Подобные трапеции: Отношение площадей подобных трапеций. Трапеция, средняя линия трапеции, треугольник

Содержание

Отношение площадей подобных трапеций. Трапеция, средняя линия трапеции, треугольник

(от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна.

Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна (про другую не уточняется), в этом случае является частным случаем трапеции. В частности, существует понятие криволинейная трапеция.

Элементы трапеции

  • Параллельные стороны называются основаниями
    трапеции.
  • Две другие стороны называются боковыми сторонами
    .
  • , соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией
    трапеции.
  • Расстояние между основаниями называется высотой
    трапеции.

Виды трапеций

  • Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной
    .
  • Трапеция, у которой один из углов «прямой», называется прямоугольной
    .

Общие свойства

  • Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
  • Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
  • (Обобщённая Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной трапеции

  • , проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
  • Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований.
  • В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
  • В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
  • Около равнобедренной трапеции можно описать .
  • Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований,

Трапеция — это частный случай четырехугольника, у которого одна пара сторон является параллельной. Термин «трапеция» произошел от греческого слова τράπεζα, означающего «стол», «столик». В этой статье мы рассмотрим виды трапеции и её свойства. Кроме того, разберемся, как рассчитывать отдельные элементы этой Например, диагональ равнобокой трапеции, среднюю линию, площадь и др. Материал изложен в стиле элементарной популярной геометрии, т. е. в легкодоступной форме.

Общие сведения

Для начала давайте разберемся, что такое четырехугольник. Данная фигура является частным случаем многоугольника, содержащего четыре стороны и четыре вершины. Две вершины четырехугольника, которые не являются соседними, называются противоположными. То же можно сказать и о двух несмежных сторонах. Основные виды четырехугольников — это параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция и дельтоид.

Итак, вернемся к трапециям. Как мы уже говорили, у этой фигуры две стороны являются параллельными. Их называют основаниями. Две другие (непараллельные) — боковые стороны. В материалах экзаменов и различных контрольных работ очень часто можно встретить задачи, связанные с трапециями, решение которых зачастую требует от учащегося знаний, не предусмотренных программой. Школьный курс геометрии знакомит учеников со свойствами углов и диагоналей, а также средней линии равнобедренной трапеции. Но ведь, помимо этого, упомянутая геометрическая фигура имеет и другие особенности. Но о них чуть позже…

Виды трапеции

Существует много видов данной фигуры. Однако чаще всего принято рассматривать два из них — равнобедренную и прямоугольную.

1. Прямоугольная трапеция — это фигура, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. У нее два угла всегда равны девяноста градусам.

2. Равнобедренная трапеция — это геометрическая фигура, у которой боковые стороны равны между собой. А значит, и углы у оснований также попарно равны.

Главные принципы методики изучения свойств трапеции

К основному принципу можно отнести использование так называемого задачного подхода. По сути, нет необходимости для ввода в теоретический курс геометрии новых свойств этой фигуры. Их можно открывать и формулировать в процессе решения различных задач (лучше системных). При этом очень важно, чтобы преподаватель знал, какие задания необходимо поставить перед школьниками в тот или иной момент учебного процесса. Более того, каждое свойство трапеции может быть представлено в виде ключевой задачи в системе задач.

Вторым принципом является так называемая спиральная организация изучения «замечательных» свойств трапеции. Это подразумевает возврат в процессе обучения к отдельным признакам данной геометрической фигуры. Таким образом, учащимся легче их запоминать. Например, свойство четырех точек. Его можно доказывать как при изучении подобия, так и впоследствии с помощью векторов. А равновеликость треугольников, прилегающих к боковым сторонам фигуры, можно доказывать, применяя не только свойства треугольников с равными высотами, проведенными к сторонам, которые лежат на одной прямой, но и с помощью формулы S= 1/2(ab*sinα). Кроме того, можно отработать на вписанной трапеции или прямоугольный треугольник на описанной трапеции и т. д.

Применение «внепрограммных» особенностей геометрической фигуры в содержании школьного курса — это задачная технология их преподавания. Постоянное обращение к изучаемым свойствам при прохождении других тем позволяет учащимся глубже познавать трапецию и обеспечивает успешность решения поставленных задач. Итак, приступим к изучению этой замечательной фигуры.

Элементы и свойства равнобедренной трапеции

Как мы уже отмечали, у данной геометрической фигуры боковые стороны равны. Еще она известна как правильная трапеция. А чем же она так примечательна и почему получила такое название? К особенностям данной фигуры относится то, у нее равны не только боковые стороны и углы у оснований, но и диагонали. Кроме того, сумма углов равнобедренной трапеции равна 360 градусам. Но и это еще не все! Из всех известных трапеций только вокруг равнобедренной можно описать окружность. Это связано с тем, что сумма противоположных углов у этой фигуры равна 180 градусам, а только при таком условии можно описать окружность вокруг четырехугольника. Следующим свойством рассматриваемой геометрической фигуры является то, что расстояние от вершины основания до проекции противолежащей вершины на прямую, которая содержит это основание, будет равно средней линии.

А теперь давайте разберемся, как найти углы равнобедренной трапеции. Рассмотрим вариант решения этой задачи при условии, что известны размеры сторон фигуры.

Решение

Обычно четырехугольник принято обозначать литерами А, Б, С, Д, где БС и АД — это основания. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Будем считать, что их размер равен Х, а размеры оснований равны Y и Z (меньшего и большего соответственно). Для проведения вычисления необходимо из угла В провести высоту Н. В результате получился прямоугольный треугольник АБН, где АБ — гипотенуза, а БН и АН — катеты. Вычисляем размер катета АН: от большего основания отнимаем меньшее, и результат делим на 2. Запишем в виде формулы: (Z-Y)/2 = F. Теперь для вычисления острого угла треугольника воспользуемся функцией cos. Получаем следующую запись: cos(β) = Х/F. Теперь вычисляем угол: β=arcos (Х/F). Далее, зная один угол, мы можем определить и второй, для этого производим элементарное арифметическое действие: 180 — β. Все углы определены.

Существует и второе решение данной задачи. В начале опускаем из угла В высоту Н. Вычисляем значение катета БН. Нам известно, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Получаем: БН = √(Х2- F2). Далее используем тригонометрическую функцию tg. В результате имеем: β = arctg (БН/ F). Острый угол найден. Далее определяем тупой угол аналогично первому способу.

Свойство диагоналей равнобедренной трапеции

Сначала запишем четыре правила. Если диагонали в равнобедренной трапеции перпендикулярны, то:

Высота фигуры будет равна сумме оснований, деленной на два;

Ее высота и средняя линия равны;

Центр окружности является точкой, в которой пересекаются ;

Если боковая сторона делится точкой касания на отрезки Н и М, тогда равен квадратному корню произведения этих отрезков;

Четырехугольник, который образовался точками касания, вершиной трапеции и центром вписанной окружности — это квадрат, у которого сторона равна радиусу;

Площадь фигуры равна произведению оснований и произведению полусуммы оснований на ее высоту.

Подобные трапеции

Данная тема весьма удобна для изучения свойств этой Например, диагонали разбивают трапецию на четыре треугольника, причем прилежащие к основаниям являются подобными, а к боковым сторонам — равновеликими. Это утверждение можно назвать свойством треугольников, на которые разбита трапеция ее диагоналями. Первая часть этого утверждения доказывается через признак подобия по двум углам. Для доказательства второй части лучше воспользоваться способом, приведенным ниже.

Доказательство теоремы

Принимаем, что фигура АБСД (АД и БС — основы трапеции) разбивается диагоналями ВД и АС. Точка их пересечения — О. Получаем четыре треугольника: АОС — у нижнего основания, БОС — у верхнего основания, АБО и СОД у боковых сторон. Треугольники СОД и БОС имеют общую высоту в том случае, если отрезки БО и ОД являются их основаниями. Получаем, что разность их площадей (П) равна разности этих отрезков: ПБОС/ПСОД = БО/ОД = К. Следовательно, ПСОД = ПБОС/К. Аналогично, треугольники БОС и АОБ имеют общую высоту. Принимаем за их основания отрезки СО и ОА. Получаем ПБОС/ПАОБ = СО/ОА = К и ПАОБ = ПБОС/К. Из этого следует, что ПСОД = ПАОБ.

Для закрепления материала учащимся рекомендуется найти связь между площадями полученных треугольников, на которые разбита трапеция ее диагоналями, решив следующую задачу. Известно, что у треугольников БОС и АОД площади равны, необходимо найти площадь трапеции. Так как ПСОД = ПАОБ, значит, ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*ПСОД. Из подобия треугольников БОС и АОД следует, что БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Следовательно, ПБОС/ПСОД = БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Получаем ПСОД = √(ПБОС*ПАОД). Тогда ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*√(ПБОС*ПАОД) = (√ПБОС+√ПАОД)2.

Свойства подобия

Продолжая развивать эту тему, можно доказывать и другие интересные особенности трапеций. Так, с помощью подобия можно доказать свойство отрезка, который проходит через точку, образованную пересечением диагоналей этой геометрической фигуры, параллельно основаниям. Для этого решим следующую задачу: необходимо найти длину отрезка РК, который проходит через точку О. Из подобия треугольников АОД и БОС следует, что АО/ОС=АД/БС. Из подобия треугольников АОР и АСБ следует, что АО/АС=РО/БС=АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО=БС*АД/(БС+АД). Аналогично из подобия треугольников ДОК и ДБС следует, что ОК=БС*АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО=ОК и РК=2*БС*АД/(БС+АД). Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей, параллельный основаниям и соединяющий две боковые стороны, делится точкой пересечения пополам. Его длина — это среднее гармоническое оснований фигуры.

Рассмотрим следующее качество трапеции, которое называют свойством четырех точек. Точки пересечения диагоналей (О), пересечения продолжения боковых сторон (Е), а также середины оснований (Т и Ж) всегда лежат на одной линии. Это легко доказывается методом подобия. Полученные треугольники БЕС и АЕД подобны, и в каждом из них медианы ЕТ и ЕЖ делят угол при вершине Е на равные части. Следовательно, точки Е, Т и Ж лежат на одной прямой. Точно так же на одной прямой располагаются точки Т, О, и Ж. Все это следует из подобия треугольников БОС и АОД. Отсюда делаем вывод, что все четыре точки — Е, Т, О и Ж — будут лежать на одной прямой.

Используя подобные трапеции, можно предложить учащимся найти длину отрезка (ЛФ), который разбивает фигуру на две подобные. Данный отрезок должен быть параллелен основаниям. Так как полученные трапеции АЛФД и ЛБСФ подобны, то БС/ЛФ=ЛФ/АД. Отсюда следует, что ЛФ=√(БС*АД). Получаем, что отрезок, разбивающий трапецию на две подобные, имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований фигуры.

Рассмотрим следующее свойство подобия. В его основе лежит отрезок, который делит трапецию на две равновеликие фигуры. Принимаем, что трапеция АБСД разделена отрезком ЕН на две подобные. Из вершины Б опущена высота, которая разбивается отрезком ЕН на две части — В1 и В2. Получаем: ПАБСД/2 = (БС+ЕН)*В1/2 = (АД+ЕН)*В2/2 и ПАБСД = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Далее составляем систему, первое уравнение которой (БС+ЕН)*В1 = (АД+ЕН)*В2 и второе (БС+ЕН)*В1 = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Отсюда следует, что В2/ В1 = (БС+ЕН)/(АД+ЕН) и БС+ЕН = ((БС+АД)/2)*(1+В2/ В1). Получаем, что длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие, равна среднему квадратичному длин оснований: √((БС2+АД2)/2).

Выводы подобия

Таким образом, мы доказали, что:

1. Отрезок, соединяющий у трапеции середины боковых сторон, параллелен АД и БС и равен среднему арифметическому БС и АД (длина основания трапеции).

2. Черта, проходящая через точку О пересечения диагоналей параллельно АД и БС, будет равна среднему гармоническому чисел АД и БС (2*БС*АД/(БС+АД)).

3. Отрезок, разбивающий трапецию на подобные, имеет длину среднего геометрического оснований БС и АД.

4. Элемент, делящий фигуру на две равновеликие, имеет длину среднего квадратичного чисел АД и БС.

Для закрепления материала и осознания связи между рассмотренными отрезками учащемуся необходимо построить их для конкретной трапеции. Он без труда сможет отобразить среднюю линию и отрезок, который проходит через точку О — пересечение диагоналей фигуры — параллельно основаниям. А вот где будут находиться третий и четвертый? Этот ответ приведет учащегося к открытию искомой связи между средними величинами.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

Рассмотрим следующее свойство этой фигуры. Принимаем, что отрезок МН параллелен основаниям и делит диагонали пополам. Точки пересечения назовем Ш и Щ. Данный отрезок будет равен полуразности оснований. Разберем это более детально. МШ — средняя линия треугольника АБС, она равна БС/2. МЩ — средняя линия треугольника АБД, она равна АД/2. Тогда получаем, что ШЩ = МЩ-МШ, следовательно, ШЩ = АД/2-БС/2 = (АД+ВС)/2.

Центр тяжести

Давайте рассмотрим, каким образом определяется этот элемент для данной геометрической фигуры. Для этого необходимо продлить основания в противоположные стороны. Что это значит? Нужно к верхнему основанию прибавить нижнее — в любую из сторон, например, вправо. А нижнее продлеваем на длину верхнего влево. Далее соединяем их диагональю. Точка пересечения этого отрезка со средней линией фигуры и есть центр тяжести трапеции.

Вписанные и описанные трапеции

Давайте перечислим особенности таких фигур:

1. Трапеция может быть вписана в окружность тольков том случае, если она равнобедренная.

2. Около окружности можно описать трапецию, при условии, что сумма длин их оснований равна сумме длин боковых сторон.

Следствия вписанной окружности:

1. Высота описанной трапеции всегда равна двум радиусам.

2. Боковая сторона описанной трапеции наблюдается из центра окружности под прямым углом.

Первое следствие очевидно, а для доказательства второго требуется установить, что угол СОД является прямым, что, по сути, также не составит большого труда. Зато знание данного свойства позволит при решении задач применять прямоугольный треугольник.

Теперь конкретизируем эти следствия для равнобедренной трапеции, которая вписана в окружность. Получаем, что высота является средним геометрическим оснований фигуры: Н=2R=√(БС*АД). Отрабатывая основной прием решения задач для трапеций (принцип проведения двух высот), учащийся должен решить следующее задание. Принимаем, что БТ — высота равнобедренной фигуры АБСД. Необходимо найти отрезки АТ и ТД. Применяя формулу, описанную выше, это будет сделать не сложно.

Теперь давайте разберемся, как определить радиус окружности, используя площадь описанной трапеции. Опускаем из вершины Б высоту на основание АД. Так как окружность вписана в трапецию, то БС+АД = 2АБ или АБ = (БС+АД)/2. Из треугольника АБН находим sinα = БН/АБ = 2*БН/(БС+АД). ПАБСД = (БС+АД)*БН/2, БН=2R. Получаем ПАБСД = (БС+АД)*R, отсюда следует, что R = ПАБСД/(БС+АД).

.

Все формулы средней линии трапеции

Теперь пора перейти к последнему элементу данной геометрической фигуры. Разберемся, чему равна средняя линия трапеции (М):

1. Через основания: М = (А+Б)/2.

2. Через высоту, основание и углы:

М = А-Н*(ctgα+ctgβ)/2;

М = Б+Н*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Через высоту, диагонали и угол между ними. К примеру, Д1 и Д2 — диагонали трапеции; α , β — углы между ними:

М = Д1*Д2*sinα/2Н = Д1*Д2*sinβ/2Н.

4. Через площадь и высоту: М = П/Н.

Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет
.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями
. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме оснований:

Как видим, теория очень проста. А задачи, в которых применяются свойства трапеции, весьма разнообразны. В этой статье разобраны и стандартные задачи (номер 1 и 2), и более интересные.

1. Найдите высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны .

Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Проведем высоту из вершины В.

2. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150. Найдите площадь трапеции.

Это стандартная задача. Углы АВН и ВАН — односторонние, значит, их сумма равна 180°, и тогда угол ВАН равен 30°. Из треугольника АВН найдем высоту ВН. Катет, лежащий напротив угла в 30, равен половине гипотенузы. Получаем, что ВН = 3,5 и площадь трапеции равна 42.

3. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Скажите, что вы видите на чертеже? Можно сказать, что изображена трапеция АВСD, и в ней проведена средняя линия. А можно увидеть и другое — два треугольника, АВС и АСD, в которых проведены средние линии.

Мы помним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны.

Из треугольника АВD находим: х = 5.

В следующей задаче мы тоже воспользуемся свойством средней линии треугольника.

4. Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Проведем PQ — среднюю линию трапеции, PQ = 2,5. Легко доказать, что отрезок MN, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии. Дальше все просто. Найдем отрезки РМ и NQ, являющиеся средними линиями треугольников ABC и BCD, а затем отрезок MN. Он равен 0,5.

5. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.

Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть a + b + c.
Периметр трапеции равен а + b + 4 + c + 4.
На сколько периметр трапеции больше периметра треугольника? Чему равен периметр трапеции?

Знакомство с трапецией впервые происходит при изучении курса планиметрии. Хотя и до этого вы наверняка встречали предметы, форма которых совпадает с данной геометрической фигурой. Четырехугольник отличается тем, что только 2 из его четырех сторон параллельны. Если соединить противолежащие вершины фигуры отрезками, то получим ее диагонали. Как определить их длину? Величина этих отрезков связана с углами фигуры, длиной ее сторон и высоты.

Диагонали и углы трапеции

Если перед вами произвольная трапеция с известными углами в основании, а также боковыми сторонами и основанием, то в определении величины диагоналей поможет следующее соотношение:

d1 = √a 2 + d 2 – 2ad*cosβ,
d2 = √a 2 + c 2 – 2ac*cosα,

d1, d2 – искомые диагонали,
a – основание,
c, d – боковые стороны,
β, α – углы, лежащие в основании.

В его основе лежит теорема косинусов, позволяющая в треугольнике определить длину стороны, используя известные величины двух других сторон, а также угла, лежащего против искомой стороны.

Диагонали и стороны трапеции

  • При наличии известных всех четырех сторон фигуры для нахождения ее диагоналей можно использовать выражения:

d1 = √ d 2 + ab – (a(d 2 – c 2)/(a-b)),
d2 = √ c 2 + ab – (a(c 2 – d 2)/(a-b)).

  • Взаимосвязь между диагоналями:

d1 2 + d2 2 = c 2 + d 2 + 2ab,
d1 = √c 2 + d 2 + 2ab – d2 2 ,
d2 = √c 2 + d 2 + 2ab – d1 2 ,

Как в первом, так и во втором случаях:
d1, d2 – искомые диагонали,
a, b – основания,
c, d – боковые стороны.

Диагонали и высота трапеции

При известном значении одного из оснований фигуры или боковой стороны, угла при нижнем основании, а также высоты четырехугольника, с определением длин диагоналей также не возникнет сложностей.

Если по условиям задания трапеция имеет равные боковые стороны, то выражения для нахождения диагоналей фигуры преобразуются с учетом того, что c=d:

d1 = d2 = √c 2 + ab,
d1 = d2 = √a 2 + c 2 – 2ac*cosα,
d1 = d2 = √a 2 + c 2 + 2ac*cosβ,
d1 = d2 = √b 2 + c 2 – 2bc*cosβ,
d1 = d2 = √b 2 + c 2 + 2bc*cosα,
d1 = d2 = √h 2 + l 2 ,
d1 = d2 = √h 2 + (a+b) 2 /4,
d1 = d2 = √h*(a+b)/sinφ = √2S/ sinφ = √2lh/sinφ (sinφ = sin γ),

d1, d2 – искомые диагонали,
φ, γ – углы между ними,
h – высота фигуры,
S – площадь,
a, b – основания (a
c – боковая сторона,
l – средняя линия.

Описанная окружность и трапеция. Здравствуйте! Для вас ещё одна публикация, в которой рассмотрим задачи с трапециями. Задания входят в состав экзамена по математике. Здесь они объединены в группу, дана не просто одна трапеция, а комбинация тел – трапеция и окружность. Большинство из таких задачек решаются устно. Но есть и такие на которые нужно обратить особое внимание, например, задача 27926.

Какую теорию необходимо помнить? Это:

Задачи с трапециями, которые имеются на блоге можно посмотреть здесь

.

27924. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Отметим, что описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. Нам дана средняя линия, значит можем определить сумму оснований, то есть:

Значит сумма боковых сторон будет равна 22–10=12 (периметр минус основания). Так как боковые стороны равнобедренной трапеции равны, то одна сторона будет равна шести.

27925. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60 0 , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Если вы решали задачи с окружностью и вписанным в неё шестиугольником, то сразу озвучите ответ – радиус равен 6. Почему?

Посмотрите: равнобедренная трапеция с углом при основании равным 60 0 и равными сторонами AD, DC и CB, представляет собой половину правильного шестиугольника:

В таком шестиугольнике отрезок соединяющий противоположные вершины проходит через центр окружности. *Центр шестиугольника и центр окружности совпадают, подробнее

То есть большее основание этой трапеции совпадает с диаметром описанной окружности. Таким образом радиус равен шести.

*Конечно, можно рассмотреть равенство треугольников ADO, DOС и OCB. Доказать что они равносторонние. Далее сделать вывод о том, что угол AOB равен 180 0 и точка О равноудалена от вершин A, D, C и B, а и значит АО=ОВ=12/2=6.

27926. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Отметим, что центр описанной окружности лежит на оси симметрии, при чём если построить высоту трапеции проходящую через этот центр, то она при пересечении с основаниями разделит их пополам. Покажем это на эскизе, также соединим центр с вершинами:

Отрезок EF является высотой трапеции, его нам нужно найти.

В прямоугольном треугольнике OFC нам известна гипотенуза (это радиус окружности), FC=3 (так как DF=FC). По теореме Пифагора можем вычислить OF:

В прямоугольном треугольнике OEB нам известна гипотенуза (это радиус окружности), EB=4 (так как AE=EB). По теореме Пифагора можем вычислить OE:

Таким образом EF=FO+OE=4+3=7.

Теперь важный нюанс!

В этой задаче на рисунке чётко показано, что основания лежат по разные стороны от центра окружности, поэтому задача решается именно так.

А если бы в условии не было дано эскиза?

Тогда у задачи было бы два ответа. Почему? Посмотрите внимательно – в любую окружность можно вписать две трапеции с заданными основаниями.

Замечательные свойства трапеции

I.Замечательные
отрезки в трапеции.

Для начала я обозначу
некоторые очень важные факты об отрезках в трапеции.

1.     Во
всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка
пересечения продолжения боковых сторон лежат на одной прямой.

2.     Во
всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной
прямой, называемой средней линией трапеции или среднем арифметическим
оснований.

3.     Отрезок,
соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

4.     Отрезок,
параллельный основаниям и разбивающий трапецию на две равновеликие трапеции,
равен среднему квадратичному оснований:

5.     Отрезок,разбивающий
трапецию на две подобные трапеции, имеет длину, равную среднему геометрическому
длин оснований.

6.      Отрезок,
проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен
среднему гармоническому оснований.

Между
средними отрезками выполняются следующие соотношения

Доказательства
этих фактов я не считаю нужным и уместным приводить в докладе, так как любой
уважающий себя школьник должен их знать и уметь делать самостоятельно

Теперь,
когда мы знаем эти, весьма важные, факты преступим к решению поистине
прекрасных задач.

Задача 1:ABCD-
трапеция, отрезок MN параллелен основаниям
трапеции; AD=11,BC=3,MN=8.Может 
ли быть x:y=4:3?

Решение:

Применим приём
достраивания.

Построим CF║BA,
NE║BA.
По построению MBCF и AMNE-
параллелограммы, тогда имеем MF=3,FN=5,AE=8
и ED=3.

Рассмотрим ∆FCN
~∆END( ∟FCN=∟END,
∟FNC=∟EDN,
как накрестлежащие). Из подобия следует, что x:y=5:3,
следовательно такого соотношения, как указанно в условии не может быть.

Ответ: не может быть.

Задача
2

ABCD-
трапеция,MN║AD,
MN=4; точка О ,пересечения диагоналей,
находится вдвое дальше от меньшего основания, чем от средней линии. Чему равны
основания трапеции?

Решение

ПустьAD=a,
BC=b.

1.      Из
6 свойства трапеции, а именно, отрезок , проходящий через точку пересечения
диагоналей параллельно основаниям, равен среднему гармоническому длин оснований
трапеции. Следовательно, MN=.

2.     Пусть
ST- средняя линия и через точку О
проведена прямая EF, перпендикулярная к
основаниям.

EF-
высота трапеции, обозначим EF=h.
Очевидно, что средняя линия делит высоту трапеции пополам EH=FH=h

∆BOC~∆DOA(по
двум накрестлежащим углам)→

∆OFC~∆OEA(по
двум углам)→

FO+OE=h,
OE=, тогда находим FO=. По условию FH=FO+½FO=FO,
следовательноFO= и тогда , откуда имеем a=2b.

3.    Подставляем
a=2b
в равенство , находим b=3
и а=6.

Ответ:
a=6;b=3.

II Метод площадей

Для
того, чтобы решать задачи, где рассматривается площадь трапеции, необходимо
помнить несколько очень важных утверждений:

1.Если
прямаяL1║L2,
то S∆ABC=S∆AC1B=S∆AC2B.

Доказательство:

Это
очень легко доказать: площадь треугольника можно вычислить по формуле . Высоты у всех
треугольников одинаковы, так как расстояние между параллельными прямыми всегда
одинаково; треугольники имеют общее основание. Из этих двух фактов следует, что
S∆ABC=S∆AC1B=S∆AC2B.

2.Если
прямаяL1║L2
и треугольники не имеют общегооснования,  то

 .

Доказательство:

 Высоты
у этих треугольников равные, следовательно, площади этих треугольников
относятся, как их снования.

А
сейчас немного отвлечёмся от трапеции и перенесёмся в треугольник. Возьмём на
рассмотрение одну очень красивую и важную задачу, которая поможет  нам в
понимании следующей задачи с трапецией. Когда я первый раз увидела эту задачу ,
она мне сразу же понравилась своей изящностью рисунка и простой гениальностью
решения.

Задача
3:

Через
точку М, лежащую внутри треугольника АВС проведены три прямые, параллельные его
сторонам. При этом образовались три треугольника(см.рис.), площади которых
равны S1,S2,S3.
Найдите площадь треугольника АВС.

Решение:

Легко
видеть, что ∆EKM,∆MQF
и ∆PMNподобны ∆АВС. Пусть
Sплощадь треугольника АВС, тогда ;; .

Отсюда
находим

Так какEM=AP,
MF=NC , тоEM+PN+MF=AP+PN+NC=AC.
Таким
образом ,, откуда следует

Ответ:

Мне
захотелось убедиться, возможно ли в трапеции  похожее соотношение площадей. И
действительно в трапеции нашёлся похожий случай. Рассмотрим его в следующей
задачи.

Задача
4:

Дана
трапеция ABCD; в трапеции проведены
диагонали, пересекающиеся в точке О. Выразите площадь трапеции из площадей
образовавшихся треугольников.

Решение:

1.Пусть
площадь ∆AOB и ∆CODравныS.
Площадь треугольника BOC
равна S1 ,  а площадь
треугольника DOA равна S2.

2.
Докажем, что S∆AOB=S∆COD.

∆ABC
и ∆DBC имеют общее основание BCи
общую высотуh (т.к.BC║AD
по свойству трапеции). Поскольку мы уже знаем , что треугольники имеющие общее
основание и высоту имеют равные площади, следовательно, S∆ABC=S∆DBC
. Заметим, что ∆ABC
и ∆DBC имеют один общий
элемент- ∆BOC, следовательно,
если вычесть из площадей искомых треугольников площадь ∆BOC
мы получим два, равных по площади треугольника. Значит, S∆AOB=S∆COD.

3.
Рассмотрим ∆AOB и ∆BOC,
они имеют общую высоту h2,
но имеют различные основания, поскольку мы знаем, что площади треугольников
имеющих общую высоты относятся как их основания:

4.
Рассмотрим ∆AOD и ∆ COD,
они имеют общую высоту h3,
но имеют различные основания, поскольку мы знаем, что площади треугольников
имеющих общую высоты относятся как их основания:

5.
Правые части равенств (1) и (2) одинаковы, следовательно одинаковы и правые
части:

 

Ответ:
площадь трапеции равна
.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III Замечательные
задачи

Планиметрические
задачи с трапецией встречаются не только в 9 и 10 классе, но и в 11. Для того,
чтобы в 11 классе решать более сложные задачи необходимо получить базовые
знания ещё в самом начале изучения планиметрии. Необходимо ещё с самых азов
стараться полностью вникнуть в суть предложенных в учебнике задач. Ведь именно
они есть основа других задач, более сложных и увлекательных. А теперь после
такого небольшого лирического отступления рассмотрим задачу, которая
встретилась на  диагностической работе по математике в 11 классе.

Задача
5:
Площадь
трапеции ABCD равна 810. Диагонали пересекаются в точке O. Отрезки, соединяющие
середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции
в точках M и N. Найдите площадь треугольника MON, если одно из оснований
трапеции вдвое больше другого.

Рассмотрим
первый случай.

1.Пусть
AD=2BC.

2.
ABCP и BCDP
– параллелограммы (по построению), поэтому M
и N– середины BP
и CP, значит, CM
и BN —  медианы ∆BPC

3.
Пусть h – высота трапеции, ВС=a,
AD=2a,
OM=x.
Тогда

4.ОС=2х
(т.к. О- точка пересечения медиан треугольника BPC),
поэтому AM=MC=3x,
OA=AM+OM=3x+x=4x

Аналогично, , значит, ∆ MON~∆AOD
с коэффициентом подобия. Следовательно,

Рассмотрим 2 случай:

1.ПустьВС=2AD,
h-  высота трапеции, AD=a,
BC=2a,
AM=3t.Тогда
ah=540( см. 1 случай)

2.∆AOD~∆COB
с коэффициентом подобия, а ∆AMP~∆CMB
с коэффициентом подобия . Тогда,

,
значит

Аналогично,

Следовательно,

Ответ:Smon=22.5 
или14.4

Задача 6

Я  не могла удержаться от
соблазна представить моим слушателям решение одной  из самых красивых и
простых  задач о трапеции . Она была представлена в методичке УРЭК « Трапеция.
Некоторые методы решения задач»

Дано:

Диагонали трапеции равны
3 и 5 см , а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2 см . Найти
площадь трапеции.

Решение

Выполним дополнительные
построения: проведём отрезок CF,
параллельный диагонали BD,
проведём отрезок СКǁ MN.

Получим параллелограммы MCKN
и BCFD, следовательно, CK=MN,
MC=NK
, BC=DF
, BD=CF.
Тогда

Значит, СК- медиана
треугольника ACF.

Докажем, что площадь
исходной трапеции равна площади треугольника ACF.

Для вычисления площади
треугольника ACF проведём следующие
дополнительные построения: на прямой СК отложим КН=СК.

 Тогда ∆CKF=∆HKA
( по двум сторонам  и углу между ними). Поэтому AH=CF
и площадь треугольника ACF
равна площади треугольника ACH.
По теореме обратной теореме Пифагора , убеждаемся, что треугольник АСН –
прямоугольный. Находим его площадь

Ответ : S=6
см.

Это короткое и изящное
решение приносит эстетическое удовольствие!

Задача 7

Дано:

В четырёхугольнике ABCD
сторона АВ равна стороне ВС, диагональ АС равна стороне CD
а ∟АСВ=∟ACD. Радиусы
окружностей вписанных в треугольники АСВ и ACD,
относятся как 3:4. Найдите отношение площадей этих треугольников.

Решение

Обозначим
∟АСВ=∟ACD=α. Прямые AB
и CDпараллельны, так как
∟ВАС=∟АСВ=∟ACD,
значит ABCD —  трапеция.

Высоты треугольников АВС
и ACD, проведённые и з вершин
соответственно С и А , равны, поэтому отношение площадей треугольников АВС и ACD
равно отношению оснований АВ и CD
трапеции.

Центры O
и Q окружностей, вписанных в
треугольники соответственно АВС и ACD,
— точки пересечения биссектрис этих треугольников, поэтому ∟АСО=∟ACQ.

Пусть ОМ и QK
– радиусы окружностей, проведённые в точки касания окружностей со стороной АС, N-
середина основания AD равнобедренного
треугольника ACD.

Прямоугольные
треугольники CKQ и СМО подобны по двум
углам, причём коэффициент подобия равен

Значит

Положим СК= 4х, СМ=3х.
Точка М- середина основания АС равнобедренного треугольника АВС, поэтому

По теореме косинусов

Из прямоугольного
треугольника ВМС находим, что

Значит, АВ=ВС= .Следовательно

Ответ : 9:14

Эта задача поистине
прекрасна! В ней есть абсолютно всё: и подобие и и свойства фигур и даже
тригонометрия!

А теперь напоследок мне
хочется рассмотреть задачу по стереометрии, которая решается с помощью
планиметрии. И как решается- просто блеск! Решение этой, казалось бы, сложной
задачи оказывает весьма простым, но очень красивым.

Задача 8

Дано:

О- центр шара, вписанного
в усечённый конус, ABCD- осевое сечение
конуса, ОЕ┴CD , МК┴AD,
MC=r,
KD=R,
OM=rш.

Доказать, что r
2ш=R*r.

1.     Поскольку
ОЕ┴ CD, то ОЕ=rш,
поскольку радиус окружности — это перпендикуляр в точку касания.

2.      Отрезки
касательных, проведённые и з одной точки равны, следовательно, МС=СЕ, KD=DE.

3.      Докажем
что треугольник  OCD прямоугольный.

Во-первых, СО и DO
биссектрисы по определению. Тогда пусть угол МСО=α , а угол KDO=β

Сумма односторонних углов
при параллельных прямых BC
и AD равна 180◦, то есть
2α+2β=180◦ ,следовательно α+β=90◦,
следовательно треугольник  OCD
прямоугольный.

4.     Рассмотрим
треугольник OCD.

 ОЕ- высота в
прямоугольном треугольнике , по определению ОЕ2=DE*EC,
то есть r2ш=R*r
.

 ЧТД


 

Урок геометрии в 8-м классе по теме «Признаки подобия треугольников»


Слайд 1 (Приложение
1)

Подобие двух существ того же вида,
но различных размеров имеет ту же самую
природу,

как и подобие геометрических фигур.

К.Гаусс

Сегодня на уроке мы повторим все
признаки подобия треугольников, будем
решать задачи, используя эти признаки, и
рассмотрим применение подобных фигур в
окружающем мире.

Любопытный отыскивает редкости
только затем, чтобы им удивляться,
любознательный же затем, чтобы узнать их и
перестать удивляться. Так будьте же сегодня
на уроке очень любознательными.

Какие виды треугольников вам
известны?

Какие треугольники называются
подобными?


Слайд 2

На этом слайде вы видите
различные треугольники. Найдите среди них
пары подобных и докажите почему они подобны.

А_Д Б_Е Г_Ж (рисунок 1)

Рисунок 1

Я предлагаю вам небольшой тест (См.
стр. №4), проверьте каждый сам себя, как
хорошо вы изучили эту тему. В тесте 5
вопросов, внимательно прочтите сначала
вопрос, затем предложенные ответы и лишь
потом подчеркните ответ, который вы
считаете правильным.

Думаю, каждому интересно
правильно ли он дал ответы на вопросы теста,
вас ждёт самопроверка. Слайд 3-4

В геометрии подобными могут быть
не только треугольники, но и совершенно
произвольные фигуры. На этом слайде 5 мы
видим подобные пятиугольники, фигуры
похожие на звёзды, фигуры со стрелками,
подобные параллелограммы.

Как вы думаете, какими свойствами
все они обладают? У них одинаковые формы, но
разные размеры.


Слайд 6 Рассмотрим подобные
трапеции (так как признаки подобных
трапеций похожи на признаки подобных
треугольников. Запишем один из них: если
трапеции подобны, то их сходственные
стороны пропорциональны. Применяя это
свойство, решим задачу:

В трапеции АВСD провели отрезок MN,
соединяющий боковые стороны и параллельный
основанию. Найти длину отрезка MN, если AD = 32
см, ВС = 18 см, а трапеция AMND подобна трапеции
MBCN.


Слайд 7 Подобные трапеции,
которые мы сейчас рассматривали в задаче
являются элементами паркетов

Паркетом называют заполнение
плоскости одинаковыми фигурами, которые не
перекрывают друг друга и не оставляют на
плоскости пустого пространства. Тетрадный
лист в клетку представляет собой
простейший паркет, элементом которого
является квадрат. Очень красивы те паркеты,
которые составлены из разных
геометрических фигур, подобных между собой
и разных по цвету.


Слайд 8 Перед вами паркет
составленный из прямоугольных
треугольников.

Сколько подобных треугольников
вы видите на этом рисунке?

Сколько равных треугольников на
этом рисунке?

Слайд 9 Уже в древности учёным
были известны признаки подобия
треугольников.

Однажды подобие прямоугольных
треугольников помогло древнегреческому
учёному Фалесу Милетскому измерить высоту
Египетской пирамиды. В один из солнечных
дней Фалес вместе с главным жрецом храма
Изиды проходил мимо пирамиды Хеопса.

— Знает ли кто-либо, какова её
высота? – спросил он.

— Нет, сын мой, — ответил жрец –
Древние папирусы не сохранили нам этого, а
наши знания не дают возможности судить о
ней даже приблизительно.

— Но ведь это можно сказать совсем
точно и даже сейчас, — воскликнул Фалес –
Вот смотри, мой рост 3 царских вавилонских
локтя. А вот моя тень. Её длина такая же. И
какой бы ты предмет ни взял именно в это
время, тень от него, если ты поставишь его
вертикально, точно равна длине предмета.
Этот предмет и его тень образуют
прямоугольный треугольник; знай же, что
такие треугольники подобны.

Фалес привёл в удивление жрецов,
измерив высоту пирамиды без всяких
приборов по отбрасываемой ею тени.


Решим и мы эту задачу.


Слайд 10 Домашнее задание:

  1. узнайте какова высота Египетской
    пирамиды, переведя царские вавилонские
    локти в метры и сантиметры, если 1 локоть =
    462 мм.;
  2. задание для любознательных: проведите
    эксперимент, как великий Фалес, и в
    солнечную погоду вычислите высоту своей
    школы.

Всегда интересно проводить
эксперименты. Особенно важен конечный
результат. Проведём лабораторную
работу , которая поможет нам сделать
научное открытие. Для этого потребуются
карандаши, линейки, ручки и рабочие листы с
печатной основой (Приложение 3). Следуйте
указаниям чётко и быстро, и тогда у вас
обязательно всё получится, поможет вам наш
волшебный экран.

Слайд 11

  1. Измерьте основание АВ, результат
    запишите.
  2. Измерьте боковые стороны АС и ВС,
    результат запишите.
  3. В середине АС и ВС поставьте
    соответственно точки М и К.
  4. Проведите отрезок МК и измерьте его длину
    (вводится определение средней линии).
  5. Сравните длину отрезка МК и длину стороны
    АВ. Ответьте на вопрос: во сколько раз
    длина отрезка МК меньше длины стороны АВ.
  6. Сформулируйте гипотезу.

Проведённый эксперимент
показывает, каков бы ни был треугольник его
средняя линия всегда в два раза меньше
основания. Я поздравляю, сейчас каждый
открыл для себя новую теорему, которую
теоретически докажет на следующем уроке.


Слайд 12 Сколько средних линий
может быть в треугольнике? Из подобных
треугольников, которые получены путём
разрезания по средним линиям, составим
новую геометрическую фигуру. Получили
фигуру, части которой подобны целому
треугольнику. Учёные назвали такие фигуры автоподобными.


Чем так интересны автоподобные
фигуры? Примером автоподобной фигуры
является золотая спираль, геометрическим
свойством этой спирали является то, что
каждый следующий виток подобен предыдущему.
В форме золотой спирали закручиваются
раковины многих моллюсков, в виде этой
спирали плетут свою паутину пауки и Слайд
13
даже галактика солнечной системы
закручивается по золотой спирали.

Геометрия — это наука точная в
рассуждениях, безупречная в
доказательствах, ясная в ответах,
гармонично сочетающая в себе прозрачность
мысли и красоту человеческого разума.

Геометрия до конца не изученная
наука, и может быть многие открытия ждут
именно вас!

Итог урока: Слайд 14

Что вы узнали нового?

Чему научились?

Что показалось особенно трудным?


Слайд 19 Спасибо за урок!

Тесты

Подобные треугольники. Пропорциональные отрезки — методическая рекомендация. Геометрия, 8 класс.
















1.

Отношение сторон подобных треугольников

1 вид — рецептивный

лёгкое

1 Б.

Написание отношения сторон подобных треугольников.

2.

Отношение отрезков

2 вид — интерпретация

лёгкое

1 Б.

Вычисление длины отрезка, если известна длина другого отрезка и их отношение.

3.

Отношение отрезков, длина отрезка

2 вид — интерпретация

лёгкое

1 Б.

Вычисление длины отрезка по данному отношению и длине другого отрезка.

4.

Пропорциональные отрезки

2 вид — интерпретация

лёгкое

2 Б.

Пропорциональные отрезки. Вычисление неизвестного члена пропорции, который находится в числителе.

5.

Подобные треугольники, отношение площадей

2 вид — интерпретация

среднее

1 Б.

Нахождение отношений периметров или площадей подобных треугольников.

6.

Длины частей отрезка

2 вид — интерпретация

среднее

3 Б.

Вычисление длин частей отрезка, если известна длина всего отрезка и отношение его частей.

7.

Периметры и площади подобных треугольников

2 вид — интерпретация

среднее

3 Б.

Вычисление периметра и площади одного из данных подобных треугольников.

8.

Площади подобных треугольников

2 вид — интерпретация

среднее

4 Б.

Вычисление площадей подобных треугольников.

9.

Периметр равнобедренной трапеции

2 вид — интерпретация

среднее

3 Б.

Вычисление периметра равнобедренной трапеции, подобные треугольники.

10.

Подобные прямоугольные треугольники

2 вид — интерпретация

среднее

3 Б.

Вычисление стороны одного из подобных прямоугольных треугольников.

11.

Подобные треугольники

2 вид — интерпретация

среднее

3 Б.

Вычисление стороны одного из данных подобных треугольников.

12.

Подобные треугольники, коэффициент подобия (1)

2 вид — интерпретация

среднее

4 Б.

Вычисление стороны одного из данных подобных треугольников, коэффициент подобия k < 1.

13.

Подобные треугольники, коэффициент подобия (2)

2 вид — интерпретация

среднее

4 Б.

Вычисление стороны одного из данных подобных треугольников, коэффициент подобия k > 1.

14.

Площади подобных треугольников

3 вид — анализ

сложное

4 Б.

Использование соотношения площадей подобных треугольников для определения сторон.

Средняя линия треугольника. Средняя линия трапеции 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

 Средняя линии треугольника. Средняя линия трапеции.

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

 

 

На рисунке средней линией является отрезок DE.

Теорема. Средняя линия треугольника параллельна не пересекающейся с ней стороне треугольника и равна половине этой стороны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и DBE. Они подобны, так как имеют две пары пропорциональных сторон (AB = 2BD, BC = 2BE) и общий угол B. Значит, все углы в этих треугольниках равны. ∠BDE = ∠BAC, следовательно, DE||AC по признаку параллельности: соответствующие углы равны. Коэффициент подобия равен 2, значит, AC = 2DE.

Следствие. Три средних линии делят треугольник на 4 равных треугольника ADF, DBE, ECF, DEF.

Каждый из четырёх треугольников ADF, DBE, ECF, DEF подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия 0,5.

 

 

Напомним, что трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны. Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные стороны – боковыми сторонами трапеции. Отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции, называют диагоналями трапеции.

Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

 

 

На рисунке средней линией трапеции является отрезок EF.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна половине суммы этих оснований.

 

 

Дано: ABCD – трапеция, E – середина AB, F – середина CD.

Доказать: EF||BC||AD, EF = (BC+AD):2.

Доказательство. Проведем через вершину B и середину боковой стороны F трапеции прямую линию. Обозначим точку пересечения прямых BF и AD буквой G.

Рассмотрим треугольники BCF и FDG. В них CF = FD (по условию), ∠BFC = ∠DFG (вертикальные углы), ∠BCF = ∠GDF (накрест лежащие при параллельных прямых). Следовательно, треугольники равны по второму признаку.

Из равенства треугольников следует BF = FG и DG = BC. Значит, отрезок EF является средней линией треугольника ABG. Отсюда следует параллельность: EF||AD||BC.

Найдем длину EF. По теореме о средней линии треугольника EF = AG:2 = (AD+DG):2 = (AD+BC):2, что и требовалось доказать.

Самостоятельная работа по теме «Подобные треугольники. Средняя линия трапеции»

Самостоятельная работа по теме «Подобие треугольников. Средняя линия трапеции»

Вариант 1

1. На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 2 м, если длина его тени равна 1 м, высота фонаря 9 м?

2. Человек, рост которого равен 1,6 м, стоит на расстоянии 17 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 8 м. Определите высоту фонаря (в метрах).

3. Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 120 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 330 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

4. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 4 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?

5.Наклонная крыша установлена на трех вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посредине между малой и большой опорами (см. рис). Высота большей опоры равна 2,8 м, высота меньшей опоры 1,8 м. Найдите высоту средней опоры. Ответ дайте в метрах.

Самостоятельная работа по теме «Подобие треугольников. Средняя линия трапеции»

Вариант 2

1. Человек, рост которого равен 1,8 м, стоит на расстоянии 4 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 1 м. Определите высоту фонаря (в метрах).

2. На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 9 м, высота фонаря 4 м?

3. Проектор полностью освещает экран A высотой 100 см, расположенный на расстоянии 230 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 320 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

4. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м?

5. Наклонная крыша установлена на трех вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посредине между малой и большой опорами (см. рис). Высота большей опоры равна 2,5 м, высота средней опоры 2,2 м. Найдите высоту меньшей опоры. Ответ дайте в метрах.

Самостоятельная работа по теме «Подобие треугольников. Средняя линия трапеции»

Вариант 3

1. Человек, рост которого равен 1,8 м, стоит на расстоянии 11 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 9 м. Определите высоту фонаря (в метрах).

2. На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,6 м, если длина его тени равна 2 м, высота фонаря 4 м?

3. Проектор полностью освещает экран A высотой 50 см, расположенный на расстоянии 200 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 400 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

4. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м?

5. Наклонная крыша установлена на трех вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посредине между малой и большой опорами (см. рис). Высота меньшей опоры равна 1,7 м, высота средней опоры 2,1 м. Найдите высоту большей опоры. Ответ дайте в метрах.

Самостоятельная работа по теме «Подобие треугольников. Средняя линия трапеции»

Вариант4

1. На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 9 м, высота фонаря 5 м?

2. Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 6 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 7,2 м. Найдите длину тени человека в метрах.

3. Проектор полностью освещает экран A высотой 150 см, расположенный на расстоянии 210 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 320 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

4. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 1 м, а длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

5. Наклонная крыша установлена на трех вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посредине между малой и большой опорами (см. рис). Высота большей опоры равна 2,85 м, высота меньшей опоры 2,15 м. Найдите высоту средней опоры. Ответ дайте в метрах.

Самостоятельная работа по теме «Подобие треугольников. Средняя линия трапеции»

Вариант 5

1. Человек, рост которого равен 1,8 м, стоит на расстоянии 16 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 9 м. Определите высоту фонаря (в метрах).

2. На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 1 м, высота фонаря 9 м?

3. Проектор полностью освещает экран A высотой 50 см, расположенный на расстоянии 110 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 270 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

4. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 1 м, а длинное плечо — 3 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

5. Наклонная крыша установлена на трех вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посредине между малой и большой опорами (см. рис). Высота меньшей опоры равна 2,2 м, высота средней опоры 2,5 м. Найдите высоту большей опоры. Ответ дайте в метрах.

Самостоятельная работа по теме «Подобие треугольников. Средняя линия трапеции»

Вариант 6

1. Человек, рост которого равен 1,6 м, стоит на расстоянии 17 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 8 м. Определите высоту фонаря (в метрах).

2. Человек ростом 1,5 м стоит на расстоянии 13 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 5,4 м. Найдите длину тени человека в метрах.

3. Проектор полностью освещает экран A высотой 50 см, расположенный на расстоянии 110 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 360 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

.

4. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 3 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?

5. Наклонная крыша установлена на трех вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посредине между малой и большой опорами (см. рис). Высота большей опоры равна 2,3 м, высота меньшей опоры 1,9 м. Найдите высоту средней опоры. Ответ дайте в метрах.

Подобные треугольники. Повторение к ОГЭ

1. Подобные треугольники

Повторение к ОГЭ

2. Наиболее часто встречающиеся теоретические вопросы

• Признаки подобия треугольников:
1.Если два угла одного треугольника соответственно
равны двум углам другого, то такие треугольники
подобны.
2.Если две стороны одного треугольника
пропорциональны двум сторонам другого треугольника и
углы, заключенные между этими сторонами, равны, то
такие треугольники подобны.
3.Если три стороны одного треугольника
пропорциональны трем сторонам другого, то такие
треугольники подобны.
В
• Прямая, параллельная стороне
треугольника, отсекает от него
треугольник, подобный данному
(почему)?
К
А
Е
С
а
В
С
а//в
О
в
А
Д
Доказать: Δ ВОС ~ Δ АОД
С
5
А
О
В
6
8
10
Д
Найти: СО; ОВ
D
В
9
6
А
4
С
К
Найти: х
х
Р
В
К
4
А
Е
С
18
15
5
6
12
М
Р
Д
Доказать:
АКР~
СМЕ
1.
2.
Даны два подобных треугольника. Стороны одного из
них равны 12 см, 8 см, 6 см, а меньшая сторона
другого равна 9 см. Найдите две другие его стороны.
В треугольнике АВС проведены две высоты АК и ВМ.
1) Докажите, что Δ АКС ~ Δ ВМС.
2) Найдите высоту ВМ, если АК = 18,
СМ = 4, СК = 6.
В
К
А
М
С

8. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK

Прямая, параллельная стороне AC треугольника
ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M
соответственно. Найдите AC, если BK : KA=2:3,
KM=14.
Решение:
В
К
А
14
С
М
Треугольники АВС и КВМ подобны:
угол В — общий,
углы ВАС и ВКМ равны как
соответственные при параллельных
прямых АС и КМ и секущей АВ),
поэтому КМ:АС= ВК:ВА.
Т.к. ВК : КА = 2 : 3, то ВК : ВА = 2 : 5.
Имеем, АС=КМ * ВА : ВК,
АС=14 * 5 : 2 = 35
Ответ:35.

Через точки М и N, принадлежащие сторонам АВ и ВС
треугольника ABC соответственно, проведена прямая
МN, параллельная стороне АС. Найдите длину СN, если
ВС = 6, МN = 4 и АС = 9.
Решение: Треугольники MBN и ABC подобны по первому
признаку подобия., так как
1) у треугольников MBN и ABC угол В – общий 2) в силу
параллельности прямых MN и AC соответственные
углы BMN и BAC равны.
Из подобия треугольников вытекает пропорциональность
соответствующих сторон: BN MN
BC
AC
Обозначим NC за x . Соответственно, BN = 6 – x, согласно
1
условию. Тогда 6 х 4 . Тогда CN =
3
3
6
9
Основания BC и AD трапеции ABCD равны
соответственно 5 и 20, BD=10. Докажите,
что треугольники CBD и BDA подобны.
Решение:
В
А
С
D
Углы СВД и ВДА равны как
накрест лежащие при
параллельных прямых ВС и АД и
секущей ВД.
Стороны ВС и ВД в Δ ВСД
пропорциональны сторонам ВД и
АД в Δ АВД соответственно, т.к.
ВС : ВД = 5 : 10 = 0,5 и
ВД : АД = 10 : 20 = 0,5.
Значит, эти треугольники подобны
(по второму признаку).

11. Наиболее часто встречающиеся теоретические вопросы

• Отношение периметров двух подобных
треугольников равно коэффициенту подобия
• Отношение площадей двух подобных
треугольников равно квадрату
коэффициента подобия
• В прямоугольном треугольнике высота,
проведенная из вершины прямого угла,
разбивает его на два треугольника, подобных
исходному.
1). Прямые МО и КН , пересекающие стороны угла
А, параллельны (М и К лежат на одной стороне
угла). Найдите площадь треугольника АМО, если
известно, что площадь треугольника АКН равна
48 см2, АМ = 4 см, МК = 2 см.
К
М
А
О
Н
2).
Прямая, параллельная основанию треугольника, делит
его на треугольник и трапецию, площади которых
относятся как 4:5. Периметр образовавшегося
треугольника равен 20 см. Найдите периметр данного
треугольника.
Ответ: 30.
3). Через вершину прямого угла прямоугольного
треугольника с катетами 6 и 8 см проведен перпендикуляр к
гипотенузе. Вычислите площади образовавшихся
треугольников.
Ответ: 24; 8,64; 15,36.
4).
Из одной точки проведены к кругу две касательные.
Длина касательной равна 156, а расстояние между
точками касания равно 120. Найдите радиус круга.
План решения:
1. Найдите подобные
треугольники и
докажите их подобие
2. Запишите отношение
сходственных сторон
3. Выполните
необходимые
вычисления
Ответ: 65
4. Запишите ответ
• (№24) Отрезки AB и DC лежат на параллельных
прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M.
Найдите MC, если AB =16, DC = 24, AC = 25.
• (№26) Основания трапеции относятся как 2 : 3.
Через точку пересечения диагоналей проведена
прямая, параллельная основаниям. В каком
отношении эта прямая делит площадь трапеции?
• (№26) Основание AC равнобедренного треугольника
ABC равно 16. Окружность радиуса 12 с центром вне
этого треугольника касается продолжения боковых
сторон треугольника и касается основания AC в его
середине. Найдите радиус окружности, вписанной в
треугольник ABC.

16. Наиболее часто встречающиеся теоретические вопросы

• Треугольники АОD и СОВ, образованные
отрезками диагоналей и основаниями
трапеции, подобны. Коэффициент подобия
k = АО : СО
В
С
О
А
D
Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке K,
причем отрезок BK составляет треть от диагонали BD.
Найдите основание AD, если BC = 12 см.
С
В
РЕШЕНИЕ:
Треугольники ВКС и АКD
подобны по двум углам.
К
А
D
По условию ВК – треть
ВD, тогда ВК : КD = 1 : 2,
значит ВС : АD = 1 : 2,
значит АD = 24.
Ответ: 24 см.

18. Наиболее часто встречающиеся теоретические вопросы

• Средней линией треугольника называется
отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
• Средняя линия треугольника параллельна одной
из его сторон и равна половине этой стороны.
• Отношение сходственных сторон подобных
треугольников равно отношению высот,
проведенных к этим сторонам.
• Катет прямоугольного треугольника является
средним пропорциональным между гипотенузой
и проекцией этого катета на гипотенузу.
• В треугольнике АВС DЕ – средняя линия. Площадь
треугольника СDЕ равна 45. Найдите площадь
С
треугольника АВС.
D
Е
А
В
• Точка H является основанием высоты, проведённой
из вершины прямого угла B треугольника ABC к
гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=7, AC=28.
С
Н
В
А

20. Задачи практического содержания Определение высоты предмета.

Задание 17 № 132764. Человек ростом 1,7 м стоит на
расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь.
Тень человека равна четырем шагам. На какой высоте (в
метрах) расположен фонарь?
Решение.
Столб и человек образуют два прямоугольных
треугольниках ABC и FEB. Эти треугольники подобны по двум
углам. Пусть высота фонаря равна х м , тогда ,откуда Поэтому
фонарь расположен на высоте 5,1 м.
Ответ: 5,1.

21. Задание 17 № 314914. Человек, рост которого равен 1,8 м, стоит на расстоянии 16 м от уличного фонаря. При этом длина тени

Задание 17 № 314914. Человек, рост которого равен
1,8 м, стоит на расстоянии 16 м от уличного фонаря.
При этом длина тени человека равна 9 м. Определите
высоту фонаря (в метрах).
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим
прямоугольные треугольники AEB и СDE, они имеют
общий угол Е и, следовательно, подобны по двум углам.
Значит, AB BE , откуда AB CD BE 1,8 16 9 5 м
CD
DE
DE
9

22. (№26) На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров

(№26) На рисунке изображён колодец с «журавлём».
Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо —
6 м. На сколько метров опустится конец длинного
плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?
С
А
О
В
D
Дано: BO=2 м, OC=6 м,
AB=0,5 м.
Найти: СD
Решение:
Треугольники АВО и DСО
подобны (по двум углам),
АВ : СD = ВО : ОС,
СD=АВ*ОС : ВО,
СD=0,5*6:2=1,5 (м).
Ответ: 1,5
• (№26) На рисунке изображён колодец с «журавлём».
Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 3 м.
На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда
конец короткого поднимется на 1 м?
• (№17) Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 12 м от
столба, на котором висит фонарь на высоте 5,4 м.
Найдите длину тени человека в метрах.
• (№17) № 44. Проектор полностью освещает
экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии
250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии
(в сантиметрах) от проектора нужно расположить
экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью
освещён, если настройки проектора остаются
неизменными?
Ответ: 500.
Решение (1 способ)
Заметим, что высота экрана,
расположенного на расстоянии
250 см, в 2 раза меньше высоты
экрана, расположенного на
искомом расстоянии, значит, по
теореме о средней линии,
искомое расстояние в два раза
больше первоначального
экрана:
250·2 = 500.
• (№17) № 44. Проектор полностью освещает
экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии
250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии
(в сантиметрах) от проектора нужно расположить
экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью
освещён, если настройки проектора остаются
неизменными?
Решение (2 способ)
F
D
С
H
K
E
G
По условию FG=160 см,
DE=80 см, СН=250 см.
Найти: СК.
Δ СFG ~ Δ CDE (признак?),
поэтому
СН : СК = DE : FG.
СК = СН * FG : DЕ
СН=250*160 : 80 = 500
Ответ: 500.
Стр.357 Задача 25. Известно, что около
четырёхугольника АВСD можно описать окружность и
что продолжения сторон АВ и СD четырёхугольника
пересекаются в точке М. Докажите, что треугольники
МВС и МDA подобны.
B
РЕШЕНИЕ.

Как найти длину стороны трапеции

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно
или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Как определить, похожи ли трапеции

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно
или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Геометрия

— Трапеция, разрезанная на 2 части, образует две одинаковые трапеции?

geometry — Трапеция, разрезанная на 2 части, образует две одинаковые трапеции? — Обмен математическим стеком

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 176 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

  1. 0

  2. +0

  3. Авторизоваться
    Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено
102 раза

$ \ begingroup $

Рассмотрим трапецию ABCD, у которой AB меньше CD, AB параллельна CD, под прямым углом к ​​A и D.Если отрезок EF проведен от AD до BC параллельно основаниям, похожи ли две внутренние трапеции?
Кроме того, пересечение диагоналей трапеции ABCD лежит на отрезке EF.

В этом случае я знаю, что все углы трапеций должны быть равны, но я не уверен, достаточно ли этого, чтобы предполагать сходство трапеций.

задан 26 мая ’20 в 22: 352020-05-26 22:35

$ \ endgroup $

4

$ \ begingroup $

Обозначим через $ O $ пересечение диагоналей.Тогда из подобных треугольников имеем
$$ \ frac {EO} {AB} = \ frac {DO} {DB} $$
а также
$$ \ frac {EO} {CD} = \ frac {AO} {AC} = \ frac {BO} {DB} $$
поэтому складывая равенства, мы получаем
$$ \ frac {EO} {AB} + \ frac {EO} {CD} = \ frac {DO} {DB} + \ frac {BO} {DB} = 1 $$
и аналогично
$$ \ frac {FO} {AB} + \ frac {FO} {CD} = 1 $$
Вывод: $ EO = FO $ и
$$ \ frac {1} {EF} = \ frac {1} {2} (\ frac {1} {AB} + \ frac {1} {CD}) $$
поэтому $ EF $ — это среднее гармоническое для $ AB $, $ CD $ (и, следовательно, не среднее геометрическое).

$ \ bf {Добавлено:} $ Для общего параллельного отрезка $ EF $ его длина представляет собой средневзвешенное значение $ AB $ и $ CD $.
$$ EF = \ frac {ED} {AD} AB + \ frac {AE} {AD} CD $$

Если брать соотношение
$ \ frac {AE} {ED} = \ sqrt {\ frac {AB} {CD}} $ вы получите $ EF = \ sqrt {AB \ cdot CD} $ и две похожие маленькие трапеции.Обратите внимание, что вам нужно нарисовать $ EF $ немного ниже точки пересечения диагонали, но выше средней линии.

Создан 26 мая.

апельсин

37.7k33 золотых знака2828 серебряных знаков6363 бронзовых знака

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $

Поскольку $ AB \ parallel EF \ parallel CD $, то $$ \ frac {AE} {EC} = \ frac {AG} {GD} = \ frac {BF} {FD} $$ и, следовательно, для соответствующих сторон в двух трапеции $$ \ frac {AE} {EC} = \ frac {BF} {FD} $$

Но поскольку по аналогичным треугольникам $$ \ frac {AE} {EC} = \ frac {AG} {GD} = \ frac {AB} {CD} <\ frac {EF} {CD} $$, то основания равноугольные трапеции не пропорциональны соответствующим сторонам, и трапеции не похожи друг на друга.

Создан 26 мая.

Эдвард Порселла, Эдвард Порселла

2,75522 золотых знака77 серебряных знаков1414 бронзовых знаков

$ \ endgroup $

Не тот ответ, который вы ищете? Посмотрите другие вопросы с метками геометрия или задайте свой вопрос.

Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie

Настроить параметры

линий, параллельных основанию трапеции — HM-GM-AM-RMS Неравенства

линий, параллельных основанию трапеции — HM-GM-AM-RMS Неравенства





Для
все следующие задачи считать заданными (или сконструированными)
трапеция с параллельными сторонами длиной a и b.

Какова длина в пересчете на a и b ,
отрезка параллельной прямой через середины наклонной
стороны трапеции?

Какова длина в пересчете на a и b ,
отрезка параллельной прямой через пересечение
диагонали трапеции?

Предложения и обсуждения

Какова длина в пересчете на a и b ,
отрезка параллельной линии, разделяющей трапецию
на две одинаковых трапеций?

Какова длина в пересчете на a и b ,
отрезка параллельной линии, разделяющей трапецию
на две трапеции равной площади ?

Сравните четыре отрезка линии на одной трапеции.Всегда ли они находятся в одном и том же относительном положении?

Сравните четыре
формулы.

Какое неравенство будет сохраняться всегда?

Если пригодится
Вам доступен эскиз GSP, нажав ЗДЕСЬ.

Используйте конструкцию линейки и компаса или используйте блокнот Геометра,
до построить отрезок прямой, параллельный основаниям
длина a и b для разделения трапеции
на две одинаковых трапеций.

Используйте конструкцию линейки и компаса или используйте блокнот Геометра,
до построить отрезок прямой, параллельный основаниям
длина a и b для разделения трапеции
на две трапеции одинаковой площади.

Рассмотрим ваше определение трапеции.

— это
прямоугольник равнобедренная трапеция?

В этой задаче какой
условие в неравенствах, когда a = b ?

ли
Ваше определение равнобедренной трапеции позволяет продемонстрировать, что точка ?


Вернуться в EMAT
4600/6600 Страница



Калькулятор трапеций: найдите A и P

Добро пожаловать в калькулятор трапеций Omni , где мы узнаем все об этих четырехсторонних формах.Мы покажем вам , как вычислить площадь трапеции, , как найти высоту трапеции, или как выглядит формула периметра трапеции . Также мы уделим время описанию некоторых особых типов четырехугольника: равнобедренной трапеции и правой трапеции. И не волнуйтесь; мы не оставляем камня на камне — мы даже упоминаем в калькуляторе срединный и трапециевидный углы.

Похоже, есть несколько вещей, которые нужно обсудить, так что поехали, ладно?

Что такое трапеция?

Трапеция — это четырехугольник (форма, имеющая четыре стороны), у которого есть по крайней мере одна пара противоположных сторон, параллельных друг другу.Обратите внимание, что мы сказали « по крайней мере, одна пара сторон» — если фигура имеет две такие пары, это просто прямоугольник. И не заблуждайтесь — каждый прямоугольник представляет собой трапецию . Обратное, конечно, неверно.

Две параллельные стороны обычно называют основаниями . Обычно мы рисуем трапеции так, как мы это делали выше, что может подсказывать, почему мы часто различаем их, говоря нижний и верхний нижний . Две другие непараллельные стороны называются ножками (аналогично двум сторонам прямоугольного треугольника).

Есть несколько особых случаев трапеций, которые мы хотели бы здесь упомянуть.

  1. Прямоугольник
    Мы уже упоминали об этом в начале этого раздела — это трапеция, у которой две пары противоположных сторон, параллельных друг другу .

  2. Равнобедренная трапеция
    Трапеция, ноги которой имеют одинаковую длину (аналогично тому, как мы определяем равнобедренные треугольники).

  3. Правая трапеция
    Трапеция, одна нога которой перпендикулярна основанию .Во-первых, обратите внимание, что здесь нам требуется только одна из ног, чтобы удовлетворить этому условию — другая может или не может. Во-вторых, обратите внимание на то, что если нога перпендикулярна одному из оснований, то она автоматически перпендикулярна и другой, так как обе ноги параллельны.

Имея в виду эти частные случаи, внимательный взгляд может заметить, что прямоугольники удовлетворяют условиям 2 и 3 . Действительно, если бы кто-то не знал, что такое прямоугольник, мы могли бы просто сказать, что это равнобедренная трапеция, которая также является правой трапецией.Довольно причудливое определение по сравнению с обычным, но оно определенно заставляет нас звучать утонченно, не так ли?

Прежде чем мы перейдем к следующему разделу, позвольте нам упомянуть еще два линейных сегмента, которые есть у всех трапеций.

Высота трапеции — это расстояние между основаниями, то есть длина линии, соединяющей два , которая перпендикулярна обоим. Фактически, это значение имеет решающее значение, когда мы обсуждаем, как вычислить площадь трапеции, и поэтому получает отдельный отдельный раздел.

Середина трапеции — это линия, соединяющая середины ног. Другими словами, с учетом приведенного выше рисунка, это линия, разрезающая трапецию по горизонтали пополам . Он всегда параллелен основаниям и с обозначениями, как на рисунке, у нас есть медиана = (a + b) / 2 . Если вам интересно название, обязательно ознакомьтесь с калькулятором медианы Omni (примечание: он не касается трапеций).

Хорошо, мы достаточно хорошо узнали нашу форму ; мы даже видели одну формулу трапеции! Давайте сделаем еще один шаг и попробуем еще лучше разобраться в теме.Мы начнем этот углубленный анализ с формулы периметра трапеции и ее внутренних углов .

Формула периметра трапеции и углы трапеции

Периметр многоугольника равен сумме длин его сторон . Для героя сегодняшней статьи история ничем не отличается. Используя обозначения, как на рисунке в первом разделе (и в калькуляторе трапеций), мы выводим формулу периметра трапеции как:

П = а + б + в + г .

Довольно просто, не правда ли?

Далее, поговорим об углах .Как и в любом другом четырехугольнике, сумма углов трапеции составляет 360 градусов (или радиан). Однако условие того, чтобы быть трапецией (т.е. иметь пару параллельных сторон), накладывает дополнительные свойства на отдельные из них. Если быть точным, пара углов вдоль одной из ножек — это дополнительные углы. Это означает, что их сумма должна равняться 180 градусам (или π радиан), что в обозначениях из рисунка в первом разделе означает:

α + 𝛾 = β + δ = 180 ° .

Обратите внимание, что наш инструмент также упоминает углы в нижнем наборе переменных полей. Таким образом, он также может служить калькулятором угла трапеции, когда это числа, которые мы ищем. И действительно, они часто пригодятся — они играют важную роль , когда мы учимся определять высоту трапеции, и это, в свою очередь, появляется при изучении того, как вычислить площадь трапеции. Однако начнем с последнего вопроса.

Как рассчитать площадь трапеции

Давайте снова возьмем картинку из первого раздела, чтобы вам не приходилось пролистывать всю статью всякий раз, когда вы хотите вспомнить обозначения.

Площадь формулы трапеции имеет следующий вид:

A = (a + b) * h / 2 .

Обратите внимание, что действительно, как мы уже упоминали несколько раз, очень важно знать, как найти высоту трапеции, чтобы вычислить ее площадь. Кроме того, ноги никогда не фигурируют в уравнении. Конечно, они определяют форму нашего четырехугольника, но их длина используется только в формуле периметра трапеции, которую мы обсуждали в предыдущем разделе.

Наконец, давайте проясним, что по порядку операций не имеет значения, в какой момент мы делим на 2 в указанной выше области формулы трапеции.Мы можем либо сначала вычислить (a + b) * h , а затем разделить все на 2 , либо сначала найти h / 2 и только потом умножить его на (a + b) . Фактически, зоркий глаз заметит, что (a + b) / 2 — это медиана , которую мы упомянули в первом разделе. Другими словами, в качестве альтернативы мы можем использовать формулу A = median * h , чтобы найти A .

Хорошо, мы научились вычислять площадь трапеции, и все это кажется простым, если мы предоставим нам все данные на пластине. Но что, если они этого не сделают? Базы достаточно простые, но как насчет х ? Что ж, пора посмотреть , как найти высоту трапеции.

Как найти высоту трапеции

Решающий факт, который мы используем для определения высоты трапеции, заключается в том, что — это отрезок прямой, перпендикулярный основанию . Это дает нам прямой угол в обеих конечных точках, что позволяет нам использовать прямоугольные треугольники. И первое, что приходит в голову, когда мы слышим фразу прямоугольный треугольник , это, конечно же, теорема Пифагора.

Давайте проведем линию от одной из верхних вершин , которая падает на нижнее основание и под углом 90 градусов. (Обратите внимание на то, как для тупых трапеций, подобных изображенной на правом изображении выше, высота h выходит за пределы формы, то есть на линии, содержащей a , а не a как таковую. Тем не менее, то, что мы описываем ниже, все еще остается в силе. для таких четырехугольников.) Длина этой линии равна высоте нашей трапеции, поэтому именно то, что мы ищем. Обратите внимание на то, как мы нарисовали линию , она образует прямоугольный треугольник с одной из сторон c или d (в зависимости от того, какую верхнюю вершину мы выбрали).

Если у нас есть длина ноги трапеции и мы можем вычислить другую сторону прямоугольного треугольника (например, e или f на картинке выше), то мы знаем, как найти высоту трапеции — воспользуемся теоремой Пифагора .Однако есть еще один способ его вычисления.

Если вы немного разбираетесь в тригонометрии, вы сможете найти высоту , используя внутренний угол трапеции . Чтобы быть точным, глядя на углы трапеции в нашем калькуляторе (то есть на обозначения на рисунке), мы можем использовать определение тригонометрических функций, чтобы написать:

h = c * sin (α) = d * sin (δ) ,

, где sin — синусоидальная функция. На самом деле, может случиться так, что угол равен 30 , 45 или 60 градусов, и в этом случае мы можем просто использовать свойства специальных прямоугольных треугольников с такими внутренними углами.

Наконец, отметим, что весь этот поиск h очень прост в особом случае — когда у нас есть и правая трапеция . Тогда высота нашей трапеции — это просто нога, лежащая рядом с прямым углом. Обратите внимание, что в этом случае приведенная выше тригонометрическая формула все еще работает, поскольку sin (90 °) = 1 .

Уф, это было много теории . Пришло время использовать эти формулы трапеций и посмотреть, как вычислить площадь и периметр трапеции на практике .

Пример: использование калькулятора трапеций

Давайте посмотрим на , как найти площадь и периметр трапеции со сторонами и углами, обозначенными как в калькуляторе трапеций, и следующими данными:

a = 8 дюймов , b = 5 дюймов , d = 3 дюйма , α = 90 ° , δ = 45 ° .

На вид не так много, но давайте посмотрим, что мы можем здесь сделать . Однако во-первых, давайте заметим, что наш калькулятор трапеций может легко справиться с нашей задачей даже с таким небольшим количеством информации.Действительно, если мы введем вышеуказанные числа в наш инструмент (обратите внимание, как мы можем переключиться на другие единицы, щелкнув по ним и выбрав подходящий из списка), он заполнит все остальные поля . Например, в качестве калькулятора угла трапеции он будет использовать идентификаторы, упомянутые во втором разделе, для вычисления β и 𝛾 . Также обратите внимание, что мы можем дополнительно перейти в расширенный режим и увидеть длину медианы.

Если инструмент может это сделать, можем и мы! Давайте посмотрим, как вычислить площадь и периметр трапеции вручную.

Прежде всего, обратите внимание, что мы имеем дело с правой трапецией , так как α = 90 ° (фактически, у нас также есть β = 90 ° ). Это означает, что сторона c перпендикулярна основаниям и, следовательно, равна высоте c = h . Однако мы не знаем c , поэтому нам еще нужно найти .

Для этого нарисуйте высоту нашей трапеции , которая идет от вершины между b и d .Вместе с d и частью a , он образует прямоугольный треугольник . Более того, нам известен один из его углов — δ = 45 ° . Значит, это один из частных случаев — это половина квадрата. Следовательно, h равно нижней стороне треугольника, а d фактически является диагональю квадрата, что означает, что:

h = d / √2 = 3 дюйма / √2 = 1,5√2 дюйма ≈ 2,1213 дюйма

(последнее равенство получаем, рационализируя знаменатель).

Теперь у нас есть все необходимое , чтобы найти A . Вспомните из специального раздела, как рассчитать площадь трапеции, и используйте эту информацию для получения

.

A = (a + b) * h / 2 = (8 дюймов + 5 дюймов) * 1,5√2 дюйма / 2 = 9,75√2 дюйма² ≈ 13,789 дюйма² .

Мы также собрали все данные, чтобы найти P , поскольку c = h = 1,5√2 в . По формуле периметра трапеции из второго сечения получаем

P = a + b + c + d = 8 дюймов + 5 дюймов + 1.5√2 дюйма + 3 дюйма = 16 + 1,5√2 дюйма ≈ 18,12 дюйма .

Неплохо, правда? Стороны и углы, которые мы получили вначале, казались довольно случайными, но нам удалось найти им хорошее применение. Если вы чувствуете, что жаждет большего количества геометрии и формул , обязательно ознакомьтесь с другими калькуляторами 2D-форм на веб-сайте Omni — у нас есть все!

Четырехугольники — трапеции | Шмооп

Трапеции

Последнее семейство четырехугольников — изгои.Они отличаются от остальных четырехугольников, как социально неудобный гость на четырехугольной вечеринке.

В то время как у остальных есть конгруэнтные стороны и углы, о которых можно болтать, эти четырехугольники просто висят у закусочной. Время от времени они могут завязать разговор с одиноким многоугольником, который случайно забредает туда, но это никогда не длится долго, и они просто возвращаются к неудобно уставившимся себе под ноги.

Трапеция представляет собой четырехугольник с только одним набором параллельных сторон.У них абсолютно не может иметь два набора параллельных сторон. Поэтому, когда трапеции начинают свою вечеринку после того, как их выгнали из четырехугольника, мы можем быть уверены, что прямоугольники, квадраты и параллелограммы определенно не будут в списке гостей. Возьмите это, лохи.

Пример задачи

Этот четырехугольник — трапеция?

Сколько пар параллельных линий вы видите? Верх и низ параллельны друг другу, как и две стороны.Поскольку у него две пары параллельных линий, а у трапеции должно быть только одно , это не трапеция. Извини, приятель.

Подобно воздушным змеям с их особыми диагоналями, трапеции также имеют части со специальными названиями (хотя ни одно из них не так странно, как названия наших частей). Трапеция имеет два основания, каждое из которых является одной из параллельных сторон. Две другие стороны, которые не параллельны друг другу, называются ножками трапеции.

Поскольку параллельны только основания, а ветви — нет, мы можем представить этот сценарий как две непараллельные трансверсали, пересекающие пару параллельных линий.

Глядя на ∠1 и ∠2, мы видим, что это последовательные внутренние углы. То же самое касается №3 и №4. Мы уже знаем (благодаря нашему обширному опыту работы с параллельными линиями), что последовательные внутренние углы являются дополнительными, поэтому мы доказали, что последовательные углы в трапеции, которые имеют одну и ту же опору, являются дополнительными.

Когда обе стороны трапеции имеют одинаковую длину, у нас есть особый тип четырехугольника, называемый равнобедренной трапецией .

Как и следовало ожидать, равнобедренные трапеции имеют конгруэнтные части, а также конгруэнтные последовательные углы, общие для основания. Конечно, в то время как равнобедренные треугольники имеют только одно «основание», у равнобедренных трапеций их два. Мы говорим, что вдвойне веселее.

Пример задачи

Если трапеция JANE равнобедренная и один из углов ее основания составляет 73 °, каковы размеры остальных трех углов?

Существует много разных способов определения размеров ∠1, ∠2 и ∠3, но мы начнем с того факта, что в равнобедренной трапеции оба угла, имеющие общее основание, совпадают.Поскольку угол 73 ° и ∠3 разделяют основание JE , они совпадают. Другими словами, m∠3 = 73 °.

Мы также знаем, что, поскольку ∠2 и ∠3 являются последовательными внутренними углами, они являются дополнительными. Мы знаем меру 3, поэтому давайте найдем меру 2.

м∠2 + м∠3 = 180 °
м∠2 + 73 ° = 180 °
м∠2 = 180 ° — 73 °
м∠2 = 107 °

А как насчет ∠1? Поскольку у него общее основание с ∠2, эти два угла конгруэнтны друг другу. Это также означает, что m∠1 = 107 °.

Мы можем дважды проверить это, вспомнив, что все четырехугольники имеют внутренние углы, которые в сумме составляют 360 °.Если мы возьмем сумму этих четырех углов, то и получим это число.

73 ° + 73 ° + 107 ° + 107 ° ≟ 360 °
360 ° = 360 °

Ага. Это углы, которые у нас есть. Не сомневайся на этот счет.

Каждый четырехугольник имеет свои VIP или очень важные многоугольники. И без того эксклюзивный клуб трапеций не исключение. VIP-элементы семейства трапеций — это равнобедренные трапеции. Если они не славятся своими одинаковыми базовыми углами и ногами, то говорят их диагонали.Да, верно: у равнобедренных трапеций совпадающие диагонали. Не верите нам? Подскажем: это из-за чего-то под названием SAS. (Нет, не «дерзко».)

Другой тип VIP в области трапеций — это правая трапеция , имеющая один прямой угол. Конечно, где бы ни находился этот прямой угол, к нему будет идти еще один, потому что основания параллельны друг другу.

Хотя не все трапеции созданы равными, нам понадобится что-то, чтобы объединить все трапеции, чтобы не было гражданской войны или чего-то подобного.Итак, мы дадим каждой трапеции — даже этим обычным старым неравнобедренным — нечто вроде пояса, называемое медианой. Это выравнивает игровое поле, а также помогает им втягивать кишки после сытной трапезы в День Благодарения.

Медиана трапеции — это сегмент, параллельный основаниям, который соединяет середины непараллельных сторон. Эта линия особенная, потому что мы можем определить ее длину непосредственно по длине двух оснований. Без шуток.

Длина медианы трапеции, L , составляет половину суммы длин оснований, B 1 и B 2 .

Пример задачи

Четырехугольник ABCD — это трапеция, а EF — это медиана трапеции. Какова длина EF ?

Поскольку мы знаем длины двух оснований, мы можем использовать формулу медианы, чтобы найти эту длину.

Медиана EF составляет 16 единиц в длину.

Две одинаковые трапеции имеют масштабный коэффициент 3: 2. Периметр большей трапеции составляет 21 ярд.Каков периметр меньшей трапеции?

Lo R.

задано • 05.03.15

Две одинаковые трапеции имеют масштабный коэффициент 3: 2. Периметр большей трапеции составляет 21 ярд. каков периметр меньшей трапеции?

Филип П.ответил • 05.03.15

Доступный, опытный и терпеливый репетитор по геометрии

Периметр меньшей трапеции = (Периметр большей трапеции) / (Масштабный коэффициент)

= (21 ярд) / (3/2) = (21 ярд) * (2/3) = 14 ярдов

Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ быстро.

ИЛИ

Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и познакомьтесь онлайн.
Никаких пакетов или подписок, платите только за необходимое время.


¢

£
¥

µ
·

§

SS


«
»
< >




¯

¤
¦
¨
¡
¿
ˆ
˜
°

±
÷

×
ƒ















¬







*


´
¸
ª
º


А
Á
Â
Ã
Ä
Å
Æ
Ç
È
É
Ê
Ë
Я
Я
Я
Я
Ð
Ñ
Ò
Ó
Ô
Õ
Ö
Ø
Œ
Š
Ù
Ú
Û
Ü
Ý
Ÿ
Þ
à
á
â
ã
ä
å
æ
ç
è
é
ê
ë
я
я
я
я
ð
ñ
ò
ó
ô
х
ö
ø
œ
š
ù
ú
û
ü
ý
þ
ÿ
Α
Β
Γ
Δ
Ε
Ζ
Η
Θ
Ι
Κ
Λ
Μ
Ν
Ξ
Ο
Π
Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
μ
ν
ξ
ο
π
ρ
ς
σ
τ
υ
φ
χ
ψ
ω

ϖ

ϒ





























.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.