Корень n-й степени и его свойства

Корень n-й степени и его свойства

Что такое корень n-й степени? Как извлечь корень?

                В восьмом классе вы уже успели познакомиться с квадратным корнем. Решали типовые примеры с корнями, применяя те или иные свойства корней. Также решали квадратные уравнения, где без извлечения квадратного корня — никак. Но квадратный корень — это лишь частный случай более широкого понятия — корня n-й степени. Помимо квадратного, бывает, например, кубический корень, корень четвёртой, пятой и более высоких степеней. И для успешной работы с такими корнями неплохо бы всё-таки для начала быть на «ты» с корнями квадратными.) Поэтому у кого проблемы с ними — настоятельно рекомендую повторить.

            Извлечение корня — это одна из операций, обратных возведению в степень.) Почему «одна из»? Потому, что, извлекая корень, мы ищем основание по известным степени и показателю. А есть ещё одна обратная операция — нахождение показателя по известным степени и основанию. Такая операция называется нахождением логарифма. Она более сложная, чем извлечение корня и изучается в старших классах.)

            Итак, знакомимся!

            Во-первых, обозначение. Квадратный корень, как мы уже знаем, обозначается вот так: . Называется этот значок очень красиво и научно — радикал. А как обозначают корни других степеней? Очень просто: над «хвостиком» радикала дополнительно пишут показатель той степени, корень которой ищется. Если ищется кубический корень, то пишут тройку: . Если корень четвёртой степени, то, соответственно, . И так далее.) В общем виде корень n-й степени обозначается вот так:

, где .

            Число a, как и в квадратных корнях, называется подкоренным выражением, а вот число n для нас здесь новое. И называется показателем корня.

            Как извлекать корни любых степеней? Так же, как и квадратные — сообразить, какое число в n-й степени даёт нам число a.)

            Как, например, извлечь кубический корень из 8? То есть ? А какое число в кубе даст нам 8? Двойка, естественно.) Вот и пишут:

            Или . Какое число в четвёртой степени даёт 81? Тройка.) Значит,

            А корень десятой степени из 1? Ну, ежу понятно, что единица в любой степени (в том числе и в десятой) равна единице. ) То есть:

 и вообще .

   С нулём та же история: ноль в любой натуральной степени равен нулю. Стало быть, .

           Как видим, по сравнению с квадратными корнями, здесь уже посложнее соображать, какое число в той или иной степени даёт нам подкоренное число a. Сложнее подбирать ответ и проверять его на правильность возведением в степень n. Ситуация существенно облегчается, если знать в лицо степени популярных чисел. Поэтому сейчас — тренируемся. 🙂 Распознаём степени!)

Ответы (в беспорядке):

          Да-да! Ответов побольше, чем заданий.) Потому, что, к примеру, 2⁸, 4⁴ и 16² – это всё одно и то же число 256.

          Потренировались? Тогда считаем примерчики:

          Ответы (тоже в беспорядке): 6; 2; 3; 2; 3; 5.

          Получилось? Великолепно! Движемся дальше.)

Ограничения в корнях. Арифметический корень n-й степени.

          В корнях n-й степени, как и в квадратных, тоже есть свои ограничения и свои фишки. По своей сути, они ничем не отличаются от таковых ограничений для квадратных корней.

          Например, попробуем посчитать вот такой корень:

          Не подбирается ведь, да? Что 3, что -3 в четвёртой степени будет +81. 🙂 И с любым корнем чётной степени из отрицательного числа будет та же песня. А это значит, что извлекать корни чётной степени из отрицательных чисел нельзя. Это запретное действие в математике. Такое же запретное, как и деление на ноль. Поэтому такие выражения, как ,  и тому подобные — не имеют смысла.

          Зато корни нечётной степени из отрицательных чисел — пожалуйста!

          Например, ; , и так далее.)

          А из положительных чисел можно со спокойной душой извлекать любые корни, любых степеней:

          В общем, понятно, думаю. ) И, кстати, корень совершенно не обязан извлекаться ровно. Это просто примеры такие, чисто для понимания.) Бывает, что в процессе решения (например, уравнений) выплывают и довольно скверные корни. Что-нибудь типа . Из восьмёрки кубический корень извлекается отлично, а тут под корнем семёрка. Что делать? Ничего страшного. Всё точно так же.  – это число, которое при возведении в куб даст нам 7. Только число это очень некрасивое и лохматое. Вот оно:

          Причём, это число никогда не кончается и не имеет периода: цифры следуют совершенно беспорядочно. Иррациональное оно… В таких случаях ответ так и оставляют в виде корня.) А вот если корень извлекается чисто (к примеру, ), то, естественно, надо корень посчитать и записать:

          Идём дальше.

          Снова берём наше подопытное число 81 и извлекаем из него корень четвёртой степени:

          Потому, что три в четвёртой будет 81. Ну, хорошо! Но ведь и минус три в четвёртой тоже будет 81!

          Получается неоднозначность:

          И, чтобы её устранить, так же, как и в квадратных корнях, ввели специальный термин: арифметический корень n-й степени из числа a – это такое неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

          А ответ с плюсом-минусом называется по-другому — алгебраический корень n-й степени. У любой чётной степени алгебраическим корнем будет два противоположных числа. В школе же работают только с арифметическими корнями. Поэтому отрицательные числа в арифметических корнях попросту отбрасываются. Например, пишут: . Сам плюс, конечно же, не пишут: его подразумевают.

          Всё, казалось бы, просто, но… А как же быть с корнями нечётной степени из отрицательных чисел? Ведь там-то всегда при извлечении получается отрицательное число! Так как любое отрицательное число в нечётной степени также даёт отрицательное число. А арифметический корень работает только с неотрицательными числами! На то он и арифметический.)

          В таких корнях делают вот что: выносят минус из-под корня и ставят перед корнем. Вот так:

          В таких случаях говорят, что  выражен через арифметический (т.е. уже неотрицательный) корень .

          Но есть один пунктик, который может вносить путаницу, — это решение простеньких уравнений со степенями. Например, вот такое уравнение:

          Пишем ответ: . На самом деле, этот ответ — всего-навсего сокращённая запись двух ответов:

          Непонятка здесь заключается в том, что чуть выше я уже написал, что в школе рассматриваются только неотрицательные (т.е. арифметические) корни. А тут один из ответов с минусом… Как быть? Да никак! Знаки здесь — это результат решения уравнения. А сам корень — величина всё равно неотрицательная! Смотрите сами:

          Ну как, теперь понятнее? Со скобочками?)

          С нечётной степенью всё гораздо проще — там всегда получается один корень. С плюсом или с минусом. Например:

          Итак, если мы просто извлекаем корень (чётной степени) из числа, то мы всегда получаем один неотрицательный результат. Потому что это — арифметический корень. А вот, если мы решаем уравнение с чётной степенью, то мы получаем два противоположных корня, поскольку это — решение уравнения.

          С корнями нечётных степеней (кубическими, пятой степени и т.д.) проблем никаких. Извлекаем себе и не паримся со знаками. Плюс под корнем — значит, и результат извлечения с плюсом. Минус — значит, минус.)

          А теперь настал черёд познакомиться со свойствами корней. Некоторые уже будут нам знакомы по квадратным корням, но добавится и несколько новых. Поехали!

Свойства корней. Корень из произведения.

           Это свойство уже знакомо нам из квадратных корней. Для корней других степеней всё аналогично:

       То есть, корень из произведения равен произведению корней из каждого множителя отдельно.

        Если показатель n чётный, то оба подкоренных числа a и b должны быть, естественно, неотрицательными, иначе формула смысла не имеет. В случае нечётного показателя ограничений никаких нет: выносим минусы из-под корней вперёд и дальше работаем с арифметическими корнями.)

        Как и в квадратных корнях, здесь эта формула одинаково полезна как слева направо, так и справа налево. Применение формулы слева направо позволяет извлекать корни из произведения. Например:

        Эта формула, кстати говоря, справедлива не только для двух, а для любого числа множителей. Например:

        Также по этой формуле можно извлекать корни из больших чисел: для этого число под корнем раскладывается на множители поменьше, а дальше извлекаются корни отдельно из каждого множителя.    

        Например, такое задание:

       Число достаточно большое. Извлекается ли из него корень ровно — тоже без калькулятора непонятно. Хорошо бы его разложить на множители. На что точно делится число 3375? На 5, похоже: последняя цифра — пятёрка.) Делим:

        Ой, снова на 5 делится! 675:5 = 135. И 135 опять на пятёрку делится. Да когда ж это кончится!)

   135:5 = 27. С числом 27 всё уже ясно — это тройка в кубе. Значит,  

        Тогда:

        Извлекли корень по кусочкам, ну и ладно.)

        Или такой пример:

         Снова раскладываем на множители по признакам делимости. Каким? На 4, т.к. последняя парочка цифр 40 — делится на 4. И на 10, т.к. последняя цифра — ноль. Значит, можно поделить одним махом сразу на 40:

         Про число 216 мы уже знаем, что это шестёрка в кубе. Стало быть,

         А 40, в свою очередь, можно разложить как . Тогда

         И тогда окончательно получим:

         Чисто извлечь корень не вышло, ну и ничего страшного. Всё равно мы упростили выражение: мы же знаем, что под корнем (хоть квадратным, хоть кубическим — любым) принято оставлять самое маленькое число из возможных. ) В этом примере мы проделали одну весьма полезную операцию, тоже уже знакомую нам из квадратных корней. Узнаёте? Да! Мы вынесли множители из-под корня. В данном примере мы вынесли двойку и шестёрку, т.е. число 12.

Как вынести множитель за знак корня?

             Вынести множитель (или множители) за знак корня очень просто. Раскладываем подкоренное выражение на множители и извлекаем то, что извлекается.) А что не извлекается — так и оставляем под корнем. Смотрите:

          Раскладываем число 9072 на множители. Так как у нас корень четвёртой степени, в первую очередь пробуем разложить на множители, являющиеся четвёртыми степенями натуральных чисел — 16, 81 и т.д.

          Попробуем поделить 9072 на 16:

 Поделилось!

           А вот 567, похоже, делится на 81:

           Значит, .

           Тогда

Свойства корней. Умножение корней.

                Рассмотрим теперь обратное применение формулы — справа налево:

           На первый взгляд, ничего нового, но внешность обманчива. ) Обратное применение формулы значительно расширяет наши возможности. Например:

           Хм, ну и что тут такого? Умножили и всё. Здесь и впрямь ничего особенного. Обычное умножение корней. А вот такой пример!

           Отдельно из множителей корни чисто не извлекаются. Зато из результата — отлично. )

           Опять же формула справедлива для любого числа множителей. Например, надо посчитать вот такое выражение:

           Здесь главное — внимание. В примере присутствуют разные корни — кубические и четвёртой степени. И ни один из них точно не извлекается…

           А формула произведения корней применима только к корням с одинаковыми показателями. Поэтому сгруппируем в отдельную кучку кубические корни и в отдельную — четвёртой степени. А там, глядишь, всё и срастётся.))

            И калькулятора не понадобилось.)

Как внести множитель под знак корня?

                Следующая полезная вещь — внесение числа под корень. Например:

           Можно ли убрать тройку внутрь корня? Элементарно! Если тройку превратить в корень, то сработает формула произведения корней. Итак, превращаем тройку в корень. Раз у нас корень четвёртой степени, то и превращать будем тоже в корень четвёртой степени.) Вот так:

           Тогда

           Корень, между прочим, можно сделать из любого неотрицательного числа. Причём той степени, какой хотим (всё от конкретного примера зависит). Это будет корень из n-й степени этого самого числа:

           А теперь — внимание! Источник очень грубых ошибок! Я не зря здесь сказал про неотрицательные числа. Арифметический корень работает только с такими. Если у нас в задании где-то затесалось отрицательное число, то либо минус так и оставляем, перед корнем (если он снаружи), либо избавляемся от минуса под корнем, если он внутри. Напоминаю, если под корнем чётной степени получается отрицательное число, то выражение не имеет смысла.

           Например, такое задание. Внести множитель под знак корня:

           Если мы сейчас внесём под корень минус два, то жестоко ошибёмся:

           В чём здесь ошибка? А в том, что четвёртая степень, в силу своей чётности, благополучно «съела» этот минус, в результате чего заведомо отрицательное число  превратилось в положительное . А верное решение выглядит так:

           В корнях нечётных степеней минус хоть и не «съедается», но его тоже лучше оставлять снаружи:

           Здесь корень нечётной степени — кубический, и мы имеем полное право минус тоже загнать под корень. Но предпочтительнее в таких примерах минус также оставлять снаружи и писать ответ выраженным через арифметический (неотрицательный) корень , поскольку корень  хоть и имеет право на жизнь, но арифметическим не является.

           Итак, с внесением числа под корень тоже всё ясно, я надеюсь.) Переходим к следующему свойству.

Свойства корней. Корень из дроби. Деление корней.

               Это свойство также полностью повторяет таковое для квадратных корней. Только теперь мы его распространяем на корни любой степени:

       Корень из дроби равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя.

        Если n чётно, то число a должно быть неотрицательным, а число b – строго положительным (на ноль делить нельзя). В случае нечётного показателя единственным ограничением будет .

        Это свойство позволяет легко и быстро извлекать корни из дробей:

       Идея понятна, думаю. Вместо работы с дробью целиком мы переходим к работе отдельно с числителем и отдельно со знаменателем.) Если дробь десятичная или, о ужас, смешанное число, то предварительно переходим к обыкновенным дробям:

       А теперь посмотрим, как эта формула работает справа налево. Здесь тоже выявляются очень полезные возможности. Например, такой примерчик:

       Из числителя и знаменателя корни ровно не извлекаются, зато из всей дроби — прекрасно.) Можно решить этот пример и по-другому — вынести в числителе множитель из-под корня с последующим сокращением:

       Как вам будет угодно. Ответ всегда получится один — правильный. Если ошибок не наляпать по дороге.)

       Итак, с умножением/делением корней разобрались. Поднимаемся на следующую ступеньку и рассматриваем третье свойство — корень в степени и корень из степени.

Корень в степени. Корень из степени.

        Как возвести корень в степень? Например, пусть у нас есть число . Можно это число возвести в степень? В куб, например? Конечно! Помножить корень сам на себя три раза, и — по формуле произведения корней:

       Здесь корень и степень как бы взаимоуничтожились или скомпенсировались. Действительно, если мы число, которое при возведении в куб даст нам тройку, возведём в этот самый куб, то что получим? Тройку и получим, разумеется! И так будет для любого неотрицательного числа. В общем виде:

       Если показатели степени и корня разные, то тоже никаких проблем. Если знать свойства степеней.)

       Если показатель степени меньше показателя корня, то просто загоняем степень под корень:

       В общем виде будет:

        Идея понятна: возводим в степень подкоренное выражение, а дальше упрощаем, вынося множители из-под корня, если это возможно. Если n чётно, то a должно быть неотрицательным. Почему — понятно, думаю.) А если n нечётно, то никаких ограничений на a уже нету:

        Разберёмся теперь с корнем из степени. То есть, в степень будет возводиться уже не сам корень, а подкоренное выражение. Здесь тоже ничего сложного, но простора для ошибок значительно больше. Почему? Потому, что в игру вступают отрицательные числа, которые могут вносить путаницу в знаках. Пока начнём с корней нечётных степеней — они гораздо проще.

        Пусть у нас есть число 2. Можно его возвести в куб? Конечно!

        А теперь — обратно извлечём из восьмёрки кубический корень:

        С двойки начали, к двойке же и вернулись.) Ничего удивительного: возведение в куб скомпенсировалось обратной операцией — извлечением кубического корня.

        Другой пример:

        Здесь тоже всё путём. Степень и корень друг друга скомпенсировали. В общем виде для корней нечётных степеней можно записать такую формулку:

        Эта формула справедлива для любого действительного числа a. Хоть положительного, хоть отрицательного.

        То есть, нечётная степень и корень этой же степени  всегда друг друга компенсируют и получается подкоренное выражение. 🙂

        А вот с чётной степенью этот фокус может уже не пройти. Смотрите сами:

        Здесь пока ничего особенного. Четвёртая степень и корень четвёртой же степени тоже друг друга уравновесили и получилась просто двойка, т.е. подкоренное выражение. И для любого неотрицательного числа будет то же самое. А теперь всего лишь заменим в этом корне два на минус два. То есть, посчитаем вот такой корень:

        Минус у двойки благополучно «сгорел» из-за четвёртой степени. И в результате извлечения корня (арифметического!) мы получили положительное число. Было минус два, стало плюс два.) А вот если бы мы просто бездумно «сократили» степень и корень (одинаковые же!), то получили бы

        Что является грубейшей ошибкой, да.

        Поэтому для чётного показателя формула корня из степени выглядит вот так:

        Здесь добавился нелюбимый многими знак модуля, но в нём страшного ничего нет: благодаря ему, формула также работает для любого действительного числа a. И модуль просто отсекает минусы:

        И так далее.) Эта формула — аналог формулы корня квадратного из квадрата:

        Только в корнях n-й степени появилось дополнительное разграничение на чётные и нечётные степени. Чётные степени, как мы видим, более капризные, да.)

        А теперь рассмотрим новое полезное и весьма интересное свойство, уже характерное именно для корней n-й степени: если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить (разделить) на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.

        Чем-то напоминает основное свойство дроби, не правда ли? В дробях мы тоже числитель и знаменатель можем умножать (делить) на одно и то же число (кроме нуля). На самом деле, это свойство корней — тоже следствие основного свойства дроби. Когда мы познакомимся со степенью с рациональным показателем, то всё станет ясно. Что, как и откуда. )

        Прямое применение этой формулы позволяет нам упрощать уже совершенно любые корни из любых степеней. В том числе, если показатели степени подкоренного выражения и самого корня разные. Например, надо упростить вот такое выражение:

        Поступаем просто. Выделяем для начала под корнем четвёртую степень из десятой и — вперёд! Как? По свойствам степеней, разумеется! Выносим множитель из-под корня или работаем по формуле корня из степени.

        А вот  упростим, используя как раз это свойство. Для этого четвёрку под корнем представим как :

        И теперь — самое интересное — сокращаем мысленно показатель под корнем (двойку) с показателем корня (четвёркой)! И получаем:

        Вся цепочка преобразований выглядит так:

        Или такой пример:

        Это было прямое применение формулы. А вот обратное применение ещё сильнее повышает наш математический уровень. Сомневаетесь? Напрасно! Дело в том, что обратное применение этой формулы справа налево  позволяет нам сравнивать различные корни. Очень мощная штука!

Как сравнивать корни?

       Допустим, надо (без калькулятора!) сравнить два числа:

 и

       Корень квадратный из пяти — это двойка с хвостиком. Корень кубический из десяти — это тоже двойка с хвостиком. А вот какой из двух хвостиков длиннее, а какой короче — вопрос. С ходу так и не скажешь. Пока показатели корней — разные.) А вот, если их как-то преобразовать к одинаковым, то всё, глядишь, и наладится! Для этого ищем наименьшее общее кратное показателей корней. В данном случае показатели корней равны 2 и 3, т.е. оба корня будем приводить к шестёрке. Как? По вышеупомянутому свойству:

            Берём . Как корень из квадратного превратить в корень шестой степени, но так, чтобы суть выражения не изменилась? Чтобы получить шестёрку в показателе корня, надо исходный показатель корня 2 домножить на 3. Это нам надо. Но тогда и пятёрку под корнем придётся дополнительно возвести в степень 3 (т.е. в куб): это уже математике надо. Значит,

.

        С числом  всё аналогично. Только десятку под корнем будем дополнительно возводить в квадрат:

        Теперь дело за малым — сравнить два числа  и .

        Ясно, что , а значит, и  и, стало быть,

        Если перед корнями тусуются какие-то множители, то убираем их внутрь корней и — по накатанной колее. Например, такое задание:

        Сравнить  и .

        Первым делом вносим множители под корни:

        А теперь — приводим оба корня к одному показателю. К четвёрке.)

        Ну, число  уже и так приведено и уже готово для сравнения. А вот  преобразуем:

.

        Вот теперь всё и прояснилось: , поэтому .

        А это значит, что

        Этот принцип сравнения одинаковых корней по подкоренным выражениям, строго говоря, основывается на монотонном возрастании функции . То есть, большему числу соответствует и больший корень. И наоборот.) В разделе по функциям и графикам мы этому факту уделим отдельное внимание, а здесь мы просто им пользуемся. Себе во благо. 🙂

        Что ж, осталось последнее усилие. Собираем волю в кулак и знакомимся с последним (и тоже новым для нас) свойством корней — корень под корнем.

Как извлечь корень из корня?

        Это свойство на самом деле очень простое и по своей сути очень похоже на возведение степени в степень. Так как является обратным к этой операции.) Вот как оно выглядит:

        Чтобы извлечь корень из корня, надо перемножить показатели корней.

        Это свойство позволяет несколько вложенных корней заменить одним корнем. Например:

        Или такой пример:

        Причём вложений может быть сколько угодно — формула всё равно сработает:

        Как видим, никаких хитростей. Просто перемножаем показатели и считаем (если считается).

        Вот, собственно, всё что я пока хотел рассказать.)) Следующим этапом нашей работы с корнями будет преобразование иррациональных выражений. Но это — в следующий раз.

        А теперь, как всегда, делаем задания.

Задание 1

        Вычислить:

Задание 2

        Вычислить:

Задание 3

        Найти значение выражения:

Задание 4

        Вынести множитель из-под знака корня:

        Внести множитель под знака корня:

Задание 5

        Решите уравнение: 

Задание 6

        Вычислите:

        Ответы в беспорядке: 1,2; ; 2; ; 3; 6; ; 20; ; 72; 2,1; 5; 0,4; -2; ; 12; 6; 14; 4; 20/3; ; -8; ; ; 20; 42.

        Всё решилось? Одной левой? Великолепно! Корни — не ваш камень преткновения.) Не всё получилось? Не беда! Не ошибается тот, кто ничего не делает.)

Mathway | Популярные задачи

1 2 в степени корень из 3

Вы искали 1 2 в степени корень из 3? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 1 3 корень, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «1 2 в степени корень из 3».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 1 2 в степени корень из 3,1 3 корень,10 в корне,2 в корень 3 степени,2 корень 3 1,3 в корне х 3 в корне,3 в степени 2 корень из 2,3 в степени 3 корень из 7,3 в степени 3 под корнем,3 в степени минус корень из 3,3 корень 1,3 корень из 10 в 6 степени,3 корень из 3 как решать,3 корня из 2 в 3 степени,3 корня из 3 как решить,3 под корнем в 3 степени,3 степень корня из 3,4 корень 3 2,вычислить корень 3 степени из 3,вычислить корень третьей степени,как в калькуляторе написать корень 3 степени,как избавиться от степени,как извлечь корень 3 степени,как извлечь корень кубический на калькуляторе,как на калькуляторе посчитать корень 3 степени,как написать корень 3 степени в калькуляторе,как перевести корень в число,как посчитать корень 3 степени на калькуляторе,как посчитать корень кубический на калькуляторе,как решать степень под корнем,калькулятор корень 3 степени,калькулятор корень кубический,калькулятор кубический корень,калькулятор кубического корня,квадратный корень 3 умножить на квадратный корень 3,квадратный корень из 3 в 3 степени,квадратный корень из 6 в 6 степени,квадратный корень кубический корень,корень 3,корень 3 1,корень 3 в степени 2,корень 3 в степени 8 в степени 3,корень 3 степени знак,корень 3 степени из 3 равен,корень 3 степени из 3 чему равен,корень 3 степени из 3375,корень в 6 степени из 5 корень,корень в 9 степени из 512,корень в степени 3 из 8,корень в третьей степени из трех,корень в третьей степени на корень в третьей степени,корень знак третьей степени,корень из 1 2 в 3 степени,корень из 1 3,корень из 10 3 степени,корень из 2 в 3 степени,корень из 2 в 3 степени 1,корень из 2 в минус 2 степени,корень из 2 третьей степени,корень из 3 в степени 8,корень из 4 в 3 степени,корень из 8 в степени 3,корень из трех в степени корень из трех,корень квадратный из 6 в 6 степени,корень квадратный корень кубический,корень кубический как записать в калькулятор,корень кубический на калькуляторе,корень третьей степени,корень третьей степени из 1,корень третьей степени из 3 корень третьей степени из 2,корень третьей степени извлечь,корень третьей степени минус корень третьей степени,корень третьей степени на корень третьей степени из,корни третьей степени,кубический корень из 2 кубический корень из 5,кубический корень рассчитать,рассчитать кубический корень,степень 3 корень из 3,степень 3 корня из 3,тройной корень из числа,чему равен корень 3 степени из 3. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 2 в степени корень из 3. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, 10 в корне).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 1 2 в степени корень из 3 Онлайн?

Решить задачу 1 2 в степени корень из 3 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

. Квадратный корень из степени.

Рас­смот­рен­ные свой­ства ши­ро­ко ис­поль­зу­ют­ся в раз­лич­ных за­да­чах.

Решим несколь­ко при­ме­ров.

1. .

Ко­неч­но, в дан­ном при­ме­ре можно было про­сто вы­чис­лить
квад­ра­ты ука­зан­ных чисел, а затем по­счи­тать их раз­ность. Од­на­ко
пред­ло­жен­ный нами спо­соб ре­ше­ния уни­вер­саль­ный. А под­счёт «в
лоб» ста­нет невоз­мож­ным для боль­ших чисел.

Пре­жде, чем ре­шать сле­ду­ю­щий при­мер, рас­смот­рим одну из самых
рас­про­стра­нён­ных и гру­бей­ших оши­бок, ко­то­рую часто
до­пус­ка­ют при ра­бо­те с квад­рат­ны­ми кор­ня­ми.

Утвер­жде­ние:  – НЕВЕР­НО!!!

В ка­че­стве под­твер­жде­ния рас­смот­рим сле­ду­ю­щий при­мер:

, а не: . Как видим, при­ме­не­ние непра­виль­ной фор­му­лы при­во­дит к непра­виль­ным ре­зуль­та­там.

2.  .

3. .

4. 

Или: .

Итак, мы рас­смот­ре­ли свой­ства квад­рат­но­го корня из
неот­ри­ца­тель­но­го числа, до­ка­за­ли эти свой­ства, а также
на­учи­лись при­ме­нять их для ре­ше­ния раз­лич­ных при­ме­ров.

На сле­ду­ю­щем уроке мы на­учим­ся ре­шать раз­лич­ные более слож­ные за­да­чи с по­мо­щью этих свойств

.                                                                Практическое задание на тему «Квадратный корень из степени»

3. Как только ты прорешаешь достаточное количество примеров, то надобность в ней автоматически отпадет.
   Попробуй самостоятельно извлечь квадратный корень в следующих выражениях:

   1. 0–√=?
4. √​0​​​=?;
5. 64−−√=?
6. √​64​​​=?;
7. 121−−−√=?
8. √​121​​​=?;
9. 289−−−√=?
10. √​289​​​=?;
    Ну как, получилось? Теперь давай посмотрим такие примеры:
11. 0,0196−−−−−−√=?
12. √​0,0196​​​=?;
13. 0,0961−−−−−−√=?
14. √​0,0961​​​=?;
15. 0,0144−−−−−−√=?
7. √​0,0144​​​=?.

Ответы:

1. 0
16. 0;
17. 8
18. 8;
19. 11
20. 11;
21. 17
22. 17;
23. 0,14
24. 0,14;
25. 0,31
26. 0,31;
27. 0,12
7. 0,12.

 Свойства арифметического квадратного корня

Теперь ты знаешь, как извлекать корни и пришло время узнать о свойствах арифметического квадратного корня. Их всего 3:

• умножение;
• деление;
• возведение в степень.

Их ну просто очень легко запомнить с помощью этой таблицы и, конечно же, тренировки:

​​​√​ab​​​=​​​√​a​​​⋅​​​√​b​​​, если a≥0 , b≥0

​​​√​​b​​a​​​​​=​​​​√​b​​​​​​​​√​a​​​​​, если a≥0 , b>0

(√​a​​​)​n​​=(√​a​n​​​​​)​​​, при a≥0

Попробуем решить по несколько примеров на каждое свойство!

Умножение корней

Взглянул еще раз на табличку… И, поехали!

Начнем с простенького:

5–√⋅3–√=15−−√

√​5​​​⋅√​3​​​=√​15​​​

2–√⋅6–√=12−−√

√​2​​​⋅√​6​​​=√​12​​​

Минуууточку. 12

12 это 4⋅3

4⋅3, а это значит, что мы можем записать вот так:

2–√⋅6–√=12−−√=4⋅3−−−√=4–√⋅3–√=23–√

√​2​​​⋅√​6​​​=√​12​​​=√​4⋅3​​​=√​4​​​⋅√​3​​​=2√​3​​​

Усвоил? Вот тебе следующий:

4–√⋅6–√=2⋅6–√=26–√

√​4​​​⋅√​6​​​=2⋅√​6​​​=2√​6​​​

Корни из получившихся чисел ровно не извлекаются? Не беда – вот тебе такие примеры:

2–√⋅8–√=16−−√=4

√​2​​​⋅√​8​​​=√​16​​​=4

12−−√⋅3–√=36−−√=6

√​12​​​⋅√​3​​​=√​36​​​=6

А что, если множителей не два, а больше? То же самое! Формула умножения корней работает с любым количеством множителей:

5–√⋅3–√⋅2–√=10⋅3−−−−√=30

√​5​​​⋅√​3​​​⋅√​2​​​=√​10⋅3​​​=30

Теперь полностью самостоятельно:

1. 4–√⋅6–√⋅5–√

3. √​32​​​⋅√​2​​​

Ответы:

1. 4–√⋅6–√⋅5–√=4⋅6⋅5−−−−−−√=120−−−√=4⋅30−−−−√=230−−√

√​32​​​⋅√​2​​​=√​32⋅2​​​=√​64​​​=8.

VII. Самостоятельная работа

(слайд 9)

А) Запишите числа : 0,25 ; 7; -4; ; 0; 6

Подчеркните те числа, из которых можно точно извлечь квадратный корень

Б) Чему равен ; ; ;

В) Вычислите: -+11,5; *

Г) Имеет ли смысл выражение: -;

Взаимная проверка (слайд 10)

Не ошибается тот, кто ничего не делает. Не бойтесь ошибаться, бойтесь повторять ошибки.

VII. Работа по учебнику №305 (дополнительно)

VIII. Итог урока

Вы выполняли задания и какие выводы вы сделали для себя?

(Беречь здоровье, избавляться от вредных привычек, правильно
питаться) Если нет дурных привычек, так подумайте стоит ли их заводить?

IX. Домашнее задание

(слайд 11)

П.12, д/м С-12 стр 66 (5.7.8.)

Любой урок, любая встреча
Всех вкладов на земле ценней,
Ведь каждый школьный миг отмечен
Неповторимостью своей.

Пределы с иррациональностями.3-8}=\frac{5}{384}$.

Пример №6

Найти $\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[5]{3x-5}-1}{\sqrt[3]{3x-5}-1}$.

Решение

Так как $\lim_{x\to 2}(\sqrt[5]{3x-5}-1)=0$ и $\lim_{x\to 2}(\sqrt[3]{3x-5}-1)=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $\frac{0}{0}$. В таких ситуациях, когда выражения под корнями одинаковы, можно использовать способ замены. Требуется заменить выражение под корнем (т.е. $3x-5$), введя некоторую новую переменную. Однако простое использование новой буквы ничего не даст. Представьте, что мы просто заменили выражение $3x-5$ буквой $t$. Тогда дробь, стоящая под пределом, станет такой: $\frac{\sqrt[5]{t}-1}{\sqrt[3]{t}-1}$. Иррациональность никуда не исчезла, – лишь несколько видоизменилась, что нисколько не облегчило задачу.

Здесь уместно вспомнить, что корень может убрать лишь степень. Но какую именно степень использовать? Вопрос не тривиален, ведь у нас два корня. Один корень пятого, а другой – третьего порядка. Степень должна быть такой, чтобы одновременно убрать оба корня! Нам нужно натуральное число, которое одновременно делилось бы на $3$ и на $5$.m}, \quad a > 0, \quad n \in \mathbb{N}\quad (n \ge 2),\quad m \in \mathbb{Z} $$

5 копеек = 50 копеек

$$5\text{ копеек} = \sqrt{25\text{ копеек}} = \sqrt{\frac 1 4\text{ рубля}} = \frac 1 2\text{ рубля} = 50\text{ копеек}$$

Свойства корней

$\sqrt{a}$ существует только при $a \ge 0 $

$\sqrt[2k]{a}$ существует только при $a \ge 0, ~ k \in \mathbb{N}; $

$\sqrt[2k+1]{a}$ существует при любых значениях $a$

Для нечетных степеней:

Для четных степеней:

Учебники:
алгебра 7 класс
алгебра 10 класс — Корни. Степень с дробным показателем

День квадратного корня

День квадратного корня — праздник, отмечаемый девять раз в столетие: в день, когда и число, и порядковый номер месяца являются квадратными корнями из двух последних цифр года (например, 2 февраля 2004 года: 02-02-04). Впервые этот праздник отмечался 9 сентября 1981 года (09-09-81). Главным блюдом на «праздничном столе» обычно являются вареные кубики из корнеплодов и выпечка в форме математического знака квадратного корня.

Праздник отмечается всегда в одни и те же дни:

1 января хх01 года
2 февраля хх04 года
3 марта хх09 года
4 апреля хх16 года
5 мая хх25 года
6 июня хх36 года
7 июля хх49 года
8 августа хх64 года
9 сентября хх81 года

Когда будет ближайший день квадратного корня?
Кстати, День сурка отмечается 2 февраля.

Квадратный корень

Математики на каждое действие стараются найти противодействие. Есть сложение — есть и вычитание. Есть умножение — есть и деление. Есть возведение в квадрат… Значит есть и извлечение квадратного корня!

Как извлечь (или посчитать) корень квадратный из 4? Нужно просто сообразить: какое число в квадрате даст нам 4? Да конечно же 2:
$$ \sqrt4=2 $$

А сколько будет квадратный корень из 9? из 1? из нуля?

Сам значок называется красивым словом «радикал».

Возвести в квадрат можно любое число без особых проблем. Умножить число само на себя столбиком — да и все дела. А вот для извлечения корня такой простой и безотказной технологии нет. Приходится подбирать ответ и проверять его на попадание возведением в квадрат.

Этот сложный творческий процесс — подбор ответа — сильно упрощается, если вы помните квадраты популярных чисел. Как таблицу умножения. Если, скажем, надо умножить 4 на 6 — вы же не складываете четверку 6 раз? Сразу выплывает ответ 24. Хотя, не у всех он выплывает, да…

Для свободной и успешной работы с корнями достаточно знать квадраты чисел от 1 до 20. Причём туда и обратно. Т.е. вы должны легко называть как, скажем, 11 в квадрате, так и корень квадратный из 121. Чтобы добиться такого запоминания, есть два пути. Первый — выучить таблицу квадратов. Это здорово поможет решать примеры. Второй — решать побольше примеров. Это здорово поможет запомнить таблицу квадратов.

Из каких чисел можно извлекать квадратные корни? Да почти из любых. Проще понять, из чего нельзя их извлекать.

Попробуем вычислить вот такой корень:
$$ \sqrt{-4} = ? $$
Для этого нужно подобрать число, которое в квадрате даст нам -4. Подбираем.

Что, не подбирается? 2² даёт +4. (-2)² даёт опять +4! Вот-вот… Нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дадут нам отрицательное число! Хотя я такие числа знаю. Но вам не скажу. Поступите в институт — сами узнаете.

Такая же история будет с любым отрицательным числом.

Выражение, в котором под знаком квадратного корня стоит отрицательное число — не имеет смысла! Это запретная операция. Такая же запретная, как и деление на ноль.

Квадратные корни из отрицательных чисел извлечь нельзя!

Корень квадратный из двух — это число, которое при возведении в квадрат даст нам двойку. Только число это совсем неровное… Вот оно:
$$ \sqrt2 = 1{,}4142135 \dots $$

Что интересно, эта дробь не кончается никогда… Такие числа называются иррациональными. В квадратных корнях это — самое обычное дело. Кстати, именно поэтому выражения с корнями называют иррациональными. Понятно, что писать всё время такую бесконечную дробь неудобно. Поэтому вместо бесконечной дроби так и оставляют: $ \sqrt2$.

Конечно, если корень из числа извлекается ровно, вы обязаны это сделать. Ответ задания в виде, например $ x = \sqrt{16}$ никто не оценит… Надо корень посчитать и написать $х = 4$.

А вот $ x = \sqrt{11}$ вполне себе полноценный ответ.

И, конечно, надо знать на память приблизительные значения:
$$ \sqrt{2} = 1{,}4\\
\sqrt{3} = 1{,}7$$

Это знание здорово помогает оценить ситуацию в сложных заданиях.

Арифметический квадратный корень

Для начала опять извлечём квадратный корень их четырёх. Какое число даст в квадрате 4? Два.

Верно. Два. Но ведь и минус два даст в квадрате 4… А между тем, ответ $\sqrt4=2$ правильный, а ответ $\sqrt4=-2$ грубейшая ошибка. Вот так.

Так в чём же дело?

Действительно, (-2)² = 4. И под определение корня квадратного из четырёх минус два вполне подходит… Это тоже корень квадратный из четырёх.2 = 5$$
Уравнение простое, пишем ответ (как учили):
$$ x = \pm \sqrt5$$
Такой ответ (совершенно правильный, кстати) — это просто сокращённая запись двух ответов:
$ x = + \sqrt5$ и $ x = — \sqrt5$. Сам корень — число неотрицательное! А знаки — это результат решения уравнения. Ведь при решении любого уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат. В наше уравнение подходит корень из пяти (положительный!) как с плюсом, так и с минусом.

• Если вы просто извлекаете квадратный корень из чего-либо, вы всегда получаете один неотрицательный результат.

• Но если вы решаете какое-нибудь квадратное уравнение, то всегда получается два ответа (с плюсом и минусом) потому, что это — решение уравнения.

См. также Свойства квадратных корней

Доказательство иррациональности некоторых квадратных корней

http://janka-x.livejournal.com/159823.html

статья Л.2$ оканчиваются нулем. Это единственная общая цифра наборов (2) и (3). Но в этом случае каждое из чисел m и n должно делиться на 5, а это противоречит несократимости дроби $m/n$.

Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше допущение неверно, и число $\sqrt2$ — иррациональное.

Аналогично и легко доказывается иррациональность, к примеру, $\sqrt3$ или $\sqrt7$.

Ноль в степени ноль

Ноль в любой степени = 0.

Любое число в нулевой степени = 1.

Ноль в степени ноль?

Это как в известном парадоксе: если снаряд, способный пробить любую броню, столкнётся с бронёй, которую не способен пробить ни один снаряд, что получится?

см также Zero to the power of zero — Wikipedia

Как возводить в иррациональную степень

Как возводить в иррациональную степень | Ботай со мной #017 | Борис Трушин + — YouTube

Объясняет почему ввели степени с целым отрицательным показателем.

Далее захотелось обобщить на нецелые числа.x = -1$ На множестве целых чисел есть единственное решение -1. На множестве вещественных чисел решений нет, так операция возведения в степень определена только для положительных оснований.

mat/algebra/radical.txt · Последние изменения: 2019/06/04 01:16 — kc

Корень n-ой степени

Вопросы
занятия:

·  повторить, как извлекается корень n-ой
степени из числа;

·  повторить свойства арифметического корня n-ой
степени;

·  показать, как можно применить свойства корня
при решении задач.

Материал
урока

Определение.

Корнем n-ой
степени из числа а называется такое число, энная
степень которого равна А.

Говоря
о корне энной степени нужно понимать, что показатель корня n является
натуральным числом.

Вам хорошо известен такой частный случай корня n-ой
 степени,
как корень второй степени, то есть квадратный корень из числа. Показатель корня
в этом случае не пишут.

Определение.

Квадратным корнем из числа
называют такое число, квадрат которого равен числу а.

Например,

Ещё одним частным случаем является корень третьей
степени, мы привыкли называть его корнем кубическим.

Например,

Вы могли задаться вопросом, почему.

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим два случая
корня энной степени: где показатель корня является нечётным числом и где
показатель корня является чётным числом.

Но чтобы избавиться от неоднозначности в вычислениях,
договорились неотрицательный корень n-ой степени обозначать как «корень n-ой
 степени из а». А отрицательный как «минус корень n-ой степени
из а».

Исходя из этой договорённости и становится понятно,
что

Из рассмотренных случаев можем сделать заключение, что:

Пример.

Вернёмся к определению корня энной степени

В первую запись вместо можно подставить:

Тогда получаем свойство, которым очень удобно
пользоваться при вычислении корня энной степени.

Но ведь корень чётной степени мы договорились считать
числом неотрицательным. Поэтому чтобы не возникало путаницы при вычислении
корней, вместо этого свойства мы пользовались двумя:

Пример.

Вы видите, что корень энной степени из любого неотрицательного
числа а имеет смысл при любых Эн и принимает неотрицательные значения.
Такой корень называют арифметическим корнем n-ой степени из числа
а.

Любой корень можно выразить через арифметический.

Корни чётных степеней всегда являются арифметическими,
ведь подкоренное выражение у них является числом неотрицательным, и под их
значениями мы условились понимать неотрицательные числа.

Это же касается корней нечётных степеней из
неотрицательных чисел.

А вот, например, корни нечётных степеней из
отрицательных чисел можно записать так, при этом вынеся минус перед корнем.

Таким образом, при работе с любым корнем энной степени
можно всегда перейти к рассмотрению арифметического корня.

Также при работе с корнями энной степени очень важно
знать ещё несколько свойств. Напомним их.

Все эти свойства пригодятся вам при работе с
выражениями, содержащими знак корня.

Итоги урока

На этом уроке мы с вами вспомнили, как извлекать
корень n-ой степени из числа. Напомнили, что корень n-ой степени
из неотрицательного числа считают числом неотрицательным, и называют
«арифметическим корнем n-ой степени».

Так корень чётной степени из неотрицательного числа
всегда является корнем арифметическим и поэтому равен числу неотрицательному. А
корня чётной степени из отрицательного числа не существует. Корень нечётной
степени из неотрицательного числа равен числу неотрицательному. Например,
корень третьей степени из двадцати семи равен трём.

Ну, а корень нечётной степени из отрицательного числа
равен числу отрицательному. Его нужно выражать с помощью арифметического корня n-ой
степени, при этом вынося минус из-под знака корня. Также мы напомнили свойства
арифметического корня энной степени и применили их на конкретных примерах.

Решающие многочлены

Полином выглядит так:

пример полинома

Решение

«Решить» — значит найти «корни» …

… «корень» (или «ноль») — это когда функция равна нулю :

Между корнями функция либо полностью выше,
, либо полностью ниже оси x

Пример: −2 и 2 — корни функции x

² — 4

Давайте проверим:

• , когда x = −2, тогда x ² — 4 = (−2) ² — 4 = 4 — 4 = 0
• , если x = 2, то x ² — 4 = 2 ² — 4 = 4 — 4 = 0

Как, , мы решаем многочлены? Это зависит от степени !

степень

Первый шаг решения многочлена — найти его степень.

Степень полинома с одной переменной …

… наибольший показатель этой переменной.

Когда мы знаем степень, мы также можем дать многочлену имя:

Степень	Имя	Пример	График выглядит как
0	Константа	7
1	линейная	4x + 3
2	Квадратичный	х 2 −3x + 2
3	Кубический	2x 3 −5x 2
4	Quartic	х 4 + 3х − 2	…
и т. Д.	…	…	…

Как решить

Итак, теперь мы знаем степень, как решить?

• Прочтите, как решить линейные многочлены (степень 1), используя простую алгебру.
• Прочитайте, как решить квадратичные многочлены (степень 2), немного поработав,
• Может быть трудно решить уравнения кубической (степень 3) и четвертой (степень 4),
• И кроме того, может быть невозможно, , напрямую решать многочлены.

Итак, что нам делать с теми, которые мы не можем решить? Попробуйте решить их по частям!

Если мы найдем один корень, мы можем затем уменьшить многочлен на одну степень (пример ниже), и этого может быть достаточно, чтобы решить весь многочлен.

Вот несколько основных способов найти корни.

1. Основы алгебры

Мы можем решить, используя основную алгебру:

Пример:

2x + 1

2x + 1 — линейный многочлен:

График y = 2x + 1 представляет собой прямую линию

Он линейный, поэтому корень один.

Решите по алгебре:

«Корень» — это когда y равен нулю: 2x + 1 = 0

Вычтем 1 с обеих сторон: 2x = −1

Разделим обе части на 2: x = −1/2

И вот решение:

х = -1/2

(Вы также можете это увидеть на графике)

Мы также можем решить квадратичные многочлены, используя базовую алгебру (прочтите эту страницу для объяснения).

2. Опытным путем или просто догадками.

Всегда полезно посмотреть, сможем ли мы сделать простой факторинг:

Пример: x

³ + 2x ² −x

Это кубический размер … но подождите … мы можем вычесть «x»:

x ³ + 2x ² −x = x (x ² + 2x − 1)

Теперь у нас есть один корень (x = 0), а то, что осталось, является квадратичным, и мы можем точно решить его.

Или мы можем заметить знакомую закономерность:

Пример: x

³ −8

Опять же, это куб… но это еще и «разница двух кубиков»:

x ³ −8 = x ³ −2 ³

Итак, мы можем превратить его в это:

x ³ −8 = (x − 2) (x ² + 2x + 4)

Имеется корень в точке x = 2, потому что:

(2−2) (2 ² + 2 × 2 + 4) = (0) (2 ² + 2 × 2 + 4)

И затем мы можем решить квадратичную x ² + 2x + 4, и мы закончили

3.Графически.

Изобразите полином и посмотрите, где он пересекает ось x.

Мы можем ввести многочлен в Function Grapher, а затем увеличить масштаб, чтобы найти, где он пересекает ось x.

Построение графиков — хороший способ найти приблизительные ответы, и нам также может повезти и мы найдем точный ответ.

Внимание: прежде чем приступить к построению графика, вы должны действительно знать, как ведут себя полиномы, чтобы найти все возможные ответы!

Факторы

Полезно знать: Когда многочлен разложен на множители следующим образом:

f (х) = (х-а) (х-б) (х-с)…

Тогда a, b, c и т. Д. — это корни !

Итак, линейные факторы и корни связаны, мы знаем один и можем найти другой.

(Подробности см. В Теореме о множителях.)

Пример: f (x) = (x

³ + 2x ² ) (x − 3)

Мы видим «(x − 3)», и это означает, что 3 является корнем (или «нулем») функции.

Уверены?

Что ж, поставим «3» вместо x:

f (x) = (3 ³ + 2 · 3 ² ) (3−3)

f (3) = (3 ³ + 2 · 3 ² ) (0)

Да! f (3) = 0, поэтому 3 — корень.

Как проверить

Нашли рут? Проверь!

Просто поместите корень вместо «x»: многочлен должен быть равен нулю.

Пример: 2x

³ −x ² −7x + 2

Многочлен имеет степень 3, и его может быть сложно решить. Итак, давайте сначала построим график:

Кривая пересекает ось x в трех точках, и одна из них может находиться в 2 .Мы можем легко проверить, просто поставьте «2» вместо «x»:

f (2) = 2 (2) ³ — (2) ² −7 (2) +2
= 16−4−14 + 2
= 0

Да! f (2) = 0 , значит, мы нашли корень!

Как насчет того, где он пересекает около −1,8 :

f (−1,8) = 2 (−1,8) ³ — (- 1,8) ² −7 (−1,8) +2
= −11,664−3,24 + 12,6 + 2
= −0,304

Нет, не равно нулю, поэтому −1.8 не будет рутом (но может и близко!)

Но мы, , действительно, обнаружили один корень, и мы можем использовать его для упрощения многочлена, например,

Пример (продолжение): 2x

³ −x ² −7x + 2

Итак, f (2) = 0 является корнем … это означает, что мы также знаем множитель:

(x − 2) должно быть множителем 2x ³ −x ² −7x + 2

Затем разделите 2x ³ −x ² −7x + 2 на (x − 2), используя полиномиальное деление в длину, чтобы найти:

2x ³ −x ² −7x + 2 = (x − 2) (2x ² + 3x − 1)

Итак, теперь мы можем решить 2x ² + 3x − 1 как квадратное уравнение, и мы будем знать все корни.

Последний пример показал, насколько полезно найти только один корень. Помните:

Если мы найдем один корень, мы можем затем уменьшить многочлен на одну степень , и этого может быть достаточно, чтобы решить весь многочлен.

Как далеко влево или вправо

При поиске корней, , как далеко мы должны идти влево и вправо от нуля?

Есть способ сказать, , и нужно сделать несколько вычислений, но все это простая арифметика.Прочтите Границы нулей, чтобы узнать все подробности.

У нас есть все корни?

Существует простой способ узнать , сколько существует корней . В фундаментальной теореме алгебры говорится:

Многочлен степени n …
…
имеет n корней (нулей)
, но нам может потребоваться использовать комплексные числа

Итак: количество корней = степень полинома .

Пример: 2x

³ + 3x — 6

Степень равна 3 (поскольку наибольший показатель степени равен 3), поэтому:

Всего корней 3 .

Но некоторые корни могут быть сложными

Да, действительно, некоторые корни могут быть комплексными числами (т.е. иметь мнимую часть), и поэтому не будут отображаться как простое «пересечение оси x» на графике.

Но есть интересный факт:

Сложные корни всегда идут парами !

Итак, мы получаем либо без комплексных корней, либо 2 комплексных корней, либо 4 и т. Д. … Никогда не является нечетным числом.

Это означает, что мы узнаем это автоматически:

Степень	Корни	Возможные комбинации
1	1	1 Настоящий корень
2	2	2 реальных корня, или 2 комплексных корня
3	3	3 действительных корня, или 1 действительный и 2 комплексных корня
4	4	4 действительных корня, или 2 действительных и 2 комплексных корня, или 4 комплексных корня
и т. Д.		и т. Д.!

Положительные или отрицательные корни?

Существует также особый способ определить, сколько корней отрицательных или положительных , называемого Правилом знаков, о котором вы, возможно, захотите прочитать.

Кратность корня

Иногда фактор появляется более одного раза. Мы называем это Кратность :

Кратность — это частота, с которой определенный корень участвует в факторинге.

Пример: f (x) = (x − 5)

³ (x + 7) (x − 1) ²

Это можно было бы более подробно записать так:

f (x) = (x − 5) (x − 5) (x − 5) (x + 7) (x − 1) (x − 1)

(x − 5) используется 3 раза, поэтому кратность корня «5» равна 3 , аналогично (x + 7) появляется один раз, а (x − 1) появляется дважды.Итак:

• корень +5 имеет кратность 3
• корень −7 имеет кратность 1 («простой» корень)
• корень +1 имеет кратность 2

Q: Почему это полезно?
A: Это заставляет график вести себя особым образом!

Когда мы видим такой множитель, как (x-r) ⁿ , «n» — это кратность, а

• даже кратность просто касается оси в точке «r» (и в противном случае остается на одной стороне оси x)
• Нечетная кратность пересекает ось в точке «r» (изменяется от одной стороны оси x к другой)

Это видно на графике:

Пример: f (x) = (x − 2)

² (x − 4) ³

(x − 2) имеет четную кратность , поэтому он просто касается оси в точке x = 2

(x − 4) имеет нечетную кратность , поэтому он пересекает ось в точке x = 4

Как это:

Сводка

• Мы можем напрямую решать многочлены степени 1 (линейная) и 2 (квадратичная)
• Для степени 3 и выше могут быть полезны графики
• Также полезно:
  • Узнайте, насколько далеко могут быть корни влево или вправо
  • Узнай, сколько корней (по степени)
  • Оценить, сколько может быть сложных, положительных или отрицательных
• Множественность — это то, как часто определенный корень является частью факторинга.

Корни или нули многочленов степени выше 2

13

Фактор теорема

Основная теорема алгебры

Стратегия поиска корней

Теорема о целочисленном корне

Сопряженные пары

Доказательство теоремы о множителях

Доказательство теоремы о целочисленном корне

В ЭТОЙ ТЕМЕ мы увидим, как найти корни многочлена степени больше 2.Это будет зависеть от предыдущей темы: Синтетическое деление.

Мы видели в этой теме то, что называется теоремой о факторах.

Факторная теорема. x — r является множителем полинома P ( x ) тогда и только тогда, когда r является корнем P ( x ).

Это означает, что если многочлен можно разложить на множители, например, следующим образом:

P ( x ) = ( x — 1) ( x + 2) ( x + 3)

то теорема говорит нам, что корни равны 1, −2 и −3.

И наоборот, если мы знаем, что корни многочлена равны −2, 1 и 5, то многочлен имеет следующие множители:

( x + 2) ( x — 1) ( x — 5).

Затем мы могли бы перемножить и узнать многочлен, имеющий эти три корня.

Ниже мы увидим, как доказать факторную теорему.

Задача 1.

a) Используйте теорему о множителях, чтобы доказать: ( x + 1) множитель x ⁵ + 1.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

−1 является корнем из x ⁵ + 1. Для (−1) ⁵ + 1 = −1 + 1 = 0.
Следовательно, согласно теореме о множителях,
[ x — (- 1)] = ( x + 1) является множителем.

б) Используйте синтетическое деление, чтобы найти другой фактор.

Следовательно, x ⁵ + 1 = ( x + 1) ( x ⁴ — x ³ + x ² — x + 1)

Следуя той же процедуре, мы можем доказать:

( x + a ) — коэффициент x ⁵ + a ⁵ ,

и полностью в целом:

( x + a ) является множителем x ⁿ + a ⁿ , где n является нечетным.

Основная теорема алгебры

Следующее называется основной теоремой алгебры:

Многочлен степени n имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.

Это на первый взгляд простое утверждение позволяет сделать вывод:

Многочлен P ( x ) степени n имеет ровно n корень, действительный или комплексный.

Если старший коэффициент P ( x ) равен 1, то теорема о множителях позволяет нам заключить:

P ( x ) = ( x — r _n ) ( x — r _{n — 1} ). . . ( x — r ₂ ) ( x — r ₁ )

Следовательно, многочлен третьей степени, например, будет иметь три корня.А если все они настоящие, то его график будет выглядеть примерно так:

For, три корня — это три интерцепта x .

Примечание: Если представить, что график начинается слева от
y -ось, тогда этот график начинается с ниже оси x . Почему? Потому что в любом полиноме главный член в конечном итоге будет доминировать. Если главный член положительный, а полином равен нечетным градусу, тогда, когда x является большим отрицательным числом , то есть далеко слева от начала координат, тогда нечетная степень отрицательного числа сам по себе отрицательный.График будет ниже оси x .

Что касается многочлена четвертой степени, то у него будет четыре корня. А если все они настоящие, то его график будет выглядеть примерно так:

Здесь крайний левый график — над осью x . Поскольку, когда полином равен , даже градус (и старший коэффициент положительный), тогда четная степень отрицательного числа будет положительным .График будет выше оси x .

Пример 1. Запишите многочлен с целыми коэффициентами, имеющий следующие корни: −1, ¾.

Решение . Поскольку -1 — корень, то ( x + 1) — множитель. Что касается корня, то у нас было бы решение

x	=	3 4
, что подразумевает
4 x	=	3
4 x — 3	=	0

Факторы: (4 x — 3) ( x + 1).

Полином равен 4 x ² + x — 3.

Задача 2. Определите многочлен, корни которого равны −1, 1, 2, и нарисуйте его график.

Факторы: ( x + 1) ( x — 1) ( x — 2). При умножении получается многочлен ( x ² — 1) ( x — 2) =

x ³ — 2 x ² — x + 2.

Вот график:

Пересечение y является постоянным членом 2. В каждом полиноме перехват y является постоянным членом, потому что постоянный член представляет собой значение y , когда x = 0.

Задача 3. Определите многочлен с целыми коэффициентами, корни которых равны −½, −2, −2, и нарисуйте график.

Факторы: (2 x + 1) ( x + 2) ² .При умножении получается многочлен (2 x + 1) ( x ² + 4 x + 4) =

2 x ³ + 9 x ² + 12 x + 4.

Вот график:

−2 — двойной корень. График не пересекает ось x .

Вопрос. Если r является корнем полинома p ( x ), то после деления p ( x ) на x — r , какой остаток следует ожидать?

0.Поскольку r является корнем, тогда x — r — это коэффициент из p ( x ).

Задача 4. Является ли x = 2 корнем этого многочлена:

x ⁶ -3 x ⁵ + 3 x ⁴ -3 x ³ + 3 x ² −3 x + 2?

Используйте синтетическое деление, чтобы разделить многочлен на x — 2, и посмотрите на остаток.

Остаток равен 0. 2 — корень многочлена.

Урок 12

Пример 2. Найдите три корня из

.

P ( x ) = x ³ — 2 x ² — 9 x + 18,

учитывая тот
корень 3.

Решение. Поскольку 3 является корнем из P ( x ), то согласно теореме о множителях x — 3 является множителем. Следовательно, разделив P ( x ) на x — 3, мы можем найти другой квадратичный множитель.

У нас

x 3 — 2 x 2 — 9 x + 18	=	( x 2 + x — 6) ( x — 3)
	=	( x — 2) ( x + 3) ( x — 3)

Три корня: 2, −3, 3.

Опять же, поскольку x — 3 является коэффициентом из P ( x ), остаток равен 0.

Задача 5. Нарисуйте график этого многочлена,

y = x ³ -2 x ² -5 x + 6,

, учитывая, что один корень равен -2.

Поскольку −2 является корнем, тогда ( x + 2) является множителем.Чтобы найти другой, квадратичный множитель, разделите многочлен на x + 2. Обратите внимание, что корень −2 помещается в поле:

У нас

x 3 -2 x 2 -5 x + 6	=	( x 2 -4 x + 3) ( x + 2)
	=	( x — 1) ( x — 3) ( x + 2)

Три корня: 1, 3, −2.Вот график:

Стратегия поиска корней

Что же тогда представляет собой стратегия нахождения корней многочлена степени n > 2?

Нам нужно дать или угадать корень r . Затем мы можем разделить многочлен на x — r и, следовательно, получить коэффициент полинома , который будет на один градус меньше. Если мы сможем найти корень этого фактора, мы сможем продолжить процесс, уменьшая степень каждый раз, пока не достигнем квадратичного значения, которое мы всегда сможем решить.

Вот теорема, которая поможет нам угадать корень.

Теорема о целочисленном корне. Если целое число является корнем многочлена, коэффициенты которого являются целыми числами, а старший коэффициент равен ± 1, то это целое число является коэффициентом постоянного члена.

Мы докажем это ниже.

Эта теорема о целочисленном корне является примером более общей теоремы о рациональном корне:

Если рациональное число r / s является корнем многочлена, коэффициенты которого являются целыми числами, тогда целое число r является множителем постоянного члена, а целое число s является множителем ведущего коэффициента.

Пример 3. Каковы возможные целочисленные корни x ³ — 4 x ² + 2 x + 4?

Ответ. Если есть целые корни, они будут множителями постоянного члена 4; а именно: ± 1, ± 2, ± 4.

Итак, 1 — это корень? Чтобы ответить, мы разделим многочлен на x — 1 и надеемся получить остаток 0.

1	–4	+ 2	+ 4	| 1
	+ 1	–3	— 1
———————————————— ————————————————— ——
1	–3	— 1	+ 3

Остаток не равен 0.1 не является корнем. Давайте попробуем −1:

1	–4	+ 2	+ 4	| -1
	— 1	+ 5	–7
———————————————— ————————————————— ——
1	–5	+ 7	–3

Остаток снова не равен 0.Попробуем 2:

1	–4	+ 2	+ 4	| 2
	+ 2	–4	–4
———————————————— ————————————————— ——
1	— 2	— 2	+ 0

Да! 2 — это корень.У нас

x ³ — 4 x ² + 2 x + 4 = ( x ² — 2 x — 2) ( x — 2)

Теперь мы можем найти корни квадратичного, завершив квадрат. Как мы обнаружили в теме 11:

x = 1 ±

Следовательно, три корня:

1 +, 1 -, 2.

Проблема 6.

а) Каковы возможные целые корни этого многочлена?

x ³ -2 x ² -3 x + 1

± 1. Это единственные факторы постоянного члена.

б) Имеет ли этот многочлен целые корни?

Нет, потому что ни 1, ни -1 не сделают этот многочлен равным 0. Синтетическое деление на оба ± 1 не дает остатка 0.

Задача 7. Разложите этот многочлен на произведение линейных множителей.

x ³ + 2 x ² -5 x -6

Мы должны найти корни. Возможные целочисленные корни: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Синтетическое деление показывает, что -1 — это корень.

Следовательно,

x 3 + 2 x 2 — 5 x — 6	=	( x + 1) ( x 2 + x — 6)
	=	( x + 1) ( x + 3) ( x −2)

Сопряженные пары

Если иррациональное число a + является корнем, то его сопряженное число a — также является корнем.(См. «Навыки алгебры», Урок 28.) И если комплексное число a + bi является корнем, то и его сопряженное число a — bi .

Пример 4. Многочлен P ( x ) имеет следующие корни:

−2, 1 +, 5 и .

Какой наименьший градус может иметь P ( x )?

Ответ .5. Ибо, поскольку 1 + — корень, то и сопряженный с ним 1 -. И поскольку 5 i является корнем, то же самое и сопряженное с ним, −5 i .

P ( x ) имеет как минимум эти 5 корней:

−2, 1 ±, ± 5 и .

Задача 8. Построить многочлен со следующим корнем:

а) 2 +

Поскольку 2 + является корнем, то 2 — также. Следовательно, согласно теореме о сумме и произведении корней, они являются корнями x ² — 4 x + 1.

Тема 10

б) 2-3 и

Поскольку 2-3 i — корень, то 2 + 3 i — тоже. Опять же, согласно теореме суммы и произведения корней, они являются корнями x ² — 4 x + 13.

См. Тему 10, Пример 7.

Задача 9. Построить многочлен с корнями 1 и 5 i .

Поскольку 5 i является корнем, то также и его сопряженный элемент, −5 i . Они будут корнями квадратичного множителя многочлена. Сумма этих корней равна 0. Произведение равно 25. Следовательно, квадратичный коэффициент равен ( x ² + 25).

Далее, поскольку 1 — корень, тогда ( x — 1) — множитель. Следовательно, многочлен

( x — 1) ( x ² + 25) = x ³ — x ² + 25 x — 25.

Задача 10. Пусть f ( x ) = x ⁵ + x ⁴ + x ³ + x ² — 12 x — 12. Один корень равно, а другой — −2 i .

Если f ( x ) имеет целочисленные корни, сколько их может быть?

Один. Это многочлен 5-й степени, имеющий 5 корней. Два и -.И два — 2 i и −2 i .

Задача 11. Может ли многочлен 5-й степени иметь 2 действительных корня и 3 мнимых корня?

Нет это не так. Поскольку мнимые корни всегда попадают в пары, то, если есть какие-то мнимые корни, их всегда будет четное число.

Рассмотрим график многочлена 5-й степени с положительным старшим членом. Когда x — большое отрицательное число, график находится ниже оси x .Когда x — большое положительное число, оно находится выше оси x . Следовательно, график должен хотя бы один раз пересечь ось x . Теперь вы можете нарисовать график так, чтобы он пересекал ось x ровно дважды? Нет, ты не можешь. Многочлен нечетной степени должен иметь нечетное число действительных корней.

Доказательство теоремы о множителях

x — r является множителем полинома P ( x )
тогда и только тогда, когда
r является корнем P ( x ).

Во-первых, если ( x — r ) является множителем P ( x ), тогда P ( r ) будет иметь множитель ( r — r ), который равно 0. Это сделает P ( r ) = 0. Это означает, что r является корнем.

И наоборот, если r является корнем из P ( x ), тогда P ( r ) = 0. Но согласно теореме об остатках, P ( r ) = 0 означает что после деления P ( x ) на x — r , остаток равен 0. x — r , следовательно, это коэффициент P ( x ).

Это то, что мы хотели доказать.

Доказательство теоремы о целочисленном корне

Если целое число является корнем многочлена, коэффициенты которого являются целыми числами, а старший коэффициент равен ± 1, то это целое число является коэффициентом постоянного члена.

Пусть целое число r будет корнем этого многочлена:

P ( x ) = ± x ⁿ + a _{n −1} x ^{n −1} + a ₋₁

n x ^{n −2} +.. . + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ ,

, где и — целые числа. Тогда, поскольку r является корнем,

P ( r ) =
± r ⁿ +
a _{n −1} r ^{n −1} + a _{n −2} r ^{n −2} +.. . + a ₂ r ² + a ₁ r + a ₀ = 0.

Преобразуйте постоянный член в ₀ и множите на из оставшихся членов:

r (± r ^{n −1} + a _{n −1} r ^{n −2} +. + a ₂ r + a ₁ ) = — a ₀

Теперь все и являются целыми числами; поэтому выражение в скобках является целым числом, которое для удобства назовем — q:

r (−q) = — a ₀ ,

или,

rq = a ₀ .

Таким образом, постоянный член a ₀ может быть разложен на множители как rq , если r и q являются целыми числами. Таким образом, в этих условиях r является множителем постоянного члена.

Это то, что мы хотели доказать.

Следующая тема: Множественные корни

Содержание | Дом

---

Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.

---

Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

предварительное вычисление алгебры — Как вы решаете уравнения любой степени?

В финансовой математике вы рассматриваете проблему сложных процентных ставок (за период $ \ mathbf {n} $ ), где $ 100x $ — процентная ставка или доходность, а $ \ mathbf {x} $ относительная скорость начисления за период .Когда $ n $ — это количество периодов начисления сложных процентов в год, $ \ mathbf {nx} $ — это номинальная годовая процентная ставка, а $ \ mathbf {f (x)} $ — безразмерная величина , сравнивая с ростом по сравнению с $. \ mathbf {n} доллар период с ростом только за один период, и применим, например, к ипотеке с фиксированной процентной ставкой, когда $ n = 12 $. В этом контексте $ \ mathbf {x \ cdot f (x)} $ — это эквивалентная годовая ставка, также известная как годовая процентная ставка ( APR ), годовая эквивалентная ставка ( AER ) и другие различные комбинации
$$
\ text {годовой / -}
\ quad
\ text {эффективный / эквивалент / -}
\ quad
\ text {процент / процент / -}
\ quad
\ text {ставка / доход}
$$
( и.е. около 42 различных формулировок, если мы потребуем хотя бы одно из слов «годовой», «эффективный» или «эквивалентный» — чтобы прояснить, о чем мы говорим — но позвольте их порядку поменять местами при использовании двух .

Обычно в знаменателе данной вам задачи нет $ x $, что делает ее легко решаемой с помощью логарифмов и соотношения будущих и настоящих значений. Большинство финансовых калькуляторов позволяют решить эту проблему напрямую. Конечно, есть и хорошие веб-ресурсы.2 (x + 1) \ вправо)
\ cr
}
$$
Первая строка дает ту же форму, которую вы указали в качестве отправной точки для этой проблемы, то есть относительный рост от $ n $ периодов начисления сложных процентов по сравнению с ростом от одного периода. Вторая формула дает выражение для $ f (x) $ как монического многочлена степени $ n-1 $ с множителями различных степеней $ x $, известными как биномиальные коэффициенты.

Вторая строка дает некоторые альтернативные представления, которые имеют большое значение в комплексной плоскости и в элементарной теории чисел.{\ frac {2 \ pi ik} {n}} — 1 $ составляет угол $ \ frac {2 \ pi ik} {n} $ с положительной действительной осью, поскольку он проходит радиально от $ -1 $. Формула на правой стороне говорит, что эти корни можно сгруппировать по знаменателю $ \ frac {k} {n} $ в младших членах.

Третья строка выполняет другое группирование в квадратичные множители, соответствующие парам комплексно сопряженных корней, за исключением линейного множителя $ x + 2 $ для корня в $ -2 $ в случае, если $ n $ четное; этот последний необязательный бит выполняется с выражением
$ \ left \ lfloor \ frac {n} 2 \ right \ rfloor
— \ left \ lfloor \ frac {n-1} 2 \ right \ rfloor
= \ href {http: // ru.{nx} -1} {x} $ для $ x> -1 $. Обе стороны приближаются к $ n $ как $ x \ rightarrow 0 $. Неравенство действительно выполняется для всех $ x> -1 $ и строго для $ x \ ne0 $. Это следует из наблюдения, что $ \ ln (1 + x) $ возрастает и выпукло с касательной $ y = x $ в начале координат.

Определение $ f (0) = n $ (или принятие биномиальной суммы степеней в качестве нашего определения) сделало бы $ f $ непрерывным в $ 0 $, расширяя область до $ (- 1, \ infty) $, поскольку $ f (x ) $ приближается к производной степенной функции со степенью $ n $ как $ x \ rightarrow 0 $.x-1 $ как $ n \ rightarrow \ infty $.

При $ f (0) = 0 $ производная $ f \, ‘(0) = \ frac {n (n-1)} {2} $ существует и непрерывна.

$ f \, ‘(x) = 1 $ для $ n = 2 $.

Решение $ y = f (x) $ для $ x $ при данном $ y $ будет иметь одно решение для $ y> n $ ($ y \ ge n $, если мы допустим $ x = 0 $), и никаких решений для $ у <п $. Существует множество методов поиска корня и несколько специализированных для полиномов. Метод Ньютона, более простой метод деления пополам, комбинация деления пополам и секанса, приводящая к упрощенной версии метода Брента (как указал @JM), или матричный метод, такой как упоминания @NickAlger, могут использоваться для поиска $ x $.{nx} $ в ряду Тейлора, упрощая и используя квадратное уравнение с наименьшими оставшимися членами. )

Наконец, , в вашей проблеме $ n = 8 $, поэтому $ f (x) = y = 11> 8 $ имеет решение $ x \ приблизительно 0,084 $ или 8,93 $%.

Вот пример решения с использованием метода Ньютона и мудреца (онлайн), который верен примерно до десяти знаков после третьей итерации (и примерно до ста после седьмой!):

  n = 8
у = 11
F, f, x = var ('F, f, x')
е = ((1 + х) ^ п - 1) / х
F = х - х * ((1 + x) ^ n - (1 + x * y)) / (1 - (1 + x) ^ (n-1) * (1- (n-1) * x) )
x = 3/2 / n * (sqrt (1 + 8/3 * (y / n - 1)) - 1) # x_0
х = х.n (цифры = 100)
для i в диапазоне (10):
    e = (f (x) - y) .n (digits = 100) # ошибка
    напечатать i, x.n (), e.n ()
    x = (F (x)). n (digits = 100) # следующая оценка
# i x e:
0 0,0776650429449553 -0,452683820096624
1 0,0895542025788610 0,0106779696847534
2 0,08798024252 5,56813083089398e-6
3 0,08400500602 1,51628362736157e-12
4 0,08400500221 1,124405097e-25
5 0,08400500221 6,18311776700343e-52
6 0,08400500221 -1,714481086e-99
7 0,08400500221 0,000000000000000
8 0,08400500221 -2.28597478256455e-100
9 0,08400500221 9.143895820e-100
  

Как найти корни многочлена

Обновлено 8 декабря 2020 г.

Лиза Мэлони

Корни многочлена также называются его нулями, потому что корнями являются значения x , при которых функция равна нуль. Когда дело доходит до фактического поиска корней, в вашем распоряжении несколько методов; Факторинг — это метод, который вы будете использовать чаще всего, хотя графическое отображение также может быть полезным.

Сколько корней?

Исследуйте член наивысшей степени полинома, то есть член с наибольшей степенью. Этот показатель показывает, сколько корней будет иметь многочлен. Итак, если наивысший показатель в вашем полиноме равен 2, у него будет два корня; если наивысший показатель равен 3, у него будет три корня; и так далее.

Поиск корней путем разложения на множители: Пример 1

Самый универсальный способ нахождения корней — это максимально возможное разложение вашего полинома на множители, а затем установка каждого члена равным нулю.В этом будет больше смысла, если вы рассмотрите несколько примеров. Рассмотрим простой многочлен x ² -4 x:

Краткий анализ показывает, что вы можете разложить x на множители из обоих членов многочлена, что дает вам:

x (x — 4)

Обнулить каждый член. Это означает решение двух уравнений:

x = 0

— это первый член, установленный в ноль, и

x — 4 = 0

— второй член, установленный в ноль.

У вас уже есть решение для первого члена. Если x = 0, то все выражение равно нулю. Итак, x = 0 — это один из корней или нулей многочлена.

Теперь рассмотрим второй член и решим относительно x . Если вы добавите 4 к обеим сторонам, вы получите:

x — 4 + 4 = 0 + 4

x = 4

Итак, если x = 4, то второй множитель равен нулю, что означает весь многочлен тоже равен нулю.

Поскольку исходный многочлен был второй степени (старший показатель был равен двум), вы знаете, что у этого многочлена есть только два возможных корня. Вы уже нашли их оба, поэтому все, что вам нужно сделать, это перечислить их:

x = 0, x = 4

Найти корни по факторингу: Пример 2

Вот еще один пример того, как найти корни путем факторизации, попутно используя причудливую алгебру. Рассмотрим многочлен x ⁴ — 16.2 + 4)

А теперь пора найти нули. Быстро становится ясно, что если x = 2, первый множитель будет равен нулю, и, таким образом, все выражение будет равно нулю.

Точно так же, если x = −2, второй множитель будет равен нулю и, следовательно, будет все выражение.

Итак, x = 2 и x = −2 оба являются нулями или корнями этого многочлена.

А как насчет последнего срока? Поскольку у него показатель степени «2», он должен иметь два корня.Но вы не можете разложить это выражение на множители, используя реальные числа, к которым вы привыкли. Вам придется использовать очень продвинутую математическую концепцию, называемую мнимыми числами или, если хотите, комплексными числами. Это далеко выходит за рамки вашей нынешней математической практики, поэтому пока достаточно отметить, что у вас есть два реальных корня (2 и −2) и два мнимых корня, которые вы оставите неопределенными.

Найдите корни с помощью графика

Вы также можете найти или, по крайней мере, оценить корни с помощью графика.Каждый корень представляет собой точку, где график функции пересекает ось x . Итак, если вы построите линию, а затем обратите внимание на координаты x , где линия пересекает ось x , вы можете вставить приблизительные значения этих точек x в свое уравнение и проверить, чтобы увидеть если вы их правильно поняли.

Рассмотрим первый пример, с которым вы работали, для многочлена x ² — 4 x . Если вы нарисуете его внимательно, вы увидите, что линия пересекает ось x в точках x = 0 и x = 4.2-4 (4) = 0

, поэтому x = 4 также является допустимым нулем или корнем для этого многочлена. А поскольку многочлен имел степень 2, вы знаете, что можете перестать искать два корня.

Алгебра — нули / корни многочленов

Показать общее уведомление

Показать мобильное уведомление

Показать все заметки Скрыть все заметки

Это немного заранее, но я хотел сообщить всем, что мои серверы будут проходить техническое обслуживание 17 и 18 мая с 8:00 AM CST до 14:00 PM CST.Будем надеяться, что единственное неудобство будет заключаться в периодическом «потерянном / разорванном» соединении, которое следует исправить, просто перезагрузив страницу. В остальном обслуживание (скрестив пальцы) должно быть «невидимым» для всех.

Пол
6 мая 2021 г.

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 5-2: Нули / корни многочленов

Мы начнем этот раздел с определения того, что такое корень или ноль многочлена.Мы говорим, что \ (x = r \) является корнем или нулем многочлена \ (P \ left (x \ right) \), если \ (P \ left (r \ right) = 0 \). Другими словами, \ (x = r \) является корнем или нулем многочлена, если он является решением уравнения \ (P \ left (x \ right) = 0 \).

В следующих двух разделах нам нужно будет найти все нули для данного многочлена. Итак, прежде чем мы перейдем к этому, нам нужно получить некоторые идеи относительно нулей многочленов, которые помогут нам в этом процессе.

Процесс нахождения нулей \ (P \ left (x \ right) \) на самом деле сводится к не более чем решению уравнения \ (P \ left (x \ right) = 0 \), и мы уже знаем, как это сделать. что для полиномов второй степени (квадратичных).2} = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \, \, \, \, \, \, \, \, \, x = 7 \]

Итак, этот многочлен второй степени имеет единственный ноль или корень. Также вспомните, что когда мы впервые посмотрели на них, мы назвали такой корень двойным корнем . 2} \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x + 4} \ right) \) Показать решение

С этим многочленом у нас есть четыре члена и нули здесь

\ [x = — 5, \, \, \, x = — 1, \, \, \, x = 1, \, \, \, {\ mbox {and}} \, \, \, x = — 4 \]

Теперь у нас есть некоторая терминология, чтобы не мешать.2} \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x + 4} \ right) \)

Показать решение

Мы уже определили нули каждого из них в предыдущей работе или примерах в этом разделе, поэтому не будем переделывать эту работу. В каждом случае мы просто запишем ранее найденные нули, а затем вернемся к факторизованной форме многочлена, посмотрим на показатель степени каждого члена и дадим кратность.

a В этом случае у нас есть два простых нуля: \ (x = — 5, \, \, x = 3 \).

b Здесь \ (x = 7 \) — ноль кратности 2.

c У этого многочлена два нуля: \ (x = — 1 \) с кратностью 2 и \ (x = 2 \) с кратностью 3.

d В данном случае у нас три нуля. : \ (x = — 5 \) простой, \ (x = 0 \) с кратностью 4 и \ (x = 3 \) с кратностью 3.

e В последнем случае у нас четыре нуля. \ (x = — 5 \), который является простым, \ (x = — 1 \) с кратностью 3, \ (x = 1 \) с кратностью 2 и \ (x = — 4 \), который является простым.

Этот пример приводит нас к нескольким интересным фактам о многочленах. Вот первое и, наверное, самое главное.

Основная теорема алгебры

Если \ (P \ left (x \ right) \) — многочлен степени n , то \ (P \ left (x \ right) \) будет иметь ровно \ (n \) нулей, некоторые из которых могут повторяться .

Этот факт говорит о том, что если вы перечислите все нули и перечислите каждый \ (k \) раз, где \ (k \) — его кратность, у вас будет ровно \ (n \) чисел в списке.Другой способ сказать этот факт состоит в том, что кратность всех нулей должна складываться со степенью многочлена.

Мы можем вернуться к предыдущему примеру и проверить, что это верно для полиномов, перечисленных там.

Это будет приятный факт в нескольких разделах, когда мы подробно рассмотрим нахождение всех нулей многочлена. Если мы знаем верхнюю границу количества нулей для многочлена, тогда мы будем знать, когда мы все их найдем, и поэтому можем перестать искать.

Также обратите внимание, что некоторые нули могут быть сложными. В этом разделе мы работали с многочленами, у которых есть только действительные нули, но это не позволяет вам прийти к выводу, что эта теорема применима только к действительным нулям. Вполне возможно, что комплексные нули появятся в списке нулей.

Следующий факт тоже временами очень полезен.

Теорема о множителях

Для многочлена \ (P \ left (x \ right) \),

1. Если \ (r \) является нулем \ (P \ left (x \ right) \), то \ (x — r \) будет множителем \ (P \ left (x \ right) \).
2. Если \ (x — r \) является множителем \ (P \ left (x \ right) \), то \ (r \) будет нулем \ (P \ left (x \ right) \).

Опять же, если мы вернемся к предыдущему примеру, мы увидим, что это подтверждается полиномами, перечисленными там.

Фактор-теорема приводит к следующему факту.

Факт 1

Если \ (P \ left (x \ right) \) является многочленом степени \ (n \) и \ (r \) является нулем \ (P \ left (x \ right) \), то \ (P \ left (x \ right) \) можно записать в следующем виде.

\ [P \ left (x \ right) = \ left ({x — r} \ right) Q \ left (x \ right) \]

где \ (Q \ left (x \ right) \) — многочлен степени \ (n — 1 \). \ (Q \ left (x \ right) \) можно найти, разделив \ (P \ left (x \ right) \) на \ (x — r \).

Есть еще один факт, который нам нужно убрать с дороги.

Факт 2

Если \ (P \ left (x \ right) = \ left ({x — r} \ right) Q \ left (x \ right) \) и \ (x = t \) является нулем \ (Q \ left (x \ right) \), то \ (x = t \) также будет нулем \ (P \ left (x \ right) \).

Этот факт достаточно легко проверить напрямую. Во-первых, если \ (x = t \) является нулем \ (Q \ left (x \ right) \), то мы знаем, что

\ [Q \ влево (т \ вправо) = 0 \]

, так как это значит быть нулем. Итак, если \ (x = t \) должен быть нулем \ (P \ left (x \ right) \), то все, что нам нужно сделать, это показать, что \ (P \ left (t \ right) = 0 \ ) и это на самом деле довольно просто. Вот она,

\ [P \ left (t \ right) = \ left ({t — r} \ right) Q \ left (t \ right) = \ left ({t — r} \ right) \ left (0 \ right) = 0 \]

и поэтому \ (x = t \) является нулем \ (P \ left (x \ right) \).2} — 5x — 6 \) Факт 1 говорит нам, что мы можем записать \ (P \ left (x \ right) \) как,

\ [P \ left (x \ right) = \ left ({x — 2} \ right) Q \ left (x \ right) \]

и \ (Q \ left (x \ right) \) будет квадратичным многочленом. Затем мы можем найти нули \ (Q \ left (x \ right) \) любым из методов, которые мы рассмотрели до этого момента, и по факту 2 мы знаем, что два нуля, которые мы получаем из \ (Q \ left (x \ right) \) будет также нулями \ (P \ left (x \ right) \). На этом этапе у нас будет 3 нуля, и на этом мы закончим.

Итак, давайте найдем \ (Q \ left (x \ right) \). Для этого все, что нам нужно сделать, — это быстрое синтетическое разделение, как показано ниже.

\ [\ begin {align *} \ left. {\ underline {\, 2 \,}} \! \ право | & \, \, \, \ begin {array} {* {20} {l}} 1 & {\, \, 2} & {- 5} & {- 6} \ end {array} \\ & \, \ , \, \, \, \, \ underline {\, \, \ begin {array} {* {20} {l}} {} & 2 & {\, \, \, \, 8} & {\, \, \, \, \, 6} \ end {array}} \\ & \, \, \, \, \, \ begin {array} {* {20} {l}} {\, 1} & {4} & {\, \, 3} & {\, \, \, \, \, 0} \ end {array} \ end {align *} \]

Перед записью \ (Q \ left (x \ right) \) вспомните, что последнее число в третьей строке — это остаток, и что мы знаем, что \ (P \ left (2 \ right) \) должно быть равно этому номер.Итак, в этом случае мы имеем \ (P \ left (2 \ right) = 0 \). Если задуматься, мы уже должны знать, что это правда. В постановке задачи нам указывалось, что \ (x = 2 \) является нулем \ (P \ left (x \ right) \), а это означает, что мы должны иметь \ (P \ left (2 \ right) = 0 \).

Итак, зачем об этом говорить? Это отличная проверка нашего синтетического подразделения. Поскольку мы знаем, что \ (x = 2 \) является нулем \ (P \ left (x \ right) \), и мы получаем любое другое число, кроме нуля в этой последней записи, мы будем знать, что мы сделали что-то не так, и мы можем вернуться и найти ошибку.2} — 5х — 6 \). Подставляя факторизованную форму \ (Q \ left (x \ right) \) в \ (P \ left (x \ right) \), получаем, что

\ [P \ left (x \ right) = \ left ({x — 2} \ right) \ left ({x + 3} \ right) \ left ({x + 1} \ right) \]

Кстати, так были разложены полиномы в первом наборе примеров. Для этого потребуется немного больше работы, но это можно сделать таким же образом.

как решить многочлен 5 степени

x ⁵ — 2x ⁴ + x ³ + x + 5

Примечание. Чтобы выполнить синтетическое деление, разложите на множители многочлен

нам нужно, чтобы все коэффициенты были в порядке от наивысшего.. 5 ..

до нуля … обратите внимание, что 5 = 5x ⁰

Лучше всего переписать его как: x ⁵ — 2x ⁴ + x ³ + 0x ² + x + 5

Вы видите коэффициенты 1, -2, 1, 0, 1, 5

Корни многочлена будут происходить от множителей

к константе …. 5 … деленное на множители

коэффициент старшей переменной с наивысшим показателем.. 1

Корни будут найдены в ± {1, 5} / ± {1}, поэтому 1, -1, 5, -5

Если -1 — корень, то (x + 1) — множитель

Создайте синтетическое подразделение, как показано ниже

-1 | 1 -2 1 0 1 5 понизить 1-й коэффициент.

| -1 3-4 4-5 Умножьте на него возможный корень и

————————— переносится на следующий коэффициент.

1 -3 4 -4 5 0 Сложите и повторите процесс.

Если последняя сумма равна нулю, как в данном случае, то корень ИМЕЕТ

актуальный рут. Цифры в нижнем ряду, суммы, форма

коэффициенты другого фактора.

Это означает, что

x ⁵ — 2x ⁴ + x3 + x + 5 = (x + 1) (x ⁴ -3x ³ + 4x ² -4x + 5)

Теперь нам нужно разложить новый многочлен на множители.

Следующий возможный множитель, который мы попробуем, это x = 1 …

Если x = 1 — корень, то x-1 будет множителем.

1 | 1 -3 4-4 5

| 1–2 2–2

————————

1-2 2-2 3

x = 1 НЕ является корнем, так как остается остаток от 3

Давайте попробуем x = 5 в качестве корня, чтобы увидеть, является ли (x-5) множителем

5 | 1 -3 4-4 5

| 5 10 70 330

————————-

1 2 14 66 335

x = 5 НЕ является корнем

Давайте попробуем x = -5, чтобы увидеть, является ли (x + 5) множителем

-5 | 1 -3 4-4 5

| -5 40-220 1120

—————————-

1-8 44-224 1125

x = -5 тоже НЕ является корнем, поэтому x + 5 не является множителем

Поскольку единственный действительный корень, который мы можем найти, это x = 1

другие корни должны быть сложными или иррациональными

x ⁵ — 2x ⁴ + x ³ + x + 5 = (x + 1) (x ⁴ -3x ³ + 4x ² -4x + 5)

Как найти область определения, диапазон и корни многочленов и рациональных функций

• Полином
• градусов
• Линейная функция
• Уклон y -перехват
• x -перехват
• Корень
• Ноль (функции) Квадратичная функция
• Квадратичная формула
  Рациональная функция

Цели

• Определить многочлены и их основные характеристики
• Определить рациональные функции
• Найдите область определения, диапазон и корни простых многочленов и рациональных функций.

Введение в многочлены

Полиномы — это тип функций, которые вы будете регулярно видеть при изучении математики.Многочлен представляет собой серию членов, каждый из которых является произведением постоянного коэффициента и целой степени независимой переменной. Общая полиномиальная функция f через переменную x выражена ниже.

Здесь коэффициенты c _i являются постоянными, а n — это степень полинома ( n должно быть целым числом, где 0 ≤ n <∞).Обратите внимание, что линия, имеющая форму (или, что более привычно, y = mx + b ), является полиномом первой степени или полиномом первой степени. Квадратичная функция, , является многочленом второй степени.

Линейные функции

Линейные функции (помимо функций постоянной или нулевой степени) являются простейшими полиномами. Учитывая форму , наклон линии равен c ₁ , а точка пересечения y- равна c ₀ .Здесь наклон определяется как изменение значения f (или Δ f ), деленное на соответствующее изменение x (или Δ x ), а интервал y — это значение из f при x = 0. Эти характеристики проиллюстрированы графически ниже для функции .

В общем, многие функции имеют y -перехватов — опять же, для функции f ( x ) это просто f (0).(Не , но все функции имеют перехват y , поскольку не все определены как x = 0. Например, функция не определена как x = 0, поэтому у нее нет y -перехват.) Поскольку функция должна пройти проверку вертикальной линии, как мы отметили ранее, функция может иметь не более одного перехвата y .

Некоторые функции могут также иметь x- точек пересечения: для функции g ( x ), это значения x , для которых g ( x ) = 0.Другими словами, перехват x является решением уравнения g ( x ) = 0. Значения x , которые удовлетворяют этому уравнению, также называются корнями или нулями функции . Функция может иметь несколько корней, один или не иметь корней. В нашем линейном примере выше функция имеет корень , поскольку

Корень этой функции показан графически ниже.

Квадратичные функции

Вы также можете быть знакомы с квадратичной функцией (многочлены второй степени), которые имеют вид . Квадратичные функции, как и все многочлены, имеют пересечение y c ₀ . У них не может быть ни одного, одного или двух корней, которые можно определить с помощью квадратной формулы , , которая приведена ниже.

Обратите внимание, что многочлен первой степени (линейная функция) может иметь максимум один корень. Шаблон верен для всех многочленов: многочлен с корнем n может иметь максимум n корней.

Практическая задача: Найдите корни функции , если они существуют.

Решение: Вы можете использовать несколько различных методов решения.Один из них — вычислить квадратную формулу:

т = 1, 4

В качестве альтернативы, вы можете разложить на множители, чтобы найти значения x , которые делают функцию h равной нулю.

т = 1, 4

Вы также можете построить график функции, чтобы найти расположение корней, но не забудьте проверить свои ответы в уравнении, поскольку графики обычно не являются точными методами решения.График для h ( t ) показан ниже с корнями, отмеченными точками.

Найти корни многочленов более высокой степени — более сложная задача.

Введение в рациональные функции

Рациональные функции — это дроби, содержащие многочлены. Рациональная функция f ( x ) имеет общий вид, показанный ниже, где p ( x ) и q ( x ) являются полиномами любой степени (с оговоркой, что q ( x ) ≠ 0, так как это приведет к функции # ff0000).

Обратите внимание, что все многочлены являются рациональными функциями (многочлен — это рациональная функция, для которой q ( x ) = 1), но не все рациональные функции являются многочленами. Пример рациональной функции следующий.

Предупреждение: хотя приведенное выше выражение можно упростить, результат может не совпадать с исходной функцией.Чтобы проиллюстрировать этот момент, давайте разложим на множители числитель г ( r ).

Естественно, есть соблазн отменить один множитель r — 1 как из числителя, так и из знаменателя, оставив выражение ниже:

Таким образом, мы видим, что g ( r ) линейно. И если мы построим график первого выражения (со знаменателем полинома), результатом будет линия r — 1 , за исключением , где r не может равняться 1, так как r = 1 не входит в область г. ( r ).На графике этот странный результат выглядит как «дыра», как показано ниже с помощью белого кружка при r = 1. Таким образом, мы должны внимательно относиться к рациональным функциям в отношении изменения выражения.

Практическая задача: Найдите область определения и диапазон функции и нанесите график функции.

Решение: Область многочлена — это весь набор действительных чисел.Ограничивающим фактором области определения рациональной функции является знаменатель, который не может быть равен нулю. Значения, не входящие в область t ( x ), являются корнями многочлена в знаменателе. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Из этого факторизации видно, что область значений t ( x ) — это все действительные числа, кроме x = –1. То есть область включает интервалы (-∞, -1) и (-1, ∞).Чтобы найти диапазон, построим график функции. Для этого мы можем упростить его, исключив подобные факторы:

Поскольку ограничение, что x не может быть –1, остается после упрощения, мы можем построить упрощенную функцию, не беспокоясь о пропуске дыр на графике.

Обратите внимание, что x никогда не может быть –1, потому что функция стремится к бесконечности (или отрицательной бесконечности) по мере приближения к этому значению.