Признак делимости на 4: примеры, доказательство

Приступим к рассмотрению темы «Признак делимости на 4». Приведем здесь формулировку признака, проведем его доказательство, рассмотрим основные примеры задач. В конце раздела мы собрали сведения о подходах, которые можно применять в тех случаях, когда нам нужно доказать делимость чисел на 4, заданных буквенным выражением.

Признак делимости на 4, примеры

Мы можем пойти простым путем и поделить однозначное натуральное число на 4 для того, чтобы проверить, делится ли это число на 4 без остатка. Так же можно поступить с двузначными, трехзначными и проч. числами.  Однако, чем больше становятся числа, тем сложнее проводить с ними действия с целью проверки делимости их на 4.

Гораздо проще становится использовать признак делимости на 4. Он предполагает проведение проверки делимости одной или двух последних цифр целого числа на 4. Что это значит? Это значит, что некоторое число a делится на 4 в том случае, если одна или две крайние правые цифры в записи числа a делятся на 4. Если число, составленное из двух крайних правых цифр в записи числа a не делятся на 4 без остатка, то и число a не делится на 4 без остатка.

Пример 1

Какие из чисел 98 028, 7 612 и 999 888 777 делятся на 4?

Решение

Крайние правые цифры чисел − 98 028, 7 612 составляют числа 28 и 12, которые делятся на 4 без остатка. Это значит, что и целые числа − 98 028, 7 612​​​​​​ ​делятся на 4 без остатка.

Последние две цифры в записи числа 999 888 777 образуют число 77, которое не делится на 4 без остатка. Это значит, что и исходное число на 4 без остатка не делится.

Ответ: −98 028 и 7 612.

Если предпоследней цифрой в записи числа является 0, то нам необходимо этот ноль отбросить и смотреть на оставшуюся крайнюю правую цифру в записи. Получается, что две цифры 01 мы заменяем 1. И уже по одной оставшейся цифре мы делаем вывод о том, делится ли исходное число на 4.

Пример 2

Делится ли числа 75 003 и −88 108 на 4?

Решение

Две последние цифры числа 75 003 — видим 03. Если отбросить ноль, то у нас остается цифра 3, которая на 4 без остатка не делится. Это значит, что исходное число 75 003 на 4 без остатка не делится.

Теперь возьмем две последние цифры числа −88 108. Это 08, из которых мы должны оставить лишь последнюю цифру 8. 8 делится на 4 без остатка.

Это значит, что и исходное число −88 108 мы можем поделить на 4 без остатка.

Ответ: 75 003 не делится на 4, а −88 108 – делится.

Числа, у которых в конце записи идет сразу два нуля, также делятся на 4 без остатка. Например, 100 делится на 4, получается 25. Доказать правдивость этого утверждения нам позволяет правило умножения числа на 100.

Представим произвольно выбранное многозначное число a, запись которого справа заканчивается двумя нулями, как произведение a1·100, где число a1 получается из числа a, если в его записи справа отбросить два нуля. Например, 486700=4867·100.

Произведение a1·100 содержит множитель 100, который делится на 4. Это значит, что все приведенное произведение делится на 4.

Доказательство признака делимости на 4

Представим любое натуральное число a в виде равенства a=a1·100+a0, в котором число a1 – это число a, из записи которого убрали две последние цифры, а число a0 – это две крайние правые цифры из записи числа a. Если использовать конкретные натуральные числа, то равенство будет иметь вид undefined. Для одно- и двузначных чисел a=a0.

Определение 1

Теперь обратимся к свойствам делимости: 

• деление модуля числа a на модуль числа b необходимо и достаточно для того, чтобы целое число a делилось на целое число b;
• если в равенстве a=s+t все члены, кроме одного делятся на некоторое целое число b, то и этот оставшийся член делится на число b.

Теперь, освежив в памяти необходимые свойства делимости, переформулируем доказательство признака делимости на 4 в виде необходимого и достаточного условия делимости на 4.

Теорема 1

Деление двух последних цифр в записи числа a на 4 – это необходимое и достаточное условие для делимости целого числа a на 4.

Доказательство 1

Если предположить, что a=0, то теорема в доказательстве не нуждается. Для всех остальных целых чисел a мы будем использовать модуль числа a, который является числом положительным:a=a1·100+a0

С учетом того, что произведение a1·100всегда делится на 4, а также с учетом свойств делимости, которые мы привели выше, мы можем сделать следующее утверждение: если число a делится на 4, то и модуль числа a делится на 4, тогда из равенства a=a1·100+a0 следует, что a0 делится на 4. Так мы доказали необходимость.

Из равенства a=a1·100+a0 следует, что модуль a делится на 4. Это значит, что и само число a делится на 4. Так мы доказали достаточность.

Другие случаи делимости на 4

Рассмотрим случаи, когда нам нужно установить делимость на 4 целого числа, заданного некоторым выражением, значение которого надо вычислить. Для этого мы можем пойти следующим путем:

• представить исходное выражение в виде  произведения нескольких множителей, один из которых будет делиться на 4;
• сделать вывод на основании свойства делимости о том, что все исходное выражение делится на
  4.

Помочь в решении задачи часто помогает формула бинома Ньютона.

Пример 3

Делится ли на 4 значение выражения 9n-12n+7 при некотором натуральном n?

Решение

Мы можем представить 9 в виде суммы 8+1. Это дает нам возможность применить формулу бинома Ньютона:

9n-12n+7=8+1n-12n+7==Cn0·8n+Cn1·8n-1·1+…+Cnn-2·82·1n-2+Cnn-1·8·1n-1+Cnn·1n—12n+7==8n+Cn1·8n-1·1+…+Cnn-2·82+n·8+1—12n+7==8n+Cn1·8n-1·1+…+Cnn-2·82-4n+8==4·2·8n-1+2·Cn1·8n-2+…+2·Cnn-2·81-n+2

Произведение, которое мы получили в ходе преобразований, содержит множитель 4, а выражение в скобках представляет собой натуральное число. Это значит, что это произведение можно разделить на 4 без остатка.

Мы можем утверждать, что исходное выражение 9n-12n+7 делится на 4 при любом натуральном n.

Ответ: Да.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Также мы можем применить к решению задачи метод математической индукции. Чтобы не отвлекать ваше внимание на второстепенные детали разбора решения, возьмем прежний пример.

Пример 4

Докажите, что 9n-12n+7 делится на 4 при любом натуральном n.

Решение

Начнем с установления того, что при значении n=1 значение выражения 9n-12n+7

можно будет разделить на 4 без остатка.

Получаем: 91-12·1+7=4. 4 делится на 4 без остатка.

Теперь мы можем предположить, что при значении n=k значение выражения
9n-12n+7 будет делиться на 4. Фактически, мы будем работать с выражением 9k-12k+7, которое должно делиться на 4.

Нам необходимо доказать, что 9n-12n+7 при n=k+1будет делиться на 4 с учетом того, что 9k-12k+7​​​​​ делится на 4:

9k+1-12(k+1)+7=9·9k-12k-5=9·9k-12k+7+96k-68==9·9k-12k+7+4·24k-17

Мы получили сумму, в которой первое слагаемое 9·9k-12k+7 делится на 4 в связи с нашим предположением о том, что 9k-12k+7 делится на 4, а второе слагаемое 4·24k-17 содержит множитель 4, в связи с чем также делится на 4. Это значит, что вся сумма делится на 4.

Ответ: мы доказали, что 9n-12n+7 делится на 4 при любом натуральном значении n методом математической индукции.

Мы можем использовать еще один подход для того, чтобы доказать делимость некоторого выражения на 4. Этот подход предполагает:

• доказательство факта того, что значение данного выражения с переменной n делится на 4 при n=4·m, n=4·m+1, n=4·m+2 и n=4·m+3, где m – целое число;
• вывод о доказанности делимости данного выражения на 4 для любого целого числа n.

Пример 5

Докажите, что значение выражения n·n2+1·n+3·n2+4 при любом целом nделится на 4.

Решение

Если предположить, что n=4·m, получаем:

 4m·4m2+1·4m+3·4m2+4=4m·16m2+1·4m+3·4·4m2+1

Полученное произведение содержит множитель 4, все остальные множители представлены целыми числами. Это дает нам основание предполагать, что все произведение делится на 4.

Если предположить, что n=4·m+1, получаем:

4m+1·4m+12+1·4m+1+3·4m+12+4==(4m·1)+4m+12+1·4m+1·4m+12+4

И опять в произведении, которое мы получили в ходе преобразований,

содержится множитель 4.

Это значит, что выражение делится на 4.

Если предположить, что n=4·m+2, то:

4m+2·4m+22+1·4m+2+3·4m+22+4==2·2m+1·16m2+16m+5·(4m+5)·8·(2m2+2m+1)

Здесь в произведении мы получили множитель 8, который можно без остатка поделить на 4. Это значит, что все произведение делится на 4.

Если предположить, что n=4·m+3, получаем:

4m+3·4m+32+1·4m+3+3·4m+32+4==4m+3·2·8m2+12m+5·2·2m+3·16m2+24m+13==4·4m+3·8m2+12m+5·16m2+24m+13

Произведение содержит множитель 4, значит делится на 4 без остатка.

Ответ: мы доказали, что исходное выражение делится на 4 при любом n.

Признаки делимости | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Числа от 2 до 10 имеют признаки делимости, позволяющие определить, если число делится на них без остатка.

Как определить делится ли число на 2: последняя цифра числа должна быть четной. Пример: 1864 делится на 2, так как 4 – четная цифра; 2593 не делится на 2, так как 3 – нечетная цифра.

Как определить делится ли число на 3: сумма всех цифр в числе должна делиться на 3. Пример: 243 делится на 3, так как 2+4+3=9 и 9 делится на 3 без остатка; 760 не делится на 3, так как 7+6+0=13 и 13 не делится на три полностью.

Как определить делится ли число на 4: две последние цифры в числе должны делиться на 4 (00 принимается за 100). Пример: 87524 делится на 4, так как последние цифры 24 делятся 4; 6500 делится на 4, так как последние цифры – 00, а 100 делится на 4; 59431 не делится на 4, так как 31 не делится на 4 без остатка.

Как определить делится ли число на 5: последняя цифра числа должна быть 0 или 5. Пример: 58 не делится на 5, так как последняя цифра 8; 1580 делится на 5, так как последняя цифра числа – 0.

Как определить делится ли число на 6: число должно делится одновременно на 2 и на 3, согласно вышеописанным признакам. Пример: 81 не делится на 6, так как оно делится на 3, но не делится на 2; 100 не делится на 6, так как оно делится на 2, но не делится на 3; 72 делится на 6, так как оно делится и на 2, и на 3.

Как определить делится ли число на 7: число десятков, умноженное на 3, в сумме с числом единиц должно делиться на 7. Пример: 511 делится на 7, так как 51*3+1=154 и 154 делится на 7; 635 не делится на 7, так как 63*3+5=194 и 194 не делится на 7.

Как определить делится ли число на 8: последние три цифры числа должны делится на 8 (000 берутся за 1000, которая делится на 8). Пример: 86240 делится на 8, так как 240 делится на 8; 56343 не делится на 8, так как 343 не делится на 8.

Как определить делится ли число на 9: сумма всех цифр в числе должна быть кратна 9. Пример: 243 делится на 9 без остатка, так как 2+4+3=9 и 9 делится на 9; 5081 не делится на 9, так как 5+0+8+1=14 и 14 не делится на 9

Как определить, что число делится на 10: последняя цифра числа должна быть 0. Пример: 1530 делится на 10, так как последняя цифра 0; 6572 не делится на 10, так как последняя цифра 2.

Признак делимости на 4 | Математика

Определить, делится ли число на 4 нацело, можно с помощью признака делимости. Делимость на 4 зависит от двух последних цифр в записи числа.

1-й признак делимости на 4

Натуральное число делится без остатка на 4:

— если его запись оканчивается двумя цифрами, образующими число, которое делится на 4;

— если его запись оканчивается двумя нулями.

Чтобы не проверять делимость на 4 числа, образованного двумя последними цифрами, непосредственным делением, можно воспользоваться другим признаком.

2-й признак делимости на 4

Натуральное число делится без остатка на 4, если сумма предпоследней цифры в его записи и половины последней цифры — чётное число.

Схематически делимость на 4 трёхзначного числа в этом случае выглядит так:

Для шестизначного числа признак делимости на 4 схематично можно изобразить так:

1) Определить, какие из данных чисел делятся без остатка на 4:

23452; 1400; 75415; 43928; 9672; 87530; 6497; 10000; 311020; 712112; 45908; 65439; 83760; 56736; 34514; 39782.

Решение:

Прежде всего отбросим все нечётные числа: 75415, 6497, 65439 — они не делятся на 4.

Далее отбираем числа, запись которых оканчивается двумя нулями: 1400, 10000 — они делятся на 4.

В оставшихся числах проверяем делимость на 4 числа, образованного двумя последними цифрами:

23452 делится на 4, так как 52 делится без остатка на 4 (5+2:2=5+1=6 — чётное число).

43928 делится на 4, так как 28 делится на 4.

9672 кратно 4, так как 72 кратно 4 (7+2:2=7+1 — чётное число).

311020 делится нацело на 4, так как 20 делится на 4.

712112 делится на 4, так как 12делится на 4.

45908 делится на 4, так как 08 делится на 4.

83760 делится на 4, так как 60 делится на 4 (6+0:2=6 — чётное число).

56736 делится на 4, так как 36 делится без остатка на 4.

87530 не делится на 4, так как30 не делится нацело на 4.

34514 не делится на 4, так как 14 не кратно 4.

39782 не делится на 4, так как 82 не делится без остатка на 4 (8+2:2=8+1=9 — нечётное число).

Ответ: 23452; 1400; 43928; 9672; 10000; 311020; 712112; 45908; 83760; 56736.

2) Найти какое-либо четырёхзначное натуральное число, кратное 4, сумма цифр которого на 1 больше их произведения.

Решение:

Самый простой случай — если запись натурального числа оканчивается двумя нулями. В этом случае произведение цифр числа равно нулю. Значит, сумма цифр должна равняться единице. Подходящий вариант — 1000.

Ответ: 1000.

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Вопрос: что такое признаки делимости чисел ?

Ответ: признаки делимости чисел — это особенности чисел, которые помогают быстро определить, делится ли данное число на другое.

Знать эти признаки необходимо при решении многих арифметических задач.

Признак делимости на 10

Рассмотрим несколько чисел, запись которых оканчивается цифрой 0, например,

60, 130, 2340

Каждое из этих чисел делится без остатка на 10

Чтобы получить частное, достаточно отбросить цифру 0.

60 : 10 = 6

130 : 10 = 13

2340 : 10 = 234

Вывод: любое натуральное число, запись которого оканчивается цифрой 0, делится без остатка на 10

Если последняя цифра в записи натурального числа отлична от нуля, то это число не делится без остатка на 10 

Проверим это утверждение, например, на числе 234

234 : 10 = 23 целых в остатке 4

(неполное частное 23 и остаток 4 — последняя цифра в записи числа 234)

Вывод: если последняя цифра в записи натурального числа отлична от нуля, то это число не делится без остатка на 10.

Определение

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10.

Если запись натурального числа оканчи­вается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10.

Остаток в этом случае равен последней цифре в записи числа.

Обратим внимание на то, что число 10 = 2 · 5 (число 10 делится без остатка и на 2, и на 5).

Вывод: число, запись которого оканчивается цифрой 0, делится без остатка и на 5, и на 2.

Например, 70 = 7 · 10 = 7 · (2 · 5) = (7 · 2) · 5 = 14 · 5, значит, 70 : 5 = 14.

А из того что 70 = 7 · (5 · 2) = (7 · 5) · 2 = 35 · 2, получаем, что 70 : 2 = 35.

Полные десятки

Существует такое понятие, как «круглое» число — это целое число, запись которого оканчивается одним или несколькими нулями. 

Такие числа принято называть «круглыми» («полными«) десятками.

Например, числа 40, 530, 3270, 3200 являются полными десятками.

40 — четыре десятка

530 — пятьдесят три десятка

3270 — триста двадцать семь десятков

3200 — триста двадцать десятков

Полные десятки делятся и на 10, и на 5, и на 2.

Признак делимости на 5

Каждое число можно представить в виде суммы полных десятков и еди­ниц, например, 

46 = 40 + 6, 539 = 530 + 9, 3278 = 3270 + 8.

Так как полные десятки делятся на 5, то и всё число делится на 5 лишь в том случае, когда на 5 делится число единиц.

Это возможно только тогда, когда в разряде единиц стоит цифра 0 или 5.

Определение

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5.

Например, числа 270 и 275 делятся без остатка на 5

Если же запись числа оканчи­вается другой цифрой, то число без остатка на 5 не делится.

Например, числа 272 и 273 на 5 без остатка не делятся.

Четные и нечетные числа

Определение

Числа, делящиеся без остатка на 2, называют чётными, а числа, которые при делении на 2 дают остаток 1, называют нечётными.

Из однозначных чи­сел числа 0, 2, 4, 6 и 8 чётные, а числа 1, 3, 5, 7 и 9 нечётные

Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют чётными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 — нечётными.

Все полные десятки делятся на 2 без остатка (т. е. они чётны).

Вывод: любое на­туральное число чётно, когда в разряде единиц стоит чётная цифра, и нечётно, когда в разряде единиц стоит нечётная цифра.

Определение

Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то это число чётно (делится без остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечётной цифрой, то это число нечётно.

Например, числа 2, 30, 74, 56, 108 чётные, а числа 3, 31, 75, 57, 109 не­чётные.

Это интересно

Древнегреческий философ (профессиональный мыслитель), математик и мистик (верил в существование сверхъестественных сил) Пифагор Самосский, чётные числа считал женскими, а нечётные — мужскими

На рисунке числа от 1 до 100 (чётные и нечётные числа разного цвета)

В старину люди верили в магию чисел, где всё хорошее ассоциировалось с нечётными цифрами, а плохое – с чётными. Поэтому, например, в Рождество на стол всегда ставили нечётное количество блюд. Люди верили, что нечётные числа символизируют постоянное продолжение жизни, незавершенность. А чётные, наоборот, означают конечность всего живого, остановку движения.

Таблица признаков делимости чисел

Как узнать, делится ли число без остатка на… . Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений

2 – Любое четное число делится на 2.

3 – Сложите отдельные цифры числа. Если сумма делится на 3, исходное число тоже делится на 3. Проверим, делится ли 438 на 3: складываем 4 + 3 + 8 = 15. Поскольку 15 делится на 3, число 438 тоже делится на 3.

4 – Посмотрите на две последние цифры. Если цифра в разряде десятков четная, а последняя цифра 0, 4 или 8, то число делится на 4. Если в разряде десятков нечетная цифра, то чтобы число делилось на 4, последней должна быть цифра 2 или 6. [3]

5 – Если число заканчивается на 5 или 0, оно делится на 5.

6 – Поскольку 6 = 2 ? 3, то число будет делиться на 6, если оно четное и при этом делится на 3.

7 – Отделите от числа последнюю цифру и умножьте ее на 2. Вычтите результат из исходного числа без последней цифры. Если ответ 0 или делится на 7, то исходное число также делится на 7. Проверим число 364: отделяем 4 и умножаем на 2, получаем 8. Вычитаем 8 из 36, выходит 28. Поскольку 28 делится на 7, число 364 тоже делится на 7.[4]

9 – Так же как и для тройки, сложите отдельные цифры числа. Если сумма делится на 9, то на 9 делится и все число.

10 – Число делится на 10, если оно оканчивается на 0 – проще некуда!

11 – Это задача похитрее. Запишите число, по очереди ставя перед его цифрами знаки + и –. Теперь складывайте и вычитайте цифры. Если сумма равна 0 или делится на 11, то на 11 делится и исходное число. Проверим, делится ли на 11 число 49 137. Расставим знаки: +4?9+1?3 +7 и подсчитаем сумму: она равна 0. Значит, 49 137 делится на 11.

Электронный справочник по математике для школьников арифметика делимость чисел признаки делимости деление с остатком

Делимость натуральных чисел. Деление с остатком. Признаки делимости

Содержание

Делимость натуральных чисел.

Деление с остатком

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Говорят, что натуральное число   a   делится на натуральное число   b ,   если существует такое натуральное число   c,   что выполняется равенство

a = bc .

В противном случае говорят, что число   a   не делится на число   b.

Число   b   называют делителем числа   a.

Если число   a   больше, чем число   b,   и не делится на число   b,   то число   a   можно разделить на число   b   с остатком.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Деление числа   a   на число   b   с остатком означает, что найдутся такие натуральные числа   c   и   r ,   что выполняются соотношения

a = bc + r,    r < b .

Число   b   называют делителем, число   c   – частным, а число   r   – остатком от деления   a   на   b .

Еще раз особо подчеркнем, что остаток   r   всегда меньше, чем делитель   b .

Например, число   204   не делится на число   5 ,   но, разделив число   204   на   5   с остатком, получаем:

Таким образом, частное от деления равно   40 ,   а остаток равен   4 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Числа, делящиеся на   2 ,   называют четными, а числа, которые не делятся на   2 ,   называют нечетными.

Признаки делимости

Для того, чтобы быстро выяснить, делится ли одно натуральное число на другое, существуют признаки делимости.

Рассмотрите признак делимости на 4 число делится на 4 в том и только в том.

..

В этой задаче вам необходимо объяснить следующий признак делимости на 4: число делится на 4 в том и только том случае, если две последние его цифры образуют число, которое делится на 4, а также определить, какие из чисел 164, 230, 1124, 2080, 3118 делятся на 4.

Признак делимости на 4

Если число, к которому мы пытаемся применить данный признак делимости на одно или двухзначное, то число, составленное из двух последних его цифр будет самим этим числом, и, очевидно, в данном случае признак будет равносилен утверждению: если двузначное число делится на 4, то оно делится на 4. Данное утверждение не требует доказательств, поскольку это тавтология (повторение одного и того же).

Теперь пусть число а, к которому мы пытаемся применить данный признак делимости состоит из трех или более цифр. В этом случае данное число можно представить в виде суммы:

а = в * 100 + с, где

• в и с некоторые целые числа;
• в получили из числа а, зачеркнув в числе а две цифры справа;
• с получили из числа а, зачеркнув все его цифры, кроме двух цифр справа.

Поскольку слагаемое в * 100 всегда делится на 4, то число а делится на 4 в том и только том случае, если число с делится на 4. Число же с было составлено из двух последних цифр числа а. Значит, признак делимости число делится на 4 в том и только том случае, если две последние его цифры образуют число, которое делится на 4 верен.

Выбор чисел из данных, которые делятся на 4

Проверим, какие из данных цифр делятся на 4 согласно признаку число делится на 4 в том и только том случае, если две последние его цифры образуют число, которое делится на 4:

• число, составленное из последних двух цифр числа 164 это 64, 64 делится на 4, значит, 164 делится на 4;
• число, составленное из последних двух цифр числа 230 это 30, 30 не делится на 4, значит, 230 не делится на 4;
• число, составленное из последних двух цифр числа 1124 это 24, 24 делится на 4, значит, 1124 делится на 4;
• число, составленное из последних двух цифр числа 2080 это 80, 80 делится на 4, значит, 2080 делится на 4;
• число, составленное из последних двух цифр числа 3118 это 18, 18 не делится на 4, значит, 3118 не делится на 4.

Ответ: на 4 делятся числа 164, 1124, 2080.

Как узнать, делится ли число на 4?

В этом посте мы узнаем критерии делимости числа 4 и поймем, как они работают.

Критерии делимости числа 4 — это правила, позволяющие узнать, можно ли разделить число на 4. Их легко выучить, и их объяснения легко понять.

Как узнать, делится ли число на 4?

Если число можно выразить умножением другого числа на 4, оно делится на 4.

Вам необходимо знать несколько свойств умножения: ассоциативное и распределительное. Если вы не совсем понимаете их, вы можете просмотреть их в этом посте.

Критерии деления одно- и двузначных чисел на 4

Во-первых, мы собираемся узнать, как определить, соответствует ли одно- или двузначное число критерию делимости на 4. Легко: это когда мы делим и видим, что остаток равен нулю.

Например: 24 делится на 4?

Да, потому что, когда мы делим 24 на 4, частное равно 6, а остаток равен 0.

24 = 6 х 4

Критерии деления трех- и четырехзначных чисел на 4

Для того, чтобы трех- или четырехзначное число делилось на 4, оно должно удовлетворять одному из двух условий:

1. Последние две цифры равны нулю .
2. Последние две цифры делятся на 4.

Например: делятся ли 500 и 339 на 4?

500 делится на четыре, потому что его последние две цифры равны нулю.

339 не делится на четыре, потому что 39 (его последние две цифры) — нет.

Применение известных нам правил, чтобы увидеть, соблюдаются они или нет, помогает нам определить, делится ли число на четыре. Но мы не знаем рассуждений, давайте продолжим и попробуем разобраться.

Разъяснение критериев деления числа на 4

Как возможно, что два простых правила могут сказать нам, соответствует ли число критерию делимости на 4? Откуда эти правила?

Причина очень проста, и мы собираемся объяснить ее в три этапа.

Мы начинаем с наименьшего возможного числа, у которого две последние цифры равны нулю, — 100. Если мы разделим 100 на 4, получится 25, а остаток — 0. 100 делится на 4 .

100 = 25 х 4

• Числа больше 100 с нулем в последних двух цифрах.

Все числа, последние две цифры которых содержат ноль, можно выразить умножением другого числа на 100. Мы выберем одно, например, 4300.

4,300 = 43 x 100

Поскольку мы знаем, что 100 делится на четыре, мы также можем сказать, что 4300 делится. Вот математическое объяснение:

4300 = 43 x 100 = 43 x (25 x 4) = (43 x 25) x 4 = 1075 x 4

Мы можем использовать ту же операцию для любого числа, имеющего эти характеристики. Таким образом, мы обнаруживаем первое правило: любое число, которое имеет ноль в качестве последних двух цифр, делится на 4.

Для всех остальных чисел, тех, которые больше ста и тех, у которых нет нуля в последних двух цифрах, мы можем применить процесс, аналогичный упомянутому ранее.Их можно выразить как сумму числа с нулем в последних двух цифрах и еще одного числа. Возьмем случайное число, например 6 548.

6,548 = 6,500 + 48

Поскольку мы знаем, что 6500 делится на 4, мы не должны забывать проверять, равно ли 48. Ну да, две последние цифры делятся на 4.

48 = 12 х 4

Итак, мы можем выразить это следующим образом:

6548 = 6500 + 48 = (65 х 100) + 48 =

= (65 х 25 х 4) + (12 х 4) = (1,625 х 4) + (12 х 4) =

= (1,625 + 12) х 4 = 1,637 х 4

Вот как мы понимаем второе правило: любое число делится на 4, если его последние две цифры делятся на 4.

Заключение

Нам не нужно проходить все этапы этого процесса каждый раз, когда нам нужно знать, делится ли число на четыре. Мы узнали необходимые критерии для деления числа на 4, но понимание этого помогает понять, почему эти критерии существуют, и если однажды мы забудем какой-либо из них … Я уверен, что мы вспомним, откуда они взялись!

Чтобы по-настоящему понять критерии, которые мы узнали о делении на 4, возможно, вы хотели бы обновить, как делить на 3-значное число.

Если вы хотите узнать больше о материалах по начальной математике, зарегистрируйтесь в Smartick и попробуйте бесплатно.

Подробнее:

Команда по созданию контента.
Многопрофильная и многонациональная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать максимально возможное математическое содержание.

Правила делимости для 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 10

Число a делится на число b, если остаток a \ div b равен нулю (0).Например, 15, разделенное на 3, равно 5, что означает, что его остаток равен нулю. Затем мы говорим, что 15 делится на 3.

В другом уроке мы обсудили правила делимости для 7, 11 и 12. На этот раз мы рассмотрим правила или тесты делимости для 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 и 10 . Поверьте, вы сможете выучить их очень быстро, потому что вы можете не знать, что у вас уже есть базовое и интуитивное понимание этого.Например, очевидно, что все четные числа делятся на 2. Это в значительной степени правило делимости для 2 . Цель этого урока по правилам делимости — формализовать то, что вы уже знаете.

Правила делимости помогают нам определить, делится ли одно число на другое без прохождения фактического процесса деления, такого как метод деления в столбик. Если рассматриваемые числа достаточно малы численно, нам может не понадобиться использовать правила для проверки делимости.Однако для чисел, значения которых достаточно велики, мы хотим иметь некоторые правила, которые служили бы «ярлыками», чтобы помочь нам выяснить, действительно ли они делятся друг на друга.

Правила делимости чисел 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 10

Число делится на 2, если последняя цифра числа 0, 2, 4, 6 или 8.

Пример 1. Делится ли число 246 на 2?

Решение: поскольку последняя цифра числа 246 заканчивается на 6, это означает, что оно делится на 2.

Пример 2. Какие числа 100, 514, 309 и 768 делятся на 2?

Решение: если мы рассмотрим все четыре числа, только число 309 не оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8. Мы можем сделать вывод, что все числа выше, кроме 309, делятся на 2.

Число делится на 3, если сумма цифр числа делится на 3.

Пример 1. Делится ли число 111 на 3?

Решение: Сложим цифры числа 111.У нас есть 1 + 1 + 1 = 3. Поскольку сумма цифр делится на 3, следовательно, число 111 также делится на 3.

Пример 2. Какое из двух чисел 522 и 713 делится на 3?

Решение: сумма цифр 522 (5 + 2 + 2 = 9) равна 9, что делится на 3. Таким образом, 522 делится на 3. Однако число 713 имеет 11 в виде суммы цифр, что очевидно не делится на 3, поэтому 713 не делится на 3. Следовательно, только 522 делится на 3.

Число делится на 4, если последние две цифры числа делятся на 4.

Пример 1: Какое единственное число в приведенном ниже наборе делится на 4?

{945, 736, 118, 429}

Решение: Обратите внимание на последние две цифры четырех чисел в наборе. Обратите внимание, что 736 — единственное число, в котором две последние цифры (36) делятся на 4. Мы можем заключить, что 736 — единственное число в наборе, которое делится на 4.

Пример 2: Верно или Неверно. Число 5,554 делится на 4.

Решение: Последние две цифры числа 5,554 равны 54, что не делится на 4. Это означает, что данное число НЕ делится на 4, поэтому ответ будет ложным .

Число делится на 5, если последняя цифра числа 0 или 5.

Пример 1: множественный выбор. Какое число делится на 5.

А) 68

Б) 71

С) 20

Г) 44

Решение: чтобы число делилось на 5, последняя цифра числа должна быть либо 0, либо 5.Перебирая варианты, только число 20 делится на 5, поэтому ответ — вариант C .

Пример 2. Выберите все числа, которые делятся на 5.

А) 27

Б) 105

С) 556

Г) 343

E) 600

Решение: И 105, и 600 делятся на 5, потому что они либо заканчиваются на 0, либо на 5. Таким образом, варианты B и E являются правильными ответами.

Число делится на 6, если число делится как на 2, так и на 3.

Пример 1. Делится ли число 255 на 6?

Решение: Чтобы число 255 делилось на 6, оно должно делиться на 2 и 3. Давайте сначала проверим, делится ли оно на 2. Обратите внимание, что 255 не является четным числом (любое число, оканчивающееся на 0, 2, 4, 6 или 8), что делает его неделимым. 2. Дальнейшая проверка не требуется. Теперь мы можем сделать вывод, что это число не делится на 6. Ответ: NO .

Пример 2: Делится ли число 4,608 на 6?

Решение: Число является четным числом, поэтому оно делится на 2. Теперь проверим, делится ли оно на 3. Давайте сделаем это, сложив все цифры 4608, что составляет 4 + 6+ 0 + 8 = 18. Очевидно, что число сумма цифр делится на 3, потому что 18 ÷ 3 = 6. Поскольку число 4 608 делится на 2 и 3, оно также должно делиться на 6. Ответ: ДА .

Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.

Пример 1. Делится ли число 1764 на 9?

Решение: Чтобы число делилось на 9, сумма его цифр также должна делиться на 9. Для числа 1,764 мы получаем 1 + 7 + 6 + 4 = 18. Так как сумма цифр равна 18 и равна делится на 9, следовательно, 1764 должно делиться на 9.

Пример 2. Выберите все числа, которые делятся на 9.

А) 7,065

Б) 3,512

С) 8 874

Г) 22,778

E) 48069

Решение: Давайте сложим цифры каждого числа и проверим, делится ли его сумма на 9.

• Для 7 065 7 + 0 + 6 + 5 = 18, что делится на 9.
• Для 3 512, 3 + 5 + 1 + 2 = 11, что составляет НЕ делится на 9.
• Для 8 874, 8 + 8 + 7 + 4 = 27, что делится на 9.
• Для 22,778, 2 + 2 + 7 + 7 + 8 = 26, что составляет НЕ , делимое на 9.
• Для 48 069, 4 + 8 + 0 + 6 + 9 = 27, что делится на 9.

Следовательно, варианты A , C и E делятся на 9.

Число делится на 10, если последняя цифра числа равна 0.

Все числа 20, 40, 50, 170 и 990 делятся на 10, потому что их последняя цифра равна нулю, 0. С другой стороны, числа 21, 34, 127 и 468 не делятся на 10, поскольку они не делятся. заканчиваются нулем.

Возможно, вас заинтересует:

Правила делимости для 7, 11 и 12

Как определить, делится ли число на 4

Как определить, делится ли число на 4

Чтобы решить, делится ли число на 4, выполните следующие действия:

1. Посмотрите на последние две цифры в столбцах десятков и единиц числа.
2. Если это двузначное число делится на 4, то исходное число делится на 4.
3. Все двузначные числа делятся на 4, если их можно разделить пополам и снова разделить пополам, чтобы получить целое число.

Если число делится на 4, это означает, что оно кратно 4. Число, которое делится на 4, находится в таблице умножения на 4 и может делиться точно на 4, не оставляя остатка.

Число делится на 4, если его последние 2 цифры делятся на 4.Нет необходимости смотреть на предыдущие цифры. Все числа делятся на 4, если их можно разделить пополам и снова разделить пополам, чтобы получить целое число.

Например, мы проверим, делится ли 732 на 4.

Первый шаг — посмотреть на последние 2 цифры номера.

Последние две цифры числа 732 — 32.

Следующий шаг, если решить, делятся ли последние 2 цифры на 4.

32 можно разделить пополам, а затем снова уменьшить вдвое, чтобы получить целое число.32 ÷ 2 = 16, а затем 16 ÷ 2 = 8. 32 делится на 4, потому что это 4 × 8.

32 делится на 4, поэтому 732 делится на 4.

Это означает, что 732 можно разделить точно на 4.

732 делить на 4 дает 183.

Правило делимости на 4 говорит нам только, делится ли число на 4, но не дает ответа на деление.

Вот пример использования правила делимости на 4, чтобы доказать, что число не делится на 4.

У нас 44 422.

Глядя на последние две цифры из 44 422, мы получаем 22.

22 не делится на 4, поэтому число 44 422 также не делится на 4.

Мы знаем, что 22 не делится на 4, потому что его нельзя делить пополам и снова делить пополам, чтобы получить целое число.

Половина из 22 — это 11, а половина из 11 — 5,5.

Вот еще один пример использования правила для проверки делимости на 4.

Вот 3740.

Последние две цифры — 40.

40 делится на 4, поэтому 3740 тоже.

Мы видим, что 40 можно разделить пополам и снова уменьшить вдвое, чтобы получить 10. 40 — это 10 лотов по 4.

Почему работает делимость на 4 правила?

?

Правило делимости на 4 работает, потому что 4 точно делится на все числа, кратные 100. Часть числа, состоящая из сотен, всегда делится на 4, поэтому необходимо проверять только цифры в столбцах десятков и единиц.Если последние 2 цифры делятся на 4, число делится на 4.

Все числа, кратные 100, делятся на 4. Это потому, что 4 × 25 = 100. Если 4 делится точно на 100, оно делится точно на все кратные 100, такие как 200 и 300.

Все числа можно разбить на сотни, десятки и единицы. Например, 116 можно записать как 100 + 16.

100 делится на 4, поэтому нам просто нужно проверить, делится ли 16 также на 4.Если и 100, и 16 делятся на 4, то 116 также делится на 4.

Мы просто проверяем последние две цифры из 16.

16 делится на 4, потому что мы можем разделить его пополам и снова вдвое, чтобы получить целое число.

16 — это 4 лота из 4.

16 кратно 4, поэтому 116 также кратно 4.

Все трехзначные числа и более можно записать как кратное 100 плюс двузначное число. Число, кратное 100, делится на 4, поэтому, если последние 2 цифры делятся на 4, само число делится на 4.

Например, 52 164 можно записать как 52 100 + 64. 52 100 кратно 100, поэтому оно делится на 4. Нам просто нужно решить, кратно ли 64 4.

64 можно уменьшить вдвое, чтобы получить 32, и снова вдвое, чтобы получить 16. 64 — это 16 × 4.

64 делится на 4, поэтому 52 164 также делятся на 4.

Стратегия «Делить и снова вдвое»

Стратегия «разделить пополам, затем снова разделить пополам» — это метод, используемый для деления больших чисел на 4. Деление на 4 аналогично делению на 2 с последующим делением еще раз на 2.Этот метод используется, чтобы разбить более сложные подразделения на более управляемые шаги.

Например, чтобы разделить 20 на 5, мы делим 20 пополам, а затем снова делим пополам.

Половина 20 равна 10. 10 — четное число, и мы можем снова уменьшить его вдвое.

Половина 10 равна 5. Следовательно, 20 ÷ 4 = 5.

Хотя стратегия «разделить пополам» и «снова пополам» состоит из 2 шагов, ими, как правило, легче управлять, чем просто делить число на 4. Это означает, что эта стратегия полезна для мысленного деления на 4.

Простой способ проверить, делится ли число на 4, нам просто нужно иметь возможность делить его вдвое и снова делить вдвое. Если после однократного деления вдвое число будет четным, то его можно снова уменьшить вдвое. Если при делении пополам число дает четное число, то оно делится на 4.

Вот 60 ÷ 4.

Половина 60 равна 30. Мы видим, что 30 оканчиваются на 0, и поэтому он четный.

60 должно делиться на 4, потому что при делении пополам получается четное число.

Половина 30 равна 15, поэтому 4 × 15 = 60.4 делится на 60 пятнадцать раз.

Список чисел, кратных 4

Есть 25 чисел от 0 до 100, которые делятся на 4:

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100.

Поскольку 100 заканчивается на 0, шаблон повторяется снова для следующих 100 чисел.

У нас есть:

104, 108, 112, 116, 120, 124, 128, 132, 136, 140, 144, 148, 152, 156, 160, 164, 168, 172, 176, 180, 184, 188, 192, 196, 200.

На каждую сотню чисел приходится 25 кратных 4. Если вы знаете первые 25 двузначных чисел, кратных 4, то эти две цифры кратны 4.

Правила делимости — методы и примеры

Деление — это одна из четырех основных операций, которая распределяет число на равные части. Это математический метод, при котором число делится на более мелкие группы, или метод распределения количеств на равные части. Обозначается несколькими символами: косой чертой, горизонтальной чертой и знаком деления.

Деление — это операция, обратная умножению. Например, умножение 5 на 2 дает 10. Вы можете получить любой из множителей 2 и 5, разделив 10 на любое из чисел.

Что такое правило делимости?

Правила делимости были разработаны, чтобы упростить и ускорить процесс деления . Понимание правил делимости от 1 до 20 — важный навык в математике, поскольку он позволяет лучше решать задачи.

Например, правило делимости числа 9 определенно скажет нам, делится ли число на 9, независимо от того, насколько большим может показаться число.

Вы можете легко запомнить правила делимости для чисел, таких как 2, 3, 4 и 5. Но правила делимости для 7, 11 и 13 немного сложны, и по этой причине необходимо тщательно их понимать. .

Правила делимости

Как следует из названия, правила или тесты делимости — это процедуры, используемые для проверки того, делится ли число на другое число, без обязательного выполнения фактического деления.Число делится на другое число, если результат или частное — целое число, а остаток равен нулю.

Поскольку не все числа полностью делятся на другие числа, правила делимости на самом деле являются сокращениями для определения действительного делителя числа просто путем изучения цифр, составляющих число.

Давайте теперь рассмотрим эти правила делимости для разных чисел.

В тесте делимости 1 нет условий для чисел.Все числа делятся на 1, независимо от их размера. Когда любое число делится на 1, результатом является само число. Например, 5/1 = 5 и 100000/1 = 100000.

Число делится на 2, если последняя цифра числа равна 2, 4, 6, 8 или 0.

Например: 102/2 = 51, 54/2 = 27, 66/2 = 33, 28/2 = 14 и 20/2 = 10

Тест делимости для 3 утверждает, что число полностью делится на 3, если цифры числа делятся на 3 или кратно 3.

Например, рассмотрим два числа, 308 и 207:

Чтобы проверить, делится ли 308 на 3 или нет, найдите сумму цифр.

3 + 0 + 8 = 11. Так как сумма равна 11, что не делится на 3, то 308 также не делится на 3.

Проверьте 207, суммируя его цифры: 2 + 0 + 7 = 9, так как 9 делится на 3, то 207 также делится на 3.

Тест делимости для 4 утверждает, что число делится на 4, если последние две цифры числа делятся на 4,

Например: Рассмотрим два числа , 2508 и 2506.

Последние цифры числа 2508 — 08. Поскольку 08 делится на 4, то число 2508 также делится на 4.

2506 не делится на 4, потому что две последние цифры, 06, не делятся на 4. .

Все числа с последней цифрой 0 или 5 делятся на 5. Например, 100/5 = 20, 205/5 = 41.

Число делится на 6, если его последняя цифра является четным числом или ноль, а сумма цифр кратна 3.

Например, 270 делится на 2, потому что последняя цифра равна 0.

Сумма цифр: 2 + 7 + 0 = 9, что также делится на 3.

Следовательно, 270 делится на 6.

Проверка делимости 7 объясняется в следующем алгоритме

Рассмотрим число 1073. Проверить, делится ли число на 7 или нет?

Удалите число 3 и умножьте его на 2, получится 6. Вычтите 6 из оставшегося числа 107, поэтому 107 — 6 = 101.

Повторите процесс. У нас 1 x 2 = 2, а оставшееся число 10-2 = 8.Так как 8 не делится на 7, то число 1073 также не делится на 7.

Тест делимости для 8 утверждает, что число делится на 8, если его последние три цифры делятся на 8.

Тест делимости для 9 аналогичен проверке делимости числа 3. Если сумма цифр числа делится на 9, то число также делится на 9.

Пример: в таком числе, как 78532, сумма цифр равна : 7 + 8 + 5 + 3 + 2 = 25. Поскольку 25 не делится на 9, 78532 также не делится на 9.Рассмотрим другой случай числа: 686997, сумма цифр будет: 6 + 8 + 6 + 9 + 9 + 7 = 45. Поскольку сумма делится на 9, то число 686997 делится на 9.

Правило делимости для 10 означает, что любое число, последняя цифра которого равна нулю, тогда число I делится на 10.

Например, числа: 30, 50, 8000, 20 33000 делятся на 10.

• Правила делимости для 11

Это правило гласит, что число делится на 11, если разница суммы альтернативных цифр делится на 11.

Например, чтобы проверить, делится ли число 2143 на 11 или нет, выполните следующую процедуру:

Сумма альтернативных цифр каждой группы: 2 + 4 = 6 и 1+ 3 = 4

Следовательно, 6- 4 = 2, поэтому число не делится на 11. Следовательно, 2143 не делится на 11.

• Правила делимости для 13

Чтобы проверить, делится ли число на 13, повторите сложение последней цифры выполняется 4 раза к оставшемуся числу, пока не будет получено двузначное число.Если двузначное число делится на 13, то целое число также делится на 13.

Например:

2795 → 279 + (5 x 4) → 279 + (20) → 299 → 29 + (9 х 4) → 29 + 36 → 65.

В этом случае двузначное число оказывается 65, которое делится на 13, следовательно, число 2795 также делится на 13.

Практические вопросы

1. Какие из следующих чисел делятся на 2, 5 и 10?

а. 149

г.19400

г. 720345

г. 125370

эл. 3000000

2. Проверьте, делятся ли числа на 4:

3. 23408

4. 100246

5. 34972

6. 150126

7. 58724

8. 19000

9. 43938

10. 846336

11. Определите, делится ли первое число на второе:

a. 3409122; 6

г. 17218; 6

г. 11309634; 8

г.515712; 8

e. 3501804; 4

12. Определите, является ли число 9 множителем следующих чисел?

а. 394683

б. 1872546

г. 5172354

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Что такое делимое? — Определение, факты и пример

Давайте узнаем!

Что значит делимое?

В математике говорят, что число делится на другое число, если остаток равен 0.

Правила делимости — это набор общих правил, которые часто используются для определения того, делится ли число без остатка на другое число.

Давайте споем!

Полезно знать правила делимости,

С ними деление не так уж и медленно!

Каждый раз проверять конечные цифры или их сумму,

Проверить их делимость на 2, 3, 5, 10 или 9!

Давайте сделаем это!

Вместо того, чтобы раздавать детям листы с разделениями, дайте им чистый лист бумаги и карандаш.Напишите числа на маленьких листочках бумаги, положите их в миску, а затем попросите их взять из миски фишки чисел и используйте правила делимости от 2 до 10, чтобы проверить делимость чисел.

Связанный математический словарь

Тесты делимости

По мере продвижения вы можете использовать интерактивность в Десятках, чтобы проверить свое понимание различных правил делимости.

В этой статье «число» всегда будет означать «целое положительное число».

Кратное 2 и 5

Самые простые тесты делимости — для 2 и 5 долларов.
Число делится на 2 доллара, если его последняя цифра четная, и на 5 долларов, если его последняя цифра равна 0 или 5 долларам.

Щелкните, чтобы узнать, почему эти тесты работают.

Эти тесты относятся к ‘цифрам’ в (обычном) базовом представлении числа $ 10 $, так что (например) $ 2645 $ представляет собой число $ (2 \ times 1000) + (6 \ times 100) + (4 \ times 10) + (5 \ раз 1) $.

Каждое число (кратное 10 $) + (последняя цифра).Например, $ 2645 = 264 \ times10 + 5 $

Таким образом, каждое число (кратное 2 $ и 5 $) + (последняя цифра).

Если последняя цифра кратна 2 долларам (или 5 долларам), то должно быть целое число.

Кратное 4 и 8

Число делится на 4 доллара, если число, представленное его двумя последними цифрами, кратно 4 долларам, и делится на 8 долларов, если число, представленное его последними тремя цифрами, кратно 8 долларам.

Щелкните, чтобы узнать, почему эти тесты работают.

Это похоже на тесты на делимость на 2 доллара и 5 долларов.

долларов. Каждое число (кратное 100 долларам) + (последние две цифры).

Так как $ 100 = 4 \ times25 $, каждое число (кратное 4 $) + (последние две цифры). Таким образом, если последние две цифры составляют число, кратное 4 долларам, то целое число должно быть кратным 4 долларам.

. Например, 2646 долларов = 100 \ times26 + 46 = дол, кратное 4 + 46 долларам.
долларов 46 долларов не делятся на 4 доллара, поэтому 2646 долларов тоже не делятся.

Каждое число (кратное 1000 $) + (последние три цифры).

Так как $ 1000 = 8 \ times125 $, каждое число (кратное 8 $) + (последние три цифры). Это означает, что все число делится на 8 $, если последние три цифры представляют число, которое делится на 8 $. $

Например, $ 62432 = 1000 \ times62 + 432 = $, кратное 8 + 432 $. $ кратно 8 $, поэтому $ 62432 $ тоже.

Примечание: Последние три цифры могут представлять большое число, например 928 долларов США. Вы можете использовать свои знания таблицы умножения на 8 долларов и разбивать большие числа, чтобы увидеть, кратны ли они 8 долларам.Например, 928 долларов = 800 + 128 = 800 + 64 + 64 $, поэтому 928 долларов кратно 8 долларам.

Кратное 3 и 9

Число делится на 3 доллара, или 9 долларов, если сумма его цифр делится на 3 доллара или 9 долларов.

Например, $ 89474 $ делится на $ 3 $, если $ 8 + 9 + 4 + 7 + 4 = 32 $ делится на $ 3, $ (что делится на $ 3 $, если $ 3 + 2 = 5 $ делится на $ 3). $ Так как это не так, 89474 доллара не делятся на 3 доллара.

Щелкните, чтобы узнать, почему эти тесты работают.

$ 10 $ равно 9 + 1 $ = (кратное 3 $) + $ 1 $
Итак, 20 $ равно $ (2 \ times 9) + 2 $ = (кратно 3 $) + 2 $
$ 30 $ равно $ (3 \ умножить на 9) + 3 $ = (кратно 3 $) + 3 $…
… и 80 $ равно $ (8 \ times 9) + 8 $ = (кратно 3 $) + 8 $ …

… и поэтому 81 доллар = (кратно 3 долларам) $ + 8 + 1 доллар
и поэтому, если 8 долларов + 1 доллар = кратное 3 доллару, 81 доллар кратен 3 долларам

и 82 долларам = (кратное 3 $) $ + 8 + 2 $
и поэтому, если $ 8 + 2 $ = кратное 3 $, 82 $ является кратным 3 $

и 86 $ = (кратно 3 $) $ + 8 + 6 $
и поэтому, если $ 8 + 6 $ = кратное 3 $, 86 $ является кратным 3 $

Для 257 долларов США отметим, что 100 долларов равны 99 + 1 доллар, поэтому 200 долларов = (2 \ умножить на 99) + 2 доллара = (кратно 3 долларам) + 2 доллара

Следовательно, 257 долларов = ((кратное 3 доллару) +2) + ((кратное 3 доллару) +5) +7 = (кратное 3 доллару) + 2 + 5 + 7

Еще раз 257 долларов $ делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр кратна $ 3 $.Поскольку $ 2 + 5 + 7 $ не делится на 3 $, равно как и 257 $.

В общем, 10 долларов = 9 + 1 доллар, 100 долларов = 99 + 1 доллар, 1000 долларов = 999 + 1 доллар и так далее, поэтому каждая «сила» 10 долларов (например, 10 долларов, 100 долларов, 1000 долларов, 10000 долларов) и так далее) всего на 1 доллар больше, чем кратное 3 долларам. Это означает, что тест можно применить к числу с любым количеством цифр.

Поскольку 10 долларов США = 9 + 1 доллар США, 100 долларов США = 99 + 1 доллар США, 1000 долларов США = 999 + 1 доллар США и т. Д., Мы можем видеть, что каждая степень 10 долларов США всего на 1 доллар больше, чем кратное 9 долларам, и поэтому этот метод деления на 3 $ работает и для 9 $.{a_k} $, то число также должно быть кратным $ n $

Кратное 11

Чтобы определить, кратно ли число 11 $, возьмите цифру единиц / единиц, затем вычтите цифру десятков, добавьте цифру сотен, вычтите цифру тысяч и так далее, пока вы не добавите или не вычтете все цифры. . Если результат кратен 11 долларам, то и исходное число равно доллару.

Щелкните, чтобы увидеть, как работает этот тест.

В то время как каждая степень 10 долларов на 1 доллар больше, чем кратная 3 долларам (или 9 долларам), для кратных 11 долларов возникает чередующийся паттерн:
10 долларов на 1 доллар меньше, чем 11 долларов
долларов
100 долларов на 1 доллар больше, чем 9 долларов \ раз 11
долларов
1000 долларов на 1 доллар меньше, чем 91 доллар \ раз 11
долларов
10000 $ на 1 доллар больше, чем 909 долларов \ раз 11
долларов
100000 $ на 1 доллар меньше 9091 $ \ раз 11
$
1000000 $ на 1 $ больше, чем

$ \ раз 11

$
и так далее.

Если мы напишем `$ m11 $ ‘как сокращение для’ кратного 11 $ ‘, мы увидим, что нечетные степени $ 10 $ равны $ m11-1 $, а четные степени $ 10 $ равны $ m11 + 1. $

Например, чтобы узнать, делится ли $ 54637 $ на $ 11, $ мы можем использовать эту идею и работать справа:

$ 54637 = 7 + 3 \ times (m11-1) +6 \ times (m11 + 1) +4 \ times (m11-1) +5 \ times (m11 + 1) $,

, что равно $ m11 + (7-3 + 6-4 + 5) $ или $ m11 + 11 $. Следовательно, $ 54637 $ должно быть кратным 11 $.

Простые числа, кратные 7 и более

Не существует быстрого теста с использованием цифр, чтобы увидеть, кратно ли число 7 $, $, но есть эффективный метод, чтобы определить, является ли это число.Щелкните, чтобы увидеть это.

Чтобы узнать, делится ли число на 7 долларов, вы можете удалить числа, кратные 7 долларам, и посмотреть, что осталось.

Пример: 26481 доллар кратен 7 долларам?

26481 доллар = 21000 + 5481 доллар, поэтому 26481 доллар кратен 7 долларам, если 5481 доллар.

5600 долларов кратно 7 долларам, а 5600 долларов = 5481 + 119 долларов, поэтому 26 481 доллар кратно 7 долларам, если 119 долларов.

119 долларов = 70 + 35 + 14 долларов, поэтому 26 481 доллар должен быть кратным 7 долларам.

Такое рассуждение работает для любого числа, а не только для кратных 7 $.

Т. Р. Мукундан написал нам о другом тесте на делимость на 7 долларов, который он придумал. См. Подробности в примечаниях.

Проверка делимости с использованием арифметики остатка

Думая об остатках, можно придумать тест на делимость любого числа. Нажмите, чтобы узнать больше.

Тест на делимость на любое число может быть разработан с использованием арифметики остатка.
Например, мы можем разработать тест на делимость на 7 $ следующим образом:

Остаток при делении 10 $ на 7 $ равен 3 $, поэтому остаток при делении 100 $ ($ = 10 \ times 10 $) делится на 7 $. $ составляет $ 3 \ times 3 = 9 $ (что составляет $ 7 + 2 $, поэтому фактический остаток равен $ 2 $).4 = m7 — 1 \ times 3 = m7 — 3 $ или $ m7 + 4 $ и т. Д.]

Пример:
Чтобы показать, что 18956 $ делится на 7 $, действуйте справа налево:

$ 18956 = m7 + [6+ (5 \ times 3) + (9 \ times 2) — (8 \ times 1) — (1 \ times 3)] = $
$ = m7 + 28 = m7 + 4 \ times 7 $

Число `$ abcde $ ‘делится на $ 7 $, если $ e + 3d + 2c-b-3a $ делится на $ 7 $. 4 = m13 + 3 $ и т. Д.

Число `$ a b c d e $ ‘делится на $ 13 $, если $ e-3d + 9c-b + 3a $ делится на $ 13 $.

Пример:
Чтобы показать, что $ 46384 $ делится на $ 13 $, работайте справа налево:

$ 46384 = m13 + [4- (8 \ times 3) + (3 \ times 9) — (6 \ times 1) + (4 \ times 3)] =
$ = m13 + 13

$

Остаточная арифметика для проверочных расчетов

Думая об остатках, можно проверить ответы на вычисления, связанные с умножением. Нажмите, чтобы узнать больше.

Какова последняя цифра в 34 $ \ умножить на 57?

$ Не выполняя полного умножения, мы знаем, что это должно быть 8 $, потому что $ 8 $ — последняя цифра $ 4 \ умножить на 7 $.

Но откуда мы знаем?

Потому что $ 34 \ times 57 = (30 \ times 57) + (4 \ times 57) = m10 + (4 \ times 50) + (4 \ times 7) = m10 + m10 + 8 = m10 + 8 $.

В этом примере «последняя цифра» означает «остаток от деления на 10 долларов». Чтобы найти остаток в произведении (34 и 57 долларов), нам нужно только найти произведение остатков (4 доллара и 7 долларов).Это правило работает, по сути, по той же причине, для остатков, когда мы делим на числа, отличные от 10 долларов.

Используя это правило, существует метод, называемый «выбрасывание девяток», для проверки вычислений с использованием остатков при делении на 9 долларов. Например, предположим, что я отработал 256 $ \ умножить на 77 $ и получил ответ 19612 $. Остаток при делении (256 $ \ times77 $) на 9 $ должен быть произведением остатка при делении 256 $ и 77 $ на 9. $

Вспомните из теста делимости на 9 $, что $ 10,100,1000 ,… $ — это все $ m9 + 1, $, поэтому $ 256 $ равняется $ m9 + 2 + 5 + 6 = m9 + 13. $ 13 = m9 + 1 + 3 = m9 + 4. $ Следовательно, остаток при делении $ 256 $ на 9 долларов составляет 4 доллара, а 4 доллара называются цифровым корнем из 256 долларов.

Остаток при делении 77 долларов на 9 долларов является цифровым корнем из 77 долларов. 7 + 7 = 14 долларов и 1 + 4 = 5 долларов, поэтому остаток от деления 77 долларов на 9 долларов составляет 5 долларов.

Следовательно, остаток при делении $ 256 \ times77 $ на $ 9 $ должен равняться остатку при делении $ 4 \ times5 $ на $ 9 $ (что составляет $ 2 $). Однако мой ответ 19612 долларов имеет цифровой корень из 1 доллара (1 + 9 + 6 + 1 + 2 = 19, 1 + 9 = 10, 1 + 0 = 1 доллар), поэтому остаток при делении 19612 долларов на 9 долларов $ равен 1 доллару.$ Значит, я, должно быть, ошибся в своих расчетах.

Осторожно: выбрасывание девяток может обнаружить неправильный ответ (как указано выше), но не может гарантировать правильный ответ. Например, $ 19721 $ имеет цифровой корень $ 2 $, но «тест последней цифры» (который можно назвать «отбрасыванием десятков») показывает, что он не может быть ответом на 256 $ \ умножить на 77 $.

[Обработка остатков — это суть «модульной арифметики». Гений Ч. Ф. Гаусс впервые официально описал это в своей книге 1801 г. Disquitiones Arithmeticae, которую он опубликовал в возрасте 24 лет].Подробнее о модульной арифметике вы можете прочитать в статье Модульная арифметика.

Проверка делимости с использованием модульной арифметики

Альтернативный способ подумать об использовании остатков — использовать модульную арифметику (см. Статью Модульная арифметика). Например, поскольку $ 30 = 4 \ times 7 + 2 $, мы имеем $ 30 \ Equiv 2 \ text {mod} 7 $, то есть $ 30 \ text {mod} 7 $ равняется остатку при делении $ 30 $ на $ 7 $. Нажмите, чтобы узнать больше.

Делимость на 3

Число $ n $ делится на $ 3 $, если (и только если) $ n \ Equiv 0 \ text {mod} 3 $.2b + (-1) c + d \ big] \ text {mod} 11 \\
& = [- a + b-c + d] \ text {mod} 11
\ end {align}
Итак, $ n $ делится на 11 тогда и только тогда, когда $ -a + b-c + d $ делится на 11.

Специальные испытания

Проявив некоторую изобретательность, для некоторых целых чисел можно придумать конкретные тесты. Щелкните, чтобы увидеть несколько примеров и проблем.

• 7: «Удвойте единицы и вычтите из десятков», например $ 1365 \ rightarrow 136- (2 \ times 5) = 126 \ rightarrow 12- (2 \ times 6) = 0 $.Если цепочка заканчивается на $ 0 $ или кратном 7 $, то исходное число делится на $ 7 $.
• 11: «Вычтите единицы из десятков», например $ 1364 \ rightarrow 136-4 $ и т. Д.
  Если цепочка заканчивается на $ 0 $, то исходное число делится на $ 11 $.
• 13: «Добавьте десятки к 4 долларам, умноженным на единицы», например $ 1365 \ rightarrow 136 + 20 $ и т. Д.
  Если цепочка заканчивается кратным 13 $, то исходное число делится на $ 13 $.
• 19: «Добавьте сотни долларов к сумме, умноженной на 4 доллара», e.грамм. $ 1311 \ rightarrow 13 + 44 $ и т. Д.
  Если цепочка заканчивается кратным 19 $, то исходное число делится на $ 19 $.

Задача: Можете ли вы объяснить, почему каждый из этих четырех тестов работает?

По счастливому «совпадению» 1001 доллар — это произведение 7 долларов, 11 долларов и 13 долларов. Этот факт лежит в основе другого теста на делимость на эти три простых числа: см. 2 \ times 11 = 396 $) независимо от того, где находятся цифры $ 5 $, $ 6 $, $ 7 $ и $ 8 $. расположены.

Правила делимости | Помощь с математикой

Правила — это ярлыки для определения, делятся ли числа в точности, без выполнения вычислений деления. Некоторые из этих правил вместе с примерами проиллюстрированы ниже:

Делится на 2?

Правило

: если оно заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8

Вернуться ко всем правилам делимости

Делится на 3?

Правило: Если сумма цифр кратна 3

Вернуться ко всем правилам делимости

Делится на 4?

Правило: если последние две цифры кратны 4
(или если последние две цифры равны 00)

Вернуться ко всем правилам делимости

Делится на 5?

Правило

: если оно заканчивается на 5 или 0

Вернуться ко всем правилам делимости

Делится на 6?

Правило: если оно делится на 2 и на 3

Вернуться ко всем правилам делимости

Делится на 9?

Правило: Если сумма цифр кратна 9

Вернуться ко всем правилам делимости

Делится на 10?

Правило: если последняя цифра 0

Вернуться ко всем правилам делимости

.