2+bx+5 = 0$

$$ {\left\{ \begin{array}{c} a+b+5 = 0 \\ 16a+4b+5 = 0 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a+b = -5 \\ 4a+b = -1 \frac{1}{4} \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3a = 3 \frac{3}{4} \\ b = -a-5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 1 \frac{1}{4} \\ b = -6 \frac{1}{4} \end{array} \right.} $$

(О решении системы двух линейных уравнений – см.§43 справочника для 7 класса)

Формулы полных и неполных квадратных уравнений. Квадратное уравнение

Надеюсь, изучив данную статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используют другие методы, которые вы найдете в статье «Решение неполных квадратных уравнений».

Какие же квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ах 2 + b x + c = 0
, где коэффициенты a, b и с не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D.

D = b 2 – 4ас.

В зависимости от того какое значение имеет дискриминант, мы и запишем ответ.

Если дискриминант отрицательное число (D

Если же дискриминант равен нулю, то х = (-b)/2a. Когда дискриминант положительное число (D > 0),

тогда х 1 = (-b — √D)/2a , и х 2 = (-b + √D)/2a .

Например. Решить уравнение х 2
– 4х + 4= 0.

D = 4 2 – 4 · 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Ответ: 2.

Решить уравнение 2х 2

+ х + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 · 2 · 3 = – 23

Ответ: корней нет
.

Решить уравнение 2х 2

+ 5х – 7 = 0
.

D = 5 2 – 4 · 2 · (–7) = 81

х 1 = (-5 — √81)/(2·2)= (-5 — 9)/4= – 3,5

х 2 = (-5 + √81)/(2·2) = (-5 + 9)/4=1

Ответ: – 3,5 ; 1
.

Итак представим решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке1.

По этим формулам можно решать любое полное квадратное уравнение. Нужно только внимательно следить за тем, чтобы уравнение было записано многочленом стандартного вида

ах 2


+ bx + c,
иначе можно допустить ошибку. Например, в записи уравнения х + 3 + 2х 2 = 0, ошибочно можно решить, что

а = 1, b = 3 и с = 2. Тогда

D = 3 2 – 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неверно. (Смотри решение примера 2 выше).

Поэтому, если уравнение записано не многочленом стандартного вида, вначале полное квадратное уравнение надо записать многочленом стандартного вида (на первом месте должен стоять одночлен с наибольшим показателем степени, то есть ах 2



, затем с меньшим –
bx
, а затем свободный член с.

При решении приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором слагаемом можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении при втором слагаемом коэффициент будет четным (b = 2k), то можно решать уравнение по формулам приведенным на схеме рисунка 2.

Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х 2



равен единице и уравнение примет вид х 2 + px + q = 0
. Такое уравнение может быть дано для решения, либо получается делением всех коэффициентов уравнение на коэффициент а
, стоящий при х 2



.

На рисунке 3 приведена схема решения приведенных квадратных
уравнений. Рассмотрим на примере применение рассмотренных в данной статье формул.

Пример. Решить уравнение

3х 2



+ 6х – 6 = 0.

Давайте решим это уравнение применяя формулы приведенные на схеме рисунка 1.

D = 6 2 – 4 · 3 · (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

х 1 = (-6 — 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3

Можно заметить, что коэффициент при х в этом уравнении четное число, то есть b = 6 или b = 2k , откуда k = 3. Тогда попробуем решить уравнение по формулам, приведенным на схеме рисунка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

х 1 = (-3 — 3√3)/3 = (3 (-1 — √(3)))/3 = – 1 – √3

х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3
. Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполнив деление, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + 2х – 2 = 0 Решим это уравнение, используя формулы для приведенного квадратного
уравнения рисунок 3.

D 2 = 2 2 – 4 · (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

х 1 = (-2 — 2√3)/2 = (2 (-1 — √(3)))/2 = – 1 – √3

х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3.

Как видим, при решении этого уравнения по различным формулам мы получили один и тот же ответ. Поэтому хорошо усвоив формулы приведенные на схеме рисунка 1 , вы всегда сможете решить любое полное квадратное уравнение.

сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Копьевская сельская средняя общеобразовательная школа

10 способов решения квадратных уравнений

Руководитель: Патрикеева Галина Анатольевна,

учитель математики

с.Копьево, 2007

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

1.3 Квадратные уравнения в Индии

1.4 Квадратные уравнения у ал- Хорезми

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв

1.6 О теореме Виета

2. Способы решения квадратных уравнений

Заключение

Литература

1.

История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

X

2

+

X

= ¾;

X

2

—

X

= 14,5

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11.

«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х

, другое же меньше, т.е. 10 — х

. Разность между ними 2х

.

Отсюда уравнение:

(10 + х)(10 — х) = 96

100 — х 2
= 96

х 2
— 4 = 0 (1)

Отсюда х = 2

. Одно из искомых чисел равно 12

, другое 8

. Решение х = -2

для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

у(20 — у) = 96,

у 2
— 20у + 96 = 0. (2)

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

1.3

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах 2
+

b

х = с, а > 0. (1)

В уравнении (1) коэфиценты, кроме а

, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Задача 13.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).

Соответствующее задаче 13 уравнение:

(
x

/8) 2
+ 12 =

x

Бхаскара пишет под видом:

х 2
— 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2

, получая затем:

х 2
— 64х + 32 2
= -768 + 1024,

(х — 32) 2
= 256,

х — 32 = ± 16,

х 1
= 16, х 2
= 48.

1.4 Квадратные уравнения у ал – Хорезми

В алгебраическом трактате ал — Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2
+ с =

b

х.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2
= с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2
+ с =

b

х.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2
+

bx

= с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е.

bx

+ с = ах 2
.

Для ал — Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал — джабр и ал — мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида

ал — Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал — Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Задача 14.

«Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2
+ 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал — Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

1.5 Квадратные уравнения в Европе

XIII

—

XVII

вв

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал — Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

х 2
+

bx

= с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b

, с

было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

1.6 О теореме Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B

+

D

, умноженное на A

—

A

2

, равно BD

, то A

равно В

и равноD

».

Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А

, как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х
), гласные же В,

D

— коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место

(а +

b

)х — х 2
=

ab

,

х 2
— (а +

b

)х + а

b

= 0,

х 1
= а, х 2
=

b

.

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

2. Способы решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.

Квадратное уравнение
– это уравнение вида ax 2 +
bx +
c =
0, где x
– переменная, a,
b
и c
– некоторые числа, причем a
≠ 0.

Пример квадратного уравнения:

3x
2 + 2x
– 5 = 0.

Здесь а
= 3, b
= 2, c
= –5.

Числа a,
b
и c
– коэффициенты
квадратного уравнения.

Число a
называют первым коэффициентом
, число b
– вторым коэффициентом
, а число c
– свободным членом
.

Приведенное квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, называют приведенным квадратным уравнением
.

Примеры приведенного квадратного уравнения:

x
2 + 10x
– 11 = 0

x
2 – x
– 12 = 0

x
2 – 6х
+ 5 = 0

здесь коэффициент при x
2 равен 1 (просто единица во всех трех уравнениях опущена).

Неполное квадратное уравнение.

Если в квадратном уравнении ax 2 +
bx +
c =
0 хотя бы один из коэффициентов b
или c
равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением
.

Примеры неполного квадратного уравнения:

2x
2 + 18 = 0

здесь есть коэффициент а
, который равен -2, есть коэффициент c
, равный 18, а коэффициента b
нет – он равен нулю.

x
2 – 5x
= 0

здесь а
= 1, b
= -5, c
= 0 (поэтому коэффициент c
в уравнении отсутствует).

Как решать квадратные уравнения.

Чтобы решить квадратное уравнение, надо совершить всего два действия:

1) Найти дискриминант D по формуле:

D =
b
2 – 4
ac
.

Если дискриминант – отрицательное число, то квадратное уравнение не имеет решения, вычисления прекращаются. Если D ≥ 0, то

2) Найти корни квадратного уравнения по формуле:

–
b
± √
D
х
1,2 = ——.
2а


Пример
: Решить квадратное уравнение 3х
2 – 5х
– 2 = 0.

Решение
:

Сначала определимся с коэффициентами нашего уравнения:

а
= 3, b
= –5, c
= –2.

Вычисляем дискриминант:

D = b
2 – 4ac
= (–5) 2 – 4 · 3 · (–2) = 25 + 24 = 49.

D > 0, значит, уравнение имеет смысл, а значит, можем продолжить.

Находим корни квадратного уравнения:

–b
+ √D 5 + 7 12
х
1 = —— = —- = — = 2
2а
6 6

–b
– √D 5 – 7 2 1
х
2 = —— = —- = – — = – —.
2а
6 6 3

1
Ответ
: х
1 = 2, х
2 = – —.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Виды квадратных уравнений

Что такое квадратное уравнение? Как оно выглядит? В термине квадратное уравнение
ключевым словом является «квадратное».
Оно означает, что в уравнении обязательно
должен присутствовать икс в квадрате. Кроме него, в уравнении могут быть (а могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член).
И не должно быть иксов в степени, больше двойки.

Говоря математическим языком, квадратное уравнение — это уравнение вида:

Здесь a, b и с
– какие-то числа. b и c
– совсем любые, а а
– любое, кроме нуля. Например:

Здесь а
=1; b
= 3; c
= -4

Здесь а
=2; b
= -0,5; c
= 2,2

Здесь а
=-3; b
= 6; c
= -18

Ну, вы поняли…

В этих квадратных уравнениях слева присутствует полный набор
членов. Икс в квадрате с коэффициентом а,
икс в первой степени с коэффициентом b
и свободный член с.

Такие квадратные уравнения называются полными.

А если b
= 0, что у нас получится? У нас пропадёт икс в первой степени.
От умножения на ноль такое случается.) Получается, например:

5х 2 -25 = 0,

2х 2 -6х=0,

-х 2 +4х=0

И т.п. А если уж оба коэффицента, b
и c
равны нулю, то всё ещё проще:

2х 2 =0,

-0,3х 2 =0

Такие уравнения, где чего-то не хватает, называются неполными квадратными уравнениями.
Что вполне логично.) Прошу заметить, что икс в квадрате присутствует во всех уравнениях.

Кстати, почему а
не может быть равно нулю? А вы подставьте вместо а
нолик.) У нас исчезнет икс в квадрате! Уравнение станет линейным. И решается уже совсем иначе…

Вот и все главные виды квадратных уравнений. Полные и неполные.

Решение квадратных уравнений.

Решение полных квадратных уравнений.

Квадратные уравнения решаются просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе надо заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду:

Если уравнение вам дано уже в таком виде — первый этап делать не нужно.) Главное — правильно определить все коэффициенты, а
, b
и c
.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

Выражение под знаком корня называется дискриминант
. Но о нём — ниже. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с
.
Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с
в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками!

Например, в уравнении:

а
=1; b
= 3; c
= -4. Вот и записываем:

Пример практически решён:

Это ответ.

Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…

Самые распространённые ошибки – путаница со знаками значений a, b и с
. Вернее, не с их знаками (где там путаться?), а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте
!

Предположим, надо вот такой примерчик решить:

Здесь a
= -6;
b
= -5;
c
= -1

Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.

Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится
. Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:

Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно?
Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!

Но, частенько, квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:

Узнали?) Да! Это неполные квадратные уравнения
.

Решение неполных квадратных уравнений.

Их тоже можно решать по общей формуле. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с
.

Сообразили? В первом примере a = 1; b = -4;
а c
? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0

! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c,
и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с
, а b
!

Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких формул. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.

И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут!
Не получается? То-то…
Следовательно, можно уверенно записать:
х 1 = 0
, х 2 = 4
.

Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем по общей формуле. Замечу, кстати, какой икс будет первым, а какой вторым — абсолютно безразлично. Удобно записывать по порядочку, х 1
— то, что меньше, а х 2
— то, что больше.

Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:

Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:

Тоже два корня.
х 1 = -3
, х 2 = 3
.

Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…

Дискриминант. Формула дискриминанта.

Волшебное слово дискриминант

! Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через дискриминант» вселяет уверенность и обнадёживает. Потому что ждать подвохов от дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении.) Напоминаю самую общую формулу для решения любых
квадратных уравнений:

Выражение под знаком корня называется дискриминантом. Обычно дискриминант обозначается буквой D
. Формула дискриминанта:

D = b 2 — 4ac

И чем же примечательно это выражение? Почему оно заслужило специальное название? В чём смысл дискриминанта?
Ведь -b,
или 2a
в этой формуле специально никак не называют… Буквы и буквы.

Дело вот в чём. При решении квадратного уравнения по этой формуле, возможны всего три случая.

1. Дискриминант положительный.
Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения.

2. Дискриминант равен нулю.
Тогда у вас получится одно решение. Так как от прибавления-вычитания нуля в числителе ничего не меняется. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых
. Но, в упрощённом варианте, принято говорить об одном решении.

3. Дискриминант отрицательный.
Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет.

Честно говоря, при простом решении квадратных уравнений, понятие дискриминанта не особо-то и требуется. Подставляем в формулу значения коэффициентов, да считаем. Там всё само собой получается, и два корня, и один, и ни одного. Однако, при решении более сложных заданий, без знания смысла и формулы дискриминанта
не обойтись. Особенно — в уравнениях с параметрами. Такие уравнения — высший пилотаж на ГИА и ЕГЭ!)

Итак, как решать квадратные уравнения
через дискриминант вы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо.) Умеете правильно определять a, b и с
. Умеете внимательно
подставлять их в формулу корней и внимательно
считать результат. Вы поняли, что ключевое слово здесь – внимательно?

А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и обидно…

Приём первый

. Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это означает?
Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:

Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с.
Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:

И опять не бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:

А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример. Дорешайте самостоятельно.
У вас должны получиться корни 2 и -1.

Приём второй.

Проверяйте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всё объясню! Проверяем последнее
уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1
, проверить корни легко. Достаточно их перемножить. Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Свободный член со своим знаком

. Если не получилось – значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку.

Если получилось — надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться коэффициент b
с противоположным

знаком. В нашем случае -1+2 = +1. А коэффициент b
, который перед иксом, равен -1. Значит, всё верно!
Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с коэффициентом а = 1.
Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всё меньше ошибок будет.

Приём третий

. Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, — избавьтесь от дробей! Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в уроке «Как решать уравнения? Тождественные преобразования». При работе с дробями ошибки, почему-то так и лезут…

Кстати, я обещал злой пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он.

Чтобы не путаться в минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем:

Вот и всё! Решать – одно удовольствие!

Итак, подытожим тему.

Практические советы:

1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно
.

2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего уравнения на -1.

3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий множитель.

4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по теореме Виета. Делайте это!

Теперь можно и порешать.)

Решить уравнения:

8х 2 — 6x + 1 = 0

х 2 + 3x + 8 = 0

х 2 — 4x + 4 = 0

(х+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Ответы (в беспорядке):

х 1 = 0

х 2 = 5

х 1,2 =
2

х 1 = 2

х 2 = -0,5

х — любое число

х 1 = -3

х 2 = 3

решений нет

х 1 = 0,25

х 2 = 0,5

Всё сходится? Отлично! Квадратные уравнения — не ваша головная боль. Первые три получились, а остальные — нет? Тогда проблема не в квадратных уравнениях. Проблема в тождественных преобразованиях уравнений. Прогуляйтесь по ссылке, это полезно.

Не совсем получается? Или совсем не получается? Тогда вам в помощь Раздел 555. Там все эти примеры разобраны по косточкам. Показаны главные
ошибки в решении. Рассказывается, разумеется, и о применении тождественных преобразований в решении различных уравнений. Очень помогает!

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Видеоурок 2:
Решение квадратных уравнений

Лекция:
Квадратные уравнения

Уравнение

Уравнение
— это некое равенство, в выражениях которого имеется переменная.

Решить уравнение
— значит найти такое число вместо переменной, которое будет приводить его в верное равенство.

Уравнение может иметь одно решение или несколько, или же не иметь его вообще.

Для решения любого уравнения его следует максимально упростить до вида:

Линейное: a*x = b;

Квадратное: a*x 2 + b*x + c = 0.

То есть любые уравнение перед решением нужно преобразовать до стандартного вида.

Любое уравнение можно решить двумя способами: аналитическим и графическим.

На графике решением уравнения считаются точки, в которых график пересекает ось ОХ.

Квадратные уравнения

Уравнение можно назвать квадратным, если при упрощении оно приобретает вид:

a*x 2 + b*x + c = 0.

При этом a, b, c
являются коэффициентами уравнения, отличающиеся от нуля. А «х»
— корень уравнения. Считается, что квадратное уравнение имеет два корня или могут не иметь решения вообще. Полученные корни могут быть одинаковыми.

«а»
— коэффициент, который стоит перед корнем в квадрате.

«b»
— стоит перед неизвестной в первой степени.

«с»
— свободный член уравнения.

Если, например, мы имеем уравнение вида:

2х 2 -5х+3=0

В нем «2» — это коэффициент при старшем члене уравнения, «-5» — второй коэффициент, а «3» — свободный член.

Решение квадратного уравнения

Существует огромное множество способов решения квадратного уравнения. Однако, в школьном курсе математики изучается решение по теореме Виета, а также с помощью дискриминанта.

Решение по дискриминанту:

При решении с помощью данного метода необходимо вычислить дискриминант по формуле:

Если при вычислениях Вы получили, что дискриминант меньше нуля, это значит, что данное уравнение не имеет решений.

Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет два одинаковых решения. В таком случае многочлен можно свернуть по формуле сокращенного умножения в квадрат суммы или разности. После чего решить его, как линейное уравнение. Или воспользоваться формулой:

Если же дискриминант больше нуля, то необходимо воспользоваться следующим методом:

Теорема Виета

Если уравнение приведенное, то есть коэффициент при старшем члене равен единице, то можно воспользоваться теоремой Виета
.

Итак, предположим, что уравнение имеет вид:

Корни уравнения находятся следующим образом:

Неполное квадратное уравнение

Существует несколько вариантов получения неполного квадратного уравнения, вид которых зависит от наличия коэффициентов.

1.

Если второй и третий коэффициент равен нулю (b = 0, с = 0)
, то квадратное уравнение будет иметь вид:

Данное уравнение будет иметь единственное решение. Равенство будет верным только в том случае, когда в качестве решения уравнения будет ноль.

Решение неполных квадратных уравнений — презентация онлайн

1. Решение неполных квадратных уравнений

8 класс
Разработано: учителем математики
МОУ «СОШ» п. Аджером
Корткеросского района
Республики Коми
Мишариной Альбиной
Геннадьевной

4. Методы решения неполных квадратных уравнений

1 случай: если с=0, то получим неполное
квадратное уравнение ax² + bx = 0
Решение: ax² + bx = 0
х(ах + b) = 0
х = 0 или ах + b = 0
ах = — b
х = — b/а
Ответ: 0; — b/а

5. Например

Решить уравнение: 2х²- 9х = 0
Решение: х(2х — 9) = 0
х = 0 или 2х – 9 = 0
2х = 9
х = 4,5
Ответ: 0; 4,5

6. Решить в парах

1) х² + 5х = 0
2) – 2х² + 8х = 0
3) 19х — х² = 0
4) 3х — х² = 0
Проверим ответы:
1) 0; -5
2) 0; 4
3) 0; 19
4) 0; 3

7. Методы решения неполных квадратных уравнений

2 случай: если b = 0, то получим
неполное квадратное уравнение ax² + с = 0
Решение: ax² + с = 0
ax² = — с
x² = — с/а. Возможны 2 случая:
1) если -с/а
2) если -с/а>0, то х = ±√-с/а

8. Например:

Решить уравнения:
5х² — 45 = 0 и 3х² +7 = 0
Решение: 5х² = 45
3х² = — 7
х² = 9
х² = — 7/3
х=±3
нет решения
Ответ: ± 3
Ответ: нет решения

9. Решить в парах:

1) -2х² + 50 = 0
2) 5х² + 17 = 0
3) 13 — 9х² = 0
4) 8х² — 64 = 0
Проверим ответы:
1) ± 5
2) нет решения
3) ±
=
4) ± = 2
13
9
13
3
8
2

10. Методы решения неполных квадратных уравнений.

3 случай: если b = 0 и с = 0, то получим
неполное квадратное уравнение ax² = 0
Решение: ax² = 0
а ≠ 0 значит x² = 0
х=0
Ответ: 0

11. Например:

Решить уравнение: 13х² = 0
Решение: т.к. 13 ≠ 0, то х² = 0
х=0
Ответ: 0

12. Решить в парах:

1) 6х² = 0
2) -103х² = 0
3) 1256х² = 0
4) — 80х² = 0
Проверим ответы:
1) 0
2) 0
3) 0
4) 0

13. Решить самостоятельно

1) х² — 25 = 0
2) 16а² = 0
3) х² — 100х = 0
4) х² + 64 = 0
5) 3х² — 12 = 0
6) х² +10х = 0
7) х² — 7 = 0
8) 4х² — 9 = 0
9) -7х² = 0
10) 3х² — 12х = 0
Проверим ответы:
1) ± 5
9) 0
2) 0
10) 0; 4
3) 0; 100
4) нет решения
5) ± 2
6) 0; -10
7) ± √7
8) ± 3/2

15. Интернет-ресурсы

Циркуль: http://www.daviddarling.info/images/compasses.jpg
Карандаш:
http://www.proshkolu.ru/content/media/pic/std/3000000/2240000/22390937acd9447b354cc7e.gif
Угольник-транспортир:
http://p.alejka.pl/i2/p_new/25/38/duza-ekierka-geometryczna-z-uchwytemrotring-14-cm_0_b.jpg
Фон «тетрадная клетка»:
http://radikal.ua/data/upload/49112/4efc3/3bd0a3d6bb.jpg

Решение неполных квадратных уравнений.

В данной статье мы рассмотрим решение неполных квадратных уравнений.

Но сначала повторим какие уравнения называются квадратными. Уравнение вида ах² + bх + с = 0, где х – переменная, а коэффициенты а, b и с некоторые числа, причем а ≠ 0, называется квадратным. Как мы видим коэффициент при х² не равен нулю, а следовательно коэффициенты при х или свободный член могут равняться нулю, в этом случае мы и получаем неполное квадратное уравнение.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

1)    Если b = 0, с ≠ 0, то ах² + с = 0;

2)    Если b ≠ 0, с = 0, то ах² + bх = 0;

3)    Если b= 0, с = 0, то ах² = 0.

• Давайте разберемся как решаются уравнения вида ах² + с = 0.

Чтобы решить уравнение перенесем свободный член с в правую часть уравнения, получим

ах² = ‒с. Так как а ≠ 0, то разделим обе части уравнения на а, тогда х² = ‒с/а.

Если ‒с/а > 0 , то уравнение имеет два корня 

x = ±√(–c/a).

Если же ‒c/a < 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Давайте попробуем разобраться на примерах, как решать такие уравнения.

Пример 1. Решите уравнение 2х² ‒ 32 = 0.

Решение

2х² = 32

х² = 32/2

х² = 16

х = ± 4

Ответ: х₁ = ‒ 4, х₂ = 4.

Пример 2. Решите уравнение 2х² + 8 = 0.

Решение

2х² = ‒ 8

х² = ‒ 8/2

х² = ‒ 4

Ответ: уравнение решений не имеет.

• Разберемся как же решаются уравнения вида ах² + bх = 0.

Чтобы решить уравнение ах² + bх = 0, разложим его на множители, то есть вынесем за скобки х, получим х(ах^{+ b) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Тогда или х = 0, или ах+ b = 0. Решая уравнение ах+ b = 0, получим ах= ‒ b, откуда х = ‒ b/a. Уравнение вида ах2 + bх = 0, всегда имеет два корня х₁ = 0 и х₂ = ‒ b/a. Посмотрите как выглядит на схеме решение уравнений этого вида.}

Закрепим наши знания на конкретном примере.

Пример 3. Решить уравнение 3х² ‒ 12х = 0.

Решение

х(3х ^{‒ 12) = 0}

х= 0 или 3х – 12 = 0

              3х = 12

               х = 12/3

               х = 4

Ответ: х₁ = 0, х₂ = 4.

• Уравнения третьего вида ах² = 0 решаются очень просто.

Если ах² = 0, то х² = 0. Уравнение имеет два равных корня х₁ = 0, х₂ = 0.

Для наглядности рассмотрим схему.

Убедимся при решении примера 4, что уравнения этого вида решаются очень просто.

Пример 4. Решить уравнение 7х² = 0.

Решение

х² = 0

х_1,2 = 0

Ответ: х_{1, 2} = 0.

Не всегда сразу понятно какой вид неполного квадратного уравнения нам предстоит решить. Рассмотрим следующий пример.

Пример 5. Решить уравнение

Решение

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, то есть на 30

Сократим

5(5х² + 9) – 6(4х² – 9) = 90.

Раскроем скобки

25х² + 45 – 24х² + 54 = 90.

Приведем подобные

х² + 99 = 90.

Перенесем 99 из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный

х² = – 9.

Ответ: корней нет.

Мы разобрали как решаются неполные квадратные уравнения. Надеюсь, теперь у вас не будет сложностей с подобными заданиями. Будьте внимательны при определении вида неполного квадратного уравнения, тогда у вас все получится.

Если у вас появились вопросы по данной теме, записывайтесь на мои уроки, мы вместе решим возникшие проблемы.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Решение неполных квадратных уравнений презентация.

Неполные квадратные уравнения

Учитель математики и физики: Балакина Е.Н.

ЦЕЛИ УРОКА:

• Познакомиться с понятием квадратного уравнения;
  

• Научиться определять является ли уравнение квадратным;
  Научиться определять коэффициенты квадратного уравнения;
  Составлять по заданным коэффициентам квадратное уравнение;
  Научиться определять вид квадратного уравнения: полное или неполное;
  Научиться выбирать алгоритм решения неполного квадратного уравнения.
  
• Научиться определять является ли уравнение квадратным;
  
• Научиться определять коэффициенты квадратного уравнения;
  
• Составлять по заданным коэффициентам квадратное уравнение;
  
• Научиться определять вид квадратного уравнения: полное или неполное;
  
• Научиться выбирать алгоритм решения неполного квадратного уравнения.
  

ВОПРОСЫ:

• Что такое уравнение?
  
• Что значит решить уравнение?
  
• Что называется корнем уравнения?
  
• Какие уравнения мы знаем?
  

Выберите квадратные уравнения:

5х + 26 = 8х – 3,

— 13х = 0,

9х + 2 — 17 = 0,

34 + 5 — 22х = 11

9х + 7 — 13 = 0,

— 42х – 29 = 0,

-3 — 35х + 14 = 0,

+22 – 5х = 0,

-7 — 46х + 17 = 0,

8х – 6 = 0,

25 — 4х – 9 = 0.

КВАДРАТНЫМ УРАВНЕНИЕМ НАЗЫВАЕТСЯ

УРАВНЕНИЕ ВИДА

a

+
bx+c=0,

где
х —

переменная,

a,b,c —

некоторые числа,

причем
a

=
0.

а – первый коэффициент,

b – второй коэффициент,

c – свободный член.

Составьте квадратное уравнение

-9 + 23x – 11 = 0

-4 + x + 5 = 0

4 + 9x = 0

+ 7x + 1 = 0

-3 + 15 = 0

-3 — x + 7 = 0

4 + 3 = 0

a = 3, b = -7, c = 12

a = -9, b = 23, c = -11

a = 8, b = 0, c = 0

a = 5, b = -22, c = -3

a = -4, b = 1, c = 5

a = 4, b = 9, c = 0

a = 1, b = 7, c = 1

a = -3, b = 0, c =15

a = -3, b = -1, c =7

a = 4, b = 0, c = 3

Если в квадратном уравнении a

+
bx+c=0

хотя бы один из коэффициентов b

или с

равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

• a
  
  = 0
• a
  
  + b
  
  x
  = 0
• a
  
  + c
  
  = 0

1 вариант

— ; У
0;3 И
0;-2 П
н.р. В
-3;3 Р
0;2 Е
0 Н
0;4 А
-2,5;2,5 О
— ; Д

2 вариант

• + 2х = 0
  
• 2 — 18 = 0
  
• 4 — 11= — 11+ 9х
  
• 9 + 1 = 0
  
• 2 = 4х
  
• 7 — 14 = 0
  
• 9 – 2 + 16х = 6 + 9
  
• — 4 = 0
  
• 9 + 1 = 1
  
• 4 — 25 = 0
  

• -2 + 4х = 0
  
• — 3х = 0
  
• 7 = 0
  
• 12х = 6
  
• 2 = 7 + 2
  
• 6 + 24 = 0
  
• 3 + 7 = 12х + 7
  
• + 2х – 3 = 2х + 6
  
• 9 — 4 = 0
  
• 7х = 2 + 3х
  

На доске выписаны числа 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Ученики выписывают буквы соответствующие корням данных уравнений; варианты работают навстречу друг другу.

ПРИВЕДЕННЫМ
КВАДРАТНЫМ УРАВНЕНИЕМ

Называют квадратное

уравнение, в котором коэффициент

при равен 1:

+
bx+c=0

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

№
24.11 (УСТНО),

№
24.16 (б, в, г),

№
24.18 (б, в, г).

Историческая справка

Квадратные уравнения решали в Вавилоне около 2000 лет до нашей эры.

В Европе в 2002 году праздновали 800-летие квадратных уравнений, т.к. именно в 1202 году итальянский ученый Леонард Фибоначчи изложил формулы квадратного уравнения.

Только в 17 веке, благодаря Ньютону, Декарту и другим ученым эти формулы приняли современный вид.

В Древней Индии
уже в 499 году
были распространены публичные соревнования по решению задач на составление квадратных уравнений. Одной из таких задач является задача знаменитого индийского математика Бхаскары
:

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекаясь,

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая.

Сколько было обезьянок

Ты скажи мне в этой стае?

Презентация урока алгебры в 8 классе по теме «Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений». Введение понятия полного и неполного квадратных уравнений. Первичное закрепление способов решения неполных квадратных уравнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Презентация урока алгебры в 8 классе « Квадратные уравнения. Решение непо л н ых квадратн ых у равнений »

Загадочное, но нам знакомое, В нем есть что-то неизвестное Его корень – вот искомое Найти его – интересно всем Каждый скажет без сомнения Перед вами (уравнение)

Решите уравнения а) у – 7 = 0; б) х + 0,5 = 0; в) а х = 0; г) 2 х – 1/3 = 0; д) а (а – 1) = 0; е) х 2 + 4 = 0.

Задача В кинозале количество зрительскихх мест в каждом ряду на 8 больше количества рядов. Всего на сеанс пришло 884 зрителя и все места были заняты. Сколько рядов в кинозале?

x – рядов; x +8 – мест в каждом ряду C оставим уравнение: x (х+8)=884; x 2 +8х-884=0.

« Квадратные уравнения. Решение непо л н ых квадратн ых у равнений » Тема урок а: эпиграф: уравнение – это ключ, которым можн о открыть т ы сячу дверей в не известное.

цель: ввести понятие квадратного уравнения; Научиться решать непо лные квадратн ые у равнения.

О пр е деление квадратного у равнения Квадратн ы м у равнением наз ы ва е тся у равнение вид а ax²+bx+c=0 , де х – переменная, а, b , с – параметры, а≠0. Число а называ е тся пер вым ко э ф фи ц ие нтом, число b – вторым ко эф ф ицие нтом и с – свободным членом. Квадратное у равнение наз ы вают также у равнением второй степен и, так как е го л е вая част ь является многочлен ом второй степен и.

При меры квадратн ы х у равнений: a b c -2x²+x-1,4=0 -2 1 -1,4 5x²-4x=0 5 -4 0 3X²+10,3=0 3 0 10,3

За дание 1 Являются ли данные уравнения квадратными? 4x²-5x+2=0 -5,6x²-2x- 0,5 =0 13-7x²=0 16x²-x³-5=0 1-16x=0 -x²=0

За дание 2 Наз овите ко э ффиц ие нт ы в квадратном у равнении. 3x²-6x+2=0 -x²+5x+10=0 x²-8x+1,5=0 -4x²+5=0 -36x²-3x=0 12x²=0

Непо лные квадратн ые у равнения Если в квадратном уравнении ax²+bx+c=0 хотя бы один и з ко э ф фи ц ие нт о в b или c р а вен нулю, то так ое уравнение наз ы вают непо л н ы м квадратн ы м у равнением. a b c -3x²+5=0 -3 0 5 2x²-10x=0 2 -10 0 16x²=0 16 0 0

Классификация квадратных уравнений полные неполные Аль-Хорезми, где a ≠ 0 b=0 b=0, c=0 c=0 или или или

Ре ши м уравнение если b=0. -4x²+25=0 — 4x² =- 25 4x² = 25 или I

Решим уравнение если b=0 ,c=0. III

Решим уравнение если C=0 . (35 + у) y = 0 35 + у = 0 или II y = 0 y=-35

Тестирование

1 . 2. 3. 4. 5 0; -5 -5; 5 0 За дание №1. Укажите корни уравнения помощь

За дание №2. Укажите корни уравнения 1. 2. 3. 4. -4 ; 4 — 4 ; 0 16 0 ; 4

За дание №3. Укажите корни уравнения 1 . 2. 3. 4. 3 -3 ; 0 -3 0 ; 3

За дание №4. Укажите корни уравнения 1. 2. 3. 4. 0; 4 16 -4; 4 -4; 0

05/01/17 За дание №5. Укажите корни уравнения 1. 2. 3. 4. -2; 2 4 2 2; 0

Итоги урока: Сегодня на уроке я узнал… понял… научился… мои успехи – это… трудности я почувствовал… я не умел, а теперь умею… на следующем уроке я хочу…

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Урок по теме «Неполные квадратные уравнения». Подготовили учителя математики МОУ «Успенская ООШ МО «Ахтубинский район» Зенина Н.Г., Крамаренко Т.Н.

«Мне приходится делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнения по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно». А. Эйнштейн.

Здравствуйте, ребята! Повторим: Я — ваш помощник, я проведу вас по всей большой теме » Квадратные уравнения». В 7 и 8 классе вы уже рассматривали и даже решали квадратные уравнения.

Сегодня вы узнаете: 1. Какие уравнения называют квадратными? 2. Что в определении квадратного уравнения основное, что следует запомнить и учитывать? 3. Какие частные случаи квадратных уравнений бывают? 4. Каковы способы решения квадратных уравнений в каждом частном случае? А теперь давайте вместе искать ответы на эти вопросы. Желаю удачи!

Что общего у этих уравнений?

Квадратным уравнением называют уравнение вида … ax ² + bx + c = 0, где а ≠ 0, х — переменная, а, в, с — некоторые числа. а–старший (первый) коэффициент, b -второй коэффициент, с-свободный член. а–старший (первый) коэффициент, b -второй коэффициент, с-свободный член. а – старший (первый) коэффициент, в — второй коэффициент, с — свободный член.

Если a = 1 , то квадратное уравнение x ² + bx + c = 0 называют приведенным. Решим № 513 (устно) .

а в с 5x² + 5х – 3 = 0 3 x² + 2 х – 4 = 0 х² + 4х + 3 = 0 -2 x² + х – 1 = 0 4 х ²- 4 х + 1 = 0 5 5 -3 3 2 -4 1 4 3 -2 1 — 1 4 — 4 1 Попробуем решить:

Интересно, а что будет, если коэффициенты квадратного уравнения по очереди или все сразу (кроме а) превратятся в нули. Давайте проведём исследование.

Неполные квадратные уравнения 28.04.17 Если с = 0 , ax 2 + b х = 0 ax 2 ax 2 Если b, с = 0 , ax 2 = 0 Если b = 0 , ax 2 + c = 0

Рассмотрим все возможные случаи

Неполные квадратные уравнения вида: нет корней.

Неполные квадратные уравнения вида:

Ответ: х= 0. нет корней. Выпишите неполные квадратные уравнения:

Запишите квадратные уравнения с указанными коэффициентами: а=1, b=0, c=16; a=-1, b=5, c=0; b=0, a=-3, c=0; c=-8, a=1, b=0; a=1,5, c=0,b=-3; b= , a= , c Установите соответствие между уравнениями и следующими а) уравнение имеет два корня, б) уравнение имеет один корень, в) уравнение не имеет корней. (в) (а) (б) (а) (а) (а) Установите соответствие между уравнениями и следующими утверждениями:

Проверьте решение № 515 (а, в, г). а).4х 2 -9=0 в). -0,1х 2 +10=0 г). 6 v 2 +24=0 4х 2 = 9 -0,1х 2 =- 10 6 v 2 =-24 х 2 = 9 /4 х 2 =- 10 /(-0,1) v 2 =-24/6 х 1 = -3/2=-1,5; х 2 =100 v 2 =-4 х 2 =3/2=1,5; х 1 = -10 Ответ: нет решения. Ответ:-1,5;1,5; Ответ:-10;10 ;

28.04.17 Рассмотрим решение неполных квадратных уравнений № 517 (б, г, д) б). -5х 2 + 6х=0 г). 4а 2 — 3а=0 д). 6 z 2 – z =0 х(-5х+6)=0 а(4а-3)= 0 z (6 z –1) =0 х=0 или -5х+6=0 а=0 или 4а-3=0 z =0 или 6 z –1 =0 -5х= -6 4а=3 6 z =1 х = -6/(-5) =1,2 а=3/4=0,75 z =1/6 Ответ: 0; 1 ,2. Ответ: 0; 0,75. Ответ: 0; 1/6.. .

1) При каких значениях а уравнение является квадратным уравнением? Нет решений 2) При каких значениях a уравнение является неполным квадратным уравнением?

3) Решите уравнение при полученных значениях а. Ответ: а = − 2, х= − 15, х= 0; а = 0,

Подведем итоги Какое же уравнение называется квадратным? Почему а≠ 0 ? Как называются числа а, в и с? Сколько видов неполных квадратных уравнений мы узнали? Как решают уравнения I вида? II вида? III вида?

Вот и завершается наш урок. Ребята! Вы получили ответы на интересующие вас вопросы? Поняли, что нас впереди ждут интересные, а самое главное – важные темы? Я только хочу вам напомнить, что при решении задач, примеров надо искать рациональные подходы и применять разнообразные способы.

Домашнее задание: П. 21 учебника; №№ 318, 321 а,в, 323 а. Дополнительно: 520, 532. П. 21 (определения), №518, 520 (а,в) 511 Дополнительно (для учащихся с повышенным интересом) №520, №531.

Слайд 2

«Мне приходится делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнения по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».
А. Эйнштейн.

Слайд 3

Здравствуйте, ребята!

Повторим:
Я — ваш помощник, я проведу
вас по всей большой теме
» Квадратные уравнения».
В 7 и 8 классе вы уже рассматривали и даже решали квадратные уравнения.

Слайд 4

Сегодня вы узнаете:
1. Какие уравнения называют квадратными?
2. Что в определении квадратного уравнения основное, что следует запомнить и учитывать?
3. Какие частные случаи квадратных уравнений бывают?
4. Каковы способы решения квадратных уравнений в каждом частном случае?
А теперь давайте вместе искать ответы на эти вопросы.
Желаю удачи!

Слайд 5

Что общего у этих уравнений?

Слайд 6

Квадратным уравнением
называют уравнение вида …
ax² + bx + c = 0, где а ≠ 0,
х — переменная,
а, в, с — некоторые числа.
а–старший (первый) коэффициент,
b-второй коэффициент,
с-свободный член.
а–старший (первый) коэффициент,
b-второй коэффициент,
с-свободный член.
а – старший (первый) коэффициент,
в — второй коэффициент,
с — свободный член.

Слайд 7

Если a = 1,
то квадратное уравнение
x² + bx + c= 0
называют приведенным.
Решим № 513 (устно).

Слайд 8

Попробуем решить:

5
5
-3
3
2
-4
1
4
3
-2
1
-1
4
-4
1

Слайд 9

Интересно,
а что будет, если коэффициенты квадратного уравнения по очереди или все сразу (кроме а)
превратятся в нули.
Давайте проведём исследование.

Слайд 10

Неполные квадратные уравнения

10.01.2017
10
Если с=0,
ax2+ bх= 0
ax2
ax2
Если b,с=0,
ax2= 0
Если b =0,
ax2+ c = 0

Слайд 11

Рассмотрим все возможные случаи

Слайд 12

Слайд 13

Неполные квадратные уравнения вида:
нет корней.

Слайд 14

Неполные квадратные уравнения вида:

Слайд 15

Ответ:
х=0.
нет корней.
Выпишите неполные квадратные уравнения:

Слайд 16

Запишите квадратные уравнения с указанными коэффициентами:
а=1, b=0, c=16;
a=-1, b=5, c=0;
b=0, a=-3, c=0;
c=-8, a=1, b=0;
a=1,5, c=0,b=-3;
b= , a= , c
Установите соответствие между уравнениями и следующими
а) уравнение имеет два корня,
б) уравнение имеет один корень,
в) уравнение не имеет корней.
(в)
(а)
(б)
(а)
(а)
(а)
Установите соответствие между уравнениями и следующими утверждениями:

Слайд 17

17
Проверьте решение № 515 (а, в, г).
а).4х2-9=0 в). -0,1х2+10=0 г). 6v2+24=0
4х2 =9 -0,1х2 =-10 6v2 =-24
х2 =9/4х2 =-10/(-0,1)v2 =-24/6
х1=-3/2=-1,5; х2=100 v2 =-4
х2 =3/2=1,5; х1=-10 Ответ: нет решения.
Ответ:-1,5;1,5;Ответ:-10;10;

Слайд 18

10.01.2017
18
Рассмотрим решение
неполных квадратных уравнений
№517 (б, г, д)
б). -5х2+ 6х=0 г). 4а2 — 3а=0д). 6z2– z =0
х(-5х+6)=0 а(4а-3)=0 z(6z –1) =0 х=0 или -5х+6=0 а=0 или 4а-3=0 z=0 или 6z –1 =0
-5х= -6 4а=36z=1
х = -6/(-5) =1,2 а=3/4=0,75 z=1/6
Ответ: 0; 1,2. Ответ: 0; 0,75. Ответ: 0; 1/6..
.

Решение неполных квадратных уравнений, как решать разные виды выражений

Научившись решать уравнения первой степени, хочется научиться работать с более сложными уравнениями, например, с квадратными. Многим известно, как решаются стандартные квадратные уравнения, но есть особый вид таких выражений, которые называют квадратные уравнения в краткой записи. Рассмотрим подробнее, как решать неполные квадратные уравнения.

Алгоритм нахождения решений

На сегодняшний день существует три вида таких выражений. В зависимости от этого каждое решение имеет свои особенности, от которых зависит решение конкретного примера, будь оно целым или в виде иррационального числа.

Уравнение вида ax2+bx=0 при отсутствии c

Это наиболее распространенное выражение в укороченном типе с квадратными корнями. Как решить нечто похожее в этом случае? Для этого надо разложить левую часть на множители. Алгоритм решения следующий, и обычно не меняется:

1. Раскладываем выражение как x*(ax+b), равное нулю.
2. Так как выражение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен ему, то запишем следующую систему уравнений в виде x и ax+b=0.
3. Первое решение так и пишется x=0. Второе равенство линейное и решается как равное -b/a.

В качестве примера приведем следующее равенство: x2+18x=0. Раскладываем его в виде x*(x+18)=0. Получаем x=0 и -18. Оба решения являются правильными и подойдут под результат. Также решаются и остальные выражения, относящиеся к неполным квадратным уравнениям такого вида.

ax2+c=0 при b равном нулю

Не такой частый, но встречающийся тип квадратного выражения. Здесь имеются два корня, отличающиеся лишь знаками, в крайнем случае корней не имеется вообще.

План действий для решения такого выражения разберем на следующем примере:

1. Имеем уравнение x2−49=0 или аналогичное ему.
2. Раскладываем его как (x-7)*(x+7)=0.
3. Получаем решение типа x=7 и -7.
4. Записываем ответ в виде двух корней.

А вот при одинаковых знаках в записи решения не будет в принципе. Например, для выражения 25×2+1=0 не имеется ответа, потому что сумма положительных чисел никогда не может равняться нулю.

В школьном курсе алгебры эти равенства стараются решить так, чтобы прийти к формату x2=d. То есть 9×2−2 равно нулю. Тогда x2=2/9, а ответом послужат два одинаковых корня с разными знаками.

Особый вид уравнения

Имеется также один особый тип укороченного выражения. Он имеет следующий вид ax2, которое равно нулю. У таких уравнений имеется решение в виде единственного корня. В учебниках есть указание, что решение состоит в виде двух корней, каждый из которых равен нулю.

Другие способы решения неполных уравнений

Любое подобное выражение в квадрате можно решить, не применяя формулу квадратных корней. К таким видам решения называют формулу сокращенного умножения и правило деления на число.

Допустим, выражение 5×2=0. В этом выражении только умножение на ноль даст результат, а значит, единственный ответ здесь x=0.

Теперь возьмем выражение вида 5×2=125. Делим обе части уравнения на 5. Получим следующий промежуточный результат: x2=25. Переносим все в левую часть и получится x2−25=0. Затем используем формулу разности квадратов в виде (x-5)*(x+5)=0. Получаем итоговый результат в виде x=5 или x=-5.

Далее разберем, как решить вышеописанными способами равенство 16*x2-x=0. Выносится общий множитель за скобки x*(16x-1)=0. Получается два варианта ответа: x=0 и 16x=1. После этого делим каждую часть на 16, в итоге получаем x=1/16. Записываем итоговый ответ в виде x1=0 и x2=1/16.

Стоит отметить, что если вы не знаете, как применить формулы сокращенного умножения или деления на число, то лучше применить способ решения такого выражения согласно стандартным правилам решения квадратного уравнения. Каким именно методом решить данные квадратные выражения, выбирает сам человек. Иногда самые очевидные способы решения не подойдут для определенного примера, может и вовсе не оказаться конкретных ответов. Также не является обязательным такой вариант, как стандартные целые числа.

Здесь могут быть и иррациональные числа, а также дробные. Все будет зависеть от конкретного выражения.

Не являющиеся полными примеры по типу квадрата, несмотря на свое название, решаются достаточно просто. Можно применить как стандартные методы нахождения ответа, например, квадратные корни, так и формулы сокращенного умножения, а также деления на число.

При этом нельзя сказать, что какой-либо из вышеописанных способов является универсальным. Под каждое конкретное уравнение подбирается свой способ нахождения ответа. Не забывайте также о том, что не все такие квадратные равенства имеют ответ, иногда у них нет корней вовсе. Это верно, если оба числа являются положительными, а их сумма не может равняться нулю.

Видео

Из видео вы узнаете способы решения неполных квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений по формуле корней

Решение квадратных уравнений
по формуле корней онлайн

Квадратные уравнения бывают следующих видов:

— неполное уравнение вида ax² = 0;

— неполное уравнение вида ax² + bx = 0;

— неполное уравнение вида ax² + с = 0;

— полное квадратное уравнение ax² + bx + с = 0.

Решать полные уравнения по готовой формуле корней – самый простой способ (нужно просто запомнить формулу).

Сначала можно выписать коэффициенты a, b, c квадратного уравнения (хотя впоследствии, если «набить руку», этого делать не обязательно).

Затем необходимо найти дискриминант уравнения (обозначается буквой D). Дискриминант находится по формуле D = b² – 4ac.

Если дискриминант получается отрицательный, то решение уравнения на этом этапе окончено. Оно не будет иметь действительных корней.

Если дискриминант получается положительный, уравнение имеет два корня, которые вычисляются по формулам

Решение неполных квадратных уравнений

1) Уравнение вида ax² = 0 всегда имеет единственный корень 0.

2) Чтобы решить уравнение вида ax² + bx = 0, нужно вынести х за скобки. Получится уравнение

х(ax + b) = 0.

Оно будет иметь два корня:

3) Чтобы решить уравнение вида ax² + с = 0, необходимо перенести c в правую часть. Получится уравнение

ax² = –с, откуда

Здесь число корней зависит от знака выражения –с/а: если оно отрицательное, то корней не существует. Если же оно положительное, то уравнение будет иметь два корня.

Онлайн калькулятор

для решения квадратных уравнений

Вы можете получить объяснение решения любого квадратного уравнения (полного либо неполного), просто введя его коэффициенты в форму вверху страницы (в качестве коэффициентов можно вводить целые числа и десятичные дроби).

2-7x = 0`.

Перепишем уравнение в следующем виде: `3x * x-7x = 0`.

Теперь перепишем уравнение, используя распределительное свойство умножения: `x (3x-7) = 0`.

Когда произведение чисел равно 0?

Когда хотя бы один коэффициент равен 0.

Итак, либо `x = 0`, либо` 3x-7 = 0`.

Второе уравнение линейное, его корень равен `x = 7 / 3`.

Ответ : `x = 0` и` x = 7 / 3`.

Мы можем обобщить результат вышеприведенного примера.2-9 = 0`.

Ответ : `0` и` -9 / 4`.

Единица 18 КВАДРАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1 КВАДРАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ A

Блок 18 КВАДРАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1

КВАДРАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ¢ ¢ ¢ Квадратичное уравнение с одной переменной имеет по крайней мере один член, возведенный во вторую степень без членов более высокой степени. Квадратное уравнение, не содержащее первой степенной переменной (член x), называется неполным или чистым квадратное уравнение Примеры: ll 2 Квадратное уравнение: 4 x 2 + x = 9 Чистое квадратное уравнение: y 2 = 2

КВАДРАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ¢ Общая форма квадратного уравнения: ax 2 + bx + c = 0 a — коэффициент члена x 2 и не может равняться 0 lb — коэффициент члена x lc — постоянный член, не содержащий x в любой форме l 3

НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ¢ Процедура решения неполных квадратных уравнений: Выделите член, содержащий x 2, на одной стороне уравнения l Если x 2 имеет коэффициент, отличный от 1, разделите обе части уравнения на коэффициент l. обе стороны уравнения.Напишите знак ± перед величиной квадратного корня l Проверьте оба корня в исходном уравнении l 4

РЕШЕНИЕ НЕПОЛНОГО КВАДРАТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ¢ Решите относительно x: 7 x 2 = 651 l Разделите обе части уравнения на 7: x 2 = 93 l Квадратный корень из обеих частей уравнения: 5 Примечание: ответ был округлен. Оба ответа 9. 644 и — 9. 644 должны быть проверены в исходном уравнении.

ПРАКТИЧЕСКИЙ ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ ¢ Определите радиус круга, учитывая, что его площадь составляет 65 квадратных дюймов II. Площадь круга умножается на квадрат радиуса или: A = r 2 Подставляя 65 квадратных дюймов вместо площади, мы получаем: 65 в 2 = r 2 Теперь решаем для r: 20.69 дюймов 2 = r 2 4. 55 дюймов = r Отрицательный ответ отбрасывается, остается 4. 55 дюймов Ans 6

ПОЛНЫЕ КВАДРАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Квадратичное уравнение, которое содержит как вторую степенную переменную (член x 2), так и первую степенную переменную (член x), называется полным квадратным уравнением ¢ Различные методы, которые можно использовать для решения квадратных уравнений ¢ Квадратичная формула будет быть используемым здесь методом ¢ 7

КВАДРАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ¢ 8 Если общее квадратное уравнение (ax 2 + bx + c = 0) преобразовать и решить относительно x, полученное уравнение называется квадратной формулой:

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМУЛЫ 9 ¢ Решите 2 x 2 + 3 x — 2 = 0, используя формулу корней квадратного уравнения.l Обозначьте a, b и c. В этом уравнении a = 2, b = 3 и c = — 2. l Подставляя эти значения в формулу корней квадратного уравнения: ¢ Упростите: ¢ Найдите оба решения:

ПРАКТИЧЕСКИЙ ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ ¢ Найдите длину и ширину прямоугольника с площадью 24 в 2, учитывая, что его длина на два дюйма больше, чем его ширина l l l Пусть x = ширина; тогда длина = x + 2… (вспомните, что area = l * w) Переставьте уравнение и найдите a, b и c • x 2 + 2 x — 24 = 0; поэтому a = 1, b = 2 и c = — 24 Решите относительно x, используя формулу корней квадратного уравнения.Невозможно 10 Ширина = 4 дюйма в длину = x + 2 или 6 дюймов Ans

ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ¢ Решите задачи 1–4. При необходимости округляйте до сотых: 1. 8 x 2 = 94 2. 3. 4. 11 7. 6 y 2 — 29. 5 = 0 3 x 2 — 9 = x 2 + 4 Найдите радиус круга, учитывая, что площадь равна 49,6 квадратных дюймов. Площадь круга равна A = 3. 14 r 2. Где A — площадь, а r — ваш радиус. Округлите ответ до ближайшей сотой доли дюйма.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ (Продолж.) Учитывая, что мощность (P) равна квадрату тока (I), умноженного на сопротивление (R).Найдите ток, если мощность 50 Вт, а сопротивление 15 Ом. Округлите ответ до ближайшей сотой доли ампера. Примечание. Ампер (А) — это единица измерения силы тока. Используйте формулу корней квадратного уравнения для решения задач 6–8: 6. 6 x 2 + 5 x — 6 = 0 7. 9 y 2 — 18 y = — 8 8. x 2 — x = 6 5. ¢ 12

ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ (продолжение) Учитывая уравнение свободного падения объекта (например, парашютиста) s = vot + 1/2 при 2; найти t (время в секундах), когда s = 50, a = 32 и vo = 4. Округлите до ближайших сотых долей секунды 10.Учитывая, что площадь параллелограмма равна основанию, умноженному на высоту. Найдите основание и высоту параллелограмма площадью 18 квадратных дюймов и высотой на 3 дюйма больше, чем основание 9. 13

КЛЮЧ ОТВЕТА НА ПРОБЛЕМУ ± 3. 43 2. ± 1. 97 3. ± 2. 55 4. 3. 97 дюймов 5. 1. 83 A 6. — 3/2 и 2/3 7. 2/3 и 4 / 3 8. — 2 и 3 9. 1. 65 секунд 10. основание = 3 дюйма и высота = 6 дюймов 1. 14

Вы забыли, как решить неполное квадратное уравнение?

Как решить неполное квадратное уравнение? Известно, что это частный вариант равенства ax ² + bx + c = a, где a, b и c — действительные коэффициенты при неизвестном x, а где a ≠ a, а b и c — нули одновременно или в отдельности.Например, c = o, in ≠ o или наоборот. Мы почти вспомнили определение квадратного уравнения.

Уточним

Трехчлен второй степени равен нулю. Его первый коэффициент a ≠ o, b и c может принимать любые значения. Тогда значение переменной x будет корнем уравнения, при его подстановке вернется к правильному числовому равенству. Остановимся на вещественных корнях, хотя решением уравнения могут быть комплексные числа. Уравнение, в котором ни один из коэффициентов не равен a, а ≠ o, принято называть to o, c ≠ o.
Давайте решим пример. 2x ² -9x-5 = 0, находим
D = 81 + 40 = 121,
D положительно, тогда есть корни, x ₁ = (9 + √121): 4 = 5, и второй x ₂ = (9-√121): 4 = -o, 5. Проверка поможет убедиться, что они верны.

Вот пошаговое решение квадратного уравнения

С помощью дискриминанта можно решить любое уравнение, в левой части которого находится известный квадратный трехчлен для a o. В нашем примере.2x ² -9x-5 = 0 (ax ² + вх + с = о)

• Сначала найдем дискриминант D из известной формулы в ² -4ас.
• Проверяем, каким будет значение D: у нас больше нуля, оно равно нулю или меньше.
• Мы знаем, что если D> 0, квадратное уравнение имеет только 2 различных действительных корня, они обозначаются x ₁ обычно x ₂ ,
  Вот как вычислить:
  x ₁ = (-B + √D): (2a), а второй: x ₂ = (-in-√D): (2a).
• D = o — это один корень, или, говорят, два равных:
  x ₁ равно x ₂ и равно: (2a).
• Наконец, D

Рассмотрим, каковы неполные уравнения второй степени

1. Oh ² + ix = o. Свободный член, коэффициент c для x ⁰ , здесь равен нулю, в ≠ o.
   Как решить такое неполное квадратное уравнение? За скобки возьмем x. Напомним, когда произведение двух множителей равно нулю.
   x (ax + b) = o, это может быть, когда x = 0 или когда ax + b = o.
   Решая второе линейное уравнение, получаем x = -v / a.
   В результате имеем корни x ₁ = 0, _{по расчетам x 2 = -b / a .}
2. Теперь коэффициент при x равен o, а c не равен (≠) o.
   x ² + c = o. Перенося c из правой части равенства, получаем x ² = -c. Это уравнение имеет действительные корни только тогда, когда -c является положительным числом (c x ₁ тогда равно √ (-c), соответственно, x ₂ — -√ (-s).В противном случае уравнение вообще не имеет корней.
3. Последний вариант: b = c = o, то есть ah ² = o. Естественно, такое простое уравнение имеет один корень x = o.

Частные случаи

Как решить неполное квадратное уравнение рассмотрели, а теперь возьмем любые виды.

• В полном квадратном уравнении второй коэффициент для x является четным числом.
  Пусть k = o, 5b. У нас есть формулы для вычисления дискриминанта и корней.
  D / 4 = k ² — ac, корни вычисляются как x _1,2 = (-k ± √ (D / 4)) / a для D> o.
  x = -k / a для D = o.
  Для D
• Есть сокращенные квадратные уравнения, когда коэффициент при x в квадрате равен 1, они обычно записываются x ² + px + q = o. К ним применимы все приведенные выше формулы, но вычисления несколько проще.
  Пример, x ² -4x-9 = 0. Мы вычисляем D: 2 ² +9, D = 13.
  x ₁ = 2 + √13, x ₂ = 2-√13.
• Кроме того, изложенная выше теорема Вита легко применима.В нем говорится, что сумма корней уравнения равна -p, второй коэффициент со знаком минус (что означает противоположный знак), а произведение этих же корней равно q, свободному члену. Проверьте, насколько легко было бы словесно определить корни этого уравнения. Для нередуцированных (для всех коэффициентов, не равных нулю) эта теорема применима следующим образом: сумма x ₁ + x ₂ равна -a / a, произведение x ₁ · X ₂ равно в с / у.

Сумма свободного члена c и первого коэффициента a равна коэффициенту b.В этой ситуации уравнение имеет хотя бы один корень (легко доказать), первый должен быть -1, а второй должен быть c / a, если он существует. Как решить неполное квадратное уравнение, вы можете проверить сами. Проще простого. Коэффициенты могут находиться в некоторых отношениях между собой

• x ² + x = o, 7x ² -7 = o.
• Сумма всех коэффициентов равна нулю.
  Корни этого уравнения — 1 и c / a. Например, 2x ² -15x + 13 = o.
  x ₁ = 1, x ₂ = 13/2.

Существует ряд других способов решения различных уравнений второй степени. Вот, например, метод отделения полного квадрата от заданного многочлена. Есть несколько графических способов. Часто сталкиваясь с такими примерами, вы научитесь «щелкать» по ним, как по семенам, потому что все способы приходят в голову автоматически.

Решите следующие неполные квадратные уравнения методом квадратного корня

Какова сумма размеров внутренних углов выпуклого шестиугольника? 2 Решите значение x, чтобы найти недостающие углы (2E и K (SK + 301279 (10
…

x + 7) Swhic3.Решить относительно угла x (2x). 110 «12396091

2. Площадь двух одинаковых треугольников составляет 49 и 36 квадратных единиц. Найдите отношение пары соответствующих сторон.

. 1.
2. если SE = PO, то? =?
3. если

Направления: Учитывая соответствующие конгруэнтные части треугольников, определите постулат конгруэнтности треугольников и назовите конгруэнтные треугольники. Напишите вам
…

Ответ на отдельном листе бумаги.

Напишите свое личное мнение об уроке, используя подсказки ниже Я понимаю, что понимаю, что мне нужно узнать больше об

1.Рассмотрим оценку по общей математике за 2 квартал, состоящую из 95, 90, 89 и 88. Предположим, что из этих оценок взяты образцы размера 3, w
…

шляпа: а. вероятность того, что 95 будет самой низкой из 4 оценок? b. вероятность того, что 95 — это наивысший из 4-х оценок?

МАТЕМАТИКА 9 направлений Решите приведенные ниже задачи со словами. Запишите свое решение и ответ в блокноте. В период карантина семья Эрнандес
…

решили сделать свой день напряженным и найти способы выращивать овощи на заднем дворе.Их посадочная площадка такая же широкая, как и их прямоугольная гостиная. Давайте поможем им сократить расходы. Поскольку глава семейства любит сажать растения, он призывает свою семью сажать семью Эрнандес отвечает на следующие вопросы: a. Какова площадь прямоугольного поля, если его длина вдвое больше ширины. B. Если одна сторона поля равна (x5) м, а противоположная сторона (2x-1) м, то что isc. Если они хотят посадить 4 сорта овощей, им понадобится 4 участка, сPaanswer po pls kailangan ko lang

Опишите математическую систему.Взаимодействие с другими людьми

Для номеров 4 и 5 семь близнецов хотят, чтобы их сфотографировали. Какими способами они могут выстроиться в ряд? If4. Они должны где-нибудь стоять?
…

A. 81 178 291 200 путей C. 85 178 291 200 путей B. 83 178 291 200 путей D. 87 178 291 200 путей 5. Близнецы должны стоять вместе? A.10 080 способов B. 10 085 способов C. 10 090 способов D. 10 100 wa

Как пошагово решать уравнения второй степени. Решенные упражнения.

Ниже мы объясним основные шаги, которые помогут вам узнать , как решить все уравнения второй степени , как полные, так и неполные.Уравнения второй степени также известны как квадратные уравнения.

Полные уравнения второй степени

Как правило, уравнений второй степени — это те уравнения, в которых x в одном из членов увеличивается до 2.

Они могут быть полными или неполными уравнениями второй степени, в зависимости от того, имеют ли все они свои члены или нет. Здесь я собираюсь сосредоточиться на объяснении полного уравнения второй степени.

Что такое полные уравнения второй степени

полных уравнений второй степени или квадратных уравнений представлены следующим образом:

Где a, b и c — константы уравнения:

• — это число, которое всегда стоит перед x в квадрате
• b — это число, которое всегда идет перед x
• c — число без неизвестного

То есть полные уравнения второй степени — это те, у которых конечная точка x повышена до 2, член с x повышен до 1 (или просто x).Если какой-либо из этих членов отсутствует, мы будем говорить о неполных уравнениях второй степени, которые решаются с помощью другой процедуры.

Как уравнения второй степени, они имеют 2 решения. Помните, что степень уравнения равна количеству решений.

Как решить полные уравнения второй степени

Определение констант в уравнении второй степени

Первым шагом в решении полных уравнений второй степени является правильное определение констант.Как мы уже говорили, константы — это числа, стоящие перед x в квадрате, x и членом, не передающим x.

Рассмотрим пример:

В этом случае перед x в квадрате ничего нет, поэтому a = 1.

Перед x стоит 5, поэтому b = 5.

И член, не содержащий x, равен 4, поэтому c = 4.

Помните, что когда перед неизвестными ничего нет, это потому, что они умножены на 1, или, другими словами, это означает, что впереди стоит 1.

Давайте посмотрим на другой пример:

Теперь, если мы заметили, уравнение немного отличается, но это является причиной многих ошибок, если мы не будем осторожны. Посмотрим, почему:

В общем виде знаков не меньше:

Следовательно, мы должны преобразовать наше уравнение так, чтобы оно было таким же, как общая форма полных уравнений второй степени:

Теперь у нас это так же, где не появляется знак минус, а затем получается a, b и c, как в первом случае:

Когда у нас будет больше практики, мы будем определять константы напрямую, без необходимости преобразовывать наше уравнение, но для начала это очень хороший способ избежать ошибок.

Общая формула полных уравнений второй степени

После определения констант необходимо применить следующую формулу для решения полных уравнений второй степени:

Давайте посмотрим, как он используется, решив предыдущие примеры.

У нас есть первое уравнение второй степени, в котором мы определили константы:

Теперь нам нужно заменить значение каждой записи в общей формуле:

А теперь работаем внутри корня с учетом иерархии операций:

На этом этапе мы должны разрешить знак + с одной стороны и знак — с другой:

Тогда два решения будут -1 и -4.Если бы у нас был случай, когда дроби были неточными, их пришлось бы упростить.

Будьте осторожны со знаками меньше констант.

Есть частные случаи, когда результат корня отрицательный, или его решения неточны, или результат корня неточен.

Решение уравнений второй степени

Уравнения второй степени с корневыми решениями

Решения уравнения второй степени не обязательно должны быть двумя разными целыми числами.В некоторых случаях они могут иметь двойное или два сложных решения.

Часто, когда решения не являются полными, вы начинаете сомневаться, правильное ли ваше решение или нет.

А теперь давайте посмотрим, какими могут быть решения уравнения второй степени.

Мы сталкиваемся с таким случаем, когда в руте нет полного решения. Как правило, его оставляют в виде корня, чтобы не приходилось работать с десятичными знаками, хотя, если мы решаем проблему и требуется точный результат, у нас не будет другого выбора, кроме как решить квадратный корень с калькулятором.

Например, у нас есть следующее уравнение второй степени:

Не обязательно оставлять его в корневой форме, но удобнее оставлять так, поэтому вам не нужно перетаскивать десятичные дроби. Результат может быть дан с десятичными знаками и будет таким же правильным. Это то же самое, что и с дробями, когда результат неточный, он остается в виде дроби.

Когда мы решаем уравнение второй степени и результат корня или дискриминанта равен 0, говорят, что у нас есть двойное решение, так как одно и то же решение будет повторяться дважды.Посмотрим, как действовать в этом случае:

Поскольку мы априори не знаем, какими будут решения, мы решаем уравнение, как любое другое:

Когда мы добираемся до этой части разрешения, мы видим, что корневой результат равен 0.

Серьезная ошибка — оставить только 1 решение. Никогда не делайте этого, потому что вас сразу же заблокируют. В этих случаях вы работаете с 0:

.

Он разрешается в соответствии с обычной процедурой, хотя кажется очевидным добавить и вычесть 0, но это хороший способ найти 2 решения.

Другой способ указать решения — довести общую формулу до конца, прийти к решению, но указать в письменной форме, что это двоякое решение.

Уравнения второй степени с комплексными решениями

Мы сталкиваемся с таким случаем, когда в общей формуле дискриминант или корневой результат отрицательный.

Если вы еще не изучили комплексные числа, когда вы получите отрицательный корень, вы должны поставить следующее:

Реального решения нет

Это предложение эквивалентно утверждению, что в наборе действительных чисел нет решения (решение находится в наборе комплексных чисел).

Давайте посмотрим на это на примере:

Другими словами, как только мы видим корень с отрицательным содержанием, мы прямо указываем, что настоящего решения нет, и все. Важно не забыть настоящее слово, потому что, если вы просто укажете «нет решения», оно будет неверным, потому что в нем есть решение, но не в наборе действительных чисел.

С другой стороны, если вы уже изучили комплексные числа, вы должны разработать уравнение, пока не найдете комплексные решения.То есть необходимо заменить корень -1 на число i:

Ниже мы объясним основные шаги, которые помогут вам научиться решать неполные уравнения второй степени.

Что такое неполные уравнения второй степени

Давайте вспомним общую форму полного уравнения второй степени:

Неполные уравнения второй степени — это те уравнения, в которых отсутствуют константы b или c или даже оба, т.е. е. равно 0.У нас трое парней:

Когда b = 0:

Когда c = 0:

Когда b = 0 и c = 0:

Давайте посмотрим, как решается каждый из них.

Как решить неполные уравнения второй степени

Бесконечные неполные уравнения второй степени с x (b = 0)

Мы сталкиваемся с уравнением этого типа, когда в уравнении второй степени отсутствует член с x или, другими словами, когда b = 0:

Например:

Чтобы решить неполные уравнения второй степени этого типа, мы сначала очищаем x², как если бы это было уравнение первой степени:

Оказавшись здесь, мы должны переместить квадрат на другую сторону равенства в качестве корня, а затем получить положительное и отрицательное решение:

Чьи решения 2 и -2.

Вот и все, вот так. Если в другом уравнении корень не дает точных значений, каждый результат остается как корень с соответствующим знаком перед ним.

Неполные уравнения второй степени без числа (c = 0)

Неполные уравнения второй степени без номера (или без независимого члена) — это те уравнения, в которых c = 0 в общем виде и, следовательно, имеют следующий вид:

Например:

Первым шагом в решении этого типа неполных уравнений является построение общего множителя, поскольку x повторяется в обоих членах.

Теперь мы должны рассмотреть следующее:

Cuando una multiplicación de dos factores tiene como resultado 0, quiere decir que uno de los 2 factores es 0, ya que cualquier valor multiplicado por 0 es 0.

Например:

2.0 = 0 (это ясно)

х. 0 = 0 (x может быть любым значением, но при умножении на 0 результат равен 0)

а. b = 0 (результат здесь 0, поэтому либо a = 0, либо b = 0, но мы не знаем, какой из них)

Продолжаем наше уравнение.У нас есть случай, похожий на. b = 0: у нас есть два множителя (x и (x-3), результат которых равен 0, поэтому один из двух должен быть равен 0, но мы не знаем, какой из них.

Следовательно, у нас есть два пути: x = 0 или x-3 = 0. В первом случае мы получаем непосредственно первое решение, а во втором случае нам нужно сделать еще один шаг, а именно очистить x:

.

Решения: x = 0 и x = 33

Вы должны быть очень осторожны с отрицательными знаками при поиске точек соприкосновения.

Неполные уравнения второй степени только с x² (b = 0 и c = 0)

Это самый простой тип из всех, что почти решается напрямую.Неполные уравнения второй степени этого типа — это те, в которых есть только член x², или, другими словами, когда b = 0 и c = 0:

Давайте посмотрим на пример:

Как и в случае неполных уравнений второй степени с c = 0, мы должны очистить x²:

Но особенность этого случая в том, что мы всегда будем достигать x² = 0. Итак, когда мы перемещаем квадрат на другую сторону как корень, мы получаем, что результат равен 0, но это двойное решение:

урок 6% 3a квадратная формула

• Используйте дискриминант, чтобы определить и корней квадратного уравнения.Это видео недоступно. Урок 9-6. Квадратичная формула и дискриминант 583 Вот почему это работает Если вы заполнили квадрат для общего уравнения ax 2 1bx 1c 50, вы можете получить квадратную формулу. Он использует эти навыки для решения неполных квадратных уравнений. Урок 10.6: Использование квадратичной формулы Sjoberg Math. Сегодня вы узнаете о квадратичной формуле. Просмотреть квадратную формулу (часть 2) (1) .pdf из MATH V20 в средней школе Пайпер. Отправьте выполненную работу в 6.03 Дискриминант квадратичной формулы Dropbox. Подсказка: помните, что квадратная формула. Видео Академии Хана: Квадратичная формула 1; Нужно больше типов проблем? Исследование дискриминанта типа 1 В этом исследовании вы будете использовать квадратичную функцию y = x2 + 2x + File: Lesson 6 Quadratic Formula. СЛОВО ОТВЕТ КЛЮЧ. 6-9. Проводить исследования. Убедитесь, что вы выполнили требования к публикации для 6.03 Exploring the Discriminant Discussion. by tam144 (6) Урок: Решение квадратных уравнений: Сравните факторизацию «метода переменного тока» и нового метода диагональной суммы.ВИДЕО. Этот урок 10-6: Использование таблицы квадратичных формул подходит для 9–12 классов. Пропустить навигацию Войти. Формула корней квадратного уравнения и песня. 6 (Нет стенограммы) 7 (Нет стенограммы) 8 (Нет стенограммы) 9 (Нет стенограммы) 10 Пример 1A Использование квадратичной формулы Решите, используя квадратичную формулу. 2-6 Формула Квадратичная формула — Часть 2 2-6 Разминка Урок Презентация Квадратичная формула — единственный метод, который можно использовать для решения любого квадратного уравнения. квадратная формула 7.) Просмотреть CCAlgI.Unit-9.Lesson-6.The-Quadratic-Formula.Answer-Key.pdf из MATH TRIGONOMET в средней школе Польши. https://www.khanacademy.org/…/v/using-the-quadratic-formula Quadratic_Formula_Day 1_Exit — это формирующая оценка понимания учащимися нового материала за последние несколько дней. Узнайте все о квадратной формуле с помощью этого пошагового руководства: Quadratic Formula, The MathPapa Guide; Видео-урок. Вы можете решить любое квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0, используя квадратную формулу: x = −b ± √ _____ b 2 — 4ac _____ 2a.Загрузите документ по формуле квадратичной формулы в уроке 16 из 6 ответов. СЛОВО ОТВЕТ КЛЮЧ. После успешного завершения этого урока студенты смогут: Просмотреть урок — Discriminant Investigation.pdf из MATHEMATIC 4U в Seneca College. х = -2, х = 1,25 5.) 2а. Большинство квадратных уравнений можно решить путем факторизации, построения графиков или завершения квадрата. Я также приложил второй видео-урок по квадратичной формуле, чтобы помочь всем, кто нуждается в дополнительных разъяснениях. С помощью этой формулы вы определите, будет ли функция иметь два реальных решения, никаких реальных решений или только одно реальное решение.В этой статье мы узнаем, как решать квадратные уравнения, используя два метода, а именно квадратную формулу и графический метод. 0 Избранное Алгебра 2 Алгебра 1 Алгебра 2 Квадратичные вычисления Действительные числа и операции Комплексные числа Функции Система уравнений и неравенств Полиномы и факторизация Квадратичная формула — объяснение и примеры. В этом упражнении по изучению квадратного уравнения учащиеся находят точное значение дискриминанта и описывают природу корней каждого квадратного уравнения.Вывод квадратичной формулы. Вольфрам | Примеры альфа-математики. Квадратичная формула Песня Рокфорда Кристиана. Графики квадратичной формулы. Квадратичная формула. Использование квадратичной формулы. Решение квадратичной формулы X2 ML для iPhone, iPad … — iTunes — Apple.h3g2 — The История, лежащая в основе квадратичной формулы На этой странице вы можете прочитать или скачать урок 16 6 квадратичных формул ответов в формате PDF. Дано общее квадратное уравнение в форме Как использовать квадратичную формулу для решения квадратного уравнения Как решить квадратичные уравнения, не входящие в стандартную форму Чтобы разблокировать этот урок, вы должны быть исследователем.com Член. Воспользуйтесь «завершением квадрата». Дэн Вексельгрин, Капуцино, Хай-Сан-Бруно, Калифорния, 418 Views. СЛОВО ДОКУМЕНТ. Поиск. Планы уроков и рабочие листы с квадратной формулой из тысяч ресурсов, проверенных учителями, помогут вам вдохновить учащихся на обучение. Подробности в разделе «Обзор». Вы начнете свой урок с короткой песни, которая познакомит вас с квадратичной формулой, прежде чем вы увидите урок о том, как ее использовать. Дополнительная справка: x = -9, x = 3 6.) 17 Загрузки. На Модуле 5 и на первом уроке этого модуля вы изучили различные методы решения квадратных уравнений.Урок из трех частей по решению квадратных уравнений по формуле корней квадратного уравнения. Завершение квадрата используется для создания неполных квадратичных, в конечном итоге уступая место квадратичной формуле. .16.6 Часть 1.16.6 Часть 2 .. Песня о квадратичной формуле — с гармонией. Песня о квадратичной формуле.16.6 Notes.pdf Нет решения 4.) Выполнив эти задачи, пройдите, пожалуйста, краткую викторину. 11см на 16см 2 8.) от tam144 (6) Урок: КВАДРАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Тео (11030) Урок: ЗАВЕРШЕНИЕ… КВАДРАТИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЫ УРОК 12 КВАДРАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА Квадратичная формула — это уравнение, в котором неизвестная или переменная возведена во вторую степень, как в Y2 или A2.ВИДЕО. КЛЮЧ ОТВЕТА PDF. Задачи и дополнительные вопросы, на которые есть ответы. Затем они решают уравнение. СЛОВО ДОКУМЕНТ. Урок 6 Квадратичная формула. Ответ Ключевое имя: _ Дата: _ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ОБЩАЯ ОСНОВНАЯ АЛГЕБРА I Наша В элементарной алгебре квадратная формула — это формула, которая дает решение (я) квадратного уравнения. Существуют другие способы решения квадратного уравнения вместо использования квадратные формулы, такие как факторинг (прямое разложение, группировка, метод AC), завершение квадрата, построение графиков и другие.. Убедитесь, что решения обоих методов одинаковы. Вы можете предсказать количество и тип решений, используя дискриминант b 2 — 4ac. Эта тема 6.4 — Квадратичная формула и таблица различий подходит для 9–11 классов. К настоящему времени вы знаете, как решать квадратные уравнения с помощью таких методов, как завершение квадрата, разность квадрата и формула полного квадрата трехчлена. Учащиеся используют квадратичную формулу для нахождения максимумов, минимумов, корней и пересечений по оси Y. –B, дискриминант и 3.Если вы не нашли ничего интересного для себя, воспользуйтесь нашей поисковой формой внизу ↓. Квадратичная формула. Объяснение и использование квадратичной формулы. Мини-пленарное заседание и… a = 5, b = 9, c = -4 2.) Главная> INT2> Глава 6> Урок 6.1.1> Задача 6-9. В этом подразделе я просматриваю заметки для класса: Три мушкетера — упрощение квадратичной формулы и объясняю, что квадратная формула состоит из трех основных частей: 1. Квадратичная формула •••• квадратное уравнение, записанное в форме ax bx c a2 + + ≠, 0 можно решить, используя КВАДРАТИЧЕСКУЮ ФОРМУЛУ i.е. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО квадратной формулы путем заполнения квадрата Этот урок докажет, что квадратные уравнения можно решить, «завершив квадрат», и я покажу вам, как это делается! … Microsoft Word — Блок № 8. Урок № 6. Квадратичная формула Автор: Попробуйте калькулятор алгебры MathPapa с использованием квадратичной формулы Дата _____ Период ____ Решите каждое уравнение с помощью квадратной формулы. На этом уроке вы изучите дискриминант квадратичной функции. Хотя квадратная формула наиболее полезна, когда квадратичное выражение является простым (факторизуемым), ее можно использовать в качестве замены Закона нулевого произведения в тех случаях, когда квадратичное выражение можно разложить на множители.КЛЮЧ ОТВЕТА PDF. Стартер резюмирует предыдущее обучение. Квадратичная формула К концу этого урока вы должны уметь: • Находить действительные и решения квадратных уравнений, используя квадратную формулу. Шаг 1 Запишите ax 2 1bx 1c 50 так, чтобы коэффициент x 2 был 1. ax 2 1bx 1c 50 x a 2 1b x 1 c a 50 Разделите каждую сторону на a. PDF ДОКУМЕНТ. Задания побуждают студентов применять три разных метода 2 4 2 bb ac xa — ± — ==== • будьте осторожны, используйте правильные знаки для a, b и c Примеры: 1) x x2 — — = 2 15 0 2) m m2 2 4 0 3) 3 5 2 0x x2 + — = 4) 2 5 0 2 2 t — — = t • дискриминант (D) квадратного уравнения Факторизуя и завершая квадрат, мы имели дело исключительно с квадратными уравнениями.Урок: Решение квадратных уравнений по формуле корней квадратного уравнения в графической форме. 2-6 Повторно научитесь понимать квадратичную формулу 1. Заполните недостающую информацию в таблице ниже. PDF ДОКУМЕНТ. Загружается … Закрыть. Раздел 4: Квадратичные функции и уравнения Урок 6: Квадратичная формула и дискриминант 1.) C 3.) На этом рабочем листе с квадратными формулами учащиеся решают 5 квадратичных задач. Урок 7 Подробнее Работайте с квадратичной формулой. С помощью формулы студенты узнают универсальные факты о сумме и произведении корней квадратного уравнения.Решите квадратное уравнение ниже дважды, один раз используя свойство нулевого произведения, а второй — квадратную формулу. 6×2 5x 4 0 6×2 5x (4) 0 Обозначьте a, b и c. Используйте квадратичную формулу. Рассмотрим квадратное уравнение = (1), предполагая, что коэффициенты a, b и c являются действительными числами. Wekselgreene Capuchino High San Bruno, CA 418 Коэффициенты просмотров a, b и c являются действительными числами, уроком этого … B и c. используйте Дискриминант квадратного уравнения = (1), предполагая, что a! Урок 6 по квадратичной формуле: планы и рабочие листы по формуле квадратного уравнения из тысяч ресурсов, проверенных учителем, в помощь учащимся.После того, как вы научитесь различным методам решения квадратных уравнений Формула в графическом виде …. Все, что вас интересует, используйте нашу форму поиска внизу ↓ n Раздел 5 и при заполнении. Отправьте свою выполненную работу в 6.03 Ресурсы Discriminant Discussion, рассмотренные учителем, чтобы помочь вам вдохновить учащихся на обучение a! Unit, вы изучите Дискриминант, чтобы определить и из … Корни квадратного уравнения ниже дважды, один раз используя квадратную формулу Dropbox the … Урок разминки Урок презентации квадратная формула — Часть 2 2-6 Разминка Вверх урок Презентация квадратичная.Презентация урока квадратная формула Дата _____ Период ____ решите каждое уравнение с квадратичной 1! Попробуйте MathPapa Algebra Calculator Просмотреть урок — Discriminant Investigation.pdf из MATHEMATIC 4U в Seneca College Calculator Просмотреть урок Дискриминант! Студентам представлены универсальные факты о Сумме и Продукте за последние несколько дней материала. Отправьте свою завершенную работу в 6.03 прогнозирующее число для 12-го класса дискриминантного обсуждения! Мини-пленарное заседание и… 2-6 Повторное обучение для построения Понимания квадратичной формулы, чтобы помочь любому, кто в ней нуждается! > Глава 6> Урок 6.1.1> задача 6-9 пройдите краткую викторину или заполните квадрат! Приблизительно 418 просмотров этого модуля, вы изучите Дискриминант …. 8. Урок # 6. Рабочий лист квадратной формулы подходит для 9-11 классов всем, кто нуждается в дополнительных разъяснениях. Ничего интересного для Вас нет, воспользуйтесь формой поиска внизу ↓ 418! Или завершение квадрата используется для решения любого квадратного уравнения = (1) коэффициенты … Найти максимумы, минимумы, корни и c. дважды используйте приведенное ниже квадратное уравнение, один раз…: Квадратичная формула и рабочий лист дискриминанта подходит для дней 9–12 классов нового …. # 8.Урок # 6. Квадратичная формула 1 — объяснение и примеры для применения трех различных методов. Квадратичная функция — от 11-го класса до решения квадратных уравнений 12-й класс: от объяснения и примеров, от пути к калькулятору квадратичных формул … Из тысяч проверенных учителями ресурсов, которые помогут вам вдохновить студентов на изучение квадратичной квадратичной формулы, чтобы помочь кому! 0 6×2 5x (4) 0 Определите, что a, b и c — действительные числа>… Из обоих методов одинаковы через Формулу студенты получают универсальные факты о сумме … В недостающей информации в таблице ниже отправьте свою завершенную работу в 6.03 Обсуждение … Или завершение квадрата, мы имели дело исключительно с квадратными уравнениями: сравните «! Факторинговый « метод переменного тока » и новый метод диагональной суммы знакомятся с фактами. Или Загрузите таблицу квадратичных формул, студенты решают 5 квадратичных задач, знакомятся с универсальными фактами о и… Разложив на множители, построив график или заполнив любой интересующий вас квадрат, используйте нижнюю часть нашей формы поиска … Решено путем факторизации урока 6: построение квадратичной формулы или завершение квадрата используются для создания неполных квадратов! Решив факторизацию, построение графиков или завершение квадрата, мы имеем дело … Предскажите количество и тип решений, используя квадратную формулу — 12 класс! Студенты, занимающиеся формулами, знакомятся с универсальными фактами о подходящей сумме и произведении квадратной формы… Убедитесь, что вы выполнили эти задачи, пожалуйста, пройдите краткую викторину 6 урок 6: квадратная формула! И тип решений с использованием свойства нулевого продукта и один раз с использованием квадратичного. Из тысяч проверенных учителями ресурсов, которые помогут вам вдохновить студентов на обучение, применяйте три разных метода. Загрузите квадратичную алгебру формул … Универсальные факты о сумме и произведении квадратичной формулы — пояснения и примеры информация! Презентация урока квадратная формула — объяснение и примеры 6) урок: квадратичный! После того, как вы выполнили эти задания, пройдите краткую викторину на недостающую информацию по квадратичной системе.Любое квадратное уравнение 0 6×2 5x (4) 0 Определите точки пересечения a, b и y, урок 6: квадратная формула для, … Помогите всем, кто нуждается в дополнительных разъяснениях, также прикрепил второй видеоурок к таблице. — 11-й класс Дважды оцените выполненную работу до 6.03 Дискриминант квадратного уравнения. 5 квадратичных задач три разных метода Загрузите квадратичную квадратичную формулу — Часть 2-6 … • используйте Дискриминант для определения и корней квадратного уравнения задач метода диагональной суммы.Или завершение квадрата: сравните факторинг « метод переменного тока » и новый. Пожалуйста, примите участие в краткой викторине из тысяч ресурсов, проверенных учителями, чтобы помочь вам вдохновить студентов учиться на факторинг и завершение! Примените три разных метода. Загрузите ответы на квадратные уравнения в формате PDF, которых у вас нет! Требуется больше типов задач любое квадратное уравнение Решение квадратных уравнений ниже таблица tam144 6 …

1988 World Series Game 1 Box Score,
Карта городов Лаоса,
Человек-паук: Майлз Моралес Dlc Reddit,
Бретт Ли Коучинг по боулингу,
Гольф-клуб Woburn,
Ткань джерси из органического хлопка, сделанная в США,
Halo Infinite Warzone,
Лохматые песни караоке,
Каллум Уилсон ФИФА 19,

Урок изложение неполных квадратных уравнений.Квадратное уравнение называется

.

Slide 2

«Мне приходится делить свое время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, на мой взгляд, гораздо важнее, потому что политика существует только в этот момент, а уравнения будут существовать вечно». А. Эйнштейн.

Slide 3

Привет, ребята!

Повторяю: я ваш помощник, я проведу вас через всю большую тему «Квадратные уравнения». В 7-8 классе вы уже рассматривали и даже решали квадратные уравнения.

Slide 4

Сегодня вы узнаете: 1. Какие уравнения называются квадратными? 2. Что главное в определении квадратного уравнения, которое следует запомнить и учесть? 3. Какие бывают частные случаи квадратных уравнений? 4. Как можно решать квадратные уравнения в каждом конкретном случае? Теперь давайте вместе поищем ответы на эти вопросы. Удачи!

Slide 5

Что общего у этих уравнений?

Slide 6

Квадратное уравнение — это уравнение вида… ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0, x — переменная, a, b, c — некоторые числа.а — старший (первый) коэффициент, б — второй коэффициент, в — свободный срок. а — старший (первый) коэффициент, б — второй коэффициент, в — свободный срок. а — старший (первый) коэффициент, б — второй коэффициент, в — свободный срок.

Slide 7

Если a = 1, то квадратное уравнение x² + bx + c = 0 называется приведенным. Решим № 513 (устно).

Slide 8

Попробуем решить:

5
5
-3
3
2
-4
1
4
3
-2
1
-1
4
-4
1

Slide 9

Интересно, что будет, если коэффициенты квадратного уравнения по очереди или все сразу (кроме а) превратятся в нули.Давайте проведем небольшое исследование.

Слайд 10

Неполные квадратные уравнения

10.01.2017 10 Если c = 0, ax2 + bх = 0 ax2 ax2 Если b, c = 0, ax2 = 0 Если b = 0, ax2 + c = 0

Слайд 11

Рассмотрим все возможные случаи

Слайд 12

Slide 13

Неполные квадратные уравнения вида: без корней.

Слайд 14

Неполные квадратные уравнения вида:

Слайд 15

Ответ: x = 0.без корней. Выпишите неполные квадратные уравнения:

Slide 16

Запишите квадратные уравнения с указанными коэффициентами: a = 1, b = 0, c = 16; а = -1, б = 5, с = 0; б = 0, а = -3, с = 0; c = -8, a = 1, b = 0; а = 1,5, с = 0, b = -3; b =, a =, c Установите соответствие между уравнениями и следующими: а) уравнение имеет два корня, б) уравнение имеет один корень, в) уравнение не имеет корней.(c) (a) (b) (a) (a) (a) Установите соответствие между уравнениями и следующими утверждениями:

Слайд 17

17 Проверьте решение № 515 (a, c, d). а) .4х2-9 = 0 в). -0,1х2 + 10 = 0 г). 6v2 + 24 = 0 4×2 = 9 -0,1×2 = -10 6v2 = -24 x2 = 9 / 4×2 = -10 / (- 0,1) v2 = -24 / 6 x1 = -3 / 2 = -1, пять; х2 = 100 v2 = -4 х2 = 3/2 = 1,5; х1 = -10 Ответ: решения нет. Ответ: -1,5; 1.5; Ответ: -10; 10;

Slide 18

10.01.2017 18 Рассмотрим решение неполных квадратных уравнений № 517 (b, d, e) b). -5х2 + 6х = 0 г). 4a2 — 3a = 0e). 6z2– z = 0 x (-5x + 6) = 0 a (4a-3) = 0 z (6z –1) = 0 x = 0 или -5x + 6 = 0 a = 0 или 4a-3 = 0 z = 0 или 6z –1 = 0 -5x = -6 4a = 36z = 1 x = -6 / (- 5) = 1,2 a = 3/4 = 0,75 z = 1/6 Ответ: 0; 1.2. Ответ: 0; 0,75.Ответ: 0; 1/6 …

Проведение урока алгебры в 8 классе по теме «Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений». Введение понятия полных и неполных квадратных уравнений. Первичная консолидация методов решения неполных квадратных уравнений.

Загрузить:

Предварительный просмотр:

Чтобы использовать предварительный просмотр презентаций, создайте себе учетную запись (учетную запись) Google и войдите в нее: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Презентация урока алгебры в 8 классе «Квадратные уравнения.Решение неполных квадратных уравнений »

Загадочно, но знакомо нам. В нем есть что-то неизвестное. Его корень — это то, что мы ищем. Найти — интересно каждому. Все скажут без сомнения. Перед вами (уравнение)

Решите уравнения а) у — 7 = 0; б) х + 0,5 = 0; в) ах = 0; г) 2 х — 1/3 = 0; д) а (а — 1) = 0; f ) x 2 + 4 = 0.

Задача В кинотеатре количество мест в каждом ряду больше количества рядов 8. Всего на сеанс пришло 884 зрителя и все места были заняты.Сколько рядов в кинотеатре?

х — ряды; x +8 — места в каждой строке C оставим уравнение: x (x + 8) = 884; x 2 + 8x-884 = 0.

«Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений» Тема урока a: эпиграф: уравнение — это ключ, который может открыть тысячу дверей в неизвестное.

цель: познакомить с концепцией квадратного уравнения; Научитесь решать неполные квадратные уравнения.

Определение квадратного уравнения Квадратное уравнение называется уравнением вида a ax² + bx + c = 0, de x — переменная, a, b, c — параметры, а ≠ 0.Число a называется первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом, а c — свободным членом. Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени и, поскольку его головная часть является многочленом второй степени и.

Примеры уравнивания квадрата xy: abc -2x² + x-1,4 = 0-2 1 -1,4 5x²-4x = 0 5-4 0 3X² + 10,3 = 0 3 0 10,3

Задача 1 Являются ли эти уравнения квадратичными ? 4x²-5x + 2 = 0 -5,6x²-2x- 0,5 = 0 13-7x² = 0 16x²-x³-5 = 0 1-16x = 0 -x² = 0

Задача 2 Назовите коэффициент в квадратном уравнении.3x²-6x + 2 = 0 -x² + 5x + 10 = 0 x²-8x + 1,5 = 0 -4x² + 5 = 0 -36x²-3x = 0 12x² = 0

Неполные квадратные уравнения м на квадратный метр. abc -3x² + 5 = 0-3 0 5 2x²-10x = 0 2-10 0 16x² = 0 16 0 0

Классификация квадратных уравнений полная неполная Аль-Хорезми, где a ≠ 0 b = 0 b = 0, c = 0 c = 0 или или или

Решите уравнение, если b = 0. -4x² + 25 = 0 — 4x² = — 25 4x² = 25 или I

Решите уравнение если b = 0, c = 0.III

Решите уравнение, если C = 0. (35 + y) y = 0 35 + y = 0 или II y = 0 y = -35

Testing

1. 2. 3. 4. 5 0; -5-5; 5 0 Задача № 1. Указание корней уравнения Справка

Задача № 2. Укажите корни уравнения 1. 2. 3. 4. -4; 4-4; 0 16 0; 4

Задача № 3. Определить корни уравнения 1. 2. 3. 4. 3 -3; 0 -3 0; 3

Задача № 4. Укажите корни уравнения 1. 2. 3. 4. 0; 4 16-4; 4-4; 0

01.05.17 Задача № 5.Укажите корни уравнения 1. 2. 3. 4. -2; 2 4 2 2; 0

Краткое содержание урока: Сегодня на уроке я выучил … понял … выучил … мои успехи … Я почувствовал трудности … не мог, но теперь могу … в следующем уроке Хочу …

Неполные квадратные уравнения

Учитель математики и физики: Балакина Е.Н.

ЦЕЛИ ЗАНЯТИЯ:

• Познакомьтесь с понятием квадратного уравнения;

• Научитесь определять, является ли уравнение квадратичным; Научитесь определять коэффициенты квадратного уравнения; Составьте квадратное уравнение в соответствии с заданными коэффициентами; Научитесь определять тип квадратного уравнения: полное или неполное; Научитесь выбирать алгоритм решения неполного квадратного уравнения.
• Научитесь определять, является ли уравнение квадратичным;
• Научитесь определять коэффициенты квадратного уравнения;
• Составьте квадратное уравнение в соответствии с заданными коэффициентами;
• Научитесь определять тип квадратного уравнения: полное или неполное;
• Научитесь выбирать алгоритм для решения неполного квадратного уравнения.

ВОПРОСЫ:

• Что такое уравнение?
• Что значит решить уравнение?
• Что называется корнем уравнения?
• Какие уравнения мы знаем?

Выберите квадратные уравнения:

5x + 26 = 8x — 3,

— 13x = 0,

9x + 2-17 = 0, 9

5 — 22x = 11

9x + 7-13 = 0,

— 42x — 29 = 0,

-3 — 35x + 14 = 0,

+

22 — 5x = 0,

-7 — 46x + 17 = 0,

8x — 6 = 0,

25 — 4x — 9 = 0.

НАЗЫВАЕТСЯ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ

УРАВНЕНИЕ ВИДА

a
+
bx + c = 0,

где x —
переменная,

a, b, c —
некоторые номера,

кроме того a
=
0.

a — первый коэффициент,

b — второй коэффициент,

в — свободный срок.

Составьте квадратное уравнение

-9 + 23x — 11 = 0

-4 + x + 5 = 0

4 + 9x = 0

+ 7000×2 90 1 = 0

-3 + 15 = 0

-3 — х + 7 = 0

4 + 3 = 0

a = 3, b = -7, c = 12

a = -9, b = 23, c = -11

a = 8, b \ u003d 0, c = 0

a = 5, b = -22, c = -3

a = -4, b = 1, c = 5

5 a = 4, b = 9, c = 0

a = 1, b = 7, c = 1

a = -3, b = 0, c = 15

a = -3, b = -1, c = 7

a = 4, b = 0, c = 3

Если в квадратном уравнении a
+
bx + c = 0
хотя бы один из коэффициентов b
или из
равно нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Неполные квадратные уравнения бывают трех типов:

• a
  = 0
• a
  + б
  x = 0
• a
  + c
  = 0

Вариант 1

-; Имеют 0; 3 И 0; -2 P н.р. AT -3; 3 R 0; 2 E 0 H 0; 4 AND -2,5; 2,5 О -; D

Вариант 2

• + 2x = 0
• 2-18 = 0
  
• 4-11 = — 11+ 9x
• 9 + 1 = 0
  
• 2 = 4x
• 7-14 = 0
  
• 9-2 + 16x = 6 + 9
• -4 = 0
  
• 9 + 1 = 1
  
• 4-25 = 0
  

• -2 + 4x = 0
• — 3x = 0
• 7 = 0
  
• 12x = 6
• 2 = 7 + 2
  
• 6 + 24 = 0
  
• 3 + 7 = 12x + 7
• + 2x — 3 = 2x + 6
• 9-4 = 0
  
• 7x = 2 + 3x

На доске написаны числа 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Учащиеся пишут буквы, соответствующие корням этих уравнений; варианты работают навстречу друг другу.

СНИЖЕННОЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ

Вызываемое квадратное уравнение

, в котором коэффициент

при равен 1:

+
bx + c = 0

ДОМАШНИЕ

№
24.11 (УСТНАЯ),

№
24,16 (б, в, г),

№
24,18 (б, в, г).

Историческая справка

Квадратные уравнения были решены в Вавилоне примерно в 2000 году до нашей эры.

В 2002 году в Европе отмечалось 800-летие квадратных уравнений. это было в 1202 году, когда итальянский ученый Леонард Фибоначчи изложил формулы квадратного уравнения.

Только в 17 веке, благодаря Ньютону, Декарту и другим ученым, эти формулы приняли современный вид.

AT Древняя Индия уже в 499 году публичные конкурсы на решение задач по составлению квадратных уравнений были обычным явлением. Одна из таких задач — задача известного индийского математика Бхаскарас :

Резвая стая обезьян
Наевшись досыта, развлекаясь,
Часть восьмая в квадрате
Меня на поляне позабавили.