7$

Итак, получаем число способов составления суточного наряда

4.2.3. Сочетания

Глава 4. Комбинаторика

4.2.

4.2.3.

Допустим теперь, что нас не интересует порядок, в котором идут выбранные элементы. Например, нужно из десяти человек выбрать троих дежурных. Такая операция называется неупорядоченной выборкой, или сочетанием, в отличие от упорядоченной выборки – размещений.

Символ
читается «це из эн по ка».

Формулу для можно получить из следующих соображений.

Из любого набора, содержащего k элементов, можно получить k! перестановок. Поэтому упорядоченных выборок объёма k существует

штук. Значит,

Пример 1

Для проведения письменного экзамена нужно составить 3 варианта по 5 задач в каждом. Сколькими способами можно разбить 15 задач на 3 варианта?

Пример 2

Сколькими способами можно разместить 10 различных шаров по 4 ящикам так, чтобы в первом ящике оказалось 2 шара, во втором – 3, в третьем – 3 и в четвёртом снова два?

Для числа сочетаний
справедливы некоторые тождества, в частности:

Пример 3

Докажите тождество

Запишем в «нулевой» строке число
В первой строке напишем значения чисел
и
каждое из которых тоже равно 1, так, чтобы значение
оказалось над промежутком между этими двумя числами. Во второй строке запишем числа
и
тоже равные 1, а между ними – число
Обратим внимание, что число равно сумме двух чисел, стоящих над ним:
Продолжим построение, записывая в n-й строке числа от
до
включительно.

Полученный числовой треугольник называется треугольником Паскаля. Согласно свойству
любое число в этом треугольнике равно сумме двух чисел, расположенных над ним в предыдущей строке.

При помощи треугольника Паскаля удобно доказывать различные комбинаторные тождества.

На языке множеств утверждение, доказанное в задаче, выглядит по-другому.

Еще один интересный факт, связанный с треугольником Паскаля, мы приведём здесь без доказательства:

Приведённое тождество называется биномом Ньютона.

Как и в случае с размещениями, существует понятие числа сочетаний с повторениями. Рассмотрим его на следующем примере.

Пример 5

В палитре художника 8 различных красок. Художник берет кистью наугад любую из красок и ставит цветное пятно на ватмане. Затем берет следующую кисть, окунает её в любую из красок и делает второе пятно по соседству. Сколько различных комбинаций существует для шести пятен? Порядок пятен на ватмане не важен.

Вообще, можно сформулировать следующее правило.



Урок 32. сочетания с повторениями — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №32. Сочетания с повторениями.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Элементы комбинаторики
• Сочетания с повторениями

Глоссарий по теме

Перестановки

В комбинаторике конечное упорядоченное множество называется перестановкой без повторения, а их число обозначают Р_n .

Перестановки элементов одного и того же множества отличаются только порядком расположения элементов друг относительно друга.

P_n=1∙2∙3∙4∙…∙(n-1)∙n

Если элементы множества расставлены по кругу, то это так называемые перестановки n элементов по кругу. Их количество равно (n — 1)!

Если множество содержит одинаковые элементы, то подсчет количества перестановок с повторениями производится следующим образом: элементы первого типа можно переставить между собой (n₁ – количество таких элементов) способами, второго типа – способами, k -го типа — способами. Значит, число перестановок с повторениями меньше n! в раз, чем число перестановок без повторения, то есть это число равно

Размещения

В комбинаторике упорядоченные подмножества данного множества называются «размещениями из n элементов на k мест» или, проще: «размещениями из n по k».

Выбор m элементов из множества, содержащего n элементов с повторением и с упорядочиванием выбранных элементов в последовательную цепочку называют размещениями с повторениями из n элементов по m , а общее число обозначают

В комбинаторике подмножества данного множества называются «сочетаниями из n по k элементов» или, проще: «сочетания из n по k».

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е.,   Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Представим себе, что из элементов множества мы составляем всевозможные трехэлементные комбинации, в которых порядок не важен (как в сочетаниях), но выбрав каждый элемент мы возвращаем его обратно в множество и можем выбирать его снова. Сколько же в таком случае мы получим комбинаций

Считаем, что aab, aba или baa одинаковые наборы

aba и abc –разные наборы

Изучение этого случая начнем с простого примера:

В кондитерской имеются пирожные трех видов. Сколькими способами можно заказать набор, состоящий из пяти пирожных?

Поскольку порядок расположения пирожных в коробке не важен, речь идет о сочетаниях. Кроме того, в наборах обязательно будут повторения.

Зашифруем каждый заказ нулями и единицами. Сначала напишем столько единиц, сколько заказали пирожных первого вида. Потом напишем ноль. Дальше напишем столько единиц, сколько заказали пирожных второго вида. Затем опять ноль. Опять напишем столько единиц, сколько заказали пирожных третьего вида.

Каждый «зашифрованный» заказ представляет собой комбинацию из пяти 1 и двух 0. Число выбора заказа равно числу перестановок с повторениями элементов множества {1,1,1,1,1,0,0}. В этом множестве 1 повторяется пять раз и 0 – два раза

Применим формулу для числа перестановок с повторениями

Значит, способов заказать набор пирожных 21.

Выбор m элементов из множества, содержащего n элементов с повторением и без упорядочивания выбранных элементов в последовательную цепочку называют сочетаниями с повторениями из n элементов по m

Пусть множество содержит n элементов, а выборка будет содержать m элементов. Аналогично тому, как мы делали в примере, зашифруем каждую выборку единицами и нулями.

Число единиц равно числу выбираемых элементов, то есть m. Поскольку всего различных элементов в множестве n, то мы должны поставить между единицами (n-1) «перегородку», то есть (n-1) нулей. Число размещений с повторениями равно числу перестановок с повторениями элементов полученного множества из m единиц и (n-1) нулей

Сочетания с повторениями используем тогда, когда порядок расположения элементов в выборке не имеет значения и элементы могут повторяться

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из следующих значений: 5, 6, 7, 8, 9?

Решение:

Данные стороны таковы, что любые три из них соответствуют правилу треугольника, т.е. каждая сторона меньше суммы двух других. Значит, любая комбинация из трех сторон образует треугольник. Здесь речь идет о числе сочетаний из 5 элементов по 3 с повторениями:

Ответ: 35

Пример 2.

Сколько всего чисел (не больше 100000) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке?

Решение. Это задача о числе сочетаний из пяти цифр по одному, по два, по три, по четыре и по пяти с повторениями в каждом случае.

Поскольку  ,  ,  ,  , , то существует 5+15+35+70+126=251 чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: 126

Комбинаторика — основные понятия и формулы с примерами

Комбинаторика — раздел математики. Основные понятия и формулы комбинаторики как науки применяются во всех сферах жизни.

Неудивительно, что она включена в программу 11 класса, а также во вступительные испытания во многих ВУЗах РФ. Ее основы лежат в прикладном искусстве многих сфер деятельности человека.

Ее история насчитывает более 6 веков. Первые комбинаторные задачи появились в трудах философов и математиков Средневековья.

Представители того научного мира пытались найти методы решения таких задач, их базовые правила и понятия, утвердить уникальные формулы и уравнения для тех, кто ещё не встречался с ними. Такая информация в наше время называется информацией «для чайников».

Попытаемся разобраться в аспектах этой области науки: каковы элементы, свойства, правила, методы и основное ее применение в нашей жизни? Конечно, всю область в одной статье невозможно охватить. Поэтому ниже будет представлено всё самое основное.

…

Вконтакте

Facebook

Twitter

Google+

Мой мир

Что такое комбинаторика в математике

Суть этого термина дают книги прошлых лет: это раздел математики, занимающийся операциями со множеством элементов.

В интернете есть учебники по информатике и математике для детей, школьников, сборники материалов и задач для начинающих, где в доступном виде объяснена «занимательная» комбинаторика. Нужно твердо выяснить, как решать подобные задачи.

В младших классах задачи на эту тему решают на дополнительных кружках, а в школах с углубленным изучением математики — на основных уроках. К тому же, задачи по комбинаторике включены в олимпиады всех уровней.

Основные понятия

Их несколько:

1. Элемент – любой объект или явление, входящий в искомое множество.
2. Сочетание – подмножества, находящиеся в произвольном порядке в исходном множестве.
3. Перестановка – элементы во множестве находятся в строго определенном порядке.
4. Размещение – упорядоченные подмножества в исходном множестве.

Правило произведения

Является одним из основных правил при решении таких задач и звучит так:

При выборе элемента А из n способов и выборе элемента В из m способов верно утверждение, что выбрать пару А и В одновременно можно n*m способами.

Рассмотрим на конкретных примерах.

Задача №1.

В коробке лежит 2 мяча и 6 скакалок. Сколько существует способов достать 1 мяч и 1 скакалку?

Ответ прост: 2 * 6 = 12.

Задача №2.

Есть 1 кубик, 2 шарика, 3 цветка и 4 конфеты. Сколькими способами можно вытянуть кубик, шарик, цветок и конфету?

Решение аналогично: 1 * 2 * 3 * 4 = 24.

Причем левую часть можно записать гораздо проще: 4!

! в данном случае является не знаком препинания, а факториалом. С помощью него можно вычислить более сложные варианты и решать трудные задачи (существуют разные формулы, но об этом позже).

Задача №3.

Сколько двузначных чисел можно составить из 2 цифр?

Ответ: 2! = 2.

Задача №4.

Сколько десятизначных чисел можно составить из 10 цифр?

10! = 3628800.

Правило суммы

Тоже является базовым правилом комбинаторики.

Если А можно выбрать n раз, а В — m раз, то А или В можно выбрать (n + m) раз.

Задача №5.

В коробке лежат 5 красных, 3 желтых, 7 зеленых, 9 черных карандашей. Сколько есть способов вытащить 1 любой карандаш?

Ответ: 5 + 3 + 7 + 9 = 24.

Сочетания с повторениями и без повторений

Под этим термином понимают комбинации в произвольном порядке из множества n по m элементов.

Число сочетаний равно количеству таких комбинаций.

Задача №6.

В коробке находится 4 разных фрукта. Сколькими способами можно достать одновременно 2 разных фрукта?

Решение простое:

Где 4! – комбинация из 4 элементов.

С повторениями чуть сложней, комбинации считаются по такой формуле:

Задача №7.

Возьмем тот же самый случай, но при условии, что один фрукт возвращается в коробку.

В этом случае:

Размещения с повторениями и без повторений

Под этим определением понимают набор m элементов из множества n элементов.

Задача №8.

Из 3 цифр надо выбрать 2, чтобы получались разные двузначные числа. Сколько вариантов?

Ответ прост:

А как же быть с повторениями? Здесь каждый элемент может размещаться несколько раз! В таком случае общая формула будет выглядеть следующим образом:

Задача №9.

Из 12 букв латинского алфавита и 10 цифр натурального ряда надо найти все варианты составления автомобильного кода региона.

Решение:

Перестановки с повторениями и без повторений

Под этим термином понимают все возможные комбинации из n элементного множества.

Задача №10.

Сколько возможных пятизначных чисел можно составить из 5цифр? А шестизначных из 6 цифр? Семизначных из 7 цифр?

Решения, согласно вышеприведенной формуле, следующие:

5! = 120;

6! = 720;

7! = 5040.

А как же быть с повторениями? Если в таком множестве есть одинаковые по своей значимости элементы, то перестановок будет меньше!

Задача №11.

В коробке есть 3 одинаковых карандаша и одна ручка. Сколько перестановок можно сделать?

Ответ прост: 4! / (3! * 1!) = 4.

Комбинаторные задачи с решениями

Примеры всех возможных типов задач с решениями были даны выше. Здесь попробуем разобраться с более сложными случаями, встречающимися в нашей жизни.

Заключение

Стоит изучать эту науку, поскольку в век быстрой модернизации технологий потребуются специалисты, способные предоставить различные решения тех или иных практических задач.

Математика.k

1. .

Действительно, каждому -элементному подмножеству данного -элементного множества соответствует одно и только одно -элементное подмножество того же множества.

2. .

Действительно, мы можем выбирать подмножества из  элементов следующим образом: фиксируем один элемент; число -элементных подмножеств, содержащих этот элемент, равно ; число -элементных подмножеств, не содержащих этот элемент, равно .

Треугольник Паскаля

В этом треугольнике крайние числа в каждой строке равны 1, а каждое не крайнее число равно сумме двух чисел предыдущей строки, стоящих над ним. Таким образом, этот треугольник позволяет вычислять числа .

.

Теорема.

Доказательство. Рассмотрим множество из  элементов и решим двумя способами следующую задачу: сколько можно составить последовательностей из  элементов данного
множества, в каждой из которых никакой элемент не встречается дважды?

1 способ. Выбираем первый член последовательности, затем второй, третий и т.д. член

2 способ. Выберем сначала  элементов из данного множества, а затем расположим их в некотором порядке

Домножим числитель и знаменатель этой дроби на :

Пример. Сколькими способами можно в игре “Спортлото” выбрать 5 номеров из 36?

Искомое число способов

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»

Задачи на подсчет числа сочетания

Идёт приём заявок

Подать заявку

Для учеников 1-11 классов и дошкольников

Тема программы: Комбинаторика

Тема: «Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний».

– повторить формулы для нахождения числа различных видов комбинаций: размещений, перестановок, сочетаний без повторов; изучить формулы для нахождения числа различных видов комбинаций: размещений, перестановок, сочетаний с повторами, научиться распознавать задачи на нахождение размещений, перестановок, сочетаний; решить простейшие комбинаторные задачи с помощью этих формул;

– развивать познавательный интерес студентов, логическое мышление, умение применять знания в изменённой ситуации, делать выводы и обобщения; развивать умения сравнивать, систематизировать, обобщать;

– формировать научное мировоззрение у обучающихся, культуру математической речи, информационную и коммуникативную культуру студентов; воспитание дружелюбного отношения друг другу, умение работать в коллективе.

I . Организационный момент

Преподаватель проверяет готовность к уроку.

Я рада приветствовать всех Вас на сегодняшнем уроке.

II . Мотивация. Сообщение темы, целей урока

Определения: перестановки, размещения, сочетания.

Важен ли порядок? В каких соединениях? (размещение)

№1. Экзамен состоит из 5 задач, которые можно решать в любом порядке. Сколькими способами можно расставить задачи. (способов)

№2. В магазине продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора. (способа)

№3. Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8. (всего чисел А, а чисел начинающихся с нуля –, тогда А–=96)

Тема сегодняшнего урока «Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.». Давайте вместе попробуем сформулировать цели урока:

– научиться распознавать задачи на нахождение размещений, перестановок, сочетаний;

– решать простейшие комбинаторные задачи с помощью этих формул.

III . Изучение новой темы

Рассмотрим слово «КВАНТ», состоящее из 5 различных букв. Если менять порядок букв, получим 5!=120 перестановок

Если проделать то же самое со словом «АТАКА», то перестановок будет меньше, потому что, меняя местами 1,3 и 5-ю буквы, будем получать то же самое слово. Т.к. три буквы А можно менять местами 3!=6 способами, то перестановок будет в слове «АТАКА» в 6 раз меньше, т.е.

Вывод: Перестановками в такой выборке, где есть один элемент, называются перестановками с повторениями. Обозначается : Р_{(n1 , n2,…. nk)}

Р ( n 1, n 2,…. nk )₌ , где n – количество повторений элементов

Задача: Сколько различных перестановок можно сделать из букв слова «МАТЕМАТИКА»

перестановки

Ответ: 151200 перестановки

Рассмотрим следующую задачу.

В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?

Решение. Данная задача на отыскание числа сочетаний без повторений, т.к. требуется купить 8 различных открыток

Ответ: 45 способов

Проделаем то же самое, но только определим «Сколькими способами можно купить в нем 8 открыток?

Данная задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из n = 10 элементов по k =8. Следовательно, она решается по формуле

Ответ : 24310 способов

Вывод: Иными словами, выборки которые отличаются количеством элементов хотя бы одного типа, называются сочетаниями с повторениями, а их общее число будем обозначать .

Задача: В кондитерской имеется 3 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 9 пирожных?

Решение. В задаче требуется найти число всевозможных групп по 9 элементов, которые можно составить из данных трех различных элементов, причем указанные элементы в каждой группе могут повторяться, а сами группы отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из трех элементов по девять. Следовательно,

В лифт восьмиэтажного дома вошли 5 пассажиров. Сколькими различными способами могут выйти пассажиры на каждом этаже, начиная со второго?

способов

А теперь ту же задачу, но вопрос сформулируем иначе.

В лифт восьмиэтажного дома вошли 5 пассажиров. Сколькими способами могут выйти пассажиры на каждом этаже, начиная со второго?

Задача такого вида называется «размещения с повторением», обозначается и вычисляется по принципу умножения.

Вычисляется по следующей формуле:

Решение. Задача сводится к распределению 5 пассажиров по 7 этажам (т. е. набор упорядоченный), причем возможны повторения (т. е. несколько пассажиров могут выйти на одном этаже). Таким образом, задача сводится к нахождению числа размещений с повторениями:

Задача: Сколькими способами девочка Яна может разложить 12 кукол по трём ящикам, если каждый ящик может вместить все куклы?

Ответ:

Задача №1. Буквы азбуки Морзе состоят из символов – точка и тире. Сколько букв получим, если потребуем, чтобы каждая буква состояла не более чем из пяти указанных символов?

Решение. Число всех букв, каждая из которых записывается одним символом, равно

Число всех букв, каждая из которых записывается двумя символами, равно .

Число всех букв, каждая из которых записывается тремя символами, равно .

Число всех букв, каждая из которых записывается четырьмя символами, равно .

Число всех букв, каждая из которых записывается пятью символами, равно .

Число всех указанных букв будет равно 62.

Задача №2. Сколько всего чисел (не больше 100000) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке?

Решение. Это задача о числе сочетаний из пяти цифр по одному, по два, по три, по четыре и по пяти с повторениями в каждом случае. Поскольку , , , , , то существует чисел, удовлетворяющих условию задачи.

V . Подведение итогов занятия. Рефлексия.

(Обобщаются новые знания, делаются выводы о достигнутых целях урока. Поощряются активные студенты, выставляются обоснованные преподавателем оценки.)

1) Подведем итоги нашего занятия.

Соединения виды перечислить?

На какие они делятся ? ( повторения и без)

Важен ли порядок? В каких соединениях? (размещение)

4) Формулы нахождения: перестановок, размещения, соединения с повторениями и без.

2) Обсуждение и выставление оценок за урок.

Достиг ли ты своих целей? ______________

Оцени степень усвоения: _______________

Продолжи одно из предложений:

VI . Домашнее задание

1. Сколькими способами можно разместить 8 пассажиров по трем вагонам?

Ответ: .

2. Сколькими способами Буратино, кот Базилио и лиса Алиса могут поделить между собой 5 одинаковых золотых монет?

Ответ: .

3. Сколько различных браслетов можно сделать из 5 одинаковых изумрудов, 6 одинаковых рубинов и 7 одинаковых сапфиров ( всего в браслет входит 18 камней)? ( =)

Определение числа сочетаний

Пусть имеется $n$ различных объектов. Чтобы найти число сочетаний из $n$ объектов по $k$, будем выбирать комбинации из $m$ объектов все возможными способами, при этом будем обращать внимание на разный состав комбинаций, но не порядок (он тут не важен, в отличие от размещений).

Например, есть три объекта <1,2,3>, составляем сочетания по 2 объекта в каждом. Тогда выборки <1,2>и <2,1>- это одно и то же сочетание (так как комбинации отличаются лишь порядком). А всего различных сочетаний из 3 объектов по 2 будет три: <1,2>, <1,3>, <2,3>.

На картинке наглядно проиллюстрировано получение всех возможных сочетаний из 4 различных объектов по 2 (их будет 6, см. калькулятор сочетаний ниже, который даст формулу расчета).k$ онлайн, используйте калькулятор ниже.

Видеоролик о сочетаниях

Не все понятно? Посмотрите наш видеообзор для формулы сочетаний: как использовать Excel для нахождения числа сочетаний, как решать типовые задачи и использовать онлайн-калькулятор.

Расчетный файл из видео можно бесплатно скачать

Полезные ссылки

Решебник по ТВ

Решебник с задачами по комбинаторике и теории вероятностей:

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиальновозможное количество различных вариантов развития событий.

Основная формула комбинаторики

Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из n_i элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n₁*n₂*n₃*. *n_k.

Пример 1. Поясним это правило на простом примере. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из n₁ элементов, а вторая – из n₂ элементов. Сколько различных пар элементов можно составить из этих двух групп, таким образом, чтобы в паре было по одному элементу от каждой группы? Допустим, мы взяли первый элемент из первой группы и, не меняя его, перебрали все возможные пары, меняя только элементы из второй группы. Таких пар для этого элемента можно составить n₂. Затем мы берем второй элемент из первой группы и также составляем для него все возможные пары. Таких пар тоже будет n₂. Так как в первой группе всего n₁ элемент, всего возможных вариантов будет n₁*n₂.

Пример 2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?
Решение: n₁=6 (т.к. в качестве первой цифры можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6), n₂=7 (т.к. в качестве второй цифры можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), n₃=4 (т.к. в качестве третьей цифры можно взять любую цифру из 0, 2, 4, 6).
Итак, N=n₁*n₂*n₃=6*7*4=168.

В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. n₁=n₂=. n_k=n можно считать, что каждый выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда число всех способов выбора равно n k . Такой способ выбора в комбинаторики носит название выборки с возвращением.

Пример 3. Сколько всех четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7, 8?
Решение. Для каждого разряда четырехзначного числа имеется пять возможностей, значит N=5*5*5*5=5 4 =625.

Рассмотрим множество, состоящие из n элементов. Это множество в комбинаторике называется генеральной совокупностью.

Число размещений из n элементов по m

Определение 1. Размещением из n элементов по m в комбинаторике называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 4. Различными размещениями из трех элементов <1, 2, 3>по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.

Число размещений в комбинаторике обозначается A_n m и вычисляется по формуле:

Замечание: n!=1*2*3*. *n (читается: «эн факториал»), кроме того полагают, что 0!=1.

Пример 5. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?
Решение: т.к. нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:

Определение 2. Сочетанием из n элементов по m в комбинаторике называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 6. Для множества <1, 2, 3>сочетаниями являются <1, 2>, <1, 3>, <2, 3>.

Число сочетаний из n элементов по m

Число сочетаний обозначается C_n m и вычисляется по формуле:

Пример 7. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести имеющихся?

Решение: Число способов равно числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно:

Перестановки из n элементов

Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Пример 7a. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов <1, 2, 3>являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число различных перестановок из n элементов обозначается P_n и вычисляется по формуле P_n=n!.

Пример 8. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение:эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P₇=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.

Обсуждение. Мы видим, что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам (перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный, т.к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов одновременно.

Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов).

Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам нужны.

И последнее, важно знать, является ли для нас существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на следующем примере.

Пример 9. На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?
Решение: В этом примере нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5.

Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок, которые имеют значение. Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5.

Задачи для самопроверки
1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?

2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?

4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе 20 человек?

5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?

6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию, состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это можно сделать?

Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания

Данный калькулятор делает подсчет числа перестановок, а также размещений и сочетаний.

Перестановка (permutation) — некий вариант упорядочивания множества.

Глянем на пример: и так, у нас есть множество, состоящее из 3 элементов — А, В, и С. Пример перестановки — СВА.

Количество всех перестановок из n элементов рассчитывается:

Пример: Для случая А, В, С количество всех перестановок 3! = 6. Перестановки: АВС, АСВ, ВАС, ВСА, САВ, СВА

Размещением (arrangement) называется явление, когда из множества n элементов выбирают m в определенном порядке.

Например размещения из 3 по 2: АВ или ВА — это два разных размещения. Количество всех размещений из n по m вычисляется:

Снова пример:

Для случая А, В, С количество всех размещений из 3 по 2 равно 3!/1! = 6. Размещения: АВ, ВА, АС, СА, ВС, СВ

Также бывают размещения с повторениями, как ясно из названия, элементы на определенных позициях могут повторяться.

Количество всех размещений из n по m с повторениями можно высчитать так:

Следующий пример: Для случая А, В, С число всех размещений из 3 по 2 с повторениями равно 3*3 = 9. Размещения: AA, АВ, АС, ВА, BB, ВС, СА, СВ, CC

Сочетание (combination) — когда из множества n элементов выбирают m, и порядок не важно какой.

Пример сочетания из 3 по 2: АВ.

Количество всех размещений из n по m рассчитываем:

Пример: Для случая А, В, С число всех сочетаний из 3 по 2 равно 3!/(2!*1!) = 3. Сочетания: АВ, АС, СВ

Возведем все в 1 формулу соотношения между перестановками, размещениями и сочетаниями



The field is not filled.

‘%1’ is not a valid e-mail address.

Please fill in this field.

The field must contain at least% 1 characters.

The value must not be longer than% 1 characters.

Field value does not coincide with the field ‘%1’

An invalid character. Valid characters:’%1′.

Expected number.

It is expected a positive number.

Expected integer.

It is expected a positive integer.

The value should be in the range of [%1 .. %2]

The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.

The field must be less than 1%.

The first character must be a letter of the Latin alphabet.

Su

Mo

Tu

We

Th

Fr

Sa

January

February

March

April

May

June

July

August

September

October

November

December

century

B.C.

%1 century

An error occurred while importing data on line% 1.
Value: ‘%2’.
Error:
%3

Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).

%3.%2.%1%4

%3.%2.%1%4 %6:%7

s.sh.

u.sh.

v.d.

z.d.

yes

no

Wrong file format. Only the following formats: %1

Please leave your phone number and / or email.

minutes

minutes

minute

minutes

minutes

minutes

minutes

minutes

minutes

minutes

minutes

minutes

minutes

hour

hours

hours

hours

hours

hours

hours

hours

hours

hours

hours

days

day

day

day

day

days

days

days

days

days

days

days

month

month

month

month

months

months

months

months

months

months

months

year

of the year

of the year

of the year

years

years

years

years

years

years

years

ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutesу ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 hour ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 days ago

%1 day ago

%1 day ago

%1 day ago

%1 day ago

%1 days ago

%1 days ago

%1 days ago

%1 days ago

%1 days ago

%1 days ago

%1 days ago

%1 month ago

%1 month ago

%1 month ago

%1 month ago

%1 months ago

%1 months ago

%1 months ago

%1 months ago

%1 months ago

%1 months ago

%1 months ago

%1 year ago

%1 of the year ago

%1 of the year ago

%1 of the year ago

%1 years ago

%1 years ago

%1 years ago

%1 years ago

%1 years ago

%1 years ago

%1 years ago

Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания

 Число перестановок из n:

 Число размещений из n по m:

 Число размещений из n по m с повторениями:

 Число сочетаний из n по m:

простых перестановок и комбинаций — лучше объяснение

Я всегда путала «перестановку» и «комбинацию» — какая из них какая?

Вот простой способ запомнить: перестановка звучит сложно , не так ли? И это. При перестановках важна каждая мелочь. Алиса, Боб и Чарли отличаются от Чарли, Боба и Алисы (вставьте сюда имена своих друзей).

С другой стороны, комбинации

довольно просты. Детали значения не имеют.Алиса, Боб и Чарли такие же, как Чарли, Боб и Алиса.

Перестановки предназначены для списков (порядок имеет значение), а комбинации — для групп (порядок не имеет значения).

Знаете, «кодовый замок» действительно следует называть «блокировкой с перестановкой». Порядок, в котором вы ставите числа, имеет значение.

Настоящий «кодовый замок» примет правильными и 10-17-23, и 23-17-10.

Перестановки: волосатые детали

Давайте начнем с перестановок, или всех возможных способов, чего-то сделать.Мы используем модный термин «перестановка», поэтому позаботимся о каждой детали, включая порядок каждого элемента. Допустим, у нас 8 человек:

  1: Алиса
2: Боб
3: Чарли
4: Дэвид
5: Ева
6: Фрэнк
7: Джордж
8: Горацио
  

Сколько способов мы можем присуждать призы за 1, 2 и 3 места среди восьми участников? (Золото / Серебро / Бронза)

Мы собираемся использовать перестановки, так как порядок, в котором мы раздаем эти медали, имеет значение. Вот как он распадается:

• Золотая медаль: 8 вариантов: A B C D E F G H (Как я умно совмещал имена с буквами, а?).Скажем, А выигрывает золото.
• Серебряная медаль: 7 вариантов: B C D E F G H. Допустим, B выигрывает серебро.
• Бронзовая медаль: 6 вариантов: C D E F G H. Скажем так… C выигрывает бронзу.

Мы выбрали определенных людей, которые выиграют, но детали не имеют значения: сначала у нас было 8 вариантов, затем 7, затем 6. Общее количество вариантов составило 8 долларов * 7 * 6 = 336 долларов.

Давайте посмотрим на детали. Нам пришлось заказать 3 человека из 8. Для этого мы начали со всеми вариантами (8), затем забирали их по одному (7, затем 6), пока у нас не закончились медали.

Мы знаем, что факториал:

К сожалению, этого уже слишком! Нам нужно всего 8 * 7 * 6 $. Как мы можем «остановить» факториал на 5?

Вот где перестановки становятся крутыми: обратите внимание, как мы хотим избавиться от $ 5 * 4 * 3 * 2 * 1 $. Как еще это назвать? 5 факториал!

Итак, если мы сделаем 8! / 5! получаем:

А почему мы использовали цифру 5? Потому что это осталось после того, как мы выбрали 3 медали из 8. Итак, лучше написать это:

где 8! / (8-3)! это просто причудливый способ сказать «Используйте первые 3 цифры из 8!».Если у нас есть n элементов и мы хотим выбрать k в определенном порядке, мы получим:

И это причудливая формула перестановки: у вас есть n элементов, и вы хотите найти количество способов, которыми можно заказать k элементов:

Комбинации, Хо!

Комбинации просты. Порядок не имеет значения. Вы можете смешать это, и он выглядит так же. Допустим, я скряга и не могу позволить себе раздельные золотые, серебряные и бронзовые медали.Фактически, я могу позволить себе только пустые консервные банки.

Сколько способов я могу подарить 3 консервные банки 8 людям?

Ну, в этом случае порядок, в котором мы отбираем людей, не имеет значения. Если я дам банку Алисе, Бобу, а затем Чарли, это то же самое, что дать Чарли, Алисе и затем Бобу. В любом случае они одинаково разочарованы.

Это вызывает интересный момент — здесь у нас есть некоторые дублирования. Алиса Боб Чарли = Чарли Боб Алиса. На мгновение давайте просто выясним, сколькими способами мы можем переставить трех человек.

Итак, у нас есть 3 варианта для первого лица, 2 для второго и только 1 для последнего. Итак, у нас есть 3 * 2 * 1 $ способов перераспределить 3 человека.

Погодите … это немного похоже на перестановку! Ты обманул меня!

Верно. Если у вас N человек и вы хотите знать, сколько аранжировок имеется для всех из них, это просто N факториал или N!

Итак, если у нас есть 3 жестяных банки, которые можно раздать, их будет 3! или 6 вариантов на каждый выбор, который мы выберем.Если мы хотим выяснить, сколько у нас комбинаций, мы просто создаем всех перестановок и делим на все избыточности . В нашем случае мы получаем 336 перестановок (сверху), делим на 6 избыточностей для каждой перестановки и получаем 336/6 = 56.

Общая формула

, что означает «Найдите все способы выбрать k человек из n и разделить на k! варианты ». Записав это, мы получаем нашу формулу комбинирования , или количество способов комбинировать k элементов из набора n:

Иногда C (n, k) записывается как:

, который является биномиальным коэффициентом.

Несколько примеров

Вот несколько примеров комбинаций (порядок не имеет значения) из перестановок (порядок имеет значение).

• Комбинация: Выбор команды из 3 человек из группы из 10 человек. $ C (10,3) = 10! / (7! * 3!) = 10 * 9 * 8 / (3 * 2 * 1) = 120 $.

  Перестановка: выбор президента, вице-президента и водяного мальчика из группы из 10 человек. $ P (10,3) = 10! / 7! = 10 * 9 * 8 = 720 $.

• Комбинация: выбор 3 десертов из 10 меню. C (10,3) = 120.

  Перестановка: перечисление 3 ваших любимых десертов по порядку из меню из 10. P (10,3) = 720.

Не запоминайте формулы, поймите, почему они работают. Комбинации звучат проще, чем перестановки, и они есть. У вас меньше комбинаций, чем перестановок.

Другие сообщения в этой серии

1. Простые перестановки и комбинации
2. Перемещение по сетке с использованием комбинаций и перестановок
3. Как понимать комбинации с помощью умножения
4. Почему мы умножаем комбинации?

Биномиальное распределение

Подбрасывание монеты:

• Получили ли мы головы (H) или
• Хвосты (Т)

Мы говорим, что вероятность выпадения монеты H составляет ½
И вероятность выпадения монеты T составляет ½

Бросок кубика:

• Мы получили четверку…?
• … или нет?

Мы говорим, что вероятность четырех равна 1/6 (одна из шести граней равна четверке)
И вероятность того, что не четыре , составляет 5/6 (пять из шести граней не являются четверкой)

Обратите внимание, что матрица имеет 6 сторон, но здесь мы рассмотрим только два корпуса : «четыре: да» или «четыре: нет»

Давайте подбросим монетку!

Подбросьте справедливую монету трижды … каков шанс получить две головы ?

Подбрасывание монеты три раза ( H для орла, T для решки) может получить любой из этих 8 результатов :

Какие результаты мы хотим?

«Две головы» могут быть в любом порядке: «HHT», «THH» и «HTH» имеют две головы (и один хвост).

Итак, 3 результата дают «Две головы».

Какова вероятность каждого исхода?

Каждый исход одинаково вероятен, а их 8, поэтому каждый исход имеет вероятность 1/8

Таким образом, вероятность события «Две головы» составляет:

Таким образом, шанс получить две головы составляет 3/8

Мы использовали специальные слова:

• Результат : любой результат трех подбрасываний монеты (8 различных возможностей)
• Событие : «Две головы» из трех подбрасываний монеты (3 исхода имеют это)

3 головы, 2 головы, 1 голова, нет

Расчеты (P означает «Вероятность»):

• P (три головки) = P ( HHH ) = 1/8
• P (две головки) = P ( HHT ) + P ( HTH ) + P ( THH ) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8
• P (одна головка) = P ( HTT ) + P ( THT ) + P ( TTH ) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8
• P (нулевой напор) = P ( TTT ) = 1/8

Мы можем записать это в терминах случайной переменной, X, = «Количество голов при 3 подбрасывании монеты»:

• P (X = 3) = 1/8
• P (X = 2) = 3/8
• P (X = 1) = 3/8
• P (X = 0) = 1/8

А вот как это выглядит в виде графика:

Симметрично!

Создание формулы

А теперь представьте, что нам нужны шансы 5 орлов за 9 бросков : перечисление всех 512 исходов займет много времени!

Итак, давайте составим формулу.

В нашем предыдущем примере, как мы можем получить значения 1, 3, 3 и 1?

Что ж, они действительно находятся в Треугольнике Паскаля!

Можем ли мы сделать их по формуле?

Конечно, можем, и вот он:

Его часто называют «n choose k»

• n = общее количество
• k = число, которое мы хотим
• знак «!» означает «факториал», например 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Подробнее см.
об этом в Комбинации и Перестановки.

Попробуем:

Пример: при 3 бросках каковы шансы на 2 решки?

У нас n = 3 и k = 2 :

н! к! (Н-к)! = 3! 2! (3-2)!

= 3 × 2 × 1 2 × 1 × 1

= 3

Итак, есть 3 исхода с «2 головами»

(Мы это уже знали, но теперь у нас есть формула.)

Давайте ответим на более сложный вопрос:

Пример: при 9 бросках, каковы шансы на 5 бросков?

У нас n = 9 и k = 5 :

н! к! (Н-к)! = 9! 5! (9-5)!

= 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1

= 126

Значит, у 126 исходов будет 5 голов

А для 9 бросков всего 2 ⁹ = 512 исходов, поэтому получаем вероятность:

Итак:

P (X = 5) = 126 512 = 0.24609375

Примерно с вероятностью 25% .

(Легче, чем перечислить их все.)

Смещение!

На данный момент шансы на успех или неудачу равны .

Но что, если монеты смещены (больше на одну сторону, чем на другую) или выбор не равен 50/50.

Пример: вы продаете бутерброды. 70% выбирают курицу, остальные выбирают что-то другое.

Какова вероятность продажи 2 бутербродов с курицей следующим 3 покупателям?

Это похоже на пример орла и решки, но с 70/30 вместо 50/50.

Нарисуем древовидную диаграмму:

Ящики «Две курицы» выделены.

Вероятности для «двух цыплят» равны 0,147 , потому что мы умножаем два 0,7 и один 0,3 в каждом случае. Другими словами

0,147 = 0,7 × 0,7 × 0,3

Или, используя экспоненты:

= 0,7 ² × 0,3 ¹

0,7 — это вероятность каждого выбора, который мы хотим, назовем его p

2 — это количество вариантов, которое мы хотим, назовем его k

А у нас (пока):

= p ^k × 0.3 ¹

0,3 — вероятность противоположного выбора, так что это: 1 − p

1 — это количество противоположных вариантов, так что это: n − k

Что дает нам:

= p ^k (1-p) ^(n-k)

Где

• p — вероятность каждого выбора, который мы хотим
• k — желаемое количество вариантов
• n — общее количество вариантов

Пример: (продолжение)

• р = 0.7 (шанс курицы)
• k = 2 (выбор курицы)
• n = 3 (всего вариантов)

Получаем:

p ^k (1-p) ^(n-k) = 0,7 ² (1-0,7) ^(3-2)

= 0,7 ² (0,3) ⁽¹⁾

= 0,7 × 0,7 × 0,3

= 0,147

, что у нас было раньше, но теперь используется формула

Теперь мы знаем, что вероятность каждого исхода равна 0,147

Но мы должны включить, что существует три таких способа, которыми это может произойти: (курица, курица, другое) или (курица, другое, курица) или (другое, курица, курица)

Пример: (продолжение)

Общее количество исходов «два цыпленка»:

н! к! (Н-к)! = 3! 2! (3-2)!

= 3 × 2 × 1 2 × 1 × 1

= 3

И получаем:

Таким образом, вероятность события «2 человека из 3 выбирают курицу» = 0,441

ОК. Это был большой труд для того, что мы уже знали, но теперь у нас есть формула, которую мы можем использовать для более сложных вопросов.

Пример: Сэм говорит: «70% выбирают курицу, поэтому 7 из следующих 10 клиентов должны выбрать курицу» … каковы шансы, что Сэм прав?

Итак имеем:

И получаем:

п ^к (1-п) ^(н-к) = 0.7 ⁷ (1-0,7) ^(10-7)

= 0,7 ⁷ (0,3) ⁽³⁾

= 0,0022235661

Это вероятность каждого исхода.

И общее количество этих исходов:

н! к! (Н-к)! = 10! 7! (10-7)!

= 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 3 × 2 × 1

= 10 × 9 × 8 3 × 2 × 1

= 120

И получаем:

Таким образом, вероятность того, что 7 из 10 выберут курицу, составляет всего около 27%

Мораль истории: даже при том, что долгосрочное среднее значение составляет 70%, не ожидайте 7 из следующих 10.

Собираем вместе

Теперь мы знаем, как вычислить , сколько :

н! к! (Н-к)!

И вероятность каждого :

п ^к (1-р) ^(н-к)

При умножении получаем:

Вероятность k из n способов:

П (k из n) = n! к! (Н-к)! п ^к (1-р) ^(н-к)

Общая формула биномиальной вероятности

Важные примечания:

• Испытания независимые,
• В каждом испытании есть только два возможных исхода,
• Вероятность «успеха» в каждом испытании постоянна.

Quincunx

Поиграйте с Quincunx (затем прочтите Quincunx Explained), чтобы увидеть биномиальное распределение в действии.

Брось кубик

Честный кубик бросается четыре раза. Рассчитайте вероятности получения:

• 0 двоек
• 1 Два
• 2 двойки
• 3 двойки
• 4 двойки

В данном случае n = 4 , p = P (Два) = 1/6

X — это случайная переменная «Число двоек из четырех бросков».

Подставьте x = от 0 до 4 в формулу:

P (k из n) = n! к! (Н-к)! п ^к (1-р) ^(н-к)

Вот так (до 4 знаков после запятой):

• P (X = 0) = 4! 0! 4! × (1/6) ⁰ (5/6) ⁴ = 1 × 1 × (5/6) ⁴ = 0,4823
• P (X = 1) = 4! 1! 3! × (1/6) ¹ (5/6) ³ = 4 × (1/6) × (5/6) ³ = 0.3858
• P (X = 2) = 4! 2! 2! × (1/6) ² (5/6) ² = 6 × (1/6) ² × (5/6) ² = 0,1157
• P (X = 3) = 4! 3! 1! × (1/6) ³ (5/6) ¹ = 4 × (1/6) ³ × (5/6) = 0,0154
• P (X = 4) = 4! 4! 0! × (1/6) ⁴ (5/6) ⁰ = 1 × (1/6) ⁴ × 1 = 0,0008

Резюме: «для 4 бросков существует 48% вероятность отсутствия двоек, 39% вероятность 1 два, 12% вероятность 2 двоек, 1.5% шанс выпадения 3 двоек и крошечный 0,08% шанс того, что все броски будут двойками (но это все равно может случиться!) »

На этот раз график несимметричный:

Это несимметрично!

Перекошено, потому что p не равно 0,5

Спортивные велосипеды

Ваша компания занимается производством спортивных мотоциклов. 90% проходят окончательную проверку (а 10% не проходят и требуют исправления).

Каково ожидаемое среднее значение и отклонение от 4 следующих проверок?

Сначала посчитаем все вероятности.

X — случайная переменная «Число проходов из четырех проверок».

Подставьте x = от 0 до 4 в формулу:

P (k из n) = n! к! (Н-к)! п ^к (1-р) ^(н-к)

Как это:

• P (X = 0) = 4! 0! 4! × 0,9 ⁰ 0,1 ⁴ = 1 × 1 × 0,0001 = 0,0001
• P (X = 1) = 4! 1! 3! × 0,9 ¹ 0.1 ³ = 4 × 0,9 × 0,001 = 0,0036
• P (X = 2) = 4! 2! 2! × 0,9 ² 0,1 ² = 6 × 0,81 × 0,01 = 0,0486
• P (X = 3) = 4! 3! 1! × 0,9 ³ 0,1 ¹ = 4 × 0,729 × 0,1 = 0,2916
• P (X = 4) = 4! 4! 0! × 0,9 ⁴ 0,1 ⁰ = 1 × 0,6561 × 1 = 0,6561

Резюме: «для следующих 4 байков есть крошечный 0.Вероятность отсутствия передач 01%, вероятность отсутствия передач 0,36%, вероятность 2 передач 5%, вероятность 3 передач 29% и колоссальная вероятность 66%, что все они пройдут проверку «.

Среднее значение, дисперсия и стандартное отклонение

Давайте вычислим среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение для проверок спортивных велосипедов.

Для них существуют (относительно) простые формулы. Их немного сложно доказать, но они работают!

Среднее или «ожидаемое значение»:

мк = np

Для спортивных мотоциклов:

μ = 4 × 0.9 = 3,6

Итак, можно ожидать, что 3,6 мотоцикла (из 4) пройдут техосмотр.
На самом деле имеет смысл … 0,9 шанс для каждого велосипеда умножить на 4 велосипеда равняется 3,6

Формула дисперсии:

Отклонение: σ ² = np (1-p)

Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии:

.

σ = √ (np (1-p))

Для спортивных мотоциклов:

Разница: σ ² = 4 × 0,9 × 0,1 = 0,36

Стандартное отклонение:

σ = √ (0.36) = 0,6

Примечание: мы также можем рассчитать их вручную, составив такую ​​таблицу:

Среднее значение — это Сумма (X × P (X)) :

мк = 3,6

Дисперсия — это Сумма (X ² × P (X)) минус Среднее ² :

Разница: σ ² = 13,32 — 3,6 ² = 0,36

Стандартное отклонение:

σ = √ (0,36) = 0,6

И мы получили те же результаты, что и раньше (ура!)

Сводка

перестановок и комбинаций | Описание, примеры и формула

Перестановки и комбинации , различные способы, которыми объекты из набора могут быть выбраны, обычно без замены, для формирования подмножеств.Этот выбор подмножеств называется перестановкой, когда порядок выбора является фактором, и комбинацией, когда порядок не является фактором. Рассматривая отношение количества желаемых подмножеств к количеству всех возможных подмножеств для многих азартных игр 17 века, французские математики Блез Паскаль и Пьер де Ферма дали толчок развитию комбинаторики и теории вероятностей.

Подробнее по этой теме

комбинаторика: биномиальные коэффициенты

… n объектов называется перестановкой n вещей, взятых по r за раз.Количество перестановок …

Концепции и различия между перестановками и комбинациями могут быть проиллюстрированы путем изучения всех различных способов, которыми пара объектов может быть выбрана из пяти различимых объектов, таких как буквы A, B, C, D и E. учитываются как выбранные буквы, так и порядок выбора, тогда возможны следующие 20 результатов:

Каждый из этих 20 различных возможных вариантов выбора называется перестановкой.В частности, они называются перестановками пяти объектов, взятых по два за раз, а количество таких возможных перестановок обозначается символом ₅ P ₂ , читается как «5 перестановок 2». В общем, если имеется n объектов, доступных для выбора, и перестановки ( P ) должны быть сформированы с использованием k объектов одновременно, количество различных возможных перестановок обозначается символом _n P _k .Формула для его оценки: _n P _k = n ! / ( n — k )! Выражение n ! — читать « n факториал» — указывает, что все последовательные положительные целые числа от 1 до n включительно должны быть умножены вместе, и 0! определяется равным 1. Например, используя эту формулу, количество перестановок пяти объектов, взятых по два за раз, равно

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту.Подпишитесь сейчас

(Для k = n , _n P _k = n ! Таким образом, для 5 объектов имеется 5! = 120 расположений.)

Для комбинаций, k объектов выбираются из набора n объектов для создания подмножеств без упорядочивания. В отличие от предыдущего примера перестановки с соответствующей комбинацией, подмножества AB и BA больше не являются отдельными выборками; за счет исключения таких случаев остается только 10 различных возможных подмножеств — AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE и DE.

Количество таких подмножеств обозначено как _n C _k , читать « n select k ». Для комбинаций, так как k объектов имеют k ! аранжировки, есть к ! неразличимые перестановки для каждого выбора из k объектов; следовательно, разделив формулу перестановки на k ! дает следующую формулу комбинации:

Это то же самое, что и биномиальный коэффициент ( n , k ) ( см. биномиальную теорему ; эти комбинации иногда называют подмножествами k ).Например, количество комбинаций пяти объектов, взятых по два за раз, равно

Формулы для _n P _k и _n C k называются счетными формулами, поскольку их можно использовать для подсчета количества возможных перестановок или комбинаций в данной ситуации без необходимости перечислять их все.

Определение, формула и практический пример

Что такое комбинация?

Комбинация — это математический метод, который определяет количество возможных расположений в коллекции элементов, где порядок выбора не имеет значения.В комбинациях вы можете выбирать элементы в любом порядке.

Комбинации можно спутать с перестановками. Однако в перестановках важен порядок выбранных элементов. Например, компоновки ab и ba равны в комбинациях (рассматриваемых как одна компоновка), тогда как в перестановках компоновки различаются.

Комбинации изучаются в комбинаторике, но также используются в различных дисциплинах, включая математику и финансы.

Формула для комбинирования

Математически формула для определения количества возможных расположений путем выбора только нескольких объектов из набора без повторения выражается следующим образом:

Где:

• n — общее количество элементов в наборе
• k — количество выбранных объектов (порядок объектов не важен)
• ! — факториал

Факториал (помеченный как «!») — это произведение всех положительных целых чисел, меньших или равных числу перед знаком факториала.Например, 3! = 1 x 2 x 3 = 6.

Обратите внимание, что приведенная выше формула может использоваться только в том случае, если объекты из набора выбраны без повторения.

Пример комбинации

Вы управляете портфелем в небольшом хедж-фонде Стратегии хедж-фонда Хедж-фонд — это инвестиционный фонд, созданный аккредитованными физическими лицами и институциональными инвесторами с целью максимизации прибыли и. Вы решили создать новый фонд, который будет привлекать рисковых инвесторов.Фонд будет включать акции Налог на прирост капитала Налог на прирост капитала — это налог, взимаемый с прироста капитала или прибыли, которую физическое лицо получает от продажи активов. Налог взимается только после того, как актив был конвертирован в наличные, а не тогда, когда он все еще находится в руках инвестора. быстрорастущих компаний с высоким потенциалом роста. Ваша группа аналитиков определила акции 20 компаний, соответствующих вашему профилю.

Поскольку это новый фонд, вы решили включить пять акций с равным весом в первоначальный портфель, а через год вы проанализируете эффективность портфеля и добавите новые акции, если фонд будет успешным.В настоящее время вы хотите определить количество возможных портфелей, которые вы можете создать из акций, определенных вашими аналитиками.

Принятие инвестиционного решения является примером проблемы объединения. Поскольку вы собираетесь разработать портфель, в котором все акции будут иметь равный вес, порядок выбранных акций не влияет на портфель. Например, портфели ABC и CBA будут равны друг другу из-за схожего веса (по 33,3% каждый) каждой акции.

Таким образом, вы можете использовать формулу комбинирования для расчета количества возможных договоренностей:

Существует 15 504 возможных портфеля из пяти акций, которые можно создать из 20 акций, включенных в короткий список.

Дополнительные ресурсы

CFI предлагает программу финансового моделирования и оценки (FMVA) ™ Стать сертифицированным аналитиком финансового моделирования и оценки (FMVA) ® для тех, кто хочет вывести свою карьеру на новый уровень. Чтобы продолжать учиться и продвигаться по карьерной лестнице, вам будут полезны следующие ресурсы CFI:

• Инвестирование: руководство для начинающих Инвестирование: руководство для начинающих Руководство CFI по инвестициям для начинающих научит вас основам инвестирования и научит их начинать.Узнайте о различных стратегиях и методах торговли, а также о различных финансовых рынках, на которые вы можете инвестировать.
• Маржинальная торговля Маржинальная торговля Маржинальная торговля — это заимствование средств у брокера с целью инвестирования в финансовые ценные бумаги. Приобретенные акции служат залогом по ссуде. Основная причина заимствования денег состоит в том, чтобы получить больше капитала для инвестирования
• Начальная цена Страйк-цена Страйк-цена — это цена, по которой держатель опциона может реализовать опцион на покупку или продажу базовой ценной бумаги, в зависимости от
• Типы рынков — Дилеры, брокеры, биржи Типы рынков — дилеры, брокеры, биржи Рынки включают брокеров, дилеров и биржевые рынки.Каждый рынок работает с разными торговыми механизмами, которые влияют на ликвидность и контроль. Различные типы рынков допускают разные торговые характеристики, описанные в этом руководстве

Перестановка / комбинация — SAT Math

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Как рассчитать вероятность комбинаций — математический класс [Видео 2021]

Формула комбинаций

Глядя на уравнение для вычисления комбинаций, вы можете видеть, что факториалы используются во всей формуле.Помните, что формула для расчета комбинаций: n C r = n ! / r ! * ( n — r ) !, где n представляет количество элементов, а r представляет количество элементов, выбираемых за раз. Давайте посмотрим на примере, как рассчитать комбинацию.

На этой неделе вы можете взять напрокат десять новых фильмов на DVD. Джон хочет выбрать три фильма для просмотра в эти выходные. Сколько комбинаций фильмов он может выбрать?

В этой задаче Джон выбирает три фильма из десяти новых выпусков.10 будет представлять переменную n , а 3 будет представлять переменную r . Итак, наше уравнение будет выглядеть так: 10C3 = 10! / 3! * (10 — 3) !.

Первый шаг, который необходимо сделать, — это вычесть 10 минус 3 в нижней части этого уравнения. 10 — 3 = 7, поэтому наше уравнение выглядит как 10! / 3! * 7 !.

Затем нам нужно развернуть каждый из наших факториалов. 10! будет равно 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 сверху и 3! * 7! будет 3 * 2 * 1 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1.Самый простой способ решить эту проблему — исключить подобные термины. Мы можем видеть, что есть 7, 6, 5, 4, 3, 2 и 1 как сверху, так и снизу нашего уравнения. Эти условия могут быть отменены. Теперь мы видим, что в нашем уравнении 10 * 9 * 8 слева вверху и 3 * 2 * 1 слева внизу. Отсюда мы можем просто размножаться. 10 * 9 * 8 = 720 и 3 * 2 * 1 = 6. Итак, наше уравнение теперь 720/6.

Чтобы решить эту задачу, мы разделим 720 на 6 и получим 120. Теперь Джон знает, что на этой неделе он мог выбрать 120 различных комбинаций новых фильмов.

Вероятность

Для расчета вероятности наступления события воспользуемся формулой: количество благоприятных исходов / количество общих исходов.

Давайте рассмотрим пример того, как рассчитать вероятность наступления события. На кассе в магазине DVD Джон также купил пакет жевательных резинок. В мешочке жевательных резинок было пять красных, три зеленых, четыре белых и восемь желтых жевательных резинок. Какова вероятность того, что Джон, нарисовавший наугад, выберет желтую жевательную резинку?

Джон знает, что если сложить все жевательные резинки вместе, в сумке окажется 20 жевательных шариков.Итак, общее количество исходов равно 20. Джону также известно, что существует восемь желтых жевательных резинок, которые представляют количество благоприятных исходов. Таким образом, вероятность случайного выбора желтой жевательной резинки из мешочка равна 8 из 20.

Однако все дроби должны быть упрощены. Итак, и 8, и 20 делятся на 4. Итак, 8/20 уменьшится до 2/5. Джон знает, что вероятность того, что он выберет желтую жевательную резинку из мешка наугад, составляет 2/5.

Вероятность комбинаций

Чтобы подсчитать общее количество исходов и благоприятных исходов, вам может потребоваться вычислить комбинацию.Помните, что комбинация — это способ расчета событий, порядок которых не имеет значения.

Рассмотрим пример. Чтобы насладиться своими фильмами, Джон решает заказать пиццу. Глядя на меню, Джон видит, что Король пиццы предлагает восемь разных начинок (четыре мяса и четыре овоща). Начинки: пепперони, ветчина, бекон, колбаса, перец, грибы, лук и оливки. У Джона есть купон на пиццу с 3 начинками. Выбирая ингредиенты наугад, какова вероятность того, что Джон выберет пиццу только с мясом?

Джон ищет вероятность выбора пиццы только с мясом.Для этого ему нужно будет подсчитать общее количество благоприятных исходов по отношению к общему количеству возможных исходов. Давайте сначала посчитаем общее количество исходов. Чтобы рассчитать общие результаты, мы будем использовать формулу для комбинаций, потому что порядок начинки пиццы не имеет значения. Формула для комбинаций: n C r = n ! / r ! * ( n — r ) !, где n представляет количество элементов, а r представляет количество элементов, выбираемых за раз.

Джон выбирает три начинки из восьми, предложенных Pizza King. 8 будет представлять наш член n , а 3 будет представлять наш член r . Итак, наше уравнение будет иметь вид 8C3 = 8! / 3! * (8 — 3) !.

Чтобы решить это уравнение, нам нужно вычесть 8 — 3 = 5. Итак, наше уравнение теперь выглядит как 8! / 3! * 5 !. Затем нам нужно раскрыть каждый из этих факториалов. 8! будет равно 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1, деленное на 3! * 5 !, что равняется 3 * 2 * 1 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1.

Помните, чтобы упростить эту задачу, мы можем сократить одинаковые члены как в верхней, так и в нижней части этого уравнения. Мы видим, что есть 5, 4, 3, 2 и 1 как сверху, так и снизу. Эти условия могут быть отменены. Умножив сверху 8 * 7 * 6, получим 336. Внизу 3 * 2 * 1, что равно 6. Разделив 336 на 6, мы можем увидеть, что общее количество пицц, которые может заказать Джон, равно 56.

Теперь Джон должен найти количество благоприятных исходов. Джон хотел знать вероятность выбора пиццы только с мясом.Глядя на меню, мы видим, что есть четыре вида мяса на выбор, а Джон выбирает только три.

Это еще один пример проблемы комбинирования, потому что порядок, в котором выбираются мясные начинки, не имеет значения. Чтобы рассчитать количество благоприятных исходов, нам нужно использовать формулу комбинации n C r = n ! / r ! * ( n — r ) !, где n представляет количество элементов, а r представляет количество элементов, выбираемых за раз.

Поскольку существует четыре вида мяса, и Джон выбирает три, член n будет равен 4, а член r будет равен 3. Наше уравнение будет выглядеть как 4C3 = 4! / 3! * (4 — 3) !. Затем нам нужно вычесть 4–3 снизу, что равно 1. Итак, наше уравнение теперь выглядит как 4! / 3! * 1 !.

Теперь давайте расширим верхнюю и нижнюю части нашего уравнения, чтобы найти общие члены, которые мы можем сократить. Развернув верх, мы получим 4 * 3 * 2 * 1, а нижний будет 3 * 2 * 1 * 1.Мы видим, что как сверху, так и снизу есть 3 * 2 * 1, которые можно отменить.

Джон теперь может видеть, что есть только четыре комбинации пиццы с 3 начинками, которые будут содержать только мясо. Для расчета вероятности Джону нужно будет использовать количество благоприятных исходов, равное 4, по сравнению с общим количеством исходов, равным 56. Вероятность будет 4/56, которую можно уменьшить до 1/14. Таким образом, вероятность того, что Джон выберет пиццу с тремя начинками, которая будет содержать только мясо, равна 1/14.

Резюме урока

Помните, что комбинации — это способ вычисления общих результатов события, при котором порядок результатов не имеет значения. Для расчета комбинаций воспользуемся формулой n C r = n ! / r ! * ( n — r ) !, где n представляет количество элементов, а r представляет количество элементов, выбираемых за раз.

Чтобы определить вероятность события, вам может потребоваться найти комбинации.Чтобы рассчитать вероятность наступления события, вы воспользуетесь формулой количества благоприятных исходов по отношению к количеству общих исходов.

Результаты обучения

По завершении этого урока вы сможете:

• Определить формулы для расчета комбинаций и вероятностей
• Вычислить факториалы
• Решать вероятностные задачи, которые также содержат комбинации

комбинаций — GMAT Math Study Guide

Определения

• Комбинаторика — раздел математики, имеющий дело с коллекциями объектов, удовлетворяющих определенным критериям (например,g., счет расположения, перестановок и комбинаций).
  Например, комбинаторика ответила бы на вопрос «сколькими различными способами 5 человек могут сидеть за круглым столом?»
• Комбинации — ветвь комбинаторики, в которой изменение порядка объектов не создает новый сценарий.
  Например, вопрос «сколькими различными способами можно составить команду из 5 сотрудников из пула из 10 сотрудников?» — это вопрос о комбинациях, поскольку изменение порядка, в котором выбираются 5 сотрудников, не создает нового расположения.
• Перестановки — ветвь комбинаторики, в которой изменение порядка объектов создает новый сценарий.
  Например, вопрос «сколько разных способов занять место в турнире?» — это вопрос о перестановках, потому что команда, перемещающаяся с первого места на второе, создает новую расстановку (см. перестановки для более подробной информации по этой теме).

Комбинации — определены в примере

Хотя приведенные выше определения, вероятно, прояснили комбинации, концепция комбинаторики и комбинаций vs.перестановки могут сбивать с толку. Следовательно, мы подробно рассмотрим пример, чтобы прояснить ситуацию.

Пример проблемы

Бухгалтерская фирма недавно привлекла крупного и дорогостоящего клиента. Партнер бухгалтерской фирмы, ответственный за проведение аудита, должен был выбрать команду из 3 человек для работы со счетом из пула из 5 сотрудников. Сколько разных команд можно сформировать?

Комбинация

Приведенный выше сценарий обычно рассматривается как проблема комбинаций (а не проблема перестановок), поскольку изменение порядка, в котором были выбраны бухгалтеры, не приведет к созданию новой возможной команды.

Пул сотрудников, из которых можно привлекать: A, B, C, D, E

Возможный сценарий: 10
ABC
ABD
ABE
ACD
ACE
ADE
BCD
BCE
BDE
CDE

В качестве пояснения, выбор BAC не приведет к созданию нового сценария при комбинациях (хотя и при перестановках).

Определить количество сценариев не нужно так долго. Существует более короткая формула, использующая факториалы, которая обсуждается ниже.

Перестановка

Приведенный выше сценарий стал бы сценарием перестановок, если бы изменение порядка, в котором были выбраны 3 человека, которые составляли команду, создавало новое расположение (например, ABC и ACB считаются двумя отдельными возможными договоренностями). Поскольку это неестественное прочтение сценария, текст, описывающий пример сценария, необходимо изменить, чтобы отразить это (то есть сделать его проблемой перестановок).

Комбинации

Комбинационные задачи, например, с выбором трех человек из группы из пяти, не нужно решать, вычерчивая все возможные сценарии.Общая формула для выбора k объектов из пула n объектов, когда порядок, в котором выбираются n объектов, не имеет значения, задается следующей формулой:

Формула комбинаций

n = количество объектов на выбор
k = количество выбранных объектов

Примеры

И перестановки, и комбинации лучше всего изучать на рабочих примерах.

Сколько разных групп по 10 учеников может выбрать учитель из своего класса из 15 учеников?

Шаг 1: Определите, относится ли вопрос к перестановкам или комбинациям.
Поскольку изменение порядка выбранных студентов не приведет к созданию новой группы, это проблема комбинаций.

Шаг 2: Определите n и k
n = 15, так как учитель выбирает из 15 учеников
k = 10, так как учитель выбирает 10 учеников

Шаг 3: Примените формулу

Другой пример

Чтобы сформировать команду по водному поло с совместным обучением для участия в местной бизнес-лиге, менеджер должен выбрать 3 мужчин и 4 женщины из 4 мужчин и 6 женщин.Сколько различных комбинаций команд может сформировать менеджер?

Шаг 1: Определите, относится ли вопрос к перестановкам или комбинациям.
Поскольку изменение порядка, в котором выбираются члены команды, не приводит к новому расположению, это проблема комбинаций.

Шаг 2: Определите n и k
Эта задача более сложна, чем предыдущая, из-за включения двух подгрупп среди выбранных (т.