y 6 x

Вы искали y 6 x? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и y 6 x 2, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «y 6 x».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как y 6 x,y 6 x 2,y 6 x y 6x,y 6 x график функции,y 6 x построить график функции,y 6x,y х 6,график функции 6 x,построить график функции y 6 x,построить график функции y x 6 x,постройте график y 6 x,постройте график функции y x 6 x,постройте график функций y 6 x,функция y 6 x. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и y 6 x. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, y 6 x y 6x).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же y 6 x Онлайн?

Решить задачу y 6 x вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Построить схематический график функции y 6 x. Функции и графики. Словесное описание функции

Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х
, а на оси ординат — значения функции у = f (х)
.

Графиком функции y = f(x)
называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Другими словами, график функции y = f (х) — это множество всех точек плоскости, координаты х,
у
которых удовлетворяют соотношению y = f(x)
.

На рис. 45 и 46 приведены графики функций у = 2х + 1
и у = х 2 — 2х
.

Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его части, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».

С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а
принадлежит области определения функции y = f(x)
, то для нахождения числа f(а)
(т. е. значения функции в точке х = а
) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а
провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x)
в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а)
(рис. 47).

Например, для функции f(х) = х 2 — 2x
с помощью графика (рис. 46) находим f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т. д.

График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 46 ясно, что функция у = х 2 — 2х
принимает положительные значения при х и при х > 2
, отрицательные — при 0 у = х 2 — 2х
принимает при х = 1
.

Для построения графика функции f(x)
нужно найти все точки плоскости, координаты х
, у
которых удовлетворяют уравнению y = f(x)
. В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно — с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х
придают конечное число значений — скажем, х 1 , х 2 , x 3 ,…, х k и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.

Таблица выглядит следующим образом:

Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции y = f(x)
. Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y = f(x).

Следует, однако, заметить, что метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен. В самом деле поведение графика между намеченными точками и поведение его вне отрезка между крайними из взятых точек остается неизвестным.

Пример 1
. Для построения графика функции y = f(x)
некто составил таблицу значений аргумента и функции:

Соответствующие пять точек показаны на рис. 48.

На основании расположения этих точек он сделал вывод, что график функции представляет собой прямую (показанную на рис. 48 пунктиром). Можно ли считать этот вывод надежным? Если нет дополнительных соображений, подтверждающих этот вывод, его вряд ли можно считать надежным. надежным.

Для обоснования своего утверждения рассмотрим функцию

.

Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 49). Другим примером может служить функция y = x + l + sinπx;
ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.

Эти примеры показывают, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен. Поэтому для построения графика заданной функции,как правило, поступают следующим образом. Сначала изучают свойства данной функции, с помощью которых можно построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции в нескольких точках (выбор которых зависит от установленных свойств функции), находят соответствующие точки графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую, используя свойства данной функции.

Некоторые (наиболее простые и часто используемые) свойства функций, применяемые для нахождения эскиза графика, мы рассмотрим позже, а сейчас разберем некоторые часто применяемые способы построения графиков.

График функции у = |f(x)|.

Нередко приходится строить график функции y = |f(x)
|, где f(х) —
заданная функция. Напомним, как это делается. По определению абсолютной величины числа можно написать

Это значит, что график функции y =|f(x)|
можно получить из графика, функции y = f(x)
следующим образом: все точки графика функции у = f(х)
, у которых ординаты неотрицательны, следует оставить без изменения; далее, вместо точек графика функции y = f(x)
, имеющих отрицательные координаты, следует построить соответствующие точки графика функции у = -f(x)
(т. е. часть графика функции
y = f(x)
, которая лежит ниже оси х,
следует симметрично отразить относительно оси х
).

Пример 2.
Построить график функции у = |х|.

Берем график функции у = х
(рис. 50, а) и часть этого графика при х (лежащую под осью х
) симметрично отражаем относительно оси х
. В результате мы и получаем график функции у = |х|
(рис. 50, б).

Пример 3
. Построить график функции y = |x 2 — 2x|.

Сначала построим график функции y = x 2 — 2x.
График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы имеет координаты (1; -1), ее график пересекает ось абсцисс в точках 0 и 2. На промежутке (0; 2) фукция принимает отрицательные значения, поэтому именно эту часть графика симметрично отразим относительно оси абсцисс. На рисунке 51 построен график функции у = |х 2 -2х|
, исходя из графика функции у = х 2 — 2x

График функции y = f(x) + g(x)

Рассмотрим задачу построения графика функции y = f(x) + g(x).
если заданы графики функций y = f(x)
и y = g(x)
.

Заметим, что областью определения функции y = |f(x) + g(х)| является множество всех тех значений х, для которых определены обе функции y = f{x) и у = g(х), т. е. эта область определения представляет собой пересечение областей определения, функций f{x) и g{x).

Пусть точки (х 0 , y 1
) и (х 0 , у 2
) соответственно принадлежат графикам функций y = f{x)
и y = g(х)
, т. е. y 1 = f(x 0), y 2 = g(х 0).
Тогда точка (x0;. y1 + y2) принадлежит графику функции у = f(х) + g(х)
(ибо f(х 0) + g(x 0
) = y1 +y2
),. причем любая точка графика функции y = f(x) + g(x)
может быть получена таким образом. Следовательно, график функции у = f(х) + g(x)
можно получить из графиков функций y = f(x)
. и y = g(х)
заменой каждой точки (х n , у
1) графика функции y = f(x)
точкой (х n , y 1 + y 2),
где у 2 = g(x n
), т. е. сдвигом каждой точки (х n , у 1
) графика функции y = f(x)
вдоль оси у
на величину y 1 = g(х n
). При этом рассматриваются только такие точки х
n для которых определены обе функции y = f(x)
и y = g(x)
.

Такой метод построения графика функции y = f(x) + g(х
) называется сложением графиков функций y = f(x)
и y = g(x)

Пример 4
. На рисунке методом сложения графиков построен график функции
y = x + sinx
.

При построении графика функции y = x + sinx
мы полагали, что f(x) = x,
а g(x) = sinx.
Для построения графика функции выберем точки с aбциссами -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Значения f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx
вычислим в выбранных точках и результаты поместим в таблице.

В золотой век информационных технологий мало кто будет покупать миллиметровку и тратить часы для рисования функции или произвольного набора данных, да и зачем заниматься столь муторной работой, когда можно построить график функции онлайн. Кроме того, подсчитать миллионы значений выражения для правильного отображения практически нереально и сложно, да и несмотря на все усилия получится ломаная линия, а не кривая. Потому компьютер в данном случае – незаменимый помощник.

Что такое график функций

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент другого множества, например, выражение y = 2x + 1 устанавливает связь между множествами всех значений x и всех значений y, следовательно, это функция. Соответственно, графиком функции будет называться множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному выражению.

На рисунке мы видим график функции y = x
. Это прямая и у каждой ее точки есть свои координаты на оси X
и на оси Y
. Исходя из определения, если мы подставим координату X
некоторой точки в данное уравнение, то получим координату этой точки на оси Y
.

Сервисы для построения графиков функций онлайн

Рассмотрим несколько популярных и лучших по сервисов, позволяющих быстро начертить график функции.

Открывает список самый обычный сервис, позволяющий построить график функции по уравнению онлайн. Umath содержит только необходимые инструменты, такие как масштабирование, передвижение по координатной плоскости и просмотр координаты точки на которую указывает мышь.

Инструкция:

1. Введите ваше уравнение в поле после знака «=».
2. Нажмите кнопку «Построить график»
   .

Как видите все предельно просто и доступно, синтаксис написания сложных математических функций: с модулем, тригонометрических, показательных — приведен прямо под графиком. Также при необходимости можно задать уравнение параметрическим методом или строить графики в полярной системе координат.

В Yotx есть все функции предыдущего сервиса, но при этом он содержит такие интересные нововведения как создание интервала отображения функции, возможность строить график по табличным данным, а также выводить таблицу с целыми решениями.

Инструкция:

1. Выберите необходимый способ задания графика.
2. Введите уравнение.
3. Задайте интервал.
4. Нажмите кнопку «Построить»
   .

Для тех, кому лень разбираться, как записать те или иные функции, на этой позиции представлен сервис с возможностью выбирать из списка нужную одним кликом мыши.

Инструкция:

1. Найдите в списке необходимую вам функцию.
2. Щелкните на нее левой кнопкой мыши
3. При необходимости введите коэффициенты в поле «Функция:»
   .
4. Нажмите кнопку «Построить»
   .

В плане визуализации есть возможность менять цвет графика, а также скрывать его или вовсе удалять.

Desmos безусловно – самый навороченный сервис для построения уравнений онлайн. Передвигая курсор с зажатой левой клавишей мыши по графику можно подробно посмотреть все решения уравнения с точностью до 0,001. Встроенная клавиатура позволяет быстро писать степени и дроби. Самым важным плюсом является возможность записывать уравнение в любом состоянии, не приводя к виду: y = f(x).

Инструкция:

1. В левом столбце кликните правой кнопкой мыши по свободной строке.
2. В нижнем левом углу нажмите на значок клавиатуры.
3. На появившейся панели наберите нужное уравнение (для написания названий функций перейдите в раздел «A B C»).
4. График строится в реальном времени.

Визуализация просто идеальная, адаптивная, видно, что над приложением работали дизайнеры. Из плюсов можно отметить огромное обилие возможностей, для освоения которых можно посмотреть примеры в меню в верхнем левом углу.

Сайтов для построения графиков функций великое множество, однако каждый волен выбирать для себя исходя из требуемого функционала и личных предпочтений.3$.
2. Найдем точку А, координата x, которой равна 1,5. Мы видим, что координата функции находится между значениями 3 и 4 (см. рис. 2). Значит надо заказать 4 куба.

Построение графиков функций — одна из возможностей Excel. В этой статье мы рассмотрим процесс построение графиков некоторых математических функций: линейной, квадратичной и обратной пропорциональности.

Функция, это множество точек (x, y), удовлетворяющее выражению y=f(x). Поэтому, нам необходимо заполнить массив таких точек, а Excel построит нам на их основе график функции.

1) Рассмотрим пример построения графика линейной функции: y=5x-2

Графиком линейной функции является прямая, которую можно построить по двум точкам. Создадим табличку

В нашем случае y=5x-2. В ячейку с первым значением y
введем формулу: =5*D4-2
. В другую ячейку формулу можно ввести аналогично (изменив D4
на D5
) или использовать маркер автозаполнения.

В итоге мы получим табличку:

Теперь можно приступать к созданию графика.

Выбираем: ВСТАВКА — > ТОЧЕЧНАЯ -> ТОЧЕЧНАЯ С ГЛАДКИМИ КРИВЫМИ И МАРКЕРАМИ (рекомендую использовать именно этот тип диаграммы)

Появиться пустая область диаграмм. Нажимаем кнопку ВЫБРАТЬ ДАННЫЕ

Выберем данные: диапазон ячеек оси абсцисс (х) и оси ординат (у). В качестве имени ряда можем ввести саму функцию в кавычках «y=5x-2» или что-то другое. Вот что получилось:

Нажимаем ОК. Перед нами график линейной функции.

2) Рассмотрим процесс построения графика квадратичной функции — параболы y=2x 2 -2

Параболу по двум точкам уже не построить, в отличии от прямой.

Зададим интервал на оси x
, на котором будет строиться наша парабола. Выберу [-5; 5].

Задам шаг. Чем меньше шаг, тем точнее будет построенный график. Выберу 0,2
.

Заполняю столбец со значениями х
, используя маркер автозаполнения до значения х=5
.

Столбец значений у
рассчитывается по формуле: =2*B4^2-2.
Используя маркер автозаполнения, рассчитываем значения у
для остальных х
.

Выбираем: ВСТАВКА — > ТОЧЕЧНАЯ -> ТОЧЕЧНАЯ С ГЛАДКИМИ КРИВЫМИ И МАРКЕРАМИ и действуем аналогично построению графика линейной функции.

Чтобы не было точек на графике, поменяйте тип диаграммы на ТОЧЕЧНАЯ С ГЛАДКИМИ КРИВЫМИ.

Любые другие графики непрерывных функций строятся аналогично.

3) Если функция кусочная, то необходимо каждый «кусочек» графика объединить в одной области диаграмм.

Рассмотрим это на примере функции у=1/х
.

Функция определена на интервалах (- беск;0) и (0; +беск)

Создадим график функции на интервалах: [-4;0) и (0; 4].

Подготовим две таблички, где х изменяется с шагом 0,2
:

Находим значения функции от каждого аргумента х
аналогично примерам выше.

На диаграмму вы должны добавить два ряда — для первой и второй таблички соответственно

Получаем график функции y=1/x

В дополнение привожу видео — где показан порядок действий, описанный выше.

В следующей статье расскажу как создать 3-мерные графики в Excel.

Спасибо за внимание!

Построение графиков онлайн. Построение графиков онлайн Построить график функции у х3 6х2

Разделы:

Математика

Тема:
“Построение графика квадратной
функции, содержащей модуль”.
(На примере графика функции у = х 2 — 6x + 3.)

Цель.

• Исследовать расположение графика функции на
  координатной плоскости в зависимости от модуля.
• Развить навыки построения графика функции,
  содержащей модуль.

Ход урока.

1. Этап актуализации знаний.

а) Проверка домашнего задания.

Пример 1.

Построить график
функции у = х 2 — 6х + 3. Найти нули функции.

Решение.

2. Координаты вершины параболы: х= — b/2а = — (-6)/2=3,
у(3) = 9 – 18 + 3 = — 6, А(3; -6).

4. Нули функции: у(х) = 0, х 2 — 6х + 3 = 0, D = 36 — 4·3 =
36 – 12 = 24, D>0,

x 1,2 = (6 ± )/2
= 3 ± ; В(3 — ;0), С(3 + ;0).

График на рис.1.

Алгоритм построения графика квадратной
функции.

1. Определить направление “ветвей” параболы.

2. Вычислить координаты вершины параболы.

3. Записать уравнение оси симметрии.

4. Вычислить несколько точек.

б) Рассмотрим построение графиков линейных
функций, содержащих модуль:

1. у = |х|. График функции на рисунке 2.

2.у = |х| + 1. График функции на рисунке 3.

3. у = |х + 1|. График функции рисунке 4.

Вывод.

1. График функции у = |х| + 1 получается из графика
функции у = |х| параллельным переносом на вектор
{0;1}.

2. График функции у = |х + 1| получается из графика
функции у = |х| параллельным переносом на вектор
{-1;0}.

2.Опирационно-исполнительная часть.

Этап исследовательской работы. Работа в
группах.

Группа 1. Построить графики функций:

а) у = х 2 — 6|x| + 3,

б) у = |х 2 — 6х + 3|.

Решение.

1.Построить график функции у = х 2 -6х+3.

2. Отобразить его симметрично относительно оси
Оу.

График на рисунке 5.

б) 1. Построить график функции у = х 2 — 6х + 3.

2. Отобразить его симметрично относительно оси
Ох.

График функции на рисунке 6.

Вывод.

1. График функции у = f(|x|) получается из графика
функции у = f(x), отображением относительно оси Оу.

2. График функции у = |f(x)| получается из графика
функции у = f(x), отображением относительно оси Ох.

Группа 2.Построить графики функций:

а) у = |x 2 — 6|x| + 3|;

б) y = |x 2 — 6x + 3| — 3.

Решение.

1. График функции у = х 2 + 6x + 3 отображаем
относительно оси Оу, получается график функции у
= х 2 — 6|x| + 3.

2. Полученный график отображаем симметрично
относительно оси Ох.

График функции на рисунке 7.

Вывод.

График функции y = |f (|x|)| получается из графика
функции у = f(х), последовательным отображением
относительно осей координат.

1. График функции у = х 2 — 6х + 3 отображаем
относительно оси Ох.

2. Полученный график переносим на вектор {0;-3}.

График функции на рисунке 8.

Вывод.

График функции у = |f(x)| + a
получается из графика функции у = |f(x)|
параллельным переносом на вектор {0,a}.

Группа 3.Построить график функции:

а) у = |x|(х — 6) + 3; б) у = х|x — 6| + 3.

Решение.

а) у = |x| (x — 6) + 3, имеем совокупность систем:

Строим график функции у = -х 2 + 6x + 3 при х

График функции на рисунке 9.

б) у = х |х — 6| + 3, имеем совокупность систем:

Строим график функции у = — х 2 + 6х + 3 при х 6.

2. Координаты вершины параболы: х = — b/2a = 3, у(3) =1 2,
А(3;12).

3. Уравнение оси симметрии: х = 3.

4. Несколько точек: у(2) = 11, у(1) = 3; у(-1) = — 4.

Строим график функции у = х 2 — 6х + 3 при х = 7
у(7) = 10.

График на рис.10.

Вывод.

При решении данной группы
уравнений необходимо рассматривать нули
модулей, содержащихся в каждом из уравнений.
Затем строить график функции на каждом из
полученных промежутков.

(При построении графиков данных функций каждая
группа исследовала влияние модуля на вид графика
функции и сделала соответствующие заключения.)

Получили сводную таблицу для графиков функций,
содержащих модуль.

Таблица построения графиков
функций, содержащих модуль.

Группа 4.

Построить график функции:

а) у = х 2 — 5x + |x — 3|;

б) у = |x 2 — 5x| + x — 3.

Решение.

а) у = х 2 — 5х + |х — 3|, переходим к
совокупности систем:

Строим график функции у = х 2 -6х + 3 при х 3,
затем график функции у = х 2 — 4х — 3 при х > 3 по
точкам у(4) = -3, у(5) = 2, у(6) = 9.

График функции на рисунке 11.

б) у = |х 2 — 5х| + х — 3, переходим к
совокупности систем:

Строим каждый график на соответствующем
интервале.

График функции на рисунке 12.

Вывод.

Выяснили влияние модуля в каждом слагаемом на
вид графика.

Самостоятельная работа.

Построить график функции:

а) у = |х 2 — 5х + |x — 3||,

б) у= ||x 2 — 5x| + х — 3|.

Решение.

Предыдущие графики отображаем относительно
оси Ох.

Группа.5

Построить график функции: у =| х — 2| (|x| — 3) — 3.

Решение.

Рассмотрим нули двух модулей: x = 0, х – 2 = 0.
Получим интервалы постоянного знака.

Имеем совокупность систем уравнений:

Строим график на каждом из интервалов.

График на рисунке 15.

Вывод.

Два модуля в предложенных
уравнениях существенно усложнили построение
общего графика, состоящего из трех отдельных
графиков.

Учащиеся записывали выступления каждой из
групп, записывали выводы, участвовали в
самостоятельной работе.

3. Задание на дом.

Построить графики функций с различным
расположением модуля:

1. у = х 2 + 4х + 2;

2. у = — х 2 + 6х — 4.

4. Рефлексивно – оценочный этап.

1.Оценки за урок складываются из отметок:

а) за работу в группе;

б) за самостоятельную работу.

2. Какой момент был наиболее интересен на уроке?

3. Трудное ли домашнее задание?

Построить функцию

Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании Desmos
. Для ввода функций воспользуйтесь левой колонкой. Вводить можно вручную либо с помощью виртуальной клавиатуры внизу окна. Для увеличения окна с графиком можно скрыть как левую колонку, так и виртуальную клавиатуру.

Преимущества построения графиков онлайн

• Визуальное отображение вводимых функций
• Построение очень сложных графиков
• Построение графиков, заданных неявно (например эллипс x^2/9+y^2/16=1)
• Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете
• Управление масштабом, цветом линий
• Возможность построения графиков по точкам, использование констант
• Построение одновременно нескольких графиков функций
• Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ(\theta))

С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности.2 называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Квадратичная функция

Рис 1. Общий вид параболы

Как видно из графика, он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит, что если провести на графике прямую параллельную оси Ох выше это оси. То она пересечет параболу в двух точках. Расстояние от этих точек до оси Оу будет одинаковым.

Ось симметрии разделяет график параболы как бы на две части. Эти части называются ветвями параболы. А точка параболы которая лежит на оси симметрии называется вершиной параболы. То есть ось симметрии проходит через вершину параболы. Координаты этой точки (0;0).

Основные свойства квадратичной функции

1. При х =0, у=0, и у>0 при х0

2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.

3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке }

Контрольная по алгебре «Производные»

Найти стационарные точки функции:

1. y = x³ – 3x² + 2

2. y = — x³ + 3x – 2

2. Найти точки экстремума:

1. y = x² – 8x + 19

2. y = x² + 4x — 3

3. Найти промежутки монотонности:

y = x³ – 3x

4. Построить график:

1. y = x² + 5

2. y = x³ + 3x² – 4

5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале:

1. y = x³ – 9x² + 24x – 1; [-1;3]

2. y = 2 sin x; [-π/2; π]

1. Найти стационарные точки функции:

1. y = 2x² – 9x + 7

2. y = 5x³ – 3x⁵

2. Найти точки экстремума:

1. y = 2x² – 8x + 6

2. y = -3x² + 6x – 10

3. Найти промежутки монотонности:

y = 60 + 45x – 3x² – x³

4. Построить график:

1. y = 2x² – 4

2. y = x⁴ – 2x²

5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале:

1. y = x³ – 9x² + 24x – 1; [3;6]

2. y = -2 cos x; [-2π; -π/2]

1. Найти стационарные точки функции:

1. y = 3x² – 4x + 1

2. y = 2x² – 10x + 4

2. Найти точки экстремума:

1. y = x³ – 3x – 10

2. y = 3x² – 6x — 1

3. Найти промежутки монотонности:

y = 2x³ – 3x² – 36x + 40

4. Построить график:

1. y = 3x² – 6

2. y = -x³ – 3x² + 3

5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале:

1. y = x³ – 9x² + 24x – 1; [-2;3]

2. y = 6 cos x; [-π/2; 0]

1. Найти стационарные точки функции:

1. y = 5x² – 10x + 1

2. y = -x³ +12x² – 2

2. Найти точки экстремума:

1. y = x³ – 3x² + 1

2. y = 3x² – x + 2

3. Найти промежутки монотонности:

y = -x⁵ + 5x

4. Построить график:

1. y = 2x² – 10

2. y = 8x³ – 3x⁴ – 7

5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале:

3. y = x³ – 9x² + 24x – 1; [3;5]

4. y = -0,5 sin x; [-π/2; π/2]

Ответы:

a) b)

a) b)

a)

b)

5. a) y_наим = y_наиб =

b) y_наим = y_наиб =

1. a) b)

2. a) b)

4. a)

b)

5. a) y_наим = y_наиб =

b) y_наим = y_наиб =

1. a) b)

2. a) b)

4. a)

b)

5. a) y_наим = y_наиб =

b) y_наим = y_наиб =

1. a) b)

2. a) b)

4. a)

b)

5. a) y_наим = y_наиб =

b) y_наим = y_наиб =

Вариант №5

Вариант №6

Вариант №7

Вариант №8

1. a) b)

2. a) b)

4. a)

b)

5. a) y_наим = y_наиб =

b) y_наим = y_наиб =

5. a) b)

6. a) b)

8. a)

b)

5. a) y_наим = y_наиб =

b) y_наим = y_наиб =

9. a) b)

10. a) b)

12. a)

b)

5. a) y_наим = y_наиб =

b) y_наим = y_наиб =

13. a) b)

14. a) b)

16. a)

b)

5. a) y_наим = y_наиб =

b) y_наим = y_наиб =

Линейная функция

Функция называется

линейной, если ее можно записать в виде \(y=kx+b\), где \(k\) и \(b\) -некоторые числа.

Примеры:

Функция не всегда сразу задана в виде \(y=kx+b\), иногда такой вид получится только после преобразований. Например, \(y=6(x-1)+10x\) — это линейная функция, потому что если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые мы получим \(y=16x-6\).

График линейной функции всегда представляет собой прямую линию – отсюда и название: «линейная функция».

Чтобы в этом убедиться построим графики функций \(y=2x\),     \(y=\frac{1}{3}x-5\),     \(y=8\).

        

Если вы вдруг забыли, как строить графики, можете прочитать об этом здесь.

Как меняется график при разных \(k\)?

Чтобы определить, как влияет на график коэффициент  \(k\), построим несколько функций разными \(k\):  \(\frac{1}{3}\),\(-\frac{1}{3}\),\(2\),\(-2\) и \(0\). При этом во всех функциях сделаем \(b\) одинаковым (равным нулю), чтобы убрать его влияние.

То есть, построим графики для функций: \(y=\frac{1}{3}x\),    \(y=-\frac{1}{3}x\),     \(y=2x\),      \(y=-2x\),      \(y=0\).

Заметьте, что при \(k=2\) и \(\frac{1}{3}\) — функция возрастает, а при \(k=-2\) и \(-\frac{1}{3}\) — убывает. На самом деле:

При любом \(k>0\) функция возрастает и при любом \(k<0\) — убывает. Когда же \(k=0\) — она не возрастает и не убывает, а идет параллельна оси \(x\) (или совпадает с ней).

Так же можно заметить, чем больше модуль \(k\), тем «круче» график.

Как по графику определить коэффициент k?

1. Сначала определим, возрастает или убывает функция. Если возрастает – знак коэффициента \(k\) плюс, если убывает – минус.
2. Дальше надо построить на прямой прямоугольный треугольник, так чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Примерно вот так:

Чтобы определить значение \(k\) по модулю (то есть, без учета знака), надо вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную. Можно использовать правило для запоминания: «стоячий бьет лежачего». В данных случаях \(|k|=\frac{AC}{BC}\). То есть на первом графике \(k=2\),а на втором \(k=-\frac{1}{4}\).

Как меняется график при разных значениях \(b\)?

Чтобы определить, как \(b\) влияет на график, построим несколько функций с разными \(b\): \(6\), \(2\), \(0\), \(-3\) и \(-8\). При этом \(k\) пусть во всех функциях будет равен \(2\).

Не сложно заметить, что прямая либо поднимается на \(b\) (если \(b>0\)) либо опускается на \(|b|\) если

(\(b<0\)).

Как по графику функции определить значение \(b\)?

Очень просто — прямая пересекает ось \(y\) всегда в точке \(b\). Вы можете это увидеть на предыдущем графике.

Пример (ОГЭ): На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида  \(y=kx+b\). Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов \(k\) и \(b\).

A. B.C.

Коэффициенты

Решение:

А. – функция убывает, поэтому \(k<0\). Точка пересечения оси \(y\) и прямой находится выше нуля, значит \(b>0\). Подходит вариант под цифрой 2).

B. — функция возрастает — \(k>0\). Точка пересечения оси \(y\) и прямой находится выше нуля, значит \(b>0\). Подходит вариант под цифрой 1).

C. – функция убывает — \(k<0\). Точка пересечения оси \(y\) и прямой находится ниже нуля, значит \(b<0\). Подходит вариант под цифрой 3).
Ответ: 213.

«Читерский» способ строить график линейной функции

Можно конечно строить график линейной функции по точкам, как описано здесь, но можно и быстрее, буквально в три шага:

1. 
   Отмечаем точку \(b\) на оси игреков.

2. 
   От неё идем вправо на количество клеточек равное знаменателю \(k\), и вверх на количество клеточек равное числителю \(k\) (если \(k>0\)) или вниз на тоже количество (если \(k<0\)).

3. 
   Проводим через эти две точки прямую.

Пример: Построить график функции \(y=3x+1\).

Пример: Построить график функции \(y=-\frac{1}{4} x-3\).

Немного потренируйтесь и вы сами поймете, какой это классный способ строить линейную функцию.

Скачать статью

Преобразование графиков функций

Преобразование графиков функций

В этой статье я  познакомлю вас с линейными преобразованиями графиков функций и покажу, как с помощью этих преобразований из графика функции получить график функции 

Линейным преобразованием функции  называется преобразование самой функции и/или ее аргумента к виду , а также преобразование, содержащее модуль аргумента и/или функции.

Наибольшие затруднения при построении графиков с помощью линейных преобразований вызывают следующие действия:

1.  Вычленение базовой функции, собственно, график которой мы и преобразовываем.
2. Определения порядка преобразований.

Именно на этих моментах мы и остановимся подробнее.

Рассмотрим внимательно функцию

В ее основе лежит функция . Назовем ее базовой функцией.

При построении графика функции  мы совершаем преобразования графика базовой функции  .

Если бы  мы совершали преобразования функции   в том же порядке , в каком находили ее значение  при определенном значении аргумента, то

Рассмотрим какие виды линейных преобразований аргумента и функции существуют, и как их выполнять.

Преобразования аргумента.

1. f(x)  f(x+b)

1. Строим график фунции 

2. Сдвигаем график фунции  вдоль оси ОХ на  |b| единиц

•   влево, если b>0
•   вправо, если b<0

Построим график функции  

1. Строим график функции 

2. Сдвигаем его на 2 единицы вправо:

2. f(x)  f(kx)

1. Строим график фунции 

2. Абсциссы точек графика  делим на к, ординаты точек оставляем без изменений.

Построим график функции  .

1. Строим график функции 

2. Все абсциссы точек графика  делим на 2, ординаты оставляем без изменений:

3. f(x)  f(-x)

1. Строим график фунции 

2. Отображаем его симметрично относительно оси OY.

Построим график функции  .

1. Строим график функции 

2. Отображаем его симметрично относительно оси OY:

4.  f(x)  f(|x|)

1. Строим график функции 

2. Часть графика, расположенную левее оси ОY стираем, часть графика, расположенную правее оси ОY Достраиваем симметрично относительно оси OY:

График функции   выглядит так:

Построим график функции 

1. Строим график функции (это график функции , смещенный вдоль оси ОХ на 2 единицы влево):

2. Часть графика, расположенную левее оси OY (x<0) стираем:

3. Часть графика, расположенную правее оси OY (x>0) достраиваем симметрично относительно оси OY:

Важно! Два главных правила преобразования аргумента.

1. Все преобразования аргумента совершаются вдоль оси ОХ

2. Все преобразования аргумента совершаются «наоборот» и «в обратном порядке».

Например, в функции   последовательность преобразований аргумента такая:

1. Берем модуль от х.

2. К модулю х прибавляем число 2.

Но построение графика мы совершали в обратном порядке:

Сначала выполнили преобразование 2. — сместили график на 2 единицы влево (то есть абсциссы точек уменьшили на 2, как бы «наоборот»)

Затем выполнили преобразование f(x)  f(|x|).

Коротко последовательность преобразований записывается так:

Теперь поговорим о преобразовании функции. Преобразования  совершаются

1. Вдоль оси OY.

2. В той же последовательности, в какой выполняются действия.

Вот эти преобразования:

1. f(x)f(x)+D

1. Строим график функции y=f(x)

2.  Смещаем его  вдоль оси OY  на |D| единиц

• вверх, если D>0
• вниз, если D<0

Построим график функции 

1. Строим график функции 

2. Смещаем его вдоль оси OY на 2 единицы вверх:

2. f(x)Af(x)

1. Строим график функции y=f(x)

2. Ординаты всех точек графика умножаем на А, абсциссы оставляем без изменений.

Построим график функции 

1. Построим график функции 

2. Ординаты всех точек графика умножим на 2:

3. f(x)-f(x)

1. Строим график функции y=f(x)

2. Отображаем его симметрично относительно оси ОХ.

Построим график функции .

1. Строим график функции .

2. Отображаем его симметрично относительно оси ОХ.

4. f(x)|f(x)|

1. Строим график функции y=f(x)

2. Часть графика, расположенную выше оси ОХ оставляем без изменений, часть графика, расположенную ниже оси OX, отображаем симметрично относительно этой оси.

Построим график функции 

1. Строим график функции . Он получается смещением графика функции   вдоль оси OY на 2 единицы вниз:

2. Теперь часть графика, расположенную ниже оси ОХ, отобразим симметрично относительно этой оси:

И последнее преобразование, которое, строго говоря, нельзя назвать преобразованием функции, поскольку результат этого преобразования функцией уже не является:

y=f(x) |y|=f(x)

1. Строим график функции y=f(x)

2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем, затем часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.

Построим график  уравнения 

1. Строим график функции   :

2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем:

3. Часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.

И, наконец,  предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК в котором я показываю пошаговый алгоритм построения графика функции

График этой функции выглядит так:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Y 6 график. Постройте график функции y=

Построение графиков функций, содержащих модули, обычно вызывает немалые затруднения у школьников. Однако, все не так плохо. Достаточно запомнить несколько алгоритмов решения таких задач, и вы сможете без труда построить график даже самой на вид сложной функции. Давайте разберемся, что же это за алгоритмы.

1. Построение графика функции y = |f(x)|

Заметим, что множество значений функций y = |f(x)| : y ≥ 0. Таким образом, графики таких функций всегда расположены полностью в верхней полуплоскости.

Построение графика функции y = |f(x)| состоит из следующих простых четырех этапов.

1) Построить аккуратно и внимательно график функции y = f(x).

2) Оставить без изменения все точки графика, которые находятся выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, которая лежит ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

Пример 1. Изобразить график функции y = |x 2 – 4x + 3|

1) Строим график функции y = x 2 – 4x + 3. Очевидно, что график данной функции – парабола. Найдем координаты всех точек пересечения параболы с осями координат и координаты вершины параболы.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Следовательно, парабола пересекает ось 0x в точках (3, 0) и (1, 0).

y = 0 2 – 4 · 0 + 3 = 3.

Следовательно, парабола пересекает ось 0y в точке (0, 3).

Координаты вершины параболы:

x в = -(-4/2) = 2, y в = 2 2 – 4 · 2 + 3 = -1.

Следовательно, точка (2, -1) является вершиной данной параболы.

Рисуем параболу, используя полученные данные (рис. 1)

2) Часть графика, лежащую ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно оси 0x.

3) Получаем график исходной функции (рис. 2
, изображен пунктиром).

2.
Построение графика функции y = f(|x|)

Заметим, что функции вида y = f(|x|) являются четными:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Значит, графики таких функций симметричны относительно оси 0y.

Построение графика функции y = f(|x|) состоит из следующей несложной цепочки действий.

1) Построить график функции y = f(x).

2) Оставить ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отобразить указанную в пункте (2) часть графика симметрично оси 0y.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 2. Изобразить график функции y = x 2 – 4 · |x| + 3

Так как x 2 = |x| 2 , то исходную функцию можно переписать в следующем виде: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. А теперь можем применять предложенный выше алгоритм.

1) Строим аккуратно и внимательно график функции y = x 2 – 4 · x + 3 (см. также рис. 1
).

2) Оставляем ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отображаем правую часть графика симметрично оси 0y.

(рис. 3)
.

Пример 3. Изобразить график функции y = log 2 |x|

Применяем схему, данную выше.

1) Строим график функции y = log 2 x (рис. 4)
.

3. Построение графика функции y = |f(|x|)|

Заметим, что функции вида y = |f(|x|)| тоже являются четными. Действительно, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), и поэтому, их графики симметричны относительно оси 0y. Множество значений таких функций: y ≥
0. Значит, графики таких функций расположены полностью в верхней полуплоскости.

Чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, необходимо:

1) Построить аккуратно график функции y = f(|x|).

2) Оставить без изменений ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 4. Изобразить график функции y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Заметим, что x 2 = |x| 2 . Значит, вместо исходной функции y = -x 2 + 2|x| – 1

можно использовать функцию y = -|x| 2 + 2|x| – 1, так как их графики совпадают.

Строим график y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Для этого применяем алгоритм 2.

a) Строим график функции y = -x 2 + 2x – 1 (рис. 6)
.

b) Оставляем ту часть графика, которая расположена в правой полуплоскости.

c) Отображаем полученную часть графика симметрично оси 0y.

d) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 7)
.

2) Выше оси 0х точек нет, точки на оси 0х оставляем без изменения.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно 0x.

4) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 8)
.

Пример 5. Построить график функции y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Сначала необходимо построить график функции y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Для этого возвращаемся к алгоритму 2.

a) Аккуратно строим график функции y = (2x – 4) / (x + 3) (рис. 9)
.

Заметим, что данная функция является дробно-линейной и ее график есть гипербола. Для построения кривой сначала необходимо найти асимптоты графика. Горизонтальная – y = 2/1 (отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе дроби), вертикальная – x = -3.

2) Ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней, оставим без изменений.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразим симметрично относительно 0x.2 называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Квадратичная функция

Рис 1. Общий вид параболы

Как видно из графика, он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит, что если провести на графике прямую параллельную оси Ох выше это оси. То она пересечет параболу в двух точках. Расстояние от этих точек до оси Оу будет одинаковым.

Ось симметрии разделяет график параболы как бы на две части. Эти части называются ветвями параболы. А точка параболы которая лежит на оси симметрии называется вершиной параболы. То есть ось симметрии проходит через вершину параболы. Координаты этой точки (0;0).

Основные свойства квадратичной функции

1. При х =0, у=0, и у>0 при х0

2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.

3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке , потому что прямая y=kx будет совпадать с графиком y=|x-3|-|x+3| на данном участке. Этот вариант нам не подходит.

Если k будет меньше -2, то прямая y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет иметь одно пересечение.Этот вариант нам подходит.

Если k=0, то пересечений прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| также будет одно.Этот вариант нам подходит.

Ответ: при k принадлежащей интервалу (-∞;-2)U}

Линейные функции и их графики

Обзор линий графика

Напомним, что множество всех решений линейного уравнения может быть представлено на прямоугольной координатной плоскости с использованием прямой линии, проходящей по крайней мере через две точки; эта линия называется ее графиком. Например, чтобы построить график линейного уравнения 8x + 4y = 12, мы сначала решим для y .

8x + 4y = 12 Вычтите 8x с обеих сторон. 4y = −8x + 12 Разделите обе стороны на 4.y = −8x + 124 Упростить. y = −8×4 + 124y = −2x + 3

В таком виде мы видим, что y зависит от x ; другими словами, x — это независимая переменная, которая определяет значения других переменных. Обычно мы думаем о x -значении упорядоченной пары ( x , y ) как о независимой переменной. и y — зависимая переменная Переменная, значение которой определяется значением независимой переменной.Обычно мы думаем о y -значении упорядоченной пары ( x , y ) как о зависимой переменной. Выберите по крайней мере два x -значения и найдите соответствующие y -значения. Рекомендуется выбирать ноль, некоторые отрицательные числа, а также некоторые положительные числа. Здесь мы выберем пять значений x , определим соответствующие значения y , а затем сформируем репрезентативный набор упорядоченных парных решений.

Постройте точки и проведите через них линию с помощью линейки.Не забудьте добавить стрелки на обоих концах, чтобы указать, что график неограничен.

Получившаяся линия представляет все решения 8x + 4y = 12, которых бесконечно много. Вышеупомянутый процесс описывает метод построения графиков, известный как построение точек. Способ определения графика с использованием конечного числа типичных упорядоченных парных решений. Этот метод будет использоваться для построения графиков более сложных функций по мере продвижения в этом курсе.

Крутизну любого наклона можно измерить как отношение вертикального изменения к горизонтальному.Например, уклон 5% можно записать как 5100, что означает, что на каждые 100 футов вперед высота увеличивается на 5 футов.

В математике мы называем наклон линии наклоном Наклон линии, измеряемый как отношение вертикального изменения к горизонтальному изменению, часто называемый «подъем через пробег», обозначается буквой м . Вертикальное изменение называется подъемом. Вертикальное изменение между любыми двумя точками на линии. Горизонтальное изменение называется пробегом. Горизонтальное изменение между любыми двумя точками на линии.. Для любых двух точек (x1, y1) и (x2, y2) мы можем получить подъем и бег, вычитая соответствующие координаты.

Это приводит нас к формуле наклона. Наклон прямой, проходящей через точки (x1, y1) и (x2, y2), задается формулой m = y2 − y1x2 − x1 .. Для любых двух точек (x1, y1) и (x2, y2), наклон определяется по формуле:

Уклон m = riserun = y2 − y1x2 − x1 = ΔyΔx ← Изменение y ← Изменение x

Греческая буква дельта (Δ) часто используется для описания изменения количества.Поэтому наклон иногда описывают с использованием обозначения ΔyΔx, которое представляет изменение y , деленное на изменение x .

Пример 1

Найдите наклон прямой, проходящей через (−3, −5) и (2, 1).

Решение:

Учитывая (−3, −5) и (2, 1), вычислите разницу значений y , деленную на разницу значений x . Будьте последовательны при вычитании координат:

(x1, y1) (x2, y2) (- 3, −5) (2,1)

м = y2 − y1x2 − x1 = 1 — (- 5) 2 — (- 3) = 1 + 52 + 3 = 65

Неважно, какую точку вы считаете первой или второй.Однако, поскольку вычитание не является коммутативным, вы должны позаботиться о том, чтобы вычесть координаты первой точки из координат второй точки в том же порядке. Например, мы получим тот же результат, если применим формулу наклона с переключенными точками:

(x1, y1) (x2, y2) (2,1) (−3, −5)

м = y2 − y1x2 − x1 = −5−1−3−2 = −6−5 = 65

Ответ: m = 65

Убедитесь, что наклон равен 65, построив линию, описанную в предыдущем примере.

Конечно, график не является обязательным; Красота формулы наклона состоит в том, что для любых двух точек мы можем получить наклон, используя только алгебру.

Пример 2

Найдите значение y , для которого наклон прямой, проходящей через (6, −3) и (−9, y), равен −23.

Решение:

Подставьте данную информацию в формулу наклона.

Наклон (x1, y1) (x2, y2) m = −23 (6, −3) (−9, y)

м = y2 − y1x2 − x1−23 = y — (- 3) −9−6−23 = y + 3 −15

После подстановки в данную информацию остается единственная переменная y .Решать.

−15 (−23) = — 15 (−y + 3 15) 10 = y + 37 = y

Ответ: y = 7

Имеется четыре геометрических случая для значения наклона.

Если читать график слева направо, линии с наклоном вверх имеют положительный наклон, а линии с наклоном вниз — отрицательный. В двух других случаях используются горизонтальные и вертикальные линии. Напомним, что если k — действительное число, мы имеем

y = k Горизонтальная линия x = k Вертикальная линия

Например, если мы построим график y = 2, мы получим горизонтальную линию, а если мы построим график x = −4, мы получим вертикальную линию.

Из графиков мы можем определить две точки и рассчитать наклон по формуле наклона.

Обратите внимание, что точки на горизонтальной линии имеют одинаковые значения y .Следовательно, подъем равен нулю и, следовательно, наклон равен нулю. Точки на вертикальной линии имеют одинаковые значения x . Следовательно, пробег равен нулю, что приводит к неопределенному уклону. В целом

Линейные функции

Для любого линейного уравнения в стандартной форме Любая невертикальная линия может быть записана в стандартной форме ax + by = c., Ax + by = c, мы можем решить для y , чтобы получить форму пересечения наклона Любая невертикальная линия может быть записана в форма y = mx + b, где м — наклон, а (0, b ) — интервал y ., у = mx + b. Например,

3x − 4y = 8 ← Стандартная форма − 4y = −3x + 8y = −3x + 8−4y = −3x − 4 + 8−4y = 34x − 2 ← Форма пересечения наклона

Где x = 0, мы видим, что y = −2 и, следовательно, (0, −2) — решение для упорядоченной пары. Это точка, где график пересекает ось y и называется пересечением y Точка (или точки), где график пересекает ось y , выраженную в виде упорядоченной пары (0, y ) .. Мы можем использовать эту точку и наклон как средство для быстрого построения линии.Например, чтобы построить график y = 34x − 2, начните с точки пересечения y (0, −2) и отметьте наклон, чтобы найти вторую точку. Затем используйте эти точки, чтобы построить линию следующим образом:

Тест с вертикальной линией показывает, что этот график представляет функцию. Кроме того, домен и диапазон состоят из всех действительных чисел.

В общем случае линейная функция Любая функция, которую можно записать в форме f (x) = mx + b, является функцией, которую можно записать в форме
f (x) = mx + b Линейная функция
где уклон м и b представляют любые действительные числа.Поскольку y = f (x), мы можем использовать y и f (x) как взаимозаменяемые, а упорядоченные парные решения на графе (x, y) можно записать в форме (x, f (x)).

(х, у) ⇔ (х, е (х))

Мы знаем, что любой интервал y будет иметь значение x , равное нулю. Следовательно, перехват y может быть выражен как упорядоченная пара (0, f (0)). Для линейных функций

f (0) = m (0) + b = b

Следовательно, y -перехват любой линейной функции равен (0, b).Чтобы найти точку пересечения x Точка (или точки), где график пересекает ось x , выраженную в виде упорядоченной пары ( x , 0)., Точка, в которой функция пересекает ось x . , находим x , где y = 0 или f (x) = 0.

Пример 3

Изобразите линейную функцию f (x) = — 53x + 6 и обозначьте точку пересечения x .

Решение:

Из функции мы видим, что f (0) = 6 (или b = 6) и, таким образом, y -перехват равен (0, 6).Также мы можем видеть, что наклон m = −53 = −53 = riserun. Начиная с точки пересечения и , отметьте вторую точку на 5 единиц ниже и на 3 единицы вправо. Проведите линейкой линию, проходящую через эти две точки.

Чтобы определить интервал x , найдите значение x , при котором функция равна нулю. Другими словами, определите x , где f (x) = 0.

f (x) = — 53x + 60 = −53x + 653x = 6 (35) 53x = (35) 6x = 185 = 335

Следовательно, интервал x равен (185,0).Общее правило — помечать все важные точки, которые нельзя четко прочитать на графике.

Ответ:

Пример 4

Определите линейную функцию, которая определяет данный график, и найдите точку пересечения x .

Решение:

Мы начинаем с чтения наклона графика. В этом случае начисляются два балла, и мы видим, что

м = стояк = −23

Кроме того, интервал y равен (0, 3) и, следовательно, b = 3.Мы можем подставить в уравнение любую линейную функцию.

г (х) = mx + b ↓↓ g (x) = — 23x + 3

Чтобы найти точку пересечения x , мы устанавливаем g (x) = 0 и решаем относительно x .

г (x) = — 23x + 30 = −23x + 323x = 3 (32) 23x = (32) 3x = 92 = 412

Ответ: g (x) = — 23x + 3; x -перехват: (92,0)

Затем рассмотрите горизонтальные и вертикальные линии. Используйте тест вертикальной линии, чтобы убедиться, что любая горизонтальная линия представляет функцию, а вертикальная — нет.

Для любой горизонтальной линии тест вертикальной линии показывает, что каждое значение x в домене соответствует ровно одному значению y в диапазоне; это функция. С другой стороны, вертикальная линия не проходит тест вертикальной линии; это не функция. Вертикальная линия представляет собой набор упорядоченных пар, в которых все элементы в домене одинаковы. Это нарушает требование о том, что функции должны связывать ровно один элемент в диапазоне с каждым элементом в домене.Резюмируем следующим образом:

Горизонтальную линию часто называют постоянной функцией .Дано любое действительное число c ,

f (x) = c Константа функция

Пример 5

Изобразите постоянную функцию g (x) = — 2 и укажите домен и диапазон.

Решение:

Здесь дана постоянная функция, эквивалентная y = −2. Это определяет горизонтальную линию через (0, −2).

Ответ: Домен: ℝ; диапазон: {−2}

Попробуй! График f (x) = 3x − 2 и обозначьте точку пересечения x .

Ответ:

Линейные уравнения и неравенства: графическая интерпретация

Мы можем использовать идеи этого раздела, чтобы развить геометрическое понимание того, что значит решать уравнения вида f (x) = g (x), где f и g являются линейными функциями. Используя алгебру, мы можем решить линейное уравнение 12x + 1 = 3 следующим образом:

12x + 1 = 312x = 2 (2) 12x = (2) 2x = 4

Решение этого уравнения: x = 4.Геометрически это значение x пересечения двух графиков f (x) = 12x + 1 и g (x) = 3. Идея состоит в том, чтобы построить график линейных функций по обе стороны от уравнения и определить, где графики совпадают.

Пример 6

График f (x) = 12x + 1 и g (x) = 3 на одном и том же наборе осей и определите, где f (x) = g (x).

Решение:

Здесь f — линейная функция с наклоном 12 и y -пересечение (0,1).Функция g является постоянной функцией и представляет собой горизонтальную линию. Изобразите обе эти функции на одном наборе осей.

Из графика видно, что f (x) = g (x), где x = 4. Другими словами, 12x + 1 = 3, где x = 4.

Ответ: x = 4

Мы можем немного расширить геометрическую интерпретацию, чтобы решить неравенства. Например, мы можем решить линейное неравенство 12x + 1≥3, используя алгебру, следующим образом:

12x + 1≥312x≥2 (2) 12x≥ (2) 2x≥4

Набор решений состоит из всех действительных чисел, больших или равных 4.Геометрически это значения x , для которых график f (x) = 12x + 1 лежит выше графика g (x) = 3.

Пример 7

График f (x) = 12x + 1 и g (x) = 3 на одном и том же наборе осей и определить, где f (x) ≥g (x).

Решение:

На графике это заштриховано.

Из графика видно, что f (x) ≥g (x) или 12x + 1≥3, где x≥4.

Ответ: Значения x , решающие неравенство, в интервальной нотации равны [4, ∞).

Основные выводы

• Мы можем рисовать линии, нанося точки. Выберите несколько значений для x , найдите соответствующие y -значения, а затем нанесите на график полученные решения для упорядоченных пар. Проведите линию через точки с помощью линейки, чтобы завершить график.
• Для любых двух точек на прямой мы можем вычислить наклон алгебраически, используя формулу наклона, m = riserun = y2 − y1x2 − x1 = ΔyΔx.
• Используйте форму пересечения наклона y = mx + b, чтобы быстро нарисовать график линии.От точки пересечения и (0, b) отметьте наклон, чтобы определить вторую точку. Поскольку две точки определяют линию, проведите линию через эти две точки с помощью линейки, чтобы завершить график.
• Линейные функции имеют вид f (x) = mx + b, где наклон m и b — действительные числа. Чтобы найти перехват x , если он существует, установите f (x) = 0 и найдите x .
• Поскольку y = f (x), мы можем использовать y и f (x) как взаимозаменяемые.Любую точку на графике функции можно выразить с помощью обозначения функции (x, f (x)).

Тематические упражнения

Часть A: Построение линий по точкам построения

Найдите пять упорядоченных парных решений и график.

Найдите наклон прямой, проходящей через заданные точки.

23. (-52,14) и (-12,54)

24. (−4, −3) и (−2, −3)

26. (12, -1) и (-1, -32)

Найдите значение y , для которого наклон прямой, проходящей через данные точки, имеет данный наклон.

27. м = 32; (6,10), (−4, у)

28. м = −13; (−6,4), (9, у)

29. м = −4; (−2,5), (−1, y)

30. м = 3; (1, −2), (−2, y)

31. м = 15; (1, у), (6,15)

32. м = −34; (−1, у), (−4,5)

По графику определите наклон.

Часть B: Линейные функции

Найдите точки пересечения x и y и используйте их для построения графика следующих функций.

Изобразите линейную функцию и обозначьте точку пересечения x .

Определите линейную функцию, которая определяет данный график, и найдите точку пересечения x .

Часть C: Графическая интерпретация линейных уравнений и неравенств

Постройте график функций f и g на одном и том же наборе осей и определите, где f (x) = g (x). Проверьте свой ответ алгебраически.

87. f (x) = 3x − 2, g (x) = — 2x + 3

89. f (x) = — 13x, g (x) = — 23x + 1

90. f (x) = 23x − 1, g (x) = — 43x − 3

Изобразите функции f и g на одном и том же наборе осей и определите, где f (x) ≥g (x). Проверьте свой ответ алгебраически.

Постройте график функций f и g на одном и том же наборе осей и определите, где f (x) Проверьте свой ответ алгебраически.

106. f (x) = 32x + 3, g (x) = — 32x − 3

Часть D: Обсуждение

107. Все ли линейные функции имеют точки пересечения и ? Все ли линейные функции имеют x -перехватов? Объяснять.

108. Может ли функция иметь более одного перехвата y ? Объяснять.

109. Как проверка вертикальной линии показывает, что вертикальная линия не является функцией?

ответов

73. ф (х) = х + 1; (−1,0)

75. f (x) = — 32x; (0,0)

Решите Свойства прямой y = 6x Tiger Algebra Solver

Переставьте:

Переставьте уравнение, вычтя то, что находится справа от знака равенства из обеих частей уравнения:

y- (6 * x) = 0

Шаг 1:

 
 Уравнение прямой 
 
 1.1 Решите y-6x = 0 
 
 Тигр понимает, что здесь есть уравнение прямой. Такое уравнение обычно записывается y = mx + b («y = mx + c» в Великобритании). 
 
 «y = mx + b» — это формула прямой линии, проведенной в декартовой системе координат, в которой «y» — вертикальная ось, а «x» — горизонтальная ось. 
 
 В этой формуле: 
 
 y говорит нам, как далеко идет линия 
 x говорит нам, как далеко вдоль 
 м находится наклон или градиент, т.е. насколько крута линия 
 b — точка пересечения с Y i.е. где линия пересекает ось Y 
 
 Пересечения X и Y и наклон называются свойствами линии. Теперь мы построим график линии y-6x = 0 и вычислим ее свойства 
 
 График прямой линии: 
 
 
 Вычислите точку пересечения Y: 
 Обратите внимание, что когда x = 0, значение y равно 0/1, поэтому эта линия «разрезает» ось y в точке y = 0,00000
 y-intercept = 0/1 = 0,00000 
 Вычислить точку пересечения X: 
 Когда y = 0, значение x равно 0 / -6 Следовательно, наша линия » обрезает «ось x при x = -0.00000
 x-intercept = 0 / -6 = -0.00000 
 Расчет наклона: 
 Наклон определяется как изменение y, деленное на изменение x. Отметим, что для x = 0 значение y равно -0,000, а для x = 2,000 значение y равно 12,000. Таким образом, при изменении x на 2.000 (изменение x иногда называют «RUN») мы получаем изменение на 12.000 — -0.000 = 12.000 по y. (Изменение y иногда называют «ПОДЪЕМ», а наклон равен m = RISE / RUN)
 Наклон = 12.000 / 2.000 = 6.000 
 Геометрическая фигура: прямая линия 
 Наклон = 12.000 / 2.000 = 6.000
 пересечение по оси x = 0 / -6 = -0,00000
 пересечение по оси Y = 0/1 = 0,00000
 Как Построить линию с помощью y = mx + b — Задача 1 
 Вот задача, в которой меня просят изобразить уравнение линии. И если эта линия находится в форме y, равной mx плюс b, я могу построить 10-секундный график. Но это еще не совсем в форме y равно mx plus b.Что мне нужно сделать, так это получить все само по себе.
 Итак, первое, что я собираюсь сделать, это отменить эту часть –x, добавив x к обеим сторонам знака равенства. Итак, теперь у меня 2y равно x плюс 7. Следующее, что я хочу сделать, это разделить все на 2, чтобы получить y отдельно. Y равно 1/2 умноженному на x плюс 7/2. Теперь я готов изобразить этого парня. Это будет немного сложно, потому что у меня есть эти дроби, но я все равно смогу поставить свою первую точку в 7/2 на оси Y, которая, кстати, 7/2 равна 3½, это смешанное число. .Оттуда я буду считать 1 квадрат больше 2, 1 больше 2, 1 больше 2, чтобы показать свой наклон.
 Итак, приступим. Первая точка находится на 3½ по оси y. Вот моя ось Y, помните, что это вертикальные 1, 2, 3 и ½, вот моя точка пересечения по оси Y. Оттуда я хочу посчитать наклон, который на 1 квадрат больше 2, но будьте осторожны. Поскольку я начинаю с середины прямоугольника по вертикали, я хочу перейти к следующему центру, вверх на 1 на 2, вверх на 1 на 2. Это сложно, потому что мои точки не попадают в углы прямоугольников, но они все еще точные точки для этой линии.
 Одна вещь, о которой следует помнить при наклоне, вы также можете двигаться в этом направлении вместо того, чтобы подниматься на 1 и 2 справа, теперь я собираюсь спуститься на 1, пройти 2 влево. Эти точки тоже на кону. Помните, что линия бесконечна в обоих направлениях, используя постоянный коэффициент наклона.
 Обычно рекомендуется наносить на график больше двух точек, чтобы убедиться, что он достаточно точный, особенно в таких ситуациях, когда у меня есть дроби, и я могу ошибиться.Пожалуйста, пожалуйста, убедитесь, что вы всегда используете линейку для соединения ваших точек, чтобы ваши графики были действительно точными.
 И, наконец, убедитесь, что вы поставили стрелки на концах, чтобы показать, что эта линия продолжается вечно в обоих направлениях. Если вы, ребята, можете научиться рисовать линии в форме y равно mx плюс b, тогда уравнения, подобные этим, где это почти в форме y равно mx плюс b, могут быть очень быстрыми для вас.
 Когда вас просят построить линию, у вас всегда есть выбор, какой метод использовать.Мне больше всего нравится использовать стратегии y равно mx плюс b, и я собираюсь показать вам, как эта задача может занять у меня 10 секунд. Но повесьте один, прежде чем мы это сделаем, я хочу убедиться, что вы четко понимаете, в чем проблема.
 Нарисуйте линию y равной 3 1 / 2x минус 4. Хорошо, ребята, вы готовы? Я собираюсь показать вам мой 10-секундный график. У меня под рукой есть линейка, позвольте мне перейти к графику, чтобы я был готов. Ладно, достаньте секундомеры, готово, ставьте, вперед. Подожди, подожди, подожди, прежде чем я это сделаю, я скажу тебе, что я сделал, после того, как сделаю это.Ладно, поехали, готово, поехали, у меня здесь, возьмите 4, отсюда я заполняю 1, 2, 3, устанавливаю свою линейку, я почти на месте 5, 4, 3, 2, 1. Это довольно хорошо Хм?
 Вы, ребята, рисование линий, когда они уже в форме y равно mx плюс b, — одно из моих любимых занятий. Вы действительно можете выявить своего внутреннего ботаника-математика в подобных задачах. Позвольте мне показать вам, что я сделал за эти удивительные 10 секунд.
 Первое, что я сделал, это нашел точку пересечения оси y. Перехват по оси Y в этой задаче равен -4, поэтому моя первая точка на графике оказалась равной -4.Отсюда я считал уклон. Позвольте мне показать вам на графике, что я имею в виду. Моя первая точка попала на точку пересечения оси Y, равную -4. Первое, что я сделал, это поставил эту точку прямо здесь на 4 вниз по оси y. Оттуда я посчитал номер наклона, который был 3 на 2, поэтому из этой точки я собираюсь подняться на 3 на 2 и поставить еще одну точку, вот откуда этот парень. Мой уклон был 3/2. Оттуда я просто схватил линейку и соединил их, очень осторожно продлив линию и сделав стрелки на конце, чтобы показать, что она продолжается и идет к бесконечности.
 Итак, вы, ребята, это как супер быстрые задачи, если вы умеете это делать. Позвольте мне еще раз прогнать это через вас. Первым делом поставьте точку на стреле пересечения оси Y, отсчитайте оттуда наклонную стрелу, в-третьих, проведите линию, четвертое, нанесите на нее стрелки. Это действительно большие проблемы, ребята, я думаю, вы, возможно, даже повеселитесь, выполняя домашнее задание по математике.
 переводов графа — темы в предварительном исчислении 
 17
 Перевод графа
 Переводы параболы
 Вершина параболы
 Уравнение окружности
 Вертикальное растяжение и сжатие
 ПЕРЕВОД ГРАФИКИ — это его жесткое движение по вертикали или горизонтали.
 Слева — график функции абсолютного значения. Справа его перевод в «новое происхождение» в (3, 4).
 Уравнение функции абсолютного значения:
  y  = |  x  |.
 Уравнение его перевода в (3, 4):
  y  — 4 = |  x  — 3 |.
 Для, когда  x  = 3, тогда  y  — 4 = 0, то есть  y  = 4.
 Таким образом, точка (3, 4) — это та точка на транслированном графе, которая изначально находилась в (0, 0).
 В целом
 Если график
  y 
 =
  f  ( x )
 переводится  a  единиц по горизонтали и  b  единиц
 по вертикали, затем уравнение переведенного
 график
  y  —  b 
 =
  f  ( x  —  a ).
 Когда  f  ( x ) переводится  на  единиц по горизонтали, то аргумент  f  ( x ) становится  x  —  a . В приведенном выше примере аргумент |  x  | становится  x  — 3.
 Мы докажем это ниже.
 Пример 1. Напишите уравнение этого графика:
  Ответ . y  — 3 = |  х  + 5 |.
 График абсолютного значения был переведен на 3 единицы вверх, но на 5 единиц до  осталось .  a  = −5. Следовательно,  x  —   становится
  x  — (−5) =  x  + 5.
 Задача 1. Напишите уравнение этого графика:
 Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
 Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
  y  + 3 = — |  х  + 4 |.
 Мало того, что график абсолютных значений был переведен, он впервые был отражен относительно оси  x .
 Тема 15.
 Перевод — это жесткое движение графика. График  отраженный  представляет собой жесткое движение  y  = — |  x  |.Таким образом, отражение происходит до преобразования в  x  = −4. Другими словами, если вы записали неотраженный перевод в (−3, −4) как
  y  = |  x  + 4 | — 3,
, а затем записал отражение о оси  x  как
  y  = — |  x  + 4 | + 3,
, что было бы неправильно. Вы могли видеть это, потому что, когда  x  = −4,  y  не равно −3.
 Задача 2. Нарисуйте график
.
  y  = |  x  — 3 |.
 Задача 3. Нарисуйте график
.
  y  = — |  х  + 2 |.
 Задача 4. Нарисуйте график
.
  y  = — |  x  — 3 | + 2.
 Это эквивалентно  y  — 2 = — |  x  — 3 |.
 График отображается относительно оси  x  и переводится в (3, 2).
 Задача 5. Нарисуйте график  y  =.
 Задача 6. Нарисуйте график  y  = -.
 Это функция квадратного корня, переведенная на 3 единицы влево.
 Задача 7. Нарисуйте график  y  = 1 —  x   2 .
 Это эквивалентно  y  — 1 = —  x   2 , что является отраженной параболой, переведенной на 1 единицу вверх.
 Пример 2. Вершина параболы. Напишите уравнение параболы (со старшим коэффициентом 1), вершина которой находится в точке ( a ,  b ).
  Ответ .  y  —  b  = ( x  —  a )  2 . Это перевод  y  =  x   2  на ( a ,  b ).
 Задача 8. Напишите уравнение параболы, вершина которой находится в точке
.
 а) (1, 2)
  y  — 2 = ( x  — 1)  2 
 б) (-1, 2)
  y  — 2 = ( x  + 1)  2 
 в) (1, −2)
  y  + 2 = ( x  — 1)  2 
 Пример 3.Каковы координаты вершины этой параболы?
  y 
 =
  x   2  + 6  x  + 9
  Решение . Чтобы ответить, мы должны сделать уравнение таким:
  y  —  b 
 =
 ( x  —  и )  2 
 Тогда вершина будет в ( a ,  b ).
 Теперь,  x   2  + 6  x  + 9 — это идеальный квадрат из ( x  + 3):
  y  =  x   2  + 6  x  + 9 = ( x  + 3)  2 .
 Следовательно,  a  = −3 и  b  = 0. Вершина находится в точке (−3, 0.)
 Пример 4. Каковы координаты вершины этой параболы?
  y  =  x   2  + 5
  Решение .Опять же, мы должны сделать уравнение таким:
  y  —  b  = ( x  —  a )  2 .
 Если просто переставить 5 —
  y  — 5 =  x   2 
 — мы видим, что  a  = 0, а  b  = 5. Вершина находится в точке (0, 5).
 Пример 5. Завершение квадрата. Каковы координаты вершины этой параболы?
  y 
 =
  x   2  + 6  x  −2
  Решение .Сделать такую ​​форму —
  y  —  b 
 =
 ( x  —  и )  2 
 — постоянный член транспонируем, а квадрат справа заполним.
  и  + 2
 =
  x   2  + 6  x 
 Завершите квадрат, добавив 9 к обеим сторонам:
  y  + 2 + 9
 =
  x   2  + 6  x  + 9
  и  + 11
 =
 ( x  + 3)  2 
 Вершина находится в точке (−3, −11).
 Задача 9. Каковы координаты вершины этой параболы?
  y  =  x   2 -10  x  + 25
 Правая часть представляет собой идеальный квадрат ( x  — 5).
  y  = ( x  — 5)  2 
 Таким образом, вершина находится в точке (5, 0).
 Проблема 10.Каковы координаты вершины этой параболы?
  y  =  x   2  — 1
 Из уравнения следует
  y  + 1 =  x   2 .
 Вершина находится в точке (0 −1).
 Задача 11. Каковы координаты вершины этой параболы?
  y  =  x   2 -8  x  + 1
Переставьте постоянный член и заполните квадрат справа:
  и  — 1
 =
  x   2 -8  x 
  и  — 1 + 16
 =
  x   2 -8  x  + 16
  и  + 15
 =
 ( x -4)  2 
 Вершина находится в точке (4, −15).
 Уравнение окружности
 Что характеризует каждую точку ( x ,  y ) на окружности круга?
 Каждая точка ( x ,  y ) находится на одинаковом расстоянии  r  от центра. Следовательно, согласно формуле расстояния Пифагора для расстояния точки от начала координат:
  x   2  +  y   2  =  r   2 .
 Это уравнение окружности радиуса  r  с центром в начале координат (0, 0).
 Конкретно это —
  x   2  +  y   2  = 25
 — уравнение окружности радиуса 5 с центром в начале координат.
 Каждая пара значений ( x ,  y ), которая решает это уравнение, то есть делает его истинным утверждением, будет координатами точки на окружности.
 Вопрос. Каково уравнение окружности с центром в точке ( a ,  b ) и радиусом  r ?
  Ответ . ( x  —  a )  2  + ( y  —  b )  2  =  r   2 .
 Круг был переведен с (0, 0) на ( a ,  b ).
 Проблема 12.Напишите уравнение окружности радиуса 3 с центром в следующей точке.
 а) (1, 2)
 ( x  — 1)  2  + ( y  — 2)  2  = 9
 б) (-1, -2)
 ( x  + 1)  2  + ( y  + 2)  2  = 9
 в) (1, −2)
 ( x  — 1)  2  + ( y  + 2)  2  = 9
 Пример 6.Покажите, что это уравнение круга. Назовите радиус и координаты центра.
  x   2 -4  x  +  y   2 -2  y  = 11
  Решение . Чтобы показать, что что-то является уравнением круга, мы должны показать, что оно может иметь следующую форму:
 ( x  —  a )  2  + ( y  —  b )  2  =  r   2 .
 Таким образом, мы завершим квадрат как  x , так и  y .
 Чтобы завершить квадрат размером  x , мы прибавим 4 к обеим сторонам.
 Чтобы завершить квадрат  х , прибавим 1 к обеим сторонам.
 ( x   2 -4  x  + 4) + ( y   2 -2  y  + 1)
 =
 11 + 4 + 1
 ( x  — 2)  2  + ( y  — 1)  2 
 =
 16.
 Это уравнение окружности радиуса 4, центр которой находится в точке (2, 1).
 Тогда мы можем сказать, что когда квадратичный в  x  плюс квадратичный в  y  равен числу —
  x   2 -4  x  +  y   2 -2  y  = 11
 — тогда это уравнение круга.
 Коэффициенты при  x   2  и  y   2  равны 1.И число должно быть больше, чем минус суммы квадратов половин коэффициентов  x  и  y .
 Задача 13. Покажите, что это уравнение круга. Назовите радиус и координаты центра.
  x   2  + 6  x  +  y   2  + 10  y  — 2 = 0
 Переставьте постоянный член и заполните квадрат как  x , так и  y .Добавьте одинаковые квадратные числа с обеих сторон:
 ( x   2  + 6  x  +  9 ) + ( y   2  + 10  y  +  25 )
 =
 2 +  9  +  25 
 ( x  + 3)  2  + ( y  + 5)  2 
 =
 36
Это уравнение круга радиуса 6 с центром в (−3, −5).
 Вот доказательство основной теоремы.
 Теорема.  Если график  y  =  f  ( x ) переведен на  a  единиц по горизонтали и  b  единиц по вертикали, то уравнение переведенного графика будет 
.
  y  —  b  =  f  ( x  —  a ).
 Ведь при переводе каждая точка на графике перемещается одинаково.Пусть ( x   1 ,  y   1 ) тогда будут координатами любой точки на графике  y  =  f  ( x ), так что
  y   1  =  f  ( x   1 ).
 А переведем график  a  единиц по горизонтали и  b  единиц по вертикали, так что  x   1  перейдет в точку
  x   1  +  a ,
 и  y   1  переходит в точку
  и   1  +  b .
 Если  a  — положительное число, то эта точка будет справа от  x   1 , а если  a  отрицательное число, то она будет слева. Аналогично, если  b  — положительное число, тогда  y   1  +  b  будет больше  y   1 , а если  b  отрицательно, оно будет ниже.
 Теперь, каким будет уравнение переведенного графика, когда значение  x  в уравнении равно  x   1  +  a , значение  y  будет  y   1  +  б ?
 Мы говорим, что следующее уравнение:
  y  —  b  =  f  ( x  —  a ).
 Для, когда  x  =  x   1  +  a :
  y  —  b  =  f  ( x   1  +  a  —  a ) =  f  ( x   1 ) =  y   1  1 
  y  =  y   1  +  b .
 И ( x   1 ,  y   1 ) — любая точка на графике  y  =  f  ( x ).Следовательно, уравнение переведенного графика —
.
  y  —  b  =  f  ( x  —  a ).
 Что мы и хотели доказать.
 Вертикальное растяжение и сжатие
 Если мы умножим функцию  f  ( x ) на число  c  — получим  c f  ( x ) — каков будет эффект на графике?
 Если мы умножим  f  ( x ) на число больше 1 — как на графике в центре — то каждое значение  y  будет растянуто; на этом графике в 2 раза.
 Но если мы умножим  f  ( x ) на число меньше 1 — как на графике справа — то каждое значение  y  уменьшится; в этом графике в ½ раза.
 Следующая тема: Рациональные функции
 Содержание | Дом
 Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети. 
 Даже 1 доллар поможет.
 Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор
 Вопросы или комментарии?
 Электронная почта: themathpage @ яндекс.com
 Линейные уравнения 
 Линейное уравнение   — это уравнение прямой линии  
 Это все линейные уравнения: 
 у = 2х + 1
 5x = 6 + 3 года
 у / 2 = 3 — х
 Рассмотрим более подробно один пример:
 Пример: 
 y = 2x + 1  — линейное уравнение:
 График  y = 2x + 1  представляет собой прямую линию
 Когда x увеличивается, y увеличивается  в два раза быстрее , поэтому нам нужно 2x
 Когда x равен 0, y уже равен 1.Так что +1 тоже нужен
 Итак: y = 2x + 1
 Вот несколько примеров значений:
 х
 у = 2х + 1
  -1 
 у = 2 × (-1) + 1 =  -1 
  0 
 у = 2 × 0 + 1 =  1 
  1 
 у = 2 × 1 + 1 =  3 
  2 
 у = 2 × 2 + 1 =  5 
 Убедитесь сами, что эти точки являются частью линии выше!
 Различные формы 
 Существует много способов написания линейных уравнений, но они обычно имеют  констант  (например, «2» или «c») и должны иметь  простых переменных  (например, «x» или «y»).
 Примеры: Это линейные уравнения: 
  Но  переменные (например, «x» или «y») в линейных уравнениях не имеют  НЕ :
 Примеры: Это 
 НЕ  линейных уравнений:
 y  2  — 2 = 0
 3√x — y = 6
 x  3 /2 = 16
 Форма пересечения уклона 
 Наиболее распространенной формой является уравнение угла наклона прямой:
 Пример: y = 2x + 1 
 Уклон:  м = 2 
 Перехват:  b = 1 
 Форма точечного откоса 
 Еще одна распространенная форма — это форма угла наклона уравнения прямой линии:
 y — y  1  = m (x — x  1 )
 Пример: y — 3 = (¼) (x — 2) 
 Он имеет вид  y — y  1  = m (x — x  1 )  где:
 Общая форма 
 А есть еще Общая форма уравнения прямой:
 Ax + By + C = 0
 (A и B не могут быть одновременно 0)
 Пример: 3x + 2y — 4 = 0 
 Он имеет вид  Ax + By + C = 0  где:
 Есть и другие, менее распространенные формы.
 как функция 
 Иногда линейное уравнение записывается как функция с f (x) вместо y:
 y = 2x — 3
 f (x) = 2x — 3
 Это такие же!
 И функции не всегда записываются с использованием f (x):
 y = 2x — 3
 w (u) = 2u — 3
 ч (г) = 2z — 3
 Это тоже такие же!
 Функция идентификации 
 Существует специальная линейная функция, которая называется «Функция идентичности»:
 f (x) = x
 А вот его график:
 Получается под углом 45 ° (уклон 1)
 Это называется «Идентификацией», потому что то, что выходит , идентично  тому, что входит:
 В
 Из
 0
 0
 5
 5
 -2
 -2
…etc
 … и т. Д.
 Постоянные функции 
 Другой особый тип линейной функции — это постоянная функция … это горизонтальная линия:
 f (x) = C
 Независимо от того, какое значение «x», f (x) всегда равно некоторому постоянному значению.
 Использование линейных уравнений 
 Вы можете прочитать о том, что можно делать с помощью строк:
 Алгебра — рациональные функции 
 Показать общее уведомление
 Показать мобильное уведомление
 Показать все заметки Скрыть все заметки
 Это немного заранее, но я хотел сообщить всем, что мои серверы будут проходить техническое обслуживание 17 и 18 мая с 8:00 AM CST до 14:00 PM CST.Будем надеяться, что единственное неудобство будет заключаться в периодической потере / разрыве соединения, которую следует исправить, просто перезагрузив страницу. В остальном обслуживание (скрестив пальцы) должно быть «невидимым» для всех.
 Пол 
 6 мая 2021 г.
 Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
 Раздел 4-8: Рациональные функции 
 В этом последнем разделе нам нужно обсудить построение графиков рациональных функций. Вероятно, лучше всего начать с довольно простого, и мы можем обойтись без всех этих знаний о том, как они работают.
 Давайте нарисуем график \ (f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} \). Во-первых, поскольку это рациональная функция, нам нужно быть осторожными с делением на ноль. Итак, из этого уравнения мы видим, что нам нужно избегать \ (x = 0 \), поскольку это даст деление на ноль.
 Теперь давайте просто подставим некоторые значения \ (x \) и посмотрим, что мы получим.
 \ (х \)
 \ (е (х) \)
-4
 -0.25
-2
 -0,5
 -1
 -1
 -0,1
 -10
 -0,01
 -100
 0,01
 100
 0,1
 10
 1
 1
 2
 0.5
 4
 0,25
 Итак, по мере увеличения \ (x \) (положительного и отрицательного) функция сохраняет знак \ (x \) и становится все меньше и меньше. Точно так же, когда мы приближаемся к \ (x = 0 \), функция снова сохраняет тот же знак, что и \ (x \), но начинает становиться довольно большим. Вот набросок этого графика.
 Во-первых, обратите внимание, что график состоит из двух частей. Почти все рациональные функции будут иметь графики, состоящие из нескольких частей, подобных этому.
 Затем обратите внимание, что на этом графике нет никаких перехватов. Это достаточно легко проверить сами.
 Напомним, что граф будет иметь \ (y \) — точку пересечения \ (\ left ({0, f \ left (0 \ right)} \ right) \). Однако в этом случае мы должны избегать \ (x = 0 \), и поэтому этот график никогда не пересечет ось \ (y \). Он действительно подходит очень близко к оси \ (y \), но никогда не пересечет и не коснется ее, поэтому не будет пересекаться с \ (y \).
 Затем напомним, что мы можем определить, где граф будет иметь \ (x \) — точки пересечения, решив \ (f \ left (x \ right) = 0 \).Для рациональных функций это может показаться беспорядком. Однако есть приятный факт о рациональных функциях, который мы можем здесь использовать. Рациональная функция будет равна нулю при определенном значении \ (x \), только если числитель равен нулю при этом \ (x \), а знаменатель не равен нулю при этом \ (x \). Другими словами, чтобы определить, равна ли когда-либо рациональная функция нулю, все, что нам нужно сделать, это установить числитель равным нулю и решить. Когда у нас есть эти решения, нам просто нужно
 убедитесь, что ни один из них не делает знаменатель равным нулю.
 В нашем случае числитель равен единице и никогда не будет равен нулю, поэтому эта функция не будет иметь \ (x \) — перехватов. Опять же, график будет очень близко к оси \ (x \), но никогда не коснется и не пересечет ее.
 Наконец, нам нужно обратить внимание на тот факт, что график очень близко подходит к осям \ (x \) и \ (y \), но никогда не пересекает их. Поскольку в самой оси нет ничего особенного, мы будем использовать тот факт, что ось \ (x \) на самом деле является линией, заданной \ (y = 0 \), а ось \ (y \) — действительно строка, заданная \ (x = 0 \).
 В нашем графике, когда значение \ (x \) приближается к \ (x = 0 \), график становится очень большим по обе стороны от линии, заданной \ (x = 0 \). Эта линия называется вертикальной асимптотой . 
 Кроме того, поскольку \ (x \) становится очень большим, как положительным, так и отрицательным, график приближается к линии, заданной \ (y = 0 \). Эта линия называется горизонтальной асимптотой  .
 Вот общие определения двух асимптот.
 Линия \ (x = a \) представляет собой вертикальную асимптоту  , если график неограниченно увеличивается или уменьшается на одной или обеих сторонах линии по мере того, как \ (x \) приближается к \ (x = a \).
 Линия \ (y = b \) является горизонтальной асимптотой  , если график приближается к \ (y = b \), когда \ (x \) неограниченно увеличивается или уменьшается. Обратите внимание, что он не должен приближаться к \ (y = b \), поскольку \ (x \) ОБА увеличивается и уменьшается. m} + \ cdots}} \]
, где \ (n \) — наибольший показатель в числителе, а \ (m \) — наибольший показатель в знаменателе.
 Тогда мы имеем следующие факты об асимптотах.
 График будет иметь вертикальную асимптоту в точке \ (x = a \), если знаменатель равен нулю в точке \ (x = a \), а числитель не равен нулю в точке \ (x = a \).
 Если \ (n 
 Если \ (n = m \), то линия \ (\ displaystyle y = \ frac {a} {b} \) является горизонтальной асимптотой.
 Если \ (n> m \) не будет горизонтальных асимптот.
 Процесс построения графика рациональной функции довольно прост. Вот.
 Процесс построения графика рациональной функции 
 Найдите перехватчики, если они есть. Помните, что \ (y \) — точка пересечения задается как \ (\ left ({0, f \ left (0 \ right)} \ right) \), и мы находим \ (x \) — точки пересечения, устанавливая числитель равен нулю и решает.
 Найдите вертикальные асимптоты, установив знаменатель равным нулю и решив.
 Найдите горизонтальную асимптоту, если она существует, используя факт выше.
 Вертикальные асимптоты разделят числовую прямую на области. В каждом регионе на графике не менее одной точки в каждом регионе. Эта точка сообщит нам, будет ли график выше или ниже горизонтальной асимптоты, и, если нам нужно, мы должны получить несколько точек, чтобы определить общую форму графика.
 Нарисуйте график.
 Обратите внимание, что набросок, который мы получим в процессе, будет довольно грубым, но это нормально.Это все, что нам действительно нужно — это базовое представление о том, на что будет смотреть график.
 Давайте взглянем на пару примеров.
 Пример 1 Нарисуйте график следующей функции.
 \ [f \ left (x \ right) = \ frac {{3x + 6}} {{x — 1}} \]
 Показать решение
 Итак, начнем с перехвата. Перехватчик \ (y \) равен,
 \ [f \ left (0 \ right) = \ frac {6} {{- 1}} = — 6 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0.25 дюймов} \ left ({0, — 6} \ right) \]
 \ (x \) — перехватов будет,
 \ [\ begin {align *} 3x + 6 & = 0 \\ x & = — 2 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ left ({- 2,0} \ right) \ end { выровнять*}\]
 Теперь нам нужно определить асимптоты. Давайте сначала найдем вертикальные асимптоты.
 \ [x — 1 = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} x = 1 \]
 Итак, у нас есть одна вертикальная асимптота.Это означает, что теперь есть две области \ (x \) ‘s. Это \ (x <1 \) и \ (x> 1 \).
 Теперь наибольший показатель степени в числителе и знаменателе равен 1, и поэтому на прямой будет горизонтальная асимптота.
 \ [y = \ frac {3} {1} = 3 \]
 Теперь нам просто нужны точки в каждой области \ (x \) ’. Поскольку точки пересечения \ (y \) и \ (x \) уже находятся в левой области, нам не нужно набирать там очки.Это означает, что нам просто нужно получить точку в нужном регионе. На самом деле не имеет значения, какое значение \ (x \) мы выберем здесь, нам просто нужно, чтобы оно было достаточно маленьким, чтобы оно поместилось на нашем графике.
 \ [f \ left (2 \ right) = \ frac {{3 \ left (2 \ right) + 6}} {{2 — 1}} = \ frac {{12}} {1} = 12 \ hspace { 0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ left ({2,12} \ right) \]
 Хорошо, сложив все это вместе, мы получим следующий график.
 Обратите внимание, что асимптоты показаны пунктирными линиями.2} — 9}} \]
 Показать решение
 Ладно, начнем с перехвата. Перехватчик \ (y \) равен,
 \ [f \ left (0 \ right) = \ frac {9} {{- 9}} = — 1 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ left ({0, — 1} \ right ) \]
 Числитель является константой, поэтому \ (x \) — перехватчиков не будет, поскольку функция никогда не может быть нулем. 2} — 9 = 0 \ hspace {0.25 дюймов} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} x = \ pm 3 \]
 Итак, в этом случае у нас будет три области нашего графа: \ (x <- 3 \), \ (- 3  3 \).
 Кроме того, наибольший показатель степени в знаменателе равен 2, а поскольку в числителе нет \ (x \), наибольший показатель степени равен 0, поэтому ось \ (x \) будет горизонтальной асимптотой.
 Наконец, нам нужны очки. Здесь мы будем использовать следующие моменты.
 \ [\ begin {align *} f \ left ({- 4} \ right) & = \ frac {9} {7} & \ hspace {0,25in} & \ left ({- 4, \ frac {9} { 7}} \ right) \\ f \ left ({- 2} \ right) & = — \ frac {9} {5} & \ hspace {0,25in} & \ left ({- 2, — \ frac {9 } {5}} \ right) \\ f \ left (2 \ right) & = — \ frac {9} {5} & \ hspace {0,25in} & \ left ({2, — \ frac {9} { 5}} \ right) \\ f \ left (4 \ right) & = \ frac {9} {7} & \ hspace {0,25 дюйма} & \ left ({4, \ frac {9} {7}} \ вправо) \ end {align *} \]
 Обратите внимание, что вместе с точкой пересечения \ (y \) у нас фактически есть три точки в средней области.2} — 4x = x \ left ({x — 4} \ right) = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25in} x = 0, \, \, x = 4 \]
 Итак, у нас снова две области, и мы получили три области: \ (x <0 \), \ (0  4 \).
 Далее, наибольший показатель как в числителе, так и в знаменателе равен 2, поэтому, поскольку на линии будет горизонтальная асимптота,
 \ [y = \ frac {1} {1} = 1 \]
 Теперь одна из точек пересечения \ (x \) — находится в крайней левой области, поэтому нам не нужны там точки.Другой перехватчик \ (x \) находится в средней области. Итак, нам понадобится точка в крайней правой области, и, как отмечалось в предыдущем примере, мы захотим получить еще пару точек в средней области, чтобы полностью определить ее поведение.
 \ [\ begin {align *} f \ left (1 \ right) & = 1 & \ hspace {0,25 дюйма} & \ left ({1,1} \ right) \\ f \ left (3 \ right) & = — \ frac {5} {3} & \ hspace {0,25 дюйма} & \ left ({3, — \ frac {5} {3}} \ right) \\ f \ left (5 \ right) & = \ frac {{21}} {5} & \ hspace {0.25 дюймов} & \ left ({5, \ frac {{21}} {5}} \ right) \ end {align *} \]
 Вот эскиз этой функции.
 Обратите внимание, что на этот раз средняя область не имеет такого поведения на асимптотах, как мы видели в предыдущем примере. Это может происходить и будет происходить довольно часто. Иногда поведение на двух асимптотах будет таким же, как в предыдущем примере, а иногда оно будет иметь противоположное поведение на каждой асимптоте, как мы видим в этом примере.Из-за этого нам всегда нужно будет получать пару баллов в этих типах регионов, чтобы точно определить, каким будет поведение.
 .