Теорема Виета

Предварительные навыки

Что называют теоремой?

Если человек обнаружил в математике какую-нибудь закономерность, позволяющую быстро решить ту или иную задачу, то ему не следует говорить о том, что он сделал открытие. Потому что может случиться так, что эта закономерность работает только для определённых случаев, а для других не работает или вовсе решает задачу неправильно.

Чтобы поделиться своим открытием с другими людьми, найденную закономерность следует сформулировать в виде утверждения, а затем доказать это утверждение, приводя неоспоримые факты.

Сформулированное утверждение называют теоремой. А доказательство теоремы состоит из фактов, логических рассуждений и вычислений, которые не оспариваются.

Например, теоремой можно назвать следующее утверждение:

«Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умнóжить на какое-нибудь число, то значение данной дроби не измéнится».

А затем привести такое доказательство:

Пусть, имеется дробь . Умнóжим числитель и знаменатель этой дроби на число с. Тогда полýчится дробь . Докáжем, что дроби  и равны. То есть докажем, что равенство является верным.

Для доказательства этого равенства воспользуемся основным свойством пропорции:

От перестановки мест сомножителей произведение не меняется. Поэтому в получившемся равенстве можно упорядочить правую часть по алфавиту:

Поскольку равенство является пропорцией, а пропорция это равенство двух отношений, то дроби и равны. Теорема доказана.

Теорема Виета

Французский математик Франсуа Виет выявил интересную взаимосвязь между коэффициентами приведённого квадратного уравнения и корнями этого же уравнения. Эта взаимосвязь представлена в виде теоремы и формулируется так:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x² + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней равно свободному члену.

То есть, если имеется приведённое квадратное уравнение x² + bx + c = 0, а его корнями являются числа x₁ и x₂, то справедливы следующие два равенства:

Знак системы (фигурная скобка) говорит о том, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Покажем теорему Виета на примере приведённого квадратного уравнения x² + 4x + 3 = 0.

Мы пока не знаем какие корни имеет уравнение x² + 4x + 3 = 0. Но по теореме Виета можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту 4, взятому с противоположным знáком. Если коэффициент 4 взять с противоположным знáком, то получим −4. Тогда:

А произведение корней по теореме Виета будет равно свободному члену. В уравнении x² + 4x + 3 = 0 свободным членом является 3. Тогда:

Теперь проверим действительно ли сумма корней равна −4, и равно ли произведение 3. Для этого найдём корни уравнения x² + 4x + 3 = 0. А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Корнями уравнения являются числа −1 и −3. По теореме Виета их сумма должна была равняться второму коэффициенту уравнения x² + 4x + 3 = 0, взятому с противоположным знаком. Действительно, так оно и есть. Вторым коэффициентов в уравнении x² + 4x + 3 = 0 является 4. Если взять его с противоположным знаком и приравнять сумму корней x₁ + x₂ к этому коэффициенту, то получается верное равенство:

А произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно было равняться свободному члену уравнения x² + 4x + 3 = 0, то есть числу 3. Видим, что это условие тоже выполняется:

Значит выражение  является справедливым.

Рассмотрим квадратное уравнение x² − 8x + 15 = 0. По теореме Виета сумма корней этого уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Второй коэффициент равен −8. Если взять его с противоположным знаком, то получим 8. Тогда:

А произведение корней равно свободному члену. В уравнении x² − 8x + 15 = 0 свободным членом является 15. Тогда:

Теперь проверим действительно ли сумма корней равна 8, и равно ли произведение 15. Для этого найдём корни данного уравнения. А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента. В этот раз пропустим нéкоторые подробные записи:

Видим, что корнями уравнения x² − 8x + 15 = 0 являются числа 5 и 3. Их сумма равна 8. То есть сумма корней равна второму коэффициенту уравнения x² − 8x + 15 = 0, взятому с противоположным знаком.

А произведение чисел 5 и 3 равно 15. То есть равно свободному члену уравнения x² − 8x + 15 = 0.

Значит выражение является справедливым.

Замечание. Чтобы теорема Виета выполнялась, квадратное уравнение обязательно должно быть приведённым и иметь корни.

Например, рассмотрим квадратное уравнение x² − 2x + 4 = 0. Напишем сумму и произведение корней этого уравнения:

Но уравнение x² − 2x + 4 = 0 не имеет корней, сумма которых равна 2, а произведение которых равно 4. Убедиться в этом можно, вычислив дискриминант:

D₁ = k² − ac = (−1)² − 1 × 4 = −3

А значит записывать выражение не имеет смысла.

Теорема Виета полезна тем, что позволяет до начала решения узнать знаки корней уравнения.

Например, запишем для уравнения x² − 5x + 6 = 0 сумму и произведение его корней. Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Посмотрев на эти два равенства можно сразу понять, что оба корня должны быть положительными. Потому что произведение x₁ × x₂ = 6 будет выполняться только в двух случаях: если значения x₁ и x₂ положительны либо они оба отрицательны. Если эти значения будут отрицательными, то не будет выполняться равенство x₁ + x₂ = 5, поскольку его правая часть равна положительному числу. А значения x₁ и x₂ должны удовлетворять как равенству x₁ + x₂ = 5, так и равенству x₁ × x₂ = 6.

Ещё одна польза от теоремы Виета в том, что корни можно найти методом подбора. В данном примере корни должны быть такими, чтобы они удовлетворяли как равенству x₁ + x₂ = 5 так и равенству x₁ × x₂ = 6. Очевидно, что таковыми являются корни 3 и 2

Значит, x₁ = 3, x₂ = 2

Доказательство теоремы Виета

Пусть дано приведённое квадратное уравнение x² + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что равенства x₁ + x₂ = −b и x₁ × x₂ = c имеют место быть.

Вспомним формулы корней квадратного уравнения:

Найдём сумму корней x₁ и x₂. Для этого подставим в выражение x₁ + x₂ вместо x₁ и x₂ соответствующие выражения из правой части формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что в приведённом квадратном уравнении x² + bx + c = 0 старший коэффициент a равен единице. Тогда в процессе подстановки знаменатель станет равен просто 2

Запишем правую часть в виде дроби с одним знаменателем:

Раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:

Сократим дробь на 2, тогда получим −b

Значит x₁ + x₂ действительно равно −b

x₁ + x₂ = −b

Теперь аналогично докажем, что произведение x₁ × x₂ равно свободному члену c.

Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие выражения из формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что коэффициент a всё ещё равен единице:

Чтобы перемнóжить дроби, нужно перемнóжить их числители и знаменатели:

В числителе теперь содержится произведение суммы двух выражений и разности этих же выражений. Воспользуемся тождеством (a + b)(a − b) = a² − b². Тогда в числителе полýчится А знаменатель будет равен 4

Теперь в числителе выражение (−b)² станет равно b², а выражение станет равно просто D

Но D равно b² − 4ac. Подстáвим это выражение вместо D, не забывая что a = 1. То есть вместо b² − 4ac надо подставить b² − 4c

В получившемся выражении раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:

Сократим получившуюся дробь на 4

Значит x₁ × x₂ действительно равно c.

x₁ × x₂ = c

Таким образом, сумма корней приведённого квадратного уравнения x² + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ × x₂ = c). Теорема доказана.

Теорема, обратная теореме Виета

Когда записана сумма и произведение корней приведённого квадратного уравнения, обычно начинается подбор подходящих корней к этому уравнению. В этот момент в работу включается так называемая теорема, обратная теореме Виета. Она формулируется так:

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x² + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел x₁ и x₂ равно свободному члену уравнения x² + bx + c = 0, то числа x₁ и x₂ являются корнями уравнения x² + bx + c = 0.

Обратные теоремы бывают поставлены так, что их утверждением является заключение первой теоремы.

Так, доказывая теорему Виета мы пришли к заключению, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а произведение x₁ и x₂ равно c. В обратной же теореме это заключение служит утверждением.

Ранее мы решили уравнение x² − 5x + 6 = 0 и написали для него такую сумму и произведение корней:

А затем подобрали корни 3 и 2. По сути мы применили теорему, обратную теореме Виета. Числа 3 и 2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x² − 5x + 6 = 0, взятому с противоположным знаком (числу 5), а произведение чисел 3 и 2 равно свободному члену (числу 6). Значит числа 3 и 2 являются корнями уравнения x² − 5x + 6 = 0.

Пример 2. Решить квадратное уравнение x² − 6x + 8 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

В данном уравнении a = 1. Значит квадратное уравнение является приведённым. Его можно решить по теореме, обратной теореме Виета.

Сначала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма корней будет равна 6, поскольку второй коэффициент исходного уравнения равен −6. А произведение корней будет равно 8

Теперь имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни. Они должны удовлетворять как равенству x₁ + x₂ = 6, так и равенству x₁ × x₂ = 8

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Используя равенство x₁ × x₂ = 8 нужно найти такие x₁ и x₂, произведение которых равно 8.

Число 8 можно получить если перемножить числа 4 и 2 либо 1 и 8.

4 × 2 = 8
1 × 8 = 8

Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли не только равенству x₁ × x₂ = 8, но и равенству x₁ + x₂ = 6.

Сразу делаем вывод, что значения 1 и 8 не годятся, поскольку они хоть и удовлетворяют равенству x₁ × x₂ = 8, но не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6.

Зато значения 4 и 2 подходят как равенству x₁ × x₂ = 8, так и равенству x₁ + x₂ = 6, поскольку эти значения удовлетворяют обоим равенствам:

Значит корнями уравнения x² − 6x + 8 = 0 являются числа 4 и 2.

Обратная теорема, как и любая теорема нуждается в доказательстве. Докажем теорему, обратную теореме Виета. Для удобства корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение теоремы, обратной теореме Виета примет следующий вид:

Если числа m и n таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x² + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел m и n равно свободному члену уравнения x² + bx + c = 0, то числа m и n являются корнями уравнения x² + bx + c = 0

Для начала запишем, что сумма m и n равна −b, а произведение mn равно c

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения x² + bx + c = 0, нужно поочередно подстáвить буквы m и n в это уравнение вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями уравнения x² + bx + c = 0.

