Формулы и свойства трапеции

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 5

МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ город – курорт АНАПА

Рассмотрено и

рекомендовано к использованию

на заседании МО от _______________

Протокол №______

Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ.

«Формулы и свойства трапеции»

Методическая разработка

учителя математики

Снегуровой Амины Мугиновны

2018 год.

Оглавление

Введение 3

1. Определения 4

2. Частные случаи трапеции 5

3. Свойства произвольной трапеции 6-7

4. Свойства равнобедренной трапеции 8-10

5. Свойства биссектрисы угла трапеции 10-12

6. Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции 12-13

7. Формулы нахождения диагоналей трапеции 13-14

8. Трапеция и окружность 14-17

9. Дополнительные построения в трапеции 17-23

10. Для тех, кому интересно. Теоремы. 23-27

11. Задачи с решениями.27-35

12. Список используемой литературы .

Введение

Дорогой ученик!

В материалах различных контрольных работ и экзаменов очень часто встречаются задачи на трапецию, решение которых требует от учащихся знаний «непрограммных» свойств трапеции. (Программными считаются свойство средней линии трапеции, свойства диагоналей и углов
равнобедренной трапеции.) Свойства, необходимые для решения задач, отсутствуют в учебниках или перенесены в задачи и не воспринимаются как теоретические положения.

Какими же замечательными свойствами обладает трапеция? Как решать геометрические задачи, требующие глубоких знаний? Трапеция обладает рядом интересных и полезных для решения задач свойствами. Если овладеть ими и рассмотреть дополнительные построения в трапеции, то возникает объективная возможность для решения задач повышенной сложности.

В планиметрии существует целый класс таких задач, к которым традиционные методы (метод цепочек равных треугольников, метод геометрических преобразований, векторный метод и др.) либо вовсе не применимы, либо дают сложные и громоздкие решения. Во многих случаях решать такого рода задачи помогает введение в чертеж дополнительных линий – так называемое дополнительное построение. В одних случаях эти построения напрашиваются сами собой, в других они не так очевидны и требуют от решающего достаточно большого опыта, изобретательности, геометрической интуиции.

Так, чертеж данной в задаче фигуры можно достраивать до фигуры другого типа, можно с многоугольной фигурой связывать окружность, а можно целью дополнительного построения ставить выделение на чертеже равных, равновеликих или подобных фигур.

Знание метода дополнительных построений в большинстве случаев позволяет решать, казалось бы, сложные геометрические задачи просто, понятно и красиво.

В этой разработке собраны формулы, свойства и подсказки для решения задач связанных с трапецией. Надеюсь, что ты здесь найдешь для себя много полезной информации.

1.Определения.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны
параллельны, а две другие не параллельны.

Параллельные стороны
называются её основаниями, а две другие стороны — боковыми
сторонами.

Высотой трапеции называется расстояние между основаниями.

Kаждый из этих отрезков EF, BM, DK, PQ является высотой трапеции ABCD.

В формулах используются следующие обозначения:

a, b — основания трапеции

c, d — боковые стороны трапеции

d₁ d₂ — диагонали трапеции

α β — углы при большем основании трапеции

h— высота.

2.Частные случаи трапеции.

Прямоугольной трапецией называется трапециия, в которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

У нее два прямых угла при меньшей боковой стороне.

Эта сторона одновременно является и высотой трапеции.

произвольная

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны
параллельны, а две другие не параллельны.

У равнобедренной трапеции так же, как и у равнобедренного треугольника, углы при основании равны.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной

(равнобокой, равнобочной).

3.Свойства произвольной трапеции.

1. Во всякой трапеции сумма углов , прилежащих к одной ее боковой стороне, равна 180⁰.

2. Во всякой трапеции средняя линия параллельна ее основаниям, равна полусумме этих оснований и делит диагонали трапеции пополам.

MК =

3.Четыре замечательные точки трапеции:

Во всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

4. Во всякой трапеции если сумма углов при большем основании равна 90⁰, то боковые стороны лежат на перпендикулярных прямых. Длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна полуразности оснований.

5. Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

Отрезок, соединяющий основания всякой трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции.

Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношение составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей ( KO/ON ) будет равно соотношению оснований трапеции:

6.Свойства отрезка, параллельного основаниям всякой трапеции.

Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

*Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам, то есть КО=ОМ

*Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна 

KM = .

7.Во всякой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен среднему геометрическому оснований, если он делит трапецию на две трапеции, подобные между собой.

8. Во всякой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен среднему квадратичному оснований, если он делит трапецию на две трапеции равной площади (равновеликие).

9.Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований.

d₁² + d₂² = c² + d²+ 2ab, d- боковая сторона. d₁ и d₂ – диагонали.

Свойства равнобедренной трапеции.

Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда

*углы, прилежащие к одному основанию, равны

*сумма противолежащих углов 180⁰;

*диагонали равны;

AC = BD

*отрезки диагоналей, соединяющих точку пересечения с концами одного основания, равны; BO = OC, AO = OD.

*вокруг этой трапеции можно описать окружность.

BC // AD, AB = CD. ABCD – вписанная трапеция.

* высота, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.

*если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то

1)квадрат ее диагонали равен половине квадрата суммы оснований, а также  удвоенному квадрату высоты и удвоенному квадрату средней линии.

2)высота трапеции равна полусумме оснований. 

3)ее высота равна средней линии.

4) площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату её высоты.

(или квадрату полусуммы оснований, или квадрату средней линии).    

*если в равнобокой трапеции высота равна средней линии, то диагонали трапеции взаимно перпендикулярны.

BH = HD = h =.

*высота, проведённая через точку пересечения диагоналей, в равнобедренной трапеции лежит на оси симметрии и разбивает трапецию на две равные прямоугольные трапеции, то есть основания этой высотой делятся пополам.

*в равнобедренной трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна им и является осью симметрии трапеции.

*отрезки, последовательно соединяющие середины смежных сторон равнобедренной трапеции, образуют ромб.

MNKE – ромб, то есть

MN=NK=KE= ME.

*в равнобедренной трапеции квадрат диагонали равен квадрату его боковой стороны плюс произведение оснований: d² = c² + a b

*площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности равным r и углом при основании α:

S =

Свойства биссектрисы угла трапеции.

*биссектриса угла отсекает от трапеции равнобедренный треугольник.

*точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.

*если диагональ трапеции является биссектрисой ее острого угла, то меньшее основание равно боковой стороне трапеции, прилежащей к этому углу.

*биссектриса угла трапеции, пересекающая основание, отсекает от трапеции равнобедренный треугольник.

*биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом.

* точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции.

*если биссектриса тупого угла трапеции является диагональю, то боковая сторона равна большему основанию трапеции.

*если меньшее основание трапеции равно ее боковой стороне, то диагональ трапеции является биссектрисой прилежащего к этой боковой стороне острого угла.

Если в условии задачи сказано, что основание трапеции равно ее боковой стороне, то отсюда следует, что диагональ трапеции является биссектрисой ее угла.

*если меньшее основание трапеции равно ее боковой стороне, то диагональ трапеции является биссектрисой прилежащего к этой боковой стороне острого угла.

*если большее основание трапеции равно ее боковой стороне, то диагональ трапеции является биссектрисой прилежащего к этой боковой стороне тупого угла.

*если большее основание прямоугольной трапеции равно ее меньшей боковой стороне, диагональ является биссектрисой прямого угла, прилежащего к меньшему основанию.

* если меньшее основание прямоугольной трапеции равно ее меньшей боковой стороне, диагональ является биссектрисой прямого угла, прилежащего к большему основанию.

* если меньшее основание прямоугольной трапеции равно ее большей боковой стороне, диагональ является биссектрисой прилежащего к этой боковой стороне острого угла.

* если большее основание прямоугольной трапеции равно ее большей боковой стороне, диагональ является биссектрисой прилежащего к этой боковой стороне тупого угла.

*если меньшее основание равнобедренной трапеции равно ее боковой стороне, то диагональ является биссектрисой острого угла трапеции.

* если большее основание равнобедренной трапеции равно ее боковой стороне, то диагональ является биссектрисой тупого угла трапеции.

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции

Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — являются подобными. 

Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными — они равны. 
Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны.  
Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).

Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом.

*Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.

*В подобных треугольниках длины всех линейных элементов пропорциональны, а именно:

отношения периметров, радиусы вписанных окружностей, радиусы описанных окружностей, соответствующих высот, биссектрис, медиан (проведенных из равных углов) подобных треугольников равны отношению соответствующих сторон (лежащих против равных углов) или равны коэффициенту подобия.

*Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон или равно квадрату коэффициента подобия.

*Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны, то есть треугольники являются равновеликими.

S₁²= S₂ S₃

S₃: S₂ = ² 

Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это — треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны, то есть треугольники являются равновеликими.

Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований

Формулы для нахождения диагоналей трапеции

Далее приведены формулы, отображающие зависимость между сторонами, углами трапеции и величиной ее диагоналей. Эти формулы пригодятся для решения задач по геометрии на тему «диагонали трапеции»

Далее, в формулах используются следующие обозначения:

a, b — основания трапеции

c, d — боковые стороны трапеции

d₁ d₂ — диагонали трапеции

α β — углы при большем основании трапеции

h— высота

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

Эта группа формул отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции: 

*Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований. Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема

Используем теорему косинусов.

*Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части выражения извлечен квадратный корень.

*Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что в левой части выражения оставлена другая диагональ

4.В прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований

d₁² — d₂² = a² – b²

*Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, то длина отрезка, соединяющего середины оснований трапеции равна полусумме оснований.

MH =

BDCE и FAOD прямоугольники, а диагонали прямоугольника равны.

Трапеция и окружность.

1) Если в равнобокую трапецию можно вписать окружность, то средняя линия трапеции равна боковой стороне.

Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, является средним геометрическим её оснований

h² = a ∙ b

2) Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то её боковая сторона равна средней линии. Площадь трапеции определяется произведением средней линии на высоту трапеции.

3. Высота трапеции равна длине диаметра вписанной окружности или двум ее радиусам.

MK — высота трапеции, MK=2r, где r — радиус вписанной в трапецию окружности.

4. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции.

. CF =m, FD =n, OF = r.

∠COD=90º, т.к. ∠ADC+∠BCD=180º — так

как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых AD и BC и секущей CD равна 180⁰.

Отсюда радиус вписанной в трапецию окружности выражается через длины отрезков, как которые боковая сторона делится точкой касания, как r = .

А так как высота трапеции равна ее диаметру, то и высоту трапеции можно выразить через длины этих отрезков: h = 2 .

5.Если в трапецию можно вписать окружность и около трапеции можно описать окружность, то проекция диагонали на большее основание, равна боковой стороне и равна средней линии трапеции.

Если в трапецию вписана окружность, в задаче появляется несколько путей, по которым можно повести рассуждение.

1.В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. Отсюда следует, что если в трапецию вписана окружность, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.

 AB+CD=AD+BC

2. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Отсюда следует, что

AL=AK BL=BM

CM=CF DF=DK

Описанная окружность.

 Когда трапецию можно вписать в окружность? Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180º. Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию.

Радиус окружности, описанной около трапеции, можно найти как радиус окружности, описанной около из одного из двух треугольников, на которые трапецию делит ее диагональ.

Где находится центр окружности, описанной около трапеции? Это зависит от угла между диагональю трапеции и ее боковой стороной.

1)Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания:

2) Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции, лежит внутри трапеции.

3) Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

4)Радиус описанной около трапеции окружности можно найти по следствию из теоремы синусов. Из треугольника ACD

Из треугольника ABC

Другой вариант найти радиус описанной окружности —

Синусы угла D и угла CAD можно найти, например, из прямоугольных треугольников CFD и ACF:

 При решении задач на трапецию, вписанную в окружность, можно также использовать то, что вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла. Например,

Использовать углы COD и CAD можно и для нахождения площади трапеции. По формуле нахождения площади четырехугольника через его диагонали

5)Если диагонали вписанной в окружность трапеции (четырехугольника) взаимно перпендикулярны, то сумма квадратов его противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности или удвоенному квадрату боковой стороны:

a² + b² = 4R² = 2c².

6) Если в трапецию вписана окружность, то вершина трапеции, центр вписанной в нее окружности и основание перпендикуляра, опущенного из другой вершины на основание, лежат на одной прямой.

Дополнительные построения как прием при решении задач

Дополнительные построения являются эффективным методом решения геометрических задач. Наиболее часто используются при решении задач:

1. Опускание высот из концов одного основания на другое основание

2. Проведение через вершины трапеции прямой, параллельной боковой стороне, не содержащей эту вершину

3. Проведение через середину меньшего основания прямых, параллельных боковым сторонам

4. Проведение через вершину трапеции прямой, параллельной диагонали, не содержащей эту вершину .

5. Продолжение боковых сторон до пересечения.

Рассмотрим каждое их них.

При решении задач на отыскание площади дополнительным построением считается построение ее высоты или высот. Если построение высоты не помогает решить задачу, то нужно построить прямую, параллельную одной из ее диагоналей. Потом найти площадь полученного треугольника, который будет равновеликим исходной трапеции.

1. Проведение через вершину трапеции прямой, параллельной диагонали, не содержащей эту вершину.

При дополнительном построении, когда переносится диагональ, образуется треугольник, площадь которого равна площади трапеции.

S₁ = S₂

Задача.

Найдите площадь трапеции, дмагонали которой равны 8 и 15, а средняя линия равна 8,5.

Решение.

Построим CF // BD и получим S_ACF = S_ABCD. Почему?

ABC = CDF, так как DF = BC и эти треугольники имеют одинаковую высоту.

Значит, для того, чтобы найти площадь трапеции нам достаточно найти площадь ACF.

АF = АD + ВС — сумма оснований трапеции. По условию задачи средняя линия трапеции 8,5. Значит сумма оснований АF = 8,52=17.

Рассмотрим ACF. Проверим, является ли он прямоугольным? В этом нам поможет теорема Пифагора:

17² = 8² + 15²

289 = 64 + 225.

289 = 289.

ACF – прямоугольный. S_ACF = AC*CF = 8*15 = 60. S_ABCD= 60.

Если ACF разносторонний, то его площадь вычислим по формуле Герона.

Ответ:60.

2. Продолжение боковых сторон до пересечения.

Свойства трапеции, достроенной до треугольника

Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований. 

Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:

*Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными

*Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника.

*Если ABCD равнобедренная трапеция, то KL является биссектрисой, медианой и высотой одновременно.

Это дополнительное построение позволяет перейти от трапеции к треугольнику. Если сумма углов при большем основании равна 90⁰, топродолжив боковые стороны мы получим прямоугольный треугольник.

Задача.

В трапеции ABCD основания АD и ВС равны соответственно 72 и 18, а сумма углов при основании АD равна 90⁰. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой CD, если АВ = 18.

Решение.

Центром О данной окружности будет точка пересечения серединного перпендикуляра к АВ и перпендикуляра, возведенного к стороне CD из точки касания окружности. АВО равнобедренный: АО = ВО. Продлим боковые стороны трапеции и получим прямоугольный треугольник АМD. KMNO – прямоугольник, где KM = MN = NO =КО = R.

BMC AMD.

= , то есть и x = 6. Тогда R = КВ + 6 = 9 + 6 = 15.

Ответ:15.

3. Опускание высот из концов одного основания на другое основание.

Дополнительное построение 1,2 позволяет разбить трапецию на прямоугольник (стороны которого — одно из оснований и высота трапеции) и два прямоугольных треугольника (в которых один из катетов – высота трапеции, а гипотенузы – боковые стороны трапеции)

Построение 1 Построение 2

Задача. Найдите площадь трапеции с основаниями 8 и 13 и боковыми сторонами 3 и 4.

Решение.

Проведем ВН и СM — высоты и получим ABD (египетский треугольник) со сторонами 3,4,5, так как АD – ВС=13 – 8=5.

S= АВ* BD= 6.

Найдем высоту трапеции: h= 2S:5 = 2*6:5= 2,4.

S_ABCD= 6+2,4*8=25,2. Ответ:25,2.

4. Проведение через середину меньшего основания прямых, параллельных боковым сторонам.

Дополнительное построение 4 делит трапецию на параллелограммы и треугольник. Боковые стороны соединяются в треугольник.

5. Проведение через вершины трапеции прямой, параллельной боковой стороне, не содержащей эту вершину.

Задача. Основания трапеции равны 30см и 15см, а боковые стороны равны 9 см и 12 см. Найдите высоту трапеции.

Решение. Пусть АВСД трапеция, заданная в условии.

Проведем через вершину С прямую, которая параллельна АВ. Пусть эта прямая пересекает АД в точке М.

Тогда АВСМ – параллелограмм и СМ=9, АМ=ДМ=15.

Так как 9²+12²=15², то, применив обратную теорему Пифагора, приходим к выводу, что СМ перпендикулярна СД.

Заметим, что высота трапеции и треугольника МСД, проведенная из вершины С, совпадают. Для определения искомой высоты применим метод площадей. Пусть искомая высота равна х. Тогда для определения х составим уравнение, дважды вычислив площадь треугольника МСД:

.

Решив это уравнение находим: х=7,2. Ответ: 7,2.

Задача. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 15 и 12 соответственно. Найдите градусную величину угла D, если одно из оснований трапеции на 9 больше другого.

Решение.

Из вершины угла проведем прямую линию, параллельную стороне. Трапеция разделена данной прямой линией на параллелограмм и треугольник. Противоположные стороны параллелограмма равны, значит, длина стороны треугольника равна разности длин оснований трапеции. Данный треугольник определен по трем сторонам. По теореме косинусов определим искомый угол. Вычисления показывают, что боковая сторона перпендикулярна к основанию, искомый угол прямой.

Ответ: 

Для тех, кому интересно.

Теорема.

Задачи с решениями.

Пример 1.Найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10.

Решение.

Дано: ABCD — равнобедренная трапеция, r = 4, AB = 10

Найти: S_ABCD

1. AB = CD = 10 по условию.

2. AB + CD = AD + BC по свойству вписанной окружности.

3. AD + BC = 10 + 10 = 20.

4. FE = 2r = 2 · 4 = 8.

5. S_ABCD=1/2(BC + AD)·FE, S_ABCD = 1/2 · 20 · 8 = 20/2 · 8 = 10 · 8 = 80.

Пример 2.Основания трапеции равны 10 м и 31 м, а боковые стороны — 20 м и 13 м. Найдите высоту трапеции.

Решение.

Пусть HK = BC = 10 м, BH = CK = x, AH = y, тогда KD = 21 – y

По теореме Пифагора:x² + y² = 132x² + (21 – y)² = 20²x² + y² = 169 (1)

x² + 441 – 42y + y² = 400 (2)

Вычтем из (2) уравнения (1):441 – 42y = 23142y = 210y = 5AH = 5 м

По теореме Пифагора:BH² = AB² – AH²BH² = 132 – 52BH² = 169 – 25BH² = 144

BH = 12

Пример 3.Большее основание трапеции равно 24. Найдите длину меньшего основания, если расстояние между серединами диагоналей равно 4.

Решение.

Пример 4.Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O.

Найдите площадь трапеции, если BC < AD и площади треугольников BOC и ABO равны соответственно равны 2 и 8.

Анализ.

Рассмотреть подобие треугольников.

Квадраты соответствующих сторон относятся как площади треугольников.

Введем параметры треугольников: стороны оснований и высоты треугольников.

Площади трапеции и треугольников определим по известным формулам.

Решение.

Ответ: 

Пример 5.В трапеции большее основание равно 10. Диагонали трапеции, равные 8, перпендикулярны боковым сторонам. Найдите площадь трапеции.

Анализ.

Длины диагоналей равны и перпендикулярны боковым сторонам. Имеем равенство прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе: ABD = ACD, поэтому трапеция равнобедренная, т.е. АВ = СD.

Применим теорему Пифагора для определения боковой стороны трапеции.

Высоту трапеции определим из равенства площадей.

Проекцию боковой стороны на большее основание легче определить из подобия треугольников, чем по теореме Пифагора.

Длину средней линии в равнобокой трапеции можно определять как разность большего основания и проекции боковой стороны на основание.

Площадь трапеции находим как площадь прямоугольника АМСК, который получим, если достроим трапецию.

Пример 6.Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а длина ее средней линии равна 9. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции.

Анализ.

Задача решается построением.

Достроим прямоугольники и используем свойство прямоугольника: диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам.

Длина средней линии равна полусумме длин оснований.

Длина отрезка, соединяющая середины оснований, равна полусумме длин диагоналей двух построенных треугольников.

Пример 7.Длины оснований трапеции равны 1 и 7. Найдите длину отрезка, параллельного основаниям и заключенного между боковыми сторонами, который делит трапецию на две равновеликие части.

Анализ.

Провести из вершины тупого угла трапеции прямую линию, параллельную боковой стороне.

Рассмотреть отношение площадей трапеций.

Определить отношение при подобии треугольников.

Рациональные алгебраические преобразования приведут к результату.

Решение.Ответ: 

Пример 11.Равнобедренная трапеция ABCD описана около окружности. Боковая сторона трапеции равна 10, а основания относятся как 1: 4. Найдите площадь трапеции.

Анализ.

Сумма противоположных сторон трапеции равна между собой — свойство описанного четырехугольника.

Трапеция равнобедренная.

Боковая сторона равна длине средней линии.

Применяем теорему Пифагора для нахождения высоты трапеции.

Площадь трапеции определяем по доступной формуле.

Пример 8.Длины боковых сторон трапеции равны 6 и 10. Известно, что в трапецию можно вписать окружность, а средняя линия делит ее на части, площади которых относятся как 5: 11. Найдите длину большего основания трапеции.

Анализ.

Трапеция является описанной.

Сумма длин оснований равна сумме боковых сторон.

Средняя линия делит трапецию на две трапеции, высоты которых равны.

Задача сводится к системе уравнений.

Длина средней линии равна половине суммы длин боковых сторон.

Пример 9.Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности равна 15. Найдите среднюю линию трапеции, если косинус острого угла при ее основании равен 4/5.

Анализ.

Трапеция равнобедренная.

Длина средней линии равна боковой стороне.

Площадь трапеции определяется произведением средней линии на высоту трапеции.

Опустим высоту трапеции из тупого угла. Через заданный косинус угла определим синус угла.

По синусу угла выразим высоту трапеции через боковую сторону.

Пример 10.В прямоугольной трапеции, описанной около окружности, большая боковая сторона равна 13, а средняя линия равна 12,5. Найдите меньшее основание трапеции.

Анализ.

Необходимо использовать свойство сторон четырехугольника, описанной около окружности: сумма длин противоположных сторон равна между собой.

Кроме того, длина средней линии равна полусумме длин сторон оснований.

Проведем из вершины тупого угла высоту трапеции.

Воспользуемся теоремой Пифагора и определим проекцию наклонной боковой стороны на основание.

Пример 11.В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 60°, а площадь равна , вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Анализ.

Важное положение, что трапеция является равнобедренной и имеет ось симметрии. Тогда длина боковой стороны равна длине средней линии.

Введем параметр боковой стороны, из прямоугольного треугольника по заданному углу определим высоту трапеции, которая является диаметром вписанной окружности. Площадь трапеции определяется как произведение средней линии на высоту трапеции.

.

Пример 12.Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой большее основание равно 13, средняя линия равна 8, а биссектриса тупого угла является диагональю трапеции.

Анализ.

При проведении биссектрисы тупого угла боковая сторона равна большему основанию трапеции. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции равна полуразности длин оснований.

По теореме Пифагора найдем высоту трапеции.

Площадь трапеции находим по формул.

Список используемой литературы

Трапеция. Свойства — презентация онлайн

Найдите все неизвестные углы параллелограмма.
СК – биссектриса угла ВСD.
1800 – (200+200)
В
200
К
А
400
1400
D
С
1. Определение: Трапецией называется
четырехугольник, у которого две стороны
параллельны, а две другие не параллельны.
В
A
основание
основание
С
D
№ 387.
Найдите углы трапеции.

боковой стороне.
В
основание
С
1170
360
A
основание
D
3. Свойство углов трапеции:
Сумма углов прилежащих к боковой стороне равна 1800
2. Виды трапеций:
1) Произвольная. Боковые стороны не равны. Углы
при основаниях не равны.
2) Трапеция, один из углов которой прямой,
называется прямоугольной.
3) Трапеция называется равнобедренной, если ее
боковые стороны равны.
С
В
В
С
D
A
A
D
4. Высота трапеции- перпендикуляр,опущенный
из вершины на противоположную сторону.
В
С
С
В
A
М
D
A
Н
N
D
№ 392 (а)
В
4
С
300
?6
A
М
7
600
3
D
Найти ВС.
В
?
С
450
A
45
30
М
15 15
15
0
D
5. Свойство биссектрис трапеции.
Биссектрисы углов при боковых сторонах трапеции
перпендикулярны.

10. 6.Определение средней линии трапеции

Средней линией трапеции называется
отрезок, соединяющий середины её
боковых сторон.
B
M
A
C
MN – средняя линия
трапеции ABCD
N
D

11. Свойство средней линии трапеции

B
M
A
Средняя линия трапеции
параллельна основаниям и
равна их полусумме.
C
N
D
1)MN || BC, MN || AD
2) MN = ½ (BC + AD)
B
M
A
4,3 см
?
7,7 см
C
N
D
B
M
C
15 см
AB = 16 см
CD = 18 см
N
P ABCD = ?
A
D
7.Равнобедренная трапеция. Трапеция называется
равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
В
A
С
D
Из равнобедренной трапеции можно построить красивый
паркет.
Из равнобедренной трапеции можно построить красивый
паркет.
8. Свойства равнобедренной трапеции.
8.1. Свойство углов. В равнобедренной трапеции
углы при каждом основании равны.
Дано:
С =1800- 1
В =1800- 3
АВСD – р/б трапеция
Доказать:
А = D
B = C
2
3
A
Е
1
D
8.2. Свойство высот равнобокой трапеции.
Высоты равнобедренной трапеции отсекают
равные прямоугольные треугольники.
В
A
Н
С
N
D
8. Свойства равнобедренной трапеции.
8.3. Свойство диагоналей. В равнобедренной
трапеции диагонали раны.
В
A
Дано:
АВСD – р/б трапеция
Доказать:
АC = BD
С
D
8. Свойства равнобедренной трапеции.
8.4. Свойство диагоналей. Если в равнобедренной
трапеции диагонали перпендикулярны, то высота,
проведенная через точку пересечения диагоналей
равна средней линии.
№ 390.
Найдите углы трапеции
В
1120
680
A
С
D
Свойства равнобедренной трапеции.
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании
равны.
В равнобедренной трапеции диагонали равны.
Признаки равнобедренной трапеции.
Если углы при основании трапеции равны, то она
равнобедренная.
Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.
9. Признаки равнобедренной трапеции.
9.1 Если углы при основании трапеции равны, то она
равнобедренная.
Дано:
С
В
АВСD – р/б трапеция
Доказать:
3
2
A
1
Е
D
А = D
B = C
Признаки равнобедренной трапеции.
9.2 Если диагонали трапеции равны, то она
равнобедренная.
Дано: АВСD – р/б трапеция
В
С
Доказать:
АC = BD
2
1
A
D
К
Решение задач на готовых чартежах
АВСD – трапеция. Найти АОВ.
1800
В
С
О
A
D
Решение задач на готовых чартежах
АВСD – трапеция. Найти углы трапеции.
В
х
С
2х
D
A
Из АСD: х+2х=90
Решение задач на готовых чартежах
АВСD – трапеция. ВЕ II СD
Найти углы трапеции.
В
С
0
750 65
400
A
1150
650
Е
D
№ 384
Через середину М стороны АВ треугольника АВС
проведена прямая, параллельная стороне ВС.
Эта прямая пересекает сторону АС в точке N.
Докажите, что AN = NC.
В
М
3
А
1
2
N
4
D
С
Эта задача поможет нам
доказать теорему Фалеса
Фалес Милетский
Древнегреческий ученый
(ок. 625 – 547 гг. до н. э.)
Если на одной из двух прямых отложить последовательно
несколько равных отрезков и через их концы провести
параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то
они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
А1
В1
А2
В2
А3
В3
А4
В4
А5
l1
В5
l2
1 случай
l1 II l2
2 случай
А1
В1
А2
С
А3
D
А4
В2
В3
В4
А5
l1
В5
l
l2
Е
М
М1
М3
М2
М4
К
К1
К2
К3
МК II М1К1 II М2К2 II М3К3 II М4К4
ЕМ = ММ1 = М1М2 = М2М3 = М3М4
КК4 – К1К2 = 14 см
Найти: ЕК4
К4
Дано: АС II EF
Найти: PАВС
B
F
E
5
4
A
12
C
Дано: АВСD – трапеция, МК II ВE II СD, АD = 16 cм
Найти: АК
B
10
C
M
A
K
E
16
D

Запоминаем и применяем свойства трапеции

В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.

Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.

1. Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2.
2. Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.
   Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k².
3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
4. Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении  меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
   Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т.
5. Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ.
6. А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b).

Свойства средней линии трапеции

Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.

1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2.
2. Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

Свойства углов трапеции

1. Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 180⁰: α + β = 180⁰  и γ + δ = 180⁰.
2. Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90⁰ , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2.
3. Если через стороны  угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции

1. В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
3. Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180⁰ – обязательное условие для этого.
5. Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
6. Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2.
7. Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
8. На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2. Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим  на два: (a – b)/2.

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
2. Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
3. Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ.
5. Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ. Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S_АМЕ.

Свойства трапеции, описанной около окружности

Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

1. Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2.
2. У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ.
3. Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
4. Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab.
5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
   Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

1. У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
2. Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

• Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

Откуда АКМ = 180⁰ — МЕТ = 180⁰ — КАЕ = КМЕ.

Что и требовалось доказать.

Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной:

• Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150⁰ с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180⁰. Поэтому КАН = 30⁰ (на основании свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30⁰. Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находим по формуле: S_АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см².

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.{\circ};\)

\(ABCD\) – трапеция \(\Rightarrow \, \angle{CAD}=\angle{ACB}, \, \angle{BDA}=\angle{DBC};\)

\(ABCD\) – трапеция, \(AC \cap BD=O\) \(\Rightarrow \, \triangle{AOD} \backsim \triangle{COB};\)

\(ABCD\) – трапеция, \(AB \cap CD=E\) \(\Rightarrow \, \triangle{AED} \backsim \triangle{BEC}\)

Средняя линия трапеции

Определение. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема о средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

\( AD||BC, \, M\) – середина \(AB, \, N\) – середина \(CD \, \Rightarrow \) $$ MN||AD, \, MN||BC, \, MN=\frac{1}{2}(AD+BC)$$

Свойства равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

2. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3. Ранобедренную трапецию можно вписать в окружность.

\(ABCD\) трапеция,\( \, AB=CD \, \Rightarrow \, \angle{ABC}=\angle{DCB}, \, \angle{BAD}=\angle{CDA}; \)

\(ABCD\) трапеция,\( \, AB=CD \, \Rightarrow \, AC=BD; \)

\(ABCD\) трапеция,\( \, AB=CD \, \Rightarrow \, ABCD\) вписанная

Признаки равнобедренной трапеции

1. Если углы при некотором основании трапеции равны, то эта трапеция равнобедренная.

2. Если диагонали трапеции равны, то эта трапеция равнобедренная.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то эта трапеция равнобедренная.

\( AD||BC, \, M\) – середина \(AB, \, N\) – середина \(CD \, \Rightarrow \) $$ MN||AD, \, MN||BC, \, MN=\frac{1}{2}(AD+BC)$$

Площадь трапеции

1. Площадь трапеции равна половине произведения суммы её оснований на высоту трапеции.

2. Площадь трапеции равна половине произведения её диагоналей на синус угла между ними.

Трапеция. Свойства и элементы трапеции

Виды трапеций

Равнобедренная трапеция — это вид трапеции с равными боковыми сторонами.

Также встречаются такие названия, как равнобокая или равнобочная.

Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой углы при боковой стороне прямые.

Элементы трапеции

a, b — основания трапеции (a параллельно b),

m, n — боковые стороны трапеции,

d₁, d₂ — диагонали трапеции,

h — высота трапеции (отрезок, соединяющий основания и при этом перпендикулярен им),

MN — средняя линия (отрезок, соединяющий середины боковых сторон).

Площадь трапеции

1. Через полусумму оснований a, b и высоту h: S = \frac{a + b}{2}\cdot h
2. Через среднюю линию MN и высоту h: S = MN\cdot h
3. Через диагонали d₁, d₂ и угол (\sin \varphi) между ними: S = \frac{d_{1} d_{2} \sin \varphi}{2}

Свойства трапеции

Средняя линия трапеции

Средняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме и разделяет каждый отрезок с концами, находящимися на прямых, которые содержат основания, (к примеру, высоту фигуры) пополам:

MN || a, MN || b, MN = \frac{a + b}{2}

Сумма углов трапеции

Сумма углов трапеции, прилежащих к каждой боковой стороне, равна 180^{\circ}:

\alpha + \beta = 180^{\circ}

\gamma + \delta =180^{\circ}

Равновеликие треугольники трапеции

Равновеликими, то есть имеющими равные площади, являются отрезки диагоналей и треугольники AOB и DOC, образованные боковыми сторонами.{2}.

Отношение длин отрезков и оснований

Каждый отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, поделен этой точкой в отношении:

\frac{OX}{OY} = \frac{BC}{AD}

Это будет являться справедливым и для высоты с самими диагоналями.

Описанная около трапеции окружность

Каждая равнобокая трапеция может содержать описанную окружность. Только равнобокую трапецию возможно вписать в окружность.

Вписанная в трапецию окружность

Треугольники AOB и DOC являются прямоугольными, если трапеция ABCD описана около окружности. Центром же вписанной окружности будет являться точка O.

Опущенные на гипотенузы, высоты этих треугольников, тождественны радиусу вписанной окружности, а высота трапеции тождественна диаметру вписанной окружности.

Все формулы диагонали равнобедренной трапеции

1. Формулы длины диагонали равнобедренной трапеции через ее стороны

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c — равные боковые стороны

d — диагональ трапеции

Формула диагонали трапеции (d ):

2. Формулы длины диагонали равнобедренной трапеции по теореме косинусов

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c — равные боковые стороны

α, β — углы трапеции

d — диагональ трапеции

Формулы диагонали трапеции (d ):

3. Формула длины диагонали равнобедренной трапеции

a — нижнее основание

b — верхнее основание

α, β — углы между диагоналями

h — высота трапеции

m — средняя линия трапеции

S — площадь трапеции

d — диагональ трапеции

Формулы диагонали трапеции (d ):

Справедливо для данного случая :

4. Формулы длины диагонали трапеции через высоту и стороны

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c — равные боковые стороны

h — высота трапеции

α — угол при нижнем основании

d — диагональ трапеции

Формулы диагонали трапеции (d ):

Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии

Свойства и признаки равнобедренной трапеции 8 класс

Свойства и признаки

равнобедренной трапеции

Математический диктант

4. Назовите четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

2. Сколько диагоналей можно провести из одной вершины n-угольника, если n = 4, 6.

1. Назовите многоугольник, все виды которого являются выпуклыми многоугольниками.

6. Параллельные стороны в трапеции называются …

3. Чему равна сумма углов выпуклого пятиугольника?

10. В параллелограмме противоположные стороны … и … .

5. Четырехугольник у которого противоположные стороны параллельны ….

8. В четырехугольнике сумма углов равна …

7. В трапеции равные стороны называются …

9. В параллелограмме противоположные углы …

Проверь себя!!!

1. Треугольник

Оценка «5» — 10 баллов.

Оценка «4» — 8-9 баллов.

Оценка «3» — 6-7 баллов.

Менее 5 баллов – учи определения!!!

2. одна, три.

3. 540.

4. трапеция.

5. параллелограмм

6. основания

7. Боковые стороны

8. 360

9. равны

10. Равны и параллельны

Проверка домашнего задания

Трапеция.

1

2

Прямоугольная трапеция.

 1 =  2 (внутренние накрест лежащие при // прямых и секущей)

Равнобедренная трапеция.

3

6

Трапеция.

4

5

 3 +  4 = 180  (внутренние односторонние при // прямых и секущей)

 5 =  6 (соответственные при // прямых и секущей)

Теоремма Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающую вторую прямую, то они пересекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Равнобедренная трапеция.

Теоремма средней линии трапеции.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции.

Самостоятельная работа

• Вариант 1. Найдите боковые стороны равнобедренной трапеции, основания которой равны 14 см и 8 см, а один из углов равен 120  .
• Вариант 2. Найдите меньшее основание равнобедренной трапеции, если ее большее основание равно 16 см, боковая сторона – 10 см, а один из углов равен 60  .

Проверь себя

8 см

6 см

90

90 

30

30

30 

30 

10 см

60 

3 см

8 см

3 см

5 см

5 см

6 см

Самостоятельная работа

• Вариант 3. Диагональ АС равнобедренной трапеции АВСД делит пополам угол ВАД. Найдите периметр трапеции, если основание АД равно 12 см, а угол АСД равен 60  .

90 

6 см

30 

60 

30 

12 см

Свойства равнобокой трапеции

1. Углы при основаниях равны.

2. Диагонали равны.

3. Высоты, проведенные из вершин к основанию, делят трапецию на два равных треугольника.

Признаки равнобедренной трапеции.

Запишите самостоятельно.

Решение задач

№ 392(аб), 393(в), 394, 395, 397(а)

Домашнее задание

№ 392(аб), 393(в), 396, 398, 397 (б)

Равнобедренная трапеция: определение, свойства и формула — математический класс [видео 2021 года]

Определение равнобедренной трапеции

Итак, что же такого особенного в равнобедренной трапеции? Что ж, если вы помните, у равнобедренного треугольника два равнобедренных угла равны, а у двух равных ног — конгруэнтные. Равнобедренная трапеция приобретает свои свойства благодаря их комбинации. Равнобедренная трапеция представляет собой четырехугольник, обладающий следующими свойствами:

• Одна пара параллельных сторон (AB и DC)
• Одна пара конгруэнтных ножек (DA и CB)
• Базовые углы равны (m
• Диагонали совпадают (AC и BD)
• Противоположные углы — дополнительные (их сумма 180 градусов)

m

Медиана равнобедренной трапеции — это отрезок прямой, образованный, когда мы соединяем середину одной ноги с серединой другой ноги равнобедренной трапеции.Медиана образует специальную теорему только для равнобедренных трапеций. Длина медианы равна половине суммы двух параллельных сторон. Если мы присвоим переменные a и b измерению параллельных сторон, то длина медианы будет ( a + b ) / 2.

Медиана также параллельна двум параллельным сторонам. стороны. Отрезок MN параллелен обоим отрезкам AB и DC.

Рассмотрим пример:

Если a = 12 см и b = 14 см,

Тогда MN = (12 + 14) / 2

MN = 26/2 = 13 см

Периметр и площадь трапеции

Чтобы найти периметр, сложите все стороны, как и для любого многоугольника.

Чтобы найти площадь, используйте формулу ниже. Сначала найдите среднее значение двух параллельных сторон и умножьте свой ответ на высоту. Другими словами, найдите сумму двух параллельных сторон, разделите свой ответ на два, а затем умножьте свой ответ на высоту. Очень важно отметить, что вы сначала находите сумму, а затем делите на два, а затем умножаете на высоту.

Давайте посмотрим на пример:

Если a = 52 см, b = 130 см и h = 75 см, какова площадь?

A = (52 + 130) / 2 * 75

A = (182/2) * 75

A = 91 * 75

A = 6825 кв. См

Краткое содержание урока

A трапеция — это специальный четырехугольник, у которого есть только одна пара параллельных сторон.Ее еще называют трапецией.

Равнобедренная трапеция обладает следующими уникальными свойствами:

• Одна пара параллельных сторон
• Базовые углы совпадают
• Ножки конгруэнтные
• Диагонали совпадают
• Противоположные углы дополнительные

Медиана равнобедренной трапеции — это отрезок линии, образующийся, когда мы соединяем среднюю точку одной ноги с серединой другой части равнобедренной трапеции.Периметр определяется сложением всех сторон. Площадь трапеции — это среднее значение двух параллельных сторон, умноженное на высоту.

Свойства трапеции — Задача 1

Равнобедренная трапеция имеет две совпадающие ножки и одну пару параллельных сторон. Базовые углы совпадают друг с другом, а при одинаковых боковых внутренних углах верхние углы дополняют соответствующие базовые углы, что означает, что они оба равны 180 ° (мера базового угла).

Итак, если дана мера одного из верхних углов, вы знаете, что его базовый угол является дополнительным к нему, поэтому вычтите его значение из 180 °, чтобы найти меру базового угла. Затем вспомните, что у равнобедренной трапеции углы основания совпадают. Другой верхний угол является дополнительным к его базовому углу, поэтому он соответствует верхнему углу. Таким образом, только по одному углу равнобедренной трапеции можно найти размеры других углов.

В этой задаче у нас есть равнобедренная трапеция, что означает, что у нас есть две конгруэнтные ноги, когда у нас есть пара параллельных сторон.Итак, давайте посмотрим, что мы знаем о равнобедренных трапециях.

Итак, мы видим, что базовые углы, поэтому, если я смотрю на два базовых угла, они будут конгруэнтны друг другу. Мы также знаем, что те же боковые внутренние углы здесь, поэтому я смотрю на эти треугольники прямо здесь, будут дополнительными, что является определением того же внутреннего бокового угла.

Итак, вернемся к нашей проблеме. Если я посмотрю на единственное, что мы знаем об этой трапеции, а именно на угол B, равный 110 градусам, я могу начать с определения угла C.Хорошо, я знаю, что эти два должны быть дополнительными, потому что они находятся на одной стороне этого поперечного BC. Итак, если B равно 110 C, что должно быть? 180 минус 110, что 70 градусов. Итак, я собираюсь написать здесь, что C должно быть 70 градусов.

Теперь вам просто нужно помнить, что ваши базовые углы конгруэнтны друг другу. Итак, я напишу, что D должно быть 70 градусов, а A должно быть 110 градусов. Итак, А, как мы сказали, было 110, а D, как мы сказали, было 70 градусов. Ключевым моментом здесь было помнить, что одни и те же боковые внутренние углы являются дополнительными и что базовые углы в равнобедренной трапеции всегда совпадают.

Равнобедренные трапеции, углы, стороны, диагонали и другие свойства. Объясняется фотографиями и практическими задачами

• Опорные уголки
• Диагонали

Отличительной чертой этого особого типа трапеции является то, что две непараллельные стороны (XW и YZ ниже) совпадают.

Углы основания

Углы основания равнобедренной трапеции совпадают.

Задача 1

Если вы знаете, что угол BAD равен 44 °, какова мера $$ \ angle ADC $$?

Покажи ответ

Угол $$ \ angle ADC = 44 ° $$, так как базовые углы совпадают

Задача 2

$$ \ angle ABC = 130 $$, какой еще угол составляет 130 градусов?

Покажи ответ

Single $$ \ angle ADC = 4 ° $$, так как базовые углы совпадают

Задача 3

Какое значение j в равнобедренной трапеции ниже?

Покажи ответ

Дж = 5

• Опорные уголки
• Диагонали

Диагонали равнобедренной трапеции

Задача 3

Диагонали равнобедренной трапеции совпадают.Какое значение x ниже? (используйте свои знания о диагоналях!)

Покажи ответ

Х = 9

назад к четырехугольникам

рядом с пареллограммами

Реклама

Формулы равнобедренной трапеции — xGeometry

$$ 2p = B + b + 2S $$

Периметр

$$ A = \ frac {\ left (B + b \ right) \ times h} {2} $$

Площадь

$$ B + b = \ frac {2A} {h} $$

Сумма баз

$$ h = \ frac {2A} {B + b} $$

Высота

$$ B + b = 2p — 2S $$

Сумма баз

$$ S = \ frac {2p — B — b} {2} $$

Наклонная сторона

$$ p_ {1} = \ frac {B — b} {2} $$

Наклонная боковая проекция

$$ B — b = 2 \ times p_ {1} $$

Разница баз

$$ B = b + 2p_ {1} $$

Удлиненное основание

$$ b = B — 2p_ {1} $$

Укороченная база

$$ S = \ sqrt {{p_ {1}} ^ 2 + {h} ^ 2} $$

Сторона (теорема Пифагора)

$$ h = \ sqrt {{S} ^ 2 — {p_ {1}} ^ 2} $$

Высота

$$ p_ {1} = \ sqrt {{S} ^ 2 — {h} ^ 2} $$

Наклонная боковая проекция

Определение

Равнобедренная трапеция — это трапеция с совпадающими наклонными сторонами.

Недвижимость

1. Наклонные стороны совпадают
2. Углы, прилегающие к их соответствующим основаниям, совпадают
3. Диагонали совпадают
4. Все общие формулы трапеции действительны

Равнобедренная трапеция — Cuemath

Тим и Джек определяли различные типы четырехугольников.Они могли идентифицировать квадраты, прямоугольники, воздушные змеи и ромбы. За исключением одной фигуры, которую они не смогли уместить в четырехугольной таблице, они определили все остальные.

Четырехугольник, который они не смогли идентифицировать, имел 1 пару равных сторон и еще одну пару параллельных сторон. Тим сказал, что фигуру следует поместить под параллелограммы, так как у нее одна пара параллельных сторон, но Джек отказался.

Джек был уверен, что это трапеция.

Джек был прав, но он не знал, что эта трапеция называется равнобедренной трапецией.В этом уроке вы узнаете больше как о равнобедренной, так и о неравнобедренной трапеции. Вы также выучите формулу площади равнобедренной трапеции и научитесь рассчитывать периметр равнобедренной трапеции.

Посмотрите интерактивные симуляции, чтобы узнать больше об уроке, и попробуйте свои силы в решении нескольких интересных практических вопросов в конце страницы.

План урока

Что такое равнобедренная трапеция?

Трапеция — это четырехугольник, в котором одна пара противоположных сторон параллельна.

Теперь, как вы можете видеть на этой диаграмме, \ (XY \) и \ (WZ \) параллельны друг другу и называются базами .

Между тем стороны, которые не параллельны друг другу, называются ножками .

На изображении выше \ (WX \) и \ (YZ \) — это ножки трапеции.

Теперь, если ноги трапеции равны по длине, то она называется равнобедренной трапецией .

Каковы свойства равнобедренной трапеции?

За исключением общих свойств всех трапеций, равнобедренные трапеции обладают некоторыми особыми свойствами.

Объект 1

Имеет ось симметрии

Недвижимость 2

Обе диагонали одинаковой длины.

Недвижимость 3

Площадь равнобедренной трапеции равна \ [A = \ dfrac {{a + b}} {2} \ times h \]

Недвижимость 4

Базовые углы равны по мере

\ (\ угол ADC = \ угол BCD \)

Важные примечания

1. Трапеция — это четырехугольник, в котором одна пара противоположных сторон параллельна.
2. Равнобедренная трапеция имеет ось симметрии.

3. Обе диагонали равнобедренной трапеции равны по длине.

4. Площадь равнобедренной трапеции равна \ [A = \ dfrac {{a + b}} {2} \ times h \]

Решенные примеры

Что из перечисленного НЕ является свойством равнобедренной трапеции?

1. Обе параллельные стороны имеют одинаковую длину.
2. Противоположные углы являются дополнительными.
3. Диагонали одинаковой длины.
4. Имеет ось симметрии.

Решение

Мы знаем, что у равнобедренной трапеции обе ноги равной длины.

Параллельные стороны имеют разную длину.

Что из перечисленного является свойством равнобедренной трапеции?

1. Обе параллельные стороны имеют одинаковую длину.
2. Противоположные углы дополняют друг друга.
3. Диагонали одинаковой длины.
4. Базовые углы не равны.

Решение

Мы знаем, что в равнобедренной трапеции обе диагонали имеют одинаковую длину.

Можете ли вы помочь Дональду найти высоту трапеции, если ему даны площадь и длина двух параллельных сторон?2 \)

Нам нужно найти \ (h \) — высоту между основаниями.

Подставим все эти значения в область формулы трапеции:

\ [\ begin {align} A & = \ dfrac {{a + b}} {2} \ times h \\ 128 & = \ dfrac {{20 + 12}} {2} \ times h \\ 256 & = 32 \ times h \\ h & = 8 \ text {дюймы} \ end {align} \]