, что мебель поместится прямо в вашей комнате, вам нужно знать, как рассчитывать длину и углы.

Возможно, вы сможете выполнить эти расчеты на научном калькуляторе. Но если у вас нет под рукой, Excel может помочь вам в этих вычислениях.

Спасибо, что сообщили нам!

Расскажите, почему!

Другой

Недостаточно подробностей

Сложно понять

3.2 Производная как функция — Объем исчисления 1

Цели обучения

• Определите производную функцию заданной функции.
• Постройте производную функцию от графика заданной функции.
• Укажите связь между производными и непрерывностью.
• Опишите три условия, когда функция не имеет производной.
• Объясните значение производной высшего порядка.

Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке. Если мы дифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получаем скорость в этот момент. Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке может дать ценную информацию о поведении функции. Однако процесс нахождения производной даже для нескольких значений с использованием методов предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным.В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения.

Функция производной дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная. Мы можем формально определить производную функцию следующим образом.

Определение

Позвольте быть функцией. Производная функция , обозначенная как, — это функция, область определения которой состоит из таких значений, что существует следующий предел:

.

Говорят, что функция дифференцируема на , если
существует. В более общем смысле, функция называется дифференцируемой на , если она дифференцируема в каждой точке открытого набора, а дифференцируемая функция — это функция, которая существует в своей области определения.

В следующих нескольких примерах мы используем (рисунок), чтобы найти производную функции.

Нахождение производной функции квадратного корня

Найдите производную от.

Решение

Начните непосредственно с определения производной функции.Используйте (рисунок).

Нахождение производной квадратичной функции

Найдите производную функции.

Решение

Выполните ту же процедуру, но без умножения на конъюгат.

Найдите производную от.

Решение

Мы используем множество различных обозначений для выражения производной функции. На (Рисунок) мы показали, что если, то. Если бы мы выразили эту функцию в форме, мы могли бы выразить производную как или.Мы могли бы передать ту же информацию письменно. Таким образом, для функции каждое из следующих обозначений представляет собой производную от:

.

Вместо мы также можем использовать. Использование обозначений (называемых обозначениями Лейбница) довольно распространено в инженерии и физике. Чтобы лучше понять это обозначение, напомним, что производная функции в точке — это предел наклона секущих линий, когда секущие линии приближаются к касательной. Наклоны этих секущих линий часто выражаются в виде где — разница значений, соответствующая разнице значений, которые выражаются как ((Рисунок)).Таким образом, производная, которую можно представить как мгновенную скорость изменения относительно, выражается как

.

Рисунок 1. Производная выражается как.

Мы уже обсуждали, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение производной функции, мы можем построить график. Учитывая и то, и другое, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку дает скорость изменения функции (или наклон касательной к).

В (Рисунок) мы обнаружили, что для. Если мы построим график этих функций на тех же осях, что и на (Рисунок), мы сможем использовать графики, чтобы понять взаимосвязь между этими двумя функциями. Во-первых, мы замечаем, что он увеличивается по всей своей области, что означает, что наклон его касательных во всех точках положительный. Следовательно, мы ожидаем для всех значений в его области. Кроме того, по мере увеличения наклон касательных к уменьшается, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение.Мы также замечаем, что это не определено и соответствует вертикальной касательной к точке 0.

Рис. 2. Производная везде положительна, потому что функция возрастает.

В (Рисунок) мы обнаружили, что для. Графики этих функций показаны на (Рисунок). Обратите внимание, что для. Для этих же значений. Для значений увеличивается и. Кроме того, имеет горизонтальную касательную в точках и.

Построение производной с помощью функции

Используйте следующий график, чтобы нарисовать график.

Нарисуйте график. На каком интервале находится график выше оси?

Решение

Теперь, когда мы можем построить график производной, давайте рассмотрим поведение графиков. Во-первых, мы рассматриваем взаимосвязь между дифференцируемостью и непрерывностью. Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть непрерывной там; однако функция, непрерывная в какой-то точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке.Фактически, функция может быть непрерывной в точке и не дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин.

Проба

Если дифференцируем в, то существует и

.

Мы хотим показать, что это непрерывно, показав это. Таким образом,

Следовательно, поскольку определено и, мы заключаем, что непрерывно в точке.

Мы только что доказали, что дифференцируемость предполагает непрерывность, но теперь мы рассмотрим, подразумевает ли непрерывность дифференцируемость.Чтобы определить ответ на этот вопрос, исследуем функцию. Эта функция всюду непрерывна; однако не определено. Это наблюдение приводит нас к мысли, что непрерывность не предполагает дифференцируемости. Давайте изучим дальше. Для,

.

Этот предел не существует, потому что

.

См. (Рисунок).

Рисунок 4. Функция непрерывна в 0, но не дифференцируема в 0.

Рассмотрим некоторые дополнительные ситуации, в которых непрерывная функция не может быть дифференцируемой.Рассмотрим функцию:

.

Значит, не существует. Беглый взгляд на график проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке 0 ((рисунок)).

Рисунок 5. Функция имеет вертикальную касательную в точке. Он непрерывен в 0, но не дифференцируем в 0.

У функции также есть производная, которая демонстрирует интересное поведение при 0. Мы видим, что

.

Этот предел не существует, в основном потому, что наклон секущих линий непрерывно меняет направление по мере приближения к нулю ((Рисунок)).

Рисунок 6. Функция не дифференцируема в 0.

Итого:

1. Заметим, что если функция не является непрерывной, она не может быть дифференцируемой, поскольку каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она все равно не может быть дифференцируемой.
2. Мы видели, что это невозможно дифференцировать в 0, потому что предел наклона касательных линий слева и справа не был одинаковым. Визуально это привело к резкому углу на графике функции в 0.Отсюда мы заключаем, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть «гладкой» в этой точке.
3. Как мы видели в примере, функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная.
4. Как мы видели, функция может быть не дифференцируемой в точке и более сложными способами.

Непрерывная и дифференцируемая кусочная функция

Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную от производной.Например, производная функции положения — это скорость изменения положения или скорости. Производная скорости — это скорость изменения скорости, которая является ускорением. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать использовать производные для получения третьей производной, четвертой производной и так далее. В совокупности они называются производными более высокого порядка . Обозначения для производных высшего порядка от могут быть выражены в любой из следующих форм:

.

Интересно отметить, что обозначение для можно рассматривать как попытку выразить более компактно. Аналогично.

Поиск второй производной

Для, найдите.

В поисках ускорения

Положение частицы вдоль оси координат в момент времени (в секундах) определяется выражением (в метрах). Найдите функцию, описывающую его ускорение во времени.

• Производная функция

В следующих упражнениях используйте определение производной, чтобы найти.

1.

2.

3.

4.

Решение

5.

6.

Решение

7.

8.

Решение

9.

10.

Решение

Для следующих упражнений используйте график, чтобы нарисовать график его производной.

11.

12.

Решение

13.

14.

Решение

Для следующих упражнений данный предел представляет собой производную функции в. Найти и .

15.

16.

Решение

17.

18.

Решение

19.

20.

Решение

Для следующих функций:

1. набросать график и
2. использует определение производной, чтобы показать, что функция не дифференцируема в.

21.

23.

Для следующих графиков

1. определяет, для каких значений существует, но не является непрерывным, и
2. определить, для каких значений функция является непрерывной, но не дифференцируемой в.

25.

Для следующих функций используйте, чтобы найти.

28.

29.

30.

Решение

Для следующих упражнений используйте калькулятор для построения графиков. Определите функцию, затем используйте калькулятор для построения графика.

31. [Т]

33. [Т]

35. [Т]

Для следующих упражнений опишите, что два выражения представляют в терминах каждой из данных ситуаций.Обязательно укажите единицы измерения.

37. обозначает население города во времени в годах.

38. обозначает общую сумму денег (в тысячах долларов), потраченную на концессии клиентами в парке развлечений.

Решение

а. Средняя ставка, с которой клиенты потратили на уступки, в тысячах на одного клиента.
г. Скорость (в тысячах на одного покупателя), по которой покупатели тратили деньги на уступки, в тысячах на одного покупателя.

39. обозначает общую стоимость (в тысячах долларов) производства радиочасов.

40. обозначает оценку (в процентных пунктах), полученную по тесту за количество часов обучения.

Решение

а. Средняя оценка, полученная за тест, при среднем времени обучения между двумя суммами.
г. Скорость (в процентных пунктах в час), с которой оценка по тесту повышалась или понижалась за данное среднее время обучения в часах.

41. обозначает стоимость (в долларах) учебника социологии в университетских книжных магазинах США с 1990 года.

42. обозначает атмосферное давление на высоте футов.

Решение

а. Среднее изменение атмосферного давления между двумя разными высотами.
г. Скорость (торр на фут), с которой атмосферное давление увеличивается или уменьшается на высоте.

Решение

а.Скорость (в градусах на фут), с которой температура повышается или понижается для данной высоты.
г. Скорость изменения температуры при изменении высоты на высоте 1000 футов составляет -0,1 градуса на фут.

Решение

а. Скорость, с которой число людей, заболевших гриппом, меняется через несколько недель после первоначальной вспышки.
г. Скорость резко увеличивается до третьей недели, после чего она замедляется, а затем становится постоянной.

Для следующих упражнений используйте следующую таблицу, в которой показана высота ракеты Saturn V для миссии Apollo 11 через несколько секунд после запуска.

47. В чем физический смысл? Какие единицы?

48.[T] Создайте таблицу значений для обоих графиков и на том же графике. (Подсказка : для внутренних точек, оцените левый и правый пределы и усредните их.)

Решение

.