Решить графически систему: Система линейных уравнений. Графический способ решения

Содержание

Работа 3. Графическое решение уравнений и систем уравнений

Рис. 11

-5

-1

 

X

1

 

3 5

-2

 

 

В появившемся диалоговом окне делаем поворот по часовой стрелке. В результате получаем рис. 12.

Редактировать график можно также при помощи курсора. С этой целью необходимо подвести курсор к элементу графика, например, к стенке и нажать правую клавишу мыши. В результате появится контекстное меню, с помощью которого можно ввести нужные изменения.

8

 

 

6

 

 

4

Z

6-8

4-6

 

 

2

 

2-4

0

 

0-2

 

 

4

 

 

Y

Рис. 12

4. Отчет по работе

Распечатки диаграмм и графиков.

Литература: [3], с. 123-132.

1. Цель работы

Ознакомиться с графическими методами решения уравнений и систем уравнений.

2. Основные теоретические положения

Кроме аналитического способа решения уравнений f(x)=0 можно пользоваться и графическим способом. Графический способ наиболее эффективен для решения трансцедентных уравнений. При графическом способе

24

для уравнения строится график y=f(x) и решением уравнения является точка пересечения графика с осью у=0. Если разбить уравнение на две произвольные части, то можно для каждой части построить график. В этом случае решением уравнения будет абсцисса точки пересечения графиков для этих частей. Такой способ может использоваться и для решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

3. Порядок выполнения работы

Задание 1. Решить графически уравнение y=cos2(πx) на интервале [0;1]. Задание 2. Решить графически уравнение х3-4х2-3х+6=0.

Задание 3. Решить графически систему уравнений y =sin x

в диапазоне

y = cos x

 

х [0;3] с шагом х=0,2.

Задание 4. Решить систему уравнений согласно индивидуальному заданию.

3.1. Выполнение задания 1.

Решить графически уравнение y=cos2(πx) на интервале [0;1] значит найти все значения х внутри данного интервала, где функция у пересекает ось Х.

 

 

3.1.1.Провести табуляцию значений х и у (см. Работу 2).

 

 

 

 

В результате получим табл. 9.

Таблица 9

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2

 

 

В

результате

получим

2

 

Значение х

Значение у

Значение Pi

график рис. 13. Из графика

3

 

0

=COS(A3*C$3)

3,1415

видно, что уравнение имеет

4

 

0,1

=COS(A4*C$3)

 

единственный корень. Что-

 

 

 

 

 

бы получить точное решение

5

 

0,2

=COS(A5*C$3)

 

 

 

уравнения, нужно щелкнуть

6

 

0,3

=COS(A6*C$3)

 

 

 

левой

клавишей

мыши

по

7

 

0,4

=COS(A7*C$3)

 

 

 

точке пересечения графика с

8

 

0,5

=COS(A8*C$3)

 

осью ОХ. На графике

9

 

0,6

=COS(A9*C$3)

 

появится текст (см. рис. 13).

 

 

 

 

 

Здесь Точка

“0,5”

10

 

0,7

=COS(A10*C$3)

 

 

 

значение х

 

 

11

 

0,8

=COS(A11*C$3)

 

 

 

 

 

Значение “4,633Е-05”≈0 –

12

 

0,9

=COS(A12*C$3)

 

 

 

значение у.

 

 

13

 

1

=COS(A13*C$3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2. Выполнение задания 2.

 

 

 

 

 

 

Найдем графическое решение уравнения х3-4х2-3х+6=0.

 

 

 

Для этого представим его в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

х3=4х2+3х-6

 

 

(2)

и построим на одной диаграмме графики двух функций:

 

 

 

 

 

 

у1=х3

левая часть уравнения (2) и

 

 

25

у2=4х2+3х-6 правая часть уравнения (2)

Рис.2+3*A13-6

3.2.1. Открыть новый рабо-

чий лист (Вставка – Лист).

3.2.2. Провести табуляцию значений аргумента х и функций у1 и у2 (см. Работу 2)

В результате получим табл.10.

3.2.3. Строим график функций у1 и у1 на одной диаграмме (рис. 14). Из графиков видно, что на рассмотренном интервале функции у1 и у2 пересекаются только два раза(корни х1=-1,2 и х2=1,2).

 

 

 

 

 

26

 

20

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

у1=х^3

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2=4*x^2+3*x-6

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-5

2

-1,2

-0,4

0,4

1,2

2

 

 

 

 

 

 

-10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 14

 

3.2.3. Для нахождения третьего корня нужно увеличить диапазон решения. Из графика видно, что при х<-2 функции у1 и у2 расходятся.

Значитрешениенужноискатьприх>2. Увеличимдиапазондох=5, т.е. х [-2;5]: а) продолжитьтабулированиеаргументахдоячейкиА20; б) скопироватьформулуизячейкиВ13 вячейкиВ14:В20; в) скопироватьформулуизячейкиС13 вячейки С14:С20;

г) построить график для этого случая. На этом графике функции у1 и у2 пересекаютсятрижды. Третийкореньх3=4,4.

3.3. Выполнение задания 3

Решить графически систему уравнений значит найти координаты точек, в которых пересекаются графики функций, входящих в систему уравнений. Практически при выполнении задания 2 мы решили систему уравнений

 

y = x

3

 

 

 

 

 

.

 

 

 

2

 

 

 

 

y =5 −5x

 

 

Для нахождения корней уравнений системы

y =sin x

y = cos x

в диапазоне х [0;3] с шагом х=0,2, следует выполнить следующие действия. 3.1.1. Добавить новый рабочий лист (Вставка – Лист).

3.2.2. Провести табулирование переменных х, y=sin x, y=cos x, аналогично Работе 2 и пп. 3.1, 3.2 данной работы:

-в ячейку А1 ввести заголовок Аргумент х, в ячейку А2 – значение 0, в ячейку А3 — значение 0,2 и провести табуляцию аргумента х в ячейках А2:А17;

-в ячейку В1 ввести заголовок y=sin(x);

-в ячейку В2 ввести формулу =SIN(A2) и скопировать ее в ячейки В3:В17;

-в ячейку С1 ввести заголовок y=cos(x);

-в ячейку С2 ввести формулу =COS(A2) и скопировать ее в ячейки C3:C17.

3.2.3. Построить график функций y=sin x, y=cos x на одной диаграмме:

27

а) выполнить команды Вставка – Диаграмма; б) в первом диалоговом окне Мастера диаграмм выберем Тип диаграммы

График, Вид — Левый верхний, Далее; в) во втором окне Мастера диаграмм на вкладке Диапазон данных

ввести:

Диапазон В2:С17

Ряды в: столбцах; Затем щелкнуть по вкладке Ряд и ввести:

Подписи оси Х А2:А17 ;

Щелкнуть по кнопке Далее; г) в третьем окне Мастера диаграмм ввести:

Название диаграммы

Система

 

 

Ось Х

Аргумент

 

 

Ось У

Значения

 

щелкнуть по кнопке Далее; д) на последнем шаге Мастера диаграмм выбрать опцию

На отдельном листе и щелкнуть Готово.

На полученном графике (рис.15) видно, что в указанном диапазоне система имеет единственное решение (графики имеют только одну точку пересечения).

 

 

 

 

Система

 

 

1,5

 

 

 

 

 

Значения

1

 

 

 

 

 

0,5

 

 

 

 

y=sin(x)

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y=cos(x)

 

-0,50

 

 

 

 

 

,6

,2

,8

,4

3

 

 

 

 

-1

0

1

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

-1,5

 

 

 

 

 

 

 

 

Аргумент

 

Для нахождения решения:

 

Рис. 15

 

 

 

 

 

-поставить указатель мыши в точку пересечения графиков;

-щелкнуть левой клавишей мыши. Появится надпись с указанием приблизительного решения системы уравнений:

Ряд “y=cos(x)” Точка “0,8” Значение: 0,6967067

Следовательно, решением уравнения являются:

х=0,8

у=0,697.

28

3.4.Выполнение задания 4

3.4.1. Выбратьизтабл. 11 индивидуальноезаданиепоуказаниюпреподавателя 3.4.2. Добавить новый рабочий лист (Вставка – Лист).

3.4.3. Графически решить систему уравнений по индивидуальному заданию.

Таблица 11

Решить систему уравнений в указанном диапазоне с заданным шагом.

Система уравнений

Диапазон

Шаг изменения

варианта

изменения

Аргумента х

 

аргумента

0

y = ln x

 

х [0,2;3]

x=0,2

 

+4

 

y = −2x

 

 

1

y = 2 / x

х [0,2;3]

x=0,2

 

 

 

y = 2x

 

 

 

2

y = 2sin x

х [0;2]

x=0,1

 

 

 

y =3x

 

 

 

3

y = ex

х [0,2;3]

x=0,1

 

 

 

 

 

 

y = x / 2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

4

 

 

 

 

+4

х [0;2]

x=0,2

 

 

 

y =

 

x

 

 

 

 

 

 

 

y =

4x

 

 

5

y = cos x

х [0,2;3]

x=0,1

 

 

 

 

 

 

y = 2x

 

 

6

y = −3x +5

х [0;2]

x=0,2

 

 

 

 

 

 

y = ln x

 

 

7

y =

3sin x

х [0;2]

x=0,1

 

 

 

 

 

 

y = e x

 

 

 

8

y = 4 − x

х [0;2]

x=0,1

 

2sin x

 

y =

 

 

9

y = ln x

х [0,2;3]

x=0,2

 

 

 

 

 

 

y = 2cos x

 

 

4.{2}}-4\cdot \left( -8 \right)}{4}=-\frac{4+32}{4}=-9\)

Точно такой же ответ? Молодец!

И вот мы знаем уже координаты вершины, а для построения параболы нам нужно еще … точек. Как ты думаешь, сколько минимум точек нам необходимо? Правильно, \( \displaystyle 3\).

Ты знаешь, что парабола симметрична относительно своей вершины, например:

Уравнения с модулями. Графический метод

Простыми уравнения с модулями называем уравнения вида

|x|=5; |x-3|=2; ||2x-1|-5|=3; |1-x|=4

в которых переменная входит однократно и линейно.
Решать модульные уравнения можно как с помощью метода раскрытия модулей так и графически. В данной статье большое внимание будет уделено именно графическому методу раскрытия модулей. Для этого постепенно будет раскрыта суть преобразований с модулями. Таким образом удается решить множество тестовых задач в которых требуется найти количество решений уравнения с модулем.
Для наглядности приведем график модуль функции y=|x| ( «галочки»)

Далее представим смещение графика модуль функции по оси Ox, например y=|x-7|. Такая запись означает что функция равна нулю когда дужка равна нулю
x-7=0; –> x=7.
Так что «галочка» переносится вправо на 7.

Если подмодульную функцию умножить на (-1) то график функции не изменится |7-x|=|x-7|.
Если в модуле имеем суммирование |x+5| то смещение графика модуль функции выполняем в сторону отрицательных переменных

Самое интересное в вычислениях происходит когда имеем уравнение вида модуль в модуле
||x|-6|, ||x|+3|
Тогда выполняем перенос графика внутреннего модуля по оси вниз или вверх и симметричное отображение значений, которые идут ниже оси Oх вверх.

Следующая функция это модуль поднят вверх на три.

Далее, если в задании спрашивают «Какое количество корней уравнения ||x|-6|=2?» то необходимо провести лишь линию y=2 и подсчитать количество точек пересечения с графиком модуль функции

Уравнение имеет 4 решения. Лучше решать графически уравнение с модулями на листке в клеточку, есть лучшая привязка к квадратикам. Задача в каждом из случаев сводится к смещению, отображения и параллельному переносу графика модуль функции |x|. Решим несколько примеров чтоб Вы понимали насколько эффективная методика графического раскрытия модулей.

 

Пример 1. Найти корни уравнения ||x-2|-5|=3.
Решение: Имеем задания типа модуль от модуля. Выполняем построение первого (внутреннего) модуля

Далее параллельно переносим линии вниз на 5, чтобы получить график функции y=|x-2|-5

Следующим шагом отражаем все что находится ниже оси абсцисс. Это и будет искомая модуль функция y=||x-2|-5|. Также выполняем построение прямой у=3

Нетрудно определить по рисунку что решениями уравнения с модулями будут значения
x=-6; x=0;x=4; x=10.
На этом пример выполнен. Далее будет меньше детализации, однако суть алгоритма графического построения Вам будет понятен.

 

Пример 2. Найти количество корней следующего уравнения с модулем |||x+1|-3|-5|=2.
Решение: Имеем уравнения с двумя вложенными модулями. График первого вложенного модуля получим смещением в отрицательную сторону оси абсцисс модуль функции на единицу. Далее параллельно переносим полученный график вниз на 3 и отразим относительно оси Ox все минусовые y. Полученный график снова опускаем вниз, на этот раз на 5 клеток и симметрично отражаем все что находится ниже оси Ox. Выполняем построение правой стороны уравнения – прямой y=2.
В результате у Вас должен получиться похожий конечный график модуль функции

Из построения видим, что имеем пять точек пересечения прямой с модуль-функцией, а следовательно и 5 корней уравнения. Вот и все решения примера с модулями. Классическое раскрытие модулей для этого примера занимает очень много времени и существует вероятность неправильного решения уравнения. Преимущество графического метода по времени решения видна невооружённым глазом.

 

Пример 3. При каком значении параметра a уравнение с модулем ||x-4|-2|=a-3 имеет три, четыре корня?
Решение: Выполняем построение модулей, которые находятся в левой части уравнения

Из построения видим, если правая сторона уравнения с модулями равна 2 то имеем три точки пересечения. Если от 0 до 2 не учитывая краев – 4 корни уравнения. Отсюда получим уравнение для определеения параметра

a-3=2; – > a=5.

и неровности

a-3>0; a>3;
a-3< 2; a < 5 .

В итоге: уравнение имеет 3 корня когда параметр равен a=5
и 4 корня если параметр принадлежит интервалу a=(3..5).

В подобных примерах надо быть очень внимательными так как часто именно вопрос ставится так, чтобы помочь Вам или наоборот «навредить». Например: «Сколько положительных корней имеет уравнение с модулями?», «Найдите сумму решений уравнения», «Найдите наибольшее целое значение параметра» и тому подобные. Поэтому вдумчиво читайте что от Вас требуют, а уже потом приступайте к вычислениям.

Похожие материалы:

Графический метод решения задач линейного программирования

На этом уроке будем знакомиться с графическим методом решения
задач линейного программирования,
то есть, таких задач, в которых требуется найти такое решения системы линейных уравнений
и (или) неравенств (системы ограничений), при котором функция цели —
линейная функция — принимает оптимальное значение.

Ввиду того, что наглядность графического решения достигается лишь на
плоскости, мы можем познакомиться с графическим представлением задачи только в двумерном
пространстве. Это представление пригодно для системы ограничений-неравенств с двумя
переменными или для систем уравнений, в которых число переменных на 2 превышает число
уравнений, то есть число свободных переменных равно двум.

Поэтому графический метод имеет такие узкие рамки применения, что о нём
как об особом методе решения задач линейного программирования говорить нельзя.

Однако для выработки наглядных представлений о решениях задач
линейного программирования графический метод представляет определённый интерес. Кроме того,
он позволяет геометрически подтвердить справедливость
теорем линейного
программирования
.

Итак, задача линейного программирования. Требуется найти неотрицательные
значения переменных и
, удовлетворяющих
системе неравенств

при которых линейная форма
принимает оптимальное значение.

Из теории и практики решения систем линейных неравенств известно, что множество всех решений данной системы, то есть множество
пар чисел и
, удовлетворяющих
системе, составляет многоугольник этой системы. Допустим, что это пятиугольник ABCDE
(рисунок внизу).

Линейная форма
графически означает семейство параллельных между собой прямых. При конкретном числовом значении
F линейная форма изобразится в виде некоторой прямой. Каждую из прямых этого семейства
принято называть линией уровня. На рисунке построена линия уровня
(чёрного цвета, проходит через начало координат), соответствующая значению F =0.

Если исходную линию уровня передвигать вправо, то значение F при
этом возрастает. Нужное направление движения исходной линии уровня можно установить следующим
образом. Коэффициенты при переменных в уравнении прямой служат координатами вектора,
перпендикулярного этой прямой. Таким образом, получаем градиент — вектор
(на рисунке бордового цвета). Значения функции F возрастают при перемещении исходной
линии уровня в направлении вектора .

Среди прямых упомянутого семейства параллельных прямых прямые mn
(зелёного цвета) и MN (красного цвета), которые назовём опорными. Опорными обычно
называют такие прямые, которые имеют с многоугольником ABCDE хотя бы одну общую точку,
и многоугольник ABCDE целиком лежит по одну сторону от этой прямой. Как видно из
чертежа, прямая mn является опорной, так как она касается многоугольника в точке
A и многоугольник целиком лежит правее (или выше) этой прямой. Прямая MN
также является опорной, так как имеет с многоугольником общую точку С и
многоугольник целиком лежит левее этой прямой.

Из основных
теорем
линейного программирования
известно, что линейная форма достигает максимального и
минимального значений в крайних точках многогранника решений. Это значит, что опорные
прямые mn и MN характеризуют экстремальные значения линейной формы (функции цели), то есть
в точках А и С линейная форма достигает оптимальных значений. В точке
А, находящейся ближе к началу координат, функция цели достигает минимального
значения, а в точке С, находящейся дальше от начала координат, — максимального
значения.

1. Построить многоугольник решений системы неравенств.

3. Двигать прямую (или линейку) вдоль градиента — вектора
параллельно линии равных значений в сторону многоугольника решений до соприкосновения с
многоугольником решений. Если первая встреча с многоугольником решений произойдёт в крайней
точке с координатами ,
то в этой точке функция цели достигает минимального значения. Если первая встреча
произойдёт со стороной многоугольника, то данная функция цели достигает минимума во всех
точках этой стороны.

4. Двигаясь дальше, придём к некоторому опорному положению, когда прямая
будет иметь одну общую точку
с многоугольником решений. В этой точке функция цели достигает своего максимума.

5. Если первоначально построенная линия равных значений пересекает
многоугольник решений, то функция цели достигает минимального значения в вершине
многоугольника, расположенной ближе к началу координат, а максимального значения — в вершине,
более удалённой от начала координат.

Пример 1. Решить графическим методом задачу линейного
программирования, в которой требуется найти максимум функции
при ограничениях

Построим многоугольник решений. Для этого начертим граничные прямые. Из первого
неравенства запишем уравнение .
Это уравнение первой граничной прямой. Найдём точки пересечения этой прямой с осями
координат. При
из уравнения получим ,
при получим
. Это
значит, что первая прямая отсекает от осей координат отрезки
и .

Аналогично строим остальные граничные прямые. Вторая прямая от осей
координат отсекает отрезки, равные 6. Третья прямая проходит параллельно оси ,
отсекая на оси
отрезок, равный 2. Четвёртая прямая имеет уравнение .
Она совпадает с осью .

Из рисунка ниже видно, что множество точек четырёхугольника ABDE
удовлетворяет всем четырём неравенствам системы.

Следовательно, четырёхугольник ABDE является многоугольником
решений системы (заштрихован вовнутрь).

Начертим линию равных значений функции цели. Приняв в равенстве F =1,
получим, что эта линия отсекает отрезки 1 и 1/3 соответственно на оси и
на оси . Проведём
прямую через эти точки (на чертеже она чёрного цвета).

Двигая эту прямую параллельно самой себе в направлении градиента — вектора
(бордового цвета),
получим опорные прямые. Первая прямая (зелёного цвета) имеет с многоугольником общую точку
A. Здесь функция цели достигает минимума. Двигаясь дальше, придём к точке В.
Здесь максимум. Координаты точки В: (2, 4). Подставляя в функцию цели координаты
точки В, т. е. ,
,
получим максимальное значение функции цели: .

На сайте есть Онлайн калькулятор
решения задач линейного программирования симплекс-методом
.

Пример 3. Решить графическим методом задачу линейного
программирования, в которой требуется найти максимум функции
при ограничениях

где .

Правильное решение и ответ.

Пример 4. Решить графическим методом задачу линейного
программирования, в которой требуется найти минимум функции
при ограничениях

где .

Правильное решение и ответ.

До сих пор полученные выводы были основаны на том, что множество решений
задачи линейного программирования сконфигурировано так, что оптимальное решение конечно и
единственно. Теперь рассмотрим примеры, когда это условие нарушается. В этих примерах многоугольник
решений строится так, как показано в предыдущих примерах, остановимся же на признаках, которые
отличают эти исключительные примеры.

Пример 5. Решить графическим методом задачу линейного
программирования, в которой требуется найти максимум функции
при ограничениях

Решение. На рисунке изображены: неограниченная многогранная область
решений данной системы ограничений, исходная линия уровня (чёрного цвета), вектор (бордового
цвета), указывающий направление движения исходной линии уровня для нахождения максимума
целевой функции.

Легко заметить, что функция F может неограниченно возрастать
при заданной системе ограничений, поэтому можно условно записать, что .

На сайте есть Онлайн калькулятор
решения задач линейного программирования симплекс-методом
.

Пример 6. Решить графическим методом задачу линейного
программирования, в которой требуется найти максимум функции
при ограничениях

Решение. Изображённая на рисунке ниже область не содержит ни одной общей точки,
которая бы удовлетворяла всем неравенствам системы ограничений. То есть система ограничений противоречива
и не может содержать ни одного решения, в том числе и оптимального.

На сайте есть Онлайн калькулятор
решения задач линейного программирования симплекс-методом
.

На сайте есть Онлайн калькулятор
решения задач линейного программирования симплекс-методом
.

Пример 8. Решить графическим методом задачу линейного
программирования, в которой требуется найти максимум функции
при ограничениях

Решение. На рисунке ниже изображены область решений системы ограничений и линия уровня
(чёрного цвета). Если передвигать линию уровня параллельно исходной в направлении вектора ,
то она выйдет из области решений не в одной точке, как это было в предыдущих примерах, а сольётся с прямой
CD, которая является граничной линией области решений.

Все точки отрезка CD дают одно
и то же значение функции цели, которое и служит её оптимальным значением: .
Следовательно, имеется не одно, а бесчисленное множество оптимальных решений, совпадающих с точками
отрезка CD, в частности, с двумя угловыми точками C и D. Этот пример показывает,
что в некоторых случаях единственность оптимального решения нарушается.

На сайте есть Онлайн калькулятор
решения задач линейного программирования симплекс-методом
.

Напоследок следует заметить, что строить многогранник решений можно и другим способом,
отличающимся о того, который мы рассматривали. А именно: можно не искать точки пересечения прямых с
осями координат, а искать точки пересечения прямых. Для этого последовательно решаются системы из
двух уравнений, так, чтобы решениями были точки пересечения всех прямых. Полученные точки и будут вершинами
многогранника решений. Этот способ иногда бывает удобным в случаях, когда точки пересечения прямых с
осями координат — дробные числа и, неправильно отложив точку пересечения, можно получить ошибку и в
поиске точек пересечения самих прямых.

Начало темы «Линейное программирование»

Поделиться с друзьями

Практическая работа по информатике «Графический способ решения систем уравнений в MS Excel»

ТЕМА: Графический способ решения систем уравнений
в среде Microsoft Excel

Цель работы: овладеть навыками обработки информации, представленной в виде таблиц, с помощью универсальной системы обработки данных Excel: организация рабочих страниц, формирование вычисляемых ячеек таблиц, установка рисунков и гистограмм, ввод текстового сопровождения, применение метода автозаполнения.

Ход урока:

1) В своей личной папке создайте рабочую книгу под именем «ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ». Выполняйте задания на разных листах.

I) ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

2) Рассмотрите пример и выполните его на первом листе, переименовав лист в “ПРИМЕР 1”.

ПРИМЕР 1. Построить график функции у = х2 на промежутке [-7;7] с шагом 1.

РЕШЕНИЕ:

  1. Составим таблицу значений функции у = х2 на промежутке [–7; 7] с шагом 1.

Для этого:

  • В первой строке расположим все значения переменной х на данном отрезке. Достаточно ввести только два значения и использовать маркер заполнения.

  • Во второй строке задаем соответствующие значения переменной y. Значения переменной y зависят от значений переменной х. Значения функции вычисляем, используя возможности Excel: итак, вводим в ячейку В2 формулу, отражающую зависимость переменной y от х; в данном случае это формула =В1^2.

  • Формулу копируем на весь диапазон, используя маркер заполнения.

Получим следующую таблицу:

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

1

X

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

2

Y

49

36

25

16

9

4

1

0

1

4

9

16

25

36

49

  1. Выделяем таблицу.

  2. Вызываем Мастер диаграмм (команда Вставка-Диаграмма).

Тип диаграммы: “Точечная”, легенда не нужна, линии сетки тоже, оформим заголовок “y= x2”, расположим диаграмму на имеющемся листе.

  • Точечная диаграмма позволяет сравнивать пары значений. (Отображает взаимосвязь между числовыми значениями в нескольких рядах и представляет две группы чисел в виде одного ряда точек в координатах x, y.)

В результате получим график (сравните со своим результатом)

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ

3) Переименуйте следующие листы соответственно в “ЗАДАНИЕ 1” и “ЗАДАНИЕ 2” и выполните задания самостоятельно.

ЗАДАНИЕ 1. Построить график функции у =3х2— 4x+1 на промежутке [-6;6] с шагом 1.

ЗАДАНИЕ 2. Построить график функции у = х3 на промежутке [-5;5] с шагом 0,5.2 и копируем её вправо.

  • Получим следующую таблицу:

    • Выделяем таблицу и вызываем Мастер диаграмм. Тип диаграммы: “Точечная”, легенда нужна, линии сетки оставляем, вводим заголовок “Решение системы уравнений”, размещаем диаграмму на имеющемся листе.

    • В результате получим график (сравните со своим результатом):

    Ответ: Решением системы являются точки (-2,5;1,75) и (2,5;1,75)

    ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ

    4) Переименуйте следующие листы соответственно в “ЗАДАНИЕ 3” и “ЗАДАНИЕ 4” и выполните их самостоятельно.

    ЗАДАНИЕ 3. Решить систему уравнений: на интервале [-10;5] с шагом 0,3.

    ЗАДАНИЕ 4. Решить систему уравнений: на интервале [-1;2] с шагом 0,1.

    ОТВЕТЫ:

    Решением системы из ЗАДАНИЯ 3 являются точки (-7,1;9,1) и (1,2;0,8)

    Решением системы из ЗАДАНИЯ 4 является точка (1,2;3,2)

    ИТОГОВЫЙ САМОКОНТРОЛЬ

    5) Переименуйте следующие листы соответственно в “ЗАДАНИЕ 5” и “ЗАДАНИЕ 6” и выполните задания самостоятельно.

    ЗАДАНИЕ 5. Построить график функции у =sin(x) на промежутке [0;6,5] с шагом 0,5.

    ЗАДАНИЕ 6. Решить графически систему уравнений на интервале (0;5) с
    шагом 0,2.

    ОТВЕТЫ

    Решением системы являются

    точки (0,8;0,7) и (3,9;-0,72)

    Лестница в погреб — несколько вариантов для самостоятельного строительства

    Хозяева практически каждого частного дома при любой имеющейся возможности стараются обзавестись погребом или обустроенным подвалом для хранения домашних заготовок, овощей и фруктов. Ну а для того чтобы туда попасть, естественно, необходима лестница. Поэтому любой домовладелец, занимаясь постройкой и оборудованием этого полезного помещения, сразу же задумывается об удобном и надежном спуске в него.

    Лестница в погреб

     

     

    Лестница в погреб может быть сооружена из различных материалов, и довольно сильно отличаться своей конструкцией. Конкретная модель  выбирается в зависимости от имеющихся условий установки и от ряда других важных критериев. Давайте рассмотрим вопросы строительства такой лестницы более подробно.

    Критерии выбора конструкции лестницы в погреб или подвал

    Выбирая конструкцию лестницы для сообщения с погребом, необходимо учитывать некоторые нюансы, которые напрямую влияют на комфортность и безопасность ее использования.

    • Принимается во внимание площадь помещения погреба, а точнее, та ее часть которая может быть выделена под установку лестницы. От этого параметра зависит угол уклона лестничного марша, общая его длина, возможные размеры ступеней.
    • Имеет очень большое значение качество внутреннего обустройства подвала или погреба. И в первую очередь то, насколько этот подземное помещение просушено и защищено от влаги, которая является деструктивным фактором практически для любого материала. Тем не менее, некоторые из материалов более стойко выдерживают ее воздействие, другие же разрушаются буквально за несколько месяцев. Поэтому рекомендуется произвести тщательную гидроизоляцию всех поверхностей погреба, а также обустроить в нем эффективную систему вентиляции.
    • Всегда одним из важнейших определяющих факторов становится надежность самой конструкции, максимальное удобство и безопасность ее эксплуатации. Сразу должны планироваться к установке предусмотренные для этой цели приспособления, например, перила, поручни, ограждения или другие детали, за которые можно ухватиться. Никогда нельзя забывать о том, что очень часто по лестнице в погреб придется подниматься и спускаться, держа в руках довольно массивный груз в виде банок, сумок, коробок. Для этого-то погреб и предназначен.
    • Ну и, конечно же, одним из критериев выбора модели становятся финансовые возможности владельца дома. Некоторые конструкции — весьма сложны, и могут обойтись в очень даже приличную сумму, особенно если нет возможности смонтировать их собственными силами.

    Материалы для изготовления лестниц в погреб

    От того, какой материал будет выбран для изготовления лестницы, во многом зависит длительность ее эксплуатации. Естественно, он должен обладать стойкостью ко влажной среде — такова специфика погреба. Правда, следует помнить и о том, что сегодня в специализированных магазинах можно найти специальные пропитки, грунтовки или краски, которые предназначены именно для защиты различных материалов от влаги.

    Итак, пройдёмся по популярным материалам для подвальной лестницы.

    Кирпичные лестницы требуют немалой площади повала или погреба, нуждаются в хорошо отсыпанном и утрамбованном основании. Применяются на практике довольно редко.

    • Кирпичная лестница. Кирпич для постройки лестницы используется довольно-таки редко, и только в том случае, когда помещение погреба имеет достаточно большую площадь, а основание, то есть сам спуск, можно, например, отсыпать грунтом. Кладка кирпича и армирование поверхностей ступеней производится бетонным раствором. Иногда угол ступени дополнительно укрепляется металлическим уголком.

    Лестница, построенная из кирпича, прослужит длительный срок и станет вполне комфортным спуском в погреб и подъемом из него. Некоторые владельцы домов, построившие подвальную лестницу из кирпича, используют края ее ступеней для хранения домашних заготовок, в качестве импровизированных полок.. Кроме этого, под лестницей можно обустроить ниши, которые также используются для хранения различных продуктов.

    Однако, подобная постройка абсолютно не подойдет для маленького погреба. Ну а если она выбирается для большого помещения, то надо быть готовым к весьма масштабно работе и немалым финансовым затратам.

    • Бетонная конструкция. Бетон вполне можно отнести к материалам, стойким к воздействию влаги, и лестница, построенная из него, прослужит долго. Однако, такая конструкция, так же, как и лестница из кирпича, не может быть установлена в маленьком подвале, который расположен под домом. А вот для отдельно стоящего погреба она часто становится отличным решением.

    Бетонная лестница – неплохой вариант для крупного погреба, но процесс ее создания потребует много времени и сил

    Но, собираясь к возведению такой лестницы, необходимо заранее знать, что это достаточно трудоемкий и длительный процесс. Потребуются немалые физические усилия. – бетонный раствор тяжел сам по себе, а кроме того, придется немало повозиться еще и с армированием конструкции перед заливкой.

    • Деревянные лестницы. Древесину можно назвать самым популярным материалом для изготовления различных лестниц, в том числе и ведущих в подвал или погреб. Однако, для изделий, которые будут находиться в помещении с возможно высоким фоном влажности, необходимо выбирать определенный вид древесины, обладающий высокой стойкостью к подобному воздействию. Например, для этой цели хорошо подойдет лиственница, которая имеет высокую плотность, благодаря чему не пропускает влагу внутрь структуры, и совсем не подвержена гниению. Поэтому изделия из нее прослужат очень длительный срок.

    Для деревянной лестницы в погреб особое значение имеет качество используемого материала и правильность его предварительной обработки

    Но все равно, какая бы порода древесины ни использовалась, материал необходимо обработать раствором антисептика, хорошо просушить, а затем, после сборки конструкции, покрасить масляной краской. Другой вариант обработки — это использование для пропитки древесины знакомой всем олифы, которая является основой для масляной краски, а также хорошим натуральным антисептиком для древесины.

    Цены на деревянные лестницы

    деревянная лестница

    Деревянная лестница может иметь разную конструкцию, поэтому этот материал подойдет для постройки спуска в любой по площади погреб. В связи с этим дерево чаще всего и используется для постройки лестниц. Кроме того, оно же, после соответствующей обработки, пойдет для монтажа стеллажей для заготовок, устанавливаемых во влажных помещениях подвалов и погребов.

    • Металлическая лестница. Спуск в погреб, изготовленный из металлических деталей, можно назвать вторым по популярности вариантом. Такую лестницу изготавливают из стальных уголков, швеллера, профилированной или обычной трубы, арматурных прутов, а также из листового металла толщиной в 4÷5 мм. Удобство таких лестниц в том, что их можно «подогнать» под погреб любой площади.

    Если есть устойчивые навыки сварочных работ и не пугает высокая цена на материал, то вполне можно изготовить металлическую лестницу, которая подойдет для любого по площади погреба

    Однако, если заниматься изготовлением металлической лестницы самостоятельно, то необходимо иметь весьма неплохие навыки выполнения сварочных операций. Стоимость материала для такой лестницы достаточно высока – металлопрокат дешевым по нынешним временам не назовешь. Ну а если же для ее изготовления будет приглашен еще и профессиональный сварщик, то за его работу тоже придется заплатить немало.

    Металл, безусловно, очень долговечный материал. Но если не предусмотреть для него надежной защиты, то временем коррозия начинает свою негативную работу, превращая его в труху. Поэтому, изготовив лестницу или каркас для нее из металла, необходимо сразу же покрыть его специальной краской, которая сможет защитить поверхность, а значит и всю структуру материала от воздействия коррозии.

    Комбинированный вариант лестницы: в конструкции использованы металл для основания (косоуров) и доски для ступеней.

    • Комбинированный вариант лестницы. Чаще всего встречаются лестницы, при изготовлении которых используется несколько материалов. Этот вариант стоит на втором месте по популярности после древесины, так как он самый долговечный в эксплуатации и удобный в изготовлении. Например, распространённой является конструкция, в которой несущий каркас изготавливается из металла, а ступени лестницы нарезаются из толстой доски. Удобство такой лестницы состоит в том, что при выходе из строя одной из ступеней, ее легко можно заменить на новую, открутив или даже срезав ее с каркаса.

    К комбинированным изделиям можно отнести и бетонную лестницу с настилом на ее ступени деревянной доски.

    Разнообразие конструкций лестниц для погреба

    Конструкцию лестницы в погреб в основном определяет отведенная для нее площадь. Поэтому далее будут рассмотрены несколько вариантов, традиционных и не совсем, обустроенных спусков.

    Приставная лестница

    Приставная лестница — это достаточно распространенный вариант для обустройства перехода в погреб. Однако, не стоит думать, что приставная лестница — это всего лишь две вертикальные стойки, кое-как скрепленные горизонтальными перекладинами. На самом деле, приставная конструкция вполне может быть вполне надежной, долговечной и довольно удобной в пользовании. Для изготовления таких лестниц используются древесина и металл, как «единолично» так и в комплексе.

    • Особенно хорошо подходит приставная лестница для небольшого по размерам погреба. На иллюстрации показана достаточно мощная деревянная лестница, жестко закрепленная в верхней и нижней части. Вертикальные стойки изготовлены из доски толщиной в 40 мм, в которую врезаны ступени толщиной в 30÷40 мм, имеющие удобную для подъема и спуска конфигурацию.

    Приставная лестница, полностью выполненная из качественной толстой доски. Обратите внимание на конфигурацию ступеней, а также на то, на каком «пятачке» эта лестница вписалась.

    Для того чтобы было удобно держаться, спускаясь в погреб или поднимаясь из него наверх, лестница закреплена на определенном расстоянии от стены, вдоль которой она установлена.

    В данном случае обустроен совсем небольшой по периметру погреб. Стеллажи расположены по стенам буквально на расстоянии вытянутой руки, то есть, находясь на лестнице, можно достать банку с любой полки.

    Та же лестница, несколько в другом ракурсе — наглядно видно, насколько она хороша для небольшого погреба.

    На данной иллюстрации хорошо видна не только сама лестница, но и обустройство всего погреба. В верхней его части расположены стеллажи для банок с заготовками, а на полу, под стеллажами и лестницей, можно обустроить короба для овощей, или же там можно разместить мешки с ними.

    • Еще один вариант приставной конструкции, в которой в качестве подставки под ступени используются две тетивы. Однако, она также является приставной, так как не имеет других опор, кроме пола погреба и его потолка.

    Несложная в исполнении деревянная лестница для погреба

    Такая лестница также хорошо подойдет для небольшого помещения погреба. Однако, для того чтобы взять что-то с нижних полок, придется полностью спускаться на подвальный пол. Так как данная конструкция устанавливается с определенным уклоном, на ней вполне возможно закрепить удобный поручень.

    Цены на металлические лестницы

    металлическая лестница

    Любую приставную лестницу, устанавливаемую под уклоном, рекомендуется оснастить поручнем, который значительно облегчит и обезопасит подъем и спуск в помещение погреба.

    • Приставная лестница может быть изготовлена и из металла, вернее, из арматурного прута.

     

    Конструкция приставной лестницы, сваренной из арматурных прутьев

    Причем, гладкий прут использовать для этой цели не рекомендуется, так как он вполне может проскальзывать под ногами. А это достаточно опасно, особенно тогда, когда в руках находятся банки с заготовками.

    Если для изготовления деревянной модели лестницы могут быть использованы инструменты, которые есть практически у каждого хозяина частного дома, то для того, чтобы сделать металлическую конструкцию, необходимо иметь сварочный аппарат. Ну и, конечно, уметь с ним работать.

    Маршевая лестница

    Безусловно, самой удобной конструкцией является маршевый вариант лестницы. Но, к сожалению, она доступна для обустройства только в достаточно крупных погребах и подвалах. Для действительно больших подвалов обычно устанавливается один лестничный марш. Для помещений поменьше могут выполняться два, размещенные под прямым углом и соединенные между собой забежными ступенями.

    Забежные ступени, соединяющих два перпендикулярных или противоположно направленных пролета маршевой лестницы

    Маршевая лестница может быть возведена полностью из дерева, кирпича, бетона или из нескольких материалов. Чтобы изготовить лестницу из бетона, для нее потребуется надежное армирование, довольно сложная опалубка. Практикуется также внешнее укрепление конструкции металлическим уголком. 

    Металлический каркас – участок перехода от забежных ступеней к маршевому пролету

    Другим вариантом маршевого спуска может стать металлический каркас, с закрепленными на нем деревянными ступенями. Такая лестница, благодаря своей конструкции, будет хорошо проветриваться, что значительно продлит срок ее эксплуатации.

    Отличительными положительными особенностями любой маршевой лестницы являются возможность организации пологого уклона, комфортная ширина ступеней, а также их расположение, оптимальное для постановки ноги. Для удобства эксплуатации маршевой лестницы, выстроенной вдоль стены, рекомендовано оградить ее другую сторону перилами. Если же маршевая лестница не примыкает к стене, то ее необходимо, в целях безопасности, оградить перилами с двух сторон.

    Винтовая лестница

    В некоторых случаях для спуска в подвал выстраиваются винтовые конструкции лестниц. Обычно их устанавливают в тех случаях, когда нет возможности обустроить другой вариант конструкции, просто из-за катастрофического «дефицита» свободного места.

    При выраженной недостаточности места в погребе или подвале иногда прибегают к обустройству винтовой лестницы

    Чаще всего винтовая лестница устанавливается примерно по центру погреба, а стеллажи и полки для банок или другой тары с заготовками располагаются по стенам, вокруг неё. Такая планировка очень удобна, так как, не сходя с лестницы, можно взять с полок все необходимое. Под самым нижним поворотом винтовой конструкции можно установить короб для хранения корнеплодов, однако, для того, чтобы зайти за стойку, на которой закреплены ступени, необходимо оставить место для прохода.

    Принцип устройства винтовой лестницы

    Винтовая лестница представляет собой конструкцию, состоящую из центральной опорной стойки и ступеней, которые могут быть закреплены на ней разными способами, в зависимости от материала изготовления. Например, в металлической конструкции стойку делают из стальной трубы, на которую привариваются каркасные элементы ступеней. Затем, они могут быть накрыты доской, металлическим листом, вырезанным по форме, или же арматурными прутами.

    Деревянный вариант винтовой конструкции состоит из деревянной стойки необходимого диаметра и врезанными в нее деревянными ступенями. Как одна, так и другая лестница должна быть ограждена перилами, которые не только сделают ее более безопасной, но и станут держателями свободной, широкой стороны ступеней.

    К положительным качествам винтовой конструкции можно отнести оптимальное использование пространства помещения в определенных условиях. Ну а самым большим «минусом» подобной лестницы является неудобный спуск и подъем по ней, особенно с определенным грузом в руках. Так, чтобы поднять несколько банок, которые стоят на нижних полках погреба, придется несколько раз спускаться и подниматься, то же самое придется проделать при спуске продуктов в погреб. При этом объемный предмет опустить или поднять по винтовой лестнице не получится. Согласитесь, не слишком удобно для погреба, так как в него все время приходится что-то опускать, а затем, со временем, поднимать наверх.

    Основные расчеты для изготовления лестницы в погреб

    От точности проведения расчетов конструкции и от соблюдения правил, которым она должна соответствовать, зависит безопасность и длительность эксплуатации лестницы. В связи с этим, при ее проектировании и изготовлении необходимо учитывать и соблюдать некоторые моменты:

    • Пролеты лестницы не должны отличаться своей шириной, на всем протяжении. Стандартная ширина лестничной конструкции для погреба обычно составляет 700÷900 мм. Безусловно, если позволяет площадь, этот параметр может быть увеличен, но в пределах разумного.
    • Если лестница имеет несколько маршей, то между ними должна быть расположена площадка длиной в 1400÷1500 мм.
    • Если марши лестницы меняют направление, то они могут быть соединены между собой забежными ступенями. Однако, ширина таких конструкций не должна превышать 1000 мм.

    Цены на ступени для лестницы

    ступени

    Высота просвета маршевой лестницы должна составлять 1900÷2000 мм – чтобы свободно проходил человек среднего роста, без риска удариться головой

    • Чтобы не задевать головой потолок погреба, очень важно просчитать правильный просвет маршевой лестницы. Этим термином обозначают расстояние между ступенями и потолком погреба — он должен превышать рост самого высокого члена семьи на 100÷150 мм, иначе, спускаясь или поднимаясь по лестнице, придется постоянно пригибаться. Если маршевая лестница возводится в строящемся погребе, то рекомендованная высота просвета 1900÷2000 мм.
    • Рекомендованный угол уклона каждого из пролетов должен быть выдержан в пределах 20÷75 градусов. Однако, крутой уклон, составляющий 50 и более градусов, может иметь только приставная конструкция лестницы. Здесь необходимо отметить, что не комфортна для подъема как слишком пологая, так и очень крутая лестница. Поэтому оптимальным вариантом будет угол уклона в 45 градусов.

    На схеме ниже представлена своеобразная «градация» лестниц по крутизне:

    Лестницы различной крутизны обычно имеют конкретное предназначение

    Цветом выделена степень комфортности перемещения по таким лестницам. Темно-зеленый – оптимальный вариант, зеленый – комфортное перемещение. До 45 градусов – вполне приемлемое для жилых помещений. А вот выше (желтый сектор) – по такой лестнице уже особо не «побегаешь», то есть подъем и спуск по ней уже требуют осторожности. Нижний сини сектор — не рассматриваем, так как для погреба такие спуски нереальны.

    Понятно, что в условиях тесного погреба или подвала добиться оптимального угла уклона — задача вряд ли выполнимая. Наверное, излишне объяснять то, что чем меньше уклон лестницы, тем большую площадь она занимает. Это тоже необходимо учитывать, делая ее проект.

    Проследить взаимосвязь крутизны спуска и необходимого места под установку лестницы поможет размещенный ниже калькулятор. Он позволяет подойти к проблеме двояко. Например, есть желание иметь лестницу с выбранным комфортным углом крутизны – сколько же для этого потребуется места. Или, наоборот – исходя из наличия свободной площади определить, какой угол будет задан лестничному маршу – это потребуется, кстати, и для последующих расчетов.

    Калькулятор взаимозависимости угла крутизны лестницы и ее горизонтальной проекции

    Перейти к расчётам

    Чтобы рассчитать длину лестничного пролета (а знать ее необходимо, например, для изготовления косоуров), можно прибегнуть ко всем известной Теореме Пифагора. Высота погреба (подвала) с толщиной перекрытия над ним – известны. Величина горизонтальной проекции лестницы промерена или рассчитана (см. калькулятор выше). То есть катеты имеются — осталось вычислить гипотенузу.

    Можете воспользоваться расположенным ниже калькулятором:

    Калькулятор расчета длины лестничного марша

    • Теперь переходим к параметрам ступеней.

    Основные детали ступеней лестницы и их базовые параметры.

    — Высота всех ступеней на протяжении лестницы должна быть одинаковой.

    — Толщина деревянных ступеней не может быть менее 20 мм, но и это – крайнее значение. Лучше ориентироваться на доску в 30÷40 мм.

    — Высота подъема ступени и ее ширина (см. схему выше) должны быть максимально комфортными и безопасными для перемещения человека.

    Как определиться с этими параметрами?

    А – Можно воспользоваться готовыми таблицами, в которых приведены оптимальные с точки зрения комфортности и безопасности перемещения значения высоты подъема и ширины ступеней. Этих таблиц – немало опубликовано на просторах интернета. Пример одной из них – показан ниже.

    Таблица рекомендуемых размеров ступеней лестницы

    Рекомендуемые размеры ступеней (мм) Угол уклона лестницы (градусы, минуты)
    ширина высота
    400 100 14˚10’
    380 110 15˚20’
    360 120 18˚30’
    340 130 21˚00’
    320 140 23˚10’
    300 150 26˚40’
    280 160 29˚50’
    260 170 33˚10’
    240 180 37˚00’
    220 190 40˚50’
    200 200 45˚00’

    Однако, обратите внимание – обычно такие таблицы ограничиваются «зеленой зоной», то есть оптимальными для жилых помещений углами уклона лестницы. Для погреба или подвала бывает не всегда приемлемо,

    Б – существует так называемая «формула безопасности», помогающая определить соотношение высоты и ширины ступени, исходя из средней длины шага человека. Выглядит она так:

    2h + d = L

    где:

    h — высота ступени;

    d — ширина ступени;

    L — средняя длина шага человека. Обычно она принимается в пределах от 600 до 640 мм, то есть с расчетом на человека среднего роста.

    Таким образом, можно подобрать один параметр ступеней под другой. Например, их ширину в зависимости от планируемой высоты, или наоборот. Считается, что такие размеры обеспечивают наиболее комфортное перемещение, то есть человек не сбивается с привычного своего шага.

    Формула, конечно, неплохая сама по себе, но совершенно очевидно, что она никак не учитывает крутизну лестничного марша. А ведь с ростом уклона удобнее увеличить высоту подъема (до определенных пределов, конечно), с соответствующим уменьшением ширины проступи.

    В – есть более универсальный подход, который учитывает и эргономику движения человека, и крутизну лестничного марша. Кроме того, расчет можно произвести и под длину собственного шага – скажем, человек высокого роста вполне может спроектировать лестницу в погреб «под себя».

    Решить эту задачу можно графически или с использованием тригонометрических формул треугольника.

    1. Для графического определение параметров ступеней следует вычертить в удобном выбранном масштабе примерно такую схему (на листе бумаги или в любом графическом редакторе):

    Принцип графического расчета оптимальных значений высоты и ширины ступени

    По оси «Х» откладываются равные отрезки, равные длине шага человека – L.

    По оси «У» — высота подъема ноги. С точки зрения анатомического строения и эргономики движения человека, комфортным для него является подъем ноги на высоту, равную половине длины шага, то есть 0,5×L.

    Теперь соединяем линиями соответствующие точки «шагов» — первого, второго и так далее (показано голубыми линиями).

    Следующим действием проводим из начальной точки отсчета линию, под углом, соответствующим рассчитанному уклону лестничного марша. Для примера показаны два разных уклона – так нагляднее видно, как изменяется высота и ширина ступеней в зависимости от крутизны лестницы.

    Точки пересечения «линий шагов» и линии уклона лестницы покажут внешние края ступеней. От них несложно спроецировать строго вертикальными и горизонтальными отрезками, до их пересечения, профиль самих ступеней. Останется лишь промерить высоту и ширину ступеней на схеме, а затем, зная величину масштаба, привести к реальным значениям.

    Кстати, обратите внимание еще на одну интересную особенность. Если провести линию от высоты шага к длине следующего шага, то она точно укажет на внутренний угол ступени (показано тонкими черными линиями).

    Эту же задачу вполне можно решить и не прибегая к построению графической схемы в масштабе. На помощь приходят тригонометрические формулы треугольника.

    Чтобы понять принцип, выделим крупнее самый нижний фрагмент нашей схемы с первой ступенью (все остальные – точно такие же).

    Схема для расчета высот и ширины ступеней с использованием тригонометрических зависимостей

    Итак, известно, что прямоугольный треугольник, один из катетов которого — вдвое больше другого (L и 0.5×L), то есть, по сути, уклон в 50% илои 1 :2, имеет величину углов примерно 63 и 27 градусов (на самом деле — чуть отличается от круглых значений, но погрешность расчета будет вполне приемлемой).

    Длину шага L можно задать по своему усмотрению.

    Для начала необходимо определить длину отрезка, соединяющего края ступеней, то есть, по сути, гипотенузу треугольника, задаваемого шириной и высотой ступени. На схеме она обозначена красной буквой G. Здесь нам может помочь, например, терема синусов, то есть равенство отношений длин сторон треугольника к синусам противолежащих углов.

    G / sin 63° = (0.5 × L) / sin (27° + α)

    где α – это угол крутизны лестничного марша

    Ну а теперь, определившись со значением G, уже несложно точно рассчитать длину ступени d и ее высоту h.

    d = G × cos α = G × sin (90 – α)

    h = G × sin α = G × cos (90 – α)

    Чтобы не заставлять читателя искать значения тригонометрических функций и проводить самостоятельные вычисления, ниже размещен специальный онлайн-калькулятор, который проведет необходимые расчеты в считаные секунды.

    Калькулятор расчета высоты и ширины ступеней

    • Полученные значения пока еще не являются точными, которые будут использоваться при монтаже. Их придется подгонять под общее количество ступеней, чтобы все они были равной ширины и высоты.

    Согласно правилам расчет количества ступеней производится следующим образом:

    Общая высота лестницы делится на предварительную расчетную высоту ступеней. Полученное значение округляется, обычно в ближайшую сторону. При этом есть одна рекомендация – предпочтительнее, чтобы общее количество ступеней получилось нечетным. Считается, что с точки зрения эргономии человеку намного удобнее и начинать, и заканчивать подъем (спуск) с одной ноги. При подсчете ступеней следует иметь в виду, что в качестве верхней нередко рассматривают уже саму поверхность пола – здесь есть возможность «сыграть» в ту или иную сторону.

    Количество ступеней в марше не должно быть мене трех или более шестнадцати. На слишком короткой лестнице легко оступиться. А слишком большой подъем трудно преодолеть «одним махом», без передышки на площадке.

    Когда с количеством ступеней есть ясность, можно уже точно определить их высоту и длину, стараясь по максимуму приблизиться кполученным оптимальным значениям.

    • Нередко при больших углах крутизны спуска необходимое количество ступеней по своей ширине просто не вписываются в горизонтальную проекцию лестницы. А допускать ширину менее 200 мм – нельзя. Поступают в этих случаях по-разному.

    Различные способы увеличить ширину ступени до приемлемого размера.

    — Самый распространенный вариант: каждая ступень имеет небольшой выпуск проступи над подступенком нижележащей. При этом максимальная величина этого выпуска не должна быть более 50 мм.

    — Другой способ – подступенки выполняются скошенными, тем самым увеличивая ширину ступеней при той же длине лестницы в плане. Величина этого скоса также не должна превышать 50 мм.

    — Наконец, вариантом может стать и полное отсутствие подступенков – тогда при постановке ноги она не будет упираться впереди и получит полноценную опору на проступи.

    Вариант можно выбрать, исходя их конкретных особенностей конструкции, из имеющихся возможностей. А нередко во внимание принимается и эстетическая сторона. Правда, для лестницы в погреб это не является актуальным.

    Цены на популярные модели бензопилы

    • Высота перил лестницы, если они предусматриваются конструкцией, выбирается в зависимости от роста владельцев дома. Она может варьироваться от 800 до 1000 мм.
    • В пространство между лестницей и перилами необходимо обязательно установить балясины — традиционные элементы ограждения. Они обычно монтируются с шагом от 120 до 200 мм.

    Проведя необходимые расчеты, можно составить окончательную схему и даже сборочный чертеж своей конструкции. А примеры изготовления различных лестниц в погреб — будут рассмотрены ниже.

    Изготовление лестниц в погреб своими руками

    Далее будут рассмотрены процессы монтажа несколько вариантов лестниц. Правда, без расчета количества материала, так как оно все же определяется для каждого конкретного случая по индивидуально составленному чертежу. Однако сам принцип изготовления — рассмотреть вполне возможно.

    Металлическая лестница

    Существует немало металлических конструкций лестниц — это приставные, винтовые и маршевые. В данном случае, будет рассмотрен маршевый вариант. Причем, данная конструкция может быть использована для того, чтобы сделать не только полностью металлическую, но и комбинированную лестницу. Это означает, что ее ступени могут быть изготовлены как из металла, так и из дерева.

    В принципе, не особо сложная (для домашнего мастера, обладающего навыками сварки ) металлическая лестница в погреб

    Итак, для изготовления такой лестницы потребуются следующие материалы.

    • Стальные швеллеры №10 потребуются для основы (для тетив). На них будут закреплены ступени.
    • Стальной уголок размером 50×50 мм толщиной в 4÷5 мм — для изготовления каркаса ступеней. Кроме него, потребуется более мощный уголок размером 100×100 мм, который будет закреплен на перекрытии пола в верхнем помещении. Он будет армировать край и послужит основой для приваривания верхних сторон швеллера.
    • Листовой металл толщиной не менее 3 мм – если ступени будут изготавливаться из него.
    • Арматурный прут диаметром в 7÷8 мм – если ступени будут иметь решетчатую конструкцию.
    • Доска толщиной в 25÷30 мм – для деревянных ступеней
    • Болты для закрепления досок, если они будут выбраны для покрытия ступеней.
    • Бетонный раствор  — для бетонирования основания лестницы в полу погреба.
    • Антикоррозийная краска для металла и антисептический раствор для древесины.

    Из инструментов необходимо подготовить:

    • Сварочный аппарат — это основной инструмент, без которого вообще ничего не получится.
    • Электрическую дрель со сверлом по металлу и дереву.
    • Угло-шлифовальную машинку («болгарку») — для резки металла и обработки заготовок.
    • Набор гаечных ключей или мощный шуруповерт для вкручивания болтов, которыми на каркасе будут зафиксированы доски.

    Работы проводятся в следующем порядке:

    • Согласно составленному чертежу и размерам, проставленным на нем, подготавливаются детали для сборки лестницы. Их отмеряют и нарезают с помощью болгарки.

    Первым шагом готовят несущие детали – тетивы, которые лучше всего изготовить из швеллера

    • Сначала подготавливается швеллер, так как тетивы лестницы необходимо установить в первую очередь. Отмеряя нужную длину стального профиля, необходимо учесть, что его нижняя сторона должна быть утоплена в бетонный пол примерно на 150÷200 мм. Сверху тетивы должны быть приварены к мощному уголку, закрепленному на проеме в перекрытии. Уголок может быть заложен при бетонировании перекрытия или же фиксируется на нем с помощью болтов.

    Необходимо сказать, что вместо уголка на проем может быть установлен и более широкий швеллер, имеющий ширину, равную толщине перекрытия (если это возможно в имеющихся условиях). Он как бы надевается на его край перекрытия и закрепляется сквозным креплением с помощью сварки.

    • Однако, прежде чем капитально приварить швеллер в верхней части к обрамлению проема, его необходимо закрепить в полу. Если стяжка в полу еще не обустроена, то для основания лестницы выкапывается небольшой котлован, в который засыпается щебень. затем на него устанавливается края швеллера, которые, чтобы они под нагрузкой не просели в грунт, рекомендовано связать металлической полосой, уголком или отрезком того же швеллера. Эту нижнюю опорную перекладину (чем ее площадь будет больше – тем лучше) фиксируют к тетивам сваркой.
    • После этого можно залить бетонный раствор, выведя его до уровня пола. Впрочем, это не поздно будет сделать и потом, уже после монтажа всей лестницы. Тогда бетон будет спокойно набирать прочность, если его не тревожить в первые пару недель после заливки
    • После того как нижние концы тетив будут зафиксированы, их необходимо приварить в верхней части к размещенному на перекрытии обрамлению (уголку или швеллеру). Крепление должно быть надежным, поэтому используется сплошной сварочный шов.
    • Кстати, чтобы снять часть нагрузки с перекрытия, вполне можно дополнительно зафиксировать лестницу на боковой или задней стене, предусмотрев для этого опоры или кронштейны.
    • Далее, зафиксированные, стоящие точно параллельно тетивы из швеллера необходимо разметить под монтаж вертикальных стоек, которые зададут высоту ступеней (без учета покрытия). Намечаются и места фиксации горизонтальных перекладин, которые сформируют ширину ступени. Все в соответствии с заранее просчитанными размерами. Кроме того. будут привариваться горизонтальные связи (перемычки) по краям ступеней – на самом их выступе и по нижнему краю «виртуального» подступенка — так, как показано на иллюстрации ниже.

    Вариант металлического каркаса лестницы

    • Следующим шагом, из уголка нарезаются детали для стоек и перекладин и перемычек.
    • Далее, следуют сварочные работы, в соответствии с выбранной схемой каркаса.

    Иной вариант металлического каркаса лестницы. Для стоек использована профильная труба, а для перемычек – уголки, становящиеся полками, на который потом будут крепиться деревянные ступени

    • Затем, когда сварочные работы будут завершены, необходимо произвести зачистку всех сварных точек и швов, иначе они могут стать помехой при закреплении покрытия ступеней. Впрочем, удаление шлака и последующая зачистка швов – это всегда «визитная карточка» добросовестного сварщика.
    • Далее, если планируется обустроить на лестнице ограждение, то к тетивам или каркасу ступеней привариваются стойки-балясины, роль которых могут выполнять арматурные пруты. А сверху они связываются перилами для них может быть использована обычная или профильная труба.
    • Перед тем как перейти к следующему этапу работ, все металлические детали лестничного каркаса рекомендовано покрыть специальным антикоррозийным покрытием и модно сразу же окрасить, если это планировалось. Сварочных работ больше не будет, так что краске обгорание уже не грозит.

    Цены на популярные модели шуруповертов

    Вариант крепления деревянных ступеней к металлическому каркасу лестницы

    • Следующим шагом на стальной каркас необходимо закрепить проступи ступеней (если это предусматривалось проектом. Для этой цели в доске и уголке размечаются и высверливаются отверстия для крепежных болтов.

    Необходимо подчеркнуть, что деревянная поверхность лестниц более безопасна, нежели металлическая.

    • Если планируется ступени сделать металлическими, то для этого из стального листа толщиной не менее 3 мм нарезаются фрагменты необходимого размера. Затем их надёжно прихватывают к каркасу сваркой в нескольких местах. Сплошной шов в данном случае — не обязателен. После этого сварные швы зачищаются «болгаркой». Чтобы не оставалось никаких помех для постановки ноги и не было вероятности споткнуться на неровности.

    Некоторые мастера вместо листового металла для обустройства ступеней используют арматурные прутья, которые привариваются к уголку каркаса поперек проступи. Возможно, так будет чуть дешевле (и то – под вопросом), но сварочных работ явно прибавится, так как прутья придётся приваривать довольно часто, с шагом в 15÷20 мм.

    Деревянная лестница в погреб

    С деревом работать намного проще. Оно легче, и если в домашней мастерской нет специального оборудования для его обработки заготовок, то детали можно приобрести уже в подготовленном к монтажу виде.

    Поэтому древесина чаще всего выбирается для постройки лестниц любой конфигурации — это может быть приставная, маршевая или винтовая конструкция. Однако, в последнее время народные умельцы изобретают и собственные модели лестниц, подгоняя их «под себя» и делая их максимально комфортными для спуска.

    Оригинальный вариант деревянной лестницы-шахты

    На иллюстрации ниже представлена деревянная лестница, с которой, наверное, невозможно упасть, так как она представляет собой узкий вертикальный «коридор».

    Такая вертикальная лестница-шахта занимает минимум пространства погреба

    Конструкция данной лестницы состоит из четырех вертикальных стоек-брусьев, скрепленных между собой поперечинами. На эти перемычки укладываются складные ступени, закрепленные на вертикальных стойках с помощью цепей или же металлическими подвижными креплениями. В нижней части, где находится выход из такой «шахты», и нет поперечных креплений, для укладки ступеней предусмотрены небольшие опорные бруски.

    Один из вариантов складной ступени с опорой на горизонтальный брусок

    Лестница может быть установлена в любом по площади помещении погреба. Или же, как вариант –даже в узкой «шахте», соединенной с погребом проемом, расположенном в нижней части данной конструкции.

    Вот так примерно эта конструкция выглядит снизу доверху

    Ступени открываются по ходу спуска вниз, а при подъеме закрываются, прижимаясь к вертикальным стойкам.

    Упасть с такой лестницы, наверное, вообще невозможно

    Удобство данной конструкции состоит в том, что человек, находясь в таком спуске—«коридоре», не может упасть. Он даже, при желании или необходимости, может присесть на одну из ступеней. Поднимаясь по такой лестнице с грузом в руках, его можно также временно ставить на складные ступени.

    Этот вариант конструкции, как уже упоминалось, может быть установлен и по соседству с помещением погреба. То есть для ее монтажа необходимо будет вырыть котлован, такой же глубины, что и погреб. Но его размеры по ширине должны быть подогнаны под ширину лестницы, с учетом укрепления, гидроизоляции и облицовки грунтовых стен.

    Изготавливая такую лестницу, необходимо учесть прочность ее элементов, которые должны быть рассчитаны на вес владельцев погреба.

    Видео: Супер-компактная и безопасная деревянная лестница в погреб

    «Классический» вариант — деревянная маршевая лестница

    Выше представленная модель лестницы хороша тогда, когда необходимо сэкономить место погреба. Или же приходится буквально «выкраивать» строительные материалы на ее постройку. Безопасность – безопасностью, но вот  комфортным спуск и подъем по ней – никак не назовешь.

    Самой удобной для повседневного пользования все же остается маршевая лестница, основой которой являются тетивы (косоуры). И лучше, если она будет установлена под углом в 40÷45 градусов. Выбирая этот вариант, важно точно просчитать размеры основы, так как она должна выдерживать вес ступеней, массу человека и груза.

    Самая удобная в плане эксплуатации, безусловно — маршевая деревянная лестница

    Косоур может быть изготовлен из целой доски, в которой размечается и вырезаются подставки (зубья) под закрепления проступей.

    Не всегда есть возможность отыскать цельную доску для косоура. Значит, можно поставить «зубья» из дополнительных деталей – «кобылок»

    Но надежную широкую доску найти достаточно сложно. Поэтому для закрепления ступеней часто применяется вспомогательная деталь, так называемая «кобылка», которую закрепляют на целой доске с помощью дюбелей или шкантов.

    Итак, для изготовления такой лестницы потребуется:

    • Две доски шириной 250÷300 мм, толщиной в 35÷40 мм. Длина определяется на месте, учитывая их упор в перекрытие и в пол погреба. Расчет длины, кстати, был показан выше с приложением калькулятора.
    • Для ступеней потребуется доска толщиной как минимум в 20 мм, шириной в 200÷250 мм. (Зависит, безусловно, от ширины ступеней, но проступь может быть и сборной, например из двух деталей. Цельная, конечно, лучше). Длина досок выбирается в зависимости от ширины марша лестницы, плюс 100÷150 мм.
    • Если планируется обустроить подступенки, для них может быть использована и влагостойкая фанера. Но чаще всего этот элемент исключается из конструкции лестницы для погреба – лучше, чтобы ступени полноценно проветривались, а «красота» здесь ни к чему. Да и экономия материалов получается немалая.
    • Кроме этих материалов, потребуются крепежные элементы, которые необходимы не только для закрепления проступей к косоурам, но и для фиксации самих косоуров на перекрытии, а возможно – еще и на стене. Лучше всего в качестве крепления использовать мощные болты, винты и саморезы. От гвоздей в данном случае, лучше всего отказаться.

    Работы по изготовлению такой лестницы производятся в следующем порядке:

    • Определив угол уклона лестницы и вычислив ширину и высоту ступеней, можно переходить к изготовлению косоуров. На основе определенных параметров ступеней рекомендуется подготовить шаблон, по которому производится разметка вырезов на косоурах.

    Изготовить подобный шаблон — недолго и несложно, а работа по разметке с ним пойдет и быстрее, и точнее

    • Лучше всего, скрепить вместе две доски с помощью струбцин и производить их распил одновременно. Так можно получить абсолютно одинаковые зубья, что очень важно для ровности закрепляемых проступей.

    Еще при приобретении материала, а затем, при проведении разметки, необходимо учитывать, что глубина вырезаемых зубьев не должны выходить за середину доски косоура..

    Еще один вариант шаблона для разметки. По намеченным линиям вырезаются зубья косоура

    • Разметив косоуры, переходят к выпиливанию зубьев. Лучше всего это делать  с помощью электроинструмента: лобзика или ручной циркулярной пилы.
    • Следующим шагом косоуры должны быть выставлены на их постоянное место. Если одна сторона лестницы будет прилегать к стене, то сначала косоур закрепляется на ней так. При этом контролируется горизонтальность вырезанных зубьев – с помощью уровня. При правильно проведенных предварительных замерах и основанных на них расчетах – сколь-нибудь существенной ошибки быть и не должно.
    • После закрепления этой части лестницы, вторую ее сторону необходимо выставить таким образом, чтобы она точно соответствовала той, что зафиксирована на стене. Чтобы они были выставлены правильно, проверку их ровности можно произвести, уложив сверху горизонтальных сторон зубьев ровную доску или уже заготовленные ступени. Сверху них необходимо установить строительный уровень, который покажет неровность, которую необходимо исправить.

     

    Ответственный момент – правильное выставление косоуров относительно друг друга.

    • После выравнивания косоуров, их надежно закрепляют на перекрытии. Чтобы они максимально прочно удерживались в верхней части, можно использовать металлические кронштейны, предназначенные для установки балок перекрытия.

    Вот такие кронштейны помогут надежно укрепить верхние концы косоуров лестницы на перекрытии

    • В нижней части косоуры часто закрепляются на общем брусе, зафиксированном к поверхности пола. Он одновременно будет служить для лестницы упором.

    На зубья косоуров монтируются доски проступей. Подступенки в условиях погреба – вещь не особо нужная

    • Следующая операция – на подготовленную основу прикручиваются доски проступей. Чтобы на досках не образовывались трещины, перед тем, как закручивать в них саморезы, рекомендовано просверлить в них отверстия меньшего диаметра, чем размер крепежа.
    • Далее, если планируется монтаж поручней или ограждений, то в первую очередь необходимо установить балясины.

    Ограждение лестницы – важный элемент обеспечения безопасности ее эксплуатации

    Безусловно, удобно и более безопасно перемещаться по лестничному маршу, если есть возможность опереться рукой. А особенно важны ограждения, если лестницей пользуются дети или люди почтенного возраста. Подробнее об установке балясин на деревянную лестницу – читайте в специальной публикации нашего портала.

    Завершающим этапом идет обработка древесины антисептическими составами ее просушка и покраска.

    Лестница в погреб, например, в гараже, может иметь и совсем простую конструкцию. Пример тому – в предлагаемом видеосюжете

    Видео: Простая, но надежная деревянная лестница в гаражный погреб

    Бетонная лестница

    Бетонная лестница — хорошее решение для капитального погреба, но нужно быть готовым к довольно масштабным работам

    Бетонная лестница долговечнее металлической или деревянной конструкции и хорошо подойдет для такого помещения, как погреб. Устанавливать бетонную конструкцию лучше всего одновременно с постройкой погреба, так легче будет доставлять в нижнюю часть дома строительные материалы, в том числе и бетонный раствор.

    Итак, для работы потребуются следующие материалы:

    • Цемент, песок и гравий или же готовый бетонный раствор.
    • Арматурная сетка или же арматурные прутья и проволока для их связывания.
    • Доски и фанера для опалубки.
    • Полиэтиленовая пленка для гидроизоляции опалубки.
    • Саморезы для соединения деталей опалубки.

    Работы по обустройству этого сооружения проводится в следующем порядке:

    • Первым шагом необходимо построить опалубку для заливки бетона. Она состоит из основы или хребта, боковых стенок и подступенек.
    • Сначала из фанеры или досок формируется основание, на которое будут закрепляться остальные детали опалубки. Основа монтируется под заранее рассчитанным углом. Так как на нее будет приходиться большая нагрузка, необходимо организовать для нее надежные опоры.

    Постройка основы (хребта) опалубки под бетонную лестницу.

    • Опалубка для лестницы может выглядеть так, как представлено на фото или же в ее боковинах сразу же вырезаются зубья, определяющие ступени.
    • После того как основа будет построена, ее дно и стенки застилаются плотным целым полотном полиэтилена, так, чтобы все зазоры между стенками опалубки были герметично закрыты.
    • Следующим шагом дно опалубки необходимо армировать. Для этого на полиэтилен выкладываются арматурные пруты вдоль и поперек лестницы, которые образуют решетку. Арматура на пересечении связывается проволочной скруткой. Расстояние от нижнего края заливаемой лестницы до армопояса – не менее 30 мм. Для обеспечения этого расстояния можно использовать специальные пластиковые вставки или прочные подкладки из подсобных строительных материалов.
    • После этого монтируются доски, которые сформируют подступенки конструкции. их закрепляют на боковых стенках опалубки. Эти перемычки выставляют по строительному уровню, так как ступени должны быть ровными. На каждую из досок необходимо также закрепить полиэтиленовую гидроизоляцию.

    При установке перемычек для образования ступеней, под ними должно остаться место для так называемой рабочей плиты лестницы, то есть сплошной монолитной бетонной конструкции определённой толщины. А эта толщина напрямую зависит от общей длины пролета создаваемого лестничного марша. От этой длины, кстати, зависит еще диаметр и расположение прутов продольного армирования.

    Таблица толщины рабочей плиты, плотности армирования и используемой арматуры

    Длина лестничного пролета, м Минимальная толщина рабочей плиты лестницы, мм Минимальный диаметр арматуры, мм Максимальный интервал между прутами продольного армирования, мм
    2 100 10 190
    3 150 10 170
    4 200 12 150
    4,5 220 12 130
    5 250 12 120
    5,5 270 14 110
    6 300 14 100

    Установлены перемычки опалубки, которые зададут плоскость подступенков. Для надёжности они связаны продольными досками

    • Дополнительно бортики будущих ступеней скрепляются между собой целыми досками, которые располагаются вдоль пролета и прикручиваются сверху.
    • Теперь когда все готово, можно переходить к бетонированию конструкции. И ее необходимо будет провести за один прием. Поэтому оптимальным решение станет заказ необходимого количества раствора (не ниже М200, но лучше, все же М300). Если же бетон будет готовиться по месту, то потребуется вместительная бетономешалка, и необходимо заручиться помощью товарищей, чтобы процесс шел практически без перерывов.

    Как подсчитать, сколько бетона потребуется? Это не столь сложно, если правильно представить всю геометрию лестницы.

     

    S – ширина лестничного марша. Она выдерживается единой на всем его протяжении и уюет общей для всех участков конструкции.

    М – длина лестничного марша (без учета опорных площадок). Ее определить поможет калькулятор, размещенный выше.

    Как правило, бетонные лестницы предполагают наличие опорных площадок (по крайней мере одной – сверху, в зоне стыковки с перекрытием. Р – длина этой площадки, Т2 – ее толщина.

    Т1 – толщина рабочей плиты бетонной лестницы.

    На схеме не проставлены размеры ступеней – их высота и ширина. Но об этих параметрах уже достаточно много говорилось выше. Эти значения, наряду с количеством ступеней, также потребуются для проведения расчета.

    Обладая базовыми знаниями в геометрии, несложно вычислить  объём создаваемой лестничной конструкции. Но мы вам поможем и в этом, облегчим задачу – вычисления проведет предлагаемый онлайн-калькулятор. Он же, кстати, одновременно покажет количество необходимых ингредиентов для самостоятельного приготовления требуемого количества бетона. При этом сразу учитывается и необходимый 10-процентный запас.

    Калькулятор расчета бетона М300 для заливки монолитной лестницы

    Перейти к расчётам

    •  В опалубку заливают бетонный раствор, начиная от нижней ступени и последовательно перемещаясь верх.  Чрезвычайно важно выгнать все пустоты, добиться максимальной плотности заливки, чтобы конструкция не теряла в своей прочности. Для этого лучше всего использовать глубинный вибратор. Если его нет – то очень тщательно штыковать заливаемый раствор лопатой и отрезком толстой арматуры, чтобы вышли все воздушные пузыри. После того как раствор от штыкования просядет, то есть обеспечится плотность заполнения рабочей плиты пролета, на ступени добавляется недостающее количество бетона. Поверхность ступеней после этого тщательно выравнивается со снятием излишков и заглаживается. Для этого используют правило или широкий шпатель.

    После заливки бетонного раствора, поверхности ступеней выравниваются в горизонтальной плоскости

    Скорость, конечно, важна, но к заливке очередных ступеней переходят лишь после того, как будет полная уверенность в качестве заполнения нижележащих участков.

    • Чтобы бетон хорошо схватился и качественно вызрел, первую неделю рекомендуется ежедневно проводить обильное увлажнение залитой конструкции. К съемке опалубки лучше всего приступать не ране, чем через две недели после заливки (при нормальны условиях созревания, то есть при температурах выше +10÷15 градусов.

    Демонтаж деталей опалубки производится в следующем порядке:

    — сначала с опалубки снимается боковины;

    — спустя 10÷15 дней демонтируются все остальные элементы конструкции.

    После этого ступени необходимо отшлифовать, при необходимости – зашпаклевать выявленные неровности, и еще раз отшлифовать. Если планируется дополнительная отделка ступеней — покраска или облицовка плиткой или древесиной, то ее необходимо производить через две÷три недели после снятия последних элементов опалубки.

    Выбирая для погреба вариант бетонной лестницы, необходимо подготовиться к достаточно большим расходам. Сюда можно отнести и покупку материалов, и оплату труда бригады строителей, если самостоятельно произвести постройку такой непростой конструкции видится затруднительным.

    *  *  *  *  *  *  *

    Теперь, когда известны все этапы обустройства лестничной конструкции, остается сделать выбор ее модели, приобрести материал и приступать к постройке. Однако, для начала необходимо реально оценить свои силы, а также практические и финансовые возможности. А при необходимости — включить в смету еще и оплату работы профессиональных строителей.

    Без Потери Данных, Через Гугл, Сбросом Настроек до Заводских

    Пароль, пин-код или графический ключ стоит на экране блокировки практически у каждого владельца смартфона. Но что делать, если вы его забыли и не можете получить доступ к данным устройства? Первое – прекратите панику. Второе – прочтите данную статью, в ней мы изложили самые действенные способы, которые помогут разблокировать гаджет на базе Android.

    Сброс Дигма до Заводских Настроек для Разблокировки – Способ #1

    Если вы перепробовали все способы, и ничего не помогает либо, если вас не волнует сохранность данных на вашем устройстве, можно осуществить hard reset – сброс к заводским настройкам.

    • Выключите девайс.
    • Достаньте из него карту памяти.
    • Перейдите в режим Recovery с помощью одновременного зажатия одной из комбинаций:
    • уменьшение звука + питание;
    • увеличение звука + питание;
    • увеличение звука + питание + «Домой»;
    • уменьшение звука + питание + «Домой»;
    • увеличение звука + уменьшение звука + питание.
    • В открывшемся служебном меню выберите пункт Рекавери. Управление происходит с помощью клавишей громкости.
    • Тапните по команде «Wipe data/factory reset».
    • Подтвердите действие «Yes».

    Через пару минут ваш телефон будет полностью деинсталлирован. Вы получите устройство в том состоянии, в котором его купили (естественно, без пароля).

    В зависимости от модели смартфона Андроид обнуление прошивки или сброс настроек к заводским параметрам осуществляется по-разному.

    Nokia

    Потребуется выполнить следующие действия:

    • Подключить устройство к компьютеру, у которого есть доступ к интернету.
    • Установить приложение Nokia PC Suite. Она позволяет переносить файлы с памяти телефона на жесткий диск и выполнять другие полезные функции.
    • Установить Nokia Unlocker Tool для разблокировки.
    • После распознавания гаджета в программе Nokia PC Suite сразу активировать вторую утилиту.
    • Выполнить запрос кода, чтобы утилита сделала разблокировку техники.

    Если описанный вариант не помогает, тогда нужно обратиться в сервис для решения проблемы.

    Sony Ericsson

    Устройства данного производителя можно разблокировать двумя методами: через кабель и ПК, а также через специальное ПО (SEMCtool_v8.4 или TMS 2.45). В первом случае нужно установить платную программу WotanClient.

    Samsung

    Продукт от этого производителя предлагает после покупки создать аккаунт, который может спасти информацию в памяти, если забыт пароль или графический ключ. Учетная запись доступна после введения логина и пароля. Для начала нужно перейти на сайт Samsung account, открыть вкладку «Контент и сервисы» и найти свое устройство. Нажать на клавишу «Разблокировать экран».

    LG

    Компания LG сделала самую сложную защиту, поэтому для восстановления доступа придется пользоваться специальными кодами. Главная сложность в том, что они сделаны под каждую конкретную модель телефона, поэтому общее решение отсутствует. Рекомендуется обратиться в сервисный центр или магазин, где была произведена покупка. Сотрудники смогут помочь решить сложившуюся проблему.

    HTC

    Удалить пароль с ключом на этих телефонах можно при помощи фирменной утилиты для ПК HTC Sync:

    • Необходимо сделать подключение гаджета к ПК.
    • Установить программу HTC Sync и утилиту Screen Lock Bypas.
    • Перезагрузить девайс и снять блокировку.

    Если после проведенных действий пароль или ключ остается, то рекомендуется повторить процедуру 1-2 раза, пока работоспособность не восстановится.

    Как Разблокировать Дигма Через Гугл Аккаунт – Способ #2

    Если на вашем мобильном устройстве доступно подключение к сети Интернет (через сети оператора или автоматическое подключение к Wi-Fi) и у вас есть Google-аккаунт, то вы можете воспользоваться сервисом «Найти устройство» для разблокировки своего смартфона.

    СПРАВКА: «Найти устройство» от Google – это сервис, который позволяет управлять своим телефоном удаленно, к примеру, когда он потерялся или его украли.

    • Зайдите в свою учетную запись Google через планшет или компьютер.
    • В меню найдите раздел «Безопасность» и перейдите в него.
    • Далее – отыщите пункт «Ваши устройства».
    • Нажмите на «Управление устройствами».
    • Выберите устройство, которое заблокировано, и тапните «Удалить все данные с этого устройства».
    • Подтвердите свое намерение.

    После выполнения всех действий настройки смартфона будут сброшены. Будет необходимо его заново настроить.

    Разблокировка Экрана Дигма с Помощью Гугл – Способ #3

    При наличии на гаджете доступа к сети Интернет, доступ к нему в случае блокировки экрана можно получить через систему Google.

    ВАЖНО: Этим способом могут воспользоваться владельцы смартфонов, версии операционных систем которых не новее Андроид 5.0 (модели до 2014 г.).

    • Введите на экран устройства графически ключ, код или пароль неправильно 5 раз, чтобы появилось сообщение о временной блокировке устройства. Там же должна появиться надпись «Забыли пароль» или что-то подобное.
    • Нажмите на указанную надпись. Вам откроется окно, в котором будет предложено ввести регистрационные данные (пароль и логин) от учетной записи Google, к которой привязано устройство.
    • В случае, если вы забыли пароль и от аккаунта в Google, попробуйте восстановить его одним из доступных способов (кроме «с помощью телефона») через компьютер или планшет.
    • Когда вы введете данные для входа в учетную запись гугл на экране заблокированного смартфона, вам будет предложено придумать новую комбинацию для входа на устройство, и телефон будет разблокирован.

    Звонок на Дигма с Другого Устройства для Разблокировки – Способ #4

    Каждый пользователь смартфонов знает, что чтобы принять вызов телефон, не нужно снимать его с блокировки. Эта хитрость может быть использована для получения доступа к системе гаджета, если вдруг забыли графический ключ или пин-код.

    • Позвоните на свой мобильный с другого номера.
    • Примите входящий вызов на устройстве.
    • После начала разговора телефон разблокируется. Откройте верхнюю шторку уведомлений.
    • Перейдите в «Настройки».
    • Отключите пароль.

    ВАЖНО: Такой способ не подойдет для получения доступа к телефонам нового поколения. Вы можете попробовать им воспользоваться только если у вас очень старый Андроид.

    Удаление Графического Пароля Дигма при Помощи ПК – Способ #5

    Данный вариант действий поможет уберечь данные на смартфоне, если вы забыли цифровой пароль или графический ключ от него. В памяти телефона есть файл, который отвечает за работу графического ключа. Если его удалить, то система не будет спрашивать ключ для входа.

    СПРАВКА: Способ сработает, если на гаджете активен режим Отладки по USB. Его можно включить через «Меню разработчика».

    • Подключите ваше устройство с помощью кабеля USB к компьютеру или ноутбуку.
    • Скачайте и установите программу adb run.
    • Запустите утилиту и введите запрос «adbBLOCK GEST».
    • Подтвердите удаление файла.

    Разблокировка Дигма с Помощью Соединения с Интернетом – Способ #6

    Данный способ разблокировки экрана смартфона также связан с использованием аккаунта Google. Главное не только ввести верные данные для входа в учетную запись, но и обеспечить доступ к Интернету.

    • Перезагрузите устройство.
    • После включения появится «шторка» вверху дисплея. Разверните ее.
    • Тапните «Мобильные данные» или кнопку «Wi-Fi».

    Если выдвинуть «шторку» не вышло, можно воспользоваться системным кодом, для обеспечения соединения с помощью Wi-Fi:

    • Нажмите на кнопку «Экстренный вызов» (она находится на экране блокировки).
    • Введите команду: *#*#7378423#*#*.
    • Перейдите по вкладке Service Tests/ Service Provider.
    • Далее – «WLAN».
    • Выполните соединение с Wi-Fi.

    СПРАВКА: Если доступ к Wi-Fi обеспечить нет возможности, можно вставить в устройство симку с рабочим Интернет-соединением и войти в гугл-аккаунт.

    Разблокировка Дигма Через Опции Smart Lock – Способ #7

    Данный вариант сброса пароля заблокированного экрана возможен только на моделях телефонов не старее 2015 г. (на Android 5.0 и старше). Именно с этого времени на электронных девайсах стала доступна функция Smart Lock.

    СПРАВКА: Чтобы воспользоваться этим методом, вы заранее должны были настроить функцию Smart Lock. Найти опцию можно в настройках гаджета в разделе, отвечающем за экран блокировки и безопасность.

    Функция Smart Lock позволяет установить настройки блокировки телефона в зависимости от трех параметров:

    • «Надежные устройства»;
    • «Безопасные места»;
    • «Физический контакт»/ «Распознавание лиц».
    Надежные устройства Безопасные места «Физический контакт» или «Распознавание лиц»
    Если телефон подключить по Bluetooth к устройству (часы, система связи в авто, другой смартфон, планшет), которое добавлено в список надежных, он разблокируется. Телефон не блокируется или подлежит разблокировке в местах, которые внесены в список безопасных.

    Должен быть включен GPS.

    На различных устройствах представлены разные вариации этой опции.

    ФК – устройство остается разблокированным, пока оно находится в контакте с владельцем (находит в движении).

    РЛ – смартфон блокируется, если признает в вашем лице своего владельца (нужно посмотреть во фронтальную камеру).

    Воспользуйтесь Батарей, Чтобы Разблокировать Дигма – Способ #8

    Снять блокировку экрана гаджета в случаях, если забыли пин-код, можно через систему управления питанием.

    ВНИМАНИЕ: На современных девайсах способ не работает. Попытать удачу с таким методом можно только на старых андроидах.

    • Подождите, пока заряд телефона опуститься до 10-15%.
    • Когда появится сообщение о низком уровне заряда, нажмите на ссылку, переносящую в меню батареи (настройки управления питанием).
    • Оттуда перейдите в раздел безопасности устройства.
    • Отключите пароль.

    Сменить Пароль Дигма С Помощью Программы ADB Run – Способ #9

    Разблокировка с помощью специальной утилиты ADB Run сработает только в случае, если заранее на вашем устройстве была включена отладка по USB.

    СПРАВКА: Отладка по USB используется, чтобы налаживать приложения и изменять параметры на телефоне с ОС Андроид с помощью специальной программы на ПК. Ее можно включить, воспользовавшись скрытым «Меню разработчика». Например, для телефонов с Android ниже версии 7.1 это можно сделать путем следующей цепочки команд: «Меню» – «Настройки» – «О смартфоне» – «Номер сборки». На последний пункт нужно тапнуть 7-10 раз. Далее: «Настройки» – «Для Разработчиков» и ставим галочку рядом с «Отладка по USB».

    • Скачайте на свой ноутбук или компьютер прогу ADB и установите ее.
    • Подключите смартфон к ПК через USB.
    • Откройте утилиту.
    • Нажмите на цифру «6» на вашей клавиатуре – «Unlock Gesture Key». Смартфон должен перегрузиться.
    • Введите на экране телефона новый код.

    ВНИМАНИЕ: Метод сработает не со всеми устройствами.

    Перепрошивка Дигма для Разблокировки Пароля – Способ #10

    Этот способ является универсальным. Он сработает на любой модели смартфона. Суть заключается в том, что операционная система устройства подлежит полной деинсталляции и устанавливается заново. Разумеется, вместе с ОС будут удалены все файлы и данные с устройства (в том числе и заданный пароль).

    Подготовительные действия:

    • зарядите батарею устройства или убедитесь, что на нем есть минимум 50% заряда;
    • узнайте актуальную версию ОС для вашего смартфона («Меню» – «Настройки» – «О телефоне»).

    Вариант 1. Через компьютер

    Есть много программ, с помощью которых можно прошить телефон на базе Андроид: Fastboot, Odin, KDZ Updater, Flash Tool и др.

    • Скачайте одну из указанных прог на свой ПК (лучше осуществить скачивание на диск С, чтобы путь к ней был – C:\Android). Мы рассмотрим процесс на примере Fastboot.
    • Подключите смартфон с помощью USB-кабеля к ПК. Должна начаться автоматическая установка драйверов.
    • Загрузите прошивку, подходящую под версию вашего телефона. Она должна скачаться в архиве zip.
    • Переместите архив в папку C:\Android.
    • Разблокируйте на телефоне бутлоадер:
    • зайдите в меню «Пуск»;
    • в поисковик введите «CMD»;
    • выберите cmd.exe и нажмите по файлу право кнопкой мышее;
    • далее – «запуск от имени администратора»;
    • в командную сроку введите C:\Android\Tools;
    • нажмите Enter;
    • введите команду fastboot devices.
    • Если программа правильно распознала ваш девайс, то появится его код. Это значит, что устройство готово к прошивке. Если высветилось сообщение «waiting for device», нужно отключить устройство и повторно повторить вышеуказанные действия.
    • Если все получилось, введите команду «fastboot update название файла прошивки.zip».
    • Должен запуститься процесс прошивки андроида. Когда процедура закончится, перезагрузите смартфон.

    Вариант 2. Через Recovery

    Recovery – это специальный режим на вашем смартфоне. Чтобы в него попасть, нужно выключить телефон и зажать определенные кнопки.

    СПРАВКА: Для каждой модели устройства на базе Андроид кнопки свои. Это могут быть клавиша питания + прибавления громкости; кнопка Home + питание + громкость вверх и др.

    • Скачайте файл прошивки.
    • Перенесите его в корневую систему смартфона с помощью USB-кабеля.
    • Перейдите в режим Рекавери.
    • Найдите раздел с прошивкой («apply update from externel storage», «apply update from sdcard» и т.п.).
    • Выберите скачанный файл и тапните по нему. Начнется процесс прошивки.

    Вариант 3. Через ROM MANAGER

    Данный способ прошивки не пользуется популярностью, потому что для использования ROM Manager нужны Root-права.

    • Загрузите программу ROM Manager.
    • Скачайте нужную прошивку для своего гаджета.
    • Подключите смартфон к ПК с помощью юсб-кабеля.
    • Откройте утилиту.
    • Скопируйте zip-файл с прошивкой в память своего телефона.
    • В меню программы нажмите на «Установить ROM с SD карты».
    • Найдите архив с прошивкой и тапните по нему.
    • Далее – «Перезагрузка и установка».
    • Поставьте галочку рядом с пунктом «Сохранить текущий ROM» (это позволит восстановить прежнюю версию ОС, если что-то пойдет не так).
    • Подтвердите свои действия кнопкой «Ок».

    ВНИМАНИЕ: Перепрошивка – это радикальный метод. В руках неопытного пользователя он может стать губительным для стабильной работы устройства. Потому, если вы не разбираетесь в смартфонах и не уверены в своих силах, лучше обратиться к специалисту.

    Сбросьте Пароль Дигма с Помощью Aroma File Manager – Способ #11

    Данный способ подойдет для тех устройств, в которых есть SD-карта.

    • Загрузите на ваш ПК менеджер файлов Aroma.
    • Выключите смартфон.
    • Подсоедините Андроид к компьютеру с помощью USB-провода.
    • Откройте карту памяти телефона через проводник на ПК.
    • Скопируйте в корневую папку архив с утилитой Aroma File Manager.
    • Перейдите в режим Рекавери на смартфоне. Для этого нужно зажать кнопки:
    • уменьшение громкости + питание;
    • увеличение громкости а + питание;
    • увеличение громкости + питание + «Home»;
    • уменьшение громкости + питание + «Home»;
    • увеличение громкости + уменьшение громкости + питание.
    • Выполните команды: «Install update from zip file» – «Choose zip from /sdcard»: нужно указать путь до проги Арома. Если все сделали верно, утилита начнет устанавливаться прямо в режиме Рекавери и запустится.
    • Зайдите в пункт «Настройки» проги и установите «Automount all devices on start».
    • Выйдите из режима восстановления.
    • Повторите действие из п. 6.
    • Запустите программу Aroma File Manager.
    • Перейдите в папку «Data Folder», затем – «System Folder».
    • Найдите файл password.key или gesture.key и удалите его.
    • Перезагрузите смартфон. Он должен быть разблокирован.

    Разблокировать в Дигма с Помощью Bypass – Способ #12

    Этот способ подойдет для предприимчивых обладателей Андроид, которые заранее предугадали, что могу забыть пароль и установили на свой смартфон утилиту Bypass. Если такая программа у вас имеется, то разблокировать телефон легко: отправьте себе на номер SMS с текстом 1234 reset. Это все, дальше программа просканирует сообщение, перезагрузит телефон и удалит пароль.

    СПРАВКА: Подобный принцип действия и у приложения Lock Unlocker.

    С Помощью Программы Через Компьютер – Способ #13

    Скачав специальную программу на компьютер и подключив телефон по USB, можно разблокировать пароль на телефоне.

    Tenorshare 4uKey

    Эта утилита позволит удалить блокировку экрану всего за пару минут. Она очень удобна в использовании, потому что процесс работы с ней сопровождается подсказками и пошаговой инструкцией.

    • Скачайте прогу на официальном сайте разработчика.
    • Подключите телефон к ПК с помощью кабеля USB.
    • Запустите программу 4uKey for Android.
    • В открывшемся меню нажмите на «Удалить». Начнется процесс деинсталляции блокировки экрана мобильного.
    • Утилита предупредит вас о том, что для удаления блокировки, придется стереть все данные с устройства. Для продолжения процесса нажмите «ОК».
    • Когда процесс окончен, переведите смартфон в режим восстановления по подсказкам утилиты.
    • Тапните «Далее» и восстановите заводские настройки смартфона по инструкции программы.
    • Перезагрузите девайс.

    iSkysoft Toolbox

    С помощью iSkysoft Toolbox возможно разблокировать Андроид старой версии (с ОС не выше 6.0).

    ВАЖНО: Программа есть только в англоязычной версии.

    • Скачайте и запустите утилиту.
    • Подключите смартфон к ПК с помощью ЮСБ-провода.
    • В меню программы найдите модель вашего смартфона и тапните «Далее».
    • Нажмите на «Старт» и процесс разблокировки будет запущен.

    dr.fone

    С помощью данной утилиты можно сбросить блок с экрана смартфона от брендов Samsung и LG. Эта прога зарекомендовала себя удобством и оперативностью работы.

    • Скачайте программу и установите ее на ваш ПК.
    • Запустите утилиту.
    • Нажмите на «Разблокировать».
    • С помощью кабеля подключите телефон к компьютеру.
    • Тапните «Пуск».
    • В открывшемся окне выберите модель вашего устройства.
    • Нажмите «Далее».
    • Введите текст «подтвердить» и нажмите кнопку с подобной надписью.
    • Следуйте инструкциям программы, чтобы перевести смартфон в режим загрузки.
    • После окончания загрузки утилита удалит блокировку.

    Разблокировка Дигма с Использованием Дополнительного Аккаунта – Способ #14

    Возможность использования данного способа зависит от наличия трех составляющих:

    • на смартфоне должно быть более одного авторизованного пользователя;
    • в учетной записи каждого пользователя должны быть утилита SuperSU;
    • у владельца должны быть root-права.

    СПРАВКА: Root-права дают полный доступ к системе андроид-устройства, в частности, к системным файлам и настройкам от разработчика.

    Конкретный пароль устанавливается на аккаунт одного юзера, благодаря чему возможно получить доступ к телефону через учетную запись другого пользователя.

    • Зайдите в аккаунт второго пользователя.
    • Запустите SuperSU.
    • Тапните на «dataàsystem».
    • Удалите файл с графическим ключом и объекты с расширением db-shm, db, db-wal.

    Обращение к Специалисту в Сервисный Центр Дигма – Способ #15

    Перепробовали все способы, но они не принесли должного результата? Настало время обратиться к мастеру: в сервисный центр или любую проверенную мастерскую по налаживанию гаджетов.

    Возможно, это займет какое-то время, и это не бесплатно, зато вы сможете сохранить все данные на своем смартфоне и избежите риска превратить электронный девайс в «дорогой кирпич».

    В этом обзоре мы собрали самые популярные способы разблокировки экрана телефона, если владелец забыл пароль. Для большинства смартфонов их будет достаточно. Однако лучше старайтесь запоминать свои пин-коды и графические знаки, или записывайте их куда-нибудь, чтобы предупредить возникновение ситуаций, когда придется ломать голову с тем, как же разблокировать свой мобильник.

    Графические системы линейных неравенств

    Чтобы построить линейный

    неравенство

    в двух переменных (скажем,

    Икс

    а также

    y

    ), сначала получите

    y

    один на одной стороне. Затем рассмотрим соответствующее уравнение, полученное заменой знака неравенства на знак равенства. График этого уравнения представляет собой линию.

    Если неравенство строгое (

    < или же >

    ), начертите штриховой линией. Если неравенство не строгое
    (

    или же

    ), начертите сплошной линией.

    Наконец, выберите одну точку, которая не находится ни на одной строке (

    (

    0

    ,

    0

    )

    обычно самый простой) и решите, удовлетворяют ли эти координаты неравенству или нет. Если это так, заштрихуйте полуплоскость, содержащую эту точку. Если нет, закройте другую полуплоскость.

    Аналогичным образом изобразите каждое из неравенств в системе. Решение

    система неравенства

    — область пересечения всех решений в системе.


    Пример 1:

    Решите систему неравенств, построив графики:

    y

    Икс

    2

    y

    >

    3

    Икс

    +

    5

    Сначала изобразим неравенство

    y

    Икс

    2

    .

    Связанное уравнение

    y

    знак равно

    Икс

    2

    .

    Поскольку неравенство

    , не строгий, граница сплошная.

    Постройте прямую линию.

    Рассмотрим точку, которая не находится на линии — скажем,

    (

    0

    ,

    0

    )

    — и подставляем в неравенство

    y

    Икс

    2

    .

    0

    0

    2

    0

    2

    Это неправда.Итак, решение не содержит точки

    (

    0

    ,

    0

    )

    . Заштрихуйте нижнюю половину линии.

    Аналогичным образом нарисуйте пунктирную линию для соответствующего уравнения второго неравенства

    y

    >

    3

    Икс

    +

    5

    которое имеет строгое неравенство. Точка

    (

    0

    ,

    0

    )

    не удовлетворяет неравенству, поэтому заштрихуйте половину, не содержащую точки

    (

    0

    ,

    0

    )

    .

    Решение системы неравенств — это область пересечения решений двух неравенств.


    Пример 2:

    Решите систему неравенств, построив графики:

    2

    Икс

    +

    3

    y

    12

    8

    Икс

    4

    y

    >

    1

    Икс

    < 4

    Перепишем первые два неравенства с

    y

    один на одной стороне.

    3

    y

    2

    Икс

    +

    12

    y

    2

    3

    Икс

    +

    4

    4

    y

    >

    8

    Икс

    +

    1

    y

    < 2 Икс - 1 4

    Теперь изобразим неравенство

    y

    2

    3

    Икс

    +

    4

    .Связанное уравнение

    y

    знак равно

    2

    3

    Икс

    +

    4

    .

    Поскольку неравенство

    , не строгий, граница сплошная.

    Постройте прямую линию.

    Рассмотрим точку, которая не находится на линии — скажем,

    (

    0

    ,

    0

    )

    — и подставляем в неравенство.

    0

    2

    3

    (

    0

    )

    +

    4

    0

    4

    Это неправда.Итак, решение не содержит точки

    (

    0

    ,

    0

    )

    . Заштрихуйте верхнюю половину линии.

    Аналогично нарисуйте пунктирную линию соответствующего уравнения второго неравенства

    y

    < 2 Икс - 1 4 которое имеет строгое неравенство. Точка ( 0 , 0 ) не удовлетворяет неравенству, поэтому заштрихуйте половину, не содержащую точки ( 0 , 0 ) .

    Нарисуйте пунктирную вертикальную линию

    Икс

    знак равно

    4

    которое является родственным уравнением третьего неравенства.

    Здесь точка

    (

    0

    ,

    0

    )

    удовлетворяет неравенству, поэтому заштрихуйте половину, содержащую точку.

    Решение системы неравенств — это область пересечения решений трех неравенств.

    Системы линейных и квадратных уравнений

    (см. Также Системы линейных и квадратных уравнений)

    Линейное уравнение — это уравнение линии .
    Квадратное уравнение — это уравнение параболы
    , имеющее как минимум одну переменную в квадрате
    (например, x 2 )
    И вместе они образуют систему
    линейного и квадратного уравнений

    A Система этих двух уравнений может быть решена (найти, где они пересекаются) либо:

    • Использование алгебры
    • Или Графически , как мы узнаем!

    Как решить графически

    Легко! Постройте оба уравнения и посмотрите, где они пересекаются!

    Построение уравнений

    Мы можем построить их вручную или использовать такой инструмент, как Function Grapher.

    Чтобы построить их вручную:

    • убедитесь, что оба уравнения находятся в форме «y =»
    • выберите некоторые значения x, которые, мы надеемся, будут рядом с тем местом, где пересекаются два уравнения
    • вычислить значения y для этих значений x
    • нанесите точки и посмотрите!

    Выбор места для строительства

    Но какие значения мы должны нанести на график? Знание центра поможет!

    Взяв квадратную формулу и проигнорировав все после ±, мы получим центральное значение x:

    Затем выберите несколько значений x с каждой стороны и вычислите значения y, например:

    Пример: решите эти два уравнения графически до одного десятичного знака:

    • y = x 2 — 4x + 5
    • у = х + 2

    Найдите центральное значение X:

    Квадратное уравнение: y = x 2 — 4x + 5 , поэтому a = 1, b = −4 и c = 5

    центральный x = −b = — (- 4) = 4 = 2
    2a 2 × 1 2

    Теперь вычислите значения около x = 2

    x Квадратичный
    x 2 — 4x + 5
    линейный
    x + 2
    0 5 2
    1 2
    2 1
    3 2
    4 5
    5 10 7

    (Мы вычисляем только первое и последнее линейное уравнение, так как это все, что нам нужно для построения графика.)

    Теперь укажите их:

    Мы видим, что они пересекаются в точке около x = 0,7 и около x = 4,3

    Сделаем вычисления для этих значений:

    x Квадратичный
    x 2 — 4x + 5
    линейный
    x + 2
    0,7 2,69 2,8
    4,3 6,29 6.2

    Да они близки.

    С точностью до 1 десятичного знака две точки: (0,7, 2,8) и (4,3, 6,2)

    Не может быть 2 решений!

    Возможны три случая:

    • Нет реального решения (случается, когда они никогда не пересекаются)
    • Одно реальное решение (когда прямая только касается квадратичной)
    • Два реальных решения (как в примере выше)

    Время для другого примера:

    Пример: решите эти два уравнения графически:

    • 4 года — 8x = −40
    • y — x 2 = −9x + 21

    Как это построить? Они не в формате «y =»!

    Сначала преобразуйте оба уравнения в формат y =:

    Линейное уравнение: 4y — 8x = −40

    Добавьте 8x к обеим сторонам: 4y = 8x — 40

    Разделить все на 4: y = 2x — 10

    Квадратное уравнение: y — x 2 = −9x + 21

    Добавьте x 2 к обеим сторонам: y = x 2 — 9x + 21

    Теперь найдите центральное значение X:

    Квадратное уравнение: y = x 2 — 9x + 21 , поэтому a = 1, b = −9 и c = 21

    центральный x = −b = — (- 9) = 9 = 4.5
    2a 2 × 1 2

    Теперь вычислите значения около x = 4,5

    x Квадратичный
    x 2 — 9x + 21
    Линейный
    2x — 10
    3 3 -4
    4 1
    4,5 0.75
    5 1
    6 3
    7 7 4

    Теперь укажите их:

    Они никогда не пересекаются! Нет решения нет .

    Пример из реального мира

    Кабум!

    Ядро летит по воздуху по параболе: y = 2 + 0.2 для одной функции и 0,15x для другой.

    Уменьшите масштаб, затем увеличьте место пересечения. У вас должно получиться что-то вроде этого:

    Увеличив масштаб, мы можем найти, что они пересекаются в точке (25, 3,75)

    .

    Круг и линия

    Пример: найти точки пересечения с точностью до одного знака после запятой

    .

    • Окружность x 2 + y 2 = 25
    • А прямая 3у — 2х = 6

    Круг

    «Стандартная форма» уравнения круга: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 2

    Где (a, b) — центр окружности, а r — радиус.

    Для x 2 + y 2 = 25 мы видим, что

    • a = 0 и b = 0, поэтому центр находится в (0, 0) ,
    • и для радиуса r 2 = 25 , поэтому r = √25 = 5

    Нам не нужно составлять уравнение круга в форме «y =», поскольку у нас достаточно информации, чтобы построить круг сейчас.

    Линия

    Сначала введите строку в формате «y =»:

    Переместите 2x вправо: 3y = 2x + 6

    Разделить на 3: y = 2x / 3 + 2

    Чтобы построить линию, давайте выберем две точки по обе стороны от круга:

    • при x = −6 , y = (2/3) ( 6) + 2 = −2
    • при x = 6 , y = (2/3) (6) + 2 = 6

    А теперь нарисуйте их!

    Теперь мы видим, что они пересекаются на отметке примерно (-4.8, -1,2) и (3,0, 4,0)

    Для точного решения см. Системы линейных и квадратных уравнений

    Графические линейные уравнения с двумя переменными — Элементарная алгебра

    Цели обучения

    К концу этого раздела вы сможете:

    • Определите взаимосвязь между решениями уравнения и его графика.
    • Постройте линейное уравнение, нанеся точки.
    • График вертикальных и горизонтальных линий.

    Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

    1. Оценить, когда.
      Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
    2. Решите в общем.
      Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

    Распознать связь между решениями уравнения и его графика

    В предыдущем разделе мы нашли несколько решений уравнения. Они перечислены на (Рисунок).Итак, упорядоченные пары, и являются некоторыми решениями уравнения. Мы можем построить эти решения в прямоугольной системе координат, как показано на (Рисунок).

    Обратите внимание, как точки идеально совпадают? Соединяем точки линией, чтобы получился график уравнения. См. (Рисунок). Обратите внимание на стрелки на концах каждой стороны линии. Эти стрелки указывают на продолжение линии.

    Каждая точка на линии является решением уравнения. Кроме того, каждое решение этого уравнения представляет собой точку на этой прямой.Пункты , а не на линии, не являются решениями.

    Обратите внимание, что точка с координатами находится на линии, показанной на (Рисунок). Если вы подставите и в уравнение, вы обнаружите, что это решение уравнения.

    Итак, дело в решении уравнения. (Фраза «точка с координатами» часто сокращается до «точка».)

    Значит, это не решение уравнения. Следовательно, дело не в контуре.См. (Рисунок). Это пример поговорки: «Картинка стоит тысячи слов». Линия показывает вам все решения уравнения. Каждая точка на линии — это решение уравнения. И каждое решение этого уравнения находится на этой линии. Эта линия называется графиком уравнения .

    График линейного уравнения

    График линейного уравнения представляет собой линию.

    • Каждая точка на линии является решением уравнения.
    • Каждое решение этого уравнения — точка на этой прямой.

    Используйте график, чтобы решить, будет ли каждая упорядоченная пара:

    • решение уравнения.
    • на линии.

    ⓐ ⓑ

    ⓐ да, да ⓑ да, да

    Используйте график, чтобы определить, составляет ли каждая заказанная пара:

    • решение уравнения
    • по линии

    ⓐ ⓑ

    ⓐ нет, нет ⓑ да, да

    Построение линейного уравнения по точкам

    Есть несколько методов, которые можно использовать для построения графика линейного уравнения.Метод, который мы использовали для построения графиков, называется построением точек или методом построения точек.

    Как построить уравнение по точкам

    Постройте уравнение, нанеся точки.

    Постройте уравнение, нанеся точки:.

    Постройте уравнение, нанеся точки:.

    Действия, которые необходимо предпринять при построении линейного уравнения с помощью точек, приведены ниже.

    Постройте линейное уравнение путем нанесения точек.

    1. Найдите три точки, координаты которых являются решениями уравнения.Разложите их в виде таблицы.
    2. Постройте точки в прямоугольной системе координат. Убедитесь, что точки совпадают. Если нет, внимательно проверьте свою работу.
    3. Проведите линию через три точки. Вытяните линию, чтобы заполнить сетку, и поместите стрелки на обоих концах линии.

    Это правда, что для определения линии нужны только две точки, но использование трех точек — хорошая привычка. Если вы нанесете только две точки, и одна из них неверна, вы все равно можете нарисовать линию, но она не будет представлять решения уравнения.Это будет неправильная линия.

    Если вы используете три точки, а одна неверна, точки не выровняются. Это говорит о том, что что-то не так, и вам нужно проверить свою работу. Посмотрите на разницу между частью (a) и частью (b) на (Рисунок).

    Приведем еще один пример. На этот раз мы покажем последние два шага в одной сетке.

    Изобразите уравнение.

    Решение

    Найдите три точки, которые являются решениями уравнения. Здесь, опять же, проще выбрать значения для.Вы понимаете почему?

    Перечислим точки на (Рисунок).

    Постройте точки, убедитесь, что они совпадают, и проведите линию.

    Постройте уравнение, нанеся точки:.

    Постройте уравнение, нанеся точки:.

    Когда уравнение включает дробь в качестве коэффициента, мы все равно можем подставлять любые числа вместо. Но математика будет проще, если мы сделаем «правильный» выбор значений.Таким образом, мы избежим дробных ответов, которые сложно построить точным графиком.

    Изобразите уравнение.

    Решение

    Найдите три точки, которые являются решениями уравнения. Поскольку в этом уравнении дробь является коэффициентом, мы будем тщательно выбирать значения. Мы будем использовать ноль в качестве одного варианта и кратное 2 для других вариантов. Почему значения, кратные 2, являются хорошим выбором?

    Точки показаны на (Рисунок).

    Постройте точки, убедитесь, что они совпадают, и проведите линию.

    Изобразите уравнение.

    Изобразите уравнение.

    До сих пор все уравнения, которые мы построили на графике, были выражены в терминах. Теперь изобразим уравнение с одной и той же стороной и на одной стороне. Посмотрим, что получится в уравнении. Если в чем ценность?

    Эта точка имеет дробную часть для координаты x , и, хотя мы могли бы построить график этой точки, трудно быть точными. Помните, что в этом примере мы тщательно выбирали значения для, чтобы вообще не отображать дроби.Если мы решим уравнение для, будет легче найти три решения уравнения.

    Решения для, и показаны на (Рисунок). График представлен на (Рисунок).

    Можете ли вы определить точку, которую мы нашли, пропустив на линии?

    Изобразите уравнение.

    Изобразите уравнение.

    Изобразите уравнение.

    Если вы можете выбрать любые три точки для построения линии, как вы узнаете, совпадает ли ваш график с тем, который показан в ответах в книге? Если точки пересечения графиков осей x и y совпадают, графики совпадают!

    Уравнение на (Рисунок) было записано в стандартной форме, с обеими и на одной и той же стороне.Мы решили это уравнение всего за один шаг. Но для других уравнений в стандартной форме это не так просто решить, поэтому мы оставим их в стандартной форме. Мы все еще можем найти первую точку для построения, позволяя и решая для. Мы можем построить вторую точку, позволив, а затем решив для. Затем мы построим третью точку, используя другое значение для или.

    Изобразите уравнение.

    Решение

    Мы перечисляем упорядоченные пары на (Рисунок). Нанесите точки, убедитесь, что они совпадают, и проведите линию.См. (Рисунок).

    Изобразите уравнение.

    Изобразите уравнение.

    Вертикальные и горизонтальные линии графика

    Можно ли построить уравнение только с одной переменной? Просто и нет, или просто без? Как мы составим таблицу значений, чтобы получить точки для построения?

    Рассмотрим уравнение. Это уравнение имеет только одну переменную,. Уравнение говорит, что всегда равно , поэтому его значение не зависит от. Независимо от того, что есть, ценность всегда есть.

    Итак, чтобы составить таблицу значений, впишите все значения. Затем выберите любые значения для. Поскольку не зависит от, вы можете выбрать любые числа, которые вам нравятся. Но чтобы соответствовать точкам на нашем координатном графике, мы будем использовать 1, 2 и 3 для координат y . См. (Рисунок).

    Постройте точки из (Рисунок) и соедините их прямой линией. Обратите внимание на (Рисунок), что мы построили вертикальную линию .

    Вертикальная линия

    Вертикальная линия — это график уравнения вида.

    Линия проходит через ось x в точке.

    Изобразите уравнение.

    Изобразите уравнение.

    Изобразите уравнение.

    Что делать, если в уравнении есть, но нет? Изобразим уравнение в виде графика. На этот раз значение y — является константой, поэтому в этом уравнении не зависит от. Заполните 4 для всех (рисунок), а затем выберите любые значения для. Мы будем использовать 0, 2 и 4 для координат x .

    График представляет собой горизонтальную линию, проходящую через ось y в точке 4. См. (Рисунок).

    Горизонтальная линия

    Горизонтальная линия — это график уравнения вида.

    Линия проходит через ось y в точке.

    Постройте уравнение

    Изобразите уравнение.

    Изобразите уравнение.

    Уравнения для вертикальных и горизонтальных линий очень похожи на уравнения типа В чем разница между уравнениями и?

    Уравнение содержит и.Значение зависит от значения. Координата y изменяется в зависимости от значения. Уравнение имеет только одну переменную. Значение постоянно. Координата y всегда равна 4. Она не зависит от значения. См. (Рисунок).

    Обратите внимание, что на (Рисунок) уравнение дает наклонную линию, а дает горизонтальную линию.

    График и в той же прямоугольной системе координат.

    Решение

    Обратите внимание, что в первом уравнении есть переменная, а во втором — нет.См. (Рисунок). Два графика показаны на (Рисунок).

    График и в той же прямоугольной системе координат.

    График и в той же прямоугольной системе координат.

    Ключевые понятия

    • Построение линейного уравнения по точкам
      1. Найдите три точки, координаты которых являются решениями уравнения. Разложите их в виде таблицы.
      2. Постройте точки в прямоугольной системе координат. Убедитесь, что точки совпадают.Если нет, внимательно проверьте свою работу!
      3. Проведите линию через три точки. Вытяните линию, чтобы заполнить сетку, и поместите стрелки на обоих концах линии.
    Повседневная математика

    Стоимость дома на колесах. Робинсоны арендовали дом на колесах на неделю, чтобы поехать в отпуск. Аренда дома на колесах обходится им в 594 фунта плюс 0,32 фунта за милю, поэтому линейное уравнение дает стоимость проезда на несколько миль. Рассчитайте стоимость аренды за проезд 400, 800 и 1200 миль, а затем нарисуйте линию.

    ? 722,? 850,? 978

    Еженедельный заработок. В художественной галерее, где он работает, Сальвадору платят 200 фунтов стерлингов в неделю плюс 15% от продаж, которые он делает, поэтому уравнение дает сумму, которую он зарабатывает на продаже произведений искусства в долларах. Подсчитайте сумму, которую Сальвадор зарабатывает от продажи 900, 1600 и 2000 фунтов стерлингов, а затем изобразите эту линию.

    Письменные упражнения

    Объясните, как выбрать три значения x , чтобы составить таблицу для построения графика линии.

    В чем разница между уравнениями вертикальной и горизонтальной линии?

    Самопроверка

    ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

    ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?

    4.1: Решение систем линейных уравнений с двумя переменными

    Определить, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений

    В разделе Решение линейных уравнений мы узнали, как решать линейные уравнения с одной переменной.Теперь мы будем работать с двумя или более линейными уравнениями, сгруппированными вместе, что известно как система линейных уравнений .

    СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

    Когда два или более линейных уравнения сгруппированы вместе, они образуют систему линейных уравнений .

    В этом разделе мы сосредоточим нашу работу на системах двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Позже в этой главе мы решим более крупные системы уравнений.

    Пример системы двух линейных уравнений показан ниже.Мы используем скобку, чтобы показать, что два уравнения сгруппированы вместе и образуют систему уравнений.

    \ [\ left \ {\ begin {выровнено} 2x + y & = 7 \\ x-2y & = 6 \ end {выровнено} \ right. \ nonumber \]

    Линейное уравнение с двумя переменными, например \ (2x + y = 7 \), имеет бесконечное число решений. Его график представляет собой линию. Помните, что каждая точка на линии — это решение уравнения, а каждое решение уравнения — это точка на линии.

    Чтобы решить систему двух линейных уравнений, мы хотим найти значения переменных, которые являются решениями обоих уравнений.Другими словами, мы ищем упорядоченные пары \ ((x, y) \), которые делают оба уравнения истинными. Они называются решениями системы уравнений .

    РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

    Решения системы уравнений — это значения переменных, которые делают все уравнениями истинными. Решение системы двух линейных уравнений представляется упорядоченной парой \ ((x, y) \).

    Чтобы определить, является ли упорядоченная пара решением системы двух уравнений, мы подставляем значения переменных в каждое уравнение.Если упорядоченная пара делает оба уравнения истинными, это решение системы.

    Пример \ (\ PageIndex {1} \)

    Определите, является ли упорядоченная пара решением системы \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − y = −1 \\ 2x − y = −5 \ end {array} \ right. \) .

    ⓐ \ ((- 2, −1) \) ⓑ \ ((- 4, −3) \)

    Ответ

    Пример \ (\ PageIndex {2} \)

    Определите, является ли упорядоченная пара решением системы \ (\ left \ {\ begin {array} 3x + y = 0 \\ x + 2y = −5 \ end {array} \ right.\).

    ⓐ \ ((1, −3) \) ⓑ \ ((0,0) \)

    Ответ

    ⓐ да ⓑ нет

    Пример \ (\ PageIndex {3} \)

    Определите, является ли упорядоченная пара решением системы \ (\ left \ {\ begin {array} x − 3y = −8 \\ −3x − y = 4 \ end {array} \ right. \).

    ⓐ \ ((2, −2) \) ⓑ \ ((- 2,2) \)

    Ответ

    ⓐ нет ⓑ да

    Решите систему линейных уравнений с помощью построения графиков

    В этом разделе мы будем использовать три метода для решения системы линейных уравнений.Первый метод, который мы будем использовать, — это построение графиков.

    График линейного уравнения представляет собой линию. Каждая точка на линии — это решение уравнения. Для системы из двух уравнений мы построим график двумя линиями. Затем мы можем увидеть все точки, которые являются решениями каждого уравнения. И, обнаружив, что общего у линий, мы найдем решение системы.

    Большинство линейных уравнений с одной переменной имеют одно решение, но мы видели, что некоторые уравнения, называемые противоречиями, не имеют решений, а для других уравнений, называемых тождествами, все числа являются решениями.

    Точно так же, когда мы решаем систему двух линейных уравнений, представленную графиком из двух линий в одной плоскости, есть три возможных случая, как показано.

    Рисунок \ (\ PageIndex {1} \)

    Каждый раз, когда мы демонстрируем новый метод, мы будем использовать его в той же системе линейных уравнений. В конце раздела вы решите, какой метод был наиболее удобным для решения этой системы.

    Пример \ (\ PageIndex {4} \): как решить систему уравнений с помощью построения графиков

    Решите систему, построив график \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + y = 7 \\ x − 2y = 6 \ end {array} \ right.\).

    Ответ

    Пример \ (\ PageIndex {5} \)

    Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − 3y = −3 \\ x + y = 5 \ end {array} \ right. \).

    Ответ

    \ ((3,2) \)

    Пример \ (\ PageIndex {6} \)

    Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} −x + y = 1 \\ 3x + 2y = 12 \ end {array} \ right.\)

    Ответ

    \ ((2,3) \)

    Здесь показаны шаги, которые необходимо использовать для решения системы линейных уравнений с помощью построения графиков.

    РЕШИТЕ ​​СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКОВ.

    1. Постройте первое уравнение.
    2. Постройте второе уравнение в той же прямоугольной системе координат.
    3. Определите, пересекаются ли линии, параллельны или совпадают.
    4. Определите решение системы.
      • Если линии пересекаются, укажите точку пересечения. Это решение системы.
      • Если линии параллельны, у системы нет решения.
      • Если линии совпадают, система имеет бесконечное количество решений.
    5. Проверьте решение в обоих уравнениях.

    В следующем примере мы сначала перепишем уравнения в форме углового пересечения, так как это упростит нам быстрое построение графиков линий.

    Пример \ (\ PageIndex {7} \)

    Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + y = −1 \\ 2x + y = 0 \ end {array} \ right. \)

    Ответ

    Мы решим оба этих уравнения относительно \ (y \), чтобы мы могли легко построить их график, используя их наклоны и \ (y \) — точки пересечения.

    Пример \ (\ PageIndex {8} \)

    Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} −x + y = 1 \\ 2x + y = 10 \ end {array} \ right.\).

    Ответ

    \ ((3,4) \)

    Пример \ (\ PageIndex {9} \)

    Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + y = 6 \\ x + y = 1 \ end {array} \ right. \).

    Ответ

    \ ((5, −4) \)

    До сих пор во всех системах линейных уравнений линии пересекались и решение было одной точкой. В следующих двух примерах мы рассмотрим систему уравнений, не имеющую решения, и систему уравнений, которая имеет бесконечное число решений.

    Пример \ (\ PageIndex {10} \)

    Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = \ tfrac {1} {2} x-3 \\ x-2y = 4 \ end {array} \ right. \ ).

    Ответ

    Пример \ (\ PageIndex {11} \)

    Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = — \ tfrac {1} {4} x + 2 \\ x + 4y = 4 \ end {array} \ right. \).

    Ответ

    нет решения

    Пример \ (\ PageIndex {12} \)

    Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = 3x-1 \\ 6x-2y = 6 \ end {array} \ right.\).

    Ответ

    нет решения

    Иногда уравнения в системе представляют собой одну и ту же линию. Поскольку каждая точка на прямой делает оба уравнения истинными, существует бесконечно много упорядоченных пар, которые делают оба уравнения истинными. У системы бесконечно много решений.

    Пример \ (\ PageIndex {13} \)

    Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = 2x-3 \\ -6x + 3y = 9 \ end {array} \ right.\).

    Ответ

    Если вы запишете второе уравнение в форме пересечения наклона, вы можете заметить, что уравнения имеют одинаковый наклон и ту же точку пересечения y .

    Пример \ (\ PageIndex {14} \)

    Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = -3x-6 \\ 6x + 2y = -12 \ end {array} \ right. \).

    Ответ

    бесконечно много решений

    Пример \ (\ PageIndex {15} \)

    Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = \ tfrac {1} {2} x-4 \\ 2x-4y = 16 \ end {array} \ right.\).

    Ответ

    бесконечно много решений

    Когда мы нарисовали вторую линию в последнем примере, мы нарисовали ее прямо над первой линией. Мы говорим, что две строки совпадают с . Совпадающие линии имеют одинаковый наклон и точку пересечения y- .

    СОВПАДАЮЩИЕ ЛИНИИ

    Совпадающие линии имеют одинаковый наклон и одинаковую точку пересечения y- .

    Каждая система уравнений в примере и примере имела две пересекающиеся линии.У каждой системы было одно решение.

    В примере уравнения давали совпадающие линии, поэтому система имела бесконечно много решений.

    Системы в этих трех примерах имели по крайней мере одно решение. Система уравнений, имеющая по крайней мере одно решение, называется согласованной системой .

    Система с параллельными линиями, такая как Пример , не имеет решения. Мы называем такую ​​систему уравнений несогласованной. Нет решения.

    СОГЛАСОВАННЫЕ И НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ

    Согласованная система уравнений — это система уравнений, имеющая по крайней мере одно решение.

    Несогласованная система уравнений — это система уравнений, не имеющая решения.

    Мы также классифицируем уравнения в системе уравнений, называя уравнения независимыми или зависимыми . Если два уравнения независимы, каждое из них имеет собственный набор решений.Пересекающиеся линии и параллельные линии независимы.

    Если два уравнения зависимы, все решения одного уравнения также являются решениями другого уравнения. Когда мы строим график двух зависимых уравнений, мы получаем совпадающие линии.

    Подведем итог, посмотрев на графики трех типов систем. См. Ниже и таблицу .

    Строки Пересечение Параллельный Совпадение
    Количество решений 1 балл Нет решения Бесконечно много
    Согласованные / несогласованные Согласованный Несоответствие Последовательный
    Зависимые / независимые Независимая Независимая Иждивенец

    Пример \ (\ PageIndex {16} \)

    Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

    ⓐ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = 3x − 1 \\ 6x − 2y = 12 \ end {array} \ right. \) Ⓑ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + y = −3 \\ x − 5y = 5 \ end {array} \ right. \)

    Ответ

    ⓐ Сравним наклоны и пересечения двух линий.

    \ (\ begin {array} {lll} {} & {} & {\ left \ {\ begin {array} {l} {y = 3x-1} \\ {6x − 2y = 12} \ end {array } \ right.} \\ {} & {} & {y = 3x-1} \\ {\ text {Первое уравнение уже находится в форме пересечения наклона.}} & {} & {} \\ {\ text {Запишите второе уравнение в форме пересечения наклона.}} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {} & {6x-2y = 12} \\ {} & {} & {- 2y = -6x + 12} \\ {} & { } & {\ frac {-2y} {- 2} = \ frac {-6x + 12} {- 2}} \\ {} & {} & {y = 3x-6} \\ {} & {y = 3x-1} & {y = 3x-6} \\ {} & {m = 3} & {m = 3} \\ {} & {b = -1} & {b = -6} \\ {\ text {Найдите наклон и точку пересечения каждой линии.}} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {} & {} \ \ {} & {} & {} \\ {} & {\ text {Поскольку наклоны одинаковые, а точки пересечения y}} & {} \\ {} & {\ text {разные, линии параллельны.}} & {} \\ \ end {array} \)

    ⓑ Мы сравним наклон и пересечения двух линий.

    \ (\ begin {array} {lll} {} & {} & {} \\ {} & {\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + y = -3 \\ x-5y = 5 \\ \ end {array} \ right.} & {} \\ {\ text {Запишите оба уравнения в форме углового пересечения.}} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ { } & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {2x + y = -3} & {x-5y = 5} \\ {} & {y = -2x-3 } & {- 5y = -x + 5} \\ {} & {} & {\ frac {-5y} {- 5} = \ frac {-x + 5} {- 5}} \\ {} & { } & {y = \ frac {1} {5} -1} \\ {} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {\ text {Найдите наклон и точку пересечения каждой линии.}} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {y = -2x-3} & {y = \ frac {1} {5} -1} \\ {} & {m = -2} & {m = \ frac {1} {5}} \\ {} & {b = -3} & {b = -1} \\ {} & {} & {} \\ {} & {\ text {Поскольку уклоны разные, линии пересекаются.}} & {} \\ \ end {array} \)

    Система уравнений, графики которой пересекаются, имеет одно решение, непротиворечива и независима.

    Пример \ (\ PageIndex {17} \)

    Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

    ⓐ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = −2x − 4 \\ 4x + 2y = 9 \ end {array} \ right. \) Ⓑ \ (\ left \ {\ begin {array } {l} 3x + 2y = 2 \\ 2x + y = 1 \ end {array} \ right. \)

    Ответ

    ⓐ нет решения, непоследовательное, независимое ⓑ одно решение, последовательное, независимое

    Пример \ (\ PageIndex {18} \)

    Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

    ⓐ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = \ frac {1} {3} x − 5 \\ x − 3y = 6 \ end {array} \ right.\) Ⓑ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + 4y = 12 \\ −x + y = 3 \ end {array} \ right. \)

    Ответ

    ⓐ нет решения, непоследовательное, независимое ⓑ одно решение, последовательное, независимое

    Решение систем линейных уравнений с помощью графиков — хороший способ визуализировать типы решений, которые могут возникнуть. Однако во многих случаях решение системы с помощью построения графиков неудобно или неточно. Если графики выходят за пределы маленькой сетки с x и y , оба между \ (- 10 \) и 10, построение линий может быть громоздким.И если решения системы не являются целыми числами, может быть трудно точно прочитать их значения с графика.

    Решите систему уравнений подстановкой

    Теперь решим системы линейных уравнений методом подстановки.

    Мы будем использовать ту же систему, которую мы использовали вначале для построения графиков.

    \ [\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + y = 7 \\ x − 2y = 6 \ end {array} \ right. \ nonumber \]

    Сначала мы решим одно из уравнений относительно x или y .Мы можем выбрать любое уравнение и решить любую переменную, но мы постараемся сделать выбор, который упростит работу.

    Затем мы подставляем это выражение в другое уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной — и мы знаем, как его решить!

    После того, как мы найдем значение одной переменной, мы подставим это значение в одно из исходных уравнений и решим для другой переменной. Наконец, мы проверяем наше решение и убеждаемся, что оно соответствует обоим уравнениям.

    Пример \ (\ PageIndex {20} \)

    Решите систему заменой: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} −2x + y = −11 \\ x + 3y = 9 \ end {array} \ right. \)

    Ответ

    \ ((6,1) \)

    Пример \ (\ PageIndex {21} \)

    Решите систему заменой: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + y = −1 \\ 4x + 3y = 3 \ end {array} \ right. \)

    Ответ

    \ ((- 3,5) \)

    РЕШИТЬ СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ ПОДСТАВКОЙ.

    1. Решите одно из уравнений для любой переменной.
    2. Подставьте выражение из шага 1 в другое уравнение.
    3. Решите полученное уравнение.
    4. Подставьте решение шага 3 в любое из исходных уравнений, чтобы найти другую переменную.
    5. Запишите решение в виде упорядоченной пары.
    6. Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений .

    Будьте очень осторожны со знаками в следующем примере.

    Пример \ (\ PageIndex {22} \)

    Решите систему заменой: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 4x + 2y = 4 \\ 6x − y = 8 \ end {array} \ right. \)

    Ответ

    Нам нужно решить одно уравнение для одной переменной. Решим первое уравнение относительно y .

    Пример \ (\ PageIndex {23} \)

    Решите систему с помощью подстановки: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − 4y = −4 \\ −3x + 4y = 0 \ end {array} \ right.\)

    Ответ

    \ ((2,32) \)

    Пример \ (\ PageIndex {24} \)

    Решите систему заменой: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 4x − y = 0 \\ 2x − 3y = 5 \ end {array} \ right. \)

    Ответ

    \ ((- 12, −2) \)

    Решите систему уравнений методом исключения

    Мы решили системы линейных уравнений с помощью построения графиков и подстановки.Построение графиков хорошо работает, когда переменные коэффициенты малы, а решение имеет целочисленные значения. Подстановка работает хорошо, когда мы можем легко решить одно уравнение для одной из переменных и не иметь слишком много дробей в результирующем выражении.

    Третий метод решения систем линейных уравнений называется методом исключения. Когда мы решали систему с помощью подстановки, мы начинали с двух уравнений и двух переменных и сводили ее к одному уравнению с одной переменной. То же самое мы сделаем и с методом исключения, но у нас будет другой способ добиться этого.

    Метод исключения основан на добавочном свойстве равенства. Свойство сложения равенства говорит, что когда вы добавляете одинаковую величину к обеим сторонам уравнения, вы все равно получаете равенство. Мы расширим свойство сложения равенства, чтобы сказать, что когда вы добавляете равные количества к обеим сторонам уравнения, результаты равны.

    Для любых выражений a, b, c, и d .

    \ [\ begin {array} {ll} {\ text {if}} & {a = b} \\ {\ text {and}} & {c = d} \\ {\ text {then}} & { а + с = б + г.} \\ \ nonumber \ end {array} \]

    Чтобы решить систему уравнений методом исключения, мы начнем с обоих уравнений в стандартной форме. Затем мы решаем, какую переменную будет легче всего устранить. Как мы решаем? Мы хотим, чтобы коэффициенты одной переменной были противоположными, чтобы мы могли сложить уравнения и исключить эту переменную.

    Обратите внимание, как это работает, когда мы складываем эти два уравнения вместе:

    \ [\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + y = 5 \\ \ underline {2x − y = 0} \ end {array} \ right.\ nonumber \]

    \ [5x = 5 \ nonumber \]

    и прибавляют к нулю, и мы получаем одно уравнение с одной переменной.

    Давайте попробуем еще один:

    \ [\ left \ {\ begin {array} x + 4y = 2 \\ 2x + 5y = −2 \ end {array} \ right. \ nonumber \]

    На этот раз мы не видим переменную, которая может быть немедленно удалена, если мы добавим уравнения.

    Но если мы умножим первое уравнение на \ (- 2 \), мы сделаем коэффициенты при x противоположными.Мы должны умножить каждый член в обеих частях уравнения на \ (- 2 \).

    Затем перепишите систему уравнений.

    Теперь мы видим, что коэффициенты членов x противоположны, поэтому x будет исключено, когда мы сложим эти два уравнения.

    Как только мы получаем уравнение с одной переменной, мы его решаем. Затем мы подставляем это значение в одно из исходных уравнений, чтобы найти оставшуюся переменную.И, как всегда, мы проверяем наш ответ, чтобы убедиться, что он является решением обоих исходных уравнений.

    Теперь мы увидим, как использовать исключение для решения той же системы уравнений, которую мы решили с помощью построения графиков и подстановки.

    Упражнение \ (\ PageIndex {26} \)

    Решите систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + y = 5 \\ 2x − 3y = 7 \ end {array} \ right. \)

    Ответ

    \ ((2, −1) \)

    Упражнение \ (\ PageIndex {27} \)

    Решите систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 4x + y = −5 \\ ​​−2x − 2y = −2 \ end {array} \ right.\)

    Ответ

    \ ((- 2,3) \)

    Шаги перечислены здесь для удобства.

    РЕШИТЬ СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ ПУТЕМ ИСКЛЮЧЕНИЯ.

    1. Запишите оба уравнения в стандартной форме. Если какие-либо коэффициенты являются дробными, очистите их.
    2. Сделайте коэффициенты одной переменной противоположными.
      • Решите, какую переменную исключить.
      • Умножьте одно или оба уравнения так, чтобы коэффициенты этой переменной были противоположными.
    3. Добавьте уравнения, полученные на шаге 2, чтобы исключить одну переменную.
    4. Найдите оставшуюся переменную.
    5. Подставьте решение из шага 4 в одно из исходных уравнений. Затем найдите другую переменную.
    6. Запишите решение в виде упорядоченной пары.
    7. Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений .

    Теперь мы рассмотрим пример, в котором нам нужно умножить оба уравнения на константы, чтобы сделать коэффициенты одной переменной противоположными.

    Упражнение \ (\ PageIndex {28} \)

    Решите систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 4x − 3y = 9 \\ 7x + 2y = −6 \ end {array} \ right. \)

    Ответ

    В этом примере мы не можем умножить одно уравнение на любую константу, чтобы получить противоположные коэффициенты. Поэтому мы стратегически умножим оба уравнения на разные константы, чтобы получить противоположности.

    Упражнение \ (\ PageIndex {29} \)

    Решите систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x − 4y = −9 \\ 5x + 3y = 14 \ end {array} \ right.\)

    Ответ

    \ ((1,3) \)

    Упражнение \ (\ PageIndex {30} \)

    Решите каждую систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 7x + 8y = 4 \\ 3x − 5y = 27 \ end {array} \ right. \)

    Ответ

    \ ((4, −3) \)

    Когда система уравнений содержит дроби, мы сначала очистим дроби, умножив каждое уравнение на ЖК-дисплей всех дробей в уравнении.

    Упражнение \ (\ PageIndex {31} \)

    Решите систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + \ tfrac {1} {2} y = 6 \\ \ tfrac {3} {2} x + \ tfrac {2} { 3} y = \ tfrac {17} {2} \ end {array} \ right. \)

    Ответ

    В этом примере в обоих уравнениях есть дроби. Нашим первым шагом будет умножение каждого уравнения на ЖК-дисплей всех дробей в уравнении, чтобы очистить дроби.

    Упражнение \ (\ PageIndex {32} \)

    Решите каждую систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} \ tfrac {1} {3} x− \ tfrac {1} {2} y = 1 \\ \ tfrac {3} { 4} x − y = \ tfrac {5} {2} \ end {array} \ right.\)

    Ответ

    \ ((6,2) \)

    Упражнение \ (\ PageIndex {33} \)

    Решите каждую систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + \ tfrac {3} {5} y = — \ tfrac {1} {5} \\ — \ tfrac {1} { 2} x− \ tfrac {2} {3} y = \ tfrac {5} {6} \ end {array} \ right. \)

    Ответ

    \ ((1, −2) \)

    Когда мы решили систему с помощью построения графиков, мы увидели, что не все системы линейных уравнений имеют единственную упорядоченную пару в качестве решения.Когда два уравнения действительно представляли собой одну и ту же линию, решений было бесконечно много. Мы назвали это последовательной системой. Когда два уравнения описывали параллельные линии, решения не было. Мы назвали это несовместимой системой.

    То же самое и с заменой или исключением. Если уравнение в конце замены или исключения является истинным утверждением, у нас есть непротиворечивая, но зависимая система, а система уравнений имеет бесконечно много решений. Если уравнение в конце замены или исключения является ложным утверждением, мы имеем несовместимую систему и система уравнений не имеет решения.

    Упражнение \ (\ PageIndex {34} \)

    Решите систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \\ y = 3− \ tfrac {3} {4} x \ end {array} \ right. \ )

    Ответ

    \ (\ begin {array} {ll} {} & {\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \\ y = 3− \ frac {3} {4} x \ end { array} \ right.} \\ {} & {} \\ {\ text {Запишите второе уравнение в стандартной форме.}} & {\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \\ \ frac {3} {4} x + y = 3 \ end {array} \ right.} \\ {} & {} \\ {\ text {Очистите дроби, умножив} \\ \ text {второе уравнение на 4.}} & {\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \\ 4 (\ frac {3} {4} x + y) = 4 (3) \ end {array} \ right. } \\ {} & {} \\ {\ text {Упростить.}} & {\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \\ 3x + 4y = 12 \ end {array} \ верно. } \\ {} & {} \\ {\ text {Чтобы исключить переменную, мы умножаем второе уравнение} \\ \ text {на -1. Упростите и добавьте.}} & {\ Begin {array} {l} {\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \\ \ underline {-3x-4y = -12} \ end { массив} \ право.} \\ {\ hspace {16mm} 0 = 0} \ end {array}} \\ \ end {array} \)

    Это верное заявление. Уравнения непротиворечивы, но зависимы. Их графики будут одной линией. У системы бесконечно много решений.

    После того, как мы очистили дроби во втором уравнении, заметили ли вы, что эти два уравнения совпадают? Это означает, что у нас есть совпадающие линии.

    Упражнение \ (\ PageIndex {35} \)

    Решите систему путем исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 5x − 3y = 15 \\ 5y = −5 + \ tfrac {5} {3} x \ end {array} \ right.\)

    Ответ

    бесконечно много решений

    Упражнение \ (\ PageIndex {36} \)

    Решите систему путем исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + 2y = 6 \\ y = — \ tfrac {1} {2} x + 3 \ end {array} \ right. \)

    Ответ

    бесконечно много решений

    Выберите наиболее удобный метод решения системы линейных уравнений

    Когда вы решаете систему линейных уравнений в приложении, вам не скажут, какой метод использовать.Вам нужно будет принять это решение самостоятельно. Так что вы захотите выбрать самый простой метод, который минимизирует ваши шансы на ошибку.

    \ [\ textbf {Выберите наиболее удобный метод для решения системы линейных уравнений} \\ \ begin {array} {lll} {\ underline {\ textbf {Graphing}}} & {\ underline {\ textbf {Substitution} }} & {\ underline {\ textbf {Устранение}}} \\ {\ text {Используется, когда вам нужно}} & {\ text {Используется, когда одно уравнение равно}} & {\ text {Используется, когда уравнения a} } \\ {\ text {картина ситуации.}} & {\ text {уже решено или может быть}} & {\ text {переустановить стандартную форму.}} \\ {\ text {}} & {\ text {легко решено для одного}} & {\ text {} } \\ {\ text {}} & {\ text {переменная.}} & {\ text {}} \\ \ end {array} \ nonumber \]

    Пример \ (\ PageIndex {37} \)

    Решите для каждой системы линейных уравнений, что удобнее решить: заменой или исключением. Поясните свой ответ.

    ⓐ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 8y = 40 \\ 7x − 4y = −32 \ end {array} \ right.\) Ⓑ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 5x + 6y = 12 \\ y = \ tfrac {2} {3} x − 1 \ end {array} \ right. \)

    Ответ

    \ [\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 8y = 40 \\ 7x − 4y = −32 \ end {array} \ right. \ Nonumber \]

    Поскольку оба уравнения имеют стандартную форму, использование исключения будет наиболее удобным.

    \ [\ left \ {\ begin {array} {l} 5x + 6y = 12 \\ y = \ tfrac {2} {3} x − 1 \ end {array} \ right. \ Nonumber \]

    Поскольку одно уравнение уже решено относительно и , использование подстановки будет наиболее удобным.

    Пример \ (\ PageIndex {38} \)

    Для каждой системы линейных уравнений решите, что удобнее будет решить заменой или исключением. Поясните свой ответ.

    ⓐ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 4x − 5y = −32 \\ 3x + 2y = −1 \ end {array} \ right. \) Ⓑ \ (\ left \ {\ begin { массив} {l} x = 2y − 1 \\ 3x − 5y = −7 \ end {array} \ right. \)

    Ответ

    ⓐ Поскольку оба уравнения имеют стандартную форму, использование исключения будет наиболее удобным.Ⓑ Поскольку одно уравнение уже решено для x , использование подстановки будет наиболее удобным.

    Пример \ (\ PageIndex {39} \)

    Для каждой системы линейных уравнений решите, что удобнее будет решить заменой или исключением. Поясните свой ответ.

    ⓐ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = 2x − 1 \\ 3x − 4y = −6 \ end {array} \ right. \) Ⓑ \ (\ left \ {\ begin {array } {l} 6x − 2y = 12 \\ 3x + 7y = −13 \ end {array} \ right. \)

    Ответ

    ⓐ Поскольку одно уравнение уже решено относительно и , использование подстановки будет наиболее удобным.Ⓑ Поскольку оба уравнения имеют стандартную форму, использование исключения будет наиболее удобным.

    Решение систем линейных неравенств

    Техника решения систем линейных неравенств отличается от методов решения линейных уравнений, потому что знаки неравенства не позволяют нам выполнять замену, как мы это делаем с уравнениями. Тем не менее, мы все еще можем решить эти проблемы.

    Ключевые термины

    o Система линейных неравенств

    o Линейная оптимизация

    o Линейное программирование

    Цели

    o Научиться решать задачи, связанные с системами линейных неравенств

    o Понять базовый подход к решению задач линейной оптимизации.

    Системы линейных неравенств

    Система линейных неравенств включает несколько выражений, решение которых может дать ряд решений. Многие концепции, которые мы усвоили при изучении систем линейных уравнений, можно преобразовать в решение системы линейных неравенств, но этот процесс может быть несколько сложным. Возможно, наиболее наглядный способ одновременного решения набора линейных неравенств — использование графиков.Давайте сразу рассмотрим пример в двух измерениях.

    2 x -5 y ≤ 3

    y — 3 x ≤ 1

    Из-за неравенства мы не можем использовать подстановку так же, как мы это делали с системами линейных уравнений. Посмотрим на графики этих неравенств. Во-первых, мы упрощаемся до формы, которую легко построить графически.

    2 x — 5 y ≤ 3 y — 3 x ≤ 1

    2 x ≤ 3 + 5 y y ≤ 3 x + 1

    5 y ≥ 2 x — 3

    y ≥ 0.4 х — 0,6

    Теперь построим график этих неравенств.

    На графике видно, что есть две заштрихованные области, соответствующие решениям каждого неравенства. Линии заштрихованы, потому что неравенства не строгие (используются ≥ и ≤). Решением системы неравенств является более темная заштрихованная область, которая представляет собой перекрытие двух отдельных областей, и части линий (лучей), которые граничат с этой областью.Символически мы, пожалуй, лучше всего можем выразить решение в этом случае как

    0,4 x — 0,6 ≤ y ≤ 3 x + 1

    Решение систем неравенств в трех или более измерениях возможно, но это намного сложнее — построить графики твердых областей, которые составляют решения, также сложнее.

    Практическая задача: Найдите и изобразите множество решений следующей системы неравенств:

    x — 5 y ≥ 6

    3 x + 2 y > 1

    Решение : Сначала решим выражения для y .

    x — 5 y ≥ 6 3 x + 2 y > 1

    x ≥ 6 + 5 y 2 y > 1-3 9 1914 x

    5 y x — 6 y > 0,5 — 1,5 x

    y ≤ 0,2 x — 1,2

    Тогда мы можем выразить решение этой системы неравенств следующим образом:

    0.5 — 1,5 x < y ≤ 0,2 x — 1,2

    Построим график набора решений. Сначала мы построим график линий, соответствующих двум отдельным неравенствам (и выберем сплошную линию для первого и ломаную линию для второго), затем мы соответствующим образом закрасим две области.

    Решение представляет собой более темную заштрихованную область (которая является перекрытием двух отдельных областей решения), но давайте изобразим ее отдельно, чтобы было немного четче.

    Линейная оптимизация

    Мы можем применить то, что мы узнали выше, к линейной оптимизации (также называемой линейным программированием ), которая представляет собой процесс поиска максимального или минимального значения для некоторой функции при определенных условиях (например, линейных неравенствах). Решение задач, связанных с линейной оптимизацией, не требует от вас приобретения каких-либо новых навыков; они просто требуют, чтобы вы применяли то, что уже знаете.Итак, перейдем к практической задаче.

    Практическая задача: Найдите максимальное значение y при –3 x + 2 y ≤ 4 и x + y ≤ 1 при условии, что x ≥ 0.

    Решение: Нам дана система неравенств, для которой мы должны сначала найти соответствующее множество решений. В этом наборе решений мы можем найти максимальное значение y .Итак, мы можем сначала применить то, что мы уже знаем: давайте перестроим неравенства в форму, которую мы можем легко изобразить.

    –3 x + 2 y ≤ 4 x + y ≤ 1 x ≥ 0

    2 y ≤ 3 x + 4 y ≤ 1 — 9 1914 x

    y ≤ 1,5 x + 2

    Теперь давайте изобразим каждое из этих неравенств, отмечая, что мы должны использовать сплошные линии в каждом случае.

    Самая темная заштрихованная область (клин в правом нижнем углу графика) удовлетворяет всем ограничениям задачи. Затем мы хотим найти максимальное значение y , которое явно равно 1. (Мы также можем найти это значение, подставив x = 0 в x + y ≤ 1 и найдя максимальное значение y. , что также явно 1.)

    Решение систем уравнений с помощью построения графиков

    Решение систем уравнений с помощью построения графиков

    НАИМЕНОВАНИЕ _________________________________________ ДАТА ______________ ПЕРИОД _______

    Решение систем с использованием таблиц и графиков Система уравнений — это два или более уравнений с одинаковыми переменными.Вы можете решить систему линейных уравнений, используя таблицу или построив уравнения в одной координатной плоскости. Если линии пересекаются, решение — это точка пересечения.

    Пример Решите систему уравнений, построив график.

    Запишите каждое уравнение в форме углового пересечения.

    x — 2 y = 4 →

    x + y = -2 → y = — x — 2

    Графики пересекаются в точке (0, -2) .

    ПРОВЕРИТЬ Подставьте координаты в каждое уравнение.

    x — 2 y = 4 x + y = -2 Исходные уравнения

    0-2 (-2) = 4 0 + (-2) = -2 x = 0 и y = -2

    4 = 4-2 = -2 Упростить.

    Решение системы: (0, -2).

    x — 2 y = 4
    x + y = -2

    Упражнения

    Решите каждую систему уравнений с помощью построения графиков.

    1. y = 2 x — 2

      y = — x + 4

    2. 3 x y = 0

      x y = -2

    Раздел 3 5 Гленко Алгебра 2

    Классификация систем уравнений Следующая диаграмма суммирует возможности для графиков двух линейных уравнений с двумя переменными.

    Графики уравнений Уклоны линий Классификация системы Количество решений
    Линии пересекаются Различные склоны Последовательный и независимый Один
    Линии совпадают (одна линия) Тот же уклон, тот же y — пересечение Последовательная и зависимая Бесконечно много
    Линии параллельные Одинаковый уклон, другой y — пересекает Несоответствие Нет

    Пример Изобразите систему уравнений и опишите ее как непротиворечивый и независимый, непротиворечивый и зависимый, или несовместимый.

    x — 3 y = 6
    2 x y = -3

    Запишите каждое уравнение в форме углового пересечения.

    x — 3 y = 6 →

    2 x y = -3 → y = 2 x + 3

    Графики пересекаются в точке (-3, -3) . Поскольку есть одно решение,
    система последовательна и независима.

    Упражнения

    Изобразите каждую систему уравнений и опишите ее как непротиворечивые и независимые, непротиворечивые и зависимые, или несовместимые.

    1. 3 x + y = -2
      6 x + 2 y = 10

    2. x + 2 y = 5
      3 x -15 = -6 y

    3. 2 x — 3 y = 0
      4 x — 6 y = 3

    4. 2 x y = 3
      x + 2 y = 4

    5. 3 x y = 2
      x + y = 6

    Раздел 3 6 Гленко Алгебра 2

    Решение систем уравнений с помощью графического изображения

    Чтобы решить системы уравнений с помощью построения графиков, просто упростите уравнения, чтобы они были в форме пересечения наклона (y = mx + b), а затем нанесите их на график.Наконец, найдите точку пересечения … и у вас есть значения переменных. Легко … правда?

    00:33

    загадочных уравнения, ведущих к этому.

    00:36

    Изобразите уравнения, и они предоставят вам координаты для перегрузки сахара.

    00:40

    Вот клочок бумаги, который дал вам ваш друг.

    00:45

    Мы займемся уравнениями, сначала изменив их на форму пересечения наклона…

    00:50

    Начнем с верхнего уравнения …

    00:52

    отрицательный-три-x плюс y равно шести. Вы можете сделать это без сахара и кофеина

    00:57

    , бегущим по вашим венам.

    00:59

    Просто добавьте три-x к обеим сторонам. Делая это, мы видим, что y равно трем x плюс шесть.

    01:05

    Второй вариант немного сложнее.Но если вы можете смешивать кока-колу и пепси, пока не почувствуете вкус

    01:09

    , как доктор Пеппер, это еще ничего.

    01:11

    Сначала вычтем x из обеих сторон, и получим, что два-y равно отрицательному x минус 2.

    01:19

    Затем просто разделите все члены на два.

    01:21

    Мы получаем, что y равно отрицательной половине x минус 1.

    01:26

    Теперь нам просто нужно построить график.

    01:29

    Мы выполним первое уравнение синим цветом.

    01:33

    Пересечение по оси Y равно 6, поэтому мы можем построить точку в точке ноль-шесть, что на шесть пунктов вверх по оси Y.

    01:40

    Поскольку мы знаем, что наклон — это подъем за бегом, для каждого мы бежим или движемся вправо по

    01:45

    по оси x, мы поднимаемся или перемещаемся на три вверх ось y.

    01:49

    В обратном порядке, мы перемещаем на три деления вниз по оси y для каждого перемещения влево по оси x

    01:55

    .

    01:57

    Синяя линия будет пересекать ось x при отрицательных двух, нуле.

    02:02

    Мы сделаем второе уравнение красным.

    02:04

    Пересечение по оси Y имеет отрицательное значение 1, поэтому мы можем построить точку в нуле и отрицательную единицу на оси ординат.

    02:11

    Для каждого бега или перемещения вправо по оси x мы перемещаемся на половину вниз.

    02:17

    Перевернув его, мы будем перемещаться на 1/2 вверх для каждого перемещения влево по оси x.

    02:21

    Эта линия также пересекает ось x в отрицательном значении два, ноль.

    02:29

    Так вот где находится Черный рынок.

    02:32

    В (-2, 0).

    02:34

    Возможно, вам придется сесть на метро, ​​но мы уверены, что вы сможете вернуться домой

    02:37

    домой в чистой сахарной лихорадке.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.