Как решать степени с разными основаниями: «Как перемножить степени с разными основаниями в виде чисел? » – Яндекс.Кью — ошкольное образовательное учреждение № 4 «Алёнушка»

Содержание

правила вычисления степеней с разными основаниями или натуральными показателями по математике и порядок этого

Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

Степень, свойства и действия со степенями, сложение, умножение, деление отрицательных степеней, степень с натуральным показателем, правила и формулы

Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

Что такое степень числа

Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

Математически это выглядит следующим образом: an = a * a * a * …an.

Причем, левая часть уравнения будет читаться, как a в степ. n.

Например:

23 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8,
42 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16,
54 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625,
105 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000,
104 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

Таблица степеней от 1 до 10

Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

Ч-ло	2-ая ст-нь	3-я ст-нь
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Свойства степеней

Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

an * am = (a)(n+m),
an : am = (a)(n-m),
(ab ) m=(a)(b*m).

Проверим на примерах:

23 * 22 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Аналогично:

23 : 22 = 8 / 4 =2. Иначе 23-2 = 21 =2.
(23)2 = 82 = 64. А если по-другому? 26 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Как видим, правила работают.

А как же быть со сложением и вычитанием? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

Посмотрим на примерах:

33 + 24 = 27 + 16 = 43,
52 – 32 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 3)2 = 22 = 4.
А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3)3 = 83 = 512.

Как производить вычисления в более сложных случаях? Порядок тот же:

при наличии скобок – начинать нужно с них,
затем возведение в степень,
потом выполнять действия умножения, деления,
после сложение, вычитание.

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: am/n.
При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b)n = an * bn.
При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

Степень с отрицательным показателем

Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается:

A(-n) = 1 / An, 5(-2) = 1 / 52 = 1 / 25.

И наоборот:

1 / A(-n) = An, 1 / 2(-3) = 23 = 8.

А если дробь?

(A / B)(-n) = (B / A)n, (3 / 5)(-2) = (5 / 3)2 = 25 / 9.

Степень с натуральным показателем

Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

Что нужно запомнить:

A0 = 1, 10 = 1, 20 = 1, 3.150 = 1, (-4)0 = 1… и т. д.
A1 = A, 11 = 1, 21 = 2, 31 = 3 … и т. д.

Кроме того, если (-a)2n+2, n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот. Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

Дробная степень

Этот вид можно записать схемой: Am/n. Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.

С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.

Степень с иррациональным показателем

Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице,
А˃1.
Аr1 ˂ Аα ˂ Аr2, r1 ˂ r2 – рациональные числа.

В этом случае наоборот: Аr2 ˂ Аα ˂ Аr1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

Например, показатель степени число π. Оно рациональное.

r1 – в этом случае равно 3,
r2 – будет равно 4.
Тогда, при А = 1, 1π = 1.
А = 2, то 23 ˂ 2π ˂ 24, 8 ˂ 2π ˂ 16.
А = 1/2, то (½)4 ˂ (½)π ˂ (½)3, 1/16 ˂ (½)π ˂ 1/8.

Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

Заключение

Подведём итоги для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.

Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.

Источник: https://tvercult.ru/nauka/stepen-svoystva-pravila-deystviya-i-formulyi

Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

Что представляют собой степенные выражения?

В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 32, 75+1, (2+1)5, (−0,1)4, 2233, 3·a2−a+a2, x3−1, (a2)3.
А также степени с нулевым показателем: 50, (a+1)0, 3+52−3,20. И степени с целыми отрицательными степенями: (0,5)2+(0,5)-22.
Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный и иррациональный показатели: 26414-3·3·312, 23,5·2-22-1,5, 1a14·a12-2·a-16·b12, xπ·x1-π, 233+5.
В качестве показателя может выступать переменная 3x-54-7·3x-58 или логарифм x2·lgx−5·xlgx.

С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

Основные виды преобразований степенных выражений

В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

Вычислите значение степенного выражения 23·(42−12).

Решение

Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 23·(42−12)=23·(16−12)=23·4.

Нам остается заменить степень 23 ее значением 8 и вычислить произведение 8·4=32. Вот наш ответ.

Ответ: 23·(42−12)=32.

Упростите выражение со степенями 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7.

Решение

Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Ответ: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/stepennye-vyrazhenija/

Возведение в степень

Возведение в степень — это арифметическая операция повторяющегося умножения. Если требуется перемножить число n-ное количество раз, то достаточно возвести его в n-ную степень.

Основные действия со степенями

В первую очередь степень — это повторяющееся умножение. Число 134 — это 13 × 13 × 13 × 13, где перемножаются четыре одинаковых сомножителя. Если умножить 134 на 132, то мы получим (13 × 13 × 13 × 13) × (13 × 13), что логично превращается в 136.

Это и есть первое правило возведения в степень, которое гласит: при умножении чисел, возведенных в степень, их показатели суммируются. Математически это записывается как:

Если разделить 134 на 132, то нам потребуется вычислить дробь вида:

(13 × 13 × 13 × 13) / (13 × 13).

Мы можем просто сократить числа в числителе и знаменателе, и в результате останется 13 × 13 = 132. Очевидно, деление чисел, возведенных в степень, соответствует вычитанию их показателей. Второе правило действий со степенями математически выглядит так: am / an = a(m – n).

Теперь давайте возведем 114 в куб, то есть в третью степень. Для этого нам потребуется вычислить выражение (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11). Получилось 12 сомножителей, следовательно, при возведении в n-ную степень числа в степени m, показатели перемножаются. Третье правило записывается так: (am)n = a(m × n).

Это основные правила работы со степенными выражениями. Однако число можно возвести в отрицательную степень, дробную и нулевую. Какой результат даст выражение 150? Давайте воспользуемся вторым правилом действий степенями и попробуем разделить 154 на 154, что запишется как дробь: 154 / 154.

Очевидно, что в числителе и знаменателе стоят одни и те же числа, а когда число делится само на себя, оно превращается в единицу. Но согласно правилу действий со степенными числами это будет эквивалентно 150.

Следовательно: 154 / 154 = 150 = 1.

Таким образом, четвертое правило гласит, что любое положительное число в нулевой степени равняется единице. Выглядит это правило так: a0 = 1.

При помощи второго правила легко объяснить и работу с отрицательными степенями. К примеру, давайте разделим 82 на 84 и запишем выражение в виде дроби.

(8 × 8) / (8 × 8 × 8 × 8).

Мы можем сократить две восьмерки в числителе и знаменателе и преобразовать дробь в 1 / (8 × 8). Но согласно правилу в ответе мы должны получить 8-2. В знаменателе у нас как раз стоит восьмерка в квадрате. Таким образом:

При этом для значения -1 правило трансформируется в элегантную формулу:

И последнее правило, которое пригодится вам при работе со степенными функциями, гласит о дробных степенях. Что мы можем сделать с выражением 7(1/2). Очевидно, что возвести его в квадрат, и тогда по третьему правилу в результате у нас останется только семерка.

Степень 1/2 — это извлечение квадратного корня, так как при возведении его в квадрат мы получаем целое число. Степень 1/3 соответствует извлечению кубического корня, но как быть с показателем 2/3? Логично, что это кубический корень из числа, возведенного в квадрат.

Последнее правило гласит, что знаменатель дробного показателя означает извлечение корня, а числитель — возведение в степень. Математически это выглядит как: a(m/n) есть корень n-ной степени из am. Теперь вы знаете, как проводить любые арифметические операции со степенными выражениями.

Вы можете использовать наш калькулятор для вычисления степенных функций. Программа позволяет определить основание, показатель и результат операции. Кроме того, калькулятор сопровождается иллюстрацией графика функций: параболы, кубической параболы и параболы в n-ной степени. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из реальной жизни

Депозит в банке

Если мы положим на банковский депозит $1 000 под годовую ставку в размере 9% годовых, то сколько денег на счету будет через 20 лет? Рост с течением времени рассчитываются по экспоненциальной формуле вида:

Рост = a × e(kt),

где a – начальное значение,
e – константа, равная 2,718;
k – коэффициент роста;
t – время.

Для решения банковской задачи нам потребуется возвести 2,718 в степень, равную 20 × 0,09 = 1,8. Воспользуемся нашим калькулятором и введем в ячейку «Число, x =» значение 2,718, а в ячейку «Степень, n =» значение 1,8. Мы получим ответ, равный 6,049. Теперь, для подсчета суммы на банковском счету нам необходимо умножить начальное значение $1 000 на прирост в размере 6,049. В итоге, через 20 лет на депозите будет $6 049.

Школьная задача

Пусть в школьной задаче требуется построить график функции y = x2,5. Это алгебраическая задача, для решения которой требуется задаться тремя значениями «x» и вычислить соответствующие ему значения «y». После чего по найденным точкам построить график функции.

Введите в ячейку «Степень, n =» значение 2,5. После этого последовательно рассчитайте значения «y», вводя в «Число, x =» аргументы 1, 2, 3. Вы получите соответствующие значения функции 1; 5,657; 15,588. Вам останется только нарисовать кривую по найденным точкам.

Источник: https://BBF.ru/calculators/73/

Как решать выражения со степенями и дробями. Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Разделы:
Математика

Тип урока:
урок обобщения и систематизации знаний

Цели:

обучающие
– повторить определение степени, правила умножения и деления степеней, возведения степени в степень, закрепить умения решения примеров, содержащих степени,

развивающие
– развитие логического мышления учащихся, интереса к изучаемому материалу,

воспитывающие
– воспитание ответственного отношения к учебе, культуры общения, чувства коллективизма.

Оборудование:
компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска, презентация “Степени” для устного счета, карточки с заданиями, раздаточный материал.

План урока:

Организационный момент.

Повторение правил

Устный счет.

Историческая справка.

Работа у доски.

Физкультминутка.

Работа на интерактивной доске.

Самостоятельная работа.

Домашнее задание.

Подведение итогов урока.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщение темы и целей урока.

На предыдущих уроках вы открыли для себя удивительный мир степеней, научились умножать и делить степени, возводить их в степень. Сегодня мы должны закрепить полученные знания при решении примеров.

II. Повторение правил
(устно)

Дайте определение степени с натуральным показателем? (Степенью числа а
с натуральным показателем, большим 1, называется произведение n
множителей, каждый из которых равен а
. )
Как умножить две степени? (Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели сложить.)
Как разделить степень на степень? (Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели вычесть.)
Как возвести произведение в степень? (Чтобы возвести произведение в степень, надо каждый множитель возвести в эту степень)
Как возвести степень в степень? (Чтобы возвести степень в степень, надо основание оставить тем же, а показатели перемножить)

III. Устный счет
(по мультимедиа)

IV. Историческая справка

Все задачи из папируса Ахмеса, который записан около 1650 года до н. э. связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, здесь присутствует и возведение в разные степени, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным.

Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления. Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём обобщений и догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, и даже владели зачатками алгебры.

V. Работа у доски

Найдите значение выражения рациональным способом:

Вычислите значение выражения:

VI. Физкультминутка

для глаз
для шеи
для рук
для туловища
для ног

VII. Решение задач
(с показом на интерактивной доске)

Является ли корень уравнения положительным числом?

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Формулы степеней и корней.

Формулы степеней
используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

Число c
является n
-ной степенью числа a
когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Операции с корнями.

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n
раз и в тоже время возвести в n
-ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

5. Если уменьшить степень корня в n
раз и в тоже время извлечь корень n
-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

Формулу a m
:a n =a m — n
можно использовать не только при m
> n
, но и при m
4:a 7 = a 4 — 7 = a -3 .

Чтобы формула a m
:a n =a m — n
стала справедливой при m=n
, нужно присутствие нулевой степени.

Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

Чтобы возвести действительное число а
в степень m/n
, необходимо извлечь корень n
–ой степени из m
-ой степени этого числа а
:

Формулы степеней.

6.
a
—
n
=
— деление степеней;

7.
— деление степеней;

8. a 1/n =
;

Степени правила действия со степенями

1. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей (с тем же показателем):

(abc…) n = a n b n c n …

Пример 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Пример 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x +a)(x — a)] 3 =(x +a) 3 (x — a) 3

Практически более важно обратное преобразование:

a n b n c n … = (abc…) n

т.е. произведение одинаковых степеней нескольких величин равно той же степени произведения этих величин.

Пример 3. Пример 4. (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2)] 2 =(a 3 +b 3) 2

2. Степень частного (дроби) равна частному от деления той же степени делимого на ту же степень делителя:

Пример 5. Пример 6.

Обратное преобразование:. Пример 7.. Пример 8..

3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

Пример 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Пример 10. (a – 4c +x) 2 (a – 4c +x) 3 =(a – 4c + x) 5 .

4. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого

Пример 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Пример 12. (x-y) 3:(x-y) 2 =x-y.

5. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются:

Пример 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Пример 14.

www.maths.yfa1.ru

Степени и корни

Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным
,

нулевым и дробным
показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

Операции со степенями.

1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

a m
· a n = a m + n .

2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели
вычитаются
.

3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

(a / b
) n = a n / b n .

5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² =
2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Операции с корнями.

Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень
(подкоренное выражение положительно).

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень
подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:

Расширение понятия степени.

До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным
, нулевым
и дробным
показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

Степень с отрицательным показателем.

Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

Т еперь формула a m
: a n
= a m — n
может быть использована не только при m
, большем, чем n
, но и при m
, меньшем, чем n
.

П р и м е р. a
4: a
7 = a
4 — 7 = a
— 3 .

Если мы хотим, чтобы формула a m
: a n
= a m
— n
была справедлива при m = n
, нам необходимо определение нулевой степени.

Степень с нулевым показателем.

Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы. 2 0 = 1, (–
5) 0 = 1, (–
3 / 5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем.

Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а:

О выражениях, не имеющих смысла.

Есть несколько таких выражений.

где a
≠ 0 , не существует.

В самом деле, если предположить, что x
– некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a
= 0· x
, т.e. a
= 0, что противоречит условию: a
≠ 0

— любое число.

В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x
, то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x
. Но это равенство имеет место при любом числе x
, что и требовалось доказать.

0 0 — любое число.

Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

1) x
= 0 –
это значение не удовлетворяет данному уравнению

2) при x
> 0 получаем: x / x
= 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

что x
– любое число; но принимая во внимание, что в

нашем случае x
> 0 , ответом является x
> 0 ;

Свойства степени

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней
с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1

Произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

Упростить выражение.
b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
Представить в виде степени.
6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
Представить в виде степени.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями
. Оно не относится к их сложению.

Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

Свойство № 2

Частное степеней

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Записать частное в виде степени
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
Вычислить.

11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
3 8: t = 3 4

Ответ: t = 3 4 = 81

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

Пример. Упростить выражение.
4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

Свойство № 3

Возведение степени в степень

При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

(a n) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

Пример.
(a 4) 6 = a 4 · 6 = a 24

Пример. Представить 3 20 в виде степени с основанием 3 2 .

По свойству возведения степени в степень
известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

Свойства 4

Степень произведения

При возведении степени в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель и результаты перемножаются.

(a · b) n = a n · b n , где « a », « b » — любые рациональные числа; « n » — любое натуральное число.

Пример 1.
(6 · a 2 · b 3 · c) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
Пример 2.
(−x 2 · y) 6 = ((−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6) = x 12 · y 6

Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

(a n · b n)= (a · b) n

То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

Пример. Вычислить.
2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
Пример. Вычислить.
0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1

В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

Пример возведения в степень десятичной дроби.

4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

Свойства 5

Степень частного (дроби)

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

(a: b) n = a n: b n , где « a », « b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками
.

Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .

Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных
могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных
и различные степени
одинаковых переменных
, должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Вычитание
степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Или:

2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

Или:

x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.

Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме
степеней слагаемых.

Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, a n .a m = a m+n .

Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или:

4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1

Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
Ответ: x 4 — y 4 .

Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные
.

1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.5}$. Ответ: $\frac{2x}{1}$ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.

a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.

a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.

a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.

После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.

Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.

6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).

7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

9. Разделите (h 3 — 1)/d 4 на (d n + 1)/h.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что представляют собой степенные выражения?

Определение 1

Степенное выражение
– это выражение, которое содержит степени.

Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 · a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . А также степени с нулевым показателем: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . И степени с целыми отрицательными степенями: (0 , 5) 2 + (0 , 5) — 2 2 .

Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный и иррациональный показатели: 264 1 4 — 3 · 3 · 3 1 2 , 2 3 , 5 · 2 — 2 2 — 1 , 5 , 1 a 1 4 · a 1 2 — 2 · a — 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 — π , 2 3 3 + 5 .

В качестве показателя может выступать переменная 3 x — 54 — 7 · 3 x — 58 или логарифм x 2 · l g x − 5 · x l g x
.

С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

Основные виды преобразований степенных выражений

Пример 1

Вычислите значение степенного выражения 2 3 · (4 2 − 12)
.

Решение

Нам остается заменить степень 2 3
ее значением 8
и вычислить произведение 8 · 4 = 32
. Вот наш ответ.

Ответ:
2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Пример 2

Упростите выражение со степенями 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7
.

Решение

Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1
.

Ответ:
3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Пример 3

Представьте выражение со степенями 9 — b 3 · π — 1 2 в виде произведения.

Решение

Представим число 9 как степень 3 2
и применим формулу сокращенного умножения:

9 — b 3 · π — 1 2 = 3 2 — b 3 · π — 1 2 = = 3 — b 3 · π — 1 3 + b 3 · π — 1

Ответ:
9 — b 3 · π — 1 2 = 3 — b 3 · π — 1 3 + b 3 · π — 1 .

А теперь перейдем к разбору тождественных преобразований, которые могут применяться именно в отношении степенных выражений.

Работа с основанием и показателем степени

Степень в основании или показателе может иметь и числа, и переменные, и некоторые выражения. Например, (2 + 0 , 3 · 7) 5 − 3 , 7
и . Работать с такими записями сложно. Намного проще заменить выражение в основании степени или выражение в показателе тождественно равным выражением.

Проводятся преобразования степени и показателя по известным нам правилам отдельно друг от друга. Самое главное, чтобы в результате преобразований получилось выражение, тождественное исходному.

Цель преобразований – упростить исходное выражение или получить решение задачи. Например, в примере, который мы привели выше, (2 + 0 , 3 · 7) 5 − 3 , 7 можно выполнить действия для перехода к степени 4 , 1 1 , 3
. Раскрыв скобки, мы можем привести подобные слагаемые в основании степени (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1)
и получить степенное выражение более простого вида a 2 · (x + 1)
.

Использование свойств степеней

Свойства степеней, записанные в виде равенств, являются одним из главных инструментов преобразования выражений со степенями. Приведем здесь основные из них, учитывая, что a
и b
– это любые положительные числа, а r
и s
— произвольные действительные числа:

Определение 2

a r · a s = a r + s ;
a r: a s = a r − s ;
(a · b) r = a r · b r ;
(a: b) r = a r: b r ;
(a r) s = a r · s .

В тех случаях, когда мы имеем дело с натуральными, целыми, положительными показателями степени, ограничения на числа a и b могут быть гораздо менее строгими. Так, например, если рассмотреть равенство a m · a n = a m + n
, где m
и n
– натуральные числа, то оно будет верно для любых значений a , как положительных, так и отрицательных, а также для a = 0
.

Применять свойства степеней без ограничений можно в тех случаях, когда основания степеней положительные или содержат переменные, область допустимых значений которых такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения. Фактически, в рамках школьной программы по математике задачей учащегося является выбор подходящего свойства и правильное его применение.

При подготовке к поступлению в Вузы могут встречаться задачи, в которых неаккуратное применение свойств будет приводить к сужению ОДЗ и другим сложностям с решением. В данном разделе мы разберем всего два таких случая. Больше информации по вопросу можно найти в теме «Преобразование выражений с использованием свойств степеней».

Пример 4

Представьте выражение a 2 , 5 · (a 2) − 3: a − 5 , 5
в виде степени с основанием a
.

Решение

Для начала используем свойство возведения в степень и преобразуем по нему второй множитель (a 2) − 3
. Затем используем свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

Ответ:
a 2 , 5 · (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Преобразование степенных выражений согласно свойству степеней может производиться как слева направо, так и в обратном направлении.

Пример 5

Найти значение степенного выражения 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Решение

Если мы применим равенство (a · b) r = a r · b r
, справа налево, то получим произведение вида 3 · 7 1 3 · 21 2 3 и дальше 21 1 3 · 21 2 3 . Сложим показатели при умножении степеней с одинаковыми основаниями: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21 .

Есть еще один способ провести преобразования:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 · 7 1 3 · 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 · 7 1 3 + 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

Ответ:
3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

Пример 6

Дано степенное выражение a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6
, введите новую переменную t = a 0 , 5
.

Решение

Представим степень a 1 , 5
как a 0 , 5 · 3
. Используем свойство степени в степени (a r) s = a r · s
справа налево и получим (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 = (a 0 , 5) 3 − a 0 , 5 − 6 . В полученное выражение можно без проблем вводить новую переменную t = a 0 , 5
: получаем t 3 − t − 6
.

Ответ:
t 3 − t − 6 .

Преобразование дробей, содержащих степени

Обычно мы имеем дело с двумя вариантами степенных выражений с дробями: выражение представляет собой дробь со степенью или содержит такую дробь. К таким выражениям применимы все основные преобразования дробей без ограничений. Их можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с числителем и знаменателем. Проиллюстрируем это примерами.

Пример 7

Упростить степенное выражение 3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 .

Решение

Мы имеем дело с дробью, поэтому проведем преобразования и в числителе, и в знаменателе:

3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 = 3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 3 · 5 2 3 · 5 — 2 3 — 2 — x 2 = = 3 · 5 2 3 + 1 3 — 3 · 5 2 3 + — 2 3 — 2 — x 2 = 3 · 5 1 — 3 · 5 0 — 2 — x 2

Поместим минус перед дробью для того, чтобы изменить знак знаменателя: 12 — 2 — x 2 = — 12 2 + x 2

Ответ:
3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 = — 12 2 + x 2

Дроби, содержащие степени, приводятся к новому знаменателю точно также, как и рациональные дроби. Для этого необходимо найти дополнительный множитель и умножить на него числитель и знаменатель дроби. Подбирать дополнительный множитель необходимо таким образом, чтобы он не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.

Пример 8

Приведите дроби к новому знаменателю: а) a + 1 a 0 , 7 к знаменателю a
, б) 1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 к знаменателю x + 8 · y 1 2 .

Решение

а) Подберем множитель, который позволит нам произвести приведение к новому знаменателю. a 0 , 7 · a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a ,
следовательно, в качестве дополнительного множителя мы возьмем a 0 , 3
. Область допустимых значений переменной а включает множество всех положительных действительных чисел. В этой области степень a 0 , 3
не обращается в нуль.

Выполним умножение числителя и знаменателя дроби на a 0 , 3
:

a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a 0 , 7 · a 0 , 3 = a + 1 · a 0 , 3 a

б) Обратим внимание на знаменатель:

x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 2 — x 1 3 · 2 · y 1 6 + 2 · y 1 6 2

Умножим это выражение на x 1 3 + 2 · y 1 6 , получим сумму кубов x 1 3 и 2 · y 1 6 , т.е. x + 8 · y 1 2 . Это наш новый знаменатель, к которому нам надо привести исходную дробь.

Так мы нашли дополнительный множитель x 1 3 + 2 · y 1 6 . На области допустимых значений переменных x
и y
выражение x 1 3 + 2 · y 1 6 не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:
1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 + 2 · y 1 6 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 3 + 2 · y 1 6 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2

Ответ:
а) a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a , б) 1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Пример 9

Сократите дробь: а) 30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 , б) a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 .

Решение

а) Используем наибольший общий знаменатель (НОД), на который можно сократить числитель и знаменатель. Для чисел 30 и 45 это 15 . Также мы можем произвести сокращение на x 0 , 5 + 1
и на x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 .

Получаем:

30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1)

б) Здесь наличие одинаковых множителей неочевидно. Придется выполнить некоторые преобразования для того, чтобы получить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Для этого разложим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 = a 1 4 — b 1 4 a 1 4 2 — b 1 2 2 = = a 1 4 — b 1 4 a 1 4 + b 1 4 · a 1 4 — b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Ответ:
а) 30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , б) a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

К числу основных действий с дробями относится приведение к новому знаменателю и сокращение дробей. Оба действия выполняют с соблюдением ряда правил. При сложении и вычитании дробей сначала дроби приводятся к общему знаменателю, после чего проводятся действия (сложение или вычитание) с числителями. Знаменатель остается прежним. Результатом наших действий является новая дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель есть произведение знаменателей.

Пример 10

Выполните действия x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Решение

Начнем с вычитания дробей, которые располагаются в скобках. Приведем их к общему знаменателю:

x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1

Вычтем числители:

x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 · x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 — x 1 2 — 1 · x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · x 1 2 — 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 — x 1 2 — 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 · x 1 2 + 1 — x 1 2 2 — 2 · x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2

Теперь умножаем дроби:

4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · x 1 2

Произведем сокращение на степень x 1 2
, получим 4 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 .

Дополнительно можно упростить степенное выражение в знаменателе, используя формулу разности квадратов: квадратов: 4 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 — 1 2 = 4 x — 1 .

Ответ:
x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = 4 x — 1

Пример 11

Упростите степенное выражение x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 .
Решение

Мы можем произвести сокращение дроби на (x 2 , 7 + 1) 2
. Получаем дробь x 3 4 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 .

Продолжим преобразования степеней икса x 3 4 x — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Теперь можно использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями: x 3 4 x — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 3 4 — — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 1 1 8 · 1 x 2 , 7 + 1 .

Переходим от последнего произведения к дроби x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Ответ:
x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Множители с отрицательными показателями степени в большинстве случаев удобнее переносить из числителя в знаменатель и обратно, изменяя знак показателя. Это действие позволяет упростить дальнейшее решение. Приведем пример: степенное выражение (x + 1) — 0 , 2 3 · x — 1 можно заменить на x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Преобразование выражений с корнями и степенями

В задачах встречаются степенные выражения, которые содержат не только степени с дробными показателями, но и корни. Такие выражения желательно привести только к корням или только к степеням. Переход к степеням предпочтительнее, так как с ними проще работать. Такой переход является особенно предпочтительным, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков.

Пример 12

Представьте выражение x 1 9 · x · x 3 6 в виде степени.

Решение

Область допустимых значений переменной x
определяется двумя неравенствами x ≥ 0
и x · x 3 ≥ 0 , которые задают множество [ 0 , + ∞)
.

На этом множестве мы имеем право перейти от корней к степеням:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Используя свойства степеней, упростим полученное степенное выражение.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 · x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Ответ:
x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Преобразование степеней с переменными в показателе

Данные преобразования достаточно просто произвести, если грамотно использовать свойства степени. Например, 5 2 · x + 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x − 1 = 0
.

Мы можем заменить произведением степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной и числа. В левой части это можно проделать с первым и последним слагаемыми левой части выражения:

5 2 · x · 5 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x · 7 − 1 = 0 , 5 · 5 2 · x − 3 · 5 x · 7 x − 2 · 7 2 · x = 0 .

Теперь поделим обе части равенства на 7 2 · x
. Это выражение на ОДЗ переменной x принимает только положительные значения:

5 · 5 — 3 · 5 x · 7 x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 7 2 · x , 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x · 7 x 7 2 · x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 , 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x · 7 x 7 x · 7 x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0

Сократим дроби со степенями, получим: 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x 7 x — 2 = 0 .

Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению 5 · 5 7 2 · x — 3 · 5 7 x — 2 = 0 , которое равносильно 5 · 5 7 x 2 — 3 · 5 7 x — 2 = 0 .

Введем новую переменную t = 5 7 x , что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Преобразование выражений со степенями и логарифмами

Выражения, содержащие с записи степени и логарифмы, также встречаются в задачах. Примером таких выражений могут служить: 1 4 1 — 5 · log 2 3 или log 3 27 9 + 5 (1 — log 3 5) · log 5 3 . Преобразование подобных выражений проводится с использованием разобранных выше подходов и свойств логарифмов, которые мы подробно разобрали в теме «Преобразование логарифмических выражений».

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Тип урока:
урок обобщения и систематизации знаний

Цели:

обучающие
– повторить определение степени, правила умножения и деления степеней, возведения степени в степень, закрепить умения решения примеров, содержащих степени,
развивающие
– развитие логического мышления учащихся, интереса к изучаемому материалу,
воспитывающие
– воспитание ответственного отношения к учебе, культуры общения, чувства коллективизма.

План урока:

Организационный момент.
Повторение правил
Устный счет.
Историческая справка.
Работа у доски.
Физкультминутка.
Работа на интерактивной доске.
Самостоятельная работа.
Домашнее задание.
Подведение итогов урока.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщение темы и целей урока.

II. Повторение правил
(устно)

Дайте определение степени с натуральным показателем? (Степенью числа а
с натуральным показателем, большим 1, называется произведениеn
множителей, каждый из которых равен а
.)
Как умножить две степени? (Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели сложить.)
Как разделить степень на степень? (Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели вычесть.)
Как возвести произведение в степень? (Чтобы возвести произведение в степень, надо каждый множитель возвести в эту степень)
Как возвести степень в степень? (Чтобы возвести степень в степень, надо основание оставить тем же, а показатели перемножить)

III. Устный счет
(по мультимедиа)

IV. Историческая справка

V. Работа у доски

Найдите значение выражения рациональным способом:

Вычислите значение выражения:

VI. Физкультминутка

для глаз
для шеи
для рук
для туловища
для ног

VII. Решение задач
(с показом на интерактивной доске)

Является ли корень уравнения положительным числом?

а) 3x + (-0,1) 7 = (-0,496) 4 (x > 0)

б) (10,381) 5 = (-0,012) 3 — 2x (x

VIII. Самостоятельная работа

IX. Домашнее задание

Х. Подведение итогов урока

Анализ результатов, объявление оценок.

Полученные знания о степенях мы будем применять при решении уравнений, задач в старших классах, также они часто встречаются в ЕГЭ.

Число c
является n
-ной степенью числа a
когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

a m
·a n = a m + n .

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

(a/b) n = a n /b n .

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

(a m) n = a m n .

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Например
. (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4
.

Операции с корнями.

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

Степень с отрицательным показателем.
Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

Формулу a m
:a n =a m — n
можно использовать не только при m
> n
, но и при m
n
.

Например
. a
4:a 7 = a 4 — 7 = a -3
.

Чтобы формула a m
:a n =a m — n
стала справедливой при m=n
, нужно присутствие нулевой степени.

Степень с нулевым показателем.
Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

Например
. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем.
Чтобы возвести действительное число а
в степень m/n
, необходимо извлечь корень n
-ой степени из m
-ой степени этого числа а
.

формулировки, доказательства, примеры, формулы степеней

Ранее мы уже говорили о том, что такое степень числа. Она имеет определенные свойства, полезные в решении задач: именно их и все возможные показатели степени мы разберем в этой статье. Также мы наглядно покажем на примерах, как их можно доказать и правильно применить на практике.

Свойства степени с натуральным показателем

Вспомним уже сформулированное нами ранее понятие степени с натуральным показателем: это произведение n-ного количества множителей, каждый из которых равен а. Также нам понадобится вспомнить, как правильно умножать действительные числа. Все это поможет нам сформулировать для степени с натуральным показателем следующие свойства:

Определение 1

1. Главное свойство степени: am·an=am+n

Можно обобщить до: an1·an2·…·ank=an1+n2+…+nk.

2. Свойство частного для степеней, имеющих одинаковые основания: am:an=am−n

3. Свойство степени произведения: (a·b)n=an·bn

Равенство можно расширить до: (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn

4. Свойство частного в натуральной степени: (a:b)n=an:bn

5. Возводим степень в степень: (am)n=am·n,

Можно обобщить до:(((an1)n2)…)nk=an1·n2·…·nk

6. Сравниваем степень с нулем:

если a>0, то при любом натуральном n, an будет больше нуля;
при a, равном 0, an также будет равна нулю;
при a<0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2·m, a2·m будет больше нуля;
при a <0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2·m−1, a2·m−1 будет меньше нуля.

7. Равенство an<bn будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Неравенство am>an будет верным при условии, что m и n – натуральные числа, m больше n и а больше нуля и не меньше единицы.

В итоге мы получили несколько равенств; если соблюсти все условия, указанные выше, то они будут тождественными. Для каждого из равенств, например, для основного свойства, можно поменять местами правую и левую часть: am·an=am+n — то же самое, что и am+n=am·an. В таком виде оно часто используется при упрощении выражений.

Далее мы разберем каждое свойство подробно и попробуем привести доказательства.

1. Начнем с основного свойства степени: равенство am·an=am+n будет верным при любых натуральных m и n и действительном a. Как доказать это утверждение?

Основное определение степеней с натуральными показателями позволит нам преобразовать равенство в произведение множителей. Мы получим запись такого вида:

Это можно сократить до (вспомним основные свойства умножения). В итоге мы получили степень числа a с натуральным показателем m+n. Таким образом, am+n, значит, основное свойство степени доказано.

Разберем конкретный пример, подтверждающий это.

Пример 1

Итак, у нас есть две степени с основанием 2. Их натуральные показатели — 2 и 3 соответственно. У нас получилось равенство: 22·23=22+3=25 Вычислим значения, чтобы проверить верность этого равенства.

Выполним необходимые математические действия: 22·23=(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 и 25=2·2·2·2·2=32

В итоге у нас вышло: 22·23=25. Свойство доказано.

В силу свойств умножения мы можем выполнить обобщение свойства, сформулировав его в виде трех и большего числа степеней, у которых показатели являются натуральными числами, а основания одинаковы. Если обозначить количество натуральных чисел n1, n2 и др. буквой k, мы получим верное равенство:

an1·an2·…·ank=an1+n2+…+nk.

Пример 2

Пример с конкретными числами (легко посчитать самостоятельно): (2,1)3·(2,1)3·(2,1)4·(2,1)7=(2,1)3+3+4+7=(2,1)17.

2. Далее нам необходимо доказать следующее свойство, которое называется свойством частного и присуще степеням с одинаковыми основаниями: это равенство am:an=am−n, которое справедливо при любых натуральным m и n (причем m больше n) ) и любом отличном от нуля действительном a.

Для начала поясним, каков именно смысл условий, которые упомянуты в формулировке. Если мы возьмем a, равное нулю, то в итоге у нас получится деление на нуль, чего делать нельзя (ведь 0n=0). Условие, чтобы число m обязательно было больше n, нужно для того, чтобы мы могли удержаться в рамках натуральных показателей степени: вычтя n из m, мы получим натуральное число. Если условие не будет соблюдено, у нас получится отрицательное число или ноль, и опять же мы выйдем за пределы изучения степеней с натуральными показателями.

Теперь мы можем перейти к доказательству. Из ранее изученного вспомним основные свойства дробей и сформулируем равенство так:

am−n·an=a(m−n)+n=am

Из него можно вывести: am−n·an=am

Вспомним про связь деления и умножения. Из него следует, что am−n– частное степеней am и an. Это и есть доказательство второго свойства степени.

Пример 3

Подставим конкретные числа для наглядности в показатели, а основание степени обозначим π: π5:π2=π5−3=π3

3. Следующим мы разберем свойство степени произведения: (a·b)n=an·bn при любых действительных a и b и натуральном n.

Согласно базовому определению степени с натуральным показателем мы можем переформулировать равенство так:

Вспомнив свойства умножения, запишем: . Это значит то же самое, что и an·bn.

Пример 4

Если множителей у нас три и больше, то это свойство также распространяется и на этот случай. Введем для числа множителей обозначение k и запишем:

(a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn

Пример 5

С конкретными числами получим следующее верное равенство: (2·(-2,3)·a)7=27·(-2,3)7·a

4. После этого мы попробуем доказать свойство частного: (a:b)n=an:bn при любых действительных a и b, если b не равно 0, а n – натуральное число.

Для доказательства можно использовать предыдущее свойство степени. Если (a:b)n·bn=((a:b)·b)n=an , а (a:b)n·bn=an, то из этого выходит, что (a:b)n есть частное от деления an на bn.

Пример 6

Подсчитаем пример: 312:-0.53=3123:(-0,5)3

5. Далее мы поговорим о свойстве возведения степени в степень: (am)n=am·n для любого действительного a и любых натуральных n и m.

Пример 7

Начнем сразу с примера: (52)3=52·3=56

А теперь сформулируем цепочку равенств, которая докажет нам верность равенства:

Если у нас в примере есть степени степеней, то это свойство справедливо для них также. Если у нас есть любые натуральные числа p, q, r, s, то верно будет:

apqys=ap·q·y·s

Пример 8

Добавим конкретики: (((5,2)3)2)5=(5,2)3·2·5=(5,2)30

6. Еще одно свойство степеней с натуральным показателем, которое нам нужно доказать, – свойство сравнения.

Для начала сравним степень с нулем. Почему an>0 при условии, что а больше 0?

Если умножить одно положительное число на другое, то мы получим также положительное число. Зная этот факт, мы можем сказать, что от числа множителей это не зависит – результат умножения любого числа положительных чисел есть число положительное. А что же такое степень, как не результат умножения чисел? Тогда для любой степени an с положительным основанием и натуральным показателем это будет верно.

Пример 9

35>0, (0,00201)2>0 и 3491351>0

Также очевидно, что степень с основанием, равным нулю, сама есть ноль. В какую бы степень мы не возводили ноль, он останется им.

Пример 10

Если основание степени – отрицательное число, тот тут доказательство немного сложнее, поскольку важным становится понятие четности/нечетности показателя. Возьмем для начала случай, когда показатель степени четный, и обозначим его 2·m, где m – натуральное число.

Тогда:

Вспомним, как правильно умножать отрицательные числа: произведение a·a равно произведению модулей, а, следовательно, оно будет положительным числом. Тогда и степень a2·m также положительны.

Пример 11

Например, (−6)4>0, (−2,2)12>0 и -296>0

А если показатель степени с отрицательным основанием – нечетное число? Обозначим его 2·m−1.

Тогда

Все произведения a·a, согласно свойствам умножения, положительны, их произведение тоже. Но если мы его умножим на единственное оставшееся число a, то конечный результат будет отрицателен.

Тогда получим: (−5)3<0, (−0,003)17<0 и -111029<0

7. Далее разберем следующее свойство, формулировка которого такова: из двух степеней, имеющих одинаковый натуральный показатель, больше та, основание которой больше (и наоборот).

Как это доказать?

an<bn– неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a<b. Вспомним основные свойства неравенств справедливо и an<bn.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 12

Например, верны неравенства: 37<(2,2)7 и 3511124>(0,75)124

8. Нам осталось доказать последнее свойство: если у нас есть две степени, основания которых одинаковы и положительны, а показатели являются натуральными числами, то та из них больше, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше.

Докажем эти утверждения.

Для начала нам нужно убедиться, что am<an при условии, что m больше, чем n, и а больше 0, но меньше 1.Теперь сравним с нулем разность am−an

Вынесем an за скобки, после чего наша разность примет вид an·(am−n−1). Ее результат будет отрицателен (поскольку отрицателен результат умножения положительного числа на отрицательное). Ведь согласно начальным условиям, m−n>0, тогда am−n−1–отрицательно, а первый множитель положителен, как и любая натуральная степень с положительным основанием.

У нас вышло, что am−an<0 и am<an. Свойство доказано.

Осталось привести доказательство второй части утверждения, сформулированного выше: am>a справедливо при m>n и a>1. Укажем разность и вынесем an за скобки: (am−n−1).Степень an при а, большем единицы, даст положительный результат; а сама разность также окажется положительна в силу изначальных условий, и при a>1 степень am−n больше единицы. Выходит, am−an>0 и am>an, что нам и требовалось доказать.

Пример 13

Пример с конкретными числами: 37>32

Основные свойства степеней с целыми показателями

Для степеней с целыми положительными показателями свойства будут аналогичны, потому что целые положительные числа являются натуральными, а значит, все равенства, доказанные выше, справедливы и для них. Также они подходят и для случаев, когда показатели отрицательны или равны нулю (при условии, что само основание степени ненулевое).

Таким образом, свойства степеней такие же для любых оснований a и b (при условии, что эти числа действительны и не равны 0) и любых показателей m и n (при условии, что они являются целыми числами). Запишем их кратко в виде формул:

Определение 2

1. am·an=am+n

2. am:an=am−n

3. (a·b)n=an·bn

4. (a:b)n=an:bn

5. (am)n=am·n

6. an<bn и a−n>b−n при условии целого положительного n, положительных a и b, a<b

7. am<an, при условии целых m и n, m>n и 0<a<1, при a>1 am>an.

Если основание степени равно нулю, то записи am и an имеют смысл только лишь в случае натуральных и положительных m и n. В итоге получим, что формулировки выше подходят и для случаев со степенью с нулевым основанием, если соблюдаются все остальные условия.

Доказательства этих свойств в данном случае несложные. Нам потребуется вспомнить, что такое степень с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами.

Разберем свойство степени в степени и докажем, что оно верно и для целых положительных, и для целых неположительных чисел. Начнем с доказательства равенств (ap)q=ap·q, (a−p)q=a(−p)·q, (ap)−q=ap·(−q) и (a−p)−q=a(−p)·(−q)

Условия: p=0 или натуральное число; q– аналогично.

Если значения p и q больше 0, то у нас получится (ap)q=ap·q. Схожее равенство мы уже доказывали раньше. Если p=0, то:

(a0)q=1q=1 a0·q=a0=1

Следовательно, (a0)q=a0·q

Для q=0 все точно так же:

(ap)0=1 ap·0=a0=1

Итог: (ap)0=ap·0.

Если же оба показателя нулевые, то (a0)0=10=1 и a0·0=a0=1, значит, (a0)0=a0·0.

Далее разберем равенство (a−p)q=a(−p)·q. Согласно определению степени с целым отрицательным показателем имеем a-p=1ap, значит, (a-p)q=1apq.

Вспомним доказанное выше свойство частного в степени и запишем:

1apq=1qapq

Если 1p=1·1·…·1=1 иapq=ap·q, то 1qapq=1ap·q

Эту запись мы можем преобразовать в силу основных правил умножения в a(−p)·q.

Так же: ap-q=1(ap)q=1ap·q=a-(p·q)=ap·(-q).

И (a-p)-q=1ap-q=(ap)q=ap·q=a(-p)·(-q)

Остальные свойства степени можно доказать аналогичным образом, преобразовав имеющиеся неравенства. Подробно останавливаться мы на этом не будем, укажем только сложные моменты.

Доказательство предпоследнего свойства: вспомним, a−n>b−n верно для любых целых отрицательных значений nи любых положительных a и b при условии, что a меньше b.

Тогда неравенство можно преобразовать следующим образом:

1an>1bn

Запишем правую и левую части в виде разности и выполним необходимые преобразования:

1an-1bn=bn-anan·bn

Вспомним, что в условии a меньше b, тогда, согласно определению степени с натуральным показателем: — an<bn, в итоге: bn−an>0.

an·bn в итоге дает положительное число, поскольку его множители положительны. В итоге мы имеем дробь bn-anan·bn, которая в итоге также дает положительный результат. Отсюда 1an>1bn откуда a−n>b−n, что нам и нужно было доказать.

Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается аналогично свойству степеней с показателями натуральными.

Основные свойства степеней с рациональными показателями

В предыдущих статьях мы разбирали, что такое степень с рациональным (дробным) показателем. Их свойства такие же, что и у степеней с целыми показателями. Запишем:

Определение 3

1. am1n1·am2n2=am1n1+m2n2 при a>0, а если m1n1>0 и m2n2>0, то при a≥0 ( свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями).

2.am1n1:bm2n2=am1n1-m2n2 , если a>0 (свойство частного).

3. a·bmn=amn·bmn при a>0 и b>0, а если m1n1>0 и m2n2>0, то при a≥0 и (или) b≥0 (свойство произведения в дробной степени).

4. a:bmn=amn:bmn при a>0 и b>0, а если mn>0, то при a≥0 и b>0 (свойство частного в дробной степени).

5. am1n1m2n2=am1n1·m2n2 при a>0, а если m1n1>0 и m2n2>0, то при a≥0 (свойство степени в степени).

6. ap<bp при условии любых положительных a и b, a<b и рациональном p при p>0; если p<0 — ap>bp (свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями).

7. ap<aq при условии рациональных чисел p и q, p>q при 0<a<1; если a>0 – ap>aq

Для доказательства указанных положений нам понадобится вспомнить, что такое степень с дробным показателем, каковы свойства арифметического корня n-ной степени и каковы свойства степени с целыми показателем. Разберем каждое свойство.

Согласно тому, что из себя представляет степень с дробным показателем, получим:

am1n1=am1n1 и am2n2=am2n2, следовательно, am1n1·am2n2=am1n1·am2n2

Свойства корня позволят нам вывести равенства:

am1·m2n1·n2·am2·m1n2·n1=am1·n2·am2·n1n1·n2

Из этого получаем: am1·n2·am2·n1n1·n2=am1·n2+m2·n1n1·n2

Преобразуем:

am1·n2·am2·n1n1·n2=am1·n2+m2·n1n1·n2

Показатель степени можно записать в виде:

m1·n2+m2·n1n1·n2=m1·n2n1·n2+m2·n1n1·n2=m1n1+m2n2

Это и есть доказательство. Второе свойство доказывается абсолютно так же. Запишем цепочку равенств:

am1n1: am2n2=am1n1: am2n2=am1·n2:am2·n1n1·n2==am1·n2-m2·n1n1·n2=am1·n2-m2·n1n1·n2=am1·n2n1·n2-m2·n1n1·n2=am1n1-m2n2

Доказательства остальных равенств:

a·bmn=(a·b)mn=am·bmn=amn·bmn=amn·bmn;(a:b)mn=(a:b)mn=am:bmn==amn:bmn=amn:bmn;am1n1m2n2=am1n1m2n2=am1n1m2n2==am1m2n1n2=am1·m2n1n2==am1·m2n2·n1=am1·m2n2·n1=am1n1·m2n2

Следующее свойство: докажем, что для любых значений a и b больше 0, если а меньше b, будет выполняться ap<bp, а для p больше 0 — ap>bp

Представим рациональное число p как mn. При этом m–целое число, n–натуральное. Тогда условия p<0 и p>0 будут распространяться на m<0 и m>0. При m>0 и a<b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство am<bm.

Используем свойство корней и выведем: amn<bmn

Учитывая положительность значений a и b, перепишем неравенство как amn<bmn. Оно эквивалентно ap<bp.

Таким же образом при m<0 имеем a am>bm, получаем amn>bmn значит, amn>bmn и ap>bp.

Нам осталось привести доказательство последнего свойства. Докажем, что для рациональных чисел p и q, p>q при 0<a<1 ap<aq, а при a>0 будет верно ap>aq.

Рациональные числа p и q можно привести к общему знаменателю и получить дроби m1n и m2n

Здесь m1 и m2 – целые числа, а n – натуральное. Если p>q, то m1>m2 (учитывая правило сравнения дробей). Тогда при 0<a<1 будет верно am1<am2, а при a>1 – неравенство a1m>a2m.

Их можно переписать в следующем виде:

am1n<am2nam1n>am2n

Тогда можно сделать преобразования и получить в итоге:

am1n<am2nam1n>am2n

Подводим итог: при p>q и 0<a<1 верно ap<aq, а при a>0– ap>aq.

Основные свойства степеней с иррациональными показателями

На такую степень можно распространить все описанные выше свойства, которыми обладает степень с рациональными показателями. Это следует из самого ее определения, которое мы давали в одной из предыдущих статей. Сформулируем кратко эти свойства (условия: a>0, b>0, показатели p и q– иррациональные числа):

Определение 4

1. ap·aq=ap+q

2. ap:aq=ap−q

3. (a·b)p=ap·bp

4. (a:b)p=ap:bp

5. (ap)q=ap·q

6. ap<bp верно при любых положительных a и b, если a<b и p – иррациональное число больше 0; если p меньше 0, то ap>bp

7. ap<aq верно, если p и q– иррациональные числа, p<q, 0<a<1; если a>0, то ap>aq.

Таким образом, все степени, показатели которых p и q являются действительными числами, при условии a>0 обладают теми же свойствами.

Умножение одночленов и многочленов | Математика

Если числа обозначены различными буквами, то можно лишь обозначить из произведение; пусть, напр., надо число a умножить на число b, – мы можем это обозначить или a ∙ b или ab, но не может быть и речи о том, чтобы как-нибудь выполнить это умножение. Однако, когда имеем дело с одночленами, то, благодаря 1) присутствию коэффициентов и 2) тому обстоятельству, что в состав этих одночленов могут входить множители, обозначенные одинаковыми буквами, является возможность говорить о выполнении умножения одночленов; еще шире такая возможность при многочленах. Разберем ряд случаев, где возможно выполнять умножение, начиная с простейшего.

1. Умножение степеней с одинаковыми основаниями. Пусть, напр., требуется a³ ∙ a⁵. Напишем, зная смысл возведения в степень, то же самое подробнее:

a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a

Рассматривая эту подробную запись, мы видим, что у нас написано a множителем 8 раз, или, короче, a⁸. Итак, a³ ∙ a⁵ = a⁸.

Пусть требуется b⁴² ∙ b²⁸. Пришлось бы написать сначала множитель b 42 раза, а затем опять множитель b 28 раз – в общем, получили бы, что b берется множителем 70 раз. т. е. b⁷⁰. Итак, b⁴² ∙ b²⁸ = b⁷⁰. Отсюда уже ясно, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание степени остается без перемены, а показатели степеней складываются. Если имеем a⁸ ∙ a, то придется иметь в виду, что у множителя a подразумевается показатель степени 1 («a в первой степени»), – следовательно, a⁸ ∙ a = a⁹.

Примеры: x ∙ x³ ∙ x⁵ = x⁹; a¹¹ ∙ a²² ∙ a³³ = a⁶⁶; 3⁵ ∙ 3⁶ ∙ 3 = 3¹²; (a + b)³ ∙ (a + b)⁴ = (a + b)⁷; (3x – 1)⁴ ∙ (3x – 1) = (3x – 1)⁵ и т. д.

Иногда приходится иметь дело со степенями, показатели которых обозначены буквами, напр., xn (x в степени n). С такими выражениями надо привыкнуть обращаться. Вот примеры:

Поясним некоторые из этих примеров: b^{n – 3} ∙ b⁵ надо основание b оставить без перемены, а показатели сложить, т. е. (n – 3) + (+5) = n – 3 + 5 = n + 2. Конечно, подобные сложения должно научиться выполнять быстро в уме.

Еще пример: x^{n + 2} ∙ x^{n – 2}, – основание x надо оставить без перемены, а показатель сложить, т. е. (n + 2) + (n – 2) = n + 2 + n – 2 = 2n.

Можно выше найденный порядок, как выполнять умножение степеней с одинаковыми основаниями, выразить теперь равенством:

a^m ∙ aⁿ = a^{m + n}

2. Умножение одночлена на одночлен. Пусть, напр., требуется 3a²b³c ∙ 4ab²d². Мы видим, что здесь обозначено точкою одно умножение, но мы знаем, что этот же знак умножения подразумевается между 3 и a², между a² и b³, между b³ и c, между 4 и a, между a и b², между b² и d². Поэтому мы можем здесь видеть произведение 8 множителей и можем перемножить их любыми группами в любом порядке. Переставим их так, чтобы коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями оказались рядом, т. е.

3 ∙ 4 ∙ a² ∙ a ∙ b³ ∙ b² ∙ c ∙ d².

Тогда мы сможем перемножить 1) коэффициенты и 2) степени с одинаковыми основаниями и получим 12a³b5cd².

Итак, при умножении одночлена на одночлен мы можем перемножить коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, а остальные множители приходится переписывать без изменения.

Еще примеры:

3. Умножение многочлена на одночлен. Пусть надо сначала какой-нибудь многочлен, напр., a – b – c + d умножить на положительное целое число, напр., +3. Так как положительные числа считаются совпадающими с арифметическими, то это все равно, что (a – b – c + d) ∙ 3, т. е. a – b – c + d взять 3 раза слагаемым, или

(a – b – c + d) ∙ (+3) = a – b – c + d + a – b – c + d + a – b – c + d = 3a – 3b – 3c + 3d,

т. е. в результате пришлось каждый член многочлена умножить на 3 (или на +3).

Отсюда вытекает:

(a – b – c + d) ÷ (+3) = a – b – c + d,

т. е. пришлось каждый член многочлена разделить на (+3). Также, обобщая, получим:

и т. п.

Пусть теперь надо (a – b – c + d) умножить на положительную дробь, напр., на +. Это все равно, что умножить на арифметическую дробь , что значит взять части от (a – b – c + d). Взять одну пятую часть от этого многочлена легко: надо (a – b – c + d) разделить на 5, а это уже умеем делать, – получим . Остается повторить полученный результат 3 раза или умножить на 3, т. е.

В результате мы видим, что пришлось каждый член многочлена умножить на или на +.

Пусть теперь надо (a – b – c + d) умножить на отрицательное число, целое или дробное,

т. е. и в этом случае пришлось каждый член многочлена умножить на –.

Таким образом, какое бы ни было число m, всегда (a – b – c + d) ∙ m = am – bm – cm + dm.

Так как каждый одночлен представляет собою число, то здесь мы видим указание, как умножать многочлен на одночлен – надо каждый член многочлена умножить на этот одночлен.

4. Умножение многочлена на многочлен. Пусть надо (a + b + c) ∙ (d + e). Так как d и e означают числа, то и (d + e) выражает какое-либо одно число.

Поэтому

(a + b + c) ∙ (d + e) = a(d + e) + b(d + e) + c(d + e)

(мы можем объяснить это и так: мы вправе d + e временно принять за одночлен).

Далее, выполняя ряд полученных умножений (одночлена на многочлен), получим:

= ad + ae + bd + be + cd + ce

В этом результате можно изменить порядок членов.

Получим:

(a + b + c) ∙ (d + e) = ad + bd + ed + ae + be + ce,

т. е. для умножения многочлена на многочлен приходится каждый член одного многочлена умножать на каждый член другого. Удобно (для этого и был выше изменен порядок полученных членов) умножить каждый член первого многочлена сперва на первый член второго (на +d), затем на второй член второго (на +e), затем, если бы он был, на третий и т. д.; после этого следует сделать приведение подобных членов.

В этих примерах двучлен умножается на двучлен; в каждом двучлене члены расположены по нисходящим степеням буквы, общей для обоих двучленов. Подобные умножения легко выполнять в уме и сразу писать окончательный результат.

Напр.:

От умножения старшего члена первого двучлена на старший член второго, т. е. 4x² на 3x, получим 12x³ старший член произведения – ему подобных, очевидно, не будет. Далее мы ищем, от перемножения каких членов получатся члены с меньшею на 1 степенью буквы x, т. е. с x². Легко видим, что такие члены получатся от умножения 2-го члена первого множителя на 1-й член второго и от умножения 1-го члена первого множителя на 2-ой член второго (скобки внизу примера это указывают). Выполнить эти умножения в уме и выполнить также приведение этих двух подобных членов (после чего получим член –19x²) – дело нетрудное. Затем замечаем, что следующий член, содержащий букву x в степени еще на 1 меньшей, т. е. x в 1-ой степени, получится только от умножения второго члена на второй, и ему подобных не будет.

Еще пример: (x² + 3x)(2x – 7) = 2x³ – x² – 21x.

Также в уме легко выполнять примеры, вроде следующего:

Старший член получается от умножения старшего члена на старший, ему подобных членов не будет, и он = 2a³. Затем ищем, от каких умножений получатся члены с a² – от умножения 1-го члена (a²) на 2-ой (–5) и от умножения второго члена (–3a) на 1-ый (2a) – это указано внизу скобками; выполнив эти умножения и соединив полученные члены в один, получим –11a². Затем ищем, от каких умножений получатся члены с a в первой степени – эти умножения отмечены скобками сверху. Выполнив их и соединив полученные члены в один, получим +11a. Наконец, замечаем, что младший член произведения (+10), вовсе не содержащий a, получается от перемножения младшего члена (–2) одного многочлена на младший член (–5) другого.

Еще пример: (4a³ + 3a² – 2a) ∙ (3a² – 5a) = 12a⁵ – 11a⁴ – 21a³ + 10a².

Из всех предыдущих примеров мы также получим общий результат: старший член произведения получается всегда от перемножения старших членов множителей, и подобных ему членов быть не может; также младший член произведения получается от перемножения младших членов множителей, и подобных ему членов также быть не может.

Остальным членам, получаемым при умножении многочлена на многочлен, могут быть подобные, и может даже случиться, что все эти члены взаимно уничтожатся, а останутся лишь старший и младший.

Вот примеры:

(a² + ab + b²) (a – b) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³
(a² – ab + b²) (a – b) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a – b) = a⁴ – b⁴ (пишем только результат)
(x⁴ – x³ + x² – x + 1) (x + 1) = x⁵ + 1 и т. п.

Эти результаты достойны внимания и их полезно запомнить.

Особенно важен следующий случай умножения:

(a + b) (a – b) = a² + ab – ab – b² = a² – b²
или (x + y) (x – y) = x² + xy – xy – y² = x² – y²
или (x + 3) (x – 3) = x² + 3x – 3x – 9 = x² – 9 и т. п.

Во всех этих примерах, применяясь к арифметике, мы имеем произведение суммы двух чисел на их разность, а в результате получается разность квадратов этих чисел.

Если мы увидим подобный случай, то уже нет нужды выполнять умножение подробно, как это делалось выше, а можно сразу написать результат.

Напр., (3a + 1) ∙ (3a – 1). Здесь первый множитель, с точки зрения арифметики, есть сумма двух чисел: первое число есть 3a и второе 1, а второй множитель есть разность тех же чисел; потому в результате должно получиться: квадрат первого числа (т. е. 3a ∙ 3a = 9a²) минус квадрат второго числа (1 ∙ 1 = 1), т. е.

(3a + 1) ∙ (3a – 1) = 9a² – 1.

Также

(ab – 5) ∙ (ab + 5) = a²b² – 25 и т. п.

Итак, запомним

(a + b) (a – b) = a² – b²

т. е. произведение суммы из двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Урок математики в 7 классе по теме «Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями»

Предмет: Алгебра

Класс: 7

Учитель: Егерь Ирина Викторовна , учитель математики

МБОУ города Иркутска СОШ №11 с углублённым изучением отдельных предметов

Тема программы: Степень с натуральным показателем и ее свойства (10 ч)

Тема урока: Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями

Цель урока:

— обучающая: изучить правила действий над степенями с одинаковыми показателями,

научиться применять правила при вычислении значений выражений и преобразовании выражений;

— развивающая: развивать математическую речь, формировать умение анализировать, рассуждать, доказывать;

— воспитательная: воспитание познавательной активности, ответственности и аккуратности;

формирование навыков культуры диалога.

Технологии: обучение в сотрудничестве, проблемное обучение.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Методы обучения: словесный, практический, наглядный.

Формы обучения: индивидуальная, фронтальная, групповая.

Оборудование: доска, мел, карточки для самостоятельной работы

Литература: Мордкович А.Г., Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. М.: Мнемозина, 2013.

Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ,2014.

http://school—assistant.ru/

Ход урока:

I. Орг. момент

II. Актуализация знаний

Вспомним тему предыдущего урока, для этого устно выполните следующие задания (по ходу выполнения, учащиеся формулируют свойства степеней, определение степени на которые ссылаются при выполнении задания):

Вычислите:

Проверяем ответы к заданиям. Возникает затруднение при выполнении заданий №7,8,9.

III. Создание проблемной ситуации и диалогический выход из неё

Анализ

Учитель

Ученик

Практическое задание не сходное с предыдущим (проблемная ситуации)

Побуждение к осознанию

Упростите:

а) б)

Вы смогли выполнить задание?

Почему не получается?

Чем это задание не похоже на предыдущее?

Испытывают затруднение (возникновение проблемной ситуации)

Нет

Не знаем, как умножать и делить степени с разными основаниями

Основания являются переменными, а не числами.

Анализ

Учитель

Ученик

Побуждение к формулированию проблемы (учебная проблема как тема урока)

Побуждение к выдвижению гипотез

Какой возникает вопрос?

А что можно сказать о показателях этих степеней?

Так какие степени нужно умножить и разделить?

Какой возникает вопрос?

Какая будет тема сегодня на уроке?

Какие есть гипотезы?

Предложить применить эту гипотезу к заданию №7,8

Верно ли?

Кто еще хочет сказать?

Как умножить и разделить степени с разными основаниями?

У этих степеней одинаковые показатели?

Степени с одинаковыми показателями.

Как умножить и разделить степени с одинаковыми показателями?

Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями

Чтобы умножить степени с одинаковыми показателями нужно основания перемножить, а показатель оставить прежним.

Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями нужно основания разделить, а показатель оставит прежним.

Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями нужно основания вычесть, а показатель оставит прежним, а при умножении степеней с одинаковыми показателями основания сложить, а показатель оставить прежним.

(4-2)⁵=2⁵=32 и (5+2)⁴=7⁴=2401

Проверить гипотезы, используя определение степени или известные нам уже свойства.

Побуждение к проверке гипотез

Проверка гипотез

(воспроизведение знаний)

Публичное представление продукта

Первичное закрепление нового знания

Вычислить различными способами (работа в группах)

А сейчас одна из групп представит свои вычисления, а другая группа–дополняет, опровергает, соглашается, задаёт вопросы.

Какие правила вы сегодня открыли?

Сформулируйте эти правила.

Запишите эти правила на математическом языке.

Как же доказать эти утверждения?

Вам известно, что любое равенство мы можем применять как слева направо, так и справа налево.

На доске записать правила:

Сформулируйте ещё два правила, которые получаются, если будем применять равенства справа налево.

Решение заданий №18.2, №18.12, №18.14, №18.16 (задачник Мордкович А.Г. Алгебра 7)

I и III группы Вычислить:

I способ:

II способ:

II и IV группы Вычислить:

I способ:

II способ:

Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями нужно основания разделить, а показатель оставит прежним. (Открытие нового знания)

Рассмотрим общий вид выражений:

Рассмотрим общий вид выражения:

Чтобы произведение возвести в степень, нужно каждый множитель возвести в эту степень.

Чтобы дробь возвести в степень, нужно и числитель и знаменатель возвести в эту степень.

IV. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Два ученика выполняют задания самостоятельно на скрытых досках, остальные-в тетрадях. Затем они проверяют работу по алгоритму и сопоставляют с решением на доске. Ошибки исправляются, выясняются их причины. Если задание выполнено верно, то рядом ученики ставят «+».

Карточки

вариант.

1.Представьте произведение степеней в виде степени:

а) 3⁵ • 2⁵б) х⁷у⁷; в) 2³у³.

2. Представьте дробь в виде степени:

а) ; б) ; в) .

вариант.

1.Представьте произведение степеней в виде степени:

а) 4³ • 3³б) х⁶у⁶; в) 5²х².

2. Представьте дробь в виде степени:

а) ; б) ; в) .

V. Домашнее задание: §18 №18.18, №18.19, опорный конспект — правила умножения и деления степеней с одинаковыми показателями.

VI. Рефлексия деятельности.

— Что нового узнали на уроке? Что повторили?

— Как перемножить степени с одинаковыми показателями?

— Как разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями?

— Верно ли равенство: а) 3⁴ • 5⁴ = 15^8;б) (-6)⁵ • ( -3)⁵ = 2⁰?

— Чью работу вы можете сегодня отметить?

— Как оцениваете свою работу?

Свойства степени с целым показателем

Степень с целым показателем
Первый урок посвящен понятию обыкновенной степени с целым показателем — это математическая операция, в ходе которой число многократно умножается на само себя. Если некоторое действительное число $a$ возвести в целую степень $b$, то это значит, что число $a$ умножается на само себя $b$ раз.0=3*1=3; $$
В этом случае необходимо привести все степени к одинаковому основанию. Замечаем, что $15$ раскладывается, как произведение 3 и 5, получим одинаковые основания и применим формулы №1,№3.

Как умножать степени, умножение степеней с разными показателями

Каждая арифметическая операция порою становится слишком громоздкой для записи и её стараются упростить. Когда-то так было и с операцией сложения. Людям было необходимо проводить многократное однотипное сложение, например, посчитать стоимость ста персидских ковров, стоимость которого составляет 3 золотые монеты за каждый. Приходилось записывать 3+3+3+…+3 = 300. Из-за громоздкости было придумано сократить запись до 3 * 100 = 300. Фактически, запись «три умножить на сто» означает, что нужно взять сто троек и сложить между собой. Умножение прижилось, обрело общую популярность.3. В остальном, когда различные основания и показатели, произвести полное умножение нельзя. Иногда можно частично упростить или прибегнуть к помощи вычислительной техники.

4 простых способа умножения экспонент [+ действия]

Что общего у землетрясений, фондового рынка, информатики и ядерной физики?

Все они включают экспонентов умножения .

Показатели являются неотъемлемой частью алгебры, полиномиальных уравнений и курсов математики более высокого уровня, но многим студентам сложно понять, как с ними работать. Вы ознакомились с правилами экспонента со своим классом, и теперь пора применить их.

Давайте рассмотрим: правила экспоненты

Прежде чем вы начнете учить своих учеников умножению экспоненты, вы можете провести с ними быстрый обзор основ работы показателей.

Показатели (также называемые степенями ) регулируются правилами, как и все остальное в математическом классе. Вот краткое резюме:

Показатель степени — это способ выражения повторного умножения . Например, 35 представляет собой три, умноженные на себя пять раз:

35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243

35 = 243

Первое число называется основанием . Представляет собой число, которое умножается.

Второе меньшее число — это показатель степени . Он представляет собой количество раз, когда основание умножается само на себя.

Существует семь правил экспоненты :

Правило произведения степеней : сложение степеней при умножении подобных оснований
Правило отношения степеней : вычитание степеней при делении подобных оснований
Правило силы полномочий : Умножение степеней вместе при увеличении степени на другой показатель
Степень произведения rul e: Распределение мощности на каждую базу при возведении нескольких переменных в степень
Степень правила частного : Распределение мощности на все значения в частное
Правило нулевой степени : Любое основание, возведенное в степень нуля, становится единицей
Правило отрицательной экспоненты : Чтобы изменить отрицательную экспоненту на положительную, переверните ее на обратную

Понятно? Тогда давай продолжим.

Как умножить экспоненты 4 способами

Помните, что все эти стратегии — просто ярлыки, помогающие упростить более сложные уравнения. Чтобы найти фактическое значение показателя степени, учащиеся должны сначала понять, что это означает: повторное умножение .

Познакомьте студентов с основами, такими как выражение показателей в виде произведений, прежде чем переходить к умножению показателей.

Когда они освоятся с концепцией, пора начинать.

1. Умножение степеней с одним и тем же основанием

При умножении степеней используйте первое правило: складывайте степени при умножении одинаковых оснований.

52 × 56 =?

Основания уравнения остаются неизменными, а значения показателей складываются.

52 × 56 = 58

Но почему это работает? Давайте посмотрим немного внимательнее:

Сложение экспонент — это всего лишь быстрый путь к ответу. Когда мы складываем экспоненты, мы увеличиваем количество раз, когда основание умножается само на себя.

Это правило остается неизменным, независимо от сложности вопроса. Вот более сложный пример с переменными:

(2𝒙8) (3𝒙5) =?

Сначала умножьте числа (2 и 3) вместе, поскольку они представляют собой коэффициентов , а не основание. (Коэффициент — это число, умноженное на переменную, например 𝒙.)

Затем сложите показатели степени.

(2𝒙8) (3𝒙5) = 6𝒙13

2. Умножение степеней с разными основаниями

Можно умножать экспоненты с разными основаниями, но есть одна важная загвоздка: экспоненты должны быть одинаковыми.

Вот как это сделать:

54 × 24 =?

Сначала перемножьте основания вместе. Затем добавьте показатель степени. Вместо того, чтобы складывать два показателя вместе, оставьте то же самое.

54 × 24 = 104

Вот почему это работает:

Это из-за правила четвертой степени: распределяет мощность на каждую базу при возведении нескольких переменных в степень . Это уравнение также можно записать как (5 × 2) 4, что означает, что показатель степени распределяется между 5 и 2.

А теперь попробуем умножить переменные на показатели.

(3y3) (4y3) =?

Помните, что правило остается в силе до тех пор, пока , поскольку показатели степени и переменные равны (потому что переменные 𝒙 и y нельзя комбинировать).

(3y3) (4y3) = 12y3

3. Умножение показателей с разными основаниями и показателями

Что происходит, когда вы хотите умножить разные показатели с разными основаниями?

Короткий ответ: вы не можете. В отличие от приведенных выше примеров, здесь нет ярлыка.

Например:

Поскольку 24 и 32 не имеют ничего общего, чтобы их можно было объединить, ответ не может быть упрощен до одного показателя степени и должен быть выражен как обычное число.

4. Умножение отрицательных показателей

Это может показаться сложным, но умножение показателей показателей на отрицательные числа в точности совпадает с умножением показателей показателей на неотрицательные числа.

Начните с рассмотрения свойств отрицательных чисел. В частности, просмотрите, как их складывать и умножать.Ваши ученики должны чувствовать себя комфортно, работая с отрицательными числами, прежде чем они переходят к отрицательным показателям.

Затем запомните правило седьмого показателя степени: , чтобы изменить отрицательный показатель степени на положительный, переверните его на обратное значение .

То же основание, разные степени:

4-3 × 42 =?

Помните — складывайте экспоненты с одинаковыми основаниями.

4-3 × 42 = 4-1

Чтобы решить эту экспоненту, переверните отрицательную экспоненту в обратную.

4-1 = ¼ = 0.25

Разное основание, но одинаковые показатели:

2-5 × 3-5 =?

Как и выше, умножьте основания и оставьте степень без изменений.

2-5 × 3-5 = 6-5

Чтобы решить, переверните отрицательный показатель степени в обратную величину.

6-5 = ⅙5

Если показатели степени не имеют ничего общего, решите уравнение напрямую:

2-3 × 32

Сначала преобразуйте отрицательные показатели степени в обратные, затем вычислите.

Когда вы умножаете показатели, напомните учащимся:

Сложите показатели , если основания одинаковые
Умножьте основания , если показатели одинаковые
Если ничего не одинаково , просто решите это

Практика умножения на экспоненты

1.Prodigy

Развитие навыков владения математикой — важная часть уверенности учащихся в курсах математики в средней школе и колледже. Студенты могут практиковать умножение показателей и другие математические концепции с Prodigy, в то время как вы задаете индивидуальные вопросы в игре, основанные на содержании урока.

Ваш класс будет исследовать мир, наполненный увлекательными заданиями, экзотическими домашними животными и изучением математики. Вы сможете выбрать, на какие вопросы они будут отвечать, и в режиме реального времени получать данные о том, что они усвоили, над чем работают и где им может потребоваться дополнительная помощь.

Обладая 1400 навыками и большим количеством навыков, вы сможете предоставить материалов, соответствующих учебной программе, по любой изучаемой вами теме, включая умножение показателей.

2. Exponent War

Education.com

Классическая карточная игра, но с невероятно интересным поворотом!

Ученики работают в группах по двое и соревнуются друг с другом. Раздайте каждой команде колоду карт (с вынутыми дамами, валетами и королями) и попросите каждого игрока вытащить две карты.Первая карта — это база, а вторая карта — экспонента.

Каждой паре предстоит соревноваться, чтобы решить свое уравнение и найти продукт. Побеждает команда с наибольшим ответом. Установите таймер для класса и посмотрите, кто наберет больше очков.

Пока ученики играют, пройдитесь по классу и убедитесь, что они не пропустили ни одной ступеньки. Если вы видите много ошибок или затруднений у учащихся, примите это как знак того, что вам, возможно, придется сделать некоторый обзор.

3. Exponent Scavenger Hunt

Дайте вашим ученикам возможность искать сокровища и исследовать класс с помощью показательной охоты на мусорщиков.

Разделите ваш класс на группы по три или четыре человека. В зависимости от количества групп, сделайте несколько разных наборов карточек. Начинайте каждый набор с карточки, на которой есть проблема. Напишите ответ на проблему на следующей карточке, а другую задачу на обратной стороне. Продолжайте, пока не получите три или четыре набора задач (или больше).

Начиная с первой карточки, каждая группа должна решить задачу и найти правильный ответ где-нибудь еще в классе .Найдя правильную карточку с ответами, они могут перевернуть ее и решить следующую задачу. Раздайте учащимся записки для решения и позвольте им начать поиск ответов. Какая бы команда ни финишировала первой, становится победителем!

4. Exponent Jeopardy

Каждый ученик любит классическую игру Jeopardy. Используя настраиваемый шаблон, замените мелочи вопросами, которые дают студентам возможность попрактиковаться в умножении показателей, и разделите класс на две команды.

Вот несколько советов, которые помогут обеспечить бесперебойную работу игры:

Если у вас большой класс, подумайте о том, чтобы разделить класс на более чем одну игру, чтобы у каждого ученика была возможность участвовать.
Чтобы объединить математические и компьютерные навыки, Предложите учащимся сделать игру самостоятельно.Дайте им шаблон (или пусть более продвинутые ученики начнут с нуля) и попросите их сделать небольшую игру.
Используйте его в качестве конечного упражнения перед тестом и комбинируйте более важные вопросы с более сложными ответами.

5. Рабочие листы для умножения показателей

Рабочие листы — это проверенный метод развития математики свободное владение определенным набором навыков. Они также могут быть индикатором понимания учащимся, когда используются как часть стратегии формирующего оценивания.Вот некоторые из наших фаворитов:

Если вы ищете рабочий лист, который охватывает больше, чем просто умножение экспонент, ознакомьтесь с нашей таблицей правил экспонент (с ключом ответа).

Для чего-то более уникального, попробуйте это упражнение с умножением полиномов. Как и в обычном рабочем листе, в нем есть вопросы, на которые студенты должны ответить, но он также содержит «банк ответов» для студентов. Вырежьте сопутствующие полоски и перемешайте их. Попросите учащихся сопоставить ответы с правильным разделом на своем листе после решения уравнения и демонстрации своей работы.

Умножение степеней: давайте рассмотрим

Если ваши ученики помнят только три вещи, убедитесь, что это следующие концепции:

Сложите степени при умножении как основание
Умножьте основания при умножении как экспонентах
Показатели — это произведение многократного умножения

Если они запомнят эти три правила, у них будет прочный фундамент, построенный еще до первого урока алгебры в средней школе.

Как всегда, делайте это медленно и убедитесь, что учащиеся понимают основы, прежде чем все усложняется. Это может показаться сложной идеей для преподавания, но придерживайтесь шагов и продвигайтесь в логическом порядке, чтобы увидеть, как знания ваших учеников растут.

Создайте или войдите в свою учетную запись учителя на Prodigy — бесплатной игровой платформе для обучения математике, которую легко использовать как преподавателям, так и ученикам. Он соответствует учебным планам англоязычных стран, его любят более миллиона учителей и 50 миллионов студентов.

Зарегистрируйтесь сейчас

Решающих треугольников (Триггер без слез, часть 4)

Решающих треугольников (Триггер без слез, часть 4)

Триггер без слез Часть 4:

Авторские права 19972020
Стэн Браун, BrownMath.com

Резюме:

Треугольник состоит из шести частей, трех сторон и трех углов .
Учитывая почти любые три из них, три стороны, две стороны
и угол, или одну сторону и два угла, вы можете
найдите остальные три значения. Это называется
, решая треугольник , и вы можете сделать это с помощью
любой треугольник, а не только прямоугольный .

Для всего этого вам понадобится всего два инструмента:
Закон синуса и
Закон косинусов. Закон синуса связывает любые два
стороны и углы напротив них, и Закон косинусов связывает все
три стороны и один угол.

См. Также:

Как решать треугольники на TI-83/84 включает программу TI-83/84
для автоматизации вычислений, упомянутых в этой главе.
Есть
онлайн-решатель треугольников,
пользователя Jesus SD, за проверку ваших ответов. Нажмите на подсказку о
Хром; похоже, он отлично работает в других браузерах, которые я пробовал.

Давайте для начала рассмотрим конкретный пример. Предположим, у вас есть
треугольник, у которого одна сторона имеет длину 180, прилегающий угол равен
42, а противоположный угол — 31. Вас попросят найти
другой угол и две другие стороны.

Всегда полезно нарисовать грубый набросок, как этот. Нет
только помогает лучше организовать процесс решения, но
может помочь вам проверить вашу работу. Например, поскольку угол 31
самый маленький, вы знаете, что противоположная сторона также должна быть
самый короткий.Если бы вы дали ответ, скажем, 110 на одного
с другой стороны, вы сразу поймете, что совершили ошибку
где-то, потому что 110 <180 и две другие стороны должны оба будут> 180.

Как бы вы подошли к решению этой проблемы? Это не сразу
очевидно, согласен. Но, может быть, мы сможем получить помощь от
некоторые полезные общие техники решения проблем:

Можете ли вы нарисовать диаграмму?
Можете ли вы использовать то, что уже знаете, чтобы решить эту проблему?
проблема или связанная проблема?
Если у вас конкретный случай, можете ли вы решить более общую проблему?
(Иногда бывает и наоборот, когда берется конкретный
пример указывает на хорошую технику для решения общей проблемы.)

У нас уже есть диаграмма, но давайте посмотрим, могут ли эти другие методы
будет полезно. (Между прочим, у меня они не оригинальные, но
из потрясающей книги о решении проблем
методы, о которых, я думаю, вам следует знать.)

Можете ли вы использовать то, что вы уже знаете, чтобы решить эту проблему?
проблема? Например, если бы это был прямоугольный треугольник, вы бы знали, что
прочь, как записать длину
стороны в виде синусов или косинусов.

Но, увы, это не прямоугольный треугольник.Есть ли способ повернуть это
в прямоугольный треугольник? Не совсем так, но если построить линию на
под прямым углом к одной стороне и проходящим через противоположную вершину,
у вас будет два прямоугольных треугольника. Может быть, решая эти правильные треугольники
покажет, как собрать исходный треугольник.

На этой диаграмме показан тот же треугольник после того, как я нарисовал
перпендикуляр. Я также использовал другой принцип (можете ли вы решить более
общая проблема?) и заменил конкретные цифры на обычные
буквы для сторон и углов.Падение перпендикулярного компакт-диска в
диаграмма делит большой треугольник (который вы не знаете, как
решить) на два прямоугольных треугольника ACD и BCD с общей стороной CD.
И вы можете решить эти прямоугольные треугольники .

Мы собираемся использовать эту простую диаграмму для разработки двух важных инструментов.
для решения треугольников: закон синусов и закон косинусов. Просто
рисование этой перпендикулярной линии покажет вам, как решать не только
треугольник, с которого мы начали, но любой треугольник .(Некоторые триггеры
курсы преподают другие законы, такие как Закон касательных и Закон
Сегменты. Я игнорирую их, потому что вы можете решать треугольники
просто отлично без них.)

Закон синуса

Закон синуса прост и красив, и его легко вывести. Его
полезно, когда вы знаете два угла и любую сторону треугольника, или два угла и площадь, или (иногда) две стороны и один угол. .

Давайте начнем с того, что запишем то, что мы знаем, что касается сторон и
углы двух прямоугольных треугольников на диаграмме выше.Вы помните, как записывать
длины катетов прямоугольного треугольника? В
катет всегда равен гипотенузе, умноженной на или на косинус
из соседнего угла или синус противоположного угла. (Если
это кажется вам пустыми словами, или даже если вы не на 100%
уверен в этом, пожалуйста, вернитесь и просмотрите
этот раздел, пока вы не почувствуете себя уверенно.)

На схеме посмотрите на треугольник ADC слева: справа
угол равен D , а гипотенуза — b .Мы не знаем, сколько из
исходный угол C находится в этом треугольнике, поэтому мы не можем использовать C , чтобы найти
длины любых сторон. Что мы можем записать, используя угол A ? Используя
его косинус и синус, мы можем записать длины обеих сторон
треугольник:

AD = b cos A
а также
CD = b sin A

По тем же соображениям в другом треугольнике у вас

DB = a cos B
а также
CD = a sin B

Это поразительно: вы видите два разных выражения для длины CD.Но вещи, которые равны одному и тому же, равны друг другу.
Это означает, что

b sin A = a sin B

Разделите на sin A , и вы получите решение для общего случая:

b = a sin B / sin A

Как это применимо к треугольнику, с которого мы начали? Хорошо, воткни
значения, и вы получите длину стороны рядом с 31
угол (или противоположный углу 42):

b = 180 × sin 42 / sin 31 ≈ 234

А как насчет третьего угла, C , и третьей стороны, c ? Хорошо, когда ты
есть два угла треугольника, третий легко найти:

A + B + C = 180

C = 180 — A — B

В этом случае
C = 180 — 31 — 42 = 107.

Что касается третьей стороны, есть несколько вариантов. Ты
написали выражения выше для AD и DB, и вы знаете, что c =
AD + DB, чтобы вы могли вычислить
c = b cos A + a cos B .

Но это два умножения и добавление, немного
сложнее, чем одно умножение и одно деление, чтобы найти сторону b .
Я ленив, и мне нравится уменьшать количество нажатий на моем
калькулятор. Есть ли способ попроще, хотя бы немного проще?
Да, есть.Вернитесь на шаг назад к

a sin B = b sin A

Разделите левую и правую на (sin A ) (sin B ), чтобы получить

a / sin A = b / sin B

Но в двух углах A и B нет ничего особенного. Вы могли
точно так же сбросили перпендикуляр с A на
BC или от B до
АС .Справа показан результат падения перпендикуляра с B на
линия CD.

Поскольку C > 90, этот перпендикуляр оказывается
вне треугольника и два прямоугольных треугольника ABD и CBD перекрываются.
Но это не повлияет на алгебру.
Кстати, угол в треугольнике
CBD — это не C , а 180- C , дополнение к C . Уголок С
принадлежит исходному треугольнику ABC.

Вы можете записать длину общей стороны BD как

BD = c sin A (в треугольнике ABD)

BD = a sin (180 — C ) (в треугольнике CBD)

Но sin (180 — C ) = sin C , поэтому у вас

BD = a sin C (в треугольнике CBD)

Установите две вычисленные длины BD равными друг другу, и
разделить на (sin A ) (sin C ):

a sin C = c sin A

a / sin A = c / sin C

Но мы уже выяснили ранее, что

a / sin A = b / sin B

Комбинируя эти два уравнения, мы получаем Закон синусов :

(28) Закон синуса Первая форма:

a / sin A = b / sin B = c / sin C

Это очень просто и красиво: для любого треугольника, если вы
делим любую сторону на синус противоположного угла ,
ты получишь
тот же результат.Этот закон действует для любого треугольника.

При необходимости вы можете вывести закон синуса, поэтому я не буду специально
рекомендую запомнить. Но это так просто и красиво, что
довольно сложно не запомнить, если вы вообще его используете. Это тоже довольно
трудно запомнить неправильно: нет чередующихся плюсов и минусов
знаки или комбинации разных функций.

Возвращаясь к нашему исходному треугольнику, мы можем вычислить длину
третья сторона:

a / sin A = c / sin C

a (sin C ) / (sin A ) = c

c =
180 × (грех 107) / (грех 31) ≈
334

Закон синуса иногда приводится в перевернутом виде:

(29) Закон синуса Вторая форма:

(sin A ) / a = (sin B ) / b = (sin C ) / c

Конечно, это тот же закон, точно так же, как 2/3 = 6/9 и 3/2 =
9/6 — то же утверждение.Работайте с этим в любом случае, и вы придете
с такими же ответами.

В большинстве случаев, когда вы используете
Закон синуса, вы получите уникальное решение. Но иногда
вы получаете два решения (или ни одного) в случае бокового угла, где
вы знаете две стороны и угол, которого нет между ними.
Пожалуйста, посмотрите
Специальное примечание ниже, после таблицы.

Закон косинусов

Закон синуса прекрасен, когда вы можете связать стороны и углы. Но
предположим, вы знаете три стороны треугольника, например a = 180, b = 238,
c = 340 и вам нужно найти
три угла.Закон синуса для этого не годится, потому что он связывает
две стороны и их противоположные углы. Если вы не знаете углов, вы
есть уравнение с двумя неизвестными, и вы не можете его решить.

Но треугольник может быть решен , если известны все три стороны ;
вам просто нужен другой инструмент. И зная меня, ты можешь быть уверен, что я
собираюсь помочь вам в разработке! Это называется законом косинусов.

Давайте посмотрим на общий треугольник с опущенным перпендикуляром.
из вершины C .Возможно, вы помните, что когда мы впервые посмотрели на эту картинку, мы вытащили
выводить информацию, используя как синус, так и косинус двух углов.
Мы использовали синусоидальную информацию для разработки закона синусов, но никогда не
пошел куда угодно с информацией о косинусе, которая была

AD = b cos A и
DB или BD = a cos B

Давайте посмотрим, к чему это нас может привести. Вы помните, как мы подошли
с законом синуса было написать два уравнения, в которых
длину вспомогательной линии CD, а затем объедините уравнения, чтобы
устранить компакт-диск.Можем ли мы сделать что-нибудь подобное здесь?

Итак, мы знаем две другие стороны этих прямоугольных треугольников, поэтому мы
может написать выражение для высоты CD с помощью пифагорова
теоретически, два выражения, по одному для каждого
треугольник.

a = (CD) + (BD)
⇒
(CD) = a — (BD)

b = (CD) + (AD)
⇒
(CD) = b — (AD)

и, следовательно,

а — (BD) =
б — (н.э.)

Подставьте известные значения BD = a cos B и
AD = b cos A , и у вас

a — a cos² B = b — b cos² A

Bzzt! Не хорошо! Здесь используются две стороны и два угла, но нам нужен
уравнение с тремя сторонами и один угол , так что мы можем решить
для этого угла.Вернемся на шаг назад, чтобы
a — (BD) = b — (AD),
и посмотрим, сможем ли мы пойти в другом направлении.

Может быть, проблема в том, чтобы рассматривать BD и AD как отдельные
сущности, когда на самом деле они являются частями одной линии. С
BD + AD = c , можно написать

BD = c —

нашей эры

BD = c — b cos A .

Обратите внимание, что это приводит к падению третьей стороны, c , и угла B .
вне.Подставив, у нас теперь

а — (BD) =
б — (н.э.)

a — ( c — b cos A ) =
b — ( b cos A )

Это выглядит хуже, чем другое, но на самом деле лучше, потому что
это то, что искали: уравнение для трех сторон и одной
угол. Мы можем решить это с помощью небольшой алгебры:

a — c + 2 b c cos A — b cos² A =
b — b cos² A

a — c + 2 b c cos A = b

2 b c cos A = b + c — a

cos A = ( b + c — a ) / 2 b c

Мы долго шли туда, но наконец-то добрались.Сейчас
мы можем указать длины сторон, о которых я упоминал в первом
абзац и придумайте значение для
cos A , который, в свою очередь, сообщит нам угол A :

cos A = (238 + 340 — 180) /
(2 × 238 × 340)

cos A ≈ 0,864088

A ≈ 30,2

Сделайте то же самое с
найдите второй угол (или воспользуйтесь законом синусов, так как он работает меньше),
затем вычтите два известных угла из 180, чтобы найти третий
угол.

Закон косинусов для других углов можно найти
следуя тому же процессу, используя два других перпендикуляра.

(30) Закон косинусов Первая форма:

cos A = ( b + c — a ) / 2 b c

cos B = ( a + c — b ) / 2 a c

cos C = ( a + b — c ) / 2 a b

Ради интереса, давайте найдем два других угла этого треугольника:

cos C = ( a + b — c ) / 2 a b

cos C = (180 + 238 — 340) /
(2 × 180 × 238)

cos C ≈ −0.309944

C ≈ 108,1

Обратите внимание, что закон косинусов автоматически обрабатывает
тупые углы. Помните из
диаграмма
в функциях любого угла, которые
cos A отрицательный, если A находится в диапазоне от 90 до 180.
Поскольку косинус имеет уникальные значения от 0 до
180, вам никогда не придется беспокоиться о нескольких решениях
треугольник, когда вы используете закон косинусов.

Есть еще одна хорошо известная форма закона косинусов, которая может быть
немного легче запомнить.Начните с приведенной выше формы, умножьте на
2 a b и изолировать c с одной стороны:

cos C = ( a + b — c ) / 2 a b

2 a b cos C = a + b — c

c = a + b -2 a b cos C

Вы можете сыграть в ту же игру, чтобы решить две другие стороны:

(31) Закон косинусов Вторая форма:

a = b + c -2 b c × cos A

b = a + c -2 a c × cos B

c = a + b -2 a b × cos C

Обычно вы используете закон косинусов в
первая форма для поиска угла и вторая форма для поиска стороны .

Наверное, вы не хотите вспоминать об этом, но
это не так сложно, как кажется. Я думаю об этом так: квадрат
одной стороны — это сумма квадратов двух других, например
Пифагора, но с поправочным коэффициентом в 2 раза выше
те же стороны умножают на косинус противоположного угла.

Детективная работа: решение всех типов треугольников

Только с определениями
синус, косинус и тангенс, вы можете
решите любой прямоугольный треугольник .
Если у вас есть закон синусов и закон косинусов под вашим
пояса, вы можете решить любой треугольник, который существует .(Некоторые наборы данностей
привести к невозможной ситуации, как треугольник со сторонами
3-4-9.)

Действительно, это довольно просто. В любое время
вам нужно собрать треугольник, подумать о том, что у вас есть, а затем подумать
о том, какую формулу вы можете использовать, чтобы получить то, что вам нужно. (Когда у тебя есть
два угла, вы всегда можете найти третий по
A + B + C =
180.)

Чемоданы

Многим людям легче думать об известных элементах
треугольник как случай.Например, если вы знаете два угла и
сторона между ними, это случай ASA; если ты знаешь два угла и сторону
это не между ними, это случай AAS и так далее.

Im , а не , представляя вам следующую таблицу
запоминать. Вместо этого я надеюсь показать вам, что между
Закон синусов и закон косинусов можно решить в любом треугольнике,
и что вы просто выбираете, какой закон использовать, исходя из того, какой только
one unknown и иным образом использует уже имеющуюся у вас информацию.

Большинство случаев можно решить с помощью закона синусов. Но если у вас есть
три стороны ( SSS ) или две стороны и угол между ними
( SAS ), вы должны начать с закона косинусов.

Если вы это знаете …		Таким образом можно решить треугольник …
три угла, AAA		Недостаточно информации. Без хотя бы одной стороны у вас есть форма треугольника, но нет возможности правильно его масштабировать.Для Например, те же углы могут дать вам треугольник со сторонами 7-12-13, 35-60-65 или любое другое кратное.
два угла и сторона, AAS или ASA		Найдите третий угол, вычтя из 180. Затем используйте Закон синуса (28) ★ дважды найти вторую и третью стороны.
с двух сторон и …	Уголок в комплекте, SAS	Используйте закон косинусов (31) ★ найти третью сторону. Затем используйте либо закон синуса (29) ★ или закон косинусов (30) ★ найти второй угол.
с двух сторон и …	угол без включения, SSA	Используйте закон синуса (29) ★, чтобы получить второй угол и закон синуса (28) ★ чтобы получить третью сторону. Но… В этом случае может не быть решений, одного решения или два решения. См. Подробности в Специальном Обратите внимание, ниже.
с трех сторон, SSS		Найдите один угол с помощью закона косинусов (30). Используйте этот угол и его противоположную сторону в закон синуса (29), чтобы найти второй угол, затем вычтите, чтобы найти третий угол.
два углы и площадь		См. Дано: Площадь и два угла ниже. Найдите третий угол. Затем найдите сторону, используя а = √2 × площадь × sin A / (sin B sin C ) Затем действуйте, как в случае ASA, описанном выше.
два стороны и площадь		См. Дано: Площадь и две стороны ниже. Найдите прилагаемый угол с грех А = 2 × площадь / ( b c ) Затем действуйте, как в случае SAS, описанном выше.
★ Если задан угол 90, закон синусов и закон косинусов избыточны. Просто примените определения синуса и косинуса (уравнение 1) и касательную (уравнение 4), чтобы найти другой стороны и углы.

Особое примечание: Боковой угол

Для большинства наборов фактов существует уникальное решение.
или они явно абсурдны. (Если вы не понимаете, почему
треугольник со сторонами 50-60-200
абсурд, попробуйте его набросать.) Но

случай SSA может быть непростым.

Предположим, вы знаете острый угол B и стороны a и b .
Учитывая эти факты, есть два разных способа нарисовать
треугольник, как показано на картинке. Как это может быть? Что ж, вы пользуетесь законом
Синусы, чтобы найти синусы углов A и C .
Допустим, вы нашли sin C = 0,5. Это означает, что C может быть
либо 30, либо дополнение 150. Помните, что синус
любой угол и синус его дополнения одинаковы.

Это печально известный двусмысленный случай . Вы можете увидеть
Проблема с картинки: известная противоположная сторона b может принимать любую из
две позиции, которые удовлетворяют заданным длинам a и b .
Эти два положения дают два разных значения для угла A ,
два разных значения для угла C и два разных значения для стороны c .
Подумайте об этом немного, и
вы увидите, что эта неоднозначность может возникнуть только тогда, когда известный угол
острый, и соседняя сторона длиннее, чем противоположная сторона, и
противоположная сторона больше высоты.

Вот полное изложение всех
возможности с корпусом SSA:

Возможности в рамках дела SSA
	известный угол <90	известный угол ≥ 90
смежная сторона <противоположная сторона	одно решение	одно решение
смежная сторона = противоположная сторона	одно решение	нет решения (Углы, противоположные равным сторонам, должны быть равны, но у вас не может быть двух углов ≥ 90 в треугольнике.)
смежная сторона> противоположная сторона	Вычислите высоту треугольника h (умножение смежной стороны на синус известного угол). Противоположная сторона Противоположная сторона = h? одно решение (прямоугольный треугольник) Противоположная сторона> h? два решения	нет решения (Условия нарушают Теорема о том, что самая длинная сторона всегда противоположна самой большой угол.)

Ради всего святого, не пытайтесь запомнить эту таблицу!
Вместо этого всегда рисуйте картинку.Если вы можете нарисовать два
фотографии, которые соответствуют всем имеющимся фактам, у вас есть две
законные решения. Если только одна картинка соответствует всем фактам, она будет
покажет вам, какой угол (если есть)> 90. И если вы не можете
сделайте любую картинку, которая соответствует действительности, треугольник не имеет
решение.

Если у вас есть два решения, что вы будете делать? Если у вас нет
другая информация для продолжения, конечно, вы сообщаете оба решения. Но
внимательно проверьте ситуацию. Может быть, вам прямо сказали, что
самый большой угол или это подразумевается другими известными вам фактами.В этом
если ваше решение ограничено, и вы отклоняете решение, которое
не соответствует ограничениям.

Пример: Предположим, вас попросили решить
треугольник с B = 36,9 a = 75,3,
и b = 51,3. Как вы продвигаетесь?

Решение: Начните с эскиза, как показано на
верно. Это поможет вам присвоить номера нужным элементам
треугольник.

Это случай с боковым углом: вы знаете
с двух сторон a и b , а не включенный угол B .Прилегающая к
угол B ,
a = 75,3, больше, чем противоположная сторона, a = 51,3, поэтому вы
нужно вычислить высоту, h = 75,3 sin 36,9
≈ 45,2. Противоположная сторона, a = 51,3, больше, чем
this, поэтому есть два решения.

Используйте закон синусов, уравнение 29, чтобы получить вторую
угол:

(sin A ) / a = (sin B ) / b

sin A = ( a / b ) sin B

sin A = (75.3 / 51,3) sin 36,9 ≈ 0,8813

A = 61,8 или 180 — 61,8 = 118,2

Если A = 61,8 …	Если A = 118,2 …
Угол C = 180- A — B С = 180 — 61,8 — 36,9 = 81,3 Используйте закон синусов, уравнение 28, для третья сторона: c / (sin C ) = b / (sin B ) c = b sin C / sin B c = 51.3 грех 81,3 / грех 36,9 ≈ 84,5 Все шесть элементов треугольника по порядку A = 61,8, c = 84,5, B = 36,9, a = 75,3, C = 81,3, b = 51,3.	Угол C = 180- A — B C = 180 — 118,2 — 36,9 = 24,9 Используйте закон синусов, уравнение 28, для третья сторона: c / sin C = b / sin B c = b sin C / sin B c = 51.3 sin 24,9 / sin 36,9 ≈ 36,0 Все шесть элементов треугольника по порядку A = 118,2, c = 36,0, B = 36,9, a = 75,3, C = 24,9, b = 51,3.

Если A = 61,8 …

Если A = 118,2 …

Угол C = 180- A — B

С = 180 — 61,8 — 36,9 = 81,3

Используйте закон синусов, уравнение 28, для
третья сторона:

c / (sin C ) = b / (sin B )

c = b sin C / sin B

c = 51.3 грех 81,3 / грех 36,9 ≈ 84,5

Все шесть элементов треугольника по порядку
A = 61,8, c = 84,5, B = 36,9, a = 75,3, C = 81,3, b = 51,3.

Угол C = 180- A — B

C = 180 — 118,2 — 36,9 = 24,9

Используйте закон синусов, уравнение 28, для
третья сторона:

c / sin C = b / sin B

c = b sin C / sin B

c = 51.3 sin 24,9 / sin 36,9 ≈ 36,0

Все шесть элементов треугольника по порядку
A = 118,2, c = 36,0, B = 36,9, a = 75,3, C = 24,9, b = 51,3.

Решение треугольников из области

Дано: площадь и два угла

В апреле 2016 года Кэролайн МакКноу спросила меня, как решить
треугольник , если у вас есть два угла и площадь . У меня не было
сталкивался с этим раньше, но это выполнимо со стандартным
уловка сброса перпендикуляра.

Напомним, что площадь треугольника равна основанию × высота / 2.
Здесь база c , а высота (CD) равна
b sin A . (CD также равно
a sin B , но для этого решения это не так.
независимо от того, какое выражение вы используете.) Это дает вам

площадь = ( c b sin A ) / 2

Мы знаем угол A , даже если A
не является одним из двух данных, мы можем легко найти его, вычитая
два других из 180, но есть две неизвестные стороны в
это уравнение.Как мы можем устранить одного из них? Нам нужна секунда
уравнение, которое включает b и c , но не другие
неизвестные. Ответ находится в Законе Синуса:

b / sin B = c / sin C
⇒ b =
c sin B / sin C

Подставьте это в уравнение для площади:

площадь = ( c b sin A ) / 2

площадь =
( c sin B sin A ) / (2 sin C )

Решить для стороны c :

c =
2 зоны sin C / (sin A sin B )

(32) c = √2 × площадь × sin C / (sin A sin B )

Наконец, воспользуйтесь законом синуса, чтобы найти
стороны a и b .

Дано: площадь и две стороны

После решения треугольника с учетом площади и двух углов его
Естественно задаться вопросом, сможешь ли ты это сделать
с учетом площади и двух сторон . Ответ — да, и
это даже немного проще, чем в случае, когда вы знаете местность и
два угла.

В предыдущем разделе мы нашли формулу для площади в терминах
двух сторон и включенный угол:

площадь = ( c b sin A ) / 2

Мы не могли использовать это напрямую, когда знали два угла и
площадь, но если мы знаем две стороны и площадь, тогда эта формула
именно то, что мы хотим.Просто решите грех A :

(33) sin A = 2 × площадь / ( b c )

Затем используйте Закон косинусов, чтобы найти сторону
а .
Наконец, используйте закон синусов или
Закон косинусов, чтобы найти второй угол, и
вычтите эти углы из 180, чтобы найти третий угол.

Практические задачи

Чтобы извлечь максимальную пользу из этих проблем, решите их.
без предварительного просмотра решений. Вернитесь к главе
текст, если вам нужно освежить память.

Рекомендация : Работайте на бумаге
труднее обмануть себя, действительно ли ты
полностью разобраться в проблеме.

Вы найдете полный
решения для всех проблем. Не просто проверяй свой
ответы, но проверьте и свой метод.

1
У вас есть прямоугольный треугольник ( C = 90) с
короткие стороны a = 88 и b = 37.
Решите треугольник.

2 (Нарисуйте эту проблему, когда будете ее читать.)
В государственном парке река течет практически прямо к
1800 м.Вы хотите построить монорельс от A , один конец
этот участок до точки C на дальнем берегу. Вы также хотите
построить пешеходный мост от B , на другом конце этого участка
реки, до той же точки C на дальнем берегу.
При A угол между линиями обзора к B и
C составляет 67. При B угол между вашим прицелом
линии на A и C — 38.

Какой длины должны быть монорельс и пешеходный мост?

Дополнительный вопрос: если река имеет одинаковую ширину на всем протяжении
протянуть от A до B , какова его ширина?

3
Найдите другие элементы треугольника с B =
117, a = 16 см и b =
25 см.

4
Очень современно выглядящая подставка представляет собой треугольную форму со сторонами
6 дюймов, 9 дюймов и 12 дюймов. Какие
три угла?

5После того, как вы покрасите спальню, у вас будет достаточно
краски осталось, чтобы покрыть 25 футов. Вы решаете нарисовать треугольник
на стене другой комнаты, как акцент. Два угла должны быть
30 и 40. Найдите третий угол и длину
с трех сторон.

6
Вы проезжаете 6,0 миль по прямой трассе, затем съезжаете.
Поворот направо, но угла не замечаешь.

Вы едете по прямой проселочной дороге.
Пройдя 9,8 миль по проселочной дороге, вы повернете 135 на
правильно, на третьей дороге. (Если вы визуализируете это сверху,
изменение направления на 135 соответствует углу
180 — 135 = 45 в треугольнике.)

Если предположить, что дорога идет в том же направлении, как далеко?
вы должны ехать, чтобы добраться до отправной точки?

7Вы выкладываете треугольную грядку для своего сада.
Две стороны 40 м и 60 м, а угол между ними равен
22.Какова длина третьей стороны и какие две другие?
углы?

BTW: Великая книга по решению проблем

Я должен порекомендовать замечательную маленькую книгу, Как решить
Это г. Г. Поля. Большинство учителей не очень хорошо учат вас
как решать проблемы и делать доказательства. Они показывают вам, как они
выполняйте их, и ожидайте, что вы научитесь их техникам своего рода
осмос. Но большинство из них не очень хорошо объясняют свою мысль.
процесс геометрического доказательства или решения ужасной
история проблема.

Книга

Поляс отлично научит вас решать проблемы.
Он показывает вам, какие вопросы вы должны задать себе, когда вы
вижу проблему. Другими словами, он учит вас, как справиться с самим собой.
гул, мимо барахтаний, которые делают большинство людей, когда видят
незнакомая проблема. И он делает это с множеством примеров, чтобы вы
может развить уверенность в своих методах и сравнить свои методы
с его. Упомянутые мною выше техники — всего три из
многие в его книге.

Есть даже удобный список вопросов, которые вы можете задать себе
всякий раз, когда вы застряли на проблеме.

Как это решить был впервые опубликован в 1945 г.
и его периодически издается и выходит из печати. Если вы не можете это получить
из книжного магазина, пойдите в библиотеку и возьмите копию. Ты не будешь
Извините.

Что нового

19 фев 2018 : Добавлена ссылка на
онлайн-решатель треугольников.
(промежуточные изменения подавлены)
19 февраля 1997 г. : Новый документ.

следующий: 5 / Функции любого угла

Сводка тригонометрических формул

Сводка тригонометрических формул

Эти формулы относятся к длине и площади определенных кругов или треугольников. На следующей странице вы найдете личности. Идентичности не относятся к конкретным геометрическим фигурам, но верны для всех углов.

Формулы дуг и секторов окружностей

Вы можете легко найти как длину дуги, так и площадь сектора для угла θ в окружности радиуса r .

Длина дуги. Длина дуги равна радиусу r, умноженному на на угол θ , где угол измеряется в радианах. Чтобы преобразовать градусы в радианы, умножьте количество градусов на π /180.
Площадь сектора. Площадь сектора равна половине квадрата радиуса, умноженного на угол, где, опять же, угол измеряется в радианах.

Формулы для прямоугольных треугольников

Наиболее важные формулы тригонометрии — формулы прямоугольного треугольника.Если θ — это один из острых углов в треугольнике, то синус теты — это отношение противоположной стороны к гипотенузе, косинус — это отношение соседней стороны к гипотенузе, а тангенс — это отношение сторона, противоположная соседней стороне.

Эти три формулы известны мнемоническим языком SohCahToa. Помимо этого, существует очень важная формула Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.

Зная, что два острых угла дополняют друг друга, то есть они складываются в 90 °, вы можете решить любой прямоугольный треугольник:

Если вы знаете две из трех сторон, вы можете найти третью сторону и оба острых угла.
Если вы знаете один острый угол и одну из трех сторон, вы можете найти другой острый угол и две другие стороны.

Формулы наклонных треугольников

Эти формулы работают для любого треугольника, будь то острый, тупой или прямой.Мы будем использовать стандартные обозначения, в которых три вершины треугольника обозначаются прописными буквами A , B и C , а три противоположные им стороны соответственно обозначаются строчными буквами a , . b и c .

Есть две важные формулы для наклонных треугольников. Их называют законом косинусов и законом синусов.

Закон косинусов обобщает формулу Пифагора на все треугольники.В нем говорится, что c ², квадрат одной стороны треугольника, равен a ² + b ², сумме квадратов двух других сторон минус 2. ab cos & nbsp C , удвоенное произведение, умноженное на косинус противоположного угла. Когда угол C правильный, он становится формулой Пифагора.

Закон синусов гласит, что отношение синуса одного угла к противоположной стороне является одинаковым отношением для всех трех углов.

С помощью этих двух формул вы можете решить любой треугольник:

Если вы знаете два угла и сторону, вы можете найти третий угол и две другие стороны.
Если вы знаете две стороны и включенный угол, вы можете найти третью сторону и оба других угла.
Если вы знаете две стороны и угол, противоположный одной из них, есть две возможности для угла, противоположного другой (острый и тупой), и для обеих возможностей вы можете определить оставшийся угол и оставшуюся сторону.

Формулы площади для треугольников

Есть три разные полезные формулы для вычисления площади треугольника, и какая из них вы используете, зависит от того, какая информация у вас есть.

Умножить половину основания на высоту. Это обычный вариант, так как он самый простой и обычно у вас есть такая информация. Выбирайте любую сторону для вызова базы b . Тогда, если h — это расстояние от противоположной вершины до b , то площадь равна половине bh .
Формула Герона. Это полезно, когда вы знаете три стороны треугольника: a , b и c и все, что вам нужно знать, — это площадь. Пусть s будет половиной их суммы, называемой полупериметром . Тогда площадь является квадратным корнем из произведения s , s — a , s — b и s — c .
Формула стороны-угла-стороны. Используйте это, если вы знаете две стороны, a и b , и включенный угол C . Площадь равна половине произведения двух сторон, умноженного на синус включенного угла.

11 правил естественного журнала, которые необходимо знать

Если вы изучаете математику в средней школе или колледже, вы, скорее всего, пройдете курс натурального бревна. Но что такое натуральные бревна? Что такое ln? Почему продолжает появляться буква е?

Естественный журнал может показаться сложным, но как только вы поймете несколько ключевых правил естественного журнала, вы сможете легко решать даже очень сложные на вид проблемы.В этом руководстве мы объясним четыре наиболее важных правила натурального логарифма, обсудим другие свойства натурального логарифма, которые вам следует знать, рассмотрим несколько примеров различной сложности и объясним, чем натуральные логарифмы отличаются от других логарифмов.

Что такое ln?

Натуральный логарифм, или ln, является обратной величиной e . Буква « e » представляет математическую константу, также известную как естественный показатель степени. Как и π, e — математическая константа, имеющая заданное значение.Значение e равно примерно 2,71828.

e встречается во многих случаях в математике, в том числе в сценариях, касающихся сложных процентов, уравнений роста и уравнений распада. ln ( x ) — это время, необходимое для роста до x , а e ^x — это величина роста, произошедшая по прошествии времени x .

Поскольку e так часто используется в математике и экономике, и людям в этих областях часто требуется логарифм с основанием e числа, чтобы решить уравнение или найти значение, натуральный логарифм был создан как Быстрый способ записи и расчета базы журнала e .Натуральный логарифм просто позволяет людям, читающим задачу, знать, что вы берете логарифм числа с основанием e . Итак, ln ( x ) = log _e ( x ). Например, ln ( 5 ) = log _e ( 5 ) = 1,609.

Четыре основных правила естественного журнала

Есть четыре основных правила, которые вам нужно знать при работе с естественным журналом, и вы будете видеть каждое из них снова и снова в своих математических задачах.Хорошо их знайте, потому что они могут сбить с толку, когда вы их впервые увидите, и вы хотите убедиться, что у вас есть базовые правила, подобные этим, прежде чем переходить к более сложным темам логарифмирования.

Правило продукта

ln (x) (y) = ln (x) + ln (y)
Натуральный логарифм умножения x и y — это сумма ln x и ln y.
Пример: ln (8) (6) = ln (8) + ln (6)

Правило частного

ln (x / y) = ln (x) — ln (y)
Натуральный логарифм деления x и y — это разность ln x и ln y.
Пример: ln (7/4) = ln (7) — ln (4)

Взаимное правило

ln (1 / x) = −ln (x)
Натуральный логарифм обратной величины x противоположен ln x.
Пример: ln (⅓) = -ln (3)

Правило питания

ln ( x ^y) = y * ln (x)
Натуральный логарифм числа x в степени y равен y умноженному на ln числа x.
Пример: ln (5 ²) = 2 * ln (5)

Основные свойства натурального бревна

В дополнение к четырем правилам натурального логарифма, описанным выше, есть еще несколько свойств ln, которые вам необходимо знать, если вы изучаете натуральные логарифмы. Запомните их, чтобы вы могли быстро перейти к следующему этапу решения, не тратя время на попытки запомнить общие свойства ln.

Сценарий	ln Недвижимость
ln отрицательного числа	Длина отрицательного числа не определена
пер 0	ln (0) не определено
пер 1	ln (1) = 0
Линия Infinity	ln (∞) = ∞
пер е	ln (эл.) = 1
ln e повышен до x мощности	ln ( e ^x) = x
e повышен до мощности	e ^{ln (x)} = x

Как видно из последних трех строк, ln ( e ) = 1, и это верно, даже если одна возведена в степень другой.Это потому, что ln и e являются обратными функциями друг друга.

Примеры задач естественного журнала

Теперь пора проверить свои навыки и убедиться, что вы понимаете правила ln, применяя их к примерам задач. Ниже приведены три примера проблем. Попытайтесь решить их самостоятельно, прежде чем читать объяснение.

Проблема 1

Оценить ln (7 ²/5)

Сначала мы используем правило частного, чтобы получить: ln (7 ²) — ln (5).

Затем мы используем правило мощности, чтобы получить: 2ln (7) -ln (5).

Если у вас нет калькулятора, вы можете оставить уравнение в таком виде или вычислить значения натурального логарифма: 2 (1,946) — 1,609 = 3,891 — 1,609 = 2,283.

Проблема 2

Оценить ln ( e ) / 7

Для этой задачи нам нужно запомнить, что ln ( e ) = 1

Это означает, что задача упрощается до 1/7, что и является нашим ответом.

Проблема 3

Решить ln (5 x -6) = 2

Когда у вас есть несколько переменных в скобках ln, вы хотите сделать e основанием, а все остальное — показателем степени e . Тогда вы получите ln и e рядом друг с другом и, как мы знаем из правил естественного журнала, e ^{ln (x)} = x.

Таким образом, уравнение принимает вид e ^{ln (5x-6)} = e ²

Начиная с e ^{ln (x)} = x , e ^{ln (5x-6)} = 5x-6

Следовательно 5 x -6 = e ²

Поскольку e является константой, вы можете затем вычислить значение e ², либо используя клавишу e на вашем калькуляторе, либо используя оценочное значение e, равное 2.718.

5 x -6 = 7,389

Теперь добавим 6 к обеим сторонам

5 x = 13,389

Наконец, мы разделим обе стороны на 5.

x = 2,678

Чем натуральные бревна отличаются от других логарифмов?

Напоминаем, что логарифм — это противоположность степени. Если вы возьмете журнал числа, вы отмените экспоненту. Ключевое различие между натуральным логарифмом и другими логарифмами заключается в используемом основании.В логарифмах обычно используется основание 10 (хотя это может быть другое значение, которое будет указано), в то время как в натуральных логарифмах всегда используется основание e .

Это означает, что ln (x) = log _e ( x )

Если вам нужно преобразовать логарифм в натуральный логарифм, используйте следующие два уравнения:

журнал ₁₀ ( x ) = ln (x) / ln (10)
ln (x) = log ₁₀ ( x ) / log ₁₀ ( e )

За исключением разницы в основании (которая является большой разницей) правила логарифмирования и правила натурального логарифма одинаковы:

Правила логарифмирования	Правила
журнал (xy) = журнал (x) + журнал (y)	ln (x) (y) = ln (x) + ln (y)
журнал (x / y) = журнал (x) −log (y)	ln (x / y) = ln (x) −ln (y)
журнал (x ^a) = a журнал ( x )	ln (x ^a ) = a ln ( x )
журнал (10 ^x) = x	ln ( e ^x) = x
10 ^{журнал (x)} = x	e ^{ln (x)} = x

Резюме: Правила естественного журнала

Натуральный логарифм, или ln, является обратной величиной e. Правила естественного журнала сначала могут показаться нелогичными, но как только вы их изучите, их довольно просто запомнить и применить к практическим задачам.

Четыре основных правила ln:

ln (x) (y) = ln (x) + ln (y)
ln (x / y) = ln (x) — ln (y)
ln (1 / x) = — ln (x)
n ( x ^y) = y * ln (x)

Основное различие между натуральным логарифмом и другими логарифмами заключается в используемом основании.

Что дальше?

Пишете исследовательскую работу для школы, но не знаете, о чем писать? В нашем справочнике по темам исследовательских работ более 100 тем в десяти категориях, так что вы можете быть уверены, что найдете идеальную тему для себя.

Хотите узнать о самых быстрых и простых способах конвертации между градусами Фаренгейта и Цельсия? Мы вас прикрыли! Ознакомьтесь с нашим руководством по лучшим способам преобразования Цельсия в градусы Фаренгейта (или наоборот).

Сдаете SAT или ACT? Студенты часто испытывают трудности с математическим разделом этих тестов, но ознакомьтесь с нашими подробными руководствами по SAT Math и ACT Math, где вы найдете все, что вам нужно знать, чтобы сдать эти вопросы по математике.

Решение прямоугольных треугольников

Треугольники состоят из трех отрезков прямых.Они встречаются, образуя три угла. Размеры углов и длины сторон связаны друг с другом. Если вы знаете размер (длину) трех из шести частей треугольника (должна быть включена хотя бы одна сторона), вы можете найти размеры остальных сторон и углов. Если треугольник прямоугольный, вы можете использовать простые тригонометрические соотношения, чтобы найти недостающие части. В общем треугольнике (остром или тупом) вам нужно использовать другие методы, включая закон косинусов и закон синусов.Вы также можете найти площадь треугольников, используя тригонометрические соотношения.

Все треугольники состоят из трех сторон и трех углов. Если три угла треугольника обозначены как ∠ A , ∠ B и ∠ C , то три стороны треугольника должны быть обозначены как a , b и c . На рисунке 1 показано, как строчные буквы используются для обозначения сторон треугольника, противоположных углам, названным соответствующими прописными буквами.Если известны какие-либо три из этих шести измерений (кроме измерения трех углов), то вы можете рассчитать значения трех других измерений. Процесс поиска недостающих измерений известен как решение треугольника . Если треугольник прямоугольный, то один из углов равен 90 °. Следовательно, вы можете решить прямоугольный треугольник, если вам даны размеры двух из трех сторон или если вам даны размеры одной стороны и одного из двух других углов.

Рисунок 1
Чертеж для примера 1.

Пример 1 : Решите прямоугольный треугольник, показанный на рисунке (b), если ∠ B = 22 °

Так как сумма трех углов треугольника должна составлять 180 °, ∠ A = 90 ∠ B, следовательно, ∠ A = 68 °.

Ниже приводится альтернативный способ решения для сторон a и c:

Это альтернативное решение может быть проще, поскольку не требует разделения.

Пример 2 : Решите прямоугольный треугольник, показанный на рисунке (b), если b = 8 и a = 13.

Вы можете использовать теорему Пифагора, чтобы найти недостающую сторону, но вместо этого используются тригонометрические отношения. Сначала будут найдены два отсутствующих измерения угла, а затем отсутствующая сторона.

Во многих приложениях определенные углы обозначаются специальными именами. Двумя из этих специальных названий являются угол возвышения и угол наклона .В примерах, показанных на Рисунке 2, используются эти термины.

Рисунок 2
а) угол возвышения и б) угол падения.

Пример 3: Большой самолет (самолет A) , летящий на высоте 26 000 футов, видит меньший самолет (самолет B) , летящий на высоте 24 000 футов. Угол депрессии 40 °. Какое расстояние прямой видимости ( x ) между двумя плоскостями?

Рисунок 3 иллюстрирует условия этой проблемы.

Рисунок 3
Рисунок для примера 3.

Из рисунка 3 вы можете найти решение, используя синус 40 °:

Пример 4: Лестница должна достигать вершины здания. Основание лестницы будет на расстоянии 25 футов от основания здания. Угол подъема от основания лестницы до вершины здания — 64 °. Найдите высоту здания (h) и длину лестницы ( м ).

Рисунок 4 иллюстрирует условия этой проблемы.

Рисунок 4
Рисунок для примера 4.

Пример 5: Дровосек хочет определить высоту высокого дерева. Он встает на некотором расстоянии от дерева и определяет, что угол подъема к вершине дерева равен 40 °. Он приближается к дереву на 30 футов, и теперь угол подъема составляет 50 °.Если глаза дровосека находятся на высоте 5 футов над землей, какова высота дерева?

Рисунок 5 поможет вам визуализировать проблему.

Рисунок 5
Рисунок для примера 5.

Из маленького прямоугольного треугольника и из большого прямоугольного треугольника очевидны следующие соотношения:

Подставляя первое уравнение во второе, получаем:

Обратите внимание, что 5 ′ необходимо добавить к значению x , чтобы получить высоту дерева, или 90.06 ′ высотой.

Пример 6: Используя рисунок 6, найдите длину сторон x и y и площадь большого треугольника.

Рисунок 6
Рисунок для примера 6.

Поскольку это равнобедренный треугольник, и равные стороны имеют противоположные равные углы, значения x и y совпадают. Если треугольник разделен на два прямоугольных, основание каждого будет 6.Следовательно,

Объяснение дней возрастания

Градусов Дней:

Дни степени роста (GDD) используются для оценки роста и развития растений и насекомых в течение вегетационного периода. Основная концепция заключается в том, что развитие будет происходить только в том случае, если температура превысит некоторый минимальный порог развития или базовую температуру (TBASE). Базовые температуры определяются экспериментально и различны для каждого организма.

Для расчета GDD необходимо сначала найти среднюю дневную температуру. Средняя температура определяется путем сложения высокой и низкой дневной температуры и деления на два. Если средняя температура равна или ниже TBASE, тогда значение дня степени роста равно нулю. Если средняя температура выше TBASE, то величина дня повышения температуры равна средней температуре минус TBASE. Например, если средняя температура составляла 75 ° F, то величина GDD равна 10 для TBASE 65 ° F.Вы можете думать о днях нарастания градусов как о днях охлаждения, только базовая температура может отличаться от 65 ° F.

В форме уравнения:

Где:
TBASE = дневная базовая температура
TMEAN = средняя температура, (TMAX + TMIN) / 2

Модифицированные дни роста:

Модифицированные дни градуса роста аналогичны дням градуса роста с несколькими регулировками температуры.Если высокая температура выше 86 ° F, она сбрасывается до 86 ° F. Если низкая ниже 50 ° F, она сбрасывается до 50 ° F. После изменения высоких / низких температур (при необходимости) вычисляется средняя дневная температура и сравнивается с базовой температурой, которая обычно составляет 50 ° F. Модифицированные дни степени роста обычно используются для мониторинга развития кукурузы, при этом предполагается, что развитие ограничивается, когда температура превышает 86 ° F или падает ниже 50 ° F. Например, если максимальное значение дня было 92 ° F, а минимальное 68 ° F, среднее значение для использования в модифицированном расчете GDD будет 86 + 68 = 154/2 = 77.

Почему мы должны перейти на систему подсчета Base-12

Люди в большинстве своем считают кусками по 10 — это основа десятичной системы. Однако, несмотря на ее почти повсеместное распространение, это совершенно произвольная система нумерации, которая возникла по одной очень простой причине: у нас по пять пальцев на каждой руке. Но, как любят указывать многие математики, с основанием 10 есть свои проблемы. Они утверждают, что число 12 — вот где оно на самом деле. Вот почему мы должны были принять систему подсчета по основанию 12 — и как мы могли бы заставить ее работать.

Действительно, очень жаль, что нам не удалось разработать идеальный набор пальцев, который помог бы нам разработать систему нумерации, подходящую для счета и вычислений. Вместо этого с нашими 10 пальцами мы застряли в неуклюжей десятичной системе счисления.

При внимательном рассмотрении базы-10 мы можем увидеть, насколько она ограничена на самом деле. Десять имеет два ничтожных множителя (делитель, производящий целые числа), а именно 5 и 2. Более того, эти числа не очень полезны сами по себе; 5 — простое число, которое не может делиться дальше, а 2 — удручающе маленькое целое число, с которым нужно работать.

Защитники основы 10 подчеркивают ее способность допускать перемещение дробных точек после умножения или деления — но это не исключительная черта основы 10. Это свойство допускает не десятичность . Точнее, это характеристика, которая принадлежит всем базам — свойство обозначения разряда, которое мы используем для выражения чисел, вместе с символом нуля.

G / O Медиа могут получить комиссию

Интересно, что десятичная система не универсальна в человеческих обществах.Известно, что майя использовали систему с основанием 20, а вавилоняне разработали систему с использованием наборов по 60. Также использовались основания 8 и 16 (шестнадцатеричная система), в основном для вычислительных целей (четверти и восьмые упрощены. ).

Но эти альтернативные наборы все еще не идеальны для повседневных приложений человек . Base-20 не подходит для счета по пальцам; многие из нас носят обувь, когда занимаются математикой, и мы не можем двигать пальцами ног с какой-либо ловкостью. Base-8 слишком мала, а base-16 и base-60 слишком громоздки.

К счастью, есть база, которая находится между ними — система нумерации с множеством характеристик, которые просто делают ее лучшим выбором для подсчета и вычислений.

Знакомство с системой десятичных чисел

Также называемая двенадцатеричной системой, система «дюжина» была первоначально популяризирована в 17 веке, когда математики начали осознавать ограничения системы счисления по основанию 10.

Позже, в 1930-е годы, Ф. Эмерсон Эндрюс опубликовал книгу Новые числа: как принятие двенадцатеричной системы упростит математику , в которой он убедительно аргументировал это изменение.Он заметил, что из-за бесчисленного множества случаев появления 12 во многих традиционных единицах измерения веса и меры, многие из преимуществ, заявленных для метрической системы, также могут быть приняты дюжинной системой.

Действительно, примеров систем с основанием 12 предостаточно. Линейка плотника имеет 12 подразделений, бакалейные лавки продают десятки и брутто (12 дюжин равны брутто), фармацевты и ювелиры используют 12 унций фунта, а чеканки делят шиллинги на 12 пенсов. Даже наша система хронометража и датировки зависит от этого; В году 12 месяцев, а наш день измеряется 2 подходами по 12.Кроме того, в геометрии круг изобилует подмножествами и надмножествами 12 — что измеряется в градусах (круг на 360 градусов состоит из 30 наборов по 12).

Также очевидно, что кто-то в нашей истории думал в этом направлении. Это наибольшее число с именем, состоящим из одной морфемы на английском языке (то есть словом «двенадцать»). После этого мы получаем тринадцать, четырнадцать, пятнадцать и так далее — производные от трех, четырех и пяти. Ясно, что мыслить десятками было естественно.

Спустя три десятилетия после книги Эндрюса гениальный математик А.К. Эйткен сделал похожий случай. В книге The Listen в 1962 году он отметил:

Двенадцатеричные таблицы легко освоить, проще, чем десятичные; и в начальном обучении они были бы намного интереснее, так как маленькие дети найдут более увлекательные занятия с двенадцатью стержнями или кубиками, чем с десятью. Любой, у кого есть эти таблицы в команде, будет выполнять эти вычисления более чем в полтора раза быстрее в двенадцатеричной шкале, чем в десятичной. Это мой опыт; Я уверен, что тем более это будет опыт других.

Со времен Эндрюса и Эйткена движение дюжины получило ряд восторженных сторонников, включая появление Общества дюжины Америки и Общества дюжины Великобритании.

Основной аргумент этих так называемых дюжинологов состоит в том, что математика становится легче осмыслять и понимать, особенно для детей и студентов. Вот почему они правы.

Все дело в факторах

Прежде всего, 12 — это очень сложное число — наименьшее число с ровно четырьмя делителями: 2, 3, 4 и 6 (шесть, если вы считаете 1 и 12).Как уже отмечалось, у 10 всего два. Следовательно, 12 более практично при использовании дробей — проще разделить единицы измерения веса и меры на 12 частей, а именно половинки, трети и четверти.

Более того, с основанием 12 мы можем использовать эти три наиболее распространенные дроби без необходимости использовать дробные обозначения. Цифры 6, 4 и 3 — целые числа. С другой стороны, с основанием 10 нам приходится иметь дело с громоздкими десятичными знаками, ½ = 0,5, ¼ = 0,25 и, что хуже всего, с весьма проблематичным ⅓ = 0.333333333333333333333.

И аналогично шестнадцатеричной системе счисления с основанием 16, дюжинная система исключительно удобна для информатики. У числа 12 есть два делителя, которые являются простыми числами, 2 и 3. Это означает, что обратные величины всех гладких чисел (числа, которое полностью делится на маленькие простые числа), таких как 2, 3, 4, 6, 7, 8, имеют завершающее представление в двенадцатеричном формате (мы немного перейдем к счету в двенадцатеричном формате). Двенадцать как раз оказывается наименьшим числом с этой функцией, что делает его чрезвычайно эффективным числом для целей шифрования и вычисления дробей, включая десятичную, десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы.

Интересно, что система дюжин также облегчит определение времени. Пять минут — это 12-я часть часа, поэтому вместо «пять минут второго» мы могли бы сказать «один и двенадцатый» час. Десять минут второго будут равны 1; 2, четверть второго 1; 3 и т. Д. (Символ «;» используется как дробная точка).

Но для этого потребуются новые часы. Чтобы он работал, и часовая, и минутная стрелки должны указывать точное время. В обычных десятичных часах минутная стрелка неудобно указывает на число, которое нужно умножить на пять.

Обозначения и произношение

Глядя на изображение часов слева вверху, вы, вероятно, задаетесь вопросом, что это за забавные символы и слова. Это потому, что для работы с основанием 12 нам нужно добавить два новых символа для 11 и 12 (помните, что это представления чисел, а не буквенные; число 12 получено из одного полного набора 10 (следовательно, 1 в первом столбце) и дополнительное число 2 во втором столбце для обозначения двух дополнительных приращений).

Признавая преимущества системы с основанием 12, Эндрюс разработал новую нотацию для учета двух новых чисел. Вместо использования «A» и «B» для 10 и 11 (в шестнадцатеричной системе) Эндрюс предложил сценарий X (U + 1D4B3) и E (U + 2130), где 10 двенадцатеричных чисел представляют 12 десятичных. Таким образом, первые 12 чисел будут выглядеть как 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X, E, 10.

Другие предположили, что 10 можно записать как «T», а число одиннадцать. «E.» Математик Исаак Питман хотел использовать повернутую цифру «2» для десяти и перевернутую цифру «3» для одиннадцати (согласно часам выше).В других схемах используется «*» для 10 и «#» для 11 (что удобно для клавиатуры телефона и компьютера).

Для дробей десятичная дробь 0,5 будет записана в двенадцатеричном формате как 0; 6 (помните, что половина от 10 отличается от половины от 12).

Если это сбивает с толку, вы всегда можете использовать десятичный / десятичный калькулятор.

Для чисел, превышающих 12, мы должны добавить префикс к значению, обозначающему количество наборов. Итак, для чисел 13, 14 и 15 мы бы написали 11, 12 и 13. А для чисел 22, 23 и 24 мы бы написали 1X, 1E и 20.

Говоря о произношении, Дональд П. Гудман, президент Общества дюжины Америки, говорит, что X следует называть «десять», E — «elv», а 10 — «unqua». Итак, при подсчете мы бы сказали: «… восемь, девять, десять эльв, unqua».

Интересно, что в эпизоде 1973 года «Little Twelvetoes» из Schoolhouse Rock! В телесериале инопланетный ребенок использует систему с основанием 12 и произносит последние три числа «дек», «эль» и «до». «Дек» произошло от приставки «дека», в то время как «эль» было сокращением от «одиннадцать», а «до» — сокращением от «дюжина».»Многие дюжиналисты приняли эту особую систему произношения.

Теперь, чтобы произносить числа больше 12, например двенадцатеричный 15, мы бы сказали до-пять, что является составным от до, то есть двенадцать и пять. Мы можем расширить это для других чисел, таких как двенадцатеричный 64, который будет произноситься как шесть-до-четыре. Если бы мы достигли и превзошли число ЕЕ (эль-дох-эль), нам нужно было новое слово для цифр в третьем столбце

Слово, обозначающее десятичное число 144, или 100 дюжин, называется «гро» (буква «с» молчит). Таким образом, трехзначное дюжиновое число, такое как 25Х, будет произноситься как «два гро-пять». -дох-дек.«В десятичном виде это число 358.

Подсчет пальцев

Критики дюжинной системы говорят, что она подорвет преимущества подсчета пальцев.

Но, как с удовольствием отмечают дюжиналисты, каждый палец состоит из трех частей. , начиная с указательного пальца и используя большой палец в качестве указателя, мы можем сразу обозначить первые три цифры (двигаясь снизу вверх). Затем средний палец может обозначать 4, 5, 6, средний палец, 7, 8, 9 и так далее.Используя эту систему, наши две руки дают нам в общей сложности 24 числа для работы. Некоторые счетчики пальцев перемещаются слева направо, обозначая кончики пальцев 1, 2, 3, 4.

Еще лучше, мы можем использовать нашу вторую руку для отображения количества завершенных оснований 12. Следовательно, мы можем использовать наши пальцы, чтобы подняться до 144 (12 x 12).

Например, если вы возьмете большой палец левой руки и поместите его на средний сустав среднего пальца (который является 5-м основанием 12, равным 60 десятичным), и вы сделаете то же самое с правой рукой (что означает 5-й шаг), получаем десятичное число 65.

Можем ли мы когда-нибудь переключиться?

К сожалению, переход на дюжинную систему на данном этапе был бы исключительно трудным и чрезмерно дорогим. Хотя долгосрочные преимущества очевидны, они, вероятно, не стоят краткосрочной боли. Но при этом жить с неоптимальной системой подсчета отсюда и до вечности кажется печальным.

Тем не менее, дюжиналисты вроде Дональда Гудмана говорят, что это не совсем невозможно. Он утверждает, что конвертация валюты будет первым и наиболее важным шагом, за которым последует организованная просветительская кампания по этому вопросу в школах (в стороне и в отношении этого последнего шага, именно так была популяризирована метрическая система и преподавал в Канаде; я хорошо помню день, когда в детстве наш учитель пришел и сказал: «Дети, с этого момента это метрическая система — без исключений»).

Гудман, однако, скептически относится к тому, что какая-либо одна процедура может работать везде, предполагая, что ее придется адаптировать к местным условиям.