Перейдём
к равносильной совокупности.

Ответ. 

Как
видно, найти значения x, при которых
подмодульное выражение обращается в
нуль, чрезвычайно затруднительно.
Однако переход к равносильной системе
значительно упрощает дело. Имеем:

Ответ. 

Рисунок
3.2.5.1

`4x-15 <= - 21`

`4x <= - 6`

`x <= - 1.2 + 3x-4 <0`

`(x + 4) (x-1) <0`

Критические значения:

`x = -4` и` x = 1`

Это дает:

`-4

Проще изобразить их вместе на одной оси, чтобы определить окончательный результат:

Эти 3 региона пересекаются в следующих 2 местах:

Это дает нам окончательное решение: −4 < x <−2 и −1 < x <1.

Не забудьте проверить номеров внутри и за пределами данной области решения, чтобы убедиться, что оно работает.

Абсолютное значение и неравенства — GMAT Math Study Guide

Определения

Неравенство сравнивает два значения.

• Неравенство — сравнение двух значений или выражений.
  Например, 15x <45 - это неравенство, а x = 3 - это уравнение.
• Equation — Утверждение, объявляющее равенство двух выражений.
  Например, 25x = 50 — это уравнение, а 25x> 50 — неравенство.

Работа с неравенствами: абсолютное значение

Так же, как традиционные уравнения с членом абсолютного значения в них обычно имеют два решения, так и неравенства с членом абсолютного значения в них обычно имеют два решения. Чтобы решить неравенство с термином абсолютного значения, выделите абсолютное значение, установите выражение в скобках абсолютного значения, равное положительному и отрицательному значению, и найдите неизвестную переменную.

1.) Выделите член абсолютного значения
10 + | 2x + 15 |
10-10 + | 2x + 15 |
| 2x + 15 |

2.) Установите выражение в члене абсолютного значения, равное как положительному, так и отрицательному значению

Положительное: 2x + 15 <45
2x + 15-15 <45-15
2x <30
x <15

Отрицательное : — (2x + 15) <45
-2x — 15 <45
-2x — 15 + 15 <45 + 15
-2x <60
x> -30 [Знак неравенства меняется, потому что мы делим на отрицательное число]

В качестве проверки, если x = 30 (вне набора решений), 10 + | 2x + 15 | = 85, что не укладывается в неравенство (т.е., 85 не меньше 55). Однако, если x = -10 (внутри набора решений), 10 + | 2x + 15 | = 15, что соответствует неравенству (т.е. 15 меньше 55).

Множественные неравенства

Процесс решения множественных неравенств с абсолютным значением такой же, как и процесс решения множественных неравенств без абсолютного значения. При решении нескольких одновременных неравенств с абсолютным значением наиболее важной частью является решение каждого неравенства отдельно, а затем их объединение.

Если | x + 7 | > 16, каков диапазон возможных значений x?

1.) Решите каждое неравенство отдельно.
| x + 7 | <14
Положительный: x + 7 <14
x + 7-7 <14-7
x <7
Отрицательный: -1 (x + 7) <14
-x — 7 <14
-x — 7 + 7 <14 + 7
-x <21
x> -21

| 4x — 4 | > 16
Положительный: 4x — 4> 16
4x — 4 + 4> 16 + 4
4x> 20
x> 5
Отрицательный: -1 (4x — 4)> 16
-4x + 4> 16
-4x + 4-4> 16-4
-4x> 12
x <-3

2.) Объедините каждое неравенство и найдите перекрытие (т. Е. Области, в которых выполняется каждое неравенство — эта область является решением).
x <7
x> -21
x> 5
x <-3

Есть две области, в которых выполняется каждое неравенство: (1) -21

Для многих студентов вышеуказанный набор неравенств лучше всего можно понять графически. Решением множества неравенств является перекрывающаяся графическая область. Красные линии представляют решения | 4x — 4 | > 16, а синие линии представляют решение | x + 7 | <14 неравенство.

2.7 Линейные неравенства и абсолютные неравенства — College Algebra

Рисунок 1

Попасть в список почета в большинстве ведущих университетов непросто. Предположим, студенты должны были пройти курс не менее 12 кредитных часов и поддерживать средний балл 3,5 или выше. Как можно математически выразить эти требования к списку почета? В этом разделе мы рассмотрим различные способы выражения различных наборов чисел, неравенств и неравенств по абсолютным значениям.

Использование записи интервалов

Указать решение неравенства, такого как x≥4x≥4, можно несколькими способами.

Мы можем использовать числовую линию, как показано на рисунке 2 . Синий луч начинается с x = 4x = 4 и, как показано стрелкой, продолжается до бесконечности, что показывает, что набор решений включает все действительные числа, большие или равные 4.

Рисунок 2

Мы можем использовать нотацию построителя множеств: {x | x≥4}, {x | x≥4}, что переводится как «все действительные числа x , такие, что x больше или равно 4.Обратите внимание, что фигурные скобки используются для обозначения набора.

Третий метод — это интервальная запись, в которой наборы решений указываются круглыми или квадратными скобками. Решения x≥4x≥4 представлены как [4, ∞). [4, ∞). Это, пожалуй, самый полезный метод, поскольку он применим к концепциям, изучаемым позже в этом курсе, и к другим курсам математики более высокого уровня.

Основная концепция, которую следует запомнить, заключается в том, что круглые скобки представляют решения, которые больше или меньше числа, а скобки представляют решения, которые больше или равны или меньше или равны числу.Используйте круглые скобки для обозначения бесконечности или отрицательной бесконечности, поскольку положительная и отрицательная бесконечность не являются числами в обычном смысле слова и, следовательно, не могут быть «равны». Несколько примеров интервала или набора чисел, в которые попадает решение: [−2,6), [- 2,6) или все числа от −2−2 до 6,6, включая −2, −2, но не включая 6; 6; (−1,0), (- 1,0), все действительные числа между, но не включая −1−1 и 0; 0; и (−∞, 1], (- ∞, 1], все действительные числа, меньшие, чем 1.1, включая 1.1. В таблице 1 показаны возможные варианты.

Таблица 1

Пример 1

Использование интервальной записи для выражения всех действительных чисел, больше или равных

a

Используйте обозначение интервала, чтобы указать все действительные числа, большие или равные -2.−2.

Решение

Используйте квадратную скобку слева от −2−2 и круглые скобки после бесконечности: [−2, ∞). [- 2, ∞). Скобка указывает, что −2−2 включен в набор со всеми действительными числами от −2−2 до бесконечности.

Попробуй # 1

Используйте обозначение интервала для обозначения всех действительных чисел от −3−3 до 5,5 включительно.

Пример 2

Использование интервальной записи для выражения всех действительных чисел, меньших или равных

a или больше или равных b

Запишите интервал, выражающий все действительные числа, меньшие или равные -1-1 или больше или равные 1.1.

Решение

Для этого примера мы должны написать два интервала. Первый интервал должен указывать все действительные числа, меньшие или равные 1. Итак, этот интервал начинается с −∞ − ∞ и заканчивается на −1, −1, что записывается как (−∞, −1]. (- ∞, −1].

Во втором интервале должны отображаться все действительные числа, большие или равные 1,1, что записывается как [1, ∞). [1, ∞). Однако мы хотим объединить эти два набора. Мы достигаем этого, вставляя символ объединения, ∪, ∪, между двумя интервалами.

(−∞, −1] ∪ [1, ∞) (- ∞, −1] ∪ [1, ∞)

Попробуй # 2

Выразите все действительные числа меньше -2-2 или больше или равные 3 в виде интервалов.

Использование свойств неравенств

Когда мы работаем с неравенствами, мы обычно можем относиться к ним аналогично, но не точно так, как мы относимся к равенствам. Мы можем использовать свойство сложения и свойство умножения, чтобы помочь нам решить их. Единственное исключение — это когда мы умножаем или делим на отрицательное число; при этом символ неравенства меняется на противоположное.

Свойства неравенств

AdditionProperty Если a 0, то ac bc.AdditionProperty Если a 0, то ac bc.

Эти свойства также применимы к a≤b, a≤b, a> b, a> b и a≥b.a≥b.

Пример 3

Демонстрация свойства сложения

Проиллюстрируйте свойство сложения для неравенств, решив каждое из следующих решений:

1. ⓐ x − 15 <4x − 15 <4
2. ⓑ
   6≥x − 16≥x − 1
3. ⓒ
   х + 7> 9 х + 7> 9

Решение

Свойство сложения для неравенств гласит, что если неравенство существует, добавление или вычитание одного и того же числа с обеих сторон не меняет неравенства.

1. ⓐ
   x − 15 <4x − 15 + 15 <4 + 15 Прибавить 15 к обеим сторонам. X <19x − 15 <4x − 15 + 15 <4 + 15 Прибавить 15 к обеим сторонам. X <19
2. ⓑ
   6≥x − 16 + 1≥x − 1 + 1 Прибавить 1 к обеим сторонам 7≥x6≥x − 16 + 1≥x − 1 + 1 Прибавить 1 к обеим сторонам 7≥x
3. ⓒ
   x + 7> 9x + 7−7> 9−7 Вычтите 7 с обеих сторон. X> 2x + 7> 9x + 7−7> 9−7 Вычтите 7 с обеих сторон. X> 2

Попробуй # 3

Решить: 3x − 2 <1,3x − 2 <1.

Пример 4

Демонстрация свойства умножения

Проиллюстрируйте свойство умножения неравенств, решив каждую из следующих задач:

1. ⓐ 3x <63x <6
2. ⓑ −2x − 1≥5−2x − 1≥5
3. ⓒ 5-х> 105-х> 10

Решение

1. ⓐ
   3x <613 (3x) <(6) 13x <23x <613 (3x) <(6) 13x <2
2. ⓑ
   −2x − 1≥5−2x≥6 (−12) (- 2x) ≥ (6) (- 12) Умножить на −12.x≤ − 3 Отмените неравенство. −2x − 1≥5−2x≥6 (−12) (- 2x) ≥ (6) (- 12) Умножьте на −12.x≤ − 3 Отмените неравенство.
3. ⓒ
   5 − x> 10 − x> 5 (−1) (- x)> (5) (- 1) Умножить на −1.x <−5 Отменить неравенство. 5 − x> 10 − x> 5 ( −1) (- x)> (5) (- 1) Умножить на −1.x <−5 Отменить неравенство.

Попробуй # 4

Решите: 4x + 7≥2x − 3.4x + 7≥2x − 3.

Алгебраическое решение неравенств с одной переменной

Как показали примеры, мы можем выполнять те же операции с обеими сторонами неравенства, как и с уравнениями; совмещаем похожие сроки и выполняем операции.Чтобы решить, мы изолируем переменную.

Пример 5

Алгебраическое решение неравенства

Решите неравенство: 13−7x≥10x − 4.13−7x≥10x − 4.

Решение

Решение этого неравенства аналогично решению уравнения до последнего шага.

13−7x≥10x − 413−17x≥ − 4 Переместите члены переменной в одну сторону неравенства. − 17x≥ − 17 Выделите член переменной. X≤1 Разделение обеих частей на −17 отменяет неравенство. ≥ − 4Переместите переменные члены в одну сторону неравенства.−17x≥ − 17 Выделите член переменной. X≤1 Разделение обеих частей на −17 отменяет неравенство.

Множество решений задается интервалом (−∞, 1], (- ∞, 1] или всеми действительными числами, меньшими 1 включительно.

Попробуй # 5

Решите неравенство и запишите ответ в интервале: −x + 4 <12x + 1. − x + 4 <12x + 1.

Пример 6

Решение неравенства с дробями

Решите следующее неравенство и запишите ответ в интервале: −34x≥ − 58 + 23x.−34x≥ − 58 + 23x.

Решение

Мы начинаем решать так же, как и при решении уравнения.

−34x≥ − 58 + 23x − 34x − 23x≥ − 58 Положите переменные члены в одну сторону. −912x − 812x≥ − 58 Запишите дроби с общим знаменателем. − 1712x≥ − 58x≤ − 58 (−1217) Умножение на отрицательное число меняет местами неравенство. x≤1534−34x≥ − 58 + 23x − 34x − 23x≥ − 58 Положите переменные члены в одну сторону. −912x − 812x≥ − 58 Запишите дроби с общим знаменателем. −1712x≥ − 58x≤ − 58 (−1217) Умножение на отрицательное число отменяет неравенство.x≤1534

Множество решений — это интервал (−∞, 1534]. (- ∞, 1534].

Попробуй # 6

Решите неравенство и запишите ответ в интервале: −56x≤34 + 83x. − 56x≤34 + 83x.

Понимание сложных неравенств

Сложное неравенство включает в себя два неравенства в одном утверждении. Утверждение, такое как 4

Пример 7

Решение сложного неравенства

Решите составное неравенство: 3≤2x + 2 <6.3≤2x + 2 <6.

Решение

Первый способ — написать два отдельных неравенства: 3≤2x + 23≤2x + 2 и 2x + 2 <6.2x + 2 <6. Решаем их самостоятельно.

3≤2x + 2and2x + 2 <61≤2x2x <412≤xx <23≤2x + 2and2x + 2 <61≤2x2x <412≤xx <2

Затем мы можем переписать решение как составное неравенство, таким же образом проблема началась.

В интервальной записи решение записывается как [12,2). [12,2).

Второй метод — оставить составное неравенство неповрежденным и выполнить процедуры решения для трех частей одновременно.

3≤2x + 2 <61≤2x <4 Выделите член переменной и вычтите 2 из всех трех частей. 12≤x <2D Разделите все три части на 2,3≤2x + 2 <61≤2x <4 Выделите член переменной и вычтите 2 из всех трех частей. 12≤x <2D Разделим все три части на 2.

Получим такое же решение: [12,2).[12,2).

Попробуйте # 7

Решите составное неравенство: 4 <2x − 8≤10,4 <2x − 8≤10.

Пример 8

Решение сложного неравенства с переменной во всех трех частях

Решите составное неравенство с переменными во всех трех частях: 3 + x> 7x − 2> 5x − 10,3 + x> 7x − 2> 5x − 10.

Решение

Попробуем первый способ. Запишем два неравенства :

3 + x> 7x − 2 и 7x − 2> 5x − 103> 6x − 22x − 2> −105> 6x2x> −856> xx> −4x <56−4 7x− 2and7x − 2> 5x − 103> 6x − 22x − 2> −105> 6x2x> −856> xx> −4x <56−4 Набор решений равен −4 .

Рисунок 3

Попробуй # 8

Решите составное неравенство: 3y <4−5y <5 + 3y.3y <4−5y <5 + 3y.

Решение абсолютных неравенств

Как мы знаем, абсолютное значение величины — это положительное число или ноль.От начала координат точка, расположенная в (−x, 0) (- x, 0), имеет абсолютное значение x, x, так как она находится на расстоянии x единиц. Считайте абсолютное значение расстоянием от одной точки до другой точки. Независимо от направления, положительного или отрицательного, расстояние между двумя точками представляется как положительное число или ноль.

Неравенство по абсолютной величине — это уравнение вида

| A | B или | A | ≥B, | A | B или | A | ≥B,

Где A , а иногда B , представляет алгебраическое выражение, зависящее от переменной x. Решение неравенства означает нахождение набора всех xx – значений, удовлетворяющих задаче. Обычно этот набор представляет собой интервал или объединение двух интервалов и включает диапазон значений.

Существует два основных подхода к решению абсолютных неравенств: графический и алгебраический. Преимущество графического подхода в том, что мы можем прочитать решение, интерпретируя графики двух уравнений. Преимущество алгебраического подхода состоит в том, что решения являются точными, поскольку точные решения иногда трудно прочитать с графика.

Предположим, мы хотим знать все возможные доходы от инвестиций, если бы мы могли заработать некоторую сумму денег в пределах от 200 до 600 долларов. Мы можем решить алгебраически для набора из x- значений, так что расстояние между xx и 600 меньше или равно 200. Мы представляем расстояние между xx и 600 как | x − 600 |, | x − 600 |, и, следовательно, | x − 600 | ≤200 | x − 600 | ≤200 или

−200≤x − 600≤200−200 + 600≤x − 600 + 600≤200 + 600400≤x≤800−200≤x− 600≤200−200 + 600≤x − 600 + 600≤200 + 600400≤x≤800

Это означает, что наша прибыль составит от 400 до 800 долларов США.

Для решения неравенств по абсолютным значениям, как и для уравнений с абсолютными значениями, мы записываем два неравенства и затем решаем их независимо.

Абсолютные неравенства

Для алгебраического выражения X, и k> 0, k> 0 неравенство по модулю является неравенством вида

| X | k эквивалентно X <−kor X> k | X | k эквивалентно X <- kor X> k

Эти утверждения также применимы к | X | ≤k | X | ≤k и | X | ≥k.| X | ≥k.

Пример 9

Определение числа на заданном расстоянии

Опишите все значения xx на расстоянии 4 от числа 5.

Решение

Мы хотим, чтобы расстояние между xx и 5 было меньше или равно 4. Мы можем нарисовать числовую линию, например, как на рис. 4 , , чтобы представить условие, которое должно быть выполнено.

Рисунок 4

Расстояние от xx до 5 может быть представлено с помощью символа абсолютного значения | x − 5 |.| х − 5 |. Запишите значения xx, которые удовлетворяют условию, как неравенство по абсолютной величине.

Нам нужно написать два неравенства, так как всегда есть два решения уравнения абсолютного значения.

x − 5≤4andx − 5≥ − 4x≤9x≥1x − 5≤4andx − 5≥ − 4x≤9x≥1

Если набор решений x≤9x≤9 и x≥1, x≥1, то решение set — интервал, включающий все действительные числа от 1 до 9 включительно.

Итак, | x − 5 | ≤4 | x − 5 | ≤4 эквивалентно [1,9] [1,9] в обозначении интервалов.

Попробуй # 9

Опишите все значения x- на расстоянии 3 от числа 2.

Пример 10

Разрешение абсолютного неравенства значений

Решить | x − 1 | ≤3 | x − 1 | ≤3.

Решение

| x − 1 | ≤3−3≤x − 1≤3−2≤x≤4 [−2,4] | x − 1 | ≤3−3≤x − 1≤3−2≤x≤4 [- 2,4]

Пример 11

Использование графического подхода для решения абсолютных неравенств

Учитывая уравнение y = −12 | 4x − 5 | + 3, y = −12 | 4x − 5 | +3, определите значения x , для которых значения y отрицательны.

Решение

Мы пытаемся определить, где y <0, y <0, то есть когда −12 | 4x − 5 | +3 <0.−12 | 4х − 5 | +3 <0. Начнем с выделения абсолютного значения.

−12 | 4x − 5 | <−3 Умножьте обе части на –2 и отмените неравенство. | 4x − 5 |> 6−12 | 4x − 5 | <−3 Умножьте обе части на –2 и измените неравенство в обратном порядке. | 4x − 5 |> 6

Затем мы решаем равенство | 4x − 5 | = 6. | 4x − 5 | = 6.

4x − 5 = 64x − 5 = −64x = 11or4x = −1x = 114x = −144x − 5 = 64x − 5 = −64x = 11or4x = −1x = 114x = −14

Теперь мы можем изучить график, чтобы увидеть где значения y- отрицательны. Мы наблюдаем, где ветви находятся ниже оси x-.Обратите внимание, что не важно, как именно выглядит график, если мы знаем, что он пересекает горизонтальную ось в точках x = −14x = −14 и x = 114, x = 114, и что график открывается вниз. См. Рисунок 5 .

Рисунок 5

Попробуй # 10

Решить −2 | k − 4 | ≤ − 6. − 2 | k − 4 | ≤ − 6.

2.7 Раздел упражнений

Устный

1.

При решении неравенства объясните, что произошло с шага 1 по шаг 2:

Шаг 1-2x> 6 Шаг 2x <−3 Шаг 1-2x> 6 Шаг 2x <−3

2.

Решая неравенство, получаем:

х + 2 <х + 32 <3х + 2 <х + 32 <3

Объясните, что представляет собой наш набор решений.

3.

Как мы представляем все действительные числа при записи нашего решения в интервальной нотации?

4.

Решая неравенство, получаем:

х + 2> х + 32> 3х + 2> х + 32> 3

Объясните, что представляет собой наш набор решений.

5.

Опишите, как построить график y = | x − 3 | y = | x − 3 |

Алгебраические

Для следующих упражнений решите неравенство.Напишите окончательный ответ в виде интервалов.

7.

3x + 2≥7x − 13x + 2≥7x − 1

8.

−2x + 3> x − 5−2x + 3> x − 5

9.

4 (x + 3) ≥2x − 14 (x + 3) ≥2x − 1

10.

−12x≤ − 54 + 25x − 12x≤ − 54 + 25x

11.

−5 (x − 1) +3> 3x − 4−4x − 5 (x − 1) +3> 3x − 4−4x

12.

−3 (2x + 1)> — 2 (x + 4) −3 (2x + 1)> — 2 (x + 4)

13.

x + 38 − x + 55≥310x + 38 − x + 55≥310

14.

x − 13 + x + 25≤35x − 13 + x + 25≤35

Для следующих упражнений решите неравенство с абсолютным значением.Напишите окончательный ответ в виде интервалов.

19.

| х − 2 | + 4≥10 | х − 2 | + 4≥10

20.

| −2x + 7 | ≤13 | −2x + 7 | ≤13

22.

| х-20 |> -1 | х-20 |> -1

Для следующих упражнений опишите все значения x в пределах или включая расстояние от заданных значений.

24.

Дистанция 5 единиц от номера 7

25.

Расстояние 3 единицы от номера 9

26.

Дистанция 10 единиц от номера 4

27.

Расстояние 11 единиц от номера 1

Для следующих упражнений решите сложное неравенство. Выразите свой ответ, используя знаки неравенства, а затем запишите свой ответ, используя интервальную нотацию.

28.

−4 <3x + 2≤18−4 <3x + 2≤18

29.

3x + 1> 2x − 5> x − 73x + 1> 2x − 5> x − 7

30.

3y <5−2y <7 + y3y <5−2y <7 + y

31.

2x − 5 <−11or 5x + 1≥62x − 5 <−11or 5x + 1≥6

Графический

Постройте график функции для следующих упражнений.Наблюдая за точками пересечения, заштрихуйте ось x , представляющую решение, заданное для неравенства. Покажите свой график и напишите окончательный ответ в виде интервалов.

Для следующих упражнений нарисуйте обе прямые линии (левая сторона — y1, а правая сторона — y2) на одних и тех же осях. Найдите точку пересечения и решите неравенство, наблюдая, где оно истинно, сравнивая значения y линий.

41.

12x + 1> 12x − 512x + 1> 12x − 5

Числовой

Для следующих упражнений запишите набор в интервальной записи.

46. ​​

{x | xis все действительные числа} {x | xis все действительные числа}

Для следующих упражнений запишите интервал в нотации конструктора множеств.

50.

[−4,1] ∪ [9, ∞) [- 4,1] ∪ [9, ∞)

Для следующих упражнений запишите набор чисел, представленных в числовой строке, в интервальной записи.

52.

Технологии

Для следующих упражнений введите левую часть неравенства в виде графика Y1 в графической утилите.Введите y2 = правую часть. Ввод абсолютного значения выражения находится в меню MATH, Num, 1: abs (. Найдите точки пересечения, вспомните (2 ^nd CALC 5: пересечение, 1 ^st curve, enter, 2 ^nd ) кривой, введите, угадайте, введите). Скопируйте эскиз графика и заштрихуйте ось x для вашего решения, установленного на неравенство. Запишите окончательные ответы в виде интервалов.

Расширения

59.

Решите | 3x + 1 | = | 2x + 3 || 3x + 1 | = | 2x + 3 |

61.

x − 5x + 7≤0, x − 5x + 7≤0, x ≠ −7x ≠ −7

62.

p = −x2 + 130x − 3000p = −x2 + 130x − 3000 — формула прибыли для малого бизнеса. Найдите набор значений x , которые сохранят эту прибыль положительной.

Реальные приложения

63.

В химии объем для определенного газа определяется выражением V = 20T, V = 20T, где V измеряется в кубических сантиметрах, а T — температура в ºC. Если температура колеблется от 80ºC до 120ºC, найдите набор значений объема.

64.

Базовый пакет сотовой связи стоит 20 долларов в месяц. в течение 60 минут звонка с дополнительной оплатой в размере 0,30 доллара за минуту по истечении этого времени .. Формула стоимости будет следующей: C = 20 + 0,30 (x − 60) .C = 20 + 0,30 (x − 60). Если вам необходимо выставить счет на сумму не более 50 долларов, какое максимальное количество минут вы можете использовать?

Решите абсолютные неравенства — промежуточная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Решите уравнения абсолютных значений
• Решите неравенства абсолютных значений с «меньше чем»
• Решите неравенства абсолютных значений с помощью «больше чем»
• Решить приложения с абсолютным значением

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

1. Оценить:

   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

2. Введите или для каждой из следующих пар чисел.

   ⓐ ⓑ ⓒ ⓓ

   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

3. Упростить:

   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Решите уравнения абсолютных значений

Готовясь к решению уравнений абсолютного значения, мы пересматриваем наше определение абсолютного значения.

Абсолютное значение

Абсолютное значение числа — это его расстояние от нуля на числовой прямой.

Абсолютное значение числа n записывается как и для всех чисел.

Абсолютные значения всегда больше или равны нулю.

Мы узнали, что число и его противоположность находятся на одинаковом расстоянии от нуля на числовой прямой. Поскольку они находятся на одинаковом расстоянии от нуля, они имеют одинаковое абсолютное значение. Например:

на 5 единиц от 0, поэтому

на 5 единиц от 0, поэтому

(рисунок) иллюстрирует эту идею.

Цифры 5 и оба на пять единиц от нуля.

Для уравнения мы ищем все числа, которые подтверждают это утверждение. Мы ищем числа, расстояние от которых до нуля равно 5. Мы только что видели, что и 5, и пять единиц от нуля на числовой прямой. Они являются решениями уравнения.

Решение можно упростить до одного оператора, написав Это читается как « x равно положительному или отрицательному 5».

Мы можем обобщить это на следующее свойство для уравнений абсолютного значения.

Уравнения абсолютных значений

Для любого алгебраического выражения u и любого положительного действительного числа a ,

Помните, что абсолютное значение не может быть отрицательным числом.

ⓐ

ⓑ

Поскольку абсолютное значение всегда положительно, у этого уравнения нет решений.

ⓒ

Оба уравнения говорят нам об этом, и поэтому существует только одно решение.

ⓐⓑ нет решения ⓒ 0

ⓐⓑ нет решения ⓒ 0

Чтобы решить уравнение абсолютного значения, мы сначала выделяем выражение абсолютного значения, используя те же процедуры, которые мы использовали для решения линейных уравнений. Выделив выражение абсолютного значения, мы перепишем его как два эквивалентных уравнения.

Как решать уравнения абсолютных значений

Решить

Решить:

Решить:

Здесь приведены шаги для решения уравнения абсолютного значения.

Решите уравнения абсолютных значений.

1. Выделите выражение абсолютного значения.
2. Напишите эквивалентные уравнения.
3. Решите каждое уравнение.
4. Проверьте каждое решение.

Решить

Решить:

Решить:

Помните, абсолютное значение всегда положительно!

Решить:

Решить:

Решить:

Некоторые из наших уравнений абсолютных значений могут иметь форму, где u и v представляют собой алгебраические выражения.Например,

Как бы мы их разрешили? Если два алгебраических выражения равны по модулю, то они либо равны друг другу, либо отрицательны. Свойство для уравнений абсолютного значения говорит, что для любого алгебраического выражения u и положительного действительного числа a , if then или

Это говорит нам, что

Это приводит нас к следующему свойству для уравнений с двумя абсолютными значениями.

Уравнения с двумя абсолютными значениями

Для любых алгебраических выражений: u и v ,

Когда мы берем величину, противоположную количеству, мы должны быть осторожны со знаками и добавлять скобки там, где это необходимо.

Решение приложений с абсолютным значением

Неравенство абсолютных значений часто используется в производственном процессе. Изделие должно быть изготовлено с почти идеальными характеристиками. Обычно существует определенный допуск на отклонений от допустимых технических характеристик. Если отличие от спецификаций превышает допуск, товар отклоняется.

Идеальный диаметр стержня, необходимого для станка, — 60 мм. Фактический диаметр может отличаться от идеального на миллиметр.Какой диапазон диаметров будет приемлем для заказчика, не вызывая брака прутка?

Идеальный диаметр стержня, необходимого для станка, составляет 80 мм. Фактический диаметр может отличаться от идеального на 0,009 мм. Какой диапазон диаметров будет приемлем для заказчика, не вызывая брака прутка?

Диаметр стержня может составлять от 79,991 до 80,009 мм.

Идеальный диаметр стержня, необходимого для станка, — 75 мм.Фактический диаметр может отличаться от идеального на 0,05 мм. Какой диапазон диаметров будет приемлем для заказчика, не вызывая брака прутка?

Диаметр стержня может составлять от 74,95 до 75,05 мм.

Ключевые понятия

• Абсолютное значение

  Абсолютное значение числа — это расстояние от 0 на числовой прямой.

  Абсолютное значение числа n записывается как и для всех чисел.

  Абсолютные значения всегда больше или равны нулю.

• Уравнения абсолютных значений

  Для любого алгебраического выражения u и любого положительного действительного числа a ,

  Помните, что абсолютное значение не может быть отрицательным числом.

• Как решать уравнения абсолютных значений
  1. Выделите выражение абсолютного значения.
  2. Напишите эквивалентные уравнения.
  3. Решите каждое уравнение.
  4. Проверьте каждое решение.
• Уравнения с двумя абсолютными значениями

  Для любых алгебраических выражений u и v ,

• Абсолютное неравенство значений с или

  Для любого алгебраического выражения u и любого положительного действительного числа a ,

• Как решить неравенства абсолютных значений с помощью или
  1. Выделите выражение абсолютного значения.
  2. Напишите эквивалентное сложное неравенство.

  3. Решите составное неравенство.
  4. Постройте график решения
  5. Запишите решение, используя обозначение интервала
• Абсолютное неравенство значений с или

  Для любого алгебраического выражения u и любого положительного действительного числа a ,

• Как решить неравенства абсолютных значений с помощью или
  1. Выделите выражение абсолютного значения.
  2. Напишите эквивалентное сложное неравенство.

  3. Решите составное неравенство.
  4. Постройте график решения
  5. Запишите решение, используя обозначение интервала

Упражнения по разделам

Практика ведет к совершенству

Решите уравнения абсолютных значений

В следующих упражнениях решите.

ⓐⓑ нет решения ⓒ

ⓐⓑ нет решения ⓒ

Решите неравенства абсолютного значения с «меньше»

В следующих упражнениях решите каждое неравенство.Постройте график решения и запишите решение в интервальной записи.

Решите неравенства абсолютного значения с «больше чем»

В следующих упражнениях решите каждое неравенство. Постройте график решения и запишите решение в интервальной записи.

В следующих упражнениях решите. Для каждого неравенства также нанесите график решения и запишите решение в интервальной записи.

Решение приложений с абсолютным значением

В следующих упражнениях решите.

В идеале птицеферма производит 200 000 яиц в день. Но это общее количество может варьироваться на 25 000 яиц. Какая максимальная и минимальная ожидаемая продукция на ферме?

Завод по розливу органических соков в идеале производит 215 000 бутылок в день. Но эта сумма может варьироваться на 7 500 бутылок. Какое максимальное и минимальное ожидаемое производство на предприятии по розливу?

Ожидаемое производство от минимального до максимального — от 207 500 до 2225 000 бутылок

Чтобы гарантировать соблюдение закона, Мигель обычно превышает вес своих лепешек на 0.5 грамм. Он только что получил отчет, в котором говорилось, что он может терять до 100 000 фунтов стерлингов в год, используя эту практику. Теперь он планирует купить новое оборудование, которое гарантирует толщину лепешки в пределах 0,005 дюйма. Если идеальная толщина лепешки составляет 0,04 дюйма, то какая толщина лепешек будет гарантирована?

В пекарне Lilly’s идеальный вес буханки хлеба составляет 24 унции. По закону реальный вес может отличаться от идеального на 1,5 унции. Какой вес будет приемлемым для инспектора без наложения штрафа на пекарню?

Допустимый вес 22.От 5 до 25,5 унций.

Письменные упражнения

Напишите графическое описание абсолютного значения числа.

Объясните своими словами, как решить неравенство абсолютных значений,

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что этот контрольный список говорит вам о вашем мастерстве в этом разделе? Какие шаги вы предпримете для улучшения?

Упражнения для повторения главы

Использование общей стратегии для решения линейных уравнений

Решение уравнений с использованием общей стратегии решения линейных уравнений

В следующих упражнениях определите, является ли каждое число решением уравнения.

В следующих упражнениях решите каждое линейное уравнение.

Классификация уравнений

В следующих упражнениях классифицируйте каждое уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение.

противоречие; нет решения

Решение уравнений с дробными или десятичными коэффициентами

В следующих упражнениях решите каждое уравнение.

Используйте стратегию решения проблем

Используйте стратегию решения проблем для Word

В следующих упражнениях решайте, используя стратегию решения задач для текстовых задач.

Три четверти присутствующих на концерте — дети. Если на концерте 87 детей, сколько всего человек на концерте?

В группе девять саксофонистов. Количество саксофонистов на один меньше, чем в два раза больше, чем тубистов. Найдите количество игроков на тубе.

Решение проблем с числовыми словами

В следующих упражнениях решите каждую задачу с числовыми словами.

Сумма числа и тройки равна сорок одному.Найдите номер.

Одно число на девять меньше другого. Их сумма отрицательная двадцать семь. Найдите числа.

Одно число на два больше, чем в четыре раза больше. Их сумма — минус тринадцать. Найдите числа.

Сумма двух последовательных целых чисел — это Найти числа.

Найдите три последовательных четных целых числа, сумма которых равна 234.

Найдите три последовательных нечетных целых числа, сумма которых равна 51.

У Кодзи на сберегательном счету 5 502 евро.Это на 30 фунтов меньше, чем в шесть раз больше суммы на его текущем счете. Сколько денег у Кодзи на его текущем счете?

Процент решения

В следующих упражнениях переведите и решите.

Какое число составляет 67% от 250?

12,5% от какого числа 20?

Какой процент от 125 составляет 150?

В следующих упражнениях решите.

Счет за обед Дино составил 19,45 фунтов стерлингов. Он хотел оставить 20% от суммы счета в качестве чаевых.Сколько должны быть чаевые?

Долорес купила детскую кроватку на распродаже за 350 фунтов стерлингов. Цена продажи составила 40% от первоначальной цены. Какова была первоначальная цена детской кроватки?

Джейден зарабатывает 2680 фунтов стерлингов в месяц. Он платит 938 евро в месяц за аренду. Какой процент от его ежемесячной зарплаты идет на аренду?

Ангел получил повышение годовой зарплаты с 55 400 до 56 785 фунтов стерлингов. Найдите изменение в процентах.

Ежемесячный счет на бензин

Rowena снизился с 83,75 фунтов стерлингов в прошлом месяце до 56 фунтов стерлингов.95 в этом месяце. Найдите изменение в процентах.

Эммет купил пару туфель на распродаже со скидкой 40% от первоначальной цены 138 фунтов стерлингов. Найдите ⓐ сумму скидки и ⓑ продажную цену.

Лейси купила пару ботинок на распродаже за 95 фунтов стерлингов. Первоначальная цена ботинок составляла 200 фунтов стерлингов. Найдите ⓐ сумму скидки и ⓑ ставку дисконтирования. (При необходимости округлите до ближайшей десятой процента.)

ⓐ? 105

Нга и Лорен купили сундук на блошином рынке за 50 фунтов стерлингов.Они переработали его, а затем добавили наценку 350%. Найдите размер наценки и ⓑ прейскурантную цену.

Решение простых процентных заявок

В следующих упражнениях решите.

Уинстон положил 3294 евро на банковский счет с процентной ставкой 2,6% Сколько процентов было заработано за пять лет?

Мойра заняла у деда 4500 фунтов стерлингов, чтобы оплатить первый год обучения в колледже. Три года спустя она выплатила 4500 фунтов стерлингов плюс 243 фунта стерлингов.Какая была процентная ставка?

В выписке по кредиту на холодильник Хайме сказано, что он заплатит 1026 фунтов стерлингов в виде процентов за четырехлетний кредит под 13,5%. Сколько Хайме занял, чтобы купить холодильник?

Решите формулу для конкретной переменной

Решение формулы для конкретной переменной

В следующих упражнениях решите формулу для указанной переменной.

Решите формулу

для L .

Решите формулу

на т .

Решите формулу

для у .

Использование формул для решения геометрических задач

В следующих упражнениях решите, используя геометрическую формулу.

Какова высота треугольника с площадью квадратных метров и основанием 9 метров?

Размер наименьшего угла в прямоугольном треугольнике меньше, чем размер следующего большего угла. Найдите размеры всех трех углов.

Периметр треугольника 97 футов.Одна сторона треугольника на одиннадцать футов больше самой маленькой стороны. Третья сторона на шесть футов больше, чем вдвое меньшая сторона. Найдите длины всех сторон.

Найдите длину гипотенузы.

Найдите длину отсутствующей стороны. При необходимости округлите до ближайшей десятой.

Серджио нужно прикрепить провод, чтобы прикрепить антенну к крыше своего дома, как показано на рисунке. Антенна восьми футов высотой, а у Серджио 10 футов провода.Как далеко от основания антенны можно прикрепить провод? При необходимости с точностью до десятых долей.

Сеонг строит стеллажи в своем гараже. Полки имеют ширину 36 дюймов и высоту 15 дюймов. Он хочет прикрепить диагональную скобу к спине, чтобы стабилизировать полки, как показано. Какой длины должна быть скобка?

Длина прямоугольника на 12 см больше ширины. Периметр 74 см. Найдите длину и ширину.

см, см

Ширина прямоугольника в три раза больше длины, чем в два раза.По периметру 96 дюймов. Найдите длину и ширину.

Периметр треугольника составляет 35 футов. Одна сторона треугольника на пять футов длиннее второй. Третья сторона на три фута длиннее второй. Найдите длину каждой стороны.

Приложения для решения задач смешивания и равномерного движения

Решите проблемы с монетным словом

В следующих упражнениях решите.

У Полетт есть купюры номиналом 5 и 10 евро по 140 евро. Количество купюр? 10 на один меньше, чем вдвое, количества купюр? 5.Сколько у нее каждого?

У Ленни 3,69 фунта в пенни, десять центов и четвертаки. Количество пенни на три больше, чем количество монет. Количество четвертей в два раза больше, чем десятицентовик. Сколько у него каждой монеты?

девять пенсов, шесть центов, 12 четвертей

Решение проблем со словами о билетах и ​​штампах

В следующих упражнениях решите каждую проблему со словом билета или штампа.

Билеты на баскетбольный матч стоят 2 евро для студентов и 5 евро для взрослых.Количество студентов было на три меньше, чем количество взрослых, более чем в 10 раз. Общая сумма денег от продажи билетов составила 619 евро. Сколько было продано каждого билета?

На концерт джаз-бэнда было продано

125 билетов на общую сумму 1022 евро. Студенческие билеты стоят 6 евро каждый, а общие входные билеты — 10 евро. Сколько билетов каждого вида было продано?

Юми потратила 34,15 евро на покупку марок. Количество купленных марок по 0,56 евро было на 10 меньше, чем в четыре раза больше, чем количество фунтов стерлингов.41 марка. Сколько штук каждого она купила?

Решить проблемы со смешанными словами

В следующих упражнениях решите.

Marquese делает 10 фунтов сухой смеси из изюма и орехов. Изюм стоит 3,45 фунтов за фунт, а орехи — 7,95 фунтов за фунт. Сколько фунтов изюма и сколько фунтов орехов должен использовать Маркез для приготовления смеси для троп, чтобы стоить ему 6,96 фунтов за фунт?

фунта изюма, фунта орехов

Эмбер хочет положить плитку на кухонную плиту.Ей понадобится 36 квадратных футов плитки. Она будет использовать базовые плитки, которые стоят 8 фунтов за квадратный фут, и декоративные плитки, которые стоят 20 фунтов за квадратный фут. Сколько квадратных футов каждой плитки она должна использовать, чтобы общая стоимость фартука составила 10 фунтов за квадратный фут?

Энрике взял взаймы 23 500 евро на покупку автомобиля. Он платит своему дяде 2% годовых на 4500 фунтов стерлингов, которые он взял у него в долг, а на оставшуюся часть он платит банку 11,5% годовых. Какую среднюю процентную ставку он платит на общую сумму 23 500? (Округлите ответ до ближайшей десятой процента.)

 *** QuickLaTeX не может составить формулу:
9.7 \ текст {%}

*** Сообщение об ошибке:
Файл завершился при сканировании использования \ text @.
Экстренная остановка.

 

Решение Uniform Motion Applications

В следующих упражнениях решите.

Гейб едет из Сакраменто в Реддинг, это занимает у него 2,2 часа. Эльза преодолевает такое же расстояние за два часа. Скорость Эльзы на семь миль в час выше скорости Гейба. Найдите скорость Гейба и скорость Эльзы.

Луэллен и Трейси встретились в ресторане на дороге между Чикаго и Нэшвиллом. Луэллен покинул Чикаго и ехал 3,2 часа в сторону Нэшвилла. Трейси покинула Нэшвилл и ехала 4 часа в сторону Чикаго со скоростью на одну милю в час быстрее, чем скорость Луэллена. Расстояние между Чикаго и Нэшвиллом составляет 472 мили. Найдите скорость Луэллен и скорость Трейси.

Louellen 65 миль / ч, Трейси 66 миль / ч

Два автобуса отправляются из Амарилло одновременно. Автобус из Альбукерке направляется на запад по I-40 со скоростью 72 мили в час, а автобус из Оклахома-Сити направляется на восток по I-40 со скоростью 78 миль в час.Сколько часов им понадобится, чтобы разойтись на 375 миль?

Кайл греб на своей лодке против течения 50 минут. Ему потребовалось 30 минут, чтобы плыть обратно вниз по течению. Его скорость вверх по течению на две мили в час меньше, чем скорость вниз по течению. Найдите скорость Кайла вверх и вниз по потоку.

до 3 миль в час, ниже по потоку 5 миль в час

В 6:30 Девон вышла из дома и ехала на велосипеде по ровной дороге до 7:30. Потом она начала кататься в гору и ехала до 8:00. Всего она проехала 15 миль.Ее скорость на ровной дороге была на три мили в час выше, чем при подъеме в гору. Найдите скорость Девон на ровной дороге и в гору.

Энтони ехал из Нью-Йорка в Балтимор, что составляет 192 мили. Он уехал в 3:45, и движение было загружено до 5:30. Движение было слабым, и он прибыл в 7:30. Его скорость в легком транспортном потоке была на четыре мили в час больше, чем в два раза его скорость в плотном потоке. Узнайте скорость движения Энтони в условиях интенсивного и легкого движения.

интенсивное движение 32 миль / ч, легкое движение 66 миль / ч

Решите линейные неравенства

Неравенства в графике на числовой прямой

В следующих упражнениях нарисуйте неравенство на числовой прямой и запишите в интервальной записи.

Решите линейные неравенства

В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Перевести слова в неравенство и решить

В следующих упражнениях переведите и решите. Затем запишите решение в интервальной записи и нанесите график на числовой прямой.

Пять больше z не больше 19.

Три менее c не менее 360.

Дважды отрицательное число, умноженное на , — не более восьми.

Решение приложений с линейными неравенствами

В следующих упражнениях решите.

Еженедельный бюджет Джулианны на питание для ее семьи составляет 231 евро. Если она планирует выделять одинаковую сумму на каждый из семи дней недели, какова максимальная сумма, которую она может тратить на еду каждый день?

Рохелио пишет акварелью. Он получил подарочную карту на 100 фунтов стерлингов в магазин товаров для искусства и хочет использовать ее, чтобы купить холсты размером 12 дюймов на 16 дюймов. Каждый холст стоит 10,99 евро.Какое максимальное количество холстов он может купить по подарочной карте?

Бриане предложили работу продавца в другом городе. Предложение было за 42 500 фунтов стерлингов плюс 8% от общего объема продаж. Чтобы переезд окупился, Бриана должна иметь годовую зарплату не менее 66 500 фунтов стерлингов. Какой должна быть сумма ее продаж, чтобы она переехала?

Автомобиль Рене обходится ей в 195 фунтов в месяц плюс 0,09 фунтов за милю. Сколько миль может проехать Рене, чтобы ее ежемесячные расходы на машину не превышали 250 фунтов стерлингов?

Коста — бухгалтер.Во время налогового сезона он взимает 125 евро за простую налоговую декларацию. Его расходы на покупку программного обеспечения, аренду офиса и рекламу составляют 6000 фунтов стерлингов. Сколько налоговых деклараций он должен сделать, если он хочет получить прибыль не менее 8000?

Дженна планирует пятидневный курортный отпуск с тремя своими друзьями. Это будет стоить ей 279 фунтов стерлингов за авиабилеты, 300 фунтов стерлингов за еду и развлечения и 65 фунтов стерлингов в день за ее долю в отеле. Она накопила 550 фунтов стерлингов на свой отпуск и может зарабатывать 25 фунтов в час в качестве ассистента в фотостудии своего дяди.Сколько часов она должна работать, чтобы иметь достаточно денег на отпуск?

Решите сложные неравенства

Решите сложные неравенства с помощью «и»

В каждом из следующих упражнений решите каждое неравенство, нанесите решение на график и запишите решение в интервальной записи.

и

и

Решите сложные неравенства с помощью «или»

В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

или

или

Решение приложений со сложными неравенствами

В следующих упражнениях решите.

Лиам играет в числа со своей сестрой Одри. Лиам придумывает число и хочет, чтобы Одри его угадала. Число от 2 до 32 в пять раз больше, чем в три раза. Напишите составное неравенство, показывающее диапазон чисел, о котором может думать Лиам.

Элуиза создает прямоугольный сад на заднем дворе.Длина сада 12 футов. Периметр сада должен быть не менее 36 футов и не более 48 футов. Используйте составное неравенство, чтобы найти диапазон значений ширины сада.

Решите абсолютные неравенства значений

Решите уравнения абсолютных значений

В следующих упражнениях решите.

Решите неравенства абсолютного значения с «меньше»

В следующих упражнениях решите каждое неравенство.Постройте график решения и запишите решение в интервальной записи.

Решите неравенства абсолютного значения с «больше чем»

В следующих упражнениях решите. Постройте график решения и запишите решение в интервальной записи.

Решение приложений с абсолютным значением

В следующих упражнениях решите.

Производителю крафтового пива требуется 215 000 бутылок в день. Но эта сумма может варьироваться на 5 000 бутылок. Какое максимальное и минимальное ожидаемое использование в компании по розливу?

Ожидаемое минимальное и максимальное использование — от 210 000 до 220 000 бутылок

В магазине Fancy Grocery идеальный вес буханки хлеба составляет 16 унций. По закону реальный вес может отличаться от идеального на 1,5 унции. Какой вес будет приемлемым для инспектора без наложения штрафа на пекарню?

Практический тест

В следующих упражнениях решите каждое уравнение.

противоречие; нет решения

Решите формулу

для у .

В следующих упражнениях нарисуйте неравенство на числовой прямой и запишите в интервальной записи.

В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

и

или

В следующих упражнениях переведите уравнение или неравенство и решите.

Четыре меньше, чем в два раза x равно 16.

Найдите длину отсутствующей стороны.

Одно число на четыре больше, чем в два раза больше другого. Их сумма — найти числа.

Сумма двух подряд идущих нечетных чисел — это Найти числа.

Маркус купил телевизор на распродаже за 626,50 фунтов стерлингов. Первоначальная цена телевизора составляла 895 фунтов стерлингов. Найдите ⓐ сумму скидки и ⓑ ставку дисконтирования.

У Бониты в кармане 2,95 евро в десятицентовых монетах. Если у нее на пять центов больше, чем четвертей, сколько каждой монеты у нее?

Ким делает восемь галлонов пунша из фруктового сока и содовой. Фруктовый сок стоит 6,04 фунта за галлон, а газировка стоит 4,28 фунта за галлон. Сколько фруктового сока и сколько соды нужно употребить, чтобы пунш стоил? 5.71 на галлон?

Размер одного угла треугольника в два раза больше размера наименьшего угла. Мера третьего угла в три раза больше меры наименьшего угла. Найдите размеры всех трех углов.

Длина прямоугольника на пять футов больше ширины в четыре раза. Периметр — 60 футов. Найдите размеры прямоугольника.

Два самолета вылетают из Далласа одновременно. Один направляется на восток со скоростью 428 миль в час.Другой самолет летит на запад со скоростью 382 мили в час. Сколько часов потребуется, чтобы их разделять 2025 миль?

часов

Леон поехал из своего дома в Цинциннати в дом своей сестры в Кливленде, на расстоянии 252 мили. На это у него ушло несколько часов. Первые полчаса у него было интенсивное движение, а в остальное время его скорость была на пять миль в час меньше, чем в два раза его скорость в условиях интенсивного движения. Какая была его скорость в условиях интенсивного движения?

У Сары есть бюджет в 1000 фунтов стерлингов на костюмы для 18 членов ее музыкальной театральной группы.Какую максимальную сумму она может потратить на каждый костюм?

Максимум? 55,56 за костюм.

Абсолютные неравенства

Неравенства абсолютных значений

Помните, абсолютное значение означает расстояние от нуля на числовой прямой. | x | <4 означает, что x — это число, которое меньше 4 единиц от нуля на числовой прямой (см. Рисунок 1).

Рисунок 1. Меньше 4 от нуля.

Решения — это числа справа от –4 и слева от 4 и могут быть обозначены как

.

| x | > 4 означает, что x — это число, которое больше чем на 4 единицы от нуля на числовой прямой (см. Рисунок 2).

Рисунок 2. Более 4 из 0.

Решения — это числа слева от –4 или справа от 4 и обозначаются как

.

{ x | x <–4 или x > 4}

| x | <0 не имеет решений, тогда как | x | > 0 имеет своим решением все действительные числа, кроме 0.| x | > –1 имеет своим решением все действительные числа, потому что после взятия абсолютного значения любого числа этот ответ будет либо нулем, либо положительным и всегда будет больше, чем –1.

Ниже приводится общий подход к решению неравенств по абсолютным значениям вида

Пример 1

Решить для x : | 3 x — 5 | <12.

Набор решений —

График набора решений показан на рисунке 3.

Рис. 3. x больше и меньше.

Пример 2

Решите эту дизъюнкцию для x : | 5 x + 3 | > 2.

Набор решений есть. График набора решений показан на рисунке 4.

Рис. 4. x меньше –1 или больше.

Пример 3

Решить относительно x : | 2 x + 11 | <0.

Это неравенство не имеет решения.

Пример 4

Решить относительно x : | 2 x + 11 | > 0,

Решением являются все действительные числа , кроме для решения 2 x + 11 = 0. Следовательно,

Решение набора есть. График набора решений показан на рисунке 5.

Рис. 5. Все числа, кроме.

Пример 5

Решить относительно x : 7 | 3 x + 2 | + 5> 4.

Сначала выделите нажатие e x , содержащее символ абсолютного значения.

Набор решений — это все действительные числа. ( Примечание: Абсолютное значение любого числа всегда равно нулю или положительному значению. Следовательно, абсолютное значение любого числа всегда больше, чем отрицательное значение.) График набора решений показан на рисунке 6.

Рисунок 6. Набор всех чисел.

Как найти и построить график абсолютного неравенства — математический класс [видео 2021 года]

Неравенство абсолютных значений с одной переменной

Итак, теперь, когда обзор закончился, давайте объединим эти два навыка в один настолько просто, насколько это возможно.Решить и построить график | x | > 5.

Не узнавая ничего нового, попробуем решить эту проблему так же, как и раньше. Если меня просят решить, и у меня есть абсолютное значение, мне нужно отменить его, разделив неравенство на части. Это оставляет мне два неравенства: x > 5 или x > -5.

Что ж, это было неплохо. Теперь у меня остается сложное неравенство, потому что у меня два неравенства в одном, но это нормально. Давайте проверим наши ответы, чтобы убедиться, что это действительно так просто.

x > 5 говорит, что числа типа 6 или 100 должны работать в исходной задаче, поэтому мы можем подставить их, взять абсолютные значения и, конечно же, проверить их.

Хорошо, теперь x > -5. Это говорит о том, что числа вроде -4 или 1 должны работать. Таким образом, мы можем заменить их в исходной задаче, взять абсолютные значения и … да, это не так.Поскольку абсолютное значение делает их положительными, 4 и 1 не работают, потому что их величина не такая большая, как 5. Так что нам действительно нужны «большие» отрицательные числа, такие как -10 или -100, потому что тогда абсолютные ценность изменит их снова на положительную сторону, и мы будем в бизнесе. Таким образом, вместо x > -5 нам действительно нужно x <-5, потому что числа вроде -10 и -100 технически меньше -5, хотя они «большие» или более высокие числа.

То, что мы только что обнаружили, — это золотое правило решения неравенств абсолютных значений с одной переменной.При разделении неравенства на два новых, чтобы отменить абсолютное значение, нам нужно перевернуть знак того, который мы установили на отрицательный. Я лично помню это, думая об этом как об умножении и делении по отрицательному правилу, где вы должны перевернуть знак. Это вроде как.

В любом случае, теперь, когда у нас есть правильный ответ: x > 5 или x <-5, мы можем изобразить составное неравенство, используя наши предыдущие знания.

Выполняя одно неравенство за раз и ставя пустой кружок на 5, потому что это просто «больше чем», а не «или равно», и рисование стрелки вправо, чтобы указать все числа больше 5, покрывает половину график.Затем поместите еще один открытый кружок на -5 и проведите стрелку влево, чтобы указать, что меньшие числа позаботятся обо всем остальном.

Глядя на график, мы видим, что мы имеем сложное неравенство «или», потому что две стрелки направлены в противоположные стороны. Это означает, что числа больше 5 или числа меньше -5 будут работать в наших исходных неравенствах.

Неравенство по абсолютным значениям может также привести к сложному неравенству. Например: решить и построить график | x | <5

Теперь вместо поиска очень «больших» чисел, которые должны быть больше пяти после того, как они станут положительными, мы ищем выбранную группу «маленьких» чисел, которые все равно будут меньше пяти. даже после того, как они были возвращены в положительную сторону.

Использование нашего нового навыка переворачивания символа неравенства при отмене абсолютного значения дает нам решенное неравенство как x <5 и x > -5. Помните, мне пришлось его перевернуть.

Причина, по которой это неравенство «и» состоит в том, что для того, чтобы наше решение работало, оно должно удовлетворять обоим условиям. Оно не только должно быть меньше 5, но также должно быть больше -5. Это не сработает, если верно только одно из этих утверждений, а не другое.Возьмем, к примеру, 10: 10 больше -5, но не меньше 5. Поэтому, когда мы подставим 10 обратно в исходное неравенство, вы обнаружите, что это не работает. Любое составное неравенство, в котором должны выполняться оба условия, чтобы ваше решение работало, является составным неравенством «и». Как только мы построим график неравенства, мы получим это и увидим, что только «маленькие» числа от -5 до 5 будут по-прежнему меньше 5 после того, как будут изменены на положительное.

Неравенства с двумя переменными абсолютных значений

Наконец, мы также можем построить график неравенства с двумя переменными абсолютных значений, например: y <| x -2 | +1.

Как и другие графики неравенства с двумя переменными, нам нужно начать с построения граничной линии прямо там, где y = | x -2 | + 1.

Это требует от нас использования наших навыков перевода: используйте -2 внутри абсолютного значения, чтобы сместить вершину вправо, и положительную единицу снаружи, чтобы переместить вершину на 1.Поскольку перед абсолютным значением нет переменной, мы можем предположить, что там есть небольшое воображаемое число 1, и это говорит нам, что наклон V равен 1, что означает, что от моей вершины я поднимаюсь на 1, а затем на 1. в обоих направлениях, чтобы найти V.

Теперь нам нужно решить, какая сторона буквы V является стороной «больше, чем», а какая — стороной «меньше». Подстановка исходной точки (0,0) в исходное неравенство по-прежнему является хорошей стратегией, и это дает нам 0 <| 0-2 | + 1. Если это упростить, то получим 0 <3, что является верным утверждением.Следовательно, область графика, в которой находится начало координат, является той частью графика, которую мы должны заштриховать. Это означает, что мы закрашиваем все снаружи V - слева, под ним и справа.

Наконец, поскольку неравенство было строго «меньше», а не «равно», мы делаем V пунктирной линией, чтобы указать, что оно не является частью решения. После того, как все шаги выполнены, мы закончили, и у нас есть этот график в качестве нашего ответа.

Резюме урока

При решении неравенств по абсолютным значениям с одной переменной следует помнить одно новое правило: при отмене абсолютного значения путем разделения уравнения на два необходимо перевернуть символ неравенства в неравенстве, которое установлен на отрицательное значение (вроде как целое «переворачивание знака при умножении или делении на отрицательное»).

Неравенства с одной переменной по абсолютной величине дают нам сложных неравенств .

Абсолютное значение, превышающее что-либо, дает нам составное неравенство «или», тогда как абсолютное значение, которое меньше чего-либо, дает нам составное неравенство «и».

Построение графиков Неравенства с двумя переменными абсолютных значений В нет новых правил, которые нужно запомнить, и ваши ответы должны выглядеть как V, с заштрихованной внутренней или внешней стороной V.

Цели урока

По завершении этого урока вы сможете:

• Решать неравенства абсолютных значений с одной и двумя переменными
• График 1 и 2 неравенства абсолютных значений

Неравенства абсолютного значения

Выражения абсолютного значения не обязательно должны быть абсолютно равными; у них тоже может быть неравенство.Эээ, неравенства. Однако все становится немного странно, когда абсолютные ценности и неравенства находятся в одной комнате вместе.

Пример задачи

Решить | x | <1.

Если бы это было уравнение, у нас было бы следующее: x = 1 или x = -1. Но подумайте, что на самом деле означает абсолютное значение. Это числовое расстояние от 0. Если у нас есть | x | <1, нам нужны все числа, расстояние от которых до 0 меньше 1.

Ага, это они. На числовой строке мы видим, что x = -1 и x = 1 являются границами этого сложного неравенства, -1 < x <1. Другими словами, это x > -1 и . x <1. Иначе говоря, решения нашего неравенства лежат между ± 1. Надо ли говорить об этом по-четвертому? Надеюсь, что нет, потому что мы отключились.

Эта модель повторяется для многих неравенств по абсолютным значениям.Если у нас есть | (кое-что) | <какое-то число n , тогда наш ответ — n <(немного) < n . Затем мы решаем нашу переменную. Не , а , другой, внутри. Мы не показывали это здесь, но вы знаете, что это есть.

Пример задачи

Решить | 2 x + 3 | ≤ 5.

Частичное равенство знака ничего не меняет. Очень похоже на тот дешевый мотель, в котором мы останавливались во время поездки прошлым летом. Мы получаем нервозность, просто вспоминая простыни в этом месте.

У нас есть какой-то знак «меньше», поэтому любые решения, которые мы можем найти, будут между -5 и 5.

-5 ≤ 2 x + 3 ≤ 5

Да, вот так. Теперь мы можем найти нашу переменную. Начнем с вычитания 3 из каждого раздела.

-8 ≤ 2 x ≤ 2

Пора отделить коэффициент от переменной. Наши ладони начали потеть; Как насчет твоего? Должны, так как мы разделяем знаки неравенства вокруг. А 2 — положительный результат, так что все в порядке.Вытирание рук полотенцем и деление дает нам наши решения:

-4 ≤ x ≤ 1

Это все хорошо, но что мы будем делать, когда абсолютное значение «больше» числа? Ответ не будет таким же, как в случае «меньше чем». Это не может быть просто, правда?

Пример задачи

Решить | x | ≥ 6.

Давайте снова подумаем об этом с точки зрения расстояния: нам нужны все числа, которые имеют расстояние больше или равное 6 единицам от 0.Как только у нас будут все эти числа, мы наденем им платья и устроим чаепитие.

Похоже, наши решения могут быть меньше или равны -6 или больше или равны 6. Это еще одно сложное неравенство, но на этот раз к нему добавлено «или»:

x ≤ — 6 или x ≥ 6

Может показаться странным, что числа меньше -6 могут быть решением проблемы, которая начинается со знака «больше чем», но вставьте число и проверьте его: is | -7 | ≥ 6? Ага, | -7 | 7.И 7 определенно больше и страшнее 6, потому что 7 8 9.

Пример задачи

Решить | -2 x — 1 | > 7.

Первое, что мы делаем — встаем и потягиваемся. Мы долгое время работали над этим неравенством, и это убивает нас. Сделав это, мы проверяем знак неравенства. Это знак «больше чем», поэтому мы знаем, что у нас будет сложное «неравенство». Одно из неравенств будет нашим исходным выражением, только без полосок абсолютных значений.

-2 x — 1> 7

-2 x > 8

x <-4

Вы это видели? Отрицательное деление — надо поменять все знаки. Все они, включая знак неравенства.

Другая половина решения будет противоположной тому, что находится внутри столбиков.

— (- 2 x — 1)> 7

-2 x — 1 <-7

У нас больше отрицательного умножения. Отмените это неравенство, переверните его хорошо.

-2 x <-6

x > 3

И тогда мы должны снова изменить его. Шиш, уже решайся. Вы хотите указать влево или вправо?

Наше полное решение — x <-4 или x > 3. Мы немного нервничаем по поводу нашего ответа; там происходило много перебранных знаков, и мы слышали тревожные звуки, пока он был в другой комнате. Так что давайте еще раз проверим.

Подключение -5, что меньше -4:

| -2 (-5) — 1 | > 7

| 10 — 1 | > 7

| 9 | > 7

Подключение 4, которое больше 3:

| -2 (4) — 1 | > 7

| -8 — 1 | > 7

| -9 | > 7

Ладно, все круто.И оказывается, что эти звуки были просто расстроенной скрипкой. Мы думали, он пытался вызвать кучу пауков. Мы были , а эти были близки к тому, чтобы вызвать истребитель.

Резюме

Столкнулись с абсолютным неравенством значений и не знаете, что делать?

• Если неравенство имеет знак «меньше» (<) с выражением абсолютного значения слева, то решение является составным »и« неравенством между ± константой ».
• Если неравенство имеет знак «больше» (>) с выражением абсолютного значения слева, то решением является составное «или» неравенство.
  
  • Первая половина — это исходное выражение без знаков абсолютного значения.
  • Вторая половина переворачивает знак неравенства и меняет все, что находится за пределами столбцов абсолютного значения, на противоположный знак.
• Если вы не можете вспомнить эти правила или просто не знаете, что делать, начертите небольшую числовую черту. Глядя на него, вы не напутаете.

Быстрый вопрос: что будет, если мы попытаемся найти | x | <-1? Или | x | > -1? Происходит следующее: «Это ловушка!» Абсолютное значение всегда будет положительным, поэтому решения нет.