1 вариант

№1      132

№2       321

№3       132

№4        231

2 вариант

№1         321

№2        132

№3         132

№4         123

Раздел 8.3A: Квадратичная функция

Школа: Назарбаев Интеллектуальная школа химико-биологического направления г. Петропавловска

Дата:

Ф.И.О. Шарипова АС

КЛАСС: 8

Количество присутствующих:

отсутствующие:

Тема урока:

Квадратичная функция и ее график.

Цель (цели) обучения, на что направлен урок

8.5.1.4 находить значения функции по заданным значениям аргумента и обратно;

8.5.1.5 устанавливать связи между коэффициентами а, b, с квадратичной функции и расположением ее графика на координатной плоскости.

Цели урока

Учащийся знает алгоритм построения графика квадратичной функции;

Учащийся умеет строить график квадратичной функции.

Критерии оценивания

• Уметь находить координаты вершины параболы, зная и используя формулы координат вершины параболы;

• Уметь располагать ветви параболы в зависимости от знака старшего коэффициента;

• Уметь использовать симметрию параболы;

• Уметь строить график функции по найденным точкам.

Языковая цель

Лексика/терминология:

Квадратичная функция, парабола, выделение полного квадрата, ось симметрии, координаты вершины параболы, старший коэффициент, алгоритм построения.

Развитие навыков

Коммуникативные навыки:

1. Работа в парах. Кластер.

Привитие

ценностей

Связи с ценностями НИШ:

• Способствовать самореализации учащихся, способности самостоятельно ставить перед собой цели и реализовывать их.

• Развитие математической грамотности, через умение правильно использовать термины на уроках, словесно комментировать выполняемые упражнения.

Ценности ГГ:

• Воспитание общечеловеческих ценностей: культуры поведения, доброжелательности, взаимовыручки через создание коллоборативной среды на уроке.

• Воспитание аккуратности, трудолюбия, ответственности, самостоятельности через создание проблемных ситуаций на уроке, выполнения задач исследовательского, творческого характера, практико –ориентированных задач.

Межпредметные связи

Навыки использования ИКТ

Умение использовать интерактивную доску, использовать программу «Графический калькулятор».

Предварительные знания

Знают, как строить график квадратичной функции с помощью параллельного переноса и по алгоритму.

План

Запланированные этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Ресурсы

Начало урока

0 –5 мин

Вызов.

1. ФИЗМИНУТКА .

1. Закройте глаза на несколько секунд, сильно напрягая глазные мышцы, затем раскройте их, расслабив мышцы. Повторите 10 раз.
2. Посмотрите на переносицу и задержите взор. Затем посмотрите вдаль. Повторите 10 раз.
3. Медленно наклоняйте голову: вперед—влево— вправо — назад. Повторите 10 раз.
4. Поморгайте несколько раз глазами, не напрягая мышц.

Сделайте глубокий вздох и медленный выдох.

Здравствуйте.Садитесь.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМЫ И ЦЕЛЕЙ УРОКА.

-совместно с учащимися определить тему урока;

Запишите дату и тему урока в тетрадь.

— совместно с учащимися определить цели урока;

— совместно с учащимися определить критерии оценивания.

Цели урока и критерии оценивания записать на доске.

РРТ

Середина урока

23мин

1. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА.

Работа в парах

кластер

Итак, функция вида y = ax² + bx + c называется квадратичной, графиком ее является парабола. Как следует из названия, главным слагаемым является ax². То есть а не должно равняться нулю, остальные коэффициенты (b и с) нулю равняться могут.

            Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.

            Самая простая зависимость для коэффициента а. Большинство школьников уверенно отвечает: » если а  0, то ветви параболы направлены вверх, а если а а  0.

y = 0,5x² — 3x + 1

В данном случае а = 0,5

А теперь для а 

y = — 0,5×2 — 3x + 1

В данном случае а = – 0,5

            Влияние коэффициента с тоже достаточно легко проследить. Представим, что мы хотим найти значение функции в точке х = 0. Подставим ноль в формулу:

y = a 0² + b 0 + c = c. Получается, что у = с. То есть с – это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с  0 или с 

 с  0: 

y = x² + 4x + 3

с 

y = x² + 4x – 3

Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:

y = x² + 4x

Сложнее с параметром b. Точка, по которой мы будем его находить, зависит не только от b но и от а. Это вершина параболы. Ее абсцисса (координата по оси х) находится по формуле х_в = — b/(2а). Таким образом, b = — 2ах_в. То есть, действуем следующим образом:  на графике находим вершину параболы, определяем знак ее абсциссы, то есть смотрим правее нуля (х_в  0) или левее (х_в 

            Однако это не все. Надо еще обратить внимание на  знак коэффициента а. То есть посмотреть, куда направлены ветви параболы. И только после этого по формуле b = — 2ах_в определить знак b.

Рассмотрим пример:

Ветви направлены вверх, значит а  0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с х_в  0. Значит b = — 2ах_в = -++ = -. b а  0, b с 

Рассмотрим еще один график: 

Ветви направлены вниз, значит а с  0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х_в  0. Значит b = — 2ах_в = —+ = +. b  0. Окончательно имеем:     а b  0, с  0.

А теперь такой:

Ветви направлены вверх, значит а  0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с х_в b = — 2ах_в = -+- = +. b  0. Окончательно имеем:     а  0, b  0, с 

Если b = 0, то вершина параболы лежит на оси у. Она может лежать выше нуля (с  0)

y = x² + 3:

Или ниже нуля  (с у:

y = x² — 4:

Раздаточный материал

Устная работа.

Определите, график какой функции изображен на рисунке:

PPT

Устно

По графику функции у = ах² + bх + с определите знаки коэффициентов а, b и с:

а)

б)

Р е ш е н и е

а) Ветви параболы направлены вверх, поэтому а 0.

Парабола пересекает ось ординат в нижней полуплоскости, поэтому с b воспользуемся формулой для нахождения абсциссы вершины параболы: т = . По графику видно, что т а 0. Поэтому b 0.

б) Аналогично определяем знаки коэффициентов а, b и с:

а с 0, b

Письменно в тетради

ФО №3

1. По графику функции у = ах² + bх + с определите знаки коэффициентов а, b и с:

Ответ: , , .

2. По графику функции у = ах² + bх + с определите знаки коэффициентов а, b и с:

Ответ:  , , .

3.При каком значении аргумента значение функции

равно 0?

Решение:

При y=0

Решаем квадратное уравнение.

4. Найдите значение функции при х=2.

Рефлексия

2 мин

Как влияют коэффициенты а, b и с на расположение графика квадратичной функции?

Д/з

1 мин

1) График какой из функций изображен на рисунке

Дополнительная информация

Дифференциация — как вы планируете оказывать больше поддержки? Как вы планируете давать задания более способным учащимся?

Дифференциация на уроке основана на принципах проблемного обучения и самостоятельного открытия знаний при изучении нового материала, а так же заданий более высокого уровня сложности на этапе закрепления.

Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися?

При объяснении нового материала самооценивание по готовым ответам учащихся и словесное оценивание учителем, при первичном закреплении материала самооценивание по листу с готовым решением.

На этапе закрепления самооценивание по чертежу построенному на компьютере.

Здоровье и соблюдение техники безопасности

Физминутка в начале урока. Повторение правил ТБ при работе с ноутбуками.

Рефлексия по уроку

Были ли цели урока/цели обучения реалистичными?

Все ли учащиеся достигли ЦО?

Если нет, то почему?

Правильно ли проведена дифференциация на уроке?

Выдержаны ли были временные этапы урока?

Какие отступления были от плана урока и почему?

Используйте данный раздел для размышлений об уроке. Ответьте на самые важные вопросы о Вашем уроке из левой колонки.

Цели урока были реалистичными, так как учащимся удалось самостоятельно вывести формулы и составить алгоритм построения графика квадратичной функции.

Конечно, были учащиеся которые не совсем поняли материал, но тема имеет продолжение на следующем уроке.

Дифференциация для учащихся при изучений нового материала была предусмотрена в виде задания более высокого уровня сложности, в котором необходимо было синтезировать знания из предыдущих тем с новым материалом и провести анализ при решении задачи.

Временные рамки были выдержаны.

Отступлении от плана урока не было.

Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

1: Удачным была постановка вызова в начале урока .

2: Самостоятельное исследование учащимися поставленной задачи и самостоятельное составление алгоритма построения графика квадратичной функции. .

3 .Использованеие ИКТ при проверке заданий

Что могло бы способствовать улучшению урока (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

1: Больше времени уделить на рефлексию. Каждый ученик должен осознать, какое значение урок имел лично для него и записать это.

Что я выявил(а) за время урока о классе или достижениях/трудностях отдельных учеников, на что необходимо обратить внимание на последующих уроках?

В классе есть учащиеся у которых задания более высокого уровня сложности вызывают интерес и повышают мотивацию к учению, но и есть учащиеся которым необходима поддержка.

College Algebra
Урок 34: Графики квадратичных функций

Цели обучения

Введение

Учебник

Практические задачи

Практика
Задачи 1a — 1b: найти координаты вершины заданного
квадратичная функция.Без построения графиков определите, является ли вершина
точка максимума или минимума квадратичной функции.

Практика
Задачи 2a — 2b: Используйте вершину и пересечения, чтобы нарисовать
график данной квадратичной функции. Найдите уравнение для этого
ось симметрии функции.

Нужна дополнительная помощь по этим темам?

Последний раз редактировал Ким Сьюард 10 июля 2010 г.
Авторские права на все содержание (C) 2002 — 2010, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

Получите доступ к этим онлайн-ресурсам, чтобы получить дополнительные инструкции и попрактиковаться в построении графиков квадратичных функций с помощью преобразований.

Обратная квадратичная функция — ChiliMath

Здесь мы хотим найти обратную функцию , которая подразумевает, что обратная функция ДОЛЖНА быть самой функцией. В противном случае мы получили инверсию, не являющуюся функцией.

Не всем функциям, естественно, «везет» иметь обратные функции.{- 1}} \ left (x \ right), если ни одна горизонтальная линия не пересекает его график более одного раза.

• Пример графика с обратным

• Пример графика без обратного

Ниже приведены основные стратегии алгебраического решения обратной функции.

Основные этапы поиска функции, обратной квадратичной функции

1. Заменить f (x) на y.
2. Поменяйте роли \ color {red} x и \ color {blue} y.2} + 2, если он существует. Укажите его домен и диапазон.

   Первое, что я понимаю, это то, что у этой квадратичной функции нет ограничений на ее область определения. Я уверен, что при построении графика я смогу нарисовать горизонтальную линию, которая будет пересекать ее более одного раза. Следовательно, обратное — не функция. Я даже не буду утруждать себя приведенными выше ключевыми шагами, чтобы найти обратное.

   На диаграмме показано, что он не проходит проверку горизонтальной линии, поэтому обратная функция не является функцией. Я остановлюсь здесь.2} + 2, \, \, x \ ge 0, если он существует. Укажите его домен и диапазон.

   Та же самая квадратичная функция, как показано в примере 1, имеет ограничение на ее область определения x \ ge 0. После построения функции по оси xy я вижу, что график представляет собой разрезанную пополам параболу для всех значений x. равно или больше нуля. Это должно пройти тест горизонтальной линии, который говорит мне, что я действительно могу найти его обратную функцию, выполнив предложенные шаги.

   На приведенном ниже графике я четко определил домен и диапазон, потому что мне понадобится эта информация, чтобы помочь мне определить правильную обратную функцию в конечном итоге.

   Помните, что домен и диапазон обратной функции берутся из диапазона и домена исходной функции, соответственно. Это называется заменой домена и диапазона .

   Даже не решая пока обратную функцию, я могу легко определить ее область и диапазон, используя информацию из графика исходной функции: область — это x ≥ 2 , а диапазон — y ≥ 0 .

   Вы видите, как я меняю местами домен и диапазон исходной функции, чтобы получить домен и диапазон ее инверсии?

   Теперь давайте продолжим и алгебраически решим обратное.2} — 1, \, \, x \ le 0, если он существует. Укажите его домен и диапазон.

   Эта проблема очень похожа на пример 2. Диапазон начинается с \ color {red} y = -1, и он может опуститься до минимума.

   Теперь, это шаги, как найти обратное.

   Применение операции извлечения квадратного корня приводит к получению двух уравнений из-за положительного и отрицательного случаев. Чтобы выбрать правильную обратную функцию из двух, я предлагаю вам найти область и диапазон каждого возможного ответа.Теперь правильная обратная функция должна иметь домен, происходящий из диапазона исходной функции; и диапазон, происходящий из домена той же функции.

   Ниже приведены графики исходной функции и обратной функции на одной и той же координатной оси.

   ---

   Пример 4: Найдите обратную функцию для функции ниже, если она существует. Укажите его домен и диапазон.

   Я бы сначала построил график этой функции и четко определил бы домен и диапазон. Обратите внимание, что ограничение в области разделяет параболу на две равные половины.2} — 4ac}} \ over {2a}}}}

   , где a, b и c могут содержать переменные.

   Это ожидается, поскольку мы ищем функцию, а не точные значения.

   Ключевой шаг здесь — выбрать подходящую обратную функцию в конце, потому что у нас будут случаи плюса (+) и минуса (-). Мы можем сделать это, найдя домен и диапазон каждого из них и сравнив их с доменом и диапазоном исходной функции. Помните, что мы меняем местами домен и диапазон исходной функции, чтобы получить домен и диапазон ее инверсии.

   • Метод заполнения квадратов позволяет нам изолировать переменную в квадратичном трехчлене. Как вы увидите в шагах, квадратичный трехчлен преобразуется в линейный бином в степени 2. Очевидно, что мы можем применить операцию извлечения квадратного корня, чтобы избавиться от экспоненты 2, что оставляет нам простое уравнение для решения.

   Если вы заметили, графики функции и ее обратной симметричны по линии y = x (см. Пунктирную линию).Они подобны зеркальному отображению друг друга.

   Я надеюсь, что вы получили некоторое представление о том, как найти обратную квадратичную функцию . Хотя это может быть немного утомительно, как видите, в целом это не так уж и плохо. Я рекомендую вам ознакомиться с соответствующими уроками о том, как находить инверсии других функций.

   ---

   Практика с рабочими листами

   ---

   Возможно, вас заинтересует:

   Инверсия матрицы 2 × 2

   Функция, обратная абсолютному значению

   Функция, обратная постоянной

   Функция, обратная экспоненте

   Функция, обратная линейной

   Обратная логарифмическая функция

   Обращение рациональной функции

   Функция, обратная квадратному корню

   9.7 Графические квадратичные функции с использованием преобразований — промежуточная алгебра 2e

   Цели обучения

   К концу этого раздела вы сможете:

   • • Составьте графические квадратные уравнения вида f (x) = x2 + kf (x) = x2 + k
   • • График квадратичных функций вида f (x) = (x-h) 2f (x) = (x-h) 2
   • Граф квадратичных функций вида f (x) = ax2f (x) = ax2
   • Графики квадратичных функций с помощью преобразований
   • Найдите квадратичную функцию по ее графику

   Будьте готовы 9.19

   Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

   Постройте график функции f (x) = x2f (x) = x2, нанеся точки.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 3.54.

   Будьте готовы 9.20

   Полностью разложить на множители: y2−14y + 49.y2−14y + 49.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 6.24.

   Будьте готовы 9.21

   Полностью разложить на множители: 2×2−16x + 32,2×2−16x + 32.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 6.26.

   Графические квадратичные функции вида f (x) = x2 + kf (x) = x2 + k

   В последнем разделе мы узнали, как построить график квадратичных функций, используя их свойства.Другой метод заключается в том, чтобы начать с основного графика f (x) = x2f (x) = x2 и «перемещать» его в соответствии с информацией, приведенной в уравнении функции. Мы называем это построение графиков квадратичными функциями с помощью преобразований.

   В первом примере мы построим график квадратичной функции f (x) = x2f (x) = x2 путем нанесения точек. Затем мы увидим, какой эффект будет иметь добавление константы k к уравнению на графике новой функции f (x) = x2 + k.f (x) = x2 + k.

   Пример 9.53

   График f (x) = x2, g (x) = x2 + 2, f (x) = x2, g (x) = x2 + 2 и h (x) = x2−2h (x) = x2−2 в той же прямоугольной системе координат.Опишите, как добавление константы к функции влияет на базовую параболу.

   Решение

   Построение точек поможет нам увидеть влияние констант на основной график f (x) = x2f (x) = x2. Заполняем график по всем трем функциям.

   Значения g ( x ) на два больше, чем значения f ( x ). Кроме того, значения h ( x ) на два меньше, чем значения f ( x ).Теперь мы построим график всех трех функций в одной прямоугольной системе координат.

   График g (x) = x2 + 2g (x) = x2 + 2 такой же, как график f (x) = x2f (x) = x2, но сдвинут на 2 единицы вверх.

   График h (x) = x2−2h (x) = x2−2 такой же, как график f (x) = x2f (x) = x2, но сдвинут на 2 единицы вниз.

   Попробуйте 9.105

   ⓐ График f (x) = x2, g (x) = x2 + 1, f (x) = x2, g (x) = x2 + 1 и h (x) = x2−1h (x) = x2− 1 в той же прямоугольной системе координат.
   ⓑ Опишите, как добавление константы к функции влияет на базовую параболу.

   Попробуйте 9.106

   ⓐ График f (x) = x2, g (x) = x2 + 6, f (x) = x2, g (x) = x2 + 6 и h (x) = x2−6h (x) = x2− 6 в той же прямоугольной системе координат.
   ⓑ Опишите, как добавление константы к функции влияет на базовую параболу.

   Последний пример показывает нам, что для построения графика квадратичной функции вида f (x) = x2 + k, f (x) = x2 + k, мы берем базовый график параболы f (x) = x2f (x) = x2 и сдвиньте его по вертикали вверх (k> 0) (k> 0) или сдвиньте вниз (k <0) (k <0).

   Это преобразование называется вертикальным сдвигом.

   Построение квадратичной функции вида f (x) = x2 + kf (x) = x2 + k с использованием вертикального сдвига

   График f (x) = x2 + kf (x) = x2 + k сдвигает график f (x) = x2f (x) = x2 по вертикали k единиц.

   • Если k > 0, сдвинуть параболу вертикально вверх на k единиц.
   • Если k < 0, сдвинуть параболу вертикально вниз | k || k | единицы измерения.

   Теперь, когда мы увидели влияние константы, k , легко построить график функций вида f (x) = x2 + k.е (х) = х2 + к. Мы просто начинаем с базовой параболы f (x) = x2f (x) = x2, а затем сдвигаем ее вверх или вниз.

   Может быть полезно быстро попрактиковаться в рисовании f (x) = x2f (x) = x2. Мы знаем значения и можем нарисовать график оттуда.

   Как только мы узнаем эту параболу, будет легко применить преобразования. В следующем примере потребуется вертикальный сдвиг.

   Пример 9,54

   График f (x) = x2−3f (x) = x2−3 с использованием вертикального сдвига.

   Решение

   Сначала мы рисуем график f (x) = x2f (x) = x2 на сетке.
   Определить kk.
   Сдвинуть график f (x) = x2f (x) = x2 вниз 3.

   Попробуйте 9.107

   График f (x) = x2−5f (x) = x2−5 с использованием вертикального сдвига.

   Попробуйте 9.108

   График f (x) = x2 + 7f (x) = x2 + 7 с использованием вертикального сдвига.

   Графические квадратичные функции вида f (x) = (x − h) 2f (x) = (x − h) 2

   В первом примере мы построили график квадратичной функции f (x) = x2f (x) = x2 путем нанесения точек, а затем увидели эффект добавления константы k к функции на результирующий график новой функции f (х) = х2 + к.е (х) = х2 + к.

   Теперь мы исследуем влияние вычитания константы h из x has на результирующий график новой функции f (x) = (x − h) 2. f (x) = (x − h) ) 2.

   Пример 9,55

   График f (x) = x2, g (x) = (x − 1) 2, f (x) = x2, g (x) = (x − 1) 2 и h (x) = (x + 1) ) 2h (x) = (x + 1) 2 в той же прямоугольной системе координат. Опишите, как добавление константы к функции влияет на базовую параболу.

   Решение

   Построение точек поможет нам увидеть влияние констант на основной график f (x) = x2f (x) = x2.Заполняем график по всем трем функциям.

   Значения g ( x ) и значения h ( x ) имеют общие числа 0, 1, 4, 9 и 16, но смещены.

   Попробуйте 9.109

   ⓐ График f (x) = x2, g (x) = (x + 2) 2, f (x) = x2, g (x) = (x + 2) 2 и h (x) = (x− 2) 2h (x) = (x − 2) 2 в той же прямоугольной системе координат.
   ⓑ Опишите, как добавление константы к функции влияет на базовую параболу.

   Попробуй 9.110

   ⓐ График f (x) = x2, g (x) = x2 + 5, f (x) = x2, g (x) = x2 + 5 и h (x) = x2−5h (x) = x2− 5 в той же прямоугольной системе координат.
   ⓑ Опишите, как добавление константы к функции влияет на базовую параболу.

   Последний пример показывает нам, что для построения графика квадратичной функции вида f (x) = (x − h) 2, f (x) = (x − h) 2, мы берем базовый график параболы f (x) = x2f (x) = x2 и сдвиньте его влево ( h > 0) или сдвиньте вправо ( h <0).

   Это преобразование называется сдвигом по горизонтали .

   Построение квадратичной функции вида f (x) = (x − h) 2f (x) = (x − h) 2 с использованием горизонтального сдвига

   График f (x) = (x − h) 2f (x) = (x − h) 2 сдвигает график f (x) = x2f (x) = x2 по горизонтали на hh единиц.

   • Если h > 0, сдвинуть параболу по горизонтали вправо на h единиц.
   • Если h <0, сдвинуть параболу горизонтально влево | h || h | единицы измерения.

   Теперь, когда мы увидели влияние константы h , легко построить график функций вида f (x) = (x − h) 2.е (х) = (х-ч) 2. Мы просто начнем с основной параболы f (x) = x2f (x) = x2, а затем сдвинем ее влево или вправо.

   В следующем примере потребуется сдвиг по горизонтали.

   Пример 9.56

   График f (x) = (x − 6) 2f (x) = (x − 6) 2 с использованием горизонтального сдвига.

   Решение

   Сначала мы рисуем график f (x) = x2f (x) = x2 на сетке.
   Определить ч .
   Сдвинем график f (x) = x2f (x) = x2 вправо на 6 единиц.

   Попробуйте 9,111

   График f (x) = (x − 4) 2f (x) = (x − 4) 2 с использованием горизонтального сдвига.

   Попробуйте 9,112

   График f (x) = (x + 6) 2f (x) = (x + 6) 2 с использованием горизонтального сдвига.

   Теперь, когда мы знаем влияние констант h и k , мы построим график квадратичной функции вида f (x) = (x − h) 2 + kf (x) = (x − h) 2 + k, сначала нарисовав основную параболу, а затем сделав горизонтальный сдвиг, а затем вертикальный сдвиг.Мы могли бы сделать вертикальный сдвиг, а затем горизонтальный сдвиг, но большинство студентов предпочитают горизонтальный сдвиг, а затем вертикальный.

   Пример 9,57

   График f (x) = (x + 1) 2−2f (x) = (x + 1) 2−2 с использованием преобразований.

   Решение

   Эта функция потребует двух преобразований, и нам понадобится план.

   Сначала определим константы h , k .

   Константа h дает нам горизонтальный сдвиг, а k дает нам вертикальный сдвиг.

   Сначала мы рисуем график f (x) = x2f (x) = x2 на сетке.

   Попробуйте 9,113

   График f (x) = (x + 2) 2−3f (x) = (x + 2) 2−3 с использованием преобразований.

   Попробуйте 9,114

   График f (x) = (x − 3) 2 + 1f (x) = (x − 3) 2 + 1 с использованием преобразований.

   Графы квадратичных функций вида f (x) = ax2f (x) = ax2

   До сих пор мы построили график квадратичной функции f (x) = x2f (x) = x2, а затем увидели влияние включения константы h или k в уравнение на результирующий график новой функции.Теперь мы исследуем влияние коэффициента a на результирующий график новой функции f (x) = ax2.f (x) = ax2.

   Если мы построим график этих функций, мы можем увидеть влияние константы a , предполагая a > 0.

   Чтобы построить график функции с константой a , проще всего выбрать несколько точек на f (x) = x2f (x) = x2 и умножить значения y на a .

   График квадратичной функции вида f (x) = ax2f (x) = ax2

   Коэффициент a в функции f (x) = ax2f (x) = ax2 влияет на график f (x) = x2f (x) = x2, растягивая или сжимая его.

   • Если 0 <| a | <1,0 <| a | <1, график f (x) = ax2f (x) = ax2 будет «шире», чем график f (x) = x2.f (х) = х2.
   • Если | a |> 1 | a |> 1, график f (x) = ax2f (x) = ax2 будет «тоньше», чем график f (x) = x2.f (x) = x2.

   Пример 9,58

   Решение

   Мы построим графики функций f (x) = x2f (x) = x2 и g (x) = 3x2g (x) = 3×2 на той же сетке. Мы выберем несколько точек на f (x) = x2f (x) = x2, а затем умножим значения y на 3, чтобы получить точки для g (x) = 3×2.г (х) = 3х2.

   Попробуйте 9,115

   График f (x) = — 3×2.f (x) = — 3×2.

   Графические квадратичные функции с использованием преобразований

   Мы узнали, как константы a , h и k в функциях, f (x) = x2 + k, f (x) = (x − h) 2, f (x) = x2 + k, f (x) = (x − h) 2 и f (x) = ax2f (x) = ax2 влияют на их графики. Теперь мы можем сложить это вместе и построить график квадратичных функций f (x) = ax2 + bx + cf (x) = ax2 + bx + c, сначала поместив их в форму f (x) = a (x − h) 2 + kf (x) = a (x − h) 2 + k, заполнив квадрат.Эта форма иногда известна как форма вершины или стандартная форма.

   Мы должны быть осторожны, добавляя и вычитая число к ОДНОЙ стороне функции, чтобы завершить квадрат. Мы не можем прибавить число к обеим сторонам, как мы это делали, когда заполняли квадрат квадратными уравнениями.

   Когда мы завершаем квадрат в функции с коэффициентом x ² , который не равен единице, мы должны вывести этот коэффициент только из членов x . Мы не вычитаем его из постоянного члена.Часто бывает полезно сдвинуть постоянный член немного вправо, чтобы упростить фокусировку только на терминах x .

   Как только мы получим константу, которую хотим заполнить квадратом, мы должны не забыть умножить ее на этот коэффициент, прежде чем вычесть его.

   Пример 9,59

   Записываем f (x) = — 3×2−6x − 1f (x) = — 3×2−6x − 1 в формулу f (x) = a (x − h) 2 + kf (x) = a (x − h) 2. + k формы, заполнив квадрат.

   Попробуйте 9,117

   Записываем f (x) = — 4×2−8x + 1f (x) = — 4×2−8x + 1 в формулу f (x) = a (x − h) 2 + kf (x) = a (x − h) 2. + k формы, заполнив квадрат.

   Попробуйте 9,118

   Записываем f (x) = 2×2−8x + 3f (x) = 2×2−8x + 3 в формулу f (x) = a (x − h) 2 + kf (x) = a (x − h) 2 + k. форму, завершив квадрат.

   После того, как мы поместим функцию в форму f (x) = (x − h) 2 + kf (x) = (x − h) 2 + k, мы сможем использовать преобразования, как мы это делали в последних нескольких задачах. Следующий пример покажет нам, как это сделать.

   Пример 9.60

   График f (x) = x2 + 6x + 5f (x) = x2 + 6x + 5 с использованием преобразований.

   Решение

   Шаг 1. Перепишите функцию в виде вершины f (x) = a (x − h) 2 + kf (x) = a (x − h) 2 + k, завершив квадрат.

   Шаг 2: Постройте график функции с помощью преобразований.

   Глядя на значения h , k , мы видим, что график берет график f (x) = x2f (x) = x2 и сдвигает его на 3 единицы влево и на 4 единицы вниз.

   Сначала мы рисуем график f (x) = x2f (x) = x2 на сетке.

   Попробуйте 9,119

   График f (x) = x2 + 2x − 3f (x) = x2 + 2x − 3 с использованием преобразований.

   Попробуйте 9,120

   График f (x) = x2−8x + 12f (x) = x2−8x + 12 с использованием преобразований.

   Мы перечисляем шаги, которые необходимо предпринять для построения графика квадратичной функции с помощью преобразований.

   How To

   Постройте квадратичную функцию с помощью преобразований.

   1. Шаг 1. Перепишите функцию в форме f (x) = a (x − h) 2 + kf (x) = a (x − h) 2 + k, заполнив квадрат.
   2. Шаг 2. Постройте график функции с помощью преобразований.

   Пример 9.61

   График f (x) = — 2×2−4x + 2f (x) = — 2×2−4x + 2 с использованием преобразований.

   Решение

   Шаг 1. Перепишите функцию в виде вершины f (x) = a (x − h) 2 + kf (x) = a (x − h) 2 + k, завершив квадрат.

   Шаг 2. Постройте график функции с помощью преобразований.

   Сначала мы рисуем график f (x) = x2f (x) = x2 на сетке.

   Попробуйте 9,121

   График f (x) = — 3×2 + 12x − 4f (x) = — 3×2 + 12x − 4 с использованием преобразований.

   Попробуйте 9,122

   График f (x) = — 2×2 + 12x − 9f (x) = — 2×2 + 12x − 9 с использованием преобразований.

   Теперь, когда мы завершили квадрат, чтобы поместить квадратичную функцию в форму f (x) = a (x − h) 2 + kf (x) = a (x − h) 2 + k, мы также можем использовать эту технику для построить график функции, используя ее свойства, как в предыдущем разделе.

   Если мы посмотрим на несколько последних примеров, то увидим, что вершина связана с константами h и k .

   В каждом случае вершина ( h , k ).Также осью симметрии является линия x = h .

   Мы перепишем наши шаги для построения графика квадратичной функции, используя свойства для случая, когда функция находится в форме f (x) = a (x − h) 2 + kf (x) = a (x − h) 2 + k.

   How To

   Постройте квадратичную функцию в виде f (x) = a (x − h) 2 + kf (x) = a (x − h) 2 + k, используя свойства.

   1. Шаг 1. Перепишем функцию в виде f (x) = a (x − h) 2 + kf (x) = a (x − h) 2 + k.
   2. Шаг 2. Определите, открывается ли парабола вверх, a > 0, или вниз, a <0.
   3. Шаг 3. Найдите ось симметрии, x = h .
   4. Шаг 4. Найдите вершину ( h , k ).
   5. Шаг 5. Найдите точку пересечения и . Найдите точку, симметричную пересечению y поперек оси симметрии.
   6. Шаг 6. Найдите перехватчики x .
   7. Шаг 7. Постройте параболу.

   Пример 9.62

   ⓐ Записываем f (x) = 2×2 + 4x + 5f (x) = 2×2 + 4x + 5 в f (x) = a (x − h) 2 + kf (x) = a (x − h) 2 + k. форма и ⓑ график функции с использованием свойств.

   Решение

   Перепишем функцию в форме f (x) = a (x − h) 2 + kf (x) = a (x − h) 2 + k , заполнив квадрат.	f (x) = 2×2 + 4x + 5f (x) = 2×2 + 4x + 5
   	f (x) = 2 (x2 + 2x) + 5f (x) = 2 (x2 + 2x) +5
   	f (x) = 2 (x2 + 2x + 1) + 5−2f (x) = 2 (x2 + 2x + 1) + 5−2
   	f (x) = 2 (x + 1) 2 + 3f (x) = 2 (x + 1) 2 + 3
   Определите константы a, h, k.a, h, k.	a = 2h = −1k = 3a = 2h = −1k = 3
   Поскольку a = 2a = 2, парабола открывается вверх.
   Ось симметрии x = hx = h.	Ось симметрии x = −1x = −1.
   Вершина — это (h, k) (h, k).	Вершина равна (−1,3) (- 1,3).
   Найдите перехват y , найдя f (0) f (0).	f (0) = 2⋅02 + 4⋅0 + 5f (0) = 2⋅02 + 4⋅0 + 5
   	f (0) = 5f (0) = 5
   	y -перехват (0,5) (0,5)
   Найдите точку, симметричную (0,5) (0,5) поперек оси симметрии .	(−2,5) (- 2,5)
   Найдите перехваты x .	Дискриминант отрицательный, поэтому нет перехватов x . Постройте параболу.

   Попробуйте 9,123

   ⓐ Записываем f (x) = 3×2−6x + 5f (x) = 3×2−6x + 5 в f (x) = a (x − h) 2 + kf (x) = a (x − h) 2 + k. форма и ⓑ график функции с использованием свойств.

   Попробуйте 9,124

   ⓐ Записываем f (x) = — 2×2 + 8x − 7f (x) = — 2×2 + 8x − 7 в f (x) = a (x − h) 2 + kf (x) = a (x − h) 2. + k form и ⓑ график функции с использованием свойств.

   Найдите квадратичную функцию по ее графику

   Итак, мы начали с функции, а затем нашли ее график.

   Теперь мы собираемся повернуть процесс вспять. Начиная с графика, найдем функцию.

   Пример 9.63

   Определите квадратичную функцию, график которой показан.

   Решение

   Поскольку он квадратичный, мы начинаем с f (x) = a (x − h) 2 + kform. F (x) = a (x − h) 2 + kform.
   Вершина (h, k), (h, k) равна (−2, −1) (- 2, −1), поэтому h = −2h = −2 и k = −1.к = -1.	f (x) = a (x — (- 2)) 2−1f (x) = a (x — (- 2)) 2−1
   Чтобы найти aa, мы используем точку пересечения yy, (0,7) (0,7).
   Итак, f (0) = 7f (0) = 7.	7 = а (0 + 2) 2−17 = а (0 + 2) 2−1
   Решить относительно aa.	7 = 4a − 17 = 4a − 1
   	8 = 4a8 = 4a
   	2 = а2 = а
   Напишите функцию.	f (x) = a (x − h) 2 + kf (x) = a (x − h) 2 + k
   Подставить в h = −2, k = −1h = −2, k = −1 и a = 2a = 2.	f (x) = 2 (x + 2) 2−1f (x) = 2 (x + 2) 2−1

   Попробуйте 9,125

   Запишите квадратичную функцию в форме f (x) = a (x − h) 2 + kf (x) = a (x − h) 2 + k, график которой показан.

   Попробуйте 9.126

   Определите квадратичную функцию, график которой показан.

   Раздел 9.7 Упражнения

   Практика ведет к совершенству

   Графы квадратичных функций вида f (x) = x2 + kf (x) = x2 + k

   В следующих упражнениях ⓐ изобразите квадратичные функции в той же прямоугольной системе координат и ⓑ опишите, какое влияние на базовую параболу оказывает добавление константы k к функции.

   293.

   f (x) = x2, g (x) = x2 + 4, f (x) = x2, g (x) = x2 + 4 и h (x) = x2−4.h (x) = x2− 4.

   294.

   f (x) = x2, g (x) = x2 + 7, f (x) = x2, g (x) = x2 + 7 и h (x) = x2−7.h (x) = x2− 7.

   В следующих упражнениях постройте график каждой функции, используя вертикальный сдвиг.

   Графические квадратичные функции вида f (x) = (x − h) 2f (x) = (x − h) 2

   В следующих упражнениях ⓐ изобразите квадратичные функции в той же прямоугольной системе координат и ⓑ опишите, какой эффект дает добавление константы hh в круглых скобках.

   301.

   f (x) = x2, g (x) = (x − 3) 2, f (x) = x2, g (x) = (x − 3) 2 и h (x) = (x + 3) 2. h (х) = (х + 3) 2.

   302.

   f (x) = x2, g (x) = (x + 4) 2, f (x) = x2, g (x) = (x + 4) 2 и h (x) = (x − 4) 2. h (x) = (x − 4) 2.

   В следующих упражнениях нарисуйте каждую функцию, используя горизонтальный сдвиг.

   303.

   f (x) = (x − 2) 2f (x) = (x − 2) 2

   304.

   f (x) = (x − 1) 2f (x) = (x − 1) 2

   307.

   f (x) = (x − 5) 2f (x) = (x − 5) 2

   В следующих упражнениях постройте график каждой функции с помощью преобразований.

   309.

   f (x) = (x + 2) 2 + 1f (x) = (x + 2) 2 + 1

   310.

   f (x) = (x + 4) 2 + 2f (x) = (x + 4) 2 + 2

   311.

   f (x) = (x − 1) 2 + 5f (x) = (x − 1) 2 + 5

   312.

   f (x) = (x − 3) 2 + 4f (x) = (x − 3) 2 + 4

   313.

   f (x) = (x + 3) 2−1f (x) = (x + 3) 2−1

   314.

   f (x) = (x + 5) 2−2f (x) = (x + 5) 2−2

   315.

   f (x) = (x − 4) 2−3f (x) = (x − 4) 2−3

   316.

   f (x) = (x − 6) 2−2f (x) = (x − 6) 2−2

   Граф квадратичных функций вида f (x) = ax2f (x) = ax2

   В следующих упражнениях нарисуйте каждую функцию в виде графика.

   Графические квадратичные функции с использованием преобразований

   В следующих упражнениях перепишите каждую функцию в форме f (x) = a (x − h) 2 + kf (x) = a (x − h) 2 + k, заполнив квадрат.

   325.

   f (x) = — 3×2−12x − 5f (x) = — 3×2−12x − 5

   326.

   f (x) = 2×2−12x + 7f (x) = 2×2−12x + 7

   327.

   f (x) = 3×2 + 6x − 1f (x) = 3×2 + 6x − 1

   328.

   f (x) = — 4×2−16x − 9f (x) = — 4×2−16x − 9

   В следующих упражнениях ⓐ перепишем каждую функцию в форме f (x) = a (x − h) 2 + kf (x) = a (x − h) 2 + k и ⓑ построим график с помощью преобразований.

   330.

   f (x) = x2 + 4x − 12f (x) = x2 + 4x − 12

   332.

   f (x) = x2−6x + 8f (x) = x2−6x + 8

   333.

   f (x) = x2−6x + 15f (x) = x2−6x + 15

   334.

   f (x) = x2 + 8x + 10f (x) = x2 + 8x + 10

   335.

   f (x) = — x2 + 8x − 16f (x) = — x2 + 8x − 16

   336.

   f (x) = — x2 + 2x − 7f (x) = — x2 + 2x − 7

   337.

   f (x) = — x2−4x + 2f (x) = — x2−4x + 2

   338.

   f (x) = — x2 + 4x − 5f (x) = — x2 + 4x − 5

   339.

   f (x) = 5×2−10x + 8f (x) = 5×2−10x + 8

   340.

   f (x) = 3×2 + 18x + 20f (x) = 3×2 + 18x + 20

   341.

   f (x) = 2×2−4x + 1f (x) = 2×2−4x + 1

   342.

   f (x) = 3×2−6x − 1f (x) = 3×2−6x − 1

   343.

   f (x) = — 2×2 + 8x − 10f (x) = — 2×2 + 8x − 10

   344.

   f (x) = — 3×2 + 6x + 1f (x) = — 3×2 + 6x + 1

   В следующих упражнениях ⓐ перепишем каждую функцию в форме f (x) = a (x − h) 2 + kf (x) = a (x − h) 2 + k и ⓑ построим график, используя свойства.

   345.

   f (x) = 2×2 + 4x + 6f (x) = 2×2 + 4x + 6

   346.

   f (x) = 3×2−12x + 7f (x) = 3×2−12x + 7

   347.

   f (x) = — x2 + 2x − 4f (x) = — x2 + 2x − 4

   348.

   f (x) = — 2×2−4x − 5f (x) = — 2×2−4x − 5

   Соответствие

   В следующих упражнениях сопоставьте графики с одной из следующих функций: ⓐ f (x) = x2 + 4f (x) = x2 + 4 ⓑ f (x) = x2−4f (x) = x2−4 ⓒ f (x) = (x + 4) 2f (x) = (x + 4) 2 ⓓ f (x) = (x − 4) 2f (x) = (x − 4) 2 ⓔ f (x) = (x +4) 2−4f (x) = (x + 4) 2−4 ⓕ f (x) = (x + 4) 2 + 4f (x) = (x + 4) 2 + 4 ⓖ f (x) = (x − 4) 2−4f (x) = (x − 4) 2−4 ⓗ f (x) = (x − 4) 2 + 4f (x) = (x − 4) 2 + 4

   350.352.

   354.

   356.

   Найдите квадратичную функцию по ее графику

   В следующих упражнениях запишите квадратичную функцию в форме f (x) = a (x − h) 2 + kf (x) = a (x − h) 2 + k, график которой показан.

   358.

   360.

   Письменное упражнение

   361.

   Изобразите квадратичную функцию f (x) = x2 + 4x + 5f (x) = x2 + 4x + 5 сначала, используя свойства, как мы делали в предыдущем разделе, а затем изобразите ее с помощью преобразований. Какой метод вы предпочитаете? Почему?

   362.

   Изобразите квадратичную функцию f (x) = 2×2−4x − 3f (x) = 2×2−4x − 3 сначала, используя свойства, как мы делали в предыдущем разделе, а затем изобразите ее с помощью преобразований. Какой метод вы предпочитаете? Почему?

   Самопроверка

   ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

   ⓑ После просмотра контрольного списка, думаете ли вы, что хорошо подготовились к следующему разделу? Почему или почему нет?

   .

   Добавить комментарий Отменить ответ

   Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

   Комментарий *

   Имя *

   Email *

   Сайт