определение, виды, примеры решения, что это такое

Статья знакомит с таким понятием, как определение системы уравнений и ее решением. Будут рассмотрены часто встречающиеся случаи решений систем. Приведенные примеры помогут подробно пояснить решение.

Определение системы уравнений

Чтобы перейти к определению системы уравнений, необходимо обратить внимание на два момента: вид записи и ее смысл. Чтобы понять это, нужно подробно остановиться на каждом из видов, тогда сможем прийти к определению систем уравнений.

Например, возьмем два уравнения 2·x+y=−3 и x=5, после чего объединим фигурной скобкой такого плана:

2·x+y=-3,x=5.

Уравнения, объединенные фигурной скобкой, считаются записями систем уравнений. Они задают множества решений уравнений данной системы. Каждое решение должно являться решением всех заданных уравнений.

Другими словами это означает, что любые решения первого уравнения будут решениями всех уравнений, объединенных системой.

Определение 1

Системы уравнений – это некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой, имеющих множество решений уравнений, которые одновременно являются решениями для всей системы.

Основные виды систем уравнений

Видов уравнений достаточно много, как систем уравнений. Для того, чтобы было удобно решать и изучать их, подразделяют на группы по определенным характеристикам. Это поможет в рассмотрении систем уравнений отдельных видов.

Для начала уравнения классифицируются по количеству уравнений. Если уравнение одно, то оно является обычным уравнением, если их более, тогда имеем дело с системой, состоящей из двух или более уравнений.

Другая классификация затрагивает число переменных. Когда количество переменных 1, говорят, что имеем дело с системой уравнений с одной неизвестной, когда 2 – с двумя переменными. Рассмотрим пример

x+y=5,2·x-3·y=1

Очевидно, что система уравнений включает в себя две переменные х и у.

При записи таких уравнений считается число всех переменных, имеющихся в записи. Их наличие в каждом уравнении необязательно. Хотя бы одно уравнение должно иметь одну переменную. Рассмотрим пример системы уравнений

2x=11,x-3·z2=0,27·x+y-z=-3

Данная система имеет 3 переменные х, у, z. Первое уравнение имеет явный х и неявные у и z. Неявные переменные – это переменные, имеющие 0 в коэффициенте. Второе уравнение имеет х и z, а у неявная переменная. Иначе это можно записать таким образом

2x+0·y+0·z=11

А другое уравнение x+0·y−3·z=0.

Третья классификация уравнений – это вид. В школе проходят простые уравнения и системы уравнений, начиная с систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Имеется в виду, что система включает в себя 2 линейных уравнения. Для примера рассмотрим

2·x-y=1,x+2·y=-1и -3·x+y=0.5,x+223·y=0

Это основные простейшие линейные уравнения. Далее можно столкнуться с системами, содержащими 3 и более неизвестных.

В 9 классе решают уравнения с двумя переменными и нелинейные. В целых уравнениях повышается степень для увеличения сложности. Такие системы называют системами нелинейных уравнений с определенным количеством уравнений и неизвестных. Рассмотрим примеры таких систем

x2-4·x·y=1,x-y=2 и x=y3x·y=-5

Обе системы с двумя переменными и обе являются нелинейными.

При решении можно встретить дробно-рациональные уравнения. Например

x+y=3,1x+1y=25

Могут называть просто системой уравнений без уточнения, каких именно. Редко уточняют сам вид системы.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Старшие классы переходят к изучению иррациональных, тригонометрических и показательных уравнений. Например,

x+y-x·y=5,2·x·y=3, x+y=5·π2,sin x+cos 2y=-1,y-log3x=1,xy=312.

Высшие учебные заведения изучают и исследуют решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Левая часть таких уравнений содержит многочлены с первой степенью, а правая – некоторые числа. Отличие от школьных в том, что количество переменных и количество уравнений может быть произвольным, чаще всего несовпадающим.

Решение систем уравнений

Определение 2

Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара переменных, которая при подстановке обращает каждое уравнение в верное числовое неравенство, то есть является решением для каждого уравнения данной системы.

К примеру, пара значений х=5 и у=2 являются решением системы уравнений x+y=7,x-y=3. Потому как при подстановке уравнения обращаются в верные числовые неравенства 5+2=7 и 5−2=3. Если подставить пару х=3 и у=0, тогда система не будет решена, так как подстановка не даст верное уравнение, а именно, мы получим 3+0=7.

Сформулируем определение для систем, содержащих одну и более переменных.

Определение 3

Решение системы уравнений с одной переменной – это значение переменной, которая является корнем уравнений системы, значит, все уравнения будут обращены в верные числовые равенства.

Рассмотрим на примере системы уравнений с одной переменной t

t2=4,5·(t+2)=0

Число -2 – решение уравнения, так как  (−2)·2=4, и 5·(−2+2)=0 являются верными числовыми равенствами. При t=1 система не решена, так как при подстановке получим два неверных равенства 12=4 и 5·(1+2)=0.

Определение 4

Решение системы с тремя и более переменными называют тройку, четверку и далее значений соответственно, которые обращают все уравнения системы в верные равенства.

Если имеем значения переменных х=1, у=2, z=0, то подставив их в систему уравнений 2·x=2,5·y=10,x+y+z=3, получим 2·1=2, 5·2=10 и 1+2+0=3. Значит, эти числовые неравенства верные. А значения (1, 0, 5) не будут решением, так как, подставив значения, второе из них будет неверное, как и третье: 5·0=10, 1+0+5=3.

Системы уравнений могут не иметь решений вовсе или иметь бесконечное множество. В этом можно убедиться при углубленном изучении данной тематики. Можно прийти к выводу, что системы уравнений – это пересечение множеств решений всех ее уравнений. Раскроем несколько определений:

Определение 5

Несовместной называют систему уравнений, когда она не имеет решений, в противном случае ее называют совместной.

Определение 6

Неопределенной называют систему, когда она имеет бесконечное множество решений, а определенной при конечном числе решений либо при их отсутствии.

Такие термины редко применяются в школе, так как рассчитаны для программ высших учебных заведений. Знакомство с равносильными системами углубит имеющиеся знания по решению систем уравнений.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

      Определение 1. Пусть   A   – некоторое множество пар чисел   (x ;  y) .   Говорят, что на множестве   A   задана числовая функция   z   от двух переменных   x   и   y ,   если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества   A   ставится в соответствие некоторое число.

      Задание числовой функции   z   от двух переменных   x   и   y   часто обозначают так:

причем в записи (1) числа   x   и   y   называют аргументами функции, а число   z   – значением функции, соответствующим паре аргументов   (x ; y) .

      Определение 2. Нелинейным уравнением с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение вида

где   f (x , y)   – любая функция, отличная от функции

f (x , y) = ax +by + c ,

где   a ,  b ,  c   – заданные числа.

      Определение 3. Решением уравнения (2) называют пару чисел   (x ; y) ,   для которых формула (2) является верным равенством.

      Пример 1. Решить уравнение

x2 – 4xy + 6y2 – – 12 y +18 = 0 .

(3)

      Решение. Преобразуем левую часть уравнения (3):

x² – 4xy + 6y² – 12 y +18 =
= (x² – 4xy + 4y²) +
+ (2y²– 12y +18) =
= (x – 2y)² + 2(y – 3)² .

      Таким образом, уравнение (3) можно переписать в виде

      Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные   x   и   y   удовлетворяют системе уравнений

решением которой служит пара чисел   (6 ; 3) .

      Ответ:   (6 ; 3)

      Пример 2. Решить уравнение

      Решение. Из неравенства

вытекает, что уравнение (5) решений не имеет.

      Ответ: Решений нет.

      Пример 3. Решить уравнение

      Решение. В соответствии с определением логарифма из формулы (6) получаем

      Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида

(1 + y ; y) ,

где   y   – любое число.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

      Определение 4. Решением системы уравнений

называют пару чисел   (x ; y) ,   при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.

      Системы из двух уравнений, одно из которых линейное, имеют вид

где   a ,  b ,  c   – заданные числа, а   g(x , y)   – функция двух переменных   x   и   y .  

      Пример 4. Решить систему уравнений

      Решение. Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное   y   через неизвестное   x   и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

      Решая уравнение

x² – 8x – 9 = 0 ,

находим корни

x₁ = – 1 ,   x₂ = 9 .

      Следовательно,

y₁ = 8 – x₁ = 9 ,  
y₂ = 8 – x₂ = – 1 .

      Таким образом, решениями системы (7) являются две пары чисел

и    

Ответ:   (– 1 ; 9) ,   (9 ; – 1)

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

      Определение 5. Однородным уравнением второй степени с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение вида

ax² + bxy + cy² = 0 .

где   a ,  b ,  c   – заданные числа.

      Пример 5. Решить уравнение

      Решение. Для каждого значения   y   рассмотрим уравнение (8) как квадратное уравнение относительно неизвестного   x .   Тогда дискриминант   D   квадратного уравнения (8) будет выражаться по формуле

D = (8y)² – 60y² = 4y² ,

откуда с помощью формулы для корней квадратного уравнения найдем корни уравнения (8):

      Ответ. Решениями уравнения (8) являются все пары чисел вида

( y ; y)   или    

где   y   – любое число.

      Следствие. Левую часть уравнения (8) можно разложить на множители

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

      Системы из двух уравнений, одно из которых однородное, имеют вид

где   a ,  b ,  c   – заданные числа, а   g(x , y)   – функция двух переменных   x   и   y .

      Пример 6. Решить систему уравнений

      Решение. Решим однородное уравнение

3x² + 2xy – y² = 0 ,

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного   x :

.

      В случае, когда   x = – y ,   из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

4y² = 16 ,

корнями которого служат числа   y₁ = 2 ,   y₂ = – 2 .  Находя для каждого из этих значений   y   соответствующее ему значение   x ,   получаем два решения системы:   (– 2 ; 2) ,   (2 ; – 2) .

      В случае, когда

,

из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

которое корней не имеет.

Ответ:   (– 2 ; 2) ,   (2 ; – 2)

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

      Пример 7. Решить систему уравнений

      Решение. Совершим над системой (10) следующие преобразования:

• второе уравнение системы оставим без изменений;
• к первому уравнению, умноженному на   5 ,   прибавим второе уравнение, умноженное на   3 ,   и запишем полученный результат вместо первого уравнения системы (10).

      В результате система (10) преобразуется в равносильную ей систему (11), в которой первое уравнение является однородным уравнением:

     Решим однородное уравнение

3x² + 17xy + 10y² = 0 ,

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного   x :

.

      В случае, когда   x = – 5y ,   из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

5y² = – 20 ,

которое корней не имеет.

      В случае, когда

,

из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

,

корнями которого служат числа   y₁ = 3 ,   y₂ = – 3 .  Находя для каждого из этих значений   y   соответствующее ему значение   x ,   получаем два решения системы:   (– 2 ; 3) ,   (2 ; – 3) .

Ответ:   (– 2 ; 3) ,   (2 ; – 3)

Примеры решения систем уравнений других видов

      Пример 8. Решить систему уравнений (МФТИ)

      Решение. Введем новые неизвестные   u   и   v ,   которые выражаются через   x   и   y   по формулам:

      Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные   x   и   y   через   u   и   v .   Из системы (13) следует, что

      Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную   x .   С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:

• первое уравнение системы оставим без изменений;
• из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему

из которой находим

      Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде

      У системы (16) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное   u   через неизвестное   v   и подставить это выражение во второе уравнение системы:

      Решая уравнение

2v² + 3v – 14 = 0 ,

находим корни

      Следовательно, решениями системы (16) являются две пары чисел

      Из формул (13) вытекает, что   ,  поэтому первое решение должно быть отброшено. В случае   u₂ = 5,   v₂ = 2   из формул (15) находим значения   x   и   y :

x = 13,   y = – 3 .

      Ответ:   (13 ; – 3)

      Определение 6. Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными называют тройку чисел   (x ; y ; z) ,   при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.

      Пример 9. Решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными

      Решение. У системы (17) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное   z   через неизвестные   x   и   y   и подставить это выражение во второе уравнение системы:

      Перепишем второе уравнение системы (18) в другом виде:

      Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то выполнение последнего равенства возможно лишь в случае   x = 4,   y = 4 .

      Следовательно,

      Ответ:   (4 ; 4 ; – 4)

      Замечание. Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы линейных уравнений» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Решение задач онлайн

Решение Ваших математических задач в онлайн режиме. Бесплатная версия программы предоставляет Вам только ответы. Если вы хотите увидеть полное
решение, Вы должны зарегистрироваться для бесплатной полной пробной версии.

Другие программы

Основы математики

Онлайн программа решения математических задач предлагает Вам решение в режиме онлайн задач с дробями, корнями, метрическими преобразованиями.
Вы можете найти площадь и объем прямоугольника, окружности, треугольника, трапеции, куба, цилиндра, конуса, пирамиды, шара.
Вы можете упростить, найти значение, объединять и умножать выражения.

Онлайн программа решения задач курса предварительной алгебры (геометрии)

Вы можете решать все задачи с основного раздела математики а также координатных задач, простых уравнений, неравенств, упрощать выражения.
Вы можете подсчитывать выражения, объединить выражения и умножать / делить выражения.

Онлайн программа решения задач по алгебре

Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться для этой онлайн программы.
Решите Ваши задачи (уравнения, неравенства, радикалы, построение графиков, решение полиномов) в онлайн режиме.
Если Ваша домашняя работа включает в себя математические уравнения, неравенства, функции, многочлены, матрицы, значит регистрация для тестовой версии — это правильный выбор.

Онлайн программа решения задач по тригонометрии

Находит значения всех типов выражений (синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс), уравнений, неравенств.
Строит графики тригонометрических функций.
Тригонометрия прямоугольного треугольника.

Онлайн программа решения задач курса предварительной алгебры

Включает в себя все вышеперечисленное функции плюс нахождение пределов (LIM), сумм, матриц.

Онлайн программа решения задач курса высшей математики

Решение задач c определенными, неопределенными интегралами.

Онлайн программа решения статистических задач

Решайте задач с нахождением вероятности, комбинаторные задачи.
Статистические задачи — найти среднее (арифметическое, геометрическое, квадратическое) значение, распределение, нормальное распределение, т-распределение.
Онлайн программа успешно проводит тестирование статистических гипотез

2 класс — уравнения. Как решить уравнение, примеры

Дата публикации: 13 апреля 2017.

Составление уравнений

1. Составь уравнение с числами 12, 34 и переменной x.

2. Составь уравнение с числами 7, 31 и переменной a.

3. Составь уравнение с числами 8, 54 и переменной b.

4. Составь уравнение с числами 5, 15 и переменной y.

5. Составь уравнение с числами 6, 24 и переменной c.

6. Составь уравнение с числами 3, 18 и переменной d.

7. Составь уравнение, используя рисунок.

а)
б)

9. Составь уравнения к текстовым задачам и реши их.

а) Бабушка к празднику испекла 20 пирожков. Гости съели 16 пирожков. Сколько пирожков осталось после праздника?

б) По плану автомобильный салон должен продать 34 автомобиля в месяц. К середине месяца было продано 19 автомобилей. Сколько автомобилей необходимо продать до конца месяца?

в) В оздоровительный лагерь приехало отдыхать 15 групп детей, но лагерь может принять ещё 8 групп. Сколько всего групп детей может принять лагерь?

Решение уравнений

1. Реши уравнения.

2. Заданы выражения: с + 12 и с — 12. Определи значение этих выражений при с = 34; c = 45; с = 59; c = 78.

3. Определи уравнения, в которых ответ равен 7.

4. Реши задачи, составив уравнения.

а) Длина школьного забора составляет 74 метра. Маляр покрасил 45 метров. Сколько метров забора осталось покрасить?

б) Расстояние от города до склада с песком составляет 93 км. До обеда грузовая машина, груженная песком, преодолела 56 км. Сколько километров ей надо преодолеть после обеда?

в) По плану заготовители должны собрать 30 кг клюквы. До обеда было собрано 19 кг клюквы. Сколько килограмм ягод необходимо собрать до конца рабочего дня?

г) В течении месяца механик отремонтировал 67 мотоциклов. Сколько мотоциклов ему осталось отремонтировать, если в начале месяца в мастерской находилось 77 мотоциклов?

Примеры решений кубических уравнений

Обзор методов решения кубических уравнений приведен на странице “Решение кубических уравнений”. Здесь мы приводим два примера, используя формулы Кардано и Виета.

Пример решения кубического уравнения с комплексными корнями

Решить кубическое уравнение:
(1.1)   .

Решение

Поиск целых корней

Уравнение (1.1) имеет целые коэффициенты. Проверим, не содержит ли это уравнение целых корней. Член без – это 1. У числа 1 есть два делителя: 1 и – 1. Подставим в уравнение (1.1) и . Ни для одного из этих чисел уравнение не выполняется. Следовательно, целых корней нет.

Сведение уравнения к приведенному виду

Пусть обозначают коэффициенты при , и свободный член. Делаем подстановку
(1.2)   .
В результате получаем уравнение приведенного вида:
(1.3)   ,
где
;
.

Определение вида корней

Определяем, имеет ли уравнение комплексные корни. Для этого находим дискриминант:
.
Дискриминант положителен. Следовательно, уравнение имеет один действительный корень и два комплексно сопряженных.

Нахождение корней по формуле Кардано

Поскольку дискриминант положителен, то находим корни по формуле Кардано:
,   ,
где
;   ;   .
При , для величин и , можно взять действительные значения корней. Тогда соотношение     выполняется автоматически.

В нашем случае:
;
;
;
;
;
;
;

;
.

Итак, мы нашли корни неполного кубического уравнения. По формуле (1.2) находим корни исходного уравнения:
.

Ответ

;

;

.

Пример с действительными корнями

Решить кубическое уравнение:
(2.1)   .

Решение

Поиск целых корней

Уравнение (2.1) имеет целые коэффициенты. Проверим, нет ли у этого уравнения целых корней. Свободный член – это 1. У него есть два делителя: 1 и – 1. Подставим в уравнение (2.1) и . Уравнение не выполняется ни для одного из этих чисел. Следовательно, целых корней нет.

Сведение уравнения к приведенному виду

В исходном уравнении (2. 1),
.
Делаем подстановку
(2.2)  
и приводим уравнение (2.1) к приведенному (неполному) виду:
(2.3)   ,
где
;
.

Определение вида корней

Определяем, имеет ли уравнение комплексные корни. Находим дискриминант:
.
Дискриминант отрицателен. Следовательно, уравнение имеет три действительных корня.

Нахождение корней по формуле Виета

Поскольку дискриминант отрицателен, то находим корни по формуле Виета:
;
;
;

;

.

Итак, мы нашли корни приведенного кубического уравнения. По формуле (2.2) находим корни исходного уравнения:
.

Ответ

;
;
.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 02-10-2016

Внеклассный урок — Система уравнений второй степени.

Способы решения. Системы уравнений второй степени.

Система уравнений второй степени. Способы решения

Система уравнений второй степени – это система уравнений, в которой есть хотя бы одно уравнение второй степени.

Систему из двух уравнений, в которой одно уравнение второй степени, а второе уравнение первой степени, решают следующим образом:

Пример: Решим систему уравнений

│x² – 3xy – 2y² = 2

│x + 2y = 1

Решение:

Следуем правилу:

1) Второе уравнение является уравнением первой степени. В  ней выражаем переменную x через y:

x = 1 – 2y

2) в первом уравнении вместо x подставляем полученное выражение 1 – 2y:

(1 – 2y)² – 3(1 – 2y)y – 2y² = 2.

Раскрываем скобки и упрощаем:

8y² – 7y + 1 = 2.

Приравниваем уравнение к нулю и решаем получившееся квадратное уравнение:

8y² – 7y + 1 – 2 = 0

8y² – 7y – 1 = 0.

3) Решив квадратное уравнение, найдем его корни:

y₁ = – 0,125

y₂ = 1.

4) Осталось найти значения x. Для этого в одно из двух уравнений системы просто подставляем значение y. Второе уравнение проще, поэтому выберем его.
Итак, подставляем значения y в уравнение x + 2y = 1 и получаем:
1) х + 2(-0,125) = 1
    х – 0,25 = 1
    х = 1 + 0,25
    х₁ = 1,25.

2) х + 2 · 1 = 1
    х + 2 =1
    х = 1 – 2
    х₂ = –1.

Ответ:

x₁ = 1,25,   y₁ = – 0,125
x₂ = –1,      y₂ = 1.

Способы решения системы уравнений с двумя уравнениями второй степени.

1. Замена системы уравнений равносильной совокупностью двух систем.

Пример: Решим систему уравнений

│x² – 9y² – x + 3y = 0
│x² – xy + y = 7

Здесь нет уравнений первой степени, поэтому решать их вроде бы сложнее. Но в первом уравнении многочлен можно разложить на линейные множители и применить метод группировки:

x² – 9y² – x + 3y = (x – 3y)(x + 3y) – (x – 3y) = (x – 3y)(x + 3y) – 1(x – 3y) = (x – 3y)(x + 3y – 1).

(Пояснение-напоминание: x – 3y встречается в выражении дважды и является общим множителем в многочлене (x – 3y)(x + 3y) – 1(x – 3y). По правилу группировки, мы умножили его на сумму вторых множителей и получили равносильное уравнение).

В результате наша система уравнений обретает иной вид:

│(x – 3y)(x + 3y – 1) = 0
│x² – xy + y = 7

Первое уравнение равно нулю только в том случае, если x – 3y = 0 или x + 3y – 1 = 0.

Значит, нашу систему уравнений мы можем записать в виде двух систем следующего вида:

│x – 3y = 0
│x² – xy + y = 7

и

│x + 3y – 1 = 0
│x² – xy + y = 7

Мы получили две системы, где первые уравнения являются уравнениями первой степени. Мы уже можем легко решить их. Понятно, что решив их и объединив затем множество решений этих двух систем, мы получим множество решений исходной системы. Говоря иначе, данная система равносильна совокупности двух систем уравнений.

Итак, решаем эти две системы уравнений. Очевидно, что здесь мы применим метод подстановки, подробно изложенный в предыдущем разделе.

Обратимся сначала к первой системе.
В уравнении первой степени выразим х через у:

х = 3у.

Подставим это значение во второе уравнение и преобразим его в квадратное уравнение:

(3у)² – 3у · у + у = 7,

9у² – 3у² + у = 7,

6у² + у = 7,

6у² + у – 7 = 0

Как решается квадратное – см.раздел «Квадратное уравнение». Здесь мы сразу напишем ответ:

                            7
у₁ = 1,    у₂ = – ——.
                           6

Теперь подставим полученные значения у в первое уравнение первой системы и решим его:

1) х – 3 · 1 = 0,

    х₁ = 3.

                      7
2) х – 3 · (– ——) = 0,
                      6

             7
    х + —— = 0,
             2

                 7
    х₂ = – ——
                 2

Итак, у нас есть первые ответы:

х₁ = 3,    у₁ = 1;

              7                     7
х₂ = – ——,   у₂ = – ——.
             2                     6

Переходим ко второй системе. Не будем производить вычисления – их порядок точно такой же, что и в случае с уравнениями первой системы. Поэтому сразу напишем результаты вычислений:

х₃ = –2,   у₃ = 1.

х₄ = –2,5,   у₄ = – 0,5.

Таким образом, исходная система уравнений решена.

Ответ:

       1          1
(–3 — ; –1 — ),  (3; 1),  (2,5; –0,5),  (–2; 1).
       2          6

2. Решение способом сложения.

Пример 2: Решим систему уравнений

│2x² + 3y = xy
│x² – y = 3xy

Решение.

Второе уравнение умножим на 3:

3x² – 3y = 9xy

Зачем мы умножили уравнение на 3? Благодаря этому мы получили равносильное уравнение с числом -3y, которое встречается и в первом уравнении, но с противоположным знаком. Это поможет нам буквально при следующем шаге получить упрощенное уравнение (они будут взаимно сокращены).

Сложим почленно левые и правые части первого уравнения системы и нашего нового уравнения:

2x² + 3y + 3x² – 3y = xy + 9xy

Сводим подобные члены и получаем уравнение следующего вида:

5x² = 10xy

Упростим уравнение еще, для этого сокращаем обе части уравнения на 5 и получаем:

x² = 2xy

Приравняем уравнение к нулю:

x² – 2xy = 0

Это уравнение можно представить в виде x(x – 2y) = 0.

Здесь мы получаем ситуацию, с которой уже сталкивались в предыдущем примере: уравнение верно только в том случае, если x = 0 или x – 2y = 0.

Значит, исходную систему опять-таки можно заменить равносильной ей совокупностью двух систем:

│x = 0
│x² – y = 3xy

и

│x = 2y
│x² – y = 3xy

Обратите внимание: во второй системе уравнение x – 2y = 0 мы преобразовали в x = 2y.

Итак, в первой системе мы уже знаем значение x. Это ноль. То есть x₁ = 0. Легко вычислить и значение y: это тоже ноль. Таким образом, первая система имеет единственное решение: (0; 0).

Решив вторую систему, мы увидим, что она имеет два решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

Таким образом, исходная система имеет следующие решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

Пример решен.

3. Решение методом подстановки.

Этот метод был применен в начале раздела. Здесь мы выделяем его в качестве одного из способов решения. Приведем еще один пример.

Пример. Решить систему уравнений

│х + у = 9
│у² + х = 29

Решение.

Первое уравнение проще, поэтому выразим в нем х через у:

х = 9 – у.

Теперь произведем подстановку. Подставим это значение х во второе уравнение, получим квадратное уравнение и решим его:

у² + 9 – у = 29
у² – у – 20 = 0

D = b² – 4ас = 1 – 4 · 1 · (–20) = 81

√D = 9

         –b + √D          1 + 9
у₁ = ————  =  ——— = 5
             2a                  2

         –b – √D          1 – 9
у₂ = ————  =  ——— = –4
             2a                  2

Осталось найти значения х. Первое уравнение проще, поэтому им и воспользуемся:

1) х + 5 = 9
    х = 9 – 5
    х₁ = 4

2) х – 4 = 9
    х = 9 + 4
    х₂ = 13

Ответ: (4; 5), (13; –4).

Правила решения уравнений с одним неизвестным

Текст ниже готовила, чтобы объяснить своему ребёнку шаг за шагом что такое уравнение и как оно решаются, чтобы у него сведения выстроились хоть в какую-то систему. Примеры ниже я комментировала, а вместо Васи и Маши были ты да я.

Что такое равенство и неравенство

Неравенство

У Васи — 4 яблока. У Маши — 3 яблока. У кого больше яблок? У кого меньше яблок?

У Васи больше яблок, чем у Маши:


4>
3

У Васи и Маши неравное количество яблок. Это неравенство (четыре не равно трём):


4≠
3

У Маши меньше яблок, чем у Васи:


3<
4

У Васи и Маши неравное количество яблок. Это неравенство (три не равно четырём):


3≠
4

Равенство

У Васи — 4 яблока. У Маши — 4 яблока. У кого больше яблок? У кого меньше яблок?

У Васи и Маши равное количество яблок. Это равенство (четыре равно четырём):


4=
4

У Васи — 2 красных яблока и 3 зелёных. У Маши — 5 яблок. У кого больше яблок? У кого меньше яблок?

 У Васи и Маши равное количество яблок. Это равенство (два плюс три равно пяти):


2 + 3=
5

У Васи и Маши равное количество яблок. Это равенство (пять равно сумме чисел два плюс три):


5=
2 + 3

Что такое сложение и вычитание

Сложение

У Васи — 2 яблока. У Маши — 3 яблока. Сколько всего яблок у ребят?

У Васи и Маши на двоих 5 яблок:


2
первое
слагаемое+



3
второе
слагаемое=


5
сумма



От перемены мест слагаемых сумма не меняется [a + b = b + a]:


3+
2= 5

У Васи — 2 яблока. У Маши — 2 красных яблока и 1 зелёное. Сколько всего яблок у ребят?

У Васи и Маши на двоих 5 яблок (примеры с несколькими арифметическими действиями выполняются поэтапно):


2+ 
2 + 1 = 2 + (2 + 1) = 2 + 3 = 5

Сумма не зависит от группировки её слагаемых [(a + b) + c = a + (b + c)]:


2+ 
2 + 1 = (2 + 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Вычитание

У Васи было 5 яблок. Он подарил Маше 3 яблока. Сколько яблок осталось у Васи?

У Васи осталось 2 яблока:


5
уменьшаемое-


3
вычитаемое=

 2
разность

У Васи было 3 яблока. Он подарил Маше 3 яблока и пообещал принести ещё 5. Сколько яблок осталось у Васи?

У Васи нет яблок, он ещё должен принести 5 яблок, у него -5 яблок (числа могут быть отрицательными) [a − b = a + (−b)]:


3-
3 - 5= (3 - 3) - 5 = 0 - 5 = 0 + (-5) = -5

Вася должен Пете 5 яблок. Маше подарили 3 яблока. Сколько всего яблок у ребят?

У Васи и Маши на двоих -2 яблока [a - (b + c) = a - b - c]:


-5+

3= 3 + (-5) = 3 - 5 = 3 - (3 + 2) = 3 - 3 - 2 = (3 - 3) - 2 =  - 2

Связь сложения и вычитания

У Васи — 2 яблока. У Маши — 3 яблока. Всего: 5 яблок. Придумай условия задачи и 4-е варианта решения.

Сколько яблок у ребят?


2+
3= 5

Сколько яблок у Васи (если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится второе слагаемое)?

5 - 
3=
2

Сколько яблок у Маши?

5 - 
2=
3

Сколько яблок у ребят (если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое)?


3+
2= 5

Что такое уравнение

Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Неизвестное число обозначают латинской буквой, чаще всего x.

Решение задачи с одним неизвестным методом подбора

Всего у ребят 5 яблок, 3 из которых съест Маша. Сколько съест Вася?

x+
3= 5

Если x = 4, то 
4 + 3 = 7
7 ≠ 5 (неверно)

Если x = 3, то 
3 + 3 = 6
6 ≠ 5 (неверно)

Если x = 2, то 
2 + 3 = 5
5 = 5 (правильно)

Ответ: Вася съест 2 яблока

Сложение или вычитание с неизвестным

Всего у ребят 5 яблок, 3 из которых съест Маша. Сколько съест Вася?

Положительное число можно перенести за знак равно, поменяв его знак:


x+
3= 5

x = 5 - 3 = 2

Проверка: 2 + 3 = 5 (правильно)

Ответ: Вася съест 2 яблока

Правило: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.

Вася подарил Маше 2 яблока. У него осталось 3 яблока. Сколько яблок было у Васи?

Отрицательное число можно перенести за знак равно, поменяв его знак:


x-
2= 3

x = 3 + 2 = 5

Проверка: 5 - 2 = 3 (правильно)

Ответ: у Васи было 5 яблок

Правило: чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое. 

У Васи было 5 яблок. После того, как он поделился с Машей, у него осталось 3 яблока. Сколько яблок подарил Вася?

Отрицательное число можно перенести за знак равно, поменяв его знак:


5-
x= 3

5 = 3 + x
5 - 3 = x
2 = x

Проверка: 5 - 2 = 3 (правильно)

Ответ: Вася подарил 2 яблока

Правило: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.

Анекдот в тему. Профессор жалуется коллеге: До чего же глупые у меня студенты. Раз объясняю — не понимают, второй раз объясняю — снова не понимают, третий раз объясняю — сам уже начинаю понимать, а они всё не понимают!

Алгебра — линейные уравнения

Решите каждое из следующих уравнений.

Показать обсуждение

В следующих задачах мы подробно опишем первую проблему и оставим большую часть объяснений нижеприведенных проблем.

a \ (3 \ left ({x + 5} \ right) = 2 \ left ({- 6 — x} \ right) — 2x \) Показать решение

Для этой задачи нет дробей, поэтому нам не нужно беспокоиться о первом этапе процесса. На следующем шаге нужно упростить обе стороны. Итак, мы уберем все скобки, умножив числа, а затем объединим похожие термины.

\ [\ begin {align *} 3 \ left ({x + 5} \ right) & = 2 \ left ({- 6 — x} \ right) — 2x \\ 3x + 15 & = — 12 — 2x — 2x \\ 3x + 15 & = — 12 — 4x \ end {align *} \]

Следующий шаг — получить все \ (x \) с одной стороны и все числа с другой стороны. С какой стороны идти \ (x \) — решать вам и, вероятно, будет зависеть от проблемы.Как правило, мы помещаем переменные в ту сторону, которая дает положительный коэффициент. Это делается просто потому, что часто легко потерять знак минус на коэффициенте, и поэтому, если мы убедимся, что он положительный, нам не нужно об этом беспокоиться.

Итак, для нашего случая это будет означать прибавление 4 \ (x \) к обеим сторонам и вычитание 15 с обеих сторон. Также обратите внимание, что, хотя мы фактически выполняем эти операции в это время, мы обычно выполняем эти операции в нашей голове.

\ [\ begin {align *} \ require {color} 3x + 15 & = — 12 — 4x \\ 3x + 15 {\ color {Red} — 15} {\ color {Blue} + 4x} & = — 12 — 4x {\ color {Blue} + 4x} {\ color {Red} — 15} \\ 7x & = — 27 \ end {align *} \]

На следующем этапе нужно получить коэффициент 1 перед \ (x \). В этом случае мы можем сделать это, разделив обе стороны на 7.

\ [\ begin {align *} \ frac {{7x}} {7} & = \ frac {{- 27}} {7} \\ x & = — \ frac {{27}} {7} \ end { выровнять*}\]

Итак, если мы выполнили всю нашу работу правильно, \ (x = — \ frac {{27}} {7} \) является решением уравнения.

Последний и последний шаг — проверить решение. Как указано в схеме процесса, нам нужно проверить решение в исходном уравнении . Это важно, потому что мы могли допустить ошибку на самом первом шаге, и если мы сделали, а затем проверили ответ в результатах этого шага, может показаться, что решение верное, хотя на самом деле мы этого не делаем. У меня нет правильного ответа из-за ошибки, которую мы сделали изначально.? 2 \ left ({- \ frac {{15}} {7}} \ right) + \ frac {{54}} {7} \\ \ frac {{24}} {7} & = \ frac {{24 }} {7} \ hspace {0.5in} {\ mbox {OK}} \ end {align *} \]

Итак, мы выполнили свою работу правильно и решение уравнения:

\ [x = — \ frac {{27}} {7} \]

Обратите внимание, что здесь мы не использовали обозначение набора решений. Для отдельных решений мы редко будем делать это в этом классе. Однако, если бы мы хотели, чтобы обозначение набора решений для этой проблемы было бы

\ [\ left \ {{- \ frac {{27}} {7}} \ right \} \]

Прежде чем перейти к следующей задаче, давайте сначала кратко прокомментируем «беспорядок» этого ответа.НЕ ожидайте, что все ответы будут красивыми простыми целыми числами. Хотя мы стараемся, чтобы большинство ответов были простыми, часто это не так, поэтому НЕ зацикливайтесь на идее, что ответ должен быть простым целым числом, что вы сразу же предполагаете, что вы сделали ошибку из-за «беспорядка» ответ.

b \ (\ displaystyle \ frac {{m — 2}} {3} + 1 = \ frac {{2m}} {7} \) Показать решение

Хорошо, с этим мы не будем так подробно объяснять проблему.

В этом случае у нас есть дроби, поэтому, чтобы облегчить нашу жизнь, мы умножим обе части на ЖК-дисплей, который в данном случае равен 21. После этого проблема будет очень похожа на предыдущую. Также обратите внимание, что знаменатели — это только числа, поэтому нам не нужно беспокоиться о делении на ноль.

Давайте сначала умножим обе стороны на ЖК-дисплей.

\ [\ begin {align *} 21 \ left ({\ frac {{m — 2}} {3} + 1} \ right) & = \ left ({\ frac {{2m}} {7}} \ right ) 21 \\ 21 \ left ({\ frac {{m — 2}} {3}} \ right) + 21 \ left (1 \ right) & = \ left ({\ frac {{2m}} {7} } \ right) 21 \\ 7 \ left ({m — 2} \ right) + 21 & = \ left ({2m} \ right) \ left (3 \ right) \ end {align *} \]

Будьте осторожны, чтобы правильно распределить 21 в скобках с левой стороны. Все, что находится в скобках, нужно умножить на 21, прежде чем мы упростим. На данный момент у нас есть проблема, аналогичная предыдущей, и на этот раз мы не будем утруждать себя ее объяснениями.

\ [\ begin {align *} 7 \ ​​left ({m — 2} \ right) + 21 & = \ left ({2m} \ right) \ left (3 \ right) \\ 7m — 14 + 21 & = 6m \\ 7m + 7 & = 6m \\ m & = — 7 \ end {align *} \]

Итак, похоже, \ (m = — 7 \) — это решение.2} — 6 \ left (5 \ right) + 9}} \\ \ frac {5} {4} & = \ frac {5} {4} \ hspace {0.5in} {\ mbox {OK}} \ end {выровнять*}\]

d \ (\ displaystyle \ frac {{2z}} {{z + 3}} = \ frac {3} {{z — 10}} + 2 \) Показать решение

В этом случае ЖК-дисплей выглядит как \ (\ left ({z + 3} \ right) \ left ({z — 10} \ right) \), и также похоже, что нам нужно избегать \ (z = — 3 \) и \ (z = 10 \), чтобы не получить деление на ноль.

Приступим к работе над этой проблемой.2} — 7z — 30} \ right) \ end {align *} \]

На этом этапе давайте сделаем паузу и подтвердим, что у нас есть z ² в работе. 2}}} — 14z — 60 \ \ — 20z & = — 11z — 51 \\ 51 & = 9z \\ \ frac {{51}} {9} & = z \\ & \ frac {{17}} {3} = z \ end {align * } \]

Обратите внимание, что z ² фактически компенсировались.? 3 \ left ({- \ frac {3} {{13}}} \ right) + 2 \\ \ frac {{17}} {{13}} & = \ frac {{17}} {{13}} \ hspace {0,5 дюйма} {\ mbox {OK}} \ end {align *} \]

Иногда проверка может быть немного запутанной, но это означает, что мы ЗНАЕМ, что решение правильное.

Решение многоступенчатых уравнений — ChiliMath

Слово «мульти» означает более двух или многих. Вот почему решение многошаговых уравнений сложнее, чем одношаговых и двухэтапных, поскольку для этого требуется больше шагов.

Основная цель при решении многошаговых уравнений, как и в одношаговых и двухшаговых уравнениях, состоит в том, чтобы изолировать неизвестную переменную на одной стороне уравнения, сохраняя при этом константу или число на противоположной стороне.

Однако нет правила о том, где хранить переменную. Все зависит от ваших предпочтений. «Стандартный» или обычный способ — разместить его слева. Но бывают случаи, когда имеет смысл оставить его в правой части уравнения.

Поскольку мы имеем дело с уравнениями, мы должны помнить, что любая операция, которую мы выполняем с одной стороны, должна применяться и к другой, чтобы уравнение оставалось «сбалансированным».

Эта концепция выполнения одной и той же операции с обеих сторон применяется к четырем арифметическим операциям, а именно: сложению, вычитанию, умножению и делению. Например, если мы добавим 5 в левой части уравнения, мы также должны добавить 5 в правой части.

Ключевые шаги, которые следует запомнить:

1) Избавьтесь от любых символов группировки, таких как квадратные скобки, круглые скобки и т. Д., Применив Распределительное свойство умножения над сложением.

2) По возможности упростите обе части уравнения, объединив одинаковые члены.

3) Решите, где вы хотите сохранить переменную, потому что это поможет вам решить, где разместить константу.

4) Исключите числа или переменные, применяя противоположные операции: сложение и вычитание — противоположные операции, как в случае умножения и деления.

Примеры решения многоступенчатых уравнений

Пример 1: Решите многоступенчатое уравнение ниже.

Это типичная проблема в многоступенчатых уравнениях, где есть переменные с обеих сторон. Обратите внимание, что в этом уравнении нет скобок и нет одинаковых членов, которые можно было бы объединить с обеих сторон уравнения.

Очевидно, что наш первый шаг — решить, где сохранить или изолировать неизвестную переменную x. Поскольку 7x «больше» 2x, то мы можем оставить его слева. Это означает, что нам придется избавиться от 2x с правой стороны. Для этого нам нужно вычесть обе части уравнения на 2x, потому что противоположность + 2x равна -2x.

После этого приятно видеть слева только переменную x. Это означает, что мы должны переместить все константы вправо, удалив +3 с левой стороны. Противоположность +3 равна -3, поэтому мы вычтем обе части на 3.

Последний шаг — изолировать переменную x в левой части уравнения. Поскольку +5 является умножением x, его противоположная операция — деление на +5. Итак, мы собираемся разделить обе стороны на 5, и все готово!

Пример 2: Решите многоступенчатое уравнение ниже.

Нашим самым первым шагом должно быть избавление от скобок, применив свойство распределения умножения над сложением. То есть умножьте -2 внутри каждого члена в скобках (5-4x).

Теперь пора решить, где хранить неизвестную переменную x. Если вы решите оставить переменную слева, это нормально.

Однако, для практики, давайте попробуем держать его на правой стороне. Мы должны прийти к тем же ответам.

Чтобы избавиться от -3x в левой части, мы добавляем обе стороны на 3x, поскольку -3x противоположно + 3x.После того, как мы упростим, добавив обе части в 3 раза, мы получим это менее беспорядочное уравнение.

Приятно видеть переменную x справа. Итак, нам нужно переместить все константы в левую часть.

Очевидно, что -10 справа нужно удалить. Противоположность -10 равна +10, поэтому мы добавим обе части на 10. Последний шаг — изолировать переменную x в правой части уравнения.

Поскольку +11 — это умножение x, его противоположная операция — деление на +11.Итак, мы собираемся разделить обе стороны на 11, и все готово!

Пример 3: Решите многоступенчатое уравнение ниже.

Нашим первым шагом должно быть снятие скобок с ОБЕИХ сторон уравнения, применив свойство Распределение. Для левой стороны умножьте -4 внутри каждого члена круглой скобки (4x-8), а для правой стороны умножьте +3 внутри скобки (-8x-1).

Теперь, прежде чем мы даже решим, с какой стороны уравнения изолировать переменную, похоже, что нам нужно выполнить некоторую уборку дома.Нам нужно объединить одинаковые члены ( x ) в левой части уравнения.

Опять же, не имеет значения, с какой стороны изолировать решаемую переменную. Дескать, решили оставить слева.

Это означает, что нам нужно избавиться от -24x с правой стороны. Противоположность -24x равна + 24x, поэтому мы собираемся сложить обе стороны на 24x.

Затем нам нужно переместить все константы в правую часть уравнения. Этот +32 слева должен уйти! Противоположность +32 равна -32, поэтому мы вычтем обе части на 32.

Последний шаг — изолировать переменную x в левой части уравнения. Поскольку +5 является умножением x, его противоположная операция — деление на +5. Итак, давайте разделим обе стороны на 5, и готово!

Пример 4: Решите уравнение 13x — 9x + 20 = 30 + 2.

Пошаговое решение:

1) Объедините переменные в левой части уравнения. То есть 13x — 9x = 4x. Кроме того, упростим константы в правой части, что даст нам 30 + 2 = 32.

2) Избавьтесь от 20 в левой части, вычтя 20 в обеих частях уравнения.

3) Чтобы найти x, разделите обе части на 4, чтобы получить x = 3.

Пример 5: Решите уравнение ниже.

Пошаговое решение:

1) Объедините одинаковые термины с обеих сторон.

2) Вычтите 6y с обеих сторон, чтобы переменная y оставалась только слева.

3) Добавьте 11 к обеим частям уравнения.

4) Наконец, разделите обе части на -10, чтобы получить решение.

Пример 6: Решите уравнение ниже.

Пошаговое решение:

1) Объедините аналогичные члены с переменной m и константами в обеих частях уравнения.

2) Добавьте 5 м к обеим сторонам уравнения. Он сохранит переменную слева и исключит переменную справа.

3) Добавьте 14 с обеих сторон.

4) Последний шаг — разделить одношаговое уравнение на -3, чтобы получить значение m.

Пример 7: Решите уравнение 2 \ left ({x — 5} \ right) = 5x + 23.

Пошаговое решение:

1) Удалите скобки в левой части уравнения, распределив число за скобками внутри бинома.

2) На этот раз для удобства оставим переменную справа.Для этого мы вычитаем 2x с обеих сторон уравнения.

3) Затем вычтем 23 из обеих частей уравнения.

4) Остается просто разделить обе стороны на коэффициент 3x, который равен 3, чтобы получить значение x.

Пример 8: Решите уравнение ниже.

Пошаговое решение:

1) Удалите две круглые скобки с обеих сторон линейного уравнения, применив свойство распределения умножения над сложением.

2) Объедините константы с обеих сторон. Это значительно очистит уравнение. 🙂

3) Добавьте 7h к обеим сторонам, чтобы оставить член с переменной слева и исключить правую.

4) Добавьте 57 в обе стороны уравнения, чтобы постоянная оставалась справа.

5) Разделите обе стороны на 22, чтобы получить окончательное решение. Это оно!

Рабочие листы с многоступенчатыми уравнениями

Возможно, вас заинтересует:

Решение одношаговых уравнений

Практические задачи с одношаговыми уравнениями с ответами

Решение двухшаговых уравнений

4.Решение уравнений

Помните такого рода задачи из начальной школы?

? + 5 = 7

Нам просто нужно было выяснить, какое число должно быть в поле, чтобы сделать его верным. Очевидно, нам нужно заменить вопросительный знак на «2»:

2 + 5 = 7

Решение уравнений с использованием алгебры ничем не отличается. Вместо того, чтобы использовать поле , мы используем букву для представления числа.Наша задача — найти правильное число (а иногда их может быть больше одного), которое делает уравнение истинным.

Иногда мы можем «увидеть» правильный ответ, если он простой
(может быть, мы можем просто сосчитать пальцами или что-то еще.) Но когда наши уравнения становятся более сложными, нам нужен процесс, чтобы следовать этому
в конечном итоге даст нам ответ.

Наш процесс

1. Мы стремимся получить x (или любую другую букву, используемую в вопросе) слева от знака равенства.
2. Мы решаем уравнения балансировкой: что бы мы ни делали с одним
   часть уравнения, мы должны сделать то же самое с другой
   боковая сторона. Таким образом, если мы прибавим 4 к левой части, мы должны добавить 4 и к правой части. Если мы умножаем левую часть на 2, мы умножаем и правую часть на 2.

Пример 1

Решите уравнение

x — 6 = 10

Ответ

Нам нужно «избавиться» от -6 в левой части, чтобы у нас осталось x только в левой части.

Противоположность вычитанию 6 дает прибавление 6.

Если мы прибавим 6 к обеим сторонам, мы удалим -6 слева.

x — 6 = 10

x — 6 + 6 = 10 + 6

х = 16

Таким образом, значение x должно быть 16, чтобы уравнение было верным.

ПРОВЕРЬТЕ исходный вопрос:

16 — 6 = 10. Проверяется нормально.

Пример 2

Решить 5 x = 35

Ответ

На этот раз мы отвечаем

5 ×? = 35

Мы могли бы легко сделать это в уме (правда?), Но если проблема более сложная, нам нужно знать, что делать.

Слева мы умножаем неизвестное количество на 5. Мы будем использовать « x » для этого количества.

`5x = 35`

Противоположность умножению на 5 — это деление на 5. Итак, мы делим обе части на 5:

`(5x) / 5 = 35 / 5`

Получаем:

`x = 7`

ПРОВЕРКА: 5 × 7 = 35. Проверяется нормально.

[Эти проверки кажутся глупыми с простыми примерами, но действительно хорошая идея для проверки ваших решений для всех задач с уравнениями, которые вы делаете.Это означает, что вы можете оставить проблему, чувствуя себя хорошо, потому что у вас есть правильный ответ, а также вы узнаете больше о том, как работает решение.]

Пример 3

Решить

`(3x) / 4 = 7`

Ответ

На этот раз нам нужно сделать 2 шага, чтобы решить уравнение. Мы замечаем, что внизу дроби стоит цифра 4.

`(3x) / 4 = 7`

Это эквивалентно делению на 4. Противоположность делению на 4 — умножение на 4.Итак, мы делаем это в первую очередь:

`(3x) / 4 xx 4 = 7xx4`

Отмена четверки слева дает:

`3x = 28`

На среднем шаге мы вычеркнули четверки, так что у нас не осталось дроби.

Теперь нам нужно разделить обе части на 3, так как у нас есть «3 ×» в левой части уравнения.

`x = 28/3 = 9 1/3`

Некоторые страны (например, США) оставляют ответ в виде одной дроби (28/3), в то время как в других странах (например, в Великобритании и Австралии) ответ выражается в виде смешанного числа .

ПРОВЕРКА:

Наш ответ правильный?

Подставляя наш ответ в левую часть, получаем:

`(3x) / 4 = 3/4 x = 3/4 xx 28/3`

Отмена 3 (что дает нам 1) и 28 с 4 дает нам 7:

`3/4 xx 28/3 = 7`

Правая часть вопроса была 7, поэтому мы уверены, что наш ответ правильный.

Пример 4

Решить 5 — ( x + 2) = 5 x

Ответ

Сначала расширяем скобу.

`5 — (x + 2) = 5x`

`5 — x — 2 = 5x`

`3 — x = 5x`

Теперь мы понимаем, что легче разместить все x на правой стороне, добавив x с обеих сторон:

`3 = 6x`

Теперь я делю обе стороны на 6 и меняю местами стороны:

x = 0,5.

ПРОВЕРКА:

Мы проверяем наш ответ в обеих частях уравнения.Если это сработает, это должен быть правильный ответ.

LHS = `5 — (0,5 + 2) = 2,5`

RHS = `5 xx 0,5 = 2,5` = LHS.

Проверяет ОК.

Пример 5

Решить 5 x — 2 ( x -5) = 4 x

Ответ

Раскладной кронштейн:

`5x — 2 (x — 5) = 4x`

`5x — 2x + 10 = 4x`

`3x + 10 = 4x`

Вычитая `3x` с обеих сторон и меняя их местами, получаем:

`x = 10`

ПРОВЕРКА:

LHS = `5 xx 10-2 (10-5) = 50
— 10 = 40`

RHS = `4 xx 10 = 40` = LHS.

Проверяет ОК.

Пример 6

Если можете, решите уравнение

— (7- x ) + 5 = x + 7

Что вы сделаете в заключение?

Ответ

— (7- x ) + 5 = x + 7

Раскрыть скобки:

−7 + x + 5 = x + 7

Вычесть x с обеих сторон:

«-7 + 5 = 7»

Упростите левую часть:

`-2 = 7` ????

Это невозможно, поэтому мы заключаем, что нет возможных значений для x .

[В вопросе был намек на то, что может происходить что-то забавное. Всегда помните, что уравнение может не иметь решений. Кроме того, бывают случаи, когда вы получаете решения, которые не могут работать, поэтому вы должны сбрасывать со счетов их. Мы находим такие примеры позже в «Уравнениях с радикалами».]

Простые / линейные уравнения: проблемы с решениями

Проблема 1

Найдите решение n уравнения n + 2 = 6

Задача 2

Решите уравнение z — 5 = 6.

Задача 3

Решите уравнение 5 — t = 0.

Задача 4

Решите уравнение: n + 7 = 13

Задача 5

Решите уравнение [текс] x + 34 = 82 [/ текс]

Задача 6

Решите линейное уравнение 3-a = 2a.

Задача 7

Решите линейное уравнение [текс] 2x-20 = 10 [/ текс]

Задача 8

Решите уравнение [текс] 20 — 2x = 18 [/ текс]

Задача 9

Найдите c, если [tex] 5c — 2 = 33 [/ tex].

Задача 10

Решите уравнение [текс] 4x = 72 [/ текс]

Задача 11

Решите уравнение [текс] 13x-15 = 24 [/ текс]

Задача 12

Найдите решение b уравнения [tex] \ frac {b} {3} = 3 [/ tex].

Задача 13

Решите линейное уравнение [текс] 2x + 2 = 40 [/ текс]

Задача 14

Решите уравнение 3x + 1 = 16.

Задача 15

Решите уравнение 2x + 5 = 9

Задача 16

Решите уравнение m + 10 = 3m.

Задача 17

Решите линейное уравнение [tex] 19z = 38 + 6 \ times 19 [/ tex]

Задача 18

Найдите решение y линейного уравнения 2y + 6 = y + 11.

Задача 19

Решите уравнение [tex] \ frac {1} {x} = \ frac {1} {5} [/ tex]

Задача 20

Найдите решение x уравнения [tex] x-1 + x-2 + x-3 = 0 [/ tex]

Задача 21

Найдите решение y уравнения [tex] y + 10 = 13y-74 [/ tex]

Задача 22

Решите уравнение 3c = 8c.

Задача 23

Решите линейное уравнение [tex] \ frac {3} {8} a = 3 [/ tex]

Задача 24

Решите уравнение 4x — 9 = 2x + 7.

Задача 25

Если [текс] 5x + 12 = 3x-24 [/ текс], определить значение x.

Задача 26

Найдите решение уравнения [tex] \ frac {x} {5} = 8 [/ tex].

Задача 27

Если 28 = 10y — 3y, найти y.

Задача 29 прислала Бхуми Бембде

Если 19 + 19x = 3x — 9, найдите значение x.

Задача 30 прислал Ошин Патель

Если x + 7 = 16, то какое значение 8x — 72 =?

Задача 31

3x + 3 = 7x — 9

Задача 32, посланная Самартом Шиванандой Матадом

Сумма двух чисел равна 45. Одно из чисел превышает другое на 9. Найдите числа.

Решение:
Пусть число будет x.

Тогда другое число = x + 9

Сумма двух чисел = 45

Согласно вопросу, x + (x + 9) = 45

⇒ 2x + 9 = 45

⇒ 2x = 45 — 9 ( переставив 9 на R.HS изменяется на -9)

⇒ 2x = 36

⇒ 2x / 2 = 36/2 (разделить на 2 с обеих сторон)

⇒ x = 18

Следовательно, x + 9 = 18 + 9 = 27

Следовательно, два числа — 18 и 27.

Решение уравнения — методы решения простых уравнений — правило, пример, свойство и упрощает

Уравнение — это алгебраическое выражение, которое обычно связывает неизвестные переменные с другими переменными или константами. Например, уравнение x + 2 = 15 равно y ² = 4.Решение или корень уравнения — это любое значение или набор значений, которые можно подставить в уравнение, чтобы сделать его истинным утверждением. В нашем первом примере решение для x равно 13. Во втором примере есть два значения, которые сделают утверждение истинным, а именно 2 и -2. Эти значения составляют набор решений уравнения.

Используя два основных правила алгебры, можно получить решения многих простых уравнений. Первое правило гласит, что одна и та же величина может быть добавлена ​​к обеим сторонам уравнения без изменения решения уравнения.Например, уравнение x + 4 = 7 имеет решение x = 3. Согласно первому правилу, мы можем добавить любое число к обеим сторонам уравнения и при этом получить то же решение. При добавлении 4 к обеим частям уравнение становится x + 8 = 11, но решение остается x = 3. Это правило известно как аддитивное свойство равенства. Чтобы использовать это свойство для поиска решения уравнения, все, что требуется, — это выбрать правильное число для добавления. Решение нашего предыдущего примера x + 4 = 7 можно найти, прибавив -4 к обеим сторонам уравнения.Если это сделано, уравнение упрощается до x + 4-4 = 7-4 или x = 3, и уравнение решается.

Второе фундаментальное правило, известное как мультипликативное свойство равенства, гласит, что каждый член в обеих частях уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число без изменения решения уравнения. Например, решением уравнения y — 2 = 10 является y = 12. Используя правило мультипликативности, мы можем получить эквивалентное уравнение с тем же набором решений, умножив обе части на любое число, например, 2.Таким образом, уравнение принимает вид 2y — 4 = 20, но решение остается y = 12. Это свойство также можно использовать для решения алгебраических уравнений. В случае уравнения 2x = 14 решение получается делением обеих частей на 2. Когда это делается 2x / 2 = 14/2, уравнение упрощается до x = 7.

Часто оба этих правила должны использоваться для решения одного уравнения, например уравнения 4x + 7 = 23. В этом уравнении к обеим сторонам уравнения добавляется -7, и оно упрощается до 4x = 16. Обе стороны этого уравнения затем делятся на 4, и оно упрощается до решения x = 4.

систем линейных уравнений, примеры решений, рисунки и практические задачи. Система просто ..

Что такое система уравнений?

Отвечать

Система уравнений просто означает «более одного уравнения». Система линейных уравнений — это не более 1 строки, см. Рисунок:

Хорошо, а что такое

, решение системы уравнений?

Отвечать

Решение — это место, где уравнения «встречаются» или пересекаются.Красная точка — это решение системы.

Сколько решений могут иметь системы линейных уравнений?

Отвечать

Может быть нулевое решение, одно решение или бесконечное количество решений — каждый случай подробно описан ниже.
Примечание. Хотя системы линейных уравнений могут иметь 3 или более уравнений, мы собираемся обратиться к наиболее распространенному случаю — стержню с ровно 2 линиями.

Вариант I: 1 Решение

Это наиболее распространенная ситуация, когда линии пересекаются ровно в одной точке.

Дело 2: Нет решений

Это происходит только тогда, когда линии параллельны. Как видите, параллельные линии никогда не пересекутся.

Пример стержня, у которого нет решения:

• Строка 1: $$ y = 5x + 13 $$
• Строка 2: $$ y = 5x + 12 $$

Вариант III: Бесконечные решения

Это самый редкий случай, и он возникает только тогда, когда у вас есть та же строка
Рассмотрим, например, две строки ниже (y = 2x + 1 и 2y = 4x + 2).Эти два уравнения — одна и та же линия.

Пример системы с бесконечным числом решений:

• Строка 1: y = 2x + 1
• Строка 2: 2y = 4x + 2

Как мы можем найти решения систем уравнений?

Найти решение систем линейных уравнений можно любым из следующих способов:

Решение уравнений с бесконечными решениями или без решений — математический класс [видео 2021 года]

Практические задачи — уравнения с бесконечными решениями или без решений

В следующих практических задачах студенты будут практиковаться в решении уравнений, чтобы определить, есть ли одно решение, бесконечно много решений или нет решения.Они также изобразят каждую сторону уравнения на одном графике, чтобы сделать открытие.

Проблемы

Решите следующие уравнения, чтобы определить, существует ли одно решение, бесконечно много решений или нет решения. Затем следуйте инструкциям, чтобы построить график.

1. x + 7 + 2 x = x — 9. После решения изобразите каждую сторону уравнения: y = x + 7 + 2 x и y = х — 9.

2. 2 x — x + 2 = -5 x + 6 x — 3. После решения нанесите на график каждую часть уравнения: y = 2 x — x + 2 и y = -5 x + 6 x -3.

3. x + 5 = 3 x — 2 x + 7-2. После решения изобразите каждую сторону уравнения: y = x + 5 и y = 3 x — 2 x + 7 — 2.

Решения

1. Объединяя одинаковые члены с каждой стороны, мы получаем 3 x + 7 = x — 9. Вычитая x с обеих сторон и вычитая 7 с обеих сторон, получаем 2 x = -16. Деление на 2 дает x = -8. У этого уравнения есть одно решение. Чтобы построить график, сначала объедините одинаковые члены в первом уравнении, чтобы получить y = 3 x + 7 и y = x — 9.

Графики пересекаются друг с другом в решении x = -8.

2. Объединение одинаковых членов с каждой стороны, x + 2 = x — 3. Вычитание x из обеих частей уравнения дает 2 = -3. Это уравнение не имеет решения. Чтобы построить график, сначала объедините одинаковые термины с каждой стороны, чтобы получить уравнения y = x + 2 и y = x — 3.

Графики никогда не пересекаются — это параллельные линии.

3. Объединение одинаковых терминов на каждой стороне, x + 5 = x + 5.Вычитание 5 из обеих частей уравнения дает x = x . У этого уравнения бесконечно много решений. Чтобы построить график, сначала объедините одинаковые термины с каждой стороны, чтобы получить уравнения y = x + 5 и y = x + 5.

Графики везде пересекаются — это одна линия.