Разложение квадратного трехчлена на множители

Разложение квадратного трехчлена
на множители

Если квадратный трехчлен имеет хотя бы один корень, то его можно разложить на множители. Для этого следует воспользоваться формулой

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂)

Иногда эту формулу формулируют в более понятном виде в виде утверждения:

если m и n – корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0, то
ax² + bx + c = a(x – m)(x – n)

Из данного утверждения следует алгоритм разложения квадратного трехчлена на множители:

1. найти корни квадратного трехчлена m и n, т. е. решить уравнение ax² + bx + c = 0;

2. записать выражение a(x – m)(x – n)

Решать уравнение можно любым способом (для этого чаще всего используют формулу корней).

Например, нужно разложить на множители квадратный трехчлен x² + 5x – 6.
Решая уравнение x² + 5x – 6 = 0, получим корни m = 1 и n = – 6. Следовательно,

x² + 5x – 6 = (х – 1)(х + 6).

Онлайн калькулятор
для разложения квадратного трехчлена
на множители

Для получения объяснения того, как тот или иной квадратный трехчлен раскладывается на множители, вы можете воспользоваться формой вверху страницы. Просто введите квадратный трехчлен и нажмите кнопку «Разложить на множители».

калькулятор разложить на множители онлайн со степенями

Вы искали калькулятор разложить на множители онлайн со степенями? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и онлайн калькулятор разложение на множители со степенями, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «калькулятор разложить на множители онлайн со степенями».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как калькулятор разложить на множители онлайн со степенями,онлайн калькулятор разложение на множители со степенями,онлайн разложение многочленов,разложение многочлена онлайн,разложение многочленов онлайн,разложение на множители онлайн калькулятор,разложение на множители онлайн с решением,разложите на множители калькулятор онлайн со степенями,разложите на множители со степенями калькулятор,разложить выражение на множители онлайн,разложить на множители многочлен онлайн калькулятор с решением,разложить на множители онлайн калькулятор с буквами и степенями онлайн,разложить онлайн. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и калькулятор разложить на множители онлайн со степенями. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, онлайн разложение многочленов).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же калькулятор разложить на множители онлайн со степенями Онлайн?

Решить задачу калькулятор разложить на множители онлайн со степенями вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

x 2 4 разложить на множители

Вы искали x 2 4 разложить на множители? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и x 2 9 разложить на множители, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «x 2 4 разложить на множители».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как x 2 4 разложить на множители,x 2 9 разложить на множители,как разложить многочлен на множители онлайн калькулятор,как разложить на множители многочлен онлайн калькулятор,калькулятор для разложения на множители,калькулятор множителей,калькулятор онлайн разложение на множители,калькулятор онлайн разложение на множители многочлена,калькулятор онлайн разложения многочлена на множители,калькулятор онлайн розкласти на множники,калькулятор разложение многочлена на множители,калькулятор разложение многочлена на множители онлайн,калькулятор разложение на множители,калькулятор разложение на множители квадратного трехчлена,калькулятор разложение на множители многочлена,калькулятор разложение на множители онлайн,калькулятор разложения многочлена на множители,калькулятор разложения многочлена на множители онлайн,калькулятор разложения на многочлена множители онлайн,калькулятор разложения на множители,калькулятор разложения на множители многочлена,калькулятор разложите на множители,калькулятор разложить на множители,калькулятор со степенями на разложение на множители,квадратное уравнение разложить на множители онлайн,онлайн калькулятор разложение квадратного трехчлена на множители,онлайн калькулятор разложение многочлена на множители,онлайн калькулятор разложение на множители,онлайн калькулятор разложение на множители квадратного трехчлена,онлайн калькулятор разложение на множители многочлена,онлайн калькулятор разложения многочлена на множители,онлайн калькулятор разложения на множители многочлена,онлайн разложение,онлайн разложение многочлена,онлайн разложение многочлена на множители,онлайн разложение на множители,онлайн разложить выражение на множители,онлайн разложить на множители выражение,онлайн разложить на множители трехчлен,онлайн разложить уравнение на множители,онлайн раскладывать на множители,разложение квадратного трехчлена на множители калькулятор,разложение квадратного трехчлена на множители калькулятор онлайн,разложение квадратного трехчлена на множители онлайн калькулятор,разложение квадратного уравнения на множители онлайн,разложение многочлена на множители калькулятор,разложение многочлена на множители калькулятор онлайн,разложение многочлена на множители онлайн,разложение многочлена на множители онлайн калькулятор,разложение многочлена на множители онлайн калькулятор с решением,разложение на многочлены онлайн,разложение на множители калькулятор,разложение на множители калькулятор онлайн,разложение на множители квадратного трехчлена калькулятор,разложение на множители квадратного трехчлена онлайн калькулятор,разложение на множители квадратного уравнения онлайн,разложение на множители многочлена калькулятор онлайн,разложение на множители многочлена онлайн,разложение на множители многочлена онлайн калькулятор,разложение на множители онлайн,разложение на множители онлайн калькулятор со степенями и буквами,разложение на множители онлайн многочлена,разложение на множители онлайн многочлена калькулятор,разложение на множители онлайн трехчлена,разложение на множители трехчлена онлайн,разложение онлайн,разложение трехчлена на множители онлайн,разложения многочлена на множители онлайн калькулятор,разложения на множители калькулятор онлайн,разложения на множители многочлена онлайн калькулятор,разложения на множители онлайн калькулятор,разложите многочлен на множители калькулятор,разложите многочлен на множители калькулятор онлайн,разложите многочлен на множители онлайн,разложите многочлен на множители онлайн калькулятор,разложите на множители x 2 x 4,разложите на множители калькулятор,разложите на множители калькулятор онлайн,разложите на множители многочлен онлайн,разложите на множители многочлен онлайн калькулятор,разложите на множители онлайн,разложите на множители онлайн калькулятор,разложить квадратное уравнение на множители онлайн,разложить квадратный трехчлен на множители онлайн калькулятор,разложить многочлен на множители калькулятор онлайн,разложить многочлен на множители многочлен онлайн калькулятор с решением,разложить многочлен на множители онлайн,разложить многочлен на множители онлайн калькулятор,разложить многочлен на множители онлайн калькулятор с решением,разложить многочлен на множители онлайн калькулятор с решением 7 класс,разложить на линейные множители онлайн,разложить на многочлен на множители онлайн калькулятор с решением,разложить на многочлены онлайн,разложить на множители выражение онлайн,разложить на множители калькулятор,разложить на множители калькулятор онлайн,разложить на множители квадратное уравнение онлайн,разложить на множители квадратный трехчлен калькулятор онлайн,разложить на множители квадратный трехчлен онлайн калькулятор,разложить на множители многочлен онлайн,разложить на множители многочлен онлайн калькулятор,разложить на множители многочлены онлайн калькулятор,разложить на множители на многочлен онлайн калькулятор с решением,разложить на множители онлайн,разложить на множители онлайн выражение,разложить на множители онлайн калькулятор,разложить на множители онлайн калькулятор с решением,разложить на множители онлайн калькулятор с решением 8 класс,разложить на множители онлайн многочлен,разложить на множители онлайн многочлен калькулятор,разложить на множители онлайн уравнение,разложить на множители с решением онлайн,разложить на множители уравнение онлайн,разложить уравнение на множители онлайн,раскладывать на множители онлайн,уравнение разложить на множители онлайн. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и x 2 4 разложить на множители. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, как разложить многочлен на множители онлайн калькулятор).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же x 2 4 разложить на множители Онлайн?

Решить задачу x 2 4 разложить на множители вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Разложение Многочлена на Множители Способом Группировки

Мы знаем, что слово «множитель» происходит от слова «умножать».

Возьмем, например, число 12. Чтобы разложить его на множители, нужно написать его по-другому, а именно в виде «произведения» множителей. 

Число 12 можно получить, если умножить 2 на 6. А 6 можно представить, как произведение 2 и 3. Вот так:

Так выглядит пошаговое разложение на множители. Числа, которые подчеркнуты на картинке — это множители, которые дальше разложить уже нельзя. 

Разложение многочлена на множители — это преобразование многочлена в произведение, которое равно данному многочлену.

5 способов разложения многочлена на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки.
2. Формулы сокращенного умножения.
3. Метод группировки.
4. Выделение полного квадрата.
5. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Способ группировки множителей

Разложение на множители методом группировки возможно, когда многочлены не имеют общего множителя для всех членов многочлена.  

