Содержание
Уравнение. Корень уравнения | Математика
Уравнение — это равенство, которое справедливо не при любых значениях входящих в него букв, а только при некоторых. Так же можно сказать, что уравнение является равенством, содержащим неизвестные числа, обозначенные буквами.
Например, равенство 10 — x = 2 является уравнением, так как оно справедливо только при x = 8. Равенство x2 = 49 — это уравнение, справедливое при двух значениях x, а именно, при
x = +7 и x = -7,
так как
(+7)2 = 49 и (-7)2 = 49.
Если вместо x подставить его значение, то уравнение превратится в тождество. Такие переменные, как x, которые только при определённых значениях обращают уравнение в тождество, называются неизвестными уравнения. Они обычно обозначаются последними буквами латинского алфавита x, y и z.
Любое уравнение имеет левую и правую части. Выражение, стоящее слева от знака =
, называется левой частью уравнения, а стоящее справа — правой частью уравнения. Числа и алгебраические выражения, из которых состоит уравнение, называются членами уравнения:
Корни уравнения
Корень уравнения — это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Уравнение может иметь всего один корень, может иметь несколько корней или не иметь корней вообще.
Например, корнем уравнения
10 — x = 2
является число 8, а у уравнения
x2 = 49
два корня — +7 и -7.
Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что их нет.
Виды уравнений
Кроме числовых уравнений, подобных приведённым выше, где все известные величины обозначены числами, существуют ещё буквенные уравнения, в которые кроме букв, обозначающих неизвестные, входят ещё буквы, обозначающие известные (или предполагаемые известные) величины.
Примеры:
x — a = b + c;
3x + c = 2a + 5.
По числу неизвестных уравнения разделяются на уравнения с 1-м неизвестным, с 2-мя неизвестными, с 3-мя и более неизвестными.
Примеры:
7x + 2 = 35 — 2x — уравнение с одним неизвестным,
3x + y = 8x — 2y — уравнение с двумя неизвестными.
Уравнение и его корни: определения, примеры
После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.
Понятие уравнения
Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры.
Тогда оно определяется так:
Определение 1
Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.
Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t, r, m др., но чаще всего используются x, y, z. Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.
Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x=5, y=6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x+7=38, z−4=2, 8·t=4, 6:x=3.
После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7·(x−1) =19, x+6·(x+6·(x−8))=3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x+2+4·x−2−x=10. Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x·(8+1)−7=8, 3−3=z+3 или 8·x−9=2·(x+17).
Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.
В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:
Определение 2
Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.
То есть, к примеру, выражение x+3=6·x+7 – это уравнение с переменной x, а 3·y−1+y=0 – уравнение с переменной y.
В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:
Определение 3
Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.
К примеру, равенство вида 3,7·x+0,6=1 является уравнением с одной переменной x, а x−z=5 – уравнением с двумя переменными x и z. Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x2+(y−6)2+(z+0,6)2=26.
Корень уравнения
Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.
Пример 1
Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении a+1=5 мы заменим букву числом 2, то равенство станет неверным, а если 4, то получится верное равенство 4+1=5.
Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.
Определение 4
Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.
Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.
Пример 2
Возьмем пример для пояснения этого определения. Выше мы приводили уравнение a+1=5. Согласно определению, корнем в данном случае будет 4, потому что при подстановке вместо буквы оно дает верное числовое равенство, а двойка не будет решением, поскольку ей отвечает неверное равенство 2+1=5.
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать задание
Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.
Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть 0·x=5. Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на 0 всегда дает 0.
Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.
Пример 3
Так, в уравнении x−2=4 есть только один корень – шесть, в x2=9 два корня – три и минус три, в x·(x−1)·(x−2)=0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.
Теперь поясним, как правильно записывать корни уравнения. Если их нет, то мы так и пишем: «уравнение корней не имеет». Можно также в этом случае указать знак пустого множества ∅. Если корни есть, то пишем их через запятую или указываем как элементы множества, заключив в фигурные скобки. Так, если у какого-либо уравнения есть три корня -2, 1 и 5, то пишем -2, 1, 5 или {-2, 1, 5}.
Допускается запись корней в виде простейших равенств. Так, если неизвестная в уравнении обозначена буквой y, а корнями являются 2 и 7, то мы пишем y=2 и y=7. Иногда к буквам добавляются нижние индексы, например, x1=3, x2=5. Таким образом мы указываем на номера корней. Если решений у уравнения бесконечно много, то мы записываем ответ как числовой промежуток или используем общепринятые обозначения: множество натуральных чисел обозначается N, целых – Z, действительных – R.
Скажем, если нам надо записать, что решением уравнения будет любое целое число, то мы пишем, что x∈Z, а если любое действительное от единицы до девяти, то y∈1, 9.
Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.
Определение 5
Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.
Поясним определение на примерах.
Пример 4
Допустим, у нас есть выражение x+y=7, которое представляет из себя уравнение с двумя переменными. Подставим вместо первой единицу, а вместо второй двойку. У нас получится неверное равенство, значит, эта пара значений не будет решением данного уравнения. Если же мы возьмем пару 3 и 4, то равенство станет верным, значит, мы нашли решение.
Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество.
Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как (3,4).
На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.
Решить уравнение с корнем онлайн калькулятор
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве
сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только
возрастает. Довольно часто в уравнениях встречается знак корня и многие ошибочно считают, что такие
уравнения сложные в решении. Для таких уравнений в математике существует специальный термин, которым и
именуют уравнения с корнем — иррациональные уравнения.
2-9x+20=0\]
Получив квадратное уравнение, находим его корни:
\[x=(9\pm\sqrt{(81-4\cdot1\cdot20)\div(2\cdot1)}\]
\[x=(9\pm1)\div 2\]
Ответ: \[x1=4, x2=5\]
Если выполнить подстановку данных значений в уравнение, то получим верное равенство, что говорит о
правильности полученных данных.
Где можно решить уравнение с корнями онлайн решателем?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель
позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это
просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию
и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей
групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда
рады помочь вам.
Калькулятор онлайн — Решение иррациональных уравнений и неравенств
Введите иррациональное уравнение или неравенство
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Решение иррациональных уравнений и неравенств
1. Иррациональные уравнения
Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в
дробную степень. Для таких уравнений ищут, как правило, только действительные корни.
Основной метод решения иррациональных уравнений — метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. При этом
следует иметь в виду, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечётную степень есть равносильное преобразование
уравнения, а в чётную — НЕравносильное.
4 =16 \end{array}\right. \)
Решив её, находим:
\( \left\{\begin{array}{l} u_1=0 \\ v_1 =2; \end{array}\right. \)
\( \left\{\begin{array}{l} u_2=2 \\ v_2 =0 \end{array}\right. \)
Таким образом, исходное уравнение свелось к следующей совокупности систем уравнений:
\( \left\{\begin{array}{l} \sqrt[\Large4\normalsize]{1-x} =0 \\ \sqrt[\Large4\normalsize]{15+x} =2; \end{array}\right. \)
\( \left\{\begin{array}{l} \sqrt[\Large4\normalsize]{1-x} =2 \\ \sqrt[\Large4\normalsize]{15+x} =0 \end{array}\right. \)
Решив эту совокупность, находим: \(x_1=1, \; x_2=-15 \)
Проверка. Проще всего проверить найденные корни непосредственной подстановкой в заданное уравнение. Проделав это,
убеждаемся, что оба значения являются корнями исходного уравнения.
Ответ: 1; -15.
ПРИМЕР 6.
\( \sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} + \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} = \sqrt[\Large3\normalsize]{2x-1} \)
Возведём обе части уравнения в куб:
\( 2x+1 + 3\sqrt[\Large3\normalsize]{(2x+1)^2} \cdot \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} +
3\sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} \cdot \sqrt[\Large3\normalsize]{(6x+1)^2} +6x+1 = 2x-1 \Rightarrow \)
\( 3\sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} \cdot \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} \cdot
(3\sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} + \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} ) = -6x-3 \)
Воспользовавшись исходным уравнением, заменим сумму
\( \sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} + \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} \) на выражение \( \sqrt[\Large3\normalsize]{2x-1} \):
\( 3\sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} \cdot \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} \cdot \sqrt[\Large3\normalsize]{2x-1} = -6x-3 \Rightarrow \)
\( 3\sqrt[\Large3\normalsize]{ (2x+1)(6x+1)(2x-1) } = -2x-1 \)
Возведём обе части в куб:
\( (2x+1)(6x+1)(2x-1) = -(2x+1)^3 \Rightarrow \)
\( (2x+1)((6x+1)(2x-1) + (2x+1)^2) =0 \Rightarrow \)
\( 16x^2(2x+1) =0 \Rightarrow \)
\( x_1= -0{,}5; \; x_2=0 \)
Проверка.
2+3x >4 \Rightarrow \)
\( (x+4)(x-1) >0 \Rightarrow \)
\( x1 \)
Ответ: \( x1 \).
Пример решения иррационального уравнения с двумя корнями
Решить уравнение
Нам нужно решить иррациональное уравнение (см. что такое иррациональное уравнение). В его записи присутствуют два корня и еще одно слагаемое помимо них. Такие иррациональные уравнения очень характерны, для их решения обычно используется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Причем, для избавления от обоих радикалов к возведению обеих частей уравнения в степень придется прибегать два раза.
Напомним последовательность действий для решения иррациональных уравнений по методу возведения обеих частей в одну и ту же степень:
-
Во-первых, переходим к более простому уравнению, для чего циклически выполняем следующие три действия:-
Уединяем радикал.
-
Возводим обе части полученного уравнения в одну и ту же натуральную степень. -
Упрощаем вид уравнения, полученного после возведения в степень.
-
-
Во-вторых, решаем полученное уравнение. -
В-третьих, отсеиваем посторонние корни, если выше проводилось возведение в четную степень.
Начнем. Выполним тройку действий – уединение радикала, возведение в степень, упрощение вида – в первый раз.
Уединение радикала приводит нас к уравнению .
Так как степень уединенного корня равна двум, то возведем обе части уравнения во вторую степень: , что дальше позволит избавиться от уединенного радикала.
Теперь упростим вид полученного уравнения при помощи преобразования уравнений.
В первую очередь, базируясь на определении корня, заменим выражение в левой части тождественно равным выражением x−6, и, учитывая формулу сокращенного умножения «квадрат разности», заменим выражение в правой части тождественно равными ему выражением . Имеем . Продолжим упрощать вид уравнения. Вновь оттолкнемся от определения корня для замены выражения тождественно равным ему выражением x+2, а числовое выражение 22 заменим его значением четыре: . Дальнейшие преобразования не нуждаются в комментариях:
Очевидно, после первого прохода цикла мы освободились от одного корня, но остался еще один корень. Поэтому второй раз выполним указанную тройку действий – уединение радикала, возведение обеих частей уравнения в степень, упрощение выражения.
В уравнении уединять радикал не нужно, так как это уже сделано.
Для избавления от квадратного корня выполним возведение обеих частей уравнения в квадрат: .
Упрощаем вид полученного уравнения:
x+2=9,
x=7.
Так мы получили тривиальное уравнение. На этом первый этап решения по методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень завершен. Переходим ко второму этапу.
Второй этап – решение полученного уравнения – также можно считать завершенным, так как корень уравнения x=7 очевиден. Это число 7.
Остается третий этап решения – отсеивание посторонних корней. В нашем случае отсеивание обязательно, так как некоторые из проводимых выше преобразований могли привести к появлению посторонних корней. Действительно, мы дважды прибегали к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, а, как известно, такое преобразование может привести к появлению посторонних корней. Также в цепочке преобразований был переход от уравнения к уравнению x+2=9, при котором расширилась ОДЗ, что тоже могло привести к появлению посторонних корней. Так что проведем отсеивание посторонних корней. Сделаем это через проверку подстановкой.
Подставим найденный корень в иррациональное уравнение , имеем
Подстановка дала верное числовое равенство, значит, x=7 является искомым корнем.
На этом решение иррационального уравнения методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень завершено, оно потребовало двух возведений в степень для избавления от двух корней.
Приведем краткий вариант решения:
Что такое корень уравнения
Корнем уравнения называют число, подстановка которого в уравнение вместо переменной (обычно \(x\)), дает одинаковые значения выражений справа и слева от знака равно.
Решая, например, уравнение \(2x+1=x+4\) находим ответ: \(x=3\). Если подставить тройку вместо икса, получатся одинаковые значения слева и справа:
\(2x+1=x+4\)
\(2\cdot3+1=3+4\)
\(7=7\)
И никакое другое число, кроме тройки такого равенства нам не даст.
{2}+15\cdot(-2)+22=0\)
\(2\cdot4-30+22=0\)
\(0=0\) — сошлось, значит \(-2\) — корень уравнения
Очевидно, что решать уравнения перебором всех возможных значений – безумие, ведь чисел бесконечно много. Потому были разработаны специальные методы нахождения корней. Так, например, для линейных уравнений достаточно одних только равносильных преобразований, для квадратных – уже используются формулы дискриминанта и т.д. Каждому типу уравнений – свой метод.
Ответы на часто задаваемые вопросы
Вопрос: Может ли корень уравнения быть равен нулю?
Ответ: Да, конечно. Например, уравнение \(3x=0\) имеет единственный корень — ноль. Можете проверить подстановкой.
Вопрос: Когда в уравнении нет корней?
Ответ: В уравнении может не быть корней, если нет таких значений для икса, которые сделают уравнение верным равенством.
2-5x-6=0\) имеет два корня: \(x_1=-1\) и \(x_2=6\). Меньший из корней: \(-1\). Вот его и надо будет записать в ответ. Если бы спрашивали про больший корень, то надо было бы записать \(6\).
Скачать статью
Решение иррациональных уравнений
Решение иррациональных уравнений.
В этой статье мы поговорим о способах решения простейших иррациональных уравнений.
Иррациональным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестное под знаком корня.
Давайте рассмотрим два вида иррациональных уравнений, которые очень похожи на первый взгляд, но по сути сильно друг от друга отличаются.
(1)
и
(2)
В первом уравнении мы видим, что неизвестное стоит под знаком корня третьей степени. Мы можем извлекать корень нечетной степени из отрицательного числа, поэтому в этом уравнении нет никаких ограничений ни на выражение, стоящее под знаком корня, ни на выражение, стоящее в правой части уравнения.
Мы можем возвести обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от корня. Получим равносильное уравнение:
При возведении правой и левой части уравнения в нечетную степень мы можем не опасаться получить посторонние корни.
Пример 1. Решим уравнение
Возведем обе части уравнения в третью степень. Получим равносильное уравнение:
Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем за скобки х:
Приравняем каждый множитель к нулю, получим:
, ,
Ответ: {0;1;2}
Посмотрим внимательно на второе уравнение: . В левой части уравнения стоит квадратный корень, который принимает только неотрицательные значения. Поэтому, чтобы уравнение имело решения, правая часть тоже должна быть неотрицательной. Поэтому на правую часть уравнения накладывается условие:
— это условие существования корней.
Чтобы решить уравнение такого вида, нужно обе части уравнения возвести в квадрат:
(3)
Возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней, поэтому нам надо учесть ОДЗ уравнения:
(4)
Однако, неравенство (4) следует из условия (3): если в правой части равенства стоит квадрат какого-то выражения, а квадрат любого выражения может принимать только неотрицательные значения, следовательно левая часть тоже должна быть неотрицательна.
Поэтому условие (4) автоматически следует из условия (3) и наше уравнение равносильно системе:
Пример 2. Решим уравнение:
.
Перейдем к равносильной системе:
Решим первое уравнение системы и проверим, какие корни удовлетворяют неравеству.
,
Неравеству удовлетворяет только корень
Ответ: x=1
Внимание! Если мы в процессе решения возводим обе части уравнения в квадрат, то нужно помнить, что могут появиться посторонние корни. Поэтому либо нужно переходить к равносильной системе, либо в конце решения СДЕЛАТЬ ПРОВЕРКУ: найти корни и подставить их в исходное уравнение.
Пример 3. Решим уравнение:
Чтобы решить это уравнение, нам также нужно возвести обе части в квадрат. Давайте в этом уравнении не будем заморачиваться с ОДЗ и условием существования корней, а просто в конце решения сделаем проверку.
Воозведем обе части уравнения в квадрат:
Перенесем слагаемое, содержащее корень влево, а все остальные слагаемые вправо:
Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:
По тереме Виета:
,
Сделаем проверку. Для этого подставим найденные корни в исходное уравнение. Очевидно, что при правая часть исходного уравнения отрицательна, а левая положительна.
При получаем верное равенство.
Ответ:
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Решение радикальных уравнений
Как решать уравнения с квадратными корнями, кубическими корнями и т. Д.
Радикальные уравнения
Решение радикальных уравнений
Мы можем избавиться от квадратного корня возведением в квадрат. (Или кубические корни кубиками и т. Д.)
Но предупреждение: иногда это может создавать «решения», которые на самом деле не работают, когда мы помещаем их в исходное уравнение.
Так что нам нужно проверить!
Выполните следующие действия:
- Выделите квадратный корень с одной стороны уравнения
- возвести в квадрат обе части уравнения
Тогда продолжайте наше решение!
Пример: решить √ (2x + 9) — 5 = 0
вычлените квадратный корень: √ (2x + 9) = 5
квадрат с обеих сторон: 2x + 9 = 25
Теперь решить должно быть проще!
Переместите 9 вправо: 2x = 25 — 9 = 16
Разделить на 2: x = 16/2 = 8
Ответ: x = 8
Проверка: √ (2 · 8 + 9) — 5 = √ (25) — 5 = 5 — 5 = 0
Тот работал отлично.
Более одного квадратного корня
Что делать, если есть два или более квадратных корня? Легкий! Просто повторите процесс для каждого.
Это займет больше времени (намного больше шагов) … но ничего особенного.
Пример: решить √ (2x − 5) — √ (x − 1) = 1
выделить один из квадратных корней: √ (2x − 5) = 1 + √ (x − 1)
квадрат с обеих сторон: 2x − 5 = (1 + √ (x − 1)) 2
Мы удалили один квадратный корень.
развернуть правую часть: 2x − 5 = 1 + 2√ (x − 1) + (x − 1)
упростить: 2x − 5 = 2√ (x − 1) + x
вычтем x из обеих частей: x − 5 = 2√ (x − 1)
Теперь снова вычислим квадратный корень:
выделить квадратный корень: √ (x − 1) = (x − 5) / 2
квадрат с обеих сторон: x − 1 = ((x − 5) / 2) 2
Мы успешно удалили оба квадратных корня.
Давайте продолжим решение.
Разверните правую часть: x − 1 = (x 2 — 10x + 25) / 4
Это квадратное уравнение! Так что давайте представим это в стандартной форме.
Умножьте на 4, чтобы удалить деление: 4x − 4 = x 2 — 10x + 25
Переместите все налево: 4x — 4 — x 2 + 10x — 25 = 0
Объедините похожие термины: −x 2 + 14x — 29 = 0
Поменять местами все знаки: x 2 — 14x + 29 = 0
Использование квадратичной формулы (a = 1, b = −14, c = 29) дает решения:
2.
53 и 11,47 (с точностью до 2 знаков после запятой)
Проверим решения:
2,53: √ (2 × 2,53−5) — √ (2,53−1) ≈ −1 Ой! Должно быть плюс 1.
11,47: √ (2 × 11,47−5) — √ (11,47−1) ≈ 1 Да, это работает.
Есть реально только одно решение :
Ответ: 11,47 (с точностью до 2 знаков после запятой)
Видите? Этот метод может иногда давать решения, которые на самом деле не работают!
Корень, который казался работоспособным, но был неправильным, когда мы его проверили, называется «Посторонний корень»
Итак: Проверка важна.2} с одной стороны уравнения, сохраняя константы с противоположной стороны. После этого следующий очевидный шаг — извлечь квадратные корни из обеих сторон и найти значение x. Всегда добавляйте символ \ pm, когда вы получаете квадратный корень из константы.
Примеры решения квадратных уравнений методом квадратного корня
Пример 1 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.
2} с левой стороны, добавив обе стороны на +1.Затем решите значения x, извлекая квадратные корни из обеих частей уравнения. Как я упоминал ранее, нам нужно прикрепить символ плюса или минуса к квадратному корню из константы.
Итак, у меня x = 5 и x = — \, 5 как окончательных ответов , поскольку оба этих значения удовлетворяют исходному квадратному уравнению. Я оставлю это на ваше усмотрение.
Пример 2 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.
Эта проблема очень похожа на предыдущий пример.2}, по одному с каждой стороны уравнения. Мой подход состоит в том, чтобы собрать все квадраты x с левой стороны и объединить все константы с правой стороны. Затем решите относительно x как обычно, как в примерах 1 и 2.
Решения этой квадратной формулы: x = 3 и x = — \, 3.
Пример 4 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.
Две круглые скобки не должны вас беспокоить.
Факт остается фактом: все переменные имеют квадратную форму, чего мы и хотим.2} термины слева и константы справа. Наконец, примените операцию извлечения квадратного корня с обеих сторон, и все готово!
Неплохо, правда?
Пример 5 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.
Поскольку член x дважды возводится во вторую степень, это означает, что мне нужно выполнить две операции извлечения квадратного корня, чтобы найти x.
Первый шаг — получить что-то вроде этого: () 2 = константа .2} = \ pm \, 6 + 10 на два случая из-за «плюс» или «минус» в 6.
- Решите первый случай, когда 6 — это положительный результат .
- Решите второй случай, когда 6 — это отрицательное значение .
Решения этого квадратного уравнения: x = 4, x = — \, 4, x = 2 и x = — \, 2. Да, у нас есть четыре значения x, которые могут удовлетворять исходному квадратному уравнению.
Пример 6 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.
Раствор :
Пример 7 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.
Раствор:
Практика с рабочими листами
Возможно, вас заинтересует:
Решение квадратных уравнений методом факторинга
Решение квадратных уравнений по квадратичной формуле
Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата
Решение задач, содержащих два квадратных корня
Решение задач, содержащих два квадратных корня
Вот шаги, необходимые для решения задач, содержащих два квадратных корня:
| Шаг 1 : | Выделите один из двух квадратных корней на одной стороне уравнения, переместив все остальные члены в противоположную сторону уравнения. |
| Шаг 2 : | Возведите в квадрат каждую сторону уравнения. Возведение квадратного корня в квадрат приводит к тому, что один из квадратных корней исчезает, оставляя выражение, которое было внутри квадратного корня. |
| Шаг 3 : | Упростите уравнение, найденное на шаге 2, распределяя (или FOILing), чтобы удалить круглые скобки, а затем объединив похожие термины. |
| Шаг 4 : | На данный момент в задаче должен остаться только один квадратный корень.Итак, выделите квадратный корень, переместив все остальные члены в противоположную часть уравнения. |
| Шаг 5 : | Возведите в квадрат каждую сторону уравнения. Возведение квадратного корня в квадрат приводит к тому, что квадратный корень исчезает, оставляя выражение, которое было внутри квадратного корня. |
| Шаг 6 : | Решите уравнение, найденное на шаге 5. На этом шаге может потребоваться распределение (или FOILing), объединение одинаковых членов, выделение переменной или решение путем разложения на множители в зависимости от оставшихся членов. |
| Шаг 7 : | Проверьте свой ответ. При решении задач извлечения квадратного корня иногда вы получаете неправильные ответы, поэтому убедитесь, что вы подставили свой ответ в исходный вопрос, чтобы убедиться, что он правильный. |
Пример 1 — Решить:
Пример 2 — Решить:
Щелкните здесь для практических задач
Пример 3 — Решить:
Щелкните здесь для практических задач
Пример 4 — Решить:
Щелкните здесь для практических задач
Алгебра — уравнения с радикалами
Решите каждое из следующих уравнений.
2} \]
с \ (a = y \) и \ (b = \ sqrt {y — 4} \). Вам нужно будет уметь это делать, потому что, хотя здесь это может не сработать, нам потребуется такая работа в следующем наборе задач.
Итак, в чем проблема? Напомним, что возведение обеих сторон в квадрат в первой задаче заключалось в устранении квадратного корня. Мы этого не сделали. В проблеме все еще есть квадратный корень, и мы также усложнили оставшуюся часть проблемы.
Итак, что нам нужно сделать здесь, это убедиться, что мы получили квадратный корень сам по себе на одной стороне уравнения перед возведением в квадрат. Как только это будет сделано, мы возведем обе стороны в квадрат, и квадратный корень действительно исчезнет.
Вот правильный способ решения этой проблемы.
\ [\ begin {align *} \ sqrt {y — 4} & = 4 — y \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {теперь квадрат с обеих сторон}} \\ {\ left ({\ sqrt {y — 4}} \ right) ^ 2} & = {\ left ({4 — y} \ right) ^ 2} \\ y — 4 & = 16 — 8y + {y ^ 2} \\ 0 & = {y ^ 2} — 9y + 20 \\ 0 & = \ left ({y — 5} \ right) \ left ({y — 4} \ right) \ hspace {0.
2} — z — 2 \\ & 0 = \ left ({z — 2 } \ right) \ left ({z + 1} \ right) \ hspace {0.? 2 \\ 4 — 2 & = 2 \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {OK}} \ end {align *} \]
Это тоже решение.
Итак, в этом случае мы увидели пример, в котором оба возможных решения фактически также являются решениями исходного уравнения.
Решение квадратных уравнений с извлечением квадратного корня
Purplemath
Давайте еще раз посмотрим на последнюю проблему на предыдущей странице:
На предыдущей странице я решил это квадратное уравнение, разложив на множители разность квадратов в левой части уравнения, а затем установив каждый коэффициент равным нулю и т. Д., И т. Д.Решение было « x = ± 2». Однако —
Я также могу попытаться выделить член в квадрате переменной в левой части уравнения (то есть я могу попытаться получить член x 2 сам по себе на одной стороне знака «равно»), переместив числовую часть (то есть 4) в правую часть, например:
MathHelp.
com
Когда я решаю уравнение, я знаю, что могу делать все, что захочу, с этим уравнением , если я проделываю одно и то же с обеими сторонами этого уравнения . В левой части этого конкретного уравнения у меня есть x 2 , и мне нужен старый добрый x .Чтобы превратить x 2 в x , я могу извлечь квадратный корень из каждой стороны уравнения, например:
x = ± 2
Тогда решение будет x = ± 2, как это было, когда я решил путем факторизации разности квадратов.
Зачем мне понадобился знак «±» (то есть «плюс-минус») на 2, когда я извлек квадратный корень из 4? Потому что я пытаюсь найти всех значений переменной, которые делают исходное утверждение истинным, и это могло быть либо положительное 2, либо отрицательное 2, возведенное в квадрат, чтобы получить 4 в исходном уравнении.
Эта двойственность похожа на то, как у меня было два фактора, один «плюс» и один «минус», когда я использовал формулу разности квадратов для решения того же уравнения на предыдущей странице.
«Поиск решения уравнения» — это процесс, очень отличающийся от «вычисления квадратного корня из числа». При нахождении «квадратного корня» числа мы имеем дело исключительно с положительным значением. Почему? Потому что именно так определяется квадратный корень из числа.Значение квадратного корня из числа может быть только положительным, потому что так определяется «квадратный корень из числа».
С другой стороны, решение уравнения, то есть нахождение всех возможных значений переменной, которые мог бы использовать в уравнении, отличается от простой оценки выражения, которое уже определило как имеющее только одно значение.
Держите этих двоих прямо! Число с квадратным корнем имеет только одно значение, а уравнение с квадратным корнем имеет два из-за переменной.
В математике мы должны иметь возможность получить один и тот же ответ, независимо от того, какой действительный метод мы использовали, чтобы прийти к этому ответу. Итак, сравнение ответа, полученного мной выше, с ответом, который я получил на предыдущей странице, подтверждает, что мы должны использовать «±» при извлечении квадратного корня для решения.
(Вы можете сомневаться в моей работе выше на этапе, когда я извлекал квадратный корень из любой стороны, потому что я поставил знак «±» только на одной стороне уравнения.Разве я не должен добавить этот символ к обеим сторонам уравнения ? Вроде да. Но если бы я поместил это в обе стороны уравнения, изменилось бы что-нибудь на самом деле? Нет. Попробуйте все варианты, если вы не уверены.)
Преимущество этого процесса извлечения квадратного корня состоит в том, что он позволяет нам решать некоторые квадратичные уравнения, которые мы не могли решить раньше, используя только факторинг.
Например:
Эта квадратичная часть имеет квадратную и числовую части.Я начну с добавления числового члена к другой стороне уравнения (чтобы квадрат был сам по себе), а затем извлеку квадратный корень из обеих сторон. Мне нужно не забыть упростить квадратный корень:
x 2 -50 = 0
x 2 = 50
Тогда мое решение:
В то время как мы могли бы получить предыдущее целочисленное решение путем факторизации, мы никогда не смогли бы получить это радикальное решение путем факторизации.Факторинг явно полезен для решения некоторых квадратных уравнений, но дополнительные виды техники позволяют нам находить решения дополнительных видов уравнений.
Решить (
x — 5) 2 — 100 = 0.
Эта квадратичная часть имеет квадратную и числовую части. Я начну с добавления строго числового члена в правую часть уравнения, чтобы квадрат биномиального выражения, содержащего переменную, находился в левой части.Затем я извлечу квадратный корень из обеих частей, запомнив «±» в числовой части, а затем упрощу:
( x — 5) 2 — 100 = 0
( x — 5) 2 = 100
x — 5 = ± 10
x = 5 ± 10
x = 5-10 или x = 5 + 10
x = –5 или x = 15
Это уравнение после извлечения квадратного корня из любой стороны не содержит радиальных чисел.Благодаря этому я смог упростить свои результаты вплоть до простых значений.
Мой ответ:
Предыдущее уравнение является примером уравнения, в котором неосторожный ученик опускает знак «±» при решении и не понимает, как книга получила ответ « x = –5, 15».
Эти ученики имеют плохую привычку не утруждать себя записью знака «±», пока они не проверит свои ответы на обратной стороне книги и внезапно «не вспомнят», что они «имели в виду» поставить там знак «±», когда они ‘ d извлекает квадратный корень из любой стороны уравнения.
Но эта «магия» работает только тогда, когда у вас есть ответ (чтобы напомнить вам) и когда раствор содержит радикалы (что не всегда происходит). В остальных случаях «напоминания» не будет. Ошибка в пропуске «±» может быть смертельной, особенно при тестировании. Не будь этим учеником. Всегда не забывайте вставлять «±».
Между прочим, поскольку решение предыдущего уравнения состояло из целых чисел, эту квадратичную можно также решить путем умножения квадрата, разложения на множители и т.
Д .:
( x — 5) 2 — 100 = 0
x 2 — 10 x + 25 — 100 = 0
x 2 — 10 x — 75 = 0
( x -15) ( x + 5) = 0
x — 15 = 0, x + 5 = 0
x = 15, –5
Решить (
x — 2) 2 — 12 = 0
Эта квадратичная часть имеет квадратную и числовую части.Я добавлю числовую часть с другой стороны, так что квадратная часть с переменной будет сама по себе. Затем я извлекаю квадратный корень из обеих сторон, не забывая добавлять «±» к числовой стороне, а затем упрощаю:
( x — 2) 2 — 12 = 0
( x — 2) 2 = 12
Я не могу больше это упрощать.
В моем ответе будут радикалы.Мое решение:
Это квадратное уравнение, в отличие от предыдущего, также не могло быть решено с помощью факторизации. Но как бы я решил это, если бы у них было , а не , давая мне квадратичную, уже переведенную в форму «(часть в квадрате) минус (часть числа)»? Эта проблема приводит к следующей теме: решение путем завершения квадрата.
URL: https: // www.purplemath.com/modules/solvquad2.htm
Узнайте, как решить уравнение, взяв квадратный корень
Часть 1
В этом видео мы рассмотрим решение уравнений путем извлечения квадратного корня.
Например:
Если нам дано уравнение
, мы можем решить относительно x, извлекая квадратный корень из обеих частей.
Это оставит нам только x.Однако квадратный корень из 9 — это не просто 3. Он может быть положительным или отрицательным 3. Итак,
Если бы у нас было что-то более сложное, например,
, то нам сначала пришлось бы получить само по себе. Итак, сначала добавьте 5 к обеим сторонам, чтобы изолировать. Теперь мы остались с. Затем извлеките квадратный корень из обеих частей
Часть 2
В этом видео мы более подробно рассмотрим решение уравнений путем извлечения квадратного корня.
Например:
Если нам дано уравнение
, мы можем сначала извлечь квадратный корень из обеих частей.
Это оставит нас с
Затем вычтем 5 с обеих сторон и получим
и
.
Это приведет нас к окончательному ответу
. Если бы у нас было что-то более сложное, например,
, то нам сначала нужно было бы получить само по себе. Итак, сначала добавьте 3 к обеим сторонам, чтобы изолировать. Теперь мы остались с. Затем извлеките квадратный корень из обеих сторон
Вычтем 2 из обеих сторон
и
Итак,
Примеры решения уравнения извлечением квадратного корня
Пример 1
Какие есть решения?
Найдите решение, извлекая квадратный корень из обеих частей.
Мы можем разбить это на:
Окончательный ответ:
Наши решения:
и
Пример 2
Какие есть решения?
Сначала вычтем в обе стороны.
Затем вычислим, извлекая квадратный корень из обеих сторон.
Итак, у нас есть два ответа:
и
Стенограмма видеоурока — Часть 1
Давайте рассмотрим решение уравнений, извлекая квадратные корни.
Если у нас есть это уравнение:
Чтобы найти значение, нам нужно получить квадратный корень.
Сложная часть здесь — квадратный корень из.
Потому что это не только положительное, но и отрицательное значение.
Итак, у нас есть два ответа:
и
Давайте посложнее.
Для того, чтобы решить эту проблему, мы сначала должны уйти сами.
Итак, давайте избавимся от него, сложив обе части уравнения.
Итак, наши решения
{}
Также возможно, что у нас не получится.
Так что оставим все как есть.
Наши окончательные ответы:
и
Давайте еще одну
Мы можем разбить это на:
Я решил написать это, потому что квадратный корень из возможен.
Итак, наш ответ —
Наши решения:
и
Стенограмма видеоурока — часть 2
Давайте более подробно рассмотрим решение квадратных уравнений путем извлечения квадратного корня.
Напомним:
Если есть, решить эту
Итак, наш набор решений —
{}
Мы могли бы использовать тот же метод, если бы у нас было
Вместо умножения давайте просто получим квадратные корни из обеих частей.
Теперь давайте получим значение
.
Итак, у нас есть два ответа:
и
Наш набор решений —
{}
Давайте посмотрим на этот
Давайте сделаем то же самое
Итак, у нас
и
Наш набор решений —
{}
Давайте возьмем другое уравнение, например
Чтобы решить эту проблему, мы должны сначала избавиться от.
Итак, у нас есть два ответа:
и
Наш набор решений —
{}
Давайте посмотрим на это
Давайте посмотрим, что произойдет, когда мы решим эту
Поскольку мы не можем получить квадратный корень из, оставим его как:
Затем изолируйте
Это уже могут быть наши ответы.
{}
После того, как вы закончите этот урок, просмотрите все наши уроки Алгебры 1 и попрактикуйтесь.
Как избавиться от квадратного корня в уравнении
Обновлено 20 ноября 2020 г.
Лиза Мэлони
Когда вы впервые узнали о числах в квадрате, таких как 3 2 , 5 2 и x 2 , вы, вероятно, узнали об обратной операции квадрата числа, то есть о квадратном корне.Эта обратная связь между возведением чисел в квадрат и квадратными корнями важна, потому что на простом английском языке это означает, что одна операция отменяет действие другой. Это означает, что если у вас есть уравнение с квадратными корнями в нем, вы можете использовать операцию «возведения в квадрат» или экспоненты, чтобы удалить квадратные корни. Но есть некоторые правила, как это сделать, а также потенциальная ловушка ложных решений.
TL; DR (слишком долго; не читал)
Чтобы решить уравнение с квадратным корнем, сначала выделите квадратный корень на одной стороне уравнения.
Затем возведите обе части уравнения в квадрат и продолжайте поиск переменной. Не забудьте в конце проверить свою работу.
Простой пример
Прежде чем рассматривать некоторые потенциальные «ловушки» решения уравнения с квадратными корнями в нем, рассмотрим простой пример: Решите следующее уравнение для x :
\ sqrt {x } + 1 = 5
Используйте арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, чтобы выделить выражение квадратного корня на одной стороне уравнения.2
x = 16
Вы удалили знак квадратного корня и , у вас есть значение x , так что ваша работа здесь сделана. Но подождите, есть еще один шаг:
Проверьте свою работу, подставив найденное вами значение x в исходное уравнение:
\ sqrt {16} + 1 = 5
4 + 1 = 5
5 = 5
Поскольку это вернуло допустимый оператор (5 = 5, в отличие от недопустимого оператора, такого как 3 = 4 или 2 = -2, решение, которое вы нашли на шаге 2, является действительным.
В этом примере проверка вашей работы кажется тривиальной. Но этот метод устранения радикалов иногда может давать «ложные» ответы, которые не работают в исходном уравнении. Так что лучше иметь привычку всегда проверять свои ответы, чтобы убедиться, что они возвращают действительный результат, начиная с этого момента.
Немного сложнее
Что делать, если под знаком корня (квадратный корень) стоит более сложное выражение? Рассмотрим следующее уравнение. Вы по-прежнему можете применить тот же процесс, что и в предыдущем примере, но это уравнение выделяет пару правил, которым вы должны следовать.2
y — 4 = 576
Теперь, когда вы исключили радикальный или квадратный корень из уравнения, вы можете изолировать переменную. Чтобы продолжить пример, добавив 4 к обеим сторонам уравнения, вы получите:
y = 580
Как и раньше, проверьте свою работу, подставив найденное вами значение y обратно в исходное уравнение.