Линейные уравнения с параметром 10 класс: Линейные уравнения с параметром. Анализ решений

Содержание

Линейные уравнения с параметром. Анализ решений

Рассмотрим линейные уравнения с параметром вида:
$$p(a)x-q(a)=0,$$
где \(p(a)\) и \(q(a)\)- выражения, которые зависят от параметра. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все \(x\) при всех значениях параметра \(a\). Приведем наше уравнение к виду:
$$p(a)x=q(a),$$
Отсюда единственное решение:

\(x=\frac{q(a)}{p(a)}\) при \(p(a)≠0.\)
Если же \(p(a)=0\) и \(q(a)=0\), то решением данного уравнения является любое число. И последний случай, когда \(p(a)=0\),а \(q(a)≠0\), то уравнение не имеет решений.
Замечу, что по некоторым уравнениям сразу невозможно определить, являются ли они линейными. Выполнив некоторые преобразования, вдруг обнаружим, что в уравнении отсутствуют члены с \(x\) в степени большей, чем 1. Если изначально у нас и были старшие степени, то теперь они сократились.
Мы провели анализ линейного уравнения в общем виде, теперь разберем несколько примеров:


Пример 1

Решить уравнение \(ax-5a=7x-3\) при всех возможных \(a\).2}{a}=5a.\) Этот корень не будет удовлетворять ОДЗ.

Ответ: При \(a=0\) решениями уравнения будут все действительные числа, кроме \(x=0.\) Если \(a≠0,\) то решений нет.

Линейные уравнения с параметрами и уравнения, приводимые к линейным

I введение

Тема “Решение и исследование уравнений с
параметрами” присутствует в материалах Единого
государственного экзамена. Не все выпускники
справляются с задачей, которую в школе “не
проходили”. Данная тема является одной из самых
трудных в курсе алгебры. Задачи с параметрами
рассматривают в школьном курсе пока крайне
редко, бессистемно, поэтому при решении таких
задач у учеников обычно возникают затруднения.
Совершенно очевидно, что к “встрече” с такими
задачами надо специально готовиться.

Данные задачи играют значительную роль в
формировании логического мышления и
математической культуры школьников, позволяют
проверить первоначальные навыки
исследовательской деятельности. Учащиеся,
владеющие методами решения задач с параметрами,
успешно справляются с другими задачами.

Известны различные типы уравнений и неравенств
с параметрами: дробно-рациональные,
иррациональные, тригонометрические,
показательные, логарифмические, степенные. Чаще
всего они сводятся к следующим четырём основным
видам:

  1. линейные уравнения с параметром,
  2. линейные неравенства с параметром,
  3. квадратичные уравнения с параметром,
  4. квадратичные неравенства с параметром.

Рассмотрим уравнение

Пусть,
тогда уравнение примет вид

Решим его:

 

Пусть ,
тогда уравнение примет вид , решением которого
является любое действительное значение .

Пусть ,
тогда уравнение примет вид . Решив его, получим, что . В этом
случае уравнение не имеет решения.

Следовательно, сам факт существования решения
зависит от значения параметра .

Определение. Исследовать и решить уравнение
с параметром это
значит :

— найти все системы значений параметров, при
которых данное уравнение имеет решение;

— найти все решения для каждой найденной
системы значений параметров, т.е. для
неизвестного и параметра должны быть указаны
свои области допустимых значений.

II  Простейшие линейные уравнения с
параметром

1.

Ответ:

при
корней нет,

при

2.

Ответ:

при
корней нет,

при

3.

Ответ:

при
корней нет,

при .

4.

Ответ:

при
корней нет,

при .

5.

Ответ:

при

при

6.

Ответ:

при

при

7.

Ответ:

при

при

8.

Ответ:

при

при

9.

Ответ:

если ,
то корней нет

если ,

если

10.

1)

2.

3.

Ответ:

при ,
корней нет

если ,

при

Таким образом, при решении линейных уравнений с
параметром сначала его нужно привести к виду,
удобному для исследования (стандартный
канонический вид линейного уравнения с
параметром), выполнив ряд преобразований, потом
следует определить контрольные значения
параметра, т.е. те значения, при которых
коэффициент при обращается в ноль. Эти значения
разбивают множество значений параметра на
несколько множеств, которые необходимо
исследовать.

III Линейные уравнения с параметром, имеющие
стандартный канонический вид

– стандартный канонический вид линейного
уравнения с параметром

Примеры:

1)

Ответ:

если

если

2)

Ответ:

при

при

при

3)

Ответ:

при

при

при

IV. Уравнения, приводимые к линейным
уравнениям с параметром

Схема решения уравнений, приводимых к линейным
:

  1. Указать и исключить все значения параметра и
    переменной, при которых уравнение теряет смысл
  2. Умножить обе части уравнения на общий
    знаменатель, не равный нулю
  3. Привести уравнение-следствие к виду и решить
    его
  4. Исключить значения параметра, когда найденный
    корень принимает значения, при которых уравнение
    теряет смысл
  5. Записать ответ

1.Примеры решений уравнений, содержащих
параметр в знаменателе:

1)

Умножим уравнение на :

Ответ:

при

при

при

2)

Умножим уравнение на :

Ответ:

при

при

при

2. Примеры решений уравнений, содержащих и
параметр и переменную в знаменателе

Умножим уравнение на :

Исключим те a, при которых :

Ответ:

при

при

при

Задачи с параметром. Линейные уравнения и их системы | Шевкин.Ru

Шевкин А.В. Задачи с параметром: Линейные уравнения и их системы. /Серия «Математика. Проверь себя». М.: ООО «Русское слово – учебная книга», 2003. – 32 с.


Дополнение. В газете «Математика» 9-10/2004 опубликована часть книги: весь теоретический материал и задания для самоконтроля. По этим материалам можно ознакомиться с содержанием книги. Задания самостоятельных работ аналогичны заданиям для самоконтроля.

Книга содержит 4 варианта самостоятельных работ по каждой из двух тем, вынесенных в название книжки. До выполнения самостоятельной работы учащиеся могут повторить основные приемы решения линейных уравнений с параметром и их систем,  выполнить работу для самоконтроля, с помощью которой можно проверить свою готовность к самостоятельной работе, исправив допущенные ошибки с помощью специальных указаний.

Предисловие для учителя

Дидактические материалы серии «Проверь себя» содержат задания для программированного самоконтроля и самостоятельные работы. В данной брошюре собраны материалы по темам, изучаемым в 9 классе:

  • Линейные уравнения с параметром,
  • Системы линейных уравнений с параметром.

Задачи с параметром являются наиболее сложными задачами вступительных экзаменов в вузы, поэтому познакомиться с некоторыми идеями их решения, освоить способы решения наиболее простых задач с параметром желательно как можно раньше.

Данная книжка адресована учащимся 8-9 классов, планирующим в будущем сдавать экзамен по математике при поступлении в вуз. Работая с нею, учащиеся могут на несложных примерах освоить идею решения задач с параметром, научиться решать несложные задачи и проверить свои умения с помощью имеющихся в книжке самостоятельных работ.

В книжке использованы несложные задачи конкурсных экзаменов в вузы, дающие представление о минимальных требованиях к умению решать задачи с параметром.

Идея задач с параметром разъяснена на примере линейных уравнений и их систем. Объяснение материала ведется подробно — от простого к сложному. При этом уделяется достаточно внимания предупреждению наиболее распространенных ошибок учащихся.

Таблица верных ответов приведена на с. 15-18, она изымается при проведении самостоятельных работ на отметку.

При работе с любой темой из данной брошюры учащиеся сначала должны повторить уже изученный материал, прочитав основные правила по этой теме и разобрав образцы их применения. Затем они должны выполнить задания для самоконтроля, к каждому из которых даны ответы. После ответов буквой указаны перечисленные ниже команды, с помощью которых происходит управление учебной деятельностью учащихся. В зависимости от того, какой ответ получен, дается указание «исправьте ошибку при вычислении дискриминанта» и т. п. или «верно, переходите к следующему заданию».

После того как задания для самоконтроля выполнены всеми учащимися класса, проводится самостоятельная работа, которую учащиеся выполняют на отдельных листах. При этом все решения записываются полностью.

Чтобы сразу после проведения работы учащиеся могли узнать свою предварительную отметку, они вписывают номера ответов, которые считают правильными, в специальную таблицу в правом верхнем углу своего листа и запоминают номера своих ответов. Например, так:


Петров И.

9 а класс  вариант 3

4    4

5    5

3    3

1    1

После сбора работ учитель сообщает номера верных ответов для каждого варианта и правило, по которому учащиеся могут вычислить свою отметку: за верно выполненные 4 задания ставится «5», каждый неверный ответ снижает отметку на 1 балл. Следует предупредить учащихся, что по этому правилу они узнают лишь предварительную отметку. Окончательная отметка выставляется после проверки работы учителем.

Двадцатилетний опыт применения такого способа проверки знаний и умений школьников в школе № 679 г. Москвы показывает, что в большинстве случаев предварительная отметка остается неизменной. В редких случаях она понижается, когда, например, учащийся указывает правильный ответ, не следующий из его решения. Еще реже итоговая отметка оказывается выше предварительной — если ученик получает правильный ответ, но неправильно указывает его номер.

Следует отметить, что учащимся нравится такой вид контроля, так как он предсказуем — объем самостоятельной работы и уровень ее сложности заранее известны — и есть возможность к ней подготовиться. 

Если учитель ведет рабочий журнал, то в нем сначала фиксируется факт выполнения учеником задания для самоконтроля, а после проверки самостоятельной работы отметка выставляется в колонку, соответствующую выполненному варианту работы. Отметка из рабочего журнала учителя переносится в классный журнал, что отмечается «галочкой» около перенесенной отметки в рабочем журнале. В случае необходимости учитель может дать ученику другой вариант работы для исправления отметки по теме.

 

Ниже приведены страницы 5-8 из книги, посвященные линейным уравнениям с параметром, Задания для самоконтроля. Четыре варианта заданий для самостоятельной работы аналогичны заданиям для самоконтроля. Аналогично построена работа и по второй теме.

§7 Уравнения и неравенства с параметрами



















1.

Линейное уравнение с параметром

2 вид — интерпретация

лёгкое

4 Б.

Определить при каких значениях параметра корень линейного уравнения равен 0 или уравнение не имеет корней.

2.

Уравнение с модулем и параметром

2 вид — интерпретация

лёгкое

7 Б.

Решение уравнения с модулем и параметром.

3.

Показательное уравнение с параметром

2 вид — интерпретация

лёгкое

2 Б.

Нахождение параметра.

4.

Неравенство с модулем и параметром

2 вид — интерпретация

лёгкое

7 Б.

Решение неравентво с модулем и параметром.

5.

Линейное уравнение с параметром (бесконечного множества решений нет)

1 вид — рецептивный

лёгкое

5 Б.

Решается линейное уравнение с параметром, в ходе решения которого определяется значение параметра, при котором есть единственное решение или нет решений. Бесконечного множества решений нет.

6.

Квадратичная функция с параметром

2 вид — интерпретация

среднее

2 Б.

Нахождение параметра.

7.

Линейное неравенство с параметром

2 вид — интерпретация

среднее

6 Б.

Решение линейного неравенства с параметром.

8.

Квадратичное неравенство с параметром

2 вид — интерпретация

среднее

7 Б.

Решение квадратичного неравенства с параметром.

9.

Неравенство n-ой степени с параметром

2 вид — интерпретация

среднее

3 Б.

Неравенство с параметром. Четная степень.

10.

Система линейных уравнений с параметром, вычисление параметра, если система не имеет решения

2 вид — интерпретация

среднее

1 Б.

Вычисление параметра, при котором система линейных уравнений не имеет решения.

11.

Система линейных уравнений с параметром, вычисление параметра, бесконечное множество решений

2 вид — интерпретация

среднее

3 Б.

Вычисление параметра, при котором система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений.

12.

Линейное уравнение с параметром (с разложением на множители)

2 вид — интерпретация

среднее

6 Б.

Предлагается решить линейное уравнение с параметром (с разложением на множители) или выражения при неизвестном в левой части, или выражения в правой части.

13.

Линейное уравнение с двумя параметрами

2 вид — интерпретация

среднее

8 Б.

Решение линейного уравнения с двумя параметрами.

14.

Расположение графика линейного уравнения в плоскости

3 вид — анализ

сложное

3 Б.

Анализируется расположение графика линейного уравнения в плоскости в зависимости от значения коэффициентов a, b и c.

15.

Определи значение параметра m

3 вид — анализ

сложное

3 Б.

В ходе решения уравнения определяется значение параметра m, при котором решением уравнения является заданная пара чисел.

16.

Наименьшее целочисленное значение параметра

3 вид — анализ

сложное

1 Б.

Определяется наименьшее целочисленное значение параметра, при котором уравнение имеет два корня.

17.

Линейное уравнение с параметром (с разложением квадратного трёхчлена)

2 вид — интерпретация

среднее

6 Б.

Предлагается решить линейное уравнение с параметром (с разложением на множители) или выражения при неизвестном в левой части, или выражения в правой части. Получается разложение на множители квадратного трёхчлена.

Решение линейных уравнений и неравенств с параметрами в 10 классе.

Урок в 10 классе

«Решение линейных уравнений и неравенств с параметрами».

Выполнила: Галстян Г.С.

Учитель математики МОУ «СОШ №11»

Воскресенск, 2017

Конспект урока в 10 классе

Тема урока: «Решение линейных уравнений и неравенств с параметрами».

Цель: — повторить, закрепить и привести в систему знания и умения решать линейные уравнения и неравенства с параметрами, полученные в 9 классе;

-развивать логическое мышление, математическую речь, интерес к изучению математики;

— воспитывать аккуратность. Взаимопонимание. (слайд 2)

Форма работы: фронтальная беседа, работа в парах.

Метод работы: — методы организации учебно-познавательной деятельности: наглядные, практические, исследовательские;

— методы стимулирования и мотивации учебно-познавательной деятельности: учебная дискуссия, эмоциональное воздействие;

-методы контроля: письменный, самопроверка.

Оборудование: проектор, карточки.

Литература: Учебник 10-11 класса «Алгебра и начала анализа 10-11» Мордкович А.Г. – изд. Мнемозина, 2012г, задачник 10-11 класса «Алгебра и начала анализа 10-11» Мордкович А.Г. – изд. Мнемозина, 2012г.

Ход урока.

I.Организационный момент.

II.Актуализация знаний.

У. Обычно в уравнении или неравенстве буквами обозначаются переменные.

У. Что значит решить уравнение или неравенство?

ОТВ. Решить уравнение или неравенство означает найти множество значений неизвестных, удовлетворяющих этому уравнению или неравенству.

У. Иногда уравнения и неравенства, кроме букв, обозначающих неизвестные, содержат другие буквы, называемые параметрами.

Определение. Переменная, значение которой на протяжении некоторого контекста остается фиксированным, называется параметром, по отношению к этому контексту. (слайд3)

Когда предлагают решить уравнение или неравенство с параметрами, тем самым указывают, что переменные, названные параметрами, должны рассматриваться как произвольные, но фиксированные коэффициенты.

Предавая параметрам разные числовые значения, получаем различные уравнения или неравенства, например, в линейном уравнении ax+b=0 или неравенстве ax+b≥0,

x- переменная, a и b- параметры.

При решении уравнений или неравенств надо сначала найти множество допустимых значений параметров, а затем разбить это множество на части, в каждом из которых ответ выражается функцией через параметры.

Определение. Множество значений параметра, при каждом из которых или существуют в области действительных чисел, называют областью допустимых значений параметра. (слайд 4)

Пример 1. Данное уравнение имеет смысл при

Пример 2.×x≤2a – имеет смысл при a ≥3.

Определение. Число называют допустимым значением переменной x, если f и g действительны при каждом допустимом значении параметра.

Определение. Областью определения неравенства (уравнения) множества всех допустимых значений x, при которых уравнение (неравенство) имеет смысл.

В примере 1. x , в примере 2. x.(слайд 5)

Вспомним решение линейных уравнений и неравенств с параметрами a и b.

1.ax=b, x.

  1. Если a – единственный корень.

  2. Если a=0, b=0, то 0x=0, — уравнение имеет множество корней.

  3. Если a=0, b0x=b – уравнение корней не имеет.

2. axb, x.

1.Если aнеравенство имеет множество решений. Если , то неравенство решений не имеет.

2. Если , то.

3. .

III. Закрепление теоретических навыков.

Решают у доски по карточкам.

№1. Решить уравнение относительно x.

3(2ax) = ax+1.

Решение:

  1. a =-3, уравнение корней не имеет;

  2. то .

Ответ: а) а= -3, уравнение корней не имеет; б) , то .

№2. Решить неравенство относительно x.

3(2ax) ax+1.

Решение:

  1. а;

  2. а

  3. а.

Для самостоятельного решения с последующей проверкой ответов.

  1. ах – 3=х+2. Ответ: а=1, нет корней; а.

  2. ах – 3 х +2. Ответ: а=1, нет решений; а1, х ; а1, х.(слайд 6)

IV.Исследовательская деятельность. (работа в парах)

Решите уравнение и неравенство с параметром задачник № 60.1; № 60,3; № 60.4(б).

60.1 При каких значениях параметра m уравнение mx – x + 1= :

а) имеет ровно один корень;

б) не имеет корней;

в) имеет более одного корня?

Решение:

mx – x + 1= ;

mx – x = – 1;

x (m – 1) = – 1;

а) m1, x=;

б) таких m нет;

в) m = 1, 0x = 0, х- любое число.

Ответ: а) m1, x=; б) таких m нет; в) m = 1, 0x = 0, х- любое число.

60.3 Решение уравнение (относительно х):

а) ; б)

Решение:

а) ;

;

(а – 2) (а + 2) х = ;

  1. а = 2, а — 2; 0х = 0, х – любое число.

  2. а = — 2, а = 2, а — 2, 0х = — 4, решений нет.

  3. а — 2, а 2, х = .

Ответ: а = 2, а — 2; 0х = 0, х – любое число; а = — 2, а = 2, а — 2, 0х = — 4, решений нет; а — 2, а 2, х = .

б) ;

Решение:

;

;

;

  1. а = — 1, а 0, 0х = 0, х – любое число;

  2. а 0, а — 1, х =, х = а;

  3. а =0, корней нет.

Ответ: а = — 1, а 0, 0х = 0, х – любое число; а 0, а — 1, х = а; а =0, корней нет.

60.4 (а) Решите неравенство (относительно х):

а) mx – x + 1.

Решение:

(mx – x)– 1;

(m – 1) x – 1;

  1. m = 1, 0x 0, х – любое число;

  2. m 1, m , x m +1;

  3. m 1, m 1, x m + 1.

Ответ: m = 1, 0x ≥ 0, х – любое число; m ≠ 1, m >1, x ≥ m +1; m ≠ 1, m < 1, x ≤ m + 1.

V. Итог.

Сегодня на уроке мы повторили решение линейных уравнений и неравенств с параметрами. На следующем уроке мы будем рассматривать решение квадратных уравнений и неравенств с параметрами.

VI. Домашнее задание. (слайд 7)

  1. Повторить решение квадратных уравнений и неравенств;

  2. Учебник с.383 параграф 60 (до примера 2) – прочитать;

  3. Задачник №60.2; № 60.4(б) решить.

Конспект урока математики на тему «Уравнения с параметрами»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

гимназия №3

г. Грязи Липецкой области

Элективный курс по математике

«Уравнения

с параметрами»

Выполнила:

Наумова Татьяна Ивановна

.

Г.Грязи

Пояснительная записка

Задачи с параметрами практически не представлены в школьном курсе математики. Между тем они часто встречаются на вступительных экзаменах в вузы, причем не только на математические специальности, но и на гуманитарные. Для решения задач с параметрами не требуется обладать знаниями, выходящими за рамки школьной программы. Однако непривычность формулировки обычно ставит в тупик учащихся, не имеющих опыта решения подобных задач.

Знакомство с параметрами в школьной алгебре полезно не только для поступления в вуз, но и само по себе.

Программа курса «Уравнения с параметрами» предполагает изучение таких вопросов, которые не входят в школьный курс математики основной школы.

Цели:

  1. Создание условий для самореализации учащихся в процесс учебной деятельности.

  2. Формирование у учащихся отчетливого представления о параметрических задачах и основных принципах их решения.

  3. Развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, обобщенных умственных умений.

Задачи:

— приобщить учащихся к работе с математической литературой;

— закрепление основ знаний об уравнениях;

— формирование умений не только производить какие-то выкладки по заученным правилам, но также и понимание цели выполняемых действий;

— вовлечение учащихся в игровую, коммуникативную, практическую деятельность как фактор личностного развития.

Курс предназначен для учащихся 8 — 9 классов, рассчитан на 18 часов аудиторного времени.

Включенный в программу материал представляет познавательный интерес для учащихся и может применяться для разных групп школьников вследствие своей обобщенности и практической направленности. Развертывание учебного материала четко структурировано и соответствует задачам курса.

Установление степени достижения учащимися промежуточных и итоговых результатов производится на каждом занятии благодаря использованию практикумов, самостоятельных работ, тестов, консультаций.

Фомой итоговой отчетности учащихся является контрольная работа.

Требования к уровню подготовки учащихся.

Учащиеся должны знать:

— что такое параметр и что означает решить уравнение с параметром;

— условия, при которых система линейных уравнений имеет единственное решение, бесконечно много решений, не имеет решений;

— основные формы и методы решения параметрических уравнений;

Учащиеся должны уметь:

— решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности;

— рассматривать различные случаи (и понимать, какие именно случаи нужно рассмотреть), при решении параметрических уравнений и неравенств;

— свободно оперировать аппаратом алгебры при решении параметрических уравнений и неравенств;

— решать линейные и квадратные уравнения с параметром;

— решать системы линейных уравнений с параметром.

Содержание учебного материала

  1. Введение. Постановка задач курса

  1. Линейные уравнения с параметрами

  1. Системы линейных уравнений с параметрами

  1. Дробно-линейные уравнения с параметрами

5. Квадратные уравнения с параметрами

  1. Условия на корни у квадратного уравнения

Тематическое планирование

Формы контроля:

  1. Контрольная работа в двух вариантах

  1. Тематические тесты

  1. Мини-доклады

  1. Проекты

Приложение к содержанию учебного материала

  1. Введение. Постановка задач курса

1.Что такое параметр?

Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

(Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи.)

Например: 2а (а –2) = а –2, где а – произвольное действительное число, т.е. параметр.

2. Что означает «решить задачу с параметром»?

Это зависит от вопроса в задаче.

Если требуется решить уравнение, неравенство и т. п., то это означает найти ответ для любого значения параметра.

Если надо найти значение параметра, при котором множество решений уравнения и т. д. удовлетворяет какому-то условию, то решение задачи состоит в поиске этих значений.

3. Основные типы задач с параметром.

Тип 1. Задачи, которые надо решить или для любого значения параметра, или для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Тип 2.Задачи, для которых требуется найти количество решений в зависимости от значений параметра.

Тип 3. Задачи, для которых надо найти все те значения параметра, при которых указанные задачи имеют заданное число решений.

Тип 4. Задачи, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

4. Основные методы решения задач с параметром.

Способ 1. Аналитический. Самый трудный, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им. Способ силового, прямого, «наглого» решения.

Способ 2. Графический. В зависимости от задачи рассматриваются графики или в координатной плоскости (х; у), или в координатной плоскости (х; а).

Графический способ применяют тогда, когда параметр присутствует в уравнении только в качестве слагаемого и не связан с переменной.

Способ 3. Решение относительно параметра. Переменные х и а принимаются равнозначными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных и заканчиваем решение.

План решения

Множество значений параметра разбиваем на подмножества, на которых происходит качественное изменение уравнения.

Для этого необходимо найти контрольные значения параметра. ( В дальнейшем будем обозначать К.З.)

  1. Линейные уравнения с параметрами

Уравнение вида ах – b = 0, где а, b – параметры, называется линейным уравнением относительно х. Оно приводится к виду ах = b.

К.З. находятся при обращении старшего коэффициента в 0.

1. 0х = 0 множество решений.

2. 0х = с корней нет.

3. kx = b единственное решение.

Решение примеров.

1) Для каждого значения параметра а найдите решение уравнения.

ах = 5.

Решение.

К.З: а = 0

Если а = 0, то 0х = 5 корней нет.

Если а  0, то х = один корень.

Ответ: при а  0 х = ; при а = 0 корней нет.

2) 2а (а –2)х = а – 2.

Решение.

К.З. 2а (а-2) = 0, а = 0, а = 2.

Ответ: При а = 0 0х = -2 корней нет.

При а = 2 0х = 0 множество корней.

При а ¹ 0, а ¹ 2 х = один корень.

3) (а2 – 9)х = а — 3.

Решение.

К.З. а = 3, а = -3

Ответ: При а = 3 0х = 0 множество решений.

При а = -3 0х = -6 корней нет.

При а ¹ 3, а ¹ -3 х = ; один корень.

2. Сколько корней имеет уравнение ах = 3а + 8 при указанных значениях параметра а: а = 10, а = -2, а =, а = 0.

Решение.

х = , О.Д.З. а  0.

Ответ: При а = 10, а = -2, а = один корень.

При а = 0 корней нет.

3. При каких значениях параметра а среди корней уравнения

2ах – 4х – а2 + 4а – 4 = 0 есть корни больше 1?

Решение.

(2а – 4)х = (а – 2)2 К.З. а = 2.

При а = 2 0х = 0 множество решений, в том числе и больше 1.

При а  2 х = . По условию х  1, значит > 1, а > 4.

Ответ: при а = 2; а Є (4; +).

К концу работы над темой школьники должны:

  1. Понимать необходимость учета наличия параметра.

  2. Уметь решать уравнения вида:

1) ах+2=5; 2) ах+2=5х; 3) ; 4) ах+6=2х+2а; 5) ; 6) (2х-3)(ах+4)=0; 7) а2х=х+2.

Задачи для самостоятельного решения.

Блок 1. Простейшие уравнения.

  1. Системы линейных уравнений с параметрами

1) Сколько решений, в зависимости от а, имеет система уравнений ?

2) При каких а система уравнений не имеет решений.

4. Дробно-линейные уравнения с параметрами

Уравнения вида P(X)/G(X) = 0.

К.З. находятся при обращении старшего коэффициента и знаменателя в 0.

1.Решить уравнение.

А). = 0.

Решение.

К.З. х  а.

х2 – 9 = 0, х = 3, х = -3.

Ответ: При а = 3 х = -3. При а = -3 х = 3. При а  3, а ¹ -3, х = 3,

х = -3.

Б). = 0. О.Д.З. х ¹ 2, х ¹ -2.

Решение.

(а – 1)х – 5 = 0. К.З. а = 1.

При а = 1 0х = 5, корней нет.

При а ¹ 1, х = ; ¹ 2, ¹ -2.

а ¹ 3,5 а ¹ -1,5.

Ответ: при а = 1; а = 3,5; а = -1,5. корней нет.

при а ¹ 1; а ¹ 3,5; а ¹ -1,5. один корень х = .

В). = 3.

Решение.

К.З. а = 0, х  2а.

Преобразуем уравнение а = 6а – 3х, х = .

При а =0 0 = 3 корней нет.

При а ¹ 0 х = , ¹ 2а, а ¹ 0.

Ответ: при а = 0 корней нет. При а ¹ 0 один корень х = .

Г). – х – 1 = а. О.Д.З. х 

Решение.

Преобразуем уравнение к виду ах = 2а + 1. К.З. а = 0.

При а = 0 0 = 1 корней нет.

При а  0 х = . Учтем О.Д.З.  1, а  -1.

Ответ: при а = 0, а = -1 решений нет.

При а  0, а  -1 один корень х = .

Д). при каких значениях а сократима дробь:

Решение.

.

Ответ: При а = -4; 3. дробь будет сократима.

Задачи для самостоятельного решения.

Блок 2. Дробно-рациональные уравнения.

5. Квадратные уравнения с параметрами

Уравнение вида ах2 + bx + c = 0, где a, b, c выражения, зависящие только от параметров, и а  0 называется квадратным уравнением относительно х.

К.З. находятся при обращении в 0 старшего коэффициента и дискриминанта.

Учащиеся повторяют задачи с параметром, которые решались в предыдущих темах, изучили тему «Квадратные уравнения», «Теорема Виета и ее применение».

Примеры заданий:

1) Найти все значения параметра а, при которых уравнение

ах2+(а+1)х+1=0

имеет единственное решение.

2) При каких а уравнение х2+2(а 2)х+а+3=0 имеет:

    1. хотя бы один положительный корень;

    2. хотя бы один отрицательный корень;

    3. один корень меньше 1, второй корень – больше 1;

    4. корни уравнения меньше 1;

    5. корни уравнения больше 1.

6. Условия на корни у квадратного уравнения

10 правил расположения корней квадратного трехчлена

Правило 1. Квадратное уравнение не имеет корней, если D  0.

Правило 2. Квадратное уравнение имеет два различных корня, если D  0.

Правило 3. Квадратное уравнение имеет два кратных корня, если D = 0.

Правило 4. Квадратное уравнение имеет два корня х1 М и х2 > М, если аf(М) 0. (корни разных знаков, если М = 0.)

Правило 5. Квадратное уравнение имеет два разных корня х1, х2  ()М, если D > 0, af(M)  0, х0 > () M. (оба положительные или оба отрицательные, если М = 0)

Правило 6. Квадратное уравнение имеет один корень внутри интервала (m;M), а другой вне этого интервала, если f(m) f(M) 0.

Y

 

m X1M X2X

Правило 7. Квадратное уравнение имеет единственное решение х1 = х2> М,

1 = х2 М), если D = 0, х0> M. ( D = 0, х0 M).

Y

M X0X

Правило 8. Квадратное уравнение имеет разные корни внутри интервала (m;M) или промежутка [m; M], если D > 0, af(m) > 0, af(M) > 0, m х0 M, или D > 0, af(m) ³ 0, af(M) ³ 0, m х0 M.

m X1X2M

Правило 9. Квадратное уравнение имеет корни вне интервала или промежутка, если af(m) 0, af(M) 0, или af(m) £ 0, af(M) £ 0.

 

X1 m M X2 X

Правило 10а. Квадратное уравнение имеет корни х1 m х2 M, если af(m) 0, af(M) > 0.

X1m X2M

  X

Правило 10б. Квадратное уравнение имеет корни m х1 M х2, если аf(m) > 0, af(M) 0.

  X

m X1M X2

Литература

  1. Л. Солуковцева. Линейные и дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами.– Москва: Чистые пруды, 2007.

  2. В. В. Амелькин, В. Л. Рабцевич. Задачи с параметрами: Справочное пособие по математике. – 2-е изд. – Минск: Асар, 2002.

  3. В. А. Гусев, А. Г. Мордкович. Математика: Справочные материалы. – Москва: Просвещение, 1988.

  4. Габович И. Г., Горнштейн П. И. Сколько корней имеет уравнение? \\ Квант. – 1985. – 3. с. 43-46.

  5. Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Необходимые условия в задачах с параметром. \\ Квант. – 1991. – 11. –с. 44-49.

  6. Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Задачи с параметром. М.: 1998. – 336 с.

  7. Дорофеев Г. В. Как расположены корни трехчленов? \\ Квант. – 1986. -7. с. 45-49.

Тема

Количество

часов

Форма

проведения

1

Введение. Постановка задач курса.

Параметр. Основные определения. Что такое параметр? Область определения уравнения с параметром. Что значит решить уравнение с параметром?

1

Лекция

2

Линейные уравнения с параметрами.

Методы решения линейных уравнений с параметром в общем виде.

2

Лекция, практикум

3

Системы линейных уравнений с параметрами.

Повторение основных методов решения систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений с параметром

4

1

3

Лекция,

практикумы

практикум

лекция,

практикумы

4

Дробно-линейные уравнения с параметрами.

Метод интервалов при решении дробно-линейного уравнения

Решение дробно-линейных уравнений с параметрами

4

1

3

Лекция,

практикум,

сам. работа (тест) практикум

лекция, практикум

тест

5

Квадратные уравнения с параметрами.

Методы решения квадратных уравнений с параметром в общем виде

2

Лекция, практикум

6

Условия на корни квадратного

уравнения

Неполные квадратные уравнения с параметром.

Задачи с параметром, решаемые с помощью теоремы Виета.

Знаки корней квадратного уравнения с параметром.

Расположение корней квадратного трёхчлена.

4

1

1

1

1

Лекции,

практикумы,

тесты

Контрольная работа

1

Контр. работа

задание

Ответ

1.

х – а = 0

при а Є R, x = a.

2.

5x = a

при а Є R, х =

3.

ах = 0

при а = 0, х Є R; при а ≠ 0, х = 0.

4.

(а – 1)х = 6

при а = 1 корней нет, при а ≠ 1, х =

5.

2ах = 1 — х

при а = — 0,5 корней нет, при а ≠ — 0,5 , х =

6.

3 – ах = х

при а = — 1 корней нет, при а ≠ — 1, х =

7.

ха2 = а + х

при а = ± 1 корней нет, при а ≠ ± 1, х =

8.

4а — а2х = 2ах

при а = 0, х Є R, при а = -2 корней нет, при других а

х =

9.

2 – 4)х = а2 + а — 6

при а = 2 х Є R, при а = -2 к.н., при других а

х =

10

2 — 9)х = 9а2 -10а -51

при а = 3 х Є R, при а = -3 к.н., при других а

х =

11.

2 -5а +6)х = а4 — 16

при а = 2, х Є R, при а ≠ 2 х = , при а = 3 к.н.

задание

Ответ

1.

= 0

при а = 1 к.н., при а ≠ 1, х = а.

2.

= 0

при а = 0 к.н., при а ≠ 0 х = 0.

3.

= 0

при а = 0 к.н., при а ≠ 0 х = 0.

4.

При каких а дробь сократима:

при а = 1; 64

5.

при а = -1; 4.

Уравнения с параметрами. — Математика

Файл к уроку

Решение уравнений с параметрами.

Не так давно 8 класс познакомился с квадратными уравнениями и алгоритмами их решения. Сегодня мы рассмотрим еще один вид уравнений, который часто встречается на олимпиадах и турнирах, и включен в ЕГЭ по профильной математике – это уравнения с параметром. Что такое параметр? Обычно это число, в зависимости от значения которого уравнение, будь оно линейным или квадратным, может иметь корни, а может их не иметь.

Задачи с параметрами считаются сложными ,однако если разобраться досконально, из каких шагов состоит путь к решению уравнения, то параметр уже не кажется такой злобной величиной.

Линейные уравнения с параметрами.

Уравнение вида

где a, b из Rx — переменная, называется уравнением первой степени (линейным уравнением).

Уравнение равносильно уравнению

ax = – b

откуда следует следующее утверждение.

  1. Если a ≠ 0, то уравнение имеет единственное решение x = – b/a;

  2. Если a = 0, b ≠ 0, то множество решений уравнения пусто;

  3. Если a = 0, b = 0, то любое действительное число является решением уравнения.

Решить уравнение с параметром – значит указать решение при всех значениях параметра, то есть фактически решить бесконечное множество уравнений, объединив их в одно по неким схожим зависимостям от параметра.

Пример 1. Решить уравнение: a2x – 1 = x + a.

Пример 2. Решить уравнение с параметром |6 – x| = a.

Решение.

Легко видеть, что здесь a ≥ 0.

По правилу модуля 6 – x = ±a, выразим х:

x = 6 ± a.

Ответ: х = 6 ± a, где a ≥ 0.

Пример 3. Решить уравнение x/a + 1 = а + х относительно переменной х.

Решение.

Если а = 0, то преобразуем уравнение к виду а + х = а2 + ах или (а – 1)х = —а(а – 1). Последнее уравнение при а = 1 имеет вид 0 · x = 0, следовательно, х – любое число.

Если а ≠ 1, то последнее уравнение примет вид х = —а.

Данное решение можно проиллюстрировать на координатной прямой (рис. 1)

Ответ: нет решений при а = 0; х – любое число при а = 1; х = —а при а ≠ 0 и а ≠ 1.

Пример 4. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней:

Графический метод

Рассмотрим еще один способ решения уравнений с параметром – графический. Этот метод применяется достаточно часто.

Пример 5. Сколько корней в зависимости от параметра a имеет уравнение ||x| – 2| = a?

Решение. Для решения графическим методом строим графики функций y = ||x| – 2| и y = a (рис. 2).

На чертеже наглядно видны возможные случаи расположения прямой y = a и количество корней в каждом из них.

Ответ: корней у уравнения не будет, если а a 2 и а = 0; три корня уравнение будет иметь в случае а = 2; четыре корня – при 0 a

Пример 6. При каком а уравнение 2|x| + |x – 1| = a имеет единственный корень?

Решение.

Изобразим графики функций  y = 2|x| + |x – 1| и y = a. Для  y = 2|x| + |x – 1|, раскрыв модули методом промежутков, получим:

      {-3x + 1, при x

y = {x + 1, при  0 ≤ x ≤ 1,

      {3x – 1, при x 1.

На рисунке 3 хорошо видно, что единственный корень уравнение будет иметь только при а = 1.

Ответ: а = 1.

Пример 7. При каких значениях параметра а неравенство имеет решением все действительные числа:

Системы линейных уравнений с параметрами.

– Система имеет единственное решение.

– Система имеет бесконечное множество решений.

– Система не имеет решений.

Пример 8. Для всех значений параметра а решить систему уравнений

Квадратичные уравнения с параметрами.

Решение уравнений второй степени сводится к исследованию поведения квадратного трехчлена, исследованию знака дискриминанта при различных значениях параметра. Часто при решении нам может помочь теорема Виета, когда вопрос стоит о корнях разных знаков, о корнях одного знака.

Квадратное уравнение может не иметь решений (Da=0 или D=0), два решения (D0) или бесконечное множество решений (когда при каком-то значении параметра получаем 0=0).

Пример 9. Решить уравнение в зависимости от параметра а:

Пример 10. При каких значениях корни уравнения положительны?

Пример 11. Найти значения параметра а, при которых среди корней уравнения имеется ровно один отрицательный:

Пример 12. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет два различных отрицательных корня:

Пример 13. При каких значениях m корни уравнения 4x² – (3m + 1) x m – 2 = 0 лежат в промежутке между –1 и 2?

Пример 14: Найти все значения параметра а, при которых меньший корень уравнения x² + (a + 1) x + 3 = 0 лежал в интервале (–1; 3)

Системы линейных уравнений: две переменные

Результаты обучения

  • Решайте системы уравнений путем построения графиков, подстановок и сложений.
  • Определите несовместимые системы уравнений, содержащие две переменные.
  • Выразите решение системы зависимых уравнений, содержащей две переменные, в стандартных обозначениях.

Производитель скейтбордов представляет новую линейку досок. Производитель отслеживает свои затраты, то есть сумму, которую он тратит на производство плат, и свой доход, который представляет собой сумму, которую он зарабатывает от продажи своих плат.Как компания может определить, получает ли она прибыль от своей новой линии? Сколько скейтбордов необходимо произвести и продать, чтобы можно было получить прибыль? В этом разделе мы рассмотрим линейные уравнения с двумя переменными, чтобы ответить на эти и подобные вопросы.

(Источник: Thomas Sørenes)

Введение в системные решения

Чтобы исследовать такие ситуации, как ситуация с производителем скейтборда, нам необходимо признать, что мы имеем дело с более чем одной переменной и, вероятно, более чем с одним уравнением.Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, составленных из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно. Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти числовое значение для каждой переменной в системе, которое будет удовлетворять всем уравнениям в системе одновременно. Некоторые линейные системы могут не иметь решения, а другие могут иметь бесконечное количество решений. Чтобы линейная система имела единственное решение, должно быть по крайней мере столько же уравнений, сколько переменных.Даже в этом случае это не гарантирует уникального решения.

В этом разделе мы рассмотрим системы линейных уравнений с двумя переменными, которые состоят из двух уравнений, содержащих две разные переменные. Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {align} 2x + y & = 15 \\ [1 мм] 3x-y & = 5 \ end {align} [/ latex]

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными — это любая упорядоченная пара, которая удовлетворяет каждому уравнению независимо.В этом примере упорядоченная пара [латекс] (4,7) [/ латекс] является решением системы линейных уравнений. Мы можем проверить решение, подставив значения в каждое уравнение, чтобы увидеть, удовлетворяет ли упорядоченная пара обоим уравнениям. Вскоре мы исследуем методы поиска такого решения, если оно существует.

[латекс] \ begin {align} 2 \ left (4 \ right) + \ left (7 \ right) & = 15 && \ text {True} \\ [1 мм] 3 \ left (4 \ right) — \ left (7 \ right) & = 5 && \ text {True} \ end {align} [/ latex]

Помимо учета количества уравнений и переменных, мы можем классифицировать системы линейных уравнений по количеству решений.Согласованная система уравнений имеет по меньшей мере одно решение. Согласованной системой считается независимая система , если она имеет единственное решение, такое как пример, который мы только что исследовали. Две линии имеют разные уклоны и пересекаются в одной точке на плоскости. Согласованной системой считается зависимая система , если уравнения имеют одинаковый наклон и одинаковые точки пересечения y . Другими словами, линии совпадают, поэтому уравнения представляют одну и ту же линию.Каждая точка на линии представляет пару координат, удовлетворяющую системе. Таким образом, существует бесконечное количество решений.

Другой тип системы линейных уравнений — это несовместимая система , в которой уравнения представляют собой две параллельные линии. Линии имеют одинаковый наклон и разные точки пересечения y- . Для обеих линий нет общих точек; следовательно, у системы нет решения.

Общее примечание: типы линейных систем

Есть три типа систем линейных уравнений с двумя переменными и три типа решений.

  • Независимая система имеет ровно одну пару решений [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex]. Точка пересечения двух линий — единственное решение.
  • Несогласованная система не имеет решения. Обратите внимание, что две линии параллельны и никогда не пересекутся.
  • Зависимая система имеет бесконечно много решений. Линии совпадают. Это одна и та же линия, поэтому каждая пара координат на линии является решением обоих уравнений.

Ниже приводится сравнение графических представлений каждого типа системы.

Как сделать: для данной системы линейных уравнений и упорядоченной пары определите, является ли упорядоченная пара решением.

  1. Подставьте упорядоченную пару в каждое уравнение системы.
  2. Определите, являются ли истинные утверждения результатом подстановки в обоих уравнениях; в таком случае заказанная пара является решением.

Пример: определение того, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений

Определите, является ли упорядоченная пара [латекс] \ left (5,1 \ right) [/ latex] решением данной системы уравнений.

[латекс] \ begin {align} x + 3y & = 8 \\ 2x-9 & = y \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Подставьте упорядоченную пару [латекс] \ left (5,1 \ right) [/ latex] в оба уравнения.

[латекс] \ begin {align} \ left (5 \ right) +3 \ left (1 \ right) & = 8 \\ [1mm] 8 & = 8 && \ text {True} \\ [3mm] 2 \ left (5 \ right) -9 & = \ left (1 \ right) \\ [1 мм] 1 & = 1 && \ text {True} \ end {align} [/ latex]

Упорядоченная пара [латекс] \ left (5,1 \ right) [/ latex] удовлетворяет обоим уравнениям, поэтому это решение системы.

Анализ решения

Мы можем ясно увидеть решение, построив график каждого уравнения. Поскольку решение представляет собой упорядоченную пару, удовлетворяющую обоим уравнениям, это точка на обеих прямых и, следовательно, точка пересечения двух прямых.

Попробуйте

Определите, является ли упорядоченная пара [латекс] \ left (8,5 \ right) [/ latex] решением следующей системы.

[латекс] \ begin {align} 5x-4y & = 20 \\ 2x + 1 & = 3y \ end {align} [/ latex]

Решение систем уравнений с помощью построения графиков

Существует несколько методов решения систем линейных уравнений.Для системы линейных уравнений с двумя переменными мы можем определить как тип системы, так и решение, построив систему уравнений на одном и том же наборе осей.

Пример: решение системы уравнений с двумя переменными с помощью построения графика

Решите следующую систему уравнений, построив график. Определите тип системы.

[латекс] \ begin {align} 2x + y & = — 8 \\ x-y & = — 1 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Решите первое уравнение для [латекс] y [/ латекс].

[латекс] \ begin {align} 2x + y & = — 8 \\ y & = — 2x-8 \ end {align} [/ latex]

Решите второе уравнение для [латекс] y [/ латекс].

[латекс] \ begin {align} x-y & = — 1 \\ y & = x + 1 \ end {align} [/ latex]

Изобразите оба уравнения на одном наборе осей:

Линии пересекаются в точке [латекс] \ влево (-3, -2 \ вправо) [/ латекс]. Мы можем убедиться, что это решение системы, подставив упорядоченную пару в оба уравнения.

[латекс] \ begin {align} 2 \ left (-3 \ right) + \ left (-2 \ right) & = — 8 \\ [1mm] -8 = -8 && \ text {True} \\ [ 3 мм] \ left (-3 \ right) — \ left (-2 \ right) & = — 1 \\ [1 мм] -1 & = — 1 && \ text {True} \ end {align} [/ latex]

Решением системы является упорядоченная пара [латекс] \ left (-3, -2 \ right) [/ latex], поэтому система независима.

Попробуйте

Решите следующую систему уравнений, построив график.

[латекс] \ begin {собрано} 2x — 5y = -25 \\ -4x + 5y = 35 \ end {собрано} [/ latex]

Показать решение

Решение системы — упорядоченная пара [латекс] \ слева (-5,3 \ справа) [/ латекс].

Вопросы и ответы

Можно ли использовать построение графиков, если система непоследовательна или зависима?

Да, в обоих случаях мы можем построить график системы для определения типа системы и решения.Если две линии параллельны, система не имеет решения и непоследовательна. Если две линии идентичны, система имеет бесконечное количество решений и является зависимой системой.

Попробуйте

Постройте три различных системы с помощью онлайн-графического инструмента. Отнесите каждое решение к категории непротиворечивых или непоследовательных. Если система непротиворечива, определите, является ли она зависимой или независимой. Возможно, вам будет проще построить каждую систему по отдельности, а затем очистить свои записи, прежде чем строить следующую.
1)
[латекс] 5x-3y = -19 [/ latex]
[латекс] x = 2y-1 [/ латекс]

2)
[латекс] 4x + y = 11 [/ latex]
[латекс] -2y = -25 + 8x [/ latex]

3)
[латекс] y = -3x + 6 [/ latex]
[латекс] — \ frac {1} {3} y + 2 = x [/ latex]

Показать решение

  1. Одно решение — последовательное, независимое
  2. Нет решений, непоследовательные, ни зависимые, ни независимые
  3. Множество решений — согласованные, зависимые

Решение систем уравнений подстановкой

Решение линейной системы с двумя переменными с помощью построения графиков хорошо работает, когда решение состоит из целых значений, но если наше решение содержит десятичные дроби или дроби, это не самый точный метод.Мы рассмотрим еще два метода решения системы линейных уравнений , которые более точны, чем построение графиков. Одним из таких методов является решение системы уравнений методом подстановки , в котором мы решаем одно из уравнений для одной переменной, а затем подставляем результат во второе уравнение, чтобы найти вторую переменную. Напомним, что мы можем решать только одну переменную за раз, поэтому метод подстановки является одновременно ценным и практичным.

Как сделать: дана система двух уравнений с двумя переменными, решите, используя метод подстановки.

  1. Решите одно из двух уравнений относительно одной из переменных через другую.
  2. Подставьте выражение для этой переменной во второе уравнение, затем найдите оставшуюся переменную.
  3. Подставьте это решение в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение первой переменной. Если возможно, запишите решение в виде упорядоченной пары.
  4. Проверьте решение в обоих уравнениях.

Пример: решение системы уравнений с двумя переменными подстановкой

Решите следующую систему уравнений путем подстановки.

[латекс] \ begin {align} -x + y & = — 5 \\ 2x-5y & = 1 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Сначала мы решим первое уравнение для [латекс] y [/ латекс].

[латекс] \ begin {align} -x + y & = — 5 \\ y & = x — 5 \ end {align} [/ latex]

Теперь мы можем заменить выражение [latex] x — 5 [/ latex] на [latex] y [/ latex] во втором уравнении.

[латекс] \ begin {align} 2x — 5y & = 1 \\ 2x — 5 \ left (x — 5 \ right) & = 1 \\ 2x — 5x + 25 & = 1 \\ -3x & = — 24 \\ x & = 8 \ end {align} [/ latex]

Теперь мы подставляем [latex] x = 8 [/ latex] в первое уравнение и решаем относительно [latex] y [/ latex].

[латекс] \ begin {align} — \ left (8 \ right) + y & = — 5 \\ y & = 3 \ end {align} [/ latex]

Наше решение — [латекс] \ left (8,3 \ right) [/ latex].

Проверьте решение, подставив [latex] \ left (8,3 \ right) [/ latex] в оба уравнения.

[латекс] \ begin {align} -x + y & = — 5 \\ — \ left (8 \ right) + \ left (3 \ right) & = — 5 && \ text {True} \\ [3mm] 2x — 5y & = 1 \\ 2 \ left (8 \ right) -5 \ left (3 \ right) & = 1 && \ text {True} \ end {align} [/ latex]

Попробуйте

Решите следующую систему уравнений путем подстановки.

[латекс] \ begin {align} x & = y + 3 \\ 4 & = 3x — 2y \ end {align} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ влево (-2, -5 \ вправо) [/ латекс]

Вопросы и ответы

Можно ли методом подстановки решить любую линейную систему с двумя переменными?

Да, но этот метод работает лучше всего, если одно из уравнений содержит коэффициент 1 или –1, чтобы нам не приходилось иметь дело с дробями.

Следующее видео длится ~ 10 минут и представляет собой мини-урок по использованию метода подстановки для решения системы линейных уравнений.Мы представляем три разных примера, а также используем инструмент построения графиков, чтобы подытожить решение для каждого примера.

Решение систем уравнений с двумя переменными методом сложения

Третий метод решения систем линейных уравнений — это метод сложения , этот метод также называется методом исключения . В этом методе мы складываем два члена с одинаковой переменной, но с противоположными коэффициентами, так что сумма равна нулю.Конечно, не все системы созданы с двумя членами одной переменной, имеющими противоположные коэффициенты. Часто нам приходится корректировать одно или оба уравнения умножением, чтобы одна переменная была исключена сложением.

Как: решить систему уравнений методом сложения.

  1. Запишите оба уравнения с переменными x и y слева от знака равенства и константами справа.
  2. Запишите одно уравнение над другим, выровняв соответствующие переменные.Если одна из переменных в верхнем уравнении имеет коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, сложите уравнения вместе, исключив одну переменную. Если нет, используйте умножение на ненулевое число, чтобы одна из переменных в верхнем уравнении имела коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, затем добавьте уравнения, чтобы исключить переменную.
  3. Решите полученное уравнение для оставшейся переменной.
  4. Подставьте это значение в одно из исходных уравнений и решите для второй переменной.
  5. Проверьте решение, подставив значения в другое уравнение.

Пример: решение системы методом сложения

Решите данную систему уравнений сложением.

[латекс] \ begin {align} x + 2y & = — 1 \\ -x + y & = 3 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Оба уравнения уже установлены равными константе. Обратите внимание, что коэффициент [латекс] x [/ латекс] во втором уравнении, –1, противоположен коэффициенту [латекс] x [/ латекс] в первом уравнении, 1.Мы можем сложить два уравнения, чтобы исключить [latex] x [/ latex] без умножения на константу.

[латекс] \ begin {align} x + 2y & = — 1 \\ -x + y & = 3 \\ \ hline 3y & = 2 \ end {align} [/ latex]

Теперь, когда мы удалили [latex] x [/ latex], мы можем решить полученное уравнение для [latex] y [/ latex].

[латекс] \ begin {align} 3y & = 2 \\ y & = \ dfrac {2} {3} \ end {align} [/ latex]

Затем мы подставляем это значение для [latex] y [/ latex] в одно из исходных уравнений и решаем для [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {align} -x + y & = 3 \\ -x + \ frac {2} {3} & = 3 \\ -x & = 3- \ frac {2} {3} \\ -x & = \ frac {7} {3} \\ x & = — \ frac {7} {3} \ end {align} [/ latex]

Решение этой системы — [латекс] \ left (- \ frac {7} {3}, \ frac {2} {3} \ right) [/ latex].

Проверьте решение в первом уравнении.

[латекс] \ begin {align} x + 2y & = — 1 \\ \ left (- \ frac {7} {3} \ right) +2 \ left (\ frac {2} {3} \ right) & = \\ — \ frac {7} {3} + \ frac {4} {3} & = \\ \ — \ frac {3} {3} & = \\ -1 & = — 1 && \ text {True} \ end {align} [/ латекс]

Анализ решения

Мы получаем важное представление о системах уравнений, глядя на графическое представление.Посмотрите на график ниже, чтобы увидеть, что уравнения пересекаются в решении. Нам не нужно спрашивать, может ли быть второе решение, потому что наблюдение за графиком подтверждает, что система имеет ровно одно решение.

Пример: использование метода сложения, когда требуется умножение одного уравнения

Решите данную систему уравнений методом сложения .

[латекс] \ begin {align} 3x + 5y & = — 11 \\ x — 2y & = 11 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Добавление этих уравнений в представленном виде не приведет к удалению переменной.Однако мы видим, что в первом уравнении есть [latex] 3x [/ latex], а во втором уравнении — [latex] x [/ latex]. Итак, если мы умножим второе уравнение на [latex] -3, \ text {} [/ latex], термины x прибавятся к нулю.

[латекс] \ begin {align} x — 2y & = 11 \\ -3 \ left (x — 2y \ right) & = — 3 \ left (11 \ right) && \ text {Умножаем обе стороны на} -3 \ \ -3x + 6y & = — 33 && \ text {Использовать свойство распределения}. \ end {align} [/ latex]

А теперь добавим их.

[латекс] \ begin {align} 3x + 5y & = — 11 \\ −3x + 6y & = — 33 \\ \ hline 11y & = — 44 \\ y & = — 4 \ end {align} [/ latex]

На последнем этапе мы подставляем [latex] y = -4 [/ latex] в одно из исходных уравнений и решаем относительно [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {align} 3x + 5y & = — 11 \\ 3x + 5 \ left (-4 \ right) & = — 11 \\ 3x — 20 & = — 11 \\ 3x & = 9 \\ x & = 3 \ end {align} [/ latex]

Наше решение — упорядоченная пара [латекс] \ left (3, -4 \ right) [/ latex]. Проверьте решение в исходном втором уравнении.

[латекс] \ begin {align} x — 2y & = 11 \\ \ left (3 \ right) -2 \ left (-4 \ right) & = 3 + 8 \\ & = 11 && \ text {True} \ конец {align} [/ latex]

Попробуйте

Решите систему уравнений сложением.

[латекс] \ begin {align} 2x — 7y & = 2 \\ 3x + y & = — 20 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ влево (-6, -2 \ вправо) [/ латекс]

Пример: использование метода сложения, когда требуется умножение обоих уравнений

Решите данную систему уравнений с двумя переменными сложением.

[латекс] \ begin {align} 2x + 3y & = — 16 \\ 5x — 10y & = 30 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Одно уравнение имеет [латекс] 2x [/ латекс], а другое — [латекс] 5x [/ латекс].Наименьшее общее кратное — [latex] 10x [/ latex], поэтому нам придется умножить оба уравнения на константу, чтобы исключить одну переменную. Давайте удалим [latex] x [/ latex], умножив первое уравнение на [latex] -5 [/ latex], а второе уравнение на [latex] 2 [/ latex].

[латекс] \ begin {align} -5 \ left (2x + 3y \ right) & = — 5 \ left (-16 \ right) \\ -10x — 15y & = 80 \\ [3 мм] 2 \ left (5x — 10y \ right) & = 2 \ left (30 \ right) \\ 10x — 20y & = 60 \ end {align} [/ latex]

Затем мы складываем два уравнения вместе.

[латекс] \ begin {align} -10x-15y & = 80 \\ 10x-20y & = 60 \\ \ hline -35y & = 140 \\ y & = — 4 \ end {align} [/ latex]

Подставьте [latex] y = -4 [/ latex] в исходное первое уравнение.

[латекс] \ begin {align} 2x + 3 \ left (-4 \ right) & = — 16 \\ 2x — 12 & = — 16 \\ 2x & = — 4 \\ x & = — 2 \ end {align} [ / латекс]

Решение: [латекс] \ left (-2, -4 \ right) [/ latex]. Проверьте это в другом уравнении.

[латекс] \ begin {align} 5x — 10y & = 30 \\ 5 \ left (-2 \ right) -10 \ left (-4 \ right) & = 30 \\ -10 + 40 & = 30 \\ 30 & = 30 \ end {align} [/ latex]

Пример: использование метода сложения в системах уравнений, содержащих дроби

Решите данную систему уравнений с двумя переменными сложением.

[латекс] \ begin {align} \ frac {x} {3} + \ frac {y} {6} & = 3 \\ [1 мм] \ frac {x} {2} — \ frac {y} {4 } & = 1 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Сначала очистите каждое уравнение от дробей, умножив обе части уравнения на наименьший общий знаменатель.

[латекс] \ begin {align} 6 \ left (\ frac {x} {3} + \ frac {y} {6} \ right) & = 6 \ left (3 \ right) \\ [1 мм] 2x + y & = 18 \\ [3 мм] 4 \ left (\ frac {x} {2} — \ frac {y} {4} \ right) & = 4 \ left (1 \ right) \\ [1 мм] 2x-y & = 4 \ end {align} [/ latex]

Теперь умножьте второе уравнение на [latex] -1 [/ latex], чтобы мы могли исключить x .

[латекс] \ begin {align} -1 \ left (2x-y \ right) & = — 1 \ left (4 \ right) \\ [1 мм] -2x + y & = — 4 \ end {align} [/ латекс]

Сложите два уравнения, чтобы исключить x , и решите полученное уравнение относительно y .

[латекс] \ begin {align} 2x + y & = 18 \\ −2x + y & = — 4 \\ \ hline 2y & = 14 \\ y & = 7 \ end {align} [/ latex]

Подставьте [латекс] y = 7 [/ латекс] в первое уравнение.

[латекс] \ begin {align} 2x + \ left (7 \ right) & = 18 \\ 2x & = 11 \\ x & = \ frac {11} {2} \\ & = 7.5 \ end {align} [/ latex]

Решение: [latex] \ left (\ frac {11} {2}, 7 \ right) [/ latex]. Проверьте это в другом уравнении.

[латекс] \ begin {align} \ frac {x} {2} — \ frac {y} {4} & = 1 \\ [1 мм] \ frac {\ frac {11} {2}} {2} — \ frac {7} {4} & = 1 \\ [1 мм] \ frac {11} {4} — \ frac {7} {4} & = 1 \\ [1 мм] \ frac {4} {4} & = 1 \ end {align} [/ latex]

Попробуйте

Решите систему уравнений сложением.

[латекс] \ begin {align} 2x + 3y & = 8 \\ 3x + 5y & = 10 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ влево (10, -4 \ вправо) [/ латекс]

В следующем видео мы представляем больше примеров того, как использовать метод сложения (исключения) для решения системы двух линейных уравнений.

Классифицируйте решения по системам

Теперь, когда у нас есть несколько методов решения систем уравнений, мы можем использовать эти методы для выявления несовместимых систем. Напомним, что несовместимая система состоит из параллельных линий, которые имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения [latex] y [/ latex]. Они никогда не пересекутся. При поиске решения несовместимой системы мы получим ложное утверждение, например [latex] 12 = 0 [/ latex].

Пример: решение несовместимой системы уравнений

Решите следующую систему уравнений.

[латекс] \ begin {gather} & x = 9 — 2y \\ & x + 2y = 13 \ end {gather} [/ latex]

Показать решение

Мы можем подойти к этой проблеме двумя способами. Поскольку одно уравнение для [латекс] x [/ латекс] уже решено, наиболее очевидным шагом является использование замены.

[латекс] \ begin {align} x + 2y & = 13 \\ \ left (9 — 2y \ right) + 2y & = 13 \\ 9 + 0y & = 13 \\ 9 & = 13 \ end {align} [/ latex]

Ясно, что это утверждение противоречит тому, что [латекс] 9 \ ne 13 [/ латекс].Следовательно, у системы нет решения.

Второй подход заключается в том, чтобы сначала манипулировать уравнениями так, чтобы они оба были в форме пересечения наклона. Мы манипулируем первым уравнением следующим образом.

[латекс] \ begin {gather} x = 9 — 2y \\ 2y = -x + 9 \\ y = — \ frac {1} {2} x + \ frac {9} {2} \ end {gather} [ / латекс]

Затем мы преобразуем второе уравнение в форму с пересечением наклона.

[латекс] \ begin {gather} x + 2y = 13 \\ 2y = -x + 13 \\ y = — \ frac {1} {2} x + \ frac {13} {2} \ end {gather} [ / латекс]

Сравнивая уравнения, мы видим, что они имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения y .Следовательно, линии параллельны и не пересекаются.

[латекс] \ begin {gather} y = — \ frac {1} {2} x + \ frac {9} {2} \\ y = — \ frac {1} {2} x + \ frac {13} {2 } \ end {gather} [/ latex]

Анализ решения

Запись уравнений в форме пересечения наклона подтверждает, что система несовместима, потому что все линии в конечном итоге будут пересекаться, если они не параллельны. Параллельные линии никогда не пересекаются; таким образом, у этих двух линий нет общих точек. Графики уравнений в этом примере показаны ниже.

Попробуйте

Решите следующую систему уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {gather} 2y — 2x = 2 \\ 2y — 2x = 6 \ end {gather} [/ latex]

Показать решение

Нет решения. Это противоречивая система.

Выражение решения системы зависимых уравнений, содержащих две переменные

Напомним, что зависимая система уравнений с двумя переменными — это система, в которой два уравнения представляют одну и ту же линию.Зависимые системы имеют бесконечное количество решений, потому что все точки на одной линии также находятся на другой линии. После использования замены или добавления результирующее уравнение будет идентичным, например [латекс] 0 = 0 [/ латекс].

Пример: поиск решения зависимой системы линейных уравнений

Найдите решение системы уравнений с помощью метода сложения .

[латекс] \ begin {собрано} x + 3y = 2 \\ 3x + 9y = 6 \ end {собрано} [/ latex]

Показать решение

С помощью метода сложения мы хотим исключить одну из переменных, добавив уравнения.В этом случае давайте сосредоточимся на удалении [латекс] х [/ латекс]. Если мы умножим обе части первого уравнения на [latex] -3 [/ latex], то мы сможем исключить переменную [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {align} x + 3y & = 2 \\ \ left (-3 \ right) \ left (x + 3y \ right) & = \ left (-3 \ right) \ left (2 \ right) \\ -3x — 9y & = — 6 \ end {align} [/ latex]

Теперь сложите уравнения.

[латекс] \ begin {align} −3x − 9y & = — 6 \\ + 3x + 9y & = 6 \\ \ hline 0 & = 0 \ end {align} [/ latex]

Мы видим, что будет бесконечное количество решений, удовлетворяющих обоим уравнениям.

Анализ решения

Если бы мы переписали оба уравнения в форме пересечения наклона, мы могли бы знать, как будет выглядеть решение перед добавлением. Давайте посмотрим, что происходит, когда мы преобразуем систему в форму с пересечением наклона.

[латекс] \ begin {align} \ begin {gather} x + 3y = 2 \\ 3y = -x + 2 \\ y = — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ конец {собрано} \ hspace {2cm} \ begin {gather} 3x + 9y = 6 \\ 9y = -3x + 6 \\ y = — \ frac {3} {9} x + \ frac {6} {9} \ \ y = — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ end {gather} \ end {align} [/ latex]

Посмотрите на график ниже.Обратите внимание, что результаты такие же. Общее решение системы — [латекс] \ left (x, — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ right) [/ latex].

Написание общего решения

В предыдущем примере мы представили анализ решения следующей системы уравнений:

[латекс] \ begin {собрано} x + 3y = 2 \\ 3x + 9y = 6 \ end {собрано} [/ latex]

После небольшой алгебры мы обнаружили, что эти два уравнения в точности совпадают. Затем мы записали общее решение как [latex] \ left (x, — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ right) [/ latex].Зачем нам писать решение именно так? В некотором смысле это представление о многом говорит нам. Он говорит нам, что x может быть любым, x x . Это также говорит нам, что y будет зависеть от x , точно так же, как когда мы пишем правило функции. В этом случае, в зависимости от того, что вы указали для x , y будет определено в терминах x как [латекс] — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} [ /латекс].

Другими словами, существует бесконечно много пар ( x , y ), которые удовлетворяют этой системе уравнений, и все они попадают на линию [латекс] f (x) — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} [/ латекс].

Попробуйте

Решите следующую систему уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {собрано} y — 2x = 5 \\ -3y + 6x = -15 \ end {собрано} [/ latex]

Показать решение

Система является зависимой, поэтому существует бесконечно много решений вида [латекс] \ left (x, 2x + 5 \ right) [/ latex].

Использование систем уравнений для исследования прибыли

Используя то, что мы узнали о системах уравнений, мы можем вернуться к проблеме производства скейтбордов в начале раздела.Функция дохода производителя скейтбордов — это функция, используемая для расчета суммы денег, которая поступает в бизнес. Это может быть представлено уравнением [латекс] R = xp [/ latex], где [latex] x = [/ latex] количество и [latex] p = [/ latex] цена. Функция дохода показана оранжевым цветом на графике ниже.

Функция затрат — это функция, используемая для расчета затрат на ведение бизнеса. Он включает постоянные затраты, такие как аренда и заработная плата, и переменные затраты, такие как коммунальные услуги.Функция стоимости показана синим цветом на графике ниже. Ось x представляет количество в сотнях единиц. Ось y представляет собой стоимость или доход в сотнях долларов.

Точка пересечения двух линий называется точкой безубыточности . Из графика видно, что если произведено 700 единиц, стоимость составит 3300 долларов, а выручка также составит 3300 долларов. Другими словами, компания сломается, даже если произведет и продаст 700 единиц. Они не зарабатывают и не теряют деньги.

Заштрихованная область справа от точки безубыточности представляет объемы, от которых компания получает прибыль. Заштрихованная область слева представляет объемы, по которым компания терпит убытки. Функция прибыли — это функция дохода за вычетом функции затрат, записываемая как [латекс] P \ left (x \ right) = R \ left (x \ right) -C \ left (x \ right) [/ latex]. Очевидно, что знание количества, при котором затраты равны выручке, имеет большое значение для бизнеса.

Пример: определение точки безубыточности и функции прибыли с помощью замещения

Дана функция стоимости [латекс] C \ left (x \ right) = 0.85x + 35 {,} 000 [/ latex] и функция дохода [latex] R \ left (x \ right) = 1,55x [/ latex], найдите точку безубыточности и функцию прибыли.

Показать решение

Напишите систему уравнений, используя [latex] y [/ latex], чтобы заменить обозначение функции.

[латекс] \ begin {align} y & = 0,85x + 35 {,} 000 \\ y & = 1,55x \ end {align} [/ latex]

Подставьте выражение [latex] 0.85x + 35 {,} 000 [/ latex] из первого уравнения во второе уравнение и решите относительно [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {собрано} 0.85x + 35 {,} 000 = 1,55x \\ 35 {,} 000 = 0,7x \\ 50 {,} 000 = x \ end {в собранном виде} [/ latex]

Затем мы подставляем [латекс] x = 50 {,} 000 [/ latex] либо в функцию затрат, либо в функцию дохода.

[латекс] 1,55 \ слева (50 {,} 000 \ справа) = 77 {,} 500 [/ латекс]

Точка безубыточности — [латекс] \ left (50 {,} 000,77 {,} 500 \ right) [/ latex].

Функция прибыли находится по формуле [латекс] P \ left (x \ right) = R \ left (x \ right) -C \ left (x \ right) [/ latex].

[латекс] \ begin {align} P \ left (x \ right) & = 1.55x- \ left (0,85x + 35 {,} 000 \ right) \\ & = 0,7x — 35 {,} 000 \ end {align} [/ latex]

Функция прибыли [латекс] P \ left (x \ right) = 0,7x — 35 {,} 000 [/ latex].

Анализ решения

Стоимость производства 50 000 единиц составляет 77 500 долларов США, а выручка от продажи 50 000 единиц также составляет 77 500 долларов США. Чтобы получить прибыль, бизнес должен произвести и продать более 50 000 единиц.

Как видно из графика ниже, функция прибыли имеет отрицательное значение до тех пор, пока [latex] x = 50 {,} 000 [/ latex] не пересечет ось x .Затем график переходит в положительные значения y и продолжает движение по этому пути, поскольку функция прибыли представляет собой прямую линию. Это показывает, что точка безубыточности для предприятий наступает, когда функция прибыли равна 0. Область слева от точки безубыточности представляет работу с убытками.

Написание системы линейных уравнений для ситуации

Редко можно получить уравнения, которые четко моделируют поведение, с которым вы сталкиваетесь в бизнесе, скорее, вы, скорее всего, столкнетесь с ситуацией, для которой вы знаете ключевую информацию, как в приведенном выше примере.Ниже мы суммируем три ключевых фактора, которые помогут вам преобразовать ситуацию в систему.

Как сделать: в ситуации, которая представляет собой систему линейных уравнений, напишите систему уравнений и найдите решение.

  1. Определите входные и выходные данные каждой линейной модели.
  2. Определите наклон и пересечение y каждой линейной модели.
  3. Найдите решение, установив две линейные функции равными другой и решив для x , или найдите точку пересечения на графике.

А теперь давайте попробуем применить эти ключевые факторы на практике. В следующем примере мы определяем, сколько разных типов билетов продано, учитывая информацию об общей выручке и количестве билетов, проданных на мероприятие.

Пример: запись и решение системы уравнений с двумя переменными

Стоимость билета в цирк составляет 25 долларов для детей и 50 долларов для взрослых. В определенный день посещаемость цирка составляет 2000 человек, а общий доход от ворот составляет 70 000 долларов.Сколько детей и сколько взрослых купили билеты?

Показать решение

Пусть c = количество детей и a = количество взрослых, посещающих школу.

Общее количество человек — 2000 человек. Мы можем использовать это, чтобы написать уравнение количества людей в цирке в тот день.

[латекс] c + a = 2 {,} 000 [/ латекс]

Доход от всех детей можно найти, умножив 25 долларов США на количество детей, [латекс] 25c [/ латекс]. Доход от всех взрослых можно найти, умножив 50 долларов.00 по количеству взрослых, [латекс] 50а [/ латекс]. Общий доход составляет 70 000 долларов. Мы можем использовать это, чтобы написать уравнение дохода.

[латекс] 25c + 50a = 70 {,} 000 [/ латекс]

Теперь у нас есть система линейных уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {gather} c + a = 2,000 \\ 25c + 50a = 70 {,} 000 \ end {gather} [/ latex]

В первом уравнении коэффициент обеих переменных равен 1. Мы можем быстро решить первое уравнение для [латекса] c [/ латекса] или [латекса] a [/ латекса].Решим за [латекс] [/ latex].

[латекс] \ begin {gather} c + a = 2 {,} 000 \\ a = 2 {,} 000-c \ end {gather} [/ latex]

Подставьте выражение [latex] 2 {,} 000-c [/ latex] во второе уравнение для [latex] a [/ latex] и решите для [latex] c [/ latex].

[латекс] \ begin {align} 25c + 50 \ left (2 {,} 000-c \ right) & = 70 {,} 000 \\ 25c + 100 {,} 000 — 50c & = 70 {,} 000 \ \ -25c & = — 30 {,} 000 \\ c & = 1 {,} 200 \ end {align} [/ latex]

Подставьте [latex] c = 1 {,} 200 [/ latex] в первое уравнение для решения относительно [latex] a [/ latex].

[латекс] \ begin {align} 1 {,} 200 + a & = 2 {,} 000 \\ a & = 800 \ end {align} [/ latex]

Мы обнаружили, что 1200 детей и 800 взрослых купили билеты в цирк в тот день.

Попробуйте

Билеты в цирк стоят 4 доллара для детей и 12 долларов для взрослых. Если было куплено 1650 билетов на питание на общую сумму 14 200 долларов, сколько детей и сколько взрослых купили билеты на питание?

Иногда система уравнений может помочь в принятии решения. В следующем примере мы помогаем ответить на вопрос: «Какая компания по аренде грузовиков предоставит наилучшую стоимость?»

Пример: построение системы линейных моделей для выбора компании по аренде грузовиков

Jamal выбирает между двумя компаниями по аренде грузовиков.Первый, Keep on Trucking, Inc., взимает предоплату в размере 20 долларов, затем 59 центов за милю. Второй, Move It Your Way, требует предоплаты в размере 16 долларов США, затем 63 цента за милю. Когда компания Keep on Trucking, Inc. станет лучшим выбором для компании Jamal?

Показать решение

Двумя важными величинами в этой задаче являются стоимость и количество пройденных миль. Поскольку нам нужно рассмотреть две компании, мы определим две функции.

Ввод d , пройденное расстояние в милях
Выходы K ( d ): стоимость в долларах для аренды у Keep on Trucking M ( d ) стоимость в долларах для аренды у Move It Your Way
Начальное значение Авансовый платеж: K (0) = 20 и M (0) = 16
Скорость изменения K ( d ) = 0 руб.59 за милю и P ( d ) = 0,63 доллара за милю

Линейная функция имеет вид [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex]. Используя скорости изменения и начальные расходы, мы можем записать уравнения

[латекс] \ begin {align} K \ left (d \ right) = 0,59d + 20 \\ M \ left (d \ right) = 0,63d + 16 \ end {align} [/ latex]

Используя эти уравнения, мы можем определить, когда Keep on Trucking, Inc. будет лучшим выбором. Поскольку все, что нам нужно сделать, это затраты, мы ищем, когда Move It Your Way будет стоить меньше, или когда [латекс] K \ left (d \ right)

Эти графики схематически изображены выше, при этом K ( d ) выделены синим цветом.

Чтобы найти пересечение, приравняем уравнения и решим:

[латекс] \ begin {align} K \ left (d \ right) & = M \ left (d \ right) \\ 0,59d + 20 & = 0,63d + 16 \\ 4 & = 0,04d \\ 100 & = d \ \ d & = 100 \ end {align} [/ latex]

Это говорит нам о том, что расходы двух компаний будут одинаковыми, если проехать 100 миль.Либо посмотрев на график, либо отметив, что [латекс] K \ left (d \ right) [/ latex] растет медленнее, мы можем сделать вывод, что Keep on Trucking, Inc. будет дешевле, когда больше, чем Проехано 100 миль, то есть [латекс] d> 100 [/ латекс].

Приложения для систем кажутся почти бесконечными, но мы просто покажем еще одно. В следующем примере мы определяем количество 80% раствора метана, которое нужно добавить к 50% раствору, чтобы получить окончательный раствор 60%.

Пример: решение проблемы химической смеси

У химика есть 70 мл 50% раствора метана.Сколько 80% раствора она должна добавить, чтобы окончательный раствор состоял из 60% метана?

Показать решение

Мы воспользуемся следующей таблицей, чтобы помочь нам решить эту проблему со смесью:

Сумма Часть Всего
Начало
Добавить
Финал

Мы начинаем с 70 мл раствора, и неизвестное количество может быть x .Часть представляет собой проценты или концентрацию раствора 0,5 для начала, 0,8 для доп.

Сумма Часть Всего
Начало 70 мл 0,5
Добавить [латекс] х [/ латекс] 0,8
Финал [латекс] 70 + x [/ латекс] 0,6

Добавьте столбец суммы, чтобы получить окончательную сумму.Часть этого количества составляет 0,6, потому что мы хотим, чтобы окончательный раствор содержал 60% метана.

Сумма Часть Всего
Начало 70 мл 0,5 35
Добавить [латекс] х [/ латекс] 0,8 [латекс] 0,8x [/ латекс]
Финал [латекс] 70 + x [/ латекс] 0,6 [латекс] 42 + 0,6x [/ латекс]

Умножьте сумму на часть, чтобы получить общую сумму.обязательно распределить по последнему ряду: [латекс] (70 + х) 0,6 [/ латекс].

Если мы сложим начало и добавим записи в столбце «Итого», мы получим окончательное уравнение, которое представляет общую сумму и ее концентрацию.

[латекс] \ begin {align} 35 + 0,8x & = 42 + 0,6x \\ 0,2x & = 7 \\ \ frac {0,2} {0,2} x & = \ frac {7} {0,2} \\ x & = 35 \ конец {align} [/ latex]

35 мл 80% раствора необходимо добавить к 70 мл 50% раствора, чтобы получить 60% раствор метана.

Тот же процесс можно использовать, если к начальной и конечной сумме привязана цена, а не процент.

Ключевые понятия

  • Система линейных уравнений состоит из двух или более уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно.
  • Решением системы линейных уравнений с двумя переменными является любая упорядоченная пара, удовлетворяющая каждому уравнению независимо.
  • Системы уравнений классифицируются как независимые с одним решением, зависимые с бесконечным числом решений или несовместимые с отсутствием решения.
  • Одним из методов решения системы линейных уравнений с двумя переменными является построение графиков. В этом методе мы строим уравнения на одном и том же наборе осей.
  • Другой метод решения системы линейных уравнений — подстановка. В этом методе мы решаем одну переменную в одном уравнении и подставляем результат во второе уравнение.
  • Третий метод решения системы линейных уравнений — сложение, в котором мы можем исключить переменную, добавив противоположные коэффициенты соответствующих переменных.
  • Часто необходимо умножить одно или оба уравнения на константу, чтобы упростить исключение переменной при сложении двух уравнений.
  • Любой метод решения системы уравнений приводит к ложному утверждению для несовместимых систем, потому что они состоят из параллельных линий, которые никогда не пересекаются.
  • Решение системы зависимых уравнений всегда будет верным, потому что оба уравнения описывают одну и ту же линию.
  • Системы уравнений могут использоваться для решения реальных задач, которые включают более одной переменной, например, относящиеся к выручке, затратам и прибыли.

Глоссарий

метод сложения алгебраический метод, используемый для решения систем линейных уравнений, в котором уравнения складываются таким образом, чтобы исключить одну переменную, позволяя решить результирующее уравнение для оставшейся переменной; затем используется подстановка для решения первой переменной

точка безубыточности точка, в которой функция затрат пересекает функцию дохода; где прибыль нулевая

согласованная система система, для которой существует единое решение всех уравнений в системе, и это независимая система, или если существует бесконечное количество решений, и это зависимая система

функция затрат функция, используемая для расчета затрат на ведение бизнеса; обычно состоит из двух частей: постоянных затрат и переменных затрат

, зависимая система, — система линейных уравнений, в которой два уравнения представляют одну и ту же линию; существует бесконечное количество решений зависимой системы

несовместимая система система линейных уравнений без общего решения, потому что они представляют собой параллельные линии, которые не имеют общих точек или линий

независимая система система линейных уравнений с ровно одной парой решений [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex]

функция прибыли функция прибыли записывается как [латекс] P \ left (x \ right) = R \ left (x \ right) -C \ left (x \ right) [/ latex], выручка минус затраты

функция дохода функция, которая используется для расчета дохода, просто записывается как [латекс] R = xp [/ латекс], где [латекс] x = количество [/ латекс] и [латекс] p = [/ латекс] цена.

метод подстановки алгебраический метод, используемый для решения систем линейных уравнений, в которых одно из двух уравнений решается для одной переменной, а затем подставляется во второе уравнение для решения для второй переменной

система линейных уравнений набор из двух или более уравнений с двумя или более переменными, которые должны рассматриваться одновременно.


Линейные уравнения с двумя переменными

Линейная система уравнений может иметь n переменных. При решении линейных уравнений с числом переменных n важно помнить, что для решения и определения значений переменных должно быть n уравнений. Множество решений, полученных при решении этих линейных уравнений, представляет собой прямую линию. Линейные уравнения — это алгебраические уравнения, которые имеют вид y = mx + b, где m — наклон, а b — точка пересечения с y.Это уравнения первого порядка. Например, y = 2x + 3 и 2y = 4x + 9 — линейные уравнения с двумя переменными. В этом мини-уроке мы рассмотрим решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными с использованием различных методов.

Линейные уравнения с двумя переменными

Линейные уравнения с двумя переменными имеют порядок высшей экспоненты, равный единице, и имеют одно, нулевое или бесконечно много решений. Стандартная форма линейного уравнения — ax + by + c = 0, где x и y — две переменные.Решения также можно записывать в упорядоченных парах. Геометрическое представление линейных уравнений с двумя переменными также являются прямыми линиями. Линейное уравнение с двумя переменными может быть в разных формах. Некоторые из них: стандартная форма, форма пересечения и форма точечного наклона.

Система уравнений означает совокупность уравнений. Мы научимся решать линейные уравнения с двумя переменными разными методами.

Методы решения линейных уравнений с двумя переменными

  • Графический метод
  • Метод замены
  • Метод перекрестного умножения
  • Метод исключения
  • Детерминантный метод

Графический метод

Шаги для графического решения линейных уравнений с двумя переменными, мы используем следующие шаги:

  • Шаг 1: Чтобы решить систему двух уравнений с двумя переменными графически, мы графически отображаем каждое уравнение.
  • Шаг 2: Чтобы построить уравнение вручную, сначала преобразуйте его в форму y = mx + b, решив уравнение относительно y.
  • Шаг 3: Определите точку, где встречаются обе линии.
  • Шаг 4: Точка пересечения — это решение данной системы.

Пример: Найдите решение следующей системы уравнений графически.
-x + 2y-3 = 0
3x + 4y-11 = 0
Решение: Мы построим их график и посмотрим, пересекаются ли они в какой-то точке.
Как вы можете видеть ниже, обе линии пересекаются в точках (1, 2). Таким образом, решение данной системы линейных уравнений есть x = 1 и y = 2.

Но обе линии всегда могут не пересекаться. Иногда они могут быть параллельны. В таком случае у данной системы нет решения. В некоторых других случаях обе линии совпадают. В этом случае каждая точка на этой прямой является решением данной системы и, следовательно, данная система имеет бесконечное количество решений. Если у системы есть решение, оно называется непротиворечивым; в противном случае говорят, что это непоследовательно.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений: \ (a_ {1} \) x + \ (b_ {1} \) y + \ (c_ {1} \) = 0 и \ (a_ {2} \) x + \ (b_ {2} \) y + \ (c_ {2} \) = 0

Метод замены

Чтобы решить систему двух уравнений с двумя переменными с использованием метода подстановки, мы используем следующие шаги:

  • Шаг 1. Решите одно из уравнений для одной переменной.
  • Шаг 2: Подставьте это в другое уравнение, чтобы получить уравнение в терминах одной переменной.
  • Шаг 3: Решите его для переменной.
  • Шаг 4: Подставьте его в любое из уравнений, чтобы получить значение другой переменной.

Пример: Решите следующую систему уравнений, используя метод подстановки.
х + 2у-7 = 0
2х-5лет + 13 = 0

Решение: Решим уравнение, x + 2y-7 = 0 для y:
х + 2у-7 = 0
⇒2y = 7-x
⇒ y = (7-x) / 2

Подставьте это в уравнение, 2x-5y + 13 = 0:

2 x-5 y + 13 = 0
⇒ 2x-5 ((7-x) / 2) + 13 = 0
⇒ 2x- (35/2) + (5x / 2) + 13 = 0
⇒ 2x + (5x / 2) = \ dfrac {35} {2} -13
⇒ (9x / 2) = (9/2)
⇒ х = 1

Подставьте x = 1 в уравнение y = (7-x) / 2:
у = (7-1) / 2 = 3
Следовательно, решение данной системы x = 1 и y = 3.

Метод перекрестного умножения

Рассмотрим систему линейных уравнений: a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 и a 2 x + b 2 y + c 2 = 0
Чтобы решить эту проблему с помощью метода перекрестного умножения, мы сначала запишем коэффициенты каждого из x и y и константы следующим образом:

Здесь стрелки указывают, что эти коэффициенты необходимо умножить. Теперь мы напишем следующее уравнение, перемножив и вычитая произведения.
\ [\ dfrac {x} {b_ {1} c_ {2} -b_ {2} c_ {1}} = \ dfrac {y} {c_ {1} a_ {2} -c_ {2} a_ {1} } = \ dfrac {1} {a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}} \]

Из этого уравнения получаем два уравнения:

\ [\ begin {align}
\ dfrac {x} {b_ {1} c_ {2} -b_ {2} c_ {1}} & = \ dfrac {1} {a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}} \\ [0,2 см] \ dfrac {y} {c_ {1} a_ {2} -c_ {2} a_ {1}} & = \ dfrac {1} {a_ {1} b_ {2} -a_ {2 } b_ {1}}
\ end {align} \]

Решая каждый из них относительно x и y, решение данной системы:

\ (\ begin {align}
x & = \ frac {b_ {1} c_ {2} -b_ {2} c_ {1}} {a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}} \\ [0.2 см] y & = \ frac {c_ {1} a_ {2} -c_ {2} a_ {1}} {a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}}
\ end {align} \)

Метод исключения

Чтобы решить систему двух уравнений с двумя переменными с использованием метода исключения, мы используем следующие шаги:

  • Шаг 1: Если добавление уравнений приведет к отмене переменной.
  • Шаг 2: Если нет, умножьте одно или оба уравнения на коэффициент при x или y так, чтобы их сложение привело к отмене любой из переменных.
  • Шаг 3: Решите полученное уравнение с одной переменной.
  • Шаг 4: Подставьте его в любое из уравнений, чтобы получить значение другой переменной.

Пример: Решите следующую систему уравнений, используя метод исключения.
2x + 3y-11 = 0
3x + 2y-9 = 0

Добавление этих двух уравнений не приведет к отмене какой-либо переменной. Давайте стремимся к сокращению x. Коэффициенты при x в обоих уравнениях равны 2 и 3.Их НОК равно 6. Мы сделаем коэффициенты при x в обоих уравнениях равными 6 и -6, чтобы члены x отменялись, когда мы добавляем уравнения.

3 × (2x + 3y-11 = 0)
⇒ 6x + 9y-33 = 0
-2 × (3x + 2y-9 = 0)
⇒ -6x-4y + 18 = 0

Теперь мы добавим эти два уравнения:
6x + 9y-33 = 0
-6x-4y + 18 = 0
Сложив оба приведенных выше уравнения, мы получим
⇒ 5 лет-15 = 0
⇒ 5y = 15
⇒ y = 3

Подставьте это в одно из двух приведенных уравнений и решите полученную переменную относительно x.
2x + 3y-11 = 0
⇒ 2x + 3 (3) -11 = 0
⇒ 2x + 9-11 = 0
⇒ 2x = 2
⇒ х = 1

Следовательно, решение данной системы уравнений есть x = 1 и y = 3.

Метод определения

Определитель матрицы 2 x 2 получается путем перекрестного умножения элементов, начиная с верхнего левого угла, и вычитания произведений.

Рассмотрим систему линейных уравнений: \ (a_ {1} \) x + \ (b_ {1} \) y = \ (c_ {1} \) и \ (a_ {2} \) x + \ (b_ {2} \) y = \ (c_ {2} \)

Чтобы решить их с помощью метода определителей (также известного как правило Краммера):

  • Сначала мы находим определитель, образованный коэффициентами при x и y, и обозначаем его Δ.
    Δ = \ [\ left | \ begin {array} {ll} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \ end {array} \ right | = a_1 b_2 — a_2b_1 \]
  • Затем мы находим определитель \ (\ Delta_x \), который получается заменой первого столбца Δ константами.
    \ (Δ_ {x} \) = \ [\ left | \ begin {array} {ll} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \ end {array} \ right | = c_1 b_2 — c_2b_1 \]
  • Затем мы находим определитель \ (\ Delta_y \), который получается заменой второго столбца Δ константами.
    \ (Δ_ {y} \) = \ [\ left | \ begin {array} {ll} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \ end {array} \ right | = a_1 c_2 — a_2c_1 \]

Тогда решение данной системы линейных уравнений находится по формулам:

х = \ (Δ_ {x} \) / Δ
у = \ (Δ_ {y} \) / Δ

Полезные советы

При решении уравнений либо методом подстановки, либо методом исключения:

  • Если мы получим истинное уравнение (т.е., что-то вроде 0 = 0, -1 = -1 и т. д.), то это означает, что система имеет бесконечное количество решений.
  • Если мы получаем ложное уравнение (т.е. что-то вроде 0 = 2, 3 = -1 и т. Д.), Это означает, что система не имеет решения.

Темы, связанные с линейными уравнениями с двумя переменными

Часто задаваемые вопросы о линейных уравнениях с двумя переменными

Что такое линейные уравнения?

Линейное уравнение — это уравнение, в котором переменная (переменные) имеет степень 1.Например, 2x = 45, x + y = 35 и a-b = 45.

Как определить линейные уравнения с двумя переменными?

Мы можем идентифицировать линейное уравнение с двумя переменными, если оно выражается в форме ax + by + c = 0, состоящей из двух переменных x и y, а наивысшая степень данного уравнения равна 1.

Можете ли вы решить уравнение с двумя переменными?

Да, мы можем решить уравнение с двумя переменными, используя разные методы и убедившись, что в данной системе уравнений присутствуют два уравнения, чтобы получить значения переменных.

Как графически представить линейные уравнения с двумя переменными?

Мы можем представить линейные уравнения с двумя переменными, используя следующие шаги:

  • Шаг 1: Систему двух уравнений с двумя переменными можно решить графически, построив график каждого уравнения, преобразовав его в форму y = mx + b, решив уравнение относительно y.
  • Шаг 2: Идентифицируются точки пересечения обеих линий.
  • Шаг 3: Точка пересечения — это решение данной системы линейных уравнений с двумя переменными.

Как решить систему линейных уравнений?

У нас есть разные методы решения системы линейных уравнений:

  • Графический метод
  • Метод замещения
  • Метод перекрестного умножения
  • Метод исключения
  • Метод детерминантов

Сколько решений есть у линейного уравнения с двумя переменными?

Предположим, у нас есть \ (a_ {1} \) x + \ (b_ {1} \) y + \ (c_ {1} \) = 0 и \ (a_ {2} \) x + \ (b_ {2 } \) у + \ (c_ {2} \) = 0.Решениями линейного уравнения с двумя переменными являются:

  • Один и уникальный if \ (a_ {1} \) / \ (a_ {2} \) ≠ \ (b_ {1} \) / \ (b_ {2} \)
  • Нет, если \ (a_ {1} \) / \ (a_ {2} \) = \ (b_ {1} \) / \ (b_ {2} \) ≠ \ (c_ {1} \) / \ (c_ {2} \)
  • Бесконечно много, если \ (a_ {1} \) / \ (a_ {2} \) = \ (b_ {1} \) / \ (b_ {2} \) = \ (c_ {1} \) / \ (c_ {2} \)

Чем линейное неравенство двух переменных похоже на линейное уравнение двух переменных?

Линейное неравенство с двумя переменными и линейное уравнение с двумя переменными имеют следующие общие черты:

  • Степень линейного уравнения и линейного неравенства всегда равна 1.
  • Оба они решаются графически.
  • Способ решения линейного неравенства такой же, как и для линейных уравнений, за исключением того, что он разделен символом неравенства.

Решение уравнений с параметрами


Творческое образование
Vol.5 No 11 (2014), статья
ID: 47178,6
страницы

DOI: 10.4236 / ce.2014.511110

Решение уравнений с параметрами

Бат-Шева Иланы 1 , Дина Хасидов 2

1 Колледж Бейт-Берл, Кфар-Саба, Израиль

2 Колледж Западной Галилеи, Акко, Израиль

Электронная почта: bat77i @ gmail.com, [email protected]

Авторские права © 2014 авторов и Scientific Research Publishing Inc.

Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

Поступило 23 апреля 2014 г .; пересмотрена 16 мая 2014 г .; принята к печати 6 июня 2014 г.

РЕЗЮМЕ

В этом исследовании изучается, как старшеклассники и учителя решают уравнения, представленные различными способами.Некоторые презентации нестандартны, например, необходимо выразить «а» (обычно воспринимаемое как параметр) через «х» (обычно воспринимаемое как переменная). Мы исследуем, как испытуемые решают эти уравнения, а также исследуем различия между учениками и учениками-учителями. Наши результаты показывают, что уравнения, содержащие параметры, труднее решить, чем уравнения без параметров. Трудности связаны с буквами, которые следует выражать, и с расположением уравнения.Результаты этого исследования могут расширить знания учителей о уравнениях с параметрами и о конкретных трудностях, с которыми студенты сталкиваются в процессе решения.

Ключевые слова: Уравнения, Параметры, Ученики старших классов, Студенты-учителя, Математическое образование, Знания математики, Познание и математика

1. Теоретические основы

«Проблемы с параметрами проверяют знания решателя в математике глубоко и выявляют его слабые места »(Седивы, 1976).Седивый также утверждает, что ученики сталкиваются с большими трудностями с уравнениями с параметрами, чем с уравнениями с числовыми коэффициентами. Алгебраические уравнения, содержащие параметры, представляют собой более широкие классы уравнений и более общие формы количественных соотношений по сравнению с уравнениями без параметров.

Дэвис и Хенкин (1978) писали о важности квадратных уравнений в целом и с параметрическими коэффициентами в частности. Они описывают, как они интерпретируют понимание квадратных уравнений.Они предоставляют длинный список навыков, а также математические знания, необходимые для понимания и решения квадратных уравнений. Дэвис и Хенкин утверждают, что понимание и решение уравнений с параметрами улучшают понимание учащимися уравнений в целом.

Скемп (1987) утверждает, что правила обучения без причины позволяют ученику функционировать только в узких рамках и иметь дело только со стандартными задачами. Однако такой подход ограничивает понимание учащимися, и они не смогут справиться с более сложными задачами.Понимание позволяет ученику решать нестандартные задачи, которые нельзя решить механическим применением формул. Fischbein и Muzicant (2002) указывают, что ученики обучались в основном процедурным образом, и поэтому они часто не умеют различать концептуальные и процедурные знания. Многим ученикам трудно распознать, что буква представляет собой число, и они не знают, как работать с символическими значениями (Kieran, 1992, 2014).

Широко признано, что учителям важно понимать, как их ученики воспринимают математические темы, в частности, конкретные причины ошибок (Almog & Ilany, 2012).

На начальных курсах студенты привыкают к тому, что x (а позже y и z) являются переменными, а буквы, такие как a, b, c, являются константами или параметрами. Однако на более продвинутых курсах они сталкиваются с вопросами, в которых буквы используются по-другому, и это очень сбивает их с толку. Например, задачи интеграции, где x фиксировано, а y — переменная. Или объемные вопросы, где a, b, c используются в качестве переменных.

Ученики решают в школе бесчисленные упражнения с уравнениями, в которых буква x представляет собой переменную, которая должна быть выражена буквами a, b, c и т. Д. В этом исследовании испытуемым предлагалось множество уравнений с нестандартным представлением. , как уже упоминалось выше.

2. Цель

Цели исследования — изучить и выявить трудности старшеклассников и старших школьных учителей при решении уравнений с параметрами. Кроме того, выяснить, есть ли существенные различия между учениками и учениками-учителями в решении таких уравнений. Какие процедуры используются и какие трудности возникают при решении уравнений с параметрами.

3. Вопросы для исследования

1) Как испытуемые решают уравнения с параметрами, в которых они должны выражать различные буквы через другие буквы и параметры? В частности, когда уравнения не построены стандартным образом.

2) Существуют ли различия между учениками и учениками-учителями в том, как они решают такие уравнения. И если да, то в чем отличия.

Примеры уравнений, исследуемых в статье (нумерация вопросов соответствует анкете):

• Вопрос 16: Найдите x (в терминах a) в (довольно стандартном уравнении с переменной x и параметром a).

• Вопрос 1. Найдите c (через x) в (менее стандартно, поскольку требуется выражать c через x).

• Вопрос 9: Найдите b (в терминах x) в (менее стандартно, так как требуется переставить уравнение «должным образом», а затем выразить b через x).

• Вопрос 21: Следующее уравнение линейно по x, хотя может ошибочно показаться квадратным уравнением в терминах a :.

Мы называем знания, необходимые для решения простых уравнений, процедурными. Уравнения с нестандартными представлениями требуют более гибкого подхода.

4.Метод

В выборку вошли 115 учителей математики, обучающихся на третьем и четвертом году обучения, и 133 ученика двенадцатых классов с высшим уровнем математики (5 курсов по математике) в четырех средних школах.

Инструменты: Анкета была разработана для исследования и введена в обе группы. Часть анкеты состоит из шести вопросов, которые включают уравнения с параметрами. В этом исследовании сообщается о результатах двух вопросов уравнений первой степени (вопросы (5) и (21)) и трех вопросов уравнений второй степени (вопросы 16, 1 и 9).Вопросы перечислены в Таблице 1 и Таблице 3.

Процедура: Чтобы понять процесс решения предметов, были опрошены пять учеников и шесть студентов-учителей. Вопросы для интервью были разработаны после заполнения и анализа анкеты. Цель заключалась в том, чтобы прояснить и продвинуть результаты анкеты. Кроме того, были проведены открытые наблюдения, чтобы внимательно изучить ответы испытуемых.

Таблица 1. Вопросы 5 и 21, анализ результатов (уравнения первой степени с параметрами).

Примечание: (P = ученики, S.T. = ученики-учителя). * Испытуемые правильно выразили x, но некоторые из них не смогли указать допустимую область, а затем упростить выражение. См. Подробности в таблице 2.

Анализ данных: Количественный анализ проводился с помощью описательной статистики (таблицы, в которых указан процент успеха), c 2 тестов и t-тестов. Качественный анализ проводился путем наблюдений и интервью, как упоминалось выше.Затем результаты были проанализированы в соответствии с возникающими критериями.

5. Результаты

Результаты уравнений первой степени5 и 21 представлены в Таблице 1

Таблица 1 показывает, что большой процент старшеклассников (22%) не ответили на вопрос 21. Очень небольшой процент испытуемых. кто правильно выразил x через a, также указал правильную область решения. Некоторые испытуемые справлялись только со стандартными вопросами, которые требовали прямого подхода.В целом, только 36% учеников и 73% студентов-учителей ответили на вопрос 21 полностью.

В вопросе 5 испытуемых просили выразить минимальное значение буквы x. m — буква, которая обычно воспринимается как параметр (Ilany, 1997, 1998). В этом вопросе есть уравнение первой степени, для которого процесс решения должен быть простым, но только 67% учеников дали правильный ответ и 29% ошиблись. Мы утверждаем, что ошибки происходят из-за путаницы, связанной с нестандартным использованием параметров и переменных (примеры приведены ниже).Для студентов-преподавателей ситуация была лучше, 88% решили правильно и 10% допустили ошибки, связанные с нестандартной презентацией.

В вопросе 21 уравнение имеет первую степень по x, и x нужно было выразить через a. Такое представление уравнения было связано с различными ошибками в процессе решения испытуемых, поскольку x обычно воспринимается как переменная (Ilany, 1997). Стоит отметить, что уравнение 21 на самом деле линейно по x, поскольку x является переменной первой степени.Однако из-за числа 2 в уравнении некоторые студенты были сбиты с толку и восприняли уравнение как квадратное.

Чтобы решить указанное выше уравнение, необходимо раскрыть скобки, собрать похожие выражения и переставить уравнение. Существует ограничение на a (a ≠ −1), и для решения уравнения требуется несколько алгебраических операций. Многочисленные ошибки были допущены испытуемыми, которые пытались решить этот вопрос, особенно учениками. Только 36% учеников правильно ответили на x.То есть они обнаружили, что:

Однако большинство студентов, которые правильно выразили x, не смогли указать допустимую область и упростить полученное уравнение (см. Таблицу 2).

У студентов-преподавателей ситуация была лучше: 73% из них правильно ответили на вопрос 21. Анализ ошибок показал, что 41% учеников по сравнению с 14% студентов-учителей допустили ошибки, связанные с «нестандартными» буквами (см. Таблицу 1).

В этом исследовании мы решили изучить три уравнения второй степени.В каждом уравнении требуется выразить одну букву другой. Ошибки были разделены на два типа: ошибки в вычислениях и ошибки, возникающие из-за путаницы, связанной с незнакомым использованием букв: игнорирование букв, поиск неправильной буквы и круговое выражение букв. (Примеры будут приведены в Таблице 3: вопросы 16, 1 и 9).

Согласно Таблице 3, высокий процент учеников (16%) не ответили на вопрос 9. Наблюдалась значительная разница между учениками-учителями и учениками старших классов по всем трем вопросам.Три уравнения имеют аналогичную структуру (Таблица 3). Разница между ними заключается в том, что в вопросе 16 (5x 2 + 8ax + 4a 2 = 0) необходимо найти x, буква воспринимается как переменная согласно Илани (1997, 1998), а в другом уравнения

Таблица 2. Вопрос 21 — Субъекты, которые правильно выразили x (некоторые из них не завершили процесс).

Примечание: (P = ученики, S.T. = ученики-учителя).

Таблица 3.Вопросы 16, 1 и 9, анализ результатов.

Примечание: (P = ученики, S.T. = ученики-учителя).

букв, которые должны быть найдены: b или c. Эти буквы обычно воспринимаются как параметры, поэтому вызывали путаницу.

Результаты показывают, что больше студентов ответили на вопрос 16 правильно по сравнению с вопросами 1 и 9 (см. Таблицу 3), которые касаются вопроса исследования 1. (То есть решатели имеют тенденцию путаться, когда требуется выразить a, b, c или m (обычно функционируют как параметры) в терминах x (который обычно обозначает переменную).

Между студентами-учителями и учениками была обнаружена значительная разница в двух отношениях. Начнем с того, что студенты-преподаватели набрали больше баллов по всем вопросам. Кроме того, меньшая часть студентов-учителей, похоже, была сбита с толку из-за изменения и перестановки переменных (70% учеников правильно ответили на вопрос 16 против 28% на вопрос 9; соответствующие цифры для студентов-учителей составляют 88% против 43% ).

В таблице 3 представлены три вопроса схожей структуры.Первый вопрос (16) довольно стандартный (выражение x через другие параметры).

Во втором вопросе (1) у нас нестандартное использование букв (выражение x через c).

Третий вопрос также связан с нестандартным использованием переменных, поскольку b должно быть выражено через x. Более того, вам нужно переставить уравнение, чтобы его решить.

Сравнение результатов вопросов 9 и 1 подчеркивает важность расположения уравнения.В вопросе 9 уравнение () похоже на уравнение в вопросе 1 (), но не упорядочено в обычном порядке, то есть сначала записываются более высокие показатели. Здесь мы получили самые низкие результаты (только 28% учеников и 43% студентов-учителей правильно решили уравнение). Причины этих результатов объясняются сложностью составления уравнения и нахождения нестандартной буквы b через x.

Вопрос 1 также обсуждался в интервью. Интервьюер подчеркнул, что b или c необходимо выражать через x.Несмотря на это, большинство респондентов выразили x через b или c. Один собеседник, допустивший эту ошибку, сказал: «Даже если вы не хотите x, вы хотите b, я автоматически нахожу x, потому что это квадратное уравнение». Она попыталась выразить b, сказав: «Я не могу найти b, я знаю, что есть два решения, потому что D> 0, но я не могу его найти, я думаю, что это невозможно». В конце интервью мы вернулись к вопросу. На этот раз мы переписали уравнение как:, и респондент без труда выразил b через x.Другими словами, студентке было трудно даже начать процесс решения, когда она сталкивалась с нестандартным расположением и буквами, хотя у нее не было технических трудностей, решая такие уравнения после того, как они были правильно переставлены. Тот же ученик-учитель сумел перестроить и успешно решить «неопрятное» уравнение, в котором x нужно было выразить через b, то есть стандартное использование букв. После интервью она сказала: «Отныне я буду просить своих учеников выражать разные буквы, не обязательно в обычном порядке».

Интересно отметить, что изменение уравнения в вопросе 9 — это один из способов его решения. Другой способ — поменять местами буквы, то есть поменять местами x и b, найти x, а затем снова поменять местами буквы. Ни один из испытуемых не применил этот метод.

Примеры ошибок, вызванных использованием нестандартных букв в приведенных выше вопросах:

На вопрос 1 правильный ответ:. В этом случае некоторым участникам было трудно принять «незавершенное решение», даже несмотря на то, что это выражение нельзя упростить дальше, за исключением того, что область должна быть указана.

Следовательно, некоторые испытуемые, решившие вопрос правильно, не удовлетворились своим ответом и перечеркнули его. Однако мы действительно сочли скрещенные решения правильными.

Связанная ошибка заключалась в выражении x вместо c (2% студентов-учителей).

«Вы не можете найти c, поскольку это параметр» (5% студентов-преподавателей).

«c — параметр, поэтому может быть любым числом».

Интересная ошибка в вопросе 16 заключалась в том, что при получении правильных ответов в них отсутствовала буква «а».То есть ученик написал:

Похожая ошибка смешивала «x» и «a»:

Примеры ошибок в вопросе 9: Нахождение x вместо b (11% учеников, 5% ученики учителей).

Выражение b через b. (6% учеников, 10% студентов-учителей):

Аналогичным образом, в вопросе 21 4% старшеклассников выразили x через x, например:

Примеры ошибок, допущенных при попытке для решения:

«Невозможно выразить x самостоятельно.

«Не знаю» (32% студентов, 5% студентов преподавателей).

Превратить x в x 2 (6% студентов, 2% студентов-преподавателей).

Выражено a вместо x (3% студентов).

Примеры ошибок, которые произошли при попытке решить вопрос 5: Найдите m в:

Найдено x (3% студентов).

«Невозможно» (10% студентов, 7% студентов преподавателей).

Превратил уравнение в квадратное уравнение для m (3% студентов).

6. Обсуждение

Результаты этого исследования показывают, что для уравнений с параметрами большой процент студентов-учителей и даже большая доля учеников совершили ошибку из-за путаницы, связанной с нестандартным использованием букв (например, необходимо выразить a через x). Столкнувшись с уравнениями, в которых параметры и переменные не были расположены стандартным образом, испытуемым было еще труднее решить эти уравнения.

В общем, уравнения, содержащие параметры, труднее решить, чем уравнения без параметров.Испытуемые склонны решать уравнения механически, и поэтому они совершают множество ошибок, когда сталкиваются с нестандартными вопросами, требующими более глубокого понимания.

Ключевые факторы, которые часто создают проблемы для студентов, — это тип буквы, которую нужно выразить, порядок решаемого уравнения, мощность переменной, мощность параметра и тип требуемых алгебраических методов. .

Значение для обучения решению уравнений с параметрами Результаты этого исследования, в частности большое количество ошибок, поднимают вопросы относительно эффективности преподавания этой темы.Следовательно, чтобы улучшить понимание учащимися уравнений с параметрами, рекомендуется улучшить понимание учащимися использования букв в таких уравнениях. Например, внимательно прочитав то, что требуется в вопросе, приняв более гибкий подход в отношении того, какие буквы могут быть выражены в терминах других букв, убедившись, что выражение упрощено должным образом, и зная о различия и сходства между уравнениями с параметрами или без них.

Мы рекомендуем включать в школьную программу математики больше уравнений с различными параметрами и переменными, а также уравнения, которые представлены не в обычном порядке. Это побудит учащихся глубже задуматься над темой и получить более глубокое понимание.

Ссылки

  1. Almog, N., & Ilany, B.-S. (2012). Абсолютное неравенство ценностей: решения и заблуждения старшеклассников. Образовательные исследования по математике, 81 , 347-364.http://dx.doi.org/10.1007/s10649-012-9404-z
  2. Дэвис Р. Б. и Хенкин Л. (1978). Неадекватно проверенные аспекты изучения математики — тестирование, преподавание и обучение . Отчет о конференции по исследованиям в области тестирования, Национальный институт образования, 49-63.
  3. Fischbein, E., & Muzicant, B. (2002). Ричард Скемп и его концепция реляционного и инструментального понимания: открытые предложения и открытые фразы. В Д. Толл и М. Томас (ред.), Интеллект, обучение и понимание в математике: дань уважения Ричарду Скемпу (стр.49-77). Flaxton, QLD: Post Pressed Publishers.
  4. Илани Б. (1998). Неуловимый параметр. В 23-е ежегодное собрание Международной группы психологии математического образования (том 4, стр. 265). Стелленбос: Стелленбосский университет.
  5. Илани, Б. (1997). Концепции переменных и параметров для учителей и учащихся старших классов . Докторская диссертация, Тель-Авив: Тель-Авивский университет. (на иврите)
  6. Киран, К. (1992).Изучение и преподавание школьной алгебры. В D. A. Grouws (Ed.), Справочник по исследованиям в области преподавания и обучения математике (стр. 390-419).
  7. Киран, К. (2014). Преподавание и изучение алгебры. Энциклопедия математического образования (стр. 27-32). Springer: Ссылка на Springer.
  8. Седивий Дж. (1976). Примечание о роли параметров в обучении математике. Образовательные исследования по математике, 7 , 121-126. http://dx.doi.org/10.1007/BF00144365
  9. Скемп Р.(1987). Психология изучения математики . Хиллсдейл, Нью-Джерси: Лоуренс Эрлбаум Ассошиэйтс.

Linear Equations — Бесплатная справка по математике

Простое определение линейного уравнения:

Уравнение, образующее прямую линию на графике.

Точнее, линейное уравнение — это уравнение, которое зависит только от констант и переменной в первой степени. Например, \ (y = 6x + 2 \) линейно, потому что у него нет квадратов, кубов, квадратных корней, синусов и т. Д.Линейные уравнения всегда можно преобразовать в следующую форму:

$$ ax + b = 0 $$

Вы не всегда увидите линейные уравнения, написанные точно так, но имейте в виду, что мы можем, , манипулировать уравнениями, чтобы при необходимости преобразовать их в определенную форму.

Линейные уравнения часто записываются с более чем одной переменной, обычно x и y. В таких уравнениях будет много возможных комбинаций x и y, которые работают. Когда эти точки (известные как пары координат) нанесены на ось x-y, они образуют прямую линию.Давайте посмотрим на это графически ниже. Два нарисованных уравнения линейны. Обратите внимание, что одно уравнение имеет форму \ (y = 3 \) (оно зависит только от константы 3), а другое уравнение — \ (y = 0,75x — 0,5 \) (линейный член и — константа ).

Как узнать, линейно ли уравнение?

Включает ли уравнение (или функция) какие-либо члены в квадрате? Как насчет других членов с показателем, отличным от 1 (или, технически, нуля)? Если функция не имеет членов с порядком выше 1 (причудливый способ обозначить показатель степени), то она линейна!

Что делать, если у него есть функция журнала или триггера и т. Д.?

Это нелинейные члены. Просто они не являются константами (обычными числами) или переменными с показателем степени 1, поэтому функция не является линейной. Если бы мы могли записать sin (x) или log (x) как нечто линейное, например \ (2x + 3 \), то мы бы сделали это вместо использования сложных нелинейных функций, таких как синус и журнал! Конечно, если вы еще не рассмотрели эти концепции в своем классе, даже не беспокойтесь об этом.

Итак, как мне решить линейное уравнение?

Некоторые линейные уравнения действительно очень легко решить.Что насчет этого:

$$ y = 4 $$

Это линейное уравнение, и оно уже решено относительно y! Это просто … здесь нечего делать. Но этот довольно тривиальный пример действительно показывает нам, что линейные уравнения могут быть довольно простыми, а также показывает нам нашу цель: переписать уравнение так, чтобы переменная, которую мы решаем, находилась с одной стороны, а все остальное — с другой.

Сделаем небольшой шаг вперед:

$$ y + 2 = 4 $$

В этом уравнении мы просто должны вычесть 2 из обеих частей, чтобы преобразовать наше уравнение в решенную форму с y = 2.Решение любого линейного уравнения — это просто вопрос выполнения операций по обе стороны от знака равенства до тех пор, пока уравнение не приобретет желаемую форму (обычно решается для одной переменной, например X или Y). Шаги подробно показаны ниже:

$$ y + 2 = 4 $$
$$ y + 2-2 = 4-2 $$
$$ y + 0 = 2 $$
$$ y = 2 $$

А как насчет более сложных уравнений?

К счастью, с линейными уравнениями шаги всегда относительно просты. Нет единого способа сделать это, и со временем вы сможете продумывать линейное уравнение, не записывая каждый шаг.Попробуйте следующий подход к решению уравнений и посмотрите, работает ли он для вас:

  1. Собирать одинаковые термины — это означает собрать все x вместе, все y вместе и все обычные числа (известные как константы) и сложить их по отдельности. Например, выражение \ (4x + 2y + 3x-5 + 10 \) превращается в \ (7x + 2y + 5 \). Помните, что вы можете складывать, вычитать, умножать или делить, если вы делаете это до обеих сторон уравнения .
  2. Выделите переменную, которую вы хотите решить — Если проблема требует от вас решения для y, вам нужно поместить y по одну сторону от знака равенства, а все остальные элементы — по другую сторону.Здесь вы можете перейти от \ (2y — 6 = 4 \) к \ (2y = 10 \).
  3. Удалите все коэффициенты, оставшиеся в этой переменной — если ваш ответ после шага 2 выглядит как \ (5y = 7x — 10 \), просто разделите обе стороны на 5, чтобы получить \ (y = \ frac {7x} {5} — \ гидроразрыв {10} {2} \).
  4. Проверьте свой ответ. Кажется, ваш ответ имеет смысл? Сможете ли вы включить свой ответ в исходное уравнение, и оно все еще будет работать?

Рассмотрим несколько примеров решения линейных уравнений.

Следует иметь в виду, что вы не можете всегда решить уравнение к чему-то определенному, например, y = 5.Совершенно нормально иметь y = x + 5, и это просто означает, что y зависит от x. Фактически, для каждого значения x существует ровно одно значение y, и все они образуют точки, лежащие на прямой линии (как я показал в начале).

Пример 1:

Решить относительно y: \ (2y + 5 = 9 \)

Если вы снова замените y на 2 в исходной задаче, вы получите 9 = 9, так что это правильно!

Пример 2:

Решить относительно y: \ (2y-x = 4 + x + 3x \)

Пример 3:

Решить относительно y: \ (2x + 7 = \ frac {y + 6} {2} \)

Подводя итог

Помните, что линейные уравнения по своей сути просты — не пытайтесь слишком много обдумывать! Они состоят только из линейных членов (например, 3x, 2y, y / 2 и т. Д.) и константы. Если вы застряли, пытаясь упростить или решить проблему, просто не забывайте делать это шаг за шагом. Соберите похожие термины, объединив все свои переменные по отдельности, затем выделите переменную, которую вы хотите найти, и, наконец, выполните любые дополнительные необходимые математические вычисления, чтобы у вас осталось только «y =» или «x =» на одной стороне уравнения.

Python — Решите линейное уравнение с несколькими переменными

Предварительное условие: Sympy.resolve ()

В этой статье мы обсудим, как решить линейное уравнение, имеющее более одной переменной. Например, предположим, что в уравнениях есть две переменные. Уравнения следующие:

x + y = 1

x-y = 1

Когда мы решаем это уравнение, мы получаем x = 1, y = 0 как одно из решений. В Python мы используем метод Eq () для создания уравнения из выражения.

Синтаксис: Eq (выражение, значение RHS)

Например, если у нас есть выражение как x + y = 1.Его можно записать как Eq (x + y, 1)

Решение уравнения с двумя переменными

Постройте уравнения, используя метод Eq (). Чтобы решить уравнения, передайте их в качестве параметра функции resolve () .

Пример:

Python3

из sympy import символов, Eq, решить

x, y = = 915 'x, y' )

eq1 = Eq ((x + y), 1 )

печать

«Уравнение 1:» )

печать (уравнение 1)

уравнение 2 = уравнение ((x - y), 12

97) 900 печать

( "Уравнение 2" )

печать (eq2)

печать ( "Значения 2 ед. известны следующие переменные: " )

печать (решить ((eq1, eq2), (x, y)))

Выход:

 Уравнение 1:
Уравнение (x + y, 1)
Уравнение 2
Уравнение (x - y, 1)
Значения 2 неизвестных переменных следующие:
{x: 1, y: 0}
 

Решение уравнения с тремя переменными

Постройте следующие уравнения, используя уравнение (), и решите их, чтобы найти неизвестные переменные.

x + y + z = 1

x + y + 2z = 1

Пример:

Python3

из sympy импорт символов, Eq, решить

x, y, z = символов ( 'x, y, z' )

eq1 = ( Eq + y + z), 1 )

печать ( "Уравнение 1:" )

eq2 = Eq ((x - y + 2 * z), 1

97 "E quation 2 " )

print (eq2)

eq3 = Eq (( 2 * 15 x 915 + 2 * z), 1 )

печать ( "Уравнение 3" )

печать Значения 3 неизвестных переменных следующие: « )

печать (решить ((eq1, eq2, eq3), (x, y, z)))

Вывод:

 Уравнение 1:
Уравнение (x + y + z, 1)
Уравнение 2
Уравнение (x - y + 2 * z, 1)
Уравнение 3
Значения 3 неизвестных переменных следующие:
{x: 0, y: 1/3, z: 2/3} 

Внимание компьютерщик! Укрепите свои основы с помощью курса Python Programming Foundation и изучите основы.

Для начала подготовьтесь к собеседованию. Расширьте свои концепции структур данных с помощью курса Python DS . И чтобы начать свое путешествие по машинному обучению, присоединяйтесь к курсу Машинное обучение - базовый уровень

2.2: Использование общей стратегии для решения линейных уравнений

Сводка

К концу этого раздела вы сможете:

  • Использовать коммутативные и ассоциативные свойства
  • Использовать свойства идентичности, инверсии и нуля
  • Упростите выражения с помощью свойства распределения

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

  1. Упростить: \ (\ frac {3} {2} (12x + 20) \).
  2. Упростить: \ (5−2 (n + 1) \).
  3. Найдите ЖК-дисплей \ (\ frac {5} {6} \) и \ (\ frac {1} {4} \).

Решение линейных уравнений с использованием общей стратегии

Решение уравнения похоже на поиск ответа на загадку. Цель решения уравнения - найти значение или значения переменной, которые делают его истинным утверждением. Любое значение переменной, которое делает уравнение истинным, называется решением уравнения.Это ответ на загадку!

Решение УРАВНЕНИЯ

Решение уравнения - это значение переменной, которая делает истинное утверждение при подстановке в уравнение.

Чтобы определить, является ли число решением уравнения, мы подставляем значение переменной в уравнение. Если полученное уравнение является истинным утверждением, то число является решением уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ ЧИСЛО РЕШЕНИЕМ УРАВНЕНИЯ

  1. Подставьте номер переменной в уравнение.
  2. Упростите выражения с обеих сторон уравнения.
  3. Определите, истинно ли полученное уравнение.
    • Если это правда, число является решением.
    • Если это не так, число не решение.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Определите, являются ли значения решениями уравнения: \ (5y + 3 = 10y − 4 \).

  1. \ (y = \ frac {3} {5} \)
  2. \ (y = \ frac {7} {5} \)

Раствор

Поскольку решение уравнения - это значение переменной, которая делает уравнение истинным, начните с подстановки значения решения вместо переменной.

а.

\ (5 лет + 3 = 10 лет-4 \)
Заменить \ (\ color {rec} \ frac {3} {5} \) вместо \ (y \) \ (5 \ left (\ color {red} \ frac {3} {5} \ color {black} \ right) +3 \ stackrel {?} {=} 10 \ left (\ color {red} \ frac { 3} {5} \ color {black} \ right) -4 \)
Умножить. \ (3 + 3 \ stackrel {?} {=} 6-4 \)
Упростить. \ (6 \ neq 2 \)

Поскольку \ (y = \ frac {3} {5} \) не приводит к истинному уравнению, \ (y = \ frac {3} {5} \) не является решением уравнения \ ( 5у + 3 = 10у − 4.\)

г.

\ (5 лет + 3 = 10 лет-4 \)
Заменить \ (\ color {red} \ frac {7} {5} \) вместо \ (y \) \ (5 \ left (\ color {red} \ frac {7} {5} \ color {black} \ right) +3 \ stackrel {?} {=} 10 \ left (\ color {red} \ frac { 7} {5} \ color {back} \ right) -4 \)
Умножить. \ (7 + 3 \ stackrel {?} {=} 14-4 \)
Упростить. \ (10 ​​= 10 \ галочка \)

Поскольку \ (y = \ frac {7} {5} \) приводит к истинному уравнению, \ (y = \ frac {7} {5} \) является решением уравнения \ (5y + 3 = 10y − 4.\)

Упражнение \ (\ PageIndex {1A} \)

Определите, являются ли значения решениями уравнения: \ (9y + 2 = 6y + 3. \)

  1. \ (y = \ frac {4} {3} \)
  2. \ (y = \ frac {1} {3} \)
Ответьте на

нет

Ответ б

да

Упражнение \ (\ PageIndex {1B} \)

Определите, являются ли значения решениями уравнения: \ (4x − 2 = 2x + 1 \).

  1. \ (x = \ frac {3} {2} \)
  2. \ (x = - \ frac {1} {2} \)
Ответьте на

да

Ответ б

нет

Есть много типов уравнений, которые мы научимся решать. В этом разделе мы сосредоточимся на линейном уравнении .

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ

Линейное уравнение - это уравнение с одной переменной, которое можно записать, где \ (a \) и \ (b \) - действительные числа, а \ (a ≠ 0 \), как:

\ [ax + b = 0 \]

Для решения линейного уравнения неплохо иметь общую стратегию, которую можно использовать для решения любого линейного уравнения.В следующем примере мы дадим шаги общей стратегии решения любого линейного уравнения. Если сначала максимально упростить каждую часть уравнения, остальные шаги будут проще.

ПРИМЕР \ (\ PageIndex {2} \)

Решить: \ (7 (n − 3) −8 = −15 \)

Ответ

Решить: \ (2 (m − 4) + 3 = −1. \)

Ответ

\ (м = 2 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {2B} \)

Решите: \ (5 (a − 3) + 5 = −10.\)

Ответ

\ (а = 0 \)

Эти шаги кратко описаны в «Общая стратегия решения линейных уравнений» ниже.

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПО ОБЩЕЙ СТРАТЕГИИ

  1. Максимально упростите каждую часть уравнения.
    Используйте свойство Distributive, чтобы удалить скобки.
    Объедините похожие термины.
  2. Соберите все переменные члены с одной стороны уравнения.

    Используйте свойство равенства сложения или вычитания.

  3. Соберите все постоянные члены на другой стороне уравнения.

    Используйте свойство равенства сложения или вычитания.

  4. Сделайте коэффициент при переменной составляющей равным 1.

    Используйте свойство равенства умножения или деления.

    Назовите решение уравнения.

  5. Проверить решение.

    Подставьте решение в исходное уравнение, чтобы убедиться, что результат верный.

ПРИМЕР \ (\ PageIndex {3} \)

Решить: \ (\ frac {2} {3} (3m − 6) = 5 − m \).

Ответ
\ (\ frac {2} {3} (3 м-6) = 5 м \)
Распространить. \ (2 м-4 = 5 м \)
Добавьте \ (m \) к обеим сторонам, чтобы получить переменные только слева.
Упростить. \ (3 м-4 = 5 \)
Добавьте \ (4 \) к обеим сторонам, чтобы получить константы только справа.
Упростить. \ (3 м = 9 \)
Разделите обе стороны на три.
Упростить. \ (м = 3 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {3A} \)

Решить: \ (\ frac {1} {3} (6u + 3) = 7 − u \).

Ответ

\ (и = 2 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {3B} \)

Решить: \ (\ frac {2} {3} (9x − 12) = 8 + 2x \).

Ответ

\ (х = 4 \)

Мы можем решить уравнения, поместив все члены переменной по обе стороны от знака равенства . Собирая переменные члены на той стороне, где коэффициент переменной больше, мы избегаем работы с некоторыми отрицаниями.Это будет хорошая стратегия, когда мы будем решать проблемы неравенства далее в этой главе. Это также помогает нам предотвращать ошибки с негативом.

ПРИМЕР \ (\ PageIndex {4} \)

Решите: \ (4 (x − 1) −2 = 5 (2x + 3) +6 \).

Ответ

Упражнение \ (\ PageIndex {4A} \)

Решите: \ (6 (p − 3) −7 = 5 (4p + 3) −12. \)

Ответ

\ (р = -2 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {4B} \)

Решите: \ (8 (q + 1) −5 = 3 (2q − 4) −1.\)

Ответ

\ (q = -8 \)

ПРИМЕР \ (\ PageIndex {5} \)

Решите: \ (10 ​​[3−8 (2s − 5)] = 15 (40−5s) \).

Ответ

Упражнение \ (\ PageIndex {5A} \)

Решите: \ (6 [4−2 (7y − 1)] = 8 (13−8y) \).

Ответ

\ (y = - \ frac {17} {5} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {5B} \)

Решите: \ (12 [1−5 (4z − 1)] = 3 (24 + 11z).\)

Ответ

\ (г = 0 \)

Классифицируйте уравнения

Верно ли уравнение, зависит от значения переменной. Уравнение \ (7x + 8 = −13 \) верно, когда мы заменяем переменную x на значение \ (- 3 \), но неверно, когда мы заменяем x любым другим значением. Подобное уравнение называется условным уравнением . Все уравнения, которые мы решили до сих пор, являются условными уравнениями.

УСЛОВНОЕ УРАВНЕНИЕ

Уравнение, которое истинно для одного или нескольких значений переменной и ложно для всех других значений переменной, представляет собой условное уравнение .

Теперь рассмотрим уравнение \ (7y + 14 = 7 (y + 2) \). Вы понимаете, что левая и правая стороны эквивалентны? Давайте посмотрим, что произойдет, когда мы найдем и .

Решить:

\ (7 y + 14 = 7 (y + 2) \)
Распространить. \ (7 лет + 14 = 7 лет + 14 \)
Вычтите \ (7y \) с каждой стороны, чтобы получить \ (y ’\) в одну сторону.
Упростите - символы \ (y \) удаляются. \ (14 = 14 \)
Но \ (14 = 14 \) верно.

Это означает, что уравнение \ (7y + 14 = 7 (y + 2) \) верно для любого значения \ (y \). Мы говорим, что решение уравнения - это все действительные числа.Уравнение, которое справедливо для любого значения переменной, называется идентификатором .

ИДЕНТИЧНОСТЬ

Уравнение, которое справедливо для любого значения переменной, называется идентификатором .

Решение идентификации действительно для всех действительных чисел.

Что произойдет, если мы решим уравнение \ (- 8z = −8z + 9? \)

Решить:

Добавьте \ (8z \) к обеим сторонам, чтобы оставить константу справа.
Упростите - символы \ (z \) удаляются. \ (0 \ neq 9 \)
Но \ (0 ≠ 9 \).

Решение уравнения \ (- 8z = −8z + 9 \) привело к ложному утверждению \ (0 = 9 \). Уравнение \ (- 8z = −8z + 9 \) не будет истинным ни при каком значении \ (z \). У него нет решения. Уравнение, не имеющее решения или неверное для всех значений переменной, называется противоречием.

ПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ

Уравнение, которое ложно для всех значений переменной, называется противоречием .

Противоречие не имеет решения.

Следующие несколько примеров попросят нас классифицировать уравнение как условное, тождественное или противоречащее.

ПРИМЕР \ (\ PageIndex {6} \)

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение: \ (6 (2n − 1) + 3 = 2n − 8 + 5 (2n + 1) \).

Ответ
\ (6 (2 п-1) + 3 = 2 п-8 + 5 (2 п + 1) \)
Распространить. \ (12 п-6 + 3 = 2 п-8 + 10 п + 5 \)
Объедините похожие термины. \ (12 п-3 = 12 п-3 \)
Вычтите \ (12n \) с каждой стороны, чтобы получить \ (n \) в одну сторону.
Упростить. \ (- 3 = -3 \)
Это верное заявление. Уравнение - это тождество.
Решение - все реальные числа.