Этот способ применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку. И тогда исходный многочлен будет представлен в виде произведения, что значительно облегчает задачу.

Разложить на множители методом группировки можно в три этапа:

1. Объединить слагаемые многочлена в группы, которые содержат общий множитель. Для наглядности их можно подчеркнуть.
2. Вынести общий множитель за скобки.
3. Полученные произведения имеют общий множитель в виде многочлена, который нужно вынести за скобки.

Объединить члены многочлена в группы можно по-разному. И ее всегда группировка может быть удачной для последующего разложения на множители. В таком случае нужно продолжить эксперимент и попробовать объединить в группы другие члены многочлена.

Чтобы понять эти сложные выражения, применим правило группировки множителей при решении примеров. Рассмотрим два способа.

Пример 1. Разложить на множители методом группировки: up — bp + ud — bd.

Как решаем:

От перестановки мест слагаемых сумма не меняется, поэтому оба ответа верны:

(u — b)(p + d) = (p + d)(u — b).

Вот так работает алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки. Продолжим практиковаться на примерах.

Пример 2. Разложить на множители выражение: c(m — n) + d(m — n).

Как решаем:

1. Найдем общий множитель: (m — n)
2. Вынесем общий множитель за скобки: (m — n)(c + d). 

Ответ: c(m — n) + d(m — n) = (m — n)(c + d).

Пример 3. Разложить на множители  с помощью группировки: 5x — 12z (x — y) — 5y.

Как решаем: 

5x — 12z (x — y) — 5y = 5x — 5y — 12z (x — y) = 5(x — y) — 12z (x — y) = (x — y) (5 — 12z)

Ответ: 5x — 12z (x — y) — 5y = (x — y) (5 — 12z).

Проверим как это на следующем примере.

Пример 4. Произвести разложение многочлена на множители способом группировки: ax² — bx² + bx — ax + a — b.

Как решаем:

1. Сгруппируем слагаемые по два и вынесем в каждой паре общий множитель за скобку:

ax² — bx² + bx — ax + a — b = (ax² — bx²) + (bx — ax) + (a — b) = x²(a — b) — x(a — b) + (a — b)

Получили три слагаемых, в каждом из которых есть общий множитель (a — b).

1. Теперь вынесем за скобку (a — b), используя распределительный закон умножения:

x²(a — b) + x(b — a) + (a — b) = (a — b)(x² + x + 1)

Ответ: ax² — bx² + bx — ax + a — b = (a — b)(x² + x + 1)

Научиться быстро считать ребенку помогут в детской онлайн-школе Skysmart. Наши преподаватели просто и весело объяснят любую тему по математике, а красочный интерактивный учебник и онлайн-доска не дадут ребенку заскучать.

Записывайтесь на бесплатный вводный урок математики и развивайте математическое мышление вместе со Skysmart.

Зачем раскладывать на множители — урок. Алгебра, 7 класс.

Разложить многочлен на множители — это значит представить многочлен в виде произведения двух или нескольких множителей.

Например, x2+ 14x + 45  — многочлен представлен в виде суммы одночленов. После разложения на множители многочлен примет вид
\((x + 5) (x + 9)\), где \(x + 5\) и \(x + 9\) являются множителями.

Пример:

задание. Разложить число \(36\) на два множителя различными способами.
Решение:

36 = 2⋅18;36 = 3⋅12;36 = 4⋅9.

Для разложения многочлена на множители используют такие способы:

1. вынесение общего множителя за скобки.

Пример:

задание. Разложить на множители многочлен \(7a – 7b\).
Решение: \(7a – 7b = 7(a – b)\).
Вынесли общий множитель за скобки, получили произведение двух множителей: \(7\) и \(a-b\).

2. Применение формул сокращённого умножения.

Пример:

задание. Разложить на множители многочлен.
Решение: 9×2−25y2=32×2−52y2=(3x)2−(5y)2=(3x−5y)(3x+5y).

3. Метод группировки.

Пример:

задание. Разложить на множители многочлен.
Решение: 35ab+7a−5b−1=(35ab−5b)+(7a−1)=5b(7a−1)+(7a−1)=(7a−1)(5b+1).

Умение раскладывать на множители необходимо для преобразования выражений, при сокращении алгебраических дробей, решении уравнений и неравенств.

Пример:

задание. Упростить выражение.
Решение: 25−a2(5+a)(13−a)=52−a2(5+a)(13−a)=(5−a)(5+a)(5+a)(13−a)=5−a13−a

— в числителе применили формулу «разность квадратов»;
— сократили дробь на выражение \(5+ а\).

Пример:

задание. Решить уравнение:

4×2+8x−x−2=0;(4×2−x)+(8x−2)=0;x(4x−1)¯+2(4x−1)¯=0;(4x−1)¯(x+2)=0;

4x−1=0;4x=1;x1=0,25; или x+2=0;x=−2;x2=−2.

Ответ: \(-2;0,25\)

— сгруппировали;
— вынесли общие множители за скобки в каждой скобке;
— вынесли общие множители слагаемых за скобки.

Подробнее перечисленные выше способы рассмотрим далее, в отдельных темах.

Разложение многочлена на множители: примеры, правило

Для того, чтобы разложить на множители, необходимо упрощать выражения. Это необходимо для того, чтобы можно было в дальнейшем сократить. Разложение многочлена имеет смысл тогда, когда его степень не ниже второй. Многочлен с первой степенью называют линейным.

Статья раскроет все понятия разложения, теоретические основы и способы разложений многочлена на множители.

Теория

Теорема 1

Когда любой многочлен со степенью n, имеющие вид Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , представляют в виде произведения с постоянным множителем со старшей степенью an и n линейных множителей (x-xi) , i=1, 2, …, n, тогда Pn(x)=an(x-xn)(x-xn-1)·…·(x-x1) , где xi , i=1, 2, …, n – это и есть корни многочлена.

Теорема предназначена для корней комплексного типа xi ,i=1, 2, …, n и для комплексных коэффициентов ak ,k=0, 1, 2, …, n. Это и есть основа любого разложения.

Когда коэффициенты вида ak, k=0, 1, 2, …, n являются действительными числами, тогда комплексные корни, которые будут встречаться сопряженными парами. Например, корни x1  и x2 , относящиеся к многочлену вида Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0  считаются комплексно сопряженным, тогда другие корни являются действительными, отсюда получаем, что многочлен примет вид Pn(x)=an(x-xn)(x-xn-1)·…·(x-x3)x2+px+q , где x2+px+q=(x-x1)(x-x2).

Замечание

Корни многочлена могут повторяться. Рассмотрим доказательство теоремы алгебры, следствия из теоремы Безу.

Основная теорема алгебры

Теорема 2

Любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень.

Теорема Безу

После того, как произвели деление многочлена вида Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0  на (x-s), тогда получаем остаток, который равен многочлену в точке s, тогда получим

Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x-s)·Qn-1(x)+Pn(s) , где Qn-1(x)  является многочленом со степенью n-1.

Следствие из теоремы Безу

Когда корень многочлена Pn(x) считается s, тогда Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x-s)·Qn-1(x) . Данное следствие является достаточным при употреблении для описания решения.

Разложение на множители квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен вида ax2+bx+c  можно разложить на линейные множители. тогда получим, что ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), где x1 и x2  — это корни (комплексные или действительные).

Отсюда видно, что само разложение сводится к решению квадратного уравнения впоследствии.

Пример 1

Произвести разложение квадратного трехчлена на множители.

Решение

Необходимо найти корни уравнения 4×2-5x+1=0 . Для этого необходимо найти значение дискриминанта по формуле, тогда получим D=(-5)2-4·4·1=9 . Отсюда имеем, что

x1=5-92·4=14×2=5+92·4=1

Отсюда получаем, что 4×2-5x+1=4x-14x-1.

Для выполнения проверки нужно раскрыть скобки. Тогда получим выражение вида:

4x-14x-1=4×2-x-14x+14=4×2-5x+1

После проверки приходим к исходному выражению. То есть можно сделать вывод, что разложение выполнено верно.

Пример 2

Произвести разложение на множители квадратный трехчлен вида 3×2-7x-11.

Решение

Получим, что необходимо вычислить получившееся квадратное уравнение вида 3×2-7x-11=0.

Чтобы найти корни, надо определить значение дискриминанта. Получим, что

3×2-7x-11=0D=(-7)2-4·3·(-11)=181×1=7+D2·3=7+1816×2=7-D2·3=7-1816

Отсюда получаем, что 3×2-7x-11=3x-7+1816x-7-1816 .

Пример 3

Произвести разложение многочлена 2×2+1  на множители.

Решение

Теперь нужно решить квадратное уравнение 2×2+1=0 и найти его корни. Получим, что

2×2+1=0x2=-12×1=-12=12·ix2=-12=-12·i

Эти корни называют комплексно сопряженными, значит само разложение можно изобразить как 2×2+1=2x-12·ix+12·i .

Пример 4

Произвести разложение квадратного трехчлена x2+13x+1.

Решение

Для начала необходимо решить квадратное уравнение вида x2+13x+1=0  и найти его корни.

x2+13x+1=0D=132-4·1·1=-359×1=-13+D2·1=-13+353·i2=-1+35·i6=-16+356·ix2=-13-D2·1=-13-353·i2=-1-35·i6=-16-356·i

Получив корни, запишем

x2+13x+1=x—16+356·ix—16-356·i==x+16-356·ix+16+356·i

Замечание

Если значение дискриминанта отрицательное, то многочлены останутся многочленами второго порядка. Отсюда следует, что раскладывать их не будем на линейные множители.

Способы разложения на множители многочлена степени выше второй

При разложении предполагается универсальный метод. Большинство всех случаев основано на следствии из теоремы Безу. Для этого необходимо подбирать значение корня x1 и понизить его степень при помощи деления на многочлена на 1 делением на (x-x1) . Полученный многочлен нуждается  в нахождении корня x2 , причем процесс поиска цикличен до тех пор, пока не получим полное разложение.

Если корень не нашли, тогда применяются другие способы разложения на множители: группировка, дополнительные слагаемые. Данная тема полагает решение уравнений с высшими степенями  и целыми коэффициентами.

Вынесение общего множителя за скобки

Рассмотрим случай, когда свободный член равняется нулю, тогда вид многочлена становится как Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x.

Видно, что корень такого многочлена будет равняться x1=0 , тогда можно представить многочлен в виде выражения Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x==x(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)

Данный способ считается вынесением общего множителя за скобки.

Пример 5

Выполнить разложение многочлена третьей степени 4×3+8×2-x  на множители.

Решение

Видим, что x1=0  — это корень заданного многочлена, тогда можно произвести вынесение х за скобки всего выражения. Получаем:

4×3+8×2-x=x(4×2+8x-1)

Переходим к нахождению корней квадратного трехчлена 4×2+8x-1 .  Найдем дискриминант и корни:

D=82-4·4·(-1)=80×1=-8+D2·4=-1+52×2=-8-D2·4=-1-52

Тогда следует, что

4×3+8×2-x=x4x2+8x-1==4xx—1+52x—1-52==4xx+1-52x+1+52

Разложение на множители многочлена с рациональными корнями

Для начала примем за рассмотрение способ разложения, содержащий целые коэффициенты вида Pn(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , где коэффициента при старшей степени равняется 1.

Когда многочлен имеет целые корни, тогда их считают делителями свободного члена.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 6

Произвести разложение выражения f(x)=x4+3×3-x2-9x-18 .

Решение

Рассмотрим, имеются ли целые корни. Необходимо выписать делители числа -18. Получим, что ±1,±2,±3,±6,±9,±18. Отсюда следует, что данный многочлен имеет целые корни. Можно провести проверку по схеме Горнера. Она очень удобная и позволяет быстро получить  коэффициенты разложения многочлена:

Отсюда следует, что х=2 и х=-3 – это корни исходного многочлена, который можно представить как произведение вида:

f(x)=x4+3×3-x2-9x-18=(x-2)(x3+5×2+9x+9)==(x-2)(x+3)(x2+2x+3)

Переходим к разложению квадратного трехчлена вида x2+2x+3.

Так как дискриминант получаем отрицательный, значит, действительных корней нет.

Ответ: f(x)=x4+3×3-x2-9x-18=(x-2)(x+3)(x2+2x+3)

Замечание

Допускается использование подбором корня и деление многочлена на многочлен вместо схемы Горнера. Перейдем к рассмотрению разложения многочлена, содержащим целые коэффициенты вида Pn(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0, старший из которых на равняется единице.

Этот случай имеет место быть для дробно-рациональных дробей.

Пример 7

Произвести разложение на множители f(x)=2×3+19×2+41x+15.

Решение

Необходимо выполнить замену переменной y=2x, следует переходить  к многочлену с коэффициентами равными 1 при старшей степени. Необходимо начать с умножения выражения на 4. Получаем, что

4f(x)=23·x3+19·22·x2+82·2·x+60==y3+19y2+82y+60=g(y)

Когда получившаяся функция  вида g(y)=y3+19y2+82y+60 имеет целые корни, тогда их нахождение среди делителей свободного члена. Запись примет вид:

±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30,±60

Перейдем  к вычислению функции g(y) в этих точка для того, чтобы получить в результате ноль. Получаем, что

g(1)=13+19·12+82·1+60=162g(-1)=(-1)3+19·(-1)2+82·(-1)+60=-4g(2)=23+19·22+82·2+60=308g(-2)=(-2)3+19·(-2)2+82·(-2)+60=-36g(3)=33+19·32+82·3+60=504g(-3)=(-3)3+19·(-3)2+82·(-3)+60=-42g(4)=43+19·42+82·4+60=756g(-4)=(-4)3+19·(-4)2+82·(-4)+60=-28g(5)=53+19·52+82·5+60=1070g(-5)=(-5)3+19·(-5)2+82·(-5)+60

Получаем, что у=-5 – это корень уравнения вида y3+19y2+82y+60, значит, x=y2=-52 — это корень исходной функции.

Пример 8

Необходимо произвести деление столбиком 2×3+19×2+41x+15  на x+52 . 

Решение

Запишем и получим:

Значит,

2×3+19×2+41x+15=x+52(2×2+14x+6)==2x+52(x2+7x+3)

Проверка делителей займет много времени, поэтому выгодней предпринять разложение на множители полученного квадратного трехчлена вида x2+7x+3. Приравниванием к нулю и находим дискриминант.

x2+7x+3=0D=72-4·1·3=37×1=-7+372×2=-7-372⇒x2+7x+3=x+72-372x+72+372

Отсюда следует, что

2×3+19×2+41x+15=2x+52×2+7x+3==2x+52x+72-372x+72+372

Искусственные приемы при  разложении многочлена на множители

Рациональные корни не присущи всем многочленам. Для этого необходимо пользоваться специальными способами для нахождения множителей. Но не все многочлены можно разложить или представить в виде произведения.

Способ группировки

Бывают случаи, когда можно сгруппировывать слагаемые многочлена для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки.

Пример 9

Произвести разложение многочлена x4+4×3-x2-8x-2 на множители.

Решение

Потому как коэффициенты – целые числа, тогда корни предположительно тоже могут быть целыми. Для проверки возьмем значения 1, -1, 2 и -2 для того, чтобы вычислить значение многочлена в этих точках. Получаем, что

14+4·13-12-8·1-2=-6≠0(-1)4+4·(-1)3-(-1)2-8·(-1)-2=2≠024+4·23-22-8·2-2=26≠0(-2)4+4·(-2)3-(-2)2-8·(-2)-2=-6≠0

Отсюда видно, что корней нет, необходимо использовать другой способ разложения и решения.

Необходимо провести группировку:

x4+4×3-x2-8x-2=x4+4×3-2×2+x2-8x-2==(x4-2×2)+(4×3-8x)+x2-2==x2(x2-2)+4x(x2-2)+x2-2==(x2-2)(x2+4x+1)

После группировки исходного многочлена необходимо представить его как произведение двух квадратных трехчленов. Для этого нам понадобится произвести разложение на множители. получаем, что

x2-2=0x2=2×1=2×2=-2⇒x2-2=x-2x+2×2+4x+1=0D=42-4·1·1=12×1=-4-D2·1=-2-3×2=-4-D2·1=-2-3⇒x2+4x+1=x+2-3x+2+3

Значит:

x4+4×3-x2-8x-2=x2-2×2+4x+1==x-2x+2x+2-3x+2+3

Замечание

Простота группировки не говорит о том, что выбрать слагаемы достаточно легко. Определенного способа решения не существует, поэтому необходимо пользоваться специальными теоремами и правилами.

Пример 10

Произвести разложение на множители многочлен x4+3×3-x2-4x+2 .

Решение

Заданный многочлен не имеет целых корней. Следует произвести группировку слагаемых. Получаем, что

x4+3×3-x2-4x+2==(x4+x3)+(2×3+2×2)+(-2×2-2x)-x2-2x+2==x2(x2+x)+2x(x2+x)-2(x2+x)-(x2+2x-2)==(x2+x)(x2+2x-2)-(x2+2x-2)=(x2+x-1)(x2+2x-2)

После разложения на множители получим, что

x4+3×3-x2-4x+2=x2+x-1×2+2x-2==x+1+3x+1-3x+12+52x+12-52

Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители

Внешний вид зачастую не всегда дает понять, каким способом необходимо воспользоваться при разложении. После того, как были произведены преобразования, можно выстроить строчку, состоящую из треугольника Паскаля, иначе их называют биномом Ньютона.

Пример 11

Произвести разложение многочлена x4+4×3+6×2+4x-2  на множители.

Решение

Необходимо выполнить преобразование выражения к виду

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3

На последовательность коэффициентов суммы в скобках указывает выражение x+14.

Значит, имеем x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3.

После применения разности квадратов, получим

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3==x+14-3=x+12-3x+12+3

Рассмотрим выражение, которое находится во второй скобке. Понятно, что там коней нет, поэтому следует применить формулу разности квадратов еще раз. Получаем выражение вида

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3==x+14-3=x+12-3x+12+3==x+1-34x+1+34×2+2x+1+3

Пример 12

Произвести разложение на множители x3+6×2+12x+6.

Решение

Займемся преобразованием выражения. Получаем, что

x3+6×2+12x+6=x3+3·2·x2+3·22·x+23-2=(x+2)3-2

Необходимо применить формулу сокращенного умножения разности кубов. Получаем:

x3+6×2+12x+6==(x+2)3-2==x+2-23x+22+23x+2+43==x+2-23×2+x2+23+4+223+43

Способ замены переменной при разложении многочлена на множители

При замене переменной производится понижение степени и разложение многочлена на множители.

Пример 13

Произвести разложение на множители многочлена вида x6+5×3+6.

Решение

По условию видно, что необходимо произвести замену y=x3 . Получаем:

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6

Корни полученного квадратного уравнения равны y=-2 и y=-3, тогда

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6==y+2y+3=x3+2×3+3

Необходимо применить формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получим выражения вида:

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6==y+2y+3=x3+2×3+3==x+23×2-23x+43x+33×2-33x+93

То есть получили искомое разложение.

Рассмотренные выше случаи помогут в рассмотрении  и разложении многочлена на множители разными способами.

3.1.2. Разложение выражений на множители

Глава 3. Решение уравнений и неравенств

3.1.

3.1.2.

Изучение приёмов преобразования уравнений начнём с обсуждения того, как можно разлагать на множители выражения, входящие в данное уравнение. Вообще представление уравнения f (x) = g (x) в виде

где выражения F_k (x), k = 1, …, n «проще» функций f (x) и g (x), представляет собой несомненное продвижение в решении уравнения. В самом деле, представление вида (5) позволяет сразу приравнивать множители F_k (x) нулю и решать более простые уравнения. Представление уравнения (1) в виде (5) иногда называют факторизованным видом уравнения (1) (от английского слова «factor» – множитель).

Перечислим теперь некоторые наиболее распространённые приёмы разложения многочленов, как наиболее простых алгебраических функций, на множители.

1. Вынесение общего множителя за скобку

В том случае, когда все члены многочлена имеют один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку, получая тем самым разложение многочлена.

Пример 1

Разложить на множители многочлен x⁵ – 2x³ + x².

2. Применение формул сокращённого умножения

Формулы сокращения довольно эффективно применяются при разложении многочлена на множители. Полезно помнить следующие формулы:

Пример 2

Разложить на множители многочлен (x – 2)⁴ – (3x + 1)⁴.

3. Применение выделения полного квадрата

Без преувеличения можно сказать, что метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители. Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов. Поясним сказанное на примере.

Пример 3

Разложить на множители многочлен x⁴ + 4x² – 1.

4. Группировка

Метод группировки слагаемых, как правило, применяется совместно с другими методами разложения на множители и чаще всего с методом вынесения за скобки. Суть метода состоит в том, что все слагаемые данного многочлена перегруппировываются таким образом, чтобы в каждой группе, возможно после вынесения общего множителя за скобки, образовалось бы одно и то же выражение. Это выражение можно также вынести за скобки как общий для всех групп множитель.

5. Метод неопределённых коэффициентов

Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

Теоретической основой метода являются следующие утверждения.

• Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
• Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.
• Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.

Для доказательства второго утверждения вспомним, как выглядит график степенной функции с нечетной целой степенью (§ 2.2.5). Действительно, из его вида следует, что значение многочлена имеет разные знаки при x → +∞ и x → –∞. Многочлен степени n – непрерывная функция, значит, найдется хотя бы одна точка, в которой график этой функции пересечет ось Ox.

Пример 4

Разложить на множители многочлен 3x³ – x² – 3x + 1.

6. Теорема о корнях многочлена

Разложение многочлена на множители иногда удаётся провести, если один из его корней угадан с помощью теоремы о рациональных корнях, доказанной в § 2.1.4. После того, как корень x = α угадан, многочлен P_n (x) представим в виде P_n (x) = (x – α) · P_n – 1 (x), где P_n – 1 (x) − многочлен степени на 1 меньше, чем P_n (x).

Пример 5

Разложить на множители многочлен x³ – 5x² – 2x + 16.

7. Разложение относительно параметра

Суть этого метода легче всего понять на примере.

Пример 6

Разложить на множители многочлен x⁴ – 10x² – x + 20.



Калькулятор факторинга с шагом — Solumaths

Резюме:

Калькулятор факторизации позволяет разложить алгебраическое выражение на множители онлайн с шагом.

factoring_calculator онлайн

Описание:

Калькулятор множителей позволяет разложить на множители онлайн алгебраическое выражение, чтобы получить разложение на множители алгебраическое выражение
онлайн используются разные методы:

Калькулятор разложения на множители затем возвращает факторизованную форму алгебраического выражения , помещенного в параметр.2`),
тогда функция возвращает факторизацию квадратного многочлена `(7 + x) * (- 3 + x)`

Факторинг дробей

Калькулятор разложения на множители может разложить на множители алгебраические дроби с шагами :

• Таким образом, калькулятор факторизации позволяет разложить на множители следующую дробь `(x + 2 * a * x) / b`,
  результат, возвращаемый функцией, является факторизованным выражением `(x * (1 + 2 * a)) / b`
• Например, введя factoring_calculator (`(-1 / 2 + x / 2 + x ^ 2) / b`),
  функция вернет факторизацию дроби онлайн, т.е.2) `

Калькулятор факторизации позволяет разложить алгебраическое выражение на множители онлайн с шагом.

Синтаксис:

factoring_calculator (выражение)

Примеры:

Факторизация идентичности

Разложите выражение на множители

Рассчитайте онлайн с factoring_calculator (калькулятор факторинга)

Факторизация полинома или математического выражения

Поиск инструмента

Факторизация математических выражений

Инструмент для разложения математических выражений.Факторизация математического выражения состоит в том, чтобы выразить его как продукт, это обратное выражение.

Результаты

Факторизация математических выражений — dCode

Тег (и): символическое вычисление

Поделиться

dCode и другие

dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Ответы на вопросы (FAQ)

Как разложить на множители многочленное выражение?

Факторизация — это преобразование суммы в произведение (умножение) двух (или более) множителей. 2 $$

Пример: $$ \ cos (x + y) + \ sin (x) \ sin (y) = \ cos (x) \ cos (y) $$

Как отобразить пошагово?

Решатель / факторизатор не имеет реальных шагов, по крайней мере, шагов, подобных тем, которые требуются в колледже или средней школе.На данный момент шаги не отображаются, но решатель позволяет проверить результат.

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Факторизация математических выражений». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / бесплатно), любой алгоритм, апплет или фрагмент математического выражения факторизации (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой математический Функция факторизации выражений (вычисление, преобразование, решение, расшифровка / шифрование, расшифровка / шифрование, декодирование / кодирование, перевод), написанная на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. Д.)), и никакая загрузка данных, скрипт, копирование и доступ к API для «Факторизации математических выражений» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

Нужна помощь?

Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для запросов о помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

Вопросы / комментарии

Сводка

Похожие страницы

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

факторизация, множитель, факторизация, полином, замечательный, идентичность, выражение, математика, произведение, сумма, var

Ссылки

Источник: https: // www.dcode.fr/math-expression-factor

© 2021 dCode — Лучший «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.

Разложите многочлен или выражение на множители с помощью программы «Пошаговое решение математических задач

»

Процесс факторизации необходим для упрощения многих алгебраических выражений и является полезным инструментом при решении уравнений более высокой степени. Фактически, процесс факторизации настолько важен, что очень мало алгебры, выходящей за рамки этого пункта, может быть достигнуто без понимания этого.

В предыдущих главах подчеркивалось различие между терминами и факторами . Вы должны помнить, что члены складываются или вычитаются, а множители умножаются. Далее следуют три важных определения.

Термины встречаются в указанной сумме или разнице. Факторы встречаются в указанном продукте.

Выражение находится в факторизованной форме , только если все выражение является указанным продуктом.

Обратите внимание, что в этих примерах мы всегда должны рассматривать все выражение целиком.Факторы могут состоять из терминов, а термины могут содержать факторы, но факторизованная форма должна соответствовать приведенному выше определению.

Факторинг — это процесс изменения выражения суммы или разности членов на произведение факторов.

Обратите внимание, что в этом определении подразумевается, что значение выражения не изменяется — изменяется только его форма.

УДАЛЕНИЕ ОБЩИХ ФАКТОРОВ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите, какие факторы являются общими для всех терминов в выражении.
2. Фактор общие множители.

В предыдущей главе мы умножили такое выражение, как 5 (2x + 1), чтобы получить 10x + 5. В общем случае факторинг «отменит» умножение. Каждый член 10x + 5 имеет 5 как множитель, а 10x + 5 = 5 (2x + 1).

Чтобы разложить выражение на множители путем удаления общих множителей, действуйте, как в примере 1.

Затем найдите факторы, общие для всех терминов, и найдите наибольший из них.Это самый общий фактор. В этом случае наибольший общий делитель равен 3x.

Поставьте 3x перед круглыми скобками.

Термины в круглых скобках находятся путем деления каждого члена исходного выражения на 3x.

Исходное выражение теперь преобразовано в факторизованную форму.Чтобы проверить факторинг, имейте в виду, что факторинг изменяет форму, но не значение выражения. Если ответ правильный, это должно быть правдой. Умножьте, чтобы убедиться, что это правда. Вторая проверка также необходима для факторинга — мы должны быть уверены, что выражение было полностью факторизовано. Другими словами, «Удали ли мы все общие факторы? Можем ли мы использовать дополнительные факторы?»

Если бы мы только удалили множитель «3» из 3x ² + 6xy + 9xy ² , ответ был бы

3 (х ² + 2xy + 3xy ² ).

Перемножая для проверки, мы обнаруживаем, что ответ фактически совпадает с исходным выражением. Однако фактор x по-прежнему присутствует во всех терминах. Следовательно, выражение не учитывается полностью.

Чтобы факторинг был правильным, решение должно соответствовать двум критериям:

1. Должна быть возможность умножить факторизованное выражение и получить исходное выражение.
2. F Выражение должно быть полностью разложено на .

Пример 2 Фактор 12x ³ + 6x ² + 18x.

Решение

На этом этапе нет необходимости перечислять факторы
каждого семестра. Вы должны уметь мысленно определить наиболее общий фактор. Хорошая процедура для подражания — думать об элементах по отдельности. Другими словами, не пытайтесь получить все общие множители сразу, а получите сначала число, а затем каждую задействованную букву.Например, 6 — множитель 12, 6 и 18, а x — множитель каждого члена. Следовательно, 12x ³ + 6x ² + 18x = 6x (2x ² + x + 3). Умножая, мы получаем оригинал и видим, что члены в круглых скобках не имеют другого общего множителя, поэтому мы знаем, что решение правильное.

Если выражение не может быть разложено на множители, оно считается простым .

РАЗДЕЛЕНИЕ ПО ГРУППАМ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Факторные выражения, когда общий множитель включает более одного члена.
2. Фактор по группировке.

Расширение идей, представленных в предыдущем разделе, применяется к методу факторинга, который называется группировка .

Прежде всего, мы должны отметить, что общий множитель не обязательно должен быть одним членом. Например, в выражении 2y (x + 3) + 5 (x + 3) есть два члена. Это 2y (x + 3) и 5 ​​(x + 3). В каждом из этих терминов есть множитель (x + 3), состоящий из членов. Этот множитель (x + 3) является общим множителем.

Иногда, когда есть четыре или более терминов, мы должны вставить промежуточный шаг или два, чтобы разложить их на множители.

Решение

Прежде всего отметьте, что не все четыре члена в выражении имеют общий множитель, но некоторые из них имеют. Например, мы можем умножить на 3 первые два члена, получив 3 (ax + 2y). Если мы вычленим a из оставшихся двух членов, мы получим a (ax + 2y). Выражение теперь 3 (ax + 2y) + a (ax + 2y), и у нас есть общий множитель (ax + 2y), и мы можем разложить на множители как (ax + 2y) (3 + a). Умножая (ax + 2y) (3 + a), мы получаем исходное выражение 3ax + 6y + a ² x + 2ay и видим, что факторизация верна.

Это пример факторинга путем группировки , поскольку мы «сгруппировали» термины по два за раз.

Иногда термины необходимо сначала переставить, прежде чем можно будет выполнить факторинг по группировке.

Пример 7 Фактор 3ax + 2y + 3ay + 2x.

Решение

Первые два члена не имеют общего множителя, но первое и третье члены имеют, поэтому мы изменим порядок членов так, чтобы третий член помещался после первого.Всегда смотрите вперед, чтобы увидеть порядок, в котором можно было бы расположить термины.

Во всех случаях важно убедиться, что факторы, указанные в скобках, абсолютно одинаковы. Это может потребовать факторизации отрицательного числа или буквы.

Пример 8 Фактор ax — ay — 2x + 2y.

Решение

Обратите внимание, что когда мы множим a из первых двух членов, мы получаем a (x — y).Глядя на последние два члена, мы видим, что разложение на множители +2 дает 2 (-x + y), а разложение на множители «-2» дает -2 (x — y). Мы хотим, чтобы члены в круглых скобках были (x — y), поэтому поступаем таким же образом.

ФАКТОРИНГ ТРИНОМИАЛОВ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Мысленно перемножьте два бинома.
2. Разложите на множители трехчлена с коэффициентом первого члена 1.
3. Найдите множители любого факторизуемого трехчлена.

Большое количество будущих задач будет включать факторизацию трехчленов как произведений двух биномов. В предыдущей главе вы узнали, как умножать многочлены. Теперь мы хотим рассмотреть частный случай умножения двух биномов и разработать образец для этого типа умножения.

Поскольку этот тип умножения очень распространен, полезно иметь возможность найти ответ, не выполняя так много шагов. Давайте посмотрим на образец для этого.

Из примера (2x + 3) (3x — 4) = 6x ² + x — 12, обратите внимание, что первый член ответа (6x ² ) был получен из произведения двух первых членов множителей. , то есть (2x) (3x).

Также обратите внимание, что третий член (-12) произошел от произведения вторых членов множителей, то есть (+ 3) (- 4).

Теперь у нас есть следующая часть узора:

Теперь, снова посмотрев на пример, мы видим, что средний член (+ x) получен из суммы двух произведений (2x) (-4) и (3) (3x).

Теперь у нас есть четыре произведения для любых двух биномов:

1. Первый семестр за первый семестр
2. Внешние условия
3. Внутренние условия
4. Последний семестр к последнему семестру

Эти продукты показаны этим шаблоном.

Когда произведения внешних и внутренних терминов дают одинаковые термины, их можно комбинировать, и решение является трехчленом.

Вы должны запомнить этот образец.

Не только этот образец должен быть запомнен, но ученик должен также научиться переходить от проблемы к ответу без каких-либо письменных шагов.Этот умственный процесс умножения необходим, если мы хотим достичь мастерства в факторинге.

Выполняя следующие упражнения, попытайтесь прийти к правильному ответу, не записывая ничего, кроме ответа. Чем больше вы будете практиковать этот процесс, тем лучше вы будете в факторинге.

Теперь, когда мы установили образец умножения двух биномов, мы готовы разложить на множители трехчлены. Сначала мы рассмотрим факторизацию только тех трехчленов с коэффициентом первого члена, равным 1.

Решение

Так как это трехчлен и не имеет общего множителя, мы будем использовать шаблон умножения для факторизации.

Сначала укажите проблему в круглых скобках.

Теперь мы хотим заполнить члены так, чтобы шаблон давал исходный трехчлен при умножении. Первый член прост, поскольку мы знаем, что (x) (x) = x ² .

Теперь мы должны найти числа, которые умножаются, чтобы получить 24, и в то же время складывать, чтобы получить средний член. Обратите внимание, что в каждом из следующих слов будут правильные первый и последний член.

Только последний продукт имеет средний член 11x, и правильное решение —

Этот метод факторинга называется проб и ошибок — по понятным причинам.

Решение

Здесь проблема лишь немного в другом. Мы должны найти числа, которые умножаются, чтобы получить 24, и в то же время складывать, чтобы получить — 11. Вы всегда должны помнить об этой схеме. Последний член получается строго умножением, а средний член, в конце концов, получается из суммы. Зная, что произведение двух отрицательных чисел положительно, а сумма двух отрицательных чисел отрицательна, получаем

Решение

Здесь мы столкнулись с отрицательным числом для третьего члена, и это немного усложняет задачу.Поскольку -24 может быть только произведением положительного числа и отрицательного числа, и поскольку средний член должен происходить из суммы этих чисел, мы должны мыслить категориями разницы. Мы должны найти числа, произведение которых равно 24 и которые отличаются на 5. Кроме того, большее число должно быть отрицательным, потому что, когда мы складываем положительное и отрицательное число, ответ будет иметь знак большего. Учитывая все это, получаем

Следующие пункты помогут при факторизации трехчленов:

1. Если знак третьего члена положительный, оба знака в множителях должны быть одинаковыми — и они должны быть похожи на знак среднего члена.
2. Если знак последнего члена отрицательный, знаки в множителях должны быть разными, а знак большего члена должен быть подобен знаку среднего члена.

В предыдущем упражнении коэффициент каждого из первых членов был равен 1.Когда коэффициент при первом члене не равен 1, проблема факторинга намного сложнее, потому что количество возможностей значительно увеличивается.

Обратите внимание, что существует двенадцать способов получить первый и последний члены, но только один имеет 17x в качестве среднего члена.

Есть только один способ получить все три условия:

В этом примере верна одна из двенадцати возможностей. Таким образом, метод проб и ошибок может занять очень много времени.

Даже несмотря на то, что используемый метод представляет собой метод угадывания, это должно быть «обоснованное предположение», в котором мы применяем все наши знания о числах и много упражняемся в мысленной арифметике. В предыдущем примере мы сразу отбросили бы многие комбинации.Поскольку мы ищем 17x как средний термин, мы не будем пытаться использовать те возможности, которые умножают 6 на 6, или 3 на 12, или 6 на 12, и так далее, поскольку эти произведения будут больше 17. Кроме того, поскольку 17 нечетное, мы знаем, что это сумма четного и нечетного числа. Все это помогает уменьшить количество возможностей попробовать.

Решение

Сначала мы должны проанализировать проблему.

1. Последний член положительный, поэтому два одинаковых знака.
2. Средний член отрицательный, поэтому оба знака будут отрицательными.
3. Множители 6×2: x, 2x, 3x, 6x. Множители 15: 1, 3, 5, 15.
4. Исключите как слишком большое произведение 15 с 2x, 3x или 6x. Попробуйте несколько разумных комбинаций.

Решение

Анализировать:

1. Последний член отрицательный, поэтому не похож на знаки.
2. Мы должны найти продукты, которые отличаются на 5 с большим отрицательным числом.
3. Мы исключаем произведение 4х и 6 как вероятно слишком большое.
4. Попробуйте несколько комбинаций.

(4x — 3) (x + 2): здесь средний член + 5x, что является правильным числом, но неправильным знаком. Будьте осторожны, чтобы не принимать это как решение, но поменяйте знаки так, чтобы более крупный продукт соответствовал знаку со средним условием.

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ФАКТОРИНГА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите и разложите на множители двух полных квадратов.
2. Определите и разложите на множители трехчлен полного квадрата.

В этом разделе мы хотим изучить некоторые частные случаи факторинга, которые часто возникают в задачах. Если признать эти особые случаи, факторинг значительно упростится.

Первый частный случай, который мы обсудим, — это разность двух полных квадратов .

Напомним, что при умножении двух биномов на образец средний член получается из суммы двух произведений.

Из нашего опыта работы с числами мы знаем, что сумма двух чисел равна нулю только в том случае, если эти два числа являются отрицательными по отношению друг к другу.

В каждом примере средний член равен нулю. Обратите внимание, что если два бинома умножаются, чтобы получить бином (средний член отсутствует), они должны быть в форме (a — b) (a + b).

Чтение этого правила справа налево говорит нам, что если у нас есть проблема, которую нужно разложить на множители, и если она имеет форму, то множители будут (a — b) (a + b).

Решение

Здесь оба члена представляют собой полные квадраты и разделены знаком минус.

Особые случаи действительно облегчают факторинг, но не забывайте осознавать, что особый случай — это просто особенный случай. В этом случае оба члена должны быть полными квадратами, а знак должен быть отрицательным, отсюда «разница двух полных квадратов».

Вы также должны быть осторожны при распознавании идеальных квадратов.Помните, что точные квадратные числа — это числа, у которых квадратные корни являются целыми числами. Кроме того, показатели полного квадрата четны.

Другой частный случай факторизации — это трехчлен полного квадрата. Обратите внимание, что возведение бинома в квадрат приводит к этому случаю.

Мы признаем этот случай по его особенностям. Очевидны три вещи.

1. Первый член — это полный квадрат.
2. Третий член представляет собой полный квадрат.
3. Средний член — это дважды произведение квадратного корня из первого и третьего членов.

Решение

1. 25x ² — это полный квадратный корень с главным квадратным корнем = 5x.
2. 4 — это полный квадратный корень с главным квадратом = 2.
3. 20x — это дважды произведение квадратных корней 25x ² и
4. 20x = 2 (5x) (2).

Для разложения трехчлена полного квадрата на множители сформируйте бином с квадратным корнем из первого члена, квадратным корнем из последнего члена и знаком среднего члена и укажите квадрат этого бинома.

Таким образом, 25x ² + 20x + 4 = (5x + 2) ²

Не частный случай трехчлена полного квадрата.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ БЛОКИРОВКИ ДЛЯ ИСПЫТАНИЯ И ФАКТОРА ОШИБОК

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Найдите ключевое число трехчлена.
2. Используйте ключевое число для разложения трехчлена на множители.

В этом разделе мы хотим обсудить несколько сокращений для факторинга методом проб и ошибок. Это необязательно по двум причинам. Во-первых, некоторые могут предпочесть пропустить эти методы и просто использовать метод проб и ошибок; во-вторых, эти ярлыки не всегда практичны для большого количества людей.Однако они повысят скорость и точность для тех, кто их освоит.

Первый шаг в этих сочетаниях клавиш — поиск номера ключа . После того, как вы нашли ключевой номер, его можно использовать более чем одним способом.

В трехчлене, который нужно разложить на множители, ключевое число является произведением коэффициентов первого и третьего членов.

Первое использование ключевого числа показано в примере 3.

Решение
Шаг 1 Найдите ключевой номер. В этом примере (4) (- 10) = -40.
Шаг 2 Найдите множители ключевого числа (-40), которые складываются, чтобы получить коэффициент среднего члена (+ 3). В этом случае (+ 8) (-5) = -40 и (+ 8) + (-5) = +3.
Шаг 3 Коэффициенты (+ 8) и (- 5) будут перекрестными произведениями в шаблоне умножения.

Шаг 4 Используя только внешнее перекрестное произведение, найдите множители первого и третьего членов, которые будут умножаться для получения произведения. В этом примере мы должны найти множители 4×2 и -10, которые умножаются, чтобы дать 8x. Это 4x от 4×2 и (+ 2) от (-10).
Поместите эти факторы в первую и последнюю позиции в шаблоне

Шаг 5 Забудьте на этом этапе номер ключа и посмотрите на исходную проблему.Поскольку первая и последняя позиции заполнены правильно, теперь необходимо заполнить только две другие позиции.

Мы знаем, что произведение двух первых членов должно давать 4x ² и 4x уже на месте. Нет другого выбора, кроме x.

Мы знаем, что произведение двух вторых членов должно быть (-10), а (+ 2) уже на месте. У нас нет другого выбора, кроме (- 5).

Второе использование номера ключа в качестве ярлыка включает факторинг по группировке. Работает как в примере 5.

Решение
Шаг 1 Найдите номер ключа (4) (- 10) = -40.
Шаг 2 Найдите множители (- 40), которые складываются, чтобы получить коэффициент среднего члена (+3).

Шаг 3 Перепишите исходную задачу, разбив средний член на две части, найденные на шаге 2.8x — 5x = 3x, поэтому мы можем написать

Step 4 Разложите эту проблему на множители из шага 3 с помощью метода группировки, изученного в разделе 8-2

Следовательно,

ПОЛНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете разложить на множители трехчлен, выполнив следующие два шага:

1. Первый взгляд на общие факторы.
2. Разложите оставшийся трехчлен на множители, применяя методы этой главы.

Теперь мы изучили все обычные методы факторизации в элементарной алгебре. Однако вы должны знать, что для решения одной проблемы может потребоваться более одного из этих методов.Помните, что есть две проверки правильности факторинга.

1. Умножатся ли множители, чтобы получить исходную задачу?
2. Все ли факторы просты?

Хорошая процедура, которой следует следовать при факторинге, — всегда сначала удалять наибольший общий множитель, а затем, если возможно, разложить то, что осталось.

СВОДКА

Ключевые слова

• Выражение в факторизованной форме только в том случае, если все выражение является указанным продуктом.
• Факторинг — это процесс, который изменяет сумму или разность условий на произведение факторов.
• Простое выражение не может быть разложено на множители.
• Наибольший общий множитель — наибольший общий множитель для всех терминов.
• Выражение полностью разложено на множители , когда дальнейшее разложение на множители невозможно.
• Возможность разложения на множители путем группировки существует, когда выражение содержит четыре или более терминов.
• Метод FOIL можно использовать для умножения двух биномов.
• Особые случаи факторинга включают разность двух квадратов и трехчленов полного квадрата .
• Номер ключа является произведением коэффициентов первого и третьего членов трехчлена.

Процедуры

• Чтобы удалить общие множители, найдите наибольший общий делитель и разделите на него каждый член.
• Триномы можно разложить на множители методом проб и ошибок. При этом используется шаблон умножения, чтобы найти факторы, которые дадут исходный трехчлен.
• Чтобы разложить на множитель разность двух квадратов, используйте правило
• Чтобы разложить на множители полный квадрат трехчлена, сформировать двучлен с квадратным корнем из первого члена, квадратным корнем из последнего члена и знаком среднего члена и указать квадрат этого бинома.
• Используйте ключевое число как вспомогательное средство для определения факторов, сумма которых является коэффициентом среднего члена трехчлена.

Калькулятор факторинга с шагом

Этот калькулятор факторинга поможет вам проверить, все ли вы сделали правильно и ваш результат верен. Это также большая помощь для тех, кто не знает, как учитывать факторы или не нуждается в обновлении памяти. Нет ничего сложного в факторизации уравнения, если вы знаете алгоритм. Обязательно прочтите главу о формуле квадратов, чтобы быстрее справиться с этим заданием. В случае, если все, что вам нужно, чтобы получить быстрый ответ на свой вопрос, алгоритм прост.Вы вводите выражение, с которым вам нужна помощь, и нажимаете кнопку «Ввод» на калькуляторе. Это удобный и быстрый способ убедиться, что все результаты верны и получить хорошую оценку.

Вы можете подумать, что математику сложно учить, но на самом деле все математические задачи пытаются упростить, а не усложняют их. Когда вы получаете задание, цель состоит в том, чтобы сложные и запутанные вещи выглядели простыми и логичными. Те же цели преследует и процесс факторинга. Он используется для упрощения многих алгебраических выражений.Ваша цель — изменить выражение таким образом, чтобы больше не было добавляемых или вычитаемых терминов. Ваша цель — получить множители множителей. Это может показаться простым, но для успешного достижения целей вам необходимо знать несколько правил.

Вы должны узнать, что значит удалить общие множители, чтобы упростить выражение. Когда вы смотрите на условия своей математической задачи, вам нужно найти эти общие факторы. Например, 18x, 36x и 48x имеют общий множитель 6x.Поначалу их может быть сложно обнаружить, но чем больше математических задач вы решите, тем быстрее вы научитесь.

Важно подчеркнуть, что общий множитель может состоять из нескольких членов. Примеры: (x + 3), (a + b) и т. Д. Часто вам придется сгруппировать члены, чтобы упростить уравнение. Изучите методы факторизации трехчленов, чтобы решить проблему быстрее. Одни из наиболее важных формул, которые вам необходимо запомнить:

Используйте калькулятор факторинга

Если есть проблема, которую вы не знаете, как решить, наш калькулятор поможет вам.Есть много заданий, которые кажутся запутанными и странными. Ваш учитель мог упустить важную информацию, которая поможет вам решить эту проблему. Если да, то наш калькулятор — именно то, что вам нужно. Вы просто вводите задачу по срокам и получаете пошаговое решение. Логично, что получение мгновенного результата бесполезно, поскольку вы не знаете, какие шаги привели к такому решению. Этот калькулятор показывает вам, как было получено решение. Как только вы поймете алгоритм, вы сможете решать все аналогичные задания, которые у вас есть в домашней работе.А вот несколько примеров решения задач по факторингу:

Чтобы сделать домашнее задание быстрее, я использую этот калькулятор факторинга. Чтобы ввести выражение и получить мгновенный ответ, требуется несколько секунд

Факторинговый калькулятор отзывы покупателей

Ребят как этим калькулятором пользоваться? Кто-нибудь понимает?

Этот калькулятор меня спас в тесте 🙂

Хороший хороший калькулятор

Поскольку числитель и знаменатель обращаются в нуль при x = 1, то 1 является корнем обоих многочленов, что означает, что каждый из них разлагается на множители, один из которых будет (x-1).Найдите корни первого многочлена: x2 + 2x-3 = 0

Я ЛЮБЛЮ этот калькулятор !!!

Ahora multiplicaré al maestro por 0, quien preguntó estas ecuaciones de 3 niveles

Последнее обновление: среда, 31 марта 2021 г. — 20:26

Решите квадратное уравнение путем факторинга

Быстро! Мне нужна помощь с:
Выберите элемент справки по математике … Исчисление, Производные вычисления, Интеграционное вычисление, Частное правило, Монеты, Подсчет комбинаций, Поиск всех комплексных чисел, Сложение комплексных чисел, Вычисление с комплексными числами, Умножение комплексных чисел, Степени комплексных чисел, Преобразование вычитания, Преобразование площади, Преобразование скорости, Преобразование длины , VolumeData Analysis, Find the AverageData Analysis, Find the Standard DeviationData Analysis, HistogramsDecimals, Convert to a дробь, Электричество, Стоимость разложения, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DécimalFractions, Convert to a decimalFractions ВычитаниеФракции, Что это такое: Геометрия, Коробки, Геометрия, Круги, Геометрия, Цилиндры, Геометрия, Прямоугольники, Геометрия, Правые треугольники, Геометрия, Сферы, Геометрия, Квадраты, Графики, Линии, Графики, Любая функция, Графики, Круги hing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, Equation from point and slopeLines, The Equation from slopeLinesLines Theotation, The Equation from slopeLines Theotation и Y-intation , Поиск шансов, Математика, Практика многочленов, Математика, Практика основМетрическая система, Преобразование чисел, Сложение чисел, Вычисление с числами, Вычисление с переменными числами, Деление чисел, Умножение чисел, Сравнение числовых линий, Числовые строки, Разместите значения чисел, Произношение чисел, Округление чисел, Вычитание числа слагаемых, Вычитание чисел Квадратные многочлены, Деление многочленов, Факторизация разности квадратов многочленов, Факторизация триномов многочленов, Факторинг с GCF Полиномы, Умножение многочленов, Возведение в степеньПрактика, Математические задачиПропорции, Квадратные уравнения ormulaQuadratic Equations, Solve by FactoringRadicals, Other RootsRadicals, Square RootsRatios, Что они представляют собой Устранение, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, ДелениеНаучная нотация, УмножениеФормы, ПрямоугольникиУпрощение, Упрощение, Упрощение продуктов, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение продуктов , Правые треугольники, Ветер, Рисунок

Калькулятор коэффициента

| Лучший онлайн калькулятор факторинга

Что такое фактор?

Фактором может быть любое число, на которое делится целое число.Проще говоря, множитель — это цифра, которую можно равномерно разделить на любую другую цифру. Если вы хотите узнать, какой фактор является математическим, продолжайте читать.

Например, если нам нужно найти множитель 6, его множители будут 1, 2, 3 и 6. Это означает, что для получения «6» можно использовать 1, 2, 3 или 6. Факторинговые трехчлены можно использовать для равномерного деления 6. Например,

2 * 3 = 6

или

6/2 = 3

Вы не можете использовать 4 или любые другие целые числа, кроме 1, 2, 3 и 6, для равномерного деления 6.

Что такое факторинг?

Квадратичное разложение на множители можно назвать процессом определения множителей данного числового выражения. Принимая во внимание, что нахождение трехчленов на множители это означает поиск чисел, которые можно умножить, чтобы получить заданные входные данные.

Чтобы разложить выражение на множители, нам нужно найти наибольший общий делитель выражения. Это означает, что мы должны искать наивысший общий множитель, который можно использовать для равномерного деления всех чисел в выражениях.

Факторинговый калькулятор

разработан для факторинга. Если вы хотите узнать о факториале, воспользуйтесь нашим Факториальным калькулятором.

Как разложить уравнение на множители?

Факторингу можно научиться легко. Например, нам нужно разложить на множители следующее уравнение:

4x + 16лет + 20x

Сначала находим наибольший общий делитель этого выражения.

Наибольший общий делитель этого выражения равен 4.

Имея 4 как наибольший общий делитель этого выражения, мы можем разложить это выражение на множители как:

4 (х + 4у + 5х)

Рассмотрим еще один пример факторизации выражения.

Например, вам нужно разложить на множители 2×2−6x − 18x

Наибольший общий делитель этого выражения равен 2x.

Имея 2x как наибольший общий делитель, мы можем разложить это выражение на множители как:

2x (х-3-9)

Наш калькулятор разложения на простые множители также занимается квадратичным разложением на множители. Если вы хотите научиться вычислять квадратные уравнения, воспользуйтесь калькулятором квадратичных формул. Если вы хотите узнать о значениях наиболее общих факторов, воспользуйтесь нашим калькулятором GCF.

Как равномерно разделить число?

Равномерное деление можно назвать делением, в котором не обнаружено остатка. Это означает, что одна цифра может быть разделена на другую цифру без остатка цифры в качестве остатка. В таких делениях находится единственное частное. Например, если вы разделите 6/2, вы получите 3. 6/2 — это пример равномерного деления. Но если вы разделите 7/2, вы получите 3 как частное и 1 как остаток, и это противоречит разделению на поровну.

Список целочисленных множителей

Вы можете использовать этот список факторов, чтобы узнать о множителях с разными числами.

• 2 (1,2)
• 3 (1,3)
• 4 (1,2,4)
• 5 (1,5)
• 6 (1,2,3,6)
• 7 (1,7)
• 8 (1,2,4,8)
• 9 (1,9)
• 10 (1,2,5,10)
• 22 (1,2,11,22)
• 55 (1,5,11,55)
• 68 (1,2,4,17,34,68)
• 88 (1,2,4,8,11,22,44,88)
• 100 (1,2,4,5,10,20,25,50,100)

Факторы о факторах

• Не удается узнать множители десятичных чисел

• Большинство нечетных чисел имеют только 1 или их собственное значение в качестве множителей (множители 5 равны 1 и только 5)

Для глубокого изучения средних и средних значений, а также их вычислений, попробуйте «Калькулятор средних точек» и «Калькулятор средних значений».

Как разложить многочлены на множители?

сначала запишем все отрицательные множители 6.

Если бы мы могли умножить эти комбинации чисел, мы получили бы -6.

Теперь, если мы сложим каждую из этих пар, мы получим

Теперь посмотрим, есть ли у нас пара, которая складывается с центральным числом, равным «x».

• -1 6 = 5
• 1-6 = -5
• -2 3 = 1
• 2-3 = -1

В итоге получается (x — 2) (x + 3)

Как разложить на множители трехчлены?

Найти трехчлен легко.Допустим, у нас есть уравнение

х ² + 5х + 6

Обратите внимание, что ведущий коэффициент равен 1., а последнее число — 6. Мы найдем 2 числа, которые умножаются на 6, но прибавляются к среднему значению 5.

теперь вы можете проверить ответ, который будет

(х + 2) (х + 3)

Как пользоваться калькулятором коэффициентов?

Калькулятор множителей упрощает факторное группирование. Этот калькулятор факторинга был разработан, чтобы помочь вам разложить выражения на множители за секунду.(2) + 20x + 16)

ШАГ 2: Нажмите Рассчитать, чтобы узнать множители

Действительно, пользоваться этим калькулятором довольно просто. Так что не стесняйтесь воспользоваться этим умным инструментом, чтобы разложить такие сложные выражения на множители за секунду. Калькулятор коэффициентов позволяет решать квадратные уравнения путем факторизации.

Вы также можете попробовать наш калькулятор арифметической последовательности и калькулятор формул расстояния для изучения математических концепций и функций.

Надеемся, наш калькулятор помог вам в расчетах.Пожалуйста, оставьте свой ценный отзыв, чтобы мы могли постоянно улучшаться. Ваше здоровье!

Онлайн-калькулятор факторинга

Список справки по математике —

— Математическая справка Быстрый переход — Научный онлайн-калькулятор — Общая математика — Калькулятор фракцийКалькулятор процентовКалькулятор квадратного корняКалькулятор факторингаУпрощение выраженийКалькулятор делителейКалькулятор факторингаКалькулятор наибольшего общего множителя (GCF) Калькулятор последнего общего множителя (LCM) Калькулятор простых чисел и средство проверкиПроверка идеального числа-валидатор — Алгебра и комбинаторики -уравнения SolverQuadratic Уравнение SolverSystem уравнений SolverCombinatoricsPermutationsPolynomialsPolynomials — Сложение и SubtractionPolynomials — Умножение и DivisionPolynomials — Дифференциация и IntegrationPolynomials — Паритет калькулятор (нечетный, четный, нет) Полиномы — Корень FinderPolynomials — Сформировать из RootsMatricesMatrix Calculator- определителя, обратная матрица CalculatorMatrix — Сложение, вычитание, умножение, исчисление, интегральный калькулятор, калькулятор определенного интеграла, калькулятор производной, числовая производная КалькуляторКалькулятор пределов Отклонение CalculatorVariance CalculatorKurtosis CalculatorSkewness Calculator- Описательная статистика Калькуляторы -Матрица Центральный момент CalculatorCorrelation Матрица CalculatorCovariance Матрица CalculatorMatrix Среднее геометрическое CalculatorMatrix гармоническое среднее CalculatorMatrix межквартильный Диапазон CalculatorMatrix Эксцесс CalculatorMatrix нецентральные Момент CalculatorMatrix Среднее CalculatorMatrix Максимальная CalculatorMatrix Минимальная CalculatorMatrix Медиана CalculatorMatrix Среднее отклонение CalculatorMatrix Среднее отклонение CalculatorMatrix Quantile Калькулятор Калькулятор асимметрии квартиля матрицы Калькуляторы Калькуляторы распределения Вейбулла — Калькуляторы дискретных распределений — Калькуляторы биномиального распределения Калькуляторы геометрического распределения Калькуляторы распределения Пуассона Калькуляторы равномерного (дискретного) распределения

.