Примеры алгебраические: 6.4.1. Алгебраическое выражение

Содержание

Числовые и алгебраические выражения — урок. Алгебра, 7 класс.

Числовое выражение — имеющее смысл выражение, составленное из чисел, знаков арифметических действий и скобок.

3+5⋅7−4 — числовое выражение;

3+−5:+ — не числовое выражение.

Если в выражении вместо чисел используются буквы, тогда имеем алгебраическое выражение.

Алгебраическим выражением — имеющее смысл выражение, составленное из букв, знаков арифметических действий, чисел и скобок.

a2−3b — алгебраическое выражение.

 

Буквы, которые являются составной частью алгебраического выражения, могут принимать разные числовые значения. Поэтому, они (буквы) называются переменными.

Алгебраические выражения могут быть очень громоздкими, и алгебра учит их упрощать, используя правила, законы, свойства, формулы.

При упрощении вычислений часто используются законы сложения и умножения.

 

Законы сложения

1)  От перемены мест слагаемых сумма не изменяется, т. е.

a+b=b+a — переместительный закон сложения.

2) Чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье слагаемое, можно к первому слагаемому прибавить сумму второго и третьего слагаемых, т. е.

a+b+c=a+b+c — сочетательный закон сложения.

Законы умножения

1) От перемены мест множителей произведение не меняется, т. е.

a⋅b=b⋅a — переместительный закон умножения.

2) Произведение не зависит от группировки его сомножителей, т. е.

a⋅b⋅c=a⋅b⋅c — сочетательный закон умножения.

3) Произведение суммы нескольких чисел на какое-нибудь число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число, т. е.

a+b⋅c=ac+bc — распределительный закон умножения относительно сложения.

Значение числового выражения — число, полученное в результате выполнения всех действий по порядку в числовом выражении.

 

Выполнив указанные действия в первом примере, получим

3+5⋅7−4=18.

 

Число \(18\) — значение выражения.

 

Значение алгебраического выражения зависит от конкретных значений буквенной части, входящей в его состав.

 

Допустим, алгебраическое выражение a2−3b при \(a=-16\) и \(b=-14\) имеет значение \(298\), т. к.

a2−3b=−162−3⋅−14=256+42=298,

 

а вот алгебраическое выражение a2−3a+2 при \(a=-4\) имеет значение \(-6,5\),

т. к. −42−3−4+2=16−3−2=13−2=−6,5.

 

И это же алгебраическое выражение a2−3a+2 при \(a=-2\) не имеет смысла, т. к. a+2=−2+2=0, т. е. будет деление на ноль.

Обрати внимание!

А на ноль делить нельзя!

Вывод:

в случае если алгебраическое выражение имеет определённое числовое значение при заданном наборе значений переменных, тогда такие значения переменных являются допустимыми;

 

в случае если алгебраическое выражение не имеет смысла при заданном наборе значений переменных, тогда такие значения переменных являются недопустимыми.

Так, в примере a2−3a+2 значение \(a=-4\) — допустимое, а

значение \(a=-2\) — недопустимое, т. к. при нём будет деление на ноль, а делить на ноль нельзя!

Алгебраические выражения, коэффициент, виды выражений

Алгебраическое выражение — это запись, составленная со смыслом, в которой числа могут быть обозначены и буквами, и цифрами. Также она может содержать знаки арифметических действий и скобки.

Любую букву, обозначающую число, и любое число, изображённое с помощью цифр, принято считать в алгебре также алгебраическим выражением.

Алгебраические выражения, входящие в состав формул, могут применяться к решению частных арифметических задач, если в них заменить буквы данными числами и произвести указанные действия. Число, которое получится, если взять вместо букв какие-либо числа и произвести над ними указанные действия, называется численной величиной алгебраического выражения. Из этого легко сделать вывод, что одно и то же алгебраическое выражение при различных значениях входящих в него букв может иметь различные числовые величины.

Примеры:

1) Выражение

am + bn,

при  a = 2,  m = 5,  b = 1,  n = 4  вычисляется:

2 · 5 + 1 · 4 = 14,

а при  a = 3,  m = 4,  b = 5,  n = 1  вычисляется:

3 · 4 + 5 · 1 = 17  и т.  д.

2) Выражение

abс,

при  a = 1,  b = 2,  c = 3  равно:

1 · 2 · 3 = 6,

а при  a = 2,  b = 3,  c = 4  равно:

2 · 3 · 4 = 24  и т. д.

Коэффициент

Коэффициент — это числовой множитель алгебраического выражения, представляющего собой произведение нескольких сомножителей. Коэффициент в выражении ставится перед всеми остальными буквенными множителями. Таким образом,

произведение чисел  abcd,  4  записывается так: 4abcd;

произведение чисел  mn,  ,  p  записывается так:   .

Числа  4  и    — это коэффициенты. Очевидно, что

4abcd = abcd + abcd + abcd + abcd

и точно также

.

Итак, коэффициент показывает, сколько раз целое алгебраическое выражение или известная его часть берется слагаемым.

Если в алгебраическом выражении нет числового множителя, то подразумевается, что коэффициент равен единице, так как

a = 1 · a;     bc = 1 · bc

и так далее.

Виды выражений

Алгебраическое выражение, в которое не входят буквенные делители, называется целым, в противном случае дробным или алгебраической дробью.

Пример.

Целые алгебраические выражения:

Дробные алгебраические выражения:

a2  ,     mn
b3 m + n  .

Выражения, не содержащие корней, называются рациональными, а содержащие корни — иррациональными или радикальными. Например, все выражения, приведённые выше, являющиеся целыми или дробными, так же можно назвать и рациональными.

a ,   53c + amn   — иррациональные или радикальные выражения.

Сокращение Алгебраических дробей

Определение

Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и/или знаменателе которой стоят алгебраические выражения (буквенные множители). Вот так:

Алгебраическая дробь содержит буквенные множители и степени.

Необыкновенной алгебраическую дробь делают буквы. Если заменить их на цифры, то карета превратится в тыкву — алгебраическая дробь тут же станет обыкновенной.

Если вы засомневались, что должно быть сверху — числитель или знаменатель — переходите по ссылке и освежите знания по теме обыкновенных дробей.

Сокращение алгебраических дробей

Сократить алгебраическую дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Общий множитель числителя и знаменателя в алгебраической дроби — многочлен и одночлен.

Если в 7 классе только и разговоров, что об обыкновенных дробях, то 8 класс сокращает исключительно алгебраические дроби.

Сокращение дробей с буквами и степенями проходит в три этапа:

 

  1. Определите общий множитель.
  2. Сократите коэффициенты.
  3. Поделите все числители и все знаменатели на общий множитель.

Для сокращения степеней в дробях применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

Пример сокращения дроби со степенями и буквами:

  1. Следуя формуле сокращения степеней в дробях, сокращаем x3 и x2
  2. Всегда делим на наименьшее значение в степени
  3. Вычитаем: 3 — 1

 

Получаем сокращенную дробь.

Запоминаем: сокращать можно только одинаковые буквенные множители. Иными словами, сокращать можно только дроби с одинаковыми буквами.

❌ Так нельзя ✅ Так можно

Примеры сокращения алгебраических дробей с одночленами:

Пример 1.

Как решаем:

 

  1. Общий множитель для числителя и знаменателя — 8.
  2. Х и x2 делим на x и получаем ответ.

Получаем сокращенную алгебраическую дробь.

Пример 2.

Как решаем:

 

  1. Общий множитель для числителя и знаменателя — 7.
  2. b3 и b делим на b.
  3. Вычитаем: 3 — 1 и получаем ответ.

Получаем сокращенную дробь.

 

Сокращением дробей придется заниматься весь 8 класс. Чтобы дроби поддались и сами прыгали под сокращение, запишите вашего ребенка на уроки математики в онлайн-школу Skysmart.

Наши преподаватели — настоящие самураи-укротители любых дробей с буквами и степенями, и научат этим фокусам и вас.

Сокращение алгебраических дробей с многочленами

Чтобы верно сократить алгебраическую дробь с многочленами, придерживайтесь двух главных правил:

  • сокращайте многочлен в скобках только с таким же многочленом в скобках;
  • сокращайте многочлен в скобках целиком — нельзя сократить одну его часть, а другую оставить. Не делайте из многочленов одночлены.
❌ Так нельзя ✅ Так можно

Запомните: многочлены в алгебраической дроби находятся в скобках. Между этими скобками вклиниться может только знак умножения. Всем остальным знакам там делать нечего.

Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами:

Последовательно сокращаем: сначала x, затем (x+c), далее сокращаем дробь на 6 (общий множитель).

Сокращаем многочлены a+b (в дроби их 3). Многочлен в числителе стоит в квадрате, поэтому мысленно оставляем его при сокращении.

Вынесение общего множителя при сокращении дробей

При сокращении алгебраических дробей иногда не хватает одинаковых многочленов. Для того, чтобы они появились, вынесите общий множитель за скобки.

Чтобы легко и непринужденно выносить множитель за скобки, пошагово выполняйте 4 правила:

 

  1. Найдите число, на которое делятся числа каждого одночлена.
  2. Найдите повторяющиеся буквенные множители в каждом одночлене.
  3. Вынесите найденные буквенные множители за скобку.
  4. Далее работаем с многочленом, оставшимся в скобках.

Алгебра не терпит неточность. Всегда проверяйте, верно ли вынесен множитель за скобки — сделать это можно по правилу умножения многочлена на одночлен.

Для умножения одночлена на многочлен нужно умножить поочередно все члены многочлена на этот одночлен.

Пример 1.

Как решаем:

 

  1. Выносим общий множитель 6
  2. Делим 42/6
  3. Сокращаем получившиеся одинаковые многочлены.

 

Пример 2.

Как решаем: выносим общий множитель a за скобки и сокращаем оставшиеся в скобках многочлены.

Сокращение дробей. Формулы сокращенного умножения

Перед формулами сокращенного умножения не устоит ни одна дробь — даже алгебраическая.

Чтобы легко ориентироваться в формулах сокращенного умножения, сохраняйте и заучивайте таблицу. Формулы подскажут вам, как решать алгебраические дроби.

Квадрат суммы (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Квадрат разности (a-b)2 = a2 — 2ab — b2
Разность квадратов a2 – b2 = (a – b)(a+b)
Куб суммы (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Куб разности (a-b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3
Сумма кубов a3 + b3 = (a + b)(a2— ab+b2)
Разность кубов a3 — b3 = (a — b)(a2+ ab+b2)

Примеры сокращения дробей с помощью формул сокращенного умножения:

Применяем формулу квадрата разности (a-b)2 = a2 — 2ab — b2 и сокращаем одинаковые многочлены.

Чтобы раскрыть тему сокращения алгебраических дробей и полностью погрузиться в мир числителей и знаменателей, решите следующие примеры для самопроверки.

Примеры сокращения дробей за 7 и 8 классы

Сократите дроби:

Тема сокращения алгебраических дробей достаточно обширна, и требует к себе особого внимания. Чтобы знания задержалась в голове хотя бы до ЕГЭ, сохраните себе памятку по сокращению дробей. Этот алгоритм поможет не растеряться при встрече с алгебраическими дробями лицом к лицу.

  • Чтобы сократить дробь, найдите общий множитель числителя и знаменателя.
  • Поделите числитель и знаменатель на общий множитель.
  • Чтобы разделить многочлен на множители, вынесите общий множитель за скобку.
  • Второй способ разделить многочлен на множители — применить формулы сокращенного умножения.
  • Выучите все формулы сокращенного умножения — они помогут легко преобразовывать выражения и экономить время при решении задач.
  • Можно забыть свое имя, но формулу разности квадратов помнить обязательно — она будет встречаться чаще других.
  • Всегда проверяйте результат сокращения: алгебра — точна, коварна и не любит давать вторые шансы.

Возможно тебе будет полезно — Формулы сокращённого умножения (ФСУ)

Если ваш ребенок все еще не знает, как решать алгебраические дроби, запишите его на бесплатный пробный урок по математике в онлайн-школу Skysmart. Там его ждут опытные преподаватели, победившие не одну сотню дробей, и увлекательные уроки, на которых нет скучных учебников, но есть интерактивная доска и по-настоящему интересные задания.

Виды алгебраических выражений. Область определения алгебраического выражения

Переменной величиной называется величина, которая принимает различные численные значения.
Постоянная величина — это величина, численные значения которой не меняются. Постоянную величину часто рассматривают как частный случай переменной, у которой все численные значения одинаковы. Постоянную величину нередко называют константой.
Алгебраические выражения — это математические выражения, которые составляются из чисел и переменных с помощью знаков сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень, извлечения корня и с помощью скобок.
Примеры алгебраических выражений:

Если алгебраическое выражение не содержит деления на переменные и извлечения корня из переменных, то оно называется целым. Из приведенных выше примеров 1), 2), 3) — целые выражения.
Если алгебраическое выражение составлено из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в степень с натуральным показателем и деления на выражения с переменными, то оно называется дробным. 4), 5) — примеры дробных алгебраических выражений.
Целые и дробные выражения называются рациональными выражениями. 1), 2), 3), 4), 5) примеры рациональных алгебраических выражений.
Если в алгебраическом выражении используется извлечение корня из переменных (или возведение переменных в дробную степень), то такое алгебраическое выражение называется иррациональным. 6), 7) — примеры иррациональных алгебраических выражений.
Таким образом, алгебраические выражения могут быть рациональными и иррациональными. Рациональные выражения, в свою очередь, бывают целыми и дробными. Рациональные дробные выражения нередко называют дробно-рациональными.

Область определения алгебраического выражения

Множество значений переменных, при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называется областью определения алгебраического выражения. Например, областью определения выражения

является множество всех значений х є R, кроме х = -3, т.е. хе R\{-3}. Область определения выражения

есть множество пар чисел (a;b), для которых а≠b

Тождественно равные выражения

Два выражения называются тождественно равными, если при всех значениях входящих в них переменных, принадлежащих общей области определения, соответственные значения этих выражений равны.
Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Примеры тождеств:
(x+y)² = х² + 2ху + у², x + 0 = x, х •1 = x, (а + b)(a — b) = а² — b².
Верные числовые равенства также называют тождествами,
например:

— тождества.
Замена одного выражения другим, тождественно равным ему, называется тождественным преобразованием выражения.

определение, свойства и примеры решения задач

Содержание:

Минор

Определение

Минором $M_{i j}$ к элементу $a_{i j}$ определителя $n$-го порядка называется
определитель
$(n-1)$-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием $i$-той строки и $j$-того столбца.

Пример

Задание. Найти минор $ M_{23} $ к элементу $ a_{23} $ определителя
$ \left| \begin{array}{rrr}{1} & {2} & {-1} \\ {1} & {0} & {3} \\ {7} & {8} & {4}\end{array}\right| $ .

Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:

тогда $ M_{23}=\left| \begin{array}{ll}{1} & {2} \\ {7} & {8}\end{array}\right| $

Ответ. {5} \cdot \left| \begin{array}{ll}{1} & {2} \\ {7} & {8}\end{array}\right|=-\left| \begin{array}{ll}{1} & {2} \\ {7} & {8}\end{array}\right| $

Ответ. $ A_{23}=-\left| \begin{array}{ll}{1} & {2} \\ {7} & {8}\end{array}\right| $

Сумма произведений элементов «произвольной» строки на алгебраические дополнения к элементам
$i$-ой строки определителя равна определителю, в котором вместо $i$-ой строки записана «произвольная» строка.

$$ b_{1} \cdot A_{11}+b_{2} \cdot A_{12}+b_{3} \cdot A_{13}=\left| \begin{array}{ccc}{b_{1}} & {b_{2}} & {b_{3}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right| $$

Сумма произведений элементов строки определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю.

$$ a_{31} \cdot A_{11}+a_{32} \cdot A_{12}+a_{33} \cdot A_{13}=\left| \begin{array}{ccc}{a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right|=0 $$

Читать дальше: методы вычисления определителей.

Действия с алгебраическими дробями

После полученных начальных сведений о дробях перейдем к действиям с алгебраическими дробями. С ними можно выполнять любые действия вплоть до возведения в степень. При их выполнении мы в итоге получаем алгебраическую дробь. Все пункты необходимо разбирать последовательно.

Действия с алгебраическими дробями аналогичны действиям с обыкновенными дробями. Поэтому стоит отметить, что правила являются совпадающими при любых выполняемых с ними действиями.

Сложение алгебраических дробей

Сложение может выполняться в двух случаях: при одинаковых знаменателях, при наличии разных знаменателей.

Если необходимо произвести сложение дробей с одинаковыми знаменателями, нужно сложить числители, а знаменатель оставить без изменения. Это правило позволяет воспользоваться сложением дробей и многочленов, которые находятся в числителях. Получим, что

a2+a·ba·b-5+2·a·b+3a·b-5+2·b4-4a·b-5=a2+a·b+2·a·b+3+2·b4-4a·b-5==a2+3·a·b-1+2·b4a·b-5

Если имеются числители дроби  с разными числителями, тогда необходимо применить правило: воспользоваться приведением к общему знаменателю, выполнить сложение полученных дробей.

Пример 1

Нужно произвести сложение дробей xx2-1 и 3×2-x

Решение

Приводим к общему знаменателю вида x2x·x-1·x+1 и 3·x+3x·(x-1)·(x+1).

Выполним сложение и получим, что

x2x·(x-1)·(x+1)+3·x+3x·(x-1)·(x+1)=x2+3·x+3x·(x-1)·(x+1)=x2+3·x+3×3-x

Ответ: x2+3·x+3×3-x

Статья о сложении и вычитании таких дробей имеет подробную информацию, где подробно описано каждое действие, производимое над дробями. При выполнении сложения возможно появление сократимой дроби.

Вычитание

Вычитание выполняется аналогично сложению. При одинаковых знаменателях действия выполняются только в числителе, знаменатель остается неизменным. При различных знаменателях выполняется приведение к общему. Только после этого можно приступать к вычислениям.

Пример 2

Перейдем к вычитанию дробей a+5a2+2 и  1-2·a2+aa2+2.

Решение

Видно, что знаменатели идентичны, что означает a+5a2+2-1-2·a2+aa2+2=a+5-(1-2·a2+a)a2+2=2·a2+4a2+2.

Произведем сокращение дроби 2·a2+4a2+2=2·a2+2a2+2=2.

Ответ: 2

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 3

Выполним вычитание 45·x и 3x-1.

Решение

Знаменатели разные, поэтому приведем к общему 5·x·(x-1), получаем 45·x=4·x-15·x·(x-1)=4·x-45·x·(x-1) и 3x-1=3·5·x(x-1)·5·x=15·x5·x·(x-1).

Теперь выполним

45·x-3x-1=4·x-45·x·(x-1)-15·x5·x·(x-1)=4·x-4-15·x5·x·(x-1)==-4-11·x5·x·(x-1)=-4-11·x5·x2-5·x

Ответ: -4-11·x5·x2-5·x

Детальная информация  указана в статье о сложении и вычитании алгебраических дробей.

Умножение алгебраических дробей

С дробями можно производить умножение аналогичное умножению обыкновенных дробей: для того, чтобы умножить дроби, необходимо произвести умножение числителей и знаменателей отдельно.

Рассмотрим пример такого плана.

Пример 4

При умножении 2x+2 на x-x·yy из правила получаем, что 2x+2·x-x·yy=2·(x-x·y)(x+2)·y.

Теперь необходимо выполнить преобразования, то есть умножить одночлен на многочлен. Получаем, что

2·x-x·y(x+2)·y=2·x-2·x·yx·y+2·y

Предварительно следует произвести разложение дроби на многочлены для того, чтобы упростить дробь. После можно производить сокращение. Имеем, что

2·x3-8·x3·x·y-y·6·y5x2+2·x=2·x·(x-2)·(x+2)y·(3·x-1)·6·y5x·(x+2)==2·x·(x-2)·(x+2)·6·y5y·(3·x-1)·x·x+2=12·(x-2)·y43·x-1=12·x·y4-24·y43·x-1

Подробное рассмотрение данного действия можно найти в статье умножения и деления дробей.

Деление

Рассмотрим деление с алгебраическими дробями. Применим правило: для того, чтобы разделить дроби, необходимо первую умножить на обратную вторую.

Дробь, которая обратная данной  считается дробь с поменянными местами числителем и знаменателем. То есть, эта дробь называется взаимообратной.

Рассмотрим пример. 

Пример 5

Выполнить деление x2-x·y9·y2: 2·x3·y.

Решение

Тогда обратная 2·x3·y дробь запишется как 3·y2·x. Значит, получим, что x2-x·y9·y2:2·x3·y=x2-x·y9·y2·3·y2·x=x·x-y·3·y9·y2·2·x=x-y6·y.

Ответ: x2-x·y9·y2: 2·x3·y=x-y6·y

Возведение алгебраической дроби в степень

Если имеется натуральная степень, тогда необходимо применять правило действий с возведением в натуральную степень. При таких вычислениях используем правило: при возведении в степень нужно числитель и знаменатель отдельно возводить в степени, после чего записать результат.

Пример 6

Рассмотрим на примере дроби 2·xx-y. Если необходимо возвести ее в степень равную 2, тогда выполняем действия : 2·xx-y2=2·x2(x-y)2. После чего возводим в степень получившийся одночлен. Выполнив действия, получим, что дроби примет вид 4·x2x2-2·x·y+y2.

Детальное решение подобных примеров рассматривается в статье про возведение алгебраической дроби в степень.

При работе со степенью дроби необходимо помнить, что числитель и знаменатель отдельно возводятся в степень. Это заметно упрощает процесс решения и дальнейшего упрощения дроби. Стоит обращать внимание и на знак перед степенью. Если имеется знак «минус», то такую дробь следует переворачивать для простоты вычисления.

Алгебраические выражения

Алгебраические выражения. В этой статье рассмотрим с вами примеры входящие в состав экзамена по математике, при решении которых у ребят возникают проблемы. Многие таких вообще не видели и в школьном курсе  их не касались.  Будем преобразовывать алгебраические выражения. Задания есть довольно простые, где достаточно знать формулы сокращённого умножения, свойства степеней, уметь «работать» с дробями.  Вот типичные несложные примеры, можете решить и проверить  себя:

Далее мы рассмотрим примеры, решения которых просты, но сами условия могут несколько отпугнуть вас, так как подобные задания в курсе школьной программы встречаются редко. Посмотрев процесс решения, уверен, вы всё поймёте без проблем. Есть примеры для самостоятельного решения, практикуйтесь, затем сверьте с решением представленным на блоге.

Найдите p (b)/(p (1/b)), если

Сначала необходимо найти

То есть, вместо b в исходное выражение мы подставили 1/b. Итак:

Ответ: 1

Посмотреть аналогичный пример

Найдите 49a – 41b – 14, если

В подобных примерах не раздумывайте над тем, как данное выражение можно найти, выполните преобразование выражения:

Для того, чтобы найти чему равно данное  выражение, необходимо вычесть 34 из обеих частей уравнения:

Ответ: –34

Посмотреть аналогичный пример

Найдите

Так как a/b=3, значит a=3b. Тогда можем преобразовать:

Ответ: 2

Найдите значение выражения 3p (a) – 6a +7,  если  p (a)=2a–3.

В данном случае просто подставляем  p (a) и решаем:

3p (a) – 6a +7 = 3 (2a – 3) – 6a +7 = 6a – 9 – 6a +7 = –2

Ответ: –2

Найдите значение выражения 7x+2y+6z,  если 7x+y = 7, 6z + y = 5.

В подобных задачах ищите сумму или разность уравнений под условием «если», результат как правило, будет сведён нахождению значения данного выражения, найдём сумму уравнений:

7x+y+6z+y= 7+5

7x+2y+6z = 12

В других примерах, возможно потребуется разделить или умножить обе части уравнения на какое-либо число.

Ответ: 12

Посмотреть аналогичный пример

Найдите значение выражения q (b–7)–q (b+7), если q (b)=–6b.

Если q (b)=–6b, то q (b–7)=–6 (b–7) и q (b+7)=–6 (b+7).

То есть мы подставляем аргумент в формулу задающую функцию, значит:

q (b–7)–q (b+7)=–6 (b–7)–(–6)(b+7)=–6b+42+6b+42=84

Ответ: 84

Посмотреть аналогичный пример

Найдите значение выражения 5 (p (2x)–2p (x+5)), если p (x)= x–10.

Если p (x)= x–10, то  p (2x) =2x–10  и  p (x+5) =x+5–10.

Получаем:

5 (p (2x) –2p (x+5)) = 5 (2x–10–2 (x+5–10)) = 5 (2x–2x–10–10+20)=0

Ответ: 0

Найдите p (x–7)+p (13–x), если p (x)=2x+1.

Подставляем аргумент в формулу задающую функцию.

Если p (x)=2x+1, то  p (x–7)=2 (x–7)+1 и p (13–x) =2 (13–x)+1.

Находим сумму:

p (x–7)+ p (13–x)=2 (x–7)+1+2 (13–x)+1=2x–14+1+26–2x+1=14

Ответ: 14

Найдите 2p (x+5)–p (2x), если p (x)=2x–6.

Если p (x)=2x–6, то p (x+5)=2 (x+5)–6 и p (2x)=2 (2x)–6.

Находим разность:

2p (x+5)–p (2x)=2 (2 (x+5)–6)–(2 (2x)–6)=2 (2x+4)–4x+6=14

Ответ: 14

Посмотреть аналогичный пример

Найдите p (x) + p (12 –x), если

Если

То

Найдём сумму:

Ответ: 0

В будущем продолжим рассмотрение заданий с выражениями, не пропустите! На этом закончим. Время стремительно бежит, помните об этом. Практикуйтесь, отрабатывайте навыки.

Всего доброго!

С уважением, Александр. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Базовая алгебра — объяснения и примеры

Алгебра? Простое упоминание этого термина вызывает у большинства студентов холодный пот. Существует мнение, что алгебра — самый сложный курс математики.

Это просто заблуждение, и на самом деле алгебра — одна из самых простых тем в математике. Эта статья призвана развеять этот страх и заблуждение студентов и сделать урок алгебры приятным для начинающих.

Что такое алгебра?

Вы когда-нибудь задавались вопросом или спрашивали себя, , что такое алгебра ? Откуда это взялось? Как алгебра применяется в реальных жизненных ситуациях? Не волнуйся.В этой статье вы шаг за шагом научитесь понимать алгебру и решите несколько алгебраических задач.

В основном студенты начинают свое математическое путешествие с обучения выполнению основных операций, таких как сложение и вычитание. Оттуда ученик перейдет к умножению, а затем к делению. Рано или поздно ученик достигнет точки, в которой он сможет решать сложные задачи. О чем мы говорим? Конечно же, алгебра!

Некоторые люди ошибочно называют алгебру операцией с буквами и цифрами.Фактически, алгебра существовала до изобретения печатного станка более 2500 лет назад. Введение печати положило начало использованию символов в алгебре. Следовательно, алгебра хорошо определяется как использование математических уравнений для моделирования идей. Мы моделируем идеи в форме математических уравнений для решения проблем, которые нас окружают.

История алгебры

Слово «алгебра» происходит от арабского слова al-Jabr, , что означает соединение сломанных частей.Этот термин используется в книге персидского математика и астронома Аль-Хорезми «Сводная книга по расчетам путем завершения и уравновешивания». В пятнадцатом веке алгебра первоначально использовалась для описания хирургической процедуры, при которой вывихнутые сломанные кости воссоединяются. Из этого обсуждения мы можем сказать, что алгебра помогает нам воссоединить кусочки информации.

Зачем нужно изучать алгебру?

Понимание алгебры фундаментально важно для ученика как в классе, так и вне его.Алгебра обостряет мыслительные способности ученика. Студенты могут кратко и систематично решать математические задачи.

Давайте посмотрим на важность алгебры в реальной жизни.

  • Малыш или младенец может применять алгебру, отслеживая траекторию движущихся объектов с помощью глаз. Точно так же младенцы могут оценить расстояние между ними и игрушкой и, таким образом, могут схватить ее. Поэтому маленькие дети применяют алгебру, несмотря на то, что ей не хватает знаний.
  • Алгебра применяется в информатике для написания алгоритмов программ. Алгебра также используется в инженерии для расчета правильных пропорций для воплощения шедевра. Возможно, вы увидите это позже, когда продвинетесь по карьерной лестнице.
  • Алгебра нужна вам, чтобы знать, когда вам следует просыпаться, делать утренние дела или готовиться к урокам.
  • Вы когда-нибудь бросали грязь в мусорное ведро? Вы промахнулись или сделали отличный выстрел? Вам понадобится алгебра, чтобы оценить расстояние между вами и мусорным ведром и оценить сопротивление воздуха.
  • Использование алгебры вычисляет прибыли и убытки в бизнесе. По этой причине хорошее знание алгебры необходимо для управления своими финансами.
  • Алгебра широко применяется в спорте. Например, вратарь может нанести удар по мячу, оценив его скорость. Спортсмен также может увеличить свой темп, оценив расстояние между собой и финишной чертой.
  • Алгебра находит себя на кухне, например, готовка, смешивание ингредиентов и определение продолжительности приготовления.
  • Применения алгебры просто безграничны. Телефон, которым вы пользуетесь, компьютерные игры, в которые вы играете, — всего лишь плоды алгебры. Компьютерная графика разрабатывается по алгебре.

Как заниматься алгеброй?

Обычно в алгебраическом выражении отображаются как известные, так и неизвестные значения, и вы решаете уравнение для неизвестного значения. Чтобы решить это уравнение, вам нужно выполнить алгебру, в которой вам нужно следовать тому же порядку операций, что и для целых чисел.

Например, , вы сначала решите то, что находится внутри скобок, а затем последовательно выполните следующие операции: показатели степени, умножение, деление, сложение и вычитание.

Ниже приводится термин, который вы встретите в алгебраическом выражении.

  • Уравнение — это утверждение или предложение, определяющее две идентичности, разделенные знаком равенства (=).
  • Выражение — это список или группа различных терминов, обычно разделенных знаком «+» или «-»

Если a и b — два целых числа, следующие основные алгебраические выражения:

  • Уравнение сложения: a + b
  • Уравнение вычитания: b — a
  • Уравнение умножения: ab
  • Уравнение деления: a / b или a ÷ b

Базовые задачи алгебры

Основные алгебраические формулы:

  • [латекс] a 2 — b 2 = (a — b) (a + b) [/ латекс]
  • (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
  • a 2 + b 2 = (a — b) 2 + 2ab
  • (a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2
  • (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc
  • (a — b — c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 — 2ab — 2ac + 2bc
  • (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
  • (a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

Пример 1

Найдите значение t, если t + 15 = 30

Решение

t = 30-15

t = 15

Пример 2

Найдите значение y, когда, 9y = 63

Решение

Разделите обе стороны на 9;

y = 63/9

y = 7

Пример 3

Если 21 = b / 7, найти b:

Решение

Перекрестное умножение:

b = 21 x 7

b = 147

Пример 4

Рассмотрим случай расчета расходов на продукты питания:

Вы хотите пойти по магазинам, чтобы купить 2 дюжины яиц по 10 долларов, 3 буханки хлеба каждое 5 долларов и 5 бутылок напитков по 8 долларов каждая. Сколько денег тебе надо?

Решение

Вы можете начать решение этой проблемы, присвоив товару букву, например:

Пусть дюжины яиц = a;

Хлебов = b;

Напитки = d

Цена дюжины = a = 10

Цена одного хлеба = b = 5 долларов

Цена одной бутылки напитков = d = 8 долларов

=> Общие расходы = d + 3b + 5d

Подставьте значения:

= 10 долларов + 3 (5 долларов) + 5 (8 долларов) = 10 долларов + 15 долларов + 40 долларов = 65 долларов

Таким образом, общие расходы составляют 65 долларов.

Практические вопросы

  1. Решите относительно x, когда x + 12 = 6
  2. Найдите значение z, если 2z + 2 = 10
  3. Найдите y; если 2y — 8 = 4y
  4. Сумма 3 последовательных чисел равна 216. Найти 3 числа?
  5. Прямоугольник имеет площадь 72 см 2. Предположим, что ширина прямоугольника вдвое больше его длины. Найдите длину и ширину прямоугольника?

Ответы

  1. x = — 6
  2. z = 4
  3. y = -4
  4. Три числа: 71, 72 и 73.
  5. длина = 6 см и ширина = 12 см.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Что такое алгебра? — Определение, факты и примеры

Что такое алгебра?

Арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления помогают нам решать математические задачи. Алгебра имеет дело с этими понятиями и может рассматриваться как обобщенная арифметика.

Переменная — важное понятие алгебры.Это может быть предмет или буква, обозначающая несколько вещей. Мы используем переменные для представления неизвестных, для представления изменяющихся величин и для обобщения свойств.

Для переменных обычно используются буквы английского алфавита, а также латинские символы.

Уравнение — это математическое предложение со знаком равенства.

Пример : 3 + 5 = 8

Неравенство — это математическое предложение, содержащее символы <,>, ≤, ≥ или ≠.

Пример : 4x + 7y ≥ 15

Уравнения и неравенства возникают из повседневных жизненных ситуаций.

Пример: Тина хочет купить карандаши и ручки за 15 долларов. Каждый карандаш стоит 1 доллар, а ручка — 2 доллара. Если x обозначает количество карандашей, а y обозначает ручки, то

х + 2у ≤ 15

Алгебраическое мышление, связанное с корреляцией и преобразованием ситуаций в уравнения, а затем их решение для поиска решения повседневных проблем, развивает у детей математическое мышление.

Шаблоны — это еще один инструмент, который развивает у детей процессы математического мышления. Узор — это регулярное расположение чисел, предметов или фигур. В основном есть два типа узоров:

Схема увеличения или уменьшения:

12, 24, 36, 48, …

108, 102, 96, 90, …

Повторяющийся узор:

Пример 1: Мэтью платят 2 доллара в час за его работу неполный рабочий день на ферме. Если он будет работать по 10 часов в неделю, сколько денег он будет зарабатывать?

За час он получает 2 доллара, за два часа — 4 доллара, за 3 часа — 6 долларов и так далее.

Сведем эту последовательность в таблицу и найдем заработок за неделю.

Кол-во часов Плата ($)
1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
6 12

Анализ шаблона помогает нам определить сумму, которую Мэтью получает за любое количество часов работы.Схема в последовательности такова, что заработная плата в два раза превышает количество часов, которые он отработал. Следовательно, за 10 часов работы он заработает 20 долларов.

Пример 2: библиотека имеет два плана,

План 1 : Вы можете зарегистрироваться за 5 долларов и арендовать любую книгу за 2 доллара

Plan 2 : Без регистрации вы можете арендовать любую книгу за 3 доллара.

Если Мишель арендует 7 книг, какой план будет выгодным?

Стоимость 1 книги в плане 1 — 7 долларов.Представим это как упорядоченную пару (1, 7 долларов США), где первое число представляет количество книг, а второе число представляет стоимость. Тогда стоимость первых 7 книг может быть записана как (1, 7 долларов), (2, 9 долларов), (3, 11 долларов), (4, 13 долларов), (5, 15 долларов), (6, 17 долларов) и ( 7, $ 19). Аналогичным образом, для плана 2 стоимость может быть рассчитана как (1, 3 доллара США), (2, 6 долларов США), (3, 9 долларов США), (4, 12 долларов США), (5, 15 долларов США), (6, 18 долларов США) и ( 7, 21 доллар). Сравнивая затраты, план 1 выгоден.

Алгебраическое выражение — определение, примеры и формулы

Алгебраические выражения — это уравнения, которые мы получаем при таких операциях, как сложение, вычитание, умножение, деление и т. Д.работают с любой переменной. Например, предположим, что Джеймс и Натали играли спичками и думали о том, чтобы с их помощью сформировать числовые комбинации. Джеймс взял четыре спички и сформировал число 4. Натали добавила еще три спички, чтобы получился узор из двух четверок. Они поняли, что могут добавлять по 3 спички в каждом раунде, чтобы получить одну дополнительную «четверку». Из этого они пришли к выводу, что им нужно 4+ 3 (n-1) палочек, в общем, чтобы сделать узор с n числом 4. Здесь 4+ 3 (n-1) называется алгебраическим выражением.

Что такое алгебраические выражения?

Алгебраическое выражение (или) выражение переменной — это комбинация терминов с помощью таких операций, как сложение, вычитание, умножение, деление и т. Д. Например, давайте взглянем на выражение 5x + 7. Таким образом, мы можем сказать что 5x + 7 — пример алгебраического выражения. Есть разные компоненты алгебраического выражения. Давайте посмотрим на изображение, приведенное ниже, чтобы понять концепцию переменных, констант, терминов и коэффициентов любого алгебраического выражения.

Переменные, константы, члены и коэффициенты

В математике символ, не имеющий фиксированного значения, называется переменной. Может принимать любое значение. В приведенном выше примере со спичками n — это переменная, и в этом случае она может принимать значения 1,2,3, … Некоторые примеры переменных в Math: a, b, x, y, z, m, и т.д. С другой стороны, символ, имеющий фиксированное числовое значение, называется константой. Все числа постоянные.Некоторыми примерами констант являются 3, 6, — (1/2), √5 и т. Д. Термин — это одна переменная (или) одна константа (или) это может быть комбинация переменных и констант посредством операции умножения. или деление. Некоторые примеры терминов: 3x 2 , — (2y / 3), √ (5x) и т. Д. Здесь числа, умножающие переменные, — 3, -2/3 и 5. Эти числа называются коэффициентами . .

Как упростить алгебраические выражения?

Чтобы упростить алгебраическое выражение, мы просто объединяем похожие термины.Следовательно, одинаковые переменные будут объединены вместе. Теперь из одинаковых переменных одни и те же полномочия будут объединены. Например, давайте возьмем алгебраическое выражение и попытаемся свести его к низшей форме, чтобы лучше понять концепцию. Пусть наше выражение будет:

x 3 + 3x 2 — 2x 3 + 2x — x 2 + 3 — x

= (x 3 — 2x 3 ) + (3x 2 — x 2 ) + (2x — x) + 3

= −x 3 + 2x 2 + x + 3

Следовательно, алгебраическое выражение x 3 + 3x 2 — 2x 3 + 2x — x 2 + 3 — x упрощается до −x 3 + 2x 2 + x + 3.

Формулы алгебраических выражений

Алгебраические формулы — это производные короткие формулы, которые помогают нам легко решать уравнения. Это просто перестановка данных терминов с целью создания лучшего выражения, которое легко запомнить. Ниже приведен список некоторых основных формул, которые широко используются. Взгляните на эту страницу, чтобы лучше понять алгебраические формулы.

  • (a + b) = a 2 + 2ab + b 2
  • (а — б) = а 2 — 2ab + б 2
  • (а + б) (а — б) = а 2 — б 2
  • (x + a) (x + b) = x 2 + x (a + b) + ab

Типы алгебраических выражений

Типы алгебраических выражений основаны на переменных, найденных в этом конкретном выражении, количестве членов этого выражения и значениях показателей степени переменных в каждом выражении.Ниже приведена таблица, в которой алгебраические выражения делятся на пять различных категорий. Посмотрим на таблицу.

Типы Значение Примеры

моном

Выражение только с одним членом, в котором показатели всех переменных являются неотрицательными целыми числами

3xy

Биномиальная

Выражение с двумя одночленами

(3/4) x — 2 года 2

Трехчлен

Выражение с тремя одночленами

3x-2y + z

Полином

Выражение с одним или несколькими одночленами

— (2/3) x 3 + 7x 2 + 3x + 5

Полиномиальный

Выражение с одним или несколькими членами (показатели переменных могут быть как положительными, так и отрицательными)

4x -1 + 2y + 3z


Часто задаваемые вопросы по алгебраическим выражениям

Как описать алгебраическое выражение?

Алгебраическое выражение описывается с помощью его терминов и операций с ними. Например, x + 3 можно описать как «на 3 больше, чем x». В то время как a + b — 7 можно описать как «на 7 меньше суммы a и b».

Сколько терминов в алгебраическом выражении?

Термин — это одна переменная (или) одна константа (или) он может быть комбинацией переменных и констант посредством операции умножения или деления. Мы применяем это определение, чтобы идентифицировать термины в алгебраическом выражении. После того, как мы определим термины, мы можем просто их сосчитать.

Почему алгебраические выражения полезны?

В алгебраических выражениях используются переменные (которые принимают несколько значений) для описания реального сценария.Вместо того, чтобы говорить «Стоимость 3 ручек и 4 карандашей», просто сказать 3x + 4y, где x и y — стоимость каждой ручки и карандаша соответственно. Кроме того, написание реального сценария в виде выражения помогает выполнять математические вычисления.

Как определить алгебраическое выражение?

Алгебраическое выражение — это комбинация переменных и констант. Однако в нем не должно быть никаких равенств. В противном случае оно превратится в алгебраическое уравнение.

Как просто алгебраическое выражение?

Чтобы упростить алгебраическое выражение, мы просто объединяем похожие термины и решаем дальше, чтобы получить упрощенную форму выражения..

Является ли 7 алгебраическим выражением?

Да, 7 — это алгебраическое выражение, потому что его можно рассматривать как одночлен.

Что такое алгебраические выражения и уравнения?

Алгебраическое выражение — это любое число, переменная или различные операции, объединенные вместе, а уравнение — это два разных алгебраических выражения, объединенные вместе со знаком равенства.


Базовая алгебра

Также в IntMath

Связанные разделы по алгебре:

Эта глава содержит уроки элементарной алгебры по следующим темам:

1.Сложение и вычитание алгебраических выражений показывает, как решать такие задачи, как: Упростить: −2 [−3 ( x — 2 y ) + 4 y ].

2. Умножение алгебраических выражений, есть примеры вроде:
Развернуть (2 x + 3) ( x 2 x — 5).

3. Деление алгебраических выражений, например:
(12a 2 b) ÷ (3ab 2 )

4. Решение уравнений, подобных этому: 5 — ( x + 2) = 5 x .

5. Формулы и буквальные уравнения, в котором показано, как решить уравнение для конкретной переменной.

6. Прикладные устные задачи показывает, почему мы все это делаем.

Что такое алгебра?

Алгебра — это раздел математики, в котором вместо неизвестных чисел используются буквы.

Вы используете алгебру с раннего школьного возраста, когда вы выучили такие формулы, как площадь прямоугольника , шириной w , высотой h :

A = w × h

Мы использовали букв вместо цифр. Как только мы узнали ширину и высоту, мы могли подставить их в формулу и найти нашу площадь.

Еще один, который вы, возможно, видели, — это область окружности с радиусом r :

.

A = π r 2

Как только мы узнаем длину сторон, мы сможем найти площадь.

Буквенные числа (буквы, используемые в алгебре) могут означать переменных (значение буквы может меняться, как w , h и r в примерах площади прямоугольника. и площадь круга) или
константы (где значение не меняется), например:

π (отношение длины окружности к диаметру, значение 3.141592 ….)

г (ускорение свободного падения 9,8 м / с 2 ),

e (имеет постоянное значение 2,781828 …).

И как постоянно спрашивают мои ученики …

Почему мы должны это делать?

Алгебра — это мощный инструмент для решения задач в области науки, техники, экономики, финансов, архитектуры, судостроения и многих других повседневных задач.

Если бы мы не использовали буквы вместо цифр (а использовали вместо них слова), мы бы писали много страниц для каждой задачи , и это было бы гораздо более запутанным.

Эта глава элементарной алгебры является продолжением предыдущей главы о числах.

Если эта глава покажется вам сложной …

Если у вас возникли трудности с этой главой, может быть хорошей идеей вернуться назад и сначала напомнить себе об основных свойствах чисел, поскольку это важная предыстория.

На шоу

Хорошо, давайте продолжим и выучим несколько основных советов по алгебре:

1. Сложение и вычитание алгебраических выражений »

Определение, типы, формулы, решаемые примеры, практические вопросы

Алгебраические выражения: Математика становится немного сложной, когда используются буквы и символы.С введением алгебры в классе 6 ученикам становится трудно понимать различные концепции. Мы в Embibe поможем вам сделать процесс обучения легким и плавным. В этой статье мы объясним алгебраические выражения, их определение, различные типы алгебраических выражений, части выражений и т. Д. Вместе с решенными примерами.

Загрузить:

Ознакомьтесь с полным списком формул алгебры отсюда

Определение алгебраических выражений: что такое алгебраические выражения?

Определение алгебраического выражения : Алгебраическое выражение — это математический термин, состоящий из переменных и констант, а также математических операторов (вычитание, сложение, умножение и т. Д.).

Пример: 8x — 20, 5x — 6y + 30 и т. Д.

Quick Note: Алгебраические выражения не следует путать с алгебраическими уравнениями. Алгебраическое уравнение имеет две стороны (левая сторона или левая сторона и правая сторона или правая сторона), тогда как алгебраическое выражение — нет. Фактически, алгебраическое уравнение состоит из двух или более алгебраических выражений, разделенных знаком равенства (=). Давайте поймем разницу на примере.

Например: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 — это алгебраическое уравнение, содержащее два члена, тогда как (a + b) 2 и (a 2 + 2ab + b 2 ) являются алгебраическими выражениями.Теперь вы знаете разницу между алгебраическими выражениями и алгебраическими уравнениями.

Части алгебраического выражения

Алгебраическое выражение содержит переменную с коэффициентом или без него, математический оператор и иногда константу. Различные части алгебраического выражения:

  1. Переменная : переменная — это буква, значение которой неизвестно. Может принимать любое значение в зависимости от ситуации.
  2. Коэффициент : Коэффициент — это числовое значение, используемое перед переменной для изменения ее значения. Он может присутствовать или не присутствовать в алгебраическом выражении.
  3. Константа : Константа — это любой член, значение которого остается неизменным на протяжении всего алгебраического выражения.
  4. Оператор : Математические операторы используются в алгебраическом выражении для выполнения некоторых математических вычислений для двух или более выражений.

Разберемся на примере:

Здесь:

  1. 6 — коэффициент при x.
  2. x — переменная.Его значение неизвестно и может быть любым.
  3. 9 — константа с фиксированным значением.
  4. + — оператор, который используется для сложения.

Выражение в целом является биномиальным членом, поскольку оно содержит только два члена, то есть 6x и 9.

Алгебраические выражения и термины

Здесь мы расскажем вам о различиях между переменной, выражением и термином, а также о том, как они связаны. Часто в математике мы встречаем символы или буквы, такие как x, y, z, и т. Д.чье значение неизвестно, и мы должны найти точное или приблизительное значение. Следовательно, переменная определяется как буква или символ, которые используются для представления неизвестного числа

.

Любое число или переменная, объединенная умножением или делением, называется термином . Пример: 5, 6x, 5/3 и т. Д.

Выражение — это набор из одного или нескольких членов, разделенных либо вычитанием, либо сложением. Пример: 5x-3, 23x, 2 / 3x + 4.

Проверьте другие важные статьи по математике:

Типы алгебраических выражений

Есть 6 основных типов алгебраических выражений. Это как под:

  1. Мономиальное выражение
  2. Биномиальное выражение
  3. Трехчленное выражение
  4. Линейный многочлен
  5. Квадратичный многочлен
  6. Кубический многочлен

Давайте посмотрим на них один за другим:

  1. Мономиальное выражение : Выражение с одним членом называется мономом.
    8x 6 , 10xy, 12xyz и т. Д. Являются примерами мономиальных выражений.
  2. Биномиальное выражение : выражение с двумя членами известно как биномиальное.
    8x 6 + 3, 10xy — x 3 , 12xy + 4 и т. Д. Являются примерами биномиальных выражений.
  3. Трехчленное выражение : Выражение с тремя членами известно как трехчленное.
    x + x 2 + π, y 4 + y + 6, z + z 2 -5 и т. Д. Являются примерами трехчленных выражений.
  4. Линейный многочлен : Многочлен степени 1 называется линейным многочленом. Другими словами, в линейном полиноме старший показатель переменной равен единице.
    Пример: (2x + 1), (8 — 2u) и т. Д.
  5. Квадратичный многочлен : многочлен степени 2 называется квадратичным многочленом. Это означает, что в квадратичном полиноме старший показатель переменной равен двум.
    Пример: x 2 + 25, y 2 — y — 36 и т. Д.
  6. Кубический многочлен : Многочлен степени 3 называется линейным многочленом. Здесь старший показатель переменной равен трем.
    Пример: x 3 + x 2 , x 3 + 5 и т. Д.

Некоторые другие типы алгебраических выражений:

  1. Числовое выражение : числовое выражение состоит только из чисел и математических операторов. В числовом выражении нет переменной.Например, 5 + 14, 9 + 6, 23 и т. Д.
  2. Выражение переменной : Выражение переменной состоит только из переменных и математических операторов. Переменные могут содержать или не содержать коэффициенты. Например, 5x + 3y, 8x + z, a + b и т. Д.

Теперь, когда вы знакомы со всеми типами алгебраических выражений, давайте посмотрим, как их упростить.

Упрощение алгебраических выражений

Для этого мы возьмем многочлен P (x) = 5x 2 — 3x + 7, и мы должны упростить этот многочлен для x = 2.

Вот, решите это пошагово.

  • 1-й шаг: Положите значение x = 2.
    P (2) = 5 (2) 2 — 3 (2) + 7
  • 2-й шаг: Используйте метод BODMAS
    P (2) = 5 (2 * 2) — 3 * 2 + 7
  • 3-й шаг: Выражение станет
    P (2) = 5 (4) — 6 + 7
    P (2) = 5 * 4 — 6 + 7
    P (2) = 20 — 6 + 7
    P (2) = 27 — 6
    P (2) = 21.

Это был процесс пошагового упрощения алгебраического выражения.

Скачать математические формулы для классов с 6 по 12:

Формулы алгебры для решения алгебраических выражений

Давайте посмотрим на некоторые важные формулы алгебры, которые помогут вам решить все математические проблемы, связанные с алгебраическими выражениями и тождествами:

  1. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
  2. (a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2
  3. (a + b ) (a — b) = a 2 — b 2
  4. (x + a) (x + b) = x 2 + (a + b) x + ab
  5. (x + a) ( x — b) = x 2 + (a — b) x — ab
  6. (x — a) (x + b) = x 2 + (b — a) x — ab
  7. (x — a ) (x — b) = x 2 — (a + b) x + ab
  8. (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab (a + b)
  9. ( а — б) 3 = а 3 — б 3 — 3ab (а — б)
  10. (x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2yz + 2xz
  11. (x + y — z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy — 2yz — 2xz
  12. (x — y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 — 2xy — 2yz + 2xz 900 35
  13. (x — y — z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 — 2xy + 2yz — 2xz
  14. x 3 + y 3 + z 3 — 3xyz = (x + y + z) (x 2 + y 2 + z 2 — xy — yz — xz)
  15. x 2 + y 2 = 12 [(x + y) 2 + (x — y) 2 ]
  16. (x + a) (x + b) (x + c) = x 3 + (a + b + c) x 2 + (ab + bc + ca) x + abc
  17. x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 — xy + y 2 )
  18. x 3 — y 3 = (x — y) (x 2 + xy + y 2 )
  19. x 2 + y 2 + z 2 — xy — yz — zx = 1/2 [(x — y) 2 + (y — z) 2 + (z — x) 2 ]

Пример алгебраического выражения: решенные задачи на алгебраических выражениях

Теперь давайте посмотрим на несколько решенных примеров алгебраических выражений, чтобы вы были уверены в этой теме:

Вопрос 1 : Найдите x, когда 6x + 3 = 15

Решение : Прежде всего мы отделяем константы от переменных.Итак,
6x = 15 — 3
⇒ 6x = 12

Разделив обе части на коэффициент при x, получим
⇒ x = 12/6
= 2
Следовательно, x = 2

Вопрос 2 : Рассчитайте значение x в следующем уравнении:
9x + 15 = 87

Решение : Прежде всего мы отделяем константы от переменных. Итак,
9x = 87-15
⇒ 9x = 72

Разделив обе части на коэффициент при x, получим
⇒ x = 72/9
= 8
Отсюда x = 8

Вопрос 3 : Рассчитайте значение y по следующему уравнению:
7y — 31 = -10

Решение : Прежде всего мы отделяем константы от переменных.Итак,
7y = -10 + 31
⇒ 7y = 21

Разделив обе части на коэффициент при y, получим:
⇒ y = 21/7
= 3
Отсюда y = 3

Практические вопросы по алгебраическим выражениям

Здесь мы предоставили вам несколько практических вопросов по теме алгебраических выражений:

Q1: __________ — математическая фраза, содержащая числа, по крайней мере, одну операцию и без переменных.

Q2: Упростите следующее:
(i) 2y + 9 + 8y + 7
(ii) 6m + 10-10m
(iii) 15y — 5 + 10y

Q3: Объедините похожие термины:
(i) 3x — 2y + 4z — x + 5y + z
(ii) 9a + 5c — 4b — 2a + 3b + 6c

Q4: Если a = 3 и b = 5, решите следующие алгебраические выражения:
(i) 5a + 7
(ii) 9a + 6b
(iii) 15b — 8a
(iv) 14a — 12b

Q5: У Сэма на ферме 15 буйволов.Большинство буйволов дают 35 литров молока в день (пусть равно y). Сколько буйволов не дают 35 литров молока в день?

Часто задаваемые вопросы об алгебраических выражениях

Вот несколько часто задаваемых вопросов, которые студенты обычно ищут:

Q: Что такое алгебраические выражения?
A: Математический термин, состоящий из переменной и константы, называется алгебраическим выражением.

Q: Как я могу упростить алгебраическое уравнение или выражение?
A: Решите уравнение для определения значения коэффициента.Пример 8x 2 — 4x + 12 здесь x — коэффициент. Примените BODMAS, и вы получите решение.

Q: Какие типы алгебраических выражений?
A: Алгебраические выражения в основном бывают 6 типов:
(i) Мономиальное выражение
(ii) Биномиальное выражение
(iii) Трехчленное выражение
(iv) Линейное многочлен
(v) Квадратичное многочлен
(vi ) Кубический многочлен
Кроме этого, существуют выражения переменных и числовые выражения.

Q: Как упростить алгебраические выражения?
A: Существует множество формул для упрощения и решения алгебраических выражений. В Embibe вы можете получить полный список формул алгебры и других математических формул для всех классов. Ссылайтесь на формулы и решайте вопросы. Чем больше вы решите, тем лучше вы получите.

Теперь вам предоставлена ​​вся необходимая информация об алгебраических выражениях. Практикуйте больше вопросов и овладейте этой концепцией.Студенты могут использовать NCERT Solutions для математики, предоставленные Embibe для подготовки к экзаменам.

Кроме того, студенты могут использовать бесплатные практические вопросы и пробные тесты Embibe. Они доступны для каждой главы программы математики для 8, 9, 10, 11 и 12 классов. Практические вопросы содержат подсказки, решения и обратную связь в режиме реального времени, которые помогут вам повысить скорость и точность.

Не стесняйтесь задавать свои сомнения или вопросы в разделе комментариев ниже.Мы обязательно свяжемся с вами в ближайшее время. Embibe желает вам всего наилучшего в вашей подготовке!

5037 Представления Таблица логарифмов

с примерами и вопросами

Таблица журналов: В математике логарифм — это операция, обратная возведению в степень. Это означает, что логарифм числа — это показатель степени, до которого должно быть увеличено другое фиксированное значение, основание, чтобы получить это число. В простых случаях логарифм учитывает повторное умножение. Чтобы найти значение логарифмической функции, вы должны использовать таблицу журнала .

Многие студенты затрудняются использовать таблицу логарифмов . Мы, в Embibe, предоставили на этой странице файл журнала регистрации в формате PDF вместе с определением таблицы. Кроме того, мы подробно объяснили, как пользоваться таблицей логарифмов.

Таблица журнала: понятие и определение

Прежде чем мы предоставим вам таблицу логарифмов, из которой вы получите все значения, давайте разберемся с концепцией логарифмической функции. Логарифмические функции — это обратные экспоненты.Функция журнала определяется следующим образом:

Для x, b> 0 и b ≠ 1,
f (x) = log b x, если x = b y

Здесь f (x) — функция логарифма по основанию ‘b’. Наиболее распространенными базами, используемыми в функциях журнала, являются база e и база 10.

Десятичный логарифм [f (x) = log 10 x] : Логарифм с основанием 10 (то есть b = 10) называется десятичным логарифмом и имеет множество применений в науке и технике.

Натуральный логарифм [f (x) = log e x] : Основанием натурального логарифма является число e ( ≈ 2,718 ). Его использование широко распространено в математике и физике из-за его более простой производной.

Двоичный логарифм [f (x) = log 2 x] : двоичный логарифм использует основание 2 (то есть b = 2) и обычно используется в компьютерных науках.

Что такое характеристика и мантисса в логарифмической функции?

Целая часть десятичного логарифма называется характеристикой , а дробная часть — мантиссой .

Примечание: Мантисса в логарифме числа всегда остается положительной.

Таким образом, лог любого номера N будет иметь вид:

logN = (Характеристика) ⋅ (Мантисса)
N =
анти log (Мантисса) × 10 Характеристика

9222 другие важные статьи
Mantissa :

База журналов 10: полная таблица журналов

Здесь мы предоставили таблицу значений журнала для базы 10.

Как использовать таблицу журнала?: Пошаговый процесс с примером

Чтобы найти значение числа в журнале с помощью таблицы журнала, вы должны понимать процесс чтения таблицы журнала. Мы предоставили пошаговый процесс поиска значений на примере:

  • Шаг 1: Найдите таблицу. Для разных баз используется разная таблица журналов. Приведенная выше таблица предназначена для базы 10. Таким образом, вы можете найти логарифмическое значение числа только с основанием 10.Чтобы найти натуральные или двоичные логарифмы, вам придется использовать другую таблицу.
  • Шаг 2: Найдите целую и десятичную часть данного числа. Предположим, мы хотим найти логарифмическое значение n = 18,25. Итак, в первую очередь, мы разделяем целое и десятичное число.
    Целочисленная часть: 18
    Десятичная часть: 25
  • Шаг 3: Перейдите в таблицу общего журнала и найдите значение ячейки на следующих пересечениях:
    Строка, помеченная первыми двумя цифрами n
    Заголовок столбца с третьей цифрой of n
    ⇒ В этом примере log10 (18.25) → строка 18, столбец 2 → значение ячейки 2601. Таким образом, получено значение 2601.
  • Шаг 4: Всегда используйте таблицу десятичного логарифма со средней разностью. Теперь снова перейдите к строке 18 и столбцу 5 (четвертая цифра n) в таблице средних разностей.
    ⇒ В этом примере журнал 10 (18,25) → строка 18, столбец средней разницы 5 → значение ячейки 12. Запишите соответствующее значение, равное 12.
  • Шаг 5: Добавьте оба значения, полученные в шаг 3 и шаг 4.
    То есть 2601 + 12 = 2613.
  • Шаг 6: Найдите характеристическую часть. Методом проб и ошибок найдите целое значение p , такое, что p p + 1 > n. Здесь a — основание, а p — характеристическая часть. Для обычных журналов (с основанием 10) просто подсчитайте количество цифр слева от десятичной дроби и вычтите единицу.
    Итак, Характеристическая часть = (количество цифр слева от десятичной дроби — 1).
    В этом примере характеристика = 2 — 1
    = 1
  • Шаг 7: Объедините как характеристику, так и часть мантиссы, и вы получите окончательное значение, равное 1.2613.

Итак, лог 10 (18,25) = 1,2613

Свойства логарифмов

Здесь мы представили все важные законы и свойства, связанные с логарифмами.

Теорема 1 : Логарифм произведения двух чисел, скажем a и b, равен сумме логарифма двух чисел. База должна быть одинаковой для обоих чисел.

Эта теорема также известна как «правило произведения для логарифмов ».

Теорема 2 : Деление двух чисел является антилогарифмом разности логарифма двух чисел.
Другими словами, логарифм деления двух чисел, скажем, a и b, равен разности логарифма двух чисел. База должна быть одинаковой для обоих чисел.

Эта теорема также называется «правилом частного для логарифмов ».

Теорема 3 : Логарифм числа по любому другому основанию может быть определен логарифмом того же числа по любому заданному основанию.

Теорема 4 : Логарифм числа, возведенного в степень, равен индексу степени, умноженному на логарифм числа. База у обоих одинакова.

Эта теорема также известна как «правило мощности для логарифмов ».

Итак, это 4 логарифмических свойства. Вы сможете переписать логарифмическое выражение, используя правило мощности, правило продукта или правило частного для логарифмов.

Таблица десятичного логарифма

от 1 до 10

Получите таблицу общего журнала с 1 по 10 из приведенной ниже таблицы:

9038 Log 8

Десятичный логарифм числа ( log 10 x) Логарифм
Log 1 0 Log 1 0 3010
Лог 3 0,4771
Журнал 4 0.6020
Журнал 5 0,6989
Лог 6 0.9030
Log 9 0.9542
Log 10 1

Таблица натурального логарифма от 1 до 10

Здесь мы предоставили таблицу натуральных логарифмических значений от 1 до 10:

693147

(7)

Класс с 8 по 11 ниже:

Решенные примеры в таблице логарифмических формул

Здесь мы предоставили несколько примеров вопросов и ответов в таблицах журналов с 1 по 100:

Натуральный логарифм к числу (log e x) Логарифм
ln (1) 0
ln (2)
ln (3) 1.098612
ln (4) 1.386294
ln (5) 1.609438
ln (5) 1.609438
1.94591
ln (8) 2.079442
ln (9) 2.197225
ln (10) ge 2.3025432 ge 2.3025432
Вопрос 1: Найдите значение журнала 10 8.675
Решение: Значение можно получить, выполнив следующие шаги:
Шаг 1: Целое число = 8 и десятичное = 675
Шаг 2: Проверьте номер строки 86 (первый две цифры заданного числа) и столбец номер 7 (третья цифра заданного числа). Таким образом, получено значение 9380.
Шаг 3: Проверьте значение средней разности для строки номер 86 ​​и столбца 5 средней разницы. Значение, соответствующее строке и столбцу, равно 3.
Шаг 4: Складываем значения, полученные на шагах 2 и 3, получаем 9383. Это часть мантиссы.
Шаг 5: Так как количество цифр слева от десятичной части равно 1. Таким образом, характеристическая часть = (Количество цифр слева от десятичной части — 1)
= 0
Шаг 6: Объединить характеристика и часть мантиссы. Таким образом, оно становится равным 0,9383.
Следовательно, значение log 10 8,675 равно 0.9383.
Вопрос 2: Найдите значение журнала (45,67) с помощью таблицы журнала.
Решение: 45,67 = 4,567 × 10 1
Итак, журнал (45,67) = журнал (4,567 x 10)
= журнал (4,567) + журнал (10) [Использование логарифма свойство: log (ab) = log a + log b]
= log (4.567) + 1 [∵ log (10) = 1, для общего журнала]
Теперь давайте найдем значение log (4.567).
Посмотрите на стандартную таблицу журналов.Перейдите к строке номер 45 (первые две цифры числа n) и столбцу номер 6 (третья цифра числа n).
Запишите соответствующее значение 0,6590.
Теперь снова перейдите к строке 45 и столбцу 7 (четвертая цифра n) в таблице средних значений.
Запишите соответствующее значение, равное 7.
Теперь сложите два значения. Получаем: 0,6590 + 7 = 0,6597
Это часть мантиссы.
Поскольку мы используем общую таблицу журнала, характеристика = (Количество цифр слева от десятичной дроби — 1)
= (1 — 1) = 0
∴ Характеристика = 0
Теперь объедините обе части, мы получим журнал (4.567) = 0,6597
log (45,67) = log (4,567) + 1
= 0,6597 + 1
1,6597
Следовательно, значение log (45,67) составляет 1,6597
Вопрос 3: Использование таблица журнала для оценки следующей логарифмической функции:
Решение: Мы можем решить значение N за 4 шага:
Шаг 1 : Преобразуйте выражение для N в простые журналы.
Шаг 2 : Оцените эти журналы с помощью таблицы журналов.
Шаг 3 : Определите значение журнала N.
Шаг 4 : Вычислите значение N, используя антилогарифмический журнал N.
Итак, logN = log (647⋅32 × 0,00000147 / 8,473 × 64)
= log (647⋅32) + log (0,00000147) — log (8,473) — log (64) [Используя правило произведения для логарифмов]
Используя таблицу журналов, мы находим следующие значения:
647,32 = 6,4732 × 10 2
⇒ log (647,32)
= 2 + log (6,4732)
= 2 + 0,8111
= 2,8111
0,00000147 = 1,47 × 10 -6
⇒ log (0.00000147) = −6 + log (1,47)
= -6 + 0,1673
8,473 = 8,473 × 10 0
⇒ log (8,473) = 0,9280
64 = 6,4 × 10 1
⇒ log (64) = 1 + log (6,4)
= 1,8062
∴ logN = 2,8111 + (-6 + 0,1673) — 0,9280 — 1,8062
= –5,7558
= –5 — 0,7558
= (–5 — 1) + 1 — 0,7558 [∵ мантисса не может быть отрицательным, мы добавили и вычли 1, чтобы сделать его положительным]
= –6 + 0,2442
Теперь у нас есть характеристика = -6 и мантисса = 0,2442.
Чтобы найти значение N, воспользуемся формулой:
N = antilog (Мантисса) × 10 Характеристика
= antilog (0.2442) x 10 -6
= 1,7547 x 10 -6 [Использование таблицы антилогарифма]
⇒ N = 1,7547 × 10 -6
= 0,0000017547
Следовательно, значение N равно 0,0000017547. Вы можете проверить значение с помощью калькулятора.

Практические вопросы по стандартной таблице логарифмов

Здесь мы предоставили некоторые практические вопросы в таблице математического журнала, чтобы вы могли практиковаться:

Q1: Найдите значения логарифма от следующего до основания 10, используя таблицу журнала:
(i) 7.653
(ii) 14,25
(iii) 9,281

Q2: Если 3 + log 10 x = 2 log 10 y, найдите x через y.

Q3: Докажите, что 7 log (10/9) + 3 log (81/80) = 2log (25/24) + log 2.

Q4: Если log 10 2 = 0,30103, log 10 3 = 0,47712 и log 10 7 = 0,84510, найдите значения :
(i) log 10 45
(ii) log
10 105

Q5: Если log 9 = b и log 5 = c, оцените log 75 с точки зрения b и c.

Часто задаваемые вопросы по Log Table Math

Здесь мы предоставили некоторые из часто задаваемых вопросов, связанных с таблицами онлайн-журнала, которые мы предоставили в этой статье.

Q1: Как вы читаете таблицу журнала?
A: Возьмите первые 2 цифры числа независимо от десятичной дроби и найдите строку с этим числом. Затем найдите номер столбца, соответствующий третьей цифре числа.Вам также может потребоваться изучить таблицу средних разностей, чтобы получить окончательное значение. Пошаговый процесс чтения таблицы журнала представлен на этой странице.
Q2: Каково значение log от 1 до 10?
A: Логарифм 1 по основанию 10 равен 0.
Q3: Какое значение e в натуральном логарифме?
A: e — иррациональное и трансцендентное число, примерно равное 2.7182.
Q4: Как вы рассчитываете журналы?
A: Степень, в которую необходимо возвести основание 10 для получения числа, называется десятичным логарифмом (логарифмом) числа. Для вычисления значений журнала мы используем математическую таблицу логарифмов.
Q5: Каково значение log 0?
A: log 0 не определено. Это ненастоящее число, потому что вы никогда не получите ноль, возведя что-либо в степень чего-либо другого.
Q6: Как найти журнал числа без калькулятора?
A: Вы можете найти журнал чисел без калькулятора, используя логарифмические и математические таблицы, представленные на этой странице.

Теперь у вас есть вся необходимая информация о таблицах журнала формул. Мы надеемся, что вы скачали PDF-файл с таблицей журнала, доступный на этой странице. Практикуйте больше вопросов и овладейте этой концепцией.

Студенты могут использовать NCERT Solutions для математики, предоставленные Embibe для подготовки к экзаменам.

Мы надеемся, что эта подробная статья о полной таблице журнала поможет вам. Если у вас есть какие-либо вопросы по этой статье, свяжитесь с нами через раздел комментариев ниже, и мы свяжемся с вами как можно скорее.

231 Просмотры

Как найти сложные проценты?

Формула сложных процентов : Сложные проценты — это проценты по ссуде или депозиту, которые рассчитываются на основе (i) первоначальной основной суммы и (ii) накопленных процентов за предыдущие годы.Вы, должно быть, заметили, что когда мы кладем деньги в банк, мы получаем проценты на эту сумму. Однако процент не тот, каждый год, он увеличивается. Это связано с тем, что проценты банка рассчитываются по сумме предыдущего года. Это называется сложным процентом или сложным процентом (C.I.).

В этой статье мы представили формулу для расчета сложных процентов. Кроме того, мы предоставили примеры сложных процентов, чтобы вы были уверены в этой теме.

Формула сложного процента: что такое сложный процент?

Сложные проценты Определение: Сложные проценты — это проценты, начисленные на основную сумму долга и проценты, полученные ранее. Компаундирование — это процесс, при котором проценты начисляются не на основную сумму, а также на проценты, полученные в предыдущие периоды. Таким образом, общая сумма процентов за последующий период включает проценты по основной сумме плюс проценты за предыдущий период.Его также называют «проценты на проценты ».

Он отличается от простого процента (SI), в котором ранее накопленные проценты не прибавляются к основной сумме текущего периода, поэтому начисление сложных процентов не производится.
Сложные проценты — стандарт в финансах и экономике.

Давайте разберемся, что такое сложные проценты на примере:
Предположим, вы занимаетесь у кредитора в размере 5000 фунтов стерлингов под 10% годовых. Обещаешь вернуть деньги через 2 года.

Случай 1: Простой процент:
Мы знаем, что 10% от 5000 = 500. Таким образом, в конце 1-го года кредитор получит дополнительно 500 фунтов стерлингов в качестве процентов. Аналогичным образом, в конце 2-го года кредитор получит 500 фунтов стерлингов в качестве процентов. Итак, общий процент по истечении 2 лет = 500 + 500 = 1000 ₹. Общая сумма возврата составляет 5000 + 1000 = 6000 ₹.

Случай 2: Сложные проценты:
При процентной ставке 10% кредитор получит дополнительно 500 фунтов стерлингов в качестве процентов в конце 1-го года.На 2-й год основная сумма составит 5000 + 500 = 5500.
Итак, на 2-й год кредитор получит 10% от ₹ 5500 = 550 ₹ в качестве процентов. Общая сумма процентов по истечении 2 лет = 500 + 550 = 1050 ₹. Общая сумма возврата составляет 5000 + 1050 = 6050 ₹.

Теперь вы можете видеть, что сложные проценты дают больший доход на одну и ту же основную сумму в течение длительного периода времени.

Вот некоторые из реальных приложений сложных процентов:
(i) Для расчета роста бактерий.
(ii) Для расчета прироста или убыли населения.
(iii) Для определения увеличения или уменьшения стоимости объекта.

Получите математические формулы ниже:

Формула сложных процентов

Здесь мы привели формулу CI. С помощью приведенной ниже формулы вы можете легко узнать, как рассчитать сложные проценты для любой основной суммы за любое количество лет.

Сложные проценты = Сумма — Основная сумма

Сумма рассчитывается по следующей формуле:

Общая формула сложных процентов в математике:

С.I. = (A — P)
= P (1 + r / n)
nt — P
= P [(1 + r / n)
nt — 1]

Здесь
A = сумма
P = основная сумма
r = процентная ставка
n = количество начислений процентов в год
t = время (в годах)

Если основная сумма начисляется ежегодно, формула CI будет:

C.I. = P [(1 + r / 100) t — 1]

У нас также есть формула CI для полугодия и квартала, которую мы обсудим в следующих разделах.

Расчет по формуле сложного процента

Здесь мы вывели формулу сложных процентов при ежегодном начислении сложных процентов.

Let, Сумма основного долга = P, Время = n лет, Ставка = r
Простой процент (S.I.) за первый год:

Сумма после первого года = P + S.I 1 = P + (P × r × t) / 100
= P (1 + r / 100)
= P 2

Сумма после второго года = P 2 + SI 2
= P 2 + (P 2 × r × t) / 100
= P 2 (1 + r / 100)
= P (1 + r / 100) (1 + r / 100)
= P (1 + r / 100) 2
Аналогичным образом, если мы продвинемся дальше до n лет, мы можем вывести:
A = P (1 + r / 100) н
С.I. = (A — P)
= P [(1 + r / 100) n — 1]

Формула сложных процентов при начислении суммы за полгода

Когда сложный процент рассчитывается на период времени, равный полугодию, мы делим ставку на 2 и умножаем время на 2 в общей формуле. Таким образом, формула сложных процентов за полгода принимает следующий вид:

.

C.I. = P [1 + (r / 2) / 100] 2t — P

Деривация:

Здесь мы рассчитываем сложные проценты раз в полгода по основной сумме долга P, удерживаемой в течение 1 года по процентной ставке r%, начисляемой раз в полгода.

Так как проценты начисляются раз в полгода, основная сумма изменится в конце первых 6 месяцев. Проценты за следующие шесть месяцев будут рассчитаны на сумму, оставшуюся после первых шести месяцев. Простой процент в конце первых шести месяцев,

SI 1 = (P × r × 1) / (100 × 2)
Сумма на конец первых шести месяцев,
A 1 = P + SI 1
= P + (P × r × 1) / (2 × 100)
= P [1 + r / (2 × 100)]
= P 2
Простые проценты на следующие шесть месяцев, теперь основная сумма изменилась на P /
P SI 2 = (P 2 × r × 1) / (100 × 2)
Сумма на конец 1 года,
A 2 = P 2 + SI 2
= P 2 + (P 2 × r × 1) / (2 × 100)
= P 2 [1 + r / (2 × 100)]
= P (1 + r / 2 × 100) (1 + r / 2 × 100)
= P [1 + r / (2 × 100)] 2
Теперь у нас есть окончательная сумма на конец 1 года:
A = P [1 + r / (2 × 100 )] 2
Преобразуя приведенное выше уравнение,
A = P [1 + (r / 2) / 100) 2 × 1
Пусть r / 2 = r ′; 2t = t ′, приведенное выше уравнение может быть записано как, [для указанного выше случая t = 1 год] A = P (1 + r ′ / 100) t

Формула сложного процента при начислении суммы ежеквартально

Здесь мы предоставили формулу сложного процента, когда сумма начисляется ежеквартально.Когда ставка начисляется ежеквартально, мы делим ставку на 4 и умножаем время на 4 в общей формуле.

Квартальная формула сложных процентов:

C.I. = P [1 + (r / 4) / 100] 4t — P

Здесь
A = Сумма
P = Основная сумма
C.I. = Сложные проценты
r = Годовая процентная ставка
t = Количество лет

Другие важные статьи по математике:

Формула непрерывных сложных процентов

Непрерывно начисляемые проценты — это математический предел общей формулы сложных процентов, при этом проценты начисляются много раз в год.

Другими словами, вам платят за каждое возможное увеличение времени. Математически формула:

Здесь
CCI = Непрерывные сложные проценты
P = Основная сумма
r = Процентная ставка
t = Время (в годах)
n = Количество начислений процентов в год

Теперь, когда мы предоставили формулы сложных процентов, давайте кратко рассмотрим формулы в таблице ниже:

Время Формула сложных процентов Сумма
1 год [Составлено ежегодно] P (1 + r6 — P (1 + r) — P (1 + r) t 1 + r) t
6 месяцев [Составлено за полгода] P [1 + (r / 2) 2t ] — P P [1 + (r / 2) 2t ]
3 месяца [Составлено ежеквартально] P [1 + (r / 4) 4t ] — P P [1 + (r / 4) 4t ]
1 месяц [Формула сложных процентов за месяц] P [1 + (r / 12) 12t ] — P P [1 + (r / 12) 12t ]
365 дней [Формула суточных сложных процентов] P [1 + (r / 365) 365t ] — P P [1 + (r / 365) 365t ]

Также чек

Как найти сложные проценты?

Сложные проценты можно найти, когда у нас есть основная сумма, процентная ставка, время и количество раз, когда начисляются проценты.

Используя формулу для сложных процентов, мы можем подставить все значения в формулу и получить результат. Иногда указывается значение сложных процентов, и мы должны вывести другие значения, такие как окончательная сумма, основная сумма или процентная ставка.

Решенные примеры формулы сложных процентов

Мы предоставили примеры формул сложных процентов с решениями, которые помогут вам лучше понять концепции:

Вопрос 1: Rohit депонировал рупий.8000 с финансовой компанией на 3 года под 15% годовых. Какой сложный процент получает Rohit через 3 года?

Решение: Принципал, P = 8000 рупий
Ставка, r = 15%
Время, t = 3 года
Используя формулу,
A = P (1 + r / 100) n
= 8000 (1 + 15/100) 3
= 8000 (115/100) 3
= 12167
рупий ∴ Сложный процент = (A — P)
= 12167 рупий — 8000
= 4167

рупий

Вопрос 2: Найдите сложные проценты на рупиях.160000 на один год по ставке 20% годовых, если начисляются проценты ежеквартально.

Решение: Основная сумма (p) = 160000 рупий
Ставка, r = 20%
= 20/4
= 5% (за квартал)
Время = 1 год
= 1 × 4
= 4 квартала
Используя формула,
A = P (1 + R / 100) n
= 160000 (1 + 5/100) 4
= 160000 (105/100) 4
= 194481
рупий ∴ Сложный процент = ( A — P)
= 194481 рупий — 160000
= 34481

рупий

Вопрос 3: Было обнаружено, что количество бактерий определенного вида увеличивается со скоростью 2% в час.Найдите бактерии через 2 часа, если изначально было 600000.

Решение: Поскольку популяция бактерий увеличивается со скоростью 2% в час, мы используем формулу:
A = P (1 + r / 100) n
Таким образом, популяция через 2 часа = 600000 (1 + 2/100) 2
= 600000 (1 + 0,02) 2
= 600000 (1,02) 2
= 624240

Вопрос 4: Рома одолжил рупий. 64000 в банке сроком на 1,5 года по ставке 10% годовых.Сравните общую сумму сложных процентов, выплачиваемых рома через 1,5 года, если проценты начисляются раз в полгода.

Решение: Принципал, P = 64000 рупий
Ставка, r = 10%
= 10/2% (на полгода)
Время = 1 ½ года = 3/2 × 2 = 3 (полгода)
By используя формулу,
A = P (1 + r / 100) n
= 64000 (1 + 10/2 × 100) 3
= 64000 (210/200) 3
= 74088
Сложный процент = (A — P)
= 74088 рупий — 64000 рупий
= 10088

рупий

Вопрос 5: Цена радио составляет 1400 рупий, и оно обесценивается на 8% в месяц.Найдите его стоимость через 3 месяца.

Решение: Для начисления амортизации имеем формулу A = P (1 — R / 100) n
Таким образом, цена магнитолы через 3 месяца = 1400 (1 — 8/100) 3
= 1400 (1 — 0,08) 3
= 1400 (0,92) 3
= 1090 рупий (приблизительно)

Вопрос 6: Найдите сложные проценты по ставке 10% годовых в течение двух лет на ту основную сумму, которая через два года по ставке 10% годовых с учетом рупий.200 как простой процент.

Решение: Простой процент, SI = 200 рупий
Ставка, r = 10%
Время, t = 2 года
Итак, используя формулу,
Простой процент = (P × r × t) / 100
P = (СИ × 100) / t × r
= (200 × 100) / 2 × 10
= 20000/20
= 1000 рупий
Теперь,
Ставка сложных процентов = 10%
Время = 2 года
Используя формулу ,
A = P (1 + r / 100) n
= 1000 (1 + 10/100) 2
= 1000 (110/100) 2
= 1210 рупий
∴ Сложный процент = (A — P)
= 1210 рупий — 1000
= 210

рупий

Вопрос 7: Рамеш депонировал рупий.7500 в банке, который платит ему 12% годовых, начисленных ежеквартально. Какую сумму он получит через 9 месяцев.

Решение: Принципал, P = 7500 рупий
Ставка, r = 12%
= 12/4
= 3% (за квартал)
Время = 9 месяцев
= 9/12 лет
= 9/12 × 4
= 3 (для квартала в году)
По формуле
A = P (1 + r / 100) n
= 7500 (1 + 3/100) 3
= 7500 (103/100) 3
= 8195 рупий.45
∴ Необходимая сумма — 8195,45 рупий

Вопрос 8: В 2000 году в городе проживало 10 000 жителей. Его население сокращается со скоростью 10% в год. Какова будет его общая численность населения в 2005 году?

Решение: Население города ежегодно уменьшается на 10%. Таким образом, каждый год оно пополняется новым населением. Таким образом, численность населения на следующий год рассчитывается исходя из численности населения текущего года. Для уменьшения имеем формулу A = P (1 — r / 100) n
Следовательно, население в конце 5 лет = 10000 (1 — 10/100) 5
= 10000 (1 — 0.1) 5
= 10000 x 0,9 5
= 5904 (прибл.)

Получите формулы алгебры снизу:

Практические вопросы по формуле сложных процентов

Здесь мы предоставили вам несколько практических вопросов по формуле сложных процентов 8-го класса:

Q1: Три года назад население города составляло 160000 человек. Если он увеличился на 3%, 2,5% и 5% за последние 3 года.Найдите нынешнее население города.

Q2: Разница между SI и CI определенной суммы денег составляет 48 рупий под 20% годовых в течение 2 лет. Найдите директора.

Q3: При какой процентной ставке, начисленной ежегодно, будет ли сумма от 5000 рупий до 6050 рупий через 2 года?

Q4: Рассчитайте сумму и сложный процент по каждому из следующих пунктов, используя формулы, когда:
(i) Основная сумма = 3000 рупий, Ставка = 5%, Время = 2 года
(ii) Основная сумма = 3000 рупий , Ставка = 18%, Время = 2 года
(iii) Основная сумма = 5000 рупий, Ставка = 10 пайсов за рупию в год, Время = 2 года

Q5: Амит заимствовал рупий.16000 под простую процентную ставку 17 ½% годовых. В тот же день он одолжил Ашу по той же ставке, но с ежегодной выплатой. Что он получает по истечении 2 лет?

Q6: Камал одолжил рупий. 57600 от LIC против ее политики под 12 ½% годовых на строительство дома. Найдите сумму, которую она платит LIC через 1,5 года, если проценты рассчитываются раз в полгода.

Q7: В чем разница между сложными процентами на Rs. 5000 на 1,5 года под 4% годовых с начислением годовых и полугодовых?

Q8: За какое наименьшее количество полных лет сумма денег, выложенная под 20% сложных процентов, будет более чем удвоена?

Часто задаваемые вопросы, связанные с уравнением сложных процентов

Здесь мы предоставили некоторые из часто задаваемых вопросов, связанных с формулой сложных процентов в Интернете.

Q1: Как вы рассчитываете сложные проценты?

A: Сложные проценты рассчитываются как общая сумма основной суммы плюс проценты, полученные за предыдущие периоды.

Q2: Сложные проценты — это хорошо или плохо?

A: Если вы положили деньги в банк, вам будут полезны сложные проценты. Однако, если вы взяли ссуду или ипотеку, сложные проценты заставят вас платить больше.

Q3: Почему сложные проценты настолько эффективны?

A: Сложные проценты заставляют основную сумму расти быстрее, чем простые проценты.Это связано с тем, что, помимо получения прибыли на вложенные деньги, вы также получаете прибыль от этих доходов в конце каждого периода начисления сложных процентов.

Q4: Какова формула расчета сложных процентов?

A: Формула для расчета сложных процентов:

Q5: Для чего используется формула сложных процентов?

A: Формула сложных процентов — это способ определить общую сумму в конце периода после добавления процентов. Сложные проценты начисляются в течение срока ссуды или ипотеки.

Теперь вам предоставлена ​​вся необходимая информация о концепции и формуле сложных процентов. Практикуйте больше вопросов и овладейте этой концепцией.

Студенты могут использовать NCERT Solutions для математики, предоставленные Embibe для подготовки к экзаменам.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.