Наибольший общий делитель, Наименьшее общее кратное

Наибольший общий делитель

Общим делителем нескольких чисел называется число, служащее делителем  для каждого из них. Например, числа 12, 18, 30 имеют общий делитель 3; число 2 — тоже их общий делитель. Среди всех общих делителей всегда имеется наибольший, в нашем примере — число 6. Это число называется наибольшим общим делителем (НОД).

Примеры. Для чисел 16, 20, 28 НОД есть 4; для чисел 5, 30, 60, 90 НОД есть 5.

Пример 1. Найти НОД чисел 252, 441, 1080. Разлагаем на простые множители

252 = 2² · 3²-7;  441 = 3² · 7²; 1080 = 2³ · З² · 5.

Общим для чисел является только простой множитель 3; наименьший из показателей, с которыми он входит в данные числа, есть 2. НОД равен З² = 9.

Пример 2. Найти НОД чисел 234, 1080, 8100.

234 = 2 · З²-13; 1080 = 2³ · З² · 5;   8100 = 2² · З⁴ · 5².     НОД = 2 · 3² = 18.

Может случиться так, что простых множителей, общих для всех данных чисел, не будет вовсе. Тогда наибольший общий делитель есть 1. Например, для чисел 15 = 3 · 5, 10 = 2 · 5, 6 = 2 · 3 НОД = 1.  Два числа, НОД которых равен 1, называются взаимно простыми. Например, 15 и 22 взаимно простые числа.

Наименьшее общее кратное

Общим кратным нескольких чисел называется число, служащее кратным  для каждого из них. Например, числа 15, 6, 10 имеют общее кратное 180; число 90 — также общее кратное этих чисел. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае число 30. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК). Для небольших чисел НОК находится легко по догадке. Если числа большие, поступаем так: разлагаем данные числа на простые множители; выписываем все простые множители, входящие хотя бы в одно из данных чисел; каждый из
взятых множителей возводим в наибольшую из тех степеней, с которыми он входит в данные числа. Производим умножение.

Пример 1. Найти НОК чисел 252, 441, 1080.

Разлагаем на простые множители: 252 = 2² · З² · 7;  441 = З² · 7²; 1080 = 2³ · З³ · 5. Перемножаем 2³ · З³ · 7² х 5. НОК = 52 920.

Пример 2. Найти НОК чисел 234, 1080, 8100               НОК = 2³ · З⁴ · 5² · 13 = 210 600.

Наибольший общий делитель — это… Что такое Наибольший общий делитель?

Наибольший общий делитель

        двух или нескольких натуральных чисел — наибольшее из чисел, на которые делится каждое из данных чисел. Например, Н. о. д. 45 и 72 есть 9, Н. о. д. 60, 84, 96 и 120 есть 12. Н. о. д. пользуются при сокращении дробей: наибольшее число, на которое могут быть сокращены числитель и знаменатель дроби, — их Н. о. д. Если известны разложения заданных чисел на простые множители, то для получения Н. о. д. этих чисел нужно составить произведение тех множителей, которые входят одновременно во все разложения, взяв каждый наименьшее число раз, какое он встречается. Так, 60 = 2․2․3․5, 72 = 2․2․2․3․3 и 252 = 2․2․3․3․7; поэтому Н. о. д. 60, 72 и 252 есть 2․2․З = 12. Общим приёмом отыскания Н. о. д. двух чисел является способ последовательного деления, указанный ещё в 3 в. до н. э. Евклидом (Евклида алгоритм). Он заключается в том, что большее из двух данных чисел делят на меньшее, затем меньшее — на остаток от первого деления, остаток от первого деления — на остаток от второго деления и т.д., до тех пор, пока не дойдут до остатка, равного нулю. Последний, отличный от нуля, остаток и будет Н. о. д. данных чисел. Например, чтобы найти Н. о. д. 3542 и 2464, выполняют последовательные деления: 3542 = 2464․1 + 1078, 2464 = 1078․2 + 308, 1078 = 308․3 + 154, 308 = 154․2. В остатке при последнем делении — нуль; следовательно, Н. о. д. 3542 и 2464 равен предпоследнему остатку, то есть 154. Если Н. о. д. двух чисел равен единице, то эти числа называют взаимно простыми. Н. о. д. d двух чисел а и b и Наименьшее общее кратное m этих чисел связаны соотношением dm = ab.

         Понятие Н. о. д. применимо не только к числам. Так, например, Н. о. д. двух или нескольких многочленов есть многочлен наивысшей степени, на который делится каждый из данных. Для нахождения Н. о. д. многочленов применяются приёмы, совершенно аналогичные указанным выше для чисел (в частности, алгоритм Евклида).

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
1969—1978.

• Наибольшее и наименьшее значения функции
• Наигрыш

Смотреть что такое «Наибольший общий делитель» в других словарях:

• НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ — наибольшее из целых положительных чисел, на которое делится без остатка каждое из данных целых чисел. Напр., наибольший общий делитель 60, 84 и 96 есть 12 …   Большой Энциклопедический словарь

• наибольший общий делитель — НОД — [[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23]] Тематики защита информации Синонимы НОД EN greatest common divisorgcd …   Справочник технического переводчика

• Наибольший общий делитель — Наибольшим общим делителем (НОД) для двух целых чисел m и n называется наибольший из их общих делителей.[1] Пример: для чисел 70 и 105 наибольший общий делитель равен 35. Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы… …   Википедия

• наибольший общий делитель — наибольшее из целых положительных чисел, на которое делится без остатка каждое из данных целых чисел. Например, наибольший общий делитель 60, 84 и 96 есть 12. * * * НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ, наибольшее из целых… …   Энциклопедический словарь

• НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ — наибольший из общих делителей целых, в частности натуральных, чисел . Если данные числа не все равны нулю, то такой делитель существует. Н. о. д. чисел обычно обозначают символом Свойства Н. о. д.: 1) Н. о. д. чисел делится на любой общий… …   Математическая энциклопедия

• НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ — наибольшее из целых положит. чисел, на к рое делится без остатка каждое из данных целых чисел. Напр., И.о. д. 60, 84 и 96 есть 12 …   Естествознание. Энциклопедический словарь

• Делитель (значения) — Делитель (математика) Наибольший общий делитель Делитель нуля в абстрактной алгебре Делитель единицы Делитель напряжения Делитель тока Делитель мощности Делитель комбинационное логическое устройство в электронике Делитель потока дроссельный или… …   Википедия

• ДЕЛИТЕЛЬ — ДЕЛИТЕЛЬ, я, муж. Число или величина, на к рую делится делимое. Наибольший общий д. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

• наибольший — ▲ самый ↑ большой наибольший самый большой (# общий делитель). наивысший. высший. максимальный …   Идеографический словарь русского языка

• ОБЩИЙ — общая, общее (кратк. формы общ, обща, обще книжн., мало употр.). 1. Коллективный, совместный с другими, принадлежащий всем. «…Национальная общность немыслима без общего языка…» Сталин. Общее мнение. Общее решение. Общее дело. Общая кухня. Общая… …   Толковый словарь Ушакова

Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное

1. «НОД и НОК»

2. Повтори правила

НОД – наибольший
общий делитель –
это наибольшее
число, делящее
каждое из данных
чисел.
НОД
НОК – наименьшее
общее кратное –
это наименьшее
число, делящееся
на каждое из данных
чисел.
НОК
Разложить
на простые
Разложение
на
множители
– представить
простые
число в виде произведения
множители
простых множителей.

3. Разложение чисел на простые множители

12
6
3
1
2
2
3
12 = 2●2●3
12 = 22●3
3276
2
1638
2
819
3
273
3
91
7
13 13
1
3276 = 2●2●3●3●7●13
3276 = 22 ●32●7●13

4. Разложение чисел на простые множители

220 2●5
22 2
11 11
1
220 = 22●5●11
8000
8
4
2
1
2 ●5 ●2 ●5 ●2 ●5
2
2
2
8000 = 26●53

5. Разложи числа на простые множители:

16, 18, 72, 150
Проверь
себя!
16 = 24
18 = 2●32
72 = 23●32
150 = 2●3●52

6. Нахождение наибольшего общего делителя (НОД) чисел 24 и 36.

24
12
6
3
1
22
22
2
33
НОД(24; 36) =
24 = 23●3
36
18
9
3
1
2
2
3
3
= 12
36 = 22●32
НОД(24; 36) = 22●3 = 12
К последнему
слайду
Алгоритм нахождения
наибольшего общего делителя
1. Разложить данные числа на простые
множители.
2. Выписать все простые множители, которые
одновременно входят в каждое из полученных
разложений.
Т. е. каждый множитель взять с наименьшим
из показателей степени, с которым он входит
в разложения данных чисел.
3. Составить произведение из этих множителей
и вычислить его.
К последнему
слайду
Вычисли:
НОД(16; 12), НОД(30; 45)
Проверь
себя!
НОД(16; 12) = 4
НОД(30; 45) = 15

9. Нахождение наименьшего общего кратного (НОК) чисел 24 и 36.

24
12
6
3
1
22
22
2
33
36
18
9
3
1
2
2
3
3
НОК (24; 36) = 2●2●2●3 ●3 = 72
24 = 23●3
36 = 22●32
НОК (24; 36) = 23●32 = 72
К последнему
слайду
Алгоритм нахождения
наименьшего общего кратного
1. Разложить данные числа на простые
множители.
2. Выписать все простые множители одного
числа и добавить те простые множители
другого числа, которые не входят в
разложение первого числа.
Т. е. каждое из выписанных простых чисел
взять с наибольшим из показателей степени,
с которым оно входит в разложения данных
чисел.
3. Составить произведение из этих
множителей и вычислить его.
К последнему
слайду
Вычисли:
НОК(18; 12), НОК(15; 10)
Проверь
себя!
НОК(18; 12) = 36
НОК(15; 10) = 30

12. Я знаю…

Я умею…
… алгоритм
нахождения
наибольшего
общего делителя
… находить
наибольший
общий делитель
… алгоритм
нахождения
наименьшего
общего кратного
У меня
получится…
… находить
наименьшее
общее кратное
тест
Выход

13. Тест

У
Верно!
Ответы
12
6
Н
4
Верно!
Ответы
20
:
16
Ц
32
Верно!
Ответы
24
12
М
Верно!
Ответы
:
:
72
15
:
90
И
60
Верно!
Ответы
375
:
5
А
75
Верно!
Ответы
16
48
:
72
К последнему
слайду

14. Домашнее задание

• № 168

Функция НОД (наибольший общий делитель) VBA

Ниже представлен аналог встроенной в Excel 2007 функции НОД (наибольший общий делитель), реализованный средствами VBA в Excel

В прикреплённом файле обратите внимание на формулы в синих и зелёных ячейках — как видите, результаты работы функций (встроенной, и пользовательской) полностью совпадают.

Использовать VBA-аналог функции НОД можно по-разному — как задавая в качестве параметра непрерывный диапазон ячеек, так и перечисляя значения (или ссылки на ячейки) через точку с запятой:

=NOD(A3:B4;B5:C6;B8)
=NOD(A4;B4;72)
=NOD(8;12;2;;6)
=NOD(A6:B7;B9:C10)
=NOD(A8:D8)
=NOD(A9;B11:C13)
=NOD(A9:B10;B11:C12;B14)
=NOD(B6;A6;B10;D10)

Внимание! Функция НОД появилась только в Excel 2007 — поэтому при открытии примера в Excel 2003 (и более ранних версиях) будет работать только пользовательская функция, а встроенная выдаст ошибку #ИМЯ!

Function NOD(ParamArray args() As Variant)
    ' в качестве параметра получает список диапазонов ячеек произвольного размера
    ' возвращает НОД (наибольший общий делитель) чисел из диапазонов-аргументов
    ' По сути, является аналогом функции НОД из Excel2007

    Application.Volatile True    ' автопересчёт при изменениях на листе
    Dim ra As Range, cell As Range: On Error Resume Next
    Dim coll As New Collection    ' коллекция для уникальных чисел из списка параметров

    For Index = LBound(args) To UBound(args)    ' перебираем все диапазоны ячеек
        If Not IsMissing(args(Index)) Then    ' если очередной аргумент присутствует

            If TypeName(args(Index)) = "Range" Then    ' если аргумент - диапазон ячеек
                For Each cell In args(Index).Cells    ' перебираем все ячейки в диапазоне
                    num = Fix(Val(cell.Value))    ' отбрасываем дробную часть числа, если не ноль
                    If num > 0 Then coll.Add num, CStr(num)    ' добавляем в коллекцию
                    ' если в ячейке - не число, то возвращаем ошибку #ЗНАЧ!
                    If Not IsNumeric(cell.Value) Then NOD = CVErr(1): Exit Function
                    If num < 0 Then NOD = CVErr(2036): Exit Function    ' возвращаем ошибку #ЧИСЛО!
                Next cell
 
            ElseIf IsNumeric(args(Index)) Then    ' если аргумент - число
                num = Fix(Val(args(Index)))    ' отбрасываем дробную часть числа
                If num > 0 Then coll.Add num, CStr(num)    ' добавляем в коллекцию, если не ноль
                ' если аргумент - не число, то возвращаем ошибку #ЗНАЧ!
                If Not IsNumeric(args(Index)) Then NOD = CVErr(1): Exit Function
                If num < 0 Then NOD = CVErr(2036): Exit Function    ' возвращаем ошибку #ЧИСЛО!
            End If
        End If
    Next Index
 
    ' алгоритм взят отсюда:   programmersforum.ru/showpost.php?p=178157&postcount=17
    Dim G As Long: G = coll(1): NOD = G
    If coll.Count = 1 Then Exit Function
    For i = 2 To coll.Count
        G = GCD(IIf(G < coll(i), G, coll(i)), IIf(G < coll(i), coll(i), G))
    Next
    NOD = G
End Function
 
Function GCD(a As Long, b As Long) As Long
    ' используется рекурсивный вызов
    Dim d As Long
    d = b Mod a
    If d = 0 Then GCD = a Else GCD = GCD(d, a)
End Function

Калькулятор НОД — Как Найти Наибольший Общий Делитель

Онлайн калькулятор нод помогает вычислить наибольший общий множитель (GCF), GCD и HCF для набора из двух или n чисел в соответствии с различными методами нод. Этот калькулятор наибольшего общего множителя позволяет выполнять пошаговые вычисления наибольшего общего множителя.

Прочтите полностью, чтобы узнать, как найти нод наибольший общий множитель (нод) с помощью различных методов расчета (шаг за шагом) и калькулятора, формул для каждого метода и некоторых других терминов, связанных с нод.

Но давайте начнем с основного определения наибольшего общего фактора.

Читать дальше!

Что такое наибольший общий фактор (нод)?

В математике наибольший общий множитель, также известный как наибольший общий знаменатель, помогает определить наибольшее целое число, которое делится на каждое из целых чисел или дает нулевой остаток. Наивысший общий множитель (HCF) или наибольший общий делитель (HCD) полезен в математике, где необходимо определить общие множители многочленов.
Итак, просто запишите этот калькулятор нод, который позволяет вам вычислить наибольший общий делитель ваших математических задач.

Когда дело доходит до вычислений частного и остатка, вы можете попробовать этот бесплатный калькулятор частного и остатка, который помогает разделить два числа, чтобы мгновенно найти частное с остатком. Кроме того, используйте простой, но точный калькулятор модулей, который позволяет найти результат любой операции модуля между целыми числами.

как найти нод наибольший общий фактор разными методами шаг за шагом?

Теперь мы обсудим четыре различных метода расчета нод калькулятор с их расчетами вручную. Этот онлайн-поисковик нод использует следующие формулы, чтобы найти наибольший общий коэффициент для данного набора данных.

Найти нод по факторам листинга:

Наибольший общий множитель можно вычислить, перечислив все множители заданных целых чисел. Затем перечислите общие множители всех целых чисел, нод- это наибольшее число в списке.

Найти нод методом факторизации на простые числа:

Другой способ найти нод данного набора данных – это метод простой факторизации. Чтобы найти нод методом разложения на простые множители, запишите все простые множители каждого числа. Вы также можете использовать наш онлайн-калькулятор на разложение на простые множители, который вычисляет простые множители любого числа и сообщает вам, является ли число простым или нет. Затем перечислите числа, общие для каждого целого числа. Умножьте эти общие множители, чтобы получить наибольший общий множитель (HCF) целых чисел.

Найти нод по алгоритму Евклида:

Другой способ найти gcd – использовать алгоритм Евклида. Этот метод более эффективен, чем метод разложения на простые множители. Этот калькулятор нод использует следующие точки для определения наибольшего общего делителя в соответствии с этим методом:

• Из полученных двух чисел вычтите меньшее из большего числа.
• Затем вычтите меньшее число из результата.
• Повторяйте процесс, пока результат не станет меньше исходного меньшего числа.
• Считайте малое число большим числом, вычтите результат предыдущего шага из нового большого числа.
• Повторяйте процесс, пока не дойдете до нуля.
• Когда результат равен нулю, нод  чисел – это число, которое вы нашли до нулевого результата.

Найдите нод по двоичному алгоритму Штейна:

Последний метод определения нод целых чисел, используемый этим нод калькулятор, – это двоичный алгоритм Штейна. В этом двоичном алгоритме Штейна или двоичном алгоритме НОД вы просто используете сравнение, вычитание и деление на 2. Этот метод нахождения наибольшего общего делителя состоит из:

• Отсортируйте все числа / целые числа в порядке возрастания.
• Предположим, что начальный нод равен 1.
• Разделите все четные числа на 2.
• Отсортируйте значения в порядке возрастания и удалите, если возникнет дублирование.
• Вычтите первое число из оставшихся чисел и разделите на 2.
• Повторяйте эти шаги, пока не получите одно значение.

Каковы свойства наибольшего общего фактора (нод)?

Ниже рассматриваются различные свойства наибольшего общего фактора.

• Если соотношение между двумя числами (a, b) является целым числом, то нод (a, b) = b.
• нод числа с 0 всегда равно 0 i; е нод (а, 0) = 0.
• нод числа с 1 всегда равно 1 i; е нод  (а, 1) = 1.
• Если числа взаимно просты, то нод будет 1.
• Все общие делители чисел также являются делителями нод числа

Что ж, просто используйте этот лучший онлайн-калькулятор LCM, чтобы шаг за шагом найти наименьшее общее кратное (lcm) чисел от 2 до n, соответствующих различным методам расчета LCM.

Что такое нод номера Coprime?

Простые числа имеют 2 положительных множителя, в то время как взаимно простые числа можно определить как «числа, не имеющие общих делителей». Наивысший общий множитель (HCF) взаимно простых чисел равен 1.

Например; 5,7,35,48,23156 и т. Д.

О поиске наибольшего общего фактора:

Этот простой онлайн калькулятор нод поможет вам найти наибольший общий множитель (hcf) или наибольший общий знаменатель (gcd) двух или n чисел. Этот искатель нод помогает вычислить нод (наибольший общий коэффициент) шаг за шагом, используя следующие методы:

• Нет (простой метод)
• Метод листинговых факторов.
• Метод первичной факторизации.
• Евклидов алгоритм.
• Бинарный алгоритм Штейна.

Как найти нод (наибольший общий коэффициент) с помощью нод finder:

Находить наибольшее общее кратное чисел стало очень легко с помощью точного и бесплатного нод калькулятор. Просто придерживайтесь следующих пунктов, чтобы найти наиболее общий фактор:

Проведите по!

Входы:

Прежде всего, вы должны ввести числа, для которых вы хотите вычислить наибольший общий множитель (нод).
Затем выберите метод нод калькулятор из раскрывающегося списка этого калькулятор нод. Это может быть «Нет (простой)»,

«Факторы листинга», «Факторизация на простые множители», «алгоритм Евклида» или «бинарный алгоритм Штейна».

Наконец, нажмите кнопку «нод».

Выходы:

Как только вы заполните все поля этого  калькулятора наибольший общий делитель, он покажет вам,

Наибольший общий коэффициент (нод) чисел в соответствии с выбранным методом.
Выполните пошаговые расчеты для выбранного метода.

Реальный пример нод:

В отрасли работает 500 сотрудников, если 280 мужчин, то найдите наибольшее количество групп, которое можно создать, если в каждой группе будет равное количество мальчиков и в каждой группе будет одинаковое количество женщин.
В таком состоянии ответить очень сложно. Итак, для определения ответа полезен наибольший общий фактор.

Часто задаваемые вопросы (FAQ):

Что такое нод12 и 18?

Поскольку наибольшее число, которое точно делит числа, является наибольшим общим делителем. Итак, 6 – это наибольшее число, которое точно делит 12 и 18. Следовательно, 6 – это наибольший общий делитель (нод) 12 и 18.

Что такое нод для 16 и 12?

Простые множители 12 = 2,2,3

Простые множители 16 = 2,2,2,2

Общие факторы = 2 * 2

Итак, hcf 12 и 16 равно 4.

Что такое нод 12 и 4?

Мы можем вычислить hcf для 12 и 4 методом перечисления факторов:

Множители 12 = 1,2,3,4,6,12

Множители 4 = 1,2,4

Список всех общих факторов = 1,2,4

Наибольшее число общих множителей равно 4. Таким образом, наибольший общий делитель 12 и 4 равен 4.

Что такое нод 18 и 24?

Мы можем найти нод 18 и 24 методом разложения на простые множители как:

Простые множители 18 = 2,3,3

Простые множители 24 = 2,2,2,3

Общие факторы = 2 * 3

Итак, нод 18 и 24 равно 6.

Что такое HCF 24 16 и 36?

Простые множители 16 = 2,2,2,2

Простые множители 24 = 2,2,2,3

Простые множители 36 = 2,2,3,3

Общие простые множители = 2 * 2

Таким образом, hcf 16, 24 и 36 равняется 4.

Как найти НОД двух чисел в Excel?

Вы можете найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел в Excel с помощью функции НОД. Синтаксис функции GCD в Excel выглядит так:

= НОД (число1; число2)

Подведение итогов:

Наибольший общий множитель полезен в реальных жизненных задачах и в различных приложениях математики, например, для определения общих множителей полиномов. Таким образом, этот онлайн калькулятор нод позволяет вам найти наибольший общий фактор данной проблемы.

Other Languages: GCF Calculator, Kalkulator FPB, EBOB Hesaplama, MDC Calculadora, NWD Kalkulator, GGT Rechner, NSD kalkulačka, 最大公約数 計算, 최대공약수계산자, Største Felles Faktor Kalkulator, Calcul PGCD

наименьшее общее кратное алгоритм нахождения наименьшего общего кратного cвязь между наибольшим общим делителем и наименьшим общим кратным двух натуральных чисел

Наименьшее общее кратное

Содержание

Общее кратное. Наименьшее общее кратное

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если натуральное число   a   делится на натуральное число   b ,  то число   a   называют кратным числу   b .  

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Общим кратным нескольких натуральных чисел называют натуральное число, которое является кратным для каждого из этих чисел.

В частности, общим кратным нескольких чисел является произведение этих чисел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Наименьшее из общих кратных нескольких натуральных чисел называют наименьшим общим кратным (НОК) этих чисел.

Алгоритм нахождения наименьшего общего кратного

Рассмотрим алгоритм нахождения наименьшего общего кратного нескольких чисел на следующем примере.

ПРИМЕР. Найти наименьшее общее кратное чисел   100 ,  750   и   800 .

      РЕШЕНИЕ. Разложим эти числа на простые множители:

Простой множитель   2   в первое разложение на множители входит в степени   2 ,   во второе разложение – в степени   1 ,   в третье разложение – в степени   5 .   Обозначим наибольшую из этих степеней буквой   k .   Очевидно, что   k = 5 .

Простой множитель   3   в первое разложение на множители входит в степени   0   (другими словами, множитель   3   в первое разложение на множители вообще не входит), во второе разложение входит в степени   1 ,   в третье разложение – в степени   0 .   Обозначим наибольшую из этих степеней буквой   l .   Очевидно, что   l = 1 .

Простой множитель   5   в первое разложение на множители входит в степени   2 ,   во второе разложение – в степени   3 ,   в третье разложение – в степени   2 .   Обозначим наибольшую из этих степеней буквой   m . Очевидно, что   m = 3 .

Теперь рассмотрим число:

то число и есть наименьшее общее кратное чисел   100 ,  750   и   800 .

ОТВЕТ:   12000 .

Связь между наибольшим общим делителем и наименьшим общим кратным двух натуральных чисел

УТВЕРЖДЕНИЕ. Наименьшее общее кратное двух чисел можно найти, разделив произведение этих чисел на их наибольший общий делитель.

Действительно, рассмотрим, например, два числа:   10   и   75 .   Разлагая эти числа на простые множители, получим

Используя алгоритмы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел, получаем, что наибольший общий делитель этих чисел равен   5 ,   а наименьшее общее кратное этих чисел равно   150 .   Поскольку произведение чисел   10   и   75   равно   750 ,   то справедливо соотношение

что и требовалось показать.

ЗАМЕЧАНИЕ. Поскольку наибольший общий делитель двух взаимно простых чисел равен   1 ,   то наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно их произведению.

«Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное»

Делимость натуральных чиел.

Школа: КГУ СОШ № 30

Дата: 12.10.2017 год

ФИО учителя: Домбровская С.П.

класс: 5В

Участвовали:

Не участвовали:

Тема урока

Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное.

Цели обучения, достигаемые на этом уроке

5.1.2.12 Находить НОД и НОК двух и более чисел.

Цель урока

1. Применять алгоритм нахождения НОД и НОК при выполнении заданий.

2. Находить НОД и НОК чисел, представленных в виде произведения степеней простых множителей.

Критерии оценивания

Учащийся: 1) определяет НОД натуральных чисел;

2) определяет НОК натуральных чисел.

Языковые задачи

Учащиеся грамотно используют: а) лексику и термины: наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, простые и составные числа, делитель, кратное, взаимно простые числа; б) фразы в диалоге и письме: разложить число на простые множители, найти наибольший общий делитель или наименьшее общее кратное, делают записи НОД(15, 25) = 5, НОК(15, 25)= 75.

Воспитание ценностей

Культура группового взаимодействия, открытость, толерантность.

Привитие ценностей происходит через индивидуальную, парную и групповую работу.

Межпредметная связь

Взаимосвязь с предметами: история, русский язык, естествознание.

Предыдущие знания

Делители и кратные, простые и составные чила, признаки делимости; степень числа; разложение составного числа на простые множители, нахождение НОД и НОК двух или нескольких чисел.

Ход урока

Запланированные этапы урока

Виды упражнений, запланированных на урок:

Ресурсы

Организационный момент

1 мин

Позитивный настрой 1 мин

Проверка домашнего задания 2 мин

Актуализация знаний

5 минут

Приветствует учащихся.

Проверка подготовки учащихся к уроку.

Позитивный настрой: «Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе». (М.И. Калинин)

Самопроверка правильного решения домашнего задания

ФО: Большой палец.

1) Индивидуальная работа. Найдите ошибку.

ФО: Словесное оценивание.

2) Парная работа. АБВГДейка. Как хорошо уметь писать. А лучше — уметь писать грамотно. Вставьте пропущенные буквы в следующие математические термины.

Для активизации познавательной деятельности учащимся предлагается следующее задание:

МАТ__МАТИКА, Д__ЛИМОЕ, ЧАС__НОЕ, __СТАТОК, МНОЖ__ТЕЛЬ, ПР__ИЗВ__ДЕНИЕ, Д__ЛИТЕЛЬ, Ц__ФРА, УМ__НЬШАЕМОЕ, УР__ВНЕНИЕ.

Учащиеся выполняют задание, затем сверяются с картой верных ответов.

ФО: Светофор.

Слайд 1

Слайд 2 — 5

Слайд 6-9

Карточка слайд 10

Обобщение и систематизация знаний

12 мин

Логическая минутка 2 мин

8 минут

5 минут

1) Груповая работа. Расшифруйте  название  птицы, которая  видит  все, что  происходит  вокруг  нее, даже  не  поворачивая  головы.

Для  этого  найдите  наименьшее  общее  кратное  каждой  пары  чисел, затем  впишите  букву, соответствующую  этому  числу, в  таблицу.

1)   НОК(3,12) =  12 л                     5)    НОК(9, 15) = 45 н

2)   НОК (4, 5, 8 )= 40 е                   6)    НОК(12, 15) = 60 п

3)   НОК(8, 12) =  24 в                    7)    НОК(9, 6) = 18 ь

4)   НОК(16, 12) = 48 д                   8)    НОК(10, 20) = 20 ш

Свободный  столбик  в  таблице  заполните, учитывая  данные:  

НОК(25;4) = 100 а

24

12

18

48

20

45

40

60

в

а

л

ь

д

ш

н

е

п

Дескрипторы:

Обучающийся:

— расладывает составное число на простые множители;

— находит общие множители;

— находит произведение общих множителей.

Учитель контролирует ход выполнения групповых работ, осуществляет необходимую поддержку и обратную связь.

ФО: Большой палец.

Учащиеся отгадывают 2 ребуса.

задача пример

2) Индивидуальная работа.

Найдите НОК (12; 14; 42) и НОД (168; 252). Сравните их.

Дескрипторы:

Обучающийся

— раскладывает числа на простые множители;

— находит НОК трёх составных чисел;

— находит НОД двух составных чисел;

— сравнивает НОК и НОД.

ФО: Светофор.

Групповая работа. Кто быстрее…

1) Дано разложение чисел а и в. Найдите наибольший общий делитель этих чисел

1) а = 2 · 2 · 3 · 5 и в = 2· 3 · 3; НОД(а,в) = 2 · 3 = 6

2) а = 2· 3 · 3 · 11 и в = 2 · 2 · 5 · 11; НОД(а,в) = 2 · 11 = 22

2) Найдите наименьшее общее кратное натуральных чисел, представленных в виде произведения простых множителей:

1) НОК(а, в) =

2) НОК(с,д) =

Дескрипторы:

Обучающийся:

— определяет степень числа;

— находит общие множители;

-находит НОД и НОК по разложению чисел на простые множители.

ФО: Большой палец.

Карточки с заданиями

Слайд 11-14

Слайд 15-16

Слайд 17

Карточки, слайд

Постановка домашнего задани 2 мин

Найдите НОД и НОК следующих чисел:

1) 12, 90, 132 2) 13, 26, 104

3) 8, 9, 10, 12 4) 24, 36, 48, 60

Карточка

Слайд

Рефлексия

2 мин.

Стратегия «Смайлики»

Кратко написать самое важное, что уяснил с урока и приклеить на смайлик.

Стикеры

Дифференциация – каким способом вы хотите больше оказывать поддержку? Какие задания вы даете ученикам более способным по сравнению с другими?

Оценивание – как Вы планируете проверять уровень усвоения материала учащимися?

Охрана здоровья и соблюдение техники безопасности

Дифференциация осуществляется при помощи применения различных методов деятельности на уроке: групповая, парная и индивидуальная работа. Учебные материалы и ресурсы разработаны с учетом индивидуальных потребностей учащихся. Предложенные задания на уроке выстроены по принципу спиральности.

При делении класса на группы происходит дифференциация по типу классификация (смешанные).

На протяжении урока учащиеся, которые затрудняются при выполнении заданий, получают поддержку от учителя и сверстников; учащиеся с сильной мотивацией поддеживают учащихся со слабой мотивацией.

. На каждом этапе урока происходит постоянное оценивание учащихся, что способствует своевременнму анализу деятельности.

Для проверки уровня усвоения материала происходит непрерывное оценивание учащихся. В процесс оценивания вовлекаются все учащиеся. Оценивание осуществляется по дескрипторам и по приемам неформального формативного оценивания — устные комментарии учителя и учащихся, взаимопроверка, самопроверка по ответам. На этапе рефлексии оценивание осуществляеся через стратегию «Смайлики».

Также на каждом этапе осуществялется обратная связь.

Подготовленное помещение, проветривание, хорошее освещение, учет возрастных особенностей, применение активных методов, проведение физминутки. Создана психологически комфортная обстановка, коллаборативная среда для использования активных методов обучения (работа в группах, в парах, а такжн индивидуальная работа).

Наибольший общий делитель: определение и формула — научный класс [видео 2021 года]

Метод простой факторизации

Давайте начнем с использования некоторых деревьев простой факторизации , чтобы найти все простые множители, общие для двух или более чисел; в данном случае 56 и 32. Вот два дерева разложения на простые множители для каждого числа.

Помните, что при создании дерева факторизации простых чисел начинайте с исходного числа и создавайте ветви на каждом уровне с двумя частными, которые равны числу над ним, пока у вас не останутся только простые числа.В случае 32 наше дерево факторизации простых чисел разветвляется, пока не достигнет 2 x 2 x 2 x 2 x 2. В случае 56 наше дерево факторизации простых чисел разветвляется, пока не достигнет 2 x 2 x 2 x 7.

Не забудьте упорядочить простые факторизации от наименьшего к наибольшему, чтобы было легче увидеть общие числа. Поместив наши простые множители друг на друга, мы теперь можем точно увидеть, какие простые числа они разделяют. Эти числа обведены красным.

Последний шаг в этом методе определения наибольшего общего делителя — это умножение этих общих чисел вместе.Итак, в случае моей вечеринки Super Bowl я могу пригласить 2 x 2 x 2 или 8 друзей. Это означает, что наибольшее количество друзей, которых я могу пригласить на вечеринку, чтобы каждый человек получил одинаковое количество куриных крылышек и банок с газировкой, составляет 8.

Метод алгоритма Евклида

Если вы не поклонник простых вещей метод факторизации для нахождения наибольшего общего делителя, вы также можете использовать алгоритм Евклида для достижения того же решения.

Уравнение для алгоритма Евклида :

Перед тем, как перейти к тому, как работает этот метод, есть несколько важных словарных слов, которые нам нужно понять из алгоритма.

• Дивиденды: делимое число

Делитель

• : число, делающее
• Частное: число, умноженное на делитель, чтобы получить дивиденд
• Остаток: сумма, оставшаяся после умножения делителя и частного

Это много нового словаря, но потерпите меня. Я обещаю, что к концу урока все обретет смысл.

Сначала нам нужно настроить наш алгоритм, используя числа из нашего примера вечеринки Super Bowl.Помните, у нас есть 56 куриных крылышек и 32 банки содовой, и мы пытаемся вычислить максимальное количество друзей, которых я мог бы пригласить, чтобы каждый человек получил одинаковое количество куриных крылышек и банок содовой.

Сначала подставьте большее из двух чисел для делимого. В данном случае делимое равно 56. Затем подставьте меньшее из двух чисел для делителя. В данном случае делитель равен 32.

Как мы сказали ранее, частное — это число, умноженное на делитель, чтобы получить делимое.Итак, сколько раз 32 может превратиться в 56? Один раз. Итак, мы записываем единицу в наш алгоритм как частное.

Для завершения алгоритма определяем остаток. Если 32 переходит в 56 один раз, у нас остается 24, как показано здесь.

Чтобы найти наибольший общий делитель, мы продолжаем настраивать алгоритм до тех пор, пока не получим остаток от нуля. Каждый новый уровень алгоритма будет использовать делитель последнего уровня в качестве нового дивиденда, а остаток — в качестве нового частного, как показано здесь.

Когда вы, наконец, достигнете уровня, на котором остаток равен нулю, делитель на этом уровне является наибольшим общим делителем и, следовательно, решением. Как и в нашем примере, наибольший общий делитель равен 8; то же решение, которое мы нашли, когда использовали метод разложения на простые множители.

Резюме урока

На этом уроке вы узнали, что наибольший общий делитель , также известный как наибольший общий делитель, является наибольшим числом, которое может делиться на два или более чисел без остатка.Существует множество методов, которые вы можете использовать для поиска наибольшего общего делителя, включая метод разложения на простые множители , который помогает вам определять общие или общие числа, и алгоритм Евклида , который следует этому уравнению:

В этом уроке мы также рассмотрели некоторые важные словарные слова, в том числе:

• Дивиденд или делимое число
• Делитель, который является делителем
• Частное, или число, умноженное на делитель, чтобы получить дивиденд
• Остаток, который представляет собой сумму, оставшуюся после умножения делителя и частного.

GCF (наибольший общий фактор) — как найти GCF?

В математике ОКФ двух или более ненулевых целых чисел, x и y, является наибольшим положительным целым числом m, которое делит оба, x и y.Наибольший общий коэффициент широко известен как «GCF». Здесь «Наибольшее» можно заменить на «Наивысшее», а «Фактор» можно заменить на «Делитель». Итак, «Наибольший общий фактор» также известен как:

.

• Наивысший общий делитель (HCD)
• Наивысший общий коэффициент (HCF)
• Наибольший общий делитель (НОД)

GCF почти все время используется с дробями, которые часто используются в повседневной жизни. Чтобы упростить дробь или соотношение, вы можете найти GCF знаменателя и числителя и получить требуемую сокращенную форму.Кроме того, если мы посмотрим вокруг, расположение чего-либо в строках и столбцах, распределение и группировка, все это требует понимания GCF. Для вычисления GCF есть три основных способа: деление, умножение и разложение на простые множители.

Что такое наибольший общий фактор (GCF)?

GCF (наибольший общий множитель) двух или более чисел — это наибольшее число среди всех общих множителей данных чисел. GCF двух натуральных чисел x и y — это наибольшее возможное число, которое делит как x, так и y.

Пример: Найдем наибольший общий делитель 18 и 27.

Решение:

Сначала мы перечисляем множители 18 и 27, а затем выясняем общие множители.

Факторы 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Факторы 27: 1, 3, 9, 27

Общие делители 18 и 27 — 1,3 и 9. Среди этих чисел 9 — наибольшее (наибольшее) число. Таким образом, GCF 18 и 27 равно 9. Это записывается как: GCF (18,27) = 9.

Множитель числа также является его делителем. Следовательно, наибольший общий делитель также называется «наибольший общий делитель » (или) « НОД. «. В приведенном выше примере наибольший общий делитель (НОД) 18 и 27 равен 9, что можно записать как НОД (18,27) = 9.

Как найти наибольший общий фактор (GCF)?

Ниже приведены 3 метода нахождения наибольшего общего делителя двух чисел.

• Список общих факторов
• Основная факторизация
• Метод деления

GCF путем перечисления общих факторов

В этом методе могут быть перечислены общие множители обоих чисел, после чего становится легко проверить общие множители.Выделив общие факторы, мы можем выбрать самый большой из них. Давайте посмотрим на пример, приведенный ниже:

Пример: Что такое GCF для 30 и 42?

Решение:

• Шаг 1 — Составьте список множителей каждого числа. Множители 30 — 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Множители 42 — 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
• Шаг 2 — Отметьте все общие факторы.
• Шаг 3 — 6 является общим и наибольшим фактором.

Следовательно, GCF 30 и 42 = 6.

Поиск наибольшего общего фактора путем перечисления факторов может быть трудным, если числа больше. В таких случаях мы используем методы разложения на простые множители и деления для нахождения GCF.

GCF по Prime Factorization

Факторизация на простые множители — это способ выражения числа как произведения его простых множителей, начиная с наименьшего простого множителя этого числа. Давайте посмотрим на пример, приведенный ниже:

Пример 1: Что такое GCF для 60 и 90?

Решение:

• Шаг 1 — Представьте числа в простом факторизованном виде.
• Шаг 2 — GCF — это произведение факторов, общих для каждого из заданных чисел.

Таким образом, GCF (60,90) = 2 ¹ x 3 ¹ x 5 ¹ = 30.

Следовательно, GCF 60 и 90 = 30

GCF методом деления

Деление — это метод группирования объектов в равные группы, тогда как для больших чисел мы используем длинное деление, которое разбивает задачу деления на ряд более простых шагов.Наибольший общий множитель (GCF) набора целых чисел — это наибольшее положительное целое число, которое делится на все заданные числа без остатка. Давайте посмотрим на пример, приведенный ниже:

Пример: Найдите GCF 198 и 360, используя метод деления.

Решение:

Среди данных двух чисел 360 — большее число, а 198 — меньшее.

• Шаг 1. Разделите большее число на меньшее с помощью длинного деления.
• Шаг 2 — Если остаток равен 0, то делителем является GCF. Если остаток НЕ равен 0, тогда сделайте оставшуюся часть вышеуказанного шага как делитель и делитель вышеуказанного шага как делимое и снова выполните долгое деление.
• Шаг 3 — Если остаток равен 0, то делителем последнего деления является GCF. Если остаток НЕ равен 0, то мы должны повторять шаг 2, пока не получим остаток 0.

Следовательно, GCF данных двух чисел является делителем последнего деления.В этом случае делитель последнего деления равен 18. Следовательно, GCF 198 и 360 равняется 18.

Наибольший общий множитель нескольких чисел

Мы обсудили нахождение GCF двух чисел. А что, если чисел больше двух. Для нескольких чисел трудно перечислить общие факторы. Таким образом, мы можем использовать любой из методов: первичная факторизация или длинное деление.

1. Найти ОКФ трех чисел

Чтобы найти GCF трех чисел, мы можем использовать деление в столбик, а также разложение на простые множители.Чтобы найти GCF методом длинного деления, необходимо выполнить следующие шаги:

• Сначала мы найдем GCF двух чисел.
• Затем мы найдем GCF третьего числа и GCF первых двух чисел.

Пример: Найдите GCF для 126, 162 и 180.
Решение:
Сначала мы найдем GCF двух чисел 126 и 162.

Таким образом, GCF 126 и 162 = 18…….. (1)

Затем мы найдем GCF третьего числа, равного 180, и приведенное выше GCF18

.

Таким образом, GCF 180 и 18 = 18 …… (2)

Из (1) и (2), GCF (198,360) = 18. Следовательно, GCF 198 и 360 = 18

2. Найти ОКФ четырех чисел

Чтобы найти GCF четырех чисел, мы можем использовать разложение на простые множители, а также метод деления. В методе разложения на простые множители мы просто берем простые множители заданных чисел, в частности простые множители, которые делят все заданные числа.Давайте посмотрим на приведенный ниже пример, где разложение на простые множители использовалось для нахождения GCF четырех чисел.

Пример: Найдите GCF 72, 24, 140 и 42.

Решение:

2 — единственный простой множитель, который делит 72,140,24 и 42. Таким образом, GCF (72,140,24,42) = 2 ¹ = 2

.

Следовательно, GCF 72, 24, 140 и 42 составляет 2.

Разница между GCF и LCM

НОК или наибольший общий делитель двух или более чисел является наибольшим множителем среди всех общих множителей данных чисел, тогда как НОК или наименьшее общее кратное двух или более чисел является наименьшим числом среди всех общих кратных числа данные числа.В следующей таблице показана разница между GCF и LCM:

Часто задаваемые вопросы по GCF

Что такое общий фактор?

Общий множитель двух или более чисел — это множитель, общий для обоих данных чисел.Например, общие множители 45 и 25 равны 1 и 5.

Как найти GCF? Привести пример.

Существует 3 метода вычисления GCF двух чисел: перечисление общих множителей, разложение на простые множители и метод деления.

Каков наибольший общий делитель двух простых чисел?

Простое число имеет только два делителя (1 и само). Следовательно, два простых числа не могут иметь никакого общего делителя, кроме 1. Следовательно, наибольший общий делитель двух простых чисел равен 1.Например, наибольший общий делитель 5 и 7 равен 1.

Какой наибольший общий множитель чисел 24 и 15?

Факторы 24 равны 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24. Факторы 15 равны 1, 3, 5 и 15. Общие множители 24 и 15 равны 1 и 3. Следовательно , GCF для 24 и 15 равняется 3.

Что такое GCF 15 и 20?

Факторы 15 равны 1, 3, 5 и 15. Факторы 20 равны 1, 2, 4, 5, 10 и 20. Общие множители 15 и 20 равны 1 и 5. Таким образом, ВСК 15 и 20 равно 5.

Являются ли GCF и HCF одним и тем же?

Наибольший общий фактор, сокращенно GCF, также известен как наибольший общий фактор (HCF). Итак, да, GCF и HCF — это одно и то же.

GCF больше, чем LCM?

НОК — это наименьшее общее кратное указанных чисел, которое можно разделить на оба числа, а НОК — наибольшее общее кратное указанных чисел, которые делят оба числа. Таким образом, для любых двух чисел НОК чисел больше НОК чисел.

Величайший общий фактор: найти легко

В элементарной теории чисел важно найти наибольшее положительное целое число, которое делит два или более числа без остатка.

Например, это полезно для уменьшения вульгарных фракций до самых низких значений.

Чтобы увидеть пример, чтобы уменьшить 203 ÷ 377 до младших членов, нам нужно знать, что 29 — это наибольшее положительное целое число, которое делит 203 и 377.

Тогда мы можем написать 203? 377 = (7) (29) ÷ (13) (29) = 7 × 13.

Как мы обнаруживаем, что 29 — это наибольшее целое число, которое обычно делит 203 и 377?

Один из способов — определить разложение двух чисел на простые множители и сравнить множители.

т.е. нам нужно знать 203 = (7) (29) и 377 = (13) (29).

Гораздо более эффективным методом является алгоритм Евклида.

Наибольшее положительное целое число, которое делит два или более чисел без остатка, называется НАИБОЛЬШИМ ОБЩИМ ФАКТОРОМ (G.C.F.) двух или более чисел.

Первый способ найти G.C.F. есть, найдя простые множители чисел.

Второй метод, основанный на алгоритме Евклида, более эффективен и обсуждается здесь.

Его главное значение в том, что он не требует факторинга.

G.C.F. также известен как Наибольший общий делитель, G.C.D.

иногда его еще называют высшим общим коэффициентом, H.C.F.

I Метод, основанный на алгоритме Евклида для поиска G.C.F. из двух чисел:

ШАГ 1:

Разделите большее число (Dividend) на меньшее число (Divisor), чтобы получить остаток.

ШАГ 2:

Затем разделите делитель (становится дивидендом) на остаток (становится делителем), чтобы получить новый остаток.

ШАГ 3:

Продолжайте процесс последовательного деления делителей на полученные остатки, пока мы не получим нулевой остаток.

ШАГ 4:

Последним делителем является G.C.F. из данных двух чисел.

Все эти шаги показаны в одном месте как единое целое, как в Long Division.

Метод будет понятен на следующих примерах.

Пример I (1):

Найдите G.C.F. чисел 16 и 30.

Решение:

16) 30 (1
16
——
14) 16 (1
14
——
G.C.F. 2) 14 (7
14
——-
0
——-

См. Приведенную выше презентацию процесса поиска наибольшего общего фактора.

ШАГ 1:

Мы делим большее число (Dividend, 30) на меньшее (Divisor, 16), чтобы получить остаток 14 (частное равно 1).

ШАГ 2:

Затем мы делим делитель (16, становится дивидендом) на остаток (14, становится делителем), чтобы получить новый остаток 2 (частное равно 1).

ШАГ 3:

Мы продолжаем процесс последовательного деления делителей на полученные остатки, пока не получим нулевой остаток.

делим делитель (14, становится делителем) на остаток (2, становится делителем), чтобы получить новый остаток 0 (частное равно 7).

ШАГ 4:

Последний делитель, 2 — это G.К.Ф. из данных двух чисел 16 и 30.

Таким образом, G.C.F. из 16 и 30 = 2. Отв.

Пример I (2):

Найдите G.C.F. чисел 45 и 120.

Решение:

45) 120 (2
90
——
30) 45 (1
30
——
G.C.F. 15) 30 (2
30
——-
0
——-

См. G.C.F. презентация процесса поиска, приведенная выше.

120 делим на 45, чтобы получить остаток 30 (частное равно 2).

На следующем этапе 30 — делитель, а 45 — делимое.

В результате этого деления остаток был равен 15 (частное — 1).

На следующем этапе 15 — делитель, а 30 — делитель.

Это деление дало 0 в качестве остатка (частное равно 2).

Последний делитель 15 — это G.C.F. из данных двух чисел.

Таким образом, G.C.F. из 45 и 120 = 15. Отв.

Пример I (3):

Найдите G.C.F. номеров 1066 и 46189.

Решение:

1066) 46189 (43
45838
———
351) 1066 (3
1053
———
ГРАММ.К.Ф. 13) 351 (27
351
——-
0
——-

См. G.C.F. презентация процесса поиска, приведенная выше.

46189 делится на 1066, чтобы получить остаток 351 (частное 43).

На следующем этапе 351 — делитель, а 1066 — дивиденд.

Это деление дало остаток 13 (частное 3).

На следующем этапе 13 — делитель, а 351 — делитель.

Это деление дало 0 в качестве остатка (частное 27).

Последний делитель 13 — это G.C.F. из данных двух чисел.

Таким образом, G.C.F. из 1066 и 46189 = 13. Отв.

Этот метод деления нахождения наибольшего общего множителя особенно полезен для определения общего коэффициента сжатия больших чисел.

Представьте, что вы выполняете этот пример 3 с помощью первичной факторизации.

Вы поймете преимущество этого процесса разделения над первичной факторизацией.

II Метод поиска G.C.F. более двух номеров:

Чтобы найти G.К.Ф. из более чем двух чисел, сначала найдите G.C.F. любых двух из них.

Затем найдите G.C.F. третьего числа и G.C.F. первых двух чисел, полученных таким образом.

Продолжайте этот метод по порядку, пока все числа не закончатся.

Давайте посмотрим на некоторые примеры.

Пример II (1):

Найдите G.C.F. чисел 60, 90, 150.

Решение:

Во-первых, давайте найдем G.C.F. номеров 60 и 90.

60) 90 (1
60
——
ГРАММ.К.Ф. 30) 60 (2
60
——
0
——-

Таким образом, G.C.F. чисел 60 и 90 = 30

Теперь найдем G.C.F. 30 и 150.

Мы можем увидеть 150 — это 5 умножить на 30.

Итак, G.C.F. 30 и 150 = 30.

Если одно из двух чисел является множителем другого, то этот множитель является G.C.F. из двух чисел.

Таким образом, G.C.F. чисел 60, 90, 150 = 30. Отв.

Пример II (2):

Найдите G.К.Ф. чисел 70, 210, 315.

Решение:

Сначала найдем G.C.F. чисел 70 и 210.

Мы видим, что 210 — это 3 раза по 70.

Итак, G.C.F. из 70 и 210 = 70.

Теперь давайте найдем G.C.F. из 70 и 315.

70) 315 (4
280
——
G.C.F. 35) 70 (2
70
——
0
——

Таким образом, G.C.F. из 70 и 315 = 35.

Итак, G.C.F. чисел 70, 210, 315 = 35.Ответ

Пример II (3):

Найдите G.C.F. чисел 1197, 5320, 4389.

Решение:

Во-первых, давайте найдем G.C.F. номеров 1197, 5320.

1197) 5320 (4
4788
———
532) 1197 (2
1064
——-
G.C.F. 133) 532 (4
532
——-
0
——-

Таким образом, G.C.F. чисел 1197 и 5320 = 133.

Теперь найдем G.К.Ф. из 133 и 4389.

G.C.F. 133) 4389 (33
4389
———
0
———

Таким образом, G.C.F. из 133 и 4389 = 133.

Итак, G.C.F. чисел 1197, 5320, 4389 = 133. Отв.

Пример II (4):

Найдите G.C.F. чисел 1701, 2106, 2754.

Решение:

Во-первых, давайте найдем G.C.F. номеров 1701, 2106.

1701) 2106 (1
1701
——-
405) 1701 (4
1620
——-
ГРАММ.К.Ф. 81) 405 (5
405
——-
0
——-

Таким образом, G.C.F. чисел 1701, 2106 = 81

Теперь найдем G.C.F. из 81 и 2754.

G.C.F. 81) 2754 (34
2754
——-
0
——-

Таким образом, G.C.F. из 81 и 2754 = 81.

SO, The G.C.F. чисел 1701, 2106, 2754 = 81. Отв.

Чтобы получить дополнительную информацию о G.C.F., перейдите по адресу:

http: //www.math-help-ace.ru / Greatest-Common-Factor.html

Калькулятор наибольшего общего множителя

(GCF или GCD) — DQYDJ — Не бросайте свою дневную работу …

На этой странице находится калькулятор наибольшего общего множителя , часто сокращенно GCF. У этого термина много названий — он также известен как наибольший общий делитель (НОД) и наибольший общий делитель (НОД).

Введите набор чисел, и инструмент GCF вернет наибольший общий множитель. Хотя инструмент принимает отрицательные и десятичные дроби, вы должны использовать положительные целые числа.

Ищете аналогичный инструмент? Попробуйте вместо этого один из следующих вариантов:

Калькулятор наибольшего общего коэффициента (GCF)

Что такое наибольший общий коэффициент (GCF) или наибольший общий делитель (GCD)?

Наибольший общий делитель (GCF) или наибольший общий делитель (GCD) набора положительных целых чисел — это наибольшее положительное целое число, которое может равномерно разделить каждое число. То есть: это положительное число, которое может разделить каждое число в наборе и оставить целое число.

Нахождение наибольшего общего множителя

Вручную вы можете найти наибольший общий знаменатель, найдя разложение на простые множители каждого числа, то есть простые числа, которые при умножении составляют число.

Например, давайте использовать числа в калькуляторе: 14, 21, 49 и 70:

14: 2 * \ raisebox {.5pt} {\ textcircled {\ raisebox {-. 9pt} {7}}} \\ 21: 3 * \ raisebox {.5pt} {\ textcircled {\ raisebox {-. 9pt} {7}}} \\ 49: 7 * \ raisebox {.5pt} {\ textcircled {\ raisebox {-.9pt} {7}}} \\ 70: 2 * 5 * \ raisebox {.5pt} {\ textcircled {\ raisebox {-. 9pt} {7}}}

И, как вы можете видеть выше, самый большой фактор, для всех четырех появляется 7 .

Использование калькулятора наибольшего общего множителя

В текстовом поле вверху введите список чисел, в которых вы хотите, чтобы мы нашли наибольший общий множитель. Вы можете вводить целые числа, дроби, отрицательные и десятичные дроби, но лучше всего вводить положительные целые числа.

Когда закончите, нажмите кнопку Compute GCF .Мы вернем как наибольший общий коэффициент, который мы вычислили, так и количество введенных чисел, которые мы поняли, чтобы вы могли проверить работу.

Нравится? Посетите другие наши калькуляторы и инструменты. См. Также наш калькулятор множителей и калькулятор простых множителей.

Пример 12: Найдите наибольший общий делитель (НОД) двух целых чисел. «PD4CS

Ичжоу Цянь 22 июня 2014 г.

Учитывая два целых числа, НОД является наибольшим положительным целым числом, которое делит числа без остатка.Например, НОД 32 и 24 равно 8. Наш последний пример цикла, вероятно, не подходит для всех студентов. Это отличный пример для учителя, ориентированного на математику, с математически более зрелыми учениками. Студенты должны были увидеть алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел. Алгоритм Евклида — эффективный метод вычисления наибольшего общего делителя. Подробнее см. Http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm. Существует много других хороших онлайн-источников.

Для вычисления НОД 32 и 24 с использованием алгоритма Евклида:

• Разделите 32 на 24, чтобы получить частное 1 и остаток 8.
• Затем разделите 24 на 8, чтобы получить частное 3 и остаток 0.
• 8 — это НОД 32 и 24.

Ниже представлена ​​программа, реализующая алгоритм Евклида. Он использует цикл while, поскольку неизвестно, сколько итераций необходимо. Алгоритм нашел gcd при b = 0.

# 02Loops example_12 GCDWhileLoop.py
# Алгоритм Евклида для вычисления gcd

a = input ('Пожалуйста, введите первое целое число:')
b = input ('Пожалуйста, введите второе целое число:')
а b! = 0:
    gcd = b
    б = а% б
    a = gcd
печать (gcd)
 

Три оператора цикла while повторяются до тех пор, пока b не станет 0.Переменная a — это делимое, а переменная b — это делитель. Согласно алгоритму Евклида, делитель на предыдущем шаге будет делимым на следующем шаге, а остаток от предыдущего шага будет делителем на следующем шаге. Мы используем переменную gcd для хранения делителя. Когда переменная b становится равной 0, значение, хранящееся в gcd, является наибольшим общим делителем двух целых чисел.

Концептуально более простой способ найти наибольший общий делитель двух целых чисел a и b — это попробовать все числа от 1 до b:

# 02Loops example_12 GCDForLoop.ру
# поиск gcd с помощью итерации "грубой силы", пробуя все значения

a = input ('Пожалуйста, введите первое целое число:')
b = input ('Пожалуйста, введите второе целое число:')

для i в диапазоне (1, b + 1):
    если a% i == 0 и b% i == 0:
        gcd = i
печать (gcd)
 

Мы делим a и b на каждое целое число от 1 до b. Если оба делятся на целое число i, установите gcd = i. Когда цикл заканчивается, значение, хранящееся в gcd, является наибольшим общим делителем двух целых чисел.Поскольку 1 всегда является общим делителем, переменная gcd всегда будет иметь значение при завершении цикла.

Калькулятор

GCF — Наибольший общий коэффициент (Калькулятор HCF / GCD)

Примечание. GCF, GCD и HCF — это одни и те же термины и используются для обозначения одной и той же концепции.

Калькулятор GCF — это эффективный искатель GCF , который вычисляет наибольший (наибольший) общий множитель данных чисел с использованием:

Помимо HCF, он также вычисляет наименьшее общее кратное (НОК) для данных чисел.

В следующих разделах мы обсудим методы, используемые калькулятором GCD для определения GCF, определение GCF, как рассчитать HCF без использования калькулятора HCF, а также несколько примеров, чтобы объяснить, как найти наибольший общий множитель.

Что такое GCF?

Наибольший общий фактор (GCF) набора чисел — это наибольший фактор, который разделяют все числа. Он широко известен как наивысший общий фактор (HCF).

Например, 8, 12, и 16 имеют два общих множителя: 2 и 4. Наибольшее значение составляет 4. Итак, GCF для 8, 12, и 16 составляет 4.

Как рассчитать GCF?

Если вы уже здесь, возможно, вы захотите узнать, как найти GCF . GCF можно рассчитать несколькими методами. Ниже вы можете найти различные способы расчета GCF / HCF.

1. Метод факторизации

Пример: Найдите GCF для 12 и 16 , используя метод факторизации.

Решение:

Метод факторизации или списка факторов использует множители заданных чисел для нахождения наивысшего общего множителя.

Шаг 1: Перечислите все множители данных чисел.

Шаг 2: Найдите наибольший общий множитель.

Дополнительные пояснения см. На изображении ниже.

2. Метод деления

Пример: Найдите GCF для 30 и 42 , используя метод шага деления .

Решение:

Шаг 1: Разделите наибольшее число на наименьшее.

Шаг 2: Возьмите делитель из предыдущего шага и разделите его на остаток, полученный на предыдущем шаге.

Шаг 3: Повторяйте шаги 2 ^и , пока остаток не станет равным нулю. Последний делитель будет наивысшим (наибольшим) общим делителем.

Воспользуйтесь указанным выше средством поиска HCF, чтобы проверить результат ваших вычислений вручную.См. Изображение ниже для иллюстрации метода шага деления.

3. Факторизация на простые множители

Пример: Найдите GCF для 24 и 36 , используя метод простой факторизации .

Решение:

Шаг 1: Составьте множители заданных чисел с помощью дерева множителей, как показано на изображении ниже.

Шаг 2: Выделите или обведите общие множители данных чисел.

Шаг 3: Умножьте все общие множители, чтобы получить GCF. Если есть только один общий множитель, то умножать не нужно.

Калькулятор наибольшего общего делителя (знаменателя) включает все шаги вычисления. Это не просто инструмент для расчетов. Его также можно использовать для изучения методов вычисления наивысшего общего множителя.

Таблица наибольшего общего множителя.

Другие языки : Калькулятор GCF, Mcd Calculadora, Ggt rechner, калькулятор нод, MDC Calculadora, Kalkulator FPB, NSD kalkulačka (Největší Společný Dělitel), 最大最 計算, Calcul pgcd

Полиномиальное деление | Безграничная алгебра

Введение в факторинг многочленов

Факторинг путем группирования делит члены многочлена на группы, которые могут быть разложены на множители с использованием наибольшего общего множителя.

Цели обучения

Опишите, что значит разложить многочлен на множители и почему это полезно

Основные выводы

Ключевые моменты

• Факторизация или разложение на множители — это разложение объекта, например, целого числа или многочлена, на произведение других объектов или факторов, которые при умножении вместе дают исходный.
• Факторинг путем группирования выполняется путем помещения членов многочлена в две или более группы, где каждая группа может быть разложена на множители отдельно.0 [/ латекс]. Важно отметить, что поскольку все показатели положительны, деление на x невозможно.
• наибольший общий делитель : наибольший общий делитель набора — это наибольшее положительное целое число или многочлен, который делит каждое из чисел в наборе без остатка.
• факторизация : Выражение, перечисляющее элементы, умножение которых дает желаемое количество.

Многочлен состоит из суммы одночленов. 2.\ end {align} [/ latex]

Разделение и факторы

Полиномиальное деление в столбик работает аналогично полному делению, и если деление не оставляет остатка, то делитель называется множителем.

Цели обучения

Используйте полиномиальное деление, чтобы найти дополнительные множители полинома

Основные выводы

Ключевые моменты

• Разделение одного многочлена на другой может быть достигнуто с помощью деления в столбик. Правила полиномиального деления в столбик такие же, как и правила, полученные для деления целых чисел в столбик.
• Четыре шага деления в столбик: деление, умножение, вычитание и уменьшение.
• После завершения полиномиального деления в столбик полезно проверить ответы, подставив число или умножив частное на делитель, чтобы получить обратно дивиденд.

Ключевые термины

• частное : число, полученное в результате деления одного числа или выражения на другое.
• делитель : целое число, которое делит другое целое число целое число раз.
• делимое : Число или выражение, которое нужно разделить на другое.

Деление в столбик с целыми числами

Предположим, вам даны положительные целые числа [латекс] D [/ латекс] и [латекс] d [/ латекс]. Мы хотим найти целые числа [latex] q [/ latex] и [latex] r [/ latex] такие, что [latex] 0 \ leq r

Чтобы освежить память, мы вручную делим [latex] \ frac {745} {13} [/ latex].Записываем числа так:

[латекс] \ подчеркивание {5 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \} \\ 13 | 745 [/ латекс]

Поскольку [latex] 7 [/ latex] меньше, чем [latex] 13 [/ latex], мы группируем первые две цифры вместе и видим, что: [latex] 5 \ cdot 13 = 65 \ leq 74 <78 = 6 \ cdot 13 [/ латекс]

Итак, мы записываем пять как первую цифру [latex] q [/ latex] и вычитаем [latex] 65 [/ latex] из [latex] 74: [/ latex]

[латекс] \ подчеркивание {\ 5 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \} \\ \ begin {align} 13 | & 745 \\ — & 65 \\ & \ \ 95 \ end {align} [/ латекс]

Теперь сгруппируем оставшиеся две цифры и увидим, что [latex] 7 \ cdot 13 = 91 \ leq 95 <104 = 8 \ cdot 13 [/ latex]

Итак, вторая цифра [латекс] q [/ латекс] — [латекс] 8 [/ латекс], и мы вычитаем [латекс] 91 [/ латекс] из [латекс] 95 [/ латекс], чтобы получить [латекс] 4 [ /латекс].Поскольку [latex] 4 [/ latex] меньше, чем [latex] 13 [/ latex], мы не можем повторить эту процедуру, и мы обнаружили, что [latex] q = 58, r = 4. [/ Latex] Итак [латекс] 745 [/ latex] содержит [latex] 58 [/ latex] копий [latex] 13 [/ latex] и еще одну копию [latex] 4. [/ Latex]

[латекс] \ подчеркивание {\ 58 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \} \\ \ begin {align} 13 | & 745 \\ — & 65 \\ & \ \ 95 \\ — & \ \ 91 \\ & \ \ \ \ 4 \ end {align} [/ latex]

Деление многочленов в столбик

Прелесть деления в столбик состоит в том, что алгоритм можно использовать не только для целых чисел, но и для многочленов.

Здесь мы думаем о большем полиноме как о полиноме с более высокой степенью. Итак, учитывая два полинома [латекс] D (x) [/ latex] (делимое ) и [латекс] d (x) [/ latex] (делитель ), мы ищем два полинома [латекс] q (x) [/ latex] (частное ) и [latex] r (x) [/ latex] ([латекс] остаток) [/ latex] такие, что [latex] D (x) = d (x) q (x) + r (x) [/ latex] и степень [латекса] r (x) [/ latex] строго меньше, чем степень [latex] d (x). [/ latex]

Концептуально мы хотим увидеть, сколько копий [latex] d (x) [/ latex] содержится в [latex] D (x) [/ latex] (это частное), а затем насколько далеко [latex] D (x) [/ latex] не является кратным [latex] d (x) [/ latex] (это остаток).2 + 2х + 6) + 22 [/ латекс].

Нулевые остатки и множители

Если остаток [latex] r (x) [/ latex] равен [latex] 0 [/ latex], мы также говорим, что остатка нет, и не записываем [latex] 0 [/ latex] явно. Это означает, что [latex] D (x) = d (x) q (x) [/ latex]: делимое кратно делителю, или говорят, что делитель [latex] [/ latex] делит дивиденды. Мы говорим, что делитель — это , делитель дивиденда. (Конечно, фактор также будет иметь значение.)

[latex] [/ latex] Проверяем результаты

Если у вас есть достаточно времени, чтобы проверить свои результаты, всегда полезно это сделать. Лучший способ сделать это — явно вычислить уравнение

[латекс] D (x) = d (x) q (x) + r (x) [/ латекс].

Другой способ — проверить это уравнение только для одного значения [latex] x [/ latex].

Теорема об остатке и синтетическое деление

Синтетическое деление — это метод деления многочлена и нахождения частного и остатка.

Цели обучения

Используйте синтетическое деление, чтобы разделить многочлен

Основные выводы

Ключевые моменты

• Синтетическое деление чаще всего применяется при делении на моном, например [латекс] х-а [/ латекс].
• Наиболее полезные аспекты синтетического деления заключаются в том, что оно позволяет производить вычисления без записи переменных и требует меньшего количества вычислений.

Ключевые термины

• остаток : сумма, оставшаяся после вычитания делителя как можно больше раз из дивиденда без получения отрицательного результата.0 [/ латекс]. Важно отметить, что поскольку все показатели положительные, невозможно разделить на [латекс] х [/ латекс]. 2-42 [/ латекс]

  Затем разделите его на [латекс] х-3 [/ латекс].2 — 42 & = 27-108-42 \\ & = -123 \ end {align} [/ latex]

  В частности, [latex] f (a) = 0 [/ latex] тогда и только тогда, когда [latex] (x-a) [/ latex] делит [latex] f (x). [/ Latex]

  Синтетическое подразделение

  Чтобы использовать теорему об остатке, нужно сначала выполнить деление, что является небольшой работой. Сокращенный способ выполнения длинного деления — синтетическое деление. Он использует меньше записей и меньше вычислений. Это также занимает значительно меньше места, чем деление в столбик. Самое главное, что вычитания при длинном делении преобразуются в сложения путем переключения знаков в самом начале, что предотвращает знаковые ошибки.2−42 [/ latex] разделить на [latex] x-3 [/ latex]:

  Начнем с записи коэффициентов делимого и второго отрицательного коэффициента делителя. Обратите внимание, что мы явно выписываем все нулевые члены!

  [латекс] \ \ | 1 \ -12 \ 0 \ -42 \\ 3 | \ подчеркивание {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \} \\ \ \ | [/ латекс]

  Опустите первый коэффициент и умножьте его на делитель. 2 — 9x — 27 [/ latex].Теперь мы также можем увидеть, каков остаток, просто повторив процедуру:

  [латекс] \ \ | 1 \ -12 \ \ \ \ \ 0 \ -42 \\ 3 | \ подчеркивание {\ \ \ \ \ \ \ \ \ 3 \ — 27 \ -81 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \} \\ \ \ | 1 \ \ \ — 9 \ — 27 \ \ color {red} {- 123} [/ латекс]

  В частности, число, которое мы пишем слева, является корнем верхнего многочлена тогда и только тогда, когда последнее полученное число — [latex] 0 [/ latex].

  Особым случаем этого является случай, когда левое число [латекс] 1 [/ латекс]: тогда последнее число равно сумме всех коэффициентов! Таким образом, [latex] 1 [/ latex] является нулем многочлена тогда и только тогда, когда его коэффициенты складываются с [latex] 0.[/ латекс]

  Другие ведущие коэффициенты

  Когда мы делим на [latex] ax-b [/ latex] и [latex] a \ not = 1 [/ latex], мы можем разделить на [latex] (xb / a) [/ latex], а затем разделить результат by [latex] a [/ latex]. Таким образом, мы все еще можем использовать синтетическое деление.

  Факторы нахождения многочленов

  Нахождение множителей многочленов важно, так как всегда лучше работать с простейшими версиями многочленов.

  Цели обучения

  Попрактикуйтесь в различных методах нахождения множителей многочлена

  Основные выводы

  Ключевые моменты

  • Факторинг — важный навык в упрощении функций и решении уравнений.
  • Показаны четыре типа факторизации: 1) «извлечение» общих множителей, 2) разложение на множители полных квадратов, 3) разность между двумя квадратами, а затем 4) как разложить на множители, когда три других метода не применимы.
  • Первым шагом всегда должно быть «вытаскивание» общих факторов. Даже если при этом не будет полностью исключен полином, остальная часть процесса будет намного проще.

  Ключевые термины

  • общий множитель : значение, переменная или их комбинация, которые являются общими для всех членов полинома.
  • фактор : чтобы выразить математическую величину как произведение двух или более одинаковых величин.

  При умножении вещи складываются. При факторинге все разрывается. Факторинг — важный навык в упрощении функций и решении уравнений.

  Существует четыре основных типа факторинга. В каждом случае полезно начать с демонстрации задачи умножения, а затем показать, как использовать факторинг, чтобы обратить результаты этого умножения.2-7х + 3). [/ Латекс]

  Для многих типов задач легче работать с этой факторизованной формой.

  В качестве другого примера рассмотрим [латекс] 6x + 3 [/ латекс]. Общий коэффициент — [латекс] 3 [/ латекс]. При факторинге [latex] 3 [/ latex] из [latex] 6x [/ latex] остается [latex] 2x [/ latex]. При факторизации [латекса] 3 [/ латекса] из [латекса] 3 [/ латекса] остается [латекс] 1 [/ латекс]:

  [латекс] 6x + 3 = 3 (2x + 1) [/ латекс].

  Об этом виде факторинга нужно знать два ключевых момента:

  1. Это простейший вид факторинга.2 [/ латекс]

     Этот тип факторинга работает только в этом конкретном случае: среднее число — это что-то удвоенное, а последнее число — это то же самое значение в квадрате. 2 [/ латекс]

     Эту формулу можно запустить в обратном порядке при вычитании двух полных квадратов.2 + 9) (х + 3) (х-3). \ end {align} [/ latex]

     Важно отметить, что сумма двух квадратов не может быть разложена на множители.

     Как и в случае факторизации полного квадрата, чтобы использовать этот метод, нужно держать глаза открытыми, чтобы заметить узор.

     Факторинг грубой силы

     Это самый сложный способ разложить многочлен на множители, но тот, который нам нужно использовать, когда других недостаточно.

     В общем, мы можем умножить любое количество многочленов на любое количество членов, используя свойство распределенности.2-г) [/ латекс]

     , который мы можем снова разложить на множители предыдущим методом, если [latex] -c [/ latex] или [latex] d [/ latex] положительны.

     Особенно, когда мы думаем, что [latex] a [/ latex] и [latex] b [/ latex] являются целыми числами, лучшая тактика для этого — проверка положительных и отрицательных факторов последнего члена, поскольку существует только ограниченное число их.