Содержание
Открытая Математика. Функции и Графики. Алгебраические операции над функциями
Построение графика суммы (произведения) двух функций производится сложением (умножением) ординат точек графиков с одинаковыми абсциссами. Приведем для примера графики функций y = x + sin x и y = x sin x, являющихся соответственно суммой и произведением графиков y = x и y = sin x.
Правило построения графика функции 1f(x),
если график функции f(x)
уже построен.
-
Если x = a – вертикальная асимптота графика функции f(x),
то есть limx→a+0f(x)=∞ или limx→a-0f(x)=∞,
то limx→a+01f(x)=0 или соответственно limx→a-01f(x)=0.
Таким образорм, в случае, когда x = a – двусторонняя вертикальная асимптота графика функции f(x),
x = a будет нулем функции 1f(x). -
Если у графика функции f(x)
есть горизонтальная асимптота y = 0 при x→∞,
то limx→∞1f(x)=∞.
-
Если у графика функции f(x)
есть горизонтальная асимптота y = b при x→∞,
то график функции 1f(x)
будет иметь горизонтальную асимптоту y=1b. -
Если график функции f(x) пересекает ось абсцисс в точке (x0; 0),
то есть x0
– нуль функции f(x):
f(x0)=0,
то x=x0
– вертикальная асимптота графика функции y=1f(x). -
Если точка (x0; y0)
– точка максимума (минимума) функции f(x)
и y0≠0,
то (x0; 1y0)
– точка минимума (максимума) функции 1f(x). -
Промежуткам возрастания (убывания) графика функции f(x)
соответствуют промежутки убывания (возрастания) графика функции 1f(x).
и y=log|x2-1|2.
Пусть известен график y = f (x) и нужно построить график функции y = |f (x)|.
По определению,
|fx|={fxпри fx≥0,-fxпри fx<0.
Значит, часть графика, лежащую в верхней координатной полуплоскости, изменять не надо, а часть графика, лежащую в нижней координатной полуплоскости, нужно отобразить симметрично оси OX.
Пусть известен график y = f (x) и нужно построить график функции y = f (|x|). Заметим, что при x ≥ 0 f (|x|) = f (x), а функция y = f (|x|) четная. Поэтому, чтобы построить график функции y = f (|x|), нужно часть графика функции y = f (x), лежащую в левой координатной полуплоскости, отбросить, а часть графика, лежащую в правой координатной полуплоскости, отобразить симметрично относительно оси OY.
Равенство |y| = f (x) не задает функции, так как при f (x) > 0 существуют два значения y = ± f (x), удовлетворяющие ему.
Множество точек, задаваемое уравнением |y| = f (x), рисуется следующим образом: строится график функции f (x), отбрасывается его часть, находящаяся ниже оси абсцисс, оставшаяся часть дополняется своим симметричным отражением относительно оси абсцисс.
Как построить график функции в Wolfram|Alpha
Начнем с построения простого 2-мерного графика: plot sin(sqrt(7)x)+19cos(x) для x от -20 до 20
Если заменить 7 на (-7), то получим графики действительной и мнимой частей функции: plot sin(sqrt(-7)x)+19cos(x) для x от -5 до 5
В двух предыдущих примерах мы задавали область значений аргумента х. А что будет, если не задавать область значений х?
Одной из уникальных особенностей Wolfram | Alpha является автоматический выбор подходящего диапазона х для построения графиков функций одной и двух переменных, например, как при построении графика этой функции, содержащей функции Бесселя:
Обращаясь к Wolfram | Alpha, чтобы построить график функции, мы всегда используем префикс plot.
Если же мы введем какое-либо одномерное выражение без префикса plot, то получим кроме графика функции в прямоугольных декартовых координатах, еще и много других сведений об этой функции.
Сравните:
Кроме того, изображение построенного графика будет крупнее, если вы используете префикс plot.
Одновременно в Wolfram | Alpha можно строить графики нескольких функций.
Если навести мышь на левый нижний угол изображения, то становятся доступными две ссылки: Save as image и Copyable planetext. Рассмотрим такой график:
Первая ссылка Save as image, которая открывается в левом нижнем углу изображения, позволяет сохранить построенный график, как картинку на компьютере пользователя — при нажатии на Save as image автоматически начнется загрузка изображения:
Вторая ссылка Copyable planetext позволяет увидеть код, аналогичный тому, который используется системой Matematica для построения графиков:
Теперь рассмотрим, как в Wolfram | Alpha построить графики функций двух переменных.
2 cos(x) для x от -6 до 6 и y от -2 до 2
Как и в одномерном случае, Wolfram | Alpha автоматически определяет подходящий диапазон значений аргументов, где функция имеет наиболее характерный вид. В случае, если Wolfram | Alpha не может найти подходящий диапазон, то это скорее всего потому, что система не смогла определить такой диапазон, где функция имеет наиболее интересное поведение. В этом случае, мы можем задать диапазон вручную, как это было сделано выше. Посмотрите следующие примеры:
А что, если вы захотите построить одновременно несколько графиков функций двух переменных?
Wolfram | Alpha строит отдельный график для каждой функции в списке. Вот еще несколько примеров:
Новой функцией Wolfram | Alpha является возможность строить графики действительной и мнимой частей комплексно-значных функций двух переменных:
Во всех рассмотренных выше примерах Wolfram | Alpha строил также и контурные графики (линии уровня) в дополнение к трехмерным графикам (поверхностям).
Чтобы увидеть связь между трехмерными и контурными графиками, нужно нажать кнопку “Show contour lines”. Отметим, что и трехмерные и контурные графики используют один и тот же диапазон аргументов.
Все трехмерные графики строятся с помощью функции plot3d системы Mathematica. Контурные графики были сделаны с помощью ContourPlot. В обоих случаях, чтобы увидеть код системы Mathematica для генерации изображения нужно нажать ссылку Copyable planetext в левом нижнем углу нужного изображения.
Источник by Sam Blake
Опубликовано в блоге Web in Math
|
4 бесплатных математических инструмента для создания графиков, которые позволяют создавать их, просто вводя функции, выражения и уравнения. Эти инструменты включает в себя простой и удобный интерфейс, и, как предоставляется, красочный интерфейс, а также возможность вводить нужные функции или выражения. Кроме того, эти инструменты позволяют сохранять созданные графики в различных форматах: PNG, JPG, PDF — и многих другое.
Graph
Graph представляет собой бесплатное программное обеспечение для создания графиков для Windows, позволяя рисовать графики в системе координат. Можно создать график с использованием часто используемых математических функций, линейных, тригонометрических и т.д. ПО включает регулируемый масштаб, с помощью которого можно легко настроить значение системы координат, как большие, так и малые. Есть возможность применять различные цвета для выделения разных участков графика. Можно рассчитать площадь и длину пути. Инструмент позволяет настроить функции, а также константы. Мало того, он позволяет добавлять текстовые метки, включающие различные шрифты, изображения и объекты. График можно сохранить в различных форматах, таких как JPG, PNG, PDF, SVG, BMP, EMF, GIF. График можно распечатать. Лучшей частью этой бесплатной программы является то, что она позволяет создавать анимацию, с помощью которой можно показать изменения на графике при изменении значения. Скачать Graph
Functy
Functy — другое бесплатное обеспечение для создания математических графиков для Windows, которое позволяет создавать и визуализировать 3D декартовы и сферические математические функции в реальном масштабе времени. Оно позволяет вводить математические функции, мгновенно показывая вид на график и предоставляя вам возможность редактировать нанесенные диапазоны значений, используемых в функциях, X, Y или Z. Есть функция просмотра, где можно вращать, перемещать, масштабировать, а также оценить график. Это бесплатное программное обеспечение поддерживает анимированные функции с временной переменной. Можно сохранить и экспортировать созданный график в PLY-формат, так что он может использоваться в дальнейшем с другими приложениями по 3D моделированию.
Скачать Functy
Calc5
Calc5 является бесплатным онлайн-инструментом для создания математических графиков, который позволяет построить 2D и 3D графики, просто введя нужные математические функции.
Попробовать Calc5
Desmos Graphing Calculator
|
Эти инструменты подходят для преподавателей и студентов.
Он предоставляет современный математический калькулятор графиков и поддерживает вычислительные операции. Можно делать символьные вычисления: дифференцирование, интегрирование и многое другое. Есть опции масштабирования и панорамирования при создании 2D графика. Введите требуемую функцию, нажмите на OK, и график будет готов. Для сохранения созданного графика можно сделать скриншот экрана, поскольку инструмент не имеет функции сохранения графиков.
Есть три способа сохранения графика: можно отправить по электронной почте, встроить или сохранить график в виде изображения в формате PNG. График можно и напечатать. Инструмент доступен как приложение для браузера Chrome.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Построение графика с помощью элементарных преобразований.
Построение графика функции
y=f(kx) с помощью элементарных преобразований графика функции y=f(x) (A=1; B=0; b=0)
Рассмотрим сначала два частных случая при b=0,т.е. функция имеет вид y=f(kx) .
1. При |k|>1 график функции y=f(x) сжимается в |k| раз вдоль оси OX относительно оси OY.
2. При |k|<1 график функции y=f(x) растягивается в раз вдоль оси OX относительно оси OY .
При k<0 полученный график дополнительно отображаем симметрично относительно оси OY.
Рассмотрим примеры:
| Построить график функции | Построить график функции |
Построение графика функции
y=f(x+b) с помощью элементарных преобразований графика функции y=f(x) (A=1; B=0; k=1)
При b>0 график функции y=f(x) сдвигается влево вдоль оси OX на b единиц.
При b<0 график функции y=f(x) сдвигается вправо вдоль оси OX на |b| единиц
Рассмотрим примеры:
|
Построить график функции |
Построить график функции ( b<0 ) |
Построение графика функции
y=f(kx+b) с помощью элементарных преобразований графика функции y=f(x) (A=1; B=0)
Рассмотрим общий случай : y=f(kx+b) .
Сначала вынесем коэффициент k за скобку: .
Именно число определяет сдвиг вдоль оси OX , а не b ,
как полагают некоторые абитуриенты.
Теперь строим график функции y=f(x) .
Затем строим график функции y=f(kx) , после чего сдвигаем полученный график вдоль оси OX на
единиц влево или вправо в зависимости от знака этого числа.
|
Рассмотрим пример: построить график функции |
Построение графика функции
y=A·f(kx+b)+B
с помощью элементарных преобразоаний
графика функции y=f(x)
Комбинируя методы построения графиков, рассмотренные в предыдущих случаях, можно по известному графику функции
y=f(x)
построить график функции y=A·f(kx+b)+B с помощью растяжений, сжатий по горизонтали и вертикали,
параллельных переносов вдоль осей координат,
а также симметрий относительно координатных осей тех графиков,
которые получаются из первоначального графика последовательно применением подходящего преобразования.
Рассмотрим примеры.
|
Построить график функции |
Построить график функции |
Построить график функции c помощью GeoGebra
В поисках решения, как же предложить всем желающим, создавать графики уравнения или строить произвольные графики функций, я перелопатил многое: искал скрипты, писал сам и пытался изучить язык metapost и научить гостей сайта, но в к конечном итоге я нашел ту «жемчужину» которая помогла мне.
Речь идет о бесплаьной программе Geogebra, сайт которого размещен по адресу http://www.geogebra.org/
Программа написана на Java, поэтому является кроссплатформенным решением, то работает как на Linux-совместимых ( Ubuntu, Red Hat и прочее), так и на Windows операционных системах.
Рабочее окно GeoGebra выглядит вот так
Функционал программы очень обширен, но в основном на 100% процентов эту программу будут использовать преподаватели для создания учебных материалов, студенты для создания дипломных работ, и школьники при защите курсовых или для понимания той или иной задачи.
Программа может строить:
— Многоугольники и рассчитывать площади
— Вектора и вычисления с ними
— поворот точки или фигуры вокруг начала координат или другой произвольной точки
— зеркальное отображени фигуры.
— биссектриссу угла
— много другое, вплоть до анимационных картинок для показания физических процессов.
Но самое главная возможность, на мой взгляд это построение графика любого уравнения от одного или двух переменных.
Рассмотрим примеры
Открываем GeoGebra и внизу в поле Ввод пишем уравнение третьей степени
и получаем следующее
Поставив точку на пересечении графика уравнения и оси абсцисс мы можем получить координаты
Точка А имеет координаты (-2.46:0)
То есть один из корней уравнения третьей степени будет иметь значение -2.46 и это легко проверяется подстановкой в исходное уравнение.
С помощью программы можно создавать более сложные графики как здесь
так и анимационные ролики, которые можно увидеть в форуме создателей GeoGebra.
Программа GeoGebra почему то незаслуженно забыта на российских просторах, и ни один из более менее популярных ресурсах, посвященных учебе, об этой программе не говорит.Хотя для возникновения интереса у школьников, для понимания геометрических а иногда и алгебраических задач это незаменимая программа.
Успехов в изучении программы!
- Построить ненаправленный граф по матрице >>
Wolfram | Примеры альфа: домен и диапазон
Домен и диапазон
Найдите область и диапазон математического выражения.
Вычислить область определения функции:
Вычислить диапазон функции:
Укажите ограничение на независимую переменную:
Вычислить как домен, так и диапазон:
Вычислить область и диапазон функции нескольких переменных:
Другие примеры
Wolfram | Примеры альфа: приложения исчисления
Другие примеры
Асимптоты
Вычислить горизонтальные, вертикальные или наклонные асимптоты.
Вычислить асимптоты функции:
Другие примеры
Другие примеры
Касательные и нормали
Вычислить касательную линию к кривой или вычислить касательную плоскость или нормальную линию к поверхности.
Найдите касательную к графику функции в точке:
Найдите нормаль к кривой, заданной уравнением:
Другие примеры
Другие примеры
Бугорки и углы
Вычислить и визуализировать куспиды и углы функции.
Найдите точки возврата на графике функции:
Найдите углы на графике функции:
Другие примеры
Другие примеры
Стационарные точки
Вычисляйте и визуализируйте стационарные точки функции.
Найдите стационарные точки функции:
Найдите стационарные точки функции нескольких переменных:
Другие примеры
Другие примеры
Точки перегиба
Вычислить и визуализировать точки перегиба функции.
Найдите точки перегиба функции:
Найдите точки перегиба в указанном домене:
Другие примеры
Другие примеры
Оптимизация
Найдите глобальные и локальные экстремумы и стационарные точки функций или наложите ограничение на функцию и вычислите ограниченные экстремумы.
Свернуть или развернуть функцию:
Минимизируйте или максимизируйте функцию нескольких переменных:
Свернуть или развернуть функцию с ограничением:
Другие примеры
Другие примеры
Площадь между кривыми
Вычисляет площади замкнутых областей, ограниченных областей между пересекающимися точками или областей между указанными границами.
Вычислите площадь, ограниченную двумя кривыми:
Укажите ограничения для переменной:
Другие примеры
Другие примеры
Длина дуги
Вычислить длину дуги в различных системах координат и размерах.
Вычислите длину дуги кривой:
Другие примеры
Другие примеры
Поверхности и твердые тела революции
Вычислите площадь поверхности вращения или объем тела вращения.
Вычислить свойства поверхности вращения:
Вычислить свойства твердого тела вращения:
Другие примеры
Другие примеры
Кривизна
Вычисляет кривизну функций и параметризованных кривых в различных системах координат и измерениях.
Вычислите кривизну плоской кривой:
Вычислить кривизну пространственной кривой в точке:
Другие примеры
Другие примеры
Седловые точки
Вычислить и визуализировать седловые точки функции.
Найдите седловые точки функции:
Найдите точку перевала, ближайшую к указанной точке:
Другие примеры
Изучение студентами функций и их графиков с помощью Desmos — Technology Tools for Teaching in Higher Education, The Practical Handbook Series
Ана Дафф
Графический калькулятор
Desmos — это открытый онлайн-инструмент с обширной числовой и визуальной универсальностью.
Это позволяет пользователю строить и маркировать точки на декартовой плоскости, демонстрировать решения уравнений и неравенств, функции графиков и создавать модели регрессии из наборов данных, среди других возможностей. Он имеет мощный встроенный инструмент калькулятора и инструмент слайдера, который позволяет пользователю создавать динамические визуальные эффекты, иллюстрирующие изменения или привлекающие внимание к конкретным компонентам.
Преимущества обучения с использованием Desmos
- Открытый и бесплатный ресурс без регистрации или подписки
- Позволяет статические и динамические графические демонстрации и количественный анализ двумерных моделей
- Можно предварительно организовать демонстрации и мероприятия
- Требует от пользователей легко приобретаемых технических навыков
- Позволяет легко делиться демонстрациями с другими пользователями
Ресурсы
- Ноутбук или мобильное устройство (Android или iOS)
- Интернет-браузер или приложение Desmos Graphing Calculator