Решение линейных уравнений с примерами

Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид  

aх + b = 0, где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.

Например, все уравнения:

2х + 3= 7 – 0,5х;  0,3х = 0;  x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) — линейные.

Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения.

Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.

А значение х = 3 не обращает  уравнение  3х + 7 = 13 в верное равенство, так  как  3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.

Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида

aх + b = 0.

Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим

aх = ‒ b.

Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .

Пример 1. Решите уравнение 3х + 2 =11.

Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим 
3х = 11 – 2.

Выполним вычитание, тогда
3х = 9.

Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть     
х = 9 : 3.

Значит, значение х = 3 является  решением или корнем уравнения.

Ответ: х = 3.

Если а = 0 и b = 0, то получим уравнение  0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много  решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения  является любое число.

Пример 2. Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

Раскроем скобки:
5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.

Сгруппируем  в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
5х – 3х ‒ 2х =  – 12  ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Приведем подобные члены:
0х = 0.

Ответ: х —  любое число.

Если а = 0 и b ≠ 0, то получим уравнение  0х = — b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но  b ≠ 0 .

Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.

Сгруппируем  в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
х – х = 5 ‒ 8.

Приведем подобные члены: 
0х = ‒ 3.

Ответ: нет решений.

На рисунке 1 изображена схема решения линейного уравнения

Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.

Пример 4. Пусть надо решить уравнение 

1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.

2) После сокращения получим
4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)

3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:
4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .

4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:
4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Приведем подобные члены:
‒ 22х = ‒ 154.

6) Разделим на  – 22 , Получим
х = 7.

Как видим, корень уравнения равен семи.

Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме:

а) привести уравнение к целому виду;

б) раскрыть скобки;

в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;

г) привести подобные члены;

д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.

Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2),  третьего (Пример. 1, 3) и даже с пятого этапа, как в примере 5.

Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.

Находим неизвестное  х = 1/4 : 2,
х = 1/8 .

Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.

Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.

Решение

2х + 6 = 5 – 6х

2х + 6х = 5 – 6

8х = ‒1

х = ‒1 : 8

х = ‒ 0, 125

Ответ: ‒ 0, 125

Пример 7. Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

Решение

– 30 + 18х = 8х – 7

18х  – 8х =  – 7 +30

10х = 23

х = 23 : 10

х = 2,3

Ответ: 2,3

Пример 8.  Решите уравнение

Решение:

3(3х – 4) = 4 · 7х + 24

9х – 12 = 28х + 24

9х – 28х = 24 + 12

-19х = 36

х = 36 : (-19)

х = — 36/19

Ответ: — . 

Пример 9. Найдите f(6), если f (x + 2) = 3^7-х

Решение

Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),
то х + 2 = 6.

Решаем линейное уравнение х + 2 = 6,
получаем х = 6 – 2, х = 4.

Если х = 4, тогда
f(6) = 3^7-4 = 3³ = 27

Ответ: 27.

Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ. Буду рада Вам помочь!

Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Как решать линейные уравнения? | О математике понятно

        Линейные уравнения — довольно безобидная и понятная тема школьной математики. Но, как это ни странно, количество ошибок на ровном месте при решении линейных уравнений лишь немногим меньше, чем в других темах — квадратных уравнениях, логарифмах, тригонометрии и прочих. Причины большинства ошибок — банальные тождественные преобразования уравнений. В первую очередь, это путаница в знаках при переносе слагаемых из одной части уравнения в другую, а также ошибки при работе с дробями и дробными коэффициентами. Да-да! Дроби в линейных уравнениях тоже встречаются! Сплошь и рядом. Чуть ниже такие злые уравнения мы с вами тоже обязательно разберём. )

        Ну что, не будем тянуть кота за хвост и начнём разбираться, пожалуй? Тогда читаем и вникаем.)

Что такое линейное уравнение? Примеры.

Обычно линейное уравнение имеет следующий вид:

ax + b = 0,

       где a и b — любые числа. Какие угодно: целые, дробные, отрицательные, иррациональные — всякие могут быть!

Например:

7х + 1 = 0 (здесь a = 7, b = 1)

x — 3 = 0 (здесь a = 1, b = -3)

x/2 — 1,1 = 0 (здесь a = 1/2, b = -1,1)

       В общем, вы поняли, я надеюсь.) Всё просто, как в сказке. До поры до времени… А если присмотреться к общей записи ax+b=0 более пристально, да немного призадуматься? Ведь a и b — любые числа! А если у нас, скажем, a = 0 и b = 0 (любые же числа можно брать!), то что у нас тогда получится?

0 = 0

       Но и это ещё не все приколы! А если, допустим, a = 0, b = -10? Тогда уже совсем какая-то ахинея получается:

0 = 10.

       Что весьма и весьма напрягает и подрывает завоёвываемое потом и кровью доверие к математике… Особенно на контрольных и экзаменах. А ведь из этих непонятных и странных равенств ещё и икс найти нужно! Которого нету вообще! И вот тут даже хорошо подготовленные ученики, порой, могут впасть, что называется, в ступор… Но не переживайте! В данном уроке все такие сюрпризы мы тоже рассмотрим. И икс из таких равенств тоже обязательно отыщем.) Причём этот самый икс ищется очень и очень просто. Да-да! Удивительно, но факт.)

       Ну хорошо, это понятно. Но как же можно узнать по внешнему виду задания, что перед нами именно линейное уравнение, а не какое-либо ещё? К сожалению, только по внешнему виду распознать тип уравнения возможно далеко не всегда. Дело всё в том, что линейными называются не только уравнения вида ax+b=0, но и любые другие уравнения, которые тождественными преобразованиями, так или иначе, сводятся к такому виду. А как тут узнаешь, сводится оно или нет? Пока пример почти не решишь — почти никак. Это огорчает. Но для некоторых типов уравнений можно при одном беглом взгляде сразу с уверенностью сказать, линейное оно или нет.

Для этого ещё разок обратимся к общей структуре любого линейного уравнения:

ax + b = 0

       Обратите внимание: в линейном уравнении всегда присутствует только переменная икс в первой степени и какие-то числа! И всё! Больше ничего. При этом нету иксов в квадрате, в кубе, под корнем, под логарифмом и прочей экзотики. И (что особенно важно!) нет дробей с иксом в знаменателях! А вот дроби с числами в знаменателях или деление на число — запросто!

Например:

       Это линейное уравнение. В уравнении присутствуют только иксы в первой степени да числа. И нету иксов в более высоких степенях — в квадрате, в кубе и так далее. Да, здесь есть дроби, но при этом в знаменателях дробей сидят только числа. А именно — двойка и тройка. Иными словами, в уравнении нету деления на икс.

       А вот уравнение

       уже нельзя назвать линейным, хотя здесь тоже присутствуют только числа и иксы в первой степени. Ибо, помимо всего прочего, здесь есть ещё и дроби с иксами в знаменателях. И после упрощений и преобразований такое уравнение может стать каким угодно: и линейным, и квадратным — всяким.

Как решать линейные уравнения? Примеры.

        Так как же решать линейные уравнения? Читайте дальше и удивляйтесь.) Всё решение линейных уравнений базируется всего на двух основных вещах. Перечислим их.

        1) Набор элементарных действий и правил математики.

        Это использование скобок, раскрытие скобок, работа с дробями, работа с отрицательными числами, таблица умножения и так далее. Эти знания и умения необходимы не только для решения линейных уравнений, а для всей математики вообще. И, если с этим проблемы, вспоминайте младшие классы. Иначе несладко вам придётся…

        2) Базовые тождественные преобразования уравнений.

        Их всего два. Да-да! Более того, эти самые базовые тождественные преобразования лежат в основе решения не только линейных, а вообще любых уравнений математики! Одним словом, решение любого другого уравнения — квадратного, логарифмического, тригонометрического, иррационального и т.д. — как правило, начинается с этих самых базовых преобразований. А вот решение именно линейных уравнений, собственно, на них же (преобразованиях) и заканчивается. Готовым ответом.) Так что не поленитесь и прогуляетесь по ссылке.) Тем более, что там линейные уравнения тоже детально разбираются.

        Что ж, я думаю, пора приступать к разбору примеров.

        Для начала, в качестве разминки, рассмотрим какую-нибудь элементарщину. Безо всяких дробей и прочих наворотов. Например, такое уравнение:

        х — 2 = 4 — 5х

        Это классическое линейное уравнение. Все иксы максимум в первой степени и деления на икс нигде нету. Схема решения в таких уравнениях всегда едина и проста до ужаса: все члены с иксами надо собрать слева, а все члены без иксов (т.е. числа) собрать справа. Вот и приступаем к сбору.

        Для этого запускаем в ход первое тождественное преобразование. Нам нужно перенести -5х влево, а -2 перенести вправо. Со сменой знака, ясное дело.) Вот и переносим:

        х + 5х = 4 + 2

        Ну вот. Полдела сделано: иксы собрали в кучку, числа — тоже. Теперь слева приводим подобные, а справа — считаем. Получаем:

        6х = 6

        Чего теперь нам не хватает для полного счастья? Да чтобы слева чистый икс остался! А шестёрка — мешает. Как от неё избавиться? Запускаем теперь второе тождественное преобразование — делим обе части уравнения на 6. И — вуаля! Ответ готов.)

        х = 1

        Разумеется, пример совсем примитивный. Чтобы общую идею уловить. Что ж, решим что-нибудь посущественнее. Например, разберём вот такое уравнение:

        Детально разберём.) Это тоже линейное уравнение, хотя, казалось бы, тут есть дроби. Но в дробях есть деление на двойку и есть деление на тройку, а вот деления на выражение с иксом — нету! Так что — решаем. Используя всё те же тождественные преобразования, да.)

        Что вначале делать будем? С иксами — влево, без иксов — вправо? В принципе, можно и так. Лететь в Сочи через Владивосток.) А можно пойти по кратчайшему пути, сразу воспользовавшись универсальным и мощным способом. Если знать тождественные преобразования, разумеется.)

        Для начала задаю ключевой вопрос: что вам сильнее всего бросается в глаза и больше всего не нравится в этом уравнении? 99 человек из 100 скажут: дроби! И будут правы.) Вот и избавимся сначала от них. Безопасно для самого уравнения.) Поэтому начнём сразу со второго тождественного преобразования — с домножения. На что надо помножить левую часть, чтобы знаменатель благополучно сократился? Правильно, на двойку. А правую часть? На тройку! Но… Математика — дама капризная. Она, понимаешь, требует умножать обе части только на одно и то же число! Каждую часть помножать на своё число — не катит… Что делать будем? Что-что… Искать компромисс. Чтобы и наши хотелки удовлетворить (избавиться от дробей) и математику не обидеть.) А помножим-ка обе части на шестёрку!) То есть, на общий знаменатель всех дробей, входящих в уравнение. Тогда одним махом и двойка сократится, и тройка!)

        Вот и домножаем. Всю левую часть и всю правую часть целиком! Посему используем скобочки. Вот так выглядит сама процедура:

        Теперь раскрываем эти самые скобочки:

        Теперь, представив 6 как 6/1, помножим шестёрку на каждую из дробей слева и справа. Это обычное умножение дробей, но, так уж и быть, распишу детально:

        А вот здесь — внимание! Числитель (х-3) я взял в скобки! Это всё потому, что при умножении дробей числитель умножается весь, целиком и полностью! И с выражением х-3 надо работать как с одной цельной конструкцией.  А вот если вы запишете числитель вот так:

        6х — 3,

        то это будет ошибкой. Дальше можно уже не решать, да…

        Но у нас всё правильно и надо дорешивать. Что дальше делать? Раскрывать скобки в числителе слева? Ни в коем случае! Мы с вами домножали обе части на 6, чтобы от дробей избавиться, а не для того чтобы париться с раскрытием скобок. На данном этапе нам надо сократить наши дроби. С чувством глубокого удовлетворения сокращаем все знаменатели и получаем уравнение безо всяких дробей, в линеечку:

        3(х-3) + 6х = 30 — 4х

        А вот теперь и оставшиеся скобки можно раскрыть:

        3х — 9 + 6х = 30 — 4х

        Уравнение становится всё лучше и лучше! Вот теперь вновь вспоминаем про первое тождественное преобразование. С каменным лицом повторяем заклинание из младших классов: с иксами — влево, без иксов — вправо. И применяем это преобразование:

        3х + 6х + 4х = 30 + 9

        Приводим подобные слева и считаем справа:

        13х = 39

        Осталось поделить обе части на 13. То есть, вновь применить второе преобразование. Делим и получаем ответ:

        х = 3

        Готово дело. Как вы видите, в данном уравнении нам пришлось один раз применить первое преобразование (перенос слагаемых) и дважды — второе: в начале решения мы использовали домножение (на 6) с целью избавиться от дробей, а в конце решения использовали деление (на 13), чтобы избавиться от коэффициента перед иксом. И решение любого (да-да, любого!) линейного уравнения состоит из комбинации этих самых преобразований в той или иной последовательности. С чего именно начинать — от конкретного уравнения зависит. Где-то выгоднее начинать с переноса, а где-то (как в этом примере) — с домножения (или деления).

        Работаем от простого — к сложному. Рассмотрим теперь откровенную жесть. С кучей дробей и скобок. А я уж подскажу, как не надорваться.)

        Например, вот такое уравнение:

        Минуту смотрим на уравнение, ужасаемся, но всё-таки берём себя в руки! Основная проблема — с чего начинать? Можно сложить дроби в правой части. Можно выполнить вычитание дробей в скобках. Можно обе части на что-нибудь домножить. Или поделить… Так что же всё-таки можно? Ответ: всё можно! Ни одно из перечисленных действий математика не запрещает. И какую бы последовательность действий и преобразований вы бы ни выбрали, ответ получится всегда один — правильный. Если, конечно, на каком-то шаге не нарушить тождественность ваших преобразований и, тем самым, не наляпать ошибок…

        А, чтобы не наляпать ошибок, в таких навороченных примерах, как этот, всегда полезнее всего оценить его внешний вид и в уме прикинуть: что можно такое сделать в примере, чтобы максимально упростить его за один шаг?

        Вот и прикидываем. Слева стоят шестёрки в знаменателях. Лично мне они не нравятся, а убрать их очень легко. Домножу-ка я обе части уравнения на 6! Тогда шестёрки слева благополучно сократятся, дроби в скобках пока никуда не денутся. Ну и ничего страшного. С ними чуток позже расправимся.) А вот справа у нас сократятся знаменатели 2 и 3. Именно при этом действии (умножении на 6) у нас за один шаг достигаются максимальные упрощения!

        После умножения всё наше злое уравнение станет вот таким:

        Кто не понял, как именно получилось это уравнение, значит, вы плохо усвоили разбор предыдущего примера. А я старался, между прочим…

        Что дальше можно сделать? Дальше удобнее всего раскрыть все скобки справа. Причём правильно раскрыть, соблюдая основы! В правой части перед обеими скобками стоит знак плюс, поэтому все знаки при раскрытии сохраняются.

        Итак, раскрываем:

        Теперь самым логичным шагом было бы уединить дроби слева, а 5х отправить в правую часть. Заодно и подобные в правой части приведём. Получим:

        Уже гораздо лучше. Теперь левая часть сама собой подготовилась к умножению. На что надо домножить левую часть, чтобы сразу и пятёрка сократилась, и четвёрка? На 20! Но ещё у нас присутствуют минусы в обеих частях уравнения. Поэтому удобнее всего будет умножать обе части уравнения не на 20, а на -20. Тогда одним махом и минусы исчезнут, и дроби.

        Вот и умножаем:

        Кому до сих пор непонятен этот шаг — значит, проблемы не в уравнениях. Проблемы — в основах! Вновь вспоминаем золотое правило раскрытия скобок:

        Если число умножается на какое-то выражение в скобках, то это число надо последовательно умножить на каждое слагаемое этого самого выражения. При этом если число положительно, то знаки выражений после раскрытия сохраняются. Если отрицательно — меняются на противоположные:

         a(b+c) = ab+ac

         -a(b+c) = -ab-ac

         Минусы у нас исчезли после домножения обеих частей на -20. И теперь скобки с дробями слева мы умножаем на вполне себе положительное число 20. Стало быть, при раскрытии этих скобок все знаки, что были внутри них, сохраняются. А вот откуда взялись скобки в числителях дробей, я уже подробно объяснял в предыдущем примере.

А вот теперь дроби и сократить можно:

        4(3-5х)-5(3х-2) = 20

        Раскрываем оставшиеся скобки. Опять же, правильно раскрываем. Первые скобки умножаются на положительное число 4 и, стало быть, все знаки при их раскрытии сохраняются. А вот вторые скобки умножаются на отрицательное число -5 и, поэтому, все знаки меняются на противоположные:

        12 — 20х — 15х + 10 = 20

        Остались сущие пустяки. С иксами влево, без иксов — вправо:

        -20х — 15х = 20 — 10 — 12

        -35х = -2

        Вот почти и всё. Слева нужен чистый икс, а число -35 мешает. Вот и делим обе части на (-35). Напоминаю, что второе тождественное преобразование разрешает нам умножать и делить обе части на какое угодно число. В том числе и на отрицательное.) Лишь бы не на ноль! Смело делим и получаем ответ:

        x = 2/35

        На сей раз икс получился дробным. Ничего страшного. Такой уж пример.)

        Как мы видим, принцип решения линейных уравнений (даже самых накрученных) довольно простой: берём исходное уравнение и тождественными преобразованиями последовательно упрощаем его прямо до получения ответа. С соблюдением основ, разумеется! Главные проблемы здесь именно в несоблюдении основ (скажем, перед скобками стоит минус, а знаки при раскрытии поменять забыли), а также в банальной арифметике. Так что не пренебрегайте основами! Они — фундамент всей остальной математики!

Некоторые приколы при решении линейных уравнений. Или особые случаи.

        Всё бы ничего. Однако… Попадаются среди линейных уравнений и такие забавные перлы, которые в процессе их решения могут и в сильный ступор вогнать. Даже отличника.)

        Например, вот такое безобидное с виду уравнение:

        7х + 3 = 4х + 5 + 3х — 2

        Широко позёвывая и слегка скучая, собираем все иксы слева, а все числа справа:

        7х-4х-3х = 5-2-3

        Приводим подобные, считаем и получаем:

        0 = 0

        Вот-те раз! Выдал примерчик фокус! Само по себе это равенство возражений не вызывает: ноль действительно равен нулю. Но икс-то пропал! Бесследно! А мы обязаны записать в ответе, чему равен икс. Иначе решение не считается, да.) Что же делать?

        Без паники! В таких нестандартных случаях спасают самые общие понятия и принципы математики. Что такое уравнение? Как решать уравнения? Что значит решить уравнение?

        Решить уравнение — это значит, найти все значения переменной икс, которые при подстановке в исходное уравнение дадут нам верное равенство (тождество)!

        Но верное равенство у нас уже получилось! 0=0, вернее некуда!) Остаётся догадаться, при каких именно иксах у нас получается это равенство. Какие же такие иксы можно подставлять в исходное уравнение, если при подстановке все они всё равно посокращаются в полный ноль? Неужели ещё не догадались?

        Ну, конечно же! Иксы можно подставлять любые!!! Совершенно любые. Какие хотите, такие и подставляйте. Хоть 1, хоть -23, хоть 2,7 — какие угодно! Они всё равно сократятся и в результате останется чистая правда. Попробуйте, поподставляйте и убедитесь лично.)

        Вот вам и ответ:

        х — любое число.

        В научной записи это равенство пишется так:

        Читается эта запись так: «Икс — любое действительное число.»

        Или в другой форме, через промежутки:

        Как вам больше нравится, так и оформляйте. Это верный и совершенно полноценный ответ!

        А теперь я изменю в нашем исходном уравнении всего одно число. Вот такое уравнение теперь решим:

        7х + 2 = 4х + 5 + 3х — 2

        Опять переносим слагаемые, считаем и получаем:

        7х — 4х — 3х = 5 — 2 — 2

        0 = 1

        И как вам этот прикол? Было обычное линейное уравнение, а стало непонятное равенство

        0 = 1…

        Говоря научным языком, мы получили неверное равенство. А по-русски неправда это. Бред сивой кобылы. Ахинея. ) Ибо ноль никак не равен единице!

        А теперь опять соображаем, какие же иксы при подстановке в исходное уравнение дадут нам верное равенство? Какие? А никакие! Какой икс ни подставляй, всё равно всё посокращается и останется лажа.)

        Вот и ответ: решений нет.

        В математической записи такой ответ оформляется вот так:

        Читается: «Икс принадлежит пустому множеству.»

        Такие ответы в математике тоже встречаются довольно часто: далеко не всегда у какого-либо уравнения имеются корни в принципе. Какие-то уравнения могут и вовсе не иметь корней. Совсем.

        Вот такие вот два сюрприза. Надеюсь, что теперь внезапная пропажа иксов в уравнении не поставит вас навечно в тупик. Дело вполне знакомое.)

        И тут слышу закономерный вопрос: а в ОГЭ или ЕГЭ они будут? На ЕГЭ сами по себе в качестве задания — нет. Слишком уж простенькие. А вот в ОГЭ или в текстовых задачках — запросто! Так что теперь — тренируемся и решаем:

        Ответы (в беспорядке): -2; -1; любое число; 2; нет решений; 7/13.

        Всё получилось? Отлично! У вас неплохие шансы на экзамене.

        Что-то не сходится? Гм… Печалька, конечно. Значит, где-то пока есть пробелы. Либо в основах, либо в тождественных преобразованиях. Либо же дело в банальной невнимательности. Перечитайте урок ещё раз. Ибо не та это тема, без которой можно вот так легко обойтись в математике…

        Удачи! Она вам обязательно улыбнётся, поверьте!)

Линейные уравнения 7 класс | Алгебра

Линейные уравнения, решение которых начинается в курсе алгебры (7 класс) — это уравнения вида

где a и b — числа, x — переменная.

Уравнения, сводящиеся к виду ax=b при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей на число, отличное от нуля (то есть при помощи равносильных преобразований), также часто называют линейными (правильнее называть их уравнениями, сводящимися к линейным).

Рассмотрим примеры уравнений, сводящихся к линейным, которые встречаются в начале курса алгебры 7 класса.

Раскрываем скобки. Если перед скобками стоит множитель, умножаем этот множитель на каждое слагаемое в скобках. Если перед скобками стоит знак «+», знаки  не меняем. Если перед скобками стоит знак «-«, знаки меняем на противоположные:

Неизвестные слагаемые переносим в одну сторону, известные — в другую. При переносе знаки слагаемых меняем на противоположные:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Ответ: -9.

Раскрываем скобки:

Неизвестные слагаемые перенесём в левую часть, известные — в правую. Знак каждого слагаемого при переносе из одной части уравнения в другую меняем на противоположный:

(Обратите внимание: хотя сумма слагаемых  с переменной равна нулю, результат записываем не как 0, а как 0x).

Какое бы число мы не подставили в это уравнение вместо x, получим верное равенство.

Ответ: x — любое число.

Раскрываем скобки:

Можно сначала привести подобные слагаемые, чтобы упростить уравнение:

а уже потом перенести: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую:

Это уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

Раскрываем скобки:

Приводим подобные слагаемые:

Переносим неизвестные слагаемые в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Ответ:

В следующий раз рассмотрим сводящиеся к линейным уравнениям уравнения с дробями.

Линейные уравнения (ЕГЭ — 2021)

Начнем сразу же с примера

\( \displaystyle 4x=16\)

Смотрим и соображаем: что нам не нравится в этом примере? Неизвестное все в одной части, известные – в другой, но что-то нам мешает… И это что-то – четверка, так как если бы ее не было, все было бы идеально – икс равен числу – именно так, как нам и нужно!

Как можно от неё избавиться? Перенести вправо мы не можем, так как тогда нам нужно переносить весь множитель (мы же не можем ее взять и оторвать от \( \displaystyle x\)), а переносить весь множитель тоже не имеет смысла…

Пришло время вспомнить про деление, в связи с чем разделим все как раз на \( \displaystyle 4\)! Все – это означает и левую, и правую часть.{2}}-12x+6x+36+9=0\\-6x=-45\end{array}\)

Как ты видишь, иксы в квадрате исчезли, и здесь совершенно обычное линейное уравнение. Осталось только найти \( \displaystyle x\)!

\( \displaystyle x=\frac{-45}{-6}=7,5\)

И напоследок скажу еще одну очень важную вещь про тождественные преобразования.

Простейшие линейные уравнения | Математика

Простейшие линейные уравнения — это уравнения вида

где a и b — некоторые числа.

Чтобы решить линейное уравнение, надо обе части уравнения разделить на число, стоящее перед x:

Но делить на нуль нельзя. Поэтому линейные уравнения вида ox = b и ox =o решаются иначе.

Рассмотрим уравнение

Какое бы число мы не подставили в это уравнение вместо x, при умножении его на нуль в левой части получится нуль. А в правой — число, отличное от нуля. То нет значений x, при которых уравнение обратилось бы в верное числовое равенство. Значит, это уравнение не имеет корней.

Какое бы значение мы не подставили вместо x в данное уравнение, в левой части при умножении на нуль получится нуль. В правой части — также нуль. Значит,  решением данного линейного уравнения является любое число.

Таким образом, решение и количество корней линейного уравнения зависит от числа, стоящего перед x:

Замечание: 

Любое число можно разделить на 2, 5 и числа, которые можно представить только в виде произведения двоек и пятерок (например, 10=2∙5, 40=2∙2∙5). При делении на все остальные числа ответ записываем не в виде десятичной, а в виде обыкновенной дроби или смешанного числа.

Примеры простейших линейных уравнений:

1) 3x=-24

Это — линейное уравнение. Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

x=24:3

x=8.

Ответ: 8.

2) -7x=5

Это — линейное уравнение. Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом. Ответ записываем в виде обыкновенной дроби:

Ответ: -5/7.

3) 12y=20

Это — линейное уравнение. Обе части уравнения делим на число, стоящее перед y:

Сокращаем дробь на 4:

Получили неправильную дробь. Выделяем целую часть:

Ответ: 1  2/3.

4) 0x=8

Данное уравнение не имеет решений, поскольку при умножении на нуль любого числа в левой части получится нуль, а в правой — 8, то есть нет таких значений x, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство.

Ответ: корней нет.

Как новый алгоритм преодолевает ограничение скорости решения линейных уравнений

Сантош Вемпала и Ричард Пенг из Технологического института Джорджии, придумали новый, более быстрый способ решения некоторых систем линейных уравнений, «рабочую лошадку современных вычислений». Используя случайность, новый алгоритм предлагает принципиально новый — и более быстрый — способ выполнения одного из самых простых вычислений в математике и информатике.

Учащиеся начальной школы на уроках математики, вероятно, сталкиваются с учителями, которые предостерегают их от простого угадывания ответа при решении задачи. Но новое доказательство показывает, что на самом деле правильное предположение иногда бывает лучшим способом решения систем линейных уравнений (одно из фундаментальных вычислений в математике).

В результате это доказательство устанавливает первый метод, способный превзойти то, что ранее было жёстким ограничением скорости решения некоторых задач этих типов.

«Это одна из самых фундаментальных вычислительных задач, — сказал Марк Гисбрехт из Университета Ватерлоо. — Теперь у нас есть доказательство того, что мы можем вычислять быстрее».

Новый метод, предложенный Ричардом Пенгом и Сантошем Вемпала из Технологического института Джорджии, был опубликован в июле и представлен в январе на ежегодном симпозиуме ACM-SIAM по дискретным алгоритмам, где он получил награду за лучшую работу. 

Линейные системы включают в себя два или более уравнений с переменными, которые показывают различные способы отношения между элементами. Системы «линейны», так как единственная допустимая степень в точности равна 1, а графики решений уравнений образуют плоскости.

Типичный пример линейной системы — также, вероятно, знакомый студентам-математикам — включает в себя скотный двор, заполненный курами и свиньями. Сколько там кур и свиней, если известно, что имеется 10 голов и 30 ног? По мере изучения алгебры студенты знакомятся с определённой процедурой решения этой задачи: записать систему из двух алгебраических уравнений и решить её. 

Однако линейные системы способны на большее, чем просто подсчёт кур и свиней. Они возникают во многих практических ситуациях. Например, строительство более прочного моста или более незаметного самолёта может включать решение систем с миллионами взаимозависимых линейных уравнений. С более фундаментальной точки зрения, линейные системы возникают во многих основных задачах оптимизации в информатике, которые включают в себя поиск наилучших значений для набора переменных в рамках системы ограничений. Если мы сможем быстрее решать линейные системы, то мы также сможем быстрее решать и эти задачи.

«Линейные системы — рабочая лошадка современных вычислений», — считает Вемпала.

В новом доказательстве найден более быстрый способ решения большого класса линейных систем, обходя один из основных методов, обычно используемых в этом процессе. Этот метод, называемый матричным умножением, ранее установил жёсткое ограничение скорости вычисления линейных систем. Он по-прежнему используется в данной работе, но в дополнительной роли. Авторы связывают его с новым подходом, который, по сути, является формой обученного гадания.

«Вы можете угадать свой путь к решениям», — сказал Пенг. И ни один учитель не рассердится на вас за это.

Математика скотного двора

Чтобы получить представление о линейных системах и способах их решения, давайте вернёмся на скотный двор, но представим, что теперь это больше похоже на зверинец: куры, однорогие носороги и двурогие козы. Вы делаете быстрый подсчёт и определяете, что имеется 12 голов, 38 ног и 10 рогов. Можете ли вы выяснить, сколько там животных каждого вида?

Чтобы продолжить, назначьте переменную каждому виду животных (c — для кур, r — для носорогов, g — для коз) и напишите уравнение для каждого признака. Числа, или коэффициенты, перед каждой переменной отражают количественную характеристику признака, которым обладает каждое животное.

Теперь у вас есть три уравнения и три неизвестных.

Один из способов их решения — это преобразовать одно уравнение, выразив одну переменную через две другие. Например, 0c + 1r + 2g = 10 превращается в r = 10 – 2g. Подставьте это выражение вместо r в два других уравнения и продолжите эту процедуру, пока все переменные не будут определены в терминах всего одной переменной, для которой можно найти точное решение. Затем вы можете повторить этот процесс, используя найденную переменную, чтобы найти решение для следующей переменной.

Ещё один, более сложный, способ поиска решения — создать матрицу, элементами которой служат коэффициенты уравнений. Три уравнения превращаются в эту матрицу. 

Далее неизвестное количество кур, носорогов и коз мы представляем другой матрицей.

Наконец, мы представляем наблюдаемое количество голов, ног и рогов третьей матрицей.

Мы можем объединить эти три матрицы в единую линейную систему, где первая матрица, умноженная на матрицу с переменными элементами, равна третьей матрице — в этот момент мы можем найти решение для второй матрицы с помощью линейной алгебры. 

При преобразовании уравнений или использовании матричного подхода, в конечном счёте, для решения задачи выполняется одно и то же общее количество вычислительных шагов. Это число равно количеству переменных системы в кубе (n³). В этом случае у нас три переменных, так что решение занимает 3³ = 27 вычислительных шагов. Если бы у нас было четыре вида животных и четыре уравнения, для решения задачи потребовалось бы 4³ = 64 шага.

За последние 50 лет исследователи нашли способы более эффективного выполнения этой процедуры. Часто можно применять более короткие пути — способы повторного использования или комбинирования операций, которые позволяют решать линейные системы за меньшее количество шагов.

Сантош Вемпала и Ричард Пенг

В конечном счёте всё сводится к тому, что решение любой линейной системы можно свести к матричному умножению, которое на данный момент, по крайней мере теоретически, можно выполнить за n^2,37286 шагов.

В различных технических применениях требуется решать линейные системы еще быстрее — потенциально за n² шагов. Мы используем матричное умножение, потому что это лучший доступный инструмент, но это не означает, что своего открытия не ожидает ещё лучший инструмент. 

«Нет никаких причин для того, чтобы эта проблема решения линейных систем зависела от улучшений матричного умножения», — сообщил Вемпала.

Угадывание решений

Для понимания нового и усовершенствованного инструмента нужно помнить о другом устоявшемся методе решения линейных систем. Это интуитивный способ, к которому можно обратиться, впервые столкнувшись со стаей кур, грохотом носорогов и перевозкой коз, собранных вместе: угадайте значения всех переменных, подставьте их в уравнения, проверьте, как далека от истины эта догадка, и угадайте снова.

К этому «итеративному подходу» часто прибегают инженеры и учёные. Это хорошо работает для многих практических задач, потому что эксперты, как правило, не гадают вслепую, что сокращает количество итеративных догадок, которые они должны сделать, прежде чем найти решение.

«При решении реальных научных вычислительных задач люди проявляют очень хорошую интуицию, относительно того, какими должны быть ответы», — сказал Пенг.

Итеративные методы полезны в конкретных случаях, когда интуиция может оказать некоторую поддержку. Они также полезны в более общем случае, когда линейная система, которую вы пытаетесь решить, имеет большое количество переменных, коэффициенты при которых равны нулю.

Эта особенность присутствует — и полезна — в примере со скотным двором, где самый простой признак, используемый при решении, — рога. Почему? Поскольку у цыплят нет рогов, член в уравнении, соответствующий цыплятам, исчезает, и задача с тремя видами животных сводится к задаче фактически для двух переменных. Убрав рога из расчётов, вы можете с помощью полученной информации быстро решить уравнения для ног и голов. 

В более сложных линейных системах этот тип отношений, в котором не все признаки относятся ко всем переменным, может быть широко распространён. В системе могут быть миллионы переменных и миллионы уравнений, но каждое уравнение может включать только небольшое количество общих переменных. Линейные системы такого типа называются «разреженными», что отражает тот факт, что большинство переменных входит в большинство уравнений с нулевыми коэффициентами. Такая ситуация часто возникает в реальных линейных системах. И именно в таких системах итеративные методы могут превосходить матричное умножение.

«Это работает только в случае достаточно разреженных матриц», — сказал Уильямс.

Но до этой новой работы никому не удавалось доказать, что итеративные методы всегда быстрее матричного умножения для всех разреженных линейных систем.

Согласованная случайность

В новом методе Пенга и Вемпала используется усовершенствованная версия стратегии итеративных догадок: вместо того чтобы делать только одну догадку, их алгоритм делает много догадок параллельно. Такой подход ускоряет поиск, точно так же и вы быстрее найдёте драгоценный камень в лесу, если поиском занято много людей одновременно.

«Именно параллелизм отвечает за волшебство», — отметил Гисбрехт. 

Может показаться очевидной польза сортировки нескольких одновременных догадок, но это усложняет работу стратегии. Эффективность нового алгоритма во многом зависит от умения делать первоначальные догадки, порождающие итеративный процесс, и разумно объединять плоды параллельных догадок в один окончательный ответ.

Если вернуться к примеру скотного двора, алгоритм может сделать три первоначальных догадки, где каждая догадка — это матрица 3 на 1, определяющая количество кур, носорогов и коз. Алгоритм проверяет, насколько далека от истины каждая догадка, а затем делает новые догадки, продолжая параллельные потоки догадок.

Ключ к конечному успеху алгоритма заключается в том, что три первоначальные догадки он делает случайным образом. Случайность может показаться не очень хорошей основой для догадок, но как универсальный метод она имеет свои преимущества, особенно при решении огромных задач. А именно благодаря случайности вы не будете непроизвольно смещать свой поиск в сторону одной части задачи, потенциально пренебрегая областью, в которой находится фактическое решение. 

«Я должен убедиться, что все мои догадки достаточно случайны, чтобы охватывать все возможные комбинации, — сказал Пенг. — Это ужасный способ делать догадки, который в конечном счёте становится предпочтительным методом, поскольку задача становится очень большой».

Большая часть сложной технической работы в статье Пенга и Вемпала включает в себя доказательство того, что различные нити случайных догадок также работают сообща, включая любую конкретную догадку, которая на самом деле является решением задачи. 

«Существует согласованная случайность», — сказал Вемпала.

Это означает, что случайные догадки не только учитывают точные значения самих догадок, но и охватывают все потенциальные догадки, лежащие между ними. Это похоже на ситуацию, когда два человека ведут поиск в лесу и просматривают не только землю перед собой, но и всю линию видимости между ними. 

«Также покрыта вся область между двумя [догадками]», — сказал Вемпала.

Эта функция поиска гарантирует, что алгоритм где-то обнаружит решение. Но сама по себе она не определяет, что такое решение в действительности. Для этого — чтобы фактически взять решение в свои руки — Пенг и Вемпала должны доказать кое-что ещё.

Алгоритм отслеживает свои случайные догадки, как записи в матрице. Поиск решения среди записей в матрице становится вопросом матричного умножения, что, конечно, является препятствием, которое они намеревались обойти. Но и здесь они пользуются преимуществами случайности, которую использовали для заполнения записей в матрице.

