Найдите нод чисел: Как найти наибольший общий делитель (НОД) + Свойства, Формулы

Содержание

Как найти наибольший общий делитель (НОД) + Свойства, Формулы

Понятие наибольшего общего делителя

Начнем с самого начала и вспомним, что такое общий делитель. У целого числа может быть несколько делителей. А сейчас нам особенно интересно, как обращаться с делителями сразу нескольких целых чисел.

Делитель натурального числа — это такое натуральное число, которое делит данное число без остатка. Если у натурального числа больше двух делителей, его называют составным.

Общий делитель нескольких целых чисел — это такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества. Например, у чисел 12 и 8 общим делителем будет четверка. Чтобы это проверить, напишем верные равенства: 8 = 4 * 2 и 12 = 3 * 4. Но у этой пары чисел есть и другие общие делители: 1, -1 и -4.

Любое число можно разделить на 1, -1 и на само себя. Значит у любого набора целых чисел будет как минимум три общих делителя. Если общий делитель больше 0 — противоположное ему значение со знаком минус также является общим делителем.

Если b — делитель целого числа a, которое не равно нулю, то модуль числа b не может быть больше модуля числа a. Значит любое число, не равное 0, имеет конечное число делителей.

Разобраться во всех правилах и быстро щелкать задачки помогут внимательные учителя детской школы Skysmart. Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой, увлекательные математические комиксы и даже онлайн-доска, на которой можно чертить вместе с учителем.

Запишите вашего ребенка на бесплатный вводный урок математики: покажем, как все устроено и вдохновим на учебу.

 

Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка. Для записи может использоваться аббревиатура НОД. Для двух чисел можно записать вот так: НОД (a, b).

Например, для 4 и -16 НОД будет 4. Как мы к этому пришли:

 

  1. Зафиксируем все делители четырех: ±4, ±2, ±1.
  2. А теперь все делители шестнадцати: ±16, ±8, ±4, ±3 и ±1.
  3. Выбираем общие: это -4, -2, -1, 1, 2 и 4. Самое большое общее число: 4. Вот и ответ.

Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.

Найдем наибольший общий делитель нескольких целых чисел: 10, 6, 44, -18. Он будет равен трем. Ответ можно записать так: НОД (12, 6, 42, -18) = 3. А чтобы проверить правильность ответа, нужно записать все делители и выбрать из них самые большие.

Взаимно простые числа — это натуральные числа, у которых только один общий делитель — единица. Их НОД равен 1.

Помимо НОД есть еще и НОК, что расшифровывается, как наименьшее общее кратное и означает наименьшее число, которое делится на каждое из исходных чисел без остатка.

Еще один пример. Рассчитаем НОД для 28 и 64.

Как находим:

 

  1. Распишем простые множители для каждого числа и подчеркнем одинаковые

    Д (28) = 2 * 2 * 7

    Д (64) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2

  2. Найдем произведение одинаковых простых множителей и запишем ответ

    НОД (28; 64) = 2 * 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить поиск НОД можно в строчку, как мы сделали выше или в столбик, как на картинке.

Свойства наибольшего общего делителя

У наибольшего общего делителя есть ряд определенных свойств. Опишем их в виде теорем и сразу приведем доказательства.

Важно! Все свойства НОД будем формулировать для положительных целых чисел, при этом будем рассматривать делители только больше нуля.

Свойство 1. Наибольший общий делитель чисел а и b равен наибольшему общему делителю чисел b и а, то есть НОД (a, b) = НОД (b, a). Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.

Доказывать свойство не имеет смысла, так как оно напрямую исходит из самого определения НОД.

Свойство 2. Если а делится на b, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством делителей числа b, поэтому НОД (a, b) = b.

Доказательство

 

Любой общий делитель чисел а и b является делителем каждого из этих чисел, в том числе и числа b. Так как а кратно b, то любой делитель числа b является делителем и числа а, благодаря свойствам делимости. Из этого следует, что любой делитель числа b является общим делителем чисел а и b.

 

Значит, если а делится на b, то совокупность делителей чисел а и b совпадает с совокупностью делителей одного числа b. А так как наибольшим делителем числа b является само число b, то наибольший общий делитель чисела и b также равен b, то есть НОД (а, b) = b.

 

В частности, если a = b, то НОД (a, b) = НОД (a, a) = НОД (b, b) = a = b.

  • Например, НОД (25, 25) = 25.

Доказанное свойство наибольшего делителя можно использовать, чтобы найти НОД двух чисел, когда одно из них делится на другое. При этом НОД равен одному из этих чисел, на которое делится другое число.

  • Например, НОД (4, 40) = 4, так как 40 кратно 4.

Свойство 3. Если a = bq + c, где а, b, с и q — целые числа, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством общих делителей чисел b и с. Равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) справедливо.

Доказательство

 

Существует равенство a = bq + c, значит всякий общий делитель чисел а и b делит также и с, исходя из свойств делимости. По этой же причине, всякий общий делитель чисел b и с делит а. Поэтому совокупность общих делителей чисел а и b совпадает с совокупностью общих делителей чисел b и c.

 

Поэтому должны совпадать и наибольшие из этих общих делителей, и равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) можно считать справедливым.

Свойство 4. Если m — любое натуральное число, то НОД (mа, mb) = m * НОД(а, b).

Доказательство

Если умножить на m обе стороны каждого из равенств алгоритма Евклида, то получим, что НОД (mа, mb)= mr, где r — это НОД (а, b). На этом свойстве наибольшего общего делителя основан поиск НОД с помощью разложения на простые множители.

Свойство 5. Пусть р — любой общий делитель чисел а и b, тогда НОД (а : p, b : p) = НОД (а, b) : p. А именно, если p = НОД (a, b) имеем НОД (a : НОД (a, b), b: НОД (a, b)) = 1, то есть, числа a : НОД (a, b) и b : НОД (a, b) — взаимно простые.

Так как a = p(a : p) и b = p(b : p), и в силу предыдущего свойства, мы можем записать цепочку равенств вида НОД (a, b) = НОД (p(a : p), p(b : p)) = p * НОД (a : p, b : p), откуда и следует доказываемое равенство.

Способы нахождения наибольшего общего делителя

Найти наибольший общий делитель можно тремя способами. Рассмотрим все три, чтобы при решении задач выбирать самую оптимальную последовательность действий.

1. Разложение на множители

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно разложить их на простые множители и перемножить между собой общие множители для всех чисел.

Пример 1. Найти НОД (84, 90).

Как решаем:

 

  1. Разложим числа 84 и 90 на простые множители:

     

  2. Подчеркнем все общие множители и перемножим их между собой:

    2 * 3 = 6.

 

Ответ: НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найти НОД (15, 28).

Как решаем:

 

  1. Разложим 15 и 28 на простые множители:

     

  2. Числа 15 и 28 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.

 

Ответ: НОД (15, 28) = 1.

2. Разложение двух чисел на простые множители

С последующим перемножением общих из них.

Пример 1. Найти НОД для 24 и 18.

Как решаем:

 

  1. Разложим оба числа на простые множители:

     

  2. Найдем общие множители чисел 24 и 18: 2 и 3. Для удобства общие множители можно подчеркнуть.

     

  3. Перемножим общие множители:

    НОД (24, 18) =2 * 3 = 6

 

Ответ: НОД (24, 18) = 6

3. Алгоритм Евклида

Способ Евклида помогает найти НОД через последовательное деление. Сначала посмотрим, как работает этот способ с двумя числами, а затем применим его к трем и более.

Алгоритм Евклида заключается в следующем: если большее из двух чисел делится на меньшее — наименьшее число и будет их наибольшим общим делителем. Использовать метод Евклида можно легко по формуле нахождения наибольшего общего делителя.

Формула НОД: НОД (a, b) = НОД (b, с), где с — остаток от деления a на b.

Пример 1. Найти НОД для 24 и 8.

Как рассуждаем:

Так как 24 делится на 8 и 8 тоже делится на 8, значит, 8 — общий делитель этих чисел. Этот делитель является наибольшим, потому что 8 не может делиться ни на какое число, большее его самого. Поэтому: НОД (24, 8) = 8.

В остальных случаях для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел нужно соблюдать такой порядок действий:

 

  1. Большее число поделить на меньшее.
  2. Меньшее число поделить на остаток, который получается после деления.
  3. Первый остаток поделить на второй остаток.
  4. Второй остаток поделить на третий и т. д.
  5. Деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель и есть наибольший общий делитель.

Пример 2. Найти наибольший общий делитель чисел 140 и 96:

Как решаем:

 

  1. 140 : 96 = 1 (остаток 44)
  2. 96 : 44 = 2 (остаток 8)
  3. 44 : 8 = 5 (остаток 4)
  4. 8 : 4 = 2

Последний делитель равен 4 — это значит: НОД (140, 96) = 4.

Ответ: НОД (140, 96) = 4

Пошаговое деление можно записать столбиком:

Чтобы найти наибольший общий делитель трех и более чисел, делаем в такой последовательности:

 

  1. Найти наибольший общий делитель любых двух чисел из данных.
  2. Найти НОД найденного делителя и третьего числа.
  3. Найти НОД последнего найденного делителя и четвёртого числа и т. д.

Знакомство с темой наибольшего общего делителя начинается в 5 классе с теории и закрепляется в 6 классе на практике. В этой статье мы узнали все основные определения, свойства и их доказательства, а также как найти НОД.

Калькулятор онлайн — Нахождение (вычисление) НОД и НОК (с подробным решением)

Наибольшим общим делителем (НОД) для двух целых чисел m и n называется наибольший из их общих делителей.

Пример: для чисел 6 и 9 наибольший общий делитель равен 3.

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел m или n не равно нулю.

В школьной программе обозначается так: НОД(m, n)

Понятие наибольшего общего делителя (НОД) распространяется на любой набор из более чем двух целых чисел.
Чаще всего НОД используется для сокращения дроби — если найти НОД числителя и знаменателя, то на это число можно сократить
числитель и знаменатель данной дроби.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел m и n это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка.
В школьной программе обозначается так: НОК(m, n)

Пример: НОК(16, 20) = 80

Одно из наиболее частых применений НОК — приведение дробей к общему знаменателю.

С помощью данной математической программы вы можете найти (вычислить) НОД и НОК двух целых чисел.

Программа нахождения НОД и НОК не только выводит ответ задачи, но и отображает процесс вычисления НОД и НОК двух чисел.


Вводить можно только целые положительные числа.


Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.

Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Наибольший общий делитель (НОД). Взаимно простые числа

Определение. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и b, называют
наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел.

Найдём наибольший общий делитель чисел 24 и 35.

Делителями 24 будут числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителями 35 будут числа 1, 5, 7, 35.

Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий делитель — число 1. Такие числа называют взаимно простыми.

Определение. Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Наибольший общий делитель (НОД) можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел.

Разложим на множители числа 48 и 36, получим:

48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.

Из множителей, входящих в разложение первого из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа
(т. е. две двойки).

Остаются множители 2 * 2 * 3. Их произведение равно 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.
Так же находят наибольший общий делитель трёх и более чисел.

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:

1) разложить их на простые множители;

2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;

3) найти произ ведение оставшихся множителей.

Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.

Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45, 75 и 180 будет число 15, так как на него делятся все остальные числа: 45, 75 и 180.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Определение. Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число,
которое кратно и a и b.

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на
простые множители: 75 = 3 * 5 * 5, а 60 = 2 * 2 * 3 * 5.

Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения
второго числа (т.е. объединяем множители).

Получаем пять множителей 2 * 2 * 3 * 5 * 5, произведение которых равно 300. Это число является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Так же находят наименьшее общее кратное для трёх и более чисел.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:

1) разложить их на простые множители;

2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;

3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;

4) найти произведение получившихся множителей.

Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных
чисел.

Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа.

Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа),
они называли совершенным числом. Например, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) совершенные. Следующие совершенные
числа — 496, 8128, 33 550 336. Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвёртое — 8128 — стало известно в I в. н. э.
Пятое — 33 550 336 — было найдено в XV в. К 1983 г. было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли
нечётные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.

Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде
произведения простых чисел, т. е. простые числа — это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.

Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно — в одних частях ряда их больше,
в других — меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: существует
ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) в своей книге «начала», бывшей на
протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом
есть ещё большее простое число.

Для отыскания простых чисел другой греческий математик того же времени Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа
от 1 до какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычёркивал через
одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2, т. е. 4, 6, 8 и т. д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее
вычёркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3, т. е. 6, 9, 12 и т. д.). в конце концов оставались
невычеркнутыми только простые числа.

НОД и НОК чисел с решением | Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких чисел

Онлайн калькулятор позволяет быстро находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное как для двух, так и для любого другого количества чисел.

Калькулятор для нахождения НОД и НОК

Найти НОД и НОК

Найдено НОД и НОК:

Как пользоваться калькулятором

  • Введите числа в поле для ввода
  • В случае ввода некорректных символов поле для ввода будет подсвечено красным
  • нажмите кнопку «Найти НОД и НОК»

Как вводить числа

  • Числа вводятся через пробел, точку или запятую
  • Длина вводимых чисел не ограничена, так что найти НОД и НОК длинных чисел не составит никакого труда

Что такое НОД и НОК?

Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое все исходные числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель сокращённо записывается как НОД.
Наименьшее общее кратное нескольких чисел – это наименьшее число, которое делится на каждое из исходных чисел без остатка. Наименьшее общее кратное сокращённо записывается как НОК.

Как проверить, что число делится на другое число без остатка?

Чтобы узнать, делится ли одно число на другое без остатка, можно воспользоваться некоторыми свойствами делимости чисел. Тогда, комбинируя их, можно проверять делимость на некоторые их них и их комбинации.

Некоторые признаки делимости чисел

1. Признак делимости числа на 2
Чтобы определить, делится ли число на два (является ли оно чётным), достаточно посмотреть на последнююю цифру этого числа: если она равна 0, 2, 4, 6 или 8, то число чётно, а значит делится на 2.
Пример: определить, делится ли на 2 число 34938.
Решение: смотрим на последнюю цифру: 8 — значит число делится на два.

2. Признак делимости числа на 3
Число делится на 3 тогда, когда сумма его цифр делится на три. Таким образом, чтобы определить, делится ли число на 3, нужно посчитать сумму цифр и проверить, делится ли она на 3. Даже если сумма цифр получилась очень большой, можно повторить этот же процесс вновь.
Пример: определить, делится ли число 34938 на 3.
Решение: считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 3, а значит и число делится на три.

3. Признак делимости числа на 5
Число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра равна нулю или пяти.
Пример: определить, делится ли число 34938 на 5.
Решение: смотрим на последнюю цифру: 8 — значит число НЕ делится на пять.

4. Признак делимости числа на 9
Этот признак очень похож на признак делимости на тройку: число делится на 9 тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Пример: определить, делится ли число 34938 на 9.
Решение: считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 9, а значит и число делится на девять.

Как найти НОД и НОК двух чисел

Как найти НОД двух чисел

Наиболее простым способом вычисления наибольшего общего делителя двух чисел является поиск всех возможных делителей этих чисел и выбор наибольшего из них.

Рассмотрим этот способ на примере нахождения НОД(28, 36):

  1. Раскладываем оба числа на множители: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
  2. Находим общие множители, то есть те, которые есть у обоих чисел: 1, 2 и 2.
  3. Вычисляем произведение этих множителей: 1·2·2 = 4 — это и есть наибольший общий делитель чисел 28 и 36.

Как найти НОК двух чисел

Наиболее распространены два способа нахождения наименьшего кратного двух чисел. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди них такое число, которое будет общим для обоих чисел и при этом наименьшем. А второй заключается в нахождении НОД этих чисел. Рассмотрим только его.

Для вычисления НОК нужно вычислить произведение исходных чисел и затем разделить его на предварительно найденный НОД. Найдём НОК для тех же чисел 28 и 36:

  1. Находим произведение чисел 28 и 36: 28·36 = 1008
  2. НОД(28, 36), как уже известно, равен 4
  3. НОК(28, 36) = 1008 / 4 = 252.

Нахождение НОД и НОК для нескольких чисел

Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел. Также для нахождение НОД нескольких чисел можно воспользоваться следующим соотношением: НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c).

Аналогичное соотношение действует и для наименьшего общего кратного чисел: НОК(a, b, c) = НОК(НОК(a, b), c)

Пример: найти НОД и НОК для чисел 12, 32 и 36.

  1. Cперва разложим числа на множители: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
  2. Найдём обшие множители: 1, 2 и 2.
  3. Их произведение даст НОД: 1·2·2 = 4
  4. Найдём теперь НОК: для этого найдём сначала НОК(12, 32): 12·32 / 4 = 96.
  5. Чтобы найти НОК всех трёх чисел, нужно найти НОД(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3, 36 = 1·2·2·3·3, НОД = 1·2·2·3 = 12.
  6. НОК(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Наибольший общий делитель онлайн | umath.ru

Наибольшим общим делителем (НОД) двух целых чисел m и n называется наибольшее число,
на которое m и n делятся без остатка.

Например, для чисел 125 и 75 НОД равен 25.

Как найти наибольший общий делитель?

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел, надо:

  1. Представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

    360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5.

  2. Записать степени всех простых множителей:

    360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 23 · 32 · 51.

  3. Выписать все общие простые множители этих чисел.
  4. Выбрать наименьшую степень каждого из них, встретившуюся во всех произведениях.
  5. Перемножить эти степени.

Пример. Найти НОД чисел 450 и 390.

Представим числа как произведение их простых множителей:

450 = 2 · 3 · 3 · 5 · 5 = 21 · 32 · 52,

390 = 2 · 3 · 5 · 13 = 21 · 31 · 51 · 131.

Видим, что общими являются множители 2, 3 и 5. Наименьшая степень каждого множителя 1.
Тогда НОД(450, 390) = 2 · 3 · 5 = 30.

Наименьшее общее кратное

Наименьшим общим кратным (НОК) двух целых чисел m и n называется наименьшее натуральное число,
которое делится и на m, и на n.

Наименьшее общее кратное двух целых чисел m и n равно отношению произведения m и n к НОД(m, n):

НОК(m, n) = (m · n) / НОД(m, n).

Пример. Найти НОК чисел 450 и 390.

Зная НОД этих чисел, можно легко найти их НОК. Для этого произведение чисел следует разделить на их НОД:

НОК(450, 390) = (450 · 390) / 30 =

= (2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 2 · 3 · 5 · 13) / (2 · 3 · 5) =

= 2 · 3 · 5 · 5 · 13 = 5850

Онлайн калькулятор наибольшего общего делителя

Калькулятор находит наибольший общий делитель двух или более чисел. Числа вводите через запятую.


Смотрите также

Калькулятор НОД и НОК с решением онлайн

Найдем наибольший общий делитель НОД (36 ; 24)

Этапы решения

Способ №1

1) Разложим числа на простые множители. Для этого проверим, является ли каждое из чисел простым (если число простое, то его нельзя разложить на простые множители, и оно само является своим разложением)

36 — составное число
24 — составное число

Разложим число 36 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

36 : 2 = 18 — делится на простое число 2
18 : 2 = 9 — делится на простое число 2
9 : 3 = 3 — делится на простое число 3.
Завершаем деление, так как 3 простое число

Разложим число 24 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

24 : 2 = 12 — делится на простое число 2
12 : 2 = 6 — делится на простое число 2
6 : 2 = 3 — делится на простое число 2.
Завершаем деление, так как 3 простое число

2) Выделим синим цветом и выпишем общие множители

36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3
24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
Общие множители (36 ; 24) : 2, 2, 3

3) Теперь, чтобы найти НОД нужно перемножить общие множители

Ответ: НОД (36 ; 24) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12

Способ №2

1) Найдем все возможные делители чисел (36 ; 24). Для этого поочередно разделим число 36 на делители от 1 до 36, число 24 на делители от 1 до 24. Если число делится без остатка, то делитель запишем в список делителей.

Для числа 36 выпишем все случаи, когда оно делится без остатка:
36 : 1 = 36;36 : 2 = 18;36 : 3 = 12;36 : 4 = 9;36 : 6 = 6;36 : 9 = 4;36 : 12 = 3;36 : 18 = 2;36 : 36 = 1;

Для числа 24 выпишем все случаи, когда оно делится без остатка:
24 : 1 = 24;24 : 2 = 12;24 : 3 = 8;24 : 4 = 6;24 : 6 = 4;24 : 8 = 3;24 : 12 = 2;24 : 24 = 1;

2) Выпишем все общие делители чисел (36 ; 24) и выделим зеленым цветом самы большой, это и будет наибольший общий делитель НОД чисел (36 ; 24)

Общие делители чисел (36 ; 24): 1, 2, 3, 4, 6, 12

Ответ: НОД (36 ; 24) = 12

Найдем наименьшее общее кратное НОК (52 ; 49)

Этапы решения

Способ №1

1) Разложим числа на простые множители. Для этого проверим, является ли каждое из чисел простым (если число простое, то его нельзя разложить на простые множители, и оно само является своим разложением)

52 — составное число
49 — составное число

Разложим число 52 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

52 : 2 = 26 — делится на простое число 2
26 : 2 = 13 — делится на простое число 2.
Завершаем деление, так как 13 простое число

Разложим число 49 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

49 : 7 = 7 — делится на простое число 7.
Завершаем деление, так как 7 простое число

2) Прежде всего запишем множители самого большого числа, а затем меньшего числа. Найдем недостающие множители, выделим синим цветом в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение большего числа.

52 = 2 ∙ 2 ∙ 13
49 = 7 ∙ 7

3) Теперь, чтобы найти НОК нужно перемножить множители большего числа с недостающими множителями, которые выделены синим цветом

НОК (52 ; 49) = 2 ∙ 2 ∙ 13 ∙ 7 ∙ 7 = 2548

Способ №2

1) Найдем все возможные кратные чисел (52 ; 49). Для этого поочередно умножим число 52 на числа от 1 до 49, число 49 на числа от 1 до 52.

Выделим все кратные числа 52 зеленым цветом:

52 ∙ 1 = 52;   52 ∙ 2 = 104;   52 ∙ 3 = 156;   52 ∙ 4 = 208;
52 ∙ 5 = 260;   52 ∙ 6 = 312;   52 ∙ 7 = 364;   52 ∙ 8 = 416;
52 ∙ 9 = 468;   52 ∙ 10 = 520;   52 ∙ 11 = 572;   52 ∙ 12 = 624;
52 ∙ 13 = 676;   52 ∙ 14 = 728;   52 ∙ 15 = 780;   52 ∙ 16 = 832;
52 ∙ 17 = 884;   52 ∙ 18 = 936;   52 ∙ 19 = 988;   52 ∙ 20 = 1040;
52 ∙ 21 = 1092;   52 ∙ 22 = 1144;   52 ∙ 23 = 1196;   52 ∙ 24 = 1248;
52 ∙ 25 = 1300;   52 ∙ 26 = 1352;   52 ∙ 27 = 1404;   52 ∙ 28 = 1456;
52 ∙ 29 = 1508;   52 ∙ 30 = 1560;   52 ∙ 31 = 1612;   52 ∙ 32 = 1664;
52 ∙ 33 = 1716;   52 ∙ 34 = 1768;   52 ∙ 35 = 1820;   52 ∙ 36 = 1872;
52 ∙ 37 = 1924;   52 ∙ 38 = 1976;   52 ∙ 39 = 2028;   52 ∙ 40 = 2080;
52 ∙ 41 = 2132;   52 ∙ 42 = 2184;   52 ∙ 43 = 2236;   52 ∙ 44 = 2288;
52 ∙ 45 = 2340;   52 ∙ 46 = 2392;   52 ∙ 47 = 2444;   52 ∙ 48 = 2496;
52 ∙ 49 = 2548;   

Выделим все кратные числа 49 зеленым цветом:

49 ∙ 1 = 49;   49 ∙ 2 = 98;   49 ∙ 3 = 147;   49 ∙ 4 = 196;
49 ∙ 5 = 245;   49 ∙ 6 = 294;   49 ∙ 7 = 343;   49 ∙ 8 = 392;
49 ∙ 9 = 441;   49 ∙ 10 = 490;   49 ∙ 11 = 539;   49 ∙ 12 = 588;
49 ∙ 13 = 637;   49 ∙ 14 = 686;   49 ∙ 15 = 735;   49 ∙ 16 = 784;
49 ∙ 17 = 833;   49 ∙ 18 = 882;   49 ∙ 19 = 931;   49 ∙ 20 = 980;
49 ∙ 21 = 1029;   49 ∙ 22 = 1078;   49 ∙ 23 = 1127;   49 ∙ 24 = 1176;
49 ∙ 25 = 1225;   49 ∙ 26 = 1274;   49 ∙ 27 = 1323;   49 ∙ 28 = 1372;
49 ∙ 29 = 1421;   49 ∙ 30 = 1470;   49 ∙ 31 = 1519;   49 ∙ 32 = 1568;
49 ∙ 33 = 1617;   49 ∙ 34 = 1666;   49 ∙ 35 = 1715;   49 ∙ 36 = 1764;
49 ∙ 37 = 1813;   49 ∙ 38 = 1862;   49 ∙ 39 = 1911;   49 ∙ 40 = 1960;
49 ∙ 41 = 2009;   49 ∙ 42 = 2058;   49 ∙ 43 = 2107;   49 ∙ 44 = 2156;
49 ∙ 45 = 2205;   49 ∙ 46 = 2254;   49 ∙ 47 = 2303;   49 ∙ 48 = 2352;
49 ∙ 49 = 2401;   49 ∙ 50 = 2450;   49 ∙ 51 = 2499;   49 ∙ 52 = 2548;

2) Выпишем все общие кратные чисел (52 ; 49) и выделим зеленым цветом самое маленькое, это и будет наименьшим общим кратным чисел (52 ; 49).

Общие кратные чисел (52 ; 49): 2548

Ответ: НОК (52 ; 49) = 2548

Как найти наибольший общий делитель (НОД)

Рассмотрим два способа нахождения наибольшего общего делителя.

Нахождение путём разложения на множители

Первый способ заключается в нахождении наибольшего общего делителя путём разложения данных чисел на простые множители.

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно, разложить их на простые множители и перемножить между собой те из них, которые являются общими для всех данных чисел.

Пример 1. Найти НОД (84, 90).

Решение: Раскладываем числа  84  и  90  на простые множители:

Итак, мы подчеркнули все общие простые множители, осталось перемножить их между собой:

2 · 3 = 6.

Таким образом, НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найти НОД (15, 28).

Решение: Раскладываем  15  и  28  на простые множители:

Числа  15  и  28  являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.

НОД (15, 28) = 1.

Алгоритм Евклида

Второй способ (иначе его называют способом Евклида) заключается в нахождении НОД путём последовательного деления.

Сначала мы рассмотрим этот способ в применении только к двум данным числам, а затем разберёмся в том, как его применять к трём и более числам.

Если большее из двух данных чисел делится на меньшее, то число, которое меньше и будет их наибольшим общим делителем.

Пример 1. Возьмём два числа  27  и  9.  Так как  27  делится на  9  и  9  делится на  9,  значит,  9  является общим делителем чисел  27  и  9.  Этот делитель является в тоже время и наибольшим, потому что  9  не может делиться ни на какое число, большее  9.  Следовательно:

НОД (27, 9) = 9.

В остальных случаях, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел используется следующий порядок действий:

  1. Из двух данных чисел большее число делят на меньшее.
  2. Затем, меньшее число делят на остаток, получившийся от деления большего числа на меньшее.
  3. Далее, первый остаток делят на второй остаток, который получился от деления меньшего числа на первый остаток.
  4. Второй остаток делят на третий, который получился от деления первого остатка на второй и т. д.
  5. Таким образом деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель как раз и будет наибольшим общим делителем.

Пример 2. Найдём наибольший общий делитель чисел  140  и  96:

1) 140 : 96 = 1 (остаток 44)

2) 96 : 44 = 2 (остаток 8)

3) 44 : 8 = 5 (остаток 4)

4) 8 : 4 = 2

Последний делитель равен  4  — это значит:

НОД (140, 96) = 4.

Последовательное деление так же можно записывать столбиком:

Чтобы найти наибольший общий делитель трёх и более данных чисел, используем следующий порядок действий:

  1. Сперва находим наибольший общий делитель любых двух чисел из нескольких данных.
  2. Затем находим НОД найденного делителя и какого-нибудь третьего данного числа.
  3. Затем находим НОД последнего найденного делителя и четвёртого данного числа и так далее.

Пример 3. Найдём наибольший общий делитель чисел  140,  96  и  48.  НОД чисел  140  и  96  мы уже нашли в предыдущем примере (это число  4).  Осталось найти наибольший общий делитель числа  4  и третьего данного числа —  48:

48 : 4 = 12

48  делится на  4  без остатка. Таким образом:

НОД (140, 96, 48) = 4.

Как найти наибольший общий делитель чисел: двух, нескольких

В данной статье мы рассмотрим определение наибольшего общего делителя, научимся его находить для двух или нескольких чисел, а также разберем практические примеры для закрепления изложенного материала.

Определение наибольшего общего делителя

Делитель натурального числа a – это такое натуральное число b, которое делит a нацело (без остатка). Обозначается буквой Д. Например Д(6) означает “делитель числа 6”.

Если у числа больше двух делителей, его называют составным.

Примеры делителей:

  • Число 12 имеет следующие делители: 1, 2, 3, 4, 6.
  • Число 15 имеет следующие делители: 1, 3, 5.

В отличие от кратных, количество делителей числа ограничено.

Общий делитель двух натуральных чисел – это такое число, на которое оба этих числа делятся без остатка.

Наибольший общий делитель двух натуральных чисел – наибольшее число из общих делителей данных чисел. Обозначается как НОД.

Например, НОД (12, 24) – это наибольший общий делитель чисел 12 и 24.

Нахождение НОД

Чтобы найти наибольший общий делитель, можно применить один из способов ниже.

Для двух (или небольших) чисел

  1. Записываем в ряд все делители для каждого числа (по возрастанию).
  2. Находим наибольшее значение, встречающееся в обоих рядах. Это и есть НОД.

Пример
Найдем наибольший делитель чисел 18 и 30.

Решение
Д(18): 1, 2, 3, 6, 9.
Д(30): 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15.

Таким образом, НОД (18, 30) = 6.

Для нескольких (или больших) чисел

Этот метод обычно применяется, если приходится иметь дело с большим числами, или нужно найти НОД для нескольких чисел.

  1. Для начала раскладываем числа на простые множители – простые числа, которые делят число без остатка.
  2. Отмечаем одинаковые простые множители, встречающиеся в обоих раскладках.
  3. Произведение найденных простых множителей и есть НОД.

Пример
Найдем НОД (16, 24, 40).

Решение
Разложим эти числа на простые множители.

Для всех трех чисел одинаковыми являются три множителя – это три двойки.

Следовательно, НОД (16, 24, 40) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8.

Как найти количество узлов, ветвей, петель и сеток в цепи?

Что такое узел, ответвление, петля и сетка в электрической цепи?

Решая и анализируя электрические схемы и сети, мы должны знать около узлов, ответвлений, петель и сетей в электрической цепи и сети. Во-первых, мы должны знать об узлах, ветвях, петлях и сетках и их роли в электрической цепи. Затем мы можем определить точное количество ветвей, узлов, петель и сеток.

Для этого найдите все эти термины один за другим, выполнив следующие простые шаги.

Рассмотрим следующую простую электрическую схему на рис. 1, которая содержит 7 компонентов или элементов.

Рис. 1. Что такое узлы, ответвления, петли и сетка в электрических цепях?

Узел

Точка или соединение, в котором встречаются два или более элемента схемы (резистор, конденсатор, катушка индуктивности и т. Д.), Называется узлом . Другими словами, точка соединения между двумя или более ветвями называется узлом.

Поиск узлов в электрических цепях

После перерисовки вышеуказанной схемы она становится такой же, как и эквивалентная схема ниже. Теперь вы можете легко найти общее количество узлов, как показано на рис. 2 ниже, где 6 узлов .

Рис. 2: Поиск узлов в электрических цепях

Ветвь

Та часть или участок цепи, который находится между двумя соединениями, называется ветвью. В ответвлении могут быть соединены один или несколько элементов, и у них есть два вывода.Это может быть любой компонент с двумя клеммами, например, источник напряжения, источник тока, резистор и т. Д.

Поиск ответвлений в электрических цепях

Схема на Рисунке 3 имеет семь ветвей , а именно, источник напряжения «V» и секс-резисторы.

Рис. 3: Поиск ответвлений в электрических цепях

Петля

Замкнутый путь в цепи, где может быть более двух сеток, известен как петля, т.е. в петле может быть много сеток, но нет сетки. содержат на одной петле.Проще говоря, это замкнутый путь в цепи.

Поиск петель в электрических цепях

Петли можно найти с помощью следующей фундаментальной теоремы о топологии цепей и сетей

l = b — n + 1

Таким образом, на рис. .

Рис. 4: Поиск петель в электрических цепях

Сетка

Замкнутый контур, в котором нет других петель, или путь, который не содержится на других путях, называется сеткой

Поиск сеток в электрических цепях

Рис. : Поиск сеток в электрических цепях

На рис. 5 показано двух сеток.

Полезно знать: Петля может быть сеткой, но сетка не может быть петлей .

Общая схема с 6 узлами, 7 ветвями, 3 петлями и 2 сетками , показанная на рис. 6.

Рис. 6: Схема с 6 узлами, 7 ветвями, 3 петлями и 2 сетками

Связанные сообщения:

Номер — JavaScript | MDN

Конструктор Number содержит константы и методы для работы с числами. Значения других типов можно преобразовать в числа с помощью функции Number () .

Тип JavaScript Number — это значение IEEE 754 в 64-битном двоичном формате с двойной точностью, например double в Java или C #. Это означает, что он может представлять дробные значения, но есть некоторые ограничения на то, что он может хранить. Число хранит только 17 десятичных знаков точности; арифметика подлежит округлению. Наибольшее значение, которое может содержать Число, составляет около 1,8 × 10 308 . Дополнительные числа заменяются специальной числовой константой Infinity .

Числовой литерал, например 37 в коде JavaScript, является значением с плавающей запятой, а не целым числом. В повседневном использовании не существует отдельного целочисленного типа. (В JavaScript теперь есть тип BigInt , но он не был разработан для замены Number для повседневного использования. 37 по-прежнему является числом, а не BigInt.)

Число также может быть выражено в буквальной форме, например 0b101 , 0o13 , 0x0A . Узнайте больше о числовой лексической грамматике здесь.

При использовании в качестве функции, Число (значение) преобразует строку или другое значение в числовой тип. Если значение не может быть преобразовано, возвращается NaN .

Литеральный синтаксис

Функциональный синтаксис

  Число ('123')
Число ('123') === 123

Число («единорог»)
Число (не определено)
  

Использование объекта Number для присвоения значений числовым переменным

В следующем примере свойства объекта Number используются для присвоения значений нескольким числовым переменным:

  const BigNum = Число.MAX_VALUE
const smallestNum = Число.MIN_VALUE
const infiniteNum = Число.POSITIVE_INFINITY
const negInfiniteNum = Число.NEGATIVE_INFINITY
const notANum = Число.NaN
  

Целочисленный диапазон для числа

В следующем примере показаны минимальное и максимальное целочисленные значения, которые могут быть представлены как объект Number . (Более подробная информация об этом описана в стандарте ECMAScript, глава 6.1.6 Тип числа. )

  const BigInt = Число.MAX_SAFE_INTEGER
const smallestInt = Число.MIN_SAFE_INTEGER  

При анализе данных, сериализованных в JSON, можно ожидать, что целочисленные значения, выходящие за пределы этого диапазона, будут повреждены, когда синтаксический анализатор JSON приведет их к типу Number .

Возможный обходной путь — использовать вместо String .

Большие числа могут быть представлены с помощью типа BigInt .

Использование Number для преобразования объекта Date

В следующем примере объект Date преобразуется в числовое значение с использованием Number в качестве функции:

  let d = new Date ('17 декабря 1995 г. 03:24:00')
приставка.журнал (Число (d))
  

Это журнал 819199440000 .

Преобразование числовых строк и null в числа

  Число ('123')
Число ('123') === 123
Число ('12,3 ')
Число ('12,00 ')
Число ('123e-1')
Число('')
Число (ноль)
Число ('0x11')
Число ('0b11')
Число ('0o11')
Число ('фу')
Число ('100a')
Number ('- Infinity')  

Таблицы BCD загружаются только в браузере

Как подсчитать количество узлов в двоичном дереве в Python

 class BinaryTree:
    def __init __ (self, key = None):
        себя.ключ = ключ
        self.left = Нет
        self.right = Нет
 
    def set_root (сам, ключ):
        self.key = ключ
 
    def inorder (self):
        если self.left не None:
            self.left.inorder ()
        печать (self.key, конец = '')
        если self.right не равно None:
            self.right.inorder ()
 
    def insert_left (self, new_node):
        self.left = new_node
 
    def insert_right (self, new_node):
        self.right = new_node
 
    def search (self, key):
        если self.key == key:
            вернуть себя
        если сам.слева не нет:
            temp = self.left.search (ключ)
            если темп не равен None:
                возвратная температура
        если self.right не равно None:
            temp = self.right.search (ключ)
            возвратная температура
        return None
 
 
def count_nodes (узел):
    если узел None:
        возврат 0
    вернуть 1 + count_nodes (node.left) + count_nodes (node.right)

btree = Нет
print ('Меню (это предполагает отсутствие повторяющихся клавиш)')
print ('вставить <данные> в корень')
print ('вставить <данные> слева от <данные>')
print ('вставить <данные> справа от <данные>')
печать ('счет')
print ('выйти')
 
в то время как True:
    print ('обход двоичного дерева в порядке:', end = '')
    если btree не равно None:
        btree.чтобы()
    Распечатать()
 
    do = input ('Что бы вы хотели сделать?') .split ()
 
    operation = do [0] .strip (). lower ()
    если операция == 'вставить':
        data = int (do [1])
        new_node = BinaryTree (данные)
        suboperation = do [2] .strip (). lower ()
        если подоперация == 'at':
                btree = new_node
        еще:
            position = do [4] .strip (). lower ()
            ключ = int (позиция)
            ref_node = Нет
            если btree не равно None:
                ref_node = btree.поиск (ключ)
            если ref_node - None:
                print ('Нет такого ключа.')
                Продолжать
            если подоперация == 'left':
                ref_node.insert_left (новый_узел)
            Подоперация elif == 'right':
                ref_node.insert_right (новый_узел)
 
    elif operation == 'count':
        print ('Количество узлов в дереве: {}'. format (count_nodes (btree)))
 
    elif operation == 'выйти':
        break 

получить уровень узла в двоичном дереве в java

пакет org.arpit.java2blog.binarytree;

открытый класс BinaryTreeGetLevelNode {

открытый статический класс TreeNode

{

int data;

TreeNode left;

TreeNode справа;

TreeNode (int data)

{

this.data = data;

}

}

// Рекурсивное решение

// Чтобы получить уровень узла в двоичном дереве

public static int getLevelOfNode (корень TreeNode, ключ int, уровень int)

{

if ( корень == ноль)

возврат 0;

если (корень.data == key)

уровень возврата;

int result = getLevelOfNode (root.left, key, level + 1);

if (result! = 0)

{

// Если найдено в левом поддереве, вернуть

return result;

}

результат = getLevelOfNode (root.right, key, level + 1);

вернуть результат;

}

public static void main (String [] args)

{

// Создание двоичного дерева

TreeNode rootNode = createBinaryTree ();

Система.out.println («Данные узла: 70, уровень:» + getLevelOfNode (rootNode, 70, 1));

System.out.println («Данные узла: 100, уровень:» + getLevelOfNode (rootNode, 100, 1));

System.out.println («Данные узла: 60, уровень:» + getLevelOfNode (rootNode, 60, 1));

System.out.println («Данные узла: 40, уровень:» + getLevelOfNode (rootNode, 40, 1));

}

общедоступный статический TreeNode createBinaryTree ()

{

TreeNode rootNode = new TreeNode (40);

TreeNode node20 = новый TreeNode (20);

TreeNode node10 = новый TreeNode (10);

TreeNode node30 = новый TreeNode (30);

TreeNode node60 = новый TreeNode (60);

TreeNode node50 = новый TreeNode (50);

TreeNode node70 = новый TreeNode (70);

rootNode.left = node20;

rootNode.right = node60;

node20.left = node10;

node20.right = node30;

node60.left = node50;

node60.right = node70;

вернуть rootNode;

}

}

Номер узла — обзор

Трехмерный симплексный элемент представляет собой тетраэдр с плоской гранью с четырьмя узлами, по одному в каждом углу, как показано на рисунке 3.9. Пусть узлы помечены как i , j , k и l , где i , j и k помечены в последовательности против часовой стрелки на любой грани, если смотреть со стороны вершина напротив этой грани, которая обозначена как l . Пусть значения переменной поля будут Φ i , Φ j , Φ k и Φ l , а глобальные координаты будут ( x i , y i , z i ), ( x j , y j , z j ), ( x k , 9037 908 9037 , z k ) и ( x l , y l , z l ) в узлах i , j , k и l соответственно.Если изменение ϕ ( x , y , z ) предполагается линейным,

(3.39) ϕ (x, y, z) = α1 + α2x + α3y + α4z

узловые условия ϕ = Φ i при ( x i , y i , z i ), ϕ = Φ x ( x x j , y j , z j ), ϕ = Φ k при ( x k , y k, z ) и ϕ = Φ l at ( x l , y l , z l ) образуют систему уравнений

(3.40) Φi = α1 + α2xi + α3yi + α4ziΦj = α1 + α2xj + α3yj + α4zjΦk = α1 + α2xk + α3yk + α4zkΦl = α1 + α2xl + α3yl + α4zl

Рисунок 3.9. Трехмерный симплексный элемент.

Уравнение (3.40) может быть решено, и коэффициенты α 1 , α 2 , α 3 и α 4 могут быть выражены как

(3.41) α1 = 16V (aiΦi + ajΦj + akΦk + alΦl) α2 = 16V (biΦi + bjΦj + bkΦk + blΦl) α3 = 16V (ciΦi + cjΦj + ckΦk + clΦl) α4 = 16V (diΦi + djΦj + dkΦk + dlΦl)

, где V — объем тетраэдр ijkl из

(3.42) V = 16 | 1xiyizi1xjyjzj1xkykzk1xlylzl |

(3,43) ai = | xjyjzjxkykzkxlylzl |

(3,44) bi = — | 1yjzj1ykzk1ylzl |

(3,45) ci = — | xj1zjxk1zkxl1zl |

и

(3.46) di = — | xjyj1xkyk1xlyl1 |

с другими константами, определяемыми циклической заменой индексов в порядке l , i , j и k . Знаки перед определителями в уравнениях. (3.43) — (3.46) должны быть отменены при создании a j , b j , c j , d j , и a l, b л , c л , d л .Подставляя уравнение. (3.41) в уравнение. (3.39) получаем

(3.47) ϕ (x, y, z) = Ni (x, y, z) Φi + Nj (x, y, z) Φj + Nk (x, y, z) Φk + Nl (x, y, z) Φl = [N (x, y, z)] Φ → (e)

, где

(3.48) [N (x, y, z)] = [Ni (x, y , Z) Nj (x, y, z) Nk (x, y, z) Nl (x, y, z)] Ni (x, y, z) = 16V (ai + bix + ciy + diz) Nj (x , Y, z) = 16V (aj + bjx + cjy + djz) Nk (x, y, z) = 16V (ak + bkx + cky + dkz) Nl (x, y, z) = 16V (al + blx + cly + dlz)

и

(3,49) Φ → (e) = {ΦiΦjΦkΦl}

Определение орбитальных узлов — Химический словарь

Орбитальные узлы относятся к местам, где квантово-механическая волновая функция Ψ и ее квадрат Ψ 2 изменяют фазу.Поскольку фаза либо перемещается от положительной к отрицательной, либо наоборот, both и Ψ 2 равны нулю в узлах.

Где Ψ 2 равно нулю, электронная плотность равна нулю. Следовательно, в узле электронная плотность равна нулю.

Узлы могут быть отнесены к радиальным или угловым .

Что такое узел?

Рассмотрим синусоидальную функцию sin x как простую волновую функцию Ψ.
На диаграмме ниже показано:

  • когда sin x больше нуля, фаза волны положительна
  • , когда sin x меньше нуля, фаза волны отрицательна
  • , когда sin x равен нулю, точка описывается как узел

Рисунок 1

sin x и x

Теперь рассмотрим sin 2 x , квадрат исходной функции.В квантовой химии 2 предоставляет нам плотность электронов — он определяет размер и форму знакомых орбиталей s, p, d, f и т. Д.

Рисунок 2

sin 2 x и x

На диаграмме выше показано:

  • sin 2 x имеет узлы, идентичные sin x
  • значение sin 2 x не имеет отрицательных значений
  • , где фаза была положительной, фаза Ψ 2 все еще положительная
  • , где фаза была отрицательной, фаза Ψ 2 все еще отрицательная
  • узлов разделяют положительную и отрицательную фазы

Примечание по фазе и узлам
Несмотря на то, что Ψ 2 не имеет отрицательных значений,
в квантовой механике фазовая информация, переносимая исходной функцией, не теряется.По этой причине приведенный выше график sin 2 x показан с положительной и отрицательной фазами, совпадающими с положительной и отрицательной фазами исходного sin x .

Многие реальные орбитали, такие как 2s, 2p и 3d-орбитали, имеют области как с положительной, так и с отрицательной фазой. Эти регионы разделены узлами.

Например, на диаграммах ниже показаны орбитали 1, 2 и 3.
Обратите внимание, как 2s и 3s орбитали имеют радиальных узлов , разделяющих разные фазы.

Рисунок 3

Орбитали электронов: 1, 2 и 3

1с 2с

Орбиталь 1s не имеет узлов; вся орбиталь — это одна и та же фаза. Орбиталь 2s больше и имеет один радиальный узел, разделяющий две фазы.

Орбиталь 3s имеет два радиальных узла, разделяющих три фазы.

Орбитальные диаграммы

Рисунок 4

Электронные орбитали: 2p

2p

x

2п

л

2p

z

Все 2p-орбитали имеют единственный угловой узел , плоскость, разделяющую положительную и отрицательную фазы орбиталей.Это показано ниже серым цветом.

Рисунок 5

Электронные орбитали с узлами: 2p

2p

x

2п

л

2p

z

3d орбитали

Все трехмерные орбитали имеют два угловых узла .
В четырех из орбиталей эти узлы представляют собой плоскости, разделяющие положительную и отрицательную фазы орбиталей.
В пятой орбитали узлы представляют собой две конические поверхности.

Рисунок 6

Орбитали электронов: 3d

3d

xy

3d

xz

3d

yz

3d

x 2 — z 2

3d

z 2

Орбитальные узлы

Количество узлов

Как вы могли заметить на орбиталях выше, количество узлов на орбитали следует правилу.

Количество узлов всегда на единицу меньше главного квантового числа: Узлы = n — 1.

  • В первой электронной оболочке n = 1. Орбиталь 1s не имеет узлов.
  • Во второй электронной оболочке n = 2. 2s- и 2p-орбитали имеют один узел.
  • В третьей электронной оболочке n = 3. Орбитали 3s, 3p и 3d имеют два узла и т. Д.

Типы узлов

Есть два типа узла: радиальный и угловой.

  • Количество угловых узлов всегда равно квантовому числу орбитального углового момента l.
  • Количество радиальных узлов = общее количество узлов минус количество угловых узлов = (n-1) — l

Примеры расчета узлов

Вторая оболочка
Во второй электронной оболочке орбиталь 2s имеет n = 2 и l = 0. Количество угловых узлов = l = 0. Количество радиальных узлов = [(n-1) — l] = [1 — 0] = 1

Во второй электронной оболочке 2p-орбиталь имеет n = 2 и l = 1. Количество угловых узлов = l = 1. Количество радиальных узлов = [(n-1) — l] = [1 — 1] = 0

Третья оболочка
В третьей электронной оболочке 3s-орбиталь имеет n = 3 и l = 0.Количество угловых узлов = l = 0. Количество радиальных узлов = [(n-1) — l] = [2 — 0] = 2

В третьей электронной оболочке 3p-орбиталь имеет n = 3 и l = 1. Количество угловых узлов = l = 1. Количество радиальных узлов = [(n-1) — l] = [2 — 1] = 1

В третьей электронной оболочке 3d-орбиталь имеет n = 3 и l = 2. Количество угловых узлов = l = 2. Количество радиальных узлов = [(n-1) — l] = [2 — 2] = 0

Значение фаз — конструктивное и деструктивное вмешательство

Тот факт, что фаза электронных орбиталей может быть положительной или отрицательной, имеет огромное значение для химии.

Когда орбитали взаимодействуют, те, у которых одинаковые знаковые фазы, конструктивно интерферируют.
Люди с непохожими знаками деструктивно вмешиваются.

Примером этого является орбитальная гибридизация.

Орбитальная гибридизация

Орбитальная гибридизация имеет фундаментальное значение для понимания органической химии.
Когда s-орбиталь и p-орбиталь гибридизуются, орбитальные фазы имеют решающее значение.
Это суммировано на следующей диаграмме, где положительная фаза 2s-орбитали и 2p-орбиталь взаимодействуют, образуя гибридную sp-орбиталь.

Рисунок 7

Схема формирования гибридной орбиты sp

Creative Commons
Рисунки 3, 5 и 6 основаны на орбитальных диаграммах, изначально подготовленных и любезно предоставленных UCDavis Chemwiki, CC BY-NC-SA 3.0 US.

is-number — npm

Возвращает истину, если значение является конечным числом.

Пожалуйста, подумайте о том, чтобы подписаться на автора этого проекта, Джона Шлинкерта, и подумайте о том, чтобы поставить проект в главной роли, чтобы показать свою ❤️ и поддержку.

Установить

Установить с npm:

 

$ npm install --save is-number

Зачем это нужно?

В JavaScript не всегда так просто, как должно быть, надежно проверить, является ли значение числом. Разработчики обычно используют + , - или Number () для преобразования строкового значения в число (например, когда значения возвращаются из пользовательского ввода, совпадений регулярных выражений, парсеров и т. Д.). Но есть много неинтуитивных крайних случаев, которые дают неожиданные результаты:

 

консоль.журнал (+ []);

console.log (+ '');

console.log (+ '');

console.log (тип NaN);

Эта библиотека предлагает эффективный способ сглаживания таких крайних случаев.

Использование

 

const isNumber = require ('is-number');

Дополнительные примеры см. В тестах.

правда

 

- число (5e3);

isNumber (0xff);

- число (-1,1);

- число (0);

- число (1);

isNumber (1.1);

- число (10);

- число (10.10);

- число (100);

isNumber ('- 1.1');

isNumber ('0');

- число ('012');

isNumber ('0xff');

- число ('1');

- число ('1.1');

- число ('10 ');

- число ('10,10');

- число ('100');

- число ('5e3');

isNumber (parseInt ('012'));

isNumber (parseFloat ('012'));

Ложь

Все остальное неверно, как и следовало ожидать:

 

- число (бесконечность);

- число (NaN);

isNumber (ноль);

isNumber (не определено);

- число ('');

- число ('');

isNumber ('foo');

isNumber ([1]);

isNumber ([]);

isNumber (функция () {});

isNumber ({});

История выпусков

7.0,0

  • Рефакторинг. Теперь использует .isFinite , если он существует.
  • Производительность примерно такая же, как и в версии 6.0, когда значение является строкой или числом. Но теперь он в 3–4 раза быстрее, когда значение не является строкой или числом.

6.0.0

  • Оптимизация, спасибо @benaadams.

5.0.0

Критические изменения

  • удалена поддержка instanceof Number и instanceof String

Контрольные точки

Как и все тесты, относитесь к ним с недоверием.См. Тесты для более подробной информации.

  # all
v7.0 x 413 222 операций / сек ± 2,02% (отобрано 86 прогонов)
v6.0 x 111061 операция / сек ± 1,29% (отобрано 85 прогонов)
parseFloat x 317 596 операций / сек ± 1,36% (отобрано 86 прогонов)
самый быстрый - v7.0

# нить
v7.0 x 3 054 496 операций / сек ± 1,05% (отобрано 89 прогонов)
v6.0 x 2,957,781 операций / сек. ± 0,98% (отобрано 88 прогонов)
parseFloat x 3071060 операций / сек ± 1,13% (отобрано 88 прогонов)
самый быстрый - parseFloat, v7.0

# номер
v7.0 x 3146895 операций в секунду ± 0,89% (отобрано 89 прогонов)
v6.0 x 3214038 операций / сек ± 1.07% (отобрано 89 прогонов)
parseFloat x 3 077 588 операций / сек ± 1,07% (отобрано 87 прогонов)
самый быстрый - v6.0
  

Около

Содействие

Запросы на вытягивание и звездочки всегда приветствуются. В случае ошибок и запросов функций, пожалуйста, создайте проблему.

Запуск тестов

Запуск и просмотр модульных тестов — отличный способ познакомиться с библиотекой и ее API. Вы можете установить зависимости и запустить тесты с помощью следующей команды:

 

$ npm install && npm test

Строительная документация

(Файл readme для этого проекта.md создается командой, пожалуйста, не редактируйте файл readme напрямую. Любые изменения в readme должны вноситься в шаблон readme .verb.md.)

Чтобы сгенерировать файл readme, выполните следующую команду:

 

$ npm install -g verbose / verb # dev verb-generate-readme && verb

Связанные проекты

Возможно, вас заинтересуют эти проекты:

Авторы

Автор

Джон Шлинкерт

Лицензия

Авторские права © 2018, Джон Шлинкерт.Выпущено по лицензии MIT.


Этот файл был сгенерирован командой verb-generate-readme, v0.6.0, 15 июня 2018 г.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *