Отрицательная степень чисел и дробей

Что такое степень числа

В учебниках по математике можно встретить такое определение: 

«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд»

где

a — основание степени

n — показатель степени

Соответственно, aⁿ= a · a · a · a… · a

Читается такое выражение, как a в степени n

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить данное число (основание степени) на само себя.

А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например число 2, то она решается довольно просто:

• 2³ = 2 · 2 · 2, где
• 2 — основание степени
• 3 — показатель степени

Действия, конечно, можно выполнять и на калькуляторе. Их выбор велик, а доступность иногда на расстоянии одного клика в онлайн. Всё это безусловно можно использовать, но сейчас нам важно подробно разобрать принцип работы, чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике.

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).

Свойства степеней: когда складывать, а когда вычитать

Степень в математике с натуральным показателем имеет несколько важных свойств, которые позволяют упрощать вычисления. Всего их пять штук — ниже мы их рассмотрим.

Свойство 1: произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа.

Свойство 2: частное степеней

Когда мы делим степени с одинаковыми основаниями, то основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Свойство 3: возведение степени в квадрат

Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.

a — основание степени (не равное нулю)

m, n — показатели степени, натуральное число

Свойство 4: степень возведения

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

a, b — основание степени (не равное нулю)

n — показатели степени, натуральное число

Свойство 5: степень частного

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0, 

n — показатель степени, натуральное число

Степень с показателем 0

Любое целое a ≠ 0 в степени 0 равно 1.

Выражение 0 в степени 0 многие математики считают лишенным смысла, так график функции f (x, у) = xy прерывается в точке (0;0).

Степень с отрицательным показателем 

Число в минусовой степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем:

К примеру, 4 в минус 2 степени — это 1/42, 2 в минус 3 степени — это 1/23, 3 в минус 1 степени — это 1/3, 10 в минус первой степени — это 1/10 (0,1).

Степени с отрицательным показателям помогают компактно записывать крайне малые или постоянно уменьшающиеся величины. Например, одну миллиардную долю (0, 000 000 001) можно записать как 10 в минус 9 степени (10-9). В школьной программе такие величины редкость: чаще всего используют 10 в минус 1 степени или 2 в минус 1 степени.

Чтобы разобраться, как возводить число в отрицательную степень, вспомним правило деления степеней с одинаковыми основаниями.

Деление степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями осуществляется по следующей формуле: показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

Поэтому если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:

a³ a⁶=a^{3 — 6} = a^-3

Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:

Действия с отрицательными степенями

Умножение отрицательных степеней

При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

a^m · aⁿ = a^{m + n}

Деление отрицательных степеней

При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя:

Возведение дроби в отрицательную степень

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:

Возведение произведения в отрицательную степень

Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, необходимо возвести в эту степень каждый множитель произведения отдельно:

У нас есть отличная статья на тему — формулы сокращенного умножения, тебе стоит повторить ее!

Подготовиться к сложной контрольной ребенку помогут в детской онлайн-школе Skysmart. Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.

Запишите ребенка на бесплатный вводный урок математики и начните заниматься с удовольствием уже завтра.

Отрицательная степень | Алгебра

Что такое степень с отрицательным показателем (отрицательная степень)? Как выполнить возведение числа в отрицательную степень? Как возвести в отрицательную степень дробь?

Определение.

В частности, число в степени минус один — это число, обратное данному:

Если n — целое число, то речь идет о степени с целым отрицательным показателем и равенство верно для любого a, отличного от нуля (т.е. при a≠0).

Если n — дробное число, то речь идет о степени с рациональным показателем:

(m — целое число, n — натуральное число). Степень с дробным показателем определена только для положительных a (a>0).

В частности,

Дробь в степени с отрицательным показателем равна обратному этой дроби числу в степени с показателем, противоположным данному:

Другими словами, чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо эту дробь «перевернуть»(числитель и знаменатель поменять местами) и изменить знак  в показателе степени.

Дробь в минус первой степени — это «перевернутая» дробь.

В частности,

Рассмотрим примеры возведения чисел в степень с отрицательным показателем.

Для ускорения вычислений используем таблицу степеней.

Примеры.

Чтобы возвести в отрицательную степень смешанное число, надо сначала перевести его в неправильную дробь:

Возведем числа в степень с дробным отрицательным показателем:

При возведении в отрицательную степень десятичной дроби можно сначала перевести ее в обыкновенную и, если возможно, сократить:

Если в показателе степени стоит десятичная дробь,  нужно перевести ее в обыкновенную:

Возведение в степень с отрицательным показателем в алгебре встречается достаточно часто, поэтому важно вовремя усвоить эту тему. m} $.

правила возведения числа и наглядные примеры

В одной из предыдущих статей мы уже упоминали о степени числа. Сегодня мы постараемся сориентироваться в процессе нахождения ее значения. Научно говоря, мы будем выяснять, как правильно возводить в степень. Мы разберемся, как производится этот процесс, одновременно затронем все вероятные показатели степени: натуральный, иррациональный, рациональный, целый.

Итак, давайте подробно рассмотрим решения примеров и выясним, что значит:

1. Определение понятия.
2. Возведение в отрицательную ст.
3. Целый показатель.
4. Возведение числа в иррациональную степень.

Определение понятия

Вот точно отражающее смысл определение: «Возведением в степень называют определение значения степени числа».

Соответственно, возведение числа a в ст. r и процесс нахождения значения степени a с показателем r — это идентичные понятия. К примеру, если стоит задача вычислить значение степени (0,6)6″, то ее можно упростить до выражения «Возвести число 0,6 в степень 6».

После этого можно приступать напрямую к правилам возведения.

Возведение в отрицательную степень

Минусовая степень обозначает, что число множат на него самого такое количество раз, какое значится в ст., а после этого единицу делят на вычисленный результат.

Для наглядности следует обратить внимание на такую цепочку выражений:

110=0,1=1* 10 в минус 1 ст.,

1100=0,01=1*10 в минус 2 степ.,

11000=0,0001=1*10 в минус 3 ст.,

110000=0,00001=1*10 в минус 4 степeни.

Благодаря данным примерам можно четко просмотреть возможность моментально вычислить 10 в любой минусовой степени. Для этой цели достаточно банально сдвигать десятичную составляющую:

• 10 в -1 степeни — перед единицей 1 ноль;
• в -3 — три нуля перед единицей;
• в -9 — это 9 нулей и проч.

Так же легко понять по данной схеме, сколько будет составлять 10 в минус 5 ст. —

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Как возвести число в натуральную степeнь

Вспоминая определение, учитываем, что натуральное число a в ст. n равняется произведению из n множителей, при этом каждый из них равняется a. Проиллюстрируем: (а*а*…а)n, где n — это количество чисел, которые умножаются. Соответственно, чтобы a возвести в n, необходимо рассчитать произведение следующего вида: а*а*…а разделить на n раз.

Отсюда становится очевидно, что возведение в натуральную ст. опирается на умение осуществлять умножение (этот материал освещен в разделе про умножение действительных чисел). Давайте рассмотрим задачу:

Возведите -2 в 4-ю ст.

Решение:

Мы имеем дело с натуральным показателем. Соответственно, ход решения будет следующим: (-2) в cт. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Теперь осталось только осуществить умножение целых численностей:(-2)*(-2)*(-2)*(-2). Получаем 16.

Ответ на задачу:

(-2) в ст. 4=16.

Пример:

Вычислите значение: три целых две седьмых в квадрате.

Решение:

Данный пример равняется следующему произведению: три целых две седьмых умножить на три целых две седьмых. Припомнив, как осуществляется умножение смешанных чисел, завершаем возведение:

• 3 целых 2 седьмых умножить на самих себя;
• равно 23 седьмых умножить на 23 седьмых;
• равно 529 сорок девятых;
• сокращаем и получаем 10 тридцать девять сорок девятых.

Ответ: 10 39/49

Возведение в иррациональную стeпeнь

Касаемо вопроса возведения в иррациональный показатель, следует отметить что расчеты начинают проводить после завершения предварительного округления основы степени до какого-либо разряда, который позволил бы получить величину с заданной точностью. К примеру, нам необходимо возвести число П (пи) в квадрат.

Начинаем с того, что округляем П до сотых и получаем:

П в квадрате = (3,14)2=9,8596. Однако если сократить П до десятитысячных, получим П=3,14159. Тогда возведение в квадрат получает совсем другое чиcло: 9,8695877281.

Здесь следует отметить, что во многих задачах нет надобности возводить иррациональные числа в cтeпeнь. Как правило, ответ вписывается или в виде, собственно, степени, к примеру, корень из 6 в степени 3, либо, если позволит выражение, проводится его преобразование: корень из 5 в 7 cтепeни = 125 корень из 5.

Как возвести чиcло в целую степень

Эту алгебраическую манипуляцию уместно принимать во внимание для следующих случаев:

• для целых чисел;
• для нулевого показателя;
• для целого положительного показателя.

Поскольку практически все целые положительные числа совпадают с массой чисел натуральных, то постановка в положительную целую степень — это тот же процесс, что и постановка в ст. натуральную. Данный процесс мы описали в предшествующем пункте.

Теперь поговорим о вычислении ст. нулевой. Мы уже выяснили выше, что нулевую степень числа a можно определить для любого отличного от нуля a (действительного), при этом a в ст. 0 будет равно 1.

Соответственно, возведение какого угодно действительного числа в нулевую ст. будет давать единицу.

К примеру, 10 в ст.0=1, (-3,65)0=1, а 0 в ст. 0 нельзя определить.

Для того чтобы завершить возведение в целую степень, остается определиться с вариантами целых отрицательных значений. Мы помним, что ст. от a с целым показателем -z будет определяться как дробь. В знаменателе дроби располагается ст. с целым положительным значением, значение которой мы уже научились находить. Теперь остается лишь рассмотреть пример возведения.

Пример:

Вычислить значение числа 2 в кубе с целым отрицательным показателем.

Процесс решения:

Согласно определению стeпeни с отрицательным показателем обозначаем: два в минус 3 ст. равняется один к двум в третьей cтепeни.

Знаменатель рассчитывается просто: два в кубе;

3 = 2*2*2=8.

Ответ: два в минус 3-й ст. = одна восьмая.

Видео

Из этого видео вы узнаете, что делать, если степень с отрицательным показателем. 0=3*1=3; $$
В этом случае необходимо привести все степени к одинаковому основанию. Замечаем, что \(15\) раскладывается, как произведение 3 и 5, получим одинаковые основания и применим формулы №1,№3.

Функция СТЕПЕНЬ — Служба поддержки Office

Предположим, что вам нужно вычислить очень маленький допуск для детали механизма или огромное расстояние между двумя галактиками. Для возведения числа в степень используйте функцию СТЕПЕНЬ.

Описание

Возвращает результат возведения числа в степень.

Синтаксис

СТЕПЕНЬ(число;степень)

Аргументы функции СТЕПЕНЬ описаны ниже. 2.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Упрощение выражений с отрицательными степенями. Степень числа: определения, обозначение, примеры. Как возводить в отрицательную степень

Степень с отрицательным показателем определение

Пусть число a есть любое действительное число, отличное от нуля. Число m — отрицательное целое число.

Степень с отрицательным показателем определение:

Действительное, отличное от нуля число a, возведенное в отрицательную целую степень -m, равно дроби, в числителе которой 1 и в знаменателе a, возведенное в положительную целую степень m.

Отрицательная степень формула

Для вычислений отрицательных степеней используем формулу:

Эта формула применяется, если имеется отрицательное значение степени.

Положительная и отрицательная степень

Чтоб лучше понять сравним положительные и отрицательные степени.

Пусть число a есть любое действительное число, отличное от нуля. Число m — любое целое число.

Тогда a в положительной степени m равно:

A m = a * a * a * … (m раз)

Теперь a в отрицательной степени -m:

Степень с целым отрицательным показателем

Обратите внимание, что в этой статье речь идет именно о целом отрицательном показателе. Здесь существенным является то, что показатель целый.

Пример степени с целым отрицательным показателем:

Отрицательное основание степени

Отрицательная степень числа и отрицательное основание степени — это разные вещи.

В одной из предыдущих статей мы уже упоминали о степени числа. Сегодня мы постараемся сориентироваться в процессе нахождения ее значения. Научно говоря, мы будем выяснять, как правильно возводить в степень. Мы разберемся, как производится этот процесс, одновременно затронем все вероятные показатели степени: натуральный, иррациональный, рациональный, целый.

Итак, давайте подробно рассмотрим решения примеров и выясним, что значит:

1. Определение понятия.
2. Возведение в отрицательную ст.
3. Целый показатель.
4. Возведение числа в иррациональную степень.

Определение понятия

Вот точно отражающее смысл определение: «Возведением в степень называют определение значения степени числа».

Соответственно, возведение числа a в ст. r и процесс нахождения значения степени a с показателем r — это идентичные понятия. К примеру, если стоит задача вычислить значение степени (0,6)6″, то ее можно упростить до выражения «Возвести число 0,6 в степень 6».

После этого можно приступать напрямую к правилам возведения.

Возведение в отрицательную степень

Для наглядности следует обратить внимание на такую цепочку выражений:

110=0,1=1* 10 в минус 1 ст.,

1100=0,01=1*10 в минус 2 степ.,

11000=0,0001=1*10 в минус 3 ст.,

110000=0,00001=1*10 в минус 4 степeни.

Благодаря данным примерам можно четко просмотреть возможность моментально вычислить 10 в любой минусовой степени. Для этой цели достаточно банально сдвигать десятичную составляющую:

• 10 в -1 степeни — перед единицей 1 ноль;
• в -3 — три нуля перед единицей;
• в -9 — это 9 нулей и проч.

Так же легко понять по данной схеме, сколько будет составлять 10 в минус 5 ст. —

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Как возвести число в натуральную степeнь

Вспоминая определение, учитываем, что натуральное число a в ст. n равняется произведению из n множителей, при этом каждый из них равняется a. Проиллюстрируем: (а*а*…а)n, где n — это количество чисел, которые умножаются. Соответственно, чтобы a возвести в n, необходимо рассчитать произведение следующего вида: а*а*…а разделить на n раз.

Отсюда становится очевидно, что возведение в натуральную ст. опирается на умение осуществлять умножение
(этот материал освещен в разделе про умножение действительных чисел). Давайте рассмотрим задачу:

Возведите -2 в 4-ю ст.

Мы имеем дело с натуральным показателем. Соответственно, ход решения будет следующим: (-2) в cт. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Теперь осталось только осуществить умножение целых численностей:(-2)*(-2)*(-2)*(-2). Получаем 16.

Ответ на задачу:

(-2) в ст. 4=16.

Пример:

Вычислите значение: три целых две седьмых в квадрате.

Данный пример равняется следующему произведению: три целых две седьмых умножить на три целых две седьмых. Припомнив, как осуществляется умножение смешанных чисел, завершаем возведение:

• 3 целых 2 седьмых умножить на самих себя;
  
• равно 23 седьмых умножить на 23 седьмых;
  
• равно 529 сорок девятых;
  
• сокращаем и получаем 10 тридцать девять сорок девятых.
  

Ответ: 10 39/49

Касаемо вопроса возведения в иррациональный показатель, следует отметить что расчеты начинают проводить после завершения предварительного округления основы степени до какого-либо разряда, который позволил бы получить величину с заданной точностью. К примеру, нам необходимо возвести число П (пи) в квадрат.

Начинаем с того, что округляем П до сотых и получаем:

П в квадрате = (3,14)2=9,8596. Однако если сократить П до десятитысячных, получим П=3,14159. Тогда возведение в квадрат получает совсем другое чиcло: 9,8695877281.

Здесь следует отметить, что во многих задачах нет надобности возводить иррациональные числа в cтeпeнь. Как правило, ответ вписывается или в виде, собственно, степени, к примеру, корень из 6 в степени 3, либо, если позволит выражение, проводится его преобразование: корень из 5 в 7 cтепeни = 125 корень из 5.

Как возвести чиcло в целую степень

Эту алгебраическую манипуляцию уместно принимать во внимание для следующих случаев:

• для целых чисел;
• для нулевого показателя;
• для целого положительного показателя.

Поскольку практически все целые положительные числа совпадают с массой чисел натуральных, то постановка в положительную целую степень — это тот же процесс, что и постановка в ст. натуральную. Данный процесс мы описали в предшествующем пункте.

Теперь поговорим о вычислении ст. нулевой. Мы уже выяснили выше, что нулевую степень числа a можно определить для любого отличного от нуля a (действительного), при этом a в ст. 0 будет равно 1.

Соответственно, возведение какого угодно действительного числа в нулевую ст. будет давать единицу.

К примеру, 10 в ст.0=1, (-3,65)0=1, а 0 в ст. 0 нельзя определить.

Для того чтобы завершить возведение в целую степень, остается определиться с вариантами целых отрицательных значений. Мы помним, что ст. от a с целым показателем -z будет определяться как дробь. В знаменателе дроби располагается ст. с целым положительным значением, значение которой мы уже научились находить. Теперь остается лишь рассмотреть пример возведения.

Пример:

Вычислить значение числа 2 в кубе с целым отрицательным показателем.

Процесс решения:

Согласно определению стeпeни с отрицательным показателем обозначаем: два в минус 3 ст. равняется один к двум в третьей cтепeни.

Знаменатель рассчитывается просто: два в кубе;

3 = 2*2*2=8.

Ответ: два в минус 3-й ст. = одна восьмая.

Видео

Из этого видео вы узнаете, что делать, если степень с отрицательным показателем.

Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается
понятие степени только с натуральным показателем
и нулём.

Понятие и свойства степеней с рациональными показателями
(с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.

Итак, разберёмся, что такое степень числа.

Для записи произведения числа самого на себя несколько раз
применяют сокращённое обозначение.

Вместо
произведения шести одинаковых множителей
4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4
пишут
4 6
и произносят «четыре в шестой степени».

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6

Выражение 4 6
называют степенью числа, где:

• 4
  — основание степени
  ;
• 6
  — показатель степени
  .

В общем виде степень с основанием «a
» и
показателем «n
» записывается с помощью выражения:

Запомните!

Степенью числа «a
» с натуральным показателем «n
»,
бóльшим 1
, называется произведение «n
»
одинаковых множителей, каждый из которых равен числу
«a
».

Запись «a n
» читается так:
«а
в степени
n
» или «n
-ая степень числа
a
».

Исключение составляют записи:

• a 2
  — её можно произносить как «а
  в квадрате»;
• a 3
  — её можно произносить как «а
  в кубе».

• a 2
  — «а
  во второй степени»;
• a 3
  — «а
  в третьей степени».

Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0)
.

Запомните!

Степенью числа «а
» с показателем n = 1
является само это число:
a 1 = a

Любое число в нулевой степени равно единице.
a 0 = 1

Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0 n = 0

Единица в любой степени равна 1.
1 n = 1

Выражение 0 0
(ноль в нулевой степени
) считают лишённым смыслом.

• (−32) 0 = 1
• 0 253 = 0
• 1 4 = 1

При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в
степень.

Пример. Возвести в степень.

• 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
• ( ·
  =
  =

Возведение в степень отрицательного числа

Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым
числом — положительным, отрицательным или нулём.

Запомните!

При возведении в степень положительного числа
получается положительное число.

При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться
как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или
нечётным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.

Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень,
то получается отрицательное число. Так как произведение
нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число.
Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.

Запомните!

Отрицательное число, возведённое в
чётную
степень, есть число
положительное
.

Отрицательное число, возведённое в
нечётную
степень, — число
отрицательное
.

Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:

a 2 ≥ 0
при любом a
.

• 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
• −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

Обратите внимание!

При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи
(−5) 4
и
−5 4
это разные выражения. Результаты возведения
в степень данных выражений будут разные.

Вычислить (−5) 4
означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.

(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

В то время как найти «−5 4
» означает, что пример нужно решать в 2 действия:

1. Возвести в четвёртую степень положительное
   число 5
   .
   
   5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
2. Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить
   действие вычитание).
   
   −5 4 = −625

Пример. Вычислить: −6 2 − (−1) 4

−6 2 − (−1) 4 = −37

1. 6 2 = 6 · 6 = 36
2. −6 2 = −36
3. (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
4. −(−1) 4 = −1
5. −36 − 1 = −37

Порядок действий в примерах со степенями

Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

Запомните!

В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют
вовзведение в степень
, затем умножение и деление
, а в
конце сложение и вычитание
.

Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках,
а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Пример. Вычислить:

Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться
таблицей степеней , которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.

Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором
«

Операции со степенями и корнями.
Степень с отрицательным

,

нулевым и дробным

показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

Операции со
степенями.

1. При умножении степеней с
одинаковым основанием их показатели складываются
:

a m

·

a n = a m + n .

2. При делении степеней с
одинаковым основанием их показатели

вычитаются

.

3. Степень
произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению
степеней этих сомножителей.

(
abc

…
)
n

=

a
n

·
b

n

·
c

n

…

4. Степень отношения (дроби) равна
отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

(
a

/
b

)
n

=
a

n

/
b

n

.

5. При возведении степени в
степень их показатели перемножаются:

(a

m

)

n

=
a

m
n

.

Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих
направлениях слева направо и наоборот.

П р и
м е р. (2

·


3

·


5 / 15)

²

=

2

²

·

3

²

·


5

²

/ 15

²

= 900 / 225 = 4 .

Операции с корнями.

Во всех нижеприведенных формулах символ

означает арифметический корень
(подкоренное выражение
положительно).

1.

Корень из произведения
нескольких сомножителей равен произведению

корней из этих сомножителей:

2.

Корень
из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

3.
При
возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень

подкоренное число:

4.
Если
увеличить степень корня в
m

раз и одновременно возвести в

m
-ую
степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

5.

Если уменьшить степень корня
в
m

раз и одновременно извлечь корень

m
-ой
степени из подкоренного числа, то значение корня не
изменится:

Расширение понятия
степени.

До
сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем;
но
действия
со
степенями и корнями
могут приводить также к отрицательным
, нулевым
и
дробным
показателям. Все эти показатели степеней требуют
дополнительного определения.

Степень с отрицательным
показателем.

