Решение уравнений с подробным решением: Решение уравнений бесплатно — Калькулятор Онлайн

Содержание

Решение уравнений — калькулятор от Intemodino

Могу ли я решить неполные квадратные уравнения, например без линейного или свободного члена?

Да, калькулятор позволяет решать полные и неполные квадратные уравнения. В зависимости от того, в каком виде записано уравнение, Вы можете выбрать Advanced формат или использовать встроенные форматы, которые позволяют вводить только коэффициенты уравнения.

Как вводить уравнения со скобками?

Для того чтобы ввести уравнение, содержащее скобки, надо выбрать Advanced формат.

Как вводить уравнения с дробями?

В зависимости от того какой ввод уравнения Вы выбрали, существует два способа ввода дробных коэффициентов:
— если Вы собираетесь вводить уравнение, используя встроенные форматы, то Вам надо переключится в режим ввода дробей, выбрав «Дроби» в верхнем меню калькулятора.

— если Вы выбрали ввод уравнения в формате Advanced, для того чтобы отделить целую часть от дробной при вводе смешанных чисел, используйте знак подчеркивания. Между числителем и знаменателем дроби ставится наклонная черта. Пример: 3_1/2, 5/8 и т.д.

Где я могу посмотреть подробное решение уравнения?

При решении линейних и квадратных уравнений наш математический калькулятор показывает пошаговое решение с пояснениями, что может быть полезно не только школьникам, но и их родителям при проверке домашних заданий.

Как распечатать решение уравнения?

Вы можете отправить решение конкретного уравнения или историю всех проведенных вычислений по электронной почте и затем распечатать решение из почты.

Где найти ранее решённые уравнения?

Чтобы просмотреть или отредактировать ранее решённые уравнения, используйте стрелки «вперед» и «назад» в верхнем меню калькулятора.

Какой алгоритм используется для решения кубических уравнений?

Калькулятор решает кубические уравнения, используя формулу Кардано.

Каким способом решаются уравнения четвертой степени?

Для решения уравнений четвертой степени используется метод Феррари.

Показательные уравнения онлайн калькулятор с подробным решением. Уравнения онлайн

Как решать уравнения?

В этом разделе мы вспомним (или изучим – уж кому как) самые элементарные уравнения. Итак, что такое уравнение? Говоря человеческим языком, это какое-то математическое выражение, где есть знак равенства и неизвестное. Которое, обычно, обозначается буквой «х»
. Решить уравнение
— это найти такие значения икса, которые при подстановке в исходное
выражение, дадут нам верное тождество. Напомню, что тождество – это выражение, которое не вызывает сомнения даже у человека, абсолютно не отягощенного математическими знаниями. Типа 2=2, 0=0, ab=ab и т.д. Так как решать уравнения?
Давайте разберёмся.

Уравнения бывают всякие (вот удивил, да?). Но всё их бесконечное многообразие можно разбить всего на четыре типа.

4.
Все остальные.)

Всех остальных, разумеется, больше всего, да…) Сюда входят и кубические, и показательные, и логарифмические, и тригонометрические и всякие другие. С ними мы в соответствующих разделах плотно поработаем.

Сразу скажу, что иногда и уравнения первых трёх типов так накрутят, что и не узнаешь их… Ничего. Мы научимся их разматывать.

И зачем нам эти четыре типа? А затем, что линейные уравнения
решаются одним способом, квадратные
другим, дробные рациональные — третьим,
а остальные
не решаются вовсе! Ну, не то, чтобы уж совсем никак не решаются, это я зря математику обидел.) Просто для них существуют свои специальные приёмы и методы.

Но для любых (повторяю — для любых!
) уравнений есть надёжная и безотказная основа для решения. Работает везде и всегда. Эта основа — Звучит страшно, но штука очень простая. И очень (очень!)
важная.

Собственно, решение уравнения и состоит из этих самых преобразований. На 99%. Ответ на вопрос: «Как решать уравнения?
» лежит, как раз, в этих преобразованиях. Намёк понятен?)

Тождественные преобразования уравнений.

В любых уравнениях
для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходный пример. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть уравнения не менялась.
Такие преобразования называются тождественными
или равносильными.

Отмечу, что эти преобразования относятся именно к уравнениям.
В математике ещё имеются тождественные преобразования выражений.
Это другая тема.

Сейчас мы с вами повторим все-все-все базовые тождественные преобразования уравнений.

Базовые потому, что их можно применять к любым
уравнениям – линейным, квадратным, дробным, тригонометрическим, показательным, логарифмическим и т.д. и т.п.

Первое тождественное преобразование:

к обеим частям любого уравнения можно прибавить (отнять) любое
(но одно и то же!) число или выражение (в том числе и выражение с неизвестным!). Суть уравнения от этого не меняется.

Вы, между прочим, постоянно пользовались этим преобразованием, только думали, что переносите какие-то слагаемые из одной части уравнения в другую со сменой знака. Типа:

Дело знакомое, переносим двойку вправо, и получаем:

На самом деле вы отняли
от обеих частей уравнения двойку. Результат получается тот же самый:

х+2 — 2
= 3 — 2

Перенос слагаемых влево-вправо со сменой знака есть просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования. И зачем нам такие глубокие познания? – спросите вы. В уравнениях низачем. Переносите, ради бога. Только знак не забывайте менять. А вот в неравенствах привычка к переносу может и в тупик поставить….

Второе тождественное преобразование
:
обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля
число или выражение. Здесь уже появляется понятное ограничение: на ноль умножать глупо, а делить и вовсе нельзя. Это преобразование вы используете, когда решаете что-нибудь крутое, типа

Понятное дело, х
= 2. А вот как вы его нашли? Подбором? Или просто озарило? Чтобы не подбирать и не ждать озарения, нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения
на 5. При делении левой части (5х) пятёрка сократилась, остался чистый икс. Чего нам и требовалось. А при делении правой части (10) на пять, получилась, знамо дело, двойка.

Вот и всё.

Забавно, но эти два (всего два!) тождественных преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики.
Во как! Имеет смысл посмотреть на примерах, что и как, правда?)

Примеры тождественных преобразований уравнений. Основные проблемы.

Начнём с первого
тождественного преобразования. Перенос влево-вправо.

Пример для младшеньких.)

Допустим, надо решить вот такое уравнение:

3-2х=5-3х

Вспоминаем заклинание: «с иксами — влево, без иксов — вправо!»
Это заклинание — инструкция по применению первого тождественного преобразования.) Какое выражение с иксом у нас справа?
? Ответ неверный! Справа у нас

! Минус
три икс! Стало быть, при переносе влево, знак поменяется на плюс. Получится:

3-2х+3х=5

Так, иксы собрали в кучку. Займёмся числами. Слева стоит тройка. С каким знаком? Ответ «с никаким» не принимается!) Перед тройкой, действительно, ничего не нарисовано. А это значит, что перед тройкой стоит плюс.
Так уж математики договорились. Ничего не написано, значит, плюс.
Следовательно, в правую часть тройка перенесётся с минусом.
Получим:

-2х+3х=5-3

Остались сущие пустяки. Слева — привести подобные, справа — посчитать. Сразу получается ответ:

В этом примере хватило одного тождественного преобразования. Второе не понадобилось. Ну и ладно.)

Пример для старшеньких.)

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Решение показательных уравнений. Примеры.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Что такое показательное уравнение
? Это уравнение, в котором неизвестные (иксы) и выражения с ними находятся в показателях
каких-то степеней. И только там! Это важно.

Вот вам примеры показательных уравнений
:

3 х ·2 х = 8 х+3

Обратите внимание! В основаниях степеней (внизу) — только числа
. В показателях
степеней (вверху) — самые разнообразные выражения с иксом. Если, вдруг, в уравнении вылезет икс где-нибудь, кроме показателя, например:

это будет уже уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Мы их пока рассматривать не будем. Здесь мы будем разбираться с решением показательных уравнений
в чистом виде.

Вообще-то, даже чистые показательные уравнения чётко решаются далеко не всегда. Но существуют определённые типы показательных уравнений, которые решать можно и нужно. Вот эти типы мы и рассмотрим.

Решение простейших показательных уравнений.

Для начала решим что-нибудь совсем элементарное. Например:

Даже безо всяких теорий, по простому подбору ясно, что х=2. Больше-то никак, верно!? Никакое другое значение икса не катит. А теперь глянем на запись решения этого хитрого показательного уравнения:

Что мы сделали? Мы, фактически, просто выкинули одинаковые основания (тройки). Совсем выкинули. И, что радует, попали в точку!

Действительно, если в показательном уравнении слева и справа стоят одинаковые
числа в каких угодно степенях, эти числа можно убрать и приравнять показатели степеней. Математика позволяет. Остаётся дорешать куда более простое уравнение. Здорово, правда?)

Однако, запомним железно: убирать основания можно только тогда, когда слева и справа числа-основания находятся в гордом одиночестве!
Безо всяких соседей и коэффициентов. Скажем, в уравнениях:

2 х +2 х+1 = 2 3 , или

двойки убирать нельзя!

Ну вот, самое главное мы и освоили. Как переходить от злых показательных выражений к более простым уравнениям.

«Вот те раз!» — скажете вы. «Кто ж даст такой примитив на контрольных и экзаменах!?»

Вынужден согласиться. Никто не даст. Но теперь вы знаете, куда надо стремиться при решении замороченных примеров. Надо приводить его к виду, когда слева — справа стоит одно и то же число-основание. Дальше всё будет легче. Собственно, это и есть классика математики. Берём исходный пример и преобразовываем его к нужному нам
виду. По правилам математики, разумеется.

Рассмотрим примеры, которые требуют некоторых дополнительных усилий для приведения их к простейшим. Назовём их простыми показательными уравнениями.

Решение простых показательных уравнений. Примеры.

При решении показательных уравнений, главные правила — действия со степенями.
Без знаний этих действий ничего не получится.

К действиям со степенями надо добавить личную наблюдательность и смекалку. Нам требуются одинаковые числа-основания? Вот и ищем их в примере в явном или зашифрованном виде.

Посмотрим, как это делается на практике?

Пусть нам дан пример:

2 2х — 8 х+1 = 0

Первый зоркий взгляд — на основания.
Они… Они разные! Два и восемь. Но впадать в уныние — рано. Самое время вспомнить, что

Двойка и восьмёрка — родственнички по степени.) Вполне можно записать:

8 х+1 = (2 3) х+1

Если вспомнить формулку из действий со степенями:

(а n) m = a nm ,

то вообще отлично получается:

8 х+1 = (2 3) х+1 = 2 3(х+1)

Исходный пример стал выглядеть вот так:

2 2х — 2 3(х+1) = 0

Переносим 2 3 (х+1)
вправо (элементарных действий математики никто не отменял!), получаем:

2 2х = 2 3(х+1)

Вот, практически, и всё. Убираем основания:

Решаем этого монстра и получаем

Это правильный ответ.

В этом примере нас выручило знание степеней двойки. Мы опознали
в восьмёрке зашифрованную двойку. Этот приём (шифровка общих оснований под разными числами) — очень популярный приём в показательных уравнениях! Да и в логарифмах тоже. Надо уметь узнавать в числах степени других чисел. Это крайне важно для решения показательных уравнений.

Дело в том, что возвести любое число в любую степень — не проблема. Перемножить, хоть на бумажке, да и всё. Например, возвести 3 в пятую степень сможет каждый. 243 получится, если таблицу умножения знаете.) Но в показательных уравнениях гораздо чаще надо не возводить в степень, а наоборот… Узнавать, какое число в какой степени
скрывается за числом 243, или, скажем, 343… Здесь вам никакой калькулятор не поможет.

Степени некоторых чисел надо знать в лицо, да… Потренируемся?

Определить, какими степенями и каких чисел являются числа:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Ответы (в беспорядке, естественно!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Если приглядеться, можно увидеть странный факт. Ответов существенно больше, чем заданий! Что ж, так бывает… Например, 2 6 , 4 3 , 8 2 — это всё 64.

Предположим, что вы приняли к сведению информацию о знакомстве с числами.) Напомню ещё, что для решения показательных уравнений применим весь
запас математических знаний. В том числе и из младших-средних классов. Вы же не сразу в старшие классы пошли, верно?)

Например, при решении показательных уравнений очень часто помогает вынесение общего множителя за скобки (привет 7 классу!). Смотрим примерчик:

3 2х+4 -11·9 х = 210

И вновь, первый взгляд — на основания! Основания у степеней разные… Тройка и девятка. А нам хочется, чтобы были — одинаковые. Что ж, в этом случае желание вполне исполнимое!) Потому, что:

9 х = (3 2) х = 3 2х

По тем же правилам действий со степенями:

3 2х+4 = 3 2х ·3 4

Вот и отлично, можно записать:

3 2х ·3 4 — 11·3 2х = 210

Мы привели пример к одинаковым основаниям. И что дальше!? Тройки-то нельзя выкидывать… Тупик?

Вовсе нет. Запоминаем самое универсальное и мощное правило решения всех
математических заданий:

Не знаешь, что нужно — делай, что можно!

Глядишь, всё и образуется).

Что в этом показательном уравнении можно
сделать? Да в левой части прямо просится вынесение за скобки! Общий множитель 3 2х явно намекает на это. Попробуем, а дальше видно будет:

3 2х (3 4 — 11) = 210

3 4 — 11 = 81 — 11 = 70

Пример становится всё лучше и лучше!

Вспоминаем, что для ликвидации оснований нам необходима чистая степень, безо всяких коэффициентов. Нам число 70 мешает. Вот и делим обе части уравнения на 70, получаем:

Оп-па! Всё и наладилось!

Это окончательный ответ.

Случается, однако, что выруливание на одинаковые основания получается, а вот их ликвидация — никак. Такое бывает в показательных уравнениях другого типа. Освоим этот тип.

Замена переменной в решении показательных уравнений. Примеры.

Решим уравнение:

4 х — 3·2 х +2 = 0

Сначала — как обычно. Переходим к одному основанию. К двойке.

4 х = (2 2) х = 2 2х

Получаем уравнение:

2 2х — 3·2 х +2 = 0

А вот тут и зависнем. Предыдущие приёмы не сработают, как ни крутись. Придётся доставать из арсенала ещё один могучий и универсальный способ. Называется он замена переменной.

Суть способа проста до удивления. Вместо одного сложного значка (в нашем случае — 2 х) пишем другой, попроще (например — t). Такая, казалось бы, бессмысленная замена приводит к потрясным результатам!) Просто всё становится ясным и понятным!

Итак, пусть

Тогда 2 2х = 2 х2 = (2 х) 2 = t 2

Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t:

Ну что, осеняет?) Квадратные уравнения не забыли ещё? Решаем через дискриминант, получаем:

Тут, главное, не останавливаться, как бывает… Это ещё не ответ, нам икс нужен, а не t. Возвращаемся к иксам, т.е. делаем обратную замену. Сначала для t 1:

Стало быть,

Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:

Гм… Слева 2 х, справа 1… Неувязочка? Да вовсе нет! Достаточно вспомнить (из действий со степенями, да…), что единичка — это любое
число в нулевой степени. Любое. Какое надо, такое и поставим. Нам нужна двойка. Значит:

Вот теперь всё. Получили 2 корня:

Это ответ.

При решении показательных уравнений
в конце иногда получается какое-то неудобное выражение. Типа:

Из семёрки двойка через простую степень не получается. Не родственники они… Как тут быть? Кто-то, может и растеряется… А вот человек, который прочитал на этом сайте тему «Что такое логарифм?» , только скупо улыбнётся и запишет твёрдой рукой совершенно верный ответ:

Такого ответа в заданиях «В» на ЕГЭ быть не может. Там конкретное число требуется. А вот в заданиях «С» — запросто.

В этом уроке приведены примеры решения самых распространённых показательных уравнений. Выделим основное.

Практические советы:

1. Первым делом смотрим на основания
степеней. Соображаем, нельзя ли их сделать одинаковыми.
Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями.
Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени!

2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые
числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями
и разложение на множители.
То что можно посчитать в числах — считаем.

3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего — квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному.

4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать «в лицо».

Как обычно, в конце урока вам предлагается немного порешать.) Самостоятельно. От простого — к сложному.

Решить показательные уравнения:

Посложнее:

2 х+3 — 2 х+2 — 2 х = 48

9 х — 8·3 х = 9

2 х — 2 0,5х+1 — 8 = 0

Найти произведение корней:

2 3-х + 2 х = 9

Получилось?

Ну, тогда сложнейший пример (решается, правда, в уме…):

7 0.13х + 13 0,7х+1 + 2 0,5х+1 = -3

Что, уже интереснее? Тогда вот вам злой пример. Вполне тянет на повышенную трудность. Намекну, что в этом примере спасает смекалка и самое универсальное правило решения всех математических заданий.)

2 5х-1 · 3 3х-1 · 5 2х-1 = 720 х

Пример попроще, для отдыха):

9·2 х — 4·3 х = 0

И на десерт. Найти сумму корней уравнения:

х·3 х — 9х + 7·3 х — 63 = 0

Да-да! Это уравнение смешанного типа! Которые мы в этом уроке не рассматривали. А что их рассматривать, их решать надо!) Этого урока вполне достаточно для решения уравнения. Ну и, смекалка нужна… И да поможет вам седьмой класс (это подсказка!).

Ответы (в беспорядке, через точку с запятой):

1; 2; 3; 4; решений нет; 2; -2; -5; 4; 0.

Всё удачно? Отлично.

Есть проблемы? Не вопрос! В Особом разделе 555 все эти показательные уравнения решаются с подробными объяснениями. Что, зачем, и почему. Ну и, конечно, там имеется дополнительная ценная информация по работе со всякими показательными уравнениями. Не только с этими.)

Последний забавный вопрос на соображение. В этом уроке мы работали с показательными уравнениями. Почему я здесь ни слова не сказал про ОДЗ?
В уравнениях — это очень важная штука, между прочим…

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Предлагаемый вашему вниманию бесплатный калькулятор располагает богатым арсеналом возможностей для математических вычислений. Он позволяет использовать онлайн калькулятор в различных сферах деятельности: образовательной
, профессиональной
и коммерческой
. Конечно, применение калькулятора онлайн особенно популярно у студентов
и школьников
, он значительно облегчает им выполнение самых разных расчётов.

Вместе с тем калькулятор может стать полезным инструментом в некоторых направлениях бизнеса и для людей разных профессий. Безусловно, необходимость применения калькулятора в бизнесе или трудовой деятельности определяется прежде всего видом самой деятельности. Если бизнес и профессия связаны с постоянными расчётами и вычислениями, то стоит опробовать электронный калькулятор и оценить степень его полезности для конкретного дела.

Данный онлайн калькулятор может

  • Корректно выполнять стандартные математические функции, записанные одной строкой типа — 12*3-(7/2)
    и может обрабатывать числа больше, чемсчитаем огромные числа в онлайн калькулятореМы даже не знаем, как такое число назвать правильно (тут 34 знака и это совсем не предел
    ).
  • Кроме тангенса
    , косинуса
    , синуса
    и других стандартных функций — калькулятор поддерживает операции по расчёту арктангенса
    , арккотангенса
    и прочих.
  • Доступны в арсенале логарифмы
    , факториалы
    и другие интересные функции
  • Данный онлайн калькулятор умеет строить графики
    !!!

Для построения графиков, сервис использует специальную кнопку (график серый нарисован) или буквенное представление этой функции (Plot). Чтобы построить график в онлайн калькуляторе, достаточно записать функцию: plot(tan(x)),x=-360..360
.

Мы взяли самый простой график для тангенса, и после запятой указали диапазон переменной X от -360 до 360.

Построить можно абсолютно любую функцию, с любым количеством переменных, например такую: plot(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4)
или ещё более сложную, какую сможете придумать. Обращаем внимание на поведение переменной X — указан промежуток от и до с помощью двух точек.

Единственный минус (хотя трудно назвать это минусом) этого онлайн калькулятора это то, что он не умеет строить сферы и другие объёмные фигуры — только плоскость.

Как работать с Математическим калькулятором

1.
Дисплей (экран калькулятора) отображает введенное выражение и результат его расчёта обычными символами, как мы пишем на бумаге. Это поле предназначено просто для просмотра текущей операции. Запись отображается на дисплее по мере набора математического выражения в строке ввода.

2. Поле ввода выражения предназначено для записи выражения, которое нужно вычислить. Здесь следует отметить, что математические символы, используемые в компьютерных программах, не всегда совпадают с теми, которые обычно мы применяем на бумаге. В обзоре каждой функции калькулятора вы найдёте правильное обозначение конкретной операции и примеры расчётов в калькуляторе. На этой странице ниже приводится перечень всех возможных операций в калькуляторе, также с указанием их правильного написания.

3. Панель инструментов — это кнопки калькулятора, которые заменяют ручной ввод математических символов, обозначающих соответствующую операцию. Некоторые кнопки калькулятора (дополнительные функции, конвертер величин, решение матриц и уравнений, графики) дополняют панель задач новыми полями, где вводятся данные для конкретного расчёта. Поле «History» содержит примеры написания математических выражений, а также ваши шесть последних записей.

Обратите внимание, при нажатии кнопок вызова дополнительных функций, конвертера величин, решения матриц и уравнений, построения графиков вся панель калькулятора смещается вверх, закрывая часть дисплея. Заполните необходимые поля и нажмите клавишу «I» (на рисунке выделена красным цветом), чтобы увидеть дисплей в полный размер.

4. Цифровая клавиатура содержит цифры и знаки арифметических действий. Кнопка «С» удаляет всю запись в поле ввода выражения. Чтобы удалять символы по одному, нужно использовать стрелочку справа от строки ввода.

Старайтесь всегда закрывать скобки в конце выражения. Для большинства операций это некритично, калькулятор online рассчитает всё верно. Однако, в некоторых случаях возможны ошибки. Например, при возведении в дробную степень незакрытые скобки приведут к тому, что знаменатель дроби в показателе степени уйдет в знаменатель основания. На дисплее закрывающая скобка обозначена бледно-серым цветом, её нужно закрыть, когда запись закончена.

Клавиша Символ Операция
pi pi Постоянная pi
е е Число Эйлера
% % Процент
() () Открыть/Закрыть скобки
, , Запятая
sin sin(?) Синус угла
cos cos(?) Косинус
tan tan(y) Тангенс
sinh sinh() Гиперболический синус
cosh cosh() Гиперболический косинус
tanh tanh() Гиперболический тангенс
sin -1 asin() Обратный синус
cos -1 acos() Обратный косинус
tan -1 atan() Обратный тангенс
sinh -1 asinh() Обратный гиперболический синус
cosh -1 acosh() Обратный гиперболический косинус
tanh -1 atanh() Обратный гиперболический тангенс
x 2 ^2 Возведение в квадрат
х 3 ^3 Возведение в куб
x y ^ Возведение в степень
10 x 10^() Возведение в степень по основанию 10
e x exp() Возведение в степень числа Эйлера
vx

sqrt(x) Квадратный корень
3 vx

sqrt3(x) Корень 3-ей степени
y vx

sqrt(x,y) Извлечение корня
log 2 x log2(x) Двоичный логарифм
log log(x) Десятичный логарифм
ln ln(x) Натуральный логарифм
log y x log(x,y) Логарифм
I / II Сворачивание/Вызов дополнительных функций
Unit Конвертер величин
Matrix Матрицы
Solve Уравнения и системы уравнений
Построение графиков
Дополнительные функции (вызов клавишей II)
mod mod Деление с остатком
! ! Факториал
i / j i / j Мнимая единица
Re Re() Выделение целой действительной части
Im Im() Исключение действительной части
|x| abs() Модуль числа
Arg arg() Аргумент функции
nCr ncr() Биноминальный коэффициент
gcd gcd() НОД
lcm lcm() НОК
sum sum() Суммарное значение всех решений
fac factorize() Разложение на простые множители
diff diff() Дифференцирование
Deg Градусы
Rad Радианы

На этапе подготовки к заключительному тестированию учащимся старших классов необходимо подтянуть знания по теме «Показательные уравнения». Опыт прошлых лет свидетельствует о том, что подобные задания вызывают у школьников определенные затруднения. Поэтому старшеклассникам, независимо от уровня их подготовки, необходимо тщательно усвоить теорию, запомнить формулы и понять принцип решения таких уравнений. Научившись справляться с данным видом задач, выпускники смогут рассчитывать на высокие баллы при сдаче ЕГЭ по математике.

Готовьтесь к экзаменационному тестированию вместе со «Школково»!

При повторении пройденных материалов многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска нужных для решения уравнений формул. Школьный учебник не всегда находится под рукой, а отбор необходимой информации по теме в Интернете занимает долгое время.

Образовательный портал «Школково» предлагает ученикам воспользоваться нашей базой знаний. Мы реализуем совершенно новый метод подготовки к итоговому тестированию. Занимаясь на нашем сайте, вы сможете выявить пробелы в знаниях и уделить внимание именно тем заданиям, которые вызывают наибольшие затруднения.

Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили весь необходимый для успешной сдачи ЕГЭ материал в максимально простой и доступной форме.

Основные определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».

Для лучшего усвоения материала рекомендуем попрактиковаться в выполнении заданий. Внимательно просмотрите представленные на данной странице примеры показательных уравнений с решением, чтобы понять алгоритм вычисления. После этого приступайте к выполнению задач в разделе «Каталоги». Вы можете начать с самых легких заданий или сразу перейти к решению сложных показательных уравнений с несколькими неизвестными или . База упражнений на нашем сайте постоянно дополняется и обновляется.

Те примеры с показателями, которые вызвали у вас затруднения, можно добавить в «Избранное». Так вы можете быстро найти их и обсудить решение с преподавателем.

Чтобы успешно сдать ЕГЭ, занимайтесь на портале «Школково» каждый день!

для решения математики. Быстро найти решение математического уравнения
в режиме онлайн
. Сайт www.сайт позволяет решить уравнение
почти любого заданного алгебраического
, тригонометрического
или трансцендентного уравнения онлайн
. При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать уравнения онлайн
. Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение уравнений онлайн
займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических уравнений онлайн
— это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические уравнения онлайн
, тригонометрические уравнения онлайн
, трансцендентные уравнения онлайн
, а также уравнения
с неизвестными параметрами в режиме онлайн
. Уравнения
служат мощным математическим аппаратом решения
практических задач. C помощью математических уравнений
можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины уравнений
можно найти, сформулировав задачу на математическом
языке в виде уравнений
и решить
полученную задачу в режиме онлайн
на сайте www.сайт. Любое алгебраическое уравнение
, тригонометрическое уравнение
или уравнения
содержащие трансцендентные
функции Вы легко решите
онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения уравнений
. При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн
. Поэтому для решения математических уравнений онлайн
мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических уравнений онлайн
, тригонометрических уравнений онлайн
, а также трансцендентных уравнений онлайн
или уравнений
с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению корней различных математических уравнений
ресурса www.. Решая уравнения онлайн
самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение уравнений
на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать уравнение и моментально получите онлайн решение
, после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением уравнения. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить уравнение онлайн
и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении
и вовремя скорректировать ответ при решении уравнений онлайн
будь то алгебраическое
, тригонометрическое
, трансцендентное
или уравнение
с неизвестными параметрами.

Решение параметров с нуля

Сразу оговорюсь — для того, чтобы научиться решать задачи с параметром, не выйдет просто прочитать краткую инструкцию с указаниями, что вам делать. Нужно потратить некоторое время, чтобы научиться решать такие задачи. Здесь необходимо развитое аналитическое мышление (задачи бывают совершенно разные и нужно уметь анализировать разные функции), отличное умение решать все типы уравнений и неравенств (если вы не можете решить любое задание С1 или С3, то для вас будет очень сложно решить и С6), знание, как ведут себя различные функции и умение строить их графики. Как видите, все не так уж просто, но и 4 первичных балла дают не просто так. Тем не менее, решить С6 более чем реально, нужно набраться терпения. На самом деле, не так уж и много материала, да и раз вы задумались о С6, скорее всего, большинство необходимых знаний у вас есть, в основном придется потратить время на отработку практических навыков и разбор различных методов решения. Материал разбит на несколько частей, и я рекомендую внимательно их изучить, разбирая представленные примеры.

Решение уравнения или неравенства с параметром обычно предполагает несколько случаев, и ни один из них нельзя потерять.
Для того, чтобы решить задачу с параметром, необходимо для начала преобразовать заданное выражение к более простому виду, если это, конечно, возможно. При этом необходимо понимать, какие преобразования являются равносильными, а какие нет. В противном случае могут появиться посторонние корни, которые будет нужно проверить (это не всегда просто, поэтому рекомендую стараться использовать равносильные преобразования).

Рекомендации к выполнению задания 18 ЕГЭ:

  1. Надо избавиться от логарифмов, модулей, показательных степеней и т.д.
  2. Еще раз внимательно прочитать задание. Понять, что от вас требуется.
  3. Попытаться проанализировать получившееся после преобразований выражение на наличие каких-либо специальных свойств функции (периодичность, возрастание/убывание, четность/нечетность и т.д.)
  4. Часто решить задачу с параметром можно и удобно при помощи графиков. Иногда удобно выполнять построения на обычной координатной плоскости (Х, У), а иногда удобно построить графики в плоскости (Х, а), где а – параметр. Данный способ решения возможен, если вы видите знакомые функции (параболы, прямые, гиперболы, окружности и т.д.). Разумеется, бывает несколько способов решения поставленной задачи, но графический, как правило, наименее громоздок и прост для понимания. Ведь графики показывают поведение функций, и весь необходимый анализ появится у вас перед глазами.2-3*x+1=0\), при \(a=0\) выражение принимает вид \(-3*x+1=0\), т.е. превращается в линейную функцию, а способы решения квадратного и линейного уравнений различны.

Решение показательных уравнений

Друзья, рады представить вам новую задачу с подробным решением от одного из лучших математиков нашего проекта — Андрея Алексеевича.

 

 

Здравствуйте!

Сегодня предлагаю разобрать уравнение, приведенное ниже.

 

Это задание №13.

 

Итак,

Условие:

а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 

 

Решение:

а) Если внимательно посмотреть на исходное уравнение: 

то можно заметить, что не только показатели степени одинаковые, но и основания степени можно унифицировать, представив «9» как «3 в квадрате». Это позволит нам сделать замену переменной.

Пусть  тогда уравнение мы запишем в виде  

Соответственно, у нас получилось квадратное уравнение относительно переменной «t». Решая это уравнение через Дискриминант, получим два корня:

  или

 

Далее делаем обратную замену:

 

При  получим:  откуда  (так как «1» в правой части, это «3» в «нулевой степени»)

При  получим:  откуда  (здесь мы сначала используем свойство степени и в левой части «3» в степени «х» разделим на «3» в «первой степени, затем разделим обе части уравнения на три и используем определение логарифма числа)

 

б) Определим, принадлежат ли полученные корни заданному промежутку.

Корень  не принадлежит промежутку  , так как концы отрезка в данном случае не входят в промежуток, что обозначено круглыми скобками.

Теперь посмотрим на второй корень. Поскольку  и  то получается, что корень  принадлежит данному промежутку 

 

Ответ: а)  б) 

 

Автор: Андрей Найденов.

 

Решение уравнения с модулем

Решение уравнений с модулем. В этой статье я покажу алгоритм решения уравнений, которые содержат  несколько выражений под знаком модуля, на примере решения уравнения уровня С1, а затем вы посмотрите ВИДЕОУРОК с подробным разбором тригонометрического уравнения с модулем.

Давайте решим уравнение:

 

Вспомним, что модуль раскрывается по  такому правилу:

Говоря человеческим языком, модуль выражения равен самому выражению, если оно неотрицательно, и выражению с противоположным знаком, если оно меньше нуля.

Таким образом, перед нами стоит задача раскрыть все модули в соответствии со знаками подмодульных выражений.

Будем следовать такому алгоритму:

1. Определим, в каких точках каждое подмодульное выражение меняет знак. Для этого приравняем каждое подмодульное выражение к нулю:

Мы получили три точки.

2. Нанесем их на числовую ось:

Эти три числа разбили числовую ось на четыре промежутка:

,   ,   ,  

Обратите внимание, что мы включили крайние точки промежутков в оба промежутка. Ничего страшного не случится, если мы эти точки учтем два раза, главное, о них не забыть.

3. Теперь рассмотрим знаки подмодульных выражений на каждом промежутке:

Выражение меняет знак в точке . Слева от этой точки оно отрицательно, а справа положительно. Отметим это в таблице:

Выражение меняет знак в точке . Слева от этой точки оно отрицательно, а справа положительно. Отметим это в таблице:

Выражение меняет знак в точке . Слева от этой точки оно отрицательно, а справа положительно. Отметим это в таблице:

Мы получили знаки всех подмодульных выражений на каждом промежутке. Теперь раскроем модули на каждом промежутке с учетом этих знаков.

Наше уравнение «распадается» на четыре уравнения по количеству числовых промежутков.

4. Решим уравнение на каждом промежутке:

1. 

Решение уравнения на первом промежутке 

2.Раскроем модули на втором промежутке:

Мы получили, что второе уравнение системы является тождеством, то есть   второе равенство верно при любом действительном значении . Следовательно, решением системы будут те значения неизвестного, которые удовлетворяют первому неравенству:

.

3. Раскроем модули на третьем промежутке:

Решение уравнения на третьем промежутке: 

4. Раскроем модули на четвертом промежутке:

Решение уравнения на четвертом промежутке: 

Заметим, что решения нашего уравнения на каждом промежутке принадлежали этому промежутку, то есть удовлетворяли неравенству каждой системы. Однако, так бывает не всегда, и если корень уравнения не удовлетворяет неравенству, значит, соответствующая система не имеет решений.

5. Теперь объединим полученные решения, и запишем ответ:

Ответ: -6≤х≤0, х=12

А сейчас я предлагаю вам посмотреть ВИДЕУРОК с подробным решением уравнения уровня С3:

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Онлайн уравнение прямой по двум точкам с подробным решением

Подробности

Калькулятор уравнения прямой онлайн составлет общее уравнение прямой и уравнение прямой с угловым коэффициентом k по двум точкам.

Исходные данные:

Решение:

A x + B y + C = 0общее уравнение прямой, где A и B одновременно не равны нулю:

составление общее уравнение прямой, где

расчет коэффициента А для общего уравнения прямой

расчет коэффициента B для общего уравнения прямой

расчет коэффициента C для общего уравнения прямой

y = k x + bуравнение прямой с угловым коэффициентом k, равным тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ (ось абсцисс):

составление уравнения прямой с угловым коэффициентом, где

расчет углового коэффициента k

расчет коэффициента b

I. Порядок действий при составлении уравнения прямой, проходящей через 2 точки онлайн калькулятором:

  1. Для составления уравнения прямой требуется ввести значеня координат 2 точек ([X1, Y1]; [X2, Y2]).

II. Для справки:

прямая (прямая линия)
— это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя ее точками.
интерполяция
— способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
линейная интерполяция
— нахождение промежуточного значения функции по двум точкам (условно проведя прямую между ними).
квадратичная интерполяция
— нахождение промежуточного значения функции по трем точкам (интерполирующая функция многочлен второго порядка — парабола).

III. Примечание:

  1. Блок исходных данных выделен желтым цветом, блок промежуточных вычислений выделен голубым цветом, блок решения выделен зеленым цветом.

Математика


Преподаватель Никифорова Светлана Витальевна, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры Специальной математики КНИТУ-КАИ, имеет большой опыт работы со абитуриентами, в том числе с иностранными, является автором методических указаний по подготовке к ЕГЭ.

В современной науке и технике математические методы моделирования, исследования и проектирования играют все большую роль. Это обусловлено, прежде всего, быстрым развитием вычислительной техники, благодаря которой все время существенно расширяются возможности успешного применения математики при решении  задач в различных областях знаний и техники.

Цель математического образования – овладение слушателями необходимым математическим аппаратом, системой навыков и умений, дающими основание научно правильно понимать своеобразие отражения математикой простейших законов о количественных отношениях и пространственных формах в природе, обществе и производстве, помогающими моделировать, анализировать и решать прикладные инженерные задачи.

Курс предназначен для учащихся старших классов и выпускников средних школ с целью оказания им помощи  при закреплении навыков и умений  по решению математических задач, необходимых при сдаче экзамена, а также для всех желающих изучать математику. Учебный материал включает в себя 7 модулей, в каждом из которых содержатся краткие теоретические сведения по основным разделам математики, методические указания, необходимые теоремы и формулы, видеолекции, интересные факты из математики, примеры различного уровня сложности с подробным решением, задачи для самоконтроля с ответами (домашнее задание), контрольные задания (тесты).

Структура курса

 МОДУЛЬ 1. ЧИСЛА.

— Лекция 1.1. «Числа»

— Лекция 1.2. «Задачи повышенной сложности»

Краткое описание модуля:

            Числа: натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные и арифметические операции с ними. Свойства степени с натуральным показателем. Свойства степени с рациональным показателем. Свойства арифметических корней. Вычисление арифметических выражений. Формулы сокращенного умножения. Вычисление арифметических выражений. Преобразование алгебраических выражений. Решение задач повышенной сложности.

 МОДУЛЬ 2. УРАВНЕНИЯ.

— Лекция 2.1. «Уравнения»

— Лекция 2.2. «Решение нестандартных уравнений»

— Лекция 2.3. «Решение нестандартных уравнений (продолжение)»

Краткое описание модуля:

            Линейные уравнения, линейные уравнения с параметром. Методы решения систем линейных уравнений. Уравнения, содержащие неизвестную величину под знаком модуля. Квадратные уравнения и приводящиеся к ним. Теорема Виета. Рациональные уравнения высших степеней. Системы рациональных уравнений. Иррациональные уравнения. Замена переменных в иррациональном уравнении. Решение нестандартных уравнений.

 МОДУЛЬ 3. НЕРАВЕНСТВА.

— Лекция 3.1. «Неравенства»

— Лекция 3.2. «Интересное о неравенствах»

Краткое описание модуля:

            Линейные неравенства, системы линейных неравенств. Неравенства, содержащие неизвестную величину под знаком модуля.  Рациональные неравенства и системы рациональных неравенств. Понятие системы и совокупности систем неравенств. Иррациональные неравенства. Некоторые нестандартные подходы к решению неравенств.

  МОДУЛЬ 4. ТРИГОНОМЕТРИЯ.

— Лекция 4. «Тригонометрия»

Краткое описание модуля:

            Тригонометрические функции, их свойства. Формулы приведения. Формулы зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степени. Формулы сложения аргументов. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение. Формулы преобразования произведений тригонометрических функций в сумму. Универсальная тригонометрическая подстановка. Обратные тригонометрические функции, их свойства. Тригонометрические уравнения: простейшие тригонометрические уравнения, замена переменных в тригонометрическом уравнении, однородные тригонометрические уравнения, введение вспомогательного аргумента. 

 МОДУЛЬ 5. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

— Лекция 5. «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства»

Краткое описание модуля:

            Показательная функция, ее свойства.  Показательные уравнения: уравнения, содержащие одинаковые основания; уравнения, содержащие два различных основания; уравнения, содержащие три различных основания; замена переменных в показательных уравнениях. Логарифмическая функция, ее свойства.  Основное логарифмическое тождество. Формула перехода к новому основанию. Логарифмические уравнения. Область допустимых значений в логарифмических уравнениях. Показательно-логарифмические и логарифмически-показательные уравнения. Показательные неравенства. Логарифмические неравенства.

 МОДУЛЬ 6. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ.

— Лекция 6. «Текстовые задачи»

Краткое описание модуля:

            Решение текстовых задач. Задачи на пропорции, проценты, смеси. Задачи на целые числа. Задачи на работу. Задачи на движение. 

  МОДУЛЬ 7. ГЕОМЕТРИЯ.

— Лекция 7.1. «Геометрия»

— Лекция 7.2. «Планиметрия»

— Лекция 7.3. «Стереометрия»

Краткое описание модуля:

            Основные теоретические сведения из геометрии, история её возникновения и становления. Планиметрия. Решение задач с треугольником. Четырехугольники и многоугольники. Окружность, круг, вписанные углы, касательная и секущая. Вписанные и описанные многоугольники. Комбинации геометрических тел. Стереометрия. Многогранники: призма, пирамида. Фигуры вращения: конус, цилиндр, шар. Комбинации тел вращения.

Решение линейных уравнений: с пареном; «All x», «No x» Soln’s

Purplemath

В этом уроке мы сначала попрактикуемся в решении линейных уравнений, содержащих скобки. Их решение потребует умножения и упрощения, прежде чем приступить к фактическому процессу решения. Если вам не нравятся скобки, сначала займитесь изучением. Тогда вернись сюда.

Затем мы рассмотрим два странных типа решений: «нет решения» и решение «все x ». В первом случае процесс решения заканчивается бессмыслицей, а во втором — тривиально верным утверждением. Поскольку учащиеся нечасто сталкиваются с такими решениями, их легко забыть, а значит, и запутать. Но я готов поспорить, что в следующем тесте будет хотя бы одно из этих уравнений, а в финале, вероятно, будет еще одно.Итак, изучите и сделайте пометку сейчас, чтобы просмотреть уравнения «без решения» и «все уравнения — x » перед следующим экзаменом.

MathHelp.com


После того, как вы изучите основы решения линейных уравнений, ваш учебник и инструктор начнут предлагать вам упражнения, содержащие скобки, которые обычно необходимо сначала упростить (или «расширить», что означает, что вы умножили, а затем упростил результат).

Во-первых, мне нужно умножить скобки в правой части. Затем я могу продолжить как обычно:

Тогда мое решение:


  • Решить 6

    x — (3 x + 8) = 16

Сначала я упрощу левую часть; потом решу обычным способом.Я хочу быть осторожным, когда пишу негатив в скобках. Если у меня возникают проблемы с отслеживанием знаков «минус», я ставлю «1» перед круглыми скобками.

Тогда мое решение:


  • Решите 7 (5

    x — 2) = 6 (6 x — 1)

Это уравнение заключено в скобки с обеих сторон уравнения.Я должен обязательно взять 7 и 6 до их соответствующих скобок.

После того, как я упростил обе стороны, я переместил меньший из двух членов переменных («35 x » с левой стороны), чтобы убедиться, что у полученного в результате члена переменной нет знака «минус». Это не «правило», но, безусловно, облегчает мою жизнь. И мой окончательный ответ:

Для уравнений с скобками, не торопитесь и выпишите все ваших шагов, как я сделал выше.Не пытайтесь делать все в своей голове.


Во-первых, мне нужно умножить в левой части, взяв 3 через —

Подождите … В этом уравнении я действительно могу избавиться от 3, разделив его на части, потому что 6 в правой части делится на 3. На самом деле мне не нужно распределять для этого конкретного уравнения. Вместо:

3 (х — 2) = 6
——— —
3 3

х — 2 = 2
+2 +2
———-
х = 4

Тогда мое решение:

Если бы я не заметил, что могу начать с разделения, я бы все равно получил правильный ответ.Но если есть возможность разделить, предоставив себе меньшие числа для работы, я бы хотел этим воспользоваться. Это упрощение случается нечасто, но постарайтесь не закрывать глаза на то, что несколько раз оно появляется.


  • Решить 13 — (2

    x + 2) = 2 ( x + 2) + 3 x

Я начну с умножения на каждую скобку (знак «минус» слева и 2 справа).Затем я объединю похожие термины, упрощу и решу:

Тогда мой ответ:


Не забывайте: никогда нет причин быть неуверенным в своем решении линейного уравнения, потому что вы всегда можете проверить свой ответ. Значение решения состоит в том, что именно значение x делает уравнение истинным. Итак, чтобы проверить свой ответ, вы вставляете значение решения обратно в исходное уравнение и убедитесь, что уравнение «работает» с этим значением.Например, в последнем упражнении выше мое решение было x = 1. Чтобы проверить свое решение, я подставлю свое значение в левую (LHS) и правую (RHS) части исходного уравнения. , и убедитесь, что обе стороны оценивают одно и то же число.

13 — (2 x + 2) = 2 ( x + 2) + 3 x

слева: 13 — (2 [1] + 2)

= 13 — (2 + 2) = 13-4 = 9

ПРА: 2 ([1] + 2) + 3 [1]

Две стороны уравнения дают одно и то же значение, поэтому решение «проверяет», и теперь я знаю , что мой ответ правильный

Кстати, если есть возможность, попробуйте проверить свои ответы при сдаче тестов.После того, как вы ответили на все вопросы (при условии, что у вас осталось немного времени), вернитесь и вставьте свои решения обратно в исходный вопрос. Если ваше решение вопроса «проверяет», значит, вы знаете, что ответили правильно. Если он не проверит, то у вас есть шанс исправить свою ошибку до того, как вы сдадите свой тест.


Возможно, вам придется решать линейные уравнения с вложенными скобками .

  • Решите 2 [3

    x + 4 (3 — x )] = 3 (5 — 4 x ) — 11

Прежде чем я смогу решить, мне нужно упростить.Сначала я упрощу левую часть:

2 [3 x + 4 (3 — x )]

2 [3 x + 4 (3) + 4 (- x )]

2 [3 x + 12–4 x ]

2 [12 — x ]

24-2 х

Тогда я упрощу правую часть:

3 (5 — 4 x ) — 11

3 (5) + 3 (–4 x ) — 11

15 — 12 x — 11

4–12 x

Теперь, когда я упростил обе стороны уравнения, я могу перейти к решению.

24 — 2x = 4 — 12x
+ 12x + 12x
——————-
24 + 10x = 4
-24-24
—————
10x = -20
— —
10 10

х = -2

Итак, мой окончательный ответ:


  • Решение 3 [

    x — 2 (3 x — 4)] + 15 = 5 — [2 x — (3 + x )] — 11

Моим первым шагом будет упростить каждую часть этого уравнения, работая изнутри.Начну с левой стороны:

3 [ x — 2 (3 x — 4)] + 15

3 [ x — 6 x + 8] + 15

3 [–5 x + 8] + 15

–15 x + 24 + 15

–15 x + 39

Тогда я упрощу правую часть:

5 — [2 x — (3 + x )] — 11

5 — [2 x — 3 — x ] — 11

5 — [ x — 3] — 11

5 — х + 3 — 11

х — 3

После упрощения каждой стороны я могу приступить к решению.Мое упрощенное уравнение:

Я перемещаю меньший член переменной (равный –15 x слева), а затем перемещаю числа, чтобы закончить решение.

-15x + 39 = -x — 3
+ 15x + 15x
——————-
39 = 14x — 3
+3 +3
————
42 = 14x
— —
14 14

3 = х


Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении линейных уравнений с вложенными круглыми скобками.Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку и выберите «Решить для x», чтобы сравнить свой ответ с ответом Матвея. (Или пропустите виджет и перейдите к следующей странице.)

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)



URL: https: //www.purplemath.com / modules / solvelin4.htm

2.4 Использование общей стратегии для решения линейных уравнений — элементарная алгебра 2e

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Решите уравнения, используя общую стратегию
  • Классифицируйте уравнения

Будьте готовы 2,8

Перед тем, как начать, пройдите тест на готовность.

Упростить: — (a − 4).- (а-4).
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.137.

Будьте готовы 2.9

Умножить: 32 (12x + 20) 32 (12x + 20).
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.133.

Будьте готовы 2.10

Упростить: 5−2 (n + 1) 5−2 (n + 1).
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.138.

Будьте готовы 2.11

Умножаем: 3 (7y + 9) 3 (7y + 9).
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.132.

Будьте готовы 2.12

Умножаем: (2,5) (6,4) (2,5) (6,4).
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.97.

Решение уравнений с использованием общей стратегии

До сих пор мы имели дело с решением одной конкретной формы линейного уравнения. Пришло время разработать одну общую стратегию, которую можно использовать для решения любого линейного уравнения. Некоторые уравнения, которые мы решаем, не требуют выполнения всех этих шагов, но многие потребуют.

Если начать с упрощения каждой части уравнения, остальные шаги будут проще.

Пример 2.37

Как решать линейные уравнения, используя общую стратегию

Решите: −6 (x + 3) = 24. −6 (x + 3) = 24.

Попробовать 2,73

Решите: 5 (x + 3) = 35,5 (x + 3) = 35.

Попробуйте 2.74

Решить: 6 (y − 4) = — 18,6 (y − 4) = — 18.

How To

Общая стратегия решения линейных уравнений.
  1. Шаг 1. Максимально упростите каждую часть уравнения.
    Используйте свойство Distributive, чтобы удалить скобки.
    Комбинируйте похожие термины.
  2. Шаг 2. Соберите все переменные члены с одной стороны уравнения.
    Используйте свойство равенства сложения или вычитания.
  3. Шаг 3. Соберите все постоянные члены с другой стороны уравнения.
    Используйте свойство равенства сложения или вычитания.
  4. Шаг 4. Принять коэффициент при переменном члене равным 1.
    Используйте свойство равенства умножения или деления.
    Сформулируйте решение уравнения.
  5. Шаг 5. Проверьте решение. Подставьте решение в исходное уравнение, чтобы убедиться, что результат верный.

Пример 2.38

Решите: — (y + 9) = 8 .− (y + 9) = 8.

Попробуйте 2.75

Решить: — (y + 8) = — 2 .− (y + 8) = — 2.

Попробуйте 2.76

Решить: — (z + 4) = — 12 .− (z + 4) = — 12.

Пример 2.39

Решите: 5 (a − 3) + 5 = −105 (a − 3) + 5 = −10.

Попробуйте 2.77

Решить: 2 (m − 4) + 3 = −12 (m − 4) + 3 = −1.

Попробуйте 2.78

Решите: 7 (n − 3) −8 = −157 (n − 3) −8 = −15.

Пример 2.40

Решите: 23 (6m − 3) = 8 − m23 (6m − 3) = 8 − m.

Попробовать 2.79

Решите: 13 (6u + 3) = 7 − u13 (6u + 3) = 7 − u.

Попробуйте 2.80

Решите: 23 (9x − 12) = 8 + 2×23 (9x − 12) = 8 + 2x.

Пример 2.41

Решите: 8−2 (3y + 5) = 08−2 (3y + 5) = 0.

Попробуй 2.81

Решите: 12−3 (4j + 3) = — 1712−3 (4j + 3) = — 17.

Попробуйте 2.82

Решите: −6−8 (k − 2) = — 10−6−8 (k − 2) = — 10.

Пример 2.42

Решите: 4 (x − 1) −2 = 5 (2x + 3) +64 (x − 1) −2 = 5 (2x + 3) +6.

Попробовать 2.83

Решите: 6 (p − 3) −7 = 5 (4p + 3) −126 (p − 3) −7 = 5 (4p + 3) −12.

Попробуйте 2.84

Решите: 8 (q + 1) −5 = 3 (2q − 4) −18 (q + 1) −5 = 3 (2q − 4) −1.

Пример 2.43

Решите: 10 [3−8 (2s − 5)] = 15 (40−5s) 10 [3−8 (2s − 5)] = 15 (40−5s).

Попробуйте 2.85

Решите: 6 [4−2 (7y − 1)] = 8 (13−8y) 6 [4−2 (7y − 1)] = 8 (13−8y).

Попробуйте 2.86

Решите: 12 [1−5 (4z − 1)] = 3 (24 + 11z) 12 [1−5 (4z − 1)] = 3 (24 + 11z).

Пример 2.44

Решите: 0,36 (100n + 5) = 0,6 (30n + 15) 0,36 (100n + 5) = 0,6 (30n + 15).

Попробуйте 2.87

Решите: 0,55 (100n + 8) = 0,6 (85n + 14) 0,55 (100n + 8) = 0,6 (85n + 14).

Попробуйте 2.88

Решите: 0,15 (40m − 120) = 0,5 (60m + 12) 0,15 (40m − 120) = 0,5 (60m + 12).

Классифицируйте уравнения

Рассмотрим уравнение, которое мы решили в начале последнего раздела, 7x + 8 = −137x + 8 = −13. Мы нашли решение x = −3x = −3. Это означает, что уравнение 7x + 8 = −137x + 8 = −13 верно, когда мы заменяем переменную x на значение −3−3. Мы показали это, когда проверили решение x = −3x = −3 и вычислили 7x + 8 = −137x + 8 = −13 для x = −3x = −3.

Если мы оценим 7x + 87x + 8 для другого значения x , левая часть не будет -13-13.

Уравнение 7x + 8 = −137x + 8 = −13 верно, когда мы заменяем переменную x , на значение −3−3, но неверно, когда мы заменяем x любым другим значением. Верно ли уравнение 7x + 8 = −137x + 8 = −13, зависит от значения переменной. Подобные уравнения называются условными уравнениями.

Все решенные нами уравнения являются условными.

Условное уравнение

Уравнение, которое истинно для одного или нескольких значений переменной и ложно для всех других значений переменной, является условным уравнением.

Теперь рассмотрим уравнение 2y + 6 = 2 (y + 3) 2y + 6 = 2 (y + 3). Вы понимаете, что левая и правая стороны эквивалентны? Давайте посмотрим, что произойдет, если мы найдем и .

Распространение.
Вычтите 2y2y, чтобы уместить yy в одну сторону.
Упростите — yy больше нет!

Но 6 = 66 = 6 верно.

Это означает, что уравнение 2y + 6 = 2 (y + 3) 2y + 6 = 2 (y + 3) верно для любого значения y . Мы говорим, что решение уравнения — это все действительные числа. Уравнение, которое справедливо для любого значения переменной, как это, называется тождеством.

Личность

Уравнение, которое истинно для любого значения переменной, называется тождеством .

Решение идентичности — все действительные числа.

Что происходит, когда мы решаем уравнение 5z = 5z − 15z = 5z − 1?

Вычтите 5z5z, чтобы получить только константу справа.
Упростите — буквы zz больше нет!

Но 0 ≠ −10 ≠ −1.

Решение уравнения 5z = 5z − 15z = 5z − 1 привело к ложному утверждению 0 = −10 = −1. Уравнение 5z = 5z − 15z = 5z − 1 не будет верным ни при каком значении z. У него нет решения. Уравнение, не имеющее решения или неверное для всех значений переменной, называется противоречием.

Противоречие

Уравнение, которое неверно для всех значений переменной, называется противоречием.

Противоречие не имеет решения.

Пример 2.45

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие. Затем сформулируйте решение.

6 (2n − 1) + 3 = 2n − 8 + 5 (2n + 1) 6 (2n − 1) + 3 = 2n − 8 + 5 (2n + 1)

Попробуйте 2.89

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение:

4 + 9 (3x − 7) = — 42x − 13 + 23 (3x − 2) 4 + 9 (3x − 7) = — 42x − 13 + 23 (3x − 2)

Попробуй 2.90

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение:

8 (1−3x) +15 (2x + 7) = 2 (x + 50) +4 (x + 3) +18 (1−3x) +15 (2x + 7) = 2 (x + 50) + 4 (х + 3) +1

Пример 2.46

Классифицирует как условное уравнение, тождество или противоречие. Затем сформулируйте решение.

10 + 4 (p − 5) = 010 + 4 (p − 5) = 0

Попробуйте 2.91

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие и затем сформулируйте решение: 11 (q + 3) −5 = 1911 (q + 3) −5 = 19

Попробуй 2.92

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение: 6 + 14 (k − 8) = 956 + 14 (k − 8) = 95

Пример 2.47

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие. Затем сформулируйте решение.

5 м + 3 (9 + 3 мес.) = 2 (7 м – 11) 5 мес. + 3 (9 + 3 мес.) = 2 (7 м – 11)

Попробуйте 2.93

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение:

12c + 5 (5 + 3c) = 3 (9c − 4) 12c + 5 (5 + 3c) = 3 (9c − 4)

Попробуй 2.94

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение:

4 (7d + 18) = 13 (3d − 2) −11d4 (7d + 18) = 13 (3d − 2) −11d

Тип уравнения Что произойдет, когда вы ее решите? Решение
Условное уравнение Истинно для одного или нескольких значений переменных и ложно для всех остальных значений Одно или несколько значений
Личность Истинно для любого значения переменной Все вещественные числа
Противоречие Ложь для всех значений переменной Нет решения

Таблица 2.5

Раздел 2.4 Упражнения

Практика ведет к совершенству

Решение уравнений с использованием общей стратегии решения линейных уравнений

В следующих упражнениях решите каждое линейное уравнение.

232.

15 (y − 9) = — 6015 (y − 9) = — 60

233.

21 (y − 5) = — 4221 (y − 5) = — 42

234.

−9 (2n + 1) = 36−9 (2n + 1) = 36

235.

−16 (3n + 4) = 32−16 (3n + 4) = 32

238.

— (w − 12) = 30− (w − 12) = 30

239.

— (t − 19) = 28− (t − 19) = 28

241.

8 (9b − 4) −12 = 1008 (9b − 4) −12 = 100

243.

21 + 2 (м − 4) = 2521 + 2 (м − 4) = 25

244.

51 + 5 (4 − q) = 5651 + 5 (4 − q) = 56

245.

−6 + 6 (5 − k) = 15−6 + 6 (5 − k) = 15

246.

2 (9s − 6) −62 = 162 (9s − 6) −62 = 16

247.

8 (6t − 5) −35 = −278 (6t − 5) −35 = −27

248.

3 (10−2x) + 54 = 03 (10−2x) + 54 = 0

249.

−2 (11−7x) + 54 = 4−2 (11−7x) + 54 = 4

250.

23 (9c − 3) = 2223 (9c − 3) = 22

251.

35 (10x − 5) = 2735 (10x − 5) = 27

252.

15 (15c + 10) = c + 715 (15c + 10) = c + 7

253.

14 (20d + 12) = d + 714 (20d + 12) = d + 7

254.

18− (9r + 7) = — 1618− (9r + 7) = — 16

255.

15− (3r + 8) = 2815− (3r + 8) = 28

256.

5− (n − 1) = 195− (n − 1) = 19

257.

−3− (м − 1) = 13−3− (м − 1) = 13

258.

11−4 (y − 8) = 4311−4 (y − 8) = 43

259.

18−2 (y − 3) = 3218−2 (y − 3) = 32

260.

24-8 (3м + 6) = 024-8 (3м + 6) = 0

261.

35−5 (2w + 8) = — 1035−5 (2w + 8) = — 10

262.

4 (а-12) = 3 (а + 5) 4 (а-12) = 3 (а + 5)

263.

−2 (a − 6) = 4 (a − 3) −2 (a − 6) = 4 (a − 3)

264.

2 (5 − u) = — 3 (2u + 6) 2 (5 − u) = — 3 (2u + 6)

265.

5 (8 − r) = — 2 (2r − 16) 5 (8 − r) = — 2 (2r − 16)

266.

3 (4n − 1) −2 = 8n + 33 (4n − 1) −2 = 8n + 3

267.

9 (2m − 3) −8 = 4m + 79 (2m − 3) −8 = 4m + 7

268.

12 + 2 (5−3y) = — 9 (y − 1) −212 + 2 (5−3y) = — 9 (y − 1) −2

269.

−15 + 4 (2−5y) = — 7 (y − 4) + 4−15 + 4 (2−5y) = — 7 (y − 4) +4

270.

8 (x − 4) −7x = 148 (x − 4) −7x = 14

271.

5 (x − 4) −4x = 145 (x − 4) −4x = 14

272.

5 + 6 (3s − 5) = — 3 + 2 (8s − 1) 5 + 6 (3s − 5) = — 3 + 2 (8s − 1)

273.

−12 + 8 (x − 5) = — 4 + 3 (5x − 2) −12 + 8 (x − 5) = — 4 + 3 (5x − 2)

274.

4 (u − 1) −8 = 6 (3u − 2) −74 (u − 1) −8 = 6 (3u − 2) −7

275.

7 (2n − 5) = 8 (4n − 1) −97 (2n − 5) = 8 (4n − 1) −9

276.

4 (p − 4) — (p + 7) = 5 (p − 3) 4 (p − 4) — (p + 7) = 5 (p − 3)

277.

3 (a − 2) — (a + 6) = 4 (a − 1) 3 (a − 2) — (a + 6) = 4 (a − 1)

278.

— (9y + 5) — (3y − 7) — (9y + 5) — (3y − 7)
= 16− (4y − 2) = 16− (4y − 2)

279.

— (7m + 4) — (2m − 5) — (7m + 4) — (2m − 5)
= 14− (5m − 3) = 14− (5m − 3)

280.

4 [5−8 (4c − 3)] 4 [5−8 (4c − 3)]
= 12 (1−13c) −8 = 12 (1−13c) −8

281.

5 [9−2 (6d − 1)] 5 [9−2 (6d − 1)]
= 11 (4−10d) −139 = 11 (4−10d) −139

282.

3 [−9 + 8 (4h − 3)] 3 [−9 + 8 (4h − 3)]
= 2 (5−12h) −19 = 2 (5−12h) −19

283.

3 [−14 + 2 (15k − 6)] 3 [−14 + 2 (15k − 6)]
= 8 (3−5k) −24 = 8 (3−5k) −24

284.

5 [2 (m + 4) +8 (m − 7)] 5 [2 (m + 4) +8 (m − 7)]
= 2 [3 (5 + m) — (21−3m)] = 2 [3 (5 + m) — (21−3m)]

285.

10 [5 (n + 1) +4 (n − 1)] 10 [5 (n + 1) +4 (n − 1)]
= 11 [7 (5 + n) — (25−3n)] = 11 [7 (5 + n) — (25−3n)]

286.

5 (1,2u-4,8) = — 125 (1,2u-4,8) = — 12

287.

4 (2,5v-0,6) = 7,64 (2,5v-0,6) = 7,6

288.

0,25 (q − 6) = 0,1 (q + 18) 0.25 (q − 6) = 0,1 (q + 18)

289.

0,2 (p − 6) = 0,4 (p + 14) 0,2 (p − 6) = 0,4 (p + 14)

290.

0,2 (30n + 50) = 280,2 (30n + 50) = 28

291.

0,5 (16 мес. + 34) = — 150,5 (16 мес. + 34) = — 15

Классификация уравнений

В следующих упражнениях классифицируйте каждое уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение.

292.

23z + 19 = 3 (5z − 9) + 8z + 4623z + 19 = 3 (5z − 9) + 8z + 46

293.

15y + 32 = 2 (10y − 7) −5y + 4615y + 32 = 2 (10y − 7) −5y + 46

294.

5 (b − 9) +4 (3b + 9) = 6 (4b − 5) −7b + 215 (b − 9) +4 (3b + 9) = 6 (4b − 5) −7b + 21

295.

9 (a − 4) +3 (2a + 5) = 7 (3a − 4) −6a + 79 (a − 4) +3 (2a + 5) = 7 (3a − 4) −6a + 7

296.

18 (5j − 1) + 29 = 4718 (5j − 1) + 29 = 47

297.

24 (3d − 4) + 100 = 5224 (3d − 4) + 100 = 52

298.

22 (3m − 4) = 8 (2m + 9) 22 (3m − 4) = 8 (2m + 9)

299.

30 (2n − 1) = 5 (10n + 8) 30 (2n − 1) = 5 (10n + 8)

300.

7v + 42 = 11 (3v + 8) −2 (13v − 1) 7v + 42 = 11 (3v + 8) −2 (13v − 1)

301.

18u − 51 = 9 (4u + 5) −6 (3u − 10) 18u − 51 = 9 (4u + 5) −6 (3u − 10)

302.

3 (6q − 9) +7 (q + 4) = 5 (6q + 8) −5 (q + 1) 3 (6q − 9) +7 (q + 4) = 5 (6q + 8) −5 (q + 1)

303.

5 (p + 4) +8 (2p − 1) = 9 (3p − 5) −6 (p − 2) 5 (p + 4) +8 (2p − 1) = 9 (3p − 5) −6 (п − 2)

304.

12 (6h − 1) = 8 (8h + 5) −412 (6h − 1) = 8 (8h + 5) −4

305.

9 (4k − 7) = 11 (3k + 1) +49 (4k − 7) = 11 (3k + 1) +4

306.

45 (3y − 2) = 9 (15y − 6) 45 (3y − 2) = 9 (15y − 6)

307.

60 (2x − 1) = 15 (8x + 5) 60 (2x − 1) = 15 (8x + 5)

308.

16 (6n + 15) = 48 (2n + 5) 16 (6n + 15) = 48 (2n + 5)

309.

36 (4 мес. + 5) = 12 (12 мес. + 15) 36 (4 мес. + 5) = 12 (12 мес. + 15)

310.

9 (14d + 9) + 4d = 13 (10d + 6) +39 (14d + 9) + 4d = 13 (10d + 6) +3

311.

11 (8c + 5) −8c = 2 (40c + 25) +511 (8c + 5) −8c = 2 (40c + 25) +5

Повседневная математика

312.

Фехтование У Мики есть ограждение длиной 44 фута, чтобы заставить собаку бегать по его двору. Он хочет, чтобы длина была на 2,5 фута больше ширины. Найдите длину L , решив уравнение 2L + 2 (L − 2,5) = 442L + 2 (L − 2,5) = 44.

313.

Монеты У Ронды 1,90 доллара в никелях и десять центов. Количество десятицентовиков на единицу меньше двукратного количества пятаков.Найдите количество никелей, n , решив уравнение 0,05n + 0,10 (2n − 1) = 1,900,05n + 0,10 (2n − 1) = 1,90.

Письменные упражнения

314.

Своими словами перечислите этапы общей стратегии решения линейных уравнений.

315.

Объясните, почему вам следует максимально упростить обе стороны уравнения, прежде чем собирать переменные члены в одну сторону и постоянные члены — в другую.

316.

Какой первый шаг вы сделаете при решении уравнения 3−7 (y − 4) = 383−7 (y − 4) = 38
? Почему это ваш первый шаг?

317.

Решите уравнение 14 (8x + 20) = 3x − 414 (8x + 20) = 3x − 4, объяснив все шаги вашего решения, как в примерах в этом разделе.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении цели этого раздела.

ⓑ По шкале от 1 до 10, как бы вы оценили свое мастерство в этом разделе в свете ваших ответов в контрольном списке? Как можно это улучшить?

Решайте уравнения и упрощайте выражения (Алгебра 2, Уравнения и неравенства) — Mathplanet

В алгебре 1 нас учат, что два правила решения уравнений — это правило сложения и правило умножения / деления.
Правило сложения для уравнений говорит нам, что одна и та же величина может быть добавлена ​​к обеим сторонам уравнения без изменения набора решений уравнения.


Пример

$$ \ begin {array} {lcl} 4x-12 & = & 0 \\ 4x-12 + 12 & = & 0 + 12 \\ 4x & = & 12 \\ \ end {array} $$

Добавление 12 к каждой стороне уравнения в первой строке примера — это первый шаг в решении уравнения. Мы не меняли решение, добавляя по 12 с каждой стороны, поскольку и второе, и третье уравнения имеют одно и то же решение.Уравнения, которые имеют одинаковые наборы решений, называются эквивалентными уравнениями.

Правило умножения / деления для уравнений говорит нам, что каждый член в обеих частях уравнения может быть умножен или разделен на один и тот же член (кроме нуля) без изменения набора решений уравнения.


Пример

$$ \ begin {array} {lcl} 4x-12 & = & 0 \\ 4x-12 + 12 & = & 0 + 12 \\ 4x & = & 12 \\ \ frac {4x} {4} & = & \ frac {12} {4} \\ x & = & 3 \\ \ end {array} $$

Когда мы упрощаем выражение, мы действуем в следующем порядке:

  1. Упростите выражения внутри скобок, скобок, фигурных скобок и дробей.{2} -2)} {\ sqrt {2}} $$

    Сначала мы упрощаем выражение в круглых скобках, вычисляя степени, а затем выполняем вычитание внутри него.

    $$ \ frac {(4-2)} {\ sqrt {2}} $$

    $$ \ frac {(2)} {\ sqrt {2}} $$

    Затем мы убираем скобки и умножаем знаменатель и числитель на √2.

    $$ \ frac {2 \ cdot \ sqrt {2}} {\ sqrt {2} \ cdot \ sqrt {2}} $$

    В качестве последнего шага мы делаем все умножения и деления слева направо.

    $$ \ frac {2 \ cdot \ sqrt {2}} {2} $$

    $$ \ sqrt {2} $$


    Видеоурок

    Решите данное уравнение

    $$ 12 (\ frac {3b-b} {4a}) = 36 $$

    Решите следующие проблемы.Предоставьте подробное решение.

    1) Это наиболее простое решение для объяснения. Просто вставьте -1 для x. Это означает, что:

    f (-1) = 5 * (- 1) 4 -4 (-1) 3 + 3 (-1) 2 -2 (-1) +1 = 5 * 1 — (4) (- 1) + 3 — (2) (- 1) +1 = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15.

    2) Что говорит эта последовательность, чтобы найти следующий член последовательности, умножьте предыдущее число на 2 и добавьте 1. Мы можем просто сделать это для каждого числа f (1) = 3, поэтому f (2) = 2 * f (1) +1 = 2 * 3 + 1 = 7, f (3) = 2 * 7 +1 = 15, f (4) = 2 * 15 +1 = 31, f (5) = 31 * 2 + 1 = 63 и т. Д.Вы можете вычислить остальные члены до f (11), поскольку это тот же самый образец.

    Уловка, чтобы убедиться, что у вас есть правильный ответ: потому что мы умножаем каждое число на 2 и добавляем 1, и тот факт, что мы начали с единицы, меньшей, чем кратное 2, означает, что f (n) = 2 n + 1 — 1 (формальное доказательство будет включать индукцию, но это гораздо более высокий уровень, чем класс алгебры). В данном случае f (11) = 2 12 — 1 = 4095.

    3) Это немного сложновато, так что пристегнитесь.

    Так как x = 1 ≤ 5, переходим ко второму условию.

    Это означает, что f (1) = 1 — f (f (1 + 3)) = 1 — f (f (4). (1)

    Так как 4 ≤ 5, мы снова переходим ко второму условию, чтобы найти из того, что такое f (4) и, следовательно, что такое f (f (4)):

    Мы получаем, что f (4) = 4 — f (f (7)) (2)

    Так как 7 ≥ 5, мы идем к первому условию:

    f (7) = 7 — 2 = 5.

    Возвращаясь к (2), получаем, что f (4) = 4 — f (5). (3)

    Так как 5 ≥ 5 переходим к первому условию:

    f (5) = 5 — 2 = 3.

    Подставляя это в (3), мы получаем, что f (4) = 4 — 3 = 1

    Наконец, подставляя это обратно в (1), мы получаем, что:

    f (1) = 1 — f (1 ), откуда 0 = 1 — 2f (1), что означает f (1) = 1/2.

    4) Это похоже на 2), но поскольку нас просят вычислить только до f (4), он достаточно компактен, чтобы я мог выписать его полностью. f (1) = f (0) + 2 * 1 = 0 + 2 = 2. f (2) = f (1) + 2 * 2 = 2 + 2 * 2 = 2 + 4 = 6, f (3) = f (2) + 2 * 3 = 6 + 6 = 12, и, наконец, f (4) = f (3) + 2 * 4 = 12 + 8 = 20.

    5) Из нашей функции мы получаем, что f ( 7) = f (7-2) + 7 = f (5) +7.

    Поскольку мы уже знаем, что f (7) = 11, мы просто получаем уравнение 11 = f (5) + 7, что означает f (5) = 4.

    6) Опять же из нашей функции мы знаем, что f (1 ) + 2 f * (5-1) = 1, что означает f (1) + 2 * f (4) = 1 (4). Мы не знаем, что такое f (4), но можем попытаться выяснить.

    Из нашей функции мы знаем, что: f (4) + 2 * f (5-4) = 4.

    Это означает, что: f (4) + 2 * f (1) = 4 (5)

    Мы имеют два линейных уравнения: (4) и (5). Сделаем f (1) = x и f (4) = y. В этом случае мы пытаемся найти x.

    Мы можем переписать наши уравнения следующим образом: x + 2y = 1 и y + 2x = 4 (2x + y = 4)

    Мы можем решить эту проблему, исключив переменную. y было бы здесь наиболее удобно, поскольку нас интересует значение x (f (1)):

    x + 2y = 1

    -2 (2x + y) = -2 (4), что означает — 4х — 2у = -8.

    Если мы сложим эти два новых уравнения вместе, чтобы получить эквивалентное, более полезное, мы получим

    (x — 4x) + (2y — 2y) = -7, что означает -3x = -7 или x = f (1) = 7/3.

    Решайте математические уравнения с помощью Math Assistant в OneNote

    Типы задач, поддерживаемые Math Assistant

    При использовании Math Assistant в OneNote вы заметите, что раскрывающийся список Выберите действие под уравнением изменяется в зависимости от выбранного уравнения. Вот некоторые из типов задач, которые поддерживаются в зависимости от уравнения, которое вы пытаетесь решить.

    Массивы

    Для списка действительных чисел поддерживаются все перечисленные ниже.

    Выражения

    Для любого выражения доступны следующие действия:

    • Оценить

    • Проверить

    • Развернуть (если применимо)

    • Коэффициент

      (если применимо)

    • График в 2D (доступен только при наличии переменной)

    • Дифференцировать (доступно только при наличии переменной)

    • Интегрировать (доступно только при наличии переменной)

    Уравнения и неравенства

    Для уравнений и неравенств доступны следующие действия:

    • Решите для {вашей переменной}

    • Обе стороны графика в 2D — Каждая из сторон равенства или неравенства изображена на графике как отдельная функция.

    • График в 2D — график решений уравнения или неравенства

    • Graph Inequality — отмечает область решения на графике

    Системы

    Важно иметь равное количество уравнений и переменных, чтобы обеспечить доступность правильных функций.Системы можно записать двумя способами:

    1. Один под другим, с большой скобкой перед ними или без нее

    2. Через запятую

    Производные и интегралы

    Производные могут быть записаны либо с d / dx перед функцией, либо со штрихом.

    Действия, доступные для производных и интегралов:

    Матрицы

    Матрицы можно записывать в квадратных или круглых скобках. Для матриц поддерживаются следующие действия:

    • Оценить

    • Вычислить определитель

    • Инвертировать матрицу

    • Вычислить трассировку

    • Матрица транспонирования

    • Размер матрицы

    • Уменьшить матрицу

    Матричные уравнения в настоящее время не поддерживаются.

    Построение графика в полярных координатах

    Чтобы построить график функции в полярных координатах, необходимо выразить r как функцию от тета.

    Комплексный режим

    Примечание: Выберите Настройки для переключения между действительными и комплексными числами.

    Для сложных выражений и чисел, содержащих мнимую единицу i, , доступны следующие действия.

    Узнать больше

    Создайте математический тест в Microsoft Forms

    Создайте практическую викторину по математике с помощью Math Assistant в OneNote

    Решайте математические уравнения с помощью Math Assistant в OneNote

    Inquiry Maths — Решение уравнений

    Подсказка действует как шаблон для студентов, чтобы изучить линейные уравнения.Это часто приводит к исследованию, в котором индуктивное и дедуктивное рассуждения сочетаются во взаимно поддерживающем процессе.

    Индуктивная сторона может быть развита из рассмотрения того, всегда ли уравнения этой формы имеют решение. Когда студенты решают частные случаи, вскоре возникает догадка, что они это делают (если только коэффициенты x не совпадают). Дедуктивное рассуждение — это особенность процесса решения. Это также может быть очевидно в попытках учащихся решить общую форму ax + b = cx + d , что дает x в единицах a , b , c и d .

    В структурированном запросе учитель мог начать запрос, попросив целые числа поместить в поля. Даже при таком закрытом запуске подсказка может генерировать различные предложения для дальнейшего расследования. Вот несколько примеров из классов неполной средней школы:

    • Изменить операцию (операции) на вычитание.

    • Используйте дроби вместо целых чисел.

    • Перепроектируйте уравнение с неизвестным только на одной стороне.

    • Включите вторую переменную в обе стороны уравнения.

    • Перепроектируйте уравнение, включив в него алгебраическую дробь.

    • Добавьте третье выражение, равное двум другим.

    По мере того, как учащиеся меняют операцию, они создают наборы уравнений. В приведенном ниже наборе представлены решения, соответственно, x = -1, 3, -3 и 1. Затем учащиеся приступили к изучению решений для других наборов и объяснению своих решений.

    Ричард Гудман (старший преподаватель Университета Брайтона, Великобритания) связался с Inquiry Maths, чтобы сделать следующий комментарий к подсказке: «Мне нравится вопрос о решении уравнений, но я удивлен, что вы описываете его как закрытый. вначале. Моя реакция заключалась в том, чтобы закрыть его еще немного — спросить, что произойдет, если мы узнаем решение? Или как насчет использования одних и тех же двух чисел в разном порядке с обеих сторон (2 x + 5 = 5 x + 2)? »

    Обыкновенные дифференциальные уравнения · Дифференциальные уравнения.jl

    Это руководство познакомит вас с функциональностью решения ODE. Другие введения можно найти, просмотрев DiffEqTutorials.jl. Кроме того, этот материал проходит через видеоурок.

    В этом примере мы решим уравнение

    \ [\ frac {du} {dt} = f (u, p, t) \]

    на временном интервале $ t \ in [0,1] $, где $ f (u, p, t) = αu $. Мы знаем из исчисления, что решение этого уравнения есть $ u (t) = u₀ \ exp (αt) $.

    Общий рабочий процесс состоит в том, чтобы определить проблему, решить проблему и затем проанализировать решение.Полный код для решения этой проблемы:

      с использованием DifferentialEquations
    f (u, p, t) = 1,01 * u
    u0 = 1/2
    tspan = (0,0,1,0)
    проблема = ODEProblem (f, u0, tspan)
    sol = решить (проблема, Цит5 (), reltol = 1e-8, abstol = 1e-8)
    
    с использованием графиков
    plot (sol, linewidth = 5, title = "Решение линейного ОДУ с толстой линией",
         xaxis = "Время (t)", yaxis = "u (t) (в мкм)", label = "Моя толстая линия!") # legend = false
    plot! (sol.t, t-> 0.5 * exp (1.01t), lw = 3, ls =: dash, label = "True Solution!")  

    , где части описаны ниже.

    Шаг 1: Определение проблемы

    Чтобы решить эту проблему численно, мы определяем тип задачи, задавая ей уравнение, начальное условие и временной интервал для решения:

      с использованием дифференциальных уравнений
    f (u, p, t) = 1,01 * u
    u0 = 1/2
    tspan = (0,0,1,0)
    prob = ODEProblem (f, u0, tspan)  

    Обратите внимание, что DifferentialEquations.jl выберет типы для проблемы на основе типов, используемых для определения типа проблемы. В нашем примере обратите внимание, что u0 — это Float64, и поэтому это будет решаться с зависимыми переменными Float64.Поскольку tspan = (0.0,1.0) является кортежем Float64, независимые переменные будут решаться с использованием Float64 (обратите внимание, что время начала и время окончания должны соответствовать типам). Вы можете использовать это, чтобы выбрать решение с числами произвольной точности, целыми числами и т. Д. Дополнительные примеры см. В учебных пособиях по записной книжке.

    Типы проблем включают в себя множество других функций, в том числе возможность определять массовые матрицы и удерживать обратные вызовы для событий. У каждого типа проблемы есть страница с подробным описанием его конструктора и доступных полей.Для ODE соответствующая страница находится здесь. Кроме того, пользователь может указать дополнительные функции, которые будут связаны с функцией, чтобы ускорить работу решателей. Они подробно описаны на странице перегрузки производительности.

    Шаг 2. Решение проблемы

    Управление решателями

    После определения проблемы вы решаете ее с помощью resolve .

      sol = решить (prob)  

    Решателями можно управлять с помощью доступных опций, описанных на странице руководства Common Solver Options.Например, мы можем снизить относительный допуск (чтобы получить более правильный результат за счет большего количества временных шагов), используя команду reltol :

      sol = resolve (prob, reltol = 1e-6)  

    Есть много элементов управления для обработки выходных данных. Например, мы можем выбрать, чтобы решатель сохранял каждые 0,1 моменты времени, установив saveat = 0,1 . Связь этого с выбором допуска выглядит так:

      sol = решить (prob, reltol = 1e-6, saveat = 0.1)  

    В общем, saveat может быть любым набором временных точек для сохранения. Обратите внимание, что здесь используются интерполяции, чтобы не ограничивать временной шаг, чтобы ускорить решение. Кроме того, если нас интересует только конечная точка, мы можем вообще отключить промежуточное сохранение:

      sol = resolve (prob, reltol = 1e-6, save_everystep = false)  

    , что сохранит только последнюю точку времени. .

    Выбор решающего алгоритма

    Дифференциальные уравнения.jl имеет метод выбора алгоритма решателя по умолчанию, который найдет эффективный метод решения вашей проблемы. Чтобы помочь пользователям получить правильный алгоритм, DifferentialEquations.jl предлагает метод выбора алгоритмов с помощью подсказок. Этот селектор по умолчанию использует точность числовых типов и аргументы ключевого слова (например, допуски) для выбора алгоритма. Дополнительно можно предоставить alg_hints , чтобы помочь выбрать хорошие значения по умолчанию, используя свойства проблемы и необходимые функции для решения.Например, если у нас есть жесткая задача, в которой нам нужна высокая точность, но мы не знаем лучший жесткий алгоритм для этой задачи, мы можем использовать:

      sol = решить (prob, alg_hints = [: stiff], reltol = 1e-8, abstol = 1e-8)  

    Вы также можете явно выбрать используемый алгоритм. DifferentialEquations.jl предлагает гораздо более широкий выбор алгоритмов решения, чем традиционные библиотеки дифференциальных уравнений. Многие из этих алгоритмов взяты из недавних исследований и оказались более эффективными, чем «стандартные» алгоритмы.Например, мы можем выбрать метод Цитураса 5-го порядка:

      sol = решить (prob, Tsit5 ())  

    Обратите внимание, что элементы управления решателя можно комбинировать с выбором алгоритма. Таким образом, мы можем, например, решить задачу, используя Tsit5 () с меньшим допуском через:

      sol = resolve (prob, Tsit5 (), reltol = 1e-8, abstol = 1e-8)  

    In DifferentialEquations .jl, несколько хороших вариантов для ODE:

    • AutoTsit5 (Rosenbrock23 ()) обрабатывает как жесткие, так и нежесткие уравнения.Это хороший алгоритм, если вы ничего не знаете об уравнении.
    • AutoVern7 (Rodas5 ()) обрабатывает как жесткие, так и нежесткие уравнения таким образом, чтобы обеспечить высокую точность и эффективность.
    • Цит5 () для стандартных нежестких. Это первый алгоритм, который можно попробовать в большинстве случаев.
    • BS3 () для быстрой, низкой точности, не жесткой.
    • Vern7 () для высокой точности без жесткости.
    • Rodas4 () или Rodas5 () для небольших жестких уравнений с типами, определенными Джулией, событиями и т. Д.
    • KenCarp4 () или TRBDF2 () для жестких уравнений среднего размера (100-2000 ODE)
    • RadauIIA () для жестких уравнений высокой точности
    • CVODE_BDF () для больших жестких уравнений

    Полный список доступных алгоритмов и подробные рекомендации см. В документации по решателю. Каждому типу проблемы соответствует страница, на которой подробно описаны все способы ее решения.

    Шаг 3. Анализ решения

    Обработка решения Тип

    Результат решения — это объект решения.Мы можем получить доступ к 5-му значению решения с помощью:

      julia> sol [5]
    0,637  

    или получить время 8-го временного шага по:

      julia> sol.t [8]
    0,438  

    Функции удобства также включены. Мы можем построить массив, используя понимание кортежей решения через:

      [t + u for (u, t) in tuples (sol)]  

    или более широко

      [t + 2u for (u, t) in zip (sol.u, sol.t)]  

    позволяет использовать больше частей типа решения.Объект, возвращаемый по умолчанию, действует как непрерывное решение посредством интерполяции. Мы можем получить доступ к интерполированным значениям, рассматривая sol как функцию, например:

      sol (0,45) # Значение решения при t = 0,45  

    Обратите внимание на разницу между ними: индексация с помощью [i] — это значение на шаге i , а (t) — это интерполяция в момент времени t !

    Если в решателе density = true (это значение по умолчанию, если не используется saveat ), то эта интерполяция является интерполяцией высокого порядка и, следовательно, обычно совпадает с ошибкой временных точек решения.Интерполяции, связанные с каждым решателем, подробно описаны на странице алгоритма решателя. Если density = false (если специально не установлено, это происходит только при использовании save_everystep = false или saveat ), то по умолчанию используется линейная интерполяция.

    Дополнительные сведения об обработке вывода см. На странице обработки решения.

    Решения для построения графиков

    Хотя можно напрямую построить временные точки решения, используя инструменты, указанные выше, удобные команды определяются рецептами для графиков.jl. Чтобы построить объект решения, просто вызовите plot:

      #] add Plots # Вам необходимо установить Plots.jl перед первым использованием!
    с использованием графиков
    #plotly () # При желании вы можете выбрать бэкэнд для построения графиков.
    plot (sol)  

    Если вы находитесь в Juno, это будет отображено на панели графика. Чтобы открыть интерактивный графический интерфейс (в зависимости от серверной части), используйте команду gui :

      gui ()  

    Функция построения графика может быть отформатирована с использованием атрибутов, доступных в графиках.jl. Дополнительные элементы управления, относящиеся к DiffEq, задокументированы на странице построения графиков.

    Например, на странице атрибутов Plots.jl мы видим, что ширину линии можно установить с помощью аргумента linewidth . Дополнительно заголовок может быть установлен с заголовком . Таким образом, мы добавляем их в нашу команду построения графика, чтобы получить правильный результат, исправить некоторые метки осей и изменить легенду (обратите внимание, что мы можем отключить легенду с помощью legend = false ), чтобы получить красивый график:

      plot ( sol, linewidth = 5, title = "Решение линейного ОДУ с толстой линией",
         xaxis = "Time (t)", yaxis = "u (t) (в мкм)", label = "Моя толстая линия!") # legend = false  

    Затем мы можем добавить к графику, используя график ! команда:

      участок! (Реш.t, t-> 0.5 * exp (1.01t), lw = 3, ls =: dash, label = "True Solution!")  

    В этом примере мы решим уравнения Лоренца:

    \ [\ начало {выровнено}
    \ frac {dx} {dt} & = σ (y-x) \\
    \ frac {dy} {dt} & = x (ρ-z) — y \\
    \ frac {dz} {dt} & = xy — βz \\
    \ end {align} \]

    Определение функции ODE для обновления на месте может улучшить производительность. Это означает, что вместо написания функции, которая выводит ее решение, вы пишете функцию, которая обновляет вектор, предназначенный для хранения решения.Таким образом, пакеты решателей DifferentialEquations.jl могут уменьшить объем выделения массива и повысить производительность.

    То, как мы это делаем, мы просто записываем на 1-й вход функции. Например, наша задача уравнения Лоренца будет определяться функцией:

      function lorenz! (Du, u, p, t)
     du [1] = 10,0 * (u [2] -u [1])
     du [2] = u [1] * (28.0-u [3]) - u [2]
     du [3] = u [1] * u [2] - (8/3) * u [3]
    end  

    , а затем мы можем использовать эту функцию в задаче:

      u0 = [1.0; 0,0; 0,0]
    tspan = (0,0,100,0)
    проблема = ODEProblem (lorenz!, u0, tspan)
    sol = resolve (prob)  

    Используя инструменты построения графиков, определенные на странице построения, мы можем выбрать построение трехмерного графика в фазовом пространстве между различными переменными:

      plot (sol, vars = (1,2,3 ))  

    Обратите внимание, что график по умолчанию для многомерных систем является наложением каждого временного ряда. Мы можем построить временной ряд только для второго компонента, используя интерфейс выбора переменных еще раз:

      plot (sol, vars = (0,2))  

    Обратите внимание, что здесь «переменная 0» соответствует независимой переменной. («время»).

    Во многих случаях вам может потребоваться явно указать параметры, связанные с вашими дифференциальными уравнениями. Это может использоваться такими вещами, как процедуры оценки параметров. В этом случае вы используете значения p через синтаксис:

      function parameterized_lorenz! (Du, u, p, t)
     du [1] = p [1] * (u [2] -u [1])
     du [2] = u [1] * (p [2] -u [3]) - u [2]
     du [3] = u [1] * u [2] - p [3] * u [3]
    end  

    , а затем мы добавляем параметры в ODEProblem :

      u0 = [1.0,0.0,0.0]
    tspan = (0,0,1,0)
    p = [10,0,28,0,8 / 3]
    prob = ODEProblem (parameterized_lorenz!, u0, tspan, p)  

    Мы можем улучшить внешний вид наших функций, выполнив несколько трюков. Например:

      function parameterized_lorenz! (Du, u, p, t)
      х, у, г = и
      σ, ρ, β = p
      du [1] = dx = σ * (y-x)
      du [2] = dy = x * (ρ-z) - y
      du [3] = dz = x * y - β * z
    конец  

    Обратите внимание, что тип для параметров p может быть любым: вы можете использовать массивы, статические массивы, именованные кортежи и т. д.чтобы заключить ваши параметры таким образом, чтобы это было разумно для вашей проблемы.

    Поскольку параметры существуют внутри функции, определенные таким образом функции также могут использоваться для анализа чувствительности, процедур оценки параметров и построения бифуркационных графиков. Это делает DifferentialEquations.jl полноценным решением для анализа дифференциальных уравнений, которое также обеспечивает высокую производительность.

    Параметризованные функции также могут использоваться для построения неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений (они также называются ОДУ с ненулевыми правыми частями ).2} M (t)
    \ end {align}, \]

    где θ и ω — угловое отклонение маятника от вертикальной (висящей) ориентации и угловая скорость соответственно, M — внешний крутящий момент (развиваемый, скажем, , ветром или двигателем), и, наконец, g означает ускорение свободного падения.

      с использованием дифференциальных уравнений
    с использованием графиков
    
    l = 1.0 # длина [м]
    m = 1.0 # масса [м]
    г = 9.2) М (т)
    конец
    
    θ₀ = 0,01 # начальное угловое отклонение [рад]
    ω₀ = 0,0 # начальная угловая скорость [рад / с]
    u₀ = [θ₀, ω₀] # вектор начального состояния
    tspan = (0.0,10.0) # временной интервал
    
    M = t-> 0,1sin (t) # внешний крутящий момент [Нм]
    
    проблема = ODEProblem (маятник!, u₀, tspan, M)
    sol = решить (проблема)
    
    plot (sol, linewidth = 2, xaxis = "t", label = ["θ [rad]" "ω [rad / s]"], layout = (2,1))  

    Обратите внимание, как внешний , изменяющийся во времени крутящий момент M введен как параметр в маятник ! функция.Действительно, как правило, параметры могут быть любого типа; здесь мы указываем M как изменяющийся во времени, представляя его функцией, которая выражается добавлением зависимости от времени (t) к имени параметра.

    Отметим также, что, в отличие от изменяющегося во времени параметра, (вектор) переменных состояния u , который обычно также изменяется во времени, всегда используется без явной зависимости от времени (t) .

    Дифференциальные уравнения.jl может обрабатывать множество различных типов зависимых переменных (как правило, все, что имеет линейный индекс, должно работать!). Итак, вместо решения векторного уравнения, пусть и будет матрицей! Для этого нам просто нужно иметь матрицу u0 и определить f так, чтобы она принимала матрицу и выводила матрицу. Мы можем определить матрицу линейных ОДУ следующим образом:

      A = [1. 0 0-5
          4 -2 4 -3
         -4 0 0 1
          5 -2 2 3]
    u0 = рандом (4,2)
    tspan = (0,0,1.0)
    f (u, p, t) = A * u
    prob = ODEProblem (f, u0, tspan)  

    Здесь наше ОДУ находится на матрице 4×2, а ОДУ — это линейная система, определенная умножением на A . Чтобы решить ODE, мы делаем те же шаги, что и раньше.

      sol = решить (проблема)
    plot (sol)  

    Вместо этого мы можем использовать форму на месте, используя функцию умножения матриц на месте mul! :

      с использованием LinearAlgebra
    f (du, u, p, t) = mul! (du, A, u)  

    Кроме того, мы также можем использовать нетрадиционные типы массивов.Например, StaticArrays.jl предлагает неизменяемые массивы, которые выделяются стеком, что означает, что их использование не требует какого-либо (медленного) выделения кучи, которое обычно имеет массивы. Это означает, что их можно использовать для решения той же проблемы, что и выше, с единственным изменением, которое касается типа начального условия и констант:

      с использованием StaticArrays, DifferentialEquations
    A = @SMatrix [1,0 0,0 0,0 -5,0
                    4,0 -2,0 4,0 -3,0
                   -4,0 0,0 0,0 1,0
                    5.0 -2,0 2,0 3,0]
    u0 = @SMatrix rand (4,2)
    tspan = (0,0,1,0)
    f (u, p, t) = A * u
    проблема = ODEProblem (f, u0, tspan)
    sol = решить (проблема)
    с использованием сюжетов; plot (sol)  

    Обратите внимание, что инструменты анализа также распространяются на системы уравнений.

      sol [4]  

    по-прежнему возвращает решение на четвертом временном шаге. Он также индексируется в массиве. Последнее значение — это временной шаг, а начальные значения — для компонента. Это означает, что

      сол [5,3]  

    — значение 5-го компонента (путем линейной индексации) в 3-й момент времени, или

      сол [2,1 ,:]  

    — временной ряд для компонент, который представляет собой 2-ю строку и 1 столбец.

    Не все можно охватить в обучающих программах. Вместо этого это руководство закончится указанием вам направлений для следующих шагов.

    Общий API для определения, решения и построения графиков

    Одной из особенностей DifferentialEquations.jl является то, что этот шаблон для решения уравнений сохраняется для различных типов дифференциальных уравнений. Каждое уравнение имеет тип задачи, тип решения и одну и ту же настройку обработки решения (+ построение графика). Таким образом, команды решателя и построения графика в разделе Основы применяются ко всем видам уравнений, таким как стохастические дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения с запаздыванием.Каждый из этих различных типов проблем определен в разделе документации Типы проблем . Каждый связанный алгоритм решателя подробно описан в разделе Solver Algorithms , отсортированный по типу проблемы. Те же шаги для ODE можно затем использовать для анализа решения.

    Дополнительные функции и инструменты анализа

    Во многих случаях общий рабочий процесс начинается только с решения дифференциального уравнения. Многие распространенные установки имеют встроенные решения в DifferentialEquations.jl.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *