Рациональные неравенства видеоурок: Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств — ошкольное образовательное учреждение № 4 «Алёнушка»

Содержание

Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:

> больше,

≥ больше или равно,

< меньше,

≤ меньше или равно,

то получится неравенство.

Линейные неравенства

Линейные неравенства – это неравенства вида:

ax<bax≤bax>bax≥b

где a и b – любые числа, причем a≠0,x – переменная.

Примеры линейных неравенств:

3x<5x−2≥07−5x<1x≤0

Решить линейное неравенство – получить выражение вида:

x<cx≤cx>cx≥c

где c – некоторое число.

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

Если знак неравенства строгий >,<, точка на оси будет выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку – круглой.

Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.

Если знак неравенства нестрогий ≥,≤, точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной.

Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.

Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.

Таблица числовых промежутков

Алгоритм решения линейного неравенства

Раскрыть скобки (если они есть), перенести иксы в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Должно получиться неравенство одного из следующих видов:

ax<bax≤bax>bax≥b

Пусть получилось неравенство вида ax≤b. Для того, чтобы его решить, необходимо поделить левую и правую часть неравенства на коэффициент a.

Если a>0 то неравенство приобретает вид x≤ba.

Если a<0, то знак неравенства меняется на противоположный, неравенство приобретает вид x≥ba.

Записываем ответ в соответствии с правилами, указанными в таблице числовых промежутков.

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство 3(2−x)>18.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6−3x>18

−3x>18−6−3x>12|÷(−3)

Делим обе части неравенства на (-3) – коэффициент, который стоит перед x. Так как −3<0, знак неравенства поменяется на противоположный. x<12−3⇒x<−4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x∈(−∞;−4)

№2. Решить неравество 6x+4≥3(x+1)−14.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6x+4≥3x+3−14

6x−3x≥3−14−4

3x≥−15 | ÷3 Делим обе части неравенства на (3) – коэффициент, который стоит перед x. Так как 3>0, знак неравенства после деления меняться не будет.

x≥−153⇒x≥−5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x∈[−5; +∞)

Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).

Примеры:

№1. Решить неравенство 6x−1≤2(3x−0,5).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6x−1≤6x−1

6x−6x≤−1+1

0≤0

Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x. Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x, чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа.

Ответ:

x – любое число
x∈(−∞;+∞)
x∈ℝ

№2. Решить неравенство x+3(2−3x)>−4(2x−12).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

x+6−9x>−8x+48

−8x+8x>48−6

0>42

Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x. Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.

Ответ: x∈∅

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства вида: ax2+bx+c>0ax2+bx+c≥0ax2+bx+c<0ax2+bx+c≤0 где a, b, c — некоторые числа, причем a≠0,x — переменная.

Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т. д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).

Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

Решить уравнение ax2+bx+c=0 и найти корни x1 и x2.

Отметить на числовой прямой корни трехчлена.

Если знак неравенства строгий >,<, точки будут выколотые.

Если знак неравенства нестрогий ≥,≤, точки будут жирные (заштрихованный).

Расставить знаки на интервалах. Для этого надо выбрать точку из любого промежутка (в примере взята точка A) и подставить её значение в выражение ax2+bx+c вместо x.

Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Выбрать подходящие интервалы (или интервал).

Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

Если знак неравенства < или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -.

Записать ответ.

Примеры решения квадратных неравенств:

№1. Решить неравенство x2≥x+12.

Решение:

Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

x2≥x+12

x2−x−12≥0

x2−x−12=0

a=1,b=−1,c=−12

D=b2−4ac=(−1)2−4⋅1⋅(−12)=1+48=49

D>0⇒ будет два различных действительных корня

x1,2=−b±D2a=−(−1)±492⋅1=1±72=[1+72=82=41−72=−62=−3

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x2−x−1=62−6−1=29>0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪.

Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: x∈(−∞;−3]∪[4;+∞)

№2. Решить неравенство −3x−2≥x2.

Решение:

Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

−3x−2≥x2

−x2−3x−2≥0

−x2−3x−2=0

a=−1,b=−3,c=−2

D=b2−4ac=(−3)2−4⋅(−1)⋅(−2)=9−8=1

D>0⇒ будет два различных действительных корня

x1,2=−b±D2a=−(−3)±12⋅(−1)=3±1−2=[3+1−2=4−2=−23−1−2=2−2=−1

x1=−2,x2=−1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение:

−x2−3x−2=−(0)2−3⋅0−2=−2<0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет −.

Поскольку знак неравенства ≥, выбираем в ответ интервал со знаком +.

Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: x∈[−2;−1]

№3. Решить неравенство 4<x2+3x.

Решение:

Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

4<x2+3x

−x2−3x+4<0

−x2−3x+4=0

a=−1,b=−3,c=4

D=b2−4ac= (−3)2−4⋅(−1)⋅4=9+16=25

D>0⇒ будет два различных действительных корня

x1,2=−b±D2a=−(−3)±252⋅(−1)=3±5−2=[3+5−2=8−2=−43−5−2=−2−2=1

x1=−4,x2=1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение:

−x2−3x+4=−(2)2−3⋅2+4=−6<0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет -.

Поскольку знак неравенства <, выбираем в ответ интервалы со знаком −.

Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x∈(−∞;−4)∪(1;+∞)

№4. Решить неравенство x2−5x<6.

Решение:

Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

x2−5x<6

x2−5x−6<0

x2−5x−6=0

a=1,b=−5,c=−6

D=b2−4ac=(−5)2−4⋅1⋅(−6)=25+25=49

D>0⇒ будет два различных действительных корня

x1,2=−b±D2a=−(−5)±492⋅1=5±72=[5+72=122=65−72=−22=−1

x1=6,x2=−1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x2−5x−6=102−5⋅10−6=100−50−6= 44>0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +.

Поскольку знак неравенства <, выбираем в ответ интервал со знаком -.

Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые

Ответ: x∈(−1;6)

№5. Решить неравенство x2<4.

Решение:

Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.

x2<4

x2−4<0

x2−4=0

(x−2)(x+2)=0⇔[x−2=0x+2=0 [x=2x=−2

x1=2,x2=−2

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x2−4=32−4=9−4=5>0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +.

Поскольку знак неравенства <, выбираем в ответ интервал со знаком −.

Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x∈(−2;2)

№6. Решить неравенство x2+x≥0.

Решение:

Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x2+x=0.

x2+x≥0

x2+x=0

x(x+1)=0⇔[x=0x+1=0[x=0x=−1

x1=0,x2=−1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x2+x=12+1=2>0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +.

Поскольку знак неравенства ≥, выбираем в ответ интервалы со знаком +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: x∈(−∞;−1]∪[0;+∞)

Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.

Дробно рациональные неравенства

Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

f(x)g(x)<0f(x)g(x)≤0f(x)g(x)>0f(x)g(x)≥0

Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

Примеры дробно рациональных неравенств:

x−1x+3<03(x+8)≤5×2−1x>0x+20x≥x+3

Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

Привести неравенство к одному из следующих видов (в зависимости от знака в исходном неравенстве):

f(x)g(x)<0f(x)g(x)≤0f(x)g(x)>0f(x)g(x)≥0

Приравнять числитель дроби к нулю f(x)=0. Найти нули числителя.

Приравнять знаменатель дроби к нулю g(x)=0. Найти нули знаменателя.

В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.

Нанести нули числителя и нули знаменателя на ось x.

Вне зависимости от знака неравенства
при нанесении на ось xнули знаменателя всегда выколотые.

Если знак неравенства строгий,
при нанесении на ось x нули числителя выколотые.

Если знак неравенства нестрогий,
при нанесении на ось x нули числителя жирные.

Расставить знаки на интервалах.

Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.

Примеры решения дробно рациональных неравенств:

№1. Решить неравенство x−1x+3>0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f(x)g(x)>0.

Приравниваем числитель к нулю f(x)=0.

x−1=0

x=1 — это ноль числителя. Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.

Приравниваем знаменатель к нулю g(x)=0.

x+3=0

x=−3 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение f(x)g(x):x−1x+3 = 2−12+3=15>0,

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +.

Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства >, выбираем в ответ интервалы со знаком +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые.

Ответ: x∈(−∞;−3)∪(1;+∞)

№2. Решить неравенство 3(x+8)≤5.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Привести неравенство к виду f(x)g(x)≤0.

3(x+8)≤5

3(x+8)−5\x+8≤0

3x+8−5(x+8)x+8≤0

3−5(x+8)x+8≤0

3−5x−40x+8≤0

−5x−37x+8≤0

Приравнять числитель к нулю f(x)=0.

−5x−37=0

−5x=37

x=−375=−375=−7,4

x=−7,4 — ноль числителя. Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось x точка будет жирной.

Приравнять знаменатель к нулю g(x)=0.

x+8=0

x=−8 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение f(x)g(x):

−5x−37x+8=−5⋅0−370+8=−378<0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет -.

Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства ≤, выбираем в ответ интервалы со знаком -.

В ответ пойдут два интервала. Точка -8 будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка -7,4 будет в квадратных скобках, так как она жирная.

Ответ: x∈(−∞;−8)∪[−7,4;+∞)

№3. Решить неравенство x2−1x>0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f(x)g(x)>0.

Приравнять числитель к нулю f(x)=0.

x2−1=0

(x−1)(x+1)=0⇒[x−1=0x+1=0[x=1x=−1

x1=1,x2=−1 — нули числителя. Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось x точки будут выколотыми.

Приравнять знаменатель к нулю g(x)=0.

x=0 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.

Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение f(x)g(x):

x2−1x=22−12=4−12=32>0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +.

Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства >, выбираем в ответ интервалы со знаком +.

В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x∈(−1;0)∪(1;+∞)

Системы неравенств

Сперва давайте разберёмся, чем отличается знак { системы от знака [ совокупности. Система неравенств ищет пересечение решений, то есть те точки, которые являются решением и для первого неравенства системы, и для второго. Проще говоря, решить систему неравенств — это найти пересечение решений всех неравенств этой системы друг с другом. Совокупность неравенств ищет объединение решений, то есть те точки, которые являются решением либо для первого неравенства, либо для второго, либо одновременно и для первого неравенства, и для второго. Решить совокупность неравенств означает объединить решения обоих неравенств этой совокупности. Более подробно об этом смотрите короткий видео-урок.

Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы неравенств:

{x+4>02x+3≤x2

Алгоритм решения системы неравенств

Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x.

Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x.

Нанести решения первого и второго неравенств на ось x.

Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.

Примеры решений систем неравенств:

№1. Решить систему неравенств {2x−3≤57−3x≤1

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Решаем первое неравенство системы.

2x−3≤5

2x≤8|÷2, поскольку 2>0, знак неравенства после деления сохраняется.

x≤4;

Графическая интерпретация:

Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

Решаем второе неравенство системы.

7−3x≤1

−3x≤1−7

−3x≤−6|÷(−3), поскольку −3<0, знак неравенства после деления меняется на противоположный.

x≥2

Графическая интерпретация решения:

Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

Наносим оба решения на ось x.

Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на отрезке от 2 до 4. Точки 2 и 4 в ответе буду в квадратных скобках, так как обе они жирные.

Ответ: x∈[2;4]

№2. Решить систему неравенств {2x−1≤51<−3x−2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Решаем первое неравенство системы.

2x−1≤5

2x≤6|÷2, поскольку 2>0, знак неравенства после деления сохраняется.

x≤3

Графическая интерпретация:

Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

Решаем второе неравенство системы.

1<−3x−2

3x<−1−2

3x<−3|÷3, поскольку 3>0, знак неравенства после деления сохраняется.

x<−1

Графическая интерпретация решения:

Точка -1 на графике выколотая, так как знак неравенства строгий.

Наносим оба решения на ось x.

Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на самом левом участке. Точка -1 будет в ответе в круглых скобках, так как она выколотая.

Ответ: x∈(−∞;−1)

№3. Решить систему неравенств {3x+1≤2xx−7>5−x

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Решаем первое неравенство системы.

3x+1≤2x

3x−2x≤−1

x≤−1

Графическая интерпретация решения:

Решаем второе неравенство системы

x−7>5−x

x+x>5+7

2x>12| ÷2, поскольку 2>0, знак неравенства после деления сохраняется.

x>6

Графическая интерпретация решения:

Наносим оба решения на ось x.

Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.

Ответ: x∈∅

№4. Решить систему неравенств {x+4>02x+3≤x2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Решаем первое неравенство системы.

x+4>0

x>−4

Графическая интерпретация решения первого неравенства:

Решаем второе неравенство системы

2x+3≤x2

−x2+2x+3≤0

Решаем методом интервалов.

−x2+2x+3=0

a=−1,b=2,c=3

D=b2−4ac=22−4⋅(−1)⋅3=4+12=16

D>0 — два различных действительных корня.

x1,2=−b±D2a=−2±162⋅(−1)=−2±4−2=[−2−4−2=−6−2=3−2+4−2=2−2=−1

Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.

Графическая интерпретация решения второго неравенства:

Наносим оба решения на ось x.

Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается в двух интервалах. Для того, чтобы в ответе объединить два интервала, используется знак объединения ∪.

Точка -4 будет в круглой скобке, так как она выколотая, а точки -1 и 3 в квадратных, так как они жирные.

Ответ: x∈(−4;−1]∪[3;+∞)

Скачать домашнее задание к уроку 8.

9 класс. Алгебра. Рациональные неравенства и их системы. — Системы рациональных неравенств.

Комментарии преподавателя

На этом уроке мы будем рассматривать системы с рациональными неравенствами. Вначале вспомним решение систем линейных и линейно-квадратных неравенств. Вспомним понятие рационального выражения. Далее будем изучать решение систем с одной дробно-линейной функцией на разборе конкретных примеров и вырабатывать методику их решения.

Тема: Рациональные неравенства и их системы

Урок: Системы с рациональными неравенствами

Ранее мы рассматривали системы линейных неравенств, затем ввели квадратные неравенства, а теперь вводим рациональное неравенство.

Решаем первое неравенство методом интервалов.

1. Рассмотрим функцию

2. Область определения

3. Нули функции

4. Выделяем интервалы знакопостоянства.

5. Определяем знак функции на каждом промежутке (Рис. 1).

Неравенству удовлетворяют промежутки

Вернемся к системе.

Отметим все решения на координатной оси (Рис. 1а).

Ответ:

Методика решения более сложных систем точно такая же.

Рассмотрим сопутствующие задачи.

Найти наименьшее решение данного неравенства.

Ответ:

Рассмотрим еще один способ решения данной системы и увидим, что иногда систему решать легче, чем неравенство.

Если

Знаменатель больше нуля, частное больше нуля, значит, и числитель должен быть больше нуля.

Поэтому должно выполняться только неравенство

Мы получили тот же ответ, но решение гораздо короче.

При решении системы необходимо учитывать влияние одного неравенства на второе.

Решить систему неравенств.

Пользуемся только эквивалентными преобразованиями.

Числитель положительный, частное отрицательное, значит знаменатель отрицательный.

Ответ:

Сопутствующие задачи:

Укажите натуральные решения данной системы.

Ответ:

Укажите число натуральных решений.

Ответ:

Рассмотрим следующую систему неравенств.

Решим первое неравенство методом интервалов. Рассмотрим функцию

Область определения:

Нули:

Решим второе неравенство. Рассмотрим функцию

График функции – парабола, ветви направлены вверх.

Получаем систему

Изобразим решения неравенств на координатной оси.

Ответ:

Сопутствующие задачи.

Найдите натуральное решение неравенства.

Ответ:

Найдите число натуральных решений.

Ответ: 1.

Мы рассмотрели системы неравенств, где одно из неравенств рациональное.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/sistemy-racionalnyh-neravenstv/sistemy-s-ratsionalnymi-neravenstvami?konspekt&chapter_id=22

Источник видео: http://www. youtube.com/watch?v=TRzVVpikMhk

Файлы

Нет дополнительных материалов для этого занятия.

2.2.2 Рациональные неравенства

Видеоурок: Рациональные неравенства

Лекция: Рациональные неравенства

Рациональные неравенства

Под рациональными неравенствами понимают те неравенства, которые содержат рациональные функции.

Иными словами, такие неравенства могут иметь знаменатель.

Например:

Если неравенство не имеет знаменателя, то его называют целым, если же неравенство содержит знаменатель, то его называют дробно-рациональным.

Такие неравенства решаются методом интервалов. Но так как дробно-рациональные неравенства имеют знаменатель, то нельзя забывать про ОДЗ.

Алгоритм решения неравенств методом интервалов

1. Итак, если Вы получили неравенство, содержащее функцию:

То необходимо найти ОДЗ. Напоминаем, что если в неравенстве содержится корень, то значение под знаком корня не может принимать отрицательное значение. Если некоторый множитель находится в знаменателе, то он не может принимать отрицательное значение.

2. Следующим шагом необходимо найти нули функции. Для этого функцию приравнивают к нулю.

3. Полученные значения нулей следует нанести на числовую прямую. Если неравенство строгое или полученные нули не попадают в ОДЗ, то точки наносятся пустыми кружочками. Если же неравенство не строгое, то кружочки зарисовываем. Пустая точка означает, что данное значение переменной не является решением неравенства.

4. После нанесения точек на прямую необходимо узнать знак, который принимает функция в целом в данном промежутке. А затем расставить знаки над каждым промежутком.

5. После этого все промежутки, которые удовлетворяют знаку неравенства, записать в качестве решения с учетом крайних точек. 2\) $D=1-4 \cdot (-9) \cdot 8=289$

$x_1=\frac{6-10}{2}=-2$ $x_1=\frac{-1+17}{-18}=\frac{16}{-18}=-\frac{8}{9}$ $x_2=\frac{6+10}{2}=8$ $x_2=\frac{-1-17}{-18}=\frac{-18}{-18}=1$

$(x-8)(x+2)<0$ $-9(x+\frac{8}{9})(x-1)≤0$

Начертите числовую ось и отметьте на ней найденные корни. Если неравенство строгое (со знаком $<$ или $>$) то точки должны быть выколоты, если неравенство нестрогое (со знаком $≤$ или $≥$), то точки должны быть закрашены.

Нанесенные корни разбивают числовую ось на несколько интервалов.

В первом справа интервале поставьте:

$-$ знак плюс если перед скобками ничего не стоит или стоит положительное число

$-$ знак минус если перед скобками стоит знак минус.

В следующих за ним интервалах поставьте чередующиеся знаки.

Заштрихуйте подходящие интервалы, то есть числовые промежутки:

$-$ со знаком «$+$», если в неравенстве стояло «$>0$» или «$≥0$»

$-$ со знаком «$-$», если в неравенстве стояло «$<0$» или «$≤0$»

Выпишите в ответ те интервалы, которые вы заштриховали.
Внимание! При строгих знаках неравенства ($<$ или $>$) границы интервала НЕ ВХОДЯТ в решение, при этом в ответе сам интервал записывается в виде $(x_1;x_2)$ – скобки круглые. При нестрогих знаках неравенства ($≤$ или $≥$) — границы интервала ВХОДЯТ в решение, и ответ записывается в виде $[x_1;x_2]$, с квадратными скобками на точках.

Ответ: $(-2;8)$ Ответ: $(-∞;\frac{8}{9}]∪[1;∞)$

Пример.2\)

$x_1=\frac{-10-14}{6}=-4$ $x_2=\frac{-10+14}{6}=\frac{2}{3}$

Когда корни найдены, запишем неравенство в разложенном на множители виде.

$3(x+4)(x-\frac{2}{3})≥0$

Теперь начертим числовую ось, отметим на ней корни и расставим знаки на интервалах.

Выпишем в ответ интересующие нас интервалы . Так как знак неравенства $≥$, то нам нужны интервалы со знаком $+$, при этом сами корни мы включаем в ответ (скобки на этих точках – квадратные).

Ответ: $x∈(-∞;-4]∪[ \frac{2}{3};∞)$
Квадратные неравенства с отрицательным и равным нулю дискриминантом

Алгоритм выше работает, когда дискриминант больше нуля, то есть квадратный трехчлен имеет $2$ корня.2-64<0\)

$D=-4 \cdot 64<0$

Когда выражение слева меньше нуля?

Всегда. Значит неравенство выполняется при любых $x$.

Ответ: $x∈(-∞;∞)$

Смотрите также:
Дробно-рациональные неравенства
Скачать статью
Урок по теме » Иррациональные неравенства» | План-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме:
Урок «Решение иррациональных неравенств»,
10 класс, учитель математики МОУ «СОШ №110»
Загваздина М.А.
Цель: познакомить учащихся с иррациональными неравенствами и методами их решения.
Тип урока: изучение нового материала.
Оборудование: учебное пособие «Алгебра и начала анализа. 10- 11 класс», Ш.А. Алимов, справочный материал по алгебре, презентация по данной теме.
План урока:
№
Этап урока
Цель этапа
Время
1
Организационный момент
Сообщение темы урока; постановка цели урока; сообщение этапов урока.
2 мин
2
Проверка домашнего задания
Ответы на возникшие вопросы.
4 мин
3
Устная работа
Пропедевтика определения иррационального уравнения.
4 мин
4
Изучение нового материала
Познакомить с иррациональными неравенствами и со способами их решения
20 мин
5
Решение задач
Формировать умение решать иррациональные неравенства
10 мин
6
Итог урока
Повторить определение иррационального неравенства и способы его решения.
3 мин
7
Домашнее задание
Инструктаж по домашнему заданию.
2 мин
Ход урока
Организационный момент.
Проверка домашней работы (решение заранее записано на доске).
№ 160 (4), 158 (1), 163* (4). Ответы на возникшие вопросы.
Устная работа (Слайд 4,5)
— Какие уравнения называются иррациональными?
— Какие из следующих уравнений являются иррациональными?
— Найти область определения
— Объясните, почему эти уравнения не имеют решения на множестве действительных чисел
— Древнегреческий учёный – исследователь, который впервые доказал существование иррациональных чисел (Слайд 6)
— Кто впервые ввёл современное изображение корня (Слайд 7)
Изучение нового материала.
В тетради со справочным материалом запишите определение иррациональных неравенств: (Слайд 8) Неравенства, содержащие неизвестное под знаком корня, называются иррациональными.
Иррациональные неравенства – это довольно сложный раздел школьного курса математики. Решение иррациональных неравенств осложняется тем обстоятельством, что здесь, как правило, исключена возможность проверки, поэтому надо стараться делать все преобразования равносильными.
Чтобы избежать ошибки при решении иррациональных неравенств, следует рассматривать только те значения переменной, при которых все входящие в неравенства функции определены, т.е. найти ООН, а затем обоснованно осуществлять равносильный переход на всей ООН или её частях.
Основным методом решения иррациональных неравенств является сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем рациональных неравенств. В тетради со справочным материалом запишем основные методы решения иррациональных неравенств по аналогии с методами решения иррациональных уравнений. (Слайд 9)
При решении иррациональных неравенств следует запомнить правило: (Слайд 10)1. при возведении обеих частей неравенства в нечётную степень всегда получается неравенство, равносильное данному неравенству; 2. если обе части неравенства возводят в чётную степень, то получится неравенство, равносильное исходному только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.
Рассмотрим решение иррациональных неравенств, в которых правая часть является числом. (Слайд 11)
1.
Возведём в квадрат обе части неравенства, но в квадрат мы можем возводить только неотрицательные числа. Значит, найдём ООН, т.е. множество таких значений х, при которых имеют смысл обе части неравенства. Правая часть неравенства определена при всех допустимых значениях х, а левая при
х-40. Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ. [4;5)
2.
Это неравенство равносильно системе неравенств:

Т.к. каждое решение 2 неравенства является решением 1 неравенства системы, то система равносильна 2 неравенству
-+9х.
Ответ.[1;8]
3.
Правая часть отрицательна, а левая часть неотрицательна при всех значениях х, при которых она определена. Это означает, что левая часть больше правой при всех значениях х , удовлетворяющих условию х3.
Ответ.[3; +)
4.
При всех допустимых значениях х, т.е. х1, левая часть неотрицательна.
Ответ. Решений нет.
На следующем уроке рассмотрим решение неравенств вида (Слайд 12,13)
Решение задач.
№ 167(1,3), 168(3)
Итог урока.
Какие неравенства мы решали на уроке?
Дайте определение иррационального неравенства.
Каким методом можно решить иррациональное неравенство?
Рефлексия.
Домашнее задание. П. 10(1-5). 167 (2,4), 169 (4)
Видеоурок по алгебре алгоритмы 9 класс :: dysbiztspanbeakth

Рис.5. Мордкович А. Г. Алгебра 9 класс, учебник для общеобразовательных учреждекний. Главная страница. Видеоуроки по алгебре 9 класс. В ролике разбирается пример решения простого квадратного неравенства из курса алгебры 9 класса. Теперь интересное и эффективное обучение доступно и тебе. Подпишитесь и получите возможность скачивания и неограниченного просмотра более 3400 видеоуроков для учителей, школьников и их родителей. Решение задач В3видеоурок.
Информатики. Возникло в Европе после перевода на латынь книги этого математика. Алгоритм решения рационального уравнения. Итак. Башмаков М. И. Алгебра, 8 класс. На этом уроке мы повторим три метода решения систем уравнений. Мордкович А. Г. Алгебра 9 класс, учебник для общеобразовательных. В курсе алгебры 9 класса отводится всего 4 часа на решение задач с помощью систем уравнений второй степени.
Помогут Вам ликвидировать пробелы в знаниях,. Алгебра 7 9 классы. Урок 29. Теоретические материалы и задания Алгебра, 9 класс. Алгоритм исследования функции на чётность.1. Бесплатные уроки, тесты и тренажёры по алгебре за 9 класс по школьной программе. Алгебра 9 класс. Кликните, чтобы удалить из избранных сервисов. Вспомним, что такое решить систему, что такое эквивалентность или равносильные преобразования. Шайдуллова Любовь Радиковна, учитель.
Как получить доступ к видеоурокам. Пособие по алгебре. Алгоритмы решения задач с помощью систем уравнений Алгоритм построения параболы. Алгебра 9 класс 7 неделя. Алгебра 7 9. Сборник алгоритмов. Алгоритм. Выбирай урок и начинай занятия. В 9 классе заканчивается изучение основ алгебры, что сопровождается проверкой. Построение графика квадратичной функций: алгоритм и примеры. Аналитический способвидеоурок на образовательном портале На этом. Решение задачи выполняется по алгоритму.
На образовательном портале Аналитический способвидеоурок на образовательном портале . Алгоритм построения графика. Алгебра 9 класс. Свойства квадратичной. Получите ПОЛНЫЙ КОМПЛЕКТ видеоуроков, тестов и презентаций на весь учебный год для проведения уроков алгебры в 9 классе. На этом уроке вводиться алгоритм построения графика квадратичной функции. Алгебра 7 9 классы. Урок 21. Теоретические материалы и. Видеоуроки математики для школьников и абитуриентов.

Вместе с Видеоурок по алгебре алгоритмы 9 класс часто ищут

рациональные уравнения 8 класс.
дробные рациональные уравнения 9 класс.
рациональные уравнения 10 класс.
как решать рациональные уравнения 9 класс.
решение дробных уравнений 7 класс.
решение рациональных уравнений онлайн.
решение дробных уравнений 6 класс.
алгоритм решения уравнений 7 класс

Читайте также:

Решебник по англискому языку 5класса анна несвит

Гдз по тригонометрии 10 класс с.а теляковский

Внеклассное меропря тиепо биологии 9 класс

Презентация компьютерные технологии подготовки к егэ по математике… — ЕГЭ
презентация компьютерные технологии подготовки к егэ по математике
45
Видеоуроков 45
Тестов 45
Презентаций
Что сегодня интересует ученика?
Конечно же, это компьютер и современные технологии.
Так почему бы нам не использовать это на своих уроках?
С помощью компьютера обучение можно сделать
Еще более понятным и интересным!
Тратить минимум собственных сил
На подготовку и объяснения
Быстро и объективно
Проверять знания ученика
Наладить дисциплину
На своих уроках
Две из трех ключевых частей урока
Уже готовы к использованию
Проверка домашнего задания
Используются готовые тесты
Из этого проекта
Изучение нового материала
Используются видеоуроки
Из этого проекта
Тесты помогут вам проверить знания, а видеоуроки объяснят учебный материал. Это значит, вы:
Экономите
20-25 минут
На уроке
Получаете
Интерес учащихся
И дисциплину
Делаете объяснения
Максимально наглядными
И понятными
Имеете возможность
Работать творчески
И разнообразить свои уроки
Кто мы такие и почему смогли создать этот проект?
Здравствуйте. Меня зовут Дмитрий Тарасов. Я учитель, который в течение нескольких лет изучал и внедрял в свою работу современные информационные технологии. Еще в 2008 году я начал делиться накопленным опытом с коллегами в рамках проекта videouroki. net.
Сейчас над ним работает целая команда профессиональных учителей, художников, дизайнеров, программистов и дикторов.
Уже Более 5 лет мы разрабатываем видеоуроки, тесты, презентации, электронные тетради и прочие полезные материалы для работы учителей.
Команда
Опытных учителей
Собственная
Студия звукозаписи
Профессиональная
Анимация и дизайн
С помощью видеоуроков легко объяснять учебный материал
Видеоурок —
Современный наглядный
Инструмент обучения
С помощью видеоурока вы можете показать то, что никогда не сможете показать на доске.
Каждый ученик получит объяснение нового материала в полном объеме без ваших лишних усилий и независимо от вашего самочувствия и настроения.
Видеоуроки помогут вам уверенно заменить отсутствующих коллег или помочь освоить урок своему собственному ребенку.
Сегодня вы можете получить полный комплект
Таких видеоуроков в новом проекте
«Подготовка к ЕГЭ по математике»
Содержит 45 видеоуроков, 45 тестов и 45 презентаций.
Разработан в помощь учителям математики и учащимся 10-11-го классов.
Сочетается с любыми УМК и программами.
* Стоимость может увеличиться уже завтра
Нажмите на кнопку, чтобы заказать проект
Оформляя заказ, вы соглашаетесь
С уcловиями лицензионного договора
Описание видеоуроков проекта
Урок 1. Числа и их свойства
В этом видеоуроке мы напомним, какие числа называют натуральными, а также действия, которые можно выполнять над натуральными числами. Вспомним, какие числа называют простыми, а какие составными. Сформулируем признаки делимости натуральных чисел. Повторим, как находить НОД и НОК чисел, а также как выполнять деление с остатком.
Урок 2. Дроби, модуль числа, рациональные числа
В данном видеоуроке мы напомним, какие числа называют целыми, рациональными и действительными. Повторим правила выполнения арифметических действий над рациональными числами. Вспомним правило обращения периодической дроби в обыкновенную. Напомним, что называют модулем действительного числа, а также основные свойства модуля.
Урок 3. Прогрессии
Данный видеоурок будет посвящён арифметической и геометрической прогрессиям. Мы повторим их свойства, а также вспомним необходимое и достаточное условия существования каждой из них.
Урок 4. Проценты и пропорции
В этом видеоуроке мы вспомним, что называют пропорцией. Повторим её основные свойства. Поговорим о прямой и обратной пропорциональности. Напомним, что называют процентом числа.
Урок 5. Степени и корни. Действия с ними
В данном видеоуроке мы повторим понятие степени с натуральным показателем и степени с отрицательным целым показателем. Повторим свойства степени. Скажем, что называют степенью с рациональным показателем. Напомним, что называют корнем n-й степени и арифметическим корнем n-й степени. Поговорим о свойствах арифметического корня n-й степени.
Урок 6. Вычисления и преобразования выражений
Данный видеоурок будет посвящён вычислениям и преобразованиям выражений. Для этого мы повторим свойства модуля действительного числа, свойства арифметического корня n-й степени, свойства степени. Вспомним формулы сокращённого умножения. Также повторим порядок выполнения действий.
Урок 7. Чтение графиков и диаграмм
В этом видеоуроке мы будем работать с графиками и диаграммами. Напомним, что называют графиком. Отметим основные моменты, которые нужно знать для работы с ними. Также напомним, что называют диаграммой.
Урок 8. Основы тригонометрии
Данный урок будет посвящён основам тригонометрии. Мы напомним, что называют радианной мерой угла, а также формулы перехода от радианной меры к градусной и, наоборот, от градусной меры к радианной. Вспомним определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла. Приведём таблицу часто встречающихся значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Напомним знаки тригонометрических функций по четвертям.
Урок 9. Формулы тригонометрии
В этом видеоуроке мы повторим основные тригонометрические тождества, формулы приведения и другие формулы тригонометрии.
Урок 10. Преобразование тригонометрических выражений
Данный видеоурок мы посвятим преобразованию тригонометрических выражений. Для этого в начале занятия вспомним основные тригонометрические формулы.
Урок 11. Логарифмы
В данном видеоуроке мы вспомним, что называют логарифмом положительного числа. Повторим основные свойства логарифма. Напомним формулу перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.
Урок 12. Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования
В этом видеоуроке мы будем преобразовывать выражения, включающие операцию логарифмирования. Для этого мы повторим основное логарифмическое тождество и основные свойства логарифма, а также формулу перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.
Урок 13. Квадратные уравнения. Рациональные уравнения. Иррациональные уравнения
В этом видеоуроке мы напомним, что называют уравнением, корнем уравнения и что означает решить уравнение. Повторим теоремы о равносильности уравнений. Вспомним, как решать линейные, квадратные, рациональные и иррациональные уравнения.
Урок 14. Тригонометрические уравнения
Этот видеоурок будет посвящён решению тригонометрических уравнений. В начале занятия мы вспомним, какие уравнения называют простейшими тригонометрическими уравнениями. Повторим формулы нахождения корней простейших тригонометрических уравнений.
Урок 15. Показательные уравнения. Логарифмические уравнения
В этом видеоуроке мы напомним, какие уравнения называют показательными. Рассмотрим некоторые виды показательных уравнений и методы их решения. Также вспомним, какие уравнения называют логарифмическими. Повторим основные их виды и методы решения.
Урок 16. Системы уравнений. Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными
В данном видеоуроке мы вспомним, что называют системой уравнений, решением системы уравнений и что означает решить систему уравнений. Повторим теоремы о равносильности систем уравнений. Вспомним основные методы решения систем уравнений.
Урок 17. Квадратные неравенства. Рациональные неравенства. Иррациональные неравенства
В этом видеоуроке мы напомним, какое неравенство называют неравенством с одной переменной, какие неравенства называют строгими, а какие – нестрогими. Напомним, что называют решением неравенства и что означает решить неравенство. Повторим теоремы о равносильности неравенств с переменными. Вспомним, как решать линейные, квадратные, рациональные и иррациональные неравенства.
Урок 18. Показательные неравенства. Логарифмические неравенства
Данный видеоурок будет посвящён решению показательных и логарифмических неравенств. В начале занятия мы напомним, что решение простейших показательных неравенств основано на свойствах монотонности показательной функции, а решение логарифмических неравенств основано на свойствах монотонности логарифмической функции.
Урок 19. Системы линейных неравенств. Системы неравенств с одной переменной
В данном видеоуроке мы повторим, что называют решениями системы неравенств и что означает решить систему неравенств. Напомним, какие две системы неравенств называют равносильными.
Урок 20. Элементарные функции, их свойства и графики
В этом видеоуроке мы вспомним основные элементарные функции и рассмотрим их графики. Повторим основные приёмы преобразования графиков.
Урок 21. Элементарное исследование функций
Данный видеоурок будет посвящён исследованию функций. В начале занятия мы повторим их свойства.
Урок 22. Тригонометрические функции, их графики
В данном видеоуроке мы напомним, какие функции называют тригонометрическими. Повторим свойства каждой функции и их графики.
Урок 23. Показательная функция, её график. Логарифмическая функция, её график
В данном видеоуроке мы напомним, какую функцию называют показательной. Вспомним её свойства и график. Также напомним, какую функцию называют логарифмической. Повторим её свойства и график.
Урок 24. Производная
В этом видеоуроке мы напомним, что называют производной функции. Вспомним её геометрический и физический смысл. Повторим правила нахождения производной. Приведём производные основных элементарных функций. Также вспомним, как находить производную сложной функции.
Урок 25. Исследование функций
В этом видеоуроке мы повторим применение производной к исследованию функции. Вспомним, как находить промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции, а также наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Урок 26. Первообразная и интеграл
В данном видеоуроке мы вспомним, что называют первообразной функции. Вспомним основное свойство первообразных. Приведём таблицу первообразных и повторим правила нахождения первообразных. Скажем, что называют определённым интегралом, и напомним формулу Ньютона-Лейбница. Вспомним геометрический и физический смысл определённого интеграла.
Урок 27. Треугольник
В этом видеоуроке мы повторим основные сведения о треугольниках. Напомним, какими бывают треугольники. Вспомним признаки равенства и признаки подобия треугольников. Сформулируем теорему Пифагора. Напомним о соотношениях между сторонами прямоугольного треугольника. А также повторим теоремы синусов и косинусов.
Урок 28. Четырёхугольники и многоугольники
В данном видеоуроке мы напомним, какую геометрическую фигуру называют многоугольником. Вспомним о таких четырёхугольниках, как параллелограмм, прямоугольник, трапеция, ромб, квадрат. Повторим основные свойства этих геометрических фигур.
Урок 29. Окружность и круг. Вписанная и описанная окружности
В данном видеоуроке мы вспомним о таких геометрических фигурах, как окружность и круг. Поговорим о касательной к окружности, а также о центральных и вписанных углах. Вспомним теорему об отрезках пересекающихся хорд. Также поговорим о вписанных и описанных окружностях.
Урок 30. Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора
В этом видеоуроке мы напомним, что называют площадью многоугольника. Вспомним свойства площадей. Повторим, как найти площадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции, ромба, а также круга и сектора.
Урок 31. Параллельность прямых и плоскостей
Этот видеоурок будет посвящён параллельности прямых и плоскостей. Мы напомним три основные аксиомы стереометрии. Вспомним основные признаки и свойства.
Урок 32. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей
Данный видеоурок будет посвящён перпендикулярности прямой и плоскости, а также перпендикулярности плоскостей. Мы вспомним про перпендикуляр и наклонную, а также про расстояние от точки до плоскости.
Урок 33. Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур
В этом видеоуроке мы напомним, что называют параллельным проектированием. Вспомним основные его свойства. Повторим, как свойства параллельного проектирования применяются при выполнении рисунков, иллюстрирующих теоремы и задачи стереометрии.
Урок 34. Призма. Площади поверхностей. Объём
В данном видеоуроке мы напомним, какой многогранник называют призмой. Вспомним, какие бывают виды призм, и поговорим о каждом из видов. Повторим, как находить площадь боковой и полной поверхностей призмы, а также её объём.
Урок 35. Параллелепипед, куб. Площади поверхностей. Объём
В данном видеоуроке мы напомним, какую призму называют параллелепипедом. Вспомним, как находить площади боковой и полной поверхностей параллелепипеда и его объём. Повторим свойства параллелепипеда. Также на этом занятии мы поговорим о кубе.
Урок 36. Пирамида. Площади поверхностей. Объём
Данный видеоурок будет посвящён пирамиде. Мы напомним, что называют диагональным и параллельным сечениями пирамиды. Вспомним, какие виды пирамид бывают, и поговорим о каждом из них. Повторим, как находить площади боковой и полной поверхностей пирамиды, а также её объём. Поговорим об усечённой пирамиде.
Урок 37. Сечения куба, призмы, пирамиды
Этот видеоурок мы посвятим построению сечений многогранников. Вспомним три основных метода построения сечений. Поговорим о каждом из них.
Урок 38. Цилиндр. Площади поверхностей. Объём
В этом видеоуроке мы вспомним, какое геометрическое тело называют цилиндром. Поговорим о сечениях цилиндра. Напомним, как находить площади боковой и полной поверхностей цилиндра, а также его объём.
Урок 39. Конус. Площади поверхностей. Объём
В данном видеоуроке мы напомним, какое геометрическое тело называют конусом. Вспомним о сечениях конуса. Повторим формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей конуса и его объёма. Поговорим об усечённом конусе.
Урок 40. Шар и сфера, их сечения
Данный видеоурок будет посвящён сфере и шару. Мы вспомним их основные элементы. Поговорим о сечениях сферы и шара, а также о касательной плоскости и касательной прямой. Повторим формулы для нахождения площади сферы и объёма шара. Напомним о шаровом секторе и шаровом сегменте, а также о вписанном в многогранник и описанном около многогранника шарах.
Урок 41. Координаты на прямой, декартовы координаты на плоскости и в пространстве
В данном видеоуроке мы поговорим о координатах на прямой, декартовых координатах на плоскости и в пространстве. Напомним, как находить расстояние между точками и координаты середины отрезка. Вспомним уравнения окружности и прямой, сферы и плоскости.
Урок 42. Вектор, модуль вектора. Коллинеарные векторы. Компланарные векторы. Координаты вектора
В этом видеоуроке мы вспомним, что называют вектором, модулем вектора. Поговорим о сложении векторов и умножении вектора на число. Вспомним о коллинеарных векторах и разложении вектора по двум неколлинеарным векторам. Также напомним о компланарных векторах и разложении вектора по трём некомпланарным векторам. Вспомним о координатах вектора, скалярном произведении векторов и его свойствах.
Урок 43. Элементы комбинаторики
В этом видеоуроке мы напомним, что называют комбинаторикой. Повторим основные правила решения комбинаторных задач. Вспомним, что называют перестановками, размещениями и сочетаниями.
Урок 44. Элементы статистики
В данном видеоуроке мы напомним, чем занимается статистика. Вспомним основные элементы статистики. Ещё раз закрепим наши знания на практике.
Урок 45. Элементы теории вероятностей
Данный видеоурок будет посвящён повторению основных элементов раздела математики, который занимается исследованием закономерностей в массовых явлениях. Мы вспомним основные понятия и определения, а также ещё раз закрепим навыки при решении задач.
В этом проекте вы также найдёте
45 тестов в трёх форматах и 45 презентаций
Для подготовки к ЕГЭ по математике для 10-11-го классов
Компьютерные тесты — инструмент быстрой и объективной проверки знаний
Компьютерное тестирование поможет вам за 5 минут быстро и объективно проверить знания всех учащихся класса.
Готовые тесты для распечатки помогут вам сэкономить время при подготовке к уроку, если у вас в кабинете нет возможности использовать компьютер.
45 готовых презентаций — помогут вам самостоятельно объяснить учебный материал
Иногда, даже если у вас есть готовый видеоурок, хочется объяснить материал самому. В этом вам помогут презентации.
Эти презентации с готовыми иллюстрациями и определениями вы можете изменять так, как вам нравится, и использовать при своих объяснениях.
45 компьютерных тестов для подготовки к ЕГЭ по математике для 10-11-го классов
45 тестов для подготовки к ЕГЭ по математике для 10-11-го классов в формате MS Word для распечатки
45 готовых презентаций для самостоятельных
Объяснений
Как использовать видеоуроки, тесты и презентации?
Фронтально
С помощью проектора
В компьютерном классе
По сети
На компьютере
Или ноутбуке
Что в итоге вы получите от этого проекта?
Уроки станут интереснее, т. к. благодаря смене видов
Деятельности урок становится более разнообразным Улучшим качество проверки знаний, т. к. теперь она
Будет максимально быстрой и объективной На уроках появится дисциплина за счет продуманности
И наполнения каждого этапа. Учащимся просто некогда
Будет отвлекаться Сделаем обучение максимально доступным,
Т. к. при объяснении учебного материала мы задействуем
Все основные каналы восприятия
Продуктивные интересные уроки, ваше свободное время, репутация современного учителя, возможность работать творчески, дисциплина на уроке, экономия ваших сил и энергии, наглядное и понятное обучение.
Оформляя заказ, вы соглашаетесь с уcловиями лицензионного договора
Оформите заказ сегодня и получите подарки
Подарок 1. Справочный материал «Подготовка к ЕГЭ по математике»
При подготовке к ЕГЭ учащиеся сталкиваются с большим объёмом информации, что, конечно же, пугает и настораживает их.
Именно поэтотому в качестве бонуса мы предлагаем вам материал, который будет полезен вашим ученикам при подготовке к ЕГЭ по математике. Он включает презентацию и файл в формате pdf. с чётко структурированным и компактно собранным материалом по всему курсу.
В справочном материале «Подготовка к ЕГЭ по математике» собраны основные формулы, которые пригодятся ученикам при решении задач. Его можно использовать не только для подготовки к единому государственному экзамену, но и в качестве дополнения к урокам по предмету или наглядного пособия.
Подарок 2. Видеокурс «Настройка компьютерного тестирования за 5 минут»
Для работы с компьютерными тестами вам понадобится специальная программа. Она бесплатна и работает как в Windows, так и в Linux.
Но, для того, чтобы вам не пришлось самостоятельно разбираться во всех тонкостях её работы, мы подарим вам специальный видеокурс, который поможет вам освоить компьютерное тестирование за 5 минут.
Вы не только сможете использовать подготовленные нами тесты из этого проекта, но также научитесь создавать свои собственные и редактировать уже имеющиеся.
Какие гарантии?
Понятно, что при заказе через Интернет всегда есть сомнения в честности того, кто находится по ту сторону экрана.
В этом случае вы можете полностью нам доверять, потому что:
Проект videouroki. net существует с 2008-го года. Над ним постоянно ведется работа, и именно поэтому он по праву занимает место в десятке лидирующих ресурсов для учителей. Убедиться в высоком качестве наших материалов вы можете на примере опубликованного на этой странице видеоурока, а также других материалов нашего сайта. В рамках проекта videouroki. net доступны к заказу различные проекты для учителей, которые успешно получили уже более 1 000 человек и с радостью применяют их в своей работе. Мы всегда поможем вам разобраться с любыми вопросами, возникшими у вас при использовании данного проекта или других материалов нашего сайта. Мы работаем легально. Наша компания официально зарегистрирована и платит все налоги. Проверить это можно по ИНН, КПП и УНП на официальном сайте министерства по налогам и сборам. Вы получаете 100% гарантию доставки материала. Если по какой либо невероятной причине вы оплатите, но не получите ваш заказ или у вас поломается диск, то в любое время вы сможете сделать запрос в нашу службу поддержки и мы повторно сделаем вам отправку ссылки для скачивания купленного вами комплекта или отправим диск с оплатой только почтовых расходов. Вы можете заказать комплект и сразу скачать его а также дополнительно получить его на диске по почте.
Отзывы о проектах
Наталья Меркулова
Я не первый раз заказываю у Вас диски, они о-о-очень помогают мне в работе
Уважаемый Дмитрий! Вы меня благодарите — это Вас надо благодарить за этот титанический труд. Я не первый раз заказываю у Вас диски, они о-очень помогают мне в работе. Вы и сами прекрасно понимаете, как Ваши уроки сокращают всем время на подготовку. Вам спасибо за все и желаю Вам творческих и профессиональных успехов. Удачи!
Светлана Кардаш
Даже «тупенькие» что-то воспринимают
Дмитрий, пользуюсь Вашими проектами в полной мере. Есть классы, в которых одно и тоже говори каждый урок, и для них это будет «как в первый раз», очень обидно и жалко свой труд. Поставил урок: «это мы видели в прошлый раз», радует — запомнили! Повторять не надо!. Даже «тупенькие» что-то воспринимают: ведь стыдно, не понять то, о чем говорилось в прошлый урок!
Светлана Кудашкина
Содержание диска очень понравилось. Хотелось бы еще и 8 класс иметь в таком варианте
Здравствуйте, Дмитрий. Спасибо за оперативность, диск получила достаточно быстро. Содержание диска очень понравилось. хотелось бы еще и 8 класс иметь в таком варианте. ваш труд неоценим особенно для учителей малокомплектных школ, когда помимо основного предмета приходится самостоятельно осваивать дополнительные.
Демяшкевич Надежда Семеновна
У меня есть все диски которые Вы создали. Это огромная помощь учителю.
Дмитрий, добрый день! Я очень Вам благодарна за все, что вы делаете. У меня есть все диски которые Вы создали. Это огромная помощь учителю. Все очень доступно объяснено. Не представляю, когда Вы все успеваете. Желаю Вам творческих успехов и огромные слова благодарности! СПАСИБО.
Результаты опроса более 3 000 клиентов
Как вы считаете,
Вы заплатили за проект.
Довольны ли вы
Качеством продукта?
Удовлетворены ли вы
Доставкой материалов?
Частые вопросы и ответы на них
Как получить этот проект?
Для получения этого проекта нажмите кнопку оформить заказ и введите свои данные для получения материалов. Далее вы можете оплатить свой заказ онлайн или по квитанции и получить ссылку для скачивания комплекта сразу после отслеживания нами оплаты (для электронных систем мгновенно, при оплате по квитанции 1-3 дня). Вы также можете получить свой заказ по почте на диске. Доставка по почте оплачивается дополнительно и занимает обычно 1-3 недели.
Да, вы можете при оформлении заказа указать дополнительную опцию «Доставка по почте».
Если вы оплатили заказ с доставкой по почте, то, как только оплата отслеживается, мы высылаем вам ссылку для скачивания заказанного вами проекта, а потом отправляем диск по почте заказным мелким пакетом. Доставка по почте происходит от нескольких дней до 3-х недель в зависимости от расстояния. Как только отправление прибыло, вы просто приходите на почту и получаете его уже бесплатно (без дополнительных оплат почте) потому что доставку вы уже также оплатили.
Да, если вы заказываете материал на диске и делаете его предоплату, то вы дополнительно получите письмо со ссылкой для скачивания электронной версии данного проекта. Оно будет выслано автоматически, сразу после прохождения оплаты. После этого материал будет отправлен на DVD заказным мелким пакетом, за который ничего не нужно платить при получении.
Все наши разработки на русском языке.
Мы предлагаем свои проекты для учителей, для их персонального использования в работе. Это значит, что вы можете пользоваться ими и установить их материалы и программы на все компьютеры в своем учебном классе. Но ваши коллеги уже должны покупать для своей работы отдельные лицензии.
Также запрещается копировать, тиражировать и распространять этот проект или его части всевозможными способами ни учителям, ни домой ученикам, ни любым иным третьим лицам, т. к. это будет противоречить лицензионному соглашению.
Т. е. на сегодняшний день данная лицензия привязывается к вам как к конкретному человеку.
Эти проекты помогают в обучении и работе учителя, как стиральная
Машина при стирке, как микроволновая печь при разогреве,
Как автомобиль при перемещении.
Это не просто готовые видеоуроки и тесты, это ваше свободное
Время, удобство и комфорт. Закрыв эту страницу, вы вряд ли снова
Попадете сюда, а значит рискуете так никогда и не получить
Возможность работать и жить по-новому, более свободно, интересно и продуктивно.
* Стоимость может увеличиться уже завтра
Оформляя заказ, вы соглашаетесь с уcловиями лицензионного договора
Лицензия на право ведения
Образовательной деятельности
№ 5251 от 25.08.2017 г.
45 компьютерных тестов для подготовки к ЕГЭ по математике для 10-11-го классов
Проверка домашнего задания
Используются готовые тесты
Из этого проекта
Изучение нового материала
Используются видеоуроки
Из этого проекта
Тесты помогут вам проверить знания, а видеоуроки объяснят учебный материал. Это значит, вы:
Экономите
20-25 минут
На уроке
Получаете
Интерес учащихся
И дисциплину
Делаете объяснения
Максимально наглядными
И понятными
Имеете возможность
Работать творчески
И разнообразить свои уроки
Тесты помогут вам проверить знания, а видеоуроки объяснят учебный материал. Это значит, вы:
Урок 41. Координаты на прямой, декартовы координаты на плоскости и в пространстве
Повторим, как находить площадь боковой и полной поверхностей призмы, а также её объём.
Videouroki. net
20.07.2020 5:56:26
2020-07-20 05:56:26
Описание презентации по отдельным слайдам:
1 слайд
СтатГрад 1 Вариант МА1910509 22.04.2020
2 слайд
3 слайд
4 слайд
5 слайд
6 слайд
7 слайд
8 слайд
9 слайд
10 слайд 11 слайд 0 » title=» Решим неравенство методом рационализации. ОДЗ: х>0 «> 0 » title=» Решим неравенство методом рационализации. ОДЗ: х>0 «>
Решим неравенство методом рационализации. ОДЗ: х>0
12 слайд
13 слайд
14 слайд
15 слайд
S=7 млн. р, n=10, k=(1+r)/100 , x=0 ,7 млн. р — ежегодный транш Последняя выплата=0,7к. По условию : 0,7к ≥0,819 к ≥ 1,17 r = 17 % Год Долг (млн. р) Долг с % (млн. р) Выплаты 1 7 7к 7к-6,3 2 6,3 6,3к 6,3к-5,6 3 5,6 5,6 к 5.6к-4,9 ——- ———- ———- ————- 10 0,7 0,7к 0,7к 11 0 0
16 слайд
2 способ оформления:
17 слайд
18 слайд
19 слайд
20 слайд
21 слайд
22 слайд
Интернет — ресурсы: https://math200.ru/egeprofil-statgrad/ Диагностический вариант СтатГрад ЕГЭ Профиль по математике 1910509-22.04.2020 с ответами
16 предметов Для учеников 1-11 классов и дошкольников Бесплатные наградные документы для учеников и учителей
Розыгрыш ЦЕННЫХ ПРИЗОВ среди ВСЕХ участников
Все материалы Статьи Научные работы Видеоуроки Презентации Конспекты Тесты Рабочие программы Другие методич. материалы
Презентация представляет собой один из
Береговая Татьяна МихайловнаНаписать 675 24.06.2020
Номер материала: ДБ-1227927
Алгебра 11 класс Презентации
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
СтатГрад 1 Вариант МА1910509 22.04.2020
Оставьте свой комментарий
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
8 слайд
Оставьте свой комментарий
СтатГрад 1 Вариант МА1910509 22.
Infourok. ru
16.05.2017 16:53:38
2017-05-16 16:53:38
Источники:
Https://videouroki. net/projects/2/index. php? id=mathege
Https://infourok. ru/prezentaciya-po-matematike-podgotovka-k-ege-2020-statgrad-4368633.html
MATH 1050 — Видеоуроки
Уроки
Учебное пособие
Видео
Печать (PDF)

1,1
Система вещественных чисел
Видео лекции
Конспект лекций
Видео Хоукса 1
Hawkes Видео 2

Пример видео 1
Печать
Пример видео 2 Печать
1.2
Показатели и радикалы
Видео лекции
Конспект лекций
Видео Хоукса 1
Hawkes Видео 2
Hawkes Видео 3
Hawkes Видео 4

Пример видео 1
Печать
Пример видео 2 Печать
Пример видео 3 Печать
1.3, 1,4
Многочлены и факторинг
Видео лекции
Конспект лекций
Видео Хоукса 1

Пример видео 1
Печать
Пример видео 2 Печать
1.5
Комплексная система счисления
Видео лекции
Конспект лекций
Видео Хоукса 1

Пример 1 Видео
Печать
Пример 2 Видео Печать
1.6
Линейные уравнения
Видео лекции
Конспект лекций
Видео Хоукса 1
Hawkes Видео 2

Расстояние = Скорость x Время
Пример 1 Видео
Печать

Walkathon
Пример 2 Видео
Печать

Пример 3 Видео
Печать
1.7
Линейные неравенства
Видео лекции
Конспект лекций
Видео Хоукса 1

Устранение неравенств
Пример 1 Видео
Печать

Пример 2 Видео
Печать
Пример 3 Видео Печать
1.8
Квадратные уравнения
Видео лекции
Конспект лекций
Видео Хоукса 1
Hawkes Видео 2

Квадратичная формула
Пример 1 Видео
Печать

Проблемы с падающим телом
Пример 2 Видео
Печать

Пример 3 Видео
Печать
Пример 4 Видео Печать
Пример 5 Видео Печать
1.9
Рациональные уравнения
Видео лекции
Конспект лекций
Видео Хоукса 1
Hawkes Видео 2
Пример 1 Видео Печать
Пример 2 Видео Печать
Пример 3 Видео Печать
Пример 4 Видео Печать

Радикальное упрощение
Пример 1 Видео
Печать
2.1
Декартова система координат
Видео лекции
Банкноты
Видео Хоукса 1

Периметр и площадь треугольника
Пример 1 Видео
Печать
2.3
Линейные уравнения с двумя переменными
Видео лекции
Банкноты

Hawkes Video 1
2,4
Формы линейных уравнений
Видео лекции
Банкноты

Наклон и уравнение прямой
Пример 1 Видео
Печать

Hawkes Video 1
2.5
Параллельные и перпендикулярные линии
Видео лекции
Банкноты

Hawkes Video 1
2,6
Линейные неравенства двух переменных
Видео лекции
Банкноты

Hawkes Video 1
2.2
Знакомство с кругами
Видео лекции
Банкноты

Центр и радиус окружности
Пример 1 Видео
Печать

Hawkes Video 1
3.1
Отношения и функции
Видео лекции
Банкноты

Обозначение функций и домен
Пример 1 Видео
Печать

Полиномиальная функция
Пример 2 Видео
Печать
Видео Хоукса 1
3.2, 3,3
Линейные и квадратичные функции
Видео лекции
Банкноты
Видео Хоукса 1
Hawkes Видео 2

Демонстрационная онлайн-версия Grapher
Видео

График функции: перехваты
Пример 1 Видео
Печать

Проблема с коробкой: максимальный объем
Пример 2 Видео
Печать
График 1 Пример 3 Видео Печать
График 2 Пример 4 Видео Печать

Квадратичная формула
Пример 5 Видео
Печать
3.4
Прочие общие функции
Видео лекции
Банкноты

Максимальные и минимальные значения функции
Пример 1 Видео
Печать

Максимальный доход
Пример 2 Видео
Печать
Видео Хоукса 1
4.1, 4,2
Преобразования функций
Видео лекции
Видео лекции
Примечания 1
Банкноты 2

Функции увеличения и уменьшения
Видео
Печать

Рациональные нули
Пример 1 Видео
Печать
Видео Хоукса 1
4.3
Комбинирование функций
Видео лекции
Банкноты

Состав функций
Пример 1 Видео
Печать

Hawkes Video 1
4.4
Обратные функции
Видео лекции
Банкноты

Нахождение обратной функции
Пример 1 Видео
Печать

Hawkes Video 1
5.1
Полиномиальные уравнения и графики
Видео лекции
Банкноты

Асимптоты и пересечения
Пример 1 Видео
Печать

Пример 2 Видео
Печать
Пример 3 Видео Печать
Видео Хоукса 1
5.2
Полиномиальное деление
Видео лекции
Банкноты

Hawkes Video 1
5,3
Поиск нулей многочленов
Видео лекции
Банкноты

Hawkes Video1
5.4
Основная теорема алгебры
Видео лекции
Банкноты

Найди нули
Пример 1 Видео
Печать

Приблизительно максимальное значение нуля
Пример 2 Видео
Печать

Факторная теорема и основная теорема
Пример 3 Видео
Печать

Использование факторной теоремы
Пример 4 Видео
Печать

Hawkes Video 1
5.5
Рациональные функции
Неравенства
Видео лекции
Видео лекции
Примечания 1
Банкноты 2

Полиномиальное деление
Пример 1 Видео
Печать

Подразделение синтетических материалов
Пример 2 Видео
Печать

Соответствие графику
Пример 3 Видео
Печать

Решить неравенство: факторизованный многочлен
Пример 4 Видео
Печать

Разрешение неравенства
Пример 5 Видео

Пример 6 Видео
Печать
Видео Хоукса 1
Hawkes Видео 2
6.1
Экспоненциальные функции и графики
Видео лекции
Банкноты

Hawkes Video 1
6.2
Приложения экспоненциальных функций
Видео лекции
Банкноты

Экспоненциальный рост, бактерии
Пример 1 Видео
Печать

Экспоненциальный рост, деньги
Пример 2 Видео
Печать

Hawkes Video 1
6.3
Логарифмические функции и графики
Видео лекции
Банкноты

Обратная экспоненциальная функция
Пример 1 Видео
Печать

Обратная логарифмическая функция
Пример 2 Видео
Печать

Hawkes Video 1
6.4
Свойства и применение логарифмов
Видео лекции
Банкноты

Свойства логарифмов
Пример 1 Видео
Печать

Hawkes Video 1
6.5
Экспоненциальные и логарифмические уравнения
Видео лекции
Банкноты

Решение уравнений: экспоненты
Пример 1 Видео
Печать

Решение уравнений: логарифмы
Пример 2 Видео
Печать

Hawkes Video 1
11.1
Решение систем уравнений
Видео лекции
Банкноты

Hawkes Video 1
11,2
Матричная запись и исключение Гаусса
Видео лекции
Банкноты

Система уравнений 1
Пример 1 Видео
Печать

Система уравнений 2
Пример 2 Видео
Печать

Уравнение параболы
Пример 3 Видео
Печать

Hawkes Видео 2

Нелинейные системы уравнений
Видео лекции
Банкноты

Система уравнений 3
Пример 1 Видео
Печать

Размеры прямоугольника
Пример 2 Видео
Печать

Площадь прямоугольника
Пример 3 Видео
Печать

Hawkes Video 1
Видео с вопросом: устранение неравенств с помощью рациональных функций
Стенограмма видео
Для каких значений верно, что true плюс три больше 𝑥 минус один больше или равно трем?
Записываем неравенство еще раз.И мы можем заметить, что если мы умножим обе части на минус один, то получим линейное неравенство. У нас будет плюс три слева и три раза по минус один справа. Но какой знак неравенства между ними будет?
Помните, если мы умножаем обе части неравенства на положительную величину, мы сохраняем тот же знак. Но если мы умножаем на отрицательную величину, то мы должны перевернуть знак, изменив его направление. Итак, вопрос в том, является ли величина, которую мы умножаем на 𝑥 минус один, положительной или отрицательной?
Ну, конечно, это зависит от стоимости 𝑥.Если 𝑥 больше единицы, то величина, на которую мы умножаем, положительна. Итак, у нас будет тот же знак в неравенстве, знак больше или равно. Однако, если 𝑥 меньше единицы, то величина, на которую мы умножаем, отрицательна. Таким образом, при умножении на минус один знак неравенства изменится с «больше или равно» на «меньше или равно».
Есть, конечно, еще одна возможность. 𝑥 может быть равно единице. Но когда 𝑥 равно единице, тогда левая часть исходного неравенства не определена, потому что мы делим на 𝑥 минус один, который будет равен нулю.Итак, очевидно, что равно единице, это не то значение 𝑥, для которого выполняется неравенство.
У нас осталось два случая: случай, когда больше единицы, и случай, когда 𝑥 меньше единицы. Оба эти случая имеют линейные неравенства, которые мы можем решить обычным способом. Начиная со случая, когда 𝑥 больше единицы, мы распределяем по правой части, вычитаем с обеих сторон, добавляем три к обеим сторонам и делим на два, отмечая, что, поскольку два положительно, нам не нужно переворачивать знак неравенства.
И написание 𝑥 в левой части по соглашению, три больше или равно 𝑥, становится 𝑥 меньше или равно трем. У нас может возникнуть соблазн подумать, что это наш ответ. Но мы должны помнить, что мы сделали предположение, что больше единицы, чтобы решить это неравенство.
Комбинируя эти два условия, мы получаем, что 𝑥 находится между одним и тремя, где конечная точка один не включена, потому что у нас есть знак «меньше». Но конечная точка три включена.Перейдем к случаю, когда 𝑥 меньше единицы. И это точно такой же процесс. Мы распределяем, вычитаем с обеих сторон, прибавляем три к обеим сторонам, делим обе стороны на два, не меняя знака, потому что два положительно, и, наконец, переписываем три меньше или равно более традиционным способом, поскольку 𝑥 больше или равно трем.
Снова нам нужно объединить эти два ограничения, которые у нас есть на 𝑥. 𝑥 должно быть меньше единицы, а также больше или равно трем.Не существует действительных чисел, удовлетворяющих обоим ограничениям одновременно. Число не может быть одновременно меньше единицы и больше или равно трем. Так что решений из этого дела мы не получаем.
Значения, для которых верно, что плюс три больше 𝑥 минус один больше или равно трем, являются значениями, которые больше единицы и меньше или равны трем. Если бы мы не позаботились о том, является ли величина, на которую мы умножаем, положительной или отрицательной, мы могли бы наивно сохранить один и тот же знак вместо того, чтобы делить его на падежи.
В этом случае мы получили бы неправильный ответ меньше или равно трем, потому что мы не осознали, что сделаем дополнительное предположение, что 𝑥 больше единицы. И легко увидеть, что меньше или равно трем, не может быть правильным ответом, потому что ноль меньше или равен трем. Но ноль не удовлетворяет нашему исходному неравенству.
Взяв левую часть неравенства и заменив на ноль, мы получим ноль плюс три над нулем минус один, что является отрицательным трем, что не больше или равно правой части неравенства три .Но вы можете проверить, поэтому то, что мы говорим, является правильным ответом. Один меньше меньше или равен трем. Значения внутри этого интервала удовлетворяют исходному неравенству. И что не менее важно, значения вне этого интервала не удовлетворяют исходному неравенству.
Решение абсолютных уравнений и неравенств (Алгебра 1, Линейные неравенства) — Mathplanet
Абсолютное число числа a записывается как
$$ \ осталось | a \ right | $$
And представляет собой расстояние между a и 0 на числовой прямой.
Уравнение абсолютного значения — это уравнение, которое содержит выражение абсолютного значения. Уравнение
$$ \ осталось | x \ right | = a $$
Имеет два решения x = a и x = -a, потому что оба числа находятся на расстоянии a от 0.
Чтобы решить уравнение абсолютного значения как
$$ \ осталось | x + 7 \ вправо | = 14 $$
Вы начинаете с превращения его в два отдельных уравнения, а затем решаете их по отдельности.
$$ x + 7 = 14 $$
$$ x + 7 \, {\ color {green} {- \, 7}} \, = 14 \, {\ color {green} {- \, 7}} $$
$$ x = 7 $$
или
$$ x + 7 = -14 $$
$$ x + 7 \, {\ color {green} {- \, 7}} \, = -14 \, {\ color {green} {- \, 7}} $$
$$ x = -21 $$
Уравнение абсолютного значения не имеет решения, если выражение абсолютного значения равно отрицательному числу, поскольку абсолютное значение никогда не может быть отрицательным.
Неравенство
$$ \ осталось | х \ право | <2 $$
Представляет расстояние между x и 0, которое меньше 2
Тогда как неравенство
$$ \ осталось | x \ right |> 2 $$
Представляет расстояние между x и 0, которое больше 2
Неравенство по абсолютным значениям можно записать как составное неравенство.
$$ \ осталось | x \ right | <2 \: или
$$ — 2
Это верно для всех неравенств по абсолютным значениям.
$$ \ осталось | ax + b \ right | 0 $$
$$ = — c
$$ \ осталось | ax + b \ right |> c, \: где \: c> 0 $$
$$ = ax + b <-c \: или \: ax + b> c $$
Вы можете заменить> выше на ≥ и <на ≤.
При решении неравенства абсолютного значения необходимо сначала выделить выражение абсолютного значения на одной стороне неравенства, прежде чем решать неравенство.
Пример
Решите неравенство абсолютных значений
$$ 2 \ влево | 3x + 9 \ вправо | <36 $$
$$ \ frac {2 \ left | 3x + 9 \ right |} {2} <\ frac {36} {2} $$
$$ \ осталось | 3x + 9 \ вправо | <18 $$
$$ — 18 <3x + 9 <18 $$
$$ — 18 \, {\ color {green} {- \, 9}} <3x + 9 \, {\ color {green} {- \, 9}} <18 \, {\ color {green} { - \, 9}} $$
$$ — 27 <3x <9 $$
$$ \ frac {-27} {{\ color {green} 3}} <\ frac {3x} {{\ color {green} 3}} <\ frac {9} {{\ color {green} 3} } $$
$$ — 9
Видеоурок
Решите уравнение абсолютного значения
$$ 4 \ влево | 2x -1 \ вправо | -2 = 10 $$

Колледж Алгебра
Урок 23B: Рациональные неравенства
Цели обучения
После прохождения этого руководства вы сможете:
Решите рациональные неравенства, используя знаковый граф
факторы.
Решите рациональные неравенства с помощью контрольной точки
метод.
Введение
В этом уроке мы рассмотрим решение рациональных
неравенства двумя разными методами. Методы решения
рациональное неравенство
очень похоже на решение квадратных неравенств.Если вам нужен
обзор решения квадратичных неравенств, см. Учебное пособие
23A: Квадратичные неравенства. И да, мы будем
иметь дело с
дроби (фу!) , пока мы проходим через рациональные неравенства.
Думаю, мы готовы к старту.
Учебник
Рациональное
Неравенства
Рациональное
неравенство одно
который может быть записан в одной из следующих стандартных форм:
или
или
или
Q не равно 0.
Другими словами, рациональное неравенство входит в стандартную
форма, когда
неравенство установлено на 0.
Решение
Рациональные неравенства
Использование
Знаковый график факторов
Это
метод решения рациональных неравенств работает только в том случае, если числитель и
знаменатель
фактор.Если хотя бы один из них не учитывается, вам понадобится
использовать метод контрольной точки, показанный позже
эта страница.
Этот метод работает так же, как и с квадратичным
неравенства.
Если вам нужен
обзор решения квадратичных неравенств, см. Учебное пособие
23A: Квадратичные неравенства.

Осторожно, это действительно
соблазнительно
умножьте обе части неравенства на знаменатель, как вы это делаете
когда
решение рациональных уравнений.Проблема заключается в выражении в
знаменатель будет иметь переменную, поэтому мы не будем знать, какой знаменатель
равно. Помните, что если мы умножим обе стороны
неравенство
положительным числом, это не меняет неравенства. Но если
мы
умножьте обе стороны на минус, это меняет знак
неравенство.
Поскольку мы не знаем, с каким знаком имеем дело, нам нужно действовать
Это
способом, описанным ниже.
Шаг 1. Запишите рациональное
неравенство в стандартной форме.
ОЧЕНЬ важно, чтобы одна сторона неравенства
0.
0 — это наше магическое число. Это единственный номер, который
отделяет
негативы от позитивов.Если выражение больше 0,
тогда нет сомнений в том, что его знак положительный. Точно так же, если это
меньше 0, знак отрицательный. Вы не можете сказать этого о
любой другой номер. Поскольку мы работаем с неравенством, это
идея
пригодится. С помощью этой техники мы будем смотреть на
знак числа, чтобы определить, является ли это решением или нет.
Шаг 2: Разложите числитель на множители
и знаменатель и найдите значения x , которые делают эти
факторы
равным 0, чтобы найти граничные точки.
Граничная точка (точки) будет отмечать, где рационально
выражение
равно 0. Это похоже на точку пересечения. 0 это
ни один
положительный или отрицательный.
Как упоминалось выше, этот метод
решение рациональных неравенств работает только в том случае, если числитель и
знаменатель
фактор.Если хотя бы один из них не учитывается, вам понадобится
использовать контрольную точку
метод, показанный позже на этой странице.
Шаг 3. Используйте границу
точки, найденные на шаге 2, чтобы отметить интервалы испытаний на числовой прямой.
Граничные точки на номере будут создавать тест
интервалы.
Шаг 4: Найдите знак каждого множителя в каждом интервале.

Вы можете выбрать ЛЮБОЕ значение в интервале для подключения
каждый фактор. Каким бы ни был знак фактора с этим значением
дает вам знак, который вам нужен для этого фактора в этом интервале.
Убедитесь, что вы нашли знак каждого фактора в каждом интервале.
Так как неравенство будет установлено на 0, мы не
увлекающийся
фактическое значение, которое мы получаем, когда подключаем наши тестовые точки, но что
ЗНАК (положительный или отрицательный), который мы получаем.
Шаг 5: Используя знаки, найденные на шаге 4, определите знак общего
рациональная функция в каждом интервале.

Поскольку неравенство будет установлено на 0, мы не
увлекающийся
фактическое значение, которое мы получаем, когда подключаем наши тестовые точки, но что
ЗНАК (положительный или отрицательный), который мы получаем.
Если вы посмотрите на признаки ваших факторов в каждом
интервал, имейте в виду, что они представляют собой продукт и / или частное
факторы
которые составляют вашу общую рациональную функцию.
Вы определяете знак
общей рациональной функции с использованием основного знака умножения
правила:
Произведение или частное двух факторов, которые
иметь
противоположные знаки отрицательны.
Срок действия может быть увеличен, если у вас задействовано более двух факторов.
Если рациональное выражение
меньше или
меньше или равно 0, то нас интересуют значения, которые вызывают
в
рациональное выражение быть отрицательным.
Если рациональное выражение
больше чем
или больше или равно 0, то нас интересуют значения, которые
причина
наше рациональное выражение должно быть позитивным.
Шаг 6: Напишите решение
набор и график.
Это рациональное неравенство уже имеет стандартную форму.
Шаг 2. Разложите числитель на множители
и знаменатель и найдите значения x , которые делают эти
факторы
равно 0, чтобы найти
граничные точки.
* Установить числитель = 0 и решить
* Установить знаменатель = 0 и решить
-5 и 1 — граничные точки.
Ниже приведен график, на котором отмечены граничные точки -5
и 1 и показывает
три секции, которые эти точки создали на графике.
Примечание
что есть открытая скважина на -5. Поскольку это значение,
причины
знаменатель равен 0, мы не можем включить, где x = -5. Поскольку наше неравенство включает в себя, где он равен 0, и 1
приводит к тому, что только числитель равен 0, есть закрытая дыра в 1.
Обратите внимание, что две граничные точки создают три секции
на графике:,,
а также .
Вы можете выбрать ЛЮБУЮ точку в интервале для представления
этот интервал.
Помните, что нас не интересует реальная ценность, которую мы получаем,
но
какой ЗНАК (положительный или отрицательный) мы получаем.
Если бы мы выбрали номер в первом
интервал, , например -6 (я мог бы использовать -10, -25 или -10000, пока он находится в
интервал), это сделает оба фактора отрицательными:
-6-1 = -7 и -6
+ 5 = -1
Если мы выбрали номер во втором
интервал, , как 0 (I
мог использовать -4, -1 или 1/2, пока он находится в интервале), он
сделал бы x — 1
отрицательный и x + 5
положительный:
0-1 = -1 и 0 + 5 = 5
Если бы мы выбрали номер в третьем
интервал, , как 2 (я мог бы использовать 10, 25 или
10000, пока он находится в интервале), это сделало бы оба фактора
положительный:
2-1 = 1 и 2 + 5
= 7
В первом интервале , имеем
минус делится на минус, поэтому знак квадратичной в этом
интервал положительный.
Во втором интервале имеем
положительное делится на отрицательное, поэтому
знак квадратичной в этом интервале отрицательный.
В третьем
интервал, , ср
есть два положительных момента, поэтому
знак квадратичной в этом интервале положительный.
Имейте в виду, что у нас неравенство.
Поскольку мы ищем, чтобы квадратное выражение было БОЛЬШЕ
ЧЕМ ИЛИ РАВНО 0 , это означает, что нам нужно, чтобы наш знак был ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ.
(ИЛИ О) .

Обозначение интервала:
График:
* Открытый интервал, указывающий
все значения меньше
чем -5 и замкнутый интервал, указывающий все значения больше, чем
или равно 1
* Наглядно показаны все числа
менее -5 или
больше или равно 1
Решение
Рациональные неравенства
Использование
Метод контрольных точек
Номер
Метод контрольных точек для решения рациональных неравенств работает для любых
рациональная функция, имеющая решение в виде действительного числа, независимо от того,
числитель или знаменатель множители или нет.
Этот метод работает так же, как и с квадратичным
неравенства.
Если вам нужен
обзор решения квадратичных неравенств, см. Учебное пособие
23A: Квадратичные неравенства.
Осторожно, это действительно
соблазнительно
умножьте обе части неравенства на знаменатель, как вы это делаете
когда
решение рациональных уравнений.Проблема заключается в выражении в
знаменатель будет иметь переменную, поэтому мы не будем знать, какой знаменатель
равно. Помните, что если мы умножим обе стороны
неравенство
положительным числом, это не меняет неравенства. Но если
мы
умножьте обе стороны на минус, это меняет знак
неравенство.
Поскольку мы не знаем, с каким знаком имеем дело, нам нужно действовать
Это
способом, описанным ниже.
Шаг 1. Запишите рациональное
неравенство в стандартной форме.
ОЧЕНЬ важно, чтобы одна сторона неравенства
0.
0 — это наше магическое число. Это единственный номер, который
отделяет
негативы от позитивов.Если выражение больше 0,
тогда нет сомнений в том, что его знак положительный. Точно так же, если это
меньше 0, знак отрицательный. Вы не можете сказать этого о
любой другой номер. Поскольку мы работаем с неравенством, это
идея
пригодится. С помощью этой техники мы будем смотреть на
знак числа, чтобы определить, является ли это решением или нет.
Шаг 2:
Найдите значения x , из которых числитель и знаменатель
равным 0, чтобы найти граничные точки.
Граничная (ые) точка (и) будет отмечать, где рациональное
выражение
равно 0. Это похоже на точку пересечения. 0 это
ни один
положительный или отрицательный.
Шаг 3. Используйте границу
точки, найденные на шаге 2, чтобы отметить интервалы тестирования на числовой строке.
Граничные точки на номере будут создавать тест
интервалы.
Шаг 4: Проверить точку
в каждом тестовом интервале, найденном на шаге 3, чтобы увидеть, какой интервал (ы) является частью
набора решений.
Вы можете выбрать ЛЮБУЮ точку в интервале для представления
Это.Ты
необходимо убедиться, что вы проверяете одну точку из каждого интервала.
Иногда
в набор решений может входить более одного интервала.
Так как неравенство будет установлено на 0, мы не
увлекающийся
фактическое значение, которое мы получаем, когда подключаем наши тестовые точки, но что
ЗНАК (положительный или отрицательный), который мы получаем.
Если рациональное выражение
меньше или
меньше или равно 0, то нас интересуют значения, которые вызывают
в
рациональное выражение быть отрицательным.
Если рациональное выражение
больше чем
или больше или равно 0, то нас интересуют значения, которые
причина
наше рациональное выражение должно быть позитивным.
Шаг 5: Напишите решение
набор и график.
* Инв.доп. 1 является суб. 1
Шаг 2. Разложите числитель на множители
и знаменатель и найдите значения x , которые делают эти
факторы
равно 0, чтобы найти
граничные точки.
* Установить числитель = 0 и решить
* Установить знаменатель = 0 и решить
-1/4 и 0 — граничные точки.
Ниже приведен график, на котором отмечены граничные точки.
-1/4 и 0 и
показывает три раздела, которые были созданы этими точками на
график.
Обратите внимание, что в этих двух точках использовались открытые отверстия, так как наш оригинальный
неравенство
не включен, где он равен 0, а -1/4 составляет знаменатель
0.
Обратите внимание, что две граничные точки создают три секции
на графике:, и.
Вы можете выбрать ЛЮБУЮ точку в интервале для представления
этот интервал.
Помните, что нас не интересует реальная ценность, которую мы получаем,
но
какой ЗНАК (положительный или отрицательный) мы получаем.
Имейте в виду, что наша первоначальная проблема.
Поскольку мы ищем, чтобы квадратичное выражение было на МЕНЬШЕ
ЧЕМ 0 , это означает, что нам нужно, чтобы наш знак был ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ .
Из интервала,
Я решил использовать -1 для проверки этого интервала:
(Я мог бы использовать -10, -25 или -10000, пока он находится в интервале)
* Выбрал -1 с 1-го интервала на
Подключите для x
Так как 3 положительно и мы ищем значения
что вызывает наши
квадратное выражение меньше 0 (отрицательное),
не быть частью решения.
Из интервала,
Я предпочитаю использовать -1/5 для проверки этого интервала.
(Я мог бы использовать -1/6, -1/7 или -1/8, пока он находится в интервале)
* Выберите -1/5 со 2-го интервала на
Подключите для x
Поскольку -1 отрицательно, и мы ищем значения
что вызывает наши
выражение меньше 0 (отрицательное),
быть частью решения.
Из интервала,
Я предпочитаю использовать 1 для проверки этого интервала.
(Я мог бы использовать 10, 25 или 10000, если он находится в интервале)
* Выберите 1 с 3-го интервала на
Подключите для x
Поскольку 5 положительно и мы ищем значения
что вызывает наши
квадратное выражение, меньшее 0 (отрицательное), не будет частью решения.
Обозначение интервала:
График:
* Открытый интервал с указанием всех
значения между
-1/4 и 0
* Наглядно показаны все числа
от -1/4 до
0 в строке номера
Практические задачи
Это практические задачи, которые помогут вам перейти на следующий уровень.
Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти
типы проблем. Математика работает как и все
в противном случае, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковать это.
Даже лучшим спортсменам и музыкантам помогали на протяжении всего пути.
практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте.
На самом деле не бывает слишком много практики.
Чтобы получить от них максимальную отдачу, вам следует решить проблему
свой, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответа / обсуждения
для этой проблемы .По ссылке вы найдете ответ
а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.
Практика
Задачи 1a — 1b: Решите (любым методом) , напишите свой
ответить в
обозначение интервалов
и изобразите набор решений.
Нужна дополнительная помощь по этим темам?
Видео на этом сайте были созданы и продюсированы Ким Сьюард и Вирджиния Уильямс Трайс.
Последняя редакция 2 января 2010 г. Ким Сьюард.
Авторские права на все содержание (C) 2002 — 2010, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.
CED.1.1 — Создавайте уравнения и неравенства для одной переменной и используйте их для решения проблем. Включите уравнения, возникающие из линейных и квадратичных функций, а также простых рациональных, абсолютных и экспоненциальных функций.
Денежный ящик:
Приведенные решения этой задачи включают создание и решение системы двух уравнений и двух неизвестных с оговоркой, что контекст проблемы подразумевает, что нас интересуют только неотрицательные целочисленные решения.Действительно, в первом решении мы также должны ограничить наше внимание случаем, когда одна из переменных в дальнейшем четная. Этот аспект задачи является иллюстрацией стандарта математической практики MP4 (Модель с математикой) и имеет решающее значение, поскольку система имеет целочисленное решение для обеих ситуаций, то есть, включаем ли мы доллар на полу в кассу или нет. .
Тип: Задача по решению проблем
Сумма углов в многоугольнике:
Эта задача дает студентам возможность открыть алгебраическую структуру в геометрическом контексте.Более конкретно, ученику нужно будет разделить данные многоугольники на треугольники, а затем использовать тот факт, что сумма углов в каждом треугольнике равна 180 ^°.
Тип: Задача по решению проблем
Сбор урожая:
Это сложная задача, подходящая для длительной работы и глубокого понимания единиц.Студентам дают сценарий и просят определить количество людей, необходимое для выполнения объема работы за указанное время. Задача требует от учащихся проявлять, разбираться в проблемах и настойчиво их решать. Алгебраическое решение возможно, но сложно; численное решение является одновременно более простым и сложным, требует умелого использования единиц и количественных рассуждений. Таким образом, задача соответствует либо MAFS.912.A-CED.1.1, либо MAFS.912.N-Q.1.1, в зависимости от подхода.
Тип: Задача по решению проблем
Бросок мяча:
Учащиеся манипулируют заданным уравнением, чтобы найти определенную информацию.
Тип: Задача по решению проблем
Оплата аренды:
Студенты решают задачи по отслеживанию остатка на текущем счете, который используется только для оплаты аренды.Эта простая концептуальная задача фокусируется на том, что означает для числа быть решением уравнения, а не на процессе решения уравнений.
Тип: Задача по решению проблем
Покупка автомобиля:
Студенты экстраполируют прейскурантную цену автомобиля на общую сумму, уплаченную в штатах с разными налоговыми ставками.Акцент в этой задаче делается не на комплексных процедурах решения. Скорее, прогрессия уравнений от двух, которые включают разные значения налога с продаж, к уравнению, которое включает налог с продаж в качестве параметра, предназначена для воспитания привычки искать регулярность в процедурах решения, чтобы студенты не подходили к делу. каждое уравнение как новая проблема, но научитесь замечать знакомые типы.
Тип: Задача по решению проблем
Самолеты и пшеница:
В этом ресурсе студенты ссылаются на данную информацию, которая определяет 5 переменных в контексте реальных государственных расходов.Затем их просят написать уравнения, основанные на конкретных известных значениях некоторых переменных. Акцент делается на постановке, а не на решении уравнений.
Тип: Задача по решению проблем
Полиномиальные и рациональные неравенства — Весна 2020 г. — MAT 1375 Precalculus — Reitz
Всем привет! Это первый из наших уроков дистанционного обучения.Прочтите материалы ниже, посмотрите видео и присылайте мне свои вопросы.
Урок 12: Полиномиальные и рациональные неравенства
Дата урока: Четверг, 19 марта.
Тема : Этот урок охватывает главу 12 книги «Полиномиальные и рациональные неравенства».
WeBWorK : есть два задания WeBWorK для сегодняшнего материала, которые должны быть выполнены в следующий четверг, 26 марта: Полиномы - неравенства и Рациональные функции - неравенства .
Примечания к уроку (Notability — pdf):
Этот файл .pdf содержит большую часть работы из видеороликов этого урока. Он предоставлен для справки.
Введение в полиномиальные неравенства
Определение. Полиномиальное неравенство — это неравенство (что означает, что оно использует одно из этих: вместо знака равенства) с полиномом на каждой стороне
Пример 1:
Нас интересует , разрешающий эти неравенства, что означает ответ на вопрос: «Для каких действительных чисел x верно неравенство?»

Теперь давайте посмотрим на тот же пример и посмотрим, как решить его, не глядя на график:

Пример 2: Решить

Пример 2, заключение:

Рациональное неравенство
Что произойдет, если мы допустим рациональные функции вместо просто многочленов?
Пример 3: Решить

Молодец! Теперь вы готовы заниматься самостоятельно.Взгляните на задание WeBWorK и не забудьте использовать кнопку «Обратиться за помощью», если вы застряли.
Вот другие видеоресурсы, если вы хотите увидеть дополнительные примеры.
ЗАДАНИЕ: Посмотреть видео, попробовать работать в сети. Задавайте вопросы в комментариях ниже или с помощью кнопки «Обратиться за помощью» в WeBWorK. Удачи и оставайтесь в безопасности!
распечатайте эту страницу
Искусство решения проблем
Тема математических неравенств тесно связана с методами оптимизации.Хотя большая часть вопросов неравенства часто остается вне рамок обычного образовательного трека, они часто встречаются на олимпиадах по математике.
Обзор
Неравенства, вероятно, являются разделом элементарной алгебры и имеют небольшое отношение к теории чисел. Они имеют дело с отношениями переменных, обозначаемых четырьмя знаками:.
Для двух номеров и:
Обратите внимание, что тогда и только тогда, и наоборот. То же относится и к последним двум знакам: если и только если, и наоборот.
Некоторые свойства неравенств:
Устранение неравенств
В общем, при решении неравенств одни и те же величины можно складывать или вычитать без изменения знака неравенства, как в уравнениях. Однако при умножении, делении или извлечении квадратного корня мы должны следить за знаком. В частности, обратите внимание на то, что, хотя, мы должны иметь. В частности, при умножении или делении на отрицательные величины мы должны менять знак. Сложности могут возникнуть, когда перемножаемое значение может иметь разные знаки в зависимости от переменной.
Мы также должны быть осторожны с границами решений. В примере значение не удовлетворяет неравенству, потому что неравенство строгое. Однако в примере значение удовлетворяет неравенству, потому что неравенство нестрогое.
Решения можно записывать в интервальной записи. Для закрытых границ используются квадратные скобки, а для открытых (и бесконечно удаленных) используются круглые скобки. Например, означает.
Линейные неравенства
Линейные неравенства можно решить так же, как линейные уравнения, чтобы получить неявные ограничения на переменную.Однако при умножении / делении обеих сторон на отрицательные числа нам приходится менять знак.
Полиномиальные неравенства
Первая часть решения полиномиальных неравенств очень похожа на решение полиномиальных уравнений — отведение всех членов в сторону и нахождение корней.
После этого мы должны рассмотреть границы. Мы сравниваем знак многочлена с разными входными данными, чтобы мы могли представить грубый график многочлена и то, как он проходит через нули (поскольку прохождение через нули может изменить знак).Тогда мы сможем найти соответствующие оценки неравенства.
Рациональные неравенства
Более сложный пример.
Вот частая ошибка:. Проблема в том, что мы умножили на как один из последних шагов. Мы также сохранили знак неравенства в том же направлении. Однако мы не знаем , отрицательное число или нет; мы не можем предположить, что это действительно положительно. Таким образом, нам, возможно, придется изменить направление знака неравенства, если мы умножаем на отрицательное число.Но мы также не знаем, отрицательное ли количество.
Правильным решением было бы переместить все в левую часть неравенства и сформировать общий знаменатель. Тогда будет просто найти решения неравенства, рассматривая знак (отрицательность или положительность) дроби при изменении.
Мы начнем с интуитивного решения, а затем можно будет построить правило для решения общих дробных неравенств. Чтобы упростить задачу, мы проверяем положительные целые числа.является хорошей отправной точкой, но не устраняет неравенство. И не делает. Следовательно, эти двое не являются решениями. Затем мы начинаем проверять такие числа, как, и так далее. Все это работает. На самом деле нетрудно увидеть, что дробь останется положительной по мере того, как становится все больше и больше. Но где именно, что вызывает отрицательную дробь при и, начинает вызывать положительную дробь? Мы не можем просто предположить, что это точка переключения; это решение не ограничивается целыми числами. Числитель и знаменатель — большие подсказки.В частности, мы проверяем, что когда (числитель), тогда дробь равна, и начинает быть положительной для всех более высоких значений. Решение уравнения показывает, что это поворотный момент. После большей части такой работы мы понимаем, что это приводит к разделению на, так что это определенно не решение. Однако это также говорит нам, что любое значение этого меньше, чем приводит к дроби с отрицательными числителем и знаменателем, что приводит к положительной дроби и, таким образом, удовлетворяет неравенству.Никакое значение между и (кроме самого себя), похоже, не является решением.
Таким образом, мы заключаем, что решения — это интервалы.
Для лучшей записи определим «пересечение по оси x» дробного неравенства как те значения, которые вызывают числитель и / или знаменатель. Чтобы разработать метод более быстрого решения дробных неравенств, мы можно просто рассмотреть «x-точки пересечения» числителя и знаменателя. Нанесем их на числовую прямую. Затем в каждой области числовой прямой мы проверяем одну точку, чтобы увидеть, является ли весь регион частью решения.Например, в приведенном выше примере проблемы мы видим, что нам нужно было протестировать только одно значение, например, в регионе, а также одно значение в регионе и; затем мы видим, какие регионы входят в набор решений. Это действительно дает полный набор решений.
Надо быть осторожными с границами решений. В примере задачи значение было решением только потому, что неравенство было нестрогим. Кроме того, значение не было решением, потому что оно привело бы к разделению на.Точно так же любое «пересечение по оси x» числителя является решением тогда и только тогда, когда неравенство является нестрогим, и каждый «пересечение с x» знаменателя никогда не является решением, потому что мы не можем разделить на.
Полное неравенство
Неравенство, которое справедливо для всех действительных чисел или для всех положительных чисел (или даже для всех комплексных чисел), иногда называют полным неравенством. Примером действительных чисел является так называемое тривиальное неравенство, которое утверждает, что для любого действительного числа.Большинство неравенств этого типа предназначены только для положительных чисел, и у этого типа неравенства часто есть чрезвычайно умные проблемы и приложения.
Список теорем
Вот некоторые из наиболее полезных теорем о неравенстве, а также общие темы о неравенствах.
Вводная
Продвинутый
Проблемы
Вводная
Практические задачи на Alcumus
Неравенства (предалгебра)
Решение линейных неравенств (алгебра)
Квадратичные неравенства (алгебра)
Основные уравнения рациональных функций и неравенства (промежуточная алгебра)
Теннисистка вычисляет свой коэффициент побед, разделив количество выигранных ею матчей на общее количество сыгранных ею матчей.В начале уик-энда ее процент побед точно такой же. В выходные она сыграла четыре матча, выиграв три и проиграв один. В конце уик-энда ее коэффициент побед больше, чем. Какое наибольшее количество матчей она могла выиграть до начала уик-энда? (Проблемы AIME / Проблема 3 1992 г.)
Промежуточный
Практические задачи на Alcumus
Квадратичные неравенства (алгебра)
Уравнения и неравенства с расширенными рациональными функциями (промежуточная алгебра)
Общие навыки неравенства (промежуточная алгебра)
Продвинутые неравенства (промежуточная алгебра)
Учитывая это, и покажите то.

№	Этап урока	Цель этапа	Время
1	Организационный момент	Сообщение темы урока; постановка цели урока; сообщение этапов урока.	2 мин
2	Проверка домашнего задания	Ответы на возникшие вопросы.	4 мин
3	Устная работа	Пропедевтика определения иррационального уравнения.	4 мин
4	Изучение нового материала	Познакомить с иррациональными неравенствами и со способами их решения	20 мин
5	Решение задач	Формировать умение решать иррациональные неравенства	10 мин
6	Итог урока	Повторить определение иррационального неравенства и способы его решения.	3 мин
7	Домашнее задание	Инструктаж по домашнему заданию.	2 мин

Уроки	Учебное пособие	Видео	Печать (PDF)

1,1	Система вещественных чисел	Видео лекции	Конспект лекций
		Видео Хоукса 1
		Hawkes Видео 2
		Пример видео 1	Печать
		Пример видео 2	Печать
1.2	Показатели и радикалы	Видео лекции	Конспект лекций
		Видео Хоукса 1
		Hawkes Видео 2
		Hawkes Видео 3
		Hawkes Видео 4
		Пример видео 1	Печать
		Пример видео 2	Печать
		Пример видео 3	Печать
1.3, 1,4	Многочлены и факторинг	Видео лекции	Конспект лекций
		Видео Хоукса 1
		Пример видео 1	Печать
		Пример видео 2	Печать
1.5	Комплексная система счисления	Видео лекции	Конспект лекций
		Видео Хоукса 1
		Пример 1 Видео	Печать
		Пример 2 Видео	Печать
1.6	Линейные уравнения	Видео лекции	Конспект лекций
		Видео Хоукса 1
		Hawkes Видео 2
	Расстояние = Скорость x Время	Пример 1 Видео	Печать
	Walkathon	Пример 2 Видео	Печать
		Пример 3 Видео	Печать
1.7	Линейные неравенства	Видео лекции	Конспект лекций
		Видео Хоукса 1
	Устранение неравенств	Пример 1 Видео	Печать
		Пример 2 Видео	Печать
		Пример 3 Видео	Печать
1.8	Квадратные уравнения	Видео лекции	Конспект лекций
		Видео Хоукса 1
		Hawkes Видео 2
	Квадратичная формула	Пример 1 Видео	Печать
	Проблемы с падающим телом	Пример 2 Видео	Печать
		Пример 3 Видео	Печать
		Пример 4 Видео	Печать
		Пример 5 Видео	Печать
1.9	Рациональные уравнения	Видео лекции	Конспект лекций
		Видео Хоукса 1
		Hawkes Видео 2
		Пример 1 Видео	Печать
		Пример 2 Видео	Печать
		Пример 3 Видео	Печать
		Пример 4 Видео	Печать
	Радикальное упрощение	Пример 1 Видео	Печать

2.1	Декартова система координат	Видео лекции	Банкноты
		Видео Хоукса 1
	Периметр и площадь треугольника	Пример 1 Видео	Печать
2.3	Линейные уравнения с двумя переменными	Видео лекции	Банкноты
		Hawkes Video 1
2,4	Формы линейных уравнений	Видео лекции	Банкноты
	Наклон и уравнение прямой	Пример 1 Видео	Печать
		Hawkes Video 1
2.5	Параллельные и перпендикулярные линии	Видео лекции	Банкноты
		Hawkes Video 1
2,6	Линейные неравенства двух переменных	Видео лекции	Банкноты
		Hawkes Video 1
2.2	Знакомство с кругами	Видео лекции	Банкноты
	Центр и радиус окружности	Пример 1 Видео	Печать
		Hawkes Video 1
3.1	Отношения и функции	Видео лекции	Банкноты
	Обозначение функций и домен	Пример 1 Видео	Печать
	Полиномиальная функция	Пример 2 Видео	Печать
		Видео Хоукса 1
3.2, 3,3	Линейные и квадратичные функции	Видео лекции	Банкноты
		Видео Хоукса 1
		Hawkes Видео 2
	Демонстрационная онлайн-версия Grapher	Видео
	График функции: перехваты	Пример 1 Видео	Печать
	Проблема с коробкой: максимальный объем	Пример 2 Видео	Печать
	График 1	Пример 3 Видео	Печать
	График 2	Пример 4 Видео	Печать
	Квадратичная формула	Пример 5 Видео	Печать
3.4	Прочие общие функции	Видео лекции	Банкноты
	Максимальные и минимальные значения функции	Пример 1 Видео	Печать
	Максимальный доход	Пример 2 Видео	Печать
		Видео Хоукса 1
4.1, 4,2	Преобразования функций	Видео лекции Видео лекции	Примечания 1 Банкноты 2
	Функции увеличения и уменьшения	Видео	Печать
	Рациональные нули	Пример 1 Видео	Печать
		Видео Хоукса 1
4.3	Комбинирование функций	Видео лекции	Банкноты
	Состав функций	Пример 1 Видео	Печать
		Hawkes Video 1
4.4	Обратные функции	Видео лекции	Банкноты
	Нахождение обратной функции	Пример 1 Видео	Печать
		Hawkes Video 1
5.1	Полиномиальные уравнения и графики	Видео лекции	Банкноты
	Асимптоты и пересечения	Пример 1 Видео	Печать
		Пример 2 Видео	Печать
		Пример 3 Видео	Печать
		Видео Хоукса 1
5.2	Полиномиальное деление	Видео лекции	Банкноты
		Hawkes Video 1
5,3	Поиск нулей многочленов	Видео лекции	Банкноты
		Hawkes Video1
5.4	Основная теорема алгебры	Видео лекции	Банкноты
	Найди нули	Пример 1 Видео	Печать
	Приблизительно максимальное значение нуля	Пример 2 Видео	Печать
	Факторная теорема и основная теорема	Пример 3 Видео	Печать
	Использование факторной теоремы	Пример 4 Видео	Печать
		Hawkes Video 1
5.5	Рациональные функции Неравенства	Видео лекции Видео лекции	Примечания 1 Банкноты 2
	Полиномиальное деление	Пример 1 Видео	Печать
	Подразделение синтетических материалов	Пример 2 Видео	Печать
	Соответствие графику	Пример 3 Видео	Печать
	Решить неравенство: факторизованный многочлен	Пример 4 Видео	Печать
	Разрешение неравенства	Пример 5 Видео
		Пример 6 Видео	Печать
		Видео Хоукса 1
		Hawkes Видео 2
6.1	Экспоненциальные функции и графики	Видео лекции	Банкноты
		Hawkes Video 1
6.2	Приложения экспоненциальных функций	Видео лекции	Банкноты
	Экспоненциальный рост, бактерии	Пример 1 Видео	Печать
	Экспоненциальный рост, деньги	Пример 2 Видео	Печать
		Hawkes Video 1
6.3	Логарифмические функции и графики	Видео лекции	Банкноты
	Обратная экспоненциальная функция	Пример 1 Видео	Печать
	Обратная логарифмическая функция	Пример 2 Видео	Печать
		Hawkes Video 1
6.4	Свойства и применение логарифмов	Видео лекции	Банкноты
	Свойства логарифмов	Пример 1 Видео	Печать
		Hawkes Video 1
6.5	Экспоненциальные и логарифмические уравнения	Видео лекции	Банкноты
	Решение уравнений: экспоненты	Пример 1 Видео	Печать
	Решение уравнений: логарифмы	Пример 2 Видео	Печать
		Hawkes Video 1
11.1	Решение систем уравнений	Видео лекции	Банкноты
		Hawkes Video 1
11,2	Матричная запись и исключение Гаусса	Видео лекции	Банкноты
	Система уравнений 1	Пример 1 Видео	Печать
	Система уравнений 2	Пример 2 Видео	Печать
	Уравнение параболы	Пример 3 Видео	Печать
		Hawkes Видео 2
	Нелинейные системы уравнений	Видео лекции	Банкноты
	Система уравнений 3	Пример 1 Видео	Печать
	Размеры прямоугольника	Пример 2 Видео	Печать
	Площадь прямоугольника	Пример 3 Видео	Печать
		Hawkes Video 1