Геометрическая прогрессия | Онлайн калькулятор

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой все ее члены расположены в порядке, подчиняющемся определенной закономерности. Формула геометрической прогрессии определяет, что каждое следующее число будет получено умножением предыдущего на знаменатель прогрессии — постоянное число, не меняющее свое значение в пределах одной последовательности.
b_n=b₁ q^(n-1)

В зависимости от знаменателя прогрессии, выписанные члены геометрической прогрессии могут давать различный вид ряда. Если знаменатель является числом положительным, больше 1 (k > 1), тогда он будет увеличивать значение каждого следующего числа. Такая прогрессия будет монотонно возрастать на протяжении всего ряда. Если знаменатель — положительный, но находится между 0 и 1 (0 , тогда он будет каждый раз уменьшать значение следующего члена, и такая прогрессия будет называться бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Если для все возрастающей последовательности, можно только найти сумму первых членов геометрической прогрессии, то сумма членов бесконечно убывающей прогрессии будет равна вполне конкретному числовому значению, которое может рассчитать калькулятор. Третий случай представлен отрицательным знаменателем (k , тогда прогрессия становится знакочередующейся, то есть первые члены геометрической прогрессии определяют порядок знаков для всей последовательности чисел. Как знаменатель геометрической прогрессии, так и первый член геометрической прогрессии по определению не могут быть равны нулю.

Существует всего несколько формул геометрической прогрессии, из которых можно вывести все необходимые для решения конкретных задач:

• Формула первого члена геометрической прогрессии;

• Формула n члена геометрической прогрессии;

• Формула суммы первых членов геометрической прогрессии;

• Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии;

• Формула знаменателя геометрической прогрессии.

Таким образом, если условиями задана геометрическая прогрессия с хотя бы двумя параметрами из всех выше представленных, для нее можно будет найти любую из всех прочих переменных.

Геометрическая прогрессия (ЕГЭ — 2021)

Многие знают, что шахматная игра была придумана в Индии. Когда индусский царь познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь решил лично наградить его. Он вызвал изобретателя к себе и приказал просить у него все, что он пожелает, пообещав исполнить даже самое искусное желание.

Сета попросил время на размышления, а когда на другой день Сета явился к царю, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы. Он попросил выдать за первую клетку шахматной доски \( \displaystyle 1\) пшеничное зерно, за вторую \( \displaystyle 2\) пшеничных зерна, за третью \( \displaystyle -4\), за четвертую \( \displaystyle -8\) и т.д.

Царь разгневался, и прогнал Сета, сказав, что просьба слуги недостойна царской щедрости, но пообещал, что слуга получит свои зерна за все \( \displaystyle 64\) клетки доски.{64}}=1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 64\)

Конечно, если ты хочешь, то можешь взять калькулятор и посчитать, что за число в итоге у тебя получится, а если нет, придется поверить мне на слово: итоговым значением выражения будет \( \displaystyle 18~\ 446~\ 744~\ 073~\ 709~\ 551~\ 615\).

То есть:

\( \displaystyle 18\) квинтильонов \( \displaystyle 446\) квадрильонов \( \displaystyle 744\) триллиона \( \displaystyle 73\) миллиарда \( \displaystyle 709\) миллионов \( \displaystyle 551\) тысяч \( \displaystyle 615\).

Фух) Если желаете представить себе огромность этого числа, то прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения всего количества зерна.

При высоте амбара \( \displaystyle 4\) м и ширине \( \displaystyle 10\) м длина его должна была бы простираться на \( \displaystyle 300\text{ }000\text{ }000\) км, — т.е. вдвое дальше, чем от Земли до Солнца.

Если бы царь был бы силен в математике, то он мог бы предложить самому ученому отсчитывать зерна, ведь чтобы отсчитать миллион зерен, ему бы понадобилось не менее \( \displaystyle 10\) суток неустанного счета, а учитывая, что необходимо отсчитать \( \displaystyle 18\) квинтильонов, зерна пришлось бы отсчитывать всю жизнь.

А теперь решим простую задачку на сумму членов геометрической прогрессии.

Задачи на геометрические прогрессии — задачи с решениями

Задача 1

Найдите знаменатель q геометрической прогрессии [tex]{a_n}[/tex], для которой [tex]a_1=5[/tex], [tex]a_2=15[/tex]

Задача 2

Найдите знаменатель q геометрической прогрессии [tex]{a_n}[/tex], для которой [tex]a_1=-1[/tex], [tex]a_2=5[/tex]

Задача 3

Определите знаменатель q увеличивающейся геометрической прогрессии [tex]{a_n}[/tex], для которой [tex]a_1=5[/tex] и [tex]a_3=20[/tex].

Задача 4

Определите знаменатель q геометрической прогрессии [tex]{a_n}[/tex], для которой [tex]a_1=5[/tex] и [tex]a_4=-40[/tex]

Задача 5

Найдите знаменатель q переменной геометрической прогрессии [tex]{a_n}[/tex], для которой [tex]a_1=125[/tex], [tex]a_2=-25[/tex] и [tex]a_3=5[/tex].

Задача 6

Найдите четвертый член геометрической прогрессии [tex]{a_n}[/tex], для которой [tex]a_1=2[/tex] и [tex]q=3[/tex].

Задача 7

Пусть [tex]{a_n}[/tex] — геометрическая прогрессия со знаменателем [tex]q=\frac{1}{3}[/tex]. Если [tex]a_4=12[/tex], найдите [tex]a_1[/tex].

Задача 8

[tex]{a_n}[/tex] есть геометрической прогрессией . Если [tex]a_1=5[/tex] и [tex]a_2=10[/tex], найдите [tex]a_6[/tex]

Задача 9

Пусть [tex]{a_n}[/tex] — возрастающая геометрическая прогрессия. Если [tex]a_1=2[/tex] и [tex]a_5=162[/tex], определите [tex]a_3[/tex]

Задача 10

Пусть [tex]{a_n}[/tex] есть геометрической прогрессией, такой что [tex]a_1=2[/tex] и [tex]q=3[/tex]. Найдите сумму первых пяти элементов.

Задача 11

Пусть [tex]{a_n}[/tex] есть геометрическая прогрессия, определенная [tex]a_1=1[/tex] и [tex]q=5[/tex]. Найдите сумму [tex]a_1+a_2+a_3+a_4+a_5[/tex]

Задача 12

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии [tex]{a_n}[/tex], определенной [tex]a_1=1[/tex] и [tex]q=\frac{1}{2}[/tex]

Правильный:

Неверный:

Неразрешенные задачи:

© 2005 — 2021   Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратиться в компетентные органы.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

      Определение 1. Числовую последовательность

b₁ ,  b₂ , … b_k , …

все члены которой отличны от нуля, называют геометрической прогрессией, если справедливы равенства

      Определение 2. Если последовательность чисел

b₁ ,  b₂ , … b_k , …

является геометрической прогрессией, то число  q , определенное формулой

называют знаменателем этой геометрической прогрессии.

      Из определений 1 и 2 следует, что для того, чтобы задать геометрическую прогрессию, нужно знать два числа, например, первый член геометрической прогрессии b₁ и знаменатель геометрической прогрессии   q . Если числа   b₁   и   q   известны, то все остальные члены прогрессии можно найти по формулам:

      По этой причине многие задачи на геометрическую прогрессию удобно решать при помощи составления системы уравнений для определения чисел   b₁   и   q.

      Из формул (1) вытекает общая формула

позволяющая по любому номеру   k   вычислить член b_k  геометрической прогрессии, зная первый член и знаменатель прогрессии. Эта формула носит название формулы общего члена геометрической прогрессии.

      Из формулы (2) вытекает утверждение, называемое характеристическим свойством геометрической прогрессии. Это свойство формулируется так: — «Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению своих соседних членов». Таким образом, характеристическое свойство геометрической прогрессии утверждает, что при справедливо равенство

      В случае, когда

  b₁ > 0   и   q > 0  

все члены геометрической прогрессии будут положительными, и формулу (3) можно переписать в другом виде:

      Равенство (4) означает, что каждый член такой геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому своих соседних членов.

      Если для суммы первых   k   членов геометрической прогрессии ввести обозначение

S_k = b₁ + b₂ + … + b_k  ,      
k = 1, 2, 3, …

то, воспользовавшись равенствами (1), получаем

q S_k =
= b₁q + b₂q + … + b_k q =
= b₂ + b₃ + … + b_{k +1} .

      Следовательно,

S_k – q S_k = b₁ – b_{k +1} .

      Таким образом , при будет справедливо равенство

которое называется формулой для суммы первых k членов геометрической прогрессии.

      В случае, когда   q = 1, все члены геометрической прогрессии равны, что не представляет особого интереса.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

      Определение 3. Геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей, если её знаменатель удовлетворяет неравенству

  | q | < 1 .

      В этом случае выполнено равенство

а величину  S называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

      Более подробно с понятием предела числовой последовательности можно ознакомиться в в разделе «Пределы числовых последовательностей» нашего справочника.

      С примерами решений различных задач по теме «Геометрическая прогрессия» можно ознакомиться в нашем учебном пособии «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

   На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Решение задач на бесконечно убывающую геометрическую прогрессию

Решение задач на бесконечно убывающую геометрическую прогрессию
Пример 1. Обратить периодическую дробь 0,454545…= 0,(45) в обыкновенную.
Решение. Представим исходную дробь в виде суммы:

(так как у нас есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем ).
Ответ:
Пример 2. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии , а сумма квадратов всех ее членов . Найти четвертый член прогрессии.
Решение. Прогрессия, у которой каждый член есть квадрат , то есть , имеет знаменатель , который равен квадрату знаменателя заданной прогрессии так как

Отсюда имеем систему уравнении

Разделив второе уравнение системы на первое, возведенное в квадрат, получим

Тогда
Ответ:
Пример 3. В равносторонний треугольник со стороной вписан посредством соединения середин его сторон новый треугольник; в этот треугольник тем же способом вписан новый треугольник и так далее до бесконечности. Найти сумму периметров всех этих треугольников и сумму их площадей.
Решение.
Изобразим на рисунке несколько треугольников, удовлетворяющих условию задачи (рис.1).

Рис.1

. Так как — средние линии, то их длины равны . Аналогично Таким образом, последовательность длин сторон вписанных треугольников образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию . Последовательность периметров будет получаться путем утроения, т. е. . Знаменатель такой прогрессии а сумма периметров может быть вычислена по формуле для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: . Площади полученных правильных треугольников также образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию . поскольку

и т. д. Знаменатель такой прогрессии .
Отсюда сумма площадей

Ответ:

Прогрессии — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

Основные теоретические сведения

Арифметическая прогрессия

К оглавлению…

Формулы n-го члена арифметической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами арифметической прогрессии:

Формула суммы арифметической прогрессии:

Свойство арифметической прогрессии:

Геометрическая прогрессия

К оглавлению…

Формулы n-го члена геометрической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами геометрической прогрессии:

Формула суммы геометрической прогрессии:

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Свойство геометрической прогрессии:

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Формула n-го члена геометрической прогрессии

        Формула n-го члена геометрической прогрессии — штука очень простая. Как по смыслу, так и по общему виду. Но задачки на формулу n-го члена встречаются всякие — от совсем примитивных до вполне себе серьёзных. И в процессе нашего знакомства мы обязательно рассмотрим и те и другие. Ну что, знакомимся?)

        Итак, для начала собственно сама формула n-го члена геометрической прогрессии.

        Вот она:

b_n = b₁·q^n-1

       Формула как формула, ничего сверхъестественного. Выглядит даже проще и компактнее, чем аналогичная формула для арифметической прогрессии. Смысл формулы тоже прост, как валенок.

        Эта формула позволяет находить ЛЮБОЙ член геометрической прогрессии ПО ЕГО НОМЕРУ «n«.

        Как вы видите, по смыслу полная аналогия с арифметической прогрессией. Знаем номер n — можем посчитать и член, стоящий под этим номером. Какой хотим. Не умножая последовательно на «q» много-много раз. Вот и весь смысл.)

        Я понимаю, что на данном уровне работы с прогрессиями все входящие в формулу величины вам уже должны быть понятны, но считаю своим долгом всё-таки расшифровать каждую. На всякий случай.

        Итак, поехали:

        b₁ — первый член геометрической прогрессии;

        q — знаменатель геометрической прогрессии;

        n — номер члена;

        b_n — энный (n-й) член геометрической прогрессии.

        Эта формулка связывает четыре главных параметра любой геометрической прогрессии — b_n, b₁, q и n. И вокруг этих четырёх ключевых фигур и вертятся все-все задачки по прогрессии.

        «А как она выводится?» — слышу любопытный вопрос… Элементарно! Смотрите!

        Чему равен второй член прогрессии? Не вопрос! Прямо по смыслу геометрической прогрессии пишем:

       b₂ = b₁·q

        А третий член? Тоже не проблема! Второй член помножаем ещё раз на q.

        Вот так:

        b₃ = b₂·q

        Вспомним теперь, что второй член, в свою очередь, у нас равен b₁·q и подставим это выражение в наше равенство:

        b₃ = b₂·q = (b₁·q)·q = b₁·q·q = b₁·q²

        Получаем:

        b₃ = b₁·q²

       А теперь прочитаем нашу запись по-русски: третий член равен первому члену, умноженному на q во второй степени. Улавливаете? Пока нет? Хорошо, ещё один шаг.

        Чему равен четвёртый член? Всё то же самое! Умножаем предыдущий (т.е. третий член) на q:

        b₄ = b₃·q = (b₁·q²)·q = b₁·q²·q = b₁·q³

        Итого:

        b₄ = b₁·q³

        И снова переводим на русский язык: четвёртый член равен первому члену, умноженному на q в третьей степени.

        И так далее. Ну и как? Уловили закономерность? Да! Для любого члена с любым номером количество одинаковых множителей q (т.е. степень знаменателя) всегда будет на единичку меньше, чем номер искомого члена n.

        Стало быть, наша формула будет, без вариантов:

        b_n = b₁·q^n-1

        Вот и все дела.)

        Ну что, порешаем задачки, наверное?)

Решение задач на формулу n-го члена геометрической прогрессии.

        Начнём, как обычно, с прямого применения формулы. Вот типичная задачка:

        В геометрической прогрессии известно, что b₁ = 512 и q = -1/2. Найдите десятый член прогрессии.

        Конечно, эту задачку можно вообще безо всяких формул решить. Прямо по смыслу геометрической прогрессии. Но нам ведь с формулой n-го члена размяться нужно, правда? Вот и разминаемся.

        Наши данные для применения формулы следующие.

        Известен первый член. Это 512.

        b₁ = 512.

        Известен также знаменатель прогрессии: q = -1/2.

        Остаётся только сообразить, чему равен номер члена n. Не вопрос! Нас интересует десятый член? Вот и подставляем в общую формулу десятку вместо n.

        И аккуратно считаем арифметику:

       Ответ: -1

        Как видим, десятый член прогрессии оказался с минусом. Ничего удивительного: знаменатель прогрессии у нас -1/2, т.е. отрицательное число. А это говорит нам о том, что знаки у нашей прогрессии чередуются, да.)

        Здесь всё просто. А вот похожая задачка, но немного посложнее в плане вычислений.

        В геометрической прогрессии известно, что:

        b₁ = 3

        Найдите тринадцатый член прогрессии.

        Всё то же самое, только в этот раз знаменатель прогрессии — иррациональный. Корень из двух. Ну и ничего страшного. Формула — штука универсальная, с любыми числами справляется.

        Работаем прямо по формуле:

        Формула, конечно, сработала как надо, но… вот тут некоторые и зависнут. Что дальше делать с корнем? Как возвести корень в двенадцатую степень?

        Как-как… Надо понимать, что любая формула, конечно, дело хорошее, но знание всей предыдущей математики при этом не отменяется! Как возвести? Да свойства степеней вспомнить! Превратим корень в степень с дробным показателем и — по формуле возведения степени в степень.

        Вот так:

        Ответ: 192

        И все дела.)

        В чём состоит основная трудность при прямом применении формулы n-го члена? Да! Основная трудность — это работа со степенями! А именно — возведение в степень отрицательных чисел, дробей, корней и тому подобных конструкций. Так что те, у кого с этим проблемы, настоятельная просьба повторить степени и их свойства! Иначе и в этой теме будете тормозить, да…)

        А теперь порешаем типовые задачки на поиск одного из элементов формулы, если даны все остальные. Для успешного решения таких задач рецепт един и прост до ужаса — пишем формулу n-го члена в общем виде! Прямо в тетрадке рядышком с условием. А затем из условия соображаем, что нам дано, а чего не хватает. И выражаем из формулы искомую величину. Всё!

        Например, такая безобидная задачка.

        Пятый член геометрической прогрессии со знаменателем 3 равен 567. Найдите первый член этой прогрессии.

        Ничего сложного. Работаем прямо по заклинанию.

         Пишем формулу n-го члена! 

        b_n = b₁·q^n-1

        Что нам дано? Во-первых, дан знаменатель прогрессии: q = 3.

        Кроме того, нам дан пятый член: b₅ = 567.

        Всё? Нет! Ещё нам дан номер n! Это — пятёрка: n = 5.

        Надеюсь, вы уже понимаете, что в записи b₅ = 567 скрыты сразу два параметра — это сам пятый член (567) и его номер (5). В аналогичном уроке по арифметической прогрессии я об этом уже говорил, но и здесь считаю не лишним напомнить.)

        Вот теперь подставляем наши данные в формулу:

        567 = b₁·3^5-1

        Считаем арифметику, упрощаем и получаем простенькое линейное уравнение:

        81b₁ = 567

        Решаем и получаем:

        b₁ = 7

        Как вы видите, с поиском первого члена проблем никаких. А вот при поиске знаменателя q и номера n могут встречаться и сюрпризы. И к ним (к сюрпризам) тоже надо быть готовым, да.)

        Например, такая задачка:

        Пятый член геометрической прогрессии с положительным знаменателем равен 162, а первый член этой прогрессии равен 2. Найдите знаменатель прогрессии.

        В этот раз нам даны первый и пятый члены, а найти просят знаменатель прогрессии. Вот и приступаем.

        Пишем формулу n-го члена!

        b_n = b₁·q^n-1

        Наши исходные данные будут следующими:

        b₅ = 162

        b₁ = 2

        n = 5

        Не хватает значения q. Не вопрос! Сейчас найдём.) Подставляем в формулу всё что нам известно.

        Получаем:

        162 = 2·q^5-1

        2q⁴ = 162

        q⁴ = 81

        Простенькое уравнение четвёртой степени. А вот сейчас — аккуратно! На данном этапе решения многие ученики сразу же радостно извлекают корень (четвёртой степени) и получают ответ q=3.

        Вот так:

        q⁴ = 81

        q = 3

        Но вообще-то, это недоделанный ответ. Точнее, неполный. Почему? Дело в том, что ответ q = -3 тоже подходит: (-3)⁴ тоже будет 81!

        Всё из-за того, что степенное уравнение xⁿ = a всегда имеет два противоположных корня при чётном n. С плюсом и с минусом:

        Оба подходят.

        Например, решая неполное квадратное уравнение (т.е. второй степени)

        x² = 9

        вы же почему-то не удивляетесь появлению двух корней x=±3? Вот и тут то же самое. И с любой другой чётной степенью (четвёртой, шестой, десятой и т.д.) будет так же. Подробности — в теме про арифметический корень n-й степени.

        Поэтому правильное решение будет таким:

        q⁴ = 81

        q = ±3

        Хорошо, со знаками разобрались. Какой же из них правильный — плюс или минус? Что ж, читаем ещё раз условие задачи в поисках дополнительной информации. Её, конечно, может и не быть, но в данной задаче такая информация имеется. У нас в условии прямым текстом сказано, что дана прогрессия с положительным знаменателем.

        Поэтому ответ очевиден:

        q = 3

        Здесь-то всё просто. А как вы думаете, что было бы, если бы формулировка задачи была бы вот такой:

        Пятый член геометрической прогрессии равен 162, а первый член этой прогрессии равен 2. Найдите знаменатель прогрессии.

        В чём отличие? Да! В условии ничего не сказано про знак знаменателя. Ни прямо, ни косвенно. И вот тут задачка уже имела бы два решения!

        q = 3 и q = -3

        Да-да! И с плюсом и с минусом.) Математически сей факт означал бы, что существуют две прогрессии, которые подходят под условие задачи. И для каждой — свой знаменатель. Ради интереса, потренируйтесь и выпишите первые пять членов каждой из них.)

        А теперь потренируемся номер члена находить. Эта задачка самая сложная, да. Но зато и более творческая.)

        Дана геометрическая прогрессия:

        3; 6; 12; 24; …

        Под каким номером в этой прогрессии стоит число 768?

        Первый шаг всё тот же: пишем формулу n-го члена!

        b_n = b₁·q^n-1

        А теперь, как обычно, подставляем в неё известные нам данные. Гм… не подставляется! Где первый член, где знаменатель, где всё остальное?!

        Где-где… А глазки нам зачем? Ресницами хлопать? В этот раз прогрессия задана нам напрямую в виде последовательности. Первый член видим? Видим! Это — тройка (b₁ = 3). А знаменатель? Пока не видим, но он очень легко считается. Если, конечно, понимать, что такое знаменатель геометрической прогрессии.

        Вот и считаем. Прямо по смыслу геометрической прогрессии: берём любой её член (кроме первого) и делим на предыдущий.

        Хотя бы вот так:

        q = 24/12 = 2

        Что ещё нам известно? Нам ещё известен некоторый член этой прогрессии, равный 768. Под каким-то номером n:

        b_n = 768

        Номер его нам неизвестен, но наша задача как раз и состоит в том, чтобы его отыскать.) Вот и ищем. Все необходимые данные для подстановки в формулу мы уже скачали. Незаметно для себя.)

        Вот и подставляем:

        768 = 3·2^n-1

        Делаем элементарные тождественные преобразования — делим обе части на тройку и переписываем уравнение в привычном виде: неизвестное слева, известное — справа.

        Получаем:

        2^n-1 = 256

        Вот такое интересное уравнение. Надо найти «n». Что, непривычно? Да, я не спорю. Вообще-то, это простейшее показательное уравнение. Оно так называется из-за того, что неизвестное (в данном случае это — номер n) стоит в показателе степени.

        На этапе знакомства с геометрической прогрессией (это девятый класс) показательные уравнения решать не учат, да… Это тема старших классов. Но страшного ничего нет. Даже если вы не в курсе, как решаются такие уравнения, попробуем найти наше n, руководствуясь простой логикой и здравым смыслом.

