Разложите число на простые множители: Разложение числа на множители онлайн

Содержание

Разложение числа на множители онлайн

Онлайн калькулятор раскладывает число в произведение простых множителей.
Для вычислений используется длинная арифметика, поэтому можно легко
разложить на множители даже большие числа.

Что такое разложение числа на множители?

Любое натуральное число можно представить в виде
произведения простых чисел. Это представление называется разложением
числа на простые множители
.

Натуральное число называется делителем целого числа если для подходящего целого числа верно
равенство . В этом случае говорят, что делится на или что число кратно
числу
.

Простым числом называют натуральное число , делящееся только на себя и на единицу. Составным
числом
называют число, имеющее больше двух различных делителей (любое натуральное число не равное
имеет как минимум два делителя: и ). Например, числа – простые, а числа – составные.

Основная теорема арифметики. Любое натуральное число большее единицы, можно
разложить в произведение простых чисел, причём это разложение единственно с точностью до порядка следования
сомножителей.

Как разложить число на множители?

В школе на уроках математики разложение числа на множители обычно записывают столбиком в две колонки. Делается это
так: в левую колонку выписываем исходное число, затем

  • Берём самое маленькое простое число — 2 и по признакам
    делимости или обычным делением проверяем, делится ли исходное число на 2.
  • Если делится, то в правую колонку выписываем 2. Далее делим исходное число на 2 и записываем результат в левую
    колонку под исходным числом.
  • Если не делится, то берём следующее простое число — 3.

Повторяем эти шаги, при этом работаем уже с последним числом в левой колонке и с текущим простым числом. Разложение
заканчивается, когда в левой колонке будет записано число 1.

Чтобы лучше понять алгоритм, разберём несколько примеров.

Пример. Разложить на множители число 84.

Решение. Записываем число 84 в левую колонку:

Берём первое простое число — два и проверяем, делится ли 84 на 2. Так как 84 оканчивается на 4, а 4 делится на 2,
то и 84 делится на 2 по признаку делимости. Записываем 2 в
правую колонку. 84:2 = 42, число 42 записываем в левую колонку. Получили вот что:

Теперь работаем уже с числом 42. Число 42 делится на 2, поэтому записываем 2 в правую колонку, 42:2 = 21, число
21 записываем в левую колонку.

Число 21 на 2 не делится, поэтому проверяем его делимость на следующее простое число — 3. Число 21 делится на 3,
21:3 = 7. Записали 3 в правую колонку, 7 — в левую. Получили

Число 7 — простое число, поэтому в правой колонке записываем 7, в левую пишем 1. В итоге получили:

Всё, число разложено!

В результате в правой колонке оказались записаны все простые множители числа 84. То есть 84=2∙2∙3∙7.

О калькуляторе

Программа раскладывает числа на множители методом
перебора делителей. Для вычислений используется длинная арифметика, поэтому раскладывать можно даже большие
числа. Однако если число простое или имеет большие простые делители, разложение его на множители занимает
продолжительное время.

Разложение на простые множители. Онлайн калькулятор

Простой множитель — это множитель, который представляет собой простое число.

Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел.

Пример. Представим в виде произведения простых множителей числа  4,  6  и  8:

4 = 2 · 2,

6 = 2 · 3,

8 = 2 · 2 · 2.

Правые части полученных равенств называются разложением на простые множители.

Разложение на простые множители — это представление составного числа в виде произведения простых множителей.

Разложить составное число на простые множители — значит представить это число в виде произведения простых множителей.

Простые множители в разложении числа могут повторяться. Повторяющиеся простые множители можно записывать более компактно — в виде степени.

Пример.

24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3.

Примечание. Простые множители обычно записывают в порядке их возрастания.

Как разложить число на простые множители

Последовательность действий при разложении числа на простые множители:

  1. Проверяем по таблице простых чисел, не является ли данное число простым.
  2. Если нет, то последовательно подбираем самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое данное число делится без остатка, и выполняем деление.
  3. Проверяем по таблице простых чисел, не является ли полученное частное простым числом.
  4. Если нет, то последовательно подбираем самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое полученное частное делится нацело, и выполняем деление.
  5. Повторяем пункты 3 и 4 до тех пор, пока в частном не получится единица.

Пример. Разложите число  102  на простые множители.

Решение:

Начинаем поиск наименьшего простого делителя числа  102.  Для этого последовательно подбираем самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое  102  разделится без остатка. Берём число  2  и пробуем разделить на него  102,  получаем:

102 : 2 = 51.

Число  102  разделилось на  2  без остатка, поэтому  2  — первый найденный простой множитель. Так как делимое равно делителю, умноженному на частное, то можно написать:

102 = 2 · 51.

Переходим к следующему шагу. Проверяем по таблице простых чисел, не является ли полученное частное простым числом. Число  51  составное. Начиная с числа  2,  подбираем из таблицы простых чисел наименьший простой делитель числа  51.  Число  51  не делится нацело на  2.  Переходим к следующему числу из таблицы простых чисел (к числу  3)  и пробуем разделить на него  51,  получаем:

51 : 3 = 17.

Число  51  разделилось на  3,  поэтому  3  — второй найденный простой множитель. Теперь мы можем и число  51  представить в виде произведения. Этот процесс можно записать так:

102 = 2 · 51 = 2 · 3 · 17.

Проверяем по таблице простых чисел, не является ли полученное частное простым числом. Число  17  простое. Значит наименьшим простым числом, на которое делится  17,  будет само это число:

17 : 17 = 1.

Так как в частном у нас получилась единица, то разложение закончено. Таким образом, разложение числа  102  на простые множители имеет вид:

102 = 2 · 3 · 17.

Ответ:  102 = 2 · 3 · 17.

В арифметике имеется ещё другая форма записи, облегчающая процесс разложения составных чисел. Она состоит в том, что весь процесс разложения записывают столбиком (в две колонки, разделённые вертикальной чертой). Слева от вертикальной черты, сверху вниз, записывают последовательно: данное составное число, затем получающиеся частные, а справа от черты — соответствующие наименьшие простые делители.

Пример. Разложить на простые множители число  120.

Решение:

Пишем число  120  и справа от него проводим вертикальную черту:

Справа от черты записываем самый маленький простой делитель числа  120:

Выполняем деление и получившееся частное  (60)  записываем под данным числом:

Подбираем наименьший простой делитель для  60,  записываем его справа от вертикальной черты под предыдущим делителем и выполняем деление. Продолжаем процесс до тех пор, пока в частном не получится единица:

В частном у нас получилась единица, значит разложение закончено. После разложения в столбик множители следует выписать в строчку:

120 = 23 · 3 · 5.

Ответ:  120 = 23 · 3 · 5.

Составное число разлагается на простые множители единственным образом.

Это значит, что если, например, число  20  разложилось на две двойки и одну пятёрку, то оно и всегда будет так разлагаться независимо от того, начнём ли мы разложение с малых множителей или с больших. Принято начинать разложение с малых множителей, т. е. с двоек, троек и т. д.

Калькулятор разложения на множители

Данный калькулятор поможет вам выполнить разложение числа на простые множители. Просто введите число и нажмите кнопку Разложить.

Разложение чисел на простые множители: способы и примеры разложения

Данная статья дает ответы на вопрос о разложении числа на простыне множители. Рассмотрим общее представление о разложении с примерами. Разберем каноническую форму разложения и его алгоритм. Будут рассмотрены все альтернативные способы при помощи использования признаков делимости и таблицы умножения.

Что значит разложить число на простые множители?

Разберем понятие простые множители. Известно, что каждый простой множитель – это простое число. В произведении вида 2·7·7·23 имеем, что у нас 4 простых множителя в виде 2,7,7,23.

Разложение на множители предполагает его представление в виде произведений простых. Если нужно произвести разложение числа 30, тогда получим 2,3,5. Запись примет вид 30=2·3·5. Не исключено, что множители могут повторяться. Такое число как 144 имеет 144=2·2·2·2·3·3.

Не все числа предрасположены к разложению. Числа, которые больше 1 и являются целыми можно разложить на множители. Простые числа при разложении делятся только на 1 и на самого себя, поэтому невозможно представить эти числа в виде произведения.

При z, относящемуся к целым числам, представляется  в виде произведения а и b, где z делится на а и на b. Составные числа раскладывают на простые множители при помощи основной теоремы арифметики. Если число больше 1, то его разложение на множители p1, p2, …, pnпринимает вид a=p1, p2, …, pn. Разложение предполагается в единственном варианте.

Каноническое разложение числа на простые множители

При разложении множители могут повторяться. Их запись выполняется компактно при помощи степени. Если при разложении числа а имеем множитель p1, который встречается s1 раз и так далее pn – sn раз. Таким образом разложение примет вид a=p1s1·a=p1s1·p2s2·…·pnsn. Эта запись имеет название канонического разложения числа на простые множители.

При разложении числа 609840 получим, что 609 840=2·2·2·2·3·3·5·7·11·11,его канонический вид будет 609 840=24·32·5·7·112. При помощи канонического разложения можно найти все делители числа и их количество.

Алгоритм разложения числа на простые множители

Чтобы правильно разложить на множители необходимо иметь представление о простых и составных числах. Смысл заключается в том, чтобы получить последовательное количество делителей вида p1, p2, …,pnчисел a, a1, a2, …, an-1, это дает возможность получить a=p1·a1, где a1=a:p1, a=p1·a1=p1·p2·a2, где a2=a1:p2, …, a=p1·p2·…·pn·an, где an=an-1:pn. При получении an=1, то равенство a=p1·p2·…·pn  получим искомое разложение числа а на простые множители. Заметим, что p1≤p2≤p3≤…≤pn.

Для нахождения наименьших общих делителей необходимо использовать таблицу простых чисел. Это выполняется на примере нахождения наименьшего простого делителя числа z. При взятии простых чисел 2,3,5,11 и так далее, причем на них делим число z. Так как z не является простым числом, следует учитывать, что наименьшим простым делителем не будет больше z.  Видно, что не существуют делителей z, тогда понятно, что z является простым числом.

Пример 1

Рассмотрим на примере числа 87.  При его делении на 2 имеем, что 87:2=43  с остатком равным 1. Отсюда следует, что 2 делителем не может являться, деление должно производиться нацело. При делении на 3 получим, что 87:3=29. Отсюда вывод – 3 является наименьшим простым делителем числа 87.

При разложении на простые множители необходимо пользоваться таблицей простых чисел, где a.  При разложении 95 следует использовать около 10 простых чисел, а при 846653 около 1000.

Рассмотрим алгоритм разложения на простые множители:

  • нахождение наименьшего множителя при делителе p1 числа a по формуле a1=a:p1, когда a1=1, тогда а является простым числом и включено в разложение на множители, когда не равняется 1, тогда a=p1·a1и следуем к пункту, находящемуся ниже;
  • нахождение простого делителя p2 числа a1при помощи последовательного перебора простых чисел, используя a2=a1:p2, когда a2=1, тогда разложение примет вид a=p1·p2, когда a2=1, тогда a=p1·p2·a2, причем производим переход к следующему шагу;
  • перебор простых чисел и нахождение простого делителя p3 числа a2по формуле a3=a2:p3, когда a3=1, тогда получим, что a=p1·p2·p3, когда не равняется 1, тогда a=p1·p2·p3·a3и производим переход к следующему шагу;
  • производится нахождение простого делителя pn числа an-1при помощи перебора простых чисел с pn-1, а также an=an-1:pn, где an=1, шаг является завершающим, в итоге получаем, что a=p1·p2·…·pn.

Результат алгоритма записывается в виде таблицы с разложенными множителями с вертикальной чертой последовательно в столбик. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Полученный алгоритм можно применять при помощи разложения чисел на простые множители.

Примеры разложения на простые множители

Во время разложения на простые множители следует придерживаться основного алгоритма.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 2

Произвести разложение числа 78 на простые множители.

Решение

Для того, чтобы найти наименьший простой делитель, необходимо перебрать все простые числа, имеющиеся в 78. То есть 78:2=39. Деление без остатка, значит это первый простой делитель, который обозначим как p1. Получаем, что a1=a:p1=78:2=39. Пришли к равенству вида a=p1·a1, где 78=2·39. Тогда a1=39, то есть следует перейти к следующему шагу.

Остановимся на нахождении простого делителя p2 числа a1=39. Следует перебрать простые числа, то есть 39:2=19 (ост. 1). Так как деление с остатком, что 2 не является делителем. При выборе числа 3 получаем, что 39:3=13. Значит, что p2=3 является наименьшим простым делителем 39 по a2=a1:p2=39:3=13. Получим равенство вида a=p1·p2·a2 в виде 78=2·3·13. Имеем, что a2=13 не равно 1, тогда следует переходит дальше.

Наименьший простой делитель числа a2=13 ищется при помощи перебора чисел, начиная с 3. Получим, что 13:3=4 (ост. 1). Отсюда видно, что 13 не делится на 5,7,11, потому как 13:5=2 (ост. 3), 13:7=1 (ост. 6) и 13:11=1 (ост. 2). Видно, что 13 является простым числом. По формуле выглядит так: a3=a2:p3=13:13=1. Получили, что a3=1, что означает завершение алгоритма. Теперь множители записываются в виде 78=2·3·13(a=p1·p2·p3).

Ответ: 78=2·3·13.

Пример 3

Разложить число 83 006 на простые множители.

Решение

Первый шаг предусматривает разложение на простые множители p1=2 и a1=a:p1=83 006:2=41 503, где 83 006=2·41 503.

Второй шаг предполагает, что 2, 3 и 5 не простые делители для числа a1=41 503, а 7 простой делитель, потому как 41 503:7=5 929. Получаем, что p2=7, a2=a1:p2=41 503:7=5 929. Очевидно, что 83 006=2·7·5 929.

Нахождение наименьшего простого делителя p4 к числу a3=847 равняется 7. Видно, что a4=a3:p4=847:7=121, поэтому 83 006=2·7·7·7·121.

Для нахождения простого делителя числа a4=121 используем число 11, то есть p5=11. Тогда получим выражение вида a5=a4:p5=121:11=11, и 83 006=2·7·7·7·11·11.

Для числа a5=11 число p6=11является наименьшим простым делителем. Отсюда a6=a5:p6=11:11=1. Тогда a6=1. Это указывает на завершение алгоритма. Множители запишутся в виде 83 006=2·7·7·7·11·11.

Каноническая запись ответа примет вид 83 006=2·73·112.

Ответ: 83 006=2·7·7·7·11·11=2·73·112.

Пример 4

Произвести разложение числа 897 924 289 на множители.

Решение

Для нахождения первого простого множителя произвести перебор простых чисел, начиная с 2. Конец перебора приходится на число 937. Тогда p1=937, a1=a:p1=897 924 289:937=958 297 и 897 924 289=937·958 297.

Второй шаг алгоритма заключается в переборе  меньших простых чисел. То есть начинаем с числа 937.  Число 967 можно считать простым, потому как оно является простым делителем числа a1=958 297. Отсюда получаем, что p2=967, то a2=a1:p1=958 297:967=991 и 897 924 289=937·967·991.

Третий шаг говорит о том, что 991 является простым числом, так как не имеет ни одного простого делителя, который не превосходит 991. Примерное значение подкоренного выражения имеет вид 991<402. Иначе запишем как 991<402. Отсюда видно, что p3=991 и a3=a2:p3=991:991=1. Получим, что разложение числа 897 924 289 на простые множители получается как  897 924 289=937·967·991.

Ответ: 897 924 289=937·967·991.

Использование признаков делимости для разложения на простые множители

Чтобы разложить число на простые множители, нужно придерживаться алгоритма. Когда имеются небольшие числа, то допускается использование таблицы умножения и признаков делимости. Это рассмотрим на примерах.

Пример 5

Если необходимо произвести разложение на множители 10, то по таблице видно: 2·5=10. Получившиеся числа 2 и 5 являются простыми, поэтому они являются простыми множителями для числа 10.

Пример 6

Если необходимо произвести разложение числа 48, то  по таблице видно: 48=6·8. Но 6 и 8 – это не простые множители, так как их можно еще разложить как 6=2·3 и 8=2·4. Тогда полное разложение отсюда получается как 48=6·8=2·3·2·4. Каноническая запись примет вид 48=24·3.

Пример 7

При разложении числа 3400 можно пользоваться признаками делимости. В данном случае актуальны признаки делимости на 10 и на 100. Отсюда получаем, что 3 400=34·100, где 100 можно разделить на 10, то есть записать в виде 100=10·10, а значит, что 3 400=34·10·10. Основываясь на признаке делимости получаем, что 3 400=34·10·10=2·17·2·5·2·5. Все множители простые. Каноническое разложение принимает вид 3 400=23·52·17.

Когда мы находим простые множители, необходимо использовать признаки делимости и таблицу умножения. Если представить число 75 в виде произведения множителей, то необходимо учитывать правило делимости на 5. Получим, что 75=5·15, причем 15=3·5. То есть искомое разложение пример вид произведения 75=5·3·5.

Разложение чисел на простые множители – калькулятор

Разложение числа на простые множители

Калькулятор выполняет разложение натуральных чисел на простые множители.

Калькулятор позволяет разложить одно, два, три или четыре числа на простые множители, а также найти их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.

Разложение (факторизация) натуральных чисел на простые множители

Разложение на множители числа 100:
100 = 2 * 2 * 5 * 5 = 22 * 52.

Разложение на множители числа 76:
76 = 2 * 2 * 19 = 22 * 19.

Разложение на множители числа 48:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 = 24 * 3.

Разложение на множители числа 36:
36 = 2 * 2 * 3 * 3 = 22 * 32.

Разложение на множители числа 18:
18 = 2 * 3 * 3 = 2 * 32.

Разложение на множители числа 20:
20 = 2 * 2 * 5 = 22 * 5.

Разложение на простые множители числа 24:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 = 23 * 3.

Разложение на простые множители числа 28:
28 = 2 * 2 * 7 = 22 * 7.

Разложение на простые множители числа 30:
30 = 2 * 3 * 5

Разложение на простые множители числа 32:
32 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 25.

Разложение на простые множители числа 36:
36 = 2 * 2 * 3 * 3 = 22 * 32.

Разложение на простые множители числа 40:
40 = 2 * 2 * 2 * 5 = 23 * 5.

Разложение на простые множители числа 42:
42 = 2 * 3 * 7

Разложение на простые множители числа 45:
45 = 3 * 3 * 5 = 32 * 5.

Разложение на простые множители числа 48:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 = 24 * 3.

Разложение на простые множители числа 50:
50 = 2 * 5 * 5 = 2 * 52.

Разложение на простые множители числа 52:
52 = 2 * 2 * 13 = 22 * 13.

Разложение на простые множители числа 54:
54 = 2 * 3 * 3 * 3 = 2 * 33.

Разложение на простые множители числа 56:
56 = 2 * 2 * 2 * 7 = 23 * 7.

Разложение на простые множители числа 60:
60 = 2 * 2 * 3 * 5 = 22 * 3 * 5.

Как разложить на простые множители число 63:
63 = 3 * 3 * 7 = 32 * 7.

Как разложить на простые множители число 64:
64 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 26.

Как разложить на простые множители число 68:
68 = 2 * 2 * 17 = 22 * 17.

Как разложить на простые множители число 70:
70 = 2 * 5 * 7

Разложить на простые множители число 75:
75 = 3 * 5 * 5 75 = 3 * 52.

Разложить на простые множители число 78:
78 = 2 * 3 * 13

Разложить на простые множители число 80:
80 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5 = 24 * 5.

Разложить на простые множители число 81:
81 = 3 * 3 * 3 * 3 81 = 34.

Разложить на простые множители число 84:
84 = 2 * 2 * 3 * 7 = 22 * 3 * 7.

Разложить на простые множители число 85:
85 = 5 * 17

Разложить на простые множители число 90:
90 = 2 * 3 * 3 * 5 = 2 * 32 * 5.

Разложить на простые множители число 96:
96 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 = 25 * 3.

Разложить на простые множители число 98:
98 = 2 * 7 * 7 = 2 * 72.

Разложить на простые множители число 99:
99 = 3 * 3 * 11 = 32 * 11.

Разложение составных чисел на простые множители

Составное число всегда можно единственным способом представить как произведение нескольких простых чисел. При арифметических действиях с обыкновенными дробями, если у них разные знаменатели в одном числовом выражении, необходимо привести дроби к сопоставимому виду.

Чтобы произвести такие действия (преобразовать дроби в равновеликие с одинаковыми знаменателями), нужно иметь систему (правило и форму записи) разложения составных чисел на простые множители.

Определение. Разложить число на простые множители — значит записать число в виде произведения простых чисел.

  • Правило. Чтобы разложить число на простые множители, надо:
  • — записать его слева от вертикальной черты;
  • — справа от черты записать первый делитель числа — самое маленькое число из таблицы простых чисел, на которое данное число делится без остатка;
  • — в следующей строке слева под числом записать делимое первого этапа, которое является частным от деления данного числа на записанный справа на одной строке с ним делитель;
  • — справа найти (как и первый делитель) наименьшее простое число, на которое делимое первого этапа делится без остатка, это число будет вторым делителем числа;
  • — слева записать делимое второго этапа, которое есть частное от деления предыдущей строки делимого на ее же делитель;
  • — для делимого второго этапа также найти делитель из наименьшего числа простых чисел, записать его на той же строке справа н т. д., пока в делимом последнего этапа не будет стоять 1;
  • — делители, стоящие справа от черты, записать множителями данного числа.

Перемножив между собой множители, стоящие справа от черты, мы получаем исходное число.

12 376 = 2 * 2 * 2 * 7 * 13 * 17;
1 421 = 7 * 7 * 29;
8 = 2 * 2 * 2.

Внимание! Делители справа у составных чисел увеличиваются слева направо. При разложении на множители простых чисел справа от черты стоит одно число (один делитель) — заданное число, а слева от черты стоят заданное число и число 1.

Запись опубликована в рубрике Математика с метками множитель, разложение, числа. Добавьте в закладки постоянную ссылку.

Разложение числа на простые множители онлайн

Данный онлайн калькулятор производит разложение чисел на простые множители методом перебора простых делителей. Если число большое, то для удобства представления пользуйтесь разделителем разрядов.

 Результат уже получен!

Разложение числа на простые множители − теория, алгоритм, примеры и решения

Один из простейших способов разложить число на простые множители − это проверить, делится ли данное число на 2, 3, 5 ,. .. и т.д., т.е. проверить, делится ли число на ряд простых чисел. Если число n не делится ни на какое простое число до , то даннаое число является простым, т.к. если число составное, то имеет по крайней мере два множителя и оба они не могут быть больше .

Представим алгоритм разложения числа n на простые множители. Подготовим заранее таблицу простых чисел до s=. Обозначим ряд простых чисел через p1, p2, p3, …

Алгоритм разложения числа на простые делители:

  1. Исходный данные n, i=0, s=.
  2. Увеличить i: i=i+1.
  3. Если pi>s, то сохранить значение n и перейти к шагу 8.
  4. n делить на pi.
  5. Если n делится на pi, то сохранить значение pi. Вычислить k=n/pi. Брать в качестве n число k: n=k.
  6. Если n не делится на pi, то перейти к шагу 2.
  7. Если n≠1, перейти к шагу 4.
  8. Остановить процедуру.

Пример 1. Разложить число 153 на простые множители.

Решение. Нам достаточно иметь таблицу простых чисел до , т.е. 2, 3, 5, 7, 11.

Делим 153 на 2. 153 не делится на 2 без остатка. Далее делим 153 на следующий элемент таблицы простых чисел, т.е. на 3. 153:3=51. Заполняем таблицу:

Теперь проверяем, делится ли число 51 на 3. 51:3=17. Заполняем таблицу:

Далее проверяем, делится ли число 17 на 3. Число 17 не делится на 3. Оно не делится и на числа 5, 7, 11. Следующий делитель больше . Следовательно 17 простое число, которое делится только на себя: 17:17=1. Процедура остановлена. заполняем таблицу:

Выбираем те делители, на которых числа 153, 51, 17 делились без остатка, т.е. все числа с правой стороны таблицы. Это делители 3, 3, 17. Теперь число 153 можно представить в виде произведения простых чисел: 153=3·3·17.

Пример 2. Разложить число 137 на простые множители.

Решение. Вычисляем . Значит нам нужно проверить делимость числа 137 на простые числа до 11: 2,3,5,7,11. Поочередно делив число 137 на эти числа выясняем, что число 137 не делится ни на одно из чисел 2,3,5,7,11. Следовательно 137 простое число.

Разложение чисел на простые множители


Онлайн-калькулятор «Разложение числа на простые множители» позволит вам разложить любое составное число на простые множители. Для этого вам нужно ввести число в поле и нажать кнопку «Вычислить». Особенностью данного калькулятора является то, что он не просто выдаст ответ, но и представит подробное решение. С помощью нашего калькулятора Вы сможете быстро получить результат, а подробное решение поможет вам разобраться, как был произведен расчет.





Введите число:


Вычислить




Все натуральные числа можно разделить на две группы чисел: простые и составные.



Простое число – это число, которые имеют только два делителя (единица и само это число), т.е. делится без остатка только на единицу и на само себя. Принято считать, что единица (1) не является простым числом. Пример простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 и т.д. Простых чисел бесконечное множество, ниже в таблице представлены простые числа до 1000.



Составное число – это число, которые имеют более двух делителей. Любое составное число может быть представлено в виде произведенения простых чисел, например: 84 = 2 · 2 ·3 ·7.



Таблица простых чисел до 1000

2 3 5 7 11 13
17 19 23 29 31 37
41 43 47 53 59 61
67 71 73 79 83 89
97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151
157 163 167 173 179 181
191 193 197 199 211 223
227 229 233 239 241 251
257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317
331 337 347 349 353 359
367 373 379 383 389 397
401 409 419 421 431 433
439 443 449 457 461 463
467 479 487 491 499 503
509 521 523 541 547 557
563 569 571 577 587 593
599 601 607 613 617 619
631 641 643 647 653 659
661 673 677 683 691 701
709 719 727 733 739 743
751 757 761 769 773 787
797 809 811 821 823 827
829 839 853 857 859 863
877 881 883 887 907 911
919 929 937 941 947 953
967 971 977 983 991 997

Основная факторизация

Простые числа

Простое число:

целое число больше 1, которое может быть получено путем умножения других целых чисел , а не

Первые несколько простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23,
и у нас есть таблица простых чисел, если вам нужно больше.