Упражнение \ (\ PageIndex {6A} \)

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение: \ (4 + 9 (3x − 7) = - 42x − 13 + 23 (3x − 2).\)

Ответ

идентичность; все действительные числа

Упражнение \ (\ PageIndex {6B} \)

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие и затем сформулируйте решение: \ (8 (1−3x) +15 (2x + 7) = 2 (x + 50) +4 (x + 3)) +1. \)

Ответ

идентичность; все действительные числа

ПРИМЕР \ (\ PageIndex {7} \)

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение: \ (8 + 3 (a − 4) = 0 \).

Ответ
\ (8 + 3 (a-4) = 0 \)
Распространить. \ (8 + 3 a-12 = 0 \)
Объедините похожие термины. \ (3 a-4 = 0 \)
Добавьте \ (4 \) с обеих сторон.
Упростить. \ (3 а = 4 \)
Разделить. \ (\ frac {3 a} {\ color {red} 3} \ color {black} = \ frac {4} {\ color {red} 3} \)
Упростить. \ (a = \ frac {4} {3} \)
Уравнение верно, когда \ (a = \ frac {4} {3} \). Это условное уравнение.

Решение: \ (a = \ frac {4} {3} \).

Упражнение \ (\ PageIndex {7A} \)

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение: \ (11 (q + 3) −5 = 19 \).

Ответ
Условное уравнение

; \ (q = - \ frac {9} {11} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {7B} \)

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение: \ (6 + 14 (k − 8) = 95 \).

Ответ
Условное уравнение

; \ (k = \ frac {201} {14} \)

ПРИМЕР \ (\ PageIndex {8} \)

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение: \ (5m + 3 (9 + 3m) = 2 (7m − 11) \).

Ответ
\ (5 м + 3 (9 + 3 м) = 2 (7 м-11) \)
Распространить. \ (5 м + 27 + 9 м = 14 м-22 \)
Объедините похожие термины. \ (14 м + 27 = 14 м-22 \)
Вычтите \ (14m \) с обеих сторон.
Упростить. \ (27 \ neq-22 \)
Но \ (27 ≠ −22 \). Уравнение противоречит.
Нет решения.

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем укажите решение: \ (12c + 5 (5 + 3c) = 3 (9c − 4) \).

Ответ

противоречие; нет решения

Упражнение \ (\ PageIndex {8B} \)

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение: \ (4 (7d + 18) = 13 (3d − 2) −11d \).

Ответ

противоречие; нет решения

Мы суммируем методы классификации уравнений в таблице.

Тип уравнения Что произойдет, когда вы его решите? Решение
Условное уравнение Истинно для одного или нескольких значений переменных и ложно для всех остальных значений Одно или несколько значений
Идентификационный номер Истинно для любого значения переменной Все вещественные числа
Противоречие Ложь для всех значений переменной Нет решения

Решение уравнений с дробными или десятичными коэффициентами

Мы можем использовать общую стратегию для решения следующего примера.Этот метод подойдет, но многие студенты не чувствуют себя уверенно, когда видят все эти дроби. Итак, мы собираемся показать альтернативный метод решения уравнений с дробями. Этот альтернативный метод исключает дроби.

Мы применим свойство равенства умножения и умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (LCD) всех дробей в уравнении. Результатом этой операции будет новое уравнение, эквивалентное первому, но без дробей.Этот процесс называется , очищающий уравнение дробей.

Чтобы очистить уравнение десятичных дробей, мы думаем обо всех десятичных дробях в их форме дробей, а затем находим ЖК-дисплей этих знаменателей.

Упражнение \ (\ PageIndex {9A} \)

Решение: \ (\ frac {1} {12} x + \ frac {5} {6} = \ frac {3} {4} \).

Ответ

Упражнение \ (\ PageIndex {9B} \)

Решение: \ (\ frac {1} {4} x + \ frac {1} {2} = \ frac {5} {8} \).

Ответ

\ (x = \ frac {1} {2} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {9C} \)

Решение: \ (\ frac {1} {8} x + \ frac {1} {2} = \ frac {1} {4} \).

Ответ

\ (х = -2 \)

Обратите внимание, что в предыдущем примере, как только мы очистили уравнение дробей, уравнение было похоже на те, которые мы решали ранее в этой главе. Мы изменили проблему на ту, которую уже знали, как решить.Затем мы использовали общую стратегию решения линейных уравнений .

РЕШИТЕ ​​УРАВНЕНИЯ С ДЕСЯТИЧНЫМИ ИЛИ ДЕСЯТИЧНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

  1. Найдите наименьший общий знаменатель (LCD) всех дробей и десятичных знаков (в форме дробей) в уравнении.
  2. Умножьте обе части уравнения на этот ЖК-дисплей. Это очищает дроби и десятичные знаки.
  3. Решите, используя общую стратегию решения линейных уравнений.

ПРИМЕР \ (\ PageIndex {10} \)

Решить: \ (5 = \ frac {1} {2} y + \ frac {2} {3} y− \ frac {3} {4} y \).

Ответ

Мы хотим очистить дроби, умножив обе части уравнения на ЖК-дисплей всех дробей в уравнении.

Найдите ЖК-дисплей всех дробей в уравнении. \ (5 = \ frac {1} {2} y + \ frac {2} {3} y- \ frac {3} {4} y \)
ЖК-дисплей равен \ (12 \).
Умножьте обе части уравнения на \ (12 \). \ (\ color {red} 12 \ color {black} (5) = \ color {red} 12 \ color {black} \ cdot \ left (\ frac {1} {2} y + \ frac {2} {3 } y- \ frac {3} {4} y \ right) \)
Распространить.
Упростите - заметьте, больше никаких дробей.
Объедините похожие термины. \ (60 = 5 лет \)
Разделим на пять. \ (\ frac {60} {\ color {red} 5} \ color {black} = \ frac {5 y} {\ color {red} 5} \)
Упростить. \ (12 = у \)
Чек: \ (5 = \ frac {1} {2} y + \ frac {2} {3} y- \ frac {3} {4} y \)
Пусть \ (y = 12 \).

Упражнение \ (\ PageIndex {10A} \)

Решение: \ (7 = \ frac {1} {2} x + \ frac {3} {4} x− \ frac {2} {3} x \).

Ответ

\ (х = 12 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {10B} \)

Решить: \ (- 1 = \ frac {1} {2} u + \ frac {1} {4} u− \ frac {2} {3} u \).

Ответ

\ (и = -12 \)

В следующем примере мы выполним распределение до очистки дробей.

ПРИМЕР \ (\ PageIndex {11} \)

Решить: \ (\ frac {1} {2} (y − 5) = \ frac {1} {4} (y − 1) \).

Ответ

Упражнение \ (\ PageIndex {11A} \)

Решение: \ (\ frac {1} {5} (n + 3) = \ frac {1} {4} (n + 2) \).

Ответ

\ (п = 2 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {11B} \)

Решить: \ (\ frac {1} {2} (m − 3) = \ frac {1} {4} (m − 7) \).

Ответ

\ (м = -1 \)

Когда вы умножаете обе части уравнения на ЖК-дисплей дробей, убедитесь, что вы умножаете каждый член на ЖК-дисплей, даже если он не содержит дроби.

ПРИМЕР \ (\ PageIndex {12} \)

Решить: \ (\ frac {4q + 3} {2} + 6 = \ frac {3q + 5} {4} \)

Ответ

Решение: \ (\ frac {3r + 5} {6} + 1 = \ frac {4r + 3} {3} \).

Ответ

\ (г = 3 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {12B} \)

Решение: \ (\ frac {2s + 3} {2} + 1 = \ frac {3s + 2} {4} \).

Ответ

\ (s = -8 \)

В некоторых уравнениях есть десятичные дроби.Такое уравнение может возникнуть, когда мы решаем проблемы, связанные с деньгами или процентами. Но десятичные дроби также могут быть выражены дробями. Например, \ (0.7 = \ frac {7} {10} \) и \ (0.29 = \ frac {29} {100} \). Итак, с уравнением с десятичными знаками мы можем использовать тот же метод, который мы использовали для очистки дробей - умножить обе части уравнения на наименьший общий знаменатель .

В следующем примере используется уравнение, типичное для тех, которые мы увидим в денежных приложениях в следующем разделе.Обратите внимание, что мы очистим все десятичные дроби, умножив их форму дроби на ЖК-дисплей.

Решить: \ (0,25x + 0,05 (x + 3) = 2,85 \).

Ответ

Посмотрите на десятичные дроби и подумайте об эквивалентных дробях:

\ [0.25 = \ frac {25} {100}, \; \; \; \; \; \; \; \; 0,05 = \ frac {5} {100}, \; \; \; \; \; \; \; \; 2.85 = 2 \ frac {85} {100}. \]

Обратите внимание, на ЖК-дисплее отображается \ (100 \). Умножая на ЖК-дисплей, мы удалим десятичные дроби из уравнения.

Упражнение \ (\ PageIndex {13A} \)

Решить: \ (0,25n + 0,05 (n + 5) = 2,95. \)

Ответ

\ (n = 9 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {13B} \)

Решить: \ (0,10d + 0,05 (d − 5) = 2,15. \)

Ответ

\ (г = 16 \)

Ключевые понятия

  • Как определить, является ли число решением уравнения
    1. Подставьте число вместо переменной в уравнении.
    2. Упростите выражения с обеих сторон уравнения.
    3. Определите, истинно ли полученное уравнение.

      Если это правда, число является решением.

      Если это не так, число не является решением проблемы.

  • Как решать линейные уравнения с использованием общей стратегии
    1. Максимально упростите каждую часть уравнения.

      Используйте свойство Distributive, чтобы удалить скобки.

      Объедините похожие термины.

    2. Соберите все переменные члены с одной стороны уравнения.

      Используйте свойство равенства сложения или вычитания.

    3. Соберите все постоянные члены на другой стороне уравнения.

      Используйте свойство равенства сложения или вычитания.

    4. Сделайте коэффициент при переменной составляющей равным 1.

      Используйте свойство равенства умножения или деления.

      Назовите решение уравнения.

    5. Проверить решение.

      Подставьте решение в исходное уравнение, чтобы убедиться, что результат верный.

  • Как решать уравнения с дробными или десятичными коэффициентами
    1. Найдите наименьший общий знаменатель (LCD) всех дробей и десятичных знаков (в форме дробей) в уравнении.
    2. Умножьте обе части уравнения на этот ЖК-дисплей.Это очищает дроби и десятичные знаки.
    3. Решите, используя общую стратегию решения линейных уравнений.

Глоссарий

условное уравнение
Уравнение, которое истинно для одного или нескольких значений переменной и ложно для всех других значений переменной, является условным уравнением.
противоречие
Уравнение, которое неверно для всех значений переменной, называется противоречием.Противоречие не имеет решения.
идентификация
Уравнение, которое истинно для любого значения переменной, называется Идентификацией. Решение идентичности - это все действительные числа.
линейное уравнение
Линейное уравнение - это уравнение с одной переменной, которое можно записать, где a и b - действительные числа, а \ (a ≠ 0 \), как \ (ax + b = 0 \).
решение уравнения
Решение уравнения - это значение переменной, которое делает истинное утверждение при подстановке в уравнение.

    Определение линейной связи

    Что такое линейная связь?

    Линейная связь (или линейная связь) - это статистический термин, используемый для описания прямолинейной связи между двумя переменными. Линейные отношения могут быть выражены либо в графическом формате, где переменная и константа связаны прямой линией, либо в математическом формате, где независимая переменная умножается на коэффициент наклона, добавляемый на константу, которая определяет зависимую переменную.

    Линейная зависимость может быть противопоставлена ​​полиномиальной или нелинейной (криволинейной) зависимости.

    Ключевые выводы

    • Линейная связь (или линейная связь) - это статистический термин, используемый для описания прямолинейной связи между двумя переменными.
    • Линейные отношения могут быть выражены либо в графическом формате, либо в виде математического уравнения вида y = mx + b.
    • Линейные отношения довольно часто встречаются в повседневной жизни.

    Линейное уравнение:

    Математически линейная зависимость - это такая зависимость, которая удовлетворяет уравнению:

    Взаимодействие с другими людьми

    y

    знак равно

    м

    Икс

    +

    б

    где:

    м

    знак равно

    склон

    б

    знак равно

    y-перехват

    \ begin {align} & y = mx + b \\ & \ textbf {где:} \\ & m = \ text {slope} \\ & b = \ text {y-intercept} \\ \ end {align}
    Y = mx + b, где: m = наклон b = точка пересечения с y

    В этом уравнении «x» и «y» - две переменные, которые связаны параметрами «m» и «b». Графически y = mx + b отображается в плоскости x-y как линия с наклоном «m» и точкой пересечения оси y «b».«Y-точка пересечения« b »- это просто значение« y », когда x = 0. Наклон «m» рассчитывается из любых двух отдельных точек (x 1 , y 1 ) и (x 2 , y 2 ) как:

    Взаимодействие с другими людьми

    м

    знак равно

    (

    y

    2

    -

    y

    1

    )

    (

    Икс

    2

    -

    Икс

    1

    )

    m = \ frac {(y_2 - y_1)} {(x_2 - x_1)}
    т = (х2 - х1) (у2 - у1)

    О чем вам говорят линейные отношения?

    Есть три набора необходимых критериев, которым должно соответствовать уравнение, чтобы считаться линейным: уравнение, выражающее линейную зависимость, не может состоять более чем из двух переменных, все переменные в уравнении должны быть в первой степени. , и уравнение должно быть построено в виде прямой линии.

    Обычно используемая линейная зависимость - это корреляция, которая описывает, насколько близко к линейному изменению одна переменная изменяется по сравнению с изменениями другой переменной.

    В эконометрике линейная регрессия - часто используемый метод построения линейных отношений для объяснения различных явлений. Он обычно используется для экстраполяции событий из прошлого, чтобы делать прогнозы на будущее. Однако не все отношения линейны. Некоторые данные описывают изогнутые отношения (например, полиномиальные отношения), в то время как другие данные не могут быть параметризованы.

    Линейные функции

    Математически аналогично линейной зависимости концепция линейной функции. В одной переменной линейную функцию можно записать следующим образом:

    Взаимодействие с другими людьми

    ж

    (

    Икс

    )

    знак равно

    м

    Икс

    +

    б

    где:

    м

    знак равно

    склон

    б

    знак равно

    y-перехват

    \ begin {align} & f (x) = mx + b \\ & \ textbf {где:} \\ & m = \ text {slope} \\ & b = \ text {y-intercept} \\ \ end {align}
    F (x) = mx + b, где: m = наклон b = точка пересечения с y

    Это идентично данной формуле для линейной зависимости, за исключением того, что символ f (x) используется вместо y. Эта замена сделана, чтобы подчеркнуть значение того, что x отображается в f (x), тогда как использование y просто указывает, что x и y - две величины, связанные между собой A и B.

    При изучении линейной алгебры свойства линейных функций тщательно изучаются и становятся строгими. Учитывая скаляр C и два вектора A и B из R N , наиболее общее определение линейной функции гласит, что:

    c

    ×

    ж

    (

    А

    +

    B

    )

    знак равно

    c

    ×

    ж

    (

    А

    )

    +

    c

    ×

    ж

    (

    B

    )

    с \ умножить на f (A + B) = c \ умножить на f (A) + c \ умножить на f (B)
    c × f (A + B) = c × f (A) + c × f (B)

    Примеры линейных отношений

    Пример 1

    Линейные отношения довольно распространены в повседневной жизни.Возьмем, к примеру, понятие скорости. Формула, которую мы используем для расчета скорости, выглядит следующим образом: показатель скорости - это расстояние, пройденное с течением времени. Если кто-то в белом минивэне Chrysler Town and Country 2007 года выпуска путешествует между Сакраменто и Мэрисвиллем в Калифорнии, протяженностью 41,3 мили по шоссе 99, и полное путешествие занимает 40 минут, то он ехал со скоростью чуть ниже 60 миль в час. Взаимодействие с другими людьми

    Хотя в этом уравнении более двух переменных, это все еще линейное уравнение, потому что одна из переменных всегда будет постоянной (расстояние).

    Пример 2

    Линейную зависимость также можно найти в уравнении: расстояние = скорость x время. Поскольку расстояние является положительным числом (в большинстве случаев), эта линейная зависимость будет выражена в верхнем правом квадранте графика с осями X и Y.

    Если велосипед, рассчитанный на двоих, ехал со скоростью 30 миль в час в течение 20 часов, в конечном итоге велосипедист проехал 600 миль. Графически представленная расстоянием по оси Y и временем по оси X, линия, отслеживающая расстояние за эти 20 часов, будет проходить прямо от точки схождения осей X и Y.

    Пример 3

    Чтобы преобразовать Цельсий в Фаренгейт или Фаренгейт в Цельсий, вы должны использовать приведенные ниже уравнения. Эти уравнения выражают линейную зависимость на графике:

    Взаимодействие с другими людьми

    °

    C

    знак равно

    5

    9

    (

    °

    F

    -

    3

    2

    )

    \ степень C = \ frac {5} {9} (\ степень F - 32)
    ° С = 95 (° F − 32)

    Взаимодействие с другими людьми

    °

    F

    знак равно

    9

    5

    °

    C

    +

    3

    2

    \ степень F = \ frac {9} {5} \ степень C + 32
    ° F = 59 ° C + 32

    Пример 4

    Предположим, что независимой переменной является размер дома (измеренный в квадратных футах), который определяет рыночную цену дома (зависимая переменная), умноженная на коэффициент наклона 207.65, а затем добавляется к постоянному члену 10 500 долларов. Если площадь дома составляет 1250 квадратных метров, то рыночная стоимость дома составляет (1250 x 207,65) + 10 500 долларов США = 270 062,50 долларов США. Графически и математически это выглядит следующим образом:

    Изображение Джули Банг © Investopedia 2019

    В этом примере, когда размер дома увеличивается, рыночная стоимость дома увеличивается линейно.

    Некоторые линейные отношения между двумя объектами можно назвать «пропорциональными отношениями». Эти отношения выглядят как

    Взаимодействие с другими людьми

    Y

    знак равно

    k

    ×

    Икс

    где:

    k

    знак равно

    постоянный

    Y

    ,

    Икс

    знак равно

    пропорциональные количества

    \ begin {align} & Y = k \ times X \\ & \ textbf {где:} \\ & k = \ text {constant} \\ & Y, X = \ text {пропорциональные величины} \\ \ end {выровнены}
    Y = k × X, где: k = постоянная Y, X = пропорциональные величины

    При анализе поведенческих данных редко бывает идеальная линейная связь между переменными.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *