Сложение и вычитание отрицательных и положительных чисел. Решение примеров.

Существуют разные типы чисел — четные числа, нечетные числа, простые числа, составные числа. Также на основе знака числа могут быть двух видов — положительные числа и отрицательные числа. Эти числа могут быть представлены на числовой линией. Среднее число в этой строке равно нулю. С левой стороны от нуля находятся отрицательные числа, а с правой стороны — положительные.

Ноль — это нейтральный элемент относительно сложения целых чисел. В основном в этой статье мы будем изучать операции сложения и вычитания с отрицательными числами. Существуют определенные правила для знаков при сложении и вычитании:

• Для того чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить два числа и поставить знак минус.

\((-2)+(-3)=-5\)

• Если первое число положительное, а второе отрицательное, смотрим, какое число по модулю больше, отнимаем от большего меньшее число и ставим знак большего числа:

\((-8)+4=4-8=-4\)

\(9+(-4)=9-4=5\)

Для каждого числа кроме \(0\) существует противоположный элемент, при сумме с ним образуется ноль:

\(-9+9=0\)     \(7,1+(-7,1)=0\)

• При вычитания двух чисел, в которых оба отрицательные, следует знать правило: минус на минус дает плюс. То есть, если стоят рядом два минуса, в сумме получается плюс.

\((-7)-(-6)=(-7)+6=(-1)\)

• Если первое число положительное, а второе отрицательное, вычитаем по тому же принципу, что и складываем: смотрим, какое число по модулю больше, отнимаем от большего меньшее число и ставим знак большего числа.

\(7-9=-2\) так как \(9>7\)

• Также не стоит забывать минус на минус дает плюс:

\(7-(-9)=7+9=16\)

Задача 1. Вычислите:

1.  \(4+(-5)\)
2.  \(-36+15\)
3. \((-17)+(-45)\)
4. \(-9+(-1)\)

Решение:

1.  \(4+(-5)=4-5=-1\)
2.  \(-36+15=-21\)
3. \((-17)+(-45)\) \(=-17-45=-62\)
4. \(-9+(-1)=-9-1=-10\)

Задача 2. Вычислите:

1. \(3-(-6)\)
2.  \(-16-35\)
3. \(-27-(-5)\)
4.  \(-94-(-61)\)

Решение:

1.  \(3-(-6)=3+6=9\)
2. \(-16-35=-51\)
3.  \(-27-(-5)=-27+5=-22\)
4.  \(-94-(-61)=-94+61=-33\)

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Почему минус на минус дает плюс?

«Враг моего врага — мой друг».

Проще всего ответить: «Потому что таковы правила действий над отрицательными числами». Правила, которые мы учим в школе и применяем всю жизнь. Однако учебники не объясняют, почему правила именно такие. Мы сначала постараемся понять это, исходя из истории развития арифметики, а потом ответим на этот вопрос с точки зрения современной математики.

Давным-давно людям были известны только натуральные числа: 1, 2, 3, … Их использовали для подсчета утвари, добычи, врагов и т. д. Но числа сами по себе довольно бесполезны — нужно уметь с ними обращаться. Сложение наглядно и понятно, к тому же сумма двух натуральных чисел — тоже натуральное число (математик сказал бы, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения). Умножение — это, по сути, то же сложение, если мы говорим о натуральных числах. В жизни мы часто совершаем действия, связанные с этими двумя операциями (например, делая покупки, мы складываем и умножаем), и странно думать, что наши предки сталкивались с ними реже — сложение и умножение были освоены человечеством очень давно. Часто приходится и делить одни величины на другие, но здесь результат не всегда выражается натуральным числом — так появились дробные числа.

Без вычитания, конечно, тоже не обойтись. Но на практике мы, как правило, вычитаем из большего числа меньшее, и нет нужды использовать отрицательные числа. (Если у меня есть 5 конфет и я отдам сестре 3, то у меня останется 5 – 3 = 2 конфеты, а вот отдать ей 7 конфет я при всем желании не могу.) Этим можно объяснить, почему люди долго не пользовались отрицательными числами.

В индийских документах отрицательные числа фигурируют с VII века н.э.; китайцы, видимо, начали употреблять их немного раньше. Их применяли для учета долгов или в промежуточных вычислениях для упрощения решения уравнений — это был лишь инструмент для получения положительного ответа. Тот факт, что отрицательные числа, в отличие от положительных, не выражают наличие какой-либо сущности, вызывал сильное недоверие. Люди в прямом смысле слова избегали отрицательных чисел: если у задачи получался отрицательный ответ, считали, что ответа нет вовсе. Это недоверие сохранялось очень долго, и даже Декарт — один из «основателей» современной математики — называл их «ложными» (в XVII веке!).

Рассмотрим для примера уравнение 7x – 17 = 2x – 2. Его можно решать так: перенести члены с неизвестным в левую часть, а остальные — в правую, получится 7x – 2x = 17 – 2, 5x = 15, x = 3. При таком решении нам даже не встретились отрицательные числа.

Но можно было случайно сделать и по-другому: перенести слагаемые с неизвестным в правую часть и получить 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. Чтобы найти неизвестное, нужно разделить одно отрицательное число на другое: x = (–15)/(–5). Но правильный ответ известен, и остается заключить, что (–15)/(–5) = 3.

Что демонстрирует этот нехитрый пример? Во-первых, становится понятна логика, которой определялись правила действий над отрицательными числами: результаты этих действий должны совпадать с ответами, которые получаются другим путем, без отрицательных чисел. Во-вторых, допуская использование отрицательных чисел, мы избавляемся от утомительного (если уравнение окажется посложнее, с большим числом слагаемых) поиска того пути решения, при котором все действия производятся только над натуральными числами. Более того, мы можем больше не думать каждый раз об осмысленности преобразуемых величин — а это уже шаг в направлении превращения математики в абстрактную науку.

Правила действий над отрицательными числами сформировались не сразу, а стали обобщением многочисленных примеров, возникавших при решении прикладных задач. Вообще, развитие математики можно условно разбить на этапы: каждый следующий этап отличается от предыдущего новым уровнем абстракции при изучении объектов. Так, в XIX веке математики поняли, что у целых чисел и многочленов, при всей их внешней непохожести, есть много общего: и те, и другие можно складывать, вычитать и перемножать. Эти операции подчиняются одним и тем же законам — как в случае с числами, так и в случае с многочленами. А вот деление целых чисел друг на друга, чтобы в результате снова получались целые числа, возможно не всегда. То же самое и с многочленами.

Потом обнаружились другие совокупности математических объектов, над которыми можно производить такие операции: формальные степенные ряды, непрерывные функции… Наконец, пришло понимание, что если изучить свойства самих операций, то потом результаты можно будет применять ко всем этим совокупностям объектов (такой подход характерен для всей современной математики).

В итоге появилось новое понятие: кольцо. Это всего-навсего множество элементов плюс действия, которые можно над ними производить. Основополагающими здесь являются как раз правила (их называют аксиомами), которым подчиняются действия, а не природа элементов множества (вот он, новый уровень абстракции!). Желая подчеркнуть, что важна именно структура, которая возникает после введения аксиом, математики говорят: кольцо целых чисел, кольцо многочленов и т. д. Отталкиваясь от аксиом, можно выводить другие свойства колец.

Мы сформулируем аксиомы кольца (которые, естественно, похожи на правила действий с целыми числами), а затем докажем, что в любом кольце при умножении минуса на минус получается плюс.

Кольцом называется множество с двумя бинарными операциями (т. е. в каждой операции задействованы два элемента кольца), которые по традиции называют сложением и умножением, и следующими аксиомами:

• сложение элементов кольца подчиняется переместительному (A + B = B + A для любых элементов A и B) и сочетательному (A + (B + C) = (A + B) + C) законам; в кольце есть специальный элемент 0 (нейтральный элемент по сложению) такой, что A + 0 = A, и для любого элемента A есть противоположный элемент (обозначаемый (–A)), что A + (–A) = 0;
• умножение подчиняется сочетательному закону: A·(B·C) = (A·B)·C;
• сложение и умножение связаны такими правилами раскрытия скобок: (A + B)·C = A·C + B·C и A·(B + C) = A·B + A·C.

Заметим, что кольца, в самой общей конструкции, не требуют ни перестановочности умножения, ни его обратимости (т. е. делить можно не всегда), ни существования единицы — нейтрального элемента по умножению. Если вводить эти аксиомы, то получаются другие алгебраические структуры, но в них будут верны все теоремы, доказанные для колец.

Теперь докажем, что для любых элементов A и B произвольного кольца верно, во-первых, (–A)·B = –(A·B), а во-вторых (–(–A)) = A. Из этого легко следуют утверждения про единицы: (–1)·1 = –(1·1) = –1 и (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1.

Для этого нам потребуется установить некоторые факты. Сперва докажем, что у каждого элемента может быть только один противоположный. В самом деле, пусть у элемента A есть два противоположных: B и С. То есть A + B = 0 = A + C. Рассмотрим сумму A + B + C. Пользуясь сочетательным и переместительным законами и свойством нуля, получим, что, с одной стороны, сумма равна B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, а с другой стороны, она равна C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Значит, B = C.

Заметим теперь, что и A, и (–(–A)) являются противоположными к одному и тому же элементу (–A), поэтому они должны быть равны.

Первый факт получается так: 0 = 0·B = (A + (–A))·B = A·B + (–A)·B, то есть (–A)·B противоположно A·B, значит, оно равно –(A·B).

Чтобы быть математически строгими, объясним еще, почему 0·B = 0 для любого элемента B. В самом деле, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. То есть прибавление 0·B не меняет сумму. Значит, это произведение равно нулю.

А то, что в кольце ровно один ноль (ведь в аксиомах сказано, что такой элемент существует, но ничего не сказано про его единственность!), мы оставим читателю в качестве несложного упражнения.

Ответил: Евгений Епифанов

Плюс минус

Плюс минус

      Плюс и минус — это признаки положительных и отрицательных чисел в математике. Какой результат получается при умножении и делении положительных и отрицательных чисел? Эта простая таблица наглядно показывает результаты умножения и деления двух чисел с разными знаками.

      Приведенные в таблице результаты применимы как при умножении и делении целых чисел, так и при умножении и делении дробей. Для определения числовых значений результата умножения или деления воспользуйтесь таблицами умножения и деления, которые можно скачать бесплатно.

      При умножении или делении двух положительных чисел в результате получается положительное число. Плюс умноженный на плюс дает плюс, плюс деленный на плюс будет плюс. Это правило математики. Произведение двух положительных чисел — число положительное, частное двух положительных чисел — положительное число.

      В математике умножение или деление положительного числа на отрицательное дает в результате отрицательное число. Плюс умноженный на минус дает минус. Плюс деленный на минус будет минус. Если положительную дробь умножить или разделить на отрицательную дробь получится отрицательное число. Это число может быть целым или дробным. Произведение положительного числа на отрицательное — число отрицательное, частное положительного числа на отрицательное число — отрицательное число. Если числитель дроби положительный, а знаменатель отрицательный — дробь (или целое число) будет отрицательной.

      При делении или умножении отрицательного числа на положительное в результате получается отрицательное число. Минус умноженный на плюс будет минус. Минус деленный на плюс в математике будет минус. Когда числитель дроби отрицательный, а знаменатель положительный — дробь (или целое число) будет отрицательной. Если отрицательную дробь умножить или разделить на положительную дробь получится отрицательное число. Это число может быть целым или дробным, что определяется другими правилами математики. Произведение отрицательного числа на положительное — число отрицательное, частное отрицательного числа на положительное число — отрицательное число.

      Когда умножаются или делятся два отрицательных числа, результатом будет положительное число. Минус умноженный на минус дает плюс, минус деленный на минус будет плюс. Произведение двух отрицательного чисел — положительное число, частное двух отрицательного чисел — число положительное. При делении или умножении двух отрицательных чисел получается положительное число. Правила знаков в математике распространяются как на целые, так и на дробные числа. При делении двух отрицательных дробей результат будет положительным. При умножении двух отрицательных дробей результат так же будет положительным, то есть со знаком плюс.

ВОПРОС — ОТВЕТ

«Кто ввел знаки сложения и вычитания в математику?» — первое употребление слов plus (больше) и minus (меньше) как обозначения действия сложения было найдено историком математики Энестремом в итальянской алгебре четырнадцатого века. Вначале действия сложения и вычитания обозначали перввыми буквами слов «p» и «m». Современные знаки плюс «+» и минус «-» появились в Германии в последнее десятилетие пятнадцатого века в книге Видмана, которая была руководством по счету для купцов (“Behende und ubsche Rechenung auf allen Kaufmannschaft”, 1498). Существует предположение, что знаки плюс «+» и минус «-» появились из торговой практики: проданные меры вина отмечались на бочке черточкой «-«, а при восстановлении запаса их перечеркивали, откуда получился знак «+». Здесь я хочу особо подчеркнуть, что знаком «минус» отмечалась не мера (бочка) с «отрицательным» вином, а пустая мера (бочка), что гораздо больше соответствует понятию «ноль». Когда вам математики будут рассказывать об отрицательных числах, всегда помните о пустой бочке, которая по воле математиков превратилась в бочку со знаком «минус».

«Минус 6 делить на минус 3 как быть?» — сперва отбрасываем знаки минус и делим просто 6 (шесть) на 3 (три) при помощи таблицы деления и получаем в результате 2 (два). Потом по табличке вверху странички делим минус на минус и получаем плюс. Теперь прилепливаем полученный плюс к ранее полученной двойке

(-6) : (-3) = +2

Впрочем, знак «+» перед числами писать не принято, поэтому красивее и правильнее будет так:

(-6) : (-3) = 2

«Если число со знаком минус спереди умножаем на такое же число?» — решение смотри выше.

      13 ноября 2009 года — 22 сентября 2019 года.

© 2006 — 2021 Николай Хижняк. Все права защищены.

Минус на плюс что дает?

Положительные и отрицательные числа придумали математики. Делать им было нечего, вот они и придумали. Правила умножения и деления положительных и отрицательных чисел придумали всё те же математики. Специально для того, чтобы нам жизнь мёдом не казалась. Как же нам быть? Нужно выучить эти правила, чтобы говорить математикам то, что они хотят от нас слышать.

Запомнить правила умножения или деления положительных и отрицательных чисел очень просто. Если два числа имеют разные знаки, в результате всегда будет знак минус.

Если два числа имеют одинаковые знаки, в результате всегда будет плюс.

Рассмотрим все возможные варианты. Что дает минус на плюс? При умножении и делении минус на плюс дает минус. Что дает плюс на минус? При умножении и делении в результате мы тоже получаем знак минус.

Как вы видите, все варианты умножения и деления положительных и отрицательных чисел исчерпаны, но знак плюс у нас так и не появился. Это мы сформулировали правило для себя, чтобы запомнить. Что говорить математикам? При умножении или делении положительных и отрицательных чисел в результате получается отрицательное число. Всегда.

Что дает минус на минус? Всегда будет получаться плюс, если мы выполняем умножение или деление. Что дает плюс на плюс? Здесь совсем просто. Умножение или деление плюса на плюс дает всегда плюс.

Надеюсь, это вы запомнили: минус на минус дает плюс, плюс на плюс дает минус. Что говорить математикам? При умножении и делении положительных или отрицательных чисел в результате получается положительное число.

Если с умножением и делением двух плюсов всё понятно (в результате получается такой же плюс), то с двумя минусами ничего не понятно. По логике, если два плюса дают плюс, то два минуса должны давать минус. Такой большой, жирный минус. Но не тут-то было. Математики думают иначе. Так почему минус и минус превращаются в плюс?

Могу вас заверить, что интуитивно математики правильно решили задачу на умножение и деление плюсов и минусов. Они записали правила в учебники, не особо вдаваясь в подробности. Для правильного ответа на вопрос, нам нужно разобраться, что же означают знаки плюс и минус в математике.

Давайте попробуем применить правило умножениея и деления положительных и отрицательных чисел на практике. Придумаем какой-нибудь пример из нашей жизни. Думаю, вы слышали про бочку мёда и ложку дёгтя, которая может испортить весь мёд. Пусть мёд — это положительные числа, а дёготь — это числа отрицательные. Пробуем. Смотрим на картинки и описываем правила.

Если в бочку дёгтя добавить ложку мёда, получится бочка дёгтя.
Если в бочку мёда добавить ложку дёгтя, получится бочка дёгтя.
Если в бочку дёгтя добавить ложку дёгтя, получится бочка мёда.
Если в бочку мёда добавить ложку мёда, получится бочка мёда.

Первых два примера с натяжкой можно принять. Последний пример вообще не вызывает вопросов. А вот с предпоследним примером возникают очень большие проблемы — в жизни такого не бывает.

Здесь возможны два варианта:
1. Математики не правильно записали свое правило.
2. Мы не правильно применяем математическое правило.

Лично я за второй вариант. Объясню почему. Математику не только нужно знать, но нею ещё нужно уметь пользоваться.

Приведу пример из собственного опыта. Один учитель математики на уроках нам говорил: «математика – это точная наука, два раза соври – получится правда». Это утверждение однажды мне очень пригодилось. Как-то я решал сложную задачу с длинным решением. Я точно знал, какой результат должен быть. Но результат был другим. Я долго искал ошибку в расчетах, но не смог ее найти. Тогда, за несколько действий до итогового результата, я изменил одно число так, чтобы результат получился правильным. Я в расчетах соврал два раза и получил правильный результат. Математические вычисления в тот раз никто не проверял и я получил хорошую оценку. Это очень похоже на правило «минус на минус дает плюс», не так ли?

Так что же такое знаки «плюс» и «минус» в математике? Существуют ли отрицательные числа? Об этом мы поговорим как-нибудь в другой раз.

Если отрицательное число умножить на отрицательное

Используя понятие модуля числа, сформулируем правила умножения положительных и отрицательных чисел.

Умножение чисел с одинаковыми знаками

Первый случай, который может вам встретиться — это умножение чисел с одинаковыми знаками.

Чтобы умножить два числа с одинаковыми знаками надо:

• перемножить модули чисел;
• перед полученным произведением поставить знак « + » (при записи ответа знак «плюс» перед первым числом слева можно опускать).

Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.

Умножение чисел с разными знаками

Второй возможный случай — это умножение чисел с разными знаками.

Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо:

• перемножить модули чисел;
• перед полученным произведением поставить знак « − ».

Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.

Правила знаков для умножения

Запомнить правило знаков для умножения очень просто. Данное правило совпадает с правилом раскрытия скобок.

Минус на минус даёт плюс,

Плюс на минус даёт минус.

В «длинных» примерах, в которых есть только действие умножение, знак произведения можно определять по количеству отрицательных множителей.

При чётном числе отрицательных множителей результат будет положительным, а при нечётном количестве — отрицательным.

В примере пять отрицательных множителей. Значит, знак результата будет «минус».

Теперь вычислим произведение модулей, не обращая внимание на знаки.

Конечный результат умножения исходных чисел будет:

Умножение на ноль и единицу

Если среди множителей есть число ноль или положительная единица, то умножение выполняется по известным правилам.

Особую роль при умножении рациональных чисел играет отрицательная единица « −1 ».

При умножении на « −1 » число меняется на противоположное.

В буквенном выражении это свойство можно записать:

При совместном выполнении сложения, вычитания и умножения рациональных чисел сохраняется порядок действий, установленный для положительных чисел и нуля.

Пример умножения отрицательных и положительных чисел.

Почему умножение двух отрицательных чисел дает положительное?

Многие родители испытывают затруднения, когда дети задают им данный вопрос. Действительно, очень сложно найти пример из жизни, на котором можно наглядно показать действие этого математического правила. Что такое отрицательное число, легко объяснить с помощью термометра со шкалой Цельсия. Там, есть четко обозначенный «нуль» (как правило, выделенный красным цветом) и числа с обеих сторон от него.

Температура

Но, знакомя детей с температурой, будьте готовы объяснить им, зачем нужны отрицательные значения. Почему просто не опустить «нуль» ниже, туда, где сейчас находится отметка в -50 градусов?

Для этого нужно рассказать сыну или дочке об абсолютном нуле, шкале Кельвина и так далее. Объясняя все это, родитель легко может запутаться сам. К тому же данный пример поможет только с пониманием сути отрицательных чисел. Для того чтобы показать, что значит умножение одного из них на другое, понадобится другой способ.

Финансы

Решение задач с деньгами – отличный способ научиться осуществлять действия с положительными и отрицательными числами.

Например, если у вас есть три купюры по пять долларов, то, чтобы посчитать деньги, нужно решить пример: +3 * +5. Получается, что всего имеется +15.

А если вы должны трем людям по пять долларов, то +3 * -5 = – 15. Если эти долги отдать каждому из трех людей, то получается: -3 * 5 = -15. То есть, ваш «убыток» в данном случае составляет пятнадцать долларов.

А если эти три человека решили простить вам долг, то есть снять с вас обязательство его выплачивать, то математически эта ситуация будет выглядеть так: -3 * -5 = +15 Почему результат положительный? Потому что можно сказать, что вам подарили эти пятнадцать долларов, избавив от необходимости выплачивать долги.

Реальные вещи

Но и этот пример может оказаться слишком сложным для обучения детей.

Лучше всего объяснять математику, считая реальные предметы. Так, если производить арифметические действия с крышками от бутылок, то отрицательное число можно понимать как необходимость отдать нескольких крышек. Так можно своими глазами убедиться, что пять плюс пять равно десяти. А если к пяти крышкам прибавить долг в размере двух (-2), то результат будет равен трем.

А пример 5 – (-5) означает, что было пять крышек и от них отняли долг в пять штук (то есть подарили это количество). А значит, результат равен десяти.

Умножение

Под этим действием подразумевается, что некоторое число взято определенное количество раз. Если у вас не было фруктов, но потом вы купили в трех разных магазинах по три яблока в каждом, то получается, что общее количество фруктов равно: +3 * +3 или 0+3+3+3, что равно девяти. Подобным образом можно представить и умножение положительного на отрицательное число: вы должны трем людям по три яблока: (-3) * 3 = (-3) + (-3) + (-3) = -9. Получается, что вы должны отдать девять яблок, ваш убыток составит 9 штук.

А если трое простили вам долг, то это может быть выражено так: 3 * -(-3). На примере с деньгами было видно, что в случае списания долгов человек оказывается «в выигрыше». То есть он получает, а не отдает, а значит, -(-3) можно заменить на +3. Минус на минус всегда дает плюс. Это равносильно тому, что противоположностью верха является низ. А значит, выражение «-3 * (-3)» может быть представлено как: 0 + 3 + 3 +3 =9.

Давно известно, что все теоретические положения лучше рассматривать на практике. Это правило полезно помнить, и когда вы занимаетесь с детьми математикой.

В данной статье сформулируем правило умножения отрицательных чисел и дадим ему объяснение. Будет подробно рассмотрен процесс умножения отрицательных чисел. На примерах показаны все возможные случаи.

Умножение отрицательных чисел

Правило умножения отрицательных чисел заключается в том, что для того, чтобы умножить два отрицательных числа, необходимо перемножить их модули. Данное правило записывается так: для любых отрицательных чисел – a , – b данное равенство считается верным.

Выше приведено правило умножения двух отрицательных чисел. Исходя из него, докажем выражение: ( – а ) · ( – b ) = a · b . Статья умножение чисел с разными знаками рассказывает о том, что равенств а · ( – b ) = – a · b справедливое, как и ( – а ) · b = – a · b . Это следует из свойства противоположных чисел, благодаря которому равенства запишутся следующим образом:

( – a ) · ( – b ) = ( – a · ( – b ) ) = – ( – ( a · b ) ) = a · b .

Тут явно видно доказательство правила умножения отрицательных чисел. Исходя из примеров явно, что произведение двух отрицательных чисел – положительное число. При перемножении модулей чисел результат всегда положительное число.

Данное правило применимо для умножения действительных чисел, рациональных чисел, целых чисел.

Примеры умножения отрицательных чисел

Теперь рассмотрим подробно примеры умножения двух отрицательных чисел. При вычислении необходимо пользоваться правилом, написанным выше.

Произвести умножение чисел – 3 и – 5 .

Решение.

По модулю умножаемые данные два числа равны положительным числам 3 и 5 . Их произведение дает в результате 15 . Отсюда следует, что произведение заданных чисел равно 15

Запишем кратко само умножение отрицательных чисел:

( – 3 ) · ( – 5 ) = 3 · 5 = 15

Ответ: ( – 3 ) · ( – 5 ) = 15 .

При умножении отрицательных рациональных чисел, применив разобранное правило, можно мобилизоваться к умножению дробей, умножению смешанных чисел, умножению десятичных дробей.

Вычислить произведение ( – 0 , 125 ) · ( – 6 ) .

Используя правило умножения отрицательных чисел, получим, что ( − 0 , 125 ) · ( − 6 ) = 0 , 125 · 6 . Для получения результата необходимо выполнить умножение десятичной дроби на натуральное число столбиков. Это выглядит так:

Получили, что выражение примет вид ( − 0 , 125 ) · ( − 6 ) = 0 , 125 · 6 = 0 , 75 .

Ответ: ( − 0 , 125 ) · ( − 6 ) = 0 , 75 .

В случае, когда множители – иррациональные числа, тогда их произведение может быть записано в виде числового выражения. Значение вычисляется только по необходимости.

Необходимо произвести умножение отрицательного – 2 на неотрицательное log 5 1 3 .

Находим модули заданных чисел:

– 2 = 2 и log 5 1 3 = – log 5 3 = log 5 3 .

Следуя из правил умножения отрицательных чисел, получим результат – 2 · log 5 1 3 = – 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Это выражение и является ответом.

Ответ: – 2 · log 5 1 3 = – 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .

Для продолжения изучения темы необходимо повторить раздел умножение действительных чисел.

Сложение ⚠️ и вычитание отрицательных и положительных чисел: как выполнить, формулы

Основные правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел

В зависимости от знака различают положительные и отрицательные числа. Их можно расположить на координатной прямой, где началом отсчета будет ноль, который не относится ни к положительным, ни к отрицательным значениям.

Определение

Положительные числа — это числа со знаком «+», который обычно не пишется. Положительные значения располагаются на числовой линии справа от нуля.

Определение

Отрицательные числа — это числа со знаком «−», расположенные слева от нуля на координатной прямой.

Основные правила сложения и вычитания отрицательных чисел:

1. При сложении двух отрицательных чисел, необходимо суммировать их модули, затем перед полученным результатом приписать знак минус.

\(-a\;+\;(-b)\;=\;-\;(\vert-a\vert\;+\;\vert-b\vert)\;=\;-\;(a\;+\;b)\)

2. Разность двух отрицательных чисел находится по правилу «минус на минус дает плюс».

\((-a)\;-\;(-b)\;=\;(-a)\;+\;b\;=\;b\;-\;a\)

Сложение чисел с разными знаками

При складывании двух слагаемых, одно из которых с плюсом, а другое — с минусом, необходимо сравнить их модульные значения. От слагаемого с большим модулем нужно отнять слагаемое с меньшим модулем, далее перед полученным результатом поставить знак слагаемого, большего по модульному значению.

Примечание:

Каждая положительная величина имеет противоположный элемент с отрицательным символом. В сумме эти пары образуют 0:

\(a\;+\;(-a)\;=\;a\;-\;a\;=\;0\)

Вычитание чисел с разными знаками

Вычитание положительных и отрицательных элементов обладает свойством, которое позволяет свести данное действие к сложению:

\(а\;–\;b\;=\;a\;+\;(–b)\)

Расшифровка этой формулы дает следующее правило: 

Вычитание одного числа из другого равно сумме уменьшаемого и числа, противоположного вычитаемому.

Для того, чтобы найти разность двух чисел с разными знаками, необходимо следовать алгоритму суммирования положительной и отрицательной величины: сравнить модули уменьшаемого и вычитаемого, из числа с большим модулем нужно вычесть меньшее модульное значение, затем перед полученным результатом поставить знак большего по значения.

Примеры упражнений

Пример 1.

Сложение двух отрицательных элементов: 

− 89 + (− 125) = − (89 + 125) = − 214

Пример 2.

Вычитание двух отрицательных чисел:

− 134 − (− 357) = − 134 + 357 = 357 − 134 = 223

Пример 3.

Сложение двух чисел с разными знаками:

− 876 + 543

|− 876| > |543|

− 876 + 543 = − (|− 876| − |543|) = − (876 − 543) = − 333

Пример 4.

Вычитание двух элементов с разными знаками:

 678 − 943

|678| < |− 943| 

678 − 943 = − (|− 943| − |678|) = − (943 − 678) = − 265

Как правильно умножать отрицательные числа?

Основные определения

Вспомним, как отличить положительное число от отрицательного, что такое умножение и какие у него свойства.

Начнем с того, что проведем прямую и отметим на ней начало отсчета — точку нуль (0). А теперь укажем направление движения по прямой вправо от начала координат. В этом нам поможет красивая стрелка:

Два главных определения:

Положительные числа — это точки координатной прямой, которые лежат правее начала отсчета (нуля). Иногда рядом с ними ставят знак плюс — «+», но чаще всего положительные числа никак не обозначают. То есть «+1» и «1» — это одно и тоже число.

Запоминаем!

Положительные числа — это те, что больше нуля, а отрицательные — меньшие.

Отрицательные числа — это точки координатной прямой, которые лежат левее начала отсчета (нуля). Их всегда обозначают знаком минус — «-».

Нуль (0) — ни положительное, ни отрицательное число. Вот это ему повезло!

Числовую ось можно расположить как горизонтально (стрелка вверх), так и вертикально (стрелка вправо).

Если стрелка направлена вверх, то в верхней части от начала отсчета всегда расположены положительные числа, а в нижней — отрицательные. Смотрите:

Прямая, на которой отмечена начальная точка, положительное направление и единичный отрезок, называется координатной или числовой осью.

Умножение — арифметическое действие в котором участвуют два аргумента. Один множимый, второй множитель. Результат их умножения называется произведением.

Вычислять можно в уме, при помощи таблицы умножения или в столбик. Продвинутые школьники могут использовать онлайн-калькулятор. 

Правило умножения отрицательных чисел: чтобы умножить два отрицательных числа, нужно перемножить их модули. Это значит, что для любых отрицательных чисел -a, -b верно равенство:

А вот как умножить два числа с разными знаками:

• перемножить модули этих чисел
• перед полученным числом поставить знак минус

А теперь упростим правила. Сформулируем их в легкой форме с минимумом слов, чтобы проще запомнить:

• «—» — при умножении минус на минус ответ будет положительным
  или минус на минус дает плюс
• «-+» — при умножении минуса на плюс ответ будет отрицательным
  или минус на плюс дает минус
• «+-» — при умножении плюса на минус ответ будет отрицательным
  или плюс на минус дает минус
• «++» — при умножении плюса на плюс ответ будет положительным
  или плюс на плюс дает плюс.

Примеры умножения отрицательных чисел

Пример 1. Вычислить: (-2)∗(-2) и (-3)∗(-7)

Как решаем:

Вспомним правило: отрицательное число умножить на отрицательное — получается ответ со знаком плюс. Считаем:

1. (-2)∗(-2) = 4
2. (-3)∗(-7) = 21

Ответ: 4; 21.

Пример 2. Вычислить: (-11)∗11 и (-20)∗2

Как решаем:

Вспомним правило: отрицательное число умножить на положительное — получается ответ со знаком минус. Считаем:

1. -11 * 11 = -121
2. (-20) * 2 = -40

 Ответ: -121; -40.

Пример 3. Вычислить произведение: 5∗(-5) и 12∗(-8)

Как решаем:

Вспомним правило: умножение положительного на отрицательное число дает отрицательный результат. Считаем:

1. 5 ∗ (-5)= -25
2. 12 ∗ (-8)= -96

Ответ: -25; -96.

Пример 4. Вычислить произведение: (-0,125 ) * (-6)

Как решаем:

1. Используем правило умножения отрицательных чисел:
   (-0,125 ) * (-6) = 0,125 * 6.
2. Выполним умножение десятичной дроби на натуральное число столбиком:

Ответ: 0,75.

Развивайте математическое мышление детей на наших уроках математики вместе с енотом Максом и его друзьями. Мы подобрали для вашего ребенка тысячи увлекательных заданий — от простых логических загадок до хитрых головоломок, над которыми интересно подумать. Все это поможет легче и быстрее справиться со школьной математикой.

Приходите на бесплатный вводный урок вместе с ребенком: познакомимся, порешаем задачки и вдохновим на учебу!

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел

Числа могут быть положительными или отрицательными

Это числовая строка:

Отсутствие знака означает положительный результат

Если число имеет без знака , это обычно означает, что это положительное число .

Воздушные шары и гири

Давайте подумаем о числах как о воздушных шарах (положительных) и весах (отрицательных):

Добавление положительного числа

Сложение положительных чисел — это просто сложение.

Пример: 2 + 3 = 5

на самом деле говорит

«Положительное 2 плюс Положительное 3 равно Положительное 5»

Мы могли бы записать это как (+2) + (+3) = (+5)

Вычитание положительного числа

Вычитание положительных чисел — это просто вычитание.

Пример: 6 — 3 = 3

на самом деле говорит

«Положительное 6 минус Положительное 3 равно Положительное 3»

Мы могли бы записать это как (+6) — (+3) = (+3)

Добавление отрицательного числа

Теперь посмотрим, как выглядит сложение и вычитание отрицательных чисел :

Пример: 6 + (−3) = 3

на самом деле говорит

«Положительные 6 плюс отрицательные 3 равны положительным 3»

Мы могли бы записать это как (+6) + (−3) = (+3)

Последние два примера показали нам, что удаление воздушных шаров (вычитание положительного числа) или прибавление веса (добавление отрицательного числа) заставляют корзину опускаться.

Значит, результат тот же :

• (+6) — (+3) = (+3)
• (+6) + (−3) = (+3)

Другими словами, вычитание положительного аналогично добавлению отрицательного .

Вычитание отрицательного числа

Пример: Что такое 6 — (−3)?

6 — (- 3) = 6 + 3 = 9

Да, действительно! Вычесть отрицание — это то же самое, что и сложить!

Два отрицания дают положительный результат

Что мы нашли?

Добавление положительного числа — это простое сложение…

Добавление положительного значения Добавление

Положительное и отрицательное вместе …

Вычитание положительного
или
Добавление отрицательного
равно
Вычитание

Пример: Что такое 6 — (+3)?

6 — (+ 3) = 6 — 3 = 3

Пример: Что такое 5 + (−7)?

5 + (- 7) = 5 — 7 = −2

Вычитание негатива…

Вычитание отрицательного числа аналогично добавлению

Пример: Что такое 14 — (−4)?

14 — (- 4) = 14 + 4 = 18

Правила:

Все это можно поместить в два правила :

Они «как знаки», когда они похожи друг на друга (другими словами: одинаковые).

Итак, все, что вам нужно запомнить, это:

Два знака , похожие на , становятся положительным знаком

Два знака , отличных от , становятся отрицательным знаком

Пример: Что такое 5 + (- 2)?

+ (-) — это в отличие от знаков (они не совпадают), поэтому они становятся отрицательным знаком .

5 + (- 2) = 5 — 2 = 3

Пример: Что такое 25 — (- 4)?

— (-) — это , как знак , поэтому они становятся положительным знаком .

25 — (- 4) = 25 + 4 = 29

Пример: Что такое −6 + (+ 3)?

+ (+) — это , как и знак , поэтому они становятся положительным знаком .

−6 + (+ 3) = −6 + 3 = −3

Начните с −6 на числовой прямой, двигайтесь вперед на 3, и вы получите −3

А теперь поиграйте!

Объяснение здравого смысла

И есть объяснение «здравого смысла»:

Если я скажу «Ешь!» Я призываю вас поесть (положительный результат)

Если я скажу «Не ешьте!» Я говорю об обратном (отрицательном).

Теперь, если я скажу: « НЕ, не ешьте!», Я говорю, что не
хочу, чтобы вы умерли с голоду, поэтому я снова говорю: «Ешь!» (положительный).

Итак, два отрицания дают положительный результат, и если это вас устраивает, тогда
вы сделали!

Другое объяснение здравого смысла

Друг +, враг —

.

Пример банка

Пример. В прошлом году банк по ошибке снял с вашего счета 10 долларов, и они хотят это исправить.

Итак, банк должен забрать отрицательные 10 долларов.

Допустим, ваш текущий баланс составляет 80 долларов США, поэтому у вас будет:

80 долларов — (- 10 долларов) = 80 долларов + 10 долларов = 90 долларов

Таким образом, вы получаете на свой счет $, на 10 долларов больше .

Длинный пример, который вам может понравиться

Очки союзника

Элли может быть непослушным или милым. Так родители Элли сказали

«Если вы будете любезны, мы добавим 3 балла (+3).
Если вы непослушны, снимаем 3 балла (−3).
Когда вы набираете 30 очков, вы получаете игрушку. »

Итак, когда мы вычитаем отрицательное, мы получаем
баллов (т.е.е. так же, как добавление очков).

Таким образом, вычитание отрицательного числа аналогично добавлению

См .: как « 15 — (+3) », так и « 15 + (−3) » дают 12.

Итак:

Неважно, вычтите ли вы положительные
баллов или добавите отрицательные,
вы все равно потеряете баллы.

Таким образом, вычитание положительного
или
Добавление отрицательного
равно
Вычитание

Попробуйте эти упражнения…

Теперь попробуйте этот лист и посмотрите, как у вас дела.

А еще попробуйте эти вопросы:

Сложение и вычитание отрицательных чисел

Purplemath

Как вы справляетесь с сложением и вычитанием минусов? Процесс работает аналогично сложению и вычитанию положительных чисел. Когда вы добавляли положительное число, вы перемещались вправо в числовой строке.Когда вы вычитали положительное число, вы двигались влево.

Теперь, если вы добавляете отрицательный результат, вы можете рассматривать это почти так же, как когда вы вычитали положительное, если вы рассматриваете «добавление отрицательного» как добавление к левому . То есть, добавляя минус, вы добавляете в обратном направлении. Точно так же, если вы вычитаете отрицательное значение (то есть вычитаете минус), вы вычитаете в другом направлении; то есть вы будете вычитать, перемещая вправо .

Например:

MathHelp.com

Вернемся к первому примеру с предыдущей страницы: «9 — 5» можно также записать как «9 + (–5)».Графически это будет выглядеть как «стрелка от нуля до девяти, а затем« отрицательная »стрелка длиной пять единиц»:

← проведите по экрану , чтобы просмотреть изображение полностью →

… и вы получите «9 + (–5) = 4».

Теперь взгляните на то вычитание, которое вы не смогли сделать: 5 — 9. Поскольку теперь у вас есть отрицательные числа слева от нуля, у вас также теперь есть «пробел» для завершения этого вычитания.Рассматривайте вычитание как добавление отрицательного числа 9; то есть нарисуйте стрелку от нуля до пяти, а затем «отрицательную» стрелку длиной девять единиц:

← проведите по экрану , чтобы просмотреть изображение полностью →

… или, что то же самое:

← проведите по экрану , чтобы просмотреть изображение полностью →

Тогда 5 — 9 = 5 + (–9) = –4.

Конечно, этот метод отсчета вашего ответа в числовой строке не будет работать так хорошо, если вы имеете дело с большими числами. Например, подумайте о том, чтобы сделать «465 — 739». Вы, конечно же, не хотите использовать для этого числовую линию. Однако, поскольку 739 больше 465, вы знаете, что ответ на «465–739» должен быть отрицательным, потому что «минус 739» приведет вас куда-нибудь слева от нуля. Но как определить , какое отрицательное число является ответом?

Посмотрите еще раз на «5 — 9».Теперь вы знаете, что ответ будет отрицательным, потому что вы вычитаете большее число, чем вы начали (девять больше пяти). Самый простой способ справиться с этим — выполнить вычитание «как обычно» (меньшее число вычитается из большего числа), а затем поставить знак «минус» в ответ: 9–5 = 4, поэтому 5–9 = –4. Это работает так же для больших чисел (и намного проще, чем пытаться нарисовать картинку): так как 739 — 465 = 274, то 465 — 739 = –274.

Сложить два отрицательных числа просто: вы просто добавляете две «отрицательные» стрелки, так что это похоже на «обычное» сложение, но в противоположном направлении. Например, 4 + 6 = 10 и –4 — 6 = –4 + (–6) = –10. Но что делать, если у вас много как положительных, так и отрицательных чисел?

• Упростить 18 — (–16) — 3 — (–5) + 2

Наверное, самое простое — это преобразовать все в сложение, сгруппировать положительные и отрицательные стороны, объединить и упростить.Выглядит это так:

18 — (–16) — 3 — (–5) + 2

= 18 + 16 — 3 + 5 + 2

= 18 + 16 + (–3) + 5 + 2

= 18 + 16 + 5 + 2 + (–3)

= 41 + (–3)

= 41 — 3

= 38

«Стоп! Погодите!» Я слышу вы говорите.«Как перейти от« — (–16) »к« +16 »на первом этапе? Как« минус минус 16 »превратился в« плюс 16 »?»

На самом деле это довольно важная концепция, и, если вы спрашиваете, я предполагаю, что объяснение вашего учителя не имело для вас особого смысла. Поэтому я не буду давать вам «правильного» математического объяснения этого правила «минус минус — плюс». Вместо этого вот мысленная картина, с которой я столкнулся много лет назад в группе новостей по алгебре:

Представьте, что вы готовите тушеное мясо в большой кастрюле, но не на плите.Вместо этого вы контролируете температуру рагу с помощью волшебных кубиков. Эти кубики бывают двух типов: горячие и холодные.

Если вы добавите в кастрюлю горячий кубик (добавьте положительное число), температура тушеного мяса повысится. Если добавить холодный кубик (добавить отрицательное число), температура снизится. Если убрать горячий куб (вычесть положительное число), температура снизится. А если убрать холодный куб (вычесть отрицательное число), температура поднимется! То есть вычитание отрицательного значения равносильно добавлению положительного.

Теперь предположим, что у вас есть двойные и тройные кубики. Если вы добавите три кубика двойного обжига (добавьте два кубика с плюсом), температура повысится на шесть. И если вы удалите два кубика с тройным охлаждением (вычтите дважды отрицательные три), вы получите тот же результат. То есть –2 (–3) = + 6.

Вот еще одна аналогия, которую я видел. Допустим, что «хороший» будет «позитивным», а «плохой» будет «негативным», вы можете сказать:

хорошего, что происходит с хорошими людьми: хорошее дело

хорошие вещи случаются с плохими людьми: плохие вещи

плохие вещи случаются с хорошими людьми: плохие вещи

плохих вещей происходит с плохими людьми: хорошо

Для конкретного примера:

семья из четырех человек в минивэне возвращается домой в целости и сохранности: хорошее дело

пьяный водитель в угнанной машине, сворачивающей через дорогу, не пойман и не остановлен: плохо

семья из четырех человек убита пьяным водителем, в то время как пьяный без единой царапины убегает с места происшествия: плохо

пьяный водитель пойман и заперт, прежде чем он кого-нибудь обидит: хорошо

Приведенные выше аналогии не являются техническими объяснениями или доказательствами, но я надеюсь, что они сделают правила «минус минус — плюс» и «минус, умноженный на минус — плюс» кажутся немного более разумными.

По какой-то причине кажется полезным использовать термины «плюс» и «минус» вместо «сложить», «вычесть», «положительный» и «отрицательный». Так, например, вместо слов «вычитание отрицательного» «, вы бы сказали» минус-минус «. Я понятия не имею, почему это так полезно, но я знаю, что эта словесная техника помогла негативу» щелкнуть «и со мной.

Партнер

Давайте рассмотрим еще несколько примеров:

• Упростить –43 — (–19) — 21 + 25.

–43 — (–19) — 21 + 25

= –43 + 19 — 21 + 25

= (–43) + 19 + (–21) + 25 *

= (–43) + (–21) + 19 + 25 *

= (–64) + 44

= 44 + (–64)

Технически, я могу перемещать числа так, как я это делал, между двумя отмеченными звездочкой шагами выше только , после я преобразовал все в сложение.Я не могу отменить вычитание, я могу только отменить сложение; только сложение коммутативно. На практике это означает, что я могу перемещать числа вокруг , только если я также перемещу их знаки вместе с ними . Если я буду перемещать только числа, а не их знаки, я изменю значения и получу неправильный ответ. Продолжая …

Поскольку 64 — 44 = 20, тогда 44 — 64 = –20.

• Упростить 84 + (–99) + 44 — (–18) — 43.

84 + (–99) + 44 — (–18) — 43

= 84 + (–99) + 44 + 18 + (–43)

= 84 + 44 + 18 + (–99) + (–43)

= 146 + (–142) ​​

= 146–142

= 4

URL: https: // www.purplemath.com/modules/negative2.htm

Сложение положительных и отрицательных чисел

Как только вы поймете основы
положительные и отрицательные числа, вы можете начать складывать их вместе. Иногда
это кажется сложным, потому что есть множество правил, которые нужно запомнить и соблюдать. Хорошо
пройдите их медленно, чтобы понять.

Правило 1: Добавление положительных чисел к положительным числам — это нормальное сложение.

Пример 1: Добавление положительных чисел к положительным — вот чем вы занимались
делаю уже давно; например 5 + 2 складывает два положительных числа.
Вы можете вычислить эти проблемы обычным образом, как вы это делали все это время. Иногда
вы можете увидеть что-то вроде этого: +5 + 2 = 7; это просто означает, что 5
тоже положительный.Не волнуйтесь — вы можете рассчитывать это, как обычно
было бы!

Правило 2: Добавление положительных чисел к отрицательным — рассчитайте сумму вперед
вы добавляете.

Добавление положительных чисел к отрицательным может оказаться непростым делом, потому что вам нужно
Обратите пристальное внимание на то, где в проблеме помещены отрицательные знаки.

Пример 2: Допустим, у нас была проблема: -5 + 2.Это можно было бы прочитать как «отрицательный
пять плюс два ». Это легче всего представить на числовой прямой. Вместо того, чтобы начинать
при положительном числе вы начинаете с отрицательного числа, которое находится слева
нуля на числовой прямой. Однако вы добавляете два, так что вы все равно будете считать
переадресуйте два места, чтобы прийти к вашему ответу, например:

Большая красная точка над -5 показывает, что именно здесь мы начинаем нашу проблему.Синяя стрелка показывает, что мы посчитали (или прибавили) 2. Синий кружок вокруг
-3 показывает нам, что это наш ответ.

Таким образом, -5 + 2 = -3.

Правило 3: Добавление отрицательных чисел к положительным — считайте в обратном порядке, как если бы вы
вычитание.

Пример 3: Допустим, у нас возникла проблема: 5 + (-2). Это будет читаться как «пять плюс
отрицательный два.Это также можно представить в числовой строке. Теперь мы начинаем
положительное число, но мы добавляем отрицательное число, что означает, что мы будем двигаться
назад (влево), как если бы мы вычитали. Мы будем считать назад два
места, чтобы прийти к ответу, например:

Большая синяя точка над цифрой 5 показывает, что именно здесь мы начинаем
проблема. Красная стрелка показывает, что мы считали в обратном порядке (вычитали) 2.Красный круг
цифра 3 показывает, что это наш ответ.

Таким образом, 5 + (-2) = 3.

Правило 4: Добавление отрицательных чисел к отрицательным числам — игнорируйте знак сложения и
относитесь к проблеме как к вычитанию (обратный отсчет).

Пример 4: Допустим, у нас была проблема -4 + -2. Это можно было бы прочитать как «отрицательный
четыре плюс два отрицательных.Это также можно представить в числовой строке. Ты первый
нужно игнорировать знак плюса и понимать, что второе отрицательное число означает
вы вычитаете это число. Таким образом, вы могли бы подумать об этой проблеме как о «отрицательном
четыре минус два ». Начните с -4, затем сосчитайте в обратном порядке (вычтите) еще 2. Тогда ваш
ответ будет -6. Вы бы увидели это в числовой строке, например:

Красная точка над -4 показывает, что именно здесь мы начинаем нашу проблему.Потом,
поскольку мы знаем, что нам нужно вычесть 2, мы считаем в обратном порядке (вычитаем) еще 2. Красный
кружок вокруг -6 показывает, что это наш ответ.

Таким образом, -4 + -2 = -6.

Тест на сложение положительных и отрицательных чисел

Проблемы

Решения

Добавление положительных и отрицательных чисел

Сложить положительные числа, такие как 2 + 2, очень просто.

Когда мы добавляем отрицательное число к положительному или к двум отрицательным числам, это иногда может показаться сложным. Однако есть несколько простых правил, которым нужно следовать, и мы их здесь вводим.

Правило 1. Добавление положительных чисел к положительным — это обычное сложение.

Например: это то, что вы усвоили с самого начала. 3 + 2 — два положительных числа. Вы можете вычислить эти проблемы так же, как и всегда: 3 + 2 = 5.

Правило 2. Добавление положительных чисел к отрицательным — считайте добавляемую сумму вперед.

Здесь становится немного сложнее. Обратите особое внимание на то, где в проблеме находятся отрицательные знаки.

Например: -6 + 3. Это будет «минус шесть плюс три». Лучший способ подумать об этой проблеме — использовать числовую строку, которая продолжается до отрицательных чисел.

Вы начинаете с отрицательного числа -6.

И вы добавляете три к этому числу, что означает, что вы перемещаете три точки вправо.

class = «green-text»> Ответ -3. -6 + 3 = -3.

Правило 3. Добавление отрицательных чисел к положительным — считайте в обратном порядке, как если бы вы вычитали.

Теперь давайте посмотрим на обратное уравнение. Когда вы добавляете отрицательное число к положительному, вы фактически вычитаете второе число из первого.
Например, возьмите 4 + (-2). Как это выглядит в строке чисел?

Вы начинаете с 4.

И затем вы добавляете отрицательное число, что означает, что вы движетесь влево — в отрицательном направлении.Обычно вы вычитаете 2,

.

Ответ 2. 4 + (-2) = 2.

Правило 4: Добавление отрицательных чисел к отрицательным числам — относитесь к проблеме как к вычитанию (обратный счет).

Когда вы добавляете отрицательное число к отрицательному, это становится вычитанием, когда вы начинаете с отрицательной точки в строке чисел и перемещаетесь влево.

Например, -3 + (-2). Это читается как «отрицательные три плюс отрицательные 2». Вам нужно игнорировать знак плюса и понимать, что второй минус означает, что вы вычитаете это число.

Мы начинаем с -3.

Затем вычитаем 2.

Ответ -5. -3 + (-2) = -5.

Правила для положительных и отрицательных чисел

Положительные и отрицательные числа — это два широких класса чисел, которые используются в математике, а также в повседневных транзакциях, таких как управление деньгами или измерение веса.

• Положительное число имеет значение больше нуля. Его знак положительный, но обычно он пишется без знака плюса перед ним (e.г., 4, 51, а не +4, +51).
• Отрицательное число имеет значение меньше нуля. Его знак считается отрицательным и пишется со знаком минус перед ним (например, -2, -23).
• Сумма положительного числа и равного ему отрицательного числа равна нулю.
• Ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Существуют правила сложения, вычитания, умножения и деления положительных и отрицательных чисел. Как правило, легче выполнять операции с отрицательными числами, если они заключены в квадратные скобки, чтобы разделять их.Числовые линии также упрощают понимание положительных чисел и чисел.

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел

Когда вы складываете или вычитаете положительные и отрицательные числа, знак ответа зависит от того, похожи ли знаки или какое число имеет большее значение.

Сложить положительные и отрицательные числа просто, если оба числа имеют одинаковый знак. Просто найдите сумму чисел и держите знак. Например:

• 3 + 2 = 5
• (-4) + (-2) = -6

Найдите сумму положительного и отрицательного числа, вычтя число с меньшим значением из числа с большее значение.Знак — это знак большего числа.

• (-7) + 2 = -5
• 4 + (-8) = 4-8 = -4
• (-3) + 8 = 5
• 10 + (-2) = 10-2 = 8
• (-5) + 4 = -1

Правила вычитания аналогичны правилам сложения. Для двух положительных чисел, если первое число больше второго, результатом будет другое положительное число.

Если вы вычтите большое положительное число из меньшего положительного числа, вы получите отрицательное число.

Легкий способ сделать это — вычесть меньшее число из большего числа и изменить знак ответа на минус.

Вычитание положительного числа из отрицательного числа аналогично сложению отрицательного числа. Другими словами, это делает отрицательное число более отрицательным.

• (-4) — 3 = (-4) + (-3) = -7
• (-10) — 12 = (-10) + (-12) = -24

Вычитание отрицательного числа из положительного числа отменяет отрицательные знаки и становится простым сложением.Это делает положительное число более положительным.

• 4 — (-3) = 4 + 3 = 7
• 5 — (-2) = 5 + 2 = 7

Когда вы вычитаете отрицательное число из другого отрицательного числа, отрицательные знаки снова отменяют каждое другое, чтобы стать знаком плюс. Ответ имеет знак большего числа.

• (-2) — (-7) = (-2) + 7 = 5
• (-5) — (-3) = (-5) + 3 = -2

Умножение и деление положительных и отрицательные числа

Если вы умножите или разделите одинаковые знаки, вы получите положительное число.Умножение или деление положительных и отрицательных чисел дает отрицательное число.

Правила умножения и деления просты:

• Если оба числа положительны, результат будет положительным.
• Если оба числа отрицательны, результат положительный. (По сути, два отрицательных значения компенсируют друг друга).
• Если одно число положительное, а другое отрицательное, результат будет отрицательным.
• Если вы умножаете или делите несколько чисел знаками, сложите количество положительных и отрицательных чисел.Знак избытка — знак ответа.
• Умножение любого числа (положительного или отрицательного) на ноль дает ответ 0.
• Ноль, разделенный на любые числа, равен 0.
• Любое число, деленное на ноль, равно бесконечности.

Вот несколько примеров. В этих примерах используются целые числа (целые числа), но те же правила применяются к десятичным и дробным числам.

• 4 x 5 = 20
• (-2) x (-3) = 6
• (-6) x 3 = -18
• 7 x (-2) = -14
• 2 x (-3 ) x 4 = -24
• (-2) x 2 x (-3) = 12
• 12/2 = 6
• (-10) / 5 = -2
• 14 / (-7) = -2
• (-6) / (-2) = 3

Как складывать, вычитать, умножать и делить положительные и отрицательные числа

Давайте посмотрим на следующую числовую строку и заметим, что каждая точка (точка) на числовой прямой соответствует одному числу:

В числовой строке выше мы видим три типа чисел или целых чисел: отрицательные числа, ноль и положительные числа.Отрицательные числа находятся слева от нуля, поэтому они меньше нуля. Положительные числа справа от нуля, поэтому они больше нуля. Ноль, разделительная точка, не является ни положительным, ни отрицательным.

Для числовой строки выше «1» соответствует или относится к красной точке, «2» относится к зеленой точке, «3» относится к синей точке и так далее. Когда мы перемещаемся вправо по числовой строке, мы увеличиваем числа. Мы определили это как дополнение. Когда мы движемся влево, мы уменьшаемся.И мы определили это как вычитание. Обычно так работает числовая линия.

Когда мы складываем два положительных числа или умножаем два положительных числа, мы получаем положительное число. Однако мы можем вычесть положительное число из положительного, и внезапно мы не получим положительное число!

Например, если мы вычтем 7 из 4, мы начнем с 4 в числовой строке и переместимся влево на 7 позиций. Это подводит нас к -3. Поскольку -3 находится слева от 0, оно меньше нуля.

Глядя на обратную операцию, мы можем сказать, что если 4-7 = -3, то -3 + 7 = 4. И это правильно. Если мы начнем с -3 и переместим на 7 делений вправо, мы получим 4.

Положительные числа — это не только целые числа справа от нуля, но и все типы чисел, такие как дроби, десятичные дроби и радикалы. Отрицательные числа также включают различные формы и различные типы чисел, которые появляются слева от нуля.

У нас не всегда есть числовая линия, с которой можно работать, поэтому нам нужно изучить несколько правил работы с отрицательными числами.Во-первых, нам нужно определить абсолютное значение. Абсолютное значение числа — это количество единиц, отсчитываемых от нуля. Он всегда выражается положительно, но без знака «плюс».

Абсолютное значение 3 равно 3. Абсолютное значение -3 также равно 3. И 3, и -3 — три единицы от нуля. Абсолютное значение обозначается путем написания числа между двумя вертикальными полосами.

| 3 | = 3 и | -3 | = 3

Если перед числом вы не видите отрицательный или положительный знак, это положительный знак.

При сложении чисел одного знака (положительного или отрицательного) сложите их абсолютные значения и дайте результату тот же знак.

6 + 5 = 11 (6 и 5 положительны; 6 + 5 равно 11, что положительно)

-7 + -8 = -15

(-7 и -8 оба отрицательные; прибавьте | 7 | + | 8 |, что равно 7 + 8, чтобы получить 15; ответ -15)

Если все числа в добавляемой группе отрицательны: -2 + -3 + -4 = -9, снова сложите абсолютные значения 2 + 3 + 4, чтобы получить 9 и поставить отрицательный знак.

При сложении чисел противоположного знака возьмите их абсолютные значения, вычтите меньшее из большего и дайте результату знак числа с большим абсолютным значением.

7 + -3 = | 7 | — | 3 | = 4

-8 + 6 = | 8 | что равно 8 и | 6 | что составляет 6. Вычтите меньшее из большего:

8-6, что дает результат 2 и дает ему знак большего числа, равного 8.

Ответ — -2.

При вычитании положительного числа из отрицательного используйте то же правило, что и для сложения двух отрицательных чисел: сложите абсолютные значения и присвойте разнице отрицательный знак.

-5 — 4 = | 5 | + | 4 | = | 9 | = -9 (это как -5 + -4 = -9)

-2 — 12 = | 2 | + | 12 | = | 14 | = -14

При вычитании отрицательного числа из положительного, двойной отрицательный результат вычитания отрицательного становится положительным, поэтому используйте то же правило, что и для сложения двух положительных чисел: сложите абсолютные значения и дайте разнице положительный знак.

5 — -4 = | 5 | + | 4 | = 5 + 4 = 9

Если бы вы использовали числовую строку, вы бы пошли влево для вычитания, а затем перевернули (вправо) для отрицательного числа, так что окончательный ответ будет справа от исходного числа.

16 — -10 = | 16 | + | 10 | = 16 + 10 = 26

Аддитивное обратное число — это число с противоположным знаком, так что при сложении двух результат равен нулю.

а + (-а) = 0

Как видите, это положительные и отрицательные числа одного и того же абсолютного значения.

10 + -10 = 0

-24 + 24 = 0

При умножении положительного числа и отрицательного числа (или отрицательного числа на положительное число) умножьте абсолютные значения и дайте ответ отрицательный знак.

8 x -5 = | 8 | х | 5 | = 8 x 5 = 40, но дайте ему отрицательный знак, сделав -40

-13 x 3 = -39

9 х -3 = -27

Чтобы умножить несколько чисел, посчитайте количество отрицательных знаков в числах, которые нужно умножить.Если это четное число, произведение будет положительным, а если нечетное, произведение будет отрицательным.

6 х -2 х -3 х 5 = | 6 | х | 2 | х | 3 | х | 5 |

6 x 2 = 12, 12 x 3 = 36 и 36 x 5 = 180

Есть два отрицательных знака (четное число), поэтому ответ положительный.

Если бы было -6 x -2 x -3 x 5, ответ был бы -180

При умножении двух отрицательных чисел два отрицательных числа компенсируют друг друга, поэтому умножьте абсолютные значения и дайте ответ положительный знак.

-21 х -3 = | 21 | х | 3 | = 63 (остается положительным)

-7 х -8 = | 7 | х | 8 | = 56

Чтобы разделить два числа с одинаковым знаком (два положительных или два отрицательных), используйте абсолютные значения, и результат будет положительным.

16 ¸ 4 = | 16 | ¸ | 4 | = 4

-20 ¸ -10 = | 20 | ¸ | 10 | = 2

Деление положительного числа на отрицательное или отрицательного числа на положительное

Чтобы разделить пару чисел с разными знаками (отрицательное на положительное или положительное на отрицательное), используйте абсолютные значения двух чисел и присвойте результату отрицательный знак.

-12 ¸ 3 = | 12 | ¸ | 3 | = 4, но это -4

18 ¸ -3 = | 18 | ¸ | 3 | = 6, но это -6

Отрицательные числа используются для обозначения низких температур. Цифры ниже 0 ° C отрицательны и ниже точки замерзания. (Помните, что значения ниже 32 ° F ниже точки замерзания, но температура часто опускается ниже 0 ° F.)

Отрицательные числа используются для отображения измерений ниже уровня моря.Уровень моря равен 0.

Отрицательные числа используются с деньгами, чтобы показать задолженность или денежную задолженность. Если человек или домохозяйство тратят больше денег, чем зарабатывают, мы говорим, что они «отрицательные на определенную сумму», или называем это «красным», потому что бухгалтеры используют красные чернила для отображения отрицательных чисел.

Набор чисел — это группа чисел, отвечающая заданному описанию.Например, набор целых чисел меньше 0 будет выражен как n <0. В этом предложении набор чисел, удовлетворяющий условиям, будет состоять из отрицательных целых чисел.

Все целые числа больше 0 будут выражены как n> 0. Набор чисел, удовлетворяющий этим условиям, будет набором всех положительных целых чисел. Каждое из этих целых чисел будет называться членом или элементом этого набора.

Какие целые числа от 3 до 8? Это будет 4, 5, 6 и 7.Другой способ выразить это — набор чисел больше 3, но меньше 8, которые можно представить в виде математического предложения, которое выглядит так:

3 <п <8

Прочтите это: n такое, что n больше 3 и меньше 8

Так как 3

И n <8 или n меньше 8 или 8 больше n

п = 4, 5, 6, 7

Мы могли бы сказать 3 n <8, и в этом случае в ответ было бы включено 3, поэтому n = 3, 4, 5, 6, 7.Знак означает «меньше или равно», а знак означает «больше или равно».

Часто эти ответы «больше» и «меньше» необходимо выражать с помощью числовой строки, потому что будет невозможно перечислить все числа для ответа.

Мы делаем пустой кружок на числе, если оно «больше чем» (>) или «меньше чем» (<), и мы делаем закрашенный кружок на числе, если оно «больше или равно» () или 'меньше или равно' ().Затемняем линию от начального круга до конечного круга или точки на линии. Правила сложения и вычитания

целых чисел

Сложение и вычитание целых чисел является битовой сложностью. Сложение и вычитание — две функции, которые
являются основными математическими функциями. В целых числах эта математическая функция немного сложна из-за
наличие определенного знака перед числом, например «-» и ~ ez_lsquo + ez_rsquo ~. Однако, когда вы добавляете или вычитаете
два числа с одинаковым знаком, которые вы делаете, как указано, но если числа имеют разные знаки, то это
разные.
Если между положительным и отрицательным числом производится вычитание, то производится сложение.

Правила сложения и вычитания целых чисел

Правила сложения и вычитания целых чисел:
1) Если два числа имеют разный знак, например положительный и отрицательный, вычтите два числа и дайте знак большему числу.
2) Если два числа имеют одинаковый знак, т.е. положительные или отрицательные знаки, сложите два числа и дайте общий знак.
3) (положительный) x (положительный) = положительный знак продукта.
4) (отрицательный) x (отрицательный) = отрицательный знак продукта.
5) (положительный) x (отрицательный) = отрицательный знак продукта. Число
положительное, следовательно, знак продукта положительный.
6) (отрицательный) x (положительный) = знак продукта отрицательный.
Примечание: ответ сложения или вычитания между двумя числами будет иметь знак большего числа.
Решенные примеры:
1. вычесть: (-4) — (-3)
(отрицательный) x (отрицательный 3) = + 3
= -4 + 3
= -1.
Здесь я поставил знак числа большего значения, например (- 4).
2. Сложение: -8 + 10
= -8 + 10
= 2
3. Вычесть: -9 — (+9)
(отрицательное) x (положительное 9) = — 9
= -9 — 9
= — 18

Попрактикуйтесь в правилах сложения и вычитания целых чисел

1. Вычесть: 6 — (-9)
2. Вычесть: 10 — (10)
3. Вычесть: 10 — (8)
4. Вычесть: 34 — ( -9)
5. Вычесть: 73 — (88)
6. Вычесть: 19 — (-29)
7. Вычесть: 15 — (23)
8. Вычесть: 54– (-34)
9.Вычтем: 0 — (38)
10. Вычтем: -34– (-18)
11. Сложение: 78+ (-12)
12. Сложение: 68 + (-56)
13. Сложение: 36 + (9 )
14. Дополнение: 94 + (-99)
15. Дополнение: -63 + (0)
16. Дополнение: 20 + (-6)
17. Дополнение: -37 + (73)
18. Дополнение: 48 + (-12)
19. Дополнение: 78 + (-67)
20. Дополнение: 5 + (23) Целочисленные правила сложения и вычитания
Целочисленные правила для 6-го класса математики
Домашняя страница

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

Электронное обучение — это будущее сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.