Поскольку записи в матрице случайны и между ними осуществляется координация, сама матрица приобретает определённые симметрии. Эти симметрии делают возможным применение сокращённых способов вычислений. Как и в случае с любым высокосимметричным объектом, достаточно знать, как выглядит одна его часть, чтобы восстановить его целиком. 

В результате алгоритм Пенга и Вемпала может найти решение для такой матрице быстрее, чем для матрицы с тем же числом элементов, но без полезных симметрий. Симметрии матрицы также дают ещё одно важное преимущество: они помогают гарантировать, что догадки (в отношении значений переменных) никогда не вырастут настолько большими, что станут громоздкими, с точки зрения алгоритмической эффективности.

По теме:

1. Mathematicians Discover the Perfect Way to Multiply

2. On Your Mark, Get Set, Multiply

3. A New Approach to Multiplication Opens the Door to Better Quantum Computers

«Нам пришлось контролировать, насколько велико появляющееся число, когда мы делаем эту догадку и координацию», — сказал Пенг. 

Пенг и Вемпала доказывают, что их алгоритм может найти решение любой разреженной линейной системы за n^2,332 шагов. Этот результат превосходит показатель степени для лучшего алгоритма матричного умножения (n^2,37286) примерно на четыре сотых. Это небольшое улучшение матричного умножения в ближайшее время не будет иметь значения для практических применений, но как доказательство правильности концепции оно представляет собой целую пропасть: оно показывает, что есть качественно лучший способ решения линейных систем.

«С философской точки зрения, мы раньше не знали, есть ли способ вычислений, более быстрый, чем матричное умножение», — сказал Вемпала. Но теперь мы знаем.

А если вам хочется подтянуть свои знания алгоритмов или математики — то будем рады видеть вас в числе наших студентов на курсах «Алгоритмы и структуры данных» и «Математика для Data Science». Возможно, именно вы создадите алгоритм, который поставит новый рекорд скорости вычислений.

Узнайте, как прокачаться в других специальностях или освоить их с нуля:

Другие профессии и курсы

ПРОФЕССИИ

КУРСЫ

§ 5. Линейное уравнение с одной переменной

Тема урока: § 5. Линейное уравнение с одной переменной. Навык решения линейных уравнений проверяется на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ и необходим для решения текстовых задач.

Существуют ли такие значения переменной $x$, при которых соответственные значения выражений $3x$ и $x+8$ равны? Чтобы ответить на этот вопрос, надо решить уравнение:

$$3x=x+8$$

При $x$, равном $4$, значения левой и правой частей уравнения равны. Число $4$ называют решением или корнем данного уравнения.

Определение:
Корень уравнения с одной переменной — это число, обращающее данное уравнение в верное равенство.

Решить уравнение — значит найти множество всех его корней.

Линейное уравнение

Определение:
Каждое алгебраическое уравнение с одним неизвестным, степень которого равна единице называется линейным уравнением.

В общем виде линейное уравнение имеет вид:

$$kx+b=0$$

Где $k$ и $b$ — произвольные числа.

Примеры линейных уравнений

Приведём несколько примеров линейных уравнений:

1. Уравнение $x+5=8$ имеет корень $3$. Этот корень единственный, так как при $x3$ больше $8$.

2. Уравнение $(x+2)(x-1)(x-7)=0$ имеет три корня: $-2$, $1$ и $7$, так как каждое из этих чисел обращает уравнение в верное равенство, а при всех других значениях $x$ ни один из множителей (а значит, и их произведение) не равен нулю.

3. Уравнение $x+3=x-1$ совсем не имеет корней, так как при любых $x$ значение выражения, стоящего в левой части уравнения, на $4$ больше соответственного значения выражения, стоящего в правой части. Множество корней этого уравнения пустое.

4. Уравнение $x=|x|$ имеет бесконечное множество корней. Любое положительное число или нуль является его корнем.

5. Уравнение $5(x+8)=40+5x$ также имеет бесконечное множество корней, причем любое значение $x$ является его корнем, так как выражения $5(x+8)$ и $40+5x$ тождественно равны.{2}-1=0$

   $(x-3)(x+5)=0$

   $\left | x \right |=2$

   Свойства линейных уравнений

   Линейные уравнения обладают рядом специфических свойств, рассмотрим их:

   1. Любое слагаемое можно переносить в противоположную сторону равенства, но при этом слагаемое меняет знак. Покажем на примере равенства:

      $$x+2=0 \Rightarrow x=-2$$

      Смена знака связана с тем, что мы вправе прибавлять к обоим частям уравнения одно и то же число (смысл уравнения от этого не меняется).

      $$x+2+(-2)=0+(-2)$$

      $$x+0=0-2 \Rightarrow x=-2$$

   2. Каждую часть равенства можно умножать, делить на одно и то же число отличное от нуля (смысл уравнения от этого не меняется). Покажем на примере того же равенства, домножив обе части на число четыре:

   $$x+2=0 \Rightarrow (x+2)\cdot 4=0\cdot 4$$

   $$4x+8=0$$

   Равносильные уравнения

   Рассмотрим три уравнения:

   1. $(x+2)(x-3)=0$

   2. $x(x+2)(x-3)=0$
      Уравнение (1) имеет два корня: $-2$ и $3$, а уравнение (2) — три корня: $0$, $-2$ и $3$. Каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2), но не каждый корень уравнения (2) является корнем уравнения (1).

      При $x=0$ второе уравнение обращается в верное равенство, а первое — нет.

   3. Уравнение $x(x+2)=3(x+2)$ имеет два корня: $-2$ и $3$.

   Каждое решение уравнения (3) является решением уравнения (1) и каждое решение уравнения (1) является решением уравнения (3). Такие уравнения называются равносильными.

   Важно!
   У равносильных уравнений множества их решений совпадают.

   Понятие равносильности уравнений распространяется и на уравнения с несколькими переменными. Например, два уравнения с переменными $x$ и $y$ считаются равносильными, если каждое решение первого уравнения является решением второго и каждое решение второго уравнения служит решением первого.

   Пусть первое уравнение $P(x)=0$, а второе $Q(x)=0$ и если они равносильны, то имеет место знак равносильности:

   $$P(x)=0\Leftrightarrow Q(x)=0$$

   В дальнейшем мы будем часто использовать такую символику.

   Свойства равенств

   Можно ли, не решая уравнений $2x-5=9$ и $2x=14$, утверждать, что они равносильны? Ответить на этот вопрос помогут нам хорошо известные свойства равенств. Перечислим их:

   1. Рефлексивность. Любое число равно самому себе: $a=a$.

   2. Симметричность. Если одно число равно другому, то это второе число равно первому: если $a=b$, то $b=a$.

   3. Транзитивность. Если первое число равно второму, а второе равно третьему, то первое число равно третьему: если $a=b$ и $b=c$, то $a=c$.
      Свойствами, аналогичными указанным свойствам равенств, обладают многие соотношения. Например, параллельность (в множестве прямых плоскости) обладает симметричностью и транзитивностью.

      Действительно, если $a||b$, то $b||a$; если $a||b$ и $b||c$, то $a||c$. Равносильность уравнений обладает всеми тремя свойствами. В самом деле, каждое уравнение равносильно самому себе; если одно уравнение равносильно другому, то второе равносильно первому; если одно уравнение равносильно второму, а второе — третьему, то первое уравнение равносильно третьему.

      Приведем еще два свойства равенств, которые нам понадобятся дальше:

   4. Если к обеим частям верного равенства прибавить одно и тоже число, то получится верное равенство: если $a=b$, то

      $$a+c=b+c$$

   5. Если обе части верного равенства умножить на одно и то же число, то получится верное равенство: если $a=b$, то

      $$a\cdot c=b\cdot c$$

   Примеры решения уравнений

   Свойства равенств используются при решении уравнений. Покажем это на примере.

   Задача 1.
   Пусть нужно решить уравнение: $6x-42=0$

   Показать решение
   ↕

   Решение:

   Прибавим к левой и правой частям уравнения число $42$ (перенесем $-42$ в правую часть уравнения с противоположным знаком).

   Получим уравнение: $6x=42$

   Если при некотором значении $x$ равенство верно, то верно и равенство которое мы получили, и, наоборот, если при некотором значении $x$ верно равенство которое мы получили, то верно и исходное равенство. Это следует из свойства 4. Значит, уравнения равносильны.

   $$6x-42=0\Leftrightarrow6x=42$$

   Умножим обе части уравнения на $\frac{1}{6}$ (разделим на $6$). Получим уравнение: $x=7$

   Из свойства 5. следует, что последние два уравнения равносильны:

   $$6x=42 \Leftrightarrow x=7$$

   Следовательно равносильны и уравнения (так как равносильность обладает свойством транзитивности): $6x-42=0 \Leftrightarrow x=7$

   Значит число $7$ есть корень исходного уравнения.

   Ответ: $x=7$

   Рассмотренный пример показывает, что перенос членов уравнения из одной его части в другую с противоположным знаком и умножение (или деление) обеих частей уравнения на неравное нулю число приводят к уравнению, равносильному данному.

   Задача 2.
   Решите уравнение: $\frac{3}{4}x-\frac{5x}{16}=2$

   Показать решение
   ↕

   Решение: $\frac{3}{4}x-\frac{5x}{16}=2$

   Приведем все слагаемые левой части уравнения к общему знаменателю:

   $$\frac{3x}{4}\cdot\frac{4}{4}-\frac{5x}{16}=2$$

   $$\frac{12x}{16}-\frac{5x}{16}=2$$

   $$\frac{12x-5x}{16}=2$$

   $$\frac{7x}{16}=2$$

   Домножим обе части равенства на $\frac{16}{7}$ чтобы избавиться от коэффициента при неизвестном, получим:

   $$\frac{7x}{16}\cdot\frac{16}{7}=2\cdot\frac{16}{7}$$

   Сократим числа $7$ и $16$, получим:

   $$x=\frac{32}{7}$$

   Ответ: $x=\frac{32}{7}$

   Общий вид решений линейного уравнения

   Решим уравнение: $kx+b=0$

   Очевидно, решение зависит от наших параметров $k$ и $b$, поэтому рассмотрим несколько сюжетов, которые встречаются при решении линейных уравнений.

   Шаг 1.

   Коэффициент при неизвестной $k$ будет равняться нулю, а свободный член $b$ отличным от нуля.

   $$k=0, b\neq 0 \Rightarrow 0\cdot x=-b$$

   Заметим, в этом случае не найдется такого числа $x$, что при подстановке его в уравнение — получится верное равенство. Т.к при умножении на 0 мы не получим число отличное от нуля, стало быть — решений нет.
   Обычно это записывается так:
   $$x\in \oslash$$
   что переводится как: $x$ принадлежит пустому множеству.

   Шаг 2.

   Коэффициент при неизвестной и свободный член отличны от нуля:

   $$k\neq 0, b\neq 0 \Rightarrow kx=-b \Rightarrow x=\frac{-b}{k}$$

   Т.е. $x$ принимает действительное и единственное решение в виде отношения двух чисел: $-b$ и $k$

   Шаг 3.

   Числа $k$ и $b$ принимают значения равное нулю, т.е:

   $$k=0, b=0 \Rightarrow kx=-b \Rightarrow 0\cdot x=0$$

   Очевидно, что какой бы $x$ мы не взяли — равенство будет верным, т.к, при умножении на 0 получим 0.
   Тогда говорят, что $x$ — любое число, либо $x$ принадлежит всем действительным числам. Запись имеет такой вид:

   $$x\in \mathbb{R}$$

   В данном случае решение можно записать несколькими способами, например с помощью двойного неравенства:

   $$-\infty <x< \infty$$

   Такая запись означает, что $x$ лежит в промежутке от минус бесконечности до плюс бесконечности. (Бесконечность это не число, поэтому неравенство строгое).
   Еще можно написать ответ в виде интервала:

   $$x\in(-\infty;\infty)$$

   Знак “$\in$” можно заменить словом “принадлежит”, этот символ называется квантором принадлежности. Тогда говорят, что $x$ принадлежит любому числу из данного интервала.

   При решении уравнений, обычно мы задаемся вопросом: чему равно значение переменной? или, какое число при подстановке вместо неизвестной делает равенство верным?

   И решением линейного уравнения называется — корень уравнения, а значит наша задача привести уравнение к виду:

   $$x=…$$

   Задачи для самостоятельного решения

   Условие

   Задача №1.

   Найдите корень уравнения: $0,9x-0,6(x-3)=2(0,2x-1,3)$

   Решение

   $$0,9x-0,6(x-3)=2(0,2x-1,3)$$

   Раскроем скобки и приведем подобные.

   $$0,9x-0,6x+1,8=0,4x-2,6$$

   $$0,3x+1,8=0,4x-2,6$$

   Перенесем слагаемые содержащие неизвестную в одну часть, а остальные в другую.

   $$1,8+2,6=0,4x-0,3x$$

   $$4,4=0,1x$$

   Домножим обе части равенства на $10$, тогда получим:

   $$x=44$$

   Ответ: $x=44$

   Условие

   Задача №2.

   Решите уравнение: $-36(6x+1)=9(4-2x)$

   Решение

   $$-36(6x+1)=9(4-2x)$$

   Раскроем скобки в обеих частях равенства.

   $$-216x-36=36-18x$$

   Перенесем переменные вправо, а остальные слагаемые влево.

   $$-36-36=-18x+216x$$

   Приведем подобные.

   $$-72=198x$$

   Разделим обе части уравнения на $198$ и получим ответ:

   $$x=\frac{-72}{198}$$

   Сократим дробь на $18$.

   $$x=-\frac{4}{11}$$

   Ответ: $x=-\frac{4}{11}$

   Условие

   Задача №3.

   Чему равен наибольший корень уравнения: $(1,8-0,3y)(2y+9)=0$?

   Решение

   $$(1,8-0,3y)(2y+9)=0$$

   Для решения уравнения нужно воспользоваться свойством произведения. Произведение равно нулю, тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а значит одно из выражений в скобках должно равнятся нулю. Рассмотрим первый случай:

   $$1,8-0,3y=0\Rightarrow 1,8=0,3y$$

   После переноса слагаемых домножим обе части равенства на $10$ и поделим на $3$.

   $$\frac{1,8\cdot 10}{3}=\frac{0,3y\cdot 10}{3}$$

   $$\frac{18}{3}=\frac{3y}{3}$$

   $$y=6$$

   Теперь рассмотрим второй случай:

   $$2y+9=0$$

   $$2y=-9$$

   Разделим обе части равенства на $2$.

   $$y=\frac{-9}{2}$$

   $$y=-4,5$$

   Как мы видим у нас получилось два корня, при которых уравнение обращается в $0$. Для ответа выберем наибольший из данных, т.е:

   $$y=6$$

   Ответ: $y=6$

   Условие

   Задача №4.

   Найдите корень уравнения:

   $$\frac{3m+5}{4}=\frac{5m+1}{3}$$

   Решение

   $$\frac{3m+5}{4}=\frac{5m+1}{3}$$

   Вспомним, что все наши действия должны быть направлены на приведение уравнения к виду: $x=…$
   Поэтому домножим обе части равенства на общий знаменатель $12$, т.е на $4$ и $3$.

   $$\frac{3m+5}{4}\cdot \frac{4\cdot 3}{1}=\frac{5m+1}{3}\cdot \frac{4\cdot 3}{1}$$

   После сокращения слева на $4$, а справа на $3$ получим:

   $$(3m+5)\cdot 3=(5m+1)\cdot 4$$

   Раскроем скобки.

   $$3m\cdot 3+5\cdot 3=5m\cdot 4+1\cdot 4$$

   $$9m+15=20m+4$$

   В данном случае $9m$ удобно перенести вправо, так как не придется избавляться от минуса. Сделаем перенос слагаемых, приведем подобные и получим ответ.

   $$15-4=20m-9m$$

   $$11=11m$$

   $$m=1$$

   Ответ: $m=1$

   Условие

   Задача №5.

   При каком значении $a$ уравнение: $3ax=12-x$ имеет корень, равный числу $-9$?

   Решение

   $$3ax=12-x$$

   Если подставить вместо переменной $x$ число $-9$, то получим $a$ при котором эта ситуация имеет место.

   $$3a\cdot (-9)=12-(-9)$$

   Обратим внимание на правую часть равенства и воспользуемся свойством:

   Если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии все знаки стоящие в скобках меняются на противоположные.

   $$-27a=12+9$$

   $$-27a=21$$

   Разделим обе части уравнения на число $-27$, получим:

   $$a=\frac{21}{-27}$$

   Сокращаем правую часть равенства на $3$ и получаем окончательный ответ.

   $$a=-\frac{7}{9}$$

   Ответ: $a=-\frac{7}{9}$

   ←

   Следующая тема

   Linear Equations Пошаговое решение математических задач

   6.2 Решение линейных уравнений

   Уравнения вида ax + b = 0 называются линейными уравнениями относительно переменной x. В этом разделе нас будет интересовать проблема решения линейных уравнений и уравнений, которые сводятся к линейным уравнениям.

   Мы определяем два уравнения как эквивалентные, если они имеют один и тот же набор решений. Следующие две операции над уравнением всегда приводят к новому уравнению, эквивалентному исходному.Эти операции, иногда называемые элементарными преобразованиями, следующие:

   T.1 Одно и то же выражение, представляющее действительное число, может быть добавлено к обеим сторонам уравнения.

   T.2 Одно и то же выражение, представляющее ненулевое действительное число, может быть умножено на обе части уравнения.

   Используя эти операции, мы можем преобразовать уравнение, набор решений которого не очевиден, с помощью ряда эквивалентных уравнений, в уравнение, которое имеет очевидный набор решений.

   Пример 1. Решите уравнение

   (а) 2x-3 = 4 + x

   Добавьте -x к обеим сторонам, чтобы получить

   -x + 2x-3 = -x + 4 + x (T.1)

   или x-3 = 4

   Добавьте 3 к обеим сторонам, чтобы получить

   х-3 + 3 = 4 + 3 (Т.1)

   или x = 7

   Поскольку 2x-3 = 4 + x эквивалентно x-3 = 4, что, в свою очередь, эквивалентно x = 7, чье множество решений, очевидно, равно {7}, мы знаем, что множество решений для (a) {7}.

   Давайте посмотрим, как наш решатель линейных уравнений решает эту и подобные проблемы.Нажмите кнопку «Решить похожие», чтобы увидеть больше примеров.

   Пример 2. Решите уравнение

   (б) 1 / 2x + 2/3 = 5 / 2x-1

   Добавьте — (1/2) x к обеим сторонам, чтобы получить

   2/3 = 5 / 2x-1 / 2x-1 (T.1)

   или 2/3 = 2x-1

   Добавьте 1 к обеим сторонам, чтобы получить

   1 + 2/3 = 2x (T.1)

   или 5/3 = 2x

   Умножьте обе стороны на 1/2, чтобы получить

   5/6 = х (Т.2)

   Таким образом, набор решений (b) равен {5/6}.

   Каждое линейное уравнение можно решить так же, как в приведенных выше примерах. Фактически, давайте рассмотрим общее линейное уравнение

   топор + Ь = 0

   Добавьте -b к обеим сторонам, чтобы получить

   топор = -b

   Умножьте обе стороны на 1 / a, чтобы получить

   х = — (б / а)

   , если a a! = 0. Таким образом, общее линейное уравнение имеет своим решением множество {b / a}, если a! = 0. Таким образом, каждое линейное уравнение имеет не более одного решения.

   Следующие два примера относятся к уравнениям, которые сводятся к линейным уравнениям.2 в обе стороны, чтобы получить

   23 + 16лет = 9 + 30лет

   Теперь решаем, как в предыдущих примерах.

   23 + 16лет = 9 + 30лет

   23–9 = 30–16 лет

   14 = 14 лет

   г = 1

   Таким образом, набор решений равен {1}.

   Давайте посмотрим, как наш пошаговый математический решатель решает эту и подобные проблемы. Нажмите кнопку «Решить похожие», чтобы увидеть больше примеров.

   Пример 4. Решите уравнение

   (в) (2x) / (x-1) = 2 / (x-1) +1

   Набор для замены (c) — это все действительные числа, кроме 1.Предполагая, что x! = 1, мы умножаем обе части (c) на x-1, чтобы получить

   (г) 2х = 2 + х-1, х! = 1

   Решая уравнение 2x = 2 + x- 1, мы получаем 1 как единственное решение. Поскольку 1 не является заменой (d), (d) не имеет решения. Кроме того, (c) эквивалентно (d), поэтому (c) не имеет решения.

   6.3 Решение буквальных уравнений

   Уравнение, содержащее более одной переменной или содержащее символы, представляющие константы, такие как a, b и c, может быть решено для одного из символов в терминах остальных символов путем применения операций T.1 и Т.2 в предыдущем разделе. Студент столкнется с такими проблемами на других курсах.

   Пример 1. Решите cx-3a = b для x.

   Добавьте 3a с обеих сторон.

   сх = b + 3a

   Умножьте обе стороны на 1 / c.

   х = (b + 3a) / c

   Последнее уравнение выражает x через другие символы.

   Пример 2. Решите 3ay-2b = 2cy относительно y.

   Добавьте 2b к обеим сторонам.

   3ay = 2cy + 2b

   Добавьте -2cy к обеим сторонам.

   3ay-2cy = 2b

   За вычетом y.

   (3a-2c) y = 2b

   Умножить обе стороны на 1 / ((3a-2c))

   у = (2b) / (3a-2c)

   Пример 3. Решите a / x + b / (2x) = c относительно x.

   Умножьте обе стороны на 2x.

   2a + b = 2cx

   2cx = 2a + b

   Умножить на 1 / (2c).

   х = (2a + b) / (2c)

   Мы завершаем этот раздел включением еще двух примеров, подобных тем, с которыми студент может столкнуться в других областях.

   Давайте посмотрим, как наш математический решатель решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить похожие», чтобы увидеть больше примеров.

   Пример 4. Решите A = P (1 + rt) для r.

   Применить закон о распределении.

   А = P + Prt

   Добавьте -P с обеих сторон.

   A-P = Prt

   Умножьте обе стороны на 1 / (Pt).

   (A-P) / (Pt) = r

   Пример 5. Решите 1 / R = 1 / r_1 + 1 / r_2 для r_1.

   Добавьте два члена с правой стороны.

   1 / (R) = (r_2 + r_1) / (r_1r_2)

   Умножить на Rr_1r_2.

   r_1r_2 = R (r_2 + r_1)

   r_1r_2 = Rr_2 + Rr_1

   Добавьте -Rr_1 с обеих сторон.

   r_1r_2-Rr_1 = Rr_2

   Выносим за скобки r_1.

   r_1 (r_2-R) = Rr_2

   Умножить на 1 / (r_2-R).

   r_1 = (Rr_2) / (r_2-R)

   6.4 Решение задач в заявлении

   Одно из фундаментальных приложений алгебры — решение задач, сформулированных на словах.Задача постановки — это словесное описание ситуации, в которой используются как известные, так и неизвестные величины. В этом разделе каждая проблема будет решена с помощью одного уравнения, содержащего одну неизвестную.

   Наша задача — выбрать неизвестное и определить уравнение, которому оно должно удовлетворять. Хотя не существует единого подхода ко всем проблемам, иногда полезны следующие предложения:

   1. Внимательно прочтите проблему, пока ситуация полностью не выяснится.

   2. Определите, какие количества запрашиваются, затем выберите то, которое кажется лучшим для использования в качестве неизвестного.

   3. Установите связь между неизвестным и другими величинами в задаче.

   4. Найдите информацию, которая сообщает, какие две величины равны.

   5. Используйте информацию в (4), чтобы написать уравнение.

   6. Решите уравнение и проверьте решение, чтобы убедиться, что оно соответствует исходной задаче.

   На этом этапе упор будет сделан на преобразование задач постановки в уравнения.Хотя некоторые проблемы можно решить практически путем осмотра, практика, которую мы получаем при составлении уравнений, окажется полезной при решении более сложных задач.

   Пример 1. Если 2 раза прибавить определенное целое число к следующему целому числу подряд, получится 34. Найдите целые числа.
   Шаг 1. Перечитать!
   Шаг 2. Пусть x будет первым целым числом.
   Шаг 3. Тогда x + 1 — следующее целое число подряд.
   Шаг 4., умноженное на 2 определенного целого числа плюс следующее целое число подряд, равно 34.
   Шаг 5. 2x + (x + 1) = 34

   Шаг 6. Решить.

   2x + (x + 1) = 34

   3x + 1 = 34

   3x = 33

   х = 11

   Проверить. 2 * 11 + (11 + 1) = 34

   Пример 2. Боб и Джо вместе заработали 60 долларов. Обоим платили по одинаковой ставке, но Боб работал в три раза дольше, чем Джо. Сколько получил каждый?

   Шаг 1. Перечитать!

   Шаг 2. Пусть x будет количеством долларов, которые получил Джо.

   Шаг 3. Тогда 3x — это количество долларов, которые Боб получил

   Шаг 4. Боб и Джо вместе заработали 60 долларов.
   Шаг 5. 3x + x = 60

   Шаг 6. Решить.

   3х + х = 60

   4x = 60

   х = 15

   3x = 45

   Проверка 3 * 15 + 15 = 60

   Пример 3. Сумма цифр двузначного числа равна 12.Если цифры поменять местами, число уменьшается на 36. Что такое число?

   Шаг 1. Перечитать!

   Шаг 2. Пусть x будет цифрой десятков.

   Шаг 3. Тогда 12 — x — это цифра единиц.

   Шаг 4. Если цифры поменять местами, то число уменьшается на 36

   Шаг 5. 10 (12-x) + x = 10x + (12-x) -36

   Шаг 6. Решить.

   10 (12-х) + х = 10х + (12-х) -36

   = 120-10x + x = 10x + 12-x-36

   = 120-9x = 9x-24

   = 144 = 18x

   = х = 8

   = 12-х = 4

   Следовательно, число 84.

   Проверить. 84-36 = 48

   Пример 4. Сколько фунтов конфет стоимостью 48 центов за фунт нужно добавить к 50 фунтам конфет стоимостью 80 центов за фунт, чтобы владелец магазина мог продать конфеты по 60 центов за фунт?
   Шаг 1. Перечитать!
   Шаг 2. Пусть x будет количеством фунтов 48 центов за фунт леденцов.
   Шаг 3. Тогда 50 + x будут фунтами конфет, которые он получит по цене 60 центов за фунт.
   Шаг 4. Количество конфет по 48 центов за фунт, умноженное на 48 центов, плюс количество конфет по 80 центов за фунт, умноженное на 80 центов, должно быть равно количеству леденцов по 60 центов за фунт, умноженным на 60 центов.
   Шаг 5. (48 / фунт) (x фунт) + (80 ¢ / фунт) (50 фунтов) = (60 ¢ / фунт) [(50 + x) фунт]

   Шаг 6. Решить.

   48x + 80 * 50 = 60 (50 + x)

   48x + 4000 = 3000 + 60x

   1000 = 12x

   x = (83 (1) / 3) фунтов

   Проверить. (83 + 1/3) 48 + 80 * 50 = 60 (50 + 83 + 1/3)

   В задачах, связанных со скоростями (или скоростями), будет использоваться формула

   d = rt

   где d — пройденное расстояние, r — скорость, а t — время. При использовании формулы d и r должны быть выражены в одной и той же единице расстояния, а r и t должны быть выражены в одной и той же единице времени.

   Пример 5. Группа студентов поехала к озеру в северном лесу, чтобы порыбачить. Они преодолели 380 миль за 7 часов, из которых 4 часа были по асфальтированной дороге, а оставшееся время — по грунтовой дороге. Если средняя скорость на грунтовой дороге была на 25 миль в час меньше, чем средняя скорость на шоссе, то найдите для каждой части поездки среднюю скорость и пройденное расстояние.

   Шаг 1 . Перечитай!

   Шаг 2. Пусть x будет скоростью на грунтовой дороге.

   Шаг 3. Тогда x + 25 — скорость по шоссе.

   Шаг 4. Расстояние, пройденное по шоссе плюс расстояние, пройденное по грунтовой дороге, равно 380 милям.

   Шаг 5. Так как d = rt, имеем

   [(x + 25) (миль) / (час)] (4 часа) + [x (миль) / (час)] (3 часа) = 380 миль

   Шаг 6. Решить.

   (х + 25) 4 + 3x = 380

   4x + 100 + 3x = 380

   7x = 280

   x = 40 миль в час

   x + 25 = 65 миль в час

   Проверить.(40 + 25) 4 + 40 * 3 = 380

   Рабочие задачи, связанные с производительностью, часто можно решить, сначала найдя дробную часть задачи, выполняемой каждым человеком или машиной за одну единицу времени, а затем найдя уравнение, которое связывает эти различные дробные части.

   Пример 6. Мальчик может стричь газон за 4 часа, а отец — за 3 часа. Сколько времени им потребуется, чтобы вместе стричь один и тот же газон?

   Шаг 1. Перечитать!

   Шаг 2. Пусть x будет количеством часов, которое им потребуется, чтобы стричь газон Работая вместе.

   Шаг 3 . В качестве единицы времени выберите один час. Теперь мальчик может стричь 1/4 лужайки за один час, отец может подстричь 1/3 лужайки за час, и, вместе с тем, они могут подрезать 1/4 лужайки за час.

   Шаг 4. Сумма, которую мальчик вырезал за один час, плюс сумма, которую отец вырезал за один час, равна сумме, которую он может вырезать за один час.

   Шаг 5. 1/3 + 1/4 = 1 / x

   Шаг 6. Решить.

   1/3 + 1/4 = 1 / х

   7/12 = 1 / х

   x = 12/7 часов

   Решение систем линейных уравнений с матрицами

   Legal Matrix Operations

   Рисунок 1

   На Рисунке 1 выше вы можете видеть нормальный
   решение системы уравнений черным шрифтом написание слева. Этот
   Система была решена путем сложения двух уравнений.Это добавление вызвало
   переменная y , которую нужно отбросить, и в результате получилось уравнение с одной переменной. Этот
   позволил нам решить для x . Как только мы узнаем x , мы легко сможем
   найти y .

   Справа на Рисунке 1 выше, в
   синяя надпись , вы можете увидеть аналогичную работу, выполняемую над строками матрицы.
   Строка матрицы 1,1,8 просто представляет уравнение: 1 x + 1 y = 8.
   Таким образом, строка матрицы — это просто коэффициенты из уравнения.Матрица
   ряд 1, -1,4
   представляет собой уравнение:
   1 x — 1 y = 4.

   Так же, как для нас это законное добавление двух уравнений
   слева мы можем добавлять в строки справа. Вы можете это увидеть
   в строке с пометкой a + b -> a , где вы видите
   новый ряд 2,0,12. Это просто сумма строк a и b . Следующий ряд обозначен a — b -> b
   показывает результат вычитания строки b из строки a , а именно,
   0,2,4.

   Последний раздел справа показывает, что просто
   так как разрешено умножать уравнение на число или делить уравнение на
   число, также допустимо умножение или деление строки матрицы на число
   (скаляр).

   Внизу слева краткое изложение юридических
   операции с матрицами. Вы можете законно пройти любую из этих трех процедур.
   Вы также можете выполнить любую комбинацию этих трех операций. Действительно, эти легальные
   операции — это те же юридические операции, которым вы ранее научились
   использовать в алгебре.

   Решение системы уравнений с использованием
   Алгебра

   Рисунок 2

   На рисунке 2 выше мы принимаем решение
   система сначала использует методы алгебры, которые вы должны знать из своей алгебры
   задний план. Система трех уравнений показана вверху слева. Сначала я
   напоминают вам о том, что если вы решаете систему с 3-мя переменными, вы
   нужно 3 уравнения. Если вы решаете систему с 9 переменными, вам нужно 9
   уравнения.В общей ситуации, если вы решаете систему с n
   переменных, вам нужно n уравнений. Итак, вы видите, что для этой системы с 3
   переменных, у нас есть 3 уравнения.

   В процессе решения такой системы мы
   необходимо исключить переменные, пока мы не придем к уравнению с 1 переменной.
   Поэтому нам нужно найти способы легального избавления от некоторых переменных.

   Вы можете заметить, что если вы добавите уравнения a
   и b , вы можете отбросить переменную y .Вы также можете получить
   y, чтобы отбросить, если вы добавите уравнения b и c .

   Теперь у нас осталось 2 уравнения с 2
   переменные. Выше эти уравнения обозначены уравнениями d и e .
   Нам еще нужно избавиться от еще одной переменной. Мы видим, что если мы умножим
   уравнение d на 2, и прибавив его к уравнению e , мы действительно можем решить
   для одной из наших переменных. Получаем, что x = 1.Это не займет слишком много времени
   дольше, чтобы увидеть из уравнения b, что y должен быть равен -2. И наконец,
   подставив x = 1 и y = -2 в уравнение a , мы можем
   найдите, что z должно быть равно -1. Мы не закончим, пока не проверим все три
   приводит к каждому из трех уравнений, с которых мы начали.

   Красная стрелка на рисунке 2 указывает на матрицу
   форму тех же трех уравнений, с которых мы начали. Эта матрица 3 x 4 имеет квадрат
   матрица слева и дополнительный столбец справа.Поскольку в этой матрице
   была добавлена, ее иногда называют расширенной матрицей . Сейчас
   мы будем работать над решением этой же системы, просто используя матрицу.

   Рисунок 3

   На рисунке 3 выше показаны два важных элемента.
   для нашей процедуры матричного решения. В верхней части рисунка 3 вы видите
   «желаемая цель». Это форма, в которой мы хотим, чтобы наша матрица была
   по образцу. Обратите внимание, что мы хотим, чтобы левая часть матрицы стала тождеством .
   матрица .Также будет дополнительный столбец с тремя величинами
   в них. Эти величины a , b и c , причем
   решения системы. Верхняя строка гласит: «1 x + 0 y + 0 z .
   = a «, что фактически говорит:» x = a «.
   вторая действующая строка говорит: « y = b ». Третья линия
   в действительности говорит: « z = c .»Итак, матрица в таком виде
   полностью решено.

   Вторая часть рисунка 3 выше — это
   рекомендуемый стратегический порядок получения левой части матрицы
   преобразованы в единичную матрицу . Причина дать вам
   этот рекомендуемый стратегический порядок состоит в том, чтобы минимизировать или исключить потраченные впустую
   усилие. По мере того, как мы решаем проблему ниже, вы в конечном итоге увидите, что это
   порядок поможет исключить любую бесполезную работу.

   Рисунок 4

   На Рисунке 4 выше мы видим, что 1 в
   второй ряд обведен кружком. Это потому, что в нашем стратегическом плане заказов мы в первую очередь
   преобразовывая эту первую ячейку во вторую строку. Что мы хотим этого
   первая ячейка во второй строке стать? Беглый взгляд на рисунок 3 должен сказать
   нам, что мы хотим, чтобы это было нулем. Как мы можем сделать так, чтобы это стало нулем? Хорошо,
   мы, конечно, должны следовать только юридическим операциям, показанным на Рисунке 1.Один
   план, который достигнет этого, состоит в том, чтобы умножить строку b на -2 и добавить
   Результат для строки . Затем поместим результат в строку b . Этот
   символизируется выше с обозначением -2 b + a -> b .
   Конечно, мы должны выполнить эту операцию для каждого числа в строке b .
   (всего их 4) Во второй матрице вы можете увидеть результат после переноски
   из этой операции.

   Рисунок 5

   Следующее число, которое нам нужно изменить, — это
   нижний левый элемент, обведенный кружком на Рисунке 5 выше. Нам снова нужно это
   число, которое нужно преобразовать в ноль. Мы видим, что строка b не делает
   хорошо. Ноль плюс ничего не меняет. Итак, теперь мы знаем, что у нас есть
   использовать строку a . Мы могли бы взять 3 раза строку a и -2 раза строку c .
   Сложение этих двух вместе даст ноль в первой позиции.Рисунок 5.
   показывает, что произойдет, если вы выполните этот план для всего ряда.

   Фиг.6

   Следующее число, которое нам нужно изменить, — это
   второй элемент в строке c . Нам нужно, чтобы этот элемент был нулем. Это очень
   на данном этапе проблемы важно помнить, что пока мы хотим
   измените второй элемент в строке c , нам нужно защитить ноль, который мы
   ранее поменял на ноль. Чтобы защитить ноль в первом
   позиции, нам нужно работать со строкой, у которой также есть ноль в первом
   должность.Это говорит нам, что нам нужно выполнить операцию, которая включает строку b .
   Наш план состоит в том, чтобы умножить -3 на строку c , прибавить к b и положить c .
   Проделайте эту операцию и посмотрите, получите ли вы тот же нижний ряд, что и на рисунке 6.
   выше.

   Рисунок 7

   Следующее число, которое нам нужно изменить, — это
   второй элемент в строке b . Это первый элемент, который мы хотим
   преобразовать в 1.Вам понравятся эти преобразования. Чтобы преобразовать
   element на 1, требуется только однострочная операция. Все, что вам нужно сделать, это
   разделите каждый элемент строки b на -3. Результаты вернутся в
   ряд б . См. Результаты на Рисунке 7 выше.

   Рисунок 8

   Следующий элемент, который нужно преобразовать
   — третий элемент в строке c . Его нужно преобразовать в 1.
   Преобразование элемента в единицу является самым простым из всех.Опять же, все мы
   необходимо умножить каждый элемент в строке c на -1/20.

   Рисунок 9

   Наше следующее преобразование — это третий элемент в
   ряд б . Этот элемент должен быть нулем. Проблема здесь заключается в том, чтобы
   «защитить» первые два элемента этого ряда, над которыми мы работали
   трудно получить в их нынешнем виде. Два начальных нуля в строке c равны
   идеальная защита для этих двух элементов.Следовательно, мы хотим сделать a b, c
   операция. Наш план состоит в том, чтобы умножить строку c на 1/3 и добавить результат к b .

   Фиг.10

   Два ряда готово! Обратите внимание, что теперь строки b
   и c полностью выполнены. Сейчас мы работаем над преобразованием третьего
   элемент в строке от до нуля. В строке и нет ничего, что
   нуждается в защите. Мы просто вычтем строку из минус строка c и
   верните результат в строку и .

   Рисунок 11

   Теперь нам нужно преобразовать второй элемент в
   ряд в ноль. У нас есть один элемент для защиты в строке a ,
   поэтому мы замечаем, что строка b является идеальной защитой, потому что она имеет ноль в
   третья позиция. Здесь мы можем просто добавить строку a к строке b и положить
   обратно в ряд .

   Рисунок 12

   Последний элемент для преобразования.Потому что это
   элемент должен быть единицей, мы можем просто разделить строку и на 2. Готово!
   Теперь, поскольку матрица имеет единичную матрицу слева, наши ответы таковы:
   сидит в третьем столбце. Система решена.

   Особые ситуации

   Некоторые системы уравнений не имеют решения. Если вы изображаете
   система уравнений выше как система трех линий в трехмерном
   космос.тогда вы можете хорошо представить, что 3 такие линии не должны пересекаться в
   1 общая точка. На самом деле, они довольно редко пересекаются за один
   общая точка.

   При решении матриц мы пытаемся
   левая часть матрицы в единичную матрицу. Если в матрице нет
   решение, то вы увидите матрицы, которые в конечном итоге будут выглядеть так:

   Обратите внимание, что нижняя строка фактически сообщает нам, что 0 * X + 0 * Y
   + 0 * Z = 1, что невозможно.Это наша реплика, что это невозможно
   матрица для поиска единственного решения.

   Другой тип матрицы может возникнуть в результате наших усилий по достижению
   единичная матрица в левой части матрицы. Ниже представлен этот тип:

   Здесь у нас уникальный нижний ряд всех нулей. Алгебраический
   уравнение, которое это представляет, а именно, 0 * X + 0 * Y + 0 * Z = 0, верно. это
   правда, но это определенно ничего не говорит нам о системе
   уравнения.Эта система имеет бесконечно много решений.

   Вы должны уметь распознавать эти два особых типа
   результатов матрицы и что они означают.

   Решение линейных уравнений с одной переменной

   Линейное уравнение — это уравнение прямой, записанное с одной переменной. Единственная степень переменной — 1. Линейные уравнения с одной переменной могут иметь вид [latex] ax + b = 0 [/ latex] и решаются с использованием основных алгебраических операций.

   Мы начинаем с классификации линейных уравнений с одной переменной как одного из трех типов: тождественные, условные или противоречивые. Уравнение идентичности верно для всех значений переменной. Вот пример тождественного уравнения.

   [латекс] 3x = 2x + x [/ латекс]

   Набор решений состоит из всех значений, которые делают уравнение истинным. Для этого уравнения набором решений является все действительные числа, потому что любое действительное число, замененное на [латекс] x [/ латекс], сделает уравнение истинным.

   Условное уравнение верно только для некоторых значений переменной. Например, если нам нужно решить уравнение [латекс] 5x + 2 = 3x — 6 [/ latex], мы получим следующее:

   [латекс] \ begin {array} {l} 5x + 2 \ hfill & = 3x — 6 \ hfill \\ 2x \ hfill & = — 8 \ hfill \\ x \ hfill & = — 4 \ hfill \ end {array} [/ латекс]

   Набор решений состоит из одного числа: [латекс] \ {- 4 \} [/ латекс]. Это единственное решение, поэтому мы решили условное уравнение.

   Непоследовательное уравнение приводит к ложному утверждению.Например, если мы должны решить [латекс] 5x — 15 = 5 \ left (x — 4 \ right) [/ latex], мы имеем следующее:

   [латекс] \ begin {array} {ll} 5x — 15 = 5x — 20 \ hfill & \ hfill \\ 5x — 15 — 5x = 5x — 20 — 5x \ hfill & \ text {Subtract} 5x \ text {from обе стороны}. \ hfill \\ -15 \ ne -20 \ hfill & \ text {Ложный оператор} \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Действительно, [латекс] -15 \ ne -20 [/ латекс]. Нет решения, потому что это противоречивое уравнение.

   Решение линейных уравнений с одной переменной включает фундаментальные свойства равенства и основные алгебраические операции.Ниже приводится краткий обзор этих операций.

   Общее примечание: линейное уравнение с одной переменной

   Линейное уравнение с одной переменной можно записать в виде

   [латекс] ax + b = 0 [/ латекс]

   , где a и b — действительные числа, [латекс] a \ ne 0 [/ латекс].

   Как: дано линейное уравнение с одной переменной, используйте алгебру для его решения.

   Следующие шаги используются для манипулирования уравнением и выделения неизвестной переменной, так что последняя строка читается как x = _________, если x — неизвестное.Нет установленного порядка, так как используемые шаги зависят от того, что указано:

   1. Мы можем складывать, вычитать, умножать или делить уравнение на число или выражение, если мы делаем то же самое с обеими сторонами знака равенства. Обратите внимание, что мы не можем делить на ноль.
   2. Примените свойство распределения по мере необходимости: [latex] a \ left (b + c \ right) = ab + ac [/ latex].
   3. Выделите переменную на одной стороне уравнения.
   4. Когда переменная умножается на коэффициент на последнем этапе, умножьте обе части уравнения на обратную величину коэффициента.

   Пример 1: Решение уравнения с одной переменной

   Решите следующее уравнение: [латекс] 2x + 7 = 19 [/ латекс].

   Решение

   Это уравнение можно записать в виде [латекс] ax + b = 0 [/ латекс], вычитая [латекс] 19 [/ латекс] с обеих сторон. Однако мы можем перейти к решению уравнения в его исходной форме, выполнив алгебраические операции.

   [латекс] \ begin {array} {ll} 2x + 7 = 19 \ hfill & \ hfill \\ 2x = 12 \ hfill & \ text {Вычтите 7 с обеих сторон}.\ hfill \\ x = 6 \ hfill & \ text {Умножьте обе стороны на} \ frac {1} {2} \ text {или разделите на 2}. \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Решение [латекс] x = 6 [/ латекс].

   Попробуй 1

   Решите линейное уравнение с одной переменной: [латекс] 2x + 1 = -9 [/ латекс].

   Решение

   Пример 2: Алгебраическое решение уравнения, когда переменная появляется с обеих сторон

   Решите следующее уравнение: [латекс] 4 \ left (x — 3 \ right) + 12 = 15-5 \ left (x + 6 \ right) [/ latex].

   Решение

   Примените стандартные алгебраические свойства.

   [латекс] \ begin {array} {ll} 4 \ left (x — 3 \ right) + 12 = 15-5 \ left (x + 6 \ right) \ hfill & \ hfill \\ 4x — 12 + 12 = 15 — 5x — 30 \ hfill & \ text {Применить свойство распределения}. \ Hfill \\ 4x = -15 — 5x \ hfill & \ text {Объединить похожие термины}. \ Hfill \\ 9x = -15 \ hfill & \ text {Поместите} x- \ text {термины на одну сторону и упростите}. \ hfill \\ x = — \ frac {15} {9} \ hfill & \ text {Умножьте обе стороны на} \ frac {1} {9 } \ text {, обратное 9}.\ hfill \\ x = — \ frac {5} {3} \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Анализ решения

   Эта задача требует, чтобы свойство распределения применялось дважды, а затем свойства алгебры используются для достижения последней строки, [latex] x = — \ frac {5} {3} [/ latex].

   Попробуй 2

   Решите уравнение с одной переменной: [латекс] -2 \ left (3x — 1 \ right) + x = 14-x [/ latex].

   Решение

   Как решить систему линейных уравнений

   В математике линейное уравнение — это уравнение, которое содержит две переменные и может быть нанесено на график в виде прямой линии.Система линейных уравнений — это группа из двух или более линейных уравнений, содержащих один и тот же набор переменных. Системы линейных уравнений могут использоваться для моделирования реальных проблем. Их можно решить несколькими способами:

   1. Графики
   2. Замена
   3. Исключение добавлением
   4. Исключение вычитанием

   Графики

   Фотография Эрика Раптоша / Смешанные изображения / Getty Images

   Построение графиков — один из простейших способов решения системы линейных уравнений.Все, что вам нужно сделать, это изобразить каждое уравнение в виде линии и найти точки пересечения линий.

   Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений, содержащую переменные x и y :

   
   y =
   х + 3
   
   y = -1
   x — 3

   Эти уравнения уже записаны в форме пересечения наклона, что упрощает их графическое отображение. Если бы уравнения не были записаны в форме пересечения наклона, вам сначала нужно было бы их упростить.Как только это будет сделано, решение для x и y потребует всего нескольких простых шагов:

   1. Изобразите оба уравнения.

   2. Найдите точку пересечения уравнений. В этом случае ответ (-3, 0).

   3. Убедитесь, что ваш ответ правильный, подставив значения x = -3 и y = 0 в исходные уравнения.

   
   y =
   х + 3
   
   (0) = (-3) + 3
   
   0 = 0

   
   y = -1
   x — 3
   
   0 = -1 (-3) — 3
   
   0 = 3–3
   
   0 = 0

   Замена

   Другой способ решить систему уравнений — это подстановка.С помощью этого метода вы существенно упрощаете одно уравнение и включаете его в другое, что позволяет исключить одну из неизвестных переменных.

   Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

   
   3
   x +
   y = 6
   
   х = 18-3
   год

   Во втором уравнении уже выделено x . Если бы это было не так, нам сначала нужно было бы упростить уравнение, чтобы выделить x .Выделив x во втором уравнении, мы можем затем заменить x в первом уравнении эквивалентным значением из второго уравнения: (18 — 3y) .

   1. Замените x в первом уравнении заданным значением x во втором уравнении.

   
   3 (
   18–3 года ) +
   y = 6

   2. Упростите каждую часть уравнения.

   
   54 — 9
   год +
   y = 6
   
   54 — 8
   y = 6

   3.Решите уравнение относительно y .

   54 — 8
   y — 54 = 6 — 54
   
   -8
   y = -48
   
   -8
   y / -8 = -48 / -8

   у = 6

   4. Подставьте y = 6 и решите относительно x .

   
   х = 18-3
   год
   
   x = 18-3 (6)
   
   x = 18–18
   
   х = 0

   5. Убедитесь, что (0,6) является решением.

   
   х = 18-3
   год
   
   0 = 18 — 3 (6)
   
   0 = 18-18
   
   0 = 0

   Исключение добавлением

   Если приведенные вам линейные уравнения записаны с переменными с одной стороны и константой с другой, самый простой способ решить систему — исключить.

   Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

   
   x +
   y = 180
   
   3
   х + 2
   y = 414

   1. Сначала напишите уравнения рядом друг с другом, чтобы можно было легко сравнить коэффициенты с каждой переменной.

   2. Затем умножьте первое уравнение на -3.

   
   -3 (х + у = 180)

   3. Почему мы умножили на -3? Добавьте первое уравнение ко второму, чтобы узнать.

   
   -3x + -3y = -540
   
   + 3х + 2у = 414
   
   0 + -1y = -126

   Теперь мы удалили переменную x .

   4. Найдите переменную y :

   
   y = 126

   5. Подставьте y = 126, чтобы найти x .

   
   x +
   y = 180
   
   х + 126 = 180
   
   х = 54

   6. Убедитесь, что (54, 126) — правильный ответ.

   
   3
   х + 2
   y = 414
   
   3 (54) + 2 (126) = 414
   
   414 = 414

   Исключение вычитанием

   Другой способ решения методом исключения — это вычесть, а не сложить данные линейные уравнения.

   Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

   
   y — 12
   х = 3
   
   y — 5
   х = -4

   1. Вместо того, чтобы складывать уравнения, мы можем вычесть их, чтобы исключить y .

   
   y — 12
   х = 3
   
   — (
   y — 5
   х = -4)
   
   0–7
   х = 7

   2. Решите относительно x .

   
   -7
   х = 7
   
   х = -1

   3. Подставьте x = -1, чтобы найти y .

   
   y — 12
   х = 3
   
   y — 12 (-1) = 3
   
   y + 12 = 3
   
   y = -9

   4.Убедитесь, что (-1, -9) — правильное решение.

   
   (-9) — 5 (-1) = -4
   
   -9 + 5 = -4
   
   -4 = -4

   Решение двух линейных уравнений | GMAT бесплатно

   Решение заменой

   Для решения системы линейных уравнений без построения графиков можно использовать метод подстановки. Этот метод работает путем решения одного из линейных уравнений для одной из переменных, затем подстановки этого значения для той же переменной в другое линейное уравнение и решения для другой переменной.Неважно, какое уравнение вы выберете первым или какую переменную решите в первую очередь.

   Давайте воспользуемся подстановкой для решения этой системы двух линейных уравнений:

   Сначала выберите одно из уравнений и решите его относительно x или y . Мы можем начать со второго уравнения и решить относительно y , поскольку у него нет коэффициента:

   Теперь у нас есть значение 24-4 x для y. Подставляем это значение y в первое уравнение, чтобы получить:

   Теперь у нас есть одно уравнение и одна переменная. Мы можем решить для x.

   Если все, что нам нужно, — это x , то все готово. Но если нам также нужны y, , мы подставим значение x обратно в любое исходное уравнение. Допустим, мы выбираем второе уравнение:

   Решение этой системы линейных уравнений: x = 5, y = 4.Это также можно записать как ( x , y ) = (5, 4).

   Решение комбинацией

   Основной принцип решения с помощью комбинации состоит в том, чтобы манипулировать двумя уравнениями так, чтобы, когда уравнения складываются вместе, одна из переменных сокращается. Поскольку одна из переменных отменяется, этот метод иногда называют методом исключения.

   Давайте воспользуемся комбинацией для решения этой системы двух уравнений:

   Эта система уравнений подходит для комбинирования, потому что в обоих уравнениях уже есть 2 x .Следовательно, если мы вычтем уравнение (1) из уравнения (2) — или, что то же самое, умножим уравнение (1) на -1 и сложим два уравнения — мы получим одно уравнение с y :

   Разделив обе части, находим, что y = -4/3. Затем мы можем вставить y обратно в любое исходное уравнение, чтобы получить значение x , как мы это делали при решении с помощью подстановки.

   Мы все еще можем решить комбинацией, даже если переменные не так хорошо выстроены.Например, мы можем начать заново и решить систему уравнений, отменив x вместо x . Для этого мы можем умножить первое уравнение (1) на число 2 с обеих сторон:

   Теперь вычитая (2) из ​​этого результата, получаем:

   Решая, находим x = 7. Чтобы закончить работу, мы подставляем x = 7 в любое из исходных уравнений. Если мы подставим x = 7 в (1), мы получим:

   Вычитая 14 с обеих сторон, получаем

   И разделив на 3, находим

   Итак, решение двух уравнений (1) и (2):

   Большинство людей предпочитают метод замещения комбинированному методу.Однако комбинированный метод будет работать намного быстрее по некоторым вопросам, поэтому, если вы не подумаете об его использовании, вы, скорее всего, потеряете время или получите правильный ответ в разделе Quant. Кроме того, вы хотите быть комфортно с концепцией, что уравнения могут быть добавлены, поскольку данное уравнение, в конце концов, равно с обеих сторон, поскольку этот факт может быть полезен, даже когда вы не решаете систему линейных уравнений методом комбинирования.

   Практические вопросы

   Возраст Эрнесто и его жены:
   http: // www.gmatfree.com/ernesto-and-his-wifes-ages

   Мужчины и женщины, участвующие в проектах:
   http://www.gmatfree.com/men-and-women-assigned-to-projects

   Разница и всего:
   http://www.gmatfree.com/a-difference-and-a-total

   Решение линейных уравнений — Подготовка к оценке TSI

   Линейное уравнение — это уравнение, которое содержит переменную типа « x », а не что-то вроде x 2. Линейные уравнения могут выглядеть как x + 6 = 4 или как 2 a — 3 = 7.

   В общем, чтобы решить уравнение, вы хотите получить переменную отдельно, отменив все операции, которые к ней применяются.

   Вот общая стратегия, которую можно использовать при решении линейных уравнений.

   Решение линейных уравнений

   Шаг 1. Очистите дробные или десятичные дроби.
   Шаг 2. Упростите каждую часть уравнения, удалив круглые скобки и объединив похожие члены.
   Шаг 3. Выделите переменный член на одной стороне уравнения.
   Шаг 4. Решите уравнение, разделив каждую часть уравнения.
   Шаг 5. Проверьте свое решение.

   Пример 1 : Решить относительно x : 3 (2-5 x ) + 4 (6 x ) = 12

   Решение.

   Шаг 1. Очистите дробные или десятичные дроби.

   Этот шаг не требуется для данного уравнения.

   Шаг 2.Упростите каждую часть уравнения.

   Избавиться от скобок

   3 (2-5 x ) + 4 (6 x ) = 12

   Примените распределительное свойство.

   6-15 x + 24 x = 12

   Объединить похожие термины

   6 -15 x + 24 x = 12

   Х-члены объединяются в левой части уравнения.

   6 + 9 x = 12

   Шаг 3.Выделите переменный член на одной стороне уравнения.

   6 + 9 x = 12

   Вычтем 6 из каждой части уравнения.

   6 + 9 x — 6 = 12 –6 9 x = 6

   Шаг 4. Решите уравнение, разделив каждую часть уравнения.

   Разделите каждую часть уравнения на 9.

   9 x ÷ 9 = 6 ÷ 9

   Уменьшить дробь.

   x = 2/3

   Шаг 5. Проверьте свое решение.

   Это остается на ваше усмотрение.

   Пример 2 : Решить для y : 0,12 ( y -6) + 0,06 y — 0,7

   Решение.

   Шаг 1. Очистите дробные или десятичные дроби.

   Умножьте каждую часть уравнения на 100.

   100 [0,12 ( y -6) + 0,06 y ] = 100 [0,08 y — 0,7 ]

   Шаг 2. Упростим каждую часть уравнения.

   Распределите 100 на каждый член уравнения.

   100 [0.12 ( y — 6) ] + 100 [0,06 y ] = 100 [0,08 y ] — 100 04 [

   Упростите термины

   12 ( y -6) + 6 y = 8 y — 70

   Избавиться от скобок

   12 л -72 + 6 л = 8 л — 70

   Объединить похожие термины

   18 л -72 = 8 л — 70

   Шаг 3.Выделите переменный член на одной стороне уравнения.

   Вычтем 8 y из каждой части уравнения.

   18 y -72 — 8 y = 8 y — 70 — 8 y 10 y -72 = — 70

   Добавьте 72 к каждой стороне уравнения.

   10 y — 72 + 72 = — 70 + 72 10 y = 2

   Шаг 4.Решите уравнение, разделив каждую часть уравнения.

   Разделите каждую часть уравнения на 10.

   10 и ÷ 10 = 2 ÷ 10

   Уменьшить дробь.

   y = 1/5 = 0,2

   Шаг 5. Проверьте свое решение.

   Это остается на ваше усмотрение.

   Решение линейных уравнений, которые либо не имеют решения

   Пример 3 : Решите следующее уравнение с помощью факторизации.

   Решить для x : 2 ( x + 3) — 5 = 5 x — 3 (1 + x ) )

   Решение.

   Шаг 1. Очистите дробные или десятичные дроби.

   Этот шаг не требуется для данного уравнения.

   2 ( x + 3) — 5 = 5 x — 3 (1 + x )

   Шаг 2.Упростите каждую часть уравнения.

   Избавиться от скобок

   2 x + 6-5 = 5 x -3-3 x

   Объединить похожие термины

   2 x + 6-5 = 5 x -3 — 3 x 2 x + 1 = 2 x — 3

   Шаг 3. Выделите переменный член на одной стороне уравнения.

   Вычтем 2 x из каждой части уравнения.

   2 x + 1 -2 x = 2 x -3 -2 x

   1 = — 3

   Поскольку окончательное уравнение не содержит переменных членов, а оставшееся уравнение является ложным уравнением, нет решения для этого уравнения. Уравнение также называется противоречием .

   Как решать линейные уравнения

   Обновлено 22 декабря 2020 г.

   Николь Хармс

   Решение линейных уравнений — один из самых фундаментальных навыков, которым может овладеть изучающий алгебру. Большинство алгебраических уравнений требуют навыков, используемых при решении линейных уравнений. Этот факт делает очень важным, чтобы изучающий алгебру научился решать эти задачи. Используя один и тот же процесс снова и снова, вы можете решить любое линейное уравнение, которое вам присылает учитель математики.

   Простой пример

   Начните с перемещения всех членов, содержащих переменную, в левую часть уравнения. Например, если вы решаете

   5a + 16 = 3a + 22

   , вы переместите 3 a в левую часть уравнения. Для этого вы должны добавить с обеих сторон противоположность 3 и . Когда вы добавляете −3 a к обеим сторонам, вы получаете

   2a + 16 = 22

   . Переместите члены, не содержащие переменных, в правую часть уравнения.В этом примере вы добавите противоположность +16 к обеим сторонам. Это −16, поэтому у вас будет

   2a + 16-16 = 22-16

   2a = 6

   Посмотрите на переменную ( a ) и определите, выполняются ли с ней какие-либо другие операции. . В этом примере оно умножается на 2. Проделайте противоположную операцию, разделив на 2. Это даст вам

   \ frac {2a} {2} = \ frac {6} {2}

   a = 3

   Проверьте свой ответ на точность.Для этого верните ответ в исходное уравнение.

   5 × 3 + 16 = 3 × 3 + 24

   15 + 16 = 9 + 22

   Это верно, потому что 31 = 31.

   Более сложный пример

   Используйте тот же процесс, даже если уравнение содержит отрицательные числа или дроби. Например, если вы решаете

   \ frac {5} {4} x + \ frac {1} {2} = 2x — \ frac {1} {2}

   , вы должны начать с перемещения 2x влево -ручная часть уравнения.Это требует, чтобы вы добавили противоположное. Поскольку вы будете прибавлять его к дроби (5/4), замените 2 на дробь с общим знаменателем (8/4). Добавьте противоположное:

   \ frac {5} {4} x — \ frac {8} {4} x + \ frac {1} {2} = \ frac {8} {4} x — \ frac {8}. {4} x — \ frac {1} {2}

   \ frac {-3} {4} x + \ frac {1} {2} = — \ frac {1} {2}

   Переместите + 1 / 2 в правую часть уравнения. Для этого добавьте противоположное (-1/2). Это дает

   \ frac {-3} {4} x + \ frac {1} {2} — \ frac {1} {2} = \ frac {-1} {2} — \ frac {1} {2 }

   — \ frac {3} {4} x = -1

   Разделите обе части на −3/4.Чтобы разделить на дробь, вы должны умножить на обратную (−4/3). Это дает

   \ frac {-4} {3} × \ frac {-3} {4} x = -1 × \ frac {-4} {3}

   x = \ frac {4} {3}

   Проверьте свой ответ. Для этого подключите 4/3 к исходному уравнению.

   \ frac {5} {4} × \ frac {4} {3} + \ frac {1} {2} = 2 × \ frac {4} {3} — \ frac {1} {2}

   \ frac {5} {3} + \ frac {1} {2} = \ frac {8} {3} — \ frac {1} {2}

   Это верно, потому что 13/6 = 13/6.

   В качестве другого примера просмотрите видео ниже: