Как раскрывать скобки в кубе. Формулы сокращенного умножения

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике, а точнее — в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами же формулы получены из существующих в алгебре правил для умножения нескольких многочленов.

Использование данных формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также помогает осуществлять упрощение выражений. Правила алгебраических преобразований позволяют выполнять некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить в левой части равенства выражение, стоящее в правой части, или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение, стоящее в левой части после знака равенства).

Удобно знать формулы, применяемые для сокращенного умножения, на память, так как они нередко используются при решении задач и уравнений. Ниже перечислены основные формулы, входящие в данный список, и их наименование.

Квадрат суммы

Чтобы вычислить квадрат суммы, необходимо найти сумму, состоящую из квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго. В виде выражения данное правило записывается следующим образом: (а + с)² = a² + 2ас + с².

Квадрат разности

Чтобы вычислить квадрат разности, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятое с противоположным знаком) и квадрата второго числа. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а — с)² = а² — 2ас + с².

Разность квадратов

Формула разности двух чисел, возведенных в квадрат, равна произведению суммы этих чисел на их разность. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: a² — с² = (a + с)·(a — с).

Куб суммы

Чтобы вычислить куб суммы двух слагаемых, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого слагаемого и второго, утроенного произведения первого слагаемого и второго в квадрате, а также куба второго слагаемого. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а + с)³ = а³ + 3а²с + 3ас² + с³.

Сумма кубов

Согласно формуле, приравнивается к произведению суммы данных слагаемых на их неполный квадрат разности. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: а³ + с³ = (а + с)·(а² — ас + с²).

Пример.
Необходимо вычислить объем фигуры, которая образована сложением двух кубов. Известны лишь величины их сторон.

Если значения сторон небольшие, то выполнить вычисления просто.

Если же длины сторон выражаются в громоздких числах, то в этом случае проще применить формулу «Сумма кубов», которая значительно упростит вычисления.

Куб разности

Выражение для кубической разности звучит так: как сумма третьей степени первого члена, утроенного отрицательного произведения квадрата первого члена на второй, утроенного произведения первого члена на квадрат второго и отрицательного куба второго члена. В виде математического выражения куб разности выглядит следующим образом: (а — с)³ = а³ — 3а²с + 3ас² — с³.

Разность кубов

Формула разности кубов отличается от суммы кубов лишь одним знаком. Таким образом, разность кубов — формула, равная произведению разности данных чисел на их неполный квадрат суммы. В виде математического выражения разность кубов выглядит следующим образом: а 3 — с 3 = (а — с)(а 2 + ас + с 2).

Пример.
Необходимо вычислить объем фигуры, которая останется после вычитания из объема синего куба объемной фигуры желтого цвета, которая также является кубом. Известна лишь величина стороны маленького и большого куба.

Если значения сторон небольшие, то вычисления довольно просты. А если длины сторон выражаются в значительных числах, то стоит применить формулу, озаглавленную «Разность кубов» (или «Куб разности»), которае значительно упростит вычисления.

Формулы сокращенного выражения очень часто применяются на практике, так что их все желательно выучить наизусть. До этого момента нам будет служить верой и правдой , которую мы рекомендуем распечатать и все время держать перед глазами:

Первые четыре формулы из составленной таблицы формул сокращенного умножения позволяют возводить в квадрат и куб сумму или разность двух выражений. Пятая предназначена для краткого умножения разности и суммы двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a
и b
на их неполный квадрат разности (так называют выражение вида a 2 −a·b+b 2
) и разности двух выражений a
и b
на неполный квадрат их суммы (a 2 +a·b+b 2
) соответственно.

Стоит отдельно заметить, что каждое равенство в таблице представляет собой тождество . Этим объясняется, почему формулы сокращенного умножения еще называют тождествами сокращенного умножения.

При решении примеров, особенно в которых имеет место разложение многочлена на множители , ФСУ часто используют в виде с переставленными местами левыми и правыми частями:

Три последних тождества в таблице имеют свои названия. Формула a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b)
называется формулой разности квадратов
, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2
) — формулой суммы кубов
, а a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2
) — формулой разности кубов
. Обратите внимание, что соответствующим формулам с переставленными частями из предыдущей таблицы фсу мы никак не назвали.

Дополнительные формулы

В таблицу формул сокращенного умножения не помешает добавить еще несколько тождеств.

Сферы применения формул сокращенного умножения (фсу) и примеры

Основное предназначение формул сокращенного умножения (фсу) объясняется их названием, то есть, оно состоит в кратком умножении выражений. Однако сфера применения ФСУ намного шире, и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное приложение формулы сокращенного умножения нашли в выполнении тождественных преобразований выражений . Наиболее часто эти формулы используются в процессе упрощения выражений
.

Пример.

Упростите выражение 9·y−(1+3·y) 2
.

Решение.

В данном выражении возведение в квадрат можно выполнить сокращенно, имеем 9·y−(1+3·y) 2 =9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2)
. Остается лишь раскрыть скобки и привести подобные члены: 9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2)=
9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2
.

В предыдущем уроке мы разобрались с разложением на множители. Освоили два способа: вынесение общего множителя за скобки и группировку. В этом уроке — следующий мощный способ: формулы сокращённого умножения
. В краткой записи — ФСУ.

Формулы сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне необходимы во всех разделах математики. Они применяются в упрощении выражений, решении уравнений, умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и т.д. и т.п. Короче, есть все основания разобраться с ними. Понять откуда они берутся, зачем они нужны, как их запомнить и как применять.

Разбираемся?)

Откуда берутся формулы сокращённого умножения?

Равенства 6 и 7 записаны не очень привычно. Как бы наоборот. Это специально.) Любое равенство работает как слева направо, так и справа налево. В такой записи понятнее, откуда берутся ФСУ.

Они берутся из умножения.) Например:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Вот и всё, никаких научных хитростей. Просто перемножаем скобки и приводим подобные. Так получаются все формулы сокращённого умножения.
Сокращённое
умножение — это потому, что в самих формулах нет перемножения скобок и приведения подобных. Сокращены.) Сразу дан результат.

ФСУ нужно знать наизусть. Без первых трёх можно не мечтать о тройке, без остальных — о четвёрке с пятёркой.)

Зачем нужны формулы сокращённого умножения?

Есть две причины, выучить, даже зазубрить эти формулы. Первая — готовый ответ на автомате резко уменьшает количество ошибок. Но это не самая главная причина. А вот вторая…

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Математические выражения (формулы) сокращённого умножения
(квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне не заменимы во многих областях точных наук. Эти 7 символьных записей не заменимы при упрощении выражений, решении уравнений, при умножении многочленов, сокращении дробей , решении интегралов и многом другом. А значит будет очень полезно разобраться как они получаются, для чего они нужны, и самое главное, как их запомнить и потом применять. Потом применяя формулы сокращенного умножения
на практике самым сложным будет увидеть, что есть х
и что есть у. Очевидно, что никаких ограничений для a
и b
нет, а значит это могут быть любые числовые или буквенные выражения.

И так вот они:

Первая х 2
— у 2
= (х — у) (х+у)
.Чтобы рассчитать разность квадратов
двух выражений надо перемножить разности этих выражений на их суммы.

Вторая (х + у) 2
= х 2
+ 2ху + у 2
. Чтобы найти квадрат суммы
двух выражений нужно к квадрату первого выражения прибавить удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Третья (х — у) 2
= х 2
— 2ху + у 2
. Чтобы вычислить квадрат разности
двух выражений нужно от квадрата первого выражения отнять удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Четвертая (х + у) 3
= х 3
+ 3х 2 у + 3ху 2
+ у 3.
Чтобы вычислить куб суммы
двух выражений нужно к кубу первого выражения прибавить утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Пятая (х — у) 3
= х 3
— 3х 2 у + 3ху 2
— у 3
. Чтобы рассчитать куб разности
двух выражений необходимо от куба первого выражения отнять утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

Шестая х 3
+ у 3
= (х + у) (х 2
— ху + у 2)
Чтобы высчитать сумму кубов
двух выражений нужно умножить суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

Седьмая х 3
— у 3
= (х — у) (х 2
+ ху + у 2)
Чтобы произвести вычисление разности кубов
двух выражений надо умножить разность первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

Не сложно запомнить, что все формулы применяются для произведения расчетов и в противоположном направлении (справа налево).

О существовании этих закономерностей з
нали еще около 4 тысяч лет тому назад. Их широко применяли жители древнего Вавилона и Египта. Но в те эпохи они выражались словесно или геометрически и при расчетах не использовали буквы.

Разберем доказательство квадрата суммы
(а + b) 2 = a 2 +2ab +b 2 .

Первым эту математическую закономерность
доказал древнегреческий учёный Евклид, работавший в Александрии в III веке до н.э., он использовал для этого геометрический способ доказательства формулы, так как буквами для обозначения чисел не пользовались и учёные древней Эллады. Ими повсеместно употреблялись не “а 2 ”, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник , заключенный между отрезками a и b”.

Кубические скобки. Формулы сокращенного умножения

Математические выражения (формулы) сокращённого умножения
(квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне не заменимы во многих областях точных наук. Эти 7 символьных записей не заменимы при упрощении выражений, решении уравнений, при умножении многочленов, сокращении дробей , решении интегралов и многом другом. А значит будет очень полезно разобраться как они получаются, для чего они нужны, и самое главное, как их запомнить и потом применять. Потом применяя формулы сокращенного умножения
на практике самым сложным будет увидеть, что есть х
и что есть у. Очевидно, что никаких ограничений для a
и b
нет, а значит это могут быть любые числовые или буквенные выражения.

И так вот они:

Первая х 2
— у 2
= (х — у) (х+у)
.Чтобы рассчитать разность квадратов
двух выражений надо перемножить разности этих выражений на их суммы.

Вторая (х + у) 2
= х 2
+ 2ху + у 2
. Чтобы найти квадрат суммы
двух выражений нужно к квадрату первого выражения прибавить удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Третья (х — у) 2
= х 2
— 2ху + у 2
. Чтобы вычислить квадрат разности
двух выражений нужно от квадрата первого выражения отнять удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Четвертая (х + у) 3
= х 3
+ 3х 2 у + 3ху 2
+ у 3.
Чтобы вычислить куб суммы
двух выражений нужно к кубу первого выражения прибавить утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Пятая (х — у) 3
= х 3
— 3х 2 у + 3ху 2
— у 3
. Чтобы рассчитать куб разности
двух выражений необходимо от куба первого выражения отнять утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

Шестая х 3
+ у 3
= (х + у) (х 2
— ху + у 2)
Чтобы высчитать сумму кубов
двух выражений нужно умножить суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

Седьмая х 3
— у 3
= (х — у) (х 2
+ ху + у 2)
Чтобы произвести вычисление разности кубов
двух выражений надо умножить разность первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

Не сложно запомнить, что все формулы применяются для произведения расчетов и в противоположном направлении (справа налево).

О существовании этих закономерностей з
нали еще около 4 тысяч лет тому назад. Их широко применяли жители древнего Вавилона и Египта. Но в те эпохи они выражались словесно или геометрически и при расчетах не использовали буквы.

Разберем доказательство квадрата суммы
(а + b) 2 = a 2 +2ab +b 2 .

Первым эту математическую закономерность
доказал древнегреческий учёный Евклид, работавший в Александрии в III веке до н. э., он использовал для этого геометрический способ доказательства формулы, так как буквами для обозначения чисел не пользовались и учёные древней Эллады. Ими повсеместно употреблялись не “а 2 ”, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник , заключенный между отрезками a и b”.

В предыдущем уроке мы разобрались с разложением на множители. Освоили два способа: вынесение общего множителя за скобки и группировку. В этом уроке — следующий мощный способ: формулы сокращённого умножения
. В краткой записи — ФСУ.

Формулы сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне необходимы во всех разделах математики. Они применяются в упрощении выражений, решении уравнений, умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и т.д. и т.п. Короче, есть все основания разобраться с ними. Понять откуда они берутся, зачем они нужны, как их запомнить и как применять.

Разбираемся?)

Откуда берутся формулы сокращённого умножения?

Равенства 6 и 7 записаны не очень привычно. Как бы наоборот. Это специально.) Любое равенство работает как слева направо, так и справа налево. В такой записи понятнее, откуда берутся ФСУ.

Они берутся из умножения.) Например:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Вот и всё, никаких научных хитростей. Просто перемножаем скобки и приводим подобные. Так получаются все формулы сокращённого умножения.
Сокращённое
умножение — это потому, что в самих формулах нет перемножения скобок и приведения подобных. Сокращены.) Сразу дан результат.

ФСУ нужно знать наизусть. Без первых трёх можно не мечтать о тройке, без остальных — о четвёрке с пятёркой.)

Зачем нужны формулы сокращённого умножения?

Есть две причины, выучить, даже зазубрить эти формулы. Первая — готовый ответ на автомате резко уменьшает количество ошибок. Но это не самая главная причина. А вот вторая…

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас. )

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения

. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо a и b в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a 2 — b 2 = (a — b)(a + b)

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(a +
b) 2 = a 2 +
2ab + b 2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел
, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Найти 112 2 .

Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.2
112 = 100 + 1

Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
112 2 = (100 + 12) 2

Воспользуемся формулой квадрата суммы:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

(8a + с) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Предостережение!!!

(a + b) 2 не
равно a 2 + b 2

Квадрат разности

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(a —
b) 2 = a 2 —
2ab + b 2

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a — b)
2
= (b — a)
2

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a — b)
2
= a
2
— 2ab + b
2
= b
2
— 2ab + a
2
= (b — a)
2

Куб суммы

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

Выучите, что в начале идёт a 3 .

Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3.

В

спомним, что любое число в нулевой степени есть 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени a и увеличение степени b. В этом можно убедиться:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Предостережение!!!

(a + b) 3 не
равно a 3 + b 3

Куб разности

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и «-». Перед первым членом a 3 стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «-», затем опять «+» и т.д.

(a — b)
3
=
+

a
3
—

3a
2
b
+

3ab
2
—

b
3
= a
3
— 3a
2
b + 3ab
2
— b
3

Сумма кубов (

Не путать с кубом суммы!)

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 —
ab + b 2)

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

Первая скобка — сумма двух чисел.

Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:

A 2 — ab + b 2
Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов (Не путать с кубом разности!!!)

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a 3 — b 3 = (a — b)(a 2 +
ab + b 2)

Будьте внимательны при записи знаков.
Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Трудно запоминаются формулы сокращенного умножения? Делу легко помочь. Нужно просто запомнить, как изображается такая простая вещь, как треугольник Паскаля. Тогда вы вспомните эти формулы всегда и везде, вернее, не вспомните, а восстановите.

Что же такое треугольник Паскаля? Этот треугольник состоит из коэффициентов, которые входят в разложение любой степени двучлена вида в многочлен.

Разложим, например, :

В этой записи легко запоминается, что вначале стоит куб первого, а в конце — куб второго числа. А вот что посередине — запоминается сложно. И даже то, что в каждом следующем слагаемом степень одного множителя все время уменьшается, а второго — увеличивается — несложно заметить и запомнить, труднее дело обстоит с запоминанием коэффициентов и знаков (плюс там или минус?).

Итак, сначала коэффициенты. Не надо их запоминать! На полях тетрадки быстренько рисуем треугольник Паскаля, и вот они — коэффициенты, уже перед нами. Рисовать начинаем с трех единичек, одна сверху, две ниже, правее и левее — ага, уже треугольник получается:

Первая строка, с одной единичкой — нулевая. Потом идет первая, вторая, третья и так далее. Чтобы получить вторую строку, нужно по краям снова приписать единички, а в центре записать число, полученное сложением двух чисел, стоящих над ним:

Записываем третью строку: опять по краям единицы, и опять, чтобы получить следующее число в новой строке, сложим числа, стоящие над ним в предыдущей:

Как вы уже догадались, мы получаем в каждой строке коэффициенты из разложения двучлена в многочлен:

Ну а знаки запомнить еще проще: первый — такой же, как в раскладываемом двучлене (раскладываем сумму — значит, плюс, разность — значит, минус), а дальше знаки чередуются!

Вот такая это полезная штука — треугольник Паскаля. Пользуйтесь!

Формулы сокращенного выражения очень часто применяются на практике, так что их все желательно выучить наизусть. До этого момента нам будет служить верой и правдой , которую мы рекомендуем распечатать и все время держать перед глазами:

Первые четыре формулы из составленной таблицы формул сокращенного умножения позволяют возводить в квадрат и куб сумму или разность двух выражений. Пятая предназначена для краткого умножения разности и суммы двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a
и b
на их неполный квадрат разности (так называют выражение вида a 2 −a·b+b 2
) и разности двух выражений a
и b
на неполный квадрат их суммы (a 2 +a·b+b 2
) соответственно.

Стоит отдельно заметить, что каждое равенство в таблице представляет собой тождество . Этим объясняется, почему формулы сокращенного умножения еще называют тождествами сокращенного умножения.

При решении примеров, особенно в которых имеет место разложение многочлена на множители , ФСУ часто используют в виде с переставленными местами левыми и правыми частями:

Три последних тождества в таблице имеют свои названия. Формула a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b)
называется формулой разности квадратов
, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2
) — формулой суммы кубов
, а a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2
) — формулой разности кубов
. Обратите внимание, что соответствующим формулам с переставленными частями из предыдущей таблицы фсу мы никак не назвали.

Дополнительные формулы

В таблицу формул сокращенного умножения не помешает добавить еще несколько тождеств.

Сферы применения формул сокращенного умножения (фсу) и примеры

Основное предназначение формул сокращенного умножения (фсу) объясняется их названием, то есть, оно состоит в кратком умножении выражений. Однако сфера применения ФСУ намного шире, и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное приложение формулы сокращенного умножения нашли в выполнении тождественных преобразований выражений . Наиболее часто эти формулы используются в процессе упрощения выражений
.

Пример.

Упростите выражение 9·y−(1+3·y) 2
.

Решение.

В данном выражении возведение в квадрат можно выполнить сокращенно, имеем 9·y−(1+3·y) 2 =9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2)
. Остается лишь раскрыть скобки и привести подобные члены: 9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2)=
9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2
.

Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике, а точнее — в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами же формулы получены из существующих в алгебре правил для умножения нескольких многочленов.

Использование данных формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также помогает осуществлять упрощение выражений. Правила алгебраических преобразований позволяют выполнять некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить в левой части равенства выражение, стоящее в правой части, или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение, стоящее в левой части после знака равенства).

Удобно знать формулы, применяемые для сокращенного умножения, на память, так как они нередко используются при решении задач и уравнений. Ниже перечислены основные формулы, входящие в данный список, и их наименование.

Квадрат суммы

Чтобы вычислить квадрат суммы, необходимо найти сумму, состоящую из квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго. В виде выражения данное правило записывается следующим образом: (а + с)² = a² + 2ас + с².

Квадрат разности

Чтобы вычислить квадрат разности, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятое с противоположным знаком) и квадрата второго числа. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а — с)² = а² — 2ас + с².

Разность квадратов

Формула разности двух чисел, возведенных в квадрат, равна произведению суммы этих чисел на их разность. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: a² — с² = (a + с)·(a — с).

Куб суммы

Чтобы вычислить куб суммы двух слагаемых, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого слагаемого и второго, утроенного произведения первого слагаемого и второго в квадрате, а также куба второго слагаемого. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а + с)³ = а³ + 3а²с + 3ас² + с³.

Сумма кубов

Согласно формуле, приравнивается к произведению суммы данных слагаемых на их неполный квадрат разности. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: а³ + с³ = (а + с)·(а² — ас + с²).

Пример.
Необходимо вычислить объем фигуры, которая образована сложением двух кубов. Известны лишь величины их сторон.

Если значения сторон небольшие, то выполнить вычисления просто.

Если же длины сторон выражаются в громоздких числах, то в этом случае проще применить формулу «Сумма кубов», которая значительно упростит вычисления.

Куб разности

Выражение для кубической разности звучит так: как сумма третьей степени первого члена, утроенного отрицательного произведения квадрата первого члена на второй, утроенного произведения первого члена на квадрат второго и отрицательного куба второго члена. В виде математического выражения куб разности выглядит следующим образом: (а — с)³ = а³ — 3а²с + 3ас² — с³.

Разность кубов

Формула разности кубов отличается от суммы кубов лишь одним знаком. Таким образом, разность кубов — формула, равная произведению разности данных чисел на их неполный квадрат суммы. В виде математического выражения разность кубов выглядит следующим образом: а 3 — с 3 = (а — с)(а 2 + ас + с 2).

Пример.
Необходимо вычислить объем фигуры, которая останется после вычитания из объема синего куба объемной фигуры желтого цвета, которая также является кубом. Известна лишь величина стороны маленького и большого куба.

Если значения сторон небольшие, то вычисления довольно просты. А если длины сторон выражаются в значительных числах, то стоит применить формулу, озаглавленную «Разность кубов» (или «Куб разности»), которае значительно упростит вычисления.

Как свернуть формулу сокращенного умножения. Как раскрыть скобки? Скобка в натуральной степени

Раскрытие скобок является одним из видов преобразования выражения. В этом разделе мы опишем правила раскрытия скобок, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся примеры задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что называется раскрытием скобок?

Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Например, заменить выражение 2 · (3 + 4) на выражение вида 2 · 3 + 2 · 4
без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

Определение 1

Под раскрытием скобок подразумевают приемы избавления от скобок и рассматривают его обычно в отношении выражений, которые могут содержать:

• знаки « + » или « — » перед скобками, в которые заключены суммы или разности;
• произведение числа, буквы или нескольких букв и суммы или разности, которая помещена в скобки.

Так мы привыкли рассматривать процесс раскрытия скобок в курсе школьной программы. Однако никто не мешает нам посмотреть на это действие шире. Мы можем назвать раскрытием скобок переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению, не имеющему скобок. К примеру, мы можем перейти от 5 + (− 3) − (− 7) к 5 − 3 + 7 . Фактически, это тоже раскрытие скобок.

Точно также мы можем заменить произведение выражений в скобках вида (a + b) · (c + d) на сумму a · c + a · d + b · c + b · d . Такой прием также не противоречит смыслу раскрытия скобок.

Вот еще один пример. Мы можем допустить, что в выражениях вместо чисел и переменных могут быть использованы любые выражения. Например, выражению x 2 · 1 a — x + sin (b) будет соответствовать выражение без скобок вида x 2 · 1 a — x 2 · x + x 2 · sin (b) .

Отдельного внимания заслуживать еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения 3 − (5 − 7)
мы получаем выражение 3 − 5 + 7 .
Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .

Проведение действий с громоздкими выражениями может потребовать записи промежуточных результатов. Тогда решение будет иметь вид цепочки равенств. Например, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1
или 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1
.

Правила раскрытия скобок, примеры

Приступим к рассмотрению правил раскрытия скобок.

У одиночных чисел в скобках

Отрицательные числа в скобках часто встречаются в выражениях. Например, (− 4) и 3 + (− 4) . Положительные числа в скобках тоже имеют место быть.

Сформулируем правило раскрытия скобок, в которых заключены одиночные положительные числа. Предположим, что а – это любое положительное число. Тогда (а) мы можем заменить на а, + (а) на + а, — (а) на – а. Если вместо а взять конкретное число, то согласно правилу: число (5) запишется как 5
, выражение 3 + (5) без скобок примет вид 3 + 5
, так как + (5) заменяется на + 5
, а выражение 3 + (− 5) эквивалентно выражению 3 − 5
, так как + (− 5)
заменяется на − 5
.

Положительные числа обычно записываются без использования скобок, так как скобки в этом случае излишни.

Теперь рассмотрим правило раскрытия скобок, внутри которых содержится одиночное отрицательное число. + (− a)
мы заменяем на − a
, − (− a) заменяется на + a . Если выражение начинается с отрицательного числа (− a)
, которое записано в скобках, то скобки опускаются и вместо (− a)
остается − a
.

Приведем примеры:
(− 5) можно записать как − 5 , (− 3) + 0 , 5 принимает вид − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) превращается в 4 − 3
, а − (− 4) − (− 3) после раскрытия скобок принимает вид 4 + 3 , так как − (− 4) и − (− 3)
заменяется на + 4 и + 3 .

Следует понимать, что записать выражение 3 · (− 5) как 3 · − 5 нельзя. Об этом речь пойдет в следующих пунктах.

Давайте посмотрим, на чем основываются правила раскрытия скобок.

Согласно правилу разность a − b равна a + (− b) . На основе свойств действий с числами мы можем составить цепочку равенств (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a
, которая будет справедлива. Эта цепочка равенств в силу смысла вычитания доказывает, что выражение a + (− b) — это разность a − b
.

Основываясь на свойствах противоположных чисел и правил вычитания отрицательных чисел мы можем утверждать, что − (− a) = a , a − (− b) = a + b .

Встречаются выражения, которые составляются из числа, знаков минуса и нескольких пар скобок. Использование приведенных выше правил позволяет последовательно избавляться от скобок, продвигаясь от внутренних скобок к наружным или в обратном направлении. Примером такого выражения может быть − (− ((− (5)))) . Раскроем скобки, продвигаясь изнутри наружу:
− (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Также этот пример можно разобрать и в обратном направлении: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5
.

Под a
и b можно понимать не только числа, но также произвольные числовые или буквенные выражения со знаком « + » впереди, которые не являются суммами или разностями. Во всех этих случаях можно применять правила точно также, как мы делали это в отношении одиночных чисел в скобках.

К примеру, после раскрытия скобок выражение − (− 2 · x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 · x · y 2: z)
примет вид 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . Как мы это сделали? Мы знаем, что − (− 2 · x) есть + 2 · x , а так как это выражение стоит вначале, то + 2 · x можно записать как 2 · x , − (x 2) = − x 2
, + (− 1 x) = − 1 x и − (2 · x · y 2: z) = − 2 · x · y 2: z
.

В произведениях двух чисел

Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.

Предположим, что a
и b – это два положительных числа. В этом случае произведение двух отрицательных чисел − a
и − b вида (− a) · (− b) мы можем заменить на (a · b) , а произведения двух чисел с противоположными знаками вида (− a) · b и a · (− b) заменить на (− a · b)
. Умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Верность первой части записанного правила подтверждается правилом умножения отрицательных чисел. Для подтверждения второй части правила мы можем использовать правила умножения чисел с разными знаками.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Рассмотрим алгоритм раскрытия скобок в произведении двух отрицательных чисел — 4 3 5 и — 2 , вида (- 2) · — 4 3 5 . Для этого заменим исходное выражение на 2 · 4 3 5 . Раскроем скобки и получим 2 · 4 3 5 .

А если мы возьмем частное отрицательных чисел (− 4) : (− 2) , то запись после раскрытия скобок будет иметь вид 4: 2

На месте отрицательных чисел − a
и − b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, которые не являются суммами или разностями. К примеру, это могут быть произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п.

Раскроем скобки в выражении — 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Согласно правилу, мы можем произвести следующие преобразования: — 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) = — 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 = 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 .

Выражение (− 3) · 2
можно преобразовать в выражение (− 3 · 2) . После этого можно раскрыть скобки: − 3 · 2
.

2 3 · — 4 5 = — 2 3 · 4 5 = — 2 3 · 4 5

Деление чисел с разными знаками также может потребовать предварительного раскрытия скобок: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2
и 2 3 4: (- 3 , 5) = — 2 3 4: 3 , 5 = — 2 3 4: 3 , 5 .

Правило может быть использовано для выполнения умножения и деления выражений с разными знаками. Приведем два примера.

1 x + 1: x — 3 = — 1 x + 1: x — 3 = — 1 x + 1: x — 3

sin (x) · (- x 2) = (- sin (x) · x 2) = — sin (x) · x 2

В произведениях трех и большего количества чисел

Перейдем к произведенимя и частным, которые содержат большее количество чисел. Для раскрытия скобок здесь будет действовать следующее правило. При четном количестве отрицательных чисел можно опустить скобки, заменив числа противоположными. После этого необходимо заключить полученное выражение в новые скобки. При нечетном количестве отрицательных чисел, опустив скобки, заменить числа на противоположные. После этого полученное выражение необходимо взять в новые скобки и поставить перед ним знак минус.

Пример 2

Для примера, возьмем выражение 5 · (− 3) · (− 2) , которое представляет собой произведение трех чисел. Отрицательных чисел два, следовательно, мы можем записать выражение как
(5 · 3 · 2) и затем окончательно раскрыть скобки, получив выражение 5 · 3 · 2 .

В произведении (− 2 , 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1 , 25) : (− 1) пять чисел являются отрицательными. поэтому (− 2 , 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 , 5 · 3: 2 · 4: 1 , 25: 1) . Окончательно раскрыв скобки, получаем −2,5·3:2·4:1,25:1
.

Обосновать приведенное выше правило можно следующим образом. Во-первых, такие выражения мы можем переписать как произведение, заменив умножением на обратное число деление. Представляем каждое отрицательное число как произведение множительного числа и — 1 или — 1 заменяем на (− 1) · a
.

Используя переместительное свойство умножения меняем местами множители и переносим все множители, равные − 1
, в начало выражения. Произведение четного числа минус единиц равно 1 , а нечетного – равно − 1
, что позволяет нам использовать знак минус.

Если бы мы не использовали правило, то цепочка действий по раскрытию скобок в выражении — 2 3: (- 2) · 4: — 6 7 выглядела бы следующим образом:

2 3: (- 2) · 4: — 6 7 = — 2 3 · — 1 2 · 4 · — 7 6 = = (- 1) · 2 3 · (- 1) · 1 2 · 4 · (- 1) · 7 6 = = (- 1) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = — 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6

Приведенное выше правило может быть использовано при раскрытии скобок в выражениях, которые представляют собой произведения и частные со знаком минус, не являющихся суммами или разностями. Возьмем для примера выражение

x 2 · (- x) : (- 1 x) · x — 3: 2 .

Его можно привести к выражению без скобок x 2 · x: 1 x · x — 3: 2 .

Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак +

Рассмотрим правило, которое можно применить для раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, а «содержимое» этих скобок не умножается и не делится на какое-либо число или выражение.

Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс.

Пример 3

Для примера приведем выражение (12 − 3 , 5) − 7
. Опустив скобки, мы сохраняем знаки слагаемых в скобках и ставим перед первым слагаемым знак плюс. Запись будет иметь вид (12 − 3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . В приведенном примере знак перед первым слагаемым ставить не обязательно, так как + 12 − 3 , 5 − 7 = 12 − 3 , 5 − 7 .

Пример 4

Рассмотрим еще один пример. Возьмем выражение x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x и проведем с ним действия x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x = = x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x

Вот еще один пример раскрытия скобок:

Пример 5

2 + x 2 + 1 x — x · y · z + 2 · x — 1 + (- 1 + x — x 2) = = 2 + x 2 + 1 x — x · y · z + 2 · x — 1 — 1 + x + x 2

Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак минус

Рассмотрим случаи, когда перед скобками стоит знак минус, и которые не не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение. Согласно правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак « — », скобки со знаком « — » опускаются, при этом знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

Пример 6

К примеру:

1 2 = 1 2 , — 1 x + 1 = — 1 x + 1 , — (- x 2) = x 2

Выражения с переменными могут быть преобразованы с использованием того же правила:

X + x 3 — 3 — — 2 · x 2 + 3 · x 3 · x + 1 x — 1 — x + 2 ,

получаем x — x 3 — 3 + 2 · x 2 — 3 · x 3 · x + 1 x — 1 — x + 2 .

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Здесь мы рассмотрим случаи, когда нужно раскрыть скобки, которые умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. Тут применимы формулы вида (a 1 ± a 2 ± … ± a n) · b = (a 1 · b ± a 2 · b ± … ± a n · b) или b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n)
, где a 1 , a 2 , … , a n
и b – некоторые числа или выражения.

Пример 7

Например, проведем раскрытие скобок в выражении (3 − 7) · 2
. Согласно правилу, мы можем провести следующие преобразования: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . Получаем 3 · 2 − 7 · 2 .

Раскрыв скобки в выражении 3 · x 2 · 1 — x + 1 x + 2 , получаем 3 x 2 · 1 — 3 · x 2 · x + 3 · x 2 · 1 x + 2 .

Умножение скобки на скобку

Рассмотрим произведение двух скобок вида (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Это поможет нам получить правило для раскрытия скобок при проведении умножения скобки на скобку.

Для того, чтобы решить приведенный пример, обозначим выражение (b 1 + b 2)
как b . Это позволит нам использовать правило умножения скобки на выражение. Получим (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b . Выполнив обратную замену b
на (b 1 + b 2) , снова применим правило умножения выражения на скобку: a 1 · b + a 2 · b = = a 1 · (b 1 + b 2) + a 2 · (b 1 + b 2) = = (a 1 · b 1 + a 1 · b 2) + (a 2 · b 1 + a 2 · b 2) = = a 1 · b 1 + a 1 · b 2 + a 2 · b 1 + a 2 · b 2

Благодаря ряду несложных приемов мы можем прийти к сумме произведений каждого из слагаемых из первой скобки на каждое из слагаемых из второй скобки. Правило можно распространить на любое количество слагаемых внутри скобок.

Сформулируем правила умножения скобки на скобку: чтобы перемножить между собой две суммы, необходимо каждое из слагаемых первой суммы перемножить на каждое из слагаемых второй суммы и сложить полученные результаты.

Формула будет иметь вид:

(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n

Проведем раскрытие скобок в выражении (1 + x) · (x 2 + x + 6) Оно представляет собой произведение двух сумм. Запишем решение: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6

Отдельно стоит остановиться на тех случаях, когда в скобках присутствует знак минус наряду со знаками плюс. Для примера возьмем выражение (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Сначала представим выражения в скобках в виде сумм: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3))
. Теперь мы можем применить правило: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))

Раскроем скобки: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений

При наличии в выражении трех и более выражений в скобках, раскрывать скобки необходимо последовательно. Начать преобразование необходимо с того, что два первых множителя берут в скобки. Внутри этих скобок мы можем проводить преобразования согласно правилам, рассмотренным выше. Например, скобки в выражении (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .

В выражении содержится сразу три множителя (2 + 4)
, 3
и (5 + 7 · 8) . Будем раскрывать скобки последовательно. Заключим первые два множителя еще в одни скобки, которые для наглядности сделаем красными: (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) = ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8)
.

В соответствии с правилом умножения скобки на число мы можем провести следующие действия: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · (5 + 7 · 8) .

Умножаем скобку на скобку: (2 · 3 + 4 · 3) · (5 + 7 · 8) = 2 · 3 · 5 + 2 · 3 · 7 · 8 + 4 · 3 · 5 + 4 · 3 · 7 · 8 .

Скобка в натуральной степени

Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.

Рассмотрим процесс преобразования выражения
(a + b + c) 2 . Его можно записать в виде произведения двух скобок (a + b + c) · (a + b + c)
. Произведем умножение скобки на скобку и получим a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c .

Разберем еще один пример:

Пример 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 · 1 x + 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x + 1 x · 2 + 2 · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 · 2 · 2

Деление скобки на число и скобки на скобку

Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые. Например, (x 2 — x) : 4 = x 2: 4 — x: 4 .

Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.

Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении (x + 2) : 2 3 . Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Умножим скобку на число (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .

Вот еще один пример деления на скобку:

Пример 9

1 x + x + 1: (x + 2) .

Заменим деление умножением: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 .

Выполним умножение: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

Порядок раскрытия скобок

Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.

Порядок выполнения действий:

• первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
• на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных;
• заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примере выражения (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Намнем преобразование с выражений 3 · (− 2) : (− 4) и 6 · (− 7) , которые должны принять вид (3 · 2: 4)
и (− 6 · 7) . При подстановке полученных результатов в исходное выражение получаем: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . Раскрываем скобки: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7 .

Имея дело с выражениями, которые содержат скобки в скобках, удобно проводить преобразования, продвигаясь изнутри наружу.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В предыдущем уроке мы разобрались с разложением на множители. Освоили два способа: вынесение общего множителя за скобки и группировку. В этом уроке — следующий мощный способ: формулы сокращённого умножения
. В краткой записи — ФСУ.

Формулы сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне необходимы во всех разделах математики. Они применяются в упрощении выражений, решении уравнений, умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и т.д. и т.п. Короче, есть все основания разобраться с ними. Понять откуда они берутся, зачем они нужны, как их запомнить и как применять.

Разбираемся?)

Откуда берутся формулы сокращённого умножения?

Равенства 6 и 7 записаны не очень привычно. Как бы наоборот. Это специально.) Любое равенство работает как слева направо, так и справа налево. В такой записи понятнее, откуда берутся ФСУ.

Они берутся из умножения.) Например:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Вот и всё, никаких научных хитростей. Просто перемножаем скобки и приводим подобные. Так получаются все формулы сокращённого умножения.
Сокращённое
умножение — это потому, что в самих формулах нет перемножения скобок и приведения подобных. Сокращены.) Сразу дан результат.

ФСУ нужно знать наизусть. Без первых трёх можно не мечтать о тройке, без остальных — о четвёрке с пятёркой.)

Зачем нужны формулы сокращённого умножения?

Есть две причины, выучить, даже зазубрить эти формулы. Первая — готовый ответ на автомате резко уменьшает количество ошибок. Но это не самая главная причина. А вот вторая…

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений . Например
, в числовом выражении \(5·3+7\) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: \(5·3+7 =15+7=22\). А вот в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Пример.

Раскройте скобку: \(-(4m+3)\).
Решение

: \(-(4m+3)=-4m-3\).

Пример.

Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение

: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Пример.

Раскройте скобки \(5(3-x)\).
Решение

: В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой — пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) — напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей
.

Пример.

Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение

: Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).

Пример.

Упростить выражение: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение

: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Пример.

Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Решение

: У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
Шаг 1. Убираем первую скобку — каждый ее член умножаем на скобку вторую:

Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
— сначала первое…

Потом второе.

Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:

Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.

Примечание ко всему разделу.
На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\)
. Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило \((a-b)=a-b\)
. А если подставить минус единицу, получим правило \(-(a-b)=-a+b\)
. Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Скобка в скобке

Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).

Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
— внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
— раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение
, просто переписывая его как есть.
Давайте для примера разберем написанное выше задание.

Пример.

Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:

Пример.

Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение

:

Раскрытие скобок — это базовое умение в математике. Без этого умения невозможно иметь оценку выше тройки в 8 и 9 классе. Поэтому рекомендую хорошо разобраться в этой теме.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Формулы сокращенного выражения очень часто применяются на практике, так что их все желательно выучить наизусть. До этого момента нам будет служить верой и правдой , которую мы рекомендуем распечатать и все время держать перед глазами:

Первые четыре формулы из составленной таблицы формул сокращенного умножения позволяют возводить в квадрат и куб сумму или разность двух выражений. Пятая предназначена для краткого умножения разности и суммы двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a
и b
на их неполный квадрат разности (так называют выражение вида a 2 −a·b+b 2
) и разности двух выражений a
и b
на неполный квадрат их суммы (a 2 +a·b+b 2
) соответственно.

Стоит отдельно заметить, что каждое равенство в таблице представляет собой тождество . Этим объясняется, почему формулы сокращенного умножения еще называют тождествами сокращенного умножения.

При решении примеров, особенно в которых имеет место разложение многочлена на множители , ФСУ часто используют в виде с переставленными местами левыми и правыми частями:

Три последних тождества в таблице имеют свои названия. Формула a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b)
называется формулой разности квадратов
, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2
) — формулой суммы кубов
, а a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2
) — формулой разности кубов
. Обратите внимание, что соответствующим формулам с переставленными частями из предыдущей таблицы фсу мы никак не назвали.

Дополнительные формулы

В таблицу формул сокращенного умножения не помешает добавить еще несколько тождеств.

Сферы применения формул сокращенного умножения (фсу) и примеры

Основное предназначение формул сокращенного умножения (фсу) объясняется их названием, то есть, оно состоит в кратком умножении выражений. Однако сфера применения ФСУ намного шире, и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное приложение формулы сокращенного умножения нашли в выполнении тождественных преобразований выражений . Наиболее часто эти формулы используются в процессе упрощения выражений
.

Пример.

Упростите выражение 9·y−(1+3·y) 2
.

Решение.

В данном выражении возведение в квадрат можно выполнить сокращенно, имеем 9·y−(1+3·y) 2 =9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2)
. Остается лишь раскрыть скобки и привести подобные члены: 9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2)=
9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2
.

Квадратные и кубические формулы. Формулы сокращенного умножения

Для того что бы упростить алгебраические многочлены, существуют формулы сокращенного умножения
. Их не так уж и много и они легко запоминаются, а запомнить их нужно. Обозначения которые используются в формулах, могут принимать любой вид (число или многочлен).

Первая формула сокращенного умножения называется разность квадратов
. Она заключается в том что из квадрата одного числа отнимается квадрат второго числа равен величине разности данных чисел, а также их произведению.

а 2 — b 2 = (а — b)(a + b)

Разберем для наглядности:

22 2 — 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9а 2 — 4b 2 c 2 = (3a — 2bc)(3a + 2bc)

Вторая формула о сумме квадратов
. Звучит она как, сумма двух величин в квадрате равняется квадрату первой величины к ней прибавляется двойное произведение первой величины умноженное на вторую, к ним прибавляется квадрат второй величины.

(а + b) 2 = a 2 +2ab + b 2

Благодаря данной формуле, становится намного проще вычислять квадрат от большого числа, без использования вычислительной техники.

Так к примеру:
квадрат от 112 будет равен
1) В начале разберем 112 на числа квадраты которых нам знакомы
112 = 100 + 12
2) Вписываем полученное в скобки возведенные в квадрат
112 2 = (100+12) 2
3) Применяя формулу, получаем:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Третья формула это квадрат разности
. Которая гласит о том, что две вычитаемые друг друга величины в квадрате равняются, тому что, от первой величины в квадрате отнимаем двойное произведение первой величины умноженное на вторую, прибавляя к ним квадрат второй величины.

(а +b) 2 = а 2 — 2аb + b 2

где (а — b) 2 равняется (b — а) 2 . В доказательство чему, (а-b) 2 = а 2 -2аb+b 2 = b 2 -2аb + а 2 = (b-а) 2

Четвертая формула сокращенного умножения называется куб суммы
. Которая звучит как: две слагаемые величины в кубе равны кубу 1 величины прибавляется тройное произведение 1 величины в квадрате умноженное на 2-ую величину, к ним прибавляется тройное произведение 1 величины умноженной на квадрат 2 величины, плюс вторая величина в кубе.

(а+b) 3 = а 3 + 3а 2 b + 3аb 2 + b 3

Пятая, как вы уже поняли называется куб разности
. Которая находит разности между величинами, как от первого обозначения в кубе отнимаем тройное произведение первого обозначения в квадрате умноженное на второе, к ним прибавляется тройное произведение первого обозначения умноженной на квадрат второго обозначения, минус второе обозначение в кубе.

(а-b) 3 = а 3 — 3а 2 b + 3аb 2 — b 3

Шестая называется — сумма кубов
. Сумма кубов равняется произведению двух слагаемых величин, умноженных на неполный квадрат разности, так как в середине нет удвоенного значения.

а 3 + b 3 = (а+b)(а 2 -аb+b 2)

По другому можно сказать сумму кубов можно назвать произведение в двух скобках.

Седьмая и заключительная, называется разность кубов
(ее легко перепутать с формулой куба разности, но это разные вещи). Разность кубов равняется произведению от разности двух величин, умноженных на неполный квадрат суммы, так как в середине нет удвоенного значения.

а 3 — b 3 = (а-b)(а 2 +аb+b 2)

И так формул сокращенного умножения всего 7, они похожи друг на друга и легко запоминаются, единственно важно не путаться в знаках. Они так же рассчитаны на то, что их можно использовать в обратном порядке и в учебниках собрано довольно много таких заданий. Будьте внимательны и все у вас получится.

Если у вас появились вопросы по формулам, обязательно пишите их в комментариях. Будем рады ответить вам!

Если Вы находитесь в декретном отпуске, но хотите зарабатывать деньги. Просто перейдите по ссылке Интернет бизнес с Орифлейм . Там все очень подробно написано и показано. Будет интересно!

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Формулы сокращенного выражения очень часто применяются на практике, так что их все желательно выучить наизусть. До этого момента нам будет служить верой и правдой , которую мы рекомендуем распечатать и все время держать перед глазами:

Первые четыре формулы из составленной таблицы формул сокращенного умножения позволяют возводить в квадрат и куб сумму или разность двух выражений. Пятая предназначена для краткого умножения разности и суммы двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a
и b
на их неполный квадрат разности (так называют выражение вида a 2 −a·b+b 2
) и разности двух выражений a
и b
на неполный квадрат их суммы (a 2 +a·b+b 2
) соответственно.

Стоит отдельно заметить, что каждое равенство в таблице представляет собой тождество . Этим объясняется, почему формулы сокращенного умножения еще называют тождествами сокращенного умножения.

При решении примеров, особенно в которых имеет место разложение многочлена на множители , ФСУ часто используют в виде с переставленными местами левыми и правыми частями:

Три последних тождества в таблице имеют свои названия. Формула a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b)
называется формулой разности квадратов
, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2
) — формулой суммы кубов
, а a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2
) — формулой разности кубов
. Обратите внимание, что соответствующим формулам с переставленными частями из предыдущей таблицы фсу мы никак не назвали.

Дополнительные формулы

В таблицу формул сокращенного умножения не помешает добавить еще несколько тождеств.

Сферы применения формул сокращенного умножения (фсу) и примеры

Основное предназначение формул сокращенного умножения (фсу) объясняется их названием, то есть, оно состоит в кратком умножении выражений. Однако сфера применения ФСУ намного шире, и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное приложение формулы сокращенного умножения нашли в выполнении тождественных преобразований выражений . Наиболее часто эти формулы используются в процессе упрощения выражений
.

Пример.

Упростите выражение 9·y−(1+3·y) 2
.

Решение.

В данном выражении возведение в квадрат можно выполнить сокращенно, имеем 9·y−(1+3·y) 2 =9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2)
. Остается лишь раскрыть скобки и привести подобные члены: 9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2)=
9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2
.

Формулы степеней
используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

Число c
является n
-ной степенью числа a
когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

a m
·a n = a m + n .

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

(a/b) n = a n /b n .

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

(a m) n = a m n .

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Например
. (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4
.

Операции с корнями.

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n
раз и в тоже время возвести в n
-ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

5. Если уменьшить степень корня в n
раз и в тоже время извлечь корень n
-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

Степень с отрицательным показателем.
Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

Формулу a m
:a n =a m — n
можно использовать не только при m
> n
, но и при m
n
.

Например
. a
4:a 7 = a 4 — 7 = a -3
.

Чтобы формула a m
:a n =a m — n
стала справедливой при m=n
, нужно присутствие нулевой степени.

Степень с нулевым показателем.
Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

Например
. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем.
Чтобы возвести действительное число а
в степень m/n
, необходимо извлечь корень n
-ой степени из m
-ой степени этого числа а
.

Применяют для упрощения вычислений, а также разложение многочленов на множители, быстрого умножения многочленов. Большинство формул сокращенного умножения можно получить из бинома Ньютона — в этом Вы скоро убедитесь.

Формулы для квадратов
применяют в вычислениях чаще. Их начинают изучать в школьной программе начиная с 7 класса и до конца обучения формулы для квадратов и кубов школьники должны знать на зубок.

Формулы для кубов
не сильно сложные и их нужно знать при сведении многочленов к стандартному виду, для упрощения подъема суммы или разности переменной и числа к кубу.

Формулы обозначены красным получают из предыдущих группировкой подобных слагаемых.

Формулы для четвертого и пятого степени
в школьном курсе мало кому пригодятся, однако есть задачи при изучении высшей математики где нужно вычислять коэффициенты при степенях.

Формулы для степени
n
расписаны
через биномиальные коэффициенты с использованием факториалов следующие

Примеры применения формул сокращенного умножения

Пример 1.7.

Решение.
Что такое бином Ньютона Вы вероятно уже знаете. Если нет то ниже приведены биномиальные коэффициенты

Они образуются следующим образом: по краю идут единицы, коэффициенты между ними в нижней строке образуют суммированием соседних верхних. Если ищем разницу в каком-то степени, то знаки в расписании чередуются от плюса к минусу. Таким образом для седьмого порядка получим такой расклад

Внимательно также посмотрите как меняются показатели — для первой переменной они уменьшаются на единицу в каждом следующем слагаемом, соответственно для второй — на единицу растут. В сумме показатели всегда должны быть равны степени разложения (=7
).

Думаю на основе приведенного выше материала Вы сможете решить задачи на бином Ньютона. Изучайте формулы сокращенного умножения и применяйте везде, где это может упростить вычисления и сэкономит время выполнения задания.

Линейные, квадратные, кубические уравнения | ЕГЭ по математике (профильной)

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.

Линейные уравнения

Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$

Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.

$5 (5 + 3х) — 10х = 8$

Раскроем скобки.

$25 + 15х — 10х = 8$

Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.

$15х — 10х = 8 — 25$

Приведем подобные слагаемые.

$5х = -17$ — это конечный результат преобразований.

После преобразований к виду $ax = b$, где, a=0, корень уравнения находим по формуле $х = {b}/{a}$

$х=-{17}/{5}$

$х = — 3,4$

Ответ: $- 3,4$

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа a$≠0$, $x$ — неизвестное.2- 5х + 2 = 0$

Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.

$a + b + c = 0$

$x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$

В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$

Преобразование рациональных выражений | ЕГЭ по математике (профильной)

Дроби

Правильные обыкновенные дроби — числитель меньше знаменателя

Пример:

${1}/{3}; {7}/{11}$

Неправильные обыкновенные дроби – числитель больше знаменателя.

Пример:

${7}/{5}; {11}/{6}$

Смешанные обыкновенные дроби – дроби, у которых имеется целая и дробная часть. Между целой и дробной частью стоит знак $+$, но его не пишут.

Пример:

$3{2}/{5}=3+{2}/{5}$

• Чтобы перейти из смешанной дроби в неправильную дробь надо знаменатель умножить на целое значение, к этому результату прибавить числитель и записать полученное число в числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним.

Пример:

$3 {2}/{5}={3∙5+2}/{5}={17}/{5}$

• Чтобы в неправильной дроби выделить целую часть надо в столбик делить числитель на знаменатель до последнего остатка, далее:

1. Результат деления – это целая часть новой дроби.
2. Остаток — это числитель новой дроби.
3. Знаменатель остается прежним.

Пример: Выделить целую часть ${22}/{3}$

При делении $22$ на $3$ получаем $7$ в результате и $(1)$ в остатке, следовательно, ${22}/{3}=7{1}/{3}$

• Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно воспользоваться следующими правилами.

1. Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Для этого найти наименьшее общее кратное знаменателей.
2. Найти дополнительные множители для каждой дроби. Для этого наименьший общий знаменатель делим по очереди на знаменатель каждой дроби. Полученные числа и будут дополнительными множителями для каждой из дробей. Множители записываем над числителем дроби справа сверху.
3. Числитель и знаменатель каждой дроби умножаем на свой дополнительный множитель. Если в результате получилась неправильная дробь, то выделяем целую часть. Если в результате получилась сократимая дробь, необходимо выполнить сокращение.

• При умножении и делении дробей их надо подписать под общей чертой и сократить.
• При делении дробей, вторую дробь переворачиваем.
• При умножении или делении смешанных дробей, дроби надо перевести в неправильные.

Десятичная дробь — это любая числовая дробь, в знаменателе которой стоит степень десятки.

Пример:

${34}/{100}=0.34; {45}/{10}=4.5$

Десятичная запись — это форма записи десятичных дробей, где целая часть отделяется от дробной с помощью обычной точки или запятой. При этом сам разделитель (точка или запятая) называется десятичной точкой.

• Сложение и вычитание десятичных дробей выполняют поразрядно. Удобно это выполнять в столбик. При этом десятичные дроби подписывают друг под другом так, чтобы запятая была под запятой. Добавляют или отнимают десятичные дроби, как натуральные числа, несмотря на запятую. В результате запятую ставят под запятыми.

Пример:

$0.36+0.2=0.56$

$0.36+0.20=0.56$

$0.03-0.0012=0.0288$

$0.0300-0.0012=0.0288$

• При умножении десятичных дробей надо:

1. Выполнить умножение чисел, не обращая внимания на запятые.
2. В результате с конца отделить количество знаков, равное сумме количества знаков у обоих множителей.

Пример:

Выполнить умножение $0.28·12.5$

1. Умножим $28·125=3500$
2. Отделим у $3500$ с конца три знака, так как у множителей было $2$ цифры после запятой и одна (вместе три), получаем $3.500$ или $3.5$.

• Деление десятичных дробей

1. Перевести все десятичные дроби в обычные.5$ — это многочлен. Многочлен может обозначаться записью $Р(х)$ — это означает, что многочлен зависит от «х», если записать $Р(х+1)$ — это означает, что в многочлене вместо «х» надо сделать замену на скобку (х+1)

   Пример:

   Найдите значение выражения: $4(p(2x)−2p(x+3))$, если $p(x)=x−6$

   Решение:

   В данном условии задан многочлен, зависящий от «х», как $p(x)=x−6$.

   Чтобы было понятнее, назовем исходный многочлен основной формулой, тогда, чтобы записать $p(2x)$, в основной формуле заменим «х» на «2х».

   $p(2x)=2х-6$

   Аналогично $p(x+3)= (х+3)-6 = х+3-6 = х-3$

   Соберем все выражение: $4(p(2x)−2p(x+3))=4((2х-6)-2(х-3))$

   Далее осталось раскрыть скобки и привести подобные слагаемые

   $4((2х-6)-2(х-3))=4(2х-6-2х+6)=4∙0=0$

   Ответ: $0$

   • В многочлене одинаковые или различные только коэффициентами одночлены называются подобными слагаемыми, только подобные слагаемые можно складывать или вычитать между собой. При сложении подобных слагаемых, складываются только коэффициенты, буквенная часть остается прежней.2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного трехчлена

     Рациональные дроби

     Выражение, представляющее собой дробь, знаменатель которого буквенное выражение, называется рациональной дробью.

     В рациональных дробях буквы, входящие в числитель могут принимать любые значения, а буквы, стоящие в знаменателе не должны обращать в ноль знаменатель, поэтому говорят, что знаменатель алгебраической дроби не равен нулю.

     Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля выражение или число, то дробь не изменится.

     ${а}/{с}={а·Р}/{с·Р}, Р≠0$

     • Чтобы сократить рациональную дробь, обязательно нужно числитель и знаменатель разложить на множители. Если окажется, что числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если общих множителей нет, то дробь несократима.
     • Алгоритм сложения и вычитания рациональных дробей:
     1. Разложить знаменатель каждой дроби на множители.2-25)·10}/{(3х-5)(3х+5)}$, для этого первое выражение надо разложить на множители, выполнить умножение и сократить дробь.

        ${(3х-5)(3х+5)·10}/{(3х-5)(3х+5)}=10$

        Ответ: $10$

        • Алгоритм умножения рациональных дробей:
        1. Разложить числители и знаменатели всех дробей, участвующих в умножении, на множители.
        2. Перемножить отдельно их числители и их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем произведения.
        3. Сократить дробь.
        • Алгоритм деления рациональных дробей:
        1. Разложить числители и знаменатели всех дробей, участвующих в умножении, на множители.
        2. Заменить деление умножением, при этом вторую дробь перевернуть.
        3. Перемножить отдельно их числители и их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем произведения.
        4. Сократить дробь.

        Линейные квадратные кубические уравнения решу егэ

        линейные квадратные кубические уравнения решу егэ Math-ege. sdamgia. ru

        11.06.2020 11:36:49

        2020-06-11 11:36:49

        Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.

        Линейные уравнения

        Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$

        Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.

        $5 (5 + 3х) — 10х = 8$

        $25 + 15х — 10х = 8$

        Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.

        $15х — 10х = 8 — 25$

        Приведем подобные слагаемые.2$.

        При решении последнего уравнения возможны два случая:

        2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:

        Извлечем кубический корень из обеих частей

        Соберем известные слагаемые в правой части

        Дробно рациональные уравнения

        Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.

        Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:

        найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение; умножить обе части уравнения на общий знаменатель; решить получившееся целое уравнение; исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

        1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

        2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения

        $4x · x + 1 · x — / = 0$

        3. решаем полученное уравнение

        Решим вторым устным способом, т. к. $а + с = b$

        Тогда $х_1 = — 1, х_2 = /$

        4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.2$.

        При решении последнего уравнения возможны два случая:

        2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:

        Извлечем кубический корень из обеих частей

        Соберем известные слагаемые в правой части

        Дробно рациональные уравнения

        Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.

        Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:

        найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение; умножить обе части уравнения на общий знаменатель; решить получившееся целое уравнение; исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

        1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

        2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения

        $4x · x + 1 · x — / = 0$

        3. решаем полученное уравнение

        Решим вторым устным способом, т. к. $а + с = b$

        Тогда $х_1 = — 1, х_2 = /$

        4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

        Ответ: $х_1 = — 1, х_2 = /$

        При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.

        Основное свойство пропорции: Если $/ = /$, то $a · d = b · c$

        Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

        Воспользуемся основным свойством пропорции

        Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой части уравнения

        Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т. к.

        В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

        После преобразований к виду $ax = b$, где, a=0, корень уравнения находим по формуле $х = /$

        Линейные уравнения

        Линейные уравнения.

        Examer. ru

        07.09.2018 8:05:29

        2018-09-07 08:05:29

        Mathb-ege. sdamgia. ru

        07.09.2018 8:05:29

        2018-09-07 08:05:29

        Источники:

        Https://math5-vpr. sdamgia. ru/

        Https://soc-ege. sdamgia. ru/

        Https://mathb-ege. sdamgia. ru/test? theme=14

        Https://ege. sdamgia. ru/

        Https://math-ege. sdamgia. ru/test? theme=14&ttest=true

        Https://examer. ru/ege_po_matematike/teoriya/kvadratnye_uravneniya

        Https://mathb-ege. sdamgia. ru/test? theme=14

        Расширяйте члены, умножайте многочлены с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

        МОНОМИЛЫ, УМНОЖЕННЫЕ НА ПОЛИНОМЫ

        ЗАДАЧИ

        По завершении этого раздела вы сможете:

        1. Распознавать многочлены.
        2. Определите биномы и трехчлены.
        3. Найдите произведение одночлена на двучлен.

        Многочлен — это сумма или разность одного или нескольких одночленов.

        Обычно, если существует более одной переменной, многочлен записывается в алфавитном порядке.

        Для некоторых многочленов используются специальные имена. Если полином состоит из двух членов, он называется биномом .

        Если многочлен состоит из трех членов, он называется трехчленом .

        В процессе удаления скобок мы уже отметили, что на все термины в скобках влияет знак или число, стоящее перед скобками. Теперь мы расширим эту идею, чтобы умножить одночлен на многочлен.

        Размещение 2x непосредственно перед скобками означает умножение выражения в скобках на 2x. Обратите внимание, что каждый член умножается в 2 раза.

        Опять же, каждый член в круглых скобках умножается на 3y 2

        И снова каждый член в круглых скобках умножается на 3y 2 . В каждом из этих примеров мы используем свойство распределения .

        ПОЛИНОМИЧЕСКИЕ ТОВАРЫ

        ЗАДАЧИ

        По завершении этого раздела вы сможете:

        1. Найдите произведение двух биномов.
        2. Используйте свойство распределения, чтобы умножить любые два полинома.

        В предыдущем разделе вы узнали, что произведение A (2x + y) расширяется до A (2x) + A (y).

        Теперь рассмотрим произведение (3x + z) (2x + y).

        Поскольку (3x + z) находится в круглых скобках, мы можем рассматривать его как единственный множитель и расширять (3x + z) (2x + y) так же, как A (2x + y).Это дает нам

        Если мы теперь расширим каждый из этих терминов, у нас будет

        Обратите внимание, что в окончательном ответе каждый член одной круглой скобки умножается на каждый член другой круглой скобки.

        Обратите внимание, что это приложение свойства распределения.

        Обратите внимание, что это приложение свойства распределения.

        Поскольку — 8x и 15x — похожие термины, мы можем объединить их, чтобы получить 7x.

        В этом примере мы смогли объединить два термина, чтобы упростить окончательный ответ.

        Здесь мы снова объединили некоторые термины, чтобы упростить окончательный ответ. Обратите внимание, что порядок терминов в окончательном ответе не влияет на правильность решения.

        Свойство коммутативности позволяет изменять порядок.

        Попытайтесь создать систему для умножения каждого члена одной круглой скобки на каждый член другой.В этих примерах мы взяли первый член в первом наборе круглых скобок и умножили его на каждый член во втором наборе круглых скобок. Затем мы взяли второй член первого набора и умножили его на каждый член второго набора, и так далее.

        Развернуть калькулятор — развернуть и свернуть

        Краткое описание:

        Калькулятор может расширять алгебраические выражения онлайн. 2`.

   Калькулятор может расширять алгебраические выражения онлайн.

   ---

   Синтаксис:

   expand (выражение), выражение — это алгебраическое выражение для раскрытия.

   ---

   Примеры:

   Вот несколько примеров использования компьютера для расширения алгебраических выражений:
   Рассчитать онлайн с расширением (развернуть калькулятор)

   Как возвести в куб биномы | Sciencing

   Алгебра полна повторяющихся шаблонов, которые каждый раз можно вычислить с помощью арифметики.Но поскольку эти шаблоны очень распространены, обычно есть какая-то формула, которая помогает упростить вычисления. Куб бинома — отличный пример: если бы вам приходилось каждый раз вычислять его, вы бы потратили много времени на работу с карандашом и бумагой. Но как только вы знаете формулу для решения этого куба (и несколько удобных приемов для ее запоминания), найти свой ответ так же просто, как вставить правильные термины в правильные ячейки переменных.

   TL; DR (слишком долго; не читал)

   Формула для куба бинома ( a + b ):

   ( a + b ) ³ = a ³ + 3_a_ ² b + 3_ab_ ² + b ³

   Расчет куба бинома

   Нет нужды паниковать, когда вы видите проблему типа (a + б) ³ перед вами.Как только вы разделите его на знакомые компоненты, он начнет выглядеть как более знакомые математические задачи, которые вы уже решали раньше.

   В этом случае полезно вспомнить, что

   (a + b) (a + b) (a + b) , который должен выглядеть намного более знакомым.

   Но вместо того, чтобы каждый раз заниматься математикой с нуля, вы можете использовать «ярлык» формулы, которая представляет ответ, который вы получите. Вот формула для куба бинома:

   (a + b) ³ = a ³ + 3a ² b + 3ab ² + b ³

   Чтобы использовать формулу, определить, какие числа (или переменные) занимают места для «a» и «b» в левой части уравнения, затем подставьте те же числа (или переменные) в слоты «a» и «b» в правой части формула.

   Пример 1: Решить (x + 5) ³

   Как видите, x занимает слот «a» в левой части формулы, а 5 — слот «b» . Подставив x и 5 в правую часть формулы, вы получите:

   Небольшое упрощение приблизит вас к ответу:

   x ³ + 3 (5) x ² + 3 (25) x + 125

   И, наконец, как только вы упростите настолько, насколько сможете:

   А как насчет вычитания?

   Вам не нужна другая формула для решения такой задачи, как (y — 3) ³ .Если вы помните, что y — 3 это то же самое, что y + (-3) , вы можете просто переписать задачу на [y + (-3)] ³ и решить ее, используя знакомую формулу.

   Пример 2: Решить (y — 3) ³

   Как уже говорилось, ваш первый шаг — переписать задачу на [y + (-3)] ³ .

   Затем запомните формулу для куба бинома:

   (a + b) ³ = a ³ + 3a ² b + 3ab ² + b ³

   In ваша проблема, y занимает слот «a» в левой части уравнения, а -3 занимает слот «b».Подставьте их в соответствующие ячейки в правой части уравнения, обращая особое внимание на скобки, чтобы сохранить отрицательный знак перед -3. Это дает вам:

   y ³ + 3y ² (-3) + 3y (-3) ² + (-3) ³

   Теперь пора упростить. Опять же, обратите особое внимание на этот отрицательный знак, когда вы применяете экспоненты:

   y ³ + 3 (-3) y ² + 3 (9) y + (-27)

   Еще один раунд упрощения дает вам ответ:

   Остерегайтесь суммы и разницы кубов

   Всегда обращайте пристальное внимание на то, где находятся показатели степени в вашей задаче.Если вы видите проблему в форме (a + b) ³ или [a + (-b)] ³ , то обсуждаемая здесь формула подходит. Но если ваша проблема выглядит как (a ³ + b ³ ) или (a ³ — b ³ ) , это не куб бинома. Это сумма кубов (в первом случае) или разность кубиков (во втором случае), и в этом случае вы применяете одну из следующих формул:

   (a ³ + b ³ ) = ( a + b) (a ² — ab + b ² )

   (a ³ — b ³ ) = (a — b) (a ² + ab + b ² )

   Калькулятор расширения кронштейна

   Автор	Сообщение
   fxen Зарегистрировано: 21.03.2005 Из:	Размещено: 27 декабря, среда, 08:38 Привет, мне нужна немедленная помощь по калькулятору расширения скобок.Я просматривал различные веб-сайты по таким темам, как обратные матрицы и логарифмы, но ни один из них не помог мне решить мою проблему, связанную с калькулятором расширения скобок. Через несколько дней у меня будет тест, и если я не начну работать над своей проблемой, я могу просто провалить экзамен. Я позвонил нескольким своим друзьям, но они, похоже, тоже борются. Итак, ребята, пожалуйста, помогите мне.
   Наверх
   AllejHat Зарегистрировано: 16.07.2003 Откуда: Оденсе, Дания	Размещено: 28 декабря, четверг, 13:29 Лучший способ сделать это — использовать программу Algebrator.Это программное обеспечение предлагает очень быстрые и простые в освоении средства решения математических задач. Вы обязательно начнете любить алгебру, как только начнете пользоваться ею, и увидите, насколько она проста. Я помню, как раньше мне было тяжело с классом базовой математики, а теперь с помощью Алгебратора учиться так весело. Я уверен, что здесь вам помогут решить проблемы с калькулятором расширения скобок.
   Наверх
   фвеингал Зарегистрировано: 11.07.2001 Откуда: Земля	Размещено: 28 декабря, четверг, 19:17 Алгебратор не только поможет вам в выполнении ваших заданий, но также предоставит объяснения, которые помогут вам понять концепции.
   Наверх
   dmj81 Зарегистрирован: 24.04.2005 От: пытаюсь во всем разобраться	Размещено: Пятница, 29 декабря, 17:35 Звучит здорово! Меня не устраивают компьютеры.Если эта программа проста в использовании, я бы с удовольствием попробовал ее один раз. Не могли бы вы дать мне ссылку?
   Наверх
   Homuck Зарегистрирован: 05.07.2001 Откуда: Торонто, Онтарио	Размещено: 30 декабря, суббота, 13:20 Алгебратор — это программа, которую я использовал на нескольких математических курсах — лечебной алгебре, промежуточной алгебре и студенческой алгебре.Это действительно отличная программа для алгебры. Я помню, как мне приходилось сталкиваться с проблемами с синтетическим делением, квадратной формулой и отношениями. Я просто набирал проблемное домашнее задание, нажимал « Решить » и получал пошаговое решение моего домашнего задания по алгебре. Очень рекомендую программу.
   Наверх
   Hiinidam Зарегистрирован: 06.07.2001 Откуда: Грили, Колорадо, США
   Наверх

   Расширяющиеся логарифмы — ChiliMath

   Когда вас просят развернуть логарифмические выражения , ваша цель состоит в том, чтобы выразить одно логарифмическое выражение на множество отдельных частей или компонентов. Этот процесс прямо противоположен сжатию логарифмов, потому что вы сжимаете кучу логарифмов в более простое.

   Лучший способ проиллюстрировать эту концепцию — показать множество примеров. В этом уроке восемь решенных задач.

   Ключ к успешному расширению логарифмов — это осторожное применение правил логарифмов. Найдите время, чтобы ознакомиться с правилами и понять, что они пытаются «сказать».

   Например, правило 1 называется правилом продукта . Что он делает, так это разбивает произведение выражений на сумму лог-выражений. См. Остальные описания ниже.

   ---

   Правила логарифмов

   Изучите описание каждого правила, чтобы получить его интуитивное понимание.

   ---

   Описание правил логарифмирования

   Правило 1: Правило продукта

   Логарифм произведения чисел — это сумма логарифмов отдельных чисел.

   Правило 2: Правило частного

   Логарифм частного числа — это разность логарифма отдельных чисел.

   Правило 3: Правило силы

   Логарифм экспоненциального числа — это показатель степени, умноженный на логарифм основания.

   Правило 4: Правило нуля

   Логарифм 1, где b> 0, но b \ ne 1, равен нулю.

   Правило 5: Правило идентификации

   Логарифм числа, равного его основанию, равен 1. Поскольку число также является основанием, b, это означает, что b> 0, но b \ ne 1.

   Правило 6: Журнал экспонент Правило

   Логарифм экспоненциального числа, основание которого совпадает с основанием журнала, равно экспоненте.

   Правило 7: Показатель логарифма Правило

   Возведение логарифма числа по основанию равняется числу.

   ---

   Примеры раскрытия логарифмов

   Пример 1 : развернуть логарифмическое выражение.

   Заглянув в круглые скобки, мы видим произведение числа и переменных. Правило продукта не говорит, что внутри должно быть только два фактора, на самом деле их может быть больше. Хорошо, поэтому мы разделим основное логарифмическое выражение как сумму четырех журналов.

   ---

   Пример 2 : развернуть логарифмическое выражение.

   Внутри скобок — дробь, означающая, что сначала я буду применять правило частных.Поскольку числитель является произведением 7 и x, я использую правило произведения, чтобы разбить его.

   ---

   Пример 3 : развернуть логарифмическое выражение.

   Хорошо, это тоже дробная форма, поэтому правило частных — это первый шаг, который мы собираемся применить.

   Итак, в этой проблеме есть что-то «новое». То есть числитель содержит переменную с показателем степени. Это должно быть легко, поскольку с этим легко справятся Правило 3 или Правило мощности. Просто опустите экспоненту влево, вот и все!

   Кроме того, в знаменателе стоит радикальное выражение.Помните, что радикал можно выразить дробной степенью. Поскольку этот радикал является квадратным корнем, это означает, что степень просто \ large {1 \ over 2}.

   Кроме того, мы впервые видим в действии Правило 5 или Правило логарифма идентичности. Ожидайте, что это правило будет применяться чаще, потому что оно чрезвычайно полезно в процессе упрощения.

   ---

   Пример 4 : развернуть логарифмическое выражение.

   Пусть вас не пугает квадратный корень. Просто представьте это как степень или показатель \ large {1 \ over 2}.Таким образом, эта проблема сводится к расширению логарифмического выражения со степенью \ large {1 \ over 2}. Здесь Правило мощности опускает показатель \ large {1 \ over 2} слева от журнала, а затем вы расширяете остальную часть, как обычно.

   ---

   Пример 5 : развернуть логарифмическое выражение.

   Эта задача довольно интересна, потому что все выражение возводится в некоторую степень. Кроме того, наличие квадратного корня в числителе добавляет некоторого уровня сложности.

   Однако, если мы будем придерживаться основ, тщательно применяя правила экспонент на каждом этапе, у нас не должно возникнуть проблем с решением этой проблемы! Давай спланируем наши действия, хорошо?

   Уменьшите показатель степени 4, используя Правило мощности. Затем используйте правило частного, чтобы выразить дробь как разность логарифмических выражений. И, наконец, не забывайте, что квадратный корень — это всего лишь дробный показатель от \ large {1 \ over 2}.

   Я распределил 4 по символу группировки, чтобы избавиться от дроби \ large {1 \ over 2}.Также можно оставить 4 за пределами символа группировки, что означает, что нам не нужно распределять 4 по выражениям внутри квадратных скобок. Любой из двух ответов должен быть правильным.

   ---

   Пример 6 : развернуть логарифмическое выражение.

   Это просто кубический корень из некоторого рационального выражения. Замените символ корня куба дробной степенью \ large {1 \ over 3}. Этот показатель степени \ large {1 \ over 3} можно уменьшить, используя правило логарифма степени. Теперь нам нужно разобраться с рациональным выражением, используя правило частных, а затем завершить его, используя правило продукта.

   Не отвлекайтесь на разные типы групповых символов. 3}.Получите квадратные корни, заменив их дробной степенью, а затем используйте правило логарифмов мощности, чтобы уменьшить его перед символом журнала в качестве множителя.

   ---

   Пример 8 : развернуть логарифмическое выражение.

   Основное питание 3 может быть размещено в качестве умножителя с помощью правила мощности. Правило Quotient должно иметь дело с дробными выражениями, записывая их как разность журналов. Теперь замените символ квадратного корня на показатель степени \ large {1 \ over 2}.Аналогичным образом замените символ корня куба на показатель степени \ large {1 \ over 3}.

   ---

   Практика с рабочими листами

   ---

   Возможно, вас заинтересует:

   Уплотняющие логарифмы

   Объяснение логарифма

   Правила логарифмирования

   Решение логарифмических уравнений

   1. Особые продукты

   Что делает эти продукты «особенными»?

   Алгебраические произведения на этой странице используются все время в дальнейшем в этой главе, а также во многих математических вычислениях, с которыми вы столкнетесь позже.Они «особенные», потому что очень распространены, и их стоит знать.

   Если вы легко узнаете эти продукты, это облегчит вам жизнь в будущем.

   Особые товары с квадратами

   Следующие специальные продукты являются результатом умножения скобок. Они вам понадобятся часто, поэтому стоит их хорошо знать.

   a ( x + y ) = ax + ay (Распределительный закон)

   ( x + y ) ( x — y ) = x ² — y ² (разница в 2 квадрата)

   ( x + y ) ² = x ² + 2 xy + y ² (квадрат суммы)

   ( x — y ) ² = x ² -2 xy + y ² (Квадрат разницы)

   Примеры использования специальных продуктов

   Пример 1: Умножение 2 x ( a -3)

   Ответ

   Здесь используется первый продукт, указанный выше.Мы просто умножаем член вне скобок («2 x ») на члены внутри скобок (« a » и «−3»).

   2 x ( a -3) = 2 ax -6 x

   Пример 2: Умножение (7 с + 2 t ) (7 с -2 t )

   Ответ

   Мы понимаем, что этот включает разницы двух квадратов :

   (7 с + 2 т ) (7 с -2 т )

   = (7 с ) ² — (2 т ) ²

   = 49 с ² -4 т ²

   Пример 3: Умножение (12 + 5 ab ) (12-5 ab )

   Ответ

   (12 + 5 ab ) (12-5 ab )

   = (12 ) ² — (5 ab ) ²

   = 144 ^{-25 a 2 b 2}

   Ответ — разница в 2 квадрата.

   Пример 4: Развернуть (5 a + 2 b ) ²

   Ответ

   Это квадрат суммы двух членов .

   (5 a + 2 b ) ²

   = (5 a ) ² + 2 (5 a ) (2 b ) + (2 b ) ²

   = 25 a ² + 20 a b + 4 b ²

   Пример 5: Расширить ( q -6) ²

   Ответ

   ( q —
   6) ²

   = ( q ) ² —
   2 ( кв. ) (6) +
   (6) ²

   = кв. ² — 12 кв. +
   36

   В этом примере используется квадрат разности двух членов.

   Пример 6: Развернуть (8 x — y ) (3 x + 4 y )

   Ответ

   Этот вопрос не относится ни к одному из указанных выше форматов. Так что нам просто нужно постепенно умножать скобки.

   Важно понимать, когда у нас есть специальный продукт, а когда вопрос касается другого.

   (8 x — y ) (3 x + 4 y )

   = 8 x (3 x + 4 y ) — y (3 x + 4 y )

   = 8 x (3 x ) + 8 x (4 y ) — y (3 x ) — y (4 y )

   = 24 x ² + 32 x y −3 xy — 4 y ²

   = 24 x ² + 29 x y — 4 y ²

   Пример 7: Развернуть ( x + 2 + 3 y ) ²

   Ответ

   Чтобы расширить это, мы помещаем его в форму ( a + b ) ² и расширяем его, используя третье правило выше, которое гласит:

   ( a + b ) ² = a ² + 2 ab + b ²

   Ставлю

   a = x + 2

   b = 3 y

   Это дает мне:

   ( x + 2 + 3 y ) ²

   [Это шаг ( a + b ) ² .]

   = ([ x + 2] + 3 y ) ²

   = [ x + 2] ² + 2 [ x + 2] (3 y ) + (3 y ) ²

   [Здесь я применяю: ( a + b ) ² = a ² + 2 ab + b ² ]

   = [ x ² + 4 x + 4] + (2 x + 4) (3 y ) + 9 y ²

   [В этом ряду я просто раскрываю скобки.]

   = x ² + 4 x + 4 + 6 xy + 12 y + 9 y ²

   [Это этап «наведения порядка».]

   Я мог бы выбрать следующее и получить тот же ответ:

   a = x

   b = 2 + 3 y

   Попробуй!

   Особые продукты с кубиками

   Следующие произведения являются просто результатом умножения скобок.

   ( x + y ) ³ = x ³ + 3 x ² y + 3 xy ² + y ³ (куб сумма)

   ( x — y ) ³ = x ³ — 3 x ² y + 3 xy ² — y ³ (куб разница)

   ( x + y ) ( x ² — xy + y ² ) = x ³ + y ³ (сумма 2 кубов)

   ( x — y ) ( x ² + xy + y ² ) = x ³ — y ³ (разница в 2 куба)

   Их также стоит знать достаточно хорошо, чтобы вы узнали форму и различия между ними.(Почему? Потому что это проще, чем умножение скобок, и помогает нам решать более сложные задачи алгебры позже.)

   Пример 8: Расширить (2 с + 3) ³

   Ответ

   Это включает Куб суммы:

   (2 с + 3) ³

   = (2 с ) ³ + 3 (2 с ) ² (3)
   + 3 (2 с ) (3) ² + (3) ³

   = 8 с ³ + 36 с ² + 54 с + 27

   Упражнения

   Развернуть:

   (1) ( с + 2 т ) ( с — 2 т )

   Ответ

   Использование формулы разности двух квадратов

   ( x + y ) ( x — y )
   = x ² — y ² ,

   имеем:

   ( с + 2 т ) ( с — 2 т )

   = ( с ) ² — (2 т ) ²

   = с ² — 4 т ²

   (2) ( i ₁ + 3) ²

   Ответ

   Использование формулы квадрата суммы

   ( x + y ) ²
   знак равно
   x ² + 2 xy + y ² ,

   имеем:

   ( i ₁ +
   3) ²

   =
   ( i ₁ ) ²
   + 2 ( i ₁ ) (3) +
   (3) ²

   =
   i ₁ ² +
   6 i ₁ + 9

   (3) (3 x + 10 y ) ²

   Ответ

   Использование формулы квадрата суммы

   ( x + y ) ² = x ² + 2 xy + y ² ,

   имеем:

   (3 x +
   10 y ) ²

   =
   (3 x ) ² +
   (2) (3 x ) (10 y ) +
   (10 y ) ²

   = 9 x ² +
   60 xy +
   100 л ²

   (4) (3 п. — 4 q ) ²

   Ответ

   Использование формулы квадрата разности

   ( x — y ) ² = x ² -2 xy + y ² ,

   имеем:

   (3 п. —
   4 q ) ²

   =
   (3 п. ) ² —
   (2) (3 п. ) (4 кв. ) +
   (4 кв ) ²

   =
   9 п. ² —
   24 шт. +
   16 кв ²

   Биномиальная теорема, биномиальные разложения с использованием треугольника Паскаля, подмножества

   Биномиальное разложение с использованием треугольника Паскаля

   Рассмотрим следующие расширенные степени (a + b) ⁿ , где a + b — любой бином, а n — целое число.Ищите шаблоны.

   Каждое разложение — это многочлен. Следует отметить некоторые закономерности.

   1. На один член больше, чем степень экспоненты n. То есть есть члены в разложении (a + b) ⁿ .

   2. В каждом члене сумма показателей равна n — степени, в которую возведен бином.

   3. Показатели степени начинаются с n, степени бинома, и уменьшаются до 0. Последний член не имеет множителя a. Первый член не имеет множителя b, поэтому степени b начинаются с 0 и увеличиваются до n.

   4. Коэффициенты начинаются с 1 и увеличиваются до определенных значений примерно «наполовину», а затем уменьшаются до тех же значений обратно до 1.

   Давайте подробнее рассмотрим коэффициенты. Предположим, что мы хотим найти расширение (a + b) ⁶ . Паттерны, которые мы только что отметили, показывают, что в раскрытии есть 7 членов:
   a ⁶ + c ₁ a ⁵ b + c ₂ a ⁴ b ² + c ₃ a ³ b ³ + c ₄ a ² b ⁴ + c ₅ ab ⁵ + b ⁶ .
   Как мы можем определить значение каждого коэффициента c _i ? Мы можем сделать это двумя способами. Первый метод включает запись коэффициентов в треугольный массив следующим образом. Он известен как треугольник Паскаля :

   В этом треугольнике есть много паттернов. Найдите как можно больше.
   Возможно, вы открыли способ записать следующую строку чисел, учитывая числа в строке над ней. Всегда есть 1 снаружи. Каждое оставшееся число — это сумма двух чисел над ним.Давайте попробуем найти расширение для (a + b) ⁶ , добавив еще одну строку, используя обнаруженные нами шаблоны:

   Мы видим, что в последней строке

   1-й и последний номера — это 1 ;
   2-е число — 1 + 5, или 6 ;
   3-е число — 5 + 10, или 15 ;
   4-е число — 10 + 10, или 20 ;
   5-е число — это 10 + 5, или 15 ; и
   шестое число — 5 + 1, или 6 .

   Таким образом, расширение для (a + b) ⁶ равно
   (a + b) ⁶ = 1 a ⁶ + 6 a ⁵ b + 15 a ⁴ b ² + 20 a ³ b ³ + 15 a ² b ⁴ + 6 ab ⁵ + 1 b ⁶ .

   Чтобы найти расширение для (a + b) ⁸ , мы завершаем еще две строки треугольника Паскаля:

   Таким образом, расширение равно
   (a + b) ⁸ = a ⁸ + 8a ⁷ b + 28a ⁶ b ² + 56a ⁵ b ³ + 70a ⁴ b ⁴ + 56a ³ b ⁵ + 28a ² b ⁶ + 8ab ⁷ + b ⁸ .

   Мы можем обобщить наши результаты следующим образом.

   Биномиальная теорема с использованием треугольника Паскаля

   Для любого бинома a + b и любого натурального числа n,
   (a + b) ⁿ = c ₀ a ⁿ b ⁰ + c ₁ a ^n-1 b ¹ + c ₂ a ^n-2 b ² +…. + c _n-1 a ¹ b ^n-1 + c _n a ⁰ b ⁿ ,
   где числа c ₀ , c ₁ , c ₂ , …., c _n-1 , c _n взяты из (n + 1) -й строки треугольника Паскаля.

   Пример 1 Разверните: (u — v) ⁵ .

   Решение У нас есть (a + b) ⁿ , где a = u, b = -v и n = 5. Мы используем 6-ю строку треугольника Паскаля:
   1 5 10 10 5 1
   Тогда мы имеем
   (u — v) ⁵ = [u + (-v)] ⁵ = 1 (u) ⁵ + 5 (u) ⁴ (-v) ¹ + 10 (u) ³ (-v) ² + 10 (u) ² (-v) ³ + 5 (u) (- v) ⁴ + 1 (-v) ⁵ = u ⁵ — 5u ⁴ v + 10u ³ v ² — 10u ² v ³ + 5uv ⁴ — v ⁵ .
   Обратите внимание, что знаки терминов чередуются между + и -. Когда степень -v нечетная, знак -.

   Пример 2 Развернуть: (2т + 3 / т) ⁴ .

   Решение У нас есть (a + b) ⁿ , где a = 2t, b = 3 / t и n = 4. Мы используем 5-ю строку треугольника Паскаля:
   1 4 6 4 1
   Тогда мы имеем

   Биномиальное разложение с использованием факторной записи

   Предположим, что мы хотим найти расширение (a + b) ¹¹ .Недостатком использования треугольника Паскаля является то, что мы должны вычислить все предыдущие строки треугольника, чтобы получить строку, необходимую для раскрытия. Следующий метод позволяет избежать этого. Это также позволяет нам найти конкретный член — скажем, восьмой член — без вычисления всех остальных членов разложения. Этот метод полезен в таких курсах, как конечная математика, исчисление и статистика, и он использует нотацию биномиальных коэффициентов .
   Мы можем переформулировать биномиальную теорему следующим образом.

   Биномиальная теорема с использованием факторной записи

   Для любого бинома (a + b) и любого натурального числа n
   .

   Биномиальную теорему можно доказать с помощью математической индукции. (Видеть
   Упражнение 63.) Эта форма показывает, почему называется биномиальный коэффициент .

   Пример 3 Развернуть: (x ² — 2y) ⁵ .

   Решение У нас есть (a + b) ⁿ , где a = x ² , b = -2y и n = 5.Затем, используя биномиальную теорему, мы имеем

   Наконец (x ² — 2y) ⁵ = x ¹⁰ — 10x ⁸ y + 40x ⁶ y ² — 80x ⁴ y ³ + 80x ² y ⁴ — 32y ⁵ .

   Пример 4 Развернуть: (2 / x + 3√x) ⁴ .

   Решение У нас есть (a + b) ⁿ , где a = 2 / x, b = 3√x и n = 4. Затем, используя биномиальную теорему, мы имеем

   Наконец (2 / x + 3 √x) ⁴ = 16 / x ⁴ + 96 / x ^5/2 + 216 / x + 216x ^1/2 + 81x ² .

   Определение конкретного срока

   Предположим, что мы хотим определить только конкретный член расширения. Разработанный нами метод позволит нам найти такой член, не вычисляя все строки треугольника Паскаля или все предыдущие коэффициенты.

   Обратите внимание, что в биномиальной теореме мы получаем первый член, второй член, третий член и так далее. Это можно обобщить следующим образом.

   Нахождение (k + 1) -го срока

   (k + 1) -й член (a + b) ⁿ равен.

   Пример 5 Найдите 5-й член в разложении (2x — 5y) ⁶ .

   Решение Во-первых, отметим, что 5 = 4 + 1. Таким образом, k = 4, a = 2x, b = -5y и n = 6. Тогда 5-й член разложения равен

   Пример 6 Найдите 8-й член в разложении (3x — 2) ¹⁰ .

   Решение Во-первых, отметим, что 8 = 7 + 1. Таким образом, k = 7, a = 3x, b = -2 и n = 10. Тогда 8-й член разложения равен

   Общее количество подмножеств

   Предположим, что в наборе есть n объектов.Количество подмножеств, содержащих k элементов. Общее количество подмножеств набора — это количество подмножеств с 0 элементами, плюс количество подмножеств с 1 элементом, плюс количество подмножеств с 2 элементами, и так далее. Общее количество подмножеств набора из n элементов составляет
   .
   Теперь рассмотрим расширение (1 + 1) ⁿ :
   .
   Таким образом, общее количество подмножеств составляет (1 + 1) ⁿ или 2 ⁿ . Мы доказали следующее.

   Общее количество подмножеств

   Общее количество подмножеств набора из n элементов составляет 2 ⁿ .

   Пример 7 Сколько подмножеств в наборе {A, B, C, D, E}?

   Решение Набор состоит из 5 элементов, поэтому количество подмножеств составляет 2 ⁵ , или 32.

   Пример 8 Wendy’s, национальная сеть ресторанов, предлагает следующие начинки для своих гамбургеров:
   { кетчуп, горчица, майонез, помидоры, листья салата, лук, маринад, приправы, сыр }.
   Сколько разных видов гамбургеров можно сервировать в Wendy’s, не считая размера гамбургера или количества пирожков?

   Решение Начинки на каждом гамбургере являются элементами подмножества набора всех возможных начинок, причем пустой набор представляет собой простой гамбургер.