Реши уравнения 19378+е=45497 k+572483=961262 измени уравнения так чтобы корни уравнений остались прежними

Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны является радиусом вписанной окружности , значит S = 1/2 * P *r  = 1/2 * 4 * 12 * 1 = 24

4 месяца назад

Приведем к общему знаменателю — 63.Тогда в первый день -14/63 пути пройдено,во второй — 27/63.Узнаем сколько осталось пройти: 14/63+27/63=41/63 пути уже пройдено.Так как весь путь — это 1 или же 63/63,то — 63/63-41/63 = 22/63 пути остается пройти.

6 месяцев назад

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то на интервале (а, b) существует точка , a <  < b, в которой производная функцияf(x) равная нулю,f() = 0. Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка  такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.

6 месяцев назад

1)8*2=16( диаметр 1)
2)8-6=2(радиус 2)
3)2*2=4( диаметр 2)
4)16:4=4
(двоеточие это деление)

6 месяцев назад

Из условия задачи ясно что
количевство груш+30=количевство вишен
количевство вишен+50=количевство яблонь

поэтому количевство груш+30+50=количевство яблонь
поэтому
1) 30+50=80 — на столько деревьев в саду больше яблонь нежели груш
отвте: на 80 деревьев яблонь больше

6 месяцев назад

Решения дробей 6.

Как решать уравнения с дробями

Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции. Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?

В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия — в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:

1. Сначала выполняется возведение в степень — избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели;
2. Затем — деление и умножение;
3. Последним шагом выполняется сложение и вычитание.

Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется — все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.

Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:

Теперь найдем значение второго выражения. Тут дробей с целой частью нет, но есть скобки, поэтому сначала выполняем сложение, и лишь затем — деление. Заметим, что 14 = 7 · 2 . Тогда:

Наконец, считаем третий пример. Здесь есть скобки и степень — их лучше считать отдельно. Учитывая, что 9 = 3 · 3 , имеем:

Обратите внимание на последний пример. Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно — знаменатель.

Можно решать по-другому. Если вспомнить определение степени, задача сведется к обычному умножению дробей:

Многоэтажные дроби

До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.

Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:

Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:

Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной. Взгляните на примеры:

Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:

В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1. Т.е. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаем:

В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.

Специфика работы с многоэтажными дробями

В многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными. Взгляните:

1. В числителе стоит отдельное число 7, а в знаменателе — дробь 12/5;
2. В числителе стоит дробь 7/12, а в знаменателе — отдельное число 5.

Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:

Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно — в несколько раз.

Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:

Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать правильно. Напоследок — пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:

Задача. Найдите значения выражений:

Итак, работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем выполним операции сложения и деления:

Аналогично поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные выкладки. Имеем:

Благодаря тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере мы намеренно оставили число 46/1 в форме дроби, чтобы выполнить деление.

Также отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым делом мы находили сумму, и лишь затем — частное.

Кто-то скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что важнее: скорость или надежность.

Числителем, а то, на которое делят — знаменателем.

Чтобы записать дробь, напишите сначала ее числитель, затем проведите под этим числом горизонтальную черту, а под чертой напишите знаменатель. Горизонтальная , разделяющая числитель и знаменатель, называется дробной чертой. Иногда ее изображают в виде наклонной «/» или «∕». При этом, числитель записывается слева от черты, а знаменатель справа. Так, например, дробь «две третьих» запишется как 2/3. Для наглядности числитель обычно пишут в верхней части строки, а знаменатель — в нижней, то есть вместо 2/3 можно встретить: ⅔.

Чтобы рассчитать произведение дробей, умножьте сначала числитель одной дроби
на числитель другой. Запишите результат в числитель новой дроби
. После этого перемножьте и знаменатели. Итоговое значение укажите в новой дроби
. Например, 1/3 ? 1/5 = 1/15 (1 ? 1 = 1; 3 ? 5 = 15).

Чтобы поделить одну дробь на другую, умножьте сначала числитель первой на знаменатель второй. То же произведите и со второй дробью (делителем). Или перед выполнением всех действий сначала «переверните» делитель, если вам так удобнее: на месте числителя должен оказаться знаменатель. После этого умножьте знаменатель делимого на новый знаменатель делителя и перемножьте числители. Например, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Источники:

• Основные задачи на дроби

Дробные числа позволяют выражать в разном виде точное значение величины. С дробями можно выполнять те же математические операции, что и с целыми числами: вычитание, сложение, умножение и деление. Чтобы научиться решать дроби
, надо помнить о некоторых их особенностях. Они зависят от вида дроби
, наличия целой части, общего знаменателя. Некоторые арифметические действия после выполнения требуют сокращения дробной части результата.

Вам понадобится

Инструкция

Внимательно посмотрите на числа. Если среди дробей есть десятичные и непрвильные, иногда удобнее вначале выполнить действия с десятичными, а затем перевести их в неправильный вид. Можете перевести дроби
в такой вид изначально, записав значение после запятой в числитель и поставив 10 в знаменатель. При необходимости сократите дробь, разделив числа выше и ниже на один делитель. Дроби, в которых выделяется целая часть, приведите к неправильному виду, умножив её на знаменатель и прибавив к результату числитель. Данное значения станет новым числителем дроби
. Чтобы выделить целую часть из первоначально неправильной дроби
, надо поделить числитель на знаменатель. Целый результат записать от дроби
. А остаток от деления станет новым числителем, знаменатель дроби
при этом не меняется. Для дробей с целой частью возможно выполнение действий отдельно сначала для целой, а затем для дробной частей. Например, сумма 1 2/3 и 2 ¾ может быть вычислена :
— Переведение дробей в неправильный вид:
— 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
— Суммирование отдельно целых и дробных частей слагаемых:
— 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5/12.

Перепишите их через разделитель «:» и продолжите обычное деление.

Для получения конечного результата полученную дробь сократите, разделив числитель и знаменатель на одно целое число, наибольшее возможное в данном случае. При этом выше и ниже черты должны быть целые числа.

Обратите внимание

Не выполняйте арифметические действия с дробями, знаменатели которых отличаются. Подберите такое число, чтобы при умножении на него числителя и знаменателя каждой дроби в результате знаменатели обеих дробей были равны.

Полезный совет

При записи дробных чисел делимое пишется над чертой. Эта величина обозначается как числитель дроби. Под чертой записывается делитель, или знаменатель, дроби. Например, полтора килограмма риса в виде дроби запишется следующим образом: 1 ½ кг риса. Если знаменатель дроби равен 10, такую дробь называют десятичной. При этом числитель (делимое) пишется справа от целой части через запятую: 1,5 кг риса. Для удобства вычислений такую дробь всегда можно записать в неправильном виде: 1 2/10 кг картофеля. Для упрощения можно сократить значения числителя и знаменателя, поделив их на одно целое число. В данном примере возможно деление на 2. В результате получится 1 1/5 кг картофеля. Удостоверьтесь, что числа, с которыми вы собираетесь выполнять арифметические действия, представлены в одном виде.

Уравнения, содержащие переменную в знаменателе можно решать двумя способами:

Приведя дроби к общему знаменателю

Используя основное свойство пропорции

Вне зависимости от выбранного способа необходимо после нахождения корней уравнения выбрать из найденных допустимые значения, т. е те, которые не обращают знаменатель в $0$.

1 способ. Приведение дробей к общему знаменателю.

Пример 1

$\frac{2x+3}{2x-1}=\frac{x-5}{x+3}$

Решение:

1.Перенесем дробь из правой части уравнения в левую

\[\frac{2x+3}{2x-1}-\frac{x-5}{x+3}=0\]

Для того чтобы правильно это сделать, вспомним, что при перенесении элементов в другую часть уравнения меняется знак перед выражениями на противоположный. Значит, если в правой части перед дробью был знак «+», то в левой перед ней будет знак «-».Тогда в левой части получим разность дробей.

2.Теперь отметим что у дробей разные знаменатели, значит для того, чтобы составить разность необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение многочленов, стоящих в знаменателях исходных дробей: $(2x-1)(x+3)$

Для того чтобы получить тождественное выражение, числитель и знаменатель первой дроби необходимо умножить на многочлен $(x+3)$, а второй на многочлен $(2x-1)$. 2+11х-5=20х+4$

Тогда дробь примет вид

\[\frac{{\rm 20х+4}}{(2x-1)(х+3)}=0\]

3.Дробь равна $0$, если ее числитель равен 0. Поэтому мы приравниваем числитель дроби к $0$.

\[{\rm 20х+4=0}\]

Решим линейное уравнение:

4.Проведем выборку корней. Это значит, что необходимо проверить, не обращаются ли знаменатели исходных дробей в $0$ при найденных корнях.

Поставим условие, что знаменатели не равны $0$

х$\ne 0,5$ х$\ne -3$

Значит допустимы все значения переменных, кроме $-3$ и $0,5$.

Найденный нами корень является допустимым значением, значит его смело можно считать корнем уравнения. Если бы найденный корень был бы не допустимым значением, то такой корень был бы посторонним и,конечно, не был бы включен в ответ.

Ответ:
$-0,2.$

Теперь можем составить алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе

Алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе

Перенести все элементы из правой части уравнения в левую. Для получения тождественного уравнения необходимо изменить все знаки, стоящие перед выражениями в правой части на противоположные

Если в левой части мы получим выражение с разными знаменателями, то приводим их к общему, используя основное свойство дроби. Выполнить преобразования, используя тождественные преобразования и получить итоговую дробь равную $0$.

Приравнять числитель к $0$ и найти корни получившегося уравнения.

Проведем выборку корней, т.е. найти допустимые значения переменных, которые не обращают знаменатель в $0$.

2 способ. Используем основное свойство пропорции

Основным свойством пропорции является то, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов.

Пример 2

Используем данное свойство для решения этого задания

\[\frac{2x+3}{2x-1}=\frac{x-5}{x+3}\]

1.Найдем и приравняем произведение крайних и средних членов пропорции.

$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$

\[{2х}^2+3х+6х+9={2х}^2-10х-х+5\]

Решив полученное уравнение, мы найдем корни исходного

2. Найдем допустимые значения переменной.

Из предыдущего решения (1 способ) мы уже нашли, что допустимы любые значения, кроме $-3$ и $0,5$.

Тогда, установив что найденный корень является допустимым значением, мы выяснили, что $-0,2$ будет являться корнем.

для решения математики. Быстро найти решение математического уравнения
в режиме онлайн
. Сайт www.сайт позволяет решить уравнение
почти любого заданного алгебраического
, тригонометрического
или трансцендентного уравнения онлайн
. При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать уравнения онлайн
. Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение уравнений онлайн
займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических уравнений онлайн
— это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические уравнения онлайн
, тригонометрические уравнения онлайн
, трансцендентные уравнения онлайн
, а также уравнения
с неизвестными параметрами в режиме онлайн
. Уравнения
служат мощным математическим аппаратом решения
практических задач. C помощью математических уравнений
можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины уравнений
можно найти, сформулировав задачу на математическом
языке в виде уравнений
и решить
полученную задачу в режиме онлайн
на сайте www.сайт. Любое алгебраическое уравнение
, тригонометрическое уравнение
или уравнения
содержащие трансцендентные
функции Вы легко решите
онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения уравнений
. При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн
. Поэтому для решения математических уравнений онлайн
мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических уравнений онлайн
, тригонометрических уравнений онлайн
, а также трансцендентных уравнений онлайн
или уравнений
с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению корней различных математических уравнений
ресурса www.. Решая уравнения онлайн
самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение уравнений
на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать уравнение и моментально получите онлайн решение
, после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением уравнения. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить уравнение онлайн
и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении
и вовремя скорректировать ответ при решении уравнений онлайн
будь то алгебраическое
, тригонометрическое
, трансцендентное
или уравнение
с неизвестными параметрами.

Приложение

Решение любого типа уравнений онлайн на сайт для закрепления изученного материала студентами и школьниками.. Решение уравнений онлайн. Уравнения онлайн. Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений. . Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.). Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Вы сможете решить уравнение онлайн моментально и с высокой точностью результата. Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными». Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению. Решить уравнение онлайн означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней. Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому. Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Сайт позволит решить уравнение онлайн. К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней. Уравнения, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны. В общем случае, когда аналитического решения найти не удаётся, применяют численные методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определённого заранее заданного значения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн.. Вместо уравнения онлайн мы представим, как то же самое выражение образует линейную зависимость и не только по прямой касательной, но и в самой точке перегиба графика. Этот метод незаменим во все времена изучения предмета. Часто бывает, что решение уравнений приближается к итоговому значению посредством бесконечных чисел и записи векторов. Проверить начальные данные необходимо и в этом суть задания. Иначе локальное условие преобразуется в формулу. Инверсия по прямой от заданной функции, которую вычислит калькулятор уравнений без особой задержки в исполнении, взаимозачету послужит привилегия пространства. Речь пойдет о студентах успеваемости в научной среде. Впрочем, как и все вышесказанное, нам поможет в процессе нахождения и когда вы решите уравнение полностью, то полученный ответ сохраните на концах отрезка прямой. Линии в пространстве пересекаются в точке и эта точка называется пересекаемой линиями. Обозначен интервал на прямой как задано ранее. Высший пост на изучение математики будет опубликован. Назначить значению аргумента от параметрически заданной поверхности и решить уравнение онлайн сможет обозначить принципы продуктивного обращения к функции. Лента Мебиуса, или как её называет бесконечностью, выглядит в форме восьмерки. Это односторонняя поверхность, а не двухсторонняя. По принципу общеизвестному всем мы объективно примем линейные уравнения за базовое обозначение как есть и в области исследования. Лишь два значения последовательно заданных аргументов способны выявить направление вектора. Предположить, что иное решение уравнений онлайн гораздо более, чем просто его решение, обозначает получение на выходе полноценного варианта инварианта. Без комплексного подхода студентам сложно обучиться данному материалу. По-прежнему для каждого особого случая наш удобный и умный калькулятор уравнений онлайн поможет всем в непростую минуту, ведь достаточно лишь указать вводные параметры и система сама рассчитает ответ. Перед тем, как начать вводить данные, нам понадобится инструмент ввода, что можно сделать без особых затруднений. Номер каждой ответной оценки будет квадратное уравнение приводить к нашим выводам, но этого сделать не так просто, потому что легко доказать обратное. Теория, в силу своих особенностей, не подкреплена практическими знаниями. Увидеть калькулятор дробей на стадии опубликования ответа, задача в математике не из легких, поскольку альтернатива записи числа на множестве способствует увеличению роста функции. Впрочем, не сказать про обучение студентов было бы некорректным, поэтому выскажем каждый столько, сколько этого необходимо сделать. Раньше найденное кубическое уравнение по праву будет принадлежать области определения, и содержать в себе пространство числовых значений, а также символьных переменных. Выучив или зазубрив теорему, наши студенты проявят себя только с лучшей стороны, и мы за них будем рады. В отличие от множества пересечений полей, наши уравнения онлайн описываются плоскостью движения по перемножению двух и трех числовых объединенных линий. Множество в математике определяется не однозначно. Лучшее, по мнению студентов, решение — это доведенная до конца запись выражения. Как было сказано научным языком, не входит абстракция символьных выражений в положение вещей, но решение уравнений дает однозначный результат во всех известных случаях. Продолжительность занятия преподавателя складывается из потребностей в этом предложении. Анализ показал как необходимость всех вычислительных приемов во многих сферах, и абсолютно ясно, что калькулятор уравнений незаменимый инструментарий в одаренных руках студента. Лояльный подход к изучению математики обуславливает важность взглядов разных направленностей. Хотите обозначить одну из ключевых теорем и решите уравнение так, в зависимости от ответа которого будет стоять дальнейшая потребность в его применении. Аналитика в данной области набирает все мощный оборот. Начнем с начала и выведем формулу. Пробив уровень возрастания функции, линия по касательной в точке перегиба обязательно приведет к тому, что решить уравнение онлайн будет одним из главных аспектов в построении того самого графика от аргумента функции. Любительский подход имеет право быть применен, если данное условие не противоречит выводам студентов. На задний план выводится именно та подзадача, которая ставит анализ математических условий как линейные уравнения в существующей области определения объекта. Взаимозачет по направлению ортогональности взаимоуменьшает преимущество одинокого абсолютного значения. По модулю решение уравнений онлайн дает столько же решений, если раскрыть скобки сначала со знаком плюс, а затем со знаком минус. В таком случае решений найдется в два раза больше, и результат будет точнее. Стабильный и правильный калькулятор уравнений онлайн есть успех в достижении намеченной цели в поставленной преподавателем задаче. Нужный метод выбрать представляется возможным благодаря существенным отличиям взглядов великих ученых. Полученное квадратное уравнение описывает кривую линий так называемую параболу, а знак определит ее выпуклость в квадратной системе координат. Из уравнения получим и дискриминант, и сами корни по теореме Виета. Представить выражение в виде правильной или неправильной дроби и применить калькулятор дробей необходимо на первом этапе. В зависимости от этого будет складываться план дальнейших наших вычислений. Математика при теоретическом подходе пригодится на каждом этапе. Результат обязательно представим как кубическое уравнение, потому что его корни скроем именно в этом выражении, для того, чтобы упростить задачу учащемуся в ВУЗе. Любые методы хороши, если они пригодны к поверхностному анализу. Лишние арифметические действия не приведут к погрешности вычислений. С заданной точностью определит ответ. Используя решение уравнений, скажем прямо — найти независимую переменную от заданной функции не так-то просто, особенно в период изучения параллельных линий на бесконечности. В виду исключения необходимость очень очевидна. Разность полярностей однозначна. Из опыта преподавания в институтах наш преподаватель вынес главный урок, на котором были изучены уравнения онлайн в полном математическом смысле. Здесь речь шла о высших усилиях и особых навыках применения теории. В пользу наших выводов не стоит глядеть сквозь призму. До позднего времени считалось, что замкнутое множество стремительно возрастает по области как есть и решение уравнений просто необходимо исследовать. На первом этапе мы не рассмотрели все возможные варианты, но такой подход обоснован как никогда. Лишние действия со скобками оправдывают некоторые продвижения по осям ординат и абсцисс, чего нельзя не заметить невооруженным глазом. В смысле обширного пропорционального возрастания функции есть точка перегиба. В лишний раз докажем как необходимое условие будет применяться на всем промежутке убывания той или иной нисходящей позиции вектора. В условиях замкнутого пространства мы выберем переменную из начального блока нашего скрипта. За отсутствие главного момента силы отвечает система, построенная как базис по трем векторам. Однако калькулятор уравнений вывел, и помогло в нахождении всех членов построенного уравнения, как над поверхностью, так и вдоль параллельных линий. Вокруг начальной точки опишем некую окружность. Таким образом, мы начнем продвигаться вверх по линиям сечений, и касательная опишет окружность по всей ее длине, в результате получим кривую, которая называется эвольвентой. Кстати расскажем об этой кривой немного истории. Дело в том, что исторически в математике не было понятия самой математики в чистом понимании как сегодня. Раньше все ученые занимались одним общим делом, то есть наукой. Позже через несколько столетий, когда научный мир наполнился колоссальным объемом информации, человечество все-таки выделило множество дисциплин. Они до сих пор остались неизменными. И все же каждый год ученые всего мира пытаются доказать, что наука безгранична, и вы не решите уравнение, если не будете обладать знаниями в области естественных наук. Окончательно поставить точку не может быть возможным. Об этом размышлять также бессмысленно, как согревать воздух на улице. Найдем интервал, на котором аргумент при положительном своем значении определит модуль значения в резко возрастающем направлении. Реакция поможет отыскать как минимум три решения, но необходимо будет проверить их. Начнем с того, что нам понадобиться решить уравнение онлайн с помощью уникального сервиса нашего сайта. Введем обе части заданного уравнения, нажмем на кнопу «РЕШИТЬ» и получим в течение всего нескольких секунд точный ответ. В особых случаях возьмем книгу по математике и перепроверим наш ответ, а именно посмотрим только ответ и станет все ясно. Вылетит одинаковый проект по искусственному избыточному параллелепипеду. Есть параллелограмм со своими параллельными сторонами, и он объясняет множество принципов и подходов к изучению пространственного отношения восходящего процесса накопления полого пространства в формулах натурального вида. Неоднозначные линейные уравнения показывают зависимость искомой переменной с нашим общим на данный момент времени решением и надо как-то вывести и привести неправильную дробь к нетривиальному случаю. На прямой отметим десять точек и проведем через каждую точку кривую в заданном направлении, и выпуклостью вверх. Без особых трудностей наш калькулятор уравнений представит в таком виде выражение, что его проверка на валидность правил будет очевидна даже в начале записи. Система особых представлений устойчивости для математиков на первом месте, если иного не предусмотрено формулой. На это мы ответим подробным представление доклада на тему изоморфного состояния пластичной системы тел и решение уравнений онлайн опишет движение каждой материальной точки в этой системе. На уровне углубленного исследования понадобится подробно выяснить вопрос об инверсиях как минимум нижнего слоя пространства. По возрастанию на участке разрыва функции мы применим общий метод великолепного исследователя, кстати, нашего земляка, и расскажем ниже о поведении плоскости. В силу сильных характеристик аналитически заданной функции, мы используем только калькулятор уравнений онлайн по назначению в выведенных пределах полномочий. Рассуждая далее, остановим свой обзор на однородности самого уравнения, то есть правая его часть приравнена к нулю. Лишний раз удостоверимся в правильности принятого нами решения по математике. Во избежание получения тривиального решения, внесем некоторые корректировки в начальные условия по задаче на условную устойчивость системы. Составим квадратное уравнение, для которого выпишем по известной всем формуле две записи и найдем отрицательные корни. Если один корень на пять единиц превосходит второй и третий корни, то внесением правок в главный аргумент мы тем самым искажаем начальные условия подзадачи. По своей сути нечто необычное в математике можно всегда описать с точностью до сотых значений положительного числа. В несколько раз калькулятор дробей превосходит свои аналоги на подобных ресурсах в самый лучший момент нагрузки сервера. По поверхности растущего по оси ординат вектора скорости начертим семь линий, изогнутых в противоположные друг другу направления. Соизмеримость назначенного аргумента функции опережает показания счетчика восстановительного баланса. В математике этот феномен представим через кубическое уравнение с мнимыми коэффициентами, а также в биполярном прогрессе убывания линий. Критические точки перепада температуры во много своем значении и продвижении описывают процесс разложения сложной дробной функции на множители. Если вам скажут решите уравнение, не спешите это делать сию минуту, однозначно сначала оцените весь план действий, а уже потом принимайте правильный подход. Польза будет непременно. Легкость в работе очевидна, и в математике то же самое. Решить уравнение онлайн. Все уравнения онлайн представляют собой определенного вида запись из чисел или параметров и переменной, которую нужно определить. Вычислить эту самую переменную, то есть найти конкретные значения или интервалы множества значений, при которых будет выполняться тождество. Напрямую зависят условия начальные и конечные. В общее решение уравнений как правило входят некоторые переменные и константы, задавая которые, мы получим целые семейства решений для данной постановки задачи. В целом это оправдывает вкладываемые усилия по направлению возрастания функциональности пространственного куба со стороной равной 100 сантиметрам. Применить теорему или лемму можно на любом этапе построения ответа. Сайт постепенно выдает калькулятор уравнений при необходимости на любом интервале суммирования произведений показать наименьшее значение. В половине случаев такой шар как полый, не в большей степени отвечает требованиям постановки промежуточного ответа. По крайней мере на оси ординат в направлении убывания векторного представления эта пропорция несомненно будет являться оптимальнее предыдущего выражения. В час, когда по линейным функциям будет проведен полный точечный анализ, мы, по сути, соберем воедино все наши комплексные числа и биполярные пространства плоскостной. Подставив в полученное выражение переменную, вы решите уравнение поэтапно и с высокой точностью дадите максимально развернутый ответ. Лишний раз проверить свои действия в математике будет хорошим тоном со стороны учащегося студента. Пропорция в соотношении дробей зафиксировала целостность результата по всем важным направлениям деятельности нулевого вектора. Тривиальность подтверждается в конце выполненных действий. С простой поставленной задачей у студентов не может возникнуть сложностей, если решить уравнение онлайн в самые кратчайшие периоды времени, но не забываем о всевозможных правилах. Множество подмножеств пересекается в области сходящихся обозначений. В разных случаях произведение не ошибочно распадается на множители. Решить уравнение онлайн вам помогут в нашем первом разделе, посвященном основам математических приемов для значимых разделов для учащихся в ВУЗах и техникумах студентов. Ответные примеры нас не заставят ожидать несколько дней, так как процесс наилучшего взаимодействия векторного анализа с последовательным нахождением решений был запатентован в начале прошлого века. Выходит так, что усилия по взаимосвязям с окружающим коллективом были не напрасными, другое очевидно назрело в первую очередь. Спустя несколько поколений, ученые всего мира заставили поверить в то, что математика это царица наук. Будь-то левый ответ или правый, все равно исчерпывающие слагаемые необходимо записать в три ряда, поскольку в нашем случае речь пойдет однозначно только про векторный анализ свойств матрицы. Нелинейные и линейные уравнения, наряду с биквадратными уравнениями, заняли особый пост в нашей книге про наилучшие методы расчета траектории движения в пространстве всех материальных точек замкнутой системы. Воплотить идею в жизнь нам поможет линейный анализ скалярного произведения трех последовательных векторов. В конце каждой постановки, задача облегчается благодаря внедрениям оптимизированных числовых исключений в разрез выполняемых наложений числовых пространств. Иное суждение не противопоставит найденный ответ в произвольной форме треугольника в окружности. Угол между двумя векторами заключает в себе необходимый процент запаса и решение уравнений онлайн зачастую выявляет некий общий корень уравнения в противовес начальным условиям. Исключение выполняет роль катализатора во всем неизбежном процессе нахождения положительного решения в области определения функции. Если не сказано, что нельзя пользоваться компьютером, то калькулятор уравнений онлайн в самый раз подойдет для ваших трудных задач. Достаточно лишь вписать в правильном формате свои условные данные и наш сервер выдаст в самые кратчайшие сроки полноценный результирующий ответ. Показательная функция возрастает гораздо быстрее, чем линейная. Об этом свидетельствую талмуды умной библиотечной литературы. Произведет вычисление в общем смысле как это бы сделало данное квадратное уравнение с тремя комплексными коэффициентами. Парабола в верхней части полуплоскости характеризует прямолинейное параллельное движение вдоль осей точки. Здесь стоит упомянуть о разности потенциалов в рабочем пространстве тела. Взамен неоптимальному результату, наш калькулятор дробей по праву занимает первую позицию в математическом рейтинге обзора функциональных программ на серверной части. Легкость использования данного сервиса оценят миллионы пользователей сети интернет. Если не знаете, как им воспользоваться, то мы с радостью вам поможем. Еще хотим особо отметить и выделить кубическое уравнение из целого ряда первостепенных школьнических задач, когда необходимо быстро найти его корни и построить график функции на плоскости. Высшие степени воспроизведения — это одна из сложных математических задач в институте и на ее изучение выделяется достаточное количество часов. Как и все линейные уравнения, наши не исключение по многих объективным правилам, взгляните под разными точками зрений, и окажется просто и достаточно выставить начальные условия. Промежуток возрастания совпадает с интервалом выпуклости функции. Решение уравнений онлайн. В основе изучения теории состоят уравнения онлайн из многочисленных разделов по изучению основной дисциплины. По случаю такого подхода в неопределенных задачах, очень просто представить решение уравнений в заданном заранее виде и не только сделать выводы, но и предсказать исход такого положительного решения. Выучить предметную область поможет нам сервис в самых лучших традициях математики, именно так как это принято на Востоке. В лучшие моменты временного интервала похожие задачи множились на общий множитель в десять раз. Изобилием умножений кратных переменных в калькулятор уравнений завелось приумножать качеством, а не количественными переменными таких значений как масса или вес тела. Во избежание случаев дисбаланса материальной системы, нам вполне очевиден вывод трехмерного преобразователя на тривиальном схождении невырожденных математических матриц. Выполните задание и решите уравнение в заданных координатах, поскольку вывод заранее неизвестен, как и неизвестны все переменные, входящие в пост пространственное время. На короткий срок выдвинете общий множитель за рамки круглых скобок и поделите на наибольший общий делитель обе части заранее. Из-под получившегося накрытого подмножества чисел извлечь подробным способом подряд тридцать три точки за короткий период. Постольку поскольку в наилучшем виде решить уравнение онлайн возможно каждому студенту, забегая вперед, скажем одну важную, но ключевую вещь, без которой в дальнейшем будем непросто жить. В прошлом веке великий ученый подметил ряд закономерностей в теории математики. На практике получилось не совсем ожидаемое впечатление от событий. Однако в принципе дел это самое решение уравнений онлайн способствует улучшению понимания и восприятия целостного подхода к изучению и практическому закреплению пройдённого теоретического материала у студентов. На много проще это сделать в свое учебное время.

=

уравнение прокрастинации, эффект шредера и трюки с едой / Блог компании Lamoda / Хабр

Привет! Меня зовут Игорь, я занимаюсь машинным обучением в Lamoda. До этого я несколько лет работал в науке, что сильно сформировало мое мышление в технарскую сторону.

Когда занимаешься наукой, иногда приходится делать не очень увлекательные вещи. Например, заполнять бюрократические бумажки, писать статьи и делать публикации в журналах, выступать на конференциях. Иногда очень тяжело себя заставить. Я два раза писал кандидатскую диссертацию в разных странах, и каждый раз это шло через усилие. В тот момент я задумался: наверняка есть люди, которые испытывали то же самое, и возможно, у них есть фреймворк, который можно использовать. Так и оказалось! Я нашел несколько интересных решений и опробовал на себе.

Этими находками я решил поделиться в этой статье.

• Поговорим про мотивацию самого себя, а не кого-то другого;
• Узнаем, что такое мотивационное уравнение и как его использовать;
• Разберём, как влиять на факторы мотивации;
• И какие есть сервисы и инструменты для этого.

Это статья не про мотивацию сотрудников Lamoda, а про мотивацию, которую я нашел для себя.

Когда я искал информацию о мотивации, оказалось, что ей посвящен довольно большой пласт книг. Многие пахнут гуманитарным налетом, который я понимал с трудом. Там все расписывается простыми гуманистическими ценностями, но при этом много воды. К моей радости, всё-таки существует маленькая прослойка книжек о мотивации, использующая понятный мне технарский язык:

Одну из них написал Пирс Стил, исследователь из Канады, который называет себя профессором по прокрастинации. Стил много лет изучал, как мотивировать себя и других. 10 лет назад он написал книгу “Procrastination Equation” («Уравнение прокрастинации»), в которой обобщил своё исследование. Уравнение Стила состоит из четырех базовых принципов.

Если приглядеться к нему повнимательнее, то можно заметить, что есть по две штуки сверху и снизу. Понятно, что верхние надо увеличивать, а нижние уменьшать. Хорошая мотивация означает, что у моих задач высокая ценность, и я верю, что всё задуманное получится. Кроме того, я заметил, что для меня хорошая мотивация также означает, что я редко отвлекаюсь на другие дела и, то есть, понижаю импульсивность. Последний компонент – отсрочка – это мера разрыва между сегодняшним днем и моментом ожидаемого эффекта от задачи. Если у задачи большая отсрочка, это снижает мотивацию ею заниматься. В этой статье я буду фиксироваться на числителе: оптимизме и ценностях.
Оптимизм, или «ожидание успеха» – это вера в то, что все задуманное получится. Как показывают исследования, это очень кросс-доменная штука. Например, утром пирог сгорел в духовке, и я из-за этого демотивирован. Астрологи объявили неделю плохой морали. Или наоборот: наша команда научилась делать что-то прикольное или тянуть штангу потяжелее, чем в прошлый раз. Временно у нас буйство мотивации, всё хорошо.

Когда у меня был очень тяжелый период в жизни, я вообще не писал диссертации. Вместо этого я по утрам полчаса подкидывал шарики, пока они наконец не стали падать рядом. Через две недели я более-менее научился жонглировать – это дало мне очень хороший буст, и я в итоге смог написать свой диссер. Рекомендую жонглировать, это очень круто.

Единственное, что мешало мне научиться раньше – в первое время шарики очень часто падают. Оказалось, что меня очень демотивирует искать их и заниматься дальше. Поэтому советую брать те шарики, которые будут оставаться на месте, а не скакать по всей комнате при первой возможности (а пока учишься, этих возможностей у них ОЧЕНЬ много).

Как повысить свой оптимизм

• Быть счастливым

В книге «Поток. Психология оптимального переживания» Михая Чиксентмихайи есть мысль про корреляцию счастья и работоспособности. Счастливые люди меньше находятся в дистрессе. Следовательно, у них больше когнитивных ресурсов, памяти, сообразительности, меньше утомляемости, рассеянности, тревоги. Поэтому счастливым людям реже нужно прилагать серьезные усилия для концентрации внимания. Как следствие, у них нет «заставления себя работать».

Когда есть внутренний интерес к работе, человек не заставляет себя трудиться. Он идёт в офис, как на праздник. И списочки тогда воспринимаются не как принудители, а как напоминалки для общей картины.

Иными словами, когда у человека все хорошо, скорее всего, у него нет проблем с мотивацией. К сожалению, это состояние бывает не у всех, и оно непродолжительное. Поэтому полезно влиять на собственный оптимизм.

• Восполнить недостаток витаминов

Если пожаловаться на хандру врачу, он прогонит через кучу анализов и найдет недостаток какого-нибудь витамина. Тогда вопрос решится быстро, эффективно и, возможно, это поможет.

• Поговорить с кем-нибудь

Если апатия стала затяжной, советую поговорить с кем-то – хотя бы с другом, если из-за предубеждений не получается сходить к терапевту. В нашем обществе этот метод почему-то очень стигматизирован, особенно среди разработчиков.

Польза декомпозиции задач

Отказаться от печеньки здесь и сейчас гораздо проще, чем обдумывать, как же скинуть 20 кг: выработать мотивацию, сесть на диету и перестроить питание.

Если декомпозировать свои таски, можно повысить оптимизм. Маленькие шаги помогают постепенно улучшать нужную сферу жизни.

Можно поступать наоборот: каждый раз награждать себя печеньками за законченный этап задачи и тем самым искусственно повышать её ценность. Истории про геймификацию, как мы понимаем, относятся сюда.

В целом декомпозиция позволяет поверить, что каждая задача когда-нибудь закончится, потому что она маленькая, а после этого с ней ничего не нужно будет делать.

Спираль успеха и спираль неудач

Моя история про сгоревший пирог относится к тому, что называется «позитивная спираль» и «негативная спираль». Идея в том, что важны не столько действия, сколько ощущения от этих действий. Если я буду постоянно расстраиваться, что ничего не получается и друзья не поддерживают, то настроение будет скатываться всё ниже и ниже.

В этом случае люди буквально начинают с маленьких шагов. Например, книги по когнитивно-бихевиоральной терапии советуют отдавать мысленные приказы своему телу: левая нога, поставься на пол, правая нога, поставься на пол, левая нога, сделай шаг вперед. Так я пойму, что у меня на самом деле все получается, и начну двигаться по дому, а дальше и задачи в Jira сдвинутся.

Input –> Output

Расскажу про мой самый полезный трюк – это переформулировка целей из одного типа в другой. В принципе, люди любят придумывать правила и писать об этом большие книжки, в которых всё сводится к одной идее.

Например, я хочу читать по 2 книги в месяц. Это пример цели, сформулированной на Output – мы изначально фокусируемся на конечном артефакте по результатам наших усилий.

И если возьмусь за Ландау и Лившица, у меня получится выполнить эту цель, а если за «Братья Карамазовы» – то нет. Или наоборот. Ведь сложность прочтения одной книги может сильно отличаться от сложности прочтения другой, даже если в ней одинаковое число страниц.

Если переформулировать цель про чтение на Input, получится так: «Хочу читать 10 страниц в день» или «Читать по полчаса в день». То есть я открываю книжку и просто смотрю в нее полчаса. Даже если я прочитаю всего один абзац или одну строчку, я уже формально выполняю эту цель. Так накручивается успешная спираль.

Понятно, что не все цели укладываются в такой маленький промежуток. Например, я не смогу ежедневно выделять полчаса для цели «Затусить с друзьями». Также регулярные маленькие цели бывают опасными, поскольку они повышают внутреннюю тревожность.

Тогда приятно рассматривать более длинные промежутки. Например, планировать не ежедневное чтение, а по 3 часа в неделю. И если в будние совсем не получится открыть книжку или читалку, то я смогу наверстать свою цель на выходных.

Физиология: трюки с едой

Удивительно, но физиология тоже считается. Она влияет на оптимизм по своим внутренним правилам. Наверное, здесь тоже можно поговорить с врачом и узнать подробности о своих гормонах. Я расскажу о тех вещах, которые не требуют походов в поликлинику.

Фокусы, связанные с физиологией, делятся на две категории: трюки с едой, и трюки со всем остальным.

Это история про то, чтобы поменять структуру своего завтрака (или вообще отменить его) и посмотреть, что из этого получится. Например, можно обнаружить, что человек перестал ненавидеть всех по утрам. Вместо этого, у него отличное настроение, чтобы писать код.

Что можно варьировать в еде:

1. пить больше воды, меньше кофе или наоборот;
2. добавить в завтрак злаки;
3. есть больше мяса или меньше.

Все эти истории очень индивидуальные. Самый лучший совет – поменять питание на 2 недели и сравнить с прежним состоянием.

Например, я периодически отказываюсь от кофе и вообще стараюсь пить только воду. Первые несколько дней я хожу сонный и разбитый, но к концу первой недели это проходит. Обычно я делаю это в начале лета, чтобы напомнить моим внутренним часам о том, что снаружи есть солнце, и синхронизироваться с ним.

Глобально я заметил, что утром любой приём пищи замедляет моё мышление, поэтому решил поэкспериментировать с пропусканием завтрака (я пробовал схему питания Intermittent Fasting, она же интервальное голодание). Я заметил, что мне намного комфортнее с таким режимом: утром получается часто сделать какие-нибудь сложные задачи, а потом уже расслабленно позавтракать, пока коллеги включаются в работу. Или я могу после завтрака пойти на какие-нибудь синхронизирующие встречи, не требующие глубокой концентрации. Эта традиция стала основной, и я стараюсь придерживаться её последние 8 лет.

Другой фокус с физиологией, который сильно недооценен, особенно в Москве – изменить режим сна:

1. спать днем,
2. спать в других условиях: изменить температуру в комнате, открыть или закрыть форточку, добавить световой будильник и т.п.
3. спать чаще, но короче, или реже, но подольше.

Есть совсем задротские темы типа полифазного сна, когда люди спят по невероятным правилам. На эту тему можно погуглить проекты типа Uberman, Everyman и тому подобное. Их очень забавно попробовать, если позволяют рабочие и социальные обязательства. Трюки со сном могут повлиять и на другие сферы жизни.

Если хотите погрузиться в тему подробнее, могу посоветовать книгу психолога-сомнолога Майкла Бреуса «Всегда вовремя». Она связывает особенности психики в разное время года с циклами гормонов в течение дня, которые зависят от возраста, пола и других факторов. В этой книге приводится много примеров и особенностей поведения разных типов.

Например, оказалось, что мне бесполезно танцевать танго по ночам: я безумно устаю, не высыпаюсь и раздражаюсь по мелочам. Нет никакого способа подстроиться. Когда я это принял и стал ложиться спать раньше, жить стало намного спокойнее.

Про ожидания успеха и оптимизм разобрались, давайте посмотрим на другой параметр уравнения. Ценность – мера внутреннего удовлетворения от проделанной задачи, которая отвечает на вопрос «зачем мне это делать». Это многокомпонентная история, которую нельзя свести к линейной шкале. Разработчики часто любят измерять ценность своей работы в заработанных деньгах или в количестве строк кода, который они пишут. Обычно вторые – это совсем странные люди. Конечно, это личное дело каждого, но мне довольно скучно с ребятами, которые пришли в программирование только из-за денег или меняют компании только из-за того, что где-то им предложили больше, не оглядываясь на сферу и задачи.

Здесь же можно вспомнить недавнее обсуждение качества кода, который пишут учёные для моделирования пандемии. Чтобы не утомлять вас ссылками про вирус, рекомендую похожую статью из игровой индустрии.

Теперь посмотрим, как повысить внутреннюю ценность.

• Избегать негативных знакомых

Здесь самый полезный совет – пересмотреть список знакомых и отказаться от негативно настроенных, поскольку такие люди постоянно одёргивают собеседника и создают дополнительный барьер для новой деятельности. Иногда это выражается не напрямик, а в шутках, в которых другого человека постоянно принижают. Мой психотерапевт здесь использует меткий термин «жопкин хор».

Даже если негативщики не задевают в моменте (или кажется, что не задевают), на длинной дистанции они могут кумулятивно тянуть вниз. Бывает так, что их уже давно нет рядом, но человек периодически просыпается от плохих воспоминаний, как пять лет назад кто-то его жестко критиковал. Может, это тот самый момент, когда стоит сходить к психотерапевту и поговорить об этом.

• Внедрить геймификацию

Геймификация работает, потому что она автоматически предполагает какую-то награду за сделанную работу. Это быстро повышает ценность действий. Можно копнуть глубже и подумать о своих корнях и истоках или заняться волонтерством. Через эту ценность заодно будет приходить кросс-доменное опыление и радость от помощи кому-то.

По поводу денег есть отличная книжка Майка Нортона и Элизабет Данн “Happy money”, которая примерно 50% состоит из отсылок к научным исследованиям. Она о том, как влиять на структуру своих расходов, чтобы они приносили счастье.

В этой книге есть интересная мысль про волонтёрство. Если человек делает пожертвование, то он хочет сделать лучше не только нуждающемуся, но и себе. Пожертвование примиряет благотворителя с собственным несовершенством. Да, пусть он поступает в жизни не так хорошо, как мог бы, но зато хоть здесь пользу принёс.

О ценности есть прикольный эксперимент «Эффект шредера», который провел бихевиоральный психолог Дэн Ариэли. Подробности есть в его выступлении на Tedx. В своей работе Ариэли совмещает психологию и экономику. Он написал несколько книг про иррациональное поведение человека, особенно рекомендую «Предсказуемую иррациональность».

В 2002 году Ариэли проводил несколько экспериментов, один из которых был поставлен следующим образом. Людей делят на три группы, сажают в разные аудитории и дают простые математические задачи типа магического квадрата. Времени мало, подопытные точно не успеют решить все. Помимо этого, участники должны записать на отдельном листе, сколько задач они решили.

Дальше к проверяющему подходит специально засланный человек, якобы решавший эти задачи в одной аудитории со всеми. Он показывает участникам эксперимента, что будет происходить дальше. Есть три варианта развития событий.

1. В одном случае «засланный казачок» сдавал и решения, и лист с количеством решенных задач. Проверяющий внимательно смотрел все черновики и платил деньги исходя из того, сколько решенных задач тот зарепортил.

2. Человек первым делом клал листок с решением в шредер, а отдавал проверяющим только лист с оценкой решенных задач. На самом деле, шредер был похачен и резал бумагу только по краям. В дальнейшем исследователи смогли сравнить, сколько задач решил каждый участник и сколько он зарепортил. Это показывало, насколько сильно он прав в своей оценке.

3. И последний вариант – когда человек сдавал листок, проверяющий говорил: «Угу», и на этом всё.

Вывод исследователей состоял в том, что в целом люди примерно одинаково врут в ситуации, если их труд игнорируют, словно его просто отправляют в шредер.

Бывают ситуации, что в жизни случился длинный проект, который по какой-то причине оказался никому не нужен. Советую сделать о нем внутренний митап или выступить с докладом на конференции. Это поможет создать ощущение, что мы не зря потратили жизнь и чтобы неудачный проект не демотивировал в дальнейшем.

Теперь давайте посмотрим примеры, которые будут влиять на все четыре фактора: оптимизм, ценности, отсрочка, импульсивность.
Давайте посмотрим на классическую технику помодоро. Она состоит в том, что у человека есть периоды работы и периоды отдыха. Они чередуются, потом повторения заканчиваются, и отдых длится чуть подольше.

Не очевидный вывод: на самом деле эти цифры рандомные, которые можно менять. У меня есть 3-4 режима, которые я рассматриваю скорее как определенную передачу в автомобиле на механике.

• Когда работа совсем не идет, я 10 минут тружусь, 2 минуты отдыхаю, и повторяю это 5 раз.
• Когда всё более-менее нормально, я перехожу на стандартную скорость: 25 минут работы, 5 минут отдыха.
• Когда всё идет хорошо, я фокусируюсь на задаче 45 минут, отдыхаю 15 минут, и делаю так 5-6 раз в день.

Сокращение рабочего времени автоматически влияет на отсрочку. Я верю, что всё получится – ожидание успеха точно растет. И эти два фактора, которые стоят в равных частях уравнения, эффективно растят мотивацию с двух сторон.
Наверняка все писали что-то длительное, что надо сдать когда-то в будущем. Рассмотрим такой пример: в сентябре студент пришел в институт, где надо написать курсовую. Она пойдет в зачет, но это будет нескоро. Вместо учебы студент хочет тусить с одногруппниками, которых давно не видел. Можно сказать, что в этом случае мотивация практически равна нулю. В сентябре никто даже не начинает писать курсовые.

Потом ситуация изменилась и началась сессия, когда курсовую пора сдавать. Даже если ценность и импульсивность остались на примерно тех же масштабах, у студента должно вырасти желание успеха. А если он ходил на семинары и решал там похожие задачки, это уже не высокая величина, а просто константа. При этом сессия приближается, отсрочка всё меньше. Мы делим постоянную величину на очень маленькую импульсивность и получаем очень большую мотивацию.

В этом случае мы уже по сути перемножаем две константы, делим их на третью (в итоге этих операций получится по сути одна константа), после чего всё вместе делим на отсрочку – «время до дедлайна». Поэтому какая-то константа делится на что-то очень маленькое (тем меньше, чем ближе дедлайн), что в итоге провоцирует большую мотивацию заняться курсовой.

• Работа по спринтам

Наиболее релевантный пример для программирования – это работа по спринтам. Здесь в целом все элементы получаются константами:

1. Отсрочка задач всегда постоянная – 2-3 недели.
2. Ценность, как минимум, выражается в том, что компания заплатит за сделанную таску. Обычно ценность тоже фиксирована, поскольку зарплата программиста чаще всего напрямую не зависит от количества сделанных задач.
3. Сам факт того, что человека наняли в эту компанию, подразумевает его оптимизм – сотрудник ожидает, что будет справляться с этими задачами.
4. Программист сидит в офисе, окружающие видят, как он работает. Поэтому нет возможности залипать в Facebook, получается, импульсивность тоже искусственно ограничена (ну или мне хочется так думать про офисы).

У нас получается некоторое приложение четырех констант. Понятно, что это еще одна константа.

В целом, нельзя рассматривать все факторы как фиксированные переменные, которые всегда будут постоянными. Рабочий процесс будет меняться. Например, зарплата вырастет, и мотивация будет повышаться. Зарплата упадет, но при этом сотрудник будет делать более крутые задачки. Если правильно сбалансировать уравнение, мотивация может оставаться на том же уровне.

Я советую на следующем ретро вспомнить про эту штуку и оценить свои таски исходя из веры в результат этих задач. Например, оценить время их выполнения, декомпозировать на более мелкие или доформулировать так, чтобы definition of done был ощутим и понятен.

Получится такой дополнительный фильтр. Это прикольное упражнение, которое позволяет неплохо залипнуть и повысить мотивацию к работе.

Опасности и нюансы

Все четыре фактора нелинейны и непостоянны. Из этой статьи может показаться, что мы расписали мотивацию на компоненты, и дальше будет просто: оставим всё константой или увеличим по какому-то параметру. Так не получится.

В работе с мотивацией есть некоторые опасности, которые надо иметь в виду.

• Если совсем не дружить с собой, то с помощью этого механизма можно запросто делать то, что совсем не хочется. Например, у всех нас есть друзья, которые работают в кровавом энтерпрайзе и страдают.
• У людей бывает затяжная апатия, из которой сложно выйти самостоятельно. Скорее всего, в этой ситуации ничего не хочется делать. Ценность задач становится настолько маленькой, что человек совсем не верит в успех, за что бы ни взялся. В этом случае надо с кем-то поговорить: хотя бы с другом, если не можешь разрешить себе пойти к специалисту. И желательно побыстрее, пока ценность действия ещё видна.
• Если несколько раз пробить отсрочку, она перестанет пугать и заодно уронит ценность. Сорвал дедлайн, и что? Ну не убили же? И в следующий раз не убьют. Соответственно, на всё становится пофиг. Чтобы восстановить ценность обратно, стоит поиграть разными факторами в этом уравнении.
• Зарплата не может быть единственной ценностью. Это очевидная мысль, которую можно интерпретировать по-разному. Например, если в компании есть возможность контрибьютить в опенресорс, это очень сильно повышает собственную ценность сотрудников и веру в то, что они заняты полезным делом.
• Делать похожие таски – это хорошо влияет на оптимизм, но скучно – а это уже снижает ценность.

Let’s geek out: ресурсы и приложения

Все факторы очень взаимосвязаны между собой. Поскольку все мы разные, у каждого есть свой наиболее проблемный фактор. Я советую попробовать техники из этой статьи на себе для домашних дел, хобби или же во время следующего спринта.

Благодаря этим штукам я смог защитить PhD через два года после вымотавшей меня кандидатской и повысить осознанность. А сейчас эти техники и подходы помогают найти опору в «сезоны турбулентности», лучше осознавать свои движущиеся части и причины вставать утром с кровати.

В помощь нам есть всякие ресурсы и приложения, которые помогают корректировать и внедрять эти истории в жизнь. Некоторыми из них я активно пользуюсь и получаю от этого удовольствие.

• Интерактивный флипчарт с советами Why do I procrastinate
  
  Сайт задает несколько вопросов и так определяет, где возникла проблема: конкретно с этим таском или с этим фактором, затем предлагает несколько решений. Можно попробовать сделать что-нибудь из них.
• Неинтерактивный флипчарт с советами: постер How to get Motivated
  
  Здесь все 4 компонента расписаны вместе с с набором советов, что с ними можно поделать. По сути, это предыдущий веб-сайт, развернутый на страницу. Пара моих знакомых держат флипчарт у себя на рабочем столе и говорят, что им помогает.
• Восхитительная книжка Ника Винтера «Motivation Hacker»
  
  В ней чувак просто расписывает, как он применил этот фреймворк для 20 целей, как выбрал из них и что делал, чтобы у него все в жизни было нормально.
• Приложение для трекинга настроений Daylio
  
  Оно помогает следить за появлением апатии и поработать с этим. Единственная проблема: надо хотя бы пару месяцев пособирать данные, прежде чем делать выводы. Я веду наблюдения уже 700 дней, а первые полезные инсайты появились на 200+ днях. Например, я заметил, что когда в течение месяца два-три раза в неделю занимаюсь музыкой, то в среднем у меня повышенное настроение в этот месяц. Конечно, корреляция – это не причинно-следственная связь, но помогает находить интересные гипотезы для тестирования.
• Сервис Beeminder
  
  Это платный сервис, который автоматически подкручивает срочность работы. Он рисует кривую действий, и если пользователь проваливается мимо, то придется отстегивать сервису 5 долларов. С каждым разом сумма растёт, поэтому рано или поздно придется что-то делать.
  
  Эта история бьет в большую внутреннюю важность задачи. Все точки на графике должны быть настоящими, если врать – сервис не сработает.

Что еще полезно упомянуть:

• Приложение для медитаций и повышения осознанности: Headspace
• Геймификация списка дел: Habitica
• Ограничители интернета, повышающие эффективность: freedom для Mac или stayfocusd для Windows
• Сбор статистики по делам: rescuetime, tagtime (умеет в интеграцию с beeminder)

Эл+ версия Самоуправление №2 (124) 2021.indd

%PDF-1.3 %
1885 0 obj >]/Pages 1722 0 R/Type/Catalog/ViewerPreferences>>> endobj 1881 0 obj >stream
uuid:d9075b2b-a88e-4a67-9d79-8fa6b4807b79adobe:docid:indd:834d7354-ac78-11e0-8836-90742b26c3e2xmp.id:37e76c9f-72db-3642-b493-04e358b63d0dproof:pdf1xmp.iid:266873c9-64f5-d147-b6a9-721458d7da78xmp.did:ed4726d4-5187-b546-89e5-a666f15ba540adobe:docid:indd:834d7354-ac78-11e0-8836-90742b26c3e2default

2021-04-19T20:06:49+03:002021-04-20T16:53:09+03:002021-04-20T16:53:09+03:00Adobe InDesign CC 14.0 (Windows)application/pdf

Adobe PDF Library 15.0FalsePDF/X-3:2002PDF/X-3:2002PDF/X-3:2002

endstream endobj 1722 0 obj > endobj 1723 0 obj > endobj 1754 0 obj > endobj 1785 0 obj > endobj 1816 0 obj > endobj 1847 0 obj > endobj 1878 0 obj > endobj 1879 0 obj > endobj 1880 0 obj > endobj 1515 0 obj

Вариант 17 | Варианты ЕГЭ

а) Если за столом было 5 мальчиков, евших только бутерброды, 8 мальчиков, евших только конфеты, и 12 девочек, каждая из которых ела и то и другое, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 25 детей могло быть 13 мальчиков.

б) Предположим, что мальчиков было 14 или больше. Тогда девочек было 11 или меньше. Пусть число мальчиков, евших бутерброды равно m₁. Тогда число $\displaystyle \frac{m_1}{m_1 + 11}$ не больше , чем доля мальчиков, евших бутерброды среди всех детей, евших бутерброды, а это число не больше, чем 5/16 откуда: $\displaystyle \frac{m_1}{m_1 + 11} \leq 5/16$ и, следовательно, $m_1 \leq 5$. Пусть m₂ — число мальчиков, евших конфеты. Аналогично, m₁ откуда, учитывая, что m₂ число целое, находим: $m_2 \leq 7$. Но тогда общее число мальчиков, евших хот что-то не больше, чем 5 + 7 = 12. Следовательно, по крайней мере, 2 мальчика ничего не ели, а это противоречит условию.

В предыдущем пункте было показано, что в группе из 25 учащихся могло быть 13 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — 13.

Предположим, что некоторый мальчик ел и конфеты, и бутерброды. Если бы вместо него было два мальчика, один из которых ел только конфеты, а другой — только бутерброды, то доля мальчиков, евших конфеты и доля мальчиков, евших бутерброды, остались бы прежними, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек можно считать, что каждый мальчик ел или только конфеты, или только бутерброды.

Пусть, как прежде, m₁ мальчиков ели бутерброды, m₂ ели конфеты, и всего было d девочек. Оценим долю девочек. Будем считать, что каждая девочка ели и конфеты, и бутерброды, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля среди евших конфеты и доля среди евших бутерброды не станут меньше.

$\displaystyle \frac{m_1}{m_1 + d} \leq \displaystyle \frac{5}{16}; \; \; \displaystyle \frac{m_2}{m_2 + d} \leq \displaystyle \frac{2}{5}; \\ \displaystyle \frac{m_1}{d} \leq \displaystyle \frac{5}{11}; \; \; \displaystyle \frac{m_2}{d} \leq \displaystyle \frac{2}{3}; \\ \displaystyle \frac{m_1 + m_2}{d} \leq \displaystyle \frac{37}{33}; \\ \displaystyle \frac{d}{m_1 + m_2 + d} = \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{m_1 + m_2}{d} + 1} \geq \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{37}{33} + 1} = \displaystyle \frac{33}{70}$

Осталось показать, что такая доля девочек действительно могла быть. Например, если из 70 детей 15 мальчиков ели только бутерброды, 22 мальчика ели только конфеты, и еще было 33 девочки, каждая из которых ела и то, и другое, то условие задачи выполнено, а доля девочек d=33/70.

Ответ: а) да б)13 в) 33/70

Алгебра — квадратные уравнения — Часть I

Показать общее уведомление

Показать мобильное уведомление

Показать все заметки Скрыть все заметки

Это немного заранее, но я хотел сообщить всем, что мои серверы будут проходить техническое обслуживание 17 и 18 мая с 8:00 AM CST до 14:00 PM CST.Будем надеяться, что единственное неудобство будет заключаться в периодическом «потерянном / разорванном» соединении, которое следует исправить, просто перезагрузив страницу. В остальном обслуживание (скрестив пальцы) должно быть «невидимым» для всех.

Пол
6 мая 2021 г.

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2-5: Квадратичные уравнения — Часть I

Прежде чем перейти к этому разделу, мы должны отметить, что тема решения квадратных уравнений будет рассмотрена в двух разделах.2} \) в уравнении. Мы гарантируем, что этот член будет присутствовать в уравнении, требуя \ (a \ ne 0 \). Однако обратите внимание, что это нормально, если \ (b \) и / или \ (c \) равны нулю.

Есть много способов решить квадратные уравнения. Мы рассмотрим четыре из них в следующих двух разделах. Первые два метода не всегда работают, но, вероятно, их проще использовать, когда они работают. В этом разделе будут рассмотрены эти два метода. Последние два метода всегда работают, но часто требуют немного больше работы или внимания, чтобы исправить это.Мы рассмотрим эти методы в следующем разделе.

Итак, приступим.

Расчет по факторингу

Как следует из заголовка, здесь мы будем решать квадратные уравнения, разлагая их на множители. Для этого нам понадобится следующий факт.

\ [{\ mbox {If}} ab = 0 {\ mbox {тогда либо}} a = 0 {\ mbox {и / или}} b = 0 \]

Этот факт называется свойством нулевого фактора или принципом нулевого коэффициента .Все дело в том, что если произведение двух членов равно нулю, то по крайней мере один из членов должен быть равен нулю для начала.

Обратите внимание, что этот факт будет работать ТОЛЬКО, если произведение равно нулю. Рассмотрим следующий продукт.

\ [ab = 6 \]

В этом случае нет оснований полагать, что либо \ (a \), либо \ (b \) будет 6. Например, мы могли бы иметь \ (a = 2 \) и \ (b = 3 \). Так что не злоупотребляйте этим фактом!

Чтобы решить квадратное уравнение путем факторизации, мы сначала должны переместить все члены в одну сторону уравнения.Это служит двум целям. Во-первых, он придает квадратичности форму, которую можно разложить на множители. Во-вторых, что, вероятно, более важно, чтобы использовать свойство нулевого фактора, мы ДОЛЖНЫ иметь ноль на одной стороне уравнения. Если у нас нет нуля на одной стороне уравнения, мы не сможем использовать свойство нулевого фактора.

Давайте взглянем на пару примеров. Обратите внимание, что предполагается, что вы можете провести факторинг на этом этапе, и поэтому мы не будем сообщать какие-либо подробности о факторинге.2} — x — 12 & = 0 \\ \ left ({x — 4} \ right) \ left ({x + 3} \ right) & = 0 \ end {align *} \]

Теперь у нас есть произведение двух членов, равное нулю. Это означает, что должно выполняться хотя бы одно из следующего.

\ [\ begin {align *} x — 4 & = 0 & \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {OR}} \ hspace {0,25 дюйма} & & x + 3 & = 0 \\ x & = 4 & \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {OR}} \ hspace {0,25 дюйма} & & x & = — 3 \ end {align *} \]

Обратите внимание, что каждое из них является линейным уравнением, которое достаточно легко решить.2} + 40 + 14x & = 0 \\ \ left ({x + 4} \ right) \ left ({x + 10} \ right) & = 0 \ end {align *} \]

Теперь у нас снова есть произведение двух членов, равное нулю, поэтому мы знаем, что одно или оба из них должны быть равны нулю. Итак, технически нам нужно установить каждый из них равным нулю и решить. Тем не менее, это обычно достаточно просто сделать в нашей голове, и теперь мы будем выполнять это решение в своей голове.

Решения этого уравнения:

\ [х = — 4 \ hпространство {0.2} & = 0 \\ \ left ({y + 6} \ right) \ left ({y + 6} \ right) & = 0 \ end {align *} \]

В данном случае мы получили идеальный квадрат. Мы разбили квадрат, чтобы обозначить, что у нас действительно есть применение свойства нулевого фактора. Однако обычно мы этого не делаем. Обычно мы сразу переходим к ответу от квадрата.

Решение уравнения в этом случае:

\ [y = — 6 \]

У нас есть только одно значение в отличие от двух решений, которые мы использовали до сих пор.2} — 1 & = 0 \\ \ left ({2m — 1} \ right) \ left ({2m + 1} \ right) & = 0 \ end {align *} \]

Теперь примените свойство нулевого фактора. Свойство нулевого фактора говорит нам, что

\ [\ begin {align *} 2m — 1 & = 0 & \ hspace {0.25in} {\ mbox {OR}} \ hspace {0.25in} & & 2m + 1 & = 0 \\ 2m & = 1 & \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {OR}} \ hspace {0,25 дюйма} & & m & = — 1 \\ m & = \ frac {1} {2} & \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {OR }} \ hspace {0,25 дюйма} & & m & = — \ frac {1} {2} \ end {align *} \]

Опять же, мы обычно решаем их в уме, но нам нужно было сделать по крайней мере одну детально.2} — 2x = 0 \]

Теперь обратите внимание, что все, что мы можем сделать для факторинга, — это вынести \ (x \) из всего. Это дает

\ [x \ left ({5x — 2} \ right) = 0 \]

Из первого множителя мы получаем \ (x = 0 \), а из второго — \ (x = \ frac {2} {5} \). Это два решения этого уравнения. Обратите внимание: если бы мы отменили \ (x \) на первом этапе, мы НЕ получили бы \ (x = 0 \) в качестве ответа!

Давайте поработаем здесь над проблемой другого типа.Мы видели некоторые из них еще в разделе «Решение линейных уравнений», и, поскольку они также могут возникать с квадратными уравнениями, мы должны продолжить и поработать, чтобы убедиться, что мы можем выполнять их и здесь.

Пример 2 Решите каждое из следующих уравнений.

1. \ (\ displaystyle \ frac {1} {{x + 1}} = 1 — \ frac {5} {{2x — 4}} \)
2. \ (\ displaystyle x + 3 + \ frac {3} {{x — 1}} = \ frac {{4 — x}} {{x — 1}} \)

Показать все решения Скрыть все решения

Показать обсуждение

Хорошо, как и в случае с линейными уравнениями, первое, что нам нужно сделать здесь, это очистить знаменатели путем умножения на ЖК-дисплей.Напомним, что нам также нужно будет отметить значение (а) \ (x \), которое даст деление на ноль, чтобы мы могли убедиться, что они не включены в решение.

a \ (\ displaystyle \ frac {1} {{x + 1}} = 1 — \ frac {5} {{2x — 4}} \) Показать решение

ЖК-дисплей для этой проблемы: \ (\ left ({x + 1} \ right) \ left ({2x — 4} \ right) \), и нам нужно будет избегать \ (x = — 1 \) и \ ( x = 2 \), чтобы не получить деление на ноль. Вот работа для этого уравнения.2} — 9x — 5 \\ 0 & = \ left ({2x + 1} \ right) \ left ({x — 5} \ right) \ end {align *} \]

Итак, похоже, что два решения этого уравнения:

\ [x = — \ frac {1} {2} \, \, \, \, \, \, \, {\ mbox {and}} x = 5 \]

Также обратите внимание, что ни одно из этих значений \ (x \) не является тем, что нам нужно было избегать, и поэтому оба являются решениями.

b \ (\ displaystyle x + 3 + \ frac {3} {{x — 1}} = \ frac {{4 — x}} {{x — 1}} \) Показать решение

В этом случае ЖК-дисплей равен \ (x — 1 \), и нам нужно будет избегать \ (x = 1 \), чтобы не получить деление на ноль.2} + 3x — 4 & = 0 \\ \ left ({x — 1} \ right) \ left ({x + 4} \ right) & = 0 \ end {align *} \]

Итак, квадратичная, которую мы разложили на множители и решила, имеет два решения: \ (x = 1 \) и \ (x = — 4 \). Однако, когда мы нашли ЖК-дисплей, мы также увидели, что нам нужно избегать \ (x = 1 \), чтобы не получить деление на ноль. Следовательно, это уравнение имеет единственное решение:

\ [x = — 4 \]

Прежде чем перейти к следующей теме, мы должны указать, что эту идею факторизации можно использовать также для решения уравнений со степенью больше двух.2} — x — 2} \ right) & = 0 \\ 5x \ left ({x — 2} \ right) \ left ({x + 1} \ right) & = 0 \ end {align *} \]

Теперь свойство нулевого фактора все еще сохраняется. В данном случае произведение трех членов равно нулю. Единственный способ, при котором этот продукт может быть равен нулю, — это если один из членов равен нулю. Это означает, что

\ [\ begin {align *} 5x & = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow & x & = 0 \\ x — 2 & = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow & x & = 2 \\ x + 1 & = 0 \ hspace {0. 2} = d {\ mbox {then}} p = \ pm \ sqrt d \]

Здесь есть (потенциально) новый символ, который мы должны сначала определить, если вы его еще не видели.Символ «\ (\ pm \)» читается как «плюс или минус», и это именно то, что он нам говорит. Этот символ является сокращением, которое говорит нам, что на самом деле у нас здесь два числа. Один — \ (p = \ sqrt d \), а другой — \ (p = — \ sqrt d \). Привыкайте к этим обозначениям, поскольку они будут часто использоваться в следующих парах разделов, когда мы обсуждаем оставшиеся методы решения. Это также возникнет в других разделах этой главы и даже в других главах.

Это довольно простое свойство, однако оно может использоваться только для небольшой части уравнений, с которыми мы, вероятно, когда-либо столкнемся.2} & = \ frac {3} {{25}} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} y = \ pm \ sqrt {\ frac {3} {{25}}} = \ pm \ гидроразрыв {{\ sqrt 3}} {5} \ end {align *} \]

В этом случае решения немного запутаны, но многие из них будут делать это, не беспокойтесь об этом. 2} = 5 \) Показать решение

Эта часть выглядит иначе, чем предыдущие, но работает так же.Свойство квадратного корня можно использовать в любое время, когда у нас есть , когда в квадрате равно числу. Вот что у нас есть. Основное отличие, конечно же, в том, что возведенное в квадрат не является отдельной переменной, а является чем-то другим. Итак, вот применение свойства квадратного корня для этого уравнения.

\ [2t — 9 = \ pm \ sqrt 5 \]

Теперь нам просто нужно решить для \ (t \), и, несмотря на «плюс или минус» в уравнении, оно работает так же, как и любое линейное уравнение.Мы прибавим 9 к обеим сторонам, а затем разделим на 2.

\ [\ begin {align *} 2t & = 9 \ pm \ sqrt 5 \\ t & = \ frac {1} {2} \ left ({9 \ pm \ sqrt 5} \ right) = \ frac {9} {2} \ pm \ frac {{\ sqrt 5}} {2} \ end {align *} \]

Обратите внимание, что мы умножили дробь в скобках для окончательного ответа. Обычно мы делаем это в этих задачах. Кроме того, НЕ преобразовывайте их в десятичные числа, если вас об этом не попросят. Это стандартная форма для этих ответов.2} & = — 81 \\ 3x + 10 & = \ pm \, 9 \, i \\ 3x & = — 10 \ pm \, 9 \, i \\ x & = — \ frac {{10}} { 3} \ pm 3 \, i \ end {align *} \]

Итак, мы снова получили два сложных решения и также заметили, что в обеих предыдущих частях мы ставим «плюс или минус» последней. Обычно они так и пишутся.

Как упоминалось в начале этого раздела, мы собираемся разбить эту тему на два раздела для тех, кто просматривает это в сети.Следующие два метода решения квадратных уравнений, завершающие квадратную и квадратную формулу, приведены в следующем разделе.

«Удивительный» трюк профессора упрощает квадратные уравнения

Квадратное уравнение разочаровывает студентов-математиков на протяжении тысячелетий. Но профессор математики Университета Карнеги-Меллона в Питтсбурге, возможно, придумал лучший способ решить эту проблему.

«Когда я наткнулся на это, я был просто шокирован», — сказал профессор По-Шен Ло.

Квадраты, которые вводятся на уроках элементарной алгебры, часто появляются в физике и инженерии при вычислении траекторий, даже в спорте. Если бы во время просмотра Суперкубка вы хотели оценить, как далеко пас, брошенный Патриком Махоумсом, прошел по воздуху, вы бы решили квадратное уравнение. Уравнения также используются в расчетах для максимизации прибыли, что является ключевым фактором для любого, кто хочет добиться успеха в бизнесе.

Доктор Ло не обнаружил ничего нового.В самом деле, его метод объединяет идеи, восходящие к вавилонянам тысячи лет назад. Но в современных учебниках алгебры эта тема представлена ​​не так.

«Для меня удивительно узнать, что есть эта уловка тысячелетней давности, которую вы можете импортировать сюда», — сказал доктор Ло. «Я хотел рассказать об этом как можно шире».

Доктор Ло является наставником некоторых из лучших школьников-математиков в стране в качестве тренера сборной США по математической олимпиаде. Но он также хочет улучшить обучение всех студентов-математиков.

«Все думают, что единственные люди, с которыми я работаю, — это студенты олимпиад», — сказал доктор Ло, основатель образовательного веб-сайта Expii. «Это не правда. Моя страсть — все ».

Несколько месяцев назад д-р Ло опубликовал в Интернете статью с описанием своего метода, и учителя уже опробовали его в своих классах.

«Я был действительно удивлен, что большинство из них это понимают», — сказал Бобсон Вонг, учитель математики в средней школе Бейсайд в Квинсе, штат Нью-Йорк, который использовал этот подход на уроке алгебры, где многие ученики боятся математики.«Они смогли сделать это самостоятельно».

Всплеск педагогических дискуссий о квадратных уравнениях подчеркивает способность Интернета быстро распространять новые идеи обучения.

«Это инновации в образовании, которые развиваются правильно», — сказал Майкл Дрискилл, главный операционный директор Math for America, организации, которая признает лучших учителей и предоставляет им форумы для обмена идеями. (Мистер Вонг — один из тех, кого «Математика для Америки» назначил мастером-учителем.)

Г-н Дрискилл сказал, что доктор Ло не объявлял, что у него что-то определенно лучше, а вместо этого: «Он рассказал учителям и спросил:« Работает ли это в классе? »»

Квадратичные и параболы 101

Во-первых, краткий обзор квадратных уравнений и парабол.

Что в настоящее время изучают студенты-алгебры

Перед тем, как студентам представят квадратную формулу, их учат более простому методу решения определенных уравнений. Для простоты рассмотрим уравнение, в котором a = 1.

x ² — 4 x — 5 = 0

Вы можете вспомнить, как ваш учитель просил вас разложить на множители беспорядок символов. То есть вы надеялись найти два числа r и s , такие что

x ² — 4 x — 5 = ( x — r ) ( x — s ) = 0

Умножение ( x — r ) ( x — с ) дает x ² — ( r + s ) x + rs.

Ключ состоит в том, чтобы найти r и s так, чтобы сумма r и s равнялась 4 (то есть r + s = 4) , и умножая r и с дает –5 ( r × с = –5). Если они существуют, то r и s — это два и только два решения.

Выявление действующих факторов — это, по сути, метод проб и ошибок. «Тот факт, что вам внезапно приходится переключаться в режим предположений, заставляет вас думать, что, возможно, математика сбивает с толку или не является систематической», — сказал Ло.

Гадание также становится обременительным для квадратиков с большими числами, и оно работает аккуратно только для задач, которые имеют целочисленные ответы.

Метод доктора Ло исключает эту игру в угадывание. Но для многих изучающих алгебру беспорядок алгебраических символов все еще сбивает с толку. Итак, мистер Вонг говорит им нарисовать параболу.

«Если вы построите график, детям будет намного легче понять, что происходит», — сказал он.

Как работает новый метод

В этом альтернативном методе решения квадратных уравнений используется тот факт, что параболы симметричны.

Тот же метод работает и для уравнений, которые нелегко факторизовать.

Вот когда учащиеся обращаются к квадратной формуле. Но они часто забывают об этом — обычный вывод немного запутан с использованием техники, называемой «завершение квадрата» — и получают неправильные ответы.

Метод доктора Ло позволяет людям вычислять ответы, не запоминая точную формулу. (Это также обеспечивает более прямое доказательство.)

«Математика — это не запоминание формул без смысла, а обучение логическим рассуждениям с помощью точных утверждений», — сказал доктор.- сказал Ло.

Г-н Вонг сказал, что версия доктора Ло проще для студентов, потому что она «предоставляет один метод для решения всех видов квадратных уравнений».

Техника с древними корнями

Доктор Ло углубился в историю математики и обнаружил, что у вавилонян и греков были одинаковые взгляды, хотя их понимание было ограниченным, потому что их математика ограничивалась положительными числами. Только позже люди придумали понятия отрицательных чисел, нуля и даже более эзотерических понятий, таких как мнимые числа — квадратные корни из отрицательных чисел.

Он даже узнал, что учитель математики из Садбери, Канада, по имени Джон Сэвидж, 30 лет назад придумал похожий подход. В статье мистера Сэвиджа в журнале «Учитель математики» 1989 года изложена почти такая же процедура, хотя доктор Ло внес некоторые логические нюансы, объясняя, почему она работает.

«Честно говоря, я не могу вспомнить, где именно был момент эврики, — сказал г-н Сэвидж в телефонном интервью. Но это казалось улучшением по сравнению с обычным способом преподавания предмета.

Он продолжал использовать этот подход, как и некоторые другие учителя, которых он знал. Но Интернет все еще находился в зачаточном состоянии, и идея угасла.

«Это так и не прижилось», — сказал мистер Сэвидж. «Оглядываясь назад на это, я должен был подтолкнуть его еще немного. Я думаю, это намного проще, чем традиционный способ ».

Г-н Сэвидж сказал, что он был взволнован тем, что та же идея возродилась через 22 года после того, как он ушел на пенсию. «Мне было очень интересно прочитать это сейчас», — сказал он о статье доктора Ло. «Довольно интересно, что ему в основном пришла в голову та же идея.”

Решение квадратных уравнений путем завершения квадрата

Purplemath

Квадратное уравнение в последнем примере на предыдущей странице было:

Выражение в левой части этого уравнения можно умножить и упростить до следующего вида:

Но мы все равно не смогли бы решить уравнение, даже с квадратичным форматом, отформатированным таким образом, потому что оно не множится и не готово к извлечению квадратного корня.

MathHelp.com

Единственная причина, по которой мы могли решить это на предыдущей странице, заключалась в том, что они уже поместили все элементы x внутри квадрата, так что мы могли переместить строго числовую часть уравнения на другую сторону от «равных» знак, а затем извлеките квадратный корень с обеих сторон.Они не всегда будут форматировать вещи так хорошо, как это. Итак, как нам перейти от обычного квадратичного уравнения, подобного приведенному выше, к уравнению, которое готово для получения квадратного корня?

Придется «доделать квадрат».

Вот как бы мы решили последнее уравнение на предыдущей странице, если бы они не отформатировали его для нас.

• Используйте завершение квадрата, чтобы решить

  x ² — 4 x — 8 = 0.

Как отмечалось выше, эта квадратичная величина не учитывается, поэтому я не могу решить уравнение путем факторизации. И они не дали мне уравнение в форме, готовой к извлечению квадратного корня. Но у меня есть способ манипулировать квадратичным, чтобы преобразовать его в форму, готовую к извлечению квадратного корня, чтобы я мог решить.

Во-первых, я поставил число на другой стороне уравнения:

x ² — 4 x — 8 = 0

x ² — 4 x = 8

Затем я смотрю на коэффициент члена x , который в данном случае равен –4.Я беру половину этого числа (, включая знак ), что дает мне –2. (Мне нужно отслеживать это значение. Это упростит мне работу в дальнейшем.)

Затем я возведу это значение в квадрат, чтобы получить +4, и добавлю это значение в квадрат к обеим сторонам уравнения:

x ² — 4 x + 4 = 8 + 4

x ² — 4 x + 4 = 12

Этот процесс создает квадратное выражение, которое представляет собой полный квадрат в левой части уравнения.Я могу разложить на множители или просто заменить квадратичную форму бинома в квадрате, которая представляет собой переменную x , вместе с половинным числом, которое я получил раньше (и отметил, что мне понадобится позже), что было –2. В любом случае я получаю уравнение с извлечением квадратного корня:

(Я знаю, что в скобках стоит «–2», потому что половина –4 была –2. Отмечая знак, когда я нахожу половину коэффициента, я помогаю себе не испортить знак позже, когда Я перехожу в квадратно-биномиальную форму.)

(Между прочим, этот процесс называется «завершение квадрата», потому что мы добавляем термин для преобразования квадратичного выражения во что-то, что множится как квадрат бинома; то есть мы «завершили» выражение, чтобы создать бином полного квадрата.)

Теперь я могу извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения, упростить и решить:

( x -2) ² = 12

Используя этот метод, я получаю тот же ответ, что и раньше; а именно:

• Решите 2

  x ² -5 x + 1 = 0, заполнив квадрат.

Есть один дополнительный шаг для решения этого уравнения, потому что старший коэффициент не равен 1; Сначала мне нужно разделить, чтобы преобразовать старший коэффициент в 1. Вот мой процесс:

2 x ² -5 x + 1 = 0

x ² — (5/2) x + 1/2 = 0

x ² — (5/2) x = — (1/2)

Теперь, когда у меня есть все члены с переменными с одной стороны и строго числовой член с другой стороны, я готов заполнить квадрат с левой стороны.Сначала я беру коэффициент линейного члена (вместе со знаком) — (5/2), умножаю его на половину и возведу в квадрат:

(1/2) × [- (5/2)] = — (5/4)

(- (5/4)) ² = 25/16

Затем я добавляю это новое значение к обеим сторонам, конвертирую в квадратно-биномиальную форму с левой стороны и решаю:

x ² — (5/2) x + 25/16 = — (1/2) + 25/16

( x — 5/4) ² = 17/16

sqrt [( x — 5/4) ² ] = ± sqrt [17/16]

x — 5/4 = ± sqrt [17] / 4

x = 5/4 ± sqrt [17] / 4

Два члена в правой части последней строки выше можно объединить для получения общего знаменателя, и часто («обычно»?) Ответ будет записан, особенно если инструкции к упражнению включают условие чтобы «упростить» окончательный ответ:

В другом месте у меня есть урок по решению квадратных уравнений путем завершения квадрата.Этот урок (повторно) объясняет шаги и дает (больше) примеров этого процесса. Он также показывает, как из этого процесса может быть получена квадратичная формула. Если вам нужны дополнительные инструкции или практика по этой теме, прочтите урок по указанной выше гиперссылке.

Между прочим, если вам не сказали, что у вас есть для заполнения квадрата, вы, вероятно, никогда не воспользуетесь этим методом на практике при решении квадратных уравнений. Либо какой-либо другой метод (например, факторинг) будет очевиден и быстрее, либо будет проще использовать квадратичную формулу (рассмотренную ниже).Однако, если ваш класс занимался завершением квадрата, вы должны ожидать, что от вас потребуют показать, что вы можете заполнить квадрат, чтобы решить квадратичное значение в следующем тесте.

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении квадратных уравнений, заполнив квадрат. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку и выберите «Решить, заполнив квадрат», чтобы сравнить свой ответ с ответом Матвея. (Или пропустите виджет и перейдите на следующую страницу.)

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)

URL: https://www.purplemath.com/modules/solvquad3.htm

Квадратичные уравнения — Квадратные уравнения Как решить

Льюис Мулатеро, Getty Images

• Математик из Университета Карнеги-Меллона разработал более простой способ решения квадратных уравнений.
• Математик надеется, что этот метод поможет учащимся избежать запоминания бестолковых формул .
• Его секрет в том, чтобы обобщить два корня вместе, вместо того, чтобы хранить их как отдельные ценности.

---

Математик вывел более простой способ для решения задач с квадратными уравнениями, согласно MIT Technology Review .

➗ Вы любите сложные математические задачи. И мы тоже. Решим их вместе.

Квадратные уравнения — это многочлены, содержащие x², и учителя используют их, чтобы научить студентов находить два решения одновременно. Новый процесс, разработанный доктором По-Шен Ло из Университета Карнеги-Меллона, обходит традиционные методы, такие как завершение квадрата, и превращает поиск корней в более простую вещь, включающую меньшее количество шагов, которые также являются более интуитивно понятными.

Вот поясняющее видео доктора Ло:

Этот контент импортирован с YouTube.Вы можете найти тот же контент в другом формате или найти дополнительную информацию на их веб-сайте.

Квадратные уравнения попадают в интересную дыру в образовании. Студенты изучают их, начиная с классов алгебры или предалгебры, но они представляют собой скучные примеры, которые очень легко работают с целочисленными решениями. То же самое происходит с теоремой Пифагора, где в школе большинство примеров заканчиваются решением троек Пифагора , небольшого набора целочисленных значений, которые четко работают в теореме Пифагора.

Этот контент импортирован из {embed-name}. Вы можете найти тот же контент в другом формате или найти дополнительную информацию на их веб-сайте.

Квадратные уравнения — это полиномы, означающие цепочки математических терминов. Выражение типа «x + 4» является многочленом. У них может быть одна или несколько переменных в любой комбинации, и их величина определяется тем, в какой степени они принимают переменные. Итак, x + 4 — это выражение, описывающее прямую линию, а (x + 4) ² — это кривая.

Поскольку линия только один раз пересекает любую конкретную широту или долготу, ее решением является только одно значение. Если у вас есть x², это означает два корневых значения в форме круга или дуги, которые образуют два пересечения.

Росс Мантл

Метод доктора Ло, которым он также подробно поделился на своем веб-сайте, использует идею двух корней каждого квадратного уравнения, чтобы упростить получение этих корней. Он понял, что может описать два корня квадратного уравнения следующим образом: вместе они получают среднее значение до определенного значения, а затем существует значение z, которое показывает любое дополнительное неизвестное значение.Вместо того чтобы искать два отдельных, разных значения, мы сначала ищем два идентичных значения. Это упрощает арифметическую часть умножения формулы.

---

Популярная механика

«Обычно, когда мы решаем задачу факторинга, мы пытаемся найти два числа, которые умножаются на 12 и складываются в 8», — сказал доктор Ло. Эти два числа являются решением квадратичного уравнения, но студентам требуется много времени, чтобы решить их, так как они часто используют подход «угадывай и проверяй».

Вместо того, чтобы начинать с факторизации произведения 12, Loh начинает с суммы 8.

Если два числа, которые мы ищем, сложенные вместе, равны 8, то они должны быть равноудалены от своего среднего. . Таким образом, числа могут быть представлены как 4 – u и 4 + u.

Когда вы умножаете, средние члены сокращаются, и вы получаете уравнение 16 – u2 = 12. Решая для u, вы увидите, что каждое положительное и отрицательное 2 работает, и когда вы замените эти целые числа обратно в уравнения 4 – u и 4 + u, вы получите два решения, 2 и 6, которые решают исходное полиномиальное уравнение.

Это быстрее, чем классический метод фольгирования, используемый в квадратной формуле, и здесь не требуется никаких предположений. —Кортни Линдер

---

Доктор Ло считает, что студенты могут изучать этот метод более интуитивно, отчасти потому, что не требуется специальной, отдельной формулы. Если учащиеся могут вспомнить несколько простых обобщений о корнях, они смогут решить, куда идти дальше.

---

Решите эти сложные головоломки

SpeedRipper Кубик Рубика

Кубик Рубика сводит людей с ума уже 40 лет.Попробуйте решить это самостоятельно или научитесь решать с помощью математики.

Трехмерная головоломка Kanoodle

Образовательные идеи
amazon.com

Имея всего 12 частей, но всего 200 задач, Kanoodle поразит детей и взрослых двумерными и трехмерными головоломками.

Настольная игра Sagrada

Игры Floodgate
amazon.com

В одной из лучших настольных игр года вы и еще до трех игроков попытаетесь создать витражи Храма Святого Семейства.

Трехмерная головоломка с измерениями

Темза и Космос
amazon.com

Эта динамичная трехмерная игра-головоломка сочетает в себе сообразительность, логику и удачу, чтобы складывать ваши сферы, чтобы заработать как можно больше очков.

---

Это все еще сложно, но не так сложно, особенно если доктор Ло прав в том, что это облегчит понимание учащимися того, как работают квадратные уравнения и как они вписываются в математику.Понимание их является ключом к начальным идеям, например, о предварительном исчислении.

За исключением примеров, готовых для использования в классе, квадратичный метод не прост. Реальные примеры и приложения беспорядочные, с уродливыми корнями из десятичных или иррациональных чисел. Будучи студентом, трудно понять, что вы нашли правильный ответ. Новый метод доктора Ло предназначен для реальной жизни, но он надеется, что он также поможет студентам почувствовать, что они в то же время лучше понимают квадратную формулу.

Многие студенты-математики изо всех сил пытаются преодолеть пропасть в понимании между простыми примерами в классе и самим применением идей.Ло хочет построить для них мост получше.

---

Смотри сейчас:

Этот контент создается и поддерживается третьей стороной и импортируется на эту страницу, чтобы помочь пользователям указать свои адреса электронной почты. Вы можете найти больше информации об этом и подобном контенте на сайте piano.io.

одновременных и квадратных уравнений | SkillsYouNeed

На нашей странице Введение в алгебру объясняется, как решать простые уравнения с помощью базовой алгебры.

На этой странице обсуждаются более сложные уравнения, включая уравнения с дробями, и две конкретные проблемы, с которыми вы можете столкнуться: одновременные уравнения и квадратные уравнения.

Что наиболее важно, он дает понять, что эти уравнения, как и другие, соответствуют правилам, и что вы все равно можете ими манипулировать, если не забываете делать то же самое с обеими сторонами уравнения.

Скобки в алгебре

В алгебраических уравнениях часто встречаются члены, заключенные в квадратные скобки.Чтобы решить уравнение, вам может потребоваться развернуть скобок. Это означает, что нам нужно проработать выражение и убрать скобки логическим образом, согласно некоторым правилам.

Если в уравнении используется только один набор скобок, процесс прост. Например:

$$ 4 (x − 2) = 18 $$

В этом случае все, что находится в скобках в левой части уравнения, умножается на 4. Во-первых, расширьте скобки по члену:

$$ 4x — 8 = 18 $$

Теперь вы можете решить уравнение для \ (x \).Затем прибавьте по 8 с каждой стороны:

$$ 4x = 26 $$

Наконец разделите каждую сторону на 4:

$$ x = 6.5 $$

Если в вашем уравнении есть два набора скобок (или более), которые необходимо перемножить, тогда процесс будет более сложным, но он следует логическому набору правил.

Например, разверните выражение:

$$ (2x + 5) (x + 4) = 0 $$

В левой части уравнения нам нужно умножить (2 \ (x \) + 5) на (\ (x \) + 4).Каждый набор скобок содержит более одного термина. Это не просто случай умножения набора скобок на коэффициент , как в предыдущем примере, где вы умножили всю скобку на 4.

В этом случае вам нужно умножить каждый член в первой скобке на каждый член во второй скобке и сложить их все вместе, то есть умножить \ (x \) на \ (x \), \ (x \) на 4, затем \ (x \) на 5, затем 4 на 5. Это кажется довольно сложным, поэтому вы можете использовать метод, известный как ‘FOIL’ , чтобы помочь. 2 + 13x + 20 = 0 $$

Этот тип уравнения известен как квадратное уравнение .Подробнее об этом ниже.

Уравнения с дробями

Уравнения с дробями выглядят немного устрашающе, но есть простой трюк, который упрощает их решение.

Перекрестное умножение включает удаление дробей путем поочередного умножения обеих сторон на каждый знаменатель. Подробнее о работе с дробями читайте на нашей странице Fractions .

Рабочий пример

---

$$ \ frac {2 + x} {3} = \ frac {9 + x} {5} $$

Чтобы удалить дроби, умножьте обе части уравнения на каждый знаменатель (3 и 5) по очереди.
Начните с умножения каждой стороны на 3:

$$ \ frac {3 (2 + x)} {3} = \ frac {3 (9 + x)} {5} $$

Слева две тройки сокращаются, оставляя 2 + \ (x \).
Справа разверните квадратные скобки в числителе, чтобы получилось 27 + 3 \ (x \)

.
$$ 2 + x = \ frac {27 + 3x} {5} $$

Теперь умножьте обе стороны на 5. И снова две пятерки уравняются справа, и вы получите:

$$ 5 (2 + x) = 27 + 3x $$
$$ 10 + 5x = 27 + 3x $$

Измените форму уравнения так, чтобы члены, содержащие \ (x \), были слева, а члены, содержащие только числа, — справа.Сначала вычтите по 10 с каждой стороны:

$$ 5x = 17 + 3x $$

Затем вычтите 3 \ (x \) с каждой стороны, чтобы получить все значения \ (x \) слева, и вы получите:

$$ 2x = 17 $$

Наконец, разделив обе стороны на 2, вы получите значение \ (x \):

$$ x = 8,5 $$

Обратите внимание, что \ (x \) не всегда должно быть целым числом.

---

Одновременные уравнения

До сих пор все примеры содержали только одну «неизвестную» переменную \ (x \).Мы можем решить эти уравнения с помощью алгебры, чтобы найти значение \ (x \). Если у вас есть одно неизвестное, вам нужно решить только одно уравнение, чтобы получить ответ.

Однако что произойдет, если у вас есть такое уравнение, как \ (y \) = 4 \ (x \) + 5, где есть , два неизвестных: , \ (x \) и \ (y \)?

Вы можете даже встретить более сложное уравнение, в котором есть три неизвестных: \ (x \), \ (y \) и \ (z \).

Правило состоит в том, что для их решения вам нужно столько же уравнений, сколько у вас есть неизвестных.Все уравнения должны быть верными для всех неизвестных. Это означает, что вам нужны два уравнения для двух неизвестных, три уравнения для трех неизвестных и так далее.

Одновременные уравнения — это набор из двух уравнений, в которых используются одни и те же неизвестные переменные, и оба они верны. Их называют одновременных , потому что они решаются вместе.

Одновременные уравнения иногда обозначаются длинной фигурной скобкой, чтобы связать их вместе.

Метод решения одновременных уравнений с переменной \ (x \) и \ (y \):

• Сначала измените одно уравнение, чтобы получить выражение или значение для \ (x \).Измененное уравнение может быть \ (x \) = числом, или это может быть выражение, где \ (x \) = функция от \ (y \) (т.е. \ (y \) все еще существует как неизвестное в уравнении ). Вы можете увидеть это как \ (x \) = ƒ (\ (y \)), что просто означает, что «\ (x \) является функцией от \ (y \)».

• Если у вас есть значение или выражение для \ (x \), вы можете подставить его в другое уравнение, чтобы найти значение \ (y \). В этом новом уравнении будет только одно неизвестное, \ (y \).

• Наконец, если ваш ответ \ (x \) =? из шага (1) содержит ‘\ (y \)’, тогда вы можете заменить свое значение \ (y \) из шага (2) в свое выражение для \ (x \), чтобы найти значение \ (x \ ).

Рабочий пример 1: Когда x может быть решено как значение на шаге 1.

$$ \ biggl \ {\ begin {eqnarray}
2х = 6 \ квад \; \; \; \\
у = 4х + 5
\ end {eqnarray} $$

Если 2 \ (x \) = 6, то \ (\ boldsymbol {x} \) = 3 .

Подставив 3 вместо \ (x \) во втором уравнении, вы можете решить его, чтобы узнать, что такое \ (y \).

$$ y = (4 \ times 3) + 5 = 17. $$
$$ \ boldsymbol {y = 17} $$

---

Рабочий пример 2: когда шаг 1 дает \ (x = ƒ (y) \)

$$ \ biggl \ {\ begin {eqnarray}
х — у = 1 \ квад \; \; \\
2х + 3у = 27
\ end {eqnarray} $$

Шаг 1 : Если \ (x \) — \ (y \) = 1, то \ (x \) = 1 + \ (y \)

Шаг 2 : Подстановка этого во второе уравнение дает 2 (1 + \ (y \)) + 3 \ (y \) = 27

Раскрытие скобок дает 2 + 2 \ (y \) + 3 \ (y \) = 27

Тогда 2 + 5 \ (y \) = 27

Итак, 5 \ (y \) = 25, что дает решение \ (\ boldsymbol {y} \) = 5.2 + x} \) — \ (\ boldsymbol {45 = 0} \). В этом уравнении \ (a \) = 52, \ (b \) = 1 и \ (c \) = −45.

Параболические кривые и квадратные уравнения

Квадратные уравнения очень важны в математике и естественных науках. Они представляют собой математическое «описание» параболической кривой (параболы). Дополнительные сведения о параболах и других изогнутых формах, известных как конические секции, см. На нашей странице, посвященной окружностям, эллипсам, параболам и гиперболам. Значения \ (a \), \ (b \) и \ (c \) в квадратном уравнении описывают форму кривой и ее положение в наборе декартовых координат (оси x и y).Для получения дополнительной информации см. Нашу страницу о декартовых координатах.

Парабола, построенная из квадратного уравнения, где \ (a \) = 1, \ (b \) = −4 и \ (c \) = 5, выглядит так:

Эти уравнения можно решить несколькими способами:

1. Факторизация

В математике факторов — это вещи, которые перемножаются. Факторизация — это процесс, используемый для создания двух коэффициентов из квадратичного выражения, которые можно умножить вместе.Эти множители представляют собой наборы скобок с простым линейным выражением, содержащим \ (x \) внутри каждого из них.

Вы составляете квадратное уравнение, умножая два выражения в скобках (\ (x \) + число) (\ (x \) + другое число). Это означает, что каждый , имеющий решение , может быть записан в этой форме с двумя скобками. 2 + bx + c \), вы ищете два числа, так что при их умножении вы получаете \ (c \), а когда они добавляются, вы получить \ (b \).2 + 9x +20 = 0} $$

Вы знаете, что 4 × 5 = 20 и 4 + 5 = 9.

Две скобки, следовательно, (\ (x \) + 4) (\ (x \) + 5).

Это выражение должно быть равно нулю, поэтому либо \ (x \) + 4 = 0, либо \ (x \) + 5 = 0.

Два решения уравнения: \ (\ boldsymbol {x} \) = −4 и \ (\ boldsymbol {x} \) = −5 .

Почему есть два решения квадратного уравнения?

Потому что график имеет форму параболы.

Ниже приведен график уравнения, использованного в примере выше \ (y \) = \ (x \) ² + 9 \ (x \) + 20.

Два значения \ (x \) известны как корни уравнения. Это значения \ (x \), когда \ (y \) = 0. На графике \ (y \) = 0 по оси x. Следовательно, точки \ (x \) = −4 и \ (x \) = −5 — это место, где кривая уравнения пересекает ось x. Минимальное значение \ (y \) (самая низкая точка кривой) находится между \ (x \) = −4 и \ (x \) = −5. На этом графике просто можно увидеть, как кривая опускается ниже оси x.

Если снова взглянуть на уравнение, если \ (x \) = 0, тогда \ (y \) = 20.2 — 4ac}} {2a} $$

В этом случае \ (a \) — это коэффициент при \ (x \) ² , \ (b \) при \ (x \), а \ (c \) — это число в конце, когда уравнение имеет вид \ (ax \) ² + \ (bx \) + \ (c \) = 0.

Любое уравнение, которое содержит только членов с \ (x \) ² , \ (x \) и числами, можно преобразовать в форму \ (ax \) ² + \ (bx \) + \ (c \) = 0, а затем решается по формуле.

Поскольку у вас может быть \ (b \) плюс или минус квадратный корень, квадратные уравнения всегда имеют два решения, как показано в информационном поле выше.Они называются корнями уравнения, и причина этого становится более очевидной, если мы посмотрим на формулу \ ((\ pm \ sqrt) \).

Важно помнить, что некоторые квадратные уравнения не имеют «реального» ответа.

Например, если \ (b \) ² — 4 \ (ac \) отрицательно, тогда не будет реального ответа, потому что у вас не может быть квадратного корня из минус числа, кроме как в форме воображаемого число (подробнее о мнимых числах читайте на нашей странице, посвященной специальным числам и понятиям).

3.Завершение квадрата

Если ваше квадратное уравнение не может быть разложено на множители, то альтернативой использованию формулы является метод под названием , завершающий квадрат . Возможно, это самый сложный для понимания метод. Это требует, чтобы вы переставили уравнение так, чтобы оно превратилось в « полного квадрата » (трехчлен — это математическое выражение с тремя членами).

Звучит очень сложно, но это просто математика, когда можно сказать, что вы можете использовать этот метод для преобразования квадратного уравнения из уравнения, которое нельзя разложить на множители, в уравнение, которое можно разложить на множители, и вы можете найти решение с помощью вычисление квадратного корня.2 = 9 $$

Вы можете видеть, что с помощью этого метода левая часть исходного уравнения была преобразована в трехчлен полного квадрата . Решить эту проблему можно, взяв корни:

$$ x — 9 = \ pm \ sqrt {9} $$
$$ x = 9 \ pm 3 $$

Заключение

Прочитав эту страницу и проследив примеры, теперь вы должны быть более уверены в своей способности обрабатывать даже довольно сложные уравнения.

Просто запомните золотое правило:

Всегда делайте одно и то же с каждой стороной уравнения

Если да, то все будет в порядке.

Квадратное уравнение | математика | Britannica

Квадратное уравнение , в математике, алгебраическое уравнение второй степени (с одной или несколькими переменными, возведенными во вторую степень). Древние вавилонские клинописные тексты, датируемые временами Хаммурапи, показывают знание того, как решать квадратные уравнения, но похоже, что древнеегипетские математики не знали, как их решать. Со времен Галилея они играли важную роль в физике ускоренного движения, такого как свободное падение в вакууме.Общее квадратное уравнение с одной переменной: ax ² + bx + c = 0, в котором a, b, и c — произвольные константы (или параметры), а a — не равно 0. Такое уравнение имеет два корня (не обязательно разные), что определяется квадратной формулой

Дискриминант b ² — 4 ac дает информацию о природе корней ( см. дискриминант).Если вместо того, чтобы приравнять вышеуказанное к нулю, построена кривая ax ² + bx + c = y , то видно, что действительные корни — это координаты x точек в кривая пересекает ось x . Форма этой кривой в двухмерном евклидовом пространстве — парабола; в евклидовом трехмерном пространстве это параболическая цилиндрическая поверхность, или параболоид.

В двух переменных общее квадратное уравнение имеет вид ax ² + bxy + cy ² + dx + ey + f = 0, в котором a, b, c, d, e, и f — произвольные константы, а a, c ≠ 0.Дискриминант (обозначается греческой буквой дельта, Δ) и инвариант ( b ² — 4 ac ) вместе предоставляют информацию о форме кривой. Геометрическое место в двумерном евклидовом пространстве любой общей квадратичной от двух переменных является коническим сечением или его вырожденным сечением.

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту.
Подпишитесь сейчас

Более общие квадратные уравнения, в переменных x, y, и z, приводят к генерации (в трехмерном евклидовом пространстве) поверхностей, известных как квадрики или квадратичные поверхности.

Решение, какой метод использовать при решении квадратных уравнений

Решение, какой метод использовать при решении квадратных уравнений

Решение, какой метод использовать
при решении квадратных уравнений

При решении квадратного уравнения выполните следующие действия.
(в таком порядке) выбрать метод:

1. Сначала попробуйте решить уравнение факторингом. Быть уверенным
   что ваше уравнение имеет стандартную форму (ax ² + bx + c = 0) до того, как вы
   начать попытку факторинга.Не тратьте много времени на попытки
   фактор вашего уравнения; если вы не можете учесть его менее чем за 60 секунд,
   перейти к другому методу.
2. Затем посмотрите на сторону уравнения, содержащую переменную.
   Эта сторона — идеальный квадрат? Если это так, то вы можете решить уравнение
   извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения. Не забывай
   чтобы включить знак ± в уравнение
   как только вы извлечете квадратный корень.
3. Далее, если коэффициент при квадрате члена равен 1 и
   коэффициент линейного (среднего) члена четный, завершая квадрат
   это хороший метод для использования.
4. Наконец, квадратичная формула будет работать на любом квадратичном
   уравнение. Однако, если использование формулы приводит к слишком большим
   числа под знаком радикала, другой метод решения может быть лучше
   выбор.

Теперь мы рассмотрим некоторые уравнения и подумаем о наиболее
подходящий метод их решения.

Пример 1: Решить x ² + 4 = 4x

Во-первых, представьте уравнение в стандартной форме, чтобы мы могли
попробуйте решить это факторингом:

х ² — 4х + 4 = 0

(х — 2) (х — 2) = 0

x — 2 = 0 | х — 2 = 0

x = 2 | х = 2

Итак, решение этого уравнения, найденное путем факторизации,
это x = 2.

Пример 2: Решить (2x — 2) ² = -4

Сторона уравнения, содержащая переменную (
левая сторона) представляет собой идеальный квадрат, поэтому мы извлечем квадратный корень из обеих сторон
для решения уравнения.

(2х — 2) ² = -4

2x — 2 = ± 2i

2x = 2 ± 2i

х = 1 ± я

Обратите внимание, что знак ±
был вставлен в уравнение в точке извлечения квадратного корня.

Пример 3: Решить x ² + 6x — 11 = 0

Это уравнение не факторизуемо, и сторона, содержащая
переменная не является точным квадратом. Но поскольку коэффициент
x ² равен 1, а коэффициент при x четный, завершая
квадрат будет подходящим методом. Чтобы найти номер, который нужно
быть добавленным к обеим частям уравнения, чтобы получить квадрат, возьмите
коэффициент при x, разделите его на 2, а затем возведите это число в квадрат.В
в этой задаче 6 ¸ 2 равно 3, и 3 ²
равно 9, поэтому мы добавим 9 к обеим частям уравнения, как только мы изолировали
переменные условия.

х ² + 6х — 11 = 0

x ² + 6x = 11

x ² + 6x +9 = 11 + 9

(х + 3) ² = 20

Пример 4: Решить 2x ² — x + 5 = 0

Это уравнение не факторизуемо, левая часть
полный квадрат, а коэффициенты при x ² и x членах
не сделает завершение квадрата удобным.Остается квадратичный
формула как лучший метод решения этого уравнения. Мы будем использовать a = 2, b = -1,
и c = 5.

.