Найти длину отрезка по координатам точек: Размещение рекламы на Studygide.ru — ошкольное образовательное учреждение № 4 «Алёнушка»

Содержание

Формула длины отрезка по двум точкам. Нахождение координат середины отрезка, примеры, решения. Метод координат в пространстве

Если вы хорошо заточенным карандашом прикоснетесь к тетрадному листу, то останется след, который дает представление о точке. (рис. 3
).

Отметим на листе бумаги две точки A
и B.
Эти точки можно соединить различными линиями (рис. 4
). А как соединить точки A
и B
самой короткой линией? Это можно сделать с помощь линейки (рис. 5
). Полученную линию называют отрезком
.

Точка и отрезок − примеры геометрических фигур
.

Точки A
и B
называют концами отрезка
.

Существует единственный отрезок, концами которого являются точки A
и B.
Поэтому отрезок обозначают, записывая точки, которые являются его концами. Например, отрезок на рисунке 5
обозначают одним из двух способов: AB
или BA.
Читают: «отрезок AB»
или «отрезок BA».

На рисунке 6
изображены три отрезка. Длина отрезка AB
равна 1
см. Он помещается в отрезке MN
ровно три раза, а в отрезке EF −
ровно 4
раза. Будем говорить, что длина отрезка
MN
равна 3
см, а длина отрезка EF −
4
см.

Также принято говорить: «отрезок MN
равен 3
см», «отрезок EF
равен 4
см». Пишут: MN =
3
см, EF =
4
см.

Длины отрезков MN
и EF
мы измерили единичным отрезком
, длина которого равна 1
см. Для измерения отрезков можно выбрать и другие единицы длины
, например: 1
мм, 1
дм, 1
км. На рисунке 7
длина отрезка равна 17
мм. Он измерен единичным отрезком, длина которого равна 1
мм, с помощью линейки с делениями. Также с помощью линейки можно построить (начертить) отрезок заданной длины (см. рис. 7
).

Вообще, измерить отрезок означает подсчитать, сколько единичных отрезков в нем помещается
.

Длина отрезка обладает следующим свойством.

Если на отрезке AB
отметить точку C,
то длина отрезка AB
равна сумме длин отрезков AC
и CB

(рис. 8
).

Пишут: AB = AC + CB.

На рисунке 9
изображены два отрезка AB
и CD.
Эти отрезки при наложении совпадут.

Два отрезка называют равными, если они совпадут при наложении.

Следовательно отрезки AB
и CD
равны. Пишут: AB = CD.

Равные отрезки имеют равные длины.

Из двух неравных отрезков бОльшим будем считать тот, у уоторого длина больше. Например, на рисунке 6
отрезок EF
больше отрезка MN.

Длину отрезка AB
называют расстоянием

между точками A
и B.

Если несколько отрезков расположить так, как показано на рисунке 10,
то получится геометрическая фигура, которую называют ломаная

. Заметим, что все отрезки на рисунке 11
ломаную не образуют. Считают, что отрезки, образуют ломаную, если конец первого отрезка совпадает с концом второго, а другой конец второго отрезка − с концом третьего и т. д.

Точки A, B, C, D, E −
вершины ломаной

ABCDE,
точки A
и E −
концы ломаной

, а отрезки AB, BC, CD, DE −
ее звенья

(см. рис. 10
).

Длиной ломаной
называют сумму длин всех ее звеньев.

На рисунке 12
изображены две ломаные, концы которых совпадают. Такие ломаные называют замкнутыми
.

Пример 1

. Отрезок BC
на 3
см меньше отрезка AB,
длина которого равна 8
см (рис. 13
). Найдите длину отрезка AC.

Решение. Имеем: BC =
8
− 3
= 5
(см).

Воспользовавшись свойством длины отрезка, можно записать AC = AB + BC.
Отсюда AC =
8
+ 5
= 13
(см).

Ответ: 13
см.

Пример 2

. Известно, что MK =
24
см, NP =
32
см, MP =
50
см (рис. 14
). Найдите длину отрезка NK.

Решение. Имеем: MN = MP − NP.

Отсюда MN =
50
− 32
= 18
(см).

Имеем: NK = MK − MN.

Отсюда NK =
24
− 18
= 6
(см).

Ответ: 6
см.

Отрезком
называют часть прямой линии, состоящей из всех точек этой линии, которые расположены между данными двумя точками — их называют концами отрезка.

Рассмотрим первый пример. Пусть в плоскости координат задан двумя точками некий отрезок. В данном случае его длину мы можем найти, применяя теорему Пифагора.

Итак, в системе координат начертим отрезок с заданными координатами его концов
(x1; y1)

и
(x2; y2)

. На оси
X

и
Y

из концов отрезка опустим перпендикуляры. Отметим красным цветом отрезки, которые являются на оси координат проекциями от исходного отрезка. После этого перенесем параллельно к концам отрезков отрезки-проекции. Получаем треугольник (прямоугольный). Гипотенузой у данного треугольника станет сам отрезок АВ, а его катетами являются перенесенные проекции.

Вычислим длину данных проекций. Итак, на ось Y

длина проекции равна y2-y1

, а на ось Х

длина проекции равна x2-x1

. Применим теорему Пифагора: |AB|² = (y2 — y1)² + (x2 — x1)²

. В данном случае |AB|

является длиной отрезка.

Если использовать данную схему для вычисления длины отрезка, то можно даже отрезок и не строить. Теперь высчитаем, какова длина отрезка с координатами (1;3)

и (2;5)

. Применяя теорему Пифагора, получаем: |AB|² = (2 — 1)² + (5 — 3)² = 1 + 4 = 5

. А это значит, что длина нашего отрезка равна 5:1/2

.

Рассмотрим следующий способ нахождения длины отрезка. Для этого нам необходимо знать координаты двух точек в какой-либо системе. Рассмотрим данный вариант, применяя двухмерную Декартову систему координат.

Итак, в двухмерной системе координат даны координаты крайних точек отрезка. Если проведем прямые лини через эти точки, они должны быть перпендикулярными к оси координат, то получим прямоугольный треугольник. Исходный отрезок будет гипотенузой полученного треугольника. Катеты треугольника образуют отрезки, их длина равна проекции гипотенузы на оси координат. Исходя из теоремы Пифагора, делаем вывод: для того чтобы найти длину данного отрезка, нужно найти длины проекций на две оси координат.

Найдем длины проекций (X и Y)

исходного отрезка на координатные оси. Их вычислим путем нахождения разницы координат точек по отдельной оси: X = X2-X1, Y = Y2-Y1

.

Рассчитаем длину отрезка А

, для этого найдем квадратный корень:

A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²)

.

Если наш отрезок расположен между точками, координаты которых 2;4

и 4;1

, то его длина, соответственно, равна √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61

.

Определить длину отрезка возможно разными способами. Для того чтобы узнать, как найти длину отрезка, достаточно иметь в наличии линейку или знать специальные формулы для расчета.

Длина отрезка с помощью линейки

Для этого прикладываем к построенному на плоскости отрезку линейку с миллиметровыми делениями, причем начальную точку необходимо совместить с нулем шкалы линейки. Затем следует отметить на данной шкале расположение конечной точки данного отрезка. Полученное количество целых делений шкалы и будет являться длиной отрезка, выраженной в см. и мм.

Метод координат на плоскости

Если известны координаты отрезка (х1;у1) и (х2;у2), то следует рассчитать его длину следующим образом. Из координат на плоскости второй точки следует вычесть координаты первой точки. В итоге должно получиться два числа. Каждое из таких чисел необходимо возвести в квадрат, а потом найти сумму этих квадратов. Из полученного числа следует извлечь квадратный корень, который будет являться расстоянием между точками. Поскольку данные точки являются концами отрезка, то данное значение и будет его длиной.

Рассмотрим пример, как найти длину отрезка по координатам. Есть координаты двух точек (-1;2) и (4;7). При нахождении разности координат точек получаем следующие значения: х = 5, у =5. Полученные числа и будут являться координатами отрезка. Затем каждое число возводим в квадрат и находим сумму результатов, она равна 50. Из этого числа извлекаем квадратный корень. Результат таков: 5 корней из 2. Это длина отрезка.

Метод координат в пространстве

Для этого необходимо рассмотреть, как найти длину вектора. Именно он и будет являться отрезком в евклидовом пространстве. Находится он почти таким же образом, как длина отрезка на плоскости. Построение вектора происходит в разных плоскостях
. Как найти длину вектора?

Найдите координаты вектора, для этого из координат его конечной точки нужно вычесть координаты его начальной точки.
После этого нужно возвести каждую координату вектора в квадрат.
Затем складываем квадраты координат.
Чтобы найти длину вектора, нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов координат.

Рассмотрим алгоритм вычисления на примере. Необходимо найти координаты вектора АВ. Точки А и В имеют следующие координаты: А (1;6;3) и В (3;-1;7). Начало вектора лежит в точке А, конец расположен в точке В. Таким образом, чтобы найти его координаты, необходимо вычесть координаты точки А из координат точки В: (3 — 1; -1 — 6;7 — 3) = (2;-7;4).

Теперь возводим каждую координату в квадрат и складываем их: 4+49+16=69. И наконец, извлекает квадратный корень из данного числа. Его трудно извлечь, поэтому результат записываем таким образом: длина вектора равна корню из 69.

Если же вам не важно самому высчитывать длину отрезков и векторов, а нужен просто результат, то вы можете воспользоваться онлайн-калькулятором, например, этим .

Теперь, изучив данные способы и рассмотрев представленные примеры, вы без проблем сможете найти длину отрезка в любой задаче.

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Примечание:
Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: и , но более стандартен первый вариант

Пример 3

Решение:
по соответствующей формуле:

Ответ:

Для наглядности выполню чертёж

Отрезок – это не вектор
, и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.

Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:

Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».

Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:

Обратите внимание на важный технический приём
– вынесение множителя из-под корня
. В результате вычислений у нас получился результат и хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: . Конечно, оставить ответ в виде не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.

Вот другие распространенные случаи:

Нередко под корнем получается достаточно большое число, например . Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: . Да, разделилось нацело, таким образом: . А может быть, число ещё раз удастся разделить на 4? . Таким образом: . У числа последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: . В результате:
Готово.

Вывод:
если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.

В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.

Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:

Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.

Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:

Пример 4

Даны точки и . Найти длину отрезка .

Решение и ответ в конце урока.

Существуют три основных системы координат, используемых в геометрии, теоретической механике, других разделах физики: декартова, полярная и сферическая. В этих системах координат каждая точка имеет три координаты. Зная координаты двух точек, можно определить расстояние между этими двумя точками.

Вам понадобится

Декартовы, полярные и сферические координаты концов отрезка

Инструкция

Рассмотрите для начала прямоугольную декартову систему координат. Положение точки в пространстве в этой системе координат определяется координатами
x,y и z. Из начала координат к точке проводится радиус-вектор. Проекции этого радиус-вектора на координатные оси и будут координатами
этой точки.
Пусть у вас теперь есть две точки с координатами
x1,y1,z1 и x2,y2 и z2 соответственно.2))

Пусть отрезок задан двумя точками в плоскости координат, тогда можно найти его длину с помощью теоремы Пифагора.

Инструкция

Пусть заданы координаты концов отрезка (x1- y1) и (x2- y2). Начертите отрезок в системе координат.

Опустите перпендикуляры из концов отрезка на оси X и Y. Отрезки, отмеченные на рисунке красным, являются проекциями исходного отрезка на оси координат.

Если выполнить параллельный перенос, отрезков-проекций к концам отрезков, то получится прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника будут являться перенесенные проекции, а гипотенузой — сам отрезок AB.

Длины проекций легко вычисляются. Длина проекции на ось Y будет равна y2-y1, а длина проекции на ось X — x2-x1. Тогда по теореме Пифагора |AB|²- = (y2 — y1)²- + (x2 — x1)²-, где |AB| — длина отрезка.

Представив эту схему нахождения длины отрезка в общем случае, легко вычислять длину отрезка, не строя отрезок. Посчитаем длину отрезка, координаты концов которого (1-3) и (2-5).1/2.

Как найти длину зная координаты точек. Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения

Рассчитаем длину отрезка А

, для этого найдем квадратный корень:

A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²)

.

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Примечание:

Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты:
и
, но более стандартен первый вариант

Пример 3

Решение:
по соответствующей формуле:

Ответ:

Для наглядности выполню чертёж

Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:

Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:

Вот другие распространенные случаи:

Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:

Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:

Пример 4

Даны точки и . Найти длину отрезка .

Решение и ответ в конце урока.

В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.

Yandex.RTB R-A-339285-1
Определение 1

Отрезок
– прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок A B .

Если отрезок A B продолжить в обе стороны от точек A и B , мы получим прямую A B . Тогда отрезок A B – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B . Отрезок A B объединяет точки A и B , являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K , лежащую между точками A и B , можно сказать, что точка K лежит на отрезке A B .

Определение 2

Длина отрезка
– расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка A B обозначим следующим образом: A B .

Определение 3

Середина отрезка
– точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка A B обозначить точкой C , то верным будет равенство: A C = C B

Исходные данные: координатная прямая O x и несовпадающие точки на ней: A и B . Этим точкам соответствуют действительные числа
x A и
x B . Точка C – середина отрезка A B: необходимо определить координату
x C .

Поскольку точка C является серединой отрезка А В, верным будет являться равенство: | А С | = | С В | . Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т.е.

| А С | = | С В | ⇔ x C — x A = x B — x C

Тогда возможно два равенства: x C — x A = x B — x C и x C — x A = — (x B — x C)

Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C: x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка).

Из второго равенста получим: x A = x B , что невозможно, т.к. в исходных данных — несовпадающие точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка A B с концами A (x A) и
B (x B):

Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.

Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости О x y , две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами A x A , y A и B x B , y B . Точка C – середина отрезка A B . Необходимо определить координаты x C и y C для точки C .

Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. A x , A y ; B x , B y и C x , C y — проекции точек A , B и C на оси координат (прямые О х и О y).

Согласно построению прямые A A x , B B x , C C x параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства А С = С В следуют равенства: А x С x = С x В x и А y С y = С y В y , и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка С x – середина отрезка А x В x , а С y – середина отрезка А y В y . И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:

x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2

Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:

Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка A B на плоскости с координатами концов
A (x A , y A) и
B (x B , y B) определяются как
:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Исходные данные: система координат О x y z и две произвольные точки с заданными координатами A (x A , y A , z A) и B (x B , y B , z B) . Необходимо определить координаты точки C , являющейся серединой отрезка A B .

A x , A y , A z ; B x , B y , B z и C x , C y , C z — проекции всех заданных точек на оси системы координат.

Согласно теореме Фалеса верны равенства: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Следовательно, точки C x , C y , C z являются серединами отрезков A x B x , A y B y , A z B z соответственно. Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.

Исходные данные: прямоугольная декартова система координат O x y , точки с заданными координатами A (x A , y A) и B (x B , x B) . Точка C – середина отрезка A B .

Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов O A → и O B → , т.е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах и получим:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Следовательно, точка C имеет координаты:

x A + x B 2 , y A + y B 2

По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.

Пример 1

Исходные данные:
на плоскости – точки с заданными координатами А (- 7 , 3) и В (2 , 4) . Необходимо найти координаты середины отрезка А В.

Решение

Обозначим середину отрезка A B точкой C . Координаты ее буду определяться как полусумма координат концов отрезка, т.е. точек A и B .

x C = x A + x B 2 = — 7 + 2 2 = — 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Ответ
: координаты середины отрезка А В — 5 2 , 7 2 .

Пример 2

Исходные данные:
известны координаты треугольника А В С: А (- 1 , 0) , В (3 , 2) , С (9 , — 8) . Необходимо найти длину медианы А М.

Решение

По условию задачи A M – медиана, а значит M является точкой середины отрезка B C . В первую очередь найдем координаты середины отрезка B C , т.е. точки M:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = — 3

Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы А М:

A M = (6 — (- 1)) 2 + (- 3 — 0) 2 = 58

Ответ:
58

Пример 3

Исходные данные:
в прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Заданы координаты точки C 1 (1 , 1 , 0) , а также определена точка M , являющаяся серединой диагонали B D 1 и имеющая координаты M (4 , 2 , — 4) . Необходимо рассчитать координаты точки А.

Решение

Диагонали параллелепипеда имеют пересечение в одной точке, которая при этом является серединой всех диагоналей. Исходя из этого утверждения, можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка А С 1 . Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, найдем координаты точки А: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 · x M — x C 1 = 2 · 4 — 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 · y M — y C 1 = 2 · 2 — 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 · z M — z C 1 = 2 · (- 4) — 0 = — 8

Ответ:
координаты точки А (7 , 3 , — 8) .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Существуют три основных системы координат, используемых в геометрии, теоретической механике, других разделах физики: декартова, полярная и сферическая. В этих системах координат вся точка имеет три координаты. Зная координаты 2-х точек, дозволено определить расстояние между этими двумя точками.

Вам понадобится

Декартовы, полярные и сферические координаты концов отрезка

Инструкция

1.
Разглядите для начала прямоугольную декартову систему координат. Расположение точки в пространстве в этой системе координат определяется координатами
x,y и z. Из начала координат к точке проводится радиус-вектор. Проекции этого радиус-вектора на координатные оси и будут координатами
этой точки.Пускай у вас сейчас есть две точки с координатами
x1,y1,z1 и x2,y2 и z2 соответственно. Обозначьте за r1 и r2, соответственно, радиус-векторы первой и 2-й точки. Видимо, что расстояние между этими двумя точками будет равно модулю вектора r = r1-r2, где (r1-r2) – векторная разность.Координаты вектора r, видимо, будут следующими: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Тогда модуль вектора r либо расстояние между двумя точками будет равно: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2)).2))

Видео по теме

Длина отрезка с помощью линейки

Метод координат на плоскости

Метод координат в пространстве

Найдите координаты вектора, для этого из координат его конечной точки нужно вычесть координаты его начальной точки.
После этого нужно возвести каждую координату вектора в квадрат.
Затем складываем квадраты координат.
Чтобы найти длину вектора, нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов координат.

Найти длину отрезка по координатам точек формула. Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения

Yandex.RTB R-A-339285-1
Определение 1

Определение 2

Определение 3

| А С | = | С В | ⇔ x C — x A = x B — x C

Тогда возможно два равенства: x C — x A = x B — x C и x C — x A = — (x B — x C)

Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C: x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка).

x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

A x , A y , A z ; B x , B y , B z и C x , C y , C z — проекции всех заданных точек на оси системы координат.

Согласно теореме Фалеса верны равенства: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Следовательно, точка C имеет координаты:

x A + x B 2 , y A + y B 2

По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Пример 1

Решение

x C = x A + x B 2 = — 7 + 2 2 = — 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Ответ
: координаты середины отрезка А В — 5 2 , 7 2 .

Пример 2

Решение

По условию задачи A M – медиана, а значит M является точкой середины отрезка B C . В первую очередь найдем координаты середины отрезка B C , т.е. точки M:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = — 3

Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы А М:

A M = (6 — (- 1)) 2 + (- 3 — 0) 2 = 58

Ответ:
58

Пример 3

Решение

Ответ:
координаты точки А (7 , 3 , — 8) .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Длина отрезка с помощью линейки

Метод координат на плоскости

Метод координат в пространстве

Найдите координаты вектора, для этого из координат его конечной точки нужно вычесть координаты его начальной точки.
После этого нужно возвести каждую координату вектора в квадрат.
Затем складываем квадраты координат.
Чтобы найти длину вектора, нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов координат.

Точка и отрезок − примеры геометрических фигур
.

Точки A
и B
называют концами отрезка
.

Также принято говорить: «отрезок MN
равен 3
см», «отрезок EF
равен 4
см». Пишут: MN =
3
см, EF =
4
см.

Вообще, измерить отрезок означает подсчитать, сколько единичных отрезков в нем помещается
.

Длина отрезка обладает следующим свойством.

Если на отрезке AB
отметить точку C,
то длина отрезка AB
равна сумме длин отрезков AC
и CB

(рис. 8
).

Пишут: AB = AC + CB.

На рисунке 9
изображены два отрезка AB
и CD.
Эти отрезки при наложении совпадут.

Два отрезка называют равными, если они совпадут при наложении.

Следовательно отрезки AB
и CD
равны. Пишут: AB = CD.

Равные отрезки имеют равные длины.

Длину отрезка AB
называют расстоянием

между точками A
и B.

Точки A, B, C, D, E −
вершины ломаной

ABCDE,
точки A
и E −
концы ломаной

, а отрезки AB, BC, CD, DE −
ее звенья

(см. рис. 10
).

Длиной ломаной
называют сумму длин всех ее звеньев.

На рисунке 12
изображены две ломаные, концы которых совпадают. Такие ломаные называют замкнутыми
.

Пример 1

. Отрезок BC
на 3
см меньше отрезка AB,
длина которого равна 8
см (рис. 13
). Найдите длину отрезка AC.

Решение. Имеем: BC =
8
− 3
= 5
(см).

Воспользовавшись свойством длины отрезка, можно записать AC = AB + BC.
Отсюда AC =
8
+ 5
= 13
(см).

Ответ: 13
см.

Пример 2

. Известно, что MK =
24
см, NP =
32
см, MP =
50
см (рис. 14
). Найдите длину отрезка NK.

Решение. Имеем: MN = MP − NP.

Отсюда MN =
50
− 32
= 18
(см).

Имеем: NK = MK − MN.

Отсюда NK =
24
− 18
= 6
(см).

Ответ: 6
см.

Рассчитаем длину отрезка А

, для этого найдем квадратный корень:

A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²)

.

Длина отрезка если известны координаты точек

Итак, в системе координат начертим отрезок с заданными координатами его концов (x1; y1) и (x2; y2) . На оси X и Y из концов отрезка опустим перпендикуляры. Отметим красным цветом отрезки, которые являются на оси координат проекциями от исходного отрезка. После этого перенесем параллельно к концам отрезков отрезки-проекции. Получаем треугольник (прямоугольный). Гипотенузой у данного треугольника станет сам отрезок АВ, а его катетами являются перенесенные проекции.

Вычислим длину данных проекций. Итак, на ось Y длина проекции равна y2-y1, а на ось Х длина проекции равна x2-x1. Применим теорему Пифагора: |AB|² = (y2 – y1)² + (x2 – x1)². В данном случае |AB| является длиной отрезка.

Если использовать данную схему для вычисления длины отрезка, то можно даже отрезок и не строить. Теперь высчитаем, какова длина отрезка с координатами (1;3) и (2;5). Применяя теорему Пифагора, получаем: |AB|² = (2 – 1)² + (5 – 3)² = 1 + 4 = 5. А это значит, что длина нашего отрезка равна 5:1/2.

Найдем длины проекций (X и Y) исходного отрезка на координатные оси. Их вычислим путем нахождения разницы координат точек по отдельной оси: X = X2-X1, Y = Y2-Y1.

Рассчитаем длину отрезка А, для этого найдем квадратный корень:

Если наш отрезок расположен между точками, координаты которых 2;4 и 4;1, то его длина, соответственно, равна √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61.

Отрезком обозначают ограниченный двумя точками участок прямой. Точки – концы отрезка.

Общеизвестный факт, что каждая точка А плоскости имеет свои координаты (х, у).

В данном примере вектор AB задан координатами (х₂— х₁, y₂— y₁). Квадрат длины вектора будет равен сумме квадратов его координат. Следовательно, расстояние d между точками А и В, или, что то же самое, длина вектора АВ, вычисляется согласно формуле:

Эта формула длины отрезка предоставляет возможность рассчитывать расстояние между двумя произвольными точками плоскости, при условии, что известны координаты этих точек

Вышеуказанную формулу длины отрезка можно доказать и другим способом. В системе координат заданы координаты крайних точек отрезка координатами его концов(х₁y₁) и (х₂,у₂).

Прочертим прямые лини через эти точки перпендикулярно к осям координат, в результате имеем прямоугольный треугольник. Первоначальный отрезок является гипотенузой образовавшегося треугольника. Катеты треугольника сформированы отрезками, их длиной будет проекция гипотенузы на оси координат.

Установим длину этих проекций.

На ось у длина проекции равна y₂ – y₁, а на ось х длина проекции равна х₂ – х₁. На основании теоремы Пифагора видим, что |AB|² = (y₂ – y₁)² + (x₂ – x₁)².

В рассмотренном случае |AB| выступает длиной отрезка.

Вычислим длину отрезка АВ, для этого извлечем квадратный корень. Результатом является все та же формула длины отрезков по известным координатам конца и начала.

Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок A B .

Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка A B обозначим следующим образом: A B .

Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка A B обозначить точкой C , то верным будет равенство: A C = C B

И далее мы рассмотрим, как же определять координаты середины отрезка (точки C ) при заданных координатах концов отрезка ( A и B ), расположенных на координатной прямой или в прямоугольной системе координат.

Середина отрезка на координатной прямой

Исходные данные: координатная прямая O x и несовпадающие точки на ней: A и B . Этим точкам соответствуют действительные числа x A и x B . Точка C – середина отрезка A B : необходимо определить координату x C .

Поскольку точка C является серединой отрезка А В , верным будет являться равенство: | А С | = | С В | . Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т.е.

| А С | = | С В | ⇔ x C – x A = x B – x C

Тогда возможно два равенства: x C – x A = x B – x C и x C – x A = – ( x B – x C )

Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C : x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка).

Из второго равенста получим: x A = x B , что невозможно, т.к. в исходных данных – несовпадающие точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка A B с концами A ( x A ) и B ( x B ):

Середина отрезка на плоскости

Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. A x , A y ; B x , B y и C x , C y – проекции точек A , B и C на оси координат (прямые О х и О y ).

x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2

Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка A B на плоскости с координатами концов A ( x A , y A ) и B ( x B , y B ) определяются как:

( x A + x B 2 , y A + y B 2 )

Середина отрезка в пространстве

Исходные данные: система координат О x y z и две произвольные точки с заданными координатами A ( x A , y A , z A ) и B ( x B , y B , z B ) . Необходимо определить координаты точки C , являющейся серединой отрезка A B .

A x , A y , A z ; B x , B y , B z и C x , C y , C z – проекции всех заданных точек на оси системы координат.

Согласно теореме Фалеса верны равенства: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Исходные данные: прямоугольная декартова система координат O x y , точки с заданными координатами A ( x A , y A ) и B ( x B , x B ) . Точка C – середина отрезка A B .

Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов O A → и O B → , т.е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: O A → = ( x A , y A ) , O B → = ( x B , y B ) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах и получим:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Следовательно, точка C имеет координаты:

x A + x B 2 , y A + y B 2

По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:

C ( x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2 )

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Исходные данные: на плоскости – точки с заданными координатами А ( – 7 , 3 ) и В ( 2 , 4 ) . Необходимо найти координаты середины отрезка А В .

Решение

x C = x A + x B 2 = – 7 + 2 2 = – 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Ответ: координаты середины отрезка А В – 5 2 , 7 2 .

Исходные данные: известны координаты треугольника А В С : А ( – 1 , 0 ) , В ( 3 , 2 ) , С ( 9 , – 8 ) . Необходимо найти длину медианы А М .

Решение

По условию задачи A M – медиана, а значит M является точкой середины отрезка B C . В первую очередь найдем координаты середины отрезка B C , т.е. точки M :

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + ( – 8 ) 2 = – 3

Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М ), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы А М :

A M = ( 6 – ( – 1 ) ) 2 + ( – 3 – 0 ) 2 = 58

Ответ: 58

Исходные данные: в прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Заданы координаты точки C 1 ( 1 , 1 , 0 ) , а также определена точка M , являющаяся серединой диагонали B D 1 и имеющая координаты M ( 4 , 2 , – 4 ) . Необходимо рассчитать координаты точки А .

Решение

Диагонали параллелепипеда имеют пересечение в одной точке, которая при этом является серединой всех диагоналей. Исходя из этого утверждения, можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка А С 1 . Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, найдем координаты точки А : x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 · x M – x C 1 = 2 · 4 – 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 · y M – y C 1 = 2 · 2 – 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 · z M – z C 1 = 2 · ( – 4 ) – 0 = – 8

Ответ: координаты точки А ( 7 , 3 , – 8 ) .

Как вычислить длину отрезка зная координаты

Итак, в системе координат начертим отрезок с заданными координатами его концов (x1; y1) и (x2; y2) . На оси X и Y из концов отрезка опустим перпендикуляры. Отметим красным цветом отрезки, которые являются на оси координат проекциями от исходного отрезка. После этого перенесем параллельно к концам отрезков отрезки-проекции. Получаем треугольник (прямоугольный). Гипотенузой у данного треугольника станет сам отрезок АВ, а его катетами являются перенесенные проекции.

Если использовать данную схему для вычисления длины отрезка, то можно даже отрезок и не строить. Теперь высчитаем, какова длина отрезка с координатами (1;3) и (2;5). Применяя теорему Пифагора, получаем: |AB|² = (2 – 1)² + (5 – 3)² = 1 + 4 = 5. А это значит, что длина нашего отрезка равна 5:1/2.

Найдем длины проекций (X и Y) исходного отрезка на координатные оси. Их вычислим путем нахождения разницы координат точек по отдельной оси: X = X2-X1, Y = Y2-Y1.

Рассчитаем длину отрезка А, для этого найдем квадратный корень:

Если наш отрезок расположен между точками, координаты которых 2;4 и 4;1, то его длина, соответственно, равна √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61.

Отрезком обозначают ограниченный двумя точками участок прямой. Точки – концы отрезка.

Общеизвестный факт, что каждая точка А плоскости имеет свои координаты (х, у).

Установим длину этих проекций.

В рассмотренном случае |AB| выступает длиной отрезка.

Этот онлайн калькулятор рассчитывает длину отрезка и координаты середины отрезка (средней точки) по декартовым координатам концов отрезка. Отрезок и средняя точка отображаются на графике, также на графике показан графический способ нахождения середины отрезка.

Эта страница существует благодаря следующим персонам

Timur

Статья : Расчет длины отрезка и координат середины отрезка по двум точкам – Автор, Переводчик en – ru
Калькулятор : Расчет длины отрезка и координат середины отрезка по двум точкам – Автор, Переводчик en – ru

Этот онлайн калькулятор рассчитывает длину отрезка и координаты середины отрезка по введенным декартовым координатам двух точек – концов отрезка.

Формула вычисления расстояния между двумя точками и это формула длины гипотенузы прямоугольного треугольника . Координаты середины отрезка – среднее арифметическое координат точек .

Отрезок и средняя точка отображаются на графике. Также среднюю точку можно найти построением. Для этого на графике надо построить две дуги с центрами на концах отрезка и с радиусом равным длине отрезка. Затем надо построить прямую линию между точками пересечения дуг. Эта линия пересечет исходный отрезок в середине.

Как найти длину отрезка зная координаты точек. Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения

Точка и отрезок − примеры геометрических фигур
.

Точки A
и B
называют концами отрезка
.

Также принято говорить: «отрезок MN
равен 3
см», «отрезок EF
равен 4
см». Пишут: MN =
3
см, EF =
4
см.

Вообще, измерить отрезок означает подсчитать, сколько единичных отрезков в нем помещается
.

Длина отрезка обладает следующим свойством.

Если на отрезке AB
отметить точку C,
то длина отрезка AB
равна сумме длин отрезков AC
и CB

(рис. 8
).

Пишут: AB = AC + CB.

На рисунке 9
изображены два отрезка AB
и CD.
Эти отрезки при наложении совпадут.

Два отрезка называют равными, если они совпадут при наложении.

Следовательно отрезки AB
и CD
равны. Пишут: AB = CD.

Равные отрезки имеют равные длины.

Длину отрезка AB
называют расстоянием

между точками A
и B.

Точки A, B, C, D, E −
вершины ломаной

ABCDE,
точки A
и E −
концы ломаной

, а отрезки AB, BC, CD, DE −
ее звенья

(см. рис. 10
).

Длиной ломаной
называют сумму длин всех ее звеньев.

На рисунке 12
изображены две ломаные, концы которых совпадают. Такие ломаные называют замкнутыми
.

Пример 1

. Отрезок BC
на 3
см меньше отрезка AB,
длина которого равна 8
см (рис. 13
). Найдите длину отрезка AC.

Решение. Имеем: BC =
8
− 3
= 5
(см).

Воспользовавшись свойством длины отрезка, можно записать AC = AB + BC.
Отсюда AC =
8
+ 5
= 13
(см).

Ответ: 13
см.

Пример 2

. Известно, что MK =
24
см, NP =
32
см, MP =
50
см (рис. 14
). Найдите длину отрезка NK.

Решение. Имеем: MN = MP − NP.

Отсюда MN =
50
− 32
= 18
(см).

Имеем: NK = MK − MN.

Отсюда NK =
24
− 18
= 6
(см).

Ответ: 6
см.

Длина отрезка с помощью линейки

Метод координат на плоскости

Метод координат в пространстве

Найдите координаты вектора, для этого из координат его конечной точки нужно вычесть координаты его начальной точки.
После этого нужно возвести каждую координату вектора в квадрат.
Затем складываем квадраты координат.
Чтобы найти длину вектора, нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов координат.

Существует целая группа заданий (входящих в экзаменационные типы задач), связанная с координатной плоскостью. Это задачи начиная с самых элементарных, которые решаются устно (определение ординаты или абсциссы заданной точки, либо точки симметричной заданной и другие), заканчивая задачами в которых требуется качественное знание, понимание и хорошие навыки (задачи связанные с угловым коэффициентом прямой).

Постепенно мы с вами рассмотрим все их. В этой статье начнём с элементарных. Это простые задачи на определение: абсциссы и ординаты точки, длинны отрезка, середины отрезка, синуса или косинуса угла наклона прямой.
Большинству эти задания будут не интересны. Но изложить их считаю необходимым.

Дело в том, что не все учатся в школе. Очень многие сдают ЕГЭ спустя 3-4 и более лет после её окончания и что такое абсцисса и ордината помнят смутно. Будем разбирать и другие задачи, связанные с координатной плоскостью, не пропустите, подпишитесь, на обновление блога. Теперь н
емного теории.

Построим на координатной плоскости точку А с координатами х= 6, y=3.

Говорят, что абсцисса точки А равна шести, ордината точки А равна трём.

Если выразиться просто, то ось ох это ось абсцисс, ось оу это ость ординат.

То есть, абсцисса это точка на оси ох в которую проецируется точка заданная на координатной плоскости; ордината это точка на оси оу в которую проецируется оговоренная точка.

Длина отрезка на координатной плоскости

Формула для определения длины отрезка, если известны координаты его концов:

Как вы видите, длина отрезка — это длина гипотенузы в прямоугольными треугольнике с катетами равными

Х В – Х А и У В – У А

* * *

Середина отрезка. Её Координаты.

Формула для нахождения координат середины отрезка:

Уравнение прямой проходящей через две данные точки

Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:

где (х 1
;у 1
) и (х 2
;у 2
) координаты заданных точек.

Подставив значения координат в формулу, она приводится к виду:

y = kx + b
, где k — это угловой коэффициент прямой

Эта информация нам понадобиться при решении другой группы задач связанных с координатной плоскостью. Статья об этом будет, не пропустите!

Что ещё можно добавить?

Угол наклона прямой (или отрезка) это угол между осью оХ и этой прямой, лежит в пределах от 0 до 180 градусов.

Рассмотрим задачи.

Из точки (6;8) опущен перпендикуляр на ось ординат. Найдите ординату основания перпендикуляра.

Основание перпендикуляра опущенного на ось ординат будет иметь координаты (0;8). Ордината равна восьми.

Ответ: 8

Найдите расстояние от точки A
с координатами (6;8) до оси ординат.

Расстояние от точки А до оси ординат равно абсциссе точки А.

Ответ: 6.

A
(6;8) относительно оси Ox
.

Точка симметричная точке А относительно оси оХ имеет координаты (6;– 8).

Ордината равна минус восьми.

Ответ: – 8

Найдите ординату точки, симметричной точке A
(6;8) относительно начала координат.

Точка симметричная точке А относительно начала координат имеет координаты (– 6;– 8).

Её ордината равна – 8.

Ответ: –8

Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки
O
(0;0) и
A
(6;8).

Для того, решить поставленную задачу необходимо найти координаты середины отрезка. Координаты концов нашего отрезка (0;0) и (6;8).

Вычисляем по формуле:

Получили (3;4). Абсцисса равна трём.

Ответ: 3

*Абсциссу середины отрезка можно определить без вычисления по формуле, построив данный отрезок на координатной плоскости на листе в клетку. Середину отрезка несложно будет определить по клеткам.

Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки A
(6;8) и B
(–2;2).

Для того, решить поставленную задачу необходимо найти координаты середины отрезка. Координаты концов нашего отрезка (–2;2) и (6;8).

Вычисляем по формуле:

Получили (2;5). Абсцисса равна двум.

Ответ: 2

*Абсциссу середины отрезка можно определить без вычисления по формуле, построив данный отрезок на координатной плоскости на листе в клетку.

Найдите длину отрезка, соединяющего точки (0;0) и (6;8).

Длина отрезка при данных координатах его концов вычисляется по формуле:

в нашем случае имеем О(0;0) и А(6;8). Значит,

*Порядок координат при вычитании не имеет значения. Можно из абсциссы и ординаты точки О вычесть абсциссу и ординату точки А:

Ответ:10

Найдите косинус угла наклона отрезка, соединяющего точки O
(0;0) и A
(6;8), с осью абсцисс.

Угол наклона отрезка – это угол между этим отрезком и осью оХ.

Из точки А опустим перпендикуляр на ось оХ:

То есть, угол наклона отрезка это угол
ВОА
в прямоугольном треугольнике АВО.

Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике является

отношение прилежащего катета к гипотенузе

Необходимо найти гипотенузу
ОА.

По теореме Пифагора:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Таким образом, косинус угла наклона равен 0,6

Ответ: 0,6

Из точки (6;8) опущен перпендикуляр на ось абсцисс. Найдите абсциссу основания перпендикуляра.

Через точку (6;8) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Найдите ординату ее точки пересечения с осью оУ
.

Найдите расстояние от точки A
с координатами (6;8) до оси абсцисс.

Найдите расстояние от точки A
с координатами (6;8) до начала координат.

Yandex.RTB R-A-339285-1
Определение 1

Определение 2

Определение 3

| А С | = | С В | ⇔ x C — x A = x B — x C

Тогда возможно два равенства: x C — x A = x B — x C и x C — x A = — (x B — x C)

Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C: x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка).

x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

A x , A y , A z ; B x , B y , B z и C x , C y , C z — проекции всех заданных точек на оси системы координат.

Согласно теореме Фалеса верны равенства: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Следовательно, точка C имеет координаты:

x A + x B 2 , y A + y B 2

По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Пример 1

Решение

x C = x A + x B 2 = — 7 + 2 2 = — 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Ответ
: координаты середины отрезка А В — 5 2 , 7 2 .

Пример 2

Решение

По условию задачи A M – медиана, а значит M является точкой середины отрезка B C . В первую очередь найдем координаты середины отрезка B C , т.е. точки M:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = — 3

Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы А М:

A M = (6 — (- 1)) 2 + (- 3 — 0) 2 = 58

Ответ:
58

Пример 3

Решение

Ответ:
координаты точки А (7 , 3 , — 8) .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Пример 3

Решение:
по соответствующей формуле:

Ответ:

Для наглядности выполню чертёж

Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:

Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:

Вот другие распространенные случаи:

Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:

Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:

Пример 4

Даны точки и . Найти длину отрезка .

Решение и ответ в конце урока.

Как найти длину отрезка по точкам

Зная пространственные координаты двух точек в какой-либо системе можно без затруднений определить длину отрезка прямой между ними. Ниже описано как это сделать применительно к двухмерной и трехмерной Декартовой (прямоугольной) системе координат.

Если координаты крайних точек отрезка даны в двухмерной системе координат, то проведя через эти точки прямые линии, перпендикулярные осям координат, вы получите прямоугольный треугольник. Его гипотенузой будет исходный отрезок, а катеты образуют отрезки, длина которых равна проекции гипотенузы на каждую из координатных осей. Из теоремы Пифагора, определяющей квадрат длины гипотенузы как сумму квадратов длин катетов, можно сделать вывод, что для нахождения длины исходного отрезка достаточно найти длины двух его проекций на координатные оси.

Найдите длины (X и Y) проекций исходного отрезка на каждую ось системы координат. В двухмерной системе каждая из крайних точек представлена парой числовых значений (X1;Y1 и X2;Y2). Длины проекций вычисляются нахождением разницы координат этих точек по каждой оси: X = X2-X1, Y = Y2-Y1. Возможно, что одно или оба полученных значения будут отрицательными, но в данном случае это не играет никакой роли.

Рассчитайте длину исходного отрезка (A), найдя квадратный корень из суммы квадратов рассчитанных на предыдущем шаге длин проекций на оси координат: A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²). Например, если отрезок проведен между точками с координатами 2;4 и 4;1, то длина его будет равна √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61.

Если координаты точек, ограничивающих отрезок, даны в трехмерной системе координат (X1;Y1;Z1 и X2;Y2;Z2), то формула нахождения длины (A) этого отрезка будет аналогична полученной на предыдущем шаге. В этом случае надо найти квадратный корень из суммы квадратов проекций на три координатные оси: A = √((X2-X1)²+(Y2-Y1)²+(Z2-Z1)²). Например, если отрезок проведен между точками, с координатами 2;4;1 и 4;1;3, то длина его будет равна √((4-2)²+(1-4)²+(3-1)²) = √17 ≈ 4,12.

Как найти длину отрезка по формуле расстояния

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

% PDF-1.5
%
1 0 объект
>>>
эндобдж
2 0 obj
> поток
2014-10-31T03: 52: 08 + 05: 302014-10-31T03: 52: 19 + 05: 302014-10-31T03: 52: 19 + 05: 30 Adobe InDesign CS5 (7.0)

1JPEG256256 / 9j / 4AAQSkZJRgABAgEASABIAAD / 7QAsUGhvdG9zaG9wIDMuMAA4QklNA + 0AAAAAABAASAAAAAEA
AQBIAAAAAQAB / + 4AE0Fkb2JlAGSAAAAAAQUAAgAD / 9sAhAAMCAgICAgMCAgMEAsLCxAUDg0NDhQY
EhMTExIYFBIUFBQUEhQUGx4eHhsUJCcnJyckMjU1NTI7Ozs7Ozs7Ozs7AQ0LCxAOECIYGCIyKCEo
MjsyMjIyOzs7Ozs7Ozs7Ozs7Ozs7OztAQEBAQDtAQEBAQEBAQEBAQEBAQEBAQEBAQED / wAARCAEA
AMYDAREAAhEBAxEB / 8QBQgAAAQUBAQEBAQEAAAAAAAAAAwABAgQFBgcICQoLAQABBQEBAQEBAQAA
AAAAAAABAAIDBAUGBwgJCgsQAAEEAQMCBAIFBwYIBQMMMwEAAhEDBCESMQVBUWETInGBMgYUkaGx
QiMkFVLBYjM0coLRQwclklPw4fFjczUWorKDJkSTVGRFwqN0NhfSVeJl8rOEw9N14 / NGJ5SkhbSV
xNTk9KW1xdXl9VZmdoaWprbG1ub2N0dXZ3eHl6e3x9fn9xEAAgIBAgQEAwQFBgcHBgI7AQACEQMh
MRIEQVFhcSITBTKBkRShsUIjwVLR8DMkYuFygpJDUxVjczTxJQYWorKDByY1wtJEk1SjF2RFVTZ0
ZeLys4TD03Xj80aUpIW0lcTU5PSltcXV5fVWZnaGlqa2xtbm9ic3R1dnd4eXp7fh2 + f3 / 9oADAMB
AAIRAxEAPwD0Xp / T8A4GMTjUkmmuT6bf3R5JKbH7P6f / ANxqf + 22 / wBySlfs / p // AHGp / wC22 / 3J
KV + z + n / 9xqf + 22 / 3JKV + z + n / APcan / ttv9ySlfs / p / 8A3Gp / 7bb / AHJKV + z + n / 8Acan / ALbb / ckp
X7P6f / 3Gp / 7bb / ckpX7P6f8A9xqf + 22 / 3JKV + z + n / wDcan / ttv8AckpX7P6f / wBxqf8Attv9ySlf
s / p // can / ttv9ySlfs / p / wD3Gp / 7bb / ckpX7P6f / ANxqf + 22 / wBySlfs / p // AHGp / wC22 / 3JKV + z
+ n / 9xqf + 22 / 3JKV + z + n / APcan / ttv9ySlfs / p / 8A3Gp / 7bb / AHJKV + z + n / 8Acan / ALbb / ckpX7P6
f / 3Gp / 7bb / ckpX7P6f8A9xqf + 22 / 3JKV + z + n / wDcan / ttv8AckpX7P6f / wBxqf8Attv9ySlfs / p /
/ can / ttv9ySmvk9PwBdixjU63Gf0bf8ARW + SSmx0 / wD5Pxv + Jr / 6kJKQ9Qt6rW9g6fQ25pHvLnhs
H5pKbGP9ofQx2T + jtI97GkEA / GElJNp / eP4f3JKVtP7x / D + 5JStp / eP4f3JKVtP7x / D + 5JStp / eP
4f3JKVtP7x / D + 5JStp / eP4f3JKVtP7x / D + 5JStp / eP4f3JKVtP7x / D + 5JTQzbutV37cHHZbVAhzn
hpnvoUlNykXOpY64llhaC9oggOjUAx4pKZ7T + 8fw / uSUraf3j + H9ySlbT + 8fw / uSUraf3j + H9ySl
bT + 8fw / uSU0M67rNdwbg47Lqtolznhp3d9Ckpv7T + 8fw / uSUraf3j + H9ySlwIHMpKQZP89if8cf /
AD1ckpXT / wDk / G / 4mv8A6kJKTkhoLnEAASSdAAElK5SUprmuEtII1EjXjRJS6SlJKWLmt1cQJIAn
TU8JKXSUtubu2yNwEkd4KSl0lKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJTXyf57E / 44 / wDn
q5JSun / 8n43 / ABNf / UhJThfW76rX / WO2iyp9Tfs2Jm1MFzWu / T5Dam0u99NsBpYSXNhw7d0lOP1D
6ofW3KxsvD / abHVZheG0vyb2tgnN2tEVna1rLaSWNEO2QdNSlMr / AKufWzp7bsjGzXemPtAZTi22
+ 37S / PcH + jsDCWOyKXEwXex22TAclL2 / VbrvVujYfqWluWMTqGPd9qvvndlFopeJD3FgDNA / UAgn
3BJTah2c + t7Mxjm9TY / DbTl1Gm2257j6jsr7OHF0h0Ntr3OdLhs0kTKU5 / SPqB1 / phcHZ1NgNuEa
yS4llWFe2xjQDXqRXPz8AkphV9Vvrpj31YlXUHU23 + tk35rL77Gbwzp9IdYHsAe9 / pWRW72tDjB9
oSUld9Tfrk432t6m2qy2tjKyMrIc9np1ZYa03msWOb61zHwfMRoJSnQu + rX1jr6DldP6flspzb8 +
7KbkHIyGgV3Oc8asAcHNLh7dWmJPJCSmn1D6ofW / NxM3Gd1Nr2Zjnk1Pyb9sPOaANwrJa1rbafYB
tdsIPiUpt9a + r31qyLuqHouTj4bc / Jpya7zdcyyK8evGdW5tVYj3M3gh5mACIJSU53WuifXnFbdf
i512SMjIL / Tx77dwbuzXt2iP0fsfU0Bvt3D3DbJSU2 + mfUzrGBm / aq8osDLKTXGVkOL6hnX5Vwua
QWkmi7ZBLhukzrKSmzV9VutXdXqy + q5YysSjO + 2MqddafojMNTm1loYwtNtI2A7fYXTJISU9YkpS
SlJKUkpSSlJKUkpSSlJKa + T / AD2J / wAcf / PVySldP / 5Pxv8Aia / + pCSnP670 / rObldNt6VkNorxs
htuWHWW1l9QdW5zGtq9r9zWubD9NfFJTi9U + rh2lyMvLf067Gx23ZV + bRketY25rrcH7Exu1uOds
PAduD + OySk3Q / q / 9a8Dqt9 / UepDKwHVX100G697xvsmlrnWSPaz8 / wClrGoASU5L / qh9cem9MZV0
bNrxRRZdcaKHk2OaWU7f0jaMdtthNbh + lZHu1JIlJTHB + rn10z8Syx + fkYtzQ + phszMtoe7ZmFtr
GOG5rN9tAG73RWfh4JTcy / qt9ech3aB1hra77rLMf078ipzQa8kVyWzt2vsr9rfbDJ5mUp6X6tdN
yOj9Cw + mZbmvuxa / Te9r3WBxBPuDrA12vh34GgSU6aSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSl
JKUkpSSmvk / z2J / xx / 8APVySldP / AOT8b / ia / wDqQkpyvrDRj3XUm7Cycshph3PMN14MApKcn7Fg
/ wDlRn / 9L / yKSnSwfq50rMoF1mNfjkkj07XEO076gJKT / wDNLo / 7tn + eUlK / 5pdH / ds / zykpX / NL
o / 7tn + eUlK / 5pdH / AHbP88pKV / zS6P8Au2f55SUr / ml0f92z / PKSlf8ANLo / 7tn + eUlK / wCaXR / 3
bP8APKSlf80uj / u2f55SUr / ml0f92z / PKSlf80uj / u2f55SUr / ml0f8Ads / zykpX / NLo / wC7Z / nl
JSv + aXR / 3bP88pKdeilmPTXRX9CpoY2dTDRASUzSUpJSklKSUpJTXyf57E / 44 / 8Anq5JSun / APJ +
N / xNf / UhJTifWj6xZ / R8rGxcGulxvY57nXBx44ja5qlhCJiSWrzGfJHJGEK17uP / AM8vrF + 5h / 5t
n / k0v1fii + a / qfir / nl9Yv3MP / Ns / wDJpfq / FV81 / U / F0Pq / 9aepdR6p + z86ukAsL2upDhEeO5zk
Jxjw2F2HLkOQxnW16PVqNsqSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklNfJ / ns
T / jj / wCerklK6f8A8n43 / E1 / 9SElIMrpXT + oZbrM6hmQW1sawWAODfdYTHx7pwmYjRinhhOXqFsP
+ bfQP + 4FH + YEfdn3R91w / uhX / NvoH / cCj / MCXuz7q + 64f3Qzo6H0jFf6uNi10v431jafvbCBnI7r
oYYQ + UU2fstX8v8Az3 / + SQtfSvstX8v / AD3 / APkkrVSvstX8v / Pf / wCSStVK + y1fy / 8APf8A + SSt
ВК + y1fy / 89 // AJJK1Ur7LV / L / wA9 / wD5JK1Ur7LV / L / z3 / 8AkkrVSvstX8v / AD3 / APkkrVSvstX8
v / Pf / wCSStVK + y1fy / 8APf8A + SStVK + y1fy / 89 // AJJK1Ur7LV / L / wA9 / wD5JK1Ur7LV / L / z3 / 8A
kkrVSvstX8v / AD3 / APkkrVSvstX8v / Pf / wCSStVK + y1fy / 8APf8A + SStVK + y1fy / 89 // AJJK1Ur7
LV / L / wA9 / wD5JK1U1sJzhnZtO4llbmbASTE1sceZ7lIqCfJ / nsT / AI4 / + erkEq6f / wAn43 / E1 / 8A
UhJSRv8ASH / 1Gflej0R1SIJUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSS
nPwv + U + of16 // PVaSA2Mn + exP + OP / nq5JKun / wDJ + N / xNf8A1ISUkb / SH / 1Gflej0R1SIJUkpSSl
JKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSnPwv + U + of16 // AD1WkgNjJ / nsT / jj
/ wCerkkq6f8A8n43 / E1 / 9SElJG / 0h / 8AUZ + V6PRHVIglSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkp
SSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKc / C / wCU + of16 / 8Az1WkgNjJ / nsT / jj / AOerkkq6f / yfjf8AE1 / 9SElJ
G / 0h / wDUZ + V6PRHVIglSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKc / C /
5T6h / Xr / APPVaSA2Mn + exP8Ajj / 56uSSrp // ACfjf8TX / wBSElJG / wBIf / UZ + V6PRHVIglSSlJKU
kpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKc / C / 5T6h / Xr / 89VpIDYyf57E / 44 / +
erkkq6f / AMn43 / E1 / wDUhJSRv9If / UZ + V6PRHVIglSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSl
JKUkpSSlJKUkpSSlJKc / C / 5T6h / Xr / 8APVaSA2Mn + exP + OP / AJ6uSSrp / wDyfjf8TX / 1ISUkb / SH
/ wBRn5Xo9EdUiCVJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpz8L / AJT6
h / Xr / wDPVaSA2Mn + exP + OP8A56uSSrp // J + N / wATX / 1ISUkb / SH / ANRn5Xo9EdUiCVJKUkpSSlJK
UkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpz8L / lPqH9ev8A89VpIDYyf57E / wCOP / nq
5JKun / 8AJ + N / xNf / AFISUkb / AEh / 9Rn5Xo9EdUiCVJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKU
kpSSlJKUkpSSlJKUkpz8L / lPqH9ev / z1WkgNjJ / nsT / jj / 56uSSrp / 8Ayfjf8TX / ANSElJG / 0h / 9
Rn5Xo9EdUiCVJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpz8L / lPqH9ev
/ wA9VpIDYyf57E / 44 / 8Anq5JKun / APJ + N / xNf / UhJSRv9If / AFGflej0R1SIJUkpSSlJKUkpSSlJ
KUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSnPwv8AlPqH9ev / AM9VpIDYyf57E / 44 / wDnq5JK
un / 8n43 / ABNf / UhJSRv9If8A1Gflej0R1SIJUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJK
UkpSSlJKUkpSSnPwv + U + of16 / wDz1WkgNjJ / nsT / AI4 / + erkkq6f / wAn43 / E1 / 8AUhJSRv8ASH / 1
Gflej0R1SIJUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSnPwv + U + of16 /
/ PVaSA2Mn + exP + OP / nq5JKun / wDJ + N / xNf8A1ISUkb / SH / 1Gflej0R1SIJUkpSSlJKUkpSSlJKUk
pSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSnPwv + U + of16 // AD1WkgNjJ / nsT / jj / wCerkkq6f8A
8n43 / E1 / 9SElJG / 0h / 8AUZ + V6PRHVIglSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJ
KUkpSSlJKc / C / wCU + of16 / 8Az1WkgNjJ / nsT / jj / AOerkkq6f / yfjf8AE1 / 9SElJG / 0h / wDUZ + V6
PRHVIglSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKc / C / 5T6h / Xr / APPV
aSA2Mn + exP8Ajj / 56uSSrp // ACfjf8TX / wBSElJG / wBIf / UZ + V6PRHVIglSSlJKUkpSSlJKUkpSS
lJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKc / C / 5T6h / Xr / 89VpIDYyf57E / 44 / + erkkq6f / AMn4
3 / E1 / wDUhJSRv9If / UZ + V6PRHVIglSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUk
pSSlJKc / C / 5T6h / Xr / 8APVaSA2Mn + exP + OP / AJ6uSSrp / wDyfjf8TX / 1ISUkb / SH / wBRn5Xo9EdU
iCVJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpz8L / AJT6h / Xr / wDPVaSA
2Mn + exP + OP8A56uSSrp // J + N / wATX / 1ISUkb / SH / ANRn5Xo9EdUiCVJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpS
SlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpz8L / lPqH9ev8A89VpIDYyf57E / wCOP / nq5JKun / 8AJ + N /
xNf / AFISUp99FF7jfYysOY2C9wbMF / Eo9EXRV9vwP + 5NP + e3 + 9Kiqwr7fgf9yaf89v8AelRVYV9v
wP8AuTT / AJ7f70qKrCvt + B / 3Jp / z2 / 3pUVWFfb8D / uTT / nt / vSoqsK + 34H / cmn / Pb / elRVYV9vwP
+ 5NP + e3 + 9Kiqwr7fgf8Acmn / AD2 / 3pUVWFfb8D / uTT / nt / vSoqsK + 34H / cmn / Pb / AHpUVWFfb8D /
ALk0 / wCe3 + 9Kiqwr7fgf9yaf89v96VFVhX2 / A / 7k0 / 57f70qKrCvt + B / 3Jp / z2 / 3pUVWFfb8D / uT
T / nt / vSoqsK + 34H / AHJp / wA9v96VFVhX2 / A / 7k0 / 57f70qKrCvt + B / 3Jp / z2 / wB6VFVhX2 / A / wC5
NP8Ant / vSoqsK + 34H / cmn / Pb / elRVYV9vwP + 5NP + e3 + 9Kiqw1unvZb1DPsrcHsc + uHNMgxWwaEJF
QbOT / PYn / HH / AM9XIJV0 / wD5Pxv + Jr / 6kJKS2V12jbY0OHgUlMPseJ / omfckpX2PE / 0TPuSUr7Hi
f6Jn3JKV9jxP9Ez7klK + x4n + iZ9ySlfY8T / RM + 5JSvseJ / omfckpX2PE / wBEz7klK + x4n + iZ9ySl
fY8T / RM + 5JSvseJ / omfckpX2PE / 0TPuSUr7Hif6Jn3JKV9jxP9Ez7klK + x4n + iZ9ySlfY8T / AETP
uSUr7Hif6Jn3JKV9jxP9Ez7klK + x4n + iZ9ySlfY8T / RM + 5JSvseJ / omfckpnXTVUCK2hs8wISUiy
f57E / wCOP / nq5JSun / 8AJ + N / xNf / AFISUxzGdSc5v2Gyqtse4WtLiT5QQkpr + l9YP9Pi / wDbbv8A
ySSlel9YP9Pi / wDbbv8AySSlel9YP9Pi / wDbbv8AySSlel9YP9Pi / wDbbv8AySSmxhs6k1zvt1lV
jY9oqaWkHzklJTaSUpJSklKSUwubY6p7anbLC0hjjqA4jQpKcvCxLa8w2BhY0uaWjbtNTQ1we1z9
PU3HzPikp10lKSUpJSklKSUpJSHKbluqjCexlkjWwFwj4AhJTT9L6wf6fF / 7bd / 5JJSvS + sH + nxf
+ 23f + SSUr0vrB / p8X / tt3 / kklN3GGS2kDLcx9usmsFrfLQykphk / z2J / xx / 89XJKa / T + oYAwMYHJ
pBFNcj1G / ujzSU2P2h0 // uTT / wBuN / vSUr9odP8A + 5NP / bjf70lK / aHT / wDuTT / 243 + 9JSv2h0 //
ALk0 / wDbjf70lK / aHT / + 5NP / AG43 + 9JSv2h0 / wD7k0 / 9uN / vSUr9odP / AO5NP / bjf70lK / aHT / 8A
uTT / ANuN / vSUr9odP / 7k0 / 8Abjf70lK / aHT / APuTT / 243 + 9JSv2h0 / 8A7k0 / 9uN / vSUr9odP / wC5
NP8A243 + 9JSv2h0 // uTT / wBuN / vSUr9odP8A + 5NP / bjf70lK / aHT / wDuTT / 243 + 9JSv2h0 // ALk0
/ wDbjf70lK / aHT / + 5NP / AG43 + 9JSv2h0 / wD7k0 / 9uN / vSUr9odP / AO5NP / bjf70lK / aHT / 8AuTT /
ANuN / vSUr9odP / 7k0 / 8Abjf70lK / aHT / APuTT / 243 + 9JSv2h0 / 8A7k0 / 9uN / vSU18nqGAbsWMmnS
4z + кб / orfNJT / 9к =

2JPEG256256 / 9j / 4AAQSkZJRgABAgEASABIAAD / 7QAsUGhvdG9zaG9wIDMuMAA4QklNA + 0AAAAAABAASAAAAAEA
AQBIAAAAAQAB / + 4AE0Fkb2JlAGSAAAAAAQUAAgAD / 9sAhAAMCAgICAgMCAgMEAsLCxAUDg0NDhQY
EhMTExIYFBIUFBQUEhQUGx4eHhsUJCcnJyckMjU1NTI7Ozs7Ozs7Ozs7AQ0LCxAOECIYGCIyKCEo
MjsyMjIyOzs7Ozs7Ozs7Ozs7Ozs7OztAQEBAQDtAQEBAQEBAQEBAQEBAQEBAQEBAQED / wAARCAEA
AMYDAREAAhEBAxEB / 8QBQgAAAQUBAQEBAQEAAAAAAAAAAwABAgQFBgcICQoLAQABBQEBAQEBAQAA
AAAAAAABAAIDBAUGBwgJCgsQAAEEAQMCBAIFBwYIBQMMMwEAAhEDBCESMQVBUWETInGBMgYUkaGx
QiMkFVLBYjM0coLRQwclklPw4fFjczUWorKDJkSTVGRFwqN0NhfSVeJl8rOEw9N14 / NGJ5SkhbSV
xNTk9KW1xdXl9VZmdoaWprbG1ub2N0dXZ3eHl6e3x9fn9xEAAgIBAgQEAwQFBgcHBgI7AQACEQMh
MRIEQVFhcSITBTKBkRShsUIjwVLR8DMkYuFygpJDUxVjczTxJQYWorKDByY1wtJEk1SjF2RFVTZ0
ZeLys4TD03Xj80aUpIW0lcTU5PSltcXV5fVWZnaGlqa2xtbm9ic3R1dnd4eXp7fh2 + f3 / 9oADAMB
AAIRAxEAPwD0Xp / T8A4GMTjUkmmuT6bf3R5JKbH7P6f / ANxqf + 22 / wBySlfs / p // AHGp / wC22 / 3J
KV + z + n / 9xqf + 22 / 3JKV + z + n / APcan / ttv9ySlfs / p / 8A3Gp / 7bb / AHJKV + z + n / 8Acan / ALbb / ckp
X7P6f / 3Gp / 7bb / ckpX7P6f8A9xqf + 22 / 3JKV + z + n / wDcan / ttv8AckpX7P6f / wBxqf8Attv9ySlf
s / p // can / ttv9ySlfs / p / wD3Gp / 7bb / ckpX7P6f / ANxqf + 22 / wBySlfs / p // AHGp / wC22 / 3JKV + z
+ n / 9xqf + 22 / 3JKV + z + n / APcan / ttv9ySlfs / p / 8A3Gp / 7bb / AHJKV + z + n / 8Acan / ALbb / ckpX7P6
f / 3Gp / 7bb / ckpX7P6f8A9xqf + 22 / 3JKV + z + n / wDcan / ttv8AckpX7P6f / wBxqf8Attv9ySlfs / p /
/ can / ttv9ySmvk9PwBdixjU63Gf0bf8ARW + SSmx0 / wD5Pxv + Jr / 6kJKa3VOoZ + HYxuHhuymuBLnN
n2meNGlJTR / bnW // ACps + 93 / AJBJSv251v8A8qbPvd / 5BJSv251v / wAqbPvd / wCQSUr9udb / APKm
z73f + QSUr9udb / 8AKmz73f8AkElK / bnW / wDyps + 93 / kElK / bnW // ACps + 93 / AJBJSv251v8A8qbP
vd / 5BJSv251v / wAqbPvd / wCQSUr9udb / APKmz73f + QSUr9udb / 8AKmz73f8AkElK / bnW / wDyps + 9
3 / kElN / pefnZrrBmYbsQMALS6fdMzyAkp0ElKSUpJSklKSUpJSklKSUpJTXyf57E / wCOP / nq5JSu
n / 8AJ + N / xNf / AFISUyyc3Dwg12ZfVjhxhpte1gJHhuIRESdls8kYfMaa / wC3eif + WGL / ANvV / wDk
kfbl2WfeMX7w + 1X7d6J / 5YYv / b1f / kkvbl2V94xfvD7U + NnYWbu + x5FWRsjd6T2v2zxO0nwQMSN1
8MkJ / KbToLlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSmvk / z2J / xx / wDPVySl
dP8A + T8b / ia / + pCSnm / rX0fO6v1Sj7HULm41M2Nc4NH6Rzw2N39RTY5AQOrT5jCZ5YmrAcn / AJod
Y / 7hV / 59aHEf3k + zH / Nj8Ff80Osf9wq / 8 + tLiP7yvZj / AJsfg6f1a6D1XpPVX5d + MGUvpNe2t7D7
tzTxuHglOQMQLThwmGQy4aFPVetZ / oLPvZ / 6UUbZtXrWf6Cz72f + lElWr1rP9BZ97P8A0okq1etZ
/ oLPvZ / 6USVavWs / 0Fn3s / 8ASiSrV61n + GS + 9n / pRJVq9az / AEFn3s / 9KJKtXrWf6Cz72f8ApRJV
q9az / QWfez / 0okq1etZ / oLPvZ / 6USVavWs / 0Fn3s / wDSiSrV61n + GS + 9n / pRJVq9az / QWfez / wBK
JKtXrWf6Cz72f + lElWr1rP8AQWfez / 0okq1etZ / oLPvZ / wClElWr1rP9BZ97P / SiSrV61n + GS + 9n
/ pRJVr1XNtL2gFrqztc0xIJAd2JHBQSCjyf57E / 44 / 8Anq5JSun / APJ + N / xNf / UhJSLMZmWG1uBY
2q8srh7xIjdZPYpdEdWj9k + tcz9uojw2CP8Az0klf7L9av8Aubj / AOZ / 6jSUr7L9av8Aubj / AOZ /
6jSUr7L9af8AubR / mf8AqNJSvsv1qj + m0f5n / qNJSvsv1q / 7m4 / + Z / 6jSUr7L9av + 5uP / mf + o0lK
+ y / Wr / ubj / 5n / qNJTYw8Xq36T9pZDbZbFfpSyJ5naG + SSkD8T6yh7hTmUisE7A5u4hvaSWEkwkps
ZOJ1QVt / Z + QK7Cf0htLrAQB + aHB0apKa32X61f8Ac3H / AMz / ANRpKV9l + tX / AHNx / wDM / wDUaSlf
ZfrV / wBzcf8AzP8A1GkpX2X61f8Ac3H / AMz / ANRpKT / ZOsfZP6S37ZIO / X0 + 4 + hEfR8vxSUti4nX
PWH7Qyq7KQCdtQLXT21DWpKblNORXeS6wOpLfomSd886zpCSmwkpSSlJKauL / Ssz / jWf + eq0kBlk
/ wA9if8AHH / z1cklXT / + T8b / AImv / qQkpm3 + k2f8Wz8tiSOqVJKklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJTF
jw8uABG123WNdB4EpKZJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKauL / Ssz / jWf + eq0kBlk / wA9if8AHH / z
1cklXT / + T8b / AImv / qQkpm3 + k2f8Wz8tiSOqVJKklKSUpJSklKSUpJSklIw2QDrqJ5KSmGTityaX
0Oc9jXgAljy13PY9klMKWUY5cwEMNljnQXmXHQE6n4JKSsdXYD6bw / aS1215MOHIMd0lM26OI8h4
nxSUySUpJSklKSUpJSklKSUpJTVxf6Vmf8az / wA9VpIDLJ / nsT / jj / 56uSSrp / 8Ayfjf8TX / ANSE
lM2 / 0mz / AItn5bEkdUqSVJKUkpSSlJKUkpSSlJKYNjYOPo / 3JKXMeXZJTg9asc3MxAyqq2mp9t2a
5wdvroG1pcxzXtg7nSR3DT4Qkp2aKcetpfSG / pfeXDXdMazJSUlH0z8B / FJTJJSklKSUpJSklKSU
pJSklNXF / pWZ / wAaz / z1WkgMsn + exP8Ajj / 56uSSrp // ACfjf8TX / wBSElM2 / wBJs / 4tn5bEkdUq
SVJKUkpSSlJKUkpSSlJKYN + i3 + qkpa1hsrfW15YXNLQ8ctJ0kJKc / owF7srqYc54yrS2ouAEU1S2
uNvLXOLntPg5JS + H / k68dLeYosBdguiAABudj / 2Iln8nT80lJToj6Z + A / ikpkkpSSlJKUkpSSlJK
UkpSSmri / wBKzP8AjWf + eq0kBlk / z2J / xx / 89XJJV0 // AJPxv + Jr / wCpCSmbf6TZ / wAWz8tiSOqV
JKklKSUpJSklKSUpJSklMGg7W / 1fFJTl / WXIzsbprh01psyr3Cmqtr9rzuBL3V6h4tra5w + CSm7g
mh3Mx2JtOOYNJYfbs2jbt8oSU1Oo5fTb6bcO7INNlbDcLG7t1ZqIixpiCWu7fwlJSXpPU6uotexx
a3KoDW5NLTJY50lroOux49zCeQkp0ElKSUpJSklKSUpJSklKSU1cX + lZn / Gs / wDPVaSAyyf57E / 4
4 / 8Anq5JKun / APJ + N / xNf / UhJTNv9Js / 4tn5bEkdUqSVJKUkpSSlJKUkpSSmFosNbhS5rXx7XOaX
AHzaHNn70lIMd19uPVYXNaX1hxDqyCCQOR6iSmqxt + V1ay31KzVgsFLRsM + tbtssn3 / ms2Qf5RSU
0D1OnofU / wBnW3VuHULX2YtFVRdY20 + 6xm1r52vMuDjpO6SBCSm79n6rnNm19WBW4fRrYh4lpEw9
+ 9zGanUN3eTklL4PTWYGba3AqpoY5lZvf6LjZc4b9pdebZcR33SUlOqkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSm
ri / 0rM / 41n / nqtJAZZP89if8cf8Az1cklXT / APk / G / 4mv / qQkpm3 + k2f8Wz8tiSOqVJKklKSUpJS
klKSUpJSklNbJyHYuHZkMqfe6mp1gpqAL37RO1gJGp7JKc3pWP1e / Bq + 2uOCbR611dZD7nPtd6j9
z3CGCXEbQCQIhySm9j4GPTTbRS11YseS97Xh2HGPpOskvJ8yZSU2xwOePJJSh9M / AfxSUySUpJSk
lKSUpJSklKSUpJTVxf6Vmf8AGs / 89VpIDLJ / nsT / AI4 / + erkkq6f / wAn43 / E1 / 8AUhJTNv8ASbP +
LZ + WxJHVKklSSlJKUkpSSlJKUkpSSkDsSp4c1zK3B7Q14cydwHG7XVJS1uO7c6 + kVDI2bG2Or3GO
QDD2mJ7SkpbF9Rwfu2tcLDIDCBMDgk6 / FJSba + IlvEfR / wBqSlw0gkmJIA0EcJKZJKUkpSSlJKUk
pSSlJKUkpq4v9KzP + NZ / 56rSQGWT / PYn / HH / AM9XJJV0 / wD5Pxv + Jr / 6kJKZt / pNn / Fs / LYkjqlS
SpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklNXF / pWZ / xrP / PVaSAyyf57
E / 44 / wDnq5JKun / 8n43 / ABNf / UhJSLMry7TazBtFFxZXD3AOAG6ydCCl0R1aX2H6z / 8AljX / ANtN
/ wDIJJV9h + s // llX / wBtN / 8AIJKYvxvrHXo / qlLZ43VsH / fElMfS6 / 8A + W1H + Yz / AMgkpXpdf / 8A
Laj / ADGf + QSUoU / WAkAdWoJOgAYz / wAgkpJ9i + s // llX / wBtN / 8AIJKV9i + s3 / llV / 203 / yCSlfY
frP / AOWVf / bTf / IJKdCmjJrdUTduDWkWgku3HWInjUpKbSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKau
L / Ssz / jWf + eq0kBlk / z2J / xx / wDPVySVdP8A + T8b / ia / + pCSmbf6TZ / xbPy2JI6pUkuRl9Dy8m + 2
1vUr62WGRUN21vkPeElNjpvTr8IObde6 + DDXOJksA03Ak8OcUlNw1y4OLj20nwSUoVn2kvcS0c8S
fExp3SUwvx3XVPY2xzHOa4Ne0kFpc3buEEcJKc / A6Nk4dn6TLdkMJD / fO5rmy0bfedCHGfkkp0TS
4hw9R2oAA4iO4iDr8UlOe7o2Sc45rc61omRXHtHl9KPwSUkzek25WNVj1ZVlHp8ubMv / AK3uCSld
P6VfhuLrsy3KEENbYTAmP5R8ElOgBAA5hJS6SlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpq4v8ASsz / AI1n / nqt
JAZZP89if8cf / PVySVdP / wCT8b / ia / 8AqQkpFmYbM4241j31tcys7qztdo6w8kFLojq0v + a2J / 3K
y / 8Atxv / AJBJKj9VsQc5WX / 24P8AyCSmP / NnBkD7ZlSeP0rdZ / seSSlH6s4QG45eUARP843j / MSU
r / m1gzh3vLMGDFgMECdYYkpc / VfDHOVl / wDbg / 8AIJKV / wA2ML / uXl6Cf5xvH + YkpQ + q + G4SMvL /
AO3B / wCQSUv / AM1sT / uVl / 8Abjf / ACCSlf8ANbE / 7lZf / bjf / IJKV / zWxP8AuVl / 9uN / 8gkpX / Nb
E / 7lZf8A243 / AMgkpX / NbE / 7lZf / AG43 / wAgkptdP6NR0211tV19pc3aRa4OA1B0ho8ElOgkpSSl
JKUkpSSlJKUkpq4v9KzP + NZ / 56rSQGWT / PYn / HH / AM9XJJV0 / wD5Pxv + Jr / 6kJKZt / pNn / Fs / LYk
jqlSS5zekvZ1B + f9qth + 6KuWt3CNAZGnwSU2DjW7h + s2yeTtq7f9a80lMnY7ixtbbnsDRt9or1Hm
DWR9ySlq6bWne6 + 18TLSK9furaUlNLE6I7EynZX2q15eHDadQN3cTPHwSU3q6Ht37rXuLhtDnBki
O421jx7ykpzsvoP219djcmzHFdba2sYAB7e8N2gfckpCPqs9skdQvBPJB1 / 6pJTp9NwXdPodS69 +
QXPL99mpEgCO / gkptpKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpq4v9KzP + NZ / wCeq0kBlk / z2J / xx / 8A
PVySVdP / AOT8b / ia / wDqQkpm3 + k2f8Wz8tiSOqVJLmP69htzv2eWW + qbBVuDRtkmJmfNJTZdmCRt
Fnzot8R / I8JSUzGS3Z6hFkbo / mrN3j9HbPzSUwZl7iGw + TtGtNo1n3SSyElNavr2LZm / s8V3C0Et
L9o2S3Ux7p / BJTbOU1tbXuD / AHTAFdhOh7gMkfMJKaub1zH6eWMyK7XmwBw9NvAIHO4tISU1j9be
nDinIPwYP4vSU6HTupUdTqdbQ17Qx20iwbTMT4lJTbSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJTVxf6V
mf8AGs / 89VpIDLJ / nsT / AI4 / + erkkq6f / wAn43 / E1 / 8AUhJSLMzaOnm3KyJ9NrKwdok6usCXRHVp
f87ekeNn + Z / tSSo / W3pBH0rP8z / akpY / WzpJI / nSOZ2iNPmkpf8A529I8bP8z / akpYfWzo4mHWa6
/ Q / 2pKV / zs6QAA31SNBo3 + 9ySlf86 + j7ds2xz9DznxSUofWzo4nWzXX6H + 1JS / 8Azt6R42f5n + 1J
Sv8Anb0jxs / zP9qSm87qLWYv2xzD6O31J1nYO8bfBJTZqsbdUy5n0bGh7Z8HCQkpmkpSSlJKUkpS
SlJKUkpSSlJKauL / AErM / wCNZ / 56rSQGWT / PYn / HH / z1cklXT / 8Ak / G / 4mv / AKkJKZbWuyLA4AjY
zQ697EkdWfoU / wCjb9wSS51 / WehY1z8e + xrbKztc303GD8QwpKVjdV6Xmu9PEa17wYIcwtA0Jkna
fBJTbIABPo0wPPyn / RpKW0kg01AieTExEx + j15SUvtH + hp8OfOP9GkpYgD / A1HSdCT5f6NJTUp6z
0bIsdVTDnM1dLNoiQ0ulwGglJTcdZhNa55Fe1kboAMSNw4Hgkpq4vVuj5tgpx4c8naGlhH5R5JKd
EbXMiPbxEJKXAAEDQBJS6SlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpq4v9KzP + NZ / 56rSQGWT / AD2J / wAcf / PV
ySVdP / 5Pxv8Aia / + pCSmN2TRiWW3ZLxXWGVguPGrrEuiOqH9v9H / AO5TPx / uSSjd1X6vPJc + 2hxP
JLZJ / wCikpi3qf1dZaLmW0te0FoLQRo4tJ0A / khJSX9vdG1 / Wq9eedfwSUnb1DEfX6rCXV7d29rS
RETI0SUgHXujAQMqsD5 / 3JKV + 3ujTP2qufHX + 5JSE9R + rZsrtFtLX1OL2OaC0glrmfmgTo48pKbD
Os9JuPp1XNsP7jQSY + EJKYHqfQ8awsc + qmxpggt2uH / RSUy / b / Rv + 5TPx / uSUr9v9H / 7lM / H + 5JS
v2 / 0f / uUz8f7klK / b / R / + 5TPx / uSUr9v9H / 7lM / H + 5JSv2 / 0f / uUz8f7klN2m6rIqbdS4PreJa4c
EJKZpKUkpSSlJKauL / Ssz / jWf + eq0kBlk / z2J / xx / wDPVySVdP8A + T8b / ia / + pCSlPppvusrvY21
hZXLXgOGjrOxS6I6sf2V0v8A7h5 // bTP / IpJaHVsSvGrrOBg4TnOcQ712MaIjtJYkpzP1 / 8A8r + l
fdX / AOlUlK / X / wDyv6V91f8A6VSUmbmdbZX6Tcbp7a / 3A5ob4ceskpD + v / 8Alf0r7q // AEqkpX6 /
/ wCV / Svur / 8ASqSlfr // AJX9K + 6v / wBKpKZV2dTqch2YPTK3DhzNjT94tSUqyzqdrzZbg9Me92pc
7Y4n4k2pKY / r / wD5X9K + 6v8A9KpKV + v / APlf0r7q / wD0qkpX6 / 8A + V / Svur / APSqSlfr / wD5X9K +
6v8A9KpKV + v / APlf0r7q / wD0qkpX6 / 8A + V / Svur / APSqSm7h5f1gL66K8fDbS0jc2lw9rJ1gNtSU
76SlJKUkpSSmri / 0rM / 41n / nqtJAZZP89if8cf8Az1cklXT / APk / G / 4mv / qQkpm3 + k2f8Wz8tiSO
qVJLkfWKlttNIdhWZ0OPtrcWbdOTta5JThfY6 / 8AyiyP + 3X / APpNJTYwelYuVktpv6TfjMcDNrrX
kCBP7jUlOp / zV6N / onf57v70lK / 5q9G / 0Tv89396Slf81ejf6J3 + e7 + 9JSv + avRv9E7 / AD3f3pKV
/ wA1ejf6J3 + e7 + 9JSv8Amr0b / RO / z3f3pKV / zV6N / onf57v70lK / 5q9G / wBE7 / Pd / ekpX / NXo3 + i
d / nu / vSUr / mr0b / RO / z3f3pKV / zV6N / onf57v70lK / 5q9G / 0Tv8APd / ekptYHRsDptjrcRha57dp
JcTpM9 / gkpvJKUkpSSlJKauL / Ssz / jWf + eq0kBlk / wA9if8AHH / z1cklXT / + T8b / AImv / qQkpbKx
si1wfjXnHdEOhrXSBMfTa7xSRSD7h2T / AMsHf9t1 / wDpNJVK + x9U / wDLB3 / bdf8A6TSVSvsfVP8A
ywd / 23X / AOk0lUr7h2T / AMsHf9t1 / wDpNJVK + x9U / wDLB3 / bdf8A6TSVSvsfVP8Aywd / 23X / AOk0
lUr7h2T / AMsHf9t1 / wDpNJVK + x9U / wDLB3 / bdf8A6TSVSvsfVP8Aywd / 23X / AOk0lUr7h2T / AMsH
f9t1 / wDpNJVK + x9U / wDLB3 / bdf8A6TSVSvsfVP8Aywd / 23X / AOk0lUr7h2T / AMsHf9t1 / wDpNJVK
+ x9U / wDLB3 / bdf8A6TSVSvsfVP8Aywd / 23X / AOk0lUr7h2T / AMsHf9t1 / wDpNJVK + x9U / wDLB3 / b
df8A6TSVSvsfVP8Aywd / 23X / AOk0lUr7h2T / AMsHf9t1 / wDpNJVK + x9U / wDLB3 / bdf8A6TSVSvsf
VP8Aywd / 23X / AOk0lU2MTGsxw822G6yx25zyAJgBo0aAOAkkBWT / AD2J / wAcf / PVySldP / 5Pxv8A
ia / + pCSmwkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSmvk / wA9
if8AHH / z1ckpXT / + T8b / AImv / qQkpsJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpS
SlJKUkpSSlJKUkpr5P8APYn / ABx / 89XJKV0 // k / G / wCJr / 6kJKbCSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpS
SlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKa + T / AD2J / wAcf / PVySldP / 5Pxv8Aia / + pCSmwkpS
SlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSmvk / wA9if8AHH / z1ckp
XT / + T8b / AImv / qQkpsJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJK
Ukpr5P8APYn / ABx / 89XJKV0 // k / G / wCJr / 6kJKY5jOpOc37DZVW2PcLWlxJ8oISU1 / S + sH + nxf8A
tt3 / AJJJSvS + sH + nxf8Att3 / AJJJSvS + sH + nxf8Att3 / AJJJSvS + sH + nxf8Att3 / AJJJTYw2dSa5
326yqxse0VNLSD5ySkptJKUkpSSlJKYXNsdU9tTtlhaQxx1AcRoUlOXhYlteYbAwsaXNLRt2mpoa
4Pa5 + nqbj5nxSU66SlJKUkpSSlJKUkpDlNy3VRhPYyyRrYC4R8AQkpp + l9YP9Pi / 9tu / 8kkpXpfW
D / T4v / bbv / JJKV6X1g / 0 + L / 227 / ySSm7jDJbSBluY + 3WTWC1vloZSUwyf57E / wCOP / nq5JTX6f1D
AGBjA5NIIprkeo390eaSmx + 0On / 9yaf + 3G / 3pKV + 0On / APcmn / txv96SlftDp / 8A3Jp / 7cb / AHpK
V + 0On / 8Acmn / ALcb / ekpX7Q6f / 3Jp / 7cb / ekpX7Q6f8A9yaf + 3G / 3pKV + 0On / wDcmn / txv8AekpX
7Q6f / wByaf8Atxv96SlftDp // cmn / txv96SlftDp / wD3Jp / 7cb / ekpX7Q6f / ANyaf + 3G / wB6Slft
Dp // AHJp / wC3G / 3pKV + 0On / 9yaf + 3G / 3pKV + 0On / APcmn / txv96SlftDp / 8A3Jp / 7cb / AHpKV + 0O
n / 8Acmn / ALcb / ekpX7Q6f / 3Jp / 7cb / ekpX7Q6f8A9yaf + 3G / 3pKV + 0On / wDcmn / txv8AekpX7Q6f
/ wByaf8Atxv96SlftDp // cmn / txv96SlftDp / wD3Jp / 7cb / ekpX7Q6f / ANyaf + 3G / wB6Smvk9QwD
dixk06XGf0jf9Fb5pKf / 2Q ==

uuid: 29ac746d-6de6-194c-94dd-cc076602f3cfxmp.сделал: 48EC16873A2068118A6DFA3FC55133C6xmp.did: FB7F11740720681188C68A053A992F47 Стойкость: pdf

createdxmp.iid: FB7F11740720681188C68A053A992F472014-07-10T09: 30A

savedxmp.iid: FC7F11740720681188C68A053A992F472014-07-10T09: 45: 36 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: FD7F11740720681188C68A053A992F472014-07-10T09: 45: 36 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 / метаданные

savedxmp.iid: FE7F11740720681188C68A053A992F472014-07-10T09: 51: 38 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: FF7F11740720681188C68A053A992F472014-07-10T09: 52: 27 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 008011740720681188C68A053A992F472014-07-10T09: 55: 18 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 1812D3880B20681188C68A053A992F472014-07-10T10: 10: 14 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 1B12D3880B20681188C68A053A992F472014-07-10T10: 14: 47 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 1E12D3880B20681188C68A053A992F472014-07-10T10: 18: 03 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 4C5F64C30C20681188C68A053A992F472014-07-10T10: 19: 01 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 4F5F64C30C20681188C68A053A992F472014-07-10T10: 21 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 505F64C30C20681188C68A053A992F472014-07-10T10: 26: 21 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 535F64C30C20681188C68A053A992F472014-07-10T10: 28: 15 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 565F64C30C20681188C68A053A992F472014-07-10T10: 42: 42 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 50B526AF1020681188C68A053A992F472014-07-10T10: 47: 05 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 53B526AF1020681188C68A053A992F472014-07-10T10: 48: 05 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 57B526AF1020681188C68A053A992F472014-07-10T10: 50: 10 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: FAAF01E31120681188C68A053A992F472014-07-10T10: 55: 42 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: FEAF01E31120681188C68A053A992F472014-07-10T10: 57: 01 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

сохраненныйxmp.iid: FFAF01E31120681188C68A053A992F472014-07-10T10: 57: 50 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 561692DE1220681188C68A053A992F472014-07-10T11: 02: 44 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 79F905F

681188C68A053A992F472014-07-10T11: 10: 38 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 402FFC221420681188C68A053A992F472014-07-10T11: 11: 48 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 07C080951420681188C68A053A992F472014-07-10T11: 15 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 9A5875B

681188C68A053A992F472014-07-10T11: 23: 10 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: BFAB4F1A1620681188C68A053A992F472014-07-10T11: 25: 53 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: FCE8682B1620681188C68A053A992F472014-07-10T11: 26: 21 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 06E9682B1620681188C68A053A992F472014-07-10T11: 28: 12 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 3B15E8F81620681188C68A053A992F472014-07-10T11: 32: 06 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 1C9A28FC1620681188C68A053A992F472014-07-10T11: 32: 12 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: EF3B78831720681188C68A053A992F472014-07-10T11: 35: 59 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 1EB92D

0681188C68A053A992F472014-07-10T11: 36: 22 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: C68356131820681188C68A053A992F472014-07-10T11: 40 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 0D6FCA4F1820681188C68A053A992F472014-07-10T11: 41: 41 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 0E6FCA4F1820681188C68A053A992F472014-07-10T11: 46: 17 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: C98849241920681188C68A053A992F472014-07-10T11: 47: 38 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 22FC8D411920681188C68A053A992F472014-07-10T11: 48: 27 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 0927A1951920681188C68A053A992F472014-07-10T11: 50: 48 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 96257E0A1A20681188C68A053A992F472014-07-10T11: 54: 04 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: BD7737381A20681188C68A053A992F472014-07-10T11: 55: 21 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: AE4B0AE21A20681188C68A053A992F472014-07-10T12: 00: 06 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 34684E6F1B20681188C68A053A992F472014-07-10T12: 04: 03 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 8A0F4EC31B20681188C68A053A992F472014-07-10T12: 06: 24 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: E1B9455D1C20681188C68A053A992F472014-07-10T12: 10: 42 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 7B65C1831C20681188C68A053A992F472014-07-10T12: 11: 47 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 7C65C1831C20681188C68A053A992F472014-07-10T12: 12: 11 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 7D65C1831C20681188C68A053A992F472014-07-10T12: 12: 59 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 8B9FAB301D20681188C68A053A992F472014-07-10T12: 16: 37 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 85E019CB1D20681188C68A053A992F472014-07-10T12: 20: 56 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 865B788A1E20681188C68A053A992F472014-07-10T12: 26: 17 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 68523D2B1F20681188C68A053A992F472014-07-10T12: 30: 47 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 1AAE8C3A1F20681188C68A053A992F472014-07-10T12: 31: 12 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 1BAE8C3A1F20681188C68A053A992F472014-07-10T12: 31: 40 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 2977B2591F20681188C68A053A992F472014-07-10T12: 32: 05 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 2A77B2591F20681188C68A053A992F472014-07-10T12: 33: 25 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 2B77B2591F20681188C68A053A992F472014-07-10T12: 34: 01 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 1D2EBF582220681188C68A053A992F472014-07-10T12: 53: 31 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 9DFEFACE2220681188C68A053A992F472014-07-10T12: 56: 50 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: AB630C392320681188C68A053A992F472014-07-10T12: 59: 48 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 9CE041C62320681188C68A053A992F472014-07-10T13: 03: 45 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 60B8CDF62320681188C68A053A992F472014-07-10T13: 05: 06 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: C2AD80212420681188C68A053A992F472014-07-10T13: 06: 18 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 54DDE1292420681188C68A053A992F472014-07-10T13: 06: 32 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 4AA080572420681188C68A053A992F472014-07-10T13: 07: 48 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 0AA38E402720681188C68A053A992F472014-07-10T13: 28: 38 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 1B6FA6

0681188C68A053A992F472014-07-10T13: 30: 53 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: B7482DB02720681188C68A053A992F472014-07-10T13: 31: 46 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: F1D25EEA2720681188C68A053A992F472014-07-10T13: 33: 23 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 2B8515682820681188C68A053A992F472014-07-10T13: 36: 54 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 8317C5DA2820681188C68A053A992F472014-07-10T13: 40: 07 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: D8F5CEAA2920681188C68A053A992F472014-07-10T13: 45: 56 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: DED6DEC02920681188C68A053A992F472014-07-10T13: 46: 33 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: E0CA93F02920681188C68A053A992F472014-07-10T13: 47: 53 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 9FD4B1923E20681188C68A053A992F472014-07-10T16: 15: 35 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 8736EEC83E20681188C68A053A992F472014-07-10T16: 17: 06 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 8836EEC83E20681188C68A053A992F472014-07-10T16: 18: 16 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 7E9559923F20681188C68A053A992F472014-07-10T16: 22: 43 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 0BD5B1BC3F20681188C68A053A992F472014-07-10T16: 23: 55 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 0CD5B1BC3F20681188C68A053A992F472014-07-10T16: 27: 29 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: E4A90C5F4020681188C68A053A992F472014-07-10T16: 28: 27 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: E5A90C5F4020681188C68A053A992F472014-07-10T16: 30: 11 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: E6A90C5F4020681188C68A053A992F472014-07-10T16: 33: 07 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: AC5251BC4120681188C68A053A992F472014-07-10T16: 38: 13 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: AD5251BC4120681188C68A053A992F472014-07-10T16: 38: 50 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: C85CA0554220681188C68A053A992F472014-07-10T16: 42: 30 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: C0BE8ED4072068118083CFA8A33D2D302014-07-12T09: 42: 27 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 52E8F93C0A2068118083CFA8A33D2D302014-07-12T09: 59: 41 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 533AC6C60A2068118083CFA8A33D2D302014-07-12T10: 03: 32 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 230FBFE40B2068118083CFA8A33D2D302014-07-12T10: 11: 32 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: FF0E87070C2068118083CFA8A33D2D302014-07-12T10: 12: 31 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 540B609E0D2068118083CFA8A33D2D302014-07-12T10: 23: 53 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 0E5011CE0D2068118083CFA8A33D2D302014-07-12T10: 25: 13 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 4862CA0C0E2068118083CFA8A33D2D302014-07-12T10: 26: 58 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: D7DE2A180E2068118083CFA8A33D2D302014-07-12T10: 27: 17 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 58CFDBC10E2068118083CFA8A33D2D302014-07-12T10: 32: 02 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: E6F9C515132068118083CFA8A33D2D302014-07-12T11: 03: 01 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 3C3AC537132068118083CFA8A33D2D302014-07-12T11: 03: 58 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 98E18CAE152068118083CFA8A33D2D302014-07-12T11: 21: 36 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 1B551F5B162068118083CFA8A33D2D302014-07-12T11: 26: 26 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 63BA6DAD162068118083CFA8A33D2D302014-07-12T11: 28: 44 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: EE2940B6172068118083CFA8A33D2D302014-07-12T11: 36: 08 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 5D0574C8172068118083CFA8A33D2D302014-07-12T11: 36: 39 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: ADD4AB96182068118083CFA8A33D2D302014-07-12T11: 42: 25 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 7FC722CC182068118083CFA8A33D2D302014-07-12T11: 43: 54 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 3147D4D7182068118083CFA8A33D2D302014-07-12T11: 44: 14 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 5D060235192068118083CFA8A33D2D302014-07-12T11: 46: 50 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 659206D7192068118083CFA8A33D2D302014-07-12T11: 51: 22 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: DA5B8F451A2068118083CFA8A33D2D302014-07-12T11: 54: 28 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: FAC1355D1A2068118083CFA8A33D2D302014-07-12T11: 55: 07 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: A8218A9E1A2068118083CFA8A33D2D302014-07-12T11: 56: 57 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 01E734741B2068118083CFA8A33D2D302014-07-12T12: 02: 55 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

сохраненныйxmp.iid: D150F0941C2068118083CFA8A33D2D302014-07-12T12: 11 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: FBE5749D1E2068118083CFA8A33D2D302014-07-12T12: 25: 33 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 25867FC51F2068118083CFA8A33D2D302014-07-12T12: 33: 50 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: A1D7587A222068118083CFA8A33D2D302014-07-12T12: 53: 12 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 2C796A9A222068118083CFA8A33D2D302014-07-12T12: 54: 06 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 9E71BBFF222068118083CFA8A33D2D302014-07-12T12: 56: 56 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 561EEB72232068118083CFA8A33D2D302014-07-12T13: 00: 09 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 3CE4A049242068118083CFA8A33D2D302014-07-12T13: 06: 09 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 56679F

068118083CFA8A33D2D302014-07-12T13: 29: 37 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 6A845B0F282068118083CFA8A33D2D302014-07-12T13: 33: 10 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: DAB8C841282068118083CFA8A33D2D302014-07-12T13: 34: 34 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 0A2834F2282068118083CFA8A33D2D302014-07-12T13: 39: 30 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: C44387F9282068118083CFA8A33D2D302014-07-12T13: 39: 42 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: C54387F9282068118083CFA8A33D2D302014-07-12T13: 40: 47 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 8F973EF4292068118083CFA8A33D2D302014-07-12T13: 46: 43 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 5B7198D32A2068118083CFA8A33D2D302014-07-12T13: 52: 58 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 867FFBD62A2068118083CFA8A33D2D302014-07-12T13: 53: 04 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 358E21972B2068118083CFA8A33D2D302014-07-12T13: 58: 26 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 368E21972B2068118083CFA8A33D2D302014-07-12T14: 28: 04 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 / метаданные

savedxmp.iid: A06506BB2F2068118083CFA8A33D2D302014-07-12T14: 28: 04 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 86DB055F0E2068118A6DFA3FC55133C62014-09-13T22: 12: 56 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 38461E5F0E2068118A6DFA3FC55133C62014-09-13T22: 12: 56 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 39461E5F0E2068118A6DFA3FC55133C62014-09-13T22: 13: 06 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 8E85D9910F2068118A6DFA3FC55133C62014-09-13T22: 21: 31 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 1201FAD40F2068118A6DFA3FC55133C62014-09-13T22: 23: 23 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 971B5307102068118A6DFA3FC55133C62014-09-13T22: 24: 48 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 0E964C8

68118A6DFA3FC55133C62014-09-13T22: 35: 35 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: BE2F6C24132068118A6DFA3FC55133C62014-09-13T22: 47: 05 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 6DE42838132068118A6DFA3FC55133C62014-09-13T22: 47: 38 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 9F8F7DB8132068118A6DFA3FC55133C62014-09-13T22: 51: 13 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 9B0E0FC8132068118A6DFA3FC55133C62014-09-13T22: 51: 39 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 0186E3D2132068118A6DFA3FC55133C62014-09-13T22: 51: 58 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: BD8F36E0132068118A6DFA3FC55133C62014-09-13T22: 52: 20 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 08CF4B071A2068118A6DFA3FC55133C62014-09-13T23: 36: 23 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 5939B1B71A2068118A6DFA3FC55133C62014-09-13T23: 41: 18 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 3E822C5E1C2068118A6DFA3FC55133C62014-09-13T23: 53: 07 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 34A8B7961D2068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T00: 01: 52 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: C1D58EAA1D2068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T00: 02: 25 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: C76B884F1E2068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T00: 07: 02 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 12B682BE1E2068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T00: 10: 08 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

сохраненныйxmp.iid: FD65A0BE1E2068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T00: 10: 08 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: FE65A0BE1E2068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T00: 10: 40 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 7F6B5DD91E2068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T00: 10: 53 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: E2457B30212068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T00: 27: 38 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 40DFFA49212068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T00: 28: 21 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 8D162A4E212068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T00: 28: 28 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: E136DD52212068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T00: 28: 36 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 082B7D81212068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T00: 29: 54 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 0AAFE6B8212068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T00: 31: 27 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 9C92AD22222068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T00: 34: 24 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 2C467DCC272068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T01: 14: 57 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 55819CFC272068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T01: 16: 18 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 510B20BB282068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T01: 21: 37 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: D2941CC0292068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T01: 28: 55 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: A36F0DE72D2068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T01: 58: 38 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 5FF88BD22E2068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T02: 05: 13 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

сохраненныйxmp.iid: 46D44E7C2F2068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T02: 09: 58 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 08DB28C22F2068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T02: 11: 55 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 364B9457302068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T02: 16: 06 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 85ACB3B9302068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T02: 18: 51 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 160D6985312068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T02: 24: 33 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: C33885D8312068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T02: 26: 52 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: F5C407DC312068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T02: 26: 58 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: F881D577322068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T02: 31: 19 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 4718F277322068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T02: 31: 19 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 4818F277322068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T02: 31: 45 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: AFE679D2322068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T02: 33: 51 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: AEA8ADD2322068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T02: 33: 52 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 60D462D3332068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T02: 41: 02 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 80526EDE332068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T02: 41: 21 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 514A86DE332068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T02: 41: 21 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 265C2DBF342068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T02: 47: 38 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 9E9789CA342068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T02: 47: 57 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 6A35E0D9342068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T02: 48: 23 + 05: 30Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: DC893CF0342068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T02: 49 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 8AA095B7352068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T02: 54: 35 + 05: 30Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 3316B4ED352068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T02: 56: 06 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: F4E69B60372068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T03: 06: 28 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 92530AA9372068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T03: 08: 29 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: BBDDDFB5372068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T03: 08: 51 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

сохраненныйxmp.iid: A68BBB08382068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T03: 11: 10 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 34179D49382068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T03: 12: 59 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: A3C805B2382068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T03: 15: 54 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 22929BC0382068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T03: 16: 18 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 93A2B016392068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T03: 18: 43 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: D0027C26392068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T03: 19: 09 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: AA10912D392068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T03: 19: 21 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 95A21F40392068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T03: 19: 52 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 96A21F40392068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T03: 20: 16 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: B27BD09D392068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T03: 22: 29 + 05: 30Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: D31896B0392068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T03: 23: 01 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 7C4E64C7392068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T03: 23: 39 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 0EB217683A2068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T03: 28: 09 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 0FB217683A2068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T03: 29: 01 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 / метаданные

savedxmp.iid: 48EC16873A2068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T03: 29: 01 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 10D3AFFC3A2068118A6DFA3FC55133C62014-09-14T03: 32: 18 + 05: 30Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: BC62DE32312068118C14B49B91FAD95B2014-09-18T02: 41: 52 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid:

6E3312068118C14B49B91FAD95B2014-09-18T02: 46: 48 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: AF617F66322068118C14B49B91FAD95B2014-09-18T02: 50: 28 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 60586C8B322068118C14B49B91FAD95B2014-09-18T02: 51: 30 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 26D42AC6322068118C14B49B91FAD95B2014-09-18T02: 53: 08 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 8DA26FC9322068118C14B49B91FAD95B2014-09-18T02: 53: 14 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 8EA26FC9322068118C14B49B91FAD95B2014-09-18T02: 53: 47 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 264DCEE5322068118C14B49B91FAD95B2014-09-18T02: 54: 01 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 657C1107332068118C14B49B91FAD95B2014-09-18T02: 54: 57 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: EBE35209332068118C14B49B91FAD95B2014-09-18T02: 55: 01 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: ECE35209332068118C14B49B91FAD95B2014-09-18T02: 59: 41 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: C1EE9B36342068118C14B49B91FAD95B2014-09-18T03: 03: 26 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 03355370342068118C14B49B91FAD95B2014-09-18T03: 05: 03 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 3D20EECE342068118C14B49B91FAD95B2014-09-18T03: 07: 42 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: B205E1D3342068118C14B49B91FAD95B2014-09-18T03: 07: 50 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: B305E1D3342068118C14B49B91FAD95B2014-09-18T03: 08 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: DD5DB29A322068118083A3A1E20FCDBE2014-09-19T02: 41: 49 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 52DE7B50332068118083A3A1E20FCDBE2014-09-19T02: 46: 54 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 504D4C22342068118083A3A1E20FCDBE2014-09-19T02: 52: 46 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 84A2F50D352068118083A3A1E20FCDBE2014-09-19T02: 59: 21 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 0B89E728352068118083A3A1E20FCDBE2014-09-19T03: 00: 06 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: FD3BCD53352068118083A3A1E20FCDBE2014-09-19T03: 01: 18 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 0384FB55352068118083A3A1E20FCDBE2014-09-19T03: 01: 22 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: E88DEEF7352068118083A3A1E20FCDBE2014-09-19T03: 05: 54 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 2271BC5D3F2068118083A3A1E20FCDBE2014-09-19T04: 13: 10 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 0E38E36D092068118083D6B76FB4424B2014-10-16T03: 00: 37 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: FBD1452B0A2068118083D6B76FB4424B2014-10-16T03: 05: 55 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 7FE2AE6A0A2068118083D6B76FB4424B2014-10-16T03: 07: 41 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 83953BA50A2068118083D6B76FB4424B2014-10-16T03: 09: 19 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: FCDDE3B50A2068118083D6B76FB4424B2014-10-16T03: 09: 47 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: F04BBB0E0C2068118083D6B76FB4424B2014-10-16T03: 19: 26 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 917C13BA0C2068118083D6B76FB4424B2014-10-16T03: 24: 13 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: FDC16FE20C2068118083D6B76FB4424B2014-10-16T03: 25: 21 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 33453F020D2068118083D6B76FB4424B2014-10-16T03: 26: 14 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: A9F87B1C0D2068118083D6B76FB4424B2014-10-16T03: 26: 58 + 05: 30Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: B946723A0D2068118083D6B76FB4424B2014-10-16T03: 27: 49 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: A87C49410D2068118083D6B76FB4424B2014-10-16T03: 28 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: A29CD6480D2068118083D6B76FB4424B2014-10-16T03: 28: 13 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: C306218F0D2068118083D6B76FB4424B2014-10-16T03: 30: 11 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: C62EBC990D2068118083D6B76FB4424B2014-10-16T03: 30: 28 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: AD7CD8EE0D2068118083D6B76FB4424B2014-10-16T03: 32: 51 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: C431DB0B0E2068118083D6B76FB4424B2014-10-16T03: 33: 40 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 8E82C10E0E2068118083D6B76FB4424B2014-10-16T03: 33: 45 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 8F82C10E0E2068118083D6B76FB4424B2014-10-16T03: 34: 40 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: ACCACA420E2068118083D6B76FB4424B2014-10-16T03: 35: 12 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: C39D76EA0E2068118083D6B76FB4424B2014-10-16T03: 39: 53 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid:

A3E4F2068118083E178222B118C2014-10-17T05: 54: 01 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 800FC1D44F2068118083E178222B118C2014-10-17T05: 58: 13 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 33FD045B502068118083E178222B118C2014-10-17T06: 01: 58 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: BABA74A0502068118083E178222B118C2014-10-17T06: 03: 55 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 4F218AB9502068118083E178222B118C2014-10-17T06: 04: 37 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: FCBE2974072068118C14B9ABED1F8CC42014-10-17T21: 46: 59 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

сохраненныйxmp.iid: DBD61F89212068118083DA01A95B13BA2014-10-26T01: 03: 03 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

savedxmp.iid: 4400E8503A206811822AB383CFFFEBBD2014-10-31T03: 52: 01 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

xmp.iid: 0FB217683A2068118A6DFA3FC55133C6xmp.did: A06506BB2F2068118083CFA8A33D2D30xmp.did: FB7F11740720681188C68A053A992F47 по умолчанию3725Приложение PDF / PDFA
конечный поток
эндобдж
3 0 obj
>
эндобдж
5 0 obj
> / ExtGState> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / Свойства >>> / XObject >>> / TrimBox [0.0 0,0 612,0 792,0] / Тип / Страница >>
эндобдж
6 0 obj
> / ExtGState> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / Свойства >>> / XObject >>> / TrimBox [0.0 0.0 612.0 792.0] / Type / Page >>
эндобдж
7 0 объект
> / ExtGState> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / Properties> / MC1 >>> / XObject >>> / TrimBox [0.0 0.0 612.0 792.0] / Type / Page >>
эндобдж
136 0 объект
> поток
BT
/ CS0 cs 0,717 0,66 0,666 0,786 scn
/ GS0 гс
/ T1_0 1 Тс
11 0 0 11 302,92 36,0389 тм
(3) Tj
ET
q
0 г
/ GS1 GS
/ Fm0 Do
Q
BT
/ T1_1 1 Тс
7 0 0 7 36 36.0472 Тм
(\ 251 2015 College Board. Все права защищены.) Tj
64,404 0 тд
(Геометрия SpringBoard, блок 2) Tj
/ CS1 CS 1 SCN
/ GS1 GS
/ T1_0 1 Тс
/ Span >> BDC
13 0 0 13 36 712,7151 тм
(P) Tj
EMC
(R) Tj
/ Span >> BDC
(А) Tj
EMC
(CTICE) Tj
/ CS0 cs 0,717 0,66 0,666 0,786 scn
/ GS0 гс
/ T1_2 1 Тс
11,5 0 0 11,5 36 694,2 151 тм
[(U) 53 (s) -8 (et) -6 (h) 4 (e di) -3 (a) 5 (g) -5 (ra) 9 (ms) 4 (h) 4 (o) 16 (w) -3 (nf) 9 (o) 12 (r I) 39 (t) 6 (e) 1 (m) 8 (s 1 \ 2262.)] TJ
ET
/ PlacedGraphic / MC0 BDC
EMC
/ CS0 CS 0,223 0,172 0,176 0 SCN
0,3 Вт 4 млн
/ GS1 GS
q 1 0 0 1 200.266 551.1306 см
0 0 мес.
-103.225 0 л
0-10,325 м
-103,225 -10,325 л
0-20,644 м
-103,225 -20,644 л
0-30,964 м
-103,225 -30,964 л
-92,79 -41,225 м
-92,79 113,788 л
-82,472 -41,225 м
-82,472 113,788 л
-72,153 -41,225 м
-72,153 113,788 л
-61,833 -41,225 м
-61,833 113,788 л
-51,513 -41,225 м
-51,513 113,788 л
-41,192 -41,225 м
-41,192 113,788 л
-30,873 -41,225 м
-30,873 113,788 л
-20,554 -41,225 м
-20,554 113,788 л
-10,233 -41,225 м
-10,233 113,788 л
0 93,142 м
-103,138 93,142 л
0 82,818 м
-103,138 82.818 л
0 72,495 м
-103,138 72,495 л
0 103,466 м
-103,138 103,466 л
S
Q
0,717 0,66 0,666 0,786 SCN
/ GS0 гс
q 1 0 0 1 200.266 664.9187 см
0 0 мес.
-103.138 0 л
S
Q
0,223 0,172 0,176 0 SCN
/ GS1 GS
q 1 0 0 1 200,255 571,8326 см
0 0 мес.
-103.127 0 л
0 10,324 м
-103,127 10,324 л
0 20,644 м
-103,127 20,644 л
0 30,963 м
-103,127 30,963 л
S
Q
0 0 0 0 сбн
205.308 602.986 -9.748 5.304 об.
ж
q 1 0 0 1 86.7827 509.9056 см
0 0 мес.
0 154,928 л
-10.318 0 месяцев
-10,318 154,928 л
-20.638 0 месяцев
-20,638 154,928 л
-30.957 0 метров
-30.957 154,928 л
S
Q
0,717 0,66 0,666 0,786 SCN
/ GS0 гс
q 1 0 0 1 45.5054 509.9056 см
0 0 мес.
0 154,928 л
S
Q
0,223 0,172 0,176 0 SCN
/ GS1 GS
q 1 0 0 1 97,1426 509,9056 см
0 0 мес.
0 156,6 л
S
Q
0,717 0,66 0,666 0,786 SCN
q 1 0 0 1 200,33 509,9056 см
0 0 мес.
0 155,145 л
S
Q
0,223 0,172 0,176 0 SCN
q 1 0 0 1 45,4746 644,2722 см
0 0 мес.
51.656 0 л
0-10,323 м
51,656 -10,323 л
0-20,646 м
51,656 -20,646 л
0 10,324 м
51.656 10.324 л
S
Q
0,717 0,66 0,666 0,786 SCN
/ GS0 гс
q 1 0 0 1 45,4746 664,9187 см
0 0 мес.
51.656 0 л
S
Q
0,411 Вт 10 M 1 j
q 1 0 0 1 97,186 613,2898 см
0 0 мес.
-1,211 0 л
S
Q
1 нед 4 М 0 к
q 1 0 0 1 99,7788 613,3007 см
0 0 мес.
-5,16 0 л
48.974 — 2.602 кв.м
48.974 2.558 л
0 51,618 м
-5,16 51,618 л
S
Q
0,223 0,172 0,176 0 SCN
0,3 Вт
/ GS1 GS
q 1 0 0 1 45,4746 561,4506 см
0 0 мес.
51.569 0 л
0-10,32 м
51,569 -10,32 л
0-20,645 м
51,569 -20,645 л
0-30,964 м
51,569 -30,964 л
0-41,284 м
51,569 -41,284 л
154.791 0 месяцев
51.567 0 л
S
Q
0,717 0,66 0,666 0,786 SCN
/ GS0 гс
q 1 0 0 1 200,47 509,8546 см
0 0 мес.
-103.428 0 л
-154,994 -0,008 м
-103,426 -0,008 л
S
Q
0,223 0,172 0,176 0 SCN
/ GS1 GS
q 1 0 0 1 45,4746 571,8326 см
0 0 мес.
51.656 0 л
0 10,324 м
51.656 10.324 л
0 20,644 м
51.656 20.644 л
0,029 30,963 м
51.656 30.963 л
S
Q
BT
0,717 0,66 0,666 0,786 сбн
/ GS0 гс
/ T1_3 1 Тс
8 0 0 8 210,622 610,9583 тм
(x) Tj
-14,4 8,057 тд
(y) Tj
ET
0,717 0,66 0,666 0,786 SCN
1 нед.
q 1 0 0 1 45,5034 610,699 см
0 0 мес.
0 5,159 л
S
Q
0 0 0 0 сбн
/ GS1 GS
92,281 662,656 -5,874 5,303 пере
ж
153,119 602,986 -9,746 6,831 рэ
ж
BT
0,717 0.66 0,666 0,786 сбн
/ GS0 гс
/ T1_4 1 Тс
8 0 0 8 87,4204 662,8118 тм
(5) Tj
ET
q 1 0 0 1 99,7788 561,5126 см
0 0 мес.
-5,16 0 л
0-51,673 м
-5,16 -51,673 л
S
Q
BT
/ T1_4 1 Тс
8 0 0 8 146,362 602,9456 тм
(5) Tj
ET
q 1 0 0 1 200,28 610,699 см
0 0 мес.
0 5,159 л
-160,205 2,602 м
5,411 2,602 л
-103,124 59,554 м
-103,124 -105,376 л
S
Q
q 1 0 0 1 208,133 613,3025 см
0 0 мес.
-4,279 -1,749 л
-3.263 0 л
-4,279 1,747 л
час
ж
Q
q 1 0 0 1 37.3061 613.3025 см
0 0 мес.
4,279 — 1,749 л
3.264 0 л
4.279 1.747 л
час
ж
Q
q 1 0 0 1 97,1558 673.2879 см
0 0 мес.
1,75 -4,279 л
0 -3,262 л
-1,746 -4,279 л
час
ж
Q
q 1 0 0 1 97,1558 502,1546 см
0 0 мес.
1,75 4,278 л
0 3,262 л
-1,746 4,278 л
час
ж
Q
0 0 0 0 сбн
/ GS1 GS
81.523 559.341 12.041 4.343 об.
ж
46,451 602,946 -1,865 6,871 об.
ж
BT
0,717 0,66 0,666 0,786 сбн
/ GS0 гс
/ T1_5 1 Тс
8 0 0 8 36 602,9456 тм
(2) Tj
/ T1_4 1 Тс
(5) Tj
/ T1_5 1 Тс
5,646 -5,594 тд
(2) Tj
/ T1_4 1 Тс
(5) Tj
ET
0 0 0 0 сбн
/ GS1 GS
78,31 507,668 15,254 4,344 об.
ж
BT
0,717 0,66 0,666 0,786 сбн
/ GS0 гс
/ T1_5 1 Тс
8 0 0 8 77,7349 506,4316 тм
(2) Tj
/ T1_4 1 Тс
(10) Tj
ET
0 0 0 0 сбн
68.639 618,626 -32,624 10 рэ
ж
BT
0,717 0,66 0,666 0,786 сбн
/ T1_6 1 Тс
8 0 0 8 37,7568 621,0379 тм
(А) Tj
/ T1_4 1 Тс
0,682 0 тд
(\ () Tj
/ T1_5 1 Тс
0,235 0 тд
(2) Tj
/ T1_4 1 Тс
(3,) Tj
1.845 0 тд
(0 \)) Tj
ET
0 0 0 0 сбн
216.742 556.027 -32.625 10 рэ
ж
BT
0,717 0,66 0,666 0,786 сбн
/ T1_6 1 Тс
8 0 0 8 185,859 558,4386 тм
(H) Tj
/ T1_4 1 Тс
0,749 0 Тд
(\ () Tj
0,275 0 Тд
(9,) Tj
/ T1_5 1 Тс
1.012 0 Тд
(2) Tj
/ T1_4 1 Тс
(6 \)) Tj
ET
0 0 0 0 сбн
150.189 514.573 -32.625 10 рэ
ж
BT
0,717 0,66 0,666 0,786 сбн
/ T1_6 1 Тс
8 0 0 8 119.3066 516,9856 тм
(T) Tj
/ T1_4 1 Тс
0,579 0 тд
(\ () Tj
0,275 0 Тд
(6,) Tj
/ T1_5 1 Тс
1.012 0 Тд
(2) Tj
/ T1_4 1 Тс
(9 \)) Tj
ET
0 0 0 0 сбн
129.903 645.073 -29.124 10 рэ
ж
BT
0,717 0,66 0,666 0,786 сбн
/ T1_6 1 Тс
8 0 0 8 102,521 647,4851 тм
(M) Tj
/ T1_4 1 Тс
(\ () Tj
1.269 0 Тд
(0,) Tj
1.012 0 Тд
(3 \)) Tj
ET
2 w 10 M 1 j 1 Дж
/ GS1 GS
q 1 0 0 1 66,8765 613,573 см
0 0 мес.
30,252 30,699 л
123,156 -62,442 л
91,999 -93,5 л
0 0 л
час
S
Q
0 0 0 0 сбн
/ GS0 гс
205.043 602.573 -9.167 6.333 об.
ж
BT
0,717 0,66 0,666 0.786 сбн
/ T1_4 1 Тс
8 0 0 8 195.873 602.9456 тм
(10) Tj
ET
q
36 502.155 180.742 180.06 пере
W n
/ GS1 GS
q 1 0 0 1 193,033 551,2656 см
0 0 мес.
0 -1,656 -1,342 -3-3-3 в
-4,657 -3-6 -1,656 -6 0 в
-6 1,658 -4,657 3 -3 3 в
-1,342 3 0 1,658 0 0 в
ж
Q
q 1 0 0 1161,876 520,0726 см
0 0 мес.
0 -1,656 -1,341 -3-3-3 в
-4,656 -3-6 -1,656 -6 0 в
-6 1,659 -4,656 3 -3 3 в
-1,341 3 0 1,659 0 0 в
ж
Q
q 1 0 0 1 99.9985 644.0515 см
0 0 мес.
0 -1,656 -1,342 -3-3-3 в
-4,656 -3-6 -1,656 -6 0 в
-6 1,658 -4,656 3 -3 3 в
-1.342 3 0 1,658 0 0 в
ж
Q
q 1 0 0 1 69,5684 613,6215 см
0 0 мес.
0 -1,656 -1,342 -3-3-3 в
-4,656 -3-6 -1,656 -6 0 в
-6 1,658 -4,656 3 -3 3 в
-1,342 3 0 1,658 0 0 в
ж
Q
Q
BT
/ T1_7 1 Тс
0,279 Tw / Span >> BDC
11,5 0 0 11,5 300 673,8547 тм
() Tj
EMC
0,574 0 Тд
(1.) Tj
/ T1_2 1 Тс
0 Tw / Span >> BDC
() Tj
EMC
/ T1_7 1 Тс
0,279 Tw / Span >> BDC
-0,574 -3,522 тд
() Tj
EMC
0,574 0 Тд
(2.) Tj
/ T1_2 1 Тс
0 Tw / Span >> BDC
() Tj
EMC
1,426 3,302 тд
[(Fin) 4 (d t) -6 (h) 4 (e m) 2 (i) 1 (d) 12 (p) -9 (o) 12 (in) 19 (ts o) 12 (f)] TJ
ET
/ PlacedGraphic BMC
EMC
/ GS1 GS
426.12 680.966 17.938 0.563 об.
ж
q
425.75 670.901 18.386 11.315 об.
W n
BT
/ T1_8 1 Тс
-0,001 Tc 0,001 Tw 11,5 0 0 11,5 426,3394 671,3411 Tm
(MT) Tj
ET
Q
BT
/ GS0 гс
/ T1_2 1 Тс
-0,009 Tc 0,009 Tw 11,5 0 0 11,5 444,1364 671,3253 Tm
[(ан) -5 (г) -9 ()] ТДж
ET
/ PlacedGraphic BMC
EMC
/ GS1 GS
467.202 680.824 16.718 0.563 об.
ж
q
466.618 670.617 17.882 11.456 об.
W n
BT
/ T1_9 1 Тс
-0,02 Tc 0,02 Tw 11,5 0 0 11,5 467,4202 671,1993 Tm
(AH) Tj
ET
Q
BT
/ GS0 гс
/ T1_2 1 Тс
0 Tc 0 Tw 11,5 0 0 11,5 484,5007 671,3253 Tm
(.) Tj
/ CS2 CS 1 SCN
/ GS1 GS
/ T1_10 1 Тс
-14.044 -1,652 тд
[(B) 2 (ot) -10 (hm) 3 (i) 6 (d) 8 (p) -7 (o) 3 (i) 14 (n) -1 (t) -34 (sa) 7 ( г) -3 (е \ () 39 (3) 30 (,)] ТДж
/ T1_11 1 Тс
(2) Tj
/ T1_10 1 Тс
-0,06 Tc 0,06 Tw 10,249 0 Td
[(3 \)) — 31 (.)] TJ
/ CS0 cs 0,717 0,66 0,666 0,786 scn
/ GS0 гс
/ T1_2 1 Тс
0 Tc 0 Tw -10,249 -1,652 Td
[(Fin) 4 (d t) -6 (h) 4 (e l) 1 (e) 1 (n) 8 (g) 1 (t) -6 (h) 8 (s o) 12 (f)] TJ
ET
/ PlacedGraphic BMC
EMC
/ GS1 GS
412.171 642.966 17.938 0.563 об.
ж
q
411.801 632.9 18.386 11.316 об.
W n
BT
/ T1_12 1 Тс
-0,001 Tc 0,001 Tw 11,5 0 0 11,5 412,3904 633,3411 Tm
(MT) Tj
ET
Q
BT
/ GS0 гс
/ T1_2 1 Тс
11.5 0 0 11,5 430,1873 633,3253 тм
() Tj
-0,009 Tc 0,009 Tw [(an) -5 (d) -9 ()] TJ
ET
/ PlacedGraphic BMC
EMC
/ GS1 GS
453,253 642,824 16,718 0,563 об.
ж
q
452,669 632,616 17,882 11,457 об.
W n
BT
/ T1_13 1 Тс
-0,02 Tc 0,02 Tw 11,5 0 0 11,5 453,4711 633,1993 Tm
(AH) Tj
ET
Q
BT
/ GS0 гс
/ T1_2 1 Тс
0 Tc 0 Tw 11,5 0 0 11,5 470,5516 633,3253 Tm
(.) Tj
/ CS2 CS 1 SCN
/ GS1 GS
/ T1_10 1 Тс
/ Span >> BDC
-12,831 -1,652 тд
(E) Tj
EMC
0,474 0 Тд
[(a) 6 (c) 1 (h l) -8 (e) 3 (n) 4 (g) -16 (t) -10 (h i) 9 (s 6)] TJ
ET
/ PlacedGraphic BMC
EMC
К 1 0 0 1 398.6084 617.1802 см
0 0 мес.
1,575 0,823 л
4.065 -2.72 л
6,84 7,873 л
13 7,873 л
13 7.31 л
7,274 7,31 л
4.343 -3.878 л
3,762 -3,878 л
0,987 0,071 л
0,182 -0,349 л
ж
Q
q
398,44 612,553 13,751 12,749 об.
W n
BT
/ T1_14 1 Тс
11,5 0 0 11,5 405,6709 614,4277 тм
(5) Tj
ET
Q
BT
/ T1_10 1 Тс
11,5 0 0 11,5 412,1911 614,3253 тм
(.) Tj
/ CS0 cs 0,717 0,66 0,666 0,786 scn
/ GS0 гс
/ T1_2 1 Тс
-32,712 -13,058 тд
[(U) 53 (s) -8 (et) -6 (h) 4 (e di) -3 (a) 5 (g) -5 (ra) 9 (ms) 4 (h) 4 (o) 16 (w) -3 (nf) 9 (o) 12 (r I) 39 (t) 6 (e) 1 (m) 8 (s 3 \ 2267.)] TJ
ET
/ PlacedGraphic / MC1 BDC
EMC
0.3 Вт 4 М 0 Дж 0 Дж
q 1 0 0 1 53,531 434,3682 см
0 0 мес.
-0,068 0 л
S
Q
/ GS1 GS
q 1 0 0 1 156,5981 434,3682 см
0 0 мес.
-103.137 0 л
S
Q
0 0 0 0 сбн
161,64 269,225 -9,748 5,304 об.
ж
q 1 0 0 1156,6622 279,4338 см
0 0 мес.
0 154,924 л
S
Q
0,411 Вт 10 M 1 j
/ GS0 гс
q 1 0 0 1 53,5183 382,8389 см
0 0 мес.
-1,211 0 л
0-103,31 м
-1,211 -103,31 л
S
Q
1 нед 4 М 0 к
q 1 0 0 1 56,1111 279,5389 см
0 0 мес.
-5,16 0 л
48.974 — 2.601 кв.м.
48.974 2.558 л
0 51,618 м
-5,16 51,618 л
0 103,239 м
-5,16 103,239 л
S
Q
BT
0,717 0,66 0,666 0.786 сбн
/ T1_15 1 Тс
8 0 0 8 166,9542 277,1968 тм
(x) Tj
-14,4 21,019 тд
(y) Tj
/ T1_16 1 Тс
-0,644 -21,64 тд
(0) Tj
ET
0 0 0 0 сбн
/ GS1 GS
48.613 328.895 -5.498 5.302 об.
ж
48,613 379,69 -10,148 3,914 об.
ж
109,451 269,225 -9,746 6,831 об.
ж
BT
0,717 0,66 0,666 0,786 сбн
/ GS0 гс
/ T1_16 1 Тс
8 0 0 8 43.7527 329.0508 тм
(5) Tj
/ T1_17 1 Тс
3,088 1,62 тд
(P) Tj
6,203 0,082 Тд
(Q) Tj
/ T1_16 1 Тс
-9,851 4,654 тд
(10) Tj
ET
q 1 0 0 1 56,1111 434,3872 см
0 0 мес.
-5,16 0 л
S
Q
0 0 0 0 сбн
/ GS1 GS
48,613 431,299 -10.148 3.914 об.
ж
BT
0,717 0,66 0,666 0,786 сбн
/ GS0 гс
/ T1_16 1 Тс
8 0 0 8 39,2726 431,5093 тм
(15) Tj
7,928 -20,291 тд
(5) Tj
ET
q 1 0 0 1 156,6122 276,9378 см
0 0 мес.
0 5,159 л
-106,903 2,601 м
5,411 2,601 л
-103,124 161,999 м
-103,124 -1,793 л
S
Q
q 1 0 0 1164,4651 279,5408 см
0 0 мес.
-4,279 -1,749 л
-3.263 0 л
-4,279 1,747 л
час
ж
Q
q 1 0 0 1 53,488 441,6475 см
0 0 мес.
1,75 -4,279 л
0 -3,262 л
-1,746 -4,279 л
час
ж
Q
0 0 0 0 сбн
86.085 280.358 -29.206 9.076 об.
ж
BT
0,717 0,66 0,666 0,786 сбн
/ T1_17 1 Тс
8 0 0 8 62.4929 281,8458 тм
(А) Tj
/ T1_16 1 Тс
0,682 0 тд
(\ () Tj
0,235 0 тд
(0,) Tj
1.012 0 Тд
(0 \)) Tj
ET
0 0 0 0 сбн
107.063 296.822 -24.595 10 рэ
ж
BT
0,717 0,66 0,666 0,786 сбн
/ T1_17 1 Тс
8 0 0 8 84.6077 299.2338 тм
(R) Tj
/ T1_16 1 Тс
0,6 0 тд
(\ () Tj
0,235 0 тд
(4,) Tj
1.012 0 Тд
(4 \)) Tj
ET
0 0 0 0 сбн
q 1 0 0 1 111.9612 341.8848 см
0 0 мес.
-17,146 -17,631 л
-22,406 -12,517 л
-5,258 5,115 л
час
ж
Q
160.636 282.312 -24.594 10 рэ
ж
BT
0,717 0,66 0,666 0,786 сбн
/ T1_17 1 Тс
8 0 0 8 138,1812 284,7228 тм
(B) Tj
/ T1_16 1 Тс
0.666 0 Тд
(\ () Tj
0,235 0 тд
(8,) Tj
1.012 0 Тд
(0 \)) Tj
ET
0 0 0 0 сбн
109,465 404,7 -29,399 10 рэ
ж
BT
0,717 0,66 0,666 0,786 сбн
/ T1_17 1 Тс
8 0 0 8 82.2053 407.1118 тм
(C) Tj
/ T1_16 1 Тс
(\ () Tj
0,777 0 тд
(4,) Tj
1.012 0 Тд
(12 \)) Tj
/ T1_17 1 Тс
5,5774 5,7352 -5,7352 5,5774 97,3357 328,8738 тм
(y) Tj
/ T1_16 1 Тс
() Tj
/ T1_18 1 Тс
(5) Tj
/ T1_17 1 Тс
1,662 -0 тд
(x) Tj
ET
0 0 0 0 сбн
161,376 268,812 -9,167 6,333 об.
ж
BT
0,717 0,66 0,666 0,786 сбн
/ T1_16 1 Тс
8 0 0 8 152.2052 269.1838 тм
(10) Tj
ET
2 нед 1 к
К 1 0 0 1 136.0422 279.9778 см
0 0 мес.
-41,348 122,445 л
-82,524 -0,449 л
S
Q
1 Дж
q 1 0 0 1 136,0422 279,9778 см
0 0 мес.
-61,768 61,5 л
S
Q
0 Дж
q 1 0 0 1 53,5183 279,5288 см
0 0 мес.
61.191 61.949 л
S
Q
0 0 0 0 сбн
/ GS1 GS
q 1 0 0 1 122.9412 295.1599 см
0 0 мес.
-25,237 27,056 л
-19,754 32,173 л
4.657 4.871 л
час
ж
Q
BT
0,717 0,66 0,666 0,786 сбн
/ GS0 гс
/ T1_17 1 Тс
5,457 -5,8499 5,8499 5,457 100,4445 320,6958 тм
(y) Tj
/ T1_16 1 Тс
() Tj
/ T1_18 1 Тс
(52) Ти
/ T1_17 1 Тс
2,415 0 Тд
(x) Tj
/ T1_16 1 Тс
0,413 -0 тд
() Tj
/ T1_18 1 Тс
(1) Tj
/ T1_16 1 Тс
1.058 0 Тд
(8) Tj
/ T1_7 1 Тс
0,279 Tw / Span >> BDC
11,5 0 0 11,5 300 439,2942 тм
() Tj
EMC
0,574 0 Тд
(3.) Tj
/ T1_2 1 Тс
0 Tw / Span >> BDC
() Tj
EMC
/ T1_7 1 Тс
0,279 Tw / Span >> BDC
-0,574 -6,974 тд
() Tj
EMC
0,574 0 Тд
(4.) Tj
/ T1_2 1 Тс
0 Tw / Span >> BDC
() Tj
EMC
/ T1_7 1 Тс
0,279 Tw / Span >> BDC
-0,574 -3,304 тд
() Tj
EMC
0,574 0 Тд
(5.) Tj
/ T1_2 1 Тс
0 Tw / Span >> BDC
() Tj
EMC
1,426 10,252 тд
[(Fin) 4 (dt) -6 (h) 4 (ec) -1 (o) -9 (o) 12 (r) 13 (din) 3 (a) 19 (t) 6 (e) 2 (so ) 12 (фут) -6 (h) 4 (выс.) 2 (i) 1 (d) 12 (p) -9 (o) 12 (дюйм) 19 (до) 12 (f)] TJ
ET
/ PlacedGraphic BMC
EMC
/ GS1 GS
507.085 448,842 15,031 0,563 рэ
ж
q
506,502 438,997 16,229 13,157 об.
W n
BT
/ T1_19 1 Тс
-0,02 Tc 0,02 Tw 11,5 0 0 11,5 507,3036 439,1546 Tm
(AC) Tj
ET
Q
BT
/ GS0 гс
/ T1_2 1 Тс
11,5 0 0 11,5 522,7305 438,9971 тм
[(. D) -6 (o t) -6 (h) 4 (e)] TJ
-17,368 -1,217 тд
[(c) -1 (o) -9 (o) 12 (r) 13 (din) 3 (a) 19 (t) 6 (e) 2 (ss) -6 (a) 19 (t) -5 ( i) 3 (s) 2 (f) -17 (y)] TJ
/ T1_20 1 Тс
(y) Tj
/ T1_2 1 Тс
() Tj
/ T1_11 1 Тс
(5) Tj
/ T1_2 1 Тс
() Tj
/ T1_11 1 Тс
(2) Tj
/ T1_20 1 Тс
(x) Tj
/ T1_2 1 Тс
() Tj
/ T1_11 1 Тс
(1) Tj
/ T1_2 1 Тс
[(8? I) 22 (s t) -6 (h) 4 (e m) 2 (i) 1 (d) 12 (p) -9 (o) 12 (in) 19 (t o) 12 (f)] TJ
ET
/ PlacedGraphic BMC
EMC
/ GS1 GS
323.582 420,842 15,032 0,563 об.
ж
q
323 410,997 16,228 13,158 пере
W n
BT
/ T1_21 1 Тс
-0,02 Tc 0,02 Tw 11,5 0 0 11,5 323.8014 411,1546 Tm
(AC) Tj
ET
Q
BT
/ GS0 гс
/ T1_2 1 Тс
11,5 0 0 11,5 339,2283 410,9971 тм
[(o) 12 (n t) -6 (h) 4 (e lin) 4 (e)] TJ
/ T1_20 1 Тс
(y) Tj
/ T1_2 1 Тс
() Tj
/ T1_11 1 Тс
(5) Tj
/ T1_2 1 Тс
() Tj
/ T1_11 1 Тс
(2) Tj
/ T1_20 1 Тс
(x) Tj
/ T1_2 1 Тс
() Tj
/ T1_11 1 Тс
(1) Tj
/ T1_2 1 Тс
(8?) Tj
/ CS2 CS 1 SCN
/ GS1 GS
/ T1_10 1 Тс
/ Span >> BDC
-1,411 -1,652 тд
(T) Tj
EMC
0,454 0 тд
[(h) 1 (em) 3 (i) 6 (d) 8 (p) -7 (o) 3 (i) 14 (n) -1 (ti) 9 (s \ () 53 (2) 22 ( , 6) 25 (\)) 29 (.)] TJ
/ Span >> BDC
(T) Tj
EMC
9.398 0 Тд
[(h) 7 (a) -2 (to) 5 (r) -1 (d) 1 (e) 1 (r) -3 (e) -6 (dp) -4 (a) 2 (i) 11 (rs) -9 (a) -2 (t) -31 (i) 9 (s) -12 (\ 037) 5 (e) -9 (st) -10 (h) 1 (e)] TJ
-0,008 Tc 0,008 Tw -9,853 -1,217 Td
[(e) -15 (q) -11 (u) -4 (a) -10 (t) -39 (io) -2 (n) -8 ()] TJ
/ T1_22 1 Тс
0 Tc 0 Tw (y) Tj
/ T1_10 1 Тс
() Tj
/ T1_11 1 Тс
(5) Tj
/ T1_10 1 Тс
() Tj
/ T1_11 1 Тс
(2) Tj
/ T1_22 1 Тс
6,495 0 тд
(x) Tj
/ T1_10 1 Тс
() Tj
/ T1_11 1 Тс
(1) Tj
/ T1_10 1 Тс
[(8) 14 (, s) -2 (o \ () 53 (2) 22 (, 6) 25 (\) i) 9 (so) 6 (nt) -10 (h) 1 (e li) 14 (n) 1 (e) 8 (.)] TJ
/ CS0 cs 0.717 0,66 0,666 0,786 сбн
/ GS0 гс
/ T1_2 1 Тс
-6,495 -1,652 тд
[(Fin) 4 (dt) -6 (h) 4 (ec) -1 (o) -9 (o) 12 (r) 13 (din) 3 (a) 19 (t) 6 (e) 2 (so ) 12 (фут) -6 (h) 4 (выс.) 2 (i) 1 (d) 12 (p) -9 (o) 12 (дюйм) 19 (до) 12 (f)] TJ
ET
/ PlacedGraphic BMC
EMC
/ GS1 GS
507,085 368,362 13,874 0,563 об.
ж
q
506,502 358,288 14,882 11,323 пере
W n
BT
/ T1_23 1 Тс
-0,017 Tc 0,017 Tw 11,5 0 0 11,5 507,0848 358,7373 Tm
(BC) Tj
ET
Q
BT
/ GS0 гс
/ T1_2 1 Тс
11,5 0 0 11,5 521,384 358,9971 тм
(.) Tj
/ CS2 CS 1 SCN
/ GS1 GS
/ T1_10 1 Тс
/ Span >> BDC
-17,251 -1.652 тд
(T) Tj
EMC
0,454 0 тд
[(h) 1 (em) 3 (i) 6 (d) 8 (p) -7 (o) 3 (i) 14 (n) -1 (ti) 9 (s \ () 63 (6) 27 ( , 6) 25 (\)) 29 (.)] TJ
/ CS0 cs 0,717 0,66 0,666 0,786 scn
/ GS0 гс
/ T1_2 1 Тс
-0,454 -1,652 тд
[(Fin) 4 (dt) -6 (h) 4 (ec) -1 (o) -9 (o) 12 (r) 13 (din) 3 (a) 19 (t) 6 (e) 2 (so ) 12 (фут) -6 (h) 4 (выс.) 2 (i) 1 (d) 12 (p) -9 (o) 12 (дюйм) 19 (до) 12 (f)] TJ
ET
/ PlacedGraphic BMC
EMC
/ GS1 GS
508,502 330,78 13,844 0,563 об.
ж
q
506,502 320,997 16,229 13,158 об.
W n
BT
/ T1_24 1 Тс
-0,02 Tc 0,02 Tw 11,5 0 0 11,5 508,7209 321,1546 Tm
(AB) Tj
ET
Q
BT
/ GS0 гс
/ T1_2 1 Тс
11.5 0 0 11,5 522,7305 320,9971 тм
(.) Tj
/ CS2 CS 1 SCN
/ GS1 GS
/ T1_10 1 Тс
/ Span >> BDC
-17,368 -1,652 тд
(T) Tj
EMC
0,454 0 тд
[(h) 1 (em) 3 (i) 6 (d) 8 (p) -7 (o) 3 (i) 14 (n) -1 (ti) 9 (s \ () 60 (4) 22 ( , 0) 50 (\)) 29 (.)] TJ
/ CS0 cs 0,717 0,66 0,666 0,786 scn
/ GS0 гс
/ T1_7 1 Тс
0,279 Tw / Span >> BDC
-25,411 -6,504 тд
() Tj
EMC
0,574 0 Тд
(6.) Tj
/ T1_2 1 Тс
0 Tw / Span >> BDC
() Tj
EMC
1.339 0 Тд
[(W) 12 (h) 3 (a) 19 (ti) 3 (st) -6 (h) 4 (el) 1 (e) 1 (n) 8 (g) 1 (t) -6 (ho) 12 (фут) -6 (h) 4 (es) -8 (e) -1 (g) -5 (m) 4 (e) 1 (n) 19 (tf) -10 (r) 13 (o) 12 (mt) -6 (h) 4 (em) 2 (i) 1 (d) 12 (p) -9 (o) 12 (in) 19 (to) 12 (f)] TJ
ET
/ PlacedGraphic BMC
EMC
/ GS1 GS
316.629 236,983 13,844 0,563 об.
ж
q
314,629 227,2 16,228 13,158 об.
W n
BT
/ T1_25 1 Тс
-0,02 Tc 0,02 Tw 11,5 0 0 11,5 316,8479 227,3575 Tm
(AB) Tj
ET
Q
BT
/ GS0 гс
/ T1_2 1 Тс
-0,006 Tc 0,006 Tw 11,5 0 0 11,5 330,8575 227,2 Tm
[(к) -6 (v) 2 (e) -5 (r) -16 (te) -5 (x) -6 ()] TJ
/ T1_20 1 Тс
0 Tc 0 Tw (C) Tj
/ T1_2 1 Тс
(?) Tj
/ T1_7 1 Тс
/ Span >> BDC
-25,64 -1,652 тд
() Tj
EMC
/ T1_2 1 Тс
/ Span >> BDC
1,13 0 тд
() Tj
EMC
/ CS2 CS 1 SCN
/ GS1 GS
/ T1_10 1 Тс
0,783 0 Тд
(12 шт.) Tj
/ CS0 CS 0,717 0,66 0,666 0.786 сбн
/ GS0 гс
/ T1_7 1 Тс
0,279 Tw / Span >> BDC
-1,913 -1,652 тд
() Tj
EMC
0,574 0 Тд
(7.) Tj
/ T1_2 1 Тс
0 Tw / Span >> BDC
() Tj
EMC
1.339 0 Тд
[(Fin) 4 (dt) -6 (h) 4 (e di) 3 (s) 5 (t) -6 (a) 9 (n) 4 (c) -1 (eb) -9 (et) — 3 (w) 8 (e) -5 (e) 1 (np) -9 (o) 12 (in) 19 (ts)] TJ
/ T1_20 1 Тс
(C) Tj
/ T1_2 1 Тс
-0,009 Tc 0,009 Tw [(an) -5 (d) -9 ()] TJ
/ T1_20 1 Тс
0 Tc 0 Tw (R) Tj
/ T1_2 1 Тс
[(. H) 25 (o) 16 (wd) 1 (o) -9 (e) 2 (st) -6 (h) 3 (a) 19 (t di) 3 (s) 5 (t) -6 (a) 9 (n) 4 (c) -1 (ec) -1 (o) 12 (m) 19 (p) -5 (a) 9 (r) 13 (et) 6 (ot) -6 (h ) 4 (эл) 1 (е) 1 (n) 8 (g) 1 (t) -6 (ho) 12 (f)] TJ
/ CS2 CS 1 SCN
/ GS1 GS
/ T1_10 1 Тс
() Tj
/ CS0 cs 0.717 0,66 0,666 0,786 сбн
/ GS0 гс
/ T1_2 1 Тс
0 -1,217 TD
[(t) -6 (h) 4 (es) -8 (e) -1 (g) -5 (m) 4 (e) 1 (n) 19 (tf) -10 (r) 13 (o) 12 (mt) -6 (h) 4 (em) 2 (i) 1 (d) 12 (p) -9 (o) 12 (in) 19 (to) 12 (f)] TJ
ET
/ PlacedGraphic BMC
EMC
/ GS1 GS
218,087 184,982 13,844 0,563 об.
ж
q
216.087 175.2 16.228 13.157 об.
W n
BT
/ T1_26 1 Тс
-0,02 Tc 0,02 Tw 11,5 0 0 11,5 218,3058 175,3575 Tm
(AB) Tj
ET
Q
BT
/ GS0 гс
/ T1_2 1 Тс
-0,006 Tc 0,006 Tw 11,5 0 0 11,5 232,3154 175,2 Tm
[(к) -6 (v) 2 (e) -5 (r) -16 (te) -5 (x) -6 ()] TJ
/ T1_20 1 Тс
0 Tc 0 Tw (C) Tj
/ T1_2 1 Тс
(?) Tj
/ T1_7 1 Тс
/ Span >> BDC
-17.071 -1,652 тд
() Tj
EMC
/ T1_2 1 Тс
/ Span >> BDC
1,13 0 тд
() Tj
EMC
/ CS2 CS 1 SCN
/ GS1 GS
/ T1_10 1 Тс
0,783 0 Тд
[(8 единиц; это два-три) 18 (ds o) 18 (f th) 18 (e len) 18 (gth o) 18 (f th) 18 (e segm) 18 (en) 18 (t fr) 18 (ом th) 18 (e mi) 18 (dpoin) 18 (to) 18 (f)] TJ
ET
/ PlacedGraphic BMC
EMC
408,811 165,841 12,156 0,563 об.
ж
q
408.653 156.058 12.465 10.464 об.
W n
BT
/ T1_27 1 Тс
-0,018 Tc 0,018 Tw 11,5 0 0 11,5 409,0297 156,2158 Tm
(AB) Tj
ET
Q
BT
/ T1_10 1 Тс
11,5 0 0 11,5 421,1181 156,2 тм
[(to verte) 18 (x)] TJ
/ T1_22 1 Тс
(C) Tj
/ T1_10 1 Тс
(.) Tj
/ CS0 cs 0,717 0,66 0,666 0,786 scn
/ GS0 гс
/ T1_0 1 Тс
12 0 0 12 36 747.0601 тм
(Нахождение середины и длины отрезка линии \ (продолжение \)) Tj
ET

конечный поток
эндобдж
90 0 объект
> / ExtGState >>> / Subtype / Form >> stream
/ CS0 CS 0,717 0,66 0,666 0,786 SCN
1 Вт 4 М 0 Дж 0 Дж
/ GS0 гс
q 1 0 0 1 306 29,6339 см
0 0 мес.
5,412 0 9,8 4,388 9,8 9,8 в
9,8 15,212 5,412 19,6 0 19,6 в
-5,412 19,6 -9,8 15,212 -9,8 9,8 в
-9,8 4,388 -5,412 0 0 0 в
час
S
Q

конечный поток
эндобдж
13 0 объект
>
эндобдж
10 0 obj
[/ ICCBased 161 0 R]
эндобдж
161 0 объект
> поток
HuTK tKKJI, t (݋4 K% ҹh5J # Ғ (H
wqyy ~ 3̙g

MathScene — Векторы — Урок 3

2008 Расмус Эхф и Джанн Сак

Урок
3

Векторы в системе координат

Пример 1

В
точка A имеет координаты (2, 2), а точка B — координаты (6, 5) (см. диаграмму).Координаты вектора

Мы
можно использовать формулу для расстояния между двумя точками, чтобы найти расстояние
между A и B, то есть длина вектора

(см. Правило Пифагора в уроке 2). Формула выглядит следующим образом:

Подставляя заданные координаты в формулу, получаем:

Мы видим, что числа под квадратным корнем — это просто координаты
вектор.Это, конечно, потому, что длина вектора — это просто
гипотенуза в прямоугольном треугольнике с более короткими сторонами 3 и 4.

Формула длины вектора, начинающегося в точке
A = (x ₁, y ₁) и заканчивается на B = (x ₂,
y ₂) равен:

Если координаты вектора равны

то у нас есть следующее правило:

Пример 2

Найдите вектор

что параллельно

и который имеет длину 2 единицы
(видеть
диаграмму).

Два треугольника на диаграмме похожи, поэтому соответствующие
стороны находятся в одинаковом соотношении.
||
= t ∙ ||.

Число t — это соотношение между соответствующими сторонами. Соотношение есть.

Мы можем найти координаты как
следует:

Если
векторы
а также
находятся
параллельно, то существует такое число t, что:

= т ∙

Пример 3

Какие из следующих векторов параллельны
а также

Если
векторов
а также

находятся
параллельно, то существует такое число t, что =
т ∙.
Если векторы
а также

находятся
параллельно существует такое число r, что
знак равно
г ∙.

Мы
можно найти числа t и r, используя координаты x, а затем проверить, чтобы увидеть
будут ли найдены те же значения, когда мы используем координаты y.

= т ∙

3 = t ∙ 13 дает t = 3/13 = 2/9

4 = t ∙ 18 также дает t = 4/18 = 2/9

В
векторов
и

соток
параллель .

= г ∙

3 = r ∙ 6 дает r =

4 = r ∙ 9 дает r = 4/9

В
векторов
и

соток
не параллельно
(Это значит, что
а также

находятся
тоже не параллельно).

Вектор на схеме имеет координаты
.

В
вектор начинается в точке (0, 0) и заканчивается в (3, 2), поэтому координаты
конечная точка совпадает с координатами самого вектора.Это верно для
все векторы, которые начинаются в начале системы координат, то есть в
точка (0, 0).

Вектор, начинающийся в точке (0, 0), имеет те же координаты, что и
его конечная точка. Этот вектор называется вектором положения для A.

Каждая точка в системе координат может быть представлена своим вектором положения.
Координаты точки и ее вектор положения совпадают.Это может быть
очень полезно при просмотре переводов в системе координат.

Пример 4

Треугольник, изображенный на схеме, должен быть переведен на вектор
.

Мы используем векторы положения точек вершин (−3, 0),
(2, −2) и (3, 1) и складываем вектор

каждому из них.

Это дает нам новый вектор положения каждой вершины.Схема ниже
показывает перевод.

Пример 5

Теперь мы будем использовать векторы положения, чтобы найти середину отрезка AB, если
A = (1, 2) и B = (4, 3).

Как обычно, точка O является началом системы координат. Если M середина
из AB тогда:

знак равно

+ ∙

Вектор
является
вектор положения точки M и, следовательно, имеет те же координаты, что и
точка M, которую мы хотим вычислить.Вектор
вектор положения A. Чтобы достичь средней точки M, нам нужно добавить половину
вектор.
Нарисуйте диаграмму, чтобы увидеть это.

Сначала нам нужно найти вектор
.

Теперь мы можем найти

знак равно

+ ∙

Координаты M такие же, как у вектора положения.

или (2, 2) .

Легко найти формулу, по которой мы сможем найти координаты
середина отрезка AB.

2
= + ∙
+ — ∙

Мы видим, что вектор положения середины отрезка представляет собой своего рода
среднее из векторов положения конечных точек. Таким образом, мы можем найти
координаты средней точки путем нахождения среднего значения координат x и y
координаты соответственно.
Это приводит нас к правилу, которое мы называем правилом средней точки.

Середина M отрезка AB задается правилом:

Правило использования координат:

Пример 6

Вершины треугольника ABC равны A = (1, 2), B = (4, 3) и C = (3, 0).

Найдите длину прямой от A до середины стороны BC (медиана
треугольник ABC).

Начнем с нахождения середины BC, используя указанное выше правило.

Назовем среднюю точку M и найдем ее вектор положения
(видеть
диаграмму).

Следовательно, M, середина BC имеет координаты
.
М = (3, 1).

Далее находим координаты вектора
.

Наконец, мы можем найти длину вектора как
обязательный.

≈
2,55

=
+
∙

=
+ ∙
—
∙

=
— ∙
— ∙

Когда мы складываем их вместе,
выходит и получаем:

3 =

+ +

Чтобы найти координаты T, мы берем среднее значение x
и y координаты вершин соответственно.

Таким образом, мы находим точку пересечения T медиан
треугольник, найдя своего рода среднее из векторов положения
вершины. Таким образом, это правило является расширением правила средней точки.

Пример 7

Найдите точку пересечения T медиан треугольника ABC (
центр) при условии, что A = (1, 2), B = (4, 3) и C = (3, 0) (см.
диаграмму).

Центр T =
(2,
1) .

Попробовать викторину
3
по векторам.
Не забудьте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.

Длина линейного сегмента (расстояние)

При работе с координатной геометрией есть много способов найти расстояния (длины) отрезков линий на миллиметровой бумаге.
Давайте рассмотрим некоторые возможности:

Метод 1:

Если сегменты расположены горизонтально или вертикально, длину можно определить путем подсчета.
Когда нам нужно найти длину (расстояние) сегмента, такого как \ (\ overline {AB} \), мы просто ПОДСЧИТАЕМ расстояние от точки A до точки B. (AB = 7)
Мы можем использовать это тот же подход к подсчету для \ (\ overline {CD} \). (CD = 3)
К сожалению, этот метод подсчета НЕ работает для \ (\ overline {EF} \), который является диагональным сегментом.

Метод 2:

При работе с диагональными сегментами для определения длины можно использовать теорему Пифагора.
Обратите внимание, как образовался прямоугольный треугольник с гипотенузой \ (\ overline {EF} \). Ноги прямоугольного треугольника находятся «на» миллиметровой бумаге, и их длину можно посчитать. Используя теорему Пифагора, мы знаем, что:
(EF) ² = 4 ² + 3 ²
(EF) ² = 25
EF = 5

Используйте этот метод работы с теоремой Пифагора всякий раз, когда вы забываете формулу расстояния!

Метод 3:

При работе с диагональными сегментами используйте формулу расстояния для определения длины.
Формула расстояния — это просто координатно-геометрический способ записи теоремы Пифагора. Если вы не можете вспомнить формулу расстояния, вы всегда можете нарисовать график и использовать теорему Пифагора, как это было сделано в методе 2.

Преимущество формулы расстояния состоит в том, что вам не нужно рисовать картинку, чтобы найти ответ . Все, что вам нужно знать, — это координаты конечных точек сегмента.
Неважно, с какой точки вы начнете. Просто начните с одной и той же точки для считывания координат x и y.

Формула расстояния может использоваться для определения длины всех форм отрезков линии: горизонтальных, вертикальных и диагональных.

Получение формулы расстояния:

Начните с рисования прямоугольного треугольника в любом месте координатной сетки. Обозначьте конечные точки сегмента как (x ₁, y ₁) и (x ₂, y ₂).
Представьте длины катетов прямоугольного треугольника как абсолютное значение разности значений координат x и y.
Примените теорему Пифагора:

Что такое линейный сегмент? (Определение, формула расстояния, пример)

Что такое линии, отрезки линий и лучи?

Линии, отрезки и лучи встречаются в геометрии повсюду. Используя эти простые инструменты, вы можете создавать параллельные линии, серединные перпендикулярные линии, многоугольники и многое другое. В этом уроке вы узнаете определения линий, сегментов линий и лучей, как их называть, а также несколько способов измерения сегментов линий.

Содержание

Что такое линии, отрезки линий и лучи?
Линейный сегмент
Что такое линия?
лучей
Измерение сегментов линии
Как найти длину диагонального сегмента на координатной плоскости
Формула расстояния
Примеры линейных сегментов в реальной жизни

Линейный сегмент

Линейный сегмент — это часть или часть линии, которая позволяет строить многоугольники, определять уклоны и производить вычисления.Его длина конечна и определяется двумя его конечными точками.

Сегмент линии — это фрагмент линии. Независимо от длины отрезка, он конечен.

Символ сегмента линии

Вы называете отрезок линии по его двум конечным точкам. Сокращение для сегмента линии состоит в том, чтобы записать сегменты линии двумя конечными точками и нарисовать черту над ними, например CX¯:

Вы изображаете сегмент линии на бумаге для рисования, используя линейку для создания линии и помещая две точки на ее концах, обозначенные заглавными буквами; это конечные точки отрезка:

Что такое линия?

Определение линии — это набор точек между двумя точками и за ними.Линия бесконечна по длине. Все точки на линии коллинеарны.

Символ прямой линии

В геометрии символ прямой линии представляет собой отрезок с двумя наконечниками стрелок на концах, как CX↔. Вы идентифицируете его с помощью двух названных точек, обозначенных заглавными буквами. Выберите точку на линии и дайте ей букву, затем выберите вторую; теперь у вас есть название вашей линии:

лучей

Луч — это часть линии, которая имеет одну конечную точку и продолжается бесконечно только в одном направлении.Вы не можете измерить длину луча.

Луч получает имя сначала по его конечной точке, а затем по любой другой точке луча. В этом примере у нас есть точка B и точка A (BA →).

Сегменты измерительной линии

Линейный сегмент называется по его конечным точкам, но могут быть названы и другие точки по его длине. Каждая часть линейного сегмента может быть помечена по длине, поэтому вы можете сложить их, чтобы определить общую длину линейного сегмента.

Пример сегмента строки

Здесь у нас есть отрезок CX¯, но мы добавили две точки по пути, точку G и точку R:

Чтобы определить общую длину линейного сегмента, вы добавляете каждый сегмент линейного сегмента.Формула для линейного сегмента CX будет: CG + GR + RX = CX

7 единиц линейного сегмента CG

5 шт. Линейный сегмент GR

3 шт. Линейный сегмент RX

7 + 5 + 3 = 15 единиц длины для CX ¯

Координатная плоскость

Координатная плоскость , также называемая декартовой плоскостью (спасибо, Рене Декарт!), Представляет собой сетку, построенную по оси x и оси y. Вы можете думать об этом как о двух перпендикулярных числовых линиях или как о карте территории, занятой отрезками линий.

Чтобы определить длину горизонтальных или вертикальных отрезков линии на плоскости, подсчитайте отдельные единицы от конечной точки до конечной точки:

Чтобы определить длину линейного сегмента LM¯, мы начинаем с точки L и считаем пять правых единиц, заканчиваясь в точке M. Вы также можете вычесть значения x: 8 — 3 = 5. Для вертикальных линий вы должны вычесть значения y.

При работе в квадрантах II, III и IV или между ними помните, что вычитание отрицательного числа на самом деле означает добавление положительного числа.

Как найти длину сегмента диагональной линии на координатной плоскости

Используйте теорему Пифагора , чтобы вычислить длины отрезков диагоналей на координатных плоскостях. Напомним, что теорема Пифагора равна a2 + b2 = c2 для любого прямоугольного треугольника. Диагональ на координатной сетке образует гипотенузу прямоугольного треугольника, поэтому можно быстро сосчитать единицы двух сторон:

Считайте единицы прямо от точки J до значения x 2 (которое совпадает с точкой L):

8–2 = 6, поэтому отрезок JK¯ = 6

Считайте единицы прямо напротив точки K в точку L:

6 — (-3) = 9, поэтому отрезок KL¯ = 9

Теперь у нас 62 + 92 = c2:

36 + 81 = c2

117 = c2

10.816 = с

Длина отрезка JL¯ составляет приблизительно 10,816 единиц.

Формула расстояния

Частным случаем теоремы Пифагора является формула расстояния , используемая исключительно в координатной геометрии. Вы можете вставить два значения x и y конечной точки диагональной линии и определить ее длину. Формула выглядит так:

D = (x2 — x1) 2 + (y2 — y1) 2

Чтобы использовать формулу расстояния, возьмите квадраты изменения значения x и изменения значения y и сложите их, а затем возьмите квадратный корень из этой суммы.

Выражение (x2 — x1) читается как изменение x и (y2 — y1) изменение y .

Представьте, что у нас есть диагональная линия, тянущаяся от точки P (6, 9) до точки I (-2, 3), и вы хотите измерить расстояние между двумя точками.

Формула расстояния позволяет легко вычислить:

D = (-2 — 6) 2 + (3 — 9) 2

D = (-8) 2 + (-6) 2

D = 64 + 36

D = 100

D = 10

Используя формулу расстояния, мы находим, что отрезок линии PI¯ = 10 единиц.

Примеры линейных сегментов в реальной жизни

Примеры отрезков из реальной жизни: карандаш, бейсбольная бита, шнур зарядного устройства мобильного телефона, край стола и т. Д. Представьте себе четырехугольник в реальной жизни, как шахматную доску; он состоит из четырех отрезков. В отличие от сегментов линии, примеры сегментов в реальной жизни бесконечны.

Следующий урок:

Прямые линии

Расстояние между двумя точками: определение, формулы и примеры

Мы в Cuemath считаем, что математика — это жизненный навык.Наши эксперты по математике сосредотачиваются на том, «почему» стоит за «что». Учащиеся могут исследовать огромное количество интерактивных листов, наглядных пособий, симуляторов, практических тестов и многого другого, чтобы глубже понять концепцию.

Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня! и поучаствуйте в онлайн-классе Cuemath LIVE вместе со своим ребенком.

Определение расстояния между двумя точками

Расстояние между любыми двумя точками — это длина отрезка линии, соединяющего точки. 2} \]

Это называется формулой расстояния .

Давайте узнаем, как вывести эту формулу дальше.

Формула доказательства расстояния

Допустим, что:

\ [A = (x_1, y_1) \\ [0,2 см] B = (x_2, y_2) \]

Далее предположим, что \ (\ overline {AB} = d \)

Теперь мы нанесем данные точки на координатную плоскость и соединим их линией.

Далее мы построим прямоугольный треугольник с гипотенузой \ (\ overline {AB} \).2} \]

Расстояние до точки \ ((a, b) \) от:

(i) ось x равна \ (| b | \)

(ii) ось y равна \ (| a | \)

Здесь , мы использовали знаки абсолютного значения, потому что расстояние никогда не может быть отрицательным.

Помогите своему ребенку набрать больше баллов с помощью запатентованного БЕСПЛАТНОГО диагностического теста Cuemath. Получите доступ к подробным отчетам, индивидуальным планам обучения и БЕСПЛАТНОЙ консультации. Попытайтесь пройти тест сейчас.

Решенные примеры

Найдите расстояние между двумя точками \ ((2, -6 \)) и \ ((7, 3 \))

Решение:

Допустим, что данные точки равны:

\ [\ begin {align} (x_1, y_1) & = (2, -6) \\ [0.2} \\ [0,3 см] d & = \ sqrt {25 + 81} \\ [0,3 см] d & = \ sqrt {106} \ end {align} \]

\ (\ следовательно \) Расстояние \ (= \ sqrt {106} \)

Покажите, что точки \ ((2, -1), (0, 1) \) и \ ((2, 3 \)) являются вершинами прямоугольного треугольника.

Решение:

Допустим, что данные точки равны:

\ [\ begin {align} A & = (2, -1) \\ [0,2 см] B & = (0,1) \\ [0.2 \\ [0,3 см] 8 + 8 & = 16 \\ [0,3 см] 16 & = 16 \ конец {выровнено} \]

Таким образом, \ (A, B \) и \ (C \) удовлетворяют теореме Пифагора.

Итак, \ (\ треугольник ABC \) прямоугольный треугольник.

Мы можем доказать то же самое, отметив все координаты на графике:

Таким образом,

Данные точки образуют прямоугольный треугольник.

Найдите точку на оси Y, которая равноудалена от точек \ ((- 1, 2 \)) и \ ((2, 3) \)

Решение:

Мы знаем, что координата x любой точки на оси y равна \ (0 \)

Следовательно, мы считаем точку, равноудаленную от данных точек, равной \ ((0, k \)).2-6k \\ 2k & = 8 \\ k & = 4 \ end {align} \]

Следовательно, требуемая точка \ ((0, k) = (0, 4) \)

\ (\ следовательно \) Обязательная точка \ (= (0, 4) \)

Калькулятор расстояния между двумя точками

Вот «Калькулятор расстояния между двумя точками».

Здесь вы можете ввести координаты двух точек, и он покажет вам расстояние между ними с пошаговым объяснением.

CLUEless по математике? Узнайте, как CUEMATH Учителя объяснят вашему ребенку расстояние между двумя точками , используя интерактивные симуляции и рабочие листы, чтобы им больше никогда не приходилось запоминать что-либо по математике!

Изучите интерактивные и персонализированные онлайн-классы Cuemath, чтобы сделать своего ребенка экспертом по математике. Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня!

Практические вопросы

Сложные вопросы

Вершинами прямоугольника являются \ ((- 4, -3), (4, -3), (4, 3), \) и \ ((- 4, 3) \).Какая у него площадь?
Вершины прямоугольного треугольника — это \ ((- 3, 6), (1, 6) \) и \ ((1, -1) \). Какая у него площадь?

Образцы материалов олимпиады по математике

IMO (Международная олимпиада по математике) — это конкурсный экзамен по математике, который ежегодно проводится для школьников. Он побуждает детей развивать свои навыки решения математических задач с точки зрения соревнований.

Вы можете БЕСПЛАТНО скачать образцы работ по оценкам ниже:

Чтобы узнать больше об олимпиаде по математике, вы можете нажать здесь

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

1.Каково определение расстояния между двумя точками?

Расстояние между любыми двумя точками — это длина отрезка линии, соединяющего точки.

Например, если \ (A \) и \ (B \) — две точки, и если \ (\ overline {AB} = 10 \) см, это означает, что расстояние между \ (A \) и \ (B \ ) составляет \ (10 \) см.

2. Какова формула расстояния между двумя точками?

Расстояние \ (d \) между двумя точками с координатами \ ((x_1, y_1) \) и \ ((x_2, y_2 \)) составляет:

\ [d = \ sqrt {(x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2} \]

Это называется формулой расстояния .

Найдите длину отрезка по координатам точек формулы. Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения

В статье ниже будут рассмотрены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.

Яндекс.rtb R-A-339285-1 Определение 1

Раздел — Прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезков. В качестве примера, пусть это будут точки a и b и соответственно разрез a b.

Если отрезок A B продолжается по обе стороны от точек A и B, мы получаем прямую a b. Тогда отрезок A B является частью полученных прямых ограниченных точек a и b. Разрез A B объединяет точки a и b, которые являются его концами, а также набор точек, лежащих между ними. Если, например, взять любую произвольную точку K, лежащую между точками A и B, мы можем сказать, что точка K лежит на отрезке a b.

Определение 2.

Длина отрезка — расстояние между участками отрезка в заданном масштабе (отрезок единой длины). Длина отрезка A B следующая: a b.

Определение 3.

Средний разрез — Точка, лежащая на отрезке на одинаковом расстоянии от его концов. Если середина отрезка A B обозначена точкой C, то будет правильным равенство: A C = C B

Исходные данные: Координатная прямая O x и точки на ней: a и b.Эти точки соответствуют действительным числам
X а I.
х р. Точка C — средний сегмент A B: необходимо определить координату
х ок.

Поскольку точка C является серединой отрезка A B, верным будет равенство: | И с | = | С в | . Расстояние между точками определяется модулем разности их координат, т.е.

| И с | = | С в | ⇔ х С — х а = х б — х С

Тогда может быть два равенства: x C — x a = x b — x C и x c — x a = — — (x b — x c)

Из первого равенства выводим формулу координаты точки C: X C = X A + X B 2 (половинную сумму координат отрезка отрезка).

Из второго конника получаем: x a = x b, что невозможно, т.к. в исходных данных — несовместимые точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка A B с концами A (x a) и B (x b):

Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости X Y, две произвольные несовместимые точки с заданными координатами A x a, y a и b x b, y b.Точка C — это середина отрезка A b. Необходимо определить координаты X C и Y C для точки C.

Для анализа возьмем случай, когда точки a и b не совпадают и не лежат на одной координате или не перпендикулярны одной из осей. А х, а у; B x, b y и c x, c y — проекции точек a, b и c на оси координат (прямые относительно x и около y).

По построению прямые a a x, b b x, c c x параллельны; Прямые тоже параллельно друг другу.В настоящее время с этим по теореме Фалеса из равенства AC = CB следует равенство: A x с x = C x в x и и y с y = cy в y, а они в свою очередь указывают, что точка с X — середина отрезка A x в X, а с Y — середина отрезка, а Y — в y. И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получаем:

x C = x a + x b 2 и y c = y a + y b 2

Эти формулы могут использоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координате, прямой или перпендикулярной одной из осей.Мы не будем проводить подробный анализ этого случая, рассмотрим только графически:

Суммируя все вышеупомянутые координаты середины сегмента A B на плоскости с координатами концов A (x a, y a) и B (x b, y b) определяется как :

(х а + х б 2, у а + у б 2)

Исходные данные: система координат X Y Z и две произвольные точки с заданными координатами A (x a, y a, z a) и b (x b, y b, z b).Необходимо определить координаты точки C, которая является серединой отрезка A B.

А х, а у, а я; B x, b y, b z и c x, c y, c z — проекции всех заданных точек на ось системы координат.

Согласно теореме фаблеса справедливо равенство: a x c x = c x b x, a y c y = c y b y, a z c z = c z b z

Следовательно, точки C x, c y, c z являются серединами отрезков A x b x, a y b y, a z b z соответственно.Тогда для определения координат середины отрезка в пространстве верна формула:

x c = x a + x b 2, y c = y a + y b 2, z c = z a + z b 2

Полученные формулы также применимы в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координат прямых; по прямой, перпендикулярной одной из осей; одна координатная плоскость или плоскость, перпендикулярная одной из координатных плоскостей.

Определение координат середины отрезка через координаты радиуса векторов его концов

Формула для нахождения координат середины отрезка также может быть получена в соответствии с алгебраической интерпретацией векторов.

Исходные данные: прямоугольная декартова система координат O x Y, точки с заданными координатами A (x a, y a) и b (x b, x b). Точка C — это середина отрезка A b.

Согласно геометрическому определению действий над векторами, будет правильным равенство: o C → = 1 2 · o A → + O B →. Точка C в данном случае — точка пересечения диагонального параллелограмма, построенного на основе векторов O A → и O B →, т.е. точка середины диагоналей. Подкрепления точки радиус-вектора равны координатам точки, тогда выполняется равенство: o a → = (x a, y a), o b → = (x b, y b).Проделаем несколько операций над векторами в координатах и получим:

O C → = 1 2 · o A → + O B → = X A + X B 2, Y A + Y B 2

Следовательно, точка C имеет координаты:

х а + х б 2, у а + у б 2

По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:

С (x a + x b 2, y a + y b 2, z a + z b 2)

Примеры решения задач нахождения координат середины отрезка

Среди задач, связанных с использованием полученных выше формул, встречаются такие, как те, в которых вопрос о середине сегмента должен быть вычислен напрямую, и такие, которые предполагают привести указанные условия для этой проблемы: часто бывает Используется термин «медиана» с целью нахождения координат одного из концов отрезка, а также задачи на симметрию, решение которых, в целом, не должно вызывать затруднений после изучения данной темы.Рассмотрим характерные примеры.

Пример 1.

Исходные данные: На плоскости — точки с заданными координатами A (- 7, 3) и в (2, 4). Необходимо найти координаты середины отрезка A.

Решение

Обозначим середину отрезка A B точкой C. Координаты этого отрезка будут определены как половина координат концов отрезка, то есть точек a и b.

x C = x a + x b 2 = — 7 + 2 2 = — 5 2 y c = y a + y b 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Ответ : Координаты середины отрезка A B — 5 2, 7 2.

Пример 2.

Исходные данные: Известные координаты треугольника A B: A (- 1, 0), в (3, 2), C (9, — 8). Необходимо найти длину медианы A M.

Решение

При условии задачи A M — медиана, поэтому m является точкой середины отрезка B c. Сначала находим координаты середины отрезка B C, т.е. точки M:

x m = x b + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y m = y b + y c 2 = 2 + (- 8) 2 = — 3

Поскольку теперь мы знаем координаты обоих концов медиан (точки A и M), мы можем использовать формулу для определения расстояния между точками и вычисления длины медианы A M:

А м = (6 — (- 1)) 2 + (- 3-0) 2 = 58

Ответ: 58

Пример 3.

Исходные данные: В прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед A B C d A 1 B 1 C 1 D 1. Заданы координаты точки C 1 (1, 1, 0), а также точки M, которая является серединой диагонали B D 1, и координаты M (4, 2, — 4). Необходимо вычислить координаты точки А.

Решение

Диагональ параллелепипеда имеет пересечение в одной точке, которая является серединой всех диагоналей.На основании этого утверждения можно иметь в виду, что известная в условиях задачи точка m является серединой отрезка AC 1. Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, находим координаты точки A: X m = xa + x C 1 2 ⇒ xa = 2 · xm — x C 1 = 2 · 4 — 1 + 7 ym = y A + y C 1 2 ⇒ Y a = 2 · ym — y C 1 = 2 · 2 — 1 = 3 zm = za + z C 1 2 ⇒ za = 2 · zm — z C 1 = 2 · (- 4) — 0 \ u003d — 8

Ответ: Координаты точек А (7, 3, — 8).

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

Определить длину отрезка можно разными способами. Чтобы узнать, как найти длину отрезка, достаточно иметь линейку или знать специальные формулы для расчета.

Отрежьте длину линейкой

Для этого к отрезку, построенному на плоскости, наносим линию с делениями на миллиметры, причем начальная точка должна быть совмещена с нулевой шкалой линейки.Затем следует отметить на этой шкале положение конечной точки этого отрезка. Полученное количество целых делений шкалы и будет длиной сегмента, выраженным в см и мм.

Метод координат на плоскости

Если координаты сегмента (x1; u1) и (x2; u2) и (x2; u2) известны, то их следует рассчитать следующим образом. Из координат на плоскости второй точки следует вычесть координаты первой точки. В результате должно получиться два числа.Каждое из этих чисел необходимо возвести в квадрат, а затем найти количество этих квадратов. Из полученного числа следует удалить квадратный корень, который будет расстоянием между точками. Поскольку данные точек являются участками отрезка, это значение И будет его длиной.

Рассмотрим пример, как найти длину отрезка по координатам. Есть координаты двух точек (-1; 2) и (4; 7). При разнице координат точек получаем следующие значения: x = 5, y = 5.Полученные числа и будут координатами отрезка. Затем каждое число возводится в квадрат и получается сумма результатов, она равна 50. Из этого числа удалите квадратный корень. Результат: 5 корней из 2. Это длина отрезка.

Метод координат в пространстве

Для этого рассмотрим, как найти длину вектора. Именно он будет отрезком в евклидовом пространстве. Он расположен почти так же, как и длина отрезка на плоскости.Построение вектора происходит в разных плоскостях. Как найти длину вектора?

Ищите координаты вектора, для этого из координат его конечной точки нужно вычесть координаты его начальной точки.
После этого нужно построить каждую векторную координату в квадрате.
Затем складываем квадраты координат.
Чтобы найти длину вектора, вам нужно удалить квадратный корень из суммы квадратов координат.

Рассмотрим алгоритм расчета на примере. Необходимо найти координаты вектора AB. Точки A и B имеют следующие координаты: A (1; 6; 3) и in (3; -1; 7). Начало вектора находится в точке A, конец находится в точке V. Таким образом, чтобы найти его координаты, необходимо вычесть координаты точки A из координат точки в: (3 — 1; -1 — 6; 7 — 3) = (2; — 7; 4).

Теперь строим каждую координату в квадрате и складываем их: 4 + 49 + 16 = 69.Наконец, извлекает квадратный корень из заданного числа. Извлечь сложно, поэтому результат записывается так: длина вектора равна корню из 69.

Если вам не важно самостоятельно рассчитывать длину отрезков и векторов, а нужен просто результат, то вы можете использовать онлайн-калькулятор, например, по этому.

Теперь, изучив методы данных и рассмотрев представленные примеры, вы легко можете найти длину отрезка в любой задаче.

Если хорошо заточенным карандашом прикоснуться к тетрадному листу, то останется след, который дает представление о точке. (Рис. 3).

Отметьте на листе бумаги две точки A и B. Эти точки могут быть соединены различными линиями (рис. 4). А как соединить точки а и б самой короткой линией? Сделать это можно с помощью линейки (рис. 5). Результирующая строка называется Cut .

Острие и разрез — Примеры геометрические фигуры .

Точки a и b обозначают сегмента нарезки .

Имеется единственный отрезок, концы которого являются точками A и B. Следовательно, отрезок обозначается путем записи точек, являющихся его концами. Например, сегмент на рисунке 5 обозначается одним из двух способов: AB или BA. Они читают: «Сократить AB» или «Cut BA».

На рисунке 6 показаны три сегмента. Длина отрезка АВ — 1 см. Он размещается в сегменте MN ровно три раза, а в сегменте EF — ровно 4 раза. Будем говорить, что длина Cut Mn составляет 3 см, а длина сегмента EF равна 4 см.

Также принято говорить: «Сегмент Mn равен 3 см», «Сегмент EF равен 4 см». Надпись: Mn = 3 см, EF = 4 см.

Из

сегментов Mn и EF мы измерили одинарных отрезков длиной 1 см. Для измерения отрезков вы можете выбрать другие единицы длины , например: 1 мм, 1 дм, 1 км. На фиг.7 длина сегмента 17 мм. Его измеряют одним отрезком длиной 1 мм, используя линию с делениями. Также с помощью линейки можно построить (начертить) отрезок заданной длины (см.рис.7).

Вообще, «измерить сегмент» означает вычислить, сколько отдельных сегментов в нем размещено .

Длина сегмента имеет следующее свойство.

Если на отрезке AB отметить точку C, то длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AC и CB (рис. 8).

Запишите: AB = AC + CB.

На рисунке 9 показаны два разреза AB и CD. Эти отрезки совпадают с этими отрезками.

Два сегмента называются равными, если они совпадают при применении.

Следовательно, отрезки AB и CD равны. Напишите: ab = CD.

Равные сегменты имеют одинаковую длину.

Из двух неравных сегментов будем считать тот, что двигатель больше. Например, на рисунке 6 сегмент EF больше сегмента Mn.

Длина отрезка AB называется расстоянием между точками A и B.

Если несколько сегментов расположить, как показано на рисунке 10, получится геометрическая фигура, называемая ссудой .Обратите внимание, что не все сегменты на рисунке 11 сформированы. Считается, что отрезки образуют излом, если конец первого отрезка совпадает с концом второго, а другой конец второго отрезка — с концом третьего и т. Д.

Точки A, B, C, D, E — вершины сломанной ABCDE, точки a и e — концы царапины , а отрезки AB, BC, CD, DE — это ссылки (см. Рис. 10).

Длинный сломанный Вызовите сумму длин всех его звеньев.

На рисунке 12 показаны два сломанных, концы которых совпадают. Такой сломанный звонок закрыл .

Пример 1

. Отрежьте BC на 3 см меньше отрезка AB, длина которого 8 см (рис. 13). Найдите длину сегмента переменного тока.

Решение. Имеем: bc = 8 — 3 = 5 (см).

Используя свойство длины отрезка, можно записать AC = AB + BC. Отсюда АС = 8 + 5 = 13 (см).

Ответ: 13 см.

Пример 2

. Известно, что mk = 24 см, np = 32 см, mp = 50 см (рис.14). Найдите длину сегмента NK.

Решение. Имеем: Мн = МП — НП.

Отсюда Mn = 50-32 = 18 (см).

Имеем: nk = mk — Mn.

Отсюда НК = 24-18 = 6 (см).

Ответ: 6 см.

Вырезать Они называют часть прямой, состоящую из всех точек этой линии, которые находятся между данными двумя точками — их называют участками отрезка.

Рассмотрим первый пример. Допустим, в плоскости координат, заданных двумя точками, некий отрезок. В этом случае мы можем найти его, используя теорему Пифагора.

Итак, в системе координат рисуем отрезок с заданными координатами его концов (x1; y1)
и (x2; y2)
. На оси Х.
и Y.
От конца отрезка опустить перпендикуляр.Отметим красные отрезки, которые находятся на оси координатных проекций от начального отрезка. После этого продвигаемся параллельно концам отрезков отрезка проекции. Получаем треугольник (прямоугольный). Гипотенуру этого треугольника будет отрезком AB, а его категории — перенесенными проекциями.

Рассчитайте длину этих выступов. Итак, на оси Y.
Длина выступа равна y2-Y1.
, а на оси H.
Длина выступа равна x2-x1
. Примените теорему Пифагора: | AB | ² = (y2 — y1) ² + (x2 — x1) ²
. В данном случае | AB |
— длина сегмента.

Если использовать эту схему для расчета длины отрезка, можно даже резать, а не строить. Теперь посчитайте, какой длины отрезок с координатами (1; 3)

и (2; 5)

.Используя теорему Пифагора, получаем: | AB | ² = (2 — 1) ² + (5 — 3) ² = 1 + 4 = 5
. Это означает, что длина нашего отрезка равна 5: 1/2

.

Рассмотрим следующий метод определения длины сегмента. Для этого нам нужно знать координаты двух точек в любой системе. Рассмотрите этот вариант, применив двумерную декартову систему координат.

Итак, в двухмерной системе координат даны координаты крайних точек отрезка.Если провести через эти точки прямые, они должны быть перпендикулярны оси координат, тогда получится прямоугольный треугольник. Начальный отрезок будет гипотезой получившегося треугольника. Треугольные картеты образуют отрезки, длина которых равна проекции гипотенуз на ось координат. Основываясь на теореме Пифагорео, делаем вывод: чтобы найти длину этого отрезка, нужно найти длины проекций на две оси координат.

Найдите длины выступов (X и y)
Начальный отрезок по координатным осям.Они будут их вычислять, найдя разность координат точек на отдельной оси: X = x2-x1, y = y2-y1
.

Рассчитать длину пропила А
Для этого найдем квадратный корень:

A = √ (x² + y²) = √ ((x2-x1) ² + (y2-y1) ²)
.

Формула длины отрезка по двум точкам. Нахождение координат середины отрезка, примеры, решения. Метод координат в пространстве

Длина отрезка с помощью линейки

Метод координат на плоскости

Метод координат в пространстве

Вам понадобится

Инструкция

Инструкция

Как найти длину зная координаты точек. Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Инструкция

Длина отрезка с помощью линейки

Метод координат на плоскости

Метод координат в пространстве

Найти длину отрезка по координатам точек формула. Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Длина отрезка с помощью линейки

Метод координат на плоскости

Метод координат в пространстве

Длина отрезка если известны координаты точек

Середина отрезка на координатной прямой

Середина отрезка на плоскости

Середина отрезка в пространстве

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Как вычислить длину отрезка зная координаты

Эта страница существует благодаря следующим персонам

Timur

Как найти длину отрезка зная координаты точек. Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения

Длина отрезка с помощью линейки

Метод координат на плоскости

Метод координат в пространстве

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Как найти длину отрезка по точкам

Как найти длину отрезка по формуле расстояния

A3E4F2068118083E178222B118C2014-10-17T05: 54: 01 + 05: 30 Adobe InDesign 7.0 /; / метаданные

MathScene — Векторы — Урок 3

Урок 3

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Пример 6

Пример 7

Длина линейного сегмента (расстояние)

Длина линейного сегмента (расстояние)

Метод 1:

Метод 2:

Метод 3:

Получение формулы расстояния:

Что такое линейный сегмент? (Определение, формула расстояния, пример)

Что такое линии, отрезки линий и лучи?

Содержание

Линейный сегмент

Символ сегмента линии

Что такое линия?

Символ прямой линии

лучей

Сегменты измерительной линии

Пример сегмента строки

Координатная плоскость

Как найти длину сегмента диагональной линии на координатной плоскости

Формула расстояния

Примеры линейных сегментов в реальной жизни

Следующий урок:

Расстояние между двумя точками: определение, формулы и примеры

1.Каково определение расстояния между двумя точками?

2. Какова формула расстояния между двумя точками?

Найдите длину отрезка по координатам точек формулы. Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения

Определение координат середины отрезка через координаты радиуса векторов его концов

Примеры решения задач нахождения координат середины отрезка

Отрежьте длину линейкой

Метод координат на плоскости

Метод координат в пространстве

Добавить комментарий Отменить ответ

Урок
3