Уравнения с одним неизвестным в Mathcad

Простейший способ найти корень уравнения с одним неизвестным в Mathcad обеспечит функция root ( ). Аргументами функции root ( ) являются вид функции определяющей решаемое уравнение и имя переменой, относительно которой ищется решение — root (f(x),x) Если уравнение в Mathcad содержит несколько корней, то функция обеспечивает нахождение единственного корня, ближайшего к заданному начальному значению для искомой переменной. Точность вычислений может быть увеличена или уменьшена посредством задания значения переменной TOL, равной по умолчанию 10-3 и определённой в меню Math, Options (Математика, Опции). Установленное значение TOL также оказывает влияние на точность вычислений.

В случае, если решаемое уравнение в Mathcad представлено полиномом, то все его решения могут быть получены с помощью функции polyroots (v). В качестве аргументов этой функции выступает вектор коэффициентов полинома –v, а результат представляется в виде вектора корней полинома. На листинге представлен пример нахождения корней уравнений с использованием функций root ( ) и polyroots ( ).

Другим способом решения уравнений в Mathcad является применение специального вычислительного блока, начинающегося с ключевого слова given с использованием функций find( ) и minerr ( ).

Блок имеет следующую структуру:

Начальное значение искомой переменной

given

Решаемое уравнение

Выражение с использованием функции find( ) или minerr ( )

Нахождение корней уравнения в Mathcad с использованием блока given…find ( ) в чем – то аналогично использованию функции root ( ). В Mathcad задается начальное значение для искомой переменной, после находится решение, ближайшее к заданному начальному условию. Использовании блока given…minerr ( ) имеет существенные особенности. Решение будет найдено в любом случае, даже при его отсутствии. Дело в том, что ищется не решение системы, а минимальная невязка уравнений. На листинге рассмотрена функция, заведомо не имеющая действительных корней и при использовании блока given…minerr ( ) найдено решение, значение, которое наиболее приближено к оси х, то есть обеспечивает минималь-ную невязку. Значение невязки (ошибки) показывает системная переменная ERR.

Уравнение с тремя неизвестными | Математика

62. Одно уравнение с тремя неизвестными. Пусть имеем уравнение

3x + 4y – 2z = 11.

На это уравнение можно смотреть, как на запись задачи: найти числовые значения для x, y и z, чтобы трехчлен 3x + 4y – 2z оказался равен числу 11. Таким образом это уравнение является уравнением с тремя неизвестными. Так как мы можем решить одно уравнение с одним неизвестным, то уже с первого взгляда возникает мысль, что 2 неизвестных здесь являются как бы лишними, и им можно давать произвольные значения. И действительно, если, например, взять для y число 3 и для z число 5, то получим уравнение с одним неизвестным:

3x + 12 – 10 = 11,

откуда

3x = 9 и x = 3.

Возьмем другие числа для y и z. Например, пусть

y = –1 и z = 0.

Тогда получим уравнение:

3x – 4 = 11,

откуда

3x = 15 и x = 5.

Продолжая эту работу дальше, мы придем к заключению:

Одно уравнение с тремя неизвестными имеет бесконечно много решений, и для получения их надо двум неизвестным давать произвольные значения.

Результаты этой работы можно записать в таблице (мы, кроме двух уже найденных решений, записали в ней еще одно, которое получится, если положить y = –1 и z = –2):

Так как для y и для z мы берем произвольные значения, то они являются независимыми переменными, а x является зависимым (от них) переменным. Другими словами: x является функциею от y и z.

Чтобы удобнее получать решения этого уравнения, можно определить из него x через y и z. Получим:

3x + 4y – 2z = 11; 3x = 11 – 4y + 2z;
x = (11 – 4y + 2z) / 3.

Дадим, напр., значения: y = 5 и z = 1; получим: x = (11 – 20 + 2) / 3 = –2(1/3) и т. д.

Возьмем еще уравнение

3x – 5y – 2z = 7.

Примем x и y за независимые переменные, а z — за зависимое и определим z через x и y

–2z = 7 – 3x + 5y; 2z = 3x – 5y – 7; z = (3x – 5y – 7) / 2

Теперь легко составить таблицу решений:

как решать уравнение с одним неизвестным

Вы искали как решать уравнение с одним неизвестным? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и как решать уравнения с одним неизвестным, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «как решать уравнение с одним неизвестным».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как как решать уравнение с одним неизвестным,как решать уравнения с одним неизвестным,как решить уравнение с одним неизвестным,правила решения уравнений с одним неизвестным,примеры уравнения с одним неизвестным,решение уравнений с одним неизвестным,решение уравнения с одним неизвестным,уравнение с неизвестными,уравнение с одним неизвестным,уравнение с одним неизвестным примеры,уравнение с одним неизвестным решить,уравнение с одной неизвестной,уравнения с неизвестными,уравнения с одним неизвестным,уравнения с одним неизвестным как решать,уравнения с одним неизвестным примеры,уравнения с одним неизвестным решение. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и как решать уравнение с одним неизвестным. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, как решить уравнение с одним неизвестным).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же как решать уравнение с одним неизвестным Онлайн?

Решить задачу как решать уравнение с одним неизвестным вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным

1.

Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным

2. Устная работа

Какое равенство называется
уравнением?
Что такое корень уравнения?
Сколько корней может иметь
уравнение?
Что значит –решить уравнение?
Какое уравнение называют
линейным?

3. Математический диктант

Как называется
уравнение -2х=17
Придумайте какоенибудь линейное
уравнение с одним
неизвестным х
При каком условии
уравнение сх=5 имеет
один корень?
При каком условии
уравнение ах=-3 не
имеет корней?
Как называется
уравнение 17х=-2
Придумайте какоенибудь линейное
уравнение с одним
неизвестным у
При каком условии
уравнение ау=3 не
имеет корней?
При каком условии
уравнение ру=-5 имеет
единственный корень?

4. Объяснение нового материала

Словесная формулировка
Запись в общем
виде
пример
1. Если к обеим частям
верного равенства
прибавить одно и то же
число или из обеих частей
верного равенства
вычесть одно и то же
число, то получится
верное равенство
Если а=в и рлюбое число,
то
а+р=в+р
а-р=в-р
7=7
7+2=7+2
7-2=7-2
2. Если обе части верного
равенства умножить или
разделить на одно и то же
число, не равное нулю, то
получится верное
равенство
Если а=в и р
не равно 0, то
ар=вр,
ар:вр
27=27
27*3=27*3
27:3=27:3

5. Объяснение нового материала

Решим уравнение
9х-23=5х-11
9х-5х=-11+23
4х=12
х=12:4
х=3
Ответ: х=3
Какие свойства использовались при решении
этого уравнения?

6. Основные свойства уравнений

Любой член уравнения можно
перенести из одной части в другую,
изменив его знак на
противоположный.
Обе части уравнения можно
умножить или разделить на одно и
то же число, не равное нулю.

7. Решить уравнение

2(х+3)-3(х+2)=5-4(х+1)
2х+6-3х-6=5-4х-4
2х-3х+4х=5-4-6+6
3х=1
Х=1/3
Ответ: х=1/3

8. Алгоритм решения уравнений

Перенести члены, содержащие
неизвестное в левую часть, не
содержащие неизвестное- в правую.
Привести подобные члены.
Разделить обе части уравнения на
коэффициент при неизвестном, если
он не равен нулю.

9. Решение задач

Выполнить
Выполнить
Выполнить
Выполнить
№86(1,3)
самостоятельно №87(1,3)
№88(1,3)
№89(1,3)

10. Итоги урока

Сформулируйте свойства решения
уравнения.
Расскажите схему решения
линейного уравнения одним
неизвестным.

11. Домашнее задание

Выучить п.7
Выполнить № 88(2,4), №89(2,4),
№97(2)
Принести тетрадь для контрольных
работ

Уравнения с одним неизвестным — Справочник химика 21

    Уравнение С одним неизвестным [ х)=0. Если х=йо—приближенное значение корня, то уточненное значение корня можно найти по формуле  [c.390]

    Можно рекомендовать также составление уравнения с одним неизвестным если обозначить массу добавляемой воды через х г, то общая масса раствора составит (д -(-50) г согласно условию задачи каждый грамм раствора должен содержать 0,05 г Си , т. е. [c.7]

    Некоторые из подобных задач на смешение растворов легко решаются с помош,ью уравнения с одним неизвестным. [c.35]

    Укажем, что решение нелинейного уравнения с одним неизвестным / (х) = О можно рассматривать как задачу поиска минимума функции F (х), для которой / (х) = dF x)/dx. Такая задача решается поисковыми методами (половинного деления золотого сечения, стохастической аппроксимации), рассмотренными в главе VI. [c.143]

    По сокращении подобных членов получаем два уравнения с одним неизвестным каждое. Подставив значение [c.178]

    При фиксированном составе жидкости и давлении Р коэффициенты K являются функцией только температуры. Поэтому система уравнений (1-5) может быть сведена к уравнению с одним неизвестным, если просуммировать левую и правую части (1-5) от 1 до ге и принять во внимание соотношение (1-8) [c.21]

    Для того чтобы составить общее представление о языке и о структуре программы на ПЛ/1, рассмотрим основные его средства, необходимые для составления относительно простых и небольших программ, на конкретном примере. В гл. 2 было показано, что математическим описанием фазового равновесия многокомпонентной смеси является система алгебраических нелинейных уравнений, которая с использованием стехиометрического соотношения может быть сведена к уравнению с одним неизвестным (см. с. 21)  [c.229]

    Система уравнений (2—1) — (2—3) может быть сведена к уравнению с одним неизвестным, если просуммировать левую и правую части уравнений (2—1) от 1 до п. Тогда получим [c.35]

    Функция / (Т) есть мера отклонения суммы концентраций компонентов в паровой фазе от единицы и ее значение равно нулю в том случае, если Т = Гкип (рис. 4). Как видно из рисунка, / (Г) имеет один положительный корень. Для нахождения этого корня можно воспользоваться любым из методов решения уравнений с одним неизвестным. [c.35]

    Уравнение (3—10) является трансцендентным уравнением с одним неизвестным и для его решения можно воспользоваться одним из методов последовательных приближений (глава 8). Перепишем уравнение (3—10) в виде [c.80]

    Любое уравнение с одним неизвестным может быть записано в виде [c.181]

    Уравнения с одним неизвестным подразделяются на два класса алгебраические уравнения вида [c.181]

    Как отмечалось ранее (часть 1, стр. 34), задача расчета равновесия сводится к итерационному поиску положительного корня уравнения с одним неизвестным [c.442]

    Решение уравнения (2.4) может быть выполнено одним из методов решения уравнений с одним неизвестным. [c.95]

    Зададимся переменной Xi, тогда, как указывалось выше, можно без итераций рассчитать последовательно блоки 1, 2, 3. Естественно, что при этом уравнение (11,338) не будет выполняться. Поэтому задача состоит в том, чтобы подобрать такое х , чтобы уравнение (11,338) выполнялось. В нашем случае задача расчета схемы сводится к решению одного нелинейного уравнения с одним неизвестным. Решение этого уравнения проводилось методом хорд.  [c.126]

    Расчет температуры кипения. Часто встречающейся задачей является определение температуры кипения для заданных составов жидкости и общего давления. В случае применения к системе закона Генри г/ = К х.) получают с уравнений. Поскольку сумма значений у. равна единице, то для (с — ) значение y неизвестно. Значение К = f (Т) можно выразить в виде полинома так как сумма значений y равна единице, то такая система из с уравнений с с неизвестными [(с — 1) значений для г/ и температура] сводится к одному уравнению с одним неизвестным  [c.25]

    Подставив это выражение в уравнение для d[ J]/d/, можно привести последнее к дифференциальному уравнению с одной неизвестной функцией [Су)  [c.203]

    Соотношения (VII.5), (VII.7) и (VII.9) позволяют выразить в уравнении (VII.3) [R] через [С] и привести его к дифференциальному уравнению с одной неизвестной функцией и разделяющимися переменными. [c.237]

    Решая совместно два уравнения (20) и (21) с двумя неизвестными (Хск, Я ), приходим к уравнению с одним неизвестным, по которому вычисляется скорость перед скачком  [c. 189]

    В результате получено дифференциальное уравнение с одним неизвестным, которым является потенциал ф(х, у, г). В уравнениях (Х1У.158) — (XIV.161) значение элементарного заряда е следует брать со знаком плюс для катионов и минус для анионов. [c.392]

    Из этого уравнения с одним неизвестным определяем постоянную AHj 84239. Далее записываем формулу (V.86) с известными значениями констант  [c.126]

    Выше говорилось о двух основных способах превращения константы равновесия в общем виде в уравнение с одним неизвестным. В данном случае удобнее первый способ, при котором исходят из одного моля равновесной смеси газов. Положим, что в одном моле равновесной смеси содержится у молей аммиака. Это и есть мольная доля Nh4, поскольку всего вещества один моль. Азота и водорода вместе будет 1 — у молей. [c.149]