        Начинаем рассуждать. Слева у нас стоит двойка в какой-то степени. Мы пока не знаем, что это конкретно за степень, но это и не страшно. Но зато мы твёрдо знаем, что эта степень равна 256! Вот и вспоминаем, в какой же степени двойка даёт нам 256. Вспомнили? Да! В восьмой степени!

        256 = 2⁸

        Если не вспомнили или с распознаванием степеней проблемы, то тоже ничего страшного: просто последовательно возводим двойку в квадрат, в куб, в четвёртую степень, пятую и так далее. Подбор, фактически, но на данном уровне — вполне прокатит.

        Так или иначе, мы получим:

        2^n-1 = 2⁸

        А дальше что напрашивается? Правильно, просто убрать одинаковые основания (двойки) и приравнять показатели! Это можно, математика позволяет. Убираем двойки и получаем:

        n-1 = 8

        n = 9

        Итак, 768 — это девятый член нашей прогрессии. Всё, задача решена.)

        Ответ: 9

        Что? Скучно? Надоела элементарщина? Согласен. И мне тоже. Шагаем на следующий уровень.)

Более сложные задачи.

        А теперь решаем задачки покруче. Не то чтобы совсем уж сверхкрутые, но над которыми предстоит немного поработать, чтобы добраться до ответа.

        Например, такая.

        Найдите второй член геометрической прогрессии, если четвёртый её член равен -24, а седьмой член равен 192.

        Это классика жанра. Известны какие-то два разных члена прогрессии, а найти надо ещё какой-то член. Причём все члены НЕ соседние. Что и смущает поначалу, да…

        Как и в уроке по арифметической прогрессии, для решения таких задач рассмотрим два способа. Первый способ — универсальный. Алгебраический. Работает безотказно и с любыми исходными данными. Поэтому именно с него и начнём.)

        Расписываем каждый член по формуле n-го члена!

        Всё точь-в-точь как с арифметической прогрессией. Только в этот раз работаем с другой общей формулой. Вот и всё.) Но суть та же самая: берём и поочерёдно подставляем в формулу n-го члена наши исходные данные. Для каждого члена — свои.

        Для четвёртого члена записываем:

        b₄ = b₁·q³

        -24 = b₁·q³

        Есть. Одно уравнение готово.

        Для седьмого члена пишем:

        b₇ = b₁·q⁶

        192 = b₁·q⁶

        Итого получили два уравнения для одной и той же прогрессии.

        Собираем из них систему:

        Несмотря на её грозный вид, системка совсем простая. Самый очевидный способ решения — обычная подстановка. Выражаем b₁ из верхнего уравнения и подставляем в нижнее:

        Немного повозившись с нижним уравнением (сократив степени и поделив на -24), получим:

        q³ = -8

        К этому же уравнению, между прочим, можно прийти и более простым путём! Каким? Сейчас я вам продемонстрирую ещё один секретный, но оч-чень красивый, мощный и полезный способ решения подобных систем. Таких систем, в уравнениях которых сидят только произведения. Хотя бы в одном. Называется метод почленного деления одного уравнения на другое.

        Итак, перед нами система:

        В обоих уравнениях слева — произведение, а справа — просто число. Это очень хороший знак.) Давайте возьмём и… поделим, скажем, нижнее уравнение на верхнее! Что значит, поделим одно уравнение на другое? Очень просто. Берём левую часть одного уравнения (нижнего) и делим её на левую часть другого уравнения (верхнего). С правой частью аналогично: правую часть одного уравнения делим на правую часть другого.

        Весь процесс деления выглядит так:

        Теперь, сократив всё, что сокращается, получим:

        q³ = -8

        Чем хорош этот способ? Да тем, что в процессе такого деления всё нехорошее и неудобное может благополучно сократиться и остаться вполне безобидное уравнение! Именно поэтому так важно наличие только умножения хотя бы в одном из уравнений системы. Нету умножения — нечего и сокращать, да…

        А вообще, этот способ (как и многие другие нетривиальные способы решения систем) даже заслуживает отдельного урока. Обязательно его разберу поподробнее. Когда-нибудь…

        Впрочем, неважно, как именно вы решаете систему, в любом случае теперь нам надо решить получившееся уравнение:

        q³ = -8

        Никаких проблем: извлекаем корень (кубический) и — готово!

        Прошу заметить, что здесь при извлечении ставить плюс/минус не нужно. Нечётной (третьей) степени у нас корень. И ответ — тоже один, да.)

        Итак, знаменатель прогрессии найден. Минус два. Отлично! Процесс идёт.)

        Для первого члена (скажем, из верхнего уравнения) мы получим:

        Отлично! Знаем первый член, знаем знаменатель. И теперь у нас появилась возможность найти любой член прогрессии. В том числе и второй.)

        Для второго члена всё совсем просто:

        b₂ = b₁·q = 3·(-2) = -6

        Ответ: -6

        Итак, алгебраический способ решения задачи мы с вами разложили по полочкам. Сложно? Не очень, согласен. Долго и нудно? Да, безусловно. Но иногда можно существенно сократить объём работы. Для этого есть графический способ. Старый добрый и знакомый нам по задачкам на арифметическую прогрессию.)

        Рисуем задачу!

        Да! Именно так. Снова изображаем нашу прогрессию на числовой оси. Не обязательно по линеечке, не обязательно выдерживать равные интервалы между членами (которые, кстати, и не будут одинаковыми, т.к. прогрессия — геометрическая!), а просто схематично рисуем нашу последовательность.

        У меня получилось вот так:

        А теперь смотрим на картинку и соображаем. Сколько одинаковых множителей «q» разделяют четвёртый и седьмой члены? Верно, три!   

        Стало быть, имеем полное право записать:

        -24·q³ = 192

        Отсюда теперь легко ищется q:

        q³ = -8

        q = -2

        Вот и отлично, знаменатель у нас уже в кармане. А теперь снова смотрим на картинку: сколько таких знаменателей сидит между вторым и четвёртым членами? Два! Стало быть, для записи связи между этими членами знаменатель будем возводить в квадрат.

        Вот и пишем:

        b₂·q² = -24, откуда b₂ = -24/q²

        Подставляем наш найденный знаменатель в выражение для b₂, считаем и получаем:

        Ответ: -6

        Как видим, всё гораздо проще и быстрее, чем через систему. Более того, здесь нам вообще даже не понадобилось считать первый член! Совсем.)

        Вот такой простой и наглядный способ-лайт. Но есть у него и серьёзный недостаток. Догадались? Да! Он годится только для очень коротких кусочков прогрессии. Таких, где расстояния между интересующими нас членами не очень большие. А вот во всех остальных случаях картинку рисовать уже затруднительно, да… Тогда решаем задачу аналитически, через систему.) А системы — штука универсальная. С любыми числами справляются.

        Ещё одна эпичная задачка:

        Второй член геометрической прогрессии на 10 больше первого, а третий член на 30 больше второго. Найдите знаменатель прогрессии.

        Что, круто? Вовсе нет! Всё то же самое. Снова переводим условие задачи в чистую алгебру.

        1) Расписываем каждый член по формуле n-го члена!

        Второй член: b₂ = b₁·q

        Третий член: b₃ = b₁·q²

        2) Записываем связь между членами из условия задачи.

        Читаем условие: «Второй член геометрической прогрессии на 10 больше первого». Стоп, это ценно!

        Так и пишем:

        b₂ = b₁+10

        Читаем дальше: «…третий член на 30 больше второго».

        И эту фразу переводим в чистую математику:

        b₃ = b₂+30

        Получили два уравнения. Объединяем их в систему:

        Система на вид простенькая. Но что-то уж много различных индексов у буковок. Подставим-ка вместо второго и третьего членов их выражения через первый член и знаменатель! Зря, что ли, мы их расписывали?

        Получим:

        А вот такая система — уже не подарок, да… Как такое решать? К сожалению, универсального секретного заклинания на решение сложных нелинейных систем в математике нет и быть не может. Это фантастика! Но первое что должно приходить вам в голову при попытке разгрызть подобный крепкий орешек — это прикинуть, а не сводится ли одно из уравнений системы к красивому виду, позволяющему, например, легко выразить одну из переменных через другую?

        Вот и прикинем. Первое уравнение системы явно проще второго. Его и подвергнем пыткам.) А не попробовать ли из первого уравнения что-то выразить через что-то? Раз уж мы хотим найти знаменатель q, то выгоднее всего нам было бы выразить b₁ через q.

        Вот и попробуем проделать эту процедуру с первым уравнением, применяя старые добрые тождественные преобразования:

        b₁q = b₁+10

        b₁q — b₁ = 10

        b₁(q-1) = 10

        Всё! Вот мы и выразили ненужную нам переменную (b₁) через нужную (q). Да, не самое простое выражение получили. Дробь какую-то… Но и система у нас приличного уровня, да.)

        А дальше дело техники. Обычный метод подстановки. Подставляем наше полученное выражение для b₁ в нижнее уравнение:

        Типичное дробно-рациональное уравнение. Что делать — знаем.

        Пишем ОДЗ (обязательно!):

        q ≠ 1

        Умножаем всё на знаменатель (q-1) и сокращаем все дроби:

        10q² = 10q + 30(q-1)

        Делим всё на десятку, раскрываем скобки, собираем всё слева:

        q² — 4q + 3 = 0

        Решаем получившееся квадратное уравнение и получаем два корня:

        q₁ = 1

        q₂ = 3

        И что дальше? И какой из корней нам выбрать? Так, стоп! Чего же я туплю-то? А ОДЗ зачем мы выписывали? Для красоты?) Единица никак не катит! В отвал единицу!

        Окончательный ответ один: q = 3.

        Ответ: 3

        Как вы видите, путь решения большинства задач на формулу n-го члена геометрической прогрессии всегда един: читаем внимательно условие задачи и с помощью формулы n-го члена переводим всю полезную информацию в чистую алгебру.

        А именно:

        1) Расписываем отдельно каждый данный в задаче член по формуле n-го члена.

         2)  Из условия задачи переводим связь между членами в математическую форму. Составляем уравнение или систему уравнений.

         3) Решаем полученное уравнение или систему уравнений, находим неизвестные параметры прогрессии.

         4) В случае неоднозначного ответа читаем внимательно условие задачи в поисках дополнительной информации (если таковая присутствует). Также сверяем полученный ответ с условиями ОДЗ (если таковые имеются).

        А теперь перечислим основные проблемы, наиболее часто приводящие к ошибкам в процессе решения задач на геометрическую прогрессию.

        1. Элементарная арифметика. Действия с дробями и отрицательными числами.

        2. Действия со степенями и действия с корнями. Возведение в степень дробей, корней, отрицательных чисел. Извлечение корней n-й степени при решении уравнений.

        3. Решение уравнений и (особенно!) систем уравнений. Тождественные преобразования уравнений.

        Если хотя бы с одним из этих трёх пунктов проблемы, то неизбежно будете ошибаться и в этой теме. К сожалению… Так что не ленитесь и повторите то о чём упомянуто выше. И по ссылочкам — сходите. Иногда помогает.)

        Видоизменённые и рекуррентные формулы.

        А теперь рассмотрим парочку типичных экзаменационных задачек с менее привычной подачей условия. Да-да, вы угадали! Это видоизменённые и рекуррентные формулы n-го члена. С такими формулами мы уже с вами сталкивались и работали в соответствующем уроке по арифметической прогрессии. Здесь всё аналогично. Суть та же.

        Например, такая задачка из ОГЭ:

        Геометрическая прогрессия задана формулой b_n = 3·2ⁿ. Найдите сумму первого и четвёртого её членов.

        В этот раз прогрессия нам задана не совсем привычно. В виде какой-то формулы. Ну и что? Эта формула — тоже формула n-го члена! Мы же с вами знаем, что формулу n-го члена можно записать как в общем виде, через буквы, так и для конкретной прогрессии. С конкретными первым членом и знаменателем.

        В нашем случае нам, на самом деле, задана формула общего члена для геометрической прогрессии вот с такими параметрами:

        b₁ = 6

        q = 2

        Проверим?) Запишем формулу n-го члена в общем виде и подставим в неё b₁ и q. Получим:

        b_n = b₁·q^n-1

        b_n = 6·2^n-1

        Упрощаем, используя разложение на множители и свойства степеней, и получаем:

        b_n = 6·2^n-1 = 3·2·2^n-1 = 3·2^n-1+1 = 3·2ⁿ

        Как видите, всё честно. Но наша с вами цель — не продемонстрировать вывод конкретной формулы. Это так, лирическое отступление. Чисто для понимания.) Наша цель — решить задачу по той формуле, что дана нам в условии. Улавливаете?) Вот и работаем с видоизменённой формулой напрямую.

        Считаем первый член. Подставляем n=1 в общую формулу:

        b₁ = 3·2¹ = 3·2 = 6

        Вот так. Кстати, не поленюсь и ещё раз обращу ваше внимание на типовой ляп с подсчётом первого члена. НЕ НАДО, глядя на формулу b_n = 3·2ⁿ, сразу бросаться писать, что первый член — тройка! Это — грубейшая ошибка, да…)

        Продолжаем. Подставляем n=4 и считаем четвёртый член: 

        b₄ = 3·2⁴ = 3·16 = 48

        Ну и наконец, считаем требуемую сумму:

        b₁ + b₄ = 6+48 = 54

        Ответ: 54

        Ещё задачка.

        Геометрическая прогрессия задана условиями:

        b₁ = -7;

        b_n+1 = 3b_n

        Найдите четвёртый член прогрессии.

        Здесь прогрессия задана рекуррентной формулой. Ну и ладно.) Как работать с такой формулой — тоже знаем.

        Вот и действуем. По шагам.

        1) Считаем два последовательных члена прогрессии.

        Первый член нам уже задан. Минус семь. А вот следующий, второй член, легко можно посчитать по рекуррентной формуле. Если понимать принцип её работы, конечно.)

        Вот и считаем второй член по известному первому:

        b₂ = 3b₁ = 3·(-7) = -21

        2) Считаем знаменатель прогрессии

        Тоже никаких проблем. Прямо по смыслу геометрической прогрессии, делим второй член на первый.

        Получаем:

        q = -21/(-7) = 3

        3) Пишем формулу n-го члена в привычном виде и считаем нужный член.

        Итак, первый член знаем, знаменатель — тоже. Вот и пишем:

        b_n = -7·3^n-1

        Осталось лишь посчитать четвёртый член:

        b₄ = -7·3³ = -7·27 = -189

        Ответ: -189

        Как вы видите, работа с такими формулами для геометрической прогрессии ничем по своей сути не отличается от таковой для прогрессии арифметической. Важно лишь понимать общую суть и смысл этих формул. Ну и смысл геометрической прогрессии тоже надо понимать, да.) И тогда глупых ошибок не будет.

        Ну что, порешаем самостоятельно?)

        Совсем элементарные задачки, для разминки:

        1. Дана геометрическая прогрессия, в которой b₁ = 243, а q = -2/3. Найдите шестой член прогрессии.

        2. Общий член геометрической прогрессии задан формулой b_n = 5∙2ⁿ⁺¹. Найдите номер последнего трёхзначного члена этой прогрессии.

        3. Геометрическая прогрессия задана условиями:

        b₁ = -3;

        b_n+1 = 6b_n

        Найдите пятый член прогрессии.

        Чуть посложнее:

        4. Дана геометрическая прогрессия:

        b₁=2048; q=-0,5

        Чему равен шестой отрицательный её член?

        Что, кажется суперсложно? Вовсе нет. Спасёт логика и понимание смысла геометрической прогрессии. Ну и формула n-го члена, само собой.

        5. Третий член геометрической прогрессии равен -14, а восьмой член равен 112. Найдите знаменатель прогрессии.

        6. Сумма первого и второго членов геометрической прогрессии равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите шестой член прогрессии.

        Ответы (в беспорядке): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

        Вот почти и всё. Осталось лишь научиться нам считать сумму n первых членов геометрической прогрессии да открыть для себя бесконечно убывающую геометрическую прогрессию и её сумму. Очень интересную и необычную штуку, между прочим! Об этом — в следующих уроках.)

Сумма первых n членов геометрической последовательности

Если последовательность геометрическая, существуют способы найти сумму первых n элементов.
термины, обозначенные Sn, без фактического добавления всех терминов.

Чтобы найти сумму первых Sn
члены геометрической последовательности используют формулу
Sn = a1 (1 − rn) 1 − r, r ≠ 1,
, где n
— количество слагаемых, a1
— первый член, а r
это обычное отношение.

Сумма первых n
термины геометрической последовательности называется геометрической серией.

Пример 1:

Найдите сумму первых 8 членов геометрического ряда, если a1 = 1
и r = 2.

S8 = 1 (1-28) 1-2 = 255

Пример 2:

Найдите S10
геометрической последовательности 24,12,6, ⋯.

Сначала найдите r.

r = r2r1 = 1224 = 12

Теперь найдите сумму:

S10 = 24 (1− (12) 10) 1−12 = 306964

Пример 3:

Вычислить.

∑n = 1103 (−2) n − 1

(Вы находите S10
для ряда 3−6 + 12−24 + ⋯, значащий коэффициент которого равен −2.)

Sn = a1 (1 − rn) 1 − rS10 = 3 [1 — (- 2) 10] 1 — (- 2) = 3 (1−1024) 3 = −1023

Для того, чтобы бесконечный геометрический ряд имел сумму, знаменатель r
должно быть между -1
и 1. Тогда при n
увеличивается, рН
становится все ближе и ближе к 0. Чтобы найти сумму бесконечного геометрического ряда, имеющего отношения с абсолютным значением меньше единицы, используйте формулу S = a11 − r, где a1
— первый член, а r
это обычное отношение.

Пример 4:

Найдите сумму бесконечной геометрической последовательности
27,18,12,8, ⋯.

Сначала найдите r:

r = a2a1 = 1827 = 23

Затем найдите сумму:

S = a11 − r

S = 271−23 = 81

Пример 5:

Найдите сумму бесконечной геометрической последовательности
8,12,18,27, ⋯
если он существует.

Сначала найдите r:

r = a2a1 = 128 = 32

Так как r = 32

не меньше единицы. Серия не имеет суммы.

Существует формула для вычисления n ^th члена геометрического ряда, то есть суммы первых n
члены геометрической последовательности.

См. Также: сигма-обозначение ряда
и сумма первых n
члены арифметической последовательности

Сумма ГП | Геометрическая прогрессия | Решенные примеры

В этом мини-уроке мы нацелены на определение суммы GP. Давайте научимся находить сумму n членов GP, сумму бесконечных GP, сумму формулы GP, сумму членов в GP, сумму конечных GP, сумму бесконечных членов в GP, сумму геометрических прогрессия

Клара определенным образом экономит несколько долларов каждую неделю.На первой неделе она вносит 2 доллара. На 2 неделе — 4 доллара, на 3 неделе — 8 долларов, на 4 неделе — 16 долларов и т. Д. Сколько у нее останется в копилке по истечении 6 недель?

Ряд чисел, полученный путем умножения или деления каждого предыдущего члена, такой, что существует общее соотношение между членами (которое не равно 0), представляет собой геометрическую прогрессию, а сумма всех этих членов образуется так, что является суммой геометрическая прогрессия.

Здесь сумма, накапливаемая каждую неделю, имеет постоянный коэффициент, равный 2 долларам, а начальное значение — 2 доллара.

Каждую неделю вносится сумма: 2, 4, 8, 16, 32, 64 доллара.

Итак, через 6 недель в ее копилке накопится 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 126 долларов.

Мы можем найти то же самое, используя формулу суммы GP «n» членов. Научимся его рассчитывать сейчас.

План урока

Что такое сумма геометрической прогрессии?

Давайте обсудим, как суммировать произвольный GP. Рассмотрим сумму первых n членов GP с первым членом \ (a \) и общим отношением \ (r \).n)} {1 — r}, r \ neq 1 \)

Если \ (r = 1 \),

Учитывая указанную выше проблему копилки, сумма ЗП находится следующим образом.

Сумма ГП

Обратите внимание на то, что мяч падает с высоты на анимации ниже.

Отрегулируйте его высоту (a) и время (r) с помощью ползунков, показанных вверху.

Мяч теряет свою энергию, и последовательность максимальных высот приблизительно геометрическая.6)} {1- \ dfrac {1} {3}} \\\\ & = \ dfrac {1} {2} \ dfrac {(1- \ dfrac {1} {729})} {(\ dfrac { 2} {3})} \\\\ & = \ dfrac {182} {243} \\\\ & = 0,76 \ end {align} \]

Как рассчитать сумму n условий терапевта?

Сумма конечных GP

Определите геометрическую прогрессию и определите общее отношение «r» и первый член «a».

Найдите количество элементов «n», для которых должна быть вычислена сумма. n-1)} {r — 1} \) и вычисляем сумму всех членов GP.

Сумма бесконечных GP

Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, у нас есть первый член и постоянное соотношение между членами. Мы бы не узнали последний срок. Тогда \ (s_n = \ dfrac {a_1} {1-r} \)

• Если \ (\ mid r \ mid <1 \) , то ряд сходится, и ряд имеет сумму.

Например, Квадрат нарисован путем соединения середин сторон исходного квадрата.2 \ end {align} \]

Калькулятор суммы бесконечных GP

Найдите симуляцию ниже. Введите первый член и общее отношение и проверьте, как сумма бесконечного GP сходится к меньшему значению.

• Если \ (\ mid r \ mid> 1 \) , то ряд не сходится и в нем нет суммы. Это расходится.

Например: Рассмотрим бесконечную серию суммы, обратной простым числам,

\ [- \ dfrac {5} {10} + \ dfrac {15} {10} — \ dfrac {45} {10} + \ dfrac {135} {10} +.п -1)} {г -1} \).

Решенные примеры

В GP сумма первых трех членов равна 16, а сумма следующих трех членов равна 128. Найдите сумму первых n членов GP.

Решение

Пусть a и r будет первым членом и общим отношением GP.п-1)} {7} \)

Сара поделилась сообщением с 5 уникальными людьми в час ночи. В 2 часа ночи каждая из ее подруг поделилась им с 5 уникальными людьми. Затем в 15:00 каждый из их друзей поделился с 5 уникальными людьми. Сколько уникальных людей получили бы сообщение в этой последовательности к 8 часам утра?

Решение

Очевидно, мы находим, что это геометрическая прогрессия, поскольку первый член равен 5

Общий коэффициент \ (= \ dfrac {25} {5} = \ dfrac {125} {25} = 5 \)

\ [\ begin {align} S_8 & = \ dfrac {5 (5 ^ 8-1)} {5-1} \\\\ & = \ dfrac {5 (3_{)} {4} \\\\ & = 5 \ times 97656 \\\\ & = 488,280 \ text {people} \ end {align} \]}

Расстояние, пройденное мячом, сброшенным с высоты (в дюймах): \ (\ dfrac {128} {9}, \ dfrac {32} {3} \), 8, 6 … Какое может быть пройденное расстояние? мячом перед отдыхом?

Решение

Расстояние, пройденное мячом \ (= \ dfrac {128} {9}, \ dfrac {32} {3}, 8, 6 … \)

Здесь начальный член \ (a = \ dfrac {128} {9} \) и обычное отношение:

\ [\ begin {align} r & = \ dfrac {(\ dfrac {32} {3})} {(\ dfrac {128} {9})} \\\\ & = \ dfrac {32} {3} \ times \ dfrac {9} {128} \\\\ & = \ dfrac {3} {4} \ end {align} \]

Общее расстояние, пройденное мячом, будет суммой этого бесконечного GP.

Сумма бесконечных GP: \ [\ begin {align} & = \ dfrac {a} {1-r} \\\\ & = \ dfrac {\ dfrac {128} {9}} {1 — \ dfrac {3} {4}} \\\\ & = \ dfrac {128} {9} \ times 4 \\\\ & = \ dfrac {512} {9} \ text {in} \\\\ & = 56,88 \ text {in} \ end {align} \]

• Если сумма трех действительных чисел в GP равна 26, а сумма их квадратов равна 364, найдите наибольшее число.
• Найдите сумму бесконечного GP 0.3+ 0,33+ 0,333 + …. [подсказка: \ (0,3 = \ dfrac {3} {10} \)]

Интерактивные вопросы

Вот несколько занятий для вас. Выберите / введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.

Подведем итоги

Мини-урок был посвящен увлекательной концепции суммы GP.Математическое путешествие вокруг суммы GP началось с того, что студент уже знал, и продолжилось творчески, создавая новую концепцию в молодых умах. Сделано таким образом, чтобы не только было понятно и легко понять, но и навсегда осталось с ними.

О компании Cuemath

В Cuemath наша команда экспертов по математике стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!

Благодаря интерактивному и увлекательному подходу к обучению-обучению-обучению учителя исследуют тему со всех сторон.

Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любые другие формы отношений, мы в Cuemath верим в логическое мышление и интеллектуальный подход к обучению.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

1. Что такое полная форма терапевта?

Полная форма GP — это геометрическая прогрессия.

2. Что такое GP по математике?

Последовательность в математике, полученная, в которой последовательные члены находятся в постоянном соотношении, называется геометрической прогрессией.{n-1} \]

геометрическая серия | Purplemath

Purplemath

Можно взять сумму конечного числа членов геометрической последовательности. И по причинам, которые вы будете изучать в математике, вы можете взять сумму бесконечной геометрической последовательности , но только в особых обстоятельствах, когда общее отношение r находится между –1 и 1; то есть у вас должно быть | r | <1.

Для геометрической последовательности с первым членом a ₁ = a и общим отношением r сумма первых n членов определяется как:

MathHelp.com

Примечание. В вашей книге может быть немного другая форма приведенной выше формулы частичной суммы. Например, « a » можно умножить через числитель, множители дроби можно поменять местами, или суммирование может начаться с i = 0 и иметь степень n + 1 в числителе.Все эти формы эквивалентны, и приведенная выше формулировка может быть получена из полиномиального деления в столбик.

В частном случае | r | <1, бесконечная сумма существует и имеет следующее значение:

Первые несколько членов: –6, 12, –24:

.

a 1 = 3 (–2) ¹ = (3) (- 2) = –6

a 2 = 3 (–2) ² = (3) (4) = 12

a 3 = 3 (–2) ³ = (3) (- 8) = –24

Итак, это геометрический ряд с знаменателем r = –2.(Я также могу сказать, что это должен быть геометрический ряд из-за формы, данной каждому члену: по мере увеличения индекса каждый член будет умножаться на дополнительный коэффициент –2.)

Первый член последовательности равен a = –6. Подставляя в формулу суммирования, получаем:

Итак, сумма суммирования равна:

.

• Оценить S

  ₁₀ для 250, 100, 40, 16 ,….

Обозначение «S10» означает, что мне нужно найти сумму первых десяти членов. Первый член — a = 250. Разделив пары терминов, я получу:

100 ÷ 250 = 2/5

40 ÷ 100 = 2/5

… и так далее, поэтому добавляемые члены образуют геометрическую последовательность с общим отношением

r = 2/5.

В отличие от формулы для частичной суммы n арифметического ряда, мне не нужно значение последнего члена при нахождении частичной суммы n геометрического ряда. Итак, у меня есть все, что нужно для продолжения. Когда я вставляю значения первого члена и общего отношения, формула суммирования дает мне:

Я не буду «упрощать» это, чтобы получить десятичную форму, потому что это почти наверняка будет считаться «неправильным» ответом.Вместо этого мой ответ:

Примечание. Если вы попытаетесь выполнить указанные выше вычисления на своем калькуляторе, он вполне может вернуть десятичное приближение 416,62297 … вместо дробного (и точного) ответа.

Как вы можете видеть на снимке экрана выше, ввод значений в дробной форме и использование команды «преобразовать в дробь» по-прежнему приводит только к десятичной аппроксимации ответа.Но (на самом деле!) Десятичное приближение почти наверняка будет расценено как «неправильный» ответ. Найдите время, чтобы найти дробную форму.

• Найдите

  a _n , если S ₄ = 26/27 и r = 1/3.

Они дали мне сумму первых четырех членов, S ₄ , и значение общего отношения r .Поскольку существует общее соотношение, я знаю, что это должен быть геометрический ряд. Вставив в формулу геометрического ряда-суммы, я получу:

Умножая обе стороны на

27/40, чтобы найти первый член a = a ₁ , я получаю:

Затем, подставляя формулу для n -го члена геометрической последовательности, я получаю:

• Покажите с помощью геометрического ряда, что 0.3333 … равно 1/3.

В этом есть одна хитрость. Сначала мне нужно разбить повторяющуюся десятичную дробь на отдельные части; то есть «0,3333 …» становится:

0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + …

Разделение десятичной формы таким образом явно подчеркивает повторяющийся образец непрерывного (то есть бесконечного) десятичного числа: для каждого члена у меня есть десятичная точка, за которой следует постоянно увеличивающееся количество нулей, а затем заканчивая цифрой «3».Эта расширенная десятичная форма может быть записана в дробной форме, а затем преобразована в форму геометрической последовательности:

Это доказывает, что 0,333 … является (или, по крайней мере, может быть выражено как) бесконечный геометрический ряд с

a = 3/10 и r = 1/10. Поскольку | r | <1, я могу использовать формулу для суммирования бесконечных геометрических рядов:

Для приведенного выше доказательства, используя формулу суммирования, чтобы показать, что геометрический ряд «разложит» 0.333 … имеет значение одной трети. — это , «показывающий», о котором просило упражнение (поэтому очень важно выполнять свою работу аккуратно и логично). И вы можете использовать этот метод для преобразования любого повторяющегося десятичного числа в его дробную форму.

• Преобразуйте 1,363636 … в дробную форму с помощью геометрического ряда.

Сначала я разобью это на составные части, чтобы найти узор:

1.363636 .. = 1 + 0,36 + 0,0036 + 0,000036 + …

Две цифры повторяются, поэтому дроби немного отличаются. Но это все же геометрический ряд:

Это показывает, что исходная десятичная дробь может быть выражена как ведущая «1», добавленная к геометрическому ряду, имеющему

a = 9/25 и r = 1/100. Поскольку значение общего отношения достаточно мало, я могу применить формулу для бесконечных геометрических рядов.Тогда сумма оценивается как:

Таким образом, эквивалентная дробь в форме неправильных дробей и смешанных чисел:

Кстати, с помощью этой техники можно доказать, что 0,999 … = 1.

URL: https://www.purplemath.com/modules/series5.htm

Выведение суммы конечной и бесконечной геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия, GP
Геометрическая прогрессия (также известная как геометрическая последовательность) — это последовательность чисел, в которой соотношение любых двух соседних членов является постоянным.Постоянное отношение называется обычным отношением, r геометрической прогрессии. Таким образом, каждый член в геометрической прогрессии находится путем умножения предыдущего на r .

Примеры GP:

• 3, 6, 12, 24,… — геометрическая прогрессия с r = 2
• 10, -5, 2,5, -1,25,… — геометрическая прогрессия с r = -1/2

n ^th член геометрической прогрессии
Для каждого члена GP как a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ ,… , a _m ,…, a _n , выражение всех этих терминов в соответствии с первым членом a ₁ даст нам.{\, ​​n — 1}

долл. США

Где
a ₁ = первый член, a ₂ = второй член и т. Д.
a _n = последний член (или n ^{-й член} ) и
a _m = любой срок перед последним

Сумма конечной геометрической прогрессии
Сумма в геометрической прогрессии (также называемая геометрическим рядом) равна
$ S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \, \ dots \, + a_n $

$ S = a_1 + a_1 r + a_1 r ^ 2 + a_1 r ^ 3 + \, \ dots \, + a_1 r ^ {\, n — 1} $ ← Уравнение (1)

Умножьте обе части уравнения (1) на r. {\, n})} {1 — r}

долл. США

Приведенная выше формула подходит для GP с r <1.{\, ​​n}} {1 - r}

долл. США

Для n → ∞ величина ( a ₁ r ^{n ​​}) / (1 — r ) → 0 для -1,0 <( r ≠ 0) <+1,0, таким образом ,

$ S = \ dfrac {a_1} {1 — r}

$

новейших вопросов по ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ | Wyzant Спросите эксперта

Это геометрические, арифметические или нет?

и) 2, 8, 32, 128…
ii) 4, 0, -4, 8 …
iii) 4, 6, 8, 12, -18 …
iv) 2, 4, 8, 16, 32 …

— К

Геометрическая прогрессия

сверлильный станок рассчитан на 6 скоростей в диапазоне от 100 до 800 об / мин. если известно, что скорости из геометрической прогрессии, определяют их значения с точностью до ближайшего целого числа. 1/32…… До бесконечности Есть. (Ответ 2)

Геометрическая прогрессия

Если второй член геометрической прогрессии равен -4/3, а третий член равен 8/3, найдите a1 и r

a1 — первый член, а r — обыкновенное отношение.

сумма трех чисел в геометрической последовательности 14

сумма трех чисел в геометрической последовательности равна 14.если каждое из первых двух членов увеличивается на 1, а третий член уменьшается на 1, результирующие числа находятся в арифметической последовательности. Найти…
более

третий срок

третий член геометрической последовательности равен 6, а пятый в 81 раз больше первого члена. напишите первые пять членов прогрессии, предполагая, что они положительны

это геометрические или арифметические

укажите, где они

а) геометрический, артметический или ни то, ни другое

б) Если геометрическое, дайте обычное отношение.Если арифметический, дайте общую разницу

1. 1,2,4,8, 16, 32, …
более

Решатель геометрической прогрессии, N-е значение и калькулятор суммы

Что такое геометрическая прогрессия?

Геометрическая прогрессия $ (g_n) _ {n \ in N} $ или геометрическая последовательность — это последовательность действительных чисел или переменных, каждый член которой получается из
предшествующий единице путем умножения на ненулевое действительное число.4, \ ldots $$

где ненулевая константа $ r $ — обычное отношение. Первый член $ g_1 $ называется начальным членом. Обратите внимание, что обычное отношение $ r $ не может быть нулевым.
С другой стороны, прогрессия $ (g_n) _ {n \ in N} $ — это геометрическая прогрессия с общим соотношением $ r $, если отношения между последовательными членами равны, то есть

$$ \ frac {g_2} {g_1} = \ frac {g_3} {g_2} = \ ldots = \ frac {g_n} {g_ {n-1}} = r $$

• Если $ r> 1 $, то геометрическая прогрессия представляет собой возрастающую прогрессию и в нем содержится
  $$ g_1 \ lt g_2 \ lt \ ldots \ lt g_ {n-1} \ lt g_n $$
• Если $ 0 \ lt r \ lt 1 $, то геометрическая прогрессия является убывающей и содержит
  $$ g_1> g_2> \ ldots> g_ {n-1}> g_n $$
• Если $ r = 1 $, то геометрическая прогрессия — это постоянная прогрессия, и она составляет
  $$ g_1 = g_2 = \ ldots = g_ {n-1} = g_n $$.
  Постоянная прогрессия — это только прогрессия, одновременно геометрическая и геометрическая.

Члены между двумя непоследовательными членами геометрической прогрессии $ (g_n) _ {n \ in N} $ называются средними геометрическими терминами.
Например, средние геометрические значения между $ g_1 $ и $ g_5 $ равны $ g_2 $, $ g_3 $ и $ g_5. $
Если заданы два непоследовательных члена геометрической прогрессии $ (g_n) _ {n \ in N} $ и число средних геометрических между ними, то геометрическая прогрессия полностью определена.

Геометрический ряд — это сумма членов геометрической прогрессии. Геометрический ряд может быть бесконечным или конечным.{n-1}, $$
где $ g_1 $ — начальный член, а $ r \ ne0 $ — обыкновенное отношение.

Геометрическая прогрессия — примеры задач с решениями

1. Охарактеризуйте геометрическую прогрессию:

Решение:

Прогрессия (a _n ) _{^∞ n = 1} считается геометрической тогда и только тогда, когда существует такое q є R действительное число; q ≠ 1, что для каждого n є N означает _{n + 1} = a _n .q. Число q называется коэффициентом геометрической прогрессии.

Недвижимость:

a) a _n = a ₁ . Q ^n-1
b) a _r = a _s . Q ^rs
c)
d) стабильное приращение:
e) стабильное уменьшение :
е) Сумма бесконечной геометрической прогрессии: q <1

2. Определите первые 6 членов геометрической прогрессии, если стоит ₃ = 8 и ₇ = 128.

Решение:

3.Если к 2, 16 и 58 прибавить число, получатся первые 3 члена геометрической прогрессии. Узнайте количество и перечислите первых 6 членов прогрессии.

Решение:

4. Вставьте 4 числа между корнями уравнения x ² -66x +128 = 0, чтобы они образовали геометрическую прогрессию.

Решение:

5. Перечислите первые 6 элементов прогрессии геометрической прогрессии, которая соответствует следующим условиям:

Решение:

6.Площадь поверхности кубоида равна S = 78 см ² . Стороны кубоида образуют геометрическую прогрессию. Сумма длин сторон, пересекающихся в одном из краев, составляет 13 см. Определите объем кубоида.

Решение:

Длина сторон: a = 1 см, b = 3 см, c = 9 см.

Объем равен V = a.b.c

V = 1,3,9 см ³
V = 27 см ³

7. Наездник хочет купить лошадь за 10 000 долларов. Он заключил сделку с продавцом, чтобы заплатить за гвозди в подковах.Он заплатил 1 цент за первый гвоздь, 2 цента за второй, 4 цента за третий гвоздь и так далее. Каждая подкова скреплена 5 гвоздями. Он заключил хорошую сделку?

Риешение:

Наездник перебил цену лошади на 485,75 доллара.

8. Рабочий согласился работать на следующих условиях: его зарплата за первый рабочий день будет 1 доллар, за второй день работы — 2 доллара, за третий день работы — 4 доллара и так далее. Как долго ему нужно работать, чтобы заработать 4095 долларов?

Решение:

Рабочему необходимо проработать 12 дней.