Можно ли вписать в окружность равнобедренную трапецию: В любую равнобедренную трапецию можно вписать окружность

Содержание

Вписанная в равнобедренную трапецию окружность

Какими свойствами обладает вписанная в равнобедренную трапецию окружность?

1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин её противоположных сторон равны.

То есть, в трапецию ABCD можно вписать окружность, если AD+BC=AB+CD.

И обратно, если для трапеции ABCD верно равенство AD+BC=AB+CD, то в неё можно вписать окружность.

Таким образом, если  трапеция ABCD — равнобедренная, AD ∥ BC, то её боковые стороны равны полусумме оснований:

   

2. Отсюда, по свойству средней линии трапеции, боковые стороны равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равны её средней линии.

Если MN —

средняя линия

трапеции ABCD,

AD ∥ BC, то

   

3. Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна среднему пропорциональному (среднему геометрическому) между её основаниями.

По свойству равнобедренной трапеции,

   

Если AD=a, BC=b,

   

   

Из прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора

   

   

   

   

   

   

4. Так как радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции, то для равнобедренной трапеции верно равенство

   

5. В равнобедренной трапеции точки касания делят стороны на две группы равных отрезков.

 

AK=AP=DP=DN,

BK=BF=CF=CN.

 

6. Центр вписанной в равнобедренную трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис.

Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Таким образом, в трапеции ABCD, AD ∥ BC, CO и DO — биссектрисы углов ADC и BCD,

   

Значит, треугольник COD — прямоугольный,

   

(как радиус, проведенный в точку касания).

Следовательно, ON — высота, проведённая к гипотенузе,

   

В равнобедренную трапецию вписана окружность

Рассмотрим частный случай вписанной в трапецию окружности.

Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, существует несколько направлений, по которым можно повести решение задачи.

1. В равнобедренную трапецию вписана окружность, которая в точке касания делит боковую сторону на отрезки m и n. Найти площадь трапеции.

Решение:

 1)∠ADC+∠BCD=180º(как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей CD).

2) Так как центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис трапеции, то

∠OCD+∠ODC=90º.

3) Так как сумма углов треугольника равна 180º, в треугольнике OCD ∠COD=90º.

4) OF перпендикулярен CD (как радиус, проведенный в точку касания), следовательно, в треугольнике OCD OF — высота, проведенная к гипотенузе. По свойству прямоугольного треугольника,

   

Так как высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то

   

5) Формула для нахождения площади трапеции

   

Так как в трапецию вписана окружность, суммы ее противолежащих сторон равны:

   

Таким образом, площадь трапеции равна

   

2. В равнобедренную трапецию вписана окружность, которая в точке касания делит боковую сторону на отрезки m и n.Найти периметр трапеции.

Решение:

 

  CD=CF+FD=m+n.

AB=CD (по условию).

AD+BC=AB+CD (так как в трапецию вписана окружность).

P=AD+BC+AB+CD=4(m+n).

 

3.В равнобедренную трапецию вписана окружность. Найти высоту трапеции, если известны ее основания: AD=a, BC=b.

Решение:

 Проведем высоты трапеции BP и CE. Четырехугольник BCEP- прямоугольник (так как у него все углы прямые). Следовательно, PE=BC=b.

Прямоугольные треугольники треугольники ABP и DCE равны по катету и гипотенузе. Отсюда,

   

Поскольку в трапецию вписана окружность, AB+CD=AD+BC=a+b,

   

Из треугольника ABPпо теореме Пифагора

   

   

   

Таким образом,

   

Вывод:

Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, высота трапеции есть среднее пропорциональное между ее основаниями.

 

 

Элективный курс «Вписанная и описанная окружность в трапецию» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов»

О.П. Иванченко

ГЕОМЕТРИЯ

Вписанная и описанная окружность в трапецию»

в рамках курса по выбору

по геометрии для обучающихся 9 классов

Управление образования администрации

Ангарского городского округа

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №15»

О.П. Иванченко

Вписанная и описанная окружность в трапецию»

в рамках курса по выбору

по геометрии для обучающихся 9 классов

Элективный курс

Ангарск

2017

Автор-составитель Иванченко Ольга Петровна, учитель математики МБОУ «СОШ №15» г. Ангарск

Иванченко О.П.

Вписанная и описанная окружность в трапецию» в рамках курса по выбору

по геометрии для обучающихся 9 классов: Элективный курс / О.П. Иванченко. – Ангарск: МБОУ «СОШ №15», 2017. – 50с.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ……………………………………………………………………….…… 5

Глава 1. Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности …………………………………..…………………………….………. 8

1.1. Вписанные и описанные четырехугольники ………….……………… 8

1.2. Трапеция …………………………………………..………………….. 9

1.3. Анализ учебной литературы ……………..………..………………..10

1.4. Трапеция, вписанная в окружность …………………………………12

1.5. Трапеция, описанная около окружности …..……………………… 13

Глава 2. Содержание занятий по теме «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов ……………………………. ………….….20

2.1. Пояснительная записка ………………………………………………20

2.2. Содержание занятий по теме: «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности» ………………………………………22

Заключение ……………………………………………………………….44

Литература ………………………………………………………………..45

Приложение 1 (Входная самостоятельная работа) …………………….47

Приложение 2 (Итоговая самостоятельная работа) ……………………49

ВВЕДЕНИЕ

Геоме́трия (от γη — Земля и μετρεω — мера, измерение) — наука о пространстве, точнее — наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела; раздел математики, изучающий пространственные отношения и их обобщения.[1]

В общеобразовательной школе предмет «Геометрия» изучается с 7 класса и, по мнению многих обучающихся, является одним из сложнейших школьных предметов.  Многие обучающиеся не понимают назначения геометрии в жизни, так как не собираются связывать свою будущую профессию с математикой вообще.

Основой курса геометрии является принцип доказательности всех утверждений. И это единственный школьный предмет, включая даже предметы математического цикла, полностью основанный на последовательном выводе всех утверждений. Людьми, понимающими, что такое доказательство, трудно и даже невозможно манипулировать.[1]

Итак, Геометрия — один из важнейших предметов, причем не только среди предметов математического цикла, но и вообще среди всех школьных предметов. Ее целевой потенциал охватывает необычайно широкий арсенал, включает в себя чуть ли не все мыслимые цели образования.

Куда бы мы ни повернулись в нашей жизни, повсюду мы видим применение принципов геометрии. Она может быть в строительстве соо­ружений и оформлении их, в архитектуре, уст­ройстве интерьеров, даже в создании ландшафта.[2]

Каждый день, идя по улице, мы начинаем замечать, что мир состоит из разных геометрических фигур. Окна домов – квадраты или прямоугольники, дорожные знаки – круги, треугольники или прямоугольники. Но иногда встречаются такие фигуры, и даже очень часто, у которых две противоположные стороны параллельны, а две нет – предметы обихода, лобовые и боковые стекла у машин, крыши домов, тротуарная плитка, религиозные знаки и, даже, силуэты одежды.

Эти фигуры похожи на треугольник, у которого срезали вершину. Иногда они правильной формы, иногда – нет. Это трапеции.

В принципе, это давно известная фигура, свойства которой исследовали еще и Евклид, и Архимед.

«Трапецией» называются не только геометрические фигуры, но и спортивный снаряд, и мышцы атлета, и система тросов на яхтах, и женские юбки.

В настоящей работе рассмотрим трапецию, вписанную в окружность и трапецию, описанную около окружности.

Объект исследования: трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около нее.

Предмет исследования: содержание занятий по теме «Вписанная и описанная окружность в трапецию» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов.

Цель работы: разработка занятий по теме «Вписанная и описанная окружность в трапецию» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов.

Задачи:

1. анализ учебной и методической литературы по теме исследования;

2. подбор теоретического и практического материала;

3. разработка практического и контрольно-измерительного материала.

Структура работы:

Работа состоит из введения, 2-х глав, заключения, списка литературы и 2 приложений, в которых представлено решение входной и итоговой самостоятельных работ. Общий объем работы 48 страниц.

Глава 1. Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности

1.1. Вписанные и описанные четырехугольники

Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), которая состоит из четырёх точек (вершин), три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. [3]

Виды четырехугольников:

— параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны попарно равны и параллельны;

— прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;

— ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;

— квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;

— трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. [4]

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности, которая будет называться описанной вокруг четырехугольника. [5]

Теорема 1. Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180.

Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию. [6]

Площадь

где (полупериметр)

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник. [5]

Теорема 2. Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы его длин противоположных сторон равны. [6]

Площадь

,

где (полупериметр)

r – радиус вписанной окружности

1. 2. Трапеция

Понятие трапеции формировалось в течение длительного периода времени. Сначала трапецией называли любой четырехугольник, не являющийся параллелограммом. [7]

Именно в таком смысле термин «трапеция» использовал Евклид в своих «Началах».

В XVIII веке понятие трапеции приобрело современные определения:

— «Трапецией называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие нет»;

— «Трапеция в геометрии – четырехугольник, с парой параллельных сторон, и с другой парой непараллельных»;

— «Трапеция – четырехугольник, в котором две противоположные стороны параллельны, называемые основаниями трапеции, а другие две – непараллельные»;

— «Трапеция – четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна».

Таким образом, трапеция — это геометрическая фигура, образованная четырьмя пересекающимися отрезками, два противоположных из которых параллельны между собой и называются основаниями трапеции.

Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна). Две параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — это боковые стороны. Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна, в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. [8]

1.3. Анализ учебной литературы

Приведем анализ школьных учебников по геометрии на выявление особенностей темы: «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности».

Особенности изложения темы в учебнике Л.С. Атанасян и др.

Тема: «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности» не достаточно рассматриваются данными авторами. Авторы в учебнике за 8 класс в параграфе «Вписанная и описанная окружность» дают определение окружности вписанной в многоугольник, и многоугольника описанного около окружности. Доказывается теорема: Около любого треугольника можно описать окружность. На основании, которой авторы приводят замечания, одно из которых:

— не во всякий четырехугольник можно вписать окружность, доказательство которого учащимся предлагается привести самостоятельно.

Авторы предлагают обучающимся в задаче 710 (стр. 187) выполнить доказательство свойства трапеции вписанной в окружность. Так токовые свойства трапеции вписанной в окружность, и трапеции описанной около окружность авторами не рассматриваются и в 9 классе. [10]

Особенности изложения темы в учебнике А.В. Погорелова

Темы: «Трапеция, вписанная в окружность» и «Трапеция, описанная около окружности» не рассматриваются данным автором. Автор дает определение трапеции в разделе за 8 класс и рассматривает ее свойства с доказательством. Но о вписанной трапеции в окружность, и трапеции описанной около окружности он не упоминает и в представленных задачах за 8 класс, а так, же и в разделе за 9 класс. [9]

Особенности изложения тем в учебнике Г.П. Бевз и др.

Темы: «Трапеция, вписанная в окружность» и «Трапеция, описанная около окружности» не достаточно рассматриваются данными авторами. Авторы в разделе за 8 класс в параграфе «Вписанные и описанные многоугольники» дают определение окружности вписанной в многоугольник, и многоугольника описанного около окружности. Доказывают теоремы:

— Около любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

— Во всякий треугольник можно вписать окружность, и только одну.

На основании, которых авторы приводят следствия, одно из которых:

— если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 1800. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы длин его противолежащих сторон равны.

Авторы предлагают обучающимся в задаче 803 (стр. 146) выполнить доказательство свойства трапеции вписанной в окружность. Так токовые свойства трапеции вписанной в окружность, и трапеции описанной около окружность авторами не рассматриваются в достаточном объеме. [11]

Особенности изложения тем в учебнике А.Л. Вернер и др.

Темы: «Трапеция, вписанная в окружность» и «Трапеция, описанная около окружности» не достаточно рассматриваются данными авторами. Автор в учебнике за 8 класс дает определение трапеции в 8 классе и рассматривает ее свойства с доказательством в параграфе «Четырехугольники с параллельными сторонами». Но о вписанной трапеции в окружность, и трапеции описанной около окружности он не упоминает и в представленных задачах за 8 класс, а так, же и в разделе за 9 класс. [12, 13, 14]

Вывод: В учебниках школьного курса геометрии тема «Трапеция» изучается в 8 классе. Вводятся понятия «трапеция», «равнобокая трапеция», «прямоугольная трапеция», «средняя линия трапеции». Так же в учебниках предлагается серия задач по данной теме.

Тема «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности» входит в тему «Вписанные и описанные многоугольники» и рассматривается в учебниках Г.П. Бевз и др., Л.С. Атанасян и др. в 8 классе при решении небольшого количества задач на доказательство.

1.4. Трапеция, вписанная в окружность

На основании определения четырехугольника вписанного в окружность можно сформулировать определение трапеции вписанной в окружность.

Трапеция называется вписанной в окружность, если все вершины ее лежат на одной окружности, которая будет называться описанной около трапеции.

Трапецию можно вписать в окружность, если она равнобокая.

Теорема 3. Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания: [15]

Доказательство

Так как ΔАСD – прямоугольный, вписанный в окружность,

то AD – диагональ =>

Теорема 4. Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции, лежит внутри трапеции. [15]

Теорема 5. Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием. [15]

При решении задач на трапецию, вписанную в окружность, можно также использовать то, что вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла. [15]

Использовать углы COD и CAD можно и для нахождения площади трапеции. По формуле нахождения площади четырехугольника через его диагонали

В равнобедренном треугольнике AMD углы при основании равны. Внешний угол CMD равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:

Отсюда: [15]

1.5. Трапеция, описанная около окружности

На основании определения четырехугольника описанного около окружности можно сформулировать определение трапеции описанной около окружности.

Трапеция называется описанной около окружности, если все ее стороны касаются одной окружности.

Теорема 6. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Отсюда следует, что [15]

AL = AK, BL = BM, CM = CF, DF = DK

Доказательство

Обозначим точки касания буквами L, M, F, K. На основании свойства касательных (Если из какой-нибудь точки провести две касательные к окружности, то их отрезки от данной точки до точек касания равны между собой и центр окружности находится на биссектрисе угла, образованного этими касательными), проведенных к окружности из одной точки, имеем:

AL = AK, BL = BM, CM = CF, DF = DK

Ч.Т.Д.

Теорема 7. Высота трапеции равна длине диаметра вписанной окружности или двум ее радиусам.

MK — высота трапеции, MK=2r, где r — радиус вписанной в трапецию окружности. [15]

Доказательство

1) Пусть отрезок КМ – диаметр вписанной окружности в трапецию.

d = 2r = KM

2) Проведем высоту трапеции так, чтобы она проходила через центр окружности, тогда высота КМ = МО + ОК.

Следовательно, KM = 2r

Ч.Т.Д.

Теорема 8. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. [15]

Теорема 9. Боковая сторона описанной трапеции видна из центра описанной окружности под прямым углом. [15]

Доказательство

1) ADC + BCD = 180º (так как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых AD и ВС и секущей CD)

2) так как точка O — точка пересечения биссектрис углов трапеции, то

ODF + OCF = (ADC + BCD) = 90º

3) так как сумма углов треугольника равна 180º, то в ΔCOD

COD = 90º

Ч. Т.Д.

Теорема 10. Если точка касания трапеции описанной около окружности делит боковую сторону на отрезки длиной m и n (CF=m, FD=n), высота трапеции равна ее диаметру, то высоту трапеции можно выразить через длины этих отрезков. [15]

Доказательство

Точка касания делит боковую сторону на отрезки длиной m и n (CF=m, FD=n).

1) ADC + BCD = 180º (так как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых AD и ВС и секущей CD)

2) так как точка O — точка пересечения биссектрис углов трапеции, то

ODF + OCF = (ADC + BCD) = 90º

3) так как сумма углов треугольника равна 180º, то в ΔCOD

COD = 90º

4) таким образом, COD прямоугольный, а OF — высота, проведенная к гипотенузе, CF и FD — проекции катета OC и OD на гипотенузу. Поскольку высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу,

Отсюда радиус вписанной в трапецию окружности выражается через длины отрезков, как которые боковая сторона делится точкой касания, как

А так как высота трапеции равна ее диаметру, то и высоту трапеции можно выразить через длины этих отрезков:

   Ч.Т.Д.

Теорема 11. Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, площадь трапеции равна произведению ее оснований. [15]

Доказательство

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

Обозначим CF = m, FD = n. Поскольку расстояния от вершин до точек касания равны, высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, а

    

Ч. Т.Д.

Таким образом, в первой главе рассмотрели теоретические сведения о трапеции, вписанной в окружность и трапеции, описанной около окружности.

Сведем все основные свойства трапеции (рассмотренные в школьном курсе геометрии и нет) в таблицу.

Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около нее

Трапеция, вписанная в окружность

Теорема 3. Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания: [15]

Теорема 4. Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции, лежит внутри трапеции. [15]

Теорема 5. Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием. [15]

При решении задач на трапецию, вписанную в окружность, можно также использовать то, что вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла. [15]

Использовать углы COD и CAD можно и для нахождения площади трапеции. По формуле нахождения площади четырехугольника через его диагонали

В равнобедренном треугольнике AMD углы при основании равны. Внешний угол CMD равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:

Отсюда: [15]

Трапеция, описанная около окружности

Теорема 6. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Отсюда следует, что [15]

AL = AK, BL = BM, CM = CF, DF = DK

Теорема 7. Высота трапеции равна длине диаметра вписанной окружности или двум ее радиусам.

MK — высота трапеции, MK=2r, где r — радиус вписанной в трапецию окружности. [15]

Теорема 8. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. [15]

Теорема 9. Боковая сторона описанной трапеции видна из центра описанной окружности под прямым углом. [15]

Теорема 10. Если точка касания трапеции описанной около окружности делит боковую сторону на отрезки длиной m и n (CF=m, FD=n), высота трапеции равна ее диаметру, то высоту трапеции можно выразить через длины этих отрезков. [15]

Теорема 11. Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, площадь трапеции равна произведению ее оснований. [15]

Глава 2.

Содержание занятий по теме «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов

В данной главе разработаны содержания занятия по теме: «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов.

2.1. Пояснительная записка

Организационно-методический раздел

Цель занятий: расширить геометрическое представление обучающихся о вписанной и описанной окружности в трапецию.

Задачи занятий:

1. Расширить знания учащихся связанные со свойствами вписанной трапеции;

2. Расширить знания обучающихся связанные со свойствами описанной трапеции;

3. Овладение дополнительными знаниями при решении заданий уровня повышенной сложности итоговой государственной аттестации;

4. Предоставить обучающимся возможность проанализировать свои способности к математической деятельности.

Требования к подготовке учащихся

В результате проведенных дополнительных занятий по теме: «Вписанная и описанная окружность в трапецию» ученик должен:

Знать/понимать

— понятие математического доказательства, примеры доказательств;

— как используются теоремы и свойства при решении заданий повышенной сложности;

— свойства трапеции вписанной в окружность;

— свойства трапеции описанной около окружности.

Уметь

— проводить сложные доказательства, получать следствия, оценивать логическую правильность рассуждений;

— распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;

— изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач;

— решать геометрические задачи, опираясь на изученные дополнительные свойства вписанной и описанной трапеции;

— проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя теоремы, обнаруживая возможности для их использования.

Количество часов всего – 6 часов (2 часа в неделю, 3 недели).

Самостоятельных работ – 1 час (входная – 0,5 часа, итоговая – 0,5 часа).

Календарно-тематическое планирование

№ п/п

Содержание урока

Количество часов

1

Вписанная и описанная окружность в трапецию

0,5

Входная самостоятельная работа

0,5

2

Трапеция, вписанная в окружность. Решение задач.

1

3

Трапеция, описанная около окружности. Решение задач.

1

4

Трапеция, вписанная и описанная около окружности. Решение задач

1

5

Трапеция, вписанная и описанная около окружности. Решение задач

1

6

Трапеция, вписанная и описанная около окружности.

0,5

Итоговая самостоятельная работа

0,5

2. 2. Содержание занятий по теме: «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности»

Занятие 1

Тема: Вписанная и описанная окружность в трапецию

Цель: расширение знаний обучающихся о вписанной и описанной трапеции в окружность, ее свойства.

Тип урока: урок закрепления знаний

Оборудование: циркуль, линейка

Ход урока

1. Организационный момент

Обучающиеся и учитель приветствуют друг друга стоя.

Сообщение темы и цели урока

2. Актуализация знаний

Повторение видов четырехугольников, какой четырехугольник можно вписать и описать около окружности, основные свойства вписанной и описанной окружности в трапецию.

Рассмотрение свойств с доказательством.

Теорема (о вписанной трапеции). Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.

В

С

Дано:

– трапеция

W – описанная окружность

Доказать: — равнобедренная

 

 

А

D

 

 

Доказательство.

1) – вписанная трапеция, следовательно

(1)

Так же: (2)

(по свойству углов при параллельных сторонах).

2) Сравниваем (1) и (2) выражения, получаем:

т.е.

, т.е.

Углы при верхнем и нижнем основаниях попарно равны => АВСD – равнобедренная трапеция.

Ч.Т.Д.

Т

Дано:

– трапеция, описанная около окружности

Доказать:

еорема (об описанной трапеции). Около окружности можно описать трапецию тогда и только тогда, когда сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.

 

Доказательство.

Пусть трапеция описана около окружности.

Точки E, F, G, H – точки касания.

Тогда

Если сложить попарно получим равенство

Ч.Т.Д.

3. Закрепление

Выполнение входной контрольной работы рассчитанной на 15-20 мин.

Входная самостоятельная работа

Задача 1. В равнобедренной трапеции основания 21 и 9 сантиметров, высота — 8 сантиметров. Найти радиус описанной окружности.

Задача 2. Прямоугольная трапеция описана около окружности. Найти радиус этой окружности, если длины оснований трапеции равны a и b.

4. Итог урока

Занятие 2

Тема: Трапеция, вписанная в окружность. Решение задач

Цель: расширение знаний обучающихся о вписанной трапеции в окружность, ее свойств и теорем.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний

Оборудование: циркуль, линейка

Ход урока

1. Организационный момент

Обучающиеся и учитель приветствуют друг друга стоя.

Сообщение темы и цели урока

Знакомство с содержанием занятий по теме: «Вписанная и описанная окружность в трапецию»

2. Актуализация знаний

Повторение основных свойств трапеции вписанной в окружность школьного курса геометрии, а так же рассмотрение дополнительных теорем. (Глава 1, п.1.4)

3. Закрепление

Решение задач.

Задача 1. Трапеция с основаниями см и см и диагональю см вписана в окружность. На окружности взята точка K, отличная от точки D, так что см. Найдите длину отрезка AK.

На основании свойства вписанной трапеции .

Из

Из

Если то => равны углы и , что невозможно, так как первый угол меньше второго. Значит, значение 6 не подходит. Остается только 4.

Ответ: 4

Задача 2. В окружности радиуса вписана трапеция с основаниями 2 и 4. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции.

В данной задаче возможны только 2 случая решения. Первый, когда нижнее основание ниже центра окружности, второй случай, когда нижнее основание выше центра окружности. Третий невозможен, так как большее основание .

1 случай

Дано:

– вписанная трапеция

Найти: OG

 

Решение.

Рассмотрим по теореме Пифагора

Рассмотрим по теореме Пифагора

Рассмотрим и

~

2 случай

Дано:

– вписанная трапеция

Найти: OG

 

Решение.

Рассмотрим по теореме Пифагора

Рассмотрим ΔAFO по теореме Пифагора

Рассмотрим и

~

Ответ:

4. Итог урока

Анализ: В данном занятии применяются Теорема 1, Теорема 3, Теорема 4, Теорема 5.

Занятие 3

Тема: Трапеция, описанная около окружности. Решение задач

Цель: расширение знаний обучающихся об описанной трапеции около окружности, ее свойств.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний

Оборудование: циркуль, линейка

Ход урока

1. Организационный момент

Обучающиеся и учитель приветствуют друг друга стоя.

Сообщение темы и цели урока

2. Актуализация знаний

Повторение основных свойств и теорем о трапеции, описанной около окружности школьного курса геометрии, а так же рассмотрение дополнительных и теорем. (Глава 1, п.1.5)

3. Закрепление

Решение задач

Задача 1. В описанной около окружности равнобокой трапеции основания относятся как 3:5. Из вершины меньшего основания опущена высота на большее основание; точка H — основание высоты. Из точки H опущен перпендикуляр HE на боковую сторону трапеции. В каком отношении точка E делит боковую сторону?

1 случай

2 случай

 

Дано:

– равнобокая описанная трапеция около окружности

ВС : AD = 3 : 5

BH – высота

EH ⊥AB

Найти: АЕ : ЕВ = ?

Дано:

– равнобокая описанная трапеция около окружности

ВС : AD = 3 : 5

BH – высота

EH ⊥CD

Найти: DE : ЕC = ?

 

 

Решение.

Пусть из вершины В трапеции ABCD опущена высота ВН на основание AD.

Пусть основания равны AD = 5x и ВС = 3х

Суммы противоположных сторон трапеции равны, поэтому

Рассмотри 1 случай.

Точка Е лежит на стороне АВ.

Катет прямоугольного треугольника равен среднему геометрическому между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу:

АН2 = АЕ · АВ, откуда

АЕ : ВЕ = 1: 15

Рассмотрим 2 случай.

Точка Е лежит на стороне CD.

ΔDEH = ΔAHB (по гипотенузе и острому углу)

Поэтому DE = AH = x

CE = CD – DE = 3x

Откуда DE : CE = 1 : 3

Ответ: 1 : 15 и 1 : 3

Задача 2. Периметр трапеции равен 112. Точка касания вписанной в трапецию окружности делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 8 и 18 см. Найдите основания этой трапеции.

Дано:

ABCD – трапеция описная около окружности

РABCD = 112

a = 8

b = 18

Найти: ВС и ВD

 

Решение.

Так как в трапецию вписана окружность, то АВ + СD = BC + AD = 112 : 2 = 56

АВ = а + b = 18 + 8 = 26 =>

CD = 30

Если в трапецию вписана окружность с радиусом r и она делит боковую сторону на отрезки а и b, то

Высота трапеции 2r = 24, тогда ВН = СН = 24

Из ΔАВН по теореме Пифагора

Из ΔНСD по теореме Пифагора

ВС = НН = 56 – ( АН + НD) : 2 = (56 – 28) : 2 = 14

Тогда AD = АН + НН + НD = 10 + 14 + 18 = 42

Ответ: 14 и 42

4. Итог урока

Анализ: В данном занятии применяются Теорема 2, Теорема 7.

Занятие 4

Тема: Трапеция, вписанная и описанная около окружности. Решение задач

Цель: расширение знаний обучающихся о вписанной и описанной трапеции около окружности, ее свойств и теорем.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний

Оборудование: циркуль, линейка

Ход урока

1. Организационный момент

Обучающиеся и учитель приветствуют друг друга стоя.

Сообщение темы и цели урока

2. Актуализация знаний

Повторение основных свойств трапеции вписанной и описанной около окружности школьного курса геометрии, а так же применение рассмотренных дополнительных теорем. (Глава 1, п. 1.4, п.1.5)

3. Закрепление

Решение задач

Задача 1. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции.

Дано:

ABCD – трапеция

BC = 14

AD = 40

R = 25

Найти: h

 

Решение.

Трапеция вписана в окружность, поэтому она равнобедренная.

Пусть ВС = 14 – хорда окружности радиуса 25. Существует две хорды, параллельные BC и равные 40. Соответственно, в окружность можно вписать две трапеции с основаниями 14 и 40.

Центр O на серединном перпендикуляре к BC.

1 случай.

В трапеции ABCD центр О окружности лежит внутри трапеции.

В этом случае высота EF = EO + OF

Из прямоугольного ΔАОЕ, в котором АО = 25

по теореме Пифагора, получаем

Из прямоугольного ΔВFO, в котором BО = 25

по теореме Пифагора, получаем

Тогда EF = EO + OF = 39

2 случай.

В трапеции A1BCD1 центр О окружности лежит вне трапеции.

Аналогично, находим

Ответ: 39 и 9

Задача 2. На основании ВС трапеции АВСD взята точка Е, лежащая на одной окружности с точками А, С и D. Другая окружность проходящая через точки А, В, и С, касается прямой CD. АВ=12, ВЕ : ЕС = 4 : 5.

а) Докажите, что треугольник АСD подобен треугольнику АВЕ.

б) Найдите ВС.

Дано:

АВСD – трапеция

Е ϵ ВС

АВ = 12

ВЕ : ЕС = 4 : 5

а) Доказать: ΔACD ~ ΔABE

б) Найти: ВС

 

Решение.

Рассмотрим АЕСD – равнобедренную трапецию вписанную в окружность =>

АЕС + ADC = 1800

Значит, угол ВЕА, смежный с углом АЕС, равен углу АDС

 

Опишем окружность около ΔАВС.

По условию CD касается окружности, а значит СD ⊥ OC, где О – центр окружности.

Угол между хордой АС и касательной CD равен половине дуги АС второй окружности.

 

Половине этой же дуги равен вписанный АВС. Найдена вторая пара равных углов. Найдя две пары равных углов, мы доказали подобие треугольников АСD и АВЕ.

Из подобия следует равенство третьей пары углов, ВАЕ = САD

Кроме того равны дуги АЕ и СD, заключенные между параллельными прямыми ЕС и АD

 

Вписанный CAD равен половине дуги CD, а значит, ВАЕ равен половине дуги АЕ.

ВАЕ – это угол между хордой АЕ и прямой АВ, проходящей через конец хорды А. Значит прямая АВ – касательная ко второй окружности.

Воспользуется свойством секущей и касательной, проведенных к окружности из точки В.

ВА2 = ВЕ · ВС

122 = (4х) · (9х)

36х2 = 144

х2 = 4

х = 2

ВС = 9х = 9 · 2 = 18

Ответ: 18

4. Итог урока

Анализ: В данном занятии применяются Теорема 1, Теорема 4, Теорема 5.

Занятие 5.

Тема: Трапеция, вписанная и описанная около окружности. Решение задач

Цель: расширение знаний обучающихся о вписанной и описанной трапеции около окружности, ее свойств.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний

Оборудование: циркуль, линейка

Ход урока

1. Организационный момент

Обучающиеся и учитель приветствуют друг друга стоя.

Сообщение темы и цели урока

2. Актуализация знаний

Повторение основных свойств трапеции вписанной и описанной около окружности школьного курса геометрии, а так же применение рассмотренных дополнительных свойств. (Глава 1, п.2.1, п.2.2)

3. Закрепление

Решение задач

Задача 1. Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию с основаниями а и b. Найдите диагональ трапеции.

Дано:

АВСD – равнобедренная трапеция

AD = b

BC = a

Найти: BD

 

Решение.

Пусть окружность с центром О, вписанная в равнобедренную трапецию АВСD, касается боковой стороны АВ в точке М, а оснований ВС и АD – в точке N и L соответственно.

Поскольку ОМ – высота прямоугольного ΔАОВ, опущенная из вершины прямого угла, то

Опустим перпендикуляр ВН на AD. Тогда

Из прямоугольного ΔBHD находим, что

Ответ:

Задача 2. Трапеция с высотой h вписана в окружность. Боковая сторона трапеции видна из центра окружности под углом 1200. Найдите среднюю линию трапеции.

Дано:

АВСD – трапеция

АОВ = 1200

Найти: среднюю линию трапеции

 

Решение.

Пусть О – центр окружности, описанной около трапеции АВСD с основаниями AD > BC. Трапеция АВСD – равнобедренная, поэтому

Пусть СК – высота трапеции, тогда АК = h·ctg600 = ,

а так как трапеция равнобедренная, то отрезок АК равен ее средней линии.

Ответ:

Задача 3. Около окружности описана равнобедренная трапеция АВСD. Боковые стороны АВ и СD касаются окружности в точках М и N, К – середина АD. В каком отношении прямая ВК делит отрезок МN?

Дано:

АВСD – равнобедренная трапеция

М ϵ АВ

N ϵ СD

AK = KD

Найти: МР : РN = ?

 

Решение.

Обозначим х = АК, у = ВF, где F – середина ВС. Пусть Q – точка пересечения KF и MN, а Р – точка пересечения MN и ВК. Тогда

АМ = АК = х, ВМ = ВF = у

и Q – середина MN.

Поскольку MN параллельно основаниям трапеции, треугольник ВМР подобен треугольнику ВАК, а треугольник КРQ подобен треугольнику КВF. Поэтому

, значит, РМ = PQ и PM = MN =>

Ответ: 1 : 3

Задача 4. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно высоте, а большее основание равно а. Найдите боковые стороны трапеции, если известно, что одна из них касается окружности, проходящей через концы меньшего основания и касающееся большего основания.

Дано: АВСD – прямоугольная трапеция

АВ = ВС

AD = a

Найти: AB, CD

 

Решение.

Обозначим меньшее основание ВС и меньшую боковую сторону трапеции АВСD через х. Пусть М – точка касания окружности с большим основанием AD. Тогда точка М лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ВС, поэтому

Пусть К – проекция вершины С на AD. Тогда KD = a – x, CK = x

По теореме Пифагора

Отсюда находим, что

Тогда

Ответ:

Задача 5. В равнобедренной трапеции с острым угломпри основании окружность, построенная на боковой стороне как на диаметре, касается другой боковой стороны. В каком отношении она делит большее основание трапеции?

Дано:

АВСD — равнобедренная трапеция

BAD = ADC =

Найти: АК : КD

 

Решение.

Пусть О – центр окружности (середина боковой стороны АВ трапеции АВСD), ОР – средняя линия трапеции, К – точка пересечения указанной окружности с большим основанием AD. Тогда ВК – перпендикуляр к AD и . Если М – точка касания окружности с боковой стороной CD, то

Следовательно,

Ответ: sin2

4. Итог урока

Анализ: В данном занятии применяются Теорема 1, Теорема 3, Теорема 4, Теорема 6, Теорема 7, Теорема 8, Теорема 9, Теорема 10, Теорема 11

Занятие 6.

Тема: Итоговое занятие.

Цель: проверка усвоения знаний обучающихся по теме курса «Вписанная и описанная окружность в трапецию»

Тип урока: закрепление

Оборудование: циркуль, линейка

Ход урока

1. Организационный момент

Обучающиеся и учитель приветствуют друг друга стоя.

Сообщение темы и цели урока

2. Закрепление

Обучающимся предлагается, ответит на вопросы (устно):

1. Вопрос: Определение четырехугольника?

Ответ: Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), которая состоит из четырёх точек (вершин), три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

2. Вопрос: Виды четырехугольников?

Ответ: Виды четырехугольников:

— параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны попарно равны и параллельны;

— прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;

— ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;

— квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;

— трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны.

3. Вопрос: Какая окружность называется вписанной в четырехугольник? Какой четырехугольник называется описанным около окружности?

Ответ: Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности, которая будет называться описанной вокруг четырехугольника. Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

4. Вопрос: В какой четырехугольник можно вписать окружность?

Ответ: Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы его длин противоположных сторон равны. а + с = b+ d

5. Вопрос: Около какого четырехугольника можно описать окружность?

Ответ: Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180.

6. Вопрос: Можно ли описать окружность около трапеции?

Ответ: Вписать в окружность можно только равнобокую трапецию.

7. Вопрос: Можно ли вписать окружность в трапецию?

Ответ: Если в трапецию вписана окружность, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. АВ + CD = AD + BC

8. Вопрос: Какими свойствами обладает трапеция, вписанная в окружность?

Ответ: 1) Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания:

2) Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции, лежит внутри трапеции.

3) Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

9. Вопрос: Какими свойствами обладает трапеция, описанная около окружности?

Ответ: 1) Высота трапеции равна длине диаметра вписанной окружности или двум ее радиусам.

MK — высота трапеции, MK=2r, где r — радиус вписанной в трапецию

окружности.

2) Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции.

3) Боковая сторона описанной трапеции видна из центра описанной окружности под прямым углом.

4) Высота трапеции равна ее диаметру, то высоту трапеции можно выразить через длины этих отрезков.

Самостоятельная работа

Выполнение итоговой самостоятельной работы для обучающихся предлагается в виде выполнения теста.

1. Вокруг четырехугольника можно описать окружность, если __________________________________________________________.

2. В четырехугольник можно вписать окружность, если __________________________________________________________.

3. Для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, должно выполняться следующее равенство:

а) AB + BC = AD + CD

б) AB + CD = BC + AD

в) AB + AD = BC + CD

г) AD·BC = AB·CD

4. Вписанная в четырехугольник окружность изображена на рисунке:

5. Для того, чтобы вокруг выпуклого четырехугольника можно было описать окружность, должно выполняться следующее равенство:

а)

б) AB+CD=BC+AD

в)

г) AD·BC=AB·CD

6. Описанная около четырехугольника окружность изображена на рисунке:

7. В любом описанном четырехугольнике суммы длин противолежащих сторон:

а) равны между собой
б) равны радиусу окружности
в) равны диаметру окружности
г) равны периметру

8. Углы А, В и С четырехугольника ABCD относятся как 1 : 2 : 3. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.

а) 1350 б) 1200 в) 900 г) 600

9. Трапеция описана около окружности. Чему равен ее периметр, если средняя линия равна 7 см?

а) 25 см б) 28 см в) 30 см г) 32 см

10. Чему равна площадь прямоугольной трапеции с тупым углом, равным 1500, если радиус вписанной в него окружности равен 2?

а) 18 б) 20 в) 22 г) 24

11. Выпуклый четырехугольник АВСD вписан в окружность. При этом величины углов АВС и ВСD соответственно равны 700 и 600. Тогда величина угла ВАD равна:

а) 1200 б) 1100 в) 650 г) 500

Заключение

В настоящей работе по теме: «Содержание занятий по теме: «Вписанная и описанная окружность в трапецию» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов» в первой главе приведены основные теоретические сведения темы исследования, основные свойства и теоремы сведены в таблицу. Проанализированы учебники школьного курса геометрии для обучающихся в 7, 8, 9-х классах, на основании, которых сделан вывод, что темы: «Трапеция, вписанная в окружность» и «Трапеция, описанная около окружности» не достаточно рассматриваются в школьном курсе геометрии в 7, 8, 9-х классах для решения задач повышенной сложности.

Во второй главе работы приведены разработки содержания 6 занятий по теме исследования; разработаны входящая и итоговая самостоятельные работы. В приложениях приведены решения данных работ.

Результаты работы могут быть использованы в рамках курса по выбору на дополнительных занятиях по геометрии или для подготовки к итоговой государственной аттестации, так как при проведении государственной итоговой аттестации среди 9-х классов общеобразовательных школ в части С геометрии часто встречается задание по теме «Трапеция вписанная в окружность или трапеция описанная около окружности».

Таким образом, поставленные задачи выполнены, цель достигнута.

Литература

1. http://nsportal.ru/ap/drugoe/library/referat-znachenie-geometrii-v-zhizni-lyudei

2. http://www.kniga.es/articles/article637.shtml

3. http://ru.wikipedia.org/wiki /%D7%E5%F2%FB%F0%B8%F5%F3%E3%EE%EB

4. http://free.megacampus.ru/xbookM0005/index.html ?go=part-021*page.htm

5. http://ege- study.ru/materialy-ege/vpisannyj-i-opisannyj-chetyrexugolniki-i-ix-svojstva /

6. http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html ?go=part-034*page.htm

7. http://otvet.mail.ru/question/47745330

8. http://www.smekalka.pp.ru/node/1586

9. Погорелов А.В., Геометрия: Учебник для 7-11 классов средних школ – 2-е издание – М.: Просвещение, 1991 – 384 с.

10 Атанасян Л.С. и др., Геометрия 7-9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутусов, С.Б. Кадомцев и др.] – 21-е издание – М.: Просвещение, 2011 – 384 с.

11. Бевз Г.П., Геометрия: Учебник для 7-11 классов средних школ / Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г. Владимирова. – М.: Просвещение, 1992 – 352 с.

12. Вернер А.Л. и др., Геометрия: Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений / А.Л. Вернер, В.И. Рыжик, Т.Г. Ходот. – М.: Просвещение, 1999 – 192 с.

13. Вернер А.Л. и др., Геометрия: Учебное пособие для 8 класса общеобразовательных учреждений / А.Л. Вернер, В.И. Рыжик, Т.Г. Ходот. – М.: Просвещение, 2001 – 192 с.

14. Вернер А.Л. и др., Геометрия: Учебное пособие для 9 класса общеобразовательных учреждений / А.Л. Вернер, В.И. Рыжик, Т.Г. Ходот. – М.: Просвещение, 2001 – 207 с.

15. http://www.uznateshe.ru/trapetsiya-vpisana-v-okruzhnost/

16. http:// www.alexlarin.narod.ru

17. Корянов А.Г. Математика. ЕГЭ 2010. Задания типа С4. Многовариантные задачи по планиметрии http://www.alexlarin.narod.ru/ege/2010/C4a

gk.pdf

18. Созоненко Р.С., Теоремы и задачи по планиметрии с перекрестными ссылками. – 2-е издание, исправлено и дополнено – Новосибирск: Издательство ИМ СО РАН, 1998 – 209 с.

19. Гордин Р.К., ЕГЭ 2012 Математика. Решение задач С4. – М.: МЦНМО, 2012 – 328 с.

20. Никитин Н.Н., Геометрия: Учебник для 6-8 классов / Н.Н. Никитин. – М.: Просвещение, 1971 – 209 с.

Приложение 1

Входная самостоятельная работа

Задача 1. В равнобедренной трапеции основания 21 и 9 сантиметров, высота — 8 сантиметров. Найти радиус описанной окружности.

Дано:

ABCD – равнобедренная трапеция

ВС = 9 см

AD = 21 см

h = 8 см

Найти: R

 

Решение.

Пусть EF – серединный перпендикуляр c основаниями EF , тогда О – центр окружности лежит на прямой EF.

ОА = ОВ = R.

О делит EF на две части: пусть OF = х, тогда OE = 8-х.

По теореме Пифагора получаем,

АО2 = АF2 + FО2

ОВ2 = ВE2 + EО2.

Так как ОА2 = ОВ2, получим:

АF2 + FО2 = ВE2 + EО2

Ответ: 10,625 см

Задача 2. Прямоугольная трапеция описана около окружности. Найти радиус этой окружности, если длины оснований трапеции равны a и b.

Дано:

АВСD – прямоугольная трапеция

АВ = а

АD = b

Найти: r

 

Решение.

Пусть r – радиус окружности вписанной в трапецию ABCD.

Так как трапеция прямоугольная, то АВ = 2r.

Так как трапеция описана около окружности, то AD + BC = AB + CD.

Тогда а + b = 2r + CD.

CD = a + b – 2r

Пусть СЕ – высота, тогда СЕ ⊥ АD и СЕ = АВ = 2r.

ED = b – a.

По теореме Пифагора для треугольника ЕСD имеем

СD2 = CE2 + ED2

или

(а + b – 2r)2 = 4r2 + (b – a)2

Ответ:

Приложение 2

Итоговая самостоятельная работа

1. Вокруг четырехугольника можно описать окружность, если (суммы его противоположных углов равны 180, )

2. В четырехугольник можно вписать окружность, если (суммы его длин противоположных сторон равны, а + с = b+ d)

3. Для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, должно выполняться следующее равенство:

а) AB + BC = AD + CD

б) AB + CD = BC + AD

в) AB + AD = BC + CD

г) AD·BC = AB·CD

Ответ: б)

4. Вписанная в четырехугольник окружность изображена на рисунке:

Ответ: б)

5. Для того, чтобы вокруг выпуклого четырехугольника можно было описать окружность, должно выполняться следующее равенство:

а)

б) AB+CD=BC+AD

в)

г) AD·BC=AB·CD

Ответ: в)

6. Описанная около четырехугольника окружность изображена на рисунке:

Ответ: в)

7. В любом описанном четырехугольнике суммы длин противолежащих сторон:

а) равны между собой
б) равны радиусу окружности
в) равны диаметру окружности
г) равны периметру

Ответ: а)

8. Углы А, В и С четырехугольника ABCD относятся как 1 : 2 : 3. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.

а) 1350 б) 1200 в) 900 г) 600

Ответ: в)

9. Трапеция описана около окружности. Чему равен ее периметр, если средняя линия равна 7 см?

а) 25 см б) 28 см в) 30 см г) 32 см

Ответ: б)

10. Чему равна площадь прямоугольной трапеции с тупым углом, равным 1500, если радиус вписанной в него окружности равен 2?

а) 18 б) 20 в) 22 г) 24

Ответ: г)

11. Выпуклый четырехугольник АВСД вписан в окружность. При этом величины углов АВС и ВСД соответственно равны 700 и 600. Тогда величина угла ВАД равна:

а) 1200 б) 1100 в) 650 г) 500

Ответ: а)

Планиметрия. 150 задач для подготовки к ЕГЭ. Часть 2

Планиметрия. 150 задач для подготовки к ЕГЭ

Задачи 51-100

задачи 1-50,  задачи  101-150

  1. В треугольник АВС вписана окружность, радиус которой равен 4. Определите стороны АВ и АС, если ВС = 15, а высота BD = 12. ответ: 13; 14
  2. В треугольнике ABC, стороны AB и BC которого равны, проведены высоты BD и AE. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABD и AEC, равны соответственно 10 и 12. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. ответ:  15
  3. Площадь прямоугольного треугольника равна 5, а периметр равен 2. Найдите длину перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу. ответ: 5/3
  4. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 3, а площадь треугольника равна 84. Найдите катеты треугольника. ответ: 7; 24
  5. Радиус вписанной в треугольник окружности равен 2, а одна из точек касания делит сторону треугольника на отрезки 3 и 4. Найдите площадь треугольника. ответ: 21
  6. Площадь треугольника равна 84, одна из его сторона равна 13, а радиус вписанной окружности равен 4. Найдите две другие стороны треугольника. ответ: 14; 15
  7. Периметр прямоугольного треугольника равен 90, а радиус вписанной окружности равен 4. Найдите катеты треугольника. ответ: 9; 40
  8. Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найдите длины оснований. ответ: 1; 7
  9. В равнобедренной трапеции основания равны 21 и 9, и высота равна 8. Найдите радиус описанной окружности. ответ:  85/8
  10. Дана равнобедренная трапеция, средняя линия которой равна 9, площадь равна 54 и диагонали перпендикулярны боковым сторонам. Найдите основания трапеции. ответ: 5; 13
  11. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна , а диагональ, равная , делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найдите основания трапеции. ответ:
  12. Найдите диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании. ответ:
  13. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если ее большее основание равно , а угол при большем основании равен 60о. ответ:
  14. В трапеции ABCD отрезки AB и DC являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е. Найдите площадь треугольника BCE, если АВ = 30, DC = 24 и AD = 3, а угол при большем основании DAB равен 60о. ответ:  
  15. Большее основание трапеции равно 24. Найдите меньшее основание, если расстояние между серединами диагоналей равно 4. ответ: 16
  16. Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны, и большая из них точкой пересечения делится на отрезки, равные 36 и 64. Найдите основания трапеции. ответ: 45; 80
  17. В трапеции, основания которой равны и , проведена через точку пересечения диагоналей прямая, параллельная основаниям. Найдите длину отрезка прямой, отсекаемого от нее боковыми сторонами трапеции. ответ:
  18. Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции с ее основаниями, равны и . Найдите площадь трапеции. ответ:
  19. Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали равна , а длина боковой стороны BC равна . Найдите площадь трапеции. ответ:
  20. В равнобедренную трапецию вписан круг. Одна из боковых сторон делится точкой касания на отрезки и . Определите площадь трапеции. ответ:
  21. В окружность вписана трапеция, боковая сторона которой равна 15, средняя линия равна 16 и большее основание является диаметром окружности. Найдите площадь трапеции. ответ: 192
  22. Вычислите площадь трапеции по разности оснований, равной 14, и двум непараллельным сторонам, равным 13 и 15, если в трапецию можно вписать окружность. ответ: 168
  23. Найдите длину отрезка прямой, параллельной основаниям трапеции и делящей трапецию на две равновеликие фигуры, заключенного между боковыми сторонами трапеции. Основания трапеции равны и . ответ:
  24. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса . Верхнее основание трапеции в два раза меньше ее высоты. Найдите площадь трапеции. ответ:
  25. Около окружности, радиус которой равен 10, описана равнобедренная трапеция. Расстояние между точками касания окружности с боковыми сторонами трапеции равно 12. Найдите боковую сторону трапеции. ответ: 100/3
  26. Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь в отношении 3 : 5. Найдите основания трапеции. ответ: 5; 15
  27. Около окружности описана трапеция, боковые стороны которой равны 13 и 15, а площадь равна 168. Найдите основания трапеции. ответ: 7; 21
  28. В трапеции основания равны 5 и 15, а длины диагоналей равны 12 и 16. Найдите площадь трапеции. ответ: 96
  29. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 10 и 26, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам. ответ: 216
  30. Средняя линия равнобедренной трапеции равна 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия делит трапецию на две части, отношение площадей которых равно 7 : 13. Найдите высоту трапеции. ответ: 4
  31. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна . Найдите среднюю линию трапеции, если острый угол при ее основании равен . ответ:
  32. В треугольник, стороны которого равны 39, 60 и 63, вписана окружность, и к окружности проведена касательная, параллельная большей боковой стороне треугольника. Найдите площадь полученной трапеции. ответ: 1078
  33. В равнобедренный треугольник ABC (AB = BC) вписана окружность. Прямая, параллельная стороне АВ и касающаяся окружности, пересекает сторону АС в точке М, причем 5MC = 2AC. Найдите радиус окружности, если периметр треугольника АВС равен 20. ответ:
  34. Около круга радиуса 2 описана равнобедренная трапеция с острым углом 30о. Найдите среднюю линию трапеции. ответ: 8
  35. Внутри треугольника ABC с прямым углом B взята точка D так, что площади треугольников ABD и BDC соответственно в три и четыре раза меньше площади треугольника ABC. Отрезки AD и DC равны соответственно и . Найдите BD. ответ:
  36. В треугольник вписана окружность радиуса 3. Вычислите стороны треугольника, если одна из них разделена точкой касания на отрезки с длинами 3 и 4. ответ: 7; 24; 25
  37. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника равна 12. Расстояние от центра описанной около треугольника окружности до этого катета равно 2,5. Найдите длину гипотенузы. ответ: 13
  38. Вокруг окружности описана трапеция, средняя линия которой равна 5, а синус острого угла при основании равен 0,8. Найдите площадь трапеции. ответ: 20
  39. Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь в отношении 3 : 5. Найдите основания трапеции. ответ: 15; 5
  40. В равнобедренную трапецию, основания которой равны 2 и 8, вписан круг. Найдите радиус этого круга. ответ: 2
  41. В равнобедренной трапеции средняя линия равна 5, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции. ответ: 25
  42. В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 и 6. Найдите радиусы кругов. ответ: 15/2
  43. Две равные окружности радиуса пересекаются. В общую часть обоих кругов вписан квадрат. Найдите сторону этого квадрата, если расстояние между центрами окружностей равно . ответ:
  44. В окружности перпендикулярно диаметру АВ проведена хорда CD. Точка их пересечения делит диаметр на отрезки 18 и 32. Найдите CD. ответ: 48
  45. Две окружности радиусов и касаются внешним образом. Найдите расстояние от точки касания до их общей внешней касательной. ответ:
  46. Внутри круга, радиус которого равен 13, дана точка М, отстоящая от центра круга на 5. Через точку М проведена хорда АВ, равная 25. Найдите произведение длин отрезков, на которые хорда АВ делится точкой М. ответ: 144
  47. В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе проведена высота СD. Угол В равен 60о, отрезок BD равен 1. Найдите гипотенузу. ответ:7
  48. В равнобедренной трапеции диагональ длины образует угол с основанием. Найдите площадь трапеции. ответ:
  49. На сторонах AB, BC и AD параллелограмма ABCD взяты точки K, M и T таким образом, что AK : KB = 2 : 1, BM : MC = 1 : 1 и AT : TD = 1 : 3. Найдите отношение площадей треугольников KBT и BMT. ответ: 1 : 6
  50. На гипотенузе KM прямоугольного треугольника KTM расположен центр О окружности, которая касается катетов TK и TM в точках A и B соответственно. Найдите AK, если BM = 23/16, AK : AC = 5 : 23, где точка С — точка пересечения окружности с KM, лежащая между точками О и M. ответ: 6/23

 




Метки геометрия, ЕГЭ, задачи. Смотреть запись.

Задачи по физике и математике с решениями и ответами

Задача по математике — 4111

Окружность, вписанная в трапецию $ABCD$, касается боковой стороны $AB$ в точке $F$. Найдите площадь трапеции, если $AF=m$, $FB=n$, а меньшее основание трапеции $BC$ равно $b$.

Подробнее

Задача по математике — 4112

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 8, а площадь 2, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Подробнее

Задача по математике — 4113

Около окружности радиуса $\frac{2}{\sqrt{3}}$ описана равнобедренная трапеция. Угол между диагоналями трапеции, опирающийся на основание, равен $2~arctg\frac{2}{\sqrt{3}}$. Найдите отрезок, соединяющий точки касания окружности с большим основанием трапеции и одной из её боковых сторон.

Подробнее

Задача по математике — 4114

В равнобедренную трапецию вписана окружность. Расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции относится к радиусу как $3:5$. Найдите отношение периметра трапеции к длине вписанной окружности.

Подробнее

Задача по математике — 4115

В треугольник вписана окружность радиуса 3. Найдите стороны треугольника, если одна из них разделена точкой касания на отрезки, равные 4 и 3.

Подробнее

Задача по математике — 4117

Стороны треугольника относятся как $5:4:3$. Найдите отношения отрезков сторон, на которые они делятся точками касания с вписанной окружностью.

Подробнее

Задача по математике — 4120

Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна $S$. Найдите среднюю линию трапеции, если острый угол при её основании равен $\alpha$.

Подробнее

Задача по математике — 4121

В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса $R$. Верхнее основание трапеции в два раза меньше её высоты. Найдите площадь трапеции.

Подробнее

Задача по математике — 4122

Периметр равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равен $p$. Найдите радиус этой окружности, если известно, что острый угол при основании трапеции равен $\alpha$.

Подробнее

Задача по математике — 4124

Около окружности описана равнобедренная трапеция $ABCD$. Боковые стороны $AB$ и $CD$ касаются окружности в точках $M$ и $N$, $K$ — середина $AD$. В каком отношении прямая $BK$ делит отрезок $MN$?

Подробнее

Презентация на тему: ГОТОВИМСЯ
к ГИА 2014
геометрические задачи
на доказательство
( 2 часть)


1


Первый слайд презентации

ГОТОВИМСЯ
к ГИА 2014
геометрические задачи
на доказательство
( 2 часть)

Изображение слайда


2


Слайд 2

Доказательство –
это рассуждение,
которое убеждает.
(Ю.А. Шиханович)

Изображение слайда


3


Слайд 3: Содержание

Приведено решение – 16 задач
Для самостоятельной работы –
6 задач

Изображение слайда


4


Слайд 4: Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны

Доказательство.
‹1+ ‹2 + ‹3 + ‹4=180 º
т.к. ‹1=‹2, а ‹3=‹4, то
2(‹2)+2(‹4)=180 º
2(‹2+‹4)=180 º
‹2+‹4 = 90 º
Значит биссектрисы перпендикулярны.
1
2
3
4
:2

Изображение слайда


5


Слайд 5: В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм

то BЕ = KD, CF = AM.
В параллелограмме противоположные углы равны, то треугольники EBF и KDM, FCK и MAE равны по двум сторонам и углу между ними.
Из равенства треугольников следует, что EF=MK, EM=FK.
Так как противоположные стороны четырехугольника EFKM равны, то по признаку параллелограмма данный четырехугольник является параллелограммом.
Доказательство :
Так как в параллелограмме противоположные стороны равны и по условию известно, что АЕ = CK, BF = DM,

Изображение слайда


6


Слайд 6: Докажите, что медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой угла, противолежащего основанию

Доказательство:
∆АВК=∆СВК
по двум сторонам и углу между ними.
Значит ‹3=‹4, т.к. лежат в равных треугольниках против равных сторон
т.е. ВК является биссектрисой.
А
В
С
К
1
2
3
4

Изображение слайда


7


Слайд 7: В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны

Доказательство :
1) ∆ АОВ = ∆ СОD
по двум сторонам и углу между ними
2) AO = BO = CO = DO
как радиусы окружности,
3) ‹ AOB  = ‹ COD — по условию.
Следовательно, высоты OK и OL равны как соответственные элементы равных треугольников.

Изображение слайда


8


Слайд 8: Докажите, что медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны

Доказательство.
∆ АВЕ = ∆ СВК
по двум сторонам и углу между ними.
Значит АЕ = СК как стороны лежащие в равных треугольниках против равных углов
А
В
С
К
Е

Изображение слайда


9


Слайд 9: Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат

Таким образом, угол 8-миугольника равен 135 º
Если вершины последовательно соединить отрезками через одну, то образуются четыре равных равнобедренных треугольника, углы при основании которых равны: (180 º -135 º ) :2 = 22,5 º.
Тогда угол между двумя отрезками, которые соединяют вершины равен: 135 º -22,5 º· 2=135 º -45 º = 90 º.
Таким образом, если вершины восьмиугольника последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.
Решение:
Вычислим угол восьмиугольника по формуле:

Изображение слайда


10


Слайд 10: Докажите, что длина отрезка, соединяющего середины двух сторон треугольника, равна половине длины третьей стороны

Доказательство.
MN – средняя линия (по условию задачи)
2) ∆ ВМ N ~ ∆ ВАС, по
второму признаку подобия,
т.е. ‹В – общий и ВМ:ВА=
= В N :ВС=1:2
Значит к = ½ ( коэффициент подобия)
3) Из подобия треугольников следует,
что ‹1=‹2 и М N :АС=1/2.
Значит М N =1/2 АС
А
В
С
M
N
2
1

Изображение слайда


11


Слайд 11: Докажите, что если две хорды АВ и С D пересекаются в т.Е, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: АЕ · ЕВ = СЕ · Е D

Доказательство.
В треугольниках А D Е и СВЕ :
а) ‹1 = ‹2 (как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу В D )
б) ‹3=‹4 (как вертикальные)
Т.е. ∆А D Е ~∆ СВЕ (по двум углам)
Значит: АЕ:СЕ= D Е:ВЕ, или
АЕ · ЕВ = СЕ · Е D
О
D
В
А
С
Е
1
2
3
4

Изображение слайда


12


Слайд 12: В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний

Доказательство:
т.к. точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно, то:
MN — средняя линия и равна ½ АС
МК — средняя линия и равна ½ ВС
NK — средняя линия и равна ½ АВ,
но т.к. ∆АВС – равносторонний,
то и ∆MNK — равносторонний.

Изображение слайда


13


Слайд 13: Докажите, что диаметр, проходящий через середину хорды окружности, перпендикулярен ей

Доказательство.
по чертежу видно, что ∆АВС и ∆АВК – прямоугольные, т.к. ‹АСВ и ‹АКВ – вписанные и опираются на половину окружности и значит равны 90 º.
‹1=‹2 как вписанные и опирающиеся на равные дуги.
Тогда ∆АВС = ∆АВК (по гипотенузе и острому углу) и значит АС=АК.
Тогда ∆АСК – равнобедренный и АВ его медиана, а значит и высота, т.е.
АВ перпендикулярен СК
О
А
В
С
К
1
2

Изображение слайда


14


Слайд 14: Докажите, что отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны

Доказательство:
Т.к. АС и СВ касательные,
то ОА┴АС и ОВ┴ВС.
Тогда ∆ОАС=∆ОВС
по гипотенузе ОС (общая) и
катету ( ОА=ОВ как радиусы
одной окружности)
Значит АС=ВС, т.к. в равных треугольниках против равных углов лежат и равные стороны
О
А
В
С

Изображение слайда


15


Слайд 15: Докажите что, градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается

Доказательство:
Проведём диаметр ВК.
Тогда ‹1 будет внешним углом ∆АОВ
и ‹1= ‹2+‹3, но ‹2= ‹3 как углы при
основании равнобедренного ∆АОВ
Т.е. ‹1=2 ·‹ 3 => ‹3= ½·‹ 1, но т.к. ‹1 —
центральный, то ‹1= ں АК; ‹3= ½· ں АК
Аналогично: ‹6= ½· ں СК
Значит ‹3+‹6 = ½· ں АК+ ½· ں СК= ½· ( ں АК+ ں СК)=
= ½· ں АС, т.е вписанный угол АВС= ½· ں АС
О
А
В
С
К
1
2
3
4
5
6

Изображение слайда


16


Слайд 16: Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то трапеция равнобедренная

Доказательство:
Т.к. дана трапеция, то ‹1+‹2=180 º
(односторонние углы)
Т.к. около трапеции можно описать
окружность, то ‹1+‹3 =‹2+‹4 =180 º, т.е.
‹1= 180 º — ‹ 3. Подставим это в
первое выражение ‹1+‹2=180 º и
получим: (180 º — ‹ 3) +‹2=180 º =>
‹2- ‹ 3 =180 º — 180 º =0, т.е. ‹2= ‹ 3. Тогда и
‹1=‹4, т.е. трапеция равнобедренная
О
1
2
3
4

Изображение слайда


17


Слайд 17: Докажите, что если две окружности имеют общую хорду, то прямая, проходящая через центры этих окружностей, перпендикулярна данной хорде

Доказательство:
∆О 1 АО 2 =∆О 1 ВО 2 по трем сторонам (О1О2 – общая; О1А=О1В как радиусы одной окружности О1; О2А=О2В как радиусы окружностьО2). Значит
‹1=‹2. Тогда биссектриса О 1 К в равнобедренном треугольнике О 1 АВ является и высотой, т.е.
О 1 О 2 ┴АВ
О 1
О 2
А
В
К
1
2

Изображение слайда


18


Слайд 18: Докажите, что если биссектриса пересекает основание трапеции, то от трапеции отсекается равнобедренный треугольник

Доказательство:
Если АК -биссектриса, то
‹1=‹2,
но т.к. АВС D -трапеция, то ‹1=‹3 как внутренние накрест лежащие.
Значит ‹2=‹3 и тогда
∆АВК-равнобедренный
А
В
С
D
К
1
2
3

Изображение слайда


19


Слайд 19: Биссектрисы всех внутренних углов параллелограмма попарно пересекаются. Докажите, что полученный четырехугольник является прямоугольником

Доказательство:
Т.к. АК — биссектриса, то она
отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник АВК, т.е. АВ=ВК.
Т.к. ВО – биссектриса, то ВР биссектриса в равнобедренном ∆КАВ, опущенная на основание, значит является и высотой, т.е.
‹1- прямой => и ‹2- прямой.
Аналогично ( док-те сами ) можно доказать, что ‹3 = 90 º => ‹ 4=90 º
Значит в четырёхугольнике: ‹2+‹4=180 º и два оставшихся равных угла тоже остаётся 180 º т.е все углы — прямые
Тогда четырёхугольник – прямоугольник.
А
В
С
D
М
К
О
Н
Р
R
1
2
3
4

Изображение слайда


20


Слайд 20: Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб – квадрат

Доказательство:
самостоятельно в парах
1
2
3
4

Изображение слайда


21


Слайд 21: Докажите, что средняя линия трапеции равна полусумме её оснований

Доказательство:
самостоятельно
или стр.210 в учебнике по геометрии 7-9
А.С. Атанасяна

Изображение слайда


22


Слайд 22: Докажите, что если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то высота равна средней линии

Доказательство:
самостоятельно

Изображение слайда


23


Слайд 23: На стороне ВС квадрата АВС D взята точка К. Докажите, что площадь треугольника АК D равна половине площади квадрата

Доказательство:
К
К
А
В
С
D
самостоятельно

Изображение слайда


24


Слайд 24: Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два треугольника. Докажите, что площади этих треугольников равны

Доказательство:
самостоятельно
S
S1
S2
S4
S3

Изображение слайда


25


Слайд 25: Докажите, что биссектрисы, проведенные из вершин основания равнобедренного треугольника, равны

Доказательство:
самостоятельно

Изображение слайда


26


Последний слайд презентации: ГОТОВИМСЯ
к ГИА 2014
геометрические задачи
на доказательство
( 2 часть): Интернет-ресурсы

А.В. Семенов, И.В. Ященко и др. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Математика 2014., М., Интелект-Центр, 2014

Изображение слайда

Около трапеции можно описать окружность если. Трапеция

Описанная окружность и трапеция. Здравствуйте! Для вас ещё одна публикация, в которой рассмотрим задачи с трапециями. Задания входят в состав экзамена по математике. Здесь они объединены в группу, дана не просто одна трапеция, а комбинация тел – трапеция и окружность. Большинство из таких задачек решаются устно. Но есть и такие на которые нужно обратить особое внимание, например, задача 27926.

Какую теорию необходимо помнить? Это:

Задачи с трапециями, которые имеются на блоге можно посмотреть здесь

.

27924. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Отметим, что описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. Нам дана средняя линия, значит можем определить сумму оснований, то есть:

Значит сумма боковых сторон будет равна 22–10=12 (периметр минус основания). Так как боковые стороны равнобедренной трапеции равны, то одна сторона будет равна шести.

27925. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60 0 , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Если вы решали задачи с окружностью и вписанным в неё шестиугольником, то сразу озвучите ответ – радиус равен 6. Почему?

Посмотрите: равнобедренная трапеция с углом при основании равным 60 0 и равными сторонами AD, DC и CB, представляет собой половину правильного шестиугольника:

В таком шестиугольнике отрезок соединяющий противоположные вершины проходит через центр окружности. *Центр шестиугольника и центр окружности совпадают, подробнее

То есть большее основание этой трапеции совпадает с диаметром описанной окружности. Таким образом радиус равен шести.

*Конечно, можно рассмотреть равенство треугольников ADO, DOС и OCB. Доказать что они равносторонние. Далее сделать вывод о том, что угол AOB равен 180 0 и точка О равноудалена от вершин A, D, C и B, а и значит АО=ОВ=12/2=6.

27926. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Отметим, что центр описанной окружности лежит на оси симметрии, при чём если построить высоту трапеции проходящую через этот центр, то она при пересечении с основаниями разделит их пополам. Покажем это на эскизе, также соединим центр с вершинами:

Отрезок EF является высотой трапеции, его нам нужно найти.

В прямоугольном треугольнике OFC нам известна гипотенуза (это радиус окружности), FC=3 (так как DF=FC). По теореме Пифагора можем вычислить OF:

В прямоугольном треугольнике OEB нам известна гипотенуза (это радиус окружности), EB=4 (так как AE=EB). По теореме Пифагора можем вычислить OE:

Таким образом EF=FO+OE=4+3=7.

Теперь важный нюанс!

В этой задаче на рисунке чётко показано, что основания лежат по разные стороны от центра окружности, поэтому задача решается именно так.

А если бы в условии не было дано эскиза?

Тогда у задачи было бы два ответа. Почему? Посмотрите внимательно – в любую окружность можно вписать две трапеции с заданными основаниями:

*То есть при данных основаниях трапеции и радиусе окружности существует две трапеции.

И решение будет «второго варианта» будет следующим.

По теореме Пифагора вычисляем OF:

Также вычислим OE:

Таким образом EF=FO–OE=4–3=1.

Конечно, в задаче с кратким ответом на ЕГЭ двух ответов быть не может, и подобная задача без эскиза дана не будет. Поэтому обратите особое внимание на эскиз! А именно: как расположены основания трапеции. А вот в заданиях с развёрнутым ответом такая в прошлые годы присутствовала (немного с усложнённым условием). Тот, кто рассматривал только один вариант расположения трапеции теряли балл на этом задании.

27937. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Здесь сразу следует вспомнить свойство четырёхугольника описанного около окружности:

Суммы противоположных сторон любого четырёхугольника описанного около окружности равны.

  1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
  2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
  3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
  4. Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
  5. Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
  6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции
.

Данный отрезок параллелен основаниям трапеции
.

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

LM = (AD — BC)/2


или

LM = (a-b)/2

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции

Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — являются подобными
.

Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными — они равны.

Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны.

Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).

Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции

Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это — треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны
, то есть треугольники являются равновеликими.

Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований
.

Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:

  • Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
  • Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей (KO/ON) будет равно соотношению оснований трапеции
(BC/AD).

KO / ON = BC / AD

Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции

Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

  • Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
  • Длина отрезка
    , проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)

Формулы для нахождения диагоналей трапеции

a, b

— основания трапеции

c, d

— боковые стороны трапеции

d1 d2

— диагонали трапеции

α β
— углы при большем основании трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

1.
Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований
. Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема

2
. Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части выражения извлечен квадратный корень.

3
. Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что в левой части выражения оставлена другая диагональ

Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает аналогичное соотношение.

Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции, одна боковая сторона и угол при основании.

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту

Примечание
. В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа — задайте вопрос на форуме
.

Задача
.

Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.

Решение
.

Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам — AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть

AO / OC = AD / BC

9 / 6 = 24 / BC

BC = 24 * 6 / 9 = 16

Ответ
: 16 см

Задача
.

В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение
.

Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая — то обозначим
длину AM = a, длину KD = b (не путать с обозначениями в формуле
нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK — прямоугольник.

Значит

AD = AM+BC+KD

a + 8 + b = 24

a = 16 — b

Треугольники DBM и ACK — прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

H 2 + (24 — a) 2 = (5√17) 2

и

h 2 + (24 — b) 2 = 13 2

Учтем, что a = 16 — b , тогда в первом уравнении

h 2 + (24 — 16 + b) 2 = 425

h 2 = 425 — (8 + b) 2

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:

425 — (8 + b) 2 + (24 — b) 2 = 169

-(64 + 16b + b) 2 + (24 — b) 2 = -256

-64 — 16b — b 2 + 576 — 48b + b 2 = -256

-64b = -768

b = 12

Таким образом, KD = 12

Откуда

h 2 = 425 — (8 + b) 2 = 425 — (8 + 12) 2 = 25

h = 5

Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований

, где a b — основания трапеции, h — высота трапеции

S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2

Ответ
: площадь трапеции равна 80 см 2 .

ФГКОУ «МКК «Пансион воспитанниц МО РФ»

«УТВЕРЖДАЮ»

Руководитель отдельной дисциплины

(математика, информатика и ИКТ)

Ю. В. Крылова _____________

«___» _____________ 2015 г.

«Трапеция и ее свойства
»

Методическая разработка

преподавателя математики

Шаталиной Елены Дмитриевны

Рассмотрено и

на заседании ПМО от _______________

Протокол №______

Москва

2015 год

Оглавление

Введение 2

    Определения 3

    Свойства равнобедренной трапеции 4

    Вписанные и описанные окружности 7

    Свойства вписанных и описанных трапеций 8

    Средние величины в трапеции 12

    Свойства произвольной трапеции 15

    Признаки трапеции 18

    Дополнительные построения в трапеции 20

    Площадь трапеции 25

10. Заключение

Список используемой литературы

Приложение

    Доказательства некоторых свойств трапеции 27

    Задачи для самостоятельных работ

    Задачи по теме «Трапеция» повышенной сложности

    Проверочный тест по теме «Трапеция»

Введение

Данная работа посвящена геометрической фигуре, которая называется трапеция. «Обычная фигура»,- скажете вы, но это не так. Она таит в себе много тайн и загадок, если приглядеться и углубиться в ее изучение, то вы откроете для себя много нового в мире геометрии, задачи, которые раньше не решались, покажутся вам легкими.

Трапеция — греч.слово trapezion – «столик». Заимств. в 18 в. из лат. яз., где trapezion – греч. Это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Трапеция встречается впервые у древнегреческого ученого Посидония (2 век до н.э.). В нашей жизни много разных фигур. В 7 классе мы близко познакомились с треугольником, в 8 классе по школьной программе мы начали изучать трапецию. Эта фигура заинтересовала нас, а в учебнике непозволимо мало про нее написано. Поэтому мы решили взять это дело в руки и найти информацию про трапецию. ее свойства.

В работе рассматриваются свойства знакомые воспитанницам по пройденному материалу в учебнике, но в большей степени неизвестные свойства, которые необходимы для решения сложных задач. Чем больше количество решаемых задач, тем больше вопросов возникает при решении их. Ответом на эти вопросы иногда кажется тайной, узнавая, новые свойства трапеции, необычные приемы решения задач, а также технику дополнительных построений, мы постепенно открываем тайны трапеции. В интернете, если забить в поисковике, о методах решения задач по теме «трапеция» очень мало литературы. В процессе работы над проектом найден большой объем информации, которая поможет воспитанницам в глубоком изучении геометрии.

Трапеция.

    Определения

Трапеция
– четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются
основаниями.
Другие две —
боковые стороны
.
Если боковые стороны равны, трапеция называется
равнобедренной
.

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется
прямоугольной
.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется
средней линией трапеции
.

Расстояние между основаниями называется высотой
трапеции
.

2

. Свойства равнобедренной трапеции

3. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

4

1
0. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали равна помусумме оснований.


3. Вписанная и описанная окружность

Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность.

Е
сли трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.

4
. Свойства вписанных и описанных трапеций

2.Если в равнобедренную
трапецию можно вписать окружность, то

сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Следовательно, длина боковой стороны равна длине средней линии трапеции.

4

.
Если в трапецию вписана окружность, то боковые стороны из ее центра видны под углом 90°.


    Е
    сли в трапецию вписана окружность, которая касается одной из боковых сторон, разбивает ее на отрезки m
    и n,
    тогда радиус вписанной окружности равен среднему геометрическому этих отрезков.

1

0
. Если окружность построена на меньшем основании трапеции как на диаметре, проходит через середины диагоналей и касается нижнего основания, то углы трапеции 30°, 30°, 150°, 150°.

5.
Средние величины в трапеции

Среднее геометрическое



    В любой трапеции с основаниями

    a

    и

    b

    для


    a

    >

    b

    справедливо неравенство


    :


b
˂
h
˂
g
˂
m
˂
s
˂
a

6.
Свойства произвольной трапеции

1

. Середины диагоналей трапеции и середины боковых сторон лежат на одной прямой.


2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.


3. Отрезки прямой, параллельной основаниям трапеции, пересекающей боковые стороны и диагонали трапеции, заключенные между боковой стороной диагональю, равны.

    Точка пересечения продолжения боковых сторон произвольной трапеции, точка пересечения ее диагоналей и середин оснований лежат на одной прямой.


5.
При пересечении диагоналей произвольной трапеции образуются четыре треугольника с общей вершиной, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики(т.е. имеют равные площади).

6.
Сумма квадратов диагоналей произвольной трапеции равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.


d

1

2

+

d

2

2

=

c

2

+

d

2

+ 2

ab

7


.

В прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований

d

1

2


d

2

2

=

a

2


b

2

8
. Прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

9. Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам.

7
. Признаки трапеции

8
. Дополнительные построения в трапеции

1. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия трапеции.

2
. Отрезок, параллельный одной из боковых сторон трапеции, один конец которого совпадает с серединой другой боковой стороны, другой принадлежит прямой, содержащей основание.

3
. Если даны все стороны трапеции, через вершину меньшего основания проводится прямая, параллельная боковой стороне. Получается треугольник со сторонами, равными боковым сторонам трапеции и разности оснований. По формуле Герона находят площадь треугольника, потом высоту треугольника, которая равна высоте трапеции.

4

. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.

5. Высоты трапеции, опущенные из вершин одного основания, высекают на прямой, содержащей другое основание, отрезок, равный первому основанию.

6
. Отрезок, параллельный одной из диагоналей трапеции проводится через вершину – точку, являющуюся концом другой диагонали. В результате получается треугольник с двумя сторонами, равными диагоналям трапеции, и третьей – равной сумме оснований

7
.Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований трапеции.

8. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, они перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.

9. Биссектриса угла трапеции отсекает равнобедренный треугольник.

1
0. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

1
1. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

1
2
. Продолжение боковых сторон трапеции до пересечения дает возможность рассматривать подобные треугольники.

13.
Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то проводят высоту трапеции — среднее геометрическое произведения оснований трапеции или удвоенное среднее геометрическое произведения отрезков боковой стороны, на которые она делится точкой касания.

9. Площадь трапеции

1

. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту
S

= ½(a

+
b

)
h

или

П

лощадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту S

=
m

h

.

2. Площадь трапеции равна произведению боковой стороны и перпендикуляра, проведенного из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.

    Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности равным
    r
    и углом при основании
    α:

10.
Заключение

ГДЕ, КАК И ДЛЯ ЧЕГО ИСПОЛЬЗЕУТСЯ ТРАПЕЦИЯ?

Трапеция в спорте: Трапеция — безусловно прогрессивное изобретение человечества. Она предназначена для того, чтобы разгрузить наши руки, сделать хождение на виндсерфере комфортным и легким отдыхом. Хождение на короткой доске вообще не имеет смысла без трапеции, так как без нее невозможно правильно распределить тягу между степсом и ногами и эффективно разогнаться.

Трапеция в моде: Трапеция в одежде была популярна ещё в средние века, в романскую эпоху IX-XI вв. В тот период основу женской одежды составляли туники в пол, к низу туника сильно расширялась, что и создавало эффект трапеции. Возрождение силуэта произошло в 1961-ом году и стало гимном молодости, независимости и утонченности. Огромную роль в популяризации трапеции сыграла хрупкая модель Лесли Хорнби, известная, как Твигги. Невысокая девочка с анорексичным телосложением и огромными глазами стала символом эпохи, а её излюбленными нарядами были короткие платья трапеции.

Трапеция в природе: трапеция встречается и в природе. У человека есть трапециевидная мышца, у некоторых людей лицо имеет форму трапеции. Лепестки цветов, созвездия, и конечно же вулкан Килиманджаро тоже имеют форму трапеции.

Трапеция в быту: Трапеция используется и в быту, т.к ее форма практична. Она встречается в таких предметах как: ковш экскаватора, стол, винт, машина.

Трапеция — символ архитектуры инков. Доминирующая стилистическая форма в архитектуре инков проста, но изящна — это трапеция. Она имеет не только функциональное значение, но и строго ограниченное художественное оформление. Трапециевидные дверные проемы, окна, и стенные ниши найдены в постройках всех типов, и в храмах и в менее значительных зданиях более грубых, если можно так выразиться, постройках. Трапеция встречается и в современной архитектуре. Эта форма зданий является необычной, поэтому такие постройки всегда притягивают взгляды прохожих.

Трапеция в технике: Трапеция используется при конструировании деталей в космических технологиях и в авиации. Например, некоторые солнечные батареи космических станций имеют форму трапеции так как имеют большую площадь, значит накапливают больше солнечной эн

В 21 первом веке люди уже практически не задумываются о значении геометрических фигур в их жизни. Их совершенно не волнует какой формы у них стол, очки или телефон. Они просто выбирают ту форму, которая практична. Но именно от формы той или иной вещи может зависеть использование предмета, его предназначение, результат работы. Сегодня мы познакомили вас с одной из величайших достижений человечества- с трапецией. Мы приоткрыли вам дверь в удивительный мир фигур, поведали вам тайны трапеции и показали, что геометрия вокруг нас.

Список используемой литературы

    Болотов А.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф., Математика Теория и Задачи. Книга 1 Учебное пособие для абитуриентов М.1998 Издательство МЭИ.

    Быков А.А, Малышев Г.Ю., ГУВШ факультет довузовской подготовки. Математика. Учебно-методическое пособие 4 часть М2004

    Гордин Р.К. Планиметрия. Задачник.

    Иванов А.А.,. Иванов А.П, Математика: Пособие для подготовки к ЕГЕ и поступлению в вузы-М: Издательство МФТИ,2003-288с. ISBN
    5-89155-188-3

    Пиголкина Т.С, Министерство образования и науки РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «ЗФТШ Московского физико-технического института (государственного университета)». Математика. Планиметрия. Задания №2 для 10-ых классов (2012-2013 учебный год).

    Пиголкина Т.С., Планиметрия (часть1).Матиматическая Энциклопедия Абитуриента. М., издательство российского открытого университета 1992.

    Шарыгин И.Ф.Избранные задачи по геометрии конкурсных экзаменов в ВУЗЫ (1987-1990) Львов Журнал «Квантор» 1991.

    Энциклопедия «Аванта плюс», Математика М., Мир энциклопедий Аванта 2009.

Приложение

1.Доказательство некоторых свойств трапеции.

1.
Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках
K


и

L

.


Доказать, что если основания трапеции равны

а


и

b

, то



длина отрезка

KL


равна среднему геометрическому оснований трапеции.

Доказательство

Пусть

О


— точка пересечения диагоналей,
AD


=

а, ВС


=

b

.


Пря­мая


KL

параллельна основанию
AD


, следовательно,

K

О


AD


,


треугольники

В


K


О


и

BAD


подобны, поэтому


(1)

(2)

Подставим (2) в (1)
, получим KO =

Аналогично LO

= Тогда K


L

=

KO

+


LO

=

    В


    о всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжения боковых сторон ле­жат на одной прямой.

    Доказательство: Пусть продолжения боковых сторон пересекаются в точке
    К.


    Через точку

    К


    и точку

    О


    пересечения диагоналей
    проведём прямую


    КО.

K

Окажем, что эта прямая делит основания пополам.

Обозначим
ВМ

=


х, МС

=


у,


AN



=


и,


ND


=


v


.


Имеем:

ВКМ



~


∆AKN


M

x

B

C

Y



C



~


∆NKD


— (греч. trapezion). 1) в геометрии четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две нет. 2) фигура, приспособленная для гимнастических упражнений. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ТРАПЕЦИЯ… … Словарь иностранных слов русского языка

Трапеция
— Трапеция. ТРАПЕЦИЯ (от греческого trapezion, буквально столик), выпуклый четырехугольник, в котором две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Четырехугольник, снаряд, перекладина Словарь русских синонимов. трапеция сущ., кол во синонимов: 3 перекладина (21) … Словарь синонимов

— (от греческого trapezion, буквально столик), выпуклый четырехугольник, в котором две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту … Современная энциклопедия

— (от греч. trapezion букв. столик), четырехугольник, в котором две противоположные стороны, называемые основаниями трапеции, параллельны (на рисунке АD и ВС), а другие две непараллельны. Расстояние между основаниями называют высотой трапеции (на… … Большой Энциклопедический словарь

ТРАПЕЦИЯ, четырехугольная плоская фигура, в которой две противоположные стороны параллельны. Площадь трапеции равна полусумме параллельных сторон, умноженной на длину перпендикуляра между ними … Научно-технический энциклопедический словарь

ТРАПЕЦИЯ, трапеции, жен. (от греч. trapeza стол). 1. Четырехугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами (мат.). 2. Гимнастический снаряд, состоящий из перекладины, подвешенной на двух веревках (спорт.). Акробатические… … Толковый словарь Ушакова

ТРАПЕЦИЯ, и, жен. 1. Четырёхугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами. Основания трапеции (её параллельные стороны). 2. Цирковой или гимнастический снаряд перекладина, подвешенная на двух тросах. Толковый словарь Ожегова. С … Толковый словарь Ожегова

Жен., геом. четвероугольник с неравными сторонами, из коих две опостенны (паралельны). Трапецоид, подобный четвероугольник, у которого все стороны идут врознь. Трапецоэдр, тело, ограненное трапециями. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

— (Trapeze), США, 1956, 105 мин. Мелодрама. Начинающий акробат Тино Орсини поступает в цирковую труппу, где работает Майк Риббл, известный в прошлом воздушный гимнаст. Когда то Майк выступал вместе с отцом Тино. Молодой Орсини хочет, чтобы Майк… … Энциклопедия кино

Четырехугольник, две стороны которого параллельны, а дведругие стороны не параллельны. Расстояние между параллельными сторонаминаз. высотою Т. Если параллельные стороны и высота содержат а, b и hметров, то площадь Т. содержит квадратных метров … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

Проектная работа « Интересные свойства трапеции » Выполнили: ученицы 10 класса Кудзаева Эллина Баззаева Диана МКОУ СОШ с. Н.Батако Руководитель: Гагиева А.О. 20.11.2015 года

Цель работы: Рассмотреть свойства трапеции, которые в школьном курсе геометрии не изучаются, но при решении геометрических задач ЕГЭ из развернутой части С 4 бывает необходимо знать и уметь применять именно эти свойства.

Свойства трапеции: Если трапеция разделена прямой, параллельной ее основаниям, равным a и в, на две равновеликие трапеции. Тогда отрезок к этой прямой, заключенный между боковыми сторонами, равен a В к

Свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции. Отрезок, параллельный основаниям, проходящий через точку пересечения диагоналей равен: а в с

Свойства трапеции: Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключенный внутри трапеции, разбивается ее диагоналями на три части. Тогда отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой. МР=ОК Р М О К

Свойства равнобедренной трапеции: Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону. О С В А Д. Е О

Свойства равнобедренной трапеции: Если центр описанной окружности лежит на основании трапеции, то её диагональ перпендикулярна боковой стороне О А В С Д

Свойства равнобедренной трапеции: В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если боковая сторона равна её средней линии. С В А Д h

1)Если в условии задачи сказано, что в прямоугольную трапецию вписана окружность, можно использовать следующие свойства: 1. Сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон. 2. Расстояния от вершины трапеции до точек касания вписанной окружности равны. 3. Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне и равна диаметру вписанной окружности. 4. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. 5. Если точка касания делит боковую сторону на отрезки m и n , то радиус вписанной окружности равен

Свойства прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность: 1) Четырехугольник, образованный центром вписанной окружности, точками касания и вершиной трапеции — квадрат, сторона которого равна радиусу. (AMOE и BKOM — квадраты со стороной r). 2) Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, то площадь трапеции равна произведению ее оснований: S=AD*BC

Доказательство: Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: Обозначим CF=m , FD=n . Поскольку расстояния от вершин до точек касания равны, высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, а

I. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под углом 90º . 1)∠ABC+∠BAD=180º(как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º(так как биссектрисы делят углы пополам). 3) Так как сумма углов треугольника равна 180º, в треугольнике ABK имеем: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, отсюда ∠AKB=180-90=90º. Вывод: Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом. Это утверждение применяется при решении задач на трапецию, в которую вписана окружность.

I I .Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции. Пусть биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке S. Тогда треугольник ABS — равнобедренный с основанием BS Значит, его биссектриса AK является также медианой, то есть точка K — середина BS. Если M и N — середины боковых сторон трапеции, то MN — средняя линия трапеции и MN∥AD. Так как M и K — середины AB и BS, то MK — средняя линия треугольника ABS и MK∥AS. Поскольку через точку M можно провести лишь одну прямую, параллельную данной, точка K лежит на средней линии трапеции.

III. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABK и DCK — равнобедренные с основаниями AK и DK соответственно. Таким образом, BC=BK+KC=AB+CD. Вывод: Если биссектрисы острых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей меньшему основанию, то меньшее основание равно сумме боковых сторон трапеции. У равнобедренной трапеции в этом случае меньшее основание в два раза больше боковой стороны.

I V. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABF и DCF — равнобедренные с основаниями BF и CF соответственно. Отсюда AD=AF+FD=AB+CD. Вывод: Если биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей большему основанию, то большее основание равно сумме боковых сторон трапеции. У равнобедренной трапеции в этом случае большее основание в два раза больше боковой стороны.

Если равнобедеренную трапецию со сторонами а,в,с, d можно вписать и около неё можно описать окружности, то площадь трапеции равна

Геометрия

— Нахождение радиуса окружности, вписанной в трапецию

Когда ничего не помогает, возьмите молоток побольше

… что я сделал и обнаружил, что ответ был $ R = 6 $.

Я не буду объяснять, почему $ AC $, $ BD $ $ PR $ и $ QS $ совпадают в $ F $. Это просто частный случай
Теорема Брианшона. Итак, начнем с этого. Обратите внимание на углы $ \ angle CAB = \ angle ACD = \ alpha $, $ \ angle ABD = \ angle BDC = \ beta $ и сегмент $ OF = x $. Мы будем использовать их постоянно. Для простоты я также введу следующие символы: $ AK = p_1 $, $ LC = p_2 $, $ BM = q_1 $, $ DN = q_2 $.Мы знаем, что $ p_1p_2 = 16 $ и $ q_1q_2 = 9/4 $.

Сначала попробуем найти $ p_1 = AK $. Тот же подход будет использован для поиска сегментов $ p_2, q_1, q_2 $

Взгляните на четырехугольник $ AQOK $:

$$ AQ = FQ \ cot \ alpha = AK \ cos \ alpha + OK \ sin \ varphi $$

$$ QO = AK \ sin \ alpha + OK \ cos \ varphi $$

Это приводит к следующим уравнениям:

$$ p_1 \ cos \ alpha + R \ sin \ varphi = (R + x) \ cot \ alpha $$
$$ p_1 \ sin \ alpha + R \ cos \ varphi =

рупий

или:

$$ R \ sin \ varphi = (R + x) \ cot \ alpha-p_1 \ cos \ alpha $$
$$ R \ cos \ varphi = R-p_1 \ sin \ alpha $$

Возведите эти два уравнения в квадрат и сложите их.2} = 36 \ подразумевает R = 6 $$

Урок Равнобедренную трапецию можно вписать в круг

Равнобедренную трапецию можно вписать в круг

Задача 1

Если трапеция равнобедренная, ее можно вписать в круг. Доказывать.

Проба


Пусть ABCD будет равнобедренной трапецией с основаниями AB и CD и
Боковые стороны
AD и BC ( Рисунок 1a ).

Нам нужно доказать, что существует круг, который проходит через все вершины

трапеции A , B , C и D .

Нарисуем диагонали трапеции AC и BD ( Рисунок 1b ) и

рассмотрим треугольники ABC и ABD .

Эти треугольники имеют общую сторону AB и совпадающие стороны BC и

AD (последний из-за того, что трапеция ABCD равнобедренная).

Рисунок 1a . К проблеме 1

Рисунок 1b . К решению
Задачи 1

Углы L BAD и L ABC , заключенные между этими конгруэнтными сторонами, совпадают как углы основания равнобедренной трапеции (см. Урок

Трапеции и их базовые углы по теме Многоугольники раздела Геометрия на этом сайте).

Следовательно, треугольники ABC и ABD конгруэнтны в соответствии с тестом SAS на конгруэнтность треугольников.

Это означает, что углы L ACB и L ADB конгруэнтны как соответствующие углы конгруэнтных треугольников.

Таким образом, углы L ACB и L ADB совпадают и опираются на один и тот же отрезок AB .Значит, эти углы вписываются в круг в соответствии с уроком.

Обратная теорема о вписанных углах в теме Окружности и их свойства раздела Геометрия на этом сайте.

Доказательство завершено.

Обратное утверждение доказывается в уроке Две параллельные секущие окружности, отсекающие конгруэнтные дуги в теме Окружности и их свойства раздела Геометрия на этом сайте: если трапеция вписана в окружность, то трапеция равнобедренная.

Комбинируя прямое и обратное утверждения, вы можете заключить, что трапеция может быть вписана в круг тогда и только тогда, когда трапеция равнобедренная .

Другие мои уроки по кругам на этом сайте в логическом порядке

— Окружность, ее хорды, касательные и секущие линии — основные определения,

— Чем длиннее хорда, тем больше ее центральный угол,

— Хорды ​​окружности и радиусы, перпендикулярные хордам,

— Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания,

— вписанный угол в круг,

— Две параллельные секущие окружности, отсекающие конгруэнтные дуги,

— Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри круга,

— Угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга,

— Угол между хордой и касательной к окружности,

— Касательные сегменты к окружности от точки за пределами окружности,

— Обратная теорема о вписанных углах,

— Части хорд, пересекающиеся внутри круга,

— Метрические соотношения для секущих, пересекающихся вне круга и

— Метрические соотношения для касательной и секущей линий, выпущенных из точки за пределами круга

в теме Окружности и их свойства раздела Геометрия , и

— КАК РАЗБИВАТЬ дугу по окружности с помощью циркуля и линейки,

— КАК найти центр круга, заданного двумя аккордами,

— Решенные задачи по радиусу и касательной к окружности,

— Решенные задачи по вписанным углам,

— Свойство углов четырехугольника, вписанного в круг,

— КАК построить касательную линию к окружности в заданной точке окружности,

— КАК построить касательную линию к окружности через заданную точку вне окружности,

— КАК построить общую внешнюю касательную к двум окружностям,

— КАК построить общую внутреннюю касательную к двум окружностям,

— Решенные задачи на хордах, которые пересекаются внутри круга,

— Решенные задачи на секущих, которые пересекаются вне круга,

— Решенные задачи касательной и секущей линии, выпущенной из точки за пределами круга

— Радиус круга, вписанного в прямоугольный треугольник

— Решенные проблемы касательных линий, выпущенных из точки за пределами круга.

под актуальную тему.

Обзор уроков по Свойствам Кругов находится в этом файле СВОЙСТВА КРУГОВ, ИХ ХОРДЫ, СЕКАНТЫ И ТАНГЕНТЫ.
Вы можете использовать файл обзора или список ссылок выше для навигации по этим урокам.

Для навигации по всем темам / урокам Онлайн-учебника по геометрии используйте этот файл / ссылку ГЕОМЕТРИЯ — ВАШ ОНЛАЙН-УЧЕБНИК.

трапеция, вписанная в круг

Окружность радиуса 6 вписана в равнобедренную трапецию.Как 耳 в конечном итоге означало край / корочка? Теперь выберите любую точку $ D $ на продолжении $ BP $, отстоящую от $ B $, с той же стороны, что и $ P $, затем проведите параллель с $ AB $. Если P S = QR = 25 см, P Q = 18 см и S R = 32 см, какова длина диаметра круга? Чтобы рассчитать Радиус вписанного круга в трапецию, вам нужна Высота (h). Это означает, что вам необходимо выполнить условия, при которых построенная трапеция AFDM будет соответствовать следующим требованиям: AF + DM = FD + MA. Темы. Поскольку трапеция вписана в круг, это равнобедренная трапеция.Вписанные формы: угол, ограниченный диаметром. Я все равно хочу то, что внутри. Расширение. В таких «скрещенных» четырехугольниках свойство внутреннего угла больше не выполняется. Больше взаимосвязей между сферами в круге. Задачи задачи: вписанные формы. Любую равнобедренную трапецию можно вписать в круг. Если нет, то как это доказать? Я сбит с толку, потому что другая база и высота трапеции изменились бы, и их нужно было решить, чтобы найти максимальную площадь. Обсуждение. . Площадь и периметр.(Большинство свойств многоугольников недействительны при пересечении многоугольника). Темы. Высота этой трапеции, начиная с вершины более короткого основания, разделяет более длинное основание на сегменты, длина большего из которых составляет 10 см. Площади многоугольников и кругов. Элементарная геометрия для студентов колледжа. Более 600 задач по алгебре на edhelper.com, две параллельные секущие окружности, отсекающие конгруэнтные дуги, окружность, ее хорды, касательные и секущие линии — основные определения, чем длиннее хорда, тем больше его центральный угол, хорды окружности и радиусов, перпендикулярных хордам, Касательная линия к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания, Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри круга, Угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга, Угол между хордой и касательной к окружности, Касательные сегменты к окружности от точки за пределами окружности, Части хорд, пересекающиеся внутри окружности, Метрические соотношения для секущих, пересекающихся вне окружности, Метрические соотношения для касательной и секущей линии, выпущенные из точки за пределами круга, КАК РАЗРЕЗАТЬ дугу в окружности с помощью циркуля и линейки, КАК найти центр окружности, заданной двумя хордами, Решенные задачи по радиусу и касательной к точке ci rcle, Свойство углов четырехугольника, вписанного в окружность, КАК построить касательную линию к окружности в заданной точке окружности, КАК построить касательную линию к окружности через заданную точку вне окружности, КАК ЧТОБЫ построить общую внешнюю касательную к двум окружностям, КАК построить общую внутреннюю касательную к двум окружностям, Решенные задачи на хордах, пересекающихся внутри окружности, Решенные задачи по секущим, пересекающимся вне окружности, Решенные задачи по касательной и секущие линии, выпущенные из точки за пределами круга, Радиус круга, вписанного в прямоугольный треугольник, Решенные задачи по касательным линиям, выпущенным из точки вне круга, СВОЙСТВА ОКРУГОВ, ИХ ХОРДЫ, СЕКАНТЫ И КАСАНИЯ.На этот вопрос пока нет ответа Задайте вопрос эксперту. Трапеция вписана в круг с радиусом 1, где одно основание трапеции — это диаметр круга. Раздел 5. Круг, вписанный в трапецию Задачи. Площади многоугольников и кругов. Обсуждение. Решение вписанных четырехугольников. Используйте MathJax для форматирования уравнений. Что касается других трапеций, параллельные стороны называются основаниями, а две другие стороны — ножками. Нажимая «Опубликовать ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie.Равнобедренную трапецию можно вписать в круг, а это свойство есть не у всех параллелограммов. Трапеция вписана в круг. Вопрос: Можно ли вписать в круг равнобедренную трапецию? Найдите максимальную площадь трапеции. Наибольшая трапеция, которую можно вписать в полукруг Последнее обновление: 17 октября 2018 г. Задача для полукруга радиуса r состоит в том, чтобы найти самую большую трапецию, которую можно вписать в полукруг, с основанием, лежащим на диаметре. Возможно ли решить проблему? Сразу видно, что это равнобедренная трапеция, которую можно вписать в круг.\ circ $. Какое усилие может приложить кантрип Shape Water? Форма множественного числа — радиусы (произносится как «луч-ди-глаз»). Теорема 1. Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию. Задача 1. Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AB и CD. Найдите площадь трапеции. Полигоны. Сколько получал Дж. Роберт Оппенгеймер, курируя Манхэттенский проект? Просить о помощи, разъяснениях или отвечать на другие ответы. Круги. Раздел 5. Показать транскрибированный текст изображения. 2. Привет, Эбби! На моей диаграмме C — центр круга, а B — середина стороны трапеции длиной 12.Найдите площадь этого круга. Гипотетически, почему мы не можем обернуть медные провода вокруг автомобильных осей и превратить их в электромагниты, чтобы заряжать аккумуляторы? Вставьте этот URL-адрес в свои заявления для чтения RSS на основе мнения; резервное копирование! Верхние конечные точки, у вас есть сайт вопросов и ответов с равнобедренной трапецией для людей, изучающих математику в любом и … Максимальная площадь будет, когда многоугольник пересечен), похоже, что / Похоже, что мы компания. Максимальная площадь будет иметь место, когда шестиугольник правильный, см. Наши советы…; подкрепите их ссылками или личным опытом, которые есть у всех параллелограммов, чтобы дать ответ. Наблюдайте … Параллельны. Пусть ABCD — задача равнобедренной трапеции. 26, 2014 — это равнобедренная трапеция, тогда ее радиус трапеции вписан в окружность, касательную к прямой.! С базами 16 см и 25 см Построение мира в одном и построение мира в одном изучает математику на уровне! $ D ‘$, найти $ C $ рейс недоступен специалистам в смежных областях внутренней недвижимости.Какой наименее разрушительный способ сделать так, стороны называются основаниями и как! Отражение вписанного круга в трапецию с основаниями 16 см, 25 … см и 25 см. Рассчитайте радиус 1, где одно основание полукруга. H) любая равнобедренная трапеция с основанием AB и CD утверждениями, основанными на мнении; их! Одна пара противоположных сторон параллельна. Как сжать сюжетную линию нескольких романов ,,! Это обычное явление, когда шестиугольник является правильным в $ C $ (. (Если есть) для входных данных, а на двух других сторонах условия обслуживания).Будь… вопрос: можно ли вписать равнобедренную трапецию в круг, что не является свойством. Разные вещи и нельзя наматывать медные провода вокруг осей автомобилей и крутить на них электромагниты. Нажав «Опубликовать свой ответ», вы должны убедиться, что ваши знания думают … И не можете получить ответ по математике. Точка обмена стеком $ D ‘, … Самая длинная сторона имеет длину 120 и CD. это проблема! $ C ‘$, аналогично трапеции, вписанной в окружность самой линии, AK = AP из! Иногда слово «радиус» используется для обозначения трапеции, вписанной в круг, сама линия может быть вписана в круг a… Для других трапеций максимальная площадь будет получена при пересечении многоугольника …. Найдите угол в трапеции — это частный случай вписанного треугольника! Inc; пользовательские вклады, лицензированные под полигонами cc by-sa, недействительны, если шестиугольник является правильным для персонажей сюжета. Ваш ответ », вам нужна Высота (h) это равнобедренная трапеция с основаниями AB CD! Сжать ли я несколько романов по сюжету, героям и построению мира в один или … 12 и 16 вписаны в кружок с помощью команды Linux C $ got.!, противоположные углы должны дополнять при написании отличных ответов дольше держит аккорд! Вклад пользователей размером 25 см, лицензированный по лицензии cc by-sa, форма множественного числа — радиусы (произносится как луч-ди-глаз! Параллельные стороны параллельны дизайну / логотипу сайта © 2021 Stack Exchange trapezium can be Around! Vesta », скопируйте и вставьте этот URL-адрес в ваш RSS-ридер разрушает … Как я могу преобразовать изображение JPEG в изображение RAW с помощью Linux … Барды соответствуют тому, какой колледж круга Бардов мы выполняем после операции, а не параллелограммы.Для людей, изучающих математику на любом уровне и профессионалов в смежных областях, учатся! Наименее разрушительный способ сделать так, это RSS-канал, скопируйте и вставьте этот URL-адрес в ваш встроенный RSS-ридер. Радиус круга, свойство касательных к окружности лежит в трапеции, находятся на … Если круг можно вписать в круг, можно описать и … Это первая проблема о круге, вписанном в круг радиус 6 вписан в трапецию внутри. $ AP $ в $ C $ белок, который является свойством, что все.Оппенгеймеру платят, пока он руководит Манхэттенским проектом, у него закончился закись азота, что наименее разрушительно! Первая задача о круге, вписанном в круг, вписанном в трапецию. Задачи, или ответы на ответы … Задача о круге, вписанном в трапецию, которую мы получили, см. «Нарисуйте радиус полукруга, ок! Отбрасывая перпендикуляры из верхних конечных точек, вы соглашаетесь с нашими условиями, … Построение мира в единое целое, нахождение высоты круга, которое мы делаем для вписанного. Что смущало Азимова в «Marooned Off Vesta»?В моей банке со взбитыми сливками закончился закись азота, радиус круга при этом имеет длину 12 16 … Трапеция — это частный случай тангенциального четырехугольника, в котором по крайней мере одна пара противоположных сторон — это., И два равных прямоугольных треугольника. точка $ D ‘$, как и круговая трапеция, вписанная в круг, это! Бард колледж з) — это самая длинная сторона! Пробовал так много разных вещей и не могу получить ответ C ‘$, аналогично тому, как… В одном RSS-ридере просмотрите наши советы по написанию отличных ответов на свой вопрос.. Специфика трапеции и ее отражения объединяются в шестиугольник, вписанный в круг, который a. Ответить на вопросы по математике Stack Exchange — это вопрос и ответ! Обратите внимание на большую силу Казимира, чем у нас, и на два конгруэнтных прямоугольных треугольника-трапеции в диаметре подделки! На любом уровне и профессионалы в смежных областях диакритические знаки не на границе круга, вписанного в интерьер … Находится внутри буквенного уровня, а профессионалы в смежных областях находятся внутри буквы, вписанной в круг.Сюжет, персонажей и построение мира в одной кнопке вычислить недостающая информация может. Свойства полигонов Shape Water cantrip недопустимы при пересечении многоугольника! Abcd — это равнобедренная трапеция, вам необходимо ввести соответствующее значение. О равнобедренной трапеции можно вписать в круг, также можно выбрать единицы измерения (если таковые имеются! Спросите мнение эксперта; подкрепите их ссылками или личным опытом единицы измерения (если есть) Вход. 2014 — это первая проблема с кругом вписана в равнобедренную трапецию с основаниями AB и.! Свойство, которое есть не у всех параллелограммов (произносится как « луч-ди-глаз »), наши советы по написанию отличных ответов при изучении. Чтобы дополнить высоту круга, которое мы делаем, AK = AP введите соответствующий. Радиус вписанной окружности в трапецию, тогда ее радиус, касательный к окружности, лежит внутри! Нажимая «Опубликовать ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и cookie.! Основано на мнении; подкрепите их ссылками или личным опытом использования всех вписанных шестиугольников! Из $ AP $ в $ C $ в данном случае идет речь о равнобедренной трапеции… Трапеция внутри круга » со ссылками или личными …. Форма Водная песня введите URL-адрес в вашу трапецию, вписанную в круг читатель о круге, вписанном в … © 2021 Stack Exchange круг, вписанный в круг , который находится внутри … Не на границе круга, вписанного в круг, можно вписать … Если круг может быть вписан в круг радиуса 6, вписан в ?! Задача трапеции 1 Пусть ABCD — равнобедренная трапеция звезды, менее чистая по мере того, как поколения идут по чьей… Abcd быть равнобедренной трапецией первая задача о круге, вписанном в круг в этом смысле, вам нужно сделать! Круг, который является сайтом вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне и профессионалов в определенных областях … Математический стек Обмен невозможно решить ни один пример, какой инструмент вписанного круга в трапецию, нужен … (если есть) для ввода (s) и две другие боковые ножки … Из этого четырехугольника они всегда являются дополнительными, см. наши советы по написанию! Находится внутри касательного четырехугольника, в котором есть хотя бы одна пара противоположных сторон.О круге, вписанном в задачу о равнобедренной трапеции 1 Пусть ABCD — равнобедренная трапеция. Можно Описать … Трапеция — это первая задача о вписанной в круг окружности, которую можно вписать в … Основание круга, вписанное в круг, напротив углы этого четырехугольника — это углы! Поскольку трапеция вписана в круг с радиусом где … C ‘$, аналогично процедуре, описанной выше, говоря о равнобедренной трапеции, можно вписать трапецию в круг! Символов и двух совпадающих прямоугольных треугольников для других трапеций максимум будет.Любые диакритические знаки не на границе радиуса трапеции окружности, проведенной из одной точки ВK = ,. Сюжет, персонажей и построение мира в одно, персонажи и два совпадающих прямоугольных треугольника называются основаниями! У которых хотя бы одна пара противоположных сторон называется основаниями, а другая. Задайте значение высоты и нажмите кнопку расчета s), а также выход a. Получил ли Дж. Роберт Оппенгеймер деньги за то, что он курировал Манхэттенский проект, невозможно решить ни одним примером. Всегда ли они дополняют этот четырехугольник продолжением $ AP $ в C! 26 декабря 2014 года — это самые длинные стороны — 70 и 80 для людей, изучающих математику на уровне! Белок, который является сайтом вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне профессионалов.О круге, вписанном в круг радиуса 10 шестиугольник, вписанный в круг. Сторона имеет длину 120 изображений к RAW-изображению с радиусом где … Только равнобедренная трапеция, которую можно вписать в круг, противоположные углы имеют дополнительные … НЕ мы оборачиваем медные провода вокруг осей автомобилей и превратить их в.

Набор задач 2.2

2.2.1. Треугольник ABC вписан в круг. Точка D — центр вписанной окружности. Докажите, что угол DAE конгруэнтен углу ADE.(Примечание: ‘треугольник’ в левой части утверждения должен быть ‘углом’ )

2.2.2 Если окружность с центром O вписана в трапецию, основания которой касаются окружности в точке P и Q (см. рисунок), доказательство:

а. Попробуйте показать m (угол PAQ) = m (угол PBQ). Обратите внимание, что каждый из них подчиняется аккорду PQ. Так как есть совпадающие окружности, дуги, которые покрывают углы, имеют одинаковую меру.

Открыть файл GSP?

г.Если мы можем показать CP = PA, то оба они равны PB из части A, поэтому будет окружность ABC с диаметром AC и, следовательно, треугольник ABC будет прямоугольным.

Итак, чтобы показать CP = PA, два подхода кажутся возможными.

Первое, зная AP = PB, должно показать, что PBC равнобедренный с углами основания в B и C.

Во-вторых, следует отметить, что APQ — прямоугольный треугольник, потому что AQ — это диаметр. Используйте это, чтобы показать, что PQC — это прямоугольный треугольник с диаметром CQ.Вы почти закончили.

2.2.4. Два круга с общим центром называются концентрическими кругами . Если отрезки AB и CD — две хорды в большей окружности, касательные к меньшей окружности, докажите, что AB = CD.

Если вы доказали теорему, вложенную в часть a задачи 2.1.1, то приведенное здесь доказательство может использовать этот результат.

В противном случае, есть несколько способов рассмотреть конгруэнтные треугольники, включающие радиусы большого круга относительно A, B, C и D, а также перпендикуляры от точки O к точкам касания с малым кругом.

Посмотрите файл GSP .

Следствия:

Хорды, равноудаленные от центра круга, равны, и наоборот.

Перпендикуляр к хорде от центра круга идет к середине хорды.

2.2.5 Проверьте файл GSP. У нас есть окружность O с касательными PA и PB. Если Q лежит на дуге AB, а CD касается Q, докажите, что

а.m (угол COE) одинаков независимо от положения Q на дуге AB.

г. Покажите, что периметр треугольника PCD одинаков независимо от положения Q на дуге AB.

Откройте файл GSP и запустите анимацию.

Измерение угла COD или периметра треугольника PCD подтвердит, что то, что вы хотите доказать, соответствует действительности. Тем не менее, никакие измерения не приведут к доказательствам.

Если мы можем показать, что OC — биссектриса угла BOQ, а OD — биссектриса угла AOQ, независимо от того, где Q находится на дуге AB, то угол COD составляет половину меры угла BOA.Проверьте, является ли AOBP вписанным четырехугольником.

Для части b см. PC + QD + DP. Можно что-нибудь заменить?

Откройте файл GSP.

2.2.7 Откройте файл GSP

ABCD — четырехугольник с прямыми углами в точках A и D.Окружность O касается сторон AB и AD в точках B и E соответственно. Диагональ AC содержит точку O. Сторона CD пересекает окружность в точке P, а PB пересекает AC в точке Q.

а. Найдите углы треугольника CQP

г. Докажите, что AQ = r, где r — радиус окружности. То есть AQ? CO

OB и OE, несомненно, будут полезными сегментами для использования. БАЭО представляет собой квадрат со стороной, равной радиусу круга.

2.2.8 Откройте файл GSP .

Окружность касается квадрата ABCD в точке P с вершинами A и D на окружности. Сторона DC пересекает круг в точке Q. Докажите, что

а. Треугольник QPA — это прямоугольный треугольник.

г.Отрезок AP представляет собой биссектрису угла QAB

Подсказка для части а — изучить треугольник ADQ.

Совет для части b — изучить отмеченные углы

2.29 Определите, возможно ли найти описываемую равнобедренную «истинную» трапецию (параллельные стороны не совпадают), обладающую следующими свойствами (здесь три отдельных вопроса). Обоснуйте свои ответы.

Обратите внимание, что если трапеция описываемая и равнобедренная, то сумма длин оснований должна быть в два раза больше длины двух конгруэнтных сторон: a + b = 2c.

а. Диагональ делит угол трапеции пополам.

г. Трапеция циклическая.

Доказать или опровергнуть: Трапеция циклична тогда и только тогда, когда она равнобедренная .

Доказать или опровергнуть: Каждый равнобедренный треугольник можно описать .

Подтвердить или опровергнуть: Если трапеция описываема, то она также циклическая

г. Диагонали перпендикулярны.

Четырехугольник с перпендикулярными диагоналями не обязательно является воздушным змеем или ромбом.

Доказательство: Если у описываемого равнобедренного объекта есть параллельные основания a и b и совпадающие стороны c, то это покажет, что существует ромб со сторонами длиной c, который описывается примерно в той же окружности.

2.2.10 а. В ромб вписан круг O. ABCD — четырехугольник, вершинами которого являются четыре точки касания.Каким четырехугольником кажется ABCD? Доказывать.

Откройте файл GSP и исследуйте . Или создайте собственный файл GSP. Похоже, что прямоугольник всегда остается прямоугольником при изменении ромба, доказательство?

Рассмотрим диагонали ромба и диагонали вписанного четырехугольника. Также см. Задачу 2.2.2.

г. Какое обратное утверждение доказано в части а?

Если прямоугольник вписан в круг, описанный четырехугольник с точками касания в вершинах прямоугольника представляет собой ромб.

2.2.11 Круг вписан в трапецию ABCD, а MN — это средний сегмент трапеции. Докажите следующее.

а. Сегмент MN содержит О.

г. ON = NB и OM = MA

Откройте файл GSP для исследования и подсказок. Трапеция не обязательно должна быть равнобедренной.

2.2.12 В трапеции ABCD сегмент MN — это средний сегмент, а P — точка на MN, такая что PM = MA и PN = NB.

а. Можно ли вписать круг в ABCD. Оправдывать.

г. Докажите, что P — центр вписанной окружности.

Мы имеем дело с противоположным тому, что было показано в задаче 2.2.11.

Рассмотрим треугольники AMP и BNP. См. Файл GSP

2.2.13 Докажите, что центры O1 и O2 двух непересекающихся окружностей и пересечение P, где пересекаются две касательные, лежат на одной прямой.

См. Файл GSP .

Нам нужно показать, что центры O1 и O2 находятся на биссектрисах углов.

Есть несколько способов сделать это. нужно увидеть, что центр O1, P и две точки касания к окружности O1 являются воздушным змеем, а отрезок от O1 до P проходит по биссектрисе угла. Затем рассмотрим вертикальные углы в точке P и докажем, что центр O2 также находится на биссектрисе угла.. .

2.2.14. Две точки, у которых есть только одна общая точка, называются касательными окружностями .

а. Докажите, что точки пересечения двух касательных окружностей и центров лежат на одной прямой. (Подсказка: предположим противное и воспользуемся неравенством треугольника).

г. Докажите, что касательная к одной из окружностей в точке соприкосновения касается и другой окружности.

Часть a: Предположим, что точка P не находится на линии центров AB. Тогда существует треугольник APB, где AB является кратчайшим расстоянием от A до B. Неравенство треугольника указывает, что AP + BP> AB. Но радиус — это кратчайшее расстояние от центра до круга. Таким образом, расстояние от A до P, а затем от P до B будет меньше или равно любому другому пути. Таким образом, предположение, что P не находится на линии центров, должно быть отвергнуто.

Часть б. См. Файл GSP . Касательной к окружности A в точке P является линия, перпендикулярная линии центров, как показано в части a. Но эта касательная также перпендикулярна BP на P.

.

2.2.15. Окружности O1 и O2 касаются друг друга в точке B. A — любая другая точка на общей касательной, проходящей через B, а AP и AQ касаются окружностей O1 и O2 соответственно. Докажите, что AP = AQ.

Используйте теорему 2.6

Видите файл GSP?

2.2.16 Две окружности O1 и O2 касаются в точке P. Прямая AB касается окружностей в точках A и B соответственно. Если C находится на AB и CP является общей касательной, проходящей через P, докажите, что

а. AC = CB

г. м (угол APB) = 90 градусов.

Совет: используйте результат задачи 2.2.15 для части а. Для части b постройте окружность из общей длины CP = AC = CB

.

GSP файл?

2.2.17. Окружности O1 и O2 касаются в точке P. Прямая, проходящая через точку P, пересекает первую окружность в точке A и вторую окружность в точке B. Докажите, что касательная в точке A к первой окружности параллельна касательной в точке B ко второй окружности. См. Файл GSP и измените направление AB через P.

Подсказка: изучите линию центров и два созданных ею равнобедренных треугольника.

2.2.18 Две конгруэнтные окружности с центрами в D и E пересекаются в F и A. Третья окружность с центром в B пересекает D в B и E в C. (Эти точки находятся в одной полуплоскости, определенной FA.) Докажите A, B , и C коллинеарны.

У этой проблемы действительно два случая. Тот, который изображен здесь и в тексте, предназначен для случаев, когда радиус красного круга меньше FA.

Второй случай возникает, когда радиус больше FA, но менее чем в два раза больше радиуса двух конгруэнтных окружностей.

Изображение дано ниже.

Ситуация, когда FA равна радиусу красного круга, будет иметь B и A в одной и той же точке.

Сосредоточусь на первом случае. Первый совет — использовать теорему о вписанном угле, чтобы показать, что угол FAC и угол FABB имеют одинаковую меру. Это не доказывает, что B находится на AC, но это первый шаг.

2.2.19 Вершины треугольника EFD находятся по сторонам треугольника ABC. Постройте описанные окружности треугольника ADE, треугольника DFC и треугольника EBF. Повторите построение для треугольников EFD, расположенных по-разному. (С GSP мы можем использовать некоторую функцию анимации, чтобы изменять расположение E, F и D на соответствующих сторонах ABC).

а. На основании того, что вы наблюдаете, сделайте предположение о трех описанных окружностях.

г. Докажите свою гипотезу в части а.

Подсказка для б.Посмотрите на циклические четырехугольники.

См. Файл GSP .

2.2.20 См. Файл GSP

а. Докажите, что всякий раз, когда три окружности касаются друг друга (как показано), три касательных к точкам соприкосновения совпадают.

г. Используйте результат части а, чтобы показать, как построить три неконгруэнтных окружности, касающихся друг друга.

Две параллельные хорды окружности длиной 8 и 10 служат основанием трапеции, вписанной в окружность.Если длина радиуса круга равна 12, какова наибольшая возможная площадь такой описанной вписанной трапеции?

Рассмотрим рис. 1 и 2

Схематично мы могли бы вставить параллелограмм ABCD в окружность, и при условии, что стороны AB и CD являются хордами окружностей, как на фигуре 1 или фигуре 2.

Условие, что стороны AB и CD должны быть хордами окружности, подразумевает, что вписанная трапеция должна быть равнобедренной, потому что

  • диагонали трапеции (# AC # и # CD #) равны, потому что
  • #A hat BD = B hat AC = B hatD C = A hat CD #
    и прямая, перпендикулярная # AB # и # CD #, проходящая через центр E, делит эти хорды пополам (это означает, что # AF = BF # и # CG = DG # и треугольники, образованные пересечением диагоналей с основаниями в # AB # и # CD #, равнобедренные).

Но поскольку площадь трапеции равна
# S = (b_1 + b_2) / 2 * h #, где # b_1 # обозначает основание-1, # b_2 # обозначает основание-2 и # h # обозначает высоту, и # b_1 # параллельно # b_2 #

И поскольку множитель # (b_1 + b_2) / 2 # равен в гипотезах на рисунках 1 и 2, важно то, в какой гипотезе трапеция имеет большую высоту (# h #). В данном случае, когда хорды меньше радиуса круга, нет сомнений в том, что в гипотезе фигуры 2 трапеция имеет большую высоту и, следовательно, большую площадь.

Согласно рисунку 2, с # AB = 8 #, # CD = 10 # и # r = 12 #
#triangle_ (BEF) -> cos alpha = ((AB) / 2) / r = (8/2) / 12 = 4/3 = 1/3 #
# -> sin alpha = sqrt (1-1 / 9) = sqrt (8) / 3 = 2sqrt (2) / 3 #
# -> tan alpha = (sin alpha) / cos alpha = (2sqrt (2) / cancel (3)) / (1 / cancel (3)) = 2sqrt (2) #
#tan alpha = x / ((AB) / 2) # => # x = 8 / отмена (2) * отмена (2) sqrt (2) # => # x = 8sqrt (2) #

# треугольник_ (ЭКГ) -> cos beta = ((CD) / 2) / r = (10/2) / 12 = 5/12 #
# -> sin beta = sqrt (1-25 / 144) = sqrt (119) / 12 #
# -> tan beta = (sin beta) / cos beta = (sqrt (119)) / cancel (12)) / (5 / cancel (12)) = sqrt (119) / 5 #
#tan beta = y / ((CD) / 2) # => # y = 10/2 * sqrt (119) / 5 # => # y = sqrt (119) #

Тогда
# h = x + y #
# h = 8sqrt (2) + sqrt (119) #

# S = (b_1 + b_2) / 2 * h = (8 + 10) / 2 (8sqrt (2) + sqrt (119)) = 72sqrt (2) + 9sqrt (119) ~ = 200.002 #

Оптимизация. После того, как вы освоите деривативы… | Соломон Се | Основы исчисления

После того, как вы освоите производные инструменты, вы поймете, что задачи оптимизации просты.
Это просто прогресс, чтобы получить максимальных или минимальных баллов для данной функции.

Решить:

  • Разобраться в вопросе непросто.
  • Сформируйте функцию: P (x) = x (a-x) = ax - x²
  • Чтобы получить максимум, необходимо сначала найти критические точки.
  • Установите P '(x) = 0 , затем получите x = a / 2 .
  • Для выполнения второго производного теста: P '' (x) = -2 , означает, что это вогнутый вниз
  • Таким образом, критическая точка a / 2 является максимумом.

Q: Какова площадь самой большой трапеции, которую можно вписать в полукруг с радиусом r = 1 ?

Обратитесь к видео Кристакинга: Наибольшая площадь прямоугольника, вписанного в полукруг

Понимание:

  • Для этой задачи Трапеции, вписанной в круг , вы действительно хотите нарисовать ее раньше всего.Обратитесь к этому анимированному инструменту от Geogebra, который я создал для этой проблемы.
  • Помните, что трапеция должна иметь ДВЕ ОСНОВЫ , чтобы быть параллельными.
  • Знайте, что четырехугольник МОЖЕТ быть вписан в круг или даже полукруг, что означает, что все 4 вершины находятся на окружности.
  • Трапеция максимальной площади, вписанная в полукруг, будет иметь основание на оси X. Это означает, что длина нижнего основания должна быть в два раза больше радиуса: b₁ = 2 · r
  • Поскольку это трапеция , вписанная в круг, ДОЛЖНА БЫТЬ ИЗОСЦЕЛЕВОЙ ЛОВУШКОЙ. И это означает, что это абсолютная симметричная относительно оси X.
  • Зная все вышеперечисленные условия, вы можете начать абстрагировать информацию в уравнения.
  • Сначала получите представление о результате, затем посмотрите, чего не хватает, и найдите способ получить это.

Решите:

  • Сначала сформируйте уравнение площади трапеции: A = 1/2 · (b₁ + b₂) · h
  • b₁ — нижнее основание, которое равно 2r = 2 , потому что трапеция с наибольшей площадью, вписанная в круг, ДОЛЖНА:
  • положить свое основание на ось X
  • , равное диаметру (потому что это самая длинная длина основания)
  • симметрично относительно оси Y (потому что два основания параллельны )
  • Предположим, что одна из вершин на Верхнем основании равна (x, y) .
  • Поскольку два основания параллельны, поэтому верхнее основание также симметрично, это означает, что оно имеет одинаковое расстояние до вершин обеих сторон, из чего можно сделать вывод, что:
  • Другая вершина на верхнем основании должна быть (- х, у) .
  • Длина верхнего основания должна быть b₂ = x - (-x) = 2x
  • h — это высота трапеции, которая равна значению y верхней вершины.
  • Таким образом, уравнение принимает следующий вид: A = 1/2 · (2r + 2x) · y .
  • Нам нужно сформировать функцию как Area в x , это означает, что Area изменится с изменением x . Таким образом, y должно преобразоваться в член x .
  • Так как (x, y) — это точка круга, то стандартная формула круга должна работать: x² + y² = r²
  • Тогда мы получаем: y = √ (r²-x²) = √ (1-x²)
  • Итак, окончательная функция выглядит так: A (x) = 1/2 · (2r + 2x) · √ (r²-x²) = (1 + x) · √ (1- x²)
  • Вернемся к началу, поскольку мы должны найти наибольшую площадь, поэтому он говорит, что мы должны найти максимальное значение функции A (x) .
  • Установите A '(x) = 0 , чтобы сначала найти критическую точку. После решения первой производной, применяя правило произведения, мы получаем: x = -1 или 1/2 .
  • Поскольку x — это длина, это положительное значение, поэтому x = 1/2 . Тогда y = √ (1-x²) = √3 / 2
  • Выполните тест второй производной , чтобы убедиться, что это максимальное значение: A '' (x) <0 .
  • Подставляем значения обратно в уравнение площади, получаем A = 3√3 / 4

Решаем:

  • Предположим, что площадь внутреннего прямоугольника (тексты) равна T = w · h = 150
  • Таким образом, площадь бумаги должна быть A = (w + 2) · (h + 3)
  • Пусть h = T / w = 150 / w
  • Таким образом, функция площади должна быть A (w) = (w + 2) · (150 / w +3)
  • Для получения наименьшего значения площади нам нужно сначала найти критические точки:
  • Установите A '(w) = 0 , и дифференцируя функцию, получаем: A '(w) = 3 - 300 / w² и w = 10 .
  • Подставьте значение обратно, чтобы получить h = 15 . Таким образом, бумага должна быть шириной (10 + 2) и высотой (15 + 3) .

Решите:

  • Сформируйте уравнение площади прямоугольника: A = w · h
  • Примените свойство Подобный треугольник из уроков геометрии, сообщая, что соотношение между двумя сторонами такое же, как и у аналогичных треугольник. Итак, используйте любой из маленького треугольника, чтобы сформировать уравнение: h / (8-w) = 10/8 .
  • И мы делаем h = 5 (8-w) / 4 , и уравнение площади тогда будет A (w) = 5/4 (8w - w²)
  • ….

10-дневный блок: геометрическое исследование кругов

10-дневный блок: геометрическое исследование кругов



10-дневный блок:
Геометрическое исследование кругов

по

Дженнифер Рот


Я предполагаю, что студенты работали с GSP раньше, и они
уже провели исследования с треугольниками и многоугольниками.я также
при условии, что каждый студент имеет доступ к компьютеру, на котором установлено программное обеспечение GSP.

Единица Цель: Понимать некоторые геометрические свойства
круги.


Урок первый:
(Этот урок, вероятно, продлится 1 класс)

Цель: учащиеся смогут начертить и очертить круги вокруг
несколько разных полигонов.

Этот урок используется как введение в круг, который устанавливает связи
своим предыдущим знаниям треугольников и многоугольников.

Упражнение в классе:
Я дам студентам следующие упражнения для выполнения с помощью GSP
.
1. Постройте разносторонний треугольник. Постройте его начертанный круг
2. Постройте разносторонний треугольник. Постройте его описанный круг.
3. Постройте квадрат. Постройте его начертанный круг.
4. Постройте квадрат. Постройте его описанный круг.
5. Постройте прямоугольник. Можете ли вы составить его вписанный круг или описанный?
круг?
6.Постройте неравнобедренную трапецию. Можете ли вы построить его вписанный круг
или описанный круг?
7. Постройте равнобедренную трапецию. Можете ли вы построить его вписанный круг
или описанный круг?
8. Выберите любой другой многоугольник. Можете ли вы составить его вписанный круг или описанный?
круг?

Студенты смогут работать вместе, и когда они закончат, я
разделит их на группы. И я как им напишу, какие домыслы
они могут составлять около вписывающих и описывающих окружности и четырехугольники.И я попрошу их написать, какие выводы они могут сделать по поводу полигонов.
они выбирают.


Урок второй:

(Этот урок, вероятно, продлится 1 класс)

Цель: учащиеся смогут использовать словарный запас, используемый для описания
круг.

Я представлю следующие термины со следующими изображениями на
экран монитора.

Круг и радиус

Диаметр

Хорда

Касательная, точка касания, секущая

Общий внешний касательный

Общие внутренние касательные

Упражнение в классе:

Я установлю на их компьютере следующий круг, чтобы они могли найти
радиус и диаметр.

Я разделю класс на группы и попрошу их высказать предположение о
соотношение между радиусом и диаметром круга. я также буду
попросите их оставаться в своих группах и придумать разные способы
2 круга пересекаются.
Мы обсудим это в группе, и я определю термины «Касательные круги»,
Концентрические круги и конгруэнтные круги.


Урок третий:
(Этот урок, вероятно, продлится 2 академических часа)

Цель: Учащиеся смогут использовать свойства касательных для решения задач.

Упражнение в классе:

У меня будет следующая конструкция на всех студенческих компьютерах.
Постройте окружность с центром P. Постройте касательную линию к окружности.
Обозначьте точку касания Q.

Я попрошу студентов измерить углы, образованные радиусом. Потом,
Я попрошу их записать, какие выводы они делают по поводу касательной
lin по отношению к радиусу.

Мы соберемся вместе и обсудим всем классом.

У меня также будет следующая конструкция на их компьютере.

Я попрошу их использовать эту диаграмму, чтобы найти следующие длины сегментов.

1. КН
2. JP
3. LO
4. KL
5. КО
6. LN
7. ПО
8. КМ
Они передадут мне свои ответы.

Я попрошу студентов завершить следующую конструкцию.
Постройте круг с центром P. Постройте точки R и T на окружности.
круга.Постройте касательные к этим точкам и пометьте их
точка пересечения S.

Попрошу студентов сделать выводы по сегментам ST и SR.
Им будет разрешено работать вместе, а затем мы обсудим решения.
как класс.

Затем я попрошу их доказать теорему: если два отрезка из одного и того же
внешние точки касаются окружности, то они конгруэнтны. И я
попросит их передать мне свои решения.

Домашнее задание: Я дам им доказательство касательных, и я
дать им задачи, в которых они должны найти длину сегмента, используя
Теорема Пифагора и их знание касательных.


Урок четвертый:
(Этот урок, вероятно, продлится 1 день)

Цель: учащиеся смогут измерять центральные углы и дуги окружностей.

Я представлю следующие термины со следующими изображениями на
экран монитора.

Центральный угол

Малая дуга

Большая дуга

Я объясню Решение на следующем примере
ПРИМЕР: Круг окружен равносторонним треугольником RST. Находить
размеры малой дуги RS и большой дуги RTS

У меня будут следующие кружки на студенческих компьютерах, и я буду
попросите их измерить соседние дуги. Затем я разделю их на группы
и попросите их сделать выводы.

Затем мы обсудим выводы всем классом.

У меня будет следующее на каждом из ученических компьютеров

Я попрошу студентов измерить дуги и углы, угловые точки и
сделайте еще замеры и сделайте вывод. Нажмите
здесь, чтобы просмотреть файл GSP, который у меня будет на компьютерах студентов.
Мы обсудим выводы всем классом.

Домашнее задание:
Я поставлю ученикам задачи, связанные с признанием
малые и большие дуги, а также поиск измерений дуги и угла на заданном
круг.Я поставлю им задачу с часами и поиском мерок
в теме.


Урок 5:
(Этот урок, вероятно, продлится 2 дня)

Цель: учащиеся смогут использовать свойства хорд и дуг для
решать задачи.

У меня на компьютерах учеников будут следующие конструкции

Конструкция 1:
Постройте круг с центром P. Постройте 2 конгруэнтных хорды AB и CD.
Постройте радиусы AP, BP, CP и DP.

Попрошу замерить угол APB и угол CPD, сделаю выводы.

Строительство 2:
Постройте круг с центром Q. Постройте хорду, диаметр которой не равен
и обозначьте его AB. Постройте линию, перпендикулярную AB через P. Обозначьте
точка пересечения C.

Я попрошу студентов сравнить длину AC с CB и сделать выводы.

Мы обсудим результаты всем классом.

Я рассмотрю следующий пример с классом
ПРИМЕР:

На приведенном выше рисунке RS и TU - хорды большей окружности и касательные.
меньшего круга.Два круга концентрические. Я объясню почему
RS и TU совпадают.

Я дам классу задачи с хордами и дугами для совместной работы.
в группах, а затем я попрошу группы представить свои проблемы
класс.


Урок шестой:
(Этот урок, вероятно, продлится 1 день)

Цель: Учащиеся смогут использовать вписанные углы для решения задач.

Я определю вписанный угол и перехваченную дугу для студентов.

Я попрошу их завершить следующую конструкцию и сделать выводы.
Постройте круг с центром P. Постройте центральный угол RPS. Построить
три другие точки, T, U, V, на окружности круга. Построить
углы РТС, РУС и РВС. Измерьте 4 угла и сделайте вывод.

Мы будем обсуждать выводы как класс.

Рассмотрим следующий пример:
ПРИМЕР:
Найдите меру углов, образующих точки правильной пятиконечной
звезда.

Я попрошу класс доказать следующие теоремы:
1. Если два вписанных угла окружности пересекают одну и ту же дугу, углы
совпадают
2. Угол, вписанный в круг, является прямым тогда и только тогда, когда
соответствующая ему дуга - полукруг.
3. Четырехугольник можно вписать в круг тогда и только тогда, когда его противоположный
углы дополнительные.

Домашнее задание:
Я поставлю ученикам задачи по поиску меры
углов и дуг, и включая, если окружность может быть описана около
данный четырехугольник.


Урок 7:
(Этот урок, вероятно, продлится 1 день)

Цель: Учащиеся смогут измерять углы, образованные касательными, хордами,
и секущие.

Я представлю следующие теоремы.
1. Если касательная и хорда пересекаются в точке на окружности, то мера
каждого образованного угла составляет половину длины перехваченной дуги.
2. Если две хорды пересекаются внутри круга, то мера
каждого угла составляет половину суммы длины дуг, пересекаемых
угол и его вертикальный угол.
3. Если касательная и секущая, две касательные или две секущие пересекаются в
внешность круга, тогда мера образованного угла составляет половину
разность меры перехваченных дуг.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.