Неравенства с модулем формулы: Решение неравенств с модулем — ошкольное образовательное учреждение № 4 «Алёнушка»

Содержание

Неравенства с модулем и их решение

Определение и формулы неравенств с модулем

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Модуль числа a равен числу a, если число положительное и -a, если оно отрицательное.

Можно записать следующим образом, что

Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа.

Если под модулем находится функция , то

1. Неравенство вида равносильно системе неравенств , при условии ; при — решений нет.

2. Неравенство вида равносильно совокупности неравенств , при условии, что . Если , то неравенство справедливо при всех допустимых значениях .

3. Неравенство равносильно двойному неравенству .

4. Неравенство равносильно совокупности неравенств

5. Неравенство вида выполняется тогда и только тогда, когда

Примеры решения неравенств с модулем

ПРИМЕР 2

Задание

Решить неравенство

Решение

Нулями подмодульных выражений являются значения и , которые разбивают числовую ось на три интервала.

Если , то заданное неравенство принимает вид:

В этом случае решений нет, так как получили неверное неравенство, то есть .

Если , то

Пересечением интервала, на котором рассматривается заданное неравенство, и полученного будет промежуток .

Если , то

Поскольку в результате преобразований получили верное неравенство, то решением будет любое действительное значение переменной: . Пересекаем с промежутком, на котором рассматриваем, и в результате получаем, что .

Объединяя полученные интервалы в случаях 1-3, запишем решение заданного неравенства:

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

§5 Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

1.	Уравнение с модулем вида \|x\|=a	2 вид — интерпретация	лёгкое	1 Б.	Нахождение произведения корней уравнения с модулем вида \|x\|=a.
2.	Неравенство с модулем вида \|f(x)\|< a	2 вид — интерпретация	лёгкое	1 Б.	Решение простого неравенства с модулем вида \|f(x)\|< a.
3.	Неравенство с модулем вида \|f(x)\|<0	2 вид — интерпретация	лёгкое	1 Б.	Решение (обоснование) неравенства с модулем вида \|f(x)\|<0.
4.	Неравенство с модулем вида \|f(x)\|≤0	2 вид — интерпретация	лёгкое	1 Б.	Решение (обоснование) неравенства с модулем вида \|f(x)\|≤0.
5.	Уравнение с модулем, подобные модули	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Решение уравнения с модулем, приведение подобных модулей.
6.	Неравенство с модулем (квадратное неравенство)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Решение неравенства с модулем (квадратного неравенства).
7.	Вопросы по равенству с модулем	1 вид — рецептивный	среднее	1 Б.	Теоретические вопросы по равенству с модулем, используется определение модуля.
8.	Уравнение с модулем вида \|f(x)\|=a	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Решение уравнения с модулем вида \|f(x)\|=a.
9.	Уравнение с модулем вида \|f(x)\|=\|g(x)\|	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Решение уравнения с модулем вида \|f(x)\|=\|g(x)\|.
10.	Уравнение с двумя модулями	2 вид — интерпретация	сложное	3 Б.	Решение уравнения с двумя модулями.
11.	Неравенство с модулем вида \|f(x)\|≥g(x)	2 вид — интерпретация	сложное	5 Б.	Решение (обоснование) неравенства с модулем вида \|f(x)\|≥g(x), использование формулы квадрата суммы или разности.
12.	Неравенство с модулем вида \|f(x)\|>a (дробное)	2 вид — интерпретация	сложное	6 Б.	Решение неравенства с модулем вида \|f(x)\|>a (дробного неравенства).
13.	Квадратное уравнение с модулем	2 вид — интерпретация	сложное	3 Б.	Решение квадратного уравнения с модулем.

§ Как решать квадратные неравенства. Метод интервалов

Требуется решить квадратное неравенство.

x² + x − 12

Итак, согласно п.1 мы должны перенести
все члены неравенства в левую часть, так чтобы в правой остался только ноль.
В заданном неравенстве
«x² + x − 12 » ничего дополнительно делать не требуется,
так как в правой части и так уже стоит ноль.

Переходим к п.2. Необходимо сделать так, чтобы перед «x²»
стоял положительный коэффициент. В неравенстве
«x² + x − 12 »
при «x²» стоит положительный коэффициент «1»,
значит, снова нам ничего делать не требуется.

Согласно п.3 приравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное квадратное уравнение.

x² + x − 12 = 0

x_1;2 =

−1 ±
√1² − 4 · 1 · (−12)

2 · 1

x_1;2 =

x₁ =	x₂ =
x₁ =	x₂ =
x₁ = −4	x₂ = 3

Теперь по п. 4 отметим полученные корни на числовой оси в порядке возрастания.

Помните, что, исходя их того, какое перед нами неравенство (строгое или нестрогое) мы отмечаем точки на числовой оси

разным образом.

Теперь, как сказано в п.5, нарисуем «арки» над интервалами между отмеченными точками.

Проставим знаки внутри интервалов.
Справа налево чередуя, начиная с «+», отметим знаки.

Нам осталось только выполнить пункт 6, то есть выбрать нужные интервалы и записать их в ответ.
Вернемся к нашему неравенству.

Так как в нашем неравенстве
«x² + x − 12 »,
значит, нам требуются отрицательные интервалы.
Заштрихуем все отрицательные области на числовой оси и выпишем их в ответ.

Отрицательным интервалом оказался лишь один, который находится между числами
«−4» и «3», поэтому
запишем его в ответ в виде двойного неравенства
−4 .

Запишем полученный ответ квадратного неравенства.

Ответ: −4

Именно из-за того, что при решении квадратного неравенства мы рассматриваем интервалы между числами,
метод интервалов и получил свое название.

После получения ответа имеет смысл сделать его проверку, чтобы убедиться в правильности решения.

Выберем любое число, которое находится в заштрихованной области полученного ответа −4
и подставим его вместо «x» в исходное неравенство.
Если мы получим верное неравенство,
значит мы нашли ответ квадратного неравенства верно.

Возьмем, например, из интервала число «0». Подставим его в исходное неравенство
«x² + x − 12 ».

x² + x − 12

0² + 0 − 12

−12 (верно)

Мы получили верное неравенство при подстановке числа из области решений, значит ответ найден правильно.

Краткая запись решения методом интервалов

Сокращенно запись решения квадратного неравенства
«x² + x − 12 »
методом интервалов будет выглядеть так:

x² + x − 12

x² + x − 12 = 0

x_1;2 =

−1 ±
√1² − 4 · 1 · (−12)

2 · 1

x_1;2 =

x₁ =	x₂ =
x₁ =	x₂ =
x₁ = −4	x₂ = 3

Ответ: −4

Другие примеры решения квадратных неравенств

Рассмотрим решение других примеров квадратных неравенств. Требуется решить квадратное неравенство:

2x² − x ≥ 0

В правой части неравенство уже стоит ноль. При «x²»
стоит «2» (положительный коэффициент), значит можно сразу переходить
к поиску корней.

2x² − x ≥ 0

2x² − x = 0

x_1;2 =

−(−1) ±
√(−1²) − 4 · 2 · 0

2 · 2

x_1;2 =

x₁ =	x₂ =
x₁ =	x₂ =
x₁ =	x₂ = 0

Ответ: x ≤ 0; x ≥

Рассмотрим пример, где перед «x²» в квадратном неравенстве стоит
отрицательный коэффициент.

−x² − 3x + 4 ≥ 0

По п.2 общих правил решения методом интервалов нам нужно сделать так, чтобы
перед «x²» стоял положительный
коэффициент. Для этого умножим все неравенство на «−1».

−x² − 3x + 4 ≥ 0 | ·(−1)
x² + 3x − 4 ≤ 0

Можно переходить к п.4 и п.5. Приравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное квадратное уравнение.
Затем расположим полученные корни на числовой оси и проведем между ними «арки».

x² + 3x − 4 ≤ 0

x² + 3x − 4 = 0

x_1;2 =

−3 ±
√3² − 4 · 1 · (−4)

2 · 1

x_1;2 =

x₁ =	x₂ =
x₁ =	x₂ =
x₁ = 4	x₂ = −1

Важно!

При определении того какие интервалы нам нужно брать в ответ, исходить нужно из самого последнего изменения неравенства
перед нахождением его корней.

В нашем случае самая последняя версия неравенства перед поиском корней уравнения это
«x² + 3x − 4 ≤ 0».

Значит для ответа нужно выбирать интервалы со знаком «−».

Ответ: −1 ≤ x ≤ 4

К сожалению, при решении квадратного неравенства не всегда получаются два корня и все идет по общему плану выше.
Возможны случаи, когда получается один корень или даже ни одного корня.

Как решить квадратные неравенства в таких случаях, мы разберем в следующем уроке
«Квадратные неравенства
с одним корнем или без корней».

Геометрический способ решения уравнений и неравенств с модулем, 9-й класс

Цель: рассмотреть геометрическое определение модуля. Уметь применять его для решения
уравнений и неравенств с модулем, развивать умение исследовать уравнения с параметрами.

Ход урока

1. Организационная
часть (Цель занятия)

2. Актуализация
знаний

Алгебраическое определение модуля

|a| =

Вычислите модули чисел: 3, -8, 10, 0.

Решите уравнения

Решите неравенства

Запишите к каждому чертежу соответствующее
уравнение или неравенство

3. Изучение
нового материала

Найдите расстояние между двумя точками координатной прямой

А) А(-1) и В(3)

Б) Р(0,0001) и Q(132)

В) М(-2) и N(-87)

Формула расстояния между двумя точками координатной прямой
с координатами х и а:
ρ(x,a) = |x — a|

Геометрическое истолкование выражения |x-a|- это расстояние между двумя точками
координатной прямой.

Отметить на координатной прямой точки, для которых

|x| = 1
|x| ≥ 3
|x| > 2
1 < |x| < 4
|x| = 0
|x| = -1

Каков смысл выражений?
Изобразите множества,
задаваемые этими предложениями на координатной прямой. Иными словами переведем
аналитические модели на геометрический язык.

Решим неравенство |х-2| <3
Переведем аналитическую модель на
геометрический язык: нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые
удовлетворяют условию ρ (х,2) < 3. Другими словами удалены от точки с
координатой 2 на расстояние меньше 3.

Это все точки, принадлежащие интервалу (-1;5)

Ответ: (-1;5)

Как решить уравнение?

|х-5|+|х+1|=8

Выражение |х-5| можно
истолковать, как расстояние между точками с координатами х и 5.

Выражение |х+1| можно
истолковать, как расстояние между точками с координатами х и -1.

Тогда уравнение означает, что нужно найти такую точку Х(х), сумма расстояний
от которой до точек с
координатами 5 и -1 равна 8.

Расстояние между точками с координатами 5 и -1 равно 6 < 8, следовательно,
точка с координатой х находиться вне отрезка [-1;5] и таких точек две.

Ответ: х=-2, х=6

Что произойдет,
если вместо 8 взять число 1, 6, 100,…? Сколько будет тогда корней уравнения?

При равенстве суммы модулей 1 – нет решений, так как 1
При равенстве суммы модулей 6 – множество решений, так как
все точки отрезка [-2;6] удовлетворяют условию уравнения.

При равенстве суммы модулей 100, или любому числу больше 6, уравнение имеет два решения.

Вывод:
1. Если сумма модулей больше расстояния между двумя
  точками, то уравнение имеет два решения.
2. Если сумма модулей равна расстоянию между двумя
  точками, то уравнение имеет множество решений, которых принадлежат отрезку
  между точками.
3. Если расстояние между двумя точками меньше
  суммы модулей,
  то решений нет.

4. Закрепление
полученных знаний

Решите неравенство: |х-5|

Ответ: (3;7)

Решите неравенство: |х+3| ≥ 4

Ответ: x ≤ -7, x ≥ 1

Решите уравнение: |х-1| +|х+2|=5

Ответ: x=2, x=-3

Изобразите на координатной плоскости решения
неравенств:
1. |х-1|+|х+2|=5

2. | х-1|+|х+2|<5

Самостоятельно исследуйте, сколько решений может иметь уравнение в зависимости от значений а:
|х+3| +|х-1|=
Ответ:

а) Если, а=4, то уравнение имеет множество решений –
отрезок [-3;1]
б) Если а>4, то уравнение имеет 2 корня

в) Если а

5. Домашнее задание

1. Исследовать уравнение: |х+3| -|х-1|=а

2. Решить № 13, № 16 (а,б)

6. Итог занятия:

Геометрический смысл модуля

Как применить геометрический смысл модуля для
решения неравенств

Как применить геометрический смысл модуля для
решения уравнений

Литература

1. Мордкович А.Г. Алгебра ,9 класс, в двух частях,6
издание, Москва, Мнеиозина,2004

2. «Метод
координат», учебное пособие для учащихся, ОЛ ВЗМШ, Москва ,2002

18.

Решение линейных неравенств с модулем Краткосрочный план

Актуализация опорных знаний. Устный опрос.

1. Что является решением неравенства

2. Что является решением неравенства

3. В каком случае неравенство с модулем
имеет бесконечное множество решений?

4. Приведите примеры неравенства, не
имеющие решений.

Предложите учащимся письменно решить несколько
неравенств с модулем, постепенно усложняя задание.

Приложение 1

Задание
1.
Имеет ли решение неравенство:

а) б)

в)

г) д)

е) ?

Задание 2. Запишите в виде двойного неравенства неравенство
с модулем:

а) ; б) в)

Задание 3. Запишите в виде неравенства с модулем двойное
неравенство:

а) б) в)

Решить неравенство, изобразить геометрически
решение, записать в виде числового промежутка:

Задание 4. а) б)

-45 < 15x < 45	15x < -45 или 15x>45
-3 < x < 3	x < -3 или x>3

Ответ:

Задание
5. а) б)

— 84 < — 28x < 84	28x < -84 или 28x>84
— 3< x < 3	x < -3 или x>3

Ответ:

Задание 6. а) б)


-11 < 11x < 11	11x < -11 или 11x>11
-1 < x < 1	x < -1 или x>1

Ответ:

После
окончания выполнения, попросить обменяться тетрадями с соседом.
Взаимопроверка по ключу. Собрать информацию о выполнении. Разобрать задания,
которые были сделаны с ошибками.

Неравенства, решение линейных неравенств, принцип решения неравенств

Неравенство это выражение с , ≤, или ≥. Например, 3x — 5 Решить неравенство означает найти все значения переменных, при которых это неравенство верно.
Каждое из этих чисел является решением неравенства, а множество всех таких решений является его множеством решений. Неравенства, которые имеют то же множество решений, называются эквивалентными неравенствами.

Линейные неравенства

Принципы решения неравенств аналогичны принципам решения уравнений.

Принципы решения неравенств
Для любых вещественных чисел a, b, и c:
Принцип прибавления неравенств: Если a
Принцип умножения для неравенств: Если a 0 верно, тогда ac
Если a bc также верно.
Подобные утверждения также применяются для a ≤ b.

Когда обе стороны неравенства умножаются на отрицательное число, необходимо полностью изменить знак неравенства.
Неравенства первого уровня, как в примере 1 (ниже), называются линейными неравенствами.

Пример 1 Решите каждое из следующих неравенств. Затем изобразите множество решений.
a) 3x — 5
b) 13 — 7x ≥ 10x — 4
Решение

3x — 5	Используя принцип прибавления для неравенств, прибавляем 2x
5x — 5	Используя принцип прибавления для неравенств, прибавляем 5
5x	Используя принцип умножения для неравенств, умножаем или делим на 5
x

Любое число, меньше чем 11/5, является решением.
Множество решений есть {x|x

Чтобы сделать проверку, мы можем нарисовать график y₁ = 3x — 5 и y₂ = 6 — 2x. Тогда отсюда видно, что для x 1 находится ниже графика y₂, или y₁2.

13 — 7x ≥ 10x — 4	вычитаем 10x
13 — 17x ≥ -4	вычитаем 13
-17x ≥ -17	Делим на 17 и меняем знак неравенства
x ≤ 1

Множеством решений есть {x|x ≤ 1}, или (-∞, 1]. График множества решений изображён ниже.

Двойные неравенства

Когда два неравенства соединены словом и, или, тогда формируется двойное неравенство.
Двойное неравенство, как
-3
и 2x + 5 ≤ 7
называется соединённым, потому что в нём использовано и. Запись -3
Двойные неравенства могут быть решены с использованием принципов прибавления и умножения неравенств.

Пример 2 Решите -3
Решение У нас есть

Множество решений есть {x| — 4

Двойное неравенство, как 2x — 5 ≤ -7 или называется разделённым, потому что оно содержит или. В отличие от некоторых соединённых неравенств, оно не может быть сокращено; поэтому, оно не может быть записано без или.

Пример 3 Решите 2x — 5 ≤ -7 или 2x — 5 > 1. Постройте график множества решений.
Решение У нас есть

-3	Вычитаем 5
-8	Делим на 2
-4

2x — 5 ≤ -7 или 2x — 5 > 1.	Прибавляем 5
2x ≤ -2 или 2x > 6	Делим на 2
x ≤ -1 или x > 3.

Множество решений {x|x ≤ -1 или x > 3}. Мы можем также написать решение с использованием обозначения интервала и символ для объединения или включения обоих множеств: (-∞ -1] (3, ∞). График множества решений изображен ниже.

Для проверки, нарисуем y₁ = 2x — 5, y₂ = -7, и y₃ = 1. Заметьте, что для {x|x ≤ -1 или x > 3}, y₁ ≤ y₂или y₁ > y₃.

Неравенства с абсолютным значением (модулем)

Неравенства иногда содержат модули. Следующие свойства используются для их решения.
Для а > 0 и алгебраического выражения x:
|x|
|x| > a эквивалентно x или x > a.
Подобные утверждения и для |x| ≤ a и |x| ≥ a.

Например,
|x|
|y| ≥ 1 эквивалентно y ≤ -1 или y ≥ 1;
и |2x + 3| ≤ 4 эквивалентно -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Пример 4 Решите каждое из следующих неравенств. Постройте график множества решений.
a) |3x + 2|
b) |5 — 2x| ≥ 1

Решение
a) |3x + 2|

-5Вычитаем 2 -7Делим на 3 -7/3

Множеством решением есть {x|-7/3

b) |5 — 2x| ≥ 1

\|5 — 2x\| ≤ -1 или 5 — 2x ≥ 1	Вычитаем 5
-2x ≤ -6 или -2x ≥ -4	Делим на -2 и меняем знак неравенства
x ≥ 3 или x ≤ 2

Множеством решением есть {x|x ≤ 2 или x ≥ 3}, или (-∞, 2] [3, ∞). График множества решений изображен ниже.

Использование неравенств

Пример 5 Планы выплат. За выполнение малярных работ, Эрику может быть выплачена заработная плата одним из двух способов:
План A: \$250 плюс \$10 в час;
План B: $20 в час.
Предположим, что работа занимает n часов. Для каких значений n план B лучше для Эрика?

Решение

1. Понимание задачи. Предположим, что работа отнимет 20 часов. Тогда n = 20, и согласно плану A, Эрик заработает \$250 + \$10,20, или \$250 + \$200, или \$450. Его заработок согласно плану B составит \$20,20, или \$400. Это показывает, что план A лучше для Эрика, если он будет работать 20 часов. Подобным образом, если он будет работать 30 часов, тогда n = 30, и согласно плану A, Эрик заработает \$250 + \$10,30, или
\$250 + \$300, или \$550. При плане B, он заработает \$20,30, или \$600, поэтому план B лучше в этом смысле.
Чтобы определить все значения n, для которых план B является лучшим для Эрика, составим и решим неравенство.

2. Составление неравенства. Запишем это в виде неравенства.
Доход от плана B больше, чем доход от плана A.

20n > 250 + 10n

3. Решим неравенство:

20n > 250 + 10n	Вычитаем 10n из двух сторон
10n > 250	Делим на 10 обе стороны
n > 25

4. Проверка. Для n = 25 выплаты согласно плану A составят: \$250 + \$10,25, или \$250 + \$250,
или \$500, и выплаты согласно плану B составят \$20,25, или \$500. То есть, для работы длительностью менее 25 часов,
доход одинаков для каждого плана. Согласно плану B выплаты больше для работы, которая занимает больше 30-и часов.
Так как 30 > 25, это обеспечивает частичную проверку результата, но мы не можем проверить все значения n.
5. Вывод . Для значений, n больше, чем 25 часов, план B является лучшим.

Неравенства с модулем

Решим несколько неравенств с модулем. Как правило, наличие модуля в неравенстве вызывает если не испуг, то напряжение (ну не любят обычно с модулем возиться), поэтому лишний раз потренируем решение такого вида неравенств.

Задача 1. Решите неравенство:

Приведем к общему знаменателю … знаменатель.

Теперь приводим к общему знаменателю первое и второе слагаемые:

При возведении модуля в квадрат можно снять модуль:

Теперь наша задача – снять модуль.

Тогда получим такую совокупность из систем:

Решаем по отдельности:

Рисунок 1.

Решением этой системы является интервал – ведь корень не попадает в интервал, на котором мы раскрыли модуль!

Раскрываем модуль с минусом:

Рисунок 2.

Корень и точка не попадают в интервал раскрытия модуля, поэтому решение этой системы – интервал .

Объединяем оба решения в ответ:

Задача 2. Решите неравенство:

Чтобы решить такое неравенство, надо определить точки, где подмодульное выражение будет менять знак. Для этого приравняем к нулю подмодульные выражения. Первое будет менять знак в точках и , второе – в точке :

Рисунок 3

Таким образом, получили 4 интервала, на рисунке указано, с какими знаками на каждом интервале будем раскрывать модуль.

На первом интервале оба модуля раскрываем с плюсом:

Так как дискриминант отрицателен, то, при положительном первом коэффициенте трехчлена, весь трехчлен имеет положительный знак. Поэтому неравенство решений на этом интервале не имеет.

Второй промежуток:

В этом случае дискриминант положителен, но корни, увы, не принадлежат рассматриваемому интервалу, оба меньше 0:

Третий промежуток:

Корни:

Снова корни не попали в промежуток!

Наконец, последний, четвертый:

Корни:

И снова корни не попали в нужный промежуток! Увы, решений у данного неравенства нет. Так и запишем:

Ответ: {}

неравенств, связанных с абсолютными ценностями | Решенные примеры | Алгебра

Неравенство абсолютного значения — это неравенство с символом абсолютного значения в нем.

Решается двумя способами.

Используя числовую строку
По формулам

Зная эти методы, вы сможете решать проблемы неравенства абсолютных значений с помощью калькулятора неравенств абсолютных значений или без него.

Посмотрите интерактивные симуляции, чтобы узнать больше об уроке, и попробуйте свои силы в решении нескольких интересных практических вопросов в конце страницы.

План урока

Что такое абсолютное неравенство?

Неравенство абсолютного значения — это неравенство, которое включает выражение абсолютного значения с переменными.

То есть неравенство по абсолютной величине может быть в одной из следующих форм (или) может быть преобразовано в одну из следующих форм:

\ (\ begin {align} | ax + b | & c \\ [0.

2см] | топор + b | & \ leq c \\ [0,2 см] | ax + b | & \ geq c \ end {align} \)

Таким образом, неравенства по абсолютной величине бывают двух типов:

один с \ (<\) или \ (\ leq \)
один с \ (> \) или \ (\ geq \)

Мы подробно рассмотрим каждый вид неравенства.

Как разрешить абсолютные неравенства?

Вот процедура решения любого типа неравенства по абсолютной величине с помощью числовой прямой.

Процедура показана пошагово вместе с примером.

Пример

Решите неравенство абсолютных значений \ (| x + 2 | <4 \)

Шаг 1: Примем неравенство в виде уравнения и решим его.

Преобразуйте знак неравенства «<» в нашем неравенстве в «=» и решите его.

\ [| x + 2 | = 4 \]

Убрав знак абсолютного значения с левой стороны, мы получим знак \ (\ pm \) с другой стороны.

\ [x + 2 = \ pm 4 \]

Это приводит к двум уравнениям, одно с «+», а другое с «-».

\ [\ begin {align} x + 2 & = 4 & x + 2 & = — 4 \\ [0,2 см] x & = 2 & x & = — 6 \ end {align} \]

Шаг 2: Изобразите решения из шага 1 в числовой строке по порядку.

Здесь мы видим, что числовая прямая разделена на 3 части.

Шаг 3: Возьмите случайное число из каждого из этих интервалов и подставьте его в данное неравенство.

Определите, какие из этих чисел действительно удовлетворяют заданному неравенству.

Интервал	Случайное число	Проверка данного неравенства случайным числом
\ ((- \ infty, -6) \)	-7	\ [\ begin {align} \| -7 + 2 \| <4 \\ [0. 2cm] 5 <4 \\ [0.2cm] \ text {This is False} \ end {align} \]
\ ((- 6, 2) \)	0	\ [\ begin {align} \| 0 + 2 \| <4 \\ [0.2 см] 2 <4 \\ [0,2 см] \ text {Это правда} \ end {align} \]
\ ((2, \ infty) \)	3	\ [\ begin {align} \| 3 + 2 \| <4 \\ [0,2 см] 5 <4 \\ [0,2 см] \ text {Это неверно} \ end {align} \]

Шаг 4: Решение данного неравенства — это интервалы, которые приводят к Истине в приведенной выше таблице

Следовательно, решение данного неравенства:

\ ((- 6,2) \) (или) \ (- 6

Эта процедура кратко описана на следующей блок-схеме.

Примечание:

Если бы проблема была \ (| x + 2 | \ leq 4 \), то решением было бы \ ([- 6, 2] \) (или) \ (- 6 \ leq x \ leq 2 \). т.е. \ [\ begin {array} {l} \ text {If} | x + 2 | <4 \ Rightarrow (-6, 2) \ text {OR} -6
Также \ (\ text {If} | x + 2 | \!> \! 4 \ Rightarrow (- \ infty, -6) \ cup (2, \ infty) \)
\ (\ text {(OR)} (- \ infty \ (\ text {If} | x + 2 | \ geq 4 \ Rightarrow ( — \ infty, -6] \ cup [2, \ infty) \)
\ (\ text {(OR)} (- \ infty

Тот же трюк объясняется в следующих «Важных примечаниях».«

Графическое отображение абсолютных неравенств

При построении графиков абсолютного неравенства мы должны помнить следующее.

Используйте открытые точки на концах открытых интервалов (т. Е. Таких интервалов, как \ ((a, b \)).
Используйте закрытые точки на концах закрытых интервалов (то есть интервалов типа \ ([a, b] \)).

Важные примечания

Если число написано в скобках, это означает, что число НЕ включено в решение.
Если перед числом написана квадратная скобка, это означает, что число включено в решение.
Мы всегда используем круглые скобки в \ (- \ inf \) или \ (\ inf \) независимо от данного неравенства.
Мы решили использовать квадратные скобки (или) круглые скобки для числа в зависимости от того, есть ли в данном неравенстве знак «=».

Общая формула абсолютных неравенств

До сих пор мы изучили процедуру решения неравенств абсолютных значений с помощью числовой прямой.

Эта процедура работает для любого типа неравенства.

Фактически, неравенства также можно решить с помощью формул.

Чтобы применить формулы, сначала нам нужно выделить выражение абсолютного значения в левой части неравенства.

Необходимо запомнить 4 случая решения неравенств с использованием формул.

Предположим, что \ (a \) — положительное действительное число во всех случаях.

Случай 1: когда неравенство имеет форму:

\ [| x |

В данном случае для решения неравенства воспользуемся следующими формулами:

\ (\ begin {array} {l}
\ text {If} | x | \ text {If} | x | \ leq a \ Rightarrow-a \ leq x \ leq a
\ end {array} \)

Случай 2: когда неравенство имеет форму:

\ [| x |> a \ text {или} | x | \ geq a \]

В данном случае для решения неравенства воспользуемся следующими формулами:

\ (\ begin {array} {l}
\ text {If} | x |> a \ Rightarrow x <-a \ text {или} x> a \\
\ text {If} | x | \ geq a \ Rightarrow x \ leq-a \ text {или} x \ geq a
\ end {array} \)

Случай 3: когда неравенство имеет форму:

\ [| x | <-a \ text {или} | x | \ leq-a \]

Мы знаем, что абсолютное значение всегда дает положительное значение.

Таким образом, \ (| x | \) всегда положительно.

Кроме того, \ (- a \) отрицательно (как мы предполагали, \ (a \) положительно).

Таким образом, два приведенных выше неравенства означают, что «положительное число меньше (или меньше или равно) отрицательного числа», что никогда не бывает верным.

Таким образом, все такие неравенства не имеют решения.

\ (\ begin {align} | x | <-a & \ text {or} | x | \ leq-a \\ [0,2 см] & \ Rightarrow \\ [0,2 см] \ text {Нет} & \ text {Решение} \ end {align} \)

Случай 4: когда неравенство имеет форму:

\ [| x | > -a \ text {или} | x | \ geq-a \]

Мы знаем, что абсолютное значение всегда дает положительное значение.

Таким образом, \ (| x | \) всегда положительно.

Кроме того, \ (- a \) отрицательно (как мы предполагали, \ (a \) положительно).

Таким образом, два вышеупомянутых неравенства означают, что «положительное число больше (или больше или равно) отрицательного числа», что всегда верно.

Таким образом, решением всех таких неравенств является множество всех действительных чисел \ (R \).

\ (\ begin {align} | x |> -a & \ text {или} | x | \ geq-a \\ [0,2 см] & \ Rightarrow \\ [0.2см] \ text {Набор всех} & \ text {Действительные числа, R} \ end {выровнены} \)

Все эти формулы неравенства абсолютных значений резюмированы на следующей блок-схеме.

Вы можете найти примеры неравенств по абсолютным значениям в разделе «Решенные примеры» на этой странице.

Советы и хитрости

После того, как мы получим неравенство вида \ (| x | \ text {знак неравенства} a \), если \ (a \) отрицательно, то нам не нужно решать его каким-либо методом.
Сразу же мы можем написать ответ, используя следующие приемы.

Если символ неравенства \ (<\) или \ (\ leq \), то неравенство «не имеет решения».
Если символ неравенства — \ (> \) или \ (\ geq \), то решением будет «набор всех действительных чисел, \ (R \)».

Калькулятор абсолютных неравенств

Вот «Калькулятор абсолютных неравенств».

Он позволяет найти решение любого неравенства по абсолютной величине и показывает решение в 3-х формах: форме неравенства, интервальной форме и графической форме.

Решенные примеры

Вот проблемы с абсолютным неравенством.

Марку предлагается решить следующее неравенство по абсолютным значениям и записать решение в трех формах.

Форма неравенства
Интервальная форма
Графическая форма

Можем ли мы помочь ему в поиске решения?

\ [| 2 x-1 | -9 \ geq-5 \]

Также покажите ему решение на числовой прямой.

Решение

Приведенное неравенство по абсолютной величине составляет:

\ [| 2 x-1 | -9 \ geq-5 \]

Во-первых, нам нужно выделить выражение абсолютного значения.

Для этого добавим 9 с обеих сторон. Тогда получаем:

\ [| 2 х-1 | \ geq 4 \]

Используя полученные формулы:

\ [\ begin {align}
& 2 x-1 \ leq-4 \ text {(или)} 2 x-1 \ geq 4 \\ [0,2 см]
& \ text {Добавляем по 1 с обеих сторон} \\ [0,2 см]
& 2 x \ leq-3 \ text {(или)} 2 x \ geq 5 \\ [0.2см]
& \ text {Разделение обеих сторон на} 2, \\ [0,2 см]
& x \ leq- \ frac {3} {2} \ text {(или)} x \ geq \ frac {5} {2}
\ end {align} \]

Следовательно, решение:

\ (x \ leq- \ frac {3} {2} \ text {(или)} x \ geq, \ frac {5} {2} \)
(ИЛИ)
\ (\ left (- \ infty, — \ frac {3} {2} \ right) \ cup \ left (\ frac {5} {2}, \ infty \ right) \)

Изобразим решение на графике.