Степень
некоторого числа с

отрицательным (целым) показателем
определяется как единица, делённая

на степень того же числа с
показателем, равным абсолютной велечине

отрицательного показателя:

Т

еперь
формула
a
m

:

a

n

=
a

m

—

n

может быть использована не
только при
m

, большем, чем

n

, но и при
m

, меньшем, чем
n

.

П р и м е р

.
a

4
: a

7
= a

4
—
7 = a

—
3
.

Если
мы хотим, чтобы формула
a

m

:

a
n
=
a
m

—
n
была
справедлива при
m

=
n

,
нам необходимо
определение нулевой степени.

Степень
с нулевым показателем.

Степень любого ненулевого числа с
нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы. 2 0 = 1,
(–
5) 0 = 1, (–
3 / 5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем.

Для того, чтобы возвести действительное число

а

в степень

m

/

n

, нужно извлечь корень

n
–ой
степени из

m
-ой
степени этого числа

а

:

О выражениях, не имеющих смысла.

Есть несколько таких выражений.
любое число.

В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x
, то согласно
определению операции деления имеем: 0 = 0 · x
. Но это равенство имеет место при любом числе x
, что и требовалось доказать.

Случай 3.

0
0

— любое число.

Действительно,

Р е ш е н и е.
Рассмотрим три основных случая:

1)

x

= 0 –
это значение не удовлетворяет данному уравнению

(Почему?).

2) при
x

> 0 получаем:
x

/
x

= 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

что


x

– любое число; но принимая во внимание, что в

Нашем
случае
x

> 0 , ответом является
x

> 0 ;

3) при
x

x

/
x

= 1, т.
e
.
–1 = 1, следовательно,

В этом
случае нет решения.

Таким образом,

x

> 0.

Возведение в отрицательную степень – один из основных элементов математики, который часто встречается при решении алгебраических задач. Ниже приведена подробная инструкция.

Как возводить в отрицательную степень – теория

Когда мы число в обычную степень, мы умножаем его значение несколько раз. Например, 3 3 = 3×3×3 = 27. С отрицательной дробью все наоборот. Общий вид по формуле будет иметь следующий вид: a -n = 1/a n . Таким образом, чтобы возвести число в отрицательную степень, нужно единицу поделить на данное число, но уже в положительной степени.

Как возводить в отрицательную степень – примеры на обычных числах

Держа вышеприведенное правило на уме, решим несколько примеров.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Ответ: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Ответ -4 -2 = 1/16.

Но почему ответ в первом и втором примерах одинаковый? Дело в том, что при возведении отрицательного числа в четную степень (2, 4, 6 и т.д.), знак становится положительным. Если бы степень была четной, то минус сохранился:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Как возводить в отрицательную степень – числа от 0 до 1

Вспомним, что при возведении числа в промежутке от 0 до 1 в положительную степень, значение уменьшается с возрастанием степени. Так например, 0,5 2 = 0,25. 0,25

Пример 3: Вычислить 0,5 -2
Решение: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Ответ: 0,5 -2 = 4

Разбор (последовательность действий):

• Переводим десятичную дробь 0,5 в дробную 1/2. Так легче.
  Возводим 1/2 в отрицательную степень. 1/(2) -2 . Делим 1 на 1/(2) 2 , получаем 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Пример 4: Вычислить 0,5 -3
Решение: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Пример 5: Вычислить -0,5 -3
Решение: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Ответ: -0,5 -3 = -8

Исходя из 4-го и 5-ого примеров, сделаем несколько выводов:

• Для положительного числа в промежутке от 0 до 1 (пример 4), возводимого в отрицательную степень, четность или нечетность степени не важна, значение выражения будет положительным. При этом, чем больше степень, тем больше значение.
• Для отрицательного числа в промежутке от 0 до 1 (пример 5), возводимого в отрицательную степень, четность или нечетность степени неважна, значение выражения будет отрицательным. При этом, чем больше степень, тем меньше значение.

Как возводить в отрицательную степень – степень в виде дробного числа

Выражения данного типа имеют следующий вид: a -m/n , где a – обычное число, m – числитель степени, n – знаменатель степени.

Рассмотрим пример:
Вычислить: 8 -1/3

Решение (последовательность действий):

• Вспоминаем правило возведения числа в отрицательную степень. Получим: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
• Заметьте, в знаменателе число 8 в дробной степени. Общий вид вычисления дробной степени таков: a m/n = n √8 m .
• Таким образом, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Получаем кубический корень из восьми, который равен 2. Исходя отсюда, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Ответ: 8 -1/3 = 2

Как решить отрицательные многочлены

Многочлен — это математическое выражение, состоящее из переменных и коэффициентов. Единственные операции, которые используют полиномы, — это сложение, вычитание, положительные целые показатели и умножение. Вы не можете возвести переменные полинома в иррациональные степени, комплексные степени, квадратные корни и т. Д.

Как выглядит многочлен? Простой пример:

6×7 + 23×3 — 7

Этот пример представляет собой многочлен с одной переменной, потому что единственная переменная в выражении — x.

Хотя полиномы исключают отрицательные члены, бывают случаи, когда вы встретите отрицательные полиномы. Что вы делаете тогда? Давай выясним.

Важные полиномиальные члены

Если вы хотите понять, как решать отрицательные многочлены, вы должны сначала знать некоторую терминологию, связанную с многочленами.

• Члены полинома. Отдельные коэффициенты, переменные и константы, которые вы объединяете в полиномиальное выражение.В приведенном ранее примере члены полинома включают 6×7, 23×3 и -7. Многочлен состоит из трех членов.
• Переменная. Это относится к символам, которые используются в качестве заполнителей для чисел. В приведенном выше примере переменная x .
• Коэффициент. Это номер, который сопровождает переменную. В члене 6×7 коэффициент x7 равен 6.
• Константа. Это числа в полиноме, не связанные с переменной.Постоянный член в примере равен -7.
• Степень полинома. Это наивысшая степень переменной (показателя степени) в полиноме. Степень многочлена 7.

Некоторые другие правила, которые следует запомнить: если переменная не имеет коэффициента, тогда коэффициент равен 1. Кроме того, если переменная не имеет степени, тогда степень также равна 1.

Отрицательные многочлены

Когда вы сталкиваетесь с отрицательным многочленом, вы в конечном итоге упрощаете выражение.

Пример отрицательного многочлена:

2н-2 — 3н — 7

Обратите внимание, что степень n отрицательна, -2.

Чтобы решить или упростить отрицательные полиномы, мы должны полностью понимать правила экспонент.

Правила экспонентов

Правила экспонент обобщают, как манипулировать показателями. Давайте рассмотрим их.

Нулевая экспонента

a0 = 1

Это означает, что любое число, возведенное в степень 0, равно 1.

Правило произведения или умножения

ab * ac = ab + c

Это означает, что если вы умножите два или более показателя степени с одним и тем же основанием, результатом будет просто одна экспонента (основание), возведенная в сумму степеней. По сути, вы складываете экспоненты вместе.

Правило частичного или деления

ab / ac = ab — c

Когда вы делите два или более показателя степени с одинаковым основанием, вы вычитаете степени.

Правило отрицательной экспоненты

a-b = 1 / ab

Когда вы встретите число / переменную с отрицательной экспонентой, возьмите обратное основание.В приведенном выше примере , обратное , равно 1 / год.

a-b = (1 / a) b = 1b / ab = 1 / ab

Правило власти

(ab) c = ab * c

Если у вас есть показатель степени, который нужно возвести в другую степень, найдите произведение двух степеней.

Эти правила важны, поскольку они помогут нам упростить отрицательные многочлены. Давайте рассмотрим несколько примеров, которые помогут нам лучше применять эти правила.

Пример 1

Упростить выражение

2×4 у-2

Выражение выше относительно простое.Единственное, что вам нужно упростить, — это отрицательный показатель степени. Помните отрицательное правило.

2x4y-2 = 2×4 / y2

Мы взяли обратное значение и , так как степень отрицательна.

Пример 2

Упростить выражение

(2x − 5y − 3 * 3x3y − 2) / (3x − 5y3)

Это немного сложно.

Шаг 1

Этот первый шаг не каменный и может быть изменен в зависимости от проблемы.В этом случае числитель содержит несколько показателей с одинаковым основанием, поэтому лучше начать с упрощения числителя, применяя правила для показателей.

(2x − 5y − 3 * 3x3y − 2) / (3x − 5y3)

= (2x-5 + 3 * 3y-2 + (-3)) / (3x − 5y3)

= (6x-2y-5) / (3x − 5y3)

Мы упростили числитель. Знаменатель выглядит хорошо, потому что переменные в нем встречались не более одного раза.

Шаг 2

Затем упростите числитель и знаменатель, используя правило частного.

(6x-2y-5) / (3x − 5y3)

= (6/3) * x-2 — (-5) * y (-5) — 3

= 2×3 * y-8

= 2x3y-8

Шаг 3

Мы удалили дробь, но у нас все еще есть отрицательная сила. Применим правило отрицательной экспоненты.

2x3y-8

= 2×3 / y8

Мы взяли обратное и .На 2×3 не влияет, потому что он не разделяет отрицательную мощность с y .

Пример 3

Упростите приведенное ниже выражение.

(3y-7x3z5) / (4y-5x2z3) -2

Шаг 1

Выражение выше содержит экспоненты, возведенные в другую степень, поэтому мы должны применить правило степени.

(3y-7x3z5) / (4y-5x2z3) -2

= (3y-7x3z5) / (4-2y10x-4z-6)

Мы умножили степени всех знаменателей на -2.Помните правило власти.

Шаг 2

Примените правило частного, поскольку переменные появляются только один раз как в числителе, так и в знаменателе.

(3y-7x3z5) / (4-2y10x-4z-6)

(3 / 4-2) * (y-7-10) * (x3 — (-4)) * (z5 — (-6))

= (3 / 4-2) * (y-17) * (x7) * (z11)

Шаг 3

Выражение, к которому мы пришли на шаге 2, имеет отрицательные показатели степени.

Примените правило отрицательной экспоненты для их устранения.

(3 / 4-2) * (y-17) * (x7) * (z11)

(3 * 42) * (1 / y17) * x7z11

(48x7z11) / 17

Наше окончательное решение — 48x7z11 / y17

Решение или упрощение отрицательных многочленов может быть сложным. Вот почему так важно полностью понимать различные правила экспонент. Однако самое важное при работе с отрицательными многочленами — это инвертировать основание всякий раз, когда у вас есть отрицательный многочлен.Как и любой навык, чем больше вы его практикуете, тем лучше вы становитесь. Если сначала вы не понимаете отрицательное полиномиальное выражение, не торопитесь и проверьте свою работу — вы быстро станете профессионалом!

Оставьте первый комментарий ниже.

Темы по алгебре: Отрицательные числа

Урок 3: Отрицательные числа

/ ru / algebra-themes / exponents / content /

Что такое отрицательные числа?

Отрицательное число — это любое число меньше нуля.Например, -7 — это число, которое на семь меньше , чем 0.

-7

Может показаться немного странным сказать, что число меньше , чем 0. В конце концов, мы часто думаем, что ноль означает ничего, . Например, если в вашей конфетной чаше осталось 0 кусочков шоколада, у вас останется , а не конфеты. ничего не осталось . В этом случае сложно представить, что у вас будет меньше, чем ничего.

Однако в реальной жизни бывают случаи, когда вы используете числа меньше нуля.Например, бывали ли вы на улице в очень холодный зимний день, когда температура была ниже нуля? Любая температура ниже нуля — отрицательное число. Например, температура на этом градуснике -20 , или двадцать градусов ниже нуля.

Вы также можете использовать отрицательные числа для более абстрактных идей. Например, в финансах отрицательные числа можно использовать для отображения долга . Если я переоцениваю свой счет (вынимаю больше денег, чем у меня есть на самом деле), мой новый банковский баланс будет иметь отрицательное число .У меня не только не будет денег в банке — на самом деле у меня будет меньше , чем ничего, потому что я должен банку деньги .

Посмотрите видео ниже, чтобы узнать больше об отрицательных числах.

Любое число без знака минус перед ним считается положительным числом , то есть числом, которое на больше нуля . Итак, в то время как -7 — это отрицательная семерка , 7 — положительная семерка или просто семь .

Что такое отрицательные числа

Как вы могли заметить, отрицательные числа пишутся с помощью того же символа, что и при вычитании: знака минус (-). Знак минус не означает, что вы должны думать о числе типа -4 как о и вычесть четыре . В конце концов, как бы это вычесть?

-4

Вы не могли — потому что вычесть это не из чего. Мы можем написать -4 само по себе именно потому, что не означает , вычитая 4 .Значит напротив из четырех.

Взгляните на 4 и -4 в числовой строке:

Вы можете представить числовую прямую состоящей из трех частей: положительного направления , отрицательного направления и нулевого . Все, что находится справа от нуля, — это положительное значение , а все, что находится слева от нуля, — это отрицательное значение . Мы думаем о положительных и отрицательных числах как о , противоположных , потому что они находятся на , противоположных сторонам числовой прямой.

Еще одна важная вещь, которую нужно знать об отрицательных числах, заключается в том, что они становятся на меньше , чем дальше они уходят от 0. В этой числовой строке чем дальше слева от число, тем оно меньше. Итак, 1 меньше 3 . -2 меньше 1 , а -7 меньше -2 .

Абсолютное значение

Когда мы говорим об абсолютном значении числа, мы говорим о расстоянии этого числа от 0 на числовой прямой.Помните, как мы сказали, что 4 и -4 были на одном и том же расстоянии от 0? Это означает, что 4 и -4 имеют одинаковое абсолютное значение. Представим взятие абсолютного значения числа двумя прямыми вертикальными линиями | | . Например, | -3 | = 3. Это читается как «абсолютное значение отрицательных трех равно трем».

Важно запомнить: хотя отрицательные числа уменьшаются на , по мере удаления от 0, их абсолютное значение становится на больше . Например, -10 меньше -6.Однако | -10 | больше чем | -6 | потому что -10 имеет большее расстояние от 0, чем -6.

Вычисление с отрицательными числами

Использовать отрицательные числа в арифметике довольно просто. Следует помнить лишь о нескольких особых правилах.

Сложение и вычитание отрицательных чисел

Когда вы складываете и вычитаете отрицательные числа, полезно подумать о числовой прямой, по крайней мере, сначала. Давайте посмотрим на эту проблему: 6 — 7 . Несмотря на то, что 7 больше 6, вы можете вычесть его точно так же, как любое другое число, если вы понимаете, что есть числа , меньшие , чем 0.

6-7 = -1

Числовая линия позволяет легко представить себе эту проблему, но есть еще один прием, который вы могли бы использовать для ее решения.

Во-первых, на мгновение игнорируйте отрицательные знаки. Просто найдите разницу между двумя числами. В данном случае это означает решение для 7 — 6 , что составляет 1. Затем посмотрите на свою исходную проблему. Какое число имеет наибольшее абсолютное значение ? В данном случае это -7. Поскольку -7 — отрицательное число, наш ответ тоже будет единичным: -1.Поскольку абсолютное значение -7 больше, чем расстояние между 6 и 0 , наш ответ оказывается на меньше 0 .

Добавление отрицательных чисел

Как бы вы решили эту проблему?

6 + -7

Вы не поверите, но это точно та же проблема, которую мы только что решили!

Это потому, что знак «плюс» просто указывает на то, что вы объединяете два числа. Когда вы объединяете отрицательное число с положительным, сумма будет на меньше , чем исходное число, так что вы также можете получить , вычитая .Итак, 6 + -7 — то же самое, что 6-7 , и оба они равны -1.

6 + -7 = -1

Всякий раз, когда вы видите положительный и отрицательный знак рядом друг с другом, вы должны читать его как отрицательный . Так же, как 6 + -7 это то же самое, что 6-7:

• 10 + -11 равно 10-11.
• 3 + -2 равно 3-2.
• 50 + -100 равно 50-100.

Это верно всякий раз, когда вы добавляете отрицательное число.Добавление отрицательного числа всегда аналогично вычитанию абсолютного значения этого числа.

Вычитание отрицательных чисел

Если сложение отрицательного числа фактически равно вычитанию, как вы, , вычтите отрицательного числа? Например, как решить эту проблему?

6 — — 3

Если вы догадались, что вы добавляете их , то вы правы. И вот почему: помните, как мы сказали, что отрицательное число противоположно положительному? Мы сравнили их с вами и вашим зеркальным отображением.Ваше зеркальное отображение — ваша противоположность, а это значит, что ваше зеркальное отражение — это , а вы — . Другими словами, противоположность вашей противоположности — , вы .

Таким же образом вы можете упростить эти два знака минус, прочитав их как два отрицания. Первый знак минус отрицает — или делает отрицательным — второй. Поскольку отрицательное или противоположное отрицательное значение является положительным, вы можете заменить оба знака минус знаком плюс. Это означает, что вы решите это:

6 + 3

Это намного проще решить, верно? Если это кажется запутанным, вы можете просто запомнить этот простой трюк: Когда вы видите два знака минус подряд , замените их знаком плюс .

Таким образом, 6 минус отрицательное 3 равно 6 плюс 3. Это равно 9. Другими словами, 6 — -3 равно 9.

Может быть сложно запомнить все правила сложения и вычитания чисел. Посмотрите видео ниже, чтобы узнать, как вам помочь.

Умножение и деление отрицательных чисел

Есть два правила умножения и деления чисел:

• Если вы умножаете или делите два положительных или отрицательных числа, результат будет положительный .
• Если вы умножаете или делите положительное число и отрицательное число, ваш результат будет отрицательным .

Вот и все! Вы умножаете или делите как обычно, а затем пользуетесь этими правилами, чтобы определить положительный или отрицательный ответ. Например, возьмем эту задачу: -3 ⋅ -4 . 3 ⋅ 4 равно 12. Поскольку оба умноженных числа были отрицательными, ответ — положительный : 12.

-3 ⋅ -4 = 12

С другой стороны, если бы мы умножили 3 ⋅ -4 , мы получили бы другой ответ:

3 ⋅ -4 = -12

Опять же, 3 ⋅ 4 равно 12.Но поскольку один из наших кратных — отрицательный , а другой — положительный , наш ответ также должен быть отрицательным : -12.

То же самое и с делением. -40 / -10 равно 4, потому что — 40 и -10 оба являются отрицательными . Однако -40 / 10 равно -4, потому что одно число — отрицательное , а другое — положительное .

/ ru / algebra-themes / reverse-and-inverse-numbers / content /

Уравнения, неравенства первой степени… Пошаговое решение математических задач

7.1 Уравнения первой степени

Уравнения являются первой степенью, когда их можно записать в форме ax + b = c, где x — переменная, а a, b и c — известные константы и a a! = 0. При работе с формулами мы обсуждали методы решения уравнений первой степени в разделе 3.4 и снова в разделе 3.5. Кроме того, поиск решений пропорций, обсуждаемых в разделах 6.6 и 6.7, включал решение уравнений первой степени.

Эта тема является одной из самых основных и важных для любого начинающего студента алгебры и снова представлена ​​здесь для положительного подкрепления и для подготовки к решению различных приложений в Разделах 7.3, 7.4 и 7.5.

Существует ровно одно решение уравнения первой степени с одной переменной. Это утверждение можно доказать методом противоречия. Доказательства здесь не приводятся. Уравнения, которые имеют более одного решения, будут рассмотрены в главах 8, 9 и 10.

Примеры

Решите следующие уравнения.

1. 3x + 14 = x-2 (x + 1) Напишите уравнение.
3x + 14 = x-2x-2 Используйте свойство distributive для удаления скобок.

3x + 14 = -x-2 Упростить.

4x + 14 = -2 Добавьте x к обеим сторонам.

4x = -16 Добавьте -14 к обеим сторонам.

x = -4 Разделим обе стороны на 4.

2. 1 + 2x + 3-3x = 20-x + 6x Напишите уравнение.
4-x = 20 + 5x Упростить.

4 = 20 + 6x Прибавьте x к обеим сторонам.

-16 = 6x Добавьте -20 к обеим сторонам.

-8 / 3 = x Разделите обе стороны на 6 и уменьшите.

3. (3x) / 4-7 = -1 Напишите уравнение.
(3x) / 4 = 6 Добавьте +7 к обеим сторонам.
3x = 24 Умножьте обе стороны на 4.

x = 8 Разделите обе стороны на 3 и уменьшите.

Поскольку (3x) / 4 = 3/4 * x / 1 = 3 / 4x, мы могли бы решить такое уравнение, как (3x) / 4 = 6 за один шаг, умножив обе части на 4/3, обратную величину 3 / 4, а именно:

(3x) / 4 = 6

(4/3 * 3/4) х = 4/3 * 6

х = 8

Пример 3 также может быть решен путем умножения первого числа на 4 вместо первого прибавления +7. Однако в этой процедуре мы должны обязательно умножить каждый член на 4 в обеих частях уравнения.

(3x) / 4-7 = -1 Напишите уравнение.
(3x) / 4 * 4-7 * 4 = -1 * 4 Умножьте каждый член на 4.
3x-28 = -4 Упростите.

3x = 24 Добавьте +28 к обеим сторонам.

x = 8 Разделите обе стороны на 3 и уменьшите.

Этот последний метод имеет то преимущество, что он оставляет только целочисленные коэффициенты и константы. Если дробей больше одной, то каждый член следует умножить на НОК знаменателей дробей.

Давайте посмотрим, как наш математический решатель решает эту и подобные задачи.Нажмите кнопку «Решить похожие», чтобы увидеть больше примеров.

Пример

(2x) / 5 + 1/4 = — (1/2)

(2x) / 5 * 20 + 1/4 * 20 = — (1/2) * 20 Умножьте каждый член на 20, чтобы НОК 5, 4 и 2.

8x + 5 = -10

8x = -15

х = — (15/8)

7.2 Линия вещественных чисел и неравенства первой степени

Мы обсудили целые числа, которые включают в себя целые числа и их противоположности,

…, — 4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4 … (Целые числа)

и дроби, образованные с использованием целых чисел в числителе и знаменателе без знаменателя, равного 0. Формальное название таких дробей — рациональные числа. Рациональное число — это любое число, которое можно записать в виде

.

a / b, где a и b — целые числа, а b! = 0

В десятичной форме все рациональные числа могут быть записаны как повторяющиеся десятичные дроби. Например,

1/3 = 0,33333 …

1/4 = 0,2500000.2 = 4/9

Символ √ называется знаком корня, а число под знаком корня — подкоренным выражением.

Не все корни являются целыми или рациональными числами. Такие числа, как корень (5), корень (7), корень (39) и -корень (10), называются иррациональными числами. В десятичной форме все иррациональные числа могут быть записаны как неповторяющиеся десятичные дроби. Другие примеры иррациональных чисел:

.

корень (2) = 1,4142136 … (квадратный корень из 2)
корень (3,4) = 1,5874011 … (кубический корень из 4)
PI = 3.14159265358979 … (пи, отношение длины окружности к диаметру окружности)

E = 2,718281828459045 … (основание натурального логарифма)

Иррациональные числа так же важны, как и рациональные числа, и столь же полезны при решении уравнений, как мы увидим в главе 10. Числовые линии имеют точки, соответствующие иррациональным числам, а также рациональным числам (см. Рисунок 7.1).

Рисунок 7.1

Рассмотрим круг диаметром 1 единицу, катящийся по прямой.Если круг касается линии в точке 0, в какой точке линии эта же точка на круге снова коснется линии?
Точка будет в точке PI на числовой прямой, потому что PI — это длина окружности круга. (См. Рисунок 7.2.)

Вместе рациональные числа и иррациональные числа образуют действительные числа. То есть каждое рациональное число и каждое иррациональное число также является действительным числом. Свойства действительных чисел при сложении и умножении перечислены ниже на рисунке 7.2 на странице 181.

Рисунок 7.2

Свойства вещественных чисел

Для действительных чисел a, b и c:

Распределительное свойство: a (b + c) = ab + ac

Числовые линии теперь называются линиями действительных чисел, потому что для каждого действительного числа есть одна соответствующая точка на строке, а для каждой точки на строке есть одно соответствующее действительное число.

Теперь нас интересует решение неравенств первой степени и отображение их решений на числовой прямой. Неравенство, которое можно записать в виде ac + bor ax + b <= c, где x - переменная, a, b и c - константы, а a! = 0, называется неравенством первой степени.
Решение неравенства типа 2x + 1 <7 аналогично решению уравнения первой степени. Цель состоит в том, чтобы найти эквивалентное неравенство (с теми же решениями), более простое по форме.

2x + 1 <7

2x + 1-1 <7-1

2x <6

(2x) / 2 <6/2

х <3

Затенением показаны все действительные числа меньше 3.Открытый кружок вокруг 3 означает, что 3 не включены в график.

Важное различие между решением уравнений и решением неравенств заключается в умножении или делении на отрицательные числа. Умножение или деление обеих сторон неравенства на отрицательное число меняет смысл неравенства на противоположный; «Меньше чем» становится «больше чем» и наоборот. Например (стрелки указывают на обратное неравенство)

Решение неравенства первой степени зависит от следующей аксиомы:

1.Если к обеим сторонам неравенства добавить ненулевую константу, новое неравенство эквивалентно исходному неравенству.

2. Если обе части неравенства умножаются на положительную константу (или делятся на нее), новое неравенство того же смысла эквивалентно исходному неравенству.

3. Если обе части неравенства умножаются на отрицательную константу (или делятся на нее), новое неравенство противоположного смысла эквивалентно исходному неравенству.

Примеры

Решите следующие неравенства и нанесите решения на график

1.5x + 4 <= - 1 Запишите неравенство.

5x + 4-4 <= - 1-4 Добавьте -4 к обеим сторонам.

5x <= - 5 Упростить.

(5x) / 5 <= - 5/5 Разделите обе стороны на 5.

x <= - 1 Упростить.

(Примечание: сплошная точка означает -1.)

Давайте посмотрим, как наш решатель неравенства решает эту и подобные проблемы. Нажмите кнопку «Решить похожие», чтобы увидеть больше примеров.

2. x + 1> = 3-2x

х + 1-х> = 3-2x-х

1> = 3-3x

1-3> = 3-3x-3

-2> = — 3x

-2 / -3 <= (- 3x) / - 3

2/3 <= х

Альтернативная процедура.

x + 1> = 3-2x

x + 1 + 2x> = 3-2x + 2x

3x + 1> = 3

3x + 1-1> = 3-1

3x> = 2

(3x) / 3> = 2/3

x> = 2/3 Обратите внимание, что два неравенства, 2/3 <= x и x> = 2/3, идентичны по смыслу.

Мы также можем использовать числовую линию для построения графиков чисел, удовлетворяющих более чем одному неравенству. Например, 3 = 2 или x <0 означает, что x больше или равно 2 или меньше 0. Графики этих неравенств показаны ниже в качестве примеров.

Давайте посмотрим, как наш математический решатель решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить похожие», чтобы увидеть больше примеров.

Примеры

Изобразите графики решений каждого из следующих неравенств

1. 3

2. x> = 2 или x <0

(Закрашивание круга вокруг 2 означает, что 2 включены.)

3. -корень (3)

7.3 Приложения (расстояние, геометрия)

Сложность или легкость, с которой вы решаете конкретную проблему, зависит от многих факторов, включая ваш личный опыт и общие способности к рассуждению. Например, предположим, что вам дали следующую задачу:

«Автомобиль проезжает 170 миль за 3 часа. Какая была средняя скорость? »
Проблема не говорит напрямую о MULTIPLY, DIVIDE, ADD или SUBTRACT.Вы должны знать, что скорость, умноженная на время, равна расстоянию или, r * t = d. Вам дается расстояние (170 миль) и время (3 часа). Вам нужно найти среднюю скорость. Нужный вам инструмент — это формула r * t = d.
Пусть r = средняя скорость. Затем

3 * г = 170

r = 56 * 2/3 миль / ч

Пример 1: Расстояние

Мужчина уезжает в командировку, а в это же время его жена забирает детей в гости к бабушке и дедушке. Машины, движущиеся в противоположных направлениях, через 3 часа разделяют 360 миль.Если средняя скорость мужчины на 10 миль в час больше, чем у его жены, какова ее средняя скорость?

Пусть x = средняя скорость жены

скорость * время = расстояние

3x + 3x + 30 = 360

6x = 330

x = 55 миль / ч

Средняя скорость жены — 55 миль в час.

Пример 2: Расстояние

Два поезда, A и B, находятся на расстоянии 540 километров друг от друга и едут навстречу друг другу по параллельным путям. Поезд A движется со скоростью 40 километров в час, а поезд Btravels — 50 километров в час. Через сколько часов они встретятся?

Пусть x = время

скорость * время = расстояние

40x + 50x = 540

90x = 540

x = 6 часов

Поезда соберутся через 6 часов.

Пример 3: Геометрия

Прямоугольник с периметром 140 метров имеет длину на 20 метров меньше, чем удвоенную ширину. Найдите размеры прямоугольника.

Нарисуйте диаграмму и используйте формулу P = 2l + 2w.

Пусть w = ширина

2w-20 = длина

2 (вес) +2 (2w-20) = 140

2w + 4w-40 = 140

6 Вт = 180

w = 30 метров

2w-20 = 40 метров

Ширина 30 метров, длина 40 метров.

7.4 Заявки (интерес, работа)

Деловые люди знают несколько формул, включающих основную сумму (сумма вложенных денег), ставку (процент или процентную ставку) и проценты (фактическую прибыль или полученные проценты). Эти формулы могут зависеть от таких связанных тем, как способ выплаты процентов по ссуде (ежемесячно, ежедневно, ежегодно и т. Д.), Наличие или отсутствие штрафов за досрочную выплату ссуды или оговорки об эскалации, если инвестиции особенно важны. прибыль.

В этом разделе мы будем использовать только базовую формулу для расчета процентов на годовой основе: P * R = {Iota}, или основная сумма, умноженная на ставку, равна проценту.

Пример 1: Проценты

Мужчина инвестирует в определенную облигацию с доходностью 9%, а затем инвестирует 500 долларов в акции с высоким риском с доходностью 12%. Через год его общая сумма процентов от двух инвестиций составит 240 долларов. Какую сумму он вложил в облигацию?

Пусть Pprincipal вложился под 9%.

основная сумма * ставка = проценты

0.09П + 60 = 240

0,09P = 180

(0,09P) / (0,09) = (180) / (0,09)

P = 2000 долларов США

Он вложил 2000 долларов в облигацию с доходностью 9%.

Пример 2: Проценты

У женщины 7000 долларов. Она решает разделить свои средства на два вложения. Один приносит доход в размере 6%, а другой — 10%. Если она хочет, чтобы годовой доход от инвестиций составлял 580 долларов, как ей разделить деньги?

Поскольку мы знаем, что общая сумма инвестиций составляет 7000 долларов, если одна инвестиция составляет x долларов, другая должна составлять от 7000 до x долларов.

Пусть x = сумма инвестиций под 10%
7000 — x = сумма инвестиций под 6%

основная сумма * ставка = проценты

10x + 6 (7000-x) = 5800 Умножьте каждый член на 100, чтобы исключить десятичные дроби.

10x + 42000-6x = 5800

4x = 16000

x = 4000 долларов США при 10%

7000-x = 3000 долл. США при 6%

Ей следует вложить 4000 долларов под 10% и 3000 долларов под 6%.

Задачи, связанные с «работой», могут быть очень сложными и требовать исчисления и физики.Проблемы, которые нас будут интересовать, связаны со временем, затраченным на выполнение конкретной работы. Эти проблемы связаны только с представлением о том, какая часть работы выполняется за одну единицу времени (часы, минуты, дни, недели и т. Д.). Например, если человек может выкопать канаву за 4 часа, какую часть (рытье канавы) он проделал за один час? Ответ — 1/4. Если работа длилась 5 часов, он бы сделал 1/5 за час. Если работа длилась x часов, он бы выполнил 1 / x за один час.

Пример 3: Работа

Майк может очистить бассейн своей семьи за 2 часа.Его младшая сестра Стейси может сделать это за 3 часа. Если они будут работать вместе, сколько времени им потребуется, чтобы очистить бассейн?

Пусть x = количество часов совместной работы

1/2 (6x) +1/3 (6x) = 1 / x (6x) Умножьте каждый член в обеих частях уравнения на 6x НОК знаменателей.

3x + 2x = 6

5x = 6

x = 6/5 часов

Вместе они могут очистить бассейн за 6/5 часов или за 1 час 12 минут.

Пример 4: Работа

Мужчине сказали, что его новый бассейн с джакузи заполнится через впускной клапан за 3 часа. Он понял, что что-то не так, когда на заполнение бассейна ушло 8 часов. Он обнаружил, что оставил сливной клапан открытым. Сколько времени потребуется, чтобы осушить бассейн?

Пусть t = время слить воду из пула.

(Примечание: в этом случае впускной и выпускной клапаны работают друг против друга.)

1/3 (24т) -1 / т (24т) = 1/8 (24т)

8т-24 = 3т

5т = 24

т = 24/5

Вода из бассейна осушится через 24/5 часов или 4 часа 48 минут.

7.5 Приложения (смесь, неравенства)

Проблемы, связанные со смесями, возникают в физике и химии, а также в таких местах, как кондитерская или табачная лавка. Необходимо смешать два или более элемента с различным процентным содержанием химического вещества, такого как соль, хлор или антифриз; или два или более типа табака должны быть смешаны с образованием конечной смеси, которая удовлетворяет определенным условиям процентной концентрации.

Основной план состоит в том, чтобы написать уравнение, которое касается только одной части смеси.Следующие примеры объясняют, как это можно сделать.

Пример 1: Смесь

Для конкретного химического эксперимента требуется 10% раствор кислоты. Если у лаборанта есть 9 унций 5% раствора, сколько кислоты нужно добавить, чтобы получить 10% раствор? (Подсказка: напишите уравнение, которое касается только количества кислоты.)

Пусть x = количество добавляемой кислоты.

количество раствора ⋅ процент кислоты = количество кислоты

5 (9) +100 (x) = 10 (x + 9)

45 + 100x = 10x + 90 Умножьте каждый член на 100.

90x = 45

х = 45/90

x = 0,5 унции кислоты

Чек:

0,45 + 0,5 = 0,10 (9,5)

0,95 = 0,95

10% раствор можно получить, добавив 0,5 унции кислоты.

Пример 2: Смесь

Сколько галлонов 20% раствора соли следует смешать с 30% раствором соли, чтобы получить 50 галлонов 23% раствора? (Подсказка: напишите уравнение, которое касается только количества соли.)

Пусть x количество 20% раствора Примечание: Так как общее количество галлонов известно. одна сумма находится путем вычитания другой суммы из общей суммы.
50-х = количество 30% раствора

количество раствора ⋅ процент соли = количество соли

20x + 30 (50-x) = 23 (50)

20x + 1500-30x = 1150

-10x = 1150-1500

-10x = -350

х = 35 гель 20% раствора

Чек:

7,0 + 0,30 (15) = 11,5

7,0 + 4,5 = 11,5

11,5 = 11,5

Тридцать пять галлонов 20% раствора следует добавить к 15 галлонам 30% раствора.

Следующий пример использования неравенств не требует пояснений. Внимательно изучите это.

Пример 3: Неравенства

Студент-физик получает оценки 85, 98, 93 и 90 на четырех экзаменах.Если он должен в среднем 90 или выше, чтобы получить пятерку за курс, какие баллы он может получить на заключительном экзамене и получить пятерку?

Пусть x = балл на заключительном экзамене.

(Среднее значение определяется сложением баллов и делением на 5.)

(85 + 98 + 93 + 90 + x) / 5> = 90

(366 + x) / 5> = 90

366 + х> = 450

х> = 450-366

х> = 84

Если ученик наберет 84 или больше баллов на заключительном экзамене, он получит в среднем 90 или больше и получит пятерку по физике.{-2} $$

— нет, поскольку эти числа не соответствуют всем критериям.

Степень монома — это сумма показателей всех включенных переменных. Константы имеют мономиальную степень 0.

Если мы посмотрим на наши примеры выше, то увидим, что

Многочлен в противоположность одночлену — это сумма одночленов, где каждый одночлен называется термом.{2} + x $$

4, 2 и 1, наивысшая степень равна 4, что означает, что степень многочлена равна 4.

Мы можем складывать и вычитать многочлены. Мы просто добавляем или вычитаем одинаковые члены, чтобы объединить два многочлена в один.

Пример

Сложите многочлены.

$$ ({\ color {green} {4x + 8}}) + ({\ color {blue} {3x + 2}}) $$

Убираем скобки и группируем все похожие термины.

$$ {\ color {зеленый} {4x + 8}} + {\ color {синий} {3x + 2}} $$

$$ {\ color {green} {4x}} + {\ color {blue} {3x}} + {\ color {green} {2}} + {\ color {blue} {8}} $$

Мы складываем все одинаковые члены, чтобы получить сумму многочленов.

$$ 7x + 10 $$

Пример

Вычтите многочлены.

$$ ({\ color {green} {4x + 8}}) — ({\ color {blue} {3x + 2}}) $$

Мы убираем круглые скобки и, поскольку перед второй круглой скобкой стоит отрицательный знак, нам нужно изменить знаки.

$$ {\ color {зеленый} {4x + 8}} — {\ color {blue} {3x-2}} $$

$$ {\ color {green} {4x}} — {\ color {blue} {3x}} — {\ color {green} {2}} + {\ color {blue} {8}} $$

Теперь мы вычитаем все одинаковые члены, чтобы найти разницу между двумя полиномами.{2} -2х + 4) $$

Какой самый простой способ конвертировать градусы Фаренгейта в Цельсия?

В чем разница между градусами Цельсия и Фаренгейта? Это действительно историческая причуда и простое математическое преобразование. Изучите самый простой способ конвертировать градусы Фаренгейта в Цельсия, а также обратный расчет с простыми уравнениями и диаграммой.

Преобразование Фаренгейта в Цельсия

Некоторые считают быструю оценку самым простым способом преобразования температуры Фаренгейта в температуру Цельсия.Другие хотят быстрее получить более точный ответ. Здесь вы можете изучить оба метода.

Формула оценки по Фаренгейту в Цельсию

Используйте эту формулу, чтобы получить точную оценку температуры Цельсия при переводе из Фаренгейта. В данном случае / означает деление на или использование деления.

(температура по Фаренгейту [F] -30) / 2 = температура Цельсия.

Другими словами, если вы хотите преобразовать температуру по Фаренгейту в приблизительную температуру по Цельсию:

1. Начните с температуры в Фаренгейте (т.е.г., 100 градусов).
2. Вычтите из этого числа 30 (например, 100-30 = 70).
3. Разделите ответ на 2 (например, 70/2 = 35).

Точная формула от Фаренгейта до Цельсия

Если вам нужен более точный расчет, вы можете использовать более точную формулу. Используя этот расчет, мы определяем, что 100 градусов по Фаренгейту эквивалентны 37,78 градусам Цельсия.

(F — 32) / 1,8 = C

Другими словами, если вы хотите преобразовать значение температуры в градусах Фаренгейта в градусы Цельсия:

1. Начните с температуры в градусах Фаренгейта (например.г., 100 градусов).
2. Вычтите 32 из этого числа (например, 100-32 = 68).
3. Разделите ответ на 1,8 (например, 68 / 1,8 = 37,78)

Преобразование Цельсия в Фаренгейт

Чтобы преобразовать Цельсий в Фаренгейт, просто переверните уравнение. В этом случае * означает времена или умножение.

(C * 1,8) + 32 = F

Вы можете использовать это уравнение, чтобы показать, что 100 градусов Цельсия равны 212 градусам Фаренгейта.

1. Начните с температуры в градусах Цельсия (т.е.г., 100 градусов).
2. Умножьте это число на 1,8 (например, 100 * 1,8 = 180).
3. Добавьте 32 к этой цифре (например, 180 + 32 = 212).

Таблица преобразования Фаренгейта в Цельсия

Если вам действительно нужен простой способ преобразования температуры, вы можете использовать эту диаграмму преобразования Фаренгейта в Цельсия, где математические вычисления уже были выполнены за вас.

Просмотр и загрузка PDF

В чем разница между градусами Фаренгейта и Цельсия?

Если вы из США, вы, вероятно, привыкли описывать температуру по Фаренгейту.Очень жаркий летний день — 100 градусов тепла, приятное весеннее утро — 50 градусов, а 0 градусов — безбожно холодно. Если вы почти из любого другого места, вы, вероятно, отдаете предпочтение Цельсию, где 0 градусов — это довольно холодно, 50 градусов — невыразимо жарко, а 100 градусов — это на плите, а не на улице.

Являются ли значения по Фаренгейту и Цельсию одинаковыми?

Если вам интересно, есть ли температура, при которой по Фаренгейту и Цельсию одинаковы, то она составляет 40 градусов ниже нуля, также известная как -40 или отрицательная 40.При всех остальных температурах разница уже в прошлом.

История шкал Фаренгейта и Цельсия

Во всем мире стандартной шкалой для повседневного использования является Цельсий. Только Соединенные Штаты, острова, свободно связанные с США (Палау, Маршалловы острова и Микронезия), Багамы, Кайманы и Либерия, используют градусы Фаренгейта в качестве основного измерения температуры. Все остальные идут с Цельсием.

История шкалы Фаренгейта

Шкала Фаренгейта была создана Даниэлем Габриэлем Фаренгейтом в 1724 году.Фаренгейт изобрел свою шкалу для использования с ртутными термометрами, которые он также изобрел. Шкала Фаренгейта немного старше шкалы Цельсия.

История шкалы Цельсия

Шкала Цельсия была создана Андерсом Цельсием в 1745 году, через пару десятилетий после Фаренгейта. Любопытно, что Цельсий создал обратную сторону современной шкалы, рассматривая 0 как точку кипения воды и 100 как точку замерзания воды. Другие ученые, в частности Карл Линней, позже в том же году перевернули его, сделав 0 точкой замерзания и 100 точкой кипения воды.

Поскольку изначально шкала была от 0 до 100, Цельсия также называют градусом Цельсия. Слово «по Цельсию» буквально описывает то, что состоит из 100 градусов или делится на них. Тем не менее, градусы Цельсия были предпочтительной номенклатурой с 1948 года.

Единица измерения температуры по Кельвину

Возможно, вы слышали, что температура измеряется в градусах Кельвина. Действительно, если вы занимаетесь наукой, вы, вероятно, используете градусы Кельвина. Кельвин немного отличается от Фаренгейта и Цельсия.Цельсия и Фаренгейта — это температурные шкалы, измеряющие температуру в градусах.

История единицы Кельвина

Названный в честь лорда Кельвина, кельвин является стандартной научной единицей, такой как килограмм для веса или метр для расстояния. Таким образом, правильным способом использования этого слова является не «100 градусов Кельвина», а «100 градусов Кельвина». (Обратите внимание на строчную букву «k» в кельвинах.)

1 кельвин равен 1/273,16 тройной точки воды: то есть точке, в которой жидкая вода, водяной пар и твердый лед могут сосуществовать.Другими словами, 273,16 кельвина — это точная тройная точка воды.

Важность Кельвина

Важность Кельвина заключается в том, что он измеряет абсолютную температуру: абсолютный ноль равен 0 кельвину, температуре, при которой прекращается любое движение атомов (которое создает тепло). При абсолютном нуле нет никакой тепловой энергии.

Формулы преобразования Кельвина

Кельвин представляет ценность прежде всего для ученых, поскольку упрощает расчет при экстремальных температурах. Для вашего удобства ниже приведены формулы преобразования.

Вы переводите градусы Цельсия в Кельвины, просто добавляя 273,15. Если температура на улице 10 градусов по Цельсию, то это 283,15 кельвина. Это достаточно просто.

Фаренгейта немного сложнее. Возьмите градусы Фаренгейта, вычтите 32, разделите на 1,8 и, наконец, прибавьте 273,15. Вот быстрый пример:

1. Скажем, на улице 100 градусов по Фаренгейту.
2. Вычтите 32 из 100, чтобы получить 68.
3. Разделите 68 на 1,8, чтобы получить 37,78.
4. Складываем 273,15, получаем 310,93.Таким образом, 100 градусов по Фаренгейту равны 310,93 кельвину.

Измерение температуры

Температура важна! Точное измерение тепла важно во всех сферах деятельности человека, от инженерии до медицины. Чтобы узнать больше о том, как управлять температурой, взгляните на этот автоматический конвертер градусов Цельсия в Фаренгейта. Он быстро справится со всеми вашими преобразованиями температуры.

Как преобразовать отрицательный градус Цельсия в градусы Фаренгейта

Шкалы Цельсия и Фаренгейта включают температуры ниже нуля градусов.Однако точка 0 градусов на двух шкалах не совпадает с соотношением 1: 1, поэтому некоторые температуры отрицательны по Цельсию, но положительны по Фаренгейту.

Как соотносятся градусы Фаренгейта и Цельсия?

По шкале Цельсия вода замерзает при 0 градусах — по Фаренгейту вода замерзает при 32 градусах. Из-за этого все температуры от 0 до 32 градусов по Фаренгейту являются положительными по шкале Фаренгейта и отрицательными по Цельсию. Ноль градусов по Фаренгейту совпадает с -17.778 градусов по Цельсию, поэтому все температуры ниже -17,778 градусов по Цельсию отрицательны как по Цельсию, так и по Фаренгейту. Кроме того, при -40 градусов по Цельсию и по Фаренгейту температуры совпадают. Итак, -40 градусов по Цельсию и -40 градусов по Фаренгейту — это одна и та же температура.

Преобразование из Цельсия в Фаренгейт

Чтобы преобразовать из градусов Цельсия — C — в градусы Фаренгейта — F — используйте следующее уравнение:

Итак, чтобы преобразовать температуру из Цельсия в Фаренгейт, вы умножьте ее на 1.8, затем прибавьте 32. Предположим, вы хотите найти -10 градусов по Фаренгейту. Сначала умножьте -10 на 1,8. Помните, что отрицательное число, умноженное на положительное, является отрицательным числом.

Добавьте 32 к -18, чтобы получить температуру в градусах Фаренгейта:

Итак, -10 градусов C составляет 14 градусов F.

Преобразовать из Фаренгейта в Цельсия

Вы также можете преобразовать отрицательную температуру по Фаренгейту в температуру Цельсия .

Чтобы преобразовать градусы Фаренгейта в Цельсия, используйте следующую формулу:

Например, если вы хотите преобразовать -45 градусов Фаренгейта в Цельсий, сначала вычтите 32 из 45.В результате получается -77. Затем разделите 77 на 1,8:

Итак, -45 градусов по Фаренгейту — это -42,78 градусов по Цельсию.

Как решать уравнения первой степени. Пошаговые упражнения решаются.

Давайте теперь посмотрим, что такое уравнение первой степени и , как решать уравнения первой степени всех видов: со скобками, со знаменателями и со скобками и знаменателями одновременно, с упражнениями, решаемыми шаг за шагом.

Что такое уравнение

Прежде чем посмотреть, что такое уравнение первой степени, если бы вас спросили, что такое уравнение, вы бы знали, как на него ответить? Давайте посмотрим на это очень просто.

Уравнение — это математическое равенство, характеризующееся наличием неизвестного элемента, называемого инкогнитой.

Например, здесь у нас есть уравнение, в котором неизвестным является x:

Кроме того, знак равенства играет очень важную роль в уравнении, поскольку мы всегда говорим о равенстве:

Каждая сторона знака равенства называется членом. Левая сторона называется первым элементом, а правая сторона — вторым элементом.

Это очень простое и неполное объяснение, но оно поможет вам получить первоначальное представление и познакомиться с терминами.

Степень уравнения

Мы уже видели, что это уравнение, но как мы узнаем, что это уравнение первой степени?

И, кстати, какова степень уравнения?

Степень уравнения совпадает с наивысшим показателем, до которого возведены неизвестные.

Например: какова степень в следующем уравнении?

В этом уравнении в первом члене инкогнита повышена до 2 и повышена до 3.Во втором члене инкогнита повышается до 1. Помните, что если у инкогнита нет показателя степени, это означает, что он повышается до 1:

.

Следовательно, вышеприведенное уравнение относится к степени 3, которая равна наибольшему показателю неизвестных.

Степень уравнения указывает количество решений в уравнении. Таким образом, уравнение первой степени имеет решение, уравнение второй степени имеет два решения и так далее.

Уравнения первой степени

Что ж, мы уже знаем, что такое уравнение, и знаем, как определить его степень.Давайте сосредоточимся теперь на уравнениях первой степени.

Уравнения первой степени — это те уравнения, в которых x увеличивается только до 1, или, другими словами, x появляется просто.

Для первого разряда у вас есть решение.

В общем, любое уравнение первой степени имеет такую ​​упрощенную форму:

Если они не упрощены, мы можем найти их в круглых скобках, скобках, знаменателях и дробях, например:

Все эти уравнения необходимо предварительно упростить для их решения.Мы рассмотрим это шаг за шагом ниже.

Как решать уравнения первой степени

Как решить уравнение

Прежде всего давайте проясним, что такое решение уравнения. Чтобы решить уравнение, нужно найти числовое значение, которое x должно иметь, чтобы равенство было определенным.

Для этого мы должны упростить уравнение, пока мы не оставим x в одном из членов, что называется очисткой x. Мы будем постоянно видеть это в этом и последующих уроках

.

Обычно говорят, что для решения уравнений первой степени необходимо очистить x, но что это означает очистить x?

Чтобы очистить x, мы должны выполнить ряд шагов, чтобы уменьшить или упростить уравнение.

Для этого, помимо учета иерархии операций, соблюдаются следующие практические правила:

Практические правила решения уравнений первой степени

Хотя желательно знать, как происходит перестановка терминов, на практике применяются следующие практические правила:

• Когда термин ДОБАВЛЯЕТСЯ к участнику, он переходит к другому участнику RESTANDO.
• Когда термин ОСТАЕТСЯ в одном члене, он переходит к другому члену. СУМАНДО.
• Когда термин УМНОЖАЕТСЯ в одном элементе, он переходит к другому члену, РАЗДЕЛЯЯ весь член
• Когда термин РАЗДЕЛЯЕТСЯ на одного члена, он переходит к другому члену, УМНОЖАЯ весь член

Термины можно передавать слева направо и наоборот.

Шаги для решения уравнений

Чтобы решить уравнения первой степени, мы проделаем серию шагов:

1. Переместить термины: передать термины с x одному члену, а числа — другому члену
2. Упростить: сгруппировать похожие термины
3. Очистить x

Следует пояснить, что это не единственный способ решить уравнение первой степени.Вы можете, например, упростить перед переездом, но практика научит вас этому.

Мы начнем решать очень простые уравнения и постепенно будем увеличивать сложность, чтобы вы все поняли.

Примеры простых уравнений первой степени

Давайте посмотрим на пример того, как решаются простые уравнения первой степени. Если мы прекрасно поймем эти типы уравнений, будет легче понять, как решаются другие более сложные уравнения первой степени (со скобками, знаменателями, степенями…).

Начнем со следующего уравнения:

Мы видим, что это первая степень, потому что x повышается до 1, как мы указывали в определении уравнений первой степени.

Начинаем с первого шага

1 — Перенести условия.

Путем перестановки термов мы должны передать термы, которые переносят x первому члену, и числа, которые не переносят x, второму члену. Термины, которые уже есть в члене-корреспонденте, трогать не следует.

Для начала мы сосредоточимся на членах с x и забываем остальную часть уравнения.

В исходном уравнении мы видим, что у нас есть два члена с x: 4x, который уже находится в первом члене, и -2x, который находится во втором члене и должен быть передан первому члену.

4x мы оставляем как есть, а 2x, то есть RESTANDO, передает ADDING первому члену.

А теперь давайте перейдем к цифрам и забудем об остальном.

В исходном уравнении у нас было два числа (члены без x): 14, которое уже есть во втором члене, и +2, которое находится в первом члене и должно быть передано второму члену:

Теперь мы переписываем первый член, причем члены с x уже перемещены, а 14 уже находятся во втором члене.Единственное, что нам нужно сделать, это передать 2, то есть ADDING, и передать HOLDING второму члену:

Мы уже сделали первый шаг. У нас есть члены с x в первом члене и числами во втором члене.

Переходим ко второму шагу.

2 — Упростить: группировать похожие термины.

На этом этапе необходимо сгруппировать похожие термины, то есть оперировать, с одной стороны, членами с x, а с другой стороны, с членами без x.

Вы не можете группировать термины с помощью x и чисел. С ними нельзя работать. Не забывай.

.

На предыдущем шаге уравнение было следующим:

Сначала мы оперируем членами x. Мы работаем с числами перед x:

Теперь оперируем числами, которые остались во втором семестре:

Это не что иное, как сложение и вычитание чисел. Мы записываем первый член с уже упрощенным термином и результатом работы во втором члене:

У нас уже есть два упрощенных члена.Чтобы закончить, у нас есть последний шаг — очистить x.

3 — прозрачный x

У нас уже есть уравнение с упрощенными условиями. Теперь очистим x.

Этот последний шаг очень прост, и вы уже практиковали его на предыдущем уроке, поэтому для вас это не должно быть проблемой.

Мы должны оставить x полностью в покое, и прямо сейчас перед ним шестерка:

По мере умножения x он переходит к другому члену деления:

Y Теперь осталось сделать разделение:

Y это решение уравнения.Если дробь неточная, ее упрощают и оставляют как дробь.

Как решать уравнения первой степени со скобками

Чтобы решить уравнения первой степени со скобками, просто добавьте еще один шаг к уже известной нам процедуре решения уравнений первой степени:

1. Убрать скобки
2. Перенести условия: передать условия с x одному участнику, а числа — другому участнику
3. Упростить: сгруппировать похожие термины
4. Очистить x

Как только у нас больше нет скобок, мы можем продолжить решение уравнения первой степени так же, как мы это делали до сих пор.

Давайте посмотрим, как выполнить этот новый шаг, а затем мы увидим примеры того, как решать уравнения со скобками.

Как избавиться от скобок в уравнениях первой степени

Если в уравнении есть круглые скобки, это означает, что впереди стоит число, которое умножает члены в круглых скобках.

Перед скобкой может стоять: число, знак минус или знак плюс.

Во всех этих случаях умножьте число на все члены в скобках с учетом правила знаков.

Например:

Очень важно учитывать знаки, особенно когда число, умножающее круглую скобку, отрицательное. Процедура будет такой же.

Перед круглой скобкой может стоять знак «минус» или «плюс». В этом случае это эквивалентно умножению на -1 или +1 соответственно.

У вас есть более прямое правило в обоих случаях:

Когда перед круглой скобкой стоит знак минус, он меняет знак членов внутри скобок

Если перед круглой скобкой стоит знак «плюс», члены внутри скобок остаются прежними

Решенные упражнения для уравнений первой степени со скобками

Когда вы научитесь решать уравнения первой степени со скобками, вы увидите, что все упражнения решаются одинаково.

Мы собираемся решить упражнение по уравнению первой степени со скобками:

Удаляем круглые скобки, умножая число впереди на члены в круглых скобках:

У нас осталось гораздо более простое уравнение первой степени без скобок, которое мы можем продолжить решать:

В итоге мы получили дробь, которую пришлось упростить.

Давайте рассмотрим другой пример:

У нас есть круглые скобки:

Это скобка со знаком минус впереди.Меняем знаки терминов внутри и убираем скобки:

У нас осталось уравнение в скобках, которое мы продолжаем решать как всегда:

И, чтобы закончить другой пример:

В данном случае у нас есть три круглые скобки

Перед первым из них ничего нет, поэтому его просто вынимаем. Два других мы удаляем, как мы уже знаем:

Мы снова убрали все круглые скобки и можем продолжить решение уравнения:

Как решить уравнения первой степени со знаменателями

В уравнениях первой степени со знаменателями делается больше всего ошибок, поэтому будьте внимательны и не пропускайте ни одного шага.

Теперь я объясню, как решить уравнения первой степени со знаменателями, выполнив следующие шаги:

1. Удалить знаменатели
2. Убрать скобки
3. Перенести условия: передать условия с x одному участнику, а числа — другому участнику
4. Упростить: сгруппировать похожие термины
5. Очистить x

После удаления знаменателей уравнение первой степени уже значительно снижает их сложность.

В следующем разделе я подробно объясню, как удалить знаменатели в уравнении первой степени.

Как избавиться от знаменателей в уравнении первой степени

Давайте начнем с объяснения на примере того, как избавиться от знаменателей.

У нас есть следующее уравнение:

Первое, что нам нужно сделать, это получить общий знаменатель всех знаменателей уравнения как из первого члена, так и из второго члена, поскольку, как и в случае с числами, для сложения и вычитания дробей необходимо, чтобы у них одинаковый знаменатель.

В этом случае я собираюсь выбрать 24, даже если это не минимальное общее кратное, поэтому вы увидите, что вы можете выбрать любой знаменатель, если он общий.

Мы оставляем знаменатель подготовленным и умножаем числитель на соответствующее число, чтобы получить эквивалентные дроби.

Это число получается делением общего знаменателя на знаменатель исходной дроби, как это делается при работе только с числами.

В каждом члене мы помещаем все в одну дробь, числитель которой является суммой или вычитанием всех числителей.

На этом этапе мы можем напрямую исключить знаменатель. Это похоже на то, что происходит с переносом терминов. Мы можем умножить оба члена на общий знаменатель, что эквивалентно их исключению:

Осталось уравнение первой степени со скобками.

Мы продолжаем убирать скобки и в итоге решаем уравнение первой степени:

Результат в виде дроби, которую нам пришлось упростить.

В конце концов, она всегда решается одним и тем же способом — повторять метод снова и снова. Когда вы решите несколько, у вас не будет никаких проблем.

Чтобы помочь вам попрактиковаться, я собираюсь решить еще один пошаговый пример уравнений первой степени со знаменателями.

Пример уравнений первой степени с пошаговыми знаменателями

Уравнения первой степени со знаменателями полны «ловушек», которые нужно учитывать, чтобы их хорошо решить.Вот почему мы собираемся повторить еще один пример, чтобы еще раз повторить всю процедуру, шаг за шагом и хорошо ее изучить.

Давайте рассмотрим первый пример:

Получаем общий знаменатель и умножаем знаменатели на соответствующие числа, чтобы преобразовать в их эквивалентные дроби исходное уравнение:

Мы группируем в единую дробь для каждого члена и исключаем знаменатели:

Избавьтесь от скобок и завершите решение уравнения:

В этом случае дробь не может быть упрощена.

Пример решения уравнений первой степени с дробями и круглыми скобками

Давайте посмотрим, как решать уравнения первой степени с дробями и круглыми скобками. Например, это уравнение:

Сначала мы снимаем скобки внутри скобок. Для этого мы помним, что число умножает каждое из членов в скобках:

Теперь мы заключили похожие термины в квадратные скобки:

Снимаем квадратные скобки умножением на дробь.Помните, что дроби умножаются в линию. Термины, заключенные в скобки, имеют знаменатель 1.

У нас есть термины с другим знаменателем. Удаляем знаменатели, предварительно получив общий знаменатель и вычислив их эквивалентные дроби:

Теперь мы можем удалить знаменатели. У нас осталось это уравнение:

Продолжаем исключать скобки:

Если перед дробью, числитель которой содержит более одного члена, стоит знак минус, помните, что знак минус влияет на все члены числителя.Более подробно мы это увидим в курсе.

У нас больше нет скобок и знаменателей. Следующим шагом является перенос всех членов с x к первому члену и членов без x:

второму участнику.

Группируем термины:

Y очищаем x:

Nos остался как решение — дробь, которую нельзя упростить.

Это шаги для решения уравнений первой степени со знаменателями и круглыми скобками.Сложность будет зависеть от каждого уравнения.

Как решать уравнения первой степени с дробями

Теперь я объясню, как решаются уравнения первой степени с дробями, шаг за шагом.

Это называется уравнением первой степени с дробями, потому что большинство его членов являются дробями с одним членом в знаменателе, в отличие от уравнений первой степени со знаменателями, в которых числители имеют два или более членов.

В уравнении первой степени с дробями мы можем найти дробь, умноженную на круглую скобку.

Эта скобка не позволяет нам исключить знаменатели, поэтому первым делом следует удалить скобку, которая умножается на дробь.

Это шаги для решения этих типов уравнений:

1. Избавимся от скобок, умноженных на дроби
2. Удалить знаменатели
3. Убрать скобки
4. Перенести условия: передать условия с x одному участнику, а числа — другому участнику
5. Упростить: сгруппировать похожие термины
6. Очистить x

Как только у нас больше не будет этих скобок, знаменатели можно будет удалить обычным образом, и мы сможем продолжить решение уравнения без проблем.

Пример решения уравнений первой степени с дробями

Давайте посмотрим на примере, как решаются уравнения первой степени с пошаговыми дробями:

Как мы уже отмечали ранее, у нас могут быть дроби, которые умножаются в круглых скобках и которые мы должны исключить перед удалением знаменателей.

Мы объясним это шаг за шагом на примере. Это уравнение первой степени с дробями. В нумераторах всего один член:

В котором у нас есть дробь, которая умножается на круглые скобки:

Мы должны начать с удаления этой скобки, потому что в противном случае удалить знаменатели будет невозможно.

Мы помним, что при умножении двух дробей они умножаются онлайн, то есть числитель на числитель и знаменатель на знаменатель.

Следуя примеру, мы умножаем скобки, а затем оперируем знаменателями:

Мы уже убрали эту скобку. Теперь мы можем удалить знаменатели, как если бы это было уравнение первой степени со знаменателями:

Общий знаменатель 30, который является минимальным общим кратным 2, 4, 5 и 6:

.

г.см (2,3,5,6) = 30

Y Теперь, когда у нас нет знаменателей, мы работаем с членами, перемещаем члены и очищаем x, как описано в уроке о том, как решить уравнение первой степени:

В этом случае результат нельзя упростить, но его необходимо упростить, когда это возможно.

Это процедура решения уравнений первой степени с дробями.

Хотите продолжить изучение математики? Подпишитесь на онлайн-курсы математики, где вам все объяснено более подробно, с решенными упражнениями и предложенными решениями. Вы также сможете задать мне все свои сомнения.

5 приемов простого решения уравнений первой степени

Поскольку в повседневной жизни существует множество домашних работников для решения повседневных задач, я собираюсь научить вас некоторым приемам простого решения уравнений первой степени, чтобы у вас было больше навыков при выполнении уравнений первой степени, а вы позволяет сэкономить много времени при выполнении операций.

Но чтобы лучше использовать эти уловки, вам нужно знать, как решать уравнения первой степени.

Прежде чем я начну рассказывать вам некоторые трюки, я должен прояснить вам, что для их выполнения вы должны быть уверены, что знаете, что вы делаете и почему вы это делаете. Если у вас есть сомнения, лучше не сомневаться.

Поехали с ними:

# 1 Повторяющиеся условия можно вычеркнуть

Если термин повторяется точно так же в двух терминах, мы можем вычеркнуть эти термины.

Например, в этом уравнении:

Мы видим, что -3x повторяется в двух членах:

Что ж, когда это произойдет, мы можем вычеркнуть их напрямую и стереть из уравнения.

Потому что, когда мы переупорядочиваем термины, среди них результат 0:

Это один из самых полезных приемов для решения уравнений, потому что мы исключаем члены, прежде чем работать с ними, и упрощаем уравнение.

# 2 Меньшие признаки, влияющие на всю конечность, можно вычеркнуть

Как и в предыдущем пункте, если у нас есть знак минус, который влияет на весь член, его можно вычеркнуть.

Но очень важно, чтобы это повлияло на весь член, иначе мы изменили бы исходное уравнение.

Например, в этом уравнении у каждого члена есть знак минус, который влияет на весь член:

Следовательно, мы можем вычеркнуть его, и новые члены останутся положительными:

При очистке x будет положительная дробь.

Его можно вычеркнуть, потому что, если мы передаем -3 другому члену деления, знаки минус при делении дают положительный знак по правилу знаков:

Важно подчеркнуть, что для использования этого трюка необходимо, чтобы знак минус влиял на весь член.Например, в этом уравнении нельзя было бы зачеркнуть минус:

Потому что меньшие знаки влияют только на один член.

Чтобы они повлияли на весь член, нам понадобится скобка, как в этом случае:

В следующем уроке, когда мы начнем со скобок, вы сможете применить этот прием.

# 3 Знаменатели, влияющие на весь член, можно вычеркнуть

Со знаменателями мы имеем случай, когда один и тот же знаменатель делит весь первый член и весь второй член:

В этом случае мы также можем вычеркнуть знаменатели, чтобы исключить их:

Мы можем это сделать, потому что если мы передадим одно из 4 умножений другому члену, в конце они уравняют друг друга как эквивалент умножения на 1 для второго члена, и мы останемся с уравнением без знаменателей.

Не забывайте, что знаменатель обязательно должен влиять на весь член.

# 4 Мы можем передать неизвестное другому участнику, чтобы сделать его положительным

Другой способ убрать знак минус перед x. Давайте посмотрим на это на следующем примере:

Вместо того, чтобы передавать -1, который умножает x, мы можем рассматривать -x как термин, который вычитает из первого члена и передает его добавление второму члену:

Теперь, чтобы очистить x, мы передаем 2 первому члену, который складывает и вычитает:

В конце мы можем обменять членов на место:

Не путать с проходными сроками.Что мы сделали, так это поменяли одного члена на другого, но знак условий не меняется.

# 5 Знак минус в дроби относится ко всей дроби

Хотя этот трюк касается не только уравнений, я подумал, что было бы полезно запомнить его, чтобы было понятнее

Бывают случаи, когда знак минус неизвестен, помещать его в числитель или в знаменатель. Тогда знайте, что это не имеет значения.

Хотя знак минус принадлежит числителю или знаменателю, в конце дробь имеет отрицательное значение, и знак минус может быть помещен перед дробью:

И пока ничего другого.