6.1.2. Задачи на пропорцию.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 3 мин. Просмотров 1.2k. Опубликовано 28 января 2013

Задача 1. Толщина 300 листов бумаги для принтера составляет 3, 3 см. Какую толщину будет иметь пачка из 500 листов такой же бумаги?

Решение. Пусть х см — толщина пачки бумаги из 500 листов. Двумя способами найдем толщину одного листа бумаги:

3,3:300 или х:500.

Так как листы бумаги одинаковые, то эти два отношения равны между собой. Получаем пропорцию (напоминание: пропорция — это равенство двух отношений):

3,3:300=х:500. Неизвестный средний член пропорции равен произведению крайних членов пропорции, деленному на известный средний член. (Подробно о пропорции и нахождению ее крайнего, среднего членов читайте в статье: «6. 1.1. Пропорция. Основное свойство пропорции.»)

х=(3,3·500):300;

х=5,5.  Ответ: пачка 500 листов бумаги имеет толщину 5,5 см.

Это классическое рассуждение и оформление решения задачи.  Такие задачи часто включают в тестовые задания для выпускников, которые обычно записывают решение в таком виде:

или решают устно, рассуждая так: если 300 листов имеют толщину 3,3 см, то 100 листов имеют толщину в 3 раза меньшую. Делим 3,3 на 3, получаем 1,1 см. Это толщина 100 листовой пачки бумаги. Следовательно, 500 листов будут иметь толщину в 5 раз большую, поэтому, 1,1 см умножаем на 5 и получаем ответ: 5,5 см.

Разумеется, это оправдано, так как время тестирования выпускников и абитуриентов ограничено. Однако, на этом занятии мы будем рассуждать и записывать решение так, как положено это делать в 6 классе.

Задача 2. Сколько воды содержится в 5 кг арбуза, если известно, что арбуз состоит на 98% из воды?

Решение.

Вся масса арбуза (5 кг) составляет 100%.  Вода составит х кг или 98%. Двумя способами можно найти, сколько кг приходится на 1% массы.

5:100 или х:98. Получаем пропорцию:

5:100 = х:98.

х=(5·98):100;

х=4,9  Ответ: в 5кг арбуза содержится 4,9 кг воды.

Задача 3. Масса 21 литра нефти составляет 16,8 кг. Какова масса 35 литров нефти?

Решение.

Пусть масса 35 литров нефти составляет х кг. Тогда двумя способами можно найти массу 1 литра нефти:

16,8:21 или х:35. Получаем пропорцию:

16,8:21=х:35.

Находим средний член пропорции. Для этого перемножаем крайние члены пропорции (16,8 и 35) и делим на известный средний член (21). Сократим дробь на 7.

Умножаем числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы в числителе и знаменателе были только натуральные числа. Сокращаем дробь на 5 (5 и 10)  и на 3 (168 и 3).

Ответ: 35 литров нефти имеют массу 28 кг.

 Задача 4. После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?

Решение. 

Пусть площадь всего поля х га, что составляет 100%. Осталось вспахать 9 га, что составляет 100% — 82% = 18% всего поля. Двумя способами выразим 1% площади поля. Это:

х:100 или 9:18. Составляем пропорцию:

х:100 = 9:18.

Находим неизвестный крайний член пропорции. Для этого перемножаем средние члены пропорции (100 и 9) и делим на известный крайний член (18). Сокращаем дробь.

Ответ: площадь всего поля 50 га.

Решение задач с помощью пропорции

Презентация позволяет провести урок  в соревновательном духе, закрепить материал, поддержать интерес учащихся к предмету.

Просмотр содержимого документа

«Решение задач с помощью пропорции»

17.01.08 « Решение задач с помощью пропорции»

Эпиграф

Каждая решенная мною задача становилась образцом, который служил впоследствии для решения других задач

Декарт

Вопросы для повторения

Частное двух чисел

Если при увеличении (уменьшении) одной другая наоборот уменьшается пропорции):

двух крайних

и

двух средних

(увеличивается), то зависимость является обратной пропорциональной зависимостью

Если

поменять местами

средние или крайние члены то получится снова верная пропорция

Произведение крайних членов равно произведению средних

Если при увеличении (уменьшении) одной другая также увеличивается (уменьшается), то зависимость между ними является прямой пропорциональной зависимостью

Равенство двух отношений

• Что называется отношением двух чисел?
• Что показывает отношение?
• Что называется пропорцией?
• Из чего состоит пропорция?
• В чем заключается основное свойство пропорции?
• Каким еще свойством обладает пропорция?
• Чему равен неизвестный член пропорции ?
• Какая зависимость между двумя величинами называется прямой пропорциональной зависимостью?
• Какая зависимость между двумя величинами называется прямой пропорциональной зависимостью?

Отношение большего к меньшему показывает во сколько раз одно число больше другого

Отношение меньшего к большему показывает какую часть одно число составляет от другого

Пропорция состоит из четырех чисел (членов

х = 8

Задача № 1

• Малыш и Карлсон любили пить чай. Малыш наливал себе 100 г заваренного чая и добавлял в него 3 ложечки сахара. Карлсон наливал себе 200 г чая. Сколько ложечек сахара должен добавить в свой чай Карлсон, чтобы чай его был таким же сладким , как у Малыша?
• Ответ: 6 ложечек

↓

Вода

Малыш

Сахар

100г

Карлсон

3 лож.

200г

↓

Х лож

Задача № 2

• За 4 м ткани заплатили 180 р. Сколько стоят 14 м этой ткани?

Кол-во ткани

I покупка

Стоимость

II покупка

Алгоритм составления пропорции

• Внимательно прочитайте условие задачи.
• Найдите в условии 3 известных величины и 1 неизвестную.
• 4 найденные величины впишите в таблицу из 2 строк и 2 столбцов, так чтобы в строках стояли величины связанные между собой, а в столбцах величины одинаковой размерности (неизвестную величину при этом нужно обозначить буквой!).
• Определите характер зависимости между взаимосвязанными величинами и укажите его в краткой записи с помощью стрелок.
• Преобразуйте краткую запись условия в пропорцию учитывая характер зависимости (если зависимость обратная и стрелки направлены в разные стороны то при записи пропорции вторую дробь необходимо перевернуть!).
• Найдите неизвестный член пропорции.
• Запишите ответ.

Задача 3

• Чтобы покрасить стены дома за 2 дня требуется 20 маляров. За сколько дней эту работу выполнят 4 маляра?

↑

20 маляров

4 маляра

2 дня

↓

х дней

Задача №4 (на проценты)

• Из свежей малины получается 15% сухой. Сколько взяли свежей малины, если получили при ее сушке 6 кг сухой?

↓

кг

Свежая

%

Сухая

х

100

6

15

↓

Задачи для классной работы

Стр. 130

• № 783
• № 784
• № 785
• № 786
• № 787
• № 788
• № 789
• № 784

Решите, составив пропорцию.

• Ответ: 19,5 г.
• Ответ: 1,7 кг.
• Ответ: 150 мин.
• Ответ: 40 машин.
• Ответ: 85 %.
• Ответ: 60 лип.
• Ответ: 40% д., 60 % м
• Ответ:1125 т.

Пропорция находит себе множество применений. С ее помощью вы сможете сейчас или в будущем решать следующие задачи:

• Задачи на проценты
• Задачи на деньги
• Задачи на выполнение работы
• Задачи на движение
• Задачи на смеси и сплавы
• Нахождение расстояний с помощью карты
• Геометрические задачи
• Физические задачи
• Химические задачи
• Многие другие задачи в самых различных отраслях знаний и деятельности.

Интересные задачи

• Сколько воды надо добавить к 600г жидкости, содержащей 40% соли, чтобы получить раствор, содержащий 12% этой соли.
• Поезд проходит мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длиной 150 м за 15 с. Найдите длину поезда и его скорость.

Домашнее задание

п. 22, № 811 – 813

Желаю успеха!

Пропорция.Решение задач с помощью пропорций. | План-конспект урока по алгебре (6 класс) на тему:

«ПРОПОРЦИЯ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ПРОПОРЦИИ»

(6 класс)

Образовательная цель урока: проверка умений и навыков учащихся по теме «Пропорция», формирование навыков решения задач с помощью пропорции.

Воспитательная цель урока: развитие интереса к математике, воспитание любви  к Родине, формирование основ выбора профессии.

Оборудование: компьютер, видеопроектор, экран

Задачи урока:

•        обучить учащихся умению самостоятельно решать и составлять задачи на пропорцию;

•        развивать навык самоанализа и самоконтроля учебной деятельности;

•        развивать интерес к предмету и активность каждого ученика на уроке.

План  урока

1. Организационный момент

2. Разминка

3. Основная часть урока. Решение задач

     4. Контроль умений и знаний

5. Подведение итогов.

Ход урока

1. Здравствуйте ребята!

Ребята, сегодня у нас урок по теме «Пропорция. Решение задач с помощью пропорции». Нам предстоит повторить теоретический материал по данной теме и практически его применить. В конце урока будет проведен контроль знаний по данной теме. А сначала мы проведем небольшую разминку.

2.Разминка.

Веселые задачи.

Задача 1.

Вышел как-то бегемот из болота.

Был задумчив бегемот отчего-то.

Был рассеян бегемот и невесел —

Сосчитать не мог, сколько весил.

Знал, что втрое тяжелее крокодила,

Тот же втрое тяжелее, чем горилла,

А горилла, растолстев от бананов,

Весит 250 килограммов.

Не сочтя за лишний труд и заботу,

Не могли бы вы помочь бегемоту?

(2250 кг)

Задача 2.

На лугу один барашек

Съел семь штук душистых кашек.

И ушло на этот труд

У барашка пять минут.

Разобраться помогите:

При подобном аппетите

Сколько штук душистых кашек съест за час один барашек?

(84)

Задача 3

Два носорога

И три бегемота

Выпили вместе

Сто литров компота.

Если досталось

Всем поровну строго,

Много ли выпили

Два носорога?

(40)

Вопрос. Какая из этих трех задач решается с помощью пропорции?

3.Основная часть урока.

Перед вами станет вопрос: какую профессию выбрать? Профессий много, как же тут разобраться? Чтобы узнать как можно больше о них, на наших уроках мы иногда можем путешествовать, встречаясь с людьми разных профессий с различных предприятий, знакомиться с их продукцией. А как мы будем это делать, вы сегодня увидите. Собираясь в путешествие, люди собирают багаж. И мы возьмем с собой багаж — багаж знаний по теме «Пропорция».

Вопросы учителя.

1. Что называют отношением двух чисел?

(Частное двух чисел называют отношением этих чисел )

2. Что показывает отношение двух чисел? (Отношение  двух   чисел показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.)

3. Что такое пропорция? (Пропорцией называется равенство двух отношений.)

4. Прочитайте пропорцию разными способами: а : Ь = с : d

5. Как называются числа х и у в пропорции х : а = Ь : у? (Крайние члены.)

6. Как называются числа m и n в пропорции а : m = n : b? (Средние члены.)

7. Сформулируйте основное свойство пропорции. (В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.)

8. Как найти неизвестный крайний член пропорции? (Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член)

9. Как найти неизвестный средний член пропорции? (Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение крайних членов разделить на известный средний член.)

Учитель. Молодцы, ребята! Вы собрали хороший багаж знаний по теме! Я надеюсь, он нам пригодится  в пути.

— Пора отправляться в дорогу. Путешествуя, выясним, как вы сможете на практике применять знания по теме «Пропорции». Ведь данная тема служит основой для решения многих задач практического характера. С задачами, решение которых сводится к составлению пропорций, встречаются люди любой профессии.

— Итак, в путь!

. Мы посетим одно из самых крупных предприятий Мордовии ОАО «Мордовцемент».

— Перед рабочими возникла проблема. Нужно решить следующую задачу.

        Задача 1.

Для перевозки сырья требуется 16 вагонов грузоподъемностью 60 тонн. Сколько потребуется вагонов грузоподъемностью 80 тонн для перевозки этого же груза?

(Разбор решения задачи происходит совместно с учителем.)

Решение. Пусть для перевозки сырья потребуется х вагонов грузоподъемностью 80 тонн,

• 16 в-60 т
•  х в — 80 т

16 : х = 80 : 60;

х= 16*60 : 80;

х = 12

Ответ: 12 вагонов.

Продолжаем наше путешествие. Теперь в Ромоданове. Заглянем на сахарный завод. Поможем рабочим этого предприятия решить следующую задачу  :

        Задача 2.

В сахарной свекле содержится 18,5 % сахара. Сколько сахара содержится в 50 т сахарной свеклы?

(Один ученик решает задачу у доски, остальные в тетради с последующей проверкой решения.)

Решение:

Пусть х тонн сахара содержится в 50 тонн сахарной свеклы,

• 50 т — 100%
• Х т — 18,5%

50 : х = 100 : 18,5;

х = 50*18,5 : 100;

х = 9,25 Ответ: 9,25 тонн.

        Сообщение ученика по теме: «Пропорции в Древней Греции».

Слово «пропорция» происходит от латинского слова proportio, означающего вообще соразмерность, определенное соотношение частей между собой. В древности учение о пропорциях было в большом почете у пифагорейцев. С пропорциями они связывали мысли о порядке и красоте в природе, о созвучных аккордах в музыке и гармонии во вселенной. Поэтому некоторые виды пропорций они называли «музыкальными» и «гармоническими».

В VII книге «Начал» Евклида изложена теория отношений и пропорций для целых чисел.

Из пропорции а : Ь = с : d Евклид выводит следующие производные пропорции:

b : а = d : с      (а+b) : b = (с+d): d

а : с = b : d      (а-b) : b = (с-d) : d

       с : (а-b) = с : (с-d)

Основное свойство пропорции.

Евклид доказал основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Пропорциями пользовались для решения разных задач и в древности и в средние века. Определенные типы задач легко и быстро решаются и теперь при помощи пропорций.

Пропорции и пропорциональность применяются и применялись не только в математике, но и в архитектуре, искусстве.

С пропорциями имели дело строители уже в Древнем мире. Правильное соотношение размеров возводимых ими дворцов и храмов придавало этим зданиям ту необыкновенную красоту, которая и сегодня восхищает нас.

Продолжаем наше путешествие.

Заглянем на предприятие Большеберезниковского района маслодельный завод

— Перед рабочими завода встала проблема. Нужно решить задачу.

         Задача 3.

Из 110 литров молока получается 5 кг сливочного масла. Сколько нужно литров молока для получения 20 кг сливочного масла?

(Один ученик решает задачу на доске, остальные в тетради с последующей проверкой решения.)

Решение:

Пусть х литров молока потребуется для получения 20 кг сливочного масла,

• 110 л — 5 кг
• X л — 20 кг

110 : х = 5 : 20;

Х  = 110*20 : 5;

х  = 440

Ответ: 440  литров.

4.Контроль умений и знаний.

Учитель. Ребята, сейчас мы сыграем в игру «Кто хочет стать отличником».

У вас на столах лежат карточки с цифрами 1,2, 3 и значки Умника. Отвечая на вопросы теста, вы должны поднять нужную карточку. При правильном ответа вы берете себе один значок. По количеству набранных значков в конце урока вам будет выставлена оценка

Тест

1. Пропорцией называется:

        1) равенство двух сумм;

        2) равенство двух отношений; +

        3) равенство двух произведений.

2. Выберите верное утверждение:

        1) в верной пропорции произведение средних членов равно произведению крайних; +

        2) в верной пропорции сумма средних членов равна сумме крайних;

        3) в верной пропорции разность средних членов равна разности крайних.

3. Какое из данных равенств является пропорцей?

        1) 2,5 : 5 = 4 + 1;

        2) 30 : 5 = 60 : 10;    +

        3) 48 — 40 = 48 : 6.

4. В пропорции 3,6 : 1,2 = 6,3: 2,1 средние члены равны:

        1) 3,6 и 6,3;

        2) 1,2 и 6,3;     +

        3) 1,2 и 2,1.

5. В пропорции 14,7 : 0,7 = 18,9 : 0,9 крайние члены равны:

        1) 14,7 и 0,7,

        2) 18,9 и 0,9;

        3) 14,7 и 0,9.     +

6. Две величины называются прямо пропорциональными, если:

        1) при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз; +

        2) при уменьшении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

7. Две величины называются обратно пропорциональными, если:

        1) при уменьшении одной величины в несколько раз другая увеличивается во столько же раз; +

        2) при увеличении одной величины в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

8. Зависимость между какими величинами является прямо пропорциональной?

        1) путь, пройденный автомашиной с постоянной скоростью, и время ее движения; +

        2) скоростью движения автомашины на участке определенной длины и временем ее движения.

9. Зависимость между какими величинами является обратно пропорциональной?

        1) ценой товара и его количеством, купленным на определенную сумму;   +

        2) ценой и стоимостью товара определенного количества.

Подведение итогов. Выставление оценок

9 значков — «5»;

7 значков — «4»;

5 значков — «3».

Дополнительное задание. (При наличии времени.)

По краткой записи составьте и решите задачу.

              количество      стоимость

I покупка        11,2 кг        516 руб

II покупка        33,6 кг        х руб

                         скорость         время

I автомашина        75 км/ч        3 ч

II автомашина        112,5 км/ч        х ч

5. Домашнее задание.

Составьте и решите задачу по теме «Пропорция».

Заключительное слово учителя. Дорогие ребята! Наш урок подошел к концу, но жизнь откроет перед вами еще много неизвестного и интересного в области математики. И закончить я бы хотела словами Софьи Васильевны Ковалевской

«С того человека и взыщется много,

Кому было много талантов дано».

Пусть ты не станешь Пифагором,

Каким хотел бы, может быть.

Но будешь — ты рабочим иль ученым

И будешь родину любить.

Как воздух математика нужна

Создателям машин, воздушных кораблей.

Как трудно нам пришлось бы без Ньютонов,

Каких дала история до наших дней.

В наше время, чтобы строить

И машиной управлял,,

Нужно прежде только в школе

Математику познать.

— До свидания! Спасибо всем!

Список используемой литературы:

1. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. — М: Дрофа, 2001.

2. Математика, 6 класс: Учебник /Под ред. Н.Я. Виленкина и др.

3. Дидактические материалы по математике, 6 класс/ А.С. Чесноков, К.И. Пешков.

Интернет-ресурсы:

1. http://edurm.ru

1. http://festival.1september.ru/

2. http://www/mordovcement.ru

      3. http://vestnik.fa.ru/

Пропорция. Решение задач с помощью пропорции

2. Пропорция-это…

ПРОПОРЦИЯ-ЭТО…
Пропорция – это равенство двух отнашений.18:2=9:1читается так: восемнадцать относится к двум как
девять к одному.
Главное свойство пропорции..
Произведение крайних членов пропорции равно
произведению её средних членов.
Что-бы найти неизвестный крайний член пропорции,
нужно произведение средних членов пропорции
разделить на известный крайний член пропорции.
Что-бы найти неизвестный средний член
пропорции, нужно произведение крайних
членов пропорции разделить на
известный средний член пропорции.
ПОЛОМАЕМ ГОЛОВУ …
№1
За 2,5 ч выпало 1,5 мм осадков. Сколько осадков
выпало бы за 6 ч, если бы дождь шёл с такой же
силой.

5. РЕШЕНИЕ №1 …

2,5 ч — 1,5 мм
Решение:
6ч —— х мм
х=6*1,5:2,5
Составим пропорцию:
х= 3,6 мм
2,5х=1,5 *6
Ответ: 3,6 мм.

6. в ГОРОДЕ 550000жителей.С каждым годом население увИличевается на 3%.Сколько жителей в городе будет через год?

№2
В ГОРОДЕ
550000ЖИТЕЛЕЙ.С
КАЖДЫМ ГОДОМ
НАСЕЛЕНИЕ
УВИЛИЧЕВАЕТСЯ НА
3%.СКОЛЬКО ЖИТЕЛЕЙ В
ГОРОДЕ БУДЕТ ЧЕРЕЗ ГОД?

7. Решение №2 …

РЕШЕНИЕ №2 …
550000 — 100%
Х———— 3%
х /550000 = 3/100
Составим пропорцию:
100х=550000*3
Решение:
х=550000*3/100 = 5500*3 =
16500 чел — на столько
увеличилось
550000+16500 = 566500 чел будет через год
Ответ:566500 человек.
№3
В саду 276 яблонь. С первых 100 яблонь собрали 500
ящиков яблок. Сколько ящиков яблок будет собрано
со всего сада, если допустить, что на каждой
яблоне одинаковое количество яблок?

9. Решение №3 …

РЕШЕНИЕ №3 …
Решение:
100яблонь-500ящиков
276яблонь—х ящиков
100х=276*500
Х=276*500/100
500и 100 сокращаем на 100
получится 1 и 5
Составим пропорцию:
Х=276*5/1
100х=276*500
Х=1380 ящиков
Ответ:1380 ящиков.
Спасибо за
внимание!!!
Автор презентации:Мухаматгалиева
Алсу Ильфатовна,ученица 6Б
класса.

Пропорции. Решение задач с помощью пропорций

Тема: Пропорции. Решение задач с помощью пропорций

Домашнее задание п. 2.3, № 177 (в, г), № 178 (б, г, е, з), № 185

Математическая разминка

1. Вычислите отношение: а) 4 : 12; б) 100 : 75; в) 1,5 : 3,5.

2. Запишите несколько отношений, равных: а) 3; б) 5.

3. После контрольной работы учитель проверил 10 тетрадей учеников, и ему осталось проверить ещё 20. Что показывает отношение: а) 1 : 30; б) 20 : 30; в) 20 : 10?

4. На столе горят 7 свечей, 3 свечи потушили. Сколько свечей останется на столе через 5-6 часов?

Пропорции

Работа с учебником: с. 57

Определение

Пропорции

Пропорции

Свойство

произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Пропорции

Пример

Анализируем и рассуждаем

6

Решить: № 178 (а, в, д, ж)

Формулируем алгоритм

УЧЕБНИК

№ 179

УЧЕБНИК

№ 182

Решение задачи № 182 (а)

1 : 5 000 000 – означает: 1 см на карте соответствует 5 000 000 см на местности.

Расстояние между Москвой и Курском на карте равно 9 см.

Составим отношения:

Определим, прямая или обратная пропорциональная зависимость: чем больше расстояние на карте, тем больше расстояние на местности. Значит пропорциональная зависимость – прямая.

Составим пропорцию:

Найдем х: х = = 45000000

Ответ: 45 000 000 см = 450 км

Решить самостоятельно № 182 (б)

Расстояние на карте

Расстояние на местности

1

5 000 000

9

х

Пропорции

ДИДАКТ.М

С. 27

Практикум

Пропорции

ДИДАКТ.М

С.28

Пропорции

ДИДАКТ.М

С.28

«Решение задач с помощью пропорций»

Тип урока: комбинированный.

Цели урока:

• научить учащихся выделять в условиях задач две
  величины;
• устанавливать вид зависимости между ними;
• научить их делать краткую запись условия задачи
  и составлять пропорцию;
• развить воображение, математическую интуицию,
  память, мышление, сформировать правильную
  математическую речь;
• активизировать познавательную и творческую
  активность учащихся.

Оборудование: плакаты, индивидуальные
карточки, сигнальные карточки

ХОД УРОКА

Организационный момент

• Проверка готовности класса к уроку;
• Сообщение темы и цели урока.

Устные задания (тест с использованием
сигнальных карточек):

Найти отношение:

а) [8]; б)
[6].

Верна ли пропорция:

а) [2]; б)
[1].

3. Решить пропорцию:

а) 12,5:Х = 1,2 : 0,6 [4]

б) [0]

Ответы: 1) да; 2) нет; 3) 2; 4) 6,25; 5); 6) ; 7)12,05; 8); 9); 0) ?.

Вопросы:

1. Что называется отношением двух чисел?
2. Что показывает отношение двух чисел?
3. Что такое пропорция?
4. Сформулируйте основное свойство пропорции?

Решение задач

На предыдущем уроке учащимся были введены
понятия прямой и обратной пропорциональности,
отработаны данные понятия на задачах. На данном
уроке решаем задачи с помощью пропорций.
Рассматриваемые задачи – это задачи с целыми
значениями величин, отношение которых тоже целое
число. Для этого составляем краткую запись
условия задачи. В процессе устного обсуждения
выделяем 2 величины, устанавливаем вид
зависимости. Уменьшение величины показываем
стрелкой вниз, а увеличение — стрелкой вверх.
Затем составляем пропорцию и решаем её.

1. За 6 ч поезд прошел 480 км. Какой путь
прошел поезд за первые 2 ч, если его скорость была
постоянна.

Решение.

I способ (“по-старому”).

1) 480 : 6 = 80 (км/ч)
2) 80 • 2 = 160 (км)

II способ

Составим краткую запись условия задачи:

Краткая запись заранее оформляется на
плакате. В процессе устного обсуждения выясняем,
что время и путь уменьшились в одно и то же число
раз, так как при постоянной скорости эти величины
прямо пропорциональны.

Затем, составляем пропорцию и решаем её: ; Х= 160 (км)

2. Для варки варенья из вишни на 6 кг
ягод берут 4 кг сахарного песку. Сколько
килограмм сахарного песку надо взять на 12 кг
ягод? [8 кг]. (Задача дается на самостоятельное
решение, но перед этим устное обсуждение задачи).

3. Расстояние между городами
пассажирский поезд прошел со скоростью 80 км/ч за 3
ч. За сколько часов товарный поезд пройдет то же
расстояние, со скоростью 40 км/ч?

Решение.

В процессе устного обсуждения выясняем, что
скорость уменьшилась, а время увеличилось в одно
и то же число раз, следовательно, эти величины при
одном и том же расстоянии являются обратно
пропорциональными.

(ч)

4. Пять маляров могли бы покрасить
забор за 8 дней. За сколько дней покрасят тот же
забор 10 маляров? [4 дня] (Для самостоятельного
решения).

В этой задаче предполагается, что все
работники трудятся с одинаковой
производительностью. Для того, чтобы учащиеся
лучше освоили прием составления пропорций,
постоянно задаём вопрос: “Во сколько раз
увеличилась (уменьшилась) первая величина?”.
Тогда число, дающее ответ, будет находиться
делением большего значения величины на меньшее
(в направлении стрелок).
Чтобы у учащихся не сложилось впечатление, будто
зависимость бывает только двух видов – прямой
или обратной пропорциональностью, —
рассматриваем провокационные задачи, в которых
зависимость имеет другой характер.

5.

1) За 2 ч поймали 12 карасей. Сколько карасей
поймали за 3 ч?
2) Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему
осталось прочитать ещё 90 страниц. Сколько
страниц ему останется прочитать, когда он
прочитает 30 страниц?
Затем, рассматриваем задачу, в которой
зависимость между величинами часто принимают за
прямую пропорциональность.

6. * Пруд зарастает лилиями, причём за
неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается. За
сколько недель пруд покрылся лилиями наполовину,
если полностью он покрылся лилиями за 8 недель? [7
недель]

IV. Задача на смекалку (на “совместную
работу”).

За пять недель пират Ерёма
Способен выпить бочку рома.
А у пирата у Емели
Ушло б на это две недели
За сколько дней прикончат ром
Пираты, действуя вдвоем? [10 дней]

V. Задание на дом

1) В 100 граммах раствора содержится 4 грамма соли.
Сколько граммов соли содержится в 300 граммах
раствора?
2) 4 комбайна могут убрать пшеницу с поля за 10 дней.
За сколько дней уберут это поле 8 комбайнов?
3) Три петуха разбудили 6 человек. Сколько человек
разбудят пять петухов?
4) По учебнику  № 803 (а).

VI. Подведение итогов урока

Знаешь, что такое полный отстой? Это когда ты решаешь задачи по химии через пропорцию | Репетитор Богунова В.Г.

Вы хотите познавать химию и профессионально, и с удовольствием? Тогда вам сюда! Автор методики системно-аналитического изучения химии Богунова В.Г. раскрывает тайны решения задач, делится секретами мастерства при подготовке к ОГЭ, ЕГЭ, ДВИ и олимпиадам

Долго медитировала перед тем, как начать писать эту статью. И теперь я — самый спокойный человек в мире, как большой сфинкс на западном берегу Нила в Гизе. Мне это нужно, потому как представляю, сколько копий полетят в мою сторону после нынешней публикации. Но скажу по секрету, я запаслась энергетическим полем защиты с особым эффектом бумеранга. Так что, недоброжелатели, трепещите! Кто на меня с пропорцией пойдет — от формул погибнет!

Начнем с начала — от царя Гороха (да-да, я именно такая мудрая). Так вот, все мы вышли из пропорции. Нас так учили. Учили, прямо скажу, неплохо. Настолько неплохо, что во многие наши головы заложили программу самообучения, саморазвития и самосовершенствования. Что, к сожалению, практически отсутствует в современной педагогической практике. Однако, вернемся к пропорции.

Привожу пример скана задачи из старенького учебника известных авторов (сознательно не оговариваю источник)

Даже тогда (при царе Горохе) предлагалось два варианта, и первым вариантом был формульный способ решения задачи. Посмотрите на пропорцию — второй способ. Даже идиот поймет, что пропорция значительно утяжеляет решение. А ведь речь идет даже не о задаче, а об элементарном расчете, который, в принципе, делается устно.

Несколько дней назад я написала статью об отрицательной роли пропорции при обучении решению задач и в процессе изучения химии вообще «Хочешь, я расскажу, каким должен быть самый лучший репетитор по химии?!» Это была скромная попытка показать, что вред не в пропорции, как таковой. Пропорция, всего лишь, безобидный инструмент, который с успехом используется лаборантами для расчетов при приготовления растворов. Однако, когда пропорция укореняется в голове учителя, то он (преподаватель) остается на этом уровне сам и не дает вырваться вверх своим подопечным. Бывают исключения, но очень редко. Не хочу быть голословной, привожу доказательства.

Посмотрите на скрин страницы одного из методический сайтов, обучающих решению задач по химии

Проведу анализ решения задачи (правой части). Извините за резкие слова — это самые мягкие, все остальные не разрешены для печати.

1) С какого перепуга в уравнении реакции (над реагентами) пишут массы вперемежку с объемами?! Вам что Дальтон сказал в своем законе простых кратных отношений?! Количества веществ реагентов относятся к количествам веществ продуктов как простые целые числа (как коэффициенты в уравнении реакции)! Методист, что, не видит отличий между массой и количеством веществ?! Да знаете ли вы, что массы и уравнения реакций — понятия несовместимые?! Не знаете?! Тогда убирайтесь вон из преподавателей и методистов! Вас категорически нельзя допускать к детям!

2) Я долго думала о том — откуда горе-решатель взял 2 моль и 1 моль (они записаны внизу под реагентами). Кстати, он (или она) указывает, что это количество вещества сернистого газа и кислорода. Букву «ню» видите?! Это вам не коэффициент перед веществом, а «ню» — количество вещества! В общем, Кащенко отдыхает! Лично у меня уже начала ехать крыша, а мы еще даже до пропорции не дошли.

3) Кто мне объяснит, откуда решилка взяла 128 г и 22,4 л?! Это что за фантазии?! Вам как условие сказало — 6,4 г!!! Или вам эта цифра не нравится, и вы воспользовались тем, что сами придумали?!

4) Наконец-то, мы дошли до злополучной пропорции. Кстати, все эмоционально прописанные вопросы — риторические. Я прекрасно понимаю, для чего методистиха написала весь этот идиотизм — это для того, чтобы пропорцию составить. Господи, сколько глупостей нужно нагородить ради пропорции!

5) Не знаю, как вы, но у меня, реально, мозги закипели. Я представляю состояние детей, которые читают объяснение элементарной задачи и понимают, что им никогда не овладеть химией хотя бы на уровне ЕГЭ!

Посмотрите, как эта же задача решается системно, с использованием элементарных формул. Закон Дальтона тоже никто не отменял

Все четко, все понятно. Кстати, зеленые стрелки писать не обязательно. Это — мысли, записанные в таком виде. Думаю, решение задачи даже объяснять не нужно.

Давайте, отойдем от задач. В конце концов, это тоже так себе задача — уровня детского сада. О решении сложных задач через пропорции мы еще поговорим в других статьях. Хочу еще раз показать, насколько вредна пропорция в голове учителя при обучении ребенка химии. Проведем аналогию. Поскольку пропорция — это инструмент для расчетов, сравним ее с еще одним инструментом — обыкновенными счетами. В СССР продавцы всех магазинов считали исключительно на счетах. И неплохо, скажу вам, считали.

Хорошенькая такая продавщица на фото. И в магазине продуктов — завались. Многие из нас покупали продукты в таких магазинах. А вы задумывались над тем, далеко ли уйдет продавщица со счетами от прилавка с товаром?! Она, что, космический корабль построит, изобретет лекарство от рака, разработает новейшие гаджеты?! Нет!!! Она так и будет на счетах считать, отрезая по 200 г докторской колбасы и полкило конфет «Коровка» в одни руки.

Так и в химии. Преподаватель, у которое в голове пропорция, в принципе, не способен объяснить предмет так, чтобы ребенок понял химию. Понял и полюбил, а не запомнил и выучил. Ребенок, которому рассказали, как можно и нужно строить алгоритмы решения задач, никогда не будет запоминать на память шаблоны алгоритмов. Он САМ ПОСТРОИТ АЛГОРИТМ ДЛЯ ЛЮБОЙ ЗАДАЧИ! Пропорция отупляет мозг и учителя, и ученика, поскольку изначально предполагает знать алгоритмы решения задач на память. Спросите у преподавателя математики, он заставляет запоминать на память все уравнения и неравенства, или, все-таки, учит детей их решать?! В химии все абсолютно так же — запоминаем совсем чуть-чуть, все остальное — понимаем через формулы (математические и логические) и другие модели. Вы будете удивляться, но 99% уравнений реакций не запоминаются, а прописываются на основании определенных правил и закономерностей! Вот вам и пропорция…

Неуважаемые почитатели пропорции, вы — полный отстой! Меня не волнуете вы, ваши методы и подходы к решению задач. Но… давайте, оставим пропорцию лаборантам для работы. А вы, училки, химички, химозы, если не хотите или не можете перестроить себя и свое мышление и перейти от пропорций к формулам — собирайте свои пожитки и уходите от детей как можно дальше. Лаборант или продавец со счетами никогда не научит ребенка современной химии, мало того, настолько затупит еще не окрепшие мозги, что перенастроить их будет практически невозможно!

Вы хотите поступить в медицинский? Обязательно посетите мой сайт Репетитор по химии и биологии. Здесь вы найдете огромное количество задач, заданий, теоретического материала и познакомитесь с моими учениками, многие из которых уже давно закончили ВУЗы и, работая врачами, спасают наши с вами жизни.

На странице ВК я анонсирую свои публикации, вебинары, уроки, рассказываю и показываю решение задач и заданий, выкладываю новинки теоретического материала, конспекты и лекции. Добавляйтесь ко мне в друзья, и вы всегда будете в курсе всех событий, связанных с подготовкой к ЕГЭ, ДВИ, олимпиадам!

Полный каталог статей репетитора Богуновой В. Г. вы найдете на странице сайта Статьи репетитора

Подписывайтесь на YouTube-канал Репетитор по химии и биологии. Здесь ежедневно появляются новые вебинары, видео-уроки, видео-консультации, видео-решения.

Пишите мне в WhatsApp +7(903)186-74-55, я отвечу вам обязательно.

Приходите ко мне на занятия, я помогу вам фундаментально изучить химию и биологию, научу решать любые задачи, даже самые сложные.

Репетитор по химии и биологии кбн В.Богунова

Соотношения и пропорции — Пропорции

Пропорция
просто утверждение, что два соотношения равны. Это можно записать двумя
способами: как две равные дроби a / b = c / d; или используя двоеточие, a: b = c: d. Следующие
пропорция читается как «двадцать равно двадцати пяти, как четыре — пяти».

В проблемах
включая пропорции, мы можем использовать перекрестные произведения, чтобы проверить,
равны и образуют пропорцию. Чтобы найти перекрестные произведения пропорции,
мы умножаем внешние члены, называемые крайними, и средние, называемые
значение.

Здесь 20 и
5 — крайности, а 25 и 4 — средние. Поскольку кросс-продукты
оба равны сотне, мы знаем, что эти отношения равны и что это
это верная пропорция.

Мы также можем
используйте кросс-продукты, чтобы найти пропущенный член в пропорции.Вот пример.
В фильме ужасов с участием гигантского жука он выглядел на 50 футов выше.
длинный. Однако для жука использовалась модель, которая на самом деле была всего 20 дюймов.
длинный. В фильме также использовалась модель здания высотой 30 дюймов. Какого роста
здание кажется в фильме?

Сначала напишите
пропорция, в которой пропущенный член заменяется буквой. Мы находим
произведите перекрестное произведение, умножив 20 на x и 50 на 30.Затем разделите на
найти х. Внимательно изучите этот шаг, потому что это метод, который мы будем часто использовать.
по алгебре. Мы пытаемся найти неизвестное нам число x в левой части
уравнение само по себе. Поскольку x умножается на 20, мы можем использовать «обратный»
умножения, то есть деления, чтобы избавиться от 20. Мы можем разделить и то, и другое.
стороны уравнения на одно и то же число, не меняя смысла
уравнение. Когда мы разделим обе стороны на 20, мы обнаружим, что здание будет
кажутся 75 футов высотой.

Обратите внимание, что мы
используя обратное умножение на 20, то есть деление на 20, чтобы получить только x
на одной стороне.

назад
наверх

Решение проблем с учетом пропорций: TEAS || RegisteredNursing.org

Основные термины и терминология, относящиеся к решению задач, связанных с пропорциями

• Соотношение: отношение двух чисел
• Пропорция: два равных соотношения

Соотношения и их значение

Проще говоря, соотношение — это отношение двух чисел, а пропорции — это два отношения, которые равны друг другу.

Картинка выше — это соотношение; это соотношение может означать, что на каждые 3 девочки приходится 4 мальчика, что на каждые 3 апельсина приходится 4 груши или что на каждые 3 доллара в ящике ящика приходится 4 доллара в копилке. Как видно из этих примеров, коэффициенты дают ограниченную информацию. Например, соотношение не говорит вам, сколько груш или апельсинов у вас на самом деле; соотношение не говорит вам, сколько мальчиков и сколько девочек на самом деле; и соотношение не говорит вам, сколько денег у вас в копилке или в ящике.

Соотношения читаются как «4 к 3».

Чтобы определить, сколько груш или апельсинов у вас на самом деле, сколько мальчиков и сколько девочек на самом деле и сколько денег у вас в копилке или в ящике, вам нужно будет выполнить соотношение и пропорцию, чтобы ответить на эти вопросы. вопросов.

Различные способы выражения соотношений:

При сравнении коэффициентов их следует записывать в виде дробей. Дроби должны быть равными. Если они не равны, они НЕ считаются соотношением.Например, отношения 3/8 и 6/16 равны и эквивалентны.

Расчеты с использованием соотношения и пропорции

Пропорции — это два равных друг другу соотношения, и эти соотношения и задачи пропорций рассчитываются и решаются, как показано ниже.

Пример 1:

Если в ящике есть 12 долларов и соотношение денег в ящике и денег в копилке составляет 4: 3, сколько денег в копилке?

4: 3 = 12: х

ИЛИ

4/3 = 12x ИЛИ 12x = 4/3

12×3 / 4 = 36/4 = 9

долларов США

Ответ: В ящике лежит 9 долларов.

Пример 2:

Если у вас 8 апельсинов и соотношение апельсинов к грушам составляет 4: 3, сколько у вас груш?

4: 3 = 8: x ИЛИ 4/3 = 8x ИЛИ 8x = 4/3

8×3 / 4 = 24/4 = 6

Ответ: У вас 6 груш.

Пример 3:

Если в группе 24 мальчика и в группе 4 мальчика на 3 девочки, сколько девочек в группе?

4: 3 = 24: x ИЛИ 4/3 = 24x ИЛИ 24x = 4/3

24×3 / 4 = 72/4 = 18

Ответ: В этой группе 18 девушек.

Вот некоторые проблемы с соотношением и пропорциями, которые влекут за собой разные системы измерения и преобразование между разными системами измерения:

Пример 1:

Зная, что в одном килограмме 2,2 фунта, сколько килограммов вы будете весить, если ваш текущий вес составляет 156 фунтов?

1,2 фунта: 1 килограмм = 156 фунтов: x килограмм

2,2 / 1 = 156 / х

2,2x / 2,2 = 156 / 2,2

х = 156 / 2,2

х = 70.9 кг

Ответ: Вы весите 70,9 кг, когда весите 156 фунтов.

Пример 2:

Зная, что в одном килограмме 2,2 фунта, сколько фунтов вы будете весить, если ваш текущий вес составляет 65 кг?

2,2 фунта: 1 килограмм = x фунт: 65 килограмм

2,2 / 1 = х / 65

2,2x / 2,2 = 65 / 2,2

х = 65 х 2,2

x = 143 фунтов

Ответ: Вы весите 143 фунта при весе 65 кг.

Пример 3:

Зная, что в 1 чайной ложке 60 капель, сколько чайных ложек в 74 каплях?

60 капель: 1 чайная ложка = 74 капли: x чайные ложки

60/1 = 74 / х

60x / 60 = 74/60 = x

74/60 = 1,2 чайных ложки

Ответ: В 74 каплях 1,2 чайные ложки

Пропорции часто используются при расчете дозировок и растворов в фармакологии и при приготовлении лекарств медсестрами, фармацевтами и техниками в аптеке, а также нами в повседневной жизни.

Эти различные системы измерения будут полностью обсуждены ниже в разделе «Измерение и данные: M 2; Задача 5: Преобразование в стандартные и метрические системы и между ними», однако на данный момент мы хотели бы, чтобы вы увидели некоторые из наиболее часто используемые коэффициенты преобразования систем измерения.

Наиболее часто используемые преобразования показаны ниже. Рекомендуется запомнить их.

• 1 г = 60 мг
• 1 кг = 2.2 фунта
• 1 мг = 1000 мкг
• 1 г = 1000 мг
• 1 кг = 1000 г
• 1 ст. = 3 чайные ложки
• 1 ст. = 15 мл
• 1 чайная ложка = 5 мл
• 1 л = 1000 мл
• 1 унция. = 30 мл
• 1 л = 1000 куб. См

Преобразование процентов в отношения и преобразование соотношений в проценты

Также можно преобразовать проценты в отношения.

Для этого нужно поместить число в процентах, затем: (двоеточие) и затем 100.Например, если вы видите 12: 100, соотношение читается как 12 к 100.

Вот несколько примеров:

• 12% = 12: 100 или 12 до 100
• 120% = 120: 100 или 120 до 100
• 220% = 220: 100 или 220 равно 100
• 2222% = 2222: 100 или 2222 равно 100

Преобразование коэффициентов в проценты основано, опять же, на том факте, что коэффициенты отражают части от 100.

Вот несколько примеров:

• 23: 100 = 23% или 23 равно 100
• 567: 100 = 567% или 567 равно 100
• 1,222: 100 = 1,222% или 1,222 равно 100
• 32 678: 100 = 32 678% или 32 678 равно 100
• 1: 100 = 1% или 1 равно 100

Преобразование дробей в пропорции и преобразование пропорций в дроби

Как указано выше, коэффициенты могут быть выражены тремя различными способами следующим образом:

Преобразование дробей в соотношения производится следующим образом.Числитель становится первым числом перед двоеточием, а знаменатель — числом после двоеточия.

Соотношение 2: 10 или 2 равно 10

Соотношение 23: 56 или 23 к 56

Соотношение 19: 45 или 19 к 45

Соотношение 2: 99 или 2 равно 99

Соотношение 16: 789 или 16 к 789

Соотношение 1: 1 или 1 равно 1

Соотношение 100: 100 или 100: 100

Вот несколько примеров преобразования процентов в соотношения слов:

Соотношение 123: 100

Соотношение 34: 100

Соотношение 1: 100

Соотношение 100: 100

Соотношение 1,222: 100

ЧИСЛА СВЯЗАННЫХ TEAS И СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРЫ :

Alene Burke, RN, MSN

Alene Burke RN, MSN является национально признанным преподавателем сестринского дела. Она начала свою карьеру учителем начальной школы в Нью-Йорке, а затем поступила в общественный колледж Квинсборо, чтобы получить степень младшего специалиста по медсестринскому делу. Она работала дипломированной медсестрой в отделении интенсивной терапии местной общественной больницы, и в то время она решила стать преподавателем медсестер. Она получила степень бакалавра наук по медсестринскому делу в колледже Эксельсиор, который входит в состав Университета штата Нью-Йорк, и сразу после окончания школы она поступила в аспирантуру Университета Адельфи на Лонг-Айленде, штат Нью-Йорк.Она закончила Summa Cum Laude в Адельфи, получив двойную степень магистра в области сестринского образования и сестринского администрирования, и сразу же получила докторскую степень по сестринскому делу в том же университете. Она является автором сотен курсов для медицинских работников, включая медсестер, она работает медсестрой-консультантом в медицинских учреждениях и частных корпорациях, она также является утвержденным поставщиком непрерывного образования для медсестер и других дисциплин, а также была членом Американской ассоциации медсестер. Целевая группа ассоциации по компетентности и обучению членов медсестер.

Последние сообщения Alene Burke, RN, MSN (посмотреть все)

Соотношения и пропорции и способы их решения (Алгебра 1, Как решать линейные уравнения) — Mathplanet

Давайте поговорим о пропорциях и пропорциях. Когда мы говорим о скорости автомобиля или самолета, мы измеряем ее в милях в час. Это называется ставкой и представляет собой тип соотношения. Отношение — это способ сравнения двух величин с использованием деления в милях в час, где мы сравниваем мили и часы.

Отношение можно записать тремя разными способами, и все они читаются как «отношение x к y»

$$ x \: to \: y $$

$$ x: y $$

$$ \ frac {x} {y} $$

С другой стороны, пропорция — это уравнение, которое говорит, что два отношения эквивалентны.Например, если один пакет смеси файлов cookie приводит к созданию 20 файлов cookie, это будет равносильно тому, что два пакета приведут к созданию 40 файлов cookie.

$$ \ frac {20} {1} = \ frac {40} {2} $$

Пропорция читается как «x относится к y, как z относится к w»

$$ \ frac {x} {y} = \ frac {z} {w} \: где \: y, w \ neq 0 $$

Если одно число в пропорции неизвестно, вы можете найти это число, решив пропорцию.

Пример

Вы знаете, что для приготовления 20 блинов нужно использовать 2 яйца.Сколько яиц нужно для приготовления 100 блинов?

$$ \ frac {яйца} {блины} = \ frac {яйца} {блины} \: \: или \: \: \ frac {блины} {яйца} = \ frac {блины} {яйца} $ $

Если мы напишем неизвестное число в номинаторе, мы сможем решить это, как любое другое уравнение

$$ \ frac {x} {100} = \ frac {2} {20} $$

Умножаем обе стороны на 100

$$ {\ color {зеленый} {100 \, \ cdot}} \, \ frac {x} {100} = {\ color {зеленый} {100 \, \ cdot}} \, \ frac {2} { 20} $$

$$ x = \ frac {200} {20} $$

$$ x = 10 $$

Если в знаменателе стоит неизвестное число, мы можем использовать другой метод, включающий перекрестное произведение. Перекрестное произведение — это произведение числителя одного из соотношений и знаменателя второго отношения. Произведения пропорции всегда равны

.

Если мы снова воспользуемся примером с смесью печенья, использованной выше

$$ \ frac {{\ color {green} {20}}} {{\ color {blue} {1}}} = \ frac {{\ color {blue} {40}}} {{\ color {зеленый } {2}}} $$

$$ {\ color {blue} {1}} \ cdot {\ color {blue} {40}} = {\ color {green} {2}} \ cdot {\ color {green} {20}} = 40

$

Говорят, что в пропорции, если

$$ \ frac {x} {y} = \ frac {z} {w} \: где \: y, w \ neq 0 $$

$$ xw = yz $$

Если вы посмотрите на карту, она всегда говорит вам в одном из углов, что 1 дюйм карты соответствует гораздо большему расстоянию в реальности.Это называется масштабированием. Мы часто используем масштабирование для изображения различных объектов. Масштабирование подразумевает воссоздание модели объекта и передачу его пропорций, но с разным размером. Можно увеличить (увеличить) или уменьшить (уменьшить). Например, масштаб 1: 4 представляет четвертую часть. Таким образом, любое измерение, которое мы видим в модели, будет составлять 1/4 от реального измерения. Если мы хотим вычислить обратное, где у нас есть стена высотой 20 футов и мы хотим воспроизвести ее в масштабе 1: 4, мы просто вычисляем:

$$ 20 \ cdot 1: 4 = 20 \ cdot \ frac {1} {4} = 5 $$

В масштабной модели 1: X, где X — постоянная величина, все измерения становятся 1 / X — от реального измерения.Та же математика применима, когда мы хотим увеличить. При изображении чего-либо в масштабе 2: 1 все измерения становятся в два раза больше, чем на самом деле. Мы делим на 2, когда хотим найти фактическое измерение.

Видеоурок

Найти x

$$ \ frac {x} {x + 20} = \ frac {24} {54} $$

Построение пропорций для решения проблем реального мира — видео и стенограмма урока

Перекрестное умножение

В пропорции, если одно из чисел неизвестно, мы можем использовать процесс, называемый перекрестным умножением, чтобы найти это неизвестное. Чтобы выполнить перекрестное умножение , мы умножаем числитель отношения левой части на знаменатель отношения правой части, а знаменатель отношения левой части умножаем на числитель отношения правой части. Затем мы устанавливаем два продукта равными друг другу и решаем неизвестное.

Например, предположим, что у нас есть следующая пропорция:

Давайте воспользуемся перекрестным умножением, чтобы найти неизвестную величину в пропорции:

Как видите, у нас есть 2 x = 3 * 6, что в упрощенном виде дает нам 2 x = 18.Затем мы делим обе стороны на 2 и получаем x = 9. Все просто, не так ли?

Решение реальных проблем

Давайте вернемся к нашему примеру с зарплатой. Мы можем использовать пропорции для решения этой проблемы, но сначала мы должны построить пропорцию, которая представляет эту проблему. Чтобы построить пропорцию, нам просто нужно установить два соотношения, сравнивая одни и те же количества, а затем установить их равными. В нашем примере у нас есть количество часов, которые вы работаете, и размер вашей зарплаты в качестве количества.

Мы знаем, что когда вы работаете 22 часа, вы зарабатываете 223 доллара. Этой информации достаточно, чтобы установить один коэффициент, сравнивающий количество отработанных часов с суммой заработанных денег:

Остальная информация, которой мы располагаем, заключается в том, что на следующей неделе вы будете работать 31 час, и вы хотите знать, сколько денег вы заработаете за это количество часов. Здесь неизвестно, сколько денег вы заработаете за 31 час работы. Назовем неизвестное x и установим другое соотношение, сравнивая эти две величины:

Теперь у нас есть два коэффициента, сравнивающих количество отработанных часов с суммой заработанных денег. Все, что нам нужно сделать, это уравнять их, и у нас есть наша пропорция:

Важно отметить, что вы хотите, чтобы ваши количества в числителе и знаменателе были согласованы в обоих отношениях пропорции. Мы видим, что мы сделали это на нашем примере, поскольку часы указаны в числителе в обоих отношениях, а доллары — в знаменателе в обоих отношениях. Наконец, мы можем использовать пропорцию для решения неизвестного:

Мы видим, что вы получите зарплату в размере 314 долларов.22 на 31 час работы на следующей неделе. Разве эти пропорции не удобны, когда дело касается реальных приложений? Посмотрим еще на один пример.

Быстрый пример

Предположим, вы печете печенье для предстоящего мероприятия. Вам нужно сделать много файлов cookie, и вы можете сделать 120 файлов cookie за 2 часа. Вы сможете выпекать в течение 7 часов и хотите знать, сколько печенья вы сможете приготовить за это время, если продолжите печь с такой скоростью.

И снова у нас есть реальная проблема, которую мы можем решить с помощью пропорций.Во-первых, нам нужно построить нашу пропорцию, поэтому нам нужно два соотношения. Мы знаем, что вы можете сделать 120 печенек за 2 часа. Это дает нам две величины, которые можно сложить в соотношении:

Мы хотим знать, сколько файлов cookie вы сможете создать за 7 часов, поэтому неизвестное количество — это количество файлов cookie. Назовем его c . Еще раз, мы можем настроить соотношение, сравнивая количество файлов cookie с часами:

Теперь у нас есть два соотношения, поэтому мы устанавливаем их равными и используем пропорцию, чтобы найти неизвестное.Это дает нам 120/2 = c /7. Мы перемножаем крест и получаем 120 * 7 = 2 c . Упрощая, получаем 840 = 2 c . Затем мы делим обе части на 2 и получаем 420.

Итак, вы сможете сделать 420 файлов cookie. Поговорим о перегрузке сладостью!

Краткое содержание урока

Хорошо, давайте уделим пару минут для повторения. На этом уроке мы узнали, что пропорция — это уравнение, в котором два отношения установлены равными друг другу, а отношение — это дробь, сравнивающая две величины.Мы можем использовать пропорции для решения реальных проблем, выполнив следующие шаги:

1. Используйте информацию в задаче, чтобы установить два соотношения, сравнивающих одни и те же количества. Одно из ваших соотношений будет содержать неизвестное.
2. Установите равные пропорции, создав пропорции.
3. Используйте перекрестное умножение, чтобы найти неизвестное в пропорции.

Пропорции — отличный инструмент для добавления в наш математический набор инструментов, поскольку их можно использовать во многих случаях нашей повседневной жизни!

Решение задач, связанных с пропорциями: определение и примеры — математический класс [Видео 2021]

Узнайте, как можно использовать пропорции для поиска недостающих сторон и как увеличивать или уменьшать размеры объектов для создания их моделей в этом видео-уроке.

Что такое пропорции?

Вещи находятся в пропорции , если соотношения равны друг другу. Например, если я сравнил размеры модели автомобиля с его аналогом в натуральную величину, я обнаружил, что все эти соотношения равны друг другу. Измеряя колесо модели игрушечной машины, я обнаружил, что оно составляет 1,5 дюйма. Его аналог в натуральную величину имеет колесо размером 18 дюймов. У меня передаточное число колес 1,5 / 18 или 1,5: 18.

Если модель автомобиля 1/12 натурального размера, пропорциональны ли колеса? Проверяю, разделив оба соотношения:

1.5/18 = 0,0833

1/12 = 0,0833

Получу ли я одинаковый ответ для обоих? Я делаю, поэтому они пропорциональны.

Сохранение пропорций

Чтобы сохранить пропорции при увеличении или уменьшении размеров, все, что мне нужно сделать, это умножить все числа в моем исходном соотношении на одинаковую величину.

Вот пример. Чтобы приготовить собачье печенье, я использую соотношение 1 стакан овсянки к 1 стакану арахисового масла. Это дает мне соотношение 1: 1. Если бы я хотел удвоить количество печенья, которое я делаю, не меняя рецепт, чтобы сохранить пропорции, я бы просто умножил свое соотношение на 2, чтобы получить 2: 2.Это означает, что мне нужно будет использовать 2 стакана овсянки и 2 стакана арахисового масла, чтобы сделать вдвое больше печенья.

Это пропорционально?

Вы можете проверить, правильно ли вы сделали вычисления, разделив свои отношения, чтобы увидеть, пропорциональны ли они. Если соотношения делятся на одно и то же число, то они пропорциональны.

Например, отношения 4: 5 и 8:10 пропорциональны, потому что оба делятся на одно и то же число:

4/5 = 0,8

8/10 = 0,8

С другой стороны, отношения 8:10 и 7:10 не пропорциональны, потому что они не делятся на одно и то же число:

8/10 = 0.8

7/10 = 0,7

Найдите недостающую сторону

Если вы знаете, что два отношения пропорциональны, вы можете использовать эту информацию, чтобы найти длину недостающей стороны.

Например, у вас есть модель дома, в котором вы находитесь, и вы хотите узнать, какой высоты ваш дом. Вы знаете, как долго находится комната, в которой вы находитесь, а также как долго эта же комната находится в модели. Вы можете легко измерить высоту модельного дома, но не можете легко измерить высоту вашего дома в натуральную величину.Итак, как использовать пропорции, чтобы помочь себе? Посмотрим, как это работает.

Вы знаете, что ваш модельный дом пропорционален вашему дому в натуральную величину, поэтому все соотношения должны быть одинаковыми. Длина комнаты, в которой вы находитесь, составляет 12 футов в реальной жизни и 1 фут в модельном доме. Это дает соотношение 12: 1 к длине комнаты. Модель дома имеет высоту 2 фута. Вы не знаете высоту дома в натуральную величину, поэтому обозначьте ее как x . Соотношение высоты вашего дома составляет x : 2.

Я записал свои соотношения как реальную жизнь: модель, поэтому я обязательно сохраняю все свои соотношения такими. Эти два соотношения должны быть равны друг другу, поэтому я пишу:

12: 1 = x : 2

Я знаю, что могу также переписать свои отношения дробями:

12/1 = x /2

Теперь я могу использовать алгебру, чтобы найти x . Я знаю, чтобы получить x само по себе, мне нужно умножить на 2 с обеих сторон. Я делаю это и получаю 24. Итак, это означает, что мой дом имеет высоту 24 фута.Я нашел свою недостающую сторону!

Резюме урока

Что мы узнали? Мы узнали, что нахождение в пропорции означает, что соотношения равны друг другу. Чтобы сохранить пропорции при увеличении или уменьшении размера, мы обязательно умножаем все наши числа в нашем соотношении на одинаковую величину. Чтобы проверить, пропорциональны ли вещи, мы проверяем, делятся ли соотношения на одно и то же число. И мы можем использовать пропорции, чтобы найти недостающие стороны, установив два соотношения равными друг другу и найдя недостающую сторону.

Результаты обучения

Изучив этот урок, вы должны уметь:

• Определить пропорцию
• Объясните, как сохранить пропорции, если вы хотите увеличить или уменьшить размер.
• Опишите, как найти недостающий элемент, соответствующий другому элементу

Пропорции

Пропорция означает, что два соотношения (или дроби) равны.

Пример:

Итак, 1 из 3 равно 2 из 6

Коэффициенты одинаковы, поэтому они пропорциональны.

Пример: веревка

Длина веревки и вес пропорциональны.

Если 20 м каната весит 1 кг , тогда:

• 40 м из этого каната весит 2 кг
• 200 м, из них троса весит 10 кг
• и т. Д.

Итак:

20
1
знак равно
40
2

Размеры

Когда формы «пропорциональны», их относительные размеры одинаковы.

Пример. Международные форматы бумаги (например, A3, A4, A5 и т. Д.) Имеют одинаковые пропорции:

Таким образом, любой рисунок или документ можно изменить, чтобы он поместился на любом листе.Очень аккуратный.

Работа с пропорциями

ТЕПЕРЬ, как нам это использовать?

Пример: вы хотите нарисовать голову собаки … какой длины она должна быть?

Запишем пропорцию с помощью соотношения 10/20 сверху:

?
42
знак равно
10
20

Сейчас
решаем специальным методом:

Умножьте на известные углы,
затем разделите на третье число

И получаем это:

? = (42 × 10) / 20
= 420/20
= 21

Итак, вам следует нарисовать голову длиной 21 .

Использование пропорций для вычисления процентов

Процент — это на самом деле соотношение! Сказать «25%» на самом деле означает «25 на 100»:

25% = 25 100

Мы можем использовать пропорции для решения вопросов, связанных с процентами.

Уловка состоит в том, чтобы поместить то, что мы знаем, в эту форму:

Часть Целая = Процент 100

Пример: что составляет 25% от 160?

Процент 25, целое 160, и мы хотим найти «часть»:

Деталь 160 = 25 100

Умножьте на известные углы, затем разделите на третье число:

Часть = (160 × 25) / 100
= 4000/100
= 40

Ответ: 25% от 160 это 40.

Примечание: мы также могли бы решить эту проблему, выполнив сначала разделение, например:

Часть = 160 × (25/100)
= 160 × 0,25
= 40

Любой метод работает нормально.

Мы также можем найти процент:

Пример: сколько будет 12 долларов в процентах от 80 долларов?

Укажите, что нам известно:

12 долларов 80 долларов = процентов 100

Умножьте на известные углы, затем разделите на третье число.На этот раз известные углы — верхний левый и нижний правый:

.

Процент = (12 долларов на 100) / 80 долларов
= 1200/80
= 15%

Ответ: 12 долларов — это 15% из 80 долларов

Или найдите все:

Пример: продажная цена телефона составляла 150 долларов, что составляло только 80% от нормальной цены. Какая была нормальная цена?

Укажите, что нам известно:

$ 150 Всего = 80 100

Умножьте на известные углы, затем разделите на третье число:

Всего = (150 $ × 100) / 80
= 15000/80
= 187.50

Ответ: у телефона нормальная цена 187,50 $

Использование пропорций для решения треугольников

Мы можем использовать пропорции для решения подобных треугольников.

Пример: какой высоты дерево?

Сэм попытался использовать лестницу, рулетку, веревки и другие вещи, но так и не смог определить, насколько высоким было дерево.

Но тут Сэму пришла в голову умная идея … похожие треугольники!

Сэм измеряет палку и ее тень (в метрах), а также тень от дерева, и вот что он получает:

Теперь Сэм делает набросок треугольников и записывает соотношение «высота к длине» для обоих треугольников:

Высота:
Длина тени: h
2.9 мес. =
2,4 м
1,3 м

Умножьте на известные углы, затем разделите на третье число:

h = (2,9 × 2,4) / 1,3
= 6,96 / 1,3
= 5,4 м (с точностью до 0,1)

Ответ: дерево 5,4 м высотой.

И ему даже лестница не понадобилась!

«Высота» могла быть внизу, если она была внизу для ОБОИХ соотношений, например:

Попробуем соотношение длины тени к высоте:

Длина тени:
Высота:
2.9 м
ч =
1,3 м
2,4 м

Умножьте на известные углы, затем разделите на третье число:

h = (2,9 × 2,4) / 1,3
= 6,96 / 1,3
= 5,4 м (с точностью до 0,1)

Это тот же расчет, что и раньше.

A «Бетон», пример

Коэффициенты могут иметь более двух чисел !

Например, бетон получают путем смешивания цемента, песка, камней и воды.

Типичная смесь цемента, песка и камней записывается как соотношение, например 1: 2: 6.

Мы можем умножить все значения на одну и ту же величину и получить то же соотношение.

10:20:60 совпадает с 1: 2: 6

Итак, когда мы используем 10 ведер цемента, мы должны использовать 20 ведер песка и 60 камней.

Пример: вы только что загрузили в миксер 12 ведер камней, сколько цемента и сколько песка нужно добавить, чтобы получилась смесь 1: 2: 6?

Разложим в таблице для наглядности:

У вас 12 ведер с камнями, но в соотношении 6.

Это нормально, у вас просто вдвое больше камней, чем число в соотношении … так что вам нужно в два раза больше из всего , чтобы сохранить соотношение.

Вот решение:

И соотношение 2: 4: 12 такое же, как 1: 2: 6 (потому что они показывают те же относительные размеры )

Итак, ответ: добавьте 2 ведра цемента и 4 ведра песка. (Вам также понадобится вода и много перемешивания ….)

Почему у них одинаковое соотношение? Ну, соотношение 1: 2: 6 говорит о :

• вдвое больше песка, чем цемента (1: 2: 6)
• Камней в 6 раз больше, чем цемента (1: 2: 6)

В нашем миксе:

• вдвое больше песка, чем цемента (2: 4: 12)
• Камней в 6 раз больше, чем цемента (2: 4: 12)

Так должно быть в самый раз!

Это хорошая вещь о соотношениях.Вы можете увеличивать или уменьшать количество, и если относительные размеры одинаковы, то соотношение будет таким же.

Математические ресурсы Амби — Использование метода пропорций для решения процентных задач