Помимо букв m и n нам нужно знать чему равен параметр b. Выразим его из равенства m + n = −b. Легче всего это сделать, умножив обе части этого равенства на −1

Теперь всё готово для подстановок. Подстáвим m в уравнение x² + bx + c = 0 вместо x, а выражение −m − n подставим вместо b

Видим, что при x = m получается верное равенство. Значит число m является корнем уравнения x² + bx + c = 0.

Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения x² + bx + c = 0. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим mn, поскольку c = mn.

Видим, что при x = n тоже получается верное равенство. Значит число n является корнем уравнения.

Следовательно, числа m и n являются корнями уравнения x² + bx + c = 0.

Примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета

Пример 1. Решить квадратное уравнение x² − 4x + 4 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму корней x₁ и x₂ и приравняем её к второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Также запишем произведение корней x₁ и x₂ и приравняем его к свободному члену:

В данном примере очевидно, что корнями являются числа 2 и 2. Потому что их сумма равна 4 и произведение равно 4

Значение x₁ совпадает с x₂. Это тот случай, когда квадратное уравнение имеет только один корень. Если мы попробуем решить данное уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения, то обнаружим что дискриминант равен нулю, и корень вычисляется по формуле

Данный пример показывает, что теорема обратная теореме Виета, работает и для уравнений, имеющих только один корень. Признаком того, что квадратное уравнение имеет только один корень является то, что значения x₁ и x₂ совпадают.

Пример 2. Решить уравнение x² + 3x + 2 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Теперь подберём значения x₁ и x₂. Здесь начинается самое интересное. Произведение корней равно 2. Число 2 можно получить перемножив 1 и 2. Но сумма корней x₁ + x₂ равна отрицательному числу −3. Значит значения 1 и 2 не подходят.

Сумма бывает отрицательной если оба слагаемых отрицательны либо отрицательным является одно слагаемое, модуль которого больше.

Если подберём корни с разными знаками, то не будет выполняться равенство x₁ × x₂ = 2.

Если подберем положительные корни, то будет выполняться равенство x₁ × x₂ = 2, но не будет выполняться равенство x₁ + x₂ = −3.

Очевидно, что корнями являются два отрицательных числа. Произведение отрицательных чисел есть положительное число. А сумма отрицательных чисел есть отрицательное число.

Тогда равенствам будут удовлетворять числа −1 и −2.

Итак, корнями являются числа −1 и −2

Пример 3. Решить уравнение x² + 16x + 15 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Как и в прошлом примере сумма корней равна отрицательному числу, а произведение корней — положительному числу.

Произведение бывает положительным если оба сомножителя положительны либо оба сомножителя отрицательны. Первый вариант отпадает сразу, поскольку сумма корней равна отрицательному числу. Тогда получается, что оба корня будут отрицательными. Попробуем подобрать их.

Число 15 можно получить, если перемножить числа −1 и −15 или (−3) и (−5). В данном случае подходит первый вариант, поскольку сумма чисел −1 и −15 равна −16, а их произведение равно 15. Значит корнями уравнения x² + 16x + 15 = 0 являются числа −1 и −15

Пример 4. Решить уравнение x² − 10x − 39 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Произведение корней равно отрицательному числу. Значит один из корней является отрицательным. Число −39 можно получить если перемножить числа −3 и 13 либо −13 и 3. Из этих комбинаций больше годится комбинация −3 и 13, поскольку при перемножении этих чисел получается −39, а при сложении 10

Значит корнями уравнения x² − 10x − 39 = 0 являются числа −3 и 13

Пример 5. Первый корень уравнения x² + bx + 45 = 0 равен 15. Найти второй корень этого уравнения, а также значение коэффициента b.

По теореме Виета произведение корней приведённого квадратного уравнения равно свободному члену. В данном случае это произведение равно 45

x₁ × x₂ = 45

При этом один из корней уже известен — это корень 15.

15 × x₂ = 45

Тогда второй корень будет равен 3, потому что число 45 получается, если 15 умножить на 3

15 × 3 = 45

Значит x₂ = 3

Этот второй корень также можно было бы получить, выразив из равенства 15 × x₂ = 45 переменную x₂

Теперь определим значение коэффициента b. Для этого напишем сумму корней уравнения:

15 + 3 = 18

По теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Если сумма корней равна 18, а 18 это положительное число, то в самóм уравнении этот коэффициент будет отрицательным:

x² − 18x + 45 = 0

Значит b = −18.

Обычно решение к такой задаче записывают так. Сначала записывают основную теорему Виета в виде суммы и произведения корней:

Затем в это выражение подставляют имеющиеся известные значения. В нашем случае известно, что первый корень равен 15, а свободный член уравнения x² + bx + 45 = 0 равен 45

Из этой системы следует найти x₂ и b. Выразим эти параметры:

Из этой системы мы видим, что x₂ равно 3. Подставим его в первое равенство:

Теперь из первого равенства мы видим, что −b равно 18

Но нас интересует b, а не −b. Следует помнить, что −b это −1b. Чтобы найти b нужно 18 разделить на −1. Тогда b станет равно −18

Этот же результат можно получить если в выражении умножить первое равенство на −1

Теперь возвращаемся к исходному уравнению x² + bx + 45 = 0 и подставляем найденное значение b

Выполним умножение −18 на x. Получим −18x

Раскроем скобки:

Пример 6. Используя теорему Виета, написать приведённое квадратное уравнение, корнями которых являются числа 2 и 8.

В этом задании корни уже известны. То есть x₁ = 2, x₂ = 8. По ним надо составить квадратное уравнение вида x² + bx + c = 0.

Запишем сумму и произведение корней:

По теореме Виета сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Если сумма корней 2 и 8 равна 10, то в самóм уравнении число 10 должно быть с противоположным знаком. Значит b = −10.

Произведение корней по теореме Виета равно свободному члену. У нас это произведение равно 16.

Значит b = −10, c = 16. Отсюда:

x² − 10x + 16 = 0

Пример 7. Используя теорему Виета, написать приведённое квадратное уравнение, корнями которых являются числа и .

Запишем сумму и произведение корней:

Сумма корней равна 2. Тогда в уравнении второй коэффициент будет равен −2. А произведение корней равно −1. Значит свободный член будет равен −1. Тогда:

x² − 2x − 1 = 0

Когда квадратное уравнение неприведённое

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым.

Если квадратное уравнение не является приведённым, но всё равно возникла необходимость применить теорему Виета, то обе части неприведённого квадратного уравнения следует разделить на коэффициент, который располагается перед x².

Если к примеру в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент a не равен единице, то данное уравнение является неприведённым. Чтобы сделать его приведённым, надо разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x², то есть на a

Получилось уравнение , которое является приведённым. В нём второй коэффициент равен , а свободный член равен . Тогда сумма и произведение корней будут выглядеть так:

Например, решим квадратное уравнение 4x² + 5x + 1 = 0. Это уравнение не является приведённым. Приведённым оно станет, если разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x², то есть на 4

Получили приведённое квадратное уравнение. В нём второй коэффициент равен , а свободный член . Тогда по теореме Виета имеем:

Отсюда методом подбора находим корни −1 и

Возможно этот метод вы редко будете использовать при решении квадратных уравнений. Но знать о нём не помешает.

Пример 2. Решить квадратное уравнение 3x² − 7x + 2 = 0

Данное уравнение не является приведённым, а значит его пока нельзя решить по теореме, обратной теореме Виета.

Сделаем данное уравнение приведенным. Разделим обе части на коэффициент, который располагается перед x²

Получили уравнение . Запишем сумму и произведение корней этого уравнения:

Отсюда методом подбора находим корни 2 и

Пример 3. Решить квадратное уравнение 2x² − 3x − 2 = 0

Это неприведённое квадратное уравнение. Чтобы сделать его приведённым, нужно разделить обе его части на 2. Сделать это можно в уме. Если 2x² разделить на 2, то полýчится x²

Далее если −3x разделить на 2, то полýчится . Чтобы видеть где коэффициент, а где переменная, такое выражение записывают в виде

Далее если −2 разделить на 2, то полýчится −1

Прирáвниваем получившееся выражение к нулю:

Теперь применяем теорему Виета. Сумма корней будет равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней свободному члену:

Отсюда методом подбора находим корни 2 и

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Написать сумму и произведение корней для квадратного уравнения:

Решение:

Задание 2. Написать сумму и произведение корней для квадратного уравнения:

Решение:

Задание 3. Написать сумму и произведение корней для квадратного уравнения:

Решение:

Задание 4. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Задание 5. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Задание 6. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Задание 7. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Задание 8. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Задание 9. {k} a_{k}$ равно сумме всех возможных произведений из $k$ корней.

Формулы Виета — формулы, выражающие коэффициенты многочлена через его корни.
Названы в честь французского математика Франсуа Виета (1540 — 1603).

Если старший коэффициент многочлена $a_{0} \neq 1$, то есть многочлен
не является приведенным, то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на $a_{0}$ (это не влияет на значение корней многочлена).
В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует,
что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для
составления многочлена по заданным корням.

формула, примеры, как решать, доказательство

Основные понятия

Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Существует три вида квадратных уравнений:

• не имеют корней;
• имеют один корень;
• имеют два различных корня.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b² − 4ac. Его свойства:

• если D < 0, корней нет;
• если D = 0, есть один корень;
• если D > 0, есть два различных корня.

В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так: 

Если дано x² + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x² + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x² + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Доказательство теоремы Виета

Дано квадратное уравнение x² + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что следующие равенства верны

• x₁ + x₂ = −b,
• x₁ * x₂ = c.

Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x² + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.

1. Объединим числитель и знаменатель в правой части.

    

2. Раскроем скобки и приведем подобные члены:

    

3. Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:

    

Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.

Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.

1. Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:

    

2. Перемножаем числители и знаменатели между собой:

    

3. Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a² − b². Получаем:

    

4. Далее произведем трансформации в числителе:

    

5. Нам известно, что D = b² − 4ac. Подставим это выражение вместо D.

    

6. Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:

    

7. Сократим:

    

Мы доказали: x₁ * x₂ = c.

Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x² + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:

Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.

Докажем теорему, обратную теореме Виета

Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x² + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x² + bx + c = 0.

Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x² + bx + c = 0.

1. Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:

2. Подставим m в уравнение вместо x, а выражение −m − n подставим вместо b:

При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.

3. Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.
4. При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.

Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x² + bx + c = 0.

Примеры

Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

Дано: x² − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x² − 6x + 8 = 0.

Неприведенное квадратное уравнение 

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:

ax² + bx + c = 0, где а = 1.

Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x².

1. Получилось следующее приведенное уравнение:

2. Получается коэффициент равен , свободный член — . Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:

3. Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x² + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x², то есть на 4.

4. Получилось приведённое квадратное уравнение. Второй коэффициент которого равен , а свободный член .
5. Тогда в соответствии с теоремой Виета получаем:

6. Метод подбора помогает найти корни: −1 и 

Записывайте вашего ребенка на бесплатное вводное занятие по математике в Skysmart: порешаем задачки и головоломки на интерактивной платформе и покажем, что математика может быть увлекательным путешествием!

Теорема Виета, формулы Виета

В квадратных уравнениях существует целый ряд соотношений. Основными являются отношения между корнями и коэффициентами. Также в квадратных уравнениях работает ряд соотношений, которые задаются теоремой Виета.

В этой теме мы приведем саму теорему Виета и ее доказательство для квадратного уравнения, теорему, обратную теореме Виета, разберем ряд примеров решения задач. Особое внимание в материале мы уделим рассмотрению формул Виета, которые задают связь между действительными корнями алгебраического уравнения степени n и его коэффициентами.

Формулировка и доказательство теоремы Виета

Формула корней квадратного уравнения a·x2+b·x+c=0 вида x1=-b+D2·a, x2=-b-D2·a, где D=b2−4·a·c, устанавливает соотношения x1+x2=-ba, x1·x2=ca. Это подтверждает и теорема Виета.

Теорема 1

В квадратном уравнении a·x2+b·x+c=0, где x1 и x2 – корни, сумма корней будет равна соотношению коэффициентов b и a, которое было взято с противоположным знаком, а произведение корней будет равно отношению коэффициентов c и a, т. е. x1+x2=-ba, x1·x2=ca.

Доказательство 1

Предлагаем вам следующую схему проведения доказательства: возьмем формулу корней, составим суму и произведение корней квадратного уравнения и затем преобразуем полученные выражения для того, чтобы убедиться, что они равны -ba и ca соответственно.

Составим сумму корней x1+x2=-b+D2·a+-b-D2·a. Приведем дроби к общему знаменателю -b+D2·a+-b-D2·a=-b+D+-b-D2·a. Раскроем скобки в числителе полученной дроби и приведем подобные слагаемые: -b+D+-b-D2·a=-b+D-b-D2·a=-2·b2·a. Сократим дробь на: 2-ba=-ba.

Так мы доказали первое соотношение теоремы Виета, которое относится к сумме корней квадратного уравнения.

Теперь давайте перейдем ко второму соотношению.

Для этого нам необходимо составить произведение корней квадратного уравнения: x1·x2=-b+D2·a·-b-D2·a.

Вспомним правило умножения дробей и запишем последнее произведение следующим образом: -b+D·-b-D4·a2.

Проведем в числителе дроби умножение скобки на скобку или же воспользуемся формулой разности квадратов для того, чтобы преобразовать это произведение быстрее: -b+D·-b-D4·a2=-b2-D24·a2.

Воспользуемся определением квадратного корня для того, чтобы осуществить следующий переход: -b2-D24·a2=b2-D4·a2. Формула D=b2−4·a·c отвечает дискриминанту квадратного уравнения, следовательно, в дробь вместо D можно подставить b2−4·a·c:

b2-D4·a2=b2-(b2-4·a·c)4·a2

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим: 4·a·c4·a2. Если сократить ее на 4·a, то остается ca. Так мы доказали второе соотношение теоремы Виета для произведения корней.

Запись доказательства теоремы Виета может иметь весьма лаконичный вид, если опустить пояснения:

x1+x2=-b+D2·a+-b-D2·a=-b+D+-b-D2·a=-2·b2·a=-ba,x1·x2=-b+D2·a·-b-D2·a=-b+D·-b-D4·a2=-b2-D24·a2=b2-D4·a2==D=b2-4·a·c=b2-b2-4·a·c4·a2=4·a·c4·a2=ca.

При дискриминанте квадратного уравнения  равном нулю уравнение будет иметь только один корень. Чтобы иметь возможность применить к такому уравнению теорему Виета, мы можем предположить, что уравнение при дискриминанте, равном нулю, имеет два одинаковых корня. Действительно, при D=0 корень квадратного уравнения равен: -b2·a, тогда x1+x2=-b2·a+-b2·a=-b+(-b)2·a=-2·b2·a=-ba и x1·x2=-b2·a·-b2·a=-b·-b4·a2=b24·a2, а так как D=0, то есть, b2-4·a·c=0, откуда b2=4·a·c, то b24·a2=4·a·c4·a2=ca.

Чаще всего на практике теорема Виета применяется по отношению к приведенному квадратному уравнению вида x2+p·x+q=0, где старший коэффициент a равен 1. В связи с этим и формулируют теорему Виета именно для уравнений такого вида. Это не ограничивает общности в связи с тем, что любое квадратное уравнение может быть заменено равносильным уравнением. Для этого необходимо поделить обе его части на число a, отличное от нуля.

Приведем еще одну формулировку теоремы Виета.

Теорема 2

Сумма корней в приведенном квадратном уравнении x2+p·x+q=0  будет равна коэффициенту при x, который взят с противоположным знаком, произведение корней будет равно свободному члену, т.е. x1+x2=−p, x1·x2=q.

Теорема, обратная теореме Виета

Если внимательно посмотреть на вторую формулировку теоремы Виета, то можно увидеть, что для корней x1 и x2 приведенного квадратного уравнения x2+p·x+q=0 будут справедливы соотношения x1+x2=−p, x1·x2=q. Из этих соотношений x1+x2=−p, x1·x2=q следует, что x1 и x2 – это корни квадратного уравнения x2+p·x+q=0. Так мы приходим к утверждению, которое является обратным теореме Виета.

Предлагаем теперь оформить это утверждение как теорему и провести ее доказательство.

Теорема 3

Если числа x1 и x2 таковы, что x1+x2=−p и x1·x2=q, то x1 и x2 являются корнями приведенного квадратного уравнения x2+p·x+q=0.

Доказательство 2

Замена коэффициентов p и q на их выражение через x1 и x2 позволяет преобразовать уравнение x2+p·x+q=0 в равносильное ему x2−(x1+x2)·x+x1·x2=0.

Если в полученное уравнение подставить число x1 вместо x, то мы получим равенство x12−(x1+x2)·x1+x1·x2=0. Это равенство при любых x1 и x2 превращается в верное числовое равенство 0=0, так как x12−(x1+x2)·x1+x1·x2=x12−x12−x2·x1+x1·x2=0. Это значит, что x1 – корень уравнения x2−(x1+x2)·x+x1·x2=0, и что x1 также является корнем равносильного ему уравнения x2+p·x+q=0.

Подстановка в уравнение x2−(x1+x2)·x+x1·x2=0  числа x2вместо x позволяет получить равенство x22−(x1+x2)·x2+x1·x2=0. Это равенство можно считать верным, так как x22−(x1+x2)·x2+x1·x2=x22−x1·x2−x22+x1·x2=0. Получается, что x2  является корнем уравнения x2−(x1+x2)·x+x1·x2=0, а значит, и уравнения x2+p·x+q=0.

Теорема, обратная теореме Виета, доказана.

Примеры использования теоремы Виета

Давайте теперь приступим к разбору наиболее типичных примеров по теме. Начнем с разбора задач, которые требуют применения теоремы, обратной теореме Виета. Ее можно применять для проверки чисел, полученных в ходе вычислений, на предмет того, являются ли они корнями заданного квадратного уравнения. Для этого необходимо вычислить их сумму и разность, а затем проверить справедливость соотношений x1+x2=-ba, x1·x2=ac.

Выполнение обоих соотношений свидетельствует о том, что числа, полученные в ходе вычислений, являются корнями уравнения. Если же мы видим, что хотя бы одно из условий не выполняется, то данные числа не могут быть корнями квадратного уравнения, данного в условии задачи.

Пример 1

Какая из пар чисел 1) x1=−5, x2=3, или 2) x1=1-3, x2=3+3, или 3) x1=2+72, x2=2-72 является парой корней квадратного уравнения 4·x2−16·x+9=0?

Решение

Найдем коэффициенты квадратного уравнения 4·x2−16·x+9=0. Это a=4, b=−16, c=9. В соответствии с теоремой Виета сумма корней квадратного уравнения должна быть равна -ba, то есть, 164=4, а произведение корней должно быть равно ca, то есть, 94.

Проверим полученные числа, вычислив сумму и произведение чисел из трех заданных пар и сравнив их с полученными значениями.

В первом случае x1+x2=−5+3=−2. Это значение отлично от 4, следовательно, проверку можно не продолжать. Согласно теореме, обратной теореме Виета, можно сразу сделать вывод о том, что первая пара чисел не является корнями данного квадратного уравнения.

Во втором случае x1+x2=1-3+3+3=4.  Мы видим, что первое условие выполняется. А вот второе условие нет: x1·x2=1-3·3+3=3+3-3·3-3=-2·3. Значение, которое мы получили, отлично от 94. Это значит, что вторая пара чисел не является корнями квадратного уравнения.