    Можно составить уравнение с одним неизвестным. Тогда 3 . 37(100-.)  [c.106]

    Примечание. Обычно подсчеты по подобным задачам выполняются в уме. Однако в более сложных случаях можно составлять подсобные алгебраические уравнения с одним неизвестным. Например, для случая (а) запишем  [c.40]

    Это положение позволяет легко найти оч одного элемента, если известны оч остальных элементов, входящих в состав данной молекулы. Для этого нужно решить простое уравнение с одним неизвестным. [c.7]

    Некоторые из подобных задач на смещение растворов легко решить с помощью уравнения с одним неизвестным. [c.198]

    Еще проще решается эта задача составлением уравнения с одним неизвестным. [c.323]

    Уравнение (11,15), строго говоря, является уравнением с одним неизвестным, так как концентрации х и ха связаны стехиометрическим соотношением (см. главу IV, стр. 94). [c.27]

    Систему уравнений (1У.65)- -(1У.68) можно свести к одному уравнению с одним неизвестным Ь (на основе уравнения (1У. 63) [c.299]

    Разумеется, что в данном случае может быть использован также любой численный метод решения одного уравнения с одной неизвестной величиной. Причем после расчета значения r i все остальные величины г]г-(г = 2,. .., N) также определены, поскольку их применяли для расчета значения у(ч ). [c.177]

    Пусть, например, решается одно уравнение с одним неизвестным и изменение х допустимо в интервале от а до Ъ. Проверяем / (а), f а + Ь/2), / (Ь) и выбираем для дальнейшего поиска ту половину начального интервала, на концах которой / (х) ииеет противоположные знаки. Повторяя такой поиск, сузим интервал неопределенности до сколь угодно малой величины е. Число итераций при этом [c.143]

    Для решения линейной системы разностных уравнений первого порядка можно воспользоваться формулами (7.29), т. е. искать его как комбинацию частного и однородных решений. При этом константы I определяются в результате решения системы линейных уравнений, образованной граничными условиями (7. 33)—(7.36). Хотя количество дистиллята — переменная величина, определяемая в процессе расчета, для каждой последующей итерации эта величина является константой, вычисленной по результатам предыдущей итерации. Для этого необходимо решать на каждой итерации уравнение с одной неизвестной, например, методом Вегстейна. Этим самьт удается свести задачу поиска коэффициентов а,- к решению системы линейных алгебраических уравнений. Заметим, что в формулах (7.29) конечное значение индексов суммирования равно количеству недостающих начальных условий. [c.279]

    Программа в автокоде состоит из заглавия и вычислительной части, реализуюш ей алгоритм решения. Наличие заглавия в программе обязательно. Оно представляет собой наименование задачи (например, РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ). В вычислительной части программы записываются операторы, состояш ие из названия и отделяемой пробелом содержательной части. [c.146]

    Решение уравнений с одним неизвестным является весьма распространенной задачей в практике инженерных химико-технологических расчетов. Задачи такого рода возникают в расчетах при использовании однопараметрических функциональных зависимостей (определение плотности по уравнению Бенедикта—Вебба—Рубина), при расчетах стационарных условий протекания процесса (определение времени пребывания реагентов при заданной степени превращения), при расчетах паро-жидкостного равновесия (расчет температуры кипения смеси заданного состава) и т. д. Уравнения с одпим неизвестным часто возникают и при нахождении решения систем уравнений с многими неизвестными (например, при расчете бинарной ректификации), при решении дифференциальных уравнений с граничными условиями (глава 12) и т. д. [c.181]

    В общем случае задача отыскания корней уравнения с одним неизвестным в аналитическом виде неразрешима. Поэтому при решении подобных уравнений численными методами речь может идга лишь о приближенном определении значений корней. [c.181]

Решение линейных уравнений с примерами

Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид  

aх + b = 0, где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.

Например, все уравнения:

2х + 3= 7 – 0,5х;  0,3х = 0;  x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) — линейные.

Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения.

Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.

А значение х = 3 не обращает  уравнение  3х + 7 = 13 в верное равенство, так  как  3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.

Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида

aх + b = 0.

Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим

aх = ‒ b.

Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .

Пример 1.  Решите уравнение 3х + 2 =11.

Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим 
3х = 11 – 2.

Выполним вычитание, тогда
3х = 9.

Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть     
х = 9 : 3.

Значит, значение х = 3 является  решением или корнем уравнения.

Ответ: х = 3.

Если а = 0 и b = 0, то получим уравнение  0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много  решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения  является любое число.

Пример 2. Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

Раскроем скобки:
5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.

Сгруппируем  в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
5х – 3х ‒ 2х =  – 12  ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Приведем подобные члены:
0х = 0.

Ответ: х —  любое число.

Если а = 0 и b ≠ 0, то получим уравнение  0х = — b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но  b ≠ 0 .

Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.

Сгруппируем  в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
х – х = 5 ‒ 8.

Приведем подобные члены: 
0х = ‒ 3.

Ответ: нет решений.

На рисунке 1 изображена схема решения линейного уравнения

Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.

Пример 4. Пусть надо решить уравнение 

1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.

2) После сокращения получим
4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)

3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:
4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .

4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:
4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Приведем подобные члены:
‒ 22х = ‒ 154.

6) Разделим на  – 22 , Получим
х = 7.

Как видим, корень уравнения равен семи.

Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме:

а) привести уравнение к целому виду;

б) раскрыть скобки;

в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;

г) привести подобные члены;

д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.

Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2),  третьего (Пример. 1, 3) и даже с пятого этапа, как в примере 5.

Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.

Находим неизвестное  х = 1/4 : 2,
х = 1/8 .

Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.

Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.

Решение

2х + 6 = 5 – 6х

2х + 6х = 5 – 6

8х = ‒1

х = ‒1 : 8

х = ‒ 0, 125

Ответ: ‒ 0, 125

Пример 7. Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

Решение

– 30 + 18х = 8х – 7

18х  – 8х =  – 7 +30

10х = 23

х = 23 : 10

х = 2,3

Ответ: 2,3

Пример 8. Решите уравнение

Решение:

3(3х – 4) = 4 · 7х + 24

9х – 12 = 28х + 24

9х – 28х = 24 + 12

-19х = 36

х = 36 : (-19)

х = — 36/19

Ответ: — . 

Пример 9.  Найдите f(6), если f (x + 2) = 3^7-х

Решение

Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),
то х + 2 = 6.

Решаем линейное уравнение х + 2 = 6,
получаем х = 6 – 2, х = 4.

Если х = 4, тогда
f(6) = 3^7-4 = 3³ = 27

Ответ: 27.

Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ. Буду рада Вам помочь!

Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

функция root MathCAD 12 руководство

Для решения уравнения с одним неизвестным в Mathcad, помимо вычислительного блока
Given/Find, предусмотрена встроенная функция root, которая, в зависимости от типа задачи, может включать либо два, либо четыре аргумента и, соответственно, использует разные алгоритмы поиска корней.

•  root(f(x),x);
•  root (f (x) , x, a, b);

•  f(x) — скалярная функция, определяющая уравнение f(x)=0;
•  х — имя скалярной переменной, относительно которой решается уравнение;
• а, b — границы интервала, внутри которого происходит поиск корня.

Первый тип функции root, аналогично встроенной функции Find, требует дополнительного задания начального значения переменной
х, для чего нужно просто перед применением функции root присвоить
х некоторое число. Таким образом, присвоение начального значения требует априорной информации о примерной локализации корня, т. к. поиск корня будет производиться вблизи этого числа. Пример работы функции
root объясняется листингом 5.13.

Листинг 5.13. Два варианта уравнения методом секущих

Как вы можете убедиться (первая строка листинга 5.13), для решения уравнения при помощи функции
root (f (x) ,x,a,b) не требуется задавать начального приближения, а достаточно указать интервал
[а,b]. Поиск корня будет осуществлен в промежутке между а и b альтернативным численным методом (Риддера или Брента). Когда
root имеет четыре аргумента, следует помнить о двух ее особенностях. Во-первых, внутри интервала не должно находиться более одного корня, иначе будет найден один из них, заранее неизвестно, какой именно. Во-вторых, значения
f (а) и f (b) должны иметь разный знак, иначе будет выдано сообщение об ошибке.

В чем же отличие встроенной функции Find от функции root? Оно состоит в том, что для решения одних и тех же задач используются различные численные алгоритмы (градиентные и метод секущих соответственно). В примерах уравнений с одним неизвестным, которые мы рассматривали до сего
момента, выбор метода не влиял на окончательный результат, поскольку фигурировавшие в них функции были «хорошими», т. е. достаточно гладкими для поиска корня одним из градиентных методов, требующих, как известно, вычисления производных. Между тем бывают ситуации, когда применение того или иного метода имеет решающее значение.

Приведем пример простой функции f(x), корни которой удается отыскать только при помощи функции
root (листинг 5.14). Она определена в первой строке этого листинга, а ее корень вычислен во второй строке. Из графика, представленного на рис. 5.5, видно, что f (х) имеет особенность в окрестности своего корня, являясь в ней разрывной. В завершающей части листинга 5.14 предпринимается попытка отыскать нулевое значение f (х) посредством вычислительного блока
Given/Find, которая оказывается неудачной.

Листинг 5.14. Пример уравнения, которое удается решить
только методом секущих

Рис. 5.5. Модельная функция f (х) (продолжение листинга 5.14)

Остается добавить, что f (х) может быть функцией не только х, а любого количества аргументов. Именно поэтому в самой функции
root необходимо определить, относительно какого из аргументов следует решить уравнение. Эта возможность проиллюстрирована листингом 5.15 на примере функции двух переменных f (x,y)=x²-y²+1. В нем сначала решается уравнение
f (х, 0) =0 относительно переменной х, а потом — другое уравнение
f (0, у) =0 относительно переменной у, причем, благодаря удачному подбору начальных значений, вычисляются все корни данного квадратичного уравнения.

Таким образом, в обоих случаях один из аргументов функции f (х) воспринимается как неизвестное, а другой — как параметр. Не забывайте при численном решении уравнений относительно одной из переменных предварительно определить значения остальных переменных. Иначе попытка вычислить уравнения приведет к появлению ошибки
«This variable or function is not defined above», в данном случае говорящей о том, что другая переменная ранее не определена.

ПРИМЕЧАНИЕ

Для того чтобы отыскать зависимость корней уравнения, вычисленных по одной переменной, от других переменных, разработаны специальные эффективные алгоритмы. Об одной из возможностей читайте в разд. 5.3.3.

Листинг 5.15. Поиск корней уравнения, зависящего от двух
переменных

Основы решения уравнений за один или несколько шагов (Алгебра 1, Как решать линейные уравнения) — Mathplanet

Формулы очень распространены в физике и химии, например, скорость равна расстоянию, разделенному на время. Таким образом, мы используем общие символы для скорости ( v ), расстояния ( d ) и времени (t) и выражаем это так:

$$ v = \ frac {d} {t} $$

Мы можем просто описать формулу как переменную и выражение, разделенные знаком равенства между ними.Другими словами, формула — это то же самое, что и уравнение.

Пример

Книжный клуб требует членского взноса в размере 10 долларов в дополнение к 2 долларам, взимаемым за каждую заказанную книгу. Если бы мы перечислили стоимость заказа нескольких книг, это выглядело бы так:

Если мы обозначим общую стоимость книжного клуба как C, мы можем вывести следующую формулу для выражения:

$$ C = 10 + 2x $$

Если мы затем захотим узнать, сколько книг мы можем получить в книжном клубе за 30 долларов, мы можем продолжить заполнение таблицы выше или использовать свойства уравнений, которые мы рассмотрели в предыдущем разделе.

Мы можем купить 10 книг за 30 долларов.

Когда мы хотим решить уравнение, включающее одну неизвестную переменную, например x в приведенном выше примере, мы всегда стремимся изолировать неизвестную переменную. Можно сказать, что все остальное мы ставим по ту сторону знака равенства. Всегда рекомендуется сначала изолировать термины, включающие переменную, от констант, чтобы начать с них, как мы делали выше, путем вычитания или сложения перед делением или умножением коэффициента перед переменной.Пока вы делаете одно и то же по обе стороны от знака равенства, вы можете делать все, что хотите, и в каком порядке.

Выше мы начали с вычитания константы с обеих сторон. Вместо этого мы могли бы начать с деления на 2. Это выглядело бы как

$$ \ frac {30} {{\ color {blue} 2}} = \ frac {10 + 2x} {{\ color {blue} 2}} $$

$$ \ frac {30} {{\ color {blue} 2}} = \ frac {10} {{\ color {blue} 2}} + \ frac {2x} {{\ color {blue} 2}}

$

$$ 15 = 5 + x $$

$$ 15 \, {\ color {blue} {- \, 5}} = 5 + x \, {\ color {blue} {- \, 5}} $$

$$ 10 = x $$

Опять тот же ответ, просто подтверждающий точку зрения.

Если ваше уравнение содержит одинаковые члены, желательно начать с объединения одинаковых членов, прежде чем продолжить решение уравнения.

Пример

$$ 5x + 14 + 2x + 2 = 30 $$

Начните с объединения одинаковых терминов (все термины, включая одну и ту же переменную x и все константы)

$$ \ влево (5x + 2x \ вправо) + \ влево (14 + 2 \ вправо) = 30 $$

$$ 7x + 16 = 30 $$

Теперь пора изолировать переменную от постоянной части. Это делается путем вычитания 16 с обеих сторон

$$ 7x + 16 \, {\ color {green} {- \, 16}} = 30 \, {\ color {green} {- \, 16}} $$

$$ 7x = 14 $$

Разделите обе части на 7, чтобы изолировать переменную

$$ \ frac {7x} {{\ color {green} 7}} = \ frac {14} {{\ color {green} 7}} $$

$$ x = 2 $$

Если у вас есть уравнение, в котором у вас есть переменные с обеих сторон, вы делаете в основном то же самое, что и раньше.Собираешь все подобные термины. Раньше вы работали, сначала собирая все постоянные члены с одной стороны и сохраняя переменные члены с другой. То же самое и здесь. Вы собираете все постоянные члены с одной стороны и переменные члены — с другой. Обычно рекомендуется собирать все переменные на той стороне, которая имеет переменную с наивысшим коэффициентом, т.е. в приведенном ниже примере больше x: es на левой стороне (4x) по сравнению с правой стороной (2x), и, следовательно, мы собираем все x: es с левой стороны.

Пример

$$ 4x + 3 = 2x + 11 $$

вычесть 2x с обеих сторон

$$ 4x + 3 \, {\ color {blue} {- \, 2x}} = 2x + 11 \, {\ color {blue} {- \, 2x}} $$

Теперь оно выглядит как любое другое уравнение

$$ 2x + 3 = 11 $$

вычесть 3 с обеих сторон

$$ 2x + 3 \, {\ color {blue} {- \, 3}} = 11 \, {\ color {blue} {- \, 3}} $$

$$ 2x = 8 $$

Разделить на 2 с обеих сторон

$$ \ frac {2x} {{\ color {blue} 2}} = \ frac {8} {{\ color {blue} 2}} $$

$$ x = 4 $$

В начале этого раздела мы показали формулу для расчета скорости, где скорость (v) равна расстоянию (d), деленному на время (t), или

$$ v = \ frac {d} {t} $$

Если мы случайно захотим узнать, сколько грузовик проезжает за 3 часа со скоростью 60 миль в час, мы можем использовать приведенную выше формулу и переписать ее, чтобы вычислить расстояние, d.

$$ \ frac {d} {t} \, {\ color {green} {\ cdot \, t}} = v \, {\ color {green} {\ cdot \, t}} $$

$$ d = v \ cdot t $$

Когда это будет сделано, мы можем просто подставить наши числа в формулу и вычислить ответ

$$ d = 60 \ cdot 3 = 180 $$

Грузовик преодолевает 180 миль за 3 часа.

Это верно для всех формул и уравнений.

Видеоурок

Решите уравнение

$$ 3 \ влево (x + 2 \ вправо) — 3 + x + 17 = 40 $$

Решение уравнений с одной неизвестной переменной Практические вопросы

Узнайте, как решать уравнения с одной неизвестной переменной , уравнения с переменными с обеих сторон, уравнения с круглыми скобками и уравнения с дробями — даже если у вас аллергия на алгебру!

Этот обзор математики по алгебраическим уравнениям призван освежить ваши знания перед вступительными экзаменами, такими как ATI TEAS V, HESI, ACT или SAT.

Какой тип математики входит в экзамен ATI TEAS? В разделе ATI TEAS math участники проверяют порядок операций, соотношения, дроби, метрическую формулировку и т. Д. Эта практическая викторина ATI TEAS по математике проверит вашу способность решать умножение и деление десятичных чисел.

Как решать уравнения с одной неизвестной переменной

Я покажу вам, как решать уравнения с одним неизвестным, например 2x + 5 = 10. Я также покажу вам, как решать уравнения с переменными с обеих сторон, например 2 (x + 5) = 7x + 3.Кроме того, я сделаю несколько уравнений с дробями x / 2 + 1/3 = x / 4 + 2/3.

Решение уравнений с неизвестной переменной не так сложно, как кажется на первый взгляд. При решении этих задач следует помнить о нескольких принципах. Во-первых, вам нужно убрать скобки. Вы можете сделать это с помощью свойства distributive.

Затем вам нужно переместить переменную в одну сторону уравнения, а числа — в другую. Наша цель — выяснить, что представляет собой переменная (обычно «x»).Мы хотим, чтобы в нашем окончательном ответе было что-то вроде x = 5.

Чтобы изолировать переменную с одной стороны и число с другой стороны, мы можем использовать несколько «правил». Одно из правил — это принцип сложения, который гласит, что мы можем складывать или вычитать число из самого себя, чтобы удалить его из одной части уравнения, но мы должны сделать то же самое с другой стороной уравнения, чтобы сохранить его сбалансированность.

Другой принцип — это принцип умножения, который аналогичен принципу сложения.Принцип умножения гласит, что мы можем умножить или разделить переменную на число, чтобы выделить ее на одной стороне уравнения, но мы должны сделать то же самое для другой стороны.

(ПРИМЕЧАНИЕ. Когда вы нажмете «Отправить», эта же страница обновится. Прокрутите вниз, чтобы увидеть результаты.)

После того, как вы закончите тест и нажмете «Отправить», страница обновится, и вам нужно будет прокрутить вниз, чтобы увидеть, что вы сделали правильно, а что нет. Кроме того, под этой викториной находится макет викторины с ключом ответа (если вы хотите распечатать тест.. просто скопируйте и вставьте его). Не забудьте поделиться этой викториной со своими друзьями! Однако, пожалуйста, не размещайте повторно на других сайтах.

Решение уравнений с одной неизвестной переменной Практические вопросы

1. x + 3 = 5

2. 2x + 7 = 21

3. 2 (2x — 4) = x + 4

4. х / 10 = 5

5. x / 2 + 7 = x / 6 — 1

6. 2 (x / 2 + 4) = 5x — 5

7. 5x + 3 = 2x + 12

8. x / 3 = 5/6

Ключ ответа:

1.x = 2
2. x = 7
3. x = 4
4. x = 50
5. x = -24
6. x = 3 1/4 OR 13/4
7. x = 3
8. x = 15/6 ИЛИ 2 1/2

Не забудьте рассказать об этой викторине своим друзьям, поделившись ею в Facebook, Twitter и других социальных сетях. Вы также можете пройти более увлекательные медсестринские викторины.

* Заявление об ограничении ответственности: хотя мы делаем все возможное, чтобы предоставить учащимся точные и углубленные учебные викторины, эта викторина / тест предназначена только для образовательных и развлекательных целей. Пожалуйста, обратитесь к последним обзорным книгам NCLEX для получения последних обновлений по сестринскому делу.Авторские права на эту викторину принадлежат RegisteredNurseRn.com. Пожалуйста, не копируйте этот тест напрямую; однако, пожалуйста, поделитесь ссылкой на эту страницу со студентами, друзьями и другими людьми.

Решите линейное уравнение с одним неизвестным

Быстро! Мне нужна помощь с:
Выберите элемент справки по математике … Исчисление, Производные вычисления, Интеграционное вычисление, Частное правило, Монеты, Подсчет комбинаций, Поиск всех комплексных чисел, Сложение комплексных чисел, Вычисление с комплексными числами, Умножение комплексных чисел, Степени комплексных чисел, Преобразование вычитания, Преобразование площади, Преобразование скорости, Преобразование длины , VolumeData Analysis, Find the AverageData Analysis, Find the Standard DeviationData Analysis, HistogramsDecimals, Convert to a дробь, Электричество, Стоимость разложения, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DécimalFractions, Convert to a decimalFractions ВычитаниеФракции, Что это такое: Геометрия, Коробки, Геометрия, Круги, Геометрия, Цилиндры, Геометрия, Прямоугольники, Геометрия, Правые треугольники, Геометрия, Сферы, Геометрия, Квадраты, Графики, Линии, Графики, Любая функция, Графики, Круги hing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, Equation from point and slopeLines, The Equation from slopeLinesLines Theotation, The Equation from slopeLines Theotation и Y-intation , Нахождение шансов, Математика, Практика многочленов, Математика, Практика основ Квадратные многочлены, Деление многочленов, Факторизация разности квадратов Многочлены, Факторинг триномов Полиномы, Факторинг с GCF Полиномы, Умножение многочленов, Возведение в степеньПрактика, Математические задачиПропорции, Квадратные уравнения ormulaQuadratic Equations, Solve by FactoringRadicals, Other RootsRadicals, Square RootsRatios, Что они из себя представляют, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, ДелениеНаучная нотация, Умножение форм, ПрямоугольникиУпрощение, Упрощение, Упрощение продуктов, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение , Правые треугольники, Ветер, Рисунок

Решатель уравнений — Решите для x Калькулятор

Поиск инструмента

Решатель уравнений

Инструмент / решатель для решения одного или нескольких уравнений.Уравнение — это математическое выражение, представленное как равенство двух элементов с неизвестными переменными.

Результаты

Решатель уравнений — dCode

Тег (и): Символьное вычисление

Поделиться

dCode и другие

dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Калькулятор для расчета уравнений

Решите дифференциальное уравнение

Решите логическое уравнение

Ответы на вопросы (FAQ)

Как решить уравнение?

Калькулятор

dCode может решать уравнения (а также неравенства или другие математические вычисления) и находить неизвестные переменные. Уравнения должны содержать символ сравнения, например, равно, т. Е. = (или или>).

Пример: $ 2x = 1 $ доходность решения $ x = 1/2 $

dCode возвращает точные решения (целые числа, дроби и т. Д.) По умолчанию (для линейных и нелинейных систем уравнения и ), если уравнение содержит числа запятые, тогда dCode вернет решение с десятичными числами.

Пример: $ 2x = 1,0 $ возврат для решения $ x = 0.2 + 1 = 3 && 3x-1 = 2 дает x = 1

Как решить несколько уравнений с несколькими переменными?

Чтобы решить систему уравнений , уравнения должны быть разделены символами && или ⋀. Переменные должны быть перечислены и разделены в поле ввода переменных.

Как проверить равенство?

Используйте специальный инструмент для проверки равенства или введите уравнение и нажмите «Решить», решатель ответит «истина», если равенство проверяется независимо от переменной (существует бесконечное количество возможных решений для переменной).2-2 = 0 \ \ & \ & \ x> 0 $, если , уравнение действительно только для строго положительных чисел $ x> 0 $.

Как пошагово решить уравнение?

Шаги вычислений решателя не показаны, потому что они не соответствуют шагам, которые сделал бы человек. Операции, выполняемые решателем, представляют собой двоичные вычисления, бит за битом сильно отличающиеся от тех, которые выполняются вручную математиком.

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Решатель уравнений».За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любой алгоритм, апплет или фрагмент «Equation Solver» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой «Equation Solver» ‘функция (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести) написана на любом информатическом языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. д.) и без загрузки данных, скрипт , копипаст или доступ к API для «Решателя уравнений» будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

Нужна помощь?

Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

Вопросы / комментарии

Сводка

Похожие страницы

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

уравнение, равенство, равное, неизвестное, переменная, x, число, калькулятор, линейный, система

Ссылки

Источник: https: // www.dcode.fr/equation-solver

© 2021 dCode — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.

Решение уравнений с неизвестными с обеих сторон — Решение линейных уравнений — AQA — Редакция математики GCSE — AQA

Некоторые уравнения имеют переменные по обе стороны от знака равенства, например \ (4 (k + 7) = 12k — 4 \) .

Решите это уравнение, переставив все переменные в одну сторону уравнения и все числа в другую. Самый простой способ сделать это обычно — переместить неизвестное с наименьшим коэффициентом в уравнении (переменная с наименьшим числом перед ней).

Пример

Решите \ (4 (k + 7) = 12k — 4 \).

Разверните скобку:

\ [4k + 28 = 12k — 4 \]

Решите, перед каким из неизвестных стоит меньшее число. 4 меньше 12, поэтому вычтите \ (4k \) с обеих сторон.

\ [\ begin {array} {ccc} 4k + 28 & = & 12k — 4 \\ -4k && -4k \ end {array} \]

\ [28 = 8k — 4 \]

Изолировать термин \ (8k \) справа, добавив 4 с каждой стороны:

\ [\ begin {array} {ccc} 28 & = & 8k — 4 \\ +4 && +4 \ end {array} \ ]

\ [32 = 8k \]

Изолируйте \ (k \), разделив обе стороны на 8:

\ [\ begin {array} {ccc} 32 & = & 8k \\ \ div 8 && \ div 8 \ end {array} \]

\ [4 = k \]

Подстановка \ (k = 4 \) обратно в исходное уравнение дает:

Левая часть: \ (4k + 28 = 4 \ times 4 + 28 = 16 + 28 = 44 \)

Правая часть: \ (12k — 4 = 12 \ times 4-4 = 48-4 = 44 \)

Уравнение уравновешивается, поэтому \ (k = 4 \) это правильное решение.

Решение линейных уравнений с одной переменной

Линейное уравнение — это уравнение прямой, записанное с одной переменной. Единственная степень переменной — 1. Линейные уравнения с одной переменной могут иметь вид [latex] ax + b = 0 [/ latex] и решаются с использованием основных алгебраических операций.

Мы начинаем с классификации линейных уравнений с одной переменной как одного из трех типов: тождественные, условные или противоречивые. Уравнение тождества верно для всех значений переменной.Вот пример тождественного уравнения.

[латекс] 3x = 2x + x [/ латекс]

Набор решений состоит из всех значений, которые делают уравнение истинным. Для этого уравнения набором решений является все действительные числа, потому что любое действительное число, замененное на [латекс] x [/ латекс], сделает уравнение истинным.

Условное уравнение верно только для некоторых значений переменной. Например, если мы должны решить уравнение [латекс] 5x + 2 = 3x — 6 [/ latex], мы имеем следующее:

[латекс] \ begin {array} {l} 5x + 2 \ hfill & = 3x — 6 \ hfill \\ 2x \ hfill & = — 8 \ hfill \\ x \ hfill & = — 4 \ hfill \ end {array} [/ латекс]

Набор решений состоит из одного числа: [латекс] \ {- 4 \} [/ латекс].Это единственное решение, поэтому мы решили условное уравнение.

Несогласованное уравнение приводит к ложному утверждению. Например, если мы должны решить [латекс] 5x — 15 = 5 \ left (x — 4 \ right) [/ latex], мы получим следующее:

[латекс] \ begin {array} {ll} 5x — 15 = 5x — 20 \ hfill & \ hfill \\ 5x — 15 — 5x = 5x — 20 — 5x \ hfill & \ text {Subtract} 5x \ text {from обе стороны}. \ hfill \\ -15 \ ne -20 \ hfill & \ text {Ложный оператор} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Действительно, [латекс] -15 \ ne -20 [/ латекс].Нет решения, потому что это противоречивое уравнение.

Решение линейных уравнений с одной переменной включает фундаментальные свойства равенства и основные алгебраические операции. Ниже приводится краткий обзор этих операций.

Общее примечание: линейное уравнение с одной переменной

Линейное уравнение с одной переменной можно записать в виде

[латекс] ax + b = 0 [/ латекс]

, где a и b — действительные числа, [латекс] a \ ne 0 [/ латекс].

Как сделать: дано линейное уравнение с одной переменной, используйте алгебру для его решения.

Следующие шаги используются для манипулирования уравнением и выделения неизвестной переменной, так что последняя строка читается как x = _________, если x — неизвестное. Нет установленного порядка, так как используемые шаги зависят от того, что указано:

1. Мы можем складывать, вычитать, умножать или делить уравнение на число или выражение, если мы делаем то же самое с обеими сторонами знака равенства.Обратите внимание, что мы не можем делить на ноль.
2. Примените свойство распределения по мере необходимости: [latex] a \ left (b + c \ right) = ab + ac [/ latex].
3. Выделите переменную на одной стороне уравнения.
4. Когда переменная умножается на коэффициент на заключительном этапе, умножьте обе части уравнения на обратную величину коэффициента.

Пример 1: Решение уравнения с одной переменной

Решите следующее уравнение: [латекс] 2x + 7 = 19 [/ латекс].

Решение

Это уравнение можно записать в виде [латекс] ax + b = 0 [/ латекс], вычитая [латекс] 19 [/ латекс] с обеих сторон.Однако мы можем перейти к решению уравнения в его исходной форме, выполнив алгебраические операции.

[латекс] \ begin {array} {ll} 2x + 7 = 19 \ hfill & \ hfill \\ 2x = 12 \ hfill & \ text {Вычтите 7 с обеих сторон}. \ Hfill \\ x = 6 \ hfill & \ text {Умножьте обе стороны на} \ frac {1} {2} \ text {или разделите на 2}. \ hfill \ end {array} [/ latex]

Решение [латекс] x = 6 [/ латекс].

Попробуй 1

Решите линейное уравнение с одной переменной: [латекс] 2x + 1 = -9 [/ латекс].

Решение

Пример 2: Алгебраическое решение уравнения, когда переменная появляется с обеих сторон

Решите следующее уравнение: [латекс] 4 \ left (x — 3 \ right) + 12 = 15-5 \ left (x + 6 \ right) [/ latex].

Решение

Примените стандартные алгебраические свойства.

[латекс] \ begin {array} {ll} 4 \ left (x — 3 \ right) + 12 = 15-5 \ left (x + 6 \ right) \ hfill & \ hfill \\ 4x — 12 + 12 = 15 — 5x — 30 \ hfill & \ text {Применить свойство распределения}. \ Hfill \\ 4x = -15 — 5x \ hfill & \ text {Объединить похожие термины}. \ Hfill \\ 9x = -15 \ hfill & \ text {Поместите} x- \ text {термины на одну сторону и упростите}. \ hfill \\ x = — \ frac {15} {9} \ hfill & \ text {Умножьте обе стороны на} \ frac {1} {9 } \ text {, обратное 9}.\ hfill \\ x = — \ frac {5} {3} \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

Анализ решения

Эта задача требует, чтобы свойство распределения применялось дважды, а затем свойства алгебры используются для достижения последней строки, [latex] x = — \ frac {5} {3} [/ latex].

Попробуй 2

Решите уравнение с одной переменной: [латекс] -2 \ left (3x — 1 \ right) + x = 14-x [/ latex].

Решение

Как решить два уравнения с двумя неизвестными — I

Не могли бы вы напомнить, как решить два уравнения с двумя неизвестными? Если да или если вы никогда не знакомы с этой концепцией, я приглашаю вас посмотреть это видео и следующее видео, которое является второй частью этой серии.

Два уравнения с двумя переменными. До сих пор при изучении алгебраических уравнений мы рассматривали решение отдельных уравнений только с одной переменной. Например, что-то вроде 2x + 7 = 15.

Что произойдет, если в уравнении есть более одной переменной? Предположим, у нас есть что-то вроде 2x + 3y = 15.

Итак, что будет значить для кого-то прийти и сказать нам, решить это уравнение? Как нам найти значения, которые работают в этом уравнении? Ну, конечно, одно возможное значение, если x = 0, тогда y может быть равно 5, так что это было бы решением.Другими словами, если x = 3 и y = 3, x = 6 и y = 1, это также значения, которые заставляют его работать.

Конечно, нет никаких ограничений на то, что любая переменная должна быть положительной, поэтому другие решения включают (x = 9, y = -1) или (x = -3 и y = +7). Как вы понимаете, мы могли бы сделать x все более и более отрицательным, а y — все более и более положительным — или наоборот. Так что мы могли получить довольно много подобных решений. Также нет ограничений, что переменные должны быть целыми числами, поэтому другие решения включают такие вещи, как x = 7 1/2 y = 0 или x = 4 и y = 2 1/3.

Итак, только на этой странице обратите внимание, что у нас есть одно, два, три, четыре, пять, шесть, семь решений для этого. И, безусловно, ясно, что мы можем получить намного больше. Фактически, одно уравнение с двумя переменными обычно имеет бесконечное количество решений. Обратите внимание, что все эти решения, если их построить на графике x-y, лежали бы на прямой линии.

Чтение диаграммы

Итак, семь упомянутых нами решений — это семь точек на этой диаграмме. И все они лежат на прямой.Теперь по причинам, которые мы обсудим позже в модуле координатной геометрии, любое отдельное уравнение только с x и y (ни одна из переменных не возведена в степень или дробь) может быть представлено линией в плоскости x-y. Так что прямо сейчас вам не нужно беспокоиться об их графическом отображении. Вам не нужно беспокоиться о том, как вы найдете наклон линии или что-то в этом роде.

Все, что вам нужно сделать, это просто иметь эту идею, только эту ассоциацию — что уравнение с x и y представлено линией. Это все, что вам нужно знать для этого обсуждения.

Большая идея номер один

Итак, первая большая идея состоит в том, что никто не может попросить вас решить одно уравнение с двумя переменными, потому что у него будет бесконечное количество решений. Линия проходит через бесконечное количество точек, и каждая из этих точек является решением.

Таким образом, никто не может законно попросить вас решить, потому что они просят вас решить бесконечное количество вещей одновременно.

Теперь предположим, что у нас есть два уравнения, каждое с двумя переменными.Это называется системой уравнений. Значения x и y должны одновременно удовлетворять обоим уравнениям. Что ж, это интересно.

Если каждое уравнение представляет собой линию, то имеет смысл, что единственная точка, где эти две линии пересекаются, будет единственной точкой, которая удовлетворяет обоим уравнениям. Итак, вы выбираете одну случайную линию и выбираете другую случайную линию, очень велики шансы, что они собираются где-то пересекаться, и они пересекаются в одной точке, и эта одна точка будет решением.

Большая идея номер два

С алгебраической точки зрения, когда мы находим это решение, мы находим геометрическую точку, в которой они пересекаются. Итак, большая идея №2 состоит в том, что если у нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными, мы обычно можем решить для уникальных значений x и y. Как решить систему уравнений для этих значений? Есть две стратегии.

Один — это замена, а другой — исключение, некоторые источники также называют это линейной комбинацией.Я назову их заменой и устранением . Цель обоих этих методов — свести ситуации два уравнения-два-неизвестных к ситуации одно-уравнение-одно-неизвестное, в которой мы уже знаем, как найти решение.

Метод замещения

Итак, что мы делаем, и это часто верно в отношении математики, мы превращаем проблему, которую не знаем, как решить, в проблему, которую мы действительно знаем, как решить. Это очень типично для математики. Итак, метод подстановки.В этом методе мы сначала решаем одно уравнение, либо одно для одной из переменных.

_{Изображение с digitalconsumator}

В этом уравнении мы получим одну переменную на одной стороне уравнения. Итак, есть два уравнения, которые я привел минуту назад, одно из них было x + 2y = 11. И это уравнение, в котором особенно легко получить x само по себе. Что я собираюсь сделать, так это вычесть 2y с обеих сторон, и я получу x = 11-2y. Так что задержитесь на секунду, x = 11-2y.Теперь давайте посмотрим на другое уравнение.

Мы можем заменить x в другом уравнении выражением, равным x. Это потому, что x = 11-2y означает, что везде, где есть x, мы можем удалить x и заменить его тем, что он равен. Итак, вот другое уравнение, и мы просто снова напишем то же уравнение, но мы заменим это x на 11 минус 2y. Где теперь у нас есть одно уравнение с y.

Итак, теперь мы просто используем наше обычное решение, мы распределим, объединим

_{Image by CLS Digital Art}

как термины, мы вычтем 22 с обеих сторон, мы получим -y = -7 умножить на — 1 получаем y = 7.Итак, теперь мы решили для одного из двух значений, мы решили для y, нам все еще нужно решить для x. Теперь мы подставляем это значение для возврата y в уравнение, которое было решено для x.

Итак, у нас было x = 11-2y, теперь мы знаем, что y = 7. Итак, мы просто вставим это, 11-14 равно -3. Таким образом, точка x равна -3, y равна положительному 7, что является решением. Обратите внимание, что метод подстановки наиболее полезен, когда в одном из двух уравнений коэффициенты одной из переменных равны положительной 1 или отрицательной 1.

Дроби и метод исключения

Если все коэффициенты при x и y в двух уравнениях не равны положительному или отрицательному, то решение для любой переменной приведет к получению дробей, что сделает решение более громоздким. Так, например, предположим, что это наша система. Предположим, мы пытаемся решить первое уравнение относительно x. Хорошо, если мы можем разложить 5y на обе стороны, то делим на 4.

Сразу попадаем на дроби. Заменить это было бы неинтересно.Да, математически мы могли бы решить уравнение таким образом — и после дробления, но мы предпочитаем не делать этого. В системах, в которых замена не удобна, мы будем использовать исключение. Мы рассмотрим метод исключения в следующем уроке.

Таким образом, система уравнений, два уравнения с двумя переменными обычно имеют одно уникальное решение, и опять же, это место, где две линии пересекаются. Вот что мы находим. Мы можем решить либо заменой, либо устранением.Подстановка работает лучше всего, когда одна из переменных имеет коэффициент плюс или минус 1.

И снова, в следующем уроке мы поговорим об исключении.

О Майке МᶜГарри

Майк создает уроки для экспертов и практические вопросы, чтобы помочь студентам GMAT добиться успеха. У него есть степень бакалавра физики и магистра религии в Гарварде, а также более 20 лет опыта преподавания, специализирующегося на математике, естественных науках и стандартизированных экзаменах. Майк любит разбивать футбольные мячи на орбите, и, несмотря на отсутствие очевидной черепно-мозговой недостаточности, он настаивает на том, чтобы поддержать Нью-Йорк Метс.