Задание №18. Параметры. ЕГЭ. Математика.

      БАЗА ЗАДАНИЙ

Задание № 18. Задачи с параметром.

1. Найдите значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.

2. Найдите значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.

3. Найдите значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.

4. Найдите значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет более двух решений.

5. Найдите значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три решения.

6. Найдите значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.

7. Найдите значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.

8. Найдите значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет более одного решения.

9. Найдите значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.

10. Найдите значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет более двух решений.

11. Найдите значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет более двух решений.

12. Найдите значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три различных решения.

13. Найдите значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три различных решения.

14. Найдите значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три решения.

15. Найдите значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.

16. Найдите значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно четыре решения.

17. Найдите значения a, при каждом из которых система

имеет решения.

18. Найдите значения a, при каждом из которых система

имеет единственное решение.

19. Найдите значения a, при каждом из которых система

имеет ровно два различных решения.

20. Найдите значения a, при каждом из которых система неравенств

имеет хотя бы одно решение на отрезке [0;1].

21. Найдите значения a, при каждом из которых система неравенств

имеет хотя бы одно решение.

22. Найдите значения a, при каждом из которых система неравенств

имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 4].

C5 найдите значения параметра a

Задания с параметром (C5 )

Задание С5 (Семенов, Ященко, ЕГЭ по математике 2013)

При каких a уравнение имеет ровно три корня?

Решение

Ответ: 0; 25/12.

Задание С5 (Семенов, Ященко, ЕГЭ по математике 2013)

При каких a уравнение имеет ровно три корня?

Решение

Ответ: 0; 25/12.

Задание С5 (Ященко, ЕГЭ по математике 2013)

Найти все значения a, при каждом из которых уравнение

на промежутке имеет более двух корней.

Решение

Ответ:

Задание С5 (Ященко, ЕГЭ по математике 2013)

Найти все значения параметра a, для каждого из которых при любом значении параметра b уравнение имеет ровно два корня.

Ответ:

Задание С5 (Высоцкий, Ященко, ЕГЭ по математике 2013)

Найти все значения a, для каждого из которых уравнение

имеет более трех различных решений.

Решение

Ответ:

Задание С5 (Семенов, Ященко, ЕГЭ по математике 2013)

Найти все a, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы одно решение.

Решение

Ответ:

Задание С5 (Семенов, Ященко, ЕГЭ по математике 2013)

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно четыре решения.

Решение

Ответ: -1/4 или -1/8.

1 2 3

Урок по теме «Решение систем линейных уравнений, содержащих параметры»

Если в задаче меньше трех переменных, это не задача; если больше восьми –
она неразрешима. Энон.

Задачи с параметрами встречаются во всех вариантах ЕГЭ, поскольку при их
решении наиболее ярко выявляется, насколько глубоки и неформальны знания
выпускника. Трудности, возникающие у учащихся при выполнении подобных заданий,
вызваны не только относительной их сложностью, но и тем, что в учебных пособиях
им уделяется недостаточно внимания. В вариантах КИМов по математике встречается
два типа заданий с параметрами. Первый: «для каждого значения параметра решить
уравнение, неравенство или систему». Второй: «найти все значения параметра, при
каждом из которых решения неравенства, уравнения или системы удовлетворяют
заданным условиям». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов
различаются по существу. В первом случае в ответе перечисляются все возможные
значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения
уравнения. Во втором – перечисляются все значения параметра, при которых
выполнены условия задачи. Запись ответа является существенным этапом решения,
очень важно не забыть отразить все этапы решения в ответе. На это необходимо
обращать внимание учащихся.

В приложении к уроку приведен дополнительный материал по теме «Решение систем
линейных уравнений с параметрами», который поможет при подготовке учащихся к
итоговой аттестации.

Цели урока:

• систематизация знаний учащихся;
• выработка умений применять графические представления при решении систем
  уравнений;
• формирование умения решать системы линейных уравнений, содержащих
  параметры;
• осуществление оперативного контроля и самоконтроля учащихся;
• развитие исследовательской и познавательной деятельности школьников,
  умения оценивать полученные результаты.

Урок рассчитан на два учебных часа.

Ход урока

1. Организационный момент

Сообщение темы, целей и задач урока.

2. Актуализация опорных знаний учащихся

Проверка домашней работы. В качестве домашнего задания учащимся было
предложено решить каждую из трех систем линейных уравнений

а) б)
  в)

графически и аналитически; сделать вывод о количестве полученных решений для
каждого случая

 Ответы:

Заслушиваются и анализируются выводы, сделанные учащимися. Результаты работы
под руководством учителя в краткой форме оформляются в тетрадях.

В общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными можно
представить в виде:
.

Решить данную систему уравнений графически – значит найти координаты точек
пересечения графиков данных уравнений или доказать, что таковых нет. Графиком
каждого уравнения этой системы на плоскости является некоторая прямая.

Возможны три случая взаимного расположения двух прямых на плоскости:

1. если
   (если
   хотя бы один из знаменателей равен нулю, последнее неравенство надо понимать
   как ),
   то прямые пересекаются в одной точке; в этом случае система имеет
   единственное решение

<Рисунок1>;

2. если
   то
   прямые не имеют общих точек, т.е. не пересекаются; а значит, система решений
   не имеет

<Рисунок2>;

3. если
   то
   прямые совпадают. В этом случае система имеет бесконечно много решений

<Рисунок3>.

К каждому случаю полезно выполнить рисунок.

2. Изучение нового материала

Сегодня на уроке мы научимся решать системы линейных уравнений, содержащие
параметры. Параметром будем называть независимую переменную, значение которой в
задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом,
или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству. Решить систему
уравнений с параметром – значит установить соответствие, позволяющее для любого
значения параметра найти соответствующее множество решений системы.

Решение задачи с параметром зависит от вопроса, поставленного в ней. Если
нужно просто решить систему уравнений при различных значениях параметра или
исследовать ее, то необходимо дать обоснованный ответ для любого значения
параметра или для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному в
задаче множеству. Если же необходимо найти значения параметра, удовлетворяющие
определенным условиям, то полного исследования не требуется, и решение системы
ограничивается нахождением именно этих конкретных значений параметра.

Пример 1. Для каждого значения параметра решим систему уравнений

Решение.

1. Система имеет единственное решение, если

В этом случае имеем

2. Если а = 0, то система принимает вид

Система несовместна, т.е. решений не имеет.

3. Если то система запишется в виде

Очевидно, что в этом случае система имеет бесконечно много решений вида
x = t; где
t-любое действительное число.

Ответ:

• при
  система имеет единственное решение
• при а = 0 —
  нет решений;
• при а = 3 — бесконечно много решений вида
  где t
  R

Пример 2. При каких значениях параметра a система уравнений

• имеет единственное решение;
• имеет множество решений;
• не имеет решений?

Решение.

• система имеет единственное решение, если
• подставим в пропорцию
  значение
  а = 1, получим
  , т.е. система имеет бесконечно много
  решений;
• при а = -1 пропорция примет вид:
  . В этом случае система не имеет решений.

Ответ:

• при
  система имеет единственное решение;
• при
  система имеет бесконечно много решений;
• при
  система не имеет решений.

Пример 3. Найдем сумму параметров a и b, при которых система

имеет бесчисленное множество решений.

Решение. Система имеет бесчисленное множество решений, если

То есть если a = 12, b = 36;
a + b = 12 + 36 =48.

Ответ: 48.

4. Закрепление изученного в ходе решения задач

1. № 15.24(а) [1]. Для каждого значения параметра решите систему уравнений

2. № 15.25(а) Для каждого значения параметра решите систему уравнений

3. При каких значениях параметра a система уравнений

а) не имеет решений; б) имеет бесконечно много решений.

Ответ: при а = 2 решений нет, при а = -2 бесконечное множество решений

5. Практическая работа в группах

Класс разбивается на группы по 4-5 человек. В каждую группу входят учащиеся с
разным уровнем математической подготовки. Каждая группа получает карточку с
заданием. Можно предложить всем группам решить одну систему уравнений, а решение
оформить. Группа, первой верно выполнившая задание, представляет свое решение;
остальные сдают решение учителю.

Карточка. Решите систему линейных уравнений

при всех значениях параметра а.

Ответ: при
система имеет единственное решение
; при
нет решений; при
а = -1бесконечно много решений вида , (t; 1- t) где t
R

Если класс сильный, группам могут быть предложены разные системы уравнений,
перечень которых находится в Приложении1. Тогда каждая группа представляет
классу свое решение.

Отчет группы, первой верно выполнившей задание

Участники озвучивают и поясняют свой вариант решения и отвечают на вопросы,
возникшие у представителей остальных групп.

6. Самостоятельная работа

Вариант 1

1. При каком значении k система
   имеет бесконечно много решений?
2. При каком значении p система
   не имеет решений?

Вариант 2

1. При каком значении k система
   имеет бесконечно много решений?
2. При каком значении p система
   не имеет решений?

7. Итоги урока

Решение систем линейных уравнений с параметрами можно сравнить с исследованием,
которое включает в себя три основных условия. Учитель предлагает учащимся их
сформулировать.

При решении следует помнить:

1. для того, чтобы система имела
   единственное решение, нужно, чтобы прямые, отвечающие уравнению системы,
   пересекались, т.е. необходимо выполнение условия;
2. чтобы не имела решений,
   нужно, чтобы прямые были параллельны, т.е. выполнялось условие,
3. и, наконец, чтобы система имела бесконечно много решений, прямые должны
   совпадать, т.е. выполнялось условие.

Учитель оценивает работу на уроке класса в целом и
выставляет отметки за урок отдельным учащимся. После проверки самостоятельной
работы оценку за урок получит каждый ученик.

8. Домашнее задание

При каких значениях параметра b система уравнений

• имеет бесконечно много решений;
• не имеет решений?

Графики функций y = 4x + b и y = kx + 6 симметричны относительно оси ординат.

• Найдите b и k,
• найдите координаты точки пересечения этих графиков.

Решите систему уравнений
при всех значениях m и n.

Решите систему линейных уравнений при всех значениях параметра а (любую на
выбор).

Литература

1. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват.
   учреждений : базовый и профил. уровни / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н.
   Решетников, А. В. Шевкин – М. : Просвещение, 2008.
2. Математика : 9 класс : Подготовка к государственной итоговой аттестации / М. Н.
   Корчагина, В. В. Корчагин – М. : Эксмо, 2008.
3. Готовимся в вуз. Математика. Часть 2. Учебное пособие для подготовки к ЕГЭ,
   участию в централизованном тестировании и сдаче вступительных испытаний в КубГТУ
   / Кубан. гос. технол. ун-т; Ин-т совр. технол. и экон.; Сост.: С. Н. Горшкова,
   Л. М. Данович, Н.А. Наумова, А.В. Мартыненко, И.А. Пальщикова. – Краснодар,
   2006.2 )(x+y+5−a)=0\end{cases} \]

   ​​имеет ровно два решения. (ЕГЭ-2018, досрочный период, основной день – 30 марта 2018)

   
   

   Решение задач на параметры

   Задачи с параметром

   Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащихся. Они имеют исследовательский характер, и с этим связано методическое значение таких задач, а также трудности выработки навыков их решения. Важность понятия параметра связана с тем, что, как правило, именно в терминах параметров происходит описание свойств математических объектов: функций, уравнений, неравенств. Под параметрами мы понимаем входящие в алгебраические выражения величины, численные значения которых явно не заданы, однако считаются принадлежащими определённым числовым множествам.

   Решение задач с параметрами требует исследования, даже если это слово не упомянуто в формулировке задачи. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей, наличие навыка анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, системность и последовательность в решении, умении объединить рассматриваемые частные случаи в единый результат.

   Квадратные уравнения с параметром

   1. При каких значениях параметра а уравнение а — х + 3 =0

   имеет единственное решение?

   Решение. 1. а=0. При этом значении параметра а уравнение принимает вид –х +3 = 0, откуда х = 3, то есть решение единственное.

   2. а ≠ 0. Тогда а — х + 3 = 0 – квадратное уравнение, дискриминант которого

   D =1 — 12а. для того, чтобы уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы

   D = 0, откуда а = .

   Ответ : при а = 0 или а = .

   2. При каких значениях параметра а уравнение

   (а – 2) имеет единственное решение?

   Решение . 1. При а = 2 исходное уравнение не имеет решения.

   2.а 2. Тогда данное уравнение является квадратным и принимает вид

   = 0. Искомые значения параметра — это корни дискриминанта, который обращается в нуль при а = 5.

   Ответ: при а = 5.

   3. При каких значениях параметра а уравнение

   а

   имеет более одного корня?

   Решение. 1. При а = 0 уравнение имеет единственный корень х = .

   2. При а исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант положителен, то есть 16 – 4а² – 12а . Решая неравенство, получаем Из этого промежутка следует исключить нуль.

   Ответ:

   4. При каких значениях параметра а уравнение х² – а = 0 и — а = 0 равносильны?

   Решение: 1. При — а = 0 имеет один корень. Равносильности нет.

   2. При а = о решения уравнений совпадают.

   3. При Как известно, такие уравнения считаются равносильными.

   Ответ:

   То что объединяет все задачи с параметрами, — это означает что, любую из них можно отнести к одной из двух следующих групп: задачи, в которых требуется найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется некоторое условие (неравенство имеет решение, корни уравнения принадлежат заданному промежутку и т. д.), и задачи, в которых требуется решить уравнение (неравенство, систему) с параметрами. В последнем случае нужно установить, при каких значениях параметра задача имеет решения, и указать эти решения для каждого из значений параметра (если при каких – то значениях параметра решений нет, то в ответе следует именно так и написать, — в противном случае решение может быть сочтено неполным).

   Решение большинства задач с параметрами, связано со свойствами линейной и квадратичной функций.

   При решении систем линейных уравнений удобно пользоваться тем, что любое линейное уравнение является уравнением некоторой прямой. Поэтому система двух линейных уравнений либо имеет единственное решение (соответствующие прямые пересекаются), либо имеет бесконечное множество решений (прямые совпадают). Либо не имеет решений (прямые параллельны).

   1. Для каждого значения параметра а найдите число решений уравнения

   2(4х — 1)а² – (14х — 11)а + 5(х — 1) = 0

   Решение: Запишем данное уравнение как линейное относительно х:

   (8а² – 14а + 5) х = 2а² – 11а + 5.

   Разложив на множители каждый из квадратных трехчленов относительно а, получим (2а — 1) (4а — 5) = (2а — 1) (а — 5).

   При а = 0,5 уравнение имеет бесконечное множество решений.

   При а

   Ответ:

   При а =

   При а

   2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

   Имеет бесчисленное множество решений.

   Решение: Данная система равносильна системе

   Откуда

   Разложив на множители каждый из квадратных относительно а трехчленов второго уравнения, получим систему

   Полученная система имеет более одного решения только в том случае, если ее первое уравнение имеет более одного решения, что возможно лишь при а = 2/5.

   Ответ: а = 2/5.

   3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых прямая у=а пересекает хотя бы в одной точке график функции у = .

   Решение. Условие задачи выполняется в том и только в том случае, если имеет хотя бы одно решение уравнение а=. Но 7. Поэтому =а19=7а(7а – 19) .

   Полученное уравнение имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда .

   Решим неравенство: .

   Ответ : а .

   4. При каких значениях параметра а уравнение

   Решение. Сделаем замену переменной. Пусть у =.

   Тогда у принимает все значения из отрезка

   Переформулируем задачу. Требуется найти значения параметра а, при которых уравнение

   -2(а+2)у – (2а + 5) = 0

   на отрезке .

   0

   Ответ : а.

   5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

   -(8а-1) +16 -4а – 2 = 0

   .

   . Сделаем замену переменной. Пусть у=. Уравнение принимает вид

   — (8а-1)у + 16 — 4а – 2 = 0.

   . Требуется найти значения параметра, при которых полученное уравнение имеет единственный положительный корень.

   Больший корень равен 4а + 1.

   Составим и решим систему неравенств.

   .

   Рациональные неравенства с параметром доставляют значительно больше хлопот и требуют знания различных методов их решения: по сравнению с методами решения уравнений в особенности необходимо владение графическим методом решения.

   1. Решите неравенство для всех значений а.

   Решение. Способ 1 (аналитический). Применяя схему освобождения от дроби для неравенства, очевидно, получим:

   Вновь соотношения в системах 1и2 являются многочленами, следовательно, их параметрический анализ уже известен. Рассмотрим каждую из систем в отдельности.

   1. Для первого соотношения системы 1 имеем:

   Если 1-а

   Если 1-а

   Для второго соотношения системы 1 –

   Если а

   Если а.

   Дальнейший параметрический анализ разбивается значениями а=0;1 на следующие этапы.

   1. 1. а. В этом случае из условий выше выбираются соотношения , соответствующие выбранным значениям а: при а

   • х и х

   Далее очевидно, что при система со звёздочкой не будет иметь решений. Из указанного множества значений а лишь интервал аемый случай (а, следовательно, при а .

   Если же

   , что в пересечении с множеством

   а, то очевидно, система со звёздочкой имеет решение х.

   Таким образом, получается следующее решение 1.1:

   Если а

   Если а, то х .

   1. 2. а. Выбирая из условий и соответствующие неравенства, получаем . Заметим, что правые части этой системы уже сравнены в 1.1, откуда получаем, что для всех а, что даёт решение 1.2.: х.

      3. а. По аналогии с предыдущими случаями имеем систему

   но так как при а, то решение последней системы х

   в случае особых значений параметра решение легко получить путём их непосредственной подстановки в исходное соотношение:

   1. 2. а = -1 х;

      3. а = 0 х

      4. а = 1 х

   Объединяя решения получим общий ответ:

   При а ;

   При а = -1 х

   При а ;

   При а = 0 х ;

   При а х

   При а = 1 х ;

   При а .

   Способ 2 ( метод интервалов).

   Корни числителя и знаменателя последнего неравенства = , = -. При расположении корней на числовой оси, возникают случаи:

   1). Если то

   При а .

   В пробной точке, например х=0, исходная дробь отрицательна, что, в соответствии с методом интервалов, даёт решение х. Во второй части полученного множества (а, выбирая ту же пробную точку х = 0, получаем решение х ;, совпадающее с предыдущим.

   2). Если , то

   По аналогии с 1),

   При а;.

   При а .

   Параметрический анализ при а = 0;, а также общий ответ совпадают с примером в аналитическом способе решения .

   Очевидно, аналитическое решение рациональных неравенств сопровождается значительными трудностями: уже более простые задачи приобретают достаточно громоздкий вид и множество необходимых для рассмотрения подслучаев.

   Если числитель и знаменатель дроби представляют собой функции, графики которых доступны для построения, то возможно более эффективное решение рациональных неравенств графическим методом.

   Способ 3 (графический).

   Числитель и знаменатель дроби можно рассматривать как функции двух переменных — х и а. Выпишем их отдельно, выразив одну переменную через другую:

   х = . Очевидно, в системе координат, глее по оси абсцисс отложено а, а по оси ординат – х, данные неравенства представляют собой функции х = , графиками которых являются гиперболы.

   Хорошо известно, что всякая линия на плоскости, аналитически выражаемая уравнением х = f(а), разбивает плоскость на два непересекающихся подмножества, одно из которых соответствует неравенству х, а другое неравенству х . Получим

   Каждому неравенству совокупности систем соответствует множество точек на плоскости ха, причём границами этих множеств служат гиперболы х = .

   Рассмотрим ещё пример. Найти все значения параметра а, при которых уравнение

   (2а-1) + 2(а+2)х + а – 4 = 0

   Имеет два различных корня, каждый из которых больше, чем -2.

   Решение. Способ 1 . Допустимые значения параметра а. Найдём корни уравнения и укажем значения параметра а, при которых они будут больше -2.

   Отметим, что при а =(равенство нулю коэффициентов при старшем члене) уравнение превращается в линейное и, следовательно, имеет всего один корень, что противоречит условию.

   Чтобы корни были различными, потребуем D0, то есть решим неравенство

   — 4(2а-1)(а-4)

   Найдём теперь его корни.

   =,

   То есть

   Х = или х =.

   В данном примере очевидно, что второй из этих корней меньше, а значит, достаточно потребовать, чтобы именно он был больше -2.

   Если а, то

   3а-4 —

   Если а

   Ответ: а

   Способ 2. Рассмотрим функцию

   f(х)=(2а-1) +2(а+2)х + а – 4.

   Условие существования двух различных корней, больших-2, обеспечивается решением системы неравенств

   )

   Ответ: а

   Ещё пример. При каких значениях параметра а корни уравнения

   принадлежат отрезку ?

   Решение. Допустимые значения параметра а

   Рассмотрим функцию

   f(х)=

   Условие задачи выполняется при2

   Ответ :а

   Пример. При каких значениях параметра а один из корней уравнения

   меньше 1, а другой больше 2?

   Решение. Допустимые значения параметра а.

   Рассмотрим функцию f(х)=

   Выполнение условия задачи требует решения системы неравенств

   2 —

   Ответ: а

   Если требуется, чтобы корни квадратного трёхчлена были различны и только один из них лежал на отрезке на интервале (m;n), то двигая график параболы по координатной плоскости, можно заметить, что в точках х = m и х = n значения функции f(х) должны быть разных знаков, а это означает, что должно выполняться требование f(m)f(n)

   Пример1. При каких значениях параметра а один корень уравнения имеющего различные корни, принадлежит интервалу (1;4)?

   Решение. Допустимые значения параметра а

   Пусть f(х) = Тогда:

   а) один корень этого квадратного трёхчлена лежит внутри интервала (1;4) при f(1)f(4)

   б) проверим границы интервала

   f(4) = 0.

   Тогда при этом значении а .

   Вывод: ни один из корней не лежит в (1;4).

   f(1)=0

   Тогда при этом значении а

   Вывод: корень х=3 лежит в (1;4), а значение а=3 является решением.

   Обобщая полученные результаты, получаем а

   Пример 2. При каких значениях параметра а один корень уравнения

   (а-1)

   , а другой – интервалу (2;4)?

   Решение. Допустимые значения параметра а.

   Рассмотрим функцию

   (х)=(а-1)

   При а=1 она становится линейной, и задача теряет смысл.

   Пусть а1. Тогда:

   а) корни лежат внутри заданных промежутков при

   то есть

   б) проверка границ отрезка и отбор корней.

   f(0) = 3а-1=0

   При этом значении а уравнение имеет вид

   —

   Вывод : второй корень не лежит в интервале (2;4).

   f(1) = а-1-2а+3а-1=0

   Но а значит, и в этом случае нужных корней не будет.

   Ответ: а .

   Полученные результаты иллюстрируют подход и позволяют значительно упростить решение многих задач. Так, например, если требуется найти все значения параметра, при которых корни уравнения не лежат на данном отрезке, можно просто найти множество значений параметра, при котором корни, наоборот, лежат на отрезке. Дополнение к этому множеству и будет являться ответом.

   Рассмотрим различные задачи с применением указанного подхода.

   1. Найти все значения х, при которых неравенство

   (2-а)

   Справедливо хоты бы для одного значения параметра а из промежутка .

   Решение. Допустимые значения параметра а

   Перепишем уравнение относительно параметра а и рассмотрим функцию f(а):

   f(а) = +2

   Сформулируем обратную задачу: при каких значениях параметра а функция f(а) не имеет решений на отрезке , то есть корни расположены по разные стороны от рассматриваемого отрезка. Задача свелась:

   то есть

   Значит, решением задачи будут остальные значения параметра, то есть

   а

   Ответ: а

   2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

   =

   Имеет два различных положительных корня и ни один из корней не является целым числом.

   Решение. Допустимые значения параметра а.

   Перепишем уравнение (1)

   Введем новую переменную

   (2)

   Отсюда ясно, что при D_y= 0, то есть при а = 7,5 уравнение имеет всего один корень (кратности два), и следовательно, это не удовлетворяет условию задачи.

   Пусть а (2) имеет два различных корня при Таким образом, первую часть задачи можно переформулировать так: при каких значениях параметра а уравнение (2) имеет два различных действительных корня больших единицы?

   Пусть f (y) = y²— 11y – a² +15a -26. Тогда это условие выполняется при решении системы ^{неравенств}

   Остается определить, при каких значениях а будут получаться не целые корни. Решим обратную задачу, то есть найдем, при каких значениях параметра а будут получаться целые корни.

   Найдем корни уравнения (2):

   = 5,5

   Возвращаясь к переменной х, получаем соответственно или

   = -а + 13

   целые значения в первом случае при а = 5 или а = 11, а во втором – при а = 10 или а = 4. Эти значения необходимо исключить из ответа.

   Ответ: а .

   3. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

   2

   не имеет решения.

   Решение. Допустимые значения параметра а Введём новую переменную

   t = . Заметим, что t Тогда данное уравнение примет вид

   2.

   Решений это уравнение, с учётом выше отмеченного, не будет иметь, если

   Пусть f(t) = 2 Тогда условие t обеспечивается решением системы неравенств Таким образом, требования задачи будут выполняться

   при то есть

   D

   ).

   4. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

   29+ 29ах(

   не имеет действительных решений.

   Решение. Допустимые значения параметра а

   Представим данное уравнение в следующем виде:

   29

   Заметив, что = приходим к выводу, что уравнение является возвратным уравнением чётной степени. х = 0 не является его корнем, поэтому поделим всё выражение на 29. Получаем после преобразований

   + а.

   f(t) =

   1)

   2)

   Объединяя 1) и 2) условия, получаем систему неравенств

   5. Для каждого значения параметра, а определите число корней уравнения

   2

   Решение . Допустимые значения параметра а

   Рассмотрим

   (1)

   Если х то при

   Введём новую переменную у = Тогда уравнение примет вид

   2-у –а = 0 (2)

   Пусть f(у) = 2 Возможны три случая.

   1. у = 1 (один корень в уравнении(2)). Тогда 2-1-а = 0 а = 1 (необходимость). При а = 1 получаем 2

   Таким образом, при а = 1 получаем один корень в уравнении (1).

   2. У(два корня в уравнении (2), лежащие на а) у = 0. Тогда а = 0 (необходимость). При а = 0 получаем 2 Таким образом, при а = 0 получаем четыре корня в уравнении (1). б) у Тогда наличие двух корней в уравнении (2) (и, соответственно, четырёх корней уравнения (1)) на интервале (0;1) определяется системой неравенств

   (вершина параболы в уравнении (2) лежит на интервале (0;1)), то есть

   1+8а = 0 а = — что соответствует двум корням уравнения (1).

   3. Один корень уравнения (2) лежит на (0;1), а другой — нет ( что соответствует двум корням уравнения (1)).

   Данное условие выполняется при решении неравенства f(0)*f(1), то есть

   -а*(2-1-а)

   Ответ: если а

   6. При каких значениях параметра а неравенство

   Решение. Допустимые значения параметра а

   если оба корня функции f(х) либо меньше 1, либо больше 4.

   то есть

   Если корни больше 4, то

   Ответ: а

   7. Для каждого значения параметра а решите систему неравенств

   Решение. Допустимые значения параметра а .

   ОДЗ системы будет определяться неравенством (3):

   В полученной ОДЗ решим неравенство (3):

   С учётом ОДЗ х

   Решим неравенство (2):

   27

   Введём новые переменные. Пусть = t и = v, в ОДЗ t Уравнение принимает вид

   27tv – t – 27v +1.

   Но t

   27v.

   Отсюда

   С учётом решения неравенства (3) и ОДЗ х

   Рассмотрим неравенство (1). Система неравенств будет совместна, если это неравенство имеет решения на промежутке

   Рассмотрим функцию

   f(х) =

   Указанный промежуток будет целиком являться решением неравенства, если оба корня квадратного трёхчлена будут расположены слева от точки х = и справа от точки х = 2, либо если дискриминант соответствующего квадратного уравнения будет отрицательным. Эти условия с учётом того, что коэффициент при старшем члене положителен, будут выполняться при решении системы неравенств то есть

   В этой системе оказалось возможным исключить рассмотрение дискриминанта, так как для того, чтобы корни были одновременно больше или меньше заданных чисел, дискриминант должен быть неотрицательным, а для того, чтобы решением была вся числовая ось (в том числе и рассматриваемый промежуток) – дискриминант должен быть неположительным. Таким образом, в данном случае дискриминант может быть любым.

   Для упрощения дальнейших рассуждений найдём корни квадратного трёхчлена

   Если ;2), то решений не будет, так как в этом случае вышеуказанная система неравенств несовместна.

   Очевидно, что при любом а

   Если

   Если ;2), то решением будет х

   Наконец, проверим границу: если в последнем случае (необходимость), и при этом а

   (достаточность).

   Решением является одна точка х = .

   Обобщая полученные результаты, выписываем

   Ответ: если а. То х ;

   если а = -;

   если а

   Литература

   1. Болотов А.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф. Математика. Теория и задачи.

   2. Петрушенко И.М., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф. Математика. Банк задач для вступительных испытаний в МЭИ.

   3. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами.

   4. Зеленский А.С., Василенко О.Н. Сборник задач вступительных экзаменов.

   Задачи с параметрами. Часть 1 – МАТЕМАТИКА И МЫ

   Задачи с параметрами считаются одними из самых сложных задач. Во время обучения в школе они встречаются в каждом классе, но, естественно, разного уровня сложности. На ЕГЭ задачи с параметром вызывают у школьников наибольшую трудность. Многие ребята за них даже не берутся. Но не надо бояться задач с параметрами. Как начинать решать такие задачи?

   Прежде всего, при решении задач с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенствам – привести заданные уравнения или неравенства к более простому виду, если это, конечно, возможно: разложить рациональное выражение на множители; разложить тригонометрический многочлен на множители; избавиться от модулей, логарифмов и т.д. Затем необходимо внимательно еще и еще раз прочитать задание.

   При решении задач, содержащих параметр, встречаются задачи, которые условно можно разделить на два больших класса.

   В первый класс можно отнести задачи, в которых надо решить неравенство или уравнение при всех возможных значениях параметров (задача 1).

   Ко второму классу отнесем задачи, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те их них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.

   Класс этих задач неисчерпаем!

   Наиболее понятный для школьников способ решения таких задач состоит в том, что сначала находятся все решения, а затем отбираются те, которые удовлетворяют дополнительным условиям (задача 2). Но это удается не всегда.

   Иногда встречаются уравнения или неравенства, где дополнительное условие сформулировано так, что оно, легко «переведенное» на математический язык, сводит решение одного уравнения или неравенства второго класса к решению системы уравнений, неравенств или к решению смешанной системы, содержащей и уравнения, и неравенства, относящиеся уже к первому классу.

   Встречается большое количество задач, в которых найти все множество решений невозможно, да нас и не просят. Поэтому приходится искать способ решить поставленную задачу, не имея в распоряжении всего множества решений данного уравнения или неравенства, например, поискать специальные свойства входящих в уравнение функций, которые позволят судить о существовании некоторого специального множества решений (задача 3).

   При решении задач с параметрами иногда удобно, а иногда просто необходимо строить графики. Иногда рассматриваются графики в обычной плоскости, а иногда лучше рассмотреть графики в плоскости (х;а), где  х – независимая переменная, а  а – параметр. Это, прежде всего, возможно в задачах, где приходится строить знакомые графики: прямые, параболы, окружности, простейшие логарифмические (задача 3), показательные функции и т.д.

   Бывает, что задача решается без всяких графиков, но более громоздко. Кроме того, эскизы графиков иногда помогают наглядно увидеть и «ход» решения (задача 4).

   В качестве общей рекомендации заметим, что при решении, например, рациональных уравнений f(x, a) = 0 и неравенств f(x, a) > 0 надо помнить, что для разных степеней многочлена f(x, a) методы решения разные. Поэтому, в первую очередь, рассматривают решение при тех значениях параметра, при которых обращается в ноль коэффициент при старшей степени х многочлена f(x, a), понижая тем самым степень многочлена.

   Например, квадратное уравнение А(а)х² + В(а)х + С(а) = 0 при А(а)=0 превращается в линейное, если при этом В(а) не равно 0, а методы решения линейных и квадратных уравнений различны.

   Задача 1. Решите неравенство |x – a| + |x +a|< b при всех a и b.

   Решение.

   Задача 2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых среди решений неравенства нет ни одной точки отрезка .

   Решение.

   В этом примере сначала решим неравенство при всех значениях параметра, а потом найдем те из них, для которых среди решений нет ни одной точки отрезка . Пусть ⇔ . При такой замене переменных ОДЗ неравенства выполняется автоматически.

   Видно, что х можно выразить через t, если а≠0. Поэтому случай, когда а=0, придется рассмотреть отдельно.

   1. Пусть а=0, тогда ⇔ , и заданный отрезок является решением.
   2. Пусть a≠0, тогда и неравенство  примет вид .

   Теперь видно, что решение неравенства зависит от знака а, поэтому придется рассматривать два случая.

   a) Если  а>0, то ⇔  ⇔ t ∈ ∪ (4a;+∞), или, в старых переменных, ⇔ .

   Решение не содержит ни одной точки заданного отрезка тогда и только тогда, когда выполнены условия (рис.1) ⇔ ∈ .

   б) Если а < 0, то  ⇔  ⇔ t ∈ ⇔ t ∈ ∅, так как t ≥ 0.

   Ответ:

   Решение других задач с параметром изучайте в наших следующих статьях.

   Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях

    

   2 $

   Обратите внимание, что проверка работает для $ \ lambda = 1 $. Итак, мы знаем, что есть хотя бы одно решение для $ \ lambda = 1 $.

   Для $ \ lambda = 1 $

   Получаем систему
   $$ \ left (\ begin {array} {ccc | c}
   1 и 1 и 1 и 1 \\
   1 и 1 и 1 и 1 \\
   1 и 1 и 1 и 1
   \ end {array} \ right) $$
   который имеет решения $ x_1 = 1-s-t $, $ x_2 = s $, $ x_3 = t $ (где $ s $, $ t $ произвольны).

   Для $ \ lambda = -2 $

   $ \ left (\ begin {array} {ccc | c}
   -2 и 1 и 1 и 1 \\
   1 и -2 и 1 и -2 \\
   1 и 1 и -2 и 4
   \ end {array} \ right) \ sim
   \ left (\ begin {array} {ccc | c}
   -2 и 1 и 1 и 1 \\
   1 и -2 и 1 и -2 \\
   0 и 0 и 0 и 3
   \ end {array} \ right) $.

   Значит, в данном случае решения нет.

   Система линейных уравнений — линейная алгебра с приложениями

   Практические задачи во многих областях науки, таких как биология, бизнес, химия, информатика, экономика, электроника, инженерия, физика и социальные науки, часто можно свести к решению системы линейных уравнений. Линейная алгебра возникла в результате попыток найти систематические методы решения этих систем, поэтому естественно начать эту книгу с изучения линейных уравнений.

   Если, и — действительные числа, график уравнения вида

   — прямая линия (если и не равны нулю), поэтому такое уравнение называется линейным уравнением в переменных и. Однако часто удобно записывать переменные как, особенно когда задействовано более двух переменных. Уравнение вида

   называется линейным уравнением в переменных.Здесь обозначают действительные числа (называемые коэффициентами соответственно), а также число (называемое постоянным членом уравнения). Конечный набор линейных уравнений в переменных называется системой линейных уравнений для этих переменных. Следовательно,

   — линейное уравнение; коэффициенты при, и равны, и, а постоянный член равен. Обратите внимание, что каждая переменная в линейном уравнении встречается только в первой степени.

   Для линейного уравнения последовательность чисел называется решением уравнения, если

   , то есть, если уравнение удовлетворяется при выполнении замен. Последовательность чисел называется решением системы уравнений, если она является решением каждого уравнения в системе.

   Система может вообще не иметь решения, или она может иметь уникальное решение, или она может иметь бесконечное семейство решений.Например, система не имеет решения, потому что сумма двух чисел не может быть одновременно 2 и 3. Система, у которой нет решения, называется несогласованной ; система с хотя бы одним решением называется согласованная .

   Покажите, что для произвольных значений и

   — решение системы

   Просто подставьте эти значения,, и в каждое уравнение.

   Поскольку оба уравнения удовлетворяются, это решение для всех вариантов и.

   Величины и в этом примере называются параметрами , а набор решений, описанный таким образом, считается заданным в параметрической форме и называется общим решением для системы. Оказывается, что решения каждой системы уравнений (если — это решений) могут быть даны в параметрической форме (то есть, переменные,, даны в терминах новых независимых переменных и т. Д. .).

   Когда задействованы только две переменные, решения систем линейных уравнений могут быть описаны геометрически, потому что график линейного уравнения представляет собой прямую линию, если оба они не равны нулю. Более того, точка с координатами и лежит на прямой тогда и только тогда, когда — то есть когда, является решением уравнения. Следовательно, решения системы линейных уравнений соответствуют точкам, которые лежат на всех рассматриваемых линиях.

   В частности, если система состоит только из одного уравнения, должно быть бесконечно много решений, потому что на прямой бесконечно много точек. Если система имеет два уравнения, есть три возможности для соответствующих прямых:

   • Линии пересекаются в одной точке. Тогда в системе есть уникальное решение , соответствующее этой точке.
   • Прямые параллельны (и четкие) и не пересекаются. Тогда в системе нет решения .
   • Строки идентичны. Тогда в системе будет бесконечно много решений — по одному для каждой точки на (общей) прямой.

   С тремя переменными график уравнения может быть показан как плоскость и, таким образом, снова дает «картину» множества решений. Однако у этого графического метода есть свои ограничения: когда задействовано более трех переменных, физическое изображение графов (называемых гиперплоскостями) невозможно. Необходимо обратиться к более «алгебраическому» методу решения.

   Перед описанием метода мы вводим понятие, упрощающее вычисления. Рассмотрим следующую систему

   трех уравнений с четырьмя переменными. Массив чисел

   , встречающееся в системе, называется расширенной матрицей системы. Каждая строка матрицы состоит из коэффициентов переменных (по порядку) из соответствующего уравнения вместе с постоянным членом. Для наглядности константы разделены вертикальной линией.Расширенная матрица — это просто другой способ описания системы уравнений. Массив коэффициентов при переменных

   называется матрицей коэффициентов системы, а
   называется постоянной матрицей системы.

   Элементарные операции

   Алгебраический метод решения систем линейных уравнений описывается следующим образом. Две такие системы называются эквивалентами , если они имеют одинаковый набор решений.Система решается путем написания серии систем, одна за другой, каждая из которых эквивалентна предыдущей системе. Каждая из этих систем имеет тот же набор решений, что и исходная; цель состоит в том, чтобы получить систему, которую легко решить. Каждая система в серии получается из предыдущей системы простой манипуляцией, выбранной так, чтобы она не меняла набор решений.

   В качестве иллюстрации мы решаем систему таким образом. На каждом этапе отображается соответствующая расширенная матрица.Исходная система —

   Сначала вычтите дважды первое уравнение из второго. В результате получается система

   .

   , что эквивалентно оригиналу. На этом этапе мы получаем, умножив второе уравнение на. В результате получается эквивалентная система

   .

   Наконец, мы дважды вычитаем второе уравнение из первого, чтобы получить другую эквивалентную систему.

   Теперь эту систему легко решить! И поскольку он эквивалентен исходной системе, он обеспечивает решение этой системы.

   Обратите внимание, что на каждом этапе в системе (и, следовательно, в расширенной матрице) выполняется определенная операция для создания эквивалентной системы.

   Следующие операции, называемые элементарными операциями , могут в обычном порядке выполняться над системами линейных уравнений для получения эквивалентных систем.

   1. Поменяйте местами два уравнения.
   2. Умножьте одно уравнение на ненулевое число.
   3. Добавьте одно уравнение, кратное одному, к другому уравнению.

   Предположим, что последовательность элементарных операций выполняется над системой линейных уравнений. Тогда полученная система имеет тот же набор решений, что и исходная, поэтому две системы эквивалентны.

   Элементарные операции, выполняемые над системой уравнений, производят соответствующие манипуляции с строками расширенной матрицы. Таким образом, умножение строки матрицы на число означает умножение каждой записи строки на.Добавление одной строки к другой означает добавление каждой записи этой строки к соответствующей записи другой строки. Аналогично производится вычитание двух строк. Обратите внимание, что мы считаем две строки равными, если соответствующие записи совпадают.

   В ручных вычислениях (и в компьютерных программах) мы манипулируем строками расширенной матрицы, а не уравнениями. По этой причине мы переформулируем эти элементарные операции для матриц.

   Следующие операции называются операциями с элементарной строкой матрицы.

   1. Поменять местами два ряда.
   2. Умножить одну строку на ненулевое число.
   3. Добавьте одну строку, кратную одной, в другую строку.

   На иллюстрации выше серия таких операций привела к матрице вида

   , где звездочки обозначают произвольные числа. В случае трех уравнений с тремя переменными цель состоит в том, чтобы получить матрицу вида

   Это не всегда происходит, как мы увидим в следующем разделе.Вот пример, в котором это действительно происходит.

   Решение:
   Расширенная матрица исходной системы —

   Чтобы создать в верхнем левом углу, мы можем умножить строку с 1 на. Однако можно получить без введения дробей, вычтя строку 2 из строки 1. Результат:

   Верхний левый угол теперь используется для «очистки» первого столбца, то есть для создания нулей в других позициях в этом столбце.Сначала отнимите строку 1 от строки 2, чтобы получить

   Следующее умножение на строку 1 из строки 3. Результат:

   .

   Это завершает работу над столбцом 1. Теперь мы используем во второй позиции второй строки, чтобы очистить второй столбец, вычитая строку 2 из строки 1 и затем добавляя строку 2 к строке 3. Для удобства обе операции со строками сделано за один шаг. Результат

   Обратите внимание, что две последние манипуляции не повлияли на первый столбец (во второй строке там стоит ноль), поэтому наши предыдущие усилия там не были подорваны.Наконец, мы очищаем третий столбец. Начните с умножения строки 3 на, чтобы получить

   .

   Теперь вычтите умножение строки 3 из строки 1, а затем прибавьте умножение строки 3 к строке 2, чтобы получить

   Соответствующие уравнения:, и, которые дают (единственное) решение.

   Алгебраический метод, представленный в предыдущем разделе, можно резюмировать следующим образом: Для данной системы линейных уравнений используйте последовательность элементарных операций со строками, чтобы преобразовать расширенную матрицу в «красивую» матрицу (что означает, что соответствующие уравнения легко решить. ).В примере 1.1.3 эта красивая матрица приняла вид

   .

   Следующие определения идентифицируют хорошие матрицы, возникающие в этом процессе.

   Матрица, как говорят, находится в форме строка-эшелон (и будет называться матрицей строка-эшелон , если она удовлетворяет следующим трем условиям:

   1. Все нулевые строки (полностью состоящие из нулей) находятся внизу.
   2. Первая ненулевая запись слева в каждой ненулевой строке — это a, называемая ведущей для этой строки.
   3. Каждый ведущий находится справа от всех ведущих в строках над ним.

   Матрица строка-эшелон называется сокращенной формой строки-эшелон (и будет называться сокращенной матрицей строки-эшелон , если, кроме того, она удовлетворяет следующему условию:

   4. Каждый ведущий элемент — это единственная ненулевая запись в своем столбце.

   Матрицы «строка-эшелон» имеют форму «ступеньки», как показано в следующем примере (звездочки указывают произвольные числа).

   Ведущие элементы проходят через матрицу «вниз и вправо». Записи выше и справа от ведущих s произвольны, но все записи ниже и слева от них равны нулю. Следовательно, матрица в виде эшелона строк находится в сокращенной форме, если, кроме того, все записи непосредственно над каждым ведущим равны нулю. Обратите внимание, что матрица в форме эшелона строк может с помощью нескольких дополнительных операций со строками быть приведена к сокращенной форме (используйте операции со строками, чтобы последовательно создавать нули над каждой ведущей единицей, начиная справа).

   Важность матриц строка-эшелон вытекает из следующей теоремы.

   Каждая матрица может быть приведена к (сокращенной) форме строки-эшелона последовательностью элементарных операций со строками.

   Фактически, мы можем дать пошаговую процедуру для фактического нахождения матрицы ряда строк. Обратите внимание: несмотря на то, что существует множество последовательностей операций со строками, которые приведут матрицу к форме ряда строк, та, которую мы используем, является систематической и ее легко программировать на компьютере. Обратите внимание, что алгоритм имеет дело с матрицами в целом, возможно, со столбцами нулей.

   Шаг 1. Если матрица полностью состоит из нулей, остановитесь — она ​​уже в виде эшелона строк.

   Шаг 2. В противном случае найдите первый столбец слева, содержащий ненулевую запись (назовите его), и переместите строку, содержащую эту запись, в верхнюю позицию.

   Шаг 3. Теперь умножьте новую верхнюю строку на, чтобы создать интерлиньяж.

   Шаг 4. Вычитая числа, кратные этой строке, из строк под ней, сделайте каждую запись ниже начального нуля. Это завершает первую строку, и все дальнейшие операции со строками выполняются с оставшимися строками.

   Шаг 5. Повторите шаги 1–4 для матрицы, состоящей из оставшихся строк.

   Процесс останавливается, когда либо на шаге 5 не остается строк, либо оставшиеся строки состоят полностью из нулей.

   Обратите внимание на то, что гауссовский алгоритм является рекурсивным: когда получен первый ведущий, процедура повторяется для оставшихся строк матрицы. Это упрощает использование алгоритма на компьютере. Обратите внимание, что в решении примера 1.1.3 не использовался гауссовский алгоритм в том виде, в каком он был написан, потому что первый ведущий не был создан путем деления строки 1 на.Причина этого в том, что он избегает дробей. Однако общий шаблон ясен: создайте ведущие слева направо, используя каждый из них по очереди, чтобы создать нули под ним. Вот один пример.

   Решение:

   Соответствующая расширенная матрица —

   Создайте первую ведущую, поменяв местами строки 1 и 2

   Теперь вычтите умноженную строку 1 из строки 2 и вычтите умноженную строку 1 из строки 3.Результат

   Теперь вычтите строку 2 из строки 3, чтобы получить

   .

   Это означает, что следующая сокращенная система уравнений

   эквивалентен исходной системе. Другими словами, у них одинаковые решения. Но эта последняя система явно не имеет решения (последнее уравнение требует этого и удовлетворяет, а таких чисел не существует). Следовательно, исходная система не имеет решения.

   Для решения линейной системы расширенная матрица преобразуется в сокращенную форму строки-эшелон, а переменные, соответствующие ведущим, называются ведущими переменными .Поскольку матрица представлена ​​в сокращенной форме, каждая ведущая переменная встречается ровно в одном уравнении, поэтому это уравнение может быть решено для получения формулы для ведущей переменной в терминах не ведущих переменных. Принято называть нелидирующие переменные «свободными» переменными и маркировать их новыми переменными, называемыми параметрами . Каждый выбор этих параметров приводит к решению системы, и каждое решение возникает таким образом. Эта процедура в целом работает и получила название

   .

   Для решения системы линейных уравнений выполните следующие действия:

   1. Перенести расширенную матрицу \ index {расширенная матрица} \ index {матрица! Расширенная матрица} в сокращенную матрицу-эшелон строк, используя элементарные операции со строками.
   2. Если возникает строка, система несовместима.
   3. В противном случае присвойте не ведущие переменные (если они есть) в качестве параметров и используйте уравнения, соответствующие сокращенной матрице строки-эшелон, чтобы найти ведущие переменные в терминах параметров.

   Существует вариант этой процедуры, в котором расширенная матрица переносится только в строчно-эшелонированную форму. Не ведущие переменные назначаются как параметры, как и раньше. Затем последнее уравнение (соответствующее форме строки-эшелона) используется для решения последней ведущей переменной в терминах параметров.Эта последняя ведущая переменная затем подставляется во все предыдущие уравнения. Затем второе последнее уравнение дает вторую последнюю ведущую переменную, которая также подставляется обратно. Процесс продолжает давать общее решение. Эта процедура называется обратной заменой . Можно показать, что эта процедура численно более эффективна и поэтому важна при решении очень больших систем.

   Рейтинг

   Можно доказать, что уменьшенная строка-эшелонированная форма матрицы однозначно определяется.То есть, независимо от того, какая серия операций со строками используется для переноса в сокращенную матрицу с эшелонированием строк, результатом всегда будет одна и та же матрица. Напротив, это неверно для матриц ряда строк: разные серии операций со строками могут переносить одну и ту же матрицу в разные матрицы ряда строк. В самом деле, матрица может быть перенесена (с помощью одной строковой операции) в матрицу с эшелонированием строк, а затем с помощью другой строковой операции в (сокращенную) матрицу с эшелонированием строк. Тем не менее, — это , правда, что количество ведущих единиц должно быть одинаковым в каждой из этих матриц строка-эшелон (это будет доказано позже).Следовательно, количество зависит только от того, каким образом приведено в строй.

   Ранг матрицы — это количество ведущих s в любой матрице строка-эшелон, которую можно перенести с помощью строковых операций.

   Вычислить ранг.

   Решение:

   Приведение к строчной форме

   Так как эта матрица эшелонов строк имеет два ведущих s, rank.

   Предположим, что ранг, где — матрица со строками и столбцами.Тогда потому что ведущие s лежат в разных строках, и потому что ведущие s лежат в разных столбцах. Кроме того, у ранга есть полезное приложение к уравнениям. Напомним, что система линейных уравнений называется непротиворечивой, если она имеет хотя бы одно решение.

   Проба:

   Тот факт, что ранг расширенной матрицы равен, означает, что есть ровно ведущие переменные и, следовательно, точно не ведущие переменные. Все эти нелидирующие переменные назначаются как параметры в гауссовском алгоритме, поэтому набор решений включает в себя именно параметры.Следовательно, если существует хотя бы один параметр, а значит, бесконечно много решений. Если, нет параметров и поэтому единственное решение.

   Теорема 1.2.2 показывает, что для любой системы линейных уравнений существуют ровно три возможности:

   1. Нет решения . Это происходит, когда ряд встречается в форме эшелона строк. Это тот случай, когда система несовместима.
   2. Уникальное решение . Это происходит, когда каждая переменная является ведущей переменной.
   3. Бесконечное множество решений . Это происходит, когда система согласована и есть хотя бы одна не ведущая переменная, поэтому задействован хотя бы один параметр.

   https://www.geogebra.org/m/cwQ9uYCZ
   Пожалуйста, ответьте на эти вопросы после открытия веб-страницы:
   1. Для данной линейной системы, что представляет каждая из них?

   2. Исходя из графика, что можно сказать о решениях? Есть ли у системы одно решение, нет решения или бесконечно много решений? Почему

   3.Измените постоянный член в каждом уравнении на 0, что изменилось на графике?

   4. Для следующей линейной системы:

   Можете ли вы решить это методом исключения Гаусса? Что вы наблюдаете, когда смотрите на график?

   Многие важные проблемы связаны с линейными неравенствами , а не с линейными уравнениями Например, условие для переменных может принимать форму неравенства, а не равенства.Существует метод (называемый симплексным алгоритмом ) для поиска решений системы таких неравенств, который максимизирует функцию вида где и являются фиксированными константами.

   Система уравнений с переменными называется однородной , если все постоянные члены равны нулю, то есть если каждое уравнение системы имеет вид

   Очевидно, решение такой системы; это называется тривиальным решением .Любое решение, в котором хотя бы одна переменная имеет ненулевое значение, называется нетривиальным решением .
   Наша главная цель в этом разделе — дать полезное условие, при котором однородная система имеет нетривиальные решения. Следующий пример поучителен.

   Покажите, что следующая однородная система имеет нетривиальные решения.

   Решение:

   Приведение расширенной матрицы к сокращенной форме эшелона строк описано ниже.

   Ведущими переменными являются,, и, например, назначается в качестве параметра.Тогда общее решение:,,,. Следовательно, взяв (скажем), мы получим нетривиальное решение:,,,.

   Существование нетривиального решения в примере 1.3.1 обеспечивается наличием параметра в решении. Это связано с тем, что существует не ведущая переменная (в данном случае). Но здесь должно быть не ведущей переменной, потому что есть четыре переменных и только три уравнения (и, следовательно, не более три ведущие переменные).Это обсуждение обобщает доказательство следующей основной теоремы.

   Если однородная система линейных уравнений имеет больше переменных, чем уравнений, то она имеет нетривиальное решение (фактически бесконечно много).

   Проба:

   Предположим, что есть уравнения в переменных, где, и пусть обозначают сокращенную строчно-эшелонированную форму расширенной матрицы. Если есть ведущие переменные, есть не ведущие переменные и, следовательно, параметры. Следовательно, достаточно показать это.Но потому что имеет ведущие единицы и строки, и по гипотезе. Итак, что дает.

   Обратите внимание, что обратное утверждение теоремы 1.3.1 неверно: если однородная система имеет нетривиальные решения, она не обязательно должна иметь больше переменных, чем уравнения (система имеет нетривиальные решения, но.)

   Теорема 1.3.1 очень полезна в приложениях. В следующем примере представлена ​​иллюстрация из геометрии.

   Мы называем график уравнения коникой , если числа, и не все равны нулю.Покажите, что есть хотя бы одна коника, проходящая через любые пять точек на плоскости, которые не все находятся на одной прямой.

   Решение:

   Пусть координаты пяти точек будут,,, и. График проходов if

   Это дает пять уравнений, по одному для каждого, линейных по шести переменным,,,,, и. Следовательно, по теореме 1.1.3 существует нетривиальное решение. Если все пять точек лежат на линии с уравнением, вопреки предположению. Следовательно, один из « отличен от нуля.

   Линейные комбинации и базовые решения

   Что касается строк, два столбца считаются равными , если они имеют одинаковое количество записей и соответствующие записи одинаковы. Позвольте и быть столбцами с одинаковым количеством записей. Что касается операций с элементарными строками, их сумма получается путем сложения соответствующих записей, и, если это число, скалярное произведение определяется путем умножения каждой записи на. Точнее:

   Сумма скалярных кратных нескольких столбцов называется линейной комбинацией этих столбцов.Например, это линейная комбинация и для любого выбора чисел и.

   Решение:

   Для, мы должны определить, существуют ли числа, и такие, что, то есть

   Приравнивание соответствующих элементов дает систему линейных уравнений,, и для,, и. Путем исключения Гаусса решение есть, и где — параметр. Взяв, мы видим, что это линейная комбинация, и.

   Обращаясь к, снова ищем, и такие, что; то есть

   , что приводит к уравнениям,, и для действительных чисел, и.Но на этот раз, как может проверить читатель, нет решения , а не , а также , а не — линейная комбинация, и.

   Наш интерес к линейным комбинациям проистекает из того факта, что они предоставляют один из лучших способов описания общего решения однородной системы линейных уравнений. Когда
   решает такую ​​систему с переменными, запишите переменные в виде матрицы столбцов:. Обозначается тривиальное решение. В качестве иллюстрации, общее решение в
   Пример 1.3.1 — это,, и, где — параметр, и теперь мы могли бы выразить это как
   , говоря, что общее решение -, где произвольно.

   Теперь пусть и — два решения однородной системы с переменными. Тогда любая линейная комбинация этих решений снова оказывается решением системы. В более общем плане:

   Фактически, предположим, что типичное уравнение в системе имеет вид, и предположим, что

   , являются решениями. Потом и
   .
   Следовательно, это тоже решение, потому что

   Аналогичный аргумент показывает, что Утверждение 1.1 верно для линейных комбинаций более двух решений.

   Примечательно то, что каждое решение однородной системы представляет собой линейную комбинацию определенных частных решений, и, фактически, эти решения легко вычисляются с использованием гауссовского алгоритма. Вот пример.

   Решить однородную систему с матрицей коэффициентов

   Решение:

   Приведение дополненной матрицы к уменьшенной форме —

   , поэтому решениями являются,, и методом исключения Гаусса.Следовательно, мы можем записать общее решение в матричной форме

   Вот и частные решения, определяемые гауссовским алгоритмом.

   Решения и в примере 1.3.5 обозначены следующим образом:

   Алгоритм Гаусса систематически выдает решения для любой однородной линейной системы, называемые базовыми решениями , по одному для каждого параметра.

   Кроме того, алгоритм дает стандартный способ выразить каждое решение как линейную комбинацию базовых решений, как в Примере 1.3.5, где общее решение принимает вид

   Следовательно, вводя новый параметр, мы можем умножить исходное базовое решение на 5 и таким образом исключить дроби.

   По этой причине:

   Любое ненулевое скалярное кратное базового решения будет по-прежнему называться базовым решением.

   Таким же образом гауссовский алгоритм выдает базовые решения для для каждой однородной системы, по одному для каждого параметра ( нет базовых решений, если система имеет только тривиальное решение).Более того, каждое решение задается алгоритмом как линейная комбинация
   этих базовых решений (как в Примере 1.3.5). Если имеет ранг, теорема 1.2.2 показывает, что есть ровно параметры, а значит, и базовые решения. Это доказывает:

   Найдите основные решения однородной системы с матрицей коэффициентов и выразите каждое решение как линейную комбинацию основных решений, где

   Решение:

   Приведение расширенной матрицы к сокращенной строчно-эшелонированной форме —

   , поэтому общее решение — это,,,, и где, и — параметры.В матричной форме это

   Отсюда базовые решения —

   Систем уравнений с двумя переменными

   Введение в системы уравнений

   Система уравнений состоит из двух или более уравнений с двумя или более переменными, где любое решение должно одновременно удовлетворять всем уравнениям в системе.

   Цели обучения

   Объясните, какие системы уравнений могут представлять

   Основные выводы

   Ключевые моменты

   • Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно.
   • Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти числовое значение для каждой переменной в системе, которое будет удовлетворять всем уравнениям в системе одновременно.
   • Чтобы линейная система имела единственное решение, должно быть по крайней мере столько же уравнений, сколько переменных.
   • Решением системы линейных уравнений с двумя переменными является любая упорядоченная пара [латекс] (x, y) [/ latex], которая удовлетворяет каждому уравнению независимо. Графически решения — это точки пересечения линий.

   Ключевые термины

   • система линейных уравнений : Набор из двух или более уравнений, состоящих из двух или более переменных, которые рассматриваются одновременно.
   • зависимая система : система линейных уравнений, в которой два уравнения представляют собой
     одну и ту же линию; существует бесконечное количество решений зависимой системы.
   • несовместимая система : Система линейных уравнений без общего решения, потому что они
     представляют собой параллельные линии, которые не имеют общих точек или прямых.
   • независимая система : Система линейных уравнений с ровно одной парой решений [latex] (x, y) [/ latex].

   Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно. Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти числовое значение для каждой переменной в системе, которое будет удовлетворять всем уравнениям системы одновременно.Некоторые линейные системы могут не иметь решения, в то время как другие могут иметь бесконечное количество решений. Чтобы линейная система имела единственное решение, должно быть по крайней мере столько же уравнений, сколько переменных. Даже в этом случае это не гарантирует уникального решения.

   В этом разделе мы сосредоточимся в первую очередь на системах линейных уравнений, которые состоят из двух уравнений, содержащих две разные переменные. Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений с двумя переменными:

   [латекс] 2x + y = 15 \ 3x — y = 5 [/ латекс]

   Решение системы линейных уравнений с двумя переменными — это любая упорядоченная пара, которая удовлетворяет каждому уравнению независимо.В этом примере упорядоченная пара (4, 7) является решением системы линейных уравнений. Мы можем проверить решение, подставив значения в каждое уравнение, чтобы увидеть, удовлетворяет ли упорядоченная пара обоим уравнениям.

   [латекс] 2 (4) + 7 = 15 \\ 3 (4) — 7 = 5 [/ латекс]

   Оба эти утверждения верны, поэтому [latex] (4, 7) [/ latex] действительно является решением системы уравнений.

   Обратите внимание, что система линейных уравнений может содержать более двух уравнений и более двух переменных.Например,

   [латекс] 3x + 2y — z = 12 \\ x — 2y + 4z = -2 \\ -x + 12y -z = 0 [/ латекс]

   — это система трех уравнений с тремя переменными [латекс] x, y, z [/ latex]. Решение системы выше дается

   [латекс] x = 1 \ y = -2 \ z = — 2 [/ латекс]

   , поскольку он делает все три уравнения действительными.

   Типы линейных систем и их решения

   В общем, линейная система может вести себя одним из трех возможных способов:

   1. Система имеет единственное уникальное решение .
   2. В системе нет решения .
   3. В системе бесконечно много решений .

   Каждая из этих возможностей представляет собой определенный тип системы линейных уравнений с двумя переменными. Каждый из них может отображаться графически, как показано ниже. Обратите внимание, что решение системы линейных уравнений — это любая точка, в которой линии пересекаются.

   Системы линейных уравнений: Графические представления трех типов систем.

   Независимая система имеет ровно одну пару решений [latex] (x, y) [/ latex]. Точка пересечения двух линий — единственное решение.

   Непоследовательная система не имеет решения. Обратите внимание, что две линии параллельны и никогда не пересекутся.

   У зависимой системы бесконечно много решений. Линии точно такие же, поэтому каждая пара координат на линии является решением обоих уравнений.

   Графическое решение систем

   Простой способ решить систему уравнений — это найти точку или точки пересечения уравнений.Это графический метод.

   Цели обучения

   Графическое решение системы уравнений с двумя переменными

   Основные выводы

   Ключевые моменты

   • Чтобы решить систему уравнений графически, нарисуйте уравнения и укажите точки пересечения как решения. У системы уравнений может быть несколько решений.
   • Система линейных уравнений будет иметь одну точку пересечения или одно решение.
   • Чтобы построить график системы уравнений, записанных в стандартной форме, вы должны переписать уравнения в форме пересечения углов наклона.

   Ключевые термины

   • система уравнений : набор уравнений с несколькими переменными, которые могут быть решены с использованием определенного набора значений.
   • Графический метод : способ визуального поиска набора значений, который решает систему уравнений.

   Система уравнений (также известная как одновременные уравнения) — это система уравнений с несколькими переменными, которая решается, когда значения всех переменных одновременно удовлетворяют всем уравнениям.Наиболее распространенные способы решения системы уравнений:

   • Графический метод
   • Метод замещения
   • Метод исключения

   Здесь мы обратимся к графическому методу.

   Графическое решение систем

   Некоторые системы имеют только один набор правильных ответов, в то время как другие имеют несколько наборов, которые удовлетворяют всем уравнениям. Графически показано, что набор уравнений, решенных только с одним набором ответов, будет иметь только одну точку пересечения, как показано ниже.Эта точка считается решением системы уравнений. В наборе линейных уравнений (например, на изображении ниже) есть только одно решение.

   Система линейных уравнений с двумя переменными : На этом графике показана система уравнений с двумя переменными и только один набор ответов, который удовлетворяет обоим уравнениям.

   Система с двумя наборами ответов, которые удовлетворяют обоим уравнениям, имеет две точки пересечения (таким образом, два решения системы), как показано на изображении ниже.

   Система уравнений с несколькими ответами: Это пример системы уравнений, показанной графически, которая имеет два набора ответов, которые удовлетворяют обоим уравнениям в системе.

   Преобразование в форму пересечения уклона

   Прежде чем успешно решить систему графически, необходимо понять, как графически отображать уравнения, записанные в стандартной форме, или [latex] Ax + By = C [/ latex]. Вы всегда можете использовать графический калькулятор для графического представления уравнений, но полезно знать, как самостоятельно формулировать такие уравнения.

   Для этого вам необходимо преобразовать уравнения в форму пересечения наклона или [латекс] y = mx + b [/ latex], где м = наклон и b = пересечение по оси y.

   Лучший способ преобразовать уравнение в форму пересечения наклона — сначала выделить переменную y , а затем разделить правую часть на B , как показано ниже.

   [латекс] \ begin {align} \ displaystyle Ax + By & = C \\ By & = — Ax + C \\ y & = \ frac {-Ax + C} {B} \\ y & = — \ frac {A} { B} x + \ frac {C} {B} \ end {align} [/ latex]

   Теперь [latex] \ displaystyle — \ frac {A} {B} [/ latex] — это уклон м, и [latex] \ displaystyle \ frac {C} {B} [/ latex] — точка пересечения по оси Y б .

   Определение решений на графике

   После того, как вы преобразовали уравнения в форму с пересечением наклона, вы можете нанести их на график. Чтобы определить решения системы уравнений, определите точки пересечения между графическими уравнениями. Упорядоченная пара, которая представляет собой пересечение (я), представляет собой решение (я) системы уравнений.

   Метод замещения

   Метод подстановки — это способ решения системы уравнений путем выражения уравнений только с помощью одной переменной.

   Цели обучения

   Решите системы уравнений с двумя переменными с помощью подстановки

   Основные выводы

   Ключевые моменты

   • Система уравнений — это система уравнений, которая может быть решена с использованием определенного набора значений.
   • Метод подстановки работает, выражая одну из переменных через другую, затем подставляя ее обратно в исходное уравнение и упрощая его.
   • Очень важно проверить свою работу после того, как вы нашли набор значений для переменных.Сделайте это, подставив найденные вами значения обратно в исходные уравнения.
   • Решение системы уравнений можно записать в виде упорядоченной пары ( x , y ).

   Ключевые термины

   • метод замены : Метод решения системы уравнений путем выражения уравнения только одной переменной
   • Система уравнений : Набор уравнений с несколькими переменными, которые могут быть решены с использованием определенного набора значений.

   Метод подстановки для решения систем уравнений — это способ упростить систему уравнений, выразив одну переменную через другую, тем самым удалив одну переменную из уравнения. Когда полученное упрощенное уравнение имеет только одну переменную, с которой можно работать, уравнение становится разрешимым.

   Метод замещения состоит из следующих шагов:

   1. В первом уравнении решите одну из переменных через другие.
   2. Подставьте это выражение в остальные уравнения.
   3. Продолжайте, пока не сведете систему к одному линейному уравнению.
   4. Решите это уравнение, а затем выполняйте обратную замену, пока решение не будет найдено.

   Решение методом подстановки

   Попрактикуемся в этом, решив следующую систему уравнений:

   [латекс] x-y = -1 [/ латекс]

   [латекс] x + 2y = -4 [/ латекс]

   Начнем с решения первого уравнения, чтобы можно было выразить x через y .

   [латекс] \ begin {align} \ displaystyle x-y & = — 1 \\ x & = y-1 \ end {align} [/ latex]

   Затем мы заменим наше новое определение x во второе уравнение:

   [латекс] \ displaystyle \ begin {align} x + 2y & = — 4 \\ (y-1) + 2y & = — 4 \ end {align} [/ latex]

   Обратите внимание, что теперь это уравнение имеет только одну переменную (y). Затем мы можем упростить это уравнение и решить относительно y :

   [латекс] \ displaystyle \ begin {align} (y-1) + 2y & = — 4 \\ 3y-1 & = — 4 \\ 3y & = — 3 \\ y & = — 1 \ end {align} [/ latex]

   Теперь, когда мы знаем значение y , мы можем использовать его, чтобы найти значение другой переменной, x. Для этого подставьте значение y в первое уравнение и решите относительно x .

   [латекс] \ displaystyle \ begin {align} x-y & = — 1 \\ x — (- 1) & = — 1 \\ x + 1 & = — 1 \\ x & = — 1-1 \\ x & = — 2 \ end {align} [/ latex]

   Таким образом, решение системы: [latex] (- 2, -1) [/ latex], то есть точка, где две функции графически пересекаются. Проверьте решение, подставив значения в одно из уравнений.

   [латекс] \ displaystyle \ begin {align} x-y & = — 1 \\ (- 2) — (- 1) & = — 1 \\ — 2 + 1 & = — 1 \\ — 1 & = — 1 \ end {align} [/ латекс]

   Метод исключения

   Метод исключения используется для исключения переменной, чтобы упростить поиск оставшейся переменной (переменных) в системе уравнений.

   Цели обучения

   Решите системы уравнений с двумя переменными методом исключения

   Основные выводы

   Ключевые моменты

   • Этапы метода исключения следующие: (1) составить уравнения так, чтобы переменные выстроились в одну линию, (2) изменить одно уравнение, чтобы оба уравнения использовали согласованную переменную, которую можно исключить, (3) сложить уравнения, чтобы исключить переменную, (4) решить и (5) выполнить обратную замену для поиска другой переменной.
   • Всегда проверяйте ответ.Это делается путем включения обоих значений в одно или оба исходных уравнения.

   Ключевые термины

   • метод исключения : Процесс решения системы уравнений путем исключения одной переменной для более простого решения оставшейся переменной.
   • Система уравнений : Набор уравнений с несколькими переменными, которые могут быть решены с использованием определенного набора значений.

   Метод исключения для решения систем уравнений, также известный как исключение добавлением , представляет собой способ исключения одной из переменных в системе, чтобы более просто оценить оставшуюся переменную.После успешного нахождения значений остальных переменных они подставляются в исходное уравнение, чтобы найти правильное значение для другой переменной.

   Метод исключения состоит из следующих шагов:

   1. Перепишите уравнения так, чтобы переменные выровнялись.
   2. Измените одно уравнение так, чтобы оба уравнения имели переменную, которая компенсировалась бы при сложении уравнений.
   3. Добавьте уравнения и удалите переменную.
   4. Найдите оставшуюся переменную.
   5. Выполните обратную замену и решите для другой переменной.

   Решение методом исключения

   Метод исключения можно продемонстрировать на простом примере:

   [латекс] \ displaystyle 4x + y = 8 \\ 2y + x = 9 [/ латекс]

   Сначала выровняйте переменные, чтобы уравнения можно было легко сложить на более позднем этапе:

   [латекс] \ displaystyle \ begin {align} 4x + y & = 8 \\ x + 2y & = 9 \ end {align} [/ latex]

   Затем посмотрите, не настроены ли уже какие-либо переменные таким образом, что их сложение приведет к их исключению из системы.Если нет, умножьте одно уравнение на число, позволяющее компенсировать переменные. В этом примере переменную y можно исключить, если мы умножим верхнее уравнение на [латекс] -2 [/ латекс], а затем сложим уравнения.

   Шаг умножения:

   [латекс] \ displaystyle \ begin {align} -2 (4x + y & = 8) \\ x + 2y & = 9 \ end {align} [/ latex]

   Результат:

   [латекс] \ displaystyle \ begin {align} -8x-2y & = — 16 \\ x + 2y & = 9 \ end {align} [/ latex]

   Теперь добавьте уравнения, чтобы исключить переменную y .

   [латекс] \ displaystyle \ begin {align} -8x + x-2y + 2y & = — 16 + 9 \\ — 7x & = — 7 \ end {align} [/ latex]

   Наконец, найдите переменную x .

   [латекс] \ displaystyle \ begin {align} -7x & = — 7 \\ x & = \ frac {-7} {- 7} \\ x & = 1 \ end {align} [/ latex]

   Затем вернитесь к одному из исходных уравнений и замените найденное нами значение на x . Проще всего выбрать простейшее уравнение, но подойдет любое уравнение.

   [латекс] \ displaystyle \ begin {align} 4x + y & = 8 \\ 4 (1) + y & = 8 \\ 4 + y & = 8 \\ y & = 4 \ end {align} [/ latex]

   Следовательно, решение уравнения (1,4).Всегда важно проверить ответ, подставив оба этих значения вместо соответствующих переменных в одно из уравнений.

   [латекс] \ displaystyle \ begin {align} 4x + y & = 8 \\ 4 (1) + 4 & = 8 \\ 4 + 4 & = 8 \\ 8 & = 8 \ end {align} [/ latex]

   Несогласованные и зависимые системы с двумя переменными

   Для линейных уравнений с двумя переменными несовместные системы не имеют решений, а зависимые системы имеют бесконечно много решений.

   Цели обучения

   Объясните, когда системы уравнений с двумя переменными несовместимы или зависимы как графически, так и алгебраически.

   Основные выводы

   Ключевые моменты

   • Графически уравнения в зависимой системе представляют собой одну и ту же линию. Уравнения в противоречивой системе представляют собой параллельные линии, которые никогда не пересекаются.
   • Мы можем использовать методы решения систем уравнений для определения зависимых и несовместимых систем: Зависимые системы имеют бесконечное количество решений. Применение методов решения систем уравнений приведет к истинному тождеству, например [латекс] 0 = 0 [/ латекс].Несогласованные системы не имеют решений. Применение методов решения систем уравнений приведет к противоречию, например к утверждению [латекс] 0 = 1 [/ латекс].

   Ключевые термины

   • несовместимая система : Система линейных уравнений без общего решения, потому что они
     представляют собой параллельные линии, которые не имеют общих точек или прямых.
   • независимая система : Система линейных уравнений с ровно одной парой решений.
   • зависимая система : система линейных уравнений, в которой два уравнения представляют собой
     одну и ту же линию; существует бесконечное количество решений зависимой системы.

   Напомним, что линейная система может вести себя одним из трех возможных способов:

   1. Система имеет единственное уникальное решение.
   2. Система не имеет решения.
   3. В системе бесконечно много решений.

   Также напомним, что каждая из этих возможностей соответствует типу системы линейных уравнений с двумя переменными. Независимая система уравнений имеет ровно одно решение [latex] (x, y) [/ latex]. Несогласованная система не имеет решения, а зависимая система имеет бесконечное количество решений.

   В предыдущих модулях обсуждалось, как найти решение для независимой системы уравнений. Теперь мы сосредоточимся на выявлении зависимых и несовместимых систем линейных уравнений.

   Зависимые системы

   Уравнения линейной системы независимы , если ни одно из уравнений не может быть получено алгебраически из других. Когда уравнения независимы, каждое уравнение содержит новую информацию о переменных, и удаление любого из уравнений увеличивает размер набора решений.Системы, которые не являются независимыми, по определению зависимые . Уравнения в зависимой системе могут выводиться друг из друга; они описывают одну и ту же линию. Они не добавляют новую информацию о переменных, и потеря уравнения из зависимой системы не изменяет размер набора решений.

   Мы можем применять методы замены или исключения для решения систем уравнений, чтобы идентифицировать зависимые системы. Зависимые системы имеют бесконечное количество решений, потому что все точки на одной линии также находятся на другой линии.После использования замены или добавления результирующее уравнение будет идентичным, например [латекс] 0 = 0 [/ латекс].

   Например, рассмотрим два уравнения

   [латекс] 3x + 2y = 6 \ 6x + 4y = 12 [/ латекс]

   Мы можем применить метод исключения для их оценки. Если бы мы умножили первое уравнение на коэффициент [латекс] -2 [/ латекс], мы получили бы:

   [латекс] \ displaystyle \ begin {align} -2 (3x + 2y & = 6) \\ — 6x-4y & = — 12 \ end {align} [/ latex]

   Добавление этого ко второму уравнению даст [латекс] 0 = 0 [/ латекс].Таким образом, две линии зависимы. Также обратите внимание, что это одно и то же уравнение, увеличенное в два раза; другими словами, второе уравнение может быть получено из первого.

   На графике два уравнения дают идентичные линии, как показано ниже.

   Зависимая система : Уравнения [латекс] 3x + 2y = 6 [/ latex] и [latex] 6x + 4y = 12 [/ latex] являются зависимыми, и при отображении на графике они образуют одну и ту же линию.

   Обратите внимание, что существует бесконечное количество решений для зависимой системы, и эти решения относятся к общей линии.

   Несогласованные системы

   Линейная система непротиворечива, если у нее есть решение, и непоследовательна в противном случае. Напомним, что графическое представление несовместимой системы состоит из параллельных линий, которые имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения [latex] y [/ latex]. Они никогда не пересекутся.

   Мы также можем применять методы решения систем уравнений для выявления несовместимых систем. Когда система несовместима, можно вывести противоречие из уравнений, например, утверждение [латекс] 0 = 1 [/ латекс].

   Рассмотрим следующие два уравнения:

   [латекс] 3x + 2y = 6 \ 3x + 2y = 12 [/ латекс]

   Мы можем применить метод исключения, чтобы попытаться решить эту систему. Вычитая первое уравнение из второго, обе переменные удаляются, и мы получаем [латекс] 0 = 6 [/ латекс]. Это противоречие, и мы можем определить, что это несовместимая система. Графики этих уравнений на плоскости [latex] xy [/ latex] представляют собой пару параллельных линий.

   Несогласованная система: Уравнения [латекс] 3x + 2y = 6 [/ латекс] и [латекс] 3x + 2y = 12 [/ латекс] несовместимы.

   В общем случае несоответствия возникают, если левые части уравнений в системе линейно зависимы, а постоянные члены не удовлетворяют соотношению зависимости. Система уравнений, левые части которой линейно независимы, всегда непротиворечива.

   Приложения систем уравнений

   Системы уравнений могут использоваться для решения многих реальных задач, в которых для одних и тех же переменных используются несколько ограничений.

   Цели обучения

   Применение систем уравнений с двумя переменными к реальным примерам

   Основные выводы

   Ключевые моменты

   • Если у вас есть проблема, которая включает несколько переменных, вы можете решить ее, создав систему уравнений.
   • После определения переменных определите отношения между ними и запишите их в виде уравнений.

   Ключевые термины

   • система уравнений : набор уравнений с несколькими переменными, которые могут быть решены с использованием определенного набора значений.

   Системы уравнений в реальном мире

   Система уравнений, также известная как одновременные уравнения, представляет собой набор уравнений с несколькими переменными. Ответ на систему уравнений — это набор значений, который удовлетворяет всем уравнениям в системе, и таких ответов может быть много для любой данной системы.Ответы обычно записываются в виде упорядоченной пары: [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex]. Подходы к решению системы уравнений включают замену и исключение, а также графические методы.

   Существует несколько практических приложений систем уравнений. Они подробно показаны ниже.

   Планирование мероприятия

   Система уравнений может использоваться для решения задачи планирования, где необходимо учитывать несколько ограничений:

   Эмили устраивает большую вечеринку после школы.Принципал наложил два ограничения. Во-первых, общее количество людей (учителей и студентов, вместе взятых) должно составлять [латекс] 56 [/ латекс]. Во-вторых, на каждые семь учеников должен приходиться один учитель. Итак, сколько учеников и сколько учителей приглашено на вечеринку?

   Во-первых, нам нужно идентифицировать и назвать наши переменные. В данном случае нашими переменными являются учителя и ученики. Количество учителей будет [latex] T [/ latex], а количество студентов будет [latex] S [/ latex].

   Теперь нам нужно составить наши уравнения.Существует ограничение, ограничивающее общее количество людей [латекс] 56 [/ латекс], поэтому:

   [латекс] T + S = 56 [/ латекс]

   На каждые семь учеников должен приходиться один учитель, поэтому:

   [латекс] \ frac {S} {7} = T [/ латекс]

   Теперь у нас есть система уравнений, которую можно решить с помощью подстановки, исключения или графически. Решение системы: [латекс] S = 49 [/ латекс] и [латекс] T = 7 [/ латекс].

   Поиск неизвестных количеств

   Этот следующий пример показывает, как системы уравнений используются для нахождения величин.

   Группа студентов и учителей [латекс] 75 [/ латекс] в поле собирает сладкий картофель для нуждающихся. Кейси собирает в три раза больше сладкого картофеля, чем Дэвис, а затем, возвращаясь к машине, берет еще пять! Глядя на ее только что увеличившуюся кучу, Дэвис замечает: «Ух ты, у тебя [латекса] 29 [/ латекса] картофеля больше, чем у меня!» Сколько сладкого картофеля собрали Кейси и Дэвис каждый?

   Чтобы решить, мы сначала определяем наши переменные. Количество сладкого картофеля, которое собирает Кейси, — [латекс] K [/ латекс], а количество сладкого картофеля, которое собирает Дэвис, — [латекс] D [/ латекс].

   Теперь мы можем писать уравнения на основе ситуации:

   [латекс] К-5 = 3D [/ латекс]

   [латекс] D + 29 = K [/ латекс]

   Отсюда замена, исключение или построение графика покажут, что [латекс] K = 41 [/ латекс] и [латекс] D = 12 [/ латекс].

   Важно всегда проверять свои ответы. Хороший способ проверить решения системы уравнений — это посмотреть на функции графически, а затем увидеть, где пересекаются графики. Или вы можете подставить свои ответы в каждое уравнение и убедиться, что они приводят к точным решениям.

   Другие приложения

   Существует множество других приложений для систем уравнений, таких как определение того, какой ландшафтный дизайнер предлагает лучшее предложение, сколько разные операторы сотовой связи взимают плату за минуту, или сравнение информации о питании в рецептах.

   Линейные системы с двумя переменными

   Показать мобильное уведомление

   Показать все заметки Скрыть все заметки

   Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

   Раздел 7-1: Линейные системы с двумя переменными

   Линейная система двух уравнений с двумя переменными — это любая система, которую можно записать в форме.

   \ [\ begin {align *} ax + by & = p \\ cx + dy & = q \ end {align *} \]

   , где любая из констант может быть равна нулю, за исключением того, что каждое уравнение должно содержать хотя бы одну переменную.

   Также система называется линейной, если переменные указаны только в первой степени, присутствуют только в числителе и нет произведений переменных ни в одном из уравнений.

   Вот пример системы с числами.

   \ [\ begin {align *} 3x — y & = 7 \\ 2x + 3y & = 1 \ end {align *} \]

   Прежде чем мы обсудим, как решать системы, мы должны сначала поговорить о том, что такое решение системы уравнений.Решение системы уравнений — это значение \ (x \) и значение \ (y \), которые при подстановке в уравнения удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

   В приведенном выше примере \ (x = 2 \) и \ (y = — 1 \) является решением системы. Проверить это достаточно легко.

   \ [\ begin {align *} 3 \ left (2 \ right) — \ left ({- 1} \ right) & = 7 \\ 2 \ left (2 \ right) + 3 \ left ({- 1} \ вправо) & = 1 \ end {выровнять *} \]

   Итак, конечно, эта пара чисел является решением системы.Не беспокойтесь о том, как мы получили эти ценности. Это будет самая первая система, которую мы решим, когда перейдем к примерам.

   Обратите внимание, что важно, чтобы пара чисел удовлетворяла обоим уравнениям. Например, \ (x = 1 \) и \ (y = — 4 \) удовлетворяют первому уравнению, но не второму, и поэтому не являются решением системы. Точно так же \ (x = — 1 \) и \ (y = 1 \) будут удовлетворять второму уравнению, но не первому, и поэтому не могут быть решением системы.

   Итак, что же представляет собой решение системы двух уравнений? Хорошо, если вы думаете об этом, оба уравнения в системе являются линиями.Итак, давайте построим их график и посмотрим, что у нас получится.

   Как видите, решение системы — это координаты точки пересечения двух линий. Итак, при решении линейных систем с двумя переменными мы действительно спрашиваем, где пересекаются две линии.

   В этом разделе мы рассмотрим два метода решения систем.

   Первый метод называется методом подстановки . В этом методе мы решим одно из уравнений для одной из переменных и подставим его в другое уравнение.Это даст одно уравнение с одной переменной, которую мы сможем решить. Как только это решено, мы подставляем это значение обратно в одно из уравнений, чтобы найти значение оставшейся переменной.

   На словах этот метод не всегда очень понятен. Давайте рассмотрим пару примеров, чтобы увидеть, как работает этот метод.

   Пример 1 Решите каждую из следующих систем.

   1. \ (\ begin {align *} 3x — y & = 7 \\ 2x + 3y & = 1 \ end {align *} \)
   2. \ (\ begin {align *} 5x + 4y & = 1 \\ 3x — 6y & = 2 \ end {align *} \)

   Показать все решения Скрыть все решения

   a \ (\ begin {align *} 3x — y & = 7 \\ 2x + 3y & = 1 \ end {align *} \) Показать решение

   Итак, это была первая система, которую мы рассмотрели выше.Мы уже знаем решение, но это даст нам возможность проверить значения, которые мы записали для решения.

   Теперь метод говорит, что нам нужно решить одно из уравнений для одной из переменных. Какое уравнение мы выберем и какую переменную выбрать, зависит от вас, но обычно лучше выбрать уравнение и переменную, с которыми будет легко иметь дело. Это означает, что мы должны стараться избегать дробей, если это вообще возможно.

   В этом случае, похоже, будет действительно легко решить первое уравнение для \ (y \), так что давайте сделаем это.

   \ [3x — 7 = y \]

   Теперь подставьте это во второе уравнение.

   \ [2x + 3 \ влево ({3x — 7} \ вправо) = 1 \]

   Это уравнение в \ (x \), которое мы можем решить, так что давайте сделаем это.

   \ [\ begin {align *} 2x + 9x — 21 & = 1 \\ 11x & = 22 \\ x & = 2 \ end {align *} \]

   Итак, есть часть решения \ (x \).

   Наконец, НЕ забудьте вернуться назад и найти часть решения \ (y \).Это одна из наиболее распространенных ошибок, которые студенты делают при решении систем. Для этого мы можем либо вставить значение \ (x \) в одно из исходных уравнений и решить для \ (y \), либо мы можем просто вставить его в нашу замену, которую мы нашли на первом шаге. Так будет проще, так что давайте.

   \ [y = 3x — 7 = 3 \ left (2 \ right) — 7 = — 1 \]

   Итак, решение — \ (x = 2 \) и \ (y = — 1 \), как мы отметили выше.

   b \ (\ begin {align *} 5x + 4y & = 1 \\ 3x — 6y & = 2 \ end {align *} \) Показать решение

   С этой системой мы не сможем полностью избежать дробей.Однако похоже, что если мы решим второе уравнение для \ (x \), мы сможем их минимизировать. Вот эта работа.

   \ [\ begin {align *} 3x & = 6y + 2 \\ x & = 2y + \ frac {2} {3} \ end {align *} \]

   Теперь подставьте это в первое уравнение и решите полученное уравнение относительно \ (y \).

   \ [\ begin {align *} 5 \ left ({2y + \ frac {2} {3}} \ right) + 4y & = 1 \\ 10y + \ frac {{10}} {3} + 4y & = 1 \\ 14y & = 1 — \ frac {{10}} {3} = — \ frac {7} {3} \\ y & = — \ left ({\ frac {7} {3}} \ right) \ left ({\ frac {1} {{14}}} \ right) \\ y & = — \ frac {1} {6} \ end {align *} \]

   Наконец, подставьте это в исходную замену, чтобы найти \ (x \).

   \ [x = 2 \ left ({- \ frac {1} {6}} \ right) + \ frac {2} {3} = — \ frac {1} {3} + \ frac {2} {3} = \ frac {1} {3} \]

   Итак, решение этой системы — \ (x = \ frac {1} {3} \) и \ (y = — \ frac {1} {6} \).

   Как и в случае с отдельными уравнениями, мы всегда можем вернуться и проверить это решение, подключив его к обоим уравнениям и убедившись, что оно удовлетворяет обоим уравнениям. Также обратите внимание, что нам действительно нужно включить оба уравнения.Вполне возможно, что ошибка может привести к тому, что пара чисел будет удовлетворять одному из уравнений, но не другому.

   Теперь перейдем к следующему методу решения систем уравнений. Как мы видели в последней части предыдущего примера, метод подстановки часто заставляет нас иметь дело с дробями, что увеличивает вероятность ошибок. У второго метода этой проблемы не будет. Что ж, это не совсем так. Если будут отображаться дроби, они будут отображаться только на последнем этапе, и они будут отображаться только в том случае, если решение содержит дроби.

   Этот второй метод называется методом исключения . В этом методе мы умножаем одно или оба уравнения на соответствующие числа (, т.е. умножаем каждый член в уравнении на число), чтобы одна из переменных имела одинаковый коэффициент с противоположными знаками. Следующим шагом будет сложение двух уравнений. Поскольку одна из переменных имела одинаковый коэффициент с противоположными знаками, она будет удалена, когда мы сложим два уравнения.Результатом будет одно уравнение, которое мы можем решить для одной из переменных. Как только это будет сделано, замените этот ответ на одно из исходных уравнений.

   Как и в случае с первым методом, гораздо легче увидеть, что здесь происходит, с помощью пары примеров.

   Пример 2 Постановка задачи.

   1. \ (\ begin {align *} 5x + 4y & = 1 \\ 3x — 6y & = 2 \ end {align *} \)
   2. \ (\ begin {align *} 2x + 4y & = — 10 \\ 6x + 3y & = 6 \ end {align *} \)

   Показать все решения Скрыть все решения

   a \ (\ begin {align *} 5x + 4y & = 1 \\ 3x — 6y & = 2 \ end {align *} \) Показать решение

   Это система из предыдущего набора примеров, которая заставила нас работать с дробями.Работа с ним здесь покажет различия между двумя методами, а также покажет, что любой метод может использоваться для получения решения для системы.

   Итак, нам нужно умножить одно или оба уравнения на константы, чтобы одна из переменных имела одинаковый коэффициент с противоположными знаками. Итак, поскольку члены \ (y \) уже имеют противоположные знаки, давайте работать с этими терминами. Похоже, что если мы умножим первое уравнение на 3, а второе уравнение на 2, члены \ (y \) будут иметь коэффициенты 12 и -12, что нам и нужно для этого метода.

   Вот работа для этого шага.

   \ [\ begin {align *}
   5x + 4y & = 1 & \ underrightarrow {\ times \, \, 3} \ hspace {0.5in} & 15x + 12y = 3 \\
   3x-6y & = 2 & \ underrightarrow {\ times \, \, 2} \ hspace {0,5 дюйма} & \ underline {\, \, 6x-12y = 4} \\
   & & & 21x \ hspace {0,5 дюйма} = 7 \\
   \ конец {выравнивание *} \]

   Итак, как и было обещано в описании метода, у нас есть уравнение, которое можно решить относительно \ (x \).Это дает \ (x = \ frac {1} {3} \), что мы и нашли в предыдущем примере. Однако обратите внимание, что единственная дробь, с которой нам пришлось иметь дело до этого момента, — это сам ответ, который отличается от метода подстановки.

   Теперь снова не забудьте найти \ (y \). В этом случае работы будет немного больше, чем метод подстановки. Чтобы найти \ (y \), нам нужно подставить значение \ (x \) в любое из исходных уравнений и решить относительно \ (y \).Поскольку \ (x \) является дробью, заметим, что в этом случае, если мы подставим это значение во второе уравнение, мы потеряем дроби, по крайней мере, временно. Обратите внимание, что часто этого не происходит, и нам придется иметь дело с дробями, хотим мы этого или нет.

   \ [\ begin {align *} 3 \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) — 6y & = 2 \\ 1 — 6y & = 2 \\ — 6y & = 1 \\ y & = — \ frac {1} {6} \ end {align *} \]

   Опять же, это то же значение, которое мы нашли в предыдущем примере.

   b \ (\ begin {align *} 2x + 4y & = — 10 \\ 6x + 3y & = 6 \ end {align *} \) Показать решение

   В этой части все переменные положительны, поэтому нам придется принудительно установить противоположный знак, умножив где-нибудь на отрицательное число. Также заметим, что в этом случае, если мы просто умножим первое уравнение на -3, тогда коэффициенты \ (x \) будут -6 и 6.

   Иногда нам нужно только умножить одно из уравнений, а другое можно оставить в покое.Вот эта работа по этой части.

   \ [\ begin {align *}
   2x + 4y & = -10 & \ underrightarrow {\ times \, \, — 3} \ hspace {0,5 дюйма} & -6x-12y = 30 \\
   6x + 3y & = 6 & \ underrightarrow {\ text {same}} \ hspace {0,5 дюйма} & \ underline {\ hspace {0,35 дюйма} 6x + 3y = 6} \\
   & & & \ hspace {0,5 дюйма} -9y = 36 \\
   & & & \ hspace {0,85 дюйма} y = -4 \\
   \ конец {выравнивание *} \]

   Наконец, подставьте это в любое из уравнений и решите относительно \ (x \).На этот раз мы воспользуемся первым уравнением.

   \ [\ begin {align *} 2x + 4 \ left ({- 4} \ right) & = — 10 \\ 2x — 16 & = — 10 \\ 2x & = 6 \\ x & = 3 \ end {align *} \]

   Итак, решение этой системы — \ (x = 3 \) и \ (y = — 4 \).

   Существует третий метод, который мы рассмотрим для решения систем из двух уравнений, но он немного сложнее и, вероятно, более полезен для систем как минимум с тремя уравнениями, поэтому мы рассмотрим его в следующем разделе.

   Перед тем, как покинуть этот раздел, мы должны рассмотреть несколько частных случаев решения систем.

   Пример 3 Решите следующие системы уравнений.

   \ [\ begin {align *} x — y & = 6 \\ — 2x + 2y & = 1 \ end {align *} \]

   Показать решение

   Здесь мы можем использовать любой метод, но похоже, что замена будет немного проще. Мы решим первое уравнение относительно \ (x \) и подставим его во второе уравнение.

   \ [\ begin {align *} x & = 6 + y \\ & \\ — 2 \ left ({6 + y} \ right) + 2y & = 1 \\ — 12 — 2y + 2y & = 1 \\ — 12 & = 1 \, \, \, ?? \ end {align *} \]

   Итак, это явно неправда, и, похоже, нигде в нашей работе нет ошибки. Так в чем проблема? Чтобы увидеть, давайте изобразим эти две линии и посмотрим, что мы получим.

   Похоже, что эти две линии параллельны (можете ли вы проверить это с помощью наклона?), И мы знаем, что две параллельные линии с разными пересечениями \ (y \) (что важно) никогда не пересекутся.

   Как мы видели в начале обсуждения этого раздела, решения представляют собой точку пересечения двух линий. Если две линии не пересекаются, у нас не будет решения.

   Итак, когда мы получаем такой бессмысленный ответ в результате нашей работы, у нас есть две параллельные линии, и не существует решения этой системы уравнений.

   Система в предыдущем примере называется несовместимая .Также обратите внимание, что если бы мы использовали исключение в этой системе, мы бы получили аналогичный бессмысленный ответ.

   Пример 4 Решите следующую систему уравнений.

   \ [\ begin {align *} 2x + 5y & = — 1 \\ — 10x — 25y & = 5 \ end {align *} \]

   Показать решение

   В этом примере кажется, что устранение было бы самым простым методом.

   \ [\ begin {align *}
   2x + 5y & = -1 & \ underrightarrow {\ times \, \, 5} \ hspace {0.5in} & \, \, \, \, 10x + 25y = -5 \\
   -10x-25y & = 5 & \ underrightarrow {\ text {same}} \ hspace {0,5 дюйма} & \ underline {-10x-25y = 5} \\
   & & & \ hspace {0.9in} 0 = 0 \\
   \ конец {выравнивание *} \]

   На первый взгляд может показаться, что это та же проблема, что и в предыдущем примере. Однако в этом случае мы пришли к равенству, которое просто не соответствовало действительности. В этом случае мы имеем 0 = 0, и это истинное равенство, и в этом смысле в этом нет ничего плохого.

   Однако это явно не тот ответ, который мы ожидали здесь, и поэтому нам нужно определить, что именно происходит.

   Мы предоставим вам проверить это, но если вы найдете наклон и \ (y \) — точки пересечения для этих двух линий, вы обнаружите, что обе линии имеют точно такой же наклон, и обе линии имеют одинаковые \ ( y \) — перехват. Итак, что это значит для нас? Хорошо, если две линии имеют одинаковый наклон и одинаковые \ (y \) — точки пересечения, тогда графики этих двух линий являются одним и тем же графиком.Другими словами, графики этих двух линий — это один и тот же график. В этих случаях любой набор точек, удовлетворяющий одному из уравнений, также будет удовлетворять другому уравнению.

   Также напомним, что график уравнения — это не что иное, как набор всех точек, удовлетворяющих уравнению. Другими словами, существует бесконечный набор точек, которые удовлетворяют этой системе уравнений.

   В этих случаях мы действительно хотим записать что-нибудь для решения.Итак, что мы сделаем, так это решим одно из уравнений для одной из переменных (неважно, что вы выберете). Решим первую относительно \ (y \).

   \ [\ begin {align *} 2x + 5y & = — 1 \\ 5y & = — 2x — 1 \\ y & = — \ frac {2} {5} x — \ frac {1} {5} \ end {выровнять*}\]

   Затем для любого \ (x \) мы можем найти \ (y \), и эти два числа образуют решение системы уравнений. Обычно мы обозначаем это, записывая решение следующим образом:

   \ [\ begin {array} {* {20} {c}} \ begin {align} x & = t \\ y & = — \ frac {2} {5} t — \ frac {1} {5} \ конец {выровнен} & {\ hspace {0.25in} {\ mbox {где}} \, t {\ mbox {- любое действительное число}}} \ end {array} \]

   Чтобы показать, что они дают решения, давайте рассмотрим несколько значений \ (t \).

   \ (t = 0 \)

   \ [x = 0 \ hspace {0,25 дюйма} y = — \ frac {1} {5} \]

   Чтобы показать, что это решение, нам нужно вставить его в оба уравнения системы.? — 1 & \ hspace {0.? 5 \\ — 1 & = — 1 & \ hspace {0,25 дюйма} 5 & = 5 \ end {align *} \]

   Итак, \ (x = 0 \) и \ (y = — \ frac {1} {5} \) является решением системы. Давай быстро сделаем еще один.

   \ (t = — 3 \)

   \ [x = — 3 \ hspace {0,25 дюйма} y = — \ frac {2} {5} \ left ({- 3} \ right) — \ frac {1} {5} = \ frac {6} {5 } — \ frac {1} {5} = 1 \]

   И снова нам нужно вставить его в оба уравнения системы, чтобы показать, что это решение.? 5 \\ — 1 & = — 1 & \ hspace {0,25 дюйма} 5 & = 5 \ end {align *} \]

   Конечно, \ (x = — 3 \) и \ (y = 1 \) — это решение.

   Итак, поскольку существует бесконечное количество возможных \ (t \) ‘, должно быть бесконечное число решений для этой системы, и они даются как,

   \ [\ begin {array} {* {20} {c}} \ begin {align} x & = t \\ y & = — \ frac {2} {5} t — \ frac {1} {5} \ конец {выровнен} & {\ hspace {0.25in} {\ mbox {где}} \, t {\ mbox {- любое действительное число}}} \ end {array} \]

   Системы, подобные тем, что в предыдущих примерах, называются зависимыми .

   Теперь мы увидели все три возможности решения системы уравнений. Система уравнений не будет иметь решения, ровно одно решение или бесконечно много решений.

   Параметрическая форма

   Существует одна возможность для строковой сокращенной формы матрицы, которую мы не видели в разделе 1.2.

   Пример (система со свободной переменной)
   

   Рассмотрим линейную систему

   E2x + y + 12z = 1x + 2y + 9z = −1.

   Решаем с помощью сокращения строк:

   C21121129−1DR1 ← → R2 −−−− → C129−121121D (Необязательно) R2 = R2−2R1 −−−−−− → C129−10−3−63D (Step1c) R2 = R2 ÷ −3 −−−−− → C129−1012−1D (Шаг2b) R1 = R1−2R2 −−−−−− → C1051012−1D (Шаг2c)

   Эта сокращенная по строкам матрица соответствует линейной системе

   Ex + 5z = 1y + 2z = -1.

   В каком смысле решена система? Перепишем как

   Ex = 1−5zy = −1−2z.

   Для любого значения z существует ровно одно значение x и y, при котором уравнения верны. Но мы можем выбрать любое значение z.

   Мы нашли все решения: это набор всех значений x, y, z, где

   Fx = 1−5zy = −1−2zz = zzanyrealnumber.

   Это называется параметрической формой для решения линейной системы. Переменная z называется свободной переменной .

   Рисунок 2 — Изображение набора решений (желтая линия) линейной системы в этом примере.Для каждого значения z существует уникальное решение; переместите ползунок, чтобы изменить z.

   Учитывая параметрическую форму решения линейной системы, мы можем получить конкретные решения, заменив свободные переменные любыми конкретными действительными числами. Например, установка z = 0 в последнем примере дает решение (x, y, z) = (1, −1,0), а установка z = 1 дает решение (x, y, z) = (- 4 , −3,1).

   Определение

   Рассмотрим непротиворечивую систему уравнений относительно переменных x1, x2 ,…, хн. Пусть A — строчная форма расширенной матрицы для этой системы.

   Мы говорим, что xi — это свободная переменная , если ее соответствующий столбец в A равен , а не сводный столбец.

   В приведенном выше примере переменная z была свободной, потому что матрица сокращенной формы эшелона строк была

   В матрице

   свободными переменными являются x2 и x4. (Расширенный столбец не является бесплатным, потому что он не соответствует переменной.)

   Рецепт: Параметрическая форма

   Параметрическая форма множества решений согласованной системы линейных уравнений получается следующим образом.

   1. Запишите систему как расширенную матрицу.
   2. Ряд сокращается до формы эшелона пониженного ряда.
   3. Напишите соответствующую (решенную) систему линейных уравнений.
   4. Переместите все свободные переменные в правую часть уравнений.

   Перемещение свободных переменных в правую часть уравнений сводится к решению для несвободных переменных (тех, которые идут в сводные столбцы) в терминах свободных переменных. Можно думать о свободных переменных как о независимых переменных, а о несвободных переменных как о зависимых .

   Вы можете выбрать любое значение для свободных переменных в (согласованной) линейной системе.

   Свободные переменные берутся из столбцов без поворотных точек в матрице в виде эшелона строк.

   Есть три возможности для сокращенной формы эшелона строк расширенной матрицы линейной системы.

   1. Последний столбец — это сводный столбец. В данном случае система несовместима . Есть нулевые решения, т.е.е., набор решений пуст. Например, матрица

      исходит из линейной системы без решений.

   2. Каждый столбец, кроме последнего, является сводным столбцом. В данном случае в системе есть уникальное решение . Например, матрица

      говорит нам, что единственное решение (x, y, z) = (a, b, c).

   3. Последний столбец не является сводным столбцом, и какой-либо другой столбец также не является сводным столбцом. В этом случае система имеет бесконечно много решений, соответствующих бесконечному числу возможных значений свободной переменной (переменных).Например, в системе, соответствующей матрице

      любые значения x2 и x4 дают решение системы уравнений.

   Правило Крамера

   Cramer’s
   Правило

   ---

   Дана система линейных
   уравнения, правило Крамера — удобный способ решить только одну из переменных
   без необходимости решать всю систему уравнений.Они обычно не
   обучать правилу Крамера таким образом, но это должно быть суть
   Правило: вместо решения всей системы уравнений можно использовать
   Крамеру нужно найти всего одну переменную.

   Воспользуемся следующим
   система уравнений:

   У нас есть левая часть
   системы с переменными («матрица коэффициентов»)
   а в правой части — значения ответов.Позволять
   D
   — определитель матрицы коэффициентов указанной выше системы, и
   пусть D _x
   быть определителем, образованным заменой столбца x
   значения со значениями столбца ответа:

   система из уравнений	коэффициент определитель матрицы	ответ столбец	D x : определитель коэффициента со столбцом ответов значений в x столбец
   2 х + 1 y + 1 z = 3 1 х 1 y 1 z = 0 1 х + 2 y + 1 z = 0

   Аналогично D _y
   и D _z
   тогда будет: Авторское право
   Элизабет Стапель 2004-2011 Все права защищены

   Оценка каждого детерминанта (с использованием метода, описанного здесь),
   получаем:

   Правило Крамера гласит, что x
   = D _x D ,
   y =
   D _y D ,
   и z
   = D _z D .То есть:

   х
   = ³ / ₃ = 1, y
   = ⁶ / ₃ = 2 ,
   и z
   = ⁹ / ₃ = 3

   Вот и все, что нужно для Cramer’s
   Правило.Чтобы найти любую желаемую переменную (назовите ее «» или «бета»),
   просто оцените определяющее частное D
   _{Д . (Пожалуйста
   не просите меня объяснять, почему это работает. Просто поверьте мне, что детерминанты
   может творить много видов магии.)}

   • Учитывая следующее
     Система уравнений, найдите значение z .

   Решить только для z ,
   Сначала я нахожу определитель коэффициента.

   Затем формирую D _z
   заменив третий столбец значений столбцом ответов:

   Затем я составляю частное и упростить:

   Суть правила Крамера
   в том, что вам не нужно решать всю систему, чтобы получить одно значение
   тебе нужно.Это сэкономило мне много времени на некоторых тестах по физике. я
   забыть, над чем мы работали (я думаю, что-то с проводами и токами),
   но правило Крамера было намного быстрее, чем любой другой метод решения (и
   Видит Бог, мне нужно было дополнительное время). Не позволяйте всем нижним индексам и прочему
   запутать вас; Правило действительно довольно простое. Вы просто выбираете переменную
   вы хотите найти, замените столбец значений этой переменной в
   определитель коэффициента со значениями столбца ответа, оцените, что
   определитель и разделите на определитель коэффициента.Это все там
   к нему.

   Почти.

   Что делать, если определитель коэффициента
   ноль? Нельзя делить на ноль, что это значит? Я не могу пойти
   в технические детали здесь, но « D
   = 0 «означает, что
   система уравнений не имеет единственного решения. Система может быть несовместимой
   (никакого решения) или зависимое (бесконечное решение, которое может быть
   выражается как параметрическое решение, например «( a ,
   a + 3, a 4) «).С точки зрения правила Крамера: « D
   = 0 «означает, что
   вам придется использовать другой метод (например, матрицу
   строковые операции) в
   решить систему. Если D
   = 0, вы не можете использовать Cramer’s
   Правило.

   Верх
   | Вернуться к индексу

   Цитируйте эту статью как:

   Стапель, Елизавета.«Правило Крамера». Purplemath . Доступна с https://www.purplemath.com/modules/cramers.htm . Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г.

   Исключение Гаусса

   Тип 2. Умножьте строку на ненулевую константу.

   Тип 3. Добавьте одну строку, кратную одной, в другую.

   Цель этих операций состоит в том, чтобы преобразовать — или уменьшить — исходную расширенную матрицу в одну из форм, где A ′ является верхним треугольником ( a _ij ′ = 0 для i> j ), любые нулевые строки появляются внизу матрицы, и первая ненулевая запись в любой строке находится справа от первой ненулевой записи в любой более высокой строке; такая матрица имеет вид эшелон .Решения системы, представленные более простой расширенной матрицей, [ A ′ | b ′], можно найти путем осмотра нижних рядов и обратной подстановки в более высокие ряды. Поскольку элементарные операции со строками не меняют решений системы, векторы x , которые удовлетворяют более простой системе A ′ x = b ′, являются в точности теми, которые удовлетворяют исходной системе, A x = b .

   Пример 3 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

   Расширенная матрица, которая представляет эту систему:

   Первая цель — получить нули под первой записью в первом столбце , что означает исключение первой переменной x из второго и третьего уравнений.Для этого выполняются следующие операции со строками:

   Вторая цель — получить ноль под второй записью во втором столбце, что означает исключение второй переменной y из третьего уравнения. Один из способов добиться этого — добавить -1/5 второй строки к третьей строке. Однако, чтобы избежать дробей, есть еще один вариант: сначала поменять местами второй и третий ряды. Замена двух строк просто меняет местами уравнения, что явно не изменит решения системы:

   Теперь прибавьте −5 раз вторую строку к третьей строке:

   Поскольку матрица коэффициентов преобразована в эшелонированную форму, «прямая» часть исключения Гаусса завершена.Теперь остается использовать третью строку для оценки третьего неизвестного, затем выполнить обратную подстановку во вторую строку для оценки второго неизвестного и, наконец, выполнить обратную замену в первой строке для оценки первого неизвестного.

   Третья строка финальной матрицы переводится в 10 z = 10, что дает z = 1. Обратная подстановка этого значения во вторую строку, которая представляет уравнение y — 3 z = — 1, дает y = 2.Обратная подстановка обоих этих значений в первую строку, которая представляет уравнение x — 2 y + z = 0, дает x = 3. Таким образом, решение этой системы: ( x, y, z ) = (3, 2, 1).

   Пример 4 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

   Для этой системы расширенная матрица (вертикальная линия опущена) составляет

   Сначала умножьте строку 1 на 1/2:

   Теперь добавление −1 первой строки ко второй строке дает нули под первой записью в первом столбце:

   Перестановка второй и третьей строк дает желаемую матрицу коэффициентов верхней треугольной формы:

   В третьей строке теперь указано z = 4.Обратная подстановка этого значения во вторую строку дает y = 1, а обратная подстановка обоих этих значений в первую строку дает x = −2. Решение этой системы, следовательно, ( x, y, z ) = (−2, 1, 4).

   Исключение Гаусса-Джордана . Исключение по Гауссу осуществляется путем выполнения элементарных операций со строками для получения нулей ниже диагонали матрицы коэффициентов, чтобы привести ее к эшелонированной форме. (Напомним, что матрица A ′ = [ a _ij ′] имеет эшелонированную форму, когда a _ij ′ = 0 для i> j , любые нулевые строки появляются в нижней части матрицы , и первая ненулевая запись в любой строке находится справа от первой ненулевой записи в любой более высокой строке.Как только это будет сделано, проверка нижних строк и обратная подстановка в верхние строки определяют значения неизвестных.

   Однако можно сократить (или полностью исключить) вычисления, связанные с обратной подстановкой, выполнив дополнительные операции со строками для преобразования матрицы из эшелонированной формы в сокращенную форму . Матрица находится в форме сокращенного эшелона, когда, помимо того, что она находится в форме эшелона, каждый столбец, содержащий ненулевую запись (обычно равную 1), имеет нули не только под этой записью, но и над этой записью.Грубо говоря, гауссовское исключение работает сверху вниз, чтобы создать матрицу в форме эшелона, тогда как Гаусс-Жорданов исключение продолжается с того места, где остановился гауссов, затем работая снизу вверх, чтобы создать матрицу в форме уменьшенного эшелона. Техника будет проиллюстрирована на следующем примере.

   Пример 5 : Известно, что высота подброшенного в воздух объекта y задается квадратичной функцией от t (время) в форме y = at ² + bt + c .Если объект находится на высоте y = 23/4 в момент времени t = 1/2, при y = 7 в момент времени t = 1 и при y = 2 при t = 2 , определите коэффициенты a, b и c .

   Так как t = 1/2 дает y = 23/4

   , а два других условия: y ( t = 1) = 7 и y ( t = 2) = 2, дают следующие уравнения для a, b и c :

   Следовательно, цель — решить систему

   Расширенная матрица для этой системы сокращается следующим образом:

   На этом прямая часть исключения Гаусса завершена, поскольку матрица коэффициентов приведена к эшелонированной форме.Однако, чтобы проиллюстрировать исключение Гаусса-Жордана, выполняются следующие дополнительные элементарные операции со строками:

   Эта окончательная матрица сразу дает решение: a = −5, b = 10 и c = 2.

   Пример 6 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

   Расширенная матрица для этой системы —

   Кратные значения первой строки добавляются к другим строкам, чтобы получить нули под первой записью в первом столбце:

   Затем −1 раз вторая строка добавляется к третьей строке:

   В третьей строке теперь указано 0 x + 0 y + 0 z = 1, уравнение, которому не могут удовлетворять никакие значения x, y и z .Процесс останавливается: у этой системы нет решений.

   Предыдущий пример показывает, как метод исключения по Гауссу обнаруживает противоречивую систему. Небольшое изменение этой системы (например, изменение постоянного члена «7» в третьем уравнении на «6») проиллюстрирует систему с бесконечным числом решений.

   Пример 7 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

   Те же операции, которые применяются к расширенной матрице системы в примере 6, применяются к расширенной матрице для данной системы:

   Здесь третья строка переводится в 0 x + 0 y + 0 z = 0, уравнение, которому удовлетворяют любые x, y и z .Поскольку здесь нет ограничений на неизвестные, на неизвестные не три условия, а только два (представленные двумя ненулевыми строками в окончательной расширенной матрице). Поскольку есть 3 неизвестных, но только 2 константы, 3–2 = 1 неизвестных, скажем, z , произвольно; это называется свободной переменной . Пусть z = t , где t — любое действительное число. Обратная подстановка z = t во вторую строку (- y + 5 z = −6) дает

   Обратная подстановка z = t и y = 6 + 5 t в первую строку ( x + y — 3 z = 4) определяет x :

   Следовательно, каждое решение системы имеет вид

   , где t — любое действительное число.Существует бесконечно много решений, поскольку каждое действительное значение t дает отдельное конкретное решение. Например, выбор t = 1 дает ( x, y, z ) = (−4, 11, 1), а t = 3 дает ( x, y, z ) = (4, — 9, −3) и т. Д. Геометрически эта система представляет собой три плоскости в R ³ , которые пересекаются по линии, и (*) является параметрическим уравнением для этой линии.

   Пример 7 дает иллюстрацию системы с бесконечным множеством решений, как возникает этот случай и как записывается решение.Каждая линейная система, имеющая бесконечно много решений, должна содержать хотя бы один произвольный параметр (свободная переменная). После того, как расширенная матрица была приведена к эшелонированной форме, количество свободных переменных равно общему количеству неизвестных минус количество ненулевых строк:

   Это согласуется с теоремой B выше, которая утверждает, что линейная система с меньшим количеством уравнений, чем неизвестных, если она согласована, имеет бесконечно много решений. Условие «меньше уравнений, чем неизвестных» означает, что количество строк в матрице коэффициентов меньше количества неизвестных.Следовательно, приведенное выше уравнение в рамке подразумевает, что должна быть хотя бы одна свободная переменная. Поскольку такая переменная по определению может принимать бесконечно много значений, система будет иметь бесконечно много решений.

   Пример 8 : Найти все решения для системы

   Во-первых, обратите внимание, что есть четыре неизвестных, но только три уравнения. Следовательно, если система непротиворечива, гарантировано, что у нее будет бесконечно много решений, а это состояние характеризуется по крайней мере одним параметром в общем решении.После того, как соответствующая расширенная матрица построена, исключение Гаусса дает

   Тот факт, что в эшелонированной форме расширенной матрицы остаются только две ненулевые строки, означает, что 4-2 = 2 переменных свободны:

   Следовательно, выбрав y и z в качестве свободных переменных, пусть y = t ₁ и z = t ₂ . Во второй строке сокращенной расширенной матрицы следует

   , а первая строка дает

   Таким образом, решения системы имеют вид

   , где t ₁ t ₂ могут принимать любые реальные значения.

   Пример 9 : Пусть b = ( b ₁ , b ₂ , b ₃ ) ^T и пусть A будет матрицей

   При каких значениях b ₁ , b ₂ и b ₃ будет согласована система A x = b ?

   Расширенная матрица для системы A x = b читает

   , который гауссовский элиминатин сокращает следующим образом:

   Нижняя строка теперь подразумевает, что b ₁ + 3 b ₂ + b ₃ должно быть равно нулю, чтобы эта система была согласованной.Следовательно, в данной системе есть растворины (фактически бесконечно много) только для тех векторов-столбцов b = ( b ₁ , b ₂ , b ₃ ) ^T , для которых b ₁ + 3 b ₂ + b ₃ = 0.

   Пример 10 : Решите следующую систему (сравните с Примером 12):

   Такая система, как эта, где постоянный член в правой части каждого уравнения равен 0, называется системой однородной .В матричной форме он читается как A x = 0 . Поскольку каждая гомогенная система согласована — поскольку x = 0 всегда является решением — однородная система имеет либо ровно одно решение ( тривиальное решение , x = 0 ), либо бесконечно много. Сокращение строки матрицы коэффициентов для этой системы уже было выполнено в примере 12. Нет необходимости явно дополнять матрицу коэффициентов столбцом b = 0 , поскольку никакая элементарная операция со строкой не может повлиять на эти нули.То есть, если A ‘является эшелонированной формой A , то операции элементарной строки преобразуют [ A | 0 ] в [ A ′ | 0 ]. По результатам Примера 12,

   Поскольку последняя строка снова подразумевает, что z можно принять как свободную переменную, пусть z = t , где t — любое действительное число. Обратная подстановка z = t во вторую строку (- y + 5 z = 0) дает

   и обратная подстановка z = t и y = 5 t в первую строку ( x + y — 3 z = 0) определяет x :

   Следовательно, каждое решение этой системы имеет вид ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t, t ), где t — любое действительное число.Существует бесконечно много растворяющих веществ, поскольку каждое действительное значение t дает уникальное частное решение.

   Обратите внимание на разницу между набором решений для системы в Примере 12 и здесь. Хотя обе имели одинаковую матрицу коэффициентов A, , система в примере 12 была неоднородной ( A x = b , где b ≠ 0 ), в то время как здесь одна соответствующая однородная система A x = 0 .Помещая свои решения рядом,

   общее решение для Ax = 0 : ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t , t )

   общее решение для Ax = b : ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t , t ) + (−2, 6, 0)

   иллюстрирует важный факт:

   Теорема C . Общие решения для согласованной неоднородной лиенарной системы, A x = b , равны общему решению соответствующей однородной системы, A x = 0 , плюс частному решению неоднородная система.То есть, если x = x _h представляет собой общее решение A x = 0 , то x = x _h + x представляет общее решение A x + b , где x — любое конкретное решение (согласованной) неоднородной системы A x = b .

   [Техническое примечание: теорема C, которая касается линейной системы , имеет аналог в теории линейных дифференциальных уравнений .Пусть L — линейный дифференциальный оператор; то общее решение разрешимого неоднородного линейного дифференциального уравнения, L (y) = d (где d ≢ 0), равно общему решению соответствующего однородного уравнения, L (y) = 0 плюс частное решение неоднородного уравнения. То есть, если y = y _h повторно отображает общее решение L (y) = 0, тогда y = y _h + y представляет собой общее решение L (y ) = d , где y — любое частное решение (решаемого) неоднородного линейного уравнения L (y) = d .]

   Пример 11 : Определить все решения системы

   Запишите расширенную матрицу и выполните следующую последовательность операций:

   Поскольку в этой конечной (эшелонированной) матрице остаются только 2 ненулевые строки, есть только 2 ограничения, и, следовательно, 4-2 = 2 из неизвестных, например y и z , являются свободными переменными. Пусть y = t ₁ и z = t ₂ .Обратная подстановка y = t ₁ и z = t ₂ во вторую строку ( x — 3 y + 4 z = 1) дает

   Наконец, обратная замена x = 1 + 3 t ₁ — 4 ₂ , y = t ₁ и z = t ₂ в первую строка (2 w — 2 x + y = −1) определяет w :

   Следовательно, каждое решение этой системы имеет вид

   , где t ₁ и t ₂ — любые вещественные числа.Другой способ написать решение:

   , где t ₁ , t ₂ ∈ R .

   Пример 12 : Определите общее решение

   , которая является однородной системой, соответствующей неоднородной в примере 11 выше.

   Поскольку решение неоднородной системы в примере 11 равно

   Теорема C означает, что решение соответствующей однородной системы (где t ₁ , t ₂ ∈ R ) получается из (*), просто отбрасывая конкретное решение, x = (1 / 2,1,0,0) неоднородной системы.

   Пример 13 : Докажите теорему A: независимо от ее размера или количества неизвестных, содержащихся в ее уравнениях, линейная система не будет иметь решений, ровно одно решение или бесконечно много решений.

   Доказательство . Пусть данная линейная система записана в матричной форме A x = b . Теорема действительно сводится к следующему: если A x = b имеет более одного решения, то на самом деле их бесконечно много.Чтобы установить это, пусть x ₁ и x ₂ будут двумя разными решениями A x = b . Теперь будет показано, что для любого реального значения t вектор x ₁ + t ( x ₁ — x ₂ ) также является решением A x = b ; Поскольку t может принимать бесконечно много различных значений, из этого следует желаемый вывод.Поскольку A x ₁ = b и A x ₂ ,

   Следовательно, x ₁ + t ( x ₁ — x ₂ ) действительно является решением A x = b , и теорема доказана.