Перейдем к рассмотрению третьей пары. Здесь x1+x2=2+72+2-72=4 и x1·x2=2+72·2-72=22-722=4-74=164-74=94. Выполняются оба условия, а это значит, что  x1 и x2 являются корнями заданного квадратного уравнения.

Ответ: x1=2+72, x2=2-72

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Мы также можем использовать теорему, обратную теореме Виета, для подбора корней квадратного уравнения. Наиболее простой способ – это подбор целых корней приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами. Можно рассматривать и другие варианты. Но это может существенно затруднить проведение вычислений.

Для подбора корней мы используем тот факт, что если сумма двух чисел равна второму коэффициенту квадратного уравнения, взятому со знаком минус, а произведение этих чисел равно свободному члену, то эти числа являются корнями данного квадратного уравнения.

Пример 2

В качестве примера используем квадратное уравнение x2−5·x+6=0. Числа x1 и x2 могут быть корнями этого уравнения в том случае, если выполняются два равенства x1+x2=5 и x1·x2=6. Подберем такие числа. Это числа 2 и 3, так как 2+3=5 и 2·3=6. Получается, что 2 и 3 – корни данного квадратного уравнения.

Теорему, обратную теореме Виета, можно использовать для нахождения второго корня, когда первый известен или очевиден. Для этого мы можем использовать соотношения x1+x2=-ba, x1·x2=ca.

Пример 3

Рассмотрим квадратное уравнение 512·x2−509·x−3=0. Необходимо найти корни данного уравнения.

Решение

Первым корнем уравнения является 1, так как сумма коэффициентов этого квадратного уравнения равна нулю. Получается, что x1=1.

Теперь найдем второй корень. Для этого можно использовать соотношение  x1·x2=ca. Получается, что 1·x2=−3512, откуда x2=-3512.

Ответ: корни заданного в условии задачи квадратного уравнения 1 и -3512.

Подбирать корни, используя теорему, обратную теореме Виета, можно лишь в простых случаях. В остальных случаях лучше проводить поиск с использованием формулы корней квадратного уравнения через дискриминант.

Благодаря теореме, обратной теореме Виета, мы также можем составлять квадратные уравнения по имеющимся корням x1 и x2. Для этого нам необходимо вычислить сумму корней, которая дает коэффициент при x с противоположным знаком приведенного квадратного уравнения, и произведение корней, которое дает свободный член.

Пример 4

Напишите квадратное уравнение, корнями которого являются числа −11 и 23.

Решение

Примем, что x1=−11 и x2=23. Сумма и произведение данных чисел будут равны: x1+x2=12 и x1·x2=−253. Это значит, что второй коэффициент -12, свободный член −253.

Составляем уравнение: x2−12·x−253=0.

Ответ: x2−12·x−253=0.

Мы можем использовать теорему Виета для решения заданий, которые связаны со знаками корней квадратных уравнений. Связь между теоремой Виета связана со знаками корней приведенного квадратного уравнения x2+p·x+q=0 следующим образом:

• если квадратное уравнение имеет действительные корни и если свободный член q является положительным числом, то эти корни будут иметь одинаковый знак «+» или «-»;
• если квадратное уравнение имеет корни и  если свободный член q является отрицательным числом, то один корень будет «+», а второй «-».

Оба этих утверждения являются следствием формулы x1·x2=q и правила умножения положительных и отрицательных чисел, а также чисел с разными знаками.

Пример 5

Являются ли корни квадратного уравнения x2−64·x−21=0положительными?

Решение

По теореме Виета корни данного уравнения не могут быть оба положительными, так как для них должно выполняться равенство x1·x2=−21. Это невозможно при положительных x1 и x2.

Ответ: Нет

Пример 6

При каких значениях параметра r квадратное уравнение x2+(r+2)·x+r−1=0будет иметь два действительных корня с разными знаками.

Решение

Начнем с того, что найдем значения каких r, при которых в уравнении будет два корня. Найдем дискриминант и посмотрим, при каких r он будет принимать положительные значения. D=(r+2)2−4·1·(r−1)=r2+4·r+4−4·r+4=r2+8. Значение выражения r2+8 положительно при любых действительных r, следовательно, дискриминант будет больше нуля при любых действительных r. Это значит, что исходное квадратное уравнение будет иметь два корня при любых действительных значениях параметра r.

Теперь посмотрим, когда корни будут иметь разные знаки. Это возможно в том случае, если их произведение будет отрицательным. Согласно теореме Виета произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену. Значит, правильным решением будут те значения r, при которых свободный член r−1 отрицателен. Решим линейное неравенство r−1<0, получаем r<1.

Ответ: при r<1.

Формулы Виета

Существует ряд формул, которые применимы для осуществления действий с корнями и коэффициентами не только квадратных, но также кубических и других видов уравнений. Их называют формулами Виета.

Для алгебраического уравнения степени n вида a0·xn+a1·xn-1+…+an-1·x+an=0  считается, что уравнение имеет nдействительных корней x1, x2, …, xn , среди которых могут быть совпадающие:
x1+x2+x3+…+xn=-a1a0,x1·x2+x1·x3+…+xn-1·xn=a2a0,x1·x2·x3+x1·x2·x4+…+xn-2·xn-1·xn=-a3a0,…x1·x2·x3·…·xn=(-1)n·ana0

Определение 1

Получить формулы Виета нам помогают:

• теорема о разложении многочлена на линейные множители;
• определение равных многочленов через равенство всех их соответствующих коэффициентов.

Так, многочлен a0·xn+a1·xn-1+. ..+an-1·x+an  и его разложение на линейные множители вида a0·(x-x1)·(x-x2)·…·(x-xn) равны.

Если мы раскрываем скобки в последнем произведении и приравниваем соответствующие коэффициенты, то получаем формулы Виета. Приняв n=2, мы можем получить формулу Виета для квадратного уравнения: x1+x2=-a1a0, x1·x2=a2a0.

Определение 2

Формула Виета для кубического уравнения:
x1+x2+x3=-a1a0,x1·x2+x1·x3+x2·x3=a2a0,x1·x2·x3=-a3a0

Левая часть записи формул Виета содержит так называемые элементарные симметрические многочлены.

Теорема Виета. Примеры и решение

Теорема Виета:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения

x² + px + q = 0

равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену

x₁ + x₂ = -p,    x₁ · x₂ = q.

Доказательство:

Если приведённое квадратное уравнение имеет вид

x² + px + q = 0,

то его корни равны:

,

где  D = p² — 4q.  Чтобы доказать теорему, сначала найдём сумму корней:

,

а теперь найдём их произведение:

Равенства, показывающие зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения:

x₁ + x₂ = —p,

x₁ · x₂ = q

называются формулами Виета.

Примечание: если дискриминант равен нулю  (D = 0),  то подразумевается, что уравнение имеет не один корень, а два равных корня.

Обратная теорема

Теорема:

Если сумма двух чисел равна  -p,  а их произведение равно  q,  то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения:

x² + px + q = 0.

Доказательство:

Пусть дано  x₁ + x₂ = —p,  значит,  x₂ = —p — x₁.  Подставим это выражение в равенство  x₁ · x₂ = q,  получим:

x₁(-p — x₁) = q;

—px₁ — x₁² = q;

x₁² + px₁ + q = 0.

Это доказывает, что число  x₁  является корнем уравнения   x² + px + q = 0.  Точно так же можно доказать, что и число  x₂  является корнем для этого уравнения.

Решение примеров

Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения позволяет в некоторых случаях находить корни уравнения устно, не используя формулу корней.

Пример 1. Найти корни уравнения:

x² — 3x + 2 = 0.

Решение: Так как

x₁ + x₂ = -(-3) = 3;

x₁ · x₂ = 2;

очевидно, что корни равны  1  и  2:

1 + 2 = 3;

1 · 2 = 2.

Подставив числа  1  и  2  в уравнение, убедимся, что корни найдены правильно:

1² — 3 · 1 + 2 = 0

и

2² — 3 · 2 + 2 = 0.

Ответ:  1,  2.

Пример 2. Найти корни уравнения:

x² + 8x + 15 = 0.

Решение:

x₁ + x₂ = -8;

x₁ · x₂ = 15.

Методом подбора находим, что корни равны  -3  и  -5:

-3 + -5 = -8;

-3 · -5 = 15.

Ответ:  -3,  -5.

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно составлять квадратное уравнение по его корням.

Пример 1. Составить квадратное уравнение по его корням:

x₁ = -3,    x₂ = 6.

Решение: Так как  x₁ = -3,  x₂ = 6  корни уравнения  x² + px + q = 0, то по теореме, обратной теореме Виета, составим уравнения:

p = -(x₁ + x₂) = -(-3 + 6) = -3;

q = x₁ · x₂ = -3 · 6 = -18.

Следовательно, искомое уравнение:

x² — 3x — 18 = 0.

Ответ:  x² — 3x — 18 = 0.

Пример 2. Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни:

x₁ = 2,    x₂ = 3.

Решение:

p = -(x₁ + x₂) = -(2 + 3) = -5;

q = x₁ · x₂ = 2 · 3 = 6.

Ответ:  x² — 5x + 6 = 0.

8.2.4. Применение теоремы Виета.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 3 мин. Просмотров 732 Опубликовано 7 марта 2013

Часто требуется найти сумму квадратов  (x₁²+x₂²)  или сумму кубов (x₁³+x₂³) корней квадратного уравнения, реже — сумму обратных значений квадратов корней или сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения:

Помочь в этом может теорема Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x²+px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

x₁+x₂=-p;  x₁∙x₂=q.

Выразим через p и q:

1) сумму квадратов корней уравнения x²+px+q=0;

2) сумму кубов корней уравнения x²+px+q=0.

Решение.

1) Выражение x₁²+x₂²  получится, если взвести в квадрат обе части равенства x₁+x₂=-p;

(x₁+x₂)²=(-p)²;  раскрываем скобки: x₁²+2x₁x₂+ x₂²=p²;  выражаем искомую сумму: x₁²+x₂²=p²-2x₁x₂=p²-2q. Мы получили полезное равенство: x₁²+x₂²=p²-2q.

2) Выражение x₁³+x₂³ представим по формуле суммы кубов в виде:

(x₁³+x₂³)=(x₁+x₂)(x₁²-x₁x₂+x₂²)=-p·(p²-2q-q)=-p·(p²-3q).

Еще одно полезное равенство: x₁³+x₂³=-p·(p²-3q).

Примеры.

3) x²-3x-4=0. Не решая уравнение, вычислите значение выражения  x₁²+x₂² .

Решение.

По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения

x₁+x₂=-p=3, а произведение x₁∙x₂=q=-4. Применим полученное нами (в примере 1) равенство:

x₁²+x₂²=p²-2q. У нас -p=x₁+x₂=3 → p²=3²=9; q=x₁x₂=-4. Тогда x₁²+x₂²=9-2·(-4)=9+8=17.

Ответ: x₁²+x₂²=17.

4) x²-2x-4=0. Вычислить: x₁³+x₂³.

Решение.

По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения x₁+x₂=-p=2, а произведение x₁∙x₂=q=-4. Применим полученное нами (в примере 2) равенство: x₁³+x₂³=-p·(p²-3q)=2·(2²-3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Ответ:  x₁³+x₂³=32.

Вопрос: а если нам дано не приведенное квадратное уравнение? Ответ: его всегда можно «привести», разделив почленно на первый коэффициент.

5) 2x²-5x-7=0. Не решая, вычислить: x₁²+x₂².

Решение. Нам дано полное квадратное уравнение. Разделим обе части равенства на 2 (первый коэффициент) и получим приведенное квадратное уравнение: x²-2,5x-3,5=0.

По теореме Виета сумма корней равна 2,5; произведение корней равно -3,5.

Решаем так же, как пример 3), используя равенство: x₁²+x₂²=p²-2q.

x₁²+x₂²=p²-2q=2,5²-2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Ответ: x₁²+x₂²=13,25.

6) x²-5x-2=0. Найти:

Преобразуем это равенство и, заменив по теореме Виета сумму корней через -p, а произведение корней через q, получим еще одну полезную формулу. При выводе формулы использовали равенство 1): x₁²+x₂²=p²-2q.

В нашем примере  x₁+x₂=-p=5; x₁∙x₂=q=-2. Подставляем эти значения  в полученную формулу:

7) x²-13x+36=0. Найти:

Преобразуем эту сумму и получим формулу, по которой можно будет находить сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения.

У нас  x₁+x₂=-p=13; x₁∙x₂=q=36. Подставляем эти значения в выведенную формулу:

Совет: всегда проверяйте возможность нахождения корней квадратного уравнения по подходящему способу, ведь 4 рассмотренные полезные формулы позволяют быстро выполнить задание, прежде всего, в тех случаях, когда дискриминант — «неудобное» число. Во всех простых случаях находите корни и оперируйте ими. Например, в последнем примере подберем корни по теореме Виета: сумма корней должна быть равна 13, а произведение корней 36. Что это за числа? Конечно, 4 и 9. А теперь считайте сумму квадратных корней из этих чисел: 2+3=5. Вот так то!

Теорема Виета

7 ноября 2011

В математике существуют специальные приемы, с которыми многие квадратные уравнения решаются очень быстро и без всяких дискриминантов. Более того, при надлежащей тренировке многие начинают решать квадратные уравнения устно, буквально «с первого взгляда».

К сожалению, в современном курсе школьной математики подобные технологии почти не изучаются. А знать надо! И сегодня мы рассмотрим один из таких приемов — теорему Виета. Для начала введем новое определение.

Квадратное уравнение вида x² + bx + c = 0 называется приведенным. Обратите внимание: коэффициент при x² равен 1. Никаких других ограничений на коэффициенты не накладывается.

Примеры:

1. x² + 7x + 12 = 0 — это приведенное квадратное уравнение;
2. x² − 5x + 6 = 0 — тоже приведенное;
3. 2x² − 6x + 8 = 0 — а вот это нифига не приведенное, поскольку коэффициент при x² равен 2.

Разумеется, любое квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0 можно сделать приведенным — достаточно разделить все коэффициенты на число a. Мы всегда можем так поступить, поскольку из определения квадратного уравнения следует, что a ≠ 0.

Правда, далеко не всегда эти преобразования будут полезны для отыскания корней. Чуть ниже мы убедимся, что делать это надо лишь тогда, когда в итоговом приведенном квадратом уравнении все коэффициенты будут целочисленными. А пока рассмотрим простейшие примеры:

Задача. Преобразовать квадратное уравнение в приведенное:

1. 3x² − 12x + 18 = 0;
2. −4x² + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x² + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x² + 7x − 11 = 0.

Разделим каждое уравнение на коэффициент при переменной x². Получим:

1. 3x² − 12x + 18 = 0 ⇒ x² − 4x + 6 = 0 — разделили все на 3;
2. −4x² + 32x + 16 = 0 ⇒ x² − 8x − 4 = 0 — разделили на −4;
3. 1,5x² + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x² + 5x + 2 = 0 — разделили на 1,5, все коэффициенты стали целочисленными;
4. 2x² + 7x − 11 = 0 ⇒ x² + 3,5x − 5,5 = 0 — разделили на 2. При этом возникли дробные коэффициенты.

Как видите, приведенные квадратные уравнения могут иметь целые коэффициенты даже в том случае, когда исходное уравнение содержало дроби.

Теперь сформулируем основную теорему, для которой, собственно, и вводилось понятие приведенного квадратного уравнения:

Теорема Виета. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение вида x² + bx + c = 0. Предположим, что это уравнение имеет действительные корни x₁ и x₂. В этом случае верны следующие утверждения:

1. x₁ + x₂ = −b. Другими словами, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при переменной x, взятому с противоположным знаком;
2. x₁ · x₂ = c. Произведение корней квадратного уравнения равно свободному коэффициенту.

Примеры. Для простоты будем рассматривать только приведенные квадратные уравнения, не требующие дополнительных преобразований:

1. x² − 9x + 20 = 0 ⇒ x₁ + x₂ = − (−9) = 9; x₁ · x₂ = 20; корни: x₁ = 4; x₂ = 5;
2. x² + 2x − 15 = 0 ⇒ x₁ + x₂ = −2; x₁ · x₂ = −15; корни: x₁ = 3; x₂ = −5;
3. x² + 5x + 4 = 0 ⇒ x₁ + x₂ = −5; x₁ · x₂ = 4; корни: x₁ = −1; x₂ = −4.

Теорема Виета дает нам дополнительную информацию о корнях квадратного уравнения. На первый взгляд это может показаться сложным, но даже при минимальной тренировке вы научитесь «видеть» корни и буквально угадывать их за считанные секунды.

Задача. Решите квадратное уравнение:

1. x² − 9x + 14 = 0;
2. x² − 12x + 27 = 0;
3. 3x² + 33x + 30 = 0;
4. −7x² + 77x − 210 = 0.

Попробуем выписать коэффициенты по теореме Виета и «угадать» корни:

1. x² − 9x + 14 = 0 — это приведенное квадратное уравнение.
   По теореме Виета имеем: x₁ + x₂ = −(−9) = 9; x₁ · x₂ = 14. Несложно заметить, что корни — числа 2 и 7;
2. x² − 12x + 27 = 0 — тоже приведенное.
   По теореме Виета: x₁ + x₂ = −(−12) = 12; x₁ · x₂ = 27. Отсюда корни: 3 и 9;
3. 3x² + 33x + 30 = 0 — это уравнение не является приведенным. Но мы это сейчас исправим, разделив обе стороны уравнения на коэффициент a = 3. Получим: x² + 11x + 10 = 0.
   Решаем по теореме Виета: x₁ + x₂ = −11; x₁ · x₂ = 10 ⇒ корни: −10 и −1;
4. −7x² + 77x − 210 = 0 — снова коэффициент при x² не равен 1, т.е. уравнение не приведенное. Делим все на число a = −7. Получим: x² − 11x + 30 = 0.
   По теореме Виета: x₁ + x₂ = −(−11) = 11; x₁ · x₂ = 30; из этих уравнений легко угадать корни: 5 и 6.

Из приведенных рассуждений видно, как теорема Виета упрощает решение квадратных уравнений. Никаких сложных вычислений, никаких арифметических корней и дробей. И даже дискриминант (см. урок «Решение квадратных уравнений») нам не потребовался.

Разумеется, во всех размышлениях мы исходили из двух важных предположений, которые, вообще говоря, не всегда выполняются в реальных задачах:

1. Квадратное уравнение является приведенным, т.е. коэффициент при x² равен 1;
2. Уравнение имеет два различных корня. С точки зрения алгебры, в этом случае дискриминант D > 0 — по сути, мы изначально предполагаем, что это неравенство верно.

Однако в типичных математических задачах эти условия выполняются. Если же в результате вычислений получилось «плохое» квадратное уравнение (коэффициент при x² отличен от 1), это легко исправить — взгляните на примеры в самом начале урока. Про корни вообще молчу: что это за задача, в которой нет ответа? Конечно, корни будут.

Таким образом, общая схема решения квадратных уравнений по теореме Виета выглядит следующим образом:

1. Свести квадратное уравнение к приведенному, если это еще не сделано в условии задачи;
2. Если коэффициенты в приведенном квадратном уравнении получились дробными, решаем через дискриминант. Можно даже вернуться к исходному уравнению, чтобы работать с более «удобными» числами;
3. В случае с целочисленными коэффициентами решаем уравнение по теореме Виета;
4. Если в течение нескольких секунд не получилось угадать корни, забиваем на теорему Виета и решаем через дискриминант.

Задача. Решите уравнение: 5x² − 35x + 50 = 0.

Итак, перед нами уравнение, которое не является приведенным, т.к. коэффициент a = 5. Разделим все на 5, получим: x² − 7x + 10 = 0.

Все коэффициенты квадратного уравнения целочисленные — попробуем решить по теореме Виета. Имеем: x₁ + x₂ = −(−7) = 7; x₁ · x₂ = 10. В данном случае корни угадываются легко — это 2 и 5. Считать через дискриминант не надо.

Задача. Решите уравнение: −5x² + 8x − 2,4 = 0.

Смотрим: −5x² + 8x − 2,4 = 0 — это уравнение не является приведенным, разделим обе стороны на коэффициент a = −5. Получим: x² − 1,6x + 0,48 = 0 — уравнение с дробными коэффициентами.

Лучше вернуться к исходному уравнению и считать через дискриминант: −5x² + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8² − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ … ⇒ x₁ = 1,2; x₂ = 0,4.

Задача. Решите уравнение: 2x² + 10x − 600 = 0.

Для начала разделим все на коэффициент a = 2. Получится уравнение x² + 5x − 300 = 0.

Это приведенное уравнение, по теореме Виета имеем: x₁ + x₂ = −5; x₁ · x₂ = −300. Угадать корни квадратного уравнения в данном случае затруднительно — лично я серьезно «завис», когда решал эту задачу.

Придется искать корни через дискриминант: D = 5² − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35². Если вы не помните корень из дискриминанта, просто отмечу, что 1225 : 25 = 49. Следовательно, 1225 = 25 · 49 = 5² · 7² = 35².

Теперь, когда корень из дискриминанта известен, решить уравнение не составит труда. Получим: x₁ = 15; x₂ = −20.

Смотрите также:

1. Следствия из теоремы Виета
2. Как решать квадратные уравнения
3. Стандартный вид числа
4. Задача B3 — работа с графиками
5. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. {n-1} + \ cdots + a_0P (x) = xn + an − 1 xn − 1 + ⋯ + a0 такое, что ai = ± 1a_i = \ pm 1ai = ± 1 для всех 0≤i≤n − 10 \ leq i \ leq n-10 ≤i≤n − 1, удовлетворяющее условию вещественности всех корней P (x) P (x) P (x).{n-1} + \ cdots + c_1 x + c_0 $, можно рассматривать уравнения Виета, связывающие $ n $ корней $ x_k $ и $ n $ оставшихся коэффициентов $ c_j $, как систему одновременных нелинейных уравнений, а затем применить к ним многомерную версию Ньютона-Рафсона.

   Для остроумия отметим, что якобиан системы (я использую здесь четвертый регистр, чтобы упростить задачу)

   $$ \ begin {align *} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = & — c_3 \\ x_1 x_2 + x_3 x_2 + x_4 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_3 x_4 = & c_2 \\ x_1 x_2 x_3 + x_1 x_4 x_3 + x_2 x_4 x_3 + x_1 x_2 x_4 = & — c_1 \\ x_1 x_2 x_3 x_4 = & c_0 \ end {align *} $$

   это

   $$ \ begin {split} & \ mathbf J (\ mathbf x) = \ mathbf J (x_1, x_2, x_3, x_4) = \\ & \ small \ begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x_2 + x_3 + x_4 & x_1 + x_3 + x_4 & x_1 + x_2 + x_4 & x_1 + x_2 + x_3 \\ x_2 x_3 + x_4 x_3 + x_2 x_4 & x_1 x_3 + x_4 x_3 + x_1 x_4 & x_1 x_2 + x_4 x_2 + x_1 x_4 & x_1 x_2 + x_3 x_2 + x_1 x_3 \\ x_2 x_3 x_4 & x_1 x_3 x_4 & x_1 x_2 x_4 & x_1 x_2 x_2 x_3 \ end {pmatrix} \ end {split} $$

   с инверсией

   $$ \ begin {split} & \ mathbf J ^ {- 1} (\ mathbf x) = \ mathbf J ^ {- 1} (x_1, x_2, x_3, x_4) = \\ & \ tiny \ begin {pmatrix } \ frac {x_1 ^ 3} {(x_1-x_2) (x_1-x_3) (x_1-x_4)} & \ frac {x_1 ^ 2} {(x_1-x_2) (x_1-x_3) (x_4-x_1)} & \ frac {x_1} {(x_1-x_2) (x_1-x_3) (x_1-x_4)} & \ frac1 {(x_2-x_1) (x_1-x_3) (x_1-x_4)} \\ \ frac {x_2 ^ 3} {(x_2-x_1) (x_2-x_3) (x_2-x_4)} & \ frac {x_2 ^ 2} {(x_1-x_2) (x_2-x_3) (x_2-x_4)} & \ frac {x_2} {(x_2-x_1) (x_2-x_3) (x_2-x_4)} & \ frac1 {(x_1-x_2) (x_2-x_3) (x_2-x_4)} \\\ frac {x_3 ^ 3} {(x_1- x_3) (x_2-x_3) (x_3-x_4)} & \ frac {x_3 ^ 2} {(x_1-x_3) (x_3-x_2) (x_3-x_4)} & \ frac {x_3} {(x_1-x_3) (x_2-x_3) (x_3-x_4)} & \ frac1 {(x_1-x_3) (x_3-x_2) (x_3-x_4)} \\\ frac {x_4 ^ 3} {(x_4-x_1) (x_4-x_2 ) (x_4-x_3)} & \ frac {x_4 ^ 2} {(x_1-x_4) (x_4-x_2) (x_4-x_3)} & \ frac {x_4} {(x_4-x_1) (x_4-x_2) ( x_4-x_3)} & \ frac1 {(x_1-x_4) (x_4-x_2) (x_4-x_3)} \ end {pmatrix} \ end {split} $$

   и, следовательно, итерационная функция Ньютона-Рафсона выглядит так:

   $$ \ mathbf x- \ mathbf J ^ {- 1} (\ mathbf x) \ begin {pmatrix} s_1 + c_3 \\ s_2-c_2 \ s_3 + c_1 \\ s_4-c_0 \ end {pmatrix} $$

   или явно

   $$ \ begin {align *} x_1 — & \ frac {c_3 x_1 ^ 3 + c_2 x_1 ^ 2 + c_1 x_1 + c_0 + x_1 ^ 4} {(x_1-x_2) (x_1-x_3) (x_1-x_4) } \\ x_2 — & \ frac {c_3 x_2 ^ 3 + c_2 x_2 ^ 2 + c_1 x_2 + c_0 + x_2 ^ 4} {(x_2-x_1) (x_2-x_3) (x_2-x_4)} \\ x_3- & \ frac {c_3 x_3 ^ 3 + c_2 x_3 ^ 2 + c_1 x_3 + c_0 + x_3 ^ 4} {(x_3-x_1) (x_3-x_2) (x_3-x_4)} \\ x_4 — & \ frac {c_3 x_4 ^ 3 + c_2 x_4 ^ 2 + c_1 x_4 + c_0 + x_4 ^ 4} {(x_4-x_1) (x_4-x_2) (x_4-x_3)} \ end {align *} $$

   Это приложение многомерного метода Ньютона-Рафсона к формулам Виета называется алгоритмом Дюрана-Кернера для одновременного определения корней многочлена:

   $$ x_i ^ {(k + 1)} = x_i ^ {(k)} — \ frac {p (x_i ^ {(k)})} {\ prod \ limits_ {j \ neq i} (x_i ^ { (k)} — x_j ^ {(k)})}, \ qquad i = 1 \ dots n; \; k = 0,1, \ точки $$

   , где $ x_i ^ {(0)} $ — это начальные приближения (которые, как и любой метод Ньютона-Рафсона, обязательны). Как и обычный метод Ньютона-Рафсона, он сходится квадратично. Однако примечательно, что этот метод не так требователен к начальным условиям, как это обычно бывает с Ньютоном-Рафсоном. (На практике, однако, обычно в качестве отправной точки для метода берутся точки, расположенные на равных расстояниях по окружности на комплексной плоскости, где радиус определяется исходя из границ корней.)

   См. Исходную статью Кернера для получения более подробной информации о происхождении.

   ---

   Алгоритм также иногда называют методом Вейерштрасса-Дюрана-Кернера, поскольку Карл Вейерштрасс использовал его в своем конструктивном доказательстве фундаментальной теоремы алгебры.2 + bx + c $, видим:

   $ -a (r_1 + r_2) = b \ подразумевает \ в штучной упаковке {r_1 + r_2 = — \ frac {b} {a}} $

   $ ar_1r_2 = c \ implies \ boxed {r_1r_2 = \ frac {c} {a}}

   долларов США

   Они известны как формулы Виета для многочленов степени 2. Это соответствует результатам, которые мы видели выше, используя квадратную формулу. 2 — 5x + 6 $ сумма корней равна 5, а произведение равно 6.2 + a (r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3) x — ar_1r_2r_3 \
   \ end {выровнено}
   $

   $ \ подразумевает \ в штучной упаковке {r_1 + r_2 + r_3 = — \ frac {b} {a}}

   $

   $ \ подразумевает \ в штучной упаковке {r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3 = \ frac {c} {a}}

   $

   $ \ implies \ boxed {r_1r_2r_3 = — \ frac {d} {a}}

   $

   Опять же, следует отметить, что знаки чередуются. Знак суммы корней всегда отрицательный.

   Мы могли бы следовать тому же процессу, чтобы найти формулы для степеней 4, 5 и так далее, и так далее. Однако здесь есть закономерность.2 $

6. Мы можем выбрать $ 1 $ x $ и два корня, давая
   $ ((- r_1) \ cdot (-r_2) + (-r_1) \ cdot (-r_3) + (-r_2) \ cdot (-r_3)) x = (r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3) x

   долларов

7. Мы можем выбрать не $ x $ s и три корня, давая
   $ ((- r_1) \ cdot (-r_2) \ cdot (-r_3)) = -r_1r_2r_3 $

Каждый последующий член представляет собой сумму произведений корней, взятых в разных количествах за один раз . $ r_1 + r_2 + r_3 $ — это сумма произведений корней, взятых по одному, поскольку умножение константы на ничто — это сама константа.$ r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3 $ — это сумма произведения корней, взятых по два за раз — в нем представлены все 3 возможные комбинации двух разных корней, умноженных вместе. $ r_1r_2r_3 $ — это сумма произведения корней, взятых по три за раз — есть только один способ взять сразу три элемента, и это единственный способ.

Следуя этому шаблону, мы можем найти расширение (и расширение Виета) для полинома четвертой степени без необходимости выполнять какое-либо раскрытие вручную. Пусть $ p (x) $ имеет корни $ r_1, r_2, r_3, r_4 $.4 \ end {align}

долл. США

Симметричные суммы

---

Формулы Виета дают нам выражения для суммы корней и произведения корней многочленов. Однако нам также даны выражения для сумм, например, вида $ r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3 $.

Симметричная сумма — это сумма, значение которой не изменяется при изменении порядка переменных. Например, $ f (a, b, c) = ab + ac + bc $ является симметричным, потому что в любой перестановке наших переменных $ a, b, c $ значение остается прежним:

$ \ begin {align} f (a, b, c) & = ab + ac + bc = ab + ac + bc \\ f (a, c, b) & = ac + ab + cb = ab + ac + bc \\ f (b, a, c) & = ba + bc + ac = ab + ac + bc \\ f (b, c, a) & = bc + ba + ca = ab + ac + bc \\ f (c, a, b) & = ca + cb + ab = ab + ac + bc \\ f (c, b, a) & = cb + ca + ba = ab + ac + bc \ end {выровнено} $

Точнее, с $ n = 4 $:

$ \ begin {align} S_1 & = a + b + c + d \\ S_2 & = ab + ac + ad + bc + bd + cd \\ S_3 & = abc + abd + acd + bcd \\ S_4 & = abcd \ end {align}

долл. США

Примеры задач

---

Вам следует попробовать каждую из этих проблем самостоятельно, прежде чем искать решения, которые следуют ниже.{100} = 4 \ cdot (-300) — 300 = \ boxed {-1500}

долл. США

Формула Виета для квадратных уравнений

Формулы Виета и построение полиномиальных уравнений

Формулы Виета связывают коэффициенты многочлена с суммами
и продукты его корней. Виета был французским математиком, чьи работы по
полиномы проложили путь современной алгебре.

Формула Виета для квадратных уравнений

Пусть α и β будут корнями квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0.Тогда ax ² + bx + c = a ( x — α ) ( x — β ) = ax 9037 a ( α + β ) x + a ( αβ ) = 0,

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем, что

α + β = −b / a и αβ = c / a.

Итак, квадратное уравнение , корни которого равны α и β равно x ² — ( α + β ) 9036 α2 9036 β = 0; то есть квадратичный
уравнение с заданными корнями,

x ² — (сумма корней) x + произведение корней
= 0. (1)

Примечание

В приведенном выше утверждении используется неопределенный артикль a . В
на самом деле, если P ( x ) =
0 — квадратное уравнение, корни которого равны α и β , тогда cP ( x ) также является квадратным уравнением с
корни α и β для любого ненулевого
постоянная c .

В предыдущих классах, используя указанные выше отношения между корнями и
коэффициентов мы построили квадратное уравнение, имеющее в качестве корней α и β . По факту,
такое уравнение дается формулой (1). Например, квадратное уравнение, у которого
корни равны 3, а 4 даются как x ² -7 x +12 = 0.

Далее построим новые полиномиальные уравнения, корни которых
функции корней данного полиномиального уравнения; в этом процессе мы формируем
новое полиномиальное уравнение без нахождения корней данного полинома
уравнение. Например, мы строим полиномиальное уравнение, увеличивая
корни данного полиномиального уравнения на два, как указано ниже.

Пример 3.1

Если α и β являются корнями квадратичной
уравнение17 x ² + 43 x — 73 = 0, построить квадратное уравнение,
корни равны α + 2 и β + 2.

Решение

Поскольку α и β являются корнями 17 x ² + 43 x — 73 = 0
, имеем α + β = -43/17 и αβ = -73/17

Мы хотим построить квадратное уравнение с корнями α +
2 и β + 2.Таким образом, чтобы построить такое квадратное уравнение, вычислим,

сумма корней =
α + β + 4 = [-43/17] + 4 = [25/17] и

произведение корней = αβ + 2 (α + β) + 4 = (-73/17) +
2 (-43 / 17) + 4 = -91/17.

Следовательно, квадратное уравнение с необходимыми корнями: x ² — (25/17) x —
(91/17) = 0

Умножение этого уравнения на 17 дает 17 x ² -25 x -91 = 0

, которое также является квадратным уравнением с корнями α +
2 и β + 2.

Пример 3.2

Если α и β являются корнями квадратного уравнения 2 x ² -7 x +13 = 0,
построить квадратное уравнение, корни которого равны α ² и β ² .

Решение

Поскольку α и β являются корнями квадратичной
уравнение, имеем α + β = 7/2 и αβ = 13/2

Таким образом, чтобы построить новое квадратное уравнение,

Сумма корней = α ² + β ² = (α + β) ² — 2αβ = -3/4.

Произведение корней =
α ² β ² = (αβ) ² = 169/4

Таким образом, требуется квадратное уравнение x ² + (¾) x +
(169/4) = 0. Отсюда мы видим, что

4 x ² + 3 x +169 = 0

— квадратное уравнение с корнями α ² и β ² .

Замечание

В примерах 3.1 и 3.2 мы вычислили сумму и
произведение корней с использованием известных α + β и αβ . Таким образом, мы можем построить квадратное уравнение с желаемым
корни, при условии, что сумма и произведение корней нового квадратичного
уравнение можно записать, используя сумму и произведение корней данного
квадратное уровненеие.Отметим, что мы не решили данное уравнение; мы делаем
не знать значений α и β даже после выполнения задания.

ВЬЕТСКИЕ ФОРМУЛЫ

Его 6 корней равны X1 = 2 X2 = -3 X3 = 4 X4 = -5 X5 = 6 X6 = -7

а его 7 коэффициентов равны a = 3 b = 9 c = -195 d = -405 e = 3,432 f = 3,636 g = -15,120

Приведем 6 формул Виета для шестнадцатеричных уравнений, а затем

заполните левую часть формул корнями уравнения и правую часть формул коэффициентами уравнения.

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = — (б / а)

2-3 + 4-5 +6-7 = — (9/3)

(X1 • X2) + (X1 • X3) + (X1 • X4) + (X1 • X5) + (X1 • X6) + (X2 • X3) + (X2 • X4) + (X2 • X5) + (X2 • X6) + (X3 • X4) + (X3 • X5) + (X3 • X6) + (X4 • X5) + (X4 • X6) + (X5 • X6) = (c / a)

(2 • -3) + (2 • 4) + (2 • -5) + (2 • 6) + (2 • -7) + (-3 • 4) + (-3 • -5) + (- 3 • 6) + (-3 • -7) + (4 • -5) + (4 • 6) + (4 • -7) + (-5 • 6) + (-5 • -7) + (6 • -7) = (-195 / 3)

(X1 • X2 • X3) + (X1 • X2 • X4) + (X1 • X2 • X5) + (X1 • X2 • X6) + (X1 • X3 • X4) + (X1 • X3 • X5) + (X1 • X3 • X6) + (X1 • X4 • X5) + (X1 • X4 • X6) + (X1 • X5 • X6) + (X2 • X3 • X4) + (X2 • X3 • X5) + (X2 • X3 • X6) + (X2 • X4 • X5) + (X2 • X4 • X6) + (X2 • X5 • X6) + (X3 • X4 • X5) + (X3 • X4 • X6) + (X3 • X5 • X6 ) + (X4 • X5 • X6) = — (d / a)

(2 • -3 • 4) + (2 • -3 • -5) + (2 • -3 • 6) + (2 • -3 • -7) + (2 • 4 • -5) + (2 • 4 • 6) + (2 • 4 • -7) + (2 • -5 • 6) + (2 • -5 • -7) + (2 • 6 • -7) + (-3 • 4 • -5 ) + (-3 • 4 • 6) + (-3 • 4 • -7) + (-3 • -5 • 6) + (-3 • -5 • -7) + (-3 • 6 • -7 ) + (4 • -5 • 6) + (4 • -5 • -7) + (4 • 6 • -7) + (-5 • 6 • -7) = — (- 405/3)

(X1 • X2 • X3 • X4) + (X1 • X2 • X3 • X5) + (X1 • X2 • X3 • X6) + (X1 • X2 • X4 • X5) + (X1 • X2 • X4 • X6) + (X1 • X2 • X5 • X6) + (X1 • X3 • X4 • X5) + (X1 • X3 • X4 • X6) + (X1 • X3 • X5 • X6) + (X1 • X4 • X5 • X6) + (X2 • X3 • X4 • X5) + (X2 • X3 • X4 • X6) + (X2 • X3 • X5 • X6) + (X2 • X4 • X5 • X6) + (X3 • X4 • X5 • X6) = (э / а)

(2 • -3 • 4 • -5) + (2 • -3 • 4 • 6) + (2 • -3 • 4 • -7) + (2 • -3 • -5 • 6) + (2 • -3 • -5 • -7) + (2 • -3 • 6 • -7) + (2 • 4 • -5 • 6) + (2 • 4 • -5 • -7) + (2 • 4 • 6 • -7) +

(2 • -5 • 6 • -7) + (-3 • 4 • -5 • 6) + (-3 • 4 • -5 • -7) + (-3 • 4 • 6 • -7) + ( -3 • -5 • 6 • -7) + (4 • -5 • 6 • -7) = (3,432 / 3)

(X1 • X2 • X3 • X4 • X5) + (X1 • X2 • X3 • X4 • X6) + (X1 • X2 • X3 • X5 • X6) + (X1 • X2 • X4 • X5 • X6) + (X1 • X3 • X4 • X5 • X6) + (X2 • X3 • X4 • X5 • X6) = — (f / a)

(2 • -3 • 4 • -5 • 6) + (2 • -3 • 4 • -5 • -7) + (2 • -3 • 4 • 6 • -7) + (2 • -3 • — 5 • 6 • -7) + (2 • 4 • -5 • 6 • -7) + (-3 • 4 • -5 • 6 • -7) = — (3,636 / 3)

(X1 • X2 • X3 • X4 • X5 • X6) = (г / год)

(2 • -3 • 4 • -5 • 6 • -7) = (-15,120 / 3)

• • • • • • • • • •

Если вам нужно определить формулы Виета для других уравнений, следующая информация может оказаться очень полезной.

Квадратичные уравнения (многочлены второй степени)

Левая часть уравнения	Правая сторона
Сумма двух корней =	— (b / a)	Произведение 2 корней =	(c / a)

Кубические уравнения (многочлены третьей степени)

Сумма всех трех корней =	— (b / a)
C (3, 2) Сумма 3 возможных 2-членных произведений =	(c / a)
Произведение всех 3-х корней =	— (d / a)

Уравнения четвертой степени (многочлены четвертой степени)

Сумма всех 4 корней =	— (b / a)
C (4, 2) Сумма 6 возможных двухчленных произведений =	(c / a)
C (4, 3) Сумма 4 возможных трехчленных произведений =	— (d / a)
Произведение всех 4 корней =	(e / a)

Уравнения пятой степени (многочлены пятой степени)

Сумма всех 5 корней =	— (b / a)
C (5, 2) Сумма 10 возможных двухчленных произведений =	(c / a)
C (5, 3) Сумма 10 возможных трехчленных произведений =	— (d / a)
C (5, 4) Сумма 5 возможных 4-членных произведений =	(e / a)
Произведение всех 5 корней =	— (f / a)

Шестические уравнения (полиномы шестой степени)

Сумма всех 6 корней =	— (b / a)
C (6, 2) Сумма 15 возможных двухчленных произведений =	(c / a)
C (6, 3) Сумма 20 возможных трехчленных произведений =	— (d / a)
C (6, 4) Сумма 15 возможных 4-членных произведений =	(e / a)
C (6, 4) Сумма 6 возможных 5-членных произведений =	— (ж / д)
Произведение всех 6 корней =	(г / г)

% PDF-1. 5
%
114 0 объект
>
эндобдж

xref
114 123
0000000016 00000 н.
0000003426 00000 н.
0000003743 00000 н.
0000003878 00000 н.
0000003968 00000 н.
0000004124 00000 н.
0000004745 00000 н.
0000005037 00000 н.
0000005258 00000 н.
0000005603 00000 п.
0000005838 00000 н.
0000005991 00000 н.
0000006119 00000 п.
0000006286 00000 н.
0000006444 00000 н.
0000007082 00000 н.
0000007349 00000 п.
0000007589 00000 н.
0000007726 00000 н.
0000008134 00000 п.
0000008161 00000 п.
0000008333 00000 п.
0000008986 00000 н.
0000009043 00000 н.
0000009095 00000 н.
0000009780 00000 н.
0000010404 00000 п.
0000011040 00000 п.
0000011657 00000 п.
0000011718 00000 п.
0000012189 00000 п.
0000012677 00000 п.
0000013276 00000 п.
0000013796 00000 п.
0000014091 00000 п.
0000014226 00000 п.
0000014319 00000 п.
0000514721 00000 н.
0000514979 00000 н.
0000516151 00000 н.
0000516846 00000 н.
0000930428 00000 п.
0000930695 00000 п.
0000931872 00000 н.
0000931923 00000 н.
0000931958 00000 н.
0000932013 00000 н.
0000932058 00000 н.
0000932562 00000 н.
0000933192 00000 п.
0000933229 00000 н.
0000933266 00000 н.
0000941903 00000 п.
0000942026 00000 н.
0000942279 00000 п.
0000942643 00000 п.
0000942809 00000 п.
0001015291 00000 п.
0001015361 00000 п.
0001015524 00000 п.
0001015576 00000 п.
0001015822 00000 п.
0001015935 00000 п.
0001016118 00000 п.
0001016188 00000 п.
0001032167 00000 п.
0001032394 00000 п.
0001032574 00000 п.
0001032727 00000 н.
0001032754 00000 п.
0001033155 00000 п.
0001033279 00000 п.
0001033349 00000 п.
0001035671 00000 п.
0001035911 00000 п.
0001035955 00000 п.
0001036119 00000 п.
0001036146 00000 п.
0001036216 00000 п.
0001084639 00000 п.
0001084883 00000 п.
0001085076 00000 п.
0001085233 00000 п.
0001085260 00000 п.
0001085653 00000 п.
0001085723 00000 п.
0001140693 00000 п.
0001140932 00000 п.
0001141211 00000 п.
0001141363 00000 п.
0001141390 00000 п.
0001141767 00000 п.
0001141993 00000 п.
0001142212 00000 п.
0001142446 00000 п.
0001142469 00000 п.
0001143010 00000 п.
0001143550 00000 п.
0001144292 00000 п.
0001145464 00000 п.
0001145508 00000 п.
0001145543 00000 п.
0001146278 00000 п.
0001146932 00000 п.
0001146976 00000 п.
0001147011 00000 п.
0001147419 00000 п.
0001148152 00000 п.
0001149324 00000 п.
0001149368 00000 п.
0001149403 00000 п.
0001150093 00000 п.
0001150468 00000 п.
0001150891 00000 п.
0001151432 00000 п.
0001152089 00000 п.
0001152835 00000 п.
0001153410 00000 п.
0001154105 00000 п.
0001155277 00000 п.
0001155321 00000 п.
0001155356 00000 п.
0000002756 00000 н.
трейлер
] / Назад 1239313 >>
startxref
0
%% EOF

236 0 объект
> поток
h ޜ R] HQ ~ мес? Q
r3.»Z & ʘ. Pe (~ R # ulX.TсZ {`? 5m_ 㺌 (MU_ & ~ 5y1) QsupMta6lXͲ
Pwa {.dc

(PDF) Формула Виета о сумме корней многочленов

Формула Виета о сумме корней многочленов 91

(30) Рассмотрим алгебраическое замкнутое поле L и ненулевые многочлены

p, qover L. Предположим, что len p2. Тогда SumRoots (p ∗ q) = SumRoots (p) +

SumRoots (q).

Доказательство: Определите P [натуральное число] ≡ для любого ненулевого многочлена f

над L, такого что $ 1 = len удерживает SumRoots (f ∗ q) = SumRoots (f) +

SumRoots (q).П [2]. Для любого нетривиального натурального числа k, такого что P [k]

, выполняется P [k + 1] согласно [6, (29)], [1, (11)], [8, (17), (50)]. Для любого нетривиального

натурального числа k, P [k] из [6, Sch. 2]. 

(31) Рассмотрим алгебраическую замкнутую область целостности L, ненулевой многочлен

mial pover L и конечную последовательность r элементов L. Предположим, что ris от единицы к

единица и len r = len p − 01 и Roots (p) = rng r. Тогда Pr = SumRoots (p).

Доказательство: Установить B = BRoots (p).Установите s = support B. Установите L1 = len r7 → 1.

Рассмотрим f как конечную последовательность элементов N, такую, что степень (B) =

Pf и f = B · CFS (s). Рассмотрим E = CFS (s) как конечную последовательность из

элементов L. Для каждого натурального числа j, такого что j∈Seg len, имеет

f (j) L1 (j) согласно [8, (52)], [ 4, (12)], [3, (57)]. Для любого натурального числа j

такого, что 1 ¬j¬len Eholds (B (++) E) (j) = E (j) согласно [5, (83)], [3, (57)],

[9, (13)]. 

(32) Формула Виета о сумме корней:

Рассмотрим алгебраическое замкнутое поле L и ненулевой многочлен p

над L.Предположим, что len p2. Тогда SumRoots (p) = −p (len p − 02)

p (len p − 01).

Доказательство: Определите P [натуральное число] ≡для каждого ненулевого многочлена pover

L, например, что $ 1 = len pholds SumRoots (p) = −p (1−02 доллара)

p (1−01 доллар) .P [2 ] согласно (6), [7,

(38)], (27). Для любого нетривиального натурального числа k, такого что P [k] имеет место

P [k + 1] согласно [6, (29)], [1, (11)], [8, (17)], [10, (5 )]. Для любого нетривиального

натурального числа k, P [k] из [6, Sch. 2]. 

Ссылки

[1] Grzegorz Bancerek.Основные свойства натуральных чисел. Formalized Mathe —

matics, 1 (1): 41–46, 1990.

[2] Гжегож Банцерек, Чеслав Былинский, Адам Грабовски, Артур Корнилович, Роман Ма-

Тушевский, Адам Наумович и Хосе Пумович Городской. Mizar: по последнему слову техники и

за его пределами. Манфред Кербер, Жак Каретт, Сезари Калишик, Флориан Рабе и Том

Кер Зорге, редакторы, Интеллектуальная компьютерная математика, том 9150 конспектов лекций в журнале

Компьютерные науки, страницы 261–279.Springer International Publishing, 2015. ISBN 978-3-

319-20614-1. DOI: 10.1007 / 978-3-319-20615-8 17.

[3] Чеслав Былиньски. Конечные последовательности и наборы элементов непустых множеств. Формализованный

Математика, 1 (3): 529–536, 1990.

[4] Чеслав Былиньский. Функции и их основные свойства. Формализованная математика, 1 (1):

55–65, 1990.

[5] Чеслав Былинский. Сумма и произведение конечных последовательностей действительных чисел.