Если может получиться путем умножения других целых чисел, это будет составное число .

Как это:

2 — простое число, 3 — простое, 4 — составное (= 2 × 2), 5 — простое и т. Д…

Факторы

«Факторы» — это числа, которые вы умножаете, чтобы получить
другой номер:

Основная факторизация

«Простая факторизация» — это нахождение , из которого простые числа умножаются вместе, чтобы получить исходное число.

Вот несколько примеров:

Пример 1. Каковы основные делители 12?

Лучше всего начинать работу с наименьшего простого числа, которое
равно 2, поэтому давайте проверим:

12 ÷ 2 = 6

Да, делится ровно на 2.Мы сделали первый шаг!

Но 6 — не простое число, поэтому нам нужно пойти дальше. Попробуем еще раз 2:

6 ÷ 2 = 3

Да, это тоже сработало. 3 — это простое число , поэтому у нас есть ответ:

.

12 = 2 × 2 × 3

Как видите, , каждый множитель является простым числом , поэтому ответ должен быть правильным.

Примечание: 12 = 2 × 2 × 3 также может быть записано с использованием экспонент как 12 = 2 2 × 3

Пример 2: Что такое разложение на простые множители 147?

Можно ли 147 разделить точно на 2?

147 ÷ 2 = 73½

Нет, не может.Ответ должен быть целым числом, а 73½ — нет.

Давайте попробуем следующее простое число
номер, 3:

147 ÷ 3 = 49

Это сработало, теперь попробуем факторинг 49.

Следующее простое число 5 не работает. Но 7 делает, поэтому получаем:

49 ÷ 7 = 7

И это все, что нам нужно, потому что все факторы
простые числа.

147 = 3 × 7 × 7

(или 147 =
3 × 7 2
в экспонентах)

Пример 3: Что такое факторизация 17 на простые множители?

Подожди… 17 — простое число .

Так что это все, что мы можем.

17 =
17

Другой метод

Мы показали вам, как выполнить факторизацию, начиная с наименьшего простого числа и двигаясь вверх.

Но иногда проще разбить число на с любыми множителями , которые вы можете … затем преобразовать эти множители в простые числа.

Пример: Каковы основные делители числа 90?

Разбить 90 на 9 × 10

  • Простые множители 9 равны 3 и 3
  • Простые множители 10 равны 2 и 5

Таким образом, простые множители 90 равны 3, 3, 2 и 5

Дерево факторов

И «дерево множителей» может помочь: найдите любых множителей числа, затем множители этих чисел и т. Д., Пока мы больше не сможем множить множители.

Пример: 48

48 = 8 × 6 , поэтому мы запишем «8» и «6» под 48

Теперь продолжим и разложим 8 на 4 × 2

Затем 4 в 2 × 2

И, наконец, 6 в 3 × 2

Мы больше не можем множить на множители, поэтому мы нашли простые множители.

Что показывает, что 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3

(или 48 =
2 4 × 3
с использованием экспонент)

Зачем нужны основные факторы?

Простое число можно разделить только на 1 или само на себя, поэтому оно не может
учитываться дальше!

Любое другое целое число можно разбить на множители простых чисел.

Это похоже на то, что простые числа — это основных строительных блоков всех чисел.

Эта идея может быть очень полезна при работе с большими числами, например, в криптографии.

Криптография

Криптография — это изучение секретных кодов. Прайм-факторизация очень важна для людей, которые пытаются
создавать (или взламывать) секретные коды на основе чисел.

Это потому, что разложение очень больших чисел на множители очень сложно, и на это у компьютеров может уйти много времени.

Если хотите
подробнее, предмет — «шифрование» или «криптография».

Уникальный

А вот еще:

Для любого числа существует только один (уникальный!) Набор простых множителей.

Пример. Простыми множителями 330 являются 2, 3, 5 и 11:

.

330 = 2 × 3 × 5 × 11

Нет другого возможного набора простых чисел, который можно было бы умножить до 330.

На самом деле эта идея настолько важна, что называется Фундаментальная арифметическая теорема .

Инструмент первичной факторизации

Хорошо, у нас есть еще один метод … используйте наш инструмент первичной факторизации, который может вычислить простые множители для чисел до
4,294,967,296.

номеров факторинга | Purplemath

Purplemath

«Факторы» — это числа, которые вы умножаете, чтобы получить другое число.Например, множители 15 равны 3 и 5, потому что 3 × 5 = 15. Некоторые числа имеют более одной факторизации (более одного способа факторизации). Например, 12 можно разложить на множители как 1 × 12, 2 × 6 или 3 × 4. Число, которое может быть разложено на множители только 1, называется «простым». Первые несколько простых чисел — это 2, 3, 5, 7, 11 и 13. Число 1 не считается простым и обычно не включается в факторизации, потому что 1 входит во все. (Число 1 в этом контексте немного скучно, поэтому его игнорируют.)

MathHelp.com

Чаще всего требуется найти «разложение на простые числа» числа: список всех множителей данного числа на простые числа.Факторизация на простые множители не включает 1, но включает каждую копию каждого простого множителя. Например, разложение 8 на простые множители равно 2 × 2 × 2, а не просто «2». Да, 2 — единственный множитель, но вам нужны три его копии, чтобы умножить его обратно на 8, поэтому разложение на простые множители включает все три копии.

С другой стороны, факторизация на простые множители включает ТОЛЬКО простые множители, а не любые произведения этих множителей. Например, даже несмотря на то, что 2 × 2 = 4, и хотя 4 является делителем 8, 4 НЕ входит в факторизацию PRIME 8.Это потому, что 8 НЕ равно 2 × 2 × 2 × 4! Это случайное избыточное дублирование факторов — еще одна причина, почему факторизация на простые множители часто бывает лучшей: она позволяет избежать слишком большого подсчета любого фактора. Предположим, вам нужно найти разложение на простые множители 24. Иногда ученик просто перечисляет все делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24. Затем ученик делает что-то вроде составления произведение всех этих делителей: 1 × 2 × 3 × 4 × 6 × 8 × 12 × 24. Но это равно 331776, а не 24. Так что лучше придерживаться факторизации на простые множители, даже если проблема не требует этого, чтобы избежать либо пропуска фактора, либо его избыточного дублирования.

В случае 24 вы можете найти разложение на простые множители, взяв 24 и разделив его на наименьшее простое число, которое получается на 24: 24 ÷ 2 = 12. (На самом деле, «наименьшая» часть не так важна, как « «простая» часть; «самая маленькая» часть в основном предназначена для облегчения вашей работы, потому что деление на меньшие числа проще.) Теперь разделите наименьшее число, которое попадает в 12: 12 ÷ 2 = 6. Теперь разделите наименьшее число, которое переходит в 6: 6 ÷ 2 = 3.Поскольку 3 — простое число, факторизация завершена, и факторизация на простые множители составляет 2 × 2 × 2 × 3.

Самый простой способ отследить факторизацию — выполнить деление в обратном порядке. Выглядит это так:

(Приведенный выше рисунок анимирован на «живой» странице.)

В этом перевернутом делении хорошо то, что, когда вы закончите, факторизация на простые множители будет произведением всех чисел вокруг внешней стороны.Факторы обведены красным выше. Между прочим, это перевернутое разделение — то, что, вероятно, следует делать на бумаге для заметок, а не сдавать как часть вашего домашнего задания.

  • Найдите разложение на простые множители 1050.

Сделаю перевернутое деление:

(Приведенный выше рисунок анимирован на «живой» странице.)

Тогда мой ответ: 1050 = 2 × 3 × 5 × 5 × 7

Некоторые тексты предпочитают, чтобы ответы, подобные этому, были записаны с использованием экспоненциальной записи, и в этом случае окончательный ответ будет записан как 2 × 3 × 5 2 × 7.

Вы также можете выполнить повторное деление «правой стороной вверх», если хотите. Процесс работает так же, но ориентация деления обратная. Вышеупомянутая проблема будет решена следующим образом:

  • Найдите разложение на простые множители 1092.

Сделаю повторное деление:

1092 = 2 × 2 × 3 × 7 × 13

Этот ответ можно также записать как 2 2 × 3 × 7 × 13.


Кстати, есть несколько правил делимости, которые помогут вам найти числа, на которые нужно делить. Есть много правил делимости, но самые простые в использовании следующие:

Если число четное, то оно делится на 2.

Если сумма цифр числа равна числу, которое делится на 3, то само число делится на 3.

Если число заканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5.

Конечно, если число делится дважды на 2, то оно делится на 4; если он делится на 2 и на 3, то делится на 6; и если он делится дважды на 3 (или если сумма цифр делится на 9), то делится на 9.Но поскольку вы находите факторизацию на простые множители, вам наплевать на эти правила непростой делимости. Существует правило делимости на 7, но оно достаточно сложное, поэтому, вероятно, проще просто сделать деление на вашем калькуляторе и посмотреть, получится ли оно четным.

Если у вас заканчиваются маленькие простые числа и вы не закончили разложение на множители, продолжайте пробовать все большие и большие простые числа (11, 13, 17, 19, 23 и т. Д.), Пока не найдете что-то, что работает — или пока не дойдете до простых чисел, квадраты которых больше, чем то, на что вы делитесь.Почему? Если ваше простое число не делится на, то единственными потенциальными делителями являются большие простые числа. Поскольку квадрат вашего простого числа больше числа, тогда большее простое число должно иметь остаток меньшее число, чем ваше простое число. Единственное меньшее число осталось, поскольку все меньшие простые числа были исключены, это 1. Итак, оставшееся число должно быть простым, и все готово.


Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в нахождении разложения на простые множители.Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.

(Щелкнув «Нажмите, чтобы просмотреть шаги» на экране ответа виджета, вы перейдете на сайт Mathway для платного обновления.)


URL: https://www.purplemath.com/modules/factnumb.htm

Калькулятор простой факторизации

Укажите целое число, чтобы найти его простые множители, а также дерево множителей.

Калькулятор Связанного Фактора | Калькулятор общего множителя

Что такое простое число?

Простые числа — это натуральные числа (положительные целые числа, которые иногда включают 0 в некоторых определениях), которые больше 1, которые не могут быть образованы путем умножения двух меньших чисел. Примером простого числа является 7, поскольку оно может быть образовано только путем умножения чисел 1 и 7. Другие примеры включают 2, 3, 5, 11 и т. Д.

Числа, которые могут быть образованы двумя другими натуральными числами, превышающими 1, называются составными числами.Примеры этого включают числа, такие как, 4, 6, 9 и т. Д.

Простые числа широко используются в теории чисел благодаря основной теореме арифметики. Эта теорема утверждает, что натуральные числа больше 1 либо простые, либо могут быть разложены как произведение простых чисел. Например, число 60 можно разложить на произведение простых чисел следующим образом:

60 = 5 × 3 × 2 × 2

Как видно из приведенного выше примера, в факторизации нет составных чисел.

Что такое факторизация на простые множители?

Факторизация на простые числа — это разложение составного числа на произведение простых чисел. Существует множество алгоритмов факторинга, некоторые из которых сложнее других.

Судебное отделение:

Один из методов нахождения простых множителей составного числа — это пробное деление. Пробное разделение — один из самых основных алгоритмов, хотя и очень утомительный. Он включает в себя проверку каждого целого числа путем деления рассматриваемого составного числа на целое число и определения того, может ли целое число делить число поровну и сколько раз.В качестве простого примера ниже приведено разложение 820 на простые множители с использованием пробного деления:

820 ÷ 2 = 410

410 ÷ 2 = 205

Поскольку 205 больше не делится на 2, проверьте следующие целые числа. 205 нельзя делить на 3 без остатка. 4 — непростое число. Однако его можно разделить на 5:

.

205 ÷ 5 = 41

Так как 41 — простое число, на этом пробное деление завершено. Таким образом:

820 = 41 × 5 × 2 × 2

Продукт также можно записать как:

820 = 41 × 5 × 2 2

По сути, это метод «грубой силы» для определения простых множителей числа, и хотя 820 является простым примером, он может стать намного более утомительным очень быстро.

Разложение на простые числа:

Другой распространенный способ проведения разложения на простые множители называется разложением на простые множители и может включать использование факторного дерева. Создание факторного дерева включает в себя разбиение составного числа на множители составного числа, пока все числа не станут простыми. В приведенном ниже примере простые множители находятся путем деления 820 на простой множитель 2 и последующего деления результата до тех пор, пока все множители не станут простыми. Пример ниже демонстрирует два способа создания факторного дерева с использованием числа 820:

.

Таким образом, можно видеть, что факторизация числа 820 на простые множители в любом случае снова равна:

820 = 41 × 5 × 2 × 2

Хотя эти методы работают для меньших чисел (и существует множество других алгоритмов), не существует известного алгоритма для гораздо больших чисел, и даже машинам может потребоваться много времени для вычисления простых разложений больших чисел; В 2009 году ученые завершили проект с использованием сотен машин для разложения 232-значного числа RSA-768, и на это потребовалось два года.

Факторизация простых чисел на простые числа

Ниже приведены факторизации некоторых общих чисел на простые множители.

Разложение на простые множители 2: простое число

Разложение на простые множители 3: простое число

Разложение на простые множители 4: 2 2

Разложение на простые множители 5: простое число

Разложение на простые множители 6: 2 × 3

Разложение на простые множители 7: простое число

Факторизация на простые числа 8: 2 3

Разложение на простые множители 9: 3 2

Разложение на простые множители 10: 2 × 5

Разложение на простые множители 11: простое число

Разложение на простые множители 12: 2 2 × 3

Разложение на простые множители 13: простое число

Разложение на простые множители 14: 2 × 7

Разложение на простые множители 15: 3 × 5

Разложение на простые множители 16: 2 4

Разложение на простые множители 17: простое число

Разложение на простые множители 18: 2 × 3 2

Разложение на простые множители 19: простое число

Разложение на простые множители 20: 2 2 × 5

Разложение на простые множители 21: 3 × 7

Разложение на простые множители 22: 2 × 11

Разложение на простые множители 23: простое число

Разложение на простые множители 24: 2 3 × 3

Разложение на простые множители 25: 5 2

Разложение на простые множители 26: 2 × 13

Разложение на простые множители 27: 3 3

Разложение на простые множители 28: 2 2 × 7

Разложение на простые множители 29: простое число

Разложение на простые множители 30: 2 × 3 × 5

Разложение на простые множители 31: простое число

Разложение на простые множители 32: 2 5

Разложение на простые множители 33: 3 × 11

Разложение на простые множители 34: 2 × 17

Разложение на простые множители 35: 5 × 7

Разложение на простые множители 36: 2 2 × 3 2

Разложение на простые множители 37: простое число

Разложение на простые множители 38: 2 × 19

Разложение на простые множители 39: 3 × 13

Разложение на простые множители 40: 2 3 × 5

Разложение на простые множители 41: простое число

Разложение на простые множители 42: 2 × 3 × 7

Разложение на простые множители 43: простое число

Разложение на простые множители 44: 2 2 × 11

Разложение на простые множители 45: 3 2 × 5

Разложение на простые множители 46: 2 × 23

Разложение на простые множители 47: простое число

Разложение на простые множители 48: 2 4 × 3

Разложение на простые множители 49: 7 2

Разложение на простые множители 50: 2 × 5 2

Разложение на простые множители 51: 3 × 17

Разложение на простые множители 52: 2 2 × 13

Разложение на простые множители 53: простое число

Разложение на простые множители 54: 2 × 3 3

Разложение на простые множители 55: 5 × 11

Разложение на простые множители 56: 2 3 × 7

Разложение на простые множители 57: 3 × 19

Разложение на простые множители 58: 2 × 29

Разложение на простые множители 59: простое число

Разложение на простые множители 60: 2 2 × 3 × 5

Разложение на простые множители 61: простое число

Разложение на простые множители 62: 2 × 31

Разложение на простые множители 63: 3 2 × 7

Разложение на простые множители 64: 2 6

Разложение на простые множители 65: 5 × 13

Разложение на простые множители 66: 2 × 3 × 11

Разложение на простые множители 67: простое число

Разложение на простые множители 68: 2 2 × 17

Разложение на простые множители 69: 3 × 23

Разложение на простые множители 70: 2 × 5 × 7

Разложение на простые множители 71: простое число

Разложение на простые множители 72: 2 3 × 3 2

Разложение на простые множители 73: простое число

Разложение на простые множители 74: 2 × 37

Разложение на простые множители 75: 3 × 5 2

Разложение на простые множители 76: 2 2 × 19

Разложение на простые множители 77: 7 × 11

Разложение на простые множители 78: 2 × 3 × 13

Разложение на простые множители 79: простое число

Разложение на простые множители 80: 2 4 × 5

Разложение на простые множители 81: 3 4

Разложение на простые множители 82: 2 × 41

Разложение на простые множители 83: простое число

Разложение на простые множители 84: 2 2 × 3 × 7

Разложение на простые множители 85: 5 × 17

Разложение на простые множители 86: 2 × 43

Разложение на простые множители 87: 3 × 29

Разложение на простые множители 88: 2 3 × 11

Разложение на простые множители 89: простое число

Разложение на простые множители 90: 2 × 3 2 × 5

Разложение на простые множители 91: 7 × 13

Разложение на простые множители 92: 2 2 × 23

Разложение на простые множители 93: 3 × 31

Разложение на простые множители 94: 2 × 47

Разложение на простые множители 95: 5 × 19

Разложение на простые множители 96: 2 5 × 3

Разложение на простые множители 97: простое число

Разложение на простые множители 98: 2 × 7 2

Разложение на простые множители 99: 3 2 × 11

Разложение на простые множители 100: 2 2 × 5 2

Разложение на простые множители 101: простое число

Разложение на простые множители 102: 2 × 3 × 17

Разложение на простые множители 103: простое число

Разложение на простые множители 104: 2 3 × 13

Разложение на простые множители 105: 3 × 5 × 7

Разложение на простые множители 106: 2 × 53

Разложение на простые множители 107: простое число

Разложение на простые множители 108: 2 2 × 3 3

Разложение на простые множители 109: простое число

Разложение на простые множители 110: 2 × 5 × 11

Разложение на простые множители 111: 3 × 37

Разложение на простые множители 112: 2 4 × 7

Разложение на простые множители 113: простое число

Разложение на простые множители 114: 2 × 3 × 19

Разложение на простые множители 115: 5 × 23

Разложение на простые множители 116: 2 2 × 29

Разложение на простые множители 117: 3 2 × 13

Разложение на простые множители 118: 2 × 59

Разложение на простые множители 119: 7 × 17

Разложение на простые множители 120: 2 3 × 3 × 5

Разложение на простые множители 121: 11 2

Разложение на простые множители 122: 2 × 61

Разложение на простые множители 123: 3 × 41

Разложение на простые множители 124: 2 2 × 31

Разложение на простые множители 125: 5 3

Разложение на простые множители 126: 2 × 3 2 × 7

Разложение на простые множители 127: простое число

Разложение на простые множители 128: 2 7

Разложение на простые множители 129: 3 × 43

Разложение на простые множители 130: 2 × 5 × 13

Разложение на простые множители 131: простое число

Разложение на простые множители 132: 2 2 × 3 × 11

Разложение на простые множители 133: 7 × 19

Разложение на простые множители 134: 2 × 67

Разложение на простые множители 135: 3 3 × 5

Разложение на простые множители 136: 2 3 × 17

Разложение на простые множители 137: простое число

Разложение на простые множители 138: 2 × 3 × 23

Разложение на простые множители 139: простое число

Разложение на простые множители 140: 2 2 × 5 × 7

Разложение на простые множители 141: 3 × 47

Разложение на простые множители 142: 2 × 71

Разложение на простые множители 143: 11 × 13

Разложение на простые множители 144: 2 4 × 3 2

Разложение на простые множители 145: 5 × 29

Разложение на простые множители 146: 2 × 73

Разложение на простые множители 147: 3 × 7 2

Разложение на простые множители 148: 2 2 × 37

Разложение на простые множители 149: простое число

Разложение на простые множители 150: 2 × 3 × 5 2

Разложение на простые множители 200: 2 3 × 5 2

Разложение на простые множители 300: 2 2 × 3 × 5 2

Разложение на простые множители 400: 2 4 × 5 2

Разложение на простые множители 500: 2 2 × 5 3

Разложение на простые множители 600: 2 3 × 3 × 5 2

Разложение на простые множители 700: 2 2 × 5 2 × 7

Разложение на простые множители 800: 2 5 × 5 2

Разложение на простые множители 900: 2 2 × 3 2 × 5 2

Разложение на простые множители 1000: 2 3 × 5 3

прайм-факторизация

прайм-факторизация

Прайм-факторизация
Факторные деревья

Как упоминалось в сеансе 14, простые числа важны для компьютерной безопасности, например, для криптографии с открытым ключом.Проблема компьютерной безопасности — это возможность множить большие числа. Одна из причин, по которой компьютеры могут поддерживать безопасность, заключается в том, что многие большие числа трудно разложить на произведение простых чисел. Если кто-то найдет способ легко разложить на множители любое большое число или проверить, является ли оно простым, компьютерная безопасность перестанет быть надежной. В свое время RSA Laboratories предлагала значительные денежные вознаграждения за сложные задачи, связанные с факторингом больших чисел.

Целочисленное разложение — Википедия, бесплатная энциклопедия

RSA Factoring Challenge

Можно ли рассматривать простые числа как строительные блоки натуральных чисел?

Мы знаем, что 42 = 2 × 3 × 7.Есть ли другой способ представить 42 как произведение простых чисел?

Единственный способ записать 42 как произведение простых чисел (за исключением изменения порядка множителей) — это 2 × 3 × 7. Мы называем 2 × 3 × 7 разложением на простые множители числа 42. Оказывается, что каждый подсчет Число (натуральное число) имеет уникальное разложение на простые множители , отличное от любого другого счетного числа. Этот факт называется основной теоремой арифметики. Основная теорема арифметики — Википедия, бесплатно…

Чтобы сохранить это свойство уникальности разложения на простые множители, необходимо, чтобы число 1, 1, не относилось ни к простому, ни к составному. В противном случае факторизация на простые множители могла бы иметь любое количество множителей, равных 1, и факторизация больше не была бы уникальной.

Факторизация на простые множители может помочь нам с делением, упрощением дробей и нахождением общих знаменателей для дробей.

Один из методов факторизации натурального числа на простые множители — это использование так называемого факторного дерева.

Первый шаг в создании факторного дерева — найти пару факторов, произведение которых является числом, которое мы факторизуем. Эти два фактора являются первыми ветвями в дереве факторов. Часто есть несколько разных пар факторов, которые мы могли бы выбрать, чтобы начать процесс. Выбор значения не имеет; мы можем начать с любых двух факторов. Мы повторяем этот процесс с каждым множителем, пока каждая ветвь дерева не заканчивается простым числом. На этом факторизация на простые множители завершена. Фундаментальная теорема арифметики гарантирует, что все простые факторизации одного и того же числа приведут к одной и той же уникальной факторизации простых чисел для этого числа.

Пример: мы показываем два способа построения факторного дерева для 24.

Продолжайте факторизовать каждое дерево до завершения.

Обратите внимание, что каждое дерево заканчивается уникальным разложением на простые множители 24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 2 3 · 3.

Существует два разных стиля записи факторного дерева натурального числа. В первом стиле, как только мы получаем простое число в одной из ветвей, мы обводим его и больше не работаем с этой веткой.Если число в конце ветви все еще не является простым (составным), мы находим два множителя для этого значения. Продолжайте этот процесс, пока значение в конце каждой ветви не станет простым числом в кружке. Разложение на простые множители — это произведение обведенных в кружок простых чисел.

Пример:

Таким образом, разложение 24 на простые множители равно 24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 2 3 · 3.

Хороший способ проверить результат — это умножить его и убедиться, что произведение равно 24.

Для другого стиля факторного дерева мы поддерживаем произведение исходного значения на каждом уровне факторного дерева, расширяя ветвь (понижая) для любого простого числа, полученного на пути к тому, чтобы все ветви заканчивались простыми числами. В следующем примере показан этот стиль, а также то, как мы можем начать с другой пары множителей и при этом получить ту же простую факторизацию для натурального числа.

Пример:

Некоторые люди предпочитают этот метод, потому что каждый уровень по-прежнему умножается, чтобы быть исходным числом, и, уменьшая простые числа, мы с меньшей вероятностью пропустим их и не включим в нашу простую факторизацию.

Обратите внимание, что факторизация на простые множители по-прежнему равна 24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 2 3 · 3, хотя мы начали с 2 · 12 вместо 6 · 4.

Задача самопроверки

Создайте еще одно факторное дерево для 24, в котором на первом этапе используются два разных фактора, чем использовались выше.

Решение

Составьте факторное дерево, чтобы найти разложение на простые множители для 36.

Решение

Для этого класса стандартной формой факторизации простых чисел является запись множителей в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему) и использование формы экспоненты, когда множитель повторяется с точкой для обозначения умножения.

Примеры: 24 = 2 3 · 3 и 600 = 2 3 · 3 · 5 2

Проблема самопроверки

Найдите деление числа 588 на простые множители.

Решение

Задача из сеанса 1. (Старая сессия 1)

Кэри, Дана и Пэт избираются президентом, секретарем и казначеем клуба. Сколько разных результатов выборов возможно?

Мы решили эту проблему, нарисовав все возможные соответствия 1-1 между людьми и офисами.Мы смогли составить шесть различных соответствий 1-1. Позже, в Сессии 9 (Старая Сессия 9), у нас был Фундаментальный Принцип Счета, который дал нам метод нахождения количества возможностей путем умножения: 3 варианта для президента, затем 2 варианта для секретаря и, наконец, только 1 вариант для казначея. . Итак, количество возможностей составило 3 · 2 · 1 = 6.

Задачи этого типа, где мы перемножаем убывающие натуральные числа, довольно часто встречаются в математике, особенно в теории вероятностей и статистике.Это мотивирует факториал , который является операцией для этого типа умножения.

Факториал: Символ факториала — это восклицательный знак (!), Где n !, читается n Факториал , определяется как произведение n · ( n — 1) · ( n — 2) ·… · 3 · 2 · 1.

Чтобы вычислить четыре факториала , мы умножаем 4 раза каждое последовательно меньшее натуральное число, вплоть до 1.Итак, четыре факториала равно 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.

Пример: 8! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40 320.

Обратите внимание, что значение довольно быстро становится большим.

Мы можем найти разложение факториала на простые множители, найдя разложение на простые множители каждого из его множителей.

Пример:

Мы можем использовать это разложение на простые множители, чтобы определить, 8! имеет определенные числа как факторы.Если мы можем сформировать число, умножая только числа из разложения на простые множители и только в количестве, доступном в разложении на простые множители, то произведение является множителем исходного числа.

Пример: 2 7 = 128 должно быть множителем 8! поскольку 2 7 является частью факторизации на простые множители 8 !.

Пример: 10 должно быть множителем 8! так как 2 и 5 являются простыми делителями 8 !.

Пример: 100 равно , а не , умноженному на 8! так как 100 = 2 2 · 5 2 , поэтому нам нужны два множителя 5, чтобы получить 100, и 8! имеет только один множитель 5.

Пример: 2 2 · 3 2 должно быть множителем 8! так как разложение на простые множители 8! содержит две двойки и две тройки.

Проблемы самопроверки

Найдите разложение на простые множители для 6 !.

Решение

Какое из следующих значений является множителем 6 !?

8

Решение

28

Решение

48

Решение

144

Решение

Вот еще несколько возможных вопросов, которые можно обсудить перед тем, как перейти в лабораторию:

1.3 Solution»>

(а) на 12?

Решение

(б) по 12 2 ?

Решение

(c) по 12 3 ?

Решение

2. Найдите разложение на простые множители числа 12! и напишите в стандартной форме.

Решение

(a) Сколько нулей будет в конце числовой формы 12 !?

Решение

(b) Какое наибольшее значение представляет собой степень двойки, кратную 12 !?

Решение

(c) Какое наибольшее значение представляет собой степень 6, кратную 12 !?

Решение

Шутка или цитата

Семерка — нечетное число.Как это сравнять?

Решение

Нахождение простой факторизации составного числа

Результаты обучения

  • Найдите факторизацию числа на простые множители с помощью метода факторного дерева
  • Найдите факторизацию числа на простые множители с помощью лестничного метода

В предыдущем разделе мы нашли множители числа. Простые числа имеют только два множителя: число [латекс] 1 [/ latex] и само простое число.Составные числа имеют более двух факторов, и каждое составное число может быть записано как уникальное произведение простых чисел. Это называется факторизацией числа на простые множители. Когда мы пишем разложение числа на простые множители, мы переписываем число как произведение простых чисел. Выявление факторизации составного числа на простые множители поможет вам позже в этом курсе.

Основная факторизация

Факторизация числа на простые множители — это произведение простых чисел, равное числу.

Выполнение упражнения по манипуляции математикой «Простые числа» поможет вам развить лучшее чувство простых чисел.

Вы можете обратиться к следующему списку простых чисел меньше [latex] 50 [/ latex], когда будете работать с этим разделом.

[латекс] 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47 [/ латекс]

Простая факторизация с использованием метода факторного дерева

Один из способов найти факторизацию числа на простые множители — составить факторное дерево. Мы начинаем с записи числа, а затем записываем его как произведение двух факторов.Мы записываем факторы под числом и соединяем их с числом маленьким отрезком линии — «ветвью» дерева факторов.
Если множитель простой, мы обводим его (как бутон на дереве) и больше не множим эту «ветвь». Если фактор не является простым, мы повторяем этот процесс, записывая его как произведение двух факторов и добавляя новые ветви к дереву.
Продолжаем, пока все ветки не закончатся штрихом. Когда дерево факторов готово, обведенные в кружки простые числа дают нам факторизацию на простые множители.
Например, давайте найдем разложение на простые множители [латекс] 36 [/ латекс]. Мы можем начать с любой пары факторов, таких как [латекс] 3 [/ латекс] и [латекс] 12 [/ латекс]. Пишем [латекс] 3 [/ латекс] и [латекс] 12 [/ латекс] ниже [латекс] 36 [/ латекс] с соединяющими их ветвями.

Фактор [латекс] 3 [/ латекс] простой, поэтому обводим его. Фактор [латекс] 12 [/ латекс] является составным, поэтому нам нужно найти его коэффициенты. Давайте использовать [латекс] 3 [/ латекс] и [латекс] 4 [/ латекс]. Записываем эти факторы на дереве под [латекс] 12 [/ латекс].

Фактор [латекс] 3 [/ латекс] простой, поэтому обводим его. Фактор [латекс] 4 [/ латекс] является составным, и он включает в себя [латекс] 2 \ cdot 2 [/ латекс]. Мы записываем эти коэффициенты под [латекс] 4 [/ латекс]. Поскольку [latex] 2 [/ latex] простое число, мы обводим оба [latex] 2 \ text {s} [/ latex].

Разложение на простые множители является произведением простых чисел, обведенных в кружки. Обычно мы пишем разложение на простые множители в порядке от наименьшего к наибольшему.

[латекс] 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 3 [/ latex]
В подобных случаях, когда некоторые простые множители повторяются, мы можем записать разложение на простые множители в экспоненциальной форме.{2} \ end {array} [/ latex]
Обратите внимание, что мы могли бы начать наше факторное дерево с любой факторной парой [latex] 36 [/ latex]. Мы выбрали [латекс] 12 [/ латекс] и [латекс] 3 [/ латекс], но тот же результат был бы таким же, если бы мы начали с [латекс] 2 [/ латекс] и [латекс] 18,4 [ / latex] и [latex] 9, \ text {или} 6 \ text {и} 6 [/ latex].

Найдите разложение составного числа на простые множители с помощью метода дерева

  1. Найдите любую факторную пару данного числа и используйте эти числа, чтобы создать две ветви.
  2. Если множитель простой, эта ветвь завершена. Обведите первое число.
  3. Если фактор не является простым, запишите его как произведение пары факторов и продолжите процесс.
  4. Запишите составное число как произведение всех обведенных в кружок простых чисел.

, пример

Найдите разложение на простые множители [latex] 48 [/ latex], используя метод факторного дерева.

Решение:

Мы можем начать наше дерево, используя любую пару факторов [latex] 48 [/ latex].Давайте использовать [latex] 2 \ text {и} 24 [/ latex].
Обводим [латекс] 2 [/ latex], потому что он простой и поэтому эта ветвь завершена.
Теперь факторизуем [латекс] 24 [/ латекс]. Давайте использовать [latex] 4 \ text {и} 6 [/ latex].
Ни один из множителей не является простым, поэтому мы также не обводим его. Мы множим [латекс] 4 [/ latex], используя [latex] 2 \ text {и} 2 [/ latex].

Фактор [латекс] 6 \ text {, используя} 2 \ text {и} 3 [/ latex].
Мы обведем [латекс] 2 \ text {s и} 3 [/ latex], так как они простые.{4} \ cdot 3 [/ латекс]

Проверьте это самостоятельно, умножив все множители вместе. В результате должно получиться [латекс] 48 [/ латекс].

В следующем видео показано, как найти разложение на простые множители [latex] 60 [/ latex] с помощью метода факторного дерева.

, пример

Найдите разложение на простые множители [latex] 84 [/ latex], используя метод факторного дерева.

Показать решение

Решение:

Начнем с пары факторов [латекс] 4 \ text {и} 21 [/ latex].{2} \ cdot 3 \ cdot 7 [/ латекс]

Нарисуйте дерево факторов [латекс] 84 [/ латекс].

Факторизация простых чисел с использованием лестничного метода

Метод лестницы — еще один способ найти простые множители составного числа. Это приводит к тому же результату, что и метод факторного дерева. Некоторые люди предпочитают метод лестницы методу факторного дерева и наоборот.
Чтобы начать строить «лестницу», разделите данное число на его наименьший простой множитель.Например, чтобы начать лестницу для [latex] 36 [/ latex], мы делим [latex] 36 [/ latex] на [latex] 2 [/ latex], наименьший простой фактор [latex] 36 [/ latex] .

Чтобы добавить «ступеньку» к лестнице, мы продолжаем деление на то же самое простое число, пока оно не перестанет делиться равномерно.

Затем делим на следующее простое число; поэтому мы делим [латекс] 9 [/ латекс] на [латекс] 3 [/ латекс].

Продолжаем делить лестницу таким образом, пока частное не станет простым. Поскольку частное, [latex] 3 [/ latex], простое, мы останавливаемся на этом.{2} \ end {array} [/ latex]
Обратите внимание, что результат такой же, как и при использовании метода факторного дерева.

Найдите разложение составного числа на простые множители с помощью лестничного метода

  1. Разделите число на наименьшее простое число.
  2. Продолжайте делить на это простое число, пока оно не перестанет делиться равномерно.
  3. Делить на следующее простое число, пока оно не перестанет делиться равномерно.
  4. Продолжайте, пока частное не станет простым.
  5. Запишите составное число как произведение всех простых чисел по бокам и наверху лестницы.

, пример

Найдите разложение на простые множители [latex] 120 [/ latex] с помощью лестничного метода.

Показать решение

Решение:

Разделите число на наименьшее простое число, то есть [латекс] 2 [/ латекс].
Продолжайте делить на [латекс] 2 [/ латекс], пока он не перестанет делиться равномерно.
Разделить на следующее простое число, [латекс] 3 [/ латекс].
Частное [латекс] 5 [/ латекс] является простым, поэтому лестница завершена.{3} \ cdot 3 \ cdot 5 [/ латекс]

Убедитесь в этом сами, умножив множители. В результате должно получиться [латекс] 120 [/ латекс].

, пример

Найдите разложение на простые множители [latex] 48 [/ latex] с помощью лестничного метода.

Показать решение

Решение:

Разделите число на наименьшее простое число, [латекс] 2 [/ латекс].
Продолжайте делить на [латекс] 2 [/ латекс], пока он не перестанет делиться равномерно.{4} \ cdot 3 [/ латекс]

В следующем видео мы покажем, как использовать метод лестничной диаграммы, чтобы найти разложение двух чисел на простые множители.

Факторизация на простые множители — объяснение и примеры

Факторизация на простые множители — это метод нахождения всех простых чисел, которые умножаются для образования числа. Факторы умножаются, чтобы получить число, а простые множители — это числа, которые можно разделить только на 1 или на себя.

Как найти простую факторизацию?

Есть два метода нахождения простых делителей числа. Это повторяющееся деление и факторное дерево.

Повторное деление

Число уменьшается путем деления его на несколько простых чисел. Простые множители числа 36 находятся повторным делением, как показано:

Простые множители числа 36, следовательно, 2 и 3. Это можно записать как 2 × 2 × 3 × 3. Рекомендуется начать деление числа. по наименьшему простому числу и переходите к большим множителям.

Пример 1

Каковы простые множители 16?

Решение

Лучший способ решить эту проблему — определить наименьший простой множитель числа, равный 2.

Разделите число на 16;

16 ÷ 2 = 8

Поскольку 8 не является простым числом, продолжите деление еще раз на наименьший коэффициент;

8 ÷ 2 = 4

4 ÷ 2 = 2

У нас есть простые множители 16, выделенные желтым, и они включают: 2 x 2 x 2 x 2.

, которое может быть записано в виде экспоненты:

16 = 2 2

Пример 2

Найдите простые множители 12.

Разделить 12 на 2;

12 ÷ 2 = 6

6 не является простым, продолжить;

6 ÷ 2 = 3.

Следовательно, 12 = 2 x 2 x 3

12 = 2 2 × 3

Следует отметить, что все простые множители числа простые.

Пример 3

Разложить на множители 147.

Решение

Начните с деления 147 на наименьшее простое число.

147 ÷ 2 = 73,5

Наш ответ не является целым числом, попробуйте следующее простое число 3.

147 ÷ 3 = 49

Да, 3 сработало, теперь переходите к следующему простому числу, которое может делить 49.

49 ÷ 7 = 7

Следовательно, 147 = 3 x 7 x 7,

= 3 x 7 2 .

Пример 4

Что такое разложение на простые множители 19?

19 = 19

Решение

Другой метод выполнения факторизации — разбить число на два целых. Теперь найдите простые множители целых чисел. Этот метод полезен при работе с большими числами.

Пример 5

Найдите простые множители 210.

Решение

Разбейте 210 на:

210 = 21 x 10

Теперь вычислите множители 21 и 10

21 ÷ 3 = 7

10 ÷ 2 = 5

Объедините факторы: 210 = 2 x 3 x 5 x 7

Факторное дерево

Факторное дерево включает нахождение простых множителей числа путем рисования древовидных программ. Факторное дерево — лучший инструмент для простой факторизации. Простые множители 36 получаются с помощью факторного дерева, как показано ниже:

Практические задачи

1. Ниже приводится факторизация некоторых чисел на простые множители. Посчитайте число.

(i) 3 × 5 × 11

(ii) 2 × 5 × 7

(iii) 2 × 3 × 13

(iv) 2 × 3 × 3 × 7

(v) 3 × 7 × 11

(vi) 3 × 5 × 5

(vii) 2 × 3 × 7

(viii) 2 × 2 × 3 × 11

(ix) 3 × 7 × 11 × 11

2. Определите простое число этих чисел методом деления.

(i) 56

(ii) 38

(iii) 12

(iv) 120

(v) 64

(vi) 49

(vii) 81

(viii) 21

3. Используя факторный метод, определите простые множители:

(i) 70

(ii) 11

(iii) 99

(iv) 44

(v) 62

(vi) 76

(vii) 97

(viii) 63

4. Факторизовать любым методом.

(i) 9

(ii) 63

(iii) 90

(iv) 48

(v) 34

(vi) 40

(vii) 66

(viii) 88

(ix) 52

(x) 98

(xi) 75

(xii) 100

5. Какие простые множители 19?

а. 19
г. 0
г. 2 х 9,5
г. Ни один из вышеперечисленных

6. Каковы простые множители 50?

а. 2 х 2 х 12,5
б. 2 х 25
г. 2 х 5 х 5
г. 1 x 2 x 5 x 5

7. Вычислите простые множители 25.

a. 2 x12,5
б. 5 x 5
г. 1 х 25
г. 5 x 5,5

8 . Найдите простые множители 81.

а. 3 х 2 7
б. 3 x 3 x 3 x3
c. 9 х 9
г. Ни один из вышеперечисленных

9. Определите все простые множители 125.

a. 1 х 125
б. 5 x 5 x 5
c. 2 х 5 х 12,5
г. Все вышеперечисленное

10. Вычислите простые множители 132.

a. 2 х 2 х 3 х 11
б. 2 x 6 x 11
c. 2 x 2 x 2 x 3 x 11
d. 4 x 3 x11

Ответы

  1. (i) 165

(ii) 70

(iii) 78

(iv) 126

4 (v)

(vi) 75

(vii) 42

(viii) 132

(ix) 2541

  1. (i) 2 2 4 × 7 (ii) 2 × 19

    (iii) 2 × 2 x 3

    (iv) 2 3 x 3 x 5

    (v) 2 6

    (vi ) 7 x 7

    (vii) 3 x 3 x 3 x 3

    (viii) 3 x 7

    1. (i) 2 x 5 x 7

    (ii) 11

    (iii) 3 x 3 x 11

    (iv) 2 x 2 x 11

    (v) 2 × 31

    (vi) 9145 8 2 × 2 × 19

    (vii) 97

    (viii) 3 x 3 x 7

    1. (i) 3 x 3

    (ii) 3 x 3 x 7

    (iii) 2 x 3 x 3 x 5

    (iv) 2 x 2 x 2 x 2 x 3

    (v) 2 x 17

    (vi) 2 x 2 × 2 x 5

    (vii) 2 × 3 × 11

    (viii) 2 × 2 × 2 × 11

    (ix) 2 x 2 x 13

    (x) 2 × 7 x 7

    (xi) 3 x 5 x 5

    (xii) 2 x 2 x 5 x 5

      1. Ответ 19
      2. Ответ 2 x 5 x 5
      3. Отв. 5 x 5
      4. Отв. 3 x 3 x 3 x 3
      5. Отв. 5 x 5 x 5
      6. Ans . 2 x 2 x 3 x 11

    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    Преподавание факторизации простых чисел 36

    Теория чисел — изучение целых чисел — уже много лет увлекает математиков. В основе теории чисел лежат целые числа: 0, 1, 2, 3 и так далее. Базовыми строительными блоками для всех целых чисел являются простых чисел .Простое число — это целое число, состоящее только из двух факторов: самого себя и единицы. Когда число имеет более двух факторов, считается, что это составное число .

    Цифры один и ноль — необычные случаи. Число один имеет только один фактор и не считается ни простым, ни составным. Число ноль имеет бесконечное количество множителей, так как ноль можно делить без остатка на что угодно, кроме нуля. По этой причине ноль также не считается ни простым, ни составным.

    Проверьте свое понимание:

    • 36 — простое или составное число? (Составной, потому что у него много факторов, кроме 1 и 36: 2, 3, 4, 6, 9, 12 и 18.)
    • Какие простые числа меньше 10? (2, 3, 5 и 7.)

    Прайм-факторизация 36

    Учащиеся 4-х классов и выше обычно готовы узнать о простых множителях, а учащиеся 6-х классов и выше обычно готовы исследовать разложение на простые множители числа и исследовать, как его можно использовать для генерации всех целых чисел.

    Ключевые стандарты:

    • Найдите пары факторов и узнайте, что целое число кратно каждому из его факторов.
    • Напишите и оцените числовые выражения, которые представляют разложение на простые множители и включают целочисленные показатели.

    Когда составное число записывается как произведение всех его простых множителей, мы получаем факторизацию числа на простые множители.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *