Неравенства с модулем формулы: Решение неравенств с модулем

Содержание

Неравенства с модулем и их решение

Определение и формулы неравенств с модулем

ОПРЕДЕЛЕНИЕ


Модуль числа a равен числу a, если число положительное и -a, если оно отрицательное.

Можно записать следующим образом, что

   

Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа.

Если под модулем находится функция , то

1. Неравенство вида равносильно системе неравенств , при условии ; при — решений нет.

2. Неравенство вида равносильно совокупности неравенств , при условии, что . Если , то неравенство справедливо при всех допустимых значениях .

3. Неравенство равносильно двойному неравенству .

4. Неравенство равносильно совокупности неравенств

5. Неравенство вида выполняется тогда и только тогда, когда

   

Примеры решения неравенств с модулем

ПРИМЕР 2




Задание Решить неравенство
Решение Нулями подмодульных выражений являются значения и , которые разбивают числовую ось на три интервала.

  1. Если , то заданное неравенство принимает вид:

       

    В этом случае решений нет, так как получили неверное неравенство, то есть .

  2. Если , то

    Пересечением интервала, на котором рассматривается заданное неравенство, и полученного будет промежуток .

  3. Если , то

Поскольку в результате преобразований получили верное неравенство, то решением будет любое действительное значение переменной: . Пересекаем с промежутком, на котором рассматриваем, и в результате получаем, что .

Объединяя полученные интервалы в случаях 1-3, запишем решение заданного неравенства:

   

Ответ



Понравился сайт? Расскажи друзьям!



§5 Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля















1.

Уравнение с модулем вида |x|=a

2 вид — интерпретация

лёгкое

1 Б.

Нахождение произведения корней уравнения с модулем вида |x|=a.

2.

Неравенство с модулем вида |f(x)|< a

2 вид — интерпретация

лёгкое

1 Б.

Решение простого неравенства с модулем вида |f(x)|< a.

3.

Неравенство с модулем вида |f(x)|<0

2 вид — интерпретация

лёгкое

1 Б.

Решение (обоснование) неравенства с модулем вида |f(x)|<0.

4.

Неравенство с модулем вида |f(x)|≤0

2 вид — интерпретация

лёгкое

1 Б.

Решение (обоснование) неравенства с модулем вида |f(x)|≤0.

5.

Уравнение с модулем, подобные модули

2 вид — интерпретация

среднее

3 Б.

Решение уравнения с модулем, приведение подобных модулей.

6.

Неравенство с модулем (квадратное неравенство)

2 вид — интерпретация

среднее

3 Б.

Решение неравенства с модулем (квадратного неравенства).

7.

Вопросы по равенству с модулем

1 вид — рецептивный

среднее

1 Б.

Теоретические вопросы по равенству с модулем, используется определение модуля.

8.

Уравнение с модулем вида |f(x)|=a

2 вид — интерпретация

среднее

2 Б.

Решение уравнения с модулем вида |f(x)|=a.

9.

Уравнение с модулем вида |f(x)|=|g(x)|

2 вид — интерпретация

среднее

3 Б.

Решение уравнения с модулем вида |f(x)|=|g(x)|.

10.

Уравнение с двумя модулями

2 вид — интерпретация

сложное

3 Б.

Решение уравнения с двумя модулями.

11.

Неравенство с модулем вида |f(x)|≥g(x)

2 вид — интерпретация

сложное

5 Б.

Решение (обоснование) неравенства с модулем вида |f(x)|≥g(x), использование формулы квадрата суммы или разности.

12.

Неравенство с модулем вида |f(x)|>a (дробное)

2 вид — интерпретация

сложное

6 Б.

Решение неравенства с модулем вида |f(x)|>a (дробного неравенства).

13.

Квадратное уравнение с модулем

2 вид — интерпретация

сложное

3 Б.

Решение квадратного уравнения с модулем.

§ Как решать квадратные неравенства. Метод интервалов

Требуется решить квадратное неравенство.

x2 + x − 12

Итак, согласно п.1 мы должны перенести
все члены неравенства в левую часть, так чтобы в правой остался только ноль.
В заданном неравенстве
«x2 + x − 12 » ничего дополнительно делать не требуется,
так как в правой части и так уже стоит ноль.

Переходим к п.2. Необходимо сделать так, чтобы перед «x2»
стоял положительный коэффициент. В неравенстве
«x2 + x − 12 »
при «x2» стоит положительный коэффициент «1»,
значит, снова нам ничего делать не требуется.

Согласно п.3 приравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное квадратное уравнение.

x2 + x − 12 = 0

x1;2 =

−1 ±
√12 − 4 · 1 · (−12)
2 · 1

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 =

x1 =

x2 =

x1 =

x2 =

x1 = −4

x2 = 3

Теперь по п. 4 отметим полученные корни на числовой оси в порядке возрастания.

Помните, что, исходя их того, какое перед нами неравенство (строгое или нестрогое) мы отмечаем точки на числовой оси

разным образом.

Теперь, как сказано в п.5, нарисуем «арки» над интервалами между отмеченными точками.

Проставим знаки внутри интервалов.
Справа налево чередуя, начиная с «+», отметим знаки.

Нам осталось только выполнить пункт 6, то есть выбрать нужные интервалы и записать их в ответ.
Вернемся к нашему неравенству.

Так как в нашем неравенстве
«x2 + x − 12 »,
значит, нам требуются отрицательные интервалы.
Заштрихуем все отрицательные области на числовой оси и выпишем их в ответ.

Отрицательным интервалом оказался лишь один, который находится между числами
«−4» и «3», поэтому
запишем его в ответ в виде двойного неравенства
−4 .

Запишем полученный ответ квадратного неравенства.

Ответ: −4

Именно из-за того, что при решении квадратного неравенства мы рассматриваем интервалы между числами,
метод интервалов и получил свое название.

После получения ответа имеет смысл сделать его проверку, чтобы убедиться в правильности решения.

Выберем любое число, которое находится в заштрихованной области полученного ответа −4
и подставим его вместо «x» в исходное неравенство.
Если мы получим верное неравенство,
значит мы нашли ответ квадратного неравенства верно.

Возьмем, например, из интервала число «0». Подставим его в исходное неравенство
«x2 + x − 12 ».

x2 + x − 12

02 + 0 − 12

−12 (верно)

Мы получили верное неравенство при подстановке числа из области решений, значит ответ найден правильно.

Краткая запись решения методом интервалов

Сокращенно запись решения квадратного неравенства
«x2 + x − 12 »
методом интервалов будет выглядеть так:

x2 + x − 12

x2 + x − 12 = 0

x1;2 =

−1 ±
√12 − 4 · 1 · (−12)
2 · 1

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 =

x1 =

x2 =

x1 =

x2 =

x1 = −4

x2 = 3

Ответ: −4

Другие примеры решения квадратных неравенств

Рассмотрим решение других примеров квадратных неравенств. Требуется решить квадратное неравенство:

2x2 − x ≥ 0

В правой части неравенство уже стоит ноль. При «x2»
стоит «2» (положительный коэффициент), значит можно сразу переходить
к поиску корней.

2x2 − x ≥ 0

2x2 − x = 0

x1;2 =

−(−1) ±
√(−12) − 4 · 2 · 0
2 · 2

x1;2 =

x1;2 =

x1 =

x2 =

x1 =

x2 =

x1 =

x2 = 0

Ответ: x ≤ 0;    x ≥


Рассмотрим пример, где перед «x2» в квадратном неравенстве стоит
отрицательный коэффициент.

−x2 − 3x + 4 ≥ 0

По п.2 общих правил решения методом интервалов нам нужно сделать так, чтобы
перед «x2» стоял положительный
коэффициент. Для этого умножим все неравенство на «−1».

            −x2 − 3x + 4 ≥ 0 | ·(−1)
x2 + 3x − 4 ≤ 0

Можно переходить к п.4 и п.5. Приравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное квадратное уравнение.
Затем расположим полученные корни на числовой оси и проведем между ними «арки».

x2 + 3x − 4 ≤ 0

x2 + 3x − 4 = 0

x1;2 =

−3 ±
√32 − 4 · 1 · (−4)
2 · 1

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 =

x1 =

x2 =

x1 =

x2 =

x1 = 4

x2 = −1

Важно!

При определении того какие интервалы нам нужно брать в ответ, исходить нужно из самого последнего изменения неравенства
перед нахождением его корней.

В нашем случае самая последняя версия неравенства перед поиском корней уравнения это
«x2 + 3x − 4 ≤ 0».

Значит для ответа нужно выбирать интервалы со знаком «−».

Ответ: −1 ≤ x ≤ 4


К сожалению, при решении квадратного неравенства не всегда получаются два корня и все идет по общему плану выше.
Возможны случаи, когда получается один корень или даже ни одного корня.

Как решить квадратные неравенства в таких случаях, мы разберем в следующем уроке
«Квадратные неравенства
с одним корнем или без корней».


Геометрический способ решения уравнений и неравенств с модулем, 9-й класс

Цель: рассмотреть геометрическое определение модуля. Уметь применять его для решения
уравнений и неравенств с модулем, развивать умение исследовать уравнения с параметрами.

Ход урока

1. Организационная
часть
(Цель занятия)

2. Актуализация
знаний

  • Алгебраическое определение модуля

    |a| =

  • Вычислите модули чисел: 3, -8, 10, 0.
  • Решите уравнения
  • Решите неравенства
  • Запишите к каждому чертежу соответствующее
    уравнение или неравенство

3. Изучение
нового материала

  • Найдите расстояние между двумя точками координатной прямой


    А) А(-1) и В(3)

    Б) Р(0,0001) и Q(132)

    В) М(-2) и N(-87)

  • Формула расстояния между двумя точками координатной прямой
    с координатами х и а:
    ρ(x,a) = |x — a|

    Геометрическое истолкование выражения |x-a|- это расстояние между двумя точками
    координатной прямой.

  • Отметить на координатной прямой точки, для которых


    |x| = 1     
    |x| ≥ 3     
    |x| > 2     
    1 < |x| < 4     
    |x| = 0     
    |x| = -1

  • Каков смысл выражений?

    Изобразите множества,
    задаваемые этими предложениями на координатной прямой. Иными словами переведем
    аналитические модели на геометрический язык.

  • Решим неравенство |х-2| <3

    Переведем аналитическую модель на
    геометрический язык: нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые
    удовлетворяют условию ρ (х,2) < 3. Другими словами удалены от точки с
    координатой 2 на расстояние меньше 3.

    Это все точки, принадлежащие интервалу (-1;5)

    Ответ: (-1;5)

  • Как решить уравнение?


    |х-5|+|х+1|=8

    Выражение |х-5| можно
    истолковать, как расстояние между точками с координатами х и 5.

    Выражение |х+1| можно
    истолковать, как расстояние между точками с координатами х и -1.

    Тогда уравнение означает, что нужно найти такую точку Х(х), сумма расстояний
    от которой до точек с
    координатами 5 и -1 равна 8.

    Расстояние между точками с координатами 5 и -1 равно 6 < 8, следовательно,
    точка с координатой х находиться вне отрезка [-1;5] и таких точек две.

    Ответ: х=-2, х=6

    Что произойдет,
    если вместо 8 взять число 1, 6, 100,…? Сколько будет тогда корней уравнения?

    При равенстве суммы модулей 1 – нет решений, так как 1

    При равенстве суммы модулей 6 – множество решений, так как
    все точки отрезка [-2;6] удовлетворяют условию уравнения.

    При равенстве суммы модулей 100, или любому числу больше 6, уравнение имеет два решения.

    Вывод:

    1. Если сумма модулей больше расстояния между двумя
      точками, то уравнение имеет два решения.
    2. Если сумма модулей равна расстоянию между двумя
      точками, то уравнение имеет множество решений, которых принадлежат отрезку
      между точками.
    3. Если расстояние между двумя точками меньше
      суммы модулей,
      то решений нет.

4. Закрепление
полученных знаний

  • Решите неравенство: |х-5|

    Ответ: (3;7)
  • Решите неравенство: |х+3| ≥ 4

    Ответ: x ≤ -7, x ≥ 1
  • Решите уравнение: |х-1| +|х+2|=5

    Ответ: x=2, x=-3

  • Изобразите на координатной плоскости решения
    неравенств:

    1. |х-1|+|х+2|=5

    2. | х-1|+|х+2|<5


  • Самостоятельно исследуйте, сколько решений может иметь уравнение в зависимости от значений а:
    |х+3| +|х-1|=

     Ответ:

    а) Если, а=4, то уравнение имеет множество решений –
    отрезок [-3;1]
    б) Если а>4, то уравнение имеет 2 корня

    в) Если а

5. Домашнее задание

1. Исследовать уравнение: |х+3| -|х-1|=а

2. Решить № 13, № 16 (а,б)

6. Итог занятия:

  • Геометрический смысл модуля
  • Как применить геометрический смысл модуля для
    решения неравенств
  • Как применить геометрический смысл модуля для
    решения уравнений

Литература

1. Мордкович А.Г. Алгебра ,9 класс, в двух частях,6
издание, Москва, Мнеиозина,2004

2. «Метод
координат», учебное пособие для учащихся, ОЛ ВЗМШ, Москва ,2002

18.

Решение линейных неравенств с модулем Краткосрочный план

Актуализация опорных знаний. Устный опрос.

1. Что является решением неравенства

2. Что является решением неравенства

3. В каком случае неравенство с модулем
имеет бесконечное множество решений?

4. Приведите примеры неравенства, не
имеющие решений.

Предложите учащимся письменно решить несколько
неравенств с модулем, постепенно усложняя задание.

Приложение 1

Задание
1.
Имеет ли решение неравенство:

а)                   б)                  

в)

г)                д)            

е) ?

Задание 2. Запишите в виде двойного неравенства неравенство
с модулем:

а) ;               б)                          в)

Задание 3. Запишите в виде неравенства с модулем двойное
неравенство:

а)           б)                    в)

Решить неравенство, изобразить геометрически
решение, записать в виде числового промежутка:

Задание 4. а)                   б)

-45 < 15x < 45

15x < -45 или
15x>45

 -3 < x < 3

x < -3 или x>3

            

Ответ:
                   

 Ответ:

Задание
5. а)
                 б)  

— 84 < — 28x < 84

28x < -84 или
28x>84

— 3< x < 3

x < -3 или  x>3

           

Ответ:
                  

Ответ:

Задание 6. а)                         б) 

-11
< 11x
< 11

11x
< -11 
или  11x>11

 -1
< x
< 1

 x
< -1 
или  x>1

             

Ответ:
                    

Ответ:

После
окончания выполнения, попросить обменяться тетрадями с соседом.
Взаимопроверка по ключу. Собрать информацию о выполнении. Разобрать задания,
которые были сделаны с ошибками.

Неравенства, решение линейных неравенств, принцип решения неравенств

Неравенство это выражение с , ≤, или ≥. Например, 3x — 5 Решить неравенство означает найти все значения переменных, при которых это неравенство верно.
Каждое из этих чисел является решением неравенства, а множество всех таких решений является его множеством решений. Неравенства, которые имеют то же множество решений, называются эквивалентными неравенствами.

Линейные неравенства

Принципы решения неравенств аналогичны принципам решения уравнений.

Принципы решения неравенств
Для любых вещественных чисел a, b, и c:
Принцип прибавления неравенств: Если a
Принцип умножения для неравенств: Если a 0 верно, тогда ac
Если a bc также верно.
Подобные утверждения также применяются для a ≤ b.

Когда обе стороны неравенства умножаются на отрицательное число, необходимо полностью изменить знак неравенства.
Неравенства первого уровня, как в примере 1 (ниже), называются линейными неравенствами.

Пример 1 Решите каждое из следующих неравенств. Затем изобразите множество решений.
a) 3x — 5
b) 13 — 7x ≥ 10x — 4
Решение

3x — 5 Используя принцип прибавления для неравенств, прибавляем 2x
5x — 5 Используя принцип прибавления для неравенств, прибавляем 5
5x Используя принцип умножения для неравенств, умножаем или делим на 5
x

Любое число, меньше чем 11/5, является решением.
Множество решений есть {x|x

Чтобы сделать проверку, мы можем нарисовать график y1 = 3x — 5 и y2 = 6 — 2x. Тогда отсюда видно, что для x 1 находится ниже графика y2, или y12.

13 — 7x ≥ 10x — 4 вычитаем 10x
13 — 17x ≥ -4 вычитаем 13
-17x ≥ -17 Делим на 17 и меняем знак неравенства
x ≤ 1

Множеством решений есть {x|x ≤ 1}, или (-∞, 1]. График множества решений изображён ниже.

Двойные неравенства

Когда два неравенства соединены словом и, или, тогда формируется двойное неравенство.
Двойное неравенство, как
-3
и 2x + 5 ≤ 7
называется соединённым, потому что в нём использовано и. Запись -3
Двойные неравенства могут быть решены с использованием принципов прибавления и умножения неравенств.

Пример 2 Решите -3
Решение У нас есть

Множество решений есть {x| — 4

Двойное неравенство, как 2x — 5 ≤ -7 или называется разделённым, потому что оно содержит или. В отличие от некоторых соединённых неравенств, оно не может быть сокращено; поэтому, оно не может быть записано без или.

Пример 3 Решите 2x — 5 ≤ -7 или 2x — 5 > 1. Постройте график множества решений.
Решение У нас есть

-3 Вычитаем 5
-8 Делим на 2
-4
2x — 5 ≤ -7 или 2x — 5 > 1. Прибавляем 5
2x ≤ -2 или 2x > 6 Делим на 2
x ≤ -1 или x > 3.

Множество решений {x|x ≤ -1 или x > 3}. Мы можем также написать решение с использованием обозначения интервала и символ для объединения или включения обоих множеств: (-∞ -1] (3, ∞). График множества решений изображен ниже.

Для проверки, нарисуем y1 = 2x — 5, y2 = -7, и y3 = 1. Заметьте, что для {x|x ≤ -1 или x > 3}, y1 ≤ y2или y1 > y3.

Неравенства с абсолютным значением (модулем)

Неравенства иногда содержат модули. Следующие свойства используются для их решения.
Для а > 0 и алгебраического выражения x:
|x|
|x| > a эквивалентно x или x > a.
Подобные утверждения и для |x| ≤ a и |x| ≥ a.

Например,
|x|
|y| ≥ 1 эквивалентно y ≤ -1 или y ≥ 1;
и |2x + 3| ≤ 4 эквивалентно -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Пример 4 Решите каждое из следующих неравенств. Постройте график множества решений.
a) |3x + 2|
b) |5 — 2x| ≥ 1

Решение
a) |3x + 2|

-5 Вычитаем 2 -7 Делим на 3 -7/3

Множеством решением есть {x|-7/3

b) |5 — 2x| ≥ 1

|5 — 2x| ≤ -1 или 5 — 2x ≥ 1 Вычитаем 5
-2x ≤ -6 или -2x ≥ -4 Делим на -2 и меняем знак неравенства
x ≥ 3 или x ≤ 2

Множеством решением есть {x|x ≤ 2 или x ≥ 3}, или (-∞, 2] [3, ∞). График множества решений изображен ниже.

Использование неравенств

Пример 5 Планы выплат. За выполнение малярных работ, Эрику может быть выплачена заработная плата одним из двух способов:
План A: \$250 плюс \$10 в час;
План B: $20 в час.
Предположим, что работа занимает n часов. Для каких значений n план B лучше для Эрика?

Решение

1. Понимание задачи. Предположим, что работа отнимет 20 часов. Тогда n = 20, и согласно плану A, Эрик заработает \$250 + \$10,20, или \$250 + \$200, или \$450. Его заработок согласно плану B составит \$20,20, или \$400. Это показывает, что план A лучше для Эрика, если он будет работать 20 часов. Подобным образом, если он будет работать 30 часов, тогда n = 30, и согласно плану A, Эрик заработает \$250 + \$10,30, или
\$250 + \$300, или \$550. При плане B, он заработает \$20,30, или \$600, поэтому план B лучше в этом смысле.
Чтобы определить все значения n, для которых план B является лучшим для Эрика, составим и решим неравенство.

2. Составление неравенства. Запишем это в виде неравенства.
Доход от плана B больше, чем доход от плана A.

20n > 250 + 10n

3. Решим неравенство:

20n > 250 + 10n Вычитаем 10n из двух сторон
10n > 250 Делим на 10 обе стороны
n > 25

4. Проверка. Для n = 25 выплаты согласно плану A составят: \$250 + \$10,25, или \$250 + \$250,
или \$500, и выплаты согласно плану B составят \$20,25, или \$500. То есть, для работы длительностью менее 25 часов,
доход одинаков для каждого плана. Согласно плану B выплаты больше для работы, которая занимает больше 30-и часов.
Так как 30 > 25, это обеспечивает частичную проверку результата, но мы не можем проверить все значения n.
5. Вывод . Для значений, n больше, чем 25 часов, план B является лучшим.

Неравенства с модулем

Решим несколько неравенств с модулем. Как правило, наличие модуля в неравенстве вызывает если не испуг, то напряжение (ну не любят обычно с модулем возиться), поэтому лишний раз потренируем решение такого вида неравенств.

Задача 1. Решите неравенство:

   

Приведем к общему знаменателю … знаменатель.

   

   

Теперь приводим к общему знаменателю первое и второе слагаемые:

   

При возведении модуля в квадрат можно снять модуль:

   

Теперь наша задача – снять модуль.

Тогда получим такую совокупность из систем:

   

Решаем по отдельности:

   

   

   

   

Рисунок 1.

 

Решением этой системы является интервал – ведь корень не попадает в интервал, на котором мы раскрыли модуль!

Раскрываем модуль с минусом:

   

   

   

   

Рисунок 2.

Корень и точка не попадают в интервал раскрытия модуля, поэтому решение этой системы  – интервал .

Объединяем оба решения в ответ:

Задача 2. Решите неравенство:

   

Чтобы решить такое неравенство, надо определить точки, где подмодульное выражение будет менять знак. Для этого приравняем к нулю подмодульные выражения. Первое будет менять знак в точках и , второе – в точке :

Рисунок 3

Таким образом, получили 4 интервала, на рисунке указано, с какими знаками на каждом интервале будем раскрывать модуль.

На первом интервале оба модуля раскрываем с плюсом:

   

   

Так как дискриминант отрицателен, то, при положительном первом коэффициенте трехчлена, весь трехчлен имеет положительный знак. Поэтому неравенство решений на этом интервале не имеет.

Второй промежуток:

   

   

В этом случае дискриминант положителен, но корни, увы, не принадлежат рассматриваемому интервалу, оба меньше 0:

   

Третий промежуток:

   

   

Корни:

   

Снова корни не попали в промежуток!

Наконец, последний, четвертый:

   

   

Корни:

   

   

   

И снова корни не попали в нужный промежуток! Увы, решений у данного неравенства нет. Так и запишем:

Ответ: {}

неравенств, связанных с абсолютными ценностями | Решенные примеры | Алгебра

Неравенство абсолютного значения — это неравенство с символом абсолютного значения в нем.

Решается двумя способами.

  1. Используя числовую строку
  2. По формулам

Зная эти методы, вы сможете решать проблемы неравенства абсолютных значений с помощью калькулятора неравенств абсолютных значений или без него.

Посмотрите интерактивные симуляции, чтобы узнать больше об уроке, и попробуйте свои силы в решении нескольких интересных практических вопросов в конце страницы.

План урока

Что такое абсолютное неравенство?

Неравенство абсолютного значения — это неравенство, которое включает выражение абсолютного значения с переменными.

То есть неравенство по абсолютной величине может быть в одной из следующих форм (или) может быть преобразовано в одну из следующих форм:

\ (\ begin {align} | ax + b | & c \\ [0. 2см] | топор + b | & \ leq c \\ [0,2 см] | ax + b | & \ geq c \ end {align} \)

Таким образом, неравенства по абсолютной величине бывают двух типов:

  • один с \ (<\) или \ (\ leq \)
  • один с \ (> \) или \ (\ geq \)

Мы подробно рассмотрим каждый вид неравенства.


Как разрешить абсолютные неравенства?

Вот процедура решения любого типа неравенства по абсолютной величине с помощью числовой прямой.

Процедура показана пошагово вместе с примером.

Пример

Решите неравенство абсолютных значений \ (| x + 2 | <4 \)

Шаг 1: Примем неравенство в виде уравнения и решим его.

Преобразуйте знак неравенства «<» в нашем неравенстве в «=» и решите его.

\ [| x + 2 | = 4 \]

Убрав знак абсолютного значения с левой стороны, мы получим знак \ (\ pm \) с другой стороны.

\ [x + 2 = \ pm 4 \]

Это приводит к двум уравнениям, одно с «+», а другое с «-».

\ [\ begin {align} x + 2 & = 4 & x + 2 & = — 4 \\ [0,2 см] x & = 2 & x & = — 6 \ end {align} \]

Шаг 2: Изобразите решения из шага 1 в числовой строке по порядку.

Здесь мы видим, что числовая прямая разделена на 3 части.

Шаг 3: Возьмите случайное число из каждого из этих интервалов и подставьте его в данное неравенство.

Определите, какие из этих чисел действительно удовлетворяют заданному неравенству.

Интервал

Случайное число Проверка данного неравенства случайным числом
\ ((- \ infty, -6) \) -7 \ [\ begin {align} | -7 + 2 | <4 \\ [0. 2cm] 5 <4 \\ [0.2cm] \ text {This is False} \ end {align} \]
\ ((- 6, 2) \) 0 \ [\ begin {align} | 0 + 2 | <4 \\ [0.2 см] 2 <4 \\ [0,2 см] \ text {Это правда} \ end {align} \]
\ ((2, \ infty) \) 3 \ [\ begin {align} | 3 + 2 | <4 \\ [0,2 см] 5 <4 \\ [0,2 см] \ text {Это неверно} \ end {align} \]

Шаг 4: Решение данного неравенства — это интервалы, которые приводят к Истине в приведенной выше таблице

Следовательно, решение данного неравенства:

\ ((- 6,2) \) (или) \ (- 6

Эта процедура кратко описана на следующей блок-схеме.

Примечание:

  1. Если бы проблема была \ (| x + 2 | \ leq 4 \), то решением было бы \ ([- 6, 2] \) (или) \ (- 6 \ leq x \ leq 2 \). т.е. \ [\ begin {array} {l} \ text {If} | x + 2 | <4 \ Rightarrow (-6, 2) \ text {OR} -6
  2. Также \ (\ text {If} | x + 2 | \!> \! 4 \ Rightarrow (- \ infty, -6) \ cup (2, \ infty) \)
    \ (\ text {(OR)} (- \ infty \ (\ text {If} | x + 2 | \ geq 4 \ Rightarrow ( — \ infty, -6] \ cup [2, \ infty) \)
    \ (\ text {(OR)} (- \ infty

Тот же трюк объясняется в следующих «Важных примечаниях».«


Графическое отображение абсолютных неравенств

При построении графиков абсолютного неравенства мы должны помнить следующее.

  • Используйте открытые точки на концах открытых интервалов (т. Е. Таких интервалов, как \ ((a, b \)).
  • Используйте закрытые точки на концах закрытых интервалов (то есть интервалов типа \ ([a, b] \)).

Важные примечания

  1. Если число написано в скобках, это означает, что число НЕ включено в решение.
  2. Если перед числом написана квадратная скобка, это означает, что число включено в решение.
  3. Мы всегда используем круглые скобки в \ (- \ inf \) или \ (\ inf \) независимо от данного неравенства.
  4. Мы решили использовать квадратные скобки (или) круглые скобки для числа в зависимости от того, есть ли в данном неравенстве знак «=».

Общая формула абсолютных неравенств

До сих пор мы изучили процедуру решения неравенств абсолютных значений с помощью числовой прямой.

Эта процедура работает для любого типа неравенства.

Фактически, неравенства также можно решить с помощью формул.

Чтобы применить формулы, сначала нам нужно выделить выражение абсолютного значения в левой части неравенства.

Необходимо запомнить 4 случая решения неравенств с использованием формул.

Предположим, что \ (a \) — положительное действительное число во всех случаях.

Случай 1: когда неравенство имеет форму:

\ [| x |

В данном случае для решения неравенства воспользуемся следующими формулами:

\ (\ begin {array} {l}
\ text {If} | x | \ text {If} | x | \ leq a \ Rightarrow-a \ leq x \ leq a
\ end {array} \)

Случай 2: когда неравенство имеет форму:

\ [| x |> a \ text {или} | x | \ geq a \]

В данном случае для решения неравенства воспользуемся следующими формулами:

\ (\ begin {array} {l}
\ text {If} | x |> a \ Rightarrow x <-a \ text {или} x> a \\
\ text {If} | x | \ geq a \ Rightarrow x \ leq-a \ text {или} x \ geq a
\ end {array} \)

Случай 3: когда неравенство имеет форму:

\ [| x | <-a \ text {или} | x | \ leq-a \]

Мы знаем, что абсолютное значение всегда дает положительное значение.

Таким образом, \ (| x | \) всегда положительно.

Кроме того, \ (- a \) отрицательно (как мы предполагали, \ (a \) положительно).

Таким образом, два приведенных выше неравенства означают, что «положительное число меньше (или меньше или равно) отрицательного числа», что никогда не бывает верным.

Таким образом, все такие неравенства не имеют решения.

\ (\ begin {align} | x | <-a & \ text {or} | x | \ leq-a \\ [0,2 см] & \ Rightarrow \\ [0,2 см] \ text {Нет} & \ text {Решение} \ end {align} \)

Случай 4: когда неравенство имеет форму:

\ [| x | > -a \ text {или} | x | \ geq-a \]

Мы знаем, что абсолютное значение всегда дает положительное значение.

Таким образом, \ (| x | \) всегда положительно.

Кроме того, \ (- a \) отрицательно (как мы предполагали, \ (a \) положительно).

Таким образом, два вышеупомянутых неравенства означают, что «положительное число больше (или больше или равно) отрицательного числа», что всегда верно.

Таким образом, решением всех таких неравенств является множество всех действительных чисел \ (R \).

\ (\ begin {align} | x |> -a & \ text {или} | x | \ geq-a \\ [0,2 см] & \ Rightarrow \\ [0.2см] \ text {Набор всех} & \ text {Действительные числа, R} \ end {выровнены} \)

Все эти формулы неравенства абсолютных значений резюмированы на следующей блок-схеме.

Вы можете найти примеры неравенств по абсолютным значениям в разделе «Решенные примеры» на этой странице.

Советы и хитрости

После того, как мы получим неравенство вида \ (| x | \ text {знак неравенства} a \), если \ (a \) отрицательно, то нам не нужно решать его каким-либо методом.
Сразу же мы можем написать ответ, используя следующие приемы.

  1. Если символ неравенства \ (<\) или \ (\ leq \), то неравенство «не имеет решения».
  2. Если символ неравенства — \ (> \) или \ (\ geq \), то решением будет «набор всех действительных чисел, \ (R \)».

Калькулятор абсолютных неравенств

Вот «Калькулятор абсолютных неравенств».

Он позволяет найти решение любого неравенства по абсолютной величине и показывает решение в 3-х формах: форме неравенства, интервальной форме и графической форме.


Решенные примеры

Вот проблемы с абсолютным неравенством.

Марку предлагается решить следующее неравенство по абсолютным значениям и записать решение в трех формах.

  1. Форма неравенства
  2. Интервальная форма
  3. Графическая форма

Можем ли мы помочь ему в поиске решения?

\ [| 2 x-1 | -9 \ geq-5 \]

Также покажите ему решение на числовой прямой.

Решение

Приведенное неравенство по абсолютной величине составляет:

\ [| 2 x-1 | -9 \ geq-5 \]

Во-первых, нам нужно выделить выражение абсолютного значения.

Для этого добавим 9 с обеих сторон. Тогда получаем:

\ [| 2 х-1 | \ geq 4 \]

Используя полученные формулы:

\ [\ begin {align}
& 2 x-1 \ leq-4 \ text {(или)} 2 x-1 \ geq 4 \\ [0,2 см]
& \ text {Добавляем по 1 с обеих сторон} \\ [0,2 см]
& 2 x \ leq-3 \ text {(или)} 2 x \ geq 5 \\ [0.2см]
& \ text {Разделение обеих сторон на} 2, \\ [0,2 см]
& x \ leq- \ frac {3} {2} \ text {(или)} x \ geq \ frac {5} {2}
\ end {align} \]

Следовательно, решение:

\ (x \ leq- \ frac {3} {2} \ text {(или)} x \ geq, \ frac {5} {2} \)
(ИЛИ)
\ (\ left (- \ infty, — \ frac {3} {2} \ right) \ cup \ left (\ frac {5} {2}, \ infty \ right) \)

Изобразим решение на графике.

Плотник мастерит стол ручной работы. Чтобы ножка подходила, она должна быть шириной 250 миллиметров с допуском погрешности в 3,5 миллиметра.

Напишите неравенство абсолютных значений, моделирующее эту взаимосвязь, а затем найдите диапазон ширины ножек стола.

Решение

Предположим, что ширина ножки стола равна \ (x \).

Тогда неравенство по модулю, соответствующее данному сценарию, равно

\ [| x-250 | \ leq 3.5 \]

Используя полученные формулы:

\ [\ begin {align} & -3.5 \ leq x-250 \ leq 3.5 \\ [0.2cm] & \ text {Добавляем 250 со всех сторон,} \\ [0.2cm] & 246.5 \ leq x \ leq 253.5 \ end {align} \]

Диапазон ширины ножки стола:

\ ([246,5,253,5] \) (в мм)

Прежде чем кусок стали можно будет продать по максимальной цене, он должен быть 50 футов в длину с абсолютной погрешностью 2 фута.

Найдите диапазон допустимых высот для кусков стали, которые должны быть проданы по полной цене, выписав неравенство абсолютных значений, чтобы представить эту ситуацию, а затем решив ее.

Решение

Предположим, что высота стального куска составляет \ (x \) футов.

Тогда неравенство по модулю, соответствующее данному сценарию, равно

\ [| x-50 | \ leq 2 \]

Используя полученные формулы:

\ [\ begin {align} & -2 \ leq x-50 \ leq 2 \\ [0.2 см] & \ text {Добавляем 50 со всех сторон,} \\ [0,2 см] & 48 \ leq x \ leq 52 \ end {align} \]

Диапазон допустимых высот сталей:


Практические задачи

Вот несколько занятий для вас. Выберите / введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.


Подведем итоги

Мы надеемся, что вам понравилось узнать об абсолютном неравенстве с помощью моделирования и практических вопросов. Теперь вы сможете легко решать задачи о неравенствах абсолютных значений, калькуляторе абсолютных неравенств и примерах неравенств абсолютных значений.

О компании Cuemath

В Cuemath наша команда экспертов по математике стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!

Благодаря интерактивному и увлекательному подходу «обучение-обучение-обучение» учителя исследуют тему со всех сторон.

Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любые другие формы отношений, это логическое мышление и интеллектуальный подход к обучению, в которые мы, в Cuemath, верим.


Часто задаваемые вопросы (FAQ)

1. Где я могу найти калькулятор абсолютных неравенств?

Вы можете найти «Калькулятор абсолютного неравенства» на этой странице.

2. Как построить график неравенства по абсолютным значениям?

При построении графика абсолютного неравенства мы должны иметь в виду следующее.

  • Используйте открытые точки на концах открытых интервалов (т.е.е. интервалы вида \ ((a, b \)).
  • Используйте закрытые точки на концах закрытых интервалов (то есть интервалов типа \ ([a, b] \)).

Для получения дополнительной информации перейдите в раздел «Графики абсолютных неравенств» на этой странице.

Рациональных и модульных неравенств | Концепция и вопросы

Рациональное неравенство:

Неравенства вида (ax + b / cx + d) k называются рациональными неравенствами, где ax + b и cx + d — линейные алгебраические выражения.Для решения рационального неравенства необходимо выполнить следующие шаги.

  • Сделайте правую часть равной нулю, перенеся постоянный член в левую часть.
  • Решите левую часть так, чтобы она имела вид mx + 1 / nx + p <0 или mx + 1 / nx + p> 0. Убедитесь, что ‘m’ и ‘n’, которые являются коэффициентами ‘x’ в числителе и знаменателе положительные.

Положите числитель и знаменатель равными нулю, чтобы получить критические точки. Отметьте эти точки на числовой прямой. Числовая строка будет разделена на три части. Крайняя правая часть дает решение для положительных неравенств, средняя часть дает решение для отрицательных неравенств, а крайняя левая часть дает решение для положительных неравенств.

Решим некоторые задачи рационального неравенства:

Иллюстрация 1: Решить 3x + 5 / 5x-2 <0

Решение: У нас 3x + 5 / 5x-2> 0

Здесь правая часть уже равна нулю.Так что здесь нам не нужно делать никаких вычислений. Чтобы получить критические точки, положите числитель и знаменатель равными нулю.

У нас есть 3x + 5 = 0 ⇒ x = (- 5/3) и 5x — 2 = 0 ⇒ x = 2/5

Нанесите эти точки на числовую прямую.

Поскольку данное неравенство отрицательное, решение (-5/3)

Неравенства модулей или Неравенства по абсолютным значениям

Неравенства вида | ax + b | k называются модульными или абсолютными неравенствами.

Чтобы устранить эти неравенства, помните о следующих правилах:

  • Если | x |
  • Если | x | > a, то либо x> a, либо x <- a
  • Если | x — l |
  • Если | x — l | > a, то либо x> l + a, либо x

Давайте попробуем некоторые вопросы о неравенстве модуля:

Обязательно прочтите статьи о неравенстве

Иллюстрация 2: Решить | x — 3 | <5.

Решение: У нас есть | x — 3 | <5
⇒ — 5 ⇒ 3-5 ⇒ -2

Иллюстрация 3: Решить | 8x + 5 | <9.
Решение: У нас есть | 8x + 5 | <9.
⇒ — 9 <8x + 5 <9 (Если | x | ⇒ — 5 — 9 <8x <9 - 5 (Одно и то же число может быть добавлено с обеих сторон неравенства)
⇒ — 14 <8x <4
⇒ -14/8 ⇒ -7/4

Абсолютные уравнения и неравенства

Что такое абсолютное значение?

Абсолютное значение (или модуль), представленное | x | действительного числа x является неотрицательным значением x независимо от его знака.

Например:

Абсолютное значение -3 => | -3 | = 3
Абсолютное значение 7 => | 7 | = 7

Абсолютное значение как расстояние?

Мы также можем рассматривать абсолютное значение числа как расстояние от нуля. Например, рассмотрим эту числовую строку:

Здесь целое число 3 находится на расстоянии 3 единиц от числа 0. Точно так же число -3 также находится на расстоянии 3 единиц от 0. Поскольку расстояние всегда положительно, мы можем скажем, что,

Расстояние 3 от 0 => | 3 | = 3 &
Расстояние -3 от 0 => | -3 | = 3

Теперь, если | x | = 3 , то x находится на расстоянии 3 единиц от 0. Из числовой прямой мы получаем, что абсолютное значение x = 3 или x = -3

В общем случае, если | x | = a => x = a или x = -a.(Так как x находится на расстоянии «a» от 0).

Если | x | = a — расстояние x от 0, тогда что такое | x-a |?

Расстояние x от числа «a» на числовой прямой может быть представлено как | x-a |.

1. Решите уравнение | x-2 | = 3.
| x-2 | = 3 подразумевает, что x находится на расстоянии 3 единиц от 2. Представляя это на числовой прямой,

Числа на числовой прямой, которые находятся на расстоянии 3 единиц от 2, — это 5 и -1. Следовательно, x = 5 или x = -1 являются значениями уравнения | x-2 | = 3.

2. Решите неравенство | x-2 | <3
| x-2 | = 3 означает, что x находится на расстоянии менее 3 единиц от 2. Представляя это на числовой прямой,

Из числовой прямой мы видим, что все точки между -1 и 5 находятся на расстоянии менее 3 единиц от 2. Следовательно, значения, принимаемые x, равны -1

Если вы знаете, что такое | x | = a, вы можете объяснить, что означает | x-a | + | x-b | ?

Исходя из нашего понимания абсолютного значения, мы знаем, что
| x — a | представляет собой расстояние x от a.Аналогично | x — b | представляет собой расстояние x от b. Подразумевая, что | x-a | + | x-b | это сумма расстояний x как от a, так и от b! :). Это видно из числовой прямой:

Решите относительно x, | x + 2 | + | х-3 | = 7
=> | x - (- 2) | + | х-3 | = 7
, т.е. мы должны вычислить сумму расстояний x от -2 и 3.

Представив это числовой прямой,

На изображении мы видим, что 4 находится на расстоянии 1 единицы от 3 и 6 единиц от -2.Следовательно, сумма расстояний 4 от 3 и -2 равна 7.
Точно так же сумма расстояний -3 от 4 и 3 равна 7.

Следовательно, x = 4 или x = -3 являются значениями уравнение | x + 2 | + | х-3 | = 7.

Когда расстояние x от «a» и «b» минимально?

Мы знаем, что сумма расстояний x от a и b представлена ​​по абсолютной величине как | x — a | + | х — Ь |.

Теперь, | x — a | + | x — b | минимален, когда x лежит между a и b. Минимальное значение равно | b-a |.

Какое минимальное значение | x + 2 | + | х-3 |?
=> Минимальное значение = | 3 - (- 2) | = 5, что происходит для -2 ≤ x ≤ 3

Решение уравнений абсолютных значений

Уравнений абсолютных значений и … Пошаговое решение математических задач

2.8 Уравнения абсолютных значений и неравенства

В этом разделе мы описываем методы решения уравнений и неравенств, относящиеся к абсолютным значениям. Вспомните из главы 1, что абсолютное значение числа a, записанное | a |, дает расстояние от a до 0 на числовой прямой.Согласно этому определению, уравнение абсолютного значения | x | = 3 можно решить, найдя все действительные числа на расстоянии 3 единиц от 0. Как показано на рисунке 2.15, этому условию удовлетворяют два числа, 3 и -3, так что множество решений уравнения | x | = 3 — это множество {3, -3}.

РИСУНОК 2.15

УРАВНЕНИЯ АБСОЛЮТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ Если a и b представляют два действительных числа, то абсолютное значение их разности, | a-b | или | b-a |, представляет собой расстояние между точками на числовой прямой, координаты которых равны a и b.(Проверьте это для 3 и -3 на рисунке 2.15.) Эта концепция используется в простых уравнениях, включающих абсолютное значение.

Пример 1.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАССТОЯНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ АБСОЛЮТНОЙ ЗНАЧЕНИЯ

Решите | p-4 | = 5.

Выражение | p-4 | представляет собой расстояние между p и 4. Уравнение | p-4 | = 5 может быть решено путем нахождения всех действительных чисел, равных 5 единицам из 4. Как показано на рисунке 2.16, эти числа равны -1 и 9. Множество решений: {-1,9}.

РИСУНОК 2.16

Определение абсолютного значения приводит к следующим свойствам абсолютного значения, которые можно использовать для алгебраического решения уравнений абсолютного значения.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ АБСОЛЮТНОЙ ЗНАЧЕНИЯ

Решите каждое уравнение

(а) | 5-3 м | = 12

Используйте свойство (1) выше, с a = 5-3m, чтобы написать

5-3м = 12 или 5-3м = -12.

Решите каждое уравнение

5-3 мес. = 12

-3м = 7

м = -7 / 3

или

5-3 мес. = -12

-3м = -17

м = 17/3

Набор решений: {-7 / 3,17 / 3}.

(б) | 4м-3 | = | м + 6 |

По свойству (2) выше, это уравнение будет истинным, если

4м-3 = м + 6 или 4м-3 = — (м + 6).

Решите каждое уравнение.

4 м-3 = м + 6

3 м = 9

м = 3

или

4 м-3 = — (м + 6)

4м-3 = -м-6

5 м = -3

м = -3 / 5

Набор решений | 4m-3 | = | m + 6 | таким образом, {3, -3 / 5}.

НЕРАВЕНСТВА АБСОЛЮТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ Метод, используемый для решения уравнений абсолютных значений, может быть расширен для решения неравенств с абсолютными значениями.

Пример 3.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАССТОЯНИЯ ДЛЯ НЕРАВЕНСТВА АБСОЛЮТНОЙ СТОИМОСТИ

(a) Решите | x | <5.

Поскольку абсолютное значение дает расстояние между числом и 0, неравенству | x | <5 удовлетворяют все действительные числа, расстояние от 0 которых меньше 5. Как показано на рисунке 2.17, решение включает все числа от -5 до 5 или. В обозначении интервалов решение записывается как открытый интервал (-5,5). График набора решений показан на рисунке 2.17.

РИСУНОК 2.17

(b) Решите | x |> 5.

Аналогично pan (a), мы видим, что решение | x |> 5 состоит из всех действительных чисел, расстояние от которых от 0 больше 5. Сюда входят числа больше 5 или меньше -5: х <-5 или х> 5.

РИСУНОК 2.18

В интервальной записи решение записывается (-∞, -5) {union} (5, ∞). Набор решений показан на рисунке 2.18.

Следующие свойства абсолютного значения, которые могут быть получены из определения абсолютного значения, используются для решения неравенств абсолютных значений.

УСТРАНЕНИЕ НЕРАВЕНСТВА АБСОЛЮТНОЙ СТОИМОСТИ

Для любого положительного числа b

1. | a |

2. | a |> b тогда и только тогда, когда a <-b или a> b.

Пример 4

РЕШЕНИЕ АБСОЛЮТНОГО НЕРАВЕНСТВА СТОИМОСТИ

Решить | x-2 | <5.

Этому неравенству удовлетворяют все действительные числа, расстояние от которых до 2 меньше 5. Как показано на рисунке 2.19, набором решений является интервал (-3, 7). Свойство (1) выше можно использовать для решения неравенства следующим образом. Пусть a = x-2 и b = 5, так что | x-2 | <5 тогда и только тогда, когда

-5 <х-2 <5.

Добавление 2 к каждой части этого неравенства из трех частей дает

-3

, что дает интервальное решение (-3,7).

РИСУНОК 2.19

Пример 5

РЕШЕНИЕ АБСОЛЮТНОГО НЕРАВЕНСТВА СТОИМОСТИ

Решите | x-8 |> = 1.

Все числа, расстояние от которых от 8 больше или равно 1, являются решениями.
Чтобы найти решение, используя свойство (2) выше, пусть a = x — 8 и b = 1, так что | x-8 |> = 1 тогда и только тогда, когда

x-8 <= - 1 или x-8> = 1

x <= 7 или x> = 9.

Множество решений (-∞, 7) {union} (9, ∞) показано на рисунке 2.20.

РИСУНОК 2.20

Указанные выше свойства для решения неравенств абсолютных значений требуют, чтобы выражение абсолютного значения находилось только на одной стороне неравенства. Пример 6 показывает, как удовлетворить это требование, когда сначала это не так.

Пример 6

РЕШЕНИЕ АБСОЛЮТНОГО НЕРАВЕНСТВА СТОИМОСТИ, ТРЕБУЮЩЕГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Решить | 2-7м | -1> 4.

Чтобы использовать свойства абсолютного значения, указанные выше, сначала добавьте l к обеим сторонам; это дает

| 2-7 мес. |> 5.

Теперь используйте свойство (2) выше. По этому свойству | 2-7m |> 5 тогда и только тогда, когда

2-7 м <-5 или 2-7 м> 5.

Решите каждое из этих неравенств отдельно, чтобы получить набор решений (-∞, -3 / 7) {union} (1, ∞).

Если в уравнении или неравенстве абсолютного значения записано 0 или отрицательное число с одной стороны. например | 2-5x |> = — 4, мы не решаем, применяя методы из предыдущих примеров. Используйте тот факт, что абсолютное значение любого выражения должно быть неотрицательным числом, чтобы решить уравнение или неравенство.

Пример 7

РЕШЕНИЕ ОСОБЫХ СЛУЧАЕВ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВА АБСОЛЮТНОЙ СТОИМОСТИ

Используйте тот факт, что абсолютное значение всегда неравенство. неотрицательные способы решения каждого уравнения или неравенства.

(а) | 2-5x |> = — 4

Поскольку абсолютное значение числа всегда неотрицательно, | 2-5x |> = — 4 всегда истинно. Набор решений включает все действительные числа, записанные (-∞, ∞).

(б) | 4x-7 | <-3

Абсолютное значение любого числа никогда не будет меньше -3 (или меньше любого отрицательного числа).По этой причине множество решений этого неравенства {пусто}.

(в) | 5x + 15 | = 0

Абсолютное значение числа будет равно нулю, только если это число равно 0. Следовательно, это уравнение эквивалентно 5x + 15 = 0, для которого установлено решение {-3}.

Давайте посмотрим, как наш математический решатель решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить похожие», чтобы увидеть больше примеров.

Мы заканчиваем этот раздел примером, показывающим, как определенные утверждения, касающиеся расстояния, могут быть описаны с помощью неравенств абсолютных значений.

Пример 8

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕРАВЕНСТВА АБСОЛЮТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ОПИСАНИЯ РАССТОЯНИЙ

Запишите каждое утверждение, используя неравенство абсолютных значений.

(а) к не менее 5 единиц из 8.

Так как расстояние от k до 8 записывается | k-8 | или | 8-к |. не меньше 5 расстояние больше или равно 5. Запишите это как

| к-8 |> = 5.

(b) n находится в пределах 0,001 от 6.

Этот оператор указывает, что n может быть 0.001 больше 6 или 0,001 меньше 6. То есть расстояние n от 6 не больше 0,001, написано

| п-6 | <= 0,001.

Абсолютное неравенство: определение и пример — стенограмма видео и урока

Неравенство абсолютного значения

Неравенство абсолютного значения представляет собой проблему с абсолютными значениями, а также со знаками неравенства. У нас могут быть проблемы вроде | x + 3 | > 1. У нас есть четыре различных знака неравенства на выбор.У нас меньше, больше, меньше или равно и больше или равно. Итак, наши неравенства по абсолютной стоимости могут иметь любой из этих четырех знаков.

Процесс их решения одинаков, независимо от знака. Но вы должны обратить внимание на то, что это за знак, так как вы будете учитывать это при решении. Как и в случае с нашими обычными абсолютными значениями, мы не можем иметь абсолютное значение отрицательным числом. Итак, такая проблема, как | x + 3 | <0 или меньше отрицательного числа невозможно и не может быть решено.

Постановка нашей задачи

Теперь давайте посмотрим, как решить неравенство абсолютных значений. Будем работать с неравенством | x + 3 | > 1. Чтобы настроить нашу задачу для решения, нам нужно написать две задачи из нашего одного неравенства по абсолютной величине. Мы делаем это, записывая одну задачу точно так же, как мы видим неравенство абсолютного значения, но без знаков абсолютного значения. Следующий, который мы напишем, будет почти таким же, за исключением того, что мы перевернули знак неравенства и изменили правую часть на отрицательную.

Итак, для нашего неравенства абсолютных значений наши две задачи: x + 3> 1 и x + 3 <-1. Обратите внимание, как я перевернул неравенство во второй задаче, и я изменил свою правую сторону на отрицательную версию. Если правая часть уже отрицательная, то мы пишем положительную, поскольку отрицательная часть отрицательной является положительной. Как только мы это сделаем, мы готовы приступить к поиску ответов.

Решение нашей проблемы

Глядя на наши две проблемы, мы видим, что все, что нужно для их решения, — это немного алгебры.Все, что нам нужно сделать, это переместить троих на другую сторону. Мы можем легко сделать это для обоих, вычтя 3 с обеих сторон. Выполнив это для обеих задач, мы получим x > -2 и x <-4. Может показаться, что мы закончили, но мы еще не закончили. Нам нужно писать в правильном формате ответа. Поскольку наш знак больше чем, правильный ответ: x > -2 ИЛИ x <-4. Между двумя ответами нам нужно поставить ИЛИ. Это применимо, когда у нас есть больше или больше или равно символов.Если бы у нас было меньше или меньше или равно символов, то между ответами у нас было бы И.

Также следует отметить, что когда вам нужно умножить или разделить на отрицательное число, чтобы получить x само по себе, вам также нужно перевернуть знак неравенства. Например, чтобы решить -2 x <4, нам нужно разделить на -2. Поскольку мы делим на отрицательное число, нам нужно перевернуть знак неравенства, чтобы наш ответ стал x > -2. Обратите внимание, как наш знак перевернулся, но все остальное осталось прежним.

Краткое содержание урока

Подведем итоги тому, что мы узнали. Мы узнали, что абсолютное значение — это расстояние от 0. Математический символ, используемый для абсолютных значений, представляет собой набор прямых вертикальных линий по обе стороны от значения, например | x |. Наши абсолютные значения никогда не могут быть отрицательными, поэтому такие проблемы, как | x | = -4 не может быть решен. Неравенство абсолютного значения представляет собой проблему абсолютного значения с неравенствами. То же ограничение применяется к тому, чтобы абсолютное значение не было отрицательным.У нас могут быть такие проблемы, как | 3 x — 5 | <4, но у нас не может быть проблем типа | 3 x — 5 | <-3.

Чтобы решить неравенство по абсолютной величине, мы создали две задачи из нашего неравенства по абсолютной величине. Наша первая проблема такая же, как и с нашим неравенством, за исключением того, что в ней нет символов абсолютного значения. Следующая задача также не имеет символов абсолютного значения, но символ неравенства перевернут, а правая сторона инвертирована. После того, как мы установили наши две задачи, мы переходим к алгебре для решения нашей переменной.Если наш символ неравенства больше или больше или равен, то два наших ответа будут разделены оператором ИЛИ. Если символ неравенства меньше или меньше или равен, то два наших ответа будут разделены знаком И.

Результаты обучения

Если вы сосредоточитесь на этом видеоуроке, вы сможете:

  • Определить уравнение абсолютного значения и решить его
  • Обозначить символ абсолютного значения
  • Определите неравенство абсолютного значения и решите его.

% PDF-1.7
%
1 0 obj
>>>
эндобдж
2 0 obj
>
эндобдж
3 0 obj
>
эндобдж
4 0 obj
> / ExtGState> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC / ImageI] / Shading> / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >>
эндобдж
5 0 obj
[6 0 R 8 0 R 10 0 R 12 0 R 14 0 R 16 0 R 18 0 R 20 0 R 22 0 R]
эндобдж
6 0 obj
> / Border [0 0 0] / H / N / Rect [210.397 793.413 226.907 809.451] / Subtype / Link / Type / Annot >>
эндобдж
7 0 объект
>
эндобдж
8 0 объект
> / Граница [0 0 0] / H / N / Rect [228.725 793.413 245.234 809.451] / Подтип / Ссылка / Тип / Аннотация >>
эндобдж
9 0 объект
>
эндобдж
10 0 obj
> / Border [0 0 0] / H / N / Rect [263.043 793.413 279.553 809.451] / Subtype / Link / Type / Annot >>
эндобдж
11 0 объект
>
эндобдж
12 0 объект
> / Border [0 0 0] / H / N / Rect [15.2647 793.413 114.274 809.451] / Subtype / Link / Type / Annot >>
эндобдж
13 0 объект
>
эндобдж
14 0 объект
> / Border [0 0 0] / H / N / Rect [511,36 792,951 527,735 809.451] / Подтип / Ссылка / Тип / Аннотация >>
эндобдж
15 0 объект
>
эндобдж
16 0 объект
> / Border [0 0 0] / H / I / Rect [117.779 793.632 204.502 808.867] / Subtype / Link / Type / Annot >>
эндобдж
17 0 объект
>
эндобдж
18 0 объект
> / Border [0 0 0] / H / I / Rect [392.596 792.46 420.722 808.281] / Subtype / Link / Type / Annot >>
эндобдж
19 0 объект
>
эндобдж
20 0 объект
> / Border [0 0 0] / H / I / Rect [532.642 791.874 558.424 808.281] / Subtype / Link / Type / Annot >>
эндобдж
21 0 объект
>
эндобдж
22 0 объект
> / Граница [0 0 0] / H / N / Rect [431.wn’w ۩ SD | / N ⳇ pi |}? OO0) ˑHϲ {H ~ l8; 0 ~ v {1Ԉ?} x G3 @ Ls-x? o> ק / _ ߯ _
xh’N «) 4ǧtџk + b >>> y ߼ = b \}? W =

Графики неравенства абсолютных значений в двух переменных — Концепция

Графическое изображение неравенств с двумя переменными может быть непростым делом, и оно становится еще более сложным, если мы графически отображаем неравенства с двумя переменными и абсолютным значением. С , отображающим абсолютное значение , если неравенство аналогично уравнению линии (например, y> m | x | + b), тогда мы получаем V-образную форму и затемняем выше или ниже V.Это очень похоже на отображение неравенств с двумя переменными. Разница в том, что мы графически отображаем неравенства с абсолютными значениями, которые образуют V-образную форму.

Здесь мы будем работать над тем, как построить график неравенства абсолютных значений, неравенства абсолютных значений. Я хочу показать вам, ребята, ярлык с использованием родительской функции, чтобы, когда вы, ребята, увидели это в своем домашнем задании, надеюсь, это будет происходить немного быстрее.Под родительской функцией я подразумеваю, что все графики этого типа выглядят одинаково, позвольте мне показать вам, как они выглядят.
Чтобы показать вам, что я сделал диаграмму xy, я просто выбрал эти значения x и собираюсь подставить их, подставить их, чтобы найти значения y. Например, если я поставлю -2, Абсолютное значение да, я получу +2. Между прочим, Абсолютное значение y — не настоящее слово, которое я как бы придумал только между вами и мной, но вы можете использовать его, если хотите. -1 Абсолютное значение y становится +1, пройдите и заполните его по пунктам, затем, когда вы перейдете к графику, вы увидите, что у вас получилась эта действительно интересная форма, у вас есть v.Я нарисовал точки -2 2, -1 1 вот так, а затем, если вы соедините их шупом, вы увидите, что у вас получится v-образная форма, будьте осторожны, это не u, это не парабола, некоторые из вас, ребята, уже знают об этом. Это строгий v, и это действительно интересно, что все графики абсолютных значений будут иметь такую ​​форму.
Так вот, есть еще пара вещей, которые следует иметь в виду, вы знаете о неравенстве, если это один из этих двух знаков, это будет сплошная линия, но когда это будет один из этих двух знаков, будет пунктирная линия, поэтому я может иметь сплошную букву v, как в нашем случае, а иногда и тире v.Последнее, что вы, ребята, знаете о неравенстве, это то, что происходит некоторое затенение, и то, как вы выбираете затенение, заключается в том, что вы можете выбрать любую точку, которую хотите, в любую точку, которая не находится в вашем абсолютном значении v, вы подставляете свои пары x и y и посмотрите, получите ли вы истинное неравенство или нет, вы собираетесь затенять те части, которые истинны, вот что я имею в виду. Скажем так, я выбрал точку 5 1, я просто случайным образом выбрал эту точку, и вы можете использовать любую точку, которую хотите, мое число x равно 5, мое число y равно 1, я собираюсь поместить это здесь.Верно ли, что 1 больше, чем, извините, больше или равно 5? Нет, это неправда, нет. Этот пункт — нет, который означает, что не затеняйте здесь, вы хотите затенять другую часть вместо затенения снаружи, вы сказали мне: «Не затенять снаружи, затенять внутри». Это означает, что каждая точка внутри моего v, если бы я подключил свои пары x и y к этому неравенству уравнения, я бы получил истинное утверждение. Итак, когда вы, ребята, работаете над этими проблемами, нужно помнить о нескольких вещах, и я просто хочу вам подытожить.
Во-первых, все графики абсолютных значений имеют эту v-образную форму.
Следующее, что все неравенства будут либо устойчивыми, если они больше или равны, либо меньше или равны, либо они могут быть резкими.
И последнее, что вы должны помнить, это затенение. Вы выбираете точку, которая не находится на вашем v, вставляете значения x и y и находите область, в которой есть истинные утверждения, и находите да.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.