Лекция 3. Понятие системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Метод Крамера.

Элементы линейной алгебры.

Лекция 3. Понятие СЛУ. Метод Гаусса. Метод Крамера

Лекция 3. Понятие системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Метод Крамера.

1.1 Понятие системы линейных уравнений.

Определение 1. Системой линейных уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

где числа a_ij – называются коэффициентами системы, числа b_ij – свободными членами.

Определение 2. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Определение 3. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

В последенем случае каждое решение системы называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если совместна, найти ее общее решение.

1.2 Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

Матрица А = , составленная из коэффициентов при неизвестных х_i (i = 1,2,…n), называется матрицей системы.

Матрица B = , составленная из коэффициентов при неизвестных и свободных членов, называется расширенной матрицей.

Определение 4. Матрица А называется матрицей треугольного вида, если все ее элементы выше (ниже) главной диагонали равны нулю.

Например, А = или В = — матрицы треугольного вида.

Метод Гаусса удобно использовать при решении систем с большим количеством уравнений. Этот метод заключается в последоваетльном исключении неизвестных. Систему линейных уравнений приводят к системе с треугольной матрицей с помощью эквивалентных преобразований. Затем из полученной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок.

К эквивалентным преобразованиям относят следующие:

• умножение и деление коэффициентов и свободных членов на одно и тоже число, отличное от нуля.

• Сложение и вычитание уравнений.

• Перестановка уравнений.

• Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты равны нулю.

Пример 1

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Выпишем расширенную матрицу системы:

Для упрощения вычислений поменяем первую и вторую строки местами:

Умножим первую строку на –3 и сложим ее со второй строкой. Первую строку умножим на –4 и сложим с третьей сторокой, получим эквивалентную матрицу:

Умножим вторую строку на –1:

Умножим вторую строку на 5 и сложим с третьей строкой:

Разделим третью строку на –11:

Получили матрицу треугольного вида (все элементы ниже главной диагонали равны нулю). Выпишем систему уравнений треугольного вида:

Ответ: х = -1, у = 3, z = 2

1.3 Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Для решения систем линейных уравнений с большим количеством уравнений применяют метод Гаусса. Если же уравнений в системе не так много, то удобнее использовать метод Крамера. Этот метод основан на вычислении определителей.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

Составим определитель матрицы системы:

Заменим в определителе  первый столбик, соответствующий переменной х₁, на столбец свободных членов b₁, b₂, …,b_n, получим определитель _х1:

Заменим в определителе  второй столбик, соответствующий переменной х₂, на столбец свободных членов b₁, b₂, …,b_n, получим определитель _х2:

Аналогично поступаем с третьим, четвертым, …, n –ым столбцами определителя . В итоге получим n+1 определитель. Для того, чтобы найти неизвестные х₁, х₂ , …, х_n используем формулы Крамера:

, , …,

При вычислении определителей могут возникнуть следующие случаи:

• если определитель матрицы системы  отличен от 0, то система линейных уравнений имеет единственное решение;

• если определитель матрицы системы  равен 0, а среди определителей _х1, _х2, …, _хn есть хотя один отличный от 0, то система линейных уравнений не имеет решений;

• если определитель матрицы системы  равен 0 и все определители _х1, _х2, …, _хn равны 0, то система линейных уравнений имеет бесконечно много решений.

Пример 3.

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Выпишем определитель матрицы системы  и вычислим его:

Так как 0, то система имеет единственное решение.

Заменим в определителе  первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим _х :

Заменим в определителе  второй столбик на столбец свободных коэффициентов, получим _у :

Найдем значения переменных х и у по формулам Крамера:

,

Ответ: (-3;1)

Пример 4.

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Выпишем определитель матрицы системы  и вычислим его:

Так как 0, то система имеет единственное решение.

Заменим в определителе  первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим _х :

Заменим в определителе  первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим _у :

Заменим в определителе  первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим _z :

Найдем значения переменных х , у и z по формулам Крамера:

, ,

Ответ: (-1; 1; -2)

7

Лекция 8.

МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ — Студопедия

1. Матричное представление метода Гаусса
2. Метод Гаусса с частичным выбором главного элемента
3. Метод Гаусса с полным выбором главного элемента

1. Матричное представление метода Гаусса

Для получения матричного представления метода Гаусса рассмотрим пример. Пусть необходимо решить СЛАУ вида :

,

где . На первом шаге метода Гаусса производятся исключения в первом столбце матрицы СЛАУ при помощи первого уравнения, т.е. путем элементарных эквивалентных преобразований системы в первом столбце матрицы ниже элемента главной диагонали (ниже 10) делаются нули, а это означает, что переменная исключается из всех уравнений системы, кроме первого. Это достигается следующим образом: для получения 0 на месте (2,1) нужно первое уравнение (первую строку матрицы и элемент ) умножить на 0.3 и сложить со вторым уравнением; для получения 0 на месте (3,1) нужно первое уравнение умножить на -0. 5 и сложить с третьим уравнением. В итоге получена эквивалентная СЛАУ . Величины 0.3 и -0.5 называются множителями. Запишем их рядом с уравнениями СЛАУ , для которых они использовались:

,

где . Элемент, стоящий на месте (2,2) в полученной матрице , имеет значение, малое по сравнению с другими элементами второго столбца матрицы . Ниже мы остановимся подробно на отрицательных последствиях такого явления для решения СЛАУ, а сейчас просто поменяем местами второе и третье уравнения последней системы, что выведет на место (2,2) элемент 2.5. Получим СЛАУ :

.

Здесь .

На втором шаге метода Гаусса исключим при помощи второго уравнения из третьего, обнулив элемент (3,2) второго столбца. Это достигается путем умножения второго уравнения на 0.04 и сложения с третьим. В итоге получаем эквивалентную СЛАУ :

,

где . Заметим, что проводить исключение во втором столбце (обнуление элемента (3,2)) при помощи первого уравнения было нецелесообразно, т. к. это могло сделать ненулевым элемент (3,1) и «испортить» результат, полученный на предыдущем шаге метода Гаусса (обнуление элементов первого столбца матрицы СЛАУ).

Система — это результат прямого хода метода Гаусса, результат проведенных исключений. В итоге прямого хода получается СЛАУ с верхней треугольной матрицей. Теперь решение треугольной системы осуществляется путем обратной подстановки (снизу вверх). Так последнее уравнение СЛАУ имеет вид: , откуда . Это полученное значение может быть подставлено в предпоследнее уравнение:

.

Подставляя полученные и в первое уравнение , получим .

Решение рассмотренного примера может быть записано в матричном виде. Обозначим

.

Заметим, что матрица отличается от единичной только первым столбцом, куда записаны множители, использованные при проведении исключений в первом столбце в прямом ходе метода Гаусса.

Непосредственно проверяем, что

.

Обозначим

, тогда .

Матрица отличается от единичной только вторым столбцом, куда записан множитель, использованный при проведении исключения во втором столбце в прямом ходе метода Гаусса. С использованием получаем:

.

Таким образом, из исходной СЛАУ мы пришли к эквивалентной СЛАУ:

,

матрица которой является верхней треугольной, а вектор правой части .

Аналогичные соотношения справедливы и в общем случае для СЛАУ с матрицей размера . Обозначим , матрицу, полученную из единичной матрицы той же перестановкой строк, какая применялась к строкам матрицы СЛАУ на ом шаге исключения (исключения в ом столбце). Таким образом, , — это матрицы перестановок (матрица называется матрицей перестановок, если в каждом ее столбце и в каждой ее строке в точности один элемент равен 1, а все остальные равны 0). Умножение произвольной матрицы на матрицу перестановок слева поменяет местами в матрице строки с соответствующими номерами, а умножение на матрицу перестановок справа поменяет в столбцы с теми же номерами.

Пусть , обозначает матрицу, полученную из единичной матрицы записью в поддиагональные позиции го столбца множителей, используемых на ом шаге исключения. Матрицы , называются матрицами исключения, являются нижними треугольными. Элементы го столбца вычисляются в соответствии с формулой

,

где — соответствующие элементы матрицы СЛАУ после 1 шага метода Гаусса (после исключения, проведенного в 1 столбце).

В принятых обозначениях матричный вид прямого хода метода Гаусса следующий:

.

Матрица итоговой СЛАУ — верхняя треугольная. Полученная СЛАУ легко решается путем обратной подстановки. Если предположить, что перестановки в ходе исключений не делались, то

.

Матрица как произведение нижних треугольных матриц является нижней треугольной. Исключения, проводимые на каждом шаге метода Гаусса, требуют пересчета элементов матрицы СЛАУ и вектора правой части. Для го шага исключения пересчет происходит в соответствии с формулой:

Здесь — элементы матрицы СЛАУ после 1 го шага исключения, — элементы матрицы СЛАУ после го шага исключения. В матричном виде эти действия просто эквивалентны умножению на матрицу исключения. Поскольку , при этом матрица невырожденная, а значит, обратимая, обратная к ней – нижняя треугольная, то , а это есть ничто иное, как треугольное разложение матрицы .

Диагональные элементы матрицы называются ведущими, или главными; ый ведущий элемент – это коэффициент при ом неизвестном в ом уравнении на ом шаге исключения Гаусса (исключений в ом столбце матрицы). В предыдущем примере ведущими элементами были 10, 2.5 и 6.2.

При вычислении множителей, а также в ходе обратной подстановки происходит деление на ведущие элементы, поэтому ведущие элементы обязательно должны быть отличны от 0. Более того, как показывает следующий пример, ведущие элементы не должны быть малыми по сравнению с другими элементами матрицы.

Пример. Решить СЛАУ :

.

Точное решение этой системы: . Здесь , вектор . Первый шаг метода Гаусса – исключения в первом столбце матрицы СЛАУ за счет матрицы исключения, имеющей вид: . Тогда исходна система за счет исключений преобразуется к эквивалентному виду:

. (10)

Для решения полученной СЛАУ с верхней треугольной матрицей применяем обратный ход метода Гаусса. Второе уравнение СЛАУ имеет вид: , откуда . Предположим, что в нашей вычислительной системе количество разрядов в мантиссе равно , тогда . Если полученное значение сравнить с точным значением решения данной СЛАУ, то качественно очевидно, что хорошо приближает . Продолжим обратный ход метода Гаусса подставляя в первое уравнение СЛАУ : , откуда , что «абсольтно не похоже» на точное значение решения данной СЛАУ.

Что произошло, где была допущена катастрофическая ошибка? Здесь не было накопления ошибок округления, вызываемого выполнением большого количества аоифметических операций. Матрица исходной СЛАУ далека от вырожденной: . Полученный результат имеет только одно объяснение: при проводимом исключение ведущий элемент 0.0001 имел значение, малое по сравнению с другими элементами матрицы, что привело в процессе исключения к колосальному росту коэффициентов второго уравнения: . Эти коэффициенты в 10⁴ раз стали превосходить коэффициенты исходной задачи. Ошибка округления, произошедшая при вычислении и равная , является малой и приемлемой по отношению к большим коэффициентам уравнения , но совершенно неприемлемой с точки зрения уровня элементов исходной матрицы (ведь там есть элемент 0.0001, который меньше, чем абсолютная погрешность ). Таким образом необходимо при проведении процесса исключения обеспечивать следующее условие: модули значений ведущих элементов не должны быть малыми по сравнению с модулями других элементов матрицы СЛАУ.

1. Метод Гаусса с частичным выбором главного элемента

Для обеспечения устойчивости процесса исключения Гаусса необходимо позаботиться о том, чтобы ведущие элементы имели значения, сравнимые со значениями остальных элементов матрицы СЛАУ. Это можно обеспечить различными способами. Рассмотрим один из них, который называется частичным выбором главного элемента.

Частичный выбор главного элемента может осуществляться по столбцу или по строке. Начнем с выбора по столбцу.

Рассматривается СЛАУ :

. (20)

Перед проведением исключений в первом столбце выберем в этом столбце максимальный по модулю элемент. Пусть этот элемент . Выведем этот элемент на место ведущего (на место (1,1)) для первого шага метода Гаусса. Для этого в СЛАУ (20) поменяем местами первое и ое уравнения. Получим СЛАУ:

(30)

Теперь проведем исключение в первом столбце матрицы СЛАУ (30). В результате исключения СЛАУ (30) примет вид:

(40)

В (40) выделены те коэффициенты, которые изменяются (подвергаются пересчету в соответствии с формулой (5)) в процессе исключения. Обозначим полученную систему :

.

Перед проведением исключений второго шага метода Гаусса выберем максимальный по модулю элемент второго столбца матрицы СЛАУ (40), исключая при выборе элемент стоящий в первой строке (область выбора обозначена в предыдущей формуле). Пусть этот элемент . Выводим его на место ведущего элемента для второго шага исключений – на место (2,2) путем перестановки второго и го уравнений (элемент не участвовал при выборе максимального по модулю элемента в силу того, что перестановка первой строки на место второй, в том случае, если бы оказался максимальным по модулю, привела бы к порче структуры матрицы, полученной на первом шаге исключения: нулевой элемент первого столбца, стоящий во второй строке, стал бы ненулевым за счет того, что на место (2,1) попал бы элемент ). В результате получим СЛАУ:

(50)

Теперь проведем исключение во втором столбце матрицы СЛАУ (50). В результате исключения СЛАУ (50) примет вид:

Перед проведением третьего шага исключения Гаусса (обнуления элементов третьего столбца матрицы СЛАУ ниже главной диагонали) выберем максимальный по модулю элемент третьего столбца среди элементов, исключающих элементы первой и второй строк. Выведем этот элемент на позицию (3,3) – позицию ведущего элемента для третьего шага. И т.д.

Частичный выбор главного элемента можно проводить по строке. В этом случае перед проведением исключений в ом столбце матрицы СЛАУ, которую обозначим , надо выбрать максимальный по модулю элемент ой строки среди элементов (пусть это элемент ), вывести его на главную диагональ путем перестановки го и го столбцов, и произвести исключение, как описано выше. Необходимо учитывать и помнить, что перестановка столбцов в матрице СЛАУ повлечет за собой соответствующее изменение порядка неизвестных в векторе .

Частичный выбор главного элемента обеспечит сравнимость ведущих элементов на всех шагах исключения Гаусса с остальными элементами соответствующих столбцов (строк) матрицы СЛАУ, т.е. обеспечит устойчивость исключений Гаусса.

1. Метод Гаусса с полным выбором главного элемента

Выбор главного элемента, предваряющий исключение на очередном шаге метода Гаусса, можно проводить, учитывая большее количество элементов матрицы СЛАУ. Так перед исключением в первом столбце выберем максимальный по модулю элемент во всей матрице системы . Пусть этот элемент — . Для того, чтобы вывести этот элемент на место (1,1), переставим в первую и ую строки (соответственно в векторе — первый и ый элементы), первый и ый столбец, после чего проведем исключения в первом столбце.

Перед исключением в ом столбце выберем максимальный по модулю элемент в матрице СЛАУ среди ее элементов , где . И т.д.

Очевидно, что полный выбор главного элемента обеспечит сравнимость ведущих элементов на всех шагах исключения Гаусса с остальными элементами всей матрицы СЛАУ, т. е. обеспечит устойчивость исключений Гаусса, причем, как вытекает из стратегии поиска главного элемента, погрешность метода Гаусса с полным выбором главного элемента будет меньше, чем при частичном выборе.

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса

Лекция
№3 Прикладная математика
5

Решение систем линейных алгебраических
уравнений

методом
исключения Гаусса

Рассмотрим систему линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ)

(1)

или в матричной форме
,
где A – матрица
коэффициентов при неизвестных, b – вектор
свободных членов, x – вектор
неизвестных.

Найдем решение СЛАУ (1) методом исключения
Гаусса.

Прямой ход метода Гаусса.

Пусть

Разделим первое уравнение системы (1)
на
,
получим

(2)

Преобразуем СЛАУ (1) следующим образом:
1-е уравнение оставим без изменения; из
2-го уравнения вычтем уравнение (2),
умноженное на
;
из 3-го уравнения вычтем уравнение (2),
умноженное на

и т. д. То есть сделаем все элементы 1-го
столбца матрицы коэффициентов при
неизвестных А за исключением

равными нулю. Получим

(3)

Назовем элемент

ведущим. Пусть теперь
.
Беря этот элемент в качестве ведущего
и выполняя преобразование, аналогичное
преобразованию (1) в (3), сделаем равными
нулю все элементы 2-го столбца в матрице
коэффициентов при неизвестных в СЛАУ
(3) для i>2 и т.д. В итоге
вместо (1) получим СЛАУ

(4)

или
,
где U – верхняя
треугольная матрица, то есть матрица,
у которой все элементы ниже главной
диагонали равны нулю. Преобразование
СЛАУ (1) в (4) называется прямым ходом
метода Гаусса.

Обратный ход метода Гаусса

СЛАУ (4) легко решается, начиная с
последнего уравнения.

(5)

или
,

(5′)

Нахождение решения по формулам (5)
называется обратным ходом метода Гаусса.

Метод Гаусса и его модификации является
одним из наиболее эффективных методов
решения СЛАУ.

Пример: решить СЛАУ

Составим расширенную матрицу

Получим эквивалентную СЛАУ

(b)

Переход от (a) к (b)
завершает прямой ход метода Гаусса.
Обратный ход:

Ответ:

Замечания

1. Если в процессе прямого хода ведущий
   элемент окажется равным нулю, то следует
   поменять уравнения местами так, чтобы
   на главной диагонали в качестве ведущего
   оказался ненулевой элемент. Если
   окажется, что диагональный и все стоящие
   в столбце ниже него элементы равны
   нулю, то это означает, что данная СЛАУ
   является вырожденной (определитель
   матрицы коэффициентов при неизвестных
   равен нулю). Вырожденная СЛАУ либо не
   имеет решения, либо имеет их бесконечное
   множество.

2. Если ведущий элемент мал, то деление
   на него приводит к большим ошибкам
   округления. Этого позволяет избежать
   метод Гаусса с выбором главного элемента
   по столбцам (или по строкам, или по всей матрице).
   При
   выборе главного элемента по столбцам
   строки расширенной матрицы переставляются
   так, чтобы на главной диагонали (то есть
   в качестве ведущего) оказался наибольший
   из элементов

   (при
   )
   данного столбца, стоящих на диагонали
   и выше.

3. Общее число операций при решении СЛАУ
   методом Гаусса пропорционально
   ,
   где n – число
   уравнений. При решении СЛАУ методом
   Крамера (с помощью определителей)
   требуется порядка

   операций.

Вычисление определителя методом
Гаусса

При выполнении операций прямого хода
метода Гаусса величина определителя
матрицы A не меняется. При
каждой перестановке строк или столбцов
матрицы знак определителя меняется на
противоположный. Таким образам,

,

где U – верхняя
треугольная матрица, которая получается
из матрицы коэффициентов A
в результате выполнения прямого хода
метода Гаусса; k – суммарное
число перестановок строк и столбцов в
процессе выполнения прямого хода.

Пример

Нахождение обратной матрицы методом
Гаусса-Жордана

В методе Жордана при решении СЛАУ
исключаются как элементы, стоящие ниже
ведущего, так и элементы, стоящие выше
ведущего в данном столбце матрицы А
коэффициентов при неизвестных. Кроме
того, все элементы строки матрицы,
содержащей ведущий элемент, делятся на
него. При этом после выполнения прямого
хода матрица А приводится к единичной
матрице и обратный ход становится не
нужным. Решение СЛАУ получается в
расширенной матрице на месте свободных
членов. Однако, при решении СЛАУ метод
Жордона несколько медленнее метода
Гаусса. Но он быстрее метода Гаусса при
нахождении обратной матрицы.

Пусть дана матрица А и нужно найти
обратную к ней. Имеем

.

Соотношение (*) фактически представляет
собой совокупность n СЛАУ
с одной и той же матрицей А коэффициентов
при неизвестных, где в качестве неизвестных
берутся элементы столбцов обратной
матрицы

, а в качестве свободных членов –
соответствующие столбцы единичной
матрицы. Решим все эти СЛАУ одновременно
методом Жордана. Изложение проведем на
примере нахождения обратной матрицы
для матрицы

.

Составим расширенную матрицу и выполним
прямой ход методом Жордана. Умножим
первую строку расширенной матрицы на
(-2) и сложим со второй строкой. Затем
умножим первую строку на (1) и сложим с
третьей строкой. После этого разделим
все элементы первой строки на (2). Получим

.

Теперь умножим вторую строку полученной
матрицы на (0.5) и сложим с первой строкой.
Затем умножим вторую строку на
(3) и сложим с третьей строкой. После
этого разделим все элементы второй
строки на (-1). Получим

.

Наконец, умножим третью строку полученной
матрицы на (-0.125) и сложим с первой строкой.
Затем умножим третью строку на (0.5) и
сложим со второй строкой. После этого
разделим все элементы третьей строки
на (-4). Получим

.

Обратная матрица получается в расширенной
матрице на месте единичной матрицы.

.

Замечание. Если известна обратная
матрица
,
то решение СЛАУ

находится легко
.

Системы линейных уравнений (Лекция №14)

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a_ij и b_i (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные
числа, а x₁,…,x_n – неизвестные. В обозначении
коэффициентов a_ij первый индекс iобозначает номер уравнения,
а второй j – номер неизвестного, при
котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей
системы.

Числа, стоящие в
правых частях уравнений, b₁,…,b_m называются свободными членами.

Совокупность n чисел c₁,…,c_n называется решением данной системы, если каждое уравнение
системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c₁,…,c_n вместо соответствующих
неизвестных x₁,…,x_n.

Наша задача
будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три
ситуации:

1. Система может иметь единственное решение.
2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся
   знаком.
3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x₁ + x₂ равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных
уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений,
то она называется несовместной.

Рассмотрим
способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность
кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений
с тремя неизвестными:

Рассмотрим
матрицу системы и матрицы столбцы
неизвестных и свободных членов

Найдем произведение

т.е. в результате
произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь
определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно
найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение
называют матричным уравнением.

Пусть
определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом.
Умножим обе части уравнения слева на матрицу A^-1, обратную матрице A: . Поскольку A^-1A = E и E∙X = X, то получаем решение
матричного уравнения в виде X = A^-1B.

Заметим, что
поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то
матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений
совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и
в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому
нельзя найти решение системы в виде X = A^-1B.

Примеры. Решить системы уравнений.

1. Найдем матрицу
   обратную матрице A.

   ,

   Таким образом, x = 3, y = – 1.

2. Итак, х₁=4,х₂=3,х₃=5.

3. Решите матричное уравнение: XA+B=C, где

   Выразим искомую
   матрицу X из заданного уравнения.

   Найдем матрицу А^-1.

   Проверка:

4. Решите матричное уравнение AX+B=C, где

   Из уравнения
   получаем .

   Следовательно,

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Рассмотрим
систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е.
составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно
1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ
≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак,
рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение
системы на алгебраическое дополнение A₁₁ элемента a₁₁, 2-ое уравнение – на A₂₁
и 3-е – на A₃₁:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о
разложении определителя по элементам 1-го столбца

.

Далее рассмотрим коэффициенты при x₂:

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ
≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же
определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество
решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему
уравнений

1. Итак, х=1, у=2, z=3.

2. Решите систему уравнений
   при различных значениях параметра p:

   Система имеет единственное решение, если Δ
   ≠ 0.

   . Поэтому .

   1. При
   2. При p = 30 получаем систему уравнений которая не имеет решений.
   3. При p = –30 система принимает вид и, следовательно,
      имеет бесконечное множество решений x=y, yÎR.

МЕТОД ГАУССА

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем,
в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель
системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным
и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в
последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

.

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим
слагаемые, содержащие x₁. Для этого второе
уравнение разделим на а₂₁ и умножим на –а₁₁, а
затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а₃₁ и умножим на –а₁₁, а затем сложим с первым. В результате
исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x₂. Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым.
Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда из последнего уравнения легко найти x₃,
затем из 2-го уравнения x₂ и, наконец, из 1-го – x₁.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять
местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются
тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

и затем
приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям
матрицы относятся следующие преобразования:

1. перестановка строк или столбцов;
2. умножение строки на число, отличное от нуля;
3. прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы
уравнений методом Гаусса.

1. Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

2. Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.

   Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения
   системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.

3. Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий
   столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при
   неизвестной z, а третий – при x.

   Вернемся к системе уравнений.

   Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в
   первое.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Pers.narod.ru. Обучение. Лекции по численным методам. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Pers.narod.ru. Обучение. Лекции по численным методам. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Этот сайт больше не обновляется. Подключите Javascript, чтобы увидеть новый адрес страницы или перейдите к статье

2. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Прямые методы решения СЛАУ:

    Метод Крамера

    Метод обратной матрицы

    Метод Гаусса

Итерационные методы решения линейных алгебраических систем:

    Метод простой итерации или метод Якоби

    Метод Гаусса – Зейделя

К решению систем линейных
алгебраических уравнений сводятся многочисленные практические задачи ( по
некоторым оценкам более 75% всех задач). Можно с полным основанием утверждать,
что решение линейных систем является одной из самых распространенных и важных
задач вычислительной математики.

Конечно,
существует много методов и современных пакетов прикладных программ для решения
СЛАУ, но для того, чтобы их успешно использовать, необходимо разбираться в
основах построения методов и алгоритмов, иметь представления о недостатках и
преимуществах используемых методов.

Постановка задачи

Требуется
найти решение системы m линейных
уравнений, которая записывается в общем виде как

,

Эту систему уравнений можно записать также в матричном
виде:

,

где , , .

A – матрица системы, – вектор правых частей, – вектор неизвестных.

При известных A и требуется найти такие , при подстановке которых в систему уравнений
она превращается в тождество.

Необходимым и достаточным
условием существования единственного решения СЛАУ является условие det A≠0, т.е. определитель матрицы A не равен нулю. В случае равенства
нулю определителя матрица A называется вырожденной и
при этом СЛАУ либо не имеет решения, либо имеет их бесчисленное множество.

В дальнейшем
будем предполагать наличие единственного решения.

Все методы решения
линейных алгебраических задач можно разбить на два класса: прямые
(точные) и итерационные (приближенные).

Прямые методы решения СЛАУ

Метод Крамера

При небольшой размерности
системы m (m = 2,…,5) на практике часто используют формулы Крамера
для решения СЛАУ:

(i = 1, 2, …, m). Эти
формулы позволяют находить неизвестные в виде дробей, знаменателем которых
является определитель матрицы системы, а числителем – определители матриц A_i,
полученных из A заменой столбца коэффициентов при вычисляемом неизвестном
столбцом свободных членов. Так А₁ получается из матрицы А
заменой первого столбца на столбец правых частей f.

Например, для системы
двух линейных уравнений

Размерность
системы (т.е., число m) является главным фактором, из–за которого формулы Крамера
не могут быть использованы для численного решения СЛАУ большого порядка. При
непосредственном раскрытии определителей решение системы с m неизвестными
требует порядка m!*m арифметических операций. Таким образом, для решения
системы, например, из m = 100 уравнений потребуется совершить 10¹⁵⁸ вычислительных
операций (процесс займёт примерно 10¹⁹ лет), что не под силу
даже самым мощным современным ЭВМ

Метод обратной матрицы

Если det A ≠ 0, то
существует обратная матрица . Тогда решение СЛАУ записывается в виде: . Следовательно, решение
СЛАУ свелось к умножению известной обратной матрицы на вектор правых частей.
Таким образом, задача решения СЛАУ и задача нахождения обратной матрицы связаны
между собой, поэтому часто решение СЛАУ называют задачей обращения матрицы.
Проблемы использования этого метода те же, что и при использовании метода Крамера:
нахождение обратной матрицы – трудоемкая операция.

Метод Гаусса

Наиболее известным и популярным прямым методом решения СЛАУ
является метод Гаусса. Этот метод заключается в последовательном
исключении неизвестных. Пусть в системе уравнений

первый элемент . Назовем его ведущим элементом первой
строки. Поделим все элементы этой строки на и исключим x₁ из всех последующих
строк, начиная со второй, путем вычитания первой (преобразованной), умноженной
на коэффициент при в
соответствующей строке. Получим

.

Если , то, продолжая аналогичное исключение, приходим
к системе уравнений с верхней треугольной матрицей

.

Из нее в обратном порядке находим все значения x_i:

.

Процесс приведения к системе с треугольной
матрицей называется прямым ходом, а нахождения неизвестных – обратным.
В случае если один из ведущих элементов равен нулю, изложенный алгоритм метода
Гаусса неприменим. Кроме того, если какие–либо ведущие элементы малы, то это
приводит к усилению ошибок округления и ухудшению точности счета. Поэтому
обычно используется другой вариант метода Гаусса – схема Гаусса с выбором
главного элемента. Путем перестановки строк, а также столбцов с
соответствующей перенумерацией коэффициентов и неизвестных добиваются выполнения
условия:

, j = i+1,i+ 2, …, m;

т.е. осуществляется выбор первого главного
элемента. Переставляя уравнения так, чтобы в первом уравнении коэффициент a₁₁ был максимальным по модулю. Разделив
первую строку на главный элемент, как и прежде, исключают x₁ из
остальных уравнений. Затем для оставшихся столбцов и строк выбирают второй
главный элемент и т.д.

Рассмотрим применение метода Гаусса с выбором
главного элемента на примере следующей системы уравнений:

В первом уравнении коэффициент при =0, во втором = 1 и в третьем =
-2, т.е. максимальный по модулю коэффициент в третьем уравнении. Поэтому
переставим третье и первое уравнение:

Исключим из второго и третьего
уравнений с помощью первого. Во втором уравнении исключать не надо. Для
исключения из третьего уравнения умножим первое на 0.5 и сложим с третьим:

Рассмотрим второе и третье уравнения. Максимальный по модулю элемент при
в третьем.
Поэтому поместим его на место второго:

Исключим из третьего уравнения. Для
этого умножим второе на -0.5 и сложим с третьим:

Обратный ход: .

Проверка: 0.5*8+0=4,
-3+8-0=5, -2*(-3)+0=6.

Такая перестановка
уравнений необходима для того, чтобы уменьшить влияние ошибок округления на
конечный результат.

Часто возникает
необходимость в решении СЛАУ, матрицы которые являются слабо заполненными,
т.е. содержат много нулевых элементов. В то же время эти матрицы имеют определенную
структуру. Среди таких систем выделим системы с матрицами ленточной структуры,
в которых ненулевые элементы располагаются на главной диагонали и на нескольких
побочных диагоналях. Для решения систем с ленточными матрицами коэффициентов
вместо метода Гаусса можно использовать более эффективные методы. Например, метод
прогонки, который мы рассмотрим позже при решении краевой задачи для
обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

Итерационные методы решения линейных алгебраических систем

Метод простой итерации или метод Якоби

Напомним, что нам
требуется решить систему линейных уравнений, которая в матричном виде
записывается как:

,

где , , .

Предположим, что диагональные элементы матриц A исходной
системы не равны 0 (a_ii ≠ 0, i = 1, 2, …, n). Разрешим первое уравнение системы
относительно x₁, второе относительно x₂ и т.д. Получим
следующую эквивалентную систему, записанную в скалярном виде:

(1),

Теперь, задав нулевое приближение , по рекуррентным
соотношениям (1) можем выполнять итерационный процесс, а именно:

(2)

Аналогично
находятся следующие приближения , где в (2) вместо необходимо подставить .

Или в общем случае:

. (3)

или

Условие окончания итерационного
процесса .

Достаточное условие сходимости: Если выполнено условие диагонального преобладания,
т.е. , то итерационный процесс (3) сходится при любом
выборе начального приближения. Если исходная система уравнений не
удовлетворяет условию сходимости, то ее приводят к виду с диагональным
преобладанием.

Выбор начального приближения влияет на количество итераций, необходимых для
получения приближенного решения. Наиболее часто в качестве начального
приближения берут или
.

Замечание. Указанное выше условие сходимости
является достаточным, т.е. если оно выполняется, то процесс сходится. Однако
процесс может сходиться и при отсутствии диагонального преобладания, а может и
не сойтись.

Пример.

Решить
систему линейных уравнений с точностью :

Решение
прямыми методами, например, обратной матрицей, даёт решение:

.

Найдем
решение методом простой итерации. Проверяем условие диагонального преобладания:
, , .

Приводим
систему уравнений к виду (1):

.

Начальное
приближение .
Дальнейшие вычисления оформим в виде таблицы:

Здесь

,

И
т.д., пока не получим, в последнем столбце величину меньшую 0.01, что
произойдет на 13 – ой итерации.

Следовательно,
приближенное решение имеет вид:

Метод Гаусса – Зейделя

Расчетные
формулы имеют вид:

т.е. для подсчета i–й компоненты (k+1)–го приближения к искомому вектору используется уже
вычисленное на этом, т.е. (k+1)–м шаге, новые
значения первых i–1 компонент.

Подробные формулы имеют вид:

Достаточное условие сходимости этого метода такое же,
как и для метода простой итерации, т.е. диагональное преобладание:

Начальное приближение:

Найдем решение предыдущей системы уравнений методом
Гаусса – Зейделя.

Расчетные формулы:

Из таблицы
видно, что нужная точность достигнута уже на 5–ой итерации вместо 13–ой по
методу простой итерации и значения корней более близки к значениям, полученным
методом обратной матрицы.

Лекция Системы линейных алгебраических уравнений

    Скачать с Depositfiles 

Лекция № 2. Тема 2 : Системы линейных алгебраических уравнений

2.1. Правило Крамера

Рассмотрим систему трёх линейных алгебраических уравнений, когда число неизвестных равно числу уравнений, т.е. систему вида

  (1)

где   коэффициенты системы,   свободные члены ,   неизвестные.

Будем считать, что определитель системы, составленный из коэффи-циентов системы (главный определитель), отличен от нуля, т.е.

Предположим, что система (1) совместна, т.е. имеет решение. Тогда умножим первое уравнение системы на , второе – на , третье – на  и сложим полученные выражения

 (2)

Первое выражение в скобках в левой части полученного соотношения (2) представляет собой разложение главного определителя  системы по элементам первого столбца. Остальные выражения в скобках равны нулю, так как представляют собой разложение определителя, имеющего два одинаковых столбца (см. свойство 4). Например,

Тогда из выражения (2) получаем , где

Аналогично можно получить

  (3)

где

Определители  называются вспомогательными опреде-лителями системы (1).

Покажем теперь, что полученные значения неизвестных (3) на самом деле удовлетворяют системе уравнений (1).

Подставляя выражения (3) в систему (1), получим на примере первого уравнения

Аналогично можно показать и для двух оставшихся уравнений системы.

Таким образом, получаем следующий результат (правило Крамера).

Теорема. Система уравнений (1) с главным определителем  имеет единственное решение, определяемое по формулам

где определители  получаются из главного определителя  системы уравнений заменой соответствующего столбца на столбец свобод-ных членов.

Замечание 1. Для системы линейных однородных уравнений

 (4)

все  и тогда, если , то система (4) имеет единст-венное нулевое решение  Отсюда следует: если система (4) обладает ненулевым решением, то её определитель равен нулю.

Замечание 2. Если же главный определитель системы (1) , тогда возможны следующие два случая:

1. Система несовместна, если, по крайней мере, один из вспомога-тельных определителей отличен от нуля;

2. Если же все определители системы равны нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, что возможно из равенств

либо такая система несовместна, например, в системе уравнений

все определители равны нулю, но система несовместна, что следует из ее вида. В этом случае для решения системы уравнений более целесообразно применить метод Гаусса, который будет рассмотрен далее.

Замечание 3. Правило Крамера справедливо для любого числа уравнений системы, т.е. системы вида

Здесь, если  то 

Пример 1. Используя правило Крамера, решить систему уравнений

Здесь 

откуда получаем 

2.2. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)

Рассмотрим ту же систему уравнений (1). Пусть коэффициент , чего всегда можно достигнуть, переставляя уравнения системы или меняя нумерацию неизвестных. Первое уравнение системы (1) умножим на  и сложим со вторым. Затем первое уравнение умножим на  и сложим с третьим, тогда получим

  (5)

Здесь  новые значения коэффициентов, полу-ченные после таких преобразований. Пусть , чего можно достигнуть, переставляя два последних уравнения системы. В противном случае, т.е. когда , сразу определяем неизвестную z, или получаем несов-местную систему. При таком условии второе уравнение системы (5) умно-жим на  и сложим с третьим уравнением, тогда получим

  (6)

В системе уравнений (6)  новые значения коэффициентов и здесь возможны следующие случаи:

1.  Затем найденное значение z подставляем во второе уравнение системы (6) и определяем у. Из первого уравнения, уже зная у и z, находим х.

2.  а . Тогда система (6) решений не имеет, т.е. система несовместна.

3.  и . В этом случае система (6) принимает вид

 (7)

Число уравнений в системе (7) меньше числа неизвестных. Оставим два неизвестных слева, например, х и у, а z перенесем в правую часть системы уравнений (7) и будем считать его произвольным числом. Получим

  (8)

Из системы (8) х и у выражаются через z и система имеет беско-нечное множество решений.

Пример 2. Систему уравнений из примера 1 решить методом Гаусса

Первое уравнение умножим на 2 и сложим со вторым уравнением, затем первое уравнение сложим с третьим, получим

 или 

Второе уравнение умножим на 3 и сложим с третьим:

Из третьего уравнения получим, из второго  и из пер-вого уравнения 

Пример 3. Методом Гаусса решить систему однородных уравнений

Первое уравнение умножим на 2 и сложим со вторым, затем первое уравнение умножим на 3 и сложим с третьим, получим

откуда

Система имеет бесконечное множество решений. Поэтому в этом случае (см. замечание 1) определитель данной системы уравнений должен быть равен нулю. Проверьте!

    Скачать с Depositfiles 

Метод Жордана-Гаусса

Определение 1

Метод Жордана-Гаусса – это метод решения линейных уравнений путём полного исключения неизвестных. Данный метод является модификацией метода Гаусса, только в случае метода Жордана-Гаусса элементарные преобразования проводятся дальше.

История возникновения метода

Исторически метод Гаусса возник достаточно давно. Решение систем уравнений подобным способом было изложено ещё в древнем китайском математическом трактате под названием “Математика в девяти книгах”, представляющим собой разрозненное собрание решений различных прикладных математических задач.

Некоторые главы этого трактата датируются 150 г. до н.э.

В Европе же первым, кто занимался изучением этого метода, был Исаак Ньютон. Учёный изучил много книг по алгебре того времени и обнаружил, что ни в одной из них не предложено решений систем уравнений со множеством переменных, после чего он предложил свой способ решения.

Его работа на эту тему была опубликована в 1707 г., в это время Ньютон уже больше не работал в Кембридже. После этого в течение века метод появился во многих книгах и учебниках по алгебре.

В 1810 году известный немецкий учёный и математик К. Ф. Гаусс опубликовал свои дополнения к этому методу вместе с другими своими работами по линейной алгебре, после чего метод с получением верхней треугольной матрицы стал широко известен под его именем.

Затем в в конце XIX века геодезист и математик Жордан разработал на основе метода Гаусса свой усовершенствованный вариант с получением диагональной матрицы.

Примечательно, что он сделал это практически одновременно с другим учёным, тем не менее, в названии усовершенствованного метода отразилось только имя геодезиста Жордана.

Практическое применение метода Жордана-Гаусса

Метод Жордана и Гаусса используется для решения систем линейных уравнений, а также для получения обратных матриц и нахождения ранга матрицы.
Также этот метод весьма полезен и часто применяем для решения технических задач со множеством неизвестных.

Для решения получаемых на основе технических задач систем уравнений выделяют наибольшие по модулю переменные для уменьшения ошибки погрешности, а затем производят поочередное удаление лишних переменных из строчек матрицы.

Для решения технических задач методом Жордана-Гаусса также используются реализации на различных языках программирования, они позволяют получать более точные значения переменных.

Объяснение сущности метода Жордана-Гаусса

Обычно матрица, полученная с помощью метода Жордана-Гаусса выглядит как диагональ с единицами, вот например:

$A = \begin{array}{ccc|c} 1& 0 &0 &a_1 \\ 0& 1 &0 &a_2 \\ 0 & 0 & 1 &a_3 \end{array}$

Разница между методом Гаусса и методом Жордана-Гаусса состоит в том, что в случае метода Гаусса необходимо привести только нижнюю часть матрицы к нулям, тогда как в случае метода Жордана-Гаусса в каждой строчке матрицы остаётся лишь один коэффициент при переменной.

С помощью метода Гаусса можно найти базисное и общее решение системы уравнений, также как и с помощью метода Жордана-Гаусса.

Базисное решение системы уравнений – это решение, при котором все свободные переменные равны нулю.

Общее решение системы уравнений – это решение, при котором основные переменные выражаются через свободные переменные.

Также методом Жордана-Гаусса производят получение обратных матриц.

Получение обратной матрицы методом Жордана-Гаусса

Обратная матрица – это такая матрица, при умножении на которую из исходной матрицы получается единичная матрица. Обратные матрицы существуют только для квадратных и невырожденных матриц.

Сущность метода нахождения обратной матрицы состоит в том, чтобы записать рядом исходную матрицу и единичную, и затем, производить элементарные преобразования по методу Жордана-Гаусса одновременно к двум матрицам.

В результате мы получим диагональную единичную матрицу из исходной, а рядом с ней будет её обратная матрица, полученная из единичной матрицы.

Получение обратной матрицы методом Жордана-Гаусса.

Исходная матрица:

$\begin{array}{cc} 1& 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array}$

Запишем рядом единичную матрицу и исходную:

$ \begin{array}{cc|cc} 1& 2 & 1& 0\\ 3 & 4& 0 & 1 \\ \end{array}$

Теперь к нижней строчке прибавляем верхнюю строчку, умноженную на $-3$:

$ \begin{array}{cc|cc} 1& 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end{array}$

Прибавляем к верхней строчке нижнюю:

$ \begin{array}{cc|cc} 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end{array}$

Делим вторую строку на $-2$:

$ \begin{array}{cc|cc} 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & 1& 3/2 & -1/2 \\ \end{array}$

Обратной исходной будет следующая матрица:

$\begin{array}{cc} -2& 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{array}$

Чтобы решить СЛАУ методом Жордана-Гаусса, к матрице возможно применить те же элементарные преобразования, что и в случае решения методом Гаусса, а именно:

• умножение любой строчки на константу, отличную от нуля;
• вычитание или сложение двух любых строчек;
• перестановка любых двух строчек местами;
• удаление строчек, состоящих из одних нулей;
• удаление лишних строк, пропорциональных друг другу.

Соответственно, чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса-Жордана, необходимо выполнить ряд преобразований над получающейся после применения метода Гаусса матрицей.

Общий алгоритм решения системы уравнений методом Жордана-Гаусса

1. Выбирают строчку, в которой первый элемент имеет ненулевое значение максимально приближенное к единице и ставят её на место первой строки. Такой элемент называют также “разрешающим”
2. Приводят значение верхней левой ячейки к $1$ посредством деления или умножения всей верхней строки.
3. Из оставшихся строчек вычитают верхнюю строчку, помноженную на коэффициент, стоящий на первом месте в строчке, над которой ведутся преобразования.
4. Далее тоже самое проделывают необходимое количество раз с целью получения треугольной матрицы, в которой все элементы ниже главной диагонали, проходящей слева направо сверху вниз, равны нулю. Последовательность действий, описанных выше, называется прямым ходом преобразования матрицы.
5. После получения треугольной матрицы затем вычитают последнюю строку из предпоследней, помножив последнюю строку на элемент из предпоследней. На данном этапе в последней и предпоследней строке остаётся по одному коэффициенту. Эту операцию повторяют пока не дойдут до верха матрицы, получив диагональную матрицу. Эти действия носят название обратного хода преобразования матрицы.

Пример 1

Задача. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса-Жордана

$\begin{cases} 3x_1 + 2x_2 – 5x_3 = -1 \\ 2x_1 – x_2 + 3x_3 = 13 \\ x_1 + 2x_2 – x_3 = 9 \end{cases}$

Теперь запишем эту систему в виде расширенной матрицы:

$ \begin{array}{ccc|c} 3& 2 & -5 & -1\\ 2 & -1& 3 & 13 \\ 1 & 2 & -1 & 9 \\ \end{array}$

Путём элементарных преобразований методом Гаусса получим следующую матрицу:

$ \begin{array}{ccc|c} 1& 2 & -1 & 9\\ 0 & 1& -1 & 1 \\ 0 & 0& 1 & 4 \\ \end{array}$

Теперь начнём использовать обратный ход и преобразуем эту матрицу чтобы получить диагональ из единиц.

Сначала к средней и верхней строчкам необходимо добавить последнюю строчку, получается:

$ \begin{array}{ccc|c} 1& 2 & 0 & 13\\ 0 & 1& 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array}$

А теперь к верхней строчке прибавим среднюю, умноженную на $-2$:

$ \begin{array}{ccc|c} 1& 0 & 0 & 3\\ 0 & 1& 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array}$

Получаем следующую систему:

$\begin{cases} x_1 = 3 \\ x_2 = 5 \\ x_3 = 4 \end{cases}$

Пример 2

Решить систему линейных уравнений методом Жордана-Гаусса:

$\begin{cases} x_1 – 8x_2 + x_3 — 9x_4 = 6 \\ x_1 – 4x_2 – x_3 — 5x_4 = 2 \\ -3x_1 + 2x_2 + 8x_3 + 5x_4 = 4 \\ 5x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 12 \end{cases}$

Сначала запишем систему в матричном виде:

$ \begin{array}{cccc|c} 1& -8 & 1 & -9 & 6 \\ -1 & -4& -1 & -5 & 2 \\ -3 & 2 & 8 & 5 & 4 \\ 5& 2 & 2 & 3 & 12 \\ \end{array}$

Затем преобразуем до треугольной:

К самой верхней строчке прибавляем вторую строчку, домноженную на $-1$. К третьей строчке прибавляем утроенную самую верхнюю строчку, затем к последней строчке прибавляем самую верхнюю, помноженную на $-5$:

$ \begin{array}{cccc|c} 1& -8 & 1 & -9 & 6 \\ 0 & 4& -2 & 4 & -4 \\ 0 & -22 & 11 & -22 & 22 \\ 0& 42 & -3 & 48 & -18 \\ \end{array}$

Теперь вторую строчку необходимо поделить на $2$, третью строчку на на $11$, а самую нижнюю строку делим на 3:

$ \begin{array}{cccc|c} 1& -8 & 1 & -9 & 6 \\ 0 & 2& -1 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 1 & -2 & 2 \\ 0& 14 & -1 & 16 & -6 \\ \end{array}$

Удаляем третью строчку, так как она пропорциональна со второй. А к последней строке прибавляем вторую, предварительно домноженную на $-7$:

$ \begin{array}{cccc|c} 1& -8 & 1 & -9 & 6 \\ 0 & 2& -1 & 2 & -2 \\ 0& 0 & 6 & 2 & 8 \\ \end{array}$

Теперь сокращаем последнюю строчку с $2$:

$ \begin{array}{cccc|c} 1& -8 & 1 & -9 & 6 \\ 0 & 2& -1 & 2 & -2 \\ 0& 0 & 3 & 1 & 4 \\ \end{array}$

В полученной матрице количество строк и столбцов неодинаково, а значит, она имеет бесконечное множество решений.
Продолжаем дальнейшее преобразование системы, для этого необходимо в третьем столбце получить числа с равным модулем, поэтому сначала верхнюю строку умножаем на $-3$, а среднюю на $3$:

$ \begin{array}{cccc|c} -3& 24 & -3 & 27 & -18 \\ 0 & 6& -3 & 6 & -6 \\ 0& 0 & 3 & 1 & 4 \\ \end{array}$

Складываем поочередно первую строчку с третьей, а затем вторую с третьей:

$ \begin{array}{cccc|c} -3& 24 & 0 & 28 & -14 \\ 0 & 6 & 0 & 7 & -2 \\ 0& 0 & 3 & 1 & 4 \\ \end{array}$

Домножаем вторую строчку на $-4$ чтобы получить одинаковые по модулю числа во втором столбце нашей матрицы:

$ \begin{array}{cccc|c} -3& 24 & 0 & 28 & -14 \\ 0 & -24 & 0 & -28 & 8 \\ 0& 0 & 3 & 1 & 4 \\ \end{array}$

Складываем верхнюю строчку со второй:

$ \begin{array}{cccc|c} -3& 0 & 0 & 0 & -6 \\ 0 & -24 & 0 & -28 & 8 \\ 0& 0 & 3 & 1 & 4 \\ \end{array}$

Теперь необходимо разделить верхнюю строчку на $-3$, среднюю строчку на $-24$, а последнюю строчку нужно разделить на 3:

$ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 7/6 & -1/3 \\ 0& 0 & 1 & 1/3 & 4/3 \\ \end{array}$

Если переписать в виде системы, получим следующее:

$\begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 + \frac{7}{6}x_4 = -\frac{1}{3} \\ x_3 + \frac{1}{3}x_4 = \frac{4}{3} \\ \end{cases}$

А теперь просто выражаем базисные переменные:

$\begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 = -\frac{7}{6}x_4 — \frac{1}{3} \\ x_3 = -\frac{1}{3}x_4 + \frac{4}{3} \\ \end{cases}$

Данная система является общим решением уравнения.

страница не найдена — Williams College

Лекция: MIT OCW 18.06 SC Блок 1.2 Исключение с матрицами | Соломон Се | Основы линейной алгебры

Исключение — это метод КАЖДЫЙ программное обеспечение использует для решения линейных уравнений .

предварительные требования:

• Терминология (расширенная матрица, элементарная матрица, сводная диаграмма, исключение Гаусса…), включенная в это примечание.
• Устранение матрицы, просмотрите эту заметку.
• Устранение Гаусса, обзор в простой вики.

Хронология видео лекции | Ссылки

• Лекция | 0:00
• Сводки на выбывание и пример | 3:09
• Отказ метода устранения | 10:34
• Расширенная матрица | 14:50
• Операции удаления матриц | 19:24
• Строковые операции умножения матриц | 20:22
• Столбцовые операции умножения матриц | 21:43
• Элементарная матрица | 24:46
• Включите все шаги исключения в одну матрицу | 33:29

Чтобы выполнить операций со столбцами , матрица умножается справа.Для выполнения операций со строками матрица умножается слева.

Ниже приведен вектор-столбец , умноженный на матрицу 3x3 :

Результатом выше является матрица 3x1 , которая снова является вектором-столбцом . Потому что:

РЕЗУЛЬТАТОМ РАБОТЫ КОЛОННЫ ЯВЛЯЕТСЯ ЛИНЕЙНОЕ СОЧЕТАНИЕ КОЛОНН.

«МАТРИЦА ВРЕМЕНА КОЛОННА, ЭТО КОЛОННА.

Ниже приведен вектор-строка для умножения матрицы 3x3 :

Результатом выше является матрица 1x3 , которая снова является вектором строки . Потому что:

РЕЗУЛЬТАТОМ ЭТОЙ ОПЕРАЦИИ РЯДОВ ЯВЛЯЕТСЯ СОЧЕТАНИЕ РЯДОВ.

Также называется Матрица исключения .

Обратитесь к этому удивительному хорошему видео от Mathispower4u: Элементарные матрицы
Обратитесь к Mathispower4u: Запишите матрицу как продукт элементарных матриц

Проще говоря, элементарная матрица - это просто матрица идентичности с ТОЛЬКО ОДИН ЭЛЕМЕНТ ИЗМЕНЕН .

Элементарная матрица должна быть ТОЛЬКО ОДИН РЯД ОПЕРАЦИЯ от Идентификационной матрицы .

Приведенный выше пример представляет собой элементарную матрицу , которая изменяет только запись Строка-2 Столбец-1 , и мы хотели бы назвать ее E₂₁ матрицей , которая представляет элементарную матрицу, фиксирующую 2- 1 позиция .

Причина, по которой нам нужна элементарная матрица , заключается в применении каждого шага из Исключение линейных уравнений .
Это означает, что

ДЛЯ КАЖДОГО ОДНОГО ШАГА УСТРАНЕНИЯ НАМ НУЖНА ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТРИЦА.

Итак, для два шага исключения , мы могли бы представить его с помощью элементарных матриц , как показано ниже:

Объединение всех шагов исключения в ОДНУ МАТРИЦУ:

Матрица перестановок ДРУГОЙ ТИП ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТРИЦЫ , и используется только для переключения позиций элементов в матрице, без изменения каких-либо номеров.

Прочтите лекцию доктора Стрэнга.

Пример: Для переключите две СТРОКИ матрицы с помощью матрицы перестановок :

Пример: Для переключите две СТОЛБЦЫ матрицы с помощью матрицы перестановок :

—

Исключение Гаусса Джордана Путем поворота

Исключение Гаусса Джордана Путем поворота

Система линейных уравнений может
быть помещены в матричную форму. Каждый
уравнение становится строкой, и каждое
переменная становится столбцом.An
добавлен дополнительный столбец для
справа. Система
показаны линейные уравнения и результирующая матрица.

Система линейных уравнений …

 3x + 2y - 4z = 3
2х + 3у + 3z = 15
5x - 3y + z = 14 

становится расширенной матрицей …

Цель при решении системы уравнений состоит в том, чтобы по возможности преобразовать расширенную матрицу в сокращенную форму строки-эшелона.

Есть три элементарных операции со строками, которые вы можете использовать для размещения матрицы в
приведенная строчно-эшелонированная форма.

Каждое из требований сокращенной матрицы строка-эшелон может быть удовлетворено с использованием элементарной строки
операции.

• Если есть строка со всеми нулями, то она находится внизу матрицы.
  Поменяйте местами две строки матрицы, чтобы переместить строку со всеми нулями вниз.
• Первый ненулевой элемент любой строки — это единица.Этот элемент называется ведущим.
  Умножьте (разделите) строку на ненулевую константу, чтобы превратить первый ненулевой элемент в
  один.
• Первая строка любой строки находится справа от первой строки предыдущей строки.
  Умножьте строку на ненулевую константу и добавьте ее в другую строку, заменив эту строку. В
  Смысл этой элементарной операции со строками состоит в том, чтобы преобразовать числа в нули. Сделав
  числа под ведущими в ноль, это заставляет первый ненулевой элемент любой строки быть
  справа от ведущей предыдущей строки.
• Все элементы выше и ниже ведущего равны нулю.
  Умножьте строку на ненулевую константу и добавьте ее в другую строку, заменив эту строку. В
  Смысл этой элементарной операции со строками — преобразовать числа в ноль. Разница здесь в
  что вы очищаете (обнуляете) элементы выше ведущего, а не чуть ниже
  ведущий.

Что такое поворот?

Цель поворота — сделать элемент выше или ниже ведущего
в ноль.

«Поворотный элемент» или «сводный элемент» — это элемент в левой части матрицы.
что вы хотите
элементы сверху и снизу равны нулю.

Обычно это единица. Если вы найдете книгу, в которой упоминается поворот, они обычно
сказать вам, что вы должны повернуться на один. Если ограничиться тремя элементарными рядами
операций, то это верное утверждение.

Однако, если вы хотите объединить вторую и третью элементарные операции со строками, вы
придумать другую строковую операцию (не элементарную, но все еще действующую).

• Вы можете умножить строку на ненулевую константу и добавить ее к ненулевому кратному другому
  row, заменив эту строку.

И что? Если вам нужно повернуться на одном, то вам иногда придется использовать второй.
элементарная операция со строкой и разделите строку на ведущий элемент, чтобы превратить ее в единицу.
Деление приводит к дробям. Хотя дроби — ваши друзья, у вас меньше шансов ошибиться
если вы их не используете.

В чем прикол? Если вы не остановитесь на одном, вы, вероятно, столкнетесь с большими числами.Большинство
люди готовы работать с большими числами, чтобы избежать дробей.

Процесс поворота

Вращение работает, потому что общее кратное (не обязательно наименьшее
общее кратное) двух чисел всегда можно найти, умножив
два числа вместе. Возьмем предыдущий пример и
очистить первый столбец.

Полезные советы

• Хотя вам не нужно поворачиваться на одном, это очень желательно.Переход на единицу означает, что вы умножаете на 1 (что легко сделать).
• Поворот по главной диагонали — это хорошо, но не обязательно.
  Некоторым людям нравится начинать с левого верхнего угла и продвигаться вниз к
  Нижний правый.
• Пока вы выполняете поворот только один раз для каждой строки и столбца, столбцы, которые
  были очищены, останутся очищенными.
• Поскольку целью поворота является очистка столбца вращения, выбор
  столбец, в котором уже есть нули, экономит время, потому что у вас нет
  чтобы изменить строку, содержащую ноль.

Выбор оси

• Выберите столбец с наибольшим количеством нулей.
• Используйте строку или столбец только один раз
• Поверните на единицу, если возможно
• Ось по главной диагонали
• Никогда не поворачивайтесь на ноль
• Никогда не поворачивайте вправо

Поскольку в первом ряду никого нет, у нас есть два варианта: либо мы
первую строку делим на три и работаем с дробями, либо делаем поворот на
три и получите большие числа.Это вариант, который я собираюсь использовать. Я поверну
на тройку в R ₁ C ₁ . Обведите его как стержневой элемент. В зависимости от вашего браузера вы
элементы поворота могут быть обведены красным кружком или просто отмечены знаком * перед ним.

Идея состоит в том, чтобы превратить числа в рамке (желтые) в ноль.Использование комбинированного
рядная операция
(это не элементарная операция), это может сделать 3R ₂ —
2R ₁ → R ₂ и
3R ₃ — 5R ₁ → R ₃ .

Единственная строка, которая не изменяется, — это строка, содержащая элемент поворота (
3). Весь смысл процесса поворота состоит в том, чтобы обнулить значения в рамке.

Перепишите сводную строку и очистите (сделайте ноль) сводный столбец.

Для замены значений в строке 2 каждый новый элемент получается путем умножения
элемент, заменяемый во второй строке на 3 и вычитающий в 2 раза элемент в первой
строка из того же столбца, что и заменяемый элемент.

Чтобы выполнить поворот, приложите один палец к оси поворота (обведено
номер) и один палец на заменяемом элементе.
Умножьте эти два числа вместе. Теперь поместите один палец
на номере в рамке в той же строке, что и элемент, который вы
заменяя и другой палец в поворотном ряду и такой же
столбец как номер, который вы заменяете. Умножьте эти два
числа вместе. Возьмите продукт за шарнир и
вычесть произведение без оси.

Чтобы заменить 3 в R ₂ C ₂ , вы должны взять 3 (3) — 2 (2) = 9-4 = 5.

Чтобы заменить 3 в R ₂ C ₃ , вы должны взять 3 (3) — 2 (-4) = 9 +8 = 17.

Чтобы заменить 15 в R ₂ C ₄ , вы должны взять 3 (15) — 2 (3) = 45-6 = 39.

Чтобы заменить -3 в R ₃ C ₂ , вы должны взять 3 (-3) — 5 (2) = -9-10 = -19.

Чтобы заменить 1 в R ₃ C ₃ , вы должны взять 3 (1) — 5 (-4) = 3 + 20 = 23

Чтобы заменить 14 в R ₃ C ₄ , вы должны взять 3 (14) — 5 (3) = 42-15 = 27.

Вот как выглядит процесс.

Или, если убрать комментарии, матрица после первого поворота выглядит так.

Пришло время
повторить весь процесс.Мы проходим и выбираем другое место для поворота. Мы
хотел бы, чтобы он был на главной диагонали, с единицей или с нулями в столбце.
К сожалению, у нас не может быть ничего из этого. Но так как мы должны все умножить
другие числа у оси, мы хотим, чтобы она была маленькой, поэтому мы перейдем к
5 дюймов R ₂ C ₂ и очистите 2 и -19.

Начните с копирования вниз сводной строки (2-я строка) и очистки сводного столбца (2-я строка).
столбец).Ранее очищенные столбцы останутся очищенными.

Вот вычисления, чтобы найти следующее взаимодействие.Обратите особое внимание
в 3-ю строку, где мы вычитаем значение -19 раз. Поскольку мы вычитаем
отрицательный, я записал его как плюс 19.

И получившаяся матрица.

Обратите внимание, что все элементы в первой строке кратны 3 и все
элементы в последней строке кратны 438.Разделим, чтобы сократить ряды.

Это имело дополнительное преимущество, давая нам 1, именно там, где мы хотим, чтобы он был
вращаться.Итак, мы повернемся к 1 в R ₃ C ₃ и очистим -18 и 17. Обведите свою точку поворота и поместите остальные числа в рамку.
этот столбец очистить.

Скопируйте сводную строку и очистите сводный столбец.Ранее очищенные столбцы
останется очищенным до тех пор, пока вы не повернете строку или столбец дважды.

Обратите внимание, что каждый раз приходится выполнять меньше вычислений.Вот
расчеты для этой оси. Опять же, поскольку значение в сводном столбце в
первая строка -18, и мы вычитаем, я записал это как + 18.

И получившаяся матрица.

Обратите внимание, что первая и вторая строки кратны 5, поэтому мы можем уменьшить их
ряды.

И окончательный ответ: x = 3, y = 1 и z = 2.Вы также можете написать это как
упорядоченный триплет {(3,1,2)}.

Надеюсь, вы заметили, что когда я работал над этим примером, я не следовал подсказкам
Я дал. Это потому, что я хотел, чтобы вы увидели, что произойдет, если вы не повернетесь
на один. В исходной матрице был один на главной диагонали, и
Лучше было бы начать с этого.

Резюме

• Выбирайте поворотный элемент с умом.
• Выбор столбца с нулями означает меньший поворот.
• Выбор единицы в качестве точки поворота уменьшает числа, упрощает умножение и оставляет
  ненулевые элементы в очищенном столбце то же самое (без поворота)
• Поворот по главной диагонали означает, что вам не придется переключать строки, чтобы поместить матрицу в
  приведенная строчно-эшелонированная форма.
• Не поворачивайтесь на ноль.
• Не поворачивайте вправо.
• Используйте строку или столбец только один раз
• Возьмите продукт с шарниром за вычетом продукта без шарнира

Особые случаи

Если вы получите строку из всех нулей, кроме правой части, значит, у системы нет решения.

Если вы получаете строку со всеми нулями, а количество ненулевых строк меньше, чем количество
переменных, то система зависима, у вас будет много ответов, и вам нужно написать свой
ответ в параметрической форме.

Как решить линейные системы с помощью исключения Гаусса — Видео и стенограмма урока

Расширенная матрица

Помните, что матрица — это просто прямоугольный массив значений, помещенных в строки и столбцы. Сначала нам нужно превратить нашу линейную систему в матричную форму, превратив ее в расширенную матрицу.Расширенная матрица представляет собой комбинацию двух матриц. В нашем случае у нас есть матрица для коэффициентов левой части уравнения и еще одна матрица для правой части уравнения.

Напомним, что преобразование системы уравнений в матричную форму включает в себя выделение только коэффициентов вместе с их соответствующими знаками после их организации таким образом, что за членом x сначала следует член y , за которым следует член z , знак равенства, а затем константа.Мы можем использовать вертикальную линию или несколько точек на вертикальной линии, чтобы обозначить наш знак равенства. Наша линейная система уже организована должным образом, поэтому все, что нам нужно сделать, это выделить наши коэффициенты. В нашей первой строке будет 1, 1, 1, | а затем 5. Во второй строке 2, 0, -1, | и 4. В нашей третьей строке 0, 3, 1, | и 2. Наша матрица выглядит так:

Исключение Гаусса

Теперь мы можем использовать метод исключения Гаусса, чтобы помочь нам решить эту линейную систему.Исключение Гаусса — это манипулирование расширенной матрицей до тех пор, пока мы не получим матрицу, которая представляет левую часть уравнений в верхней треугольной форме . Это означает, что мы хотим, чтобы все нули находились ниже главной диагонали. Эта главная диагональ начинается в верхнем левом углу и заканчивается в правом нижнем углу матрицы коэффициентов. Другими словами, мы хотим манипулировать матрицей так, чтобы 2 во второй строке и 0 и 3 в третьей строке были равны 0.

Чтобы заменить эти числа на нули, мы будем использовать наши операции со строками матрицы.Чтобы превратить наши первые 2 в 0, мы умножаем нашу первую строку на -2, а затем добавляем ее ко второй строке, чтобы создать новую вторую строку. Получаем новую вторую строку 0, -2, -3, | и -6. Теперь, чтобы заменить 3 в третьей строке на 0, мы будем использовать эту новую вторую строку в сочетании с третьей строкой. Мы умножим вторую строку на 3 и прибавим ее к третьей строке, умноженной на 2. Мы получим новую третью строку из 0, 0, -7, | и -14.

Мы не переписывали первую строку, потому что нам не нужно менять это уравнение.Мы только умножили первую строку на 3, чтобы вычесть ее из второй строки. Помните, что в алгебре всякий раз, когда мы умножаем уравнение на любую константу, уравнение вообще не меняется; числа просто увеличиваются в несколько раз.

Теперь, когда у нас есть нули под главной диагональю, мы закончили с помощью исключения Гаусса. Теперь мы можем продолжить и решить нашу линейную систему.

Решение системы

Обратите внимание, как легко теперь решить эту проблему. Если мы выпишем наши линейные уравнения, мы получим x + y + z = 5, -2 y -3 z = -6 и -7 z = -14.Мы можем немедленно решить третье уравнение для z , чтобы получить z = -14 / -7 = 2. Затем мы можем заменить это значение на z во второе уравнение, чтобы найти следующую переменную, y . Получаем -2 y -3 (2) = -6. Это превращается в -2 y -6 = -6. Чтобы решить для y , мы прибавляем 6 к обеим сторонам и получаем -2 y = 0. Разделив обе стороны на -2, мы получаем y = 0. Итак, теперь у нас есть y = 0 и z = 2.Чтобы решить нашу последнюю переменную x , мы можем использовать наше самое первое уравнение. Подставляя эти два значения, мы получаем x + 0 + 2 = 5. Решая это для x , мы получаем x = 3. Итак, наш окончательный ответ: x = 3, y = 0, и z = 2. Мы также можем записать это в точечной форме, например: (3, 0, 2).

Резюме урока

Давайте рассмотрим то, что мы узнали. Мы узнали, что линейных систем представляют собой наборы линейных уравнений.Линейная система имеет такое же количество уравнений, как и переменных, поскольку нам нужно по одному уравнению для каждой переменной, чтобы решить такую ​​систему уравнений. В методе, о котором мы говорили в этом уроке, используется метод исключения Гаусса , метод решения системы уравнений, который включает в себя манипулирование матрицей так, чтобы все элементы ниже главной диагонали равнялись нулю. Верхний треугольник — это термин, используемый для описания матрицы, в которой все нули находятся ниже главной диагонали. Затем мы используем алгебру и подстановку, чтобы завершить решение нашей системы уравнений.

Результаты обучения

Завершение этого урока может подготовить вас к:

• Чтению определений линейных систем, расширенной матрицы и верхней треугольной формы
• Продемонстрировать использование метода исключения Гаусса для решения системы уравнений

Европейская летняя школа по квантовой химии

За исключением самодидактических целей,
Вам не разрешается использовать эти заметки без письменного согласия авторов.

Юрген Гаусс (Майнц)

Теория связанных кластеров

(3 лекции)

[

pdf 1/2

pdf 2/2

]

Единая справочная корреляционная обработка.Расширяемость по размеру и правильное масштабирование
энергии корреляции; качественный вид волновой функции. В
экспоненциальная формулировка; связанные и отключенные условия. SDCI и CCSD
модели; отношение к теории возмущений. Высшие возбуждения; итеративный и
неитерационные методы. Расширения к системам с открытой оболочкой. Примерно спаренный
кластерные методы и их родственники.

Трюгве Хельгакер (Осло)

Молекулярные свойства

(4 лекции)

[

pdf 1/3

pdf 2/3

pdf 3/3

]

Аналитический расчет молекулярных свойств с акцентом на первых и
свойства второго порядка.Вариационный лагранжиан для невариационных
модели электронной структуры. Правила 2n + 1 и 2n + 2. Молекулярные градиенты и
молекулярные гессианы. Молекулярная структура и частоты колебаний. В
электронный гамильтониан в электромагнитном поле. Калибровочная зависимость и Лондон
орбитали. Экранирование ЯМР и константы непрямого ядерного спин-спинового взаимодействия.
Оптимизация геометрии. Методы Ньютона и квазиньютона. Минима и седло
точки.

Вим Клоппер (Карлсруэ)

Базисные наборы, интегралы и методы SCF

(4 лекции)

[

pdf 1/4

pdf 2/4

pdf 3/4

pdf 4/4

]

Основные инструменты и методы строгой теории электронной структуры молекул,
фундаментальный для обработки молекулярных свойств.Электронный
Уравнение Шредингера. Детерминанты Слейтера и Хартри-Фока или
приближение самосогласованного поля (СКФ). Понятия закрытого и открытого
оболочечные состояния, молекулярные орбитали (МО) и спиновые орбитали, ограниченные и
неограниченные процедуры SCF, теорема Купманса и Бриллюэна. Вступление
разложения базисного набора (ЛКАО) МО и уравнений Рутана-Холла.
Методы вычисления интегралов по функциям Гаусса и прямые
SCF процедуры. Обсуждения последних событий.Пер-Оке Мальмквист (Лунд)

Математические инструменты в квантовой химии

(2 лекции)

[

pdf 1/4

pdf 2/4

pdf 3/4

pdf 4/4

]

Этот курс дает введение / повторение в базовой номенклатуре и
определения пространств и операторов, важных в квантовой химии, и
их свойства.Сходимость / расхождение рядов и итерационных процессов
анализируется. Современные методы решения задач на собственные значения описаны в
особенно для приложений CI, где размеры могут быть очень большими. По аналогии,
методы решения больших систем линейных и нелинейных уравнений:
представлен.

Бенедетта Меннуччи (Пиза)

Гибридные модели QM / классические модели в химии

(2 лекции)

[

pdf 1/2

pdf 2/2

]

Введение в моделирование эффектов растворителя.Атомистический против континуума
подходы. Гибридные квантово-механические и классические модели сольватации. Эффективный
Гамильтонианы и поле самосогласованных реакций. Сочетание растворителя
эффекты и электронная корреляция. Влияние растворителя на молекулярные свойства и
спектроскопии. Массовая и специфическая сольватация. Формирование и расслабление
возбужденные состояния сольватированных систем. Неравновесность и сольватохромизм.

Франк Низ (Мюльхайм)

Разработка алгоритма

(1 лекция)

[

pdf 1/1

]

Эффективная реализация квантово-химических уравнений.Что можно и чего нельзя делать в квантово-химическом программировании. Получение точных чисел наиболее эффективным способом по сравнению с эффективным получением приблизительных чисел

Методы аппроксимации

(1 лекция)

[

pdf 1/1

]

В лекции будет рассмотрен ряд методов аппроксимации, широко используемых в квантовой химии, и будут обсуждаться их преимущества и недостатки.Особое внимание будет уделено числовому пороговому значению и контролируемой точности. Кратко будут затронуты приложения к самосогласованному полю (Hartree-Fock & DFT), а также к MP2.

Локальная корреляция

(1 лекция)

[

pdf 1/1

]

Различные подходы к расчету динамической корреляционной энергии для больших молекул: инкрементальные методы, локальные схемы на основе доменов, парные естественные орбитальные подходы

Общие аспекты вычислительной химии

(1 лекция)

Проблемы проектирования, возникающие при планировании фактического исследования вычислительной химии.Стимул для размышлений о целях вычислительного исследования, а не набор «высеченных в камне» рецептов. Фактический пример

Джеппе Олсен (Орхус)

Многоконфигурационный подход

(3 лекции)

[

pdf 1/1

]

Почти вырождения в молекулярных системах: переходные состояния в химической
реакции, возбужденные состояния, молекулы с конкурирующими валентными структурами.Волновая функция MCSCF и выражение энергии. Многоконфигурационный SCF
уравнения. Методы Ньютона-Рафсона и супер-КИ. Полный и ограниченный
активные пространства. Различные типы волновых функций MCSCF. Возбужденные состояния и
переходные свойства. Многоконфигурационная теория возмущений второго порядка.
Конфигурация с несколькими ссылками Методы взаимодействия.

Введение в теорию отклика

(1 лекция)

[

pdf 1/1

]

Эта лекция дает краткое введение в функции ответа и их использование для
описывают свойства основного и возбужденного состояний.Функции ответа
вводятся как термины в расширении временного развития
математическое ожидание для гамильтониана, включая возмущение, зависящее от времени. Это
показано, что функция линейного отклика дает информацию о
энергии возбуждения и моменты переходов. Введена квазиэнергия и
равенство стационарности этой энергии и зависящей от времени
Обсуждается уравнение Шредингера, которое позволяет использовать
квазиэнергии для получения временной развертки приближенных волновых функций и
плотности.Краткий обзор различных моделей приблизительного отклика приведен ниже.
учитывая их вычислительную сложность и ограничения.

Тронд Сауэ (Тулуза)

Второе квантование

(2 лекции)

[

pdf 1/2

pdf 2/2

]

Формализм вторичного квантования дает альтернативное представление
квантовая механика, полезная для орбитальных моделей.Во второй
детерминанты Слейтера квантования представлены векторами чисел заполнения
в абстрактном векторном пространстве — пространстве Фока. Операторы представлены
линейные комбинации произведений операторов рождения и уничтожения. Использование
конечных базисных наборов приводит к отклонениям от обычных коммутаторов между
операторы.

Пример из практики: случай орбиталей

(1 лекция)

[

pdf 1/1

]

Эти лекции подчеркивают разницу между спектроскопическими и химическими орбиталями.Дэвид Тозер (Дарем)

Функциональная теория плотности

(3 лекции)

[

pdf 1/1

]

Функциональная теория плотности.Теорема Хоэнберга-Кона. Уравнения Кона-Шэма.
Функционал биржевой корреляции и потенциал биржевой корреляции.
Теория градиента для ДПФ. Функция локальной плотности Функциональная и более сложная
функционалы, включающие градиент плотности. Функционалы Ab Initio. ДПФ для
Возбужденные состояния.

Лукас Вишер (Амстердам)

Релятивистская квантовая химия

(3 лекции)

[

pdf 1/1

]

Основы релятивистских эффектов в электронной структуре атомов и
молекулы.Релятивистская теория многоэлектронных систем. Уравнение Дирака и
Уравнение Дирака-Кулона-Брейта. Преобразования уравнения Дирака к
двухкомпонентная форма. Эффективные основные потенциалы. Спин-орбитальная связь в
молекулы. Применение релятивистских методов в химии тяжелых элементов.

Питер Тейлор (Тяньцзинь)

Пример: все молекулы одинаковы!

(1 лекция)

[

pdf 1/1

]

Математически установлено, что при достаточно большом общем заряде ядра Z и при уменьшении межъядерного расстояния до нуля все нейтральные двухатомные молекулы имеют один и тот же главный член для точной энергии (в масштабированной системе единиц), и что это Томас-Ферми энергия.Далее, энергия Хартри-Фока показывает точно такое же поведение. Учитывая, что гамильтониан Борна-Оппенгеймера для двухатомной молекулы уже содержит примеры всех членов взаимодействия, которые могут появиться в многоатомном случае, двухатомный результат является общим молекулярным наблюдением. Кроме того, это верно, если речь идет об относительности. Итак, в этом смысле все молекулы одинаковы!

К сожалению, математика не дает количественной информации ни о «достаточно большом Z», ни о «уменьшении расстояния до нуля».Поэтому мы исследовали этот вопрос с помощью вычислений. Результаты могут вас удивить…

Как обычное исключение стало исключением по Гауссу

Abstract

Ньютон в заметках, которые он предпочел бы не видеть опубликованными, описал процесс решения совместных уравнений, который позже авторы применили конкретно к линейным уравнениям.Этот метод, который Эйлер не рекомендовал, который Лежандр назвал «обычным» и который Гаусс назвал «общим», теперь назван в честь Гаусса: «гауссовское» исключение. Имя Гаусса стало ассоциироваться с исключением из-за принятия профессиональными компьютерами специальной системы обозначений, которую Гаусс разработал для своих собственных вычислений методом наименьших квадратов. Обозначение позволило рассматривать исключение как последовательность арифметических операций, которые неоднократно оптимизировались для ручных вычислений и в конечном итоге описывались матрицами.

Zusammenfassung

In Aufzeichnungen, die Newton lieber nicht der Veröffentlichung preisgeben hätte, beschreibt er den Prozess für die Lösung von simultanen Gleichungen, den spätere Autoren Speziell fürt. Diese Methode — welche Euler nicht empfahl, welche Legendre «ordinaire» nannte, и welche Gauß «gewöhnlich» nannte — wird nun nach Gauß benannt: Gaußsches Eliminationsverfahren. Die Verbindung des Gaußschen Namens mit Elimination wurde dadurch hervorgebracht, dass Professionelle Rechner eine Notation übernahmen, die Gauß speziell für seine eigenen Berechnungen der kleinsten Quadrate ersonnen hatte, welche zuließranschindereisendereisse wurden und schließlich durch Matrizen beschrieben wurden.

2000 MSC

01-08

62J05

65-03

65F05

97-03

Ключевые слова

Алгебра до 1800

Метод исключения Гаусса

Человеческие компьютеры

Минимальное образование

Рекомендуемые статьи Цитирующие статьи (0)

Просмотр аннотации

Copyright © 2010 Elsevier Inc.

Рекомендуемые статьи

Цитирующие статьи

Лекция 5 — Политехнический институт Ренсселера (RPI) Устранение Гаусса-Джордана â € ¢ Систематическая процедура

.