Как решать пропорции — правила, методы и примеры вычислений

Математические операции необходимы не только для расчета каких-либо величин в научной сфере и во время учебы, но и в повседневной жизни. Многие люди сталкиваются с пропорциями. Решать их несложно, но если не знать свойств и правил, можно выполнить неверные вычисления. Специалисты рекомендуют получить теоретические знания, а затем перейти к их практическому применению.

Общие сведения

Изучение какого-либо термина в математике начинается с определения. Пропорцией вида x / y = v / z (x: y = v: z) называется равенство отношений двух чисел. Она представлена в виде правильной дроби, и состоит из следующих элементов, которые называются крайними (x и z) и средними (y и v) членами.

Следует отметить, что в некоторых сферах пропорциональная зависимость может быть представлена в немного другом виде. В этом случае знак равенства не указывается. Для удобства используется символ деления «:». Записывается в таком виде: a: b: c. Объяснение такой записи очень простое: для приготовления какого-либо вещества нужно использовать «а» частей одного компонента, b — другого и с — третьего.

Знак равенства не имеет смысла указывать, поскольку этот тип пропорциональной зависимости является абстрактным. Неизвестно, какой результат получится на выходе. Если взять за единицу измерения массу в кг, то и конечный результат получится в кг. В этом случае решать пропорцию не нужно — достаточно просто подставить данные, и получить результат.

Бывают случаи, когда следует посчитать пропорцию в процентах. Пример — осуществление некоторых финансовых операций.

Сферы применения

Пропорция получила широкое применение в физике, алгебре, геометрии, высшей и прикладной математике, химии, кулинарии, фармацевтике, медицине, строительстве и т. д. Однако ее нужно применять только в том случае, когда элементы соотношения не подчиняются какому-либо закону (методика исследования величин такого типа будет рассмотрена ниже), и не являются неравенствами.

В алгебре существует класс уравнений, представленных в виде пропорции. Они бывают простыми и сложными. Для решения последних существует определенный алгоритм. Кроме того, в геометрии встречается такие термин, как «гомотетия» или коэффициент подобия. Он показывает, во сколько раз увеличена или уменьшена фигура относительно оригинала.

Масштаб в географии является также пропорцией, поскольку он показывает количество см или мм, которые содержатся в какой-либо единице, зависящей от карты (например, в 1 см = 10 км). Специалисты применяютправило пропорции в высшей и прикладной математике. Расчет количества реактивов, вступающих в реакцию, для получения другого вещества применяется также пропорциональная зависимость.

Каждая хозяйка также применяет это соотношение для приготовления различных блюд и консерваций. В этом случае пропорция имеет немного другой вид: 1:2. Все компоненты берутся частями с одинаковыми размерностями или единицами измерения. Например, на 1 кг клубники необходимо 2 кг сахара. Расшифровывается такое соотношение следующим образом: 1 часть одного и 2 части другого компонентов.

В фармацевтике она также применяется, поскольку необходимо очень точно рассчитать массовую долю для каждого компонента лекарственного препарата. В медицине используется пропорциональная зависимость для назначения лекарства больному, дозировка которого зависит от массы тела человека.

Для приготовления различных строительных смесей она также используется, однако у нее такой же вид, как и для кулинарии. Например, для приготовления бетона М300 необходимы такие компоненты: цемент (Ц), щебень (Щ), песок (П) и вода (В). Далее следует воспользоваться таким соотношением, в котором единицей измерения является ведро: 1: 5: 3: 0,5. Запись расшифровывается следующим образом: для приготовления бетонной смеси необходимо 1 ведро цемента, 5 щебня, 3 песка и 0,5 воды.

Основные свойства

Для решения различных задач нужно знать основные свойства пропорции. Они действуют только для соотношения x / y = v / z. К ним можно отнести следующие формулы:

Первое свойство позволяет перевернуть правильные дроби соотношений двух величин. Это следует делать одновременно для левой и правой частей. Умножение по типу «крест-накрест» считается главным соотношением. С помощью его решаются уравнения и упрощаются выражения, в которых нужно избавиться от дробных частей. Найти неизвестный член пропорции можно также с помощью второго свойства, формулировка которого следующая: произведение крайних эквивалентно произведению средних элементов (членов).

Очень часто члены соотношения необходимо переставить для оптимизации вычислений. Для этого применяется свойство перестановки. При этом следует внимательно подставлять значения в формулу, поскольку неправильные действия могут существенно исказить результат решения. Этого можно не заметить. Для осуществления проверки следует подставить значение неизвестной в исходную пропорцию. Если равенство соблюдается, то получен верный результат. В противном случае необходимо найти ошибку или повторить вычисления.

Увеличение или уменьшение пропорции следует производить по четвертому свойству. Основной принцип: равенство сохраняется в том случае, когда уменьшение или увеличение числителя происходит на значение, которое находится в знаменателе. Нельзя отнимать от пропорции (от числителя и знаменателя равные числовые значения), поскольку соотношение не будет выполняться. Это является распространенной ошибкой, которая влечет за собой огромные погрешности при расчетах или неверное решение экзаменационных заданий.

Составить пропорцию можно с помощью вычитания и сложения. Этот прием применяется редко, но в некоторых заданиях может использоваться. Суть его заключается в следующем: отношение суммы крайнего и среднего элемента к суммарному значению других крайнего и среднего членов, которое равно отношению крайнего к среднему значению. Однако не ко всем выражениям можно применять свойства пропорции. Следует рассмотреть методику их определения.

Методика исследования

Пропорция применима только к линейным законам изменения величин. Примером этого является поведение простой тригонометрической функции z = sin (p). Величина «z» — зависимая переменная, которая называется значением функции. Переменная «p» — независимая величина или аргумент. В данном контексте она принимает значения углов в градусах. Для демонстрации того, что пропорция «не работает» необходимо подставить некоторые данные.

Кроме того, нужна таблица значений тригонометрических функций некоторых углов. (½)] / 2. Полученное значение не равно 1. Причина несоответствия — нелинейность функции. Математики для облегчения вычислений предлагают методику определения нелинейных выражений. Она состоит из следующих положений:

По таким правилам были исследовано огромное количество функций. К нелинейным относятся следующие: прямые и обратные тригонометрические, гиперболические, показательные, логарифмические и сложные математические, состоящие из нелинейных зависимостей.

К прямым тригонометрическим относятся sin (p), cos (p), tg (p) и ctg (p), а к обратным — arcsin (p), arccos (p), arctg (p) и arcctg (p). y, а логарифмической — функция, имеющая операцию логарифмирования. Простые линейные могут объединяться с нелинейными. В таких случаях правило пропорции также не соблюдается.

Универсальный алгоритм

Алгоритм позволяет решать уравнения, и найти неизвестный член пропорции. Для его реализации следует знать теорию о пропорциях, и методику обнаружения нелинейных функций. Он состоит из нескольких шагов, которые помогут правильно вычислить необходимую величину:

Существуют различные приложения, позволяющие решить пропорцию. Онлайн-калькулятор позволяет вычислить неизвестный компонент очень быстро. Кроме того, результат вычислений отображается после проведения расчетов. Для реализации последнего пункта необходимо рассмотреть некоторые типы равенств с неизвестными.

Уравнения с пропорцией

Существуют уравнения в виде обыкновенной дроби, в которых необходимо найти неизвестную величину. Для этого нужно рассмотреть основные их виды:

Различаются они степенным показателем. У первого типа степень переменной соответствует 1, второго — двойке, третьего — тройке и четвертого — четверке. При решении таких типов нужно выписать знаменатели отдельно, и решить их. Такие корни не являются решением исходной пропорции, поскольку знаменатели должны быть отличны от нулевого значения. (½)) / 2a.

Решение уравнений кубического и биквадратного видов сводятся к разложению на множители. В результате этого происходит понижение степени до двойки. Кроме того, эффективным методом нахождения корней считается введение замены переменной.

Пример решения

Решение уравнений в виде пропорции осуществляется по такому же принципу. При этом рекомендуется использовать любые свойства. Необходимо проходить процесс обучения постепенно. Начинать нужно с простых примеров, а затем практиковаться на сложных заданиях. Первый тип был рассмотрен выше на примере sin (p).

Итак, необходимо решить уравнение [(t — 5) / (t — 2)] = [(t — 5) / (t — 1)]. Для начала следует определить тип функций каждого из элементов. Просмотрев список нелинейных выражений, можно сделать вывод о том, что все члены пропорции являются линейными. Далее нужно решить равенства с неизвестными, находящихся в знаменателях: t1 = 2 и t2 = 1. Корни не являются решениями уравнения.

Затем следует воспользоваться третьим пунктом алгоритма: (t — 5)(t — 1) = (t — 2)(t — 5). Если раскрыть скобки, то должно получиться такое равенство: t ² — t — 5t + 5 =t ² -5t -2t + 10. Перенести все слагаемые в левую сторону с противоположными знаками: t ² — t — 5t + 5 + 5t — t ² — 10 + 2t = 0. Приведя подобные слагаемые, выражение будет иметь такой вид: t = 5. Решением пропорции является значение t = 5.

Таким образом, для решения пропорций необходимо знать основные свойства, определение типа выражения по методике и алгоритм расчета.

Предыдущая

МатематикаФормула дискриминанта — правила и примеры вычисления корней квадратных уравнений

Следующая

МатематикаТочки разрыва функции — алгоритмы и примеры решения

Геометрическая Пропорция

370. Но если величины находятся в геометрической пропорции, произведение её крайних членов равно произведению их средних членов.

      Если a:b = c:d, ad = bc

      Согласно допущению, (Статьи. 341, 359.) $\frac{a}{b } =\frac{c}{d } $

      Умножив на bd, (Аксиома 3.) $\frac{abd}{b } =\frac{cbd}{d } $

      Упростив дроби, ad = bc.

      Так 12:8 = 15:10, поэтому 12*10 = 8*15.

Соотв: Любой множитель может быть перенесён от одной средней величины к другой, без влияния на пропорцию. Если a:mb = x:y, то a:b = mx:y. При этом произведение средних величин в обоих случаях одинаково. И если na:b = x:y, то a:b = x:ny.

371. С другой стороны, если произведение двух величин равно произведению двух других, то четыре величины сформируют пропорцию, где они сгруппированы таким образом, что одна сторона уравнения будет содержать средние члены, а другая — крайние.

      Если my = nh, то m:n = h:y, то есть$\frac{m}{n } =\frac{h}{y } $

      Таким образом разделив my = nh на ny, мы получим$\frac{my}{ny} =\frac{nh}{ny } $

      Упростив дроби, $\frac{m}{n } =\frac{h}{y } $.

Соотв. То же самое должно быть верно по отношению любых множителей, которые образуют две стороны равенства.

Если (a + b).c = (d — m).y, то a + b:d — m = y:c.

372. Если три величины пропорциональны, то произведение их крайних членов равно квадрату средних. Таким образом одновременно пропорциональны также второй член первой пары и предыдущий член последней. (Статья. 366.) Следовательно они должны быть умножены на себя, то есть возведены в квадрат.

Если a:b = b:c, тогда умножение крайних и средних членов, ac = b².

Следовательно, среднее пропорциональное двух величин может быть найдено путём извлечения квадратного корня из их произведения.

Если a:x = x:c, то x² = ac, и x√ac.

373. Из Статьи. 370 следует, что соотношение любого из крайних членов равно произведению средних, разделённых на другой крайний член. И любой из средних членов равен произведению крайних членов, разделённому на другой средний член.

      1. Если a:b = c:d, то ad = bc

      2. Разделим на d, $a=\frac{bc}{d} $

      3. Сначала разделим на c, $b=\frac{ad}{c} $

      4. Разделим это на b, $c=\frac{ad}{b} $

      5. Разделим на a, $d=\frac{bc}{a} $ ; Это значит, что

четвёртый член равен произведению второго и третьего, разделённому на первый.

На этом принципе основаны простые пропорции арифметики, которые часто называют Тройным Правилом. Три числа даны, чтобы найти четвёртое, которое получают путём умножения второго на третье и деления на первое.

374. Утверждение относительно произведений средних и крайних членов предоставляет очень простой и удобный критерий определения того, пропорциональны ли любые четыре величины. Нам только нужно перемножить средние и крайние члены. Если произведения равны, то величины пропорциональны. Если произведения не равны, то величины не пропорциональны.

375. В математических исследованиях, когда даны отношения нескольких величин, то они часто определены в виде пропорции. Но, как правило, необходимо, чтобы эта первая пропорция претерпела ряд трансформаций прежде, чем отчётливо выявится неизвестная величина или утверждение, которое мы хотели доказать. Она может пройти изменения, которые не окажут влияние на равенство отношений или которые обнаружат произведение средних членов равное произведению крайних.

В первую очередь очевидно, что любая перемена в расстановке, которая не окажет влияния на эти равенство этих двух произведений, не уничтожит пропорции. Поэтому, если a:b = c:d, то порядок этих величин может варьироваться, что в любом случае приведёт к ad = bc. Отсюда,

376. Если четыре величины пропорциональны, то порядок средних членов, или крайних членов, или членов обоих пар, может быть инвертирован без разрушения пропорции.

      Если a:b = c:d,

      И 12:8 = 6:4

тогда

1. Инвертируя средние члены,

      a:c = b:d

      12:6 = 8:4

то есть

     Первый относится к третьему

      Как второй к четвёртому.

Другими словами, отношение предыдущих членов равно отношению последующих.

Эта инверсия средних членов часто упоминается в геометрии под названием Альтернация.

2. Инвертируя крайние члены,

      d:b = c:a

      4:8 = 6:12

то есть,

     Четвёртый относится ко второму,

      Как третий к первому.

3. Инвертируя члены каждой пары,

      b:a = d:c

      8:12 = 4:6

то есть,

     Второй относится к первому,

      Как четвёртый к третьему.

Технически это называется Инверсией.

Каждое из этого также может варьироваться, меняя порядок двух пар. (Статья. 365.)

Соотв. Порядок всей пропорции может быть инвертирован.

      Если a:b = c:d, то d:c = b:a.

В каждом из данных случаев будет немедленно видно, что вычисляя произведения средних и крайних членов, у нас получается ad = bc, и 12. 4 = 8.6.

Если члены только одной из пар инвертированы, то пропорция становится обратной. (Статья 367.)

Если a:b = c:d, то a относится к b, обратно тому, как d относится к c.

377. Разница в расположении не единственная алтернация, которую производят по отношению к членам пропорции. Часто бывает нужным умножить, разделить, возвести в степень и так далее. Во всех случаях искусство ведения исследования заключается в произведении некоторых изменений, при этом сохраняется постоянное равенство между отношением двух первых и двух последних членов. При решении уравнения, мы должны сохранять равенство сторон, так варьируя пропорцию, чтобы сохранить и равенство соотношений. И это достигается либо путём сохранения соотношений теми же, что и при альтернации членов, либо увеличивая или уменьшая одно из соотношений на столько же, как и другое. Большинство последующих доказательств направлены на чёткое выявление этого принципа и ознакомление с ним. Некоторые из утверждений могут быть доказаны более простым способом, возможно, путём умножения крайних и средних членов. Но это не даст ясного понимания природы некоторых изменений в пропорциях.

Было показано, что если оба члена пары умножены или разделены на одинаковую величину, то их соотношение остаётся одинаковым (Статья. 355.) Так умножая предыдущий член (антецедента) проявится в умноженном соотношении, а деление последующего члена (консеквента) — в делении соотношения. (Статья. 352.) и следующие показывают, что умножение консеквента проявится в делении соотношения, а его деление — в произведении соотношения. (Статья. 353.) Так как соотношения в пропорции равны, то если их перемножить или разделить на одинаковую величину, то они всё ещё будут равны (Аксиома. 3.) Одно будет увеличено или уменьшено, так же как и второе. Отсюда,

378. Если четыре величины пропорциональны, два аналогичных или гомологичных члена могут быть умножены или разделены на одну и ту же величину, без нарушения пропорции.

Если аналогичные члены будут умножены или разделены, то их соотношения не поменяются. (Статья, 355.) Если гомологичные члены будут умножены или разделены, оба соотношения одинаково увеличатся или уменьшатся. (Статьи. 352, 353.)

Если a:b = c:d, то,

1. Умножая первые два члена, ma:mb = c:d

2. Умножая последние два члена, a:b = mc:md

3. Умножая два первых члена (антецедента), ma:b = mc:d

4. Умножая два последних члена (консеквента), a:mb = c:md

5. Разделив два первых члена, $\frac{a}{m}:\frac{b}{m}=c:d$

6. Разделив два последних члена, $a:b=\frac{c}{m}:\frac{d}{m }$

7. Разделив два антецедента, $\frac{a}{m}:b=\frac{c}{m}:d$ a/m:b = c/m:d

8. Разделив два консеквента, $a:\frac{b}{m}=c:\frac{d}{m}$ a:b/m = c:d/m.

Следствие. 1. Все члены могут быть умножены или разделены на одну и ту же величину.

            ma:mb = mc:md, $\frac{a}{m}:\frac{b}{m}=\frac{c}{m}:\frac{d}{m} $.

Следствие. 2. В любом случае, в данной статье умножение консеквентов может быть заменено делением антецедентов той же самой пары, и деление консеквентов — умножением антецедентов. (Статья. 354, след.)

379. Часто бывает необходимо не только изменить члены пропорции и варьировать их расположение, но и сравнить одну пропорцию с другой. Из этого сравнения часто возникает новая пропорция, которая может быть необходима для решения задачи или перехода к доказательству. Один из самых важных случаев, когда сравниваемые два члена одной пропорции такие же как два в другой. Похожие члены могут исчезнуть, и новая пропорция может быть сформирована из оставшихся четырёх членов. Так,

380. Если два соотношения соответсвтенно равны третьему, то они также равны между собой.

Это не что иное, как 11ая аксиома, применяемая к соотношениям.

1. Если a:b = m:n

И c:d = m:n

тогда a:b = c:d,или a:c = b:d. (Статья.376.)

2. Если a:b = m:n

И m:n = c:d

то a:b = c:d,или a:c = b:d.

След. Если a:b = m:n

m:n > c:d

то a:b > c:d.

Так если соотношение m:n больше, чем c:d, то это показывает, что соотношение a:b, которое равно соотношению m:n, также больше чем соотношение c:d.

381. В этих примерах схожие члены двух пропорций это два первых и два последних. И порядок не важен. Порядок членов может быть изменён разными способами без влияния на равенство соотношений.

1. Похожими членами могут быть два антецедента, или два косеквента в каждой пропорции. Таким образом,

Если m:a = n:b

И m:c = n:d

тогда

Чередуем, m:n = a:b

И m:n = c:d

Отсюда a:b = c:d, или a:c = b:d, согласно последнему параграфу.

2. Антецеденты в одной пропорции, могут быть такими же как консеквенты в другой.

Если m:a = n:b

И c:m = d:n

Инветрируя и чередуя a:b = m:n

Чередуя c:d = m:n:

Поэтому a:b, и так далее как ранее.

3. Два гомологичных члена в одной из пропорций могут быть такими же, как два аналогичные члены в другой.

Если a:m = b:n

и c:d = m:n

Чередуя, a:b = m:n

И c:d = m:n

Поэтому, a:b, и так далее.

Всё это примеры равенства между соотношениями в одной пропорции с соотношениями в другой. В геометрии на предположение, к которому они принадлежат обычно ссылаются как на «ex aequo«или «ex aequali» (по справедливости). Второй случай в этой статье более всего отвечает объяснению Евклида. Но оба они все согласуются с одним и тем же принципом и часто к ним обращаются без разграничений.

382. Любое число пропорций может быть сравнено аналогичным способом, если два первых или два последних члена в каждой предыдущей пропорции такие же, как два первые и два последние члена в последующей.

      Поэтому если a:b = c:d

      И c:d = h:l

      И h:l = m:n

      И m:n = x:y

            то a:b = x:y.

То есть два первых члена первой пропорции имеют такое же соотношение, как два последних члена последней пропорции. Это показывает, что соотношение всех пар одинаково.

И если члены не находятся в том же порядке как здесь, но могут быть упрощены к данному виду, применяется тот же самый принцип.

      поэтому если a:c = b:d

      И c:h = d:l

      И h:m = l:n

      И m:x = n:y

            тогда чередуя

      a:b = c:d

      c:d = h:l

      h:l = m:n

      m:n = x:y.

      Поэтому a:b = x:y, как и ранее.

Во всех примерах в этой и предшествующих статьях, два члена в одной пропорции, у которых есть равные члены в другой, не являются ни двумя средними членами, ни двумя крайними членами, а одним средним и одним крайним членом, из чего следует, что пропорция однородна и непрерывна.

383. Но если два средних или два крайних члена в одной пропорции такие же, как средние и крайние члены в другой, то оставшиеся четыре члена будут взаимно пропорциональны.

Если a:m = n:b

И c:m = n:d

тогда a:c = $\frac{1}{b}:\frac{1}{d} $, или a:c = d:b

Для ab = mn

И cd = mn

(Статья. 370) Поэтому ab = cd, и a:c = d:b.

В данном примере два средних члена в одной пропорции, такие же как те же в другой. Но принцип будет тем же, если крайние члены не равны или если крайние члены одной пропорции не равны средним членам другой.

      Если m:a = b:n

      И m:c = d:n

      тогда a:c = d:b.

      Или if a:m = n:b

      И m:c = d:n

      тогда a:c = d:b.

Теорема в геометрии, которая применима в данном случае обычно именуется словами «ex aequo perturbate» (по правде запутанная).

384. Другой способ варьировать члены в пропорции это сложение или вычитание.

Если к или от двух гомологичных членов пропорци вычитаются или прибавляются две другие величины, которые находятся в том же соотношении, то пропорция остаётся верной.

Соотношение не меняется, если добавить или отнять от него другое равное соотношение. (Статья. 357.)

            Если a:b = c:d

            И a:b = m:n

Тогда добавляя или отнимая от a и b, члены с равным соотношением m:n, мы получим

      a+m:b+n = c:d,      и a-m:b-n = c:d.

И добавляя или отнимая m и n к или от c и d, мы получим,

      a:b = c+m:d+n,      и a:b = c-m:d-n.

Здесь сложение и вычитание производится к и от аналогичных членов. Но путём чередования (Статья. 376,) эти члены будут гомологичными, и мы получим,

      a+m:c = b+n:d,      и a-m:c = b-n:d.

След. 1. Это добавление может распространяться на любое число равных соотношений.

Таким образом, если

      a:b = c:d

      a:b = h:l

      a:b = m:n

      a:b = x:y

Тогда a:b = c+h+m+x:d+l+n+y.

След. 2. Если a:b = c:d

      И m:b = n:d

тогда a+m:b = c+n:d.

Чередуем a:c = b:d

И m:n = b:d

таким образом

      a+m:c+n = b:d

      или a+m:b = c+n:d.

385. Из последней статьи следует, что если в любой пропорции члены прибавляются или отнимаются друг от друга, то,

Если аналогичные и гомологичные члены добавляются или отнимаются от двух других, то пропорция сохраняется верной.

      Таким образом, если a:b = c:d, и 12:4 = 6:2, тогда,

1. Добавляя два последних члена к двум первым.

      a+c:b+d = a:b      12+6:4+2 = 12:4

    и a+c:b+d = c:d      12+6:4+2 = 6:2

      или a+c:a = b+d:b      12+6:12 = 4+2:4

    и a+c:c = b+d:d      12+6:6 = 4+2:2.

2. Складывая два антецедента с двумя консеквентами.

      a+b:b = c+d:d      12+4:4 = 6+2:2

      a+b:a = c+d:c, т.д..      12+4:12 = 6+2:6, т.д..

           Это называется Композицией.

3. Отнимая два первых члена от двух последних.

            c-a:a = d-b:b

            c-a:c = d-b:d, т.д..

4. Отнимая два последних члена от двух первых.

            a-c:b-d = a:b

            a-c:b-d = c:d, т.д..

5. Отнимая консеквенты от антецедентов.

            a-b:b = c-d:d

            a:a-b = c:c-d, etc.

Преобразование, показанное в последней форме называется Конверсией.

6. Отнимая антецеденты от консеквентов.

            b-a:a = d-c:c

            b:b-a = d:d-c, etc.

7. Добывляя и вычитая,

              a+b:a-b = c+d:c-d.

То есть сумма первых двух членов относится к их разности, как сумма двух последних к их разности.

След. Если любые сложные величины, расставленые как в предыдущих примерах, пропорциональны, то простые величины, из которых они состоят также пропорциональны.

            Таким образом, если a+b:b = c+d:d, то a:b = c:d.

      Это называется Делением.

386. Если соответствующие члены двух или более разрядов пропорциональных величин перемножить между собой, то произведение также будет пропорционально.

Это смешанные соотношения (Статья. 347,) или смешанные пропорции. Это нужно уметь отличать от того, что называется композицией, которая является сложением членов соотношения. (Статья 385. 2.)

      Если a:b = c:d         12:4 = 6:2

      И h:l = m:n         10:5 = 8:4

Тогда ah:bl = cm:dn         120:20 = 48:8.

      Исходя из определения пропорции два соотношения первого разряда равны, как и соотношения второго разряда. И умножение соответствующих членов является умножением соотношений, (Статья. 352. соотв.), то есть умножением равных на равные (Аксиома. 3.), так что соотношения будут всё так же равными, и поэтому все четыре произведения должны быть пропорциональны.

Такое же доказательство применимо к любому числу пропорций.

            Если

              a:b = c:d

              h:l = m:n

              p:q = x:y

            Тогда ahp:blq = cmx:dny.

Из этого следует, что если члены пропорции перемножить на самих себя, то есть, если они возведены в какую-либо степень, то они всё равно будут пропорциональны.

      Если a:b = c:d         2:4 = 6:12

       a:b = c:d         2:4 = 6:12

Тогда a²:b² = c²:d²         4:16 = 36:144

Пропорциональные величины также получаются реверсируя этот процесс, то есть вычисляя корни членов пропорции.

      Если a : b:: c : d,      тогда √a:√b = √c:√d.

Перемножив средние и крайние члены, ad = bc

И извлекя корень из обеих сторон, √ad = √bc

То есть, (Статья. 254, 371,) √a:√b = √c:√d.

Отсюда,

387. Если некоторые величины пропорциональны, то продукты их возведения в степень или извлечения корней пропорциональны.

              Если a:b = c:d

Тогда aⁿ:bⁿ = cⁿ:dⁿ,      и ^m√a:^m√b = ^m√c:^m√d.

И ^m√aⁿ:^m√bⁿ = ^m√cⁿ:√dⁿ, то есть, a^m/n:b^m/n = c^m/n:d^m/n.

388. Если члены одного разряда пропорций разделить на соответствующие члены другого разряда, то частные будут пропорциональны.

Это иногда называют решением соотношений.

      Если a:b = c:d      12:6 = 18:9

      И h:l = m:n      6:2 = 9:3

      Тогда $\frac{a}{h}:\frac{b}{l }=\frac{c}{m}:\frac{d}{n} $      $\frac{a}{h}:\frac{b}{l }=\frac{c}{m}:\frac{d}{n} $.

Это просто реверсия процесса в Статье. 386, и может быть доказана похожим образом.

Это нужно уметь различать от того, что в геометрии называется разделением, которое является вычитанием членов соотношения. (Статья. 385. соотв.)

389. В сложных смешанных пропорциях, равные множители или делители двух аналогичных или гомологичных членов могут быть отвергнуты.

Если

      a:b = c:d         12:4 = 9:3
      b:h = d:l         4:8 = 3:6

      h:m = l:n         8:4 = 6:15

Тогда a:m = c:n          12:20 = 9:15.

Это правило может быть применено к случаям, к которым относятся термины «ex aequo» и «ex aequo perturbate«. Смотрите Статьи. 381 и 383. Один из методов может служить для того, чтобы подтвердить другой.

394. Изменения, которые могут быть сделаны в пропорциях без нарушения равенства соотношений, так многочислены, что они стали бы обременительны к запоминанию, если бы их нельзя было бы упростить до нескольких общих принципов. Они обычно получаются,

1. Инвертируя порядок членов, Статья. 376.

2. Умножая или деля на одинаковую величину, Статья. 378.

3. Сравнивая пропорции, в которых есть схожие члены. Статьи. 380, 381, 382, 383.

4. Складывая или отнимая члены одинаковых соотношений, Статьи. 384, 385.

5. Умножая или деля одну пропорцию на другую, Статьи. 386, 387, 388.
6. Возводя в степень или извлекая корни членов, Статья. 387.

391. Когда четыре величины пропорциональны, если первая больше чем вторая, то третья будет больше чем четвёртая; если равны, то равны, а если меньше, то, соответственно, меньше.

Для одинаковых соотношений двух пар, если одно является соотношением равенства, то и второе тоже, и поэтому антецедент в каждой паре равен её консеквенту. (Статья. 345,) Если одно соотношение большего неравенства, то и второе тоже, и поэтому антецедент каждого из них больше чем соответствующий консеквент. А если одно соотношение меньшего неравенства, то и второе так же, и поэтому антецедент каждого из них меньше чем консеквент.

Пусть a:b = c:d; тогда если

            a = b, c = d

            a > b, c > d

            a < b, c < d.

След. 1. Если первый член больше третьего, то тогда второй больше четвёртого, если равен — то равен, если меньше — то, соответсвенно, меньше.

В случае чередования, a:b = c:d становится a:c = b:d, без какого-либо чередования величин. Таким образом, если a = b, c = d, и т.д., как и ранее.

След. 2. Если a:m = c:n

и m:b = n:d

тогда if a = b, c = d, и т.д.

Для равенства соотношений, (Статья. 381. 2.) или смешанных соотношений, (Статьи. 386, 389.)

a:b = c:d. Таким образом, если a = b, c = d, и т.д. как ранее.

След. 3. Если a:m = n:d

и m:b = c:n

тогда if a = b, c = d.

391. b. Если четыре величины пропорциональны, то обратные им величины тоже пропорциональны и наоборот.

      Если a:b = c:d, тогда $\frac{a}{h}:\frac{b}{l }=\frac{c}{m}:\frac{d}{n} $.

Для каждой из этих пропорций, при сокращении получаем ad = bc.

Пропорции и соотношения в физических задачах

Пропорции и соотношения в физических задачах.

Автор: Аметова Эльмас Зеккиевна, учитель физики высшей категории МБОУ «Вилинская СОШ №2 с русским и крымскотатарским языками обучения» Бахчисарайского района Республики Крым.

Знания по физике становятся необходимыми в различных сферах деятельности человека. Решение физических задач — едва ли не главная часть физических знаний. Профессор Лев Давидович Ландау сказал: “Учебник физики должен состоять из одних задач. При их решении происходит усвоение физических знаний”. Но есть проблемы, одна из которых: неумение учащимися применять математические знания для решения физических задач. Практически все задачи по физике можно легко решать, используя математический аппарат. Но иногда то, что допустимо при решении задач по физике, недопустимо в общей математической практике.

Мне хотелось бы разобрать решения задач с использованием пропорций, отношений и соотношений из следующих физических тем: “Равновесие рычага”, “Уравнение Менделеева-Клапейрона. Внутренняя энергия идеального газа”, “Закон всемирного тяготения”, “Закон прямолинейного распространения света” и “Механические колебания. Математический маятник”.

Впервые интерес к пропорции, возникающей при делении отрезка в крайнем и среднем отношении, возникает в античной науке. Об этом свидетельствуют древнеегипетские храмы, знаменитые пирамиды (III тысячелетие до н.э.), также гробницы Менеса, дворцы в Персии и другое множество архитектурных сооружений древности. Необходимость возникновения и развития понятий пропорциональности и отношения отрезков, площадей и других величин появилась при построении упомянутых памятников древности.

Важную роль в создании понятия “пропорция” сыграл древнегреческий математик, астроном и механик Евдокс ( IV век до нашей эры). Слово «пропорция» ввел в употребление Цицерон в 1 веке до н.э., который буквально означал аналогия, соотношение.

Пропорция (от лат. proportio – «соотношение») – это отношение между двумя или более соразмерными величинами. Термин «пропорция» используется в математике, архитектуре, медицине, кулинарии, строительстве, химии, физике, природе, музыке и других областях науки и искусства. В создании образной выразительности в костюме огромную роль играют отношения и пропорции частей формы одежды. Пропорция-это равенство двух отношений. Если это равенство содержит переменную, значение которой надо найти, то оно является уравнением.

Запись пропорции.

Пропорцию с помощью букв записывают так: a:b=с:d или .

Хочется упомянуть о так называемом «золотом сечением». Золотым сечением называли математики древности и средневековья деление отрезка, при котором длина всего отрезка так относится к длине его большей части, как длина большей части к меньшей, и это отношение равно 8:5=5:3 =1,6. (8=5+3).

Основное свойство пропорции гласит, что в правильной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Отличным примером применения пропорции является задача на использование правила равновесия рычага (Архимеда).

Рассмотрим задачу на рычаг.

На концах рычага действуют силы 2 и 18 Н. Длина рычага 1 м. Где находится точка опоры, если рычаг — в равновесии? (Весом рычага пренебречь).

Преобразовав пропорцию и используя ее новый вид (уравнение), определили длины плеч рычага.

Еще есть соотношение (или просто отношением). Это некоторая взаимосвязь между сущностями нашего мира. Это могут быть числа, физические величины, предметы, продукты, явления, действия и даже люди.

В математике соотношение чаще употребляется как «отношение того-то к тому-то». Например, соотношение четырёх цилиндров и двух кубов в математике будет читаться как «отношение четырех кубов к двум цилиндрам»

Рассмотрим задачу из геометрической оптики.

На какой высоте H находится лампа над горизонтальной поверхностью стола, если тень от вертикально поставленного на стол карандаша высотой h= 0,15 м оказалась равной x= 0,1м при расстоянии от основания карандаша до основания перпендикуляра, опущенного из центра лампы на поверхность стола ℓ= 0,9 м?

Как видим, чтобы измерить высоту потолка или столба не обязательно лезть на него, достаточно построить правильное соотношение.

В 10-м классе мы решали задачу на закон всемирного тяготения. Оказалось, что у этой задачи есть 2 способа решения. Остановимся на них.

Задача про космонавта.

Космонавт, находясь на Земле, притягивается к ней с силой 700 Н. С какой силой он будет притягиваться к Марсу, находясь на его поверхности, если радиус Марса примерно в 2 раза, а масса в 10 раз меньше чем у Земли?

Видно, что гораздо проще и интересней использовать не метод подстановки, а метод составления отношения величин друг к другу. Столько сокращений сразу! Главное: не перепутать основную дробь с другими! И ведь опять – пропорция!

Подобным образом можно решить задачу про маятники.

За одно и то же время один математический маятник делает 50 колебаний, а второй 30. Найти их длины, если один из них на 0, 32 м короче другого.

Как видно, можно без измерительных приборов и с помощью пропорций определить длину математического маятника. Здесь была использована формула периода колебаний математического маятника (через его длину ускорение свободного падения) и зависимость периода от числа колебаний и времени.

Во многих задачах, на первый взгляд, слишком много неизвестных. Кажется, что такая задача не может быть решена. Но если в задаче стоит вопрос о том, во сколько раз одна величина больше или меньше другой, то, скорее всего, все вспомогательные величины, которые мы введем для того, чтобы было проще, рассуждать на заключительном этапе, когда мы будем рассчитывать отношение, сократятся.

Уравнения с одним неизвестным во время решения задач по физике появляются при использовании законов, правил, определений или непосредственно выведенных применительно к той или иной задаче формул. В школьной физике большинство уравнений могут быть сведены к уравнениям, которые содержат неизвестные величины в первой степени. Достаточно редко встречаются уравнения второй степени и крайне редко третьей. Другое дело, что записанные в своем первоначальном виде, уравнения часто являются довольно громоздкими, и требуется большой опыт для того, чтобы выразить из них неизвестные величины. К сожалению, именно неумение выполнить тождественные преобразования уравнений, очень часто не позволяет школьникам правильно решить задачу и получить удовольствие от изучения физики. Из ошибок, которые наиболее часто делаются школьниками, следует особо сказать о тех, которые связаны с неумением производить операции с алгебраическими дробями. При решении уравнения допускается выполнять только тождественные преобразования, т.е. такие, которые не приводят к изменению решений первоначального уравнения.

Применение отношения при решении задач молекулярной физики.

Рассмотрим пример. Дано уравнение PV = m/µ RT, нужно вычислить неизвестную µ. Более половины учащихся самостоятельно сделать это не могут, хотя на математике долго изучают делитель, делимое, частное. Самый простой способ выражения неизвестной – это метод пропорций (крест на крест) т. е. при переносе из одной части уравнения в другую меняем расположение µ = mRT/PV. Такой способ успешно используется многими учителями.

До сих пор мы рассмотрели все случаи, когда делятся друг на друга одинаковые величины. В следующей же задаче мы будем делить друг на друга разные величины.

При ее решении образуется система уравнений, причем ее можно решить двумя методами.

Первый метод – это метод подстановки, при котором неизвестная величина, входящая в одно из уравнений, выражается, так как при решении уравнения с одним неизвестным. Затем полученное выражение для этой неизвестной величины подставляется вместо нее во второе уравнение. Этот метод часто приводит к громоздким выражениям. При этом можно совершить множество ошибок.

Суть второго метода в том, что уравнения системы складываются, вычитаются, умножаются или делятся друг на друга. То есть над правыми и над левыми частями уравнений производятся одинаковые действия. Это нужно для сокращения неизвестных величин после выполнения некоторых действий над ними. Этот метод является более эффективным, но в данном случае требуется сообразительность и опыт.

Рассмотрим применение этих методов в следующей задаче.

В баллоне объемом 2 л находится гелий. Внутренняя энергия гелия равна 300 Дж. Определите давление в сосуде.

Здесь важно было определить, что на что делить и заметить одинаковые величины в уравнении Менделеева — Клапейрона и формуле внутренней энергии газа! Кстати, можно делить импульс на кинетическую энергию, даже силу Кулона взаимодействия электрических зарядов на силу всемирного тяготения, то есть фактически один закон на другой! В «многоэтажных» выражениях, когда одна дробь делится на другую, необходимо различать основную дробь и дополнительные, знак равенства следует ставить точно напротив основной дроби. При решении уравнения допускается выполнять только тождественные преобразования, т.е. такие, которые не приводят к изменению решений первоначального уравнения.

И еще. Умение построить правильное отношение— важный навык при решении задач.

Использовать математику в физике – это настоящее искусство! Но, чем заниматься методом подстановки, проще делить одно выражение на другое, причем можно делить и разные физические величины. Мои материалы могут пригодиться школьникам и молодым учителям на уроках физики. А сколько еще тем мы не рассмотрели! Описанные алгоритмы, при их активном использовании на уроках позволяют существенно сократить время на приобретения учащимися навыка решения задач. Алгоритмы универсальны и могут применяться в любой теме курса физики. Можно один раз затратить учебное время на обучение решению задач, а затем вводить только новые законы и закономерности. И еще: все-таки, есть своя красота в физических задачах!

Список использованных источников:

1. Поль Дирак http://dmpokrov.livejournal.com/403285.html

2. Лев Давидович Ландау: Обучение студентов Майя Бессараб. Москва. «Октопус» 2008 г. 61 с.

3. Глава из книги И.И.Гарина «Ангелы библиотек». 2017 г. 660с. Автор И.И.Гарин. https://www.proza.ru/2017/03/10/804

4. Книга «Начала», автор Евклид, издательство «Лириком» год 2012. 446 страниц

5. «Теория отношений Евдокса и теория сечений Дедекинда» Струнилина К. teh—krasina.ru›…NSO…teorija_otnoshenij…i_teorija…

6. Никольский. С.М. Математика -6 класс. С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетникова Москва: «Просвещение» 2014 год, 256 с.

7. Сборник задач по физике для 7-9 классов – Лукашик В.И., Иванова Е.В. Москва «Просвещение» 2011:

8. Исаков Александр Яковлевич. И 85 Физика. Решение задач ЕГЭ. Часть 8. Оптические явления. Кам-чат ГТУ, 2013. 195 с.7

9. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. (Под ред. Николаева В.И., Парфентьевой Н.А). Физика-10: учебник для общеобразовательных учреждений с приложением на электронном носителе: базовый и профильный уровни М.: Просвещение, 2014, 416 с.

10. Сборник задач и упражнений по физике под ред. Рымкевич -2011 г. 158 с.

11. Демидова М.Ю., Грибов В.А., Лукашева Е.В., Чистякова Н.И. «Физика ЕГЭ 2016». Издательство «Экзамен», 2016 г. 294 с.

Определение пропорции, задачи на пропорцию

Пропо́рция – равенство двух отношений, т. е. равенство вида a : b = c : d, или, в других обозначениях, равенство  

Если a : b = c : d,   то a и d называют крайними, а b и c — средними членами пропорции.

От « пропорции» никуда не деться, без нее не обойтись во многих задачах. Выход только один – разобраться  с этим отношением  и пользоваться пропорцией как палочкой-выручалочкой.

Прежде чем приступать к рассмотрению задач на пропорцию, важно вспомнить основное правило пропорции:

В пропорции

произведение крайних членов равно произведению средних 

Если какая-то величина  в пропорции неизвестна, ее легко будет найти, опираясь на это правило.

Например,

или

То есть неизвестная величина пропорции – значении дроби, в знаменателе которой – то число, которое стоит напротив неизвестной величины, в числителе – произведение оставшихся  членов пропорции (независимо от того, где эта неизвестная величина стоит). 

Задача 1.

Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?

Решение:+ показать

Мы понимаем, что уменьшение веса семени во сколько-то раз, влечет за собой уменьшение веса получаемого масла во столько же раз. То есть величины связаны прямой зависимостью.

Заполним таблицу: 

Неизвестная величина – значение дроби , в знаменателе которой – 21 – величина, стоящая напротив неизвестного в таблице, в числителе – произведение оставшихся членов таблицы-пропорции.

Поэтому получаем, что из 7 кг семени  выйдет 1,7 кг масла.

Ответ: 1,7

Чтобы правильно заполнять таблицу, важно помнить правило:

Одинаковые наименования нужно записывать друг под другом. Проценты записываем под процентами, килограммы под килограммами и т.д

Задача 2.

Перевести в  радианы.

Решение:+ показать

Мы знаем, что . Заполним таблицу:

Откуда

Ответ:  

Задача 3.

На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 27?

Решение: + показать

Задача 4. После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?

Решение: + показать

Все поле составляет 100%, и поскольку вспахано 82%, то осталось вспахать 100%-82%=18% поля.

Заполняем таблицу: 

Откуда получаем, что  все поле составляет (га).

Ответ:  

А следующая задача – с засадой.

Задача 5.

Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80км/ч за 3 часа. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 60 км/ч?

Решение: + показать

Если вы будете решать эту задачу аналогично предыдущей, то получите следующее:

время, которое потребуется товарному поезду, чтобы пройти то же расстояние, что и пассажирским, есть часа. То есть, получается, что идя с меньшей скоростью, он преодолевает (за одно и тоже время) расстояние быстрее, нежели поезд  с большей скоростью.

В чем ошибка рассуждений?

До сих пор мы рассматривали задачи, где величины  были прямопропорциональны друг другу, то есть рост одной величины  во сколько-то раз, дает рост связанной с ней второй величины во столько же раз (аналогично с уменьшением, конечно). А здесь у нас другая ситуация: скорость пассажирского  поезда больше скорости товарного во сколько-то раз, а  вот время, требуемое на преодоление одного и того же расстояния, требуется пассажирскому поезду меньшее во столько же раз, нежели товарному поезду. То есть величины друг другу обратно пропорциональны.

Схему, которой мы пользовались до сих пор, надо чуть изменить в данном случае.

Решение: 

Рассуждаем так:

Пассажирский поезд со скоростью 80 км/ч   ехал   3 ч,  следовательно, он проехал км. А значит товарный поезд это же расстояние преодолеет за ч.

То есть, если бы мы составляли пропорцию, нам следовало бы поменять местами ячейки правой колонки предварительно. Получили бы: ч.

Ответ: .

Поэтому, пожалуйста, будьте внимательны при составлении пропорции. Разберитесь сначала, с какой зависимостью имеете дело – с прямой или обратной. 

Урок обобщения по теме ««Пропорция. Решение задач», 9 класс, подготовка к ОГЭ | Методическая разработка по алгебре (9 класс):

Как решать уравнения с пропорциями онлайн

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве
сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только
возрастает. Довольно часто в математике встречаются простые линейные уравнения, которые сильно напоминают
обыкновенную пропорцию. Например, вот такое уравнение:

\[\frac{x}{2} = \frac{4}{5}\]

Чтобы решить уравнениt с пропорцией применяют правила креста. Данное правило заключается в том, что если в
члене пропорции имеются знаки «\[+\] или \[-\], то в обязательном порядке необходимо взять данный член
пропорции в скобки перед применением правила пропорции.

Так же читайте нашу статью «Решить уравнение с разделяющими
переменными онлайн»

Другими словами данное правило можно описать так: если нарисовать крест поверх пропорции, то произведения
членов пропорции, лежащих на концах креста, равны.

Допустим, дано уравнения следующего вида, которое мы решим используя правила пропорции:

\[x \cdot 5 = 2 \cdot 4\]

Оперируя простыми арифметически действиями, решим данное уравнение:

\[5x = 8 \mid \div 5\]

\[\frac{5x}{5} = \frac{8}{5}\]

\[x = \frac{8}{5}\]

\[x = 1\frac{3}{5}\]

Все предельно просто, главное помнить правила пропорции и не забывать о смене знака на противоположные при
переносе члена с одной стороны на другую.

Где можно решить уравнение пропорцией онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель
позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это
просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию
и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей
групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда
рады помочь вам.

Как решать пропорции крест накрест с процентами. Как решать рациональные уравнения по математике. Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Формула пропорций

Пропо́рция — это равенство двух отношений, когда a:b=c:d

отношение 1 :
10 равно отношению 7 :
70, что также можно записать в виде дроби:

1
10

=
7
70

читается как: «один относится к десяти так же, как семь относится к семидесяти»

Основные свойства пропорции

Произведение крайних членов равно произведению средних членов (крест-накрест): если a:b=c:d , то a⋅d=b⋅c

1
10

✕
7
70

1 ⋅
70 = 10 ⋅
7

Обращение пропорции: если a:b=c:d , то b:a=d:c

1
10

7
70

10
1

=
70
7

Перестановка средних членов: если a:b=c:d , то a:c=b:d

1
10

7
70

1
7

=
10
70

Перестановка крайних членов: если a:b=c:d , то d:b=c:a

1
10

7
70

70
10

=
7
1

Решение пропорции с одним неизвестным | Уравнение

1 :
10 = x
:
70
или

1
10

=
x

70

Чтобы найти икс, нужно перемножить два известных числа крест-накрест и поделить на противоположное значение

x

=
1 ⋅
70
10

=
7

Как посчитать пропорцию

Задача:
нужно пить 1 таблетку активированного угля на 10 килограмм веса. Сколько таблеток нужно выпить, если человек весит 70 кг?

Составим пропорцию:
1 таблетка — 10 кг
x
таблеток — 70 кг
Чтобы найти икс, нужно перемножить два известных числа крест-накрест и поделить на противоположное значение:
1 таблетка
x
таблеток

✕
10 кг
70 кг

x
= 1 ⋅
70 :
10 = 7
Ответ:
7 таблеток

Задача:
за пять часов Вася пишет две статьи. Сколько статей он напишет за 20 часов?

Составим пропорцию:
2 статьи — 5 часов
x
статей — 20 часов
x
= 2 ⋅
20 :
5 = 8
Ответ:
8 статей

Будущим выпускникам школ могу сказать, что умение составлять пропорции мне пригодилось и , и для того, чтобы пропорционально уменьшать картинки, и в HTML-вёрстке интернет-страницы, и в бытовых ситуациях.

Это наиболее простая и довольно точная однородная разностная схема счета газодинамики. Ее шаблзн приведен на рис. 98; значения радиусов приписываются узлам сетки, значения скорости — границам пространственных интервалов на полуцелых слоях, а значения плотности, давления и внутренней энергии — серединам интервалов на целых слоях.

Построение схемы напоминает акустический «крест». Для простоты записи выберем равномерные по массе и времени шаги и t и аппроксимируем систему следующими разностными уравнениями:

Эти уравнения записаны в том порядке, который удобен для вычислений.

Обсудим разностное выражение для вязкого давления (65). Чтобы выполнить предельный переход от разностной схемы к уравнениям газодинамики, надо сначала устремить к нулю при фиксированном коэффициенте вязкости, а затем построить серию таких предельных решений для неограниченно уменьшающихся значений . Но это очень трудоемко. Поэтому на практике объединяют эти предельные переходы в один общий, полагая хотя законность такой процедуры не доказана (плотность введена в формулу для того, чтобы коэффициенты были безразмерны).

Таким образом, вязкое давление (65) принимает вид

где — скорость звука. Выражение (67) написано для плоского случая; но обычно им пользуются при любой симметрии задачи.

Аппроксимация. Из вида шаблона на рис. 98 и симметричного написания схемы (66) нетрудно заметить, что на течениях без сжатий, когда псевдовязкость (67) обращается в нуль, схема «крест» имеет локальную аппроксимацию

На течениях со сжатиями (в том числе — с ударными волнами) псевдовязкость отлична от нуля. Правда, квадратичный член в (67а) имеет величину но линейный член имеет величину и, тем самым, ухудшает порядок аппроксимации. Кроме того, вязкие члены записываются не вполне симметрично по времени. В итоге аппроксимация ухудшается до

Нахождение разностного решения. Схема (66) — явная; вычисления по ней проводятся следующим образом. Пусть все величины на исходном слое известны. Тогда из разностного уравнения импульса (66а) находим во всех интервалах; затем из второго уравнения (66б) определяем а из уравнения (66в) — .

Последним решается уравнение энергии (66г). Формально оно является неявным алгебраическим уравнением для определения в данном интервале. Но при каждом значении индекса уравнения (66г) решаются независимо, не образуя связанной системы уравнений, так что разностная схема, по существу, остается явной.

Замечание 1. Уравнение энергии в (66) можно сделать яным, используя в нем только значение с исходного слоя:

Это несколько упрощает расчет, не влияет на устойчивость, но заметно ухудшает точность, так как погрешность аппроксимации становится даже на гладких течениях. Такой вариант используется редко.

Устойчивость схемы можно исследовать методом разделения переменных, линеаризируя схему и замораживая коэффициенты. Громоздкие выкладки приводят к условию устойчивости типа Куранта.

Например, на гладких течениях с нулевой вязкостью схема устойчива при

Для идеального газа и условие (69) принимает вид где есть адиабатическая скорость звука. На течениях с ненулевой вязкостью ограничение на шаг несколько более сильное; при квадратичной вязкости условие устойчивости принимает вид

где — скачок скорости на ударной волне. Хотя это исследование не является строгим, тем не менее данное условие устойчивости хорошо подтверждается на практике.

Таким образом, «крест» — условно устойчивая схема. Отметим любопытное обстоятельство. Для расчета гладких течений вязкость не нужна. А если рассчитать без вязкости ударную волну (выбирая небольшое удовлетворяющее условию (70)), то получим «разболтку», изображенную на рис. 99. Этот расчет устойчив, поскольку амплитуда колебаний не возрастает со временем. Но сходимости к физически правильному решению при нет, так как на разрыве потеряна аппроксимация.

Сходимость газодинамической схемы «крест» не доказана. Однако эта схема успешно используется в расчетах примерно с 1950 г. и проверена на многих трудных задачах с известными точными решениями. При стремлении шагов к нулю наблюдалась сходимость к правильному решению, если шаги удовлетворяли условию устойчивости.

Замечание 2. Схема (66) неконсервативна; однако ее дисбаланс стремится к нулю при

Замечание 3. Газодинамические задачи с очень тонкими слоями особенно трудны для расчета. В самом деле, если , то для вычисления с удовлетворительной точностью по формуле (66в) надо знать радиусы с очень высокой точностью, сравнимой с ошибками округления на ЭВМ. В подобных задачах иногда приходится вести расчет с двойным числом знаков или специально видоизменять разностную схему.

Сегодня мы продолжаем серию видеоуроков, посвященных задачам на проценты из ЕГЭ по математике. В частности, разберем две вполне реальных задачи из ЕГЭ и еще раз убедимся, насколько важно внимательно читать условие задачи и правильно его интерпретировать.

Итак, первая задача:

Задача. Только 95% и 37 500 выпускников города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу B1?

На первый взгляд кажется, что это какая-то задача для кэпов. Наподобие:

Задача. На дереве сидело 7 птичек. 3 из них улетело. Сколько птичек улетело?

Тем не менее, давай все-таки сосчитаем. Решать будем методом пропорций. Итак, у нас есть 37 500 учеников — это 100%. А также есть некое число x
учеников, которое составляет 95% тех самых счастливчиков, которые правильно решили задачу B1. Записываем это:

37 500 — 100%
X
— 95%

Нужно составить пропорцию и найти x
. Получаем:

Перед нами классическая пропорция, но прежде чем воспользоваться основным свойством и перемножить ее крест-накрест, предлагаю разделить обе части уравнения на 100. Другими словами, зачеркнем в числителе каждой дроби по два нуля. Перепишем полученное уравнение:

По основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов. Другими словами:

x
= 375 · 95

Это довольно большие числа, поэтому придется умножать их столбиком. Напоминаю, что пользоваться калькулятором на ЕГЭ по математике категорически запрещено. Получим:

x
= 35 625

Итого ответ: 35 625. Именно столько человек из исходных 37 500 решили задачу B1 правильно. Как видите, эти числа довольно близки, что вполне логично, потому что 95% тоже очень близки к 100%. В общем, первая задача решена. Переходим к второй.

Задача на проценты №2

Задача. Только 80% из 45 000 выпускников города правильно решили задачу B9. Сколько человек решили задачу B9 неправильно?

Решаем по той же самой схеме. Изначально было 45 000 выпускников — это 100%. Затем из этого количества надо выбрать x
выпускников, которые должны составить 80% от исходного количества. Составляем пропорцию и решаем:

45 000 — 100%
x
— 80%

Давайте сократим по одному нулю в числителе и знаменателе 2-й дроби. Еще раз перепишем полученную конструкцию:

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Получаем:

45 000 · 8 = x
· 10

Это простейшее линейное уравнение. Выразим из него переменную x
:

x
= 45 000 · 8: 10

Сокращаем по одному нулю у 45 000 и у 10, в знаменателе остается единица, поэтому все, что нам нужно — это найти значение выражения:

x
= 4500 · 8

Можно, конечно, поступить так же, как в прошлый раз, и перемножить эти числа столбиком. Но давайте не будем сами себе усложнять жизнь, и вместо умножения столбиком разложим восьмерку на множители:

x
= 4500 · 2 · 2 · 2 = 9000 · 2 · 2 = 36 000

А теперь — самое главное, о чем я говорил в самом начале урока. Нужно внимательно читать условие задачи!

Что от нас требуется узнать? Сколько человек решили задачу B9 неправильно
. А мы только что нашли тех людей, которые решили правильно. Таких оказалось 80% от исходного числа, т.е. 36 000. Это значит, что для получения окончательного ответа надо вычесть из исходной численности учеников наши 80%. Получим:

45 000 − 36 000 = 9000

Полученное число 9000 — это и есть ответ к задаче. Итого в этом городе из 45 000 выпускников 9000 человек решили задачу B9 неправильно. Все, задача решена.

Я надеюсь, что этот ролик поможет тем, кто самостоятельно готовится к ЕГЭ по математике. А у меня на этом все. С вами был Павел Бердов. До новых встреч!:)

Многие важные вопросы изучения курса химии по
ряду причин исключены из школьной программы.
Среди них закон эквивалентов, разные способы
выражения концентрации растворов, правило
креста и многие другие. Однако на факультативных
занятиях, при подготовке ребят к олимпиадам без
них не обойтись. Да и в жизни ребятам они
пригодятся, особенно тем, кто свяжет будущую
профессию с химией (заводские лаборатории,
аптеки, научно-исследовательская работа, да и
просто химия в быту).
Особенно трудно в этом отношении молодым
учителям – у них нет той массы дополнительной
литературы, которую накопили старые учителя за
десятки лет работы в школе, а что издает
современная книгопечатная отрасль
промышленности – известно всем. Поэтому
предлагаемая методика решения задач на растворы
с применением правила креста, думается, хоть
сколько-то поможет молодым коллегам в этом деле.

Очень часто в лабораторной практике и при
решении олимпиадных задач приходится
встречаться со случаями приготовления растворов
с определенной массовой долей растворенного
вещества, смешением двух растворов разной
концентрации или разбавлением крепкого раствора
водой. В некоторых случаях можно провести
достаточно сложный арифметический расчет.
Однако это малопродуктивно. Чаще для этого лучше
применить правило смешения (диагональную модель
«конверта Пирсона», или, что то же самое, правило
креста).
Допустим, нужно приготовить раствор
определенной концентрации, имея в распоряжении
два раствора с более высокой и менее высокой
концентрацией, чем нужно нам. Тогда, если
обозначить массу первого раствора через m
1 ,
а второго – через m
2 , то при смешивании
общая масса смеси будет слагаться из суммы этих
масс. Пусть массовая доля растворенного вещества
в первом растворе – 1 , во втором – 2 , а в их смеси – 3 . Тогда общая масса
растворенного вещества в смеси будет слагаться
из масс растворенного вещества в исходных
растворах:

m
1 1 + m
2 2 = 3 (m
1 + m
2) .

Отсюда

m 1 ( 1 – 3) = m
2 ( 3 – 2),

m
1 /m
2 = ( 3 – 2)/( 1 – 3).

Видно, что отношение массы первого раствора к
массе второго раствора есть отношение разности
массовых долей растворенного вещества в смеси и
во втором растворе к разности соответствующих
величин в первом растворе и в смеси.

При решении задач на растворы с разными
концентрациями чаще всего применяют
диагональную схему правила смешении. При
расчетах записывают одну над другой массовые
доли растворенного вещества в исходных
растворах, справа между ними – его массовую долю
в растворе, который нужно приготовить, и вычитают
по диагонали из большего меньшее значение.
Разности их вычитаний показывают массовые доли
для первого и второго растворов, необходимые для
приготовления нужного раствора.

Для пояснения этого правила сначала решим
простейшую задачу.

ЗАДАЧА 1

Определите концентрацию раствора,
полученного при слиянии 150 г 30%-го и 250 г 10%-го
растворов какой-либо соли.

Дано:

m 1 = 150 г,
m
2 = 250 г,
1 = 30%,
2 = 10%.

Найти:

Решение

1-й способ (метод
пропорций).

Общая масса раствора:

m
3 = m
1 + m
2 = 150
+ 250 = 400 г.

Массу вещества в первом растворе находим
методом пропорций, исходя из определения:
процентная концентрация раствора показывает,
сколько граммов растворенного вещества
находится в 100 г раствора:

100 г 30%-го р-ра – 30 г в-ва,

150 г 30%-го р-ра – х
г в-ва,

х
= 150 30/100 = 45 г.

Для второго раствора составляем аналогичную
пропорцию:

100 г 10%-го р-ра – 10 г в-ва,

250 г 10%-го р-ра – y
г в-ва,

y
= 250 10/100 = 25 г.

Следовательно, 400 г нового раствора содержит 45 +
25 = 70 г растворенного вещества.

Теперь можно определить концентрацию нового
раствора:

400 г р-ра – 70 г в-ва,

100 г р-ра – z
г в-ва,

z
= 100 70/400 = 17,5 г, или 17,5%.

2-й способ
(алгебраический).

m
1 1 + m
2 2 = 3 (m
1 + m
2).

3
= (m
1 1
+ m
2 2)/(m
1
+ m
2).

В результате находим:

3 =
(150 30 + 250 10)/(150 + 250) = 17,5%.

3-й способ (правило
креста).

( 3
– 10)/(30 – 3) =
150/250.

(30 – 3) 150
= ( 3 – 10) 250,

4500 – 150 3
= 250 3 – 2500,

4500 – 2500 = 250 3 – 150 3 ,

7000 = 400 3 ,
3 = 7000/400 = 17,5%.

Ответ.

При слиянии взятых
растворов получится новый раствор с
концентрацией 3
= 17,5%.

Теперь решим задачи посложнее.

ЗАДАЧА 2

Определите, сколько нужно взять 10%-го раствора
соли и 30%-го раствора этой же соли для
приготовления 500 г 20%-го раствора.

Дано:

1 = 10%,
2 = 30%,
3 = 20%,
m
3 = 500 г.

Найти:

m
1 , m
2 .

Решение

Используем правило креста.

Для приготовления 500 г 20%-го раствора соли нужно
взять по 10 частей растворов исходных
концентраций.
Проверим правильность нашего решения, учитывая,
что 1 часть равна 500/(10 + 10) = 25 г.

250 г 10%-го р-ра – х
г соли,

х
= 250 10/100 = 25 г.

250 г 30%-го р-ра – y
г соли,

100 г 30%-го р-ра – 30 г соли,

y
= 250 30/100 = 75 г.

m
(р-ра) = 250 + 250 = 500 г.

m
(соли) = 25 + 75 = 100 г.

Отсюда находим 3:

500 г р-ра – 100 г соли,

100 г р-ра – 3 г соли,

3 =
100 100/500 = 20 г, или 20%.

Ответ
.
Для приготовления 500 г 20%-го
раствора нужно взять исходные растворы по 250 г
(m
1 = 250 г, m
2 = 250 г).

ЗАДАЧА 3

Определите, сколько нужно взять растворов
соли 60%-й и 10%-й концентраций для приготовления 300
г раствора 25%-й концентрации.

Дано:

1 = 60%,
2 = 10%,
3 = 25%,
3 = 300 г.

Найти:

m
1 , m
2 .

Решение

Масса одной части: 300/50 = 6 г.

m
1 = 6 15 = 90 г, m
2 = 6 35 =
210 г.

100 г 60%-го р-ра – 60 г соли,

90 г 60%-го р-ра – х
г соли,

х
= 54 г.

100 г 10%-го р-ра – 10 г соли,

210 г 30%-го р-ра – y
г соли,

y
= 21 г.

m
(соли) = 54 + 21 = 75 г.

Находим концентрацию нового раствора:

300 г р-ра – 75 г соли,

100 г р-ра – z
г соли,

z
= 100 75/300 = 25 г, или 25%.

Ответ
.
m
1 = 90 г, m
2
= 210 г.

Теперь перейдем к еще более сложным задачам.

ЗАДАЧА 4

Определите массу раствора
Nа 2 СО 3
10%-й концентрации и массу сухого
кристаллогидрата
Na 2 CO 3 10H 2 O,
которые нужно взять для приготовления 540 г
раствора 15%-й концентрации
.

Дано:

1 = 10%,
3 = 15%,
m
3 = 540 г.

Найти:

m
1 , m
2 .

Решение

1-й способ (через систему
уравнений с двумя неизвестными).

Определяем массу соли Na 2 CO 3 в 540 г
15%-го раствора:

100 г 15%-го р-ра – 15 г соли,

540 г 15%-го р-ра – z
г соли,

z
= 540 15/100 = 81 г.

Cоставляем систему уравнений:

Находим молярную массу:

Избавляемся от лишних неизвестных:

m
2 = 286y
/106;

100 г 10%-го р-ра – 10 г соли,

m
1 г 10%-го р-ра – х
г соли,

m
1 = 100х
/10 = 10х
.

Подставляем m
2 и m
1 в систему
уравнений:

С учетом того, что х
= 81 – y
, избавляемся
от второго неизвестного:

10(81 – y
) + 286y
/106 = 540.

y
= 270/7,3 = 37 г.

Тогда m
2 = 286y
/106 = 2,7 37 100 г – это масса необходимого
количества кристаллогидрата Na 2 СО 3 10H 2 O.
Далее находим: х
= 81 – y
= 81 – 37 = 44 г – это
масса соли из 10%-го раствора.
Находим массу 10%-го раствора:

100 г 10%-го р-ра – 10 г соли,

m
1 г 10%-го р-ра – 44 г соли,

m
1 = 100 44/10 = 440 г.

Видно, что так можно решить данную задачу –
способ надежный, но, к сожалению, достаточно
длинный, громоздкий и сложный. Им успешно могут
воспользоваться учащиеся с достаточно развитым
логическим мышлением. Для других он будет
сложноват.

2-й способ (правило
креста).

Допустим, что Na 2 СО 3 10H 2 O – это
«сухой раствор» (ведь он же содержит воду). Тогда
найдем его «концентрацию»:

286 г – 106 г соли,

100 г – х
г соли,

х
= 100 106/286 = 37 г, или 37%.

Применяем правило креста.

Находим массу одной части и массы веществ:

m
1 = 20 22 = 440 г, m
2 = 20 5 =
100 г.

Ответ.

Для приготовления 540 г
раствора Na 2 CO 3 15%-й концентрации
необходимо взять 440 г 10%-го раствора и 100 г
кристаллогидрата.
Таким образом, применение правила креста удобнее
и проще при решении подобных задач. Этот способ
более экономичен по времени и менее трудоемок.
Правило креста можно применять и в тех случаях,
когда нужно получить раствор меньшей
концентрации путем разбавления водой более
концентрированного раствора или получить более
концентрированный раствор путем добавления к
исходному раствору сухой смеси. Рассмотрим это
на примерах.

ЗАДАЧА 5

Сколько воды нужно добавить к 250 г раствора
соли для понижения его концентрации с 45% до 10%?

Дано:

1 = 45%,
3 = 10%,
m
1 = 250 г.

Найти:

Решение

Принимаем, что концентрация для добавляемой
воды – 2 = 0%.
Используем правило креста.

Определяем массу одной части через первый
раствор: 250/10 = 25 г.
Тогда масса необходимой воды равна:

m
2 = 25 35 = 875 г.

Проверим правильность решения.
Масса нового раствора:

m
3 = 250 + 875 = 1125 г.

250 г 45%-го р-ра – х
г соли,

100 г 45%-го р-ра – 45 г соли,

х
= 250 45/100 = 112,5 г.

Находим 3:

1125 г р-ра – 112,5 г соли,

100 г р-ра – y
г соли,

y
= 100 112,5/1125 = 10 г, или 10%.

Ответ
.
m
2 = 875 г.

ЗАДАЧА 6

Сколько сухой соли нужно добавить к 250 г
раствора 10%-й концентрации для ее увеличения до
45%?

Дано:

1 = 10%,
m
1 = 250 г,
3 = 45%.

Найти:

m
(с. с.).

Решение

Принимаем, что сухая соль – это раствор с 2 = 100%.
Используем правило креста.

Определяем массу одной части через первый
раствор: 250/55 = 4,5 г.
Определяем массу сухой соли:

m
(с. с.) = 4,5 35 = 158 г.

Проверяем правильность решения.
Масса нового раствора:

m
3 = 250 + 158 = 408 г.

Масса соли в исходном растворе:

100 г 10%-го р-ра – 10 г соли,

250 г 10%-го р-ра – х
г соли,

х
= 250 10/100 = 25 г.

Общая масса соли в новом растворе:

25 + 158 = 183 г.

Концентрация нового раствора:

408 г р-ра – 183 г соли,

100 г р-ра – y
г соли,

y
= 100 183/408 = 45 г, или 45%.

Ответ
.
m
(с. с.) = 158 г.

Думается, что опытный учитель всегда найдет
несколько способов решения любой задачи. Но как
учила меня моя первая учительница по химии
Клавдия Макаровна в школе № 17 г. Иркутска, так и я
стараюсь учить своих учеников: всегда глубоко
продумывать и понимать химическую сущность
задачи и находить наиболее рациональный способ
ее решения, а не просто подгонять под ответ в
конце учебника.

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве
сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только
возрастает. Если вы видите выражение с дробями с переменной в числителе/знаменателе, то перед вами
выражение, именуемое в математике рациональным уравнением. В целом можно назвать рациональными уравнениями
все уравнения, имеющие в своем составе 1 рациональное выражение. Что касается решений рациональных
уравнений, то они решаются следующим образом: производятся операции в левой и правой стороне до момента,
когда переменная не обособляется на одной стороне. Существует два способа решения таких уравнений:

Умножение крест-накрест;

НОЗ (наименьший общий знаменатель).

Первые метод используется в том случае, если после того как было переписанное уравнение, на каждой его
стороне образовалась одна дробь. Например:

\[\frac {x+3}{4}- \frac{x}{2}= 0\]

Чтобы использовать метод умножения крест-накрест необходимо преобразовать уравнения к виду:

\[\frac {x+3}{4}= \frac {x}{-2}\]

Второй метод можно использовать тогда, когда перед вами уравнение с 3/более дробями. Например:

\[\frac {x}{3}+ \frac {1}{2}=\frac{3x+1}{6} \]

Для данного уравнения наименьшим общим кратным числом будет 6, что позволит легко решить данное
уравнение.

Где можно бесплатно решить рациональное уравнение онлайн?

Решить рациональное уравнение онлайн с решением вы можете на нашем сайте https://сайт.
Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что
вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть
видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы
можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте
в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Читайте также…

Решающие пропорции | Предалгебра

Результаты обучения

• Решите уравнение пропорции
• Решение пропорции приложения

Чтобы решить пропорцию, содержащую переменную, мы помним, что пропорция — это уравнение. Все методы, которые мы использовали до сих пор для решения уравнений, по-прежнему применимы. В следующем примере мы решим пропорцию путем умножения на наименьший общий знаменатель (LCD), используя свойство умножения равенства.

пример

Решение: [latex] \ frac {x} {63} = \ frac {4} {7} [/ latex].

Решение

В следующем видео мы покажем еще один пример того, как решить уравнение пропорции с помощью ЖК-дисплея.

Когда переменная находится в знаменателе, мы будем использовать тот факт, что перекрестные произведения пропорции равны, чтобы решить пропорции.

Мы можем найти перекрестные произведения пропорции и затем приравнять их. Затем мы решаем получившееся уравнение, используя знакомые нам методы.

пример

Решение: [latex] \ frac {144} {a} = \ frac {9} {4} [/ latex].

Показать решение

Решение
Обратите внимание, что переменная находится в знаменателе, поэтому мы решим, найдя перекрестные произведения и установив их равными.

Другой способ решить эту проблему — умножить обе стороны на ЖК-дисплей, [латекс] 4a [/ латекс]. Попробуйте и убедитесь, что вы получили такое же решение.

В следующем видео показан пример решения аналогичной проблемы с помощью ЖК-дисплея.

пример

Решение: [латекс] \ frac {52} {91} = \ frac {-4} {y} [/ latex].

Показать решение

Решение

Решение приложений с использованием пропорций

Стратегия решения приложений, которую мы использовали ранее в этой главе, также работает для пропорций, поскольку пропорции являются уравнениями. Когда мы устанавливаем пропорцию, мы должны убедиться, что единицы измерения верны — единицы в числителях совпадают, а единицы в знаменателях совпадают.

пример

Когда педиатры назначают детям ацетаминофен, они назначают [латекс] 5 [/ латекс] миллилитров (мл) ацетаминофена на каждые [латекс] 25 [/ латекс] фунтов веса ребенка. Если Зоя весит [латекс] 80 [/ латекс] фунтов, сколько миллилитров парацетамола пропишет ее врач?

Показать решение

Решение

Вы также можете решить эту пропорцию, установив равные перекрестные произведения.

пример

Одна марка попкорна для микроволновой печи содержит [латекс] 120 [/ латекс] калорий на порцию. В целой сумке этого попкорна [латекс] 3,5 [/ латекс] порции. Сколько калорий в целой упаковке этого попкорна для микроволновки?

Показать решение

Решение

пример

Джозия поехал в Мексику на весенние каникулы и обменял 325 [латексных] долларов на мексиканские песо. В то время обменный курс доллара США [латекс] 1 [/ латекс] равнялся [латексу] 12,54 [/ латексу] мексиканских песо. Сколько мексиканских песо он получил за поездку?

Показать решение

Решение

В следующем видео мы показываем еще один пример того, как решить приложение, которое включает в себя пропорции.

Математические ресурсы Амби — Использование метода пропорций для решения процентных задач

Применение пропорций и пропорций

Мы часто сталкиваемся с проблемами пропорций в геометрии и тригонометрии.Одно приложение включает похожие треугольникиТреугольники одинаковой формы, но не обязательно одинакового размера. Размеры соответствующих углов равны, а соответствующие стороны пропорциональны., Которые имеют одинаковую форму, но не обязательно одинакового размера. Меры соответствующих углов подобных треугольников равны, а меры соответствующих сторон пропорциональны. Учитывая аналогичные треугольники ABC и RST ,

Мы можем написать ABC ~ RST и заключить, что все соответствующие углы равны.Обозначение указывает, что угол A соответствует углу R и что размеры этих углов равны: A = R .

Кроме того, размеры остальных пар соответствующих углов равны: B = S и C = T .

Используйте прописные буквы для углов и строчные буквы для обозначения стороны, противоположной заданному углу. Обозначим пропорциональность сторон следующим образом:

Пример 10: Если треугольник ABC аналогичен RST , где a = 3, b = 4, c = 5 и r = 9, тогда найдите оставшиеся две стороны.

Решение: Нарисуйте картинку и графически обозначьте переменные. Изобразите оставшиеся неизвестные стороны цифрами s и t . Установите пропорции и решите недостающие стороны.

Ответ: Две оставшиеся стороны измеряют 12 единиц и 15 единиц.

Уменьшенное отношение любых двух соответствующих сторон подобных треугольников называется масштабным коэффициентом Уменьшенное отношение любых двух соответствующих сторон аналогичных треугольников. В предыдущем примере отношение двух данных сторон a и r равно

Следовательно, треугольник ABC аналогичен треугольнику RST с масштабным коэффициентом 1/3.Это означает, что каждая катета треугольника ABC составляет 1/3 размера соответствующих катетов треугольника RST . Еще один интересный факт заключается в том, что периметры подобных треугольников находятся в той же пропорции, что и их стороны, и имеют одинаковый масштабный коэффициент.

Пример 11: Если треугольник ABC имеет периметр 12 единиц и аналогичен RST с масштабным коэффициентом 1/3, то найдите периметр треугольника RST .

Коэффициент масштабирования 1/3 означает, что периметры пропорциональны этому соотношению. Установите пропорцию следующим образом:

Перемножьте крест и решите для x .

Ответ: Периметр треугольника RST составляет 36 единиц.

Тематические упражнения

Часть A: Коэффициенты и ставки

Выразите каждое соотношение в сокращенном виде.

1. 100 дюймов: 250 дюймов

2.480 пикселей: 320 пикселей

3. 96 футов: 72 футов

4. 240 миль 4 часа

5. 96 футов 3 секунды

6. 6000 оборотов 4 минуты

7. Средняя цена акций и прибыль на акцию Google в 2008 году составляли 465,66 долларов и 14,89 долларов соответственно. Каково было среднее соотношение цены и прибыли Google в 2008 году? (Источник: Wolfram Alpha)

8. У F-22 Raptor есть два двигателя, каждый из которых развивает тягу по 35 000 фунтов.Если взлетная масса этого истребителя составляет 50 000 фунтов, рассчитайте его тяговооруженность. (Источник: USAF)

9. Дисконтный склад предлагает коробку с 55 отдельными порциями овсянки быстрого приготовления по цене 11,10 доллара. Супермаркет предлагает меньшие коробки того же продукта, содержащие 12 отдельных порций, по цене 3,60 доллара. Какой магазин предлагает лучшее соотношение цены и качества?

10. Джо и Мэри хотят вместе отправиться в путешествие, и им нужно решить, на чьей машине они поедут. Джо подсчитал, что его машина способна проехать 210 миль на 12 галлонах бензина.Мэри подсчитала, что ее машина проезжает 300 миль на 19 галлонах. Какая из их машин расходует больше миль на галлон?

Часть B: Решение пропорций

Решить.

11. 23 = n150

12. 7n = 215

13. 13 = 5n

14. 125 = 6n

15. n8 = −32

16. n3 = −57

17. 8 = 2n3

18.5n = −30

19. 1 = 1n − 1

20. −1 = −1n + 1

21. -40n = -53

22. 2n + 13 = −35

23. 53n + 3 = 23

24. п + 12n − 1 = 13

25. 5n + 75 = n − 12

26. −2n + 3 = n + 76

27. Найдите два числа в соотношении 3 к 5, сумма которых равна 160. (Подсказка: используйте n и 160 — n для представления двух чисел.)

28.Найдите два числа в соотношении 2 к 7, сумма которых равна 90.

29. Найдите два числа в соотношении −3 к 7, сумма которых равна 80.

30. Найдите два числа в соотношении −1 к 3, сумма которых равна 90.

31. Большое целое число на 5 больше меньшего. Если два целых числа имеют отношение 6 к 5, найдите целые числа.

32. Большее целое число — это 7 меньше, чем удвоенное меньшее целое. Если два целых числа имеют отношение 2 к 3, найдите целые числа.

Учитывая следующие пропорции, определите каждое соотношение: x: y .

33. x3 = y4

34. x − 2y3 = −3y5

35. 2x + 4y2x − 4y = 32

36. x + yx − y = 35

Часть C: Приложения

Задайте пропорцию, а затем решите.

37. Если 4 из 5 избирателей поддерживают губернатора, то сколько из 1200 опрошенных поддерживают губернатора?

38.Если 1 из каждых 3 опрошенных избирателей сказал, что они проголосовали за Предложение 23, то сколько из 600 опрошенных проголосовали за?

39. Из 460 опрошенных студентов соотношение сторонников проекта модернизации студенческого союза составляло 3: 5. Сколько студентов высказались за реконструкцию?

40. По оценкам, 5 из 7 студентов имеют задолженность по кредитной карте. Оцените количество студентов, у которых есть задолженность по кредитной карте, из 14 000 студентов.

41.Если соотношение студентов женского и мужского пола в колледже составляет 6 к 5, то определите количество студентов мужского пола из 11 000 студентов.

42. По оценкам, в 2009 году на каждые 100 000 человек в Соединенных Штатах приходилось 838 смертей. Если общая численность населения США оценивалась в 307 212 123 человека, то сколько смертей в Соединенных Штатах ожидалось в 2009 году? (Источник: CIA World Factbook)

43. По оценкам, в 2009 году на каждые 100 000 человек в Соединенных Штатах приходилось 1 382 родов.Если общая численность населения США оценивается в 307 212 123 человека, то сколько рождений ожидается в США в 2009 году? (Источник: CIA World Factbook)

44. Если 2 из каждых 7 избирателей одобряют повышение налога с продаж, определите количество избирателей из 588 опрошенных, которые не поддерживают повышение.

45. Рецепт требует из 1 стакана лимонного сока сделать 4 стакана лимонада. Сколько лимонного сока нужно для приготовления 2 галлонов лимонада?

46.Для классического коктейля «Ширли Темпл» требуется 1 часть вишневого сиропа на 4 части лимонно-лаймовой соды. Сколько вишневого сиропа необходимо для смешивания коктейля с банкой лимонно-лаймовой соды объемом 12 унций?

47. Принтер печатает 30 страниц за 1 минуту. Сколько времени потребуется для печати буклета из 720 страниц?

48. Машинистка печатает 75 слов в минуту. Сколько времени потребуется, чтобы набрать 72 страницы, если на каждой странице примерно 300 слов?

49. На конкретной карте каждые 116 дюймов представляют 1 милю.Сколько миль представляют 312 дюймов?

50. На графике каждый 1 сантиметр представляет 100 футов. Какое измерение на карте соответствует одной миле?

51. В кондитерской можно купить разные конфеты по цене 3,75 доллара за каждые полфунта. Сколько будет стоить 2,6 фунта конфет?

52. Смешанные орехи продаются по цене 6,45 доллара за фунт. Сколько фунтов ореховой смеси можно купить за 20 долларов?

53. Кукуруза на фермерском рынке упакована в пакеты по цене 1 доллар.33 для 6 ушей. Сколько ушей можно купить за 15 долларов?

54. Если 4 пиццы стоят 21 доллар, то сколько будут стоить 16 пицц?

55. Подслащенные хлопья для завтрака содержат 110 калорий в одной порции из 34 чашек. Сколько калорий в порции из 178 чашек?

56. Рис со вкусом курицы содержит 300 калорий в каждой порции 2,5 унции. Сколько калорий в мерной ложке риса со вкусом курицы?

57. Мужчина весом 200 фунтов весил бы около 33.2 фунта на Луне. Сколько будет весить 150-фунтовый мужчина на Луне?

58. На Марсе человек весом 200 фунтов будет весить около 75,4 фунта. Сколько будет весить 150-фунтовый человек на Марсе?

59. Вероятность выпадения 1 на шестигранной кости составляет 1 из 6. Сколько раз мы можем ожидать, что за 360 бросков кубика выпадет 1?

60. Существует 1 шанс из 6, что выпадет 7 с двумя шестигранными кубиками. Сколько раз мы можем ожидать выпадения 7 из 300 бросков?

61.Отношение арахиса ко всем орехам в упаковке смешанных орехов определенной марки составляет 3: 5. Если упаковка содержит 475 орехов, то сколько арахиса мы можем ожидать?

62. Смешанный мешок шариков упаковывается из расчета 6 оранжевых шариков на каждые 5 красных шариков. Если в упаковке 216 оранжевых шариков, то сколько красных шариков мы можем ожидать?

63. Графический дизайнер хочет создать снимок экрана шириной 720 пикселей. Если отношение ширины к высоте должно быть 3: 2, то на сколько пикселей он должен установить высоту?

64.Если видеомонитор изготовлен с соотношением ширины и высоты 16: 9, а ширина монитора составляет 40 дюймов, то какова высота?

Часть D: похожие треугольники

Если треугольник ABC похож на треугольник RST , найдите оставшиеся две стороны, учитывая информацию.

65. a = 6, b = 8, c = 10 и s = 16

66. b = 36, c = 48, r = 20 и t = 32

67.b = 2, c = 4, r = 6 и s = 4

68. b = 3, c = 2, r = 10 и t = 12

69. a = 40, c = 50, s = 3 и t = 10

70. c = 2, r = 7, s = 9 и t = 4

71. В одно и то же время дня дерево отбрасывает 12-футовую тень, в то время как двухметровый мужчина отбрасывает 3-футовую тень. Оцените высоту дерева.

72. В одно и то же время дня отец и сын, стоя рядом, отбрасывали четырехфутовую и двухфутовую тень соответственно. Если рост отца 6 футов, то каков рост его сына?

73.Если прямоугольный треугольник 6-8-10 ABC подобен RST с коэффициентом масштабирования 2/3, то найдите периметр треугольника RST .

74. Если прямоугольный треугольник 3-4-5 ABC аналогичен RST с масштабным коэффициентом 5, то найдите периметр треугольника RST .

75. Равносторонний треугольник со сторонами размером 6 единиц подобен другому с масштабным коэффициентом 3: 1. Найдите длину каждой стороны неизвестного треугольника.

76. Периметр равностороннего треугольника ABC составляет 45 единиц. Если треугольник ABC ~ RST и r = 20, то каков масштабный коэффициент?

77. Периметр равнобедренного треугольника ABC , где каждая из двух равных сторон в два раза больше, чем у основания, составляет 60 единиц. Если основание подобного треугольника составляет 6 единиц, то найдите его периметр.

78. Периметр равнобедренного треугольника ABC составляет 11 единиц, а его две равные стороны — 4 единицы.Если треугольник ABC подобен треугольнику RST , а треугольник RST имеет периметр 22 единицы, то найдите все стороны треугольника RST .

79. Прямоугольный треугольник ABC 6-8-10 аналогичен треугольнику RST с периметром 72 единиц. Найдите длину каждого катета треугольника RST .

80. Периметр треугольника ABC составляет 60 единиц и b = 20 единиц. Если ABC ~ RST и s = 10 единиц, то найти периметр треугольника RST .

Часть E: Темы дискуссионной доски

81. Что такое золотое сечение и где оно проявляется?

82. Изучите и обсудите свойства подобных треугольников.

83. Обсудите математику перспективы.

84. Изучите и обсудите различные форматы изображения, доступные в современных мультимедийных устройствах.

Как решить пропорции: настройка рецепта

Пропорция — это набор из 2 равных частей.Эта статья посвящена тому, как решить пропорции.

Использование пропорций в реальном мире

• Изменение бюджета сети ресторанов, которая расширяется с 3 до 20
• Создание небоскреба по чертежам
• Расчетные чаевые, комиссии и налог с продаж

Использование пропорций для изменения рецепта

В понедельник вы готовите достаточно белого риса, чтобы обслужить ровно 3 человек. Рецепт требует 2 стакана воды и 1 стакан сухого риса.В воскресенье вы подадите рис 12 людям. Как бы изменился рецепт? Если вы когда-либо готовили рис, вы знаете, что это соотношение — 1 часть сухого риса и 2 части воды — очень важно. Напутайте все, и вы будете наваливать липкую горячую кашу поверх этуфе из раков ваших гостей.

Поскольку вы увеличиваете свой список гостей в четыре раза (3 человека * 4 = 12 человек), вы должны в четыре раза увеличить свой рецепт. Приготовьте 8 стаканов воды и 4 стакана сухого риса. Эти изменения в рецепте демонстрируют суть пропорций: используйте соотношение, чтобы приспособиться к большим и меньшим изменениям жизни.

Алгебра и пропорции 1

Конечно, с правильными числами вы можете отказаться от создания алгебраического уравнения для определения количества сухого риса и воды. Что происходит, когда числа не такие дружелюбные? В День Благодарения вы будете подавать рис 25 людям. Сколько воды вам нужно?

Поскольку соотношение 2 частей воды и 1 части сухого риса применяется для приготовления 25 порций риса, используйте пропорцию для определения количества ингредиентов.

Примечание : Очень важно преобразовать словесную задачу в уравнение.Да, вы можете решить неправильно составленное уравнение и найти ответ. Вы также можете смешать рис и воду, чтобы приготовить «еду» для подачи на День Благодарения. Будет ли еда вкусной, зависит от уравнения.

Подумайте о том, что вы знаете:

• 3 порции вареного риса = 2 стакана воды; 1 стакан сухого риса
  25 порций вареного риса =? чашки с водой; ? чашка сухого риса
• 3 порции вареного риса / 25 порций вареного риса = 2 стакана воды / x стаканов воды
• 3/25 = 2/ x

Крест умножить. Совет : Запишите эти дроби вертикально, чтобы получить полное представление о перекрестном умножении. Для перекрестного умножения возьмите числитель первой дроби и умножьте его на знаменатель второй дроби. Затем возьмите числитель второй дроби и умножьте его на знаменатель первой дроби.

3 * x = 2 * 25
3 x = 50

Разделите обе части уравнения на 3, чтобы найти x .

3 x /3 = 50/3
x = 16.6667 стаканов воды

Убедитесь, что ответ правильный.
= 3/25 = 2 / 16,6667?
3/25 = 0,12
2 / 16,6667 = 0,12

Первая пропорция верна.

Алгебра и пропорции 2

Помните, что x не всегда будет в числителе. Иногда переменная находится в знаменателе, но процесс тот же.

Решите следующее для x .

36 /
х = 108/12

Перекрестное умножение:
36 * 12 = 108 * x
432 = 108 x

Разделите обе стороны на 108, чтобы найти x .

432/108 = 108 x /108
4 = x

Проверьте и убедитесь, что ответ правильный. Помните, что пропорция определяется как 2 эквивалентных дроби:

Неужели 36/4 = 108/12?

36/4 = 9
108/12 = 9

Верно!

Ответы и решения для решения пропорций

1. a /49 = 4/35
Перекрестное умножение:
a * 35 = 4 * 49
35 a = 196

Разделите обе части уравнения на 35, чтобы найти a .
35 a /35 = 196/35
a = 5,6

Убедитесь, что ответ правильный.
5,6 / 49 = 4/35?
5,6 / 49 = .114285714
4/35 = .114285714

2. 6/ x = 8/32
Перекрестное умножение:
6 * 32 = 8 * x
192 = 8 x

Разделите обе части уравнения на 8, чтобы найти x .
192/8 = 8 x /8
24 = x

Убедитесь, что ответ правильный.
6/24 = 8/32?
6/24 = ¼
8/32 = ¼

3. 9/3 = 12 / b
Перекрестное умножение:
9 * b = 12 * 3
9 b = 36

Разделите обе стороны уравнение на 9 для решения относительно b .
9 b /9 = 36/9
b = 4

Убедитесь, что ответ правильный.
9/3 = 12/4?
9/3 = 3
12/4 = 3

4. 5/60 = k /6
Перекрестное умножение.
5 * 6 = k * 60
30 = 60 k

Разделите обе части уравнения на 60, чтобы найти k .
30/60 = 60 k /60
½ = k

Убедитесь, что ответ правильный.
5/60 = (1/2) / 6?
5/60 = 0,08333
(1/2) / 6 = 0,08333.

5. 52/949 = с /365
Перекрестное умножение.
52 * 365 = с * 949
18,980 = 949 с

Разделите обе части уравнения на 949, чтобы найти с .
18 980/949 = 949 с / 949
20 = с

Убедитесь, что ответ правильный.
52/949 = 20/365?
52/949 = 4/73
20/365 = 4/73

6. 22,5 / x = 5/100
Перекрестное умножение.
22,5 * 100 = 5 * x
2250 = 5 x

Разделите обе части уравнения на 5, чтобы найти x .
2250/5 = 5 x /5
450 = x

Убедитесь, что ответ правильный.
22,5 / x = 5/100?
22,5 / 450 = 0,05
5/100 = 0,05

7. a /180 = 4/100
Перекрестное умножение.
a * 100 = 4 * 180
100 a = 720

Разделите обе части уравнения на 100, чтобы найти a .
100 a /100 = 720/100
a = 7,2

Убедитесь, что ответ правильный.
Неужели 7,2 / 180 = 4/100?
7,2 / 180 = 0,04
4/100 = 0,04

Под редакцией Энн Мари Хелменстин, доктор философии.

8.7: Приложения для определения пропорций и аналогичных фигур

Решение для пропорций

Когда два рациональных выражения равны, уравнение, связывающее их, называется соотношением .

Определение: ПРОПОРЦИЯ

Пропорция — это уравнение вида \ (\ dfrac {a} {b} = \ dfrac {c} {d} \), где \ (b \ ne 0 \), \ (d \ ne 0 \ ).

Пропорция читается как «а — к б, а с — к г».

Уравнение \ (\ dfrac {1} {2} = \ dfrac {4} {8} \) является пропорцией, потому что две дроби равны.

Соотношение \ (\ dfrac {1} {2} = \ dfrac {4} {8} \) читается как «1 равно 2, а 4 равно 8».

Пропорции

используются во многих приложениях для «увеличения» объемов.Мы начнем с очень простого примера, чтобы вы могли увидеть, как работают пропорции. Даже если вы можете сразу найти ответ на этот пример, убедитесь, что вы также научились решать его, используя пропорции.

Предположим, директор школы хочет иметь 1 учителя на 20 учеников. Она могла использовать пропорции, чтобы найти количество учителей на 60 учеников. Допустим, что x будет количеством учителей для 60 учеников, а затем установим пропорцию:

.

\ [\ dfrac {1 \, \ text {учитель}} {20 \, \ text {student}} = \ dfrac {x \, \ text {учителя}} {60 \, \ text {members}} \ nonumber \]

Мы тщательно подбираем единицы числителей и знаменатели: учителя в числителях, ученики в знаменателях.

Поскольку пропорция — это уравнение с рациональными выражениями, мы будем решать пропорции так же, как мы решали уравнения в Решите рациональные уравнения . Мы умножим обе части уравнения на ЖК-дисплей, чтобы очистить дроби, а затем решим полученное уравнение.

Теперь мы рассмотрим несколько примеров решения числовых пропорций без каких-либо единиц. Затем будем решать аппликации с использованием пропорций.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

\ (\ dfrac {x} {63} = \ dfrac {4} {7} \).

Попробовать \ (\ PageIndex {1} \)

\ (\ dfrac {n} {84} = \ dfrac {11} {12} \).

Ответ

77

Попробовать \ (\ PageIndex {2} \)

\ (\ dfrac {y} {96} = \ dfrac {13} {12} \).

Ответ

104

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

\ (\ dfrac {144} {a} = \ dfrac {9} {4} \).

Попробовать \ (\ PageIndex {3} \)

\ (\ dfrac {91} {b} = \ dfrac {7} {5} \).

Ответ

65

Попробовать \ (\ PageIndex {4} \)

\ (\ dfrac {39} {c} = \ dfrac {13} {8} \).

Ответ

24

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

\ (\ dfrac {n} {n + 14} = \ dfrac {5} {7}.\)

Попробовать \ (\ PageIndex {5} \)

\ (\ dfrac {y} {y + 55} = \ dfrac {3} {8} \).

Ответ

33

Попробовать \ (\ PageIndex {6} \)

\ (\ dfrac {z} {z − 84} = — \ dfrac {1} {5} \).

Ответ

14

Пример \ (\ PageIndex {4} \)

\ (\ dfrac {p + 12} {9} = \ dfrac {p − 12} {6} \).

Попробовать \ (\ PageIndex {7} \)

\ (\ dfrac {v + 30} {8} = \ dfrac {v + 66} {12} \).

Ответ

42

Попробовать \ (\ PageIndex {8} \)

\ (\ dfrac {2x + 15} {9} = \ dfrac {7x + 3} {15} \).

Ответ

6

Чтобы решать приложения с пропорциями, мы будем следовать нашей обычной стратегии решения приложений. Но когда мы устанавливаем пропорцию, мы должны убедиться, что единицы измерения правильные — единицы в числителях должны совпадать, а единицы в знаменателях должны совпадать.

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

Когда педиатры назначают детям парацетамол, они назначают 5 миллилитров (мл) парацетамола на каждые 25 фунтов веса ребенка. Если Зоя весит 80 фунтов, сколько миллилитров парацетамола пропишет ее врач?

Попробовать \ (\ PageIndex {9} \)

Педиатры прописывают 5 миллилитров (мл) парацетамола на каждые 25 фунтов веса ребенка. Сколько миллилитров парацетамола врач пропишет Эмилии, которая весит 60 фунтов?

Ответ

12 мл

Попробовать \ (\ PageIndex {10} \)

На каждый 1 килограмм (кг) веса ребенка педиатры назначают 15 миллиграммов (мг) жаропонижающего средства.Если Изабелла весит 12 кг, сколько миллиграммов жаропонижающего средства пропишет педиатр?

Ответ

180 мл

Пример \ (\ PageIndex {6} \)

В холодном карамельном макиато на 16 унций содержится 230 калорий. Сколько калорий в холодном макиато с карамелью на 24 унции?

Попробовать \ (\ PageIndex {11} \)

В ресторане быстрого питания шоколадный коктейль на 22 унции содержит 850 калорий.Сколько калорий в шоколадном коктейле на 12 унций? Округлите ответ до ближайшего целого числа.

Ответ

464 калорий

Попробовать \ (\ PageIndex {12} \)

Янели любит конфеты Starburst, но хочет, чтобы количество закусок не превышало 100 калорий. Если 8 штук конфет содержат 160 калорий, сколько штук она может съесть в перекусе?

Ответ

5 шт.

Пример \ (\ PageIndex {7} \)

Джозия отправился в Мексику на весенние каникулы и обменял 325 долларов на мексиканские песо.В то время по обменному курсу 1 доллар США был равен 12,54 мексиканских песо. Сколько мексиканских песо он получил за поездку?

Попробовать \ (\ PageIndex {13} \)

Юрианна едет в Европу и хочет обменять 800 долларов на евро. По текущему обменному курсу 1 доллар США равен 0,738 евро. Сколько евро у нее будет на поездку?

Ответ

590,4 евро

Попробовать \ (\ PageIndex {14} \)

Кори и Николь едут в Японию и должны обменять 600 долларов на японские иены.Если каждый доллар составляет 94,1 иены, сколько иен они получат?

Ответ

56 460 иен

В приведенном выше примере мы связали количество песо с количеством долларов, используя пропорцию. Можно сказать, что количество песо пропорционально долларам. Если две величины связаны между собой пропорцией, мы говорим, что они пропорциональны.

Приложения для решения аналогичных фигур

Когда вы уменьшаете или увеличиваете фотографию на телефоне или планшете, определяете расстояние на карте или используете выкройку для создания книжного шкафа или шитья платья, вы работаете с аналогичными фигурами .Если две фигуры имеют одинаковую форму, но разные размеры, они считаются похожими. Одно — это масштабная модель другого. Все их соответствующие углы имеют одинаковые размеры, и их соответствующие стороны находятся в одинаковом соотношении.

Определение: АНАЛОГИЧНЫЕ ЦИФРЫ

Две фигуры подобны, если размеры их соответствующих углов равны и их соответствующие стороны находятся в одинаковом соотношении.

Например, два треугольника на рис. похожи.Каждая сторона ΔABC в 4 раза длиннее соответствующей стороны ΔXYZ.

Это суммируется в Свойстве подобных треугольников.

Определение: СОБСТВЕННОСТЬ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Если ΔABC аналогично ΔXYZ

Чтобы решить приложения с похожими фигурами, мы будем следовать стратегии решения проблем для геометрических приложений, которую мы использовали ранее.

Определение: РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРИЛОЖЕНИЙ.

1. Прочтите задачу и сделайте так, чтобы все слова и идеи были понятны.Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.
2. Определите то, что мы ищем.
3. Назовите то, что мы ищем, выбрав переменную для его представления.
4. Преобразуйте в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для ситуации. Подставьте в данную информацию.
5. Решите уравнение , используя хорошую алгебру.
6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
7. Ответьте на вопрос полным предложением.

Пример \ (\ PageIndex {8} \)

ΔABC аналогичен ΔXYZ

Попробовать \ (\ PageIndex {15} \)

ΔABC аналогичен ΔXYZ. Длины двух сторон каждого треугольника указаны на рисунке.

Найдите длину стороны a

Ответ

8

Попробовать \ (\ PageIndex {16} \)

ΔABC аналогичен ΔXYZ.Длины двух сторон каждого треугольника указаны на рисунке.

Ответ

22,5

В следующем примере показано, как похожие треугольники используются на картах.

ПОПРОБОВАТЬ \ (\ PageIndex {17} \)

На карте Сиэтл, Портленд и Бойсе образуют треугольник, стороны которого показаны на рисунке ниже. Если фактическое расстояние от Сиэтла до Бойса составляет 400 миль, найдите расстояние от Сиэтла до Портленда.

Ответ

150 миль

Попробовать \ (\ PageIndex {18} \)

Используя карту выше, найдите расстояние от Портленда до Бойсе.

Ответ

350 миль

Мы можем использовать аналогичные цифры , чтобы найти высоты, которые мы не можем измерить напрямую.

Пример \ (\ PageIndex {10} \)

Тайлер ростом 6 футов.Однажды поздно вечером его тень была 8 футов в длину. В то же время тень от дерева была 24 фута в длину. Найдите высоту дерева.

Попробовать \ (\ PageIndex {19} \)

Телефонный столб отбрасывает тень длиной 50 футов. Рядом находится дорожный знак высотой 8 футов, отбрасывающий тень длиной 10 футов. Какой высоты у телефонного столба?

Ответ

40 футов

Попробовать \ (\ PageIndex {20} \)

Сосна отбрасывает тень высотой 80 футов рядом со зданием высотой 30 футов, которое отбрасывает тень высотой 40 футов.Насколько высока сосна?

Ответ

60 футов

Как решить пропорции (видео с примерами) // Tutors.com

Содержание

1. Что такое пропорции?
2. Как решить пропорции
3. Примеры пропорций

Что такое пропорции?

Пропорция — соотношение сравнения. Обычно вы гарантируете, что данное соотношение эквивалентно другому соотношению, наблюдая, пропорциональны ли эти два отношения.То есть, какими бы ни были размеры одного объекта, размеры другого объекта увеличиваются или уменьшаются, например, для сохранения того же отношения высоты к длине.

Передаточные числа могут быть эквивалентными или не эквивалентными. Неэквивалентные соотношения могут быть больше или меньше друг друга. Эквивалентные отношения называются пропорциональными .

Вы работаете с пропорциями, увеличивая и уменьшая изображения, находя объекты неизвестной длины, готовя блюда и делая масштабные модели.

Как решить пропорции

Чтобы убедиться, что вещи остаются пропорциональными при увеличении или уменьшении своего размера, не забудьте умножить все числа в исходном соотношении на одинаковую величину.

Например, если бы я делал пирожные, я бы использовал соотношение 1 стакан муки к 1 стакану сахара, что составляет 1: 1.

Если бы я хотел утроить количество пирожных и сохранить рецепт прежним, я бы умножил каждое число в соотношении на 3. Это довело бы наше соотношение до 3: 3 и означало, что мне понадобилось бы 3 стакана муки и 3 стакана сахар, чтобы в три раза больше пирожных.

Чтобы проверить свою работу, посмотрите, делятся ли соотношения на одно и то же число. Если они делятся, то они пропорциональны.

Давайте посмотрим на пример. Соотношения 2: 5 и 6:15 пропорциональны, потому что оба делятся на одно и то же число:

25 = 0,4

615 = 0,4

А как насчет соотношений 4:10 и 5:10? Посмотрим:

410 = 0,4

510 = 0,5

Эти соотношения непропорциональны, потому что они не делятся на одно и то же число

Решение примеров пропорций

Рецепты

Рецепт на 24 (две дюжины) печенья требует 1 стакан муки.Сколько муки вам нужно, чтобы масштабировать рецепт до 12 дюжин печенья? Установите свои пропорции, сравнивая 24 и 144 куки или (что проще) две дюжины и 12 дюжин куки:

24: 1 = 144: x

2 дюжины печенья: 1 стакан муки = 12 дюжин печенья: x стаканов муки

2: 1 = 12: x

21 = 12x

Посмотрите на соотношение между двумя числителями в нашей дробной пропорции. Что вы умножаете 2 раза, чтобы получить 12?

Вы умножаете его на 6, поэтому вы умножаете знаменатель 1 на 6.

Вам нужно 6 стаканов муки, чтобы испечь 12 дюжин печенья.

Фотография

Обычный американский размер фотографии для кадрирования — 5 x 7 дюймов, часто сокращенно 5×7. Если вам нужна другая версия той же фотографии без кадрирования (обрезки), вы можете получить все это в той же пропорции (отношение высоты к длине), умножив:

Умножить на 2:

10 × 14

Умножить на 3:

15 × 21

Умножить на 4:

20 × 28

Графика

Еще одна распространенная пропорция — размеры плакатов.У вас может быть крошечное изображение размером 2×3, но оно может быть доступно во всех этих размерах, все пропорционально друг другу:

4 × 6

8 × 12

10 × 15

12 × 18

16 × 24

20 × 30

Эти размеры часто используются для электроники как «соотношения сторон», поэтому идеальное изображение на ноутбуке не обрезается при просмотре на планшете или смартфоне.

Масштабные модели

Пропорции используются при создании масштабных моделей для любителей, архитекторов, инженеров и ученых.Модели легко исследовать, поскольку они обычно намного меньше реального объекта.

Модели

легки и портативны и могут помочь в принятии решений до того, как будут построены дорогостоящие реальные объекты. Архитектурная модель здания может иметь такой масштаб, чтобы 1 дюйм на модели был таким же, как 12 дюймов в реальной жизни, поэтому модель имеет соотношение 1:12 или масштаб 1/12.

Вы можете использовать пропорции для вычисления неизвестных размеров либо на модели, либо на реальном объекте.

Предположим, у вас есть модель экспериментального самолета. Модель выполнена в масштабе 1/100 или 1: 100. Один сантиметр на модели равен 100 сантиметрам (или 1 метру) на реальном самолете.

Вы измеряете фонарь кабины модели (пластиковый экран над пилотом) и видите, что он составляет 2 сантиметра. Как долго это продлится на самом самолете?

Сравните пропорции:

1: 100 = 2: x

1100 = 2x

Вы можете быстро увидеть ответ — 200 сантиметров или 2 метра; настоящий навес будет длиной 2 метра.

Вы можете использовать пропорции, чтобы проверить точность модели. Колеса настоящего самолета должны иметь диаметр 50 сантиметров (то есть 500 мм).

Насколько маленькими должны быть колеса у модели самолета? Другими словами, что такое 1/100 от 50 см?

1100 = x50

1: 100 = x: 50 см

Преобразуем сантиметры в миллиметры и посмотрим, как это выглядит:

1100 = x500 мм

1: 100 = x: 500 мм

Обратите внимание, что первая пропорция сохраняет исходные единицы измерения, см, поэтому ваш ответ (0.5) будет в сантиметрах: 0,5 см, что составляет 5 мм.

В двух других передаточных числах используется преобразованная единица измерения, мм. Что бы вы умножили 100 раз, чтобы получить 500? Вы должны умножить это на 5, поэтому умножьте 1 x 5; колеса модели должны быть диаметром 5 мм.

Резюме урока

Этот урок показал вам определение пропорции, дал вам примеры пропорций в повседневных ситуациях и научил вас, как сохранять изображения, масштабные модели и копии объектов пропорционально увеличению или уменьшению их размеров.

Теперь вы также можете найти неизвестный размер объекта, который пропорционален другой версии того же объекта (например, экран телевизора, фотография, изображение в рамке или масштабная модель).

Следующий урок:

Переходное свойство сравнения

Как найти неизвестное в пропорции — урок математики [видео 2021 года]

Что такое пропорция?

Пропорция — это просто два равных соотношения. Мы определяем соотношение как сравнение любых двух чисел.В картине «Композиция с красным, желтым и синим» мы можем сравнить высоту картины с шириной картины. Мы также можем сравнить высоту картины с высотой фрески или ширину одного из прямоугольников картины с шириной всей картины.

Для этих сравнений мы будем использовать отношения, которые можно записать несколькими способами. Взгляните на приведенные здесь примеры, которые показывают соотношение подач и аутов в бейсбольной игре:

• 9 иннингов: 54 аута
• 9 иннингов / 54 аута
• 9 иннингов до 54 аутов

В соотношении иннингов к аутам мы знаем, сколько аутов бывает в игре с 9 иннингами.Но мы, возможно, захотим узнать, сколько аутов будет в игре с сокращенным дождем и 7 иннингами. Для этого мы должны:

1. Определить известное соотношение, где известны оба значения
2. Определите соотношение с одним известным значением и одним неизвестным значением
3. Используйте два отношения, чтобы создать пропорцию
4. Перекрестное умножение для решения задачи

Вернемся к нашему примеру иннинга:

1. 9 иннингов / 54 аутов представляют два известных значения
2. 7 иннингов / x аутов представляют одно известное значение и одно неизвестное значение
3. 9 x = 54 * 7
4. 9 х = 378
5. х = 42

В результате наших расчетов мы знаем, что в игре с 7 иннингами будет 42 аута.

Расчет пропорций

Давайте вернемся к гипотетической фреске, о которой мы говорили в начале урока, и к соотношению исходной высоты картины к высоте стены. Это соотношение является ключевым, так как оно позволит нам взять любой размер оригинала и установить пропорцию, чтобы определить размер фрески.

По высоте соотношение оригинальной картины к фреске составляет 28,5 дюйма / 108 дюймов. Теперь, когда мы знаем высоту нашей фрески, давайте определимся с шириной.

1. 28,5 дюймов / 108 дюймов представляет высоту картины / высоту фрески, или наше известное соотношение
2. 27,1 дюйма / x дюймов представляет ширину картины / ширину фрески или известные и неизвестные значения
3. 28,5 дюйма / 108 дюймов = 27,1 дюйма / x дюймов
4. 28,5 x = 108 * 27
5. 28,5 x = 2926,8
6. x = 102,7 дюйма

Следовательно, по нашим расчетам, ширина фрески будет 102.7 дюймов или 8 футов 6,7 дюйма.

Теперь, для большей точности, допустим, мы хотим выделить горизонтальные и вертикальные линии на рисунке. Например, если первая вертикальная линия слева находится на расстоянии 3,8 дюйма от края, где она будет на фреске?

1. 28,5 дюйма / 108 дюймов
2. 3,8 дюйма / x дюймов
3. 28,5 дюйма / 108 дюймов = 3,8 дюйма / x дюймов
4. 28,5x = 108 * 3,8
5. 28.5 х = 410,4
6. x = 14,4 дюйма

Итак, рисуя первую вертикальную линию на нашей фреске, мы начинаем в 14,4 дюйма от ее левого края.

Проверка результатов

При вычислении пропорций убедитесь, что ваши значения занимают аналогичные места в соответствующих соотношениях. Например, если высота известного отношения объекта указана в числителе, высота отношения с неизвестным значением также должна быть в числителе.

Кроме того, если вы «увеличиваете размер» в своей пропорции, здравый смысл подсказывает, что неизвестное будет больше, чем его пропорциональный аналог, например, на фреске. Во-вторых, взгляните на относительные размеры ваших рассчитанных значений. Например, когда мы вычисляли ширину фрески 28,5: 27,1, ширина в оригинале была немного меньше высоты, поэтому расчетная ширина фрески также должна быть немного меньше ее высоты, или 108 : 102.7.

Краткое изложение урока

Хорошо, давайте уделим пару минут для повторения.